Page 1
(க. சே
இந்து கொ

- புதிய பாடத்திட்டம் -
சுமுறையும்
க.பொ.த (உ/த)
5தனை
து மகளிர் கல்லூரி பூம்பு-6

Page 2

காணிகளைவலை
க.பொ.த. (உ/த) அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
புதிய பாடத்திட்டம்
க. கேசவன்
இந்து மகளிர் கல்லூரி,
கொழும்பு -6.
நெல்லியான், சுழிபுரம்.
கம்பனை, சுழிபுரம்.
71/6, Vihara Lane, Colombo-6.

Page 3
அட்டை :
The Nude Group 28, Ebanezer Place, Dehiwala. 0 : 712112
உரிமை
ஆசிரியருக்கு ?
வெளியீடு :
கோபிகா பதிப்பகம்
வரிசை
ஆசிரியர் : க. கேசவன்
ஆசிரியர் - இந்து மகளிர் கல்லூரி, 23, ருத்திரா மாவத்தை, கொழும்பு - 6.
பதிப்பு
இரண்டாம் பதிப்பு
விலை
250/-

ஆசியுரை
ங்ெகள் கல்லூரியில் சிறப்பான முறையில் அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் என்ற பாடத்தைக் கற்பிக்கும் ஆசிரியர் திரு.க.கேசவன் அவர்கள் அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1, 11 என்ற நூல்களை வெளியிடுவதை இட்டு பெருமகிழ்ச்சி அடைகிறேன். உயர்தர மாணவர்களிடையே அளவையியலின் தன்மையும், அளவையியலின் தத்துவங்கள், தர்க்கரீதியான சிந்தனைகள் போன்ற பகுதிகள் மாணவர்களிடையே தெளிவான அறிவை உண்டாக்கும் என்பதில் சந்தேகமில்லை.
புதிய பாடத்திட்டத்திற்கு அமைவாக இந்நூல் வெளியிடப் படுவதனால் பலரின் இடர்பாடு நீங்கும் என்பது திண்ணம். இந்நுாலை இனிதுற வழங்கிருக்கும் ஆசிரியர் திரு.க.கேசவன் அவர்களது ஆக்கமும் ஊக்கமும் சிறப்போடு மிளிர என் கனிந்த ஆசிகளையும் வழங்கி
வாழ்த்துகிறேன்.
அன்புடன்
திருமதி. ஞா. பாலச்சந்திரன் அதிபர் சைவ மங்கையர் வித்தியாலயம் கொழும்பு - 6

Page 4
ஆசியுரை
வெள்ளவத்தை இந்து மகளிர் கல்லூரியில் அளவையியல் பாட ஆசிரியராகப் பணியாற்றும் ஆசிரியர் க.கேசவன் அவர்கள் திருத்திய பாடத்திட்டத்திற்கமைவாக அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1, 11 எனும் நூல்களை வெளியீடு செய்யப்படுவதைக் கேள்விப்பட்டதும் மனதார மகிழ்ச்சியடைந்தேன். நான் சுழிபுரம் விக்ரோறியாக் கல்லூரியின் அதிபராக 1979ம் ஆண்டுகளில் இருந்த காலத்திலே அங்கு அளவையியல் பாட ஆசிரியராகப் பணி புரிந்தவர் கேசவன் அவர்கள். இத்துறையில் மிகுந்த பாண்டித்துவம் பெற்ற இவர் அளவையியல் தொடர்பாக பல நூல்களை எழுதி வெளியிட்டவர். இவ்வரிசையில் அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் 1, 11 எனும் நூல்களை எழுதிவெளியிடுவதையிட்டு மகிழ்ச்சி யடைகிறேன். யாழ் நகரில் எமது பகுதியில் உள்ள மாணவர்களுக்கு அளவையியலை அறிமுகம் செய்து வளர்த்து வந்தவர் இவர் என்றால் மிகையாகாது. எமது கல்லுாரியின் பரீட்சை முடிவுகளில் அளவையியல் முன்னணியில் நிற்பதற்கு ஆசிரியர் அவர்களே காரணம்.
ஆசிரியர் கேசவன் அவர்கள் யாழ் மாவட்டத்தில் பணியாற்றிய காலத்தில் அளவையியலை உயர்வகுப்பு மாணவர்கள் மத்தியில் அறிமுகம் செய்து வளர்த்து வந்தவர். இதே பணியை அவர் கொழும்பு நகரிலும் செய்து வருவது மகிழ்ச்சிக்குரியதாகும்.
இந்நூல் மாணவர்களுக்கும், இப்பாடத்தைக் கற்பிக்கும் ஆசிரியர்களுக்கும் ஏனையோருக்கும் பயன்படும் என ஆசிகளை வழங்குகின்றேன். இவரது நூலாக்கப்பணியை மனதார வாழ்த்துகின்றேன்.
அன்புடன்
மு. அருணாசலம்
B. A (Cey) Dip. Ed S.L.E.A.S முன்னாள் அதிபர், விக்ரோறியாக் கல்லூரி, சுழிபுரம். 2.1.1997
இயக்குனர், கிங்ஸ்ரன் சர்வதேச கல்லூரி, கொழும்பு - 6.

ஆசியுரை
கொழும்பு சைவ மங்கையர் கல்லூரியில் ஆசிரியராகப் பணிபுரியும் திரு.க.கேசவன் அவர்களுடன் இரண்டு தசாப்தகாலங்களாக எனக்குத் தொடர்பு உண்டு. நான் விக்ரோறியாக் கல்லூரியின் ஆசிரியராக சேவைசெய்த காலப்பகுதியில் அங்கு அளவையியல் ஆசிரியராக திரு.க.கேசவன் அவர்கள் கடமை புரிந்தார்கள். அளவையியல் என்பது அவரது விருப்பத்திற்குரிய பாடமாகும். தன் சுயமுயற்சியால் அதனை ஆழமாக கற்று அதனை நல்ல முறையில் கற்பிப்பதற்கான சகல தகவல்களையும் பெற்றுக் கொள்ளும் இயல்யுடையவர். இத்தகைய தேடல் முயற்சியின் விளைவே அவரால் வெளியிடப்பட்ட அளவையியல் பாடம் தொடர்பான பல நூல்கள் ஆகும்.
ஆசிரியர் கேசவன் அவர்கள் அளவையியல் பாட ஆசிரியராக பிரபல்யம் பெறுவதற்கு அவரது அயரா முயற்சி, அவர் கையாளும் நுட்பமான கற்பித்தல் முறை, அவர் ஆக்கிய நூல்கள் அவரது மாணவர்கள் பெற்ற பரீட்சைப் பெறுபேறுகள் என்பனவே துணைபுரிந்தன.
ஆசிரியர் அவர்கள் ஆற்றிவரும் கல்விப்பணியின் சிறப்பினை அளவிடும் உரைகல்லாக திருத்திய புதிய பாடத்திட்டத்திற்கு அமைவாக எழுதப்பட்ட 'அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் - I, II' எனும் நூல்கள் விளங்குகின்றன. அளவையியல் மாணவர்கள் பல நூல்கள் மூலம் பெறவேண்டிய அறிவை இங்கு பாடத்திட்டமும் பயிற்சிகளின் மூலமும் தொகுத்துத்தந்து பூரணமான அறிவைப் பெறும் வகையில் இந்நுால் அமைந்திருப்பது இதன் சிறப்பம்சமாகும். உயர்தர வகுப்பு மாணவர்களின் தேவையை அறிந்து ஆசிரியர் இந்நூல்களை எழுதியுள்ளமை விரும்பத்தக்கது ஆகும்.
நண்பர் கேசவன் அவர்களின் முயற்சியை மனதாரப் பாராட்டுகிறேன்.
அன்புடன்
து. இராஜேந்திரம் B. A (Cey) M. Ed. (Colombo) கல்வித்துறை, இலங்கை திறந்த பல்கலைக்கழகம், நாவல, நுகேகொட 10.1.1997

Page 5
அணிந்தரை
இவ்வாண்டு க. பொ. த (உயர்தர) வகுப்புகளிற்குப் பதிய பாடத்திட்டம் அறிமுகம் செய்யப்பட்டுள்ளது. இம்மாற்றத்திற்கு ஏற்ப அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் எனும் பாடத்திற்குப் புதிய நூல்கள் வெளியிடப்படவில்லையே எனும் குறைபாட்டை நீக்குவதாக ஆசிரியர் திரு. க.கேசவன் அவர்களால் எழுதப்பட்ட இந்நூல் அமைகின்றது.
ஆசிரியர் க.கேசவன் உயர்தர வகுப்புகளில் இப்பாடத்தைக் கற்பிப்பதில் இருபது ஆண்டு கால அனுபவத்தையுடையவர். அளவை யியலும் விஞ்ஞானமுறையும் பாடத்தைக் கற்பிப்பவர்கள் என்ற வகையில் யாழ்ப்பாணத்தில் என்னுடன் தொடர்புகொண்டு பாடவிடயமாக கருத்துக்கள் பரிமாறிக்கொண்ட காலத்திலிருந்து அவரையும், அவருக்கு لها இப்பாடத்திலுள்ள ஆர்வத்தினையும் ஆற்றலையும் நான் நன்கு அறிவேன்.
ஆண்டு தோறும் க.பொ.த உயர்தரப் பரீட்சைத்திருத்த வேலைகள் முடிவுற்றதும் எவ்வாறு விடையளிக் கப்படவேண்டும் என எதிர்பார்க்கப்பட்டது எனும் வினாவைத் தொடுத்து எதிர் காலங்களில் கற்பித்தல் முறையை மாற்றி அமைத்துக் கொண்டதுடன், தான் எழுதும் நூல்களையும் அவற்றுக்கேற்ப அமைத்துவந்த இயல்பையும் அவரிடம் காண முடிந்தது.
தற்போது பாடத்திட்டத்தில் மாற்றம் ஏற்படுத்தப்பட்டதும், அதற்கேற்ப இந்நூலை எழுதியுள்ளார். க.பொ.த (உயர்தர) மாணவர்களுக்கு மட்டு மன்றி பல்கலைக்கழக முதலாம் வருட மாணவர்களுக்கும் உதவக் கூடியதாக இந்நூல் உள்ளது. இவரது இப்பணி தொடர வேண்டுமென வாழ்த்துகின்றேன். -
எம். எஸ். ஏ. எம். முகுத7ர்
உதவிக் கல்விப்பணிப்பாளர்,
வலயக் கல்விக் காரியாலயம்,
பிலியந்தலை,
 

பொருளடக்கம்
பக்கம்
பிழை திருத்தம்
01. அளவையியலின் தன்மையும் விடயமும்
09
02. அளவையியல் தத்துவங்கள் பற்றிய பொதுவான ஆய்வு
29
03. சிந்தனை விதிகள்
* 8 8 8 8 8 €
04. எடுப்புக்கள்
05. உடன் அனுமானம்
"ஊடக அனுமானம்
வகுப்பு அளவையியல்
140
08. நுண்கணித வாக்கியம்
163
09. வாக்கியங்களையும் வாதங்களையும் குறியீட்டாக்கம் செய்தல் 180
10. பெறுகை முறைகள்
197
11. உண்மையட்டவணை முறை
230
12. தர்க்கரீதியான சிந்தனை பற்றிய கல்வி
259
13. சிறுகுறிப்புக்கள்
288
14. பயிற்சிகள்
295.

Page 6
பிழை - திருத்தம்
பக்கம்
வரி
பிழை
திருத்தம்
மாமா - மாமி
மாமா - மருமகள்
25
பெண்கள் படிப்பவர் ஆவர்
சில பெண்கள் படிப்பவர் ஆவர்
இ.
28
SAM
SIM
100
21
ஆகும்
102
34
ஆகம்
சிறுபதப் போலி
Ca = ONCa= 03
(P-> Q)
156
13
8 8 8 8 ° E 8 2
மத்தியபத வியாப்தி அடையாப் போலி Ca = 0 ACa = 0
P-> Q
V,V
173
36 (வினா-7)
177
19
VV
195
15 (வினா 16)
ஆயின்
ஆயின்,
(PVQ) + (PA-Q)
244
(PVQ) > (-P^~ Q)

அத்தியாயம் - 01
அளவையியலின் தன்மையும் விடயமும்.
(01) அளவையியலின் வரைவிலக்கணம்
அளவையியல் எனும் போது நாம் நியம் அளவையியல் முறையையே குறிக்கின்றோம். நியம அளவையியல் என்பது வாதங்களின் நியம் வாய்ப்புப் பற்றி ஆராய்கின்ற ஒரு பாடமே அளவையியல் எனப்படும். இந்த வரைவிலக்கணத்தை நாம் தெளிவாக விளங்க வேண்டுமாயின் வாதம் என்றால் என்ன? நியமம் என்றால் என்ன? வாய்ப்பு என்றால் என்ன? என விளங்கிக் கொள்ளுதல் வேண்டும்.
(2)
(அ) வாதம்: எடுகூற்றுக்களையும் முடிவுக் கூற்றுக்களையும்
கொண்டிருப்பவை வாதம் எனப்படும். ஒரு வாதமானது எடுகூற்று முடிவுக் கூற்று எனும் இரு பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவினைப் பெற்றுக் கொள்வதற்கு ஆதாரமாக அல்லது சான்றாக அமையும் கூற்று எடுகூற்று எனப்படும். எடுகூற்று ஒரு வாதத்திலே எப்போதும் ஆகவே எனும் சொல்லிற்கு முன்னாலேயே இருக்கும். எடுகூற்றில் இருந்து அனுமானித்துப் பெறும் கூற்று முடிவுக் கூற்று எனப்படும். இது எப்போதும் ஆகவே எனும் சொல்லிற்கு
பின்னாலேயே இருக்கும். உ-ம் (1) கோழி ஒரு பறவை எனின் அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல.
கோழி ஒரு பறவை ஆகவே அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல.
சந்திரன் ஓர் மாணவன் எனின் அவன் ஒர் நடிகன் அல்லன்.
சந்திரன் ஓர் மாணவன் எனவே அவன் ஓர் நடிகன் அல்லன். (ஆ) நியமம்: எடு கூற்றுக்களின் பொருள் உண்மையை நோக்காது
அல்லது அனுபவம் தேவைப்படாது விதிகளின் அடிப்படையில் முடிவினைப் பெறுவது நியமம் எனப்படும். அதாவது நியம் முறையில் எடுகூற்றுக்களில் உள்ள பதங்களைப் பற்றிய அனுபவம் இல்லாத ஒருவரும் (பதங்களின் பொருள் தெரியாத ஒருவரும்)
முடிவினைப் பெற்றுக் கொள்ளலாம். உ-ம் )
கோழி ஒரு பறவை எனின் அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல (1) கோழி ஒரு பறவை (2)
ஆகவே அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல. (3) பறவை, பாலுாட்டி எனும் பதங்களைப் பற்றிய அனுபவம் இல்லாத ஒருவரும் மேலிருக்கும் எடுகூற்றுக்களில் இருந்து அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல எனும் முடிவினை உய்த்தறிந்து கொள்ளலாம்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 9 - ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 7
இவ்வாதத்தை நாம் பின்வரும் நியமத்திற்கு குறிக்கலாம். சு.தி. P: கோழி ஒரு பறவை Q: அது ஒரு பாலூட்டி (P>~Q). P.'Q
அதாவது (P>~ Q).P எனும் எடுகூற்றுக்களில் இருந்து எனவே ~Q (அது ஒரு பாலூட்டி அன்று) என்பதனை அனுமானிக்கலாம். நாம் அளவையியல் விதிகளை அறிந்தால் அதுவே போதுமானதாகும். ஏனெனில் P யினால் குறிக்கப்படுகின்ற வாக்கியம் பறவை எனும் பதத்தைக் கொண்டுள்ளதா? Q வினால் குறிப்பிடப்படுகின்ற வாக்கியம் பாலூட்டி எனும் பதத்தைக் கொண்டுள்ளதா? என்னும் விபரம் இந்த உய்த்தறிவிற்கு அவசியமற்றதாகும். வாதத்தின் நியமம் காரணமாக எடு கூற்று (1), (2) என்பவற்றில் இருந்து முடிவு (3) பெறப்படுகின்றது. எனவே இவ்வாதத்தின் தர்க்கமுறைத் தொடர்பானது எடுகூற்றுக்களின் பொருளைச் சார்ந்தது அல்ல.
நியமம் எனும் கருத்தை நாம் தெளிவாக விளங்குவதற்கு நியமம் அல்லாதது என்றால் என்னவென விளங்கிக் கொள்ளுதல் வேண்டும். ஒரு முடிவினைப் பெற்றுக் கொள்வதற்கு எடுகூற்றுக்களில் உள்ள பதங்களைப் பற்றிய அனுபவம் (பொருள்) தேவைப்படின் அது நியமமல்லாதது ஆகும்.
உ-ம் கோழி ஒரு பறவை ஆகும். ஆகவே அது ஒரு மிருகம் அல்ல. இந்த
அனுமானம் உய்த்தறிவு முறைப்படி ஆனால் நியமில் முறைப்படி சரியானது. ஏனெனில் பறவை மிருகம் எனும் பதங்களின் குறிப்பான பொருள் ஒருவருக்கு தெரிந்த படியினாலே அது ஒரு மிருகம் அல்ல எனும் முடிவினைப் பெறுகின்றார். கோழி, பறவை எனும் பதங்களைப்
பற்றிய அனுபவம் இல்லாத ஒருவரால் இம்முடிவைப் பெற முடியாது. (இ) வாய்ப்பு: வாதவடிவம் சரி எனின் அல்லது ஒரு வாதவடிவம்
அளவையியல் விதிக்குள் உட்படும் எனின் அது வாய்ப்பு எனப்படும். பொதுவாக ஒரு வாதம் வாய்ப்பாக இருப்பது எப்போது எனின் எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாக இருக்கையில் முடிவு பொய்யாக
இருக்க முடியாத போதேயாகும். உ-ம் (1)
கோழி ஒரு பறவை எனின் அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல.
கோழி ஒரு பறவை ஆகவே அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல. சு.தி.
P: கோழி ஒரு பறவை
Q: அது ஒரு பாலூட்டி (P>~Q). P. -Q (2)
சந்திரன் ஓர் மாணவன் எனின் அவன் ஓர் நடிகன் அல்லன். சந்திரன் ஓர் மாணவன்
ஆகவே அவன் ஓர் நடிகன் அல்ல்ன். சு.தி.
P: சந்திரன் ஓர் மாணவன் Q: அவன் ஓர் நடிகன்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 10- ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

( P -> ~ Q) - P . ~ Q [( P -> ~ Q) ^ P] --> ~ Q
TF F T F T
T T T FT T T TF F T F T F F T F T F T T F F F T T F
1) T - -
(குறிப்பு: இந்த வடிவத்தின் கீழ்வரும் எல்லா வாதங்களும் வாய்ப்பாகும். வாதத்தின் பொருள் எதுவாகவும் இருக்கலாம். உதாரணம் (1), (2) என்பவற்றின் பொருள் வேறு ஆனால் வாதம் வாய்ப்பு )
ஒரு வாதவடிவம் பிழை எனின் அல்லது ஒரு வாதவடிவம் அளவையியல் விதிகளை மீறும் எனின் அது வாய்ப்பற்றது எனப்படும்.
உ -ம் (1) கோமி வா
கோழி ஒரு பறவை எனின் அது பாலூட்டி அல்ல.
அது ஒரு பாலூட்டியல்ல. ஆகவே கோழி ஒரு பறவை ஆகும். சு.தி P: கோழி ஒரு பறவை Q: அது ஒரு பாலூட்டி
(P->~Q). ~Q .P (2) சந்திரன் ஓர் மாணவன் எனின் அவன் ஓர் நடிகன் அல்லன்.
அவன் ஓர் நடிகன் அல்லன். ஆகவே அவன் ஓர் மாணவன். சு.தி: P: சந்திரன் ஓர் மாணவன் Q: அவன் ஓர் நடிகன் (P + ~ Q). ~ Q '. P [(P -> ~ Q) ^ ~ Q) --> P T F F T F F T T T T T T F T T F T T. F T F T F F T T F F T T F T T F F F
(குறிப்பு: இவ்வடிவத்தின் கீழ்வரும் எல்லா வாதங்களும் வாய்ப்பற்றவை ஆகும். உதாரணம் (1) (2) என்பனவற்றின் பொருள் வேறு ஆனால் வாய்ப்பற்றவை எனவே வாதத்தின் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை வாதத்தின் பொருளில் தங்கியிருப்பதில்லை என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும்.)
அளவையியல் என்பது வாதங்களின் நியம வாய்ப்புப் பற்றியது ஆகும். அதாவது இயற்கை மொழியிலே காணப்படுகின்ற வாதங்களுக்கு சுருக்கத்திட்டம் கொடுத்து குறியீடுகளாக (வடிவமாக) மாற்றி வாதத்தின் உட்கருத்தை கவனத்திலே கொள்ளாது (நியமத்தை மாத்திரம் கருத்தில் கொண்டு) அவை வாய்ப்பானவையா அல்லது வாய்ப்பற்றவையா என ஆராய்வதே அளவையியல் எனப்படும். எனவே அளவையியலானது வாதத்தின் நியமத்தில் (வடிவத்தில்) அக்கறை கொள்ளுமே தவிர வாதத்தின் உட்பொருளில் அக்கறை கொள்வது இல்லை அதனால் அளவையியல் வடிவ விஞ்ஞானம் எனவும் அழைக்கப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 8
வாய்ப்பான வாதத்தையும் வாய்ப்பற்ற வாதத்தையும் வேறுபடுத்திக் காட்டுவதே அளவையியல் அறிஞனின் பணியாகும். வாதங்களில் ஓர் நியமம் ஒன்று உண்டு என்பதை முதல் முதலில் கண்டு கொண்டவர் அரிஸ்ரோட்டில் ஆவார்.
இவருடைய அளவையியல் ஒரு வகுப்பளவை (நியாயத்தொடை) ஆகும்.
(அ) வாதத்தின் அளவையியல் வடிவம்
ஒரு வாதத்தின் உள்ளடக்கத்தைக் கருத்திற் கொள்ளாது அதன் நியமத்தை மாத்திரம் கவனத்தில் எடுக்கும் போது காணக்கூடிய அமைப்பே அளவையியல் வடிவம் எனப்படும்.
உ-ம் (1) முயலுக்கு கொம்பிருந்தால் சிங்கம் புல் உண்ணும்.
முயலுக்கு கொம்புண்டு ஆகவே சிங்கம் புல் உண்ணும்.
அவன் படித்தவன் எனின் பண்புடையவன். அவன் படித்தவன் ஆகவே அவன் பண்புடையவன்.
ஃQ.
(ஆ) வலிதான வடிவம். P-> Q
இந்த அமைப்பின் கீழ் வரும் எல்லா வாதங்களும் வாய்ப்பானது ஆகும். ஏனெனில் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை என்பது வாதத்தின் பொருளில் தங்கியிருப்பது இல்லை. அது
விதிகளிலேதான் தங்கியிருக்கும். வாத வடிவத்தின்படி வாதம் வலிதாயினும் அதன் எடுகூற்றும் முடிவும் வெளியுலக தேர்வுகளுடன் பொருத்தமற்றதாக இருக்கலாம்,
உ - ம் (1)
முயலுக்கு கொம்பு இருக்கும் எனின் சிங்கம் புல் உண்ணும்.
முயலுக்கு கொம்பு உண்டு ஆகவே சிங்கம் புல் உண்ணும். சு.தி. P: முயலுக்கு கொம்பிருக்கும். Q: சிங்கம் புல் தின்னும்.
(P-> Q). P...?
உ-ம் (2) க
அவள் நடிகை எனின் அழகானவள்
அவள் நடிகை ஆகவே அவள் அழகானவள். சு.தி P: அவள் நடிகை Q: அவள் அழகானவள்.
(P+ Q). P..Q
உ - ம் (3)
அவன் படித்தால் பரீட்சையில் சித்தியடைவான். அவன் படிப்பான் ஆகவே அவன் பரீட்சையில்
சித்தியடைவான். சு.தி. P: அவன் படிப்பான் Q: அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைவான். ( P -> Q). P '. Q [( P -> Q) (^ P] -> P
T T T T T T T T F F F T T F F T T F F T T F T F F F T F
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 121
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

வாதத்தின் எடுகூற்றோ முடிவோ உண்மை அல்லது பொய்யாக இருப்பதைக் கொண்டு வாதத்தின் வாய்ப்பை தீர்மானிக்க முடியாது. ஆனால் வலிதான வாதத்தின் எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாயின் முடிவும் உண்மையாக இருக்கும் என்பதையே திட்டவட்டமாக கூறலாம். எடுகூற்று உண்மையாகி முடிவு பொய்யாகும் வலிதான வாதத்திற்கான சந்தர்ப்பங்களை எடுத்துக் காட்ட முடியாது. இது வலிதற்றது ஆகும்.
உம் கோழி ஒரு பறவை எனின் அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல.
கோழி ஒரு பறவை ஆகவே அது ஒரு பாலுாட்டி அல்ல. சு.தி. P: கோழி ஒரு பறவை Q: அது ஒரு பாலுாட்டி. ( P -> ~ Q) .P ... ~ Q [( P--> ~ Q) ^ P] -> ~ Q
T F F T F T T F T T T T F T T T T F F T F T F F T F T F T T F F F T T F
எனவே எடுகூற்றின் உண்மை அல்லது பொய்யை அடிப்படையாகக் கொண்டு வலிதான வாதம் ஒன்றின் முடிவின் உண்மை அல்லது பொய்மை பற்றி மேற்கூறியவற்றையே கூறிக் கொள்ள முடியும்.
எடுகூற்றும் முடிவும் உண்மையான வலிதான வாதம். உ-ம் எல்லா வாயுவும் வெப்பமேற்றும் போது விரிவடையும்.
ஒட்சிசன் வாயுவாகும்.
ஆகவே ஒட்சிசன் வெப்பமேற்றும் போது விரிவடையும். எடுகூற்றும் முடிவம் பொய்யான வலிதான வாதம். உ-ம் எல்லா முயல்களுக்கும் கொம்புகள் உண்டு.
எல்லா நாயும் முயல்கள் ஆகும்.
ஆகவே எல்லா நாய்களுக்கும் கொம்புகள் உண்டு.
எடுகூற்று பொய்யானதும் முடிவு உண்மையானதுமான வலிதான வாதம்.
உம் மலேரியா நோயைக் குணப்படுத்தும் மருந்துகள் அனைத்தும்
இனிப்பானவை. ஐஸ்கிறீம் மலேரியா நோயைக் குணப்படுத்தும் மருந்தாகும்.
ஆகவே ஐஸ்கிறீம் இனிப்பானது. (இ) வலிதற்ற வாதவடிவம்
(P -> Q)
இவ்வமைப்பின் கீழ் எழும் எல்லா வாதங்களும் ~ P
- வலிதற்றவையாகும். ஏனெனில் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை என்பது '. ~Q
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 13
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 9
பொருளில் தங்கியிருப்பதில்லை விதியிலே தான் தங்கியிருக்கும். அளவையியல் வடிவத்தின் உள்ளடக்கத்திற்கு பிறிதொன்றைப் பிரதியிடும்போது எடுகூற்று உண்மையாகவும் முடிவு பொய்யாகவும் எடுத்துக்காட்டமுடியுமாயின் அவ்வாதம்
வலிதற்றது ஆகும்.
உம் (1) முயலுக்கு கொம்புண்டெனின் சிங்கம் புல் தின்னும்.
முயலுக்கு கொம்பில்லை எனவே சிங்கம் புல் தின்னாது. சு. தி. P: முயலுக்கு கொம்புண்டு Q: சிங்கம் புல் உண்ணும்.
(P -> Q).~ P..?
உ-ம் (2)
அவள் நடிகை எனின் அழகானவள்
அவள் நடிகையில்லை ஆகவே அவள் அழகானவளில்லை. சு. தி. P: அவள் நடிகை Q: அவள் அழகானவள்.
(P-> Q). - P~Q உ-ம் (3)
அவன் படித்தால் பரீட்சையில் சித்தியடைவான் அவன் படிக்கவில்லை எனவே பரீட்சையில்
சித்தியடையவில்லை. சு.தி. P: அவன் படிப்பான் Q: அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைவான். ( P -> Q). ~ P .. ~ Q [( P -> Q) A - P] -> ~ Q
T T T F F T T F T T F F F F T T T F F T T TT E F F T FT ET T F - TT F
எடுகூற்றும் முடிவும் உண்மையான வலிதற்ற வாதம்.
உ -ழ்
எல்லா உயிர்களும் இறக்கும். எல்லா நாய்களும் இறக்கும். ஆகவே எல்லா நாய்களும் உயிர்கள் ஆகும்.
எடுகூற்றும் முடிவும் பொய்யான வலிதற்ற வாதம்.
உம்
கோழிகள் அனைத்தும் கிளிகள் ஆகும். பறவைகள் அனைத்தும் கிளிகள் ஆகும். ஆகவே பறவைகள் அனைத்தும் கோழிகள் ஆகும்.
எடுகூற்று உண்மையாகவும் முடிவு பொய்யாகவும் கொண்ட வலிதற்ற வாதம்.
உடம்
எல்லாச் சிங்கங்களும் கொடூரமானவை. எல்லா நாய்களும் கொடூரமானவை.
ஆகவே எல்லா சிங்கங்களும் நாய்கள் ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

எடுகூற்று பொய்யாகவும் முடிவு உண்மையாகவும் கொண்ட வலிதற்ற வாதம்.
உ-ம்
பிராணிகள் அனைத்தும் வேகமாக ஓடும். ஆமை வேகமாக ஓடும்.
ஆகவே ஆமை ஓர் பிராணி ஆகும். வாதத்தின் அளவையியல் வடிவத்தை இனங்காணும் அளவை பியலின் சிறப்பை பின்வருமாறு தெளிவுபடுத்தலாம்.
அளவையியலானது ஒரு வாதத்தின் உள்ளடங்கிய பண்புகளை நீக்கி அங்கு வாதத்தின் வடிவத்தில் மாத்திரம் கருத்திற் கொண்டு அதன் வடிவ இயல்பு என்ன என்பதை அறிய முடியும். எடுகூற்றுக்கும் முடிவிற்குமிடையேயுள்ள தர்க்கத் தொடர்பை விளங்கவும் அதன் மூலம் வாதம் வாய்ப்பானதா வாய்ப்பற்றதா என்பதை முடிவு செய்யவும் வடிவமுறை உதவுகின்றது. வடிவமுறையில் மிகச்சிக்கலான வாத அமைப்புக்களைக் கூட வாய்ப்பா இல்லையா என்பதை
அறிய முடிகின்றது. (ஈ) அளவையியலின் கருத்துப் பொருள் இயல்பு
நியமம் எனும் கருத்தினை தர்க்கவியலின் கருத்துப் பொருள் இயல்பினோடு (தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம் விளக்கலாம். எண்கணிதத்திலே நாம் எண்களையும் அவை சம்பந்தமான செய் முறைகளையும் (உதாரணமாக 10-5 = 5) கூட்டல், கழித்தல், பற்றிக் கற்கின்றோமே தவிர அந்த எண்ணும் செய்முறையும் மாங்காயைக் குறிக்கின்றதா? அல்லது தேங்காயைக் குறிக்கின்றதா? எனும் பொருள் பற்றி அக்கறை கொள்வது இல்லை. இதே போலவே அளவையியலும் வாதங்களினதும் வாக்கியங்களினதும் உட்பொருள் பற்றியோ விடயம் பற்றியோ நாம் அக்கறை கொள்வது இல்லை. அவற்றின் தர்க்கமுறை நியமம் பற்றியே அக்கறை கொள்ளுகின்றோம்.
உ-ம் (1) மழை பெய்யும் எனின் கூட்டம் நடைபெறாது.
(2) அவன் படிப்பான் என்றால் திருமணம் செய்யமாட்டான். இவை ஒரே நியமத்தையுடைய வாக்கியமாகும் ஒரே நியமத்தையுடைய வாதங்கள் முன்பு விளக்கப்பட்டிருக்கின்றது. நியமமும் உட்பொருளும் பற்றிப் பேசுவது அளவையியலுக்கு மட்டும் உரியதன்று. செய்யுளின் உள்ள நியமம் பற்றி ஒருவர் பேசலாம். இவ்வழி வெண்பாக்கள் யாவும் ஒரு நியமத்தையுடையன. அதாவது அவைகள் யாவும் நான்கு அடிகளைக் கொண்டுள்ளன. ஆயினும் அவைகளின் உட்பொருள் வேறுபடும். ஆகையால் செய்யுளைப் பொறுத்தமட்டில் நியமத்தோடு உட்பொருளும் கருத்திற் கொள்ளப்படுகின்றது. ஆனால் அளவையியலில் வாதங்களினதும் வாக்கியங்களினதும் நியமமே கருத்திற் கொள்ளப்படுகின்றது. உட்பொருள் கருத்திற்கொள்வது இல்லை. ஆகவேதான் அளவையியல் கருத்துப் பொருள், இயல்பினை உடையதாக உள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 15
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 10
வாக்கியங்களின் நியமத்தோடு அளவையியல் கொண்டுள்ள தொடர்பானது அது வாதங்களின் நியமத்தோடு கொண்டுள்ள தொடர்பின் ஓர் அம்சமேயாகும். (3) அளவையியலின் வரலாறு.
மனிதன் தான் வாழ்ந்த சூழலை அவதானித்துப் பெற்ற தகவல்களைப் , பற்றி சிந்திக்க தொடங்கிய காலம் முதல் அளவையியல் ஆரம்பமானது எனலாம். ஆதியில் இருந்தே மனிதன் அளவையியல் விதிக்கமையச் சிந்திக்கின்றான் எனினும் அளவையியல் விதிகள் பற்றிய திட்டப்படியான ஆய்வு நாம் அறிந்த வரையில் (384-322 கி.மு) காலப்பகுதியில் வாழ்ந்த அரிஸ்ரோட்டில் என்பவராலேயே ஆரம்பிக்கப்பட்டது. கீழைத்தேசங்களிலும், மேலைத்தேசங்களிலும் முற்காலம் முதல் அளவையியலை காணலாம். இத் தேசங்களில் மெய்யியல் போன்ற துறைகளின் ஆய்வோடு தொடர்புபடுத்தியே ஆராய்ந்தனர் எனக் கருதக்கிடக்கின்றது. மேற்குலகில் அரிஸ்ரோட்டில் எனும் ஒரு தனிநபரை சுட்டிக் காட்டலாம். ஆனால் கிழக்குலகில் அவ்வாறு ஒரு தனிநபரைச் சுட்டிக்காட்ட முடியாது. கிழக்குலகில் குறிப்பாக இந்தியாவில் சமயத்தத்துவச் சிந்தனையுடன் அமைந்த வகையிலேயே அளவையியல் இடம் பெற்றிருப்பதைக் காணலாம். இதுவே இந்திய அளவையியல் ஆகும். உய்த்தறிவு அளவையியல், தொகுத்தறிவு அளவையியல் எனும் இருவகைகளைக் காணலாம். அண்மைக்காலத்தில் பேட்டன் ரசல் (1872-1970) போன்ற தத்துவஞானிகளால் குறியீட்டு அளவையியல் (கணித அளவையியல்) வளர்ந்தது. கணித அளவையியலின் வரலாறு அடுத்த பகுதியில் ஆராயப்படும். மேற்கூறிய கருத்துக்கள் அளவையியல் வரலாறு பற்றிய சுருக்கமாகும்.
இனி நாம் பாரம்பரிய அளவையியலின் (அரிஸ்ரோட்டில்) தொடக்கத்தில் (வரலாறு) கிடைக்கப் பெற்ற தகவல்களைக் கொண்டு பின்வருமாறு தொகுத்து நோக்கலாம். நோக்கம், இலட்சியம் என்பவை பற்றி வேறுபட்ட இரு கருத்துக்களைக் கொண்ட இரண்டு அளவையியல் முறைகள் வரலாற்றிலே உள்ளன.
அவையாவன - நியம அளவையியல் அல்லது உய்த்தறிவு அளவை
யியல், தொகுத்தறிவு அளவையியல் என்பவையாகும். தர்க்கசாஸ்த்திரத்தில் உலகத்தில் முதல் முதலில் எழுதப்பட்ட நுால் ஆர்கனான் (கருவி) ஆகும். இது அரிஸ்ரோட்டலினால் எழுதப்பட்டது. ஐரோப்பிய சிந்தனையாளர்களுக்கு இந்நூல் கிடைக்கப்பெற்றது. அரிஸ்ரோட்டலின் நுாலில் இருந்தும் தாம் அறிந்தவற்றைக் கொண்டும் விருத்தி செய்யப்பட்ட அளவையியலே நியம் அளவையியல் அல்லது உய்த்தறிவு அளவையியல் என அழைக்கப்படுகின்றது. மற்றையது விஞ்ஞான முறைக்குரிய தத்துவங்களைக் கொண்ட அளவையியலாகும். இது தொகுத்தறிவு அளவையியல் அல்லது பொருளடக்கம் என அழைக்கப்படுகின்றது. உய்த்தறிவு, தொகுத்தறிவு என்பன ஒன்றிற்கொன்று முரணான இரு சிந்தனை முறைகள் அல்ல. ஏனெனில் உய்த்தறிதல் பொதுக்கொள்கையில் இருந்து ஆரம்பிக்கின்றது. தொகுத்தறிதல் என்பது தொடர்பற்றனவான நேர்வுகளில் இருந்து ஆரம்பிக்கின்றது. ஆகவே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 16
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

பாரம்பரிய அளவையியலில் அளவையியல் என்பது வலிதான சிந்தனையின் (பகுத்தறிவின்) இலக்கணங்கள் பற்றிய ஆய்வு என வரைவிலக்கணம் கூறலாம். வலிது என்பதற்கு தன்னிச்சை வுடமை எனும் ஒடுங்கிய பொருளும் இயற்கையின் நேர்வுகளோடு இசைவுடமை எனும் விரிந்த பொருளும் காணப்படுகின்றது. பாரம் பரிய அளவையியலானது எழுவாய், பயனிலையால் அமைந்த எடுப்புக்களைப் பற்றி ஆராய்கின்றது.
அறிவைப்பெற்றுக் கொள்வதற்குரிய சாதனம் சிந்தனையாகும். மனிதன் இயற்கையாகப் பசி, தாகத்தைப் பெற்றிருப்பது போல் இயற்கையாக சிந்தனையையும் பெற்றிருக்கின்றான். சிந்திக்கும் போது தவறுகளை விடுகின்றான் நாளாந்த உரையாடல்களின் போதும் தவறுகளை விடுகின்றான். மனிதர்களுக்கு விதிகளை அமைத்துக் கொடுப்பதன் மூலம் சரியான முறையில் சிந்திக்க வைக்கலாம் ஏனெனில் இயற்கையாக அமைந்திருக்கும்: பசி தாகத்தை ஒரு மனிதனால் எவ்வாறு மாற்றியமைக்க முடியு மோ அதே போல இயற்கையாக அமைந்திருக்கும் சிந்தனையையும் மனிதனால் மாற்றியமைத்து பிழையாக சிந்திப்பவர்களை சரியாக சிந்திக்க வைக்கலாம் சரியாக சிந்திப்பதற்குரிய விதிகளை அளவை யியல் தருகின்றது. அரிஸ்ரோட்டில் அளவையியலை உருவாக்கியதால் அவர் அளவையியலின் தந்தை அல்லது மூலநாயகன் என அழைக். கப்படுகின்றார் அரிஸ்ரோட்டலால் எழுதப்பட்ட முதல் தர்க்க நூல் ஆர்கனான் (கருவி) எனும் நூலாகும். முதல் நூலுக்கு கருவி எனப் பெயரிடப்பட்டது பொருத்தமானது ஆகும். இது சரியான முறையில் சிந்திப்பது எப்படி என்று முறையாகப் படிப்படியாக விதி கூறுகின்றது.
தன்னிச்சையை அடிப்படையாகக் கொண்ட அளவையியல் பயனற்றதெனக் கூறிவிட முடியாது. இவ்அளவையியல் புறக்கணிக்க ப்பட்டது துரதிஷ்டவசமானதே ஆகும். சற்றேனும் கவனமின்றி மனிதர்கள் சிந்திப்பதற்கும், தெளிவும் கூர்மையும் அற்றவாதங்க ளேற்படுவதற்கு இது இடமளித்தது எனலாம். இது மிகவும் வருத்த த்திற்குரியதாகும். ஆயினும் கல்வியின் மறுமலர்ச்சியோடு ( 16ம் நூற்றாண்டு) புதிய உணர்ச்சி ஏற்பட்டது. மக்கள் மதகுருமாரின் கருத்துக்களை அப்படியே விட்டு உண்மை பொய்களை ஆராய முற்பட்டனர். கருத்துக்கள் இயற்கையின் நேர்வுகளுக்குப் பொருத்த மானவையாயிருத்தல் வேண்டும் எனும் எண்ணம் பரவியது .அத னால் நியம அளவையியலின் குறைபாடுகளும் உணரப்பட்டன. பிரான்சிஸ் பேக்கன் (1561 - 1626) அரிஸ்ரோட்டிலில் கருதிய முறைக்கு பதிலாக புதிய தந்திரம் எனும் விஞ்ஞான முறையை வகுத்தார். ஆனால் அவரது முயற்சி அத்தகைய சிறப்புடையதாக
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (17)
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 11
(04
கருதப்படவில்லை. ஏனெனில் சிந்தனை செயல் முறைக ளின் (பிரயோகம்) மூலமே உறுதி கூடிய தற்காலிக உண்மையைப் பெறலாம்.
மேலே கூறப்பட்ட உய்த்தறிவு தொகுத்தறிவு முறைகளை முதல்முதலில் அமைத்த பெருமை கிரேக்க அறிஞனான அரிஸ்ரோ ட்டிலுக்கு மடடுமே உண்டு என்பதை அறியக்கிடக்கின்றது. ஆனால் இவருடைய அளவையியலில் பல குறைபாடுகள் காணப்பட்ட தன் விளைவாக அவற்றைத் திருத்தியமைத்த பெருமை ஆங்கிலேய நாட்டைச் சேர்ந்த பிரான்சிஸ் பேக்கன் என்பவருக்கே உண்டு ஆகவே தான் அவர் தொகுத்தறிவு அளவையியலின் தந்தை என அழைக்கப்படுகின்றார். அளவையியல் எனும் பதம் சிந்தனை, மொழி எனும் இரு கருத்துக்களை உடையது. அளவையியலுக்கு கிரேக்க சொல் லாகோஸ் ஆகும்.
)கணித அளவையியலின் அறிமுகமும் வளர்சியும். விஞ்ஞானம் கிரேக்கர்களோடு ஆரமபித்தது எனவும் மறுமல ர்ச்சிக் காலத்தில் இருந்தே அது விருத்தியடைந்தது எனவும் அது
வழமையாகக் கூறப்படுகின்றது. விஞ்ஞானத்தில் அவதானம்,
பரிசோதனை முறைகள், பிரான்சிஸ் பேர்கன் ( கி. பி 15611626) போன்றவர்களால் வலியுறுத்தப்பட்டது எனினும் அதன் வளர்ச்சிக்கு கணிதம் உதவியது என்பது உண்மையாகும். கலிலியோ
(கி.பி.1564-1642) போன்றவர்களால் கணிதத்தையும் பயன்படுத்தினார்.
9/fau (BJT LaShu 9/61606) tujua5)ai SAP, SEP, SIP, SOP போன்ற குறியீடுகளும் XYZ போன்ற குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப் பட்டதை நாம் அறிவோம் எனினும் இவை குறியீட்டு அளவையியலாக
கருதப்படவில்லை அளவையியல் வளர்ச்சி பிந்தியே ஏற்பட்டது.
எனினும் அவ்வளர்ச்சி ஏற்பட்டபோதும் கணிதத்துறையில் இருந்து கிடைத்த ஆக்கவூக்கமும் ஓர் முக்கிய காரணியாக இருந்தது. கணித த்திற்கும் அளவையியலுக்கும் ஏற்பட்ட இத் தொடர்பு மிகவும் பயனுள்ளதாய் அமைந்தது.
இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு மேலாக அளவையியலா ளர்கள் வாய்ப்பான சிந்தனையின் இயல்பு பற்றி ஆராய்ந்து கொண்டிருக்கையில் கணித அறிஞர்கள் தமது துறைகளின் வாய்ப்பான அனுமானங்களை அமைத்துக் கொண்டிருந்தனர். அளவையியலுக்கும் கணிதத்துக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை ஓரளவிற்கேனும் அறிந்து கொண்டவர் லைபினிற் எனலாம். அரிஸ்ரோட்டல் வாழ்ந்த காலம் தொடக்கம் லைபினிற் வாழ்ந்த காலம் வரை அதாவது கி.பி 4ம் நூற்றாண்டில் இருந்து 17ம் நூாற்றாண்டு வரை அனுமானம் பற்றிய கொள்கையான அளவை
அள
வையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 18 ஆசிரியர் :க, கேசவன் -
 
 

யியலை கணிதத்தில் பயன்படும் உய்த்தறிவு நியாயமுறைகளோடு யாரும் தொடர்புபடுத்திப் பார்க்கவில்லை . கணிதத்தில் ஏலவே பரிச்சயமான குறியீட்டு முறையை புகுத்தும் திட்டத்தோடு அவர் தனது அளவையியல் ஆய்வினை ஆரம்பித்தார். ஆயினும் அவரது
முயற்சி அளவையியல் முழுவதையும் தழுவியதாக இருக்கவில்லை. அன்றியும் அக்காலத்தில் லைபினிற்சின் இச்சாதனை மற்றோரால் அறியப்படாத ஒன்றாக இருந்தது.
ஜோர்ஸ் பூல் எழுதிய (The mathematical Analysis of Logic ) என்பதும் ஓகஸ்ரின்டிமோகன் ( Augustus DE Morgan ) எழுதிய ( Formal Logic) என்பதும் 1847ம் ஆண்டில் வெளி வந்தன. அந்த ஆண்டே அட்சரகணித (குறியீட்டு) அளவையியல் தோன்றியது எனலாம். சாதாரண அட்சரகணிதத்தில் இருந்து (x +X = 2x ) வேறுபட்ட வேறோர் அட்சர கணிதத்தைப் x, y, z, பயன்படுத்துவதன் மூலம் அரிஸ்ரோட்டலின் நியாயத்தொடைக் கொள்கையை முழுவதையும் உய்த்தறியலாம் என பூல் கண்டார். அரிஸ்ரோட்டலில் அளவையியல் உண்மையில் பொருட்களின் வகுப்புக்களைப் பற்றியதென முதல் முதலில் பூலே (Boole ) கண்டார். அரிஸ்ரோட்டிலின் அளவையியலில் இடம் பெறும் வகு ப்புக்களை x, y, z, போன்ற குறியீடுகளினாற் சுட்டுவதன் மூலம் நியாயத்தொடைமுறைக்கு பதிலீடாக அமையக் கூடிய அட்சரகணித முறையொன்றை அவர் விருத்தி செய்தார். இந்த வகுப்பு அட்சர கணிதத்தோடு பின்னர் ஒரு சார்பட்சர கணிதம் சேர்க்கப்பட்டது. எனினும் இது போன்ற வளச்சியின் பூலின் வழியை அடியொற்றியே அமைந்தன. அதாவது அட்சரகணித முறைகள் போன்ற முறைக ளையே இவையும் பயன்படுத்தின என்பதை அறியக்கிடக்கின்றது. கணிதம் இவ்வகையில் முந்தியதாகக் கொள்ளப்பட்டது அளவையியலில் இது பயன்பட்டது.
பூல் அரிஸ்ரோட்டிலைப் போலவே வாக்கியங்கள் அனைத்தையும் எழுவாய் பயனிலை உருவுடையது எனக் கொண்டே ஆராய்ந்தனர். தற்கால அளவையியலாளரது அணுகுமுறை இதிலிரு ந்து மிகவும் வேறுபட்டது ஆகும். தற்கால அளவையியல் வாக்கிய ங்களின் உருவைப்பற்றி எவ்வகை எடுகோளாலும் தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்வது இல்லை.தற்கால அளவையியலில் கூறப்படும் ஒரே ஒரு விதி அளவையியல் ஆய்வு செய்யும் வாக்கியங்கள் அனைத்தும் உறுதியான வாக்கியங்களாக இருத்தல் வேண்டும் என்பதேயாகும். அளவையியல் ஆய்விலே இந்த மாற்றத்தையும் இதுபோன்ற வேறு பலவற்றையும் ஆரம்பித்த வர் வ்றகே என்பவர் ஆவர். 1879ம் ஆண்டில் வ்றகேயின்
பெக்றிப்ஸ்கிறிப்ஸ் எனும் நூல் வெளியானது. அதற்குப்பின்னர்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 19
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 12
குறுண்ட்லாகென்டர் எறிக்மற்றிக் எனும் நூலும் வெளிவந்தது. இவற்றில் அவர் அளவையியலை ஆய்வதற்கு முதலெடுப்பு முறையைப் பயன்படுத்த முற்பட்டார்., முதலெடுப்பு முறையின் சில வரைவிலக்கணங் களையும் முதலெடுப்புக்களையும் எடுகோளாககொண்டு தேற்றங்களைப் பெற்றார்.இவ்வரைவிலக்க ணங்களும் முதலெடுப்புக்களும் தேற்றங்களும்முதலெடுப்பு முறை யின் மூலக்கூறுகளாக அமையும் என்பதை நாம் அறிந்திருக்க வேண்டும், கி.மு 5 ஆம் நுாற்றாண்டளவில் வாழ்ந்த இயூக்கிளிட் தமது கேத்தரகணிதத்தை விருத்தி செய்கையில் இம்முறையையே சிரமமாகக் கையாண்டார்,
மேலும் எண்கணிதம் முழுவதையும் அளவையியல் விதிகளின் அடிப்படையில் அமைக்க வ்றகே முயற்சி செய்தார், இந்த ஆய்வுகளின்போது வாக்கிய நுண்கணிதத்தைக் கண்டு பிடித்த வ்றகே ஒரு வாதத்தின் எடுகூற்றுக்களுக்கும் அனுமான விதிகளுக்குமிடையிலான வேறுபாட்டினையும் செம்மையாகக் கண்டுகொண்டார், அத்துடன் அளவையியலுக்கு குறியீடுகள் அவசியம் என்பதையும் உணர்ந்து கணிதக்குறியீட்டின் அடிப்படையிலமையாத பிறிதோர் குறியீடொன்றையும் அளவையியலுக்கென இவர் அமைத்தார், 1910இல் வெளிவந்த பிறின்சிப்பியா மதமற்றிக்கா எனும் நுாலை எழுதிய ரசல் , வைற்கெட் ஆகிய ஆங்கிலக் கணித அறிஞர் இருவரும் அளவையியலில் இருந்து ஆரம்பிக்கும் முறையொன்றிலேயே கணிதத்தின் அடிப்படையை காண வேண்டும் என்று வ்றகே கூறிய கருத்தைத் தமது நுாலிற் கைக்கொண்டு ள்ளனர், இவை நவீன அளவையியல் வளர்ச்சிக்கு வழிவகுத்தது, குறியீட்டு அளவையியல், தொடைக்கொள்கை என்பவற்றை நவீன அளவையியல் உள்ளடக்குகின்றது,
இரு மதிப்பு அளவை, ப்ன் மதிப்பு அளவை, ஆதார அளவை போன்ற பல அளவை முறைகளை ராஷ்கி, டெல் , சேச் போஷ்ற், லூகா சிவிக்ஸ், விருத்தி செய்துள்ளனர்.இவர்கள் முதலெடுப்பு முறைகளின் இசைவு, முழுமை, துணிவுப் பிரச்சனை முதலியவை பற்றிய அதீதக்கொள்கைகளையும் நிறுவியுள்ளனர். இவ்வகை நிறுவல்களுக்கு உண்மையட்டவணை முறையை பயன்படு த்துவதையும் இவர்கள் ஆரம்பித்துள்ளனர்.
உண்மை அல்லது பொய் எனும் இரு மதிப்புக்களில் எதையேனும் பெறும் வாக்கியங்களைக் கொண்ட அளவையியல் முறை இரு மதிப்பு அளவை எனப்படும். உண்மை, பொய் எனும் இரண்டிற்குமேற்பட்ட மதிப்புக்களை வாக்கியங்கள் பெறக்கூடிய வகையில் அமைந்த அளவைமுறை பன் மதிப்பு அளவை எனப்படும். இந்திய பௌத்த மெய்யியல் அறிஞர் சிலர் பண்டைய இந்திய
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 120
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

சிந்தனை முறைகளில்பன்மதிப்பு அளவை பயன்பட்டதென கூறுவர். ஆதாரவிடயக் கருத்துக்குறிகளை கொண்டவாக்கிய அளவை ஆதார அளவை எனப்படும். அளவையியல் முறைகளைப் பற்றிய கொள்கைகள்' அளவையியல் அதீதக்கொள்கைகள் எனப்ப டும்.அளவை முறைகளே இவற்றின் ஆய்வுப்பொருள் ஆகும். இவற்றைப் பற்றியும் இசைவு, முழுமை , முதலெடுப்புக்கள், பூர்வ பதங்கள் என்பவை உய்த்தறிவு முறை எனும் தலைப்பில் குறியீட்டு அளவையியல் பகுதியில் ஆராயப்படுகின்றது. சில வகை வாதங்களின் வாய்ப்பைத் துணிதல் கூடுமோ எனவும் வாய்ப்பினை நிறுவும் முறைகள் எல்லா வாதங்களுக்கும் உண்டே எனவும் எழும்
பிரச்சனைகள் துணிவுப்பிரச்சனையின் பால்படுவன ஆகும். (05) அளவையியலுக்கும் ஏனைய இயல்களுக்குமான
தொடர்புகள் :
அளவையியல் செம்மையான சிந்தனைக்கான விதிகளைத் தருகின்றது. எந்தவொரு துறையை எடுத்துக் கொண்ட போதும் நாம் மேற் கொண்ட தீர்மானத்திற்கான காரணத்தைத் தொடர்புபடுத்தி பரிசீலிப்பது ஆகும். அவ்வாறில்லாதுவிடின் செம்மையான சிந்த னையைப் பெற முடியாது. ஆனால் அளவையியலானது செம்மை யான சிந்தனைக்கான விதிகளை தருகின்றது. இதனால் எல்லாத் துறைகளுக்கும் அளவையியல் அவசியமாகும்.
அறிவைப்பெறுவதற்கு சிந்தனை கருவியாகப் பயன்படுகின்றது. சிறந்த சிந்தனையின் விளைவுகளே எல்லா அறிவியல்களும் ஆகும். ஆனால் எல்லா அறிவியல்களும் சிந்தனையைப் பயன்படுத்துகின்றதே தவிர அவை சிந்தனையைப் பற்றி சிந்திப்பதில்லை. சிந்தனையின் இயல்பினையும் விதிகளையும் அவை ஆராய்ந்து கொண்டிருப்பது இல்லை . ஆனால் எல்லா அறிவியல்களுக்கும் அடிப்படையாகவும் உறுதுணையாகவும் விளங்குகின்ற சிந்தனையை அளவையியல் ஆராய்கின்றது. அதாவது அளவையியல், சிந்தனையைப் பற்றிய சிந்தனை, இதில் சிந்தனை கருவியாக மட்டுமின்றி அதன் பொருள் நிலையாகவும் விளங்குகின்றது. அதாவது அளவையியல் சிந்தனையைப் பற்றிய சிந்தனை இதில் சிந்தனைக் கருவியாக மட்டுமன்றி அதன் பொருள் நிலையாகவும் விளங்குகின்றது. இவ்வாறு எல்லா அறிவியல்களுக்கும் அதாரமாகவுள்ள சிந்தனையை ஆராய்வதால் அளவையியலை அறிவியலுக்கெல்லாம் அறிவியல் என்று கூறுவது பொருத்தமானதே ஆகும். சில அளவையியலாளர்கள் இந்த உரிமையை வரம்பு மீறிப் பயன் படுத்துவர். எல்லா ஆராய்ச்சிகளுக்கும் அளவையியல் முன்னோடி என்றும் ஒவ்வோர் அறிவியலுக்கும் அது ஒரு பகுதியாக விளங்கு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 ம் 21
ஆசிரியர் :க, கேசவன் க

Page 13
கின்றது என்றும் கூறுவர். எனவே அறிவியல்கள் எல்லாம் அளவையியலுக்கு உட்பட்டவை என தவறாக நினைக்கக்கூடாது. ஆனால் அளவையியல் எந்தத் தனி ஒரு அறிவியலிலும் ஈடுபாடு டையது அல்ல. அறிவை மதிப்பிடுவது மட்டுமே அதன் வேலை. ܘܕܵܐ அதாவது தரப்பட்டஆதாரங்கள் உண்மையாய் இருந்து இவ்விடயம் பற்றி நாம் அறியக்கூடியவையும் அம்மட்டேயானால் இம்முடிவு உண்மையா அல்லது பொய்யா என்பதை அளவையியலின் உதவி கொண்டு மதிப்பிட முடியும். ஆனால் குறிப்பிட்ட ஆதாரங்கள் உண்மையானதா என்பது பற்றியும் அது போதுமானதா என்பது பற்றியும் அளவையியலினால் மதிப்பிடமுடியாது.அவ்விடயம் எந்த அறிவியல் துறையைச் சார்ந்ததோ அத்துறையினாலேயே அது பற்றி மதிப்பிட முடியும். அதாவது ஒவ்வொரு துறையைப் பற்றியும் விரிவான அறிவை அடைய வேண்டும் என்பது அளவை யியலின் நோக்கம் அன்று. எந்த முறைக்குட்பட்டுச் சிந்தித்தால் உண்மையான அறிவை அடையலாம் என்பதே அளவையியலின் ܕܕ குறிக்கோள் ஆகும். அளவையியலில் அடங்கியவை அறிவியல்
முறைகளே தவிர அவற்றின் பொருள் நிலையல்ல. விலங்கினங்களை பொருள் நிலையாக விலங்கியலும், நிலத்தின் அமைப்பைப் பொருள் நிலையாக புவியியலும் கொண்டிருப்பது போல் எல்லா அறிவியல் முறைகளையும் பொருள் நிலையாக அளவையியல் பெற்றிருக்கின்றது. அளவையியலுக்கும் ஏனைய அறிவியல் துறைகளுக்குமிடையே நில வும் தொடர்பை அறிந்து கொள்வதற்கு இதை உணர்த்தல் வேண் டும். சில விஞ்ஞானத்துறைகள் குறிப்பிட்ட சில காரண விதிகளை நிறுவுவதை தம் நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன.ஆனால் அளவை யியலின் நோக்கம் அதுவன்று. குறிப்பிட்ட காரண விதிகளை நிறுவும் முறை வலிதாய் அமைவதற்கு பின்பற்ற வேண்டிய பொது விதிகளை ஆராய்வதே அளவையியலின் நோக்கமாகும். (அ) அளவையியலும் உளவியலும்.
அளவையியலானது சிந்தனையைப்பற்றி ஆராய்கின்றது. ஆனால் உளவியலானது சிந்தனை, உணர்ச்சி, முயற்சி, பயம் கோபம் என்பன பற்றியும் ஆராய்கின்றது. எனவே உளத்தொழிற்பாடு களையும் உளக்கிடக்கைகளையும் ஆராய்வதால் அளவையியலும், உளவியலும், ஒன்றோடு ஒன்று தொடர்புடைய விடயதானத்தை உடையவை என மரபுவழி அளவையியல் கூறுகின்றது.இக்கருத்தை நாம் ஏற்றுக் கொள்ள முடியாது. அளவையியல் உண்மைகள் வெறுமையானவையாகும். அளவையியல் தூய வாக்கியங்களின்
உளத்தொழிற்பாடுகளை விளக்குவதில்லை. அளவையியலானது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 22 ஆசிரியர் :க, கேசவன்
 

சிந்தனை விதிகளை விளக்குகின்றது என்ற கூற்று தவறானதாகும். வேறுபட்ட அளவையியல் முறைகள் வேறுபட்ட அனுமான விதிகளை மேற்கொள்ளக்கூடும். மேலும் எமது உௗத்தொழிற்பாடுகள் சம்பந்தமான குறிக்கப்பட்ட விதிகளை அவை இருந்தாலும் சரி இல்லாவிட்டாலும் சரி அவை பற்றியும் அளவையியல் விளக்குவது இல்லை. நாம் எவ்வாறு சிந்திக்கின்றோம் என்பது பற்றி அளவையியல் ஆராய்வது இல்லை. ஆனால் எமது நியாயித்தல் முறையின் வாயப்புத் தன்மையை சோதிப்பதற்கான சில உத்திகளை அது தருகின்றது. அளவையியலும் உளவியலும் சிந்தனையை இரண்டு வேறுபட்ட நிலைகளில் நோக்குகின்றது.அதாவது அளவையியலானது சிந்த னையை வலிதான பகுத்தறிவு என்ற ரீதியிலும் உளவியலானது. சிந்தனையை மன நிகழ்ச்சி என்ற ரீதியிலும் நோக்குகின்றது. உளவியல் சிந்தனை எவ்வாறு செயல்ப்பட வேண்டும் என்பதை அது ஆராய்வது இல்லை. அதற்கு மாறாக சிந்தனை எவ்வாறு நடைபெறுகின்றது என்பதை உள்ளதை உள்ளவாறு விளக்குவதினால் விபரிப்பு விஞ்ஞானம் எனப்படும். ஆனால் அளவையியல் அவ்வாறானது அல்ல. அளவையியல் உண்மையை அடைவதையே தம் நோக்கமாக கொண்டவை. தன் உயர் நிலையான உண்மையை அடைவதற்கு சிந்தனை எந்தெந்த விதிகளுக்கு உட்பட்டிருக்க வேண்டும் என விதிகளை வகுத்துக் கூறுகின்றது. சிந்தனையின் ஏற்புடமையை மதிப்பிடுகின்றது. இதனால் அளவையியல் ஓர் நியமம் கூறும் விஞ்ஞானமாகும். உளவியல் உளச்செயல்களில் நாட்டமுடையது. உளச்செயல்கள் உணர்ச்சி, மனக்கிளர்ச்சி, புலன் காட்சி, கற்பனை முதலியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டவை இவற்றை உளவியல் கற்கின்றது. அளவையியல் உளச் செயல்களின் விளைவுகளில் நாட்டமுடையது. உளச்செயல்களின் மூலம் கிடைத்த அறிவு உண்மையா அல்லது பொய்யா என ஆராய்வது அளவையியலின் தொழிலாகும். எனவே உளவியல் சிந்தனையின் இயல்பிலும் அளவையியல் சிந்தனையின் பயனிலும் ஈடுபாடுடையது ஆகும். அளவையியல் சிந்தனையையும் உளவியல் உள்ளம் முழுவதையும் ஆராய்வதால் அளவையியலிலும் பார்க்க உளவியல் பரப்பளவில்
கூடியதாகும். (ஆ) அளவையியலும் இலக்கணமும்
அளவையியலும் உளவியலும் எவ்வாறு சிந்தனை பற்றியதோ அதே போல அளவையியலும் இலக்கணமும் மொழி பற்றியது ஆகும். ஆனால் இவ்வாறு இரண்டும் தொடர்புபட்டாலும் இரண்டும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
23 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 14
நோக்கத்தில் வேறுபடுகின்றது. அளவையியலின் நோக்கம் திருத்தமான சிந்தனையை அமைப்பதாகும். இலக்கணத்தின் நோக்கம் திருத்தமான முறையில் மொழியை அமைப்பதாகும். இலக்கணமானது மொழியின் உணர்ச்சிப் பயன்பாடு, ժ5լ ` լ 6006IIլյ பயன்பாடு, விளக்கப்பயன்பாடு எனும் மூன்றையும் ஆராயும் ஆனால் அளவையியலானது மொழியின் விளக்கப் பயன்பாட்டை மட்டும் ஆராய்கின்றது. அதாவது உணர்ச்சிகள், மனப்பான்மைகள் என்பவற்றை உணர்த்தும் மொழியிலும் பொருளை உணர்த்தும் மொழி பற்றிய மரபுகளோடு இலக்கணம் அதிக தொடர்புடையது 6T607 பொருள்படுகின்றது. இலக்கணம் மொழியின் பொருள் உணர்த்தும் பண்போடு மட்டும் சம்பந்தப்பட்டதால் இருந்தாலும் கூட அது அளவையியலோடு ஒத்ததன்மையுடையதாகாது. முதலாவதாக வெவ்வேறு மொழிகளு க்கென வெவ்வேறு இலக்கணங்கள் உள. ஆனால் அவற்றிற்கென தனித்தனி அளவையியல்கள் இல்லை. இரண்டாவதாக எல்லா மொழிகளுக்கும் பொதுவான பண்புகளை நாம் தொகுத்து அதை ஓர் பொது இலக்கணம் என அழைப்பினும் ஆனால் எல்லா மொழிகளுக்கும் பொதுவான பண்புகள் உள்ளனவா என்பது பற்றி நாம் நிச்சயமாக கூற முடியாதாகையால் அது அளவை யியலோடு ஒத்த தன்மையுடையதாய் இருக்காது. ஏனெனில் இலக்கணம் மொழி உருவங்களைப் பற்றிக் கூறுகையில் அளவை யியல் அவ்வுருவங்கள் குறிக்கும் பொருள் பற்றியதாயுள்ளது. அளவையியற்கொள்கை பெருமளவிற்கு இலக்கணத்தால் ஊக்கப் பட்டது என்பதில் ஐயமில்லை. ஆனால் இவ்வூக்குவிப்பு அளவை யியலை கட்டுப்படுத்துவதாய் அமைந்ததே ஒழிய அதற்கு நன்மை பயக்கவில்லை.
(இ) அளவையியலும் அழகியலும்.
கலையுணர்வும் ரசனையும் அழகை அடிப்படையாகக் கொண்டவை ஆகும். அழகைத் தன் குறிக்கோளாக கொண்டு உணர்வுகளைப் பற்றி ஆராய்கின்ற அறிவியலே அழகியல் ஆகும். அளவையியலின் வழிவகைகளையே அழகியலும் பயன்படுத்துகின்றது. அளவை யியலும் அழகியலும் நியமம் கூறும் விஞ்ஞானங்களாகும்.அளவை யியலின் பொருள் நிலை சிந்தனையாகும். அழகியலின் பொருள் நிலை உணர்ச்சி ஆகும் எனவே இவைகளின் வரம்பு வேறுபட்டதாகும்.
(ஈ) அளவையியலும் கணிதமும்.
அளவையியலும் கணிதமும் வடிவ முறைகள் ஆகும். இரண்டிலும் மாறிகள், மாறிலிகள், அடைப்புக்குறிகள், என்பவை பயன்படுத்த ப்படுகின்றன. இரண்டும்பொருளில் அக்கறை கொள்ளாது வடிவ
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 24 ஆசிரியர் :க, கேசவன்
 

ங்களில் அக்கறை கொள்வதால் இரண்டும் அனுபவம் சாராத விஞ்ஞானங்களாகும். 19ம் இந்நூற்றாண்டிலே அளவையியல், தூய கணிதம் இரு துறைகளும் ஒன்றோடு ஒன்று இணைந்திரு க்கின்றன. இரண்டிற்குமிடையிலான தொடர்பினை ரசல்
வைற்கெட் ஆகிய இருவரும் நன்கு விளக்கியுள்ளனர். பிறின்சிப்பியா மதமற்றிக்கா இது பற்றிய இவர்களது முக்கிய படைப்பாகும். 19 ம் நூற்றாண்டில் கணித முறைக் குறியீட்டு வாதமெனப்படும் அளவையியல் ஆராய்ச்சியே கையாளப்பட்டது வரை அளவையியல் அதிக வளர்ச்சியடையவில்லை. கணித முறைக் குறியீட்டு வாதத்தினை உபயோகத்தினால் தர்க்கவியலுக்கேயுரிய ஒரு சிறப்பான மொழி நடை உருவாகியது. புதிய கணித நெறியான தொடைக் கொள்கையை விளக்குவதற்கும் குறியீட்டுத்தருக்கம் மிகவும் ஒரு பயனுடைய கரு வியாக இருந்தது.தொடை என்பது வகுப்பு கூட்டம் எனும் பெயர்க ளாலும் அழைக்கப்படும். வகுப்பிற்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்பு களைப்பற்றி அரிஸ்ரோட்டில் அளவை முறைமை ஆராய்வதால் அது வகுப்புப் பற்றிய ஓர் அளவையியல் முறையாகும். தொடைக் கொள்கையானது திட்பநுட்பம் மிக்க ஓர் உயரிய கணிதப்பகுதியாக இன்று வளர்ச்சியடைந்துள்ளது. வென் என்பவரின் வென்வரை படங்கள் மூலம் அளவையியல் வாதங்களின் வாய்ப்பு ஆராயப்ப டுகின்றது. ஆனால் அரிஸ்ரோட்டிலின் அளவையியலின் வீச்சையும் வலுவையும் விட அதன் வீச்சும் வலுவும் மிகச் சிறந்தவையாக
காணப்படுகின்றது. (உ) அளவையியலும் ஒழுக்கவியலும்.
அளவையியலானது வலிதான வாதங்களையும் வலிதற்ற வாதங்க ளையும் வேறுபடுத்தி ஆராய்கின்றது. ஆனால் ஒழுக்கவியலானது நல்லொழுக்கம் தீயொழுக்கம் என்பவற்றை வேறுபடுத்தி ஆராய் கின்றது. எனவே இரண்டும் ஆராய்யும் விடயத்தில் வேறுபடுகின்றது. இரண்டும் எப்படி இருத்தல் வேண்டும் என்பதற்கான விதிகளை கூறி அவ்விதிகளின் கீழ் அவை ஒவ்வொன்றும் செயல்ப்படுகின்றதா என்பதை மதிப்பீடு செய்வதால் இரண்டும் மதிப்பீட்டு விஞ்ஞானம் அல்லது நியமம் கூறும் விஞ்ஞானங்களாக அமைகின்றன. ஒழுக்கவியல் அறம் அல்லது நன்மையை தன் உயர்நிலையாகக் கொண்டது. ஒருவனுடைய போக்கு சரியானதா தவறானதா நன் மையா தீமையா என்று உயர் நிலையான அறத்துடன் ஒப்பிடப்பட்டு தீர்ப்பளிக்கப்படுகின்றது. சிந்தனையின் குறிக்கோளான உண்மையை அளவையியல் அடைய முற்படுவது போல் ஒழுக்கத்தின் இலட்சியமான அறத்தை அடைகின்ற வழி வகைகளை ஒழுக்கவியல் கற்பிக்கின்றது. பொருள் நிலையில் அளவையியலும் ஒழுக்கவியலும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 /25
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 15
வேறுபட்டவையாகும். ஆனால் இவை இரண்டும் பின்பற்றும் முறைகள் ஒன்றே ஆகும். இரண்டும் கொள்கையளவில் சிறந்ததாக விளங்கினாலும் நடைமுறையில் சிறந்து விளங்குவது இல்லை. ஒழுக்கவியல் கருத்துக்கள் முரண்பட்டுக் காணப்படும். ஆனால்
அளவையியல் இடத்திற்கிடம் முரண்படுவது இல்லை. (ஊ) அளவையியலும் அனுபவ விஞ்ஞானங்களும்.
அளவையியல் எனும் விஞ்ஞானம் வாதங்களின் உட்பொருளில் கவனம் செலுத்தாது விதிகளில் கவனம் செலுத்தி வாய்ப்பை ஆராய்கின்றது.ஆனால் அனுபவ விஞ்ஞானங்கள் எடுகூற்றுக்களின் பொ ருள் உண்மையை ஆராய்ந்து விதிகள் கொள்கைகளை அமைக்கின்றது. அனுபவ விஞ்ஞானங்களின் கருதுகோளை வாய்ப்புப் பார்த்து உண்மையா அல்லது பொய்யா எனும் முடிவை அமைப்பதற்கும்
உய்த்தறிவு முறைகள் பயன்படுகின்றன.
(H-> 1). I ஃ H இது கருதுகோளை உண்மையென நிறுவும் வாய்ப்பற்ற உய்த்தறிவு அனுமானமாகும். (H->1). ~[ ஃ~ H இது கருதுகோளை பொய்யென நிறுவும் வாய்ப்பான உய்த்தறிவு அனு மானமாகும். இந்த வகையில் அளவையியலும் அனுபவ விஞ்ஞானமும் தொடர்புபடுகின்றது. அனுபவ விஞ்ஞானங்களின் பொது விதிகளின் மூலம் தனிப்பட்ட நேர்வைவிளக்க அளவையியல் பயன்படுகின்றது .இது விதி உய்த்த றிவு விளக்கமுறை எனப்படும். இதன் வடிவம்
( P-> Q).P ஃ Q ஆகும். (06) அளவையியலின் பயன்பாடு.
ஒருவர் அளவையியலைக் கற்கின்றார் என்பதை மாத்திரம் கொ
ண்டு அவர் சரியாகவும் திட்பமாகவும் சிந்திப்பார் என்பதை எதிர் பார்க்க முடியாது. எனவே சிந்திக்க வேண்டுமாயின் அதற்கு முதற் படியாக அளவையியலைப் பயில வேண்டியதில்லை என நாம் ஒப்புக்கொள்ளலாம். மேலும் பிறர் வாதங்களைக் கண்டிக்கும் எவரும் அளவையியற் கொள்கைகளை திட்டமிட்டு உபயோகிப்பது இல்லை. அதாவது உட்கிடையாக அக்கொள்கைகளை அவர்கள் பயன்படுத்தினாலும் தனியே அவற்றை அவர்கள் விபரிப்பது இல்லை. அளவையியலாளன் என தன்னைக் கூறிக்கொள்பவன் கூட வேறு விடயங்களைப்பற்றி சிந்திக்க முற்படும் போது அளவை யியற் கொள்கைகளை தனது மனதில் நிறுத்தியே தனது சிந்தனையை ஆரம்பிக்கின்றான் எனக் கூறமுடியாது. இவையெல்லாவற்றையும் கூறும் போது நடைமுறையில் அளவையியலினால் எவ்வித பயனும் இல்லையென நாம் கூற விரும்பவில்லை. நடைமுறையில் அளவை யியலினால் அதைப்பயில்வோருக்கு ஏற்படும் பயன் மறைமுகமானதே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT 26
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

ஒழிய நேரடியானது அல்ல எனக் கூறிக்கொள்ளலாம். எனவே அளவையியலின் பயன்பாட்டை பின்வருமாறு கூறிக்கொள்ளலாம். பல்வேறு வகையான வாதங்களின் நியம எடுகூற்றுக்களை அளவை யியல் ஆராய்கின்றது. இதனால் வலிதான வாதத்திற்கும் வலிதற்ற வாதத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை எடுத்துக் காட்டுகின்றது. எனவே அளவையியல் சரியான சிந்தனைக்கு வழி வகுக்கின்றது. மிகக் குழப்பமான வாதங்களிலும், அறிமுகமில்லாத வாதங்களிலும் மறைந்திருக்கும் போலிகளை காணக்கூடிய ஆற்றல்களைத் தருகின்றது. அளவையியல் பயிற்சி மூலம் மொழியைத் தெளிவாகவும் திட்பமாகவும் உபயோகிக்க ஒருவர் கற்றுக் கொள்கிறார். நாம் அன்றாடம் வழ ங்கும் மொழியில் மயக்கமும், வீண் வார்த்தையலங்காரமும் பெரு மளவில் இடம் பெறுகின்றன. அளவையியலைக் கற்பதால் இக்குறை பாடுகளை உணரவும் வாக்கியங்களின் அமைப்பிலுள்ள சரி பிழைகளைப் புரிந்து கொள்ளவும் எம்மால் முடியும். இவ்வாறு தெளிவாகவும் திட்பமாகவும் சிந்திப்பதற்கு ஒரு முறை பழகி விட்டால் அளவையியல் உத்திகளை நாம் மறந்த காலத்தில் கூட அப்பழக்கம் நிலைத்திருக்கும்.அளவையியலைச் சார்ந்த நியாயித்தல் தத்துவங்கள், முறைப்படியான அறிவுத்துறைகள் யாவற்றிலும் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக எல்லா விஞ்ஞான ஊகங்களிலும் அளவையியல் அனுமான முறைகள் கைக் கொள்ளப்படுகின்றன.கணிதத்திலோ பௌதீகத்திலோ சாதாரண உரையாடலிலோ இடம் பெறும் ஒரு சரியான நியாயித்தலானது அதன் அளவையியல் நியமம் காரணமாகவே வாய்ப்புடையதாகின்றது. ஆனால் இந்த நியமம் எப்பொழுதும் தெளிவாகக் காணப்படுவது இல்லை. இதனைக் கண்டுபிடிப்பதற்குரிய முறையினை அளவை யியல் தெளிவுபடுத்துகின்றது. ஏற்கக்கூடிய எடுப்புக்கள் எவை என்பதற்கு விடை தருகின்றது. தொகுத்தறிவு நியாயத்தின் மூலம் எடுப்புக்களுக்கிடையிலான பொருத்தப்பாட்டினை அறிய முடிகின்றது. இதன் மூலம் ஏற்கக் கூடிய எடுப்பு எவை என்பதற்கும் நியாயம் தருகின்றது. வேறு ஒரு எடுப்புடன் தொடர்புபடுத்தி உண்மைத் தன்மையை நிர்ணயிக்கஉதவுகின்றது. அத்துடன் வாதங்களை மதிப்பீடு செய்யும் விஞ்ஞானமாக பயன்படுகின்றது. மேற்கூறியனவற்றில் இருந்து அளவையியலின் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளை விளங்கிக் கொள்ள முடியும். இதனால் அளவை யியல் அறிவை ஒழுங்கு படுத்துவதற்கான அடிப்படையாக அமைகின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 16
அளவையியலும் கணணியும் அளவையியல் என்பது வாதங்களின் உட்பொருளைக் கவனத்திற் கொள்ளாது அதன் வடிவத்தில் அக்கறை கொண்டு வாதங்களின் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மையை ஆராய்வது ஆகும். கணணி செயற்கையாக உருவாக்கப்பட்ட அறிவு ஆகும். அறிவு என்ற முறையில் அதன் எல்லை எங்கு உள்ளது என்பது தெளி வாக இல்லை. மனித அறிவு பற்றிய ஆய்வுகளில்கூட இது பயன்ப டுத்தப்படுகின்றது. கொம்பியூட்டர் இயலின் முன்னோடி சார்லஸ் பாபேஜ் தான் என்பவரே ஆவர் . அளவையியலும் கணணியும் பின்வருமாறு தொடர்புபடுகின்றது. அளவையியலைப் போலவே கணணி விஞ்ஞானத்திலும் வடிவப் பண்பையே காணுகின்றோம். இரண்டும் வடிவப்பண்பிலே கவனம் செலுத்தும். எடுகூற்றுக்கும் அதற்கியைந்த முடிவிற் கூற்றைத் தரும். அளவையியல் முடிவுகள் பெறப்படுவது போலவே கணணியில் தரப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில் உய்த்தறிந்து பெறப்பட்ட உட்கிடையானவை அளவையியல் பயன்படுத்தப்படுகின்ற சிந்தனை விதிகளே கணணிக்கும் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. அளவையியலில் பயன்படுத்தப்படும் தர்க்க மாறிலிகளான V,", <->, -> என்பதை கண்ணியில் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. எனவே தர்க்கரீதியான முடிவைப்பெற கணணியில் அளவையியல் பயன்படுகின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 28
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

- அத்தியாயம் - 02 அளவையியல் தத்துவங்கள் பற்றிய பொது
வான ஆய்வு (01) அமைப்பு ரீதியான மொழியின் பண்புகள்.
மொழியானது சொல்லுருவிலான குறிகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு மொழியிலுள்ள குறிகள் குறியீடுகள் ஆகும். ஒரு மொழியின் விதி கள் இந்தக் குறியீடுகளை எவ்வாறு சரியாக இணைக்கலாம் என்பதைக் கூறுகின்றது. விதிகளானவை இலக்கண வாக்கியங்களை எமக்குத் தருகின்றன. குறியீடுகளும் இவ்விதிகளுமே மொழியின் சொற்றொடரியலாக அமைகின்றன. சாதாரணமொழியில் விதிகளும் சொற்தொகுதியும் - திட்பமாகவும் தனிச்சிறப்புடனும் வரையறுக்க ப்படுவது இல்லை. அதனால் எல்லா விஞ்ஞானிகளாலும் விஞ்ஞானக் கூற்றுக்கள் ஒரே பொருளில் அர்த்தம் பெறக்டியதாக இருக்க வேண்டும்.இதற்கு அமைப்பு ரீதியான மொழி அவசியம். இம்மொழி பொதுவாகப்பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும். (1) குறியீட்டு மொழியில் ஈரடி இயல்பு தெளிவின்மை இல்லை
குறியீட்டு மொழியில் சிக்கலான வாதங்களை தெளிவாகவும் சுருக்கமாகவும் கூறலாம். (3) வாதங்கள் அல்லது எடுப்புக்களின் வடிவம் மாறாது நிலைத்திருக்கும். இது எல்லோருக்கும் ஒரே விதமான விளக்கத்தைத் தரும்.அல்லது Vஅத்துடன் - எல்லா மொழிகளிலும் ஒரே கருத்துடையது. (4) நிலையான அர்த்தத்தைக் கொண்டிருக்கும். (2) எடுப்புக்கள், பதங்கள் பற்றிய எளிய விளக்கம் உண்மையா அல்லது பொய்யா எனக்கூறக்கூடிய ஓர் அர்த்தமுள்ள கூற்று அல்லது வசனம் எடுப்பு எனப்படும். எடுப்புக்கள் எதை யும் கூறும் ( செய்தியை) வாக்கியங்கள் ஆகும்.எடுப்புக்கள் நேர்வு களோடு பொருந்தினால் அது உண்மை எடுப்புக்கள் நேர்வுகளோடு பொருந்தாவிட்டால் அது பொய்யாகும்.நேர்வு வெறுமனவே இருக்கின்றது எனலாமே ஒழிய அதனைப்பற்றி உண்மையானது எனலும் பொய்யானதெனலும் பொருந்தாது. உண்மையான எடுப்புக்கள் நேர்வுகளோடு பொருந்துவதாக காணப்படும். கொழும்பு இலங்கையில் உள்ளது எனும் நேர்வோடு பொருந்துகின்றது. பொய்யான எடுப்புக்கள் நேர்வுகளோடு பொருந்துவது இல்லை. - யாழ்ப்பாணம் இலங்கைக்கு தெற்கே உள்ளது எனும் எடுப்போடு
(2)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (29
ஆசிரியர் :க, கேசவன் !

Page 17
பொருந்தக்கூடிய நேர்வு இல்லை.
(உ-ம்) (1) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்.( உண்மை)
(2) குதிரைகள் அனைத்தும் கொம்புடைய பிராணிகள் ஆகும்.(பொய்)
எடுப்புக்களில் அங்கம் வகிக்கின்ற எழுவாயும் பயனிலையுமாக அமைகின்ற சொல் அல்லது சொற்றொடர் பதம் எனப்படும். எனவே பதங்கள் ஒரு சொல்லாகவேனும் அல்லது சொற்றொடரா
கவேனும் இருக்கலாம். (உ - ம்)நீரில் வசிக்கும் பிராணிகள் அனைத்தும் வெள்ளை நிறமுடைய உயிர்கள் ஆகும்.
இங்கு அனைத்தும் ஓர் அளவீட்டு சொல்லாகும். ஆகும் ஓர் இணைக்கும் சொல்லாகும். இவைகள் பதங்கள் அல்ல. நீரில் வசிக்கும் பிராணிகள் எனும் எழுவாயும் வெள்ளை நிறமுடைய உயிர்கள் எனும் பயனி லையுமே பதங்கள் ஆகும். இங்கு இரண்டுபதங்களும்
சொற்றொடர்களாகும். (இ) பதங்களின் பிரிவுகள்
பதங்கள் பலவாறு வகையீடு செய்யப்படும். இவ்வகையீடுகள் பதங் களின் இயல்பினை எடுத்துக்காட்ட உதவுவதினால் பாடத்திட்டத்தில் உள்ள பிரதான வகையீடுகள் கீழே தரப்படுகின்றது.
ஏனைய வகையீடுகளும் ஆராயப்படும். (1) தனிப்பொருட்பதம் பொதுப்பதம்
தனிப்பொருட்பதம் பொதுப்பதம் எனும் வகையீடு ஒரு பதம் எத்தனை பொருள்களைக் குறித்து நிற்கின்றது என்ற அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்படுகின்றது. ஒரு பொருளை மட்டும் குறிப்பதற்காக எடுத்துக் கொள்ளப்படும்
பதம் தனிப் பொருட்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) இலங்கை, காந்தன், சாந்தி, இலங்கையின் முதலாவது பெண்
ஜனாதிபதி
தனிப் பொருட்பதம் இரண்டு வகைப்படும் (அ) தனி இடுகுறிப்பதம் அல்லது கருத்துக்குறியாத்தனிப் பொருட்பதம். (ஆ) தனி விவரணப்பதம் அல்லது கருத்துக்குறிக்கும் தனிப்பொருட்பதம். (அ) தனி இடுகுறிப்பதம் : ஒரு தனியனைக்குறிக்கும் அடையாளமாக
நாம் நியமித்துக் கொண்ட ஓர் அடையாளமே தனி இடுகுறிப்பதம் எனப்படும். எமது விருப்பத்தின் படி இடப்படும் அடையாளம் என்றமையினாலும் குறிப்பிடப்படும் தனியன்களைப்பற்றி எவ்வகைத் தகவல்களையும் இவை தருவது இல்லை, இதனால் தனி இடுகுறிப் பதத்தில் கருத்துக் குறிப்பு இல்லை ஆனால் அகலக்குறிப்பைக் கொண்டிருக்கும்,
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 30- ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

(உ-ம்) சீனா, குமார். சில்வா, இன்ரிக்கப், கொழும்பு, சாந்தி
தனி இடுகுறிப்பதங்களில் பல ஒன்றுக்குமேற்பட்ட தனியன்களுக்கு தரப்பட்டிருக்கின்றது என்பது உண்மையே, எனினும் இவை இடுகுறிப்பெயர்கள் பற்றிய தற்செயல் நிகழ்ச்சியேயன்றி இவற்றைக் கொண்டு பொதுப்பதமென அவற்றைத் தவறாக விளங்கிக் கொள்ளக்கூடாது, இவ்வாறுள்ள யெயர்களுமே ஒவ்வொரு சந்தர்ப் பத்திலும் ஒரே ஒரு பொருளை மாத்திரம் குறிக்கவே பயன்படுத்தப்படுகின்றது, ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட தனியன்களுக்கு ஒரு இடுகுறிப்பெயர் வழங்கும்போது அத்தனியன்கள் யாவும் பண்பால் ஒத்துள்ளபடியினால் அப்பெயைரப் பெற்றுள்ளது
என்று கொள்வதில்லை, (உ-ம்) காந்தன் - இப்பெயர் பலபேருக்கு இருந்தாலும் பொதுப்பதம்
அல்ல ஏனெனில் தனித்தனி ஒரு நபரையே சுட்டுகின்றன. சுந்தரம் எனும் பதமானது தமிழில் அழகு எனும் கருத்தைக் குறிக்கின்றது, ஆனால் நடைமுறையில் அழகற்றவருக்கும் இப்பெயர் வழக்கப்படுகின்றது, எனவே சுந்தரம் எனும் பதம் தனி இடுகுறி ப்பதமாகும், சில அளவையியலாளர்கள் இலண்டன் எனும் பதமானது அது இங்கிலாந்தின் தலை நகர், பெரிய நகரம், தேமாஸ் நதிக்கரையில் அமைந்திருக்கின்றது எனும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் எனத் தவறாகக் கருதுகின்றனர், ஒருவர் இலண்டன் எனக்கூறிய வுடன் தனது அனுபவத்தின் மூலம் அது ஒரு பெரிய நகரம் தே மாஸ் நதிக்கரையில் அமைந்துள்ளது அது இங்கிலாந்தின் தலைநகரம் என விளங்கிக் கொள்ளுகின்றாரே தவிர இலண்டன் எனும் தனிஇடுகுறிப்பதமானது இப்பண்புகளைக் கொண்டிருக்க
வில்லை, ( ஆ தனி விபரணப்பதம் : ஒரு பொதுப்பதத்தோடு சில சொற்களை
சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரே ஒரு தனியனை மட்டும் குறிப்பிடக் கூடிய வகையில் அதனை வரையறை செய்தால் எற்படுவது தனிவிவ ரணப்பதம் எனப்படும், (உ-ம்) பொதுப்பதம்
தனிவிவரணப்பதம் மீன்
இந்தக்குளத்திலுள்ள மிகப்பெரிய மீன் பிரதமமந்திரி !
இந்தியாவின் முதலாவது பிரதமமந்திரி மலை
இலங்கையின் அதிஉயரமான மலை தனியே ஒரு பொருளை மாத்திரம் சுட்டக்கூடிய வகையில் அமைந்ததன் காரணமாக இவை தனி விவரணப்பதங்கள் என அழைக்கப்படு கின்றன, தம்மில் இடம்பெறும் பொதுப்பெயருக்குரிய பண்புகளையும் தாம் குறிப்பிடும் பொருளைத் தனியன் ஒன்றாக்கும் பண்புகளையும் கருதுவதால் இவை கருத்துள்ள தனிப்பொருட் பதங்கள் என
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |31 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 18
அழைக்கப்படுகின்றது, இப்பதங்கள் கருத்தை வெளிப்படுத்து வதோடு பொருட்களை மறைமுகமாகச் சுட்டிக்காட்டுவதினால் கருத்துக்குறிப்பையும் அகலக்குறிப்பையும் ஒருங்கே கொண்டிருக்கும், பொதுப்பதம்: ஒரே இயல்புடைய எண்ணிறைந்த பொருட்களில் எதையும் குறிப்பதற்குப் பயன்படும் பதம் பொதுப்பதம் எனப்படும், உதாரணமாக மனிதன் எனும் பதமானதும் எண்ணிறைந்த மனிதர்களைக் குறிப்பதோடு ஒரு நபரையும் மனிதன் எனக்குறிப்பிடப் பயன்படும் இதுவே பொதுப்பதத்தின் சிறப்பியல்பு ஆகும், ஒரு பொதுப்பதத்தை பின்வரும் வழிகளில் கண்டுகொள்ளலாம், பொதுவாகவுள்ள ஒரு பண்பை அல்லது பல பண்புகளை உணர்த்துவது என்றமையாலும் ஒரு வகுப்பைச் சார்ந்த ஒத்த பொருள் கள் எல்லாவற்றையேனும் குறிக்கப் பட்ட ஒரு தொகையினையேனும் குறிக்கக்கூடியது பொதுப்பதமாகும், பொதுப் பதங்கள் வகுப்புக்களின் பெயர்களாதலாலும் அவ் வகுப்பிலுள்ள பொருட்களின் சிலவற்றையேனும் அனைத்தையேனும் குறிப்பதற்கு அவை பயன்படுத்தப்படலாமாயினும் ஒரு பதத்தின் முன் எல்லா. சில எனும் சொல்லை அர்த்தமுள்ள முறையில் இடலாமா என நோக்குவது அப்பதம் பொதுப்பதமாகுமா என்பதைக் கண்டுகொள்வ தற்குரிய ஓர் உத்தியாகும், பொதுப்பதங்கள் கருத்துக் குறிப்பையும்
அகலக்குறிப்பையும் ஒருங்கே கொண்டிருக்கும், (உ-ம்) மனிதன், பறவை, மீன் , புத்தகம் , மலை, ஜனாதிபதி
ஒருபதம் தற்பொழுது ஒரு பொருளை மாத்திரம் குறிக்கின்றது எனினும் அது ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட தனியன்களைக் குறிக்கக்
கூடியதாக இருந்தால் அது பொதுப்பதமாகும், (உ-ம்) இலங்கையின் ஜனாதிபதி எனும் பதம் தற்பொழுது ஒரு நபரைக்
குறிக்கின்றது ஆனால் எதர்காலத்தில் இலங்கையின் ஜனாதிபதியாக வரப்போகும் எவரையும் குறிப்பதற்கு பயன்படுவதால் அது ஒரு பொதுப்பதமாகும், ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட பொருட்களை சுட்டவல்ல பதம் சுட்டக்கூடிய பொருள் ஒன்றுமே தற்பொழுது இல்லை எனினும் அது ஓர்
பொதுப்பதம் எனப்படும், (உ-ம்) சந்திரனில் அமைந்த நகர் , செவ்வாயில் உள்ள கரிய மனிதன், (i) சமுதாயப்பதமும் வியாப்திப்பதமும்
சமுதாயப்பதம் வியாப்திப்பதம் எனும் வகையீடு பதங்களின் பிரி வுப்பயன்பாட்டைக் கொண்டு வகைப்படுத்தப்படுகின்றது ,ஒத்த அலகுகளைக் கெண்டு ஒரு முழுமையாகக் கருதப்படக்கூடிய வகையிலமைந்த தொகுதியின் பெயர் சமுதாயப் பதம் எனப்படும், படை , சேனை, தோப்பு, மந்தை என்பவை உதாரணங்களாகும்,
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 T32 ஆசிரியர் :க, கேசவன்)

சமுதாயப் பதங்களல்லாத பதங்களாற் குறிப்பிடப்படும் பொருள்களும் பல அலகுகளைக் கொண்டதாக இருக்கக்கூடும் உதாரணமாக வீடு எனும் பதம் ஆனால் சமுதாயப் பதங்களால் சுட்டப்படும் தொகுதி களைப் போல இது கருதப்படுவது இல்லை, இவ் உதாரணத்தை எடுத்துக்கொண்டால் ஒரு வீட்டின் பகுதிகளை ஒத்த அலகுகள் எனக் கொள்ளப்படுவது இல்லை, வீட்டை அத்தகைய அலகுகளின் தொகுதியென நாம் எண்ணுவதும் இல்லை, ஒரு சமுதாயப்பதத்தின் சிறப்பியல்பு யாதெனில் எண்ணிறைந்த பொருட்களைக் குறிக்கும் ஆனால் அதிலடங்குகின்ற ஒரு தனியனைக் குறிக்கப்பயன்பட மாட்டாது, (உ-மீ) மந்தை எனும் சமுதாயப் பதமானது எண்ணிறைந்த ஆடுகளைக் குறிக்கும் ஆனால் அதிலடங்குகின்ற ஒரு ஆட்டை மந்தையெனக் குறிப்பிட முடியாது, சமுதாயப்பதம் இரண்டு வகைப்படும், (அ) தனிப்பொருட் சமுதாயப்பதம் (ஆ) பொதுச் சமுதாயப் பதம், (அ) தனிப்பொருட் சமுதாயப்பதம் : ஒரே ஒரு தொகுதியினை மட்டும் சுட்டும் பதம் தனிபொருட் சமுதாயப்பதம் எனப்படும், தனிபொருட் சமுதாயப்பதம் தனிஇடுகுறிச்சமுதாயப்ப தம் தனிவிவரணச் சமுதாய ப்பதம் என இருவகைப்படும் , அல்பித் தொடர், இமயத்தொடர் எனும் பதங்கள் தாம் சுட்டும் பொருள்களின் பண்புகள் எதையும் கூறவில்லையாதலால் உண்மையான இடுகுறிப்பெயர்களேயாயினும் ஒத்ததன்மையுடைய பொருட்களைச் சுட்டுவதினால் அவை தனி இடுகுறிச் சமுதாயப்பதம் ஆகும், ஜேர்மன் கடற்படை, கிரேக்க நெடுங்கணக்கு எனும் பெயர்கள் தமக்கேயொழிய வேறெத ற்குமில்லாத ஓர் பண்பையுடையனவாய் இருப்பதால் ஒரு வகுப்பாய் அமைந்துள்ள தொகுதியைச் சுட்டும் பெயர்களாதலால் அவை தனிவிவரணசமுதாயப்பதங்களாகின்றன, (ஆ) பொதுச் சமுதாயப்பதம் : அநேக தொகுதிகளை சுட்டக்கூடிய
பதம் பொதுச் சமுதாயப்பதம் எனப்படும். (உ-மீ) படை, சமூகம், தோப்பு
பொதுவாக ஒரு வகுப்பைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுவதுடன் அவ்வகுப்பில் அடங்குகின்ற ஒவ்வொரு தனியனையும் குறிப்பதற்குப் பயன்படும் பதம் வியாப்திப் பதம் எனப்படும், பொதுப்பதங்கள் இவ்வாறான இயல்பினைக் கொண்டிருப்பதினால் பொதுப்பதம் வியாப்திப்பதமாகும், (உ-மி) மனிதன், பறவை, மிருகம்
கடைசியாக சமுதாயப்பதங்கள் பொதுப்பதங்களாகவும் இருத்தல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 33 ஆசிரியர் க. கேசவன்

Page 19
கூடும், இப்பொதுப் பெயர்கள் தாம் எவ்வகுப்பின் அங்கத்தைச் சுட்டுகின்றனவோ அவ்வகுப்பைப் பொறுத்தவரையில் பொதுப்பதங்க ளாகின்றன, ஆனால் நாம் குறிப்பிடும் தொகுதியின் அலகுகளைப்
பொறுத்தவரையில் சமுதாயப் பதங்களாகின்றன, உதாரணமாக கடற்படை எனும் சொல் தன் அங்கங்களாகிய கப்பல்களைப் பொறுத்தவரையில் சமுதாயப்பதமாகின்றது, ஆனால் கடற்படைகள் எனும் ஓர் வகுப்பின் ஓர் அங்கத்தைக் குறிக்கையில் அதுவோர் பொதுப்பதமாகின்றது, ஒரு சமுதாயப் பெயரால் சுட்டப்படும ஒரு தொகுதி அதனிலும் அதிகபரப்புடைய வேறோர் சமுதாயப் பெயரால் சுட்டப்படும் ஓர் பெரிய தொகுதியின் அலகாக இருக்க லாம், ஆகவே முதற்பதத்தைத் தவிர @J G0D6ÕI ULI யாவும் தனக்கு முந்திய பதத்தைப் பொறுத்தவரையில் சமுதாயப்பதமாகின்றது, கடைசிப் பதத்தைத் தவிர ஏனையவை யாவும் தனக்கு அடுத்த பதத்தினால் குறிக்கப்படும் தொகுதியின் அங்கமாகவும் உள்ளதோர் பதவரிசையை ஆக்க முடியும், (உ-மி) வட்டாரம், நகரம், மாகாணம் , தேசம்.
சமுதாயம் எனும் பதம் சார்பான பொருளுக்குரியதெனலாம் தனியே கருதப்படும் போது சமுதாயப் பெயரல்லாத ஒரு பொதுப் பெயரும் பன்மையிருப்பின் எல்லாம் சேர்ந்து எனும் பொருளேற்படக் கூடியமுறையில் எல்லாம் போன்றதொரு சொல்லை முன்னோடியாக சேர்ப்பதன் மூலமும் சமுதாயப்பதமாக்கப்படலாம், (உ-மீ) இப்புத்த கங்கள் எல்லாம் அநேக நிறையுடையன ஆகவே சமுதாயப் பதங்களுக்கும் பொதுப்பதங்களுக்கும் வியாப்திப்பதம் இடையே உண்மையான முரண்பாடு எதுவும் இல்லை, உண்மையான முரண்பாடு வியாப்தி முறையிலும் சமுதாய முறையலும் பதங்களைப் பயன்படுத்துவதில் தான் உள்ளது, (i)விதிப்பதமும் - மறைப்பதமும் :
ஒரு பதமானது தனக்கோர் குணம்அல்லது பண்பு உண்டு என விதித்தால் அது விதிப்பதம் எனப்படும், (உ-ம்) வெள்ளை, கறுப்பு, பலமான, முதல்
தனக்கிணையான விதிப்பதங்களினால் கூறப்படும் இயல்பு இல்லை யென மறுக்கும் பதம் மறைப்பதம் எனப்படும்,
(உ-ம்) விதி LD60) (D
வெள்ளை கறுப்பு, வெள்ளையல்லாத கறுப்பு வெள்ளை ,கறுப்பல்லாத குளிர் சூடு, குளிரல்லாத
மறைப்பதங்கள் இரண்டு வகைப்படும் (அ) எதிர்மறைப்பதம் : (ஆ) மறுதலைப்பதம்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 34 ஆசிரியர் கே, கேசவன்
 
 

(iv) (அ) எதிர்மறைப்பதம் : சோடியில் ஒன்று மற்றதன்
எதிர்மறையால் ஒன்றையொன்று விலக்குவனவாகவும் அதே நேரத்தில் இவை இரண்டும் ஒன்று சேர்ந்து உலகில் உள்ள
அனைத்தையும் தழுவி நிற்கும் பதம் எதிர் மறைப்பதம் எனப்படும், (உ-ம்) விதி
எதிர்மறை வெள்ளை
வெள்ளை அல்லாத அழகிய
அழகில்லாத மரம்
மரமல்லாத இங்கு ஒன்றைஒன்று விலக்குதல் என்பது உலகில் உள்ள எந்தப் பொருளாக இருந்தாலும் இரண்டில் ஒன்றாகவே இருத்தல் வேண்டும், அதாவது ஒரு மேசை வெள்ளையாக இருக்கவேண்டும், அல்லது வெள்ளை அல்லாததாக இருக்கவேண்டும், ஒன்று மட்டுமே மேசைக்குப் பொருந்தும் அத்துடன் நிறம் என்ற உரையாடல் முழுவதும் அடங்குகின்றது , மறைப்பதங்கள் வரம்பில் பதங்கள் எனவும் வழங்கும், ஏனெனில் வெள்ளை அல்லாதது எனும் பதம் வெள்ளையல்லாத அனைத்தையும் கறுப்பு, பச்சை,மணம், ஓசை, சிந்தனை அடக்குமாதலாலும் வெள்ளை யல்லாதன அனைத்தும் என்பதைவிட வேறு எவ்வகையிலும் அவ்வாறு அடங்கும் பொருட்களை வரையறை செய்யமுடியாத தாலும் மறைப்பதங்கள் வரம்பில் பதங்கள் என வழங்கும் மறைப் பதங்களுக்கு உள்ள இந்த வரம்பற்ற பிரயோகத்தை மட்டுப்படுத்தும் கொள்கையொன்றை பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த அளவையியலாளரான ஓகஸ்தஸ் டிமோகன் என்பவர் உரையாடல் உலகு எனும் கருத்தொன்றினை வெளியிட்டார் இரு எதிர்மறைப்பதங்கள் அர்த்தத்தோடு பிரயோகிக்கக் கூடிய பரப்பு அல்லது வீச்சு உரையாடல் உலகு எனப்படும், வெள்ளை என்ற பதமும் வெள்ளை அல்லாதது எனும் பதமும் உலகப்பொருட்கள் எல்லாவற்றையும் தழுவுகின்றது எனினும் சாதாரண பேச்சில் இத்தகைய எதிர்மறைகள் ஓர் பொதுக்கருத்தைத் தழுவி நிற்கின்றதே ஒழிய உலகு முழுவதையும் தழுவி நிற்பதில்லை எனக் கூறினார், வெள்ளை அல்லாதது எனும் பதத்திற்குள் கறுப்பு, சிவப்பு, போன்ற நிறங்களுடன் மணங்கள், ஓசைகள் ,சிந்தனைகள் என்பனவும் உள்ளடங்குகின்றது, எனவேவெள்ளை நிறமாகவுள்ள வெள்ளை அல்லாதது எனக் கூறுவதே பொருத்தமுடையது ஆகும், நிறமாக உள்ள வெள்ளை அல்லாதது எனக் கூறும்போது மணங்கள், ஓசைகள் ,சிந்தனைகள் என்பன உள்ளடங்கமாட்டாது, நிறங்களான பச்சை, கறுப்பு, மஞ்கள் என்பனவே உள்ளடங்கும், விதிப்பதங்க ளுடன் அல்லாதன, அன்று எனும் பிற்சேர்க்கைகளை சேர்ப்பதன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 T35 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 20
மூலம் எதிர்மறைச் சோடி களை ஆக்க வேண்டியதில்லை எனக் சிலர் கருதுவர், இவை உண்மையில் புறநடையானவை ஆகும், (உ-ம்)
ஆவி ஆண் - பெண்
அன்னிய - பிரித்தானிய சடத்திற்கும் ஆவிக்கும் இடையில் சக்திக்குள்ள இடம் யாதென்பது தெளிவில்லை, ஆண் பெண் எனும் சோடி உயிருள்ளனவற்றையே கூறுகின்றது எனக் கொண்டாலும் கூட பாலற்ற உயிரினமாகிய அமீபா போன்றவற்றை அடக்காது, பிரித்தானிய ஒருவரது நோக்கில் பிரித்தானிய அன்னிய எதிர்மறைபோலத் தோன்றினாலும் இலங்கையன் ஒருவனுக்கு இவை ஒன்றை ஒன்று விலக்குவன வாகவோ ஒருங்கேயனைத்தையும் அடக்குவனவாகவோ தோன்றாது, எனவே மேற்கூறியவை எதிர்மறைகள் அல்ல, எனவே விதிப்பத ங்களோடு அல்லாதன, இன்மை போன்ற பிற்சேர்க்கைகளை
சோப்பதன் மூலம் பெறப்படுவனவேசரியான எதிர்மறைப் பதங்களாகும், (ஆ) மறுதலைப் பதம் : இரு பதங்கள் அவைக்குரிய உரையாடல்
உலகில் எதிர்முனைகளில் நிற்பதாகக் கருதக் கூடியது எனின்
அது மறுதலைப்பதம் எனப்படும், (உ ம்) விதி - மறுதலை
(1) முதல் - கடைசி (2) வெள்ளை - கறுப்பு (3) குளிர் - சூடு எதிர் மறைப்பதங்களைப் போல் மறுதலைப்பதங்கள் ஒன்றை ஒன்று விலக்கும். ஆனால் ஒன்றுசேர்ந்து அகலக்குறிப்பு முழுவ தையும் தம்முள்ளே உள்ளடக்கமாட்டாது .எனவே மறுதலைகள் இர ண்டு ஒரே பொருளைப் பொறுத்த மட்டில் உண்மையாக இருக்க முடியாது .ஆனால் பொய்யாக இருக்கலாம். ஒரு மேசை வெள்ளை யாகவும் கறுப்பாகவும் இருக்க முடியாது. (உண்மையாக இருக்க முடியாது) ஆனால் இரண்டும் பொய்யாக இருக்கலாம். ஏனெனில்
இந்த இரண்டு நிறங்களும் இல்லாமல் வேறோர்நிறமாக இருக்கலாம். (v) தனிப்பதமும் - சார்புப் பதமும் :
ஒருபதத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வதற்கு அது நேரே சுட்டும் பொருளை விட பிறிதொரு பொருளையும் கருத்திற்
கொள்ள வேண்டி ஏற்படின் அப்பதம் சார்புப்பதம் எனப்படும். (உ - ம்) (1) கணவன்
மனைவி (2) காதலன்
காதலி (3) சகோதரன் (4) மாமா
மாமி
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 136 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

(5) அண்ணன் - தங்கை (6) பங்காளி பிறிதொரு பொருளைக் குறிப்பால் உணர்த்தாது தனித்து நின்று பொருள் தரும் பதம் தனிப்பதம் எனப்படும். சார்பற்ற பதங்கள்
சிலவேளைகளில் தனிப்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) புத்தகம், மீன், மனிதன்.
சார்புப் பதங்களைக் கருத்திற் கொள்வதற்குப் பயன்படும் பதம் இணைப்பதம் எனப்படும். உதாரணமாக தந்தை எனும் சார்புப் பதம் மகன் என்ற இணைப்பதம் இன்றி விளங்கிக் கொள்ள முடி யாது.ஒரு சார்புப்பதத்திற்கு அதுவே இணைப்பதமாகவும் அமை யலாம். ஒரு சார்புப்பதத்திற்கு ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட இணைப்பதம் இருக்கலாம். உதாரணமாக சகோதரன் எனும் சார்புப்பதத்திற்கு சகோதரனே இணைப்பதமாகும். சகோதரன் எனும் சார்புப் பதத் திலே A என்பவருக்கு B.C.D போன்ற பல (சகோதரர்கள்) இணைப்பதங்கள் இருக்கலாம். சில பதங்களை தோற்றப்பாட்டைக் கொண்டு சார்புப் பதங்கள் என தவறாக விளங்கிக் கொள்ளக்
கூடாது. (உ-ம்) (1) தாய் - தந்தை (2) அண்ணன் - அக்கா
(3) தம்பி - தங்கை
(4) மாமா - மாமி (vi)கருத்துக் குறிக்கும் பதங்களும் கருத்துக் குறியாப்
பதங்களும் : கருத்துக்குறிக்கும் பதம் கருத்துக் குறியாப்பதம் எனும் வகையீடு கருத்துக் குறிப்பை மட்டும் அடிப்படையாகக் கொண்டு வகைப்படு த்தப் படுகின் றது ஒரு பதமானது கருத்துக் குறிப்பைக் கொண்டிருக்குமாயின் அது கருத்துக் குறிக்கும்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) பண்புப் பதம், பொதுப்பதம், தனிவிபரணப்பதம், ஒருபதமானது கருத்துக்குறிப்பைக் கொண்டிருக்காது விட்டால்
அது கருத்துக்குறியாப்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) தனிஇடுகுறிப்பதம்.
ஜே. எஸ். மில்லும், வேறு பல சமீப கால அளவையியலாளரும் கருத்துக்குறிக்கும் பதம் கருத்துக்குறியாப்பதம் எனும் வகையீட்டை கருத்துக் குறிப்பையு ம் அகலக் குறிப்பையும் கொண்டு வகைப்படுத்துகின்றனர்
ஒரு பதமானது கருத்துக்குறிப்பையும் அகலக்குறிப்பையும் ஒருங்கே கொண்டிருக்குமாயின் அது கருத்துக்குறிக்கும் பதம்
எனப்படும். (உ-ம்) பொதுப்பதம், தனிவிபரணப்பதம்.
ஒரு பதமானது தனித்துக் கருத்துக் குறிப்பினையோ
அல்லது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர் :க, கேசவன் (1)

Page 21
தனித்து அகலக்குறிப்பினையோ
கொண்டிருந்தால் அது கருத்துக்குறியாப்பதம் எனப்படும். ஆனால் தனித்து அகலக்
குறிப்பினைக் கெண்டிருந்தால் அகலம் குறிக்கும் பதம் எனப்படும். (உ-ம்) பண்புப்பதம், தனிஇடுகுறிப்பதம். (vii) கருத்துக்குறிப்பும் அகலக்குறிப்பும் :
ஒரு பொதுப்பதத்தால் அல்லது தனிவிபரணப்பதத்தால் சுட்டப்படும் பொருள் அல்லது பொருட்களின் பண்புத் தொகுதி கருத்து க்குறிப்பு எனப்படும். அல்லது ஒரு பதத்தால் குறிக்கப்படும் பொருட்கள் அப்பதத்தாற் குறிக்கப்படுவதற்கு என்ன பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவேண்டுமோ என்ன குணங்கள் இருப்பது அப்பொரு ட்களை ஏனைய பதங்களில் இருந்து இனம் காட்டப் போதுமாகுமோ அக்குணங்கள் அப்பதத்தின் கருத்துக்குறிப்பு எனப்படும். ஒரு பதத்தின் கருத்துக்குறிப்பு அப்பதத்தின் வகுமுறை வரைவிலக்கண
த்தால் தரப்படுவது என்றாலும் பொருந்தும். (உ-ம்) மனிதன் என்பவன் சிந்திக்கும் தன்மையுள்ள பிராணி ஆவான் இங்கு மனிதன் எனும் பதத்தின் கருத்துக்குறிப்பு சிந்திக்கும் தன்மையாகும்.
ஒரு பதம் எவ்வெப்பொருட்களுக்கெல்லாம் பொருந்து கின்றதோ அவையெல்லாம் சேர்ந்தது அப்பதத்தின் அகலக்குறிப்பு எனப்படும். அல்லது கருத்துக்குறிப்பினால் உணர்த்தப்படும் பண்புகளையுடைய பொருட்களின் தொகுதியைச் சுட்டுவது அகலக் குறிப்பு எனப்படும். மனிதன் என்பவன் சிந்திக்கும் தன்மையுள்ள பிராணி ஆவான். மனிதனின் கருத்துக் குறிப்பு சிந்திக்கும் தன்மை யாகும். எனவே சிந்திக்கும் தன்மையுடைய அனைத்தும் மனிதன் ஆவான். சிந்திக்கும் தன்மையைக் கொண்டிருக்காத எதுவும் மனிதனாகாது. இதில் இருந்து பொதுப்பதங்களின் அகலக்குறிப்பு அவற்றின் கருத்துக்குறிப்பினால் நிர்ணயிக்கப்படுகின்றது. கருத்துக்குறிப்பிற்கும் அகலக்குறிப்பிற்கும் இடையிலான தொடர்பு ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு விகிதத்தில் மாறும் என்று கூறப்படு கின்றது. நூல் எனும் பதம் அளவையியல் நூல் எனும் பதத்திலும் கருத்துக்குறிப்பு குறைந்தது ஆகும். இதனால் முன்னையது பின்னையதிலும் கூடிய அகலக்குறிப்பு உடையது ஆகும். பின்வரும் பதங்களை நோக்குக - நூல், பொருளியல் நூல் இவற்றுள் ஒவ்வொன்றும் அதற்கடுத்த பதத்திலும் குறைந்த கருத்துக்குறிப்பையும் கூடிய அகலக்குறிப்பையும் உடையது. இங்கு கருத்துக்கூட அகலம் குறைவதும் கருத்துக் குறைய அகலம் கூடுவதும் அவை நேர்மாறு விகிதத்தில் மாறுகின்றது என்பது பொருந்தாது. நேர்மாறு விகித மாற்றம் எனக்கூறுவதற்கு வேண்டிய வகையில் கருத்துக் குறிப்பையும் அகலக்குறிப்பையும் அளக்கக்கூடிய பொதுவான
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
38
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

அளவு எதுவுமில்லை எனவே ஒரு பதத்தின் அகலக்குறிப்பு பற்றி அவற்றை இரட்டித்தல் பாதியாக்குதல் என்று கூறலாம். எனினும் அதன் கருத்துக்குறிப்பைப்பற்றி அவ்வாறு பேசுவது பொருத்தமற்றது ஆகும். நூல் என்பதிலும் சமூக விஞ்ஞான நூல் என்பது கூடிய கருத்துக் குறிப்பு உடையது ஆகும். ஆனால் முன்னையதைப்போல் பின்னையது இத்தனை மடங்கு அர்த்தமுடையது எனக்கூற
முடியாது. அடுத்து கருத்துக் குறிப்புக் கூடும் போதெல்லாம் அகலக் குறிப்பு குறைவதாக இருக்க மாட்டாது - மனிதன் என்பதிலும் இறக்கும் மனிதன் எனும்பதம் கருத்தில் கூடினாலும் அகலம் மாறாது இருக்கும். ஏனெனில் மனிதர்கள் எல்லோரும் இறப்பவர்கள் ஆவர். மேற்கூறியவற்றில் இருந்து கருத்துக்குறிப்பிற்கும் அகலக் குறிப்பிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு பின்வருமாறு அமையும். ஒரு பதத்தின் கருத்துக்குறிப்பை கூட்டவோ அல்லது குறைக்க வோபட்டால் அதன் அகலக்குறிப்பு மாறாது இருக்கும் அல்லது எதிர்த்திசையில் மாறும். மாற்றம் நேர்மாறு விகிதத்தில் நடைபெறும் எனும் பொருந்தாக் கூற்றையும் தவிர்க்கவும். (viii) குறைப்பதங்கள் :
ஒரு பதத்திற்கு ஓர் இயல்பு அல்லது தன்மையுண்டு என எதிர்பார்க்கும் போது அப்பதத்தில் அவ்வியல்பு அல்லது அத்தன்மை அரிதாகவோ அல்லது
முற்றும் இல்லாமலோ இருந்தால் அது குறைப்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) குருடு, செவிடு, ஊமை, அலி, நொண்டி.
ஒரு பதத்திற்கு ஓர் இயல்பு அல்லது தன்மை உண்டு என எதிர்பார்க்கும் போது அப்பதத்தில் அவ்வியல்பு அல்லது அத்தன்மை முழுமையாக இருந்தால் அது குறைப்பதம் அல்லாதது எனப்படும். (உம்) மனித இயல்பு (ix) பண்புப் பதமும் - பண்பிற் பதமும் :
பண்புப்பதம் பண்பிற்பதம் எனும் வகையீடு பதங்களைப் பிரயோ கிக்கும் முறையைக் கொண்டு வகைப்படுத்தப்படுகின்றது. ஏனெனில் ஒரு பதம் ஒரு நேரத்தில் பண்புப்பதமாகவும் இன்னுமோர் சமய த்தில் பண்பிற் பதமாகவும் அமைகின்றது. பிறிதொரு பொருளுக்கு பண்பாய் அமைந்துள்ள யாதும்
ஒன்றினது பெயர் பண்புப்பதம் எனப்படும். (உ-ம்) பண்பு - பண்பி
மனித இயல்பு – மனிதன்
குளிர் - - நீர்.. பண்பு கொள் எழுவாய் பண்பிற்பதம் எனப்படும். அல்லது பண் புப் பதங்களை ஏற்று நிற்கும் பதம் பண்பிற் பதம் எனப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 39
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 22
பண்புப்பதங்கள் பொருட்களை வருணிக்கும் முகமாக அமைந்தால்
அது பண்பிற்பதமாகும். (உ-ம்) கற்பு என்பது ஓர் பண்புப்பதமாகும். கண்ணகியின் கற்பு எனக்
கூறும் போது அது பண்பிற் பதமாகும். ஏனெனில் கற்பு கண்ணகியை
வர்ணிக்கும் முகமாக அமைகின்றது. (ஈ) பதங்களின் தர்க்கரீதியான தொடர்பு :
(1) சமச்சீருள்ள தொடர்பு :
A யில் இருந்து B இற்கு நிலவும் தொடர்பு B இற்கும் A இற்குமிடையே எப்போதும் நிலவினால் அது சமச்சீருள்ள தொடர்பு
எனப்படும்.இவை இருவழிகளாலும் நிலவக்கூடிய தொடர்பு ஆகும். (உ-ம்) (1) A சமன் B ஆகவே B சமன் A
(2) A யும் B யும் ஒரே ஊர் (3) A,B எனும் இருவரும் ஆண்கள் எனின்
செ A யின் சகோதரன் Bஆகவே B யின் சகோதரன் A A,B யின் சகோதரன் என்பதில் Bஆணாக இருந்தால் மாத்திரமே சமச்சீர் தொடர்பாகும். இவ்வாறான சந்தர்ப்பத்திலே தான் சகோ தரனாய் இருப்பது சமச்சீருடைய தொடர்பாகும். B பெண்ணாக இருந்தால் சமச்சீருடைய தொடர்பு பொருந்தாது .எனவே அது சமச் சீரற்ற தொடர்பாகும்.வேறுபட்டது, நண்பர், சமன், ஒரே ஊர்,
அண்மையில் உள்ளது எனும் சொற்கள் இத்தொடர்பிக்குரியவை ஆகும். (ii) சமச்சீரற்ற தொடர்பு : A யிற்கும் B யிற்கும் இடையே
நிலவும் தொடர்பு சில வேளைகளில் அல்லது ஒரு போதும் B யிற்கும் A யிற்கும் இடையே காணப்படாது இருந்தால் அது சமச்சீரற்ற தொடர்பு எனப்படும். அதாவது ஒரு வழிகளிலே நிகழக்கூடிய தொடர்புகள் மாத்திரமே சமச்சீரற்ற தொடர்புகளாகும். (உ-ம்) A யின் தந்தை B ஆகவே B யின் தந்தை A எனக் கொள்ள
முடியாது. ஏனெனில் A மகனாகவே அல்லது மகளாகவோ இருக்க வேண்டும்.
தந்தை, கணவன், கூடியது, மகன், ஒருவயது கூடியவன் எனும்
சொற்கள் இத்தொடர்பிற்குரியவை (iii) கடந்தேகு தொடர்பு : (இடைமாறும் தொடர்பு)
A யிற்கும் B யிற்கும் இடையேயும் B யிற்கும் C யிற்கும் இடையேயும் நிலவும் தொடர்பு A யிற்கும் C யிற்கும் இடையே எப்போதும்
நிலவக் காணப்பட்டால் அது கடந்தேகு தொடர்பு எனப்படும். (உ-ம்) (1) A, B யை விட பெரியவன் B , C யை விடப் பெரியவன்
ஆகவே A , C யி விடப் பெரியவன் சமன், ஒரே ஊர், மூதாதை, பெரியது எனும் சொற்கள் இத்தொடர்பிற்குரியவையாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 140 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

(iv) கடந்தேகா தொடர்பு : (இடைமாறாத் தொடர்பு)
A, B என்பவற்றிற்கும் B , C என்பவற்றிற்கும் இடையே நிலவும் தொடர்பு Aக்கும் Cக்கும் இடையே சில வேளைகளில் இருந்தாலோ, ஒரு போதும் காணப்படாது இருந்தால் அத்தொடர்பு கடந்தேகா
தொடர்பு எனப்படும். (உ-ம்) A யின் தந்தை B B யின் தந்தை C
ஆகவே Aயின் தந்தையாக இருக்க முடியாது அண்மையில் உள்ளது, தந்தை, மகன், ஒருவயது கூடிய எனும் சொற்கள் இத்தொடர்புக்கு உரியவை ஆகும். இவ்விரு வகையீடுகளையும் இணைத்து இன்னும் நான்கு வகையான
தொடர்புகளைப் பெறலாம். (1) சமச்சீருள்ள கடந்தேகு தொடர்பு :
Aயிற்கும் B யிற்கும் இடையேயும் B யிற்கும் Cயிற்கும் இடையேயும் நிலவும் தொடர்பு A யிற்கும் C யிற்கும் இடையே எப்போதும் நிலவக் காணப்படுவதோடு அவை ஒவ்வொன்றும் இரு வழிகளா லும் நிலவக்கூடிய தொடர்புகளாக காணப்படின் அது சமச்சீருள்ள
கடந்தேகு தொடர்பு எனப்படும். (உ-ம்) A சமன் B B சமன் C, ஆகவே A சமன் C
சமன், ஒரே ஊர், சகோதரர் இத் தொடர்பிற்குரிய சொற்களாகும். (ii) சமச் சீருள்ள கடந்தேகா தொடர்பு :
A யிற்கும் B யிற்கும் இடையேயும் Bயிற்கும் Cயிற்கும் இடையேயும் நிலவும் தொடர்பு சிலவேளைகளிலாவது அல்லது ஒருபோதுமாவது Aயிற்கும் Cயிற்கும் இடையே நிலவாது இருப்பதோடு அவை இரு வழிகளாலும். நிகழக்கூடிய தொடர்பாக காணப்படின் அது
சமச்சீருள்ள கடந்தேகா தொடர்பு எனப்படும். (உ-ம்)
A, B, C எனும் மூவரும் ஆண்கள் எனின் A யின் நண்பன் B, B யின் நண்பன் C ஆகவே A யின் நண்பனாக C சிலவேளைகளில் இருக்கலாம்
அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். பங்காளி, நண்பர், அண்மையில் உள்ளது எனும் சொற்கள் இத்
தொடர்பிற்குரிய சொற்களாகும். (iii) சமச்சீரற்ற கடந்தேகு தொடர்பு:
Aயிற்கும் B யிற்கும் இடையேயும் Bயிற்கும் Cயிற்கும் இடையேயும் நிலவும் - தொடர்பு Aயிற் கும் C யிற் கும் இடையே நிலவக்காணப்படுவதோடு அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு வழியால் மாத்திரம் நிகழக்கூடிய தொடர்பாக
க காணப்படின் அது சமச்சீரற்ற கடந்தேகு தொடர்பு எனப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 23
(D -LD) A, B, யை விட உயரமுடையவன் B, C யை விட உயரமுடையவன்
ஆகவே A, C யை விட உயரமுடையவன் மூதாதை, தம்பி, பெரியது எனும் சொற்கள் இத்தொடர்பிற்குரியவை ஆகும்.
(iv) சமச்சீரற்ற கடந்தேகா தொடர்பு :
A யிற்கும் Bயிற்கும் இடையேயும் B யிற்கும் Cயிற்கும் இடையேயும் நிலவும் தொடர்பு சில வேளைகளிலாவது அல்லது ஒரு போதுமாவது A யிற்கும் C யிற்கும் இடையே நிலவாது இருப்பதோடு அவை
ஒவ்வொன்றும் ஒரு வழிகளால் மாத்திரம் நிகழக்கூடிய தொடர்பாக
காணப்படின் அது சமச்சீரற்ற கடந்தேகாத் தொடர்பு எனப்படும். (D-LD) A யின் தந்தை B B யின் தந்தை C
ஆகவேA யின் தந்தையாகச் C இருக்கமுடியாது. தந்தை, மகன், ஒரு வயது கூடியவன் எனும் சொற்கள் இத்
தொடர்பிற்குரியவை ஆகும். குறிக்கப்பட்ட ஓர் பதம் கொண்டிருக்கும் பதங்களின் எண்ணிக் கையை கொண்டும் தொடர்புகளை அட்டவணைப்படுத்தலாம். (1) ஒன்று - பல :
ஒரு பதத்திற்கும் பிறபதங்கள் பலவற்றிற்கும் உள்ள தொடர்பு ஒன்று பல எனப்படும். A,B யின் தந்தையானால் Bதவிர்ந்த வேறு சிலரோடும் A இவ்வாறு தொடர்பு பட்டிருந்தல் சாத்தியமே. இங்கு தந்தை ஒன்று மகன் பலவாகும்.
(2) ஒன்று - ஒன்று:
ஒரு பதத்திற்கும் மற்ற ஒரு பதத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு ஒன்று ஒன்று எனப்படும். A யும் B யும் இரட்டையர் எனின் Bதவிர்ந்த வேறு எவரோடும் A அவ்வகைத் தொடர்புடயவராக இருக்க முடியாது. அதே போல் A யைத் தவிர்ந்த வேறு எவரோடு B அத்தகைய தொடர்புடையவராக இருக்க முடியாது. இங்கு இரட்டையர் ஒன்று ஒன்று ஆகும்.
(3) பல - ஒன்று
பல பதத்திற்கும் ஒரு பதத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு பல ஒன்று ஆகும். A, B யின் வேலையாள் ஆயின் A தவிர்ந்த வேறு சிலரும் B யோடு அதே தொடர்பை பூண்டிருக்கலாம். இங்கு வேலை கொடுப்பவர் ஒன்று வேலையாட்கள் பல ஆகும்.
(4) பல - பல :
பல பதத்திற்கும் பல பதத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு பல -பல ஆகும். A, B யைக் காதலித்தால், B தவிர்ந்த வேறு சிலரோடு A அதே தொடர்பு பூண்டிருக்கலாம் என்பதோடு Bயும் A தவிர்ந்த வேறு சிலரோடு அவ்வகைத் தொடர்பு பூண்டிருக்கலாம்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 42 ஆசிரியர் :க, கேசவன்
།
 

- அத்தியாயம் - 03 சிந்தனை விதிகள்
சிந்தனைவிதிகள் எனும் பதமானது பொதுவான பொருள், குறுகிய பொருள் எனும் இரண்டு கருத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. வாய்ப்பான சிந்தனைக்கு வேண்டிய பொது இலக்கணங்க்கள் யாவற்றையும் சிந்தனை விதிகள் குறிப்பிடும் போது ஓர் பொதுவான பொருள் ஆகும். இது அளவையியலில் வாய்ப்பான சிந்தனையை பெறுவதற்கு பயன்படும் விதிகளையும் குறிக்கும். ஆனால் சிந்தனை விதிகளை ஓர் குறுகிய பொருளிலே பயன்படுத்தும் போது பகுத்தறிதலின் அடிப்படையில் உள்ள சில இன்றியமையாத தத்துவங்களே சிந்தனை விதிகள் எனப்படும். இவை வலிதான சிந்தனைக்கும், உய்த்தறிவு முறைக்கும், தர்க்க ரீதியான சிந்தனைக்கும் சிந்தனை விதிகள் அவசியம். மெய் உலகு பற்றிய நேர்வுகள் சம்பந்தமாக பகுத்தறிதல்கள் அனைத்திற்கும் இவ் எண்ண விதிகள் அடிப்படையாக இருக்கின்றமையால் இவை அடிப்படையான தாகவும் இன்றியமையாததாகவும் அமைகின்றது. இதனால் இதற்கு எதிராக மாறியதோர் நிலையை நாம் கற்பனை செய்வதோ அல்லது இவற்றை உணர்ந்து கொண்டோ அவற்றை மீறுவதோ இயலாததாகும்.அனேகமான மனிதர்கள் பொதுவாக தவறாகவே பகுத்தறிகின்றனர் என்பது உண்மையாகும். இதற்கு பின்வருவன
காரணமாக அமைகின்றன. (1) சொற்களின் பொருளை சரியாக விளங்கிக் கொள்ளாமல் விடுதல் (2) பதங்களை குழப்பமாக உபயோகித்தல் (3) மொழியில் உள்ள ஈரடி இயல்புள்ள தெளிவற்ற பதங்கள் (4) வாதங்கள் நீண்டதாகவும் , சிக்கல் உடையதாகவும் தம்மையறியாமலே பதங்களினது பொருள் பெரும்பாலும் திரிந்து போகின்றது
அல்லது முற்றாக மாற்றம் அடைகின்றது. மேற்கூறிய தவறுகளினால் ஒன்றோடு ஒன்று தொடர்பில்லாத தீர்மானங்களும் ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகின்றன. இவையாவும் வாதங்கள் வாய்ப்பற்று அமைவதற்கு ஏதுவாகின்றது. ஆனால் எந்த வாதத்திலும் வாதிப்பவர் விழிப்புணர்வோடு இருந்தால் எண்ண விதிகளை மீறுவது இல்லை எனலாம். சிந்தனையில் எப்போதும் செயல்ப்படும் எண்ணவிதிகள் விஞ்ஞா னத்தின் ஆதார விதிகளில் ஒன்றான இயற்கை ஓர் சீர்மை விதியைப் போன்றது ஆகும். எனினும் இவை ஒரு சீர்மை விதியில் இருந்து இரண்டு தன்மைகளில் வேறுபடுகின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 24
(2)
(1) சிந்தனை விதிகள் அனுபவத்தால் பெறப்பட்டவை அல்ல. இதனால்
அறிவு வளர்ச்சி காரணமாக மாற்றமடைய மாட்டாது. ஒரு சீர்மை விதி அனுபவ வாயிலாக நிறுவப்பட்டவை அல்ல - ஆயினும் சிந்தனையாளனால் வேண்டப்படுகின்றன. சிந்தனை விதிகள் வெளிப்படையானவை ஆகும். வெளிப்படை யானவை என்கின்ற முறையில் அவை உண்மைகள் என வரை விலக்கணம் செய்யப்பட்ட ஒப்பு கோள்களில் இருந்து மாறுபட்டவை ஆகும். ஆனால் ஒரு சீர்மையில் தேவை குறிப்பிடப்படுகின்ற படியினால் ஒப்புகோள்கள் வெளிப்படையானவை அல்ல என்பது பெறப்படுகின்றது. எண்ணவிதிகள் உண்மையில் வெளிப்படையான பொதுப் பண்புகள் யாவரும் ஒப்புக் கொள்ளும் உண்மைகள் எனும் கருத்து எண்ணம் எவ்வாறு அமைய வேண்டும் எனக் கூறும் விதிகளே எண்ண விதிகள் என சில அளவையியலாளர்கள் | முரணான கருத்க்ை கொண்டுள்ளனர். உண்மையில் எண்ண விதிகள் எண்ணம் எவ்வாறு அமைய வேண்டும் என்பதை இயம்பும் இலக்கண விதிகள் அல்ல. உள்ளபடியே அதற்குரிய சில பண்புகளை குறிப்பிடுபவையே எண்ண விதிகள் ஆகும். அரிஸ்ரோட்டல் காலத்தில் இருந்து ஒருமைத் தத்துவம், எதிர்மறைத் தத்துவம் எனும் மூன்று தத்துவங்கள் உண்டு . லைபினிற் என்பவர் போதிய நியாயத்தத்துவம் என்பதையும் எடுத்துக் காட்டி
னார் இவ்விதி அனுபவத்தோடு தொடர்புடையது ஆகும். (01) ஒரு மைத் தத்துவம் :
ஒரு பொருள் எத்தகைய மாற்றம் அடைந்திருந்த போதும் அது தன் அடிப்படைப் பண்பிலிருந்து மாற்றம் பெறாத வரை அப்பொருள் அதுவாகவே கருதப்படும் என்பதே ஒருமைத் தத்துவம் எனப்படும். மாற்றங்களுக்கிடையே ஓர் வேறுபாடு உண்டு என்பதை இத்தத்துவம் மறுக்கவில்லை. இந்த வேறுபாடுகளு க்கிடையே ஓர் ஒருமைத் தன்மை உண்டு என்பதையே இத்தத்து வம் வலியுறுத்தகின்றது. (உ-ம்) (1) மனிதன்,குழந்தை, இளமை, முதிர்ச்சி, போன்ற மாற்றங்களை அடைகின்றான். இந்த மாற்றங்களுக்கிடையே ஓர் வேறுபாடு உண்டு. இந்த வேறுபாட்டிற்கிடையே மனிதன் எனும் | ஒருமைத் தன்மை உண்டு என்பதை வலியுறுத்துகின்றது.
இத்தத்துவத்தின் சூத்திரம் A,A ஆகும் என்பதே ஆகும். ஒருமை எனும் கருத்து பன்மை எனும் கருத்தை உட்கிடையாகக் கொண்டுள்ளது.A, B ஆக மாறினாலும் அது A ஆக இல்லாமல் இல்லை என்பதே ஆகும். தங்கம் எனும் A காப்பு ,சங்கிலி,
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 44
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

போன்ற B ஆக மாறினாலும் ( Aஆக ) தங்கமாக இல்லாமலில்லை. ஒரே பொருள் வெவ்வேறு சந்தர்ப்பங்களில் தனது தன்மையை மாறாதிருக்கலாம் என்பது இவ்வெடுப்பின் பொருளாகின்றது. ஒரு சொல் ஒரே பொரு ளை உடையதாக இருக்க வேண்டும் என்பதே அளவையியலின் இலட்சியமாகும். இவ்விலட்சியத்தை ஒருமைத்தத்துவம் நிறைவேற்றுகின்றது. ஒருமை விதியானது பெயர்களினதும், பதங்களினதும் பொருள் பற்றியதாகும் ஒரு வாதத்தில் உபயோகிக்கப்படும் ஒரு சொல் அவ்வாதத்தின் இறுதி வரை ஒரே பொருளை உடையதாய் இருத்தல் வேண்டும். இதை
ஒருமைத்தத்துவம் நிறைவேற்றுகின்றது. (02) எதிர்மறைத் தத்துவம்:
ஒரு பொருள் ஒரே" சந்தர்ப்பத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பை உடையதாகவும் அற்றனவாகவும் இருத்தல் முடியாது என்பதே எதிர் மறைத் தத்துவம் எனப்படும். எண்ணமும் இசைவுடையதாக இருக்க வேண்டும் என்பதால் நமது கற்பனையிலும் ஒரு பொருள் பண்பையுடையனவாகவும் அதே நேரத்தில் அப்பண்பை அற்றனவாக
வும் இருக்க முடியாது. (உ - ம்) அரிஸ்ரோட்டல் ஒரே சமயத்தில் தத்துவ ஞானியாகவும் தத்துவஞானிஅல்லாதவராகவும் இருக்க முடியாது. அதாவது ஒரே பயனிலை ஒரே சமயத்தில் ஒரே பொரு ளில் ஒரே எழுவாயுடன் சேர்ந்ததாகவும் சேராததாகவும் இருக்க முடியாது. என்பதையே இத்தத்துவம் கூறுகின்றது. எதிர் மறை எடுப்புக்கள் என்பவை ஒரே நேரத்தில் உள்ள ஒரே பொருளை குறிப்பனவாய் இருத்தல் வேண்டும். இத்தத்துவத்தின் சூத்திரமானது A, B ஆகவும் B அல்லாதது ஆகவும் ஒரே நேரத்தில் இருத்தல் முடியாது என்பதே ஆகும். பின்வரும் விடயங்கள் எதிர்மறைத் தத்துவத்திற்குள் உள்ளடங்க மாட்டாது. (1) வேறுபட்ட எழுவாய்க்கு எதிர்மறைப் பண்புகள் பொருந்தும்.
(உ- ம்) காந்தன் ஏழை, குமரன் ஏழை அல்லாதவன். இது
சரியானது ஏனெனில் இவற்றில் எழுவாய் வெவ்வேறு. ஆகும். (2) அருஸ் ரோட்டல் தத்துவஞானி அருஸ் ரோட்டல் தத்துவஞானி
அல்ல. இது சரியானது. ஏனெனில் அரிஸ்ரோட்டல் குழந்தையில் தத்துவஞானி அல்லாதவராகவும் முதிர்ச்சியடைந்த பின்னர் தத்துவஞானியாகவும் இருக்கலாம்.
அருஸ் ரோட் டல் தத்துவஞானியாகவும் தத்துவஞானி அல்லாதவராகவும் ஒரே நேரத்தில் இருக்க முடியாது. ஆனால் அரிஸ்ரோட்டல் உயரமானவராகவும் உயரமற்றவராகவும் ஒரே நேரத்தில் இருக்கலாம். அவரை உயரமானவருடன் ஒப்பிடும்
வேகம் விட "பதே.
(3)
I அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 145 |-- ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 25
போது அருஸ்ரோட்டல் கட்டையானவர். அவரை கட்டையானவருடன் ஒப்பிடும் போது அருஸ்ரோட்டல் உயரமுடையவர் ஆகிறார். இது சரியாகும் ஏனெனில் உயரமென்பது ஒரே பொருளில்
கூறப்படவில்லை. (4) அருஸ்ரோட்டல் தத்துவஞானியும் இறப்பவனும் ஆவான். இது
சரியானது ஆகும். ஏனெனில் தத்துவஞானியும் இறப்பவனும் முரண்கள் அல்ல. இவை ஒரே எழுவாய்க்கு சேர்ந்து இருக்கும். எதிர்மறைத் தத்துவம் ஒரே தீர்ப்பின் முரண்களின் சேர்க்கையைத் தருகிறதே தவிர வேறுபாடுகளை அல்ல. இரும்பு ஒரு உலோகம் என்றால் அந்தத் தீர்ப்பானது அதே சமயத்தில் இரும்பு உலோகம் அல்லாததது அல்ல எனும் கருத்தையும் உள்ளடக்குகின்றது. இதில் இருந்து தீர்ப்புக்கள் நிலையானவை, உறுதியானவை ஆகும். அவை திடீர் என்று நிலைமாறுபவை அல்ல என்ற உண்மை வெளிப்படுகின்றது. ஒருமைத் தத்துவம் உடன்பாட்டில் கூறியதை எதிர்மறைத் தத்துவம் எதிர் மறையில் கூறுகின்றது. விதியு ரை எடுப்புக்களில் இருந்து பெறப்படும் உடன் அனுமானங்கள் யாவும் எதிர்மறை விதியினதும்
ஒருமை விதியினதும் அடிப்படையிலேயே அமைந்துள்ளது. (03) விலக்கிய நடுத்தத்துவம் : இந்தவிதி ஏற்கனவே கூறப்
பட்ட விதிகளின் கிளைவிதியாகும். முரண்களுக்கிடையில் இடை இனம் இருக்கமுடியாது என்பதே இவ்விதியின் கருத்து ஆகும். ஒரு எழுவாய்க்கு கூறப்படுகின்ற எதிர் மறைப் பயனிலைகளில் ஏதாவது ஒன்று உடன்பட்டால் மற்றது விலக்கப்படும் என்பது விலக்கிய நடுத்தத்துவம் எனப்படும். (உ-ம்) இந்தமேசை ஒன்றில் வெள்ளை அல்லது வெள்ளை அல்லாதது ஆகும். இந்த இரண்டில் ஒன்று நிச்சயம் உண்மை. இந்த முரண்பாடுகளுக்கடையில் இடையினம் எதுவும் இல்லை. இதன் பதில் ஆம் அல்லது இல்லை என்பதை வெளியிடுகின்றது.
இத்தத்துவத்தின் சூத்திரமானது A ஒன்றில் B அல்லது B அல்லாதது ஆகும். இந்த அமைப்பை கவனத்துடன் பிரயோகிக்க வேண்டும். எடுப்பு ஒரு வாத மண்டலத்தை சேர்ந்ததாக இருந்தால் அந்த வாதமண்டலத்தில் இரண்டே மாற்றுக்கள் மட்டும் இருப்பதாய் இருந்தால் அவற்றின் ஒன்றின் மறுப்பு மற்றொன்றின் உடன் பாட்டைக் காட்டும். ஆவிகள் ஒன்றில் வெள்ளையானது அல்லது வெள்ளை அல்லாதது ஆகும் என்று எவ்வாறு கூறமுடியும். முதலில் அவை நிறம் என்ற வாதமண்டலத்தைச் சேர்ந்தவை தானா என்பது நமக்குத் தெரியாது . எனவே இதில் A ஒன்றில் B அல்லது Bஅல்லாதது என்று கூறமுடியாது. ஆனால் காப்பாளன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 146 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

காட்டுவது சிவப்புக் கொடியாக இருந்தால் அவன் பச்சைக் கொடியைக் காட்டவில்லை என்று உறுதியாகக் கூறலாம். ஏனெனில் இந்த வாத மண்டலத்தில் இந்த இரண்டு நிறங்கள் மட்டுமே அடையாளத்தைத் தெரிவிப்பதற்கு பயன்படுகின்றன. இவ்வாறு உண்மைப் பொருளானது ஒன்றிற் கொன்று எதிர்த் தொடர்பால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட பகுதிகள் சேர்ந்த ஒருங்கமைப்பாகும் என்பதை இவ்விதி விளக்குகின்றது. அவ்வாறிருந்தால் தான் இவற்றில் ஒன்றின் உடன்பாடு மற்றொன்றில் மறுப்பைத் தெரிவிக்கும். சில வகையான உடன் அனுமானம் ஊடாக அனுமானம் என்பவற்றிற்கு ஏனைய எண்ண விதிகளோடு நடுப்பத விலக்கல் விதியும் சேர்ந்தே அடிப்படையாகின்றது. எதிர்மறைத் தத்துவம் போலவே இவ்விதியும் ஒரு குறிக்கப்பட்ட சந்தர்ப்பத்திற்கே பொருந்துவது ஆகும். ஆகவே எதிர்மறையான பண்புகள் ஓர் எழுவாயில் இருக்கலாம் என எண்ணக் கூடாது என்பது எமக்கு எதிர்மறைத்தத்துவத்தால் உணர்த்தப்பட்டது விலக்கிய நடுப்பதவிதியின் மூலம் எதிர் மறையான பண்புகள் இரண்டுமே ஒரு பொருளில் இல்லாதிருக்கலாம் என்று எண்ணுவது தவறென்பது எமக்கு உணர்த்தப்படுகின்றது. ஆனால் அவ்எதிர் மறைப் பண்புகளில் எது இருக்கலாம் எது இல்லாது இருக்கலாம் என்பதை அறிதற்கு இவ்விதியின் மூலம் எமக்கு எவ்வித உதவியும்
அளிக்கப்படவில்லை. (ஈ) போதிய நியாயத் தத்துவம்:
போதிய நியாயத் தத்துவத்தை முதலில் உருவாக்கியவர் லைபினிற்' என்பவர் ஆவர். இருப்பது எதுவும் அல்லது உண்மையான எடுப்பு எதுவும் வேறு எவ்வகையிலும் இராது தான் உள்ளவாறு இருப்பதற்குரிய போதிய நியாயம் உடையதாய் இருத்தல் வேண்டும் என்பதே போதிய நியாயத் தத்துவம் எனப்படும். இத்தத்துவத்தின் சூத்திரம் P எல்லாச் சந்தர்ப்பங்களிலும் P ஆக இருக்க வேண்டும் என்கின்றது.
ஆனால் இவ்வுருவ முறை போதிய தெளிவுடையது அல்ல. ஏனெனில் இது ஓர் எடுப்பின் உண்மைக்கு ஆதாரமாகவுள்ள அளவையியல் நியாயங்களையோ அல்லது சில நிகழ்ச்சிகளுக்கு காரணமாகவுள்ள உலகக் காரணிகளையோ குறிப்பிடலாம். ஒரு பொருள் குறிக்கப்பட்ட சில இயல்புகளை கொண்டிருப்பதற்கு காரணம் இருக்கின்றது. உண்மைப் பொருள் ஒன்றுடன் ஒன்று தொடர்புகொண்ட பகுதிகளைக் கொண்ட ஒழுங்கமைப்பாகும். இத் தொடர்பை வெளியிடுகின்ற வழிகளில் ஒன்றே காரண காரிய நியதியாகும். இது ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியும் காரணமுடையது காரண
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 147
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 26
மின்றிக் காரியமில்லை எனக்கூறுகின்றது.
இவ்விதியின் மற்றுமொரு விளக்கம் உண்மை என்று சொல்ல ப்படுகின்ற ஒவ்வோர் எடுப்பும் அவ்வாறு இருப்பதற்கு போதிய ஆதாரத்தைக் கொண்டுள்ளது என விதி கூறுகின்றது. அதாவது தீர்ப்புக்கள் எடு கூற்றுக்கான வித ஆதாரமாக கொண்டுள்ளது. எடுகூற்று இல்லை எனின் தீர்ப்புக் கூற முடியாது. அரிஸ்ரோட்டல் இறப்பவன் எனும் தீர்ப்பு போதிய ஆதாரம் இல்லாமல் கூறப்பட்டது அன்று. அது மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் அரிஸ்ரோட்டல் ஓரு மனிதன் என்ற மேற்கோளின் அடிப்படையில் கூறப்பட்டது. இவ்வாறே உண்மையான ஒவ்வொரு தீர்ப்பும் தனக்கு ஆதாரமான மேற்கோளை தன்னகத்தே அடக்கியுள்ளது. அரிஸ்ரோட்டலின் மூன்று விதிகளிலும் உள்ள நியமப்பண்பை இது இழந்து விடுகின்றது. இதனால் இவ்மூன்று விதிகளுக்கும் இணையானதோர் விதியாக இதைக் கருத முடியாது. ) இந்தச் சிந்தனை விதிகள் அனைத்தும் மெய்ப் பொருளை அறிய முயலுகின்ற சிந்தனையின் கோரிக்கைகள் ஆகும். மெய்ப் பொருள் ஒழுங்குள்ள அறியப்படக்கூடிய அமைப்பு ஆகும் என்பதையே இவ்விதிகள் அனைத்தும் வலியுறுத்துகின்றன. வேறுபாடு களுக்கிடையிலும் ஒரு பொருள் தன்னுடன் ஒருமைப்பாடுடைய தாகவே இருக்கின்றது என ஒருமைத் தத்துவம் கூறுகின்றது. இதே உண்மையை எதிர்மறை விதி எதிர் மறையில் கூறுகின்றது. அதாவது ஒரே பொருள் தானாகவும் வேறாகவும் ஒரே சமயத்தில் ஒரே கருத்தில் இருக்க முடியாது என்ற உண்மையை உணர்த்து கின்றது. இவ்விதிகள் இரண்டும் சேர்ந்து மெய்ப்பொருளின் ஒரே சீரான முரணற்ற தன்மையை வெளியிடுகின்றன. நடுவின்மை விதியானது மெய்ப் பொருள் ஒன்றுக்கொன்று உள்தொடர்புப் பகுதிகளை கொண்ட ஒழுங்கமைப்பு என்பதைக் காட்டுகின்றது. அத்தொடர்புகள் அவ்வாறு அமையப் போதிய காரணம் இருக்கின்றது என்பதையும் பகுதிகள் அனைத்தும் முழுப்பொருளை ஆதாரமாக காட்டுகின்றது. எனவே இவை தனித்தனி விதிகள் அல்ல. இவை
அனைத்தும் ஒரே உண்மையை பலவழிகளில் விளக்குகின்றன. (உ) இரட்டை மறுப்பு விதி: மூல் எடுப்பை இரட்டை மறுப்பாக
பெறலாம் என்பதோடு மறுப்பான வாக்கியம் ஒன்று தரப்படின் இதை மூலவாக்கியமாக பெறலாம் என்பது இரட்டை மறுப்பு விதி எனப்படும். இதன் சூத்திரம் P எனின் ~~P ஆகும் என்பதோடு ~ ~ Pஎனின் P ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I I 48
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

| அத்தியாயம் - 04 எடுப்புக்கள் (அ) எடுப்பு:
உண்மையா அல்லது பொய்யா எனக்கூறக்கூடிய ஓர் அர்த்தமுள்ள கூற்று அல்லது வசனம் எடுப்பு எனப்படும். எடுப்புக்கள் நேர்வு களோடு பொருந்தினால் அவ்வெடுப்பு உண்மையாகும். எடுப்புக்கள் நேர்வுகளோடு பொருந்தவில்லை எனின் அவ்வெடுப்பு பொய்யாகும். நேர்வு வெறுமனே இருக்கின்றதே ஒழிய அதைப்பற்றி உண்மையான தெனலும் பொய்யானதெனலும் பொருந்தாது. எடுப்புக்கள் ஓர் செய்தியை வெளியிடும் வாக்கியங்கள் ஆகும். இச் செய்திகளை நேர்வோடு ஒப்பிட்டு உண்மையா அல்லது பொய்யா எனக்
கூறுகின்றோம். (உ-ம்) (1) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் இவ்வெடுப்பு
- நேர்வோடு பொருந்துவதால் அது உண்மையாகும்.
கிளிகள் அனைத்தும் வெள்ளை நிறமாகும். இவ்வெடுப்பு
நேர்வோடு பொருந்தாத படியினால் பொய்யாகும். (3) நாளை மழை பெய்யும் இது எதிர்வு கூறல் எடுப்பு நாளைக்கு மழை பெய்தால் இவ்வெடுப்பு உண்மையாகும். நாளைக்கு மழை பெய்யாது விட்டால் இவ்வெடுப்பு பொய்யாகும்.ஆயினும் அளவையியல் எடுப்புக்கள் உண்மை, பொய் பற்றிய ஆராய்ச்சியில் நேரடியாக ஈடுபடுவதில்லை உண்மையெனவோ பொய்யெனவோ எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டுள்ள பிற எடுப்புக்களின் உட்கிடையாகப் பெறப்படும் உண்மை பொய் பற்றியே அது ஆராயும். அதனால் காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும் எனும் எடுப்பின் உண்மை, பொய் ஆராய்ச்சி அளவையியல் ஆராய்ச்சிக்கு அப்பாற் பட்டதாகும். இவ்வெடுப்பை உண்மை எனவோ பொய்யெனவோ கொள்வதால் பெறப்படும் எடுப்புக்களின் உண்மை பொய் பற்றிய
ஆராய்ச்சியே அளவையியலுக்குரியதாகும். (உ - ம்)
காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். எனும்எடுப்பு உண்மை எனின் சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் அல்ல எனும் எடுப்பு பொய்யாகும். இவ்வெடுப்புப் பொய் எனின்
சிலகாகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும் எனுமஎடுப்பு உண்மையாகும். எனவே எடுப்புக்கள் உண்மையானவை அல்லது பொய்யானவை என வரைவிலக்கணம் தரப்படினும் அளவையியல் அவற்றின் உண்மை பொய்யோடு நேரடியாகத் தொடர்பு பட்டதல்ல ஆனால் எடுப்புக்களின் வேறுபட்ட வகைகளை அளவையியல் ஆராயும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 27
வாதங்களின் வாய்ப்பைப் பற்றியதே loans ஆகும். வாதங்களின் மூலகங்கள் எடுப்புக்கள் ஆகும். எடுப்பே அளவை யியலின் அடிப்படை அலகு ஆகும். எடுப்புக்களின் உறுப்புக்கள பதங்கள் ஆகும்.பதங்கள் எடுப்புக்களின் உறுப்புக்களாக பிரித்து விளங்கலாம் எனினும் பதங்களைச் சேர்த்து எடுப்புக்கள் ஆக்கப்படு கின்றது என நினைப்பது தவறு ஆகும். சொற்கள் வாக்கியங் களிலும் பார்க்க எளிமையானவை எனினும் பயன்படுத்துவதன் மூலமே சொற்களைப் பற்றி நாம் கற்றுக் கொள்கின்றோம். வாக்கியங்கள் தோன்றும் விதத்திலேயே சொற்களின் பொருள் தங்கியிருக்கின்றது எனவும் வாக்கியங்களின் பொருள் மொழியில் தங்கியிருக்கின்றது எனவும் மொழியின் பொருள் மனித நடவடிக்கைகளில் தங்கியிருக்கின்றது எனவும் கூறப்படுகின்றது. எடுப்புக்களே உண்மையான அளவையியல் அலகு என்பதையும் எடுப்புக்களில் கையாளப்படும் விதத்தைக் கொண்டே அவற்றின் முக்கியத்துவத்தைத் தெளிவாக விளங்கிக் கொள்ளலாம். ஒரு எடுப்பு ஒன்றிலே எழுவாய்ப்பதம், பயனிலைப்பதம், எனும் இரண்டு பதங்கள் மட்டுமே காணப்படும். ஆனால் எழுவாய், பயனில்ை, இணைக்கும் சொல்,அளவீடு எனும் நான்கு பகுதிகள்
காணப்படும். (gD - D) கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம்ஆகும்.
எழுவாய் - கிளிகள், பயனிலை - பச்சை நிறம் அளவு - அனைத்தும், இணைக்கும் சொல் - ஆகும்.
(ஆ) எடுப்புக்களின் பண்புகள்
எடுப்புக்கள் எல்லாம்வசனங்கள்ஆகும்.ஆனால் வசனங்கள் எல்லாம் எடுப்புக்கள் அல்ல. ஏனெனில் ஒரு வசனம் எடுப்பாக அமைய வேண்டுமாயின் அவை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும்.
(01) திட்டவட்டமான தன்மை இருத்தல் வேண்டும்.
ஒரு வாக்கியத்தில் உறுதித் தன்மை இருந்தால் மட்டுமே அவ்வாக் கியத்தை உண்மையா அல்லது பொய்யா எனக் கூறிக் கொள்ள முடியும். (g) - D) இங்கிலாந்தின் தலைநகர் இலண்டன் ஆகும்.( உண்மை)
கொழும்பு இலங்கையின் தலைநகர் ஆகும். (பொய்) திட்டவட்டமற்ற அல்லது ஓர் சந்தேகமான வாக்கியம் எடுப்பு அல்ல.(உ- ம்) நாளை மழை பெய்யக் கூடும். (சந்தேகம்) (02) அனுபவ உலகிற்கு உட்படுதல் வேண்டும்.
ஒரு வாக்கியம் அனுபவ உலகிற்கு உட்பட்டிருந்தால் மட்டுமே அதை அவதானம் பரிசோதனை மூலம் உண்மையா அல்லது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ཀོ་
 
 
 

பொய்யா எனக்கூறிக் கொள்ள முடியும். (உ-ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் படித்தவர்கள் ஆவர்(பொய்)
இரும்புகள் அனைத்தும் துருப்பிடிப்பன ஆகும்( உண்மை)
அனுபவ உலகிற்கு அப்பாற்பட்ட வாக்கியம் எடுப்பு அல்ல. (உ-ம்) பேய் கறுப்பு நிறமானது ஆகும். (03) அர்த்தமுள்ள கருத்துள்ள மொழிநடையில் கூறப்படுதல்
வேண்டும்.
ஒரு வாக்கியம் அர்த்தமுள்ள கருத்துள்ள மொழியில் கூறப்பட்டால் மட்டுமே அதை உண்மையா அல்லது பொய்யா எனக் கூறிக்
கொள்ள முடியும். (உ - ம்) பெண்கள் அனைவரும் கற்புடையவர் ஆவர் (பொய்)
கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும்.(உண்மை)
அர்த்தமற்ற கருத்தற்ற வாக்கியம் எடுப்பு அல்ல. (உ - ம்)
- கணித சமன்பாடுகள் பட்டணம் சென்றன. அர்த்தமுள்ள வாக்கியங்கள் எல்லாம் எடுப்பு அல்ல. சந்தேகமான * வாக்கியங்கள் அர்த்தமுடையவை ஆனால் எடுப்பல்ல. (உ - ம்) நாளை மழை பெய்யக்கூடும். (04) இலக்கண அமைப்பிற்கு உட்பட வேண்டும். ஒரு வாக்கியம்
இலக்கண அமைப்பிற்கு உட்பட்டிருந்தால் மட்டுமே அவற்றை உண்மையா பொய்யா என கூறிக் கொள்ள முடியும். (உ - ம்) யானைகள் அனைத்தும் தும்பிக்கையை உடையன ஆகும்
(உண்மை) குதிரைகள் அனைத்தும் கொம்புடையவை ஆகும்.(பொய்)
இலக்கண அமைப்பிற்கு உட்படாத வாக்கியம் எடுப்பு அல்ல. (உ - ம்) யானைகள் அனைவரும் தும்பிக்கையுடையன ஆகும்.
இலக்கண அமைப்பிற்கு உட்பட்ட எல்லா வாக்கியங்களும் எடுப்பல்ல. அர்த்தமற்ற கருத்தற்ற வாக்கியங்கள் சில இலக்கண
அமைப்பிற்கு உட்பட்டிருந்தாலும் அவை எடுப்பு அல்ல. (உ - ம்) உனது சிந்தனை எவ்வளவு மொத்தம். (05) விபரிப்பு பயன்பாடு இருத்தல் வேண்டும்.
விபரிப்பு பயன்பாடு என்பது வாக்கியங்களில் ஒரு கருத்து இருத்தல்வேண்டும் ஒரு கருத்து இருந்தால்மட்டுமே இவ்வாக்கிய
த்தை உண்மையா பொய்யா என கூறிக்கொள்ள முடியும். (உ-ம்)
ஆசிரியர்கள் அனைவரும் கடமையுணர்ச்சி உடையவர்
ஆவர்(பொய்) இரண்டு கருத்துக்களைக் கொண்ட வாக்கியம் விபரிப்பு பயன்பாடு
இல்லாத வாக்கியம் ஆகும். இது எடுப்பு அல்ல. (உ - ம்)
ஆடையில்லாமல் பால் கொண்டு வா
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 28
(06) எழுவாய், பயனிலை, அளவீடு, இணைக்கும் சொல் இருத்தல்
வேண்டும். பாரம்பரிய அளவையியலில் எழுவாய், பயனிலை, இருந்தால் அவற்றிற்கு அளவு பண்பு கொடுக்கப்பட்டு எடுப்பாக கூறலாம். ஆனால் எழுவாயோ அல்லது பயனிலையோ இல்லாது இருந்தால் அது எடுப்பு அல்ல. எனவே முடிவுறாத வாக்கியம் எடுப்பு
அல்ல. (உ - ம்)
மனிதர்கள் அனைவரும் ஆனால் நவீன அளவையியலின் எழுவாய் அற்ற
வாக்கியங்களும் எடுப்பாகும்.(உ - ம்) தீ (இ) எடுப்பாகக் கொள்ளப்படமாட்டாத வாக்கியங்கள்
எடுப்புக்கள் உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கக் கூடியவை ஆகும். ஆனால் எடுப்பல்லாதவை உண்மையும் அல்ல பொய்யும் அல்ல. பின்வரும் வாக்கியங்கள் எடுப்புக்கள் அல்ல.
(1) வினா வாக்கியம்.
(உ - ம்) உமது பெயர் என்ன? (2) கட்டளை வாக்கியம்
(உ-ம்) உமது பெயரை எனக்குச் சொல்லும். (3) வியப்பு வாக்கியம்
(உ - ம்) எவ்வளவு அழகு (4) வாழ்த்து வாக்கியம்
(உ-ம்) நீடுழி காலம் வாழ்க. (5) மண்டாட்டமான வாக்கியம்.
(உ-ம்) அப்பனே, முருகா இம்முறை ஒரு பாடத்தை
யேனும் சித்தி பெறச் செய்து விடு. . (6) முடிவுறாத வாக்கியம்.
(உ - ம்).கிளிகள் சில (7) சந்தேகமான வாக்கியம்.
(உ - ம்) விமானம் விழுந்திருக்கக் கூடும். அனுபவ உலகிற்கு அப்பாற்பட்ட வாக்கியம்
(உ - ம்) முனி அடித்தது. (9) அர்த்தமற்ற கருத்தற்ற வாக்கியம்.
(உ-ம்) கணக்கியலுக்கு மூக்குடைந்தது. (10)இலக்கண அமைப்பிற்கு உட்படாத வாக்கியம்.
(உ - ம்) மாணவர்கள் அனைத்தும் படிப்பது ஆகும். (11)விளக்கப்பயன்பாடு இல்லாத வாக்கியம்.
- (உ-ம்) பணம் தேடி இங்கு வந்தான்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(ஈ) எடுப்பு வகைகள் :
எடுப்புக்கள் பல வகையான அடிப்படைகளில் வகைப்படுத்தப் படுகின்றன. இவ்வடிப்படைகளில் சில அளவையியல் முறையில் முக்கியத்துவம் பெறுகின்றன.எடுப்புக்களுக்கிடையே உள்ள பல வேற்றுமைகள் பாரம்பரியமாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன.ஆனால் சமீபகால அளவையியல் ஆராய்ச்சிகள் பாரம்பரிய எடுப்பு வகை யீடுகளில் உள்ள குறைபாடுகளை சுட்டிக்காட்டி இவ்வகையீட்டிற்கு மேலும் பூரணமான அடிப்படையாக உதவக் கூடிய வகையீட்டினைத் தந்துள்ளது.பாரம்பரியமாக ஏற்றுக் கொள்ளப்பட்ட எடுப்புக்களின் வகையீடு பின்வருமாறு
(அ) நாற்பிரிவுத் திட்டம் (ஆ) முப்பிரிவுத் திட்டம். (A) நாற்பிரிவுத் திட்டம் : எடுப்புக்களில் உள்ள அளவு, பண்பு
என்பவற்றைப் பயன்படுத்தி எடுப்புக்களை நிறைவிதி, நிறைமறை குறை விதி, குறை மறை, என நான்கு பெரும் பிரிவிற்குள் உள்ளடக்குவதே நாற்பிரிவுத் திட்டம் எனப்படும்.
ஆனால் நவீன அளவையியலில் அளவையும் பண்பையும் அடிப் படையாகக் கொண்டு தனி விதி, தனி மறை, நிறை விதி, நிறை மறை, குறை விதி, குறை மறை என ஆறு பெரும் பிரிவாகப்
பிரிக்கப்படுகின்றது. (i) நிறை விதி எடுப்பு : A: ஒரு எழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும்
வகுப்பின் முழு அங்கத்துவத்தையும் பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிப்பது அல்லது அளவில் நிறையாகவும் பண்பில் விதியாகவும் அமைவது நிறை விதி எடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்) A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்.
A அரிஸ்ரோட்டில் ஓர் மனிதன் ஆவான். நிறைவிதி எடுப்புக்கள் பொதுவாக எல்லா, அனைத்தும், அனைவரும் போன்ற அளவீட்டுச் சொற்களைக் கொண்டிருக்கும். குறியீடு : S - எழுவாய் P - பயனிலை
SAP - நிறை விதி எடுப்பு மொழி பெயர்ப்பு : எல்லா S உம் P ஆகும். நவீன அளவையியல: (உ-ம்) எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர்
ஆவர். மொழி பெயர்ப்பு : ஏதாவது ஒரு x மனிதனாக இருந்தால்
அது இறக்கின்ற X ஆக இருக்கும். குறியீடு : x [ x ம – இ x )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 53 |
ஆசிரியர்: க , கேசவன்

Page 29
(ii) நிறை மறையெடுப்பு : E
ஒரு எழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் முழு அங்கத்துவத்தையும் பயனிலை எழுவாய்க்கு மறுப்பது அல்லது அளவில் நிறையாகவும் பண்பில் மறையாகவும் அமையும் எடுப்பு நிறை மறை எடுப்பு
எனப்படும். (உ - ம்) E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்
E அரிஸ்ரோட்டில் ஓர் மனிதன் அல்லன். நிறை மறை எடுப்புக்கள் பொதுவாக எவையும் , எவரும் போன்ற அளவீட்டுச் சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்.
குறியீடு
S - எழுவாய் P - பயனிலை
SEP - நிறை மறை எடுப்பு மொழி பெயர்ப்பு : S கள் எவையும் P அல்ல. நவீன அளவையியல் : (உ - ம்)
மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர். மொழி பெயர்ப்பு : ஏதாவது ஒரு x மனிதனாக இருந்தால்
அது இறக்கின்ற X ஆக இல்லை. குறியீடு
x (x ம -> ~ இ x] (iii) குறை விதி எடுப்பு:
ஒரு எழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் சில அங்கத்துவத்தை பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிப்பது அல்லது அளவில் குறையாகவும் பண்பில் விதியாகவும் அமையும் எடுப்பு குறைவிதி எடுப்பு எனப்படும். (உ-ம்) சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்.
குறியீடு
S - எழுவாய் P - பயனிலை
SIP - குறைவிதி எடுப்பு மொழி பெயர்ப்பு :
சில S,கள் P ஆகும். நவீன அளவையியல் : (உ-ம்) சிலமனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். மொழி பெயர்ப்பு :
ஆகக்குறைந்தது ஒரு X ஆவது மனித
னாகவும்இறக்கின்ற Xஆகவும் இருக்கும். குறியீடு
3x [ x ம A இ x] (iv) குறை மறை எடுப்பு : 0
ஒரு எழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் ஒரு சில அங்கத்துவத்தை பயனிலை எழுவாய்க்கு மறுப்பது அல்லது அளவில் குறையாகவும் பண்பில் மறையாவும் அமையும் எடுப்பு குறை மறை எடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்) 0 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

குறியீடு
S - எழுவாய் P - பயனிலை
SOP குறை மறை எடுப்பு மொழி பெயர்ப்பு :
சில Sகள் P அல்ல. நவீன அளவையியல்:
(உ-ம்)சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர். மொழி பெயர்ப்பு :
ஆகக்குறைந்ததுஒரு X ஆவது மனிதனரா
கவும் இறக்கின்ற X ஆகவும் இல்லை குறியீடு
3x (x ம 1 ~ இ x] குறை எடுப்புக்களின் (I, 0) அளவீட்டிற் சொற்கள் சில, மிகச்சில அரிதாக, அபூர்வமாக, பெரும்பாலும், பெரும்பான்மை, ஏராளமாக, சாதாரணமாக, அடிக்கடி, அனேகமாக, ஒன்றைத் தவிர, பல என்பவை ஆகும். குறிப்பு : இங்கு A, I என்பன இலத்தின் மொழியில் உள்ள AFFIRMS( நானுறுத்தப்படுகின்றேன்) என்ற பதத்தின் முதல் ஈர் உயிர்களில் இருந்து உருவானவை. அவ்வாறே E,0 என்பவை
Nego (நான் மறுக்கின்றேன்) என்பதில் இருந்து எடுக்கப்பட்டன. ( v) தனிப் பொருள் எடுப்பு - குறை எடுப்பு
- நிறை எடுப்பு தனிப்பொருள் எடுப்புக்கள் குறைஎடுப்புக்கள், நிறைஎடுப்புக்கள் என்பவற்றிற்கிடையே உள்ள வேறுபாடு எழுவாய். வகுப்பின் அங்கத்தவர்களில் எந்த அளவினர் ஓர் எடுப்பிற் கருதப்படுகின்றனர் என்பதைச் சார்ந்த வேறுபாடு ஆகும். எனவே இவ்மூன்று எடுப்புக் களும் ஓர் அளவு சார்ந்த வேறுபாடு ஆகும். தனிப்பொருள் எடுப்பு . தனியன் ஒன்றிற்கு பயனிலை விதிக்கும் அல்லது மறுக்கும் எடுப்பு தனிப்பொருள் எடுப்பு எனப்படும். (உ-ம்)
கமலா அறிவாளி ஆவாள்.
கமலா அறிவாளி அல்ல தனிப் பொருள் எடுப்பு தனிவிதியெடுப்பு, தனி மறை எடுப்பு என இரு வகைப்படும். தனியன் ஒன்றிற்கு பயனிலை விதித்தால் அது தனி விதி எடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்) கமலா அறிவாளி ஆவாள். தனியன் ஒன்றிற்கு பயனிலை மறுத்தால் அது தனி மறை எடுப்பு எனப்படும். (உ-ம்). கமலா அறிவாளி அல்ல. தனி விதி எடுப்பும் தனி மறை எடுப்பும் ஓர் பண்பு சார்ந்த வேறுபாடு ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 30
நிறை எடுப்புக்களும் குறை எடுப்புக்களும்.
ஒருஎழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் முழு அங்கத்துவத்தையும் பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிக்குமோ அல்லது மறுக்குமோ எடுப்பு
நிறை எடுப்புக்கள் எனப்படும். (உ-ம்)
A கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும்.
E கிளிகள் எவையும் பச்சை நிறம் அல்ல. ஒரு எழுவாய்ப்பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் சில அங்கத்துவத்தை பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிக்குமோ அல்லது மறுக்குமோ எடுப்பு
குறை எடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்)
1 சில கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும்.
0 சில கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல. நிறை எடுப்புக்களும் குறை எடுப்புக்களும் ஓர் அளவு சார்ந்த
வேறுபாடு ஆகும். (vi) விதி எடுப்புக்களும் மறை எடுப்புக்களும்.
எதுவும் ஓர் எழுவாய் பற்றி பயனிலை விதித்தால் அது விதி எடுப்பு
எனப்படும். (உ-ம்) A கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும்.
1 சில கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும்.
அரிஸ்ரோட்டில் தத்துவஞானி ஆவர். எதுவும் ஓர் எழுவாய் பற்றி பயனிலை மறுத்தால் அது மறை
எடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்)
E கிளிகள் எவையும் பச்சை நிறம் அல்ல. 0 சில கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல.
அரிஸ்ரோட்டில் தத்துவஞானி அல்ல. விதிஎடுப்புக்களும் மறைஎடுப்புக்களும் ஓர் பண்பு சார்ந்த வேறு பாடு ஆகும்.
நிறை
E
விதி
மறை
குறை (vii) பதங்களின் வியாப்தி ( பரவல் விதி)
ஓர் எடுப்பில் உள்ள பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் எல்லா அங்கத்து வமும் உணர்த்தப்பட்டுள்ளதா அல்லது அவற்றின் ஒரு பகுதி அங்கத்துவம் உணர்த்தப்பட்டுள்ளதா என்பது பற்றிய விளக்கமே பதங்களின் பரவல் விதி அல்லது வியாப்தி விதி எனப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
56
ஆசிரியர்: க , கேசவன்

இவ்விளக்கத்தின் மூலம் வியாப்தியடைந்த பதம் வியாப்தியடையாத பதம் என இரு வகையுண்டு
ஓர் எடுப்பிலுள்ள பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் எல்லா அங்கத்தவர்களும் எடுத்துக்காட்டப்பட்டால் அது வியாப்தியடைந்த பதம் எனப்படும். ஓர் எடுப்பிலுள்ள பதம் குறிப்பிடும் வகுப்பின் சில அங்கத்துவம் எடுத்துக்காட்டப்பட்டால் அது வியாப்தியடையாத பதம் எனப்படும்.
- (மனிதர்கள்) அனைவரும் (இறப்பவர்) ஆவர். E - (மனிதர்கள்) எவரும் ( இறப்பவர்) அல்லர்.
- சில (மனிதர்கள்) (இறப்பவர்) ஆவர். - சில (மனிதர்கள்) (இறப்பவர்) அல்லர்.
வியாப்தி பற்றிய விதிகள் பின்வருமாறு அமையும்
மூ . எ எழுவாய்
பயனிலை
5 E - V | y
E
வியாப்தி வியாப்தியில்லை
(ஆ)முப்பிரிவுத் திட்டம்: எடுப்புக்களின் தனித்துவம், தொடர்பு
என்பவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டு எடுப்புக்களை அறுதி எடுப்பு, நிபந்தனை எடுப்பு, உறழ்வு எடுப்பு என எடுப்புக்களை
வகைப்படுத்துவது முப்பிரிவுத் திட்டம் எனப்படும். (i) அறுதியெடுப்பு : (பதார்த்த எடுப்பு)
எது வித நிபந்தனையும் இன்றி பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிக்குமோ அல்லது மறுக்குமோ எடுப்பு அறுதியெடுப்பு எனப்படும், எனவே அறுதி எடுப்புக்களில் விதியெடுப்புக்களும் மறை எடுப்புக்களும் இருப்பதால் A ,E, I, O ஆகிய நான்கு வகையான எடுப்புக்களை
அமைத்துக் கொள்ள முடியும். (உ - ம்)
A -
மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பவர் ஆவர். E
மாணவர்கள் எவரும் படிப்பவர் அல்லர். சில மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர்.
சில மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர். A -
இராமன் மகிழ்ச்சியோடு இருக்கின்றான்.
இராமன் மகிழ்ச்சியோடு இல்லை. எமது அறிவு முதல் முதலில் தனிப்பட்ட நிகழ்ச்சிகளைப்பற்றி
- 0 (
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 31
ஆராய்வதினால் அறுதிஎடுப்புக்கள் அறிவுவளர்ச்சியின் முதலாவது படியெனக் கூறப்படுகின்றது. (ii) நிபந்தனை எடுப்பு
வேறு எதுவோ உண்மையாக வருவதை நிபந்தனையாக கொண்டு பயனிலை எழுவாய்க்கு விதிக்குமோ அல்லது மறுக்குமோ எடுப்பு நிபந்தனை எடுப்பு எனப்படும்.எனவே நிபந்தனை எடுப்புக்களில் விதியெடுப்புக்களும் மறை எடுப்புக்களுக்கும் இருப்பதால் நிபந்தனை எடுப்புக்களிலும் A, E, I, Oஆகிய நான்கு வகையான எடுப்புக்களை அமைத்துக் கொள்ள முடியும் நிபந்தனை எடுப்புக்கள் எப்போதும் நிறை எடுப்பாக வரும் என்பதை ஒரு பொது விதியாக கொள்ள லாம். ஆனால் அவை குறையாகவும் வருதல் கூடும். குறையாக
வரும் எனின் சிலவேளை எனும் தொடர்பைக் கொண்டு வரும். (உ-ம்) A மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும்.
E மழை பெய்யும் எனின் வெய்யில் வரவில்லை I
சில வேளைகளில் அவன் படித்தால் பரீட்சையில் சித்திய
டைவான்." 0 சில வேளைகளில் மேகம் கறுக்கும் எனின் மழை வராது. எமது அறிவு வளர்ச்சியடைந்ததன் பின்னர் நிபந்தனை எடுப்புக்கள் முற்கூற்று பிற்கூற்று எனும் இரண்டு தனிப்பட்ட நிகழ்ச்சிகளைத் தொடர்புபடுத்தி ஆராய்வதினால் நிபந்தனை எடுப்புக்கள் அறிவு
வளர்ச்சியின் இரண்டாவது படி என கூறப்படுகின்றது. (iii) உறழ்வு எடுப்புக்கள்.
உறழ்வு எடுப்புக்களில் உறுப்புக்களில் ஒன்று அல்லது மற்றையது உண்மை என விதிப்பது உறழ்வு எடுப்பு எனப்படும்.
உறழ்வு எடுப்புக்களில் விதி எடுப்புக்கள் மட்டும் இருப்பதினால்
A, 1 எடுப்புக்களை மட்டுமே அமைத்துக் கொள்ள முடியும். (உ - ம்) A மனிதர்கள் ஒன்றில் ஏழைகள் அல்லது பணக்காரர்.
1 சில மனிதர்கள் ஒன்றில் ஏழைகள் அல்லது பணக்காரர். உறழ்வு எடுப்புக்கள் பொருட்களை ஓர் ஒருங்கமைப்பிற்குள் உட்படுத்திக் காட்டுவதினால் அறிவு வளர்ச்சியின் மூன்றாவது
படி என கூறப்படுகின்றது. (உ)எடுப்புக்களின் வகையீடு (1) பராதீன எடுப்புக்கள்.
உள்ள நிலைகளோடு அதாவது சம்பந்தப்பட்ட நேர்வுகளோடு பொருந்தும் தன்மையினை பொறுத்து உண்மையாகவேனும் பொய்யாகவேனும் அமையும் எடுப்புக்களே பராதீன எடுப்புக்கள் எனப்படும். இவை காலத்தால் மாறுபடும் எடுப்புக்கள் ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
58
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(உ - ம்)
(1) இராமன் இன்று மகிழ்ச்சியோடு இருக்கின்றான்.
(2) இங்கிலாந்தின் தலை நகரம் இலண்டன் ஆகும். இராமனை நாம் நோக்கும்போது அவன் மகிழ்ச்சியோடு இருந்தால் இவ்வெடுப்பு உண்மையாகும். அவன் மகிழ்ச்சியோடு இல்லை எனின் இவ்வெடுப்பு பொய்யாகும். இங்கிலாந்தின் தலைநகரம் இலண்டன் என்பது ஏற்கனவே தெரிந்த உண்மையாக இருந்தாலும் எதிர்காலத்தில் வேறு ஒரு நகரமாக மாாற்றம் அடைந்தால் இவ்வெடுப்பு பொய்யாகும். பராதீன எடுப்புக்களின் இவ்விரண்டு உதாரணங்களும் தொகுப் பெடுப்பாகவும் அமையும்.ஒன்றிற்கொன்று இன்றியமையாத் தொடர் பில்லாத இரண்டு கருத்துக்களை தொகுக்கும் எடுப்பு தொகுப்பெடுப்பு
எனப்படும். (உ - ம்) இராமன் மகிழ்ச்சியோடு இருக்கின்றான்.
இராமன் என்கின்ற இடுகுறிப்பெயரின் கருத்துக்குறிப்பில் மகிழ்ச்சி எனும்
இயல்பு இல்லை. இடுகுறிப் பதங்களுக்கு கருத்துக் குறிப்பே இல்லை. (உ - ம்) இங்கிலாந்தின் தலைநகரம் இலண்டன் ஆகும்.
இங்கிலாந்து எனும் பதம் யாவருக்கும் இலண்டனின் தலைநகரம் எனும் அர்த்தத்தை தரவேண்டும் என்பது இல்லை. இதனால் இயல்பாய் வேறுபட்ட இரண்டு கருத்துக்களை தொகுப்பெடுப்பு தொகுக்கின்றது எனலாம். (iii) இன்றியமையாத எடுப்புக்கள்.
தமது நியமத்தாலேனும் தம்முள் உள்ள சொற்களாலேனும் எப்போதும் ஒன்றில் உண்மையாகவோ அல்லது பொய்யாகவோ அமையும் எடுப்பு இன்றியமையாத எடுப்பு எனப்படும். இவ்வெடுப்புக்கள் காலத்தால் மாறுபடாது ஒன்றில் எப்போதும் உண்மையாக
இருக்கும் அல்லது பொய்யாக இருக்கும். (உ-ம்)
(1) A, A ஆகும் - உண்மை (2) A, A அன்று - பொய் "
> நியம எடுப்புக்கள்
(3) பிரமச்சாரி விவாகமாகாதமனிதர்- உண்மை)வகுமுறை
(4) பிரமச்சாரி விவாகமானமனிதர்- பொய் எடுப்புக்கள் இவற்றில் நியமத்தால் உண்மையாக அல்லது பொய்யாக அமை வது நியம எடுப்பாகும். தம்முள் உள்ள சொற்களால் உண்மையாக அல்லது பொய்யாக அமைவது வகுமுறை எடுப்பாகும். இன்றியமையாத உண்மை கூறியது கூறல் எடுப்பாகவும், இன்றிய
மையாத பொய் முரண்பாடான எடுப்பாகவும் அமையும்.
கூறியது கூறல் எடுப்பு :நியம உண்மைகளானாலும் சரி வகு முறை உண்மைகளானாலும்சரி எழுவாயில் கூறப்பட்ட ஒன்றை பயனிலையில் அதே சொல்லின் மூலமோ அல்லது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 59 |
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 32
பிறசொல்லின் மூலமோ கூறப்படுமாயின் அது கூறியது கூறல் எடுப்பு எனப்படும். இவ்வெடுப்புக்கள் காலத்தால் மாறுபடாது
எப்போதும் உண்மையாக இருக்கும். (உ - ம்)
(1) A, A ஆகும் (உண்மை) எழுவாயில் கூறிய கருத்து A
பயனிலையிலும் அதே A கூறப்படுகின்றது.
(2) மலடிகள் பிள்ளை இல்லாதவர்கள்.( உண்மை) (iii) முரண்பாடான எடுப்பு : நியமப் பொய்களானாலும் சரி
வகுமுறைப் பொய்களானாலும் சரி எழுவாயில் கூறிய கருத்தை பயனிலையில் அதேசொல்லின் மூலமோ அல்லது பிற சொல்லின் மூலமோ பயனிலையில் மறுக்கப்படுமாயின் அது முரண்பாடான எடுப்பு எனப்படும். இவ்வெடுப்புக்கள் காலத்தால் மாறுபடாது
எப்போதும் பொய்யாக இருக்கும். (உ - ம) (1) A, A அல்ல - பொய்
(2) விதவை கணவனை இழந்தவள் - ( பொய்) கூறியது கூறல் எடுப்பில் உள்ள வகுமுறை உண்மையும் முரண் பாடான எடுப்பில் உள்ள வகுமுறைப் பொய்யும் வகுப்பெடுப்பாக அமைகின்றது. ஓர் எடுப்பின் பயனிலை எழுவாய்ப்பதத்தின் அர்த்தத்தின் ( கருத்துக்குறிப்பின்) ஒரு பகுதியாய் அமைந்தால்
அது வகுப்பெடுப்பு எனப்படும். (உ - ம்) (1) பிரமச்சாரி திருமணம் ஆகாத மனிதர் (உண்மை)
(2) பிரமச்சாரி திருமணம் செய்த மனிதர் (பொய்)
குருடன் பார்வை அற்றவன்.
(உண்மை) குருடன் பார்வை உள்ளவன்.
(பொய்) (iv) எளிய எடுப்பும் கூட்டு எடுப்பும்.
இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வாக்கியங்களாகப் பிரிக்க முடியாதவை எளிய எடுப்பு எனப்படும். அல்லது பிற எடுப்புக்களை உறுப்புக்களாக கொண்டிருக்காத எடுப்பு எளிய எடுப்பு ஆகும். (உ - ம்) (1) மழை பெய்யும்
(2) இன்று அவன் வருவான். இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வாக்கியங்களாக பிரிக்கக் கூடியவை கூட்டு எடுப்பு எனப்படும். அல்லது பிற எடுப்புக்களை உறுப்புக்களாக கொண்டிருக்கும் எடுப்பு கூட்டெடுப்பு
எனப்படும். இது பல வகைப்படும். (1) நிபந்தனைக் கூட்டெடுப்பு : ஒரு உறுப்பின் உண்மை
மற்றைய உறுப்பின் உண்மையில் தொடர்புடையதாக இருந்தால் அது நிபந்தனைக் கூட்டெடுப்பு எனப்படும். இது மூன்று வகைப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(1) உட்கிடை நிபந்தனை கூட்டு எடுப்பு : ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு
பல காரணங்கள் உள்ளதைக் கூறும் எடுப்பாகும். (உ- ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும் ( P ->0) (i) மட்டுப்படுத்தப்பட்ட நிபந்தனைக் கூட்டெடுப்பு : ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்குரிய கட்டாயக்காரணங்கள் உள்ளதைக் குறிக்கும் எடுப்பாகும். (உ- ம்) பிராணவாயு இருந்தால் மட்டுமே உயிர்வாழும்.( P - 0) (i) இரு பால் நிபந்தனைக் கூட்டெடுப்பு : ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு
ஒரு காரணம் உள்ளதைக் குறிக்கும் எடுப்பாகும். (உ- ம்) அவள் கணவனை இழந்தவள்ஆயின்ஆயினே விதவை (P*0) (ii) இணைப்பு க்கூட்டெடுப்பு : எல்லா உறுப்புக்களும் உண்மை
என விதிக்கும் எடுப்பு இணைப்புக் கூட்டெடுப்பு எனப்படும். (உ- ம்) மழை வரும் என்பதோடு நிலம் நனையும். ( P^ Q) (i) உறழ்வுக்கூட்டெடுப்பு : உறழ்வு எடுப்புக்களில் உறுப்புக்களில் ஒன்று அல்லது மற்றையது உண்மை என விதிப்பது உறழ்வுக் கூட்டெடுப்பு எனப்படும். (உ- ம) இந்த மேசை ஒன்றில் கறுப்பு அல்லது வெள்ளை(PV Q)
கூட்டு எடுப்புக்கள் எளிய எடுப்புக்களால் ஆக்கப்பட்டவை ஒரு கூட்டு எடுப்பு ஒன்றிலே இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட எளிய எடுப்புக்கள் அங்கம் வகிக்கும்.
(ஊ) வாக்கியங்களை அறுதினடுப்பு வடிவிற்கு மாற்றுதல்.
நியம அளவையியலில் வாதத்தின் வடிவத்தை நோக்கியே அவற்றின் வாய்ப்பு சோதிக்கப்படும். எனவே சாதாரண மொழியிலே காணப்படு கின்ற வாதங்களின் உறுப்புக்களான எடுப்புக்கள் சரியான நியம வடிவிற்கு மாற்றி அவற்றின் வாய்ப்பை சோதித்தல் வேண்டும். வாக்கியங்களில் கூறப்படும் கருத்தை எடுப்பாக மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும். அறுதி எடுப்பு வடிவிற்கு ஒரு வாக்கியத்தை பெயர்க்கும் போது அளவு, பண்பு, ஆகியவற்றுடன் எழுவாய், பயனிலை, ஆகியன தெளிவாகும் படி எடுப்பாக்குதல் வேண்டும். வாக்கியங்களை நல்ல முறையில் நியமவடிவிற்கு பெயர்ப்பதற்கு திறமை பெறுவதற்கு பயிற்சியே ஒரு வழி எனலாம்.
(1) மட்டுமே ஆகும், தவிர அல்ல:
மேல் இருக்கும் நடை பேதங்கள் வாக்கியங்களோடு வரும் எனின் எழுவாயையும்பயனிலையையும் இடம்மாற்றி Aஎடுப்பாக கொள்ளு தல் வேண்டும்.
(Φ - fo) (1) பறவைகள் மட்டுமே பறக்கும்.
விடை: A : பறப்பன அனைத்தும் பறவைகள் ஆகும்.
ஆசிரியர்: க. கேசவன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1

Page 33
(2) பறவைகளைத் தவிர வேறு எவையும் பறப்பது இல்லை. விடை: A : பறப்பன அனைத்தும் பறவைகள் ஆகும் (2) அளவு கூறாத எடுப்புக்கள்:
அளவீட்டுச் சொற்களை கொண்டிருக்காத எடுப்புக்கள் அளவு கூறாத எடுப்புக்கள் எனப்படும். அளவு கூறாத எடுப்புக்களை நிறை எடுப்புக்களாக (A, E)கொள்ள வேண்டும் என்பது அளவை
யியலில் ஓர் பொது விதியாகும். (உ-ம்)
(1) குதிரைகள் கொம்புடையன ஆகும். விடை: A : குதிரைகள் அனைத்தும் கொம்புடையன ஆகும்.
(2) முயல்கள் வேகமாக ஓடுவது இல்லை. விடை: E : முயல்கள் எவையும் வேகமாக ஓடுவது அல்ல -
ஆனால் சில வாக்கியங்கள் புற நடையாக குறைஎடுப்பாக அமையும். (உ-ம்) பொய் சொல்லும் மாணவர்களும் உளர்.
விடை: I : மாணவர்கள் சிலர் பொய் சொல்பவர் ஆவர். (3) 0 எடுப்பு : எல்லாம்,யாவும் போன்ற அளவீட்டுச் சொற்களோடு
மறையாக வரும் எடுப்புக்கள் பொதுவாக குறைமறை யெடுப்பாய்
(0) அமையும். (உ - ம்) எல்லா மலர்களும் அழகானவை அல்ல.
இவ்எடுப்பில் சில மலர்கள் அழகானவை ஆகும். எனும் எடுப்பும் சில மலர்கள் அழகானவை அல்ல எனும் 0 எடுப்பும் வருவதால் இவை கவர்பாடு உடையவை ஆகும். நாம் எடுப்பு வகையில் 0 எடுப்பாகவே கூறிக் கொள்ள வேண்டும். ஏனெனில் நமது உரை யாடலில் எல்லாம் அல்ல என நாம் கூறுவது சில அல்ல என்பதை குறிக்கோளாக கொண்டே ஆகும். விடை : O: சில மலர்கள் அழகானவை அல்ல
இங்கும் நிதானம் வேண்டும். பின்வரும் வாக்கியத்தை நோக்குக. (உ - ம்) இங்குள்ள மாணவர்கள் எல்லாம் திறமைசாலிகள் இல்லை.
இதை இங்குள்ள எந்த ஒரு மாணவரும் திறமைசாலி அல்ல என அல்லது இங்குள்ள எந்த மாணவரும் திறமையுடைய மாணவர்
அல்ல எனும் நிறை மறையாகவும் (E) எழுதப்படலாம். (4) இணைக்கும் சொல் : இணைக்கும் சொல் தரப்படாது விட்டால்
உடன்பாடாக கருதிக் கொள்ள வேண்டும். இணைக்கும் சொல் பயனிலைப்பதத்தோடு சேர்ந்து இருந்தால் அதை பிரித்து எழுதுதல்
வேண்டும். (உ - ம்)' (1) எல்லா மலர்களும் வாடும்.
விடை : A : எல்லா மலர்களும் வாடும் பொருட்கள் ஆகும்.
(2) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவராவர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

விடை : A : மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்.
(3) மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவரல்லர் விடை : E: மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்.
(4) சில பாம்புகள் விஷமில்லாதன விடை : 1: சில பாம்புகள் விஷமில்லாதன ஆகும்.
(5) சில பாம்புகள் விஷமுடையதில்லை விடை. : 0 : சில் பாம்புகள் விஷமுடையன அல்ல. (5) சில மட்டுமே: சில மட்டுமே, சிலரே, எனும் நடை பேதங்கள்
இடம் பெறும் வாக்கியங்கள் கூட்டு இணைப்பு வாக்கியமாக
மாற்றப்பட வேண்டும். (உ-ம்) எமது மாம்பழங்களில் சில மட்டுமே பழுத்துள்ளன.
விடை: 1: எமது மாம்பழங்களில் சில பழங்கள் ஆகும்.
அத்துடன் 0 :எமது மாம்பழங்களிற் சில பழங்கள் அல்ல. (6) இணைப்புக்கூட்டு வாக்கியம் : இணைப்பு கூட்டு வாக்கிய
ங்கள் தரப்பட்டால் அத்துடன், என்பதோடு எனும் நடைபேதங்கள்
கொடுத்து தெளிவாக்க கூடியவாறு பெயர்க்கப்படவேண்டும். (உ-ம்) காந்தனும் ரவியும் நல்லவர்கள்..
விடை: A காந்தன் நல்லவன் ஆவான் அத்துடன் ரவி நல்லவன் ஆவான். (7) நிபந்தனை எடுப்பை அறுதி எடுப்பாக்குதல்:
அளவு பண்பு என்பவற்றை கொடுத்து அறுதியெடுப்பாக்க வேண்டும். (உ - ம்) இராமன் சித்தி பெற்றால் அவன் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறான்.
விடை : A இராமன் சித்தி பெறும் வேளை எல்லாம் அவன்
மகிழ்ச்சியாக இருக்கும் வேளை ஆகும். (8) வினா வாக்கியம் : இங்கு தரப்பட்ட வினா வாக்கியம் விடையை
உட்கிடையாகக் கொண்டிருக்கும்வினாவாக்கியம் ஆகும். அவ்விடையை
எடுப்பாக கூறிக் கொள்ள வேண்டும். (உ-ம்)" (1) புலிகள் பசித்தாலும் புல் தின்னுமா?
விடை : E : புலிகள் எவையும் பசித்தாலும் புல் தின்பன அல்ல.
(2) இறுதியில் இறவாத மனிதன் யார்? விடை A: மனிதர்கள் அனைவரும் இறுதியில் இறப்பவர் ஆவர்.
(3) காந்தி நல்லவர் அல்ல என்று உம்மால் எவ்வாறு
கூற முடியும்? விடை .A: காந்தி நல்லவன் ஆவான்
(4) சுமதி நல்லவள் என்று உம்மால் எவ்வாறுகூற முடியும்? விடை E: சுமதி நல்லவள் அல்ல. தவிர ஆகும் : சில எடுப்புக்களில் பயனிலை எழுவாயின் ஒரு பகுதியை தவிர்க்கும்.இவை தவிர்ப்பு எடுப்புக்கள் ஆகும். தவிர்க்கப் படுவது உறுதியாக இருந்தால் அது நிறை எடுப்பாக அமையும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 34
தவிர்க்கப்படுவது உறுதியற்று இருந்தால் அது குறையெடுப்பாக அமையும்.
(23 — tio) (1) பாதரசத்தை தவிர மற்றெல்லா உலோகங்களும் திடப்
பொருட்கள் ஆகும். விடை: A - பாதரசத்தைத் தவிர்ந்த உலோகங்கள் அனைத்தும் திடப்பொருட்கள் ஆகும்.
(2)ஒன்றைத் தவிர மற்றெல்லா உலோகங்களும் திடப்பொருட்கள்.
விடை: 1 - சில உலோகங்கள் திடப்பொருட்கள் ஆகும். (10) பொதுவானவை
(அ) கட்டிடங்களுள் மிகப்பழையது கண்டியிலே உண்டு. விடை:A:- மிகப்பழைய கட்டிடம் ஒன்று கண்டியிலே உண்டு
(ஆ) அவன் என்ன வாங்கினாலும்அது விலையுயர்ந்ததாகவும்
பயனற்றதாகவும் இருக்கின்றது.
விட்ை: A - அவன் வாங்குபவை அனைத்தும் விலையுயர்ந்ததும்
பயனற்றதும் ஆகும். (இ) உனது விடைகளில் பாதி தவறானவை ஆகும். விடை: 1 - உனது விடைகளில் சில தவறானவை ஆகும்.
(t+) பெரும்பாலானோர் நல்லவர்ஆவர். விடை : 1 - சில மனிதர் நல்லவர் ஆவர்.
(ዎ ) அனேக மனிதர் நல்லவர் ஆவர். விடை: 1 - சில மனிதர்கள் நல்ல மனிதர்கள் ஆவர்.
(ஊ) விதி வலிது விடை: A - விதியின்செயல்கள் அனைத்தும் வலிமையானவை ஆகும்
(எ) மிகச்சில, அரிதாக, அபூர்வமாக, என்ற சொற்கள் வந்தால்
வாக்கியத்தின் தன்மையை மாற்ற வேண்டும். அதாவது அவை விதி வாக்கியமாக இருந்தால் O எடுப்பாகவும் அவை மறை வாக்கியமாக இருந்தால் எடுப்பாகவும் கொள்ளுதல் வேண்டும். (உ- ம்). (1) புலவர்கள் பணக்காரராக இருப்பது அபூர்வம்.
விடை: O - சில புலவர்கள் பணக்காரர் அல்ல.
(2) அரிதாகவே பிராமணர்கள் ஒழுக்கமற்றவர் விடை: 1 : சில பிராமணர்கள் ஒழுக்கமுடையவர் ஆவர்.) வாக்கியங்களை அளவை அமைப்பாக்கும் போது மாணவர்கள் முக்கியமாக கொள்ள வேண்டிய அடிப்படை விதி வாக்கியத்தின் பொருளை மாற்றாமல் அளவை அமைப்பாக்க வேண்டும் என்பதே ஆகும். -
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 64 ஆசிரியர்: க. கேசவன்
ܡܼܿ

(எ) நாற்பிரிவுத்திட்டத்தின் குறைபாடுகள். (1) தனிப்பொருள் எடுப்புக்களை நிறை எடுப்பாக கொண்டது
பிரதான குறைபாடு ஆகும். (2) அளவு பண்பு என்பவற்றை பயன்படுத்துகின்ற தொடர்பு எடுப்புக்கள்
போன்றனவற்றை கருத்தில் கொள்ளவில்லை. பாரம்பரிய அளவையியலில் காணப்படுகின்ற எடுப்பு வகைகள் திருப்திகரமாக இல்லாது இருப்பதினால் இக்கால அளவையிய லாளர்கள் அதைத் திருத்தியமைத்துள்ளனர். இந்தப் புதிய வகையீடு பின்வருமாறு அமையும் (1) தனிப்பொருள் எடுப்பு (2) கூட்டு எடுப்பு
(3) பொது எடுப்பு (1) தனிப்பொருள்எடுப்பு: இவற்றில் நான்கு வகையுண்டு
(அ) எழுவாயற்ற எடுப்பு: (உ-ம்)
தீ. இச்சொல் எழுவாயுமல்ல பயனிலையுமல்ல. இது ஓர்
செய்தியை வெளியிடுகின்றது. (ஆ) எழுவாய் பயனிலை வகை எடுப்புக்கள்:
இவற்றின் பயனிலை ஓர் பண்பைக் குறிக்கும். (உ - ம்)
காந்தன் அழகானவன் ஆவான். (இ) இன உறுப்பினர் எடுப்பு : இது ஒரு தனிப் பொருள்.
ஓர் இனத்தில் அடங்கியிருப்பதைக் குறிக்கும். '(உ-ம்)
பாரதியார் ஒரு கவிஞர் ஆவார். (ஈ) தொடர்பு எடுப்புக்கள்: இவ்வெடுப்புக்களில் எத்தனை பதங்களும் இருக்கலாம் .இருபதத் தொடர்புகள், முப்பதத்தொடர்பு கள், நாற்பதத்தொடர்புகள், ஐம்பதத்தொடர்புகள்,பலபதத் தொடர்புகள்
என பல வகைப்படும். (உ-ம்) (1) இந்த ஆசிரியர் 6ம் வகுப்பிற்கு தமிழ் கற்பிக்கின்றார்.
(2) அவர் என்னிடம் 20 ரூபா கடன்பட்டிருக்கின்றார். (2) கூட்டு எடுப்புக்கள்: தனிஎடுப்புக்களின் சேர்க்கையால்
உருவானவை கூட்டு எடுப்புக்கள் ஆகும். இதற்குள் முன்னர் கற்ற இணைப்பு எடுப்பு(P^ Q) உறழ்வு எடுப்பு, (Pv Q) நிபந்தனை எடுப்பு (P -> Q), (P- Q), (P - Q) என்பவை அடங்கும். பொது எடுப்புக்கள் : ஒரு வகுப்பிற்கு இன்னோர் வகுப்போ அல்லது தனியனேர் உள்ளடங்கும். அல்லது உள்ளடங்காத
எடுப்புக்கள் பொது எடுப்புக்கள் ஆகும். (உ - ம்).
மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர். சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
65
ஆசிரியர்: க, கேசவன்

Page 35
- அத்தியாயம் - 05 அனுமானம்
தரவுகளில் (சான்று) இருந்து முடிவுகளுக்குச் செல்வது அனுமானம் எனப்படும். அனுமானம் நிகழ வேண்டும் ஆயின் தரவுகள் தரப்படுதல் வேண்டும், தரவுகள் இன்றி அனுமானத்தைப் பெற்றுக்கொள்ள முடியாது , அனுமானம் ஓரளவிற்காயினும் உளவியலின் பாற்பட்டதாகும் அனுமானத்தின் (உய்த்தறிவு அனுமானம்) வலிது, வலிதின்மை அளவையியல் விதிகளுக்கு உட்பட்டவை ஆகும்.
தரவு அல்லது சான்றாகும் எடுப்புக்கள் எடுகூற்றுக்கள் ஆகும். அவற்றிலிருந்து பெறப்படுவது முடிவு எனப்படுகின் றது. எடுகூற்றுக்கள் முடிவை உட்கிடையாகக் கொண்டிரு ந்தாலே அனுமானம் வலிது எனக் கொள்ளப்படும், அனுமானம் இரண்டு வகைப்படும். (1) உய்த்தறிவு அனுமானம் (உ - ம்) எல்லா இரும்பகளும் துருப்பிடிக்கும்
'X ஒரு இரும்பு
ஆகவே X துருப்பிடிக்கும், (2) தொகுத்தறிவு அனுமானம் (உ -ம்) X என்ற இரும்பு துருப்பிடித்தது,
Y என்ற இரும்பு துருப்பிடித்தது
Z என்ற இரும்பு துருப்பிடித்தது. ஆகவே எல்லா இரும்புகளும் துருப்பிடிக்கும். உய்த்தறிவு அனுமானம்
தரவுகளில் இருந்து நியாயவடிவத்தைப் பயன்படுத்திஉட்கிடையாக இருக்கும் ஒன்றினை முடிவாகப்பெறும் அனுமானம் உய்த்தறிவு அனுமானம் எனப்படும், (உ-ம்) (1) எல்லா படைவீரரும் போர்வீரர்கள் ஆவர்,
சில்வா ஓர் படைவீரர்
ஆகவே சில்வா ஓர் போர்வீரர் ஆவர், (2) கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும்,
ஆகவே பச்சை நிறமானவற்றுள் சில கிளிகள் ஆகும், உய்த்தறிவு அனுமானமானது பின்வரும் பண்புகைளக் கொண்டி ருக்கும். 1. முடிவை உட்கிடையாகப்பெறும் 2. முடிவுகூறியது கூறல் ஆகும். 3. நியாய முறையைப் பயன்படுத்தும். 4. வாய்ப்பான அனுமானமாகும், 5. அறிவு நிட்சியதன்மையுடையது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 166
ஆசிரியர் : க. கேசவன்.

உய்த்தறிவு அனுமானம் இரண்டு வகைப்படும்.
(1) உடன் அனுமானம் (2) நியாயத்தொடை அனுமானம் உய்த்தறிவு அனுமானம் தொகுத்தறிவு அனுமானம்
வேறுபாடு:- (1) உய்த்தறிவு அனுமானம் உட்கிடையாகக் இருக்கும் ஒன்றை
முடிவாகப் பெறும். ஆனால் தொகுத்தறிவு அனுமானம். வேறு
ஒரு தரவை முடிவாகப் பெறும். (2) உய்த்தறிவு அனுமானத்தின் முடிவு கூறியது கூறலாகும் ஆனால் - தொகுத்தறிவு அனுமானத்தின் முடிவு புதிய கண்டுபிடிப்பாகும்.
உய்த்தறிவு அனுமானம் நியாயமுறையைப் பயன்படுத்தும். ஆனால்
தொகுத்தறிவு அனுமானம் அனுபவமுறையைப் பயன்படுத்தும். (4) உய்த்தறிவு அனுமானம் (விதிகள்) வாய்ப்பானது .ஆனால்
தொகுத்தறிவு அனுமானம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். (5) உய் த்தறிவு அனுமானம் வாய்ப்பாக இருப்பதினால் அறிவு
நிச்சியதன்மையுடையது ஆகும், ஆனால் தொகுத்தறிவு அனுமானம் வாய்ப்பற்றதாக இருப்பதினால் நிகழ்தகவுடையது ஆகும். (அ) உடன் அனுமானம் :-
தரப்பட்ட தரவிலிருந்து வேறோர் தரவின் உதவியின்றி அத்தரவில் உட்கிடையாக இருக்கும் ஒன்றினை முடிவாகப் பெறும் அனுமானம் உடன் அனுமானம் எனப்படும். உடன் அனுமானம் ஒரு எடுகூற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகும். (உ - ம்) (1) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்.
ஆகவே இறப்பவரில் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர்.
(2) A = B ஃB = A உடன் அனுமானம் இரண்டு வகைப்படும் (1) எடுப்பு முரண்பாடு (2) வெளிப்பேறு அனுமானம் எடுப்பு முரண்பாடு :-
ஒரே எழுவாய் ஒரே பயனிலையாலான ஆனால் அளவால் வேறுபட்ட அல்லது பண்பால் வேறுபட்ட அல்லது அளவாலும் பண்பாலும் வேறுபட்ட A, E, I, 0 ஆகிய நால்வகையான எடுப்புக்க ளுக்கிடையேயுள்ள தொடர்பை ஆராய்வது எடுப்பு முரண்பாடு எனப்படும்.
ஒர் எடுப்பு உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கும் போது ஏனைய எடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்குமென ஆராயும். அதாவது Aஎடுப்பு உண்மையாக அல்லது பொய்யாக் இருக்கும் போது E, I, 0 எடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்குமெனவும் E எடுப்பு உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கும் போது A, I, 0 எடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்கும் எனவும் 1 எடுப்பு உண்மையாக
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் * II 67
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 36
அல்லது பொய்யாக இருக்கும் போது A, E, 0 எடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்குமெனவும் 0 எடுப்பு உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கும்போது A, E, Tஎடுப்பு எவ்வாறு இருக்குமெனவும் ஆராய்யும்,
முரண்பாடு எனும் பதமானது நடைமுறையில் பகைமை எனும் கருத்தில் பிரயோகிக்கப்படுகின்றது. ஆனால் அளவையியலில் தொடர்பு எனும் விசேட கருத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றது.
முரண்பாட்டுச் சதுரம்
மறுதலை
எ தி
மறை
மேற்திசைத் தொ! (பு கீழ்த்திசைத் தொ! ர்பு
காரிம்
கீழ்த்திசைத் தொ!பு மேற்திசைத் தொடர்பு
எதிர்
காஓரிre
மறை
உப மறுதலை எடுப்பு முரண்பாடு நான்கு வகைப்படும். (1) மறுதலை முரண்பாடு (2) உப மறுதலை முரண்பாடு (3) எதிர்மறை முரண்பாடு (4) வழிப்பேறு முரண்பாடு
(அ)கிழ்திசைத் தொடர்பு
(ஆ) மேற்திசைத் தொடர்பு (1) மறுதலை முரண்பாடு A,E
அளவில் ஒன்றுபட்டதும் (நிறை) பண்பில் வேறுபட்டதுமானA,E ஆகிய எடுப்புக்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்பை ஆராய்வது மறுதலை முரண்பாடு எனப்படும். எதிர்மறைத் தத்துவத்தின் படி இரண்டுமறுதலைகள் ஒருங்கே உண்மையாய் இருக்கமுடியாது. நடுப்பதவிலக்கல் விதி பொருந்தாத படியினால் இரண்டு மறுத லைகள் ஒரு ங்கே பொய்யாக இருக்கலாம், ஒன்று உண்மை யெனின் மற்றையது பொய்யாக இருக்கும்.ஆனால் ஒன்றின் பொய்யிலிருந்து மற்றையது உண்மையெனக் கூறமுடியாது, (உ - ம் A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் - T
E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர் -F (உ - ம்) E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்-T
" A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் - F (உ - ம்) Aமனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் - F
E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர் என்பது உண்மையாகவும் இருக்கலாம் பொய்யாகவும் இருக்கலாம்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !"
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

- எதையும் உறுதியாகக் கூற முடியாது இருப்பதினால் சந்தே கமாகும். (உ- ம்) E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர்கள் அல்லர்- F
A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர்கள் ஆவர் என்பது உண்மையாகவும் இருக்கலாம் பொய்யாகவும் இருக்கலாம். எதையும் உறுதியாகக் கூறமுடியாது இருப்பதினால் சந்தேகம்
ஆகும்.
எனவே -
A எடுப்பு உண்மை எனின் E எடுப்பு பொய். A எடுப்பு பொய் எனின் B எடுப்பு சந்தேகம். E எடுப்பு உண்மை எனின் A எடுப்பு பொய். E எடுப்பு பொய் எனின் A எடுப்பு சந்தேகம்.
(i) உப மறுதலை 1,0
அளவில் ஒன்றுபட்டதும் (குறை) பண்பில் வேறுபட்டதுமான 1, O எடுப்புக்களுக்கிடையிலான தொடர்பை ஆராய்வது உப மறுதலைத்தொடர்பு எனப்படும்.நடுப்பத விலககல் விதியில் இது தங்கியுள்ளது. எதிர்மறைத்தத்துவம் இதற்குப் பொருந்தாது இதனால் இரண்டு உபமறுதலைகள் ஒருங்கே பொய்யாக முடியாது. ஆனால் உண்மையாக இருக்கலாம்.இத் தொடர்பில் ஒனறு பொய் எனின் மற்றையது உண்மைஎனக் கூறலாம். ஆனால் ஒன்றின் உண்மையில் இருந்து மற்றையதனை பொய் யெனக் கூறமுடியாது. ܫܠ (உ- ம்) 1 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் - F O சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்- T (உ- ம்) O சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லா - F | சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் - T (உ- ம்) 1 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் - T
Oசில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர் என்பது உண்மையாகவும் இருக்கலாம் பொய்யாகவும் இருக்கலாம்
இதனால் எதையும் உறுதியாக கூற முடியாது இருப்பதினால் சந்தேகமாகும். (உ- ம்) O சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்-T
சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் என்பது உண்மையாகவும் இருக்கலாம் பொய்யாகவும் இருக்கலாம் எதையும் உறுதியாக கூற முடியாது இருப்பதினால் சந்தேகம் ஆகும். எனவே -
எடுப்பு உண்மை எனின் O எடுப்பு சந்தேகம்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 69 ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 37
' ' '
I எடுப்பு பொய் எனின் 0 எடுப்பு உண்மை. 0 எடுப்பு உண்மை எனின் I எடுப்பு சந்தேகம்.
0 எடுப்பு பொய் எனின் I எடுப்பு உண்மையாகும். (ii) எதிர்மறை முரண்பாடு AO, EI
அளவில் வேறுபட்டதும் பண்பில் வேறுபட்டதுமான AO, EI எடுப்பிற்களுக்கிடையிலான தொடர்பை ஆராய்வது எதிர்மறை முரண்பாடு எனப்படும். எதிர்மறைத் தத்துவத்தின் படி ஈர் அங்கங் களும் ஒருங்கே உண்மையாய் இருத்தல் முடியாது நடுப்பத விலக்கல் விதியின்படி இரண்டும் ஒருங்கே பொய்யாக இருக்க முடியாது. எனவே - எதிர்மறைகள் இரண்டுமே உண்மை யாகவோ அல்லது பொய்யாகவோ இருக்க முடியாது எடுப்பு முரண்பாட்டு வகையுள் எதிர் மறையே மிகவும் பூரணமானது எனலாம். ஒன்று உண்மை எனின் மற்றையது பொய்யாகும். ஒன்று பொய்யெனின் மற்றையது உண்மையாகும். (உ - ம்). A - மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவா -T
0 - சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லா -F (உ - ம்).
E - மனிதர்கள் எவரும் இறப்பர் அல்லர்
1 - சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். எனவே
A எடுப்பு உண்மை எனின் 0 எடுப்பு பொய் A எடுப்பு பொய் எனின்- 0 எடுப்பு உண்மை 0 எடுப்பு உண்மை எனின் A எடுப்பு பொய் 0 எடுப்பு பொய் எனின் - A எடுப்பு உண்மை E எடுப்பு உண்மை எனின் 1 எடுப்பு பொய் E எடுப்பு பொய் எனின் " I எடுப்பு உண்மை I எடுப்பு உண்மை எனின் E எடுப்பு பொய்
1 எடுப்பு பொய் எனின் E எடுப்பு உண்மை (iv) வழிப்பெறுகை முரண்பாடு AI,E0
அளவில் வேறுபட்டதும் பண்பில் ஒன்றுபட்டதுமான Al,EO எடுப்புக்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பை ஆராய்வது வழிப்பேறு
முரண்பாடு எனப்படும். இது இரண்டு வகைப்படும். (அ) கீழ்த்திசைத் தொடர்புAI,EO (ஆ) மேற்திசைத் தொடர்பு IA,OE (அ) கீழ்த்திசைத் தொடர்புAI,EO
நிறையெடுபுக்கள் உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கும் போது குறைஎடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்கும் என ஆராய்வது கீழ்த்திசைத் தொடர்பு அல்லது வழிப்படுத்தி எனப்படும். இது அளவையியற் துறையில் காணப்படும் கலைமுறை முரண்பாட்டு வகைகளில் ஒன்றாகும். ஏனெனில் ஈர் எடுப்புக்களும் ஒன்றோ டொன்று வழிப்பேற்று முரண்பாட்டு முறையில் தொடர்புபட்டிருப்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
றையும் 1170)
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

பதோடு நிறை எடுப்பின் உண்மையினால் குறைஎடுப்பான மற்றதன் உண்மை இன்றியமையாததாக்கப் படுவதாகவும் அமைந்துள்ளன. எனவே நிறையெடுப்பு உண்மை எனின் குறைஎடுப்பு உண்மை
A எடுப்பு உண்மை எனின் (எடுப்பு உண்மை E எடுப்பு உண்மை எனின் 0 எடுப்பு உண்மை நிறையெடுப்புப் பொய்யெனின் குறை எடுப்பு சந்தேகம்.
A எடுப்பு பொய் எனின் I எடுப்பு சந்தேகம்.
E எடுப்பு பொய் எனின் O எடுப்பு சந்தேகம். (ஆ) மேற்திசைத் தொடர்பு IA, OE
குறையெடுப்புக்கள் உண்மையாக அல்லது பொய்யாக இருக்கும் போது நிறைஎடுப்புக்கள் எவ்வாறு இருக்கும் என ஆராய்வது மேற்திசைத்தொடர்பு அல்லது வழிப்பேற்று அனுமானம் எனப்படும். இங்கு குறையின் பொய்யில் இருந்து நிறையின் பொய்யை அனுமானிக்கலாம். ஆனால் குறை உண்மைஎனின் நிறையின் உண்மையைப் பெற முடியாது எனவே குறை எடுப்பு பொய் எனின் நிறையெடுப்பு பொய்
I எடுப்பு பொய் எனின் A எடுப்பு பொய் ஆகும். 0 எடுப்பு பொய் எனின் E எடுப்புப் பொய் ஆகும். குறை எடுப்பு உண்மை எனின் நிறை எடுப்பு சந்தேகம். 1 எடுப்பு உண்மை எனின் A எடுப்பு சந்தேகமாகும் 0 எடுப்பு உண்மை எனின் E எடுப்பு சந்தேகம்.
நடைமுறையில் இல் லாத அங்கத்தவர் களை எடுப்பு முரண்பாட்டின் மூலம் அனுமானிக்க்கும் போது.. மறுதலை உபமறுதலை, வழிப்பேறு என்பவற்றில் போலிகள் ஏற்படுகின்றன. ஏனெனில் பெறப்படும் முடிவு உண்மையாகவோ அல்லது பொய்யாகவோ இருக்கும்போது நடைமுறையில் அங்கத்தவர்கள் இல்லாது இருப்பதினால் எடுப்பு முரண்பாட்டில் உண்மையென அனுமானித்தது உண்மையில்லை பொய்யென அனுமானித்தது. பொய்யில்லை (உ - ம்) எல்லா ரக்கன்களும் வாயில் இருந்து தீயை வெளியிடும்
மிருகங்கள் ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 38
எடுப்பு முரண்பாட்டு அட்டவணை
தரவு A Ε O 1. Aஉண்மை Ð Göstaoud || G. untui 2. || A. GNL u Tui சந்தேகம் சந்தேகம் உண்மை 3.1 E உண்மை G)LIfTlii 6)ւյուն உண்மை 4. B பொய் சந்தேகம் உண்மை சந்தேகம் 5. உண்மை சந்தேகம் (o)L/TLij சந்தேகம் 6. || I GNU (Tui Glirti உண்மை N உண்மை |
7. O உண்மை G)LJsTuin சந்தேகம் சந்தேகம். 8. || O GNL u Tui g> 6ððI60)LD GDL I Tui gC 6ð5760)LD
நிபந்தனை எடுப்புக்களினதும், உறழ்வு எடுப்பு க்களினதும் எடுப்பு முரண்பாடு
நிபந்தனை எடுப்புக்களில் அறுதி எடுப்புக்களில் A,E,I,O எடுப்பிற்கு சமமாகப் பொருந்தக் கூடிய எடுப்புக்களை அமைக்கலாம். ஆனால் உறழ்வு எடுப்புக்களில் அறுதி எடுப்பில் உள்ளA, எடுப்புக்களை மட்டுமே அமைத்துக் கொள்ளமுடியும். உறழ்வு எடுப்புக்களில் மறை எடுப்புக்களை அமைத்தாலும் அவைகள் உறழ்வு எடுப்பு அல்ல என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். நிபந்தனை எடுப்புக்கள். A எந்த S உம் M எனின் அந்த S எப்போதும் P ஆகும்
எந்த S உம் M எனின் அந்த S ஒரு போதும் P அல்ல. ஒரு S , M எனின் அந்த S , P ஆகலாம்
மேல் காட்டப்பட்ட நிபந்தனை எடுப்புக்களில் உருவங்கள் மிகவும் பொருத்தமான உருவங்கள் ஆகும். கீழ் வரும் உருவங் களையும் கவனித்தல் வேண்டும். A: (1) S , M எனின் P ஆகும் (1) A எனின் X B: (2) S , M எனின் P அல்ல (2) Aஎனின் X அல்ல 1 : (3) S, M எனின் P ஆகலாம் (3) Aஎனின் சிலவேளைX O: (4)S,Mஎனின் ஆகாதிருக்கலாம் (4)Aஎனின் X இன்றியமையாமைஅல்ல இவ்நிபந்தனைஎடுப்புக்களுக்கும் அறுதிஎடுப்பிற்கும் பொரு ந்திய மறுதலை, உபமறுதலை, எதிர் மறுமறை, வழிப் பெறுகை என்பவை பொருந்தும். உறழ்வு எடுப்பு க்கள் : வெவ்வேறான எழுவாய்களைக் கொண்ட மாற்றுக்கள் வரும் உறழ்வெடுப்புக்களை உணர்த்து
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 72 ஆசிரியர் : க. கேசவன்
ஒரு S, M எனின் அந்த S , P ஆகவேண்டும் என்பதில்லை
s
 
 
 
 

வதற்கு ஒன்றில் X அல்லதுY எனும் வடிவமே மிகவும் பொருத்த மானதுஆகும். இந்த உருவத்தில் வரும் உறழ்வெடுப்புக்கள் தனி எடுப்புக்களாக கொள்ளப்பட வேண்டியது ஆகும். இதற்கு எதிர் மறையான எடுப்பு ஒன்றில் Xஉம் அல்ல Yஉம் அல்ல. ஆனால் இது தனியே ஓர் உறழ்வு எடுப்பு தீர்மானம் அல்ல என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். இதற்கு எடுப்பு முரண்பாடு பொருந்தாது
ஒரே எழுவாய்க்கு மாற்றுக்களாக பல பயனிலைகள் வருகின்றன . அதிக பூரணமான உறழ்வுஎடுப்புக்கள் அளவால் வேறுபடும் எடுப்புக்களையும் தம்முள்ளே கொண்டிருக்கும். இவ்வெடுப்பு க்களுக்கு மறுதலைகளாகவோ அல்லது எதிர் மறைகளாகவோ உள்ள எதிர்ப்பண்புடைய எடுப்புக்ளைப் பெறுதல் சாத்தியமாகும். உறழ்வு எடுப்புக்களில் அகலம் குறிக்கின்ற எடுப்புக்களிலேயே A,E,I,O வகையைக் காணலாம்.
A : ஒவ்வொரு S உம் ஒன்றில் A அல்லது B B : எந்த ஒரு S உம் ஒன்றில் Aயும் அன்று B யும் அன்று 1 : சில S கள் ஒன்றில் A அல்லது B O: சில S கள் A யும் அல்ல B யும் அல்ல.
ஆனால் மறைஉருவங்களில் வருகின்றவை உறழ்வு எடுப்புக்கள் அல்ல என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். உறழ்வு எடுப்புக்களுக்கு A, ஆகிய விதியுருவங்களே பொருந்தும் இதனால் எடுப்பு முரண்பாட்டின் எல்லா வகைகளும் பொருந்தாது. 1.மறுதலைத் தொடர்பு: மறைஎடுப்பு இல்லாதபடியினால் இல்லை
2. உப மறுதலை மறைஎடுப்பு இல்லாத படியினால் இல்லை
3.எதிர் மறை மறைஎடுப்பு இல்லாத படியினால் இல்லை
4வழிப்பேறு A1 A1 தொடர்பு கீழ்த்திசைத் தொடர்பு மட்டும்
பொருந்தும். " .
எனவே எடுப்புமுரண்பாட்டுக் கொள்கை உறழ்வு எடுப்புக்க ளுக்கு முற்றாகப் பொருந்தமாட்டாது எனக் கூறுவதே பொருத்த முடையது ஆகும். வெளிப்பேறு அனுமானம் :
உண்மையென்று ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட எடுப்பில் இருந்து எழுவாய் அல்லது பயனிலை அல்லது இரண்டினாலும் அதிலிருந்தும் வேறுபடும் ஆனால் அதன் உண்மையில் இருந்து உட்கிடையாகப் பெறப்படும் பிற எடுப்புக்களைப் பெறும் உடன் அனுமான நெறியே வெளிப்பேறு அனுமானம் எனப்படும்.
ஒவ்வோர் அறுதிஎடுப்பும் ஏதோவோர் எழுவாய் பற்றி ஏதோ வோர் பயனிலை வழியால் ஒரு செய்தியைக் கூறுகின்றது. ஆனால் இப்பதங்கள் ஒவ்வொன்றுக்கும் மறைகள் உள்ளது என்பது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 73 ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 39
தெளிவாகும். எனவே ஒவ்வோர் அறுதியெடுப்பும் நேரடியாகவோ அல்லது மறை முகமாகவோ எமக்கு நான் கு பதங் களை உணர்த்துகின்றது. இதனால் பின்வரும் நான்கு பிரதான வெளிப்பேறு அனுமானவகை உருவாகின்றன. இவை சொல்ல ளவில் மட்டுமல்லாது சிந்தனையில் அமைந்த தீர்மான அமைப்பிலும்
மாறுபட்டவை எனலாம். (1) மறுமாற்றம் : மூல் எடுப்பின் எழுவாய் மாறாது பயனிலை
மறுக்கப்படுவதால் உண்டாவது .. (2) எதிர்மாற்றம் :அனுமானிக்கப்பட்ட எடுப்பின் எழுவாய் P ஆகவும்
பயனிலை S அல்லது S அலது ஆகவும் இருக்கும். (3) எதிர்வைப்பு: அனுமானிக்கப்பட்ட எடுப்பின் எழுவாய் P அலது
ஆகவும் பயனிலை S அல்லது S அலது ஆகவும் இருக்கும் (4) நேர்மாற்றம் : அனுமானிக்கப்பட்ட எடுப்பின் எழுவாய் S அலது
ஆகவும் பயனிலை P அல்லது P அலது ஆகவும் இருக்கும்.
வெளிப்பேறு அனுமான முறைகளால் பெறப்பட்ட முடிவுகள் மூல எடுப்பில் உள்ளமைந்து இருப்பதோடு மூல எடுப்புக்கூறும் உண்மையை கிளத்தாது விடின் வெளிப் பேறு அனுமானங்கள் வலிதான வாதங்களாக ஏற்றுக் கொள்ளப்பட மாட்டாது.
கார் மேலே கூறப்பட்ட வெளிப்பேறு அனுமான பிரதான வகைகளான மறுமாற்றம், எதிர்மாற்றம், எதிர் வைப்பு, நேர்மாற்றம் என்பவற்றுடன் இன்னும் மூன்று உப பிரிவுகள் காணப்படுகின்றன. அவையாவன மறுமாற்றிய எதிர்மாறு மறுமாற்றிய எதிர்வைப்பு மறுமாற்றிய நேர்மாறு என்பவை ஆகும். இவ்வெளிப்பேறு ஏழு வகைகளுக்கும் மறுமாற்றம், எதிர்மாற்றம் என்பவையே அடிப்படை யானவை ஆகும். இவை இரண்டையும் இணைப்பதன் மூலமே ஏனைய ஐந்து வகைகளும் ஆகும். (1) மறுமாற்றம்: மூல எடுப்பின் கருத்து மாறாது இருக்கை யில் எழுவாய் பயனிலையோடு தொடர்புபட்டிருக்கும் முறையில் பண்பில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்துவதன் முலம் பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானம் மறுமாற்றம் எனப்படும். இங்கு மூல எடுப்பு மறுமாற்று எனவும் முடிவு மறுமாறு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
மறுமாற்றம் நியமரீதியில் வாய்ப்பாக அமைவதற்கு பின்வரும் விதிகளுக்குள் உட்படுதல் வேண்டும். .. (1) பயனிலைப் பதத்திற்கு எதிர்மறைப்பதம் அமைத்தல் வேண்டும்.
-- பயனிலைப் பதங்களுடன் அல்லாதன எனும் சொல்லைச் சேர்ப்பதன் மூலம் எதிர்மறைப்பதத்தைப் பெறலாம். (உ-ம்) கறுப்பு நிறம் ஓர் எடுப்பில் பயனிலைப்பதம் எனின் கறுப்பு நிறமல்லாதன எதிர்மறைப்பதமாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 174 ஆசிரியர் : க. கேசவன் )

(3)
(2) பண்பை மாற்ற வேண்டும். பண்பு விதியாக இருந்தால் மறையாக
மாற்ற வேண்டும். பண்பு மறையாக இருந்தால் விதியாக மாற்ற வேண்டும். (உ-ம்) ஆவர்; ஆகும் என்பவை இருந்தால் அல்லர், அல்ல, எனமாற்ற வேண்டும். அல்லர், அல்ல, என இருந்தால் ஆவர், ஆகும் என மாற்றுதல் வேண்டும். அளவு மாறக்கூடாது மூல எடுப்பில் அளவு நிறையாக இருந்தால் முடிவிலும் நிறையாக இருத்தல் வேண்டும்.மூல் எடுப்பில் அளவு குறையாக இருந்தால் முடிவிலும் குறையாக இருத்தல் வேண்டு மென இவ்விதி கூறுகின்றது .(உ- ம்)
மூ. எ A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP
ம E மனிதர்கள் எவரும் இறக்காதவர் அல்லர்.
ஃS E P மூ. எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்
SE P ம A மனிதர்கள் அனைவரும் இறக்காதவர் ஆவர் ஃ S AP மூ. எ | சில மனிதர்கள் இறப்பவர்கள் ஆவர்
SIP ம 0சில மனிதர்கள் இறக்காதவர் அல்லர்.
ஃS OP மூ. எ 0 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்
SOP ம [ சில மனிதர்கள் இறக்காதவர் ஆவர்.
ஃSIP விதி எடுப்புக்களின் மறுமாற்றங்கள் யாவும் எதிர்மறை விதியைக் கொண்டே அமைகின்றன. மறை எடுப்புக்களின் மறுமாற்றங்கள் யாவும் நடுப்பத விலகல் விதியைக் கொண்டே அமைகின்றன. மூல எடுப்பின் பொருள் மாற்றமின்றி முடிவில் பெறப்படுகின்றது. இதற்கு சிந்தனை தேவையில்லையாதலால் உண்மையான அனுமா னம் என இதனை அழைக்க முடியாது. ஆனால் எதிர் வைக்கையின் முதல்படி என்ற வகையில் இது பயனுடையது ஆகும். ஒழுங்கற்ற மறைப்போலி : பயனிலைப் பதத்திற்கு எதிர் மறைப்பதம் அமைத்தல் வேண்டும் எனும் விதியை மீறும் போது ஏற்படும் போலி ஒழுங்கற்ற மறைப் போலி எனப்படும். (உ - ம்) Aமனிதர்கள் அனைவரும் வெள்ளையானவர் ஆவர். E மனிதர்கள் எவரும் கறுப்பானவர் அல்லர். வெள்ளையானவர் கறுப்பானவர் என்பவற்றுக்கிடையே இடைப்பட்ட நிலைகள் இருக்கக் கூடுமாதலால் இங்கு எதிர் மறைத் தத்துவம் பொருந்தாது. எனவே பயனிலைப்பதம் அல்லாதன என்பவற்றை
சேர்ப்பதன் மூலமேசரியான எதிர் மறைப்பதத்தைப் பெறலாம். (2) எதிர் மாற்றம் : ஓர் எடுப்பில் அமைந்திருக்கின்ற பதங்களை
இடம்மாற்றி பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானம் எதிர்மாற்றம் எனப்படும். உண்மையில் கருத்துக்குறிப்பிலிருந்து அகலக்கு றிப்பிற்கு மாற்றம் நிகழுகின்ற மூல எடுப்பு எதிர்மாற்றுரு எனவும்
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 175 " ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 40
முடிவு எதிர்மாறு எனவும் அழைக்கப்படும். எதிர்மாற்றம் நியம் ரீதியில் வாய்ப்பாக அமைவதற்கு பின்வரும் விதிகளுக்குள்
உட்படுதல் வேண்டும். (1) எடுகூற்றில் வியாப்தி அடையாத பதங்கள் முடிவுக்கூற்றில்
வியாப்தியடைதல் கூடாது.
ஓர் எடு கூற்று ஒன்றிலே எழுவாய்ப்பதம் பயனிலைப் பதம் எனும் இரண்டு பதங்கள் காணப்படும். இப்பதங்கள் எடு கூற்றில் வியாப்தியடையாது இருந்தால் முடிவிலும் வியாப்தியடையாது இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது. ஆனால் எடு கூற்றில் வியாப்தியடைந்த பதங்களைப்பற்றி விதி அக்கறை கொள்ளவில்லை. எனவே எடு கூற்றில் வியாப்தியடைந்த எழுவாய் பயனிலைப்பதம் முடிவில் வியாப்தியடைந்தும் இருக்கலாம் வியாப்தியடையாமலும் இருக்கலாம். இவை வாய்ப்பானவை ஆகும் ஆனால் எடு கூற்றில் வியாப்தியடையாத பதம் முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தியடைந்தால்
ஒழுங்கற்ற எதிர் மறை மாற்றம் எனும் போலி ஏற்படும். (2) பண்பு மாறக்கூடாது ஓர் எடுப்பின் பண்பு எடுகூற்றில் விதியாக
இருந்தால் முடிவிலும் விதியாக இருக்க வேண்டும். எடுகூற்றில் பண்பு மறையாக இருந்தால் முடிவிலும் மறையாக இருக்க வேண்டும். அதாவது எதிர் மாற்றத்தால் ஒரு எடுப்பின் எழுவாய் ! பயனிலை மட்டுமே இடம் மாற்றப்படுகின்றதே ஒழிய பண்பு அவ்வாறே இருக்கும் என்பதேயாகும். (உ- ம்)
மூ.எ A மனிதர்கள் அனைவரும் ( இறப்பவர்) ஆவர்SAP
A( இறப்பவர் ) அனைவரும் மனிதர்கள் ஆவர்.PAS மூலஎடுப்பு Aயில் பயனிலையில் வியாப்தியடையாது இறப்பவர் எனும் பதம் முடிவுக்கூற்றில் A யில் எழுவாயில் வியாப்தியடை ந்துள்ளது. இதனால் முதலாம் விதியை மீறுகின்றது. இதனால் Aஎடுப்பை எடுப்பாக மாற்ற வேண்டும். இது நிறையில் இருந்து குறைக்கு அளவு மாற்றம் நிகழ்கின்றது. இதனை அரிஸ்ரோட்டல் பகுதி பற்றிய எதிர் மாற்றம் எனப் பொருள்பட அழைத்தார். ஆனால் இப்போது இது வரையறை முறை எதிர் மாற்றம் என - குறிப்பிடப்படுகின்றது. மூ.எ Aமனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP
1 இறப்பவரில் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர் - ஃ PIS ஆனால் சிலவேளைகளில் வரைவிலக்கணங்களில் கூறியது கூறல் எடுப்புக்களில் தனிப்பொருட் பதங்களையே எழுவாயாகவும் பயனிலையாகவும் கொண்ட எடுப்புக்களில் A எடுப்பின் எதிர் மாற்றம் A எடுப்பாகவே அமையும்
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I I76 | ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

(உ- ம்) முக்கோணங்கள் அனைத்தும் மூன்று கோடுகளால் மூடிய தளவுருவங்கள் ஆகும் என்பது எவ்வளவு உண்மையோ அவ்வளவிற்கு மூன்று கோடுகளால் மூடிய தளவுருவங்கள் அனைத்தும் முக்கோணம் ஆகும் என்பதும் உண்மையே ஆகும். ஆனால் அதன் உண்மை புறம்பானவோர் நிரூபணத்தால் நிறுவ ப்படல் வேண்டும். அவ்விரண்டு எடுப்புக்களும் பதங்களின் கருத்தால் உண்மைய்ாகின்றன. எனவே முன்னையதன் உண்மையில் இருந்து பின்னையதன் உண்மை எதிர் மாற்றத்தின் மூலம் பெற ப்படுவது இல்லை. ஏனெனில் எதிர்மாற்றம் என்பது முற்றிலும் நியம முறையான ஓர் அனுமான நெறிஆகும். எனவே Aஎடுப்பின் எதிர்மாற்றம் எடுப்பு எனும் விதி அமைகின்றது. மூ. எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர் SEP
E இறப்பவர்கள் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர் ஃPES
B எடுப்பில் அளவில் மாற்றம் ஏற்படாதவாறு எதிர்மாற்றம் செய்யலாம். அதாவது E எடுப்பின் எதிர்மாற்றம் E எடுப்பு ஆகும். ஏனெனில் SEPல் Pயினால் குறிப்பிடப்படும் பண்புகள் வேறு பொருட்களில் காணப்படலாமே ஒழிய S இனால் குறிப்பிடப்ப்டும் பொருள் எதிலும் காணப்பட மாட்டாது எனக் கூறுவதே SEPஆகும். எனவே Pகாணப்படும் பொருள் எதனிலும் அத்தோடு Pபொருட்பதமாகப் பிரயோகிக்கப்படும் போது அதனால் குறிப்பிடப்படும் பொருள் எதனிலும் S ஆற் குறிப்பிடப்படும். பண்புகளைக் காணல் அரிது Sஆற் குறிப்பிடப்படும் பொருள்க ளுக்கும் Pஎனும் பண்புடைய பொருட்களுக்கும் இடையே தொடர்பு இல்லை. ( பிரிவு பூரணமானது) அதனால் இப்பிரிவு இருபாற்ப ட்டதும் கூட நாம் இவ்வெடுப்பை Sஇன் பக்கத்தில் இருந்து பார்த்தாலென்ன P பக்கத்திலிருந்து பார்த்தாலென்ன ஒவ்வொரு தனி S உம் ஒவ்வொரு தனி P யிலிருந்தும் வேறுபடுகின்றது: ஆகவே தான் நாம் SEPயை PES என எதிர் மாற்றம் செய்யலாம். மூ. எ சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் SIP
1 இறப்பவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர் PS
எடுப்பில் உள்ள இரண்டும் பதங்களுமே வியாப்தியில்லை யாதலால் நாம் எளிமையான எதிர்மாற்றம் செய்வதால் எதிர் மாற்றவிதி எதுவும் மீறப்படமாட்டாது. ஆகவே SIP,PISஎன எதிர் மாற்றம் செய்யப்படுகின்றது. உதாரணத்தில் மேலே பயன்படுத்திய சில என்பது வரையறையற்ற முறையில் நிற்கின்றது என்பது உண்மை. மேலும் I யின் எளிமையான எதிர் மாற்றம் ஆனது எடுகூற்றிலும் முடிவிலும் வரும் எழுவாயினதும் முழு அகலக் குறிப்பில் ஒரே விகிதத்திற்குட்பட்ட அளவையே இவற்றில் பிரயோகிக்கின்றோம். ஆனால் சில எனும்சொல் குறிக்கின்றதெனக்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 77 ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 41
கருதவில்லை.
மூலஎடுப்பின் எழுவாய் சாதியாகவும் பயனிலை அச்சாதியின் ஓர் இனமாகவும் இருப்பின் அவ்வெடுப்பின் எதிர்மாற்றம் சிந்தனையின் வலுவைப் புலப்படுத்தமாட்டாது. (உ - ம்) 1 சில மாந்தர் சிறுவர்கள் ஆவர்.
I சில சிறுவர்கள் மாந்தர் ஆவர். மூ.எ 0 சில ( மனிதர்கள்) இறப்பவர் அல்லர். எ - 0 இறப்பவர் சிலர் ( மனிதர்கள்) அல்ல.
மூலஎடுப்பில் 0 எடுப்பில் எழுவாயில் வியாப்தியடையாத மனிதர்கள் எனும் பதம் முடி வுக் கூற்றில் எடுப்பில் பயனிலையில் வியாப்தி அடைந்துள்ளது. எனவே முதலாம் விதி மீறப்படுவதினால் 0 எடுப்பிற்கு எதிர்மாற்றம் இல்லை.
- சில Sகள் Pஎனும் பண்புடையன அல்ல எனக்கூறும் SOP சாத்தியமான ஏனைய Sகள் பற்றி ஒன்றும் கூறவில்லை. எனவே எழுவாய்க்கு உட்படும் சில Sகள் Pஎனும் பண்பையுடைய எல்லாவற்றலிருந்தும் முற்றாக பிரிக்கப்பட்டுளன. எனினும்S கள் யாவற்றிலும் Pஐ உடையன யாவும் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது எனக் கூற முடியாது. Pஆக இல்லாத S கள் இருத்தல் கூடும் எனினும் ஒவ்வொரு Pயும் Sஆக இருத்தல் சாத்தியமே ஆகும். உதாரணமாக சில மாணவர்கள் நாணயமுடையவர்கள் அல்லர் என்பதில் இருந்து நாணயமுடையவர் சிலர் மாணவர் அல்லர் என்பதை அனுமானிக்க முடியாது. ஆனால் 0 எடுப்புக்கள் பொருளோடு ஒத்த முறையில் உண்மையாக இருக்கக் காணலாம். (உ-ம்) மூ.எ 0 சில மனிதர்கள் கறுப்பானவர் அல்லர்.
எ 0 கறுப்பானவை சில மனிதர் அல்ல. இவை உண்மையான எடுப்புக்கள் எனினும் இரண்டில் ஒன்றா யினும் மற்றதிலிருந்து நியம் முறையாகப் பெறப்பட்டது அல்ல.
எனவே நான்கு வகையான (A,E,1,O) எடுப்புக்களுக்கு மறுமாற்றம் எதிர் மாற்றம் பின்வருமாறு அமையும்.
மூ.எ
மறுமாற்றம்
எதிர் மாற்றம்
ய 4 0
ம் -
இல்லை இவ்விரண்டு மாற்றமான மறுமாற்றமும் , எதிர்மாற்றமும் ஏனைய ஐந்து வகை மாற்றங்களிலும் பயன்படுத்தப்படும். ஒழுங்கற்ற எதிர்மாற்றம் : எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத பதங்கள் முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும் விதி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 78 |
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

மீறப்படும் போது ஏற்படும் போலி ஒழுங்கற்ற எதிர்மாற்றம் எனப்படும். (உ - ம்) (1) மூ. எ A மனிதர்கள் அனைவரும் ( இறப்பவர்) ஆவர்.
A (இறப்பவர் ) அனைவரும் மனிதர்கள் ஆவர். மூ. எ 0 சில ( மனிதர்கள் ) இறப்பவர் அல்லர்.
எ 0 இறப்பவர் சிலர் ( மனிதர்கள்) அல்லர். (iii) மறுமாற்ற எதிர்மாற்றம் : S-P ஃ P-S மூலஎடுப்பின் எழுவாயின் மறையை பயனிலையாகக் கொண்ட பிறிதோர் எடுப்பை பெறும் அனுமானம் மதமாற்ற எதிர்மாற்றம் எனப்படும். மூலஎடுப்பிற்கு முதலில் எதிர்மாற்றம் செய்து பின்னர் எதிர் மாற்றம் செய்யப்பட்ட எடுப்பிற்கு மறுமாற்றம் செய்வதாகும். (உ-ம்) மூ.எ A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP
எ 1 இறப்பவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர்.
PIS ம 0 இறப்பவர் சிலர் மனிதரல்லாதவர் அல்லர் POS மூ.எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்!
SEP எ E இறப்பவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர்
PES ம A இறப்பவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர் ஃ PAS
மூ.எ 1 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்
SIP எ 1 இறப்பவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர்
PIS ம 0இறப்பவர் சிலர் மனிதரல்லாதவர் அல்லர் ஃ POS 0 எடுப்பிற்கு எதிர் மாற்றம் செய்ய முடியாது இதனால் மறுமாற்ற
எதிர்மாற்றமும் செய்ய முடியாது (iv) எதிர் வைக்கை: S - P ஃP- S
மூலஎடுப்பின் பயனிலையின் மறையை எழுவாயாகக் கொண்ட பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானம் எதிர்வைக்கை எனப்படும். மூலஎடுப்பிற்கு முதலில் மறுமாற்றம் செய்து பின்னர் மறுமாற்றம் செய்யப்பட்ட எடுப்பிற்கு எதிர்மாற்றம் செய்வதாகும். (உ - ம்) மூ.எ Aமனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP
ம E மனிதர்கள் எவரும் இறக்காதவவர் அல்லர் SEP
எ E இறக்காதவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர் ஃ PES மூ. எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்
SEP ம Aமனிதர்கள் அனைவரும் இறக்காதவர் ஆவர் SAP எ 1 இறக்காதவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர்
ஃ PIS மூ.எ 0 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்
SOP ம 1 சில மனிதர்கள் இறக்காதவர் ஆவர்
SIP எ 1 இறக்காதவர் சிலர். மனிதர்கள் ஆவர்
ஃ PIS
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 79. ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 42
- 1 எடுப்பை மறுமாற்றம் செய்வதால் 0 எடுப்பு வரும். 0 எடுப்பிற்கு எதிர்மாற்றம் இல்லை இதனால் எடுப்பிற்கு எதிர் வைப்பு இல்லை எதிர்வைக்கை எப்போதும் மூல எடுப்பில் இருந்து பண்பால் வேறுபடும் எடுப்பைத் தரும். எதிர்வைக்கை சில வேளை களில் மறுப்பு வழி எதிர் மாற்றம் எனக் குறிப்பிடப்படுவதுண்டு. 0 எடுப்புக்கள் இந்நெறிக்குள் உட்படுத்தப்படலாம். உண்மையில் 0 எடுப்புக்கள் வரும் ஒரே ஒரு எதிர்மாற்றம் இதுவே ஆகும். ஆனால் எதிர் வைப்பின் எழுவாய்எதிர்மாற்றின் எழுவாய் அல்ல ஆதலால், இப்பொருளில் எதிர் மாற்றம் எனும் பத்த்தை உபயோகிக்காது விடுதல் சிறந்தது ஆகும். அன்றியும் எதிர்வைப்பும், எதிர் மாறும் அளவாலும் மாறுகின்றன. உண்மையில் இருவழியாலும் உதவக் கூடிய ( எழுவாயில் இருந்து பயனிலைக்கு செல்வது மட்டுமல்லாது பயனிலையில் இருந்து எழுவாய்க்கு செல்லக் கூடிய ) எடுப்புக்களைப் பெறுவதே விஞ்ஞா னத் தின் நோக்கமாகும். இத்தகைய எடுப்புக்களின் பயனிலையானது எழுவாய்க்கே அன்றி வேறு எதற்கும் சேராத முறையில் திட்டவட்டமான உருவத்தில் தரப்படுகின்றது. இதன் காரணமாக இவ்வெடுப்பின் மூலம் பெறப்படும் அறிவு எவ்வளவு திட்டவட்டமாய் இருத்தல் சாத்தியமோ அவ்வளவு திட்டவட்ட மானதாய் இருக்க காணப்படும். இது எதிர்வைக்கையின் முக்கிய பயன்பாடு ஆகும். (V)மறுமாற்ற எதிர் வைப்பு :- S - P ஃ P - S
மூல எடுப்பின் எழுவாயின் மறையைப் பயனிலையாகக் கொண்ட தும் பயனிலையின் மறையை எழுவாயாகக் கொண்டதுமான பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானம் மறுமாற்ற எதிர் வைப்பு எனப்படும்.- மூல எடுப்பிற்கு முதலில் மறுமாற்றம் செய்து மறுமாற்றம் செய்யப்பட்ட எடுப்பிற்கு எதிர் மாற்றம் செய்து எதிர் மாற்றம் செய்யப்பட்ட எடுப்பிற்கு மறுமாற்றம் செய்வதாகும்.
சுருக்கமாக கூறுவதாயின் எதிர் வைக்கைக்கு மறுமாற்றம் செய்வதாகும். (உ-ம்) மூ.எA மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்
SAP ம E மனிதர்கள் எவரும் இறக்காதவர் அல்லர். எ E இறக்காதவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர்
PES
ம A இறக்காதவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர். ஃ PAS மூ.எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்.
ம A மனிதர்கள் அனைவரும் இறக்காதவர் ஆவர். SAP எI இறக்காதவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர்.
ம 0 இறக்காதவர் சிலர் மனிதரல்லாதவர் அல்லர். ஃ POS
SE P
SEP
PIS
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 180
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

(vi)
மூ.எ O சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர் | SOP
ம சில மனிதர்கள் இறக்காதவர் ஆவர் SIP
எ 1 இறக்காதவர் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர் PIS
ம O இறக்காதவர் சிலர் மனிதரல்லாதவர் அல்லர் ஃ POS
எடுப்பிற்கு எதிர்வைக்கை இல்லை இதனால் மறுமாற்ற எதிர் வைப்பும் இல்லை. சில அளவையியலாளர்கள் மறுமாற்ற எதிர்வைக்கையை மட்டும் எதிர்வைப்பு எனும் பெய ரிடலாம் எனக் கூறுவர். பழைய அளவையியலாளர்கள் அனைவரும் எதிர்வைக்கை என்பது ஓர் வகை எதிர்மாற்றம் ஆதலால் மூல எடுப்பின் பண்பில் மாற்றம் ஏற்படக் கூடாது எனக் கருதிய படி யால் மேற் கூறிய கருத்தைத் தழுவியிருந்தனர். எனினும் மூல எடுப்பின் ஒரு பதத்தை மாற்றமின்றிப் பெறப்படுவதை எதிர் வைப்பு எனவும் அதிலிருந்து மறுமாற்றத்தின் மூலம் பெறப்ப ட்டதை மறுமாற்ற எதிர்வைப்பு எனவும் பொருத்தமாகக் கூறிக் G) 55/T6T 6T 6U TLD.
நேர்மாற்றம் :S. P. ஃ S P
மூலளடுப்பின் எழுவாயின் எதிர் மறையை எழுவாயாகக்
கொண்ட பிறிதோர் எடுப்பை பெறும் அனுமானம் நேர்மாற்றம்
எனப்படும். இங்கு மூல எடுப்பு நேர்மாற்றுறு எனவும் முடிவு
நேர்மாறு எனவும் கூறப்படும்.
A,Bஆகிய நிறை எடுப்புக்களுக்கு மட்டுமே நேர்மாற்றம் உண்டு. A எடுப்பின் நேர்மாற்றமானது மறுமாற்றத்தில் ஆரம்பித்து இம் முறைகளை ஐந்து தடவை மாறி மாறி பிரயோகித்தல் வேண்டும். E எடுப்பின் நேர் மாற்றம் ஆனது எதிர் மாற்றத்தில் ஆரம்பித்து இம்முறைகளை மூன்று தடவை மாறிமாறி பிரயோகித்தல் வேண்டும். 1,0ஆகிய குறை எடுப்புக்களுக்குக் நேர்மாற்றம் இல்லை. ஏனெனில் இடையில் எதிர்மாற்றம் செய்ய முடியாது. - (உ-ம்) மூ. எAமனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP ம E மனிதர்கள் எவரும் இறக்காதவர் அல்லர் SEP E இறக்காதவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர் PES A இறக்காதவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர் PAS மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறக்காதவர் ஆவர் SIP
O மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறப்பவர் அல்லi ஃ SOP மூ. எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர் SEP எ E இறப்பவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர் PES
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 81 ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 43
ம A இறப்பவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர். PAS எ I மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறப்பவர் ஆவர்
ஃ SIP
(vii) மறுமாற்ற நேர் மாற்றம் S-Pஃ S - P
மூலஎடுப்பின் எழுவாயின் மறையை எழுவாயாகக் கொண்டதும் பயனிலையின் மறையை பயனிலையாகக் கொண்டதுமான பிறிதோர் எடுப்பை பெறும் அனுமானம் மறுமாற்ற நேர்மாற்றம் எனப்படும். சுருக்கமாக கூறினால் நேர்மாற்றத்திற்கு மறுமாற்றம் செய்வது ஆகும். 1,0 ஆகிய எடுப்பிற்களுக்கு நேர்மாற்றம் இல்லாதபடியினால்
மறுமாற்ற நேர்மாற்றமும் இல்லை. (உ - ம்) மூ. எ Aமனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் SAP ம E மனிதர்கள் எவரும் இறக்காதவர் அல்லர்
SEP எ E இறக்காதவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர்
P ES ம A இறக்காதவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர்
PAS எ ( மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறக்காதவர் ஆவர்
SI P ம 0 மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறப்பவர் அல்லர்
S OP ம 1 மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறக்காதவர் ஆவர்
SIP
மூ.எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்
SEP
எம்.
E இறப்பவர் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர்
PES A இறப்பவர் அனைவரும்மனிதரல்லாதவர் ஆவர் PAS
மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறப்பவர் ஆவர்
SIP 0 மனிதரல்லதவர் சிலர் இறக்காதவர் அல்லர்
SO P வெளிப்பேறு அனுமான அட்டவணை
5 2 5
மூ எ
SAP
SEP SAP
SIP SOP
SOP SIP
மறு மாற்றம்
SEP
எதிர்மாற்றம்
PIS
PES
PIS
மறுமாற்ற எதிர் மாற்றம்
POS
PAS
POS
எதிர் வைப்பு
PES
PIS
X
PIS
( 0 + ம் 6 |
மறுமாற்ற எதிர் வைப்பு
PAS
POS
POS
SOP
SIP
நேர்மாற்றம் மறுமாற்ற நேர்மாற்றம்
SIP
SOP
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க, கேசவன்

நிபந்தனை உறழ்வு எடுப்புக்களின் வெளிப்பேறுகள்
எடுப்பு முரண்பாடு நிபந்தனை, உறழ்வு எடுப்புக்களுக்கு எவ்வாறு பொருந்தும் எனக் கொள்ளப்பட்டதோ அதே போல வெளிப் பேறு அனுமான வகைகளும் பொருந்தும் எனக் கூறப்படுகின்றது. நிபந்தனை எடுப்புக்க்ளில் A,E,I,O ஆகிய எடுப்புக்களையும் உறழ்வு எடுப்பில் A, ஆகிய எடுப்புக்களையும் அமைத்துக் கொள்ளக்கூடியதாக இருப்பதினால் வெளிப்பேறு அனுமானம் பொருந்தும் எனும் நம்பிக்கை ஏற்படுகின்றது.
இக்கருத்தை நாம் ஏற்றுக் கொண்டுநான்கு வகை அறுதியெடு ப்பிற்களுக்கும் ப்ொருந்தும் உருவங்களை நிபந்தனை எடுப்புருவ ங்களுக்குத் தரலாம். வெளிப்பேறு அனுமான அட்டவணையும் இதற்குப் பொருந்தும்ஆனால் எடுப்பு உருவங்களை அவற்றின் உட்பொருளை நேரே உணர்த்தும் முறையில் தராது அகலம் குறிப்பனவான திட்டவட்டமான முறையில் தருவது சிறந்தது ஆகும். இவ்வுருவங்கள் கருத்தளவான உருவங்களுக்கு சமனாகும். நிபந்தனை, உறழ்வு எடுப்பிற்கான நியம வடிவங்கள் எடுப்பு முரண்பாடு எனும் பகுதியில் தரப்பட்டுள்ளது.
உறழ்வு எடுப்புக்களைப் பொறுத்த வரையில் ஒரு எழுவாய்க்கு ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட மாற்றுக்களைக் கொண்ட உறழ்வு எடுப்பை அமைக்கலாம். இவற்றில் இருந்து வெளிப்பேறு வகைகளையும் பெற்றுக் கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு பெறப்படும் அனுமானங்கள் உறழ்வு எடுப்பாக அமைய மாட்டாது. அத்துடன் அது ஓர் செயற்கையான அனுமான நெறியாக அமைவதினால் அது பற்றி நாம் அதிகம் ஆராய வேண்டிய அவசியமில்லை. A எடுப்பின் வழிப்பெறுகைகளை பின்வரும் குறியீட்டு முறையில் தரலாம். மு.எ A யாதும் S,M எனின் எப்போதும் அந்த S ,P ஆகும். (1) மறுமாறு : E - யாதும் SMஎனின் ஒருபோதும் அந்த SPஅல்ல (2) எதிர்மாறு : 1. ஓர் S.Pஎனின் சிலவேளைகளில் அந்த SM ஆகும் (3) மறுமாற்ற எதிர் மாறு 0-ஓர் S.Pஎனின் சிலவேளைகளில் அந்த
- S,Mஅல்லாதது அன்று (4)எதிர் வைப்பு: E - யாதும் S, Pஅன்று எனின் ஒருபோதும் அந்த
- S,M_9|6öTg)/ (5) மறுமாற்ற எதிர்வைப்பு: A - யாதும் SPஅன்று எனின் எப்போதும்
அந்த SM அல்லாதது ஆகும். (6) நேர்மாற்றம்: 0 - ஓர் SM அன்று எனின் சில வேளைகளில் அந்த
S,Pஅன்று (7) மறுமாற்ற நேர்மாற்றம். :1- ஒருSM அன்று எனின் சில
வேளைகளில் அந்த S,Pஅல்லாதது ஆகும்.
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 83 ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 44
ஊடகஅ/ைமானம்
பாரம்பரிய அளவையியலில் மையமாக அமையும் நியாயத் தொடைக் கோட்பாடானது அரிஸ்டோடிலின் தத்துவத்தின் அடிப் படையில் உருவான ஒன்றாகும். இதனால் இவ் அளவையியல்
அரிஸ்டோடிலின் அளவையியல் என அழைக்கப்படும். பிற்கால
அளவையியலாளரது கருத்துக்களும் இதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால் இதனை பாரம்பரிய அளவையியல் என்பதே மிகவும் பொருத்தமானது ஆகும். நியாயத்தொடைக் கோட்பாடு பாரம்பரிய அளவையியலில் ஓர் முக்கியபகுதியாகும். ,
நியாயத்தொடை பற்றிய ஆய்வில் ருெம்பகுதி அறுதி நியாயத்தொடை பற்றியதாக அமைகின்றது. அண்மைக் காலம்வரை அளவையியலின் இப்பகுதியே அளவையியலாளராற் பிரதானமாக எடுத்தாளப்பட்டது. இவர்களில் சிலர் அளவையியல் முழுவதும் இதுவே எனவும் கருதி வந்தனர். அறுதி நியாயத்தொடையே சிந்த னையின் உண்மையான வடிவம் என இவர்கள் கருதியதால் அவ்வடிவில் அமையாத பிறவகை வாதங்கள் சாமர்த்தியமான பிரயாசையோடு அறுதி நியாயத்தொடைகளாக மாற்றப்பட்டன.
இவ்வாறு மாற்றியபோது, வலிந்து மாற்றும்போது ஏற்படும்
குறைபாடுகளை எல்லாச் சந்தர்ப்பங்களிலும் தவிர்த்துக் கொள்ள முடியவில்லை. நவீன அளவையியல் உதவியுடன் அநேக வாதங்களை நாம் கையாளலாம். ஆயினும் உண்மையில் அறுதி நியாயத்தொடை
வடிவானது எனக் கண்டுகொள்ளக் கூடிய வாதங்கள் எமது
நாளாந்த உரையாடலில் இடம் பெறுகின்றபடியினால் நியாயத் தொடைக்கோட்பாட்டை நன்கு விளங்கிக் கொள்வது அவசியமாகும். வரைவிலக்கணம் :- தம்முள் பொதுஅம்சம் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளனவும் தம்முள் ஏதாவது ஒன்றேனும் நிறையெடுப்பாய் உள்ளதுமான இரண்டு எடுப்புக்களிலிருந்து வெறுமனவே அவற்றின் தொகையினைப் பெறாது தர்க்க முறையில் பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானம் நியாயத்தொடை அனுமானம் எனப்படும். (உ-ம்) (1) மலர்கள் அனைத்தும் அழகானவை.
தாவரங்கள் சில மலர்கள் ஆகும். ஆகவே தாவரங்கள் சில அழகானவை ஆகும்.
(2) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 84 - ஆசிரியர் க.கேசவன்
 

(4)
நெல் விளையும் எனின் அரிசியின் விலைகுறையும்.
ஆகவே மழை பெய்யும் எனின் அரிசியின் விலை குறையும். (3) மனிதர்கள் ஒன்றில் படித்தவர்கள் அல்லது முட்டாள்கள்.
மனிதர்கள் ஒன்றில் முட்டாள்கள் அல்லது சோம்பேறிகள். ஆகவே மனிதர்கள் ஒன்றில் படித்தவர்கள் அல்லது சோம்பேறிகள். இவைகள் முறையே (1) தூய் அறுதி நியாயத்தொடை.
(2) தூய நிபந்தனை நியாயத்தொடை
3) தூய உறழ்வு நியாயத்தொடை ஆகும், எனவே மூன்றும் தூயநியாயத்தொடைகள் ஆகும்.
- (P - 2)
(5) (P v Q) (6) (P -O) (R-P)
~ P
( R - S) ஃ ( R– Q)
ஃ Q
(P v R)
ஃ (Qv S) இவைகள் முறையே கலப்பு நிபந்தனை, கலப்பு உறழ்வு இரு தலைக் கோள் நியாயத்தொடைகள் ஆகும். எனவே மூன்றும் கலப்பு நியாயத்தொடைகள் ஆகும்.
- ஓர் நியாயத்தொடை அனுமானமானது பின்வரும் பொதுவான பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும். (1) தம்முள் பொது அம்சம் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும்
நியாயத் தொடையின் அம்சங்கள் என்பவை அதிலுள்ள எடுப்புக்களும் பதங்களும் ஆகும். ஆனால் பொது அம்சம் என்பது மத்திய பதமாகும். பொது அம்சம் இல்லாதுவிடின் முடிவினைப்பெற முடியாது , ( மேலே கூறப்பட்ட ஆறு நியாயத்தொடை உதாரணங் களிலும் எடு கூற்றுக்களில் ஓர் பொது அம்சம் இருப்பதை கவனிக்குக.) பதம் என்பது அறுதியெடுப்பின் உண்மையான பதங்களை மட்டுமல்லாது நிபந்தனை, உறழ்வு எடுப்புக்களிலுள்ள பதங்களை உட்படுத்தக் கூடிய விரிந்த பொருளில் பயன்படுத்த ப்படுகின்றது. நியாயத்தொடையிலுள்ள எடுப்புக்களில் இணைந்துள்ள மூன்று பதங்களும் (சிறுபதம், பெரும் பதம், மத்திய பதம்) சேய்மைப் பொருள் என அழைக்கப்படுகின்றது. மூன்று எடுப்புக்களும் (பேரெடு கூற்று, சிற்றெடுகூற்று, முடிவுக்கூற்று) அண்மைப் பொருள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றிலிருந்து பெறப்படும் எடுப்பு முடிவு எனப்படும். தரவான எடுப்புக்கள் எடுகூற்றுக்களாகும். தம்முள் ஏதாவது ஒன்றேனும் நிறையெடுப்பாய் இருத்தல் வேண்டும்,
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் நிறையெடுப்பாக இருக்கலாம். ஆனால் ஒன்று நிறையெடுப்பாக இருந்தால் போதுமானது ஆகும். ஆனால்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I) 85
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 45
எடுகூற்று இரண்டும் குறைஎடுப்பாக இருக்கக் கூடாது. எடுகூற்று க்களில் ஒன்று கட்டாயம் நிறைஎடுப்பாக இருக்கவேண்டு மாதலால் ஒவ்வொரு நியாயத்தொடையும் பொதுவான ஒன்றில் இருந்து குறைவான ஓர் எடுப்பிற்கோ அல்லது தனியொரு எடுப்பிற்கோ செல்லும் நெறியாகக் காணப்படுகின்றது. இவ் அனுமான முறையின் முலம் பெறப்படும் முடிவு ஒருபோதும் எடுகூற்றுகளிலும் பார்க்க நிறைவு கூடியதாக இருக்கமாட்டாது. (3) தரவில் இரண்டு எடுப்புக்களைக் கொண்டிருக்கும் :- ஓர் நியாயத்தொடை அனுமானமானது பேரெடுகூற்று, சிற்றெடு கூற்று எனும் இரண்டு கூற்றுக்களைக் கொண்டிருக்கும். முடிவிற்கு முன்னர் எடுகூற்றுக்கள் இருக்கும். இவற்றில் பெரும் பதத்தையும் (P) மத்திய பதத்தையும் (M ) கொண்டிருப்பது பேரெடுகூற்று எனப்படும். சிறுபதத்தையும் (S) மத்தியபதத்தையும் (M)கொண்டி ருப்பது சிற்றெடு கூற்று எனப்படும். இவை தூய நியாயத்தொடைக்கே முக்கியமாகப் பொருந்தும். சிற்றெடுகூற்று முதலாவதாகவும் பேரெடுகூற்று இரண்டாவதாகவும் இருக்கலாம். ஆனால் நியாயத்தொடையின் தர்க்கரீதியான ஒழுங்கில் பேரெடு கூற்று
முதலிலும் சிற்றெடுகூற்று இரண்டாவதாகவும் இருத்தல் வேண்டும். (4) வெறுமனவே அவற்றின் தொகையினைப் பெறுதல் கூடாது
தரவுகள் இரண்டையும் முடிவிலே அவ்வாறே கூறிக்கொள்ள க்கூடாது. அவ்வாறு கூறினால் அது நியாயத்தொடை அல்ல. (உ -ம்) A = B, B = C, ஃ A = B, B = C என எடுகூற்றை திரும்பவும்
முடிவிலே கூறக்கூடாது , (5) தர்க்க முறையில் பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறுதலே நியாயத் தொடையாகும் எடுகூற்றுக்கள் இரண்டிலும் உள்ள பொது அம்சத்தின் (M) முலம் தர்க்க முறையில் பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறுதல் வேண்டும். (உ-ம்) A = B, B= C, ஃ A = C எனும் முடிவைப்
பெறல் வேண்டும். எனவே (அ) எடுகூற்றுக்களிலிருந்து அனுமானிக்கப்படும் முடிவு தர்க்கமுறையில்
தொடர்கிறது என்பதிலேயே நியாயத்தொடையின் சிறப்பு உள்ளது. எடுகூற்றுக்கும் முடிவிற்கும் இடையேயுள்ள தாக்கமுறைத் தொடர்பு நியாயத்தொடையின் வடிவஅமைப்பை மட்டும் நோக்கியே புலப்பட வேண்டும் என்பது முக்கியமானதாகும். (ஆ) எடுகூற்றுக்களில் இருந்து தர்க்க முறையில் பெறப்படும் முடிவு
எடுகூற்றில் இல்லாதபுதிய உண்மைகள் எதையும் எடுத்துக் கூறுவது இல்லை. இதனால் நியாயத்தொடை ஓர் அனுமான முறையாகாது என வாதிக்கக்கூடாது. ஏனெனில் ஓர்எடுப்பு இன்னோர் எடுப்பில் உட்கிடையாக இருக்கின்றது என்பதை நாம் உணராமல் இருக்கலாம். அவ்வாறு உட்கிடையாக இருப்பதை மட்டும் காட்டும் நியாயத்தொடை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II 86
ஆசிரியர் க.கேசவன்

வழி அனுமானமே உண்மையான அனுமானநெறி ஆகும். (இ) எடுகூற்றுக்கள் பொருளோடு ஒத்த முறையில் உண்மையாக
இருப்பின் அவற்றில் இருந்து பெறப்படும் முடிவும் பொருளோடு ஒத்த முறையில் உண்மையாய் இருக்கவேண்டும். ஆனால் எடுகூற்று பொருளோடு ஒத்த உண்மையில்லாதபோதும் முடிவு சிலவேளை களில் உண்மையாக இருப்பதுண்டு. இவ் முடிவின் உண்மை வேறுவழிகளால் பெறப்படுகின்றதே தவிர நியாயத்தொடையால் பெறப்படுவது அல்ல. எனினும் இது தற்செயலாக நடைபெறுவதே ஆகும். (உ - ம்) விலங்குகள் பறவைகள் ஆகும்.
கிளிகள் விலங்குகள் ஆகும். ஆகவே கிளிகள் பறவைகள் ஆகும்.
இங்கு எடுகூற்றுக்கள் பொய்யாகும். ஆனால் முடிவு உண்மையாகும். முடிவின் உண்மை எமது அனுபவத்தால்
கூறுகின்றோமே தவிர நியாயத்தொடையால் பெறப்படவில்லை. (ஈ) முடிவும், எடுகூற்றுக்களும் நிறைவிதி எடுப்புக்களால் அமைந்த
நியாயத்தொடையின் உருவத்தை நோக்கியே நியாயத்தொடையின் பதங்களுக்கு சிறுபதம், பெரும்பதம், மத்தியபதம் எனும் பெயர்கள் இடப்பட்டன. இப்பெயர்கள் விரிவின் அளவை உணர்த்துவதாகக் கருதப்பட்டால் எப்போதும் பொருந்துவன அல்ல. நியாயத்தொடை வாய்ப்பாக அமைவதற்கு (விரிவு) இப்பொருத்தம் இன்றியமையாதது இல்லை. பதங்களினதும் எடுகூற்றுக்களினதும் இப்பெயர்கள் துாய அறுதி நியாயத்தொடைக்கே முற்றிலும் பொருந்தும், ஆனால் முற்றிலும் அல்லது ஓரளவிற்கு தூய நிபந்தனை, தூய உறழ்வு நியாயத்தொடைக்கும் இப்பெயர்கள் வழங்கப்படலாம். நியாயத் தொடையின் வகைகள்
நியாயத்தொடைகளில்அறுதி, நிபந்தனை,உறழ்வு எடுப்புக்கள் அமைவதால், நியாயத்தொடைகளும் வேறுபட்ட வகைகளைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம். அளவையியலில் இவை நியாயத் தொடைகளின் தொடர்பு வகைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. நியாயத்தொடைகள் இரண்டுவகைப்படும்.
(1) தூய நியாயத்தொடைகள் (2) கலப்பு நியாயத்தொடைகள். தூய நியாயத்தொடை
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் ஒரே இனவகையெடுப்பாக அமைவது துாய நியாயத்தொடை எனப்படும். அதாவது ஒரே இனம் என்பதன் அர்த்தம் எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் அறுதியெடுப்பாகவோ அல்லது நிபந்தனையெடுப்பாகவோ அல்லது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 187
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 46
உறழ்வெடுப்பாகவோ இருக்கலாம். இதனால் துாய நியாயத்தொடை முன்று வகைப்படும். (அ) தூய அறுதி நியாயத்தொடை
(உ-ம்) படித்தவர்கள் அனைவரும் வேலை செய்பவர் ஆவர்.
படித்தவர்கள் சிலர் அறிவாளிகள் ஆவர்.
ஆகவே அறிவாளிகள் சிலர் வேலை செய்பவர் ஆவர். (ஆ) தூய நிபந்தனை நியாயத்தொடை
(உ-ம்) மழை பெய்யும் எனின் அறுவடை நல்லாய் இருக்கும்.
அறுவடை நல்லாய் இருக்கும் எனின் விவசாயிகள் சந்தோஷமடைவர். ஆகவே மழை பெய்யும் எனின் விவசாயிகள் சந்தோஷ
மடைவர். (இ) தூய உறழ்வு நியாயத்தொடை
(உ-ம்) மாணவர்கள் ஒன்றில் ஏழைகள் அல்லது பணக்காரர்
மாணவர்கள் ஒன்றில் ஏழைகள் அல்லது திறமைசாலிகள். ஆகவே மாணவர்கள் ஒன்றில் திறமைசாலிகள் அல்லது
பணக்காரர். தூய அறுதி நியாயத்தொடை
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் அறுதிஎடுப்பாக அமையும் நியாயத்தொடை துாய அறுதி நியாயத்தொடை எனப்படும். எடுகூற்று இரண்டும் அறுதியெடுப்பெனும் தொடர்பைக் கொண்டி ருந்தால் முடிவும் அறுதியெடுப்பாக இருக்கும்.
(உ - ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்
அரிஸ்டோடில் ஓர் மனிதன் ஆவான். ஆகவே அரிஸ்டோடில் இறப்பவர் ஆவர்.
ஓர் துாய அறுதி நியாயத்தொடையானது அளவையியலில் வாய்ப்பாக அமைவதற்கு முக்கியமாக ஆறு பிரதான விதிகளுக்கு உட்படுத்தல் வேண்டும்.
அமைப்பு விதிகள் அளவுவிதிகள் அல்லது வியாப்திவிதிகள் பண்பு விதிகள் நியாயத்தொடையின் பிரதான விதிகள் கிளை விதிகள் நியாயத்தொடை விதிகள்
|| AS NO D
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 188
ஆசிரியர் க.கேசவன்

அமைப்பு விதிகள்
இது நியாயத்தொடையின் இயல்புபற்றிய விதிகள் எனவும் அழைக்கப்படும். இவை நியாயத்தொடை அனுமானத்திற்குரிய விதி அல்ல. ஒரு வாதத்தை நியாயத்தொடையா அல்லவோ எனக் கண்டு கொள்வதற்கு உதவுவதே அமைப்பு விதிகள் ஆகும். விதி-1: முன்று பதங்கள் மட்டும் இருத்தல் வேண்டும்.
ஒரு நியாயத்தொடையானது சிறுபதம், பெரும்பதம், மத்திய பதம் எனும் முன்று பதங்களைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும். முன்று பதங்கள் இருந்தால் மட்டுமே அது நியாயத்தொடையாகும். ஒவ்வொரு பதங்களும் தலா இரண்டு இடங்களில் அங்கம் வகிக்கும். இதை கீழ்வரும் உதாரணத்தின் முலம் விளங்கிக் கொள்ளலாம். (உ-ம்) (மீன்கள்) அனைத்தும் (நீரில் வாழும் பிராணிகள்)
(மீன்கள்) (இறக்கும் பிராணிகள்) ஆகவே (இறக்கும் பிராணிகள்) (நீரில் வாழும் பிராணிகள்) ஆகும்.
நியாயத்தொடையொன்றின் முடிவின் எழுவாயாக அமையும் பதம் சிறுபதம் அல்லது பக்கப்பதம் எனப்படும். இது S எனும் குறியீட்டினால் அழைக்கப்படும். நியாயத்தொடையின் ஒன்றின் முடிவின் பயனிலையாக அமையும் பதம் பெரும்பதம் அல்லது சாத்தியப்பதம் எனப்படும். இது P. எனும் குறியீட்டினால் அழைக்கப்படும். பேரெடு கூற்றுக்கும் சிற்றெடுகூற்றுக்கும் பொதுவாக அமையும் பதம் பொதுப்பதம் அல்லது நடுப்பதம் அல்லது மத்தியபதம் எனப்படும். இது M எனும் குறியீட்டினால் அழைக்கப்படும். நாற்பதப்போலி
- முன்று பதங்கள் இருத்தல் வேண்டுமெனும் விதி மீறப்படும்போது ஏற்படும் போலி நாற்பதப் போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத்தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்) (1) (தளபதி) (படையை ஆளுகிறான்)
(தளபதியின் மனைவி) (தளபதியை ஆளுகிறாள்) ஆகவே (தளபதியின் மனைவி) (படையை ஆளுகிறாள்) (2) (முதலாளிகள்) (ஆளுகிறார்கள்)
( தொழிலாளர்கள்) (ஆளப்படுகிறார்கள்)
எனவே தொழிலாளர்கள் முதலாளிகள் ஆவர். (3) (மாடுகள்) (புல் தின்பன) ஆகும்.
(ஆடுகள்) (விலங்குகள்) ஆகும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 189
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 47
என்பதால் ஆடுகள் புல் தின்பன ஆகும். (4) எல்லா (மனிதர்களும்) (அவாவுடையவர்கள்) என்பதோடு
(இங்குள்ள அவாவுடையவர்) எல்லோரும் (பணக்காரர்)
இதன் காரணமாக எல்லா மனிதரும் பணக்காரர் ஆவர், (5) குற்ற வழக்குகள் யாவற்றிற்கும் தண்டனை அளிக்கப்பட
வேண்டும்.களவிற்கு வழக்குத்தொடரல் குற்ற வழக்காகும். ஆகவே களவிற்கு வழக்குத் தொடரலுக்கு தண்டனை அளிக்க ப்பட வேண்டும்.
இவ் உதாரணம் மத்தியபதம் ஈரடி இயல்பிற்கு உரியதாகும். வழக்கு எனும் பதம் இரு பொருளில் பயன்படுத்த ப்பட்டுள்ளது. பழக்கம் எனும் பொருளிலும் நீதிமன்றில் வைக்கப்படும் வியாக்கியம் எனும் பொருளிலும் வந்துள்ளது. நடுப்பதம் ஈர் எடுகூற்றுக்களிலும் ஒரே பொருளை உடையதாய் இல்லாது இருப்பதினால் பெரும் பதத்திற்கும் சிறு பதத்திற்கும் எவ்வகைத் தொடர்பும் இல்லாது போய்விடுகின்றது. இரண்டு எடுகூற்றுக்களிலும் ஒன்றாயிருக்கும் பொது அம்சம் இருத்தல் இன்றியமையாதது ஆகும். இங்கு சிறுபதமும் பெரும்பதமும் வெவ்வேறு வழிகளில் மத்தியபதத்தை ஒத்திருக்கலாம். இதனால் அவை இரண்டிற்குமிடையே எவ்வகைத் தொடர்பும் நிறுவப்படுவதில்லை. சிறுபதமோ அல்லது பெரும்பதமோ எடுகூற்றுகளில் இல்லாத வேறோர் பொருளில் முடிவில் உபயோகிக்கப் படினும் அனுமானம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். ஏனெனில் பேரெடுகூற்றில் மத்திய பதத்துடன் தொடர்புபட்டிருந்த அதே பெரும்பதம் சிற்றெடுகூற்றில் அதே மத்திய பதத்தோடு தொடர்பட்டிருந்த அதே சிறுப்பதத்திற்கு பயனிலைப்படுத்தப் படுவதையே எடுகூற்றுக்கள் ஏற்றுக்கொள்ளுகின்றன. எனவே வழக்கு என்பது இங்கு இருபதங்களாகக் கருதப்படுவதினால் நாற்பதப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது. விதி -2: முன்று கூற்றுக்கள் மட்டும் இருத்தல் வேண்டும்.
ஒரு நியாயத்தொடையில் பேரெடுகூற்று சிற்றெடு கூற்று, முடிவுக்கூற்று, எனும் முன்று கூற்றுக்களைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும். (உ-ம்) (விலங்குகள்) அனைத்தும் (வேகமாக ஓடும்)
(வேகமாக"ஓடுபவை) சில (பிராணிகள்) ஆகும். இதன் விளைவாக (பிராணிகள்) சில (விலங்குகள்) ஆகும்.
பெரும்பதத்தையும் மத்தியபதத்தையும் கொண்டகூற்று பேரெடு கூற்று அல்லது சாத்தியக் கூற்று எனப்படும். இது (P -M) எனவோ (M- P) எனவோ அமையும் சிறுபதத்தையும் மத்திய
P
M
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 90
ஆசிரியர் க.கேசவன்

பதத்தையும் கொண்டகூற்றுபக்கக்கூற்று அல்லது சிற்றெடுகூற்று எனப்படும். இது ( S - M) எனவோ (M- S) எனவோ அமையும் சிறுபதத்தையும் பெரும்பதத்தையும் கொண்ட கூற்று முடிவுக்கூற்று எனப்படும். இது (S - P ) ஆக மட்டுமே அமையும்.
ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே பேரெடு கூற்று முதலிலும் சிற்றெடு கூற்று இரண்டாவதாகவும் வரவேண்டும் எனும் அவசியம் இல்லை. சிற்றெடு கூற்று முதலிலும் பேரெடுகூற்று இரண்டாவ தாகவும் வரலாம். இவ்வாறு அமைவது நியாயத்தொடையின் வாய்ப்பைப் பாதிக்கமாட்டாது.ஆனால் நியாயத்தொடையின் தர்க்க ரீதியான ஒழுங்கின்படி பேரெடுகூற்று முதலிலும் சிற்றெடு கூற்று
இரண்டாவதாகவும் தரப்படுவது சிறந்தது ஆகும். (உ-ம்) ( முயல்கள்) (வேகமாக ஓடும்)
( வேகமாக"ஓடுவன) சில (மிருகங்கள்) எனவே (முயல்கள்) சில (மிருகங்கள்) ஆகும்.
சில நியாயத்தொடைகளில் இரண்டு கூற்றுக்கள் இருந்தால் அவற்றை முன்று கூற்று ஆக்கிக்கொள்ள முடியும். (உ-ம்)(1)எல்லா (ஆண்களும்) (பெண்களும்) மனிதர்கள் ஆவர்.
ஆகவே எல்லா (ஆண்களும்) (பெண்கள்) ஆவர். இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும். எல்லாப் பெண்களும்) (மனிதர்கள்) ஆவர். எல்லா (ஆண்கிளும்) (மனிதாகள்) ஆவர்.
ஆகவே எல்லா (ஆண்களும்) (பெண்கள்) ஆவர். (2) பச்சைநிறம்) அனைத்தும் (சிளிகளும்) (பறவைகளும்) ஆகும்.
ஆகவே (கிளிகள்) அனைத்தும் (பறவைகள்) ஆகும். இதை இவ்வாறு எழுதவேண்டும். (பச்சை நிறம்) அனைத்தும் (பறவைகள்) ஆகும். (பச்சை நிறம்) அனைத்தும் (கிளிகள்) ஆகும்.
ஆகவே (கிளிகள்) அனைத்தும் (பறவைகள்) ஆகும். சில நியாயத்தொடைகளில் இரண்டு கூற்றுக்கள் இருந்தால்
முன்றுகூற்று ஆக்கமுடியாது.
(உ-ம்)
மாணவர்கள் அனைவரும் (படிப்பவர்) ஆவர். ஆகவே (ஆண்கள்) சிலர் (படிப்பவர்) ஆவர். உண்மையில் இது ஓர் குறை நியாயத்தொடையாகும்.
)ெ
2வை
P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 48
ஆனால் குறை நியாயத்தொடை எனும் பாடத்தின்படி இதில் ஒரு கூற்றை உருவாக்கி வாய்ப்பாகக் காட்டமுடியும் ஆனால் நிறை நியாயத்தொடையில் வருவதினால் விதியை மீறுகின்றது.
சில நியாயத்தொடைகளில் தோற்றப்பாட்டில் மூன்று கூற்றுக்களைப் போல இருந்தாலும் அவை மூன்று கூற்றுக்கள் அல்ல. (உ-ம்) (1) (காகங்கள்) (கறுப்பு நிறம்) ஆகும் என்பதோடு கிளிகள்
(காகங்கள்) ஆகும். எனின் (கறுப்பு நிறம்) சில (காகங்கள்) ஆகும். (?) (முயல்கள்) (மிருகங்கள்) ஆகும். (மிருகங்கள்) பிராணிகள் ஆகும்
என்று தரப்படின் (மிருகங்கள்) (முயல்கள்) ஆகும். அளவுவிதிகள்: இவ்விதிகளைக்கொண்டு வாதங்களின் வாய்ப்பை ஆராயும்போது பதங்களின் வியாப்தி விதியைப் பயன், படுத்திக் கொள்ளவேண்டும். விதி-3: மத்தியபதம் ஏதாவது ஓர் எடுகூற்றிலேனும் வியாப்திய டைதல் வேண்டும். ஓர் நியாயத்தொடை ஒன்றில் மத்தியபதமானது பேரெடுகூற்று, சிற்றெடுகூற்று எனும் இரு இடங் களில் அங்கம்வகிக்கும். இரு இடங்களிலும் வருகின்ற மத்தியபதமானது இரண்டு எடுகூற்றிலும் வியாப்தியடையலாம். ஆனால் ஏதாவது ஓர் எடுகூற்றில் வியாப்தியடைந்தால் போதுமானது ஆகும். இவை
வாய்ப்பானவை ஆகும். (உ-ம்) (1). (பறவைகள்) சில (மிருகங்கள்) ஆகும். ஏனெனில்
M (மிருகங்கள்) மட்டுமே (பாலுாட்டிகள்) என்பதோடு
M (பறவைகள்) மட்டுமே (பாலுாட்டிகள்) ஆகும்.
இதை இவ்வாறு மாற்றி எழுத வேண்டும். M A(பாலுாட்டிகள்) அனைத்தும் (மிருகங்கள்) ஆகும். MAP A(பாலுாட்டிகள்) அனைத்தும் (பறன்
பகள்) ஆகும். MAS 1 ஆகவே (பறவைகள்) சில (மிருகங்கள்) ஆகும். ஃ SIP வாய்ப்பானது. (மனிதர்கள்) அனைவரும் (இறப்பவர்) ஆவர் (அருள்றோட்டல்)
ர்) (அருஸ்றோட்டல்) ஓர் (மனிதன்) எனத் தரப்படின்
இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும்.
(2)
M
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 92
ஆசிரியர் க.கேசவன் கல்

M
A' (மனிதர்கள்) அனைவரும் (இறப்பவர்) ஆவர். MAP A (அருள்ரோட்டல்) ஓர் (மனிதன்) .
SAM A'ஆகவே (அருஸ்ரோட்டல்) (இறப்பவர்) ஆவர். ஃ SAP வாய்ப்பு
ஓர் எடுகூற்றில்நடுப்பதம் முழுவதையும் எடுத்துக்கொள்வதன் முலமே இரு எடுகூற்றுக்களிலும் M இன் ஒரே அம்சம் வந்துள்ளது என்பதை நிச்சயமாகக் கொள்ளலாம். இரண்டு எடுகூற்றுக்களிலும் மத்திய பதம் வியாப்தி அடைந்திருத்தல் சாத்தியமே எனினும் மேற்கூறிய உறுதி ஓர் எடுகூற்றில் நடுப்பதம் வியாப்தியடைந்ததில் இருந்தே பெறப்படும். ஏனெனில் மத்திய பதம் ஏனைய இரு பதங்களில் ஒன்றோடாயினும் முழுவதும் தொடர்புடையதாக இருப்பின் மற்றைய பதத்தோடு தொடர்பு பட்டிருப்பது M இன் எப்பகுதியாய் இருந்தாலும் சரி அப்பகுதி முந்திய பதத்தோடு தொடர்புபட்ட M இன் ஓர்சிறிய பகுதியாகவேனும் இருக்கும். M இன் எப்பகுதி S இலும்' P யிலும் உள்ளதோ . அப்பொதுப்பகுதியே அனுமானத்திற்கு ஆதாரமாக அமைவது. எடுகூற்றுக்கள் இரண்டிற்குமிடையே ஓர் பொதுக் குறிப்புள்ளது என்பதை நிச்சயப்படுத்திக்கொள்வதற்கே மத்திய பதம் ஏதாவது
ஓர்எடுகூற்றிலேனும் வியாப்தியடைய வேண்டுமென விதி கூறுகின்றது. மத்தியபத வியாப்தி அடையாப் போலி : (நடுப்பதம்)
மத்தியபதம் ஏதாவது ஓர் எடுகூற்றிலேனும் வியாப்திய டைதல் வேண்டுமெனும் விதி மீறப்படும்போது ஏற்படும் போலி மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத்தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்) (விலங்குகள்) (மாடுகள்) என்பது (மர்டுகள்) அனைத்தும்
(புல் தின்னும்) என்பதோடு (விலங்குகளும்) அவ்வாறே எனின் பெறப்படும். இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும். A (மாடுகள்) அனைத்தும் (புல் தின்னும்) - PAM A (விலங்குகள்) அனைத்தும் (புல் தின்னும்) SAM A ஆகேவ (விலங்குகள்) (மாடுகள்) ஆகும். ஃ SAP
மத்தியபதம் இங்கு ஒரு எடுகூற்றிலேனும் வியாப்தியடையாது இருப்பதினால் பெரும்பதத்திற்கும் சிறுபதத்திற்குமிடையே தொடர்பை ஏற்படுத்தக் கூடிய ஒருமை பெறப்படாது. சிறுபதம் , பெரும்பதம் எனும் இரண்டும் மத்திய பதத்தின் ஒரே பகுதியுடன் தொடர்புபட்டுள்ளது என்பது உறுதியில்லை எனின் சிறுபதமும் பெரும்பதமும் எவ்வாறு ஒன்றோடொன்று தொடர்புபட்டுள்ளது
M
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT93
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 49
என் பது பற்றி எவ்வகை அனுமானமும் பெறமுடியாது . எடுகூற்றுக்கள் இரண்டிலும் நடுப்பத்த்தைப்பற்றிய குறிப்பு தெளிவற்றதாகவே உள்ளது எனின் எடுகூற்றுக்கள் இரண்டிலும் குறிப்பிடபட்டிருக்கும் நடுப்பதம் உண்மையில் அதன் வேறுபட்ட இருபகுதிகளைக் குறிப் பது என்பது நியமமுறையாக இடமுண்டு. இதனால் நடுப்பத வியாப்தி அடையாப் போலி ஏற்படும். விதி 4: எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத பதங்கள் முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது இந்த விதியானது சிறுபதம் பெரும்பதம் என்பவைபற்றி விளக்குகின்றது. அதாவது எடு கூற்றில் வியாப்தி அடையாத சிறுபதமும் பெரும் பதமும் முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடையாது இருத்தல்வேண்டும். இவ்வாறு இருந்தால் அனுமானம் வாய்ப்பானது ஆகும்.
M (உ-ம்) சிறுவர்களைத் தவிர வேறு எவரும் ( விளையாடுவது) இல்லை
ஆகவே சில (பெண்கள்) ( சிறுவர்கள்) ஆவர் ஏனெனில் சில பெண்கள் (விளையாடுபவர் ஆவர் இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும். (விளையாடுபவர்) அனைவரும் (சிறுவர்கள்) ஆவர் MAP. சில (பெண்கள்) (விளையாடுபவர்) ஆவர்.
SIM ஆகவே சில (பெண்கள்) (சிறுவர்கள்) ஆவர்.
வாய்ப்பு இந்த விதியானது எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத சிறுபதம், பெரும்பதம் பற்றி அக்கறை கொள்கின்றதே தவிர எடுகூற்றில் வியாப்தியடைந்த சிறுபதம் பெரும்பதம் பற்றி அக்கறை கொள்ள வில்லை எனவே எடுகூற்றில் வியாப்தி அடைந்த சிறுபதமும் பெரும்பதமும் முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தியடைந்தும் இருக்கலாம். வியாப்தியடையாமலும் இருக்கலாம்.இவை வாய்ப்பானவை ஆகும். (உ-ம்) (1) (மாடுகள்) (புல் தின்பதில்லை) அல்ல ( விலங்குகள்)
M எவையும் ( புல் தின்பதில்லை) ஏனெனில் (மாடுகள்) ஆயினே (விலங்குகள்) ஆகும். இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும் ( மாடுகள்) எவையும் (புல்தின்பன) அல்ல.
MEP (விலங்குகள்) அனைத்தும் ( மாடுகள் ) ஆகும். SAM எனவே (விலங்குகள்) எவையும் (புல் தின்பன) அல்ல. ஃ SEP வாய்ப்பு (பூனைகள் ) (கறுப்புக்கண் உடையவை) ஆகும்.
ஃ SIP
M
M
(2)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 194
ஆசிரியர் க.கேசவன்

ஆகவே எல்லா (மிருகங்களும்) (பூனைகள் ) அல்ல. ஏனெனில் ( கறுப்புக்கண் உடையவை) எவையும் (மிருகங்
M கள்) அல்ல.
ஆகவே எல்லா (மிருகங்களும்) ( பூனைகள்) அல்ல. இதை இவ்வாறு எழுத வேண்டும். ( பூனைகள் ) ( கறுப்புக்கண் உடையவை )ஆகும். PAM
P ( கறுப்புக்கண் உடையவை) ( மிருகங்கள்) அல்ல MES
M ஆகவே எல்லா ( மிருகங்கள்) ( பூனைகள்) அல்ல. ஃSOP வாய்ப்பு (புன்னகை செய்பவை) அனைத்தும் ( விஷமுடையவை) ஆகும் எனின் ( பாம்புகள்) ( புன்னகை செய்யும்) ஆகவே (விஷமுடையவை) பெரும்பாலானவை (பாம்புகள் ) ஆகும்.
M
(3)
"M -
M
பாம்புகள் புன்னகை செய்பவை ஆகும்.
PAM (புன்னகை செய்பவை) அனைத்தும் (விஷமுடையவை) MAS
ஆகவே ( விஷமுடையவை) சில (பாம்புகள்) ஆகும். ஃSIP எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத சிறுபதமும் பெரும்பதமும் முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தி அடைந்தால் முறையற்ற நெறிப்போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத்தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும்.
பக்கப்பதத்தின் முறையற்றநெறிப் போலி :( சிறுபதப்போலி அல்லது சிறுபத சட்டவிரோதப் போலி) எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத பதம் ( S ) முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படும் போலி சிறுபத சட்டவிரோதப் போலி எனப்படும். (உ - ம்) ( மாணவர்கள்) அனைவரும் (படிப்பவர்) ஆவர்
( பெண்களும்) (படிப்பவர்) ஆவர்.
M எனவே ( மாணவர்கள்) மட்டுமே (பெண்கள்)
M
M
S
P)
M
(மாணவர்கள்) அனைவரும் ( படிப்பவர்) ஆவர்.
PAM
(பெண்களும்) (படிப்பவர்) ஆவர்.
SAM "M எனவே (பெண்கள்) அனைவரும் (மாணவர்கள்) ஃ SAP
ஆவர்.
எடுகூற்றுக்களில் இருந்து நியம முறையாகப் பெறப்படு வதால்
பக்கக் கூற்றில் சில S களை மட்டும் கூறியிருப்பதைக்
S
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 95
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 50
M
கொண்டு எல்லா S களைப் பற்றிய முடிவிற்கு வர முடியாது. S இன் வரைபு தரப்படாத ஓர் பகுதியே M உடன் தொடர்புடையன எனக் கூறப்படுவதினால் அதைக் கொண்டு M ஊடாக P இற்கும் S இற்குமிடையே ஓர் தொடர்பு இருப்பதாக நாம் கூற முடியாது. இது ஒவ்வொரு சாத்தியப்பதத்திற்கும் பொருந்தும். சாத்தியப்பதத்தின் முறையற்ற நெறிப்போலி (பெரும்பதப் போலி அல்லது பெரும்பத சட்டவிரோதப் போலி)
எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாதபதம் (P ) முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படும் போலிபெரும்பதசட்டவிரோதப் போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத்தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும்.
(உ-ம்) ( மீன்கள்) யாவும் ( முட்டையிடுவன)
MAP (பறவைகள்) எதுவும் (மீன்) அல்ல
SEM M ஆகவே( பறவைகள் ) எதுவும் (முட்டையிடுவன) அல்ல. ஃ SEP இத்தகைய அனுமானங்கள் பெரும்பாலானவற்றிலும் முடிவுப் பொருளோடு ஒத்து நோக்கும்போது தவறானது அகும். ஆனால் பொருளோடு ஒத்த முறையில் உண்மையாகக் காணப்படின் அது எடுகூற்றுக்களில் இருந்து வாய்ப்பான முறையில் பெறப்பட்ட அனுமானமாகாது. எமக்கு கிடைத்த முடிவு தற்செயலாக வந்த உண்மையாகும்.எனினும் அது உண்மையானது என்பதை பிறவழி ஒன்றின் மூலமே உணர்த்துகின்றோம். (உ - ம்) மீன்கள் யாவும் (சூழல் வெப்பக் குருதி நிலையுடையவை)
(திமிங்கிலம்) எதுவும் மீன்
M ஆகவே( திமிங்கிலம்) எதுவும்( சூழல் வெப்பகுருதி நிலை உடையது) அன்று
இது வாய்ப்பற்றது. ஆனால் முடிவாகத்தரப்பட்ட எடுப்பு பொருளோடொத்த முறையில் நோக்கின் உண்மையே ஆகும். இவ் அனுமானத்தில் திமிங்கிலம் என்பதற்கு பதிலாக பாம்பு எனும் பதத்தை கையாளும் போது தவறு புலப்படும். இங்கு முடிவு பொருளோடு ஒத்த முறையில் தவறாகின்றது. பண்பு விதிகள்:பண்பு விதிகளைப் பயன்படுத்தும் போது விதி எடுப்புக்கள், மறை எடுப்புக்கள் எனும் கோட்பாட்டைப்பற்றி அறிந் திருந்தல் வேண்டும். A, Iஎடுப்புக்கள் விதி எடுப்புக்கள் ஆகும். E,0 எடுப்புக்கள் மறை எடுப்புக்கள் ஆகும். விதி 5: தரவுகளில் ஒன்றேனும் விதியெடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.
ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே தரவு என்பது பேரெடு
M
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
96
ஆசிரியர் க.கேசவன்

கூற்றும், சிற்றெடு கூற்றும் ஆகும். இத்தரவுகள் இரண்டும் விதியெ டுப்பாக இருக்கலாம். ஆனால் ஏதாவது ஒன்று விதி எடுப்பாக இருந்தால் போதுமானது ஆகும். (உ-ம்) (1) A ( குதிரைகள் ) அனைத்தும் ( வேகமாக ஓடும்)
MAP 1( மிருகங்கள் ) சில ( குதிரைகள்) ஆகும்.
SIM M 1 ஆகவே(மிருகங்கள்) சில (வேகமாக ஓடும்).
ஃ SIP
(2) E ( காகங்கள் ) எவையும் ( கறுப்பு நிறம்) அல்ல
M
PEM 1 (பறவைகள்) சில ( கறுப்பு நிறம்) ஆகும்.
SIM 0 ஆகவே ( பறவைகள்) சில ( காகங்கள்)
ஃSOP அல்ல. வாய்ப்பு இரு எதிர்மறைப் போலி:தரவுகளில் ஒன்றேனும் விதி எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படும் போலி இரு எதிர்மறைப் போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத் தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ - ம்) E ( மாடுகள்) எவையும் ( இறப்பன) அல்ல.
PEM M
M) E ( இறப்பன ) எவையும் ( மிருகங்கள்) அல்ல.
MES M E ஆகவே ( மிருகங்கள் ) எவையும் ( மாடுகள்) அல்ல ஃ SEP
மத்தியபதம் , சிறுபதம் அல்லது பெரும்பதத்தோடு தொடர்பு பட்டிருந்தால்தான் அத்தொடர்பைக் கொண்டு மத்தியபதத்திற்கும் மற்றையபதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு உண்டா இல்லையா என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியும். ஆகவேதான் தரவுகளில் ஒன்றேனும் விதி எடுப்பாக இருந்தாலே இதை நிறைவேற்றிக் கொள்ள முடியும். ஆனால் Pயும் Sயும் M உடன் தொடர்பில்லாதன எனக் கூறப்பட்டால் Sயையும் Pயையும் தொகுத்து நோக்குவதற்கு வேண் டிய இணைப்பெதுவும் இல்லை என்பது தெளிவாகும். இதனால் S இற்கும் P யிற்கும் இடையே தொடர்பிருக்கா இல்லையா என்பதை திடமாகத்தீர்மானிக்க முடியாது இருப்பதினால் இரண்டு மறை எடுப்புக்களில் இருந்து எது விதமான முடிவையும் பெற முடியாது. எனவே தரவுகளில் ஒன்றேனும் விதியாக எடுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே ஓர் முடிவிற்கு நாம் வர முடியும்.
ஐெவன்ஸ்" என்பவர் இரு மறை எடுப்புக்களில் இருந்து எத்தகையமுடிவிற்கு வரமுடியாது என்பதை சந்தேகிக் கின்றார். இரண்டு மறைஎடுப்புக்களில் இருந்து எந்த முடிவிற்கும் வரமுடியாது என்பதை பழைய கொள்கை கூறிற்று. ஆனால்
S
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 197
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 51
M
பொதுப்படையாக இக் கூற்று எப்போதும் உண்மையாய் இருக்க முடியாது என்பது உண்மை. எந்தெந்த நிலைகளில் இக் கொள்கை உண்மையாக இருக்கும் எந்த நிலைகளில் இது பொய்யாக இருக்கும் என திட்ட வட்டமான விளக்கம் எதுவும் தரப்பட்டிருப் பதாகவும் தெரியவில்லை. இதனால் இதைப்பற்றி நாம் கவனிக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை. (உ - ம்) (1) E ( உலோகம் அல்லாதது) எதுவும்( வலுவான காந்த
ஈர்ப்பு சக்தி உடையது) அன்று E (கரி) ஓர் ( உலோகம்)மன்று E ஆகவே (கரி) ( வலுவான காந்த ஈர்ப்புச் சக்தி
உடைய) தன்று. எடு கூற்றுக்கள் இரண்டும் இரண்டு மறை எடு கூற்றுக்களே எனினும் முற்றிலும் வாய்ப்பான மறைமுடிவு அவற்றில் இருந்து பெறப்படுகின்றது. நியாயத் தொடை விதி இங்கு பொது வான வெற்று உருவத்தில் பிழையாகி விடுகின்றது. மேலேயுள்ள அனுமானத்தைப் பின்வரும் குறியீட்டின் மூலம் விளக்கலாம்.
எந்த M அல்லாதது உம்P அன்று MEP S, M அன்று
SEM ஆகவே S,P அன்று.
ஃ SEP இங்கு S,P, M,M அலது, என நான்கு பதங்கள் உள எனத் தோன்றுகின்றது. நாற்பதப்போலி எனத் தவறாக விளங்கக் கூடாது. இவ்வாதத்தை மேலும் நுணுக்கமாக ஆராய்வோம். ஆனால் உண்மையில் பக்க எடு கூற்றில் கூறப்படுவது P மறுக்கப்படும் வகுப்பில் அதாவது M அல்லாதது எனும் வகுப்பில் உள்ளது என்பதே ஆகும். இதுவே சிற்றெடு கூற்றில் S இற்கு விதி உரையாக பயனிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது எனவே பக்க எடு கூற்றை மறுமாற்றம் செய்வதன் மூலம் மேலேயுள்ள வாதத்தை இரண்டு நியாயத் தொடையாக்கலாம்
எந்த M அல்லாததும் P அன்று MEP எந்த S உம் M அல்லாதது ஆகும். SAM ஆகவே எந்தம்S உம் P அன்று ஃ SEP
இது பூரண வலிமையுடையது ஆகும். பக்க எடுகூற்று வதியெடுப்பாக இருப்பதினால் 5ம் விதி இங்கு மீறப்படவில்லை. ஆனால் இவ்வாறான ஓர் வடிவத்தை நோக்கும் போது நடுப்பத விலகல் போலி ஏற்படும். இதை நாம் கவனித்தல் வேண்டும். (உ - ம்) (1) M அல்லாதது எதுவும் P அல்ல. MEP
S கள் சில M ஆகும்.
SIM
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I) 98
ஆசிரியர் க.கேசவன்

ஆகவே S கள் P அல்ல.
ஃ SOP (2) P அனைத்தும் M ஆகும்.
PAM M அல்லாத அனைத்தும் S ஆகும்.
MAS ஆகவே S சில P ஆகும்.
ஃ SIP (3) எந்த P உம் M அல்லாதது அல்ல.
PEM எல்லாS உம் M ஆகும்.
SAM ஆகவே எந்த S உம் P அல்ல.
ஃSEP (4) S அல்லாத சிலP அல்ல
MOP S வையும் M அல்ல
SEM ஆகவேS சிலP அல்ல.
ஃ SOP M அல்லாதது அனைத்தும்P ஆகும்.
MAP S அனைத்தும் M அல்லாதது
SAM ஆகவேS - அனைத்தும்P ஆகும்.
ஃ SAP பின்வரும் உதாரணத்திலும் மேலெழுந்த வாரியாக நோக்கும் போது இரு மறை எடுப்புக்களில் இருந்து ஓர் சரியான அனுமானம் பெறப்பட்டது போல் தோன்றும். இதைப்பற்றியும் நாம் அதிகம் கவனிக்க வேண்டியது இல்லை.
சாந்தி மூன்றடிக்கு அதிகமான உயரமுடையவள் அல்லள். சாந்தி மூன்றடிக்கு குறைந்த உயரமுடையவள் அல்லள். ஆகவே சாந்தி மூன்றடி உயரமுடையவள்.
இங்கு அனுமானத்திற்கு ஆதாரமாக உட்கிடையாக இருப்பது உறழ்வு எடுப்பே ஆகும். அவையாவன ஒவ்வொருவரும் மூன்றடி உயரமோ அல்லது அதிகமான உயரமோ அல்லது குறைந்த உயரமோ எனும் உறழ்வு எடுப்பாகும். மேலே தரப்பட்டிருக்கும் இரண்டு எடுகூற்றுக்களும் உண்மையில் சாந்தி மூன்று அடிக்கு அதிகம் இல்லை குறைவதும் இல்லை எனும் சிற்றெடு கூற்றே ஆகும். விதி 6: தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவும் மறையாக இருத்தல் வேண்டும். முடிவு மறை எடுப்பு ஆயின் தரவுகளில் ஒன்று மறையாக இருத்தல் வேண்டும்.
எடு கூற்றுக்களில் ஒன்று மறையாயின் மற்றைய எடு கூற்று விதி எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும் இதனால் சிறுபதமும் பெரும்பதமும் மத்திய பதத்தோடு முரண்பட்ட முறையிலேயே தொடர்பினைக் கொண்டிருக்கும். இரு பதங்கள் ஒன்றோடு ஒன்று பொருந்துவனவாயிருந்தால் மூன்றாவது பதத்தோடு அவை அதே முறையிலேயே தொடர்பு பட்டிருத்தல் வேண்டும். ஆகவே S உம் P உம் M உடன் ஒரே முறையில் தொடர்பு கொண்டிராது முரண்பட்டமுறையில் தொடர்பு கொண்டிருப்பதால் சிறு பதமும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 99
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 52
M
பெரும்பதமும் தம்மிடையே பொருந்துவனவாகவும் இருக்க முடியாது. ஆகவே தான் தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவும் மறையாக இருத்தல் வேண்டும். (உ-ம்) (மெய்யியலாளர்கள்) அனைவரும் ( அளவையியளாலர்கள்)
ஆவர்.
PAM (அளவையியலாளர்) எவரும் ( மெய்ஞானிகள்) அல்லர். MES
M ஆகவே ( மெய்ஞானிகள்) எவரும் (மெய்யியலாளர்கள் ) அல்லர். ஃ SEP
பேரெடு கூற்றில் பெரும்பதத்திற்கும் மத்திய பதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு உண்டு எனக் கூறுகின்றது. சிற்றெடுகூற்றிலே சிறு பதத்திற்கும் மத்திய பதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு இல்லை என கூறுகின்றது. இதனால் சிறுபதத்திற்கும் பெரும்பதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு இல்லாமலே இருக்க வேண்டும். எனவே தான் தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவும் மறையாக இருத்தல் வேண்டும்.
முடிவு மறையில்லாப்போலி
தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவும் மறையாக இருத்தல் வேண்டுமெனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படும் போலி முடிவு மறையில்லாப் போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத் தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்)
(கிளிகள்) ( பச்சை நிறம்) அல்ல.
MEP P' (பறவைகள்) ( கிளிகள்) ஆகும்.
SAM ஆகவே ( பறவைகள்) ( பச்சை நிறம்.) ஆகம். ஃSA P
பேரெடு கூற்றில் மத்தியபதத்திற்கும் பெரும்பதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு இல்லை. சிற்றெடுகூற்றிலே சிறுபதத்திற்கும் மத்திய பதத்திற்கும் இடையே தொடர்புண்டு எனக் கூறுகின்றன. இதனால் சிறுபதத்திற்கும் பெரும்பதத்திற்குமிடையே தொடர்பு இல்லாமலே இருக்க வேண்டும்.ஆனால் இங்கு சிறுபதத்திற்கும் பெரும் பதத்திற்கும் இடையே தொடர்புண்டு எனக் கூறி உள்ளதால் முடிவு மறையில்லாப் போலி ஏற்பட்டுள்ளது.
முடிவு மறை எடுப்பாக இருந்தால் எடுகூற்றுக்களில் ஒன்று மறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் முடிவு மறையாக இருக்கும்போது எடுகூற்றுக்களில் ஒன்று மறை எடுப்பாக இல்லை எனின் அது வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்)
(படித்தவர்கள்) ( அறிவாளிகள்) ஆவர்.PAM
(அறிவாளிகள்) அனைவரும் (பண்பானவர்.) MAS ஆகவே ( பண்பானவர்)" சிலர் ( படித்தவர்கள்) அல்லர். ஃ SOP
M
M
M, (படித்த
M
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I100)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

கிளை விதிகள்.
விதி 7: இரண்டு குறையெடுப்புக்களில் இரு ந்து எது விதமான முடிவையும் பெற முடியாது. குறை எடுப்புக்கள் என்பவை | 0 எடுப்புக்கள் ஆகும். இவ்வெடுப்புக்களைக் கொண்டு தரவுகள் இரண்டும் குறைஎடுப்பாய் இருக்கக்கூடிய பின்வரும் நியாயதொ டைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.
I I - 0 1 0 0) 1 0 0
- ஃ 0 0 0 (1) 1 MIP (2) o| (அ) MOP (ஆ) POM
SIM
MOS
MOS ஃ ||
ஃO| ஃ S OP
ஃSO P (3) 1 (அ) PI M (ஆ) MI P (4) 0 (அ) POM (ஆ) MOP
SOM
MOS
SIM
MIS ஃSOP ஃS OP
ஃ SOP
ஃSOP
ஃI
ஃSIP
மத்தியபத வியாப்தி அடையாப்போலி, பெரும்பதப் போலி, இரு எதிர் மறைப்போலி என்பன ஏற்படுவதால் தான் இரண்டு குறை எடுப்புக்களில் இருந்து எது விதமான முடிவினையும் பெற்றுக் கொள்ள முடியாது. விதி 8: தரவுகளில் ஒன்று குறையாயின் முடிவும் குறையாக இருத்தல் வேண்டும். ( ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே தரவுகள் என்பவை பேரெடு கூற்றும், சிற்றெடு கூற்றும் ஆகும். இத்தரவுகளில் ஒன்று குறை (I,0 ) ஆயின் மற்றைய தரவு (AE) நிறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். எனவே நிறையெடுப்புக்கள், குறையெடுப்புக்கள் என்பவற்றை கொண்டு தரவுகளில் ஒன்று குறையாக இருக்கக் கூடிய பின்வரும் நியாயத்தொடைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.
A) - நிறை ||- குறை A 1 E 0 A 0 E I E) - நிறை 0- குறை I A 0 E 0 A I E
ஃ1 1 0 0 0 0 0 0
(1) A MAP இரண்டு எடு கூற்றுக்களும் விதி எடுப்பாகவும்
SIM அவற்றுள் ஒன்று குறை எடுப்பாகவும் இருப்ப ஃ Iஃ STP தினால் ஒரு பதம் மட்டுமே வியாப்தி அடைந்து
காணப்படும். நியாயத் தொடையின் மூன்றாவது
விதிப்படி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I101)
ஆசிரியர் க.கேசவன் (1)

Page 53
(2) 1) PIM
மத்திய பதம் ஏதாவது ஓர் எடு கூற்றிலேனும் A MASவியாப்தியடைதல்வேண்டும். இதனால் எடு 1ஃ1) ஃ SIP
கூற்றில் சிறுபதம் பெரும்பதம் என்பவை வியாப்தியடையாது இருக்கும். நியாயத் தொடையின் நான்காவது விதிப்படி எடுகூற்றில் வியாப்தியடையாத பதங்கள் முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது. ஆகவே தான் முடிவுக் குறை விதி எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். (3) A) PAM (4) 0] MOP (5) E) PEM
OSOM-A) MAS T SIM ஃ) ஃ SOP
ஃ Oஃ SOP ஃ O| ஃ SOP இச் சேர்க்கைகளில் இரண்டு பதங்கள் மட்டும் வியாப்தி யடைந்து காணப்படும் 6 ம் விதிப்படி தரவுகளில் ஒன்று மறை யாயின் முடிவும் மறையாக அமைகின்றது. இதனால் பெரும்பதம் முடிவில் வியாப்தியடையும்.3 ம் விதிப்படி மத்திய பதம் ஏதாவது ஓர் எடு கூற்றிலேனும்வியாப்தியடைதல் வேண்டும். மற்றைய வியாப்தி பெரும்பதம் வியாப்தியடைந்து விடும். இதனால் எடு கூற்றில் சிறுபதம் வியாப்தியடையாமல் இருக்கும். 4ம் விதிப்படி எடு கூற்றில் வியாப்தி அடையாத சிறு பதம் முடிவிலும் வியாப்திய டையாது இருத்தல் வேண்டும். 6ம் விதிப்படி தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவும் மறையாக இருத்தல் வேண்டும். ஆகவே தான் முடிவு குறை மறையெடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். விதி 9: பேரெடுகூற்று குறையாகவும் சிற்றெடுகூற்று மறையாகவும் இருப்பின் அனுமானம் எதுவும் சாத்தியமில்லை.
குறை எடுப்புக்கள் என்பவை I, O எடுப்புக்கள் ஆகும். மறை எடுப்புக்கள் என்பவை E, 0 எடுப்புக்கள் ஆகும். இவ்வெடுப்புக்களைக் கொண்டு பேரெடுகூற்று குறையாகவும் சிற்றெடு கூற்று மறையாகவும் இருக்கக்கூடிய பின்வரும் நியாயத்தொடைகள் உருவாக்கப்பட்டு ள்ளன.
1 - குறை E- மறை [ 0 0 1 0 - குறை 0 - மறை 0 E 0 E
(1) 1 MIP (2) 0 POM (3) 0 MOP (4) 1) PIM
O MOS E SEM O MOS E MES ஃ) ஃ S OP ஃ) ஃ SOP ஃ dஃ SOP ஃ0 ஃ SOP
பெரும்பதப் போலி, சிறுபதப் போலி, இரு எதிர்மறைப் போலி என்பன ஏற்படுவதால்தான் பேரெடு கூற்று குறையாகவும் சிற்றெடுகூற்று மறையாகவும் இருப்பின் எது விதமான அனுமானமும் சாத்தியமில்லை.'
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1/102)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

தூய நிபந்தனை நியாயத் தொடை
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் நிபந்தனையெடுப்பாக அமையும் நியாயத் தொடை துர்யநிபந்தனை நியாயத் தொடை எனப்படும். எடு கூற்றுக்கள் இரண்டும் நிபந்தனை எடுப்பாக இருப்பதினால் முடிவும் நிபந்தனை எடுப்பாக இருக்கும். அறுதி எடுப்புக்களில் உள்ள A, B, I,O எடுப்பிற்கு சமமான எடுப்புக்களை நிபந்தனை எடுப்புக்களிலும் அமைத்துக் கொள்ளமுடியும். இதனால் தூய அறுதிநியாயத் தொடைக்கு பொருந்திய நியாயத் தொடை விதிகள் தூய நிபந்தனை நியாயத் தொடைக்கும் பொருந்தும் என ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றது. (உ- ம்) (1) (அவன் படிப்பான்) ஆயின்( பரீட்சையில் சித்திய
டைவான்) PAM
(பரீட்சையில் சித்தியடைவான்) எனின்(பல்க 2a3. அனுமதி கிடைக்கும்) MAS ஆகவே (ல்ேகலைக்கழகஅனுமதி கிடைக்கும்) ଗTଶ୪fiର୍ତt (೨॥೧॥ಣ್ಣೆ படிப்பான்) 3SAP
வாய்ப்பற்றது. சிறுபத சட்டவிரோதப் போலி (2) ( மழைபய்யும்) ଘT ଗ0fର୍ତt நெல்விளையவில்லை) MIP
சில வேளைகளில் (மழை பய்யும்) எனின் ( ತಿಗಣ್ಣಿಗೀತೆ! விலை குறையும்) MES
ஆகவே சில வேளைகளில்( 65 விளையும்) எனின் அரிசியின் விலை குறையாது. 3 SOP வாய்ப்பற்றீது பெரும்பதச் சட்ட விரோதப்போலி. (3) (A ༧་ཀྱི02) ஆயின் (Bகூடும்) - MAP (B கூடும்) எனின் ( C கூடும்) SAM ஆகே ( A கூடும்) எனினீCகூடும்) 2, SAP S வாய்ப்பு தூய உறழ்வு நியாயத் தொடை.
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் உறழ்வு எடுப்பாக அமையும் நியாயத்தொடை தூய உறழ்வு நியாயத்தொடை எனப்படும். எடு கூற்றுக்கள் இரண்டும் உறழ்வு எடுப்பாக இருப்பதினால் முடிவும் உறழ்வெடுப்பாக இருக்கும். உறழ்வு எடுப்புக்களில் A, 1 ஆகிய விதி எடுப்புக்களை மட்டுமே அமைத்துக் கொள்ளமுடியும், B, O ஆகிய மறை எடுப்புக்களை அமைத்துக் கொள்ளமுடியாது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 103 ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 54
நியாயத் தொடையின் பண்பு விதிகள் மறை எடுப்புக்கள் பற்றிய விதியாகும். இதனால் தூய உறழ்வு நியாயத் தொடைக்கு பண்பு விதிகள் பொருத்தமற்றது - ஆகும். அமைப்பு விதிகள் வியாப்தி விதிகள், என்பவையே பொருந்தக் கூடியன ஆகும். பக்கஎடு கூற்றில் உள்ள மாற்றெடுப்புக்களில் ஒன்று பேரெடு கூற்றிலுள்ள எடுப்புக்களின் ஒன்றின் மறையாய் இருக்கும் போதே உறழ்வு நியாயத்தொடை நடுப்பதத்தின் வியாப்திபற்றிய விதிக்கு உட்பட்டு
அமைந்திருக்கும். (உ-ம்) (1)
மிருகங்கள் ஒன்றில் (வெள்ளையானவை)
M அல்லது ( கறுப்பானவை)
MAP சில மிருகங்கள் ஒன்றில்( வெள்ளையானவை )
M அல்லது (கபில நிறம்)
MIS ஆகவே சில மிருகங்கள் ஒன்றில் (கபில நிறம்) அல்லது (கறுப்பானவை)
ஃ SLP
வாய்ப்பு (2) மனிதர்கள் ஒன்றில் ( இறப்பவர்( அல்லது
(உயிருடன் உள்ளனர்)
PAM சில மனிதர்கள் ஒன்றில் (உயிருடன் இருப்பவர் அல்லர்) அல்லது ( வாழ்பவர்)
M IS ஆகவே சில மனிதர்கள் ஒன்றில் ( வாழ்பவர்) அல்லது ( இறப்பவர்)
ஃS IP வாய்ப்பற்றது. மத்திய பத வியாப்தியடையாப் போலி இவ் நியாயத் தொடைகளை அமைப்பது கடினமாகையால் இவை பற்றி அதிகம் ஆராய வேண்டியது இல்லை.
S
P
M
M
நியாயத்தொடை வழி அனுமானத்தின் தத்துவங்கள். (1) முழுமையின் விதிமுறைகள் பகுதிக்கு செல்லுதல்.
மத்திய பதமானது பேரெடு கூற்றில் எழுவாயாகவும் சிற்றெடு கூற்றில் பயனிலையாகவும் வரும் நியாயத்தொடையே செம்மையான அறுதி நியாயத் தொடையென அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலாளர்கள் கருதிவந்தனர். இதன் வெற்றுருவம் பின்வருமாறு அமையும்.
M - P - சாத்தியக் கூற்று அல்லது பேரெடு கூற்று . S - M - பக்கக் கூற்று அல்லது சிற்றெடு கூற்று ஃ S - P - -
முடிவுக் கூற்று
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 11104)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

வேறு வடிவங்களில் வரும் நியாயத் தொடைகளை எதிர் மாற்றம் முதலான உடன் அனுமான நெறிகளைக் கையாள்வதன் மூலம் எடு கூற்றுக்களின் உருவத்தை மாற்றி மேற்காணும் உருவிற்கு மாற்றியமைக்கலாம் என அரிஸ்ரோட்டலிய அளவை யியலாளர் கருதினர். இது அளவையியலின் இன மாற்ற நெறி யென அழைக்கப்படும். ஏனைய நியாயத் தொடை வகைகளின் வாய்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு அவற்றை மேல் உள்ள உருவத்திற்கு முதலில் இன மாற்றம் செய்தல் வேண்டும். பின்னர் இவ்வுருவ த்திற்கான பொது விதிக்கு அந்நியாயத் தொடைகள் பொருந்துகின்றதா எனநோக்குதல் வேண்டும். எனவே நியாயத் தொடை முறையான சிந்தனை அடிப்படைத் தத்துவம் எனும் வெளிப்படை உண்மையை இவ்வளவையியலாளர்கள் தந்துள்ளனர். அதுவே பழம் பெருமை வாய்ந்த முழுமையின் விதி முறைகள் பகுதிக்கு செல்லும் என்பதாகும். இதன் கருத்து / பின் வருமாறு அமையும். உடன்பாடாகவாவது எதிர் மறையாகவாவது எதையும் ஓர் வகுப்பு முழுவதிற்கும் பயனிலையாகக் கொள்ளலாம். எனின் அவ்வகுப்பின் எப்பகுதிக்கும் பயனிலையாகக் கொள்ளலாம் என்பதே ஆகும்.மேலே தரப்பட்ட 'நியாயத்தொடையின் நியம உருவத்தில் M எனும் பொருள் வகுப்புப் P பயனிலையாக அமைகின்றது. S ஆக இருப்பது எதுவும் M எனும் வகுப்பிற்குட்பட்டது. எனவே S எனும் எதற்கும் P பயனிலைப்படுத்தப்படலாம். அல்லது மறையாக P - M எனும் வகுப்பிற்கு பொருந்தாது என மறுக்கப்பட்டால் S - M ல் அடங்குமெனின் P - S இற்கு பொருந்த மாட்டாது எனக் கொள்ளுதல் வேண்டும். (2) அறுதி நியாயத் தொடையின் பொது விதிகள். மத்தியகால
அளவையியலாளர்கள் வியாப்திவிதியை வகுப்புக்கள் ஒன்றை ஒன்று உட்படுத்துவதையோ அல்லது விலக்குவதையோ குறிப்பிடும் வகையிலேயே உணர்த்தினர். இம்முறை எடுப்புக்களை வகுமுறையில் விளக்கும் கொள்கையோடு தொடர்புபட்டிருப்பதால் ஏற்றுக் கொள்ள முடியாது என இக்கால அளவையியலாளர்கள் சிலர் கண்டித்தனர். இக்கண்டனம் பிழையானதாகும். ஏனெனில் அரிஸ்ரோட்டல் தமது விதி வகுப்புக்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்புகளை உணர்த்தும் எடுப்புக்களுக்கு மட்டும் பொருந்தும் எனக் கூறவில்லை. இவ்விதி மிகவும் பொதுவான இயல்புடையதாக காணப்படுகின்றது. ' பயனிலையை பற்றிக் கூறப்படும் எதுவும் எழுவாய் பற்றியும் கூறப்படுகின்றது என்பதே இவ்விதியாகும். அது பண்புகளு க்கிடையே உள்ள தொடர்புகளை கூறும் எடுப்புக்களுக்குப் பொருந்துவதாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 105
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 55
(உ-ம்) M - P
S - M ஃ S - P
P, M இன் பண்பாகும். M,S இன் பண்பாகும். எனவே P,S இன்பண்பாகும். பொதுவான கருத்தை ( விதி அல்லது மறை வகுப்பு) அதனோடு தொடர்புபட்ட ஒன்றிற்கு அல்லது வகுப்பிற்கு பிரயோகித்தலாகும். எடுகூற்றுக்களாய் வரக்கூடிய பல்வேறு எ டுப் புக் களையும் ஆராய்ந்தே வலிமையான அறு தி நியாயத்தொடைகளை அமைப்பதற்கான விதிகளைத் தந்தார். இது ஆறு பிரதானவிதிகளையும் மூன்று கிளைவிதிகளையும் கொண்டதாகும். இவை பற்றி முதலிலே மேலே ஆராயப்பட்டுள்ளது. கலப்பு நியாயத்தொடை
எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் வேறுபட்ட இனவகை எடுப்பாக அமைவது கலப்பு நியாயத்தொடை எனப்படும். அதாவது பேரெடு கூற்று நிபந்தனை எடுப்பாகவும் பக்கக்கூற்று அறுதி எடுப்பாகவும் இருக்கலாம் அல்லது பேரெடுகூற்று உறழ்வெடுப்பாகவும் பக்கக்கூற்று அறுதி எடுப்பாகவும் இருக்கலாம் அல்லது பேரெடுகூற்று இரண்டு நிபந்தனைஎடுப்பாகவும் பக்கக்கூற்று உறழ்வெடுப்பாகவும் அமையலாம். அதனால் கலப்பு நியாயத்தொடை மூன்று வகைப்படும். (i) கலப்பு நிபந்தனை நியாயத் தொடை (ii) கலப்பு உறழ்வு நியாயத்தொடை(iii) இருதலைக் கொள்ளி வாதம்.
கலப்பு நிபந்தனை நியாயத் தொடை
பேரெடுகூற்று நிபந்தனை எடுப்பாகவும் பக்கக்கூற்று அறுதி எடுப்பாகவும் அமையும் நியாயத்தொடை கலப்பு நிபந்தனை நியாயத்தொடை எனப்படும். இங்கு முடிவு நிபந்தனை எடுப்புக்களின் முற்கூற்று, பிற்கூற்று என்பன உணர்த்தும் எடுப்புக்களைக் கொண்டமையும். (உ - ம்) அவனுக்கு அறிவு இருக்கும், ஆயின் முன்னேறலாம்.
அவனுக்கு அறிவு இருக்கிறது ஆகவே அவன்
முன்னேறலாம் இஓர் கலப்பு நிபந்தனை நியாயத் தொடை வாய்ப்பாக அமைவதற்கு
இரண்டு நியம முறை வழிகள் உண்டு. (1) உடன்பாட்டு ஆகாரி (அல்லது ஆக்கப்பாட்டு நியாயத் தொடை) (2) மறுப்பு ஆகாரி ( அல்லது அழிவு நியாயத் தொடை)
உடன்பாட்டு ஆகாரி : நிபந்தனை எடுப்பு ஒன்றின் முற்கூற்றை விதித்து பிற்கூற்றின் விதிப்பை முடிவாகப் பெறுவது உடன்பாட்டு
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1106) ஆசிரியர் க.கேசவன் |

ஆகாரி எனப்படும். இது வாய்ப்பான கலப்பு நிபந்தனை நியாயத் தொடையாகும். வடிவம். :(X-> Y). X ஃ Y (உ - ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும், மழை பெய்தது
ஆகவே நெல் விளைந்தது. இது வாய்ப்பானது ஆகும். காரண மறுப்புப் போலி ( உடன்பாட்டாகாரிப் போலி)
உடன்பாட்டு ஆகாரி எனும் அனுமானவிதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது காரணமறுப்புப் போலி எனப்படும். அதாவது முற்கூற்றை மறுத்து பிற்கூற்றை மறுத்து முடிவைப் பெறுவது வாய்ப்பற்றது ஆகும். இது பல காரணங்கள் ஒரு காரியத்தை ஏற்படுத்துவதற்கே பொருந்தும். (உ-ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும் மழை பெய்யவில்லை
ஆகவே நெல்விளையவில்லை இது வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்)
நியம் வடிவம். A-L, B -> L, C-L
இங்கு A,B,C காரணம் ஆகும் L காரியமாகும். L நிகழ்வதற்கு பல காரணம் உண்டு. A எனும் காரணம் நடைபெறவில்லை எனக் கொண்டு L என்ற காரியம் நிகழாது எனக் கூறுவது தவறு ஆகும். ஏனெனில் B, Cஎனும் காரணங்களும் அதை ஏற்படுத்தலாம் எனவே தான் முன்னெடுப்பை மறுத்து பின்னெடுப்பை மறுப்பது வாய்ப்பற்றது ஆகும். ஆனால் புறநடையாக ஒரு காரியத்திற்கு ஒரு காரணம் இருந்தால் முற்கூற்றை மறுத்து பிற்கூற்றை மறுப்பதும் வாய்ப்பாகும். (உ-ம்) அவள் கணவனை இழந்தவள் ஆயின் ஆயினேவிதவை
யாவாள். அவள் கணவனை இழக்கவில்லை. ஆகவே அவள்
விதவையில்லை. (உ-ம்) நியம வடிவம். :(A> L) .~ A ஃ ~ L
உடன்பாட்டு ஆகாரி பல வகைப்படும். இவை வாய்ப்பான உருவங்களாகும். (1) உடன்பட்டு உடன்படும் ஆகாரி (2)உடன்பட்டு மறுக்கும் ஆகாரி
A எனின் C
A எனின் C அன்று
A)
A
ஃ C
ஃ C அன்று (3) மறுத்து உடன்படும் ஆகாரி (4) மறுத்து மறுக்கும் ஆகாரி
A அன்று எனின் C
A அன்று எனின் C அன்று A அன்று
C அன்று ஃ C மறுப்பு ஆகாரி :- நிபந்தனை வாக்கியம் ஒன்றின் பிற்கூற்றை மறுத்து முற்கூற்றின் மறுப்பை முடிவாகப்பெறுவது மறுப்பு ஆகாரி
ஃ C அன்று
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (107)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 56
எனப்படும். இது வாய்ப்பான கலப்பு நிபந்தனை நியாயத்தொடையாகும்.
வடிவம். (X-Y). ~ Y ~ X (உ - ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல்விளையும் நெல்லிளையவில்லை
ஆகவே மழை பெய்யவில்லை. காரிய உடன்பாட்டுப் போலி ( மறுப்பாகாரிப் போலி)
மறுப்பு ஆகாரி எனும் அனுமான விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது காரிய உடன்பாட்டுப் போலி எனப்படும். பிற்கூற்றை விதித்து முற்கூற்றை விதித்து முடிவைப் பெறுவது வாய்ப்பற்ற நியாயத்தொடையாகும். இது ஒரு காரியத்திற்கு பல காரணங்கள் உள்ள போதே பொருந்தும். (உ - ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல்விளையும். நெல் விளைந்தது
ஆகவே மழை பெய்தது. (உ-ம்) நியம வடிவம் : A -> L
B-> L
C-> L இங்கு A, B, C காரணங்கள் L காரியமாகும். எனவே L நிகழ்வதற்கு பல காரணங்கள் உண்டு L எனும் காரியம் நிகழ்ந்தது என்பதைக் கொண்டு அது எவற்றால் நிகழ்ந்தது என்பதை உறுதியாக கூறமுடியாது. எனவே பிற்கூற்றின் விதிப்பில் இருந்து
முற்கூற்றின் விதிப்பைப் பெறுவது வாய்ப்பற்ற நியாயத் தொடை ஆகும். ஆனால் புறநடையாக ஒரு காரியத்திற்குப் பல காரணங்கள் உள்ள போது பிற்கூற்றை விதித்து முற்கூற்றின் விதிப்பை
முடிவாகப் பெறுவதும் வாய்ப்பானது ஆகும். (உ-ம்) அவள் கணவனை இழந்தவள் ஆயின் ஆயினே விதவை
அவள் விதவை ஆகவே அவள் கணவனை இழந்தவள். (உ- ம்) நியம வடிவம் : (A <>L) .L ஃ A
மறுப்பு ஆகாரி பல வகைப்படும். இவை வாய்ப்பானவை ஆகும். (1) மறுத்து மறுக்கும் ஆகாரி (2) உடன்பட்டு மறுக்கும் ஆகாரி
A எனின் C
A எனின் C அன்று C அன்று ஃ A அன்று
ஃ A அன்று (3) மறுத்து உடன்படும் ஆகாரி (4) உடன்பட்டு உடன்படும் ஆகாரி
A அன்று எனின் C
A அன்று னின் C அன்று C அன்று ஃ A
ஃ A கலப்பு உறழ்வு நியாயத் தொடை:- பேரெடுகூற்று உறழ்வு எடுப்பாகவும் பக்கக்கூற்று அறுதி எடுப்பாகவும் அமையும் நியாயத்தொடை கலப்பு உறழ்வு நியாயத்தொடை எனப்படும்.
C
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 108
ஆசிரியர் க.கேசவன்

இங்கு முடிவு அறுதி எடுப்பாகவோ அல்லது உறழ்வு எடுப்பாகவோ இருக்கும். (உ-ம்) (1) ரவி ஏழை அல்லது திறமை சாலிஅவன் ஏழை அல்லன்.
ஆகவே அவன் திறமைசாலி ஆவான். முகுந்தன் ஏழை அல்லது பணக்காரன் அல்லது நடுத்தர வர்க்கம். அவன் ஏழை அல்லன்.
ஆகவே அவன் பணக்காரன் அல்லது நடுத்தர வர்க்கம். ஒரு உறழ்வு எடுப்பிலே மூன்று வேறுபட்ட மாற்றுக்களைக் காணலாம். (1) ஒன்றைஒன்று தழுவும் மாற்றுக்கள் (உ-ம்) அழகு அல்லது பண்பு (2) ஒன்றை ஒன்று விலக்கும் ஆனால் அகலக்குறிப்புமுழுவதையும்
தம்முள்ளே உள்ளடக்காது(உ - ம்) ஏழை அல்லது பணக்காரன் (3) ஒன்றை ஒன்று விலக்கும் அத்துடன் ஒன்று சேர்ந்து அகலக்கு
றிப்பு முழுவதையும் தம்முள்ளே உள்ளடக்கும். (உ-ம்) ஏழை அல்லது ஏழை அல்லாதவர்.
கலப்பு உறழ்வு நியாயத் தொடை நியம முறையில் வாய்ப்பாக அமைவதற்கு மறுத்து விதித்தல் எனும் அனுமான விதி உண்டு. மறுத்துவிதித்தல் விதி
உறழ்வுஎடுப்புக்களிலே காணப்படுகின்ற மாற்றுக்களில் ஒன்றை மறுப்பதன் மூலம் மற்றைய மாற்றுக்கள் விதிக்கப்படுவது மறுத்து உடன்படல் ஆகாரி எனப்படும். நியம வடிவம் (1) ஒன்றில் X அல்லது y
(1) ஒன்றில் X அல்லது y - X 1 அன்று
y அன்று ஆகவே y
ஆகவே x நடுப்பத விலகல் விதி ஒன்றின் ஒரு மாற்றை மறுத்து மற்றயவை விதியுரை செய்து வாய்ப்பாக பெறப்படுகின்றது. (உ-ம்) அவன் அழகானவன் அல்லது பண்பானவன். அவன் அழகானவன் அல்லன் ஆகவே அவன் பண்பானவன். 'இது வாய்ப்பானது ஆகும். உறழ்வுஎடுப்புக்களின் மாற்றுக்கள் விதிகளாகவோ அல்லது மறையாகவோ இருக்கும் ஆதலால் இவ்வுருவங்கள் பின்வருமாறு உணர்த்தப்படுகின்றன. (1) ஒன்றில் x அல்லது y (2) ஒன்றில் X அல்லது y அன்று
x அன்று ஃy X அன்று ஃy அன்று (3) ஒன்றில் x அன்று அல்லது y, x |
ஃ 1 y (4) ஒன்றில் x அன்று அல்லது y அன்று
X ஃ y அன்று.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II 109
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 57
தழுவும் உறழ்வுப் போலி : ஒன்றை ஒன்று தழுவுகின்ற மாற்றுக்களை கொண்ட கலப்பு உறழ்வு நியாயத் தொடை மறுத்து விதித்தல் எனும் அனுமான விதியைமீறும் போது ஏற்படுவது தழுவும் உறழ்வுப்போலி எனப்படும். அவ்வாறான நியாயத் தொடை வாய்ப்பற்றது ஆகும்.
(உ - ம்) அவன் அழகானவன் அல்லது பண்பானவன் .
அவன் அழகானவன் , ஆகவே பண்பானவன் அல்லன்.
ஒருவருக்கு அழகு இருப்பதை உண்மையெனக் கொண்டு பண்பு இல்லை எனக் கூறமுடியாது ஏனெனில் ஒருவருக்கு அழகும் பண்பும் ஒருங்கே இருக்கலாம். அழகு, பண்பு என்பவை எதிர் மறைகள் அல்ல. இதனால் ஒரே பொருளில் ஒரே நேரத்தில் இருக்கலாம். விதித்து மறுத்தல் விதி.:- உறழ்வு எடுப்புக்களில் ஒரு மாற்றை விதித்து மற்றையு மாற்றுக்கள் மறுக்கப்படுவது விதித்து மறுத்தல் விதி எனப்படும். (உ - ம்) (1) இந்த மேசை கறுப்பு அல்லது வெள்ளை
இந்த மேசை கறுப்பு ஆகவே வெள்ளை அல்ல.
வாய்ப்பு (2) இந்த மேசை கறுப்பு அல்லது வெள்ளை
இந்த மேசை கறுப்பு அல்ல ஆகவே வெள்ளை ஆகும். வாய்ப்பற்றது : கறுப்பு அல்ல என்பதைக் கொண்டு வெள்ளை ஆகும் என உறுதியாகக் கூற முடியாது ஏனெனில் இங்கு கூறப்படாத நிறங்களில் ஒன்றாகவும் இருக்கலாம். இது தவிர்ப்பு நிலை உறழ்வுப் போலி என அழைக்கப்படும்.
(3) இந்த மேசை வெள்ளை அல்லது வெள்ளை அல்லாதது
இந்த மேசை வெள்ளை அல்ல ஆகவே மேசைவெள்ளை
அல்லாதது ஆகும். வாய்ப்பு (4)
இந்த மேசை வெள்ளை அல்லது வெள்ளை அல்லாதது ஆகும். இந்த மேசை வெள்ளை ஆகவேமேசை வெள்ளை அல்லாதது அல்ல. வாய்ப்பு
மறுத்து உடன்படும் ஆகாரியால் உள்ள கலப்பு உறழ்வு நியாயத் தொடைகளே வாய்ப்பான அளவையியல் வடிவம் என அளவையியலாளர்கள் கூறுகின்ற போதும் கலப்பு உறழ்வு நியாயத் தொடையின் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை உண்மையில் மாற்றுக்களின் தன்மையிலேயே தங்கியுள்ளது என்பதை மேலுள்ள நான்கு உதார ணங்களும் உணர்த்துகின்றன. விதித்துமறுத்தல் அனுமான விதியைத் தழுவும் மாற்றுக்களைக் கொண்ட கலப்பு உறழ்விற்குப் பொருந்தாது. அத்துடன் உதாரணம் (2) எமது இயற்கை மொழியில் வாய்ப்பற்றது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I110
ஆசிரியர் க.கேசவன்

ஆனால் குறியீட்டு அளவை முறையில் வாய்ப்பாகும். (உ - ம்) இந்த மேசை கறுப்பு அல்லது வெள்ளை. இந்த மேசை
கறுப்பு அல்ல ஆகவ வெள்ளையாகும். சு.தி. :P: இந்த மேசைகறுப்பு Q: இந்த மேசை வெள்ளை
( P V Q). ~ P - ஃ Q (( P VQ) + ~P) - Q
F + F TT F F
வாய்ப்பு இரு தலைக்கோள் :-பேரேடு கூற்று கூட்டு நிபந்தனை எடுப் பாகவும் பக்கக் கூற்று உறழ்வு எடுப்பாகவும் அமையும் நியாயத்தொடை இருதலைக்கோள் எனப்படும். இவற்றிலே முடிவு அறுதி எடுப்பாகவோ அல்லது உறழ்வு எடுப்பாகவோ இருக்கலாம். (உ-ம்) பெரிய மாமி வருவாள் எனின் பெரிய மச்சாள் வருவாள்.
சின்ன மாமி வருவாள் எனின் சின்னமச்சாள் வருவாள் பெரியமாமி வருவாள் அல்லது சின்னமாமி வருவாள். ஆகவே பெரியமச்சாள் வருவாள் அல்லது சின்ன மச்சாள் வருவாள்.
அதாவது பக்கஎடுகூற்றால் மறுக்கப்படும் அல்லது விதிக்க ப்படும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முன்னிடை களை அல்லது பின்னிடைகளை சாத்திய எடுகூற்று கொண்டிருக்கின்றது. இவ்வாறு அனேக மாற்றுக்களில் இருந்து ஒன்றைத் தெரிந்து கொள்ளக்கூடிய வகையில் அமைந்திருப்பதே இருதலைக்கோள் வாதங்களுக்குரிய தனி இயல்பு எனலாம். அணியியல் முறையில் இவ்வாதம் கையாளப்படுகின்றது. எல்லா இருதலைக்கோளும் எதிராளிக்கு பாதகமானவையாய் இருக்கும் , மாற்றுக்களில் ஒன்றைத் தெரிவு செய்ய வேண்டிய நிலையில் எதிராளியை வைப்பதே நோக்கமாகின்றது.
உண்மையில் ஓர் இருதலைக்கோளில் இருமாற்றுக்களே உள்ளன. மூன்று மாற்றுக்கள் இருப்பது முத்தலைக்கோள் எனப்படும். நான்கு மாற்றுக்கள் தரப்படுவது நாற்றலைக்கோள் எனப்படும். நான்கிற்கு மேற்பட்ட மாற்றுக்களைக் கொண்டிருப்பது பஃறலைக் கோள் எனப்படும். இருதலைக்கோள் இரண்டு வகைப்படும். (அ) ஆக்கப்பாட்டு இருதலைக்கோள் (ஆ) அழிவு இருதலைக்கோள். ஆக்கப்பாட்டு இரு தலைக்கோள்
கூட்டுநிபந்தனை எடுப்புக்களில் முற்கூற்றுக்களை பக்கக்கூ ற்றாக்கிய உறழ்வு எடுப்பு விதித்து முடிவும் விதிக்கப்படுவது ஆக்கப்பாட்டு இருதலைக்கோள் எனப்படும். ஆக்கப்பாட்டு இருதலைக் கோளில் பேரெடு கூற்று இரண்டு முன்னிடைகளைக்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 58
கொண்டிருத்தல் இன்றியமையாதது ஆகும். இல்லையேல் பக்கக்கூ
ற்று உறுழ்வு எடுப்பாக இருக்க முடியாது. ஆனால் பிற்கூற்று. ஒன்று மட்டும் இருக்கலாம். இதனால் முடிவு எளிய அறுதி எடுப்பு உருவத்தில் அமையும். முடிவு அறுதி எடுப்பாக அமை வது எளிய ஆக்கப்பாட்டு இரு தலைக்கோள் எனப்படும். இரண்டு பின்னடைகள் இருந்தால் முடிவு உறழ்வு எடுப்பாக அமையும், முடிவு அறுதிஎடுப்பாக அமையாது விட்டால் அது சிக்கல் வழி ஆக்கப்பாட்டு இரு தலைக்கோள் எனப்படும். (உ - ம்) (1) எளிய ஆக்கப்பாட்டு இரு தலைக் கோள் (அ) ஒன்றில் A அல்லது B எனின் C ஆகும்.
ஒன்றில் A அல்லது Bஆகவே C ஆகும். (ஆ) ஒன்றில் A அல்லது B எனின் ஒன்றில் C
அல்லது D, ஒன்றில் A அல்லது B
ஆகவே ஒன்றில் ( அல்லது D (2) சிக்கல் வழி ஆக்கப்பாட்டு இரு தலைக்கோள்
A எனின் C மேலும் B எனின் D ஒன்றில் A அல்லது B
ஆகவே ஒன்றில் C அல்லது D அழிவு இரு தலைக்கோள்
கூட்டுநிபந்தனை எடுப்புக்களில் பிற்கூற்றுக்களை பக்கக்கூ ற்றாகிய உறழ்வு எடுப்பு மறுத்து முடிவும் மறுக்கப்படுவது அழிவு இருதலைக்கோள் எனப்படும். இவ்விருதலைக்கோள் ஒன்றில் பேரேடு கூற்று இரு பிற்கூற்றுக்களைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும். பேரெடு கூற்று ஒரு முன்னடை களையோ அல்லது இரண்டையோ கொண்டிருப்பதற்கேற்ப இருதலைக்கோள் எளியதா அல்லது சிக்கலா என அழைக்கப்படும். முடிவு அறுதியெடுப்பாக அமைவது எளிய அழிவு இரு தலைக்கோள் எனப்படும். முடிவு உறழ்வெ டுப்பாக அமைவது சிக்கல் வழி அழிவு இரு தலைக்கோள் எனப்படும். (உ - ம்) எளிய அழிவு இரு தலைக்கோள்
(அ) A எனின்C,D எனும் இரண்டும்
ஒன்றில் C அன்று அல்லது D அன்று ஆகவே A அன்று சிக்கல்வழி அழிவு இரு தலைக்கோள்
(ஆ) A, B எனும் இரண்டும் ஆயின்C,D எனும் இரண்டும் ஒன்றில் C அன்று அல்லது D அன்று
ஆகவே ஒன்றில் A அளன்று அல்லது B அன்று எளிய அழிவு இருதலைக்கோளில் பின்னெடுப்பு இணைப்பெடுப்பாக இருக்குமே ஒழிய உறழ்வெடுப்பாக இருக்க மாட்டாது. பின்னெடுப்பு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1T112
ஆசிரியர் க.கேசவன் |

நிபந்தனை எடுப்பாக இருந்தால் ஒரு கலப்பு நிபந்தனை எடுப்பு வந்திருக்குமே அல்லாது இருதலைக்கோள் வந்திருக்க மாட்டாது. இதற்கு காரணம் இரண்டு பின்னிடைகள் மாற்றுக்களாக வரும் போது அவற்றை உறழ்வாய் மறுப்பது முற்கூற்றை மறுப்பதற்கு போதிய ஆதாரமாகாது என்பதேயாகும். ஏனெனில் இரு முற்கூற்றுக்களில் ஒன்று பொய் எனின் மற்றது உண்மையாய் இருத்தல் வேண்டும். இன்னும் அத்தகைய முற்கூற்று தேவையாய் இருப்பதும் பிற்கூற்றில் ஒன்று உண்மையாக இருக்கவேண்டும் என்பதற்கே ஆகும். பிற்கூற்றுக்கள் இரண்டுமே முற்கூற்றுக்கள் முழுவதோடும் தொடர்புபட்டிருக்க வேண்டும் என்பது அவசியமாகும், இவ்வாறு இல்லாது விட்டால் அவற்றின் இணைப்பை மறுப்பது முற்கூற்று முழுவதையும் மறுப்பதற்குரிய போதிய ஆதாரமாகாதலினாலே ஆகும். இரு தலைக்கோள் வாய்ப்பாக இருப்பதற்கு வேண்டிய நிபந்தனைகள். (1) கொடுக்கப்பட்ட பேரெடுகூற்றில் உள்ள ஏதுவிற்கும் காரியத்திற்கு
மிடையில் கட்டாய தொடர்பு இருத்தல் வேண்டும். (2) சிற்றெடுகூற்றில் வரும் உறழ்வுஎடுப்பின் மாற்றுக்கள் தவிர்க்கப்ப
டாமலும், தழுவாமலும் இருத்தல் வேண்டும். (3) கலப்புநிபந்தனை நியாயத்தொடையில் பயன்படுத்தப்படும் உடன்பா
ட்டு ஆகாரி விதி அல்லது மறுப்பாகாரி விதி அனுசரிக்கப்பட்டிருத்தல் வேண்டும்.
இருதலைக்கோள் வாதங்கள் வாய்ப்பாக இருந்தால் அளவை யியலுக்கு மிகவும் பயனுடையது ஆகும். வாதிடும் போது எந்தப்பக்கமும் விலக இயலாத சிக்கலான நிலையில் எதிரியை வைக்கின்றது. பேரெடு கூற்றில் உள்ள இரண்டு பதிவுகளுமே எதிரியால் ஏற்க முடியாதது ஆகும். ஆயினும் இரண்டில் ஒன்றை ஏற்க வேண்டியது இக்கட்டான நிலையில் எதிரி இருக்கின்றார். எனவே இதைவிட வாதிடுவதற்கு இதைவிட சிறந்த சாதனம் எதுவும் இல்லை. ஆனால் அவ்வாதங்கள் அனேகமாக ஏற்புடையதாக இருப்பது இல்லை. ஏனெனில் அவை மேல் கூறப்பட்ட மூன்று நிபந்தனைக்கும் உட்பட்டிருக்க வேண்டும், இவ் நிபந்தனைகள் மீறப்பட்டிருந்தால் வாதத்தை எதிர்க்கலாம். அவையாவன பின்வருமாறு. (1) தலைகளைப் பற்றி நிறுத்துதல் :- இம்முறையில் பேரெடு
கூற்று தவறு எனக்காட்டப்படுகின்றது. அதாவது பேரெடுகூற்றில் உள்ள ஏதுவிற்கும் காரியத்திற்கும் கட்டாய தொடர்பு இல்லையெனக் காட்டலாம். (உ - ம்) நான் மணம் புரிந்தால் மகிழ்ச்சியடைவேன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1113
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 59
ஏனெனில் என்னை ஒருவர் பாதுகாப்பர். மணம் புரியாவிட்டாலும் மகிழ்ச்சியாய் இருப்பேன். ஏனெனில் ஒருவரைப் பாதுகாக்க வேண்டிய தொல்லை இல்லை இங்கு மகிழ்ச்சி என்ற காரியத்திற்கும் மணம் புரிதல் என்ற
ஏதுவிற்கும் இடையே கட்டாய தொடர்பு இல்லை. (2) தலைகளிடையே தப்பித்தல் - சிற்றெடு கூற்றில் உள்ள உறழ்வு
எடுப்பில் உள்ள பிரிநிலைகள் தவிர்க்கப்பட்டிருப்பினும். தவிர்க்க ப்பட்ட பிரி நிலையைக் கூறி வாதத்தின் தவறை நிரூபிக்கலாம். (உ - ம்) மனிதர்கள் துாய்மையுள்ளவர்கள் எனின் சட்டங்கள்
தேவையில்லை. தூய்மையற்றவர்கள் என்றால் சட்டங்கள் பயனற்றவை மனிதர்கள் ஒன்றில் தூய்மையுள்ளவர்கள் அல்லது தூய்மையற்றவர்கள். ஆகவே சட்டங்கள் தேவையில்லை
இங்கு சட்டத்திற்கு பயந்து நடப்பவர்கள் எனும் மாற்று தவிர்க்கப்பட்டிருக்கின்றது. (3) எதிர்முட்டல்.:- இருதலை கொள்ளி வாதத்தை மறுப்பது எதிர்முட்டல் எனப்படும். தரப்பட்டுள்ள இருதலைக் கொள்ளி வாதத்திற்கும் முடிவுரைக்கும் முரணான முடிவையுடைய மற்றுமொரு இருதலைக்கொள்ளி வாதத்தைக் கூறி கொடுக்கப்பட்ட வாதத்தை நிராகரிக்கலாம். இம்முறையில் கொடுக்கப்பட்ட பேரெடு கூற்றின் காரியங்களை இடம் மாற்றி அதன் தன்மையையும் மாற்ற வேண்டும். பின்னர் அதில் இருந்து முடிவுரையை அனுமானிக்க வேண்டும். (உ - ம்) நீ நீதியாக நடந்து கொண்டால் மக்கள் உன்னை வெறுப்பர்.
நீ அநீதியாக நடந்து கொண்டால் தேவர்கள் உன்னை வெறுப்பர். நீ ஒன்றில் நீதியாக நடந்து கொள்ள வேண்டும் அல்லது அநீதியாய் நடந்து கொள்ள வேண்டும். ஆகவே மக்கள் உன்னை வெறுப்பர் அல்லது தேவர்கள்
உன்னை நேசிப்பர். இது பின்வரும் இருதலைக் கோளால் மறுக்கப்படலாம். (உ - ம்) நீ அநீதியாக நடந்து கொண்டால் தேவர்கள் உன்னை
நேசிக்க மாட்டார். நீ அநீதியாக நடந்தால் மக்கள் உன்னை நேசிக்க மாட்டார் வெறுப்பர்.
நீ நீதியாக நடந்து கொள் அல்லது அநீதியாக நடந்து கொள். ஆகவே தேவர்கள் உன்னை நேசிக்க மாட்டார் அல்லது மக்கள் உன்னை நேசிக்க மாட்டார். (உ - ம்) குறியீடு : A எனின் B , C எனின் D
ஒன்றில் A அல்லது C ஆகவே ஒன்றில் B அல்லது D
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT114
ஆசிரியர் க.கேசவன்

என்பது பின்வரும் இருதலைக்கோளால் மறுக்கப்படலாம்.
A எனின் B அன்று C எனின் D அன்று ஒன்றில் A அல்லது C
ஆகவே ஒன்றில் B அன்று அல்லது D அன்று உருக்களும் பிரகாரங்களும் :-நியாயத்தொடைகளில் அமைந்திருக்கின்ற எடு கூற்றுக்களில் மத்தியபதம் அங்கம் வகிக்கும் இடத்தினால் எழும் வடிவம் உருக்கள் எனப்படும். நடுப்பதம் ஒவ்வோர் எடுகூற்றிலும் எழுவாயாக அல்லது பயனிலையாக வரும். மத்திய பதம் நியாயத் தொடைகளில் நான்கு வேறுபட்ட
இடங்களில் அங்கம் வகிப்பதனால் உருக்கள் நான்கு வகைப்படும். உரு(1) M - P உரு (2)P - M உரு (3) M - P உரு (4) ' P - M
S - M - S - M
- M - S.
M - S ஃ S - P - ஃ S - P_ ஃS - P - ஃ S - P -
எல்லைப்பதங்களுள் எது முடிவின் எழுவாய் எது பயனிலை என்பதைப் பற்றிக் கவனியாது எடுகூற்றுக்களை மட்டும் நோக்குவோமானால் மூன்று நியாயத்தொடை உருக்கள் மட்டும் பெறப்படும். அதாவது முதலாம் உரு, நான்காம் உரு என்பவற்றில் ஒன்றே வரும். ஏனெனில் ஓர் எடுகூற்றில் எழுவாயும் மற்றையதில் பயனிலையாக வருபவை இவையே ஆகும்.
நியாயத் தொடையில் உள்ள மூன்று எடுப்புக்களின் அளவு பண்பு என்பவற்றால் அமையும் வடிவமே பிரகாரம் எனப்படும். நான்கு உருக்களிலும் மொத்தமாக 19 வாய்ப்பான பிரகாரங்களை மட்டுமே நிறுவிக்கொள்ள முடியும். முதலாம் உரு :- நியாயத் தெடை ஒன்றில் மத்திய பதமானது M_p பேரெடு கூற்றில் எழுவாயிலும் சிற்றெடு கூற்றில் S -M
பயனிலையிலும் அங்கம் வகிப்பது முதலாம் உரு எனப்படும்.
முதலாம் உருவில் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை அமைத்துக் ஃS -P
கொள்வதற்கு பின்வரும்விதிகளுக்குள் உட்படுதல் வேண்டும். விதி (1) பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.
(2) பேரெடு கூற்று நிறையெடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். விதி 1: பக்கக்கூற்றுவிதி எடுப்பாக (A அல்லது I) இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் பக்கக்கூற்று மறைஎடுப்பாக இருந்தால் ( E அல்லது O) இரு எதிர்மறைப் போலி அல்லது பெரும்பதப்போலி ஏற்படும். (உ-ம்) (1) MEP இரு எதிர்மறைப் (2) MAP )
- SEM போலி
- SEM பெரும்பதப் போலி. ஃ SEP
ஃ SEP
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 I 115
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 60
பெரும்பதப் போலி அல்லது இருஎதிர்மறைப்போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக (A அல்லது I) இருத்தல் வேண்டுமென விதி கூறுகின்றது. (உ - ம்) )
M A P S A M
ஃ S A P விதி 2: பேரெடு கூற்று நிறைஎடுப்பாக (A,E) இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்பட மாட்டாது. ஆனால் பேரெடுகூற்று குறை எடுப்பாக (I,O) இருந்தால் மத்திய பத வியாப்தி அடையாப்போலி ஏற்படும். (உ - ம்) M IP
S AM
ஃ SIP மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகக்தான் பேரெடு கூற்று நிறையெடுப்பாக (A அல்லது E) இருத்தல் வேண்டுமென விதி கூறுகின்றது. (உ-ம்) - M AP
S A M
ஃ S A P முதலாம் உருவில் பின்வரும் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை மட்டுமே.
நிறுவிக்கொள்ள முடியும். (1) பாபரா (BABARA )
A - வெப்பமேற்றப்பட்ட இரும்புகள் விரிவடையும் A - X - என்ற இரும்பிற்கு வெப்பமேற்றப்பட்டதாகும் ஃ A- X - என்ற இரும்பு விரிவடையும். விஞ்ஞானத்துறைகள் யாவற்றிலும் பயன்படும். பெளதீகவியலில்
மிகவும் முக்கியமானது ஆகும். (2) கீலெரற்றென்ற் ( CELARENT )
E - குதிரைகள் எவையும் வேகமாக ஓடுபவை அல்ல A - விலங்குகள் அனைத்தும் குதிரைகள் ஆகும். ஃ E - விலங்குகள் எவையும் குதிரைகள் வேகமாக ஓடுபவை.
பாபரா அளவிற்கு இப்பிரகாரம் பயன்டுவது இல்லை. (3) டாறியி (DARII)
A - மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பவர் ஆவர். 1- சில ஆண்கள் மாணவர்கள் ஆவர். ஃI - சில ஆண்கள் படிப்பவர் ஆவர் (4) பெறியோ (FERIO)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
யெர் க.கேசவன்

ஃ SIP
E - பூனைகள் எவையும் குரைப்பன அல்ல. I - சில விலங்குகள் பூனைகள் ஆகும். ஃO - சில விலங்குகள் குரைப்பன அல்ல. இரண்டாம் உரு :- ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றில் மத்திய P-M பதமானது - பேரெடுகூற்றிலும் சிற்றெடுகூற்றிலும் பயனி S_M லையில் அங்கம் வகிப்பது இரண்டாம் உரு எனப்படும். , S_p இரண்டாம் உருவில் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை அமைத்துக்
-- கொள்வதற்கு பின்வரும் விதிகளுக்குள் உட்படுதல் வேண்டும். விதி (1) தரவுகளில் ஒன்று மறைஎடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்
(2) பேரெடு கூற்று நிறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். விதி (1) தரவுகளில் ஒன்று மறைஎடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் தரவுகள் இரண்டும் மறை எடுப்பாக ( E அல்லது 0 ) இரு எதிர் மறைப் போலி ஏற்படும். தரவுகள் இரண்டும் விதிஎடுப்பாக (A அல்லது I) இருந்தால் மத்திய பத வியாப்தியடையாப் போலி ஏற்படும். (உ - ம்) (1) PEM இரு எதிர் (1) PAM மத்தியபத வியா
SOM மறைப் போலி SIM ப்தியடையாப்போலி ஃ SO P
இரு எதிர்மறைப்போலி மத்தியபதவியாப்தியடையாப் போலி என்பவற்றைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் தரவுகளின் ஒன்று மறை எடுப்பாக (E அல்லது O) இருத்தல் வேண்டுமென விதி கூறுகின்றது. (உ - ம்) PEM
SAM
ஃ S EP விதி
(2) பேரெடு கூற்று நிறையெடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் பேரெடுகூற்று குறை எடுப்பாக (I அல்லது O) இருந்தால் பெரும்பதசட்டவிரோதப்போலி ஏற்படும். (உ - ம்)P IM
S EM ஃS 0 P
பெரும்பதச்சட்ட விரோதப்போலியை தவிர்ப்பதற்காகத்தான் பேரெடுகூற்று நிறைஎடுப்பாக (A அல்லது E) இருத்தல் வேண்டும் என விதிகூறுகின்றது. (உ - ம்) PAM
SEM ஃSEP
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II 117
ஆசிரியர் க.கேசவன் -

Page 61
இரண்டாம் உருவில் பின்வரும் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை மட்டுமே நிறுவிக் கொள்ள முடியும். (1) கீசறே ( CESARE ).
E ஆமைகள் எவையும் வேகமாக ஓடுவன அல்ல. A குதிரைகள் அனைத்தும் வேகமாக ஓடுவன ஆகும். ஃE குதிரைகள் எவையும் ஆமைகள் அல்ல. (2) பெஸ்ரைனோ (FESTINO)
E குதிரைகள் எவையும் மாமிச பட்சனிகள் அல்ல. I சில மிருகங்கள் மாமிச பட்சனிகள் ஆகும். ஃO சில மிருகங்கள் குதிரைகள் அல்ல. (3) கேமிஸ்றெஸ் (CAMESTRES)
A கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும். E பறவைகள் எவையும் பச்சைநிறம் அல்ல ஃE பறவைகள் எவையும் கிளிகள் அல்ல. (4) பறோகோ (BAROCO)
A நீதிபதிகள் அனைவரும் வழக்கறிஞராக இருந்தவர்கள் 0 சில மனிதர்கள் வழக்கறிஞர்கள் அல்லர். ஃ0 ஆகவே சில மனிதர்கள் நீதிபதிகள் அல்லர். மூன்றாம் உரு ஒரு நியாயத் தொடை ஒன்றிலே மத்தியபதமானது M - P பேரெடு கூற்றிலும் சிற்றெடு கூற்றிலும் எழுவாயில் M. S அங்கம் வகிப்பது மூன்றாம் உரு எனப்படும். மூன்றாம் , S, p உருவில் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை அமைத்துக் கொள்
- வதற்கு பின்வரும் விதிகளுக்குள் உட்படுதல் வேண்டும். விதி (1) பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.
(2) முடிவுகுறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.
விதி (1) பக்க கூற்று விதி எடுப்பாக இருந்தால் போலிகள்
எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் பக்கக்கூற்று மறையெடுப்பாக ( E அல்லது 0) இருந்தால் பெரு
ம்பதச் சட்ட விரோதப் போலி ஏற்படும். (உ - ம்) MAP
MOS
ஃ SOP பெரும்பதச் சட்டவிரோதப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக (A அல்லது I) இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது. |
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I118
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(உ-ம்) M A P
M AS
OS I P விதி (2) முடிவு குறை எடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் முடிவு நிறைஎடுப்பாக (A அல்லது E) இருந்தால் சிறுபத சட்டவிரோதப் போலி ஏற்படும். (உ - ம்) M A P.
M AS ஃS A P
சிறுபதச்சட்டவிரோதப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காககத் தான் முடிவு குறைஎடுப்பாக (Iஅல்லது O) இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது. (உ-ம்) MAP
M AS ஃSIP மூன்றாம் உருவில் பின்வரும் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை மட்டுமே நிறுவிக் கொள்ள முடியும். (1) டேறாப்ரை (DARAPTI)
A மாணவர்கள் அனைவரும் பரீட்சை எடுப்பவர் ஆவர். A மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பவர் அவர். ஃI படிப்பவரில் சிலர் பரீட்சை எடுப்பவர் ஆவர். (2) டிசமிஸ் (DISAMIS )
1 சில பெண்கள் 'கற்புடையவர் ஆவர்.
A பெண்கள் அனைவரும் திருமணம் செய்பவர் ஆவர். ஃ I திருமணம் செய்பவர் சிலர் கற்புடையவர் ஆவர். (3) பெலாமீயன் (FELAPTION )
E நத்தைகள் எவையும் வேகமாக ஓடுபவை அல்ல. A நத்தைகள் அனைத்தும் பிராணிகள் ஆகும். ஃO பிராணிகள் சில வேகமாக ஓடுபவை அல்ல. (4) டேரைசி (DATIST )
A காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். 1 காகங்கள் சில பறப்பன ஆகும். ஃ1 பறப்பன சில கறுப்பு நிறம் ஆகும். (5) போகாடொ (BOCARDO)
0 சில ஆசிரியர்கள் பட்டதாரிகள் அல்லர். - A ஆசிரியர்கள் அனைவரும் படித்தவர்கள் ஆவர். ஃ O ஆகவே படித்தவர்கள் சிலர் பட்டதாரிகள் அல்லர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (119
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 62
(6) பீறைசன் (FERISON )
E பாம்புகள் எவையும் புன்னகை செய்பவை அல்ல. I சில பாம்புகள் விஷமுடையன ஆகும். ஃO விஷமுடையன சில புன்னகை செய்பவை அல்ல. நான்காம் உரு : ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே மத்தியபத P - M மானது பேரெடு கூற்றில் பயனிலையிலும் சிற்றெடு M - S கூற்றில் எழுவாயிலும் அங்கம் வகிப்பது நான்காம் உரு ஃS - P எனப்படும். நான்காம் உருவில் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை
அமைத்துக் கொள்வதற்கு பின்வரும் விதிகளுக்குள்
உட்படுதல் வேண்டும்.' விதி (1) தரவுகளில் ஒன்று மறை எடுப்பு ஆயின் பேரெடு
கூற்றுநிறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். பேரெடு கூற்று விதி எடுப்பானால் பக்கக்கூற்று நிறை
எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும். (3) பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பானால் முடிவு குறைஎடுப்பாக
இருத்தல் வேண்டும். விதி (1) தரவுகளில் ஒன்று மறை எடுப்பாக இருக்கும் போது பேரெடு கூற்று நிறை எடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. ஆனால் தரவுகளில் ஒன்று மறைஎடுப்பாக இருக்கும் போது ( E அல்லது 0) பேரெடு கூற்று குறையெடுப்பாக இருந்தால் (I அல்லது 0) இருந்தால் பெரும்பதச்சட்ட விரோதப்போலி ஏற்படும். உ - ம்)
PIM MES
ஃ S OP பெரும்பதச்சட்டவிரோதப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகக்தான் தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் ( E அல்லது O) பேரெடு கூற்று நிறை எடுப்பாக (A அல்லது E ) இருத்தல் வேண்டும் என விதி
கூறுகின்றது.
(உ-ம்) P AM
MES
ஃ S E P விதி (2) பேரெடு கூற்று விதிஎடுப்பாக இருக்கும் போது பக்கக் கூற்று நிறை எடுப்பாக அமைந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்பட மாட்டாது. ஆனால் பேரெடு கூற்று விதியெடுப்பாக (A அல்லது I) இருக்கும் போது பக்கக்கூற்று குறை எடுப்பாக ( I அல்லது 0) இருந்தால் மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி ஏற்படும். (உ - ம்)
P AM
MOS ஃ S O P.
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் - 1120
ஆசிரியர் க.கேசவன் (1)

மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் பேரெடுகூற்று விதி எடுப்பானால் ( A அல்லது I) பக்கக்கூற்று நிறைஎடுப்பாக ( A அல்லது E ) இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது. (உ-ம்) P AM
M AS
ஃ S IP விதி 3. பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக இருக்கும் போது முடிவு குறையெடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்பட மாட்டாது ஆனால் பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக (Aஅல்லது I) முடிவு நிறை எடுப்பாக ( A அல்லது E ) அமைந்தால் சிறுபதசட்ட விரோதப் போலி ஏற்படும்.(உ-ம்) P AM
MAS
ஃ S AP சிறபதச் சட்ட விரோதப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் பக்கக்கூற்று விதி எடுப்பாக ( A அல்லது I) இருந்தால் முடிவு குறை எடுப்பாக ( I அல்லது O) இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது. (உ-ம்) P AM
MAS
ஃ S IP நான்காம் உருவில் பின்வரும் வாய்ப்பான பிரகாரங்களை மட்டுமே நிறுவிக் கொள்ளுதல் முடியும். (1) கமெனெஸ் (CAMENES)
A மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்பன ஆகும். E புல் தின்பன் எவையும் மிருகங்கள் அல்ல. ஃ E மிருகங்கள் எவையும் மாடுகள் அல்ல. (2) டிமறிஸ் ( DIMARIS )
1 சில குயில்கள் அழகாகப்பாடுவன ஆகும்.
A அழகாகப்பாடுபவர் அனைவரும் பெண்கள் ஆவர். ஃ I பெண்களில் சில குயில்கள் ஆகும் (3) பிசேபா (PESAPO)
E மிருகங்கள் எவையும் பாலூட்டிகள் அல்ல.) A பாலூட்டிகள் அனைத்தும் விலங்குகள் ஆகும். ஃ0 விலங்குகள் சில மிருகங்கள் அல்ல.
(4) பிறேமான்றிப் (BRAMANTIP )
A பறவைகள் அனைத்தும் பறப்பன ஆகும். A பறப்பன அனைத்தும் உயிர் உள்ளன ஆகும். ஃ I உயிர் உள்ளன சில பறவைகள் ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
|121
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 63
(5) பிறெசைசன் (FRESISON)
E பாலூட்டிகள் எவையும் பெரிய பிராணிகள் அல்ல. I பெரிய பிரானிகள் சில மிருகங்கள் ஆகும். ஃ 0 மிருகங்கள் சில பாலூட்டிகள் அல்ல.
நியாயத்தொடைகளில் தூய நிபந்தனை உருக்கள் பிரகாரம். :- அறுதி எடுப்புக்களில் காணப்படுகின்ற A, E, I,0 ஆகிய எடுப்புக்கள் நிபந்தனை எடுப்புக்களிலும் காணப்படுகின்றன. எனவே அறுதியெடுப்புக்களிலே காணப்படுகின்ற ஒவ்வோர் உருவிற்கும் பிரகாரத்திற்கும் சமமானவையும் அவற்றின் விதிகளுக்கே உட்பட்டவையுமான உருக்களும் பிரகாரங்களும் தூய நிபந்தனை நியாயத் தொடைகளிலும் காணப்படும். இங்கு நிறை நிபந்தனை எடுப்புக்களான தூயநிபந்தனை நியாயத் தொடைகளே முக்கியமானவை ஆகும். அவற்றுள் பாபரா அமைப்பில் ஒத்தவையே அதிக பயனு யைவையும் அதிகமாக பயன்படுத்தப்படுபவையும் ஆகும்.
நியாயத்தொடை அனுமானத்தின் வலு எடுகூற்று அறுதி எடுப்பா அல்லது நிபந்தனை எடுப்பா என்பதில் தங்கியிருக்கவில்லை. தர்க்கமுறையில் பெறப்படும் தன்மையிலேயே வலு தங்கியிருக்கின்றது. அறுதி நியாயத் தொடைக்கு வழக்கமாக உபயோகிக்கப்படும். அளவு காட்டும் எடுப்பிற்களுக்கு சமமானவையாதலால் இவ்வின மாற்றம் எளிதில் நிறைவேற்றப்படலாம். ஆனால் இவ்வாறு இன மாற்றம் செய்த பின்பு முடிவு முன்னர் போலத் தர்க்கமுறையில் பெறப்பட்டதே எனினும் அதன் அருவ நியம இயல்பு அவ்வள்வு வெளிப்படையாகத் தோன்றாது என்பது நியம உண்மையாகும். அறுதி எடுப்புக்களின் நிறுவிய 19 வாய்ப்பான பிரகாரங்களை நிபந்தனை எடுப்புக்களிலும் நிறுவலாம். ஆனால் நாம் இங்கு நான்கு உருக்களுக்கும் சில உதாரணம் தரப்படுகின்றது. முதலாம் உரு : பாபற யாதும் S,X எனின் அந்த S,P ஆகும்."
-A யாதும் S,M எனின் அந்த S,X ஆகும். ஆகவே யாதும் S,M எனின் S,P அந்த ஆகும்.-A இரண்டாம் உரு : கீசறெ யாதும் S,P எனின் ஒரு போதும் அது X ஆகாது -E யாதும் S,M எனின் எப்போதும் அது X ஆகும். -A ஆகவே யாதும் S,M எனின் ஒரு போதும் அது X ஆகாது. -E மூன்றாம் உரு : போகாடொ ஒரு S,M எனின் சில வேளைகளில் அது P அன்று - 0
யாதும் S, X எனின் எப்போதும் அது P ஆம். -A
4
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II 122
ஆசிரியர் க.கேசவன் -

ஆகவே ஒரு S,M எனின் சிலவேளகளில் அது P அன்று - 0 நான்காம் உரு : டிமறிஸ் ஓர் S,P ஆயின் சில வேளைகளில் அது X ஆகும்.- I யாதும் S, X ஆயின் எப்போதும் அது M ஆகும் - A ஆகவே ஓர் S,M எனின் சிலவேளைகளில் அது P' ஆகும்.- 1
தூயஉறழ்வு நியாயத்தொடையில் உருக்கள் பிரகாரம் உறழ்வு எடுப்புக்களில் A, I ஆகிய விதி எடுப்புக்களை மட்டுமே அமைத்துக் கொள்ள முடியும். இதனால் நியாயத்தொடைகள் விதியுரையாக முடிவைத் தரும் பிரகாரங்களே சாத்தியமாகும். அவற்றுள் பாபறவிற்கு சமமான அமைப்பே ஓரளவு முக்கியத்து வமுடையது. அன்றியும் பக்க எடுகூற்றிலுள்ள மாற்றுக்களில் ஒன்று சாத்திய எடுகூற்றிலுள்ள மாற்றுக்களில் ஒன்றை மறுத்தால் ஒழிய நடுப்பதம் கிடையாது. (உ-ம்) S P அல்லது Q
S, P அல்லது R இவ் எடுகூற்றுக்களைக் கொண்டு எத்தகைய முடிவையும் பெற் முடியாது. S, P Q அல்லது R எனும் முடிவைப் பெறலாம். ஆனால் இது வெறுமனவே எடுகூற்றுக்களை தொகுப்பதே ஒழிய வேறு எதுவும் இல்லை. ஆனால் (உ-ம்) S,P அல்லது Q
S P அல்லது R : எனும் எடுகூற்றுக்களில் இருந்து S என்பது Q அல்லது R எனும் முடிவை அடையலாம். இவ்வெடு கூற்றுக்கள் ஒவ்வொன்றும் நிபந்தனை உருவத்தில் எழுதப்பட்டால் இவ்வியல்பு மேலும் தெளிவ
டையலாம்.
S,P எனின் அது 2 ஆம் S,R எனின் அது P
S,R எனின் அது Q ஆம். இம்முடிவு S,Q அல்லது R ஆம் எனும் உறழ்வை உணர்த்து கின்றது. இத்தகையநியாயத் தொடைகள் மிக அரிதாகவே உள்ளன. இங்கு மாற்றுக்கள் என்ன ஒழுங்கில் வருதல் வேண்டும் என்பது சிறிதும் முக்கியத்துவமுடையது அன்று ஆதலால் உருவேறுபாடுகளை சரியாகக் காண்பது சாத்தியமில்லை. எனவே இதைப்பற்றி நாம் அதிகம் ஆராய வேண்டியது இல்லை. எனவே சில பிரகாரங்கள்
கீழே தரப்பட்டுள்ளன. “(1)
பாபரா:
(2) டாறியா: S, P அல்லது Q ஆம் S, P அல்லது Q ஆம்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 64
S, P அல்லது R ஆம் சில S, P அல்லது R ஆம் ஃS, 0 அல்லது R ஆம் ஃ சில S, Q அல்லது R ஆம் (3)டேறாப்ரை :
(4) டிசமிஸ: S, P அல்லது Q ஆம்
சில S, P அல்லது Q ஆம் S, P அல்லது R ஆம்
S, P அல்லது R ஆம் ஃ சிலS, Qஅல்லது R ஆம் ஃ சிலS,Q அல்லது R ஆம்
தூய உறழ்விற்கு முதலாம் உருவில் இரண்டும் மூன்றாம் உருவில் மூன்றும், நான்காம் உருவில் இரண்டும் வாய்ப்பான பிரகாரங்கள் உண்டு என A,I எடுப்பின் மூலம் உணரலாம். இரண்டாம் உருவில் வாய்ப்பான பிரகாரம் இல்லை. எல்லா வற்றிலும் பாபற பிரகாரம் மட்டும் முக்கியமானதாகும். வன் நியாயத்தொடை மென்நியாயத்தொடை:-
- ஓர் நியாயத்தொடை ஒன்றில் எடுகூற்றுக்கள் அவசியமின்றி நிறைஎடுப்புக்களாக இருந்தால் அது வன்நியாயத்தொடை எனப்படும். இவற் றில் இரண்டு நிறை எடுப்புக்களில் இருந்து அனுமானிக்கப்படும் முடிவு குறை எடுப்பாக அமைகின்றது. எடு கூற்றுக்களில் ஒன்று குறை எடுப்பாக இருந்தாலும் இம்முடிவு கிடைக்கும். (உ-ம்) (1)MAP (2) ME P
MAS MA S
• SIP SOP இவ்நியாயத் தொடைகளில் பேரெடு கூற்று அல்லது சிற்றெடு
கூற்று குறை எடுப்பாக இருந்தாலும் இதே முடிவு கிடைக்கும். (1) MAP இதை இவ்வாறும் MAP அல்லது MIP
MAS மாற்றிக்கூறலாம் MIS
MAS ஃSIP
ஃSIP
ஃ SIP
(2). M E P இதை இவ்வாறும் M O P அல்லது
M A S மாற்றிக்கூறலாம் MA S ஃS 0 P
ஃS OP
ME P
M IS ஃS O P
(3) PE M
இதை இவ்வாறும்
P E M MAS
மாற்றிக்கூறலாம்
MIS ஃS O P
ஃ S O P ஒரு நியாயத்தொடையின் முடிவு நிறையெடுப்பாகக் கிடைக்கும் போது அதன் குறை எடுப்பே போதும் என ஏற்றுக் கொண்டால் அது மென் நியாயத் தொடை எனப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 124
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(உ-ம்) (1) M A P (2)M E P (3) P E M (4) PAM (5) P AM
M AS SAM PA M S EM MES
• SAP 2 SEP 2 SEP %S EP SEP இவைகள் முடிவுரையை குறை எடுப்பாகவும் அனுமானிக்கலாம். அவ்வாறு அனுமானித்தால் முடிவு மெலிவடையும். குறையெடுப்பு நிறையெடுப்பில் உள்ளடங்கியது ஆகும். (உ-ம்) (1) MAP (2)M E P (3) PEM (4) PAM (5) PAM
SAMSAM PAM SEM MES.
SIPSOP .S OP 2 SOP % SOP குறை நியாயத் தொடை:
ஒரு நியாயத்தொடையிலுள்ள மூன்று எடுப்புக்களில் ஒன்றைக் குறைப்பதன் மூலம் வரும் சுருக்கநியாயத்தொடை குறைநியாயத் தொடை எனப்படும்.
பொதுவாக நியாயத்தொடை வழி அனுமானங்களை குறை நியாயத்தொடை உருவத்திலே நாம் காண்கிறோம். அவசியமான வற்றிற்கு அதிகமாக எதையும் வெளிப்படையாக கூறாமல் விடுவது பேச்சு வழக்கின் இயல்பு. இதனால் நாம் எமது நாளாந்த உரையாடல்களில் குறைநியாயத் தொடையே பயன்படுத்துகின்றோம். இங்கு போலிகள் ஏற்படுவதற்கு இடமுண்டு அத்துடன் அதைக்கண்டு கொள் வதும் சிரமமாகும். எனினும் நியாயத் தொடை அனுமானங்களுக்குப் பொருந்திய சகல விதிகளும் குறை நியாயத் தொடைக்கு பொருந்தும்
ஒரு நியாயத்தொடையொன்றிலே பேரெடு கூற்றுத் தரப்படாது இருக்கலாம் அல்லது சிற்றெடு கூற்று தரப்படாது இருக்கலாம் அல்லது முடிவுக்கூற்று தரப்படாது இருக்கலாம். இதனால் குறைநியாயத் தொடை மூன்று வகைப்படும். (1) முதல் வரிசை (2) இரண்டாம் வரிசை (3) மூன்றாம் வரிசை முதல் வரிசை:- ஒரு நியாயத்தொடையிலே பேரெடுகூற்றுத் தொ ங்கி நின்றால் அது குறைநியாயத்தொடை முதல் வரிசை நீங்கல் எனப்படும். இங்கு சிற்றெடுகூற்று, முடிவுக்கூற்று என்பன காணப்படும். (உ-ம்) (1) (காந்தன்) ஓர் (மனிதன்)
SA M M ஆகவே( காந்தன்) (இறப்பவன்) ஆவான். ஃ S AP (2) மழை பெய்தது
ஆகவே நெல்விளைந்தது
ஃ Q (3) அவன் இன்று வரான்
~ P ஆகவே அவன் நாளை வருவான்,
.ே ? :.
00
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1125
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 65
P
இரண்டாம் வரிசை :- ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே சிற்றெடு கூற்றுத்தரப்படாது விட்டால் அது இரண்டாம்வரிசை நீங்கல் எனப்படும். இங்கு பேரெடு கூற்றும் முடிவுக் கூற்றும் மட்டும் காணப்படும். (உ-ம்) (1) ( மனிதர்கள்) அனைவரும் ( இறப்பவர்) ஆவர். M AP ஆகவே (அரிஸ்ரோட்டல்) (இறப்பவர் ) ஆவர். ஃS AP
(2) மழை பெய்யும் எனின் நெல்விளையும்
(P--> Q) ஆகவே நெல் விளைந்தது
ஃ 0 (3) அவன் இன்று வருவான் அல்லது -
நாளை வருவான்
P v Q ஆகவே அவன் நாளை வருவான்.
ஃ 0 முன்றாம் வரிசை:- ஒரு நியாயத்தொடை ஒன்றிலே முடிவுக்கூற்று தரப்படாது விட்டால் மூன்றாம் வரிசை நீங்கல் எனப்படும். இங்கு பேரெடு கூற்றும் சிற்றெடு கூற்றும் மட்டுமே காணப்படும். (உ-ம்) (1) (மனிதர்கள்) அனைவரும் ( இறப்பவர் ) ஆவர் MAP
( அருஸ்ரோட்டல்) ஓர் ( மனிதன்)
SAM (2) மழை பெய்யும் எனின் நெல்விளையும் (P-> Q)
மழை பெய்தது (3) இன்று வருவான் அல்லது நாளை வருவான் (P v Q)
அவன் இன்று வரான்.
~ P முன்னேறு பின்னேறு நியாயத்தொடர்கள்.
ஒரு நியாயத் தொடையின் முடிவு அதற்கு அடுத்த நியாயத் தொடையின் பேரெடு கூற்றாகவோ அல்லது சிற்றெடு கூற்றாகும் வண்ணம் அமையும் நியாயத்தொடரில் மூலம் எமது சிந்தனை தொடர்ந்து வளருதல் சாத்தியமானது ஆகும். இதை பின்வரும் உதாரணம் மூலம் விளங்கிக்கொள்ளலாம். (உ-ம்) B அனைத்தும் C ஆகும்.
D அனைத்தும் E ஆகும். A அனைத்தும் B ஆகும்.
C அனைத்தும் Dஆகும். ஃ A அனைத்தும் C ஆகும்.
ஃC அனைத்தும் E ஆகும். C அனைத்தும் Dஆகும்,
C அனைத்தும் E ஆகும். A அனைத்தும் C ஆகும்.
B அனைத்தும் C ஆகும். ஃA அனைத்தும் D ஆகும்.
ஃ B அனைத்தும் E ஆகும். D அனைத்தும் E ஆகும்.
B அனைத்தும் E ஆகும். A அனைத்தும் D ஆகும்.
A அனைத்தும் B ஆகும். ஃ A அனைத்தும் E ஆகும்.
ஃ Aஅனைத்தும் E ஆகும். ஓர் நியாயத் தொடையின் முடிவு அதற்கு அடுத்த நியாயத் தொடையின் பேரெடு கூற்றாய் அல்லது பக்கக் கூற்றாய் வரும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 126)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

வண்ணம் தொடரில் எடுகூற்றாய் அமையும் முடிவைத் தரும் நியாயத்தொடை முன்நியாயத்தொடை எனப்படும். முன்னியாயத் தொடையின் முடிவை பேரெடு கூற்றாகவோ அல்லது சிற்றெடு கூற்றாகவோ கொண்ட நியாயத் தொடை பின்னியாயத்தொடை எனப்படும்.
மேற்காட்டிய உதாரணத்தின் படி முதலாவது நியாயத் தொடை இரண்டாவது நியாயத் தொடையின் முன்னியாயமாகவும் இரண்டாவது நியாயத்தொடை பின்னியாயமாகவும் இருக்கும். இரண்டாவது அனுமானத்தை மூன்றாவது அனுமானத்தையும் ஒப்பிடும் போது இரண்டாவது அனுமானம் முன்னியாயமாகவும் மூன்றாவது அனுமானம் பின் நியாயமாகவும் அமையும், மேலுள்ள அனுமானமுறை முன் நியாயத்திலிருந்து பின் நியாயத்திற்குச் செல் வதால் முன்னோக்கிய தொடர்நியாயம் அல்லது தொகுப்புத் தொடர்நியாயம் எனப்படும். காரணத்தில் இருந்து காரியத்திற்கு செல்லும் எந்த நெறியும் தொகு முறை நெறி என அழைக்கப்படும். மற்றுமொரு வகையில் அனுமான முறை பின்னோக்கிச் செல்லும். இதில் முதல் நியாயத்தொடை பின் நியாயமாகவும் இரண்டாவது நியாயத்தொடை முன்னியாயமாகவும் அமையும். ஏனெனில் முதல் அனுமானத்தின் எடுகூற்று இரண்டாவது அனுமானத்தின் முடிவாக அமைகின்றது. இவ்வாறு பின் நியாயத்தில் இருந்து முன்னியா யத்திற்குச் செல்வது பின்னோக்கிய தொடர்நியாயம் அல்லது பகுப்புத்தொடர் நியாயம் எனப்படும். ஆனால் பௌதீக விஞ்ஞான த்துறைகளில் மிகப்பொதுவானதும் மிக விரிவு கூடிய கொள்கை களுக்கே கடைசியாகக் கண்டு பிடிக்கப்படுவது சாதாரணமாக நிகழுகின்றது. சில விதிகள் முதலில் ( கெப்லரது விதிகள்) கண்டு பிடிக்கப்படுகின்றன. தனிப்பட்ட நேர்வுகள் இப்பொது விதிகளின் கீழ் நியாயத் தொடை முறையில் உள்ளடக்கப்படுகின்றன. மிகவும் விரிவான விதிகள் ( நியூட்டனது புவியீர்ப்புக் கொள்கை) பின்பே கண்டு பிடிக்கப்படுகின்றன. முதற் கண்டு பிடிக்கப்பட்ட பொது
விதிகள் இவற்றில் இருந்து நியம முறையில் உய்த்தறியப்படுவன ஆகும். இத்தகைய நியாய முறையில் சிந்தனையானது பின்னியாயத் தொடையில் இருந்து முன்னியாயத்தொடைக்கு பின்னோக்கி முதற் தத்துவங்களை நோக்கிற் செல்கின்றது. எனவே இத்தகைய நிரூபணம் பின்னோடுகின்ற அல்லது முன்னியாயத் தொடை வழியான அல்லது வகு முறையான நிரூபணம் என அழைக்கப்படுகின்றது. இது காரியங்களில் இருந்து காரணங்களை அனுமானிக்கும் பொருட்டு பின்னோக்கிச் செல்கின்றோம். (உ - ம்) A அனைத்தும் E ஆகும்.
டை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன் |

Page 66
ஃB அனைத்தும் E ஆகும். A அனைத்தும் B ஆகும். B அனைத்தும் E ஆகும். ஃC அனைத்தும் E ஆகும். B அனைத்தும் C ஆகும். C அனைத்தும் E ஆகும். ஃD அனைத்தும் E ஆகும். - ( அனைத்தும் D ஆகும். மேற்கூறிய இரண்டு நியாயத்தொடைகளிலும் உள்ள நியாயத் தொடைகள் ஒவ்வொன்றும் முடிவுரையை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கின்றன. சில சமயங்களில் தொடர் நியாயங்கள் குறை நியாயத்தொடைகளாக வரலாம். அதாவது இறுதி நியாயத்தொடையின் முடிவுரை மட்டும் கூறப்பட்டிருக்கும், இடையிலுள்ள அனுமா னங்களின் முடிவுக்கூற்றுக்கள் கூறப்படாமல் தொங்கி நிற்கும். இவ்வாறு முன்னோக்கிய தொடர் நியாயம் குறைநியாயத் தொடையாக வந்தால் அது நியாய மாலை எனப்படும். பின்னோக்கிய தொடர் நியாயத்தில் குறை நியாயம் ஏற்பட்டால் அது விரி நியாயத் தொடை அல்லது மேற்கோளோடு கூடிய தொகை நியாயம் எனப்படும். ஆனால் பிற்காலங்களில் பல குறை நியாயத் தொடைகள் முன்னோக்கி அமைக்கப்பட்டிருப்பதே நியாயமாலை எனப்பட்டது. நியாயமாலை
முன்னேறு நியாயத்தொடையொன்றினை முன்னியாயத் தொடை ஒவ்வொன்றினதும் முடிவினைத் தராது விடுவதன் மூலம் சுருக்க உணர்த்தும் போது பெறப்படுவது நியாயமாலை எனப்படும்.
நியாயமாலையும் குறை நியாயத் தொடையின் ஓர் வரிசையே ஆகும். முதலாவது குறைநியாயத்தொடையில் எடுகூற்றுக்கள் இரண்டும் தரப்பட்டுள்ளதால் அது மூன்றாம் வரிசையைச் சேர்ந்ததாக இருத்தல் வேண்டும். இறுதியில் உள்ள குறை நியாயத் தொடையில் முடிவும் , எடு கூற்றுக்களில் ஒன்றும் தரப்படாது இருப்பதினால் அது முதலாம் வரிசை அல்லது இரண்டாம் வரிசையைச் சேர்ந்ததாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் இடையிலே உள்ள குறை நியாயத்தொடை ஒவ்வோர் எடு கூற்றினாலேயே உணர்த்தப்படுகின்றது. நியாயமாலை இரண்டு வகைப்படும். (அ) அரிஸ்ரோட்டிலின் நியாயமாலை (ஆ) கொக்கிலீனியன் நியாயமாலை,
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 128) --- - - ஆசிரியர் க.கேசவன் 1 |

- 'ர',"
அரிஸ்ரோட்டலின் நியாயமாலை
முன்நியாயத்தொடையில் தரப்படாத முடிவு பின்னியாயத் தொடையில் சிற்றெடு கூற்றாக அமைவது அரிஸ்ரோட்டலின் நியாய மாலை எனப்படும். இது காரணத்தில் இருந்து காரியத்திற்கு செல்கிறது. (உ - ம்) (A) அனைத்தும் (B)" ஆகும்.
(B)அனைத்தும் (C) ஆகும். (C)Mஅனைத்தும் (D)” ஆகும்.
(D) அனைத்தும் (E)" ஆகும். ஆகவே (A) அனைத்தும் (E)p ஆகும். இதைத் தனித்தனி நியாயத்தொடைகளாக வகுக்கப்பட்டால் தரப்படாது விடப்பட்ட முடிவு பக்க எடு கூற்றாக அமைவதைக் காணலாம். (உ - ம்) B அனைத்தும் - C ஆகும்.
A அனைத்தும் B ஆகும். ஃ A அனைத்தும் - C ஆகும். Cஅனைத்தும் D ஆகும். A அனைத்தும் C ஆகும். ஃ A அனைத்தும் D ஆகும். Dஅனைத்தும் E ஆகும். A அனைத்தும் D ஆகும்.
ஃ A அனைத்தும் E ஆகும். விதிகள் (1) இறுதி எடுகூற்று ஒன்று மட்டும் மறையெடுப்பாக
இருக்கலாம். (2) முதலாவது எடுகூற்று ஒன்று மட்டும் குறைஎடுப்பாக
இருக்கலாம். விதி (1) இறுதி எடுகூற்று மறையாக இருந்தால் போலிகள் ஏற்பம் மாட்டாது. ஆனால் இறுதி எடுகூற்று மறையெடுப்பாக இல்லாது விதி எடுப்பாக இருந்தால் பெரும்பதம் வியாப்தியடைய மாட்டாது. மற்றைய எடுகூற்று மறை எடுப்பாக இருந்தால் முடிவும் மறையெ டுப்பாக அமைந்து பெரும்பதச் சட்டவிரோதப் போலி ஏற்படும். ஆனால் இறுதி எடுகூற்று மறைஎடுப்பாக இருந்தால் பெரும்பதம் எடுகூற்றில் வியாப்தி அடைந்து வரும், இதனால் பெரும்பதப் போலி ஏற்படமாட்டாது. எனவே பெரும்பதப்போலியைத் தவிர்ப்பத ற்காகத் தான் இறுதி எடு கூற்று ஒன்று மட்டும் மறை எடுப்பாக இருத்தல் வேண்டுமென விதி கூறுகின்றது.
(2). முதலாவது எடு கூற்று குறைஎடுப்பாக இருந்தால்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 129
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 67
" போலிகள் எதுவும் ஏற்படமாட்டாது. முதலாவது எடுகூற்று குறை எடுப்பாக (I) இல்லாது ஏனைய எடுப்புக்கள் குறை எடுப்பாக அமைந்தால் மத்திய பத வியாப்தியடையாப் போலி ஏற்படும். மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் முதலாவது எடு கூற்று மட்டும் குறை எடுப்பாக இருக்கலாம் என விதி கூறுகின்றது.
கொக்கிலீனியன் நியாயமாலை :- முன்நியாயத் தொடையில் தரப்படாத முடிவு பின் நியாயத் தொடையில் பேரெடு கூற்றாய் அமைவது கொக்கிலீனியன் நியாயமாலை எனப்படும். இது காரியத்தில் இருந்து காரணத்திற்குச் செல்லும். இதை பின்னோக்கிச் செல்லும் நியாயமாலை எனவும் அழைப்பர். (உ - ம்) (D)Mஅனைத்தும் (ESP ஆகும்
(C) அனைத்தும் (D)M ஆகும் (B) அனைத்தும் (C) ஆகும் (A) அனைத்தும் (B)" ஆகும் (A) ஆகவே அனைத்தும் (E) ஆகும் இதைத் தனித்தனி நியாயத்தொடைகளாக வகுக்கப்பட்டால் தரப்படாத முடிவு பேரெடுகூற்றாய் அமைவதைக் காணலாம். (உ - ம்) D அனைத்தும் E ஆகும்
C அனைத்தும் D ஆகும் ஃC அனைத்தும் E ஆகும் C அனைத்தும் E ஆகும் B அனைத்தும் C ஆகும் ஃ B அனைத்தும் E ஆகும் B அனைத்தும் E ஆகும் A அனைத்தும் B ஆகும் ஃA அனைத்தும் E ஆகும் விதிகள் (1) முதலாவது எடுகூற்று ஒன்று மட்டும் மறைஎடுப்பாக
இருக்கலாம். (2) இறுதியெடுகூற்று ஒன்று மட்டும் குறை எடுப்பாக
இருக்கலாம். விதி (1) முதலாவது எடுகூற்று ஒன்று மட்டும் மறை எடுப்பாக இருந்தால் போலிகள் எதுவும் ஏற்பட மாட்டாது. ஆனால் முதலாவது எடு கூற்று மறையாக இல்லாது விதியாக இருந்தால் எடு கூற்றில் வியாப்தியடையாதபெரும்பதம் முடிவுக் கூற்றில்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் [1130
ஆசிரியர் க.கேசவன்

வியாப்தியடைந்து பெரும்பதச் சட்டவிரோதப் போலி ஏற்படும். முதலாவது எடு கூற்று மறை எடுப்பாக இருந்தால் எடுகூற்றில் பெரும்பதம் வியாப்தியடைந்து விடும். இதனால் பெரும்பதப்போலி ஏற்படாது. எனவே பெரும்பதப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் முதலாவது எடு கூற்று ஒன்று மட்டும் மறைஎடுப்பாக இருக்கலாம் என விதி கூறுகின்றது. விதி (2) இறுதி எடுகூற்று குறைஎடுப்பாக இல்லாமல் ஏனைய எடுகூற்றுக்கள் குறை எடுப்பாக அமைந்தால் மத்திய பத வியாப்தி யடையாப் போலி ஏற்படும். மத்தியபத வியாப்தி அடையாப் போலியைத் தவிர்ப்பதற்காகத்தான் இறுதி எடுகூற்று ஒன்று மட்டும் குறைஎடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும் என விதி கூறுகின்றது.
வேறுபாடுகள். (1) அரிஸ்ரோட்டலின் நியாயமாலையில் முதலாவது கூற்று சிற்றெடு
கூற்று ஆகும். ஆனால் கொக்கிலீனியன் நியாயமாலையில் முதலாவது
கூற்று பேரெடுகூற்று ஆகும். (2) அரிஸ்ரோட்டலின் நியாயமாலையில் முதலாவது எடுகூற்றின் எழுவாய் முடிவின் எழுவாயாகவும் இறுதியெடு கூற்றின் பயனிலை முடிவின் பயனிலையாகவும் அமையும் ஆனால் கொக்கிலீனியன் நியாயமாலையில் முதலாவது எடுகூற்றின் பயனிலை முன் பயனிலையாகவும் இறுதியெடுகூற்றின் எழுவாய் முடி வின் எழுவாயாகவும் அமையும்.
அரிஸ்ரோட்டிலின் நியாயமாலையில் ஒவவொரு எடு கூற்றின் பயனிலை அதற்கடுத்த எடுகூற்றில் எழுவாயாக அமையும். ஆனால் கொக்கிலீனியன் நியாயமாலையில் ஒவ்வொரு எடுகூற்றின் எழுவாய்
அதற்கடுத்த எடுகூற்றின் பயனிலையாக அமையும். (4) அரிஸ்ரோட்டிலின் நியாயமாலையில் முன்னியாயத்தொடையின்
முடிவு அடுத்த நியாயத் தொடையில் சிற்றெடு கூற்றாக அமையும். ஆனால் கொக்கிலீனியனின் நியாயமாலையில் முன்னியாயத் தொடையின் முடிவு அடுத்த நியாயத்தொடையில் பேரெடு
கூற்றாய் அமையும்.
நியாயமாலை இரண்டும் நிபந்தனை எடுப்புக்களிலும் வரலாம்.கொக்கிலீனியன் நியாயமாலையில் இறுதி எடுகூற்று அறுதியெடுப்பாக வரலாம் எனின் இறுதியில் வரும் குறைநியா யத்தொடை தனக்கு முந்திய நியாயத் தொடையின் உட்கிடையாக உணர்த்தப்பட்ட முடிவின் முன்னெடுப்பை விதிக்கும் அல்லது பின்னெடுப்பை மறுக்கும் அறுதி எடுப்பான பக்க எடு கூற்றைக் கொண்டதோர் சுருக்கப்பட்ட கலப்பு நியாயத்தொடை பின்வருமாறு
அமையும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 131
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 68
A -
(உ - ம்) (1) C எனின் D
(2) C எனின் D B எனின்C
B எனின் C A எனின் B
A எனின் B
D அன்று ஃ D
ஃ A அன்று ஆனால் அரிஸ்ரோட்டலின் நியாயமாலையோடு அறுதி எடுப்பாய் அமைந்த பக்க எடுகூற்று ஒன்றைச் சேர்ந்த முந்திய முன்நியாயத்தொடையின் உட்கிடையான முடிவை இறுதிப் பின் நியாயத் தொடையின் பேரெடு கூற்றாக கருதுவதன் மூலமே இவ் இணைப்பைப் பெறமுடியும். அதாவது நியாயமாலையின் முடிவில் ஒரு கலப்புநியாயத்தொடை வருவது எப்போதும் கொக்கிலீனியன் வகையாகவே இருத்தல் வேண்டும்.. (உ - ம்) (1) A எனின் B
(2) A எனின் B B எனின் C
B எனின்C C எனின் D
C எனின் D
D அன்று. ஃ D
ஃ A அன்று.
A - ",
விரிநியாயத் தொடை :- முன்நியாயத் தொடை ஒவ்வொன்றினதும் எடுகூற்றுக்களில் ஒன்றைத் தராது விடுவதன் மூலம் சுருக்கப்பட்ட பின்னோக்கிய நியாயத்தொடர் விரிநியாயத் தொடை எனப்படும். இவ் நியாயமாலையில் பின் நியாயத் தொடை முற்றாகத் தரப்படு கின்றது. ஆனால் முன்நியாயததொடை ஒவ்வொன்றும் குறை நியாயத் தொடையாகவே தரப்படுகின்றது. முன்நியாயத் தொடை ஒவ்வொன்றும் பின் நியாயத் தொடையின் எடுகூற்றில் ஒன்றுக்கு ஆதாரமான நியாயம் ஒன்றைத் தருகின்றது. விரிநியாயத் தொடை முழுவதையும் தனது எடுகூற்றுக்களில் ஒன்றிற்கோ அல்லது இரண்டிற்கோ ஆதாரமான நியாயம் தரப்பட்ட நியாயத்தொடை என வர்ணிக்கலாம். விரி நியாயத் தொடையில் சிந்தனையானது பின்நியாயத் தொடையிலிருந்து அதற்கு ஆதாரமான முன்நியாயத் தொடைக்குச் செல்வதாகும். அதாவது முடிவில் இருந்து அதற்கு
ஆதாரமான தத்துவங்களுக்குச் செல்வது ஆகும். ஒற்றை விரிநியாயத்தொடை : - ஆதாரம் ஒரு எடுகூற்றுக்கு மட்டும் தரப்பட்டால் அது ஒற்றைவிரி நியாயத்தொடையாகும். (உ - ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் ஏனெனில்
பிறந்தது அனைத்தும் இறக்கும்... இராமன் மனிதன் ஆகவே இராமன் இறப்பவன் ஆவான்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT132
ஆசிரியர் க.கேசவல்

டை
இதில் ஒரு எடுகூற்று மட்டும் நிரூபணத்தோடு வந்திருக்கின்றது. இதை விபரித்தால் ஒரு பின் நியாயமும் ஒரு முன்நியாயமும் கிடைக்கும். பின் நியாயம் முதலிலும் முன் நியாயம் பின்னாலும் இருக்கும். (1)
மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். இராமன் ஓர் மனிதன். ஆகவே இராமன் இறப்பவன் ஆவான். பிறந்தது அனைத்தும் இறப்பது ஆகும். மனிதர்கள் அனைவரும் பிறந்தவர்கள் ஆவர்.
ஆகவே மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். இரட்டைவிரி நியாயத்தொடை :- ஆதாரமாக இரண்டு எடு கூற்றுக்கள் தரப்பட்டால் இரட்டை விரி நியாயத்தொடை எனப்படும். (உ-ம்) குற்றவாளிகள் அனைவரும் தண்டிக்கப்படவேண்டியவர்கள் ஏனெனில் பிறர் உரிமையை மதிக்காதவர்கள் இராமன் குற்றவாளி ஏனெனில் அவன் திருடன் ஆகவே இராமன் தண்டிக்கப்பட வேண்டும்..
இதில் இரண்டு எடு கூற்றுக்களும் நிரூபணத்துடன் வந்திருக்கின்றது. இதை விபரித்தால் ஒரு பின் நியாயமும் இரண்டு முன் நியாயங்களும் கிடைக்கும். பின் நியாயத்தின் பேரெடு கூற்று ஒரு முன்நியாயமும்
அதன் சிற்றெடுகூற்று மற்றொரு முன்நியாயமும் நிரூபிக்கும். (1) குற்றவாளிகள் அனைவரும் தண்டிக்கப்பட் வேண்டியவர்கள்
இராமன் குற்றவாளி ஆவான் ஆகவே இராமன் தண்டிக்கப்படவேண்டியவன். (2) பிறர் உரிமையை மதிக்காதவர்கள் அனைவரும் தண்டிக்கப்பட
வேண்டியவர்கள்.
குற்றவாளிகள் அனைவரும் பிறர் உரிமையை மதிக்காதவர்கள். ஆகவே குற்றவாளிகள் அனைவரும் தண்டிக்கப்பட வேண்டியவர்கள். (3) திருடர்கள் அனைவரும் குற்றவாளிகள் ஆவர்.
இராமன் திருடன் ஆவான். ஆகவே இராமன் குற்றவாளி ஆவான்.
நியாயத்தொடை வாதங்களின் எல்லைகளும் குறைபாடுகளும்.
நியாயத் தொடை ஒன்றே வாய்ப்பான ஊடக அனுமானம் என்பது அநேக அளவையியலாளரது உறுதியான கொள்கையாகும். பாரம்பரிய அளவையியலின் மையமும், நியாயத்தொடையாகும். இதனால் நியாயத்தொடையை விட வேறு வலிமையான ஊடக
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 133
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 69
அனுமான முறைகள் எதுவுமில்லையா எனச் சிந்திக்க வேண்டி உள்ளது.
- நியாயத்தொடையில் எழுவாய் க்கும் பயனிலைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பை உணர்த்தும் வகுப்புக்கள் மட்டுமே கவனிக்கப்படுகின்றன. ஆனால் இவ்வாறு இல்லாத வேறு தொடர்புகளில் இருந்தும் வலிமையான அனுமானங்கள் பெறப்ப டுகின்றன. ஆனால் இவ்வாறான அனுமானங்கள் நியாயத்தொடை வழிபட்டவை அல்ல. எனவே நியாயத்தொடை அனுமானத்தில்
பின்வரும் குறைபாடுகள் காணப்படுகின்றன. (1) நியாயத் தொடையில் எழுவாய்க்கும் பயனிலைக்கும் இடையேயுள்ள
தொடர்பை உணர்த்தும் வகுப்புக்கள் மட்டுமே ஆராயப்படுகின்றன. ஆனால் இடம், காலம், இரு பொருட் களுக்கு இடையே உள்ள ஒற்றுமை, வேற்றுமை, குடும்ப உறவு முதலியவற்றை இவ்வாறு இனப்படுத்தி அனுமானிக்க முடி யாது. இவ் வாறான தொடர்புகளிலிருந்தும் வாய்ப்பான அனுமானங்கள் பெறப்படு கின்றன. (உ-ம்) (1) முற்றொரு மைத் தொடர்பு:-
(உ - ம்) - A =B
- B = C
ஃ A = C இது தூய அறுதி நியாயத் தொடையின் முதல் உருவான பாபற வைச் சேர்ந்ததாக தோன்றினாலும் இதை அந்நிலைக்கு மாற்ற முடியாது. இதில் B மத்திய பதம் அன்று பேரெடு கூற்றில் Bக்குச் சமமானது (= B) என்றும் சிற்றெடு கூற்றில் B என்றும் இருக்கின்றது. ஆனால் இங்கு A,B க்கு சமம், B,C க்குச் சமம் எனும் நான்கு பதங்கள் இருக்கின்றன. எனினும் இது வாய்ப்பான வழி அனுமானமாகும்.
(2) குடும்ப உறவு:- இவையும் முற்றொருமைத் தொடர்புடைய அனுமானங்கள்.
(உ - ம்) சீதை இராமனின் மனைவி
தசரதன் இராமனின் தந்தை
ஆகவே தசரதன் சீதையின் மாமனார். இதுவும் வழக்க முறை நியாயத் தொடையில் இருந்து மாறுபட்டது ஆகும். எனினும் ஏற்புடைய வழி அனுமானமாகும்.
(3) இடத்தொடர்பு:- (உ - ம்) A, B க்கு வடக்கில் இருக்கின்றது.
B, C க்கு வடக்கில் இருக்கின்றது. ஆகவே A, C க்கு வடக்கில் இருக்கின்றது. (4) அளவுத் தொடர்பு:-
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 134
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(உ - ம்)
A, B யை விடப் பெரியது
B, C யை விடப் பெரியது ஆகவே A, C யை விடப் பெரியது (5) காலத்தொடர்பு:- (உ-ம்) A, B யை விட மூன்று வயது மூத்தவன்
B,Cயை விட நான்கு வயது மூத்தவன் ஆகவே A, C யை விட ஏழு வயது மூத்தவன்
இத்தகைய வாதங்களை நியாயத்தொடை உருவில் தருவதற்கு பல முயற்சிகள் எடுக்கப்பட்ட போதும் அவை திருப்திகரமாக அமையவில்லை. இத்தகைய வாதங்கள் முன்னர் ஒழுங்கற்ற வாதங்கள் என அழைக்கப்பட்டன. உண்மையில் இவற்றை இவ்வாறு அழைப்பது தவறானது ஆகும். பிறதொடர்புகளின் (சமச்சீர் , சமச்சீரற்ற போன்ற) முக்கியத்துவத்தை அளவையிய லாளர்கள் அண்மைக்காலம் வரை கவனியாது விட்டதே இவற்றிற்குக் காரணமாகும். இந்திய அளவையியல் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவை யியல்.
மேற்குலகில் அளவையியலை வளர்த்தவர் களென அருஸ் ரோட்டல் எனும் தனிநபரை சுட்டிக்காட்டலாம். இவ்வுலகில் அளவையியல் முறைகளை முதன் முறையாக ஓர் அறிவியல் துறையாக ஆரம்பித்து வைத்தவர் அருஸ்ரோட்டல் ஆவர். இதுவே இவருடைய பெயரைக் கொண்டு அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியல் என அழைக்கப்படும். கிழக்குலகில் அளவையியலை வளர்த்தவர்களென எவரையும் தனித்துவமாக குறிப்பிட்டுச் சொல்ல முடியாது. கிழக்குலகில் குறிப்பாக இந்தியாவில் சமயத்தவ சிந்தனைகளுடன் இணைந்த வகையிலேயே அளவையியல் வளர்ச்சி பெற்றுவந்துள்ளமையை அவதானிக்கலாம். இது தனித்துவமாக இந்திய அளவையியல் எனும் பெயரினால் அழைக்கப்படுகின்றது.
அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியல் உய்த்தறிவு, தொகுத்தறிவு என வகைப்படுத்த முடியும். ஆனால் இந்திய அளவையியலில் இதைக் காணமுடியாது. அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலில் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை விதிகளில் தங்கியிருக்கும். அனுபவத்தில் தங்கியிருப்பது இல்லை. இந்திய அளவையியல் அனுபவத்தன்மை சார்ந்தது. இயல்பு, பண்பு ஆகியவற்றில் இரண்டிற்கும் வேறுபாடு இருப்பினும் இந்திய அளவையியலை அரிஸ்ரோட்டலின் வாதவடி வமைப்புக்குள்ளாக்கலாம் எனக் கருதப்படுகின்றது.
அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியல் இருமதிப்பு தர்க்கமாகும்.
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (135)
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 70
தங்\r -க.
இந்திய அளவையியல், திரிகோஸ்டி என்ற வகையில் பன்மதிப்புத் தர்க்கத்தை கொண்டதாகும்.
இந்திய அளவையியல் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலைப் போல் இறுக்கமான வடிவமைப்புக் காணப்படுவது இல்லை. ஆனால் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலைவிட இந்திய அளவையியல் அறிவாராய்ச்சிக்கு அடிப்படை அதிகளவு காணப்படுகின்றது. இந்திய அளவையியல் முறையில் மீண்டும் மீண்டும் வரும் எடு கூற்றுக்களை நீக்குவதாகக் கொண்டால் அரிஸ்ரோட்டலின் முற்கூற்று நியாயத் தொடையின் மூன்று கூற்றுக்களைப் பெறலாம். ஆயினும் பிரதியட்சத்தின் உபயோகம் பற்றிய பிரச்சனை எழுகின்றது. மற்றொரு பிரச்சினை ஒருவனை நம்பத்தூண்டும் பிரச்சினை ஆகும். - இந்திய அளவையியலில் முக்கியமான இரண்டு
அனுமானங்கள் உண்டு. (1) சுவார்த்தனுமானம் (2) பாராத்தனுமானம்.
(1) சுவார்த்தனுமானம்.:- தான் தனக்காக ஏற்படுத்திக்கொள்ளும் அனுமானம் சுவார்த்தனுமானம் ' எனப்படும். இது : நான்கு படிநிலைகளைக் கொண்டிருக்கும். 1. ஹேது: மலையில் புகையுள்ளது. 2, வியாப்தி: புகையிருப்பின் தீயிருக்கும். 13. பத்ய: புகை மலையில் உள்ளது
4. சாத்திய : தீ உள்ளது. (2) பாரார்த்த அனுமானம் :- மற்றவர்களுக்காக ஏற்படுத்தப்பட்ட
அனுமானம் பாரார்த்த அனுமானம் எனப்படும். இது ஐந்து படி நிலைகளைக் கொண்டிருக்கும் 1. பிரத்திஞான: மலையில் தீ உள்ளது 2. ஹேது: ஏனெனில் அங்கு புகையுள்ளது 3. உதாரண: எங்கு புகையிருக்குமோ அங்கு தீயிருக்கும் சமையல்
அறையைப் போல் 4. உபனய: தீயுடன் தொடர்புள்ள புகை மலையில் காணப்படுகின்றது. 5. நிகமன: ஆகவே அந்த மலையில் தீ உள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1136
ஆசிரியர் க.கேசவன்

பாரம்பரிய அளவையியலும் நவீன அளவையியலும்.
பாரம்பரிய அளவையியல் எனும் போது அது பெருமளவிற்கு அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலையைக் குறிப்பதாக உள்ளது. இவ்வழி அளவையியலானது எழுவாய் பயனிலையால் (சிந்தனைப்பற்றிய விஞ்ஞானம்) அமைந்த எடுப்புக்களையே ஆராயும். இதனால் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியல் வகுப்பளவை என் அழைக்கப்படும். நவீன அளவையியலுக்குள் குறியீட்டு அளவையியல் அடங்குகின்றது. இது வாதங்களின் நியம வாய்ப்புப் பற்றி ஆராய் கின்ற ஓர் பாடமாகும். நவீன அளவையியலில் வகுப்பளவையும் எடுப்பளவையும் உண்டு. நவீன அளவையியல் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவது அவற்றின் சிறப்பம்சமாகும். எனவே பாரம்பரிய அளவையியலை விட நவீன அளவையியல் பரந்தது ஆகும். (உ - ம்) (1) வகுப்பளவை (உ-ம்) (2) எடுப்பளவை . எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் மழை பெய்யும் எனின் நெல்
விளையும் காந்தன் ஓர் மனிதன் ,
மழை பெய்தது ஆகவே காந்தன் இறப்பவன் ஆவான் ஆகவே நெல் விளைந்தது
அரிஸ்ரோட்டல் எடுப்புக்களை அளவு, பண்பு, என்பவற்றின் அடிப்படையிலேயே வகுத்துள்ளார். காந்தன் ஓர் மனிதன் ஆவான் எனும் எடுப்புக்களை நிறை எடுப்புக்குள் உள்ளடக்கினார். ஆனால் நவீன அளவையியல் இவ்வெடுப்புக்களை தனிப் பொருள் எடுப்பு என ஓர் தனிவகை எடுப்பாக கருதுகின்றன.. நவீன அளவையியல் )
1, பாரம்பரிய அளவையியல்காந்தன் X- காந்தன் b- மனிதன்
"a- காந்தன் b- மனிதன்
a b = 4
X) b
m
8
பாரம்பரிய அளவையியலில் வரும் நியாயத் தொடை அனுமானம் எழுவாய்க்கும் பயனிலைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பை உணர்த்தும் எடுப்புக்கள் மட்டுமே கவனிக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறில்லா பிற தொடர்புகள் இங்கு கவனிக்கப்படுவது இல்லை. ஏனைய பிற தொடர்புகளில் இருந்தும் வலிதான அனுமானங்களைப் பெறலாம் என்பது சமீப காலம் வரை அளவையியலாளரால் உணரப்பட
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும், I,
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 71
வில்லை. பாரம் பரிய அளவையியல் தொடர்புகளைப் போதியளவு கருத்தில் கெபள்ளவில்லை. ஆனால் நவீன அளவையியல் பாரம் பரிய அளவையியலும் பார்க்க அளவையியல் தொடர்புகளை போதியளவு கருத்திற் கொள்ளுகின்றது. (உ - ம்) (1) A, B யை விட உயரமானவன்
B,C யை விட உயரமானவன் ஆகவே A, C யை விட உயரமானவன் என்பவை அரிஸ்ரோ ட்டலிய அளவையியலில் நிறுவ முடியாது. ஆனால் நவீன அளவையியலில் இதை நிறுவலாம்.
(2) காந்தன் முகுந்தனின் தந்தை ஆயின் முகுந்தன் காந்தனின் மகன் ஆவான். என்பது போன்றவற்றை நிறுவுவதற்கு வேண்டிய முறையும் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலில் இல்லை.
நவீன அளவையியலில் பரப்பெல்லை விலாசமானது ஆகும். பாரம்பரிய அளவையியலைக் காட்டிலும் பல்வேறு வகையான வாதங்கள் நவீன அளவையியலில் கையாளப்படுகின்றன. குறியீடு களின் பயன் பாடு நவீன அளவையியலு க் கு தனிச்சிறப்பையளித்துள்ளது. தொடைக் கொள்கை போன்ற வற்றையும் நவீன அளவையியல் உள்ளடக்கியுள்ளது. இவ்வாறான வாதங்களின் வாய்ப்பை அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலில் ஆராயப்பட க்கூடிய முறையேதும் இல்லை. (உ - ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்). இறக்கின்ற மனிதர்கள் நோயாளிகள் ஆவர் ஆகவே நோயாளியான மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். சு.தி a- மனிதர்கள்
b - இறப்பவர்கள் C - நோயாளிகள் ab = 6 bac = 4 ஃ cab = 0
வாய்ப்பு
இது அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலில் வாய்ப்பற்றது ஆகும். ஆனால் நவீன அளவையியலில் வாய்ப்பு .
பாரம்பரிய அளவையியலின் படி பிரபஞ்ச எடுப்புக்களுக்கு மாசற்ற தன்மை உண்டா என்பது கருத்திற் கொள்ளப்படுவது இல்லை. இதனால் பாரம்பரிய அளவையியலின் எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் ஆவர் என்பதில் இருந்து சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர் என்பது உட்கிடையாக உள்ளது. இதனால் A எடுப்பில்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 138
ஆசிரியர் க.கேசவன்

இருந்து 1 எடுப்பை அனுமானிக்கலாம். இது பாரம் பரிய அளவையியலில் சரியானது ஆகும். ஆனால் நவீன அளவையியலின்
படி பிரபஞ்ச எடுப்புக்களின் எழுவாய்க்கு மாசற்ற தன்மை இலகுவில் கிடைப்பது இல்லை. விசேட எடுப்புக்களுக்கு மாசற்ற தன்மை உண்டு. நவீன அளவையியலில் சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் ஆவர் என்பதில் இருந்து பெறப்படுவது இல்லை. இதனால் போலி ஏற்பட இடமுண்டு. நவீன அளவையியலில் பிரபஞ்ச எடுப்புக்களான எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் என்பது உள்பொருள் முக்கியத்துவமுடையதாக கொள்வது இல்லை. (மனிதர்கள் உளர்) ஆனால் சில மனிதர்கள் இறப்பவர் போன்ற தனி எடுப்புக்கள் உட் பொருட் தன்மை வாய்ந்தவையாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. இதனால் நவீன அளவையியலில் சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். என்பது எல்லா மனிதரும் இறப்பவர் ஆவர் என்பதில் இருந்து பெறப்படுவது இல்லை. பாரம்பரிய அளவையியலாளர்கள் எடுப்புக்கள் அனைத்தும் எழுவாய் LJu 160flo0)GU உருவுடையன எனக் கொண்டே விளக்கங்கள் அளித்தனர். நவீன அளவையியலாளர்கள் எடுப்புக்களின் உருவைப்பற்றி அக்கறை கொள்ளவில்லை. இவர்கள் கூறும் ஒரே ஒரு விதி அளவையியல் ஆராயும் வாக்கியங்கள் உறுதியான வாக்கியங்களாக இருத்தல் வேண்டும் என்பதே ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 139 ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 72
அத்தியாயம் - 07 வகுப்பு அளவையியல்
(அ) தொடைக் கொள்கை:- தொடை எனும் பதமானது வகுப்பு, கூட்டம் எனும் பெயர்களாலும் வழங்கப்படுவதைக் காணக்கூடியதாக இருக்கின்றது. இது ஆங்கிலத்தில் Set என அழைக்கப்படுகின்றது. தொ டை என்பது திட்டவட்டமாக வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டம் தொடைஎன வரைவிலக்கணப்படுத்தலாம், அல்லது மூல அம்சமும் அங்கத்தவரும், உள்ளடங்கியது தொடை எனப்படும். தொடையில் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும் மூலகம் எனப்படும். இதன் குறியீடு E ஆகும்.
(உ+ம்) A என்பது மூல அம்சம் 1,2,3,4 இலக்கங்கள் அங்கத்தவர்கள் எனவே A = {1, 2, 3,4 } ஓர் தொடையாகும். (ஆ). தொடை இனம் காணுதல்
ஒரு குழுவில் உள்ள உறுப்பினர்களை தெளிவாக வகைப்படுத்த முடியும் எனின் அவை தொடைகள் எனப்படும். (உ+ம்) (i) நான்கு கால்கள் உள்ள விலங்குகள்
(ii) உங்கள் வகுப்பில் உள்ள பிள்ளைகள்
(iii) வாரத்தில் உள்ள நாட்கள் குழுக்களின் உறுப்பினர்களை தெளிவாக வகைப்படுத்த முடியாது விட்டால் அவைகள் தொடைகள் அல்ல. - (உ+ம்) (i) அழகான பறவைகள்
(ii) இலங்கையில் உள்ள வறிய மக்கள் (iii) உங்கள் வகுப்பில் உள்ள கட்டையான தலைமயிரை
உடைய மாணவிகள் (இ)அளவையியலில் தொடைக் கொள்கை பயன்படும் இடம்
எடுப்புக்களில் அமைந்திருக்கின்ற எழுவாய் பயனிலைப் பதங்களை வகுப்புரீதியாக நோக்கும் போது அளவையியலில் தொடைக் கொள்கை பயன்படுகின்றது. எழுவாய் பயனிலைப் பதங்களுக்கிடையிலான தொடர்பை நோக்கும் போது வகுப்பு ஒன்றுக்குள் இன்னோர் வகுப்போ அல்லது தனியனோ உள்ளடங்கலாம் அல்லது உள்ளடங்காமல் இருக்கலாம், இத்தொடர்பு பின்வரும் சுருக்கத்திட்டத்தைக் கொண்டு விளக்கப்படுகின்றது சுருக்கத்திட்டம் X : அருஸ்ரோட்டல் a : மனிதன்
b : தத்துவஞானி C : விஞ்ஞானி -- (1) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்குதல் (உ+ம்) அருஸ் ரோட்டல் ஓர் மனிதன் ஆவான் (x Ea)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் : க.கேசவன் |

5 எனும் குறியீடு மனிதன் எனும் வகுப்பின் அருஸ்டோட்டல் ஒரு அங்கத்தவர் என்பதைக் கு றிக்கின் றது. -
(2) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்காது இருத்தல் :
(உ+ம்) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அல்ல (x Fa) (3) இரண்டு வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்குதல் :
(உ+ம்) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அத்துடன் தத்துவஞானி. (xea hb) (4) இரண்டு வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்காது இருத்தல்
உ+ம்) அருஸ்ரோட்ட்ல் ஓர் மனிதனும் இல்லை தத்துவஞானியும் இல்லை. (x (£ a U b) R te
;". ؟ P به
(5) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று வருதலும் வ்ேறோர் ,
வகுப்பிற்குள் அத்தனியன் உள்ளடங்காது இருத்தலும் : (அ) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் ஆனால் தத்துவஞானி அல்ல.
(x 6 a sh b) (ஆ) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதனல்ல ஆனால் தத்துவஞானி. (xe abெ)
(6) இரண்டு வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று வருதலும் வேறு ஓர் வகுப்பிற்குள்
அத் தனியன் உள்ளடங்காது இருத்தல் :
(அ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அத்துடன் தத்துவஞானி ஆனால் விஞ்ஞானி அல்ல. (xe anbnc) *。
(ஆ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் ஆனால் தத்துவஞானி அல்ல, ஆனால்
விஞ்ஞானி ஆவர். (x Eah bin c) 蠶 (இ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அல்ல ஆனால் தத்துவஞானியும் விஞ்ஞானியும் స్ట్రో
ஆவர். (x с)
A.
(7) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று வருதலும் வேறு இரண்டு வகுப்பிற்குள் அத் தனியன் உள்ளடங்காது இருத்தல் : * (அ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் ஆனால் தத்துவஞானியும் அல்ல. விஞ்ஞானியும் 916. (xe an “ (ஆ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அல்ல. ஆனால் தத்துவஞானி. ஆனால்
விஞ்ஞானி அல்ல. . . . . .
..",
(இ)அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதனும் இல்லை. தத்துவஞானியும் (ဎ) ၏ပစ္၈၈U..’ ஆனால்
விஞ்ஞானி (xean bne) 、
(8) மூன்று வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்குதல்
(உ+ம்) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் அத்துடன் தத்துவஞானி அத்துடன் விஞ்ஞானி = ne) -
葛 蠶 ဖer®auပါug|ုးဝါဖြာဖgreဧဖအနှံuစ် I 141 ஆசிரியர் : க.கேசவன் |
霸
ܝܗ
t

Page 73
(9) மூன்று வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடங்காது இருத்தல் : (உ+ம்) அருஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதனும் இல்லை. தத்துவஞானியும் இல்லை.
விஞ்ஞானியும் இல்லை. = x # [a Ubu c] (10)வகுப்பு ஒன்றுக்குள் இன்னோர் வகுப்பு உள்ளடங்குதல் (A எடுப்பு ) (உ+ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் தத்துவஞானிகள் ஆவர். (a C b)
இக்குறியீட்டின் கருத்து a யில் அங்கத்தவராக இருப்பவர் எல்லாம் b யிலும் அங்கத்தவராவர். ஆனால் ஒரு அங்கத்தவராவது b இல் அங்கத்தவராக
இருந்து கொண்டு a யின் அங்கத்தவராக இல்லாது இருக்க முடியும். (11)வகுப்பு ஒன்றுக்குள் இன்னோர் வகுப்பு உள்ளடங்காது இருத்தல் : (E)
(உ+ம்) மனிதர்கள் எவரும் தத்துவஞானிகள் அல்லர். (a + b) (12) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் சில அங்கத்தவர்கள் உள்ளடங்குதல் : (1)
(உ+ம்) சில மனிதர்கள் தத்துவஞானிகள் ஆவர். [(a E b) A (a¢ b)] (13) வகுப்பு ஒன்றுக்குள் சில அங்கத்தவர்கள் உள்ளடங்காது இருத்தல்: (0)
(உ+ம்) சில மனிதர்கள் தத்துவஞானிகள் அல்லர். [(a¢ b) A (a¢ b)) (14) முழு அங்கத்துவமும் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுப்பு : (A)
(உ+ம்) மனிதர்கள் மட்டுமே தத்துவஞானிகள் (a C b)
இக்குறியீட்டின் கருத்து ஏதாவது aயிலும் அங்கத்தவராகில் bயிலும் அங்கத்தவராவர் என்று கூறப்படும். ஆனால் bயில் அங்கத்தவராகில் aயிலும் அங்கத்தவரோ என்பது பற்றி எமக்கு எதுவும் தெரியாது.
(15)இரண்டு சம வகுப்புக்கள் (A எடுப்பு ) (உ+ம்) மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே தத்துவஞானிகள் ஆவர். (a = b)
இக்குறியீட்டின் அர்த்தம் a யில் அங்கத்தவராக இருப்பவர் b இலும் அங்கத்தவராக இருப்பார். b இல் அங்கத்தவராக இருப்பவர் aயிலும்
அங்கத்தவராக இருப்பர் (ஈ) வகுப்புக்களின் வகைகள் (1) வெற்று வகுப்பு: (அல்லது சூனியத்தொடை
மூல அம்சம் குறிப்பிடப்பட்டு அங்கத்தவர்கள் எவரும் இல்லாத வகுப்பு
வெற்று வகுப்பு எனப்படும். (உ+ம்) மனிதர்கள் எவரும் இல்லை
a - மனிதர்கள் a = 4
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

(2) நிரப்பி வகுப்பு: வென்உருவம் ஒன்றிலே சாதாரண தொடையும் அகிலத்தொடையும் உள்ளபோது சாதாரண தொடை தவிர்ந்த அகிலத்தொடையிலே காணப்படும் வகுப்பு நிரப்பி வகுப்பு எனப்படும்.
m
$ = அகிலத்தொடை a + a
a = சாதாரண தொடை
a = நிரப்பி வகுப்பு (3) அகிலத்தொடை வகுப்பு :
ஒரு வென் உருவம் ஒன்றில் உள்ள வகுப்பும் வகுப்பு நிரப்பியும் சேர்ந்தது அகிலத்தொடை வகுப்பு எனப்படும். அல்லது கருத்துள்ள சொற்கள் அனைத்தும் அடங்கிய வகுப்பு அகிலத்தொடை வகுப்பாகும்.
a = வகுப்பு a = வகுப்பு நிரப்பி a + a = 5 அகிலத்தொடை
a
(4) இணைப்பு வகுப்பு :
இரண்டு அல் லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வகுப்புக்களை தொடர்புபடுத்தும் போது அவ்வகுப்புக்களில் அமைகின்ற பொதுவான மூலகங்களை உள்ளடக்கும் வகுப்பு இணைப்பு வகுப்பு எனப்படும்.
(உ+ம்)
a = {1, 2, 3, 4 } b = {3, 4, 5, 6} a0b = {3, 4}
(5) யூனியன் வகுப்பு (அல்லது தொடைகளின் ஒன்றிப்பு அல்லது கூட்டு வகுப்பு)
இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வகுப்புக்களை தொடர்பு படுத்தும் போது அவ்வகுப்புக்களில் அமைகின்ற எல்லா மூலகங்களையும் கொண்ட வகுப்பு யூனியன் வகுப்பு எனப்படும்.
5
/ 3
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5 6} AU B = {1, 2, 3, 4, 5,6}
4 )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
143
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 74
ந.கலரிம்
(6) சமவலுத் தொடை : இரண்டு தொடைகளின் மூலகங்களின் எண்ணிக்கை சமமமாக இருந்தால் அது சமவலுத்தொடை எனப்படும். (உ+ம்)
தொடை : A = {1, 2, 3, 4, 5} தொடை B = {A, E, I, O, U}
n(A) = n(B) (7) முடிவுள்ள, தொடை
ஒரு தொடையானது எண்ணிக்கையாக குறித்துக் காட்டக்கூடிய மூலகங்களைக் கொண்டால் அது முடி வுள்ள தொடை எனப்படும்0
- (உ-ம்) A = {2, 4, 6, 8} (8) முடிவில் தொடை
5 ஒரு தொடையானது எண்ணிக்கையாக குறித்துக் காட்க்கூட்டிய மூலக்ங்களைக் கொண்டிருக்காது விட்டால் அது முடிவில்த் தொடை எனப்படும். இதன் மூலங்களை எழுதி முடிக்க முடியாது இருக்கும்.
(உ-ம்) N = {1, 2, 3, .....} (9) உப தொடை :
"முதல் தொடையில் உள்ள சில மூலகங்களைக் கொண்ட தொடை உப தொடை எனப்படும். (உ+ம்)
முதல் தொடை A = {1, 2, 3, 4, 5} உப தொடை B = {1, 3, 5} உப தொடை C = {2, 4} BCAயும் (CA அதாவது Bயும் Cயும் Aயினது உப தொடைகள் ஆகும்
(10) இணையாத வகுப்புக்கள் அல்லது மூட்டற்ற தொடை:-
இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வகுப்புக்களை தொடர்புபடுத்தும் போது பொதுவான மூலகங்கள் இல்லாது இருந்தால் அது மூட்டற்ற தொடை எனப்படும்.
* A = {1, 2, 3, }
B = {4, 5 6} : An B = 4 :
(உ) வென்விளக்கப் படங்கள் பிரித்தானிய தேசத்திலே (1834 - 1923) காலப்பகுதியிலே வாழ்ந்த கணிதமேதையான " ஜோன்வென் என்பவர் வென்விளக்க
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1
144
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

வரைபடங்களை எடுத்துக் காட்டியுள்ளார். இவருடைய வென் எனும் பெயரின் மூலமே வென் விளக்கப்படங் கள் என
அழைக்கப்படுகின்றது.
எடுப்புக்களை வகுப்புக்களின் அடிப்படையில் தெளிவாக அமைக்க வென்வரைபடங்கள் உதவுகின்றன. வென்விளக்க வட்டங்களின் பயன்பாடுகள் ஒயிலர் என்பவரின் விளக்கப்படங்களோடு ஒப்பிட்டு இறுதியில் இந்நூலில் ஆராயப்படும் எடுப்புக்களுக்கு வென்விளக்க வட்டம் வரைவதற்கு முன்னர் வென்விளக்க வட்டம் வரையும் முறையையும் குறியீடுகளையும் விளங்கிக் கொள்ளுதல் வேண்டும். விளக்கம் : x : எழுவாய் (தனியன்) a : எழுவாய் (வகுப்பு)
பயனிலை a : எழுவாய் அல்லாதது
பயனிலை அல்லாதது a: (1 + 2) b: (2 + 3) தொடை 1 : a b தொடை 2 : ab தொடை 3 : ab தொடை 4 :ab
ஒரு உறுப்பு மட்டும்
a b
b:
- ஓ |
(நிறம் தீட்டும் பகுதி ஒன்றுமில்லை) = 4
X - (புள்ளடி ஒரு பகுதி உண்டு) = 4
அளவையியலில் காணப்படுகின்ற எடுப்புக்களின் எழுவாய்க்கும் பயனிலைக்கும் இடையே காணப்படும் தொடர்புகளை வகுப்புரீதியாக நோக்கும் போது எழுவாய் பயனிலைத் தொடர்பு பின்வருமாறு அமையும்.
1. வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படுதல்
(உ-ம்) யப்பான் ஒரு நாடு ஆகும்.
X - யப்பான் b - நாடு (x E b)
b
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 75
2.
வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படாது இருத்தல்
( உ- ம்) யப்பான் ஒரு நாடு அல்ல. X - யப்பான் b - நாடு (x # b)
ஏ |
" கவ..
3. இரண்டு வகுப்புக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படுதல்.
( உ-ம்) கண்ணண் ஓர் ஆண் அத்துடன் ஓர் மனிதன்.
X - கண்ணண் a -
ஆண். b - மனிதன்.
ab (x 'anb)
பி
5
4. இரண்டு வகுப்புக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படமாட்டாது இருத்தல்
(உம்) கண்ணண் ஓர் ஆண் அல்ல அத்துடன் ஓர் மனிதன் அல்ல.
X - கண்ணண் a - ஆண். b - மனிதன். X + ( aUb)
- b
| 0
0 |--
5. வகுப்பு ஒன்றுக்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படுதலும் வேறோர்
வகுப்பிற்குள் அத்தனியன் உள்ளடக்கப்படாமலும் இருத்தல்.
( உ-ம்) 1 கண்ணண் ஒரு ஆண் ஆனால் மனிதன் அல்ல. X -
கண்ணண் a -
ஆன்.. b
மனிதன். (x Ea b) இதை (x Ea n b) எனவும் கூறலாம்.
(உ-ம்) 2 கண்ணண் ஓர் ஆண் அல்ல ஆனால் ஓர் மனிதன்.
X - கண்ணண் a - ஆண். b - மனிதன். (x E a b) இதை (x E a lb) எனவும் கூறலாம்.
5- .
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
146
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

6. மூன்று வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படுதல்
( உ-ம்) கண்ணண் ஓர் ஆண் அத்துடன்
மனிதன் அத்துடன் செல்வந்தன்,
a >
X - கண்ணண் a - ஆண். b - மனிதன். C- செல்வந்தன் (x Ea0b0 c)
7. மூன்று வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படாது இருத்தல் (உம்) கண்ணண் ஓர் ஆண் அல்ல மனிதனும் அல்ல செல்வந்தனனும் அல்ல
X - கண்ணண் a - ஆண். b
மனிதன். C- செல்வந்தன் (x ¢ a U bu c)
9 |
bC
- (
8. வகுப்பு ஒன்றிற்குள் தனியன் ஒன்று உள்ளடக்கப்படுதலும் வேறு இரண்டு வகுப்பிற்குள் அத்தனியன் உள்ளடங்காது இருத்தல் - (அ) கண்ணண் ஓர் ஆண் ஆனால் மனிதனும் இல்லை செல்வந்தனும் இல்லை X - கண்ணண் a - ஆண். b - மனிதன். C- செல்வந்தன் (r Ea0b0 C )
2 ->
C
(ஆ) கண்ணண் ஓர் ஆண் அல்ல ஆனால் மனிதன் ஆனால்
செல்வந்தனும் இல்லை
X -
கண்ணண் a - ஆண். b- மனிதன். C- செல்வந்தன் (x E bnan C )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 76
(இ)
கண்ணன் ஆணும் இல்லை மனிதனும் இல்லை ஆனால் செல்வந்தன்.
1
X -
a -
கண்ணன்
ஆண். b
மனிதன்.
செல்வந்தன் (x = an bc )
C.
9. இரண்டு வகுப்பிற்குள் தனியன் ஒன்று வரு தலும் வேறோர் வகுப்பிற்குள்
அத்தனியன் உள்ளடங்காமலும் இருத்தல் (அ) கண்ணன் ஓர் ஆண் அத்துடன் மனிதன் ஆனால் செல்வந்தன் இல்லை
X -
கண்ணன் a -
ஆண். b - மனிதன். C- செல்வந்தன் (x E an b 0 C )
( ஆ) கண்ணன் ஓர் ஆண் ஆனால் மனிதன் அல்ல ஆனால் செல்வந்தன்
X - . கண்ணன்
a - ஆண். b - மனிதன். C - செல்வந்தன் (x Eanbnc )
(இ) கண்ணன் ஓர் ஆணும் அல்ல மனிதனும் அத்துடன் செல்வந்தன்
X - கண்ணன். a - ஆண். b - மனிதன். C- செல்வந்தன் (r = a0b 0 c )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையு
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

10.
வகுப்பு ஒன்றுக்குள் இன்னோர் வகுப்பு உள்ளடங்கல் (A) (உ-ம்) A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் a b = 4
விளக்கம் : இறப்பவர் எனும் வகுப்பிறகுள் மனிதர்கள் எனும் வகுப்பு உள்ளடங்குகின்றது. இறப்பவர் எனும் வகுப்பிற்குள் முழு மனிதர்களும் வருகின்ற படியினால் (ab க்குள்) a b பகுதியில் மனிதர்கள் இருக்க மாட்டார்கள். இதனால் அப்பகுதியில் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது.
11.முழு அங்கத்துவமும் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுப்பு : (A)
(உ - ம்) A மனிதர்கள் மட்டுமே இறப்பவர்.
ولد
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள்
a b = 4
விளக்கம் : மனிதர்கள் எனும் வகுப்பிற்குள் இறப்பவர் எனும் வகுப்பு உள்ளடங்குகின்றது மனிதர்களுக்குள் முழு இறப்பவரும் வந்துள்ளதால் (abக்குள் ) ab வகுப்பிற்குள் இறப்பவர் எவரும் இருக்கமாட்டார்கள்.
இதனால் அப்பகுதியில் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது.
12. இரண்டு சம வகுப்புக்கள் : (A)
(உ-ம்) A மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர் ஆவர்.
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் a b = 4 ^ a b = 0
விளக்கம். : இறப்பவர் எனும் வகுப்பிற்குள் எல்லா மனிதர்களும் வருவதினால் a b பகுதியில் மனிதர்கள் இருக்க மாட்டார்கள். இதனால் அப்பகுதியில் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது. அத்துடன் மனிதர்கள் எனும் வகுப்பிற்குள் எல்லா இறப்பவர்களும் வருகின்ற படியினால் a b
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
149
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 77
பகுதியில் இறப்பவர்கள் இருக்கமாட்டார்கள். இதனால் அப்பகுதியில்
நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது. 13.வகுப்பு ஒன்றினுள் இன்னோர் வகுப்பு உள்ளடங்காது இருத்தல்: (E)
(உம்) E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்.
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் a b = 4
விளக்கம். : இறப்பவர் எனும் வகுப்பிற்குள் மனிதர்கள் எனும் வகுப்பு உள்ளடங்காது. இதனால் இறப்பவர் அல்லாதவர் (a b ) எனும் வகுப்பிற்குள் மனிதர்கள் எனும் வகுப்பு உள்ளடங்குவதினால் a b வகுப்பிற்குள் இந்த மனிதர்கள் a b வகுப்பிற்குள் அடங்குவர். இதனால் - 2 b வகுப்பிற்குள் மனிதர்கள் இல்லாது இருப்பதினால்
அப்பகுதியில் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது. 14. வகுப்பு ஒன்றுக்குள் சில அங்கத்தவர்கள் உள்ளடங்குதல் (1)
(உம்) 1 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்.
a -
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் a b * *
விளக்கம். : இறப்பவர் எனும் வகுப்பிற்குள் சில மனிதர்கள் உள்ளடங்குவதினால் ab வகுப்பிற்குள் ஒரு பகுதி உண்டு என்பதைக்
காட்ட அப்பகுதியில் x எனும் அடையாளம் இடப்பட்டுள்ளது. 15. வகுப்பு ஒன்றுக்குள் சில அங்கத்தவர்கள் உள்ளடங்காது
இருத்தல் (0) (உம்) 0 சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்.
JU
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் a b # 4
|a-> X
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
150
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

விளக்கம். : இறப்பவர் எனும் வகுப்பிற்குள் சில மனிதர்கள் எனும் வகுப்பு உள்ளடங்கமாட்டாது. இதனால் இறக்காதவர் எனும் வகுப்பிற்குள் சில மனிதர்கள் (a b) உள்ளடங்குவதினால்
அப்பகுதியில்சிலஉண்டு என்பதை காட்டXஅடையாளம் இடப்பட்டுள்ளது. 16.ஒரு சில அங்கத்துவம் சமப்படுத்தப்படாத வகுப்பு (0)
(உம்) சில மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர் அல்லர்.
5
5
a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் ab # ^ ^ a b = 4
விளக்கம் : இறக்காதவர் எனும் வகுப்பிற்குள் சில மனிதர்கள் எனும் வகுப்பும் (ab) மனிதரல்லாதவர் எனும் வகுப்பிற்குள் சில இறப்பவரும் ( a b) உள்ளடங்குவதினால் அப்பகுதிகளில் ஒரு பகுதி உண்டு என்பதைக் காட்ட, x எனும் அடையாளம் இடப்பட்டுள்ளது. 17. ஒரு சில அங்கத்துவம் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுப்பு (A + 1)
( உம் ) சில மனிதர்கள் மட்டுமே இறப்பவர்
a>
a -
மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் ab + + + a b = 4
விளக்கம். : சில மனிதர்கள் எனும் வகுப்பிற்குள் எல்லா இறப்ப வர்களும் வருகின்றனர். இதனால் ab பகுதியில் இறப்பவர்கள் இருக்க மாட்டார்கள். இதனால் அப்பகுதியில் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது. அத்துடன் ( சில மனிதர்கள் என்பதைக் காட்ட) ab பகுதியிலுள்ள ஒரு பகுதி உண்டு என்பதைக் காட்ட அப்பகுதியுள் X எனும் அடையாளம் இடப்பட்டுள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 78
(ஊ) ஒரு எடுப்பிற்கு பல சுருக்கத் திட்டத்தின் மூலம் குறியீடுஅமைத்தல். கீழே பல சுருக்கத்திட்டங்கள் தரப்பட்டுள்ளன அவை ஒவ்வொன்றையும் கொண்டு பின்வரும் எடுப்புக்களுக்கு வென்விளக்க குறியீடுகள் மட்டும்
அமைக்க. சுருக்கத் திட்டம் : (அ) a - மனிதர்கள்
b - இறப்பவர் (ஆ) C - மனிதர்கள்
a - இறப்பவர் (இ) b - மனிதர்கள்
C - இறப்பவர் 1. மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர்.
(அ)ab = 4
(ஆ) c a = 4
(இ)b c 2. மனிதர்கள் மட்டுமே இறப்பவர்.
(அ) a b = $ ).
(ஆ) ca = 4
(இ) b c = 4 3. மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர்.
(அ)ab = 4 A a b= (ஆ) c a = 4 A ca = மூ(இ) b c = ¢ \ b c = 4 4. மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்.
(அ)ab = $ (ஆ) ca = ¢.
(இ) bc = 4 5. சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்.
(அ)ab = 4
(ஆ) ca = 4
(இ)bc = 4 6. சில மனிதர்கள் மட்டுமே இறப்பவர்.
(அ)ab = ¢ A ab= ¢ (ஆ) ca = ¢ A ca = $ (இ) bc # ¢ A b c = 4 7. சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர்.
(அ)ab + + (ஆ) c a + 6 (இ)b c = 4 8. சில மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர் அல்லர்.
(அ)(ab = ¢) A(a b# ¢) (ஆ) (c a # ¢) A(ca # 4) (இ)(b c = ¢) A(b c# ¢) (எ) வாதங்களை வென்வரைபடம் மூலம்
வாய்ப்புப் பார்த்தல். வாதத்தில் உள்ள எடுப்புக்களின் பதங்களுக்கு a, b, c எனும் ஒழுங்கில் சுருக்கத்திட்டம் அமைத்தல் வேண்டும். பின்னர் எடுப்புகளுக்கு வென்விளக்கக் குறியீடு அமைத்தல் வேண்டும்.
எடுகூற்றுக்களின் வென்விளக்கக்குறியீட்டை வென்விளக்க வட்ட த்தில் வரைதல் வேண்டும். முடிவைக் கொண்டு வாய்ப்பு வாய்ப்பின் மையைத் தீர்மானித்தல் வேண்டும். முடிவு வென்விளக்க வட்டத்தில்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 152
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

பிரதிபலித்தால் வாதம் வாய்ப்பாகும். இல்லையேல் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். முடிவு சமன் > ( = ¢) வெறும் தொடையாக இருக்கும் போது வாய்ப்பை தீர்மானித்தல்
வாதத்தின் முடிவு சமன் வெறுந்தொடையாக இருந்தால் முடிவு குறிப்பிடும் முழு வகுப்பிற்குள்ளும் நிறம் தீட்டப்பட்டிருந்தால் வாதம் வாய்ப்பாகும். முடிவு குறிப்பிடும் வகுப்புக்களில் ஒரு வகுப்பிற்குள் நிறம் தீட்டப்பட்டிருந்தோ அல்லது இரண்டு வகுப்பிற்குள்ளும் நிறம் தீட்டப்படாது இருந்தாலோ வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். உ+ம் (1)
ab = 4 ca = 4
ஃ c b = 4 வாய்ப்பானது : ஏனெனில் முடிவு
குறிப்பிடும் c b = 4 எனும் இரண்டு வகுப்பிற் குள்ளும் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளது.
*
உ+ம் (2)
aь
ca
||||||
அ அ அ
'ஃ cb
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் முடிவு குறிப்பிடும் cb எனும் இரண்டு வகுப்புக்களில் ஒரு வகுப்பிற்குள் மட்டும் நிறம் தீட்டப்பட்டுள்ளதால் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும்.
உ+ம் (3)
ab = 4
b c = ஃ c a = 4
அ ச ச
வாய்ப்பற்றது : :ஏனெனில் முடிவு குறிப்பிடும் ca = ¢ எனும் இரண்டு வகுப்புக் களில் இரண்டு வகுப்புக்குள்ளும் நிறம் தீட்டப்படவில்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
153
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 79
எனவே வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். முடிவு சமமில்லை (= $ )வெறுந்தொடையாக இருக்கும் போது வாய்ப்பை தீர்மானித்தல் :
வாதத்தின் முடிவு சமமில்லை வெறுந்தொடையாக இருந்தால் முடிவு குறிப்பிடும் வகுப்புக்களில் ஏதாவது ஒரு வகுப்பிற்குள் X எனும் அடையாளம் இருந்தால் வாதம் வாய்ப்பாகும். இல்லையேல் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும்.
ப
உ+ம் (1)
ab = 4
ca # 4
ஃcb = 0 வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் முடிவு குறிப்பிடும் cb # ¢ எனும் இரண்டு வகுப்புக் களில் ஏதாவது ஒரு வகுப்பிற்குள் X எனும் அடையாளம் இருப்பதால் வாதம் வாய்ப்பாகும்.
உ+ம் (2) ab = 4 ca + 4 ஃ cb# 4
பு)
4- C
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் முடிவு குறிப்பிடும் cb#¢ எனும் இரண்டு வகுப்புக்களில் ஏதாவதுஒரு வகுப்பு க்குள்ளேயும் அங்கத்தவர் உண்டு என்பதை அனுமானிக்க முடியாது. பின்வரும் வாதங்களை வகுப்புக்களின் அடிப்படையில் குறியீட்டில் அமைத்து வென்வரை படங்களின் உதவியால் அவற்றின் வாய்ப் பினைத் துணிக. 1. வெளவால் பறப்பன, பிராணிகள் வெளவால்கள்.
ஆகவே பிராணிகள் பறப்பன ஆகும்.
a - வெளவால்கள் a b = 4 b - பறப்பன
அ c a = 4 C - பிராணிகள் ஃc b = 0
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

வாய்ப்பானது : ஏனெனில் c b = 4
என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 2. மாடுகள் நான்கு கால்களையுடையன.
ஆடுகள் எவையும் மாடுகள் அல்ல. ஆகவே ஆடுகள் எவையும் நான்கு கால்களையுடையன அல்ல.
- b
a - மாடுகள்
ab = 4 b - நான்குகால்கள் ca = 4 C - ஆடுகள் ஃ cb= 0
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் cb = 4 என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை. 3. பறப்பன பச்சை நிறம் ஆகும் ஏனெனில்
கிளிகள் ஆயின் ஆயினே பச்சைநிறமாகும். கிளிகள் மட்டுமே பறப்பன.
- C
a - கிளிகள் a b = $ /\ a b = ( a - b - பச்சைநிறம் a C = 4 C - பறப்பன ஃ cb = 4
வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் c b என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 4. மாணவர்கள் ஆயின் ஆயினே படிப்பவர். ஆண்கள் படிப்பவர்
ஏனெனில் ஆண்கள் மட்டுமே மாணவர்கள்.
-C
'b |
a - மாணவர்கள் ab = 0 Aa b = 4
b - படிப்பவர் C a = 4
C - ஆண்கள் ஃ cb
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் c b = ¢ என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை. 5. பெண்கள் ஆயின் ஆயினே அழகானவர்கள்.
பெண்கள் ஆயின்ஆயினே நடிகர்கள்.
ஆகவே நடிகர்கள் ஆயின் ஆயினே அழகானவர்கள்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
155
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 80
a - பெண்கள்
1 ab = ¢ A a b = ¢. b - அழகானவர்கள் a c = 0 A a c = 0 C - நடிகர்கள் ஃ c b = 4 A cb = 4
வாய்ப்பானது : ஏனெனில் c b =p\ cb = என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 6. வெங்காயம் ஆயின் ஆயினே சிவப்பானது.
சிவப்பானது விலைகூடியது ஆகும்.
ஆகவே விலைகூடியவை ஆயின் ஆயினே வெங்காயம் ஆகும்.
a - வெங்காயம் ab = 4 A a b = 4 b - சிவப்பானது b c = 4
C - விலைகூடியது ஃc a =் /AN ca = 4
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் c a = 4 A. ca = ¢ என்பது வென்விளக்க படத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை. 7. மனிதர்கள் இறப்பவர்கள்
இறப்பவர்கள் பாவம் செய்யாதவர் ஆவர். பாவம் செய்யாதவர் மனிதர்கள்
ஆகவே பாவம் செய்யாதவர் இறப்பவர்கள் a - மனிதர்கள் , ab = 4 b - இறப்பவர்கள் b c = 4 C - பாவம் செய்யாதவர் c a = 4
ஃ c b = 4 வாய்ப்பானது : ஏனெனில் c b - = 4 - என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 8. சில பாலூட்டிகள் திமிங்கலமாகும் ஏனெனில்
திமிங்கலம் பெரிய பிராணியாகும். சில பாலூட்டிகள் பெரியபிராணியாகும்.
' உ |
பம்
- b
a - திமிங்கலம் ab = 4 b - பெரியபிராணி cb = 4 C - பாலூட்டி ஃ ca = 4
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
156
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

வாய்ப்பற்றது
பிரதிபலிக்கவில்லை.
9. San J.TuilJ6ii LujGOguT6OTGOOI.
; எனெனில் ca :() என்பது வென்விளக்க படத்தில்
சில மிளகாய்கள் விலைகூடியவை.
ஆகவே விலைகூடியவை சில பச்சையானவை
a - flотJETTui
= ()
b - பச்சையானவை ac : ()
C - விலைகூடியவை ஃ cb * (b
வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் cb * (b என்பது வென்விளக்கப் படத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது.
10. எல்லா மனிதர்களும் இறப்பது இல்லை.
எல்லா ஆண்களும் இறப்பவர்.
ஆகவே
சில ஆண்கள் மனிதர்கள் அல்லர். a - மனிதர்கள் abمحيdb b - இறப்பவர் cb = (þ C - ஆண்கள் ci, c a zе ф
வாய்ப்பற்றது :
ஏனெனில் c a * () வென்விளக்க படத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை.
11. சில காகங்கள் கறுப்பு நிறமல்ல. காகங்கள் அனைத்தும் பறக்கும். ஆகவே பறப்பனசில கறுப்பு நிறமல்ல.
a b z c)
b - கறுப்பு நிறம் a c = ()
c b في محب(
a - காதங்கள்
C - பறக்கும்
リー S
வாய்ப்பானது ஏனெனில் cb محي () என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில்
பிரதிபலிக்கின்றது.
12. மிளகாய் சிவப்பானது. இந்த வெங்காயம் சிவப்பானது.
ஆகவே இந்த வெங்காயம் மிளகாய்.
s а - மிளகாய் ab = qþ
b - சிவப்பானது x 8b - a -> ཕཛ-b x - இந்த வெங்காயம் 3% х ӨБ а й
வாய்ப்பற்றது :
ஏனெனில் X 6 a வென்விளக்கத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
157
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 81
a -->
13. இலங்கை அபிவிருத்தி அடைகின்றன ஏனெனில்
எல்லா நாடுகளும் அபிவிருத்தியடைகின்றன. இலங்கை ஒரு நாடு. a - நாடுகள்
a b = 4 b - அபிவிருத்தி x = a X - இலங்கை ஃx E b
வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் X E b வென்விளக்க படத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 14. கோள்கள் அனைத்தும் சூரியனை சுற்றுகின்றன.
செவ்வாய் ஓர் கோள் அல்ல. ஆகவே செவ்வாய் சூரியனை சுற்றவில்லை.
5
4
a - கோள்கள் - a b = 4 b - சூரியச்ை சுற்றும் X ¢ a X - செவ்வாய் ஃx + b
வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் X + b என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை. 15. மனிதர்கள் இறப்பவர்கள்.
ரவி இறப்பவன் அல்ல.
ஆகவே ரவி மனிதன் அல்ல. a - மனிதர்கள் a b = 4 b - இறப்பவர்கள் x ¢ b C - ரவி
ஃ x ¢ a வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் xta என்பது வென்விளக்க படத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 16. காந்தன் ஓர் மனிதன் அத்துடன் விஞ்ஞானி.'
காந்தன் ஓர் மனிதன். ஆகவே காந்தன் விஞ்ஞானி. X - காந்தன் x = ab a - மனிதன்
X Ea b - விஞ்ஞானி ஃ x E b வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் x Eb என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 17. (மனிதர்கள்) (புத்தியுள்ளவர்கள்). (புத்தியுள்ள மனிதர்) (கோபக்காரர்).
ஆகவே (கோபமுள்ள மனிதர்) (புத்தியுள்ளவர்).
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
158
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

a - மனிதர்கள்
ab = 4 b - புத்தியுள்ளவர்கள் ba c = 4 C - கோபக்காரர்கள் ஃ cab = 4
வாய்ப்பானது : ஏனெனில் ca b = ¢ என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது. 18. (காகங்களும் கிளிகளும்) (பறப்பன) ஆகும். பறப்பவை காகங்கள்
ஆகும். ஆகவே (பறக்கும் காகம்) கிளி ஆகும். a - காகம் -ab c = 4 b - கிளிகள் c a = 4 C - பறப்பன ஃ ca b = $
வாய்ப்பற்றது :
ஏனெனில் cab = 4 என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கவில்லை. 19. மிருகங்கள் நீரில் வசிக்கவிரும்புவை.
நீரில் வசிக்க விரும்புபவை நீந்தும். ஆகவே நீந்துவன சில மிருகங்கள். a - மிருகங்கள்
ab = 4 b - நீரில் வசிக்க விரும்புபவை b c = 4 C - நீந்தும்
ஃ ca + 4 வாய்ப்பற்றது :
ஏனெனில் ca = ¢ என்பதைக் கொண்டு வென்விளக்க வட்டத்தில் எதையும் அனுமானிக்க முடியாது.
19000 • Ta>
20. மனிதர்கள் மலையில் ஏற விரும்புகின்றனர்.
பெண்கள் மனிதர்கள் ஆவர். சாந்தி மனிதனும் இல்லை. மலையில் ஏறவும் விரும்பவில்லை.: ஆகவே, சாந்தி பெண்ணும்
இல்லை மனிதனும் இல்லை. a - மனிதர்கள்
ab = 4 b - மலையில் ஏறவிரும்புவர் c a = " C - பெண்கள்
X 4 ab X - சாந்தி
ஃ x $ ca - வாய்ப்பானது : ஏனெனில்x+ca என்பது வென்விளக்க வட்டத்தில் பிரதிபலிக்கின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
159
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 82
21. மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர்.
சில மனிதர்கள் ஆயின்ஆயினே கெட்டிக்காரர் அல்ல. ஆகவே, கெட்டிக்காரர் சிலர் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர் அல்ல.
a - ' மனிதர்கள் a b = 4 A a b = 4
b - இறப்பவர் a c = ¢ A a c# 4 - b
C - கெட்டிக்காரர் ஃc b + + N cb # 4 - வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் c b + A cb # என்பது வென் விளக்க வட்டத்தில் பிரதி
"பலிக்கப்படுகின்றது. . 22. மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர்.
சில மாணவர்கள் மட்டுமே
கெட்டிக்காரர். ஆகவே, கெட்டிக்காரர் சிலர் மட்டுமே படிப்பவர். a - மாணவர்கள் a b = 4 b - படிப்பவர் ac + + A a c = ¢L C - கெட்டிக்காரர் ஃ cb = 4 A c b =¢ வாய்ப்பற்றது : ஏனெனில் cb * 4 N c b = ¢ என்பது வென்விளக்கவட்டத்திற் பிரதிபலிக்க வில்லை. 23. சில மனிதர்கள் மட்டுமே நேர்மையானவர்.
மனிதர்கள் அனைவரும் கெட்டிக்காரர். ஆகவே, கெட்டிக்காரர் சிலர்
மட்டுமே நேர்மையானவர். a - மனிதர்கள் ab = 4 A a b = 4 b - நேர்மையானவர் ac = 4 C - கெட்டிக்காரர் ஃ cb = + N cb = 4 வாய்ப்பானது :
ஏனெனில் cb + + N cb = 4 என்பது வென்விளக்க வட்டத்திற் பிரதிபலிக்கின்றது.
- C
(எ)ஒயிலர் என்பவரது படவிளக்க முறைகள்:
பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த சுவிட்சிலாந்து தேசத்தைச் சேர்ந்த புகழ்பெற்ற கணிதஞானியும்; அளவையியல் அறிஞருமான "ஒயிலர்” என்பவரது படவிளக்க முறைகள் யாவரும் அறிந்ததும் பொதுவாகப் பயன்படுத்துவதுமாகும். ஒவ்வொன்றும் ஒரு வட்டத்தினால் காட்டப்படும். இரு வகுப்புக்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்புகளின் அடிப்படையில் இம்முறை அமைந்தது.
ஓர் எடுப்பிற் பதங்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்புகள் ஒரே
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் (160
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

நோக்கில் புலப்படுமாறு பதங்கள் அமைதல் வேண்டும். படவிளக்கமுறை இவ்வகையில் திருப்திகரமாக அமையவேண்டுமாயின் பின்வரும் நிபந்தனைகள் நிறைவேற்றப்படுதல் வேண்டும். 1. என்ன அடிப்படையில் படங்கள் அமைக்கப்படுகின்றதோ அவ்வடிப்படையில்
விளங்கிக்கொள்ளப்பட்ட மாத்திரத்திலே படங்களின் விளக்கம் தெளிவாதல் வேண்டும். 2. ஒவ்வொரு படத்திற்கும் ஒரேயொரு கருத்து மட்டும் இருத்தல்
வேண்டும். இதன் மறுதலையும் அவ்வாறு இருத்தல் வேண்டும். 3. ஒவ்வோர் எடுப்பும் ஒரேயொரு படத்தினால் விளக்கக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிபந்தனை எந்த அளவுக்கு சரியாக நிறைவேற்றப்படுகின்றதோ அந்த அளவுக்கே படவிளக்க முறையின் பயனையும் மதிப்பிடல் வேண்டும். அளவையியலில் படங்கள் ஆரம்ப மாணவர் எடுப்புக்களின் கோசரத்தை இலகுவில் உணரவும், அவற்றிலிருந்து நேராகப் பெறக்கூடிய அனுமானங்களை எளிதிற் காணவும் உதவும். A வகை எடுப்பு :
(iii)
SAP
E வகை எடுப்பு :
I வகை எடுப்பு :
0 வகை எடுப்பு :
----- "
இப்பட விளக்க முறைகளில் E எடுப்பே சிறந்தது ஆகும். ஏனெனில் எந்தவொரு படத்திலாவது முற்றாகக் காட்டமுடிவது B எடுப்பே ஆகும். ஏனைய எடுப்புக்கள் யாவற்றையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட படங்களின் சேர்க்கையினால் தான் முற்றாகக் காட்டமுடியும். A வகை எடுப்பிற்கு 1, 2 உம் வேண்டும். I வகைக்கு 1, 2, 3, 4 ஆகியன வேண்டும். 0 வகைக்கு 3, 4, 5 ஆகியன வேண்டும். அடுத்து 1, 2, 3, 4,
பயும் (161)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 83
ஆகிய படங்களில் ஏதேனும் ஒன்று தரப்படின் அது எந்நத எடுப்பை உணர்த்துகின்றது என்பதைக் கூறமுடியாது. ஒயிலரது வரைபடங்களும், வென் வரைபடங்களும்: 1. ஒயிலர் எடுப்புக்களை இரண்டு வகுப்புக்களாக பிரித்து விளக்குகின்றார். வென் எழுவாய், பயனிலை இரண்டும் சேர்ந்த வகுப்பு என மூன்றாக வகுத்து விளக்குகின்றார். 2. ஒயிலர் வியாப்தி அடிப்படையில் வகுப்புக்களை விளக்குகின்றார்.
வென் வகுப்பு அடிப்படையில் விளக்குகின்றார். 3. ஒயிலர் படவிளக்க முறையில் கணிதசமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப் படுவது இல்லை. வென் படவிளக்க முறையில் கணித சமன்பாடுகளை பயன்படுத்துகின்றார். 4. ஒயிலர் தமது படவிளக்க முறையில் மூலகங்களின் இருப்பைக்
குறிக்க இப்பகுதியில் நிறம் தீட்டுகின்றார். வென் இதை வெற்று வகுப்பைக் குறிக்க பயன்படுத்துகின்றார். 5. ஒயிலரின் படவிளக்கமுறையில் E எடுப்பை தவிர்ந்த மற்றைய படங்கள் தெளிவற்றுக் காணப்படுகின்றது. வென் வரைபடங்களில் எல்லா எடுப்புக்களும் தெளிவாக அமைகின்றது. 6. நவீன எடுப்பு வடிவங்களை ஒயிலரின் படவரைமுறை மூலம் அமைக்க முடியாது. ஆனால் வென் வரைபடம் மூலம் எல்லா எடுப்புக்களும் விளக்கலாம். வென்படத்தால் தனி எடுப்புக்கள், சம எடுப்புக்கள் போன்றவற்றைக் காட்டலாம். 7. வாதங்கள் வாய்ப்பை சோதிக்க 'ஒயிலர்' படவிளக்க முறைகள் தெளிவாக பயன்படுத்தமுடியாது. ஆனால் வென்வரைபடங்கள் வாதங்களின் வாய்ப்பை ஆராயப் பயன்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

அத்தியாயம் - 08 (அ) குறியீட்டு அளவையியல்
குறியீடுகளினால் அமைக்கப்பட்ட அளவையியல் குறியீட்டு அளவையியல் எனப்படும். குறியீட்டுமொழி அளவையியலுக்கென உருவாக்கப்பட்ட செயற்கை மொழியாகும். இது ஓர் பொது மொழி எனக்கூறுவது பொருத்தமுடையது ஆகும், ஏனெனில் நாம் சாதாரண மொழியில் ( ஒவ்வொருடைய பேச்சு மொழியான தமிழ், ஆங்கிலம், சிங்களம், வேறு மொழிகள்) உள்ள வாதங்களுக்கும், வாக்கியங் களுக்கும் சுருக்கத்திட்டம் கொடுத்து அளவையியலுக்கென உருவாக்கப்பட்ட செயற்கை மொழிக்கு இடம் மாற்றும் போது குறியீட்டு அளவையியல் உருவாகின்றது. (உ - ம்) (1) தமிழ் : நான் கடுமையாகப் படித்தால் பரீட்சையில்
சித்தியடைவேன்.. சு.தி P : நான் கடுமையாகப் படிப்பேன்
0 : பரீட்சையில் சித்தியடைவேன் (P -Q)
(2) ஆங்கிலம்: If I study hard will pass the examination
P: I study hard
(P-->0) Q: I will pass the examination. (1) தமிழ், (2) ஆங்கில இரு வாக்கியங்களுக்கும் (P -Q) எனும் ஒரு குறியீட்டுப்பொது மொழி அமைவதைக் காணலாம்.
- ஒரு குறியீட்டுக்கூட்டுவாக்கியம், ஒன்றிலே மாறிகள், மாறிலிகள், அடைப்புக்குறிகள் எனும் மூன்று பகுதிகள் காணப்படும். இவைபற்றி பின்னர் விரிவாக ஆராயப்படும். இதற்கு முதல் எமது சாதாரணமொழியில் காணப்படும் குறைபாடுகளையும் குறியீட்டு அளவையியலின் பயன்பாடுகளையும் விளங்கிக் கொள்ளுதல் வேண்டும். சாதாரண மொழியிலே காணப்படும் குறை பாடுகளை குறியீட்டு அளவையியல் நிவர்த்தி செய்யும்போது அது குறியீட்டு
அளவையியலின் பயன்பாடாக அமைகின்றது. (ஆ) சாதாரண மொழியின் குறைபாடுகளும் குறியீட்டு
அளவையியலின் பயன்பாடுகளும். (1) சாதாரண மொழியிலே ஈரடி இயல்பு தெளிவின்மை என்பன காணப்படுகின்றது. ஈரடி இயல்பு என்பது இரண்டு கருத்துக்கள் காணப்படுவது ஆகும். இரண்டு கருத்துக்கள் காணப்பட்டால் தெளிவின்மை காணப்படும். இதுவே சாதாரண மொழியின் முதலாவது குறைபாடு ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 163
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 84
(உ - ம்) சாந்தியும் சுகந்தியும் கொழும்பிற்குச் சென்றனர். மேற்கூறியகூற்றிலே இருவரும் கொழும்பிற்கு சேர்ந்து சென்றார்கள் எனும் கருத்தும் கொழும்பிற்கு தனித்தனியாகச்சென்றார்கள் எனும் இரண்டு கருத்துக்கள் காணப்படுகின்றது. சாதாரண மொழியிலே காணப்படுகின்ற ஈரடி இயல்பு தெளிவின்மை என்பவற்றைத் தவிர்த்து அளவையியலுக்கென ஓர் உயர்மட்ட மொழியை அமைக்க குறியீடுகள் பயன்படுகின்றது. இதுவே குறியீட்டு அளவையியலின் முதலாவது பயன்பாடு ஆகும். (உ - ம்) (P^Q) - இவ்வாறு குறியீட்டில் அளவையியலைக் கற்றால் ஈரடி இயல்பு தெளிவின்மை ஏற்படாது .ஏனெனில் P, Q என்பவ ற்றுக்கு கருத்து இல்லை. இவை வடிவங்கள் ஆகும்.
(2) சாதாரண மொழியில் வாதங்கள் வாக்கியங்கள் என்பவற்றினை வெளிப்படுத்தினால் பொருளில் அக்கறை கொள்ள முடியுமே தவிரவாதத்தின் நியமத்தில் அக்கறை கொள்ளமுடியாது. இதுவே பேச்சு மொழியின் இரண்டாவது குறைபாடு ஆகும். (உ - ம்) (1) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும்.
(2) அவன் படிப்பான் என்றால்பரீட்சையில் சித்தியடைவான் இரண்டு உதாரணங்களும் மொழியில் வேறுபட்ட இரு கருத்துக்களைக் கொண்டிருக்கின்றது.
சாதாரண மொழியில் வாதங்கள், வாக்கியங்கள் என்பவற்றை வெளிப்படுத்தினால் பொருளில் அக்கறை கொள்ளமுடியுமே தவிர வாதத்தின் நியமத்தில் அக்கறை கொள்ள முடியாது எனும் குறைபாட்டை நிவர்த்தி செய்து வாதங்கள், வாக்கியங்கள் என்பவற்றின் நியமத்தில் அக்கறை கொள்ள குறியீடுகள் பயன்படுகின்றன.இதுவே குறியீட்டு அளவையியலில் இரண்டாவது பயன்பாடு ஆகும்.
(உ - ம்) P என்பதை மழை பெய்யும், அவன் படிப்பான் என்பவற்றுக்கும் Q வை நெல் விளையும், பரீட்சையில் சித்தியடைவான் என்பதற்கும் பிரதியிடுவதன் மூலம் (P - Q) எனும் ஒரே நியம வாக்கியத்தைப் பெற குறியீட்டு அளவையியல் பயன்படுகின்றன.
(3) சாதாரண மொழியின் மூலம் வாதங்களையும் வாக்கியங்களையும்
சிக்கனமாகவும் விரைவாகவும் வெளிப்படுத்த முடியாது இதுவே இயற்கை மொழியின் மூன்றாவது குறைபாடு ஆகும்.
சாதாரண மொழியிலே காணப்படுகின்ற விரைவின்மை சிக்கனமின்மை,எனும் குறைபாடுகளை நிவிர்த்தி செய் து வாதங்களையும் வாக்கியங்களையும் விரைவாகவும் சிக்கனமாகவும்
அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் 1 (164)
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

|
வெளிப்படுத்த குறியீட்டுஅளவையியல் பயன்படுகின்றது. இதுவே குறியீட்டு அளவையியலின் முன்றாவது பயன்பாடு ஆகும்.
இனி நாம் ஒரு குறியீட்டுமொழியையும் (அதாவது அம்மொழியின் குறியீடுகள், பதங்கள், வாக்கியங்கள் ) என்பவற்றையும் அம்மொழியில் அமையும் வாதங்களின் வாய்ப்பினைத் துணிவ தற்கு நாம் பயன்படுத்தும் அனுமான விதிகளையும் கற்போம்.
சாதாரண தமிழில் அமைந்தவாதங்களை எமது குறியீட்டு மொழிக்கு
பெயர்த்து அவற்றின் வாய்ப்பினை பரீட்சித்தல் வேண்டும். இதற்கு குறியீட்டு மொழி ஒன்றை அமைத்தல் வேண்டும்.
(இ) உய்த்தறிவு முறை முதலெடுப்பு (உய்த்தறி) முறைகளின் இயல்பு
உய்த்தறிவுமுறை கேத்திரகணிதமுற்ை எனவும் அழைக்கப் படும். எல்லாக் காலங்களிலும் உய்த்தறிவு முறைக்கு பிரதான எடுத்துக்காட்டாக இருந்தது. இயூக்கிளிட்டின் கேத்திர கணிதம் ஆகும். ஓர் உய்த்தறிவுமுறை எனும் அளவில் இயூக்கிளிட்டின் முறை நவீன உய்த்தறிவு முறைகள் சில போல திட்டவட்ட மானதல்ல.அன்றியும் இயூக்கிளிட்டின் முறை கேத்திர கணிதம் பற்றியதே ஆகும். நவீன அளவையியலில் வரும் முதலெடுப்பு முறைகள் சற்றேனும் விதி வழுவாத முறையில் அமைக்க பபடடவை ஆகும. -
17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பஸ்கோல் (Pascal) எனும் கணித அறிஞர் பூரணமான கேத்திரகணித முறையில் யாவற்றுக்கும் வரைவிலக்கணம் தரப்பட்டிருப்பதோடு யாவும் நிறுவப்பட்டி ருக்கும்
என கருதினார். ஆனால் இவர் இவ்வாறு கருதியது தவறானது
ஆகும். ஏனெனில் இந்தக் குறிக்கோளை s 94 GOL LLIQUIDL). ULU FT gh! என்பது வெளிப்படையாகும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு முறையிலும் அம்முறையுள் பூர்வ பதங்கள் , முதலெடுப்புக்கள் எனும் சிலவற்றை அமைத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
எந்தப் பதத்திற்கும் வரைவிலக்கணம் தரும் போது பிற பதங்களை பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதால் இறுதியில் வரைவிலக்கணம்தராத சில பதங்களை ஏற்றுக்கொள்வது தவிர்க்க முடியாதது ஆகும். அவ்வாறான பதங்கள் பூர்வ பதங்கள் எனப்படும். எனவே ஒவ்வொரு உய்த்தறிவு முறையும் அம்முறையின் பூர்வ பதங்கள் எனச் சிலவற்றைக் கொண்டிருக்கும். (உ-ம்) இயூக்கிளிட் கேத்தர கணிதத்தில் புள்ளி ஓர் பூர்வபதமாகும். ஓர் முறையில் வரும் பூர்வ பதங்களும் வரைவிலக்கணங்களும்
இயல்பாக தெளிவாக்கக் கூடியதாக இருக்க வேண்டியதில்லை."
|அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 65 ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 85
எந்த வாக்கியத்தின் நிரூபணமும் பிற வாக்கியங்களின் உண்மையைச் சார்ந்து அமைவதினால் ஒரு முறையின் எல்லா வாக்கியங்களையும் நிறுவுதல் சாத்தியமில்லை.அவ்வாறான எடுப்பு க்கள் முதலெடுப்புக்கள் எனப்படும். இதனால் ஒவ்வொரு உய்த்தறிவு முறையின் ஆரம்பத்திலேயே முதலெடுப்புக்கள் என சிலவற்றை ஏற்றுக் கொள்ள வேண்டும்.
- இயூக்கிளிட் அவருடைய ( Elements) எனும் நூலின் கேத்திர கணிதத்தை விருத்தி செய்தவற்றை உதாரணமாய் நோக்குவோம். இந்நூலின் முதற் பாகத்தில் இருபத்திமூன்று வரைவிலக்கணங்களையும் ஐந்து ஒப்புகோள்களையும் - ஐந்து பொதுக் கருத்துக்களையும் இயூக்கிளிட் பயன்படுத்துகிறார். இவர் பயன்படுத்திய ஒப்புகோள்களும், பொதுக்கருத்துக்களும் இயூக்கிளிட் டின் முதலெடுப்புக்களாகும்.
முதலெடுப்புக்களும் வெளிப்படையுண்மைகளாக இருக்க வேண்டும் என்பது இல்லை. முதலெடுப்புக்கள் அவை இடம் பெறும் முறையில் நிறுவப்படாது ஏற்கப்பட்ட வாக்கியங்கள் ஆகும். அவை வெளிப்படையாக எவருக்கும் உண்மையெனத் தெரிய வேண்டும் என்பதில்லை. ஒருமுறையில் முதலெடுப்பாய் ஏற்கப்படுவது பிறிதோர் முறையில் தேற்றமாய் வருதலையும் அது அங்கு நிரூபிக்கப்படுவதையும் காண்க.
உய்த்தறிவு முறையில் இசைவும் முழுமையும்.
ஒரு உய்த்தறிவுமுறையிற் கூறப்படும் எந்த இரு வாக்கிய ங்களும்: ஒன்றோடொன்று முரண்படாது இருப்பின் அது இசைவுடையதாகும். அதாவது 1 ஒன்றிற்கொன்று முரண்படும் எந்த இரு வாக்கியங்களை எடுத்துக்கொண்டாலும் குறைந்தது அவற்றுள் ஒன்றையாவது அந்த முறையின் முதலெடுப்புக்கள் அனுமான விதிகள் என்பவற்றால் நிறுவமுடியாது இருத்தல் வேண்டும்.முரண்படும் எந்த இருவாக்கியங்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் அவற்றில் யாதேனும் ஒன்று அம்முறையில் நிறுவக்கூடியதாக இருக்கும் பட்சத்தில் அம்முறை முழுமையுடை யதாகும். ஒரு முறையின் இசைவு, முழுமை பற்றிய பிரச்சனைகள் அவ்உய்த்தறிவு முறையின் உட்பிரச்சனையல்ல. அம்முறையை ஆராய்கின்ற அதீதகொள்கையின்பாற்படுவன இப்பிரச்சனைகள் ஆகும்.
முதலெடுப்பு முறைக்கொள்கை ஒன்றை அமைக்கும் போதும் அதன் பூர்வபதங்களையும் பூர்வ வாக்கியங்களையும் பற்றித் தீர்மானம் செய்யும் போதும் அக்கொள்கையை விருத்தி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 I166)
ஆசிரியர் கே, கேசவன்

செய்கையில் வேறு என்ன கொள்கைகள் கற்பிதம் செய்யப்படுகின்றது என்பதை விளங்கிக் கொள்வது முக்கியமாகும்.
(உ-ம்) (1) கணிதத்தை முதலெடுப்பு முறையாக விருத்தி செய்யும் போது அளவையியலும் தொடைக் கொள்கையும் எடு கோள்களாய் கொள்ளப்படுகின்றன.
(உ-ம்) (2) பெளதீகம், உளவியல் ,பொருளியல் போன்ற துறைகளில் முதலெடுப்புமுறையைப் பயன்படுத்துவோர் அளவை யியல், தொடைக்கொள்கை, கணிதம், ஆகியவற்றை எடுகோளாய் எடுப்பர்.
இவ்வாறு பிற கொள்கைகளை எடுகோளாக கொள்வதினால் அவ்வாறு எடுத்துக் கொள்ளப்படும் கொள்கைகளில் விளக்கப்பட்டு ள்ள பதங்கள் மீண்டும் வரைவிலக்கணம் செய்யப்படவோ பூர்வபதங்களாகக் கொள்ளப்படவோ வேண்டிய அவசியம் இல்லை.
(உ-ம்) பெளதீகவியல் எண் எனும் கருத்து வரும் போது அதனை பெளதீக முதலெடுப்பு முறையின் பூர்வ பதம் என்று கொள்ள வேண்டியது இல்லை. ஏனெனில் எடுத்துக் கொள்ளப்படும் துறைகளுள் ஒன்றான கணிதத்தில் இது ஏற்கனவே விளக்கப்பட்டிருக்கும். இசைவு, முழுமை எனும் இரண்டு கருத்துக்களை அறிவது பயன்தருமாகும்.
இயற்கை உய்த்தறிவு முறையின் அடிப்படையில் அமைந்த ஓர் உய்த்தறிவு இங்கு உய்த்தறிவு முறையாக விருத்தி செய்யப்படுவது அளவைமுறையாகும். அளவைமுறையைக் கற்பதால் இவ்வறிமுகத்திற் கூறப்பட்டுள்ளனவற்றை தெளிவாக LDITGOOI6) liff J56il விளங்கிக் கொள்ள உதவும். இங்கு குறியீடுகள் பதங்கள், வாக்கியங்கள், அனுமான விதிகள் போன்றவை எவ்வாறு ஒரு முறையில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றது என்பதைக்கண்டு கொள்ளலாம். நாம் இங்கு காணப்பேர்கும் அளவைமுறை இயற்கை உய்த்தறிவு முறை என அழைக்கப்படும். முதலெடுப்பு முறையின் மூல அம்சங்கள் அனைத்தும் இதில் வெளிப்படையாக காணப்படாதது. அதாவது இயற்கை உய்த்தறிவு முறையிலே வெளிப்படையாகக் கூறப்பட்டுள்ள முதலெடுப்புக்களைக் காண முடியாது.
இயற்கை உய்த்தறிவு முறையை தெரிந்திருப்பதன் காரணம் மாணவர்களுக்கு வாய்ப்பான அனுமானங்களைப் பெறும் முறைகளைப் பயிற்றுவதே ஆகும். இம்முறையைக் கையாள்வதன் மூலம் சாதாரண மொழிகளைக் குறியீட்டில் அமைக்கவும் குறியீட்டு வாக்கியங்களை தமிழுக்கு மாற்றவும் இலகுவாக்கும் என்பதே ஆகும்.
|அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் ! 167 ஆசிரியர் க. கேசவன்

Page 86
(ஈ) அளவையியல் மாறிகள்
இங்கு உறுதியான வாக்கியங்கள் மட்டுமே எடுத்துக் கொள்ளப்படும் மாறும் பெறுமானத்தைக் கொண்டிருப்பதோடு வாக்கியங்களுக்குப் பதிலாக நிற்கும் ஒரு வகைக்குறியீடு அளவையியல் மாறிகள் எனப்படும். மாறிகள் தமது கருத்தை இடத்திற்கிடம். மாற்றி கொள்ளும் எப்போதும் ஒரே பெறுமானத்தைக் கொண்டிருக்க மாட்டாது.
குறியீட்டு அளவையியல் வரலாற்றில் A, B, C, D.......Z வரையுள்ள ஆங்கில எழுத்துக்கள் மாறிகளாகப்பயன்படுத்தப்பட்டது - ஆனால் எமது பாடத்திட்டத்தில் அமைந்திருக்கும் மாறிகள் P. Q, R, S.......Z வரையுள்ள எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுதல் வேண்டும். இம் மாறிகள் முடிவடைந்து விட்டால் P1,P2 ,P3 ..... Pn எனவும்Q1, 22, 23 எனவும் R1, R2, R3 எனப்பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும். மாறிகளைக் கொண்டு சுருக்கத்திட்டம் அமைக்கும் போது எளிய வாக்கியங்கள் அனைத்தும் விதி வாக்கியம் எனும் நியதியைப் பின்பற்றிக் கொள்ள வேண்டும். இரண்டு அல்லது - இரண்டிற்குமேற்பட்ட வாக்கியங்களாக பிரிக்கமுடியாதவை எளியவாக்கியம் எனப்படும். எடுப்பு நுண்கணிதத்தில் எளிய வாக்கியங்கள் விதிவாக்கியம் எனும் நியதி பின்பற்றப்படும்
(உ - ம்) (1)மல்லிகை அழகானது எனின் அது அழகானது ஆகும்.
சுஃதி :P : மல்லிகை அழகானது (2) மழை பெய்யவில்லை ஆயின் கிரிக்கெட் போட்டி
நடைபெறும். சு.தி :P :மழை பெய்யும் Q:கிரிக்கெட் போட்டி நடைபெறும்.
(3) அரிசியின் விலை அதிகம் ஆயின் பாண் சாப்பீடுவீர் ஆனால் சோறு
சாப்பிட மாட்டீர். சு.திP: அரிசியின் விலை அதிகம். S: பாண் சாப்பிடுவீர்
U: சோறு காப்பிடுவீர்.
சுருக்கத்திட்டம் அமைக்கும் போது (P,S,U) என இடையில் சில மாறிகளை தவிர்த்தும் அமைக்கலாம். ஆனால் இடையில் விட்ட மாறிகளை பின்னர் பிரயோகிக்கக்கூடாது. எனினும் நாம் P,Q,R .....Z எனும் ஒழுங்கிலே தான் சுருக்கத்திட்டம்
அமைக்க வேண்டும். சு.தி. P: அரிசியின் விலை அதிகம். Q: பாண் சாப்பிடுவீர்
R: சோறு சாப்பிடுவீர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் 1
268
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

(4) கொழும்பில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் எனின் தொடர்ந்து மழை
வரும் ஆயின் வெள்ளம் வரும். சு.தி : P1 கொழும்பிலுள்ள மதவுகள் மூடப்படும் Q1 தொடர்ந்து
மழை வரும் R1 "வெள்ளம் வரும்.
P யில் இருந்து Z வரையுள்ள ஆங்கில எழுத்துக்கள் பாவித்து முடிந்த பின்பு P1, Q1, R1 ... Z1 வரை பயன்படுத்த வேண்டும். P1, ... Z1முடிந்த பின்பு P2 ....... Z2 வரை பயன்படுத்த
வேண்டும். இவ்வாறு தொடர்ந்து P3... Z3 எனத் தொடரும். (5) அளவையியல் இலகு ஆயின் கணிதம் இலகு அளவையியல் இலகு
ஆகவே கணிதம் இலகு. (சு- தி). P: அளவையில் இலகு 0 : கணிதம் இலகு. (6) கணிதம் இலகு ஏனெனில் அளவையியல் இலகு ஆயின் கணிதம்
இலகு என்பதோடு அளவையியல் இலகு. முறை (1)சு. தி P: அளவையியல் இலகு Q: கணிதம் இலகு
(2) சு. தி P: கணிதம் இலகு 0: அளவையியல் அலகு. (7) அறிவும் முயற்சியும் இருந்தால் முன்னேறலாம் எனவே அறிவிருக்கும்.
சு. தி : P : அறிவிருக்கும் Q: முயற்சியிருக்கும் R: முன்னேறலாம்.'' (8) அறிவும் முயற்சியும் இருந்தால் முன்னேறலாம் ஆகவே வாழ்க்கையில்
உயர்வடையலாம். முறை 1: சு. தி :P : அறிவும் முயற்சியும் இருக்கும்.
Q :
வாழ்கையில் உயர்வடையலாம். 2 சு. தி : P : அறிவிருக்கும் Q: முயற்சியிருக்கும்
. R : உயர்வடையலாம். (9) காந்தனும் ரவியும் திறமைசாலிகள் ஆயின் காந்தனும் ரவியும்
நண்பர்கள் ஆவர்.
முறை 1: சு.தி P: காந்தனும் ரவியும் திறமை சாலிகள்
Q: காந்தனும் ரவியும் நண்பர்கள் 2: சு.தி P: காந்தன் திறமைசாலி Q: ரவி திறமைசாலி
R: காந்தனும் ரவியும் நண்பர்கள். காந்தனும் ரவியும் நண்பர்கள் எனும்வாக்கியத்தை எப்போதும் இரண்டாகப் பிரிக்கமுடியாது என்பதை கவனிக்கவேண்டும். எனவே இரண்டாகப் பிரிக்கமுடியாத வாக்கியங்கள் பின்வருவன ஆகும். (உ-ம்) (1) சாந்தியும் வசந்தியும் நண்பர்கள் ஆவர்.
(2) A யும் B யும் சகோதரர்கள் (3) A யும் B யும் ஒருமித்த கருத்துடையவர்கள் (4) கீரியும் பாம்பும் ஒன்றுக்கொன்று எதிரிகள்.
(5) X உம் Yஉம் பங்காளிகள். (10) ஒட்சிசன் இருக்கின்றது எனின் செவ்வாயில் உயிர் உண்டு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 - (169
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 87
செவ்வாயில் ஒட்சிசன் இருக்கின்றது எனின் வெள்ளியில் உயிர் உண்டு.சு.தி. P: செவ்வாயில் ஒட்சிசன் இருக்கின்றது
Q: செவ்வாயில் உயிர்கள் உண்டு.
R : வெள்ளியில் உயிர் உண்டு.. மாறிகளின் உண்மைப் பெறுமானம் காணல்:
அளவையியலில் ஆராயப்படும் உறுதியான வாக்கியங்கள் உண்மை அல்லது பொய்ப் பெறுமானத்தைப் பெறும். இதனால் வாக்கிய மாறிகளே முதலில் உண்மையட்டவணையைப் பெறும். இன்று மழை பெய்யும் எனும் வாக்கியத்தை எடுத்துக் கொண்டால் இன்று மழை பெய்தால் அவ்வாக்கியம் உண்மையாகவும் மழை பெய்யாது விட்டால் பொய்யாகவும் இருக்கும். எனவே இதற்குப் பதிலாக வருகின்ற P எனும் மாறியும் உண்மை அல்லது பொய்ப் பெறுமானத்தைப் பெறும். (உ - ம்) (1) P : இன்று மழை பெய்யும்.
T
நடை பாதை சறுக்கும் எனும் வாக்கியத்தை எடுத்துக்கொண்டால் நடந்து செல்லும் போது நடை பாதை சறுக்கினால் இவ்வெடுப்பு உண்மையாகும். நடைபாதை சறுக்காது விட்டால் இவ்வெடுப்பு பொய்யாகும். எனவே இதற்குப் பதிலாக வருகின்ற Q எனும் மாறியும் உண்மை அல்லது பொய்ப் பெறுமானத்தைப் பெறும். (உ-ம்) (2) Q: நடைபாதை சறுக்கும்.
இப்போது நாம் தனி ஒரு மாறியின் உண்மைப் பெறுமானம் ( அது P ஆகவோ அல்லது Q ஆகவோ அல்லது எந்த மாறியாகவும் இருக்கலாம்) T,F எனும் இரு பெறுமானங்களே அமையும் எனக் கண்டுள்ளோம். இனி இரு வேறு தனி மாறிகளை சேர்த்து ஓர் கூட்டுவாக்கியமாக வரும் போது நான்கு உண்மைப் பெறுமானங்கள் வருவததைக் காணலாம். (உ-ம்) (3) மழை பெய்யும் எனின் நடை பாதை சறுக்கும்.
E E LL
- - பு
மேற்கூறிய செய்முறைகளில் இருந்து மாறிகளின் உண்மைப் பெறுமானத்தைக் காண ஓர் கணித விதியை உருவாக்கிக் கொள்ள
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 170
ஆசிரியர் :க, கேசவன் -

முடியும். ஒரு மாறி ( P...... Z எதுவும் இருக்கலாம்) இருந்தால் உண்மை, பொய் எனும் இரண்டு பெறுமானங்கள் அமையும் பின்னர் ஒவ்வொருமாறியும் அதிகரிக்க இரண்டால்ப்பெருக்கி (P - Q 2 x 2 = 4, P - Q-R 2 x 2 x 2 = 8 ) மாறிகளின் உண்மைப் பெறுமானத்தை கண்டு கொள்வோம். P, Q, R,S வரும் எனின் ( 2 x 2 x 2 x 2 ) பதினாறு பெறுமானங்கள் வரும். ஒரு மாறியின் உண்மைப் பெறுமானம்.
(அ) (ஆ) (இ)
(உ)
(ஈ)
| மு
DTE
T
T
T|T
|n
ஒரு மாறி இருந்தால்T,Fஎனும் இரு பெறுமானங்கள் மட்டுமே அமையும். இரண்டு மாறியின் உண்மைப் பெறுமானம்.
(அ)
(ஆ) (இ) (ஈ) (உ) PIQ) Q Ps (PR) (Tz) TIT|T ITTTT | TFF TT |FT FT F| | F|T ||T FIFTFT FIT |
FT FIFFFFFFF) இரண்டு மாறிகள் இருந்தால் அது P ....... Z எதுவாகவும் இருக்கலாம். (2 x 2) நான்கு பெறுமானங்கள் அமையும். முன்று மாறிகளின் உண்மைப் பெறுமானம்.
(அ)
(ஆ) (P|Q RU|V WP| S (U | T| T| T) T|T TIT| T|T
T| T| F T|T (FT T F) T| F T T| FITT FIT) TI E F
TIF IF
TF IF F| T| T FIT (FIT (T F| T FIFT FIFIT (F| F) E TIFF ITIFET | FIL FILE FIFIFFIF IF
(இ)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 88
இதே போன்று ஒரு அளவையியல் வாக்கியத்தின் மறுப்பும் இரு உண்மை மதிப்புக்களைப்பெறும். இவ் மதிப்பு அவ்வாக்கியத்தின் உடன்பாட்டில் தங்கியுள்ளது. உடன்பாட்டு வாக்கியம் உண்மை எனின் மறுப்பு வாக்கியம் பொய்யாகும். உடன்பாட்டு வாக்கியம் பொய் ஆயின் மறுப்பு வாக்கியம் உண்மையாகும்.
P - P) எனவே
T/F) TF
P -P (FT
- P) P. அமைத்துக் கொள்ளலாம். இவ்விரு அட்டவணைகளையும் கொண்டே ஏனைய அட்டவணைகள் அமையும். இவ்மாறிகளின் பெறுமானங்க
ளைக் கொண்டு மாறிலிகளின் உண்மைப் பெறுமானம் அமையும். (உ) அளவையியல் மாறிலிகள்
மாறாப்பெறுமானத்தைக் கொண்டிருப்பதோடு நடை பேதங்களுக்குப் பதிலாக அமையும் குறியீடு அளவையியல் மாறிலிகள் எனப்படும். மாறிலிகள் கருத்தை இடத்திற்கிடம் மாற்றிக் கொள்வது இல்லை. எப்போதும் ஒரே பெறுமானத்தை கொண்டிருக்கும். - மாறிகளை மட்டும் கொண்டு கூட்டு வாக்கியங்களை அமைக்க முடியாது . கூட்டு வாக்கியங்களை அமைக்கமாறிலிகள் வேண்டும். +,- என்பன் கணிதமாறிலிகள் ஆகும். மறுப்பு மாறிலி ~, உட்கிடை மாறிலி -->, எதிர்உட்கிடை மாறிலி -, இரட்டை நிபந்தனை மாறிலி
, இணைப்பு மாறிலி ^ , உறழ்வு மாறிலி V என்பன அளவையியல் மாறிலிகள் ஆகும். (01) மறுப்பு மாறிலி : ~
வாக்கியங்களின் இன்மைகளை குறிப்பதற்காகப் பயன்படும் மாறிலி மறுப்பு மாறிலி அல்லது " இன்மைமாறிலி எனப்படும். அது இல்லை, அல்ல, அன்று, தவறு, பொய், பிழை, வராது என்பதற்காகப்பயன்படும். இவை வாக்கியத்தை மறுத்தால் மட்டுமே மறுப்புமாறிலியை பயன்படுத்திக் கொள்ளவேண்டும் என்பதை கவனித்தல் வேண்டும். (உ - ம்) (1) மழை பெய்யவில்லை
சு.தி P: மழை பெய்யும் ~P (2) மழை பெய்யவில்லை என்பது பொய்யாகும்.
சு. தி P: மழை பெய்யும்
~ ~P = P மழை பெய்யவில்லை என்பது தவறு இல்லை சு. தி P: மழை பெய்யும் ~ ~ ~ P = ~P மழை பெய்யவில்லை என்பது தவறு இல்லை என்பது உண்மையல்ல. - சு .தி P: மழை பெய்யும் ~ ~ ~ ~ P
அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் 1 (172
ஆசிரியர் :க, கேசவன் )

(5) அவன் அளவையியலில் கெட்டிக்காரன் மட்டும்
அல்ல தூற்றுவதிலும் கெட்டிக்காரன் சு.தி. P அவன் அளவையியலில் கெட்டிக்காரன் Q தூற்றுவதிலும் கெட்டிக்காரன். (P^ Q)
இங்கு அல்ல என்பதற்கு மறுப்பு வரமாட்டாது என்பதைக்
கவனிக்க வேண்டும். (6) அவன் பல்கலைக்கழகம் புகத்தவறினான்
சு. தி P : அவன் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். ~ P (7) மாணவர்கள் பரீட்சையில் தவறுகிறார்கள். சு.தி P மாணவர்கள் பரீட்சையில் தவறுகிறார்கள் . P. இங்கு தவறுகிறார்கள் என்பதற்கு மறுப்பு மாறிலி வராது என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். (8) நேர்மையற்றவர் வளமாய் உள்ளனர் ஆயின் அவன் நாணயமுடையவனும் நாணயமற்றவனும் ஆவான். சு.தி. P. நேர்மையற்றவர் வளமாய் உள்ளனர். 0: அவன்
நாணயமுடையவன் ((P -> (0 ^ ~ O)
(02) நிபந்தனை மாறிலிகள் : ஒரு கூற்றின் உண்மையானது இன்னு மோர் கூற்றின் உண்மையில் தொடர்புடையதாக காணப்படும் போது
பயன்படும் மாறிலி நிபந்தனை மாறிலி எனப்படும். இது உட்கிடை மாறிலி, இருபால் நிபந்தனை மாறிலி என்பவற்றைக் கொண்டிருக்கும். (அ) உட்கிடை மாறிலி ->
ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு பல காரணங்கள் இருப்பன
வற்றுக்கு பயன்படும் மாறிலி உட்கிடைமாறிலி அல்லது தருகை மாறிலி அல்லது ஈவு மாறிலி அல்லது போதிய நிபந்தனை மாறிலி எனப்படும். ஒரு காரியத்திற்குரிய பல காரணங்களைக் குறிக்க
பின்வரும் நடை பேதங்கள் பயன்படும்.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8)
சு. தி. P : சுனில் வருவான் O : அனில் வருவான். (Φ -ιb). சுனில் வருவான் எனின் அனில் வருவான். (P --> O) சுனில் வருவான்ஆயின் அனில் வருவான். (P-> 0) சுனில் வருவான் என்றால்அனில் வருவான். (P-> 0)
சுனில் வருவானானால் அனில் வருவான். (P-> 0) சுனில் வரின் அனில் வருவான். (P -> O) சுனில் வருவான் என்று தரப்படின் அனில் வருவான். (P -e O) சுனில் வருவான் என எடுத்துக்கொண்டால் அனில் வருவான். (P -> O) சுனில் வருவான் என எடுத்துக் கொள்ளுமிடத்து
அனில் வருவான். (P -> O)
|அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 173 ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 89
(9) சுனில் வருவான் எனும் நிபந்தனையின் பேரில் அனில்
வருவான்.
(P - 2) (10) சுனில் வருவான் என்பதால் அனில் வருவான். P - 0 (11) சுனில் வருவான் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் அனில்
வருவான்.
P-> 0 (12) X கூட Yகுறையும்.
சு. தி. P: X கூடும் Q: Y குறையும். (P - 2) (ஆ) எதிர் உட்கிடை மாறிலி :-
ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்குரிய கட்டாய காரணங்கள் உள்ள இடங்களில் பயன்படும் மாறிலி எதிர் உட்கிடை மாறிலி எனப்படும். ஒரு காரியத்திற்குரிய கட்டாய காரணங்களைக் குறிக்க பின்வரும் நடைபேதங்கள் பயன்படும்.
சு.தி. P : பிராண வாயு இருக்கும். Q: உயிர் வாழும். (உ-ம்) (1) பிராண வாயு இருந்தால் மட்டுமே உயிர் வாழும்.
(P - Q) = (0 --> P)
T) T|T
T TT. T|T F F TT F| FT
TF | F F TE
F T F
எமது பாடத்திட்டத்தில் (-) எதிர் உட்கிடை மாறிலி பயன்படுத்தப்படுவது இல்லை. இதனால் எதிர் உட்கிடை வரும் இடமெல்லாம் உட்கிடை மாறிலியை (-) பாவித்து மாறிகளை இடம்மாற்றி எழுதுதல் வேண்டும். அதாவது (P- Q) வரும் போது (0 - P) எனமாற்றுக ஏனெனில் எதிர் உட்கிடை மாறிலியின் உண்மையட்டவணைப் பெறுமானமும் (P - Q) - T,T, F, T) உட்கிடை மாறிலியின் உண்மையட்டவணைப்பெறுமானமும் (Q -> P) T,T,F,T) சமமாகும்.நிறுவல் உதாரணம் 1 ல் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(2) பிராண வாயு இருந்தால் மாத்திரமே உயிர் வாழும். (QP) (3) பிராண வாயு இருக்கும் ஆயினே உயிர் வாழும். (Q -> P) (4) பிராண வாயு இருக்குமானால் தான் உயிர் வாழும். (Q-> P) (5) பிராண வாயு இருக்கும் என்றால் தான் உயிர் வாழும். (Q–P) (6) பிராண வாயு இருக்கும் என எடுத்துக் கொண்டால் தான்
உயிர் வாழும்.
(0 - P) (7) பிராண வாயு இருக்கும் ஏனெனில் உயிர் வாழும். (0 --> P) (இ) இரு பால் நிபந்தனை மாறிலி , =
ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு ஒரு காரணம் உள்ள போது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
ஆசிரியர் :க, கேசவன் (1)

பயன்படும் மாறிலி இருபால் நிபந்தனை மாறிலி எனப்படும். ஒரு காரியத்திற்குரிய ஒருகாரணத்தைக்குறிக்க பின்வரும் நடை பேதங்கள். பயன்படும். (உ - ம்) (1) அவள் கணவனை இழந்தவள் ஆயின் விதவை என்ப தோடு அவள் கணவனை இழந்தவள் ஆயினே விதவை இதை இவ்வாறு கூறுவோம்.
அல்லது அவள் கணவனை இழந்தவள் ஆயின் ஆயினே விதவையாவாள் சு.தி. P: அவள் கணவனை இழந்தவள் Q: அவள் விதவை
' (P - Q) ^ (PQ) = (P - 2) உட்கிடை – எதிர்உட்கிடை- எனும் இரண்டும் சேர்ந்ததே
இருபால் நிபந்தனை > என்பதை விளங்கிக் கொள்ள வேண்டும். (03) இணைப்பு மாறிலி A , &
எல்லா உறுப்புக்களும் உண்மை என விதிக்கும் போது பயன்படும் மாறிலி இணைப்புமாறிலி எனப்படும்.எல்லா உறுப்புக்க ளும் உண்மையென விதிப்பதற்கு பின்வரும் நடைபேதங்கள் பயன்படும். சு. தி. : P :இன்று மழை வரும் Q: இன்று வெய்யில் வரும். (உ-ம்)
(1) இன்று மழை வரும் என்பதோடு வெய்யில் வரும்.(P^ Q) (2)இன்று மழை வரும் என்பதுடன் வெய்யில் வரும்.(PA Q) (3) இன்று மழை வரும் அத்துடன், வெய்யில் வரும். (P^ Q) (4) இன்று மழையும் வரும் வெய்யிலும் வரும். (P^ Q) (5)இன்று மழை வரும் ஆனால் வெய்யில் வராது. (P^ (6) இன்று மழைவரும் எனினும் வெய்யில் வராது. (P^ ~ 2) (7) இன்று மழை வரும் ஆயினும் வெய்யில் வராது. (P^~ Q) (8) இன்று மழைவரும் என்றாலும் வெய்யில் வராது. (P^~ Q) (9) இன்று மழை வரும் என எடுத்துக் கொண்டாலும்
வெய்யில் வராது.
(P^~ Q) (10) கார் வேகமாகச் சென்று மலையில் மோதியது (PA Q)
சு.தி P :கார் வேகமாகச் சென்றது Q: மலையில் மோதியது (11) இன்று மழை வரும் என்ற பொழுதிலும் வெய்யில்
வராது. "
(P^ ~ Q) 4 (04) உறழ்வு மாறிலிகள் : V, V
ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புக்களில் ஒரு உறுப்பு மட்டும் உண்மையென விதிக்கும் போது பயன்படும் மாறிலி உறழ்வு மாறிலி எனப்படும். உறுப்புக்களில் ஒன்றை உண்மை என விதிப்பதற்கு பின்வரும் நடை பேதங்கள் பயன்படும்.
< ? ? ? ?
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1175 - ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 90
ந g
(உ-ம்)
(1) ஒன்றில் இன்று கண்ணன் வருவான் அல்லது நாளை
வருவான் சு.தி
P: கண்ணன் இன்று வருவான் Q: அவன் நாளை
வருவான் (PV Q)
(2) அவள் விவாகம் செய்தால் அன்றி தொடர்ந்து படிப்பாள் சு.தி
P: அவள் விவாகம் செய்வாள் Q: அவள் தொடர்ந்து படிப்பாள் (Pv Q) = (~ P - Q) TTT
FT|T|T
FT|TF F| T|T
T F|TT, FIF (F
T F FF (3) கார் பிந்தினால் ஒழிய அவள் வகுப்பிற்கு வராள் சு. தி.
P: கார் பிந்தும் Q: அவள் வகுப்பிற்கு வருவாள்.
(PV ~ Q) (4) அவன் நல்லவன் அல்லது இவன் நல்லவன் ஆனால்
இருவரும் அல்ல. சு. தி. P: அவன் நல்லவன் Q: இவன் நல்லவன்.
(Pv Q) ^ ~ (P^ Q) = (Py Q) TT T F F TTT T Ft T T F T T T FF TT| F F T T T T F FT FT| T. F F F IFIT F FF FF F
குறிப்பு: உறழ்வு வாக்கியத்தின் பின்னால் இருவரும் அல்ல,
இரண்டும் அல்ல, அவர்களில் ஒருவரே அவ்வாறு செய்வர் என வரும்போது~ (P^ Q) குறியீடு இடுக. இவ்வாறுகுறியீடு இடுவது கூறப்படும் மொழிக்கு அல்ல. பலத்த உறழ்வு மாறிலியின்( F, T, T, F) உண்மையட்டவணைப் பெறுமானம் எடுப்பதற்கே என்பதனை மாணவர்கள் விளங்கிக் கொள்ள வேண்டும். மாறிலிகளின் உண்மைப் பெறுமானம் காணல்
- மாறிலிகளின் உண்மைப்பெறுமானங்களை நிர்ணயிக்கும் போது ஒவ்வொரு மாறிலிகளது வரைவிலக்கணங்களைப்(பண்பு) பயன்படுத்துவதோடு மாறிகளின் இருபக்கப் பெறுமானங்களையும் பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.
ஒருவாக்கிய மாறிகளது உண்மைப் பெறுமானத்தில்
அளவையியலும் விஞ்ஞான முறையும் 1 (176)
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

மாறிலிகளின் உண்மைப் பெறுமானம் சார்ந்திருப்பது மாறிலிகளது உண்மைச் சார்பு ஆகும். ஒரு அளவையியல் வாக்கிய மாறியின் உண்மைப் பெறுமானம் இன்னுமோர் வாக்கிய மாறியின் உண்மைப் பெறுமானத்தில் தங்கியிருக்கும் போது அம்முன்னைய வாக்கிய மாறி பின்னைய வாக்கிய மாறியின் உண்மைச் சார்பு எனப்படும். ~ P யின் உண்மைப் பெறுமானம் P யின் உண்மைப் பெறுமானத்தில் சார்ந்திருக்கும் போது ~ P, P யின் உண்மைச் சார்பு ஆகும். இணைப்பு மாறிலி : A இது எல்லா உறுப்புக்களும் உண்மை என விதிக்கும் போது பயன்படும். இவ்வரைவிலக்கணத்தைக் கொண்டும் மாறிகளின் இருபக்கப் பெறுமானங்களைக் கொண்டும் இணைப்பு மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானம் பின்வருமாறு அமையும்.
(P^ Q) TTT TFF FFT FFFF உறழ்வு மாறிலிகள் : V, V.
உறுப்புக்களில், ஆகக் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மை என விதிப்பது மெல்உறழ்வு எனப்படும். மெல்உறழ்வின் இவ்வரை விலக்கணத்தைக் கொண்டும் மாறிகளின் இருபக்கப் பெறுமான ங்களைக் கொண்டும் மெல் உறழ்வின் உண்மையட்டவணைப் 'பெறுமானம் பின்வருமாறு அமையும்.
(P v Q) T T T T TF FTT FFF'
உறுப்புக்களில் ஒன்று மட்டும் உண்மையென விதிப்பது வல்லுறழ்வுஎனப்படும். வல்லுறழ்வின் இவ்வரைவிலக்கணத்தைக் கொண்டும் மாறிகளின் இருபக்கப் பெறுமானங்களைக் கொண்டும் வல்லுறழ்வு மாறிலிகளின் உண்மையட்டவணைப் பெறுமானம் பின்வருமாறு அமையும், .
(Pv Q) TFT T TF F TT FFF
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 91
நிபந்தனை மாறிலிகள் -> , , **
ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு பல காரணங்கள் உள்ளபோது பயன்படுவது உட்கிடை மாறிலி எனப்படும். இவ்வரைவிலக்கண த்தைக் கொண்டும் மாறிகளின் இருபக்கப் பெறுமானங்களைக் கொண்டும்உட்கிடைமாறிலியின் உண்மை யட்டவணைப் பெறுமானம் பின்வருமாறு அமையும் (P -> 0)
T T T
T F F F T T
E T E
ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்குரிய கட்டாய காரணங்களைக் குறிப்பிடும் போது பயன்படும் மாறிலி எதிர் உட்கிடை மாறிலி எனப்படும். இதன் உண்மைப் பெறுமானத்தை உட்கிடை மாறிலியின் உண்மைப பெறுமானத்தில் இருந்து பெற்றுக் கொள்ளலாம்.
(P <— O) T T T . T T. R. F F. T F T F ஒரு காரியம் ஏற்படுவதற்கு ஒரு காரணம் உள்ள போது பயன்படும்மாறிலி இருபால் நிபந்தனைமாறிலி எனப்படும். இதன் உண்மைப் பெறுமானத்தை உட்கிடைமாறிலி, எதிர்உட்கிடை மாறிலி, என்பவற்றைச் சேர்ப்ப்தன் மூலம் பெற்றுக் கொள்ளலாம்.
By616v. (P – Q) (P = O) = (P = Q)
T T TIT T T T T T T
T F FFT T F T FIF F T TFF F. T FFT
F T FITF T F F. T. F.
நாம் மேலே ஆராய்ந்த அளவையியல் மாறிகள் மாறிலிகள் என்பவற்றின் உண்மைப் பெறுமானத்தை கொண்டு வாதங்களை வாய்ப்புப் பார்க்கும் அடிப்படை உண்மையட்டவணை அத்தியாயம் 11 ல் தொகுத்துத் தரப்பட்டுள்ளது.
(ஊ) அடைப்புக்குறிகளும் ஆகவே யின் குறியீடும்.
அடைப்புக்குறிகள் எமது குறியீட்டு முறையின் ஓர் பகுதியாகும். வேண்டிய இடத்து எமது குறியீட்டுத் தொடர்களை தொகுதிகளாக்குவதற்கும் சாதாரணமாய் எழுதும் போது பிரயோகிக்க ப்படும் நிறுத்தல் அடையாளங்கள் போலவும் இவை பயன்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 178 ஆசிரியர் :க, கேசவன்"
 

எமது குறியீட்டு மொழியில் வரும் கூட்டு வாக்கியம் ஒவ்வொன்றினதும் இரு மருங்கிலும் அடைப்புக்குறிகள் இடம் பெறும் என்பது விதியாகும். அடைப்புக்குறிகள் குறியீட்டு அளவையியலில் பின்வரும் காரணங் களினால் அவசியமாகின்றது (1) ஒரு கூட்டு வாக்கியத்தின் மறுப்பைக் காட்டுவதற்கு அடைப்புக்குறி
அவசியமாகின்றது. (P- Q) வின் மறுப்பு ~ (P -> Q) ஆகும். அடைப்புக்குறியிடுவதில்லை எனின் ~ P - Q என வரும். இது
தவறாகும். (2) குறியீட்டு வாக்கியங்களின் தெளிவான பொருளை வரையறுக்க
அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுகின்றன. (அ) { P> [(Q-R)- S]} (ஆ) [( P– Q) --(R- S)] (இ) {[( P– Q) –R)- S}
மேலே உள்ள அடைப்புக்குறிகளே (அ) (ஆ) (இ) என்பவற்றை வேறுபடுத்திக் காட்டுகின்றன என்பதை மாணவர்கள் அவதானித்தல் வேண்டும். குறியீட்டுத் தொடர்களில் ஈரடி இயல்பும் மயக்கமும் ஏற்படுவதை தவிர்க்க அடைப்புக்குறிகள் உதவுகின்றன. அடைப்புக்குறிகளை பிரயோகிக்காது விடுவதினால் தெளிவின்மையேனும் மயக்கமேனும். எற்படாதெனின் அடைப்புக்கு றிகளைப் பிரயோகிக்காது விடலாம்.
(3) எடு' கூற்றையும் முடிவையும் வேறுபடுத்தி காட்டப் பயன்படும்.
(உ-ம்) (P– Q). (Q -R). (R– (SVT) ஃ P
வழமையான ஒரு வாதத்தின் முடிவிற்கு முன்னர் வரும் ஆகவே (அல்லது எனவே) எனும் சொல்லுக்கு குறியீடாய் ஃ எனும் வழமையான அடையாளத்தை பயன்படுத்துவோம். குறியீட்டு அளவையியலில் பின்வரும் அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்த ப்படுகின்றன.
(1) சாதாரண அடைப்பு (0) (2) சதுர அடைப்பு [] (3) இரட்டை அடைப்பு {}
இந்த ஒழுங்கில்த் தான் அடைப்புக்குறி பயன்படுத்த வேண்டும் எனும் நியதியில்லை. ஆனால் இந்த ஒழுங்கில் பயன்படுத்துவது சிறந்தது ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (17)
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 92
|- அத்தியாயம் - 09 - 2) (அ) மொழி வாக்கியங்களை குறியீட்டு
வாக்கியங்களாக்கல்
நாம் சாதாரண மொழியில் அமைந்திருக்கும் வாதங்களினதும், குறியீட்டு மொழியில் அமைந்திருக்கும் வாதங்களினதும் வாய்ப்பினைச் சோதிக்க உத்தேசிப்பதால் தமிழ் மொழியில் அமைந்த வாதங்களை குறியீட்டிற்கு மாற்றக்கற்க வேண்டும். முதல் வாக்கியங்களை கற்போம். பின்னர் இவ்வாக்கியங்களை கொண்டு வாதங்களை அமைக்கும் முறையை கற்போம். குறியீட்டாக்கம் செய்யும் போது எப்பகுதிகள் சேர்ந்து வரும் எனக் காணுதல் வேண்டும்.
வாதங்களைத் தவிர இங்கு வாக்கியங்களைக் குறியீடாக்குவதற்கு ஒரு சுருக்கத்திட்டம் தரப்பட்டே குறியீட்டாக்கம் செய்யப்படுகின்றது. அடைப்புக்குறிகள் இடுவதற்கு என பொதுவிதிகள் எதுவும் இல்லை. எனது பின்வரும் யோசனைகள் அடைப்புக்குறியை இலகுவாக்கும். அடைப்புக்குறி இல்லாது விட்டால் வாக்கியம் வாதங்களின் கருத்தை விளங்க முடியாது. எனவே அடைப்புக்குறிகளை வாதத்தின் கருத்துக்கு ஏற்றவாறு முறித்து எடுப்பதன் முலம் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட கூற்றை அமைக்கும் விதத்தைப் பார்ப்போம்.
பயிற்சி (01) இப்பயிற்சியில் இரண்டு மாறிகள் மட்டுமே ஆராயப்படும்.
சு.தி. P:A சித்தியடைவார் . Q:B சித்தியடைவார். (அ) இரண்டு கூற்றுக்களின் நடுவில் இரண்டு நடைபேதங்கள்
இருந்தால் பின்னால்வரும் நடைபேதத்தை கருத்திற்கொள்ள வேண்டும். ஆனால் புறநடையாக வாக்கியங்களின் முன்னால் ஒன்றில் எனும் நடை பேதம் தரப்பட்டால் உறழ்வு எடுப்பாக கருதிக்கொள்ள வேண்டும். (1) A சித்தியடைவதுடன் எனின் B சித்தியடைவார்.(P - Q) (2) A சித்தியடைவார் எனின் அத்துடன் B சித்தியடைவார். (P ^Q) (3) A சித்தியடைவார் என்றால் மட்டுமே B சித்தியடைவார். (Q - P) (4) A சித்தியடைவார் எனின் அல்லது B சித்தியடைவார். (P v Q) (5) A சித்தியடைவார் அல்லது எனின் B சித்தியடைவார். (P -> Q) (6) ஒன்றில் A சித்தியடைவார் அல்லது எனின் B சித்தியடைவார்.
(P vQ) (7) A சித்தியடைவார் ஆயின் ஆயினே B சித்தியடைவார். (P Q)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 180
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

ஆ)
கூட்டு வாக்கியத்தின் பின்னால் என்பது பொய், பிழை, தவறு, இல்லை, என்பவை தரப்பட்டால் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் மறுப்பு மாறிலியையே இட வேண்டும். ஆனால் புறநடையாக முன்னெடுப்பை பொய் எனவும், உட்கிடை மாறிலியின் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் எனும் நடை பேதம் தரப்பட்டால் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் மறுப்பு மாறிலி வராது என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும். (8) A சித்தியடைவார் ஆயின்B சித்தியடைவார் என்பது பொய்யாகும்
1 ~ (P - Q) (9) A சித்தியடையவில்லை ஆயின் - B சித்தியடையவில்லை
என்பது பொய்யாகும் ~ (~P --- Q) (10) A சித்தியடைவார் என்பது பொய்யாயின் B சித்தியடையவில்லை
என்பது பொய்யாகும் (- P ~ ~ ~ Q) (11) A சித்தியடைவார் என்பதுதரப்பட்டிருப்பின் B சித்தியடைவார்
என்பது பொய்யாகும் . P-> ~ Q (12) A சித்தியடைவதாகவோ B சித்தியடைவதாகவோ
இருக்கவில்லை . ~ (P v 2)இதை= ( ~ P ^ ~ Q) எனவும் கூறலாம். (F) T T T .
F TFF T FT T F
F T[FT F FF T T
T FIFF T |TF F F
T FITT F
(13) A அல்லது B என்ற இருவரும் சித்தியடையவேண்டும்
என்பது பொய்யாகும். ~ (P A Q) = ( ~ P V ~ Q) FT T T - F TFF T IT T F F F TTT F |T |F F T - T FIT|F T IT IF F F T Ft T F (14) A சித்தியடைவதாகவோ அல்லது B சித்தியடைவதாகவோ
இருக்கவில்லை. ~ (P VQ) (15) A B எனும் இருவருமே சித்தியடையவில்லை~ (P A Q) (16) A யும் சித்தியடையவில்லை B யும் சித்தியடையவில்லை
(-PA - Q) (17) A,B எனும் இருவரும் சித்தியடைய மாட்டார். ~ (P - 2) (18) A, B எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் சித்தியடைவர்.(P' v Q) (19) A, B எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் சித்தியடைய மாட்டார்.
~ (P v Q) (20) A, B எனும் இருவரில் ஒரு வர் மட்டுமே சித்தியடைவர். ~ (P A Q)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 181
ஆசிரியர் :க. கேசவன்

Page 93
F T
(21) A சித்தியடைவர் ஆயின் ஆயினே B சித்தியடைவார் என்பது
பொய்யாகும். ~ ( P - Q) =
= ~ Q) F IT T T T IT F F
TT F T |F F T" FTF T. F F T F
FT F குறிப்பு: இருபால்நிபந்தனைக் கூட்டுவாக்கியத்துக்கு மட்டும் என்பது பொய் என வரும்போது அடைப்புக்குறிக்கு முன்னாலும் மறுப்பு மாறிலியைப் பாவிக்கலாம். பின்னெடுப்பையும் பொய்எனக் கருதலாம்.
ஏனெனில் இரண்டும் அட்டவணையில் சமனாகும். (இ) (22) A சித்தியடைவர். B சித்தியடைவார்.P .?
(23) A சித்தியடைவர் B சித்தியடைவார்.
P. 0 எனவோ (P ^ Q) எனவோ எழுதலாம். குறிப்பு: முற்றும்புள்ளி மொழி வாக்கியத்தில் இல்லை எனினும் முற்றும் புள்ளி உண்டு எனவோ இணைப்பு (^) உண்டு எனவோ கருதலாம். ஆனால் இவ்வாறான கீழ் வரும் வாக்கியத்தில் முற்றும் புள்ளி தராது விட்டாலும் முற்றும் புள்ளி என்றே கருத வேண்டும். (^) இணைப்பு எனக் கருதக்கூடாது. (உ - ம்) A சித்தியடைவார் B சித்தியடைவார் என்பது உண்மை
எனின் P Q - விடை: (Q- P) (24) A சித்தியடையவும் இல்லை B சித்தியடையவும் இல்லை.
(- P^~ Q) (25) A சித்தியடையவும் இல்லை. B சித்தியடையவும் இல்லை.
~ P. ~ Q (26) A சித்தியடையவில்லை எனின், B சித்தியடையவில்லை.
(- P-> ~ Q)
A சித்தியடையவில்லை, B சித்தியடைவான் (- P^ Q) குறிப்பு :இரண்டு வாக்கியங்களுக்கு நடுவில் மாறிலியோடு கம () எனும் அடையாளம் இருந்தால் அதற்கு கருத்தில்லை ஆனால் மாறிலி இல்லாது கம (.) எனும் அடையாளம் தரப்பட்டால் இணைப்பை (^) பாவிக்கலாம். (27) A சித்தியடைவான் ஆனால் B சித்தியடையமாட்டான்
(PA ~ Q) (28) A சித்தியடைவான். ஆனால் Bசித்தியடையமாட்டான் P. ~ Q
குறிப்பு : முற்றும் புள்ளியுடன் இணைப்பை குறிக்கும் நடை பேதங்கள் தரப்பட்டால் முற்றும் புள்ளியையே கருத்திற் கொள்ளுதல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1182
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

வேண்டும். முற்றுபுள்ளியுடன் வேறு மாறிலிகள் (இணைப்பைத் தவிர) வராது என்பதை மாணவர்கள் விளங்கிக் கொள்ளுதல் வேண்டும்.
(29) A சித்தியடைவான், B சித்தியடைய மாட்டான் (P^~ Q) குறிப்பு : நடை பேதங்கள் எதுவும் இல்லாது முற்றுப் புள்ளியும் இல்லாது இரண்டு வாக்கியங்களில் ஒரு வாக்கியம் மறுப்பாக இருந்தால் இணைப்பு மாறிலி( ஆனால், எனினும்) பொருந்தும். (30) ஒன்றில் A சித்தியடைவார் B சித்தியடைவார்.(P v 2) ,
குறிப்பு : வாக்கியத்தின் முன்னால் ஒன்றில் இருக்கும் போது வாக்கியத்தின் நடுவில் முற்றும் புள்ளி இருந்தாலோ அல்லது
இல்லாது. விட்டாலோ அது உறழ்வு எடுப்பாகும். (ஈ) (31) A சித்தியடைவார் ஆயின் A சித்தியடைவார்.( P - P)
(32) A சித்தியடைவார் என்றால் B சித்தியடைவார். (P -> Q) (33) A சித்தியடைவார் என்றால் தான் - B சித்தியடைவார்.
- (0 --> P) (34) A சித்தியடைவார் என்றாலும் B சித்தியடையமாட்டார் (P^~ Q) குறிப்பு :- சில மாறிலிகள் தமிழில் சிறிய வேறுபாடு மட்டுமே, செய்கை (2) என்றால் (3) என்றால்த்தான் (4) என்றாலும் இவ் நூலின்மாறிலி அட்டவணையில் இதைப்போன்ற பலவற்றைக்வனிக்கவும்.
- பயிற்சி (02) சு.தி P: மழை பெய்யும்
Q: நெல்விளையும் R: அரிசியின் விலை குறையும் S: மக்கள் சந்தோஷமடைவர். (அ) (1) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் அல்லது அரிசியின்
விலை குறையும் (P> (Qv R )) (2) மழை பெய்யும் அல்லது நெல் விளையும் ஆயின் அரிசியின்
விலை குறையும்.( (P v Q)-R) (3) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் அல்லது, அரிசியின்
விலை குறையும்.[(P– Q) v R) (4) மழை பெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல் விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும்.((P - (Qv R )] (5) மழை பெய்யும் அல்லது நெல் விளையும் ஆயின் ஆயினே
அரிசியின் விலை குறையும்.[(Pv Q) R] (6) மழை பெய்யும் ஆயினே நெல் விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும்.[P - (Qv R )] = [(Qv R) -P] (7) மழை பெய்யும் என்பதோடு நெல் விளையும் ஆயின்
அரிசியின் விலை குறையும்.( (P^ Q) – R ) (8) மழை பெய்யும் என்பதோடு , நெல் விளையும் ஆயின் ஆயினே
அரிசியின் விலை குறையும்.[ P^ (QR)]
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 , 1183
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 94
(9) மழை பெய்வதாகவும் , நெல் விளைவதாகவும் , இருந்தால் * அரிசியின் விலை குறையும்.( (P^ Q) – R] குறிப்பு : இங்கு கம அடையாளத்திற்கு கருத்து இல்லை என்பதை மாணவர்கள் கவனித்தல் வேண்டும். (10) மழை பெய்யும் அல்லது, நெல் விளையும் ஆயின் ஆயினே
அரிசியின் விலை குறையும்.[ P v (Q R )) (11) மழை பெய்யும் ஆயின் , நெல் விளையும் அல்லது அரிசியின்
விலை குறையும் ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{P - [(Q v R ) -S]} (12) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் அல்லது அரிசியின்
விலை குறையும் ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
[(P - Q) v ( R ->S) (13) மழை பெய்யும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் நெல் விளையும்
அல்லது அரிசியின் விலை குறையும் ஆயின் மக்கள் சந்தோஷ
மடைவர். P -> [( Q v R ) --S) (14) மழை பெய்யும் ஆயின நெல் விளையும் அல்லது அரிசியின்
விலை குறையும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர். (P-> (Qv R )] ->S
குறிப்பு : மாணவர்கள் 11, 12, 13, 14 என்பவற்றை ஒப்பிட்டு விளங்கிப் படிக்கவும். (15) மழை பெய்யும் என்றால், நெல் விளையும் என்பதோடு
அரிசியின் விலை குறையும் ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{P -> [(Q+ R) -->S)} (16) மழை பெய்யும் என்றால் நெல் விளையும் ஆனால் அரிசியின்
விலை குறையும் என்றால் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
[( P -> Q) ^ (R --S)) (17) மழை பெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல் விளையும் அத்துடன்
அரிசியின் விலை குறையும் ஆயின், மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{[ P > (Q^ R ) -S} (18) மழை பெய்வதாகவும் , நெல் விளைவதாகவும் இருக்காது
விட்டால், அரிசியின் விலை குறையவும் இல்லை மக்கள்
சந்தோஷமடையவும் இல்லை (~ (P^Q) - (~R ^ ~$) (ஆ) (19) மழை பெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல் விளையும் ஆயினே
அரிசியின் விலை குறையும்
[P - (0- R )] = (P - ( R -> Q)] (20) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும்(( P - 2)- R] = ( R – (P - Q)] (21) மழை பெய்யும் ஆயினே நெல் விளையும் ஆயின் அரிசியின்
\?- பெப்சியி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
184
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

விலை குறையும் (P-(Q–R )] = ( (Q - R)-> P] (22) மழை பெய்வதால் மட்டுமே நெல் விளையும் ஆயின்
அரிசியின் விலைகுறையும் [(P-Q) –R) = [[Q –P) - R) (23) மழை பெய்யும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் நெல் விளையும்
ஆயினே அரிசியின் விலை குறையும்
P -> (Q - R) = P -> (R-> Q) குறிப்பு: 20, 23 எனும் உதாரணங்களை ஒப்பீடு செய்து கற்றுக் கொள்ளவும். (24) மழை பெய்யும் ஆயின், நெல் விளையும் என்றால் மட்டுமே
அரிசியின் விலை குறையும் என்றால் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{P -> (Q-( R- S )]} = { P -> ( (R - S) - Q]} (25) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் என்றால் மட்டுமே
அரிசியின் விலை குறையும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின், மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
[(P - Q) - R]– S = [R – (P-Q)] – S இ) (26) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் ஆயின் அரிசியின்
விலை குறையும். பு..
எனின்
எனின் என்றால்
என்றால் (P> (Q– R)] (27) மழை பெய்யும் ஆயின் , நெல் விளையும் ஆயின் அரிசியின்
விலை குறையும்( P– (QR)] . குறிப்பு : கம அடையாளத்திற்கு கருத்தில்லை மூன்று மாறிகள் வரும் போது ஒரு கம. (.) அடையாளம் இருந்தால் மட்டுமே கருத்துண்டு. (28) மழை பெய்யும் என்றால் நெல் விளையும் என்றால்
அரிசியின் விலை குறையும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின்
அரிசியின் விலை குறையும்.[P- (Q-> R)]-->R குறிப்பு : 25, 26 என்பவற்றை ஒப்பிட்டு கற்கவும். (29) மழை பெய்யும் ஆயின், நெல் விளையும் ஆயின்,அரிசியின்
விலை குறையும்'ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{ P>> (Q-> (R-S)]} (30) மழைபெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் ஆயின், அரிசியின்
விலை குறையும் ஆயின், மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
{ ((P- Q) - R] - S} (31) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விழையும் என்பது பொய்'.
என்பது தரப்பட்டிருப்பின் அரிசியின் விலை குறையுமாயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர் என்பது பொய்யாகும். ~ (P-O) ~ ~ (R– S)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 185
ஆசிரியர் :க. கேசவன்

Page 95
(ஈ) (32) மழை பெய்யும் என்பதோடு நெல் விழையும் என்பதோடு
அரிசியின் விலை குறையும்.[ (P^ Q) ^ R) (33) மழை பெய்யும் என்பதோடு, நெல்விளையும் என்பதோடு
அரிசியின் விலை குறையும்.(P^ (Q^ R )] (34) ஒன்றில் மழை பெய்யும் அல்லது நெல்விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும்.
(Pv Q v R] இதைப்பின்னர் [(P v Q) v R]இவ்வாறு எழுதவும். (35) ஒன்றில் மழை பெய்யும் அல்லது , நெல்விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும். (Pv (Q v R)] (36) மழை பெய்யும் என்ற பொழுதிலும் நெல்விளையும் என்றிருந்தா
லொழிய அரிசியின் விலை குறையாது. (P^(Q V ~ R)] (37) ஒன்றில் மழை பெய்யும் என்பதோடு நெல் விளையும்
அல்லது அரிசியின் விலை குறையும்.
P^ Q v R - [(P^ Q) v R ) (38) மழை பெய்யும் அல்லது நெல் விளையும் என்பதோடு
| அரிசியின் விலை குறையும் அல்லது மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
[(Pv Q)^( R v S )) (39) மழை பெய்யும் என்பதோடு ஒன்றில் நெல் விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும்.P^ Qv R - (P^(Qv R )) குறிப்பு : 35, 36, 37 அடைப்புக்குறி இடுவதற்கு முன்னர் ஒரே விதமான வடிவம் ஆனால் அடைப்பிட்ட பின்னர் வேறுபடுகின்றது.வனிச்க. (40) மழை பெய்திருந்தால் ஒழிய நெல் விளையாது.
(P V ~ Q) = (~ P - ~ Q) T T F T F T T FT T T T F F T TT F F F |F T T F FF T F| T T F T F| TT F (41) மழை பெய்யும் என்பதோடு நெல் விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும் என்பதோடு மக்கள் சந்தோஷமடைவர்
P^ Q v R ^ S - [(P^ Q) v (R^ S )) (42) மழை பெய்யும் என்ற போதும் நெல் விளையும் என்றிருந்தால்
ஒழிய அரிசியின் விலைகுறையும் என்பதோடு, மக்கள் சந்தோஷ மடைவர்
P^ Qv R^ S - { P^ (Qv ( R ^S)]}= {P^ [~ Q– (R^S)]} குறிப்பு : 40, 41 அடைப்பு இடுவதற்கு முன் ஒரே வடிவம்.ஆனால் அடைப்புக்குறி இட்ட பின்னர் வேறுவடிவம் ஏற்படுகின்றது. மாணவர்கள் இதைக் கவனித்தல் வேண்டும்.
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 86 ஆசிரியர் :க, கேசவன்

(43) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும். அப்படி நடந்தால்
அரிசியின் விலை குறையும்.(P-> O) (Q -> R) குறிப்பு : நிபந்தனைக் கூட்டு வாக்கியத்தின் பின்னால் அப்படி நடந்தால் எனத் தரப்பட்டால் முதல் நிபந்தனை வாக்கியத்தின் பின்னெடுப்பு (0) அப்படி நடந்தாலும் என்பதற்குப் பதிலாக பிரதியீடு செய்தல் வேண்டும்.
- பயிற்சி (03) சு.தி P:A சித்தியடைந்தவர் Q: B சித்தியடைந்தவர்
R C சித்தியடைந்தவர் S: D சித்தியடைந்தவர்.
T: Cக்குசான்றிதழ் கிடைக்கும் U: Dக்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் (1) (அ) A அல்லது B சித்தியடைந்தவர் ஆனால் இருவரில் ஒருவர்
மட்டுமே சித்தியடைந்தவர். (PV Q)^ ~ (P^ O) (ஆ) C சித்தியடையவில்லை ஆயின்,A சித்தியடையவில்லை எனின்
B அவ்வாறு உள்ளது என்பது உண்மையில்லை ~ ~ R-> ( ~ P -> Q)] (2) (1) A சித்தியடைவார் ஆயின் B சித்தியடையவில்லை அத்துடன் A சித்தியடைவார் ஆயின் C க்கு சான்றிதழ கிடைக்கவில்லை [(Tسہ جس-Q)^(Pبہ ج-P)] (i) Aசித்தியடைவார் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் B சித்தியடைய வில்லை அத்துடன் A சித்தியடைவார் ஆயின் C க்கு சான்றிதழ கிடைக்கவில்லை. P ->( - Ο δP) > - Τ1 குறிப்பு : (), (i)ஒப்பிட்டு கற்கவும், என்பது தரப்பட்டிருப்பின் இருப்பதால் அடைப்பு மாறி விட்டது. (3) A சித்தியடைவார் எனத் தரப்பட்டால் B சித்தியடைவார் எனின் C க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் எனின் B யோ அல்லது A யோ சித்தியடைய மாட்டார். (P-> 0) ->(T-> ~ (OVP) (4) A சித்தியடைவார் ஆயின் அவர் சித்தியடையார் எனின் C க்கும்D
க்கும் சான்றிதழ் கிடைக்காது. (P-> ~P) -> ~(T^U) (5) A சித்தியடைவார் எனின் B சித்தியடைவர் அல்லது C க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் அல்லது D க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும். {P—> [ Q v T) v U ] } (6) A சித்தியடைவார் எனின் ஒன்றில் B சித்தியடைவார் அல்லது
C க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் அல்லது D க்குசான்றிதழ் கிடைக்கும். {P-> (OvTvU)} a6rati {P->((OvT)vU}96lapi அடைப்பிடவும் (7) A சித்தியடைவார் என்பதோடு B சித்தியடைவார் ன்பதோடு C க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் என்றால் D க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும். ↑ [ ( P ↑ Q) ↑ Ꭲ] -> U} (8) A சித்தியடைவார் என்ற எடு கோளின் பேரில் B சித்தியடைவார்
|அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 8 ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 96
ஆனால் C க்கு - சான்றிதழ். கிடைக்கும் ஆயின் A , B எனும் இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே சித்தியடைவர்.
{ (P - 2)^ [T- ~ (P^ Q]} (9) A யும், B யும் சித்தியடைவர் ஆயின்,A யும் , B யும் சித்தியடைய
மாட்டார்கள் என்பது பொய்யாவதுடன் C ,D எனும் இருவரில் ஒருவருக்கேனும் சான்றிதழ்கிடைக்காது
[( P^Q) -> ~ ~ (P^Q)^ ~ (Ty U) (10) A அல்லது B எனும் இருவரில் ஒருவராவது சித்தியடைந்தால்
மட்டுமே C க்கு சான்றிதழ் கிடைக்கும் என்பதுடன் A அல்லது B என்ற இருவரும் சித்தியடைய வேண்டும் என்பது பொய்யாகும்.
(T- (P.v Q)]* ~ (P^ Q) = [T- (Pv Q)] ^ (~P v ~ Q) (11) A , B என்ற இருவரும் சித்தியடைய மாட்டார்களாயினும், A யோ
அல்லது B யோ சித்தியடையவில்லை என்பது உண்மையல்ல ~ (P^ Q)^~~ (P v Q)
பயிற்சி (04) இப்பயிற்சியில் கூற்றுக்கள் இடம் மாறுவதற்குரியவை ஆகும். அதாவது முதல் வரும் கூற்றுக்கள் பின்னாலும் பின்னால் வரும் கூற்றுக்கள் முன்னாலும் வரும் . இதை பின்வரும் செய்கைகளின் மூலம் அறிந்து கொள்ளவும். சு. தி P: A கூடும். Q: B கூடும்.
- R : C கூடும். S : D கூடும். (01) (அ) A கூடும் என்றால் மட்டுமே B கூடும்.
(P- Q) = (Q– P) (ஆ) A கூடும் ஆயினே B கூடும் அல்லது C கூடும்
[P - (Qv R)] = ((Q V R ) - P] (இ) A கூடும் என்பதோடு B கூடும் என்றால்த் தான் C கூடும்
[(P^ Q) - R] = (R - (P^ Q) (ஈ) A கூடும் ஆயினே - B கூடும் என எடுத்துக் கொண்டால்
தான் ,C கூடும் என்றால் மட்டுமே D கூடும். (P- 0) - ( R - S) , (Q-> P) - (S-> R)
(S– R ) - (0-> P) இவ்வாறு எதிர்உட்கிடை வரும் போது படிப்படியாக உட்கிடை
மாறிலிக்கு மாற்ற கற்றுக் கொள்க. 02) (அ) A கூடும் B கூடும் என்பது உண்மை எனின்
P.0- விடை : (Q> P) (ஆ) A கூடும் ஆயின் , B கூடும் Cகூடும் என்பது உண்மை எனின்
P - (Q. R–) விடை : (P– ( R -Q)) (இ) A கூடும் ஆயின் B கூடும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 1188
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

கூடும் D கூடும் எனத் தரப்படின்.
(P-> Q) --> (R. S-) விடை :(( P -> Q)-> (S -> R)] (ஈ) A கூடும் அல்லது B கூடும் - கூடும் என்பதோடு D
கூடும் எனத் தரப்படின்
(Pv Q). ( R ^S)-> விடை :(( R ^ S) (P v Q)) (03)(அ) A கூடும் B கூடும் ஆயினே
படி (1) P. Q- படி (2) Q- P விடை : (P– 0) (ஆ) A கூடும் என்றால், B கூடும் - கூடும் என்றால் மட்டுமே ' படி (1) P- (0. R-)
படி (2) விடை : P> ( R - Q) விடை : [P -> (Q - R)]
(இ) A கூடும் அத்துடன் B கூடும் என எடுத்துக் கொண்டால்
"C கூடும் D கூடும் ஆயினே படி (1) (P^Q) - (R.S-) படி (2) : (P^Q) - (S- R) விடை:
[(P^ Q) - (R-S )) ஒரு வாக்கியத்தின் பின்னால் உட்கிடை மாறிலியைக் குறிக்கும் நடை பேதங்களும் எதிர்உட்கிடை மாறிலியை - குறிக்கும் நடை பேதங்களும் இருந்தால் முதல் வரும் கூற்று பின்னால் இடம் பெயரும் என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். ஆனால் எதிர் உட்கிடை மாறிலி பின்னால் வரும் போது சுருக்கத்திட்டம் P, Q,R....... Z வரை ஒழுங்காக பயன்படுத்தப்பட்டிருந்தால் கூற்று ( இறுதி விடையில்) இடம் மாற வில்லை என்பதை கவனித்தல் வேண்டும். ( செய்கை 3 அ, ஆ, இ என்பவையைக் கவனிக்க)
வாக்கியங்களின் பின்னால் இணைப்புமாறிலி, உறழ்வு மாறிலி , இருபால்நிபந்தனை மாறிலி என்பன தரப்பட்டால் கூற்றுக்களை இடம் மாற்ற வேண்டிய அவசியம் இல்லை என்பதைக் கவனித்தல் வேண்டும். ஏனெனில் கூற்றுக்களை இடம் மாற்றிப் பெறப்படும் குறியீட்டு வாக்கியமும், இடம்மாற்றாமல் இருக்கும் குறியீட்டு வாக்கியமும் உண்மையட்டவணையில் சமனாகும். எனவே கருத்து மாறாத படியினால் கூற்றுக்களை இடம்மாற்ற வேண்டிய அவசியம் இல்லை எனும் அடிப்படையை விளங்கிக்
கொள்ளவேண்டும். செய்கை 4,5,6, என்பதைக் கவனிக்க. \ (04) (அ) A கூடும் B கூடும் ஆயின் ஆயினே
P. 0= : (P - Q) = (Q - P)
T|T ]T T (T]T TF |F F (FT FF IT T FF F LTF, F ITF
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1893
ஆசிரியர் :க. கேசவன் /

Page 97
E L
T
: (ஆ) A கூடும் ஆயின், B கூடும் - கூடும் ஆயின் ஆயினே
. P - (Q.R - ) விடை : [P - (0-> R)]. (இ) A கூடும் ஆயின் B கூடவில்லை. .C கூடும் அல்லது D கூடும்
ஆயின் ஆயினே
(P-> ~Q). (R v S) - விடை : [(P- ~Q) = ( R v S)) (ஈ) A கூடும்' B கூடும் C கூடும் ஆயின் ஆயினே
P. Q. R ? விடை : P.(Q R ) (05) (அ) A கூடும் B கூடும் என்றிருந்தால் ஒழிய
P. Qv விடை : (P' v Q) = (Q V P)
TTT T T T
TF 'F) F) TT .. T|TF
FFFFFF (ஆ) A கூடுவதாக இருப்பின், B கூடும் C கூடும் என்றிருந்தால்
ஒழிய P-> (Q.R v) = விடை : (P-> (Q v R)] (இ) A கூடவில்லை என்பதோடு B கூடவில்லை . C கூடும்
என்பதோடு D கூடும் என்றிருந்தால் ஒழிய
( - P^~ Q). ( R ^ S) v = விடை : (- P^ ~ Q) v ( R ^S) (06) (அ) A கூடும் B. கூடும் என்பதோடு
P.0^ விடை : (P - 0) = (Q^ P)
TTT TTT
T) F|
FFT F) FT T FIF
FFF ' FFF
(ஆ) A கூடும் ஆயின் B கூடும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் C
கூடும் D கூடும் அத்துடன்
(P - Q) – (R. S^) = விடை : ( (P> 2) - (R^ s) இ) A கூடும் ஆயின் B கூடவில்லை C கூடவில்லை என்பதோடு
P -( ~ Q.~ R ^) = விடை : (P> ( ~ Q ^ ~ R) (07) (அ) (i) A கூடும் எனின் B கூடும் என்பது பெற்ப்படும்.
(P -> Q) (ii) A கூடும் என்பது B கூடும் எனின் பெறப்படும்.
(Q -> P) குறிப்பு (அ) (i) . (i) என்பவற்றை ஒப்பிட்டு (i) கூற்று இடம் மாறுவதைக் கற்றுக் கொள்ளவும். (ஆ) (i) A கூடும் ஆயின் B கூடும் என்பது C கூடும் எனின்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 190
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

பெறப்படும். [R --> (P -> Q)) (ii) A கூடும் ஆயின் , B கூடும் என்பது C கூடும் எனின்
பெறப்படும். (P -> (R -> Q)) (iii) A கூடும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் B கூடும்
என்பது C கூடும் எனின் பெறப்படும்.
[P – (R - Q) (iv)
A கூடவில்லை என்பதோடு B கூடவில்லை என்பது
C கூடும் எனின் பெறப்படும். [R --> (~ P.^~ Q)] (v) A கூடவில்லை என்பதோடு , B கூடவில்லை என்பது
C கூடும் எனின் பெறப்படும். [~ P ^ (R - ~ Q) எடுகூற்றுக்களும் முடிவுகளும் ( வாதங்கள்) (1) அறிவு இருக்கும் ஆயின் முயற்சி இருக்கும் என்பது பொய்யாகும்.
அறிவு இருக்கிறது ஆகவே முயற்சி இருக்கிறது. சு.தி P: அறிவு இருக்கும் Q: முயற்சி இருக்கும்.
~ (P->Q) .P ஃ Q ) நெல் விளைந்தது ஏனெனில் மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்
விளையும் மழை பெய்யும் முறை 1 சு.தி P : நெல் விளைந்தது Q: மழை பெய்யும்.
Q- ( P.-> Q). P = (P-> Q) .P ஃQ முறை 2 சு.தி P: மழை பெய்யும். Q: நெல் விளையும்
(P- Q). P ஃ0 குறிப்பு வினா (2) ஏனெனில் வந்தால் இதற்கு முன் னால் இருப்பது முடிவு பின்னால் இருப்பது எடு கூற்றாகும். ஏனெனில் என்பதற்கு எதிர் (<-) உட்கிடை மாறிலி வரும். முறை (1) சுருக்கத்திட்டம் முடிவில் இருந்தும் முறை (2) ல் சுருக்கத்திட்டம் எடுகூற்றில் இருந்தும் அமைக்கப்பட்டது. ஆனால் இரண்டிற்கும் குறியீட்டாக்கம் ஒன்றே என்பதை மாணவர்கள் விளங்கிக் கொள்ள வேண்டும்.
- பூமியும் வியாழனும் கோள்கள் ஆயின் ஒன்றிற்கேனும் சந்திரன்கள் கிடையாது. எனினும் பூமிக்கு சந்திரன்கள் கிடைத்து வியாழனுக்கு சந்திரன்கள் கிடைக்காது இருப்பின் பூமி வியாழன் எனும் இரண்டிலும் ஒன்றிற்கு மட்டுமே சந்திரன்கள் கிடைக்கும். ஆகவே பூமி அல்லது வியாழன் என்ற இரண்டிற்கும் சந்திரன்கள் கிடைக்கும் என்பது பொய்யாகும். சு.தி P பூமி ஓர் கோள்
Q வியாழன் ஒரு கோள் R பூமிக்கு சந்திரன்கள் கிடைக்கும் S வியாழனுக்கு சந்திரன்கள் கிடைக்கும்.
(3)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1191
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

Page 98
(P^ Q) > ~ (Rv S) . ( R ^ ~S) -> ~ ( R ^S) ஃ - (R ^S)
(P^ Q) > ~ (R V S). (R' ~S)--> ~ (R^S) ஃ ( ~ R V ~ S) குறிப்பு: முடிவு ~ (R ^S) இதை (~ R V ~ S) இவ்வாறும் கூறலாம் (04) மாலாவிற்கு வயது பதினெட்டு என்பதோடு அவள் மாணவி அல்லது
மணப்பெண்ணாவாள். மாலாவிற்கு வயது பதினெட்டு என்ற போதிலும் அவள் மாணவியில்லை அல்லது மணப் பெண்ணில்லை எனவே மாலா மாணவியாகவும் மணப்பெண்ணா கவும் இருக்க மாட்டாள். சு.தி: P மாலாவிற்கு வயது பதினெட்டு Q அவள் மாணவி
R அவள் மணப்பெண்
[(P^ Q) v R] . ((P^ ( ~ QV ~ R)] ஃ ~ (Q^R) குறிப்பு: எடுகூற்று ஒன்றில் என்பதோடு ', எடுகூற்றில் இரண்டில் என்ற பொழுதிலும் ^வருகின்றது ஆனால் அடைப்பு
வித்தியாசப்படுவதை மாணவர்கள் கவனிக்கவேண்டும். (05)சமாதானம் ஏற்படும் ஆயின், நாடு அபிவிருத்தியடையும் என்ப
தோடு நாடு அழிகின்றது ஆயின் சமாதானம் ஏற்படவில்லை. சமாதானம் ஏற்படவில்லை ஆயின் நாடு அபிவிருத்தியடையவில்லை என்பதோடு சமாதானம் ஏற்படும் ஆயின் நாடு அபிவிருத்திய டையவில்லை ஆகவே சமாதானம் ஏற்படும் நாடு அபிவிருத்திய டையும் என்றிருந்தால் ஒழிய சு.தி P சமாதானம் எற்படும் Q நாடு அபிவிருத்தியடையும் R நாடு அழியும். * {P - [(0+ R) - ~ P]}. [( ~P - ~O)^ (P -> ~Q)) ஃ P. Qv
{P -> [(Q^ R) --> ~P]] - [( ~P -> ~0)^ ( P> ~O)] ஃ (Pv 2) (06) பூமி கோளவடிவமானது ஆயின் சூரியன் ஒரு பெரிய நட்சத்திர
மாகும். பூமி ஓர் சிறிய கிரகம் ஆயின் யுப்பிட்டர் ஓர் பெரிய கிரகமா னால் ஆயின் ஆயினே . பூமி கோள் வடிவமானது என்று தரப்படின் யுப்பிட்டர் ஒரு பெரிய கிரகம் பூமி ஓர் சிறிய கிரகம். என்பது உண்மை எனின் ஆகவே யுப்பிட்டர் ஓர் பெரிய கிரகம் பூமி கோள் வடிவமானது என்றால் மட்டுமே. சு.தி' P பூமி கோள வடிவமானது Q: சூரியன் ஓர் பெரிய நட்சத்திரம்
- R: பூமி ஓர் சிறிய கிரகம் S யுப்பிட்டர் ஓர் பெரிய கிரகம். (P -> Q). (R --S) =. P-> (S. R->) ஃ S. P
[( P - Q) > . (R-S)]. (P - ( R-S.)) ஃ P.- S ஃ (S -> P) (07) குமரன் சாந்தியை அல்லது மாலாவை மணப்பான். ஆனால்
இருவரில் ஒருவரை மட்டும் மணப்பான். குமரன் சாந்தியை மணந்தால் அத்துடன் மகிழ்ச்சியடைவான். அவன் மகிழ்ச்சியடைந்தால் மாலாவை மணக்கவில்லை என்பது தவறு ஆகும். ஆகவே குமரன் சாந்தியையோ அல்லது !
மாலாவையோ மணக்காதிருப்பின் மகிழ்ச்சியாய் இரான்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1923- ஆசிரியர் :க, கேசவன்

சு.தி. P: குமரன் சாந்தியை மணப்பான். Q: மாலாவை மணப்பான்
R: அவன் மகிழ்ச்சியடைவான். [(P v Q) ^~ (P^ Q)]. (P^ R) . ~ (R– ~Q) ஃ [~ (P v 2)- ~R) (08) நாடு விருத்தியடையுமாயின், பிரிவினை மறையும் என்பதோடு
சமாதானம் உறுதிப்படுத்தப்படும் அல்லது வன் செயல் ஆரம்பிக்கும். வன்செயல் ஆரம்பிக்காது ஆனால் சமாதானம் உறுதிப்படுத்தப்படும் என்றால் பிரிவினை மறையும் என்பதோடு நாடு விருத்தியடையும். ஆகவே வன்செயல் ஆரம்பிக்கும் ஆயின் சமாதானம் உறுதிப் படுத்தப்படும் ஆனால் பிரிவினை மறைவதாகவோ அல்லது சமாதானம் உறுதிப்படுத்தப்படுவதாகவோ இல்லை. சு.தி P: நாடு விருத்தியடையும் Q: பிரிவினை மறையும்
R: சமாதானம் உறுதிப்படுத்தப்படும்.S: வன் செயல் ஆரம்பிக்கும். { P– ((Q^ R) v S]} -((~S ^ R) - (Q^ P)] ஃ ((S– R) |
^ ~ (Qv R)] (ஆ) குறியீட்டை தமிழிற்கு மொழிபெயர்த்தல்.
குறியீட்டு வாக்கியத்தை தமிழிற்கு மொழி பெயர்க்கும் போது சுருக்கத்திட்டம் ஒன்று தரப்படும்.சுருக்கத்திட்டம் தரப்படாது விட்டால் நாமே ஒரு சுருக்கத்திட்டத்தை அமைத்து மொழி பெயர்த்தல் வேண்டும். எனவே குறியீட்டு வாக்கியத்தை தமிழுக்கு பெயர்க்கும் போது கூருக்கத்திட்டம் வேண்டும்.
குறியீட்டை தமிழிற்கு பெயர்க்கும் போது முதலில் குறியீட்டு வாக்கியத்தின் எளிய வாக்கியங்களைப் பெயர்த்து பின்னர் எளிய வாக்கியங்களின் மறுப்பைப் பெயர்த்தல் நன்று ஆகும்.
சுருக்கத்திட்டம் ஒரு சோடி வாக்கியங்களின் அதில் முன்னை யது ஓர் வாக்கிய எழுத்தாக இருந்தால் பின்னையது ஓர் வாக்கியமாகத் தரப்படும் போது அதனை நாம் சுருக்கம் என அழைக்கலாம். ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட சுருக்கங்களின் முதல் அங்கம் ஒன்றாக அமையாத , சுருக்கங்களின் தொகுதி சுருக்கத்திட்டம் எனப்படும். P: அவன் படித்தவன் Q: திறமை சாலி - R: பண்புடையவன்
P- (Q^~ R) (அ)' அவன் படித்தவன் ஆயின், அவன் திறமைசாலி ஆனால்
பண்புடையவன் இல்லை அல்லது (ஆ) அவன் படித்தவன் எனின், அவன் திறமைசாலி எனினும்
பண்புடையவன் இல்லை அல்லது
அவன் படித்தவன் என்றால், அவன் திறமை சாலி ஆயினும் பண்புடையவன் இல்லை.
(1)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 193
ஆசிரியர் :க. கேசவன் |

Page 99
(இ) பொரு ளொத்த தொடர்புகள்.
நடையால் மட்டும் வேறுபட்டவை எனக்கொள்ளக் கூடிய ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட தமிழ் வாக்கியங்கள் ஒரே பொருளை தரலாம் என்பதையும் நாம் மேலே கடைசியாக தந்த உதாரணம் எடுத்துக் காட்டுகின்றது. வாக்கியங்கள் (அ) (ஆ), (இ) என்பவை நடையால் மட்டும் வேறுபட்டவையாகும். குறியீட்டு வாக்கியங்களை தமிழிற்குப் பெயர்க்கும் போதும் தமிழ் வாக்கியங்களை குறியீட்டில் அமைக்கும் போதும் பொருளொத்ததொடர்புகள் பற்றியகருத்து பெரிதும் பயன் படும் பொருளொத்ததொடர்புகளை பின்வரும் உதாரணங்களில் காண்க. (2) ~ (PQ) -அவன் படித்தவன் ஆயின் அவன் திறமைசாலியா
வான் என்பது பொய்யாகும். ~ ~ (R -Q) அவன் திறமைசாலி ஆயின் பண்புடையவன்
என்பது பொய் அல்ல. (4) (~P -> ~ ~ Q) அவன் படித்தவன் என்பது பொய்யாயின்
அவன் பண்புடையவனில்லை என்பது பொய்யாகும். (5) P-~ (Q->R) அவன் படித்தவன் என்பது தரப்பட்டிருப்பின்
அவன் திறமைசாலி ஆயின் பண்புடையவன் என்பது பொய்யாகும். (6) ~ (P^ Q)-> ~ (R v P) அவன் படித்தவனாகவும் திறமை
சாலியாகவும் இருக்கவில்லை என்றால் அவன் பண்புடையவனா
வோ அல்லது படித்தவனாகவோ இருக்கவில்லை. ~ (P -> Q) --> ~ (R--> Q) அவன் படித்தவன் ஆயின் திறமைசாலி என்பது பொய்யாயின், அவன் பண்புடையவன்
ஆயின் திறமைசாலி என்பது பொய்யாகும். (8) ~ (P-- (QR)] அவன் படித்தவன் அயின், திறமைசாலி
ஆயின் பண்புடையவன் என்பது பொய்யாகும். (9) ((PQ) - (Rv P)] அவன் படித்தவன் ஆயின் திறமைசாலி
ஆயின் , ஒன்றில் அவன் பண்பானவன் அல்லது படித்தவன். (10) (P-> Q)-> (R v P) அவன் படித்தவன் ஆயின் அவன் திறமை
சாலி என்பது தரப்பட்டிருப்பின் ஒன்றில் அவன் பண்பானவன்
அல்லது படித்தவன் குறிப்பு : இருபக்கமும் சதுர அடைப்புக்குறி இருப்பதால் (உம் 9) நடுவில் வரும் உட்கிடை(-) ஆயின் என மொழி பெயர்க்கப்ட்டுள்ளது. (உ - ம் 10) ல் இருபக்கமும் சதுர அடைப்புக்கறி இல்லாது இருப்ப தினால் நடுவில்வரும் உட்கிடைமாறிலி (-) என்பது தரப்பட்டிரு ப்பின் பயன்பட்டுள்ளது. (11) (P^ ~ Q) அவன் படித்தவன் ஆனால் திறமை சாலி இல்லை (12) (-P^Q) அவன் படித்தவன் இல்லை ஆனால் திறமைசாலி குறிப்பு : இணைப்பு மாறிலியோடு ஒரு வாக்கியம் மறுப்பாக வரும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் :க, கேசவன் |

போது ஆனால் என ( ^) மொழி பெயர்ப்பது சிறந்தது ஆகும். (13) (P ' Q)-> R)^(Q>R) அவன் படித்தவன் என்பதோடு
திறமைசாலி ஆயின் பண்பானவன் என்பதோடு, திறமைசாலி ஆயின் பண்பானவன்.
குறிப்பு : ' மாறிலிக்கு முற்றும் புள்ளி பயன்படுத்தக்கூடாது (14) (P-> Q) . (Qv R) ஃ ~ (P - Q) -அவன் படித்தவன் ஆயின்
திறமை சாலி ஆவான். ஒன்றில் அவன் திறமைசாலி அல்லது பண்பானவன் ஆகவே அவன் படித்தவன் ஆயின் திறமைசாலி
என்பது பொய்யாகும். (15) ((P->Q)^(QvR)] -->~ (P-Q) -அவன் படித்தவன் ஆயின்
திறமைசாலி என்பதோடு அவன் ஒன்றில் திறமைசாலி அல்லது பண்பானவன் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் அவன் படித்தவன்
ஆயின் திறமைசாலி என்பது பொய்யாகும்.
குறிப்பு : 14, 15 என்பவற்றை ஒப்பிட்டு படிக்கவும். (16) (QPP) ^ (R> P) -அவன் திறமைசாலி ஆயின் , அவன்
படித்தவன் என்பதோடு அவன் பண்பானவன் ஆயின் அவன் 1 படித்தவன் (17) P = (Qv R)-அவன் படித்தவன் ஆயின் ஆயினே ஒன்றில்
அவன் திறமைசாலி அல்லது பண்பானவன். (ஈ) குறியீட்டு வாக்கியங்கள் அல்லது நற்சூத்திரங்கள்
அளவையியல் மாறிகள், மாறிலிகள் அடைப்புக்குறிகள் என்பவற்றைப் பயன்படுத்தி குறியீட்டு வாக்கியங்கள் அல்லது நற்சூத்திரங்கள் உருவாக்கப்படுகின்றது. எமது குறியீட்டு மொழியின் வாக்கியங்கள் பின்வருமாறு அடைக்கப்படும். (ஆ) P,0,R,S,T,........Z .. என வரும் வாக்கிய எழுத்துக்கள்
குறியீட்டு வாக்கியங்களாகும். (உ-ம்) (1) P - குறியீட்டு வாக்கியம்
(2) R- குறியீட்டு வாக்கியம் (3) A- குறியீட்டு வாக்கியமல்ல '(4) + குறியீட்டு வாக்கியமல்ல
(5) மழை பெய்யும் குறியீட்டு வாக்கியமல்ல
" குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (ஆ) P.......Z குறியீட்டு வாக்கியம் எனின் ~ P, ~Q, ~R, ~S.........~Z
ஓர் குறியீட்டு வாக்கியமாகும். (உ-ம்) (1) ~ P குறியீட்டு வாக்கியம்
(2) R ~ குறியீட்டு வாக்கியம் அல்ல (3) ~ A குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (4) • ~ Z குறியீட்டு வாக்கியம்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
1952
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

Page 100
(5) ~ + குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (6) + குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (7) ~ T குறியீட்டுவாக்கியம் (8) படிப்பான் குறியீட்டு வாக்கியமல்ல
(இ) P யும் Q யும் குறியீட்டு வாக்கியமாயின் ( P –Q) குறியீட்டு
வாக்கியமாகும். (உ-ம்) (1) (P -Q) குறியீட்டு வாக்கியம்
(2) P Q குறியீட்டு வாக்கியமல்ல.
( P Q) குறியீட்டு வாக்கியமல்ல. P Q R குறியீட்டு வாக்கியமல்ல.
P - (Q -> R) குறியீட்டு வாக்கியம் (6) ( P Q) – R – S குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (7) (P-> (S-T) குறியீட்டு வாக்கியம் (8) (T--> U) - Z குறியீட்டு வாக்கியம் (9) + + + குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (10) P ^ குறியீட்டு வாக்கியமல்ல (11) மழை பெய்யும் -> Q - குறியீட்டு வாக்கியமல்ல
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1196
ஆசிரியர் :க, கேசவன்

அத்தியாயம் - 10
பெறுகை முறை
எடு கூற்றுக்களிலிருந்து முடிவை ஏற்க எம்மை இட்டுச் செல்லும் ஓர் படித்தொடரே பெறுகைமுறை எனப்படும். அதாவது வாய்ப்பான வாதங்களை எவ்வனுமான விதியால் வாய்ப்பு எனக்கண்டு நிறுவும் முறையாகும். ஒரு வாய்ப்பான வாதம் ஒரு அனுமான விதியாலோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அனுமான விதியாலோ வாய்ப்பு என நிறுவப்படலாம். இங்கு பயன்படுத்தும் ஒவ்வொரு படியும் ஏலவே ஒப்புக் கொண்ட ஓர் நியாயத்தின் , படியே அமையும்.
பெறுகை ஒன்றை அமைக்கையில் எடுகூற்றுக்களோடு சில அனுமானவிதிகளையும் நாம் பயன்படுத்த வேண்டி இருக்கும். உதாரணமாக கணிதத்தில் நாம் பயன்படுத்தும் அனுமான விதிகள் கணிதக்கொள்கைகளில் தரப்பட்டிருப்பதாக எடுத்துக் கொள்ளப் படும். ஆனால் அளவையியல் தனக்கு பின்னணியாக எந்தகொள்கை யையும் எடுத்துக் கொள்ளாத ஒரு அடிப்படை துறையாதலால் இங்கு பயன்படுத்தும் அனுமான விதிகள் வெளிப்படையாகக் கூறப்படுதல் வேண்டும்.
இப்பகுதியில் நாம் அறிமுகம் செய்யும் உய்த்தறிவு முறை இயற்கை உய்த்தறிவு முறையாகும். இதில் அநேக அனுமான முறை கள் கையாளப்படும். இம்முறையில் வாய்ப்பான வாதங்களை
எவ்வனுமான விதியால் வாய்ப்பு என நிறுவுகின்றோம். பெறுகை முறை அனுமான விதிகள்:
வாய்ப்பான வாதங்களை பெறுகை முறை மூலம் வாய்ப்பு என நிறுவுவதற்கு பயன்படும் விதிகள் பெறுகை முறை அனுமான விதிகள் எனப்படும்.பெறுகை முறை அனுமான விதிகள், இணைப்பு எடுப்பு விதிகள், உறழ்வு எடுப்பு விதிகள், இருபால் நிபந்தனை எடுப்பு விதிகள், பொதுவான விதிகள், உட்கிடை நிபந்தனை விதிகள் எனும் பாகுபாட்டைக் காணக்கூடியதாக இருக்கின்றது. எனவே நேர் பெறுகை , நேரல்ப்பெறுகை, நிபந்தனைப் பெறுகை மூலம் வாதங்களை நிறுவும்போது அந்தந்த கூட்டெடுப்புக்களுக்கு அந்தந்த அனுமான விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இங்கு பெறுகை முறை அனுமான விதி களுக்கு விளக்கம் கொடுக்கும் செய்கைகள் நேர் பெறுகை மூலம் நிறுவப்படுகின்றது என்பதை இங்கு கவனித்தல் வேண்டும். ஒவ்வொரு அனுமான விதிகளிலும் P எனும் மாறிக்கு எனும் குறியீடும் Q எனும் மாறிக்கு " எனும் குறியீடும் பிரதியீடு செய்யப்பட்டுள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன் :-)

Page 101
உட்கிடை நிபந்தனை எடுப்பு விதிகள்
விதி (1) விதித்து விதித்தல்
வி. வி
நிபந்தனை (P - Q) வாக்கியம் ஒன்றின் ($ -> W)
முன்னெடுப்பு P தரப்படுமாயின் பின்னெ தி
டுப்பை Q வை முடிவாகவோ அல்லது ஃ)
வரியாகவோ பெறலாம் என்பது விதித்து
விதித்தல் எனும் அனுமான விதி எனப்படும். அதாவது நிபந்தனை வாக்கியத்தின் பின்னெடுப்பு நிறுவலுக்கு தேவைப்படின் விதித்து விதித்தல் அனுமான விதியே பயன்படும். செய்கைகள். (1) (P -0). PஃQ
(2) ( ~ P->~ Q) .~ P ஃ ~ Q 1. Q எனக்காட்டுக.
1. ~ Q எனக்காட்டுக. 2| (P ->Q) (எ.கூ 1 )
2.(~P –~ Q) ( எ.கூ 1 ) 3P4 (எ.கூ 2)
3. ~ P
(எ.கூ 2) 4/0 (2,3 வி.வி ) 4. ~ 0 (2,3 வி.வி) விதி (2) மறுத்து மறுத்தல் விதி
(PQ) நிபந்தனை வாக்கியம் ஒன்றின் பின்னெடு ம.ம.
ப்பின் ~ Q தரப்பட்டால் முன்னெடுப்பின் ~ P ($ - 4) - மு.
மறுப்பை முடிவாகவோ அல்லது வரியாகவோ
பெறலாம் என்பது மறுத்து மறுத்தல் விதி எனப்படும். ஃ ~ 4
அதாவது நிபந்தனை வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பின் மறுப்பு நிறுவலுக்கு தேவைப்படின் மறுத்து மறுத்தல்
அனுமான விதியே பயன்படும். செய்கைகள் (P-O).~ Q ஃ ~ P (2) ( ~ P--> ~ Q). QஃP 1. ~ P எனக்காட்டுக.
1.P - எனக்காட்டுக. 2. (P– Q) (எ.கூ 1 )
2. (- P –~ Q) (எ.கூ 1 ) 3. ~ Q (எ.கூ 2 )
3.0 (எ.கூ 2 ) 4. ~ P (2.3 ம ம)
4. |P ( 2.3 ம.ம) (3) (P - 0). (Q> ~ R).( S-> R) .P ஃ ~S
~ S எனக்காட்டுக. 2. |(P -> Q)(எ.கூ 1 )
(0-~R) (எ.கூ 2 ) (S– R) (எ.கூ 3)
(எ.கூ 4 )
(2,5 வி.வி ) ~ R
(3,6 வி.வி ) ~ S
(4,7 ம.ம)
di 0 + ம் 6 - ல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

இரு பால் நிபந்தனை எடுப்பு விதிகள் விதி (03) இரு பால் நிபந்தனை நிபந்தனை விதி
இ.நி.நி.வி
ஒரு (P - Q) இருபால் நிபந்
தனை எடுப்பைப் பயன்படுத்தி (1)(w) (11) (0-w)
(P-> Q) வை அல்லது (0->
P), யை அல்லது (P> Q), ( ஃ (6-w) ஃ (T- 4)
Q -> P) இரண் டை யு மே
முடிவாகவோ அல்லது வரியாக வோ பெறலாம் என்பது இரு பால் நிபந்தனை நிபந்தனை விதி எனப்படும். செய்கைகள் (1) (PQ). Q ஃ P (2) (-PQ). ~ Q ஃ P 1. P - எனக்காட்டுக.
1. Pஎனக்காட்டுக. 2. (( P - Q) (எ.கூ 1)
2. ( ~P - Q) (எ.கூ 1) 3. Q (எ.கூ 2)
3. - Q (எ.கூ 2) 4. (Q-P) (2 இ.நி.நி.வி) 4. (~P -0) (2 இ.G.G.வி) 5. P (3, 4 வி.வி ) 5. P
(3, 4 ம.ம ) விதி (4) நிபந்தனை நிபந்தனை இரு பால் நிபந்தனைவிதி :--
நி.நி.இ. நி. வி. (0-y) (i) (-w) (T-> 6)
(மு- 6) ஃ ($ - 4)
ஃ (T - 4) இரண்டு (P - Q), (Q- P) நிபந்தனை எடுப்பைப் பயன்படுத்தி (P > Q), அல்லது (QP) அல்லது இரண்டையும் முடிவாக அல்லது வரியாக பெறலாம் என்பது நிபந்தனை நிபந்தனை
இருபால் நிபந்தனை விதி எனப்படும். செய்கைகள். (1) (P -Q). (Q-P) ஃ (PQ) (2) (P ->Q).(Q-P) ஃ (QP)
1. ( P Q) எனக்காட்டுக. 1. (0 > P) எனக்காட்டுக. 2. T( P - Q) (எ.கூ 1) 2. ((P - 0) (எ.கூ 1) 3. (Q- P) (எ.கூ 2) 3. |(Q– P) (எ.கூ 2) 4. (P -Q) (2,3 நி.நி. 4. (Q - P ) (2,3 G.G.இ.
இ.நி .வி.)
நி.வி.)
(6)
15
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
199
ஆசிரியர்: க .கேசவன்

Page 102
இணைப்பு எடுப்பு விதிகள் விதி (5) எளிமையாக்கல் விதி
ஒரு இணைப்பு (P^ Q) எடுப்பிலே எ.வி
காணப்படுகின்ற P முன்னெடுப்பை (i) (^^ W) (ii) (^ ^ r)
யோ அல்லது Q பின்னெடுப்பையோ
அல்லது P,Q இரண்டையுமோ முடிவா -- ஃ ஃ |
கவோ அல்லது வரியாகவோ பெறலாம் என் பது எளிமையாக்கல் விதி
எனப்படும். செய்கைகள்
(1)( P^ Q) ஃ P
(2) ( P ^ Q) ஃ Q 1. P எனக்காட்டுக: 1. Q எனக்காட்டுக. 2. (P * Q) (எ.கூ 1) 2, (P ^ 0) (எ.கூ 1) 3. P (2 எ.வி ) 3. |Q (2 எ.வி )
(3) (P(Q^ R) .P ஃ R
1. R 2. (P - (Q^ R) 3. P 4. | P - (Q^R) 5. |(Q^ R)
எனக்காட்டுக. (எ.கூ 1) (எ.கூ 2) (2, இ நி.நி. வி.) (3,4 வி. வி.) (5, எ, வி.)
R'
4) ~ (Q^R) - P. ~ PஃQ
- 3 ம் + ம் 6
1. 0
"எனக்காட்டுக. 2. ~ (Q^ R) * P (எ.கூ 1),
~ P
(எ.கூ 2) ~ (Q^ R) - P
(2 இ நி.நி. வி.) (0+ R)
(3,4 ம. ம.) (5 எ, வி.)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
200
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

+ ம் ் -
13.
(5) Pு(Q– R).0° (R–0). (R >Q) –S (T ~~S). (P^g) ஃ ~T
1. '- T!
எனக்காட்டுக P - (0-> R)
(எ.கூ 1) Q - (R– 2)
(எ.கூ 2) (R -Q). -S
(எ.கூ 3) (T -> ~ S)
(எ.கூ 4) 6. ((P^ Q)
(எ.கூ 5) .Q- (R– Q)
(3, இ நி.நி. வி.) 8.
(6, எ, வி.)
(6, எ, வி.) (Q> R)
(2,8 வி. வி.) (R– Q)
(7,9 வி. வி.) 12.
(R - 02)
( 10, 11 நி.நி.இ.நி.வி.)
(4,12 வி. வி.) 14
-T
(5, 13 ம,ம்.) விதி (6) இணைப்பு விதி
இ.வி
இரண்டு குறியீட்டு (P, Q) வாக்கியங் (i) $
(ii) ,
களைப் பயன்படுத்தி (P^Q) எனவோ
(Q^P) என ஓர் முடிவாகவோ அல்லது ஃ ($^ W) ஃ (' ^ ^)
வரியாகவோ பெறலாம் என்பது
இணைப்பு விதி எனப்படும். . செய்கைகள்.
(1) P. Q ஃ (P^ Q) 1. (P^ Q)
எனக்காட்டுக 2. TP
(எ.கூ 1)
(எ.கூ 2) 4. /(P^ Q)
(2. 3 இ. வி ) (2)) P. Q ஃ (Q^ P) (0^ P)
எனக்காட்டுக (எ.கூ 1)
(எ.கூ 2) 4. | (0^ P)
(2.3 இ.வி )
மூ
- வன் .
- 3 ) 4
0
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 103
o + ம்
(3) (P^ Q) (R ^S). P.Qஃ S 1. S .
எனக்காட்டுக (P^ Q) = ( R ^S)
(எ.கூ 1) (எ.கூ '2)
(எ.கூ 3) (P^Q) - ( R ^S)
(2,இ.நி. நி வி.) 6.
(P^ 0)
(3 4 இ.வி ) 7.
( R ^S )
(5,6 வி வி)
(7, எ, வி.) உறழ்வு எடுப்பு விதிகள் விதி (7) மறுத்து விதித்தல் விதி
ஃ
ம. வி
உறழ்வு (P V Q)ஒன்றின் ஒரு (1) ( v w) (11) (0 v 4)
மாற்று ~ P மறுக்கப்படுமாயின்
~ழ்
~ .
மற்றைய மாற்று விதித்து Q
முடிவாகவோ அல்லது வரியா ஃ¢
கவோ பெறலாம் என்பது மறுத்து
விதித்தல் விதி எனப்படும். செய்கைகள் (Py Q). ~ P ஃ Q
01. Q
-எனக்காட்டுக
(எ.கூ 1) 03. ~ P.
(எ.கூ 2) 04. Q
(2,3 ம வி.)
(1) (Py Q) - Q ஃ P
02.(P v Q)
01. 0 02. (Py Q)
எனக்காட்டுக (எ.கூ 1) (எ.கூ 2) (2,3 ம வி.)
~ 0
04
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
202
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

02.
06.
07.
P - (Qv R).P^ (R -~P). Q-(S-R). P--(R-S) ஃ (S + R) ^P
01.(S = R) ^P
எனக்காட்டுக P> (Ov R)
(எ.கூ 1) 03.
P^ (R --~P)
(எ.கூ 2) 04.
O- (S-R)
(எ.கூ 3) P-(RS)
(எ.கூ 4) P– (Qv R)
(2, இ.நி. நி வி.)
(3 எ.வி) 08.
(Qv R)
(6,7 வி.வி) (R ->~P)
(3 எ.வி) ~ R
(7,9 ம ம)
( 8,10 ம வி.) (S->R).
(4,11 வி.வி) (RS)
(5,7 வி.வி) (S + R)
(12, 13.G. நி இ நி வி.) (S = R) ^P
(7, 14 இ.வி)
09
10.
12. 13.
14.
15.
விதி (8) கூட்டல் விதி அல்லது சேர்த்தல் விதி
கூவி
ஒரு P எடுகூற்றில் இருந்து எதையும் கூட்டி (P v
|Q) உறழ்வுஎடுப்பை முடிவாகவோ அல்லது . ஃ (0 v y)
வரியாகவோ பெறலாம் என்பது சேர்த்தல் விதி எனப்படும்.
செய்கைகள் 4 (1) P ஃ (Q v P)
(ii) P ஃ (Pv Q) 1. (Q v P) எனக்காட்டுக
1. (Pv O) எனக்காட்டுக 2. P(எ.கூ 1) 2) P - (எ.கூ 1) 3. (Qv P) ( 2.கூவி ) 3( P vQ) (2.கூவி )
(P v 2) > (Rv S). (P^ ~ R). (S v T) – U ஃU 01. U
எனக்காட்டுக 02.) (P v Q) - (R v S)
(எ.கூ 1) 03.) (P^~ R)
(எ.கூ 2) 04. (S v T) - U.
(எ.கூ 3) 05. (PvQ) - (R v S)
(2,இ நி நி வி.) 06.I P
(3 எ.வி )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
08
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 104
07. | (Pv Q)
(6.கூவி ) 08. (R v S)
(5,7 வி. வி ) 09. ~ R
(3 எ.வி ) 10. S
( 8,9 ம வி.) 11.(S v T)
(10 .கூ வி ) 12.) Uம்
(4,11 வி. வி ) (4) (Pv~Q) - (Rv S). (T-~S) • (P^ ~ R) ~T-(RS).P-(S-R)
ஃ ((S >R)^ ~R) 01. ((S =R)^~R)
எனக்காட்டுக 02. ((P v ~ Q) - (R v S) :
(எ.கூ 1) 03. | (T- ~S) ^ (P^ ~ R)
(எ.கூ 2) 04. ~T -> ( RS)
(எ.கூ 3) 05. /P- ( S-R)
(எ.கூ 4) 06. (P v ~ Q) – (R v S)
(2, இ நி நி வி.) 07. (P^ ~ R)
(3 எ.வி )
(7 எ.வி ) 09.
(P v ~ Q)
(8 .கூ வி ) 10. |(Rv S)
(6,9 வி. வி ) ~ R
(7 எ.வி ) 12. S
(10,11 ம,வி) 13, ( T-~S)
(3 எ.வி ) 14. ~T
( 12,13 ம. ம ) 15. ( R-S)
(4,14 வி. வி ) 16.
| (S-R)
(5,8 வி. வி ) 17.(S -R)
(15,16 நி நி இ, நி, வி.) ( (S -R)^ -R)
(11,17 இ . வி.)
08.
18.
பொதுவான விதிகள் விதி 9 மீட்டல் விதி
மீ வி
ஒரு P எடு கூற்றை திரும்பவும் அவ்வாறே முடிவாகவோ அல்லது வரியாகவோ பெறலாம்
என்பது மீட்டல் விதி எனப்படும். செய்கைகள்.
P ஃ P
(2) ~- Q ஃ ~ ~ Q 1. P எனக்காட்சி - 1. ~ ~ Q எனக்காட்டுக 2.|P (எ.கூ 1) - 2/~~Q (எ.கூ 1)
P (2 மீ வி )
3|~ ~ Q (2 மீ வி)
ஃ 6
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 1204
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

வி.தி 10 இரட்டை மறுப்பு விதி
P ஒரு எடு கூற்றில் இருந்து ~ ~ P இ. ம.வி
யை ஓர் வரியாகவோ அல்லது (1) ~~ (p (11) 4
முடிவாகவோ பெறலாம் என்பதும்
~ ~ P எடு கூற்றில் இருந்து P யை ஃஃ~~்
ஓர் முடிவாகவோ அல் லது வரியாகவோ பெறலாம் என்பதும்
இரட்டை மறுப்பு விதி எனப்படும். செய்கைகள் (1) P ஃ ~ ~ P
(ii) ~S ஃ ~~S 1. ~ ~ P எனக்காட்டுக
1. ~ ~ ~ S எனக்காட்டுக 2P .
(எ.கூ 1) - 2. - S' - (எ.கூ 1) ~ ~ P ( 2 இ. ம.வி.) 3.~~~ S ( 2 இ. ம.வி.)
பெறுகைகளை செய்கையில் கீழ்க்காணும்
யோசனைகள் உதவியாக இருக்கும் (1) பெறுகைமுறை அனுமானவிதிகளைப் பயன்படுத்தும் போது
பெறுகை யில் காணும் கூட்டு எடுப்புக்களை இனம் கண்டு , அதற்கு ஏற்றவாறு அனுமான விதிகளை பயன்படுத்துதல் வேண்டும்.
(உ - ம்) (P> Q). (P^ R) ஃ 0 இங்கு இருபால்நிபந்தனை எடுப்புவிதிகள், இணைப்புஎடுப்பு விதிகள் தேவைப்படும். இவ்வாறு கூட்டு எடுப்புக்களை கொண்டு
எந்த விதிகளைத் தேவை என இனம் கண்டு நிறுவுதல் வேண்டும். (2) (அ) வாதத்தின் முடிவு நிபந்தனை எடுப்பாக அமைந்தால் மட்டுமே
நிபந்தனைப் பெறுகையைப் பயன் படுத்து க. அதாவது. முன்னெடுப்பையும் பின்னெடுப்பையும் பிரிக்க உட்கிடை (->) மாறிலி வந்தால் மட்டுமே நிபந்தனை எடுப்பாகும்.
(உ - ம்)1. ஃ (P -> R) 2. ஃ P~ (S-T)
3. ஃR - (S-T) 4. ஃ (Pv 2) - R
5. ஃP - (0 + R) 6. ஃ (S v T)- (Qv R) (ஆ) வாதத்தின் முடிவு தனி எடுப்புக்கள் (ஃ P, ஃ ~ R , ஃ S,இணைப்பெடுப்புக்கள் ஃ (P^ Q), ஃ (R^ P)^ S, ஃ(P- Q) ^ R உறழ்வு எடுப்புக்கள் ஃ (P v Q), ஃP v (S-T) , ஃ (P> Q) v ~ R என வந்தால் நேர்ப் பெறுகை அல்லது நேரல்ப் பெறுகை பயன்படும். ஒரு வாதத்தின் முடிவை நேரடியாக நிறுவலாம் எனின் நேர்ப் பெறுகையைப் பயன்படுத்தவும். நேரடியாக நிறுவலாம் என்பதன் கருத்து எனக்காட்டுக. (முடிவு) என்பவற்றோடு எழுதும்
பெ
1ாக
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1.
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 105
بسزا
குறியீட்டு வாக்கியத்தைப் பெறக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். நேர்ப் பெறுகை மூலம் நிறுவ முடியாது போனால் நேரல்பெறுகையைப் பயன்படுத்துக.
(gd — tib) 1. (P —> Q). (P ^ ~ Q) 3%, R
இங்கு R முடிவு எடுகூற்றில் இல்லை. எனவே நேரல்ப் பெறுகையைப் பயன்படுத்துதல் வேண்டும். (gp - ib) 2. ( P —> Q) (P —> ~ Q) 3% ~P
இங்கு (முடிவு) ~ P யைக் நேர்ப்பெறுகை மூலம் காட்ட முடியாது. எனவே நேரல்ப் பெறுகையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். (3) தவறான எடுகோளைப் பயன்படுத்தலாகாது.
(அ) நிபந்தனைப்பெறுகையில் முன்னெடுப்பு எடுகோளைத் தவறாக எடுக்கக்கூடாது. (உ-ம்) 1. (P-> O)->R)->S எனக்காட்டுக எனில் எடுகோள்
((P->0)-PR) ஆகும். (P-> 0) என எடுத்தால் தவறாகும். 2. ~ P->(O->R) எனக்காட்டுக. எனின் ~P எடுகோளாகும்.
(ஆ) நேரல் பெறுகையில் முடிவின் மறுப்பை எடுகோளாக رئیس
எடுக்கும் போது தவறாக எடுக்கக்கூடாது. (உ-ம்) 1.(P^ 0) எனக்காட்டுக எனின் எடுகோள் ~ (P^ 0)
ஆகும். (~P^ ~0) என எடுத்தால் தவறாகும். 2.((P -> 0)->R) எனக்காட்டுக.என எழுதினால்
எடுகோள் ~ (P-> O)->R) ஆகும். இதை ~ (P-> 0)-> ~ R) என எடுத்தால் தவறாகும். 3. ~ (P-> 0) எனக்காட்டுக. எனின் எடுகோள்(P-> O) ஆகும். (~ P -> ~Q) எனின் எடுகோள் தவறானது ஆகும். 4. (PV (0 -> R) எனக்காட்டுக. இதன் எடுகோள்
~[P v (Q —> R)]. 94,gegjiʼb. Q9)60)g5 ~P v ~(Q -> R) 6T 60T. எடுத்தால் தவறாகும். 5. ~ R எனக்காட்டுக. இதன் எடுகோள் R ஆகும். இதை
~ ~ ~ R என எடுத்தால் தவறாகும். 6. R எனக்காட்டுக. இதன் எடுகோள் ~ R ஆகும். இதை
~ ~ R என எடுத்தால் தவறாகும். (04) எனக்காட்டுக என்பது வெட்டப்படாத காட்டுவரிகளுக்கு அனுமான
விதிகள் பிரயோகிக்கப்படலாகாது.
(உ- ம்) 1. (P-> ~0) எனக்காட்டுக
2. P (6t.gr. 1)
3. - O (1.2 வி. வி )
ஆசிரியர்: க. கேசவன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
 
 

இங்கு வெட்டப்படாத எனக்காட்டுக வரி மீது விதித்து விதித்தல்
விதிபாவிக்கப்பட்டுள்ளது. இது தவறாகும். (05) எந்தப்பெறுகையிலும் மீட்டல் விதியைப் பிரயோகிக்கையில்
(அ)முற்றுப்பெற்ற துணைப்பெறுகையில் அடைப்பட்ட எந்த வரியையும் பெறுகையில் மீளப்பயன்படுத்தலாகாது. ஆனால் (முற்றுப்பெற்ற) வெட்டப்பட்ட எனக்காட்டுக வரியை பெறுகையில் மீளப்பயன்ப டுத்தலாம். (ஆ) முற்றுப்பெறாத துணைப்பெறுகையில் எந்த வரியும் அதற்குள்
ஆரம்பிக்கப்பட்ட துணைப் பெறுகையிலோ பிரதான பெறுகை
யிலோ மீளப்பயன்படுத்த முடியாது. (06) எந்தப் பெறுகையும் அதன் கீழ் ஆரம்பிக்கப்பட்ட துணைப்
பெறுகை முற்றுப்பெறாமல் முற்றுப் பெறமுடியாது. (07)ஒரு பெறுகையில் அனுமதிக்கப்படக் கூடிய வரிகளாவன,
(அ) + குறியீட்டு வாக்கியம் எனின் (எளிதாயினும் கூட்டாயினும்) நீ எனக்காட்டுக என்பது ஒரு வரியாக அமையலாம். (ஆ) (->) எனக்காட்டுக என்பது, ஒரு வரியாகவரின் $ அதற்கு அடுத்தவரியாக ( நிபந்தனைப் பெறுகைக்கான ) எடு கோளாக அமையலாம். (இ) 4 எனக்காட்டுக என்பது நேரல் பெறுகை ஆயின் அதற்கு அடுத்த வரியில் ~ $ ( நேரல்ப் பெறுகைக்கான ) எடு கோளாக அமையும். (ஈ) எந்த எடு கூற்றும் வரியாக வரலாம். (உ) மேலே 2 முதல் 4 வரையுள்ளதற்கிணங்க எழுதப்பட்டவரிகளி லிலிருந்து அனுமான விதிகளில் பெறப்பட்ட எந்த அனுமானமும்
வரியாக வரலாம். (08) துணைப் பெறுகை செய்யும் போது பிரதான பெறுகையை முற்றுப்
பெறச் செய்யவே துணைப் பெறுகை செயற்படுகின்றது
என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும். (ஈ) பெறுகை முறைகள்.
மேற்கூறப்பட்ட அனுமானவிதிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு குறியீட்டு வாதத்தின் முடிவை அதன் எடு கூற்றுக்களில் இருந்து பெறுவதற்கு மூன்று முறைகளை நாம் கையாளலாம். இம்முறைகள் முறையே
நேர்ப்பெறுகை, நிபந்தனைப் பெறுகை, நேரல்ப் பெறுகை எனப்படும். (i) நேர்ப்பெறுகை:
வாதம் ஒன்றின் முடிவினை நேரடியாக நிறுவலாம் எனப்புலப்பட்டால் பயன்படும் பெறுகை நேர்ப் பெறுகை எனப்படும்.இம் முறையில் எடு கூற்றுக்களில் இருந்து முடிவைப் பெறுவதற்கு எடுகோள் எதுவும் பயன்படுத்துவது இல்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 106
முதலாவது வரி (முடிவு) எனக்காட்டுக எனும் வரியாகும். எனக்காட்டுக என்பவற்றோடு எழுதப்பட்ட குறியீட்டு வாக்கியம் பெறப்பட்டவுடன் நேர்ப்பெறுகை முற்றுப் பெறும். பெறுகை முற்றுப்பெற்றவுடன் எனக்காட்டுக எனும் வரி வெட்டப்பட்டு ஏனைய பகுதிகள் யாவற்றையும் ஓர்சதுர அடைப்புக்குறியினுள்
அடைக்கப்படல் வேண்டும். (உ-ம்) செய்கை
(P-> Q). P ஃ Q
1. Q எனக்காட்டுக 2!(P - Q) (எ.கூ.1) 3. P
(எ.கூ.2) 4) 0
(2ம் வரி 3ம் வரி வி.வி) விளக்கம்.: 4 ஆவது வரியில் Q வைக் காட்டியதும் பெறுகை
முற்றுப்பெற்று விட்டது. குறிப்பு: பெறுகை முறை 10 அனுமான விதிகளின் செய்கைகள் யாவும் நேர்ப் பெறுகையில் நிறுவப்பட்டுள்ளது எனபதைக் கவனித்தல் வேண்டும்.
(ii) நிபந்தனைப் பெறுகை
வாதம் ஒன்றின் முடிவு நிபந்தனை எடுப்பாக அமையும் போது பயன்படும் பெறுகை நிபந்தனைப் பெறுகை எனப்படும். முதலாவது வரி எனக்காட்டுக எனும் வரியாகும். நிபந்தனைப் பெறுகையில் எப்போதும் இரண்டாவது வரியில் முடிவின் முன்னெடுப்பு எடுகோளாக அமையும். முடிவின் பின்னெடுப்பு பெறப்பட்டவுடன் நிபந்தனைப்பெறுகை முற்றுப் பெறும். பெறுகை முற்றுப் பெற்றவுடன் எனக்காட்டுக எனும் வரிவெட்டப்பட்டு ஏனைய பகுதிகள் யாவற்றையும் ஓர் சதுர அடைப்புக்குறியினுள் அடைக்கப்படல் வேண்டும்.
(உ-ம்) செய்கை
(PQ). (0- R ) ஃ (P– R ) (1) (PR)
எனக்காட்டுக (2) P
(நி.பெ.எ ). (3)| (P> Q)
( எ.கூ.1) (4) Q
( 2,3, வி.வி ) (5) | (0-> R)
( எ.கூ.2) (6)LR
(ட45 விடவி)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 208 | ஆசிரியர்: க . கேசவன் |

விளக்கம் 6 வது வரியில் R பெறப்பட்டவுடன் நிபந்தனைப்
பெறுகை முற்றுப் பெற்று விட்டது. (iii) நேரல்ப் பெறுகை:
வாதம் ஒன்றின் முடிவினை நேரடியாக நிறுவலாம் எனப்புலப்படாது விட்டால் பயன்படும் பெறுகை நேரல்ப் பெறுகை எனப்படும்.
பெறுகையில் முதலாவது வரி எனக்காட்டுக எனும் வரியாகும். நேரல்ப் பெறுகையில் எப்போதும் இரண்டாவது வரியில் முடிவின் மறுப்பு எடுகோளாக அமையும். ஒரு நேரல்ப் பெறுகை எப்போது முற்றுப் பெறும் எனின் பெறுகையில் உள்ளதோர் வாக்கியமும் அதன் மறுப்பும் பெறப்பட்டவுடன் முற்றுப் பெறும். பெறுகை முற்றுப்பெற்றவுடன் எனக்காட்டுக எனும் வரி வெட்டப்பட்டு ஏனைய பகுதிகள் யாவும் ஓர் சதுர அடைப்புக்குறியினுள்
அடைக்கப்படல் வேண்டும்.
(உ-ம்) 01. (P - Q). (P> ~ Q) ஃ ~ P
முறை 1.1 ~ P
எனக்காட்டுக 2. P (நே.பெ.எ ) 3.(P -Q) (எ.கூ.1)
(2,3, வி.வி ) 5(P-> ~ Q) (எ.கூ.2) 6. ~ Q
(2,4 வி.வி ) விளக்கம் : இங்கு பெறுகை பூரணமாகி விட்டது ஏனெனில் ஒரு வாக்கியத்தையும் அதன் மறுப்பையும் ( 4ம் வரியில் Q வையும் ம்ெ வரியில் ~ Qவையும் ) எமது பெறுகையின் போது பெற்று விட்டோம். அல்லது முறை 2:- 1 - P
எனக்காட்டுக 2. P
(நே.பெ.எ ) 3.(P - 2)
( எ.கூ.1) 4. (0)
( 2,3, வி.வி ) 5 ( P-> ~ Q)
( எ .கூ.2) 6. - P
( 4,5 ம்.ம் )
விளக்கம்
இங்கு பெறுகைபூரணமாகி விட்டது ஏனெனில் ஒரு வாக்கியத்தையும் அதன் மறுப்பையும் ( 2ம் வரியில் Pயையும் 6ம் வரியில் ~ Pயையும் எமது பெறுகையின் போது பெற்று விட்டோம்.
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1209
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 107
~ Q
(உ - ம்) (02) (P - 0) (Q--> R ). ( P^ ~ R) ஃ S
முறை :1:1 S
எனக்காட்டுக 2. ~ S
(நே.பெ.எ ) 3.(P -> Q)
(எ.கூ.1) 4. (0-> R)
(எ.கூ.2) 5. (P^~ R )
(எ.கூ.3) 6. ~ R
( 5 எ வி )
(4,6 ம,ம) 8. P
(5 எ.வி ) - P
(3,7 ம,ம) விளக்கம். இங்கு பெறுகை பூரணமாகி விட்டது. ஏனெனில் 8ம் வரியில் P யும் 6 ம் வரியில் ~ P யும் பெறப்பட்டது.
அல்லது முறை 2: 1
எனக்காட்டுக 2. ~ S
(நே.பெ.எ ) 3. (P– Q)
(எ.கூ.1) 4. (QR)
(எ.கூ.2) 5. ( P^ ~ R)
(எ.கூ.3) 6. P
(5 எ.வி ) 7. ~ R
( 5 எ வி ) : 8. Q
( 3, 6 வி வி ) 9. ~ )
(4 ,7 ம்,ம்)
விளக்கம் இங்கு பெறுகை பூரணமாகி விட்டது ஏனெனில் 8 ம் வரியில் Q
வையும் 9ம் வரியில் ~ Qவும் பெறப்பட்டுள்ளது.
அல்லது முறை 3: 1 S!
எனக்காட்டுக 2. ~ S
(நே.பெ.எ ) 3. (P - Q)
(எ.கூ.1) 4.(Q-> R)
(எ.கூ.2) 5.)(P^ ~ R)
(எ.கூ.3) 6.P (!
(5 எ.வி ) 7.0
( 3, 6 வி வி ) 8. R
(4 ,7 வி வி ) 9. ~ R .
(5 , எ வி )
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

விளக்கம் : இங்கு பெறுகை பூரணமாகிவிட்டது. ஏனெனில் 8 ம் வரியில் R யையும் 9ம் வரியில் ~ R வும் பெறப்பட்டுள்ளது.
நேரல்ப் பெறுகையில் நாம் பொருந்தா முடிவு ஒன்றை பெற்றுக் காட்டும் முறையை பயன்படுத்துகின்றோம். இங்கு எடு கூற்றுகளும் எடுகோளும் சேரும் போது அல்லது தனியே எடுகோளில் இசைவீனம் உள்ளது என்பதையே எடுத்துக்காட்ட . முயலுகின்றோம். இரு வாக்கியங்கள் ஒருங்கே உண்மையாய் இருக்க முடியாதெனில் அவை முரண்பட்டவை என்பது தெளிவு. ஒரு வழக்கில் A,B எனும் இரு சாட்சிகள் முறையே பின்வருமாறு கூறுகின்றனர். A: கொலை நடந்தவன்று இரவு 8 மணியில் இருந்து 11 மணி
வரை கைதி கொழும்பிலிருந்தான் (1) B: கொலை நடந்தவன்று இரவு 9 மணியிலிருந்து 10
மணிவரை கைதி பொலநறுவையில் இருந்தான் (2) இங்கு ஒருவர் பொய் கூறுகிறார் என்பது தெளிவு. வாக்கியம் (1) உம் (2) உம் ஒருங்கே உண்மையாய் இருக்க முடியாது. ஆதலால் நியாயவாதிகள் செய்கின்ற குறுக்கு விசாரணைகள் பெரும்பாலும் இத்தகைய இசைவின்மைகளை வெளிக்கொணர்வதற்கெனவே மேற்கொள்ளப்படுகின்றது. இவ்விசைவின்மையின் ஒரு வகையே எதிர் மறை அல்லது முரண்பாடு எனப்படுவது. எதிர்மறையில் ஒன்றுக்கொன்று மறுப்பான இரண்டு வாக்கியங்கள் ஒருங்கே கூறப்படுகின்றன. இவ்வகையில் A: கொலை நடந்ததன் இரவு 8 மணியிலிருந்து 11 மணிவரை
கைதி கொழும்பில் இருந்தான் B:
கொலை நடந்தவன்று இரவு கைதி கொழும்பில்
இருக்கவில்லை, எனும் இரு வாக்கியங்களும் எதிர் மறைகள் (1) உம் (2) உம் ஒருங்கே உண்மையாய் இருக்கமுடியாது என்பது வெளிப்படை.
நேரல் பெறுகையில் பயன்படும் பொருந்தா முடிவு உத்தி 'பின்வருமாறு முடிவு ஒன்றை நிறுவுவதற்கு முதலில் அம்முடிவு பிழை என எடுத்துக் கொள்கிறோம். ( அவ்முடிவின் மறுப்பை உண்மை என எடுத்துக் கொள்கிறோம்) 'அவ்வெடுகோளில் இருந்தும் உள்ள எடுகூற்றுக்களில் இருந்தும் எமது எடுகோளை நிராகரிக்க எம்மை நிர்ப்பந்திக்கும் விளைவுகள் சிலவற்றைப் பெறுகின்றோம். வழமையாக எடுகோளின் விளைவாக நாம் ஓர் எதிர் மறையை அடைகின்றோம் நேரல்ப் பெறுகையில் எதிர் மறை ஒன்று ஏற்பட்டதும் பெறுகை முற்றுப் பெறுகின்றது. ஏனெனில்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 108
முடிவின் மறுப்பை நிராகரித்தால் முடிவும் நிறுவப்படுகின்றது. அதாவது முடிவைக்கூற எமக்கு நியாயம் உண்டாகின்றது. துணைப்பெறுகை
பிரதான பெறுகையை முடிப்பதற்கு அனுசரனையாக அதனுள் இடம் பெறும் ஒருபெறுகையே துணைப் பெறுகை அல்லது உப பெறுகை எனப்படும். ஒரு பிரதான பெறுகையை முற்றுப் பெறச் செய்வதற்கு ஒரு துணைப் பெறுகையோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட துணைப்பெறுகையோ ஆரம்பிக்கப்படலாம். துணைப்பெறுகை முற்றுப்பெற்றதன் பின்னரே பிரதான . பெறுகையை முற்றுப் பெறச் செய்தல் வேண்டும்.
துணைப்பெறுகை மூலம் நிறுவுவதற்கு தேவையான வரி புனையப்படுகின்றது. ( உருவாக்கப்படுகின்றது) நாம் இனித் * துணைப் பெறுகை செய்ய வேண்டிய இடங்கள் பற்றிச் சிந்தித்துக்
கொள்வோம். (1) ஒரு நிபந்தனைப் பெறுகை முடிவின் பின்னெடுப்பு பெறப்பட்டவுடன்
முற்றுப் பெறும். முடிவின் பின்னெடுப்பை எடுகோளையும் எடு கூற்றையும் பயன்படுத்தி பெற்றால் துணைப்பெறுகை தேவையில்லை. நிபந்தனைப் பெறுகை தலைப்பின் கீழ் எடுகோளையும் எடுகூற்றையும் பயன்படுத்தி பின்னெடுப்புப்பெறும் உதாரணத்தை முன்பு கற்றுள்ளோம். ஆனால் எடுகோளையும் எடுகூற்றையும் பயன்படுத்தி பின்னெடுப்பைப் பெறமுடியாது இருந்தால் அதைத் துணைப்பெறுகை மூலம் உருவாக்கி புனைந்து) கொள்ளல் வேண்டும்.
துணைப்பெறுகை மூலம் உருவாக்கப்படும் கூற்று முடிவின் பின்னெடுப்பு நிபந்தனை எடுப்பாக (P-O), (R-S),(pv Q)-R இருந்தால் துணை நிபந்தனைப் பெறுகையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும். நிபந்தனைப் பெறுகை எவ்வாறு முற்றுப் பெறுமோ (முடிவின் பின்னெடுப்பு பெறப்பட்டவுடன்) அதே போல் துணை நிபந்தனைப் பெறுகையும் முற்றப் பெறும், நிபந்தனை எடுப்புக்களை உருவாக்க மட்டுமே துணை நிபந்தனைப் பெறுகை பயன்படும்.
ஒரு நிபந்தனைமுடிவின் பின்னெடுப்பு இணைப் பெடுப்பாகவோ (P^Q)உறழ்வெடுப்பாகவோ(PvQ) தனிஎடுப்பு க்களாகவோ (P, ~R, S) இருந்தால் துணை நேரல்ப் பெறுகையை பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும். ஒரு நேரல்ப் பெறுகை எவ்வாறு முற்றுப் பெறுகின்றதோ ( வாக்கியமும் மறுப்பும்) அதே போல் துணை நேரல் பெறுகை முற்றுப் பெறும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

நிபந்தனைப் பெறுகையில் துணைப் பெறுகை
(01)
(02).
(03)
(2) P -> (Q-R). P->(R-> S) : P -> (Q->S)
01. P —> (Q ->R) tot 60T ởJSTTLÓGIU, 02. Р (நி.பெ.எ) O3. (O ->S) எனக்காட்டுக (0.4 O (. து. நி.பெ.எ) 05 P —> (Q -->R) (GT.g., 1) 06 P حسب ) Rجس S) (Gr .9 يون( 07. P ( 2 L5 @@) O8. (Q ->R) (5 7 வி வி) 09 (R-> S) (6 7 வி வி) 10. R (4 8 வி வி) 11. S (9 10 ഖി ഖി)
(P - ~ O)3 { P-> Q ->(R->S)}
01 . P->O->(R->S)} at Gorgotter, 02 Р (நி.பெ.எ)
O3 O->(R->S) எனக்காட்டுக 04. O ( து. நி.பெ.எ) 05. (R->S) aToUTöGITL“ (505 06. | R ( து. நி.பெ.எ) 07. S எனக்காட்டுக 08 S ( து. நே.பெ.எ) O9. (P^ - O) (6 T. Fn. I) 10, O ( 4 மீ வி)
11, ۶ نہ O ( 9 எ.வி )
(pro) 3 P-ج ) P >جO(
01. P-> (Q --> O) j, J.Tri frig; 02. Р (நி.பெ.எ) O3. ( P --> O) எனக்காட்டுக
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 109
04
(P-> Q)
05.
(P^ Q)
06. 07.
08.
( Q -> P)
எனக்காட்டுக ( து. நி.பெ.எ) (எ.கூ 1) (6 எ.வி ) எனக்காட்டுக ( து. நி.பெ.எ) (எ.கூ 1) (10 எ.வி ) (4,8 நி.நி.இ. நி.வி.)
10.
(P^ Q)
12.
( P => Q)
(04)
01. 02.
03.
0)?
(P^~ Q) ஃ R– ( P - 2)
R-> ( P e Q) எனக்காட்டுக
(நி.பெ.எ) ( P Q)
எனக்காட்டுக 04.
( P -> Q)
எனக்காட்டுக 05.
( து. நி.பெ.எ) 06.
எனக்காட்டுக 07.
~ Q
( து.நே.பெ.எ) 08.
(~P ^~ Q)
(எ.கூ 1)
09
( 5 மீ , வி)
( 8 எ. வி) (0 - P)
எனக்காட்டுக 12.
( து.நி.பெ.எ) 13.
எனக்காட்டுக 14.
~ P
( து.நே.பெ.எ) (-P ^~ Q)
(எ.கூ 1) ( 12 மீ , வி)
( 15 எ. வி) ( P - Q)
(4,11 நி.நி. இ. நி.வி.).
P.
10.
~ p
11.
~ 0
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

(05) ~ (Pv Q) ஃ R = ( ~P^ ~ Q) முறை101. R - (~P^-0)
எனக்காட்டுக 02. R
( நி, பெ, எ) 03 ( P^~0)
எனக்காட்டுக 04|| ~ (~ P^ ~ Q)
( து.நே.பெ.எ) 05]] - P
எனக்காட்டுக 06/) |
( து.நே.பெ.எ) |( P v Q)
( 6, கூ வி) ~ (P v Q)
(எ.கூ 1) 09)
~ Q
எனக்காட்டுக
( து.நே.பெ.எ) (Pv Q)
( 10, கூ வி) - ~ (Pv Q)
(எ.கூ 1) 13||
(-P '~ Q)
( 5,9 இ வி) 14||
~ (P^- 2)
( 4, மீ.வி)
|0
முறை 2
01. R– (-P^~ Q) 02. R 03. ~ P
- P 04 IIP 05. | (Pv Q) 06.
~ (.P v 2) ~ ) 0
(Pv Q) 10.
~ (P v Q) 11.
(-P - 2)
எனக்காட்டுக (நி.பெ.எ ) எனக்காட்டுக ( து.நி.பெ.எ) ( 4, கூ வி) (எ.கூ 1) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ) ( 8, கூ வி) (எ.கூ 1) ( 3,7 • இ வி)
07. 08.
09.
விளக்கம் 11வது வரியில் (- P ^~ Q) காட்டப்பட்டதும் பெறுகை
முற்றுப் பெற்று விட்டது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
215
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 110
(06) ~ (P^ Q) ஃ R– (-P v~ Q)
01. R– (~P v~ 2)
எனக்காட்டுக 02. R
(நி.பெ.எ) 03. (-P V~ Q)
எனக்காட்டுக 04. | ~ (-P v~ Q)
( து.நே.பெ.எ) 05. P
எனக்காட்டுக 06. ~P
( து.நே.பெ.எ) 07. (- Pv ~ Q)
( 6, கூ வி) 08./l) ~ (-P v~ Q)
(4 மீ வி)
எனக்காட்டுக 10. ~ Q
( து.நே.பெ.எ) 11. (~ Pv~ Q)
(10 கூ வி) 12. ~ (~P v~ Q)
(4 மீ வி) 13. | (P^ Q)
( 5,9 இ வி) 14.)
~ (P^Q)
(எ.கூ 1)
~P
முறை! (07) P- (Q- R) ஃ ~ R-(- PV ~ 2)
01. ~ R– (- PV ~Q)
எனக்காட்டுக 02.
~ R
(நி.பெ.எ) 03. (-P V ~ Q)
எனக்காட்டுக ~ (~P v ~ Q)
( து.நே.பெ.எ) 051) p
எனக்காட்டுக
( து.நே.பெ.எ ) (-P V ~ Q)
( 6 கூ வி) (PV ~ Q)
(4 மீ வி) P' - (0-> R)
(எ.கூ 1) (Q> R)
( 5,9 வி வி) ~ R
(2 மீ வி) ~ 0
( 10, 11 ம ம ) (-Py ~Q)
( 12 கூ வி) * ~ (~P V ~ Q)
(4 மீ வி)
3 8 ?
12.
13.
14.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
216)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

அல்லது முறை 2
01 ~ R (~PV - O) 02. ~ R 03.) (-P v ~Q) 04.) ~ (~P v ~ Q) 05.)| ~P 06. (P 07.||TP - (Q> R)
(Q- R) IT- R |-Q
(~P v ~0) - (-P v ~ Q)
(-P v ~Q) 14.
|-( ~PV ~ Q)
எனக்காட்டுக (நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ) (எ.கூ 1), (6,7 வி,வி) (2 மீM) (8,9 ம ம) ( 10 கூ வி) (4 மீ வி) ( 5 கூ வி) (4 மீ வி ).
(08) (P-Q) - (R-S) ஃ (P^ R) - (Q- S)
01. (P^ R) - (Q– S)
எனக்காட்டுக 02. (P^ R)
(நி.பெ.எ) 03. R
(2 எ , வி) 04. (Q-> S)
எனக்காட்டுக 05. 0 .
( து.நி.பெ.எ) 06.|| (P - Q)
எனக்காட்டுக 07. I(P
( து.நி.பெ.எ ) I10
(5 மீ , வி) (P -> Q) - (R-S)
(எ.கூ 1) ( R->S)
(6,9 வி.வி) (3 மீ , வி) (10,11 வி.வி)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I -
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 111
(09)
01
03
05
(- P> ~ Q) - ( ~ RS) ஃ (~ S^~Q)- (~R -> ~P)
(~ S ^~Q) - (~R -> -P) எனக்காட்டுக (~ S^ ~Q)
(நி.பெ.எ) ~ S
(2 எ , வி) 04.
(-R -> ~P)
எனக்காட்டுக ~ R .
( து .நி.பெ.எ ) 06.
- P
எனக்காட்டுக
07.
P.
( து.நே.பெ.எ) (- P - ~ Q
எனக்காட்டுக 09,
( து.நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ)
(7 மீ , வி) - P
( 9 மீ , வி) (- P> ~ Q) - (~ R-S)
(எ.கூ 1) ( ~ RS)
(8,14 வி,வி) ~ R
(5 மீ , வி) ( 15,16 வி ,வி) (3 மீ , வி)
10.
7 |O
14
பி*
~ S*
எனக்காட்டுக
02
~S
R
(10) (P -> (Q - R) - S ஃ (~S -> ~R)
01. (~S - ~ R)
(நி.பெ.எ): 03)
~ R
எனக்காட்டுக 04||
(து.நே.பெ.எ) 05.|| (P -> (Q - R) -> S
(எ.கூ 1) 06|| ~S
( 2. மீ.வி) 07|| ~ [P – (Q - R)]
(5,6 ம ம) 08|| (P - (Q- R)
எனக்காட்டுக 09|| P
( து.நி.பெ.எ) 10!|| (Q -> R)
எனக்காட்டுக 11/IIIQ
( து.நி பெ.எ) 12/ா
( 4 மீ. வி)
R
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(11) P. (- Q^ ~R)ஃ R–> (Ps (QR)]
01.
R– [Ps (Q- R)].
02.
R
03.
(P= (0+ R)] (P-> (Q> R)]
04
05,
P
(0 R) (0-> R)] Q
எனக்காட்டுக ( நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக எனக்காட்டுக ( து நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக எனக்காட்டுக ( து. நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ) (எ .கூ 1) ( 8 மீ. வ) ( 11எ.வி).
~ R (~ Q^ ~R)
Q
- O ( R-->Q) R
எனக்காட்டுக
~ Q (- 0^ ~R)
18.
R
8 8 8 8 8 8 8 8 8
~ R (QR) (0+ R) -> P (0+ R) P. - P ( R–Q)
( து. நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ ) (எ.கூ 1) ( 15 மீ. வ) (18எ.வி) (7.14 நி.நி.இ.நி.வி) எனக்காட்டுக ( து. நி.பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து.நே.பெ.எ) (23 இநி.நி.வி) ( 2 மீ. வீ) (எ.கூ 1) ( 26,27 வி வி) ( 28 எ.வி) (4. 22 நி.நி.இ நி)
R
(- Q^ ~R)
0
~ O
31.
(P> (0+ R)]
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க , கேசவன்

Page 112
(02)ஒரு நேரல் பெறுகை பெறுகையில் உள்ளதோர் வாக்கியமும் மறுப்பும் பெறப்பட்டவுடன் முற்றுப் பெறும். எடுகோளையும் எடு கூற்றையும் பயன்படுத்தி வாக்கியமும் மறுப்பும் பெறக்கூடியதாக இருந்தால் துணைப் பெறுகை தேவையில்லை . நேரல்ப் பெறுகை எனும் தலைப்பின் கீழ் எடுகோள் எடுகூற்று என்பவற்றைப் பயன் படுத்தி வாக்கியம் மறுப்புக்காட்டும் முறையை முன்னர் கற்றோம். எடுகோளையும் எடுகூற்றையும் பயன்படுத்தி வாக்கியத்தையோ அதன் மறுப்பையோ அல்லது இரண்டையுமோ பெறமுடியாது இருந்தால் அதைத் துணைப்பெறுகை மூலம் உருவாக்கிக் оотстои வேண்டும். உருவாக்கப்படும் கூற்று நிபந்தனை எடுப்பாக இருந்தால் (P-> O), (R->S), (PV O)-> R துணை நிபந்தனைப் பெறுகை பயன்படும். நிபந்தனைப் பெறுகை எவ்வாறு முற்றுப் பெறுகின்றதோ (முடிவின் பின்னெடுப்பு பெறப்பட்டவுடன்) அதே போல துணை நிபந்தனைப் பெறுகையும் முறறுப் பெறும். நிபந்தனை எடுப்புக்களை உருவாக்க மட்டுமே துணை நிபந்தனை பெறுகையை பயன்படுத்துதல் வேண்டும்.
உருவாக்கப்படும் கூற்று இணைப்பெடுப்பாகவோ (P^0) உறழ்வெடுப்பாகவோ(Pv Q) தனி எடுப்புக்களாகவோ ( P, CR, S) இருந்தால் துணை நேரல்ப் பெறுகை பயன்படுத்த வேண்டும். எவ்வாறு நேரல்ப் பெறுகை முறறுப் பெறுகின்றதோ ( வாக்கியமும் மறுப்பும்) அதே போலவே துணை நேரல்ப் பெறுகையும் முற்றுப் பெறும்.
நேரல்ப் பெறுகையில் துணைப் பெறுகை
(01). ~ (P->O). Q R
01. || R எனக்காட்டுக 02. --R ( நே.பெ.எ) 03. (P ->Q) * ਹਨੇਹ 04. P ( து.நி.பெ.எ) 05, O (எ.கூ. 2)
06, − (P →Q) * (6r gr. 1)
(02) up6op 1 (P->O) —> R. Q & R
01. R 02. ~ R
ஆசிரியர்: க. கேசவன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
 

(எ.கூ 1)
(P ->Q) - R 04. | ~ (PQ) * 05,
(PO) *
( 2,3 ம ம)
g் 38 5)
06
உ O
எனக்காட்டுக ( து.நி.பெ.எ) (எ.கூ 2)
07,
முறை 2
01, R
எனக்காட்டுக 02. ~ R*
(நே பெ.எ) 03. (P -Q)
எனக்காட்டுக 04. |P -
( து. நி.பெ.எ) 05. | Q
( எ.கூ 2) 06. (P -Q) –> R ( எ.கூ 1) 07. |
( 3,6 வி.வி).
R*
(03)முறை 1
(-P -Q) ஃ (Pv Q) 01 (Pv Q) 02. ~ ( P v Q) 03. ~ P 04.[P
(P v Q) ~ ( P v Q)
(- P-->Q) 08. Q
(Pv Q)
எனக்காட்டுக (நே பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து. நே.பெ.எ) ( 4 கூ,வி) ( 2 மீ,வி) (எ.கூ 1) (3,7 வி,வி ) ( 8 கூ,வி)
முறை 2
01. (Pv Q) 02. ~ ( P v Q) 03. P 04. ~P
எனக்காட்டுக (நே பெ.எ) எனக்காட்டுக ( து. நே.பெ.எ)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 113
05. (~ Pு Q) 06.0, 07. (Pv Q)
~ (Pv Q) (Pv 0)
( எ.கூ 1) ( 4,5 வி,வி ) (6 கூ,வி) ( 2 மீ ,வி)
( 3 கூ ,வி)
08,)
~ P
P
(04) ~ (Pv ( Q->R)] ஃ (~ P^~ (Q- R)]
01. (- P^~ (0- R) எனக்காட்டுக 02.
~ (- P^- (0-> R))
( . நே.பெ.எ ) 03.
எனக்காட்டுக 04. |
( து. நே.பெ.எ)
05.
(P v ( Q-R)] |
( 4 கூ ,வி) ~ (Pv ( Q - R))
(எ.கூ 1) ~ (0-> R)
எனக்காட்டுக (0-> R)
( து. நே.பெ.எ) 09.
[P v ( Q - R)]
( 8 கூ ,வி)
10.
~ (Pv ( Q->R))
'(எ.கூ .1) 11.
[- P^~ (Q> R)
( 3.7 இ,வி)
(05).
(Pv 2) - (Rv S). ~~(-S ^P). (U ->~R) ஃ[( - U^P) ^ (RP) 01 [( ~ U ^P) ^ (R -P)]
எனக்காட்டுக 02. ~ [( ~ U^P)^ (R -P)]
( நே.பெ.எ) 03
(Pv Q) > (Rv S).
(எ.கூ 1) ~~ (~S ^P)
(எ.கூ 2) (U --R)
(எ.கூ 3) (Pv 2) - (Rv S)
( 3. இ, நி, நி,வி) (-S ^P)
( 4. இ, ம,வி) 08,|
( 7 எ வி) 09, (Pv Q)
( 8 கூ வி) 10. ( Rv S)
( 6,9 வி வி )
05.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
222
ஆசிரியர்: க ., கேசவன்

*س
11. -S ( 7 στοιη) 12 R ( 10,11 LD,6)5)) 13 - Ս ( 5,l2 4. D, LD) 14 ( ~ UP) ( 8,13. இ.வி) P( চ্যালোচনীতিج>R) || [15 | 16 || (R -> P)) στοστό υπτ (Elυ, 17 || || R (து.நி.பெ.எ.) 18 P ( 8 மீ வி) 19|| (P->R)] gig 20 IP ( து.நி.பெ.எ.) 21 || || R ( 12 மீ வி)
22|| (R < > P) - (16,19 நி நி இ நி வி)
23 ( ~ UP) * (R <>P) ( 14, 15 g. 65.)
24 ~(~UP) - (R <->P) ( 2 is 6.5)
குறிப்பு 10 அனுமான விதிகளும் பிரசூயாகிக்கப்பட்டுள்ளது.
(உ) தேற்றம்.
ஒரு வெறிய எடுகூற்றுத் தொடரை உடைய (எடு கூற்று இல்லாத) ஒரு வாய்ப்பானவாதத்தின் முடிவே தேற்றம் எனப்படும்.
அதாவது எமது உய்த்தறிவு முறைப்படி ஏற்கப்படக்கூடிய
(அல்லது உண்மையான) வாக்கியமே தேற்றம் எனப்படும். எனவே தேற்றம் ஒன்றிற்கு எடுகூற்றுக்கள் இல்லை. முடிவுக்கூற்று மட்டுமே காணப்படும்.
பெறுகையை நிறுவ அனுமான விதியாக தேற்றம் பயன்படும். பிரதியீடும் செய்யலாம். பெறுகையை இலகுவாக நிறுவலாம். அதாவது நீண்ட வரியில் நிறுவும் ஓர் பெறுகையை தேற்றத்தைப் பிரதியீடு செய்வதன் மூலம் சுருக்கமாக நிறுவி முடிக்கலாம். (?» - 122) (01) (P -> P)
01. (P ->P) żynió5u,
O2. P
03. P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 114
(02) Q -> (P->O)
01. Q -> (P ->O) எனக்காட்டுக 02. O (நி.பெ.எ.) 03. (P -> O) எனக்காட்டுக O4. P ( து.நி.பெ.எ.) 05. O ( 2 மீ வி)
(03) (P —>Q) —>[(Q->R) -> (P ->R)]
01 (P ->Q) —>[( Q->R) —> (P ->R)) star jsUTTLIGE
02l (Ꮲ ->O) (நி.பெ.எ.) 03|| ( Q->R) -> (P ->R) stesorj, JOTTLIG 04|| ( Q->R) (நி.பெ.எ.) 05|| (P ->R)) எனக்காட்டுக 06 P (நி.பெ.எ.) قد 07 O ( 2.6 வி வி) 08|| R ( 4.7 வி வி)
(04) ( P v- P)
01. (P v~ P) எனக்காட்டுக 02, ~ ( P v~ P) ( நே.பெ.எ) 03, P : எனக்காட்டுக 04 - P. (நே.பெ.எ.) 05|| ( P v~ P) ( 4 கூ வி) 06|| ~ (P v~ P) ( 2 மீ வி) 07| ( P v~ P) ( 3 கூ வி)
(05) ~ (P ^ Q) <-> (~ P v ~ Q)
01. - (P ^ O) --> (- P v - O) areorăUITE 6a , 02 - (P^ Q) → (- P v - Q)ersorgsomróGr. 03 ~(P^ Q) (நி.பெ.எ.)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 22 ஆசிரியர்: க. கேசவன்

07.|
09.||
04. (- Pv ~ Q)
எனக்காட்டுக | '~ (-P v ~ Q)
(நே.பெ.எ.)
எனக்காட்டுக III ~ P
(நே.பெ.எ.) (- P v ~ Q)
(7 கூ.வி) ~ (- P v ~ Q)
(5 மீ.வி)
எனக்காட்டுக 11.||
(நே.பெ.எ.) 12.
(~ P v~ Q) '
(11 கூ.வி) ~ (- P v ~ 2)
(5 மீ.வி) 14.
(P^ Q)
(6,10 இ.வி) 15.
~ (P^ Q)
(3 மீ.வி) ~ (- PV ~ Q) -> ~ (P^ Q) எனக்காட்டுக 17.|
(-P v ~ Q)
(நி.பெ.எ.) 18.
~ (P^ Q)
எனக்காட்டுக 19.||| (P^ Q)
( நே.பெ.எ.) (19 எ,வி)
(19 எ.வி) 22.l-Q
(17, 20 ம.வி) 23. ~ (P^ Q) - (- Pv~0) (2, 16 நி நி இ நி வி)
16.
(06) { ((P - 0) – R ] –S } -( ~ S –~ R)
01. {[(P - 2)- R] ->S } -( ~ S ~ R) எனக்காட்டுக 02 ((P - Q) R)] --S} ( நி.பெ.எ.) 03) ( ~ S -~ R)
என க்காட்டுக 04 ~S
( நி.பெ.எ.) 05|| ~ R
எனக்காட்டுக 06||
( நே.பெ.எ.) 07| ~ (P-(Q> R)]
(2.4 ம்,ம்) 08 || ( P –(Q– R)]
எனக்காட்டுக
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (225)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 115
09lIII P
( நி.பெ.எ.)
எனக்காட்டுக
10II (Q- R) 11||
( நி.பெ.எ.) ( 6, மீ.வி)
(07) ~ (P -> Q)-> P
01. ~ (P - Q)- P எனக்காட்டுக 02. ~ (P- Q)
( நி.பெ.எ.) 03, P
எனக்காட்டுக 04. | ~P
( நே.பெ.எ.) (P - 2)
எனக்காட்டுக
( நி.பெ.எ.)
எனக்காட்டுக
8 8 8 8 8 9 -
~ Q
( நே.பெ.எ.) ( 6 மீ. வி.) ( 4 மீ. வி.) ( 2 மீ. வி.)
~ P
~ (P -> Q)
(08) (P -> P) V P
எனக்காட்டுக
01. (P - P) v P 02 ~ [(P - P) v P) 03. (P - P)
( நே.பெ.எ.)
எனக்காட்டுக
04. //p
( நி.பெ.எ.)
05. ||P,
05.
( 4 மீ.வி)
06. |
(P -> P) v P
( 3 கூ.வி)
( 2 மீ.வி)
~ [(P -> P) v P)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(09) P - [( P^ Q) v (P^ ~ Q))
01 P - [( P^ Q) v ( P^ ~ Q)] எனக்காட்டுக 02. P
( நி.பெ.எ.) [( P^Q) v (P^~Q)).
எனக்காட்டுக ~ [( P^ Q).v (P^ ~ Q)]
( நே.பெ.எ.)
எனக்காட்டுக ~ 0
( நே.பெ.எ.). T(P^ ~ Q).
( 2.6 இ வி.) 08.//[( P^ Q) v (P^ ~ Q)
(7கூ.வி ) - [( P^Q) v (P^~Q) ( 4 மீ.வி) (P^ Q)
( 3.7 இ வி.) [( P^Q) v (P^ ~ Q).
( 10 கூ.வி) 12.
~ [( PA Q) v (P^ ~ Q)
( 4 மீ.வி) '
09.
11.
P -> P என்பது எமது முறையின் படி நிறுவப்படக்கூடிய ஒரு வாக்கியம் என்ற முறையில் ஓர் தேற்றமாகும். இவ்வாக்கியம் செய்கை ஒன்றில் நிறுவிக்காட்டப்பட்டுள்ளது.
01. P -> P 02. Q - (P -Q) 03. (P> Q) –[(Q– R) –(P> R ) 04. (P ->(Q– R )]- (P -Q)- (P - R)] 05 [P -(Q– R )]-[Q -(P - R)]
(P-~~P) 07. (P -Q) -( ~ Q ->~P)
~P - ( P> Q) 09. ~ (P -Q) ->~ Q 10. ~ (P> Q) -P
இவை எமது முறையின்படி நிறுவப்படக்கூடிய தேற்றங்க ளில் சிலவாகும். நிறுவும் போது ஏலவே பெறப்படட்ட தேற்றங்களை இம் முறையினுள் பயன்படுத்தல் கூடும். இப்படியான தேற்றங்களை பயன்படுத்தும் போது பிரதியீட்டுப் பேறு என்பது பற்றிய விளக்கம் இருக்கவேண்டும். உதாரணமாக எமது முதலாவது தேற்றம் P - P எனக் கூறுகின்றது. இப்போது ( Q- Q) நிறுவ வேண்டும் எனக் கொள்வோம். முதலாம் தேற்றத்தின் நிறுவலில் P வரும் இடமெல்லாம் Q வை இட்டால்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
(227)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 116
(Q--> Q) என்பதற்கான சரியான நிறுவல் கிடைக்கும் என்பது சற்று சிந்திப்போமானால் புலப்படும்.
(~ R– Q) - (~ R –Q) நிறுவ வேண்டுமெனின( P -P) நிறுவலில் Pவரும் இடமெல்லாம் (-R–0) என்பதை இடுவது அல்லது (Q-O) எனும் நிறுவலில் Q வரும் இடமெல்லாம் ( ~R-> Q) என்பதை இடுவது போதியதாக இருக்கும். ஒரு தேற்றத்தை நிறுவும் போது உண்மையில் மேற்காட்டப்பட்டுள்ள வகையான பிரதியீடுகள் மூலம் ஏனைய பல தேற்றங்களை நாம் நிறுவுகின்றோம் என்பதை இது எடுத்துக்காட்டுகின்றது. இத்தகைய தேற்றவகைகள் ஒவ்வொன்றையும் நிறுவுவதற்கு எத்தனிப்பது வீணாகும். கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு தேற்றத்தின் பிரதியீட்டு பேறு பற்றிய விளக்கம் இருந்தால் தேவையற்ற இந்நிறுவல்களை தவிர்த்துக் கொள்ளலாம்.
ஒரு குறியீட்டு வாக்கியத்திலுள்ள வாக்கியமாறியை அல்லது மாறிலிகளை வேறு குறியீட்டு வாக்கியங்களாலும் அல்லது வாக்கிய மாறிகளாக பிரதியீடு செய்து பெற்றுக் கொள்ளும் வாக்கியத்தினையே பிரதியீட்டுப் பேறு என்போம் பிரதியீடு செய்யப்படும் ஒவ்வொரு மாறியும் ஒரே குறியீட்டு வாக்கியத்தினால் அல்லது வாக்கிய மாறியினால் பிரதியீடு செய்யப்படும். இங்ஙனம் (~ R-Q) - (~R-> Q) என்பது (P - P) இன் ஓர் பிரதியீட்டுப் பேறாகும். இங்கே (P -> P) முழுவதிலும் (~ R -Q) எனும் குறியீட்டு வாக்கியம் வாக்கியமாறி Pஎன்பதற்கு பதிலாகபிரதியீடு செய்யப்பட்டு ள்ளது. இவ்வாறே (Q -Q) என்பது (P -> P) யில் ஒரே சீராக P க்குQ வைப் பிரதியீடு செய்து பெற்றுக் கொள்ளப்பட்டதாகும். (P - P) என்பது (~ R –Q)--( ~R– Q) என்பதன் பிரதியீட்டு பேறு அல்ல என்பதை விளங்கிக் கொள்ள வேண்டும்.
1 தேற்றங்களின் பிரதியீட்டுப் பேறுகளும் தேற்றங்கள் ஆகும் என்ற உண்மையை இங்கு நாம் அவதானிக்கலாம். அத்துடன் தேற்றம் ஒன்றின் பிரதியீட்டு பேற்றின் நிறுவலை தேற்றத்தின் நிறுவலிலே உரிய பிரதியீடுகளைச் செய்து பெற்றுக் கொள்ளலாம் என் முன்னரே கண்டுள்ளோம். வாய்ப்பான எமது நிறுவல்களை பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்தி சுருக்கமாக நிறுவலாம்.
ஏலவே நிறுவப்பட்ட தேற்றம் ஒன்றின் பிரதியீட்டுப் பேறுகள் பெறுகைகளில் வரிகளாக வரலாம். ஏனெனில் இவ்வரிகளுக்கான விளக்கக்குறிப்பு தேற்றத்தினையும் பிரதியீட்டுப் பேறினையும் குறிக்கும். உதாரணமாக முதலாவது தேற்றத்தில் P க்கு(~R-> Q) வைப் பிரதியீடு செய்து (~ R->Q)-(-R-->0) பெற்றோமாயின் வரியும் விளக்கக்குறிப்பும் பின்வருமாறு அமையும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
228
ஆசிரியர்: க , கேசவன்

(உ-ம்) (01) (~ R --> Q) (~ R– Q) தேற்றம் 1 (உ-ம்) (02) P - (0-> ~ ~ Q)
என நிறுவுக
- P_0 01.
P -> ( Q ~ ~ Q)
- என காட்டுக P' (நி பெ எ) 03. (Q– ~ ~ Q) (தே 6 P/Q)
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (0- R)- ((P -Q)-> (P ->R ))
(0-R)- Q] --> 0 03. (P-- ~P)-~P 04.தேற்றம் 1,05.தேற்றம் 5 06.தேற்றம் 4 02. என்ன பிரதியீட்டினால் 01, [( R– T)-> ~ ( R ->T)]என்பது
[( P->~P)-~P]இன் பிரதியீட்டுப்பேறாகின்றது. 02.
{[( P>> R)--> R] – (PR)}- (P->R) என்பது
[(Q- R)- Q]--> Qவின் பரதியீட்டுப் பேறாகின்றது 03. [( R-> S) -P]-[~ (R-S) --P) என்பது
(P-> Q) –~(~PPQ)வின் பிரதியீட்டுப் பேறாகின்றது. பின்வரும் வாதங்களை உய்த்தறிவு முறையின்மூலம் நிறுவுக. 01.
(Pv ~ Q)- R. (P--R) - (0 v S) ~ Q ஃ(S^ R) 01. (S^ R) எனக்காட்டுக. 02. (P v ~ Q)-> R( எ. கூ 1) 03. |
~ Q
(எ. கூ 3) 04. (PV ~ 2)
( 3, கூ லி)
( 2,4 வி வி) 06.
(P->R)
எனக்காட்டுக. 07.
( நி. பெ. எ) 08. TIR
( 5 மீ வி) 09. (P->R) - (0 v S) ( எ. கூ 2) 10.) (0 v S)
( 6, 9 விவி) 11. S
(3, 10 ம, வி) 12.) (S + R) (5, 11 இ வி) 02. (P -Q) -> R. Qஃ R 01.R .
எனக்காட்டுக. 02. (P -0) எனக்காட்டுக. 03. P
( நி. பெ. எ)
( எ. கூ 2) 05. (P -> Q)--> R (எ. "கூ 1) 06. R. ( 2,5 வி வி)
R.
P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
229
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 117
அத்தியாயம் -11 அடிப்படை உண்மை அட்டவணை
அடிப்படை உண்மையட்டவணையில் முதல்உண்மைப் பெறுமா னத்தைப் பெறுவது வாக்கியமாறிகள் ஆகும், பின்னர் வாக்கிய மாறிகளிள் இருக்கும் உண்மைப்பெறுமானத்தைக் கொண்டு மாறிலி களின் உண்மைப் பெறுமானம் நிர்ணயிக்கப்படும். இவைகள்பற்றிய விளக்கம் அத்தியாயம் 8 இல் மாறிகள், மாறிலிகள் எனும் தலை ப்பின்கீழ் உண்மைப்பெறுமானம் நிர்ணயிக்கும் முறை ஆராயப்ப ட்டுள்ளது.
P
V
T
T
F
T | F
Q T |
- T |
T - F
|F | F T |
F
T
F
T
T
T |
F
| F | F| T | F| F |
T
இவ்வுண்மையட்டவணையை ஏற்றுக்கொண்டு வாதங்களின் வாய்ப்பை இவ்வட்டவணையைக் கொண்டு ஆராய்வோம். (இ) வாதங்களை வாய்ப்புப் பார்த்தல்:வாதம் என்பது
எடுகூற்றுக்களையும் முடிவுக்கூற்றையும் கொண்டிருக்கும், ஒரு வாதத்தின் முடிவை அதன் எடுகூற்றுக்களிலிருந்து (நியமமாய்) பெறமுடியும் எனின் அவ்வாதம் வாய்ப்பானது ஆகும். வாதங்களின் வாய்ப்பை நிர்ணயிப்பதற்கு பெறுகைமுறை அடிப்படை உண்மை யட்டவணை , நியாயத்தொடை விதிகள் அளவுபடுத்தப்பட்ட குறியீடுகள் எனும் முறைகள் உண்டு உண்மையட்டவணை முறையில் அடிப்படை உண்மையட்டவணையைக் கொண்டுவாதத்தின்வாய்ப்பைத் தீர்மானிக்க
இரு முறைகள் உண்டு. (01) நேர்முறை (02) நேரல் முறை
(அ) A நேர்முறை ' (அ) A நேரல் முறை (ஆ.) B நேர்முறை(ஆ) B நேரல் முறை
(01) நேர்முறை வாய்ப்புப் பார்த்தல்
தமிழ்மொழியில் அமைந்த வாக்கியங்களை குறியீட்டிற்கு மாற்றியோ அல்லது குறியீட்டுவாதங்களையோ நாம் வாய்ப்புப் பார்க்கின்றோம். எடுகூற்றுக்களில் ஆரம்பித்து முடிவுக் கூற்றுக்குச்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (20 | ஆசிரியர்: க . கேசவன் |

'சென்று வாதங்களின் தகுதியைச் சோதிப்பது அடிப்படை உண்மை
யட்டவணை நேர்முறை வாய்ப்புப் பார்த்தல் எனப்படும்.
முதலில் வாதத்தில் உள்ள மாரியின் எண்ணிக்கையைக்கொண்டு மாறியின் உண்மையட்டவணையை நிர்ணயித்தல் வேண்டும். பின்னர் முன்னெடுப்புக்கள் பின்னெடுப்புக்களைக் கொண்டு மாறிலியின் உண்மையட்டவணைப் பெறுமானத்தை நிர்ணயித்தல் வேண்டும்.
வாதத்தின் இறுதி மாறிலியானது எல்லாம் உண்மையாக இருந்தால் - வாதம் வாய்ப்பு ஆகும். இல்லையேல் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்) (1) மாணவர்கள் படித்தால் பரீட்சையில் சித்தியடைவர். மாணவர்கள் படிக்கிறார்கள் எனவே பரீட்சையில் சித்தியடைகிறார்கள் சு தி P: மாணவர்கள் படிப்பர் Q: பரீட்சையில் சித்தியடைவர்.
(p -> Q) P ஃ Q [(P -> Q) * P] -> 0 T T T T TIT|T T F F F T | TF வாய்ப்பு F : T T F - F F T F F F T F
(1) (2) (3) காகம் கரையும் எனின் பொழுது விடியும். பொழுது
விடிந்துள்ளது எனவே காகம் கரைந்தது. சு.தி P: காகம் கரையும் Q: பொழுது விடியும்
(p -> Q) . Q ஃ P [(P -> Q) * 0] -> P T T T T T TT T F F F F T T F T T T T |F| F
F. T F F F TF வாய்ப்பற்றது அடிப்படைச் செய்கைகளைக் கவனிக்குக.
(1) (p-> P) (2) ( ~ P ->~ P) (3) ~ (P -> P) (4) ~(~ P ^ ~ P)
TTT F T TJET FIT T T TFT FF T
FTF
T FTIT F IF F T F LET FT TF
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 118
(5) - (P v P) - (P - - P)(6) - - (P -> -P) - (PvP)-> P
. . . . . | T F F FLT UT F F T F குறிப்பு : இச் செய்கைகளில் அடைப்பிற்கு வெளியே மறுப்பு மாறிலி
வரும்போது உண்மைப் பெறுமானம் காணும் முறை மாறிகளோடு
மறுப்பு மாறிலி வரும்போது உண்மைப் பெறுமானம் காணும் முறை செய்கையில் காட்டப்பட்டுள்ளது. மேலும் கீழ்வரும் செய்கைகளைக் கவனிக்குக. (7) ~ (~ (P-> Q) P) ~ [ P v ~ ( Q v P) ] -> ~ . P .
T. F. T. T. T. F. T. F. F. T.T F T TT T. F. T
E T T. R. E. T T. R. E. T T. R. R. T T T. R. T T. F. F. T. T. F. F. T. T. F. F. F. T. T. F. TT F TF F. T. F. FF | || FTG E F F T T E
~ ( P v Q) +> ~ ( P -> Q)
(8) ~ [ ~ (P ^ Q) -> R]^ ~ [ R ->
E E T T T T T E T T E F T T TΓT E T T T
F F T T T T F F F FT F TTTT IF T TT F T T F F T T. F. T. T. F. F. T.T FITT T. F. F T T T. F. F. F. F. F. F. F. T. F. T.T FITT T. F. F. F T F F T T T F T TF F FT TITF F TT T T. F. F. T. F. F. F. F. F.T. F. FT TT T. F. TT F T , F F F TT F F TT T. FF FITF FTF T T F F F F F F F FT T. F. F. FT IF FT F
الســــــــــــــــــــا | | | — H - (9) (R->~ R ) (10) ~ - (- S -> - S) (11) - (Q-> ~ Q) TFF T TF F T T F. T T. T. F. F. T
LU L-1
(12) (Co -> P) a P-> Q (13) (S-> T) -> S (14) (P->R)-> R
T T T T T TIT T T TTT T T T TIT '
F TT T T|| F|F T F FT IT TF FITF T FF F FITT F T TIFF . FITT|TITI F TF F FITF F T FFF FT F FF -- -- و ليسا لسلك سا.
ஆசிரியர்: க. கேசவன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
 
 
 
 
 

(13) ( R -> S) -> T (14) ( P -> R)-> U (15) ~ [~ (X-> ~Y) -> Z]
T T T(T]T
T T TIT T
FT T F FT TT T T TFF
T T TIFF
TTF FT FF T F FT|T
T F F|T| T
FF T T TF TT T FF|TF
T F Ft F
F T T TE TF FT TTT
FT TTT
F F T FT TT FT TFF
FT TIFF
FIF F T FT TF FT FTIT
F T F
|FF F T TE TT FT FLEIF ET FEF
EFFT TF (ஈ) கூறியது கூறல், முரண்பாடு, பராதீன உண்மை
என்பவை காணுதல்.
ஒரு குறியீட்டு வாக்கியத்தின் இறுதிமாறிலியின் உண்மையட்ட வணைப் பெறுமானம் எல்லாம் உண்மை எனும் பெறுமானத்தைக் கொண்டிருந்தால் அது கூறியது கூறல் எனப்படும். இது வலிது
அல்லது வாய்ப்பு எனவும் கூறப்படும்.
ஒரு குறியீட்டு வாக்கியத்தின் இறுதிமாறிலியின் உண்மை அட்டவணைப் பெறுமானம் எல்லாம் பொய் எனும் பெறுமானத்தைக் கொண்டிருந்தால் அது முரண்பாடு எனப்படும். இது முரண் வலிது அல்லது வாய்ப்பற்றது எனவும் கூறப்படும்.
ஒரு குறியீட்டு வாக்கியத்தின் இறுதிமாறிலியின் உண்மையட்ட வணைப் பெறுமானம் உண்மை, பொய் எனும் பெறுமானங்களைக் கலந்து கொண்டிருந்தால் அது பராதீன உண்மை அல்லது அளவையியல் உண்மை அல்லது தர்க்க ரீதியான உண்மை எனப்படும். இது வாய்ப்பற்றது எனவும் அழைக்கப்படும்.
(உ- ம்) (1) (P -> P) (2) ~ (Pv ~ P) (3) *P^ P)
Tr T - F T T F T T T T
FT|F |F F TTF FF F கூறியது கூறல் முரண்பாடு
பராதீன உண்மை
- TT TTT
(4) [P -> ( P v 2)] (5) ~ [(P^ Q) -> P] (6) [( P-> Q) ^ P)
TTT T T
F) TTTTT TT T T F
FITF FTT
TF FFT FIT | F T T
|FFF TTF
FT TFF Ft F F F
LF FF FTF
FT FFF கூறியது கூறல்
முரண்பாடு பராதீன உண்மை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 233
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 119
(7) [P * Q) + R) -> R (8) ~ {[ (Q ^P) ^R] ->R} (9) (P^0) ^R)
TTTT TITT
T TTTTT T TTTTT T T T F FL TF
T T TFFT F )
TTT FF T F F F T) TT
F FT FT T T
TFFFT T F F F F| TF
F FTFET FL TFFFF F F T F T| TT
T FFETT T FFT FT F F T F F TE
T FFFFT F)
FFTFF F FF F T TT
F FFFT T T..
FFFFT F F F F FL TF
F FFFFT FFFFFF கூறியது கூறல்
முரண்பாடு பராதீன உண்மை (உ) சமன், முரண், சமனோ முரணோ அல்லாதவை
காணுதல்.இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்டவாதம் அல்லது வாக்கியங்களின் இறுதி மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானம் ஒரே ஒழுங்கு முறையாக இருந்தால் அது சமன் எனப்படும்.
L LL L L L L L L
(உ - ம்) (1) ஃ ஃ (2) ஃ ஃ (3) ஃ ஃ
T T F F - T T T T F F F F Tா TF F TT
T T F F T T முன்றாவது செய்கைக்கு வேறு பலவும் வரும் என்பதை கவனித்தல் வேண்டும்.
இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வாதம் அல்லது வாக்கியங்களின் இறுதிமாறிலியின் உண்மை பெறுமானம் ஒன்று க்கொன்று எதிரான ஒழுங்கு முறையான பெறுமானங்களைக் கொண்டிருந்தால் அது முரண் எனப்படும்.
(உ-ம்) (1) ஃ ஃ (2) ஃ ஃ (3) ஃ ஃ
TFF TT F TFF TFT 'TF FTTF
TF F T FT முன்றாவது செய்கைக்கு வேறுபலவும் வரும் என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும்,
வாதம் அல்லது வாக்கியங்களின் இறுதி மாறிலியின் உண்மையட்டவணைப்பெறுமானம் சமன்,முரண் எனும், பண்புகளைக் கொண்டிருக்காதுவிட்டால் அது சமனோ முரணோ அல்லாதது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

அல்லது இரண்டும் அல்ல அல்லது சமனுமில்லை முரணுமில்லை எனப்படும்.
(உ-ம்) (1) ஃ ஃ (2) ஃ ஃ (3) ஃ
T F F T T F T T. TT. FF T - TFF TT
F TTT T F. இவ்வாறு பல வகைகள் இதற்கு வரும். (01) பின்வருவனவற்றுள் எவை சமன், முரண்,
சமனோ முரணோ அல்லாதவை காணுதல். (அ) [( P -> 0)^P ] -> Q (ஆ) ~[(P ^ 0) -> P ](இ)-(~P -> (Qv ~P)
T T T T TTT
FT T T T T
FFTT TT FT T F F 'F TTF F T F F TT |F|FTT FFFT F T T F Ft T
| Fle F T T F el TFT TTTE F T F F FTF
FF F F T F
FTFT FTTF
(ஈ) ((P<-> Q) * P] -> Q (உ)[(P ^ ~ 2) -> ~ Q] (ஊ)(Pv 0) ^ P
TTT T T T T T F F T T FT
T TT TIT T F F F TT|F T T T F|T|TF T T FTIT F F T F FITT. F F F TT ft
F TT FF FT F F Ft F FFT FT TF F FF FF இறுதிமாறியின் பெறுமானங்களை ஒப்பிட்டு பின்வருமாறு விடை கூற வேண்டும். விடை : (1) (அ), (ஈ., (உ) என்பவை சமனாகும்.
(2) (அ), (ஈ), (உ) என்பவற்றுக்கு (ஆ).(இ) என்பவை
முரணாகும். (3) (ஆ), (இ) என்பவை சமமாகும்.
(4) (ஊ) சமனும் இல்லை முரணும் இல்லை, (02) (அ) (- P v P) (ஆ) ~ (P <-> P) (இ)(P • ~ P)(ஈ) ( P v(P -> P)
FT|TIT FT T T TFFT TTTTT
T F|TE EFTER FIFT F F|TF TF விடை: (1) (அ),(ஈ) என்பவை சமனாகும்.
(அ),(ஈ) என்பவற்றுக்கு (ஆ), (இ) முரணாகும். (3) (ஆ).(இ) என்பவை சமனாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (235)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 120
(03)(அ) ~ [P ^ (Q -> R)] (ஆ) [ ~ P v ~ (Q -> R) (இ)( P ->Q) ->R
FIT T T T T
F T[F]F T T T
TTTTT TT F T F F
F TTT TFF
TTTFF FT T F T T
F TF|F F T T
TFF | TT FT T F T F
F TF |FFT E
TFFTF T[F F T T T
T FIT/F T T T
FTTTT TF F T F F
T FT T T F F
F TT | FF TF F F T T
T F|T |F F TT
FTF | TT TF FF.T F
TFTF FTF
FTFFF
(ஈ) ((P^ Q) + R) -> R (உ) ~ {(P ^ Q)-> [(P^Q) v R](ஊ) [( ~P^Q) ^~R) -> ~ R
TTT TTTT |FITTTT, TTTTT FTFT F FTTFT TTT F F|TF |F| TTTT TTTT F.
FTFTFT F|T|TF TFF F T|TT
|F| TF FT TFF TT
FTFFFFT|TFT TFF FF TF F| TF FT TFFFF
FTFFFT FT|TF FFT F TTT |F|FF TT FFTTT
TFTTFFT|DFT FFT F F TE F| FFTT FFTFF
TFTTTTTTF F FF F TTIT
|FF FFT FFFTT
TFFFFFT|TFT FFF F F ITF
|F|FFFT FFFFF
TFFETT FIT F.
விடை : (1) (அ), (ஆ) என்பவை சமமாகும்.
(2) (ஈ), (ஊ) என்பவை சமமாகும். (3) (ஈ), (ஊ) என்பவற்றுக்கு ( உ) முரணாகும்.
(4) (இ) சமனோ முரணோ அல்லாதவையாகும். (ii) சோடிகள் சமன், முரண் , சமனோ முரனோ
அல்லாதவை காணல் இப்பகுதியில் சோடிகள் சமன், முரண், சமனோமுரணோ அல்லா தவை காணும்போது சோடிகளுக்கு நடுவில் இருபால் நிபந்தனை மாறிலியை இடுக. இருபால்நிபந்தனை' மாறிலியின் பெறுமானம் எல்லாம் உண்மையாக இருந்தால் அது சமனாகும். பொய்யாக இருந்தால் முரணாகும், உண்மையும் பொய்யும் கலந்து வந்தால் சமனோ முரணோ அல்லாதவை ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 236 |
( ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(1) ( P <-> P), ( P v ~ P) (2) P -> - P) , (P^ P)
( p <-> P)<-> ( P v - P) ( P -> - P) <-> (P^P)
T T T T T T F T T F FT FTTT F T Ft F T T F F T TF FFFF
சமன்
முரண் (3) ( P v P), ( P ^ - P) (4) P <-- P), (~ P->P)
( P v P)<-> ( P ^ - P) ( P <->~ P)<-> (-P ->P)
T T T F T F F T T F F TE FTTT
F F F |T| F F T F F F T Ft TFFF சமனோமுரணோஅல்லாதவை சமனோமுரணோ அல்லாதவை (5) - (P v Q), (-P ^ - Q) (6)-( -P -> Q), (P v Q)
- (P v Q) <->( - P ^ - Q) - (-P -> Q) <-> ( P v Q) F T T TT | FT F F T F FT T T |F| T T T F T T Ft Ft F T F F FT T F F T T F F F T T|T|TF F F T - F TFT T |F| F T T T F F Ft T T T F T TFF FF FF F
சமன்
முரண் - (P. ^ Q), (-P v - Q)(8) ( P -> Q), ( P v Q)
- (P_Q)<-> (~P v - Q) ( P -> Q)<->( P v Q) "F T T T T FT F F T
T T T T
Tтт T T F Ft FT T T F
| T F F F T T F T F F T TF T F T F T T T F T T T F F Ft TF T T F
a F T F F F F F சமன்
சமனோ முரணோ அல்லாதவை (9) ( P ^ Q) -> R, P ->(Q -> R)(10) (P ^Q) -> R,R -> (P v Q)
(( P ^ Q) -> R]<-> [P ->(Q ->R)[(P^Q) ->R]<->[R -> (P v Q)]
T T T T T T T T T TT TTTT T T T T T TT T T T F F T T F T F F TTTF Ft F T T TT T F F T T T T T F TT TF FT T T T T T TF T F F T F T T T F TE TF FTF
IT FT T TF F F T T T T F T T TT FF TTT T T T F TT - F F T T FI TF T T FF FF TTF T F T F TT F F F T T T F T F TT FF FTT | FT F F FF F F F T FLT F T F T F FF FTF |T| F T F /FF
சமன்
சமனோமுரனோஅல்லாதவை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 121
(11) - ((->Q) ^R],-[-(P ->Q) v-R](12) (P ->Q) ->R, -R -> ~(P -> Q)
-[(P -> Q) ^R]<->-( -(P ->Q) v ~R] [( P ->Q) ->R]<->[-R -> ~(P -> Q)] F TTT TTFT FTTTFFT TTTTTT ETTFTTT T TTT FF FF FTTTTTF TTTFFT|TFFFTTT T TFF FT|FF TTFFTFT TFFTIT FTTTTFF T TFF FF FF TTFFT TF TFFT F||TFTTTFF F FT T T T F T FFT TFFT FTTTTT |FTTFFT T T ETT FFF F FFT TTTF FT TFF|T|TFFFFTT F FT F T T FT FFT FFFT FTFT T|| FTTFFTF T FTF FFFFFFTFTTF. FT FFFITTFFFFTF
முரண்
FLD60TIGD. (ii) மறுதலைகள் சமன் சமமற்றவை காணுதல்
மறுதலைகள் சமன் சமமற்றவை காணும்போது ஒரு குறியீட்டு வாக்கியத்தின்முன்னெடுப்பையும் பின்னெடுப்பையும் இடம் மாற்றி மறுதலை அமைத்தல் வேண்டும். இதைப் பின்வரும் செய்கைகளின்
மூலம் விளங்கிக்கொள்ளவும். (1) (P <-> Q). (2) (P -> Q)
(P <-> 'Q), (C Q <->P) (P -> Q), ( Q -> P)
T T T TIT
* · FFT
FT| T F F | T T F F
| T |F
F|T| TTF F FT FFT F சமனாகும்
சமனற்றது (3) ( P -> Q) ^ - (P v Q)
( P -> Q^- (P. v Q), -( P v Q)^(P -> Q)
T T T F F T T T F T T T Ft T T TF FF F T T F F T T F|FT F F F T TFF F T T F F T TFF T T F T FLTIT F F F T - F F F| T |F T F
சமனாகும் (4) ( P v Q) v - P
(5), P ->(P v Q) [( P v Q), y - P][- Pv (P v Q) [P -> (P v Q),[(Pv Q) ->P]
T T TTF T FTTTTTTTTTTTTTTT T T FT|F T FTTTTF TTTTF TT FTIT F T TTT F T FTFTT AT FTT FT T FF F F F|T|T F T FT|FFF AT FFF FF F TE சமனாகும்
FLD601 DPG).
T T H
L -
Y TO
-T) I
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

-(ஊ) சமமான தேற்றங்கள்:
தேற்றங்களைக் கொண்டு வேறு குறியீட்டு வாக்கியங்களைப் பிரதியீடு செய்து அவைசமன் என்பதை அடிப்படை உண்மையட்ட வணை நேர்முறை மூலம்சமன் என்பதை நிறுவிக்காட்டுதல் வேண்டும். (1) டீமோர்கனின் விதி: (அ) ~ (P v Q) = (-P^ ~ Q)
(ஆ) ~ (P^ Q) = (~P v ~ Q) (உ+ ம்) தேற்றம் (அ) ~ (P v Q) = (- P 4 - O)
| FT T TF TF |F T |Ft T F F T F T F (FF T TT FFF T
F F T Ft T F இத்தேற்றத்தைக்கொண்டு பிரதியீடு செய்து பல தேற்றங்களைப் பெறலாம். (1) ~ (P v(Q ->P)]
= (P^ - (0-> P)] (2) ~ ((P -> Q) vP)
= (~ (P -> Q) ^~P] (3) [~ (P ->Q) ^~R).
= ~ [(P -> Q) vR) (4) ~ [P v(Q -> R)
= (~ P 4 - (0->R)] (5) ~ ((P -> Q) v( R v P)]
= [~ (P -> Q) ^ ~ ( R vP)]
1 L L
A FE
3 - k
(உ ம் தேற்றம் (ஆ) ~( P
^ Q) = ( ~ Ft T T F T F F T T|T E F F T T T F T| F F T T Ft F T
|TF F F T Ft T F இத்தேற்றத்தைக் கொண்டு பிரதியீடு செய்து பல தேற்றங்களைப் பெறலாம். (1) ~ (P^ (Q -> P)]
= [- PV ~ (Q -> P)] (2) ~ [(P ->Q)^ P]
= [~ (P -> Q) V ~ P] (3) ~ [(P -> Q) ^(P v R)]
= [~ (P -> Q) V ~ (Pv R)] (4) (-Pv~ (Q -> R)]
= ~ [p^ (Q -> R)] (5) ~ [(P -> Q)^ ( R v P)] = (~ (P -> Q) V ~ (R v P)]
(2) பரிமாற்று விதி: (P -> Q) = (- Q -> ~ P)
(1) ( P -> Q) = (~ Q -> ~ P) T) TT FT |T |F T
TFFF T
FTIT T F FTF
TFT T F
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 239
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 122
இத்தேற்றத்தைக்கொண்டு பிரதியீடு செய்து பல தேற்றங்களைப் பெறலாம். (1) P -> (Qv P)
= ~ (Qv P) -> ~ P (2) (P^ Q) -> R
=~ R -> ~ (P^ Q) (3) ~ P -> ~ (Q+ R) = ~~ (Q^ R) -> ~ ~ P (4) (Pv 0) -> ~ (Pv R ) = ~~ (Pv R ) -> ~ (Pv Q)
(5) ~ P -> ~ ~ (Qv R) = ~ ~ ~ (Qv R) -> ~ ~ P (3) அதே வலு விதி:
(i) ( Pv P) = P (ii) ( P^ P) = P (4) சேர்த்தி விதி
(1) (PvQ)v R = Pv (Qv R ) (i) (P^Q) * R= P^(Q^ R) (5) பரிவர்த்தனை விதி
- (i) (PvQ) = (Qv P)
(ii) (P^ Q) = (Q (6) பரம்பல் விதி
(1) Pv (Q^ R ) = (PvQ)^(Pv R ) (i) P^(QvR ) = (P^Q)v (P^ R) - (7) சர்வசமன் விதி
(1) P v F= P (ii) PvT = T (ii) P^ T= P (iv) P^ F= F (8) நிரப்பி விதி
(1) P v ~P =T (ii) ~~ P = P (iii) P^ - P = F (iv) ~T = F, ~ F=T
சிலகுறியீட்டு வாக்கியங்களுக்கு விதிகள் இல்லை. உண்மையட்ட வணை பாவித்தே சமமான குறியீட்டு வாக்கியத்தை நிர்ணயிக்க வேண்டும். இவ்வாறு பல சமமான குறியீட்டு வாக்கியங்கள் கீழே
தரப்பட்டுள்ளன. (1) (P -> Q) =~ (P^ ~ Q) = (~ Q->~ P) = ( ~ PvQ) (2) (P -> ~ Q) = ~ (P^ Q) = (~ P v ~ Q) (3) ( ~ P -> Q) = (PvQ) = ~ ( ~ P^ ~ Q) = ( ~ Q-> P) (4) (- P -> ~ Q) = ~ (- P^ Q) = (PV ~ Q) (5) ( P ^~ Q) = ~ (P -> Q) =~ (Pv Q) =~ (~Q->~ P) - (6) (- P^Q) =~ (~P -> ~Q') = ~ (P v ~ Q) = ~(Q -> P) (7) (~ P^ ~Q) =~ (P vQ) = ~ ( ~ Q-> P)
(8) (P^ Q) =~ (P -> ~ Q) =~ (~P v~ Q) = ~(Q ->~P) (எ) பிரதானதர்க்க மாறிலி காணுதல் ஒரு குறியீட்டு
வாக்கியம் ஒன்றின் முழுப் பெறுமானங்களையும் நிர்ணயிக்கும் மாறிலி பிரதான தர்க்கமாறிலி எனப்படும். அதாவது ஓர் குறியீட்டு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

-
வாக்கியத்தின் இறுதி மாறியாகும். பிரதான தர்க்க மாறிலியை நிர்ணயிக்க சில குறியீட்டு வாக்கியங்களுக்கு அடைப்புக்குறி தெளிவாகத் தரப்பட்டிருத்தல் வேண்டும் அல்லது அடைப்புக்குறி வேண்டும். கீழே காட்டப்படும் குறியீட்டு வாக்கியங்களில் பிரதான
தர்க்க மாறிலி இருந்தால் அதைச் சுற்றி வட்டமிடப்படும். (1) (P -> Q)^ ( R -> S)^ (S -> T) - இல்லை (2) [(P -> Q) ^ (R -> S) ]0 (S -> T) - உண்டு (3) (P-> QO[ (R -> S) ^(S -> T) - உண்டு (4) O[(P-> Q)^(R -> S)^ (S -> T]] - உண்டு. (5) ~ (P-> Q)^ (R -> S) ^ (S -> T) - இல்லை (6) ( (P-> Q) “P19 Q)
உண்டு (7) (P-> Q) * P -> Q
இல்லை (8) ( (P -> Q) -> ]s
உண்டு (9) [(P ->Q)^ (R -> S)]0(s -> T) - உண்டு (10) (P ->Q)9 (R -> S)
உண்டு (11) (P -> Q) ->(R -> S)^ PvQ
இல்லை (12) (PGQ)
உண்டு (13) ~ P -> Q
இல்லை (14) ( (P -> Q) “(R -> S)] R
உண்டு (15)G [(P -> Q) v R)
உண்டு (ஏ) நற்சூத்திரங்களின் உண்மைப் பெறுமானம்
காணுதல் | மாறியின் உண்மைப் பெறுமானத்தைக்கொண்டு மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானம் காணுதல்.
முதலாவதாக நற்சூத்திரத்தின் இறுதி மாறிலி என்ன உண்மைப் பெறுமானத்தைப் பெறுகின்றதோ அதுவே நற்சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானமாகும். எனவே முதலில் நற்சூத்திரத்தின்
இறுதி மாறிலி எதுவென. அறிதல் வேண்டும்.
இரண்டாவதாக நற்சூத்திரத்தின் இறுதி மாறிலியின் முற்கூற்று பிற்கூற்றைக் கொண்டு உண்மைப் பெறுமானத்தை அறியலாம். முற்கூற்று பிற்கூற்று உண்மைப் பெறுமானம் தந்திருப்பின் உடனே இறுதிமாறிலியின் உண்மைப்பெறுமானத்தை அறியலாம். இறுதி மாறிலியின் முற்கூற்று பிற்கூற்று பெறுமானம் தராதுவிடின் ஏனைய மாறி மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தைக்கொண்டு இறுதி மாறிலியின் முற்கூற்று, பிற்கூற்றை அறிந்து இறுதி
--
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 123
மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தை அறியலாம்.
சில நற்சூத்திரங்களில் முற்கூற்றை மட்டும் கொண்டோ அல்லது பிற்கூற்றை மட்டும் கொண்டே நற்சூத்திரத்தின் இறுதி மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தை அறியலாம். முற்கூற்றில் இருந்து உண்மைப்பெறுமானம் காணும்போது முதல் படியில் T, F பெறுமானம் வரும் எனின் தொடர்ந்து செய்யக் கூடாது. பின்னர் பிற்கூற்றில் இருந்து ஆரம்பிக்கும்போது பெறுமானம் T, F வரும் எனின் தொடர்ந்து செய்யக்கூடாது. விடை நிட்சயிக்க முடியாது எனக் கூறிக்கொள்ள வேண்டும்.
நான்காவதாக நற்சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானம் அறிந்தபின் எக்காரண அடிப்படையில் விடையைக்கண்டீர் என்பதை இயன்றளவு சுருக்கமாகக் கூறவேண்டும். நற்சூத்திர ங்களின் உண்மைப் பெறுமானத்தை காண மாறிலிகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்துவது இலகுவாக இருக்கும். எனவே நாம் மாறிலிகளின்
விதிகளை அறிந்துகொள்வோம். (அ) உட்கிடைமாறிலி விதி:
உட்கிடை மாறிலியின் முன்னெடுப்பு பொய்யெனவோ அல்லது பின்னெடுப்பு உண்மையெனவோ தரப்பட்டால் உட்கிடை மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தை உண்மை என நிச்சயிக்கலாம். ஆனால் உட்கிடை மாறிலியில் முன்னெடுப்பு உண்மையெனவோ அல்லது பின்னெடுப்பு பொய்யெனவோ தரப்பட்டால் உட்கிடை மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (உ- ம்.) (1) ( P -> Q) (2) (P -> Q) (3) (P -> Q) (4) (P -> Q)
F T TT T TTT T - T FF
TF
F T
F F
FT உண்மை
உண்மை நிட்சயிக்க
நிட்சயிக்க முடியாது
முடியாது (ஆ) இணைப்பு மாறிலி: இணைப்பு மாறிலியில் முன்னெடுப்புப்
பொய்யெனவோ அல்லது பின்னெடுப்புபொய்யெனவோ தரப்பட்டால் இணைப்புவாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தைப் பொய்யென நிட்சயிக்கலாம். இணைப்பு வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பு உண்மை யெனவோ பின்னெடுப்பு உண்மையெனவோ தரப்பட்டால் இணைப்பு வாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (உ ம்) (1) ( P A Q) (2) ( P A Q) (3) ( P ^Q) (4) (P^Q)
F F' T
(T F F
TTTTTT F F
F F
FF FF பொய்
பொய்
நிச்சயிக்க நிச்சயிக்க முடியாது
முடியாது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1242 |
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

F F
(இ) உறழ்வு விதி:
உறழ்வு வாக்கியத்தில் முன்னெடுப்பு உண்மையெனவோ அல்லது பின்னெடுப்பு உண்மையெனவோ தரப்பட்டால் உறழ்வு வாக்கியத்தின் உண்மைப்பெறுமானத்தை உண்மையென நிட்சயிக்க லாம். ஆனால் உறழ்வு வாக்கியத்தில் முன்னெடுப்புப் பொய்யென வோ அல்லது பின்னெடுப்புப் பொய்யெனவோ தரப்பட்டால்
உறழ்வு வாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிட்சயிக்க முடியாது. (உ - ம்) (1) (P v Q) (2) (Pv Q) (3) ( P V Q) (4) ( P v Q)
T T T T T T F T T + T T F
T FF T
F F . உண்மை
உண்மை
நிட்சயிக்க
நிட்சயிக்க
முடியாது முடியாது (ஈ) இரு பால் நிபந்தனை விதி:
இருபால் நிபந்தனை வாக்கியத்தில் இருபக்கப் பெறுமானம் தரப்பட்டால் மட்டுமே இருபால் நிபந்தனை வாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை உண்மை அல்லது பொய்யென நிட்சயிக்கலாம். ஒரு பக்கப்பெறுமானம் தரப்பட்டடால் இருபால் நிபந்தனை வாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (உ - ம்) (1) (P<-> Q) (2) (P <-> Q) (3) (P <-> Q) (4) (P <-> Q)
T T TT F F F F T F T F.
உண்மை பொய் பொய் - உண்மை (உ - ம்) (1) (P<-> Q) (2) (P <-> Q) (3) (P <-> Q) (4) (P <-> Q)
T T TF F T T T T - T F F
F F T F F FFT நிச்சயிக்க நிச்சயிக்க நிச்சயிக்கலாம் நிச்சயிக்க
முடியாது முடியாது முடியாது முடியாது மேற்கூறிய விதிகளைப் பயன்படுத்தி உண்மைப் பெறுமானம் நற்சூத்திரங்களுக்குக் காணும் முறையைக் கற்போம். (1) P உண்மையெனின் பின்வரும் சூத்திரங்கள் உண்மையா,
பொய்யா அல்லது நிட்சயிக்க முடியாதா எனக் காணுதல், (அ) (P v Q) v (R ^ P) - P உண்மையெனின் உறழ்வு வாக்கியத்தின்
முன்னெடுப்பு உண்மை. இதனால் பின்னெடுப்பு எதுவாயினும் உறழ்வு வாக்கியம் உண்மை. குறிப்பு -: (R ^P) யில் பின்னெடுப்பிலிருந்து பெறுமானம் எடுக்க
முடியாது. (ஆ) (P^Q) ^(-PA Q)- P உண்மையெனின் இணைப்பு வாக்கியத்தின்
பின்னெடுப்புப் பொய். பின்னெடுப்புப் பொய்யெனின் முன்னெடுப்பு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 124
எதுவாயினும் இணைப்பு வாக்கியம் பொய். - குறிப்பு: (P^0) முன்னெடுப்பில் இருந்து பெறுமானம் எடுக்க முடியாது. எனவே (அ), (ஆ) ஏதாவது ஒரு பக்கத்தில் இருந்து பெறுமானம் எடுக்கலாம். (இ) (P v Q) -> (P^~Q)-P உண்மையெனின் உட்கிடை நிபந்தனையின் முன்னெடுப்பு உண்மை பின்னெடுப்புப் பொய் இதனால் உட்கிடை வாக்கியம் பொய்யாகும். குறிப்பு- முன்னெடுப்பு பின்னெடுப்பு இரு பக்கங்களையும் கொண்டே உண்மைப் பெறுமானத்தை நிர்ணயிக்கலாம், (ஈ) (P ^ O) V (P <-> 0) - P உண்மையெனின் O வின் பெறுமானம் தரப்படாது இருப்பதினால் முன்னெடுப்பின் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. இதனால் பிரதான உறழ்வெடுப்பின் பெறுமானத்தையும் நிச்சயிக்க முடியாது. g> ) [(P v Q) v (R -> S)]v [(P ^S)]^ (S ->P)] P g> Göð760)LDGu6öflaör 2 sppG| வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பின் முன்னெடுப்பு உண்மை இதனால் முன்னெடுப்பு உண்மை ஆகவே பின்னெடுப்பு எதுவாயினும் உறழ்வு வாக்கியம் உண்மை. (ஊ) ((P ^ O) ^ (R ->S) ^ ( (O “ P) ^ (S ^ ~P) P உண்மையெனின் இணைப்புவாக்கியத்தின் பின்னெடுப்பின் பின்னெடுப்ட் பொய் இதனால் பின்னெடுப்புப் பொய் ஆகவே முன்னெடுப்பு எதுவாயினும் இணைப்பு வாக்கியம் பொய்யாகும். (எ) ~ (PVO)<->(R^ ~P) P உண்மையெனின் இருப்பால்நிபந்தனை வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பும் பொய் பின்னெடுப்பும் பொய் இதனால் இருபால் நிபந்தனை வாக்கியம் உண்மை. (ஏ) ((P^0)^(P^R)^~P, P உண்மையெனின் இணைப்பு வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும் இணைப்பு வாக்கியம் பொய்யாகும்.
(02) Pஉண்மை O பொய் R பொய் அல்ல எனின் சூத்திரங்களின்
உண்மைப் பெறுமானம் காணுதல் :
(அ) ( P -> O) ^ ( ~R -> S) P உண்மை O பொய்யெனின் இணைப்புவாக்கியத்தின் முன்னெடுப்புப் பொய்யாகும் இதனால் பின்னெடுப்பு எதுவாயினும் இணைப்பு வாக்கியம் பொய்யாகும்.
(ஆ) (P<->O)<->(S^0) Pஉண்மை O பொய்எனின் இருபால் நிபந்தனை
வாக்கியத்தின்முன்னெடுப்புப் பொய்ஆகவும்பின்னெடுப்புப் பொய்யாகவும்
இருப்பதால் இருபால் நிபந்தனை வாக்கியம் உண்மையாகும்.
(G9)) ( ~P v Q) v ( R v S) -
P உண்மை 0 பொய் R உண்மை எனின் உறழ்வு வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்புப் பொய்யாகவும் பின்னெடுப்பு உண்மையாகவும் இருப்பதால் உறழ்வு வாக்கியம் உண்மை ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 ஆசிரியர்: க. கேசவன்
 

(ஈ) ~ (PvQ) v ( ~P ^ ~Q) P உண்மை Q பொய்யெனில் உறழ்வு
வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்புப் பொய்யாகவும் பின்னெடுப்புப்
பொய்யாகவும் இருப்பதினால் உறழ்வுவாக்கியம் பொய்யாகும். (உ) (Pv Q). ~R - R = (Pv Q)^~R ,R உண்மை எனின் இணைப்பு
வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும் இணைப்பு வாக்கியம்
பொய்யாகும். (ஊ) (PvQ) ~Rஇச்சூத்திரத்தில் பிரதான மாறிலி இல்லாது இருப்பதினால்
இச்சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (எ) (P^Q) v(R->S) Pஉண்மை Q பொய் எனின் உறழ்வு வாக்கியத்தின்
முன்னெடுப்புப் பொய் எனினும் பின்னெடுப்பின் S பெறுமானங்கள் தரப்படாது இருப்பதினால் உறழ்வு வாக்கியத்தின் உண்மைப்
பெறுமானத்தை நிட்சயிக்க முடியாது. (03) சுனில் வரு வான் எனும் கூற்றை பொய்யெனக் கொண்டு
நற்சூத்திரங்களின் உண்மைப்பெறுமானம் காணுதல். (அ) பாடசாலை ஆரம்பித்து வகுப்புக்கள் நடைபெறும் என்பதோடு
பரீட்சை நடைபெறும் என்பதோடு சுனில் வருவான். சு.தி P: பாடசாலை ஆரம்பிக்கும் Q: வகுப்புக்கள் நடைபெறும்
R: பரீட்சை நடைபெறும் S : சுனில் வருவான். (P^ Q) ^ ( R^S) -S பொய் எனின் இணைப்பு வாக்கியத்தின் பின்னெடுப் பொய்யாகும் இதனால் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும்
இணைப்பு வாக்கியம் பொய்யாகும். (ஆ) வகுப்புக்கள் நடைபெறும் அல்லது சுனில் வரமாட்டான் என்றிருந்தால்
ஒழிய பாடசாலை ஆரம்பிக்கும் என்பதோடு பரீட்சையும் நடைபெறும். சு-தி. P: வகுப்புக்கள் நடைபெறும் Q: சுனில் வருவான்
R : பாடசாலை ஆரம்பிக்கும் S: பரீட்சை நடைபெறும் ( P v~Q) v ( R ^ S) -Q பொய்யெனின் உறழ்வு வாக்கியத்தின் முன்னெடுப்பு உண்மை இதனால் பின்னெடுப்பு எதுவாயினும்
உறழ்வு வாக்கியம் உண்மை ஆகும். (இ) சுனில் வருவான் அல்லது பாடசாலை ஆரம்பிக்கும் எனின்
வகுப்புக்கள் நடைபெறும். சு தி P: சுனில் வருவான் Q: பாடசாலை ஆரம்பிக்கும்
R : வகுப்புக்கள் நடைபெறும். (PvQ) -> R -P பொய் எனின் Q,R என்பனவற்றின் பெறுமானம் தரப்படாது இருப்பதினால் உட்கிடை நிபந்தனை வாக்கித்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (ஈ) பாடசாலை ஆரம்பித்துவிட்டது அல்லது பரீட்சை நடைபெறும்
ஆயின், சுனில் வருவான் ஆயின் வகுப்புக்கள் நடைபெறும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 245
ஆசிரியர்: க . கேசவன் |

Page 125
சு. தி P: பாடசாலை ஆரம்பிக்கும்Q: பரீட்சை நடைபெறும்.
R : சுனில் வருவான் S: வகுப்புக்கள் நடைபெறும் ( P v O) -> (R ->S) -R பொய்யெனில் நிபந்தனை வாக்கியத்தின் பின்னெடுப்பு உண்மை இதனால் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும்
நிபந்தனை வாக்கியம் உண்மையாகும். (ஐ) இரு பொருள் தரும் வாக்கியம் : ( கவர்பாடுடையன)
இங்கு இரண்டு கருத்தை வெளிப்படுத்தக் கூடிய தமிழ் வாக்கியங்கள் இருவழிகளில் குறியீட்டாக்கம் செய்யப்பட்டு உண்மைப் பெறுமானமும் கணிக்கப்படுகின்றது. மொழியை குறியீட்டாக்கம் செய்வதற்கு பின்வரும் சுருக்கத் திட்டம் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. சு.தி P:A கூடும் Q:Bகூடும் R:C கூடும் S:A குறையும்
A கூடும் ஆயின் B கூடும் என்பது பொய்யாகும். கருத்து (அ) ~ (P-> Q) கருத்து (ஆ) (P -> ~ Q)
Bகூடும் எனும் வாக்கியம் உண்மையெனின் முல வாக்கித்தின் உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (அ) ~ ( P-> Q) -Qஉண்மையெனின் முன்னெடுப்பு எதுவாயின்
உட்கிடை உண்மை மறுப்புப் பொய்யாகும். (ஆ) (P-> ~ 2) -ு உண்மையெனின் Pயின் பெறுமானம் தெரியாது
இருப்பதினால் இச்சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. A கூடும் ஆயின் B கூடும் என்றால் C கூடும் A குறையும் என்பது உண்மை எனின், கருத்து (அ) (P-> Q) -> (R.S ->) கருத்து (ஆ) (P ->Q) -> R.S ->
(P -> Q) -> (S->R)
S -> [(P ->Q) -> R] A குறையும் எனும் வாக்கியம் உண்மையெனின் முல் வாக்கியத்தின் உண்மைப் பெறுமானம் யாது?- (அ) (P-> Q) -> (S -> R)-S உண்மையெனின் R இன் பெறுமானம் தரப்ப
டாது இருப்பதினால் நிபந்தனைஎடுப்பின் பின்னெடுப்பை நிச்சயிக்க முடியாது. இதனால் பிரதான உட்கிடை மாறிலியின் உண்மைப் 4,
பெறுமானத்தையும் நிச்சயிக்க முடியாது. (ஆ) S -> [(P-> Q) -> R]- S உண்மையெனின் P,Q,R என்பனவற்றின்
பெறுமானம் தரப்படாது இருப்பதினால் இச்சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. A கூடும் அல்லது B கூடும் எனின் C கூடும் A குறைந்தால் மட்டுமே என்பது பொய்யாகும். கருத்து (அ) : (P-> Q) ->~ (R -> S)கருத்து (ஆ) :-((P->Q) -> (R-> S)
ச்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 246
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Aகுறையும் எனும் வாக்கியம் உண்மையெனின் முல வாக்கிய த்தின்
உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (அ) (P->Q) -> ~ (R ->S) -S உண்மையெனின் நிபந்தனையெடுப்பின் பின்னெடுப்புப் பொய்யாகும். ஆனால் P,0 என்பவற்றின் பெறுமானம் தரப்படாது இருப்பதினால் இச்சூத்திரத்தின் உண்மைப்
பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க முடியாது. (ஆ) ~ [(P -> Q) -> (R -> S)] -S உண்மையெனின் நிபந்தனை வாக்கிய
த்தின் பின்னெடுப்பு உண்மை இதனால் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும் உட்கிடை உண்மைமறுப்பு பொய் எனவே சூத்திரத்தின் உண்மைப்
பெறுமானம் பொய்யாகும். (4) C கூடும் அல்லது B கூடும் ஆயின் மட்டுமே A கூடும்,
கருத்து (அ) : ( P <- Q) v R கருத்து (ஆ) : P<- (Qv R)
(Q-> P) v R
(0 v R) -> P B கூடும் என்பது பொய் எனின் முல வாக்கியத்தின் உண்மைப்
பெறுமானம் யாது? (அ) : (Q-> P) v R - Q பொய் எனின் உறழ்வு வாக்கியத்தின்
முன்னெடுப்பு உண்மை இதனால் உறழ்வு வாக்கியம் உண்மையாகும். ஆ) (Qv R) -> P -Q பொய் எனின் R இன் பெறுமானம் தரப்படாது
இருப்பதினால் உட்கிடையின் முன்னெடுப்பின் பெறுமானத்தை நிர்ணயிக்க முடியாது. இதனால் பிரதான உட்கிடை மாறிலியின்
உண்மைப் பெறுமானத்தையும் நிச்சயிக்க முடியாது. (5) A கூடும் ஆயின் B கூடும் ஆயின் C கூடும் என்பது பொய்யாகும்.
கருத்து (அ): ~ (P-> (Q -> R)]கருத்து (ஆ): [P -> ~ (Q->R)] Cகூடும் என்பது உண்மையெனின் முல வாக்கியத்தின் உண்மைப்
பெறுமானம் யாது? (அ) ~ (P - > (Q ->R)] -R உண்மையெனின் நிபந்தனை வாக்கியத்தின்
பின்னெடுப்பு உண்மை. இதனால் முன்னெடுப்பு எதுவாயினும்
நிபந்தனை வாக்கியத்தின் மறுப்பு பொய்யாகும். (ஆ) (P ->~ (Q -> R)]- R உண்மையெனின் நிபந்தனை வாக்கியத்தின்
பின்னெடுப்புப் பொய் ஆனால் P யின் பெறுமானம் தரப்படாது இருப்பதினால் சூத்திரத்தின் உண்மைப் பெறுமானத்தை நிச்சயிக்க
முடியாது. மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானத்தைக்கொண்டு
மாறிலியின் உண்மைப் பெறுமானம் காணுதல். (அ) கீழ்வரும் குறியீட்டு வாக்கியங்கள் எச்சந்தர்ப்பத்தில்
உண்மையாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (247)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 126
(1) (PvQ ^ ( R VS)
- TT T T T (PvQ) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மையாக இருக்கும்போதும் (RvS) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மையாக இருக்கும்போதும்
இவ்வாக்கியம் உண்மையாகும். (2) (P^0) *( P v Q)
TTT T TT (P^ O) இல் இரண்டும் உண்மையாக இருக்கும்போதும் (Pv0) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மையாக இருக்கும்போதும்
இவ்வாக்கியம் உண்மையாகும். (3) (P' -> Q) • (P ^ Q)
FT T T TTT (P -> Q) இல் P பொய்யாகவோ அல்லது Q உண்மையாகவோ இருக்கும்போதும் ( P ^Q) இல் இரண்டும் உண்மையாக
இருக்கும்போதோ இவ்வாக்கியம் உண்மையாகும். (ஆ) கீழ்வரும் குறியீட்டு வாக்கியங்கள் எச்சந்தர்ப்பத்தில் பொய்யாகும்.
(1) (P ^0) -> (P v Q)
TT T F F F F. (P ^Q) இல் இரண்டும் உண்மையாக இருக்கும்போதும் (Pv 2) இல் இரண்டும் பொய்யாக இருக்கும்போதும் இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். (2) (P ^ Q) V (R <-> S)
FF F T F F
F T (P^Q) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் பொய்யாக இருக்கும்போதும் (R<->S) இல் R உண்மையாகவும் S பொய்யாகவும் இருக்கும்போதும் அல்லது R பொய்யாகவும் S உண்மையாகவும் இருக்கும்போதும் இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும்.
(P v Q) -> ( R -> S)
| TT F T F F (PvQ) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மையாக இருக்கும்போதும் (R->S) இல் Rஉண்மையாகவும் Sபொய்யாகவும் இருக்கும்போதும்
இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். (இ) கீழ்வரும் தமிழ்மொழி வாக்கியங்கள் எச்சந்தர்ப்பத்தில் பொய்யாகும். (1) அவன் படிப்பான் ஆயின் அவன் படிக்கவில்லை எனின் அவன்
பணக்காரன் என்பதோடு மடையன்.
சு. தி P: அவன் படிப்பான் Q: பணக்காரன் R:
மடையன் ( P -> ~ P) -> ( 0 + R) F T T F F F F
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 248 |
ஆசிரியர்: க கேசவன் |

P: பொய்யாக இருக்கும்போதும் ( Q^R) இல் குறைந்தது ஒன்றே
னும் பொய்யாக இருக்கும்போதும் இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். (2) ஒன்றில் அவன் இன்று வருவான் அல்லது நாளை வருவான்
அல்லது, அவன் நாளை வரான் ஆனால் இன்று வருவான் - சு.தி P: அவன் இன்று வருவார் O: அவன் நாளை வருவான்.
( P v Q) V ( ~ Q ^P)
F FF F T F F F P யும் 0 வும் முன்னெடுப்பு பின்னெடுப்புக்களில் பொய்யாக
இருக்கும்போது இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். (3) மழை வராது அல்லது நெல் விளையாது என்றால் அரிசியின்
விலை குறையாது. சு.தி P: மழை பெய்யும் Q: நெல் விளையும்
R: அரிசியின் விலை குறையும் ( ~ P V ~ Q) -> ~ R
TET 'F FT (-Pv~Q) இல் குறைந்தது ஒன்றேனும் உண்மையாக இருக்கும்போதும்
~R பொய்யாக இருக்கும்போதும் இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். (ஒ) அடிப்படை உண்மையட்டவணை நேரல்முறை
வாய்ப்புப் பார்த்தல் முடிவுக் கூற்றில் ஆரம்பித்து வாதங்களின் தகுதியை சோதிப்பது அடிப்படை உண்மையட்டவணை நேரல் முறை வாய்ப்புபபார்த்தல் எனப்படும். வாதத்தின் இறுதி மாறிலியை (முடிவை) பொய்யெனக்கொண்டு அதனை நிறுவுவதற்காக ஏற்கன வே உள்ள விதிகளுக்கமைய மாறிகளுக்கும் மாறிலிகளுக்கும் பெறுமானம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்,
முடிவின் இறுதிமாறிலியைப் பொய்யெனக் கொண்டு ஏனைய வற்றுக்குப் பெறுமானங்களைக் கொடுத்தமையால் ஏதாவது ஒரு மாறி அல்லது மாறிலிமுரணான ஒரு பெறுமானத்தைப் பெறுமாயின் நாம் இறுதி மாறிலியை (முடிவை) பொய்யெனக் கொண்டது தவறாகும். எனவே குறிப்பிட்ட ஒரு வாதத்தை பொய்யெனக் காட்ட முயற்சிக்கையில் நாம் வெற்றியடையவில்லை. எனவே வாதத்தை வலிது என முடிவு செய்தல் வேண்டும்.
முடிவின் இறுதி மாறிலியைப் பொய்யெனக் கொண்டு ஏனைய வற்றுக்குப் பெறுமானம் கொடுத்தமையால் மாறிகள் அல்லது மாறிலிகள் முரண்படவில்லை எனின் இறுதி மாறிலியைப் பொய்யெனக் கொண்டது தவறு இல்லை. குறிப்பிட்டவாதத்தைப் பொய்யெனக் காட்ட முயற்சிக்கையில் நாம் வெற்றியடைந்துள்ளோம்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 127
எனவே வாதத்தை வலிதற்றது என முடிவு செய்தல் வேண்டும்.
நேரில் முறை இரண்டு வகைப்படும். (அ) மாறிலி நேரல் முறை (ஆ) மாறி நேரல் முறை (அ) மாறிலி நேரல் முறை : வாதத்தில் உள்ள மாறிலியைக்
கொண்டு வாதத்தின்வாய்ப்பை நிர்ணயிப்பது மாறிலிநேரல் முறை எனப்படும். வாதத்தில் ஆகக்குறைந்தது ஒருமாறிலி முரண் எனின் வாதம் வாய்ப்பு ஆகும். மாறிலிகள் எல்லாம் முரண்படவில்லை எனின் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்) (1) ( P -> 0). P ஃQ (2) ( P -> Q). 0 ஃP
((P-> Q) * P] -> 0 ((P -> Q)^2) -> P
T+ F TT E F F TT TT FF மாறிலிமுரண் வாய்ப்பு
மாறிலிகளமுரணில்லை வாய்ப்பற்றது. (ஆ) மாறி நேரல் முறை
வாதத்தில் உள்ள மாறிகளைக்கொண்டு வாதத்தின் வாய்ப்பை நிர்ணயிப்பது மாறி நேரில் முறை எனப்படும். வாதத்தில் உள்ள ஒரே மாறி முரண்படும் எனின் வாதம் வாய்ப்பாகும் வாதத்தில் உள்ள மாறிகள் முரண்படவில்லை எனின் வாதம் வாய்ப்பற்றது ஆகும். (உ-ம்) (1) ( P -> Q). Pஃ 0 முறை (2) :) முறை (1) ((P -> Q)^ P] -> Q அல்லது ((P ->Q)^ P] -> Q
T T T TT F F
FTF TT F F மாறி முரண் வாய்ப்பு
மாறிமுரண் வாய்ப்பு குறிப்பு : முறை (1) இல் Q வை முரணாகவும் முறை (2) இல் P யை முரண் எனவும் காட்டப்பட்டுள்ளது. (உ-ம்) (2) ( P ->( 0 -> R)). P ஃ ( Q-> R)
முறை 1:{[P -> (0-> R)] • P} -> (0-> R)
FT T F F T T F T F F
வாய்ப்பு அல்லது முறை 2: {[P -> (0-> R)] * P } -> (0->R)
T T F T F TT F T FF வாய்ப்பு அல்லது முறை 3: {[P -> (0->R)]^ P} -> (Q->R)
T T TTT TT F TFF வாய்ப்பு குறிப்பு : P முரண் முறை 1இல் , Q முரண் முறை 2இல், R முரண் முறை 3 இல் இவ்வாறு ஏதாவது ஒரு இடத்தில் முரண்பட்டால் வாதம் வாய்ப்பு ஆகும். மாணவர்கள் ஏதாவது ஒரு மாறியை முரண் எனக் காட்டலாம்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(உ- ம்) (4) ( P -> Q). Q ஃ P
[(P -> Q) * Q] -> P
F T T TT F F
P =F, Q=T எனவே மாறிகள் முரணில்லை வாதம் வாய்ப்பற்றது.
மாறி முறையும் மாறிலி முறையும் வாய்ப்பான வடிவங்கள் மட்டுமே வேறுபடும் வாய்ப்பற்ற வடிவங்கள் இரண்டும் ஒன்றே ஆகும். சொல்லும் முறையில் மட்டுமே வேறுபடும். மாறி முறையில் மாறிகள் முரண் இல்லை வாதம் வாய்ப்பில்லை எனவும் மாறிலி முறையில் மாறிலிகள் முரணில்லை வாதம் வாய்ப்பில்லை எனவும் கூறிக் கொள்ளுகின்றோம்.
நேரல் முறையின் பொதுவான பண்புகள் (1) வாதத்தின் முடிவிற்குப் (இறுதி மாறிலி) பொய் எனும்
பெறுமானத்தைக் கொடுத்தல் வேண்டும். (உ-ம்) (1) (( P <-> Q) ^ P] -> Q (2) ~{[(P <-> Q) ^ P} -> Q}
குறிப்பு: (உ - ம்) 2 இல் இறுதி மாறிலி மறுப்பாகும். மாறி, மாறிலிகளுக்குப் பெறுமானம் கொடுக்கும்போது ஏற்கனவே ஒரு மாறிக்குப் பெறுமானம் இருந்தால் அப்பெறுமானத்தையே திரும்பவும் கொடுத்தல் வேண்டும். புறநடையாக மாறி முறையில் வாய்ப்பான வாதத்தில் ஒரு மாறிக்கு திரும்பவும் பெறுமானம் கொடுக்க முடியாது. (உ-ம்) (1)[(P <-> 0) * P] -> 0
T + F TT FF வாய்ப்பு : மாறிலி முறையில் P உண்மை Q பொய் எனும் ஒரே பெறுமானத்தைப் பெற்றுள்ளது. அதாவது ஏற்கனவே கொடுத்த பெறுமானம் திரும்பவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் மாறி முறையில் வாய்ப்பான வாதத்திற்கு ஒரு மாறிக்குப் திரும்ப அப்பெறுமானம் கொடுக்க முடியாது (உ ம்) [(P <-> Q) ^ P] -> Q அல்லது ((P<-> Q)^ P] -> Q
T T T T T F F
F T F TT F F
ஓர் உடன்பாட்டு வாக்கியத்திற்கு (P) Tபெறுமானம் கொடுத்தால் அதன் (~P) மறுப்பு வாக்கியத்திற்கு F பெறுமானம் கொடுத்தல் வேண்டும். ஓர் மறுப்பு வாக்கியத்திற்கு (-P)T எனும் பெறுமானம் கொடுத்தால் அதன் உடன்பாட்டு வாக்கியத்திற்கு (P)பொய் எனும்
பெறுமானம் கொடுத்தல் வேண்டும். (4) நேரல்முறையில் வாய்ப்பான சந்தர்ப்பமும் வாய்ப்பற்ற சந்தர்ப்ப
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 ( 251 - ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 128
ங்களும் இருந்தால் வாய்ப்பற்ற சந்தர்ப்பத்தைக் கருத்தில் கொண்டு
வாதத்தை வாய்ப்பற்றது என முடிவு செய்தல் வேண்டும். உ - ம்) (1) (P v Q) -> P
-F T T FF
F) குறிப்பு :ுவிற்குள் கொடுத்தால் மாறிலி முரண் இல்லை அல்லது மாறி முரண் இல்லை வாதம் வாய்ப்பற்றது. ஆனால் Q விற்கு F கொடுத்தால் மாறிலி முரண்பட்டு வாய்ப்பு போல் இருக்கும்.. எனவே இங்கு வாய்ப்பற்ற சந்தர்ப்பத்தைக் கருத்தில் கொண்டு வாதத்தை வாய்ப்பற்றது என முடிவு செய்தல் வேண்டும். (உ-ம்) (2) ((P -> 0) ^ Q] -> P\
TT T TT FF- முரண் FT T TT F F- முரண் இல்லை
FT F TT F F - முரண் விடை : வாய்ப்பற்றது
இங்கு முன்று படிகளும் போட்டு செய்து காட்டப்பட்டள்ளது. ஆனால் ஏற்கனவே ஒரு மாறிக்குப் பெறுமானம் இருந்தால் அப்பெறுமானத்தையே திரும்பவும் கொடுக்கும்போது வாய்ப்பற்ற வடிவத்தையே நாம் காட்டுகின்றோம். மேல் உள்ள உதாரணம் திரும்பவும் செய்யப்படுகின்றது . (உ - ம்) [( P -> Q)^ Q] -> P
F T T T T FF வாய்ப்பற்றது - ஏனெனில் மாறிகள் அல்லது மாறிலிகள் முரண் இல்லை. நேரல்முறைச் செய்கைகள்: முதல் வருகின்ற பத்து உதாரணங்கள் மாறி, மாறிலி முறைகளில் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படும். பின்னர் வருபவை மாறிலி முறையில் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படும். (01) ( P -> Q). Pஃ Q (02) ( P -> 0). Q ஃ P
(அ) ((P -> Q) P] -> Qா
((P -> Q)^ Q) -> P TF F T T F F
F TT TT FF மாறிலி முரண் வாய்ப்பு மாறிகள் முரண் இல்லை
மாறிலிகள் முரண் இல்லை இதனால் வாதம் வாய்ப்பற்றது.
(ஆ) [(P-> Q) • P] -> Q
TTT TT F F மாறி முரண் வாய்ப்பு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 - 25
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(03) ( P -> Q) . ~ Q ஃ~ P (04) ( P -> Q). ~ P ஃ ~ Q
(அ) ((P-> Q) • ~ Q) -> ~P ( (P -> Q) ^~ P] -> ~ 0
T + F T TF FFT ராசி F TT TTF FFT
மாறிலி முரண் வாய்ப்பு மாறிகள் முரண் இல்லை (ஆ) [( P -> Q) ^ ~ Q) -> ~ P- மாறிலிகள் முரண் இல்லை
T T T T T F F FT இதனால் வாய்பற்றது.
மாறி முரண் வாய்ப்பு (05) [( PvQ) -> R) - (Pv 2) ஃ R (06) [(Pv 0) ->R].R ஃ (Pv Q) (அ) {[(Pv0) -> R] ^(PvQ)}-> R {[(PvQ) -> R] ^ R }-> (PvQ)
FFF T F T F FF FF F FF TT TF F FFF
மாறிலி முரண் வாய்ப்பு மாறிகள் முரண் இல்லை (ஆ) {[(PvQ) ->R] ^(Pv Q)}->R மாறிலிகள் முரண் இல்லை
FFF T FT FT T FF இதனால் வாதம் வாய்ப்பற்றது.
மாறி முரண் வாய்ப்பு
(07) (அ) ~ ~ { [( P ->~ Q) ^Q] -> ~ P} (08) ~ { [( P <->Q) • P] -> Q}
FT T + FT TT FFT
F T T T TT T T மாறிலி முரண் வாய்ப்பு
மாறிகள் முரண் இல்லை
இதனால் வாதம் வாய்ப்பில்லை. (ஆ) ~ ~ {{(P-> ~0) ^]] ->~P மாறிலிகள் முரண் இல்லை இதனால்
FT T TT F TT FF T வாய்ப்பில்லை.
மாறி முரண் வாய்ப்பு (09) (P -> (0^R)). ~ (0^R) ஃ~P (10)[ P -> (Q^R)] ஃ~ (0+ R) (அ) [P -> (Q^ R)]*- (0^R)}-> ~ P{[P-> (Q^R)]^- P}->~ (Q^R)
T T TFF TT TFF F FT F T TTT TTF F F TTT மாறிலி முரண் வாய்ப்பு
மாறிகள் முரண் இல்லை வாய்ப்பில்லை. (ஆ) {[P -> (Q^R)^~ (Q^R)} -> ~P மாறிலிகள் முரண் இல்லை.
T T TTT TT TF E F FT இதனால்வாய்ப்பில்லை.
மாறி முரண் வாய்ப்பு (11) (P -> Q) .( 0-> R) .P ஃR (12) (P->Q) .( Q->R) . ~ Pஃ ~ Q
{[( P -> 0) • (0-> R)] ^P] -> R {[( P->O) ^(0->R)] "- P} -> ~ 0 T+ F T FT F TTF F FTT T T TT T T F F
வாய்ப்பு
வாய்ப்பற்றது. (13) (P -> Q). (Q-> R) . (R -> S). P ஃ S
{[(P -> 0) • (0-> R)] ^ (R -> S)^ P}-> S
T+ FT F T FT FTF TT F Fவாய்ப்பு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 253
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 129
(14) ( P -> Q). (Q->R) . (R-> S). ~P ஃ ~S
{{[(P -> 0) • (Q->R] ^ (R-> S)} * ~P} -> ~ S
F TFT F TFT F TT T T F F வாய்ப்பற்றது
(P -> 0).(0->R) .(R -> S). (S ->T). P ஃT {{{[ (P -> 0) • (0->R)] ^ (R-> S)} ^ ( S -> T)}] * P } -> T
T TFT FTF T FT F T F T F TT FF வாய்ப்பு
(15)
(16)
(P -> 0). (0->R) . ( R -> S) .( S -> T) . ~ P ஃ ~ T {{{[ (P-> Q) ^ (0->R)] ^ (R -> S)} ^ (S -> T)} * - P} -> ~T
FT T T T TT T T TT T T T T T T F F. வாய்ப்பற்றது
(17) ( P-> Q). (Q-> R) . (R^ S) ஃ (Pv Q) {[( P-> Q)^(Q -> R)]^ (R ^ P)} -> (PvQ)
FT FT FT F T F+F F FFF வாய்ப்பு
(18) (-P -> 0). (0-> P) . (P -> ~ Q) ஃ (~ P^ ~ Q)
{[( - P -> Q)^ (0->P) • (P -> ~ 2) -> (- P^ ~ Q)
FT TF T F TTT T T TFF TEFFT
FT TF
FT FT வாய்ப்பற்றது: இங்கு முடிவுக:கூற்றுக்கு ( ~ P ^ ~Q) முன்று பெறுமானங்கள் உண்டு அவற்றில் வாய்ப்பற்ற பெறுமானத்தை
எடுத்தல் வேண்டும். (19) (~P -> Q). (Q-> P). (P -> ~Q) ஃ (P^ ~ Q)
{[( -P -> 0) • (0-> P)^(P -> ~ Q)} -> (P^ ~ Q)
FT T T T T T T T T + FT F T F FT
F TE
F FT வாய்ப்பு: முடிவுக் கூற்றுக்கு ( P ^-Q) முன்று பெறுமானங்கள் உண்டு. முன்று பெறுமானங்களில் எதைக் கொடுத்தாலும் வாதம்
வாய்ப்பாகும்.
[(P ->Q)^ (R^ S)].{S -> (R v P)]. (S ->P) ஃ (P -> Q) {{ [(P ->Q) ^(R^S)] * [S -> ( R v P)]} ^ (S -> P)} -> (P-> Q)
T FF T TTT T T T TTT T T TT F T F F
வாய்ப்பு (21)
~ [~ (P -> Q) -> R]. ~ [R -> ~ (S v P)] ஃ ~ (P^ Q) ~~ (P-> Q) -> R] - [R -> ~ (S v P)]} -> ~ (P^Q) T T T FT FF TT F FF TTF F F TFT
வாய்ப்பு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 | 254
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

(22) (P -> (Q^ R) - (( P^ S) -> ~ (Qv R)] . S ஃ ~ (Pv ~P) {{ [P ->(Q^ R)^[(P^ S) -> ~ (Qv R)]}^ S} -> ~ (PV ~P)
FT FFF T. F FT T T F F F TT F F FT TF
வாய்ப்பற்றது (ஓ) மாறிகள்- மாறிலிகள் முலம் உண்மையட்டவணை
பயன்படுத்தி பிரச்சனைகள் தீர்த்தல்:
இப்பகுதியில் வரும் வினாக்களை மாணவர்கள்கவனமாக வாசித்து பிரச்சனைகளுக்கு தீர்வாகத் தரப்படும் விடைகளுக்கு குறியீட்டாக்கம் செய்துகொள்ள வேண்டும். பின்னர் கேட்கப்படும் வினாக்கள் மாறியைப் பயன்படுத்தி விடை கூறுவதா? மாறிலியைப் பயன்படுத்தி விடை கூறுவதா? என்பதை சரியாகத் தீர்மானித்தல் வேண்டும்.பின்வரும் செய்கைகள் முலம் விளங்கிக் கொள்ளவும்.
பரீட்சையில் பார்த்து எழுதினர் என சுகந்தி, சாந்தி, சித்திரா என முவர் சந்தேகிக்கப்பட்டனர். ஓர் விசாரணைக்குழு தனிப்பட்ட ஒவ்வொருவரையும் விசாரித்தபோது அவர்கள் பின்வரும் விடை களைக் கூறினர். சுகந்தி : நான் பார்த்து எழுதினேன் அத்துடன் சாந்தி சித்திரா
எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் பார்த்து எழுதினர். சாந்தி :- சித்திரா பார்த்தெழுதினால் சுகந்தி பார்த்தெழுதவில்லை. சித்திரா-: சாந்தி பார்த்தெழுதினால் சுகந்தியும் அவ்விதமே.
ஒருவர் பார்த்தெழுதினால் அவர் குற்றவாளி என்பதை எடுகோளாகக் கொண்டு பொருத்தமான சுருக்கத்திட்டத்தைப் பயன்ப டுத்தி ஒவ்வொருவரினதும் விடைகளைக்குறியீட்டாக்கம் செய்து உண்மைப் பெறுமானங்களைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடை தருக. சு.தி P : சுகந்தி பார்த்தெழுதினாள் (குற்றவாளி)
Q: சாந்தி பார்த்தெழுதினாள் (குற்றவாளி)
R : சித்திரா பார்த்தெழுதினாள் (குற்றவாளி) குறியீட்டாக்கம்
சுகந்தி : P^ (QvR) , சாந்தி : (R ->~P) - சித்திரா: (Q-> P) (1) முன்று விடைகளும் உண்மையாவதற்கு சாத்திமுண்டா? முறை 1: P ^ (0 v R) , ( R -> ~ P) , ( Q -> P)
T T T T TT F F T , T T T T R T T FF 0 F T TO T T T F T TT F F TF T T T F F F F F T F T F T T F F T T T T T T F T F F F F T T F
F T T F
T F F F F F T T
T T T F
F T F F F F F F
| F F T T
F F T
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 ( 255)
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 130
விடை-: ஆம் ஏனெனில் இரண்டாம் படியில் ஒவ்வொரு குறியீட்டு
வாக்கியத்தின் இறுதி மாறிலியிலும் உண்மையுண்டு.
இதை இவ்வாறும் செய்யலாம். முறை 2: P ^ (Qv R), (R -> ~ P), (Q-> P)
இவ்வாறு பிரதான மாறிலிக்கு T கொடுக்க வேண்டும். ஏற்கனவே ஒருமாறிக்குப் பெறுமானம் இருந்தால் அப்பெறுமான த்தையே திரும்பவும் கொடுத்தல் வேண்டும்.
P ^(QvR), (R -> ~ P), (0 -> P)
TT TTF F TFT TTT விடை-: ஆம் இதை இணைப்பு மாறிலியை பாவித்து பின்வருமாறும் செய்யலாம். முறை 3: P^(Qv R) ^ (P -> ~P)^(0->P)
- TT TTF T FT FT T TTTவிடை- : ஆம் (2) மூன்று விடைகளும் பொய்யாவதற்கு சாத்தியமுண்டா?
மூன்று குறியீட்டு வாக்கியத்தின் இறுதி மாறிலிகளுக்கு பொய் கொடுத்து செய்யும்போது முரண்படாது இருந்தால் ஆம் எனவும் முரண்பட்டால் இல்லை எனவும் விடை வரும்.
P^(Qv R), (R -> ~ P), (0-> P) FF TFF T FTF TFF
விடை :- இல்லை ஏனெனில் முரண் வருகின்றது. 3) சுகந்தியின் விடை பொய்யாகவும் ஏனைய இருவரது விடைகளும்
உண்மையாவதற்கு சாத்தியமுண்டா?
சுகந்தியின் குறியீட்டிற்கு F கொடுத்து மற்றவர்களுடைய குறியீட்டிற்கு T கொடுத்து முரண்படாது இருந்தால் ஆம் எனவும் முரண்பட்டால் இல்லை எனவும் விடை கூறவேண்டும்.
P ^ (QvR), (R -> ~ Q), (Q->P)
FE FT T TOT FI FOF விடை:- ஆம் (4) சுகந்தியின் விடையும் சாந்தியின் விடையும் உண்மையாவதற்கும்
சித்திராவின் விடை பொய்யாவதற்கும் சாத்திய முண்டா?
சுகந்தி, சாந்தி என்போரது குறியீட்டிற்கு T யும் சித்திராவின் குறியீட்டிற்கு F யும் கொடுத்து முரண்படாது இருந்தால் ஆம் எனவும் முரண்பட்டால் இல்லை எனவும் விடை கூறவேண்டும்.
P ^ (Qy R) , (R -> ~ P), (Q -> P)
TT TTF F TFT TFT முரண் விடை : - இல்லை. குறிப்பு -: வினா 1 - 4 வரை மாறிலியைக் கொண்டு விடை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1. 256 ஆசிரியர்: க . கேசவன்

கூறப்பட்டுள்ளது என்பதை மாணவர்கள் கவனிக்க வேண்டும்.
முன்று விடைகளும் உண்மையாயின் யார் குற்றவாளி யார் குற்றவாளியில்லை?
மூவருடைய விடைகளுக்கும் T கொடுத்து மாறிகளுக்கு பெறுமானம் எடுத்தல் வேண்டும். T பெறுமானம் பெறும் மாறி குற்றவாளி எனவும் F பெறுமானம் பெறும் மாறி குற்றவாளி இல்லை எனும் முடிவைப் பெறும்.எனவே மாறியைக் கொண்டு விடை கூற வேண்டும் என்பதை மாணவர்கள் கவனித்தல் வேண்டும்.
P ^( Q v R), (R -> ~ P), ( 2 -> P)
TTTTFF TFT T T T : விடை-:P = T-சுகந்தி குற்றவாளி
Q =T சாந்தி குற்றவாளி
R = F- சித்திரா குற்றவாளி இல்லை. (6) சுகந்தி, சித்திரா என்போரது விடை பொய்யாகவும் சாந்தியின்
விடை உண்மையாகவும் இருந்தால் யார் குற்றவாளி? யார் குற்றவாளியில்லை
P ^ (Q v R), (R -> ~ P), (Q -> P)
F F T T F F TTF T F F விடை- : P = F - சுகந்தி குற்றவாளியில்லை
Q = T - சாந்தி குற்றவாளி
R = F - சித்திரா குற்றவாளியில்லை குறிப்பு- வினா 5, 6 மாறியைக் கொண்டு விடை கூற வேண்டும். (7) ஒருவரும் குற்றவாளியில்லை எனின் யார் கூறுவது உண்மை? யார்
கூறுவது பொய்யாகும்?
குற்றவாளி எனின் ஒரு மாறி T ஆகும். குற்றவாளி இல்லை எனின் F ஆகும். எனவே, Q, Rா என்பவற்றுக்கு F பெறுமானம் கொடுத்து செய்யும்போது குறியீட்டு வாக்கியத்தின் இறுதி மாறிலி T எனின் அவர் உண்மை கூறுகினார் F எனின் அவர் பொய் கூறுகிறார் எனவும் விடை கூறவேண்டும்.
P ^ (Qv R) , ( R -> ~ P), (0 -> P)
F F F FF, F TTF FT F விடை
(1) P^ (Qv R) - சுகந்தி பொய் கூறுகிறாள்
(2) ( R -> ~ P) - சாந்தி உண்மை கூறுகிறாள்
T (3)( Q -> P) - சித்திரா உண்மை கூறுகிறாள்.
சுகந்தியும்சித்திராவும் குற்றவாளிகள் எனவும் சாந்தி குற்றவாளியில்லை எனவும் கொண்டல் யார் கூறுவது உண்மை- யார்கூறுவது பொய் யாகும்?
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

Page 131
P ^(Qv R) , ( R -> ~ P), (0 -> P)
TT FTTT FFT F T T விடை-(1) P ^ (Qv R) - சுகந்தி உண்மை கூறுகிறாள்
(2) ( R -> ~P) - சாந்தி பொய் கூறுகிறாள்
(3) (Q -> P) - சித்திரா உண்மை கூறுகிறாள் குறிப்பு :- வினா 7,8 மாறிக்கு தரப்பட்ட பெறுமானம் கொடுத்து
மாறிலியைக் கொண்டு விடை கூறப்பட்டுள்ளது. (9) விசாரணைக்குழு முன்று விடைகளையும் உண்மையென ஏற்றுக்
கொண்டு பின்வரும் முடிவிற்கு வந்தனர். (அ) சுகந்தி குற்றவாளியில்லை- (ஆ) சாந்தி குற்றவாளி? (இ) சித்திரா குற்றவாளி இல்லை? (ஈ) சுகந்தியும் சாந்தியும் குற்றவாளிகள்?
உ) சுகந்தியும் சித்திராவும் குற்றவாளிகள்விசாரணைக்குழுவின் தீர்ப்பு எவ்வாறு இருக்கும்? விடை-: விடை காணும்போது முவருடைய குறியீடுகளையும் எடுகூற்றாகக் கொண்டு முடிவாக ஒவ்வொரு மாறிகளையும் இட்டுக் காணுதல் வேண்டும். (அ) {[P ^ (0 v -R)]^(R-> ~ P)} ^ (Q -> P) } -> ~P
T T T T F T FT F T T T T F F விடை-: வாய்ப்பற்றதாக இருப்பதினால் சுகந்தி குற்றவாளியில்லை எனும் முடிவு பிழையாகும். ஆகவே அவள் குற்றவாளி. (ஆ) {[ P^(0 v R)]^( R -> ~ P)} ^(Q -> P) } -> Q
TT F FF T F T F T F T T F F விடை-: வாய்ப்பாக இருப்பதினால் சாந்தி குற்றவாளி எனும்
முடிவு சரியாகும். எனவே அவள் குற்றவாளி. (இ) {[ P ^ (Qv R)]^ (R -> ~P)} ^ (Q -> P) } -> ~ R
T T TT T T T+ F T T TT F F விடை-: வாய்ப்பபாக இருப்பதினால் சித்திரா குற்றவாளியில்லை எனும் முடிவு சரி. (ஈ) {[ P ^(QvR)]^ ( R -> ~P)} ^ (0-> P) } -> (P^ Q)
TT FT T T T + F T F TT F T FF விடை-: வாய்ப்பாக இருப்பதினால் இருவரும் குற்றவாளிகள் எனும் முடிவு சரியாகும். (உ) {[ P ^ (0 v R)]^(R -> ~P)} ^(0-> P) } -> (P^ Q)
TT TTF T F T F T T T T F TFF விடை-: வாய்ப்பற்றதாக இருப்பதினால் இருவரும் குற்றவாளிகள் எனும் முடிவு பிழையாகும். எனவே இருவரும் குற்றவாளிகள் இல்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I I 258
ஆசிரியர்: க . கேசவன்

அத்தியாயம் -12தர்க்கரீதியான சிந்தனை பற்றியகல்வி (01) அறிவு : அறிவைப் பெற்றுக் கொள்வதற்குரிய கருவி ( சாதனம்)
சிந்தனை ஆகும். சிந்தனைக் கருத்துக்களை வெளிப்படுத்துவதற்கு மொழி அவசியமாகும். மனிதர்களுக்கு இயற்கையாக பசி தாகம் " எவ்வாறு அமைந்திருக்கின்றதோ அதே போல இயற்கையாக சிந்தனையும் அமைந்திருக்கின்றது. தமது பசியை போக்குவதற்கு வேண்டியவற்றயும் தமது சிந்தனைக்கு பொருளாக வேண்டிய வற்றையும் மனிதர்கள் தமது சுற்றாடலில் இருந்து பெற்றுக் கொண்டான். ஆதிகால மனிதனுக்கு திருப்தியளித்த உணவுகள், உடைகள், உறைவிடங்கள், கருத்துக்கள். நாகரீகமும் பண்பும் அடைந்த இன்றைய மனிதனால் ஒதுக்கப்படுவதைக் காணலாம். எனவே சிந்தனையின் மூலம் புதிய அறிவுகள் தோன்ற பழைய அறிவுகள் ஒதுக்கப்படுகின்றன ஆனால் புதிய அறிவுகளின் தோற்றத்திற்குப் பழைய அறிவுகளே வழிகாட்டி என்பதை மறுக்க முடியாதது ஆகும்.
ஒவ்வொரு சந்ததியினரும் ஒவ்வொன்றையும் புதிதாக ஆரம்பிக்க வேண்டுமென ஓர் நிலையிருந்தால் இன்றைய அறிவு வளர்ச்சியானது ஏற்பட்டிருக்கமுடியாது. எமது சந்ததியினர் தமது முன்னோர்களின் அனுபவங்களின் பயனைப் பெறமுடிவதாலேயே இன்றைய அறிவு வேகமாக முன்னேறியுள்ளது. மனித அறிவு வளர்வதற்கு கூட்டுமுயற்சி, மொழி என்பவையும் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மனிதர்கள் தமது சிந்தனைக் கருத்துக்களை மொழிமூலம் பரிமாறிக் கொண்டதன் விளைவாக இன்று சிந்தனையானது வளர்ச்சி பெற்றுள்ளது. மொழி சிந்தனை வளர்ச்சிக்கு முக்கியபங்கு வகிக்கின்றது. மிருகங்கள் இன்றும் முன்னேற முடியாததற்குரிய காரணம் மிருகங்களுக்கு என்றதொரு மொழி இல்லை அதே போல மனிதர்களுக்கும் என்றதொரு மொழி இல்லாதிருக்குமேயானால் இன்று மனிதர்களும் மிருகங்களைப் போலவே வாழ்க்கையை நடாத்தவேண்டியிருக்கும். ஆனால் மனிதர்கள் இன்று இவ்வளவு தூரம் அறிவு முன் னேறி இருப்பதற்குரிய காரணம் மொழியே ஆகும்.
மனிதன் அறிவு வளர்ச்சிப் பாதையில் என்றுமே தடையின்றி வெற்றியுடன் முன்னேறி வந்தான் என்று சொல்ல இடமில்லை. தவறிழைத்தல் மனித இயல்பு ஆகும் என்பதை யாரும் அறிவர். சிந்தனை வளர்ச்சியால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மோட்டார் வாகனங்கள்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (259) --- ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 132
வீதிகளில் செல்லும் போது ஒன்றுடன் ஒன்று மோதி விபத்துக்கு ள்ளாகின்றது. இவ்வாறு விபத்துக்குள்ளாவதற்குரிய காரணம் மனிதனின் சிந்தனையில் ஏற்பட்ட தவறே ஆகும். நாம் எமது நாளாந்த உரையாடல்களின் போது சிந்தனையில் பல தவறுகளை விடுகின்றோம்.
நாம் நூலறிவு சம்பந்தமான விடயங்களில் அவ்விடயம் பற்றி அறியவேண்டிய அளவிற்குநாம் அறிந்திருக்கின்றோம் எனக் கூறுவது மட்டுமல்லாது இவ்விடயத்தைப்பற்றி அறியக்கூடிய யாவற்றையும் நாம் அறிந்திருக்கின்றோம் எனக் கூறத் தயங்குவது இல்லை. ஆனால் இன்னும் எவ்வளவோ விடயங்கள் எம்மால் எமக்கு இருக்கும் தற்போதைய ஆற்றலைக் கொண்டு அறிய முடியாமல் இருக்கும். பூரணமாக்கப்பட்டதெனக் கருதும் விஞ்ஞான அறிவும், அத்தகைய முழுமையுடையதன்று எதிர்பாராதவிதமாக இருந்தது. இதற்கு ரேடியம் கண்டுபிடிப்பைக் கூறலாம்.
எமது காலத்தில் காணப்படும் சிந்தனை இதற்கு முந்திய காலங்களை விட முடிவானது எனக் கூற முடியாது. வெவ்வேறு கால கட்டங் களில் பெறப்பட்ட அறிவு அக்காலங் களில் ஐயத்திற்கிடமின்றி நிறுவப்பட்டன. பின்னர் அவ்வறிவுகள் கைவிடப்படுவதற்குரிய காரணம் எமது சிந்தனை வளர்ச்சியால் அறிவு விரிவடைந்ததே காரணமாகும். விஞ்ஞான வரலாற்றிலே பெளதீகக் கொள்கைகள் பல மாற்றத்திற்குட்பட்டன. 17 ம், 18ம் நூற்றாண்டுகளில் புதிதாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தொலைவுகாட்டி மூலம் பழைய கருத்துக்களை மனிதர்கள் மாற்ற வேண்டியிருந்தது. கொப்பனிக்கசின் அறிவுப் புரட்சி மனிதர்கள் இதுவரை நம் புலன்கள் மூலம் அறிந்திருந்த நேர்வுகள் தவறானவை என நிரூபிக்கவில்லை. இதுவரை மனிதரது காட்சிப்புலன்களுக்கு எட்டாதிருந்த பலநேர்வுகளை தொலைவுகாட்டி அவனது புலனறிவு வட்டத்திற்குள் கொண்டு வந்தபோது இப்புதிய நேர்வுகளுக்கு தம்முள்ளே இடமளிக்க முடியாதிருந்தது. இதனால் சூரிய சந்திர பழைய கொள்கைகள் கொப்பனிக்கசின் அறிவுப் புரட்சியினால் பயனில்லாக்கப்பட்டன. ஆகவே பொதுவில் கொள்கையொன்றை மாற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்படும் போது இதுவரை தெரியாது இருந்த நேர்வுகள் சில கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளதே ஒழிய முன்பு கண்ட நேர்வுகள் தவறு என்பது கரு த்து அல்ல. ஆகவே மனிதன் எப்போதும் விளக்கங்களைத் தேடுகின்றான் என்பதும் அவ்விளக்கங்கள் பின்னர் பெறப்படும் அறிவை விளக்க முடியாதுவிடின் அவன் அவற்றைக் கைவிடுகிறான் என்பதும் இதிலிருந்து புலனாகின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
260
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

விளக்கங்கள் என்பதும் பொருட்களுக்கிடையே நிலவக் கூடிய தொடர்புகள் பற்றி எமது மனத்தால் ஆக்கப்பட்டவை ஆகும். ஆனால் இவ்விளக்கங்களின் மூலம் எமது சிந்தனைக்கெட்டுபவை உண்மை நிலவும் தொடர்புகளேயென நாம் நிச்சயமாக கருத முடியாது. தனக்கு எதிரிகளான ஆவிகளாலேயே புயல்கள் ஏற்படுகின்றது என ஆதிமனிதன் கருதினான் புயல்கள் ஏற்படுவது உண்மையென நாம் அவனோடு ஒப்புக் கொண்டாலும் அவற்றின் தோற்றத்திற்கான காரணம் பற்றி அவன் தரும் விளக்கம் நேர்வுகளோடு பொருந்துவதாக அமையாதபடியினால் அதனை நிராகரிக்கின்றோம். இவ் வாறு நாம் இவ்விளக் கங் களை நிராகரிப்பதற்கு ஆதாரமாயிருந்த நாம் ஆதிமனிதனிலும் அதிகமாக இயற்கைச் சம்பவங்களைப்பற்றி பெற்றிருக்கும் அறிவே ஆகும். பொருட்களுக்கிடையே நிலவும் தொடர்புகளின் மூலம் எம்மால் பல நிகழ்ச்சிகளை விளக்கமுடிவதால் எமக்கு அவ் நிக ழ்ச்சிகளெல்லாம் இயற்கையானவையாகத் தோன்றுகின்றன. ஆனால் ஆதி மனிதன் தன்னால் விளக்கமுடியாது இருந்த அநேக நேர்வுகளை பெளதீகவதீதமானவை எனக் கரு தினான்.
ஆகவே மனிதசிந்தனை அனுபவநேர்வுகளை ஏற்றுக் கொண்டு அவற்றை விளக்கமுயல்கின்றதெனலாம். இவ்விள க்கமானது இவ்அனுபவநேர்வுகள் ஒவ்வொன்றும் நம் கருத்தளவில் மற்றையவற்றடன் கொண்டிருக்கின்ற தொடர்புகளை இசைவு பெற அமைந்த ஓர் முறையாக அமையும். இத்தகைய விளக்கமுறைகள் முரண்பாடுகள் எதுவும் இருக்காது முரண்பாடுகள் இருந்தால் அது பயனற்றதாகி விடும். விஞ்ஞானத்தின் திட்டவட்டமான அறிவின் வளர்ச்சியென்பது அது எவ்விடயத்தைப் பற்றியதாக இருப்பினும் இத்தகைய முறைகள் பற்றிய சிந்தனையின் வளர்ச்சியே ஆகும். விஞ்ஞானத்துறை ஒவ்வொன்றும் தனக்கென ஓர் விளக்கமுறையைக் கொண்டதாக அமைகின்றது. எனினும் விஞ்ஞானத்துறைகள் யாவற்றுக்கும் ஓர் இசைவிருக்கும்.
' ஆகவே விஞ்ஞானத்துறைகள் யாவும் உலகு அல்லது பிரபஞ்சம் என நம்மால் அழைக்கப்படும் ஒரே பொருட்தொகுதி பற்றியே ஆராயப்படுகின்றது. ஆனால் இத்துறைகள் ஒவ்வொன்றும் உலகின் ஓர் அம்சத்தையே அதாவது அதன் இயல்புக்கு காரணமான சக்திகளின் ஓர் குறிப்பிட்ட பகுதியையே ஆராய்கின்றது. எமது நுண்ணறிவின் பலவீனமே இதற்குக் காரணமாகும். ஏனெனில் உலகில் உள்ள பொருட்களின் மிகச் சிறியதோர் பகுதிக்கு அதிகமாக ஆராயும் ஆற்றல் படைத்த மனிதர்கள் எவரும் இல்லை.
உலகின் உண்மை இயல்பை சிந்தனையில் முற்றாக
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 133
நிர்ணயிக்கும் திறன் எமக்கு இல்லை என்பது தெளிவு. பொருள் உலகின் பொதுவான அமைப்பில் அது தன் கண்டு பிடிப்புக்களில் இடம் என்ன என்பதை பற்றிய தெளிவான உணர்வற்ற நிலையிலேயே விஞ்ஞானத்தறைகள் யாவும் உள்ளன எனக் கூறலம். நமது அறிவு வளர்ச்சி இன்னும் முற்றுப் பெறாத நிலையிலேயே உள்ளது என்பதற்கு இது மறுக்க முடியாததோர் அத்தாட்சியாகும், ஆகவே எமது அறிவு விருத்தியடைவதற்கு ஏற்றவாறு நாம் இதுவரை கற்பித்துள்ள விளக்கங்களும் பெரு மளவிற்கு மாற்றமடைதல் வேண்டும்.
படிப்படியாக வளர்ந்துவரும் இவ்வறிவு புதிதாக ஏற்படும் விருத்தி காரணமாக ஏற்படும் புதிய சிந்தனை நிலைக்கேற்ப அதன் நம்பிக்கைகளிற் பலவற்றை கைவிட்டும் ஏனையவற்றைப் பெருமளவு மாற்றியமைத்தும் வந்துள்ளது என்பதையும் இவ்வறி வின் வளர்ச்சிக் காலத்தில் ஏற்படும் புதிய கண்டுபிடிப்புக்களிற் பல முற்றிலும் எதிர் பாராத தன்மையுடையது என்பதையும் பார்த்தோம். சிறிதளவேனும் சிந்திக்கும் ஒவ்வொரு மனிதனும் தான் சில வேளைகளில் பிழையாகச் சிந்திப்பது உண்டு என்பதை உணருகிறான். அவன் பிழைகள் அவனாலோ அல்லது பிறராலோ கண்டுபிடிக்கப்படலாம். கண்டுபிடிக்கப்படாமலும் இருக்கலாம். அதிக முக்கியத்துவமற்ற அநேக விடயங்களின் தவறுகளிற் பல ஒருபோதும் கண்டுபிடிக்கப் படுவது இல்லை. ஏனெனில் அச்சந்தர்ப்பம் கழிந்த பின்பும் அது பற்றி ஒருவரும் சிந்திப்பது இல்லை. ஆனால் அவ்விடயம் பற்றி மேலும் தெரியவரும் போது சில முரண்பாடுகள் வெளிப்படலாம். ஆனால் முந்திய சிந்தனை முறையில் உள்ள தவறு வெளியானால் மட்டுமே அது
எப்போதும் சீர்திருத்தப்படும் எனக் கூற் முடியாது (06). போலிகள்:
உண்மையில் ஏற்றுக் கொள்ளமுடியாத வலிதற்ற நியாய ங்கள் வலிதானவையைப்போல் தோற்றமளிப்பின் அவையே போலிகள் எனப்படும். அதாவது நியாயித்தலில் உள்ள ஓர் வழுவே போலியாகும். இவை அளவையியலில் கூறப்படுகின்ற விதிகளையும் நிபந்தனைகளையும் மீறுகின்றன.
அளவையியல் வாய்ப்பான சிந்தனையின் விதிகளை ஆராய்கின்றது என்றாலும் போலிகளையும் அறிந்துகொள்வது அவசியமாகின்றது. ஏனெனில் சிந்தனையில் ஏற்படுகின்ற தவறுகள் வெளிப்படையாகத் தெரிந்தால் அவை நம்வாதங்களில் ஏற்படாமலும் தடுக்கலாம். உண்மையை அடைவதற்கான விதிகள் குறைவாகும். ஆனால் அவற்றை மீறுகின்ற வழிகள் கணக்கில் அடங்காதவை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 2627
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

ஆகும். எனினும் பொதுவாக நம் சிந்தனையில் அடிக்கடி ஏற்படு கின்ற போலிகளை மட்டும் ஓரளவு வகைப்படுத்திக்கூறலாம். ஆனால் இந்த வகைப்படுத்தலை முழுமையாககருத முடியாது. அரிஸ்ரோட்டில் போலிகளை மொழிசார்ந்த போலிகள், மொழி சாராத போலிகள் என வகைப்படுத்தினார். " கிரைட்டனும் " "ஸ்மார்ட்டும்" விளக்கப்போலிகள், அனுமானப்போலிகள் என வகைப்படுத்தினர். எமது பாடத்திட்டத்தில் நியமப் போலிகள், நியமில்ப்போலிகள் என வகைப்படுத்துவர்
தீர்மானத்தில் எழும் போலிகள் (1) அறுதி எடுப்பிற்குத் தவறாக பொருள் கொள்ளல் :
ஒரு வசனத்தில் உள்ள சொற்கள் ஒவ்வொன்றும் நன்கு விளங்கி உரைபட்ட பின்பும் வசன அமைப்பில் அல்லது விளக்கத்தில் ஏற்படும் மயக்கம் காரணமாக வசனத்தின் பொருளை முற்றாக விளங்கிக்கொள்ள முற்படும் போது தவறு ஏற்பட இடமுண்டு. சொற்களின் பொருள் சந்தர்ப்பத்திற்கேற்ப நிறைவு பெறுவதாலேயே போலிகள் ஏற்படுகின்றன. பொருள் விளக்கத்தில் ஏற்படும் தவறுகளில் இரட்டுறு மொழிதற்போலி, அழுத்தப் போலி என்பவை ஆகும். இவற்றை முதலில் அவதானித்தவர் அரிஸ்ரோட்டல் ஆவர். இரட்டுறுமொழிதற் போலி : வசன அமைப்பிலே ஏற்படும் ஈரடி இயல்பினால் ஏற்படும் போலி இரட்டுறு மொழிதற்போலி எனப்படும். ஒரு சொற்றொடர் இரண்டு பொருளைத் தருவதால் ஏற்படுவதாகும். ஓர் அனுமானத்திலும் ( நியாயத்தொடை) இரு பொருள் வரும் போது மத்தியபத இரட்டுறுப் போலி ஏற்படும். (உ-ம்) (1) பணம் தேடி இங்கு வந்தான்
(2) சட்டம் என் கையில் (3) நீலம் ஒரு பழம். நீலம் ஒரு நிறம் ஆகவே ஒரு நிறம் பழமாகும்.
ஈரடி இயல்பான பதப்போலிக்கும் , இரட்டுறு மொழிதற் போலிக்கும் இடையே அடிப்படையில் வேறுபாடு எதுவும் இல்லை எனலாம். ஈரடி இயல்பான பதம் ஒன்று ஓர் எடுப்பில் உபயோகிக் கப்படின் அவ் வெடுப்பும் ஈரடி இயல்பினதாதல் தவிர்க்க முடியாதது ஆகும். எனினும் இரட்டுறு மொழிதற்போலி என்பதில் ஈரடி இயல்பேற்படுவது உண்மையில் எடுப்பின் பொதுவான அமைப்பினால் எனலாமே ஒழிய பதங்களின் ஈரடி இயல்பு காரணமில்லை எனலாம். அழுத்தற்போலி : பேசும் போது ஒரே சொல்லினை வெவ்வேறு வகைகளில் அழுத்தி உச்சரிக்கும் போது அவை வெவ்வேறு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
(263)
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 134
பொருட்களில் வருவதால் ஏற்படும் போலியே அழுத்தற் போலி எனப்படும். உதாரணமாக "டீமோகன்" தரும் கட்டளையை எடுத்துக் கொள்வோம் நீர் உன் அயல்வீட்டுக்காரனுக்கு விரோதமாக பொய் சாட்சியம் கூறக்கூடாது. நீ என்பதற்கு அழுத்தம் கொடுத்தால் நீ சொல்லலாகாது பிறர் சொல்லலாம் எனப் பொருள் வரக்கூடும். அயல் வீட்டுக்காரன் என்பதை அழுத்திக் கூறினால் ஏனையோருக்கு எதிராக பொய் சாட்சியம் கூறலாம் என்பதே ஆகும். விரோதமாக என்பதை அழுத்தினால் சாதகமாக கூறல், தவறல்ல எனப் பொருள் வரும். சாட்சியம் என்பதை அழுத்த சாட்சிதான் சொல்லலாகாது வேறு பொய்கள் சொல்லலாம் எனத் தோன்றும். -
இவ்வகைப் போலிவேறு எவ்வகையில் நிகழலாம் என்பதை "டிமோகன்" சுருக்கமாகப் பின்வருமாறு கூறுகின்றார். ஒரு கூற்றுக்கு உரித்தான ஒலியை நீக்கி அதனை செப்பும்போது அழுத்தப்போலி
ஏற்படுகின்றது. (2) நிபந்தனை எடுப்பிற்கு தவறாகப் பொருள் கொள்ளல்:
முற்கூற்றாகத் தரப்பட்டது மட்டுமே பிற்கூற்று நிகழ்வதற்கு வேண்டிய ஒரே ஒரு நிபந்தனை எனக்கொள்வதே நிபந்தனை எடுப்பிற்கு பொருள் கொள்வோர் பலரது முக்கியதவறு ஆகும். இது இல்லாத தொடர்பு ஒன்றைக் உள்ளதெனக் கொள்ளும் போது ஏற்படும் போலி ஆகும். (உ-ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விழையும்.( P - Q) உண்மையில் நெல் விளைவதற்கு மழை பெய்தல் மட்டும் காரணம் அல்ல. ஆற்றின் மூலம் அல்லது குளத்தின் மூலம் நீரைப் பாய்ச்சி நெல்லை விளைவிக்கலாம். தவறாகப் பொருள் கொண்டால் இரு வகையான போலிகள் அனுமானங்களில் ஏற்படுவதற்கு வாய்ப்புண்டு. (1). முற்கூற்றின் மறுப்பைக் கொண்டு பிற்கூற்றின் மறுப்பைப்
பெறுதல். (2)
பிற்கூற்றின் விதிப்பை கொண்டு முற்கூற்றின் விதிப்பைப்
பெறுதல். (3) உறழ்வு எடுப்பிற்குத் தவறாகப் பொருள் கொள்ளல். உறழ்வுஎடுப்புக்களில் தரப்படும் மாற்றெடுப்புக்கள் அனைத்தையும் அடக்குவனவாகவோ அல்லது ஒன்றை ஒன்று விலக்குவன வாகவோ தரப்படுவது இல்லையாதலால் உறழ்வு எடுப்புக்களைச் சார்ந்த இரு வகையான போலிகள் எழுதல் கூடும்.
(1) ஓர் உறழ்வு எடுப்பிலே காணப்படுகின்ற மாற்றுக்கள் ஒன்றைஒன்று விலக்காத போது விலக்கும் எனக்கொள்ளுதல். (உ-ம்) மனிதர்கள் ஏழை அல்லது திறமைசாலி ஒருவர் ஏழையாக இருந்து கொண்டு அதே நேரத்தில் திறமைசாலியாகவும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
264
ஆசிரியர் : க. கேசவன் )

இ ருக்கலாம். இவற்றிலே ஏழையாக இருக்கின் றஒருவன் திறமைசாலியாக இருக்கமுடியாது எனமுடிவு செய்வது உறழ்வில் உள்ள மாற்றுக்கள் ஒன்றை ஒன்று விலக்குவன எனத் தவறாகப்
பொருள் கொள்வதாகும். (2) அவை ஒன்றைஒன்று அடக்காதபோது அடக்கும் எனக் கொள்ளுதல். (உ-ம்) மனிதர்கள் ஏழைகள் , அல்லது பணக்காரர், இவற்றிலே ஒருவர் ஒரே நேரத்தில் ஏழையாகவும் அதே நேரத்தில் பணக்கார னாகவும் இருக்கமுடியாது' என்பதைக்கொண்டு ஒருவர் ஏழை அல்லர் என்பதை கொண்டு பணக்காரனாக இருத்தல் வேண்டும் எனக் கொள்வது மாற்றெடுப்புக்கள் சாத்தியமான நிலைகள் யாவற்றையும் தம்முள்ளே அடக்குகின்றன எனக் கொள்ளும் தவறுகளுக்குள்ளாவதாகும். நியமப்போலிகள் - நியமில்ப் போலிகள்
வாதத்தின் நியமத்தை ( வடிவத்தை) மாத்திரம் கருத்திற் கொண்டு இடம்பெற்றுள்ள போலியை இனம் காண்பது நியமப் போலி அல்லது வடிவப் போலி எனப்படும். வாதத்தில் உள்ள ( நியம) பண்புகள் ஊடாக வாதவிதிகள் மீறப்பட்டுள்ளதை ஏற்க முற்படும் எல்லாச் சந்தர்ப்பங்களிலும் நியமப் போலி உண்டு. அளவையியல் விதிகளை மீறும் போது ஏற்படுகின்றது எனக் கூறிக் கொள்ளலாம். (உ-ம்) (1) எல்லாச் சிங்கங்களும் மிருகங்கள் ஆகும்.
எல்லாப் புலிகளும் மிருகங்கள் ஆகும். ஆகவே எல்லாப் புலிகளும் சிங்கங்கள் ஆகும். (2) எல்லா X உம் Y ஆகும்
எல்லா A உம் Y ஆகும். ஆகவே எல்லா A யும் X ஆகும்.
இதன் நியமத்தை அவதானிக்கும் போது வலிதற்றது எனப் புலப்படுகின்றது. இவ்வகை வாதங்களில் காணப்படுவது மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி எனும் நியமப் போலியாகும். இவ்வாறான நியமப் போலிகள் பல வகைப்படும்.
வாதத்தின் நியமத்திற்குப் பதிலாக வாதத்தின் கருத்தினை அவதானிப்பது நியமில்ப்போலி எனப்படும். சில வாதங்கள் விதிகளுக்கு உட்பட்டு வலிதாகத் தோன்றினாலும் அதன் உள்ளடக்கத்தை நோக்கின் அதன் போலி வெளிப்படையாகத் தெரிகின்றது.
(உ - ம்) வேகமாக ஓடிச் செல்லும் எதற்கும் பாதம் உண்டு. மலை உச்சியில் இருந்து ஆறுகள் வேகமாக ஓடிச் செல்கின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
265 |
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 135
(2)
ஆகவே மலை உச்சியில் இருந்து வரும் ஆறுகளுக்குப் பாதம் உண்டு. இது வடிவரீதியில் வாய்ப்பானது போல் தோன்றினாலும் வாதத்தின் உள்ளடக்கத்தைக் கருத்திற்கொள்ளும் போது" இரட்டுறு மொழிதற் போலி " எனும் நியமில்ப் போலி ஏற்பட்டுள்ளது. நியமப்போலிகள் பின்வரு மாறு வகைப்படுத்தப் படுகின்றது.
உடன் அனுமானப் போலிகள் : (1)
எடுப்பு முரண்பாட்டுப்போலி : எடுப்பு முரண்பாட்டின் மூலம் பெறப்படும் அனுமானங்கள் தவறாகப்பெறப்படுவதன் விளைவாக ஏற்படுவதே எடுப்பு முரண்பாட்டுப் போலி எனப்படும். இவற்றிலே வழிப்பேறுப் போலி,மறுதலைப்போலி,உபமறுதலைப்போலி எனப் பல வகைப்படும். (அ) வழிப்பேறுப் போலி : (1) வழிப்படுத்தியின் பொய்மையில் இரு
ந்து வழிப்பேற்றின்பொய்மையை அனுமானிப்பதாகும். A பொய் எனின் I பொய் E பொய் எனின்) பொய் வழிப்பேற்றின் உண்மையில் இருந்து வழிப்படுத்தியின் உண்மையை அனுமானிப்பதாகும்.
1 உண்மை எனின் A உண்மை 0 உண்மை எனின் E உண்மை (ஆ) மறுதலைப் போலி : ஓர் எடுப்பின் பொய்யில் இருந்து
மற்றைய எடுப்பைஉண்மை யென அனுமானிப்பது மறுதலைப் போலி எனப்படும்.
A பொய் எனின் E உண்மை, E பொய் எனின்A உண்மை (இ) உப - மறுதலைப் போலி: ஓர் எடுப்பின் உண்மையில் இருந்து
மற்றைய எடுப்பைப் பொய்யென அனுமானிப்பது உபமறுதலைப் போலி எனப்படும்.
1 உண்மை எனின் O பொய் ஆகும்
0 உண்மை எனின் I பொய் ஆகும் (2) வெளிப்பேறு அனுமானப் போலிகள்: (அ) ஒழுங்கற்றமறைப் போலி : மறுமாற்றத்தில் பயனிலைப்பதத்திற்கு எதிர்மறைப்பதம் அமைத்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது ஒழுங்கற்ற மறைப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) A மனிதர்கள் அனைவரும் கறுப்பானவர் ஆவர்,
ம E மனிதர்கள் எவரும் வெள்ளையானவர் அல்லர். (ஆ) முறையற்ற எதிர் மாற்றம். : எதிர்மாற்றத்தில் எடு கூற்றில்
வியாப்தியடையாத பதங்கள் முடிவுக் கூற்றில் வியாப்தியடைதல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (266
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

கூடாது எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது முறையற்ற எதிர்மாற்றம் எனப்படும்.
இப்போலி A வகை அறுதிஎடுப்புக்களையும் அவற்றிற்குச் சமனான நிறைநிபந்தனை எடுப்புக்களையும் எதிர்மாற்றம் செய்யும் போது மட்டும் நேரிடுவதாகும். இவற்றுள் A வகை அறுதி எடுப்பின் முறையற்ற எதிர்மாற்றம் "சார்பியற் போலி" எனும் பெயரினால் அழைக்கப்படும். (உ - ம்) A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். எ A இறப்பவர் அனைவரும் மனிதர்கள் ஆவர்
நிறை நிபந்தனை எடுப்புக்களின் முறையற்ற எதிர்மாற்றம் பின்னடை போலி : எனும் பெயரினால் அழைக்கப்படுகின் றது. நிபந்தனை எடுப்புக்களில் பிற்கூற்றின் உண்மையில் இருந்து முற்கூற்றின் உண்மையை அல்லது முற்கூற்றின் மறுப்பில் இருந்து பிற்கூற்றின் மறுப்பை அனுமானிப்பதையே அரிஸ்ரோட்டல் பின்னடைப் போலி என அழைத்தார். (உ - ம்) (1) மழை பெய்தால் நிலம் நனையும் நிலம் நனைந்தால்
மழை பெய்தது ஆகவே இது ஒழுங்கற்ற எதிர்மாற்றத்தால் ஏற்படும் தவறு ஆகும். (2) மழை பெய்தால் நிலம் நனையும் ஆகவே மழை பெய்யாதுவிட்டால் நிலம் நனையாது. இது முறையற்ற நேர்மாற்றத்தால் வரும் தவறு ஆகும். 0 வகையெடுப்பை O எடுப்பாக எதிர் மாற்றம் செய்தால்
அது ஒழுங்கற்ற எதிர் மாற்றமாகும். (உ - ம்) மூ.எ 0 சில ( மனிதர்கள்) இறப்பவர் அல்லர்.
எ. 0 இறப்பவர் சிலர் ( மனிதர்கள்) அல்லர். (இ) முறையற்ற எதிர்வைக்கை:எதிர்வைக்கையில் எடுகூற்றில் வியாப்தி
யடையாத பதம் முடி வுக்கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும்விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது முறையற்ற எதிர் வைக்கை எனப்படும்.
E எடுப்பையோ, I எடுப்பையோ அல்லது இவற்றிற்குச்சமமான நிபந்தனைஎடுப்பையோ எதிர்வைக்கை செய்யும் போதே எதிர் வைக்கைப் போலி ஏற்படும். (உ - ம்) (1) மூ.எ E மனிதர்கள் எவரும் இறப்பவர் அல்லர்.
ம A மனிதர்கள் அனைவரும் இறக்காதவர் ஆவர்.
எ A இறக்காதவர் அனைவரும் மனிதர்கள் ஆவர். (2) மூ.எ I சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர்.
ம 0 சில மனிதர்கள் இறக்காதவர் அல்லர். - எ 0 இறக்காதவர் சிலர் மனிதர்கள் அல்லர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 |
பும் 1 T267)
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 136
(ஈ) ஒழுங்கற்ற நேர்மாற்றம் : நேர்மாற்றத்தில் எடு கூற்றில் வியாப்தி
யடையாத பதம் முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும் விதி மீறப்படும்போது ஏற்படுவது ஒழுங்கற்ற நேர்மாற்றம் எனப்படும்.
நிபந்தனை எடுப்புக்களில் முற்கூற்றின் மறுப்பில் இருந்து பிற்கூற்றின் மறுப்பைப் பெறுவது ஒழுங்கற்ற நேர்மாற்றம் எனப்படும். (உ - ம்) (1) மூ.எ E மனிதர்கள் எவரும் நேர்மையானவர் அல்லர்.
எ E நேர்மையானவர்கள் எவரும் மனிதர்கள் அல்லர். மA நேர்மையானவர் அனைவரும் மனிதரல்லாதவர் ஆவர். எA மனிதரல்லாதவர் அனைவரும் நேர்மையானவர் ஆவர்.
(2) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும் ஆகவே மழை பெய்யவில்லை எனின் நெல் விளையவில்லை.
சிந்தனை என்பது உண்மை. சிந்தனை சிறிதளவேனும் சேராதது உள்ளது அன்று என வாதிப்பதும் கெட்டவன் சஞ்சலம் உடையவனாக இருப்பான். ஏனெனில் களிப்பு நற்செயல்களால் வருவது என வாதிப்பதும் போலிகள் எனப்படுகின்றன. அதே போல S ஆனது M எனின் அது P ஆகும் என்பது நிறுவப்பட்டிரு ப்பின் S ஆனது M அன்று எனின் அது P ஆகாது என முடிவு செய்யலாம் என்பதும் இவ்வகைப் போலிகளே ஆகும். தொகுத்த றிவின் ஆராய்ச்சியின் போது இவ்வகைத்தவறு ஏற்படுவதற்கு இடம் உண்டு
வெளிப்பேறு அனுமானங்களின் பிரிவுகள் ஒவ்வொன்றின் சரியான முடி வுகளுக்குப் பதிலாகப் பிழையான முடிவுகள் காணப்பட்டால் அவை வாய்ப்பற்றது ஆகும். இதனால் அவையும் போலிகள் ஆகும். (உ - ம்) A மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். மறு 0 மனிதர்கள் சிலர் இறக்காதவர் அல்லர். உண்மையில் A எடுப்பின் மறுமாற்றம் E எடுப்பாகும். ஆனால் இங்கு 0 எடுப்பாக அமைவதால் போலியாகும். நியாயத்தொடை அனுமானப் போலிகள் (1) தூயநியாயத் தொடைப் போலிகள்: (அ) நாற்பதப் போலி : நியாயத் தொடை ஒன்றிலே மூன்று பதங்கள்
இருத்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது நாற்பதப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) ஆசிரியர் மாணவரை ஆளுகிறார்.
ஆசிரியரின் மனைவி ஆசிரியரை ஆளுகிறார். ஆகவே ஆசிரியரின் மனைவி மாணவரை ஆளுகிறாள். (ஆ) மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி :மத்தியபதம் ஏதாவது
ஓர் எடு கூற்றிலேனும் வியாப்தியடைதல் வேண்டும் எனும் விதி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
268
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

மீறப்படும் போது ஏற்படுவது மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி எனப்படும். (உ - ம்) A ( மிருகங்கள்) அனைத்தும் ( விலங்குகள் ) ஆகும்.
A (ஆடுகள்) அனைத்தும் (விலங்குகள்) ஆகும். A ஆகவே ( ஆடுகள்) அனைத்தும் ( மிருகங்க்ள) ஆகும். (இ) சிறுபதப்போலியும் பெரு ம்பதப்போலியும் : எடுகூற்றில்
வியாப்தியடையாத பதங்கள் முடிவுக்கூற்றில் வியாப்தியடைதல் கூடாது எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது சிறுபதப்போலி பெரும்பதப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) (1) A ( மாடுகள்) அனைத்தும் ( புல்தின்பன) ஆகும்.
E (ஆடுகள்) எவையும் ( மாடுகள்) அல்ல. E ஆகவே ( ஆடுகள்) எவையும் ( புல்தின்பன) அல்ல. (2) A ( கிளிகள்) அனைத்தும் ( பச்சை நிறம்) ஆகும்.
A( பச்சை நிறம்) அனைத்தும் ( பறவைகள்) ஆகும்.
A ஆகவே ( பறவைகள்) அனைத்தும் ( கிளிகள்) ஆகும். (ஈ) இரு எடுகூற்று எதிர்மறைப்போலி : தரவுகளில் ஒன்றேனும்
விதிஎடுப்பாக இருத்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது இரு எதிர்மறைப்போலி எனப்படும். (உம்) மாணவர்கள் எவரும் படிப்பவர் அல்லர்.'' E
படிப்பவர் எவரும் ஆண்கள் அல்லர்
E ஆகவே ஆண்கள் எவரும் மாணவர்கள் அல்லர். E (உ) முடிவு மறையில்லாப் போலியும் எடுகூற்று மறை இல்லாப்
போலியும் : தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் முடிவு மறையாக அமைதல் வேண்டும். முடிவு மறையாயின் தரவுகளில் ஒன்று மறையாக இருத்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும்போது இப்போலிகள் ஏற்படும். (உ - ம்) (1) மாடுகள் அனைத்தும் புல்தின்னும்.
புல்தின்பன எவையும் மிருகங்கள் அல்ல. E ஆகவே மிருகங்கள் அனைத்தும் மாடுகள் ஆகும். A (2) பாம்புகள் அனைத்தும் விஷமுடையது ஆகும். A
விஷமுடையன அனைத்தும் கொடியவை ஆகும்A ஆகவே கொடியவை சில பாம்புகள் அல்ல.
0 (எ) இரு குறை எடுகூற்றுப்போலி : இரண்டு குறை எடு கூற்றுக்க
ளிலிருந்து எதுவிதமான முடிவையும் பெறமுடியாது எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது இரு எடுகூற்று குறையுரைப் போலி எனப்படும். இங்கு பெரும்பதப்போலி, இரு எதிர்மறைப்போலி, மத்தியபத வியாப்தியடையாப் போலி என்பன ஏற்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 112692
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 137
(உ - ம்) சில மிருகங்கள் புல் தின்னும்.
புல் தின்பன சில மாடுகள் ஆகும். ஆகவே மாடுகள் சில மிருகங்கள் ஆகும். (2) கலப்பு நியாயத் தொடைப் போலிகள்: (அ) காரணமறுப்புப் போலி : உடன்பாட்டு ஆகாரி எனும் அனுமான
விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது காரண மறுப்புப்போலி அல்லது உடன்பாட்டுஆகாரி அனுமானப்போலி எனப்படும். அதாவது நிபந்தனை எடுப்பின் முற்கூற்றை மறுத்து பிற்கூற்றின் மறுப்பை
முடிவாகப் பெறுவதாகும். (உ - ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும்.
மழை பெய்யவில்லை, ஆகவே நெல் விளையவில்லை (ஆ) காரிய உடன்பாட்டுப் போலி : மறுப்பு ஆகாரி எனும் அனுமான
விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது காரிய உடன்பாட்டுப் போலி அல்லது மறுப்பு ஆகாரிப் போலி எனப்படும். அதாவது நிபந்தனை எடுப்பின் பிற்கூற்றை விதித்து முற்கூற்றின் விதிப்பை முடிவாகப் பெறுவதாகும். (உ - ம்) மழை பெய்யும் எனின் நெல் விழையும்
நெல் விளைந்தது ஆகவே மழை பெய்தது. (இ) தழுவும் உறழ்வுப்போலி : உறழ்வு எடுப்புக்களில் உள்ள
மாற்றுக்கள் ஒன்றை ஒன்று விலக்காத போது மறுத்து விதித்தல் எனும் அனுமான விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது தழுவும் உறழ்வுப் போலி எனப்படும். (உ - ம்) குமார் படித்தவன் அல்லது அழகானவன்.
அவன் படித்தவன் ஆகவே அவன் அழகானவன் அல்லன். (ஈ) தவிர்ப்பு உறழ்வுப்போலி : உறழ்வு எடுப்புக்களில் உள்ள மாற்று
க்கள் ஒன்றுசேர்ந்து உலகிலுள்ள அனைத்தையும் அடக்காதனவாய் உள்ள போது விதித்து மறுத்தல் எனும் அனுமான விதி மீறப்படும் போது ஏற்படுவது தவிர்ப்பு உறழ்வுப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) மனிதர்கள் ஏழைகள் அல்லது பணக்காரர்
காந்தன் ஏழை அல்லன்.ஆகவே அவன் பணக்காரன். நியமில்ப்போலிகள் பின்வரு மாறு வகைப்படுத்த
ப்படுகின்றது. (அ) காகதாலியம் நியாயம் ( இதன் பின் ஆகவே இதனால்) காரணம்
அல்லாத ஒன்றை தவறாகக் காரணம் எனக்கொள்வதால் ஏற்படுவது காகதாலியப்போலி எனப்படும். இதில் முக்கியமானது பின் நிகழ்ச்சிக்கு முதல் நடந்த ஓர்தற்செயலான நிகழ்ச்சியைக் காரணம் எனக்கொள்வதால் ஏற்படுவதேயாகும்.
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 270 - ' ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

(உ - ம்) ஆயுள்வேத வைத்தியர் பார்த்தவுடன் நோயாளி இறந்து போனார்.ஆகவே ஆயுள்வேத வைத்தியரை அழைக்காதிருந்தால் நோயாளி உயிர்பிழைத்திருப்பார்.
இங்கு ஓர் நோயாளி இறப்பதற்கு காரணம் ஆயுள்வேத வைத்தியர் எனக்கூறப்பட்டுள்ளது : உண்மையில் ஓர் ஆயுள்வேத வைத்தியர் பார்ப்பதற்கும் நோயாளி இறப்பதற்கும் எதுவிதமான காரணகாரியத் தொடர்பும் இல்லை. இது தற்செயலாக ஏற்பட்ட நிகழ்வு ஆகும். எனவே ஓர் நோயாளி இறப்பதற்குக் காரணம் அல்லாத ஒன்றாகிய ஆயுள்வேத வைத்தியரைக் காரணமாகக்
கொண்டுள்ளதால் காகதாலியப் போலி ஏற்ப்பட்டுள்ளது. (ஆ) அனுதாபவழி நியாயம் : ( பரிவு நியாயம்) ஒரு வாதத்திலே
வெற்றி பெறத் தவறான வழியில் அனுதாபத்தைப் பெற முயல்வதே அனுதாபவழி நியாயப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) எதிரிக்கு ஆறு பிள்ளைகள் உண்டு மனைவியும் இல்லை.
ஆகவே
இவனைக் குற்றமற்றவன் எனத் தீர்ப்பளிக்கவேண்டும்.
ஒருவரைக் குற்றமற்றவன் என நிறுவுவதற்குரிய ஆதாரம். எதிரிக்கும் இறந்தவருக்கும் பகைமை இல்லை. எதிரி குறிப்பிட்ட காலத்தில் கொலை நடந்த இப்பிரதேசத்தில் வசிக்கவில்லை என்பதே சரியான நியாயங்கள் ஆகும். ஆனால் இங்கு குற்றம் செய்த ஒருவர் மேற்கூறிய சரியான நியாயங்களைக் கூறாதுதனக்கு ஆறு பிள்ளைகள் உண்டு. மனைவியும் இல்லை எனும் அனுதாப நிலைகளை நீதிபதிக்கு எடுத்துக்காட்டி தான் குற்றமற்றவராக மாற முயல் வதினால் அனுதாப வழி நியாயப் போலி
ஏற்பட்டுள்ளது. (அ) கெளரவ நியாயம்: மதிப்பிற்குரிய ஆதாரம் ஒன்றினைக்காட்டி
ஓர் கூற்றை ஏற்கும்படி வேண்டுவதே கெளரவநியாயப்போலி எனப்படும். ஓர் ஆதாரத்தின்பால் கொண்டுள்ள மிக அதிகமான மதிப்பு அல்லது பக்தி காரணமாக தரப்பட்ட கூற்றின் அல்லது வாதங்களின் உண்மையைச் சோதியாது ஒருவர் இப்போலிக்கு உட்படுகின்றார். (உ - ம்) அஹிம்சை வழி சிறந்தது என்பதை ஏற்றுக் கொள்ளலாம். - ஏனெனில் மகாத்மா காந்தி அவர்கள் அவ்வாறு கூறியிருக்கிறார்.
இங்கு அஹிம்சை வழி ஏன் சிறந்தது என்பதற்குரிய காரணங்களை வேண்டாது மகாத்மா காந்தி என்பவரை ஆதாரம் காட்டி அஹிம்சைவழி சிறந்தது என்பதை ஏற்பதால் கௌரவ நியாயப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I -
- ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 138
(ஈ) தடியடி நியாயம் : ( அடிதடி நியாயம்) ஒருவர் தனது கூற்றையோ
அல்லது அபிப்பிராயத்தையோ ஏற்க மறுக்கின்ற ஒருவரைப் பயமுறுத்தி அச்சுறுத்துவதன் மூலம் அவற்றை ஏற்கச்செய்ய முனைதலே தடியடி நியாயப்போலி எனப்படும். இது ஒருவரின் பலத்தைக் காட்டுமே ஒழிய வாதத்தின் செம்மையைக்காட்டாது. (உ - ம்) நீங்கள் எங்களுக்கு வாக்களிக்க வேண்டும். இல்லையேல் உங்கள் கிராமத்திற்கு அரசாங்க நிதியேதும் கிடைக்காது.
இங்கு - செல்வாக்குக் குறைந்த அரசியல் கட்சியைச் சேர்ந்தவர்கள் மக்களிடம் வாக்குகளைப் பெறுவதற்கு அவர்களைத் தங்களுக்கு வாக்களிக்காதுவிட்டால் உங்கள் கிராமத்திற்கு அரசாங்க நிதியேதும் கிடைக்காது எனப் பயமுறுத்தி வாக்கைச் சேகரிக்க
முயல்வதால் அடி தடி நியாயப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது.)
உ)
ஆள் நியாயம். : ஒருவரால் உருவாக்கப்பட்ட கருத்தை அல்லது கொள் கையை சரியான தா அல்லது பிழையான தா எ ன வாதிடுவதற்குப் பதிலாக அவற்றை உருவாக்கிக் கொண்டவரது உளவியல் நிலை, சமூகப்பின்னனி, முன்னுக்குப்பின்னான முரணான நடவடிக்கைகள், ஒருவர் இன்னொருவர் மீது கீழ்த்தரமான முறையில் மேற்கொள்ளும் குற்றச்சாட்டுகளே ஆள் நியாயப் போலி எனப்படும். (உ - ம்) இவனுடைய கருத்தை ஏற்கக் கூடாது ஏனெனில் இவன்
A என்ற கட்சியைச் சேர்ந்தவன்.
இங் கு ஒருவர் கூறும் கருத்தின் உண்மை பொய் ஆராயப்படவில்லை. அவர் A என்ற கட்சியைச் சேர்ந்தவர் என்ற ஆதாரத்தைக் காட்டி அவருடைய கருத்தை நிராகரிப்பதால்
ஆள் நியாயப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது. (ஊ) மாக்கள் நியாயம் : பொதுசனஉணர்வினால் உந்தப்பட்டு வாதம்
புரிதல் மாக்கள்நியாயம் எனப்படும். அல்லது முடிவிற்கான உண்மை யான ஆதாரங்கள் எதையும் தராது மக்களை தனது சொற்களின் மூலம் உணர்ச்சிவசப்படுத்தி அவர்களின் விருப்புவெறுப்புக்களை அனுசரித்து தனது கருத்தை அல்லது முடிவை நிறுவமுயல்வதே மாக்கள் நியாயம் எனப்படும். (உ-ம்) டார்வினின் பரிணாமக்கொள்கையை ஏற்கக்கூடாது ஏனெனில் அது நம் முன்னோர்கள் குரங்கின் வழியாக வந்தவர்கள் எனக் கூறுகின்றது.
டார்வினின் பரிணாமக் கோட்பாட்டினை ஏற்கக்கூடாது என்பதை மக்களை ஏற்கவைக்கச் செய்வதற்கு அக்கோட்பாடு நம் முன்னோர்கள் குரங்கின் வழியாக வந்தவர்கள் என மக்களைத் தமது சொற்களின் உணர்ச்சிவசப்படுத்தி அவர்களின்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

விருப்பு வெறுப்புக்களை அனுசரித்து தனது கருத்தான டார்வினின் பரிணாமக்கோட்பாட்டை ஏற்கக் கூடாது என்பதை நிறுவ
முயல்வதால் மாக்கள் நியாயப் போலி ஏற்பட்டுள்ளது. (எ) முடிவுமேற்கொள்ளல் போலி : ( முடிவை இரத்தல்)
நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய எடுப்பு நிரூபிக்காமலே ஏற்றுக் கொள்வது முடிவுமேற்கொள்ளல் எனும் போலி எனப்படும். அதாவது எதை நாம் முடிவாக நிறுவப் போகின்றோமோ அதையே எடுகூற்றாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றது. (உ-ம்) காந்தத்திற்கு ஈர்ப்புசக்தி உண்டு ஆகவேகாந்தம் பொருட்களை ஈர்க்கின்றது.
இங்கு காந்தம் ஏன் பொருட்களை ஈர்க்கின்றது எனும் நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய எடுப்பு காந்தத்திற்கு ஈர்ப்பு சக்தி உண்டு எனும் எடுகூற்றில் நிரூபிக்காமலே ஏற்றுக் கொள்ளப் படுவதால் முடிவு மேற்கொள்ளற்போலி ஏற்பட்டுள்ளது. முடிவுமேற்கொள்ளல்ப் போலி பின்வரும் வழிகளில் ஏற்படுகின்றது. (1) ஒருவர் தனது முடிவிற்கான காரணத்தை அதே முடிவின் வடிவத்திலோ அல்லது அதற்குச்சமமான வடிவத்திலோ தருவ, தால் இப்போலி ஏற்படுகின்றது. இதனை முடிவு மேற்கொள்ளற் போலியின் ஒரு வகையான முடிவின்கூறு மேற்கோடற் போலி என்பர். எடுகூற்றும் முடிவும் ஒன்றே ஆகும். இங்குஓர் அனுமா
னத்தின் அடியிலேயேபோலி நிகழுகின்றது. (உ - ம்) (1) அபின் மனிதனை உறங்கச் செய்கின்றது ஏனெனில்
இ அதற்கு நித்திரையூட்டும் குணங்கள் உள்ளதால் (2) அவன் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறான் ஆகவே அவன்
சந்தோஷமாக இருக்கிறான் (3) குறியீட்டு உதாரணம் (அ) S - P, S - P, ஃ S - P
(ஆ) S - P, S - S, ஃ S - P (2) ஒரு பொதுத் தத்துவத்தை வெளிப்படையுண்மையெனத் தவறாக
கொண்டு முடிவினைப் பெறுவதால் இப்போலி ஏற்படுகின்றது.) இவை அளவையியல் விதிகளை மீறுவதால் ஏற்படுவது ஆகும். பொருள் காரணமாகவே இப்போலி ஏற்படுகின்றது. வரைவில க்கணம் ஒன்று எடுகூற்றாய் பயன்படுத்தும் போதெல்லாம் முடிவு மேற்கொள்ளப்படுகின்றது . (உ - ம் ) (1) மூன்று பக்கங் களையுடைய நேர்கோட்டுருவம் ஒவ்வொன்றினதும் கோணங்கள் இரு செங்கோணங்களுக்கு சமமானவை ஒவ்வொரு முக்கோணமும் முப்பக்கங்களையுடைய நேர்கோட்டுருவம் ஆகும். ஆகவே ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் கோணங்களும் இரு
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1' 1273 ) ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 139
செங்கோணங்களுக்குச் சமமானவை ஆகும்.
(2)
எல்லா விலங்குகளும் சுறுசுறுப்பானவை ஆமை ஓர் விலங்கு ஆகும்.
ஆகவே ஆமை சுறுசுறுப்பானது ஆகும். (3) எடுகூற்றாய் எடுத்துக் கொள்ளப்படும் முடிவு இடையில் பெரிதோ சிறிதோ ஆன இடையீடுவிட்டுப் பின்னர் முடிவுக்கூற்றாய்த் தரப்படுவதால் இப்போலி ஏற்படுகின்றது. இது சக்கர நிரூபணப் போலி அல்லது சுழல் நியாயம் அல்லது வட்டச்சிந்தனை போலியாகும். (உ - ம்) (1) வேதங்கள் உண்மையானவை ஏனெனில் அவை கடவுளால் உண்டாக்கப்பட்டவை கடவுள் இருக்கிறார் என்பது உமக்கு எப்படித் தெரியும்? வேதங்களே கடவுள் உண்டு எனக்
கூறுகின்றது.
( குறியீட்டு வடிவம்)
M, P ஆகும் S, M ஆகும் ஃ S, P ஆகும் S, P ஆகும் M , S ஆகும் ஃ M, P ஆகும்
மேற்கோள்முடிவை இரத்தல் போலியின் கேள்வி வடிவம் பல்வினாப்போலி அல்லது சிக்கல் வினாப்போலி எனப்படும். இதிலும் முடிவுரை ( விடை) வினாவில் ஒப்புக்கொள்ளப்படுகின் றது. நீதி மன்றத்தில் குறுக்கு விசாரணையின் போது வழக்கறிஞர்கள் இவ்வாதத்தை அதிகம் பயன்படுத்துவர். பொய்யான ஒன்றிற்கு விளக்கம் கேட்பதினாலும் இப்போலி ஏற்படும். (உ - ம்) (1) நீ உனது அம்மாவை அடிப்பதை நிறுத்தி விட்டாயா? ஆம் என விடை கூறினால் முன்பு அம்மாவை அடித்ததை ஏற்றுக் கொள்கிறார். இல்லை எனக் கூறினால் தற்போதும் அம்மாவை அடிக்கின்றார் என்பதை ஏற்றுக் கொள்கின்றார்.
(2) இது மாமரமா ? அல்லது தென்னை மரமா? (ஏ) சமுதாயப்போலி ( கூட்டுப் போலி) ஒன்றில் அடங்குகின்ற
தனியனுக்கோ அல்லது பகுதிக்கோ பொருந்துவதை அதன் முழுமைக்கும் பொருந்தும் எனத்தவறாகக் கூறுவதால் ஏற்படுவது சமுதாயப்போலி எனப்படும். ஒன்றின் பகுதிக்கு பொருந்துவது அதன் முழுமைக்கும் பொருந்தவேண்டும் என்பது இல்லை. (உ - ம்) இந்தமேசை அணுக்களால் ஆனது. அணுக்களை கண்ணால் காணமுடியாது. ஆகவே மேசையையும் கண்ணால் காணமுடியாது.
இங்கு அணுக்களுக்குப் பொருந்தும் கண்ணால் காண முடியாது எனும் பண்பை தவறாக அணுக்களால் செய்யப்பட்ட மேசையையும் கண்ணால் காண முடியாது எனக் கூறியுள்ளதால் சமுதாயப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
2774
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

(ஐ) வியாப்திப்போலி (. பிரிவுப்போலி) ஒரு முழுமைக்குப் பொருந்து
வதை அவற்றிலடங்கும் பகுதிக்கோ அல்லது தனியனுக்கோ பொருந்தும் எனக் தவறாகக் கொள் வதால் ஏற்படுவது வியாப்திப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) அந்த மந்திரிகுழு கெட்டித்தனமுடையது ஆகவே அதிலுள்ள
A என்ற மந்திரியும் கெட்டிக்காரர்.
எல்லா மந்திரிமார்களின் அறிவின் ஆலோசனையைச் சேர்க்கும்போதே குழு கெட்டித்தனம் என்னும் பண்பைப்பெறு கின்றது. குழுவுக்கு பொருந்தும் கெட்டித்தனம் என்னும் பண்பைக் கொண்டு அதில் அடங்கும் A என்ற மந்திரி கெட்டிக்காரனாக இருப்பார் என உறுதியாகக் கூறமுடியாது இருப்பதினால் வியாப்திப்
போலி ஏற்பட்டுள்ளது. (ஒ) தடத்தப் போலி : ( வந்தேறியபொருட்பண்புப்போலி)
பொதுவான விதி ஒன்றினைப் பொருத்தமான சூழலில் பயன்படுத்துவதற்குப்பதிலாகப் பொருத்தமற்ற சூழலில் பயன் படுத்தும்போது ஏற்படுவது தடத்தப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) கொலைகாரர்கள் அனைவரும் தூக்கிலிடப்பட
வேண்டியவர்கள் ஆகவே போர் வீரர்களும் தூக்கிலிடப்பட
வேண்டியவர்கள். இங்கு கொலைகாரர்கள் அனைவரும் தூக்கிலிடப்படவேண்டிய வர்கள் எனும்விதி ஒரு சாதாரண மனிதன் இன்னுமோர் சாதாரண மனிதனைக் கொலை செய்யும்போதே பயன்படுத்தப்பட வேண்டியது ஆகும். இவர்களுக்குப் பயன்படுத்த வேண்டிய விதியைப் பொருத்த மின்றிப்போர்வீரருக்கும் பயன்படுத்தியுள்ளதால் தடத்தல்போலி ஏற்பட்டுள்ளது.
தடத்தல் போலி இரண்டு வகைப்படும். (i) நேர்தடத்தல் போலி (ii) மறுதலை தடத்தப்போலி (i) நேர் தடத்தப் போலி: சாதாரண நிலைமைகளில் உண்மையாக உள்ளதனை அசாதாரண நிலமைகளிலும் உண்மையெனக் கருதுவது நேர்தடத்தப் போலி எனப்படும். (உ-ம்) கொலைகாரர்கள் அனைவரும் தூக்கிலிடப்படவேண்டிய
வர்கள் ஆகவே போர்வீரர்களும் தூக்கிலிடப்படவேண்டியவர்கள் (ii) மறுதலை தடத்தப் போலி : விசேட சந்தர்ப்பங்களில் உண்மையாக
உள்ளதனை எல்லாச் சந்தர்ப்பங்களிலும் உண்மையெனக் கருதுவது மறுதலை தடத்தப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) சாராயம் இவனுக்கு உடல் நலத்தைத் தந்தது.
எனவே எல்லோரும் அதனை உட்கொண்டால் உடல் நலத்திற்கு நல்லது ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT 275
ஆசிரியர் : க. கேசவன்.

Page 140
(ஓ) அறியாமை நியாயப் போலி : நிறுவப்பட வேண்டிய முடிவிற்குப்
பதிலாக அதுவென மயங்கி அவசியமற்ற பிறிதோர் எடுப்பை நிறுவ முற்படுவதால் ஏற்படுவதே அறியாமை நியாயப்போலி எனப்படும். இலக்கு எதுவெனத் தெரிந்திருத்தல் வேண்டும். எனும் அளவையியல் விதியை மீறும் போது இப்போலி ஏற்படுகின்றது. அறியாமை நியாயப்போலி பின்வரும் வழிகளில் ஏற்படுகின்றது. ஒரு கூற்றின் மறுப்பு நிறுவப்படாத நிலையில் இருந்தால் அதனைச் சுட்டிக்காட்டி அக்கூற்றின் விதிப்பை ஏற்கும்படி வேண்டும் போது ஏற்படும். (உ-ம்) முதலைகளுக்கு பல் இல்லை என இதுவரை யாரும் நிரூபிக்கவில்லை ஆகவே முதலைகளுக்கு பல் ஒன்று இருத்தல் வேண்டும்.
இங்கு முதலைகளுக்கு பல் இல்லை எனும் மறுப்பு நிறுவப் படாது இருப்பதால் முதலைகளுக்கு பல் உண்டு எனும்விதிப்பு நிறுவப்பட்டுள்ளதாக கொள்வதால் அறியாமை நியாயப்போலி
ஏற்பட்டுள்ளது. (i) ஒரு கூற்றின் விதிப்பு நிறுவப்படாத நிலையில் இருந்தால் அதனைச்
சுட்டிக்காட்டி அவற்றின் மறுப்பை ஏற்கும் படி வேண்டும் போது ஏற்படும். (உ-ம்) புற்றுநோய் நுண்ணுயிர் ஒன்று உண்டு என எவரும் இது வரை நிரூபிக்கவில்லை ஆகவே புற்றுநோய் நுண்ணுயிர் எதுவும்
இல்லை. (iii) குறித்த விடயத்திற்கு புறம்பானவை பற்றி வாதிடுவதால் ஏற்படும். (ஒள) அசித்தம் : ஓர் முடிவானது எடுகூற்றுக்களில் இருந்து தர்க்க
முறையில் பெறப்படாதபோது ஏற்படுவது அசித்தப்போலி எனப்படும். அதாவது எடுகூற்றுக்கும் முடிவிற்கும் இடையே தொடர்ச்சியின்மை காணப்படும். (உ-ம்) (1) படித்த ஆட்களை நியமிப்பதால் என்ன பயன் ஏனெனில்
பட்டங்கள் பெற்ற பலர் உண்மையில் படித்தவரல்ல.
படித்த ஆட்களை நியமிப்பதால் என்ன பயன் முடிவு பட்டங்கள் பெற்ற பலர் உண்மையில் படித்தவரல்ல எனும் எடு கூற்றில் இருந்து தர்க்கமுறையில் பெறப்படாது இருப்பதினால் அசித்தம் பொருந்தா முடிவுப்போலி ஏற்பட்டுள்ளது. (உ - ம்) (2) உலக அழகி தலைவலிக்கு X மாத்திரையை பாவிக்கின்றாள். உலக அழகிக்கு பல தலைவலிகள் உண்டு ஆகவே தலைவலிக்குரிய சிறந்த மருந்து X மாத்திரையாகும்.
தலைவலிக்குரிய சிறந்தமருந்து X மாத்திரை என்பதை நிறுவ உலக அழகி பாவிப்பதே அதிகாரமாக கொள்ளப்பட்டுள்ளது.
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 276 ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

இந்த அதிகாரம் மாத்திரையை சிறந்தது என்று கூறுவதற்கு பொருத்தமற்ற அதிகாரமாக இருப்பதோடு முடிவு எடுகூற்றில் இருந்து தொடர்ச்சியின்றிப் பெறப்பட்டுள்ளதால் அசித்தம் பொருந்தா அதிகாரப் போலி ஏற்பட்டுள்ளது. வரைவிலக்கணப் போலிகள் : வரைவிலக்கண விதிகள் மீறப்பட்டு கையாளப்படும் பதத்தின் பொருட்களை பற்றிய தவறான எண்ணத்தை ஏற்படுத்துவதன் மூலம் ஏற்படுவது வரைவிலக்கணப் போலிகள் எனப்படும். கவர்பாடுடைய பதங்களின் பிரயோகம், போதிய நிர்ணயமில்லாத சிந்தனை வரைவிலக்கணப் போலிகள்
ஏற்படுவதற்குக் காரணமாகின்றது. இப்போலிகள் பல வகைப்படும். (1) ஒருங்கிசையா எண்ணக்கருப் போலி: ( ஒருங்கிசையாத
பண்புகளை உட்படுத்துவதன் எண்ணக்கரு)
ஒரு பதத்தின் பொருள் வெளிப்படையாகவும் தெளிவாகவும் சிந்தனையிற் கொள்ளப்படும்போது ஒருங்கிசையாத பண்புகளை அதனுட்சேர்ப்பது என்பது இயலாதது ஒன்றாகும். எனவே எமது கருத்துக்கள் தெளிவாகவும் திட்டவட்டமாகவும் அமையாதபோது ஓர் எண்ணக்கரு பொருந்தாதபண்புகளையும் உள்ளடக்கினால் அது ஒருங்கிசையா எண்ணக்கருப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) " பிரிக்க முடியாத சடப் பொருட் பகுதி" எனும் கூற்று இப்போலிக்குட்பட்டது. இங்கு சடப்பொருள் என்பது பிரிக்கப்படாத தன்மையோடு ஒருங்கிசையவில்லை. கவர்பொருட்பாடுப் போலி: இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட பொருட்களை தரக்கூடிய பதத்தை பிரயோகிப்பதால் ஏற்படுவதே கவர்பொருட்பாட்டுப்போலி எனப்படும். (உ - ம்) ஒரு பொருள் முடிவடைவது அது பூரணமாகும்போது வாழ்க்கை பூரணமாவது மரணத்தில் முதலாவது கூற்றில் முடிவடைதல் என்பது முற்றாகச் செய்தல் எனும் கருத்தையும் இரண்டாவது கூற்றில் இல்லாமல் போதல்
எனும் கருத்தையும் தருகின்றது. (3) சொல்லணிப்போலி: ஒரே இலக்கணவடிவம் எல்லா இடங்
களிலும் ஒரு பொருளில் தான் வரும் என்ற தவறான நம்பிக்கையால் எழுவது சொல்லணிப் போலி எனப்படும். (உ-ம்) விளக்கு, விளக்கம் , விளக்குதல் மூன்றையும் ஒரே பொருள்
எனக் கொள்ளல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 141
(4) வரையறையற்ற கூற்றில் இரு ந்து வரையறையுடைய கூற்றைப்
பெறுதல்:பேரெடுகூற்றில் இல்லாத ஒன்றை முடிவுக்கூற்றில் அனுமானிப் பதால் ஏற்படுவது ஆகும். (உ - ம்) நேற்று வாங்கியதை இன்று நீ உண்டாய்
நேற்று நீ பச்சை மீன் வாங்கினாய், ஆகவே இன்று நீ பச்சை மீன் உண்டாய். (5) வரையறை உடைய கூற்றில் இருந்து வரையறையற்ற
கூற்றைப் பெறுதல்: எடு கூற்றில் ஒரு நோக்கத்திற்காக வரையறுக் கப்பட்ட ஒன்றை முடிவுக்கூற்றில் இன்னொரு நோக்கத்திற்காக பயன்படுத்துவது ஆகும் (உ - ம்) வேலையற்றோருக்கு வேலை கொடுத்தால் சமூகத்திற்கு நன்மை தரும் ஆகவே வேலையற்றோருக்கு பயனற்ற வேலை கொடுத்தாலும் சமூகத்திற்கு நன்மை தரும்.
எடுகூற்றில் வரையறுக்கப்பட்டது பயனுடைய வேலையாகும். ஆனால் முடிவுக் கூற்றில் பயனற்றவேலை என இன்னொரு நோக்கத்திற்காக தவறாக பயன்படுத்தப்படுகின்றது. சமுதாயப்போலியும் வியாப்திப்போலியும் : இப்போலிகள் நியமில் போலிகள் எனும் தலைப்பில் ஆராயப் பட்டுள்ளது. பிரிப்பு முறைப் போலிகள்: பிரிப்பு முறைவிதிகளை மீறும் போது ஏற்படுவது பிரிப்பு முறைப் போலிகள் எனப்படும். அவை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தப்ப டுகின்றது. ஒன்றை ஒன்று தழுவுதலும் குறுக்குப் பிரிவினையும் : ஒரு சாதியை ஒரு பண்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு பிரித்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும் போது ஏற்படும். ஒரு சாதியை இரண்டு பண்புகளை கொண்டு சேர்த்துப் பிரிக்கும் போது ஒரு வகுப்பிற்குள்இன்னோர் வகுப்பு உள்ளடங்கியிருப்பதே இப்போலியாகும்.
(உ - ம்) இலங்கையர், ( மதம் + மொழி)
சிங்களவர்
தமிழர் சோனகர் பறங்கியர் கிறிஸ்த்தவர்.
இங்கு சிங்களவர் எனும் வகுப்பிற்குள் கிறீஸ்த்தவர் எனும் வகுப்பும் கிறீஸ்த்தவர் எனும் வகுப்பிற்குள் தமிழர் எனும் வகுப்பும் உள்ளடங்கும்.
இவ்விதியை மீறும் போது மற்றுமோர் குறுகிய பிரிவினைப் போலி ஏற்படும். ஒரு சாதியை இரண்டு பண்புகளைக் கொண்டு
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 278) ஆசிரியர் : க. கேசவன்' |

தனித்தனியாக பிரிப்பதிலும் பார்க்க ஒருங்கே கொண்டுபிரிக்கும் போது வகுப்புக்கள் குறைவாக அமைவதே குறுகியபிரிவினைப் போலி எனப்படும். ஒரு சாதியை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டு பிரிக்கும் போது படிப்படியாக பிரித்தல் வேண்டும் எனும் விதி மீறப்படும்
போது ஏற்படுவது பிரித்தல் பாய்தல் கூடாது எனும் போலியாகும். (02) அளவையியலும் மொழியும்:
சொற்கள் சிந்தனையின் சாதனமாக விளங்குகின்றன. மொழியின் மூலமே சிந்தனைக்கருத்துக்கள் வெளியிடப்படுகின்றன. கருத்து க்களை நிலைநாட்டுவதற்கும் எமது கருத்துக்களை மற்றவர்களுக்குத் தெளிவுபடுத்தவும் மொழியே பயன்படுகின்றது. அளவையியலின் ஆங்கில பெயரான "லொஜிக்" "லாகோஸ்" என்ற கிரேக்க சொல்லில் இருந்து தோற்றம் பெற்றது ஆகும். "லாகோஸ் " என்ற சொல் மொழி என்றும் சிந்தனை என்றும் இரு பொருள் படுகின்றது. இதிலிருந்து சிந்தனைக்கும் மொழிக்கும் உள்ள தொடர்பை அறியலாம்.
சொற்களையும் அவற்றைச் சரியான முறையில் அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதையும் இலக்கணம் மூலம் தெரிந்து கொள்கிறோம். சரியான சிந்தனை முறைகளை அளவை யியல் கற்பிப்பதுபோல திருத்தமான மொழியை எவ்வாறு அமைப்பது என இலக்கணம் கற்பிக்கின்றது. அளவையியல் சிந்தனையின் உயர்நிலை அறிவியலாக விளங்குகின்றது. எனவே அளவை யியலைச் சிந்தனையின் இலக்கணம் என்றும் இலக்கணத்தை மொழியின் அளவையியல் என்றும் கூறுவர்.
- வாதங்களானவை வாக்கியங்களைக் கொண்டவை எனும் கருத்திலே கூறும்போது அவை மொழி சார்ந்த பொருள்கள் ஆகும். இதனால் மொழியின் இயல்பு பற்றியும் அதன் பயன்பாடுகளைப் பற்றியும் அளவையியல் ஆராயவேண்டியுள்ளது. மேலும் ஒரு அளவையியல் முறைமையே அமைக்கப்பட்ட ஓர்மொழியாகக் கரு தலாம். நவீன அளவையியல் இன்று குறியீட்டு மொழியைப் பயன்படுத்துகின்றது.
பேச்சு சொற்கள் அல்லது எழுத்துச் சொற்கள் மொழி சார்ந்த பொருள்கள் ஆகும். ஒரு மொழியின் குறிகள் குறியீடுகள் ஆகும். ஒரு மொழியின் விதிகள் இக்குறியீடுகளை எவ்வாறு சரியாக இணைக்கலாம் என்பதைக் கூறுகின்றது. உதாரணமாக இலக்கண வாக்கியங்களை எமக்குத் தருகின்றன. குறியீடுகளும், விதிகளுமே மொழியின் சொற்றொடரியலாக அமைகின்றது. எல்லா விஞ்ஞானிகளும் பதங்களைப் பற்றி ஒரே பொருளில் விளங்கிக்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
279
ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

Page 142
கொள்வதற்கு சொற்றொடரியல் கொண்ட மொழி அவசிய
மாகின்றது.
மொழியைப் பயன் படுத்தியே அளவையியல் உரு வாகின்றது. சிந்தனைக் கருத்துக்களை வெளிப்படுத்த மொழி அவசியமாகின்றது. மொழி திட்பமாக இருந்தாலே மொழியால் வெளியிடும் சிந்தனைக் கருத்துக்களை தெளிவாகவிளக்கலாம். எனவே நாம் பயன்படுத்தும் பேச்சு மொழியை ( சாதாரண மொழி) விரும்பின் எமது சொற்தொகுதியை சில சொற்களின் திரட்டாக வரையறுத்து துல்லியமான இலக்கணவிதிகளை அளிப்பதன் வழி எமது மொழியை நாம் மேலும் திட்பமான மொழியாக்கிக் கொள்ளலாம். எண்கணிதம் ஒரு மொழியாகும். அதன் சொற் தொகுதி எண் களையும் கூட்டல் அடையாளம் போன்ற
குறியீடுகளையும் கொண்டுள்ளது.
அளவையியல் பொதுவாக மொழியில் உள்ள உண்மை அல்லது பொய்யாக வரக்கூடிய வாக்கியங்களையே ஆராய் கின்றது. இவை விளக்கப்பயன்பாடுடைய உறுதியான வாக்கியங்கள் ஆகும். அளவையியல் மொழியில் உள்ள எல்லா வாக்கியங்களையும்
ஆராய்வது இல்லை அவை பின்வருமாறு : (1) வினா வாக்கியம் - உமது பெயர் என்ன? (2) கட்டளை வாக்கியம் - கதவை மூடுக (3) உணர்ச்சி வாக்கியம் - ஆகா எவ்வளவு அழகான வானம் (4) புகழ் வாக்கியம் - நீடுழி காலம் வாழ்க (5) சந்தேகமான வாக்கியம் - விமானம் விழுந்திருக்கக் கூடும். (6) காலம் சார்ந்த வாக்கியம் - சர்வாதிகாரிகளை ஆதரிக்கும் முகமாக
மக்களைத் தூண்ட முடியாது.. ! இவை வாக்கியங்களின் பொருளுக்கு பொருந்தக்கூடிய ஓர் வகைப் படுத்தல் முறையாகும். சொற்களின் பொருளை விரிவான , செறிவான என இருவகைப்படுத்துவது மற்றுமொரு வகைப்படுத்தல் முறை யாகும்.
அளவையியல் குறியீடு போன்ற தொழில் நுணுக்கங் களை தானே வளர்க்கின்றது. 'இவற்றில் பிரயோக மொழியில் காணப்படும் கவர்பாடு காணப்படுவது இல்லை. அதாவது குறிப்பிட்ட ஓர் உரையாடலில் உள்ள வாக்கியத்திற்கு குறித்த ஓர் நிலையான பொருளை மட்டும் எடுத்துக்கொண்டு அதனைத் துறை நுட்ப விடயக் கருத்து குறியீடுகளாகவோ அல்லது தர்க்கவிடயக் கருத்து குறியீடுகளாகவோ வெளியிடுவதன் மூலம் அளவை யியலானது ஈரடி இயல்பை தவிர்க்கின்றது. அளவையியல் அறிஞன் முழுவாதத்தினதும் சந்தர்ப்பத்தில் சம்பந்தப்பட்ட வாக்கியங்களைக் கருத்திற்கொள்ளும் போது சாத்தியமான காலம்சார்ந்த பொருளினை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I - 1280
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

சம்பந்தப்பட்ட தர்க்கத் தொடர்பிற்கு பொருத்தமற்றதாகப் புறக்கணிக்கின்றான். சாதாரண மொழியைப் பார்க்கினும் கணிதத் தர்க்க மொழிக்குள்ள அனுகூலம், என்னவெனில் சிக்கலான வாக்கியங் களையும் வாதங் களின் உட்கிடை களையும் நாம் தெளிவாகவும் மிக எளிமையாகவும் விளங்கிக் கொள்ளத்துணை புரிவதேயாகும். (உ - ம்) கிளியோப்பட்ரா 1938ல் உயிரோடிருந்த ஹிட்லரையும் முசோலினியையும் மணம் புரிந்து கொள்ளவில்லை என்பதன்று கணிதத்தர்க்கமானது அத்தகைய ஒரு வாக்கியத்தை எவ்வாறு குறியீ டாக்குவது என்பது பற்றியும் இதை எவ்வாறு இணை மாற்றான நியமத்தில் மாற்றுவது' எனவும் இவ்வாக்கியத்தை பின்வருமாறு (தர்க்கமுறையிலே) பொருள்படும் படி காட்டலாம் என்பதையும் எமக்குக் கற்பிக்கின்றது. (உ-ம்) கிளியோப்பட்ரா 1938ல் உயிரோடு இருந்தால் ஹிட்லரையோ
முசோலினியையோ அவள் மணம் செய்திருப்பாள்.
' அளவையியல் மொழியை வாதத்திற்குப் பயன்படுத்து வதோடு அதேவேளை மொழிக்கும் பொதுவான விதிகளை அளவையியல் தருகின்றது. அதாவது உலகில் அனேக மொழிகள் உள்ளன. அளவையியல் மாறிலிகள் அல்லது இணைக்கும் சொற்கள் எல்லா மொழிக்கும் பொதுவானவை எனக் கருதப்படுகின்றமையால் இம்மொழிகள் எல்லாவற்றுக்கும் பொதுவான ஓர் இயல்புபற்றியும் அளவையியல் ஆராய்கின்றது. எல்லாம் , சில இல்லை, அப்போது அல்லது முதலியவற்றுக்குச் சமமான சொற்கள் எந்த மொழியிலும் வாக்கியங்களில் அல்லது வாதங்களில் மாறாத ஒரே கருத்து வாதத்திற்கு தர்க்கரீதியான அமைப்பைக் கொடுப்பதற்கு இது போன்ற சில " மொழியிடை" மாறிகளே போதுமானவை ஆகும்.
சாதாரண மொழியில் உள்ள அர்த்தவளம் அளவையியல் மொழியில் இடம் பெறுவது இல்லை. ( ஆனால் என்பது அளவை யியலில் அத்துடன் என்று மட்டுமே) மொழியில் உள்ள முரண் உரைக்குரிய நியம உதாரணங்கள். (1) கொழும்பிலுள்ள முடிஒப்பனையாளர் எல்லோருமே, அத்துடன் தம்மைத்தாம் சவரம் செய்து கொள்ளாதவர்களுக்கு மட்டும் சவரம் செய்கிறார். இக்கூற்றினைக் கொண்டு இந்த முடி ஒப்பனையாளர் தம்மைத் தாமே சவரம் செய் து கொள் கிறாரா? எனும் வினாக்கேட்கப்படுகின்றது. ஆம் எனக் கூறுகின்றோம் எனக் கொண்டால் முடி ஒப்பனையாளர் தம்மைத்தாமே சவரம் செய்து கொள்ளாதவர்களுக்கு மட்டும் சவரம் செய்கிறார். எனவே அவர்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 281
ஆசிரியர் : க. கேசவன் :

Page 143
(2)
தம்மைத் தாமே சவரம் செய்து கொள்ளவில்லை. இப்போது நாம் இல்லை என்று கூறுகிறோம் அப்படியாயின் அவர் தம்மைத் தாமே சவரம் செய்து கொள்ளவில்லை. ஆனால் அவர் தம்மைத் தாமே சவரம் செய்து கொள்ளாத எல்லோருக்குமே சவரம் செய்தால் அவர் தம்மைத் தாமே சவரம் செய்து கொள்கின்றார். இங்கு முரண்பாடு இன்றி ஆம் அல்லது இல்லையெனப் பதிலளிக்க முடியாது.இவ்வழி எச்சந்தர்ப்பத்திலும் அறிவிற்கு ஒவ்வாத தாகின்றது. ஓர் உறுதியான வாக்கியம் ஒன்றில் உண்மையாக அன்றேல் பொய்யாக இருக்குமென நாம் கொள்கின்றோம். ஆனால் சில
உறுதியான வாக்கியங்களுக்கு உண்மை, பொய் , எனும்
இருவிடைகளும் பொருத்தமற்றதாகிவிடுகின்றன.
(உ-ம்) எல்லா இலங்கையர்களும் பொய் சொல்பவர்கள் என இலங்கையரான பெரேரா கூறினார். பெரேரா கூறுவது உண்மையெனின் இவ்வாக்கியம் பொய்யாகும். ஆனால் பெரேரா கூறுவது பொய் எனின் இவ்வாக்கியம் உண்மையாகும்.
(03) நியாய அடிப்படையில் சிந்தித்தல்:
(1)
(2)
அவதானம், பரிசோதனை எனும் அனுபவ முறைகளை சிறிதளவேனும் பயன்படுத்தாது (சிந்தனை அல்லது தர்க்கம் அல்லது நியாயம் அல்லது பகுத்தறிவு) அறிவைப் பயன்படுத்தி முடிவை பெறுவது நியாய அடிப்படையில் சிந்தித்து முடிவைப பெறுவது ஆகும். நியாய அடிப்படையில் சிந்தித்து முடிவைப் பெறுவதற்கு அளவையியல் விதிகளும் பயன்படுகின்றன. தரப்பட்ட விடயத்தை தர்க்கரீதியாக ஆராய்ந்து சரியான முடிவைப் பெறுதல்
வேண்டும். இங்கு தரப்படும் விடயம் உண்மை என ஏற்றுக்
கொள்ளப்படும். அதிலிருந்து முடிவுகள் தர்க்கரீதியாக பெறப்படும். இவ்வாறு பெறுவதற்கு மொழி பற்றிய அறிவு அவசியமாகும். (உ- ம்) கீழே தடித்த எழுத்தினால் தரப்பட்ட கூற்றினை உண்மை எனக் கொண்டு அதனை அடுத்துத் தரப்பட்டுள்ள கூற்றுக்களில் எது சரியானது என கண்டுபிடிக்குக. பறவைகள் எல்லாம் பறக்கும். குயில் ஒரு பறவை ஆகவே (அ) பறவைகள் எல்லாம் குயில்கள் (ஆ) குயில்கள் சில பறக்கும் (இ) குயில்கள் எல்லாம் பறக்கும் விடை: குயில்கள் எல்லாம் பறக்கும் குரைக்கின்ற நாய் ஒரு போதும் கடிக்காது பபி என்ற நாய் கடிக்கும்
(அ) பபி குரைக்காது - (ஆ) பபி குரைக்கும் (இ) குரைத்துக் கொண்டே கடிக்கும். - விடை: பபி குரைக்காது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 282. ஆசிரியர் : க. கேசவன்
حجم

(3) சிங்கங்கள் மிருகங்கள் ஆகும். மிரு கங்களுக்கு கால்கள் உண்டு
ஆகவே (அ) சிங்கங்களுக்கு கால்கள் உண்டு (ஆ) எல்லா உயிர்களுக்கும் கால்கள் உண்டு (இ) சிங்கங்கள் நான்கு கால் மிருகங்கள் ஆகும்.
விடை: சிங்கங்களுக்கு கால்கள் உண்டு (4) அறிவாளிகள் அதிகம் பேசுவது இல்லை ஆகவே
(அ) அறிவாளிகள் மிகக்குறைவாகவே பேசுவர் (ஆ) பேசாதவர் எல்லோரும் அறிவாளிகள் ஆவர். (இ) பேசுபவர் எல்லோரும் அறிவற்றவர் ஆவர்.
விடை : அறிவாளிகள் மிகக்குறைவாகவே பேசுபவர் (5) கடவுள் எல்லாம் வல்லவர் அவரால் தன்னால் தூக்க முடியாத
கல்லையும் படைக்க முடியும் ஆகவே (அ) கடவுள் எல்லாம் வல்லவர் (ஆ) கடவுள் எல்லாம் வல்லவர் அல்லர்
விடை : கடவுள் எல்லாம் வல்லவர் அல்லர். (6) A. B யிலும் பார்க்க. உயரமானவன் C.A யிலும் பார்க்க
உயரமானவன் ஆகவே (அ) B.C யிலும் உயரமானவன் (ஆ) மூவரிலும் A உயரமானவன் (இ) மூவாரிலும் உயரம் குறைந்தவன்B
விடை : மூவரிலும் உயரம் குறைந்தவன் .B (7) மாடுகள் அனைத்தும் விலங்குகள் ஆகும் .விலங் குகள்
அனைத்தும் உயிர் உள்ளவை ஆகவே (அ) உயிர் உள்ளவை அனைத்தும் மாடுகள் (ஆ) உயிர் உள்ளவற்றுள் சில மாடுகள் ஆகும் (இ) உயிர் உள்ளன எவையும் மாடுகள் அல்ல
விடை : உயிர் உள்ளனவற்றுள் சில மாடுகள் ஆகும் (8) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர். ரவி இறப்பவர்
அல்லர் ஆகவே. (அ) ரவி ஓர் மனிதன் (ஆ) ரவி ஓர் மனிதன் அல்லன் (இ) இறப்பவரில் ஒருவர் ரவி ஆவார்.
விடை : ரவி ஓர் மனிதன் அல்லன் (9) சந்தைக்கு வடக்கே கோவில் உள்ளது பாடசாலைக்கு வடக்கே
சந்தை உள்ளது ஆகவே (அ) பாடசாலைக்கு தெற்கே கோவில் உள்ளது (ஆ) கோவிலுக்கு தெற்கே பாடசாலை உள்ளது (இ) கோவிலுக்கு வடக்கே பாடசாலை உள்ளது
விடை : கோவிலுக்கு தெற்கே பாடசாலை உள்ளது (10) பாடசாலையில் நடைபெற்ற கலை விழாவிற்கு வந்தவர்களில்
அனேகர் ஆண்கள் ஆவர் ஆகவே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 1283
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 144
(அ) கலை விழாவிற்கு பெண்கள் வரவில்லை (ஆ) கலை விழாவிற்கு ஆண்கள் மாத்திரம் வந்திருந்தனர். (இ) கலை விழாவிற்கு பெண்களும் வந்திருந்தனர்.
விடை: கலை விழாவிற்கு பெண்களும் வந்திருந்தனர். (11) சிறுவர்களைத் தவிர வேறு எவரும் விளையாடுவது இல்லை
ஆகவே (அ) சிறுவர்கள் எவரும் விளையாடுவது இல்லை. (ஆ) விளையாடுபவர் அனை வரும் சிறுவர் கள் ஆவர் (இ) விளையாடுபவரில் சிலர் சிறுவர்கள் ஆவர் விடை : விளையாடுபவர் அனைவரும் சிறுவர்கள் ஆவர். (12) எல்லாப் பறவைகளும் பறப்பன அல்ல ஆகவே
(அ) பறப்பன சில பறவைகள் அல்ல (ஆ) சில பறவைகள் பறப்பன அல்ல (இ) பறப்பன எவையும் பறவைகள் அல்ல.
விடை:சில பறவைகள் பறப்பன அல்ல (13) எல்லாப் பறவைகளும் பறப்பன அல்ல ஆகவே
(அ) பறவைகள் அல்லாதன எவையும் பறப்பன அல்ல (ஆ) பறவைகள் அல்லாதன அனைத்தும் பறப்பன ஆகும் (இ) பறவைகள் சில பறப்பன ஆகும்
விடை:பறவைகள் சில பறப்பன ஆகும். (14) உயர்ந்த இன மாடுகளின் உணவு வைக்கோல் ஆகும் ஆகவே
(அ) உயர்ந்த இன மாடுகள் வைக்கோலை விட வேறு
உணவுகளை உண்ணும் (ஆ) வைக்கோலை உண்ணும் மாடுகள் உயர்ந்த இனத்தவை (இ) உயர்ந்த இன மாடுகள் வைக்கோலை விட வேறு
உணவையும் உண்ணும் விடை: உயர்ந்த இன மாடுகள் வைக்கோலை விட வேறு
உணவையும் உண்ணும் (15) குமரன் ஒன்றில் படித்தவன் அல்லது திறமைசாலி அவன்
படித்தவன் அல்லன் ஆகவே (அ) அவன் திறமைசாலியும் படித்தவனும் (ஆ) அவன் திறமைசாலி அல்லன் (இ) அவன் திறமைசாலி ஆவான்
விடை : அவன் திறமைசாலியாவான் (04)நேர் வுகள் : நேர்வு வெறுமனே உளதெனலாமே ஒழிய
அதனைப்பற்றி உண்மையானது எனவும் பொய்யானது எனவும்
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1, 284 - ஆசிரியர் : க. கேசவன் |

பொருந்தாது. எடுப்புக்களில் இதை நாம் விளக்கும் போது உண்மையான எடுப்புக்கள் நேர்வுகளுடன் பொருந்துவனவாகக் காணப்படும் கண்டி இலங்கையில் உள்ளது எனும் உண்மை எடுப்பு கண்டி இலங்கையில் உள்ளது' எனும் நேர்வோடு பொருந்துகின்றது. பொய்யான எடுப்புக்கள் நேர்வுகளோடுபொருந்து வது இல்லை. உதாரணமாக எல்லாக் குதிரைகளும் கொம்புடையன ஆகும் எனும் எடுப்போடு பொருந்தக் கூடிய நேர்வு இல்லை. எடுப்புக்களில் நேர்வு பற்றிய விளக்கம் இவ்வாறே அமைகின்றது.
நேர்வுகள் அனுபவ நேர்வுகள் அனுபவத்திற்கு அப்பாற் பட்ட நேர்வுகள் என அமைகின்றது. கடவுள் வெள்ளை நிறமானவர் என்பது அனுபவத்திற்கு அப்பாற்பட்ட நேர்வு ஆகும். இதை மெய்ஞ்ஞானம் ஆய்வு செய்யும். இரும்புகள் துருப்பிடிக்கும் என்பது அனுபவத்திற்கு உட்பட்ட நேர்வு ஆகும். இதை விஞ்ஞானம் ஆய்வு செய்யும் ஒவ்வொரு விஞ்ஞானத்துறையிலும் வகுத்து ஏனைய நேர்வுகளோடு இசைவித்துக் காணப்பட வேண்டிய நேர்வுகளை ஆராய்ச்சியாளன் காண்கிறான். நேர்வுகள் பற்றிய ஆராய்ச்சியை உணர்த்தும் தொடர்புகளை எத்தத்துவம் எடுத்து ரைக்கின்றது எனக் கூறுதல் உடனடியாக சாத்தியமாய் இருப்பது இல்லை. வேறுபட்ட பல தத்துவங்கள் பொருந்துவன போல் காணப்படும் பெரும்பாலான வேளைகளில் அவற்றுள் ஒன்றை உண்மையென எடுத்துக் கொண்டு அதன் விளைவுகளைப் பெற்று அவற்றை நேர்வுகளோடு ஒப்பிடுவது ஆகும். அது பொருத்தமானதா அல்லவா எனத்துணிவதற்கு ஓர்வழியாகக் காணப்படலாம். நேர்வுகளின் முக்கியத்துவத்தை அறியும் ஆற்றலில் மனிதர்கள் வேறுபடுகின்றனர். இது அகக்காட்சியில் தங்கியிருக்கின்றது. விஞ்ஞானத்தில் பொது விதிகளை ( நிறை எடுப்பு) அமைக்க நேர்வுகள் முக்கியத்துவம் பெறுகின்றது.
நேர்வுகளை நிர்ணயிப்பதற்குரிய பதிவுகள் பற்றிய யாவற்றிற்கும் தொகுத்தறிவுமுறை இன்றியமையாதது ஆகும். பதிவுகள் என்றால் அது நேர்வுகள் எனவும் உண்மையானவை எனவும் தவறாக விளங்கக்கூடாது. பதிவுகள் கவனமாக வாய்ப்பு பார்க்கப்பட வேண்டும். அவற்றை ஆராய்ந்து எத்தகைய நேர்வுகளை அவை உணர்த்துகின்றன அல்லது மறைக்கின்றன என்பது பற்றிய கருதுகோளை பெறவேண்டும் பதிவுகளில் இருந்து பெறப்பட்ட கருதுகோள்களை பிற்பதிவுகளில் இருந்து இவ்வழியில் பெறப்பட்ட நேர்வுகளோடு அல்லது மொழிசட்டங்கள் , கட்டிடங்கள் , கலைப் பொருள்கள் என்பவை தரும். அதிகம் நம்பத்தகுந்தனவான நேர்வு
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் : க. கேசவன் )

Page 145
களை ஆராய்வதன் மூலம் தர்க்கரீதியான சிந்தனையை விருத்தி செய்யலாம். பதிவுகளை பயன்படுத்தும் போது ஏடுகள் எழுதப்பட்ட காலம், அவை நிகழ்கால விடயங் களுக்கு பொருத்தமானதா என்பவை கவனிக்கப்பட வேண்டும். ஒழுக்கவியல்
சமுதாயத்தில் வாழும் மனிதர்களின் நடத்தையைப் பற்றி ஆராயும், ஒரு வகை நியமவிஞ்ஞானமாக ஒழுக்கவியலை நாம் வரையறுக்கலாம். ஒரு மனிதனின் நடத்தையை சரியானதா தவறானதா நன்மை பயக்குமா? தீமை பயக்குமா? எனக் கூறுவதும் இது போன்று முடிவு கட்டுவதோ தீர்மானிப்பதோ மதிப்பீடு செய் வதோ இந்த விஞ் ஞான் வகையில் அடங்கும். ஒழுக்கவியலானது மனிதனின் சமூக நடத்தையைப் பற்றிக் கூறும் சில மதிப்பீடுகளைப்பற்றி ஆராயும் நியம விஞ்ஞானமாக உள்ளது. மனிதர்கள் எப்படி இருக்க வேண்டும் என நியமங்கூறுகின்றது. ஓர் விதியை தரு கின்றது கொலை செய்யாதே விதியை ஒழுக்கவியல் கூறுகின்றது. கொலை செய்வது பாவம் எனவே கொலை செய்யாதே என விதியைக் கூறுகின்றது. இது ஒரு கட்டளை வாக்கியம் ஆகும்.
நாம் ஒரு பொருளை பற்றித் தீர்மானிக்கும் போது கொள்ளும் நெறி முறைகளையும் விதிகளையும் நியமங்களையும் கொள்கைகளையும் பற்றிக் கூறுகின்றது. இந்த வகையைத் தான் நியமங் கூறும் விஞ்ஞானம் எனக்கூறுகின்றோம். நியமங்கூறும் விஞ்ஞானங்கள் முடிவுக்கான் உதவியாக விருக்கும் நெறி முறை களின் உண்மைகளையும் இன்மைகளையும் பற்றி ஆராய்வதும்
அவற்றுள் அடங்கும். (உ - ம்) ஒழுக்கவியலில் பத்துக்கட்டளைகள் திருக்குறளில் ஒழுக்கம் பற்றிய விதிகள் போன்ற மனித நடத்தையைக் கண்டறிவதற்குரிய விதிகளை மட்டும் விபரித்தால் போதாது. இவ்விதிகள் எவ்வகையில் ஏற்புடையன? எதற்காக இவ்விதிகளை நாம் கைக் கொள்ளக் கடமைப்பட்டிருக்கிறோம்? இவை முதலான வினாக்களையும் ஒழுக்கவியல் எழுப்புகின்றது. )
ஒழுக்கவியல் கோட்பாடுகள் ஒவ்வொரு துறைகளிலும் வருகின்றது. மருத்துவர், ஆசிரியர் போன்றவர்கள் ஒவ்வொரு வருக்கும் ஒழுக்கக்கோவைகள் உண்டு. ஒழுக்கவியல் சில விதிகள் மதரீதியாக இனரீதியாக வேறுபடுவதைக் காணலாம். திருமணம் பற்றி இஸ்லாமியர்களின் ஒழுக்கத்திற்கும் இந்துக்களின் ஒழுக்கத்திற்கும் வேறுபாடுகள் உண்டு. திருக்குறள் மனிதனின்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
த286
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

செயல்கள் நன்மையாக அமைவதற்கு எல்லோருக்கும் விதிகளைக் கூறுகின்றது. ஒழுக்கவியல் அறத்தை தனது உயர் நிலையாகக் கொண்டது. அத்துடன் ஒப்பிட்டு தீர்ப்பினை வழங்குகின்றது. ஒழுக்கத்தின் இலட்சியமான அறத்தை அடைகின்ற வழி வகைகளை ஒழுக்கவியல் கற்பிக்கின்றது.
விஞ்ஞானங்களில் முன்பிருந்த விஞ்ஞானிகளின் சிந்தனைகள் தவறு என தள்ளிப் போடலாம். அந்தக் காலத்து சிந்தனைகள் தற்போதைய நடைமுறைக்கு ஒவ்வாததாக இருக்கலாம்.ஆனால் ஒழுக்க நெறியை அவ் வாறு தள்ளி விடுவது இல்லை. எக்காலத்துக்கும் எவ்விடத்துக்கும் பொருந்தக் கூடிய நன்னெறிகள் சில உண்டு எனக் கூறலாமே தவிர ஒழுக்கவியல் விஞ்ஞானரீதியாக இதுதான் கண்டறிந்த உண்மை என கூறுவது இல்லை. ஓர் அறிஞனின் நீதி நூல் பற்றி மதிப்புக் கூற வேண்டுமானால் மூன்று கேள்விகள் கேட்டு அதற்கு விடை காண வேண்டுமென அருஸ்ரோட்டல் கூறினார். 1. அந்த நூலில் ஒருமைப்பாடு இருக்கின்றதா? 2. அந்தச் சிந்தனையாளர் தமது பிற நூல்களில் கூறிஇருப்பதற்கும்
குறிப்பிட்ட நீதி நூலில் குறிப்பிட்ட வற்றுக்கும் ஒற்றுமை உண்டா? 3. நம்முடைய கொள்கைகளுக்கு அது உகந்ததாக இருக்கின்றதா?
இவை ஒழுக்கவியல் பற்றிய ஓர் பொது விளக்கமாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
|287
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 146
அத்தியாயம் -13 சிறு குறிப்புக்கள்
வாய்ப்பும் உண்மையும்: * எடுப்புக்கூறும் பொருள் நேர்வுடன் பொருந்தினால் அது
உண்மை யாகும். (உ-ம்) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் T ஒரு வாதம் அளவையியல் விதிகளுக்குள் உட்பட்டால் அது வாய்ப்பு எனப்படும். (உ - ம்) மழை பொய்யும் எனின் நெல் விளையும். மழை பெய்தது
ஆகவே நெல் விளைந்தது. * எடுப்புக்களுக்கு உண்மை அல்லது பொய் எனும் பண்புகள்
பொருந்தும். வாதத்திற்கு வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை எனும் பண்புகள் பொருந்தும் வாய்ப்பு வாய்ப்பின்மை விதியில் தங்கியிருக்கும். உண்மை பொய் நேர்வுடன் பொருத்தம், பொருத்தமின்மையில் தங்கியிருக்கும். 2. எடுப்புக்களும் வசனங்களும்:
எடுப்பாகக் கருதக்கூடிய வாக்கியம் ஒன்றையே உண்மையா அல்லது பொய்யாஎனக் கூறுகின்றோம். ஆனால் வசனம் உண்மை யா அல்லது பொய்யா என அமையவேண்டிய அவசியம் இல்லை. (உ - ம்) (1) காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும்.(எடுப்பு
உண்மை)
குதிரைகள் அனைத்தும் கொம்புடையவை ஆகும்.
( எடுப்பு பொய்) (3) நாளை அவர் வரக்கூடும்.( எடுப்பல்ல சந்தேகமான
வாக்கியம். * எடுப்புக்கள் எல்லாம் வசனங்கள் ஆகும். ஆனால் வசனங்கள்
எல்லாம் எடுப்புக்கள் அல்ல. வினா, வியப்பு, வாழ்த்து எனும் வசனங்கள் எடுப்பு அல்ல. இவை வசனங்களே ஆகும். எடுப்புக்கள் எழுவாய், பயனிலை, இணைக்கும் சொல், அளவீடு எனும் நான்கு பகுதிகளைக்கொண்டிருக்கவேண்டும். ஆனால் வசன
ங்கள் இவ்வாறு கொண்டிருக்கவேண்டுமெனும் அவசியமில்லை. 3. முரணுரை: ஒரு தீர்ப்பானது உண்மைஎன்ற முடிவைப் பெற்ற
போது அதே போல் பொய் எனும் முடிவைப்பெறும் ஆயின், பொய் என்ற முடிவு உண்மை என்ற முடிவைப்பெறும் ஆயின் அது முரணுரை எனப்படும். (உ-ம்) எல்லா அமெரிக்கர்களும் பொய் கூறுபவர் என அமெரிக்கா
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 T288
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

ஐனாதிபதி கூறினார். இது உண்மையாயின் அவர் கூறுவது பொய்யாகும். இது பொய்யாயின் அவர் கூறுவது உண்மையாகும்.
அளவையியலின் வரலாறு: மனிதன் தான் வாழ்ந்தசூழலை அவதானித்துப் பெற்றதகவல் களை பற்றி சிந்திக்கத் தொடங்கிய காலம் முதல் அளவையியல் ஆரம்பமானது எனக் கூறப்படுகின்றது. மேற்குலகில் அரிஸ்ரோட்டில் அளவையியலை அறிவியல்துறை யாக ஆரம்பித்து வைத்தார். இங்கு உய்த்தறிவு அளவையியல், தொகுத்தறிவு அளவையியல் எனும் இரு அளவையியல்கள் உண்டு. கிழக்குலகில் மேற்குலகைப் போன்று ஓர் தனிநபரை சுட்டிக்காட்ட முடியாது. கிழக்குலகில் அளவையியலானது சமயத்துவச் சிந்தனையுடன் தொடர்புடையது ஆகும். இது இந்திய அளவையியல் எனப்படுகின்றது.
அண்மைக்காலத்தில் "பேட்டன்" " ரசல்" போன்ற தத்துவஞானிக ளால் குறியீட்டு அளவையியல் வளர்க்கப்பட்டதாகும். அளவையியலின் பயன்பாடுகள் : சரியான சிந்தனைக்கு வழி வகுக்கின்றது. பல்வேறு வகையான வாதங்களின் நியம எடுகூற்றுக்களை அளவையியல் ஆராய்கின்றது. இதனால் வலிதான வாதத்திற்கும் வலிதற்ற வாதத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை எடுத்துக்காட்டுகின்றது. இது சரியான சிந்தனைக்கு வழிவகுக்கின்றது. போலிகளை காணக்கூடிய ஆற்றல்களை தருகின்றது. மிகக்குழ ப்பமான வாதங்களிலும் அறிமுகமில்லாத வாதங்களிலும் மறைந்தி ருக்கும் போலிகளை காணக்கூடிய ஆற்றல்களைத் தருகின்றது. தொகுத்தறிவு நியாயத்தின் மூலம் எடுப்புக்களுக்கிடையிலான பொருத்தப்பாட்டினை அறிய முடிகின்றது. இதன் மூலம் ஏற்கக்கூடிய எடுப்புக்கள் எவை என்ப்தற்கு நியாயம் தருகின்றது. வேறு ஒரு எடுப்புடன் தொடர்புபடுத்தி உண்மைத்தன்மையை நிர்ணயிக்கமுடிகின்றது. மொழியைத் தெளிவாகவும் கவர்பாடின்றி முன்வைக்க உதவு கின்றது.
வாதங்களை மதிப்பீடு செய்யும் விஞ்ஞானமாக பயன்படுகின்றது. அளவையியல் இன்று கணணியுடனும் கணிதத்துடனும் தொடர்பு படுகின்றது. 6. அளவையியலும் மொழியும் :
மொழியைப் பயன்படுத்தியே அளவையியல் உருவாகின்றது. அதாவது சிந்தனைக்கருத்துக்களை வெளிப்படுத்தமொழி அவசிய மாகின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 28
ஆசிரியர் : க.கேசவன் (1)

Page 147
அளவையியல் பொதுவாக உண்மை அல்லது பொய்யாக வரக் கூடிய வாக்கியங்களை ஆராய்கின்றது. இதனால் வினா, வியப்பு, வாழ்த்துப் போன்ற வாக்கியங்களை ஆராய்வது இல்லை. அளவையியல் குறியீடு போன்ற தொழில் நுணுக்கங்களை தானே வளர்க்கின்றது. இவற்றில் பிரயோக மொழியில் காணப்படுகின்ற கவர்பாடு காணப்படுவது இல்லை. சாதாரண் மொழியில் உள்ள அர்த்தவளம் அளவையியல் மொழியில் இடம் பெறுவது இல்லை. மொழியை வாதத்திற்கு பயன்படுத்துவதோடு அதேவேளை மொழிக்கும் பொதுவான விதிகளை அளவையியல் தருகின்றது.
அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலின் எல்லைகளும் அவற்றின் பலவீனங்களும்:
அருஸ்ரோட்டல் எடுப்புக்களை அவற்றின் அளவு, பண்பு என்ப வற்றின் அடிப்படையில் வகுத்துள்ளார். சோக்கிரட்டிஸ் ஓர் மனிதன் என்பதை இவர் நிறை எடுப்பிற்குள் அடக்கியுள்ளார். அனால் நவீன அளவையியல் இவற்றை தனிஎடுப்பாகக் கருதுகின்றது.
அருஸ்ரோட்டிலிய அளவையியல் எடுப்புக்களின் உறவுகளை போதியளவு கருத்திற்கொள்ளவில்லை. (உ-ம்) A,B யை விடப் பெரியவன்
B, C யை விடப் பெரியவன் ஆகவே A, C யை விடப் பெரியவன் அளவையியலுக்கும் ஏனைய இயல்புகளுக்குமிடையிலான தொடர்பு : எந்த ஒரு துறையை எடுத்துக் கொண்டாலும் நாம் மேற்கொண்ட தீர்மானத்திற்கான காரணத்தை தொடர்புபடுத்தி பரிசீலிப்பது அவசியமாகும். அவ்வாறு இல்லாதுவிடின் செம்மையான சிந்தனையைப் பெறமுடியாது. அளவையியலானது செம்மையான சிந்தனைக்கான விதிகளைத்தருகின்றது. இதனால் ஏனைய இயல்புக
ளுடன் தொடர்புபடுகின்றது. ஒழுக்கவியலானது நல்லொழுக்கம் தீயொழுக்கம் என்பவற்றை வேறுபடுத்தி ஆராய்கின்றது. உளவியல் உளத்தொழிற்பாடுகள் பற்றி ஆராய் கின் றது. கணிதம் வாய்ப்பான அனுமான முறைகளைப் பற்றி ஆராய் கின்ற்து) அவைகள் எடுக்கும் தீர் மானத்திற் கான காரணத்தைக் காட்ட அளவையியல்
அவசியமாகின்றது. 9. எடுப்பு நுண்கணித அனுமான விதிகள்: வாதங்களில் எடுகூற்றுக்களில் இருந்து முடிவினைப் பெறுவதற்கு பயன்படுத்தும் விதிகள் எடுப்புநுன்கணித அனுமான விதிகள் எனப்படும். பெறுகை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் IT:290
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

முறை அனுமான விதிகளான விதித்துவிதித்தல் மறுத்துவிதித்தல் என்பவை எடுப்பு நுண்கணித அனுமானவிதிகளாகும். (உ - ம்) விதித்து விதித்தல் (P ->) P ஃ 0
(p -> Q).
1. 0 எனக்காட்டுக P
* 2. (CP -> Q) ( எ.கூ 1 ) ஃQ
3.|P (எ.கூ 1 )
4./0- ( 2,3,வி.வி) 10. நற்சூத்திரம் அல்லது குறியீட்டு வாக்கியங்கள் :
ஏதேனும் ஒரு குறித்தவகை அளவையியல் முறைகளை அனுசரித்து அதன் குறியீட்டுமொழி விதிகளுக்கமைய அமைந்திருப்பது நற்சூத்திரமாகும்.
அதாவது அளவையியல் மாறிகள், மாறிலிகள், அடைப்புக்குறிகள் என்பவற்றைக் கொண்டு குறியீட்டுவாக்கியங்கள் உருவாக்கப் படுகின்றது. பின்வரும் விதிகளுக்கு உட்படுபவையே குறியீட்டு வாக்கியங்கள் ஆகும். 1.P........ Z எழுத்துக்கள் இருந்தால் அது குறியீட்டு வாக்கியமாகும். 2.~ P........ ~ Z குறியிட்டு வாக்கியங்கள் ஆகும். 3.P, Q குறியீட்டுவாக்கியம் எனின் (P:>Q) குறியீட்டு வாக்கியமாகும். (உ - ம்) P -
குறியீட்டு வாக்கியம் (P -> Q) குறியீட்டு வாக்கியம் P -> (Q-> R) குறியீட்டு வாக்கியம்
P -> 0-> R குறியீட்டு வாக்கியம் அல்ல 11. வகுப்பு அளவையியலில் வகுப்பிற்குரிய வரைவிலக்கணம்:
மூல அம்சமும் அங்கத்தவர்களும் உள்ளடங்கியது வகுப்பு அல்லது தொடை அல்லது கூட்டம் எனப்படும். எனவே வகுப்பு அதன் அங்கத்தவர்களைக் கொண்டே முற்றாக வரைவிலக்கணப்படுத்த ப்படுகின்றது. (உ - ம்) வகுப்பு A-1, 2, 3,4,5 எனும் அங்கத்தவர்களை பெற்றிருக்கும் ஆயின் வகுப்பு A யின் வரைவிலக்கணம் A'= {1, 2, 3,4,5} ஆகும். பல்பெறுமான அளவையியல் இருபெறுமானங் களுக்கு அதிகபெறுமானங் களைக் கொண்ட அளவையியல் பல்பெறுமான அளவைகள் எனப்படும். உண்மை, பொய், இரண்டும் அல்லாத (1,0, 1/2) ஒன்றை உருவாக்க சிலர் முயலுகின்றனர். உண்மை, பொய், ஆகிய இரு பெறுமானங்களுக்கிடையில் வேறு ஒரு பெறுமானத்தை உருவாக்க முனைகின்றனர்.
12.
| அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (291 ஆசிரியர் : க.கேசவன் |

Page 148
இந்திரிகோடி க, ச து ஸ் கோடி க சிலவேளை இவ் வகை அடிப்படைகளைப் பயன்படுத்தலாம். கடந்த நூற்றாண்டிலும், இந்த நூற்றாண்டிலும் இரட்டைப் பெறுமான அளவை அளவையியலில் இருந்து நீங்கி இரு பெறுமா னங்களுக்கு அதிக பெறுமானங்களைக்கொண்ட அளவை முறை களை விளக்குவதற்கு முயல்கின்றது. 13. அளவையியலும் கணிதமும்: பொருளில் அக்கறை கொள்ளாது வடிவத்திலே அக்கறை கொள்வதால் இரண்டும் வடிவ விஞ்ஞானங்களாகும். அளவையியலுக்கும்கணிதத்துக்கும் இடையிலான நெருங்கிய தொடர்பினை ரசல், வைஹெட், ஆகிய இருவரும் விளக்கியுள்ள னர். பிறின்சிப்பியா மதமற்றிக்கா என்பது இவர்களது முக்கிய படைப்பாகும். நவீன கணித அளவையியல் தூய கணிதத்துடன் மிக நெருங்கிய தொடர்பினைக் கொண்டிருக்கின்றது.
இந்திய அளவையியல் 14. இந்திய அளவையியலுக்கும் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலு
க்கு மிடையிலான ஒற்றுமை வேற்றுமைகள் : இந்திய அளவையியல் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலைப் போல் துாய நிய ம அ ளவையிய ல் முறையினை யுடை ய தல் ல . அறிவாராய்ச்சியியல் உளவியல், மெய்யியல், பண்புகளையும் அது பெற்றுள்ளது. அருஸ்ரோட்டலிய அளவையியல் இருவடிவங்களைப் பெற்றுள்ளது. அவை உய்த்தறிவும் தொகுத்தறிவும் ஆகும். இந்திய அளவையியலில் இதில் தெளிவான வேறுபாட்டினைக் காண முடியாது இந்திய அளவையியல் இவை இரண்டினதும் கலவை ஆகும். இந்திய அளவையியல் அதன் பண்பில் நியம அளவையியல் முறையை அதிகம் தழுவியுள்ளது. இந்திய அளவையியல் இரு அனுமானங் களைப் பற்றிய விளக்கமாகும். அவையாவன ஸ்வார்ந்த அனுமானம், பரார்த்த
அனுமானம் ஆகும். 15 .ஹேதுவாபாஸ: ஹேதுவாபாஸ் இந்திய அனுமானத்தில் ஹேது எனக் கொள்வது லிங்க அல்லது மத்திய பதமாகும். ஹேதுவாபா
ஸவை இரு வகையாகப் பொருள் கொள்ள முடியும். வலிதற்ற ஹேது, வலிதான ஹேதுவாகக்கூடிய சந்தர்ப்பங்கள் என்பவை ஆகும். (உ - ம்) சப்பதம் என்றைக்குமாவது ஹேது அதனை ஸ்பரிசிக்க முடியாமையினால்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 129
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

ஹேதுவில் காணப்படும் குறைபாடுகள் ஹேது தோஷத்தினால் ( போலியினால்) வலிதற்ற ஹேது உருவாகும் சந்தர்ப்பம். (உ - ம்) பிசாசு சுவாசிக்கின்றது ( ஹேது) அதற்கு உயிர் இருப்பதினால் இதில் 5 வகைகள் உள. (i) ஸ்வயபிச்சார (i) விருத (iii) சத் பிரத்திபக்ஷ
(iv) அசித்த (v) பாதித்த 15. சதுஸ்கோடி: ஆதி பௌத்த நூல்களிலும் மாத்யமிக்க நூல்களிலும்
இது காணப்படுகின்றது. இதன் வடிவம் -
A - B ஆகும் உதாரணம் - உலகம் முடி வுள்ளது A - B அல்ல - உலகம் முடிவற்றது A - Bயும் B அல்ல இரண்டுமாகும் - உலகம் முடிவுள்ளதும் முடிவற்றதுமாகும். A - Bயும் அல்ல B அல்லாததும் அல்ல உலகம் முடிவுள்ளதும்
அல்ல முடிவற்றதும் அல்ல 16. சியாத்வாதம் :
ஜைனர்களால் முன்வைக்கப்பட்ட சியாத்வாதம் சப்தபாங்கி முறை என்றும் கூறப்படும். "சியார்" என்றால் இருக்கலாம் எனப் பொருள் ஜைனரிடம் ஏழு தொகுதி மாற்றுக்கள் இருந்தன. ஒவ்வொரு நிலைக்கும் இவை ஏற்புடையதாகப்பயன்படுத்தப்பட்டன. . (உ - ம்) 1. சியாத் அஸ்தி - ஏதும் இருக்க முடியும். 2. சியாத் நாஸ்தி - எதுவும் இல்லாது இருக்க முடியும் 3. சியாத் அஸ்திச்ச நாஸ்திச்ச ஏதும் இருப்பது போல்
இல்லாதிருக்கவும் முடியும். 4. சியாத் அவக்தவ்யங் – ஏதும் நிகழும் என்று கூற முடியாது. 5. சியாத் அஸ்திச்ச அவக்தவ்யங் – ஏதும் இருக்கமுடியும் ஆனால்
அதனைக் கூற முடியாது. 6. சியாத் நாஸ்திச்ச அவக்தவ்யங் – ஏது இல்லாது இருக்கமுடியும்
ஆனால் அதனைக் கூற முடியாது. 7. சியாத் அஸ்திச்ச நாஸ்திச்ச அவக்தங்யங் - ஏதும் இருப்பது போல் இல்லாது இருக்கவும் முடியும் ஆனால் அதனைக் கூற
முடியாது. 17. இந்தியவாதவியல் : ஒரு குறிப்பிட்ட வாதத்தின் உண்மை
எதிர்வாதத்தின் பிழையின் மூலம் நிரூபிக்கப்படுகின்றது. இந்திய சதுஸ் கோட்டி இதற்கு ஒரு உதாரணமாகும். ஏதாவது ஒன்றைக்குறிக்கும் நான்கு பயனிலைகளும் மறுக்கின்றது. ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் இல்லை என்ற பதில் தருவதன் மூலம் ஒரு பொருளைப்பற்றிய கரத்தைப் பிழையென நிரூபிக்க முடியும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1. 293 .
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

Page 149
18.அனுபலப்தி : ஏதேனும் இல்லை என்று அறிதல் இதனால்
கருதப்படுகின்றது
இந்திய அளவையியல் அது ஞான மார்க்கம் எனக் குறிப்பிடப்ப டுகின்றது. அறிவு பெறும் வழியில் காட்சிக்கு உட்படாதவகையில் இருப்பற்ற உண்மையை அறிதல் பற்றி விளக்குகின்றது. இது பிரதியட்சமா அல்லது அனுமானமா என்பதாகும். இதில் பல பிரிவுகள் உள்ளன. சத்பாப் அனுபலப்தி, கார்ய
அனுபலப்தி என அவை அழைக்கப்படும். 19. வியாப்தி :
சாத்தியப் பதத்திற்கும் மத்திய பதத்திற்கும் இடையே தொடர்பு உண்டு. மத்தியபதமானது பேரேடு கூற்றிலும் சிற்றெடு கூற்றிலும்
வியாப்தியடைதல் வேண்டும்.ஓர் இடத்தில் புகையிருக்கும் ஆயின் தீயிருக்கும். 20. இந்திய அளவையியலில் காட்சிக்குத்தரப்படும் இடம்:
இந்திய அளவையியலில் காட்சி முக்கிய இடத்தை வகிக்கவிலலை. மேலைத்தேசத்தத்துவத்தில் காட்சிக்கு முதலிடம் கொடுப்பது போல கீழத்தேயத்தத்துவத்தில் முதலிடம் இல்லை. காட்சிப்போலிகள் பற்றிய விளக்கம் இந்திய அளவையியல் முறையில் உள்ளது. 21. நியாய சூத்திரம் :
இது ஓர் தர்க்க நூலாகும் அளவைமுறைபற்றிய அறிவை பெற உதவுகின்றது,
இந்திய அளவையியல் முறையின் அடிப்படைக்கருத்துக்களாகிய அனுமானம் , பிரதியட் சம் , , ஹேத் து போன்றன பற்றி விளக்கப்பட்டுள்ளது. இந்நூல் கி.பி 1ம் நூற்றாண்டளவில் சமஸ்கிருத
மொழியில் கொளதமபாதரினால் எழுதப்பட்டதாகும். 22. தர்க்கம் :
வாதித்தல் அல்லது தர்க்கித்தல் என்ற பொருளில் இப்பதம் இந்திய அளவையியல் முறையில் கையாளப்படுகின்றது. நியாயத் தர்க்கம் இந்திய அளவையியல் முறையில் அதிமுக்கிய த்துவம் பெறுகின்றது.
ஹேத்துபாச போலிகளை விட வேறு பல போலிகளுக்கும் தர்க்க
முறையின் மூலம் விளக்கப்படுகின்றது. 23. பிரதியட்சம் :
பிரமானம் இந்திய அளவையியலில் அறிவின் புலன் கருவியாகப் பர்விக்கப்படும் போது பிரதியட்சம் அறிவின் ஓர் கருவியாகப்பயன்ப டுகின்றது. பிரதியட்சத்திற்கான இயல்பு இந்திய அளவையியலில் நிறையைப் பேணப்படுகின்றது. சவிகல்ப, நிர்விகல்ப என்பவற்றுக்கிடையே முரண்பாடுகள் உண்டு. ஞான மார்க்கம் மாற்றமுடையதும் மாறாததுமான காட்சியாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 294
ஆசிரியர் : க.கேசவன்

- * * *
பயிற்சிகள் அளவையியலின் தன்மையும் விடயமும்: (01 )பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடை தருக. 1. நவீன அளவையியலில் அளவையியல் என்றால் என்ன? 2. பாரம்பரிய அளவையியலில் அளவையியல் என்றால் என்ன?, 3. அளவையியலின் தந்தை யார்? -- sே * 4. அளவையியலுக்குரிய கிரேக்க சொல் யாது? 5. அளவையியல் எனும் பதத்திலுள்ள இருபொருள்கள் எவை? 6. கணித அளவையியல் வளர்ச்சிக்கு பங்காற்றியவர்களில் முக்கியமானவர்
யார்?
அரிஸ்ரோட்டல் எந்த நாட்டைச் சேர்ந்தவர்? 8. தொகுத்தறிவு முறையின் தந்தை யார்?
உய்த்தறிவு முறையையும் தொகுத்தறிவு அளவையியலையும் முதல்
முதலில் உருவாக்கியவர் யார்? 10. வாதம் என்றால் என்ன?
11. நியமம் என்றால் என்ன? 12. வாய்ப்பு என்றால் என்ன? 13. அளவையியல் வாதத்தின் வடிவத்திலா பொருளிலா அக்கறை கொள்ளும்? 14. வாதங்களில் நியமம் உண்டு என்பதை முதலில் கண்டவர் யார்? 15. செய்யுளில் உள்ள நியமத்திற்கும் அளவையியல் நியமத்திற்கும்
இடையிலான வேறுபாடு யாது? 16. நவீன அளவையியல் வாக்கியங்களின் உருவைப்பற்றி அக்கறை கொள்வது
இல்லை. ஆனால் நவீன அளவையியல் ஆராயும் வாக்கியத்தின் பண்பு
யாது? 17. எடுகூற்று என்றால் என்ன? 18. முடிவுக்கூற்று என்றால் என்ன? 19. நியமமல்லாதது என்றால் என்ன? 20. ஒரே நியமத்தையுடைய வாக்கியத்திற்கும், வாதத்திற்கும் மூன்று உதாரணம்
தருக?
முழு நிறைவான வாதம் என்றால் என்ன? 22. உய்த்தறிவு முறையின் முதலெடுப்புக்கள் வெளிப்படையுண்மையாய்
இருத்தல் வேண்டுமா? 23. அளவையியலும், கணிதமும் எவ் விஞ்ஞானங்கள் ஆகும்? (02) பின்வருவனவற்றுள் உறுதியான வாக்கியங்கள் எவை? 1. அவள் ஓர் அழகான சிறுமி 2. சீ என்ன பிதற்றல் இது?
அந்த இளைஞனோடு பேசு
ஒரு நாள் நான் பல்கலைகழகம் புகுவேன். 5. இன்று மழை பெய்தது. 6. இன்று மழை பெய்யக்கூடும். 7. நாளை கொழும்பில் மழை பெய்யும்.
இரண்டும் இரண்டும் நான்கு ஆகும். 9. இலங்கை ஓர் தீவு அன்று. 10. அவன் பரீட்சையில் சித்திபெறக் கூடும்.
21.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 150
- Ni ற +
(03) பின்வருவனவாதங்களா அல்லவா எனக் கூறுக, வாதம் எனின் அவை
நியம முறையானதா அல்லது நியமமுறை யல்லாதனவா எனக் கூறுக? மணியம் ஓர் வியாபாரி ஆயின் மாணவன் அல்லன். அவன் ஓர் வியாபாரி ஆகவே அவன் மாணவன் அல்லன். சிங்கம் ஓர் மிருகம் ஆகவே அது ஒரு பறவை அல்ல. மாணவர்கள் படிப்பவர் எனின் சித்தியடைவர்.
கோழி ஓர் பாலுட்டி அல்ல ஆகவே அது ஒரு முயல் அல்ல. 5. சந்திரன் ஓர் கூலியாள் ஆயின் வைத்தியரும் அல்ல பொறியலாளரும்
அல்ல, அவன் ஓர் கூலியாள் ஆகவே அவன் வைத்தியருமல்ல பொறிய
லாளருமல்ல. 6. மயில் ஒரு பறவை ஆகவே அது தோகை விரித்தாடும் . 7. மயில் ஒரு பறவை எனின் அது தோகை விரித்தாடும், மயில் ஒரு பறவை
ஆகவே அது தோகை விரித்தாடும். 8. சுவாமி நாதன் ஓர் பிராமணன் ஆகவே அவன் ஓர் ஆசிரியன் அல்லன். 9. முயல் ஒரு மிருகம் எனின் அது ஒரு பாலூட்டி. முயல் ஒரு மிருகம்
ஆகவே அது ஒரு பாலூட்டி அல்ல. 10. மான் ஒரு மிருகம் ஆகும். ஆகவே அது ஒரு பறவை அல்ல. (04) பின்வரும் வாதங்களுள் ஒரே நியமத்தையுடைய வாதங்கள் யாவை?
வாக்கியங்கள் யாவை? 1. மழை பெய்யும் எனின் வானிலை நல்லதன்று , வானிலை நல்லது
ஆகவே மழை பெய்யவில்லை. எல்லா மாணவர்களும் படிப்பவர் எனின், காந்தன் ஓர் மாணவன் ஆகவே
காந்தன் படிப்பவர் ஆவர். 3. அவன் படித்தால் பரீட்சையில் சித்தியடைவான் அவன் படிப்பான். ஆகவே
அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைவான். 4. எல்லா Aயும் B ஆகும் எனின் எல்லா Bயும் (ஆகும். ஆகவே C சில A
ஆகும். 5. (P - ~ Q) .0 ஃ. ~ P | 6. எல்லாக் காகங்களும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். X ஒரு காகம் ஆகவே X
கறுப்பு நிறம் ஆகும். 7. அவன் மாணவன் எனின் அவன் மனிதன். அவன் மாணவன். ஆகவே
அவன் மனிதன் ஆவான். 8. எல்லா விலங்குகளும் மிருகங்கள் ஆகும். எனின் எல்லா மிருகங்களும்
புல் தின்பவை ஆகும். ஆகவே புல் தின்பன் சில விலங்குகள் ஆகும். 9. (- P -- Q). ~ P :. ~ Q 10. (- R–~ s) . ~ R ஃ. ~ S 11. அவன் நல்லவன் என்றால் பண்புடையவன் ஆவான். 12. ஒன்றில் குகன் வருவான் அல்லது புனிதம் வரும். 13. அவன் கணவனை இழந்தவள் ஆயின் ஆயினே விதவையாவாள். 14. மழை பெய்யும் எனின் நெல் விளையும். 15. (Pv Q) 16. (P> Q) 17. காற்று அடிக்கும் எனின் குளிர் வரும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1- 296
ஆசிரியர் க.கேசவன்

பதங்கள் : (05) பின்வரும் வாக்கியங்களில் உள்ள தடித்த எழுத்திலே
காணப்படுகின்ற பதங்களின் தன்மையினை நிர்ணயிக்குக.
1.
அவன் ஓர் மனிதன்.
2. இலங்கை ஓர் நாடு 3. இலங்கையின் முதலாவது பெண் பிரதமர் ஸ்ரீமாவோ பண்டாரநாயக்கா. 4. அது வெள்ளை நிறம் ஆகும். 5. சுகந்தியின் கணவர் சுந்தரம். 6. அது வலிமை மிக்க படை. 7. நீர் குளிர் உடையதாகும். 8. மீன் ஒரு பிராணி ஆகும். -- 9. அவன் குருடன் ஆவான். 10. அந்த மந்தை மிகவும் பயங்கரமானது. 11. அது அமெரிக்காவின் கடற்படை. 12. கல் பாரம் உடையதாகும். 13. இந்தக் குளத்திலுள்ள மிகப்பெரிய மீன் ருசியானது ஆகும். (06) தனிப்பொருட்பதம், தணி இடு குறிப்பதம், தணி விபரலாம் பதம்,
பொதுப்பதம், சமுதாயப்பதம் என்பனவற்றிற்கு வரைவிலக்கணம் கூறி.
கீழ்வரும் பதங்கள் எவ்வகையைச் சேர்ந்தவை என இனம் காளர்க. 1. புத்தகம்
2. விமானப்படை 3. இலங்கையின் மிக நீளம் கூடிய ஆறு. 4. இந்தியாவின் ஜனாதிபதி - 5. சந்திரனில் உள்ள கரிய மனிதன் 6. மீன்
7. மக்கள்கூட்டம்8. கல்
9.தோப்பு 10. சாந்தி
11. இலங்கையின் முதலாவது பெண் ஜனாதிபதி 12. யப்பான்
13. மண்
14. சித்திரா
15. இலங்கை 16. இலங்கையன் 17. கன்னொறுவைப்போரில் வெற்றியீட்டிய படை 18. கழுத்தில்லாத மனிதன்
19. மலை
20. முயல்.
1.
(07) விதிப்பதம், மறைப்பதம் ,மறுதலைப்பதம், எதிர்மறைப்பதம் என்பவற்றிற்கு
வரைவிலக்கணம் கூறி கீழ்வரும் பதங்கள் எவ்வகையினுள் அடங்கும் எனக்கூறுக.( எதிர்மறை, மறுதலை சோடிகள் அல்ல எனின் இரண்டும் அல்ல எனக் கூறுக.)
கறுப்பு-வெள்ளை , 2. வெள்ளை - வெள்ளை அல்லாதன. 3. சிவப்பு அல்லாதது
4. நன்மை - தீமை 5. முத்து - பவளம் 6. தன்நலம் பேணுவோர்- சுயநலம் பேணுவோர் 7. ஆண் - பெண் 8. அன்பு-காதல் 9. உறவு பகை
10. கறுப்பு 11. புத்தகம் - 12. உள்நாடு - வெளிநாடு
13. சடம் - ஆவி 14. குளிர் - குளிரல்லாதது
15. முட்டாள்-மடையன் 16. வெள்ளை - சிவப்பல்லாதது.
(4) தனிப்பதம், சார்புப்பதம் என்பவற்றுக்கு வரைவிலக்கணம் கூறி
பின்வருபவை தனிப்பதங்களா அல்லது சார்புப் பதங்களா எனக் கூறுக? கணவன் - மனைவி
2. அண்ணன்- அக்கா 3. தம்பி - அண்ணன் 4. தம்பி - தங்கை 5. மாமா - மாமி 6. பங்காளி 7. சமன் 8. மனிதன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 151
19. சேய்மை 10. காதலன் - காதலி 11. மாமி - மருமகன் 12. அண்மை
13. காதலன் 14. தாய் - பிள்ளை 15. நண்பி. (08) பின்வருவன சரியானவையா அல்லது பிழையானவையா எனக் கூறுக. 1. பதங்கள் ஒரு சொல்லாக மட்டுமே அமையும். 2. பதங்களை எடுப்புக்களின் உறுப்புக்களாகப் பிரிக்கலாம். 3. பதங்களைச் சேர்த்து எடுப்புக்களாக்கலாம். 4. தனி இடுகுறிப்பதங்கள் கருத்துக் குறிப்பற்றன. 5. கருத்துக் குறிப்பும் அகலக்குறிப்பும் நேர்மாறு விகித்தில் மாறுபடும். 6. உள்நாடு வெளிநாடு என்பவை எதிர்மறைகளாகும்.
வெள்ளை-வெள்ளைஅல்லாதனஉரையாடல்உலகின்சரியான உதாரணமாகும். வெள்ளை- நிறமாகவுள்ள வெள்ளை அல்லாதன என்பது உரையாடல்
உலகின் சரியான உதாரணமாகும். 9. இணைக்கும் சொல் ஓர் பதமாகும். 10. அளவீடு ஓர் பதம் அல்ல. 11. பதங்கள் சொல்லாகவேனும் அல்லது சொற்றொடராகவேனும் இருக்கும். 12. கருத்துக் கூடும்போது எப்போதும் அகலம் கூடும். 13. வாக்கியங்களின் பொருள் மொழியில் தங்கியிருப்பது இல்லை. 15. மொழியின் பொருள் மனித நடவடிக்கைகளில் தங்கியிருக்கின்றது. (09) பின்வருவன பற்றிக் குறிப்புக்கள் தருக. 1. சார்புப் பதம் 2. இணைப்பதம் 3. வரம்பில் பதம். 4. உரையாடல்
உலகு 5. கருத்துக் குறிப்பும் அகலக் குறிப்பும். 6. பதங்கள் -
சொற்கள் (10) (அ) பின்வரும் பதங்களை கருத்துக் குறிப்பு ஏறுவரிசையில் எழுதுக?
1.நான்கு கால்களை உடையது, ஆண் சிங்கம் , முதுகெலும்புடையது, சிங்கம், பிராணி, மாமிச பட்சணி 2. நீதி நூல்கள் , திருக்குறள், கடைச் சங்க கால நீதி நூல்கள், தமிழ் நீதி நூல்கள். ஆ )பின்வரும் பதங்களை அகலக் குறிப்பு ஏறுவரிசையில் கூறுக. 1. பிராணி, உயிரினம், அன்னம், பறவை, நீர்ப்பறவை. 2. ஆங்கிலேயர், மனிதர், ஐரோப்பியர், இங்கிலாந்துக்காரர். (1) பின்வருவனவற்றிலுள்ள எதிர்மறை இணையினையும் மறுதலை
இணையினையும் தெரிந்து கூறுக. நல்ல, கறுப்பு, வெள்ளை, சுதேகி, இலங்கையன், அந்நியன், கிட்ட, காதல், நல்லதில்லாத, கெட்ட, ஆண், பெண், பகல், காலை, இரவு,
தூர, வெறுப்பு, உள்நாடு. (12)பின்வரும் பதங்கள் சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடந்தேரு, கடந்ததோ எனும்
தொடர்புகளில் அவை எவற்றிற்குரியவை எனக் கூறுக. 1. சமன் 2. நண்பர் 3. தந்தை 4. கணவன் 5. ஒரே ஊர் 6. பெரியது 7. அண்மையில் உள்ளது. 8. சகோதரன் 9. சகோதரி 10. பங்காளி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் க.கேசவன்

தொடர்புகள் . (13) பின்வரும் (தொடர்பு) அனுமானங்களின் வாய்ப்பினைத் துணிக? 1. X இன் மனைவி Y ஆகவே Y, X இன் கணவன். 2. Aயின் காதலன் Bஆகவே Bயின் காதலன்A 3. A யின் காதலன் B ஆகவே B யின் காதலனாக A இருக்க முடியாது. 4. A, B யிற்கு சமன் ஆகவேB,A யிற்கும் சமன். 5. X,Y இற்கு அண்மையில் உள்ளது ஆகவேY, Xஇற்கு அண்மையில்
இல்லை. 6. Aயின் சகோதரன் Bஆகவே Bயின் சகோதரன் A
Aயின் சகோதரன் B ஆகவே Bயின் சகோதரனாக அல்லது
சகோதரியாகவோ A இருக்கலாம். 8. A, B எனும் இருவரும் ஆண்கள் எனின் A யின் சகோதரன் B ஆகவே
B யின் சகோதரன் A ஆவான். 9. A யின் தந்தை B ஆகவே Bயின் தந்தை A ஆவான். 10. A யின் தந்தை B ஆகவே Bயின் மகன் A ஆவான். 11. A,Bயை விரும்புகிறார் ஆகவே B,Aயை விரும்புகின்றார் 12. A யின் நண்பன் B, Bயின் நண்பன் C ஆகவே Aயின் நண்பன் C. 13. A,B வை விட உயரமானவன் B, C விட உயரமானவன். ஆகவே A, C
விட உயரமானவன். 14. A யின் தந்தை B, Bயின் தந்தை C ஆகவே A யின் தந்தை C . 15. A சமன் B,B சமன் C ஆகவே A சமன் C 16. சீதை இராமனின் மனைவி, தசரதன் இராமனின் தந்தை ஆகவே தசரதன்
சீதையின் மாமனார். 17. A,B க்கு வடக்கில் இருக்கின்றது. B,C க்கு வடக்கில் இருக்கின்றது
ஆகவே A,Cக்கு வடக்கில் இருக்கின்றது. 18. A,B யை விட மூன்று வயது பெரியவன், B, C யைவிட நான்கு வயது
பெரியவன் ஆகவே A,Cயைவிட எழு வயது பெரியவன். 19. Aயும் Bயும் Cக்கு சமமானவை ஆகவே Aயும் Bயும் ஒன்றிற்கு ஒன்று
சமமானவை ஆகும். 20. A யின் கணவன் B,Bயின் தந்தை C ஆகவே A யின் மாமனார் C. 21. Aயும் B யும் ஒரே ஊர், B யும் C யும் ஒரே ஊர் ஆகவே Aயும் Cயும் எம் ஒரே ஊர்.
22. A யின் கணவன் B,B யின் தந்தை C ஆகவே Aயின் மாமியார் C. (14) பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடை தருக. 1.
அவன் எனது அம்மாவின் அண்ணனின் மகன் எனின் அவன் எனக்கு யாராக இருக்கலாம்? அவன் எனது அண்ணனின் மனைவியின் தம்பியெனின் அவன் எனக்கு
யாராக இருக்கலாம்? 3. முகுந்தன் எனது தங்கையின் அம்மாவின் மகளின் கணவன் எனின் முகுந்தன்
எனக்கு யாராக இருக்கலாம். 4. காந்தனின் மனைவி முகுந்தனின் தங்கை எனின்,
1) முகுந்தனின் அம்மாவிற்கு காந்தனின் மனைவி. என்ன உறவு?
2.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 299 |
ஆசிரியர் க.கேசவன் |

Page 152
2) காந்தனின் மனைவி முகுந்தனின் அக்காவிற்கு என்ன உறவு? 3) முகுந்தனின் தங்கை காந்தனின் அம்மாவிற்கு என்ன உறவு?
4) காந்தனின் மனைவி முகுந்தனின் அக்காவின் மகனுக்கு என்ன உறவு? 5. அவன் தந்தை எனது தந்தையின் மகன் என்றால்,
1. எனக்கு மகன் இல்லை எனின் அவனது தந்தை யார்? 2. எனக்கு மகன்கள் உள்ளார் எனின் யார் அவனது தந்தை?
சிந்தனை விதிகள் : (15)பின்வரும் வாக்கியங்கள் ஒருமைத்தத்துவத்திற்குரியதா, எதிர்மறைத்
தத்துவத்திற்குரியதா, விலக்கிய நடுத்தத்துவத்திற்குரியதா எனக்
அல்லது ஒன்றுக்கும் உரியதல்லவா எனக் கூறுக. 1. A, B ஆகமாறினாலும் அது A ஆக இல்லாமல் இல்லை. 2. A, B ஆகவும் B அல்லாதது ஆகவும் இருக்க முடியாது. 3. A ஒன்றில்B அல்லது B அல்லாதது ஆகும்.
A., A ஆகும்.
C, Dஆகவும் D அல்லாதது ஆகவும் இருக்க முடியாது. 6. X ஒன்றில் Y அல்லது Z. 7.. B, Cஆகமாறினாலும் அது D ஆக இல்லாமல் இல்லை. 8. மனிதன் மனிதனே ஆவான். 9.தங்கம் வெள்ளி ஆகும். 10. இந்த மலர் மணமுடையதும் அந்த மலர் மணமற்றதும் ஆகும். 11. சோக்கிரட்டிஸ் விவேகி அத்துடன் விவேகி அல்ல. 12. ஒரு மனிதன் உயரமானவன் உயரமல்லாதவன் ஆவான். 13. மனிதன் பகுத்தறிவுள்ளவனும் இறப்பவனும் ஆவான். 14. ஆவிகள் வெள்ளையானவை அல்லது வெள்ளையற்றவை. 15. காப்பாளர் காட்டுவது பச்சைக்கொடி அல்லது சிவப்புக்கொடி. 16. மேசைகள் வெள்ளை அல்லது கறுப்பு ஆகும்.. 17. மனிதர்கள் ஏழைகள் அல்லது ஏழை அல்லாதவர்கள். 18 .காந்தன் ஒன்றில் பிரமச்சாரி அல்லது திருமணமானவன்.
எடுப்புக்கள்: (16)பின்வரும் வாக்கியங்கள் வகுமுறையா அல்லது தொகு முறையா என இனம்
கான்டு அவை உண்மையானவையா அல்லது பொய்யானவையா எனக் கூறுக. 1. மலடிகள் பிள்ளை இல்லாதவர்கள். 2. மாடுகள் அனைத்தும் நான்கு கால்களையுடையவை.
இரண்டும் இரண்டும் ஐந்து ஆகும். கிளிகள் அனைத்தும் வெள்ளை நிறமுடையவை. 5. பிரமச்சாரி திருமணமானவன். 6. கண்ணாடிகள் யாவும் உடையும் தன்மையுடையன. 7. கைம்பெண் தனது கணவனுடன் போகின்றாள். 8. கண்டியில் நாளை மழை பெய்யும். 9. இலங்கை ஓர் தீவு அன்று. 10. இராமன் மகிழ்ச்சியோடு இருக்கிறான். 11. மூன்றும் மூன்றும் ஆறு ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

3.
12. குதிரைகள் அனைத்தும் கொம்புடையன. 13. விதவை கணவனை இழந்தவள். 14. காகங்கள் பச்சை நிறமானவை அல்ல. 15. ஊமை வாய் பேசக் கூடியவன். (17) எடுப்பு என்றால் என்ன? பின்வருவனவற்றுள் எவை எடுப்புக்கள்
ஏனையவை ஏன் எடுப்புக்கள் அல்ல எனக் கூறுக? 1. மல்லிகைப் பூ அழகானது ஆகும்.
விமானம் விழுந்திருக்கக் கூடும். பெண்கள் கற்புடையவர் ஆவர். 4. இறைவன் வானத்தில் இருக்கின்றார். 5. கணக்கியலுக்கு வலி வந்தது. 6. குதிரைகள் அனைவரும் இறப்பவர். 7. ஆடை இல்லாமல் பால் கொண்டுவா. 8. சில ஆடுகள். 9. நாளை வகுப்பு நடைபெறும். 10. நாளை வகுப்பு நடைபெறக்கூடும். 11. இலங்கையின் பிரதமர் யார்? 12. எவ்வளவு அழகான வானம். 13. நீடுழ்கி காலம் வாழ்க. 14. கதவை மூடுக. 15. அப்பனே வயிரவா என ஒரு சுவீப் விழச் செய். 16. நீரில் வசிக்க விரும்பும் எவையும். 17. எவ்வளவு அழகான கார். 18. நாளை சுகந்தி சினிமாவிற்கு வரக்கூடும். 19. உனக்கு நான் ஒரு பூத் தருவேன். 20. அப்பனே முருகா என்னைக் காப்பாற்றுவாயாக. (18) பின்வருவன A, E, I,0வகையினுள் எவ்வகையைச் சேர்ந்தவை எனக்
கூறுக. 1. புத்தகங்கள் அனைத்தும் விலை உயர்ந்தவை ஆகும். 2. புத்தகங்கள் எவையும் விலை உயர்ந்தவை அல்ல.
சில புத்தகங்கள் விலை உயர்ந்தவை ஆகும்.
சில புத்தகங்கள் விலை உயர்ந்தவை அல்ல. 5.
எல்லாப் புத்தகங்களும் விலை உயர்ந்தவை அல்ல. 6. புத்தகங்கள் மட்டுமே விலை உயர்ந்தவை. 7. புத்தகங்களைத் தவிர வேறு எவையும் விலை உயர்ந்தவை அல்ல.
புத்தகங்கள் விலை உயர்ந்தவை ஆகும். 9. புத்தகங்கள் விலை உயர்ந்தவை அல்ல. 10. பொய் சொல்லும் மனிதர்களும் உளர். 11. காந்தன் படித்தவன் ஆவான். 12. காந்தன் படித்தவன் அல்லன். 13. காகங்கள் எவையும் கறுப்பு நிறமல்லாதன அல்ல.
3.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 153
14. சில மனிதரல்லாதவர் இறக்காதவர் ஆவர். 15. அநேகமான நாய்கள் குரைக்காதன ஆகும். 16. சில மாணவர் படிப்பவர். 17. பல கடன்கள் ஒருபோதும் கொடுக்கப்படுவதில்லை. 18. மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்னாதன அல்ல. 19. இறக்கும் மனிதர்களும் உளர். 20. பெரும்பாலும் படித்தவர்கள் எல்லாரும் அறிவாளிகள் ஆவர். 21. படித்தவர்கள் எல்லாரும் பெரும்பாலும் அறிவாளிகள் ஆவர். 22. உண்மையில் படித்தவர் யாரும் இங்கில்லை. 23. இங்குள்ள எல்லா மனிதரும் இரக்கமானவர் அல்லர். (19)பின்வருவன அறுதியெடுப்புக்களா, நிபந்தனையெடுப்புக்களா
அல்லது உறழ்வு எடுப்புக்களா எனக் கூறுக? 1. மழை வரும். 2.
மழை வரும் எனின் வெய்யில் வராது. 3. ஒன்றில் மழை வரும் அல்லது வெய்யில் வரும்.
அண்ணனோ தம்பியோ வருவார்கள். 5. விஜி நான் உனக்கு பல் உடைப்பேன். 6. A கூட B குறையும். 7. நான் பல்கலைக்கழகம் சென்று படிப்பேன். 8. படிபப்வர்கள் மட்டுமே பரீட்சையில் சித்தியடைவர். 9. சில பெண்கள் வாய்க்காரிகள். 10. சாந்தி என்னைக் காதலிப்பாள் ஆயின் ஆயினே என்னைக் கண்டதும்
சிரிப்பாள். 11. படம் எடுக்கும்போது பல்வெளியில் தெரிந்தால் பிறேம் போடும்போது
கண்ணாடி உடையும். 12. மொக்கனுக்கும் உண்மை விளம்பிக்கும் காய்ச்சல் இருக்கின்றது. 13. ஒன்றில் சுகந்தி வருவாள் சித்திரா வருவாள். 14. அவள் படித்தவனும் இல்லை பண்புடையவனும் இல்லை. 15. முத்தாச்சியக்கா ஓர் பெண் அல்ல. 16. முகுந்தன் நடிகன் எனின், மாணவன் அல்லன் அல்லது அழகானவன்
அல்லன். 17. மழை பெய்யும் ஆயின் நெல் விளையும் அல்லது, நாடு செழிக்கும். 18. வயிரவர் அழுவார் என்பதோடு, முருகன் சிரிப்பார் ஆயின் பிள்ளையார்
சிணுங்குவார். 19. எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் அல்லர். 20. போர் வரும் அல்லது, சமாதானம் வரும் ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர். (20) பின்வருவன அறுதியெடுப்பா, நிபந்தனையெடுப்பா அல்லது உறழ்வு எடுப்பா
என் கூறி A,E,I,0 வகையினுள் எவ்வகையைச் சேர்ந்தது எனக் கூறுக. 1. அது முயலுமல்ல நாயுமல்ல. 2. கிளிகள் அனைத்தும் பச்சை நிறம் ஆகும். 3. இராமன் மகிழ்ச்சியோடு இல்ல.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

2.
- 2 v
4. சிலவேளைகளில் மழைபெய்யும் எனின் நெல் விளையாது. 5. மேசைகள் ஒன்றில் கறுப்பு அல்லது வெள்ளை.
அவன் படிப்பான் ஆயின் பரீட்சையில் சித்தியடைவான்.
காந்தன் கோபக்காரன் ஆவான். 8. காற்று அடிக்கும் எனின் மழை பெய்யாது. 9. சில வேளைகளில் அத்தையக்கா வந்தால் பேபி அக்கா வருவாள். 10. சில மாணவர்கள் ஒன்றில் படித்தவர்கள் அல்லது பண்புடையவர்கள். 11. சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம். 12. முயல்கள் வேகமாக ஓடும், 13. ஆண்கள் முட்டாள்கள் அல்ல. (21) பின்வரும் வாக்கியங்களை அவற்றின் தர்க்க வடிவம் தெளிவா கப்புலப்படுமாறு
(அளவு - பண்பு என்பனவும் எழுவாய்ப் பதம் பயனிலைப் பதம் என்பனவும்) தெளிவாக்கும்படி எழுதி A, E, I,0வகையுள்எவ்வகையைச் சேர்ந்தது எனக் கூறுக.
குழந்தைகள் மட்டுமே இனிப்புப் பொருட்களை விருப்புவர். குழந்தைகளைத் தவிர வேறு எவரும் இனிப்புப் பொருட்களை விரும்ப மாட்டார்கள். பெண்கள் பொறுமையுடையவர். ஆண்கள் பொறாமையுடையவர் அல்லர். இரக்கமுடைய மனிதர்களும் உளர்.
எல்லாப் பூக்களும் அழகானவை அல்ல. 7. இறுதியில் திருமணம் செய்யாத மனிதர்கள் யார்? 8. புலிகள் பசித்தாலும் புல் தின்னுமா? 9. கோவில்களுள் மிகப்பழையது கண்டியிலே உண்டு. 10. ஒன்றைத் தவிர மற்றெல்லாப் பறவைகளும் கறுப்பு நிறம். 11. பெரும்பாலான மாணவர்கள் அறிவற்றவர். 12. சாப்பிடுகிறவன் நல்லாக உழைக்கின்றான். 13. மாதவி என்ன வாங்கினாலும் அது விலை உயர்ந்ததாகவும் பயனற்றதாகவும்
இருக்கின்றது. 14. உனது பொருட்களில் பாதி பழுதடைந்தவை. 15. அரிஸ்டோட்டல் ஒரே நேரத்தில் தத்துவஞானியாகவும் தத்துவஞானி
அல்லாதவனாகவும் இருக்க முடியாது. 16. எமது மாணவர்களில் சிலர் மட்டுமே ஒழுக்கமுடையவர். 17. நாதனும் ரவியும் அறிவாளிகள் ஆவர். 18. ஒவ்வொரு பறவைகளும் பறக்கும். (22) பின்வரும் வாக்கியங்கள் சரியானவையா அல்லது பிழையானவையா
எனக் கூறுக? பிழையெனின் திருத்தியெழுதுக. 1. எடுப்புக்கள் எல்லாம் வசனங்கள் ஆகும். 2. வசனங்கள் எல்லாம் எடுப்புக்களாகும். . 3. ஓர் எடுப்பில் நான்கு பதங்கள் உண்டு. 4. வாதத்தின் மூலகங்கள் எடுப்புக்களாகும். 5. ஓர் எடுப்பில் இரண்டு பகுதிகள் உண்டு.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 154
6. நாளை அவன் வரக்கூடும் எனும் எடுப்பு உண்மையுமல்ல பொய்யுமல்ல. 7. எல்லாக் கிளிகளும் பச்சை நிறமல்ல எனும் எடுப்பு நிறைமறையெடுப்பாகும். 8. அர்த்தமுடைய வாக்கியங்கள் எல்லாம் எடுப்புக்களாகும். 9. கூறியது கூறல் எடுப்பு பொய்யாகும். 10. பாராதீன எடுப்பு உண்மையாகவேனும் அல்லது பொய்யாகவேனும் இருக்கும். 11. முரண்பாடான எடுப்பு உண்மையாகும். 12. அளவையியல் எடுப்புக்களின் உண்மை பொய் ஆராய்ச்சியில் நேரடியாக
ஈடுபடுவதில்லை. 13. நிறையெடுப்புக்களின் எழுவாய் வியாப்தியில்லை. 14. விதியெடுப்புக்களின் பயனிலை வியாப்தியில்லை. 15. குறையெடுப்புக்களின் எழுவாய் வியாப்தியடையும். 16. மறையெடுப்புக்களின் பயனிலை வியாப்தியடையும். 17. எடுப்புக்கள் என்பவை வாக்கியங்களின் அர்த்தத்தை தருவதாகக் கருதப்பட்டது. (23) பொருத்தமான பதத்தைப் பயன்படுத்தி வெற்றிடங்களை நிரப்புக.
(பயண்படுத்தும் பதம் ஒன்றுப்பட்டது அல்லது வேறுபட்டது). 1. A, E எடுப்புக்கள் அளவில் 2 1, 0 எடுப்புக்கள் பண்பில் 3. A, 0 எடுப்புக்கள் அளவில்
E, I எடுப்புக்கள் பண்பில் 5 A, I எடுப்புக்கள் அளவில் 6. E, 0 எடுப்புக்கள் பண்பில் 7. A, E எடுப்புக்கள் பண்பில் 8. 1, 0 எடுப்புக்கள் அளவில் 9. 'A, 0 எடுப்புக்கள் பண்பில் 10. E, I எடுப்புக்கள் அளவில் 11. A, I எடுப்புக்கள் பண்பில் 12. E, 0 எடுப்புக்கள் அளவில் (9) (அ) ஓர் தனியெடுப்பையும் ஓர் விதியெடுப்பையும் எவ்வாறு வேறுபடுத்துவீர்?
(ஆ) A, E,1, 0 எடுப்புக்களின் பரவல் விதியை விளக்குக (24)பின்வரும் எடுப்புக்களுக்கு பாராம்பரிய, நவீன அளவையியல்
என்பனவற்றில் உள்ள அளவுபடுத்தப்பட்ட குறியீடு அமைக்குக?
காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும்.) 2. மாடுகள் புல் தின்பன அல்ல. 3. அநேகமான மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர்.4. சில கிளிகள் கறுப்பு நிறம்
அல்ல.
எடுப்பு முரண்பாடு:
1.
(25) (அ) எடுப்பு முரண்பாடு என்றால் என்ன?
(ஆ) அதன் வகைகளை விளக்குக? (26) பின்வரும் எடுப்பு முரண்பாட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனுமானங்கள்
வாய்ப்பானவையா (சரியானவையா) வாய்ப்பற்றவையா (பிழை யாண்லையா) எணக் கூறுக.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ம் 1 - 304 |
ஆசிரியர் க.கேசவன்

8.
மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்னும் என்பது உண்மை ஆகவே மாடுகள் எவையும் புல் தின்பவை. அல்ல என்பது பொய்யாகும். மாடுகள் புல் தின்பன ஆகும். என்பது பொய் ஆகவே மாடுகள் புல் தின்பவை அல்ல என்பது உண்மையாகும். மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர் என்பது பொய் ஆகவே மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர் என்பது சந்தேகமாகும். கிளிகள் பச்சை நிறமாகும் ஆகவே கிளிகள் எவையும் பச்சை நிறம்
அல்ல என்பதை அனுமானிக்கலாம். 5.
சில மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர் ஆகவே சில மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர் என்பதை அனுமானிக்கலாம். சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும் ஆகவே காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். என்பதை அனுமானிக்க முடியாது.- , சில குயில்கள் பாடுவன அல்ல ஏனெனில் எல்லாக் குயில்களும் பாடுவன
அல்ல. சில குதிரைகள் கொம்புடையவை ஆகும். ஏனெனில் எல்லாக் குதிரைகளும்
கொம்புடையவை ஆகும். 9.
சில பெண்கள் கற்புடையவர் அல்லர் ஆகவே பெண்கள் எவரும்
கற்புடையவர் அல்லவாக இருப்பதற்கு இடமுண்டு. 10. மாடுகள் சில புல் தின்பன ஆகும் எனும் I எடுப்பும் சில மாடுகள் புல்
தின்பன அல்ல எனும் 0 எடுப்பும் உப மறுதலைத் தொடர்பு ஆகும். 11. காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும் எனும் A எடுப்பும் கிளிகள்
எவையும் பச்சை நிறம் அல்ல எனும் E எடுப்பும் மறுதலைத் தொடர்பாகும். 12. சில மாணவர் படிப்பவர் அல்லர் உண்மை ஆகவே சில மாணவர்கள்
படிப்பவர் ஆவர் என்பது சந்தேகமாகும். 13. படித்தவர்கள் அனைவரும் சோம்பேறிகள் ஆவர் ஏனெனில் படித்தவர்கள்
எவரும் சோம்பேறிகள் அல்லர். சில மீன்கள் உயிருள்ளவை அல்ல ஏனெனில் சில மீன்கள் உயிருள்ளவை
ஆகும். 15. பூனைகள் எவையும் மிருகங்கள் அல்ல ஆகவே பூனைகள் சில மிருகங்கள்
ஆகும். 16. பெண்கள் எவரும் கற்புடையவர் அல்லர் ஏனெனில் எல்லாப் பெண்களும்
கற்புடையவர் அல்லர். 17, E எடுப்பு உண்மை ஆகவே (எடுப்புப் பொய்யாகும். 18. 0 எடுப்பு உண்மை ஆகவே எடுப்புப் பொய்யாகும். 19. சில நூல்கள் விலை கூடியவை ஏனெனில் சில நூல்கள் விலை கூடியவை
அல்ல. 20. எல்லா வர்த்தகர்களும் மோசடி வியாபாரிகள் என்பது உண்மையல்ல.
ஆகவே எந்த ஒரு வர்த்தகரும் மோசடி வியாபாரி அல்ல என்பதைத்
தீர்மானிக்க முடியாது. 21. சில மனிதர்கள் நேர்மையானவர் ஆயின் எல்லா மனிதரும் நேர்மையா
யிருக்க இடமுண்டு. 22. எந்த முதலாளித்துவவாதியும் தயாள குணமுள்ளவர் அல்ல என்பதன்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 155
பொய்ப்பித்தலிருந்து எல்லா முதலாளித்துவ வாதிகளும் தயாள
குணமுள்ளவர்கள் ஆவர் என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியாது. 23. சில பழங்கள் இனிப்புள்ளவை என்பதிலிருந்து சில பழங்கள் இனிப்புள்ளவை
அல்ல என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியாது. - 24. மாணவர்கள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுவர் எனின் அனுமதிக்கப்படுபவர்
அனைவரும் மாணவர் ஆவர். (27) பின்வரும் எடுப்புக்களில் இருந்து பெறக்கூடிய எடுப்பு முரண்பாட்டு
வகைகளைக் கூறுக?
சில முயல்கள் வேகமாக ஓடும். 2. பூனைகள் மிருகங்கள் அல்ல. 3. பாம்புகள் விஷமுடையவை ஆகும். 4. சில ஆமைகள் வேகமாக ஓடுவது இல்லை. (28) சில மிருகங்கள் பயங்கரமானவை ஆகும். எணும் எடுப்புப் பொய் எனின் பின்வரும் எடுப்புக்களின் உண்மைப் பெறு மானத்தை கூறுவதோடு
எடுப்பு முரண்பாட்டு வகைகளையும் குறிப்பிடுக. 1. மிருகங்கள் பயங்கரமானவை ஆகும். 2.
எல்லா மிருகங்களும் பயங்கரமானவை அல்ல. 3. மிருகங்கள் பயங்கரமானவை அல்ல. (29) உவப்மை, பொய், நிட்சயிக்க முடியாது எனும் வார்த்தைகளைக்
கொண்டு பின்வரும் கீறிடப்பட்ட இடங்களை நிரப்புக.
Aஎடுப்பு உண்மையெனின் E..
......... ஆகவும்..............0 ஆகவும் இருக்கும். 2. 0 எடுப்புப் பொய் யெனில் E............ ஆகவும் 1.......
..ஆகவும் A............ஆகவும் இருக்கும். 3. 1 எடுப்பு உண்மையெனின்
ஆகவும் E.............. ஆகவும் 0............ஆகவும் இருக்கும். 4. Eஎடுப்புப் பொய் எனின்............ஆகவும் 0...........ஆகவும் A...........ஆகவும்
இருக்கும். 5. A எடுப்பு பொய் எனின் E............ஆகவும்.............ஆகவும் 0............ஆகவும்
இருக்கும். 6. E எடுப்பு உண்மையெனின் A............ஆகவும் 0............ ஆகவும் இருக்கும். (30) (அ) எல்லாக் கடற்கன்னிகளும் கடற்கரையில் விளையாட விரும்புவர் எறும்
நடைமுறையில் இல்லாத அங்கத்தவர்களை எடுப்பு முரண்பாட்டின் மூலம் அனுமாணிக்கும்போது ஏற்படும் பிரச்சினைகளைக் கூறுக? (ஆ) நடைமுறையில் இல்லாத அங்கத்தவர்களை எடுப்பு முரண்பாட்டின் மூலம்
அனுமானிக்கும்போது ஏற்படும் பிரச்சினைகளைக் கூறுக? (31) எடுப்பு முரண்பாட்டுப் போலிகள் எவை என்பதை விளக்குக? (32) எடுப்பு முரண்பாட்டிற்கு அமைவாக A,E,I,0 ஆகிய எடுப்புக்களின்
உண்மையை அல்லது பொய்மையைப் பெற்றிருக்கக் கூடிய எல்லா அனுமானங்களையும் காட்டுக.
அள்வையியலும் விஞ்ஞானமுறையும், 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(33) பாரம்பரிய முரண்பாட்டுச் சதுரத்தினால் காட்டப்படும் பதார்த்த எடுப்புக்
களுக்கிடையிலான தர்க்கரீதியான தொடர்புகளை விளக்குக. (34) (அ) எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் ஆவர் என்பதிலிருந்து சில மனிதர்கள் இறப்பவர்
என்று அனுமானிப்பது சரியாகுமா? (இ) மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பவர் மாணவர்கள் எவரும் படிப்பவர் அல்லர்
எணும் எடுப்பும் மறுதலையாகுமா? (இ)
சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும். சில கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல எனும்.
எடுப்பும் உப மறுதலைத் தொடர்பாகுமா? (ஈ)
மாடுகள் எவையும் புல் தின்பன அல்ல மாடுகளும் புல் தின்பன அல்ல எனும் எடுப்பும் வழிப்பேறு தொடர்பாகும்.
வெளிட்பேறு அனுமானம் (35) பின்வரும் முடிவுகள் வெளிப்பேறு அனுமான வகையுள் எவ்வகையைச் சேர்ந்தவை
எனக் கூறுக?. 1. S - P... S - P
2. S - P•. P- S. -
3. S - P.. P - 5 4. S - P '. P- S
5. S - P... P.S
' 6. S - P'. S - P 7. S - P... S - P (36)வெளிப் பேறு அனுமானத்தின் மீது அமைந்துள்ள பின்வரும்
அனுமானங்களின் வாய்ப்பினைத் துவணிக. எல்லா ஆண்களும் அழகில்லாதவர்கள் ஆகவே அழகில்லாதவர்கள் சிலர்
பெண்கள் ஆவர். 2. எல்லா ஆண்களும் அழகில்லாதவர்கள் ஆவர் ஆகவே அழகில்லாதவர்கள்
அனைவரும் ஆண்கள் ஆவர். விஞ்ஞானம் கற்றவர்கள் எவரும் மூடக்கொள்கைகளை நம்பமாட்டார்கள் ஆகவே மூடக்கொள்கைகளை நம்பாத எவரும் விஞ்ஞானம் கற்றவர் ஆவர். அமெரிக்கர்கள் இந்தியாவில் காணி வாங்க முடியாது ஆகவே இந்தியாவில் காணி வாங்கக் கூடிய எவரும் அமெரிக்கர்கள் அல்லர். 5.
கொம்புள்ள சில மிருகங்கள் குதிரைகள் அல்ல ஆகவே சில குதிரை
யல்லாத மிருகங்கள் கொம்பில்லாத மிருகங்கள் ஆகும். 6. கறுப்பானவை சில காகங்கள் ஆகும் ஏனெனில் காகங்கள் அனைத்தும்
கறுப்பானவை ஆகும். 7. சில மிருகங்கள் கொம்புடையவை அல்ல ஆகவே கொம்புடையன சில,
மிருகங்கள் அல்ல. 8. பச்சை நிறம் சில கிளிகள் ஆகும் ஏனெனில் கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும். 9. படிக்காதவர் எவரும் மாணவர்கள் அல்லர் ஏனெனில் மாணவர்கள்
அனைவரும் படிப்பவர் ஆவர். 10. குதிரைகள் எவையும் கொம்புடையவை அல்ல எனவே கொம்பற்றவை
எல்லாம் குதிரைகள் ஆகும். 11. மாணவரல்லாதவர் சிலர் படிப்பவர் ஆவர் ஏனெனில் மாணவர்கள்
அனைவரும் படிப்பவர் ஆவர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 156
18.
12. காகங்கள் எவையும் கறுப்பு நிறம் அல்ல ஆகவே காகம் அல்லாதன
அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். 13. S அல்லாதன எவையும் P அல்ல ஏனெனில் எல்லா S உம் Pஆகும். 14. மனிதரல்லாதவர் சிலர் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே இறப்பவர் சிலர் மனிதர
ல்லாதவர் ஆவர். 15. சில பழங்கள் இனிக்காதன அல்ல ஏனெனில் சில பழங்கள் இனிப்பன
ஆகும். 16. குதிரைகள் எவையும் பறவையாயிருக்க முடியாது ஆகவே குதிரைகள்
எவையும் பறவையல்லாதன ஆகும். 17. நாய்கள் அனைத்தும் குரைப்பன ஆகும். ஆகவே நாய்யல்லாதன சில
குரைக்காதன ஆகும். சில பாம்புகள் விஷமற்றன ஆகும்.ஆகவே விஷமற்றன சில பாம்புகள்
ஆகும். 19. ஆண்கள் எவரும் தொழில் செய்பவர் அல்லர் ஆகவே தொழில் செய்பவர்
அனைவரும் ஆண்கள் அல்லாதவர் ஆவர். (37)மறுமாற்றம், எதிர்மாற்றம், எதிர்வைப்பு என்பவற்றைக் கொண்ட
பின்வரும் வெளிப்பேறு அனுமானங்களின் வாய்ப்பினை ஆராய்க. 1. மின்னுவது எல்லாம் பொன்னாகும் ஆகவே ஏதாவது ஒன்று பொன்னாயின்
- அது மின்னும். 2. எந்த மெய்யியல்வாதியல்லாதவனும் புத்திசாலி அல்லன் ஆகவே சில
புத்திசாலியல்லாதவர்கள் மெய்யியலாளர்கள் அல்லர். மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்னும் மிருகங்கள் ஆகும் ஆகவே புல் தின்னும் மிருகங்கள் சில மாடுகள் ஆகும். நேர்மையற்றவர் அல்லாதவர் சிலர் மனிதர்கள் அல்லர் ஏனெனில் மனிதர்கள் சிலர் நேர்மையற்றவர் ஆவர். 5. முயல்கள் சில கொம்புள்ள மிருகங்கள் அல்ல ஆகவே கொம்பில்லாத
மிருகங்கள் சில முயலல்லாதன அல்ல. 6. புல் தின்பன் சில மாடுகள் அல்லாதன அல்ல ஏனெனில் மாடுகள் சில
புல் தின்பவை ஆகும். சில தோடம் பழங்கள் முற்றியவை அல்ல ஆகவே சில தோடம் பழங்கள்
முற்றியதல்லாத பழங்கள். 8. நேர்மையில்லாதவர் சிலர் ஏழைகள் அல்லாதவர் ஆவர். ஆகவே
ஏழையல்லாதவர் சிலர் நேர்மையில்லாதவர் ஆவர். 9. எல்லாத் திமிங்கிலங்களும் முலையூட்டிகள் ஆகும் ஆகவே முலையூட்டிகள்
அல்லாதன திமிங்கலங்கள் ஆகும். 10. சில அப்பிள்கள் சிவப்பு ஆகவே சில சிவப்பு அல்லாதவை அப்பிள்
அல்லாதவை ஆகும். 11. மனிதரல்லாதவர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே
மனிதரல்லாதவர் எவரும் இறக்காதன அல்ல. 12. தொழிலற்றவர் அனைவரும் ஏழைகள் ஆவர் ஆகவே ஏழைகள் சில
தொழிலற்றவர் ஆவர். 13. மாணவர்கள் எவரும் வாக்களிக்க முடியாது ஆகவே வாக்களிக்கக் கூடிய
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் க.கேசவன்

எவரும் மாணவர்கள் அல்லர். 14. பாலூட்டிகள் எவையும் பெரிய பிராணியல்லாதன அல்ல ஏனெனில்
பாலூட்டிகள் அனைத்தும் பெரிய பிராணிகள் ஆகும். 15. அழுகிய பழங்கள் எவையும் உண்பதற்கு ஏற்றவையல்ல ஆகவே எல்லா
அழுகிய பழங்களும் உண்பதற்கு ஏற்றவையல்ல. (38) பின்வரும் எடுப்புக்களில் இருந்து பெறக்கூடிய வெளிப்பேறு அனுமான
வகை களைக் கூறுக? 1. சில மீன்கள் பிராணிகள் ஆகும். 2.ஆடுகள் எவையும் பறவைகள் அல்ல. 3. சில முயல்கள் மிருகங்கள் அல்ல 4. மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர். (39) வெளிப்பேறு அனுமான எவகைப் போலிகளை விளக்குக. (40) பின்வரும் உடன் அனுமானங்கள் சம்பந்தமான வெற்றிடங்களை
பொருத்தமான சொற்களைப் பயன்படுத்தி நிரப்புக. 1. A எடுப்பின் நேர்மாற்றம் ........................ ஆகவும் E எடுப்பின் நேர்மாற்றம்
... ஆகவும் இருக்கும் நேர்மாற்றம் என்பது மூல எடுப்பின்
கொண்ட பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறுவதாகும். E எடுப்பின் மறுமாற்ற எதிர்மாற்றம்
ஆகும். மறுமாற்ற எதிர்மாற்றம் என்பது மூல எடுப்பின் .
பிறிதோர் எடுப்பைப். பெறும் அனுமானமாகும். 3. 0 எடுப்பின் எதிர்வைப்பு
... ஆகும். எதிர்வைபபு என்பது மூல எடுப்பின்,
பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானமாகும். E எடுப்பின் மறுமாற்ற நேர்மாற்றம் ...
ஆகும், மறுமாற்ற நேர்மாற்றம் என்பது மூல எடுப்பின்
பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானமாகும். E எடுப்பின் மறுமாற்ற எதிர்வைப்பு என்பது .
ஆகும். மறுமாற்ற எதிர்வைப்பு என்பது மூல எடுப்பின்
- பிறிதோர் எடுப்பைப் பெறும் அனுமானமாகும்.
எடுப்பிற்கு எதிர்மாற்றம் இல்லை
எடுப்பிற்கு எதிர்வைப்பும், மறுமாற்ற எதிர்வைப்பும் இல்லை ஆனால்
எடுப்பிற்கு நேர்மாற்றம், மறுமாற்ற நேர்மாற்றமும் இல்லை. எடுப்பு முரண்பாட்டில் AE எடுப்பிற்கிடையிலான தொடர்பு ஆகும். மறுதலை என்பது அளவில்
பண்பில் ........... ஆகும். 8. எடுப்பு முரண்பாட்டில் ....
எடுப்புக்களுக்கிடையிலான தொடர்பு உப மறுதலைத் தொடர்பாகும் உப மறுதலை என்பது அளவில்
பண்பில்
ஆகும். 9. A0, EI எடுபிற்கிடையிலான தொடர்பு .......
ஆகும். எதிர்மறை என்பது அளவில்
பண்பில் ...........
ஆகும். 10. AI, E 0 எடுப்பிற்கிடையிலான தொடர்பு
ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 157
11.
வழிப்பேறு என்பது அளவில் .
பண்பின் ஆகும்." இரண்டு
... ஒருங்கே பொய்யாகும் ஆனால் இரண்டு
ஒருங்கே உண்மையாகும். ஆனால் ஒருங்கே உண்மையாகவும் பொய்யாகவும் இருக்காதது
ஆகும். (41)பின்வரும் உடன் அனுமானங்கள் சரியானவையா அல்லது பிழையான
வையா எனக் கூறுக. 1. பாம்புகள் மட்டுமே புன்னகை செய்யும் எனின் புன்னகை செய்பவை.
அனைத்தும் பாம்புகள் ஆகும்.
A எடுப்பு உண்மை எனின் E பொய். 3. 1 எடுப்பு உண்மை எனின் 0 பொய்.
0உண்மை எனின் E சந்தேகம். 5. E பொய் எனின் A பொய்யாகும். 6. 1 பொய் எனின் 1பொய் 7. சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் எனும் Iஉம் சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம்
அல்ல எனும் 0 உம் உப-மறுதலையாகும். 8. மீன்கள் நீரில் வாழும் எனும் Aயும் சில கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல
எனும் 0 உம் எதிர்மறையாகும். 9. இரண்டு மறுதலைகள் ஒருங்கே பொய்யாக இருக்கும். 10. இரண்டு உபமறுதலைகள் ஒருங்கே உண்மையாக இருக்கும். 11. A எடுப்பின் மறுமாற்றம் 0ஆகும். 12. 0 எடுப்பின் மறுமாற்ற எதிர் வைப்பு 0 ஆகும். - 13. E எடுப்பின் மறுமாற்ற எதிர்மாற்றம் Aஆகும்.
14. A எடுப்பின் நேர்மாற்றம் 0 ஆகும். 15. E எடுப்பின் மறுமாற்ற நேர்மாற்றம் 0ஆகும். 16. A எடுப்பின் எதிர்மாற்றம் 1 ஆகும். 17. எந்த மனிதனும் இறப்பவன் எனின் எல்லா மனிதரும் இறப்பவர். 18. சில மனிதர்கள் இறப்பவர் எனின் சில மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர். 19. சில மாடுகள் புல் தின்பன அல்ல ஆகவே மாடுகள் புல் தின்பன அல்ல
என்பதை அனுமானிக்க முடியாது. 20. 0 எடுப்பின் எதிர்மாற்றம் 1ஆகும். (42) (அ) 0 எடுப்பு ஒன்று என் எதிர்மாற்ற முடியாது என்பதை விளக்குக.
(ஆ) பின்வரும் எடுப்புக்களின் மறுமாற்றம், எதிர்வைக்க என்ன? 1) எல்லா இராணுவம் கூலியாட்கள்
2) சில கோழிகள் முட்டையிடுவன அல்ல. (இ) எதிர்மாற்றம் என்றால் என்ன? வலிதான எதிர்மாற்றத்தின் விதிகள் எவை?
(ஈ) A, E, I, 0 எடுப்பிற்கு மறுமாற்ற உதாரணம் தருக. (43) (அ) வெளிப்பேறு அனுமானம் என்றால் என்ன?
(ஆ) இதன் பிரதான வகைகளை விளக்குக. (இ) A, E,.1, 0 எடுப்புக்களிற்கு எதிர்மாற்றம், எதிர்வைக்கை என்பவற்றை
விளக்கி வலிதான வலிதற்ற எதிர்மாற்றம், எதிர்வைக்கை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

என்பவற்றுக்கு உதாரணம் தருக. (ஈ) மறுமாற்ற விதிகளைக் கூறுக. (44) உடன் அனுமானம் என்றால் என்ன? பாரம்பரிய அளவையியலின்
பல்வேறு வெளிப்படுத்தல்களைக் கூறுக?
தூய நியாயத்தொடை :- (45) பின்வரும் நியாத்தொடைகளின் வாய்ப்பினைத் துணிக. (அ) (1) P AM
(i) M 0 P
(iii) P AM (iv) P AM
(v) M 0 P SA M
27 S A M
வ" M 0 S
M IS
MOS
SA P
\": S 0 P.
''. S 0 P
•. SIP
'. S 0 P
(Vi)
PM SI M
(vii) M EP
எம் STM : S 0 P
(viii) S TM
P AM
• SIP
•. SIP
(ஆ) (i) M A P
SE M
(ii) M A P (iii) PIM (iv) MAP (v) POM
MAS
S E M
SI M
SO M
SIP
'. S 0 P
•. S AP
''. S EP
•. S E P
(vi) PIM
SI M
1111111111115
(vii) P AM
SEM
(vi) MO P
SIM
'. S E P
SEP
... S E P.
(i) P E M
SE M
(ii) P AM
SE M
(iii) P AM
S A M
(vi) MO P
SEM
(v) P OM
SE M
•. S EP
•. S A P
•. S EP
•. S 0 P
'. S 0 P
(v 1) P AM (vii) P E M (viii) M A P
SE M
SAM
S O M
•. SIP
ஃ. S E P
'. SIP
(46) பின்வரும் நியாயத் தொடையின் முடிவுக்கூற்று எதுவெனக் கூறுக. 1. Aஅனைத்தும் B ஆகும் எனின் C அனைத்தும் A ஆகும்.ஆகவே
C அனைத்தும் Bஆகும். 2. Aஎவையும் B அல்ல என்பதோடு B சில Cஆகும். எனின் Cசில A
அல்ல. 3. Aசில B ஆகும். B சில C ஆகும் என்பதால் C சில Aஆகும். 4. C சிலBஆகும் ஏனெனில் A அனைத்தும் Bஆகும் என்பதோடு C
- அனைத்தும் A ஆகும். - 5. ( சில A அல்ல.A அனைத்தும் B அல்லஏனெனில் C அனைத்தும் B
ஆகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 158
மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே அரிஸ்ரோட்டல் இறப்பவர் ஏனெனில் அரிஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் ஆவர். ' A எவையும் C அல்ல் ஏனெனில் A அனைத்தும் B ஆகும் என்பதோடு B
எவையும் ( அல்ல ஆகவே A எவையும் C அல்ல. 8. காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். அது கறுப்பு நிறம் அது
ஒரு காகம் எனத் தரப்படின். 9. அருஸ்ரோட்டல் இறப்பவர் என்பது மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர்
ஆவர் என்பதோடு அரிஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன் எனின் பெறப்படும்." 10. குயில்கள் பாடும். மயில்கள் பாடும் இதன் விளைவாக குயில்கள் மயில்கள்
ஆகும். (47) பின்வரும் நியாயத்தொடைகளை நியாத்தொடையின் ஆறு பிரதான
விதிகளைக் கொண்டு அவற்றின் வாய்ப்பினைத் துணிக. 1. மீன்கள் விலை கூடியவை ஆகும் என்பதோடு விலைகூடியவை ருசியானவை
அல்ல ஆகவே ருசியானவை மீன்கள் அல்ல. 2. பறவைகள் ஆகாயத்தில் பறக்கக்கூடியவை எனின் இறக்கையுடையன
ஆகாயத்தில் பறக்கக்கூடியவை அல்ல எனவே பறவைகள் இறக்கை
யுடையன அல்ல. 3. இறைச்சியுண்ணும் மிருகங்கள் எல்லாம் உயிர் உள்ளன அல்ல. என்பதோடு
இறைச்சியுண்ணும் மிருகங்கள் பயங்கரமானவை எனின் பயங்கரமானவை
சில உயிர் உள்ளன அல்ல. 4. பெரிய பிராணிகள் மட்டுமே பாலூட்டிகள் என்பதோடு விலங்குகள் சில பாலூட்டிகள் அல்ல ஏனெனில் எல்லா விலங்குகளும் பெரிய பிராணிகள்
அல்ல. மனிதர்கள் அனைவரும் சோம்பேறிகள் ஏனெனில் நித்திரைகொள்ளும் மனிதர்கள் படித்தவர்கள் என்பதோடு படித்தவர்கள் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர். பசுக்கள் பயனுள்ள மிருகங்கள் ஆகும் என்பதோடு பயனுள்ள மிருகங்கள் விலை கூடியவை ஆகும். இதன் காரணமாக பயனுள்ள மிருகங்கள் பசுக்கள் ஆகும். மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே அரிஸ்ரோட்டல் இறப்பவர் ஆவர் ஏனெனில் அரிஸ்ரோட்டல் ஓர் மனிதன். எல்லா நடிகர்களும் நடிகைகளும் கவர்ச்சி முகமுடையவர்கள் என்பதால்
எல்லா நடிகைகளும் நடிகர்கள் ஆவர். 9. ஓடிவிளையாடுபவர் சிலர் சிறுவர்கள் ஆவர் இதன் விளைவாக
ஓடிவிளையாடுவர் சிலர் கள்வர்கள் ஆவர். 10. தாகமுடையவர் சிலர் தண்ணீர் அள்ள மலையில் ஏறுவதில்லை, ஏனெனில்
கீழே விழுபவர் மட்டுமே தாகமுடையவர் என்பதோடு தண்ணீர் அள்ள
மலை மேலே ஏறுபவர் எல்லோரும் கீழே விழுவது இல்லை." 11. சிறுவர்கள் மட்டுமே விளையாடுபவர் என்பதோடு சுறுசுறுப்புடையவர்கள்
விளையாடுவது இல்லை ஏனெனில் சுறுசுறுப்புடையவர்கள் எல்லாரும்
சிறுவர்கள் இல்லை. 12. ஆபத்தானவை சில பாம்புகள் அல்ல ஏனெனில் ஆபத்தானவை எல்லாம்
புன்னகை செய்வது இல்லை என்றால் பாம்புகள் எவையும் புன்னகை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

செய்வது இல்லை. முயல்கள் வேகமாக ஓடுபவை ஆகும் என்பதோடு வேகமாக ஓடுபவை இரண்டு கால்களையுடையன அல்ல ஆகவே முயல்கள் இரண்டு கால்களை உடையன. 14. பச்சை நிறம் எவையும் கிளிகள் அல்ல என்பது பச்சை நிறம் சில
பறவைகள் ஆகும். என்பதோடு கிளிகள் சில பறவைகள் எனின் பெறப்படும். 15. கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும். பச்சை நிறம் பறவைகள் ஆகும். எனவே
பறவைகள் மட்டுமே கிளிகள் ஆகும். 16. எல்லா மனிதர்களும் இறப்பவர் ஆவர் அதேபோல் ஆண்களும் ஆகவே
ஆண்கள் மனிதர்கள் ஆவர். 17. நிரந்தரமல்லாதது எதுவோ அது துன்பத்தைத் தரும்.விஜி துன்பத்தைத்தரும்.
விஜி நிரந்தரமல்லாதது எனத்தரப்படின். 18. மனிதர்கள் இறக்காதவர் அல்லர் என்பதோடு இறப்பவர்கள் நோயாளிகள்
எனத் தரபப்டின் மனிதர்கள் சிலர் நோயாளிகள் அல்லர். 19. ஆலயம் செல்லாதவர்கள் பக்திமான்கள் அல்லர் என்பதோடு பொதுநல
வாதிகள் எவரும் ஆலயம் செல்பவர்கள் அல்லர் எனின் பொதுநலவாதிகள்
எவரும் பக்திமான்கள் அல்ல." 20. எந்த முலையூட்டிகளும் முட்டையிடும் மிருகங்கள் அல்ல என்ற உண்மை
யிலிருந்தும் சில சிங்கங்கள் முலையூட்டிகள் அல்ல என்பதிலிருந்தும்சில
சிங்கங்கள் முட்டையிடும் மிருகங்கள் அல்ல என்பது உட்கிடையாக உள்ளது. 21. பட்சிகள் ஆகாயத்தில் பறக்கின்றன. சில மீன்கள் பறவைகள் அல்ல
ஆகவே சில மீன்கள் ஆகாயத்தில் பறப்பது இல்லை. 22. எல்லாக் கற்றவர்களும் புத்தியுள்ளவர்களாகவும் சில கவிஞர்கள்
கற்றவர்களாகவும் இருப்பின் சில கவிஞர்கள் புத்தியுள்ளவர்களாகவர். 23. ஓட்டுனர் அனைவரும் தலைக்கவசம் அணிபவர் என்பதோடு தலைக்கவச ங்கள் எல்லாம் இறக்குமதி செய்யப்பட்டவை ஆகும். தலைக் கவசங்கள் யாவும் இறக்குமதி செய்யப்பட்டவை. ஆதலால் எல்லா ஓட்டுனரும்
தலைக்கவசம் அணிபவர். 24. உணவு மலிவு ஏனெனில் அது இறக்குமதி செய்யப்படுகின்றது. என்பதுடன்
இறக்குமதி செய்யப்பட்ட சில பொருட்கள் மலிவு. 25. காகங்கள் பசுக்கள் ஆகும். ஏனெனில எல்லாம் பசுக்களும் பறக்கும்
என்பதோடு பறக்கும் எதுவும் பசு ஆகும். 26. எல்லா மனிதர்களும் அவாவுடையவர்கள் என்பதோடு இங்குள்ள
அவாவுடையவர்கள் எல்லோரும் பணக்காரர் ஆகவே எல்லா மனிதர்களும் பணக்காரர். 27. குடிமக்கள் ஆள்வோர்களல்லர் ஏனெனில் சில குடிமக்கள் ஞான முள்ளவ
ரல்லவாய் இருக்கையில் ஆள்வோர்கள் எல்லோரும் ஞானமுள்ளவர்கள்." 28. எல்லா மனிதரும் தவறிழைப்பவர் என்பதோடு தவறிழைப்பவர் எவரும்
பிறரது அறிவுகளைக் கொண்டு கொள்கைகளைப் பின்பற்றலாகாது ஆகவே எந்த மனிதனும்பிறரதுஅழிவுகளைக்கொணரும் கொள்கைகளைப் பின்பற்ற
லாகாது. 29. எல்லா அரசரும் மெய்யியல் வாதிகள் ஆவர் . எல்லா அறிவுடையவரும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
1.313
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 159
பலசாலிகள் ஆவர் ஆகவே அறிவுடையவர் எல்லாரும் மெய்யியல் வாதிகள்
ஆவர். 30. எல்லா மிருகங்களும் நிறக்குருடு அல்ல பூனை ஒரு மிருகம். ஆகவே
பூனைகள் நிறக்குருடு அல்ல. 31. எந்த ஒரு மனிதனும் கடற்கன்னிகளைக் காணவில்லை எல்லாக்
கடற்கன்னிகளும் மீன்கள் ஆகவே எந்த ஒரு மனிதனும் மீன்களைக்
காணவில்லை. 32. நிரந்தரமல்லாதது எதுவோ அது துன்பத்தைத் தரும்.வினஸ் நிரந்தர
மல்லாதது. ஆகவே வினஸ் துன்பத்தைத் தரும். 33. எந்த மனிதனும் இறக்காதவன் அல்லன் எல்லாப் பெண்ணும் இறப்பவர்கள்
எனவே எப்பெண்ணும் மனிதன் அல்ல.. ) 34. ஆசிரியர்கள் எல்லோரும் ஏழைகள் என்பதோடு எல்லா எழுதுவினை
ஞர்களும் அவ்வாறே எனவே எல்லா ஆசிரியர்களும் எழுதுவிளைஞர்கள்
ஆவர். 35. மாடுகள் மிருகங்கள் ஆகும். மிருகங்கள் விலைகூடியவை ஆகும். ஆகவே
- மாடுகள் மட்டுமே விலைகூடியவை ஆகும். 36. மழை பெய்யும் எனின் நிலம் நனையும். நிலம் நனையும் எனின் நிலம்
சறுக்கும் ஆகவே மழை பெய்யும் எனின் நிலம் சறுக்கும். 37. அவன் படிப்பான் எனின் வெளிநாடு செல்லமாட்டான் வெளிநாடு செல்வான் எனின் பணம் சம்பாதிப்பான் ஆகவே அவன் பணம் சம்பாதிப்பான் எனின்
அவன் படிக்கமாட்டான். 38. அன்பு இருக்கும் எனின் பிரிவு இருக்காது. சில வேளைகளில் பணம்
இருக்கும் எனின் அன்பு இருக்கும் எனவே சில வேளைகளில் பணம்
இருக்குமெனின் பிரிவு இருக்காது. 39. மனிதர்கள் ஒன்றில் ஏழைகள் அல்லது பணக்காரர். மனிதர்கள் ஒன்றில்
நடுத்தரவர்க்கமுடையவர் அல்லது ஏழைகள் அல்ல. ஆகவே மனிதர்கள் ஒன்றில் நடுத்தரவர்க்கமுடையவரகள் அல்லது பணக்காரர். மேசைகள் ஒன்றில் வெள்ளையானவை அல்லது கறுப்பானவை, சில மேசைகள் ஒன்றில் வெள்ளையல்லாதன அல்லது மரத்தாலானவை ஆகவே
சில மேசைகள் ஒன்றில் மரத்தாலானவை அல்லது கறுப்பானவை. (48)கீழே தரப்பட்டுள்ள சுருக்கத்திட்டத்தையும் குறியீடுகளையும் பயன்படுத்தி
வாதங்களாக்கி ஆறு பிரதான வீதியின் மூலம் வாய்ப்பினைத் துணிக. சு.தி: S- மாணவர்கள் , P- படிப்பவர்கள் , M - திறமைசாலிகள் (i) MAP (ii) P EM (iii) P L M (iv) P1 M (v) M EP
SEM
S I M
SEM
S TM
SAM
•.S EP
•. S 0 P
•. S O P
.: S EP
•. S E P
40.
(vi) MAP (vii) P E M (viii) P EM (ix) P E M (x) P E M
SEM
S E M
MAS
SI P.
M AS SEP
.S E P
•. SIP
'. ST P.
.. S EP
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I மரபு
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(xi) :.S E P (xii) MA S (xiii) .. SOP, P E M, SOM : S OP
M EP
'. S O P SA M
M 0 P (49) (அ) பேரெடு கூற்று குறையாகவும் சிற்றெடு கூற்று மறையாகவும் இருந்தால்
எதுவிதமான முடிவையும் ஏன் அனுமானிக்க முடியாது என்பதை
நியாயத்தொடையின் பிரதான விதியைக் கொண்டு விளக்குக. (ஆ) பின்வருவண பற்றிக் குறிப்புக்கள் தருக. (i) நடுப்பத வியாப்தியடையாப்போலி (ii) பெரும்பதப் போலி (iii) எல்லாமும் எதுவும் இல்லையாம் எனும் நியாயத் தொடைமுடிவின் முக்கி
யத்துவம். (50) (அ)இரண்டு மறையெடுப்பில் இருந்து ஏன் எதுவிதமான முடிவையும் பெற
முடியாது. (ஆ) தரவுகளில் ஒன்று குறையாயின் முடிவும் குறையாக இருக்கும் எனும்
கிளவிைதியை விளக்குக, (இ) நியாயத்தொடையின் அளவு விதிகளை விளக்குக. (51) (அ) இரு குறையெடுப்புக்களில் இருந்து ஏன் எதுவிதமான முடிவையும்
பெறமுடியாது என விளக்குக. (ஆ) தரவுகளில் ஒன்று மறையாயின் ஏன் முடிவு மறையாக இருத்தல் வேண்டும் (இ) மத்தியப் பதம் ஏன் ஏதாவது ஓர் எடுகூற்றிலேனும் லியாப்தியடைதல் வேண்டும் என விளக்குக. (ஈ) எடுகூற்றில் வியாப்த்தியடையாத பதங்கள் ஏன் முடிவுகூற்றில் வியாப்திய
டைதல் கூடாது.என விளக்குக. (8) (அ) நியாயத்தொடை அனுமானத்தின் வரம்புகளைக் கூறுக? (ஆ) நியாயத்தொடையில் முடிவு இரத்தல் போலி ஏற்படுகின்றது ஆராய்க. (இ) வலுத்த காரணம் பற்றிய நியாயம் என்றால் என்ன? (52) (அ) உடன் அனுமானத்திற்கும் ஊடக அனுமானத்திற்கும் இடையிலான
வேறுபாடுகளைக்கூறுக. (ஆ) உய்த்தறி என்றால் என்ன? அதன் பண்புகளையும் உய்த்தறிவு தொகுத்தறிவு
அனு மானங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் எவை? (இ) வலுத்த ,மெலிந்த நியாயத்தொடைகள் என்றால் என்ன?
கலப்பு நியாயத்தொடை: (53) உடன்பாட்டுஆகாரி, மறுப்புஆகாரி, மறுத்துவிதித்தல்விதி எனும் விதிகளைப்
பயன்படுத்தி பினவரும் கலப்பு நியாயத்தொடைகளின் வாய்ப்பினைத் துணிக. 01. பெரியமாமி வருவாள் ஆயின் பெரிய மச்சாள் வருவாள்.
பெரியமாமி வருவாள் எனவே பெரியமச்சாள் வருவாள் 02. பெரியமாமி வருவாள் ஆயின் பெரிய மச்சாள் வருவாள். பெரியமாமி
வரவில்லை ஆகவே பெரிய மச்சாள் வரவில்லை. 03. மழை வரும் எனின் நான் குடைகொண்டு வருவேன்.நான் குடைககொண்டு
வரவில்லை.ஆகவே மழை வரவில்லை. 04. மழை வரும் எனின் நான் குடைகொண்டு வருவேன்.நான் குடைகொண்டு
வருவேன்ஆகவே மழை பெய்தது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 160
07.
14.
05. காந்தன் ஏழை அல்லது திறமைசாலி. அவன் திறமைசாலி அல்லன்
ஆகவே அவன் ஏழை காந்தன் ஏழை அல்லது திறமைசாலி. அவன் திறமைசாலி ஆகவே. அவன் ஏழை அல்லன் காந்தன் ஏழை அல்லது திறமைசாலி அவன் ஏழை அல்லன் ஆகவே
அவன் திறமைசாலியாவான். 08. காந்தன் ஏழை அல்லது திறமைசாலி.அவன் ஏழை ஆகவே அவன்
திறமைசாலியல்லன். 09. அன்பு இல்லை எனின் பிரிவு இருக்காது. அன்பு இல்லை. ஆகவே பிரிவு
இருக்காது. 10. அன்பு இல்லை எனின் பிரிவு இருக்காது.பிரிவு இருக்காது. ஆகவே அன்பு
இல்லை. அன்பு இல்லை எனின் பிரிவு இருக்காது. அன்பு உண்டு ஆகவே பிரிவு
இருக்கும். 12. அன்பு இல்லை எனின் பிரிவு இருக்காது. பிரிவு இருக்கும். ஆகவே அன்பு
உண்டு. 13. அவன் பண்புடையவன் இல்லை அல்லது வெள்ளையானவன் இல்லை.
அவன் பண்புடையவன் ஆகவே அவன் வெள்ளையானவன் இல்லை. அவன் பண்புடையவன் இல்லை அல்லது வெள்ளையானவன் இல்லை
அவன் பண்புடையவன் இல்லை ஆகவே அவன் வெள்ளையானவன். 15. அவன் பண்புடையவன் இல்லை அல்லது வெள்ளையானவன் இல்லை
அவன் வெள்ளையானவன் ஆகவே அவன் பண்புடையவன் இல்லை. 16. அவன் பண்புடையவன் இல்லை அல்லது அல்லது வெள்ளையானவன்
இல்லை அவன் வெள்ளையானவன் இல்லை ஆகவே அவன் பண்புடையவன். 17. யுத்தம் அல்லது வரட்சி நீடித்தால் பஞ்சம் ஏற்படும். யுத்தம் அல்லது
வரட்சி நீடிக்கும் ஆகவே பஞ்சம் ஏற்படும். 18 யுத்தம் அல்லது வரட்சி நீடித்தால், பஞ்சம் ஏற்படும். யுத்தம் நீடிக்காது.
அல்லது வரட்சி நீடிக்காது. ஆகவே பஞ்சம் ஏற்படாது. 19. யுத்தம் அல்லது வரட்சி நீடித்தால் பஞ்சம் ஏற்படும். பஞ்சம் ஏற்படாது.
ஆகவே யுத்தம் நீடிக்காது. அல்லது வரட்சி நீடிக்காது . 20. யுத்தம் அல்லது வரட்சி நீடித்தால் பஞ்சம் ஏற்படும். பஞ்சம் ஏற்படும்
ஆகவே யுத்தம் அல்லது வரட்சி நீடிக்கும். 21. பறவைகள் கறுப்பானவை அல்லது பறப்பன அல்லது உயிர்உள்ளவை. பறவை
உயிர் உள்ளது அல்ல. ஆகவே காகம் கறுப்பானவை. அல்லது பறப்பன. 22. பறவைகள் கறுப்பானவை அல்லது பறப்பன அல்லது உயிர் உள்ளவை. பறவை உயிர்உள்ளது. ஆகவே அது கறுப்பானது அல்ல.அல்லது பறப்ப
அல்ல. 23. அவள் திருமணம் செய்வாள். அல்லது படிப்பாள் அவள் திருமணம்
செய்வாள் அல்லது படிப்பாள் ஆயின் அவள் வெளிநாடு செல்ல மாட்டாள்.
ஆகவே அவள் வெளிநாடு செல்ல மாட்டாள். 24. அவன் ஏழை. அவன் ஏழையாயின், இந்தியன் அத்துடன் நாட்டுப்பற்று
டையவன். ஆசவே அவன் இந்தியன் அத்துடன் நாட்டுப்பற்றுடையவன். ஆகவே அவன் ஏழை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 316) '... ஆசிரியர் க.கேசவன்

பெண்கள் வாய்க்காரிகள் என்பதோடு பொறுமையுடையவர்கள் என்பது பொய் ஆகும். பெண்கள் பொறுமையுடையவர்கள் என்பதோடு வாய்க்காரிகள் ஆயின் அவர்கள் சமவுரிமையுடையவர்கள் ஆகவே அவர்கள்
சமவுரிமை யுடையவர்களல்லர். (54) பின்வருவன பற்றிக் குறிப்புக்கள் தருக. (அ) உடன்பாட்டு ஆகாரி (ஆ) காரிய உடன்பாட்டுப்போலி (இ) உடன்பட்டு மறுக்கும் ஆகாரி (ஈ) மறுத்து விதித்தல் விதி (உ) விதித்து விதித்தல் விதி (ஊ) நிபந்தனை நியாயத்தொடை
- குறை நியாயத்தொடை : (55) பின்வரும் குறைநியாயத் தொடைகளுக்கு எடுகூற்று அல்லது முடிவுக்
கூற்றைச் சேர்த்து அலை வாய்ப்பானவை எனக் காட்டுக. வாய்ப்பாகக் காட்ட முடியாதவையை வாய்ப்பற்றவை எனகூறுக. பெண்கள் சிலர் மாணவர்கள் ஆவர் ஆகவே பெண்கள் சிலர் படிப்பவர்
அல்லர். மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர் ஆகவே பெண்கள் சிலர் படிப்பவர் அல்லர்.
மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர், பெண்கள் சிலர் மாணவர்கள் ஆவர். 4. அன்பு இருக்கும் எனின் பண்பு இருக்கும் ஆகவே பண்பு இருக்கும்.
அன்பு இருக்கும். ஆகவே பண்பு இருக்கும். அன்பு இருக்கும் எனின் பண்பு இருக்கும். அன்பு உண்டு. மீன்கள் ருசியானவை அல்ல ஏனெனில் மீன்கள் ருசியானவை எனின்
அவை உண்ணக்கூடியவை. 8. மீன்கள் உண்ணக்கூடியவை. அல்ல ஆகவ்ே மீன்கள் ருசியானவை அல்ல.
மீன்கள் ருசியானவை ஆயின் அவை உண்ணக்கூடியவை. அவை உண்ணக் கூடியவை அல்ல. ஆகவே அவை ருசியானவை அல்ல. 10. அவன் வெள்ளையானவன் அல்லன் ஏனெனில் அவன் வெள்ளையானவன்
அல்லது வெளிநாட்டவன். 11. அவன் வெளிநாட்டவன் அல்லன் ஆகவே அவன் வெள்ளையானவன். 12. அவன் வெள்ளையானவன் அல்லது வெளிநாட்டவன். அவன் வெளிநாட்டவன்
அல்லன். 13. கறுப்பு நிறம் சில காகங்கள் ஆகும். ஏனெனில் காகங்கள' அனைத்தும்
பறவைகள் ஆகும் 14. கறுப்பு நிறம் சில காகங்கள் ஆகும். ஏனெனில் பறவைகள் அனைத்தும்
கறுப்புநிறம் ஆகும். 15 காகங்கள்பறவைகள் ஆகும் பறவைகள் கறுப்புநிறம் ஆகும். 16. சிங்கங்கள் பயங்கரமானவை அல்ல. பயங்கரமானவை கொடியவை ஆகும். 17. எல்லா கொடியவைகளும் சிங்கங்கள் அல்ல ஏனெனில் சிங்கங்கள்
பயங்கரமானவை அல்ல. 18. பயங்கரமானவை கொடியவை ஆகும். ஆகவே கொடியவை சில சிங்கங்கள்
ஆகும். 19. நெல்விளையவில்லை ஏனெனில் மழைபெய்யும் எனின் நெல்விளையும். 20. ஆண்கள் மனிதர்கள் அல்லர் ஆகவே ஆண்கள் இறப்பவர் ஆவர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 161
(01) கீழ்வருவனவற்றுள் ஏதேனும் இரண்டினை விளக்குக. (1) இருதலைக்கோள் (ii) நியாயமாலை (iii) நியாயத்தொடை வகைகள் (02)(அ) நியாயத்தொடையின் உருவும் பிரகாரமும், என்று கூறப்படுவனவற்றை
விளக்குக? (ஆ) முதலாம் உருவில் வலிதான பிரகாரங்களைக் காட்டி ஒவ்வொரு
பிரகாரத்துக்குமான உதாரணங்களைத் தருக. (56) (அ) உடன் அனுமானத்தின் இரு பிரதான வகைகளைப்பற்றி ஒரு வகைக்கு
உதாரணமேனும் தந்து விளக்குக, (ஆ) உடன் அனுமானம், ஊடக அனுமானம் என்பவற்றுக்கிடையிலான
வேறுபாட்டை உதாரணங்கள் தந்து விளக்குக (இ) சோக்கிரடிaஸ் இறக்கக்கூடியவன்” என்றடுப்பை விபரிப்பதில் பாரம்பரிய அளலை
யியலும்நவீன அளவையியலும் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றது என்பதை கூறுக. (57) நவீன அளவையியல் அனுமான முறையுடன் ஒப்பிடும்போது அரிஸ்ரோட்ட விய
நியாயத்தொடையில் காணப்படும் குறைபாடுகள் எவை? (58) (அ) இருதலைக்கோள் என்றால் என்ன?
(ஆ) வெவ்வேறுவகையான இருதலைக்கோள்களை உதாரணத்துடன்
விளக்குக? (59)அ0 தணிநிலை நியாயத் தொடையின் நியாயத்தொடை உருவையும்
பிரகாரத்தையும் விளக்குக? (ஆ)
சாதாரண மொழியில் அமைந்த உதாரணங்களைக் கொண்டு நியாயத்
தொடையின் நான்உருக்களையும் இனம் காட்டுக. (இ)
நியாயத்தொடையின் இரண்டாம் உருவின் பிரகாரங்களை, ஒவ்வொரு. பிரகாரத்துக்கும்சாதாரண மொழியில் அமைந்த நியாயத்தொடையை
உதாரணமாகக் கொண்டு காட்டுக. (60) பின்வருவன பற்றிக் குறிப்புக்கள் தருக. (1) வாய்ப்பும் உண்மையும் (2) மத்தியப் பதம் (3) மாறிகளும் தர்க்கமாறிகளும் (4) நவீன அளவையியலும் அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலும் (5) உய்த்தறிவும் தொகுத்தறிவும் (6) அளவையியல் விருத்திக்கு பிறகேயும், ரசலும் ஆற்றிய பங்கு (7) வகுமுறை வரைவிலக்கணம் (8) கவர்பாட்டுப்விரிப்பு முறை (9) பல்பெறுமான அளவைகள் (10) சாதாரண மொழியும் குறியீட்டு அளவையும்
ஒயிலரது வரைபடங்களும் வென்வரைபடங்களும் (12) நேரல் முறை அட்டவணை (13)வாக்கியங்களும் எடுப்புக்களும் (14) அரிஸ்ரோட்டலிய அளவையியலின் எல்லைகளும் பலவீனங்களும் (15) வகுப்பு அளவையியல்
வகுப்பிற்குறிய வரைவிலக்கணம். (16) அனுமான விதிகள்
வென்வரைபடங்கள் (61) கீழே தரப்பட்டுள்ள குறியீடுகளையும் சுருக்கத்திட்டத்தையும் பயன்படுத்தி
எடுப்புக்களாக்குக.
சு.தி X - சில்வா a - படித்தவர் b - பண்புடையவர். C - அறிவாளி (1) (x Eb) (2) x+ b (3) x ¢ a0b (4) x¢ a Ub
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
- 1 318]
ஆசிரியர் க.கேசவன்

(5) x C ab
(6) X Eab.
(7) a b = 4 (8) எb = ¢. (9) a b = ¢ a b= ¢ (10) a b = ¢ ,
(11) a b = 4 (12) a b = 4 - (13) a b = ¢ ab# ¢ (14) ab= ab = 4 (15) x E c (16) x + a - (17) x E c0 b (18) x £c U b (19) xE cb (20) x Ebc (21) b c = 4 (22) c a = 4 (23) b c = {¢ Ab c = 4 (24) b c = 4 (25) b c = 4 (26) c b = ¢ cb + 6
(27) b c + + b c = ¢ - (28) x = a bc (29) x = a b c (30) x = a bc (62) பின்வரும் எடுப்புக்களுக்கு தரப்படும் முன்று சுருக்கத்திட்டத்தையும்
வென்லரிக்குறியீடுமட்டும் அமைக்குக. சு.தி (1) a : காகங்கள் (2) b: காகங்கள் (3) c : காகங்கள்
b : கறுப்புநிறம் .. C: கறுப்புநிறம் b: கறுப்புநிறம் (1) காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். (2) காகங்க்ள மட்டுமே கறுப்புநிறம் ஆகும். (3) காகங்கள் ஆயின் ஆயினே கறுப்பு நிறம் ஆகும். (4) காகங்கள் எவையும் கறுப்பு நிறம் அல்ல. (5) சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும். (6) சில காகங்கள் கறுப்பு நிறம் அல்ல. (7) சில காகங்கள் ஆயின் ஆயினே கறுப்பு நிறம் அல்ல. (8) சில காகங்கள் மட்டுமே கறுப்பு ஆகும். (63) பின்வரும் எடுப்புக்களுக்கு வென்வரைபடம் வரைக? 1. காகங்கள் கறுப்பு நிறமாகும் என்பதோடு கறுப்புநிறம் பறப்பன ஆகும். 2. கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல என்பதோடு கிளிகள் பறவைக்ள ஆகும். 3. மாடுகள் புல் தின்பன ஆகும் என்பதோடு சில மாடுகள் விலங்குகளாகும். 4. மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர் சில ஆண்கள் படிப்பவர் ஆவர்.
மாணவர்கள் திறமைசாலிகள் ஆவர் அந்தக் கெட்டிக்காரன் ஓர் மாணவன்
ஆவான் மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர். காந்தன் படிப்பவர் ஆவர்.
மீன்கள் மட்டும் ருசியானவை. ருசியானவை மட்டும் உண்ணக்கூடியவை. 8. மாணவர்கள் ஆயின் ஆயினே படிப்பவர் ஆவர், மாணவர்கள் ஆயின்
ஆயினேகுழந்தைகள். குதிரைகள் மட்டுமே கொம்புடையவை. கொம்புடையவை.ஆயின் ஆயினே
பயங்கரமானவை. 10. திமிங்கிலம் எவையும் பாலூட்டிகள் அல்ல. பாலுட்டிகள் மட்டுமே பறவைகள் 11. ஆடுகள் மிருகங்கள் ஆகும். சில விலங்குகள் ஆடுகள் அல்ல. 12. ஆடுகள் மிருகங்கள் ஆகும். விலங்குகள் மிருகங்கள் அல்ல. 13. உயிர் உள்ளன சில மனிதர்கள் அல்ல. மனிதர்கள் இறப்பவர் அல்லர். 14. உயிர் உள்ளன சில மனிதர்கள் அல்ல. இறப்பவர்கள் மனிதர்கள் ஆவர். 15. மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். ரவி ஒரு மனிதன் அல்லன். 16. மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். ரவி இறப்பவர் அல்லன்.
- சு ந
9.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 162
17. சில கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும். என்பதோடு கிளிகள் பச்சை நிறம்
ஆகும். 18. மாணவர்கள் படிப்பவர்கள் ஆவர் அத்துடன் படிப்பவர்கள் மாணவர்கள்
ஆவர். 19. சில மிருகங்கள் புல் தின்பவை அல்ல என்பதோடு சில மிருகங்கள் புல்
தின்பவை ஆகும். (64) பின்வரும் வென்வரிக் குறியீடுகளுக்கு வெண்விளக்க வட்டம் வரைக (1) ab = ¢ A a b =ழ் (2) x Eabc - (3) x E abc (4) x # bUc (5) x ¢ a nb (6) a b = 4 A bc = 4 (7) ab = ¢ A cb= ¢ (8) a b = 0 A bc = ¢ (9) a b = + A cb + + (10) a b= ¢ - cb =¢ (11) a b #¢ A c b = 4 (12) a b = $ A cra + + (13) (ab = ¢ A ab = $ ) A cb* ¢ - (14) ab = + N ab»= ¢ (15) a b = $ A a b. #. ¢ (65) பின்வரும் வாதங்களை வகுப்புக்களின் அடிப்படையில் சுருக்கத் திட்டத்தின்
உதவியுடன் குறியீட்டில் அமைத்து வெண்வரைபடங்களின் துணைகொண்டு
அவற்றின் வாய்ப்பினைத் துணிக. 01. ஆசிரியர்கள் விவேகிகள் ஆவர். நேர்மையுள்ள மனிதர்கள் அனைவரும்
ஆசிரியர்கள் ஆகவே நேர்மையுள்ள மனிதர்கள் அனைவரும் விவேகிகள். 02. எல்லா அன்னங்களும் வெள்ளை நிறமானவை. வெள்ளை நிறமானவை
நீரில் வசிக்க விரும்புவை அல்ல. எனவே நீரில் வசிக்க விரும்புவை
அன்னங்கள் அல்ல. 03. காகங்கள் கறுப்பு நிறமாகும். கிளிகள் கறுப்பு நிறமாகும் எனவே கிளிகள்
காகங்கள் ஆகும். 04. எல்லா பெண்களும் இலங்கையர்கள். இலங்கையர்கள் எவரும் ஆண்கள்
அல்ல.எனவே ஆண்கள் பெண்கள் ஆவர். . 05. ஆசிரியர்கள் எவரும் ஏழைகள் அல்லர். அமெரிக்கர்கள் ஆசிரியர்கள்
ஆவர். ஆகவே அமெரிக்கர்கள் ஏழைகள் அல்லர். 06.
வெளவால்கள் எவையும் பாலூட்டிகள் அல்ல பாலூட்டிகள் அனைத்தும் காகங்கள் ஆகும். எனவே காகங்கள் எவையும் வெளவால்கள் அல்ல. பெண்கள் எவரும் திறமைசாலிகள் அல்ல ஏனெனில் மாணவர்கள்
திறமைசாலிகள் ஆவர் பெண்கள் எவரும் மாணவர்கள் அல்லர். 08. காகங்கள் கறுப்பு நிறமாகும் கிளிகள் எவையும் காகங்கள் அல்ல. ஏனெனில்
கறுப்பு நிறம்' எவையும் கிளிகள் அல்ல. 09. வெளவ்வால்கள், மிருகங்கள் ஏனெனில மிருகங்கள் பாலூட்டிகள் அல்ல.
என்பதோடு வெளவ்வால்கள் பாலூட்டிகள். 10. மாணவர்கள் மட்டுமே படிப்பவர்.படிப்பவர் ஆயின் ஆயினே ஏழைகள்
ஆகவே ஏழைகள் மாணவர்கள் அல்லர். 11. சிங்கங்கள் மட்டுமே துணிவுடையன. துணிவுடையவர்கள் ஆயின் ஆயினே
அரசர்கள் ஆகவே அரசர்கள் மட்டுமே சிங்கங்கள்.
01.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 320
ஆசிரியர் க.கேசவன்

2.
12. பெண்கள் ஆயின் ஆயினே கற்புடையவர்கள். கற்புடையவர்கள் மட்டுமே " ஏமாற்றுக்காரர்கள் ஆகவே ஏமாற்றுகாரர் எவரும் பெண்கள் அல்லர். 13. ஆசிரியர்கள் ஆயின ஆயினே விவேகிகள். விவேகிகள் ஆயின் ஆயினே
நேர்மையுள்ள மனிதர்கள் ஆகவே நேர்மையுள்ள மனிதர்க்ள ஆயின்
ஆயினே ஆசிரியர்கள். 14. இனிப்பு சாப்பிடுபவர் மட்டுமே விளையாடுபவர் ஏனெனில் சிறுவர்கள்
எவரும் விளையாடுவது இல்லை. சிறுவர்கள் மட்டுமே இனிப்பு சாப்பிடுபவர் 15. எட்டு வயதுக்குட்பட்டவர் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுவர். எங்களில் சிலர்
அனுமதிக்கப்படுவர் ஆகவே எங்களில் சிலர் எட்டு வயதிற்கு உட்பட்டவர். 16. அவர்களில் சிலர் பாவம் செய்தவர் ஏனெனில் பாவம் செய்தவர் அனைவரும்
ஆலயம் செல்பவர். அவர்களில் சிலர் பாவம் செய்தவர்கள் 17 சில ஆங்கிலேய மக்கள் புராதன பண்பாட்டைக் கொண்டுள்ளனர்.
எல்லா இலங்கை மக்களும் புராதன பண்பாட்டைக் கொண்டுள்ளனர்.
ஆகவே இலங்கை மக்கள் சிலர் ஆங்கிலேய மக்கள் ஆவர். 18.
சில முயல்கள் குட்டி போடுவன ஆகும். குட்டி போடுவன அனைத்தும்
சிங்கங்கள் ஆகும்.ஆகவே சிங்கங்கள் சில முயல்கள் ஆகும். 19. பெண்கள் கறுப்பானவர்கள் சில ஆண்கள் பெண்கள் ஆவர் ஏனெனில்
சில ஆண்கள் கறுப்பானவர்கள். 20 பெண்கள் கறுப்பானவர்கள் சில ஆண்கள் பெண்கள் ஆகவே சில
ஆண்கள் கறுப்பானவர்கள். சிங்கங்கள் எவையும் ஆபத்தானவை அல்ல மிருகங்கள் சில சிங்கங்கள்
அல்ல. மிருகங்கள் சில ஆபத்தானவை ஆகும். 22. சில மாடுகள் புல் தின்பவை ஆகும். என்பதோடு ஆடுகள் சில மாடுகள்
"அல்ல. ஏனெனில் புல்தின்பவை எவையும் ஆடுகள் அல்ல. 23. சில மனிதர்கள் பொறாமையுடையவர்கள் அல்லர். மனிதர் அனைவரும்
கெட்டிக்காரர் ஆவர். ஆகவே கெட்டிக்காரர் சிலர் பொறாமையுடையவர்
அல்லர். 24. ஆண்கள் அனைவரும் கறுப்பானவர்கள். பெண்கள் சிலர் கறுப்பானவர்.
அல்லர் ஆகவே பெண்கள் சிலர் ஆண்கள் அல்லர். 25. சில மனிதர்கள் இறப்பவர் ஆவர். இறப்பவர் சிலர் ஆண்கள் ஆவர்
ஆகவே ஆண்கள் சிலர் மனிதர்கள். 26. மாணவர்கள் அனைவரும் கெட்டிக்காரர் . கெட்டிக்காரர் அனைவரும்
பெண்கள் ஆகவே பெண்கள் சிலர் மாணவர்கள். 27. நடிகர்கள் ஆயின் ஆயினே அழகானவர்கள் சில நடிகர்கள்
ஒழுக்கமானவர்கள். ஆகவே ஒழுக்கமானவர்கள் சிலர் அழகானவர்கள். 28. படித்தவர்கள் சிலர் பண்புடையவர்கள் அல்லர். பண்புடையவர் ஆயின்
ஆயினே கோபக்காரர் ஆகவே கோபக்காரர் சிலர் படித்தவர் அல்லர். 29. பெண்கள் மட்டுமே வாய்க்காரிகள். சில பெண்கள் கோபக்காரிகள் அல்ல
ஆகவே கோபக்காரிகள் சிலர் வாய்க்காரிகள் அல்லர். 30. சில சினிமாக்காரர்கள் ஏமாற்றுக்காரர். ஏமாற்றுக்காரர் மட்டும் ஆண்கள்
ஆகவே ஆண்கள் சிலர் சினிமாக்காரர்கள் . 31. மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே இறப்பவர்கள். சில மனிதர்கள் ஆயின்
ஆயினே ஆண்கள் அல்லர் ஆகவே சில ஆண்கள் ஆயின் ஆயினே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 163
இறப்பவர் அல்லர். 32. மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்னும் அத்துடன் புல் தின்பன அனைத்தும்
மாடுகள் ஆகும். மாடுகள் சில ஆடுகள் ஆகும். ஆகவே ஆடுகள் சில
புல் தின்பன ஆகும். 33. மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர்கள். சில மனிதர்கள் ஆயின் ஆயினே
கெட்டிக்காரர் அல்லா ஆகவே கெட்டிக்காரர் சிலர் இறப்பவர். 34. சில கிளிகள் ஆயின் ஆயினே பச்சை நிறம் அல்ல. பச்சை நிறம். ஆயின்
ஆயினே பறவைகள் ஆகும். ஆகவே பறவைகள் சில ஆயின் ஆயினே
கிளிகள் அல்ல. 35. சில பெண்கள் ஆயின் ஆயினே கற்புடையவர் அல்லர். அடம்பிடித்தவர்
அனைவரும் பெண்கள் ஆவர் ஆகவே அடம்பிடித்தவர் சிலர் கற்புடையவர்
அல்லர். 36. மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர்கள் ஆவர். சில ஆண்கள் மட்டும்
மனிதர்கள் ஆகவே இறப்பவர் சிலர் மட்டும் ஆண்கள். 37. மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர்கள் ஆவர். சில மனிதர்கள் மட்டுமே
ஆண்கள் ஆகவே இறப்பவர் சிலர் மட்டுமே ஆண்கள். 38. மனிதர்கள் ஏழைகள் ஆவர் ரகு மனிதனும் இல்லை தத்துவஞானியும்
இல்லை ஆகவே ரகு ஏழையும் இல்லை மனிதனும் இல்லை. 38. செவ்வாய் சூரியனைச் சுற்றுகின்றன. ஏனெனில் கிரகங்கள் அனைத்தும்
சூரியனைச் சுற்றுகின்றன. என்பதோடு செவ்வாய் ஓர் கிரகம். 39. மாடுகள் அனைத்தும் புல் தின்னும். அந்த மிருகம் பல் தின்னும். ஆகவே
அந்த மிருகம் ஓர் மாடு ஆகும். 40. நாடுகள் எவையும் பணவீக்கத்தை எதிர்நோக்கவில்லை. சீனா ஓர் நாடு
ஆகவே சீனா பணவீக்கத்தை எதிர்நோக்கவில்லை 41. எல்லா மாடுகளும் இறக்கும் பிராணிகள் ஆகும். அது இறக்கும் பிராணி
அல்ல ஆகவே அது ஒரு மாடு அல்ல. 42. பாமரர்கள் எவரும் கோழைகள் அல்லர். அவன் பாமரன் அல்லன்.
ஆகவே அவன் ஒரு கோழை அல்ல்ன. 43. கிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல அது பச்சை நிறம் அல்ல. ஏனெனில் அது
ஓரு கிளி அல்ல. 44. முயல்கள் மட்டும்ே பாலூட்டிகள் இந்தத் திமிங்கிலம் ஒர் முயல் அல்ல
ஆகவே இந்தத் திமிங்கிலம் ஓர் பாலூட்டி அல்ல. 45. எல்லாமந்திரிகளும் பாராளுமன்ற அங்கத்தவர்கள் ரகுபாலன் ஓர் பாராளுமன்ற
அங்கத்தவர் ஆனால் பிரதம மந்திரியும் அல்ல மந்திரியும் அல்ல. ஆகவே ரகுபாலன் பிரதம மந்திரியும் அல்ல பாராளுமன்ற அங்கத்தவரும் அல்ல. 46. காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறமாகும். அந்தப் பறவை கறுப்பு நிறமும்
அல்ல பறப்பதும் அல்ல ஆகவே அந்தப் பறவை பறப்பதும் இல்லை
காகமும் இல்லை. 47. மிருகங்கள் மட்டும் பிராணிகள். அந்தக் கிளி பறக்கும் ஆனால் மிருகம்
அல்ல ஆகவே அந்தக் கிளி பறக்கும் ஆனால் பிராணி அல்ல. 48. குதிரைகள் எவையும் கொம்புடையவை அல்ல. அது ஒரு மிருகம். ஆனால்
அது குதிரையல்ல. ஆகவே அது மிருகம் அல்ல ஆனால் குதிரையாகும். 49 பாலூட்டிகள் ஆயின் ஆயினே பெரிய பிராணிகள் ஆகும். அந்தத்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர் க.கேசவன்

திமிங்கிலம் பாலூட்டியும் பெரிய பிராணியும் ஆகும், ஆனால் பயங்கரமானது. அல்ல ஆகவே அந்தத் திமிங்கிலம் பாலூட்டியும் பயங்கரமானதும் ஆனால்
பெரிய பிராணி அல்ல. 50. மனிதர்கள் அனைவரும் பொறாமையுடையவர்கள். காந்தனும் ரவியும்
பொறாமையுடையவர்கள். ஆகவே காந்தனும் ரவியும் மனிதர்கள் ஆவர். 51. முயல்கள் வேகமாக ஓடும். அதுவும் இதுவும் வேகமாக ஓடும் ஆக்வே
அதுவும் இதுவும் முயல்கள் ஆகும். 52. மனிதர்கள் அனைவரும் புத்தியுள்ளவர்கள் ஆவர். புத்தியுள்ள மனிதர்கள்
கோபக்காரர். ஆகவே கோபக்காரர்கள் மனிதர்கள் ஆவர். 53. மனிதர்கள் மட்டுமே புத்தியுள்ளவர்கள். புத்தியுள்ள மனிதர்கள் அறிவாளிகள்.
ஆகவே அறிவுடையமனிதர்கள் புத்தியுள்ளவர்கள் ஆவர். 54. மாணவர்கள் திறமைசாலிகள் அல்லர். திறமையுடைய மாணவர் படிப்பவர்கள்
ஆவர் ஆகவே படிக்கின்ற திறமைசாலிகள் மாணவர்கள் அல்லர் 55 மாணவர்கள் திறமைசாலிகள் அல்லர். திறமையுடைய மாணவர் படிப்பவர்
அல்லர் ஆகவே படிக்கின்ற திறமைசாலிகள் மாணவர்கள் ஆவர். 56. காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும், கறுப்பு நிறமுடைய காகங்கள்
சில பறப்பன ஆகும் ஆகவே பறப்பன சில கறுப்பு நிறமுடையன ஆகும். 57. காகங்கள் அனைத்தும் கறுப்பு நிறம் ஆகும். பறப்பன சில கறுப்பு
நிறமுடைய காகங்கள் அல்ல ஆகவே காகங்கள் சில பறப்பவை அல்ல. 58. மிருகங்கள் அனைத்தும் பாலூட்டிகள் ஆகும். பாலூட்டிகள் எவையும்
பறவைகள் அல்ல. பறவைகள் சில பாலூட்டிகள் அல்ல. ஆகவே பறவைகள்
சில மிருகங்கள் ஆகும். 59, மனிதர்கள் மட்டுமே இறப்பவர். இறப்பவர் அனைவரும் நோயாளிகள்
ஆவர். நோயாளிகள் சிலர் இறப்பவர் அல்லர். ஆகவே நோயாளிகள்
சிலர் மனிதர்கள் அல்லர். 60. கிளிகள் பச்சை நிறமாகும். பச்சை நிறம் கிளிகள் ஆகும். பறப்பன சில
கிளிகள் ஆகும். ஆகவே பறப்பன சில பச்சை நிறம் ஆகும். 61. மாணவர்கள் படிப்பவர்கள் ஆவர். திறமையுடையவர்கள் படிப்பவர் ஆவர். மாணவர்கள் திறமைசாலிகள் ஆவர். ஆகவே திறமைசாலிகள் மாணவர்கள்
அல்லர். 62. கிளிகள் மட்டுமே பச்சை நிறம். பச்சை நிறம் அனைத்தும் பறப்பன
ஆகும். பறப்பன அனைத்தும் கிளிகள் ஆகும். ஆகவே கிளிகள் அனைத்தும்
பறப்பன ஆகும். (66) பின்வரும் குறியீடுகளையும் சுருக்கத்திட்டத்தையும் பயன்படுத்தி வாதங்களாக
மொழிபெயர்த்து அவற்றின் வாய்ப்பினை வென்வரைபடங்களின் உதவியுடன் ஆராய்க.
சு.தி x - அருஸ்ரோட்டல் a - மனிதர்கள் b - இறப்பவர்கள் C - தத்துவஞானிகள் (1) a b = ¢ (2) a b = 0 (3) a b + ¢
(4) a b =0. ஃ.b c = {¢C a = 4
c b = 0
b c =ழி '. C a
ஃc b = 4
ஃc a = ¢.
ஃ ca =ழ்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 323
ஆசிரியர் க.கேசவன்

Page 164
(5) a b = 4 (6) a b = 4 A a b = 4
(7) a b = 6 x £b
C a + 6
x 4 c0b ஃ x ¢a - cb = ¢.
x 4b0 a (8) a b = ¢ (9) a b = $ (10) a b = ¢ ab = 4
x #b xE c b
c a = 4 C a = ¢
•. X ¢ a " '. X C ca
•. C b# 0 A C b# 4
(67) பின்வரும் நியாயத்தொடைகளை பேரெடுகூற்று, சிற்றெடுகூற்று, முடிவுக்கூற்று என
ஒழுங்குப்படுத்தி வென்வரைபடங்களின் உதவியுடன் அவற்றின் வாய்ப்பினைத் துணிக. மான்கள் அனைத்தும் அழகானவை ஆகும். அழகானவை எவையும்
மிருகங்கள் அல்ல ஆகவே மிருகங்கள் எவையும் மான்கள் அல்ல. 2.
புலிகள் அனைத்தும் பயங்கரமிருகங்கள் ஆகும். பயங்கர மிருகங்கள்
சில மிருகங்கள் ஆகும். ஆகவே புலிகள். சில மிருகங்னள் ஆகும். 3.
அது ஒரு மிருகம் ஏனெனில் மிருகங்கள் அனைத்தும் புல் தின்னும். அது புல் தின்னும். விஷமுடையவை புன்னகை செய்யும். விசமுடையவை எல்லாம் பாம்புகள் அல்ல ஏனெனில் பாம்புகள் புன்னகை செய்யும். எல்லா பாலூட்டிகளும் பெரிய பிராணிகள் அல்ல. பெரிய பிராணிகள் எவையும் மிருகங்கள் அல்ல ஆகவே பாலூட்டிகள் சில மிருகங்கள் அல்ல. மிருகங்கள் மட்டுமே புல் தின்னும். அந்த பூனை புல்தின்னாது ஆகவே
அந்தப் பூனை ஓர் மிருகம் ஆல்ல. முயல்கள் வேகமாக ஓடுவது இல்லை. மிருகங்கள் வேகமாக ஓடுவது
இல்லை ஆகவே மிருகங்கள் முயல்கள் ஆகும். 8.
மாடுகள் புல்தின்னும். ஆடுகள் மாடுகள் அல்ல ஆகவே புல்தின்பன ஆடுகள் அல்ல. கிளிகள் பச்சைநிறம் அல்ல. சில பறவைகள் கிளிகள் ஆகும். ஆகவே
பச்சை நிறம் பறவைகள் அல்ல. 10. பெண்கள் மாணவர்கள் அல்லர் ஏனெனில் மாணவர்கள் ஆயின் ஆயினே
படிப்பவர் ஆவர் ஆகவே படிப்பவர் பெண்கள் அல்லர். 11. (சில மிருகங்கள் மட்டுமே புல்தின்னும்.விலங்குகள் சில மிருகங்கள் ஆகும்
ஏனெனில் புல்தின்பன விலங்குகள் ஆகும். 12. எந்தப் புத்தகமும் விலைஉயர்ந்தன்று. சில புத்தகங்கள் பாடப்புத்தகங்கள்
ஆகும். ஆகவே விலை உயர்ந்தவை சில பாடப்புத்தகங்கள் அல்ல.
6,
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர் க.கேசவன்

8.
9.
(68)பின்வரும் வாக்கியங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உமது சுருக்கத்
திட்டத்தைக் கூறி குறியீட்டில் அமைக்குக. 1.
மழை வரும் எனின் மழைவரும். 2. அவன் படிக்கவில்லை ஆயின் பரீட்சையில் சித்தியடையவில்லை. 3. அவன் படிக்கவில்லை ஆயினே பரீட்சையில் சித்தியடைவான். 4. காற்று அடிக்கும் என்பதோடு மழை வரும். 5. ஒன்றில் அவன் இன்றுவருவான் அல்லது நாளைவருவான். 6. சுனில் வந்தால் தான் அனில் வருவான். 7. மழைபெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல்விளையும்
காண்டீபன் அலம்பவில்லை என்றால் காண்டீபனுக்கு மண்டையிலே வருத்தமில்லை.
ஒன்றில் விஜி விவாகம் செய்வாள் அல்லது தொடர்ந்து படிப்பாள். 10. அளவையியலும் கணிதமும் இலகுவானது. 11. அவன் பல்கலைக்கழகம் செல்வான் என்று தரப்படின் படிப்பான். 12. அவன் விவாகம் செய்வான் ஆனால் மகிழ்ச்சியடையமாட்டான். 13. கண்ணபிரான் கண்டிக்கும் செல்லமாட்டான் அமெரிக்காவுக்கும் செல்ல
மாட்டான். 14. பாட்டிபாட்டுப் பாடியும் பாட்டன் நடனமாடவில்லை. 15. அவன் படித்தவனாக இருந்தபொழுதிலும் அவன் பண்புடையவன் இல்லை. 16. பாணின் விலை அதிகமானால் நீர் கேக் சாப்பிடுவீர். 17. சாந்தி விவாகம் செய்வாள் ஆனால் தொடர்ந்து படிக்க மாட்டாள். 18. ஐயர் வரவில்லை எனும் நிபந்தனையின் பேரில் திவசம் நடைபெறவில்லை, 19. மாயா திருமணம் செய்வாள் என்பதுடன் மகிழ்ச்சியடைவாள். 20. மாயா வெளிநாடு செல்வாள் என்பதால் முகுந்தன் தற்கொலை செய்வான். 21. அவள் படித்தவள் என எடுத்துக்கொண்டால் அவள் பண்புடையவள் 22.
காந்தனுக்கு விடுமுறை கிடைக்கும் என எடுத்துக்கொள்ளுமிடத்து அவன் உல்லாசப் பயணம் செல்வான். 23. காற்று அடிக்கும் அன்றேல் இலைகள் உதிரும். 24. வண்டி பிந்தினால் ஒழிய அவள் வகுப்பிற்கு வராள். 25. சகுனி நல்லவன் ஆயின ஆயினே கண்ணன் ஓர் பெரிய சகாக்காரன். 26 சுகந்திக்கு திருமணம் நடைபெறும் என்றால் முகுந்தினிக்கு எரிச்சல் வரும். 27. சுனந்தினிக்கு திருமணம் நடைபெறாது என்றால் தான் முகுந்தினிக்கு
எரிச்சல் வராது, 28 சுகந்தினிக்கு திருமணம் நடைபெறும் என்றாலும் முகுந்தினிக்கு எரிச்சல் வராது. 29. X கூடினால் Y குறையும். 30. X கூடினால் தான் Y குறையும். 31 X கூடும் ஆனால் Y கூடாது. 32 அவன் பல்கலைக்கழகம் சென்று அவன் படிப்பான். 33. X கூட Y குறையும். 34 அண்ணனோ தம்பியோ வருவார்கள். 35. ஒன்றில் அண்ணன் வருவான் தம்பி வருவான். 36. அவன் வேலை செய்வதற்கேற்ப அவன் ஊதியத்தைப் பெற்றுக்கொண்டான்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (325
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 165
(69)பின்வரும் ஒவ்வொரு தொகுதி வாக்கியங்களுக்கு ஒரு சுருக்கத்
திட்டம் கொடுத்து குறியீட்டாக்கம் செய்க (A) அ. மழைபெய்யும் எனின் அத்துடன் அரிசியின் விலை குறையும்.
ஆ. மழைபெய்யும் அத்துடன் எனின் அரிசியின் விலை குறையும். இ. மழை பெய்யும் ஆயின் ஆயினே அரிசியின் விலை குறையும். ஈ. மழை பெய்யும் என்றால் மட்டுமே அரிசியின் விலை குறையும். உ மழை பெய்யும் எனின் அல்லது அரிசியின் விலை குறையும். ஊ. மழைபெய்யும் அல்லது எனின் அரிசியின் விலை குறையும்.
எ. ஒன்றில் மழைபெய்யும் அல்லது எனின் அரிசியின் விலை குறையும். (B) (அ) சுனில் வருவான் எனின் அனின் வருவான் என்பது பொய்யாகும்.
(ஆ)சுனில் வரவில்லை ஆயின் அனில் வரவில்லை என்பது பொய்யாகும். (இ) சுனில் வருவான் என்பது பொய்யாயின் அனில் வருவான் என்பது
பொய்யாகும். (ஈ) சுனில் வருவான் என்பது பொய்யாயின் அனில் வரவில்லை என்பது
பொய்யாகும். (உ) சுனில் வருவான் என்பது தரப்படிருப்பின் அனில் வருவான் என்பது
பொய்யாகும். (ஊ) சுனில் வருவான் என்றால் மட்டுமே அனில் வருவான் என்பது
பொய்யாகும். (எ) சுனில் வருவான் என்பதால் அனில் வருவான் என்பது பொய்யாகும். (ஏ) சுனில் வருவான் என எடுத்துக்கொண்டால் அனில் வருவான் என்பது
பொய்யாகும். (C) (அ) மாலா, ரவி எனும் இருவரும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள்.
(ஆ) மாலா, ரவி எனும் இருவரும் கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்கள் (இ) மாலாவும் கூட்டத்திற்கு வரமாட்டாள் ரவியும் கூட்டத்திற்கு வரமாட்டான் (ஈ) மாலாவும் ரவியும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள் என்பது யொய்யாகும். (உ) மாலாவும் ரவியும் கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்கள் என்பது பொய்யாகும். (ஊ) மாலா அல்லது ரவி என்ற இருவரும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள்
என்பது பொய்யாகும். (எ) மாலா அல்லது ரவி கூட்டத்திற்கு வருவார்கள். ஆனால் இருவரில்
ஒருவர் மட்டுமே கூட்டத்திற்கு வருவார்கள். (ஏ) .மாலா, ரவி எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள். (ஜ)
மாலா, ரவி எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்கள். (ஒ) மாலா, ரவி எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் கூட்டத்திற்கு வரவில்லை
என்பது பொய்யாகும். (ஓ) மாலா அல்லது ரவி எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் கூட்டத்திற்கு
வரவில்லை என்பது பொய் அல்ல. (ஒள) கூட்டத்திற்கு மாலா ரவி எனும் இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே
வருவார்கள்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 (32
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

இ.
உ.
(1) மாலா கூட்டத்திற்கு வருவாள் என்பதோ அல்லது ரவி கூட்டத்திற்கு
வருவான் என்பதோ என்பது உண்மையல்ல. (அ1) மாலா கூட்டத்திற்கு வருவாள் அல்லது ரவி கூட்டத்திற்கு வருவான்
என்ற இரண்டும் பொய்யாகும். (D) அ. மழைபெய்யும். நெல் விளையும்
ஆ.
மழை பெய்யும் நெல் விளையும் !
மழையும் பெய்யும் நெல்லும் விளையும். ஈ. மழையும் பெய்யும். நெல்லும் விளையும்.
மழை பெய்யும் ஆனால் நெல்விளையாது. ஊ. மழை பெய்யும், நெல் விளையாது. எ. மழை பெய்யும். ஆனால் நெல்விளையாது.
ஏ. ஒன்றில் மழை பெய்யும். நெல்விளையும். (70)பின்வரும் ஒவ்வொரு தொகுதி வாக்கியங்களுக்கு ஒரு சுருக்கத்
திட்டம் கொடுத்து குறியீட்டாக்கம் செய்க. (A)
அ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழைபெய்யும்
ஆயின் வெள்ளம் வரும். ஆ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும் துஆ
என்பது தரப்பட்டிருப்பின் வெள்ளம் வரும். இ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை
பெய்யும் என்பது உண்மையாயின் வெள்ளம் வரும். ஈ." கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழைபெய்யும்
என்பது பொய் ஆயின் வெள்ளம் வரும். உ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் என்பது உண்மையாயின் தொடர்ந்து
மழைபெய்யும் ஆயின் வெள்ளம் வரும் என்பது பொய்யாகும். ஊ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் என்பது பொய் ஆயின் தொடர்ந்து
மழைபெய்யும் என்பது உண்மையாயின் வெள்ளம் வரும் என்பது பொய்யாகும். எ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும்
ஆயின் வெள்ளம் வரும் என்பது பொய்யாகும். ஏ..
கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும்
எனின் வெள்ளம் வரும். ஐ.
கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும்
என எடுத்துக்கொண்டால் வெள்ளம் வரும். ஆயின் சேதம் ஏற்படும். ஒ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும்
ஆயின் வெள்ளம் வரும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் சேதம் ஏற்படும். ஓ. கண்டியில் உள்ள மதவுகள் மூடப்படும் ஆயின் தொடர்ந்து மழை பெய்யும்
ஆயின் வெள்ளம் வரும் ஆயின் சேதம் ஏற்படும்.
(B)
(அ) மழைபெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல்வினையும் ஆயின் அரிசியின் விலை
குறையும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 166
(ஆ)மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் ஆயின் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும். (இ) மழை பெய்யும் என்றால் தான் நெல்விளையும். ஆயின் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும். (ஈ) மழைபெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல்விளையும் ஆயினே அசிரியின் விலை
குறையும். (உ)மழை பெய்யும் என்றால் தான் , நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும். (ஊ)மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின் விலை
குறையும். (எ) மழை பெய்யும் ஆயின், நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின் விலை
குறையும். (ஏ) மழை பெய்யும் என்பது தரப்படிருப்பின் நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும். (ஐ)மழை பெய்யும் ஆயின், நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின் விலை
குறையும் ஆயின்மக்கள் சந்தோஷமடைவர். (ஒ) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் ஆயினே அரிசியின் விலை குறையும்
ஆயின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர். (ஓ) மழை பெய்யும் ஆயின் ஆயினே நெல் விளையும் ஆயினே அரிசியின்
விலை குறையும் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் மக்கள் சந்தோஷமடைவர்.
(C)
(அ) A கூடும் என்பதோடு B கூடும் என்பதோடு A குறையும். (ஆ) A கூடும் என்பதோடு, B கூடும் என்பதோடு A குறையும். (இ) A கூடும் என்பதோடு B கூடும் என்பதோடு, A குறையும். (ஈ) ஒன்றில் A கூடும் அல்லது B கூடும் அல்லது A குறையும். (உ) ஒன்றில் A கூடும் அல்லது, B கூடும் அல்லது A குறையும். (ஊ) ஒன்றில் A கூடும் அல்லது B கூடும் அல்லது, A குறையும். (எ)
ஒன்றில் A கூடும் அல்லது B கூடும் ஆனால் A குறையாது. (ஏ) ஒன்றில் A ஒன்றில் கூடும் என்பதோடு B கூடும் அல்லது A குறையும் (ஐ) A கூடும் என்பதோடு ஒன்றில் B கூடும் அல்லது A குறையும். (ஒ) ஒன்றில் A கூடும் B கூடும் அத்துடன் A குறையும். (ஓ) A கூடும் என்பதோடுB கூடும் அல்லது A குறையும் என்பதோடு
C குறையும். (ஒள) A கூடும் அல்லது B கூடும் என்பதோடு A குறையும் அல்லது
C குறையும்.
(D)
2.
1. அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் என்பதோடு கற்புடையவள்.
அவள் அழகானவள் ஆயின் ஆயினே பண்பானவள் அத்துடன் கற்புடையவள். 3. அவள் அழகானவள் ஆயினே பண்பானவளும் கற்புடையவளும் ஆவாள்.
அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் என்பதோடு, கற்புடையவள். 5. அவள் அழகானவள் என்பதோடு பண்பானவள் ஆயின் கற்புடையவள்.
அவள் அழகானவள் என்பதோடு, பண்பானவள் ஆயின் கற்புடையவள். அவள் அழகானவளாகவும், பண்பானவளாகவும் இருந்தால் அவள்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 328
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

9.
கற்புடையவள். 8."
ஒன்றில் அவள் அழகானவள் அல்லது பண்பானவள் ஆயின் கற்புடையவள்.
அவள் அழகானவள் ஆயினே ஒன்றில் பண்பானவள் அல்லது கற்புடையவள். 10. அவள் அழகானவள் அல்லது பண்பானவள் ஆயின் ஆயினே கற்புடையவள். 11. அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் என்பது உண்மை அல்லது
கற்புடையவள். 12. அவள் அழகானவள் ஆயின், பண்புடையவள் அல்லது கற்புடையவள்
அல்லது கவர்ச்சியானவள். 13 அவள் அழகானவள் என்பதோடு பண்பானவள் என்பதோடு கற்புடையவள்
ஆயின், கவர்ச்சியானவள். 14. அவள் அழகானவள் ஆயின், பண்பானவள் அல்லது அழகானவள் ஆயின்
கவர்ச்சியானவள் 15. அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் அல்லது அழகானவள் ஆயின்
கவர்ச்சியானவள். 16 அவள் அழகானவள் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் பண்பானவள் அல்லது
அழகானவள் ஆயின் கவர்ச்சியானவள் 17. அவள் அழகானவள் ஆயின், பண்பானவள் என்பதோடு அவள் அழகானவள்
ஆயின் கவர்ச்சியானவள். 18. அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் என்பதோடு கற்புடையவள்
ஆயின் கவர்ச்சியானவள். 19. அவள் அழகானவள் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் பண்பானவள் என்பதோடு
அவள் கற்புடையவள் ஆயின் கவர்ச்சியானவள். 20. அவள் அழகானவள் அல்லது பண்பானவள் ஆயின் கற்புடையவள் என்பது
தரப்பட்டிருப்பின் கவர்ச்சியானவள். 21. அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் ஆனால் அவள் கற்புடையவள்
ஆயின் கவர்ச்சியானவள். 22.
அவள் அழகானவள் ஆயின் பண்பானவள் இல்லை அத்துடன் அவள் பண்பானவள் 'ஆயின் அழகானவள் இல்லை. 23. அவள் அழகானவள் ஆயின் கற்புடையவள் அல்லது பண்பானவள் ஆயின்
கவர்ச்சியானவள். 24. அவள் அழகானவள் அல்லது பண்பானவள் ஆனால் இரண்டுமாக அல்ல. 25. அவள் அழகானவள் என்பதோடு பண்பானவள் என்றால் கற்புடையவள்
என்பதோடு கவர்ச்சியானவள். (E) 1. A கூட்டத்திற்கு வருவான் ஆயின் B கூட்டத்திற்கு வருவான் ஆயின்,
கூட்டம் வெற்றிபெறும் என்றால் Aகூட்டத்தில் பங்கேற்பது முக்கியம் இல்லை என்பதோடு B கூட்டத்தில் பங்கேற்பதும் முக்கியம் இல்லை. Aயும் Bயும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள் ஆயின் Aயும் B யும் கூட்டத்திற்கு வரவில்லை என்பது பொய்யாவதுடன் கூட்டம் வெற்றிபெறும் ஆயினே A கூட்டத்தில் பங்கேற்பது முக்கியமாகும். A , B எனும் இருவரில் ஒருவராவது கூட்டத்திற்கு வந்தால் மட்டுமே கூட்டம் வெற்றிபெறும் என்பதுடன் Aஅல்லது B என்ற இருவரும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள் என்பது பொய்யாகும்,
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
329
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 167
4. A கூட்டத்திற்கு வருவான் என்று தரப்பட்டால், B கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்
ஆயின் கூட்டம் வெற்றிபெறும் என்ற அடிப்படையில் மட்டுமே Aகூட்டத்தில் பங்கேற்பது முக்கியமாகும். 5. A, B என்ற இருவருமே கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்கள் ஆயினும், A யோ
அல்லது B யோ கூட்டத்திற்கு வரமாட்டார்கள் என்பது பொய்யாகும். 6. A,B எனும் இருவரும் கூட்டத்திற்கு வருவார்கள் ஆயின் ஒருவரேனும்
கூட்டத்திற் பங்கேற்பது முக்கியமில்லை. 7. Aகூட்டத்திற்கு வருவார் எனத்தரப்பட்டால் A கூட்டத்திற்கு வருவர் எனின்,
கூட்டம் வெற்றிபெறமாட்டாது எனின் A யோ அல்லது B யோ கூட்டத்தில்
பங்கேற்பது முக்கியமில்லை. 8. Aஅல்லது B கூட்டத்திற்கு வருவார். ஆனால் அவர்களில் ஒருவரே அவ்வாறு
வருவர். 9. Aஅல்லது B கூட்டத்திற்கு வருவார் ஆனால் A, B எனும் இருவரில் ஒருவர்
மட்டுமே வருவார். 10. கூட்டத்திற்கு A, B எனும் இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே வருவார் என்றால்
கூட்டம் வெற்றி வெறாது இருப்பதுடன் A, B எனும் இருவருமே கூட்டத்தில் பங்கேற்பது முக்கியம் இல்லை. 11. A கூட்டத்திற்கு வருவார் ஆயின் B வருவார். அப்படி நடந்தால் கூட்டம்
வெற்றிபெறும். (71) பின்வரும் ஒவ்வொரு தொகுதி வாக்கிகயத்திற்கும் ஒரு சுருக்கத்
திட்டம் கொடுத்து குறியீட்டாக்கம் செய்க. (A)
அவன் புகைப்பிடித்தால் மட்டுமே புற்றுநோய் வரும். அவன் புகைபிடிப்பான் என்றால்தான், புற்றுநோய் வரும் அல்லது இருதய நோய் வரும். அவன் புகைப்பிடிப்பான் என்பதோடு புற்றுநோய் வரும் என எடுத்துக் கொண்டால்தான் இருதய நோய் வரும். அவன் புகைபிடிக்கிறான் ஆயின் அவனுக்கு புற்றுநோய் வருமானால் தான் இருதய நோய் வரும். அவன் புகைப்பிடிக்கிறான் என எடுத்துக்கொண்டால் தான் அவனுக்கு புற்றுநோய் வரும் என்றால் மட்டுமே, அவனுக்கு இருதயநோய் வரும் ஆயினே அவன் இறப்பான். அவன் புகைப்பிடிக்கிறான் என்பதோடு அவனுக்கு புற்று நோய் வரும்
என்றால்தான், அவனுக்கு இருதயநோய் வரும் அல்லது அவன் இறப்பான். (B)
பூமி ஒரு கோள் என்பது வியாழன் ஒரு கோள் எனின் பெறப்படும். 2. பூமி ஒரு கோள் ஆயின் வியாழன் ஒரு கோள் என்பது பூமிக்கு சந்திரன்கள்
உண்டு எனின் பெறப்படும். 3. பூமி ஒரு கோள் ஆயின், வியாழன் ஒரு கோள் என்பது பூமிக்கு சந்திரன்கள்
உண்டு எனின் பெறப்படும். 4. பூமி ஒரு கோள் என்பது தரப்பட்டிருப்பின் வியாழன் ஒர் கோள் என்பது
பூமிக்கு சந்திரன்கள் உண்டு எனின் பெறப்படும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 1330
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

5. பூமி ஒரு கோள் என்பதோடு வியாழன் ஒரு கோள் என்பது பூமிக்கு
சந்திரன்கள் உண்டு எனின் பெறப்படும். 6. பூமி ஒருகோள் என்பதோடு, வியாழன் ஓர்கோள் என்பது பூமிக்கு சந்திரன்
கள் உண்டு எனின் பெறப்படும். 7. பூமி ஓர் கோள் என்பதோடு, வியாழன் ஓர் கோள் என்பது பூமிக்கு
சந்திரன்கள் உண்டு அல்லது வியாழனுக்கு சந்திரன்கள் உண்டு எனின்
பெறப்படும். (C) 1. மழை பெய்கிறது. நான் கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் என்பது உண்மை
யெனின் மழை பெய்கின்றது ஆயின், கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் கோப்பிக்கன்றுகள்
கிடைக்கின்றன என்பது உண்மையெனின் 3. மழை பெய்யும் ஆயின் கூலியாட்களைப் பெறமுடியும். கோப்பிக்கன்றுகள்
கிடைக்கின்றன ஆயின் நான் தோட்டத்திற்கு செல்வேன் என்பது உண்மையெனின் மழை வருகின்றது. கூலியாட்களைப் பெறமுடியும். கோப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன என்பது உண்மையெனின் மழை பெய்கின்றது. கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் என் பதோடு
கோப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன என்பது உண்மையெனின் 6. மழை பெய்கின்றது என்பது தரப்பட்டிருப்பின் கூலியாட்களைப் பெறமுடியும்,
கோப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன என்பது உண்மையெனின்
2.
(D)
1. இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு. இந்த வருடம் வெள்ளம் உண்டு ஆயினே 2. இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு ஆயின், வெள்ளம் உண்டு நெல் உற்பத்தி
இலக்கையெட்டும் என்றால் மட்டுமே இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு என்பதோடு கூலியாட்களைப் பெறமுடியும். கேர்ப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன ஆயின் எனக்கு தலைவலி இருக்கின்றது
என்றால் மட்டுமே. 4. இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு. கூலியாட்களைப் பெறமுடியும். கோப்பிக்கன்று
கள் கிடைக்கின்றன ஆயினே இந்த வருடம் வரட்சியுண்டு. கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் ஆயின் கோப்பிக் கன்றுகள் கிடைத்தால் ஆயினே இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு என்பது தரப்பட்டிருப்பின் கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் கோப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன என்றால் மட்டுமே. இந்த வருடம் வரட்சி உண்டு அல்லது கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் என எடுத்துக்கொண்டால் கோப்பிக்கன்றுகள் கிடைக்கின்றன நான் தோட்ட த்திற்கு செல்வேன் ஆயினே
(E)
1. வாழ்க்கைச் செலவு அதிகம் அவனுக்கு கூலி குறைவு ஆயின் ஆயினே 2. வாழ்க்கைச் செலவு எனின், கூலி குறைவு அவன் மகிழ்ச்சியோடு இருப்பான்
ஆயின் ஆயினே அதிகம். வாழ்க்கைச் செலவு அதிகம் ஆயின் அவனுக்கு கூலிகுறைவு. அவன் மகிழ்ச்சியாய் இருப்பான் ஆயின் அவனுக்கு உணவுமானியம் கிடைத்தால்
3.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 331
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 168
4.
5.
ஆயின் ஆயினே வாழ்க்கைச்செலவு அதிகம் என்பதோடு கூலி குறைவு. அவன் மகிழ்சிசியோடு இருப்பான் ஆயின் ஆயினே வாழ்க்கைச் செலவு அதிகம் என்பது தரப்பட்டிருப்பின், அவனுக்கு கூலி குறைவு அவன் மகிழ்ச்சியோடு இருப்பான் ஆயின் ஆயினே வாழ்க்கைச் செலவு அதிகம் என்பதோடு கூலியாட்களைப் பெறமுடியும் என எடுத்துக் கொண்டால் அவன் மகிழ்ச்சியோடு இருப்பான் உணவு மானியம் கிடைக்குமாயினே
(F)
.
1. அவள் படிப்பாள். அவள் விவாகம் செய்வாள் என்றிருந்தால் ஒழிய 2. அவள் படிப்பாள் ஆயின் விவாகம் செய்வாள். அவள் வெளிநாடு செல்வாள்
ஆயின் விவாகரத்தும் பெறுவாள் என்றிருந்தால் ஒழிய அவள் படிப்பாள் ஆயின், விவாகம் செய்வாள் அவள் வெளிநாடு செல்வாள்
என்றிருந்தால் ஒழிய 4. அவள் படிப்பாள் என்பதோடு விவாகம் செய்வாள் என எடுத்துக்கொண்டால்
வெளிநாடு செல்வாள் விவாகரத்துப் பெறுவாள் என்றிருந்தால் ஒழிய
(G)
1. காந்தன் வருவான். ரவி வருவான் என்பதோடு 2. காந்தன் வருவான் என்பதோடு ரவிவருவான். முகந்தன் வருவான் அல்லது
சாந்தி வருவாள் என்பதோடு 3. காந்தன் வருவான் ஆயின், ரவி வருவான் முகுந்தன் வருவான் என்பதோடு 4. சாந்தன் வருவான். ரவி வருவான் முகுந்தன் வருவான் என்பதோடு (72)பின்வரும் இயற்கை மொழிகளுக்கு கீழே தரப்பட்டுள்ள சுருக்கத்
திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி குறியீட்டிற்கு மாற்றுக.? . சு.தி P : காந்தன் படிப்பான் Q: பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
R : பட்டதாரியாவான் S : உத்தியோகம் கிடைக்கும். 01. (அ) காந்தன் படிப்பான் என்றால் பல்கலைக்கழகம் புகுவான்.
(ஆ) காந்தன் படிப்பான் என்றால் தான் பல்கலைக்கழகம் புகுவான்.
காந்தன் படிப்பான் என்றாலும் பல்கலைக்கழகம் புகமாட்டான். 02. (அ)
காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். (ஆ)
காந்தன் படிப்பான், பல்கலைக்கழகம் புகமாட்டான். (இ)
காந்தன் படிப்பான் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். (ஈ) -
ஒன்றில் காந்தன் படிப்பான் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். (உ)
காந்தன் படிப்பான். ஆனால் பல்கலைக்கழகம் புகமாட்டான். (ஊ)
காந்தன் படிப்பான் ஆனால் பல்கலைக்கழகம் புகமாட்டான். 03. (அ)
காந்தன் படிப்பான் எனின் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான். (ஆ)
காந்தன் படிப்பான் எனின் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான். காந்தன் படிப்பான் அல்லது எனின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். ஒன்றில் காந்தன் படிப்பான் அல்லது எனின் பல்கலைக்கழகம்
புகுவான். 04. (அ)
காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பது பொய்யாகும்.
(ஈ)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 33
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

(இ)
(ஈ)
(ஆ) காந்தன் படிக்கவில்லை ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகவில்லை
என்பது பொய்யாகும். காந்தன் படிப்பான் என்பது பொய்யாயின் பல்கலைக்கழகம் புகவில்லை என்பது பொய்யாகும். காந்தன் படிப்பவனாகவும் பல்கலைக்கழகம் புகுபவனாகவும் இருக்க வில்லை ஆயினும் அவன் பட்டதாரியாகவோ அல்லது உத்தியோகம்
கிடைப்பதாகவோ இருக்கவில்லை என்பது பொய்யாகும். (உ) காந்தன் படிப்பவனாகவும் பல்கலைக்கழகம் புகுபவனாகவும்
இருக்கவில்லை என்பது பொய்யாவதுடன் அவன் பட்டதாரியாகவோ அல்லது உத்தியோகம் கிடைப்பதாகவோ இருக்கவில்லை என்பது
பொய்யாகும். 05 (அ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆயின்
பட்டதாரியாவான். (ஆ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு, பல்பலைக்கழகம் புகுவான் ஆயின்
பட்டதாரியாவான் (இ) காந்தன் படிப்பவனாகவும், பல்கலைக்கழகம் புகுபவனாகவும்
இருந்தால் பட்டதாரியாவான் 06. (அ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் ஆயினே பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
ஆயினே பட்டதாரியாவான். (ஆ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் ஆயினே பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
ஆயினே, அவன் பட்டதாரியாவான். 07. (அ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான் அல்லது
பட்டதாரியாவான். (ஆ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு ஒன்றில் பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
அல்லது பட்டதாரியாவான் 08. (அ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆயின்,
பட்டதாரியாவான். (ஆ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆயின்
பட்டதாரியாவான். (இ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பது
தரப்பட்டிருப்பின் அவன் பட்டதாரியாவான். 09. (அ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான் அல்லது
பட்டதாரியாவான் ஆயின் உத்தியோகம் கிடைக்கும். (ஆ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் அல்லது
பட்டதாரியாவான் ஆயின் உத்தியோகம் கிடைக்கும்.
காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பதோடு
பட்டதாரியாவான் என்றால் உத்தியோகம் கிடைக்கும். (ஈ)
காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆனால்
பட்டதாரியாவான் ஆயின் உத்தியோகம் கிடைக்கும், (உ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பது
பொய்யாயின் பட்டதாரியாவான் ஆயின் உத்தியோகம் கிடைக்கும்
என்பது பொய்யாகும். (ஊ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆயினே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I I 333
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 169
பட்டதாரி ஆவான் எனின் உத்தியோகம் கிடைக்கும். (எ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
என்பதோடு பட்டதாரியாவான எனின்; உத்தியோகம் கிடைக்கும். 10. (அ)காந்தன் படிப்பான் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆயினே.
(ஆ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
பட்டதாரியாவான் ஆயினே (இ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்றால்,
பட்டதாரியாவான் உத்தியோகம் கிடைக்குமாயினே 11. (அ)காந்தன் படிப்பான் அவன் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் உண்மை
எனின் (ஆ)காந்தன் படிப்பான் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான். அவன்
பட்டதாரியாவான் என்பதோடு உத்தியோகம் கிடைக்கும் என்பது உண்மையெனின். (இ) காந்தன் படிப்பான் என எடுத்துக்கொண்டால், பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
பட்டதாரியாவான் என்பது உண்மையெனில் 12. (அ)காந்தன் படிப்பான் பல்கலைக்கழகம் போவான் என்றிருந்தால் ஒழிய
(ஆ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் போவான்
பட்டதாரியாவான் என்றிருந்தால் ஒழிய (இ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான. அவன்
பட்டதாரியாவான் உத்தியோகம் கிடைக்கும் என்றிருந்தால் ஒழிய. 13. (அ)காந்தன் படிப்பான். பல்கலைக்கழகம் புகுவான ஆயின் ஆயினே (ஆ)காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான்.
பட்டதாரியாவான் அல்லது உத்தியோகம் கிடைக்கும் ஆயின்
ஆயினே. (இ) காந்தன் படிப்பான் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் பட்டதாரியாவான் ஆயின்
ஆயினே. 14. (அ)காந்தன் படிப்பான். பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பதோடு
(ஆ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான். பட்டதாரி
யாவான் என்பதோடு. 15. (அ)காந்தன் படிப்பான் என்பது பல்கலைக்கழகம் புகுவான் எனின்
பெறப்படும். (ஆ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பது
பட்டதாரியாவான் எனின் பெறப்படும். (இ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைகழகம் புகுவான் என்பது
பட்டதாரியாவான் எனின் பெறப்படும். (16) (அ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின் பல்கலைக்கழகம் புகுவான். அப்படி நடந்தால்
பட்டதாரியாவான். (ஆ)காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பதோடு
பட்டதாரியாவான். அப்படி நடந்தால் உத்தியோகம் கிடைக்கும். (இ) காந்தன் படிப்பான் ஆயின், பல்கலைக்கழகம் புகுவான். அப்படி,
நடக்கவில்லை ஆயின் பட்டதாரியாவான். 17.(அ) காந்தன் படிப்பான் என்பதோடு பல்கலைக்கழகம் புகுவான் அல்லது
பட்டதாரியாவான் என்பதோடு உத்தியோகம் கிடைக்கும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 334
ஆசிரியர்: க, கேசவன் |

9 - - -
(ஆ)காந்தன் படிப்பான் என்ற பொழுதிலும் பல்கலைக்கழகம் புகுவான்
என்றிருந்தால் ஒழிய பட்டதாரியாவான் என்பதோடு உத்தியோகம் கிடைக்கும். (இ) காந்தன் படிப்பான் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான் என்பதோடு
பட்டதாரியாவான் அல்லது உத்தியோகம் கிடைக்கும். 18. (அ) காந்தன் படிப்பான் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான. ஆனால்
இரண்டுமல்ல. (ஆ)காந்தன் படிப்பான் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான். ஆனால்
இரண்டும் நடக்காது. (இ) காந்தன் படிப்பான் அல்லது பல்கலைக்கழகம் புகுவான் ஆனால்
ஒன்றே நடக்கும். (73)பின்வரும் வாதங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உமது சுருக்கத் திட்டத்தைக்
கூறி குறியீட்டில் அமைக்குக. 1. நாட்டில் அமைதி நிலவுகின்றது ஆகவே நாட்டில் அமைதி நிலவுகின்றது. 2. நாட்டில் அமைதி நிலவுகின்றது ஆகவே இராணுவ நடவடிக்கை
இடம்பெறமாட்டாது. 3.
பயிர் விளைந்துள்ளது அத்துடன் ஆயின் நாடு செழிப்படையும். ஆகவே நாடு செழிப்படையும். மாயா திருமணம் செய்வாள் எனின் என்பதோடு மகிழ்ச்சியடைவாள் ஆகவே அவள் மகிழ்ச்சியடைவாள். அவள் கணவனை இழந்தால் ஆயின் ஆயினே விதவை ஆகவே அவள் கணவனை இழப்பாள் என்பது பொய் அல்ல.
அவள் கண்டிக்குச் செல்லவில்லை ஆயின், கண்ணகியைச் சந்திக்கவில்லை ஆகவே அவன் கண்டிக்குச் செல்லவில்லை என்பது பொய் அல்ல. மணியம், முத்தாச்சியக்கா எனும் இருவருமே வெளிநாடு செல்ல மாட்டார்கள் ஆகவே மணியம் வெளிநாடு செல்லவில்லை என்பது தவறு இல்லை., இலக்கியம் ஓவியம் எனும் இரண்டிலும் ஒன்றேனும் சுவையானது. இலக்கியம்
சுவையானது அல்ல ஆகவே ஓவியம் சுவையானது என்பது உண்மையல்ல. 9. அன்னமணியக்கா கவுரியக்கா எனும் இருவரில் ஒருவரேனும் வெளிநாடு
செல்ல மாட்டார்கள் என்பது பொய்யல்ல. கவுரியக்கா வெளிநாடு செல்லவில்லை ஆகவே அன்னமணியக்கா வெளிநாடு செல்லவில்லை
என்பது தவறு இல்லை என்பது பொய்யல்ல. 10 வகுப்பிற்கு சாந்தி, சொறி எனும் இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே வருவார்.
சாந்தி வகுப்பிற்கு வருவாள் என்பது பொய் அல்ல. ஆகவே சொறி
வகுப்பிற்கு வரவில்லை என்பது பொய்யாகும். 11. மயிலன் மகாதேவியை அல்லது சீதேவியை மணப்பான், ஆனால் இருவரை
யும் அல்ல.மயிலன் மகாதேவியை மணக்க மாட்டான் ஆகவே சீதேவியை மணப்பான். 12. எனக்கு உணவு கொண்டு வருவதாயின் சித்திரபுத்தனாரோ அல்லது
தேவதையோதான் கொண்டு வருதல் வேண்டும். ஆனால் அவர்களில் ஒருவரே அவ்வாறு செய்வர். ஆகவே சித்திரபுத்தனார் எனக்கு உணவு கொண்டு வரமாட்டார்.
8.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 335
ஆசிரியர்: க. கேசவன் க

Page 170
13. சில்வாவும் ஹமீத் எனும் இருவருமே முட்டாள்கள் அல்ல என்பது பொய்
ஆகும். சில்வா முட்டாள் அல்ல. ஆகவே சில்வா முட்டாள் ஆவான். 14. நாட்டில் அமைதி நிலவும் ஆயின் இராணுவ நடவடிக்கை இடம்பெறும்
என்பது பொய்யாகும். ஆனால் நாட்டில் இராணுவ நடவடிக்கை இடம்பெற வில்லையாயின் அமைதி நிலவவில்லை என்பது பொய்யாகும். ஆகவே நாட்டில் அமைதி நிலவும் இராணுவ நடவடிக்கை இடம்பெறும் என்றால்
மட்டுமே. 15. விதிதாசாரமுறைத் தேர்தல் நிகழ்வதுடன் எனின் சிறுபான்மையினர்
புறக்கணிக்கப்படுவர். சிறுபான்மையினர் புறக்கணிக்கப்படுவர் என்பது பொய்யாயின் நாட்டில் அமைதி நிலவவில்லை என்பது பொய்யாகும். எனவே சிறுபான்மையினர் புறக்கணிக்கப்படுவர் விகிதாசார முறைத் தேர்தல்
நடைபெறும் என்பது உண்மையெனின். 16. ஒன்றில் சுமதி நல்லவள் சாந்தி நல்லவள் இல்லை. ஆனால் சுமதி
நல்லவள் ஆனால் அவள் கற்புடையவள் இல்லை ஆகவே சுமதி நல்லவள்
சாந்தி நல்லவள் ஆயின் ஆயினே. 17. புகையிலை காரமானது எனின் அல்லது சுருட்டு சுவையாய் இருக்கும்.
ஆனால் அது உடலுக்கு கேடு ஏற்படாது எனினும் அது அருவருப்பானது. சுருட்டு அருவருப்பானது அல்ல. ஆகவே புகையிலை காரமானது அது
சுவையானது என்றிருந்தால் ஒழிய 18. இதயம் உள்ளவர்கள் ஆயின் அன்பானவர்கள். அப்படி இருந்தால்
கருணையானவர்கள். கருணையுள்ளவர்கள் ஆயினே இனிமையானவர்கள். ஆனால் ஏமாற்றுக்காரர்கள் அல்லர் ஆகவே இதயம் உள்ளவர்கள்
அன்பானவர்கள் ஆயின் ஆயினே 19. மலர் அழகானது அத்துடன் அது மகளிர்களினால் விரும்பப்படுகின்றது.
மகளிரினால் விரும்பப்படுவதால் அது வீடுகளில் வளர்க்கப்படுகின்றது. வீடுகளில் வளர்க்கப்படுவதினால் வீடுகள் அழகாக்கப்படுகிறது. அப்படி நடந்தால் வீடுகளின் விலை அதிகரிக்கின்றது. ஆகவே மலர் அழகானது
மகளிர்களினால் விரும்பப்படுகின்றது என்பதோடு. 20 உயரப்பறக்கும் ஆயின் விமானம் ஆகும். விமானிகளை ஏற்றிச்செல்லும்
விமானம் ஆயின் ஆசனவசதிகளைக் கொண்டிருந்தால் ஆயின் ஆயினே. விமானிகளை ஏற்றிச் செல்லும் விமானம் என்றால், ஆசனவசதியைக் கொண்டிருக்கும் உயரப்பறக்கும் என்பது உண்மையெனின் ஆகவே
விமானம் ஆயின் ஆசனவசதிகளைக் கொண்டிருக்கும், உயரப்பறக்காது. 21. நல்ல வேலை வாய்ப்பு ஏற்படுமாயின் மக்கள் வெளிநாடு செல்வர் என்பது
இல்லை. நல்ல வேலை வாய்ப்பு ஏற்படுமெனின் மக்கள் வெளிநாடு செல்லமாட்வார்கள் ஆகவே நல்ல வேலை வாய்ப்போ அல்லது மக்கள்
வெளிநாடோ செல்லவில்லை. 22. இலவச பாடநூல்கள் வழங்கப்படுமாயின் அல்லது மாணவர்கள் -
நன்மையடைவர். இலவச பாடநூல்கள் வழங்கப்படுகின்றன என்பதுடன் மாணவர்கள் நன்மையடையவில்லை என்பது உண்மையெனின் ஆகவே அரசின் செலவினங்கள் அதிகரித்துள்ளது, இலவசப்பாடப்புத்தகங்கள்
வழங்கப்படவில்லை. 23. மழை பெய்யவில்லை என்றாலொழிய அறுவடை நல்லதாக அமையும்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 336
ஆசிரியர்: க.கேசவன் (1)

என்பது பொய். அறுவடை நல்லதாக அமையுமாயின் காலநிலை நல்லதாகும். காலநிலை நல்லது எனின் மக்களின் வருமானம் உயர்வடையும். ஆகவே மழை பெய்கிறது எனின் மக்களின் வருமானம்
உயர்வடையும் என்பது பொய் அல்ல. 24.
நாட்டு நிலமை நல்லதாக இருந்ததுடன் பொருளாதாரமும் வளர்ச்சிய டைந்துள்ளது எனின் மக்கள் சந்தோஷமாக வாழ்வர். மக்கள் நல்ல வேலை வாய்ப்புப் பெறுவர் அல்லது நல்ல கல்வியைப் பெறுவர் என்பது மக்கள் நல்ல வேலை வாய்ப்புப் பெறவில்லை எனின் பெறப்படும். ஆகவே நாட்டு நிலமை நல்லதாக இருக்குமாயின் பொருளாதாரம் வளர்ச்சியடை
யுமாயின் உயர் கல்வியைப் பெறுவர். 25. நாட்டிலே போர் நிகழுமாயின் அமைதி ஏற்படாது. அமைதி ஏற்படுமாயின்
அழிவுகள் இடம் பெறாது என்பது உண்மை எனின் அழிவுகள் இடம் பெறும் எனின் மக்கள் இடம் பெயருவர். ஆகவே மக்கள் இடம் பெயருவர்
நாட்டிலே போர் நிகழும் என்றிருந்தால் ஒழிய 26. மாணவர்கள் பரீட்சையை பிற்போடுவார்கள் எனின், ஆசிரியர்கள் கற்பிக்கவில்லை
அல்லது மாணவர்கள் படிக்கவில்லை. ஆசிரியர்கள் கற்பித்துள்ளனர் ஆயின் மாணவர்களும் படித்துள்ளனர். அப்படிநடந்தால் மாணவர்கள் பரீட்சையைப் பிற்போடமாட்டார்கள். ஆகவே மாணவர்கள் பரீட்சையை பிற்போடுவார்கள் என்பது
ஆசிரியர்கள் கற்பிக்கவில்லை எனின் பெறப்படும். 27. விலை உயர்ந்தன எனின், அவை வெளிநாட்டுப் பொருட்கள் ஆகும்.
தரமானவை ஆகும் என்பது உண்மையெனின், மக்களால் விரும்பப்படுவன என்பதோடு தரமானவை ஆகும். ஆகவே வெளிநாட்டுப் பொருட்கள்
மக்களால் விரும்பப்படுவன என்றால் மட்டுமே 28 புத்தியுடையவனும் சொத்துடையவனும் ஆயினே வளமான வாழ்வு
பெறுவான் அல்லது மக்களால் மதிக்கப்படுவான். சொத்துடையவன் அல்லது நல்ல வேலை வாய்ப்பு உடையவன் எனின் வெளிநாடு செல்லமாட்டான்: ஆகவே வளமான வாழ்வு பெறமாட்டான் எனின் வெளிநாடு
செல்வான் என்பது சொத்துடையவன் எனின் பெறப்படும். 29. உரிமைகள் பறிக்கப்படுமாயின் ஆயினே போராடுதல் வேண்டும். உரிமைகள் பறிக்கப்பட்டுள்ளதுடன் நீதி கோரவும் அனுமதிக்கப்படவில்லை ஆயின் ஆயினே. போராடுதல் கூடாது அல்லது நீதிகோர அனுமதிக்கப்பட்டுள்ளது என்பது பொய்யாகும். ஆகவே உரிமைகள் பறிக்கப்படவில்லை என்பது
தவறு இல்லை. 30. வறியவன் ஆயினே அதிகமாக உழைப்பதுடன் குறைந்த ஊதியமும்
பெறுவர். சோம்பேறிகள் ஆயின் ஆயினே அதிகமாக உழைக்கமாட்டார்கள். குறைந்த ஊதியம் பெறுவோர் அல்லது சோம்பேறிகளாம், சோம்பேறிகளல்ல
ஆகவே வறியவராவர். குறைந்த ஊதியம் பெறுபவர் என்றிருந்தால் ஒழிய 31.
பேச்சுவார்த்தை அல்லது இராணுவ நடவடிக்கை இடம்பெறும், ஆயின் காலம் வீணடிக்கப்படுவதுடன் பிரச்சனை தீரமாட்டாது. இராணுவ நடவடிக்கை இடம்பெறாது ஆயின் ஆயினே பிரச்சனைக்கு தீர்வு ஏற்படும். ஆகவே பேச்சுவார்த்தை இடம்பெற்றால் இராணுவ நடவடிக்கை இடம் பெறும் ஆயின், பேச்சுவார்த்தை இடம் பெறும் இராணுவ நடவடிக்கை இடம் பெறாது ஆயினே
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 171
32. சீனியுமுண்டு மாவுமுண்டு.. மா இருந்தால் ரொட்டிக்குத் தட்டுப்பாடு
ஏற்படாது.. ரொட்டிக்குதட்டுப்பாடு ஏற்படும் அல்லது பாண் கிடைக்கும். பாண் கிடைக்காது ஆயின் ஆயினே சீனி உண்டு என்றிருந்தாலொழிய
ஆகவே சந்தை கூடுமாயின் காய்கறி கிடைக்கும் என்பது தவறு அல்ல. 33. மாம்பழம் கிடைக்காதாயினே பலாப்பழம் கிடைக்குமெனின், வாழைப்பழமும்
மாம்பழமும் கிடைக்குமாயின், வாழைப்பழம் கிடைக்கும் ஆனால் பலாப்பழம் கிடைக்காது. ஆகவே மாம்பழமும், வாழைப்பழமும் கிடைத்தால் பலாப்பழம்
கிடைக்காது. 34 பாடாவிடில், ஆடுவான் அத்துடன் இசையமைப்பான், பாடினான் ஆனால்
ஆடவில்லை ஆகவே இசையமைக்கவில்லை ஆயின் பாடவில்லை
என்பதுபொய் என்பது அவன் ஆடவில்லை எனின் பெறப்படும். 35. பாலும் பழமும் கிடைத்தால் பாணும் பருப்பும் கிடைக்கும். பருப்பு கிடைக்கும்
ஆனால் பால் கிடைக்காது. ஆகவே பழம் கிடைக்குமானால் பருப்பு கிடைக்கும் ஆயின் ஆயினே, பால் பழம் எனும் இரண்டிலும் ஒன்று
மட்டுமே கிடைக்கும் 36. ஒன்றில் மாடு வளர்ப்பதுடன் பால் கறப்பான் அல்லது கோழி வளர்ப்பதுடன்
முட்டை சேகரிப்பான். மாடு வளர்த்தான் என்பதும் கோழி வளர்த்தான் என்பதும் பொய் அல்ல. ஆகவே பால் கறக்கவும் மாட்டான் முட்டை
சேகரிக்கவும் மாட்டான் என்பது பொய். 37 ஆற்றலிருந்தால் ஒன்றில் கல்வியில் உயர்வான் அல்லது தொழிற் துறையில்
உயர்வான் எனும் கூற்று உண்மை அல்ல; ஆற்றல் இல்லை ஆயின் ஆயினே கல்வியில் உயர மாட்டான் என்பது உண்மையல்ல. ஆகவே தொழிற் துறையில் உயர்ந்தான் எனின் அவன் முயற்சியுடையவன் அல்ல
என்பது அவன் கல்வியில் உயர்வான் எனின் பெறப்படும். 38 காவடி எடுத்தால், கரகமாடுவான் எனின் நாட்டியம் ஆடுவான். நாட்டியம்
ஆடுவான் ஆனால் தாளம் போடமாட்டான். தாளம் போடுவான் எனினும் காவடி எடுக்க மாட்டான். ஆகவே கரகமாடுபவன் என்ற பொழுதிலும்
காவடி எடுப்பான் அல்லது நாட்டியம் ஆடுவான். (74)(அ)பின்வரும் குறியீட்டுவாதங்களை அடிப்படை உண்மையட்ட
வனை நேர் முறையினைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வாய்ப்பினை துணிக. (அ) (1) (P> Q). P• Q
(2) (P - Q) . Q ஃ P (3) (P = Q). P ஃ Q
(4) (P - Q). Q ஃ. P (5) (. P v Q) .P .. Q
(6) (PvQ). Q'. P (ஆ) (1) (P - Q) . ~ P - Q (2) (P - Q). ~ Q: ~ P
(3) (P - Q).- P: ~Q
(4) (P v Q). ~ PஃQ (5) (Py Q. ). Q.. ~ P
(6) (P-- Q). P • - Q (7) ( ~ P - Q). ~ P : Q (8) (Q- P). Q - P (9) (Q– ~ P). P Q
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 1338
ஆசிரியர்: க. கேசவன்
நாகாரகபாதர்: பகா-18கன்யாங்க

(e) (1) - (P→ Q).
(2) (-P-+-Q ) (3) - (-p> - Q)
(4) - (P v ~Q) ~ (P v - Q)
(6) - (P + Q). P. Q (7) ~~ (P v Q). P. Q (8) ~ (P + Q). P:.Q (9) (P→Q).(Q - P).. -P (10) (P v Q). (Pa-Q) :- - P |(11) - (P + Q). -(Q + P) :. - - P (12) - (Pa Q). - (- P v - Q) ...-Q. (13) (P + Q). (Pa Q). . P.Q (14) (P + Q). -(Q v P). - (P v Q) .-Q. (15) (P + Q). (Q → - P). (~P v - Q). (QA - P) .--P (16) - (Pa Q). -(Q v - P). - (P - -Q). (P, Q) . --P (17) (Pa Q). - (Pv - Q). (- Q v - P) - (P » Q) :-Q
(18) (P→ - Q). - (PA Q). - (P - - Q)...(PA -Q) . --P (#) (1) [P → (Q AP)]. [(Q v P) → -Q]. (PA -Q) ..--P
(2) - [PA (Q AP)]. -(Q v P) → -Q. -(P v - Q)--Q (3) - (P→ (Q → P)].[-(Pa Q) — -P]. -- (P +Q) AP] :P (4) ( (P + Q) AP].-[PA -(Q 1 - P).].-[--P -(Q. v P)]..-P
'(5) -[(P→Q) A -P]. [Pv -(Q + P)]. - (P v Q) → - P). --Q (2) (1) [(Pa Q) → •R]. (P 1Q) . -R
(2) [(PAQ) → - R).- (Pa Q) :R (3) (PA Q). R.:. - (Pa Q) (4) [(Pa Q) → - R). -R.. (Pa Q) (5) (P > -(Q v R). P :-(Qv R) (6) (P > -(Q v R)].- (Qv R): P (7) (P + Q). (Q - P). P :.R (8) (P + Q). (Q + P). -P .-R (9) ~ [(P + Q) AR] P (Pa Q) (10) -[(Pa Q) AR]. -(Pa Q) ..-R (11) -[(Pa Q) »R). -- (Pv Q) —R]. -(P + Q) ... --R
(20) (1) - [P v -(PVP)]. -- (PP) v -P]. -[(P --P) a -P] .. --P
(2) - (P >P). -(P a P). -(P v ~P). -(P + P) ... -P (3) [P →. -(PAP)]. - (P >P). -[-(P >P)A -P] . P
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1339
9, fluui: 6. G68616ÓI

Page 172
(4) (-(P -P)A ~(PA P)].- (~ (Pv P) -> ~ (Pv P)] ஃ~ (P ->P) (5) ~ (~ (P AP)v ~ (P AP)]. ~[- (P A ~ P) 9. (Pv P) ... ~(Pv ~P)
(6) (-(P - P)AP].[~~ P - ~ (Pv ~P)].-( ~ (PNP).-->P] '~ (PNP) (எ) (1) (R - R) – R (2) ~ (S AS) RS)
(3) [Q --> Q) A~ (Q A Q) (4) ( P -> R). P: R (5) (Q - s) . ~ S : ~Q (6) (T - -U). T : ~U (7) (P - R) - T (8) (Q -> S) - U )
(9) (R V T) -> U (ஆ) (75)பின்வரும் வாதங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உமது சுருக்கத்திட்ட
த்தைக்கூறி குறியீட்டில் அமைத்து அடிப்படை உண்மை அட்ட வணை நேர் முறையிணைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வாய்ப் பினைத் துணிக. அவன் படித்தாலோ அல்லது பட்டதாரியானாலோ அவனுக்கு உத்தியோகம் கிடைக்காது. அவன் படித்துள்ளான் ஆனால் உத்தியோகம் கிடைக்காது. ஆகவே அவன் படிக்கவில்லை. A கூடும் என்பதோடு B கூடும் அல்லது A குறையும். A கூடும் என்பதோடு ஒன்றில் B கூடும் அல்லது A குறையும்.
ஆகவே Aயும் B யும் கூடவில்லை என்பது பொய்யல்ல. 3. காதல் கனியும் ஆயின் கல்யாணம் நடக்கும் என்பது பொய்யல்ல என்பது
தவறு இல்லை ஆகவேட் காதல் கனியவில்லை கல்யாணம் நடக்காது
என்பது உண்மையெனின், 4. A, B எனும் இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே பரீட்சையில் சித்தியடைவர். ஆகவே
Aயும் , B யும் சித்தியடையமாட்டார். பூமியும் வியாழனும் கோள் இல்லை என்பது பொய் அல்ல. வியாழன் ஓர் கோள் ஆயின் அதற்கு சந்திரன்கள் இல்லை. ஆகவே வியாழன் ஓர்
கோள் இல்லை. (76)பின்வருவன கூறியது கூறல்களா, முரண்பாடுகளா அல்லது பராதீன
உவன்மைகளா எனக்கூறுக.
(1) ~ (P v Q) -( ~ P A ~ Q)
~ [-(P A Q) - (~P v ~ Q)]
(P - Q) A ~ P
((P -> Q) A R] - R (5) ~ {[ ~ PN ~ (Q -R) ] - [P v (Q - R)]}
(P v Q) - R (7) ( P - P) > (P - P)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 3440
ஆசிரியர்: க.கேசவன் .
ஈராபாயமாக பEx:*
எTாகடினகாபாடல, காாயுமானாலயா

(8) -[(P + P) v (P)] (9) (P a P) (10) {I(PA - Q) → R ] A -R }→ - (PA - Q) (11) -{(P + Q) → [(P + Q) v R ]} (12) [(P + Q) a (P A - Q) ] ~Q (13) - { (P→Q) → [(P + Q) v P] }. (14) - (P Q) (15) -[-(P P) a (P v ~P)] - (P - - P)
(77)(A1) ITILGGUOT STV quilóO DO FLOLONOTOMU, pganNETMAI,
அல்லது சமயோ முரனோ அல்லாதவை எவையெனக் கூறுக (01) (a) [(~P v -Q) a P] → -Q (b) ((P→ -Q) a P ) — -Q
(C) ~[(P a Q) → P]
(d) (P >Q) a P (e) -[-Q → (P v -Q)]
() {(P +Q) a P] -> Q.
(02) (a) ~(P v Q)
(c) (-P v -Q) (e) (P + Q) (g) ( -P + Q)
(b) - (Pa Q) (d) (~P A -Q) (f) (Q P) (h) (P v -Q).
(03) (a) (P + P)
(C) - (P - Q) (e) (P a P)
(b) - (P v ~P) (d) [(P → P) v P]
(04) (a) {[P → (Qv R)] A - P} → -(Q v R)
(b) ~ { [(- Pa Q) A ~R] > ~R} (c) {[ (PAQ) →R] • (Pa Q) } → R
(d) ~{(P + Q) →[R v (P→Q)]} () (P→Q) → R. (05) (a) ~[Pa (Q -> R)]
(b) I ~P v - (Q + R) 1 (c), (P -> (Q - R)
(d) [( P A Q) → R ] (e) ( Pv Q) R
() ( P → (Q v R) (g) [- (Q v R) → ~
(h) [(P v Q) R] (06) (a) (P→Q)
(b) ~[ -p(Q V-P)] (c) [(-PA - Q) -> ~Q ] (d) [(p-> Q) → (- Q - - P) 1 (e) - [[-PA -Q) → -Q] () (P + Q)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க கேசவன்

Page 173
(07) (a) - ( PA P) --> (- PV - P)
(b) ~ ( (P - P ) - (- P - ~P)] (c) ~ (P v P) - ( ~ P A ~P) (e) (P v ~ P) N P
(1) [(P - P) V ~ P] (ஆ)பின்வரும் சோடிகள் எலை ஒன்றிற்கொன்று சமமானவை,
முரணானவை அல்லது சமனோ முரணோ அல்லாதவை எவை எனக்கூறுக. (1) (P - Q) ,~ (PA -Q) (2) (P A Q), ~ (P - -Q) (3) (P Q), ~ (-P - Q) (4) [P A (P - Q)], [P v ~ Q) A P] (5) ~ (P - Q), (P N~ Q) (6) (P - Q) .{[(P - Q) A (Q - P)] (7) (PNQ), (Q A ~ P) (8) (P - Q), ~ ( ~ Q - ~ P) (9) ~ (P> Q) , [(PA ~ Q) v(- PA Q)] (10) (- P - ( ~ P -> Q)], [ P - (Q - P)] (11) (- P A Q) , (Q -> P) (12) (Q - P), ~ ~ (Q | ~ P) (13) (PvQ) , ((Py Q) vR) (14) (P - Q) .[(~~P -> Q) A (~~ Q - P)] (15) ((PvQ) - (- Q - R)].(( - P -> Q) - (QvR)] (16) [P - (QvR)].[~~ P v ( ~ Q - R )]. (17) [(P A Q) - R] , [P - (Q - R)] (18) ~ [P A (Q - R)], ~[- PV ~ (Q - R )
(இ)பின்வறுவற்றின் மறுதலைகள் எவை சமமானவை எவை சம
மற்றவை எனக் கூறுக. (1) (P - Q)
(2) (P ->Q) (3) (P A Q)
(4) (P v Q) (5) PV ~ (P A Q)
(6) P - (PA Q) (7) (P A Q) ~ P
(8) (P - P) v P (9) ( P AP)
(10) (PA P) - P (11) (P A Q) - R
(12) (P - Q) A (Rv P) (13) (P - Q) A (R v P)
(14) ~ (P - Q) - ( R v P) (15) (P - Q) A -R
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 342|
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(78) பின்வரும் சூத்திரங்களுக்கு சமமாகப் பொருந்தக் கூடிய இன்னுமோர்
சூத்திரத்தை அலை சமம் என்பதை அடிப்படை உண்மையட்டவனை
நேர் முறையின் மூலம் நிறுவுக. (அ) (1) ~ (P A Q)
(2) ~ [P A (Q - P)] (3) ~ (PvQ)
(4) ~ ( (P - Q) v P] (5) (- Pv~ Q)
(6) (- PA~ Q) (7) ~ [(P - Q) A R ]
(8) ~ (( P Q) vR) (9) ~ [(P - Q) v (R AP)]
(10) ~ (P NQ) A - ( P A R) (11) ~ ( ( P - Q) v (P A R)
(12) ~ (~ P V ~ Q) (13) (~ ~ P A~ Q)
(14) (P -> Q) (15) (PvQ) - R
(16) P - (Q A R) (ஆ)மறுப்பு மாறிலி, மெல், உறழ்வு மாறிலி என்பவற்றை மட்டும்
துணையாகக் கொண்டு பின்வரும் சூத்திரங்களுக்குப் பொருந்தக் கூடிய இன்னுமோர் சூத்திரத்தை அடிப்படை உண்மைஅட்டவணை நேர் முறையின் மூலம் நிர்ணயிக்குக. (1) (- P -> Q)
(2) (-P A ~Q) (3) (P - Q)
(4) (P A ~ Q) (5) (- P – ~ Q)
(6) (- P A Q) (7) (P A Q)
(8) ~ (~ PvQ) (இ)மறுப்பு மாறிலி., இணைப்பு மாறிலி என்பவற்றை மட்டும் துணை
யாகக் கொண்டு பின்வரும் சூத்திரங்களுக்குப் பொருந்தக் கூடிய இன்னுமோர் சூத்திரத்தை நேர்முறைமூலம் நிறுவிக் காட்டுக. (1) ~ (P -> Q)
(2) (P v ~ Q) (3) (~ PV - Q)
(4) (~ P A Q) (5) (P v Q)
(6) (P - ~ Q) (ஈ) உட்கிடை மாறிலி, மறுப்பு மாறிலி என்பவற்றை மட்டும்
பயன்படுத்தி பின்வரும் சூத்திரங்களுக்குப் பொருந்தக்கூடிய இன்னுமோர் சூத்திரத்தை நேர்முறையின் மூலம் காட்டுக. (1) (-P v Q)
(2) (P A ~ Q) (3) (- P A ~ Q)
(4) ( P A Q) (5) (Py Q)
(6) (Py ~ Q) (7) (- P A Q)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
கேசவன்

Page 174
(8) |
(79) பின்வரும் வாக்கியங்கள் குறியீட்டு வாக்கியங்களா? குறியீட்டு
வாக்கியம் அல்ல எனின் காரணம் தருக. (1) P
(2) A (3) R
(4) + (5) S
(6) மழை பெய்யும்
(7) ~ P (9) (P A Q) (10) (P -Q) (11) P -Q (12) P -Q - R (13)P -( Q - R) (14) (P - (Q - R)]
(15) (PR)
(16)P A (17) அவன் படிப்பான் - பட்டதாரி ஆவான் (18) P -Q – (R A s) (19) - 4 (20) ~ S (21) S -(22) P v Q (23) (P Q)
(24) V P
(25) P A v R (26) (P -Q) ~ (27) (¢ - v ) (28) (P Q) v R vs
(29) ~ P - Q (20) ~ [(P -Q) v R] (80) பின்வரும் குறியீட்டு வாக்கியங்களில் ஓர் பிரதான தர்க்கமாறிலி
இருந்தால் அதனைச் சுற்றி வட்டமிடுக. (1) ( (P - Q) A (R-S)] A (S v T) (2) (P - Q) A[ (R -> s) v (S v T )] (3) (P-> Q) (R--> S) A (S v TI)] (4) ~ ( (P - Q) A (R - S ) A (S v T) (5) ((PQ) A P] v R (6) (P -> Q) - (R A S ) (7) - [P A (Q - R)]
(8) ((P -Q) A (R - S)]- P (9) P - Q- R
(10) (P- Q) -> R (11) ((P--> Q) A P] -- Q
(12) ~ P> Q. (13) ~ (P - Q) (14) (P– Q) - (R - S) v (P-T) - PAQ (15) ~ ((P -Q) > R (16) [~ (P- Q) -> R] (17) ~ P -> Q-> R (18) P A [(Q– R) v ( S-T)]
(19)[P - (Q v R)] A S (20) P - Q. (81) கீழே தரப்பட்டுள்ள சுருக்கத்திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி பின்வரும்
குறியீட்டு வாக்கியங்களை தமிழுக்கு மொழிபெயர்க்குக.
சு. தி. P: X அழகானவள் P:X பண்பானவள் R: கோபக்காரி 1. (P - Q)
2. P - Q
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க.கேசவன் -

3. ~ (P - Q)
4. ~ (Pv Q) 5. ~ (P A Q)
6. ~ (P - Q) 7. (P A ~ Q)
8. (~ P A Q) 9. (- P A ~ R)
10. ~ [P - (Q - R)] 11. (P ->~ (Q - R) 12. [-(P - Q) - R]
13. [- (PA Q) -> R] 14. ~ (P+ R) 15. [( P - Q) v ( R V P)]--> Q 16. (P - Q) - (R v P) 17. [(P - Q) - (R v P) 18. (-(P - Q) – ~ (R - S)] 19. [P A (Q - R) - ((P - Q) vR) 20. ~ (Pv (Q - R)] - R 21 (P - Q). P Q
22. [ (P - Q) AP ) - Q. (82) (அ) P உண்மையெனின் பின்வரும் சூத்திரங்களின் உண்மைப்
பெறுமானத்தைக்காண்க. உண்மையட்டவணையைப் பயன்படுத்த
லாகாது விடைகளைச் சுருக்கமாகத் தருக. (1) (PvQ) v (R - s) (2) (PA Q) - (R - P) (3) (P' v Q) - ( ~ P AR) (4) (P A Q) V( R - P) (5) (R - S) (- P -> Q) (6) [(Pv R) A S] --(~ P - S) (7) [(Py Q) A (R --> P)] (Q P) (8) (P - Q) (Pv R ) (9) ((P v Q) v (R -S ) ]v ( (s AT) - (s - P)] (10) ((Pv Q) V (R V s)] v [(s AT) (S-> ~ P) (11) ((P A Q) v (R - S ) ] - [(s A T) v (s - P)] (12) ((P - Q) \ (R - S)] V P (13) [(P - Q) A (R - S )1 A ~ P (14) (~ (PV Q) A (R - S)] - [(P A Q) - R) (15) ~ ~ [P - ( P v Q)]
(16) ~ ~ [ P v (Q - R) ] v ( (P - Q) - R] (ஆ) P உண்மையெனவும் Q லைப் பொய்யெனவும் கொண்டு பின்வரும்
சூத்திரங்களின் உண்மைப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (1) (- P A Q) - (Q A ~ P)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 345 ஆசிரியர்: க.கேசவன் |

Page 175
(2) (P - Q) - (R VP) (3) [P v ( Q - R)] * [- P> (P A S)] (4) (Q (P v s)] - [S - (P V R) (5) [(Q - R) v (S -> T)] (Pv U) (6) ( P Q) v ( R - Q) (7) (P-> Q) v (P A Q) (8) (( - P-> Q) -Q) - ( Q R R) (9) [Q - (P AR)] - [(P A Q) A R] -
(10) ~ [(P-> Q) -Q] v [~Q - P) - Q (இ) Pபொய்எனின் பின்வரும் சூத்திரங்களின் உண்மைப் பெறுமானம் யாது?
(1) (PA Q) - (R x s) (2) ( R -> S) v (Pv R ) (3) (P - Q) v R.(4) (P A Q) (R A s) (5) ((P -> Q) A (R A s) ] A ((P -Q) - (R -S) (6) ((P - Q) A" (s - R)] v ((S –T) - (T-- R)] (7) (P- Q) A R. (8) (- (P -> Q) A ~ ( R --S)] A T (9) ((Pv Q) - ( R - S )1
(10) (P A R) - (Q - ~ R) (ஈ) A கூடும் எனும் கூற்றைக் உபன்மையெனக் கொண்டு பின்வரும்
சூத்திரங்களின் உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (1) A கூடும் அல்லது B கூடும் அல்லது, C கூடும் என்பதோடு D கூடும். (2) D கூடும் ஆயின் B கூடும் என்பதோடு, Aகூடுவதாகவோ அல்லது C
கூடுவதாகவோ இருக்கவில்லை (3) B அல்லது Aகூடும் என்பது பொய் எனின் D கூடும் ஆயின் C கூடும். (4) B கூடும் என்பதோடு C கூடும் ஆயின் , D கூடும் ஆயின் A கூடவில்லை. (5) A கூடும் அல்லது B கூடும் என்பதோடு, A கூடும் (6) A கூடும் ஆயின் B கூடும் ஆயின் C கூடும். (உ)அவன் பான்புடையவன் எனும் கூற்றை பொய்எனக் கொண்டு பின்வரும்
சூத்திரங்களின் உண்மைப்பெறுமாணம் யாது? அவன் கண்டியில் பிறந்தவன் ஆயின் படித்தவன் என்பதுடன், அறிவாளி
என்பதோடு பண்புடையவன். 2. அவன் பண்புடையவன் அல்ல. அல்லது படித்தவன் அல்லது கெட்டிக்காரன். 3. அவன் கண்டியில் பிறந்தவன் என்பதோடு, அவன் படித்தவன் என்பதோடு
பண்புடையவன் ஆவான். 4. அவன் படித்தவன் ஆயின் அறிவாளி அல்லது, பண்புடையவன் ஆயின்
அறிவாளியாவான்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 346
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(ஊ) கீழ்வரும் வாக்கியங்கள் எச்சந்தர்ப்பத்தில் பொய்யாகும் எனக் கூறுக. 1. அளவையியல் இலகு ஆயின் அளவையியல் இலகுயில்லை எனின் அதிக
* புள்ளிகளைப் பெறமுடிவதோடு பல்கலைக்கழக அனுமதியும் கிடைக்கும். 2. மழைபெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் அல்லது, நெல்விளையும் அல்லது
அரிசியின் விலை குறையும்.
அவன் வருவான் அல்லது அவள் வருவாள் அல்லது, இந்திரன் வருவான். (எ)கீழ்வரும் குறியீட்டு வாக்கியங்கள் எச்சந்தர்ப்பத்தில் உண்மை யாகும் எனக் கூறுக.
(1) (P AQ) A (R AS) (2) (P -> Q) A (R VS) (3) (Pv Q) A~ (R v s)
(4) ~ (P - Q) A (R VS) (5) ~ (PvQ) A ~ (R AS) (6) (P A Q) A ~ (R --> s)
(7) - (P - Q) A ~ (R -> S) (8) ~ (PNQ) A ~ (R VS) (ஏ) பின்வரும் வாக்கியங்கள் கவர்பாடுடையவைஇருபொருள் தருபவை)
எனக் கருதி இரண்டு வழிகளில் குறியீட்டாக்கம் செய்து பின்னர் ஒவ்வொரு வாக்கியத்தின் P உண்மையெனக் கொண்டு அச்சூத்திர
ங்களின் உண்மைப் பெறுமானத்தையும் காண்க. (1) மழை பெய்யும் ஆயின் நெல்விளையும் என்பது பொய்யாகும். (2) அவன் படிப்பான் ஆயின் பரீட்சையில் சித்தியடைவான் ஆயின், அவன்
பட்டதாரியாவான்உத்தியோகம் கிடைக்கும் என்றால் மட்டுமே என்பது
பொய்யாகும் (3) காந்தினி படித்தால் மட்டுமே திருமணம் செய்யாள் என்றால் தான்
மகிழ்ச்சியாய் இருப்பாள் (4) மழை பெய்யும் ஆயின் , நெல்விளையும் ஆயின் அரிசியின் விலை
குறையும் எனபது பொய்யாகும். (ஐ (அ) (PvQ) எனும் வாக்கியம் உண்மையெனின் பின்வரும் வாக்கியங்
களின் உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (1) (P-> Q)
(2) (PA ~Q) (3) (P - Q)
(4) (Pv Q) (ஆ(P - Q) எனும் வாக்கியம் பொய்யெனில் பின்வரும் வாக்கியங்களின்
உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (1) (P v Q)
(2) (Pv Q) (3) (P - ~ Q)
(4) (-PA Q) (இ) ~ (P A Q) எனும் வாக்கியம் பொய்யெனின் பின்வரும் சூத்திரங்களின்
உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (1) ~ (- P - Q)
(2) (Pv Q) (3) ~ (Pv Q)
(4) (P A ~ Q) (ஈ) (Pv Q) எனும் வாக்கியம் பொய்யெனின் பின்வரும் சூத்திரங்களின்
உண்மைப் பெறுமானம் யாது? (1) (P - Q) v P
(2) PN (P -Q) (3) ~ [(P - Q) A P]
(4) ~ (P v Q) A P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
BI 347]
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 176
(5) (P -Q) A ~ (Q AP).. (6) ~ (PA Q)
(7) ((P -> Q) A (Pv Q)] – P (8) ~ ( (Pv Q) A (Q v P)] நேரல்முறை வாய்ப்புப் பார்த்தல் (83)பின்வரும் குறியீட்டு வாதங்களை அடிப்படை உண்மையட்ட வணை
நேரல் முறைப்பயன்படுத்தி அவற்றின் வாய்ப்பினைத் துணிக. (அ) (1) (PvQ) - P
(2) (PA Q) - P (3) ~ (P -> Q) ஃ P
(4) ~ (Q-> P) ஃ P (5) (P- Q). P ஃ Q
(6) (P- Q). Q: P (7) (Pv Q). P ஃ Q
(8) (PvQ). Qஃ P (9) (P - Q).P ஃ Q
(10) (P - Q) .Q ஃ. P (11) (PA Q) .P • Q
(12) (PA Q). Q : P (13) (PA Q). P ஃ. P (ஆ) (1) (Pு Q). ~ P ... ~ Q
(2) (P - Q). ~ Q : ~ P (3) (Pv Q). ~ P Q
(4) (Pv Q). ~ Q :P (5) (P - Q) - P. ~ Q
(6) (P - Q). ~ Q: ~ P. (7) - (PA Q). ~ P ஃ ~ Q
(8) (PA Q). ~ Q ஃ. P (9) (PA Q) . ~ P - P இ) (1) (- P - ~Q). ~ P ஃ~Q..
(2) (-P ->~ Q). P Q (3) (- P' - ~ Q) . Q'. P
(4) (- Pு ~ Q) ~Q - P (5) (P> ~ Q). Pஃ~ Q
(6) (P --- Q). Q P - (7) (- P - Q) .P ஃ Q
(8) (- P - Q) .P . ~ Q (9) (- P– Q), Q • - P
(10) (- P v ~ Q). ~ P Q (11) (- PV ~ Q). ~ Q :P
(12) (Pv ~ Q). ~ P ஃ ~ Q (13) (- P. ~ Q) .P ஃQ
(14) (- P = ~ Q). ~ P ஃ~ Q. (15) ~ {[(PvQ)A ~ P] Q}
(16) ~ ~ {[( P Q ) A P] - Q} (ஈ) (1) (P> Q) . (Q- R) : ~ P (2) (Pv Q) . (QA R) : R
(3) ~ (P--> Q). ~ (Q--R) ஃ~ P (4) ~ (PvQ). (QA R) ஃ R (5) (P - Q). (Q - R) .P ... R (6) (P- Q). (Q - R). ~ P ஃ ~ R (7) ~ (P-> Q) ~ (Q– R) .P .. ~ R (8) - (P - Q).. - (Q - R). ~ P. ~ R (9) (Pv Q) . (Q - R) . (R AP) :P (10) (P - Q). (Q v R) (PQ) ஃ P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1348
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

(11)
- (P v Q). - (Q - R). - (RAP) - P (12) - (P - Q) (Q v R).(P→Q) :.P (13) (P + Q). (PAR). (Ra Q). P ...Q (14) (P - Q) (Q v R). (P + R).P.. R (15) (P→Q). (Q -- R). (Pa R).(P → S) ... P (16) (P v Q).(Q v R). (RAS). (P→ S) . -R (17) - (P, Q). (Q v R). - (PAR). (P→ S) ..P
(18) - (P v Q). - (Q v R). (RAS). - (P - S) : R (2)(1) [(P→Q) R].(P, Q) : R
(2) [ (P -- Q) → R). - (P -Q) . -R
[P → (QAR)].P.. (QAR) [P → (Qa R)]. -P' .. - (QA R) ((P v Q) » R]. (P v Q) .. R [(P v Q) » R]. - (P v Q) ... -R
[(PAQ) R].[(R v S) – P] .. (P→Q) (8) ~[P-→ (Q v R). [S » (PAS)] :. (P v Q). (9) (P ->-(Q - R)].-[R → (S v T)]. (P→ R) - P (10) -((P→Q) → (R+ S)]-[('S v T) +P]. (R v P) - S (12) ~[P v (Q -> R)][R> (S v T)]. - (P → S) ... --P (13) [(P --> Q) AR]
|(14) ~(P v Q) → (Rv S) → {P+ (Q AR) A S]}
(P + Q) R. ~ (P→ S)
~ (R v S) ~R.
... --P
I 6 G
(15) (P→Q)
(Q -- R)
P
... R (261)(1) (-P- Q). (Q --P). (P - Q) . (PA - Q)
(2) (P→Q). (Q P). (P→ - Q) :(P A - Q) (3) (P - Q). (Q v P). (P -- Q) :(-P - Q) (4) (Q - P). (P→ - Q).(- Q v LP) . (QA - P) (5) (P V - Q). (Q A -P). (P9 - Q) ... - (P + Q) (6) (P--Q).(- Q --P).(- Pv P) : - (Pv Q)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 349
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 177
(7) (PNQ). (Q - P). (P - ~ Q) ஃ (R A ~ Q) (8) (P - ~ Q).(QA ~ P). (P V ~ Q) • (- P AR) (9) (P> ~ Q). (- Q--> P). (P A - Q) ஃ (R A ~ Q) (10) [P - (Q+ R)].{R - (P-> ~ Q )) ஃ (R-> (Q - P)]
(எ) (1) (P - Q) . (Q -> R) .(R ->S). (s AT) '. (S vT)
(2) ~ (Pv Q) . (Q - R). (R A ~ S) (T AP) ஃ ~ (P -> Q) (3) ~ [P - (Q v R)] - [R - (S v T)].~ (Tv S) ஃ ~ (T A s) (4) (P - Q) . (Q - R) . (R -S). (s vT) ஃ (P- Q) (5) ~ (P - Q) - (Q vR) . (R - s) .S ஃ ~ (PNQ)
(எ)பின்வரும் குறியீட்டு வாதங்களை மாறி நேரல் முறையினைப்
பயன்படுத்தி வர்யப்பினைத் துணிக. 1. (P - Q) .P ஃQ 2. (PvQ). ~ P ஃQ 3. (P A Q) ஃ P 4. (P ->Q) . (Q-> R) (R -> s) . (s- T) .P ஃT 5. (P - Q). (Q - R) . (R - S ) . (s -> T ) . ~ P :-T 6. (P -Q) . (Q - R) . (R -> S). (s – T ) . ~T: ~ P 7. (P - Q) . (Q - R) . (R -S). (s – T).T... P 8. (Pv (Q - R)]. [R - (S AT )1. [T- (P v Q)]: ~~ P 9. ~ {[ (P - - Q) AP) ~ Q}
10. ~~ {[(P -~Q) A ~ P] - Q} மேலே (ஏ) ல் உள்ள பட்டியலைக் கொண்டு பின்வரும் வினாக்களுக்கு
விடைதருக. (1) அடிப்படை உண்மையட்டவணை மாறிநேரல் முறையைப் பயன்படுத்தி
வாய்ப்பினைத் துணிக. (2) அடிப்படை உண்மையட்டவணை மாறிலி நேரல் முறையினைப் பயன்படுத்தி
வாய்ப்பினைத் துணிக. (84) பின்வரும் வாதங்களை குறியீட்டில் அமைத்து உண்மை அட்டவணை
நேரல் முறையைப்பயன்படுத்தி அவை வாய்ப்பானவையோ அல்லவோ
எனத் துணிக. (1) நான் பரீட்சையில் நன்கு செய்திருக்கிறேன். ஆகவே நான் புத்திசாலி (2) நான் கடுமையாக படித்தால் பரீட்சையில் சித்தியடைவேன். நான்
கடுமையாகப் படிக்கவில்லை. ஆகவே நான் சித்தியடையமாட்டேன். (3) அவன் இன்று வருவான் அல்லது நாளை வருவான். அவன் இன்று
வந்திருக்கிறான் ஆகவே அவன் நாளை வரான். (4) அவனால் நன்கு வாசிக்கவும் நன்கு எழுதவும் முடியும். ஆகவே அவனால்
நன்கு எழுதமுடியும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 350
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(5) நீ கடுமையாக படிப்பவன் ஆயின் ஆயினே பரீட்சையில் சித்தியடைவாய்.
நீ சித்தியடைந்திருக்கிறாய் ஆகவே நீ கடுமையாகப் படிப்பவன். (6) அவன் கொழும்புக்கு இன்று வருவான் அல்லது அவன் கொழும்புக்கு
நாளை வருவான்.ஏனெனில் அவன் கொழும்புக்கு இன்று வருவான். (7) ஓவியம் கணவனைப்போல் இருந்தால் கணவனுக்கும். ஓவியனுக்கும்
ஏமாற்றமாயிருக்கும். ஓவியம் கணவனைப்போலில்லையெனின் மனைவி காசு கொடாள். அப்படி நடந்தால் ஓவியன் ஏமாந்து போவான். ஆகவே ஓவியன்
ஏமாந்து போவான். (8) ஒரு முக்கோணம் தளவுருவமாகவும், தளவுருவம் அல்லாததாகவும்
இருக்குமெனில் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360 பாகையாக இருக்கும். (9) அவனுடைய கூற்று கருத்துள்ளதெனின், அக்கூற்று ஒரு விஞ்ஞானக்
கூற்று அல்லது மெய்யியற் கூற்று அல்லது உண்மையான கூற்றாகும். அவனுடைய கூற்று விஞ்ஞானக் கூற்றுமல்ல மெய்யியற் கூற்றுமல்ல ஆனால் உண்மையான கூற்றாகும். ஆகவே அவனுடைய கூற்று
கருத்தற்றதாகும். (10) அவள் இலங்கையின் மிக உயரமான மலையின் உச்சியை அடைவாள்
எனின், அவள்விழாவிடில், தனது கணவனிடமிருந்து ஒரு பரிசு பெறுவாள். அவள் விழுந்தால் மழை பெய்யும் ஆனால் மழை பெய்யவில்லை. ஆகவே அவள் இலங்கையின் மிக உயரமான மலையின் உச்சியை அடைந்தாள்
எனின் தனது கணவனிடமிருந்து ஒரு பரிசு பெறுவாள். (11) அவன் தனது புத்தகங்களை நன்கு வாசிக்கிறான் அல்லது தனது
ஆசிரியர்களுக்குச் செவிமடுக்கிறான் ஆயினே பரீட்கையில் சித்தி பெறுவான். அவன் தனது புத்தகங்களை வாசிப்பதுமில்லை ஆசிரியர்களுக்குச் செவிமடுப்
பது மில்லை. ஆகவே அவன் சித்தி பெறவில்லை என்பதுண்மையில்லை. (12) வெயில் பிரகாசமாய் எறிக்கின்றது. நிலவிருந்தால் நாங்கள் நன்கு பார்க்க
முடிவதில்லை.வெயில் பிரகாசமாய் எறிக்கவில்லை. ஆகவே நாங்கள் நன்கு பார்க்க முடிவதில்லை. (13) ஒட்சிசன் உள்ளது ஆயின் ஆயினே செவ்வாயில் உயிர் உள்ளது.
செவ்வாயில் உயிர் இல்லை. ஆகவே செவ்வாயில் ஒட்சிசனும் இல்லை நீரும் இல்லை. (14) சாரதிகள் கவனமாய் ஓட்டினர் ஆயின் ஆயினே தெரு விபத்துக்கள்
நிகழா என்பதுடன் சாரதிகள் குடித்துவிட்டு ஓட்டினால் தெரு விபத்துகள் நிகழும் அல்லது அவர்கள் கவனமாய் ஓட்டுகின்றனர். ஆகவே தெரு விபத்துகள் நிகழ்கின்றன அல்லது சாரதிகள் குடித்துவிட்டு ஓட்டவில்லை
என்பது உண்மையாகும். (15) வரட்சி இல்லை என்பதும் விவசாயிகள் மணல்பேணல் முறைகளைப்
பயன்படுத்துகிறார்கள் என்பதும் உண்மை ஆயின் ஆயினே அவர்களுக்கு நல்ல அறுவடை கிடைக்கும். அவர்களுக்கு நல்ல அறுவடை கிடைக்கிறது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 178
3.
ஆனால் கூலி மலிவில்லை என்றால், அவர்கள் மண்பேணல் முறைகளைப் பயன்படுத்தவில்லை. ஆகவே வரட்சி இல்லை என்பதும் கூலி மலிவு
என்பதும் எண்மை. (16) ஒன்றில் அவன் கடினமாய் உழைக்கிறான் என்பதோடு தேர்வில் சித்தியடை
கிறான் அல்லது அவன் கடினமாய் உழைக்கவில்லை என்பதோடு தேர்வில் சித்தியடைகிறான்.ஆகவே அவன் கடினமாய் உழைக்கிறான் ஆயின் அயினே
தேர்வில் சித்தியடைகிறான். (17) கணிதம் கடினமானதெனின் அளவையியலும் கடினமே. கணிதம் கடினமான
தெனின் பரீட்சகர்கள் கணித விடைத்தாள்களுக்கு இலகு முறையிற் புள்ளியிடுவராயின் பரீட்சார்த்திகள் கணிதத்தில் சித்தியடையாதிரார் ஆகவே
அளவையியல் கடினமானது. (18) காலநிலை நன்றாக இருப்பதுடன் பாடசாலை விடுமுறையும் ஆரம்பித்து
விட்டால் பீற்றர் சுற்றுலா சென்றிருப்பான். காலநிலை நல்லாயிருந்து பீற்றர் சுற்றுலா சென்றுள்ளான் எனின் பீற்றர் அனுராதபுரியில் இருப்பான். ஆகவே பாடசாலை விடுமுறை ஆரம்பிக்கவில்லை அல்லது பீற்றரின் தாயார் ஆரோக்கியமாக இருக்கிறாள். (19) மனிதர் நேர்மையானவராயின் அவர்கள் முன்னேறுவர். மனிதனின்
முன்னேற்றம் ஊழியினால் ஆளப்படுமாயின் மானிடவிதியினை எதிர்வு கூறமுடியும். மனிதர் முன்னேற முடியவில்லை அல்லது மானிடவிதியினை எதிர்வுகூற முடியாது. ஆகவே மனிதர் நேர்மையானவரல்ல அல்லது
மனிதனின் முன்னேற்றம் ஊழியினால் ஆளப்படவில்லை. (20) இராவணன் இராட்சதர்களின் அரசனெனின் இலங்கை இராட்சதர்களின்
நாடாகும். நாகர்களுக்கிடையிலான ஒரு பிணக்கினைத் தீர்க்க புத்த கெலனிக்கு வருகை தந்தார் எனின் இலங்கை நாகர்களின் நாடாகும். இராவணன் இராட்சதர்களின் அரசன் என்பது உண்மை அத்துடன் புத்தர் நாகர்களுக்கிடையிலான ஒரு பிணக்கைத் தீர்க்க கெலனிக்கு வருகை தந்தார் என்பதும் உண்மை. ஆனால் நாகர்களினது நாடு வட இந்தியாவாகும். ஆகவே இலங்கை இராட்சதர்களின் நாடாகும் நாகர்களினது
அன்று. (21) மழைபெய்யும் என்ற நிபந்தனையின் பேரில் மகாவலி நீரையும்
மின்சக்தியையும் வழங்குகின்றது. மின்னல்மின்சக்தியை வழங்குமாயின் மழை பெய்யும். ஆகவே மின்னல் மின் சக்தியை வழங்குமாயின் நீரை
வழங்குமெனின், அது மின்சக்தியை வழங்கும் (22) கடற்கரை மிகவும் அழகாயிருப்பதுடன் உல்லாசப் பிரயாணிகள் அதனை துஷ்பிரயோகம் செய்யாது இருப்பின் மாலைவேளைகள் இன்பம் தர வல்லனவாய் இருக்கும். கடற்கரை மிகவும் அழகானது. ஆனால் உல்லாசப் பயணிகள் அதனை துஷ்பிரயோகம் செய்கின்றனர். ஆகவே மாலை
வேளைகள் இன்பம் தரவல்லனவாயில்லை. (23) ஆசிரியர் நன்றாக பாடம் சொல்வாராயின் அவர் ஓர் ஆசிரியரேயாவர்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 352)
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

அவ்வாசிரியர் நன்றாக பாடம் சொல்வார் அல்ல் எனினும் அவர் ஓர் ஆசிரியரேயாவார். ஆகவே அவ்வாசிரியர் ஓர் ஆசிரியர் அல்லது
ஆசிரியர்களின் வேதனம் போதியதல்ல. (24) உலகம் எல்லையுள்ளதாயின் அதற்கு ஒரு தொடக்கமும் முடிவும் இருத்தல் வேண்டும். உலகம் எல்லையுள்ளதும் ஆனால் உருண்டையானதுமாயின் அது தொடக்கமுடையதோ முடிவினை உடையதோ அல்ல. உலகம் உண்மையில் உருண்டையானதே. ஆகவே உலகம் எல்லையுள்ளதோ
அன்றி எல்லையற்றதோ அல்ல. (25) அவள் ஒன்றில் சந்தோஷமாகவோ அல்லது துன்பமாகவோ இருப்பதால்
அழுகிறாள் எனின் அவள் அழகுராணிப் போட்டியில் பங்குபற்றியிருத்தல் வேண்டும் அத்துடன் அதன் பெறுபேறுகளும் அவளுக்குத் தெரிந்திருத்தல் வேண்டும் என்பது உண்மை. அவள் அழகுராணிப் போட்டியில் பங்கு பற்றியுள்ளாள்.ஆகவே அவள் துன்பமாக இருப்பதனால் அழுகிறாள் என்பது உண்மையல்ல. (26) அவன் உண்மை பேசாதிருப்பானாயின் அவன் புத்தியுள்ளவனாவான். அவன் புத்தியுள்ளவனாவான் உண்மை பேசினாலாயினே. அவன் உண்மை பேசினால் அவன் புத்தியுள்ளவனல்ல. ஆகவே அவன் உண்மை பேசியதுடன்
அவன் புத்தியுள்ளவன் அல்ல. (27) தோடம்பழம் இன்சுவை உள்ளதாயின் திராட்சை புளியாயிருக்கும் அல்லது
அப்பிள் சிகப்பு நிறமாகும். அப்பிள் சிகப்பு நிறமாயின் திராட்சை புளியாயிருக்கும் அல்லது தோடம்பழம் இன்சுவையாயிருக்கும். திராட்சை புளியாயிருக்குமாயின் அப்பிள் சிகப்பு நிறமாகும். ஆகவே திராட்சை
புளியாயிருக்குமாயின் அயினே தோடம்பழம் இன்சுவை உள்ளதாகும். (28) பல்கலைக்கழகம் மூடப்படாதுவிட்டால் பக்கத்து வீடுகளில் பல்கலைக்கழக
மாணவர் தங்கியிருப்பர். பக்கத்து வீடுகளில் பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் தங்கியிருப்பாராயின் பல்கலைக்கழகம் மூடப்பட்டுள்ளது. பல்கலைக்கழகம் மூடப்பட்டுள்ளதாயின் பக்கத்து வீடுகளில் பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் தங்கியிருக்க மாட்டார்கள். ஆகவே பல்கலைக்கழகம் மூடப்படாததுடன் பக்கத்து வீடுகளில் பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் தங்கியிருக்க மாட்டார்கள். 29. Aமுதற் பரிசைப் பெறுவானாயின் B இரண்டாம் பரிசைப் பெறுவான் என்பது உண்மை, அல்லது C மனச்சோர்வடைவான். B இரண்டாம் பரிசைப் பெறவில்லை ஆகவே C மனச்சோர்வுடையவனாயின் A முதற்பரிசைப்
பெறவில்லை. 30. இராமன் வருவானாயின் சரத்தும் சுனிலும் வருவார்கள். சுனில் அல்லது
ஜெகத்வரின் ஹென்றி வருவான். ஆகவே இராமன் வரின் ஹென்றி
வருவான். 31. ரவி சாந்தியை அல்லது மாலாவை மணப்பான் ஆனால் இருவரையும்
அல்ல. அவன் சாந்தியை மணந்து மாலாவை மணக்காது விட்டால் அவன் அதிஷ்டசாலி. அவன், சாந்தியை மணக்காது மாலாவை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 3537
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

Page 179
மணப்பானெனின் அப்போது அவன் அதிஷ்டசாலி. ஆகவே ரவி அதிஷ்டசாலி. 32.
A அல்லதுBஎன்ற இருவரில் ஒருவரேனும் தொழிலுக்குப் பொருத்த மான வரல்லர்.ஆகவே A தொழிலுக்குப் பொருத்தமானவராயின் B தொழிலுக்குப் பொருத்தமானவரல்லர் என்பது தவறாகும். 33.
அவனுக்கு அளவையியல் தெரியும் ஆயின் கணிதத்தை அல்லது மெய்யியலை நன்கு கற்றுள்ளான். அவன் கணிதத்தை நன்கு கற்றவனாயின் அளவையியலை கற்பிப்பதற்கு தகுதியுள்ளவன். அவனுக்கு அளவையியல் தெரியும். ஆகவே அவன் கணிதத்தை நன்கு கற்காதிருப்பின் அளவையியல்
கற்பிப்பதற்கு தகுதியுள்ளவன். 34. உற்பத்தி குறைந்தால் மட்டுமே வாழ்க்கைச் செலவு அதிகரிக்கும்.
உற்பத்தியை அதிகரிப்பதற்கு தூண்டினாலாயினே வாழ்க்கைச்செலவு அதிகரிக்காது." உற்பத்தி குறைவடையவில்லை ஆயின் உற்பத்தியை அதிகரிப்பதற்கு தூண்டுதலில்லை. ஆகவே அதிக உற்பத்திக்கு தூண்டப்பட்டுளளது. 35.
- முயலுக்கு கொம்புகள் இருக்கும் ஆயின் ஆமைக்கு இறகுகள் உண்டு. ஆமைக்கு இறகுகள் இருக்குமாயின் முயலுக்கு கொம்புகள் உண்டு. முயலுக்கு கொம்புகள் இருக்குமாயின் ஆமைக்கு இறகுகள் இல்லை.
ஆகவே முயலுக்கு கொம்புகள் இருப்பதுடன் ஆமைக்கு இறகுகள் இல்லை. 36. செல்வம் அல்லது அதிகாரம் இருப்பின் வாழ்க்கை மகிழ்ச்சியாய் இருக்கும்.
வாழ்க்கை மகிழ்ச்சியாய் இருப்பின் அங்கு அதிகாரம் அல்லது கல்வி இருக்கும். செல்வம் இருப்பது உண்மையாயின், ஒருவன் நாணயமற்றவன் அல்ல ஆயின் அங்கு அதிகாரம் இருக்கும். ஒருவன் நாணயமற்றவன் அவான் என்பது உண்மையாயின் அங்கு செல்வமிருக்கும், கல்வி இருக்காது. ஆகவே அதிகாரமிருப்பது உண்மையாயின் ஆயினே வாழ்க்கை
மகிழ்ச்சியாய் இருக்கும். 37. செவ்வாயில் உயிரினங்கள் இருக்குமாயின் வீனஸ்சில் உயிரினங்கள் இல்லை
அல்லது செவ்வாயில் உயிரினங்கள் உள்ளன. ஆகவே வீனஸ்சில்
உயிரினங்கள் இருக்குமாயின் ஜூப்பிடரில் உயிரினங்கள் இல்லை. 38. அவன் அளவையியல் படிக்கிறான் ஆயின் அவன் அளவையியலில் அல்லது கணிதத்தில் திறமைசாலி ஆவான். அவன் கணிதத்தில் திறமைசாலியாயின் அவன் ஒன்றில் அளவையியலில் திறமைசாலியாவான் அல்லது அவன் அளவையியல் படிக்கிறான். அவன் கணிதத்தில் திறமைசாலி ஆயினே அவன் அளவையியலில் திறமைசாலி ஆவான். ஆகவே அவன் அளவையியல் படிக்கிறான் ஆயின் அயினே அவன் அளவையியலில்
திறமைசாலியாவான். 39. Aயும் B யும் அதிகரிக்குமாயின் C குறையும். ஆகவே Aஅதிகரிக்குமாயின் ,
C குறையும் அல்லது B அதிகரிக்குமாயின் C குறையும். 40. றோய் தேர்வில் தோற்றி சித்திபெற்றால் அவனது ஆசிரியர் மகிழ்வார்
அவன் தேர்வில் தோற்றி தெளிவின்றி எழுதுவான் ஆயின் அவனது ஆசிரியர்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க. கேசவன் )

மகிழ்ச்சியடையமாட்டார். றோய் தெளிவின்றி எழுதினால் ஆயினே தேர்வில் சித்தி பெறுவான். அகவே றோய் தேர்வில் தோற்றி சித்தியெய்தினான்
என்பது பொய்யாகும். 41. வாழ்க்கை அனிச்சா என்றால் அது அனாத்தவாகும். வாழ்க்கை அனாத்த
வாயின் அது துக்க ஆகும். வாழ்க்கை அனிச்சா. ஆகவே வாழ்க்கை
அனிச்சா. துக்க அத்துடன் அனாத்த. 42. காசி அவனது பார்வைக் கண்ணாடியை தொலைத்துவிடுவானாயின்,
அவனால் பார்க்க முடியாது. அவனால் செல்ல முடியாது. காசி செல்ல வில்லையாயின் பராக்கிரம செல்வான். ஆகவே காசி தனது பார்வைக் கண்ணாடியைத் தொலைக்க வில்லையாயின் பராக்கிரம் செல்லமாட்டான். 43. பிரபஞ்சம் ஒன்றில் குறுகியது அல்லது அது பரந்தது. பிரபஞ்சம் ஒன்றில்
குறுகியதோ அல்லது பரந்ததோ அல்ல அது உறுதியானது. பிரபஞ்சம் உறுதியானதாயின் முழுமையான இயக்கமிருக்காது. ஆகவே பிரபஞ்சம்
உறுதியானதன்று. 44. ஜெமி செத்துப் போகுமாயின் ஆயினே எமக்கு நாய் இல்லை. ஜெமி
குரைப்பது கேட்குமாயின் ஒன்றில் ஜெமி சாகவில்லை அல்லது அதன் குரைத்தல் ஒலிப்பதிவு செய்யப்பட வேண்டும். எம்மிடம் நாய் இல்லை.
ஆனால் ஜெமி குரைப்பது கேட்கிறது. ஆகவே ஜெமி இறந்துவிட்டது. 45. தேர்வில் A,B இருவரில் ஒருவர் மட்டுமே வெற்றி பெறுவர் ஆகவே A
தேர்வில் வெற்றி பெற்றால் B தேர்வில் வெற்றி பெறவில்லை அத்துடன் B
தேர்வில் வெற்றிபெற்றால் A தேர்வில் வெற்றி பெறவில்லை. 46. அரிஸ்டோட்டிலும் டேக்கார்ட்டும் விஞ்ஞானிகள். அரிஸ்டோட்டில்
விஞ்ஞானியாயின் விஞ்ஞானம் அவரிடம் ஆரம்பிக்கிறது. டேக்கார்ட் விஞ்ஞானியாயின் விஞ்ஞானம் அவரிடம் ஆரம்பிக்கிறது. ஆகவே அரிஸ்டோட்டில் டேக்கார்ட் இருவரும் விஞ்ஞானிகள் அல்லவாயின்
விஞ்ஞானம் இருவரில் ஒருவரிலும் ஆரம்பித்திராது. 47. பேராதனையும் நுவரெலியாவும் அழகானவை. பேராதனை அழகானதாயின்
அங்கு தாவரவியல் பூங்கா இருக்கும். ஆகவே நுவரெலியா அழகானதாயின்
இங்கு தாவரவியல் பூங்கா இருக்கும். 48 A யும் B யும் அதிகரிக்கவில்லையாயின் C அதிகரிக்கும். ஆகவே A ;
அதிகரிக்கவில்லையாயின் C அதிகரிக்கும் அல் லது B
அதிகரிக்கவில்லையாயின் C குறைவடையும். (85)மாறிகள் , மாறிலிகள் கொண்டு விடை கூறுதல் (01) பரீட்சையில் பார்த்தெழுதினர் என சாரா, மேனகா, அரவிந்தன் ஆகியோர்
சந்தேகிக்கப்பட்டனர். அதிபர் தனிப்பட்ட ஒவ்வொருவரையும் விசாரித்தபோது அவர்கள் பின்வரும் விடைகளை வழங்கினர். சாரா: ஜயா, மேனகா குற்றவாளி, ஆனால் அரவிந்தன் பாாத்தெழுதவில்லை. மேனகா: ஐயா சாரா குற்றவாளி எனின் அரவிந்தனும் அவ்விதமே அரவிந்தன்: ஐயா நான் பார்த்தெழுதவில்லை, ஆனால் குறைந்தது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (355)
ஆசிரியர் : க. கேசவன்

Page 180
ஏனையோருள் எவராவது ஒருவரேனும் குற்றம் செய்துள்ளார். ஒருவர் பார்த்தெழுதினால் அவர் குற்றவாளியாவார் என்பதை எடுகோளாகக் கொண்டு பொருத்தமான சுருக்கத்திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு வரினதும் விடைகளை குறியீடாக்குக. உண்மைப் பெறுமானங்களைப் பயன்படுத்தி கீழ்வரும் வினாக்களுக்கு விடை தருக. (1) மூன்று விடைகளும் உண்மையாதல் சாத்தியமா? (2) ஒரு சந்தேகநபரின் விடை இன்னொருவரிடமிருந்து பெறப்படுகின்றது.
யாருடையது யாருடையதிலிருந்து? (3) அனைவரினது விடைகளுமே உண்மையெனக் கொண்டால் யார் பார்த்
தெழுதவில்லை யார் குற்றவாளி? (4) ஒருவரும் பார்த்தெழுதவில்லை எனக்கொண்டால் யார் கூறுவது பொய்?
யார் கூறுவது உண்மை? (5) பார்த்தெழுதாவர் உண்மை கூறுகிறார். குற்றவாளி பொய் கூறுகிறார்
எனின் பார்த்தெழுதாதவர் யார், குற்றவாளி யார்? (02) விருப்பத் தெரிவு வாக்குமுறையின் மூலம் தெரிவு செய்யப்படும் தேர்தலில்
போட்டியிடும் A, B, C என்ற மூன்று வேட்பாளர்கள் ஒரு பெண்சோதிடரிடம் சென்று தம்முள் எவரேனும் தெரிவு செய்யப்படுவாரா என ஆரூடம் கேட்டனர். அப்பெண் சோதிடர் தன் கருத்தை பின்வரும் இருவழிகளாகக்
கூறினார். உங்களில் ஒன்றிற்கு மேற்பட்டவர்கள் தெரிவு செய்யப்படுவார்கள் A தெரிவு செய்யப்படுவார் அத்துடன் ஒன்றில் B தெரிவு செய்யப்படமாட்டார் அல்லது C தெரிவு செய்யப்படுவார்.C தெரிவு செய்யப்படமாட்டாராயின் மட்டுமே ஒன்றில் A அல்லது B தெரிவு செய்யப்படுவர். மேற்படி கூற்றின் இரண்டாவது வாக்கியத்தைப் பொருத்தமான சுருக்கத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி குறியீட்டாக்கம் செய்யவும். ஆரூடம் கூறுபவர் பொய்யான கூற்றுக்களைக் கூறுவதில்லை என்பதுடன் அவரது இரு கூற்றுக்களும் உண்மையெனக் கொண்டு தேர்தலில் எவர் தெரிவு செய்யப்படுவார் என்பதை உண்மை அட்டவணையைக் கொண்டு
நிர்ணயிக்கவும். (03) பெறுகை முறையோ அல்லது உண்மையட்டவணையையோ பயன்படுத்தி பின்வரும்
வினாக்களுக்கு விடை தருக. (1)
ஒரு நோயாளியை A, B, C என்ற மூன்று வையித்தியர்கள் பரிசோதித்து. நோயாளியின் நிலை குறித்து பின்வரும் கூற்றுக்கள் தெரிவித்தனர். A: நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை இரவில் அதிகரிக்குமாயின் மலேரியா
அல்லது யானைக்கால் நோயால் நோயாளி பாதிக்கப்பட்டிருத்தல் வேண்டும். B: நோயாளி மலேரியா நோயினால் பாதிக்கப்படவில்லை C: இரவில் நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை அதிகரிக்கின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 356)
ஆசிரியர்: க.கேசவன்

மூன்று வைத்தியர்களது கூற்றுக்களும் உண்மையாயின் நோயாளி யானைக் கால் நோயினாலேயே பாதிக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும் எனக் காட்டுக. (04) களவு பற்றிய ஒரு வழக்கு விசாரணையில் A,B எனும் இருவர் சாட்சிய
மளித்தனர்.பியதாச அல்லது மாட்டின் இக்களவில் சம்பந்தப்பட்டிருப்பாராயின் சிறிலும் கமலும் கூட இதில் சம்பந்தப் பட்டிருப்பார்கள் என A கூறினான். சிறில் சம்பந்தப்பட்டிருப்பாராயின் கமல் சம்பந்தப்படவில்லை என Bகூறினான். நீதிவான் பியதாச குற்றவாளி அல்ல எனும் முடிவிற்கு வந்தார். மேற்படி கூற்றின் சாட்சியங்கள் இருவரும் உண்மையே பேசினர் எனின் நீதவானின் தீர்ப்பு சரியானதா? (05) பொருளியலாளர்கள் மானியம் வழங்கல் பற்றி பின்வரும் கருத்துக்களைக்
கூறினார்கள் மானிய வழங்கலில் ஏற்படும் அதிகரிப்பு என்பது உட்கிடையாக மக்கள் கடினமாக உழைப்பார்களே ஆயின் மானிய வழங்கல் அதிகரிக்கப்பட வில்லை என்பதைக் கொண்டுள்ளது. மானிய வழங்கல் அதிகரிக்கும் ஆயின் ஆயினே மக்கள் கடினமாக உழைப்பார்கள்.மேற்கூறிய இரு கூற்றுக்களும் உண்மையெனக் கொண்டு Aயும் B யும் பின்வரும் முடிவிற்கு வந்தனர் A: மானிய வழங்கல் அதிகரிக்கப்படவுமில்லை அத்துடன் மக்கள் கடினமாக
உழைக்கவுமில்லை .B : மானிய வழங்கல் அதிகரிக்கபட்டதோ அல்லது மக்கள் கடினமாக
உழைப்பார்களோ என்பது உண்மையில்லை. ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது.
இருவரினதும் முடிவுகளின் வலிமையை பரிசோதிக்குக. (06) தேவி தன் காதலனைப் பற்றி பின்வருமாறு நினைத்திருந்தாள். அவன்
என்னை விரும்புவானாயின் என்னை மணம் புரிவான். அவன் என்னை விரும்புவான் அல்ல ஆயின் அவன் நாட்டை விட்டு வெளியேற விரும்புவான். அவன் என்னை மணம்புரிய விரும்புவானல்ல எனின் நாட்டைவிட்டு வெளியேற விரும்புவானல்ல. இவ்வாறு தேவி தன் காதலன் குறித்து நினைத்தவை அனைத்தும் உண்மையாயின் தன் காதலன் தன்னை
மணம்புரிய விரும்புவது பற்றி தேவி செய்யக் கூடிய சரியா முடிவு யாது? (07) உண்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் கேள்விகளுக்கு விடை தருக. (1) புவியின் அதிகரிப்பு பற்றி இரு சுற்றாடல் விஞ்ஞானிகள் தமது கருத்துக்களை
பின்வருமாறு தெரிவித்தனர். A என்ற விஞ்ஞானியின் கருத்து.: அடுத்த பத்து வருடங்களின் புவியின் வெப்பம் 5°F களால் அதிகரிக்காது அல்லது புவியின் கரையோரங்கள் நீரில் மூழ்கும். B என்ற விஞ்ஞானியின் கருத்து:- ஒன்றில் புவியின் வெப்பம் 5°Fகளால் அதிகரிக்காது அல்லது புவியின் கரையோரங்கள் நீரில் மூழ்காது. இரு விஞ்ஞானிகளின் கருத்துக்களும் சரியாயின் புவியின் வெப்ப அதிகரிப்புப் பற்றி எடுக்கக் கூடிய முடிவு என்ன?
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
35
ஆசிரியர் : க.கேசவன் |

Page 181
(02) களவு சம்பந்தமான நீதிமன்ற வழக்கொன்றில் A, B எனும் இருவர்
சாட்சியமளித்தனர். A,: அளித்த சாட்சியம் வருமாறு:- சைமன் கதவை உடைத்தான் ஒன்றில்
சொலமன் அல்லது வில்மட் வீட்டினுள்ளே சென்றான். B : அளித்த சாட்சியம் வருமாறு:- சைமன் கதவை உடைக்கவில்லை
ஆயின் ஆயினே சொலமன் வீட்டினுள்ளே சென்றதுடன் வில்மட்
வீட்டினுள்ளே செல்லவில்லை. குறுக்கு விசாரணையின்போது A உண்மை சொல்வதாகவும் B பொய் சொல்வதாகவும் தெரிய வந்தது. இதற்கிணங்க சைமன் சொலமன் வில்மட்
ஆகியோர் பற்றி என்ன முடிவிற்கு வரலாம். (03) A யும் B யும் ஒரு கொலை வழக்கில் சாட்சிகளாக இருந்தனர். A: யூரர்கள் முன்னிலையில் பின்வருமாறு கூறினான் :- ஜோன்
கொலையாளி ஆயின் சரத் அவனுடன் கூட்டு சேர்ந்துள்ளதுடன் பாலனிற்கு இக்கொலையில் எவ்வித சம்பந்தமும் இல்லை. B பின்வருமாறு கூறினான் : சரத்திற்கு கொலைக்கும் எத்தகைய தொடர்பும்
இல்லை என்பதுடன், ஜோன் கொலையாளி அல்ல எனின் பாலன்
இக்கொலையுடன் தொடர்புடையவன். மேற்கூறிய இரு சாட்சியங்களும் உண்மையே பேசுகின்றனர் எனின் ஜோன், கரத், பாலன் என்போர் பற்றி உமது தீர்ப்பு எவ்வாறு இருக்கும்? உண்மையட்டவணையைப் பயன்படுத்தி மேற்கூறிய பிரச்சனைக்கு தீர்வு காண்க.
(04) ராஜா, நிமால், சுனில் என்ற மூவரும் கையாடல் வழக்கொன்றைப்பற்றி
விசாரணை செய்யும் குழு ஒன்றின் முன்னிலையில் சாட்சியமளித்தனர். ராஜாவின் சாட்சியின்படி இராமன் கட்சிக்காரருக்குப் பொய் சொன்னாலும் அத்துடன் கமலுக்கு திருடருடன் எவ்வித தொடர்புமில்லை என்றால் மட்டுமே போல் பணத்தைக் கையாடவில்லை. நிமாலினுடைய சாட்சியத்தின்படி போல் பணத்தைக் கையாடினான் என்பதுடன் ஒன்றில் இராமன் கட்சிக்காரருக்கு பொய் சொன்னான் என்பது பொய் அல்லது கமல் திருடருடன் தொடர்பு வைத்திருந்தான் என்பது உண்மை. சுனிலினுடைய சாட்சியத்தின்படி கமல் திருடர்களுடன் தொடர்பு வைத்திருந்தும் போல் பணத்தைக் கையாடியும் இருந்தால் ஆயினே இராமன் கட்சிக்காரருக்கு பொய் சொல்லவில்லை. இச் சாட்சியங்கள் ஏற்கப்பட்டால் விசாரணைக் குழுவின் தீர்ப்பு எவ்வாறு இருக்கும் தீர்ப்பினைக் கூறுவதற்கு உண்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்துக.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I
358
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(86) பின்வரும் கூட்டு எடுப்புக்கள் எவ்வகையைச் சேர்ந்தவை எனக் கூறுக.
(1) (P -Q) A R
(2) P v (Q-R) (3) (Pv Q) > (R AS)
(4) (P v Q) - R (5) (P - Q) x (R-S)
(6) P ( (QAR) A P] (7) [(P - Q) – P] v R
(8) (P - Q) v - Q (9) [(P - Q] A R] – S (87)பின்வரும் வாதங்களை பெறுகைமுறைமூலம் நிறுவுக. நிறுவ முடியாதவற்றை
வாய்ப்பற்றவை எனக் கூறுக. (அ) (P-> Q).P... Q
(ஆ) (Pு ~ Q). P'. ~ Q (இ) (- P> ~ Q). ~ P: ~ Q (ஈ) (R-S) .R ..S (உ) (Pv Q) – R. (PvQ) ஃ.R (ஊ) - (PNQ) --> ( RAS). ~ (PNQ) ஃ (RAS) (எ) (SvT) –~ (PNQ). (S vT) ஃ ~ (P A Q) ( ஏ) (P Q) . (Q– R) . P: R (ஜ) (P-> Q). (Q - R). (R-S). P... S (ஒ) (P - Q). ~ P... ~ Q
(ஓ ) (P - Q). P: ~ Q. (2) (அ) (P-Q): ~ Q: ~ P (ஆ) (P - Q). Q :. ~ P
(இ) (~ P –~ Q). Q... P (ஈ) (R - s)..~ s '. ~ R (உ) (P vQ) – R. ~ R ... ~ (Pv Q) (ஊ) ~ (PNQ) --> (R NS). ~ (R As) : (P A Q) (எ) (S vT) - ~ (P AQ ). (P A Q): ~ (S v T) (ஏ) (P - Q). (Q - R). ~ R '. ~ P (ஐ) (P -Q). (Q - R). (R -S). ~ S :- P (ஒ) (P -Q). Q ஃ. P
(ஓ) (P - 0). ~ Qஃ.P (3) (அ) (P - Q ). PஃQ
(ஆ) (P > Q). Q'.. P (இ) (P - Q). ~ P '. ~ Q
(ஈ) (P - Q). ~ Q ஃ~ P (உ) ( ~ P - Q). ~ P '. Q.
(ஊ) (- P > Q). P•~ Q (எ) (PvQ) * R. Rஃ (PvQ) (ஏ) (Py Q) = R ~ R.. ~ (Pv Q). (ஐ) P - (Q AR) .P .. (Q A R) (ஒ) (Q A P) * R ~ R : ~ (Q AP)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 3
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 182
() (P v Q) = (R A S). ( P a Q) :. (Ra S). (Ro1) (P v Q ) (RÁ S ) - (P v Q) .. - (R a S) (...) (P - Q ). - P. Q
(4) (91) (P – Q ).(Q + P) . (P + Q).
(as) (P - Q ). (Q + P) .. (Q <> P) (@) ( - P - Q ). (Q -P)... (Q = -P) (A) (P v Q) — R. R> (P v Q):. (P v Q) »R (2) ( - Q - R) .(R + - Q) . (R + - Q) (2m) (R + Q). (Q → -R) . (-R. - Q).
(5) () (P > - Q ). ( - Q → ~R) ( -P + S) R :. S
(a) P → (Q v R ) (Q v R) → S. P . S (a) (-P ~Q ). ( -Q → R). (R + ~ - S). -P ... ~ ~S (#) (P > -Q ). ( - P > -R ). -R → (SVT). Q .. (S v T) (2.) (R — ~P ). ( -P → - S).(T > S). T.. -R
(6) (9) (P A Q ) P (9) (P A Q ) :. Q
(@) ( - P A Q ) .. - P (A) (Q v R)A - P .. -P. (2) - (P + Q) A S .. - (P – Q ). (2m) (P - Q) a - (RAS) .. - (RAS) (67) (P v Q ) - (SVT) ::. (P v Q) (9) (P A - Q) .. - P
(7) (9) P. Q:. (P a Q.). (2) P.Q. (Q - P)
(@) S.R.: (Rn S) (4) P. - (R Q).". - (Ra Q) a P (2) (P, Q). (Q - R) . (P→Q) A (Q - R).
(2M) P. - Q ... ( -.Q - P) (8) (9) P (QAR). (PAS) :. R
() -(S.A R) → P. (-Pa Q) S. (RAS) (@). P → (Q A - R). (SR ) A P. . (- s a P ) (#) (P→Q). (Q - P). (Q P) – S. S (2) (P A Q) R.(S + -P) A R :. (-S a R). (261) ~P → (Q a R). (S -> -R). (-PAT).(-S U) .. (Un T)
|ISTI 6muuslugyli oli GT 601 (UPDmyö I 360. Aflfluit: 6. Gä8616ỞI |

(GT) (PQ) — P. (R A -S). (T - S) (-S- U) . U. () P » (Q - R).S → (R + Q). (Sa P). (R + Q) →T...T
(09) (91) . (P v Q). -P :. Q (as) (P vQ). . -Q P.
(@) (-P v Q) P.:. Q (#) (-P v Q). -Q i.-P (2) (~P v - Q).P. -Q (261) (P - Q) v R. - (P - Q) . -R () (P + Q) V -R. - (P→Q) . -R (9) (P - Q) V -R.R. (Pa Q) (2) - (Pa Q) v - (Ra S). (R A S) ... - (P A Q) (9) (P + Q) v - (R + S). (R –S) . (P + Q) () (P v Q) . P :. - Q (9617) (P v Q).-P. -Q (:.) (-P v Q). Q .. P
(10) (9) P :. (Pv Q) (as) P:. (Q v P).
() P. (Q v ~P)
(A) P ... P v (Q ->R) (2) -P ... (~P v R)
(om) - Q. -Q v (PA R) (1) S: (TU) vs (0) (P a Q) :. (PA Q) v s (2) - (R VS) :. Tv - (R v S) (9) P . (-P v Q). (9) Q:. (R v S)
(11)() P → (Q V -R). (PAR). (Q --S). (S v T) :.T.
(as) (P v Q), R. (RA-P). (-Q v S). (S - T).. (T v U) (@) (PA - Q). Q v (R + S)(RAT) . (S v T) (#) Pv (QA -R). (P-Q) - Q. (R v S). (S --T). (U v -T) (2) (-P v - Q) → -R. -P . -R. ( 26m) (~P v Q) → R.Q... R (61) (Sv -T) U.S..U (G) [(Pa Q) v R]→ - S.R.". - S () (P v Q) → R. (R v S) – T.P.. (T v U) (9) (Pv - Q) → (R v S). (PA -R) :.S () P v (Q - R). (P a R) ... Q.
(12) (9) P :. P
(as) -P .. -P (@) (P a Q) .. (Pa Q) (4) S... S (2) (P - Q) .. (P. →Q) (2) P. Q.
୭l
(61) P.. - P
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 36
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 183
(13), (2) P .. --P
(a) ~ ~ P.. P
() -P . -- -P (A) -- (Pa Q) .. (Pa Q) (2) S .. ~~S
(2m) -T... ---- T (617) - ~~~~S.. -S (14)(9) (P v Q) = (R - S).(PAT) : -- (s v T)
(as) P(Qv R), (P - Q):: -- (R v S). (@) (P, Q). (Q - R). (P, S) .. -- (RAS).
(#) (P - Q) → R. (-RA S) .. ~~~(Po Q) A.S (88) பின்வரும் வாதங்களை பெறுகை முறை மூலம் நிறுவுக
(1) (-Ph Q) »R.R(S— P). -S - (P→Q). R-(Q+ P)
°. -S a (Q = P). (2) (-Pa Q) → (Ra S) (Q --P). Qn (T> -S) :. (-TA Q) (3) (QP)» R. (RAS). (Sa P) → -Q. -(Sa P) a Q (4) (P a Q) = (R A S).P. Q. (T> -S) . (-TA Q) (5) - (-P A - Q) = (R A S). - (Ra S). -P-→ (S –R). - Q->
DI (R S) :. (RS) (6) (-Pa Q). -P - (R – S). Q→ (S-- R). (R» S) > -T
... (-T A Q) (7) P, (Q A -R). (-R +S) A P. (T-S) :(-TA P). (8) p» (-R a S). (T + R) P. -T- (P→Q) S- (Q -P)
.. (P + Q) A S (9) P > (QR).Q (R + Q). (R + Q) → S. (T-> -S)
.(Pa Q) :. -T. (10) P = (Q v R). Pa (R —-P). Q - (S—R).P- (R –S)
(S+ R) a P (11) (-P v Q).-Q Rv P). (R -Q) + (SAT). (U - T)
c. - U (12) P» (Q v -R). (PA - Q). (S -R)-→ (T- U)
.P → (U > T) : PA (U > T). (13) (P» Q) → (Ra S).Tv (P - Q).Uv (Q - P). (-TA -U).
: [(R A S) A -U].
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 362
O, AfuuT: 6. GÆFUGÖT

(14) P (Q→ R). (P a Q). (-R v S). (T > -S).(-T > ) . U (15) (P v - Q) = (R v S'). (T > -) a (P-R)
.-T → (R + S). P→ (S ÞR) : [(S -R) A -R), (16) (PAQ) → (RAS).(PQ) a P. SvT) –U . -- [U(v T)) (17) (P v - Q) → (Rv -S).(- QAS).(T > -R). -- (-Tv V). (18) (P v Q)→(RAS). PA(RT). (Tv Q)— U. (Ua P)→V:. --V (19) (P→Q). Q→ (R a S). (TA P). (TA S) U (U T) (20) (P v Q) → (R v S). (PA -R) . --[(S v T) » R] (21) (P →Q) v (R + S). - (R + s) a p . -- (Q v R) (22) - Pv (Q - R). (Pa Q). (Rv S) – T : -- (T v U) (23) -P → (Q+R). -- (-PAQ).(Rv S) → (TU) . --[(T> 0) ) (24) P→ - (Q→ R). (S v T) + (QR). (S v T) v (U A V).
:( Uy V) – W.P... -- (W v X). (25) (P v Q) = (R A S). (PA -R) ... --[(S VT) a P] (26) (P v Q) = (R v S). (PA -R) :. --(S VT). (27) Pə (QAR). (S-R) AP.(- SvT) (U v V). -U:. -- (VA - U) (28) (P, Q). Pa (R - Q). (-RA Q) → (-P v S) . -- (S VT). (29) (-P v Q) → (Rv S). (Sa P) :. -- (Qv R). (30) (- P - Q). -PA [(Q v R) → (S v P)] .. [~~ (Sv T) A -P] (31) (-po Q). (-P - Q). (Rv S) – T :. --T (32) P(Q+R). (P A -R). (- Q A P) = (-P v T) .. -- (Tv U) |(33) (P→Q). (-PR). - Q.(RA -Q) (SVP).(SVT) → U.. --U (34) P→ (QA-R). Pa [(S—R). (-S v T)+ (U v V).-V. -- (Ua -) (35) (Pv Q) → (Rv S). (SA - P). (T» - Q).(- Tv U) → V .. -- (V A S) (36) (Pa. -P). (Qv R) – s. (Sa P) – (Tv P) . --(TAP) (37) (P-Q) (Ras)] P. Pa (P→Q). (S v T) (U V -R) :. -- U (38) (P - Q). (P→ - Q) ... -P (39) (P + Q). (Q- R). (P -R) :.S
161T6maufuugyjo sibi66T 60I(P60mmuyo I 363
QArfluuir: 6. CÓT

Page 184
(40) (P - Q). (Q - R). (R- S). (P A -S) .T. (41): (P, Q). (Q - R). (R- -P) :-P (42) (-po - Q). (Q - R). (Rv P) :. P (43) P→ (Q+ R). (QA -R) . -P (44) (-p+ Q). (Q+ R). - (S + R) :. P (45) (P - Q) a P - (R— Q) :. S (46) (P v Q). (-PAR') (Q- S). - (T - S) :. U (47) P v (Q R). - (Q – R) :. P. (48) - (Pa Q) v R.- (-Pv - Q) :. R (49) - (P→Q) V - (R+ S). (P + Q) ST (50) - (P - Q). (QA P) :. R. (51) (P – Q). (Q - R) (R+ S). (S» U). - (T > 0) . -P. (52) (P - Q). (Q AR) (PAR) – U- (T > U):. -P (53) (P + Q) → R.Q.. R (54) (P v Q). (Q+ R). (P→ R) P.:. P (55) (P - Q). (Q+ R). (P→ R) → P:.P (56) (P + Q). (Q+ R). (P→ R) S . S (57) (-Pa Q). (R+ S) – P :.-S (58) (-Pa Q). (Q→ -R) —P :. R. (59) (Pa Q). (Q --R) → -p:. R (60) (P + Q) → R. (-R a Q) :.S (61) P.P [(Q R) → sj.(-SAR) :.T. (62) (-p- Q) .. (P v Q). (63) –R → (QA P) . (Qv R). (64) (P v - Q). Q→ (RA - P) . (- Q -R) (65) (~P v Q). - Q → (-R a P) .. (Q v R) (66) (P - Q). (R + S)(-Qv - S) :. (-P v - R) (67) (P→Q)(R — Q) (P v R) . (Q v S)
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ajrfluuit: 6. C48016ÖT

(68) (P (Q+ R). -R :. (Rv P) (69) - (Pa Q) .. (-P v - Q). 70) -[Pa (QR)] ... [-pv -(QR) (71) -[(P, Q) » R] .. - (P + Q) V -R (72) -((P→Q)(R S)]:. [-(P, Q)v -(R- s)] (73) - (P v Q) :. (-P - Q) (74) - [P v (Q - R)] .. [-Pa - (Q+ R)] (75) -[(P - Q) v R]:. - (P→Q) A -R (76) -[(P + Q) v (R – S)]:. [-(P Q) A - (R – S)] (77) (P v Q). (P→ R). (Q, S) :. (S v R). (78) P→ (QA R). (R – S). (P v R) : (Sv Q) (79) (P + Q) ... (Qv -P). (80) -[(P v Q) v R] . - (Pv Q) A -R (81) (P + Q). (Q+ R) . (P→ R) v s] (82) - (P v Q). (R+ Q) .. (-RA -P) (83) (P + Q). (Q + R) :. (P+ R). (84) (-P -- Q).(~Q --R) :. (-P -R) (85) (P Q). (Q + R) .. (-R -P) (86) (-P → - Q). (-Q → -R) ... (R + P) (87) (-P→ - Q).(- Q- -R) :(-P --R) (88) (-P→Q). (Q+ R) :. (-R + P) (89) (-P + Q). (Q R):. (-P + R) (90) (P→ Q). (Q+ R) . (PAS) – R (91), (P Q). (Q+ R) :. P→ (QA R) (92) (P v Q). (Q - R). (R + S) .. (-p — ) (93) -P.(Q+ R) .. (P v Q) → R (94) (P v Q) → (RAS). (SVT) – U :. (P→ U) (95) P→ (QAR). (R+ S) :.P» (Q→ S)
DISTT60aulunuyub siksi66TGOTYPampurb 1365 alfluuir: 5. C58616ỞI

Page 185
(96) P – (Q - R). P → (R + S) : P (QS) (97) P→ (QR). P→ (R» S). P→ (ST) :. P→ (QT) (98) (P v Q) → R. (R+ -S) :. P→ (T> -S) (99) (P v Q) → (Rv S). (S + T) :. (PA -R) → (U -> T) (100) P→ (-QA S). S → (QA S) : P (S > T) (101) (P v Q). (Q+ R). (-RA -P) :. (S-T). (102) (P→ - Q) :. P→ [Q+ (Rs)] (103) (P v Q) = (-Pa S).(S A Q) — R:. (P > T) (104) ~p → (- Q -- R). -R... (-Q+ P) (105) (P v Q) + (RAS). (-S v - Q) .. (Q→ -P) (106) (P→ (QA-R) ... (QR) > -P (107) (P v Q) = (R A -S) :. R→ [S → (T-> -P)] (108) (P + Q) → R ... (-R- - Q) (109) (-P → - Q) → -R :. (R + Q) (110) (P, Q) Q → (R v S) :. (-RA -S) → (-PA - Q) (111) (Q + P). R+ (Pv s) :. (-PA-S) → (-RA - Q) (112) R → (PA Q). Q → (SAR) :. (SA -P) → (Re Q) (113)P→ (Ra Q). Q→ (RAS) :. P→ (S - Q) (114) (P Q) → R. (PA - Q) → -R :. P→ (Q+ R). (115) P (Q v R). R— (QA P). (Q - R) :. R → (P+ Q). (116) P, (Q - R). --(Pv R). (P→ Q) :. (S v R). (117) (P - Q) v (PAR).(- Q- -P) : R (118) (P v Q) → R. (SVT) — R. (Pv S) .R (119) (P + Q) → Q.(Q+ P) :.P (120) (P + Q). (R + S). (S – T). (Pv R) :. (Q v T) (121) (-PA - Q) :. R→ (Q+ P) (122) (P + Q). (R>' S). (P v R).(P→ ~S)a (R> - Q) . (- Q - S) (123) (Pa Q) + (Pv Q) :R – (QP)
16T16mauiuugypo alebGT 60I(Pompuyo 366
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

(124) (-P + Q). (RAQ) .. (P→ R) + Q
(125) (P + Q) → R. -R... (Q+ P)
• (126) (-Q v R) → -P. (P→ R) . P > (SAT)
(127) (P → (QR) .. -R- (-PV - Q) (128) (P - Q) → (R-S) (Pa R) (QS) (129) (P→ Q) -> (R+ S) ... (R P) → (-Q v S) (130) (-p- Q) → (-R+ S)(-QA - S) + (P→ R) (131), (-p-> - Q) → (R – S) : (PAR) → (Q→ S) (132) - (Pa Q) → (-P v - Q) (-P-- Q) → (P v Q) (133) - (P v Q) → (-PA - Q) ... - (PAQ) → (-P v - Q) (134) - ((P→Q) » R]-[-(PQ) V -R.:((P→Q) → (-Q~ -P) (135) -[(Pv Q) v R]-[-(P v Q) a ~R]:. [(-P- Q) → (Pv Q)). (89) பின்வரும் தேற்றங்களை பெறுகை முறை மூலம் நிறுவுக. 01. [P-(Q→ R)] + ((P→Q) → (P→ R)) 02. [P> (Q - R)→ I(Q(P + R) 03. (P - Q) → (-Q→ -P) 04. - P- (P, Q) 05. - (P, Q) → .-Q06. - (P, Q) P 07. (Pv Q) + (-P-- Q) 08. - (P, Q) → (-Pv - Q) 09. - (Pv Q) → (-PA -Q) 10. -[(Pa Q) v R]+ (- (P a Q) A -R] 11. -((P→Q) » R]-[-(P + Q) v •R] 12. [(P, Q) v (R + s)] + [ -(P, Q) A- (R s)] 13. [- (Pe» Q) v-R]-[(P + Q) » R] 14. {P> [Q(R- S)]}- {R -[P → (Q - s)]} 15. [[P a Q) → (Rv S)] + {P + [Q (R + S)]} * 16. (Pv Q) → (R- S)] + {Q – [P → (R- S)]} 17. [(PA - Q) → (-Q+ R) →]-[P → (- Q - R)] 18. [(P, Q) → Q] - [(Q - P) – P]
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 186
19. (P- (Q– R )] [Q– (P - R)] 20. (P- (Q - R) - ((PA Q) – R] 21. ~ [(P- Q) A R] - [~ (P-> Q) v ~ R] 22. (( - P - Q) - (P vQ)] - [~ (P v Q) - (- P A~ Q)] 23. [- (PNQ) - (- P v - Q)] - [(PvQ) - (- P-> Q )] 24. {[(P- Q) - Q] A(Q- P)} – (R - P) 25. ~ [(P - Q) A~ (R - S)1- ~ ((P - Q) v (R - S)] (90) பின்வரும் வாதங்களை உய்த்தறி முறையின் மூலம் நிறுவுக. 01. (P - Q). (Q- R). (P+ R) –s '. S 02. (Pv Q) - R. P. (P-> R) - Sஃ.(S A P) 03. (PvQ) – R (P N S). (S-R) – T: ~~T 04. (P -Q) (R - s) (Q AR) ஃ. S 05. (P -> Q) -> ~ R. Q'.~ R 06. (P A Q) - R. ~ (~ R v ~ Q) : R 07. (P A Q) - (R v S). ~ (- Pv ~ Q) A ~ R :.S 08. R (S A ~ P). ~ (~ R v Q): S 09. (P ->~ Q) –(R AS) ~ Qஃ ((S v T) A ~ Q] 10. ( P Q) - R. (P A Q) ஃ. R
///40) :-/u/0-)
(91)பின்வரும் வாதங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உமது சுருக்கத்திட்டத்தைக்
கூறி குறியீட்டில் அமைத்து எடுகூற்றுகளிலிருந்து முடிவினைப் பெறுவதன் மூலம் அலை வாய்ப்பானவை எனக் காட்டுக. கொழும்பு இலங்கையின் தலைநகர் என்பது உண்மை எனின் பேராதனை கொழும்பில் இல்லை. ஆகவே பேராதனை கொழும்பில் இருக்கின்றது
எனத் தரப்படின் கொமும்பு இலங்கையின் தலைநகர் அல்ல. 2. அ குறைய ஆ கூடுமெனில், ஆ கூடினால் அ குறையும் என்பது சரியாகும். 3. அளவையியல் இலகுவானது. அளவையியல் இலகுவானது எனின் A சித்தியடைவான். A சித்தியடைந்தால் A க்கு வேலை கிடைக்கும். ஆகவே
A க்கு வேலை கிடைக்கும்." 4. வெள்ளி அழகியது எனின் அது பூமிக்கண்மையில் உள்ளது. அது
பூமிக்கண்மையில் உள்ளதெனின் வெள்ளியில் உயிர்கள் உள. ஆகவே வெள்ளியில் உயிர்கள் இல்லை எனின் அது அழகியது அல்ல பொல்காவலையிலுள்ள மதகுகள் மூடப்பட்டிருந்தால் தொடர்ந்து மழை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

பெய்யுமாயின் வெள்ளம் வரும். தொடர்ந்து மழை பெய்யுமாயினே பொல்காவலையிலுள்ள மதகுகள் மூடப்படும். ஆகவே பொல்காவலை மதகுகள் மூடப்படும் எனின் வெள்ளம் வரும்.
அரசாங்க சேவையில் ஊழல் இல்லை என்பது தரப்பட்டிருப்பின் நாட்டில் ஊழல் இருக்கிறது என்பது உண்மையாகாது. அரசாங்க சேவையில் ஊழல் இல்லையெனில் அரசாங்க உத்தியோகத்தர் கொழுத்த சீதனம் பெறுவர். நாட்டில் ஊழல் இருக்கின்றது. ஆகவே அரசாங்க ஊழியர்
கொழுத்த சீதனம் பெறுவர். 7. பேராதனையில் பரீட்சை நடாத்தப்படும் ஆயினே, அது விளையாட்டரங்கில்
நடாத்தப்படும். பரீட்சை மேற்பார்வையாளர்கள் கொழும்பை சேர்ந்தவராயின் பேராதனையிற் பரீட்சை நடாத்தப்படமாட்டாது.பரீட்சை மேற்பார்வையாளர்கள் கொழும்பை சேர்ந்தவராவர். ஆகவே விளையாட்டரங்கில் பரீட்சை நடாத்தப்படமாட்டாது. அவன் தன்னை சுட்டிருந்தால் அவன் வீட்டுக்குப் போகவில்லை. அவனிடம் காசிருந்தால் அவன் வீட்டுக்குப் போயிருப்பான். அவன் தன்னை சுட்டான் என்பது நிச்சயம். அவனிடம் காசு இருந்தது. ஆகவே அவன் தன்னுடைய மனைவியோடு சண்டை பிடித்திருந்தான் என்பது வெளிப்படை. "X" கூட "Y" குறையுமெனின், "Y" "X" இன் சார்பு ஆகும். ஆகவே
"Y" "X" இன் சார்பு இல்லையெனின் "Y" குறையாது. 10. மே மாதத்திற்கு முன் மழை இல்லையெனில் சிறுபோக நெற்செய்கை நடவாது. சிறுபோக நெற்செய்கை நடைபெற்றிருக்கின்றது. ஆகவே மே மாதத்திற்கு முன் மழை பெய்திருக்கின்றது அல்லது நீர் இல்லாமல்
நெல் விளைவிக்கும் உபாயம் ஒன்று கண்டு பிடிக்கப்பட்டுள்ளது. 11. அவன் புகை பிடிக்கிறான் எனின், அவனுக்கு புற்று நோயும் இருதய
நோயும் வரும் எனத் தரப்பட்டால், அவனுக்கு புற்று நோய் ஏற்படவில்லை
எனின் அவன் புகை பிடிக்கவில்லை என்பது பெற்பபடும். 12. “அவள் விவாகஞ் செய்தாலன்றி தொடர்ந்து படிப்பாள் அவள் தொடர்ந்து
படிக்கவில்லை ஆயின் ஆயினே விடுதியை விட்டு விலகுவாள். ஆகவே விடுதியை விட்டு விலகியிருந்தால் அவள் விவாகம் செய்துவிட்டாள். அவன் கொழும்புக்கு போனான் எனினும் அவன் பணிப்பாளரை சந்திக்கவில்லை. அவன் பணிப்பாளரை சந்திக்கவில்லை ஆயின் பணிப்பாளர் அவனை சந்திக்கவில்லை.பணிப்பாளர் அவனை சந்திக்கவில்லை ஆயின் அவனுக்கு இடமாற்றம் கிடைக்கவில்லை. எனினும் அவன் கொழும்புக்கு போனான் ஆயின் அவனுக்கு இடமாற்றம் கிடைக்கும். ஆகவே அவன்
வவுனியாவிற்கு இடமாற்றம் செய்யப்படுவான். 14 x ஐக் கட்டுப்படுத்தினால் x,y எனும் இரண்டும் கூடும் எனத் தரப்பட்டால்
y, x இன் சார்பு என்பது தரப்படின் y கட்டாயம் கூடும். 15. எல்லா வயல்களும் இப்போது விதைக்கப்பட்டால் நல்ல அறுவடை வரும்.
நல்ல அறுவடை வந்தால் விவசாயிகளுக்கு நல்ல காலம். ஆனால் விவசாயிகளுக்கு நல்ல காலம் இல்லை. ஆகவே எல்லா வயல்களும்
இப்போது விதைக்கப்படவில்லை. 16 இங்கு இராமனுக்கு மாம்பழங்கள் கொடுக்கப்படுகிறது அல்லது விடுதலை
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 369
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 187
க்கு வீடு செல்ல அனுமதிக்கப்படுகின்றான் ஆயினே, இராமன் மகிழ்ச்சி அடைவான். இராமன் மகிழ்ச்சி அடைகின்றான் என்பதோடு அவன் விடுதலைக்கு வீடு செல்ல அனுமதிக்கப்படவில்லையென்பதும் உண்மை.
ஆகவே இங்கு மாம்பழங்கள் கொடுக்கப்படுகின்றது. 17. காலி மிகவும் தூரத்தில் உள்ளது என்பதோடு மாத்தளை மிகவும்
கிட்டியுள்ளது. ஆகவே கண்டி ஈரலிப்பானதெனின் மாத்தளை மிகவும்
கிட்டியுள்ளது என்பது கம்பளை உலர்ந்தது எனின் பெறப்படும். 18. மழை வருகின்றது ஆனால் அறுவடை அழிந்தது. விவசாயிக்கு நல்ல காலம் இல்லை ஆயினே அறுவடை அழிகிறது. உணவின் விலை அதிகம் ஆயினே விவசாயிக்கு நல்ல காலம் இல்லை. மழை வரும் எனின் உணவு விலை அதிகம் இல்லை. ஆகவே இராமன் அரசன் எனின்
இராவணன் இராணி ஆகிறான். 19. இவ்வாண்டு பருவத்தில் மழை பெய்தால் நவம்பரில் விதைத்தால் தையில்
அறுவடை செய்யமுடியும். தையில் அறுவடை செய்யமுடியாது ஆகவே நவம்பரில் விதைத்தால் இவ்வாண்டு பருவத்தில் மழை பெய்யாது. 20. பியதாச கவனமுடையவனும் புத்தியுள்ளவனும் எனின் கவனமாயிருந்தால்
பரீட்சையில் சித்தியடைவதோடு அவனுக்கு நல்ல தொழில் கிடைக்கும். பியதாச கவனமுடையவனும் புத்தியுள்ளவனும் ஆவான். ஆகவே அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைவான் அல்லது அவனுக்கு நல்ல தொழில்
கிடைக்கும். 21. சிவராமன் தேர்தலில் வெற்றி பெற்றால் ஜயசேன இரண்டாவதாய் வருவான் என்பதுடன் ஜயசேன இரண்டாவதாய் வந்தால் விஜேபால மகிழ்ச்சிய டைவான். ஐயசேனா இரண்டதவதாகவரான் அல்லது விஜேபால மகிழ்ச்சியடையான் என்பது உண்மை. ஆகவே சிவராமன் தேர்தலில்
வெற்றி பெறான். 22.
தொழில்கள் அதிகம் இருந்தால் வாழ்க்கைத்தரம் உயரும். பணம் இருக்கும் ஆயினே அபிவிருத்தி திட்டங்கள் ஆரம்பிக்கும். வாழ்க்கைத்தரம் உயரும் ஆயின் அபிவிருத்தி திட்டங்கள் ஆரம்பிக்கும். ஆகவே தொழில்கள் அதிகம்
இருந்தால் பணம் இருக்கும். 23. வாழ்க்கைச்செலவு அதிகம் ஆயின் கூலிகள் அதிகம் வாழ்க்கைச் செலவுகள்
அதிகம் அல்லது விலைக்கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன. விலைக்கட்டுப்பாடு உளதெனின் பொருட்கள் பற்றாக்குறை உண்டு. ஆனால் பொருட்கள்
பற்றாக்குறை இல்லை. ஆகவே கூலிகள் அதிகம். 24. நேர்மையே செம்மையானது அல்லது மக்களுக்கு நேர்மையாய் இருக்க
விருப்பமில்லை. நேர்மையற்றவர்கள் வளமாய் உள்ளனர் எனின் நேர்மை செம்மையானதல்ல. ஆகவே மக்களுக்கு நேர்மையாயிருக்க விருப்பம்
என்றால் நேர்மையற்றவர்கள் வளமாய் இருக்கவில்லை. 25. மாணவர்கள் இறுக்கிப் படிக்கிறார்கள் அல்லது பரீட்சையில் தவறுகிறார்கள்
ஆயின் அவர்கள் விரிவுரைக்கு வருகிறார்கள் என்பதுடன் கவனமாய் குறிப்பெடுக்கிறார்கள் அல்லது அவர்களுக்கு நல்ல ஞாபகசக்தி உண்டு எனின் எல்லாப் பாடங்களிலும் அவர்களுக்கு நல்ல புள்ளி கிடைக்கின்றது. ஆகவே மாணவர்கள் இறுக்கிப்படித்தால் எல்லாப் பாடங்களிலும் அவர்களுக்கு நல்ல புள்ளி கிடைக்கின்றது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 370
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

30
26. அவன் பல்கலைக்கழகத்திற்கு போவான் அல்லது வேலையை ஏற்பான்,
ஆனால் இந்தவருடம் திருமணம் செய்யான். அவன் பல்கழைக்கழகத்திற்குப் போனால் இந்த வருடம் திருமணம் செய்யான் ஆகவே அவன் இந்த
வருடம் திருமணம் செய்யான். 27. பூமி தட்டையானதாகவோ அல்லது சந்திரன் கோளவடிவமானதாகவோ
இருக்குமெனில் சூரியன் பூமியைச் சுற்றி வருவதோடு சந்திரனும் சூரியனைச் சுற்றி வரும், ஆனால் சூரியன் பூமியைச் சுற்றி வராது. ஆகவே சந்திரன்
கோளவடிவமானது அல்ல. 28. அன்னங்கள் வெள்ளை நிறமாகவும் காகங்கள் கறுப்பு நிறமாகவும் இருப்பின்
அன்னங்கள் வெள்ளை என்றால் வானம் நீலமாகவும் பூமி தட்டையாகவும் இருக்கும். அன்னங்கள் வெள்ளை நிறம், காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆனால் குதிரைகள் கறுப்பு நிறம். ஆகவே வானம் நீல நிறம் அல்லது பூமி
தட்டை 29.
பீட்டர் சோம்பேறி அல்லது அவன் முட்டாள் அல்ல. எப்படியாயினும் அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைந்தால் அவன் சோம்போறியல்ல ஆகவே பீட்டர் முட்டாளாக இருப்பின் அவன் பரீட்சையில் சித்தி பெறான். ஒன்றில் அவன் பாடசாலைக்குப் பஸ்ஸில் சென்றான் அல்லது நடந்து சென்றான். அவன் நடந்து சென்றாலோ அல்லது டக்ஸியில் சென்றாலோ பாடசாலைக்கு தாமதித்துச் செல்வதுடன் முதற் பாடத்தையும் தவற
விட்டுவிட்டான். அவன் தாமதாகவில்லை. ஆகவே அவன் பஸ்சில் சென்றான். 31. திருமணம் நடைபெறுமாயின் அவள் மணப்பெண்ணாவாள். ஒன்றில் அவள் மணப்பெண்னாவாள் அல்லது விமானப் பெண் ஆவாள் ஆனால் இரண்டுமாக அல்ல. ஆகவே திருமணம் நடைபெறுமாயின் அவள் ஒரு
விமானப் பணிப்பெண் ஆவாள். 32. பொருளாதாரம் வளமானதாயிருந்தால் அவன் விரும்புவானாயின் ஒலிம்பிக்
விளையாட்டுக்களை அந்நாட்டில் நடத்த முடியும். ஒலிம்பிக் விளையாட்டு களை நடாத்த முடியாது. ஆகவே ஒன்றில் பொருளாதாரம் வளமா
னதாயில்லை அல்லது அவன் அதனை விரும்பவில்லை. 33. பச்சை சிவப்பு என்பதோ அல்லது நீலம் பச்சை என்பதோ உண்மையல்ல.
பச்சை சிவப்பு அல்லது நீலம் பச்சை என்ற இரண்டும் பொய்யாயின் உலகில் அந்தம் இலங்கையில் இல்லை. ஆனால் உலகின் அந்தம்
இலங்கையில் உள்ளது. ஆகவே இலங்கை உலகின் அந்தத்தில் உள்ளது. 34. அவள் அழகுராணியாவாள் எனில் அவள் நடிகையாவாள். அவள்
நடிகையாவாள் எனின் அவள் ஒன்றில் பணக்காரியாவாள் அல்லது புகழ்பெறுவாள். ஆகவே அவள் பணக்காரியாகவும் புகழ்பெற்றவளாகவும் ஆகவில்லையெனில் அவள் அழகுராணியாகவுமில்லை நடிகையாக
வுமில்லை. 35. பேரவாவி மாசடையுமாயின், அதன் சுற்றாடல் மாசடைவதுடன் சிங்கித்தி
நந்தவனமும் உடல்நலத்திற்கு தீங்கு விளைவிக்கும். ஆகவே பேரவாவி மாசடையுமாயின் சிங்கித்தி நந்தவனம் அல்லது விகாரமகாதேவிப் பூங்கா உடல் நலத்திற்குக் கேடு விளைவிக்கும். 36. குற்றம் சாட்டப்பட்டவர் குற்றவாளியென நீதிபதியும் யூரர்களும் ஒருமித்த
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 /371 - ஆசிரியர்: க. கேசவன் |

Page 188
கருத்துடையவர்களென அனுமானித்துக் கொள்ளின், நீதி கிடைக்கும். ஆனால் நீதி கிடைக்கவில்லை. ஆகவே குற்றஞ்சாட்டப்பட்பவர் குற்ற
வாளியாயின் நீதிவானும் யூரர்களும் ஒருமித்த கருத்துடையவராயிருப்பார். 37. கடிதம் கிடைக்குமாயின், ஒன்றில் நான் உல்லாசப்பயணம் மேற்கொள்வேன்
அல்லது விடுமுறை கிடைக்காது. நான் உல்லாசப்பயணம் மேற்கொள் வேனாயின் சுனில் அல்லது விமல் என்னைச் சந்திப்பார். சுனிலோ அல்லது விமலோ என்னை சந்திக்கவில்லை. ஆகவே நான் விடுமுறையிற்
சென்றேனாயின் கடிதம் கிடைக்கவில்லை. 38.
காளிதாசர் மேகதூதத்தை இயற்றவில்லை என்றால் மட்டுமே ஒன்றில் மேகங்கள் தூதுவர்களாக மாட்டார். அல்லது கவிஞர்கள் கற்பனைக்கதை சொல்பவர்களாவர். காளிதாசர் மேகதூதத்தை இயற்றியவராயின் கவிஞர்கள் கற்பனைக்கதை சொல்பவர்களாவர். ஆகவே காளிதாசர் மேகதூதத்தை இயற்றியவராயின் காளிதாசர் சிகிரியாவின் காசியப்பனாவாரென்பதுடன்
சிகிரிய சுவலோவிய இளநங்கைகள் மேகங்களாவர். 39. பூமி கோளவடிவமானது என்று தரப்படின், சூரியன் ஒரு பெரிய நட்ச
த்திரமாயின் பூமி ஒரு கிறிய கிரகமாகும். சூரியன் ஒரு பெரிய நட்சத்திரம் என்பது தரப்படின், பூமி ஒரு சிறிய கிரகமாயின் யூப்பிட்டர் ஒரு பெரிய கிரகமாகும். ஆகவே பூமி கோளவடிவமானது என்பது தரப்படின் யூப்பிட்டர்
ஒரு பெரிய கிரகம் ஆயினே சூரியன் ஒரு பெரிய நட்சத்திரம் ஆகும். 40. அளவையியல் ஒரு கடினமான பாடம் ஆயின் பலரும் கணிதத்தில் சித்தி
பெறார். கணிதத்தைப் பயில்வதற்குப் பாடநூல்கள் தட்டுப்பாடு இல்லா திருந்தால் பலரும் கணிதத்தில் சித்தி பெறுவார்கள். ஆகவே கணிதத்தைப் பயிலுவதற்கு பாடநூல்கள் தட்டுப்பாடு இல்லாது இருந்தால் தர்க்கம் ஒரு
கடினமான பாடம் அல்ல. 41.
விவசாய இரசாயனப் பொருட்களின் பயன்பாடு உண்டெனின் அல்லது சூழல் மாசடைகிறது ஆயின் புற்று நோயாளர்களின் எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்பு ஏற்படும். அத்துடன் இருதய நோயாளர்களின் எண்ணிக்கையும் அதிகரிக்கும். புற்று நோயாளர்களின் எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்பு உள்ளது அல்லது பெருந்தொகையானோர் புகை பிடிப்பவர்கள் என்பது உண்மை யாயின் சுகாதார சேவையின் செலவில் அதிகரிப்பு ஏற்படும். ஆகவே விவசாய இரசாயனப் பொருட்களின் பயன்பாடு உண்டெனின் சுகாதார
சேவையின் செலவில் அதிகரிப்பு ஏற்படும். 42. நாய் குரைக்காதெனின் அது கடிக்கும் அத்துடன் அது பயமடையுமெனினும் கடிக்கும். ஆகவே அது குரைக்குமெனின் அது பயப்பட்டள்ளது என்பது
உண்மையாயின் அது கடிக்கும். 43. புல் பச்சை நிறமாயின் ரோஜா மலர் சிவப்பு நிறமாயின், ரோஜா மலர் சிவப்பு நிறமாகும். ரோஜா மலர் சிவப்பு நிறமாயின் புல் பச்சை சிறமாகும்.
ஆகவே புல் பச்சை சிறமாகும். 44. ஒன்றில் மழை பெய்யும் அல்லது உணவுப் பற்றாக்குறை ஏற்படும். மக்கள் பசியினால் மடிவர் அத்துடன் உணவுப் பொருட்களின் விலை உயரும். மக்கள் பசியினால் மடிவாராயின் மழை பெய்யாது. மழை பெய்வதுடன் பாதைகள் நீரில் மூழ்கும். ஆகவே பஞ்சம் உண்டாகும்.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

45. செவ்வாய்க் கிரகத்தில் உயிர்கள் இல்லை. வியாழனிலும் உயிர்கள்
இல்லை. ஆகவே வியாழனில் உயிர் இருக்கும் ஆயின் ஆயினே செவ்வாய்க்
கிரகத்தில் உயிர்கள் இருக்கும். 46. சந்திரனில் உயிர்கள் இருக்குமாயின் அல்லது சந்திரனில் பல எரிமலை
வாய்கள் இருக்குமாயின் சந்திரனுக்கு மனிதன் செல்ல முடியும் ஆனால் செவ்வாய்க் கிரகத்திற்கு செல்ல முடியாது. செவ்வாய்க் கிரகத்திற்கு மனிதன் செல்ல முடியாதாயின் அல்லது அவனுக்கு வியாழனில் குடியேற முடியுமாயின் தொழினுட்பவியல் மேலும் முன்னேறும். ஆகவே தொழில்நு ட்பவியல் முன்னேறுமாயினே சந்திரனில் முயல் இருக்கும். 47. ஒன்றில் மிருகங்கள் வெறும் பௌதீகப் பொருட்கள் அல்லது அவை வேதனையை உணரும். மிருகங்கள் வேதனையை உணர்வதோ அவற்றிற்கு ஆன்மா இருப்பதோ உண்மையாயின் அவற்றின் இறைச்சியை உண்பதற்காக அவற்றை வெட்டாதிருக்கும் அதேவேளை அவற்றின் உயிர்களை பாதுகாப்பது மக்களின் கடமையாகும். மிருகங்கள் வெறும் பௌதீகப் பொருட்கள் என்பது உண்மையல்ல. ஆகவே அவற்றின் இறைச்சியை உண்பதற்காக அவற்றை வெட்டக் கூடாது. 48. ஒன்றில் கொழும்பு பெரிய நகரமல்ல அல்லது கண்டி ஒரு சிறிய நகரம்.
ஒன்றில் கொழும்பு பெரிய நகரம் கண்டி ஒரு சிறிய நகரமல்ல. ஆகவே கண்டி ஒரு சிறிய நகரமாயின் ஆயினே கொழும்பு பெரிய நகரமாகும். 49. ஈரான் குவைத்தைத் தாக்குயாயின் லிபியாவும் குவைத்தைத் தாக்கும்.
எகிப்து குவைத்தைத் தாக்கினால் ஈராக்கும் அவ்வாறே செய்யும். ஒன்றில் ஈராக் அல்லது எகிப்து குவைத்தைத் தாக்கும் ஆனால் ஈராக்கும் எகிப்தும் குவைத்தைத் தாக்கும் என்பது உண்மையல்ல. ஆகவே ஈராக்கும்
லிபியாவும் குவைத்தைத் தாக்கிய போதும் எகிப்து குவைத்தைத் தாக்காது. 50. பூமி சூரியனையும் சந்திரனையும் சுற்றிச் சுழல்வதாயின் ஆயினே பூமி
சூரியனை அல்லது ச்நதிரனைச் சுற்றி சுழல்வது உண்மையாகும். ஆகவே பூமி சந்திரனைச் சுற்றி சுழல்வதாயின் அயினே அது சூரியனையும் சுற்றிச்
சுழல்கின்றது. 51. அவனுக்கு தொழில் கிடைப்பதுடன் அவன் விரைவிற் திருமணமும் செய்து
கொள்வானாயின் அவனுக்கு வேலைப்பளு அதிகமாயிருக்கும். அவனுக்கு வேலைப்பளு அதிகமாயின் அவனது கல்வி பாதிக்கப்படும். அவன் விரைவில் திருமணம் புரிவான் ஆனால் அவனது கல்வி பாதிக்கப்படாது. ஆகவே அவனுக்கு தொழில் கிடைக்க மாட்டாது. அவனுக்கு தொழில் கிடைக்காது போயினோ அல்லது நல்ல கல்வி கிடையாது போயினோ நல்ல திருமணத் தொடர்பு கொள்ள அவனுக்கு இலகுவானதாயிராது. அவனுக்கு திருமணத் தொடர்பு கொள்வது இலகு வானதாயுள்ளது. ஆனவே அவனுக்கு நல்ல கல்வி கிடைத்திருத்தல் வேண்டும். 53. சிறுவர்கள் நாளாந்தம் பாடசாலைக்குச் செல்லுபவர்களாகவோ அல்லது
பிரத்தியேக கல்வி பெறுபவர்களாகவோ இருப்பின் முயற்சியுடன் கல்வி பயில்வார்களேயாயின் அவர்கள் பரீட்சையில் இலகுவாக சித்தியடைதல் கூடும். அவர்கள் பரீட்கையில் இலகுவாக சித்தியடைய முடியாதவர்களாக அல்லது விளையாட்டிற்கு அதிக நேரத்தை செலவிட வேண்டியிருப்பது
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க. கேசவன்.

Page 189
உண்மையாயின் அவர்கள் நாளாந்தம் பாடசாலைக்குச் செல்லுபவர்க ளாகவும் முயற்சியுடன் கல்வி பயில்பவர்களாகவும் இருப்பர். ஆகவே
அவர்கள் பரீட்சையில் இலகுவில் சித்தியடைவர். 54. நான் ஒரு வியாபாரியாயின் நான் செல்வந்தன் ஆவேன். நான் இசை
பயில்வேனாயின் நான் சந்தோஷமாக வாழ்வேன். நான் ஒரு வியாபாரி அல்லது இசை பயிலுபவன் என்பது உண்மையாகும். எவ்வாறாயினும் நான் ஒரு வியாபாரியாயின் நான் சந்தோஷமாக வாழ முடியாததுடன் நான் இசை பயில்வேனாயின் நான் செல்வந்தன் அல்லன். அகவே நான்
செல்வந்தன் அல்லன் ஆயின் ஆயினே நான் சந்டிதோஷமாக வாழ்வேன். 55. செவ்வாயில் உயிரினங்கள் உள்ளன என்ற அடிப்படையில் செவ்வாயின்
வெப்பநிலை புவியின் வெப்பநிலையைப் போல் இருக்குமாயின், செவ்வாயின் வெப்பநிலை புவியின் வெப்பநிலையைப் போல் இருக்கும் என்பது உண்மையாகும். அங்குள்ள வெப்பநிலை புவியின் வெப்பநிலையைப் போல் இருக்குமாயின் செவ்வாயில் உயிரினங்கள் உள்ளன. ஆகவே
அங்கு உயிரினங்கள் உள்ளன. 56. சுற்றாடல் மாசு அதிகரிக்குமாயின் புவியின் வெப்பம் அதிகரிக்கும். புவியின்
வெப்பம் அதிகரிப்பதோ அல்லது மக்களின் சுகாதாரத்துக்கு தீங்கு ஏற்படுவதோ சுற்றாடலுக்கு தீங்கு தரும் தொழிற்சாலைகளும் யுத்த தளபாட ங்களும் அதிகரிக்குமாயினே சுற்றாடல் மாசு ஏற்படும். ஆகவே சுற்றாடலுக்கு
தீங்கு தரும் தொழிற்சாலைகள் அதிகரிக்கும். 57. நாட்டிற் சமாதானம் நிலவுமாயின் பொருளாதார அபிவிருத்தி ஏற்படும்.
அரசிடம் படைபலம் இருக்குமாயின் நாட்டிற் கலவரம் குறையும் என்பது உண்மை. நாட்டில் கலவரம் குறையுமாயின் சுற்றுலாத் தொழில் வளரும். நாட்டில் சமாதானம் அல்லது படைபலம் இருக்கிறது. ஆகவே பொருளாதார
அபிவிருத்தி அல்லது சுற்றுலாத்தொழில் வளரும் என்பது உண்மை. 58. சுக்கிரனும் சனியும் சூரியனைச் சுற்றிச் சுழல்கின்றனவெனின் சந்திரன்
புவியைச் சுற்றிச் சுழல்கின்றது. ஆகவே சனி சூரியனைச் சுற்றி சுழலுமாயின் சந்திரன் புவியைச் சுற்றிச் சுழலும் என்பது உண்மையாயினே சுக்கிரன்
சூரியனைச் சுழல்கின்றது. 59. ஒன்றில் செவ்வாய்க் கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இருப்பதுடன் செவ்வாயில்
உயிரினங்கள் இருப்பதாக விஞ்ஞானிகள் அறிய மாட்டார்கள் அல்லது செவ்வாய்க் கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இருப்பதுடன் செவ்வாய்க்கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இருப்பதாக மக்கள் நம்புகிறார்கள். செவ்வாய்க்கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இருப்பதாக விஞ்ஞானிகள் அறியாதிருப்பின் செவ்வாய்க் கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இல்லை. ஆகவே செவ்வாய்க் கிரகத்தில் உயிரினங்கள் இருப்பதாக மக்கள் நம்புகின்றார்கள். 60. மனிதன் சந்திரனுக்குச் சென்றால் மட்டுமே சந்திரனில் முயலைக் காணலாம் என்பது உண்மையல்ல. மனிதன் சந்திரனுக்குச் செல்கிறான் ஆகவே
சக்கர தெய்வத்தினால் சந்திரனில் முயல் வரையப்பட்டுள்ளது. 61. சிறி தேர்வில் சித்திபெற்றால் அல்லது அவனுக்கு தொழில் கிடைத்தால்
அவன் ரமணியை மணப்பான். சிறிக்கு நல்ல சீதனம் கிடைத்தால் அல்லது அதிஷ்ட சீட்டுவிழுந்தால் அவன் ரமணியை மணப்பான். ஒன்றில் சிறி
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

தேர்வில் சித்திபெறுவான் அல்லது சிறிக்கு நல்ல சீதனம் கிடைத்திருக்கும் ஆகவே சிறி ரமணியை மணப்பான் போராயுதங்கள் உற்பத்தி செய்யப்படும் ஆயின் ஒன்றில் உலக சமாதா னத்திற்கு பங்கம் நேரிடும் இல்லை எனின் உலகில் வறுமை அதிகரிக்கும். உலகில் வறுமை அதிகரிக்குமாயின் உலக சமாதானத்திற்கு பங்கம் நேர்வதுடன் போர் ஆயுதங்கள் உற்பத்தி உலக சமாதானத்திற்கு பங்கம் நேரும் ஆயின் உலகின் வறுமை அதிகரிக்கும். ஆகவே போர் ஆயுதங்கள்
உற்பத்தி செய்யப்படுமாயின் ஆயினே உலக சமாதானத்திற்கு பங்கம் நேரும். 63. அறிவும் முயற்சியும் இருக்குமாயின் ஒருவன் முன்னேறலாம். அறிவு இருந்து
முயற்சியில்லையாயின் முன்னேற முடியாது ஆகவே அறிவிருந்தால்,
முயற்சியும் இருக்குமாயின் ஆயினே ஒருவன் முன்னேறலாம். 64.
ஒன்றில் நாட்டில் சமாதானம் இருக்கின்றது அல்லது சமாதானத்திற்குத் தேவையான முயற்சிகள் எடுக்கப்படவில்லை. நாட்டில் தலைவர்கள் தூர நோக்கமற்றவர்களாயின் நாட்டில் சமாதானம் இல்லை. ஆகவே நாட்டில் தலைவர்கள் தூரநோக்குடையவர்கள் ஆயினே சமாதானத்திற்குத் தேவை
யான முயற்சிகள் எடுக்கப்பட்டுள்ளது. 65. அவன் முயற்சியுடையவன் ஆயின் அவன் ஆசிரியரின் அல்லது பெற்றோரின்
அன்பைப் பெறுவான். அவன் பெற்றோரின் அன்பைப் பெறுவானாயின், அவன் ஆசிரியரின் அன்பைப் பெறுவதுடன் முயற்சியுடையவன் ஆவான். அவன் பெற்றோரின் அன்பைப் பெற்றால் மட்டுமே ஆசிரியரின் அன்பைப் பெறுவான். ஆகவே அவன் முயற்சியுடையவன் ஆயின் ஆயினே அவன் ஆசிரியரின் அன்பைப் பெறுவான். பொருளாதார வளர்ச்சிக்கு வெளிநாட்டு முதலீடு அவசியமாயின், திறந்த பொருளாதாரம் இருக்குமாயின், வெளிநாட்டவர் இலங்கையில் முதலீடு செய்வர். இலங்கையில் பொருளாதார வளர்ச்சி இல்லை ஆயின் ஒன்றில் வெளிநாட்டு முதலீடு அவசியம் அல்லது வெளிநாட்டவர் முதலீடு செய்வர். பொருளாதார முயற்சிக்கு வெளிநாட்டு முதலீடு அவசியமாயின் திறந்த
பொருளாதாரமுள்ளது. ஆகவே திறந்த பொருளாதாரமுள்ளது. 67. மழை பெய்யாவிடின் விளையாட்டுப்போட்டி நடைபெறும். விளை யாட்டு ப்போட்டி நடைபெற்றால் அவன் திருமணத்திற்குத் தாமதித்துச் செல்வான். ஆகவே அவன் திருமணத்திற்குத் தாமதித்துச் செல்லவில்லை. மழை
பெய்கிறது. 68. A, B யை திருமணம் செய்தாலாயினாயினே B, A யை திருமணம் செய்வான்.
B, A யைத் திருமணம் செய்தால் A யும் யும்.B திருமணம் செய்துள்ளனர்.
ஆகவே A,B யை மணந்தால், A யும் B யும் மணம் செய்துள்ளனர். 69. ஒன்றில் நீ பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்ந்து கொள் அல்லது குடும்ப வியாபா ரத்திலிறங்கு. குடும்பவியாபாரம் விருத்தியுறுமாயின் நீ பல்கலைக்கழகத்தில் சேரமாட்டாய். குடும்ப வியாபாரம் விருத்தியுறுகிறது. ஆனால் நீ அதிலிற
ங்கவில்லை. ஆகவே நீ ஏழு அடிகளுக்கு மேல் உயரமானவன்.
• 70. நீ ஒரு நல்ல துடுப்பாட்டக்காரனாயினாயினே நீ அணித்தலைவனாகலாம்
ஒன்றில் நீ நல்ல துடுப்பாட்டக்காரன் அல்லது நல்ல பந்து வீச்சாளன ஆனால் இரண்டுமல்ல ஆகவே நீ அணித்தலைவனாகலாம் ஆயின் நீ ஒரு பந்து வீச்சாளன் அல்லன்.
66.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I 375
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 190
12.
71. யுத்தம் நீடித்தால் அல்லது வரட்சி நீடித்தால் நாட்டில் பொருளாதார
நெருக்கடி தோன்றும். மக்கள் சோம்பேறிகளாக அல்லது துரதிஷ்ட சாலிகளாக இருப்பின் கூட நாட்டில் பொருளாதார நெருக்கடி தோன்றும் ஒன்றில் யுத்தம் நீடிக்கும் மக்கள் சோம்பேறிகளாவர். ஆகவே நாட்டில் பொருளாதார நெருக்கடி தோன்றும். இராவணன் சீதையை கடத்தினானாயின் மட்டுமே சீதை இலங்கை வந்தாள் என்பது பொய். இராவணன் சீதையை கடத்தினான். ஆகவே சீதை
இராவணனைக் காதலித்தாள். 73. விஞ்ஞானம் ஒழுக்கம் ஆகிய இரண்டும் வளர்ச்சியடைந்தால் மனிதனும்
வளர்ச்சியடைவான். ஆகவே மனிதன் வளர்ச்சியடையவில்லை ஆயின் ஒன்றில்
விஞ்ஞானம் வளர்ச்சி அடையவில்லை அல்லது ஒழுக்கம் வளரவில்லை. 74. வண்ணத்துப் பூச்சி கம்பளிப் பூச்சி ஆகிய இரண்டும் அழகியன அல்ல.
வண்ணத்துப் பூச்சி அழகியது. ஆகவே கம்பளிப்பூச்சி அழகியதல்ல.
போலிகள் (91) (அ) நியமப் போவி, நியமில் போலி என்பனவற்றுக்கு இடையேயுள்ள
வேறுபாட்டைக் கூறுக. (92) (ஆ) பின்வரும் வாதங்களை வாசித்து காணப்படும் நியமப்போலிகளைக் கூறுக. (1) சில கிளிகள் பச்சைநிறம் ஆகும் ஆகவே சிலகிளிகள் பச்சை நிறம் அல்ல. (2) மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பவர் ஆவர் ஆகவே மாணவர்கள் எவரும்
படிக்காதவர் ஆவர். (3) அவன் செய்பவை அனைத்தும் நன்மையானவை ஆகும். ஆகவே
செய்பவை எவையும் தீமையானவை அல்ல (4) மாடுகள் புல்தின்னும் என்பது பொய் ஆகும் ஆகவே மாடுகள் புலதின்பவை
அல்ல என்பது உண்மையாகும். (5) கிளிகள் பச்சை நிறம் ஆகும் ஆகவே பச்சைநிறம் கிளிகள் ஆகும். (6) மாணவர்கள் படிப்பவர் ஆவர் என்பது பொய் ஆகும். ஆகவே சில
மாணவர்கள் படிப்பவர் என்பது உண்மை. (7) சில முயல்கள் அழகானவை அல்ல ஆகவே அழகானவை அனைத்தும்
முயல்களல்லாதன அல்ல." (8) சில மிருகங்கள் பாலுட்டிகள் அல்ல என்பது உண்மை ஆகவே மிருகங்கள்
பாலுட்டிகள் அல்ல என்பது பொய். (9) மனிதர்கள் இறப்பவர்கள் ஆவர். ஆண்கள் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே
ஆண்கள் மனிதர்கள் ஆவர். (10) காகங்கள் கறுப்பு நிறம் ஆகும் ஆசவே கறுப்பல்லாதன அனைத்தும்
காகங்கள் ஆகும். (11) A அனைத்தும் B ஆகும்.C எவையும் A அல்ல. ஆகவே C எவையும்
B அல்... (12) சில மனிதர்கள் நல்லவர் அல்லர் ஆகவே நல்லவர் அல்லாதவர் சிலர்
மனிதரல்லாதவர் ஆவர். (13) மாடுகள் புல்தின்னும். புல்தின்பவை ஆடுகள் ஆகவே ஆடுகள் மாடுகள்
ஆகும்.
(அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் I (376)
ஆசிரியர்: க. கேசவன் |

(14) கிளி பச்சை நிறம் எனின் அது பறவை. அது பறவை ஆகவே அது
பச்சை நிறம். (15) அளவையியலாளர் மெய்யியலாளர். படித்தவர்கள் சிந்திப்பவர் ஆகவே
சிந்திப்பவர் அளவையியலாளர். (16) மனிதர்கள் நாணயமுள்ளவர் ஆவர் ஆகவே மனிதரல்லாதவர் நாணய
முள்ளவர் ஆவர். (17) முயல் மிருகம் எனின் கொம்பில்லை. முயல் மிருகம் அல்ல. ஆகவே
அதற்கு கொம்பில்லை (18) மாடுகள் மிருகங்கள் அல்ல. மிருகங்கள் பாலுட்டிகள் அல்ல. ஆகவே
பாலுட்டிகள் மாடுகள் அல்ல. (19) மாடுகள் எவையும் இறப்பவை அல்ல ஆகவே மாடுகள் அல்லாதன
அனைத்தும் இறக்காதன அல்ல. (20) அவன் போர்வீரன் அல்லது ஏழை. அவன் ஏழை ஆகவே அவன் போர்வீரன்
அல்ல. (21) காகங்கள் பறக்கும். பறப்பன எவையும் பறவைகள் அல்ல ஆகவே
காகங்கள் பறவைகள் ஆகும். (22) சில பாம்புகள் விஷமுடையன. விஷமுடையவை சில கொடியவை அல்ல.
ஆகவே கொடியவை சில பாம்புகள் அல்ல. (23) சில பாலூட்டிகள் மிருகங்கள் ஆகும். ஆகவே மிருகங்கள் சில பாலூட்டிகள்
அல்ல. (24) கிளிகள் பறக்கும். ஆகவே பறக்காதன அனைத்தும் கிளிகள் அல்லாதன
ஆகும். (25) புயல் வரும் எனின் அழிவு ஏற்படும். புயல் வரவில்லை. ஆகவே அழிவு
ஏற்படவிலலை. (93)பின்வரும் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள போலியை இனங்கண்டு அதன்
இயல்பினை விளக்குக. புற்றுநோய் நுண்ணுயிர் எதுவுமில்லை. ஆகவே புற்றுநோய் நுண்ணுயிர் ஒன்று இருத்தல் வேண்டும். எதிரிக்கு ஆறுபிள்ளைகள். மூத்தது இன்னும் பத்து வயது ஆகாத ஓர் பச்சைச் குழந்தை தாயுமில்லை. இவன் குற்றமற்றறவன் எனத் தீர்ப்பு
வழங்க வேண்டும். இந்த இசை ஆட்களை மகிழச்சி அடையச் செய்கிறது என்பதையிட்டு ஏன் ஆச்சரியப்படுகிறீர்கள்? ஆட்கள் இந்த இசையைக் கேட்கும் போது மகிழ்ச்சி அடைகிறார்கள் என்பது இயற்கையே. ஏனெனில் இந்த இசை சந்தோஷமான இசை. ஆயுள்வேத வைத்தியர் பார்த்தபின் நோயாளி இறந்து போனாான் ஆயுள் வேத வைத்தியரை அழைக்காதிருந்தால் நோயாளி உயிர் பிழைத்திருப்பான். எங்களுக்காக வாக்களிப்பதே சரியான காரியம் என்பது உங்களுக்குத் தெரிய வேண்டும்.ஏனெனில் எங்களுக்கு நீங்கள் வாக்களிக்காவிடில் உங்களுடைய கிராமத்துக்கு அரசாங்க நிதி கிடைக்காது. தொழிற் சங்கத்தலைவர் தமது தொழில் நிறுவனத்தின் பணிப்பாளரிடம் இவ்வாறு கூறினார்.
1.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 191
" நம் அனைவரினதும் சம்பளம் அதிகரிக்கப்பட வேண்டும் என்பதை நீங்கள் ஏற்றுக்கொள்வீர்கள் என்பதில் எனக்கு ஐயம் இல்லை எமது தொழிற் சங்கம் சம்பள அதிகரிப்பு கோரி வேலை நிறுத்தத்துக்கு ஆயத்தமாகி வருகின்றதென்பதை ஏற்கனவே நீங்கள் அறிந்திருப்பீர்கள். ஜயா, இப்பிரதிவாதி பல குழந்தைகளை கவனிக்க வேண்டிய ஒரு தந்தை இவர் இந்த அளவு ஏழ்மையிலும் ஆதரவற்ற நிலையிலும் இல்லாதிருப்பின் இப்படி ஒரு காரியத்தை செய்திருக்க மாட்டார். ஆகவே அவர் ஒரு
குற்றவாளி அல்ல எனத் தீர்ப்பளிப்பீர்கள் என்பதில் எனக்குச் சந்தேகமில்லை. 8. அந்த மேசை அணுக்களினால் ஆக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வணுக்கள்
ஒவ்வொன்றும் கண்ணுக்கு புலப்படாதனவாயின் இந்த மேசையும் கண்ணுக்கு புலப்படாது. எல்லா மனிதரும் இறப்பவராயிருப்பதனால் என்றாவது ஒரு நாள் இவ்வுலகம்
மனிதரில்லாது வெறுமையாகும். 10. திங்கட்கிழமை அவன் முட்டை, தக்காளி, இறைச்சி ஆகியவற்றை உண்டான். புதன்கிழமை முட்டை கருவாடு, பீன்ஸ் ஆகியவற்றை உண்டான். வெள்ளிக்கிழமை முட்டை, கோவா, கெக்கரி, ஆகியவற்றை உண்டான். திங்கள், புதன், வெள்ளி ஆகிய தினங்களில் அவன் அஜீரணத்தினால்
அவதிப்பட்டமைக்கு முட்டைதான் காரணமென்பதில் ஐயமில்லை. 11. “தொழிலாளர் வர்க்கத்திற்குக் கெடுதி செய்யும் முதலாளித்துவம் ஒரு
தீமைதரும் பொருளாதார அமைப்பு என்பதை நிலைநாட்டுவதில் உண்மை யில் கார்ள்மாக்ஸ் தவறிழைத்துவிட்டார், ஏன் தனது குடும்பத்திற்குத் தேவையான பணத்தைத் தேடுவதிற்கூட அவர் கண்டது துக்கம் நிறைந்த
தோல்வியே” 12. உலக அழகி தனது தலைவலியைப் போக்குவதற்குX மாத்திரையை
எடுக்கிறாள். உலக அழகிக்குப் பல தலைவலிகள் உள்ளன. என்பதில் ஐயமில்லை. ஆகவே X மாத்திரைதான் தலைவலிக்குரிய சிறந்த மருந்தாகும். 13. கடந்த தடவை நான் வெற்றியீட்டினேன் எனக்கு எதிராக வேலை செய்த
குடும்பங்களைச் சேர்ந்தவர்களுக்குத் தொழில் பெற நான் விதப்புரை வழங்கவில்லை. இந்தத் தடவையும் நானே வெற்றியீட்டுவேன் என்பது உங்களுக்கு தெரியும். உங்கள் குடும்பங்களுக்குத் தொழில் தேவைப்படும் ஆகவே
எனக்காக பாடுபடுங்கள் இல்லையெனில் நீங்கள் தவறிழைத்தவர்களாவீர்கள். 14. பசியினால் வாடும் எனது மனைவிக்கும் பசியினால் வாடும் எனது எட்டுக்
குழந்தைகளுக்கும் உணவளிக்க வேண்டிய நிலையில் இருப்பதனால் நான் சம்பள உயர்விற்கு தகுதி உடையவன் ஜயா. 15. நீ ஒரு தொழிலாளியாயின் நீ தொழிலாளருக்காக உருகவேண்டும்.
அவர்களின் உரிமைகளுக்காகப் போராடவேண்டும். ஆகவே நீ அவசியம்
சமவுடமைவாத வேட்பாளருக்கே உனது வாக்குகளை அளித்தல் வேண்டும். 16. அவர் கடந்த இருபதாண்டுகளாக அரசியலில் ஈடுபட்டிருக்கிறார்.
அரசியல்வாதிகளைப் பற்றி எப்படி எல்லாம் ஆட்கள் கதைப்பார்கள் என்று உனக்குத் தெரியும். ஆனால் இந்த இருபது வருடத்திற்கும் அவரை பற்றி ஒரு இழிவான கதையும் இல்லை. அவர் மிகவும் ஒழுக்கமான மனிதர் என்பது மிகவும் தெளிவாகிறது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் !
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

17. படித்த ஆளை நியமிப்பதால் என்ன பயன்? பட்டங்கள் பெற்ற பலர்
உண்மையில் படித்தவர்களல்லர். 18. உனது கண்களையும் காதையும் திறந்து வைத்திருந்தால் உனக்கு விஷயம்
இலகுவில் விளங்கும். வண்டி புறப்படும் போதெல்லாம் மணி அடிக்கிறது
என்று நீ கண்டுகொள்வாய். 19. இந்த மந்திரசபை மிகவும் கெட்டித்தனமுள்ளது என்பது வெளிப்படை.
ஆகவே மந்திரி X உம் மிகவும் கெட்டிக்காரன் என்பது வெளிப்படை 20. உலகு கண்ட குத்துச்சண்டை வீரர்களுள் பெரியவன் முகமது தான். உலகிலேயே ஊட்டச் சத்தி கூடிய பானம் கொத்தமல்லி தான் என்று
அவனே சொல்கிறான் இதற்கு மேல் என்ன ஆதாரம் வேண்டும். 21. T எனும் காலத்தில் X,Y இல் வாழ்ந்தான் என்பதற்கு எவ்வகை நிருபணமும்
இல்லை. ஆனால் Z அக்காலத்ததில் அங்கு வாழ்ந்தான் என்பதற்குப் போதிய நிருபணம் உண்டு. எனவே T எனும் காலத்தில் Y இல் Z
மட்டுமே வாழ்ந்தான் எனவும் X வாழவில்லை எனவும் முடிவு செய்யலாம். 22. தனக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்பது விலாசங்களுக்கு தபால்களை அனுப்பத் தவறுவதன் மூலம் இத் தபாற் சங்கிலியைக் சிதைத்த பெரியகோட்டு நீதவான் ஒருவருக்கு ஒரு வாரத்திற்குள் மாரடைப்பு ஏற்பட்டது. தாமதமின்றித்
தபால்களைப் போட்டிருந்தால் அவர் இன்னும் உயிருடனிருந்திருப்பான் 23. X கட்டுப்பாடு குறைந்த Y கோஷ்டியைச் சேர்ந்தவனாதலால் உம் X
கட்டுப்பாடற்றவனாவான். 24. எனது பிரேரணைக்கு எதிராகப் பேச வேண்டாமென்று எனது நண்பரை
நான் எச்சரிக்க வேண்டும். ஏனெனில் விரைவில் தனது வாக்காளர்களுக்குத்
தான் முகம் கொடுக்க வேண்டுமென்பதை அவர் மறந்து விடலாகாது. 25.
உங்களுடைய அறிக்கைகள் எல்லாவற்றையும் வாசித்து விட்டேன். நீங்கள் சொல்லிய அனைத்தையும் பொறுமையாயும் கவனமாயும் கேட்டுக்கொண்டேன். உங்களில் எவரும், எங்களில் எவரது அறிக்கையும் முதலைகளுக்குப் பல் உண்டு என்பதிற்கான ஆதாரம் எதனையும் தரவில்லை. ஆகவே முதலைகளுக்குப் பல் இல்லை என நான் முடிவு
செய்கிறேன் 26. நீ X கட்சியைச் சேர்ந்தவன். எனவே நீ கூறுவதை நாம் முக்கியமாகக்
கொள்ள முடியாது. 27. இங்குள்ள எனது நண்பன் சென்ற வருடம்தான் உருளைக்கிழங்குக்காக
வாதித்தவர். இப்போது அவர் இராசவள்ளிக்காக வாதிக்கிறார். அவர் அநேக நியாயங்களைக் கூறுகிறார். ஆகவே இராசவள்ளிக்காக அவர் தரும் வாதங்களைக் கேட்பதில் நாம்
எமது நேரத்தை விரயம் செய்ய வேண்டியதில்லை. 28. ஒரு மனிதனது எந்தப் பகுதியைச் சோதித்தாலும் அதில் மனம் இல்லை
எனக் காண்பீர்கள் ஆகவே மனிதருக்கு மனம் என்பதில்லை என்பது தெளிவு. 29. எனக்கு நினைவுள்ளவரை ஒவ்வொருநாளும் நான் கொஞ்சம் கொத்தமல்லி
உட்கொண்டு வருகிறேன் எனக்கு ஒருபோதும் அஸ்மாவினால் தொல்லை ஏற்படவில்லை. நீயும் ஒவ்வொருநாளும் கொஞ்சம் கொத்த மல்லி எடுக்க
வேண்டும் என்பது எனது புத்திமதி.உன்னுடைய அஸ்மா பறந்துபோகும். 30 அவர் கடந்த இருபதாண்டுகளாக அரசியலில் ஈடுபட்டிருக்கிறார். அரசியல்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 192
வாதிகளைப் பற்றி எப்படியெல்லாம் ஆட்கள் கதைப்பார்கள் என்று உனக்குத் தெரியும், ஆனால் இந்த இருபது வருடத்திற்கும் அவரைப் பற்றி ஒரு இழிவான கதையும் இல்லை. அவர் மிகவும் ஒழுக்கமான
மனிதர் என்பது மிகவும் தெளிவாகிறது. 31. படித்த ஆளை நியமிப்பதால் என்ன பயன்? பட்டங்கள் பெற்ற பலர்
உண்மையில் படித்தவர்கள்ளல்லர். 32.
உனது கண்ணையும் காதையும் திறந்து வைத்திருந்தால் உனக்கு விஷயம் இலகுவில் விளங்கும். வண்டி புறப்படும் போதெல்லாம் மணி அடிக்கிறது
என்று நீ கண்டுகொண்டாய். 33. இந்த மந்திரிசபை மிகவும் கெட்டித்தனமுள்ளது என்பது வெளிப்படை.
ஆகவே மந்திரி X உம் மிகவும் கெட்டிக்காரர் என்பது வெளிப்படை. (94) பின்வரும் வாதங்களில் பாரம்பரியமான அல்லது பாரம்பரியமற்ற போலிகள் இடம்பெற்றுள்ளனவா என்பதை பரிசீலிக்குக. போலி இடம்
பெற்றிருப்பின் அப் போவியைக் கூறி அதனை விளக்குக. 1.
புகைப்பிடிப்பவர்களில் சிலர் நுரையீரல் புற்றுநோயினால் இறப்பர். ஆகவே புகைபிடிப்பவர்களில் சிலர் நுரையீரல் புற்று நோயினால் இறப்பவர் அல்லர். சிறுவர்கள் தொலைக்காட்சியில் காட்டப்படும் குருரக் காட்சிகளினால் பாதிக்கப்பட்டால் அவர்கள் வளர்ந்தவர்களாகும்.போது குரூரக் செயல்களில் ஈடுபடுவர். எனது காலத்தின் சிறுவர்கள் சந்தேகத்திற்கிடமின்றி குரூரச் செயலுடையவர்கள் ஆகவே அச்சிறுவர்கள் தொலைக்காட்சிப் படங்களின் குரூரக் காட்சிகளால் பாதிக்கப்பட்டவர்களாவர். புகழ் பெற்ற விஞ்ஞானிகள் பலர் கடந்த உளவியல் ஒரு உண்மையான விஞ்ஞானம் என்று நீருபிக்க பெரிதும் முயன்றனர். ஆனால் ஒருவரேனும் இன்று வரை இதில் வெற்றிபெறவில்லை. ஆகவே கடந்த உளவியல்
அர்த்தமற்றதொன்றென்ற முடிவுக்கு வரலாம். இந்த காலத்தில் நான் வேலைக்கு சென்ற ஒவ்வொருநாளும், வீட்டை விட்டு வெளியேறும் போது வெள்ளை ஆடை தரித்த ஒருவரையே நான் முதலில் சந்திக்க நேர்ந்தது. இந்த வாரத்தின் ஒவ்வொரு நாளும் எனது வேலைதளத்திலேயே கஷ்டநிலையே அடைந்தேன். ஆகவே நான் வேலைக்கு செல்வதற்காக வீட்டை விட்டு வெளியேறும் போது வெள்ளை ஆடை தரித்தவரை முதலில் சந்தித்தால் எவ்வித சந்தேகமுமின்றி அன்றைய தினம் எனது வேலைத் தளத்தில் எதிர்பாராத கஷ்டம் காத்திருக்கும். 5. ஒவ்வொருவரினதும் நன்மை அவரவரின் சொந்த மகிழ்ச்சியிலேயே
தங்கியுள்ளது. ஆகவே பொது மகிழ்ச்சியைவிட மெய்யாக எந்த நன்மையும் கிடையாது. இந்த இசை ஆட்களை மகிழ்ச்சியடையச் செய்கிறது என்பதையிட்டு ஏன் நீங்கள் ஆச்சரியப்படுகின்றீர்கள். இந்த இசையைக் கேட்கும் போது ஆட்கள் மகிழ்ச்சி அடைவார்கள் என்பது இயற்கையே ஏனெனில் இது ஓர் சந்தோசமான இசை
முகுந்தன் அறிவாளி அல்லது ஏழை அவன் ஏழை ஆகவே அறிவாளி அல்ல 8. இலங்கையில் பாடசாலையின் எண்ணிக்கை அதிகரிப்பது நல்லதன்று
ஏனெனில் அரசாங்கப்பதிவுகள் குற்றங்கள் படிப்படியாக அதிகரித்து
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 / 380
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

வருவதைக் காட்டுகின்றது. தேவதைகள் மனித நடவடிக்கைகளை அவதானிக்கின்றது என்பதை இதுவரை யாரும் தவறென நிரூபிக்கவில்லை என்பதால் அதை நாம்
ஏற்றுக் கொள்ள வேண்டும். 10 கடுமையாகப் படித்தால் பரீசையில் சித்தியடையலாம். அவன் கடுமையாகப்
படிக்கவில்லை எனவே அவன் பரீட்சையில் சித்தியடைய முடியாது. 11. திருமணம் செய்து மணமகன் மனமகளுடன் வீடு வந்ததும் ஷெல் வீட்டில்
விழுந்ததில் மணமகன் இறந்துவிட்டான். ஆகவே அவன் அவளை திருமணம்
செய்யாது இருந்தால் இத்தகைய துர்மரணம் அவனுக்கு நிகழ்ந்திருக்காது. 12 அவனுக்கு வேலை கிடைத்தால் பதவியுயர்வு கிடைக்கும் அவனுக்கு
பதவியுயர்வு கிடைக்கும் ஆகவே அவனுக்கு வேலை கிடைக்கும்.
தர்க்கரீதியாகச்சிந்தித்தல் (95) தரப்பட்ட எடுகூற்றை மட்டும் பயன்படுத்தி அவ்எடுகூற்றுக்குத் தரப்படும்
முடிவுகளில் மிகவும் பொருத்தமானவற்றைத் தெரிவு செய்க. (1) மிருகங்கள் மட்டுமே தாவரபட்சனிகள் ஆகவே (அ) மிருகங்கள் அனைத்தும் தாவரபட்சனிகள் (ஆ) தாவரபட்சினிகள் எவையும் மிருகங்கள் அல்ல. (இ) தாவரபட்சனிகள் அனைத்தும் மிருகங்கள் ஆகும். (2) குதிரைகளைத்தவிர வேறு எவையும் கொம்புடையவை அல்ல ஆகவே (அ) குதிரைகள் எவையும் கொம்புடையவை அல்ல. (ஆ) கொம்புடையவை அனைத்தும் குதிரைகள் ஆகும். (இ) கொம்புடையவை எவையும் குதிரைகள் அல்ல. (3) எல்லா மாணவர்களும் படிப்பவர் அல்லர். ஆகவே (அ) படிப்பவர் சிலர் மாணவர்கள் அல்லர். (ஆ) மாணவர்கள் எவரும் படிப்பவர் அல்லர். (இ) சில மாணவர்கள் படிப்பவர் அல்லர். (4) பொய்சொல்லும் பெண்களும் உளர் ஆகவே (அ) ஆண்கள் பொய் சொல்ல மாட்டார்கள். (ஆ) சில பெண்கள் பொய் சொல்பவர் ஆவர். (இ) பொய் சொல்பவர் அனைவரும் பெண்கள் ஆவர். (5) மாணவர்களே வருக. ஆகவே (அ) சில மாணவர்கள் வரவேற்க்கப்படுகின்றனர். (ஆ) மாணவர்கள் அனைவரும் வரவேற்க்கப்படுகின்றனர். (இ) வரவேற்க்கப்படுபவரில் சிலர் மாணவர்கள் ஆவர். (6) இறுதியில் பரீட்சையில் சித்தியடையாத மாணவர் யார்? ஆகவே (அ) மாணவர்கள் சிலர் இறுதியில் சித்தியடைவர். (ஆ) மாணவர்கள் சிலர் இறுதியில் சித்தியடையமாட்டார். (இ) மாணவர்கள் அனைவரும் இறுதியில் சித்தியடைபவர் ஆவர். (7) மாணவர்களுள் மிகத்திறமையுடையவன் யாழ்நகரில் இருக்கின்றான்.ஆகவே (அ) இரண்டு மாணவர்கள் இருக்கின்றார்கள். (ஆ) ஒரு மாணவன் இருக்கின்றான். (இ) ஒரு மாணவனும் இல்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் |
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 193
(8) மாணவர்கள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுவர் ஆகவே (அ) அனுமதிக்கப்படாதவர் அனைவரும் மாணவர்கள் ஆவர். (ஆ) அனுமதிக்கப்படுபவரில் சிலர் மாணவர்கள் ஆவர். "(இ) மாணவர்கள் அல்லாதவர்கள் எவரும் அனுமதிக்கப்படமாட்டார்கள்
(9) புலிகள் பசித்தாலும் புல்தின்னுமா? ஆகவே (அ) புல்தின்பன எவையும் புலிகள் அல்ல. (ஆ) புலிகள் எவையும் புலதின்பன அல்ல. (இ) புல்தின்பன சில புலிகள் ஆகும். (10) காசியப்பர் திருமணம் செய்யவில்லை என்று உம்மால் எவ்வாறு
கூறமுடியும்? ஆகலே (அ) காசியப்பர் திருமணம் செய்துள்ளார். (ஆ) காசியப்பர் திருமணம் செய்யவில்லை. (இ) அவர் திருமணமானவரா பிரமச்சாரியா என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியாது. (11) உழைப்பவர்கள் எல்லோரும் பணக்காரர் அல்லர் ஆகவே (அ) உழைப்பவர்கள் சிலர் பணக்காரர் ஆவர். (ஆ) உழைக்காதவர் எவரும் பணக்காரர் அல்லர். (இ) உழைக்காதவர் அனைவரும் பணக்காரர் ஆவர். (12) ஆங்கிலேயர்கள் எல்லோரும் உயரமானவர்கள் ஆகவே (அ) ஆங்கிலேயர்களில் கட்டையானவர்களும் உண்டு. (ஆ) ஆங்கிலேயர்களில் மெலிந்ததோற்றமுடையவர்களும் உண்டு (இ) ஆங்கிலேயர்கள் எல்லோரும் உயரமானவர்கள். (13) அளவையியற் கருத்தரங்கிற்கு வந்தவர்களில் அனேகர் ஆண்களாவர்
ஆகவே (அ) அளவையியல் கருத்தரங்கிற்கு ஆண்கள் மாத்திரம் வந்தனர் (ஆ) அளவையியற் கருத்தரங்கிற்கு பெண்களும் வந்திருந்தனர். (இ) அளவையியல் கருத்தரங்கிற்கு பெண்கள் வரவில்லை. (14) ஆண்டு பன்னிரண்டு கலைப்பிரிவில் படிக்கும் பலர் படிப்பில் திறமை
யுள்ளவர்கள். ஆகவே (அ) ஆண்டு பன்னிரண்டு கலைப்பிரிவைத் தவிர ஏனைய வகுப்பில் திறமை
யுள்ளவர்கள் இல்லை. (ஆ) ஆண்டு பன்னிரெண்டு கலைப்பிரிவில் படிப்பவர்கள் அனைவரும் திறமை
சாலிகள் (இ) ஏனையவகுப்புக்களில் படிப்பில் திறமையுள்ளவர்கள் படிப்பில் திறமை
யற்றவர்களிலும் பார்க்கக் குறைவு. (15) வாழைப்பழத்திலும் பார்க்க பலாப்பழம் மலிவானது இரண்டு கிலோ
பலாப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் இல்லை. ஆகவே (அ) எனக்கு ஒரு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப்போதிய பணம் இல்லை. (ஆ) இரண்டு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் உண்டு (இ) ஒரு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் இருக்கலாம்
இல்லாமலும் இருக்கலாம். (16) வாழைப்பழத்திலும் பார்க்க பலாப்பழம் மலிவானது இரண்டு கிலோ
பலாப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் இல்லை, ஆகவே (அ) எனக்கு ஒரு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் இல்லை.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1 1 382 ஆசிரியர்: க. கேசவன் |

(இ)
(ஆ) இரண்டு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் உண்டு. (இ) ஓரு கிலோ வாழைப்பழம் வாங்கப் போதிய பணம் இருக்கலாம்
இல்லாமலும் இருக்கலாம். (17) சாந்திக்கு வடக்கே கோகிலன் நிற்கின்றான். சுமதிக்கு வடக்கே சாந்தினி
நிற்கின்றான் ஆகவே (அ) சுமதிக்குத் தெற்கே கோவிலன் நிற்கின்றான். (ஆ) கோவிலனுக்குத் தெற்கே சாந்தினி நிற்கின்றான். (இ) கோவிலனுக்கு வடக்கே சுமதிநிற்கின்றான். (18) எனக்கு 60 வயதாக இருக்கும்போது அவனது வயது எனது வயதிலும்
அரைவாசியாக இருந்தது. எனக்கு இப்போது 120 வயதாகின்றது ஆகவே
அவனுக்கு இப்போது வயது ஆகவே (அ) 60 (ஆ) 90 (இ) கூறமுடியாது. (19) இன்று மழை பெய்யவில்லை என்பது உண்மையல்ல என்பது பொய்
அல்ல என்பது தவறு ஆகவே (அ) இன்று மழை பெய்யவில்லை என்பது உண்மையல்ல என்பது பொய். (ஆ)
இன்று மழை பெய்தது.
இன்று மழை பெய்யவில்லை என்பது பொய்யாகும். (20) அவன் இன்று கணக்கியல் வகுப்பிற்குச் செல்லவில்லை என்பது பொய்
அல்ல என்பது தவறு இல்லை ஆகவே (அ) அவன் இன்று கணக்கியல் வகுப்பிற்குச் சென்றான். (ஆ) அவன் இன்று கணக்கியல் வகுப்பிற்கு செல்லவில்லை என்பது பொய் (இ) அவன் இன்று கணக்கியல் வகுப்பிற்குச் செல்லவில்லை.
அவன் படிக்கவில்லை என்பதுதவறு இல்லை என்பது பொய்யாகும்.
ஆகவே (அ) அவன் படிப்பான் (ஆ) அவன் படிக்கவில்லை (இ) அவன் படிக்கவில்லை என்பது பொய் அல்ல. (02) தரப்பட்ட எடுகூற்றைத் தர்க்கரீதியாக ஆராய்ந்து அதன் கீழ்தரப்பட்ட மிகவும்
பொருத்தமான விடையைத் தெரிவுசெய்க. 1. பறவைகள் பாலூட்டிகள் ஆகும். கிளி ஒரு பறவையாகும். ஆகவே (அ) பாலூட்டிகள் எல்லாம் கிளிகள் ஆகும்.
கிளிகள் பாலூட்டிகள் ஆகும். (இ) கிளிகள் சில பாலூட்டிகள் அல்ல 2. அது குரைக்கின்ற நாய் எனின் அது கடிக்கும் அது கடிக்காது ஆகவே (அ) அது குரைக்காது. (ஆ) அது குரைத்துக் கொண்டிருக்கும். (இ) அது குரைக்கும்.
மிருகங்கள் கொம்புடையவை. பொம்புடையவை பாலூட்டிகள் அல்ல
ஆகவே (அ) பாலூட்டிகள் சில மிருகங்கள் அல்ல (ஆ) கொம்புடையவை மிருகங்கள் ஆகும். (இ) பாலூட்டிகள் எவையும் மிருகங்கள் அல்ல. 4. '
பெண்கள் வாய்க்காரிகள் அல்லது பொறுமையுடையவர்கள் பெண்கள்
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் II 383 |
ஆசிரியர்: க. கேசவன் |

Page 194
பொறுமையுடையவர் அல்லர் ஆகவே (அ) அவர்கள் வாய்க்காரிகள் அல்லர். (ஆ) அவர்கள் வாய்க்காரிகள். (இ) அவர்கள் வாய்க்காரிகள் ஆனால் பொறுமையுடையவர்கள் அல்லர். (5) (P -> Q). (Q - R). P...
(அ) ~ R (ஆ) ~ Q)
(இ) R (6) (P- Q). (R -> S). (PvR) '..
(அ) (PvQ) (ஆ) (Qv S) (இ) (R V ~ P) (7) (P - Q). (Q- R). ~ Rஃ | ' (. அ) ~ Pா (ஆ) ~ Q(இ) R (8) (P V ~ Q). Q'.
(அ) P-- (ஆ) ~ Q (இ) ~ P (9) மனிதர்கள் அனைவரும் இறப்பவர் ஆவர் ஆகவே (அ) மனிதரல்லாதவர் இறக்கமாட்டார்கள். (ஆ) இறப்பவர் அனைவரும் மனிதர்கள் ஆவர். (இ) இறப்பவரில் சிலர் மனிதர்கள் ஆவர். (10) ரவி எனது அம்மாவின் அப்பாவின் தம்பியின்மகன் ஆகவே (அ) ரவி எனது சகோதரன். (ஆ) ரவி எனது மைச்சான். (இ) ரவி எனது மாமன். (11) குமார் சாந்தியின் கணவனின் தம்பியின் அப்பா ஆகவே (அ) குமார் சாந்தியின் கணவனின் அண்ணன். (ஆ) குமார் சாந்தியின் கணவனின் அப்பா. (இ) குமார் சாந்தியின் அப்பா (12) நிமால் ரவியின் மனைவியின் தம்பியின் மகன் ஆகவே (அ) நிமால் ரவியின் சகோதரன் (ஆ) நிமால் ரவியின் மைச்சான் (இ) நிமால் ரவியின் மருமகள் (13) சாந்தினி என்பவள் வினோதினிக்குத் தங்கை. வினோதினி என்பவள்
உமாவிற்குத் தங்கை ஆகலே (அ) எல்லோரிலும் இளையவள் சாந்தினி. (ஆ) எல்லோரிலும் மூத்தவள் உமா (இ) எல்லோரிலும் இளையவள் சித்திரா (14) குமாரசாமி இராமசாமியிலும் பார்க்க உயரமுடையவள். குப்புசாமி
குமாரசாமியிலும் பார்க்க உயரமுடையவன் ஆகவே (அ) இராமசாமியிலும் பார்க்க குப்புசாமி உயரமுடையவன். (ஆ) மூவரிலும் குமாரசாமி உயரமுடையவன். (இ) மூவரிலும் உயரம் குறைந்தவன் இராமசாமி (15) அளவையியலாளர்கள் அதிகம் பேசுவது இல்லை ஆகவே (அ) அளவையியலாளர்கள் மிகக் குறைவாகவே பேசுவர். (ஆ) பேசாதவர்கள் எல்லோரும் அளவையியலாளர்கள். (இ) பேசுபவர்கள் எல்லோரும் அளவையியலாளர் அல்லாதவர் ஆவர்.
(& pppp)) அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 1
384
ஆசிரியர்: க. கேசவன்

Page 195
ยุด)

Page 196
தீதைப் பேகுதி) எள் வயயேல், கு.
முன்னுரை நவீன கல்வி களில் ஒன்றாக விளங்குகின்றது நுால்கள் என்
அந்த வரிசையி 1, 11 எனும் நூர் திற்கு அமைவ
அளவைய் இந்நுால் பாரம்பரிய அளவையியல், குற யியல் (சிறுபகுதி) என்பனவற்றையும் த்தைப் பயிலும் போதும், பயிற்றுவிக்கும் எதிர்நோக்கும் இடர்பாடுகள் சிலவற்றில் வாயிலாகப் பெற்ற அறிவைக் கொண்டு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. அறிவு வளர்ச்சி ஒரு நுாலும் முழுமையாகத் தொகுக் அடியால் அழக்கொழிந்துவிடலாம் இந்து களும் பயிற்சிகளும், இப்பகுதியை பூர்
துக் குப் 'பெரிதும் பயன்படும் என்ப '2 - க.பொ.த உயர்தர வகுப்புக் கலை இப்படத்தைக் கற்கின்றனர். இன்று மாக நூல்கள் என்பவற்றை வாசித்து அவற்ற கொள்ளவேண்டுமென எதிர்பார்க்கப்படுகி நுால்கள் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன
கேனும் நிவர்த்தி செய்கின்றது என நம் -- களும் ஆலோசனைகளும் உவந்து ஏற்பு
அவை சேர்த்துக் கொள்ளப்படும் எ6 * கின் றேன்.
இந்நுாலை எழுதுவதற்கு ஆக்கமும் க்கும், இந்நூாலை விரைவாக எழுதுவதற் ஏற்படுத்தித்தந்த கே.கோபிகா அவர்கட் நியூட் குறூப் நிறுவனத்திற்கும் எனது
வண.
CoVer The Nude Group, 23 Eban

உலகிலே அறிவியல் சார்ந்த பாடங் 5 அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் 5. அளவையியல் தொடர்பாகப் பல னால் - வெளியீடு செய்யப்பட் டுள்ளன. ல் அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும் கல்களைத் திருத்திய புதிய பாடத்திட்டத் பாக வெளியிடுகின்றேன்.)
யெலும் விஞ் ஞானமுறையும் 1 எனும் பீட்டு அளவையியல், இந்திய அளவை உள் ளடக்குகின்றது. இப்பாடத்திட்ட போதும் மாணவர்களும் ஆசிரியர்களும் - இருந்து விடுவிக்கும் முடக்க நுால்கள் ம் அனுபவத்தைக் கொணடும் இந்நால் படைந்துகொண்டே இருப்பதனால் எந்த தப்பட்டதாகாது. சில வருடங்களுக்கு பாலிற் காணப்படும் பாடத்திட்ட விடயங் ணத்துவமாகக் கற்றுக்கொள்ள் மாணவர் தில் ஐயமில்லை.
- மாணவர்களும், வர்த்தக மாணவர்களும் 2னவர்கள் சஞ்சிகைகள், புதினத்தாள்கள், என் மூலம் தமது அறிவை விரிவாக்கிக் ன்றனர். இதற்குத் தமிழ் மொழி மூலமான 7. இக்குறையையும் இந்நூால் ஓரளவிற் புகின்றேன். இந்நுால் பற்றிய விமர்சனங் றுக்கொள்ளப்பட்டு அடுத்த வெளியீட்டில் ன்பதை மனப்பூர்வமாகக் கூறிக் கொள்
ஊக்கமும் அளித்த ஆசிரிய நண்பர்களு கு வீட்டில் அமைதியான சூழ் நிலையை தம் இந்நுாலை சிறப்புற மீள அச்சிட்ட மனம்நிறைந்த நன்றிகள் உரித்தாகுக.
க்கம்.
க. கேசவதாசன்
ezer Place, Dehiwala, C : 712112