Page 1
தேசிய உயர்கல்விச் சான்
அளவை விஞ்ஞான
முதற்
கல்வி வெளியீட்

770
எறிதழ்த் தரத்துக்குரியது
யியலும் முறையும்
பகுதி
தித் திணைக்களம்

Page 2

தேசிய உயர் கல்விச் சான்றிதழ்ப் பரீட்சைக்குரியது.
அளவையியலும் விஞ்ஞானமுறையும்
முதற்பகுதி
கலாநிதி ஆர். டி. குணரத்தின
பீ. ஏ. (சிற.) இல., எம். ஏ. (கலிபோனியா), பீஎச். டீ. (கேம்பிறிட்ஜ்).
கல்வி வெளியீட்டுத் திணைக்களம்

Page 3
எல்லா உரிமைகளும் அரசினருக்கே
முதற் பதிப்பு 1976
ஆக்கியோர் : கலாநிதி. ஆர். டி. குணரத்தின மெய்யியல் விரிவுரையாளர், இலங்கைப் பல்கலைக்கழக பேராதனை வளாகம்.
தமிழாக்கம்: உதயகுமார் எம். பி. எச். முகம்மது
பதிப்பாசிரியர்: இ. குணநாதன் ஐ. தம்பிமுத்து
பிரதி வாசிப்பாளர்: வ. செல்வராசா
76 06 13 (100)
கல்வி வெளியீட்டுத் திணைக்களத்தினரால்
அரசாங்க அச்சகக் கூட்டுத்தாபனத்தில் அச்சிட்டு வெளியிடப்பட்டது.

முகவுரை
சிரேட்ட துணைக் கல்வித் தரத்துக்கு 10, 11 ஆம் தரங்களில் கற்பிக்கப்படும் ஈராண்டுப் பாடநெறி- இன்றைய அரசாங்கம் புகுத்தியுள்ள புதிய கல்விச் சீர்திருத்தங்களில் மூன்றாவது படியாக அமைகிறது. இந்நெறியைப் பயின்றுமுடித்த மாணவர் தேசிய உயர் கல்விச் சான்றிதழ்ப் பரீட்சைக்குத் தோற்றத் தகுதியுடைய ராவர்.
இப்பாடநெறி மூன்று பிரிவுகளைக் கொண்டது, அவையாவன,
(அ) கட்டாய பாடங்கள் - (ஆ) விருப்பத்துக்குரிய பாடப்பிரிவுகள் (இ) திட்டவேலை சிரேட்ட துணைக் கல்வித் தரத்துக்கான புதிய பாடவிதானம் 59 இற்கும் கூடுதலான பாடங்களைக் கொண்டது. இப்பாடங்களைப் பயிலும்போதும், பயிற்றுவிக்கும்போதும் மாணவரும் ஆசிரியரும் எதிர்நோக்கத்தக்க இடர்ப்பாடுகள் சிலவற்றிலிருந்து அவர்களை விடுவிக்கும் முகமாக பல்வகைப் பாடத்துறைகளில் சிறந்து விளங் கும் அறிஞர்களின் உதவியுடன், நூல்கள் தொகுக்கப்படுகின்றன. இந்நூல்களைத் தவணைக்குத் தவனை நியாயமான விலைகளில் மாண வருக்குக் கிடைக்கச் செய்யும் வகையில், முறைமையான திட்ட மொன்று மேற்கொள்ளப்பட்டுள்ளது. இப்பாடங்களில் விசேட பாடநூல்களாக இத்தொகுதிகளைத் தொகுத்து வெளியிடவும் கரு
தப்பட்டுள்ளது.
கடந்த காலத்தில் மொழிக்கும் இலக்கியத்துக்கும் மட்டுமே குறிப்பிட்ட சில பாடநூல்கள் சேர்க்கப்பட்டமையாலும், புதிய பாடவிதானம் பழையதிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டதாயிருப்ப தாலும், இந்நூல்கள் மாணவருக்கும் ஆசிரியருக்கும் ஒருங்கே வழிகாட்டிகளாக அமையும் என்பதால் இவற்றைத் தயாரிக்க வேண்டிய தேவை ஏற்பட்டுள்ளது என்பதை யாவரும் ஒப்புக் கொள்வர்.
சிரேட்ட துணைக் கல்வித் தரக்கல்விக்குக் குறித்த நூல்களை வெளியிடத் தேவையில்லை என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப் பட்டுள்ளது. ஏறத்தாழ ஐந்து, ஆறு ஆண்டுகளுள் உலகின் மொத்த அறிவு இருமடங்காகிவிடுமென நம்பப்படுகிறது. எனவே எந்தப் பாடநூலும் முழுமையாகத் தொகுக்கப்பட்டதாகாது; சில வரு

Page 4
டங்களுள் வழக்கொழிந்தும் விடலாம். பெரும்பாலான நாடுகளி லுள்ள கல்விமான்கள் உயர் கல்விக்கு ஆயத்தப்படுத்தும் மாண வர், தங்கள் அறிவுப் பேற்றுக்கு தனித்த ஒரு நூலில் மட்டும் தங்கியிருப்பதைத் தவிர்த்து, நூல் நிலையங்களைப் பயன்படுத்திப் பிற நூல்கள் , புதினத்தாள்கள் , சஞ்சிகைகள் ஆகியவற்றை வாசித்து அறிவை விரிவாக்கிக்கொள்ள வேண்டுமென எதிர்பார்க்கின்றனர். ஆகவே, மாணவர் தாமாக மேற்கொள்ளவேண்டிய விசேட பணி யொன்று யாதெனில், நூல்கள், சஞ்சிகைகள் வாயிலாகத் தம் அறிவை விருத்திசெய்து கொள்ளலாகும். எனினும் அவ்வாறான நூல்களையும் சஞ்சிகைகளையும் பெறுவதில் எமது மாணவருக்குள்ள இடர்ப்பாடுகளைக் கருத்திற்கொண்டே இந்நூல்களைத் தயாரிப் பதற்கான நடவடிக்கைகள் எடுக்கப்பட்டன என்பதை ஈண்டு விசேடமாகக் குறிப்பிடவேண்டும்.
குறித்த பாடங்கள் சிலவற்றைப் பொறுத்தமட்டில் விரிவான பாடத்திட்டங்களும் பொருத்தமான நூற்பட்டியல்களும் பாட சாலைகளுக்கு ஏலவே அனுப்பப்பட்டுள்ளன. பாடசாலை நூல் நிலை யங்களை விருத்தி செய்வதற்காக, இந்நிலைக் கல்விக்குத் தேவை யான நூல்கள் இவ்வாண்டிலும் கடந்த ஆண்டிலும் மேற்படி நூல் நிலையங்கட்கு அளிக்கப்பட்டுள்ளன. அத்துடன் ஆசிரியருக் குச் சேவைக்காலப் பயிற்சி ஒன்றும் நடைமுறையிற் செயற்படுத் தப்பட்டுள்ளது,
- இந்நூல்கள் பற்றிய தங்கள் ஆலோசனைகளும், விமரிசனங்களும் உவந்து ஏற்றுக்கொள்ளப்படும். வெளியிடுதற்கு இறுதிப் பிரதி தயாரிக்கப்படும்போது தங்கள் ஆலோசனைகட்கு விசேட கவனம் செலுத்தப்படும். தங்கள் ஆலோசனைகளையும் கருத்துக்களையும் கல்வி வெளியீட்டு ஆணையாளருக்கு அனுப்புவீர்களாயின் நாம் நன்றி யுடையோம்.

பொருளடக்கம்
அத்தியாயம் 1
பக்கம்
....... 1
1. 1
முன்னுரை...... 1.2 அளவையியல்: தன்மையும் நோக்கெல்லையும்...2 1. 21
அளவையியலின் கருத்துப்பொருள் இயல்பு.... 6 1. 2 2 உண்மையும் வாய்ப்பும் ..........
11 1.23 அளவையியலும் தொகுத்தறிவும்........................14 1.24 அளவையியலும் மொழியும்................................16 1. 241 அளவையியல், மொழி, வரைவிலக்கணம் ....... 24 1.24 2 அளவையியலின் நிறைவான இயல்பு ............. 1.25 அளவையியலும் கணிதமும்..........
26 1.26 அளவையியலும் உளவியலும். 127 அளவையியலின் பயன்பாடு ..
2 7 1.3
நியமமில் போலிகள்... 1.4
விஞ்ஞானமுறை.
28 பயிற்சி 1. பயிற்சி 2.
... 2 5
.26
....28
.13 .29

Page 5

அத்தியாயம் 1
1.1 முன்னுரை
இந்நூல்' ஏற்கத்தக்க நியாயித்தல் உத்திகளை வாசகனுக்கு அறி முகப்படுத்துகிறது. ஏற்கத்தக்க நியாயித்தல் என்னும்போது, அள வையியல் முறைப்படி வாய்ப்பான நியாயித்தலை அல்லது விஞ் ஞானிகள் ஏற்கத்தக்க நியாயித்தலை நாம் குறிக்கிறோம். இவ்வழி, அளவையியலுக்கும் விஞ்ஞான முறைக்கும் இது ஒரு முன்னுரை ஆகும்.
நியாயித்தல் என்பது, எந்தவொரு துறைக்கும் அவசியமாக இருக்கவேண்டிய ஓர் அம்சமும், ' 'கருவியும்'' ஆகும். எனவே, அளவையியல் எல்லாத் துறைகளுக்கும் பொருந்துவதும் பயன் படத்தக்கதுமாகும். மேலும், பல்வேறு ஆராய்ச்சிகளிலே நியாயித் தலைப் பயன்படுத்துவது ஒருபுறமிருக்க, எமது அன்றாடப் பேச்சிலும் நாம் நியாயித்தலைப் பயன்படுத்துகிறோம். எனினும், எமது அன் றாடப் பேச்சிலே ஈரடியியல்பும் தெளிவின்மையும் பெரும்பாலும் காணப்படுகின்றன; நாம் நாளாந்தம் பயன்படுத்தும் நியாயித்தல் தெளிவானதும் பொருத்தமானதும் அன்று. தெளிவும் திட்பமும் உடைய நியாயித்தல் வழிகளைப் பொது வாசகனுக்கும் வகுப்பறை மாணவனுக்கும் அறிமுகப்படுத்துவது, இந்நூலின் நோக்கங்களில் ஒன்றாகும்.
இந்நூற் பொருள் மூன்று பிரிவுகளின்பாற்படும். அவை, அளவை யியல், விஞ்ஞானமுறை, நியமமில்லாப் போலிகள் என்பனவாகும். அளவையியற் பிரிவில் அரிஸ்டோடிலின் (அல்லது பாரம்பரிய) அளவையியல் முறை, இந்திய அளவையியல் முறையின் மூலதத்து வங்கள், ஆரம்பக் கணித அளவையியல் முறை என்பன எடுத்தாளப் படும். விஞ்ஞான முறையின் கீழ், நவீன விஞ்ஞானக் கருத்துக்கள் ஏற்கப்படுவதனை ஆதரிக்கின்ற நியாயித்தல் முறைபற்றிக் கூறப் படும். நியமமில்லாப் போலி பற்றிய பிரிவிலே, ஏற்கமுடியாத
இரு தொகுதிகளில் 2. அல்லது என்னும் பதத்தை, விலக்கற்ற, அன்றேற் சற்றே உறழ்வான பொருளி
லேயே நாம் பயன்படுத்துகிறோம். 3. மூன்று பிரிவுகளும் பின்வரும் ஒழுங்கிலே தரப்படும்:
(1) தர்க்கவியல் (i) நியமமில்லாப் போலி (ii) விஞ்ஞானமுறை. மேலும், முதலா வது தொகுதியிலே தர்க்கவியல் பிரிவும் நியமமில்லாப் போலிப் பிரிவும், இரண்டா வது தொகுதியிலே விஞ்ஞான முறைப்பிரிவும் அடங்கும்.

Page 6
(அல்லது போலியான) நியாயித்தல் முறை பற்றி விளக்கப்படும். மொழியினை, எமது அன்றாட உரையாடலிற்போன்று, தெளி வற்ற முறையிற் பயன்படுத்துவதன் விளைவே, ஏற்கமுடியாத (அல்லது போலியான) நியாயித்தல் முறை ஆகும்.
1.2 அளவையியல்: தன்மையும் நோக்கெல்லையும்
அளவையியல் என்னும் போது, நாம் நியம அளவையியல் முறையையே குறிக்கிறோம். இவ்வழி, அளவையியல் என்பது, வாதங்களின் நியமவாய்ப்புப்பற்றி ஆய்கின்ற ஒரு பாடமாகும்." - பொருந்தும் வாதங்களையும் பொருந்தா வா தங்களையும் வேறு படுத்திக் காட்டுவதே அளவையியலறிஞனின் பணியாகும். நியமத் தருக்கமுறையின்படி, பொருந்தும் வாதமானது வாய்ப்பான வாதம் எனப்படும். பொதுவாக, ஒருவா தம் வாய்ப்பானதாக இருப்பது எப்போதெனின், அதன் எடுகூற்றுக்கள் மெய்யாக இருக்கையில் அதன் முடிபு பொய்யாக இருக்கமுடியாத போதேயாகும். இங்கே கூறப்படும் பல்வேறு அளவையியல்களிலே (அதாவது, அரிஸ்டோ டிலின் அளவையியல் முறை, இந்திய அளவையியல் முறை, கணித அளவையியல் முறை ஆகியவற்றிலே) ஒரு வாதத்தின் வாய்ப்புப் பற்றி மேலும் திட்டவட்டமான வரைவிலக்கணங்கள் தரப்படும். எனினும், நியமம்', 'வாய்ப்பு', 'வாய்ப்பின்மை', 'வாதம்', 'எடுகூற்று', 'முடிபு', 'உண்மையான', 'பொய்யான' என்னும் பதங்களை வாசகனுக்கு விளக்குவதன் பொருட்டு இங்கே சில எடுத்துக்காட்டுக்களை ஆராய்வோம்.
எமது நாளாந்த வாழ்க்கையில் நாம் வாக்கியங்களை உறுத்து கிறோம். உதாரணமாக,
1975, ஓகத்து 10 ஆந் தேதி கண்டியிலே மழை பெய்தது ...
. (1) என்னும் வாக்கியத்தை நாம் உறுத்தலாம். இது வெறும் உறுத் தலே. இந்த உறுத்தலுக்குத் துணையாக நாம் ஒரு சான்றும் அளிக்க வில்லை. எனினும், குறிப்பிடப்பட்ட நாளிலே கண்டியில் மெய்யாக மழை பெய்திருப்பின், அந்த உறுத்தல் உண்மையாகும். உதாரண மாக, எம்முட் சிலர் குறிப்பிடப்பட்ட அந்நாளிலே கண்டியிலே பெய்த பெருமழையில் நனைந்திருந்தால் 1975, ஓகத்து 10 ஆந் தேதி கண்டியிலே மெய்யாக மழை பெய்தது என்று நாம் கூறலாம். எனவே, (1) உண்மையாகும். ஒரு வாக்கியம், ஓர் உண்மை நிலைமை பற்றிக் கூறுவதாயின், அது உண்மையான து என்பது பெறப்படும். அல்லாவிடின், பொய்யானதாகும். இத்தொடர்பில், மிக முக்கிய மான அளவையியல் எண்ணக்கரு ஒன்றினைக் காண்கின்றோம். அதா வது, உறுதியான வாக்கியம் எனும் எண்ணக்கருவினை - நாம்

இப்போது எதிர்கொள்கிறோம். உறுதியான வாக்கியம் என்பது ஒன்றில் உண்மையான அன்றேல் பொய்யான வாக்கியமாகும், '(ஆனால் இரண்டு மன்று; ஏனெனின், குறித்த ஒரு பொருளை யுடைய எவ்வாக்கியம் உண்மையாகவும் பொய்யாகவும் இருக்க வியலாது)
இவ்வழி, மேலே குறிப்பிட்ட (1) உறுதியான வாக்கியமாகும். அவ்வாறே, 17 கண்ணாடிகள் யாவும் நொய்ம்மையானவை...
இலங்கை ஒரு தீவன்று ..
....... (3) இரண்டும் இரண்டும் நான்கு ... ( கைம்பெண் தன் கணவனுடன் போகிறாள்...!
............(5)
.(5) பேராதனையில் நாளை மழைபெய்யும் ......
....... (6) என்னும் வாக்கியங்களும் உறுதியான வாக்கியங்களே. (2)-(6) உறுதியான வாக்கியங்கள். ஏனெனின், அவை ஒன்றில் உண்மை யானவை அன்றேல் தவறானவை. (2) உம் (4) உம் உண்மையான வாக்கியங்கள், அதேவேளையில், (3) உம் (5) உம் பொய்யானவை. வாக்கியம் (6) உண்மையான தா? பொய்யான தா? அது, ஒன்றில் உண்மையானது அன்றேல் பொய்யானது என்பது பற்றி ஐய மில்லை, வாக்கியம் (6) எதிர்காலத்தில் நிகழப்போகின்ற ஒன்று பற்றிக் கூறுவதால் அந்த வாக்கியம் உண்மையான தாகுமா பொய் யானதாகுமா என்பது பற்றி (அதாவது, " 'பேராதனையில் நாளை மழைபெய்யும்'' என்னும் எதிர்வு கூறலானது பேராதனையில் நாளைக்கு நிலவும் வானிலை நிலைமைகளைப் பொறுத்திருக்கும்) இப் போது ஒன்றும் திட்டவட்டமாக அறியமுடியாது.
(2) இன் உண்மைக்கும் (4) இன் உண்மைக்குமிடையே ஒரு வேறுபாடு உளது. (2) அனுபவத்தில் கண்ட ஓர் உண்மை, அது, அனுபவப்படி அல்லது தொகுப்புமுறைப்படி உண்மையாகும். மறு நாள், (4), அனுபவம் எப்படியிருப்பினும், அதிலுள்ள சொற் களின் பொருளால் உண்மையானதாகக் கொள்ளப்படுகிறது.. இத் தகைய வாக்கியங்கள் வகுப்புமுறைப்படி உண்மையானவை என்று கூறப்படுகின்றன. இவ்வாறே (3) அனுபவப்படி பொய்யானது. (5) வகுப்புமுறைப்படி பொய்யானது அதாவது, வாக்கியம் (5)
முரண்பாடானது.
"ஒன் றில்....... அன்றேல்' என நாம் பயன்படுத்துவது, வலுவான உறழ்வைக் குறிப்பதற்கே. சில சந்தர்ப்பங்களிலே, இந்த விடயத்திலுள்ளதைப்போன்று 'ஒன் றில் ....... அன்றேல் ....... ஆனால் இரண்டுமன்று' என்று கூறுவதன்வழி, வலுவான உறழ்வே கருதப்படுகிறது என்பதை நாம் குறிப்பிட்டுக் காட்டு கிறோம். ''... அன்றேல்.... ஆனால் இரண்டும் அல்ல'' என எழுதுவதன் வழியும் நாம் அதே கருத்தைக் குறிக்கலாம்,

Page 7
(8)
இலக்கண இயைபுடைய வாக்கியங்கள் யாவுமே உறுதியான வாக்கியங்களல்ல. என்பதை நாம் கருத்திற் கொள்ளவேண்டும். இவ்வழி,
கதவை மூடுக .
................. (7)
(7) நீர் ஏன் இங்குள்ளீர்? .. என்னும் வாக்கியங்கள், உண்மையானவையுமல்ல தவறானவையு மல்ல. (7) ஓர் ஆணை ; (8) ஒரு வினா. இந்நூலில் உறுதியான வாக்கியங்களைக் கொண்ட வாதங்களை மட்டுமே நாம் ஆராய் வோம்.
இப்போது, பின்வரும் வாக்கியங்களின் தொடர்பினை ஆராய்க. விமல் ஒரு மாணவன் எனின், விமல் நுண்மதியுள்ளவன். (9) விமல் ஒரு மாணவன்..........
.(10) எனவே, விமல் நுண்மதியுள்ளவன்.
. (11) மூன்று வாக்கியங்களுடன் கூடிய இத்தொடர்பு ஒரு வாதமாக அமைகிறது. இறுதிவாக்கியம் 'எனவே' என்னும் பதத்துடன் தொடங்குகிறது; அதற்கு முந்திய வாக்கியங்கள், 'எனவே' என் னும் பதத்தை அடுத்து என்ன வருகிறது என்பதை - அதாவது 'விமல் நுண்மதியுள்ளவன்' என்பதை - நாம் முடிவு செய்வதற்கு வழிவகுக்கின்ற அடிப்படையாக அல்லது சான்றாக அமைகின்றன. 'விமல் புத்திமான்' என்பது எமது வாதத்தின் முடிபாகும். எமது முடிபுக்கு அடிப்படையைத் தருகின்ற முதலிரு வாக்கியங்களும் வாதத்தின் எடு கூற்றுக்கள். எடுகூற்றுக்களிலிருந்து முடிபை நாம் அனுமானம் செய்கிறோம்.
அளவையியலில் எடு கூற்றுக்களிலிருந்து முடிபு நியமமாகப் பெறப்பட்டால் - பெறப்பட்டால் மட்டுமே - நாம் எடுகூற்றுக் களிலிருந்து முடிபினைச் சரியாக அனுமானம் செய்யலாம். அப் போது வாதம் வாய்ப்பானது என நாம் கூறுகிறோம். இங்கே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள, ' நியமமாகப் பெறப்பட்டால்' எனும் பதங்களின் பொருள் யாது?
பிதுருதலாகலை ஒரு மலை.........
............... (12) என்னும் வாக்கியத்தை ஆராய்க. இந்த வாக்கியத்திலிருந்து - பிதுருதலாகலை ஒரு பாலூட்டியன்று....
...(13) என ஒருவர் அனுமானிக்கலாம்.
- இந்த அனுமானம், உய்த்தறி முறைப்படி, ஆனால் நியமமில் முறைப்படி சரியானது. ஏனெனில், 'பாலூட்டி', 'மலை' என்னும் பதங்களின் குறிப்பான பொருள்கள் காரணமாகவே, (12) இலி ருந்து (13) பெறப்படுகிறது. அதாவது, 'மலை', 'பாலூட்டி' எனும் பதங்களின் பொருள்களை அறிந்திருந்தால் மட்டுமே, பிதுரு தலாகலை ஒரு மலை' என்னும் வாக்கியத்திலிருந்து 'பிதுருதலாகலை பாலூட்டியன்று' என்னும் முடிபினை ஒருவர் உய்த்தறிதல் கூடும்.

.. (13)
மறுசார், பிதுருதலாகலை ஒரு மலையெனின், பிதுருதலாகலை
ஒரு பாலூட்டியன்று.
(14) பிதுருதலாகலை ஒரு மலை...
(12) - எனும் இரண்டு வாக்கியங்களையும் ஆராய்க
"மலை', 'பாலூட்டி' என்பவற்றின் பொருள்களை அறியாத ஒருவர் தாமும், (14) இலிருந்தும் (12) இலிருந்தும்
பிதுருதலாகலை ஒரு பாலூட்டியன்று... என்னும் வாக்கியத்தை உய்த்தறிந்து கொள்ளலாம். ஏனெனின், பிதுருதலாகலை ஒரு மலை' என்னும் வாக்கியத்தைக் குறிப்பதாக P இனைக் கொள்க; 'பிதுருதலாகலை ஒரு பாலூட்டி ' என்பதைக் குறிப்பதாக) இனைக் கொள்க. பின்னர், மறுப்பினைக் குறிக்கும் மாறிலியான ~ இனை 2 இற்கு முன்னே இடுவதால், 'பிதுரு தலாகலை ஒரு பாலூட்டி அன்று' என்பதை 2 மூலம் குறிக்கலாம். அடுத்து, ( 4 4 } இனையும் ( } }) இனையும் நாம் முறையே, பின்வரும் நிடதம் 4 ம் கு றுது, சல[#10 :
P சா லி ன் , > Q என்பது பெறப்படும்............
P ....... (b) இவ்வாறு குறிப்பதன் வழி, a இலிருந்தும் b இலிருந்தும்.
எனவே, ~ 2 (அதாவது, பிதுருதலாகலை ஒரு பாலூட்டி அன்று) .......................... (c) என்பதனை அனுமானிக்கலாம். - 2
நாம் அளவையியல் விதிகளை அறிந்தால் அதுவே போதுமானது. ஏனெனின் * இனாற் குறிக்கப்படுகின்ற வாக்கியம் மலை என்னும் பதத்தைக் கொண்டுள்ளதா?Q இனாற் குறிக்கப்படுகின்ற வாக்கியம் பாலுட்டி என்னும் பதத்தைக் கொண்டுள்ளதா? என்னும் விவரம் இந்த உய்த்தறிவிற்கு அவசியமற்றதாகும். வாதத்தின் நியமம் காரணமாக, (a), (b) எடுகூற்றுக்களிலிருத்து முடிபு (c) பெறப்படு கின்றது. (14), (12) இற்கும் (13) இற்கும் அல்லது (a), (b) இற்கும் (c) இற்கும் இடையேயுள்ள தர்க்கமுறைத் தொடர் பான து, அவற்றின் குறிப்பான பொருள்களைச் சார்ந்ததன்று.
(a)
1.21 அளவையியலின் கருத்துப் பொருள் இயல்பு
மேலே கூறப்பட்டவற்றில் அடங்கியுள்ள நியமக் கருத்தினை, தர்க்கவியலின் கருத்துப்பொருள் இயல்பினோடு தொடர்புபடுத்து. வதன் வழி மேலும் விளக்கலாம்.
எண்கணிதத்திலே, பருப்பொருள்களினின்றும் வேறாகவே எண் களை நாம் கருத்திற்கொள்கிறோம். அதாவது, எண்கணிதத்திலே நாம் எண்களையும் அவை சம்பந்தமான செய்கைமுறைகளையும் (உதாரணமாக, கூட்டல்) பற்றிக் கற்கிறோம்; ஆயினும், இவ் வெண்களையும் செய்கைமுறைகளையும் பயன்படுத்தி நாம் எவற்றை

Page 8
கணக்கிடுகிறோம் (உதாரணமாக, மாங்காய்கள், நாணயங்கள்) என்பது பற்றி எமக்கு அக்கறை இல்லை. இந்த வகையில், எண் கணிதம் கருத்துப் பொருளான ஒரு துறையாகும். இவ்வாறே, அளவையியலிலும், வாக்கியங்களின் அல்லது வாதங்களின் உட் பொருள் பற்றியோ விடயம் பற்றியோ நாம் அக்கறை கொள் வதில்லை; அவற்றின் தருக்கமுறை நியமம் பற்றியே அக்கறை கொள்கிறோம். ஒரு வாதத்தின் தருக்கமுறை நியமம்பற்றி ஏற் கெனவே ஓர் எடுத்துக்காட்டினை நாம் அளித்துள்ளோம். இனி, இக்கருத்தினை மேலும் சிறிது விரிவுபடுத்தி விளக்குவோம்.
மழைபெய்யும் எனின், வகுப்பு நடைபெறாது..
. (15) அவன் வீடு சென்றான் எனின், அவன் அவளைச்
சந்திக்கவில்லை.....
....... (16) (15) உம் (16) உம் ஒரே தருக்கமுறை நியமத்தையுடைய வாக் கியங்கள் என்று நாம் கொள்ளலாம். இங்கே, ஒரு வாக்கியத்தின் தருக்கமுறை' நியமம் என்றால் என்ன என்பதைப் - பின்வருமாறு விளக்கலாம்: - (15), (16) ஆகிய இரண்டினையும் (...) எனின் (...) என்றால் .... (d) என்னும் நியமத்திற் கூறலாம்.
இனி, பொதுவாக, '... எனின், ... என்றாகும்' என்னும் நியம் மானது, உதாரணமாக (15) இலும் (16) இலும் அல்லது (d) இலும் வருவதே போல, வேறு எங்கு வரினும், மாறிலியாக அல்லது நிலையான தாகக் கொள்ளப்படலாம். '............. எனின் .. என்றாகும்' என்பது ஒரு நியம எண்ணக்கருவினைத் தருகின்றது. ஏனெனின், (d) இல் அடைப்புக் குறிக்குள் உள்ள விடயங்களைப் புறக் கணிப்போமாயின், (15), (16), (d) ஆகிய மூன்றும் ஒரே நிய மத்தை உடையன என்பதை நாம் காணலாம். மேலும், ஒரு வாக்கியத்தின் உள்ளடக்கம் யாது என்பதனையும் இது காட்டு கிறது. மேலுள்ள வாக்கியங்களின் உள்ளடக்கமானது, பிரதான மாக, அடைப்புக் குறிகளுக்குள் உள்ள விடயங்களைக் கொண்டி ருக்கும். இவ்விடயங்கள் (d ) இலே மாறிகளாகும்,
மேலும்,
எல்லா மனிதரும் அநித்தியர்
(ஆம்)'
(17) எல்லா மலர்களும் அழகானவை (ஆம்)
(18) சில மனிதர் பணக்காரர்
(ஆம்)
(19) சில மலர்கள் அழகானவை
(ஆம்)
(20) (17) இனையும் (18) இனையும்
எல்லா (.
(ஆம்) என்னும் நியமத்திலும். (19) இனையும் (20) இனையும்.
சில (..
(ஆம்) என்னும் நியமத்திலும் நாம் குறிக்கலாம்.
(e)

(17) உம் (18) உம் ஒரே நியமத்தை உடையனவாயினும், அவற் றின் உட்பொருள்கள் வேறுபாடானவை, (19) இனையும் (20) இனையும் பொறுத்தமட்டிற்றானும் அவ் வாறே. மேலும், (18) இனதும் (20) இனதும் ஆதாரமாகவுள்ள நியமமற்ற அம்சங்களுமே ஒரே வகையின என்பதை நாம் கவனிக்க லாம்.. - நியமமும் உட்பொருளும் பற்றிப் பேசுவது அளவையியலுக்கு மட்டும் உரியதன்று. உதாரணமாக, செய்யுளிலுள்ள நியமம் பற்றி ஒருவர் பேசலாம். இவ்வழி, வெண்பாக்கள்யாவும் ஒரு நியமத்தை உடையன; அதாவது, அவை யாவும் நான்கு அடி களைக் கொண்டுள்ளன. ஆயினும், அவற்றின் உட்பொருள் வேறு படும். உதாரணமாக, மன்னன், குடிமக்கள், வாழ்க்கை நிலை யாமை, ஒழுக்கம் போன்ற பலவிடயங்களுள் ஒன்றினை வெண்பா உட்பொருளாகக் கொண்டிருக்கலாம். ஆகையால், செய்யுளைப் பொறுத்தமட்டிலே நியமத்தோடு உட்பொருளும் கருத்திற் கொள் ளப்படுகிறது. ஆனால், அளவையியலிலோ எனின், வாக்கியங் களினதும் வாதங்களினதும் நியமமே கருத்திற் கொள்ளப்படு கிறது. எனவேதான், அளவையியற் கருத்துப்பொருள், இயல் பினை உடையதாக உள து."
வாக்கியங்களின் நியமத்தோடு அளவையியல் கொண்டுள்ள தொடர்பானது, அது வாதங்களின் நியமத்தோடு கொண்டுள்ள தொடர்பின் ஓர் அம்சமேயாகும்.
P எனின், ~ 2 என்றாகும்
எனவே, ~ 2 என்னும் நியமத்தையுடைய ஒரு வாதத்தினை (அதாவது, (14) ஆம் (12) ஆம் (13) ஆம் வாக்கியங்களிலிருந்து பெறப்படும் வாதத் தினை) நாம் ஏற்கெனவே கண்டுள்ளோம்.
P உம் 2 உம் வாக்கிய மாறிகள். இந்த வாதத்தினை, அதன் நியமத்தை வெளிக்கொணரும்படி செய்தற்கு, நிலையான கருத் தாகிய
'......... எனின், ........... என்றாகும்'
என்பதற்கு - இனையும்,
நிலையான கருத்தாகிய 'எனவே' என்பதற்கு ஃ இனையும் அளிப்பதன்வழி, மேலும் குறியீ டாக்கலாம். அப்படியாயின், வாதம் பின்வருமாறு அமையும்:
1.
(ஆம்) என்பதை தமிழ் இலக்கண மரபுப்படி வாக்கியத்தின் எழுவாய்க்கு ஏற்ப ஆவன், ஆவள், ஆவர், ஆகும் என மாற்றிக் கொள்க. ஆம் என்பது தோன்றா மலே நின்று பொருள் தரும்.

Page 9
P -> ~ 2..
P ....... . . . . .
... (9)
. (6) ... (h)
ஃ ~ 2..
...... (9)
1. (1)
நாம் முதன்முதலிலே ஆராய்ந்த வாதத்தினை - அதாவது, (9) ஆம் (10) ஆம் (11) ஆம் வாக்கியங்களிலிருந்து பெறப்படும் வாதத்தினை - இறுதி வாதத்துடன் ஒப்பிடுவதன்வழி, ஒரு வாதத் தின் தருக்க நியமம் பற்றிய கருத்தை நாம் மேலும் தெளிவாக விளங்கிக்கொள்ளலாம்.
விமல் ஒரு மாணவன் எனின், விமல்
நுண்மதியுள்ளவன் என்றாகும்...... விமல் ஒரு மாணவன்.
(10) எனவே, விமல் நுண்மதியுள்ளவன் .
.. (11) என்னும், வாக்கியங்களை,
P எனின், 2 என்றாகும். P.
(i) எனவே, 2...
.. (k) என்னும் நியமத்திற் குறிக்கமுடியும் என்பதை நாம் காண்கிறோம். இங்கே,
P ஆனது, ''விமல் ஒரு மாணவன்'' என்பதைக் குறிக்கும். 2 ஆனது, 'விமல் நுண்மதியுள்ளவன்' என்பதைக் குறிக்கும். இனி, (a), (b) இனாலும் (c) இனாலும் பெறப்படுகின்ற வாதத்தின தும், (i), (i) இனாலும் (k) இனாலும் பெறப்படுகின்ற வாதத்தினதும் நியமத்திலுள்ள ஒரேயொரு வேற்றுமை என்னவெனின், முன்னை யதிலுள்ள ~ 2 இற்குப் பதிலாக, பின்னையதில் 2 இருப்பதே யாம். எனினும், இந்த விடயத்தில், இவ்வேற்றுமைதானும் நிய மத்தைப் பொறுத்தமட்டிலே குறிப்பிடத்தக்க ஒரு வேற்றுமை யாக இருக்க வேண்டியதில்லை.
இனி,
(9), (10) இற்கும் (11) இற்கும் பதிலாக விமல் ஒரு மாணவன் எனின், விமலுக்கு விளையாட நேரம் இராது என்றாகும்.
... (15) விமல் ஒரு மாணவன்..
.(10) எனவே, விமலுக்கு விளையாட நேரம் இராது..... (16) என்பவற்றை நாம் கருத்திற்கொள்வோம். இப்போது 'விமல் ஒரு மாணவன்' என்பதற்குரியதாக P இனை யும், 'விமலுக்கு விளையாட நேரம் இராது' என்பதற்குரியதாக ~ 2 இனையும் கொள்ளின், (a), (b) உம் (c) உம் (15), (10) 4 இனையும் (16) இனையும் மிகு நுட்பமாகப் பிரதிபலிக்கும். அதாவது ,

P எனின், ~ 2 என்றாகும்.
.. (a)
P
(b)
(c)
•. . (1)
எனவே, ~ 2 ...
................ (c) இவ்வுதாரணங்களில், நாம் ஏற்றுக்கொள்கின்ற ஓர் அனுமான விதிப்படியே அதாவது, உடன்படல் ஆதாரப்படியே - மூன்று வாதங்களும் வாய்ப்புடையனவாகின்றன . உடன்படல், ஆதாரப் படி,
P எனின், 2 என்றாகும் எனும் நிபந்தனையான வாக்கியம் தரப்பட்டிருப்ப, மேலும், இந்த நிபந்தனையான வாக்கியத்தின் (அது உண்மையானதென்று) முன் னெடுப்பும் தரப்பட்டிருப்ப (அதாவது, P தரப்பட்டிருப்ப), பின் னிணைகின்ற வாக்கியம் - அதாவது 2 (உண்மையானதென்று) நாம் முடிபு செய்யலாம். மேலும், > | எல்லாக் கழுதைகளும் நான்கு காலுடைய உயிரினங்கள் ஆம்.. (21) எல்லா , நான்கு காலுடைய உயிரினங்களும் விலங்குகள் ஆம்.(2 2) எனவே, எல்லாக் கழுதைகளும் விலங்குகள்.....
....... (23) என்னும் நியமத்தையுடைய ஒரு வாதமும் வாய்ப்பானதே. இந்த வாதம்,
எல்லா x உம் ) ஆம். எல்லா y உம் 2 ஆம்...............
................ (m) எனவே, எல்லா X உம் 2 ..........
... (1) என்னும் நியமத்தை 'உடையது . இது, உதாரணமாக, பாபரா நியமம் ஆகும். அரிஸ்டோடிலின் நியாயத் தொகையில் இது வாய்ப்பான ஒரு நியமமே.
இவ்வாதங்களின் வாய்ப்பான து அவற்றை வெளிப்படுத்தும் வாக்கியங்களிலுள்ள தருக்க நியமத்திலேயே தங்கியுளது என்பது கண்கூடு. இவ்வழி, வாய்ப்பான ஒரு வாதத்தின் எடுகூற்றுக்களினின் றும் முடிபானது நியமமாகப் பெறப்படுகிறது எனும் கருத்து ஏற்புடைத்து. எடுகூற்றுக்கள் முடிபினைக் குறிப்பாகச் சுட்டுகின்றன என்று நாம் கூறுகிறோம்.
ஒரு வாதத்தின் முடிபானது ஏற்கத்தக்கதொரு விதிப்படி அதன் எடு கூற்றுக்களினின்றும் பெறப்படாவிடின், அவ்வாதம் வாய்ப் பற்றதாகும். இவ்வழி
விமல் புத்திமான் எனின், விமல் ஒரு மாணவன் என்றாகும். !
.(24) விமல் ஒரு மாணவன்...
...(10) எனவே, விமல் புத்திமான்
.. (11) எனும் வாதம் வாய்ப்பற்றதாகின்றது.
இவ்வாறே,
எல்லா மனிதரும் நேர்மையானவர் எனின்.........

Page 10
வேடரும் மனிதர் எனின்..
... (26) வேடர் நேர்மையற்றவர்.
... (27) எனும் வாதமும் வாய்ப்பற்றது என்பதை நாம் காட்டலாம். அ வாக்கியங்களினதும் வாதங்களினதும் உட்பொருள்களிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட நியமத்தில் அளவையியலறிஞர் கொண்டுள்ள அக்கறைபற்றி, இந்நூற்றாண்டின் தலைசிறந்த உளவியலறிஞருள் ஒருவரான பேட்றன்ட் றஸல் பின்வருமாறு கூறுகிறார்:-
''... இந்தத் துறையிலே குறிப்பிட்ட பொருள்கள் பற்றியோ பண்புகள் பற்றியோ நாம் ஆராய்வதில்லை. எந்தவொரு பொருள் பற்றியும் அல்லது எந்தவொரு பண்புபற்றியும் என்ன கூறலாம் என்பது தொடர்பாகவே நாம் நியமமுறையில் ஆராய்கிறோம். ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டு என்று கூற நாம் தயார். ஆனால், சோக்கிரதீசும் பிளேட்டோவும் இருவராவார் என்று கூற நாம் தயாரில்லை. ஏனெனின், அளவையியலாளர் அல்லது தூயகணித வியலாளர் என்றவகையிலே, சோக்கிரதீசு பற்றியோ பிளேட்டோ பற்றியோ எமக்கு எதுவும் தெரியாது. உலகில் இத்தகைய மனிதர் இல்லாதபோதும், ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டாகத்தான் இருக்கும். தூயகணிதவியலாளர் அல்லது தருக்கவியலாளர் என்ற வகையிலே, நாம் ஒன்றுமே கூறவியலாது; ஏனெனின், நாம் அவ்வாறு ஏதும் கூறின், நியமமான ஒன்றையன்றி, பொருத்தமற்ற ஒன்றைப் புகுத்துபவர்களாகிவிடுவோம். நியாயத்தொடை என்ற விடயத் தோடு தொடர்புறுத்துவதன்வழி, இதனை நாம் தெளிவாக்கலாம். மரபுத்தர்க்கம் கூறுகிறது;
''எல்லா மனிதரும் அநித்தியர் ஆம்; சோக்கிரதீசு ஒரு மனிதர்; எனவே சோக்கிரதீசு அநித்தியர்.'' இப்போது, எடுகூற்றுக்களும் முடியும் உண்மையானவை என் பதையன்றி, எடுகூற்றுக்கள் முடிபினைக் குறிப்பாகச் சுட்டுகின்றன என்பதை மட்டுமே, நாம் உறுத்த முனைகிறோம் என்பது தெளிவு. அளவையியலைப் பொறுத்தமட்டிலே, எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாக இருக்கவேண்டும் என்பது அவசியமன்று என்பதை மரபுத்தருக் கமே சுட்டிக்காட்டுகிறது. இவ்வழி, மேற்கூறிய மரபுநியாயத் தொடையிலே கொணரப்படவேண்டிய முதலாவது மாற்றம் யாதெ னின், அதனைப் பின்வரும் நியமத்திற் கூறுவதே: ' 'எல்லா மனிதரும் அநித்தியர் எனின், சோக்கிரத்தீசு ஒரு மனிதர் எனின், சோக்கிர தீசு அநித்தியர்.'' ''இந்த வாதமானது அதிற் காணப்படும் குறிப்பிட்ட சொற்கள் காரணமாகவன்றி, அதன் நியமம் காரண மாகவே வாய்ப்பானதாகின்றது'' என்பதை நாம் இப்போது கவனிக்கலாம். இவ்வழி, மனிதருக்காக 3 இனையும் அநித்தியருக் காக B இனையும், சோக்கிரதீசுக்காக X இனையும் நாம் பதிலீடாகக் குறிக்கலாம். இங்கே, & உம் B உம் எந்த வகுப்பாகவும், X எந்த ஒரு தனியாளாகவும் இருக்கலாம். எனவே, நாம் பின்வரும்
கூற்றினை எய்துகிறோம்:
10

11 'x உம், 4 உம் 8 உம் எந்த மதிப்பினைக்கொண்டிருப்பினும், எல்லா 2 உம் 8 ஆம் எனின் X ஒரு ! எனின், X ஆன து /3 ஆகும்
இறுதியாக, அளவையியலின் எடுப்பு ஒன்றினை - சோக்கிரதீசு, மனிதர், அநித்தியர் பற்றிய மரபுக் கூற்றினாற் குறிப்பாகமட்டும் தெரிவிக்கப்படுகின்ற எடுப்பு ஒன்றினை – நாம் இங்கே காண் கிறோம்.
நாம் கருத்திற் கொள்வது நியமமான நியாயங் காணுதலையே எனின், எப்போதும் மேற்குறித்ததைப்போன்ற கூற்றுக்களையே இறுதியாக எய்துவோம் என்பது தெளிவு. மேற்குறித்த கூற்றிலே, பொருள்களோ, பண்புகளோ ஒன்றும் கூறப்படவில்லை ... அதற் குக் காரணம், இந்த ஆய்வுத்துறையானது, நாம் கூறுவதேபோல உண்மையில் முற்றும் நியமமாக'' இருத்தலேயாம்.
இவ்வழி, அளவையியலானது வாதங்களின் பல்வேறு நியமங் களையும் அமைப்புக்களையும் ஆராய்ந்து, வாய்ப்பான வாதங்களைத் தரும் நியமங்களைக் குறிப்பிட்டுக் காட்டுகின்றது. 12 1.22 உண்மையும் வாய்ப்பும்
ஒரு வாதம் வாய்ப்பாகவும் அதன் எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாக வும் இருப்பின், முடியும் கட்டாயமாக உண்மையாகவே இருக்கும். வாய்ப்பாகவும், எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாகவுமுள்ள ஒரு வா தம், முழுநிறைவானவாதம் எனப்படுகின்றது. 1ெ உதாரண மாக, வாக்கியங்கள் (14) இனையும் (12) இனையும் எடுகூற்றுக்களாகவும், (13) இனை முடிபாகவும் கொ ண்டமைந்த வாதமானது உண்மையான எடுகூற்றுக்களைக் கொண்டது; இந்த வாதம் வாய்ப்பான து. எனவே முடிபு அதாவது, 'பிதுருதலாகலை ஒரு பாலூட்டியன்று' என்பது உண்மையாகும். இவ்வழி, வாய்ப் பான வா தங்களானவை உண்மையான எடுகூற்றுக்களிலிருந்து உண்மையான முடிபுகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன.
வாதங்களின் பண்பு, வாய்ப்பாகும். வாக்கியங்களின் பண்பு, உண்மையாகும். ஒரு வாய்ப்பான வாதத்தின் எடுகூற்றுக்களில் ஒன்றோ பலவோ அல்லது அதன் முடிபோ உண்மையாக இருக்க வேண்டும் என்பது அவசியமன்று. ஒரு வாதத்தின் வாய்ப்பான து
அளவையியலில் நாம் ஏற்றுக்கொள்ளுகின்ற அனுமான விதிகளில் மட்டுமே தங்கியுளது. அதன் எடுகூற்றுக்களாக அமைகின்ற வாக் கியங்களின், அல்லது முடிபின் உண்மைக்கும் (அல்லது தவறுக் கும்), அதன் வாய்ப்பிற்கும் தொடர்பு இல்லை.
உதாரணமாக,
கொழும்பில் ஒரு துறைமுகம் இருக்கும் எனின் கண்டியில் ஒரு குளம் இருக்கும் என்றாகும்.
... (2 8) கண்டியிலே குளம் இல்லை....... எனவே, கொழும்பிலே துறைமுகம் இல்லை........... (30)

Page 11
என்னும் வாதத்தை ஆராய்க. இந்த வாதம் (மறுத்தல் ஆகாரத், தின் அனுமானவிதிப்படி) வாய்ப்பானதே. எனினும், அதன் எடு கூற்றுக்களில் ஒன்று - அதாவது. 'கண்டியிலே குளம் இல்லை' - என்பது - உண்மையானதன்று. 'கொழும்பிலே துறைமுகம் இல்லை' என்னும் முடியும் உண்மையானதன்று.
வகுமுறை உண்மை பற்றியும் அனுபவத்துக்குரிய (அல்லது தொகு முறை) உண்மைபற்றியும் நாம் ஏற்கெனவே குறிப்பிட்டுள்ளோம்.
கண்டியில் ஒரு குளம் உண்டு...
.. (31) என்பதுபோன்ற வாக்கியங்கள் அனுபவத்தின்படி உண்மையானவை.
இரண்டும் இரண்டும் நான்கு.....
.......... (4) ஓர் உரு ஒரு சதுரம் எனின், அது நான்கு பக்கங்களை உடையது என்றாகும்..........
.............(32) என்பன போன்றவாக்கியங்கள் வகுமுறைப்படி உண்மையாகும். ஒரு வாக்கியம் அனுபவத்தின்படி உண்மையானதா, பொய் யானதா என்பது பற்றி அளவையியலறிஞர் அக்கறை கொள் வதில்லை. வகுமுறை உண்மைகளைப் பொறுத்தமட்டிற்றானும், அவற் றுட் சிலவே அவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்கின்றன. இவ்வழி, (4), (14) அல்லது (25) போன்ற வாக்கியங்களினால் வெளிப்படுத் தப்படும் உண்மைகள் பற்றி அவர்கள் அக்கறைகொள்வதில்லை; ஏனெனின், வாக்கியங்களின் குறித்த பொருள்களில் இவ்வுண்மை கள் தங்கியுள் என்பதாலேயேயாம். மறுசார், நியமம் காரணமாக உண்மையாகவிருக்கும் வகுமுறை உண்மைகள் பற்றியே - அதா வது, ஒன்றில் பேராதனையில் மழை பெய்கிறது, அன்றேல் பேரா தனையில் மழை பெய்யவில்லை.......................(33) போன்ற உண்மை கள் பற்றியே - அளவையியலறிஞன் அக்கறை கொள்கிறான். ஈண்டும், குறிப்பிட்ட இவ்வாக்கியங்களன்றி, அவற்றின் நியமமே அளவையியல் றிக்ஞனின் ஆராய்ச்சிக்கும் விடயமாக உளது. அளவை யியலின்படி வாய்ப்பான ஒரு வாதத்தினை வெளிப்படுத்துகின்ற ஒரு வாக்கியமானது கூறியது கூறல் ஆகும். அதாவது, இத்த கைய ஒரு வாக்கியமானது அதன் உள்ளடக்க வாக்கியங்கள் ஒவ் வொன்றின தும் எல்லா உண்மை மதிப்புப்படியும் - உண்மையாக (அதாவது, உண்மையாக அல்லது பொய்யாக) இருக்கும்.
பயிற்சி 1 1. பின்வருவனவற்றுள் உறுதியான வாக்கியங்கள் யாவை?
(1) பேராதனையிலுள்ள ஜயத்திலக மண்டபத்திற்கு நான்
சென்றேன். (ii) சீ, என்ன பிதற்றல் இது?
12

(ti) கடந்த மூன்று மாதங்களாக இலங்கையிலே பெருமழை
பெய்து கொண்டிருந்தது. (0) அவள் ஓர் அழகான சிறுமி. (0) ஒரு நாள் நான் பல்கலைக்கழகம் புகுவேன். (01) அந்த இளைஞனோடு பேசுக. பின்வரும் வாக்கியங்களுள் உண்மையானவை யாவை? உண் மையானவற்றுள், வகுமுறைப்படி உண்மையானவை யாவை? அனுபவத்துக்குரிய முறைப்படி உண்மையானவை யாவை? பொய்யான வாக்கியங்களுள் முரண்பாடானவை யாவை?
(1) மகாத்மா காந்தி சுட்டுக் கொல்லப்பட்டார் (ii) புவி தட்டையானது (iii) மூன்றிலும் இரண்டு கூடியதாகவும் நான்கினும் மூன்று
கூடியதாகவும் இருப்பின், இரண்டினும் நான்கு கூடிய
தாகும் (10)
கைம்பெண் தன் கணவனுடன் போகிறாள் (0) ஒரு வட்டத்திலுள்ள எல்லாப் புள்ளிகளும் அதன் மையத்
தினின்றும் சமதூரத்திலுள்ளவை. (vi) 'யாழ்ப்பாணம் ஒரு குடா நாடு. பின்வரும் வாதங்கள் வாய்ப்பானவையெனின் அவற்றுள் முழு நிறைவானவை யாவை?
(1) காக்கைகளுட் பெரும்பாலன கரியவை எனின், எல்லாக்
காக்கைகளும் பறவைகள் எனின், சில பறவைகள் கரி
யவை என்றாகும். (ii) கண்டியில் ஒரு குளம் இருக்கும் எனின்,' மூன்றினும்
இரண்டு கூடியது என்றாகும். கண்டியில் ஒரு குளம்
உண்டு. எனவே, மூன்றினும் இரண்டு கூடியது. (iii)
மகாவலிகங்கை திருகோணமலைக்கு அருகே கடலை அடை யும் எனின், மகாவலிகங்கை இலங்கையிலுள்ள மிக நீள மான ஆறாகும். மகாவலிகங்கை, திருகோணமலைக்கு அருகே கடலை அடைகிறது. எனவே, மகாவலிகங்கை
இலங்கையிலுள்ள மிக நீளமான ஆறாகும். 4. பின்வரும் வாதங்களுள் ஒரே நியமத்தையுடைய வாதங்கள்
யாவை? எல்லாமனிதரும் அநித்தியர் எனின், சில மனிதர் நாணய மற்றவர் எனின், சில நாணயமற்ற மனிதர் அநித்தியர்
என்றாகும். (ii) P எனின், 2 அன்று என்றாகும்.
(7)
எனவே, P அன்று, (iii) மழை பெய்யும் எனின், வானிலை நல்லதன்று. வானிலை
நல்லது. எனவே மழை பெய்யவில்லை.
13

Page 12
(iv) எல்லா மாணவரும் இளைஞர் எனின், சில மாணவர்
குறும்பர் எனின், சில குறும்பர் இளைஞர் என்றாகும். (0) P எனின், 2 என்றாகும்.
(vi)
எனவே P எல்லா S உம் P ஆம். சில P, T ஆம். எனவே சில T, P.
ஆம்.
1.23 அளவையியலும் தொகுத்தறிவும் -
உய்த்தறி அனுமானம் தொகுத்தறி அனுமானம் ஆகிய இரண்டி னையும் பற்றிய ஆய்வுகளை தழுவும் வகையிலேயே அளவையியல் எனும் சொல் பாரம்பரியமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது. இன்றோ எனின், உய்த்தறி முறையில் - அதுவும் நியமமான முறையில் - நியாயங்காணுதல் பற்றிய ஆய்வினை மட்டுமே பெரும் பாலும் குறிக்கும் வகையில் அது பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஏற் கெனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, நியமத் தருக்கத்தினை மட்டும் குறிப் பதற்கே அச்சொல்லை நாம் இங்கு பயன்படுத்துகிறோம்.
இந்நூல், நியமமில் போலிகள் பற்றிய பிரிவிலும், விஞ்ஞான முறை பற்றிய பிரிவிலும் தொகுத்தறி அனுமானத்தின் சில அம் சங்கள் பற்றி ஆராய்கிறது. மரபு நூல்களிலே, உய்த்தறிவும் தொகுத்தறிவும், ஒன்றையொன்று முழுமையாக்குகின்றனவெனி னும், இருவேறு வகைகளான தருக்க முறைகளாகக் கருதப்பட்டன. பொது வாக்கியங்களிலிருந்து * "குறிப்பிட்ட வாக்கியங்களுக்குச் செல்ல - உதாரணமாக, 'எல்லாப் பேராசிரியர்களும் கற்றறிந் தோர் ஆம்' எனும் வாக்கியத்திலிருந்தும் சில பெண்கள் பேவாசிரி யர்கள்' எனும் வாக்கியத்திலிருந்தும் சில பெண்கள் கற்றறிந்தோர் எனும் வாக்கியத்திற்குச் செல்ல -- உய்த்தறிவு எமக்கு வழிவகுக் கிறது எனக் கருதப்பட்டது. மறுசார், தொகுத்தறிவோ எனின், 'இந்தக் காக்கை கரியது', ' அந்தக் காக்கை கரியது' என்னும் குறிப்பிட்ட வாக்கியங்களிலிருந்து 'எல்லாக் காக்கைகளும் கரி யவை' என்பது போன்ற - அனுபவ வாயிலாக அவதானிக்கத்தக்க நிலைமைகளை விவரிக்கின்ற - பொதுவாக்கியங்களை நாம் அனு மானிக்க வழிவகுக்கிறது எனக் கருதப்பட்டது. உய்த்தறிவும் தொகுத்தறிவும் பற்றிய இந்தக் கருத்து, தவறான தாகும். க தொகுத்தறி நியாயங் காணுதலின் நம்பிக்கைச் சான்று பற்றிக் கேள்வி எழுப்புகின்ற சிந்தனையாளர்கள் சிலர் உளரேனும், பயன் பாடுடைய நியாயங்காணும் உத்தியொன் றனை அது எமக்கு அளிப்ப தாக நாம் கொள்வோம். எனினும், அந்த நியாயங் காணுதலானது அளவையியலில் உள்ள வகையிலும் பார்க்க மிகவும் வேறுபட்ட ஒரு வகையினதாகும். நியமத் தர்க்கமானது, கணிதத்தைப் போன்றே, எடு கூற்றுக்களினின்றும் முடிபுகளை எய்துவதற்கு
14

எமக்கு ஒரு வழிவகையினைத் தருகிறது. வாதம் வாய்ப்புடைய தெனின் இம்முடிபுகள் எடுகூற்றுக்களினின்றும் கட்டாயமாகப் பெறப்படும். மேலும், வாய்ப்பான ஒரு வாதத்தின் எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாக இருப்பின் , முடியும் கட்டாயமாக உண்மையாக இருக்கும். தொகுத்தறி நியாயங் காணுதலிலே, எடுகூற்றுக்கள் உண்மையாக இருப்பினும், வாதம். தொகுத்தறிவு முறைப்படி சரியாக இருப்பினும், முடிபு உண்மையாக இருப்பது திடமில்லை. அது நிகழ்தகவாக உண்மையாக இருக்கும் என்று மட்டும் கூறலாம். இந்த வகையிலேயே, உய்த்தறி முறையிலிருந்து தொகுத்தறி முறை வேறுபடுகின்றது.
எடுத்துக்காட்டாக பின்வரும் வாதத்தை ஆராய்க:
அ. கத்தியாலே குத்துவதற்குச் சற்று முன்பு X கத்தியுடன்
காணப்பட்டான். ஆ. குத்துவதற்குப் பயன்படுத்தப்பட்டதாக நீதிமன்றத்திற்
சமர்ப்பிக்கப்பட்ட கத்தி X இன் கையிலே காணப்பட்ட அதே கத்தியெனக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. மேலும் X இன் கைவிரல் அடையாளமும் கத்தியிற் காணப்பட்டது. குற்றச் செயலைப் புரிவதற்கு 3 இற்குப் போதிய தூண்டு தல் இருந்தது. குத்தப்பட்ட y ஐ குத்துவதற்கு முன்னர் சிலகாலமாக X பகிரங்கமாகப் பயமுறுத்தி வந்திருக்கிறார்.
x இன் உடையில் y இன் இரத்தக் கறைகள் இருந்தன. உ. X தம்மைக் கத்தியாலே குத்தியதாகப் பொலிசுக்கும்
வைத்தியருக்கும் y கூறியிருந்தார். > வேறு ஒருவராலே குத்தப்பட்டார் என்று கூறுவதற்கு கிடைக்கத்தக்க சான்று வேறு ஒன்றுமில்லை.
எனவே, y ஐ x கத்தியாலே குத்தியிருக்கிறார். இந்த வாதம் (எம்முடைய நீதிமன்ற வழக்குகளில் இந்த வகை பொதுவானதாகும்) y ஐக் குத்தியது x என்ற ஆளே என்பதை முடிபாக உறுதிப்படுத்துகிறது போலத் தோன்றுகிறது. இந்த முடிபு நிகழ்தகவாகச் சரியாகும். இது , X குற்றவாளி என்பதைச் 'சந்தேகத்துக்கிடமற்ற வகையில் உறுதிப்படுத்தக் கூடும். நடு வரும் ஒருவேளை x ஐக் குற்றவாளியெனத் தீர்ப்பளிக்கலாம். - இவ்வாதம் எவ்வாறிருப்பினும், ''y ஐ X குத்தினான்'' என்பது திடமான தன்று. ஏனெனின், சம்பவம் முற்றும் வேறுபட்ட வகை யில் நிகழ்ந்தது எனவும், அதுபற்றி நீதிமன்றத்தில் எதுவுமே கொணரப்படவில்லை எனவும் எதிரி தரப்புச் சட்டவறிஞர் ஒரு வேளை வாதிட்டிருக்கலாம். இவ்வழி, அ இலிருந்து ஊ வரையு மான எடுகூற்றுக்கள் யாவுமே உண்மையாக இருப்பினும், வாதம்
5
ஊள்.
1. உதாரணமாக, அண்மைக் காலத்திலே ' 'சனாதிபதி ஜோன் கெனடியைச் சுட்டது
யார்?* ' எனும் கேள்வியானது (குற்றவாளியென ஒருவருக்கு ஏற்கெனவே தீர்ப் பளிக்கப்பட்ட பின்னரும்) மீண்டும் மீண்டும் எழுவதைக் கவனிக்க.
15

Page 13
தொகுத்தறி முறைப்படி சரியென ஏற்கப்படினும், முடிபு உண்மை யாக இருக்கவேண்டியதில்லை. - எனினும், வாக்கியங்கள் (9), (10) இனாலும் (11) இனாலும் தரப்பட்டுள்ளவை போன்ற வாய்ப்பான உய்த்தறி வாதங்களைப் பொறுத்தமட்டில், எடுகூற்றுக்கள் உண்மையானவை எனின், முடிபு உண்மையாகவே இருத்தல் வேண்டும். சில வேளைகளில் இக்கருத்து பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: வாய்ப்பான உய்த்தறி வாதமானது கூறியது கூறல் ஆகும். இதில் முடிபானது எடுகூற்றுக்களிலே உட் கிடையாக உளது. அதே வேளையில், தொகுத்தறிவிலோ எனின் - உதாரணமாக மேற்குறித்த வாதத்திலே முடிபானது - எடுகூற்றுக் களிலே உண்மையிற் கொடுக்கப்பட்டுள்ளவற்றுக்கு அப்பாலும் செல்கிறது. மேற்குறித்த வாதத்திலே, ''y ஐ x குத்தினான்” என்பது எடுகூற்றுக்களிலே அடங்கியிருக்கவில்லை. 1.24 அளவையியலும் மொழியும்
வாதங்களானவை, வாக்கியங்களைக் கொண்டவை என்னும் கருத்திலே, மொழி சார்ந்த பொருள்களாகும். எனவே, மொழி யின் இயல்பு பற்றியும் அதன் பயன்பாடு பற்றியும் அளவையியலில் ஆராய வேண்டியுளது. மேலும் ஓர் அளவையியல் முறைமையே அமைக்கப்பட்ட ஒரு மொழியாகக் கருதப்படலாம்.
மொழியான து சொல்லுருவிலான குறிகளைக் கொண்டுளது. ஆனால், நாம் பயன்படுத்துகின்ற குறிகள் யாவுமே மொழி சார்ந் தவை அல்ல. இவ்வழி, தீக்குரிய குறியாகப் புகை தோன்றலாம். ஆனால், புகையானது மொழிசார்ந்த குறி அன்று. பேச்சுச் சொற் கள் அல்லது எழுத்துச் சொற்கள் மொழிசார்ந்த பொருள்களா கும். ஒரு மொழியிலுள்ள குறிகள் குறியீடுகள் ஆகும். ஒரு மொழி யின் விதிகள், இந்தக் குறியீடுகளை எவ்வாறு சரியாக இணைக்கலாம் என்பதனைக் கூறுகின்றன: விதிகளானவை, உதாரணமாக இலக் கண வாக்கியங்களை எமக்குத் தருகின்றன. குறியீடுகளும் இவ் விதிகளுமே ஒரு மொழியின் சொற்றொடரியலாக அமைகின்றன. இந்த வகையிலே, சாதாரண மொழியையும் ஒரு மொழியாக நாம் கொள்ளலாம். ஆயின், (இலக்கண) விதிகளும் சொற்றொகு தியும் அதிலே திட்பமாகவும் தனிச்சிறப்புப் படவும் வரையறுக் கப்படுவதில்லை .1 நாம் விரும்பின், எமது சொற்றொகுதியைச் சில (தமிழ்ச்) சொற்களின் திரட்டாக வரையறுத்து, துல்லியமான இலக்கண விதிகளை அளிப்பதன் வழி, எமது மொழியை நாம் மேலும் திட்பமான ஒரு மொழியாக்கிக் கொள்ளலாம். ஆனால் உபயோகமான பல சொற்கோவைகள் தவிர்க்கப்பட்டுவிடும். மேலும், மேற்கூறிய கருத்துப்படி எண்கணிதம் ஒரு மொழி உதாரணமாக, வரலாற்று ரீதியாகப் படிமுறை வளர்ச்சி எய்துகின்ற, சிங்களம் போன்ற ஒரு மொழியின் இலக்கணத்திற்கு வெவ்வேறு அமைப்புக்களும் கருத்து வகைகளும் கொடுக்கத்தக்க சாத்தியக் கூறு.
16

.. (7)
யாகும். அதன் சொற்றொகுதி, எண்களையும் கூட்டல் அடை யாளம் போன்ற குறிகளையும் கொண்டுளது. ஓர் அளவையியல் முறைமையும், அமைக்கப்பட்ட ஒரு மொழியாகக் கருதப்படலாம். - பொதுவாக, ஒரு மொழியானது மொழியின் ஒரு பகுதி அல்லாத ஒன்றினை விவரிக்கவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. இப்படியாக மொழி யைப் பயன்படுத்தும்போது சொற்றொடரியலின்படி சரியான சொற் கோவைகளுக்கு, வியாக்கியானம் அல்லது பொருள் விளக்கம் தரப்படுகிறது. இது ஒரு மொழியின் சொற்பொருளுக்குரிய அம்ச மாகும். சொற்களும், இலக்கண வாக்கியங்களும் பொருள் உடை யவை. பொருள்களில் வெவ்வேறு வகைகள் உள. அதாவது, பொருள்களை வகைப்படுத்தப் பல்வேறு வழிகள் உள. வாக்கியங் களின் பொருளுக்குப் பொருந்தத்தக்க ஒரு வகைப்படுத்தல் முறை கட்டளைப் பொருள், உணர்ச்சிப் பொருள், விளக்கப் பொருள் எனும் மூன்று பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது.
பின்வரும் மூன்று வாக்கியங்களும், முறையே, இப்பொருள்களை எடுத்துக்காட்டுகின்றன:
கதவை மூடுக.. ஆகா! வானம் எவ்வளவு
அழகாக இருக்கிறது!...
.........(34) எல்லாக் கண்ணாடிகளும்
உடையுந் தன்மையுடையன... அளவையியலில், மொழியில் கட்டளைப் பயன்பாடு, உணர்ச்சிப் பயன்பாடு ஆகியன பற்றியன்றி மொழியின் விளக்கப் பயன்பாடு பற்றியே நாம் அக்கறை கொண்டுளோம் என்பதை ஏற்கெனவே கவனித்தோம். இந்த வழியில், அளவையியல் மொழியானது, சாதாரண மொழியைப் பார்க்கினும் பெரிதும் வரையறுக்கப்படு கிறது. இவ்வழி உதாரணமாக, (7) அல்லது (34) போன்ற வாக்கியங்கள் பற்றி நாம் அக்கறை கொள்வதில்லை. - சொற்களின் பொருளை விரிவான , செறிவான , என இரு வகைப் படுத்துவது மற்றுமொரு வகைப்படுத்தல் முறையாகும். விரிவான பொருள், சொல்லில் வரும் விடயங்களைக் குறிக்கிறது. உதாரண மாக, 'சிறுமி' எனும் சொல்லின் பொருளை விளக்குவதற்கு நாம் பல சிறுமியர்களைச் சுட்டிக் காட்டலாம். அல்லது, சிறுமியரின் பெயர்களை அதாவது, சுசீலா, அனோமா, காயத்திரி போன்ற பெயர்களைக் குறிப்பிடலாம். செறிவான பொருளோ எனின், இவ்விடயங்களை வர்ணிக்கும் அல்லது தனிப்படக் குறித்துக் காட்டும் பண்புகளைத் தரும். இவ்வாறு ஒரு சிறுமிக்கு வரைவிலக்கணம் கூறும்பொழுது ''ஓர் இளம் மானிடப் பெண்' ' என ஒருவர் கூறலாம். சில சொற்கள், மேற்குறித்த கருத்தில், விரிவான பொருளையோ, செறிவான பொருளையோ தருவதில்லை. 'எனின்', 'இல்லாவிடின்', 'மட்டும்', 'அல்ல' என்பன போன்ற சொற்கள்
.. (2)

Page 14
அத்தகைய சொற்களுக்கு உதாரணங்களாகும். இச்சொற்களின் பொருளை, ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் அவை எவ்வாறு தொழிற்படுகின் றன என்பதைக் காட்டுவதன் மூலம் விளக்கலாம். மேற்குறித்த சொற்களுட் சிலவற்றினை, தருக்கச் சொற்களாக நாம் ஏற்கெனவே கண்டுள்ளோம். மிக முக்கியமான தருக்கச் சொற்கள் சந்தர்ப்பத்
தைச் சார்ந்தே வரையறுக்கப்படுகின்றன.
சாதாரண மொழிப் பிரயோகத்திலே, சொற்கள் ஈரடியியல்பு அல்லது தெளிவின்மை உடையனவாகவேனும், ஈரடியியல்பும் தெளி வின்மையும் உடையனவாகவேனும் பெரும்பாலும் காணப்படும். சிலவேளைகளிலே ஒரு சொற்கோவையின் வெவ்வேறு பொருள் களுக்கிடையே வேறுபாடு காண்பது கடினம். ஒரு சொல்லானது அதன் விளக்கப் பொருளோடு உணர்ச்சி வேகத்தையும் கொண்டி ருக்கலாம். இவ்வழி, இன்றைய பொது வழக்கிலே '' பிற்போக்கு வாதி'' என்பது போன்ற ஒரு சொல் அநேகமாக உணர்ச்சி வேகத் தையும் கொண்டிருக்கிறது எனலாம். அன்றேல், ஒரு வாக்கியம் விளக்கப் பொருளையா, உருவகப் பொருளையா கொண்டுளது என்பது தெளிவற்றதாக இருக்கலாம். உதாரணமாக,
''நீ சேற்றில் அழுந்தப் போகிறாய் '...................... (35) என்னும் வாக்கியத்தை ஆராய்க. இது நேருண்மையான பொருளை அன்றேல் உருவகப் பொருளை உடையதாக இருக்கலாம். வாக்கியம் எதனைக் குறிக்கிறது என்பது பற்றி நாம் ஒரு தீர்மானத்திற்கு வருவதற்கு சந்தர்ப்பம் பெரும்பாலும் துணைபுரியலாம்; ஆனால் எப்போதும் அன்று. எவ்வாறாயினும், சாதாரண மொழியிலே ஒரு சொற்கோவையின் பொருளை அறிந்து கொள்வதில் ஒருவர் கவன மாக இருத்தல் வேண்டும்.
தன்னலத்தோடு செயற்படாதவர் எவரும் இலர்...
(36) என்னும் வாக்கியத்தை ஆராய்க.
இந்த வாக்கியம் பொது வழக்கிற் பல பொருள்களைக் குறிக்கக் கூடும் என்பதை நாம் அறிவோம். முதலாவதாக, யாரேனும் ஒருவர் அதனை ,
''ஒவ்வொருவரும் எப்போதும் தன்னலத்தோடே செயற்படுவர்'' அதாவது, ஒவ்வொருவருடைய ஒவ்வொரு செயலும் தன்னல நோக்குடையது....
- (37) என விளங்கிக் கொள்ளலாம். மற்றும் ஒருவர் அதனை
''ஒவ்வொருவரும் யாதேனும் ஒரு வேளையிலே
தன்னலத்தோடு செயற்படுவர்''
(38) என விளங்கிக் கொள்ளலாம்.
இந்த வாக்கியத்திலே தன்னலம்' என்பது என்ன பொருளிற் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது எனவும் ஒருவர் வினவலாம். ஒவ்வொரு

செயலுக்கும் காரணமாகவுள்ள நோக்கமானது, அச்செயலை ஆற் றும் ஒருவரிடமிருந்துதான் வருகிறது என்பதை அது குறிக்கிறதா? இதுவே பொருளாயின், வாக்கியம் (36), வாக்கியம் (37) இன்படி முனைப்பான பொருளில் எடுத்துக்கொள்ளப்படினும், மறுக்க முடி யாததாகும். எனினும், 'தன்னலம்' என்பது, ஒருவர் மற்றவர் களின் நலன்களைப் புறக்கணிப்பவர் என்பதையும் குறிக்கலாம். அந்தப் பொருளிலே, வாக்கியம் (37) தவறான தாகலாம். அன்றி யும், வாக்கியம் (38) தானும், பொய்யாகக்கூடும்.
குறிப்பிட்ட ஓர் உரையாடலிலுள்ள வாக்கியத்திற்கு, குறித்த ஒரு நிலையான பொருளை மட்டுமே எடுத்துக்கொண்டு, அதனைத் துறைநுட்ப விடயக்கருத்துக் குறிகளாகவோ, தருக்க விடயக் கருத்துக் குறிகளாகவோ, குறியீடுகளாகவோ வெளியிடுவதன் மூலம், அளவையியலானது இந்த ஈரடியியல்பினைத் தவிர்க்கிறது. சாதாரண மொழி வாக்கியங்களைப் பொறுத்தமட்டிலே பொருட் சுருக்கமும், அத்துடன் அல்லது குறித்த சில பொருள் தெளிவின்மை களும் அவற்றின் இணைக்கிணையான தருக்க வாக்கியங்களிற் சில வேளை குறைபாடு அடைவதால், ஒருவர் ஈரடியியல்பினைத் தவிர்க் கவும், திட்பமான பொருளைத் தரவும் முயலுதல் சாலும். பின்வரும் வாக்கியங்களை ஆராய்க: இராமனும் சீதையும் காட்டிலே சென்றுகொண்டிருந்தனர்..... (39) இராமனும் சீதையும் வீட்டிற்குச் சென்றுகொண்டிருந்தனர்... (40)
இவ்வாக்கியங்கள், இராமனும் சீதையும், ''ஒன்றாகச் சென்று கொண்டிருந்தனர்'' என்பதையும், அவர்கள்" 'ஒன்றாக வீட்டிற்குச் சென்று கொண்டிருந்தனர்'' என்பதையும் குறிக்கலாம்.
ஆயின், குறித்த இப்பொருளைப் புலப்படுத்த நாம் தீர்மானித் தாலன்றி, 39 இற்குத் தருக்க இணை மாற்றாக
இராமன் காட்டிலே சென்றுகொண்டிருந்தான்..
(41) சீதை காட்டிலே சென்றுகொண்டிருந்தாள்.
(42) என்னும் இரண்டு இணைப்பு வாக்கியங்களையும், (40) இற்குத்
தருக்க இணை மாற்றாக. இராமன் வீட்டிற்குச் சென்றுகொண்டிருந்தான் என்னும் இணை ப்பு வாக்கியத்தையுமே நாம் பொதுவாகத் தரமுடியும். இவை, இராமனும் சீதையும் ஒன்றாக இருந்தனர் என்னும் குறிப்பை முற்றா கப் புறக்கணிக்கின்றன. மேலும், 'ஆயின்' என்பது, 'அத்துடன்' என்னும் தருக்கப் பொருளைத் தருவதாக வியாக்கியானம் கூறப் படுவது மரபாகும்.
அவன் தேர்ச்சி பெறவில்லை; ஆயினும் அவன் விருந்து அளித்தான்..
.(44) அவன் தேர்ச்சி பெற்றான்; அத்துடன் அவன் விருந்து அளித்தான்...
(45)
19

Page 15
பொதுவாக (44) இனை
அவன் தேர்ச்சி பெறவில்லை; அத்துடன் - அவன் விருந்து அளித்தான்.
.. (46) என்று நாம் எழுதுவதில்லை; எனினும், இது (44) இற்குத் தருக்க இணைமாற்றாகும். ' அவன் தேர்ச்சி பெறாத போதும், விருந்து அளிக்கத்தக்க அத்தகைய அளவிற்கு அவன் அமைதியான மன நிலையைப் பெற்றிருந்தான்' என்பது போன்ற ஒரு கருத்தினையே (44) இன் மூலம் நாம் கூற முயல்கிறோம். இவ்வாறே, (44) உம் (46) உம் தர்க்க இணை மாற்றாகக் கருதப்பட்டபோதும், (45) இனை
அவன் தேர்ச்சிபெற்றான்; ஆயினும் அவன் விருந்து அளித்தான்.........
.(47) என்று நாம் பொதுவாக எழுதமாட்டோம். ஏனெனில், தேர்ச்சி பெற்றால் விருந்து அளிக்க மாட்டேன்'' என்று அவன் ஏதேனும் ஒரு பந்தயம் பிடித்திருந்தால் அன்றி, வாக்கியம் (47) கூறு வதற்கு ஓரளவு புதிராகத் தோன்றும் என்பதாலேயேயாம். - தேர்ச்சி பெறுவதற்கும் விருந்து அளிப்பதற்குமிடையே, பொது. வாக, நாம் ஒரு தொடர்பினை எண்ணுகிறோம். இது. இவ்வாக்கியங் களை வாசிப்பவனின் உளவியல், எதிர்த்தாக்கமாக இருக்கலாம். ஆயின், ஓர் அளவையியலறிஞன், இவ்வாக்கியங்களிற் கூறப்படும் நிகழ்ச்சிகளுக்கிடையே தொடர்பு உண்டு எனும் குறிப்பினைப் புறக்கணித்து, (44), (45), (46) என்பவற்றை இரண்டு வாக்கியங் களின் இணைப்பு வாக்கியங்களாகவே கருதுவான். வாக்கியங்களுக்கு இவ்வாறு வியாக்கியானம் கூறுவதால் யாதோ ஒரு குறைபாடு ஏற்படுகிறது என்பதை ஒருவர் மறுக்கவியலாது. இதற்கு உள வியலறிஞன் அளிக்கும் பதிலானது, "நான் வாக்கியங்களின் தருக் கப் பொருள்பற்றி மட்டும் அக்கறை கொள்கிறேன்'' என்பதாகும்.
கட்டளைப் பொருள்களையும், உணர்ச்சிப் பொருள்களையும் நாம் ஏற்கெனவே தவிர்த்து, உறுதியான வாக்கியங்களில் மட்டும் எமது ஆய்வினை வரையறைப்படுத்திக் கொண்டோம். நாம் ஆராயாது தவிர்க்கவிருக்கும் மற்றுமொரு வகை வாக்கியம் என்னவெனின், ஆதாரவிடயக் கருத்துக் குறிகளைக் கொண்ட வாக்கியங்களேயாம். உதாரணமாக,
விமானம் விழுந்திருக்கக் கூடும்.
... (48) என்பது போன்ற, அல்லது
- நான் கட்டாயம் பணம் வைத்திருக்கவேண்டும்... (49) என்பது போன்ற வாக்கியங்களை நாம் ஆராயமாட்டோம். இந்த வகை வாக்கியங்களை - ஆராயும் அளவையியற்றுறையானது, ஆதார அளவையியல் என அழைக்கப்படும்."
சாதாரண மொழி வாதங்களை தருக்க மொழி வாதங்களாகப் பெயர்க்கும்போது, அளவையியலறிஞன் புறக்கணித்த மற்றுமோர் அம்சம், காலஞ்சார்ந்த அம்சம் என்பதனை வாசகர் உணர்ந்திருக்க லாம். உதாரணமாக,
20

''சர்வாதிகாரிகளை ஆதரிக்குமுகமாக மக்களைத் தூண்டமுடி யாது எனின், சர்வாதிகாரிகள் இருக்கமாட்டார்கள். சர்வாதி காரிகள் இருக்கின்றமையால் அவர்களை ஆதரிக்குமுகமாக மக்களைத் தூண்டலாம்'' என்னும் வாதமானது தர்க்க மொழியிற் பெயர்க்கப்படின்,
சர்வாதிகாரிகள் இருக்கமாட்டார்கள்...................(50) சர்வாதிகாரிகள் இருக்கிறார்கள்.
... (51) என்பதன் மறுப்பாகக் கொள்ளப்படும் என்பதை நாம் காண்போம்.
இவ்வழி, 'சர்வாதிகாரிகள் இருக்க மாட்டார்கள்' என்பது, காலஞ் சார்ந்த பொருள் புறக்கணிக்கப்பட்டு,
சர்வாதிகாரிகள் இல்லை ...
.. (52) எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
இவ்வாறே, ''சுஜாதா ஆசைக்குட்பட்டு ஓர் இரவுக் களரியிற் சேர்வாள் எனின், அவளது சமூக வாழ்க்கை வளம் பெறும். அவளது சமூக வாழ்க்கை வளம்பெறின், அவளது கல்வி பாதிக்கப்படும். சுஜாதா ஆசைக்குட்படுவாள்; ஆயினும், அவளது கல்வி பாதிக்கப்பட மாட்டாது. எனவே, சுஜாதா ஓர் இரவுக் களரியிற் சேர மாட் டாள்,'' என்னும் வாதத்தில்,
- சுஜாதா ஓர் இரவுக் களரியிற் சேர மாட்டாள்... (53) என்பது
சுஜாதா ஓர் இரவுக் களரியிற் சேர்கிறாள்........... (54) என்பதன் மறுப்பாகக் கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வழி, (53) இன் சாத்தியமான காலஞ்சார்ந்த பொருள் - அதாவது, அது எதிர் காலம் பற்றிய ஒரு கூற்று என்பது. - புறக்கணிக்கப்பட்டு, (53) ஆனது,
சுஜாதா ஓர் இரவுக் களரியிற் சேர்ந்திலள்........... (55) என்று கொள்ளப்படுகிறது.
இவ்வாறே,
- சுஜாதா ஆசைக்குட்படுகிறாள். என்பதும்,
சுஜாதா ஆசைக்குட்படுவாள்.
(57) என்பதும் தருக்கப் பொருளிலே இணைமாற்றுகளாகக் கொள்ளப் படுகின்றன.
ஈண்டும், அளவையியலறிஞன் முழுவாதத்தினதும் சந்தர்ப்பத் திலே சம்பந்தப்பட்ட வாக்கியங்களைக் கருத்திற் கொள்ளும்போது, சாத்தியமான காலஞ்சார்ந்த பொருளினை, சம்பந்தப்பட்ட தருக் கத் தொடர்பிற்குப் பொருத்தமற்றதாகப் புறக்கணிக்கிறான்.
சாதாரண மொழியைப் பார்க்கினும் தருக்க மொழிக்குள்ள - சிறப்பாக, கணித்தத் தர்க்க மொழிக்குள்ள – அனுகூலம் என்ன
.. (56)
21

Page 16
வெனின், சிக்கலான வாக்கியங்களையும் வாதங்களின் உட்கிடை யினையும் நாம் தெளிவாகவும் மிக எளிதாகவும் விளங்கிக்கொள்ள அது எமக்குத் துணைபுரிய முடியும் என்பதேயாம்.
உதாரணமாக,
''இவ்விடயம், நிச்சயமாக, கிளியோபட்ரா 1938 இல் உயிரோடிருந்து ஹிட்லரையும், முசோலினியையும் மணம்
புரிந்து கொள்ளவில்லை என்பதன் று என்னும் வாக்கியத்தை ஆராய்க. மிகத் தெளிவாகவும் எளிதாக விளங்கத் தக்கவகையிலும் கூறப்புகின், இந்த வாக்கியத்தின் பொருள் யாது? கணிதத் தர்க்கமானது இத்தகைய ஒரு வாக்கி யத்தை எவ்வாறு குறியீடாக்குவது என்பதையும், அதை எவ் வாறு இணை மாற்றான நியமத்தில் '' மாற்றுவது என்பதையும், இந்த வாக்கியத்தை எவ்வாறு, 1 'கிளியோபட்ரா 1938 இல் உயிரோடிருந்தால், ஹிட்லரையோ முசோலினியையோ அவள் மணம் செய்திருப்பாள்'' - (58) என, (தர்க்க முறையிலே) பொருள்படும்படி காட்டலாம் என்பதையும் எமக்குக் கற்பிக் கிறது.
இப்போது, முரணுரைகளுக்குரிய நியம உதாரணங்களின் சில திரிபுகளை ஆராய்க:
1. ' பேராதனையிலுள்ள முடி ஒப்பனையாளர் எல்லோருக்குமே, அத்துடன், தம்மைத்தாம் சவரஞ்செய்து கொள்ளாதவர்களுக்கு மட்டுமே சவரஞ் செய்கிறார். இப்போது பின்வரும் கேள்வி கேட் கப்படுகிறது. இந்த முடி ஒப்பனையாளர் தம்மைத்தாமே சவரஞ் செய்து கொள்வாரா? இந்தக் கேள்விக்கு முரண்பாடு இன்றி 'ஆம்' அல்லது 'இல்லை' எனப் பதிலளிக்க முடியாது. நாம் 'ஆம்' என்று கூறுகிறோம் எனக் கொள்க. அப்படியாயின், முடி ஒப்பனை யாளர் தம்மைத்தாமே சவரஞ் செய்து கொள்கிறார். ஆனால், அவர் தம்மைத் தாமே சவரஞ் செய்து கொள்ளாதவர்களுக்கு மட்டுமே சவரஞ் செய்கிறார். எனவே, அவர் தம்மைத்தாமே சவரஞ் செய்து கொள்ளவில்லை. இப்போது, நாம் 'இல்லை' என்பதைப் பதிலாகக் கூறுகிறோம், என்று கொள்க, அப்படியாயின், அவர் தம்மைத் தாமே சவரஞ் செய்து கொள்ளவில்லை. ஆனால், அவர் தம்மைத் தாமே சவரஞ் செய்து கொள்ளாத எல்லோருக்குமே சவரஞ் செய்வதால், அவர் தம்மைத் தாமே சவரஞ் செய்து கொள கிறார். இவ்வழி, எந்தப் பதிலும் அறிவுக்கு ஒவ்வாததாகின்றது.
2. ஓர் உறுதியான வாக்கியம் ஒன்றில் உண்மையாக அன் றேல் பொய்யாக இருக்குமென நாம் கொள்கிறோம். ஆனால்,
1. Reichanbach, H. - Rise of Scientific Philosophy, பக். 220 2. +--- P - (0VR)
~ PN~QA~R
22

கீழே பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் உண்மையானதா? பொய் யான தா?
பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யானது
இங்கும், 'ஆம்' 'இல்லை' என்ற இரு பதில்களும் பொருத்த மற்றன வா கிவிடுகின் றன .1 பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் உண்மையானது என்று கொள்க. அப்படியாயின், பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யானது என்பது உண்மையாகும். அதா வது, பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யானது. எனவே, “பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் உண்மையானதெனின், அது பொய்யாகும்' என்ற உண்மைக்கு ஒவ்வாத நிலைமைக்கு நாம் இட்டுச் செல்லப்படுகிறோம். இனி, பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யானதெனக் கொள்க. அவ்வாறாயின், பெட்டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யான து என்பது தவறாகும் - அதாவது, பெட் டிக்குள் உள்ள வாக்கியம் உண்மையான து , மீண்டும், 'பெட்டிக் குள் உள்ள வாக்கியம் பொய்யாயின், அது உண்மையான தாகும்' என்ற உண்மைக்கு ஒவ்வாத நிலைமைக்கு நாம் இட்டுச் செல்லப்படு கிறோம்.
தர்க்கவியலானது இத்தகைய வாக்கியங்களினின்றும் எழுகின்ற முரண்பாடுகளைத் தெளிவாக எடுத்துக் காட்ட எமக்குத் துணைபுரி கின்றது. இந்த நூற்றாண்டிலே, இத்தகைய நிலைமைகளைச் சமாளிப் பதற்கு உத்திகள் படிப்படியாகத் தோற்றுவிக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றில் அதீத மொழிகளை' - அதாவது, வெவ்வேறு படிநிலைகளி லான மொழிகளை - உருவாக்குவது ஒரு முயற்சியாகும். ஒரு மொழியான து, பொதுவாக மொழிக்கு அப்பாற்பட்ட விடயங்கள் பற்றிப் பேசுகிறது என நாம் கூறுகிறோம். ஒரு மொழியானது தன்னைப் பற்றியே பேசும்போது, சில பிரச்சினைகள் எழலாம். இவற்றைத் தவிர்க்குமுகமாக, எமது மொழி பற்றித் தருக்க முறை யிலே பேசுதற்கு, ஓர் உயர்மட்ட மொழியினை அல்லது அதீத மொழியினை நாம் அமைத்துக் கொள்ளலாம் - அது, இப்போது, குறிமொழியாகிவிடுகின்றது. ஒரு மொழியிலுள்ள தற்குறிப்புப் பிரச்சினையே - அதாவது, ஒரு மொழிதன்னைப் பற்றித்தானே பேசுகின்ற பிரச்சினையே - இறுதி உதாரணங்கள் இரண்டிலும் உள்ள பிரச்சினை யாகலாம் - அதீத மொழிகளை அமைத்துக் கொள்வதன் மூலம் இந்நிலைமையினைத் தவிர்க்கலாம்.
1. அதீத மொழிகள் பற்றி அறிவதற்கு, உதாரணமாக, H. Reichanback என்பவ
ரின் Elements of Symbolic மgic' எனும் நூலிலே பக். 9-17 ஐப் பார்க்க.
23

Page 17
1.241 அளவையியல், மொழி, வரைவிலக்கணம்
ஒரு சொற்றொடரின் பொருள் தெளிவின்மையைத் தவிர்ப் பதற்கு அச்சொற்றொடரிலுள்ள பதங்களுக்கு வரைவிலக்கணம் கூறுதல் ஒரு முறையாகும். எனினும் இவ்வாறு பதங்களுக்கு வரைவிலக்கணம் கூறும்போது அவ்வரைவிலக்கணங்கள் பிழையாக வேனும் உதவாமலேனும் இருக்கக்கூடும். உதாரணமாக: 'நித்தி யப்பொருள், தன்னைத்தானே கண்ணாடியில் நோக்கிக் கொண்டி ருப்பதே அழகு'' என்ற வரைவிலக்கணம் ' 'அழகு'' என்ற பதத் திற்குரிய விளக்கம் என்ற முறையில் தெளிவுடையதன்று.
ஒரு பதத்தின் வரைவிலக்கணத்தை அல்லது பொருளைப் பல் வேறு முறைகளிலே கொடுக்கலாம். உதாரணமாக, பரந்த வரை விலக்கணம் எனப்படுவது, ஒரு பதம் சுட்டும் பொருளைக் குறிப் பிட்டு வரைவிலக்கணம் கூறுதல் ஒரு வழியாகும். மூலகாரண வரையறை கொடுத்தல் பிறிதொரு முறையாகும். அதாவது, ஒரு பதம் குறிக்கின்ற பொருளின் தோற்றம், வளர்ச்சி - என் பவற்றை விளக்கி அப்பதத்திற்கான பொருளைத் தெளிவுபடுத்தல் மற்றுமொரு முறையாகும். ' உதாரணமாக, ' 'தொடர்பியற் கொள்கை' ' என்பதை விளக்கும் போது, நியூற்றனின் பெளதிக வியற் கோட்பாடுகளை அயின்ஸ்ரைன் திருத்தியமைத்த முறை பற்றிக் குறிப்பிடலாம்.
ஆதிகாலந் தொடக்கம், அளவையியலறிஞர் பதங்களுக்குச் சிறந்த வரைவிலக்கணங்களைக் கொடுப்பதற்குரிய திட்டவட்ட மான வழிமுறைகளை விதித்துள்ளார்கள். தற்காலத்தில், அளவை யியலறிஞர் பதங்களுக்கு ஒழுங்கான முறையில் வரைவிலக்கணம் கூறுவதற்குக் கண்டிப்பான முறைகளைக் கையாளுகின்றனர்.
1.242 அளவையியலின் நிறைவான இயல்பு
ஒரே மொழியிலோ வேறுபட்ட மொழிகளிலோ உள்ள இரு அல்லது பல வாக்கியங்கள் ஒரே பொருளைத் தரக்கூடும். அவன் வீட்டுக்குப் போனான் (59) இவ்விரு வாக்கியங்களும் ஒரே பொருளை உணர்த்துகின்ற ஒரே ! மொழி வாக்கியங்கள் அவன் வீடு சென்றான்
(60) அவ்வாறே சிங்களத்தில், ඔහු ගෙදර ගියා
(61) என்ற வாக்கியமும் ஆங்கிலத்தில் He went home
(62) என்ற வாக்கியமும் ஒரே பொருளையே உணர்த்துகின்றன. எனவே, 59, 60, 61, 62 ஆகிய ஒவ்வொன்றையும் குறிக்க P என்ற ஒரே குறியீட்டை உபயோகிக்கலாம். இவ்வாய்ப்புக் காரணமாக அளவையியலறிஞர்
24

உறுதி வாக்கியங்களைக் காட்டிலும் எடுப்பு வாக்கியங்களில் அதிகம் அக்கறை கொண்டுள்ளனர். ஓர் உறுதி வாக்கியத்தின் பொருளே ஓர் எடுப்பு வாக்கியமாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. எனவே, எடுப்புகள் பல்வேறு மொழிகளுக்கும் பொதுவானவை எனக் கருதப் பட்டன. (உதாரணமாக, He went home (ஆங்கிலம்), இது அமல் கில் (சிங்களம்), அவன் வீட்டுக்குப் போனான் ஆகியவற்றின் பொருள், தமிழ், ஆங்கிலம், சிங்களம் ஆகிய மும்மொழிகளுக்கும், இப்பொருளை எடுத்துரைக்கும் எந்த மொழிக்கும் பொதுவாகும்.)
இவ்வழி, வாக்கியமுறைக் கணிப்பீடானது, எல்லா மொழி களுக்கும் பொதுவான மூலகமான எடுப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகக் கருதப்பட்டது. எனினும், இந்நூலில், நாம் ஒவ் வொரு மொழியிலும் உள்ள உறுதி வாக்கியமே, வாக்கியக் கணிப்பு முறைக்கு அடிப்படையானதாக இருத்தல் போதியதென்றும், சிறப் பான தென்றும் எடுத்துக்கொள்ளுவோம். ஒரு மொழியிலிருந்து இன்னொரு மொழியிலேனும், ஒரே மொழியிலேனும் பெயர்த்துக் கூறும் வாய்ப்புள்ளமையினால், ஒரே கருத்துடைய வெவ்வேறு வாக்கியங்களுக்கு ஒரே குறியீட்டைக் கொடுக்கக்கூடியதாக இருக் கின்றது. சில வேளைகளில் எடுப்பு எனும் பதத்தினை நாம் பயன் படுத்தலாம். ஆனால் அதனை வாக்கியமுறைக் கணிப்புக்குரிய அடிப் படையாகக் கொள்ளவேண்டியதில்லை.
தமிழ், சிங்களம், ஆங்கிலம், ஜேமன் மொழி, பாளி, போன்ற அநேக மொழிகள் உலகில் உள. அளவையியல் மாறிலிகள் அல்லது இணைக்கும் சொற்கள் எல்லா மொழிகளுக்கும், பொதுவானவை எனக் கருதப்படுகின்றமையினால் இம்மொழிகள் எல்லாவற்றுக்கும் பொதுவான ஓர் இயல்பு பற்றியும் அளவையியல் ஆராய்கின்ற தாகக் கருதப்படுகின்றது. இவ்வழி இணைக்கும் சொற்களான 'எல்லாம்' , 'சில', 'இல்லை', 'ஆல்', அப்போது, 'அல்லது', முதலியவற்றுக்குச் சமமான சொற்கள், எந்த மொழியிலும், வாக்கியங்களில் அல்லது வாதங்களில் மாறாத ஒரே கருத்தையுடை யன எனக் கருதப்படுகின்றன. ஒரு வாக்கியத்துக்கு அல்லது வாதத்துக்குத் தர்க்கரீதியான அமைப்பைக் கொடுப்பதற்கு இது போன்ற சில ' 'மொழியிடை' ' மாறிலிகளே போதுமானவையா கும். 1.25 அளவையியலும் கணிதமும்
இந்த நூற்றாண்டிலே, அளவையியல், தூயகணிதம் ஆகிய இரு துறைகளும் ஒன்றோடொன்று இணைந்தியங்குகின்றன, கிரேக்கர் காலத்தின் பின்னர், 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதமுறைக் குறி யீட்டு வாதமெனப்படும் அளவையியல் ஆராய்ச்சியே கையாளப் பட்டது வரை, அளவையியல் அதிக வளர்ச்சியடையவில்லை. கணித முறைக் குறியீட்டுவாதத்தினை உபயோகித்ததனால் தர்க்கவியலுக்
25

Page 18
கேயுரிய ஒரு சிறப்பான மொழிநடை உருவாகியது. புதிய கணித நெறியான தொடைக்கொள்கையை விளக்குவதற்கும் குறியீட்டுத் தருக்கம் மிகவும் பயனுடைய ஒரு கருவியாக இருந்தது. * 'தொடை' ' என்பதும், ''வகுப்பு' என்பதும் ஒரே பொருளை உடையனவே. வகுப்புக்களிடையேயுள்ள தொடர்புகளைப் பற்றி
ஆராய்வதால் அரிஸ்டோட்டிலின் அளவையியல் முறை, உண்மை யில் வகுப்புப் பற்றிய ஓர் அளவையியல் முறையேயாகும். ஆயின், தொடைக் கொள்கையானது, திட்பநுட்பம் மிக்க ஓர் உயரிய கணிதப்பகுதியாக இன்று வளர்ச்சியடைந்துள்ளது. அதன் வீச் சும், வலுவும் அரிஸ்டோட்டிலுடைய அளவையியல் முறையின் வீச்சையும் வலுவையும் விட மிகச்சிறந்தவையாகக் காணப்படு கின்றன.
நவீன அளவையியல் பற்றிய அத்தியாயத்துக்குரிய முகவுரை யில், கணிதத்துக்கும், கணித முறை அளவையியலுக்குமுள்ள வரலாற்றுத் தொடர்புகளையும், பிற தொடர்புகளையும் பற்றி மேலும் பலவிடயங்கள் கூறப்படும். 1.26 அளவையியலும், உளவியலும்
உளத் தொழிற்பாடுகளையும், உள்ளக் கிடக்கைகளையும் பற்றி ஆராய்வதால், அளவையியலும் உளவியலும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய விடயதானத்தை உடையவை என மரபு வழியா கக் கருதப்பட்டு வந்தது. இக்கருத்தை நாம் ஏற்றுக் கொள்ள முடியாது. ''அளவையியல் உண்மைகள்”' வெறுமையானவை என் பதை ஏற்கெனவே குறிப்பிட்டுள்ளோம். அளவையியல் (தூய) வாக்கியங்கள் உள்ளத் தொழிற்பாடுகளை விளக்குவதில்லை. அள வையியலானது சிந்தனை விதிகளை விளக்குகின்றது என்ற கூற்றுத் தவறான து. வேறுபட்ட அளவையியல் முறைகள் வேறுபட்ட அனு மான விதிகளை மேற்கொள்ளக்கூடும். மேலும், எமது உளத் தொழிற்பாடுகள் சம்பந்தமான குறிக்கப்பட்ட விதிகளை - அவை இருந்தாலும் சரி, இல்லாவிட்டாலும் சரி - பற்றியும் அளவையியல் விளக்குவதில்லை.
நாம் எவ்வாறு சிந்திக்கிறோம் என்பதைப் பற்றி அளவையியல் ஆராய்வதில்லை. ஆனால் எமது நியாயித்தல் முறையின் வாய்ப்புத் தன்மையைச் சோதிப்பதற்கான சில உத்திகளை அது தருகின்றது.
1.27 அளவையியலின் பயன்பாடு:
ஒருவர் அளவையியலைக் கற்கின்றார் என்பதை மாத்திரம் கொண்டு, அவர் சரியாகவும் திட்பமாகவும் சிந்திப்பார் என்று எதிர்பார்க்க முடியாது. ஆனால், அளவையியலில் பயிற்சி பெற்ற ஒருவர் ஒரு நியாயித்தல் முறையிலுள்ள குறைபாடுகளை விரைவில்
1. இயற்கை விதிகள் எனக் கருதப்படும்.
26

அறிந்து கொள்ளுவார், அளவையியற் பயிற்சி மூலம், மொழி யைத் தெளிவாகவும் திட்பமாகவும் உபயோகிக்க ஒருவர் கற்றுக் கொள்ளுகின்றார். நாம் அன்றாடம் வழங்கும் மொழியில் மயக்க மும், குதர்க்கமும், வீண் வார்த்தை யலங்காரமும் பெருமளவில் இடம்பெறுகின்றன, அளவையியலைக் கற்பதால் இக்குறைபாடுகளை உணரவும், வாக்கியங்களின் அமைப்பிலுள்ள சரிபிழைகளைப் புரிந்து கொள்ளவும் எம்மால் முடியும். இவ்வாறு, தெளிவாகவும் திட்ப மாகவும் சிந்திப்பதற்கு ஒரு முறை பழகி விட்டால், அளவையியல் உத்திகளை நாம் மறந்த காலத்திற்கூட அப்பழக்கம் நிலைத்திருக்கும்.
அளவையியலைச் சார்ந்த நியாயித்தல் தத்துவங்கள், முறைப்படி யான அறிவுத்துறைகள் யாவற்றிலும் பொதுவாகப் பிரயோகிக் கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, எல்லா விஞ்ஞான ஊகங்களிலும் அளவையியல் அனுமான முறைகள் கைக்கொள்ளப்படுகின்றன. கணிதத்திலோ, பெளதிகத்திலோ சாதாரண உரையாடலிலோ இடம்பெறும் ஒரு சரியான நியாயித்தலானது அதன் அளவையியல் நியமம் காரணமாகவே வாய்புடையதாகின்றது. ஆனால், இந் நியமம் எப்பொழுதும் தெளிவாகக் காணப்படுவதில்லை. இதனைக் கண்டுபிடிப்பதற்குரிய முறையினை அளவையியல் தெளிவுபடுத்து கின் றது.
இன்று, குறிப்பாக, கணித விளக்கம், அபிவிருத்தி ஆகியவற் றுக்கும், இலக்கண விளக்கம், மெய்யியல் ஆராய்ச்சி ஆகியவற்றுக் கும் அளவையியல் பெரிதும் பயன்படுகின்றது.
1.3 நியமமில் போலிகள்
நியமமில் போலி பற்றிய விளக்கம் இந்நூலின் பகுதி 11 இல் இடம்பெறுகின்றது . நியாயித்தலில் உள்ள ஒரு வழுவே போலி யாகும். அளவையியலில், நியமப் போலிகள், அதாவது, வாத அமைப்பில் முற்றாகத் தங்கியுள்ள நியாய முறை வழுக்கள் கருத் தையோ எடுகூற்றில் அமைந்துள்ள விடயத்தையோ, முடிபையோ சாராமலிருக்கும் என்பது முன்கூறப்பட்டதிலிருந்து தெளிவாகும். ஏனெனில், நியம்) வழுக் காரணமாகவே ஒரு வாதம் வாய்ப்பற்றதா கின்றது. அதாவது, அளவையியல் விதிகளைப் பின்பற்றத் தவறு வதாலேயே இப்போலிகள் தோன்றுகின்றன. சில போலிகள்! அடிக்கடி தோன்றுகின்றன. அளவையியலை மேற்கொண்டு கற் கும் போது இப்போலிகளைப் பற்றி மேலும் அறிவோம்.
1. உ-ம், ஒரு நிபந்தனை வாக்கியத்தின் முற்கூற்றை வலியுறுத்தி விளைவையும் கூறும்
போது 20..ண்டா கும் (போலியைப்பின்வருமாறு காட்டலாம்: மழை பெய்தால் நடைபாதை நனையும்.
நடை பாதை நனைகிறது. எனவே (மழை பெய்கிறது.
27

Page 19
நியமமில் போலிகள் அளவையியல் விதிகளை மீறும் சந்தர்ப்பங் களிலுமே, அப்போலிகளைக் கண்டறிவதற்கு அளவையியல் அமைப் புக்கு அப்பாலும் செல்லவேண்டியதாகிறது. உதாரணத்துக்குப் பின்வரும் வாதத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்.
' ' நீர் ஒரு பெண். ஆதலால் பெண்கள் ஆண்களை விட விவேகம் குறைந்தவர்களல்லர் என்ற உண்மையை நீர் ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டும்.
ஒவ்வாமைப் போலி, எனப்படக்கூடிய தன்மையை இதிற் காண லாம். ''நீர் ஒரு பெண்'' என்ற எடுகூற்றுக்கும், பெண்கள் ஆண் களைவிட விவேகம் குறைந்தவர்களல்லர் என்ற முடிவுக்கும் தொடர் பில்லை. இந்த வாதத்தில் கேட்பவர் அல்லது வாசிப்பவர் ஒரு பெண் என்ற உண்மையே எடுத்துக்காட்டப்படுகின்றது.
அளவையியலும் ஓரளவுக்கு விஞ்ஞான முறையியலும் கையா ளும் மொழி நியமமானது அல்லது நுட்பமானது எனலாம். நியம் மில் போலிகள் எமது சாதாரண உரையாடலில் ஏற்படுவது வழக் கம். சாதாரண உரையாடலிற் காணப்படும் ஐயப்பாடு, தெளி வின்மை, சிக்கல் என்பனவே இப்போலிகள் தோன்றுவதற்குக் காரணம். இவற்றை வாசகர் அறிந்துகொள்ள வேண்டுமென்பதனால், பொதுவான போலிகள் சில இந்நூலின் இரண்டாம் பாகத்தில் எடுத்தாளப்படும். இது, நாளாந்த மொழிப் பிரயோகத்தில் வாச கருக்கு, நேரடியான முறையில் பெரும் பலனளிக்கும் என்பது எமது நம்பிக்கை.
1.4 விஞ்ஞானமுறை:
நவீன விஞ்ஞானத்தின் முன்னேற்றம் காரணமாக, அறிவைப் பரீட்சிப்பதற்கு விஞ்ஞானத் துறையில் கைக்கொள்ளப்படும் நியா யித்தல் முறை இப்போது பெரும்பாலும் எத்துறையிலும் கைக் கொள்ளப்பட்டு வருகின்றது. ' 'விஞ்ஞான முறை'' எனப்படுவது, முக்கியமாக விஞ்ஞானக் கொள்கைகளுக்கும் விதிகளுக்கும் காரணம் காட்டுவதற்கு முற்படும் நியாயித்தல் முறை பற்றிய ஆராய்ச்சி யைக் குறிக்கும்.
விஞ்ஞான முறையியலானது, இந்த நியாயித்தல் முறையைப் புனரமைப்புச் செய்வதற்கு முயல்கின்றது. இந்நியாயித்தல் முறை யின் திட்பமான அமைப்பு, இயல்பு ஆகியன பற்றிப் பூரண உடன்பாடு காணப்படுவதில்லை. இந்நூலில், இதனை ஆராயும் போது, விஞ்ஞானத் துறையிற் கைக்கொள்ளப்படும் நியாயித்தல் முறை முற்றாக உய்த்தறிதல் முறையைச் சார்ந்ததெனக் கொள் ளாது, தொகுத்தறிதல் முறையின் சில அம்சங்களையும் அதிற் காணலாமெனக்கொள்வோம். விஞ்ஞானத்தில், உண்மையான எடு கூற்றுகளிலிருந்து, நிகழ்தகவான முடிவுகள் செய்துகொள்ளப்படு கின்றன என்பதால், விஞ்ஞானத்தில் ஒருவகையான தொகுத்தறி
28

b)
முறையே கைக்கொள்ளப்படுகின்றது எனக் கூறுதல் சரியான தென்பது எமது கருத்து. விஞ்ஞான முறை இரண்டாவது தொகுதி யாக வெளிவரவுள்ள இந்நூலின் இரண்டாம் பாகத்தில் ஆராயப் படும்.
பயிற்சி 2 1. பின்வருவனவற்றுள் தொகுத்தறிமுறை வாதத்துக்குரிய உதா
ரணங்கள் யாவை? ((a) இதுவரை காலமும் சூரியன் ஒவ்வொரு நாளும் காலை
யில் உதித்து வந்துள்ளது. ஆகையால் நாளைக் காலை யிலும் அது உதிக்கும். இந்த அன்னம் வெண்மையானது. கொழும்பில் அவதானிக்கப்பட்ட எல்லா அன்னங்களும் வெண்மையானவை. மாலை தீவில் அவதானிக்கப்பட்ட எல்லா அன்னங்களும் வெண்மையானவை. சிங்கப்பூரில் அவதானிக்கப்பட்ட எல்லா அன்னங்களும் வெண்மையானவை.
ஆகையால் எல்லா அன்னங்களும் வெண்மையானவை. (C) எல்லா எருதுகளும் கொம்புடையனவாகவும் சில எருது
கள் கறுப்பாகவும் இருக்குமானால், அப்பொழுது சில
கறுப்பு விலங்குகள் கொம்புடையனவாக இருக்கும். (d) யாழ்ப்பாணம் ஒரு குடாநாடாக இருந்தால் இலங்கை
ஒரு தீவாகும். யாழ்ப்பாணம் ஒரு குடா நாடு. ஆகையால் இலங்கை ஒரு தீவு. இரு புள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள மிகக்கிட்டிய தூரம் ஒரு நேர் கோடாகும். ஆகையால் ஒரு முக்கோணியின் ஏதாவது இரு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது
பக்கத்தின் நீளத்தைவிட அதிகமாகும்.' 2. பின்வரும் வாக்கியங்கள் ஒவ்வொன்றையும் பல வழிகளில்
விளங்கிக்கொள்ள முடியும்: அவ்வழிகளிற் குறைந்த பட்
சம் இரண்டையேனும் கூறுக:- (1) அவன் கூட்டத்திற் சமூகமளித்திருந்தானாயினும் பேச
வில்லை. (ii) மழை பெய்கிறதென நான் நம்புகிறேன். (iii) நீங்கள் கதவை மூடுவீர்களா? --(0) அவன் ஒரு பணம் படைத்த முற்போக்குவாதி
(0) ஒவ்வொரு நாளும் கிறிஸ்மஸ் நாளல்ல. 3. ஒரு பொய்யனின் முரணுரை என்பதென்ன?
பின்வரும் பதங்களை நீர் எவ்வாறு வரையறை செய்வீர்? (1) மனிதன் (ti) திமிங்கிலம் (iii) தென்னைமரம் (1) இலங்கையர்
29

Page 20
(ii)
(0) மாணவன் (ui) அளவையியல் 5. | சரியா பிழையா எனக் கூறுக;-
t) அளவையியலையும், கணிதத்தையும் ஒரு துறையெனக்
கருதலாம்; அல்லது மிக நெருங்கிய துறைகளெனக் கருதலாம். அளவையியலானது மிகவும் பொதுவான பிரயோகத்தை
யுடைய ஒருகருத்துப் பொருளான பாடமாகும். (iii) அளவையியலும் உளவியலும் நெருங்கிய தொடர்புடைய
பாட விதானத்தை உடையவை. (iv) அளவையியல் அமைப்பை ஓர் ஆக்கப்பட்ட மொழி
நடையாகக் கொள்ள முடியாது. (0) நான் ஒரு பெண். நான் பெண்களின் முன்னேற்றத்திற்
குப் பாடுபடுகிறேன் என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.
30

Page 21
තර්ක ශාස්ත්‍රය හා විද්‍යාත්මක

ක්‍රමය 1 වන කොටස (දෙමළ)