Page 1
பிரயோக கணிதம் க. பொ.த (உ.
uւգ (Լք 5ծրյւն սահ gנה 34 1 S .
 
 

ற்சி நூ
கள்

Page 2


Page 3
நி3லயியல்
படிமுறைப்
பிரயோக கணிதம் (
1990 ஆம் ஆண்டிற்கும் பரீட்சைகளிற்கு மான பாடத்
சி. து)ை
யா | பரி. யோவி முன்னுள் கணிதத் து?
பேராதனைப் முன்னுள் துணை ஆசிரியர் (
யாழ்ப்பாணக்

பகுதி 1
க. பொ. த; உ. த.)
அதற்குப் பிற்பட்ட திட்டத்திற்கமைவானது.
JULI ČILIT
ான் கல்லுரரி; ண விரிவுரையாளர், பல்கலைக்கழகம், இலண்டன் உ, த, பிரிவு ) * கலூைரி,
த்தும் கண்ணெணத் தகும் "
விலை ரூபா )
爱 2彗。●●

Page 4
பொருளடக்கம்
நிலையியல் (அ) முகவுரை 1. ஒரு புள்ளியிற் தாக்கும்
ஒரே தள விசைகள்
3. ஒரேதள விசைகளின் கீழ்
உடலொன்றின் சமநிலை
4. மூட்டிய கோல்கள்
5. மீட்டல் உதாரணங்கள்
( ஆ) பெறுமானங்கள், கோ
நிலையிய
( அ) முகவுரை
1. ஒரேதள விசைகள் - பகுப்
2. உராய்வு
3. வரைபு அமைப்புக்கள்
4. திணிவு மையம்
மீட்டல் உதாரணங்கள்
(ஆ) பெறுமானங்கள், கோ.

ல் பகுதி 1
ஒரேதள் விசைகள்
6
2 விறைப்பான
16
25
30
வைகள், முடிவுகள்
ல் பகுதி 2
பபு முறை
வைகள், மு) மரபுகள்

Page 5
மு.
இலங்கைப் பரீட்சைத் தி ( உ. த. ) பரீட்சைப் பாடவி திற்கும் தனியான பாட நூல் -ஒவ்வொரு நூலை நாடவேண் பரீட்சைக்கு எந்த அளவில் யென்பதுவும் மாணவர்களுக்கு பாடங்களைப் பொறுத்தளவி மோதியதுமான வினாக்களையும் -ஓரளவு திருப்திப்படலாம்.
களுக்கான வினாக்களிற்கு வி வேண்டிய அறிவையும் பயிற்சி யிலேயே '' நிலையியல் பகுதி பயிற்சி நூலை ஆக்கியுள்ளேன் ஆளும் '' என்ற ./யிற்சி நூலி, தமிழ் மொழிமூல மாணவர்க னுடையதாயிருக்குமென்பது அ
மிகுந்த ஆர்வத்துடன் . நூல் அச்சிட்டுத் தந்த ''மே ஊழியர்கட்கும் எனது நன்றி
யாழ்ப்பாணம், பங்குனி 1989,

கவுரை
ஓணைக்களம் நடாத்தும் க. பொ. த. தானத்திற்கேற்ப ஒவ்வொரு பாடத் கள் இல்லை. ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் டியுள்ளது. அப்போதுங்கூட தமது குறிப்பிட்டவொரு பகுதி தேவை தத் தெரியாது. ஆயினும் கணிதப் ல் பொருத்தமான, வேண்டியதும் டைய பயிற்சி நூல்கள் இருந்தாலே தமது ஆசிரியரிடம் பயின்ற பகுதி டை ய ளி க க முற்படுவதன் மூலம் -யையும் பெறமுடியும். அந்த வகை -1' என் ற இப் ப டி மு ைற ப் =. << காவியும் அதன் பிரயோகங் ற்கு அடுத்த துணை நால் இதுவாகும். க்கும் ஆசிரியர்கட்கும் இந்நூல் பய எனது உறுதியான நம்பிக்கையாகும்.
அ
செயற்பட்டு சிறந்த முறையில் இந் க்கூரி'' அச்சகத்தாரிற்கும் அவர்தம் } உரித்தாகுக .
சி. து.

Page 6


Page 7
1. ஒரு புள்ள
ஒரேதள
இரு விசைகளின் விளையுள்
1, பண்பு ரீதியாகவும், அளவு வரையறுக்குக.
16 விசையொன்றின் விளைவா யிற் தங்கியுள் ளது ' என்பதற்கு
2 விசை இணைகரத் தத்துவத் ஒரு புள்ளி 0 விலே, தம் முள்த் 6 ( வழியே P, Q அலகு பருமன்களும் இவற்றின் விளையுளின்பருமன் R அலி cos 8 எனக் காட்டுக. விளையுளின் கோட்டுடன் அமைக்கும் கோண tan 0 = Q sin8/( P + Qcos 8 காட்டுக.
3. அ) ஒரு புள்ளி பில் 3N, 5N படுகின் றன. இவற்றின் விளையுளின் கோடு 5N விசையின் தாக்கக் ( தையும் காண்க.
ஆ) 14N, 16N விசைகள் 6 ஒரு புள்ளி யிற் செயற்படின் அவற்றம் யையும் காண்க.
இ) ஒரு புள்ளியில் 9N, 12N குகின்றன. அவற்றின் விளையுளின்
4. அ) ஒரு புள்ளியிற் செயற்பாடு ளின் ப ரு ம ன் 2V 37 N ஆகும். தைக் காண்க.
ஆ) ஒன்றிற்கொன்று 600 யி ஒன்று 4N பருமனுடையது. இவற் tan - 1 (V/3 / 5 ) கோணம் அமை! னைக் காண்க.

ரியிற் தாக்கும்
விசைகள்
ரீதியாகவும் 45 விசை ' என்பதனை
எனது அதன் தாக்கக்கோட்டின் நிலை இரண்டு அவதானங்களைத் தருக. தைக் கூறு க. கோணம் அமைக்கும் இருகோடுகள் டய விசைகள் செயற்படு கின் றன. லகுகளாயின் R2 = P2 + Q2 + 2PQ - தாக்கக்கோடு P இன் த ா க்க க்
ம் ல ஆன து ) இனால்த் தரப்படுகின்ற தெனவும்
விசைகள் 600 கோணத்திற் செயற் பருமனை யும், விளையுளின் தாக்கக் கோட்டுடன் அமைக்கும் கோணத்
600 அமைக்கும் கோடுகள் வழியே றின் விளையுளின் பருமனையும் திசை
[ விசைகள் செங்கோணத்திற் தாக் பருமனையும் திசையையும் காண்க. நம் 8N, 8N விசைகளின் விளைவு - அவ்விசைகளிடைப்பட்டகோணத்
பிற் செயற்படும் இரு விசைகளில் றின் விளையுள் இவ் விசையுடன் பின் மற்றைய விசையின் பரும்

Page 8
2
5. 9) 6N. PN பருமன்களுடை செயற்படுகின்றன இவற்றின் விளை ajsi GT gj. 6 N. PN விசைசளிடைக் விளையுளின் பருமனையும் ஆாண்க
ஆ) ஒரு புள்ளியிலே 10 Ν, கோடுகள் வழியே செயற்படுகின்ற 1 ( 4 5 ) எனின் விளையுளின்
6. g.) 5 i பருமன்கள் P உடை புளின் பரு டன் P/ 2 ஆகும் குமிடைப்பட்ட கோணம் யாது ?
_g) FLð பருமன்கள் P ഉ_് பருமன் P, 12 ஆயிருத்தற்கு = காண்க,
விசையிணைகரத் தத்துவத்ை
P பருமனுடைய விசையெ ஆ9, 150 அமைக்கும் திசைகளிலு: படும்போது பின்னைய விசையின் PV613 T@引 இாட்டுக.
8. e. 0 கோணத்திற் செயற்படும் களின் விளையுளின் பருமன் ( 2 m + கள் (90 - 9 ) கோணத்திற் செய ( 2m - 1) V(Po+Qo) ஆகும். t
ஒ சம பருமன்களு1ை-4 இருவி போது விளையுளின் பரு ம ঠে 2 தோனத்திற் செயற்படும்போது g = 2 cos B எனக் காட்டுக
| 10, துணிக்கையொன்றின் மீது
கோணத்திற் செயற்படுகின்றன முள் மாற்றப்படும்போது விளேயுளி
திரும்பினல் 120 片 eS 語

ய இரு விசைகள் ஒரு புள்ளியிற் புள் 6N விசைக்குச் செங்குத்தாக @5万āth 120° 乌@中 P ஐயும்
4N விசைகள் வேறன தாக்கக் எ. இவற்றிடைப்பட்ட தோனம் பருமனையும் திசையையும் காண்க.
Lய இரு ஒரே தள் விசைகளின் விளை புளிற்கும் அவ்விசைகளிலொன்றுக்
டய இரு ஒஒதகளின் விளேயுளின் அவற்றிடைப்பட்ட கோணங்களைக்
தக் கூறுகி
ான்று அதன் தாக்கக்கோட்டுடன் ஸ்ள இரு விசைகளாகத் துணிக்கப் துணித்த பகுதியின் ) பருமன்
p, Q பருமன்களுடைய இரு
) / 2 + Q2) ஆகும் இவ் விசை பற்படும்போது விளையுளின் பருமன் an go ஐக் காண்க
டிகள் 200 கோணத்திற் செயற்படும் R ஆகும். இதே சம விசைகள் 28 விளைபுளின் பருமன் R ஆகும், ஏ னரின்
P, Q பருமன்களுடைய விசைகள் P, Q இன் தாக்கக்கோடுகள் தம் |ன் தாக்கக்கோடு 8 கோணத்தினூடு
器 tan 子 எனக் காட்டுக.

Page 9
இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வின
11, ( அ) A B C D ஒரு சதுரமா எழுத்தொழுங்கின் போக்குகளில், செயற்படுகின்றன. இவற்றின் வி காண்க.
(ஆ) A B C D ஒரு செவ் AB, AC, AD, திசை போக்கில், முறையே 8, 10, 6 N விசைகள் யுளின் பருமனையும், A B யுடன் -
12. (அ) ஓர் அழுத்தமான கி வைக்கப்பட்டுள் ளது. இ தி ல் வ. 60. மே., ஆகிய திசை பே 8/3 N விசைகள் செயற்படுகின் பருமனையும், திசையையும் காண்க
(ஆABCDEF என்பது 1, 2, 3, 4, V3, 2 N விசைகள் வழி யே, எழுத் துக்களின் வரிசை கு படுகின்றன. இவற்றின் விளையுளை.
ச ம நி லை (நாப்பம் )
13. ஒரு புள்ளி 0 விலே Py 3, I முறையே, ஓர் இருசமபக்க முக்கே B C, C A, திசை போக்குகளிற் ெ CA = /3 ற ஆகும் மேற்படி 6 குமெனக் காட்டுக.
14. ஒரு புள்ளியிற் செயற்படும் |
(அ) அவை ஒன்றுடனொன், அவற்றின் பருமன்கள் சமமெனக்
(ஆ) அவற்றிடைப்பட்ட 6 அவற்றின் பருமன்களிடைப்பட்ட

3 -
சகளின் விளையுள்
"கும். AB, AC, AD வழி யே, இதே முறையே 2, 4y 2, 4 N விசைகள் ளை யுளின் பருமனையும் திசையையும்
வகமாகும், AB = 4 m, BC = 3 m, செவ்வகத்தின் இப் பக்கங்கள் வழியே செயற்படுகின்றன. இவற்றின் விளை அமைக்கும் கோணத்தையும் காண்க '
டைமேசையில் துணிக்கையொன்று கிழக்கு, வ. 300 கி , வ ட க் கு , எக்குகளில் முறையே 10, 4, 12/3 றன. இவ் விசைகளின் விளையுளின்
ஓர் ஒழுங்கான அறுகோணியாகும். 7 முறையே AB, AC, AD, AE, AF 5றிப்பிடும் போக்கில், A இற் செயற்
க் காண்க.
Py 3, 3 P நி யூ ற் ற ன் விசைகள் கா E ABC இன் பக்கங்கள் A B, "சயற்படுகின்றன. AB = BC =1m, மூன்று வி சைகளும் சம நிலையிலிருக்
மூன்று விசைகள் சம நிலையிலுள்ளன.
று 1200 கோணங்களை அ ைப்பின் காட்டுக.
கோணங்கள் 600, 1500, 1500 ஆயின்
விகிதம் யாது?

Page 10
- 4
> --> 15. சதுரம் PQRS இல் PQ, PR, 18 N விசைகள் செயற்படுகின்றன , யைப் புகுத்தினால் தொகுதி சமநிலை
16. ABCD ஒரு சதுரமாகு ம்
AB, AD, EA, CA, வழியே முன செயற்படுகின்றன. இவை சமநிலையி களைக் காண்க, 17. விசை முக்கோணித் தேற்றத்
அ) இரு விசைகள் சம நிலையி யதுமான நிபந்தனை யா து ?
ஆ) விசையிணைகரத் தத்து வ அ), ஆ) இலுள்ள உண்மைகளை முக்கோணித் தேற்றத்தை நிறுவுக
18. முக்கோணி ABC இன் மைய
போக்கு தாக்கக்கோடு என்பவற்றி குறிக்கப்படும் மூன்று விசைகளும் - கரத் தத்துவத்தை உபயோகித்து 19. கிடையுடன் 300 இற் சாய்ந் றில் 0. 5kg திணிவுடை ய மரக்கு இதனைச் சமநிலையிற் பேணுவதற்கு
அ) தளத்திற்குச் சமாந்தரம்
ஆ) கிடைத் திசையில் காண்க, இவற்றில் எவ்விசை பரும்
21. இலாமியின் தேற்றத்தைக் கூ
2kg திணிவுடைய படிக்கல் விலிருந்து 2. 5 m நீளமுடைய 8 விடப்பட்டுள்ளது. படிக்கல்ல 7னது புறம் இழுக்கப்பட்டு 0 இனூடான சம நிலையிற் பேணப்படுகின் றது . F . வையையும் கா ண் க. புவியீர்ப்பு அ

--> PS, வழியே முறையே 4, 6v 2, - P இனூடு எம் மேலதிக விசை > அடையும் ?
CD இன் நடுப் புள் ளி E ஆகும்.
-றயே 4, 5, P, Q நியூ. விசைகள் பிலிருப்பின் P, Q இன் பெறுமானங்
தைக் கூறுக.
லிருத்தற்கு வேண்டியதும் போதி
த்தைக் கூறுக . 7 ஆதாரமாகக் கொண்டு விசை
ப்போலி G ஆகும். பருமன் திசை - > > --
ல் GA, GB, GC இனால் முற்றாகக் ச ம நி லை யிலிருக்குமென , விசையிணை நிறுவுக.
துள்ள அழுத்தமான பரப்பொன் ற்றி யொன்று வைக்கப்பட்டுள்ளது
மான திசையில்,
பிரயோகிக்கவேண்டிய விசையைக் மனிற் சிறியது ?
றுக,
லொன்று ஒரு நிலைத்த புள்ளி 0 ஒரு நீளா இழையினால்த் தொங்க ஒரு கிடைவிசை F N இனால் ஒரு - நிலைக்குத்திலிருந்து 2m தூரத்தில் ஐயும் இழையிற் காணப்படும் இழு ர்ய நகல் gm$-2 எனக் கொள்க.

Page 11
21, 10 m நீளமான இலேசான
6m இடைத்தூரத்தில், ஒரே மட் கப்பட்டுள்ளன. 0.2 kg திணிவுை இவ்விழையிற் கோர்க்கப்பட்டவ லுள்ளது. இந்நிலையில் இழையிற் 4
22, A, B என்பன 5 m இடை லுள்ள இரு புள்ளிகளாகும். 40, இழைகளின் முனைகளிலொவ்வொ6 ளது. இவற்றின் மறு முனைகள் 2 றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. துல் யிலுள்ளபோது இழைகளிற் காண
23. கிடையுடன் 300 இற் சாய் மீது 7kg திணிவுடைய பொருள் யினுல் அது சமநிலையிற் பேணப்ப( இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க மீதான மறுதாக்கத்தையும் காண்
24. ஒர் இலேசான இழையின் மு துணிக்கை A இற்கு இணைக்கப்பட் பன இழையின் நீளத்தை AB = B களாகும், B, C இல் இணைக்கப்பட ளினல் BC கிடையாகவும், A அதற்கு கவிடப்பட்டுள்ளது. அப்போது A ! மற்றய இழைகள் B C உடன் சமே உள்ளன. B C இலுள்ள இழுவை
25. மூன்று இலேசான இழைகளி P இல் முடிச்சிடப்பட்டுள்ளன. இை மான கப்பிகளின் மேலாகச் சென், தாங்குகின்றன மற்றயதில் W kg P ஒரிடத்தில் சம நிலையடைகின்றது இழைகள் மேன்முக நிலைக்குத்துட6 கின்றன. தற்போது W kgWt உட கின்றது பு ன் விரி P முன்னைய இ மற்றய இழைகளின் முனைகளில் டே
வேண்டும் ?

5 -
இழையொன்றின் முனைகள் டத்திலுள்ள இரு புள்ளிகட்கு இணைக் டய அழுத்தமான வளையமொன்று ாறு தொங்கிக்கொண்டு சமநிலையி நாணப்படும் இழுவிசையைக் காண்க
த்தூரத்தில் ஒரே கிடைமட்டத்தி mே நீளங்களுடைய இரு இலேசான ண்று A, B இற்கு இணைக்கப்பட்டுள் kg திணிவுடைய துணிக்கையூெரன் ஈரிக்துை தொங்கிக்கொண்டு சமநிலை ாப்படும் இழுவைகளைக் காண்க
ந்துள்ள ஒர் ஒப்பமான தளத்தின் வைக்கப்பட்டு ஒரு பிரயோக விதை டுகின்றது. இவ் விசையின் பருமனின்
அப்போது தளத்தினுல் பொருள் தி
மனைகள் இரண்டும் நிறை W உடைய டுள்ளன. இத் தடத்தில் B, C என் C = CA ஆகுமாறு பிரிக்கும் புள்ளி ட வேறு இரு இலேசான இழைக க் கீழேயுமிருக்க, துணிக்கை தொங் | C 6քՓ gլույս முக்கோணியாயும் ாணம் 1350 ஐ அமைத்தவாறு: 3 - V3 ) W / 6 எனக் காட்டுக
* ஒவ்வொரு மு ன க ள் trait of 0களில் இரண்டு திலையான அழுத்த மறு மு னே ஆ வரி ல் நிறைகளைத் t தொங்கவிடப்பட்டபோது புள்ளி இந்நிலையில் கப்பிமீது செல்லும் 0ே9, 450 கோணங்கஜ <9@LDā V 10 kg wyt G3Logyyih இணைககப்படு த்திலேயே சமநிலையிலிருப்பதற்கு 2ம் எவ்வளவு நிறைகளை இனக்க
ವಿ”

Page 12
2. ஒரேதள
சமாந்தர விசைகளின் விளை
1. A, B என்பன 7m இடைத் 4 N, 10 N நிகர்த்த சமாந்தர செயற்படுகின்றன. இவற்றின் விளை கோடு A B ஐ வெட்டும் புள்ளியை
2. ஒன்றிற்கெர்ன்று 2m Tரத் இவற்றினூடு முறையே 10N, 5N ! விசைகள் செயற்படுகின்றன. இவ
3. புள்ளிகள் A, B இலே முை களுடைய சமாந்தர விசைகள் மு தாக்கக்கோடுகள் வேருனவை; P) கள் X இனுல் அதிகரிக்கப்படும்ே x A B / ( P - Q ) தூரத்தினுல் இட
சமாந்தரமற்ற விசைகளின் வி
4. ABC D ஒரு சதுரமாகு வழியே முறையே 4, 1, 5, 3, 8 இவற்றின் விளையுளின் பருமன், தி புள்ளி ஆகியவற்றைக் காண்க.
5. A BCD ஒரு சதுரமாகும் வழியே முறையே 12, 10, 4, 6 றன இவற்றின் விளையுளையும் அ B இலிருந்து எ வ் வ ள வு துர Ց577 6ԾԾI Ց5 -

தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளாகும். விசைகள் முறையே A, B இனூடு புளின் பருமனயும் அதன் தாக்கக் யும் காண்க
நில் L, M ஆகிய புள்ளிகளுள்ளன. ருமன்களுடைய நிகராத சமாந்தர bறின் விளையுளைத் தீர்மானிக்குக.
நயே செயற்படும் P, Q பருமன் ரண் போக்குடையன. இவற்றின் Q g(5th . இவ்விசைகளின் பருமன் பர்து விளை யு ளின் தாக்கக்கோடு டம்பெயருமெனக் காட்டுக.
2nt usiT
>-- >-- <ے ح<ے A B, C B, DC, A D. A C /2 N விசைகள் செயற்படுகின்றன. சை, தாக்கக்கோடு A D ஐ வெட்டும்
<--- جسے ح<<چ=<چے A B = 1,6 m AB BC DC, DA BD 6/2 N விசைகள் செயற்படுகின் ன் தாக்கக்கோடு நீட்டப்பட்ட AB ஐ த்தில் இடைவெட்டும் என்பதையும்

Page 13
6, ABCD ஒரு செவ்வகமாகும் AB, CB, DC, DA, DB, வழி !ே கள் செயற்படு கின்றன இவற்றி தாக்கக்கோடு AB ஐ வெட்டும் !
7. ஒரு முக்கோணி A B C ஆன பக்கங்களையுடையதுமாகும். AB, களின் வரிசைப் போக்கில், முறை கின்றன. இவற்றின் விளையுளைக் . BC ஐ C இலிருந்து எவ்வளவு தூர
8, ABCD என்பது ஒரு தள . AB = 4m, BC = 3m ஆகும். முறையே AB, CB, CD, DA, A போக்கில், செயற்படுகின்றன, இ. திசை, தாக்கக்கோட்டின் நிலை ஆ
9. ABCD ஒரு செவ்வகமாகும் AB, BC, CD, DA வழியே முறை படுகின்றன. இவற்றின் விளையுளை. சந்திக்கும் புள்ளியையும் காண்க. 10 ABCDEF ஓர் ஒழுங்கான அ AE, BA, CD, DE, EF வழியே 1 விசைகள் செயற்படுகின்றன. இவற் அது AD உடன் அமைக்கும் கோல் கோடு AD ஐ வெட்டும் புள் ளி MS 11. ஒரு சம்புய முக்கோணி ABC ஆகும், AB, BC, CA என்பவற்றில் ஆகும். 4y 3, 3y 3, 23, 3, 2, 6 | AE, BF, CD வழியே செயற்படுகி அது AB உடன் அமைக்கும் கோ தாக்கக்கோடு AB, BC என்பவற்ை களில் இடைவெட்டுகின்றது. 12. ABCD என்ற சாய்சதுர த்தின் முடையது 

Page 14
-- 8 13. முக்கோணி ABC இல் AB = 2 நடுப்புள்ளி D ஆகும். BA, BC, L 20 P நியூ விசைகள் செயற்படுகின் கக்கோடு AB இற்குச் சமாந்தரமாயி யுளையும், அது BC யை வெட்டும் ! 14. சதுரம் ABCD இன் ஒரு பக் AE - 3m ஆகுமாறு AB மீதுள்ள ட விசைகள் முறையே DE, DB, CD, குப் போக்கில், செயற்படுகின் றன. கோடு புள்ளி A ஐக் கொண்டதா பருமன் 2V/13 N எனவும் காட்டு. 15. ABCD ஒரு செவ்வகமாகும். 1, 2, 9, PN விசைகள் முறையே குகின் றன. இவற்றின் விளையுளின் தரமாயின் P ஐக் காண்க. விளையுவ சந்திப்பின் (E இன் நீளம் யாது? 16. ABC ஒரு சம்புய முக்கோணி ஆகும். AC, BC, BA, DC வழியே கில், முறையே, 12, 4. 4, P நியூ இவற்றின் விளையுள் DC இற்குச் சா யுளின் பருமன் 18V 3 N எனின் P AB = 2m ஆயின் விளையுளின் தா தூரத்தில் AB ஐ இடைவெட்டும் ? 17. ABCD ஓர் இணைகரமாகும். ஆகும். AB, BD, AD, DC வழி N விசைகள் தாக்குகின்றன. இவ BC வழியே 4/3/3 நியூ விசைன போது இவ் ஐந்து விசைகளினதும் கக்கோட்டை உடையதெனக் காட 18. OABC என்பது 2a மீற் பக் மூலைவிட்டங்கள் M இற் சந்திக்கி நியூ விசைகள் மு றை யே OA, செயற்படுகின்றன. இவற்றின் வின்  ெச ல் கி ன் ற த ா யி ன் P ஐ யு 0A உடன் விளையுள் அமைக்கும் பருமனுடைய மேலதிக விசையெ படும் போது புதிய விளை யுள் OB

| AC = 5m, BC =: 6m, BC இன் DA, AC வழியே முறையே 5, 3, றன. இவற்றின் விளையுளின் தாக் ன் P யைக் காண்க, பின் விளை புள்ளியையும் காண்க, |க நீளம் 4m ஆகும் E என்பது. புள்ளியாகும் 10, 2/2, 2, X நியூ BC வழியே, எழுத்துக்களின் ஒழுங்
இவற்றின் விளையுளின் தாக்கக் யின் X ஐக் காண்க விளையுளின் க.
AB = 8m, BC = 4m ஆகும் AB, BC, CD, DA வழியே தாக் தாக்கக்கோடு CA இற்குச் சமாந் ரின் தாக்கக் கோடு CD ஐ E இற்
யாகும். AB இன் நடுப்புள்ளி D ப, இதே எழுத்தொழுங்குப் போக் விசைகள் தாக்குகின்றன ( P>0) மாந்தரமானதெனக் காட்டுக . விளை " இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. க்கக்கோடு A இலிருந்து எவ்வளவு
- < BAD = 600 

Page 15
சமவலுத் தொகுதிகள்
19. ABCD என்பது 60 பக்க முடைய விசைகள் முறையே AB, BC, CD, விசைத்தொகு தியான து B, C என்ப. சமாந்தர விசைகளிற்குச் சமவலுவா
20. ABCD என்பது 3m பக்கமுடை விசைகள் முறை பே AB, BC, CD, இவ் விசைத் தொகுதியான து இச் ச விசைக்கும் அதனுடன் கூடிய ஒர் அவற்றைக் காண்க.
21, ABC ஒரு சமபுய முக்கோணிய BC, CA இன் நடுப்புள்ளிகளாகும். 4 AB, BC, CA வழியே செயற்படுகின் தாக AD வ ழியேயு ம், E இனூடாகவு காண்க.
22. ABCD ஒரு செவ்வகமாகும். 4, 3, 12, 13 விசைகள் முறையே செயற்படுகின்றன. இவற்றின் விளைய சந்திக்கின்றது, BE இன் நீளம் யாது இவ் விசைத்தொகுதியை ED, AE 6 களினாற் பிரதியிடுக.
23. சதுரம் ABCD இன் ஒருபக்க AD, DC வழியே முறையே 8, 6, ! றன. இவற்றின் விளையுளின் பருமலை புள் AB ஐ 4 இற் சந்திப்பின் AM தியை MC, MB, வழியே செயற்படு

ப ஒரு சதுரமாகும். 3, 4, 2,1 N DA வழியே தாக்குகின்றன. இவ் வற்றிற்கூடாகச் செல்லும் இரு என தாயின் அவற்றைக் காண்க.
ய ஒரு சதுர மாகும். 3, 4, 2, 1 N DA வழியே செயற்படுகின்றன. துரத்தின் உச்சி A ஊடான ஒரு இணைக்கும் சமவலுவானதாயின்
Tகும் . D, E என்பன முறையே , 6, 4 N வி  ைச க ள் முறையே எறன. இவற்றிற்குச் சமவலுவான வும் செயற்படும் இரு விசைகளைக்
AB = 5m, BC = 120 ஆகும். 1 AD, CD, BC, DB வழியே புள் நீட்டப்பட்ட ABயை E இற் = ? விளையுளின் பருமன் யாது ? வழியே செயற்படும் இரு விசை
நீளம் 12m ஆகும். AB, BC, 6, 4 N விசைகள் செயற்படுகின் எயும் திசையையும் காண்க. விளை
ஐக் காண்க. இவ்விசைத் தொகு நம் இருவிசைகளாக ஒடுக்குக.


Page 16
24. நேர்வரை p வழியே பருப் படு கின் றது. இவ் விசையானது ] கோட்டின் வழியே செயற்படும் கும் அதனுடன் கூடிய ஓர் இலை
ABCD) என்பது 60 பக். DC, AD, வழியே முறையே 5, 9 இத் தொகுதியானது A இனூட ஓர் இணைக்கும் சமவலுவானதா யாது ?
இணையாக ஒடுங்குதல், சா
25. ABCD என்பது 8m பக்க 15, N விசைகள் முறையே BA கின்றன B இல் எவ் வி  ைச எ தொகுதி ஓர் இணையாக ஒடுங்
யா து ?
26, ABCDEF ஓர் ஒழுங்கான நீளம் 1m ஆகும். 2, 4, 6, 8 BC, CD, DE, EF, FA வழிே மையத்தில் பிறிதொரு விசையை விசைகளும் ஓர் இணையாக ஒடு தப்படும் விசையையும் இணையில்
27. ABCD ஒரு செவ்வகமாகும் நடுப்புள்ளி E ஆகும், 3, 6, 1! CD, DA வழியே செயற்படுகி விசைகளை முறையே DC, CE, ஏழு விசைகளும் சமநிலையடைகி

- 10 -
மன் F உடைய விசை யொன்று செயற் 0 இற்குச் சமாந்தரமான பிறிதொரு
இதே பருமன், போக்குடைய விசைக் னக் கும் சமவலுவானது எனக் காட்டுக.
கமுடைய ஒரு சதுரமாகும். AB, BC, "', 2, 1 N விசைகள் செயற்படுகின்றன. என ஒரு விசைக்கும் அதனுடன் கூடிய ரயின் அவ் இணையின் திருப்புத்திறன்
மநிலையடைதல்
முடைய ஒரு சதுரமாகும். 3, 9, 21, -, CB, CD, DA வழியே செயற்படு  ைய மேலதிகமாகப் பிரயோகித்தால் பகும் ? இவ் இணையின் திருப்புத்திறன்
அறுகோணியாகும். இதன் ஒரு பக்க , 10, 12 N விசைகள் முறையே AB, ய செயற்படுகின் றன. அறுகோணியின் பச் செயற் படுத்தும் போது இவ் ஏழு ங்குகின்றன. மையத்தில் செயற்படுத் ஈ திருப்பத்தையும் காண்க
ம். AB = 6m, BC = 4m, AB இன் *, 10 N விசைகள் முயையே AB, BC, ன்றன. இவற்றுடன் X, Y, Z நியூ ED வழியே பிரயோகிக்கும்போது இவ் ன்றன. X,Y, Z ஐக் காண்க.


Page 17
= 11
28. A B C ஒரு சமபக்க முக்கோன முறையே BC, CA, AB இன் நடுப்பு AC, AB வழியே முறையே 4/3, 2 கள் தாக்குகின்றன. இவ் ஆறு விசைக X , Y, Z ஐயும் பின்னைய மூன்று வின் யுளின் பருமனையும் காண்க.
29. ABCD g is Garai as Loirgith. A AB இன் நடுப்புள்ளியுமாகும். BC, C 2/13 N விசைகள் செயற்படுகின்றன P, Q நியூ பருமன்களுடைய விசைகை இணையாக ஒடுங்குமாயின் P, Q என்
30, ABCD என்பது 4m பக்கமுடைய விசைகள் முறையே AB, BC, CD, !
(அ) இவ்விசைத்தொகுதியின் தாக்கக்கோடு AB ஐ வெட்டும் புள்ள
(ஆ) D இல் எம் மேலதிக வின் படும் தொகுதி ஒர் இணைக்குச் சமவ
31. இரு விசைகளால் உருவாகும் கொண்டு இணையொன்றின் திருப்புத் சமனனது எனக் காட்டுக.
ABCD என்பது 2m நீளமான LDTGLb AB, CB, CD, AD GuyflGu கள் செயற்படுகின்றன. இவ் விசைத்ெ தற்கு பிரயோகிக்கப்படவேண்டிய இ
32. ABCDEF GTGörug) g2i g? (priši sna AB, BC, CD, DE, EF, FA GJÓG விசைகள் செயற்படுகின்றன. இவ்வி முடைய ஒர் இணையாக ஒடுங்குமென
33. ABCDEF ஓர் ஒழுங்கான அறு நீளம் w/30 ஆகும். 1, 2, 3, 2, 5, 6 B c, DC, ED, EF, AF Gulf. Gu தொகுதி ஒர் இணையாக ஒடுங்குமெ திறன் யாது?

è=
ரியாகும். D, E, F எ ன் ப ன GilsGTirguib. DA, EB, CF, BC /3, /3, X, Y, Z நியூ விசை ளும் சமநிலையில் இரு ப் பின் சகளின் (X, Y, Zஇன் ) விளை
B = 6 m, BC=4 m goth E. Gr6ồr Lugi D, AC வழியே முறையே 4, 15 AB, DE gan y 157Gulu gap 600 pGulu சப் புகுத்தும்போது தொகுதி ஓர் பவற்றைக் காண்க,
ஒரு சதுரமாகும். 6, 2, 2, 6 N AD வழியே தாக்குகின்றன.
விளையுளைக் காண்க. விளேயுளின் ரியையும் காண்க
சையைப் புகுத்தும் போது பெறப் லுவாகும்.
இணையோன்றைக் கருத் தி ற் திறனனது எப்புள்ளி பற்றியும்
பக்கங்களையுடைய ஒரு சதுர முறையே 3, 5, 3, 5 |N ଘଣ୍ଟୀଜ୍ଞ தாகுதியைச் சமநிலையிற் பேணு
னேயைக் காண்க,
ன அறுகோணியாகும் AC=tm ய முறையே 2, 3, 4, 2, 3 49 N சைத்தொகுதி 36Nm திருப்ப ாக் இாட்டுக.
கோணியாகும். இதன் ஒரு பக்க N விசைகள் முறையே AB, செயற்படுகின்றன. இவ் விசைத் னக் காட்டுக. இதன் திருப்புத்


Page 18
34 ஒரே தேர்வரையில் இல்லா தொகுதியின் திருப்புத்திறன்கள் குதி விசைகள் சமநிலையிலிருக்குெ
ABCD என்பது ஒரு சது DC, FE வழியே முறையே 9, ! படுகின்றன, இங்கு E, F என்பன ளிகளாகும். இவ் விசைத்தொகுதி
35. விசைத்தொகுதியொன்று ஒ யதும் போதியதுமான சமவலுவ றினக் கூறுக.
ABCD என்பது 2n பக்க py/2 gw/2 N விசைகள் முறை வழியே செயற்படுகின்றன, p+q இவ் விசைத்தொகுதி ஓர் இணை இணையின் திருப்புத்திறனை a, b, !
36. ABCD 6Ig G)g 612/suprrg ggb. AB, BC, CD, DA, BD. P, Q நியூ விசைகள் செயற்படுகி இடைவெட்டுகின்றன. O பற்றி திறனைக் காண்க. இதிலிருந்து இ
(i) சமநிலையில் இருக்கமாட் (i) ஒர் இணையாக ஒடுங்கி (i) B இனூடான ஒரு த6
எனக் காட்டுக,
37. ABCD என்னும் சதுரத்தி AB, BC, CD, DA, AC, BD a விசைகள் தாக்குகின்றன.
(i) P, Q இன் எப்பெறுமான மாட்டாது எனக் காட்டுக.
(ili) P= 2/w/ 2 ge_ib Q=O @. ஒடுங்குமெனக் காட்டுக. இவ் இ8
(iii) P-4 V2, Q  ை/ 2 எ6 ஒடுங்குமெனக் காட்டுக, இவ்வின $(T କ୍ଳାଣ୍ଡ,

وجہ _12
த மூன்று புள்ளிகள் பற்றி ஒரு விசைத் தனித்தனி பூச்சியமாயின் அத்தொ மனக் காட்டுக.
rupiteguh, AB = 4 m AB, BC, AD, 1, 21, 15, 24/2N விசைகள் செயற் எ முறையே AD, CD இன் நடுப்புள் நி சமநிலையிலிருக்குமெனக் காட்டுக.
ஓர் இணையாக ஒடுங்குதற்கு வேண்டி ான நிபந்தனைத் தொடைகள் மூன்
முடைய ஒரு சதுரமாகும். a, b, c, d, Bulu AB, BC, CD, DA, AC, BD =C-2 உம் p-q = d-b உம் ஆயின் க்குச் சமவலுவானதெனக் காட்டுக3 2, d சார்பாகப் பெறுக.
ub AB = DC = 4 m, AID=BD=3m AC வழியே முறையே 3, 5, 4, 6, ன்றன. AC, BD என்பன புள்ளி0 வில் இவ்விசைகளின் மொத்தத் திருப்புத் இவ் விசைத்தொகுதி
டாது எனக் காட்டுக. ல்ை Q=9P எனக் காட்டுக. னிவிசைக்குச் சமவலுவாயின் Q=15
ன் ஒரு பக்க நீளம் 23 மீற் ஆகும். ழியே முறையே l, 2, 4, P, Qநியூ
ாத்துக்கும் தொகுதி சம நிலையடைய
ம் ஆயின் தொகுதி ஒர் இணையாக ணயின் திருப்புத்திறன் யாது?
வின் தொகுதி ஒரு தனிவிசையாக சயின் பருமனையும் தி  ைச  ைய யும்


Page 19
38. ஓர் ஒழுங்கான அறுகோணி
உம் அதன் மையம் 0 உம் ஆகு! வழியே முறையே P, 2P, 3P, 4F
கள் செயற்படுகின்றன இவற்றின் டையதும் 3P பருமனுடையதுமா6 நடுப்புள்ளி M ஆகும்,
(1) m, n இன் பெறுமானங்க (ii) தொகுதியின் 0 பற்றிய (iii) OM ஐ x அச்சாகவும் 0
யுளின் தாக்கக்கோட்டின் E:, FA வழியே செயற்படும் | 0 இலே Q பருமனுடைய விசை இவ் ஐந்து விசைகளும் ஓர் இணைய யின் திருப்பத்தையும் காண்க.
முக்கோணிகளில் விசைகள் (6
39. '' ஒரு புள்ளி பற்றி விசை தளை வரையறுக்குக.
நேர்வரை 1 மீதுள்ள இருபுல்
பருமன், திசைபோக்கு, தாக்கக் 6 கப்படுகின்றது. பிறிதொருபுள்ளி திறனின் பருமனானது முக்கோணி எண்ணளவிற் சமமாகும் எனக் .
முக்கோணி ABC இன் பக்கம் இனால் முற்றாகக் குறிக்கப்படும்
Y ஒரு நேர் மாறிலியாகும். இ ஒரு ங்கு பெ னக் காட்டுக. இதன் புரட்பின் எஸ் பெறுமானம் சார்

13 -
ABCDEF இன் ஒரு பக்க நீளம் a ம். AB, BC, D, DE, EF, FA ', mP, nP பருமன்களுடைய விசை
விளையுள் EF இன் திசை போக்கு எ ஒரு தனி விசையாகும். EF இன்
களைக் காண்க.
மொத்தத் திருப்பம் யாது ? A ஐ y அச்சாகவும் கொண்டு விளை
சமன்பாட்டைப் பெறுக (mP, PP) விசைகள் நீக்கப்பட்டு, யொன்றைச் செயற்படுத்தும்போது பாக ஒடுங்குகின்றது. Q ஐயும் இணை
விசேட உதாரணங்கள்)
யான்றின் திருப்புத்திறன் '' என்ப
ாளிகள் A, B ஆகும். விசையொன்று
>
காடு என்பவறில் AB இனால்க் குறிக் 0 பற்றி இவ் விசையின் திருப்புத் OAB இன் பரப்பின் இருமடங்கிற்கு ாட்டுக.
"கள் வழியே YAB, TBC, YCA
விசைகள் செயற்படுகின் றன. இங்கு வ்விசைத் தொகுதி ஓர் இணையாக திருப்புத்திறனை யும் முக்கோ ணியின் -ா சத் தருக.


Page 20
- 1
40. முக்கோணி ABC இன் சுற்று 一> AB வழியே முறையே ?, Q, R
<=3> --> OB, OC 6.Jf6) BuLu (up 50 pp 13 Lu X, Y, செயற்படுகின்றன. இவ் ஆறு விசை
(i) P cosA + Q cosB -- R
PX Q Y RZ () 구 + - + F
g) ig, a = BC, b = CA, c = Al
41. முக்கோணி ABC இன் உச்சி P, Q, R பருமன்களுடைய ஒரு ே ( நிகர்த்த சமாந்தர விசைகள் ) செ ளானது முக்கோணியின்
(1) உள்வட்ட மையத்தினூடு எனவும்
(i) நிமிர்மையத்தினூடு சென் P Q R = tan A tan B : tanC 6.
(ii) சுற்றுவட்ட மையத்தினூடு P ; Q : R = sin 2 A3 sin2B : sin 2C
42. முக்கோணி ABC இன் பக்கங் போக்கில் முறை யே P, Q, R பகு கின்றன. இவற்றின் விளையுளின் த
(1) சுற்றுவட்ட மையத்தினுTடு
P cosA + Q cosB -- R
(i) உள்வட்ட ைமயத்தினூடு ெ
(i) நிமிர் மையத்தினூடு சென் PsecA -- QsecB -- Rise (iv) மையப்போ லியூடு செல்லி
P cosecA + Q cosecB -

سے 4
=> => வட்ட மையம் 0 ஆகும், BC, CA
பருமன்களுடைய விசைகளும் OA
Z பருமன்களுடைய விசைகளும் களும் சமநிலையில் இருப்பின்,
cos C = O
- = 0 எனக் காட்டுக,
3 ஆகும்.
கள் A, B, C இனூடு முறையே போக்கான சமாந்தர வி ைசக ள் யற்படுகின்றன. இவற்றின் விளையு
GF îờCo?ả) P | Q | R = a n b : c
ருல்
னவும்
சென்றல் எனவும் காட்டுக.
35 ir BC, CA, AB Gauß) (3 Lu ABCA மன்களுடைய விசைகள் செயற்படு ாக்கக்கோடு,
சென் ருல் cos C = 0 எனவும்
சன்ருல் P + Q + R = 0 எனவும்
முல்
cC = 0 எனவும்
ன்
R cosecC = 0 எனவும் நிறுவுக,


Page 21
- ]
விசைகளிற்கான விகிதத் தேற்.
43. இரு விசைகளிற்கான விகிதத்
ABC ஒரு முக்கோணியாகு
CA 2g CE : CA = ! » 3 -ggUDIT p s- =9- CA, BA என்பனவற்றினல் முற்ரு
-> யுள் 6DB இனல் முற்ருகத் தரப்
<=====<ح= _____ =<سے 44, AB, BC, CA, என்பவற்றின கக்கோடு என்பன குறிக்கப்படும் மூ ஒடுங்குமெனக் காட்டுக.
முக்கோணி ABC இன் பக் AB, BC gg (up60pGazu AP i PB =
பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q ஆகும் ! கக் குறிக்கப்படும் விசைகளும், Al ணியின் பரப்பின் இருமடங்கிற்கு டைய திருப்பமுடைய ஒர் இணையு
=> இவை 60 இனல் குறிக்கப்படு னவை எனக் காடுக.
45. ABCD ஒர் இணைகரமாகும்.
>- <======= جي============= حوچ============= حص= El BC, Cc CD, 8DA, F4 DB, 8 AC கம்படும் ஆறு விசைகளைக் கொண்
(i) X -- E4 - Oc -- 8 = O ஒடுங்குமெனக் காட்டுக.
(ii) X -- F - Oc -- 8 = O e சமவலுவானதெனக் கர்ட் கோட்டின் நிலையையும் தீ
ܔܔܔܔܒܒܗ

5 -
றம் (x தேற்றம் )
தேற்றத்தைக் கூறி நிறுவுக. ம், BC இன் நடுப்புள்ளி D ஆகும். பிரிக்கும் புள்ளி Eஆகும். 866 கக் குறிக்கப்படும் விசைகளின் მეჭ|2%nf
படுமெனக் காட்டுக.
1ல் பருமன், திசை, போக்கு, தாக் முன்று விசைகளும் ஒர் இணையாக
கம் BC இன் நடுப்புள்ளி D ஆகும். 2 : 1, IBQ : Q C = 1 : 3 gg, uDirr go >-ண் >= <ك= AB, 2AC, DA இனுல்ப் பூரணமா 30 சுற்றுப் போக்கில் இம் முக்கோ எண்ணளவிற் சமமான பருமனு ம் ஒரு தொகுதியை அமைக்கின்றன.
ம் ஒரு தணிவிசைக்குச் சமவலுவா
<܊= விசைத் தொகுதியொன்று XAB
என்பவற்றினுல் முற்முகக் குறிக் டுள்ளது.
எனின் தொகுதி ஒர் இணையாக
எனின் தொகுதி ஒரு தனிவிசைக்குச் டுக. இத் தனி விசையின் தாக்கக் iர்மானிக்குக.
-ൾഭ=


Page 22
3. ஒரேதள வி விறைப்பான உடெ
சமாந்தர விசைகள்
1. ஒரு சீரான மரச்சட்டம் 12 யது. இச் சட்டமானது ஓரே கட்டைகள் மீது, ஒரு முனை ஒரு றய முளைக்கட்டையிலிருந்து 2 m . பட்டுள்ளது. முளைக் கட்டையினால் காண்க.
2. 2 m நீளமும் 12 kg திணிவு: அதன் ஒ ந முனையிலிருந்து 0 . 5m அழுத்தமான முளை மீது படிந்தவா நிலைக்குத்தான மேன்முக விசையை சம நிலையிற் பேணப்படுகின்றது. அ
3. ஒரு மீற்றர் நீளமுடைய சீ, புள்ளியிலிருந்து 10 சதம் மீற்றர் : யினால் தாங்கப்படுகின்றது. சட்ட யடைவதற்கு, தாங் கு புள் ரிக்கு ச திணிவு வைக்கப்படவேண்டியுள்ளது
4. 20 m நீளமும் 40 kgwt நில் னது 10ற இடைத் தூரத்திலுள்ள லுள்ளது. அவற்றில் ஒன்றின் மீது வளையின் முனைகளிலிருந்து முளைகள் களிலும் தாக்கங்கள் சமமாயிருக்கு அவ்வளைமீது எங்கே நிற்கவேண்டும்
5. 18m நீளமுடைய AB என். தளத்திலுள்ளது. முனை A இல் 28 யோகிக்கும் போது சட்டமானது இவ்வாறு 3 2 N விசையை B இல் போதும் அது மட்டாக நிலைபெயர் யையும் A இலிருந்து அதன் காண்க.

சைகளின் கீழ் லான்றின் சமநிலை
27 நீளமும் 10 kg திணிவுமுடை கிடைமட்டத்திலுள்ள இரு முளைக் முளைக்கட்டை மீதும் மறு முனை மற் நாரத்திலும் இருக்குமாறு வைக்கப் கோலில் ஏற்படும் மறுதாக்கங்களைக்
முடைய ஒரு சீரான கோலான து தூரத்திலுள்ள புள்ளியானது ஓர் று வைக்கப்பட்டு மறுமுனையில் ஒரு பப் பிரயோகிப்பதனால் கிடையாகச்
வ் விசையின் பருமன் யாது ?
ரான சட்டமொன்று அதன் நடுப் தூரத்திலுள்ள புள்ளியில் ஒரு முளை மானது ஒரு கிடை நிலையிற் சமநிலை அண்மையிலுள்ள முனையில் 60 கிராம் து. கோலின் திணிவைக் காண்க.
றையுமுடைய ஒரு சீரான வளையா இரு முளைகள் மீது கிடையாக ஓய்வி
தாக்கம் 30 kgwt ஆகும். எனின் சின் தாரங்களைக் காண்க. இரு முளை மாறு 60kgwt நிறையுடைய மனிதன்
ம்?
னும் ஒரு மரச்சட்டம் ஒரு கிடைத் 2N விசையை நிலைக்குத்தாகப் பிர மட்டுமட்டாக நிலைபெயருகின்றது. 5 நிலைக்குத்தாகப் பிரயோகிக்கும் ருகின்றது. ஆயின் சட்டத்தின் நிறை புவியீர்ப்புமையத்தின் தூரத்தையும்


Page 23
17 ܚ
6 AD என்பது 12m நீளமுடைய என்பன A, B, C D என்ற ஒழுங் கூறிடுவனவாயுமுள்ள புள்ளிகளாகும் டத்திலுள்ள இரு விளிம்புகளினல் ே 18 kgwt நிறையுடைய சுமையை 12 kgwt நிறையுடைய சுமையை ை மட்டாகச் சரிகின்றது. கோலின் நிை AD ஐப் பிரிக்கும் விகிதத்தையும் க!
7. ஒர் இரசாயனத் தராசின் த. பன ஒரு பொருளை ஒவ்வொரு தட் த்தபோது அது 9 9 2m உம் 10 பட்டது. அப்பொருளின் உண்மைய
8 ஒரு பொய்யான தராசிலுள்ள வேறுபாடாயிருந்தது. குறுகிய சிறை ளொன்றை தட்டுக்களில் மாறி மா 21 gn உம் 20 80 உம் உடையதாக சிறையின் நீளம் யாது ?
9. ஒரு தராசின் சிறைகள் பார உடையனவாயும் உள்ளது. இதன் த யனவாகும் சுமைகளெவையும் தட்( கள் கிடைச்சமநிலை அடையவில்லை. 8 களே ஒரே தட்டில் வைத்து நிறுத்த நிறைகளுடையவையாகக் காணப்பட வைத்த அதே தட்டில் பிறிதொரு அது 2 kgW நிறையுடையதாகக் கா மையான நிறையைக் காண்க
10. வழுவுள்ள (பொய்யான) தர வையும் தட்டுக்கள் சமநிறையற்றை நிறைகளெதுவுமில்லாத போது புய றன. ஒரு தட்டில் திணிவு M உள் இனல் சமப்படுத்தப்பட்டது பின் றியபோது முன்னேயதட்டில், இதைச் வைக்கப்படவேண்டியுள்ளது. M2 = தட்டுக்களேத் தம்முட் புயமாற்றம்
சமப்படுத்த வேண்டிய திணிவுகள் ) நீளங்களிடைப்பட்ட விகிதத்தைக் க

autono
சீரற்ற ஒரு கோலாகும். B, C கில் உள்ளனவும் கோலை முச்சம B, C என்பனவற்றில் ஒரே மட் கால் தாக்கப்படுகின்றது A இல் வைக்கும்போது அல்லது D இல் வக்கும்போது கோலானது மட்டு றயையும் அதன் புவியீர்ப்புமையம்
.
ட்டுகள் சற்று நிறைவேறுபாடுடை டிலும் மாறி மாறி வைத்து நிறு 1 gm உம் உடையதாகக் காணப் ான நிறை யாது ?
பிழை அதன் சிறைகளின் tor யின் நீளம் 10cm ஆகும். பொரு றி வைத்து நிறுத்தபோது அது க் காணப்பட்டது. அதன் நீண்ட
மற்றவையும், வேருன நீளங்கள் ட்டுக்கள் வேருன நிறைகளுடை டுக்களில் இல்லாத போது சிறை b k8Wt நிறைகளுடைய பொருட் போது அவை முறையே X,y kgwt ட்டன. பி ன் ன பொருட்கள் பொருளே வைத்து நிறுத்தபோது ணப்பட்டது. எனின் இதன் உண்
சொன்றின் புயங்கள் சம நீளமற் வயும் ஆகும். ஆனல் தட்டுக்களில் ங்கள் கிடைச்சமநிலை அடைகின் ாபோது மறுதட்டில் திணிவு m திணிவு M ஐ மறு தட்டிற்கு மாற் சமப்படுத்துவதற்கு, திணிவு m, m m2 எனக் காட்டுக. தராசுத் செய்த போது மேற் கண்டவாறு g mடி ஆகும். எனின் சிறைகளின் Tঞ্জয় গ্রন্স,


Page 24
சமாந்தரமற்ற விசைகள்
11 சமாந்தரமற்ற மூன்று வின அ து சமநிலையில் இருப்பின் அ புள்ளி பிற் சந்திக்குமெனக் காட்டு
6m நீளமுடைய AB என் முனை A ஆனது ஓர் ஒப்பமான மறு முனை B இற்கு இணைக்கப்பட A இற்கு நேர் மேலேயுள்ள புள் ன து ச ம நிலையிற் தாங்கப்படுகின 8 கோணம் அமைப்பின் 27 co
1 2 , நீளம் 15ற உடைய பாரம் களில் இணைக்கப்பட்ட 12m, 9m புள்ளி 0 இலிருந்து தொங்கவிட துடன் 8 கோணத்திற் சாய்ந்தவ எனக் காட்டுக. கோலின் நிறை படும் இழுவைகளையும் காண்க.
13. ஒரு சீர்கோல் AB ஆனது
முனை A ஆன து வளை யொன் றிவு பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. முனை B ( கிக்கும் போது கோலானது நிலை. சம நிலை அடைகின்றது. இவ்வி ை
தாக்கத்தையும் காண்க.
14. ஒரு சீர்கோல் AB இன் பு ளியுடன் ஒப்பமாகப் பிணைக்கப் ஆகும். கீழேயுள்ள மறுமுனை B ! யோகிக்கப்படும் போது கோல் ந துச் சமநிலை யடையும். பிணை யலி பருமனையும் திசையையும் காண் 15. நிறை W உடைய சீர்கோ பற்றி சுயாதீனமாகத் திரும்பவ பிரயோகிக்கப்படும் போது கோ கோணம் அமைத்தவாறு சம நிலை காண்க : பிணையலினால் மறுதாக்.
2V4 + tan'

18 உ
9சகள் ஓர் உடலிற் செயற்படும் போது வ்விசைகளின் தாக்கக்கோடுகள் ஒரு ஒக.
னும் சீரான ஒரு கோல் அதன் ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிற் படிந்திருக்கவும் ட்ட, 10m நீளமுடைய, ஓர் இழை ரி C இல் இணைக்கப்பட்டும் கோலா ன்றது. அப்போது கோல் சுவருடன் 82 9 - 16 எனக் காட்டுக.
மான சீர் கோ லெ என்று அ தன் முனை
நீளங்களுடைய இழைகளினால் ஓரே டப்பட்டுள்ளது. கோலானது நிலைக்குத் Tறு சமநிலை அடையின் sin 0 = 24 / 25 20 N ஆயின் இழைகளிற் காணப்
4m நீள மும் 8 kg திணிவுமுடையது. அள்ள ஒரு புள்ளியில் சுயாதீன Aாகப் இல் ஒரு கிடை விசையைப் பிரயோ க்குத் துடன் 300 அமைத்த வண்ணம் சயின் பருமனையும் பிணையலினால் மறு
முனை A ஆனது ஒரு வளை யிலுள்ள புள் ப்பட்டுள் ளது. கோலின் நிறை 10 N இல் ஒரு கிடைவிசை, 5/3 N, பிர கிலைக்குத்துடன் எக்கோணம் அமைத் னால் கோலிற் செயற்படும் விசையின்
த.
ல் AB ஆன து A இலுள்ள பிணையல் ல்லது. மறுமுனையில் கிடைவிசை 4 லான து கீழ்முக நிலைக்குத்துடன் 9 உயிலுள்ளது, H ஐ W, 8 சார்பாகக் கம்
8 எனவும் காட்டு க,


Page 25
19
16. gag 3m plub 15 kgwi நிை மொன்று, கிடையுடன் 45° இற் சர் தின் மீது வைக்கப்பட்டு அதன் ວ. இணைக்கப்பட்ட 2m நீளமுடைய ଚୋକ୍କୋ, திலுள்ள ஒரு புள்ளியுடன் ଓଡ୍ର ଅଣ&&! அடைந்துள்ளபோது இழையிலுள்ள கோளத்தில் மறுதாக்கத்தையும் கா6
17 நிறை W உடைய ஒரு சீரான g(l) புள்ளியிற் தொடுக்கப்பட்ட ஒர் அழுத்தமான நிலைக்குத்துச் சுவரிலு: பட்டுள்ளது. இழையின் நீளம் கோ கும். இழையிற் இனப்படும் இழுை லேற்படும் உதைப்பையும்
18. ஒரு கோல் AB ஆனது 3பி இதன் G 3d Lh A ஆனது நிலைக்குத்துச் சுவரொன்றிலு ஆக்கிப்பட்டுள்ளது B இல் இனே மறுமுனையானது A இற்கு நேர்மேே பாக விருக்குமாறு இணைக்கப்பட்டுள் ஆகும். பிணையலினுல் A இல் மறுத
வையையும் காண்க
g ABC என் து ஒரு ரொன மூ இற்கு இணைத்த AO, BO -g, F BLU ருந்து இவ் அடர் தொங்கிவிடப்பக் இழைகள் இறுக்கமாகவும் இருக்க என்பன நிலைக்குத்துடன் அன மக்கு ஆயின் 2 cote - CO16 = 3 cotB
20. ஒரு சீரான கனத்திண்மத்தின் றில் ஒன்றின் நடுப்புள்ளியில் நீள இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மறுமுனை ஒ ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள் பானது சுவரிற்குச் சமாந்தரமாயிரு தொங்குகின்றது. இந்நிலையில் சு দুষ্ক প্লেটটিভেক্ট,

றயுமுடைய சீரான இரட்கோள ாய்ந்துள்ள ஓர் அழுத்தமான தளத் ாபரப்பிலுள்ள புள்ளியொன்றில் மல்லிழையொன்றினுல் சாய்தளத் ப்பட்டுள்ளது கோளம் சமநிலை இழுவையையும் 舅ar莎象@。
ক্টািড় ।
கோளத்தின் மேற்பரப்பிலுள்ள இழையின் மறுமுனையானது ஒர் ஸ்ள ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கப் ளத்தின் ஆரையின் இருமடங்கா வயையும் சுவர்மீது தோளத்தின
நீளமும் 8 kg திணிவுமுடையது. G = 1று உம் ஆகும். முனே A. ள்ள ஒரு புள்ளியில் அழுத்தமாகப் , மெல்லிழையொன்றின் லயுள்ள புள்ளி C உடன் BC GASOL எாது, இந்நிலையில் < BAC = 609 ாக்கத்தையும், இழையிலுள்ள இழு
la
த்தோ னித்தள அடராகும். A, B இழைகளினல் ஒரு புள்ளி 0 စ္ဆာ်ရှီဝှါဒွါးကိို၊ ட்டுள்ளது. BC நிலைக்குத்தாகவும் அடர் சமநிலையிலுள்ளது: AO, BO கோணங்கள் முறையே 00 B எனக் காட்டுக.
விளிம்புகள் நீளமுடையன. இவற் மான ஒர் இழையின் ஒரு முனை பமான நிலைக்குத்துச் சுவரிலுள்ள ளது. இழையிற் தொடுத்த க்க, கனத்திண்மமானது சமநிலையிற் வருடன் இழையின் சா ய்  ைவ


Page 26
ബ
21, A B C D என்பது, சீரான, இதன் நிறை W g2 Lb AB -- இலே 2W நிறையுடைய துணிக் அடரானது உச்சி A இற் கட் விடப்பட்டுள்ளது, சமநிலையின்டே டீன் அமைக்கும் கோணம்
tan-1 4 ab
6a? -- b2
22. நீளம் 2 உடைய சீர்கோஜ் &"6" ?ւմuւ0767 355 சுவரிற்படி நீளமுடைய இலேசான இழையெ ஒரு புள்ளி C உடன் இணைக்கப்ப ஒரே நிலைக்குத்துத் தளத்தில் *Լ0, எனது கீழ்முக நிலைக்குத்துடன் 8
:aھ سے 422 COS* 69 = -— Se 333
23 2W நிறையும் நீளமுமுள்ள மேன்முனை A இலுள்ள ஓர் ஒப்பட திரும் பவல்லது A இனூடான நி% கவும் சமநிலையிற் சட்டம் இருக். விதை பிரயோகிக்கப்படுகின்றது. தின் பருமன்
عن عام 412 Wv ( 12
24. ஒர் அழுத்தமான சுவரிலிருந் தரமாக ஒரு கிடைமேசைப்பரப்பில் 2 நீளமான சீர்கோலொன்றின் ஒ கோலின் ஒரு புள்ளி மேசைவிளிம் சுவரிற்கும் மேசைக்குமிடையே ஒரு மேலாகவுமிருக்க சமநிலையிலுள்ளது விளிம்பிற்கும் செங்குத்தான ஒரு கோல் சுவருடன் அமைக்கும் கோ 6 காட்டுக,

ܒܗܘܢ܂ 20
செவ்வக வடிவிலுள்ள தீள அடராகும். a AD = b 2 lub ஆகும். உச்சி 8 கையொன்று ஒட் டப்பட்டுள்ளது. இவ் டப்பட்ட இழையொன்றில் தொங்க ாது மூலே விட்டம் AC நி3 க்குத்து
எசேக் காட்டுக.
AB இன் முனை A ஆனது நிலைக்குத் ந்தும், மறுமுனை B ஆனது 1 ( > a ான் றிஞல் A இற்கு நேர் மேலேயுள்ள ட்டும் கோல் AB யும் 96ðp BC tilb நிலையிலுள்ளன. இந்நிலையில் கோலா கோணம் அமைப்பின்
எனக் காட்டுக.
3C, 3°ridge". 15 AB ஆனது அதன் ாேன பிணையல் பற்றி சுயாதீனமாகத் க்குத்திலிருந்து a தூரத்தில் B இரு கவும் B இல் ஒரு அளவான கிடை இந்நிலையில் பிஜயதில் மறுதாக்கத்
என நிறுவுக,
து C துரத்தில் அச்சுவரிற்குச் சமாந் ன் அழுத்தமான விளிம்பு உள்ளது. ரு முனை சுவரில் அழுத்தியவாறும் பினுல்த் தாங்கப்பட்டும் கோலானது பதியிருக்கவும் மறுபகுதி மேசைக்கு 1. கோலானது சுவரிற்கும் மேசை
தளத்திலுள்ளது என விளக்குக, ம்ே 9 எனின் sin38 = c | ன


Page 27
1 21 ܚ
25. ஒரு கிடைக்கோட்டில் இடைெ தளங்கள் கிடையுடன் 00, 8 (> c இவ் இடைவெட்டுக்கோடு தளங்களி சீரான கோலின் முனைகள் ஒவ்வொன் கிடக்குமாறு தளங்களின் இடைவெட் ஒரு தளத்தில் கோல் சமநிலையிலு அமைக்கும் கோணம் 8 ஆனது
2 tan9 = (काळ p) ඉල්
26. அழுத்தமான வட்டக் கம்பியொ இருக்குமாறு நிலையாகவுள்ளது. ஒரு சி கப்பட்டுள்ளது. இவ்வளையம் ஒர் இை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழை மையத்தி cc (900 வளையம் W நிறை உடைய யாது? கம்பியினல் வளையத்தில் மறுத
27. விட்டம் d உடைய ஒர் அழுத்த மானது அதன் அச்சு நிலைக்குத்தாகவு! நிலைக்குத்துச் சுவரைத் தொட்டவாறு ( வுள்ளது பாரமான சீர்தோலொன்று, தின் உட்பரப்பிலும் மறுமுனை சுவரிலு மையத்தினூடான சுவரிற்குச் செங்குத் ளது. கோல் கிடையுடன் அமைக்கும் நீளம்
d (1 -4 ତT{
V/ 1
28. ஆரை a உடையதும் வட்டவடி? கம்பிவளையமொன்று நிலைக்குத்துத் தாக உடைய சிறுமோ திரமொன்று இதில் யது. மோதிரமானது (< a/2 ) நீ கம்பியில், அதன் கிடைவிட்டத்தின் ஒ
பட்டுள்ளது. சமநிலையில் இழையிற் க
( £22 - /* }
massamme mig a V 4a2 = 12
 

வட்டும் இரு அழுத்தமான சாய் கோணங்களை அமைக்கின்றன. ன் கீழ் மட்டமாகவுள்ளது. ஒரு தும் ஒவ்வொரு சாய்தளத்திற் டுக் கோட்டுக்கு செங்குத்தான ள்ளது. கோல் நிலைக்குத்துடன்
ஒல்த் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
ான்று நிலைக்குத்தாக தன் தளம் று வளையம் இக்கம்பியில் கோர்க் ழயினுல் கம்பியின் உச்சியுடன் ல் 200 கோணம் அமைக்கின்றது. தாயின் இழையிலுள்ள இழுவை ாக்கத்தையும் காண்க
மான அரைக்கோளக் கிண்ணி ம், விளிம்பு ஒர் அழுத்தமான மேன்முகமாயிருக்கவும் நிலயாக ஒருமுனை அக்கோளக் கிண்ணத் ம் படிந்தவாறு, கோளத்தின் தான தளத்தில் சமநிலையிலுள் கோணம் 600 ஆயின் அதன்
எக் காட்டுக,
பிலமைந்ததுமான அழுத்தமான நிலையாகவுள்ளது. திணிவு m வழுக்குதற்குச் சுயாதீன முடை முடைய இழையினுல் வட்டக் ரு முனைப்புள்ளியில், இணைக்கப் னப்படும் இழுவை
எனக் காட்டுக.


Page 28
வகை
29. ஆரை na உடைய கோளவா றும் நிறை W உம் ஆரை 2 உம் கோளங்கள் சுயாதீனமாகச் சம நி தாக்கம் W/v/n? - 2n எனக்
30 நீளம் ! உடைய சீர்கோல் பமான முளையிற்படிந்தவாறும், A இற்கு இணைத்த இழை யொன்று சம நிலையிலுள்ளது. இந் நிலையில் கே அமைக்கும் கோணங்கள் முறையே tan 3 - 2ta1 4-coto: எனக் காட்
31. சீரான கோளமொன்றின் .ே யுடன் 0C சாய்வுடைய சாய் தள் சான இழையினால் இணைக்கப்பட்டு கும் இழையின் நீளம் கோளத்தி கோளத்தின் நிறை W ஆயின் அ இழுவை ( 5Wsi 0 ) / 3 எனக் . மீதான மறு தாக்கத்தையும் காண் 32. நிறை W உடைய சீர் கோ பொன் றிலுள்ள ஒரு புள்ளியிற் ச B இற்கு இணைத்த ஓர் இழையில் கோணத்தில் சம நிலையிற் பேணப் இழிவாயிருத்தற்கு இழையின் தி பிணை யலில் மறுதாக்கத்தின் பருப் 33 நிறை W உடைய சீர்கோ கி டை யுடன் 10 (< 450 ) சாய்வு மீதும் மறு முனை B ஆனது ஒப்பா இருக்க, கோ லான து சாய் தளத்து கோணமும் அமைக்குமாறு :ை
இணைத் த கிடை இழையி னாற் சட யிலுள்ள இழுவை
3tana +
34 AB என்பது 24 cm நீளமு 13 c n ஆரையுடைய ஓர் ஒப் ம யுடன் 1a1 ( 3/5 ) கோணத்தி தெனின் அதன் புவியீர்ப்பு மை

22 -
டிவப் பாத்திரத்தினுள், ஒவ்வொன் உடைய இரு அழுத்தமான சீர்க் லையிலுள்ள கோளங்களிடைப்பட்ட காட்டுக.
AB ஆன து அதன் முனை A ஓர் ஒப் - இன் மட்டத்திலுள்ள புள்ளி ( மறுமுனை B யுடன் இணைக்கப்பட்டும், கால், நாண் BC என்பன கிடையுடன் ய 01, 3 ஆயின் நிக. AC ஐ 1, 0C சார்பாகக் காண்க. மற்பரப்பிலுள்ள ஒரு புள்ளி, கிடை த்தின் ஒரு புள்ளியுடன், ஓர் இலே டுள் ளது சாய்தளம் அழுத்தமான தா
ன் ஆரையின் நான்கு மடங்காகும். புது சமநிலையிலுள்ளபோது இழையில் காட்டுக . தளத்தினால் கோளத்தின் எக
ல் AB இன் முனை A ஆன து வளை சுயாதீனமாகப் பிணைச்கப்பட்டுள்ளது. னால் கோலானது நிலைக்குத்து டன் 8 படு கின்றது இழையிலுள்ள இழுவை சையைக் காண்க. இச் சந்தர்ப்பத்தில் மனை யும் காண்க.
ல் AB இன் ஒரு முனை A ஆன து புடைய ஒப் ப ம ா ன சாய்தளத்தின் மான நிலைக்குத் துச் சுவரிற் படிந்தும் ஏடன் 300 கோணமும் கிடையுடன் 20 வக்கப்பட்டு அ த ன் நடுப்புள்ளிக்கு மநிலை பிற் பேணப்படுகின்றது. இழை
Cotoc
எனக் காட்டுக.
மடைய ஒரு சீரற்ற கோலாகும். அது மான கோளத்தின் உட்புறத்தில் கிடை திற் சாய்ந்தவண்ணம் சம நிலையிலுள்ள
பத்தின் நிலையைக் காண்க.


Page 29
- 23
நிலைக்குத்தாயுமுள்ள ஒர் அழுத்தமா முனை இருக்குமாறு வைக்கப்பட்டுள் வெளியே கோலின் காற்பங்கு நீண் கிடக்கக்கூடிய அதிசிறிய கோலின்
36. ஒரு பாரமான கோலானது
அரைக் கோளக் கிண்ணத்தினுள் மு புவியீர்ப்பும்ையம் அதனை a, b எ கின்றது. இங்கு b > 2 ஆகும் சம கிடையுடன் அமைக்கும் கோணம்
sin e = ("","", 2v/Y2 -- ab கோலின் நிறை W ஆயின் முனை B
a Y W
(a + b) /72T그 A இலுள்ள மறுதாக்கத்தை உய்த்த
37. ஒவ்வொன்றும் 23 நீளமும் கோல்கள் அவற்றின் ஒவ்வொரு மு மாகப் பினே க்கப்பட்டுள்ளன. அவற் றும் 22 நீளமுடைய இரு இழைகளி கட்பட்டுள்ளது, இழைகளின் மறுமுக் புள்ளியிற் கட்டப்பட்டுள்ளன. இக்ே சீரான வட்டத்தட்டொன்று வைக் கோல்களிடைப்பட்ட கோனம் 28 PW = 2asin 29 tan 9 I 3 V -- 2 W ] அழுத்தமானவை எனக் கொள்க
38 ABC என்பது சீரான ஒரு மு விரிகோணமாகும் இத்தட்டானது, படிந்தவாறு ஒரு நிலைக்குத்துத்தளத் றது தட்டின் நிறை W ஆயின் தட் விடப்படக்கூடிய பெரிய நிறை
1. a? + '3b2 =
3 ( c2 -- aa = { giảič a = BC, b = CA, c = AB யாது கூறலாம்?

ான்று ஆரை aw/3 உம் அச் சு * ଜୟ୍ଯ அரைக்கோளத்தினுள்ளே ஒடு ளது கிண்ணத்தின் விளிம்பிற்கு டிருக்கு மெனக் காட்டுக. இவ்வாறு நீளம் 3 2/2 எனவும் காட்டுக.
ஆரை Y உடைய ஒர் ஒப்பமான ழுமையாகக் கிடக்கின்றது அதன் ன் ஒ ம் நீளப் பகுதிகளாகப் பிரிக் நிலையில் கோல் உள்ள போது அது 8. ஆயின்
) எனக் காட்டுக.
இலுள்ள மறுதாக்கம்
- எனக் காட்டுக.
b
1றிக.
V நிறையு முடைய இரு சீரான மனைகள் ஒரு புள்ளியில் சுயாதீன றின் மறுமுனைகளில் ஒவ்வொன் ன் முனைகளில் ஒவ்வொன்று இணைக் னகள் வளையொன்றிலுள்ள ஒரே கால்களிடையே ஆரை உடைய
கப்படுகின்றது. சமநிலையி ன்புேது ஆயுள்ளது, ഴ്ന്ന
எனக் கரிட்டுக. fit is
க்கோணித் தட்டாகும். < C ஒரு விளிம்பு AC ஒரு கிடைமேசைமீது தில் ABC அமையுமாறு நிற்கின் டு கவிழாதவாறு B இற் தொங்கி
C2 s 高一 ) W எனக் காட்டுக.
ஆகும் 3ே > a + 3b ஆயின்


Page 30
38. உயரம் h உம் அரையுச்சிகி திண்மக் கூம்பொன்று அதன் அ சுவர்மீது முற்றாகப் படிந்திருக்கு யும் சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளியை தாங் கப்படுகின்றது, இழையும் க தான ஒ ந தளத்தில் உள்ளன, ! பெரிய இழையின் நீளம் h V
40. A, B C என்பன ஒவ் வொல் உடைய சர்வசமமான உருளைகள் R ஆகவுமுள்ள நிலையான பொன் உருளைகள் சமச் சீராகவும் கிடை இவற்றின் மீது உருளை A ஆன எல்லா உருளைகளினதும் அச்சுக்க உள்ளன. அவற்றின் தொடுபரட் நிலையில் கீழ் உருளைகள் B, C ெ R < r ( 1 + 2y/7 ) எனக் காட்
திரிகோணகணிதக் குறிப்புகள்
1) sin (A+B) = sinA cost
cos (A+ B) = cosA cos
tan (A+ B) = (tanA + 1 2) sin 2A = 2sinA cosA
cos 2A = cos A - sin A
= 2cos A-- | tan 2A = 2 tanA /(1 -
3) முக்கோணி ABC இல்
b
sin A sinA = sinB =
sinB c* = a*+b8 - 2ab/co!

24 -
கோணம் ~ உம் உடைய சீரான டி ஓர் அழுத்தமான நிலைக்குத்துச் மாறு வைக்கப்பட்டு அதன் உச்சியை பும் இணைக்கும் இழை யொன்றினால்த் கூம்பின் அச்சும் சுவரிற்குச் செங்குத் இவ்வாறான சமநிலைக்குச் சாத்தியமான * + 16 tan?r ) / 3 எனக் காட்டுக.
ன்றும் ஆரை r உம் நிறை W உம் சாகும் . அச்சு கிடையாகவும் ஆரை ர் உருளை ஒன் றினுள்ளே B, C ஆகிய யாகவும் வைக்கப்படுகின்றன. பின் து சமச்சீராக வைக்கப்படுகின்றது. கள் சமாந்தரமாகவும் கிடையாகவும் ப்புகள் அழுத்தமானவையாகும் இந்
தாடுகையில் இருப்பின் டுக.
iா?
3 + cosA sinB B - sinA sinB anB)/(|-- tanA tan B |
= |-- 2sin A
tan2A)
sinc
C.


Page 31
4. மூட்டிய
1. அ) ஒவ்வொன்றும் W நிறையு AB, DC என்பவற்றின் முனை கள் A, திலுள்ள இந புள்ளி களுடன் அழு இவற்றின் மறுமுனைகள் B, C என்பன ஓர் இலேசான கோலின் முனைகளுடன் டுள்ளன. கோல்கள் சம நிலையில்த் ;ெ நிலைக் குத்துடன் 30° ஐ அமைக்கின் மூட்டு B இனால் AB மீதான மறு த இழுவையா, உதைப்பா க'7 ணப்படுகி
ஆ) சீர்ச் சமகோல்கள் AB, சமநிறை W உம் உடையன. முனைகள் டத் சி லுள்ள புள்ளிகளுடன் ஒப்பமா களின் மறு முனைகள் B இல் ஒப்பமாக சம நிலையிற் தொங்கும் போது அ  ை அமைப்பின் மூட்டு B இனால் கோல்
2. ஒவ்வொன்றும் 2a நீளமும் சீர்ச் சம்கோல்கள் A B, C, D இல் பக்கல் ABCID பெறப் படுகின்றது. / விடப்படுகின் றது. B D ஐ இணைக்கு ABCD ஆனது சதுர வடிவிற் பேனா BD இலுள்ள விசையையும் மூட்டு (
3. ஒவ் வொன்றும் 2a நீளமும் ஆகிய சீர்க்கோல்கள் B இல் ஒப்பமா புள்ளி X இலும் BC ஆனது புள்ளி லுள்ள இரு அழுத்தமான முளைகளின் உம் BY = y உம் ஆயுள்ளபோது ே லுள்ளன X, Y இல் மறுதாக்கங்கை காட்டுக .
அ) x > 3 ஆயின் y < a ஆகு ஆ) 2xy = 2 ( x + y) இ) B இல் கோல்கள் மீதான
பருமனுடையன. ( x > இன் பெறுமானத்தையும்

கோல்கள்
டைய சீரான இரு சம கோல்கள் D என் பன ஒரே கிடைமட்டத் த்தம் 7கப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன . 7 AD இலும் சிறிய நீளமுடைய ன் அழுத்தமாகப் பிணைக்கப்பட் தாங்கும்போது AB, DC என்பன எறன, B C கிடையாகவுள்ளது. பக்கம் யாது ? கோல் BC இல் என்றது ?
- BC என்பன சமநீளம் 2a உம் ள் A, C என்பன ஒரே கி.ை மட் சக மூட்டப்பட்டுள்ளன. கோல் 5 மூட்டப்பட்டுள்ளன. கோல்கள் வ நிலைக்குத்துடன் 20 கோணம் களில் மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
- W நிறையுமுடைய நான் கு அழுத்தமாக மூட்டப்பட்டு நாற் A இலிருந்து இத் தொகு தி தொங்க தம் ஓர் இலேசான சட்டத்தினால் அப்படுகின்றது. குறுக்குச் சட்டம் C இல் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
-W நிறையு முடைய AB, BC க மூட்டப்பட்டுள்ளன AB ஆனது Y இலும் சக ஒரே கிடைமட்டத்தி னால் தாங்கப்படுகின்றன, BX = x கோல்கள் கிடைநிலையிற் சமநிலையி
ளக் காண்க. பின் வருவனவற்றைக்
தம்
மறு தாக்கங்கள் W (x -y) / (x+y) y) ஆகும் x = 2a ஆகும்போது y காண்க.


Page 32
4 ஓரே நீளமும் சம நி றை W A, B, C, D ஆகிய புள்ளிகளில், ளாக, அழுத்தமாக மூட்டப்பட்டு A இலிருந்து தொங்கவிடப்பட்டு 2 இணைப்பதன் மூலம் ABCD என்ற இழை AC இற் காணப்படும் இழு இனால் கோல்களில் மறுதாக்கங்களை
5. A இல் அழுத்தமாகப் பின் AB, AC என்பன சம நீளங்களும் யன. B, C என்பன ஒரே மட்டத் பட்டு கோல்கள் தொங்கவிடப்பட் கீழே A இன் ஆழம் d உம் ஆயின் கங்களின் கிடை, நிலைக்கூறுகள் முன்
( W + V ) a W - v
4d- ' ஆகிய
டப்பட், ABCD-ம் சர்வத..
6. டாரமானவையும் சர்வசமமா சாய்சதுரம் ABCD ஐ அமைக்குமா. டப்பட்டுள்ளன, ஒவ்வொன்றும் W' | பாடானது A இலிருந்து தொங்க புள்ளிகளை இணைக்கும், அளவான , ABCD ஆனது சதுரவடிவிற் பேண தின் கிடை, நிலைக்கூறுகளைக் காண்க உதைப்பு 4 W எனவும் காட்டுக.
7. ஒவ்வொன்றும் W நிறையுன கோல்கள் B இல் ஒப்பமாக மூட்டப் யான ஒப்பமான ஓர் உருளை மீது ே தொடுகையிலிருக்குமாறு வைக்கப்பட் ளையின் அச்சிற்குச் செங்குத்தாயுள்ள தம்மிடையே 90° ஐ அமைக்கின்றன மும் உருளை யின் விட்டத்தின் இரும்பு யலினால் கோல்களில் மறுதாக்கத்தை
8. AB, AC என்னும் சமபாரமா இல் சுயாதீனமாகப் பிணைக்கப்பட்டு முனை B உம் ஒரு சிறிய இலேசான ளன. B, C என்பன ஓர் அழுத்தமா ABC ஆனது நிலைக்குத் தாக வைக்கப் சமநிலையிற் சட்டங்கள் உள்ளபோது லுள்ள இழுவையை சட்டமொன்றின் மூட்டு A இல் கோல்களில் மறுதாக்க

26 --
உம் உடைய நான்கு சீர்க்கோல்கள் இரண்டிரண்டு கோல்களின் முனைக ள்ளன இச் சட்ட வேலைப்படானது 1, C என்பவற்றை ஓர் இழையினால் > சதுர வடிவிற் பேணப்படுகின்றது. விசையையும் மூட்டுக்கள் B, C, D ரயு ம் காண்க. ணைக்கப்பட்ட இரு கோ ல் க ள் முறையே W, V நிறையும் உடை திலுள்ள புள்ளிகளுடன் பிணைக்கப் டுள்ளன. BC = 2a உம் BC இற்குக் A இல் கோல்கள் மீதான மறுதாக் றையே 1 பருமன்களுடையன எனக்காட்டுக.
னவையுமான நான்கு சீர்கோல்கள் று முனைகளிற் சுயாதீனமாக மூட் நிறையுடையன. இச் சட்ட வேலைப் விடப்பட்டு BC, CD இன் நடுப் நீளமுடைய இலேசான கோலினால் -ப்படு கின் றது. B இல் மறுதாக்கத் 5. இலேசான கி டைக்கோலிலுள்ள
டய AB, BC ஆகிய சீர்ச் சம் பட்டு, கிடையாக அச்சுள்ள நிலை "கால்களின் ஒவ் வொரு புள்ளி ட்டுள்ளது. கோல்களின் தளம் உரு -து. சம நிலை பின்போ து கோல்கள் - எனின் ஒவ்வொரு கோலின் நீள டங்காகு மெனக் காட்டுக. பிணை
யும் காண்க. -ன சம நீளச் சீர்ச்சட்டங்கள் A ள்ளன. AC இன் நடுப்புள்ளியும்
இழையினால் இணைக்கப்பட்டுள் ன கிடைத்தளத் தில் இருக்குமாறு படுகின்றது. இழை இறுக்கமாகி (BAC = 60° ஆகும், இழையி T நிறை, W, சார்பாகக் காண்க. கத்தையும் காண்க.


Page 33
- 27
9. ஒவ் வொன்றும் W நிறையுடை கள் சமபக்க முக்கோணியொன்றை பட்டுள் ளன. இத் தொகுதியானது ! (சுவரொன்றில் நீண்டுள்ள ஓர் ஆணி யுள்ள மூட்டினால் கோல்களில் மறுத மூட்டுக்களினால் கோல்களில் மறு தாக் டுக இவற்றின் திசைகளையும் குறிப்பு
10. AB, AC என்னும் சமநீளமுை M, N திணிவுகளுடையன. இவை A பட்டுள்ளன. முனைகள் B, C என்பன றினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. கோல் முக்காற்பங்கு தூரத்தில், திணிவு m டுள்ளது. B, C என்பன ஓர் ஒப்பமா ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலுமிருக்க சம நிலையின் போது 

Page 34
oc = 30° - 25 e ệg 60° புள்ளிகள் ஒர் இலேசான இழை பிணேயலில் ஒரு கோல்மீதான L இழுவையின் பருமனின் இரு மட
13. சமநீளமும் சமநிறை, W, முனைகளில் சுயாதீனமாக மூட்ட கப்பட்டுள்ளது BC, DE இன் இழையினல் இணைக்கப்படுகின்ற பரப்பின் மீது இருக்குமாறு AB ஒர் ஒழுங்கான ஐங்கோணி வடி இந்நிலையில் இழை இறு க் க ம cot ( 7 5 ) -- 3cot ( 27 5
14 ஒரே நிறை W உடைய ஆறு E, F இல் முனைகள் சுயாதீனமா அறுகோணிச் சட்டவேலைப்பாடு
தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. B, களால் குறுக்கிடப்பட்டு A B அறுகோணி வடிவிற் பேணப்படு: இலுள்ள உதைப்புக்களையும் மூ! மீதான மறுதாக்கங்களையும் கா6
இணேயின் பிரயோகம்
15. AB, AC STGÖTLJGOT 323i (O) u fr சீர்க்கோல்களாகும். BC என்பது யுடையதுமான பிறிதொரு சீ ABC ஐ ஆக்குமாறு A, B, C இ6 இம் முக்கோணி B இனூடான
தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. BC கி கீழாயும் இருக்குமாறு கோல் A பட்டு முக்கோனிச் சட்டம் சமநி
அ) இணையின் திருப்பத்தை
· s2) CA LEgi EC, BA ளின் கிடை நீ லேக் கறு ܦ ܟ ܲܦܢ

ܢܝܓܫ 28 -
இற் பேணுதற் த கோல்களின் நடுப் பினர் இணைக்கப்படின் சமநிலையில் மறுதாக்கத்தின் பருமன் இழையிலுள்ள உங்காகுமெனக் காட்டுக
உம் உ_ைt ஐந்து சீரான கோல் ள் ப்பட்டு ஐங்கோணி ABCDE உருவாக் நடுப்புள்ளிகள் ஒர் இலேசான சிறிய மன பின் CD ஆனது ஒரு கிடைப் CDE og 69Cl5 நிலைக்குத்துத் தளத்தில் வில் சமநிலையில் வைக்க முடிகின்றது. ா யிருப் பி ன் அதிலுள்ள இழுவை
W எனக் காட்டுது
சமமான சீர்க்கோல்கள் A, B, C, D, மூட்டப்பட்டு A B CD E F என்ற பெறப்படுகின்றது. இது A இலிருந்து F D_th C, E o th இலேசரன தேர
CD EF ஆனது ஒர் ஒழுங்கான நின்றது. கிடைக்கோல்கள் BF, CE ட்டுக்கள் B, C, T) இனல் கோல்கள்
ன்றும் 23 நீளமும் W நிறையுமுடைய
4 a Sin e நீளமுடையதும் V நிறை கோலாகும். இவை முக்கோணி சுயாதீனமாக மூட்டப்பட்டுள்ளன. அச்சாணியிலிருந்து சுயாதீனமாகத் டையாகவும் A ஆனது BC இற்குக் இற்கு ஒர் இணை பிரயோகிக்கப்
பேணப்படுகின்றது.
|ւն,
இல் உஞற்றப்படும் மறுத7 க்கங்கு வே யும் 17


Page 35
- 29
16. நான்கு சமமான கோல்கள் பூ சாய்சதுரம் A B C D பெறப்பட்டு களை இலேசான சிறிய இழை யொல் யானது ஓர் அழுத்தமான மேசைப் கிடையாக வைக்கப்பட்டுள்ளது.
டைய இணையொன்றைப் பிரயோகிட் ஒரு நிலையிற் பேணப்படுகின்றது . ( இங்கு 8 < 900. இழையிற் காண எனக் காட்டுக.
17, AB, BC, CD என்பன முறை இலேசான கோல்களாகும். இவை ] மூட்டப்பட்டுள்ளன A, D என்ப [ 0 +V( a2 + c2 )] இடைத்துாரத் பமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள் ளன, C இ ளது. கோல் BC ஐக் கிடை நிலை யிற் கிக்க வேண்டிய இணையின் பருமன் !

மனைகளில் ஒப்பமாக மூட்டப்பட்டு ள்ளது. AD, DC இன் நடுப்புள்ளி என்று இணைக்கின்றது. இத் தொகுதி மீது, BC நிலையாக இருக்குமாறு, AB என்ற கோலிற்கு L பருமனு ப்பதால் இழையானது இறுக்கமான இந்நிலையில் - ABC = 28 ஆகும். ப்படும் இழுவிசை 2L/(AB cose)
யே a, b, c நீளமுடைய மூன்று B, C ஆகிய முனைகளில் ஒப்பமாக பன ஒரே கி  ைட ம ட் ட த் தி ல் திலுள்ள இரு புள்ளிகளுடன் ஒப் ஒல் நிறை W தொங்கவிடப்பட்டுள் - பேணுதற்கு அதற்குப் பிரயோ Wbc2 /(a2 + c? ) எனக் காட்டுக.
யாரிப்யா
எம்.


Page 36
1 அ) மாருப் பருமன்களுடை மனின் உயர்வு, இழிவுப் பெறும விசைகள் OC கோணத்திற் செய பருமன்
v { P2 ცOS2 (-) -- Q.
ஆ சமாந்தரமற்ற இருவின இற் சந்திக்கின்றன. இவற்றின் மன் R உம் ஆகும். நேர்வரை ெ தாக்கக்கோடுகளை முறையே A,
P Q OA T + OB T =
2. ஒரே கிடைமட்டத்திலுள்ள இழை பின் முனைகள் இணைக்கப்பட வேருண புள்ளிகள் A, B இல்
துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டுள் நிலையிற் தொங்கிக் கொண்டுள்ள இறுக்கமாயும் PA, AB, BQ என் கோணங்களை அமைத்தவாறும் :
3 tan 6 = 2 tam oC =
3. விசைகளிற்கான விகிதத் துே P என்பது முக்கோணி ABC
<ܣܛܔܗ >- <ܥܹ= g5 Lř. X. PA, XNPB, X PC GT Gör. Ja (தாக்கக்கோடு) ஆகியவற்றில் 6
-> னதும் விளையுளானது 3XPG இ
டுக இங்கு G என்பது மூக்கோ

உதாரணங்கள்
ജ ജ്ഞ
ய இரு விசைகளின் விளையுளின் பரு ானங்கள் முறையே P, Q ஆகும். அவ் ற்படும் போது அவற்றின் விளையுளின்
OC e 2 sin2 (-) எனக் காட்டுக
சகளின் தாக்கக்கோடுகள் புள்ளி 0 பருமன்கள் P, Q உம் விளையுளின் பரு பான்று இவற்றின் (P, Q, R இன் )
B. M இற் சந்திக்கின்றது.
༈ས་ எனக் காட்டுக
புள்ளிகள் P, Q இற்கு ஒரு நீளா ட்டுள்ளன. இ ைழ யிலுள்ள இரு முறையே m, 2m திணிவுகளுடைய ளன இவ்வாறு துணிக்கைகள் சம போது இழையின் பகுதிகள் யாவும் ாபன கிடையுடன் முறையே 0, 8, 8
உள்ளன,
= ta08 எனக் காட்டுக.
ஏற்றத்தைக் கூறுக.
இன் தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியா
வற்றினுல் பருமன், திசை, தா ன ம் வகைகுறிக்கப்படும் மூன்று விசைகளி
ஞல் முற்ருகத் தரப்படுமெனக் காட் ணிை ABC இன் மையப்போலி ஆகும்.


Page 37
பட 31 .
4. ABCDEF என்பது a பக்க நீளமுன் யாகும். AB, BC, CD, DE, EF வழி விசைகள் செயற்படுகின்றன. இவ் ஐந்து பருமனை யும் திசையையும் காண்க. இலிருந்து எவ்வளவு தூரத்திலுள்ளது தொகு திச் ச ம வலுவானதாக CD, F/ விசைகளைக் காண்க,
5. ABCD என்பது a பக்கமுடைய ஒ; யான து AB, B0, CD, DA வழியே பருமன் களுடைய நான்கு விசைகளையும் திருப்பமுடைய இணை யொன்றையும் 4ெ னது PV 2 பருமனுடைய ஒரு தனி விக் காட்டுக. இவ் விசையின் தாக்கக்கோடு | காண்க.
6. ABCDEF என்பது ஓர் ஒழுங்கான DC, ED வழியே முறையே 2P, P, 2! களும் EF, AF வழியே முறையே hP, களும் செயற்படுகின்றன. மேற்படி ஆறுவி
அ) EB வழியே செயற்படும் ஒரு மாறு h, k இன் பெறுமானங்களைக் கால்
ஆ) சமநிலையடையுமாறு h, k இற் களைக் காண முடியாது என்பதை விளக்கு
7. ABC என்பது ஒரு சம்பக் 5 முக்கே இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே L, M, N நியூ. விசைகள் முறையே AB, BC, CA செயற்படுகின்றன. இவ்விசைத் தொகுதி 1 டுக.
அ) தொகுதி ஓர் இணையாக ஒடுங்கு
P = 2 எனவும் Q = 3 என ஆ) தொகுதியானது N இனூடான வானதாயின் Q = 5 எனக் காட்டுக. கு ஆயின் அவ்விசையின் பருமனையும் அதன் டும் புள்ளியையும் காண்க.

டெய ஓர் ஒழுங்கான அறுகோணி யே சம்பருமன்கள் P உடைய து விசைகளினதும் விளையுளின் விளையுளின் தாக்கக்கோடு A 3. இவ் ஐந்து விசைகளினதும் \ வழியே செயற்படும் இரு
த சதுரமாகும். ஒரு தொகுதி
செயற்படும் 2P, 2P, P, 3P -- ABCD சுற்றுப் போக்கில் Pa 5ாண்டுள் ளது. இத் தொகுதியா சைக்குச் சம வலுவான தெனக் AB ஐ வெட்டும் புள்ளியையும்
அறுகோணியாகும். AB, BC ', P பருமன்களுடைய விசை kP பருமன் களுடைய விசை சைகளினதும் தொகுதியானது தனி விசைக்குச் சமவலுவாகு ண் க . கு சாத்தியமான பெறுமானங் 5க
ரணியாகும். BC, CA, AB
ஆகும், 1, 2, 3, P, Q, 1 4, NM, ML, LN வழியே நாப்பமடையாது எனக் காட்.
தமாயின் எவும் காட்டுக .
ஒரு தனிவிசைக்குச் சமவலு இச் சந்தர்ப்பத்தில் P = 4 தாக்கக் கோடு BC ஐ வெட்


Page 38
i
8. ஆள்கூற்றச்சுக்கள் Ох, Оу (g
முறையே ( 9a, O ), ( or - 4a ), வழியே முறையே 15P, S, I LJ படுகின்றன. இவ் விசைகள் ஒர் இ
அ) P சார்பாக S. T இன் ஆ) இணைபின் திருப்புத்திறன்
இ) இணையின் போக்கு யாது
9. முக்கோணி ABC இன் பக்கங் P, Q, R பருமன்களுடைய 蔷0到
விளையுளின் தாக்கக்கோடு A)
அ) நிமிர்மையத் தினுTடும் உ P : Q R = ( secB -S
ஆ) நிமிர்மையத்தினூடும் சு P i Q = ( b 2 — c2 ) Cos
மேற்படி மூன்று விசைகளும்
சமவலுவாயின்
P Q 靶 உ - கட ைஇ -
貂 b C
இங்கு A என்பது ABC இன் ப
10. P, Q, R பருமன்களுடைய
பக்கங்கள் BC, CA, AB வழியே
S பருமனுடைய ஒரு தனிவிசை S2 = P2 -- Q -- R* - 2
எனக் காட்டுக
11. ABCD என்பது பக்க நீள BC, CD, DA, BD o AIGL (p6; செயற்படுகின்றன. இவற்றின் ே AD என்பவற்றை முறையே X விளேயுளின் தாக்கக்கோட்டின் ச

ہے۔ 2ؤ
றித்து A, B, C இன் ஆள்கூறுகள்
<= <- ܥܹ-ܢ ( 6a, 42 ) ஆகும். BC OA) CA ருமன்களுடைய விசைகள் செயற்
ணையாக ஒடுங்கினல்
பெறுமானங்களைக் காண்க
ண் a, P சார்பாகக் காண்க,
கள் BC, CA, AB வழியே முறையே கள் செயற்படுகின்றன. 3C இன்
ள் மையத்தினூடும் செல் லின் ecC ) : (secC-secA) : (secA secB}
ற்றுமையத்தினூடும், தெல்லின் A : ( c2 - a2) cosB எனக் காட்டுக.
இருப்பம் G உடைய ஒர் இணைக்குச்
உ உட்ட எனக் காட்டுக.
2 Δ
ரப்பின் எண்பெறுமானமாகும்,
விசைகள் முக்கோணி ABC இன் முறையே தாக்குகின்றன. இவை ந்கு சமவலுவாயின்
QR cosA - 2RP cos B - 2PQ cosC
ம் a உடைய ஒரு சதுரமாகும், AB, றயே 1, 3, 5, 7, 8/2 N விசைகள் ளேயுளின் பருமனைக் காண்க, AB, y நேர் அச்சுக்களாகக் கொண்டு மன்பாட்டைக் காண்க


Page 39
33 ܗܝ
12. தளம் Oxy இற் செயற்படும் ஒரு A ( 2, 0}, B ( 0, b ) பற்றிய திருப் ஆகும். இங்கு L + o, p, q + 1 ஆ விளையுளின் தாக்கக்கோடு T k, o ) k ஐயும் விளையுளின் பருமனையும் 3, விளையுளின் தாக்கக்கோட்டின் சமன்ப
(ューpり一主ー+(-a)
13. ஒரே தள விசைத்தொகுதியொன் சமவலுவான் நிபந்தனைத் தொடை
முக்கோணி ABC இன் உள்வட் AC, NA, LB வழியே முறையே ? ?, ! பருமன்களுடைய விசைகள் செயற்சி சமனி%லயில் இருக்குமெனக் காட்டுக
ABCD என்பது ஒரு செவ்வகப்
ཟ> மீதுள்ள ஒரு புள்ளி P ஆகும். FA முற்ருகக் குறிக்கப்படும் விசைகளின் டையதும் சுற்றுவட்டத்தின் மைய உடையதுமானதெனக் காட்டுக.
ਭ அ ,ை =>
ஜாக் காண்க.
5. முக்கோணி ABC இன் நிமிர் வழியே முறையே X3, Xb, Χο L1 படுகின்றன, இவ்விசைகளின் தாக்க Gunti G)ay 3-Lo (όσιτοδοτιο θ ( < 9 னின் விசைத்தொகுதி ஒர் இணைய திருப்பம் ஆXAsin8 பருமனுடையது பது முக்கோணியின் uprůSaši staří
6. ஒரு திண்ம செவ்வட்டக் கூ ஆரை இ உம் ஆகும். ஓர் இலேசா உச்சியுடனும் மறுமுனே கூம்பின் யுடனும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. L雪

த விசைத்தொகுதியின் O ( o, ο பங்கள் முறையே L, PL, գL கும். இவ்விசைத் தொகுதியின் என்ற புள்ளியூடு செல்கின்றது. b, p, q, L. Firfiřtu Tas iš afrišč7 is FG
y
;sfTit.(B48وئی بھی TقrGiچ 11 میتھ۔ --سے
b
ன்று சமநிலையில் இருத்தற்கான, 5ள் மூன்றினைத் தருக,
 ܸܝܼܨ
GOLD LJih. I 24, g5 Lib. AB, BC, 2P, 4P cos ( A/2 ), 2P cos ( B/ 2 ) டுகின்றன. இவ்விசைத் தொகுதி
bாகும். இதன் சுற்று வட்டத்தின்
一参,一>,一>
PB, PC, PD என்பவற்றினுல் விளையுளானது, மாறுப் பருமனு
த்தினூடான தாக்கக்கோட்டை
றிக்கப்படும் விசைகளின் விளையு
OLD LJih H -2ggub. AH, BH, CH ருமன்களுடைய விசைகள் செயற் க்கோடுகள் A, B, C பற்றி ஒரே 0°) இனல் சுழற்றப்படுகின்றன. ாக மாறுமெனக் காட்டுக. இதன் எனவும் காட்டுக. இங்கு A என் பெறுமானமாகும்.
ம்பின் உயரம் h உம் அடியினது ன இழையின் ஒரு முனே அடியின் விளிம்பிலுள்ள ஒரு புள்ளி ன் இழையானது ஓர் அழுத்தமான


Page 40
முளையின் மீது போடப்பட்டு கூம்பு அச்4 கி டையாக இருக்குமாறு நீளம்) v( h2 + 4 22 ) எனக் கா
17. கோல் AB இன் ஒரு முனை டை ஓர் அழுத்தமான சாய் த6 ஓர் அழுத்த ம ன நிலைக்குத்துச் யிலுள்ளது அப்போது கோலால் கின்றது. எனின் AG ? GB = காட்டுக. இங்கு G ஆனது கோ
18. இரு தளப்பரப்புக்களும் தி
னால் ஆக்கப்பட்ட, உருளையொன் அச்சு நிலைக்குத்தாயிருக்குமாறும் தொடுகையுலிக்குமாறும் வைக்க உம் நிறை W உம் ஆகும். உரு. V நிறையு முடைய இரு ஒப்பமான வைக்கப்படுகின்றன. இங்கு 2a> ழும் தறுவாயில் மட்டாக நிமிர்ந் சார்பாகக் காண்க.
19. AB என்னும் ஏணியொன்று உம், அழுத்தமான நிலைக்குத்துச் வாறும் நிலைக்குத்துச் தளமொன்) யீர்ப்பு மையம் G ஆனது கீழ்மு? AG 1 GB = 2:3 ஆகும். முனை தாக்கக்கோடான து நிலைக்குத்துப் அமைக்கின்றதெனத் தரப்பட்டுள் கோணம் tan -1( 4 / 5) எனக் கா
A இற் செயற்படும் உராய்வு வி.
20. நிறை W உடைய சீரான தரையிலும் மறுமுனை ஒப்பமான குமாறு கோல் சமநிலையிலுள்ளது. யில் மறுதாக்கம் W 13 ஆயுள்ள. தாக்கத்தைக் காண்க நிலைக்குத்து முனையிற் செயற்படும் உராய்வு வ

- 34 -
பு தொங்க விடப்பட்டபோது கூம்பின் அது சம நிலையடையின் இழையின் ட்டுக,
- A ஆன து கிடையுடன் C சாய்வு ளத்தின் மீதாயும் மறுமுனை B ஆனது சுவர்மீதாயும் இருக்கக் கோல் சமநிலை எது கிடையுடன் 3 கோணம் அமைக் sinoc sin/3 : Cos (a + 3) எனக் லின் புவியீர்ப்பு மையமாகும்.
மந்துள்ள சீரான, மெல்லிய தகட்டி று ஓர் அழுத்தமான தளத்தின்மீது வட்டவிளிம்பொன்று த ள த் தி ல் கப்பட்டுள் ளது. உருளையின் ஆரை a ளை யினுள் ஒவ்வொன்றும் r ஆரையும் ன கோளங்கள் ஒன்றன்மீது ஒன்றாக - 2r > a ஆகும். உருளையானது கவி எது நிற்கின்றதெனின் V ஐ a, 1, W
- ஒரு கரடான தரையில் முனை A
சுவரொன்றில் முனை B ப டி ந் த Dற் சமநிலையிலுள் ளது. இதன் புவி னை A இற்கு அண்மையிலிருக்கின்றது. A இல் தரையினால் மறுதாக்கத்தின் உன் fan-1 ( 1 / 2) என்ற கோணம் ளது. கோல் கிடையுடன் அமைக்கும் ட்டுக. ஏணியின் நிறை W ஆயின் சையைக் காண்க.
கோலொன் றின் ஒரு முனை கிடைத் நிலை குத்துச் சுவரிற்கெதிராயும் இருக் - அப்போது சுவரினால் மேல் முனை து. தரையினால் கீழ்முனையில் மறு துடன் கோலின் சாய்வென் ன? கீழ் பிசை யாது?


Page 41
- 35
21. கிடையுடன் சம சாய்வு 0C உ6 தளங்கள் அவற்றின் அடியில் ஒரு கின்றன, A, B, C என்பன சம ஆள் சர்வசமமான மூன்று சீரான அழுத்தம் பன ஒவ்வொன்றும் ஒரு தளத்தைத்
யாகவிருக்குமாறும், சமச்சீராக சாய் டுள்ளன. பின் உருளை C ஆனது A, ருக்கு மாறு சமச்சீராக வைக்கப்படு இருப்பின் அவற்றிடைப்பட்ட தாக்க றின் நிறை, OC சார்பாகப் பெறுக கான நிபந்தனை tan cc > w/319 என்
22. ஒவ்வொன்றும் 22 நீளமும் Wi ஆகிய நான்கு சீர்கோல்கள் A, B, C, டுள்ளன. BC, CD ஆகிய தோல் களி முடைய கோல் R இனல் இணைக்கப் னது A இலிருந்து சுயாதீனமாகத் ே காணப்படும் வசையைத் தீர்ம ணிக்கு பருமன்கள் முறையே WW (25ta எனவும் காட்டுக.
22. ஒர+ன மெல்லிய நேரிய கப் 350 pmwi. நிறையுமுடையது. இது துண்டுகளாக்கப்பட்டு A, B, C (2).sb AB, BC, CA - 3: 4: 5 g (5th. (3) இலிருந்து இழையொன்றினுல்த் தொ போது AB கிடை யுடன் அன மக்கு காட்டுக மூட்டுக்கள் B, C இல் மறு
24. திரான ஏகவினமான தோடுலா முனைகளில் ஒப்பமாக மூட் டப்பட்டு படல் ஆக்கப்பட்டுள்ளது. இது உச் தொங்கவிடப்பட்டபோது BC கிடை கோலின் ஓரலகு நீள த் தி ன் நிை முனே Β 3 காண்க அத்துடன் நிலக்குத்து
sin B tan-1 cot C (l +でエ
ജൂ =ബ- ' "% മൃച്ഛക്ത
6X, A یکبر(4.ے '

ຫຼື ມ @ @ @ 1 A To
இடைக்கோடு 1 இற் பொருந்து ரைகளும் சம நிறைகளுமுடைய மான உருளைகளாகும். A, B என் தொடுமாறும் அச்சுக்கள் கிடை தளங்களினிடையே வைக்கப்பட் B மீது அதனச்சும் இடையாயி கின்றது. A, B தொடுகையில் தேனின் பருமனே உருளையொன் A, B என்பன பிரியாதிருத்தற் ஜூத் ஆாட்டுக.
ைேறயுமுடைய AB, BC, CD, DA D இல் ஒப்பமாக மூட்டப்பட் ன் நடுப்புள்ளிகள் 22 sin e, ßaar பட்டுள்ளது இச் சட்டப்படலா தாங்கவிடப்படின் கோல் R இற் நக, B, C இல் மறுதாக்கங்களின் 2G + 4 ) | డి 5 W ( tam 6 ) / 2
και η δ μ τ σύr OI 120 Ο Πλ fŠarupeň AB. BO, CA, 21, FIL (Lp og சுயாதீன மாக ോമിൿ നൃഴ ம் முக்கோணப் படலானது A. :டப்படுகின்றது. சமநிலையின் 3cm tan-1(4/3) エ* தாக்களையும் காண்க. ன்று மூன்று துண்டுகளாக்கப்பட்டு ABC என்ற முக்கோணிச் சட்டப் சி A இலிருந்து ஒர் இழையினுற் டயாயிருக்கச் சமநிலையடைந்தது. ற w ஆகும். AB = .ே BC se a, ற் செயற்படும். மறுதாக்கத்தைக் டன் அமைக்கும் கோணம்
) எனவும் காட்டுக.
:തമ ിഗമിച്ച


Page 42
பெறுமானங்கள், ே
அலகு 1 (பக்கம் :- 1
அ) 7N. tan-1 (3 + 3 /- ஆ) 26N, 16N விசையுட இ 15N, 12N விசையுட
அ) 60°,
ஆ) 2N அ) P 2 12, 693 N, ஆ) 6y 5N, 10N விசையு
அ) 45°, ஆ) 1 20°, { 3. ' ( m - 1)/(m + 1
அ) 10N, AB யுடன் tan
ஆ) 20N, AB யுடன் tan - 12. அ) 1893 N வடக்கே, 14. ஆ) 1: y8 : N/3 15. 26N, PQ உடன் tan-1 (12 16, P = v5. Q - 34/2 19. அ) (g/4) N, ஆ}
மான விசை சிறியது. 20 F= 8g / 3, இழுவை -. 21,
இழுவை 0 . 125 kgwt 22.
A இற்கு இணைத்த இன
(8 / 5) kgwt 23.
( 7g / 2 ) N, தளத்திற்குச் 25,
by 3 (v/3 - 1) kgwt, 10

காவைகள், முடிபுகள்
-5)
13 ),
ன் 14n-1 ( 7/3/29 ) உன் tan 1 ( 8 / 4 )
டன் tan-1 ( 2/11 ) EOS-1 ( - 7 / 8 ) = 151
( இ / 4 3) 1( 3 / 4 )
ஆ) 10N, ABயுடன் 60*
| 5), போக்கைப் படத்திற் காட்டுக.
' gV3/6) N, தளத்திற்குச் சமாந்தர
( 10g / 3) N
ழயில் ( 6 / 3) kgwt, மற்றயதில்
சமாந்தரமாக, ( ?// 3g / 2 ) N 1 (V/3 -1) kgwt,


Page 43
அலகு 2.( பகி
1. 14N, A இலிருந்து 5m இல். 2. 5N ( பெரிய விசையின் போக்!
இலிருந்து 2m இல்.
13N, tan 1 ( 3/12 ) , AD ? 5. 10y 2N, ABயுடன் 450, 0. 6. 12, 2N, ABயுடன் 450, A! 7. 2N, சமாந்தரம் BA, நீட்டப் 8. 245N, ABயுடன் ta0 -12, A 9. 5N, AB புடன் tan-1 ( 4/3 ), 10. 7N, ADயுடன் tan-14/3, 11. 8N, 30°; ( 33/4 )m , ( 38/8 12. P - 15 ,15N , 309 13. P = 10, 20 N, B இலிருந்து ( 14. X = 6 15. P= 6, CE=13 ற 16. P = 1('v3, Aஇலிருந்து (1 17. 8N 18. P = 6, 20N, tan-1 ( 4/3 ), 19 B இனூடு 4/10 N, ABயுட
போககில் 3v10N, 20. V10N, ABCD சுற்றுப்போக 21 10/3N, 4v/19N ABயுடன் 22. 4m, 2/58, 5N, 5N 23. 12 / 2N, ABயுடன் 45°,
MB வழியே 6N. 24. 42Nm, ABCD சுற்றுப்போக் 25. 24y 2N, ABயுடன் 450, 28 26. 13N, EF இற்குச் சமாந்தர 27. X = 24, Y = 10, Z = 15

7 மமக
க்கம் : 6-15)
கில் ), நீட்டப்பட்ட ML இல் L
இன் நடுப்புள்ளி,
32m. 2 = 3, 5m பட்ட B3 ஐ C இலிருந்து 40 இல் 4Bஐ A இலிருந்து 4.5ற இல்
A இலிருந்து 4.5ற இல் AM 5 1.75ற
)ா
( 3/4 )m இல்,
1/9 )m இல்
Q= 2v2 டன் 1an-13 இல், Cஇனூ டு முரண்
ககில் 18Nm திருப்பமுடையது. - tan -1('\/ 3/4)
AM = 2m, MC வழியே 65N,
க்கில். =8&tm
ம், 214'3Nm


Page 44
28. 3, 5, 2, V/57 N
29. P = - 6, Q = 15
30. அ 4/5 N AB யுடன் ta
புள்ளி M ஆயின் AM - 2 tän-}{ 0,5 ) (giả)
31. ABCD சுற்றுப்போக்கில் 4 n
35 ( a +b+c+d) Nm. (38)
iii) x = 3a v/3, Q = Pv/3 1, S.
அலகு 3 ( பக்
1, 4 kgwt, 6 kgwt 2, 4 kg
3, 240 gam 4,器。5m @_ü
விருந்த முனை
5. 60N, 8m 6 30 kgwt, ,
7. 10 gmwt 8. V 105 cm
I bx - ay + (a_-_b ) Z ; X - y ) 12, 16 N, 12 N. 13. (a v / 14 5/7N, நிலைக்குத்துடன் tan") 16 ( 75 w/ 2 / 3 ) kg wit, ( 105 v/ 17. W3 V2 / 4, Wv 18,
20. Coti- 1 3 26, 2
Il sec oc دیسی= جنت کA
30 1 -- 2 tan2.ce 32, A
34 ஒரு முனையிலிருந்து 900 இல்

0-12, AB ஐ விளையுள் வெட்டும் 1, gy, 4 v 5 N, D A Lyl-6
l, ( 33 ) 4.5 Nm
i) m as 2, n = 6, (ii) 9 Pav/ 3
நப்புத்திறன் 5 Paw/3
15p 16 = 24 )
gwt ( = 40: N )
7 3m உம் தாக்கம் குறைவாக யிலிருந்து 35 / 6 மீற் இல்
AG G D ==7#8 ___ جی
gwt 10, r. M-m3 ) : (ma-M)
3 ) kgwt, ( 4 v/ 39 || 3 ) ki gwt
( V 3 / 2 ) இல்
2 8 kgwt
2 6 V/ 3 / 3 ) kgwf, ( 8v/ 3 / 3 ) ki gwt W sin oC , W
48 இற்கு செங்குத்து, பிணையலில்
\y, ----- றுதாக்கம் —3ʻ- V(4 - 3 Sino6)


Page 45
3.
氢4。
15,
4。
5。
S.
1. . .
重塞。
量4。
19.
21.
24,
அலகு 4 (பக்
அ) W/3 6, இழுவை 2W, pao, W/2 35-il 2 y W. 2 x W, a 孟下丁”玄+y丁”3 sW | 2, W 7. W இழுவை = Wਏ, LDਭT கிடையாக, கிடையுடன் tan
BF இல் ', CE இல்
Je) 2 a ( 2W + V ) sin 0
( W -- W ) V tal ੳ g
அலகு 5 ( பக்
P, 11 AF, 3av 3, 3P 2】 A இலிருந்து 48 உம் B இலி
gy) h = k = 4 7. a) S = - 18 P., T = 15P ABCD சுற்றுப்போக்கி
4 V10N, X -- 8 y = 4a 무( لگی۔ جے k
ஊ p
<ھے P இனூடு 2DA 18, 2 W 2 20, W
உருளையின் நிறை W எனின் 一部ーy("+(****
བོ།།

سے نیوز
35o :- 25 - 29 )
ஆ) (W cutor ) / 2 கிடையாக
4. 2 W, W 2, W 2, W / 2
இடையாக ம் - W 2, கிடையுடன் 80° இல் 124/3 இல் Wy3 露
( W - W ) ( 2W + v
蠶 24 tann €9, * * * g * TT
go :- 30 - 35)
ருந்து 58 உம் ஆ) 2நியூ நடுப்புள்ளி ட
ஆ) - 72aP இ P>0 ஆயின்
") (부)
r a - r ) V = aW
10 W 용", tan-1 ( 2 3
W v/ 3 ( 3 V 3 tan OC -- 1 ) || 6 2 cot2 C )
جیسےY


Page 46
மாற்றிக் (
விஞ
2 BHD
翼墨 霹剑 (ii)
76 கீட்டை
7 岱 தாக்க
24 திரி, குறி. - żalb
 

0 -
தவறு
கொள்ளவும்
மாற்றம்
Q - 9 P
உயிஞல்
படுகின்றது
cosC
DB
(ii) Q = 7P
கட்டைகளினுல்
தாங்கப்படுகின்றது
- 2abcos C


Page 47



Page 48
STATICS
S. THURA
ST. JOHN'S
JAFF
மேக்கூR 491, நாவலர்

PART 1
ΔΙΑΡΡΑΗ COLLEGE,
NA.
N6, writum GV ).