Page 1
P. வேலாயுதம் S. பிரேம்நாத்
GCE A/L APPLIED MATHEM DYNAMIC
செயல்முறை வழிகாட்டி கணக்குகளும் பயிற்சியு

B. Sc ( வெக்டர் ) B. SC
ATICS -
வெளியீ)
லங்கா புத்தகசாலை காங்கேசன் துறை வீதி,
யாழ்ப்பாணம்.
விலை: ரூபா 37.50

Page 2
IR. K. M. Sri Koneswa
(National S Trincomalee,
Pri
PRIZE I
Namě ... h. Sa SK Classi.................! 1st Place 2nd Place :
3rd Place :
+n
Merit
.S: Ehudie
V Cup aw
Sectional Head.
15-10-19

ra Hindu College | chool) Sri Lanka. Ze Day 1998
VINNER - 1997
-garoun.
Muns. Caen. luu mm... - Sciema Malti
Eurostarp
Principal
198

Page 3
இயக்க பிரயோக !
(எறிய
| APPLIED MA
(க. பொ. த. உயர்த
ஆசிரியர்
வெக்டர் P. வேல
S.பிரேம்நாத்
வெளி ஸ்ரீலங்கா புத் 234 காங்கேச
யாழ்ப்பு

வியல் கணிதம்
THEMATICS)
7 வகுப்புகளுக்குரியது)
கள்:
மாயுதம் B.Sc
5 B.Sc.
பீடு: தேகசாலை
ன் துறை வீதி Tணம்.

Page 4
அட்டை:
இயக்க
ஆசிரியர்கள்:
P.வேல் S. பிே
வெளியீடு:
ஸ்ரீலங். 234 க யாழ்ப்
விலை
ரூபா 3
பதிப்பு:
புரட்ட
Typeset and Artwork by: Zodiac Desktop Publis E.L. 1/8, Dias Place, Gunasinghepura, Colombo-12.

கவியல் பிரயோக கணிதம் (எறியம்)
மாயுதம் B. Sc ரம்நாத் B. Sc
கா புத்தசாலை, காங்கேசன்துறை வீதி, பாணம்.
=7/50
எதி 1995
shing Centre,

Page 5
K
அணிந்துரை
திரு. S. C இளைப்பாற
இது அறிவியல் உலகம், இரு வைக்கவும். இருபத்தோராம் நூற்றா மனித இனம் முனைந்து செயலாற்று
இன்றைய மாணவர்களே நா. மாணவர் களைச் சரியாக வழி தலைமுறையை அவர்கள்வழி நடத் இதற்கேற்ப அறிவியற் கல்வியினை 4 காட்ட வேண்டியுள்ளது.
இக்குறைபாட்டினைப் போக்குப் கற்கும் மாணவர்கள் எறியம் பற்றிய | கணக்குகளைச் சரியான முறையில் முறையில் - செய்முறை விளக்கங்கள் (எறியம்) எழுதப்பட்டுள்ளது.
- இந்நூலை ஆக்கியிருப்போர் திரு P. வேலாயுதம் (வெக்டர்) B.S இருவரும் கற்கும்போதே கடுமை மாண வனே நல்லாசிரியன் ” | கற்றுக்கொண்டிருக்கும் சிறந்த மான்
இவர்தம் பட்டறிவால் மால் உணர்ந்து அவர் களுக்கு உத்
ஆக்கியிருக்கிறார்கள்.
கற்கும் மாணவர்களும், கற்பிக்கு சிறந்த பயனடைவார்கள் என்பது எ
இவர்களது கல்விப்பணியும், வழங்கவேண்டியது நம் அனைவரது

2. மயமே .
பசுப்பரமணியம் B.Sc (First Class) பிய பெளதிகவியற்துறை ஆசிரியர்
ஸ்கந்தவரோதய கல்லுாரி
சுன்னாகம் 5பதாம் நூற்றாண்டினைவழியனுப்பி ண்டினை விரைந்து வரவேற்கவும் புகின்றது. ளைய தலைவர்கள். இன்று நாம் | நடத்தினாலேதான் அடுத்த தும் தகமைகளைப் பெறுவார்கள் அளிப்பதில் நாம் அதிகளவு ஆர்வங்
D எண்ணத்துடன் பிரயோக கணிதம் அறிவை வளர்க்கவும், அதுபற்றிய | விளங்கிக் கொள்ளவும் தக்க நடன் இந்நூல் - பிரயோக கணிதம்
என்னுடைய மாணாக்கர் இருவர் 6c. திரு S பிரேம்நாத் B.Sc ஆகிய -யாக உழைத்தவர்கள் "சிறந்த
என் பதற் கொப் ப இன் னும் னவர் இவர்கள். --ணவர்க்கு ஏற்படும் இடர்களை கவும் வகையில் இந் நூலை
தம் ஆசிரியர்களும் இந்நூல் மூலம் எனது நம்பிக்கை. நூலாக்கப்பணியும் சிறக்க ஆதரவு நும் அருங்கடமையாகும்.

Page 6
ԱՔ56)|6ՕՄ
எங்கும் எதிலும் கணிதம், அ @lഖൺ [ിങ്ങബu|ഥ, 9ഖി ബ് കൺഖ மனதில் கருதி, இன்றைய க.பொ.த மணிகளுக்கு உகந்த வகை எழுதமுனைந்தேன். அதன் ஆக்
இயக்கவியலில் எறியம்” என்ற கடந்த கால கணித பாடம் கற்பி வைத்து இந்நூல் ஆக்கப்பட்டது. அருமை மாணவனும் இளம் பட்ட வழிகளில் உதவிபுரிந்துள்ளார்க உருவமாக வந்துள்ளது. அத்ே சிவசுப்பிரமணியம் (மணியம்) அவர்
ஆசியும் கிடைக்கப் பெற்றேன்.
இன்றைய மாணவ உலகு அமையுமென எண்ணுகின்றேன். பல பல விழுதுகள் விடத்தொடங்கும். இந்நூலை வெளியிட உதவி எனது குருவுக்கும், எனது மாணவ இருந்து இணை ஆசிரியராகச் ( இந்த நூலில் வரும் படங்களை
ਮojਸੰ6ਹੈ।
வேலாயுத பவனம் - وا" التال DL) (2

ந்தக் கணிதம் தமிழ் மாணவர்களின் பி கற்பதில் உள்ள சிரமங்களையும் உயர்தர வகுப்பில் பயிலும் மாணவ பில் சில கணித நூல் களை கமே இந்நூல். இன்று வெளிவரும் பகுதி இரண்டாவது வெளியீடாகும் த்தலின் அனுபவங்களை மனதில் ஆக்கும் இவ்வேளையில் எனது டதாரியுமாகிய திரு. பிரேம்நாத் பல ள். அவர்களின் கருவும் இங்கு தோடு எனது குருவாகிய திரு. களின் மேலான ஆலோசனைகளும்
க்கு இது ஒரு வரப்பிரசாதமாக ன் தரும் மரமாக அமைந்து மேலும்
|ய சிறிலங்கா புத்தகசாலையையும் மணியாகி இப்போ உடனாசிரியனாக செயலாற்றி திரு. பிரேநாத்துக்கும்,
வரைந்த ஆசிரியர் திரு. ஏ.ஆ. உரித்தாகும்.
P வேலாயுதம்

Page 7
NA (D 12 A || ||
எறியம் (Pr
1பொருள் எறியப்படும் ஊ புறக்கணிக்கும் போது உபயோகிக்க
1) V, U + ft
2) S = U+1/2ft
3) = + 2 Sܨ
இங்கு F மாட்டேற்றுச் சட்ட சட்டத்தில் தங்கியிருப்பதில்லை, ! வழக்கமில்லை மாணவர்கள் இ உபயோகித்தல் நன்று 3) ஐ உபயோ கவனித்தல் வேண்டும்.
துணிக்கை ஒன்றானது புவியீர் பாதை 1) நேர்கோடு 2)பரவளை6 இருப்பதற்கு U/g ஆயிருத்தல் ே
U /- 1g ஆயிருக்கையில் ப கூற்றுக் கேத்திரகணிதத்தில் பரவ மீண்டும் திருப்பிப்பார்த்தல் நன்று
 

- ~ ~ ീ
bjectiles)
டகத்தில் காற்றுத்தடைகளைப் படும் குத்திரங்கள் பின்வருவன.
த்தைக் குறிக்கின்றது ஆனது இதனாற்றான் , எனக் குறிப்பது யன்றளவு 1) ஐயும் 2) ஐயும் கிக்கையில் a,b பெருக்கத்தைக்
பயின் கீழ் இயங்கும் போது அதன் வு ஆகும். பாதை நேர்கோடாக வண்டும்.
ாதை பரவளைவு ஆகும். ஆள் ளைவு கற்றபின்னர் இப்பகுதியை

Page 8
படத்தில் காட்டியவண்ணம் X ,y அலகு நேரத்தில் துணிக்கை P ( --> OA ஆகும். OA = ON + NA ஆதலால் நிலைக்குத்து இடப்பெயர்ச்சி ஆல் V = U + ft ஐ பிரயோகிக்கப் பெறு
1) ->U = U Cos CI + Ot
=UCosO!. அதாவது கிடைவேகம் ஒரு போ
2) ( V = U Sin 01. - gt -
உய்தறிதல்
Usin C. t<
ஆயின் V> 0 நோக்கிஇயங்கு
8
USin a
t>
ஆயின் V < இயங்குமென்ப
8
U Sin 0!
V=0 ஆக, t=
Aயில் துணிக்கையின் வேகத்தின் அதன் பருமன் W ஆனது.
W2 = U 2 + V 2 ஆ W2 = U2 Cos2 04 +
= U2 - 2Ug Sir

அச்சுகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம். t இன் இடப்பெயர்ச்சி
ON கிடை இடப்பெயர்ச்சி NA
தம்.
றுவது
---- (1) t இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் தும் மாறாது.
--------- (2)
அதவாவது துணிக்கை மேல் கின்றது என்பதாகும்.
D இங்கு பொருள் கீழ் நோக்கி பதாகும்.
பருமனைக் கணிக்கவேண்டுமாயின்
நற் பெறப்படும்.
(U Sin CI - gt)2 - O! t + g' t2
---(3)
2 -

Page 9
6îNULIITä5&SULIT GOTLD 1) U, W, g, O தரப்படுமாயின் t இற்கு 2) U, 0, 1 g தரப்படுமாயின்V இற்கு g2t2 - 2Ug Sin O. t + U2 -- Wo மூலங்கள் t, , என்போம்.
2U Siņ O. i. t, + t, = — {W 9pa
g
U2 W2 t, t- {α Θ6
go
tt, மெய்யாக இருத்தற்கு > 0 ஆயி
A= 4Uogo Sino O. – 4go (U2 - அதாவது W > U Cos2 0
ஒ W> U COS 0 ஆயிருத்; இதிலிருந்து நாம் அவதானிக்க வேகத்தின் பருமன் கிடைவேகக் கூ
S = Ut + 1/2 f. to 22 GO LJCBUL 1) -> X= U Cos O. t + 1/2 Ot | 2) . Y= USin O t- 1/2gt
உய்த்தறிதல்
2U SinO. 1) Y= 0 ஆக t = 0,
吕

இரண்டு பெறுமானங்கள் உண்டு. ஒரு பெறுமானம் மட்டும் உண்டு.
S S SSS S (3) இதன்
சாராதது)
தங்காது}
ருத்தல் வேண்டும்.
W2) > 0
தல் வேண்டும். க்கூடியது துணிக்கையின் இழிவு றுக்குச் சமமானதாகும்.
ாகிக்கப் பெறுவது 2 . . . . . . . . . . (1)

Page 10
துணிக்கை O இலிருந்
2U Sin O. – ஆகும்.
g குறிப்பு: மு ன்னர் 2U SinO.
1 + (, = என
9. மாணவர்கள் t, , பற்றி ஆராய்த
2U Sin O. 2) t = - ஆக X =
&
2U2 Sin O Cos C.
... R = — -
g
0 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
U2 R< - ஆகும்.
&
U2
R இன் உயர் பெறுமானம்
g ஆகையால் இடம் பெறும்
U2 R< - இன் வியாக்கியானம்
9. 1) Uதரப்படும் போது R இற்கு என்பதாகும்
2) Rதரப்படும் போது U இற்கு என்பதாகும்.

து B ஐ அடைய எடுக்கும் நேரம்
அறிந்துள்ளோம் ஆகவே
5ல் நன்று.
- R 6TGOTOBLITLD
u2
Sin 2 O. ----------- (3) 9.
TU ஆகும். இது 0 = -
4.
ஓர் உயர்வுப் பெறுமானம் உண்டு
ஓர் இழிவுப் பெறுமானம் உண்டு

Page 11
குறிப்பு
U2
Siin 2O
g U2
Sin (TT –2 O
U2
Sin 2(t / 2
g
U2 = – Sin 23
g
இதிலிருந்து அறிவது R எ6 கோணம் உண்டு என்பதாகும். அ
= 10 / 2 ஆகும்.
YA U
O.
Ο R
LILL
C = B ஆயின் ஒரே யொரு கட கிடைத்தளத்தை B இல் சந்திக் U என்னும் வேகத்திற்கு

Y – OI)
B = TC/2-0.
ன்னும் வீச்சைப் பெற இரண்டு எறியல் 1வை O, B எனக் கொண்டால் 0+ B
U ono= ”سرے
ܓ
B Bo X
b - 2
வை மட்டும் உண்டு. அக்கடவை குமென்போம்.
எல்லைப்புள்ளி B, ஆகும். O ஐ
5 -

Page 12
மையாகவும் U ஐ ஆரையாகவி
& வரைவோமாயின் இவ்வட்டத்திற்கு துணிக்கை அடையமுடியாது இப்ப அழைக்கப்படும் கடவையின் பரமானச் சமன்பாடுக கடவையில் யாது மொரு புள்ளி (X
Χ = U OOς Ο ί y = U Sin O. t – 1/2 gt? -22bG இதை நாம் கடவையின் பரம இங்கு (பரமானமாகக் கருதப்படும். 5 தானக்காவி (O ஐக் குறித்து) r = (U COS O. t.) i + (U Sin O. t – கடவையின் சமன்பாடு
பரமானச் சமன்பாடுகளிலிருந்து
சமன்பாடு ஆகும்.
Χ E. ஆகும்.
UCOSO.
x ... y = USin O. — 1/2
UCOSO.
x2 = Xtan O. - 1/2g Sec.
U2
= ax + bx வடிவம் இங்கு a < , 5_ഞഖ ഉ(b |]] ഖഞണ് ഖു = Sec0 = 1+ tano எனப் பிரத
- 6 -

பும் கொண்ட வட்டத்தை
வெளியில் கிடக்கும் புள்ளிகளைத் குதி பாதுகாப்பான பிரதேசம் என
5ள் y) ஆயின்
| LD.
ானச்சமன்பாடு என அழைப்போம் 5டவையில் யாது மொருபுள்ளியின்
1/2g t) என எழுதுவோம்.
து t ஐ நீக்கப்பெறுவது கடவையின்
X 炬
U2Oος α
O.
O ஆகும்.
நியிட்டால்

Page 13
x2
y = X tan O. - 1/2g (
U2
இச்சமன்பாட்டின் பிரயோகம்:- 1. தரப்பட்ட புள்ளியை அடிப்பதற் பருமனைக் காண்போம். x = a, y = h எனக் கொண்டால்
a. h = a T - 1/2g (1+ T") - 25.
U2
2U2 2U2h a T- - (aT) + a +
g g
tan0 மெய்யாக இருப்பதால் A> ( வேண்டும்(- 0 0 (U° – hg)° -g° (a° + h°) > 0

1+ tano) --(1)
கு இழிவு எறிவேகத்தில்
jbiino, T = tan O.
ஆயிருத்தல்.
> 0 ஆகும்.

Page 14
(0- hg - g Va* +h?) ( U- hg 02 - hg + g V h? + a* > 0 க 02 - gh - g Vh? + a் 20 ஆய - U>> g ( h + N/h+a?) ஆகும். வியாக்கியானம் 1 (a , h) எனும் தரப்பட்ட புள்ளியை எறிவேகத்தின் பருமன் U,ஆனது U, 2 =g (h+ Vh2+a?) ஆல் பெற 2) V h2+a2 = R எனவும், h = R
U2 > g [R Sin 8 + R) என 6
ஃ U2 > g R (Sin6 + 1) R.0 தரப்படுமாயின் U இன் இழில் NgR (1+Sing) ஆகும். இதை | மேல்நோக்கி R எனும் வீச்சைப் ெ எறிவேகத்தின் பருமனாகும் எனக் ( U,8 தரப்படுமாயின்
U2
R <-
- என இடலாம் g(1+ Sing) : R இன் உயர்வுப் பெறுமானம்
U2
ஆகும்.
g ( 1+Sin 8)
இதை நாம் நாம் சாய்தளத்

+ g Nae+ h?) =o
ஆதலால்
பிருத்தல் வேண்டும்
துணிக்கை அடிப்பதற்கு இழிவு
கப்படும். R Sind எனவும் கொண்டால் Tழுதலாம்.
வுப் பெறுமானம் நாம் 0 சாய்வுடைய தளத்தில் பறுவதற்குத் தேவையான இழிவு கொள்ளலாம்.
-தில் மேல்நோக்கி எறியும்போது

Page 15
பெறக்கூடிய உயர் வீச்சு எனக்க சு 2. எறியல் புள்ளியிலிருந்து a ஒன்றைத்தாண்டுவதற்கு தேவை காண்போம்.
Y2
Y= x tan O! -1/2g - (1 + tan
• U2 பிரதியிடப்
x2
y = aT - 1/2g ---- (1+T2) -
U2 இது tan 04 =T இல் இருபடிக் ே
2U2
g ( 2U2 : V=--
(aT) --- (a 2U2
8
(2 2 |
=
at -
UQ C
2U2
U2
842
2g
2U2
2U2
U2
aே?
: உ | 25
சம்!
-- - -----
2g 202 ஃy இன் உயர் பொறுமானம்

றுவோம். தூாத்தில் h உயரமுடைய சுவர் பயான இழிவு எறிவேகத்தைக்
0) இல் X = a ஐப் = பெறுவது
ஆகும்.
காவையாகும்.
842
2U2
12
842
82
2U2
U2 \ 2
} - - (எ ") - " அல்வா
aT -
8
U2
ம் aT = -
ஆகும் போது
8

Page 16
U2
ga?
ஆகும் 2g 202 இப்பெறுமானம் h இலும் பெரிது - சுவரைத்தாண்ட முடியும் என்பதா : சுவரைத்தாண்டுவதற்கு.
U2 ga?
- > h ஆயிருத்த 2g 2U2 அதாவது U4 - 202 hg - g” al > முன்புள்ள பகுதியிலிருந்து அறிவ U> > g ( h + Vh+a2) ஆயிருத்த U2 = g ( h+ Vh2+al) ஆயின்
U2
tan CI =
-ஆகும் இது 8 கோணத்தைத்
இங்கும் U2 2g R (1+ Sing)
u2 R<
g (1+ Sing) என்பவற்றிற்கு வியாக்கியானம் கெ குறிப்பு :-
உபயோகம் (1) உம் (2) உம் விளக்கம் வேறானவை என்பன வேண்டும் .

அல்லது சமன் ஆயின் துணிக்கை தம்.
நல் வேண்டும்.
0 ஆயிருத்தல் வேண்டும். இதற்கு
து.
ல் வேண்டும் என்பதே
இழிவு எறிவேகத்தின் எறியல்
தரும்.
காடுக்கலாம்.
D ஒரே முடிவைத்தந்தாலும் பௌதிக த மாணவர்கள் அறிந்திருத்தல்
0 -

Page 17
u? > g(h-+ Nh2+a^) 22 LÚNGÖT6) Jcb Llr
ga
y = a tan O. - 1/2 (1+
U2 0 இற்கு மெய்ப்பெறுமானம் ஒன்று தாண்ட முடியும் என்பதாகும்.
2u° அதாவது a tan0- - a tan
& வண்ணம் 0 இற்கு மெய்ப்பெறுமான
2u2 N2 2u°h இது ( ). 4.1. (e.
용
9.
ஆயிருக்கையில் நிகழும் குறிப்பு :-
y = ax + bx + C 6) 16O J 6o LOT 60. கவனித்தல் வேணடும். (1) = > u > g. ()
u’ = g (++)
2u2 tan O. = (A = 0 X =
2g
u2 அதாவது tan 0 = - ஆகும்.
ag

DIT COI GILJAD6AD TLD
tanx) > n ஆகும்வண்ணம்
உண்டாயின் சுவரைத் துணிக்கை
2u°h
0 + + a < 0 ஆயிருக்கும்
Iம் இருத்தல் வேண்டும்.
எவர்கள் கற்றுள்ளீர்கள் என்பதைக்
5
b - - ) இருபடிச்சமன்பாடு
2a

Page 18
3. கிடையுடன் சாய்வுடைய சாய்த
30 RcosO.
Rcos)
படம் -
கடவையின் சமன்பாடு
+2
y = x tan 01 -1/2g- (1+tan”
பு?
A(R Cos 8, R Sin 9) ஆதலால் ந
R2
RSin 0 = R Cose tan O! -1/2g
Rg
Sin 8 = Cos 6 tan C. --
2u2
Rg
---- = Cos 9 ---
Cos2 8
Sinax - = Cos 8 Coso!
CosO!
2u2

ளத்தில் வீச்சைப் பெறுதல்
சாய்த்தளம்
'RSin9\
3
0.) ஆகும்.
நாம் பெறுவது
Cos28
(1+ tan O!)
U2
Cos28
'os 0!
- Sin 8
2

Page 19
Sin (O!- 9)
Cos 0!
2u2 CosO! Sin (CL - 8)
ஃR= --
8
Cos28
இங்கு R சாய்தளத்தில் (1) வீச்சை R இன் உயர் பெறுமானம்
u2 [ Sin (20. -8)-Sine]
R=
UQ
Cos28
-1-Sine
R3
09 =.
சமம் 20!
Cos20
V|
(JQ
+1+Sin8
ஃR இன் உயர் பெறுமானம் u2
g(1+S
- 13

சக் குறிக்கும்.
- 8 = 1/2
ஆகும் .
Bin 8)

Page 20
U2 Sin (20. — 9) — Sir
吕 Cos20
U2 Sin (2ß – 0) – Sin g - coseo
என இடலாம் இங்கு 20 - 9 + 2
ஃR என்னும் வீச்சைப் பெற இரு 296O)6) O, ஆேகும்
O = ß-bab 2O. — 0 = Tt /2 .
LILL
 

B - 9 = 1 ஆகும்.
எறியக் கோணங்கள் உண்டு என்பதாகும்.
ஆகும் இக்கடவை உயர் வீச்சைத்தரும்
1 4 -

Page 21
2u? Cos Ox. Sin (O- 0)
R = இ
9. Cos20
2u2 Cos O. Sin (O-+0) R = لح
g Cos20 இது சாய்தளத்தில் கீழ் நோக்கிய ெ
மேலும் u2 1.
R< - - எனக்கு
용 1- Sin 60 20十6=冗/2 ஆக நிகழும்
ਉ . 6ਰੰਗ
u2
g (1-Sine)
மானவர்கள் உயர்வீச்சுக்குரிய கீறிப்பார்த்தல் வேண்டும்.
LILüb —
- 15 -
 

ல் 9 -> - 9 இடப் பெறுவது
ஆகும்
பீச்சைத் தரும்.
5ĪTILL GOTTLD Ở LDD
5Lഞഖങ്കങ്ങണ്
A
R
هم
الب

Page 22
S = ut + 1/2fto gg (NJG3 1) sh 0 = u Sin (O. — 9) t -
2U Sin (O. — 9) 。t= 一
g Cos 0 குறிப்பு :-
உண்மையான இடட் சமன்பாட்டைப் பிரயோகித் என்பதைக் கவனித்தல் விே
2) —> R Cos 0 = u Cos O.
2u Sin (O. — = uCOS O —
gCos 6
2u2 COSO Si
... R =
9. COS
u? R< H 6T6
g (1+ Sin 0)
Y 4یہ ح7حمج
 

யாகிக்கப் பெறுவது - 1/2 g Cos 0 t?
(izo)
பெயர்ச்சிக்குச் செங்குத்தாக இச் து பறப்பு நேரத்தைப் பெறமுடியும் பண்டும் .
t + 1/2 Ot2 - 0)
0க் காட்டலாம்

Page 23
20 – = /2 a -= / 2 - 2- Si u aðT SME < Aoy e y? -u’+ 2f. s pi ÚTGwm GL v? = u + 2g . RIGID
Il-5 v2 = u + 2g R Cos( t / 2 +
=u? - 2g R Sin e
u? Sin 0 = u2 - 2g
g (1+ Sin 0)
1 - Sino
= u' (Sine)
= u2
1+ Sino
V = u + ft ilgGwm &bu QUnioug
2u Sin (a – v' = u-g Sin a
g Cos
Sin(a) Sin (a –
= U -2u
Cos Ꮎ
2Sin a Cos a
CosᎾ

D% என இடலாம்
ந கூறிடும். பறுவது
- (1)
0)
- (20 - 9 = 1 / 2)
17

Page 24
Siin 2O -
Siin 20 -
EO A ஐ அடையும்போது A யி: ஆகும். உய்த்தறிதல்
1 — Sin 60 - ()
1 -- Sin 60
g (1 - SinG)
அதாவது 0 விலிருந்து u வே கடவையும், A யிலிருந்து V ே ஒன்றாகும். தத்தம் உயர்விச் உதாரணம் 1
O இலிருந்து கிடையாக நிலைக்குத்துச் சுவரை நோக் சுவரின் தளத்திற்குச் செங்குத்த - u2 '
- 

Page 25
எனக்கொண்டு பந்தானது சுவருடன் அடைவதற்குத் தேவையான அதிகு என உய்த்தறிக. இங்கு e மீளமைவுக்
O LЈLib
(i) —> a = u Cos O. t (ii)
... y = a tan O. - 1/2g (1 -
u? tan 0 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் தாண்டமாட்டாது.
ga
(1+ tan?” O 2u? ஆயின் சுவ
அ-து a tan 0 -
2u2 Q56OGOT a’tanoo - - a tan O. +
(ax + bx + c > 0 ஆயிருத்தற்கு a உபயோகிப்போம்.) a > 0 ஆதலால்
2u2a N. 2u. A-( ) is ( . . & 9.
-
 

மோதி மீண்டும் எறியப்புள்ளி O வை றைந்த எறியற்கதி (ga (1+1/e) ) குணகம் ஆகும்.
A S = ut + 1/2 fto 22
பிரயோகிக்க பெறுவது C
h
B - 7 ^ y = u Sin o. t – 1/2gt?
- tano O) 2565D - (1)
y < h ஆயின் பந்து சுவரைத்
ι) < h ----(2) ரைத் தாண்ட முடியாது.
2u?h - + a > 0 என இடலாம்
& > 0, b2-4ac < 0 என்பதை
h |) < 0 ஆயிருத்தல் வேண்டும்


Page 26
9-glu - 2uhg - ag” < (roigh i g
u?-gh +g Wh’ + a > 0 u? - gh-g Wh’ + a < 0
2 U
-  ga -2105th
u COSO eu, CoSC
 

O
ugh a )<0
ஆதலால் ஆயிருத்தல் வேண்டும்.
ஆயின்0 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் 2) O 60616OLDUT(5th
ரத் தாண்டமுடியாது.
சுவரைத் தாண்ட முடியும் என்பதாகும்.


Page 27
a + a/e
t, + t) =
u Cos X u Cos a
சுவர் இல்லாது போனால் ! (t, +t,) ஆகும். இதற்குக் காரணம் சமாந்தரமான வேகக்கூறு மாற்றம் Dஐ அடைவதற்குத் தேவையான பந்து சுவரைமோதி Oவை அடை பெறுமானத்திற்குச் சமமாகும் - a-> a (1 +1/e) இடப்பெறுவது ஃ இழிவு எறியல் வேகத்தின் பரு உ+ ம்2 0 என்னும் புள்ளியிலிருந் O! சாய்வில் வீசப்படுகிறது. துணி சாய்தளத்தைப் புள்ளி P இல் செங்கு சாய்வு 8 ஆயின் tan0. = Cot B +2 ஒரே போக்கில் அளக்கப்படுகின்ற 1 /2 > 0 > B> 8 ஆகும்
S = ut + 1/2 gt” ஐ OP1 2 உப h0 = u Sin (c. - 8 ) t -1/2g Cos 6
2u Sin (0- 9)
- (1) (t # gCose
ஃt -
N9)

d = a+ -
d= a +
பந்து Dஐ அடைய எடுக்கும் நேரம் மொத்தல் நிகழ்வதால் சுவருக்குச் அடையாதது என்பதே 0விலிருந்து எறிவேகத்தின் இழிவுப்பெறுமானம் டவதற்குரிய எறிவேகத்தின் இழிவுப்
u>> ga (1 + 1/e) ஆகும். மன் (ga (1 + 1/e) ]1/2 ஆகும்
து துணிக்கையொன்று கிடையுடன் க்கை கிடையுடன் B சாய்வுள்ள கத்தாக அடிக்கிறது OP கிடையுடன் 2 tan 8 எனக் காட்டுக. கோணங்கள்
ன.
யோகிக்கப் பெறுவது | t2


Page 28
y = u+ gt ஐ தளத்திற் சமாந்த < B 0 = u Cos ( 01. - B) - g Sin
u Cos (04 - B)
ஃt=
- (2)
g Sin B
2u Sin (CL - 9)
ஃ 1, 2 =>
gCos6
சுருக்கப் பெறுவது tan 01 = Cot
உ+ ம் 3 கிடையுடன் O! கோண பறவை மேனோக்கி, ஒரு சீர் 6ே அதன் பாதையிலுள்ள புள்ளி நிலைக்குத்தாக நேர் கீழே h 4 கிடையுடன் 8 கோணத்தில் ஒரு ( குண்டு பறவையை அடிப்பின், குன உபயோகித்து அல்லது வேறு, வ
1) V Cos 6 = U CosC, 2) 0 > 0! 3) V > y2gh Cos c. Cosec (9 - குண்டு பறவையை அடிக்கும் போது
காண்க .

ரமாகப் பிரயோகிக்கப் பெறுவது B t
u Cos (04 - 3)
g Sin B
B +2tan 8 ஆகும்.
ம் சாய்வுள்ள நேர் கோட்டில் ஒரு வகம் u உடன் பறக்கிறது. பறவை
A இலிருக்கும்போது, A இற்கு தூரத்திலுள்ள புள்ளி B இலிருந்து தண்டு, வேகம் V உடன் சுடப்பட்டது. எடின் பறவை தொடர்பான பாதையை ழியாகப் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
0)
அதன்பறவை தொடர்பான வேகத்தைக்
22 -


Page 29
YA
| 0
h
பூமியின் மாடே
UL
Vs, Bi = Vs, E+ VE, Bi.
v Sin e TV Cos +
v Sin 0 - u Sin a -> v Cos 6 - u

உற்றுச் சட்டம் ( E).
ம் - 10
பறவையின் மாற்றேட்டுச் சட்டம்
t= 1 )
படம் 11
u CosOt (t = 0 நேரத்தில்)
u Sin C!
= v
Cos CI = u
- 23 -


Page 30
As,Bi = As, E + AE, B
=/ g + 0 (குண்டு பறவைை குண்டு பறவையை அடிப்பின், பறவை மேல்நோக்கிய நிலைக்குத்து நேர் செல்லக்கூடியதாகவும் இருத்தல் இதிலிருந்து பெறுவது (1) U = 0
(2) V> 0 (3) V2 >'
இரு (1) u = 0 ஆயின்
V Cos 8 = u CosO ஆகும். (2) V > 0 ஆயின்
V Sin 8 - u Sinot > 0 ஆகும் அ - து V Sin 6 > u Sino அ - து Tan 8 > Tano!
: 6 > ! (3) W2 = V2 - 2gh
= (V Sin 8 - u Sin ox) 2 - V Sin 8 - u Cos 04 > N2gh
Cos8 V Sin 8 - y - Sin > |
CosO. V Sin (9 - 0!) > N2gh Cos அ -து V > N2gh CosC Cose
குண்டு பறவையை அடிக்கும்பே வேகம் W ஆகும். இங்கு W ஆனது
W2 = (V Sin 8 - u Sinc)2 - 2; உ+ம் 4. கிரிக்கெற் ஆட்டக்க நிலமட்டத்திலிருந்து நீண்ட திடல் 6 துாரத்திலுள்ள விக்கட் காவலாளரி தொடக்க கிடையானதும் நிலைக்குத்
- 24 -

ய அடிக்கும் வரை) வ தொடர்பான குண்டின் பாதை காடு ஆயிருப்பதுடன் h தூரம் வேண்டும்.
ஆயும்
11 11
2gh ஆயும் மத்தல் வேண்டும்.
2gh > 0
- 2gh
60
( (8 - 01) ஆகும். எது பறவை தொடர்பான குண்டின்
gh ஆற் பெறப்படும். காரர் ஒருவர் பந் தொன்றை வழியே எறிந்தார். அப்பந்துR m ன் பாதத்தில் விழுந்தது பந்தின் தானதுமான கூறுகள் முறையே


Page 31
u, V m/s எனின்
uv = Rg /2 எனக்காட்டு புவியீர்ப்பினாலான ஆர்முடுகல்
விக்கட் காவலாளர் திட நோக்கி x m துாரம் சென்றிருந்த h m உயரத்தில் பிடித்து இருக்
பந்தானது விக்கட் காவ6 நேரம்
5 1/2h
gx (R - x)
Y A
எனக்க
(t) ]
U
படம்
S = ut + 1/2gt” ஐ (i) -> X = ut (i) ( Y = vt - 1/2gt?
|t ஐ நீக்கப்பெறுவது
- XX2 Y= v - -1/2 g --
u u2 Y= 0, X= R ஆதலால்

கெ. இங்கே g ஆனது m /s2 இல்
ஆகும். டலிலுள்ள கிரிக்கட் ஆட்டக்காரரை எல் அவர் அப்பந்தை நிலத்திலிருந்து கலாம். லாளரின் பாதத்தை அடைய எடுத்த
காட்டுக.
P(x,y)
7
C X A
| R ) - 12
1)
[ கடவையின் சமன் 1 1 பாட்டைக் குறிக்கும்.
25 -


Page 32
O = - 2 - - R2
U 2u2
2uv
... R = -
g
Rg ஃ uV = ஆகும்.
2 Y= h ஆக, X = R - X ஆகும்
V 9. ... h = - (R- x) - — (R- x
Ul 2.L
Rg 9. h = (R - X) - (R : 2u2 2u2 2u*h = (R - x) g [R- (R - X) ]
= (R-X) xg
(R-X) Xg
ܩܒ U1 .".
v 2h X= R - Aþ5,
R 2h
t= 一 =
\N gx (R - x)
- 26

)2
Χ).
ஆகும்
Rix Sa-.


Page 33
உ+ ம் 5. கிடைநிலத்திலுள்ள ஒரு A, B எனும் இரு பந்துகள் y என விலிருந்து a தூரத்திலுள்ள ஒரு : மிருகமானது U என்னும் கதியும் மேலெழுகின்றது. மிருகமானது மீண் பந்து B ஆனது மிருகத்தை அடிக் இவ்வியக்கம் சாத்தியமாவதற்கு |
0 A
S = ut + 1/2gt 2 ஐ (1) A N0 = v Sinot t, - 1/2 gt
2vSino! ஃt, = ---- (t,= 0)
3
2v Sin B
இதேபோல t,=
மு.
->
(11) A 3 =y CosO!.
2v Sing!
= v2 Sin20!
2

புள்ளி 0 விலிருந்து ஒரே நேரத்தில் வம் கதியுடன் எறியப்படுகின்றன. 0 சிறு மிருகத்தைப் பந்து A அடிக்க டன் வளியினுள் நிலைக்குத்தாக டும் நிலத்தை அடையும் கணத்தில் கிறது .V2 =U + agஎனக்காட்டுக. I இன் வீச்சைப் பெறுக.
---
ful (t, - t)


Page 34
v2 Sin 2B
இதேபோல a =
ஃ Sin200 = Sin 38 அ-து 200 = 1 - 2 B
01. + B = 1 / 2 ஆகும்.
மிருகத்தின் பறப்பு நேரம் t,- t, = 1
2v CosO!
2vSino!
(Q
g
V (CosCL - Sinot) = u v2 (CosCL - sinat) = u2 v2 (Cos?ct + Sin'ou - 2Sing
a g
v (1 - " :) =u'
2
ஃ v2 = ul + ag ஆகும்
ag > 0 ஆதலால்v > u ஆ உ+ ம் 6. டெனிஸ் ஆட்டக்காரர் நேர் குறுக்காகப் பந்தொன்றை மற் பணிக்கின்றார். வலையிலிருந்து d ஒரு புள்ளியிலிருந்து கிடையுடல் அப்பந்து எறியப்பட்டுள்ளது.
2v2
tana - (-) tana. + 1+
tan ot -
tanc! +1 +
dே

20
ஆகும்.
8
2U
1 CosC) = U2
யிருத்தல் வேண்டும்
ஒருவர் h உயரமுள்ள வலைக்கு றொரு டெனிஸ் ஆட்டக்காரருக்கு தூரத்தில் தரைக்கு அண்மையிலுள்ள I C! கோணத்தில் V வேகத்துடன்
726
--- <0 எனக்காட்டுக
12
8 -


Page 35
U எனும் ஓர் இழிவுப் பெறும் 01. என்பது 04,,,(< 04,) எனும் ! இருக்கவேண்டும் என்பதை இதிலி காண்க.
------ ----------- 5
படம்
S = ut + 1/2ft” ஐ (i) -> d= v Coso. t
(ii) ( V = v Sinot t - 1/2 g
=d tand! - 1/2g
v2
செல்வதற்கு
gd2
tan'o -- (d tan
2v2
12 24 2
2v2
2v21
ஃ tan ox -
- {tanot)+
gd
d2g
-29

மனத்திலும் பெரிதாக > இருப்பின் இரு பெறுமானங்களுக்கிடையில் ருந்து உய்த்தறிக. 04, , 04, U ஐக்
- 14
- (1+ tan c.) > h
வலைக்கு மேலால்
8d2
3 +h +
< 0
2v2
+ 1 < 0


Page 36
2
tand - -
+1+
இd
-)- 3 (rna )- (":
) - ("-2
tanot -
gd
2
tan0C -
dே
v+ - 2vehg - dig? >0 ஆ (v? - hg) - (gVh? + d?)2 (v2 - hg + g Vh? + d') (v v2 - gh + g Vhe + de >( v2 - hg - g Vh?+ d2 > ( v2 > g [ h + Vh? + d2] =
|v ஆனது u இலும் பெரிதா பெறுமானங்கள் உண்டு. I=> (tana. - -) - ("
y2
II =>
tano! -
80
( tand. -- + -
tan03
8d

='h v+
< 0
8
82d2
-2vhe ) 40
912
='hg - de ) 40 II
g
god2
பிருக்கையில் 1 உண்மையாகும்.
>0
= - hg - g Vh? + d?) > 0 » ஆதலால் D ஆயிருத்தல் வேண்டும். u2 என்க ராக இருப்பின் tano! இற்கு இரண்டு
+ - 2vehg - deg?
gd
-* - 2vihg - deg')
&q
30 -


Page 37
V2 NV* - 2v°hg
(anci -
gd gd (tano -tano.) (tano -tano)
tan O', «tan O. C. tanO, அ-து 0,< 0 < 0 ஆகும்
|- NV* - 2v?hg
3Jħġb, O = tan
gd v2 - \v4. 2v hg O. = tan
gd
V ஆனது u இலும் பெரித என்னும் இரு பெறுமானங்களுக்கிை
(55 EL 1. y = ax + bx + c < 0 எடுத்து நோக்கல 2. C,< O < O', 60í,é gol) {
நன்று. உ+ம் 7 கிடையுடன் 0 கோணம் A இனுடாகச் செல்லும் அதியுயர் சர் வேகம் U உடன் வீசப்பட்ட ஓர் ஏவ இற்குக் கீழேயுள்ள புள்ளி B இல் 56T GLD66T6012
ஒரு கடற்படைத்தளத்தில் N2g வீசக்கூடிய துப்பாக்கிகள், கடல் ப நிறுவப்பட்டுள்ளன . இத்துப்பாக்கிகள
அதியுயர் கிடைவீச்சு 2Nk (k+h)
- 3

- d2g2
< O
< 0 என இடலாம்
- dogo
ஆகும்
ாக இருப்பின் 0 என்பது 0, 0, டயில் இருக்கும்.
, a > 0 என்ற வகையில் வரைபை TLD. 5டவைகளை வரைந்து பார்த்தல்
சாய்வுள்ள ஒரு தளத்தின் புள்ளி ரிவுக்கோடு 1 ஆகும் A இலிருந்து புகணை சாய்தளத்தை 1 இல் A அடிக்கிறது AB இன் அதிகூடிய
k வேகத்துடன் ஏவுகணைகளை மட்டத்திலிருந்து h உயரத்தில் Tൺ 6]ഖങ്കങ്ങIങ്കങ്ങണ് ബേlgu என நிறுவுக.


Page 38
LiLl
S = ut + 1/2fto 22
(1) * 0 = u Sin(0 + O.) ti- 1/2
2u Sin (0 + O.)
。t三一
gCosO.
(11) -> AB CoSO = u Cos0
2u2 Sin(0+OX) C . AB = - SS 용 Cos? O
( Sin (20 +
吕 CO

(t)
g Coso to
(t#0)
2u Sin(0+OX)
gCoSO.
OS 6
- O.) + )
S2α
- 32


Page 39
u2
1+Sind!.
1-Sin ot.
2
u2 ஃAB <
g(1-Sinc) ஃ AB யின் அதிகூடிய நீளம்
u2
ஆகு
g(1-Sino.)
1) =
படம்
V h2 + 12 =
g (1 - Sinc.)
- 33

சமம்20 +C = 1/2 ஆக
2kg
16
பகுதி 1


Page 40
2K
> h? + d2 = -
Vh2+d2
2K = h+ Vh+ d2 (2K+ h)2 = h2 + d2
d2 = 4K2 + 4Kh
ஃd = 2 V K (K + h) ஃ அதியுயர் கிடைவீச்சு 2 vK (I உ+ ம் 8 கிடைநிலத்திலுள்ள 6 உயரத்தில் ஒரு குண்டு வெடிக் திசைகளிலும் ஒரே கதி \ 2gK
d<2NK (K+h) ஆயின் ( நிலத்தில் நிற்கும் ஒரு சிறுமிருகப் வரும் சன்னங்களால் அடிபடும் t, (t, >t,) நேரங்களில் சன்னங்க
T2K + h - Vh2 +d
t, - t, = 2 |--
8
U -
0.
அ -
பட

{ + h) ஆகும் ஒரு புள்ளி 0 இற்கு நேர்மேலாக h கிறது. அதன் சன்னங்கள் எல்லாத்
உடன் வீசப்படுகின்றன. ) இலிருந்து கிடையாக d துாரத்தில் ம், இருமுறை வெவ்வேறு திசைகளில் - எனக்காட்டுக வெடித்தலின் பின் t,,
ள் மிருகத்தை அடிக்குமெனின்
2 - 1/2
எனக்காட்டுக.
2kg
(t)
D - 17
- 34 -


Page 41
S= u t + 1/2 ft. 92
(1) -> d = uCOSOt (11), h = - uSino. t + 1/2gto
d2 ... h = - d tanO, +1,72 g (1+
u?
2u2 2. d2 tan2o – — d. tano + do - - -
3Qġi tanO. 96) இருபடிச்சமன்பாடு O 3 tan O. < 0. -2}ġb6DT6) tanC
இருத்தற்கு
Aut 2u°K
- 4 (di - 2
g
4g? Ko 4gKh
- -do +
g
d2 < 4K2 + 4.Kh d < 2\K(k+h) ... d < 2 WK(k + h) - 2, u jiġi tan பெறுமானங்கள் உண்டு. இருமுறை வெவ்வேறு திை ارت – بلك மிருகத்தை அடிக்கும் என்பதாகுப் (ucool t) = do

டு 0 இன் மெய்ப்பெறுமானத்திற்குஇற்கும் இருமெய்ப்பெறுமானம்
ls ) > 0
யிருத்தல் வேண்டும்.
O
0 இற்கு இரு வெவ்வேறு
சகளில் வரும் சன்னங்கள்
D.
35 -


Page 42
(uSinot t)2 = (1/2gt கூட்ட
u' t2 = d2 + 1/4g' t4 g_t4 - 4(u2 + hg) t24
gt+ - 4(2gk + hg) t இதன் மூலகங்கள் t2, t,' ஆகும்
4g (2K + h)
t, 2 + t,2 =
4(h + d2)
t,2 + t,” =
(t, - t,) 2 = t2 + t,2 - 2t,t,
4(2K + H)
2K+ h - V h2 +
2K + h - V h2 +
ஃt, - t) = 2 |
09
உ+ம் 9 t= 0 நேரத்தில், ஒரு பு கோணம் சாய்வில் வேகம் V உடல் வீசப்பட்டது. நேரம் t இல் துணி துணிக்கையின் பரவளைவுப்பாதைச் செல்லும் நிலைக்குத்துக்கோட் ஆர்முடுகலைக் காண்க.

2 - h) 2 + h2 - hgt2 - 4(h2+ de) = 0 2 + 4(h2 + d2) = 0 -------(4)
/h2 +02
g
2
1/2
") ஆகும்
ஆகும்
எளி 0 இலிருந்து கிடையுடன் 0. - ஒரு தூணிக்கை புவியீர்ப்பின் கீழ் நகை இருக்கும் புள்ளி P ஆயின், கு P இலான தொடலி 0 இனூடே மட Q இற்சந்தித்தால், Q இன்


Page 43
PQ இனது நடுப்புள்ளி, பர தொடலியிலிருக்குமென நிறுவுக. S = ut +1/2 g t2 y = u + ~ ~ ~ 1/t S = u + 1/2g t
~ ~
. ?
S
படம்
AOQP உம் ALYX உம்
y0
ஃLY = --- = 1/2gt
ஃ yO = 1/2gt 2
------------ (1)
- 3

வளைவிற்கு 0 இலான
எ ?
18
N
படம் - 19 வடிவொத்தவை.


Page 44
dy0
-- = gt
dt
\'\ 0
= 8 dt2 ஃQ இன் ஆர்முடுகல் மேல்நோ
LYMX இணைகரங்கள் ஆதலால் இருகூறிடும். அ -து YX இன் ந u1 பரவளைவிற்கு 0 இலான ெ நடுப்புள்ளியினூடு செல்லும். உ+ ம் 10 கிடையுடன் O! கோணம் A யிலிருந்து ஒரு துணிக்கை V துணிக்கை Aக்குக் கீழே உள்ள |
கூ டிய பெறுமா னத் தைப் எறியற்கோணத்தைக் காண்க. A துணிக்கையின் பாதையில் மிக உ முறையே துணிக்கை Aயிலிருந்து செல்ல எடுத்த நேரங்களாயின்
2g t,t, = v2 (1+ Sinct) என
--?
படம்

| (2)
க்கி g ஆகும்.
> மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றை ஒன்று திப்புள்ளியினூடு காவி ய செல்லும். தொடலியாதலால் இது PQ இன்
- அமைக்கும் தளத்திலுள்ள புள்ளி
என்ற வேகத்துடன் எறியப்பட்டு. புள்ளி Bயில் விழுந்தது. AB அதி பெறுவதற்குத் தேவையான B மிகப் பெரியதாயிருக்கும்போது பயந்த புள்ளி H ஆகும். t, t, என்பன Hஇற்கும் H இலிருந்து Bயிற்கும்
- நிறுவுக.
| S
- - -
W
- 20
8


Page 45
படம் - 21
w = V +gt ~ ~ ~ S = V t +1/2 g t?
ஃ 1/t S = V +1/2 g t
A LXM இற்கு கோசைன் வித்
- ( 5 ) (- - (" )
|N 50
> gS (1 - Sino) சமம்

102
A94 t .
திப்படி
3
gt
s Cos (90 - 03)
)- 2 21
- gS - gS Sin 01
ஆக
-- = -
- t
அ - து LX= MX
- 39 -


Page 46
: S <
g (1 - Sinot) ஃAB இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம்
3
ஆகும்.
g( 1 - Sing)
LX = MX ஆதலால் / MLN =
ஃ28 + O! = 900 : 6 = 45 - 04/2
L60 -
படம் - 22
MN
MN = gt, NN = gt,
X ஐ மையமாகவும் MX ஐ அ எடுத்துக் கொண்டால்
MN, N N = LN, 2 ஃ gt, t, =v Cos28
20 = 90 - 04
- 40

90 ஆகும்
M
8t,
= gt = g(t, + t,)
-ரையாகவும் கொண்ட வட்டத்தை
--(1)


Page 47
Cos2 8 = Sin O!. 2Cos26 -1 = Sin 0!
1 + Sino!. - Cos26 =
- 2gt,t, = v் (1+ Sin C.) ஆகும். குறிப்பு: உ+ ம் 9 உம் 10 உம் காவி காட்டப்பட்டுள்ளது. மாணவர்கள் இங்கு காவிக்கூட்டல் மட்டும் உ

-----(2)
க்கேத்திரகணித முறையால் செய்து விளங்கிக்கொள்வது சுலபமானது. உபயோகிக்கப்படுகிறது.
1 -


Page 48
LJU
1. நிலத்திலிருந்து 0 என்னு கிடையுடன் கோணம் 0 ஏற்றத்திலு அத்துணிக்கையின் கடவையின் த6 நிலைக்குத்தாகவும் எடுக்கப்படும் சமன்பாட்டைப் பெறுக அதில் விலிருந்து தூரம் d உள்ளதுமான நேள்சுவர் ஒன்றின் மேலாகச் செல்லு வேண்டிய நிபந்தனைகளைப் பெறு
18gh V2=
ஆயும், d ஆனது
5 இற்குப் பெரிதாயுமிருந்தால் எறியற் அத்துணிக்கையை அச்சுவருக்கு ே எனக்காட்டுக.
2. கிடையுடன் கோணம் B இல் சா புள்ளியிலிருந்து துணிக்கையொன் திசையில் கதி u உடன் எறியப்படு இற்கு மேலுள்ள P என்னும் புள்ளி OP ஆனது தளத்தின் உயர்சாய்வு துரத்தைக் கண்டு, u ஒரு நிை அத்துரம் 9=1/4 - 8/2 ஆகும்டே
3. கிடையுடன் கோணம் B இல் ச என்னும் புள்ளியொன்றிலிருந்து துை கதியுடன் ஆனால் ஒன்றுக்கொன் சாய்வுக் கோ டொன்றுTடான நி எறியப்படுகின்றன துணிக்கைகள் மோதினால் துணிக்கைகளின் இருந்தாலும்.
Op-OP) = 2uo tan 3. Se: &

Dਣਤੀ
ம் புள்ளியிலிருந்து வேகம்V உடனும் ம் ஒரு துணிக்கை எறியப்படுகின்றது. ாத்தில் 0 இலிருந்து கிடையாகவும், அச்சுக்கள் குறித்து அக்கடவையின் பிருந்து உயரம் h உள்ளது. O ஒரு மெல்லிய் நிலைக்குத்தான ம்படி அத்துணிக்கையை எறிவதற்கு
5.
12h
bl
5 கோணம் எவ்வளவாக இருந்தாலும் மலாகச் செல்லும்படி எறிய இயலாது
( Dec 1969 ய்ந்துள்ள தளமொன்றின் O என்னும் ாறு நிலைக்குத்துடன் 9 ஆக்கும் கிென்றது. அத்துணிக்கையானது O யொன்றில் தளத்தை அடிக்கின்றது. புக் கோடொன்றாகும். OP என்னும் லயான கணியமாக இருக்கையில் ாது மிகக் கூடியது எனக்காட்டுக. (1970 Dec) ாய்ந்துள்ள தளமொன்றில் உள்ள O Eக்கைகள் இரண்டு u என்னும் ஒரே று செங்குத்தான திசைகளில் உயர் லைக்குத் தான தள மொன்றில் தளத்தை P. P என்ற புள்ளிகளில் எறியக் கோணங்கள் என்னவாக
எனக்காட்டுக. (Apr 1972)


Page 49
4. மலையொன்றின் செங்குத்தான் கல்லொன்றை கிடையுடன் சாய்வுக் வேகம் u உடன் எறிகின்றான். t இல கல் எறியப்படும் திசையுடன்கோண வேறொரு கல் எறியப்படுகின்றது. இ காண்க.
5. 0 என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந் கொண்ட திசையிலே துணிக்கையொ துணிக்கையின் பாதையானது 0 !
CC (<8) அமைக்கும் நேர்கோட்டை சந்திக்கின்றது R ஆனது O இன் கீழோ அமைவதைப் பொறுத்து தூ
2u Cos Sin(8-0!) \ 2u2 Cos
gCos-01
gCos) இனால் தரப்படும் எனக்காட்டு. கணியங்களெனக் கொண்டு தூரம் அளவினதாகவிருக்க 6 பெறுமானத் 6. சாய்வு 04 ஆகவுள்ள சாய்தளம் நிலைக்குத்துக்கு நீ என்னும் கோணத் u உடன் எறியப்பட்ட துணிக்கையில் h உயரமுடைய சுவ ரொன்றின. மைதானமொன்றினுள். சுவரிலி வெளிப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு பந்த் எறியப்பட வேண்டிய மிகக் குை எறியப்படுமிடத்து மைதானத்தினுள் 6
7. தரையிலுள்ள புள்ளி 0 இலிருந் 12 அடி உயரமுள்ள நிலைக்குத்துச் ச கடக்க 0 இலிருந்து எறியப்பட வே வேகத்தைக் காண்க.
- 43

ன விளிம்பிலிருந்து ஒரு மனிதன் கோணம் X கொண்ட திசையிலேயே ஓடவேளையின் பின்னர் முதலாவது ம் T/2+8 விலே வேகம் V உடன் இரு கற்களும் மோதுகின்றன. V ஐக்
(Apr 1975)
-து கிடையுடன் சாய்வுக்கோணம்
ன்று கதி u உடன் எறியப்படுகின்றது. இனூடாகக் கிடையுடன் கோணம் - R என்னும் புள்ளியொன்றில்
மட்டத்திற்கு மேலோ, அல்லது ரம் OR ஆனது முறையே
8 Sin(0+0!)
க. u, O! என்பவை நிலையான | OR ஆனது ஆகக்கூடுதலான
தைக் காண்க. த்தின் மீது, அதன் அடியிலிருந்து கதில் சாய்ந்துள்ள திசையில், வேகம்
ன் வீச்சைக் காண்க. Tற் சூழப் பட் ட விளையாட்டு நந்து A தூரத்திலுள்ள ஒரு தானது எறியப்படவுள்ளது. அது றந்த வேகம் யாது? அவ்வாறு எவ்வளவு தூரத்தினுள் அது விழும்?
(Apr 1979) இது கிடையாக 16 அடி தூரத்தில் எவருள்ளது. சுவரை மட்டுமட்டாகக் ண்டிய துணிக்கையின் அதிகுறைந்த


Page 50
துணிக்கையானது இவ்வேகத்தில் இன் மட்டத்திற்கு வரும்போது, சுவ 8. ஒரே திணிவுள்ள இரு துணிக்கை அதியுயர் சரிவுக்கோட்டில் 1 இன இலிருந்து ஒரே கணத்தில் V( A,B இற்கு மேலேயுள்ளது. A 6 நோக்கி வீசப்பட, B இலுள்ள த நோக்கி வீசப்படுகிறது. துணிக்ல ஒன்றாகச் சேர்ந்தால், சேர்ந்த தி ஒரு திசையில் அசையத் தொடர் 9. ஒரு துணிக்கையானது, கிடை V என்னும் வேகத்தில் ஏற்ற துணிக்கையானது 0 இலிருந்து உயரத்திலுமுள்ள புள்ளி P இற்கூ
y + X tand--- Seco!,
2v2
(1) x = 50 அடி : y = 20 அடி: V : இரண்டு சாத்தியமான பெறுமான வீசுகோடுகளுக்கூடாக அனுமதி அடிக்கும் புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட (11) x = 50 அடி: V = 50 அடி பெறுமானத்தைக் காண்க. 10. ஒரு நிலைக்குத்தான h உயர ஓர் எறியம் V என்ற வேகத்துடன் கடலிலுள்ள ஒரு இலக்கை எறியக்கோணம் 0 எனின் தான் 8
இதிலிருந்தோ அல்லது இரு திசைகள் ஒன்றுக்கொன்று ெ நிறுவுக.

- எறியப்படுமாயின், அது மீண்டும் 0 பரிலிருந்து உள்ள தூரத்தைக் காண்க. -கள், கிடையுடன் 300 இற் சாய்ந்துள்ள மடத்தூரமுள்ள இரு புள்ளிகள் A,B gl) வேகத்துடன் எறியப்படுகின்றன. இலுள்ள துணிக்கை கிடையாக Bஐ துணிக்கை கிடையுடன் 60° இல் Aஐ கைகள் மோதுமென்றும், இரண்டும் ணிவு கிடைக்கு கீழே 30° இலுள்ள வகும் என நிறுவுக.
த்தரையிலுள்ள புள்ளி 0 இலிருந்து றக்கோணம் O! உடன் வீசப் பட,
X தூரத்திலும், தரையிலிருந்து y டாகச்செல்கிறது.
= 50 அடி/செக் ஆயின், tanc, இன் ங்களையும் காண்க அடுத்த இரு க்கப்பட்டால், துணிக்கை நிலத்தை
தூரத்தைக் காண்க. /செக் ஆயின் y இன் அதியுயர்
முள்ள ஒரு பாறை உச்சியிலிருந்து பாறையினடியிலிருந்து C தூரத்தில் அடிக்குமாறு எறியப்படுகிறது. ல் ஒரு சமன்பாட்டைக் காண்க. வேறு வகையாகவோ சாத்தியமான சங்குத்தாக இருப்பின் hy = gc' என
4 -


Page 51
இச் சந்தர்ப்பத்தில் கிடைக்கு
(b2+c?)1/2 ஏற்றக்கோணம் தான் - 1
h
எனவும், கீழாக எறியப்படும்போது ?
(bl+c?)1/2-0
h 11. A,B என்பன வெளியில்d தூரத்தி Aயின் மட்டத்திற்கு மேலேயுள்ளது : ஐ நோக்கி V என்ற வேகத்துடன் எ Qஎன்ற சமதிணிவுள்ள துணிக்கை Bயி எந்த நேரத்திலும் P யின் சார்பான | என்ற நேரத்தில் துணிக்கைகள் மே பின்னர் துணிக்கைகள் இரண்டும் ஒன் அவை இயங்க ஆரம்பித்தால் அவ்
12. ஒரு கல் ஒரு புள்ளியிலிருந்து 10 மேல் நிலைக்குத்துடன் 45° கோணத்தி பின் கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் கல்லொன்று முதலாவது கல்லை 8 எறியப்பட வேண்டுமெனக் காண்க. இரவு 1/3செக்கனில் சந்திக்குமெனவும் காட் 13. ஒரு பந்துCC என்ற ஏற்றக்கோணத் புள்ளியிலிருந்து d என்ற கிடைத்து நிலைக்குத்துச் சுவரை நோக்கி எறிய மீண்டும் எறியற்புள்ளிக்கு திரும்பினால்
8d
என நிறுவுக.
V2Sin2ot-d
- 45 -

5 மேலாக எறியப்படும் பொழுது
இறக்கக்கோணம் தான்
எனவும் நிறுவுக
லுள்ள இரு புள்ளிகள் B யானது ஒரு துணிக்கை P,Aயிலிருந்து B றியப்படுகின்றது. அதே கணத்தில் ல் ஓய்விலிருந்து விழவிடப்பட்டது. Q வின் வேகத்தைக் கண்டு d/v ாதுமென நிறுவுக. மோதுகையின் றாக இணைந்து கிடைத்திசையில்
ஆரம்பவேகம் N(v+-4g-d?)
- 2v எனக்காட்டுக. )V2அடி/செக் என்ற வேகத்துடன் ல் எறியப்படுகிறது. ஒரு செக்கனின் 45° கோணத்தில் இரண்டாவது அடிக்குமாறு என்ன வேகத்துடன் ண்டாவது கல்முதலாவது கல்லை
டுக.
தில் v என்ற வேகத்துடன் எறியற் பாரத்திலுள்ள அழுத்தமான ஒரு பப்பட்டது. சுவரை அடித்த பந்து 5 தன்னுருவடைதற் குணகம்.


Page 52
14 ஒரு துணிக்கையானது கிை ஒரு தளத்தின் அடியிலிருந்து இயக்கமானது அதியுயர் சரிவுக்ே துணிக்கை தளத்தைச் செங்ே என நிறுவுக.
இங்குசோய்தளத்திற்கும் எறிய சாய்தளத்தில் துணிக்கையின் விச்
2u? GODgF GÖTO.
என நிறுவுக. g(1+3சைன்o)
15.ஒரு துணிக்கை V என்ற நிலைக் ஒரு தளத்தின் ஒரு புள்ளியிலிரு பெரிதாயிருப்பதற்கு எறியற்கோணம் இவ் விச் சின் அந் தங்களிலுவி செங்குத்தானவை எனக்காட்டுக.
துணிக்கையின் பாதையில் நிலைக்குத்துக்கோடு இவ்விச்சத் பிரிக்குமெனவும் காட்டுக. 16. ஒரு துணிக்கை O என்ற புள்ளி u என்ற வேகத்துடன் எறியப்பட் அடிக்கிறது. OT என்பது கிடைக்கு
u2SeO2O OT = — Sin (20-O)
மற்றொரு துணிக்கை O விலி ஏற்றக்கோணம்)உடனும் (0) >9)6 அடித்தால் (D=1/2+0-9எனக்காட்டு நேரவித்தியாசம். 2uSecC.
Sin (0—O.) —Cos0) 6T60

டையுடன் 0 கோணத்தில் சாய்ந்துள்ள
u வேகத்துடன் எறியப்படுகின்றது. காடு செல்லும் தளத்தில் நிகழ்கிறது. 35 FT GOOTġ5 gŚNGOLọ ÜLÎNGÖT tan 0= 1/2 CotO.
ல் திசைக்குமிடையேயுள்ள கோணம்
巴开。
குத்து வேகத்துடன் 0 கோணமமைக்கும் ந்து எறியப்பட்டது கீழ்மூக விச்சு மிகப் எவ்வாறிருக்க வேண்டுமெனக்காண்க. ர் ள வேகங்கள் ஒன்றுக் கொன்று
b அதியுயர் புள்ளியிலிருந்து கீறப்படும் நதை tan20/2:1 என்ற விகிதத்தில்
யிலிருந்து9என்னும் ஏற்றக்கோணத்தில் டது. துணிக்கை T என்ற இலக்கை மேலே 0இல் சாய்ந்துள்ளது.
-Sino. 6T60T 56)5.
ருந்து அதே வேகம் u உடனும் ாறியப்பட்டது. இத்துணிக்கையும் Tஐ இக.இவ்விரு பறப்புகளுக்கிடையேயுள்ள
வும் காட்டுக.
-46一


Page 53
17. ஒரு பாரமான துணிக்ை சாய்விலும் 0 என்னும் ஒரு புள் வினுாடாக கிடையாகவும் நிலைக்குத் எடுக்கப்படின் துணிக்கையின் பாை
(gx சீக சமன்பாடு y = Xதான்?!--
2u2 பாதையின் குறித்த புள்ளி (x,y,) எறியக்கூடிய கோணங்கள்0,0!,
தான் (c. -G.,) =-(-) என நிறு
- 1
18. A,B என்பன நிலமட்டத்துக்கு ! AB=c ஆகுமாறும் உள்ள இரு புள்ள u எனும் வேகத்துடன் நிலத்திலிரு செல்லுமாறு ஒரு கல்லை எறிய முடி 19. OX,OY ஜ கிடை, நிலைக்கு, எனும் புள்ளியின் ஆள்கூறு (x,y) ஆ எறியப்படும் துணிக்கை ஒன்று P இ பாதைகளால் எறியப்படலாம் என pயில் செங்குத்தில் வெட்டின் u,x தொடர்பைப் பெறுக. 20. ஒரு நீர்த்தாரைவட்டில் 203 ஒரு பகுதியாகும். கோளத்தின் மையத் 12அடி / செக் வேகத்துடன் கிடையா இது வட்டிலை அதன் இழிவுப்புள் அடிக்குமென நிறுவு.
நாசியைவிட்டு 6 அடி/செக் வேக வேறொரு நீர்த்துளி வட்டிலை எப்பு 21. கிடையுடன் கோணம் (இல் சாப் ஒரு புள்ளி 0 இலிருந்து ஒருதுணி அதியுயர் சரிவுக்கோட்டினூடே செல்
- 47 -

கயானது u வேகத்துடனும் ! Tளியிலிருந்து எறியப்பட்டது.O நதாகவும் ஆள் கூற்று அச்சுக்கள் தயின்
2ot)
இனுாடாகச் செல்லும் வண்ணம் ஆயின்
வுக.
மேல் A,B எனும் உயரங்களிலும் ரிகளாகும் பட்> g(a+b+c)ஆயினன்றி நந்து A,B என்பவற்றுக்கூடாகச் உயாது எனக்காட்டுக.
த்து அச்சுகளாக கொண்டால்p நிகும் 0விலிருந்து ஸ்வேகத்துடன் னூடாகச் செல்லுமாறு இரண்டு நிறுவி, அவ்விரு பாதைகளும் -y என்பவற்றுக்கிடையில் ஒரு
அடி ஆரையுடைய கோளத்தின் இதிலுள்ள நாசியினூடாக, (nozzle) க ஒருநீர்த்துளி வெளிப்படுகிறது. ளியிலிருந்து 4அடி உயரத்தில்
த்துடன் கிடையாக வெளிப்படும் புள்ளியில் அடிக்குமெனக் காண். பந்திருக்கும். ஒரு தளத்திலுள்ள க்கைகிடையுடன்0கோணத்தில் bலும் நிலைக்குத்துத் தளத்தில்


Page 54
வீசப்பட்டது. துணிக்கை தள
தான் (9-)=1/2 கோதா () எ6 0 மாறும்பொழுது9இன் இழிவுப்ெ 22.M திணிவுள்ள ஒரு துணிக்ை இலிருந்துவீசப்பட்டது. O இலி 3/4a உயரமான நிலைக்குத்து செல்வதற்கு, எறிவேகத்தின் வர்ச் நிறுவு.
23. h உயரமுடைய ஒரு கோபுரத்தி a ஒரு பொருளை தொடக்க வேக dதூரத்தில் நிலத்தில் நிற்கும் வேன் பெரிதாயின் அவன் அப்பொரு6ை நிறுவி
gd? u = - ஆயின்
h இவ்விரு திசைகளும் செங்கோ இந்நிபந்தனையோடு, d.> W3h க்குத் திருப்பி அதே தொடக்கே நிறுவுக. 24. ஒரு கோட்டைக்கு அணுகும் 6 ஒரு சாய்தளம் ஆகும். இச்சாய் துப்பாக்கி வைக்கப்பட்டிருக்கிறது சாய்தளத்துக்குச் செங்குத்தாக துப்பாக்கிக்குண்டு சாய்தளத்தை
2u2
ΧΥ = தான் 0 சீக 0.
&
y இல் வைக்கப்பட்டுள்ள அதேே தொடக்க வேகத்துடன் எத்திசை (1/3)ஆயின்V இலுள்ள துப்பாக்கிய நிறுவு

த்தை செங்குத்தாக அடித்தால் ன நிறுவுக.
பறுமானத்தைக் காண். க, கிடைத்தளத்திலுள்ள புள்ளி 0 ருந்து கிடையாக a தூரத்திலுள்ள ச் சுவருக்கு மேலாகத் துணிக்கை 5கம் 2ga இலும் குறையக்கூடாதென
ன் உச்சியில் நிற்கும் ஒரு வேலையாள் ம் u உடன் கோபுரத்தின்அடியிலிருந்து லையாள் bக்கு எறிகிறான் u போதியளவு ா இரு திசைகளில் எறியலாம் என
ணத்திலுள்ளன என நிறுவுக. ஆயின் வேலையாள் B பொருளை A வகம் u உடன் எறிய முடியும் என
வழி, கிடைக்கு கோணம் 0 சாய்வுடைய தளத்தில் X என்ற புள்ளியில் ஒரு X இலிருந்து ஒரு துப்பாக்கிக்குண்டு u வேகத்துடன் சுடப்படுகிறது y என்ற புள்ளியில் அடிக்கிறது.
எனக்காட்டுக.
பான்ற ஒரு துப்பாக்கி அதேu என்னுந் யிலும் சுடக்கூடியது.0 S சைன்166T 6333,356T (range)X 5) 6T6TG560T
48


Page 55
25. ஒரு செங்குத்தான நேரிய h உ தரைக்கு குறுக்கே செல்கிறது. மை a இல் ஒரு பீரங்கி உள்ளது. ப் வெளியேறும் வேகம் u ஆயின்.
u°2 gh-- Wh’--a )
ஆயினன்றி, மலைத்தொடருக்கு அப்பீரங்கியால் இயலாதென்று கா ஆயின் மலைத்தொடருக்கு அப்பால் புள்ளி சமதரையில் ஒன்றே யொ அப்புள்ளிக்கும் பீரங்கிக்கும் இடைய 26. ஒரு சாய்தளத்தின் மீதுள்ள துணிக்கையானது அத்தளத்தின் உ ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே ே அவ்வுயர் சாய்வுக்கோட்டிலுள்ள இருத்தற்கு எறியக் கோணத்தைத்
அத்துணிக்கையானது அத்தளத்தை வேகம் V ஆயின், புறமாற்றுத்திசையிே Q இலிருந்து வேகம் V ஒடு 6 அச்சாய்தளத்திலே உயர்வு வீச்சு (
27. h உயரமுள்ள ஒரு நிலை உச்சியிலிருந்து ஒருதுணிக்கையான புவியீர்ப்பின் கீழ் எறியப்படுகின்றது. டாகவுள்ள கிடைத்தளத்தை p இல்
v Nv2+2gh ор < — எனக் காட்டுக.
용 Q என்பது துண்டம் ஐ அடைய அத்துணிக்கையானது இரு
எறியப்படக்கூடிய அவ்விரு திசை இருகூறாக்கி, கோணம்0AQ இன் (
ST B5.

யரமுள்ள மலைத்தொடர் ஒரு சம லத்தொடரிலிருந்து கிடைத்தூரம் ங்கிக் குண்டு பீரங்கிவாயிலிருந்து
மேலாகக் குண்டைச் சுடுவதற்கு
(Blu – g (h+ \, h' + a) பீரங்கிக்குண்டு சென்றடையக்கூடிய ன்றுமட்டுமே உண்டென்று காட்டி, பிலுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
ஒரு புள்ளி p இலிருந்து ஒரு யர்சாய்வுக் கோடொன்றிற்கூடான வகம் u உடன் எறியப்படுகின்றது. வீச்சு PQ ஆனது உயர்வாக துணி.
50 இலே அடிக்கும் போது அதன் ல அதே பரவளைவுப் பாதையானது 1றியப்படும் ஒரு துணிக்கைக்கு
P ஐத் தருமெனக் காட்டு.
க்குத்துக் கோபுரம் OA இனது து தரப்பட்ட ஒரு கதி V உடன்
அத்துணிக்கையானது O இனூ ,T60زلزjاوL|(قک |
OP இலுள்ள ஒரு புள்ளியாயின்,0 திசைகளில் கல் எறியபடலாமென்றும் களிடையே உள்ள கோணத்தின் இருகூறாக்கிக்குச் செங்குத்தென்றுங்


Page 56
28. புவியிலுள்ள ஒரு புள்ளி0 இ நிலைக்குத்தாய் மேல்நோக்கிச்
புவியை விட்டு எழுந்தவுடனே வுெ (fragments)LJ6ò (36) JADI ÉGO) 5 356f எல்லாம் புவியின் மேற்பரப்பு அவ்வுடைபகுதிகளின் திணிவுமை அமர்முடுகல் g உடனும், நிலைக்
அவ்வாணம் வெடிக்கும்போது ஓர் கோணம9ஆக்கும் திசையில் சிதறப்படுகின்றது. அதன் கிடை
6ਰੰਗ -- ଠେ ଓ ଯୌt6 (u' + v (38515056
V = U2ஆயிருக்க, G தொடர்பாக
சிதறப்பட்டால், வானம் சுடும் நிலை ஆட்களின் பாதுகாப்பான பிரதேசம், - ?b6ODIJU (UD6ODL ULI 6)
இங்கு () = கோசை - 부
29. ஓர் ஆகாயவிமானம் ஒரு ச் ஆரையுள்ள வட்டத்தின் வில் தரையிலுள்ள புள்ளி 0 இற்கு, நிை வட்டத்தின் மையம் உள்ளது. த இருக்கும்போது போடப்படும் ( —9)46O)LdÉpg5I. ky°+ y(a°—2hk)+-k தரப்படுமென நிறுவு.
ag இங்கு k = h + -
2v2 30 a ஆரையும் தரையிலிருந்து ABCஇல் ஓர் ஆகாயவிமானம் வட்டம் ABCஇன் மையத்திற்கு நி புள்ளி0வில் ஒரு விமானத்தடுப்பு இல் உள்ளபோது 0இலிருந்து குண்டு விமானம் B இல் உள்ளே

லிருந்து ஒரு வாணம் கதி u உடன்
சுடப்படுகின்றது அவ்வாணமானது டிக்கின்றது. அதன் உடைபகுதிகள்” லே சிதறுகின்றன. உடைபகுதிகள் க்கு மேலே இருக்கும் வரையும் யம் G தொடக்க வேகம U உடனும் நத்தாய் மேலே இயங்குமெனக் காட்டு.
உடைபகுதி மேன்முக நிலைக்குத்துடன் G தொடர்பாக V (

Page 57
எனவும் வில் AB யின் நீளம்
44( 4 )" எனவும் நிறுவுக
31. கிடையுடன் கோணம் Bஆக்கு நேர்கோட்டில் ஒரு பறவை ஒரு தரையிலுள்ள ஒரு பையன், பறன. hஉயரத்திலுள்ளபோது, ஏற்றக்கோண எறிகிறான். கல் எறியப்படும் வேகம் தான் 0.>> 2gh சீக B + தான் B
u அல்லவெனின் காட்டு. கல் மட்டுமட்டாகப் பறவையை பாதிக்கப்படாமல்) செல்லுமாயின், டெ பறவையை அடிக்குமெனக் காட்டு.
32. வேகம் v 2gh உடன் ஒரு து b உயரமும், கிடைத்தூரம் a உம் உள் செல்வதானால் a2- 4bh<4h2 எனக் காட்டு.
துப்பாக்கியின் கிடைமட்டத்தில் உ பக்கத்திலுள்ளதுமான ஒரு புள்ளி, மாத்திரம் அடையலாம் எனின் துப்பாக் a3 + 2abh + ab(4h2 - 4bh -a2) 1/2
a2 + 62 என்னும் இருபெறுமானங்களுக்கு இ 33. ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிலிருந்து ஓய்வில் தரையில் இருக்கிறது. பந்து சுவருக்குச் செங்குத்தான நிலைக் வேகத்துடன் இயங்கத்தொடங்கும். - பந்து சுவருக்கு மேலாகச் சென்று நில
- 51

ம் திசையில் மேல் நோக்கிய சீர்க்கதி u உடன் பறக்கிறது. வ நிலைக்குத்தாக நேர்மேலே மdஉள்ள திசையில் ஒரு கல்லை என்னவாயிருந்தாலும்
கல் பறவையை அடியாதெனக் பத் தொட்டுக் கொண்டு (இரண்டும் பாதுவாக மீண்டும் ஒருமுறை கல்
ப்பாக்கியின் குண்டு சுடப்படுகிறது. ள மலைக்கு மேலால் இக்குண்டு
Tளதும். மலையின் அப்பாலுள்ள குண்டின் ஒரு கடவையினால் தகியிலிருந்து அப்புள்ளியின் தூரம்
டையில் இருக்குமென நிறுவுக. து, 20 அடி தூரத்தில், ஒரு பந்து ] அடிக்கப்படும் பொழுது அது தத்துத்தளத்தில் 40அடி செக் அதன் திசை மாறக்கூடியதாகும் நதை அடிக்கக்கூடிய அதிகிட்டி


Page 58
அதிகிட்டிய புள்ளி A உம் அதிெ தூரத்தைப் பின்வரும் இரு வகை சுவரின் உயரம் 1) 2 அடி (11) 5
34. கிடையுடன் 0 கோணம் சாய்வு ஒரு மீள்தன்மைபந்து, தளத்து எறியப்படுகிறது. பந்தின் பாதை செல்லும் நிலைக்குத்துத் தளத் மீண்டும் 0 ஐ அடையுமாயின் (1-e) கோதாO கோதாB = 1- e" மீளமைவுக்குணகம் eஆகும் ( செங்குத்தாயின்
e - 2e + 1 = 0 என நிறு
35. இரு சமாந்தர நிலைக்குத்தா ஒரு சுவரின் அடியிலிருந்து V ே தன்மைக் கோளம் மற்றச் சுவரில் ே அடிக்கிறது சுவர்களிற்கு செங் கோளத்தின் இயக்கம் உள் 6 தொடக்கப்புள்ளியிலிருந்து புள்ளி
V2 ga’ (1+e) 1/2 - -1/2
V2e
இந்த வகையில் கோளம் P ஐ
நிலைக்குத்துக்கூறு கீழ் நோக்கி
36. ஒரு மாடிப்படிகள் ஒவ்வொ
மேல் படியின் விளிம்பிலுள்ள ஒ
கிடையாக u வேகத்துடன் (படிக
ga
u2 < ஆயின் துணிக்கை அ 2h &Tլ (B5

தாலை புள்ளி B உம் ஆகும். ABஇன் ககளிலும் காண். அடி g 32 அடி/செக்2 ள்ள தளத்திலுள்ள புள்ளி 0 இலிருந்து துடன் Bகோணம் ஆக்கும் திசையில் அதியுயரச் சரிவுக் கோட்டிற்கூடாகச் திலுள்ளது nஆம் மோதலில் பந்து
என நிறுவுகபந்திற்கும் தளத்திற்கும் இன்னும்1ஆம் மோதல் தளத்திற்கு
|à, ன சுவர்களின் இடைத்தூரம் a ஆகும். வகத்துடன் எறியப்படும் ஒரு சிறு மீள் மாதி மீண்டும் முதல் சுவரை புள்ளிPஇல் குத்தான நிலைக்குத்துத் தளத்தில் ளது. மீளமைவுக் குணகம் e எனின் இன் Pஅதிகூடிய உயரம்
என நிறுவுக.
அடிக்கும்பொழுது. அதன் வேகத்தின் யுள்ளது என நிறுவுக.
ன்றின் அகலம் a, உயரம் h; ஆகும் ரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு துணிக்கை ளில் விழுந்து வரும்படி) வீசப்பட்டது.
அடுத்த படியை அடிக்கும் எனக்
- 52


Page 59
இந்தப் படியை அடித்து மீண்டும் அடிப்பதற்கு, நிபந்தனைகள் பின்வ
2h a < u (1+2e)\-
&
2h 1 + e +\1+
용
இங்கு துணிக்கைக்கும், படிகளுக்கு
37. ஒரு விமானமானது V எனும்
மைல் உயரத்தில் பறக்கிறது. அ நேர்மேலாகச் சென்றபின், விமானத் சுடப்படுகின்றது. அப்பொழுது து விமானத்தின் ஏற்றக்கோணம் 0 ஆ
KV SecO. (Kc-1) 6TGñ6óI O = tan
என இருப்பின் குண்டானது விமான
38. டெனிஸ் ஆட்டக்காரரொ நேர்குறுக்காகப் பந்தொன்றை மற்ெ பணிக்கின்றார். வலையிலிருந்து d து ஒரு புள்ளியிலிருந்து கிடையுடன் அப்பந்து எறியப்பட்டுள்ளது.
2V2 tano - i tan OC -- ] gd எனக் காட்டுக.
ய எனும் ஓர் இழிவுப் பெறுமானமு என்பது 0, 0, (0,<0) என் 8

அதற்கு அடுத்த படியை ருமாறு என நிறுவுக.
- < 2a
கும் இடையே மீளமைவுக்குணகம் e
சீரான வேகத்துடன் hஎன்னும் ஒரு அவ்விமானம் துப்பாக்கி ஒன்றுக்கு தை நோக்கி நேரிலக்காகத் துப்பாக்கி ப்பாக்கியிலிருந்து நோக்குகையில் கும். குண்டின் தொடக்க வேகம் ( 1. | gh
2 (K-1)
V
0த்தைத் தாக்காது எனக் காட்டுக. ருவர் h உயரமுடைய வலைக்கு றாரு டெனிஸ் ஆட்டக் காரருக்குப் தூரத்தில் தரைக்கு அண்மையிலுள்ள
0 கோணத்தில் V வேகத்துடன்
2V2η
| -- < O
gd°
ள்ளதிலும் பெரிதாக W இருப்பின் 0 றும் இரு பெறுமானங்களுக்கு
53 -


Page 60
இடையிலிருக்கவேண்டும் என்பன என்பவற்றைக் காண்க. 39.தரைமட்டத்திலுள்ள ஒரு புள்ள உடன் எறியப்படுகின்றது u < புள்ளியிலிருந்து d தூரத்திலிருக் துணிக்கையால் தாண்டிச்செல்ல கிடையுடன் கோணம் 0 சாய்வுை புள்ளியிலிருந்து எறியப்படும் சரிவுக்கோட்டின் வழியே மேல்ரே அணுகுவதற்கு அத்துணியானது எ கதியை உய்த்தறிக.
40 u என்னும் பருமனுடைய ஒருை உயரத்தில் பறக்கின்ற ஒரு விம நேர் மேலாகக் கடக்கின்றது. துப்ப தாக்கவேண்டுமாயின் துப்பாக்கி நிை கணத்திலே, சுடப்படவேண்டிய கு வேகமென்ன? இதற்கு பொருத்தமா
41. ஒரு ஒப்புரவான சாய்தளத்தின் அ அதிகூடிய சரிவுக்கோடு A யினு தளத்தில் V வேகத்தோடு எறியப் கோணத்தில் சாய்ந்துள்ளது. துணிச் தாக்குகின்றது. தொடக்கவேகம் AB Cot0 CotO 2 6T6IOTä55 TL (635. AB
இத்துணிக்கை B யிலிருந்து பின்ன6 B யிற்கும் இடையிலுள்ள C என்னு தளத்திற்கும், துணிக்கைக்கும் இ6 66ਹੀਂ6.
BC e2 = எனக் காட்டுக.
AB

த இதிலிருந்து உய்த்தறிகO, 0, u
யிலிருந்து துணிக்கை ஒன்று கதிய gNb + h + h ஆயின் எறியப் நம் h உயரமுடைய சுவரொன்றைத் முடியாதெனக் காட்டுக. டய தளமொன்றில் உள்ள ஒரு துணிக்கை ஒன்று அதியுயர்வான ாக்கி அளக்கப்பட்ட தூரம் S ஐ றியப்படவேண்டிய மிகக் குறைவான
(1974 Apr)
ம வேகத்துடன் h என்னும் ஒருமைல் ானம் துப்பாக்கி நிலையமொன்றை ாக்கிக் குண்டு ஒன்று விமானத்தை லயத்துக்கு நேர் மேலாகச் செல்லும் ண்டின் இழிவான துப்பாக்கி வாய் ன ஏற்றகோணம் என்ன?
(1979 August) Hடியான A யிலிருந்து ஒருதுணிக்கை Tடாகக் கொண்ட நிலைக்குத்துத் படுகின்றது. தளம் கிடைக்கு 0. கை தளத்தை செங்குத்தாக B இல் யுடனர் 9 கோணத்தை அமைத்தால் ஜக் காண்க. தை அடைந்து தளத்தை A யிற்கும், ம் புள்ளியில் பின்னர் தாக்குகின்றது. டையிலுள்ள மீளமைவுக் குணகம் e
(1980 Aug)


Page 61
42. கிடையுடன் 0 கோணத்தை அன O எனும் புள்ளியிலிருந்து ஒரு அச்சுக்களைப் பொருத்தமாகத் தெர் பாதையின் சமன்பாடு
9X2 y = X tan O. - ( ) ( 1
2V2
எனும் வடிவத்தில் எடுத்துரைக்க
43. மட்டமான தரையிலுள்ள P எனு எனும் வேகத்துடன் ஒரு வெடிகுண
LT6O)5UT60Ig)
9x2
y X - - எனும் சமன்பாட்டி
V2
இங்கு x, y என்பன முறையே நிலைக்குத்துத் தூரமுமாகும்.Xaஆ நிலத்தைத் தாக்குகின்றது P இலிரு சுடப்பட்ட இரண்டாவது வெடி குண் h தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியினுட
V 4 ս2 = — என நிறுவுக.
Voigh 44. ஒரு சாய்தளத்தின் மீதுள்ள துணிக்கையானது அத்தளத்தின் 2 ஒரு நிலைக்குத்து தளத்திலே கதி துணிக்கையின் உயர் வீச்சைப் பெறு லிருந்து என்ன கதியுடன் வீசப்பட்ட இக்கதியைப்பற்றி யாது கூறுவீர்?
p ஐக் குவியமாகவும் 2u/g ஐ பரவளைவில் 0 இருக்குமென உ பரவளைவு ஒன்றின் முனைவாள் ச

மக்குமாறு V என்னும் வேகத்துடன் துணிக்கை எறியப்படுகின்றது. வு செய்வதன் மூலம் துணிக்கையின்
+ tan°C )
படலாமென நிறுவுக.
(1980 Nov) தும் புள்ளியிலிருந்து 45 சாய்வில் V ன்டு சுடப்படுகின்றது. வெடிகுண்டின்
னால் தரப்படும் என நிறுவுக.
P இலிருந்து கிடைத்துரமும், யுள்ள புள்ளி 0 இல் இவ்வெடிகுண்டு ந்து 45 சாய்வில் வேகம் u உடன் எடு 0 இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே ாகச் செல்கின்றது.
(1981 Apr)
ஒரு புள்ளி P யிலிருந்து ஒரு உயர் சாய்வுக்கோடொன்றிற்கூடான
1உடன் மேல்நோக்கி எறிய பட்டது. க. இவ்வுயர் வீச்சு P0 ஆயின், 0 ால் உயிர்வீச்சு 0Pஆக இருக்கும்
G3.656) 35 -o), B6)LOTE. G. BIT 600TL ய்தறிக.
D6បំLITB
5 -


Page 62
= 1 + Cos8 என 6
45. ஒரு துணிக்கை புள்ளி A யிலிரு வேகம் v உடன் வீசப்படுகின்றது. போது அதன் வேகம் கிடையுட6 பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. 1. P இல் வேகத்தின் நிலைக்கூறு VCosC! 2. A இன் மட்டத்திற்கு மேல் P இன் உயரம்
v2(CosB - Cos?o)
2gCos-B 3. A இலிருந்து P யிற்கு செல்ல எடுத்த நே
vSin ( C - B )
g CosB 4. AP யின் கிடையான தூரம் v2Sin (0! - B) CosOL
gCosB 46. கிடையுடன் 3 சாய்வுள்ள சாய் இரு துணிக்கைகள் u எனும் வேக எறியப்படுகிறது இரு துணிக்கைக கொண் டுள் ள து இரு
| த அதியுயர்சாய்வுக்கோட்டினூடாக நிை நேர வித்தியாசம். -
4u C., C, T B -------- Sin(--------- )Sin(-------+-------
g Cosp 2 எனக் காட்டுக. இங்கு 041,002 என்ப 'கோணங்களாகும்
47. மலையொன்றின் செங்குத்தாக கல்லொன்றைகிடையுடன் சாய்வுக் கே u உடன் எறிகிறான் . T இடை6ே எறியும் திசையுடன் கோணம் 1/2+் வி எறியப்பட்டது. இரு கற்களும் மோது
(1975Apr) 48. கிடையுடன் O கோணம் சாய்வுள் செல்லும் அதியுயர் சரிவுக் கோடு 1 வீசப்பட்ட ஒர் ஏவுகணை சாய்தளம் அடிக்கிறது . AB ஜக் காண்க.
u2 AB
என உய்த்தறிக. g (1+Sinx)

டுத்துக் கொள்ளலாம்.
இது கிடையுடன் dt எனும் கோணத்தில் அது p எனும் புள்ளியை அடையும் 1 B கோணத்தில் சாய்த்துள்ளது.
ang
தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து த்துடன் ஒரே நேரத்தில் மேல்நோக்கி ளும் சாய்தளத்தில் ஒரே வீச்சைக் பணிக் கைகளின் இயக்கமும் லக்குத்துத் தளத்தில் உள்ளன பரப்பு
ன கிடையுடன் எறியல்
ன விளிம்பிலிருந்து ஒரு மனிதன் காணம் 0% கொண்ட திசையிலே வேகம் பளையின் பின்னர் முதலாவது கல் லே வேகம் V உடன் வேறொரு கல் |கின்றன. Tஜக் காண்க.
ள ஒரு தளத்தில் புள்ளி Aயினுடாக ஆகும் Aயிலிருந்து வேகம் u உடன் தின் மேலேயுள்ள புள்ளி B இல்


Page 63
இதிலிருந்து ஒரு செங்குத்தான நே சுவரிலிருந்து கிடைத்தூரம் a ய வீசப்பட வேண்டிய இழிவு வேகத்த
49.நிலத்திலுள்ள A எனும் ஒரு கிடையுடன் கோணம் (1) கோட் டை யை செலுத்தப்படுகிறது. முதலாவது
குறி இலக்கங்களைத் தாக்கக்கூடி R, இனதும் R, இனதும் விகிதம்
R1 VN(+1)
- - -
R1 vul(L-1) 51. ஒரு போர்க்கப்பல் V வேக பின்னோக்கிக் குறி பார்க்கக்கூடிய 04 எனும் ஏற்றக்கோணத்தில் பெ சார்பாக ஓட்டின் எறி வேகம் u (
2u ----
Sinot (uCosO!-v) எ6 ஏற்றக்கோணம்

| ய h உயரமுள்ள சுவருக்கு மேலாகச் லுள்ள புள்ளியிலிருந்து ஏவுகணை ன் பருமனையும் திசையையும் காண்க
புள்ளியிலிருந்து வேகம் V உடனும்
ஏற்றத்திலும் ஒரு துணிக்கை யின் கடவையின் தளத்தில் அதன்
கிடையாக(OX)நிலைக்குத்தாக எடுப்பதன் மூலம் அக்கடவையின் றும் வடிவில் உணர்த்தலாம் எனக்
h உம் a கிடைத்தூரமுள்ள இரு Tண்டு செல்லுமாயின்
ரத்திலுள்ள மலையுச்சியின் விளிம்பில் கோட்டையிலிருந்து V2லgh கதியில் ள கப்பலைத் தாக்குவதற்காகச் தியீடாகக் கப்பலில் இருந்து N2gh பத் தாக்கு வதற் காக ஓர் ஓடு ஓடும் இரண்டாவது ஓடும் தங்கள் ய அதி பெரிய கிடையான வீச்சுகளான
எனக்காட்டுக. (1980 Aug)
த்தோடு முன்னோக்கிச் செல்கிறது. வாறு துப்பாக்கியொன்று இக்கப்பலில் பாருத்தப்பட்டுள்ளது. துப்பாக்கிக்குச்
> v) என அமைந்தால் வீச்சு.
எக்காட்டுக.
57 -


Page 64
cos (+ Nw* + 8ut) SL 4u-]
4u வீச்சு உயர்வாக இருக்குமெனக் கா! 52.t = 0 என்னும் நேரத்தில் 0 என் துணிக்கைகள் P,0 என்பன கிடை! சாய்விலே u,,u, என்னும் வீசல் வே தளத்தில் புவியீர்ப்பில் இயங்க எறிய பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. 1) PQஎப்போதும் ஒரு நிலையான ( 2) வேகங்கள் சமாந்தரமாய் வருவ
U,U,Sin(0., -0.,)
g,U,CosO!,-U,Cosc, 3) அவற்றின் பாதையில் வேறு ஒரு எடுக்கும் நேர ஆயிடை
2U,U,Sin(04 -04,)
g(U,Cosc! +U,Cosc.,) 53.0 எனும் புள்ளியிலிருந்து v என்று எறியப்பட்ட எறியம் x கிடைத்தூரத்தில் செல்லுமாயின்
872
Sec' 01 என
y = X tan O! --
2v2
X = 50', y = 20' ஆகவுள்ள புள்ளிய அதிகுறைந்த வேகத்தையும் எறியற் ( v=50 அடி/செ ஆகும்போது எ அத்திசையில் எறியப்பட்ட எறியங்கள் இடைத்தூரம் அண்ணளவாக 15 என
- 58

ஆக இருந்தால் ட்டுக.
னும் புள்ளியிலிருந்து இரு சிறிய புடன் 03,04, என்னும் கோணம் கங்களுடன் ஒரு நிலைக்குத்துத் ப்படுகின்றன.
நேர்கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகும். தற்கு எடுத்த நேரம்.
பொதுப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்ல
லும் கதியுடன் 0எறி கோணத்தில் > y உயரத்தில் உள்ள புள்ளியினூடு
நிறுவுக.
னூடு செல்வதற்கு தேவையான காணத்தையும் காண்க. நியற் கோணங்களைக் காண்க. தரையில. அடிக்கும் புள்ளிகளின்
நிறுவுக.


Page 65
54. பறக்கும் பறவையொன்றை அடிப்பு V எனும் வீசல் வேகத்துடன் ஒரு க கணத்தில் இப்புள்ளிக்கு நிலைக்கு வேகத்துடனும் f என்னும் ஆர்முடு பறக்கின்றது. மீண்டும் பறவையும் கல் வரும் போது கல்லின் உயரம் என்
ஆயின் V யின் வெவ்வேறு பெ அதிகூடிய பெறுமானம் என்ன? அதில் | tan Gt< {(f2h2 + 2ghu?)1/2-fh}/u? பறவையைக் கல் அடிக்காது என 55. ஒரு லொறியின் கீழ், மேல் த ஆகும். அந்த லொறி கிடையுடன் CI - kg எனும் மாறா ஆர்முடுகலுடன் இ ஒன்றானது சுயாதீனமாக விழவிட துணிக்கையின் ஆர்முடுகல் சாய்தள்,
Cot B = k Sec O! + tan O! எனக்
துணிக்கை ஒன்றானது கீழ் தட்டிலிரு அமையும் திசையில் லொறிசார்பாக திசையில் எறியப்படுகிறது. துணிக் புள்ளியில் அடிக்கிறது. இங்கு AB:
2y Cos6
- எனக்காட்டுக. g Coso! Cos B
2v>Cos 9 tan B sin(8-3) h =
gCosa Cos B 56. 144 அடி உயரமான ஒரு வெள் கல்லானது கிடையுடன் 30° ஏற்றத் கடலை நோக்கி எறியப்படுகின்றது. 1) வெளிச்ச வீட்டின் அடியிலிருந்த 2) கல்லு நீர்ப்பரப்புடன் மோதுந்தின
- 5

பதற்கு O! என்னும் ஏற்றக்கோணத்தில் ல் எறியப்படுகின்றது. கல்வீசப்பட்ட இத்தாக h உயரத்தில் u எனும் கலுடனும் ஒரு கிடைக்கோட்டில் லும் ஒரே நிலைக்குத்துக்கோட்டில் ன? tand B) கோணம் V எனும் வேகத்துடன் மேனோக்கிய கையானது மேல்தட்டை B என்னும்
=h ஆகும். இதன் பறப்பு நேரம்
என உய்த்தறிக.
ரிச்ச வீட்டின் உச்சியிலிருந்து ஒரு இதில் 256 அடி/செ வேகத்துடன்
பின்வருவனவற்றைக் காண்க. து கடலிற் கல்லு மோதுந் தூரம். செ கிடையுடன் ஆக்கும் கோணம்.
9


Page 66
57. புவியின் மீதுள்ள கிடைத் தடை துரத்திற்கு குறித்த ஒரு கருவி எறியமுடியும். சந்திரன்மீது அவர் இ V11R எனும் துரத்திலுள்ள சகவி எறியும்படி கேட்கப்படுகின்றார். சந்திர g/ 6 எனக்கொண்டு கருவியை எறியக்கோணம்
tan -1
எ6
58. மலை உச்சியில் நிற்கும் ஒரு ம மேல்நோக்கும் நிலைக்குத்தோடு | எறிந்தான். T இடைவெளிக்குப் பின், கல்லை v வேகத்தோடு மேல்நோ கோணம் அமையும் திசையில், மு எறிந்தான். இரண்டு கற்களும் மோ u Sin 04 

Page 67
இத்தூரம் அதிகூடுதலாக இருக்கு
60.x,y என்னும் இரு புள்ளிக இடைத்தூரத்திலும் உள்ளன இரண முறையே Xy இலிருந்து ஒருங்கே வுடன் நிலைக்குத்தாக மேல் நோக் மேல் நோக்கி அதேகதி u உடன் எறியற் திசை x,y ஊடாகவுள் : கிடக்கும்வண்ணமும் YX உடன் அமைக்கும் வண்ணம் உள்ளது. Aதெ எனக் காட்டுக அதன் பெறுமான (36)ugDI6)ILfÖluUT (36u)TT d / 2u tan (TC 4 - கோளங்களும் இழிவுத் துரத் இத்தூரத்தைக் காண்க.
61. ஒரு குண்டு நிலைக்குத்தாகக் O எனும் புள்ளியை மட்டாக துண்டுகளாகப்பிரிந்த துண்டுகள் வெடிக்கமுன் குண்டின் கதி u ஆகும் சன்னமும் (V > u)கதி உடையதாகு
k+ \ k2 + 8 COSO = – ఆర్6]|
4.
2V2 O6O)6) 6OLDUILDIT6)|D - Sir g 월)
தரையில் விழுமென நிறுவுக.
0விலிருந்து dதுரத்தில் ஒரு சிறு திசைகளில் வரும் சன்னங்களால் இரு கணங்களைத் தரும் சமன்பாே 62. ஒரு பாரமான துணிக்கை O எ 0 கோணத்தில் புவியீர்ப்பின் கீழ் பரவளைவுப் பாதையில் இயங்குக
- 6

ம் 9 வின் பெறுமதியைக்காண்க.
(Aug 1982 Int) ள் ஒரே கிடைமட்டத்திலும் ,d ன்டு சிறிய கோளங்கள Aயும் Bயும் எறியப்படுகின்றன. கோளம் A கதிய கி எறியப்படுகின்றது. கோளம் Bயும் எறியப்படுகின்றது. ஆனால் அதன் ா நிலைக்குத் துத் தளத்திற் ஏற்றக்கோணம் 0 < / 2) வை ாடர்பாக Bயின் வேகம் ஓர் ஒருமை ாத்தைக் காண்க. இதிலிருந்தோ, + 0 / 2) எனும் நேரத்தில் இரு தில் இருக்கும் எனக் காட்டுக.
கீழ் நோக்கி விழுகின்றது. தரையில் அடையும்போது வெடித்துப் பல பல திசைகளிலும் சென்றன. b - குண்டின்தொடர்பாக ஒவ்வொரு so k = uv -?b356)||D.
ம் இருப்பின் துண்டுகளெல்லாம்
| O. [CoS O. — k] 2:2 ரையாகவும் கொண்ட வட்டத்தினுள்
மிருகம் இருமுறைகளில் வெவ்வேறு தாக்கப்பட்டதெனின் தாக்கப்பட்ட
டொன்றைப் பெறுக.
ன்னும் புள்ளியிலிருந்து கிடையுடன்
எறியப்படுகின்றபோது அது ஒரு கின்றது. O விற்கூடாகக் கிடை,
1 -


Page 68
நிலைக்குத்து அச்சுகள் குறித்த tan 0 என நிறுவுக. இங்கு Rஎன் h என்னும்உயரமுடைய இரு புள்ள (R - 4h Cot 04 ) = 4a' என நிறுவு 63. ஒரு துணிக்கை ஒரு குறி, அதன் கிடை வீச்சுR (< u2 வேகத்திற்குமிடையிலான கோணத் உண்டென்றும் அப்பெறுமானங்கள் இரு எறியக்கோணங்களுக்கு இல
2R
tt' = -
எனக் காட்டுக
64. ஒரு கிடைத்தளத்திற்குமே புள்ளியிலிருந்து இரு துணிக்கை திசைகளில் எறியப்படுகின்றன u தளத்திலே படும் புள்ளிகளுக்கின (u + 2gh)
எனக் காட்டுக. 1
களுக்கிடையிலுள் 65. ஓர் எறிபொருள் ஒரு கிடை எறியற்கதியுடன் எறியப்படுகையில் என்னும் இரு இயல்தகு ஏற்றக் - 25tan 8 + 12 = 0ஆலே அவை
இரு துணிக்கைகள் ஒரு புள் யூடான கிடைத்தளத்தில் A யிலி யிற்படுமாறு 20' செக் கதிகளுட6 எறியப்படுகின்றன. X ஏற்றத் மீளமைவுக்குணகம் 1/4 உடன் த மற்றத்துணிக்கையானது B ஐ அன பின்னதைக்கும் எனக்காட்டுக..
66. ஒரு துணிக்கை கிடைக்கு ே எறியப்படுகின்றது. நேரம்

துணிக்கையின் பாதைy x (1 - X /R) பது கிடைவீச்சாகும் அதன் பாதையில் களுக்கிடைப்பட்ட தூரம் 2a ஆயின்R
க.
ந்த கதி u உடன் எறியப்படுகையில் ( g) ஆகும். கிடைக்கும், எறியும் நதிற்கு ஒரு இயல்தகு பெறுமானங்கள் நிரப்புகின்றன என்றும் காட்டுக. மேலும் நசவாகப் பறப்பு நேரங்கள் t, t என்றால்
மல் h உயரத்திலுள்ள 0 என்னும் கள் u என்னும் சமகதிகளுடன் எதிர் '>2gh என்றால் அத்துணிக்கைகள் டயிலான அதியுயர் இயல்தகு தூரம்
12> 2gh என்றால், அப்புள்ளி Tள அதியுயர் இயல்தகு தூரம் என்ன? உத்தளம் மீது 20' செக் எனும் ஓர் 12அடி வீச்சுடையதாக இருப்பதற்கு கோணங்கள் உண்டென்றும், 12tan20 ப தரப்படும் என்றும் காட்டுக.
ளி A யிலிருந்து ஒரே கணத்தில் A ருந்து 12அடியிலுள்ள ஒரு புள்ளி B ன் 01, B (0. < B) ஏற்றக்கோணங்களில் துடன் எறியப்படும் துணிக்கை களத்திலிருந்து பின்னதைப்பின் அது டயுமுன்னர் எண்ணற்ற பலதடவைகள்
மலே 8 கோணத்தில் u வேகத்துடன்
- 62 -


Page 69
u Sin o
வின்பின் அதன் ே g Cos (¢ - 6) திரும்பியிருக்கும் என்றும், பின்னர் என்றும் காட்டுக. 67. ஓர் ஆகாய விமானம் 4900. கிடையாகப் பறக்கின்றது. ! குண்டுபோடுவதற்கு வளித்தடை ! அப்பொருளின் இறக்கக்கோண போடப்படவேண்டும் எனக் காட்டு 68. இரு துணிக்கைகள் ஒரே நில கதியுடன் 8, 20ஏற்றக்கோணங்கள் எறியப்படுகின்றன. இங்கு 8 < 450
3
- Cos 872 Cosec -
2
n 69. ஒரு குண்டின் வாய்க்கதி V
என்னும் கிடை, நிலைக்குத்துத் சுடவேண்டியுள்ளது. பொருள் துவ என்றால் இது அசாத்தியம் எனவும் இரு இயல்தகு ஏற்றங்கள் உண்டு பின்னைய சந்தர்ப்பத்தில், இரு எ tan (0 + ¢) = - h/k எனக் காட் Q70. ஓர் எறிபொருளின் தொடக்க
கூறுகள் முறையே p, q ஆகும். நே தூரங்கள் X , y என்றால், X ஐயு அன்றியும் எய்தப்பெற்ற அதியுயர் 2 ஒரு கிடைத்தளமீதுள்ள வீச்சு R
4Hx (R - x)
எனக் கா
y = |
R2
4 71. வேகம் V உடன் வீசப்பட்டதொ கிடைத்தளத்திலுள்ளதொரு கு?

வகம் ¢ கோணத்தினூடே கதி uCose Sec (0 - 6)
அடி உயரத்தில் 150 mph கதியுடன் தரையிலுள் ள ஒரு பொருளில் புறக்கணிக்கப்பட, விமானத்திலிருந்து
ம் tan' (14/11) ஆகும் குண்டு
க.
மலக்குத்துத் தளத்தில் V எனும் ஒரே ரில் ஒரே நேரத்தில்
நேரம்
- விற்குப் பின் அவற்றின் வேகங்கள்
சமாந்தரமாகுமெனக் காட்டுக. 2ag துவக்கிலிருந்து முறையே h, k
தூரங்களிலுள்ள ஒரு பொருளிற் பக்கிலும் உயரமானது. h2> 4a (a - k) ம் h'< 4a (a - k) என்றால் துவக்கிக்கு B எனவும் காட்டுக. றியக்கோணங்களும், 8,¢எனின் டுக. - வேகத்தின் கிடை, நிலைக்குத்துக் ரம் t இற் சென்றகிடை, நிலைக்குத்துத் ம், y ஐயும் t இல் எடுத்துரைக்க. உயரம் Hஐயும் எறியப்புள்ளிக்கூடான
ஐயும் காண்க.
ட்டுக.
-ரு குண்டு வீசற்புள்ளியினூடானதொரு திப்பிட்ட புள்ளியை மட்டுமட்டாக
63 -


Page 70
அடையும். அதேபுள்ளியின் மேல் புள்ளியைத் தாக்குமாறு அக்குண் வீசவேண்டுமானால் வேகத்தினை
ஆகக்கூட்டுதல் வேண்டுமெனக் 72. ஒரு பொருள் அதன் மேல் நோ கிடையாக X அடி துTரத்திலு தூரத்திலுமுள்ளதொரு புள்ளியினூே கிடைத்தளத்திலே வீச்சு R எனின் ஏற்றம்
y R tan- - 6T60 Χ (R - x)
73 Bசாய்வு கொண்ட
மேல்நோக்கிதளந்தொடர்பான ஏற்ற எறிபொருளின் வீசற்புள்ளியினுடா எனக்காட்டுக. இங்கு R என்பது ெ வேகமும் அதேபெறுமதியில் ஆகுப்
74. நிலைக்குத்துடன் 26 சாய்ந்து புள்ளியிலிருந்து ஒரு பாரமான துை அதியுயர் சாய்வுக்கோட்டினுடாக தளத்தின் மேல்பகுதியிலே அத்துணி தொடக்கவேகம் uCOSB அத நிலைக்குத்துடன் 6 சாய்ந்துள்ளது எனவும், தளத்தின் மீது அதன் வி மோதும் வேகம்uSinB எனவும், ஒரு செங்கோணத்தினூடு திரும்பில்
75.ஒரு எறிபொருள் அதன் வீசற் திலமைந்துள்ள தொரு புள்ளி அப்புள்ளியிலே கிடையுடன் 6 சரிவு மோதவும் வேண்டும். அது வி பின்வருமாறு பெறப்படும் எனக்காட் tano. = Cotß + 2tan69

h உயரத்திலுள்ள இன்னுமொரு டினை அதே ஏற்றக்கோணத்துடன்
V2 (v2 – gh)/2 காட்டுக. க்கிய பாதையில் வீசற்புள்ளியிலிருந்து ம் நிலைக்குத் தாக y அடி ட செல்கின்றது. வீசற்புள்ளியினூடான
வீசற்கோண
க் காட்டுக.
ஒரு சாய் தளத்தின் மீது )க்கோணம் 0 உடன் வீசப்பட்டதோர் 5 6ĵë 3; R Secß (1 – tano, tanß) தாடர்பேற்றக்கோணம் 0 உம் வீசல் bபோதுள்ள கிடைவீச்சு
ள்ளதொரு தளத்தின் மீதுள்ளதொரு Eக்கை வீசப்பட்டது. சாய்தளத்தின் ச் செல்லும் ஒரு நிலைக்குத்துத் க்கை இயங்குகின்றது. துணிக்கையின் ன் தொடக்க இயக் கத் திசை து. துணிக்கையின் பறப்புநேரம் u / g ச்சு u/2g எனவும், அது தளமீது அப்பொழுது அதன் இயக்கத்திசை விட்டதெனவுங் காட்டுக.
புள்ளியிலிருந்து 9 ஏற்றக்கோணத் பினுTடு செல்லுதல் வேண்டும் ள்ள சாய்தளத்தின் மீது செங்குத்தாக சப்பட வேண்டிய ஏற்றக் கோணம்
டுக.


Page 71



Page 72
L- USD) 重盛。
實
5
儒 的 內T *** 홍 - 《 : ?
·
விந் லங்கா புத்தசாலை, G. L. (1-2).
L –