கவனிக்க: இந்த மின்னூலைத் தனிப்பட்ட வாசிப்பு, உசாத்துணைத் தேவைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தலாம். வேறு பயன்பாடுகளுக்கு ஆசிரியரின்/பதிப்புரிமையாளரின் அனுமதி பெறப்பட வேண்டும்.
இது கூகிள் எழுத்துணரியால் தானியக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட கோப்பு. இந்த மின்னூல் மெய்ப்புப் பார்க்கப்படவில்லை.
இந்தப் படைப்பின் நூலகப் பக்கத்தினை பார்வையிட பின்வரும் இணைப்புக்குச் செல்லவும்: Bridging The Gap Between O/L and A/L Mathematics Activity Book
Page 1
Page 2
Page 3
崎
THE KAIZEN PILOT PROJ
PLAN ST
AV
FOR
DEVELOPMENT OF SCIENCE AN SECONDARY
9Ministry off{uman Rest ‘Education and cu,
f * The JICA STUK,
Vexað í
ACC, CLASS | (} A* Bl
:CT OF THE MASTER JDY
JD MATHEMATICS IN THE
LEVEL
urces Development, Stural Affairs',
DY TEA9M
=ই======৭
*: -1, $ ch.: G} |
di Girls'
Library .
o: 3954. . . . . . o. oo - |-.......مجھه////تمھ2هم"
Page 4
; :
1)
り
3)
4)
5)
6)
Z)
8) 9)
10)
11)
QE-CIR
9Men
SOMiss, SM. D.S. Sebastiampil Mr. S. jeyabalan
SMrs. S. Tharmalingam
SOMr. SOM. Sivabalan
:Mrs. K. Sivagnanam SOMr. K. Senthidivadives
9Mr qP ጥVijayaK፱mar Mr. G. Sriganesh
: '9Mr 12 Siqanesh . . . .
- if
9Miss S. Ratnaingam
SMiss g. Sachithananthan,
n6ers
ai (sleader)
V.
Page 5
4 முன்
حج
ICA செயற்றிட்டத்தின் கீழான யாகின்றது. க பொ. த சாதாரணதர
இடையிலான இடைவெளி மாணவரின் உய வெளிப்படையானதொன்றே அதுவும் "உயர்தர
Mణ'K:#;ళ్ళ
காரணமாக கூடுதல் பாதிப்புக்குள்ளாகி வருகின்
இப்பாதிப்பினின்றும் மாணவர்க்கு பரிச தோற்றம் பெற்றுள்ளமை அதிர்ஷ்டவசமானதே. உயர்தரம் மற்றும் இடைநிலை வகுப்பு,
இனங்கானப்பட்ட குறித்த சில பரப்புகளின் தொடர்பில் மேலும் ஆய்வுகளின் ஊடாக 6
பாடசாலைகளினதும் கணித பாடப் பெறுபேறுக
எமது நடை முறைத் திட்ட, அமுலாக்க வகுப்பில் கற்கும் கணிதப்பிரிவு மாணவர்களு
வழங்கப்பட்டு வகுப்புக்கள் நடாத்தப்பட்டன. ம ஆராயப்பட்டு தேவையான நடவடிக்கை எடுக்க
இந் நூல் மீள் பதிப்பு செய்யப்படுகின்றது.
உள்ளடக்கப்பட்டள்ளன. மேலும் ஆங்கிலமெ பயன்படும் வகையில் கலைச்சொற் தொகுதியும்
இறுதியாக, இச் செயற்திட்டத்திற்கு வழிகாட்டல் வழங்கிய ICA குழு உறுப்பின நிறுவக ஆளணியினருக்கும் மேலும் உன்னதமா
கலூநிதி.சி.சிறீசற்குணராஜாவிரிவுரையாளர்,யாழ்
நன்றிகளைத் தெரிவித்துக் கொள்கின்றோம்.
அத்துடன் எம்முடன் தோளேடு தே அவர்களுக்கும் ஆலோசனைகள் வழங்கிய பி
ஆசிரியர்களுக்கும் இதனை பதிப்பித்து வெளிய
கூறக் கடமைப்பட்டுள்ளோம்.
* ந
A
ன்னுரை - KAIZEN செயற்பாடுகளில் ஒன்றாக இந்நூல்
- உயர்தர வகுப்புகளின் கலைத்திட்டங்களிற்கு.
பர்ந்த கற்றல் பேறுகளில் ஏற்படுத்தும் தாக்கம்
கணித நெறியில் கற்கும் மாணவர் இவ்விடைவெளி றனர். என்றே சொல்லலாம். శ్లో
காரம் அளிக்கும் ஒரு வழியாக இச்செயற்திட்டம் இந்நடவடிக்கையின் பொருட்டு எமது பாடசாலையின் கணித ஆசிரியர்கள் ஒழுங்குகளை ஆராய்ந்து டாக நோக்கை நிறைவேற்ற முயற்சித்துள்ளனர். இது மது போட்சாலையினதும் ஏனைய எமது பிரதேசப் ளில் மேலும் சிறப்பான விருத்தி உருவாகும் என்பது
uன்படி இந்நூலில் உள்ள பயிற்சிகள் 2006 உயர்தர க்கு ஜனவரி - மார்ச் வரையான காலப்பகுதியில்* திப்பீட்டுப்பரீட்சை ஒன்று நபாத்தப்பட்டு பெறுபேறுகள் , ப்பட்டது செயற்றிட்டத்தின் இரண்பாவது பகுதியாக. இப்பதிப்பில் கூடிய பயிற்சிகளுடன் விடைகளும்
ாழிமூல கணிதபாட புத்தகங்களை வாசிப்பதற்கு
சேர்க்கப்பட்டள்ளது. རྩ་ཚི வடிவம் கொடுத்தலில் எமக்கு நிதியுதவி மற்றும்
ர்களுக்கும் ஆலோசனை வழங்கிய தேசிய கல்வி ன பல ஆலோசனைகள் வழங்கியுதவிய
பல்கலைக்கழகம்)அவர்களுக்கும் எமது மனங்கனிந்த
ாள் நின்று எம்மை ஊக்குவித்த எமது அதிபர் o LTLFTsoso ஆசிரியர்களுக்கும் எமது பாடசாலை ட உதவிய பதிப்பகத்தார்க்கும் எமது நன்றிகளைக்
ன்றிகள்
Page 6
அதிபரின்
மனித வள அபிவிருத்தி, கல்வி அமைச்சு ICA அணியினரால் நடைமுறைப்படுத்தப்படும் செய்யப்பட்டமை மகிழ்ச்சிக்குரியது ஒன்றே. இச் அபிவிருத்தியில் பாரிய வளர்ச்சியை ஏற்படுத்து இப்பாடப் பரப்பில் அருகி வரும் சிறந்த பெ களையப்பட வேண்டிய ஆசந்தர்ப்பத்தில்
நேடைமுறைப்படுத்தப்படுகின்றமை பொருத்தமானதா?
இவ் வெளியீடானது இனங்காணப்பட்டுள்ள கையாள முற்பட்டுள்ள ஓர் வழிமுறையாகும் சிற இது உருவாக்கப்பட்டு நடைமுறைப்படுத்தப்பட்டு புதுப் பொலிவுடன் திருத்தப்பட்ட பதிப்பாக இது எமது பாடசாலைக்கு மாத்திரமன்றி எழுது பாடசாலைகளுக்கும் பயன்பட வேண்டும். அதற்கு முயற்சியினால் இது நல்ல விளைவுகளைத் தர இத்திட்டத்தினை நாம் சிறந்த முேறையில் பயன் அமைச்சு மற்றும் தேசியல் கல்வி நிறுவக அத நன்றியறிதலையும் தெரிவித்துக் கொள்கின்றேன்.
ஆசியுரை
மற்றும் தேசிய கல்வி நிறுவகத்தின் ஆதரவுடன் செயற்திட்டத்திற்கு எமது பாடசாலையும் தெரிவு செயற்திட்டம் இடைநிலைத்தர கணித விஞ்ஞான ம் என்பது எனது நம்பிக்கை சமீபகாலத்தில் றுபேறுகளுக்கு உரிய காரணங்களைக் கண்டு இச் செயற்திட்டம் சரியான வகையில்
ஓர் பிரதான பிரச்சினையை முதன் முறையாகக் ப்பான முறையில் எமது ஆசிரிய அணியினரால் } அதில் காணப்பட்ட குறைகளை இனங்கண்டு வெளிவருகின்றது. இதன் வெற்றி எதிர்காலத்தில் பிரதேச மற்றும் ܬ ܼܲ நாட்டிலுள்ள அனைத்துப் நாம் அனைவரும் பாடுபட் வேண்டும். சிறப்பான எனது ஆசிகளைத் தெரிவித்துக்கொள்வதுடன், படுத்துவதற்கு உறுதுணையாக இருக்கும் கல்வி திகாரிகளுக்கும், ICA அணியினருக்கும் எனது
w
.
திருமதி. க. பொன்னம்பலம்
uT/86itbug LD66ir di urby uTLaft606n),
u Tp'JUFT60OTLb.
క్తే
W
Page 7
நூல S. னுட்
க.பொ.த (சாத) பரீட்சையில் சிறந்த டெ கணிதத்துறையை தெரிவு செய்திருக்கும் மாணவர்க சாதரணதரப் பரீட்சையில் கணிதபாடமானது ச இப்பரீட்சை வினாத்தாளின் g|TLDIT60T &LDITITT அதிவிசேட சித்தியை இலகுவாக பெற்றுக்ெ கணிதத்துறையை தெரிவு செய்யும் போது உய தரங்கூடியதாகவுள்ளது. இதன் காரணமாகவே இடைவெளி காணப்படுகின்றது. இவ் இடை வெளி நோக்கில் இச்செயல்நுால் தயாரிக்கப்பட்டுள்ளது.
க. பொ. த. சாதாரண தரத்தில் கற்ற கை பிரிவில் பிரயோகிக்கும் நோக்குடன் சில அல தொடர்பான மேலதிக பயிற்சிகளும், விளக்கங்களு இவ் அலகுகள் தொடர்பான தெளிந்த அறிவைப்
எனின் நீங்கள் உயர் பெறுபேறுகள் பெறுவீர்கள் எ6
மேலும் இவ் அலகுகளில் கற்கும் விடய கணிதம் என்ற பாடத்திலுள்ள அலகுகள் தொடர்ட இவ் அலகுகள் அப்பாடத்தில் புகுத்தப்பட்டுள் எச்சந்தர்ப்பத்தில் பிரயோகக்கப்படும் என்பதற்குரிய
இந்நுால் பாகம் 1, பாகம் 2, பாகம்
Yn 20 அட்சரகணிதப் பகுதிகளும், பாகம் 2 இல் கேத்தி
கணிதமும் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளன.
பாகம் 1 இல் முதலாவது அலகாக சுட்டிக தரப்பட்டுள்ளது. இணைந்ந கணிதபாடத்திட்டத்தில் எனவே இங்க தரப்பட்டுள்ள பயிற்சிகளை மாணவர் மாணவரின் சுய கற்றலுக்கேற்ற விதத்தில்
சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
இரண்டாவதாக அட்சரகணிதக்கோவைகள் உயர்தரத்தில் தேவைப்படும் கணித்தல்களை இ கொண்டுள்ளது. அடுத்துவரும் சமன்பாடுகளின் தீர் தாமாகவே பயிற்சிகளைச் செய்வதற்கு ஏற்ற வகை
- gماه، ... . . . : ..“بپه م y
ഷ്ട് • • " ، " ، " است
பேறுகளைப் பெற்று தற்போது உயர்தரத்தில் : நக்காக இச்செயல் நுால் தயாரிக்கப்பட்டுள்ளது. 56)(585,5LD 85 LITLJ UsTLLDIT85 3(bjugb60TT6) எதாகவே காணப்படுகின்றது. இப்பரீட்சையில் 5ாள்ள முடியும். ஆயினும் உயர்தரத்தில் தாத்தில் இணைந்த கணித பாடத்திட்டமானது சாlத - உத பாடத்திட்டங்களுக்கிடையில்
யைத் தாண்டுவதற்கு பாலமாக அமையுமென்ற
ரித UIL அறிவினை க. பொ. உத கணிதப் தகள் தெரிவு செய்யப்பட்டு அவ் அலகுகள் நம் இந்நூலினூடாக வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பெற்ற பின்னர் உத பிரிவில் உட்புகுவீர்கள்
ன்பது வெளிப்படை
ங்கள் க.பொ.த. உயர்தரத்திலுள்ள இணைந்த ான அடிப்படை அறிவைப் பெறுவதற்கே அன்றி iள அலகுகள் அன்று. எந்த அலகுகள் விபரம் கீழே விபரமாகக் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.
3 என வகுக்கப்பட்டுள்ளது. பாகம் 1 இல்
ா கணிதப்பகுதிகளும் பாகம் 3 இல் திரிகோன
ஒரும் , மடக்கைகளும் சேடுகளும் என்னும் பகுதி இப்பகுதி முக்கிய இடத்தைப் பெறுகின்றது. தாமாகவே செய்து முடிப்பது "பயனுடையதாகும். இவ் அலகில் உதாரணங்கள் கூடுதலாகச்
என்னும் அலகு உள்ளது. இப்பகுதி குவாகச் செய்வதற்கு ஏற்றதான பயிற்சிகளைக் கள் , வரைவுகள் ஆகிய அலகுகளும் மாணவர்
பில் கூடிய உதாரணங்களைக் கொண்டுள்ளன.
albamu
Page 8
பயிற்சிகளுக்குரிய விடைகளும் பின்னிணைப்ப இணைந்தகணித பாடத்திட்டத்தில்ளள் இ6 தேவையான அடிப்படை அறிவைத்தாக் கூடி தலைப்பில் அமைந்துள்ள பகுதியானது பி தேவையான அறிவினை வழங்கக் கூடியாதர்கள்
கேத்திரகணிதம் என்னும் பகுதி 2 நீககப்பட்டுள்ளது. ஆயினும் கேத்திரகணித தேவைப்படுகின்றது. எடுத்துக் காட்டாக ை
திரிகோணகணிதத்தின் முதலாவது சமன்பாடாக
மேலும் வேகமுக்கோணி, "விசைமுக் முககோணிகளின் ஒருங்கிசைவு, முககோணி விடயங்களின் அறிவு தேவைப்படுகின்றது. பல்கோணிகள் வரைய வேண்டிய தேவை ஏ அத்தியாவசியமாகின்றது. வேகமுக்கோணிகள் அறிவும் அவசியமாகின்றது. இன்னும 9 sysful j6). கிண்ணத்தில் கோல்கள் வைக்கப்படும் சந்தர் வட்ட நாற்பக்கல், வட்டத்துண்டக கோணங்க அறிவு இன்றியமையாததாகவுள்ளது. இறுதியி வகையில் உள்ளிருகூறாக்கித தேற்றம பயிறகி
மேலும் இணைந்த கணிதம் 11 க பரிமாணத்தில் வரைய வேண்டியிருப்பதால் திை தேவைபபடுகின்றது. இருபடிச் சாபுகளின் இருப்பதனால் பரவளைவு பற்றிய அறிமுகம் என்னும் பகுதி சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.
பாகம் 3 இல் திரிகோணகணிதம் இணைந்த கணித பாடத்திட்டத்தில் தனிப் இதன் பிரயோகம் தேவைப்படுகின்றது.
எனவே இந்நூலிலுள்ள பயிற்சிகளை
நிறைவ செய்து கொண்டு உத கணித
கொள்கின்றோம்.
ಕ್ಲಿà: சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. வரைபுகள் என்னும் அலகு iச்சார்புகள் எனனும் பகுதியைக கற்பதற்குத் விதத்தில் அமைந்துள்ளது. சமனிலிகள் என்னும் தேசங்களை வரைபில் குறித்துக் காட்டுவதற்குத் iளது.
.யர்தா வகுப்பப் பாடத்திட்டத்தில் (UP(ugp6ODtOuJfTö5 அறிவு உயர்தரத்தில் பல்வேறு சந்தர்ப்பங்களிலும்
பதகரசின் தேற்றத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்தியே
۔۔م۔۔۔ ۔۔۔
Lu Sin 69 + Cosa 69= 1 6TGÖTugJ நிறவப்படுகின்றது.
கோணி போன்ற அலகுகளைக் கற்கும் போது அமைப்புகள், முககோணிகளின் இயலபுகள் போன்ற இன்னும் ஒருதளவிசைகள் கற்கும் போது விசைப் றபடுகின்றது. எனவே பல்கோணிகள் பற்றிய அறிவு வாைவதற்கு சில சந்தாப்பங்களில் துெடலி பற்றி என்னும் பகுதியைக் கற்கும் போது அரைககோளக் பங்களை எதிர் கொள்ள வேண்டி ஏற்படும் போது ள், இயலபொத்த முக்கோணிகள் போன்ற பகுதிகளின் Iல் பயிற்சிகளைச் செய்வதில் பயனளிக்கும் என்ற யாகச சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. w ற்கும் போது முப்பரிமாணத் தோற்றங்களை இரு ன்ம உருக்களின் குறுக்கு வெட்டுமுகம் பற்றிய அறிவு வரைபுகள் எறியப்ப் பாதை என்பன பரவளைவாக தேவைப்படுகின்றது. இதற்காகக் கூம்பு வெட்டுகள்
என்னும் பகுதி தரப்பட்டுள்ளது. திரிகோணகணிகம் பரும பகுதியாகவுள்ளதுடன் பிரயோககணிதத்திலும்
செய்து உங்கள் சாத கணித பாட அடைவை
பாடத்தைக் கற்பதற்கு தயாராகுமாறு கேட்டுக்
Page 9
V
(OLIT(
LJurasi -I
fதம் 1. சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் சேடுகளு
2.
அட்சரகணிதக் கோவைகள்
3
அட்சரகணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு
4.
வரைவுகள்
சமனிலிகள்
5.
LJErbi -2
கேத்திரகணிதம்
1. கோணங்களும் முக்கோணிகளும்
பைதகரசின் தேற்றம்
விகிதமும் விகிதசமனும்
வட்டத்துண்டக் கோணங்கள்
கேத்திர கணித அமைப்புக்கள்
Jirai -3
திரிகோன கணிதம்
്ങുt]]
நளடக்கம்
கள்
பக்கம்
1 - 9
10 - 22
23 - 33
34 - 42
43 - 46
47 - 56
57 - 59
60 - 64
65 - 67
68 - 71
72 - 82
Page 10
Page 11
மர்காம் ~1ை
ඡවJඛල්
A9
> சுட்டிகளும் மடக்கைகளும், சே(
கட்டிகள்
O எண் ஒன்றினைச் சுட்டி வடிவத்தில் குறி
இயற்கையில் விரிந்து செல்லும் என் பெறுமான
இலகுவாகக் குறித்துக்காட்டுவதற்கு சுட்டிகள் மிகவு சுட்டிகள் தொடர்பான பிரயோகங்களை இ
உண்மைகளைப் பின்வருமாறு தொகுத்துக் கூறமுடி
> அவை
ვ" ჯვ" c m a" al" ah-n
(a") = m (ab)" a"X b"
am R 1/a"
IDL š05356
சுட்டிகள் போலவே மடக்கைகளும் ஒ மடக்கை என்பது குறித்த அடி சார்பாக குறிக்கின்றது.
m=a" &=> logam = n
மடக்கை விதிகள்
logam s logam + loga n
log, mn logam - loga n logam rloga m; reR loga nvm = log.m ; ne Z
loga a 1
log a 1 O
g) - + b (1) :-
32=2 ஆகும். ஆகவே, log232 = 3
5 - OI
டுகளும்
நிப்பது என்பது ஒர் குறியீட்டு முறையாகும். ங்களையும், மிகச் சிறிய பெறுமானங்களையும் Iம் பயனுடையவையாகின்றன.
}லகுபடுத்தும் பொருட்டு சுட்டிகள் G5Linua
LLD,
| குறியீட்டு முறையேயாகும். எண்ணொன்றின் அவ்வெண்ணின் அடுக்கின் பெறுமானத்தைக்
Page 12
g» -+ b (2)
log27 = 3 ஆகும். ஆகவே, 3 = 27
g) + b (3) :- giága, log.8 = 3 = 8-x
XF 2 2 - + lb (4) :- தீர்க்குக log3x = 5 = x = 3 = 243
உ + ம் (5) - தீர்க்குகiog625=x = 625=5
*5 سي 54 جية
g + b (6) :-
தீர்க்குக. 3° = 81 -> 3*= 3*
3) - + b (7) :-
தீர்க்குக. 4*- 10 02+ 16 = 0
(2) -- 10 o 2 + 16 = 0
2" = t என்க.
t’ - 10t+16= 0 => t , அல்லது F2 -> 2"= 2 அல்லது 2"=2
1 = x = 3 அல்லது x ל-כ உ + ம் (8) :-
lg(aʼb°/c°) gg 1g a, 1g b, 1g C 6tGötu6Qıgög3lsi) si
1g(aʼbʼ/c°) = lga°+ 1g b° — lg c°
= 5 lg a + 3 lg b — 2 lg c
உ + ம் (9) -
lg2 = 0.3031 1lg3 = 0.4770 guj6öT lg 18 96öı 1g 18 = lg (2x9) = lg(2x3°) = lg2 + 2lg3
--= 0.3010+2x0 .
உ + ம் (10) -
1g24 = 1.3802 ஆகவும் 1g 54 = 1.7324 ஆகள்
காண்க.
lg2 = x எனவும் 1g3 = y எனவும் கொள்வோம்
lg24 = lg(2ʼx3)
டுத்துரைக்க,
பெறுமானம் காண்க.
A.
4770 = 1.2550
|ம் இருப்பின் lg2, 1g3 என்பவற்றின் பெறுமானங்களைக்
fs
Page 13
1.3802 - 3g2 + g3 = 3x y -- Şô616QJrr@p3 lg 54 = lg(2x27) = lg 2 +3lg3
1.73. = x+3y -
( 1 ) , ( 2 ) என்பவற்றிலிருந்து 1g2, 1g3
+ b (11) :-
lg32 - 51g2 — 5 ʻ –
ಶiThé65, - - - - అర్లి, 4-3-2 -
Lmữề
1) பின்வருவனவற்றை 4 இன் வலுவாக எழுது
1) - 2) || 3) & 4) 2 5, 4
) 6 ) ) ) W )
2) பின்வருவனவற்றை மடக்கை வடிவில் எடுத்
1.256 = 4 2. =3'
8 .
3) சுட்டி வடிவில் எடுத்துரைக்க 1. logo 10000 = 4 - 2. logex = a 4. log216 =4 . 5. logs 125 = 3
4) X இன் பெறுமானங் காண்க.
1) 1g 3 x - 3 2) tg sa9 - x 3) lg.:=
5) lg x = 1+ lg3 6) lig x
ve)
5) பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குக.
1) 2* = 64 2) (2*)* = 2 * - 3) 9* -- 12
4+x 110-2x 4) 4 . 2 )5 .49 = 08ل.
ga, Igb, IgC, 36) 67(65,5160.55, (lga =
1. ga°bc 2. g* 3. lg
5. lig Nab 6. lց 摩
C
1)
2 )
காணலாம் .
if .
jčБ,
v2 6) 32,
5துரைக்க
3.625-5
3. log 1 = 0 6. logo 0. 001 = -3
: -- 4 4) lig Nix = 1.. 5
= 3lg2 — 2lg3
3+27 =0
= 8ལ་ཆོ་
log 40a)
| 53 4. lg bc V c.7
శ్లో
Page 14
7) ig2=03010.jg 3=0.4770 ஆயில்
1. lg 5 2. lց 27 3. 1ց
1 6. to 36 7. foq — - 8. lg 25 9 9 з6 9
8) g12 = 1,0792 எனவும் g 18 = 1255.
பெறுமானங்களைக் காண்க,
9) a = 10°, b = 10, c = 10 ஆயின் பின்வி
f 32 Y -
M
(10ა/ხ \ | 2)g || c I a*c }
3)
10) சுருக்குக.
lg8 lg5 - - )2 ہے۔ (1 2 . . . *g125
lgb'c-lgbc
4) yerlgb
1. 6) ligyo — lig
y
8) lg(lgx°) — lg(lgX *)
10) g2 - go.2 *
P-51s. 2-41.3
m -- g-- 五"五5 lg
12) 2g+ 3
14) log(log.243) 1
11) பெறுமானங் காண்க.
-1- 1)(2) 2) (2
(4) 64
1
3)282 x 72
12) சுருக்குக
1)
w
ャ 3 x 6"- )
2) 4n+1 X gl-n Χ 16- 3)12
பின்வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க?
4. lց 72 5. 1ց 75
9. Ig 0.81
3 எனவும் தரப்படின் g 2, g3, g 5 என்பவற்றின்
ருவனவற்றை x,y,Z இல் எழுதுக.
s 100)
Pla”b” ノ
3, '& lg*/2
5) lg(100W10 + RV10)
81 .. 5 - 1 7).lg Y- + 3lg - + 1lg — + lg768
)g妾 g కి lg
9) lg750 — 2lg3 + lgl1.2
1) g1.2 + 2g-lg675
13)(1g*og9)
lg27
ལ་།
5) log s2ിg25 -4ിg;
Y
y
Page 15
' " ' - ۔ ۔ ۔ n 32n+1 - 4)20" x1002- - -643 - 5)~
7 _보 / 1. 9醬(*器 7) a 2 V5 4. 21 , - a
13) )2 = 3o = 12o guscixy = z(x + 2y)
i) 34 = 76° 38+1 = 256 ஆயின்
> மடக்கைகளின் அடிமாற்ற்ன்
log,X = r
X E a" 2 - logbX F m logía
loġa x x : logo
-
log్కx - logX -- logo, a
2) - 8 - logo ஜக் காண்க
logo = logo.5 logo2 = 0. (மடக்கை அட்டவணையை உபயோகித்து சுருக்கு
Indīgs
YN RO rA t பின்வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க
1) 1, log27 2. loga 5 2) loga bX logba = 1 என நிறுவுக? 3) logab X logb c X logo a = 616) fo/6jas?
அடுக்குக் குறியில் தெரியாக் கணியங்களை
மடக்கைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டியுள்ளது. ே
PH போன்ற பகுதிகளிலும் மடக்கைகளுடனான
இத்தகைய சில உதாரணங்களை இனிப்பார்ப்போ
உ+ம் (1) - 5 = 3 என்னும் சமன்பாட்டைத் தீ
x g5 = g3 x = g3 fig5 = 0.4770 1 0.699.
உ+ம் (2) - 3*-3"+ 2 = 0 ஐத் தீர்க்க?
3. = y என்க.
GIGGS, yo - 3y + 2 = 0
6990 1 0. 3010 s 232
ჩშნ, )
F .2
புடைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும் நாம் }லும் இரசாயனவியலில் அர்ைச் சீவியக் காலம்,
ரச்சினைகளை நாம் எதிர்நோக்க வேண்டியுள்ளது.
க்க?
Page 16
2 + 3 - 3 - (2) b + - ه
* 3 = y என்க
எனின் y? — Зу
(у-2) (у
y = 2 o
3 =
3 = 30
x = 0
> பின்வரும் சமன்பாடுகளைத்
1 3 4
2. 2. e 3 3. 4 - 3 x 2 - 16 4. 4 - 6 x 2* - 7 = உ+ம் (3) :- 80000 ரூபா) 9( % மடங்காவதற்கு எடுக்கும் A = P(1+rf100) % × 80000 × (109 | 100
15 = 109
n lg 1. 09 = 1.5
r = lg 1.5 / lg 1 உ+ம் (4) - பரிசோதனையொன்றில் X, y y=Ax" என்னும் வடிவில் முடிவுகளிலிருந்து x, y என்
ஒருமைகளை கணிக்க.
y = Ax"
இரு புறமும் 10 ஐ அடியாகக்
logy = logA logy = m log)
ү كم X --
3rig y = logy, X = logx
0ஐத் தீக்க?
- 2 - O
-1) = 0.
1
3 = 2
xlg3 = g2
lg20,3010 g3 Ο.4770
பயிற்சி 1.3
da தீர்க்க
0 = 2 - 1**3 7 - 3**sع هر 52 6.5 - 5* + 6 = O =O) 7.4*3= 7-1
O % கூட்ரி ஹட்டிக்க (மகலீடு தெய்யப்படுகின்றது. மெ
காலம் யாது?
yn
09
என்னும் இருகணியங்களிடையேயுள்ள தொடர்பானது உள்ளதாகக் கருதப்படுகின்றது. பரிசோதனை னும் வாசிப்புக்கள் பெறப்படுகின்றன. A, m என்னும
A.
கொண்டு மடக்கை எடுக்க
+ m log x
c + log A
C
கணிக்கலாம்.
- 6 -
Page 17
3.
1.
у எதிர் x"வரையும் போது பெறப்படும் நேர்கோட்டி துண்டு logA யையும் தருக?
log A = c = a = 10
கெப்லர் விதியைப் பெறுவதற்காகச் செய்யப்ப பெறப்பட்டன.
X 0.387 0.723 100
52 5.20
1
1.88 119
--
T O.241 Ο.615 1 00
log T 6igh log x வரைபை Qiaoybs, T = Ax" ஒரு நாட்டின் சனத்தொகை 18 மில்லியன வகையிலானது என எடுத்துக் கொள்ளும் போத 30.15t என்பதனாலே தரப்படும். பின்வருவன مي 18=P
1, 10 வருடங்களில் சனத்தொகை 2. 30 வருடங்களில் சனததொகை 3. சனத்தொகை மும்மடங்காக எடுக்கும் க வாவி ஒன்றின் பரப்பளவு 631290 m? ஆகும் ! மாதமும் தாம் நிரப்பும் பரப்பை இருமடங்காக்குகி ஆண்டு ஜனவரி 1ம் நாள் வாவியில் 1 mபரப்பில் 1. ஏப்ரல் மாத இறுதியில் எவ்வளவு நிரப்ப
வாவியின் 1/3 பங்கு நிரம்ப எவ்வளவு ச م“
ரூபா 60,000/= 12 வருடங்களுக்கு 14% கூட்டு வ 1. மொத்தத் தொகையைக் காண்க? 2. மொத்தத் தொகை இருமடங்காக எடுக்கு
பத்ெதிறன் அடுக்கு m ஐயும், வெட்டுத்
கணிக்கலாம்.
4
ட ஆய்வொன்றில் பின்வரும் தகவல்கள்
19.2 30.1 413
84 165 265
4
195 129.
5
-
என்பதில்A, m என்பவற்றைக் காண்க? கும். சனத்தொகை வளர்ச்சிஅடுக்குக்குறி t வருடங்களில் சனத்தொகை F ஆனது
வற்றைக் கணிக்க
T6)Lb. இவ்வாயில் படரும் நீராம்பல்கள் ஒவ்வொரு ன்றன. என அவதானிக்கப்பட்டுள்ளது. 2003ம்
நீராம்பல் காணப்பட்டது.
ப்பட்டிருக்கும்?
ாலம் எடுக்கும்?
ட்டிக்கு முதலீடு செய்யப்படுகின்றது.
ம் காலத்தைக் கணிக்க?
Page 18
(35F656ft:- (Surds)
a ஆனது விகிதமுறு எண்ணொன்றின் நிறைவான n சேடு எனப்படும்,
N2, N3, N5, 3 კ9 என்பன சேடுக
3.27, 38 என்பன சேடுகளின்று
2 -- N3, V2 போன்றன
(Na+ v6)ஒரு சேடு ஆயின் ( Na-6)ஆனது ( ( Va - W5 ) (Wa + V6 ) = (a-b) இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும் உயர் க காணப்படுகின்றன. உதாரணமாக
3x-8x+3 =0 போன்ற சமன்பாட்டைத் தீ
83 v64-36 8+ V28 4 + 7
போன் irs 6 6 3 பான்ற தீர்ை
. . . 1 /: மேலும் திரிகோண கணித விகிதங்களில் 2
சேடுகளுடனான பிரசினங்களைச் சுருக்குவதில் நா
பின்வரும் பயிற்சிகளைச் செய்வோம்.
பயிற்சி
1. எளிய சேடுகளாகத் தருக?
1) 75 շ) 1768 3) 288 4) v5
2. பகுதி எண்களை விகிதமுறு எண்களாக மாற்றுச
1) -- 2) - 3 = 3)
5-N2 2 + 1 */3
R - P2
Տ) 2-W3 - W2 6)
«(5 + 2 3.V2 - 2*/3
3. a+b Wo என்னும் வடிவில் எடுத்துரைக்க,
1) (2J3+5); 2) (5 — N2) - 3)
3)一子。 6) [2 + Ᏹr 7) - 1 — W W
ஆம் வலுவாகத் தரப்படும் போது $a ஆனது
ாகும்.
பும் சேடுகளாகும்
༩༧ རི༩) இன் உடன் புணரிச் சேடு எனப்படும்.
ணிதத்தில் சேடுகள் பல்வேறு இடங்களிலும்
da க்கும் போது
புகள் பெறப்படும்.
3
போன்ற சேடுகள் காணிப்படுகின்றன. எனவே
ம் ಶnqu திறன் பெறவேண்டியுள்ளது. எனவே
.S
+ ) 3
27 v3 + 1
1. ゴ + 一 2 8
Page 19
•ಿ 4. சுருக்குக,
1) 6 + J2) — /2)+ /8 (4 - /2) 2 - 2/十 Հ 2 + 3 / ۔ 2
2 - , 3/)ج24/ ج 2 - 5 (3
6 — Հ/2 — Հ/3
4) y = Y -
y 3x + 2 -- 3x - 2
பின்வரும் மெய் எண்களை எண்கோட்டில் குறித்து a) 15 b) -7 c) 0.7 d) -3.7
f) J3 g) 18
பின்வரும் மெய் எண்களைத் தசம வகைக் குறிட் a)3 b)-4 c) i. d) w6
7 1. 4 3-- - 8- h) - 分 8 g) 3. );
7) பின்வருவனவற்றுள் விகிதமுறு எண்களையும் விகி
விகிதமுறு எண்களை P என்னும் வடிவில் எழு
YNC) s
8) 2=14142.3=17321 ஆயின் பின்
தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாகத் தருக?
6 8 広ー а) V万 b) C) -W2x -W10x w
e) (2-1} f) (2 vs + i) g) ~/
க் காட்டுக?
e) 12.5
பில் எழுதுக?
e)
தமுறா எண்களையும் வேறாக்குக?
ΦΙΦ ατέ 0 (ρ,α) = 1
ருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் மூன்று
5 d) 22:36x3
h). N8
Page 20
அட்சரகணிதக்
2.1. அட்சரகணிதக் கோவைகளைப் பெருக்குதல்
g + 1. (3x + 2y) (5x + 6y)
= 3x(5x + 6y) + 2y(5x + 6y) = 15×” + 18xy + 10xy + 12y
.2, (x+y+2)(2x + 2y+22)
=x(2x + 2y+2z) + y(2x + 2y+22 =2x+ 2y+2z+ 4xy + 4yz + 4)
பயிற்சி
> பின்வரும் சோடிக் கோவைகளின் பெருக்கத்தை . (5a + 3b) (7a + 2b) 6. (x - . (3p + 2d) (8c+ 5c) 7. (a - . (2a+ 3b) (5a + 3b) 8. (x - (7a + 4b) (9a + 6b) 9. (κε . (3p + 5a) (5p + 3a) 10. (4
1
(a + b) (a + b) a(a+b)+ b(a + b) a* + ab + ab + b*
= a +2ab.+b'
a hub - (a + b)?
(a-b) = (a-b) (a-b)
= a(a-b) - b(a-b) =..a* - ab - ab - bo = a-2ab.+ b°
ஆகவே
(a+b) = a +2ab + b (a-bo= ao-2ab+ bo
- 1
) (22,
கோவைகள்
) + z(2x + 2y + 2z)
Z
2.1.1
எழுது5,
• y + z) (2x + 3y + 5z)
b-c) (a + b + C) ト2y+z)(x+2yーz) + 2) (x -2) x-3)(x+3)
9
Page 21
பயிற்சி > பின்வரும் வர்க்கங்களை விரித்தெழுதுக
1. (x + y) 7 (1 -m)*
2. (2x + Зу)* 8. (21 - 3m)
3. (h+2)? . . . 9. (x-3)2 4. (8x + 5y) -- 10. (5a-4b) 5. (5r + 4s) 11.(p一4y”。 6. (3t +5)* 12. (mn-pr)
gp.+ib : (a + b)(a — b)
a(a-b) + b(a-b) ao - ab + ba - bo
= ao - bo
(a + b)(a-b) = a” - bo
பயிற்சி
> பின்வரும் பெருக்கங்களை விரித்தெழுதுக
1. (x + y) (x -y)
. A
ve) w سمعیبر 5. -
( x (s x
翼
/ 7. *盖(*一品川
V ab ab) - - -
2
அட்சரகணித கோவைகளை பயன்படுத்தி பெறுமா காரணி பற்றிய அறிவினைப் பயன்படுத்திப்பெறுமா p +ib ;- 11 x 9 = ( 10 + 1 )( 10 — 1 )
= (10-12) = 99 (54.5-455) = (54.5-455) (54.5+ 45. = 9 x 100
= 900
- 11
.1.2
13. (a+1) 14. (x-1)
15. (2x+ )
3.x: 16. (...)
+”一封 4
2.13
2. (3p-2r) (3p + 2) 4. (x + y+z) (x + y-z)
( 〕, 一十一期一一二目 \ x. 2 ) ... 2) 3. (* YoY* - ”.
V y xالر ( னம் காண்போம். -
ானம் காணல்.
5)
Page 22
பயிற்
> பின்வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க
1. 101 x 99 .
3. 989 x 1011
5. 9.8 x 10.2
7. O. 81 x 1. 19
9. 9.8°-O.2
11. 18 + 24?
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
1. W13+ 23 2. ฟู10 + 2. w
3. 7 - 216 = 5-2 4. W.
g+b : - (a+b) = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a+2ab + bi) is a(a+ 2ab + b') + b(a' +; = ao+3aob + 3abo+ bo
(a-b)” = (a-b) (a-b) (ab)
= (a-b)(a - 2ab + bi) =a(ao-2abobo)-b(a”-2a = ao-3aob+3abo-bo
(a+bo = ao+3aob +3abo+ bo (a-bo = ao-3ab+3abo+ bo
> பின்வரும் கனங்களை விரித்து எழுதுக.
1. (x + y)° 2. (2x+y) 3. (ax+by)
d 2.1.4,
2. 27 x 33. 4.9999 x 10001 6.1.002 x 0.998 8. 3.3-1. 72 1D. 1. O2- 0.98°
12. 135-28
". .
争
լb + b՞)
4. (I-m) 5. (2x -y) 6. (ax-by)
Page 23
2 சிறிய கணியமாயின் (1 + a Y = 1 + 22 சந்தர்ப்பங்களை நாம் பெளதீகவியலில் எதிர்கொள்ள
செய்வோம். (1 - a Y = 1 -20 என்பதையும் a யுடன் ஒப்பிடு
(a * b) = a*+2ab என அண்ணளவாக்கப்படும் என்
AV
|b :- 1. (1.01 )2 = (1 + 0.1 )* >= 1 + 2x+_مه 2. (0.9)’ = (1 - 0.1) = 1 - 2 x (
பயிற்சி
நாண்கு தசமங்கலுநக்கு திருத்தமாகக் கூறுக.
1. (1.0015) 2. (4.003) - 3. (10.002)? 4. (16.003) 5. (16.003)
2.2. அட்சரகணித கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தல்
ve) g) +(b - 1. ax + ay - 5x - 5y = a(x + y)-5 (x + y) 1. y + 6y + 5y + 30 = y (y + 6) + 5(у+ 2. lx-y-mx + my = 1 (x-y) - m (x- 3. x-y-xz +yz = (x -y) (x+y) -z () 4. pox + pqX + pr+ pqy + qy + qr
= (pox + pqx) + (pqу + qoy) + (pr + = px (p+q) + qy (p+q) + r(p+q) = (p+q) (px + qy + ) 5. x + x2 - x - 1 = x2(x + 1) - 1(x + 1) = (x+1)(x + 1)(x-1
- 13
构
என அண்ணளவாக்கம் செய்யலாம். இத்தகைய
நேரிடலாம். எனவே கீழ்வரும் பயிற்சிகளைச்
போது b மிகச் சிறியதாயின்,
தையும் கவனிக்க,
12
0.8
l.)
5. (D998) 7. (5.99)? B. (4.997)? 9. (6.001)? 10. (12,0005)*
=(x+y) (a - 5) 5) ж (у + 6) (y + 5) -y) = (x-y) (1-m) -y) = (x - y)(x+y-z)
αr)
.(1 - مx+1)(x) = = (x+1)*(x-1)
濠z
Page 24
> இதுடிக் கோவைகள்,
x + bx + c என்ற வடிவுள்ள இருபடிக் கோை இருபடிக் கோவைகளை காரணிகள்க்கல்
+- 1 x + 7x + 12 = x + 4x + 3
= x(x + 4) + 3(x + = (x + 4) (x +3)
2.x-7x + 12 = x - 4x-3 o x(x - 4)-3(x-4) = (x - 4) (x-3)
3. x2 + 4x - 12 = x + 6x -
x (x + 6) - 2(x + (x-2) (x + 6)
4.x:- 4x - 12 = x*-6x + 2
= x(x -6)+2(x- = (x - 6) (x + 2)
பயிற்
காரணிப் படுத்துக , ه• 1. x +7x + 10 : ... 10 2. x-7x + 10 11 3. x-3x - 10 . . 12. 4. x + 3x - 10 3. 5. x + 4xt 3 14.
6. x- 4x+3 15. 7. x- 2x-3 16. 8. x + 2x-3 17. 9. -x+x+ 6
வ ஒன்றின் காரணிகள் காணல்
x + 12
4)
x + 12
翔 22.1
mo+ 9m + 20 mo-9m + 20 mo- m.- 20 mo+8m- 20 k2 + 10k + 24 k-14k+ 24 ko— 5k - 24 k + 1ઈk-24
Page 25
ഉ_+'p-
2). 6y'-y-15
6x? - 13x + 5 5x^+7x -6.
7x2 + 18x + 8 8x-x-7
9x + 15xy + 4y' 8y - 18y2-52* 6x“-5ху - 6у“ 3x-9x + 4 10.6a-17a + 12
12.4+ 13t- 12 13.3y?-13y + 1D
3m? - 14mn- 7n?
ea
ax + bx + c என்ற வடிவுள்ள இருபடிக் கோவை ஒ 1). 3x + 13x + 1D = 3x2 + 3x + 1.
3x (x+1) + 1 (3x + 10) (x -
6y?-10y - 9 2y (3y - 5) + (2y+3) (3y.
பயிற்சி
14 1
15
16. 2
7.
18.
19.
2O.
21,
22.
23 24. 25
- 15
ன்றின் காரணிகள் காணல்
""۔" : 10 + Dx
|O(x + 1)
- 1)
ју - 15 3(3y-4)” . 5)
2.2.2
Ox-13x -3 fx-19xy-6y 2 + 11a* + 12a' 5x^+ 9xy + 4y a2x2 + 1Dax + 21 32 - 12mn + mono 2Dab?-12ab - 27 24m?+22mn-21no 5- 18r + 9r. m"- 13m'n'- 48n*
8x?-13x-6 24x-29xy-4y
- - - " عeصير
Page 26
> 23 இருகணங்களின் கூட்டுத் தொகையும் வித்தியாசமு
(a+bo = ao+3aob+3abo+bo siguos
ao+ bo= (a + b)" - 3a°b-3abo Gaugg, Q
ஆகவே
ao+ bo= (a + b)° - 3a°b-3abo
= (a+b) - 3ab(a+b) = (a+b)(a = (a + b)(ao - ab + b^)
இதே போல் (a+bo = a°+3a°b+3abo+ bo
ஆகவே ao-bo= (a-bo+3a°b-3abo
= (a-b)+3ab(a-b) = (a-b)(a-b)+3ab = (a-b)(ao + ab + b*) ***
(2x) + y, (2x+y)(4x°-2xy + 2. 27p - 1 = (3p) - 1
= (зp— 1)(9p* + Зp + ' 3 (a + b) - c3 = (a + b + c)((a -
= (a+b+c)(a+
"1.8x3 + y -: طيبوسع
Juniaf
> காரணிப்படுத்துக,
6.8x
2. 64x - 27y 7. 64 3. a+b 8. xo 4. p - q 9. 2. 5. mn-13 10.
நாம் அறிவோம். இதிலிருந்து
g67th.
+b)-3ab
y)
1) r - b)-(a+b)c + c) bo+co +2ab - ac - bc)
2.3.1.
ق125x*y + ثم 1 (x+y)3 - y"
- (x -y) 7 - 125a
فx - 216
Page 27
உ+ம -காரணிப்படுத்துக
x + 4y' - 9a - 4xy
இந்தக் கோவையில் முதலாம் இரண்டாம்
மூலம் காரணி காணலாம்.
x+ 4y9 - شمa’ - 4ху = (x + 4y' - 4xy) - 9a = (xo - 4xy + 4y) - 9ao = (x - 2y)-(3a) = (x - 2y - 3a)(x - 2y+ 3a)
P .
> பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக,
1. x+ 6x + 9-4y 15.1. 2. 4x-12xy + 9y°-25 16, a 3. 2a2 - b* -- ab 17. (x. 4.5m + 14mn-3n - 10m+2n 18.3p 5. a-b'+ a b-ab 1910 6. 3x'+14x-5-xy-5y 20. a. 7. (x + y)+ 6(x+y) +9-4y 21. 1 . 8. po+3pq+2qo+3p+6q 22. ax 9. (5x-1)(x-3) + (x-5)(3 - x) 23.x. 10. (a*b)*- 7c(a+b) + 12c* 24 a” 11. (ax+by)-(ay + bx)' 25.xف 12.x'-16(y-z) 26, 2x 13.(ao-bo-co)”-4boco 27.1. 14. a- 7a-8 28. (5
29) 20y + 17y + 3 என்பதன் காரணிகளைக் க இதிலிருந்து 2173 இ 201703 என்பவற்
61(ԼքՖl5, 30) 30x + 41x + 7 என்பதன் காரணிகை என்பதை நுாறிலும் பெரிய இரு காரணிகளில்
- 1
நான்காம் உறுப்புக்களை ஒருங்கே எடுப்பதன்
x“ - 2xy? - yo - 2ab+bo - co - 2cd - do تم4y ۔ 9 + (y)2 + 6(x+y ۔ i + 14p - 5 - pa - 5a 2 - 25у“ - 10ур - р“ +2aobo - 3bo+4aobo(ao-bo)
ao+6ab - 9ao o+ boy -abo - х*у
— х — у +ху + 3ab + 2bo + ac + bc *yーxy-x 4 + 9x2 - 4x - فx + '
2y2-15yz' +14x+13)?-160°,+x-2)?
ண்க. w
" *, sኛ . ற முதன்மைக்காரணிகளின் பெருக்கங்களாக
ளக் கண்டு இதையே உபயோகித்து 3O41Ol
பெருக்கமாக எழுதுக.
Page 28
> 2.4 அட்சரகணிதப் பின்னங்களைச் சுருக்குதல்
x'+3xy-10y' Χ x + 5у - (x + 5 y)
2. ܝܓ -
x + 10xy + 25 y' x' - 4y (x +
= 1
a + 2y
1. 2 + a + 1)(a( 1ع+-2--1 .3 α α + 1 α + 2 α(
re α ' + 3 α + 2 -
as a
e 2
a(a+1)(a +
4. 1. 1 1.
“ን 十 خية --. མཁས་པ་མ་ལགས་ x + 3x + 2 x + 5x + 6 (x + 2)(x + 1(x-3): (x+1)(x+ x + 3 + (x+1)(x +
2(x- (x+1)(x +
o
ܒ
o (x + 1)(x +
பயிற்சி
3.ー午ー。 y’ + 2y
4 + 'y * + 4yز 4 + y* - 4yز
- 1:
(x-2y)) (x + 5 y)
X
5y) (c-2y)(x + 2y)
) - 2a(a + 2) + a(a+1) a + 1)(a + 2)
2a - 4a + a + a + 1)(a + 2)
2)
---- - - 1) (x + 2)(x +3) i(x : 1) 2)(x +3)
x + 1. 2)(x +3)
2) 2)(x-3)
3)
2.4.1 `
3.x: 1. 。二一十一 3x. - 12x 6x
Page 29
m-1 m + 3 2
2 + - 十 m - 4 m + 4 m - 4 2- in
7. x+3x .نڈ”y - xy{م (1 + -3 – 2 ب2 * 3 – يد 5 + 22| "2 يد "
3 3. χ. - 17 . Υ - 1 9. 2'-x J
x - y r* - yj + ''
- 11. X 흥주
v ́ + 5y + 6 yvʻ + 5\ʼ + 4
+-tی-+-tی- .13
1.
2 2 72 a + a a " + 3a + 2 a + 2:й
15. X 十 у - x + 4:v'
3(x -y) 20x -y) 4(x -y) 2-3a 3a+ 2 12
17. 十 --
2 + 3a 3a - 2 9a2-4
YNg) 19. 1. -- 1.
1 1 1 1. - - - х у ーT- 2 х у 2
> 1.5 சூத்திரங்களின் எழுவாய் மாற்றம்
கணிதத்திலும் பெளதீகத்திலும் பிரசினங்கள் பிரதியிட்டு கேட்கப்படும் கணியத்தை கணிக்க பின்வரும் பயிற்சிகளில் ஈடுபடுவோம்.
2_+ [p :-
『ー
1. T = *闇 என்பதில் gஐ எழுவாயாக்குக
g
tí - h a
- 1. ܵ
1 + ہ؟۔
--
-
- -
у
-< 3xy-10y + اند. ۶ ژ4 -- ۶ تا ۶ نو25 + {10 + ۶ م. "
x“ —x – 6 x+1 2. - - - - - - - え”ー9 次" +4x+3
4. v + 1 5
s
х * — 4 x + 2
1. ፱+ m 苏
十
l* + lm I lm - ma' l' - m'
18. 1.
ー十ー十ー a y z
தீர்க்கும் போது தரப்பட்ட கணியங்களைப் ட வேண்டிய தேவை ஏற்படுகிறது. இதற்காகப்
Page 30
45.1
இருபுறமும் வர்க்கிக்க T2- = g =
g
2. | = (g-1)1+ என்பதில் u ஐ எழு5
f
இருபுறமும் (u - 1) ஆல் வகுக்க? f(
f(Atー
1. 1. - : −- - - --> ണ - и f (и - 1) у t
3. ρν = 1/3 mnc* 969 cea எழுவாயாக்குக:
3pv = mnc* = c* = 32" -دي c = + 3, ፲ን፲}ጎ W ท
Juhi
பின்வரும் சூத்திரங்களில் அவற்றிற்கு நே
1. p = (νν)
3. 부 = 부+부 (v)
!? ע f.
7.T = 2z 、し二ー (h)
9. P= xmfor + k (f)
11. v = u + ft, s = (u-v)t/2 yuloir fig u, v, us 13, v = 5, S = 12 எனில் f ஐக் க
12. ro = p + q + 2pq Cos 6 GGi
கான்க?
4እ *1
T2
வாயாக்குக?
l 一二 一十一世 1) v u
y - ( “ - 1) CX 2. vyf (μ - 1)
if (Al - 1) ν - ή (μ - 1)
༡ད་
臀
e
if 2.5.1
ரே தரப்பட்டுள்ள் கணியத்தை எழுவாயாக மாற்றுக.
2. ro = po + y* + 2pq cos 69 (α).
፲?r - 4. k , = k (r)
6. ኄ” == 7r(AP - Apʼz)rʼ (r)
8m
8. f = - - - -
21r Y p (p)
24; 冗* 10. t = - (u)
ፕ ۹Nلا
s இல் தருக? Eக்க?
A.
பதில் = 18, p = 12, q = 8 ஆயின் 9 வைக்
20
Page 31
A -- . A -- C
என்பதில் x ஐ a, C என்ப
l3.
x + 5 x + 3
பெறுமானம் யாது?
14, a = xy, S = 2 (x + y) guoi, Xg as g a = 2400, s = 200 எனின் x, y என்பவற்ை
15q = 6 எனின் 3-இன் ெ
15. ) 1 Op =
q + 2r
ii) * = எனின் 3x -2y இன் பெறுமான
4. 3 3x + 2y 前) = mia -6 a 3. 2 2X - 3y
iv) 6x* = xy + 15y 6766) x + y எடுக்கக்கூt
X-y
v) 10x°+ 9y°= 21xy 616sfieôa “. 616ä5e5ä.
x + 2y
vi) 10xo + 29xy - 21 y* = 0 GTønsä xy GTGör
16) i) བ། ༈ ஆயின் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
a) = b) - :
b -- d b - d. a -b ac - c* a* + c* d) 7a? - 5 bd-d* b* + d* 7b - 5
ii) = 満ー藩 ஆயின் பின்வருவனவற்றை
ao + bo b a“ + ab + a) F-능 = -- b)
(a +c) b + c al
"\ c + e) قa - c c) ---=| - | bo-do d+f/
றில் தருக? a = -1, C = 1 ஆயின் x இன்
தருக?
b கணிக்குக?
மானம் யாது?
யாது?
றுமானம் யாது?
டிய பெறுமானமானங்களைக் காண்க
கூடிய பெறுமானமானங்களைக் காண்க
தன் பெறுமானம் யாது?
arc
b-d
3C すー * bd **
Այ6ւյ5,
b' -- bc + c'
Page 32
iii )
a)
c)
a b
== ஆயின் பின்வருவனவற்றை நி
C
a”+ bo b b) a* + ab + (a+c)" bo+co а
bo-co - b a — ხ(ხ* a-c? Tab d Tc(c.
Page 33
ඓක්රිච්ඡිනිකල් ත්රී
அட்சரகணித சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள். கணிதபாடத்தைக் கற்றல் என்று கூறும்போ தீர்த்தலாக அமைகின்றது. தரப்பட்ட தரவுகள் தேவையான சமன்பாடுகளையமைத்து 9ق சந்தர்ப்பங்களை நாம் எதிர்கொள்ள சந்தர்ப்பங்களிலெல்லாம் சமன்பாடுகளைத் து எனவே சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில்
இன்றியமையாததாகின்றது.
3.1 எளிய சமன்பாடுகளின் திர்வுகள்
፪ - +tፅ ፦ 1) 20x + 3)-5(x-1)= X+3
2x +6 - 5x + 5 = x + 3
A 2x - 5xx = 3-6-5
4x = -8
Χ. - 2
3 2 - 3 = 4 - 3- (2 -: b +_ے 及
al
இருபறமும் 2x ஆல் பெருக்க
ve) 3 - 8X = 6x - 18
-8x - 6x = - 18-3
14x = -21
3
Χ - --
2
g + b - 3) Χ 5X + 4 4x -9
2 3. 3
இருபறமும் 6 ஆல் பெருக்க 3x - 205x+4) = 2(4x-9) 3x - 10x -8 = 8x - 18
3x - 10x -8X = - 18 + 8
- 15X = - 10
3
叉二一 ל". محمحہ
- 23
®3
து அது பெரும்பாலும் பிரசினங்களைத் முடிவுகளென்பவற்றைப் பயன்படுத்தித் வற்றைத் தீர்க்க வேண்டிய U6) வேண்டியிருக்கின்றது. இவ்வாறான ர்ப்பதில் மாணவர் இடர்ப்படுகின்றனர்.
&նilգԱ } பயிற்சி பெறுதல்
Page 34
பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குக.
1) 5ᏅᏅ-2) -30Ꮸ-1)= - 2) (a+3)= -la-)
5. 4
3) y+1 = 20y-3) -3Ꮻy-1) * .
4) ( - 1) = 2+ l(3- y)
2 у 4
5) x(x+2)-30-1)=x+1
3.7 எளிய சம்ன்பாடுகளின் தீர்வுகளுக்கு இட்
உ +ம் :-இரு எண்களுக்கிடையேயான
கூட்டுத்தொகை 9/14 அவ்ெ
அவ்விரு எண்களையும் x , y
ஆகவே x-y = 5 .
1 1 9 ー十ーニー ,,,... х у 14
y - x 9
2 ۔۔سمہم۔- ح
(2) ᏍᏆ1* 14
14(x + y) = 9xy
(1) இலிருந்து y= x 45 ges(36, 14(x-5+x) = 9x(x 9x-45x-28x + 70 = 0 9x-73x + 70 = 0 9x-63x- 10x + 70 = ( 9x(x-7) - 10(x-7) = 0 (9x-10)(x-7) = 0 X = 10/926)6) x = 7
6) 4x- (x + 4}= 41
1 1 7) 2y:3y 5
8 7-5
3.x: x 2 9) - =1+ .. 3 2 3
ጽ፡ ۔ مہ۔ ? 10) ZX 보-보- ,پهز "" = { ea
5 2 - 5
டுச் செல்லும் பிரசினங்கள்
வித்தியாசம் 5, அவற்றின் நிகள்மாறுகளின்
வண்களைக் காண்க.
என்க.
...(1)
... (2)
Page 35
LJujjáf
1. ஒரு முக்கோணியின் ஒரு புக்கம்
முறையே சுற்றளவின் நாவில் ஒருபா
முக்கோணியின் சுற்றளவைக் காண்க?
2. ஒரெண்ணின் பங்கானது அவ்வெ
அவ்வெண்ணைக் காண்க? 3. அகலத்தின் இருமடங்கிலும் 3m g6.
சுற்றளவு 108m ஆயின் அகலத்தைக் 4, 25% அமிலக்கலவை தயாரிப்பதற்கு
கலக்க வேண்டிய தூய நீரின் கனவள 5. 90% அமிலக் கலவையுடன்" 51 தூய 6. 2,469 ஆகிய எண்கள் ஒவ்வொன்று பெறப்படும் முதலிரு எண்களும் கடை கூட்டப்படும் எண் யாது? 3.3 ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் தீர்வு உ +ம் :- 1) பிரதியிடும் முறை
3x + 2y = 21......... (1) 2x + 5y = 3 ......... (2)
՞) 1 - YNGRO ()=y=
21-3 (1)= y= g (2) 6
十 (2 x 三 3 இருபறமும் 2 ஆல் பெருக்க 4x + 105 - 15X = 6
- 11X = 6 - 105 = -99
X = 9
2x
- 25
3.2
cm இரண்டாம் மூன்றாம் பக்கங்கள் கும் ஜந்தில் இரண்டு பங்கும் ஆயின்
ண்ணின் % பங்கிலும் 6 அதிகமாகும்.
றவான நீளத்தையுடைய செவ்வகத்தின் காண்க?
50ml 30% அமிலக் கலவையுடன் வு யாது?
கலந்து 50% கனவளவு யாது? டனும் ஒரே என் கூட்டப்படும் போது
சி இரு எண்களுக்கும் விகிதசமனாயின்
فف
56i
பிரதியிட
x 9 - 6
Page 36
உ +ம் :- 1) கூட்டல் கழித்தல் முறை
y இன் குணகங்களைச் சமட் 23 என்பவற்றின் பொ.ம.சி இருசமன்பாடுகளிலும் y இன் இதற்காக (1* சமன்பாட்ன இனாலும் பெருக்குவோம். (1) х 3 15x + 6y : (2) x 2 8x + 6y = ygg நீக்குவதற்காக (3) இ (3) - (4) 7x = 14
x = 2
x = 2 ஜ (1) இல் பிரதியிட 5x2 + 2y = 12 2y = 12-10 = 2 y = 1
x = 2
y = 1 உ +ம் :- 3) துணிகோவை முறையாகவும்
5x + 2y = 12......... (1) 4x + 3y = 11 ......... (2)
¥ X س-- 12 12 is 12 3 11 4 11. 2- = 3° - 22 = ده -
15-8 55一48 y = =
x = 2
6.
குணகங்களைச் 6 ஆக்குவோம்.
ட 3 இனாலும் (2° சமன்பாட்டை 2
= 36 (3)
22 (4) லிருந்து (4) ஜக் கழிப்போம். da
first 6 ITto
5
4.
- 26
Page 37
உ +ழ் :-
" "حمحم حمي سي
4)மூன்று மாறிகளுடனான ஒருங்கை
3x + 2y + z — 13 = 0 2x + y + 52 - 12 = 0
x + y + 3z - 8 = 0
- فـ عم ستس لا يس 2 1 1TP 1 13下 :
3 1 : s 1위 1 3 8, 1 3 8 ||
2(5 x 8-3 x 12) +1(12 x 1 3(1x3 - 5 x 1) +2(5x1. 340-36) + 1 (12- 16) +
- 7
3(8-12)+2(12-16)+13(
-7
Z
2
3
1
பயிற்
ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள்.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குக.
5.
. 2x-y-3 = 3y - x + 4 = 5X - 8
x - y = y - x + 2 = 3y
ל -보-17 2+3=1و X y X y
= 3 - =16 X y х у
25x + 36y + 36z = 12
4x + 81 y + 42 = 27 9x + 9y + 642 = 3
4x-3y + 2z + 7 = 0 6x + 2y - 32-33 = 0 2x - 4y - z + 3 = 0
ー=ー*
13 21 12 2 8| 1 1 3.
1x8)+ 13(1x3-5x1)-14 2x3)+1(2x1-1x1) - 7
3f6- - 3(6 인 - 二2-3
1.
- 7 구= -=1
伊33
Page 38
3,4
t ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ,
படகொன்று 80km தூரத்தை மணித்தியாலமும் நீரோட்டத்திற்கு எடுக்கின்றது. படகின் கதியையும் 4 வருடங்களின் பின் தகப்பனின் வயது என்னவாகுமோ அதைப்போ அவனின் வயது மகனுடைய வயது மடங்காகும். இருவரினதும் தற்போன A,B என்னும் இருவரிடமும் ஒரு ெ மாபிள்கள் கொடுத்தால் B யிட மாபிள்கள் இருக்கும். B, A யிற்கு உள்ளதைப்போல் இருமடங்கு { மாபிள்கள் இருக்கின்றன? இருஎண்களுள் , முதல் எண்ணு இரண்டாவது எண்ணைப்போல் இ 20ஜக் கூட்டுவதால் வரும் என் மு அவ்வெண்கள் எவை?
முக்கோ ரியொன்றின் பக்கநீளங்கள் (y *2)Cm eg5b. 35 9gböLDLä பெறுமானம் யாது? இருபெட்டிகளில் 25 சத 50 சத பெட்டியில் 18ரூபாவும் 2" பெட்டியி பெட்டியிலுள்ளதன் மூன்றிலொரு 40% கூடுதலான 50 சத நாணயங்
வகையிலும் எத்தனை நாணயங்கள்
> இருபடிச் சமண்பாடுகளின் தீர்வுகள்,
காரணிப்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்க
1. 4x-8x = 0 2. 3a*- 12a = 0 з. 9x*— 12x + 4 = o
நீரோட்டத் திசையில் செல்வதற்கு 5 எதிராகச் செல்வதற்கு 8 மணித்தியாலமும் ரோட்டத்தின் கதியையும் காண்க?
வயதானது. அப்போது அவன் மகனின் ல 3 மடங்காகும். 4 வருடங்களின் முன் என்னவாக இருந்ததோ அதைப்போல் 5 தய வயது யாது? காகை மாபிள்கள் உள்ளன. A,B இற்கு 3 ம் A யிடமுள்ளதைப்போல் இருமடங்கு 5 மாபிள்கள் கொடுத்தால் A யிடம் Bயிழ் இருக்கும். ஒவ்வொருவரிடமும் எத்தனை
டன் 11 ஜக் கூட்டுவதால் வரும் எண் இருமடங்காகும். இரண்டாவது எண்ணுடன் தலாவது எண்ணைப்போல் இருமடங்காகும்.
r (ApGOipCL ( x+4)cm v (4x - y)cm , க முக்கோணி ஆயின் x ,y என்பவற்றின்
நாணயங்கள் மாத்திரமே உள்ளன. 1" ல் 22ளூபாவும் உள்ளன. 2" பெட்டியில் 2" பங்கு 25 சத நாணயங்களும் உள்ளன. 5ளும் உள்ளன. 1" பெட்டியில் ஒவ்வொரு
உள்ளன.
4. 2x-11x + 12 = 0 5. 3x + 1Dx-8 = 0 6. 16x'+ 8x + 1 = 0
Page 39
2. வர்க்கமூலம் காண்பதன் மூலம் தீ
1. yo = 9 2. 4x-9 = 0 3. (x-3) = 25
ዳ 3. நிறைவள்கமாக்குவதன் மூலம் தீர்க்
1. x-6x-3 = 0 2. 2y’-6y + 3 = 0
3. yo - 10y - 3 = 0
4. ax + bx + c = 0 gair
உபயோகித்து தீர்க்குக?
1. x- 10x-3 = 0
2. x-6x-3 = 0 3. y°-5y + 3 = 0 5. பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளை
1.12x+7x + 10 =0 2. (2.
4. = 복+1 5 24 --
x x 10+ x 7 - ?------- x - 2 x -3 x -1
w 9, x +2. 1 = ۶ ز -
க? ۔
4. (x + 1)2-9 = 0 ، 5. (y+5)-100 = 0
நக? .
4. 3x-2x - 4 = 0 5. 3x-5x-4 = 0 6. x +px+ q = 0 الاصه فینه b + {b -4ac- . தீர்வுகள் x 一 s என்பதை
4.5x-2x-2 = 0 5.7x + 6x - 4:= 0
6. 9x + 9x = 4
த் தீர்க்குக? x-3) = 25 3.1+؟ =t (;
х 二 24 6 _2_ 쓰-1
10 — х ν --1 ν
3 2 4 8 一ァーエ=コ
29
Page 40
> இநுடிச் சமன்பாடுகளுக்கு இட்டுச் செல்லு
9).
+ம் :- எண்கள் இரண்டுள் ஒன்று ஒன்றாலும் மற்றைய எண்
நேர்மாறுகளின் கூட்டுத்தொகை
எண்ண்ை X என்க.
ஆகவே மற்றைய எண் 2x ஆகு
(x+1), (2x+3) அதிகரிக்கப்ப 1 10
z- –
-- +
x + 1 2x+3 21
(2x+3) + (x + 1) 10
X - - - - -
(x+1)(2x +3) 21 21(3x+4) = 10 (x+1)(2x + 63x+84 = 20x+5Ox+3C 20x-13x-54 = 0 2Ox+27x-4Dx-54 = 0 20x(x - 2) + 27(x-2) = 0 (20x+27)(x-2) == 0 x = 2 அல்லது x = -27/20
இரு எண்களின் கூட்டுத் தொகை 21, ! காண்க?
ஒரு எண்ணினதும் அதன் நிகள் மாற்றி:
காண்க? முக்கோணி ஒன்றின் அடியானது அதன் முக்கோணியின் பரப்பளவு 2cm ஆயில் t 400m, 20
20
<一400一*
ற்றையதன் இருமடங்காகும். சிறிய எண் முன்றாலும் அதிகரிக்கப்படின் அவற்றின்
021, இரண்டு எண்களையும் காண்க.
டின்
(3x + 4) 10 x + 1)(2x+3) 21
3)
அவற்றின் பெருக்கம் 104. அவ்வெண்களைக்
8
6 ாதும் கூட்டுத் தொகை *அவ்வெண்ணைக்
குத்துயரத்திலும் 3cm அதிகமானது, அம் அடியின் நீளத்தைக் காண்க? m பக்கமுடைய செங்கோண முக்கோண வடிவக்காணிஉருவில் காட்டப்பட்டுள்ளது. நிழற்றிய பகுதி 1500m பரப்பளவுடைய செவ்வக மாகும். செவ்வகத்தின் நீள
A அகலங்களைக் கான்க?
Page 41
நிழற்றிய
6}39گی
A
செ
(Լpւ
(LJD
6. A யிலிருந்து புறப்படும் வாகனம் நேர்பாதை
7.
8.
யை அடைகிறது. அங்கிருந்து கிழக்கு நேரி அடைந்து அங்கிருந்து CA வழியே இயங் புறப்படும் போது C யை அடையம் போது அதன் தூரமானியின் வாசிப்புக்கள் பதியப்
பதியப்படவில்லை. தூரமானி வாசிப்பு பின்வ
மானி வா
A usi
ெயில் Auso | 5
A,B கிடைப்பட்ட
இரு பற்சில்லுகளில் ஒன்று ஒரு நிமிட கூடுதலாகச் சுற்றும் வண்ணம் சுழல்கின்றது சில்லு பெரிய சில்லிலும் 1S குறைவாக சில்லும் ஆற்றும் சுற்றுக்களின் எண்ணிக்கை
12 விட்டமுடைய வட்டவடிவான பெ
பரப்பளவுடைய நான்கு சர்வ சமனான ெ
பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.
15 6 3 rv نxm 8 7 (d
| acci s |CLA་ 2
- 31
குதி இருசமபக்க முக்கோணி ஒன்றில் மந்துள்ள 8m, 6m பக்கமுள்ள
வகமாகும், இருசமபக்க
கோணியின் பரப்பளவு ஆயின் స్కీ
கோணியின் குத்துயரத்தைக் காண்க?
வழியாக வடக்கு நோக்கி இயங்கி B க்கி நேர்ப்பாதையில் இயங்கி C 60)u É A60)LLJ அடைகிறது. A யிலிருந்து பின் மீண்டும் Aயை அடையும் போது
பட்டன. Bயில் தூரமானி வாசிப்புப்
நமாறு.
சிப்பு
ਨੂੰ
| | | | | | 3 Ιο ο
தாரம் யாது?
த்தில் மற்றதிலும் பார்க்க 1 சுற்று 15 சுற்றை ஆற்றுவதற்குச் சிறிய டுக்கின்றது. 1 நிமிடத்தில் ஒவ்வொரு
யாத?
டியொன்று ஒவ்வொன்றும் 1 5cm?
வ்வகங்களினால் எட்டுப் பகுதிகளாகப்
Page 42
9,
10,
11,
13,
14,
செவ்வட்டக் கூம்புருவிலான பாத்திரமொன அமை க்கப்பட்டுள்ளது.கூம்பின் உயரம்
(ie) ar r = 125)
கம்பனி ஒன்றின் விளம்பரச் சின்னத்திற் 15cm பரப்பளவுள்ள செவ்வகம் உருவ
செவ்வகத்தின் நீள அகலங்களைக் காண
کZ
ད།
36cm சுற்றளவுள்ள செவ்வகத்தின் அகலத்தைக் காண்க? செங்கோண முக்கோணி ஒன்றின் செம்ப மற்றைய இருபக்க நீளங்களைக் காண்க 572m2 மேற்பரப்புள்ள நீச்சல் தடா மேடையுண்டு, மேடையையும் உள்ளடக்கு நீச்சல் தடாகத்தின் நீள அகலம் யாது? A என்னும் பஸ் வண்டி நண்பகல் 12.0 புறப்பட்டு தெற்கு நோக்கி A9 பாதை பஸ் நிலையத்திலிருந்து பறப்பட்டுB எ6 யாழ் பஸ் நிலையத்திலிருந்து 21Okn சராசரிக் கதி A யின் சராசரிக் கதிய கடக்கும் போது நேரம் யாது?
> இருபடிச் சமண்பாடுகளின் தீர்வுகள் (ஒருங்:
1.8x-y?= 16 2.
y = 2x
4.x + 4y = 32 5.
x + 2y = 0
7.x'-y' = 3 8.
125cm? பரப்பளவுள்ள தாளிலிருந்து
m ஆயின் கூம்பினாரையைக் கணிக்க?
$ 6.5cm விட்டமுள்ள வட்டமொன்றின்
35tt Lt L. L61Era 6.160guly 16&siggs).
ܠܹ
ரப்பளவு 32cm" செவ்வகத்தின் நீள
: (NOA
க்கம் 13cm அதன் பரப்பளவு 30cm2
கமொன்றைச் சுற்றிவர 5m அகலமான
நம் மொத்தப் பரப்பளவு 1152m ஆயின்
0 மணிக்கு யாழ் பஸ் நிலையத்திலிருந்து வழியாக செல்கிறது. 30 நிமிடத்தின் பின் னும் பஸ் , அதே பாதை வழியாக சென்று தூரத்தில் Aயை முந்துகின்றது. B யின் sub 10 kmh' gig assa Dolgit B, A GOu
பூ) = 2x 3, 3x-2y' = 25
1 0 = H -- X + v؟ E
Υ2 x+y
A* Ε. Χ 6. x” = 2y 2y = 2 3x = y + 2
: y = 10 9. xy = 4
Page 43
Y)
x + y = 5 1.
10.2x + 3y* = 4 11. y 4x'+ 2y2 = 8 X
AP r . . . ʻ i. i { • .
13.2x+ 3y?=10 14. х” — xy
x - 4y?=-17 2x
16.x - y = 5 17. x = y^- x+xy + y = 7 y = x/2-
19).2xy-7x = 7 20). X-2) 3xy - 10x = 14 х
ஆ
22). (x+2)(x+5) = (y--2)(y-5) . . .
x-y = 6
24). x+y=8
x-y = 16
ஒருங்கமை இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு இட்டுச்
1. ஈரிலக்கங்கள்ான ஒரெண் அவ்வில
எண்ணிலும் 18 ஆற் கூடியது. அ6 மும்மடங்கு அவற்றின் கூட்டுத்தொன அவ்வெண்ணைக்காண்க. சராசரிக்கதியை மணிக்கு 5km எடுக்கும் நேரம் 25 நிமிடங்களால் 5km வீதம் மேலும் கூட்டுவதால் நிமிடங்களால் குறைக்கப்படும். பிரய
= 5x + 1 - 12.x?+ yo = 5 x = y
y*= 9, 15. x+3xy +yo=20
5 . . 18.2x + 3y = 8
1 y = 2x
= 1 21). x + y = 2
f = 1 2x+y= 3
- 23). 7xy = x + 2y
3x- 4y = 1
செல்லும் பிரசினங்கள்
க்கங்களைப் புறமாற்றுவதால் உண்டாகும் வெண்ணின் இலக்கங்களின் பெருக்கத்தின் கயின் ஐந்து மடங்கிலும் 5 ஆற் பெரியது.
வீதம் கூட்டுவதால் ஒரு பிரயாணத்துக்கு குறைக்கப்படும், சுராசிரிக்கதியை மணிக்கு பிரயாணத்துக்கான நேரம் மேலும் 20
ாணத்தையும் சராசரிக்கதியையும் காண்க,
Page 44
6Ꭷ
> 4.1 ஏகபரிமாணச் சர்பின் வரை .
y = ax + b என்னும் வடிவில்
வரைபு நேர்கோடாகும், a நேர்கே
வெட்டுத்துண்டு எனவும் சொல்லப்படு
考
1. y= 2x என்னும் நேர்கோடு °
y = -2x+ 3
இந்நேர் கோடுகள் ஒன்றையொன்று ஆள்கூறுகள் இரு சமன்பாடுக
ന്ദ്ര, യ4,
ரைபுகள்
உள்ள சார்பு ஏகபரிமாணச் சார்பாகும். இதன்
ாட்டின் படித்திறன் எனவும் b
b.
நேர்கோட்டின்
-ற்பத்தியினூடாகச் செல்லும், இதன் வரைபு,
என்றவாறு அமையும்.
(0,0),
2)
போன்ற புள்ளிகள் இந்நேர் கோட்டில் இருக்கும்.
y =2x+1 இன் வரைபு
(12), (24), (-1-2)
(- % O) s (0,1) (1 3) (2,5).................
. . . . . போன்ற புள்ளிகள்
0. இந்நேர்கோட்டில்
இருக்கும்.
y = x - 3
3/ bx 7
வெட்டும்போது வெட்டும் புள்ளியின் Х, у 6Tub திருப்தி செய்யும். எனவே
E.
-34
Page 45
ஒருங்கமைசமன்பாடுகள் இரண்டின் தீர்வு
நேர்கோடுகள் இடைவெட்டும் பள்ளியின் (x,y)
፵» --+ùb :-
у = 3x + 2, y = x + 6 616öҫоў இரு
ஆள்கூறுகளைக் காண்க?
y F3x + 2................ (1) y FX 6.................. (2)
(1),(2) = 3x+2=x+6 = 2x= 4 -> x = 2
y = 3 x 2+2 = 8
வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
(28)
> நேர் கோட்டு வரைபு
3,
பயிற்சி உற்பத்தியினூடாகசெல்லும் ஏதாவது தருக?. பின்வரும் ஒவ்வொரு புள்ளிச் ே படித்திறனைக் கண்டு இக்கோடு X கோணம் எவ்வகைக் கோணம் எனத் து
1. A = (59) B = (-4, 5) 2. P = (5,2) Q = (-2, 4) 3, L = (-7, 5) M = (3, 4) 4. R = (0.4) S = (-3.0) பின்வரும் படித்திறன்களைக் لها நேர்கோடுகளை ஒரே ஆள்கூற்றுத் தள 1, 1 2, 2 3, 1/3
x அச்சின் சமன்பாடு யாது? y அச்சின் சமன்பாடு யாது? x அச்சிற்கு சமாந்தரமான நேர்கோட்ட
y அச்சிற்கு சமாந்தரமான நேர்கோட்
- 35
5i அச்சமன்பாடுகளால் தரப்படும்
பூள்கூறுகளாகும்,
நர்கோடுகள் இடைவெட்டும் . பள்ளியின்
4.1
மூன்று நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைத்
ாடிகளையும் இணைக்கும் கோட்டின் அச்சின் நேர்த்திசையுடன் அமைக்கும்
ாமானிக்க.
ாண்ட உற்பத்தியினூடு செல்லும் ந்தில் வரைக?
4. -1 5. -1/3
ன் படித்திறன் யாது? ன் படித்திறன் யாது?
Page 46
10,
11.
12,
3
14,
15,
6.
17,
பின்வரும் நேர்கோட்டு சமன் எழுதுக?
1. у = Зx + 5
2, 4y = 8x + 12
3. y = 2x- 4
у = 2x + 3 66ӧдз (Spirća செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன் படித்திறன் 4, வெட்டுத்துண்டு 5 -2 என்னும் படித்திறனுடன் ( நேர்கோட்டின் சமன்பாடு யாது? பின்வரும் ஒவ்வொரு நேர்கோட் கான்பதன் மூலம் பின்வரும் கோ வரைக? 1, 2x - 4y + 3 = 0 2. 5x + 6y - 10 = 0 (5, -2) என்ற பள்ளிக்கூடாகவும் சமாந்தரமாகவும் செல்லும் கோட்டி 1. வரைபுத் தாளில் A (53),
gösģ5g AB, BC, CA 6T6ör 2. A இற்கூடாக BC u
சமன்பாட்டை எழுதுக? 3. B யிற்கூடாக செல்லும் சமன்பாட்டை எழுதுக? 4. C யிற்கூடாக செல்லும்
சமன்பாட்டை எழுதுக?
y அச்சிற்கு சமாந்தரமாகச் ெ
குறிப்பிடுக?
Χ அச்சிற்கு சமாந்தரமாகச் ெ குறிப்பிடுக?
(0.5) என்னும் புள்ளிக்கூடாகவு நேர்கோட்டில் அமைந்த ஏதாவது (4,1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக சமாந்தரமாக அமையும் நேர்கோட் 2y F 10X -2 6T6tgob (35s'
செல்வதுமான நேர்கோட்டின் படித்
ாடுகளின் படித்திறன் வெட்டுத்துண்டுகளை
4. y = -7x + 3 5. -3y = -6x + 1
1 = ط+ * .6 4 4
ாட்டிற்கு சமாந்தரமாகவும் (0,7) இனூடாக ாட்டை எழுதுக? ஆகவுடைய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு யாது? 2.2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும்
டிலும் அமைகின்ற மூன்று புள்ளிகளை டுகளை வெவ்வேறு ஆள்கூற்றுத் தளங்களில்
(OA
3.5x -3y + 4 = 0 4.4x-5y + 6 = 0 4x - 5y + 1 = 0 என்னும் கோட்டுக்குச் ன் சமன்பாட்டை எழுதுக?
B (4, -1), C(0.4) ஆகிய புள்ளிகளைக் |வற்றின் படித்திறன்களைக் காண்க? பிற்குச் சமாந்தரமாக செல்லும் கோட்டின்
0.
AC யிற்குச் சமாந்தரமான நேர்கோட்டின்
AB யிற்குச் சமாந்தரமான நேர்கோட்டின்
சல்லும் ஏதாவது மூன்று நேர்கோடுகளை
சல்லும் ஏதாவது மூன்று நேர்கோடுகளை
x அச்சிற்கு சமாந்தரமாகச் செல்லும் மூன்று உள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளைத் தருக?
சென்று (1) x அச்சிற்கு 2) y அச்சிற்கு டின் சமன்பாட்டைத் தருக?
ற்கு சமாந்தரமாகவும் உற்பத்திக்கூடாகவும்
திறன் யாது? 鳕
36
Page 47
18. சோடிப்புள்ளிகளின் படித்திறனை முதலி செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழு l. (1,2),(3,4) II. (8-7), (-4 19. பின்வரும் நேர்கோட்டுச் சோடிகளை ஒ( அவை இடைவெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறு 1. y = -2x + 7 : у = x + 4 2. y = 3x+2; y = - 2 20. மேலே தரப்பட்டுள்ள ஒருங்கமை சமன்பாட்
நேர்கோடுகள் இடைவெட்டும் புள்ளிகளின் 21. y = x + 4 என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழு 22, 2x + 5y = 7 என்னும் நேர்கோட்டின் படி:
எழுதுக? 23, 3x + 2y = 8 என்னும் .நேர்கேர்ட்டு புள்ளியூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் SFLL}{ 24 x அச்சின் நேர்த்திசையுடன் 45 கோணம
புள்ளியில் வெட்டும் நேர்கோட்டின் சமன்பா
* 4.2 இருபடிச் சர்புகளின் வரைபுகள்
இவற்றின் வரைபுகளின் வடிவங்களைப் பார்ப்ே
g) + b : - y F x? இதன் வரைபு
(-12
у = % х* இங்கு சமச்சீர் அச்சின் சமன்பாடு X =
s60)LDub,
- 37
கண்டு பின்னர் அவற்றிற்கூடாகச்
க?
3) Ill. (-1,0), (5, -2)
ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் வரைக?
ளை எழுதுக?
3. y = 3x + 2 ; y = x + 2
4.y = -2 & -; , - 포_
3丁子"育委下委
டுச் சோடிகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் ஆள்கூற்றுக்களை கான்க?
சமாந்தரமாக உற்பத்தியினூடாகச் க? ٤. له
திறன் வெட்டுத் துண்டு என்பவற்றை
க்குச் சமாந்தரமாக (1,2) என்னும் ன்பாட்டை எழுதுக, மைத்து y அச்சை (0.8) என்னும்
ட்டை எழுதுக?
பாம்.
(1,1)-N (1,1)
இவை சமச்சீரான வரைபுகளாக
Page 48
喀、
y =(xー 3)? சமச்சீரச்சின் சமன்பாடு X
y = (x-3)-1
சமச்சீரச்சின் சமன்பாடு X
இங்கு சார்பான்து 2 இலும் குறைந்த எப்பெறுமானத்தையும் . .. எடுக்காது. எனவே சார்பின் இழிவுப் பெறுமானம் 2 ஆகும். திரும்பற் புள்ளியின் (உச்சியின்) ஆள்கூறு (3.2) ஆகும்.
Page 49
|-K,
இருபடிச் சார்பு y = ax+bx+c என்ற வடிவில் வர்க்கங்களாக
எழுதுவதன் மூலம் வாைபின் சமச்சீரச்சின் சமன் இழிவுப் பெறுமானம் என்பவற்றைக் காணலாம். y
ஆயின் வரைபானது உயர்வு திரும்பலைக் கொண்ட
so b :- y = -x
y = -3 (x-1) afLD&firefloor FLp6TLITG X it 1 у
VM)
- 39
திருப்பற் புள்ளியின் (உச்சியின்) ஆள்கூறு (3, -1) ஆகும்.
3ரப்பட்டிருப்பின் அவற்றை நிறை
பாடு, திரும்பற்புள்ளியின் ஆள்கூறு
= ax + bx + c 676tuggi) a < 0
தாக இருக்கும். இச்சந்தர்ப்பத்தில்
ས། དྲག་
Page 50
y = -2 (x + 1)+5 சமச்சீரச்சின் சமன்பாடு x = -1 சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானம் 5 உச்சியின் ஆள்கூறு (-1,5)
Julia
1. பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளை a (x +
a) சமச்சீரச்சின் சமன்பா b) உச்சியின் ஆள்கூறு c) இழிவு ! உயர்வு ெ
1. y = (x - 2) 2. y = x +3) y 3. y = (x-1) 4. y = 8- (x-3) 5. y = -(x + 4) 6. y = 6-x 7. y = x^-5x + 6 8. y = 6-7x-x
2. y = {x-3)°-1 இன் வரைபை வரைந்துள் y அச்சை வெட்டும்பள்ளியின் ஆள்கூறு 1 x அச்சை எத்தனை பள்ளிகளில் இடை( அப்புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளை எழுதுக? 3. у = 9 — (х — 1)என்பதன் வரைபு X அச்
எழுதுக?
- 4C
f4.2
p+q என்னும் வடிவின் எழுதி அற்றின்
T(B
பறுமானம் என்பவற்றைக் காண்க?
9. y = 3x'+ 5x + 6 10: y = 2x-8x + 7 11. y = 2 (x-5) 12. y = 3-7 (x-1) 13 y = (x -2) (x-3) 14. y = (x-1) (2x+3) 15. y = x -1
ளி, இவ்வரைபு
பாது?
鴨 " A. வெட்டும்?
சை வெட்டும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளை
Page 51
4
哥, , y = (x - 3) (x - 2) .. 616órLigb6, 660 L
ஆள்கூறுகளையும் எழுதுக?
y = x - 5x + 6 இன் வரைபைப் பயன்படுத்தி
5,
பெறவேண்டியுள்ளது வரைய வேண்டிய நேர்கே என்ற நேர்கோட்டை வரைவதனால் எநீத இரு
காணலாம். - v . . . . 6. இருபடிச் சார்பொன்றின் வரைபு X அச்சை (-1,
அச்சை(0-12) இலும் வெட்டுகின்றது. இருபடிச்
y = x-5x+ 6 இன் வரைபைப் பரும்படியாக
7.
y > x°— 5x + 6, y < 4 616óxu16higbsssv6íy 55yÜ su©th
y = 4 -(x - 1)? இன் வரைபை வரைந்
&,
வரைபை எத்தனை பள்ளிகளில் இடைவெட்டும் 1. y = 5 2. y = 0 3. y = 9. y = 16 - (x + 3) இன் வரைபை வரைந் வரைவதனால் தீர்வுகளைக் காணக் கூடிய இரு 1. y = 0 2. y = 7 3. y = 10, 2 + Թ, 2-3 என்பவற்றை மூலங்களாகவுை எழுதுக? y= f (x) என்னும் சார்பின் வ6 காண்க? 11. 1. y = x இன் வரைபை வரைக
* இவ்வரைபின் சமச்சீர் அச்சின் சமன்பாடு 3. வளையியின் இழிவுப் பெறுமானம் யாது? 4. வளையியின் திரும்பற் புள்ளி யாது? 12. 1 -3
Page 52
15, y= x + 4x+ 3 என்ற சார்பின் வரைை வரைக. அதிலிருந்து ) x+ 4x + 5 = 0 என்னும் சமன்பாடுகளின் தீவுகளைக்கால 1. y = என்பதன் வரைபைப் பயன்ப
உய்த்தறிக. i) y = -x ii) y = -(x-1)”
{x :-53 x 0 1 என்னும் ஆட்சியில்
ii) xo + 4x + 3 = 0
5, த்திப் பின்வருவனவற்றின் வரைபுகளை
iii) y = xo + 2 iv) y = x*
|-
Page 53
•: -త్ర6)@ > சமனிலிகள்
a,b என்பன மெய் எண்கள் எனின், ஒன்றில் a*b ஆகும். அல்லது ab gust at b > b +C 2. a>b guilei, a - c> b - C 3. a>b c>o gîl6öy ac>bc 4. a > b, c < o gul6ör ac < bc
b 5. a> b, c > 0 ஆயின் * > - Ο C
6, a > b, c < o ஆயின் "< 2 移
C C
1. பின்வரும் சமனிலிகளை எண்கோட்டில் குறித்
1. X > 3
x <-2
Χ 2 1
X < 5
O CX C 3
2. எண்கோட்டில் குறிக்கப்பட்டுள்ளவற்றை சமனி
w
-4 O 5
3. பின்வரும் தொடைகளை எண்கோட்டில் குறிகு
Α = { X : X 8 r, X < 5} B = {x : x & r, -5 < x < 3}
1. A 4. D
2. B 5. A J B
3. C 6. A ry B 4. பின்வரும் சமனிலிகளைத் தனித்தனியே ஆள்
1. x > 2
2. X > 3
3. x < 0
- 43
Q) S.
6-Lb - a,b R a-b> gullsör a>b
துக் காட்டுக,
6.-3s x <3 7.0 Cx < 8 8, x > 2 or x<-2 9.x < 5 or x > 10
10. 7 Cx < 15
லிக் குறியீட்டில் தருக?
க?
C = {x : x 8 r, -2 < x < 7}
D ={x: x εr, 6< x < O}
7. A r D 10. Cry D
8. Br, C
9. A ry C
கூற்றுத் தளங்களில் குறிக்குக?
9. y < 2x
10. y < 3x + 1 11. y > 2x - 4
Page 54
x <-1 y> -2
y 2-5
y > 6
8. y > 5 5. பின்வரும் சமனிலிச் சோடிகளை ஒரே ஆ
பிரதேசத்தை நிழற்றுக?
1. y > 1 x > 0 2 y > 3; x s 5 3. 0 < x < 2; 0 < y < 5 6. பின்வரும் சமனிலிகளை ஒரே ஆள்
பிரதேசத்தை நிழற்றுக!
1. 0 < x < 7, 0 < y < 7 y <2x + 6
0 < x < 10, 0 < y < 8, y > xx + y < 4, 3x + y > 3. y > 0, x 5x + 2y ≤ - 10, y > -2, x > -5
:
5. y > , 0 < x < 3, x + y < 5, y
6. x < 4, y < 3, x + y > 1 இணைந்த கணிதத்தில் சார்புகளின் நடத் சமனிலிகள் தொடர்பான அறிவு அவசியமாக பின்வரும் சமனிலிகளைத் தீர்க்குக
g-ho (1)
x + 5 > 6
x + 5 - 5 D 6-5
=> x > 1
go ho (2)
x - 1 C 3x + 5 x - 1 + 1-3x < 3x+5-3x + 1 - 2x < 6
-2 < 0 s.6005uJIT6b X >
... x > -3
12. y > 8x + 1 13. y <-3x + 4 14. у > -3х — 5
15. x + y < 4
ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் வரைந்து பொதுவான
4 y < x +5; y <5-X 5. y < 3x + 4; y > 7x
6. x > 0 , y > x + 1
கூற்றுத் தளத்தில் வரைந்து பொதுவான
, y < 10-2x A. 3, y < 8-3x
33
< 3
தைகளைப்பற்றி ஆராய முற்படும் போது கின்றது.
Page 55
go b (3)
3x - 3 > 1 + x
4 2 3x -3 + 3-x > 1 + 3 x-x
4 2 AV
1 7 - x > 3; x < x 4 @s 3(PL
x <-14
பயிற்சி ;-
1.x - 3 g 4 4.7 2. X + 5 > 3x + 1 5.3
1 حہ" - - 3. (x - 2) -2 > - (3x - 2
(x-2)-2 > (3x-2)
> கணிதக் கூற்றுக்கள்
1. விவசாயி ஒருள் இருவகையான பசளைகை கலவை A கலவை B ஆகும் 1 m" கலை 30kg நைதரசனையும், 50kg பொற்றாசி கலவை B, 10kg பொசுபோரிக்கமிலத்தை பொற்றாசியத்தையும் கொண்டுள்ளது. قه பொசுபோரிக்கமிலம் 960kg நைதரசன், 220 வாங்கப்படும் m எண்ணிக்கை y கலவை B
ஆழின் உரிய சமனிலிகளை எழுதுக?
2. சத்துணவு தயாரிப்பாளரொருவர் இரு
சத்துணவைத் திட்டமிட வேண்டியள்ளது. உ உம் 30 அலகு கல்சியம், 10 அலகு இரு கொண்டுள்ளது. உணவு வகை N இன் கல்சியம், 10 அலகு இரும்பு, 30 அலகு A அதிகுறைந்த தேவையாக 360 அலகு கல்சி விற்றமின் A உள்ளது. x - 10ml M இ6
எண்ணிக்கை எனில் பொருத்தமான சமனிலிச
3. நான் ஒரு எண்ணை நினைத்து அதனுடன்
எண்ணை இரட்டித்தேன். முதல் முடிபு பி இக்கூற்றைக் காட்டும் சமனிலியை எழுதுக நேர் முழு எண் ஒன்றை எழுதுக?
- 45
ஆல் வகுக்குக)
(+3 < 5x + 2 K+ 2 > 2x - 1
༣ ༈ ། وب...{ எ. வாங்கமுடியும். அவை முறையே
வ A, 20kg , பொசுபோரிக்கமிலத்யம் யத்தையும் கொண்டுள்ளது. ' 1 m நயும் 30 kg நைதரசனையும், 10kg அதிகுறைந்த தேவை 460 kg kg பொற்றாசியம். X கலவை A யில்
யில் வாங்கப்படும் mo எண்ணிக்கை
உணவுவகைகளையும் பயன்படுத்தி ணவு வகை M இன் ஒவ்வொரு 10 ml bபு, 10 அலகு விற்றமின் A யையும் ஒவ்வொரு 10 m உம் 10 அலகு யையும் கொண்டுள்ளது. சத்துணவின் பம், 160 அலகு இரும்பு, 240 அலகு எண்ணிக்கை y - 10 ml N இன்
ளை எழுதுக?
ஜக் கூட்டினேன். முதலில் நினைத்த
ானைய முடிவிலும் பெரிதாயிருந்தது. இச்சமனிலியைத் திருப்தி செய்யும்
Page 56
4. ஆனந்தியின் வயது சாந்தியின் வயதின்
வசந்தியின் வயதிலும் 4 வருடங்களிலு வயதை a எனவும் சாந்தியின் வயத்ை
கொண்டு தரப்பட்ட நிபந்தனைகளைத் தி
5. ஒருவர் 15 ரூபா பெறுமதியான X தோட மாம்பழங்களையும் வாங்குகிறார். அவரி பொருத்தமான சமனிலிகளை எழுதுக?
6. இரு 6,6056 பயிற்சிப் புத்த
நிலையத்திற்கான ரூபா '6- விலையான புத்தகங்களும் வாங்கப்படவுள்ளன. புத்
மேல் செலவிட முடியாதெனில் பொருத்த
7. பென்சில் தொழிற்சாலை ஒன்றில் தினமு பென்சில்களும் உற்பத்தி செய்யப்படுகின் சாதாரண பென்சில்களும் உற்பத்தி ெ உற்பத்தி செய்யப்படும் அழகிய பென் பென்சில்களின் எண்ணிக்கையின் இரும
சமனிலிகள் யாவற்றையும் எழுதுக?
ஒரு சாதாரண பென்சிலிலிருந்து பென்சிலிலிருந்து 30 சதம் இலாபமும் இலாபத்துக்கான கோவையை எழுதுக?
8. வாகன ஒப்பந்த காரரிடம் 10 லொறிகளு சாரதிகள் மட்டுமே வேலைக்குச் சமூகம மேற்பட்ட பொதிகள் ஒரு தொழிற்சா செல்லப்பட வேண்டியிருந்தன. ஒரு நாளி மேற்கொள்ள்ப்படும், ஒரு லொறியில் பொதிகளையும் மட்டுமே ஏற்ற மு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனக் கொண் ஒரு லொறிக்கு வாடகை 3000 ரூபாவும்
செலவுக்கான கோவையையும் எழுதுக?
இருமடங்கிலும் அதிகம், சாந்தியின் வயது ம் கூடுதலாக அதிகமானது. ஆனந்தியின் ) எனவும் வசந்தியின் வயதை c எனவும்
நப்தி செய்யும் சமனிலிகளை எழுதுக?
ம்பழங்களையும் 20 ரூபா பெறுமதியான y
டம் 250 ரூபா பணம் மட்டும் உள்ளது.
Bil856 கடையில் உள்ளன. நூல் X புத்தகங்களும் ரூபா 45 விலையான y தகக் கொள்வனவுக்காக 300 ரூபாவுக்கு மான சமனிலிகளை எழுதுக?
(M. ம் x சாதாரண பென்சில்களும் y அழகிய எறன. ஒரு நாளில் ஆகக் குறைந்தது 100 சய்யப்படுகின்றன. அத்துடன் ஒரு நாளில் சில்களின் எண்ணிக்கையானது சாதாரண
டங்கிலும் கூடுதலானதல்ல. பொருத்தமான
20 சதம் இலாபமும் ஒரு அழகிய கிடைக்குமாயின் ஒரு நாளில் பெறக்கூடிய
0.
ம் 20 வான்களும் உள்ளன. ஒரு நாள் 15 ளித்தனர். அன்றைய தினத்தில் 1050 க்கு லையிலிருந்து துறைமுகத்திற்கு கொண்டு ல் ஒரு வாகனம் ஒரு பயணத்தை மட்டுமே 100 பொதிகளையும் ஒரு வானில் 50 டியும் X லொறிகளும் y வான்களும் டு பொருத்தமான சமனிலிகளை எழுதுக? வானுக்கு வாடகை 1200 ரூபாவும் எனில்
A.
Page 57
[[Ućfiú) (92
> 1.1 கோணங்கள்
தேற்றம் :-.
தேற்றம் - 2.
தேற்றம் - 3.
கேத்திர கணி ජෝෂිවර්තිකල් ත්රී |
நேர் கோடொன்றின் மீது ே
உண்டாகும் அடுத்துள்ள கோ
ஆகும்,
இரு நேர்கோடுகள் ஒன்ை
உருவாகும் குத்தெதிர்க் கோ
இரு சமாந்தர நேர்கோ இடைவெட்டுவதால் பெறப்படும் அ) ஒத்த கோணங்கள் சப ஆ) ஒன்று விட்ட கோணங்
இ) நேயக் கோனச் சோடி
பயிற்சி 1.1
பின்வரும் உருக்களில் உள்ள எழுத்துக்களா
அளவுகளைக் காண்க?
.
.
- 47
QÒ) .
வறொரு நேர்கோடு வெட்டுவதால் ணங்களின் கூட்டுத் தொகை 180°
Bயொன்று இடை வெட்டுவதால்
ணங்கள் சமனானவை.
டுகளை குறுக்கோடி ஒன்று
D666.06
கள் சமனானவை
களின் கூட்டுத் தொகை 180°
ால் குறிக்கப்படும் கோணங்களின்
40°
Page 58
V||.
>
X.
>
25°
V]. . ,
V|||.
X.
a. -ܥܠ ble حكيم
イ Í f. %Eం
b/ ܥܓܠ
(a
15 عصعص
260
K.
ܐ
>
Page 59
> 1.2 முக்கோனி ஒன்றின் கோணங்கள்
தேற்றம் :- 4.
தேற்றம் :- 5.
முக்கோணி ஒன்றின் ஒரு புறக்கோணம் அதன் அக தொகைக்குச் சமனாதம்,
ஒரு முக்கோணியின் அகக் தொகை இரண்டு செங்கோண
பயிற்சி
1. பின்வரும் உருக்களில் எழுத்துக்களால் குறிக்க
காண்க?
63°ላ
45"
1309
- 49
க்கத்தை நீட்டுவதால் பெறப்படும்
தெதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்
கோணங்கள் மூன்றினதும் கூட்டுத்
ங்களாகும்.
Լ .2
பபடும்கோணங்களின் பருமன்களைக்
Page 60
7.
10,
11.
12,
13,
இரு சமபக்கத் செங்கோண முக்கோணி கணிக்குக?
செங்கோண முக்கொணி ஒன்றின் ஒரு கே
பருமன் யாது?
முக்கோணி ஒன்றின் இரு சமமான கோ மூன்று கோணங்களினதும் பருமன்களைக் செங்கோண முக்கோணி 6
கோணங்களுக்கிடையிலுள்ள வித்தியாசம் பருமன்களைக் காண்க? முக்கோணி PQR இல், QRS வரை நீட் PQR ஆயின் முக்கோணி PQR இன் ே
på; CEITGwî ABC u Gö; BÂC = 54°,
கூறாக்கியும் A இலிருந்து BC க்கு சந்திப்பின், CAD இன் பருமனைக் காண்
ABC என்னும் முக்கோணியில் கே கூறாக்கிகள் X இல் சந்திப்பின் BC = ABC என்னும் முக்கோணியில் BC
(Ca5IT60,TaB6iT ABC, ACD 6T6ILJ636ÖT BOC=%BC என நிறுவுக?
(p565.T60s ABC Lisi) BC, D 660T BC யை Eயில் சந்திக்கின்றது. /ACD நாற்பக்கல் ABCD யில் AC யானது ே கூறிடுகின்றது. ABC = AÐC 616S1 நிறுவு முக்கோணி ABC யில் AD செங்குத்து E O வில் இடை வெட்டுகின்றன. ACE= 4
பின்வரும் உருக்களில் X ஐ a, b, c என்
()
- 50
யொன்றின் கோணங்களின் பருமன்களைக்
5ாணம் 48° எனின் மூன்றாங் கோணத்தின்
ணங்களின் கூட்டுத் தொகை 94° ஆகும்.
காண்க? றின் செங்கோணமல்லாத இரு
18 ஆயின் அதன் கூtங் கோணங்களின்
{ اللہ
டப்பட்டுள்ளது PR3 = 120, QPR = 3
5ாணங்களின் பருமன்களைக் காண்க.
ABC = 66o 3.517607ub ACB g363 g8 gb.
வரையும் செங்குத்து AD யும் E இலி
க?
ாணங்கள் B, C என்பவற்றின் இரு
90 + 24 A என நிறவக?
என்பது D வரை நீட்டப்பட்டுள்ளது
இரு கூறாக்கிகள் O வில் சந்திக்கின்றன.
நீட்டப்பட்டுள்ளது. Z4 யின் இரு கூறாக்கி
+ YA BD = 2 YA ED 6T6IOT Égp6485?
காணங்கள் A, C என்பவற்றை இரு சம
3C. BE, (36Ffái (gbibgol AC. AD, BE 616ôru607
ĈB 61GSY நிறுவுக?
பவற்றில் தருக?
(L) X.
Page 61
I.3 usastraflsafi Gasraortasi
தேற்றம் - 6. n பக்கங்களையடைய ப
கோணங்களினதும் கூட்டுத் !
தேற்றம் :- 7. பல்கோணி ஒன்றின் பக்கங்
கிடைக்கும் புறக்கோணங்கள்
பக்கங்களெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று &F山 ஒன்றுக்கரென்று சமனாகவும் உள்ள ப
எனப்படும்.
பயிற்சி1
1. ஒழுங்கான நவகோணி ஒன்றின் புறக்கோ அதிலிருந்து அதன் அகக் கோணம் ஒன்ற 2. ஐங்கோணி ஒன்றின் அகக் கோணங்கள்
NAM
ஆகும். X இன் பருமனைக் காண்க?
3
ஒழுங்கான பல்கோணி ஒன்றின் ஒரு புறச் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை யாது? 4. ஒழுங்கான பல்கோணி ஒன்றின் அகக் ே இடையிலான விகிதம் 3 2 ஆகும். அ; யாது? 5. உரு (அ) வில் ABCDE ஓர் ஒழுங்கான
யின் பெறுமானத்தைக் காண்க?
uகோணி ஒன்றின் எல்லா அகக்
-
தாகை (n-2) 180° ஆகும். --
களை ஓர் ஒழுங்கில் நீட்டுவதால் , lன் கூட்டுத் தொகை 360° ஆகும்.
னாகவும் கோணங்கள் யாவும்
ல்கோணி ஒழுங்கான பல்கோணி
ணம் ஒன்றின் பருமன் யாது? நின் பருமனைக் காண்க? ഫ്രഞ്ഞgu X',75,110, 2X', 95്
கோணம் 18° ஆகும். அதன்
ாணத்திற்கும் புறக்கோணத்திற்கும் ன் பக்கங்க்ளின் எண்ணிக்கை
v
ஐங்கோணியெனில் கோணம் AEC
Page 62
6.
8.
9.
உரு (ஆ) வில் உள்ள குறிப்புக்க a) (a + b + ο) இன் பெறுமா6 b) (a + b + c)= k (P + q + r)
PQRST ஓர் ஒழுங்கான ஐங்கோ சந்திக்குமாறு நீட்டப்பட்டுள்ளன. / ABCDE என்னும் ஒழுங்கான ஐங்
ஒருே பக்கத்தில் வரையப்பட்டுள்ள
10. ABCDEF என்னும் ஒழுங்கான அ
ஒழுங்கான ஐங்கோணியும் AB யில் ZXBC 3à6öT 946176) u JIT ġħu?
> 14 முக்கோணிகளின் ஒருங்கிசைவு
X>
இரு முக்கோணிகள் ஒருங்கிசையும் சந்தர்ப்ப
ஒரு முக்காணியின் இரு பக்கங்களு இன்னொரு முக்கோணியின் இரு கோணத்திற்கும் சமமாயின் அந்த இ
ஒரு முக்கோணியின் இரு கோ முக்கோணியின் இரு கோணங்களுக் இரு முக்கோணிகளும் ஒருங்கிசைவ6
(905 முக்கோணியின் மூன்று முக்கோணியின் மூன்று பக்கங்களக்
ஒருங்கிசைவன.
செங்கோண முக்கோணி ஒன்றின் செங்கோண முக்கோணியின் செம்ப
அவ்விரு முக்கோணிகளும் ஒருங்கில
ஒருங்கிசையும் முக்கோணிச் சோடிகள்
- 5
ளைப் பயன்படுத்தி
த்தைக் காண்க?
எனின் k இன் பெறுமானம் யாது? a) X இலான சமன்பாடு ஒன்றை தருக? b) X இன் பெறுமானம் யாது? C) இவ் ஐங்கோணியின் அகக்
கோணங்களின் பெறுமானங்களைக்
காண்க?
sí. PQ, SR SIGörLJ601. O 6ílso QOR இன் பருமன் யாது? கோணியும் ABXY என்னும் சதுரமும் AB ண. AXBC இன் அளவு யாது? றுகோணியும் ABXYZ என்னும்
* எதிர்ப்பக்கங்களில் வரையப்பட்டுள்ளன
1ங்கள்
ம் அவற்றின் அமை கோணமும் முறையே பக்கங்களுக்கும் அமைய அமைய ரு முக்கோணிகளும் ஒருங்கிசைவன.
ணங்களும் ஒரு பக்கமும் இன்னொரு கும்ஒத்த பக்கத்திற்கும் சமமாயின் அந்த
,
பக்கங்களும் முறையே இன்னொரு தம் சமமாயின் அவ்விரு முக்கோணிகளும்
செம்பக்கமும் ஒரு பக்கமும் இன்னொரு கத்துக்கும் ஒரு பக்கத்துக்கும் சமமாயின்
A
ëቻ6)]6Ù,
ன் ஒத்த உறுப்புக்கள் சமமானவை,
Page 63
பயிற்சி 1.
1. பின்வரும் உருக்களிலுள்ள முக்கோணச் ே
ஆமெனில் ஒருங்கிசையும் சந்தர்ப்பங்களை
() /N AV
(III)
(V)
(VII) (VII)
(X) (XI)
丰
- 53
4.
ாடிகள் ஒருங்கிசைவானவையா?
தருக?
(II)
(IV)
(V)
(IX)
Page 64
2.
5.
8,
10.
11,
(XIII) (XIV
t
A ABC &co AB = AC. B.4C s bg)šáloštg3gl. A ĎB ='AĎC 61é A PQR gaso QR 36 pGULoi76 PQ = PR 660 615? நாற்பக்கல் ABCD இல் மூலை என்பவற்றை இரு சம கூறிடுகின்றது ABCD என்னும் நாற்பக்கலில் A வரையப்படும், செங்குத்துக்களின் சமாந்தரம். CDGIGI நிறுவக? ABCDEF என்பது ஒரொழுங்கான இரு பக்க முக்கோணி என நிறுவு: ABCD 965 55|TLb, ZABD சந்திக்கின்றது. EF செங்குத்து B முக்கோணி PQR இல். g = Lysitsilassi (pogeu PQ, PR ? ABCDE என்பது ஒர் ஒழுங்கான : நேர் கோடு AB யின் நடுப்புள்ள வரையப்பட்டுள்ளது. A, B எ செங்குத்தினடிகள் முறையே X.Y AB, CD 6T6örgyub FI DTT 55T (pir( என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகி: வரையப்படும். வேறொரு நேர்கோ
வெட்டுகின்றது. XY = XZ என ர
12. BurgBu věts&56ko ABCD S6 AB = {
(XV),
K
யின் இருசம கூறாக்கி BC யை O sy
நிறுவுக? S ஆகும். PS QFäG555 QR 616östó
விட்டம் AC ஆனது கோணங்கள் AC As-AD. Bc-CD sa base?
3 = CD. BD 66õU6.gsgossobi AC öö BILQ56|| E. F. BE = DF ągu Msir AB
அறுகோணி ஆகும். முக்கோணி ACE gir
5.
யின் இரு கூறாக்கி AD யை E யில் DLAGT AE = EF என நிறுவுக?
ŘQS = RT- ஆகுமாறு S, 66's si) p si GISO, QT = RS 676) நிறுவுக? ஐங்கோணி. BE = BD என நிறுவுக?
O 66) TLT85 coD என்னும் நேர்கோடு ன்பவற்றிலிருந்து coD க்கு வரையப்படும்
ஆகும், Ax = BY என நிறுவுக? கோடுகளை EF என்னும் குறுக்கோடி G,H ன்றது. GH இன் B506Ü JL16iT6ñ X 9AQQITLITé5 B AB, CD 676ÖTL6.Jg360Dg3 முறையே YZ இல் நிறுவக? A.
CD, B = 0 எனின் AC = BD என நிறுவுக?
- 54
Page 65
s . . . . . . . . . 13. இருசமபக்க முக்கோணி ஒன்றில்
கோணங்கள் சமனானவை என நிறுவுக? 14. ஓர் இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் சப 15. நாற்பக்கல் ஒன்றின் மூலை விட்டங்கள்
கூறிடின் அந்நாற்பக்கலின் நான்கு பக்கங்
> 1.5 இருசம பக்க முக்கோணித்ள்.
ያ;
தேற்றம் - 8. ஒரு முக்கோணியின்
அவற்றின் எதிர்க் கோண
தேற்றம் - 9. ஒரு முக்கோணியின் இ
அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்கள்
கிளைத் தேற்றம் :- மூன்று பக்கங்களு கோணம் 60° ஆகும்
மூன்று கோணங்களும் சமனாகவுள்ள மு
பயிற்சி
1. பின்வரும் உருக்களில் எழுத்துக்களால் குறி
பருமன்களைக் காணக?
() (l)
- 55
சமனான பக்கங்களுக்கு எதிரான
னானவை என நிறுவுக? ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக இரு சம களும் சமனானவை என நிறுவுக.?
ܕܫܟܝ
' • ' ' , سیمس**
ரு பக்கங்கள் சமனானவை எனின்
கள் சமனாகும்.
ரு கோணங்கள் சமனானவை எனின்
ா சமனாகும்.
b சமனாகவுள்ள முக்கோணியின் ஒரு
க்கோனி சமபக்க முக்கோணியாகும்.
1.5
க்கப்படும் கோணங்களின்
) (VI)
Page 66
10.
இரு சம பக்க முக்கோணி PQR g .ெR என்பவற்றின் இரு கூறாக்கிகள் SD4) 4KQPR = 40 Ayu M67 ZQSR , ஆ ZgSR =70 ஆயின் zоPR ABCDE என்பது ஒர் ஒழுங்கான கோணங்களைக் களிக்குக? ஒழுங்கான ஐங்கோணி PQRST யில் கணிக்குக?
ABCDE - என்னும் ஒழுங்கான s முக்கோணியும் AB க்கு ஒரே பக்கத் யின் கோணங்களைக் கணிக்குக? ZE qypësGas Goin ABC u 96 AB = AC, BC AB, AC 61 667U6)g360og3 (yp60)g3@u D, E
இரு சமபக்க முக்கோணி என நிறுவுக
நாற்பக்கல் PQRS இல் R S என் எனின், P = 6 என நிறுவுக?
ABC என்பது ஒரு கூர்ங்கோண என்பவற்றில் முக்கோணத்திற்கு வெ முக்கோணகள் வரையப்பட்டுள்ளன. B Ab 6T6IGDub நேர்கோட்டில் C யாதுடெ BCE என்பன AB க்கு எதிர்ப்பக்கங்
நிறுவுக? (pés(3851T6Of ABC usio AB = AC
முறையே D, E வரை நீட்டப்பட்டு
முக்கோணியினுள் உள்ள ஒரு புள்ளி
PQR இல் PQ =PR புறக்கோணங்கள் இல் சந்திக்கின்றன. -
5 காண்க?
ஜக் காண்க?
ggi (335|T60s. (upds(8:5|T60s ABC யின்
முக்கோணி SெT யின் கோணங்களைக்
2ங்கோணியும் ABX என்னும் சமபக்க நில் வரையப்பட்டுள்ளன. முக்கோணி BXC XT யையம் காண்க? க்குச் சமாந்தரமாக வரையப்படும் நேர்கோடு யில் வெட்டுகின்றது. முக்கோணி ADE ஓர்
לי
பன சமமான"க்ர்ங்கோன்ங்கள்:PS = QR
முக்கோணியாகும். பக்கங்கள் AB, AC 6ńGLU ABD, ACE 6T6IGDub FLD Luč65 E = CD என நிறுவுக?
ாரு புள்ளி சமபக்க முக்கோணிகள் ACD,
களில் வரையப்பட்டுள்ளன. AE = BD என
CB. BC 616öt u60T BD = CE égg5 DITg ள்ளன, 28AC யின் இரு கூறாக்கி மீது F எனின் DF = EF என, நிறுவுக?
56
Page 67
அ)லகு
> 1.1 பைதகரசின் தேற்றம் ;~
தேற்றம் - 10. ஒரு செங்கோண முக்கே சதுரத்தின் பரப்பளிவானது சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் sits 6gs ABC என் முக்கோணி எனின் AC
உதாரணம் (1) சமபக்க முக்கோணி ஓ முக்கோணியின் பரப்பளவு h+6 = 12
h? = 12-6?
= (12-6) (12 + 6) = 6., 18 .
h = 6 x 3 *
= 63 C ஃ. மரப்
உதாரணம் (2) 17 m நீளம், 14m ஆ
வைக்கக் கூடிய கோலி
12 = 1724. 142+ 8?
= 549
YND 1 = W549m w
உதாரணம் (3) பின்வரும் பக்க நீளங்களு
10 cm, 17om, 21 cm
பயிற்
1. பின்வரும் பக்க நீளங்களுடைய முக்கோண
g) 20 cm , 24Cm, 36cm g) 5cm, 12cm, 16cm
- 57
வியில் செம்பக்கத்தில் வரையப்படும் 6,6060tuj பக்கங்களில் வரையப்படும் ன் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமனாகும்.
5. В uј6% செங்கோணம் உள்ள بطري هي AB + AC2
ன்றின் ஒரு பக்க நீள 12cm அம்
பளவு = 6 x 63 = 36 3. cm அகலம், 8m உயரமான அறையினுள் ன் அதி கூடிய நீளம் யாது?
- - یه
ள்ள முக்கோணியின் பரப்பளவு யாது?
92.1
பின் பரப்பளவை கணிக்கு?
Page 68
2.
2.
9,
இரு நிலைக்குத்துக் கோபரங்கபனின் உச்சிகளுக்கிடைத்தூரம் 34m ஆயின் ஒரே கிடை நிலத்திலிருக்கும் இரு ச்ொ 17m. 13m நீளமான ஏணியொன்று நுனி தரையிலிருந்து 5m உயரத்திலுள் மறு சுவரில் சாத்தப்படின் ஏணிய உயரத்திலிருக்குமென காண்க? 8cm நீளம், 5cm அகலம், 3cm பென்சிலின் அதி கூடிய நீளம் யாது? செவ்வட்டத் திண்மக் கூம்பெர்ன்றின் உ
ஆயின் கூம்பின் சாய்வு நீளத்தைக் கான
பயிற்சி
PQRS என்பது ତଓ சதுரமாகும். PR (p5(sigis ABC usei AD செங்குத்து
என நிறுவுக? -
FLDudb85 (p65(3a5.T60s ABC 56i. A use செங்குத்தினடி DAAD=3DC எனக் ச A யில் செங்கோணமுள்ள முக்கோணி நடுப்புள்ளிகள் முறையே D, E ஆகும். நிறுவுக? ABC என்னும் முக்கோணியினுள் O ய
BC, CA, AB 6TGÖTLJ6ygropě5G5 6DJGODITUÜL
Az* + BX*+CYo=AY*+CX* + BZoo 66 ABC, DBC 616lj60 BC 6g 6lgiTüLéb முக்கோணிகளாகும். AD= 3AC2 என ABC ஒரு முக்கோணி AD செங்குத்து AB* — AC* = OB* — OC* GIGIT mengas முக்கோணி ABC இல் B=d=30 & BC* = 12ADo 6163š, StG47 செங்கோண முக்கோணி ABC யில் /A BC, CA, AB 66öru6g336 5GB'si6ása
உயரங்கள் 50m, 34m ஆகும். அவற்றின் அவற்றின் அடிகழுக்கிடைத்துரம் யாது?
குத்தான சமாந்தர சுவர்களுக்கிடைத்தூரம் ஒரு சுவரில் சார்த்தப்பட்டுள்ளது. ஏணியின் எது ஏணியின் அடியை நகள்த்தாது எனி பின் நுனி தரையிலிருந்து எவ்வளவு
உயரமான பெட்டியினுள் வைக்கக்கூடிய
யரம் 9cm. அதன் அடியின் ஆரை 3cm
ன்க?
- 2.2
= 2PQ" என் நிறுவுக
BC egy Gör AB* - BD = AC*- CD*
பிருந்து BCக்கு வரையப்பட்ட
SIT G.5 -
ABC u 16) AB. AC 6T6ÖTLJ6ygg6ör
BE+ CD = BC+ DE 6tat
ாதுமொரு புள்ளி O விலிருந்து முறையே டும் செங்குத்துக்கள் OX, OY OZ ஆகும்.
நிறுவுக?
கங்களிலுள்ள இரு சம பக்க
நிறுவுக?
3C, O என்பது AD மீது யாதுமொரு புள்ளி.
ף
கும். BC யின் நடுப்புள்ளி 0 ஆயின்
= 90° ஆகும். P. ,ெ R என்பன முறையே 5it . CR°+ BQ°= 5QR° 6t6SI g5)gw6nyass?
Page 69
11.
l2.
13,
14,
16.
17.
ཞང་ ABC என்பது ஒரு சம பக்க முக்கோணி ஆt
நடுப் புள்ளி ஆயின் 4BM = 7 BC also நிறுவுக ABCD என்னும் செவ்வகத்தினுள் Pயாதுமொரு
என நிறுவுக?
சமபக்க முக்கோணி ABC இல் BC யில் உ6
ஆயின் 9AP = 7AB? என நிறுவுக? நாற்பக்கல் ABCD இல் B. D என்பன செங்ே முறையே A, C என்பவற்றிலிருந்து BD க்கு வ BHo + BK? = DHo + DK* 676 gp6aas? நாற்பக்கல் ABCD இல் கோணங்கள் ACB, A AP BQ என்பன முறையே A, B என்பவற்றிலி செங்குத்துக்களாயின் CP+co=DP+D
செங்கோண முக்கோணி ABC இல் /B=90°
இலிருந்து AC க்கு வரையும் செங்குத்து XN. , RST என்பது ஒரு நேர் கோடாகும். PQRS. S பக்கதிலுள்ள இரு சதுரங்களாகும். QT? + PU முக்கோணி ABCயில் AB இன் நடுப்புள்ளி
செங்குத்து BC யை X இல் வெட்டுகிறது
18,
19,
20,
செங்குத்து AC யை Y இல் வெட்டுகிறது . நிறுவுக?
ABC என்பது Aஇல் செங்கோணமுள்ள ஒரு 66ôtu60t (up60)g368ulu AC, AB என்பவற்றின் Ե(8մ: நிறுவுக?
PQR என்பது R இல் செங்கோணமுள்ள என்ப்து PQ மீது யாதுமொரு புள்ளியாயின், P ABC என்பது A இல் செங்கோணமுள்ள ஒரு முக்கோணியாகும். AC யின் நடுப்புள்ளி QsilieBÅậostq; D ya Msit BD“-DC“ = AB“,
- 59 -
ம். EC யின் நடுப்புள்ளி D.ADயின்
ustusứ PA* +PC* = PB2 + PD*
1611 965 -16ir6ñ P. BP = BC
ாணங்கள் AH, CK என்பன
ரையும் செங்குத்துக்கள் ஆயின்
DB என்பன செங்கோணங்களாகும். நந்து BD க்கு வரையும் * என நிறுவுக? BC யின் நடுப்புள்ளி X, X ANo-NC? = AB* 67Ga நிறுவுக? TUV 616u9 RT dig, 9Cr *= 3(Rs^ + ST) என நிறுவுக? D இன் ஊடாக AB க்கு வரையும் X இலிருந்து ACக்கு வரையும் AY* + XC* = BX* + YC* 676o
செங்கோண முக்கொணியாகும். E,F Gittcúnascit. BE* + CF* = 5EF* Gagar
ஒரு இருசம பக்க முக்கோணி, X Kio + Qxo de 2RXo 61631 ĝqo164as?
செங்கோணமுள்ள ஒரு செங்கோண யிலிருந்து BC க்கு வரையும்
ண நிறுவுக?
Page 70
> 3.1 விதமும் விகிதசமனும்
தேற்றம் -11.
శి;
.i': ' .. ; : په ٤ ؛ ` - .
5 لک22ھے۔)
8FLD 9) u_JT(Lp60)LLLu அவற்றின் அடிகளின்
சம அடிகளையுடைய
தேற்றம் :- 12
அவற்றின் உயரங்கள்
ՀՀ
1. தரப்பட்டுள்ள உருவைப் பயன்படுத்திப்
() ) Act 12
(II)
AAED 2
C)
AABC 9
ΔΑΕΓ) 10
e) un
AADC 27
g, ඔන්ය
முக்கோணிகளின் பரப்புக்களின் விகிதம் r விகிதத்திற்குச் சமன். ப முக்கோணிகளின் பரப்புக்களின் விகிதம்
ளின் விகிதத்திற்குச் சமன். " !! ۔ ۔ ۔۔۔
பிற்சி3.1
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக?
b)尝 = . . . . AABC 12
d) AOC
AABC 6
Page 71
(III) . a) s b)
c) - d)
Δ.ΒΟΑ) 2
தேற்றம் -13. ஒரு முக்கோணி ஒன்றி : வரையப்படும்) நேர்கோடு
விகிதமாகப் பிரிக்கும்.
தேற்றம் -14 ஒரு முக்கோணியின் பக்க
பிரிக்கும் நேர்கோடு
சமாந்தமாகும்.
பயிற்சி
1. பின்வருவனவற்றில் எழுத்திடப்பட்ட நீளங்கை
(I)
C
\BOD -- 3 A4 BC. 20
w 5 দুঃ- “ইহঁতঃ MACD, 10 D
ஒரு பக்கத்திற்குச் சமாந்தரமாக மற்றைய இரு பக்கங்களையும்
ங்கள் இரண்டையிம் விகிதம் சமமாகப்
அதன் மூன்றாம் பக்கத்திற்குச்
3.2 ளக் கணிக்குக?
(Ii)
(IV)
15
(VI)
16
18 O
>
Page 72
முக்கோணி ABC us X, Y 6T65TLJ60, AX = 12cm, XB = 16cm, AY = 15cr
BC எனக் காட்டுக?
நாற்பக்கல் ABCD 366t மூலைவிட்ட OC = 12cm, BO = 10cm. OD
காட்டுக? , flub ABCD S\6) AB Flossbö5
Lýsisflascit AE:ED = BF: FC aggior முக்கோணி ABC யின் આa BC பள்ளிகள் அமைந்துள்ளன. D. E என்பவற்றுக்கு சமாந்தரமாக 660), LUtil G என்பவற்றில் சந்திப்பின் FG சம முக்கோணி ABC யில் பக்கம் 8 நடுப்புள்ளி E ஆகும். நீட்டப்பட்ட E EF = 3:1 என நிறுவுக? உதவி GöTB BC 60L G இல் சந்திக்கிறது முக்கோணி ABC EA6) Jä5&BLb AB
EC = 2 : 3 s.5LDTD அமைந்துள்6 சந்திப்பின் 4CF = 3 CD 61601 fo6 சமாந்தரக் கோடு BC யை G இல்
நாற்பக்கல் ABCD இல் P. Q எg PB = DQ QC ஆகுமாறு அமை) சமாந்தரக் கோடு EB யை F இலும்
(easir EC யை G QJlb சந்திப்பி
(VIII)
(yp6OopBCU AB, AC Lổg5 (Ub புள்ளிகள் . n, YC = 20cm guíl6ô1 XY afLD1j55Jub
ங்கள் O வில் சந்திக்கின்றன. AC = 8cm, 15cm ஆயின் AB சமாந்தரம் CD gd
DC. AD, BC என்பவற்றில் E, F என்னும் றுள்ளன. EF சமாந்தரம் AB என நிறுவுக? uî6ù BD = EC ogyongo D, E என்னும் 6I6öTLJ6)Igj3q31äbönLJTa5 (Up60Dg3C3uLu CA, BA
படும் நேர்கோடுகள் AB, AC என்பவற்றை F, ாந்தரம் BC என நிறுவுக? C யின் நடுப்பள்ளி D ஆகும். AD யின் E GOTg5 fAC GODLL u F Q6id. சந்திப்பின் BE : யினூடாக AC க்கு வரையப்படும் சமாந்தர
பின் நடுப்பள்ளி D ஆகும் BC மீது BE : புள்ளி E ஆகும். AE, CD என்பன F இல் க? (உதவி D யினூடாக AE க்கு வரையும் சந்திக்கின்றது) b Li6ïT6î&56ï7 (yp60)g368ulu AB, CD - Li6ch.) AP : நுள்ளன. P யினூடாக AD க்கு வரையப்படும் ெவினூடாக ADக்கு வரையப்படும் சமாந்தர
FG சமாந்தரம் BC என நிறுவுக?
Page 73
... 9. முக்கோணி ABC இல் கோணம் BAcus 559Cuisir BA : AC = BX : XE616o^sor யிற்கு சமாந்தரமாக வரையப்படும் நேர்கோ சந்திக்கட்டும்.) gg*~ உள்ளிரு கூறாக்கித் தேற்றம் 6 உடல்களின் சமனிலையில் பயிற்சிகள் செய்ய 10, வட்டமொன்றின் இருநாண்கள் AB, CD என்பன
AX. XB = CX. XD 61601 fluisli,
இயல்பொத்த முக்கோணிகள் 3.3 حX
தேற்றம ~ 15. இருசம கோண முக்
வித்தியாச்மாகும்.
தேற்றம் - 16. ஒரு முக்கோணியின் மூன்
முக்கோணியின் மூன்று அவ்விரு முக்கோணிகளும் தேற்றம் ~ 17. இரு இயல்பொத்த (ιρά5 * , அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களி
பயிற்சி
1. தரப்பட்டுள்ஐஉருக்களில் எழுத்திடப்பட்ட நீ6
(ii)
(III) (IV)
- 63
இருசமகூறர்க்கி BC "sou X 36) க. ( உதவி C யின் ஊடாக XA
} 5 LU L BA 60u Y 96to
ப்படும் இம் முடிவானது விறைத்த ம் போது பயன்படும்.
X இல் இடைவெட்டுகின்றன.
கோணிகளின் ஒத்த பக்கங்கள்
ந பக்கங்களும் முறையே வேறொரு பக்கங்களுக்கும் விகித சமமாயின் சம கோணமானவை. கோணிகளின் பரப்புகளின் விகிதம் iன் வர்க்கங்களுக்கு விகிதசமமாகும். 3.3
ாங்களைக் காண்க?
1O
Page 74
10,
ஒரு வட்டத்தின் இரு நாண்கள் A AX. XB FCX. XD 61601 sq65?
Ff6JElb ABCD uG6) AB FLDT sjöfČJL36ör AB: CD=AE:EC 6īgs முக்கோணி/ABC யில் BE: CF என் நிறுவுக? TP, TO 6T6ösLJSO. O. 606 60LDuLDITE ஆனது Pைெவ R இல் இடை வெட் ஒரு வட்டத்தின் இரு நாண்கள் A இடை வெட்டுகின்றன. YAYB=YC PQRST 9ir ஒழுங்கான ஐங்கோண Q6Jučiņ6ö7; PS: PT = PT: TU GIgor é ABCD என்னும் சரிவகத்தில் AB விட்டங்கள் O வில் சந்திப்பின் BD ! ABC என்பது A யில் செங்கே BCக்குச் செங்குத்தாயின் ABAD O வை மையமாகவுடைய வட்டத்து TB என்னும் தொடலிகள் வரையப்
என நிறுவுக?
CD என்பன E இல் இடைவெட்டுகின்றன.
தரம் DC மூலை விட்டங்கள் E யில்
நிறுவுக? 60 grija:Lugšas6iT BE : CF = AB : AC 6TGOT
புடைய வட்டத்தின் இரு தொடலிகள் OT qsör OR. OT = OO“ GIGA நிறுவுக? , CD என்பன நீட்டப்படும் போது Y இல் YD என நிறுவுக | VfGld. QT. PS 6I6öL160, U 6ss6d SQ6OL
றுவுக?
GFLOTÞğHyub DC AB = 2DC ggb. ജ്ര = 3OD என நிறுவுக? ணமுள்ள முக்கோணி ஆகும். AD என்பது A ACD = BA* : AC* 616.8 50ausages? , , , க்கு வெளியேயள்ள புள்ளி T யிலிருந்து TA, J' (G6itGTIGT. A ATB : A OAB = AT* : OA*
শ্ৰন্থ
廖
. 64
Page 75
> 4.1 வட்டத் தண்டக் கோணங்கள்
தேற்றம்
தேற்றம் :
துேற்றம்
கிளைத்
தேற்றம்
:-18
ஒரு வட்டத்தின் வில் அ6 கோணம் பரிதியின் எஞ்சி புள்ளியில எதிரமைக்கும் ே
வட்டம் ஒன்றின் ஒரே துண்ட
ஓர் அாைவட்டக் கோணம் ெ
ஒரு வட்ட நாற்பக்கலில்
நிரப்பிகளாகும்.
தேற்றம் : வட்டம் நாற்பககலொ6
:-22.
புறக்கோணம் அகத்தெரிர்க்
ஒரு வட்டத்தை ஒரு ே புள்ளியிலிருந்து ஒரு நாண அந் நாண அமைகசூம் ே விட்ட துண்டங்களிலுள்ள ே
Inisfa
1. பின்வரும் உருக்களில் எழுத்திடப்பட்ட கே
YNND
()
(III)
- 65
ہے (ت
வட்ட மையத்தில் எதிரமைக்கும் பாகத்தில் யாதாயினும் ஒரு "ணத்தின் இரு மடங்காகும்.
க் கோணங்கள் சமனானவை.
சங்கோணமாகும்,
எதிர்க் கோணங்கள் மிகை
றின் ஒரு பக்கத்தை நீட்ட வரும் கோணங்களுக்குச் சமன், ா கோடு தொட ஆகும் தொடு வரையப்படின் தொடு கோட்டுடன் காணங்கள் அவ் வட்டத்தின் ஒன்று காணங்களுக்குச் சமனாகும்,
..
Tணங்களைக் கணிக்குக?
*
W (II)
Page 76
Page 77
(XV)
(XVIII)
- 67
Page 78
· බෝතල්
>sr கேத்தரகணித அமைப்புக்கள்
1)
2
)
3)
4)
Bc = 75cm, CA = 65cm, AB = 45 இணைகரம் ABC யைப் பூர்த்தி செய்க" PQ = 7cm, QR =5. 4cm, PQR =
அமைக்க.? A,B,Cஎன்னும் 3 கோபரங்கள். Aயானது Cக்கு மேற்கே 20 km சதுரத்திலும் இ என்னும் அளவிடைக்கு தரப்பட்ட தர:ை
கோளைக் காண்க? w P ெஎன்னும் தெரு வடக்குத் தெற்க யிலிருந்து வடக்கு நோக்கி 2km 8ெ (8GBT6ń6io (Ubbt i 5km சென்று இத்தகவலை 1 cm = 1km எனும் அ
திசைகோளை அளந்து எழுதுக?
5)
6)
Τ)
AB > AC ஆகுமாறு விரும்பிய முக்ே AB, AC என்பவற்றுக்கு வரையும் செங் என்னும் புள்ளியை அமைக்க, P யிலி அவற்றின் நீளங்களை ஒப்பிடுக? PSR = 60° , QPR = 30°, ORP = நாற்பக்கல் PQRS ஐ அமைக்க? AB = 5. 8cm, BC = 6crn, CD = BDC = 90°, AED = 90° ஆகவுள்ள ஐ
ஒவ்வொரு பக்கமும் 3.5CR கொலி ஐங்கோணி PQRST ஐ அமைக்க? YZ = 65.cm XYZ = 45°
அமைக்க, புள்ளி X இல் XZ ஐத்
செல்வதுமான வட்டத்தை வரைக
10) AB = 4.5cm, AC = 7.5cm, BC :
அமைக்க, புள்ளி A இல் AB ஐத்
வட்டத்தை வரைக,
5 (Q) St
cm ஆகவுள்ள AABC யை அமைக்க
0’ ஆகவுள்ள இணைகரம் PQRS ஐ
| Bயிற்கு வடக்கே 15km தூரத்தில் நக்குமாறு அமைந்துள்ளன. 1 cm = 5km ப வரைந்து B யிலிருந்து C யின் திசை
ாக அமைந்துள்ளது. A Gigirusir P ன்று அங்கிருந்து 075" என்னும் திகை R என்னும் புள்ளியை அடைகிறார்.
எாவிடைக்கு வரைக, P யிலிருந்து R இன்
காணி ABC யை வரைக. P யிலிருந்து குத்து நீளங்கள் சமனாகுமாறு BC மீது P ருந்து மேற்படி செங்குத்துக்களை வரைந்து
65“, PS = 7.2cm, SR = 8.0cm gëssysis
0.
5.5cm ED = 4.5 cm ABC = 105° ,
கோணி ABCD ஐ அமைக்க?
டதாகவும் P = Q = 90° ஆகவும் உள்ள
YZX = 60° QA6Nsk6w AXYZ g தொட்டுக் கொண்டு புள்ளி Yஇனூடாகச்
6cm ஆகுமாறு முக்கோணி ABC ஐ தொட்டுக் கொண்டு BC ஐயும் தொடும்
Page 79
11) PQ = 7,5cm, QR = 8.5cm PQR = 45° அமைக்க Pஇல் PR ஐத் தொட்டுக் கொன செல்லும் வட்டத்தை வாைக? . 12) Erribuissid ABCD u 96) AB = 6,5 cm, BC யிலிருந்து AC இற்கு வரையப்பட்ட செங்குத் ABCD ஐ அமைக்க? 13) C.4B = 60° AB + BC = 9cm, AC = 55 cr
அமைக்க? 14) AB = 5cm, Ê AD = 120° AO = 5.8 C ஆகுமாறு நாற்பக்கல் ABCDஐ அமைக்க? 15) AB = 6 cm, BC = 4. 5 cm. AC = 5 cm 'பக்கம் BC ஐ வெளிப்புறமாகத் தொடும் AA அதன் ஆரையை ஆரையை அளந்து எழுதுக? 16) 6Cm நீளமுள்ள கோடு LM ஐ வரைக L இல் நீளம் 4.5cm ஆகுமாறு M ஐ மையமாகக் கொ 17) 4.5 cm ஆரையுள்ள வட்டம் ஒன்றை வரை
உள் வரைக? 18) 2.5cm ஆரையுள்ள வட்டமொன்றை வரைந்து தொடலிகள்"க உள்ள சமபக்க முக்கோணியை 19) AB என்பது 5cm நீளமுள்ள ஒரு நிலை என்னும் அசையும் புள்ளியொன்று எப்போது : . அமைகிறது. Pயின் ஒழுக்கை அமைக்க? 2O) ) o = 4cm QR= 7cm PÓR = 45
' 'அமைக்க
11) 5 cm ஆரையுள்ள வட்டம் ஒன்றை அமைக் I) மேலுள்ள் APQR இற்குச் சம கோண உள் வரைக? 21) 10cm நீளமுள்ள நேர்கோடு AB ஐ வை நேர்கோடு PQ இற்கு வரையப்பட்ட செங்கு
g5b. AP = 4Cm. BQ = 3Cm 9656yub »
- 69
ஆகவுள்ள A PQR g
டும் PQ இன் நடுப்புள்ளிக்கூடாகச்
: 7cm , CD = 5. 5 cm å = 60° D
lன் நீளம் 3 cm ஆகும். நாற்பக்கல்
ஆகுமாறு இணைகரம் ABCD ஐ
ÜOC = 12Cm ABJOC.
ஆகவுள்ள AABC ஐ அமைக்க
3C யின் வெளிவட்டத்தை அமைக்க
இருந்து வரையப்படும் தொடலிகள்
ண்ட வட்டத்தை அமைக்க
ந்து அதிலே சம பக்க A ஒன்றை
பக்கங்கள் மூன்றும் அவ்வட்டத்தின்
அமைக்க?
க்த கோட்டுத் துண்டம் ஆகும். P APB = 75° , ஆக இருக்குமாறு
* ஆகவுள்ள முக்கோணி PQR ஐ
முக்கோணி. ஒன்றை இவ் வட்டத்தில்
ரக A யிலிருந்தும். Bயிலிருந்தும் 55 (up603Cu AP LL.b, BQ p lib
iள கோடு PQ ஐ அமைக்க?
Page 80
22) 5Cm ஆரையுள்ள வட்டம் ஒன்றை OA = 1 1 Cm gorgo OA g
Cயிலும் இவ் வட்டத்தை வெட்டும்
வெட்டிகள் எத்தனை வரைய முடியு 23) 8 Cm நீளமுள்ள கோடு AB ஐ
புள்ளி Cஐ குறிக்க, BD = 3, 0 (
குறிக்க மையம் A ஆகவும் ஆs
இவ்வட்டத்தைத் தொட்டுக் கொன
அமிைக்க. அதன் ஆரையை அளந்து
> 5.2 முப்பரிமாண உருக்களைத்
கீழ்த் தரப்படும் பயிற்சிகளைச் செய்வத
l)
2)
3
)
4)
5)
6)
T
I) திண்மக் கோளம்
II) திண்ம g» (ѣ6006и
I) செவ்வட்டத் திண்மக் க
IV) 5601ábgj3gál
V) அரைக்கோளத் கிண்ண
VI) சாய்தளம் அமைப்பதற்
VII) (3.5IT6)
VIII) g6ODg மேசை மீது கனக் குற்றியை ை மேசை மீது உருளையை வைத் பார்க்கும் போது தோறறம் மேசை மீது கோளமிருக்கும் பே மேசை மீது கூம்பு தள மேற்ப அதன் தோற்றம் கூம்பை மேசை மீது வளைபரt அதன் தோற்றம், மேசை மீது அரைக் கோளக் நிலைப்படுத்தப்படும் போது அத
பின்வரும் உருக்களைப் பெயரிடு
/ー -
வரைக அதன் மையத்தை O எனக் குறிக்க வாைக BC = 8Cm ஆகுமாறும் Bயிலும் வெட்டி ABC ஐ அமைக்க அவ்வாறான
வரைக BC = 3C ஆகுமாறு அதன் மேற் m , CD = 4.5Cm gigDT 6T6î D gåb ர4Cm ஆகவும் உள்ள வட்டத்தை வரைக. ாடு D யினூடாகச் செல்லும் வட்டத்தை
எழுதுக்.
தளத்தில் வரைதல்
bகாகப் பின்வரும் பொருள்களைச் சேகரிக்க
hம்பு
5 U6)605
வத்த பின்னர் அதன் முன் புறத் தோற்றம் }த பின் அதன் தட்டையான முகப்பக்கமிருந்து
8
து அதன் தோற்றம் ரப்பு தொடுகையிலிருக்க வைக்கப்படும் போது
புத் தொடுகையிலிருக்க வைக்கப்படும் போது
கிண்ணம் அச்சு நிலைக் குத்தாக இருக்க
ன் தோற்றம்
(C)
- 70 -
Page 81
(a)
(E)
(F)
> கடம்பு வெட்டுக்கள் இரு ஒரே அளவினதான செவ்வட்டத் திண்ம்க் பொருந்துமாறு ஒட்டப்படும் போது இரட்டைக் தளமொன்று வெட்டும் போது வெட்டும். " . . 1) நேர்கோட்டுச் சோடி l) வட்டம் IV) நீள்வளையம் V). SÐgÁ UT6)
Ꭰ தேர் கோட்டுச் சோடி
இரட்டைக் கூம்பின் பொது உச்சியினூடாக செல்லும் தளத்தினால் நேர்கோட்டுச் சோடி ( III) இரட்டைக் கூம்பின் பொது அச்சுக்குச் வெட்டுவதனால் வட்டம் பெறப்படும் I) இரட்டைக் கூம்பின் ஒரு பிறப்பாக்கிக்குச்
இடைவெட்டுவதால் பரவளைவு பெறப்படும். TV) இரட்டைக் கூம்பின் அச்சுக்குச் செங்கு
பிறப்பாக்கிக்குச் சமாந்தரமல்லாததுமான ზრდა பகுதியை இடைவெட்டும் போது நீழ்வ V) இரட்டைக் கூம்பின் பொது உச்சியினூடா இரு பகுதிகளையும் வெட்டும் போது அதி
மேற்படி வளையிகள் தளங்கள் இர பெறப்படுவதால் அவை கூமபு வெட்டுக்கள்
- 71 -
(O)
(C)
(G)
கூம்புகள் அவற்றின் உச்சிகள்
கூம்பு பெறப்படும். இக்கூம்பினை
l) பரவளைவு
ளை ஆகியன பெறப்படும்.
5 இரு பிறப்பாக்கிகளை வெட்டிச் பெறப்படும்
செங்குத்தான தளம் கூம்பை
சமாந்தரமான தளமொன்று கூம்பை
க்தாக அமையாததும் எந்தவொரு தளமொன்று இரட்டைக் கூம்பின்
ளையம் பெறப்படும்.
கச் செல்லாத ஒரு தளம். கூம்பின்
பர வளைவு பெறப்படும்.
ه t ட்டைக் கூம்பை வெட்டுவதால்
எனப்படும்.
Page 82
sec9 = COSec{
cos 69
C B
sin30 = Po== sinó0 =
AC 2a 2
|2 t cos30 = AB = N38 = N3 cosó0 =
AC 2a 2
tan30 = B = -2 = . tan60 =
AB W3a W3.
tano - o Cose
- 72
g5 (O) (
BC COS X F —
AC --- sino
D AB v3aw3 AC 2a = 2
BC a 1 AC 2a 2
|3 ۔م۔م۔م۔ AB v3a= 5 BC 3
A.
A
B
tanX = AB
cot0 = 1 - tan 89
M
Page 83
இவ்வாறாக பின்வரும் அட்டவணை பெறப்படும்
O 30 45
sin O
2 V2 COS 1 V3
2 v2
tan O
Cot OO V3 1
COSeC, OO 2 /2
SeC 1 v2
V3
12 g) - to 1) :- sin0= எனின் tan9 ஜ காண்க
C
13
12
B
YND 5
A
tan69 = AC 12
AB 5
*
རྫིས་
- 73
60 90
w3 1
2
1. O 2.
W3 ОС
O W3
2 1 n3
OO
Page 84
ഉ + b 2) :- tane = 616 for sin8, c
C
3 5
A 4
AC 3 AB 4 sin6 = T = cosé = = -
BC 5 BC 5
1. பின்வரும் திரிகோன கணித விகி
1.
2
3
4.
5
sin 50
COS 75
tam 35 sin 1524
COS 27’ 30”
2. பின்வரும் திரிகோண கணித விகி
1.
sin X = 0.8660
sin x = 0. 3 *-4
sin X = 0. No -4,4-D
Cos X = 0. 5
Cos X = 0. 7320
3. 1. sin X = ஆயின் tan X gg:
8 * ‘‘ حصہ * 2. COS X ir 17 ஆயின் sin X ஐச்
3. tar X = ஆயின் cos x g
4. tanx = 2\2 ausics sinx
os9ஜ காண்க,
B ܠ
தங்களைக் காண்க? 8.
6. tan 34 18' th
7. siin 3240"
8. cos 36 15" 9. tan 58 16'
10. Sin 49 35'
தங்களையுடைய கோணங்களைக் காண்க?
6, cos x = 0. 1560
7. tan X = 0. 9470 -
8. tan x = 1 4730
9. tam X = 2. 7356
க் காண்க?
5 காண்க?
க் காண்க?
ஐக் காண்க?
74
Page 85
P: Ss X - Sgu MGör cos x
議 W3 + 1
4. எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படும் கோணங்
5. எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படும் பக்கங்கை
5ст ぶ。 y
6Ꭴ
6) Qsticameo A POR 36 PQ = 13Cm, ஆயின் cos 9, tanG என்பவற்றின் பெறுமா 7) Q.F.C.sion A ABCust 6 = 90°, BC = 3
இன் பெறுமானங்களைக் காண்க?
8) மேற்படி அட்டவணையைப் பயன்படுத்திப் பின்
9) ar in 60° cos 45° go sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45
இ) sin 4s -- COS 45 sin 30*' + cos 6Ü*
cos 60 * — sin 60° sin 45° sin 90 cos 30 * — cos 90* sin 30°
tan 60° + tan 45° 1 - tan 45° tan 60° psi) tano 60°+ 2 tan“45°
6) tan”30+ 4coso 60°
2-)
- 75.
காண்க?
ளைக் காண்க?
8cm - 5cm
っ
rnס12
ளக் கான்க?
PR = 5 Cm , QR = 12Cm, PÓR = 69
னங்களைக் காண்க?
3Cm , AC = 4C 7. su)söı sinA, tanB
வருவனவற்றின் பெறுமானம் காண்க
Page 86
9) sino30 + coso 30° = sino 60 + cos* 60 = s
+ cos 0 = 1 என வாய்ப்பு பார்க்க
Note - 6 என்பது யாதாயினும் ஒரு கேரள
10) மேற்படி அட்டவணையை பயன்படுத்த
1) tam 60“ — tam 30 = tan 30
1+ tan 60° tan30*
1-sin 60° 1-tan30” cos 60* 1 + tan 30*
cos 30° + sin 60° 1 + sin 30° + cos 60°
4) sino30 + sin’45 + sin‘60= 影
2)
= cos 30
5) tano:30+tano 45+tano 60 = 4
6) sing0' cos60' + cos30' sin60 = 1
7) cos 45° cos 60o -- sin 45° sin60° =
11) பின்வரும் தொடரின் பெறுமானம் காண்க
1) sino30 + sin’45 + sino60 2) tano30 + tano45 + tann’60 3) sin30cos60+ sin60cos30 4) cos45cos60 - sinéOsina.5 5) 413 cot30 + 3sin’s0-2cosec'60 6) cosec'45. sec’30.sin'90. cos6C 7) 4cot?45 - sec'60 + sin'30 8) 3sin45-4sin'45 9) cos*30 - sin*30
102n30.
1 - tan * 30
12) பின்வருவனவற்றை வாய்ப்புப் பார்க்க
A = 45° எனின்,
1) sjn 2a = 2sin a cos a
3) sin2A = 2sinAcosA
o 45+ cos”.45 = sino 90+ cos”90 = sino O
gTLoru Sless | sin* 6 + COs* 6 = 1 əsg85ıb.
|ப் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக?
: 1 - v3
r~~
- 314 tan*30
A. عر 2) cos 2A = 1 - 2sino A = 2coso A - 1 4) cos2A = 1 - 2sin’A
Page 87
2 tan A
5) tan 2A = e - is
1 – tan” A
A = 30° எனின், 6) cos 2A = cóso A-sino A = 1 - 2sino A = 2 7) sinoA = 2sin A COS A 8) cos 9) sin 3A = 3 sin A — 4sino A 10 م( tar
3
11) 3ian A-an-4 = tan3A 12) co:
1-3 taní A
1 س13) cos3A = 4cos'A - 3COSA. 14) si
15) sin2A = 2sinACOSA 16) ta
13) 1) sin x = 岩 ஆயின் tanx ஐக் காண்க:
8 = حے: i 2) COS X = 17 ஆயின் sinx ஐக் காண்க
4 3) tán X =- 5 uî6öy cos X gä5 காண்க
4) tan x = 2 v2 ஆயின் sinx ஐக் காண்க?
*/3-1 W3 + 1
6), STh 9 = 11/61 Grosinci cos 9, tan 9 GT6TL 7) cos 9 = 4/5 676ñ6ör sin 19, tano : ன்ன்பவ 8) cos 69 = 941 6166ó sin 69, tan6 616óU6
5) sin x = ựu M6ör cos x Egš5 கான்க?
9, sin 9 = 3/5616ñó sino, tan 6 என்பவர்
10) tan 69 = ஆயின் sinó, cosở ஐக்
14) sin 69 = 1/n 6TGÁNGST COS 9, tan o என்பவற்ை
15) cos 9 = p/q 6T6î6ÖT sin 3 , tan G என்பவற்ை
- 77 -
cos A-1
3A = Acos' A-3cos A
2A = 2n
1- taní A
52A = cos“A - sinaA = 2cos“A
n3A = 3sinA - 4sin’A
2.tan A ,
n2A F “ን
1 - taní A
வற்றை காண்க? bறைக் காண்க? வற்றைக் காண்க?
1றை காண்க?
காண்க? *
றை காண்க?
றைக் காண்க?
Page 88
? - o 16)tan 69 = vmo - no ựu 6ör sin 69, cos
芦
17)sin 69 = 2 61606 2sin 9 - 3 ز* - xتم شم
ν
2x(x + 1) 2x + 1
19)sin 69 = --
)
இதிலிருந்து sin 6 * cos 9 =
18)tan 69 =
எனின் sineயாது?
666 cos 69, tan {
20) cos 6 = -- Suî6ör sin 69, cc
4 p’ -g 21) sin? சி + cos 9 = 1 என வாய்ப்பு ப
22) cos A = 2m 676cf6ör cos A, sinA
m + 1
23ytan A= — ?P3 , 616âsi cos A, sinA
2 2
- 4
= 5/ 2sin x. — 3 cos x 24)cos x 713 எனின் 4 sin x - 9 cos x
P cos 69 — q sin 69
A 25)tan 9 = 4/ எனின் "x * ** y P p costo + q sin t7
26)
APG
R
P
27) 90
பின்
9 என்பவற்றைக் காண்க?
os9 பெறுமதியைக் காண்க
9 யாது?
என வாய்ப்பு பார்க்க
»se, cos 69 gab 851160Ös&s?
ார்க்க
யாது?
யாது?
இன் பெறுமதி யாது?
இன் பெறுமதி யாது?
RS6) பின்வருவனவற்றைக் காண்க?
1. sin 69 2. cos 69 3. tan e 4. sin (90-89) 5. cos (90-69) 6. sin (90-9) = COS 69 6606ub cos (90-69) = sin 69 676GT6Ayub Sam685,
வருவனவற்றிற்கான கோவைகளைத் தருக?
1. sih 0 2. CoS 69
3. sin (90-89) 4. cos (90-89)
Page 89
8cm
/ 5。
|- 6T6676.
p—uшф
28) ABCDEF ?práv851T6OT SÐp CaEITGØof AE, FC
29) உருவில் காட்டப்பட்டிருப்பது சதுர அடிக்கூம்
அடிக்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி 0
எத்தகைய கோணம் பின்வருவனவற்றைக் கான
1. AO 2. VA 3WAO
30) கோபுரமொன்றின் உயரத்தை அளக்க வி 100 மீற்றர் தூரத்திலுள்ள புள்ளியொன்றி கோணத்தை அளந்த போது ஏற்றக் ே கோபுரத்தின் உயரம் யாது?
VQ ʼ
31) 3.m நீளமான ஏணியொன்று கிடையுட
சுவரொன்றில் சாய்த்து வைக்கப்பட்டுள்
முனையின் உயரத்தைக் காண்க?
32) நிலைக் குத்துக் கம்பமொன்றின் அடியிலிரு கம்ப உச்சியை 42" ஏற்றக் கோணத்
அவளது கண் 1.6m உயரத்திலிருப்பின்
33) கிடையுடன் 60° அமைக்கும் நேர்கோட்ட
ரொக்கட்டானது. 60 மீ செக் என்னும் சீரா அ) 10 செக்கனில் அது சென்ற தூரம் ய
- 79
16AB53B sin (90-69) = cos 9 cos (90-69) = sin 69 6TGOT6qub
தறிக.
ானபவற்றைக் காண்க?
uab AB = 10cm. V Ssidesës VO = 15 cm lagu Gör VOA
நம்பிய பாபு கோபுர அடியிலிருந்து லிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்
t t 5ாணம் 30 ஆகக் காணப்பட்டது.
ன் 40° சாய்வில் நிலைக்குத்துச்
61äJ. தரையிலிருந்து ஏணியின்
ந்து 40m தூரத்தில் நிற்கும் சாந்தி, தில் பார்க்கிறாள். தரையிலிருந்து
ம்பத்தின் உயரம் யாது?
ல் இயங்கும் வண்ணம் கடப்பட்ட ா கதியுடன் இயங்குகின்றது.
s?
Page 90
ஆ) 10 செக்கனில் அது அடைந்த உ
34) ஆறொன்றின் அகலத்தை அளப்ப மறுகரையில் ஆற்றோரத்திலுள்ள மர் இக்கரையில் மரத்துக்கு நேரெதிரேய அங்கிருந்து மரம் கரையுடன் 60° கே காண்கிறான். ஆற்றின் அகலம் யாது?
35) A என்னும் கப்பல் B என்னும் கt
கோளில் காண்கிறது. 9) B யானது எவ்வளவு தூரம் வடக்
ஆ) B யானது எவ்வளவு தூரம் αξιρά
36) சூரியன் 25° ஏற்றக் கோணத்தில் இரு
30m நீளமுடையதாகக் காணப்பட்டது
37) P, ,ெ R என்பன கிடைத் தரையிலு முறையே P க்கு வடக்கிலும் மேற்க வின் அமைவு (500 மீற். 045°) ஆயின்
38) பட்டமொன்றின் கயிறானது 18, 6 மீ உயரத்திலுள்ள போது கயிறு கி!ை
காண்க?
39) AD என்பது நிலைக் குத்தான கட்
மீற்றர் தூரத்திலுள்ள B யிலிருந்து 50° ஆகும். கட்டிடத்திற்கு B உள்6 C யிலிருந்து கட்டிட உச்சியின் ஏற்ற அ) கட்டிட உயரம் யாது?
ஆ) கட்டிட அடியிலிருந்து C அமைந்
40) வடக்குத் தெற்காகச் செல்லும் நே இடைத்தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிக தொலைபேசிக் கம்பமொன்றின் அடி 055° உம் ஆகும். BT செங்கு காண்க? 9) (BIT600TLb TAB a) BT (L5
- 8
அடைந்த உயரம் யாது?
bகு விரும்பிய கண்ணன், ஆற்றின் மான்றை அவதானிக்கின்றான். ஆற்றின் நந்து 50 மீற்றர் நடந்து சென்ற பின்,
0ணம் அமைக்கும் திசையில் இருப்பதைக்
பலை 65km தூரத்தில் 075° திசை
கேயுள்ளது?
கேயுள்ளது?
ந்த போது தந்திக் கம்பமொன்றின் நிழல்
கம்பத்தின் உயரம் யாது?
துள்ள மூன்று புள்ளிகள் ,ெ R என்பன லுெம் அமைந்துள்ளன. R இலிருந்து ெ
PQ வின் நீளத்தைக் காண்க?
bறர் நீளமுடையது பட்டம் 12, 5 மீற்றர் -யுடன் அமைக்கும் போது கோணத்தை
டிடமொன்றாகும். அடி D யிலிருந்து 8 கட்டிட உச்சி A யின் ஏற்றக் கோணம் திசைக்கு எதிர்த் திசையிலுள்ள புள்ளி க் கோணம் 40° ஆகும்.
துள்ள தூரம் யாது?
பபாதையில் A, B என்பன 30 மீற்றர்
ாகும். A யிலிருந்தும் B யிலிருந்தும்
இன் திசை கோள் முறையே 110 உம்
ந்து AX ஆகும். பின்வருவனவற்றைக்
நீளம் இ கோணம் AXB
Page 91
S S SLLLLS AAAASS qqSSSS S eS SA AqS S q B AAS ܫ...-ܧ* ̄ . ܝܗܿܝ. -- -- ܕ -ܗܝ. ܗܝ *ܦ
P) BXஇன் நீளம்
உ) தொலைபேசிக் கம்பத்தின் உயரம் 10 உச்சியின் ஏற்றக் கோணம்,
41) கிடையுடன் 30° சாய்விலுள்ள சாய்தளம்
f AV துணிக்கை அடைந்த உயரம் யாது?
42) ABC என்பது செங்கோண முக்கோணி ஆ 1 BC ஆகுமாறு Bயினூடாக வரையப்பட யில் சந்திக்கிறது. AB = 12cm, AC = 16 cm, BC = 20Cm
காண்க
AD = 85 Cm ஆயின் பின்வருவனவற்றைக் a) sin ABC b) cos AČB c) cos
43) PORS ses gribuš66 PSR = 90°, epos = 20Cm, RQ = 21Cm, RS = 16Cm guS) a) sin ABC b) cos ACB
DảC
4) PORS ses gribušies PSR = 90° ep RP = 20Cm, RQ = 21Cm. RS = 1 கண்க?
a) sin PŘS b) tan RPS PộR
45) A A ABC uG6 AB 1
a) AN
മീ6 b) A A B N مما
«- 3 -- Σ --Φ- 46) ABCD என்பது சதுர வடிவ மைதானம்.
10m உயரமுள்ள கம்பம் உள்ளது B
உச்சியின் ஏற்றக் கோணங்களைக் கணிக்
-81 -
3றர் ஆயின் Bயிலிருந்து கம்ப
வழியே 60m தூரம் இயங்கும்
ம். A என்பது செங்கோணம் BD
- கோடு நீட்டப்பட்ட CA ஐ D
ஆயின் BD ஐயும், CD ஐயும்
ாண்க?
CĎA d) tan DāC
si Lib PR RQ essLs RP ன் பின்வருவனவற்றைக் காண்க?
c) cos CĎA d) tan
Go6) 6ń ub PR 1 RQ ex35 6ś
SCm ஆயின் பின்வருவனவற்றைக்
c) cos RPQ d) tari
C, BC = a ABC = 6 ay la,
பாது?
3C யின் பரப்பளவு யாது?
ggest ugly, 16w6 4096m* A u Sicky லிருந்தும், Cயிலிருந்து கம்பத்தின்
Page 92
47) நேர் வடக்கே 100m தூரத்தில் உள்: 34° ஏற்றக் கோணத்தில் காணப்பட்ட உள்ள நிலைக்குத்து தூரம் ,யாது?
48) A நிற்குழ் இடத்திலிருந்து நேள்
ஹெலிகொப்ர் ஒன்றின் பயணப்பாதை கிடைப்பாதையாகும். A வடக்க நே நிற்கிறார். குறித்த ஒரு கணத்தில் கோணத்திலே காணப்பட்டது. இன்னும்
30° எனக் காணப்பட்டது. ஹெலிகொ
هيمنعنا.
B யில் நிற்கும் ஒருவருக்கு வானூர்தி து தரைக்கும் வானுர்திக்கும் இடையில்
மேலே வடக்கு நோக்கி செல்லும் தரையிலிருந்து 300m மேலே உள்ள ாக்கித் திரும்பி அத்திசையை நோக்கி ஹெலிகொப்பரtA யிற்கு 48° ஏற்றக் 5 Sec இன் பின்னர் ஏற்றக் கோணம்
பரரின் கதி யாது?
Page 93
স্ট্র
க.பொ.த.
கலைச்சொ
(Φ έδ) வகுப்பில்
ஆங்கிலநூல்களை வாசிக்கும்
இணைந்த8
சந்தர்ப்பங்களி
ஆங்கிலப்பதங்களும் அவற்றுக்கான தமிழ்க்கருத்
Addition
Angle
Acute Angle Alternate Angle Obtuse angle Complementary angle Right angle Straight angle Supplementary angle Angle of depression Angle of elevation
Arc
Arc length
Area
Average
Axes
Axis
Base
Bearing
Binomia!
Binomial expansion Binomial expression
BiSector
Centre
Ex centre
கூட்டல்
கோணம்
கூர்ங்கோ ஒன்றுவிட விரிகோல் நிரப்பு ே செங்கோ நேர் கே மிகைநிர இறக்கக் ஏற்றக் ே gF[jIाg#ी வில் வில்நீளம் அச்சு
அச்சுக்க
{}t}9ع திசைகே ஈருறுப்பு ஈருறுப்புக் ஈருறுப்பு இருசமகூ மையம்
60)UDu JÜ(L
வெளிவட்
- 83 -
aga
356
Eைத பாடத்தைக் கற்கும்போது ல் தெரிந்திருக்க வேண்டிய சில துக்களும் இங்கு தரப்படுகின்றன.
600Tib
ட யோணம்
Old
கானம்
ணம்
ானம்
ப்பு கோணம்
கோணம்
கானம்
rள் :
கோவை விரிவு றாக்கி
ாலி
ட மையம்
Page 94
69
*70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
34
85
86
87
88
89
90
9.
92
93
94
95
96
97
98
99
1 OO
101
O2
103
104.
105
107
108
O9
1O
111
12
Digital index dimension Directed numbers Direction
Direction Cosine
LOSC Displacement
Distance
Dividend
Divisibility
division
DivisOr
Domain
Edge Ellipse Energy Equation Equilibrium
face
Factor
Factorization
Formufa
Fraction
Friction
frustum of a Cone
function
Gradient Gravitational force
Hemisphere
Heptagon Hexagon Hollow
Homogeneous Horizontal Hyperbola Hypotenuse identity
impact improper fraction
inclination
ndeX indices inequality infinity
_flp
திசை
திசை
திசை வட்ட இடப் தூரம்
6(3bL
வகுL
கச்சுட்டி
னம் கொண்ட எண்கள்
கோசைன்
த்தட்டு
பெயர்ச்சி
b
டும் எண்
டுதன்மை
த்தல் . خم க்கும் எண் *' ..س" f
ம்பு
வளையம்
6Tuli (6
நிலை
ம்
னி
னிப்படுத்தல்
திரம்
ானம்
Tuj6)
)பின் அடித்துண்டு
flத்திறன்,சாய்வுவிகிதம் பியீர்ப்புவிசிை ரைக்கோளம் •్క • శీ ழகோணி
றுகோணி
ாள்
5வினமான
திபரவளைவு சம்பக்கம் rவசமன்பாடு மாத்தல் ]றைமையில்பின்னம் Tuj 624 A.
Liņ
ட்டிகள்
மனிலி
pடிவிலி
84
Page 95
113
14
115
116
117
118
119
12O
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132 133 134
135
136
137
138
139
A.
142
143
144
145
146
147
148
49
15情
153
54
155
156
157
158
Integer integration intercept irrational
Kinetic energy
Lamina
Like force
Limit Locus of a point
Maximum
Mininnum
Monent
Momentum
Motion Multiplication
Nonagon Normal
Numerator
Oblique Octagon
Parabola
Parallet
Paralelogram
Particle
Pendulum
Pentagon
Perfect Square perimeter Permutation Perpendicular Perpendicular - bisector Place value
polygon Potential energy
POWyer
Prime factor
Product Proper fraction Proportion
Protractor
Pulley Quadrilatera
Quadrant
Quantity
முழுவெண் தொகையீ வெட்டுத்து விகிதமுற இயக்கச்ச
أساليه நிகர்த்த 6 616)6O)6) ஒரு புள்ள உயர்வு இழிவு திருப்பம் உந்தம் இயக்கம் பெருக்கம் நவகோண செவ்வன் தொகுதி சரிவான எண்கோன
lug 616061T6 சமாந்தரப் இணைகர துணிக்ை ஊசல் ஐங்கோன நிறைவர் சுற்றளவு 6Ꭳlifl600éᎦuᏝ செங்குத் செங்குத் இடப்பெ பல்கோ6 அழுத்த
бШЫЛ முதன்ை பெருக்க
முறைை விகிதச
பாகைம கப்பி நாற்பக் கால்வட்
அளவு
- 85 -
ண்டு
த்தி
مسي حم مست
Ꭳl60ᎠᏑ
ரியின் ஒழுக்கு
க்கம்
ாற்றம்,ஒழுங்குதொகை
bj
து இருகூறாக்கி றுமானம்
8ਨੂੰg
மக்காரணி
b மப்பின்னம் மம்
ானி
b6)
Page 96
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
69
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196 197
198
199
2OO
2O1
2O2
Quotient
Radius
Range
Rate
Ratio
Rational Real Nurnber Reciprocal Rectangle
Rectilinear figure
Reflex angle Relative motion
Rernander Remainder Theorem Rėsolution Resultant Retardation Rhombus Rigid body Root
Scalar Sector Semicircle Series Set square Significant Simplification Solution
Speed Sphere Square root Subtend Subtraction
Surd Surface Šymmetrical Symmetry System Tangent
Terrn
Tetrahedron
Transversal
Trapezium Triangle
镑下
开
6
கிதம் கிதமுறு ou Guu6oT கர்மாற்று சவ்வகம் நர்கோட்டு உருவம் ன்வளை கோணம் தாடர்பியக்கம் 园。 திெத்தேற்றம் மறுசெய்தல்
ளையுள் அமர்முடுகல் Fாய்சதுர úb விறைத்த உடல் மூலம்
எண்ணி ஆாைச்சிறை அரைவட்டம் தொடர்
p6060LDLLib பொருண்மை சுருக்குதல் , தீர்வு
கதி
கோளம் வர்க்க மூலம் எதிரமைக்கும் கழித்தல் (af(G மேற்பரப்பு சமச்சீரான grup8&#্য தொகுதி தொடலி D-gall நான்முகி குறுக்கோடி சரிவகம் முக்கோணி
- 86
Page 97
2O3
204
2O5
2O6
2O7
208
209
210
211
212
213
24
25
216
217
28
219
22O
Equilateral triangle soscellestriangle Scalene triangle Trigonometry Trinomia Trisection
Unit
Unlike force
Value
Variable ... ,
Vector Velocity Vertices
vertex
vertical Line . .
Volume
Wedge
Work
க்க முக்கோணி Fமபக்க முக்கோணி fல் பக் முக்கோணி காணகணிதம்
றுப்பி
Fuo singlsi)
@ . . . A ாத விசை ". . மானம் --
Бф
சிகள்
லக்குத்துக்கோடு "
6)յ6116)լ
D6)
B7
Page 98
Limasi - ol அலகு ~1
f Y Ex1): 1) log 256 = 4 2) log, |F-4 3 Ex2): 1) 10000 = 10 2) x = e
5) 125=5 6) 0.001 = 10* Ex3): 1) 2lga + lgb + gc 2) -lga
4) 45kg a +3gb – 7 ige} 5) 靼
6) ga+ig5-ge
Ex4): 1) 06990 2) 14310 3) 0.17 6) 15560 7)-15560 8). 1.39
多
Ex1) A = 1, m = 1.5 2) ) 93.5 மில்6
iii) 6வருடம்
(ჭშF(Báნ6ir مصممي
1) i) 5V2 i) 16v3 iii) 12V2 iv) S
2) ii) 3(v)2 — 1) iii) (8 + 2
~ v) (2W3— N2)(«)5 – 2) vi)*h
3) i)37+20v3 ii) 29 — 10v2
அலகு 02
2.1
35a + 31ab + 6b 2. 24 19a + 21ab + 9b. 2 4,63 15p+ 34pg - 15 6. 2) a+2abb-c’ 8. x x-2x+2x - 4 10.4)
s) log. 625 = 4
3) 1 = o 4) 16 = 2
3) 3ga - igb - gc a+gb}
60 4) 18570 5) 1.8570 80 9).-0.0920
லியன் ii) 2522 மில்லியன
p+ 31 pa+ 10g a+ 78ab+9b’ * + 3y+5z+5xy +7xz + 8yz
4xy.t 4y - z * - 3x + 12x - 9
Page 99
2.2
2.4
x+2xy + y^ 4x+12xy + 9y h°+4h+4 64x + 80xy + 25y 25r?+4Ors + 16s 912 + 3Ot + 25 የ -2ከm + 9m* 4-12m+ 9m xo-6xy + 9y 10.25a-40ab'+ 16b 11p–8p + 16 12. moxo - 2mnpr + pro
13 +2+
14.4x + i + l X 9x
9
9
9
8
7
9
99.96
Page 100
2.5
1. xo + 3xy + 3xy + y* 2. 8x+12xy + 6xy+y 3. aoxo + 3aoxoby +3axboyo + boy 4. 3m 4་ 3ད་ཀ-m 5. 8x” - 12x“ү + 6ху* - y d 6. aoxo— 3aboxy*– boy
1 1003 2. 16.024 3. 100.04 4. 256.096 6. 0.996 7. 35.9 8. 24.97 9. 36.012 10.144,012
அலகு - 03 3.1 1) 3 2) 17 3) -2 4) 13/3 5) -4 3.2
1) 20cm 2)36 3) 19 4) 10ml
3.3
1) x=5y=2 2)x=4/3:y=1/3 3) x=1 5) x=0.y=1/3;z=0 6) x=5/2y=3;z= 3.4
1) 13kmh;3kmh 2) 44வரு 5) x = 3; y = 5 6) 25 g BT60Tu 3.5 1) i) 0,2 ii) 0,4 iii) 2/3, 2/3 iv) 4. 2) i) + 3 i) + 3/2 iii) 8 or 2 iv) . 3) i)3+2.3 i) =3چ
s, -- লিহে - Y - in - a Ճ -- W73 v) - Pit VP
محمجھی
iii)
v)
6) 11 7) 5/6 8) 4/3 10) -1
5)1, 6)
s3y=1/3 4)x=1/3yF-1
; 12ഖ്യ 3, 11 ; 16 4) 17 , 14 Iம் , 12 , 25 சத நாணயம் 30
3/2 v) —4,2/3 vi) -114-114 -4 or 2 v) -15 or 5
13/+1 سے گہ
} + 2*7 iv) ==
Page 101
4) i) 5+27. $j) 3+23 i)兰
v) -3+3v3 vi) or
7 3 3 - 5 2 .. ... འ,, - 5) )子or言 i) 4 or -1 i) மெய்த்தீர்வுகள் 25+ 577 - 1 + 17 v) 2 or 50 x , vi) 25 wi livil
vi)
4 3.6 1) 13.8 2) 8 3)4cm 4) 150m & 100m or 5) 16cm 6) 52m,39m 7) 34 சுற்றுக்கள் 9) W14cm 10) 6cm, 2.5cm 1 1) 16cm, 2cmr
13) 5.42m, 105.54m 14) 1530h 3.7
1) + 2, + 4 3)+ 5, TS 4)x = F2, y = 42 5) 6)x = 3+ 5, y = 4+35 7)x = t2, y = +1 9) x = 1 + 5, y = -lt 5 10)x = + 2, y =
sk ܢܚܫ 11) x = 2, y = +5 12) x = 1.34, y =
x) மெய்த்தீவுகள் இல்லை
13) மெய்த்தீர்வுகள் இல்லை , y = +2 14)x = tw3, y = +23 or x = 0, y = +3 15) y = 0, y = +25 or x = y = +2 16)x = 2 or 3, y = 3 or 2 17) x = -2 18) x = 1 or -4/3, y = 2 or 32/9 19)x = 20) x un-1 or 2 , y = -1 or % 21) x = 1f.
22)x = 17/11, y = -49/11 23)x = 2/
24)x = 5, y = 3
3.8
1) 53 2) 150km, 40kmh
அலகு ~ 04
நேர்கோட்டு வரைபு
1. y = 2x s y = 3x y =
4 2 9 .
1) m = , 2) m = , 3) m = ρο 4) m
X = 0
i
y
O
. 94" ، "
... 14 J11 * 3. iv) ----
5 " " : ؟
میرے خیا؟ ت:
ல்லை tv) மெய்த்தீவுகள் இல்லை
نمبر
: : :ו
wi) மெய்த்தீர்வுகள் இல்லை
300m & 50m
8) 5.29cm, 2.84cm
12) 12cm,5cm
x = 4t2-3, y =lt 3
8)x = +1, y = t3
O
- 1.79, -2.7
or 10, y = -2 or 4 7, y = 4 3 or 1, y = 5/3 or 1 3 or 1/7 . y = % or -117
مستد
Page 102
6. 1) m=3 , c=5 2) m=2, c=3
5) m=2, c=-1/3 6) m=-1, c=4
7. y = 2x + 7
8. y = 4x +5
9. y = -2x+ 6
10.
11. y = x-6
5.
12. 1) AB, m=4 BC , m=5/-4
ー5 37 2) y 4. X -- 4. 3) 4) y = 4x+4 13. x = 2, x = 3 X = -6 14. y = 2, y = %, y = -3, 15. 1) (15) 2) (3,5) 3) (-25) 16. x அச்சுக்கு சமாந்தரமாகy=1 y அச்சுக்கு சமாந்தரமாக x=4
17. y = 5x 18. ) y= x + 1
前) y= x
T 6' 3 iii) y-x-
s 3 20. 1) x = 1 , y = 5 2) x = 0, y = 2 3) x = 0, y = 2
21. y = x
22. m = -2/5, c = 715 23. 2y = -3x + 7 24. y = x + 8
3) m=2, c=-4 4)m = -7
CA, m=11-5
• '*'; ፥ ፩ ༣ ་་་་་་་་་་་་་་་་
'
Page 103
ସ୍କୁ Lifffaa5ub --> oz
கேத்திர கணிதம் Luîibéf) – 01
x = 110
a = 59 x = 45 n = 120°, m = 20° y = 90° b = d = = 75, a = c = g = e = 105 p = 100° q = 75 : . . . * . a = b = c = 65
LJEL İlpi3df - 02
.
a = 108°
x = 64, b = 116 4. a = 30 x = 20 m = 160. a = 45 m = 1089 x = 32 y = 22'
2. 90° 459, 45° 3. 320 4. 869, 47 47
அலகு - 02
பயிற்சி 02.1
1) இல்லை i) ஆம் ( ப .ப. அ. கோ) i) ஆம் ப .ப. அ. கோ) V) Eyb ( , u. 9. (Bat5"T) V) ஒருங்கிசையாது Vi) ஆம் (கோ. கோ. ஒ. ப) Vi) ஆம் ( ப .ப, ப ப.ப.அ.கோ) ix) ஆம் ( ப ப. ப) X) əsgiyib ( GA85 . : .U) xi) ஒருங்கிசையாது Χίν) εμίρ ( )
அலகு - 03
i) a = 119 ii) e = 72o
iii) b = 70o , c = 75o*
. . " ,
s
". . . .
:
ܡ -- --
-
-
r حہ - : ۔ ۔ =
- - -
è -
苓
جو
Page 104
iv) x = 80o v) x = 60°, y = 10° vi) x = 54, c = y = 62
2) Đò QSR = 130° sạà QPR = 3) B = 108°
шпаљli - o 3 திரிகோணகணிதம் 1.1 1) O.7660 2) 0.2588 3) 07002 7) 0.5398. 8) 0.8064 9) 16171 12 1) 60 250 3272 7) 43'26 8) 55'50 9) ସେପ୍ଟ49 13
15 a 54 22
1) 2 3 4
) 2) 3) ) 1.4
1) 41°48' 8) 69°26 9) 65°21' 15 1) 25 cm 2) 2.165 cm 3) 125cm
16 f 1) 8 V3cm, 16cm
17 1)5v2cm 2).5Vilcm 3) 64°45'
18
57.73m
19
2.9369m
1.10
37.616m
111. s) 600m e) 3003 m 1.12
50y3m
1.13 .. 9) 22.812 km g) 62.7835 km 1.14
13.99m or 14m
1.15
250.2m
1.16
4213
5)2
4) 0.2656 5) 0.8870 10) 0.7614
46లో 5) 4257
3.
#*
❖፰8ሾ
c .6) 08822
- 6) 812
4) 14.14 cm:11.55 cm .
Page 105
.
7.
8.
பின்னிை
க. பொ, த. உத இணை
இணைந்த க அட்சரகணிதம் i.l. மெய் எண்கள் 1.2. சார்புகள், இருபடிச்சார்ப, விகிதமுறு சார்
3. வரிசை மாற்றங்கள். சேர்மானங்கள்
14. கணிதத் தொகுத்தறிமுறை ஈருறுப்புத் 1.5. தொடலிகளின் கூட்டுத் தொகை
16. சமனிலிகள், மட்டு சம்பந்தமான சமனிலி 1. Α. சுட்டிகள், அடுக்குக் குறிச்சரீர்பு, மடக்ை 1.8. சிக்கலெண்
நணர் கணிதம்
2.Í. எல்லைகள்
2.2. பெறுதி, பெறுதியின் பிரயோகம் 2.3. தொகையீடுகள், வளையியின் கீழ் உe ஆள்கடற்றக் கேத்திரகணிதம்
3.l. செவ்வக தேக்காட்டின் ஆள்கூறு , 3.2. நேர்கோடுகள் 3.3. வட்டங்கள்
திரிகோன கணிதம் 4.1. கோணத்தின் அளவீடு
4.2. மிகை நிரப்பு கோணங்களும், நிரப்ப ே 4.3. வட்டச் சார்புகள்
4.4. சர்வ சமன்பாடுகள்
4.5. நேர்மாறு வட்டசார்புகள்
4.6. எளிய திரிகோண கணிதச் சமன்பாடுக
இயக்கவியல்
5.1. ஒருமை ஆர்முடுகலுடனான நேர்கோட் 5.2. தளமொன்றில் துணிக்கையின் இயக்க 5.3. தொடர்பியக்கம்
5.4. இயக்க விதிகள்
5.5. நீட்டல் உந்தமும் கணத்தாக்கமும் 5.6. வேலை, வலு, சக்தி
5.7. வட்ட இயக்கம்
5.8. எளிமை இசை இயக்கம்
6.i. காவிகளின் அட்சரகணிதம்
6.2. துணிக்கையொன்றின் சமநிலை
6.3. ஒரு தள விசைகள். உாய்வ, மூட்டிய நிகழ்தகவு
விவரணங் புள்ளி விபரவியல்,
ராஜ் கொம்பியூட்டர் பிறின்டிங் &
கந்தள்மடம்,
)ணப்பு ந்தகணித பாடத்திட்டம் னிதம் - 1 -
- - | - د - سده - 5910 ہے۔ $ *
கள் ܒ ܕ க சார்பகள 27
ř16TT Unůu
- .¬ ¬ ܀ 10 ܨ
ܠ
-
* r - -
கோணங்களும், சைன் விதியும், கோசைன் விகியும்
ளின் பொதுத் திர்வுகள் த கணிதம் 11
இயக்கம்
). எறியம்
கோல் இலேசான சட்டப்படல் புவியீர்ப்பு மையம்
புக்பயின்டிங், 43. பலாலி றோட், பாழ்ப்பாணம்
Page 106
Page 107