Page 1
G, C. E. A/L உதவி நூல்
ஆள்க கேத்திரக்
(திருத்திய பதி
தொகுப்பு !
S. F. அசோகாந்த R. வரதராஜன், B.
Problems &
11
Coordinate for G, C
வெளியீடு : மாசல் பதிப்பகம் லே... எம், இ, எ. கட்டிடம்,
யாழ்ப்பாணம்.

உற்றுக் கணிதம்
மப்பு 1988 )
ன்/ B. Tee. IT)
Be.
Exercises
1eometry 1. A/L
பதிப்புரிமை

Page 2

G. C. E. A/L உதவி நூல்
ஆள்ககூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
( திருத்திய பதிப்பு 1988 )
தொகுப்பு :
S. H. அசோகாந்தன், B. Tec. (IT) R. வரதராஜன்; B. Sc.
Problems & Exercises
in Coordinate Geometry
for G, C. E. A/L
பதிப்புரிமை
வெளியீடு : மாசில் பதிப்பகம் வை. எம். சி. எ. கட்டிடம்,
யாழ்ப்பாணம்.
விலை : ரூபா 18/-

Page 3
உள்ளுறை
பக்கம்
10
அலகு 1. நேர்கோடுகள்
2. வட்டங்கள் 3. பரவளைவுகள் 4. அதிபரவளைவு 5. நீள்வளையம்
- * * * *
20
28
41
பின்னிணைப்பு
57
அல்கு 1.
59
61
62
சு *
64
67
விடைகள்
73
பின்னிணைப்பு விடைகள்

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
அலகு 1
நேர் கோடுகள்
1. செவ்வகம் ABCD இன் உச்சிகள் A, C என்பவற்றின் ஆள்கூறு
கள் முறையே (2, 3); (9, 4) என்பன வாகும். மூலைவிட்டம். BD, x+y=0 என்னும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாயின் செவ்வ கத்தின் பக்கங்களின் சமன்பாட்டைக் காண்க,
AECF என்பது செவ்வகம் ABCD இன் பரப்பைப்போல, ஐந்து மடங்கு பரப்புடைய ஒரு சாய் சதுரமாயின், மூலை விட்டம் EF இன் நீளம் 15V 2 அலகு என நிறுவுக. AC இற்குச் சமாந் தரமாக E F இற்கூடாகச் செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாட்டை யும் காண்க.
உற்பத்தி 0 முக்கோணி A B C இன் - மையப் போலியாகும், " BO, CO என்பவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே 4x-y=0; 2x-y-0 ஆகவும் A இன் ஆள் கூறுகள் (t, t) ஆகவும் இருப்பின் B, C என்பவற்றின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க, கோடு AB இல் C இன் ஆடி விம்பம் D ஆயின், t மாறும்போது BD இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு 11x+7y=0 எனக் காட்டுக.
செவ்வக தெக்காட்டின் ஆள்கூறுகளைக் குறித்து, முக்கோணியின் உச்சிகள் (1,3) (5, 3) (4,6) என்னும் புள்ளிகளாகும். முக்கோணி யின் மையப்போலி G, சுற்றுவட்ட மையம் S, நிமிர் மையம் H என்பவற்றைத் துணிக.- G, SHஐ 1: 2 என்னும் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்பதை வாய்ப்புப் பார்க்குக.
y= X என்னும் கோட்டின் மீது y=mx என்னும் கோட்டினது தெறிப்பினது சமன்பாட்டைக் காண்க..
OABC என்பது ஒரு சாய்சதுரம். இங்கு 0 என்பது உற்பத்தி யாகும்." மூலைவிட்டம் 0B இனது சமன்பாடு X--y=0 ஆகும். A என்பது கோடு 2x-y+6=0 இற் கிடக்கிறது. AB ஆனது புள்ளி (-8, 8) இனூடாகச் செல்கிறது. அச் சாய்சதுரத்தின து பக்கங்களின் சமன்பாடுக்ளைக் காண்க.
ஆள் 1

Page 4
- 2 -
5. Ix-my-1 - 0 என்னும் கோட்டின் மேல் புள்ளி (2., 3) இன்
ஆடிவிம்பத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
உற்பத்திக்கூடாகச் செல்லும் இரு நேர்வரைகள் X -- y = 0 என்னும் கோட்டுடன் சமகோணங்களை உண்டாக்கிக்கொண்டு கோடு X - 2ஐ A, B இல் வெட்டுகின்றன. 2x-y+1=0 என் னும் கோட்டின்மேல் AB இன் நடுப்புள்ளியின் விம்பம் y--அச்சில் கிடப்பின், இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தி
(1x, +my,+2) (Ix2+my2+n) என்பது நேர் அல்லது எதிர் என்பதற்கேற்ப (x, y) (x2,y,) என்னும் புள்ளிகள் 1x-my-+1=0 என்னும் கோட்டின் ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கத்தில் இருக்கும் எனக் காட்டுக. X+y-+- 2 - 7 X-7y-6 =0 என்னும் கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோண இருகூறாக்கிகளின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (3, 1) என்னும் புள்ளி இக்கோடுகளுக்கிடையேயுள்ள விரிகோணத்திற் குள்ளே கிடக்கும் எனக் காட்டுக.
ABCD என்னும் இணைகரம் உச்சிகள் A, C என்பன X. +y=0) என்னும் கோட்டிலும், உச்சிகள் B, D என்பன முறையே X--y=0 5x-y+9=0 என்னும் கோடுகளிலும் இருக்கும் வண் ணம் அமைந்ததாகும். AB, BC என்னும் பக்கங்கள் முறையே x-2y =0, X-3y = 0 என்னும் கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாயின் இணைகரத்தின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
3. x+y =) என்னும் கோட்டின்மேல் 4x-3y=0 என்னும் கோட்
டின் ஆடிவிம்பத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. I என்பது முக்கோணி ABC இன் உள்மையம், AB, BC, CI என்ப வற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே 5x+12y+3=0, 4x43y+2=0) X+y+1=0 என்பவையாகும். A, I என்பவற்றின் ஆள்கூறு களைக் காண்க.
(h, k) என்னும் புள்ளியிலிருந்து ax+by+C-0 என்னும் கோட்
ah+bk+C | டிற்கு வரையும் செங்குத்தின் நீளம் |-
என நிறுவுக.
V(a2+b2) 4x+3y-1-0, 12x+5y+9-0 என் னும் கோடுகளுக்கிடையே யுள்ள விரிகோணத்திற்குள்ளே இக்கோடுகளைத் தொடும் 4 அலகு ஆரையுடைய இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. வட்டத்தின் மற்றைய இரு பொதுத் தொடலிகளின் சமன்பாடு களைக் காண்க.

10. 1x --mn y + 1 - (0 என் னும் கோட்டின் மேல், புள்ளி (c, 3) இன்
ஆடிவிம்பத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
முக்கோணி ABC இன் பக்கங்கள் AB, AC என்பவற்றின் இரு கூறாக்கிச் செங்குத்துக்களின் சமன்பாடுகள் முறையே 2x-y = (+ X-3y=0 என்பனவாகும். A என்பது X-y -0 இல் கிடக்க, பக்கம் BC, (-2, 11) என்ற புள்ளிக்கூடாகச் சென்றால், முக் கோணியின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
(3x, +by, +C) (ax,+by2+) என்பது நேர் அல்லது எதிர் என்ப தற்கேற்ப, (X, ,y,) (X2,y,) என்னும் புள்ளிகள் ax + by+C -(0) என்னும் கோட்டின் ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கத்திற் கிடக்குமென நிறுவுக.
முக்கோணி ABC இன் பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே X-y=0, 2x+y+p==0, 11x-2y-2p=(1) என்பனவாகும். இங்கு > என்பது ஒருமை. கோணம் BCA இன் இரு கூறாக்கியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இவ்விருகூறாக்கி ABஐ D இற் சந்திக்க, கோணம் BCD இன் இருகூறாக்கி (1, 4) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்றால், p= 4 என நிறுவுக.
12, 1x+my+n-0 என்ற கோட்டின்மேல் புள்ளி (4, 3) இன்
ஆடிவிம்பத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. ABCD என்னும் சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் BD இன் சமன் பாடு x+2y+1=0 ஆகும். உச்சிகள் A,C என்பன முறையே X-y=0, 3x+y-+8-0 என்னும் கோட்டில் கிடக்கும்போது பக்கம் AB, 7x -+4y-0 என்னும் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயின் சாய்சதுரத்தின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க,
13.
முக்கோணி ABC இன் பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே x+y+4=0, 7x+y-8=0, x+7y-8=0 என்பனவாகும். கோணம் BAC இன் இருகூறாக்கிகளின் சமன் பாட்டைக் காண்க,
இவ்விருகூறாக்கி BCஐ Dஇற் சந்திப்பின், முக்கோணி ABC இன் மையப்போலி முக்கோணி ABD இற்குள் கிடக்குமென நிறுவுக .
14. 1x++my+n=0 என்னும் கோட்டின் மேல் புள்ளி (a, 6) இன்
ஆடிவிம்பத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க,

Page 5
முக்கோணி ABC இன் உச்சிகள் A, B, C என்பன முறையே y - x, y-- 2x, y=3x' என்னும் கோடுகளின்மேல் கிடக்கின்றன - பக்கம் A B இன் இருகூறாக்கிச் செங்குத்தின் சமன்பாடு 6x -- 8y--30 ஆகவும் பக்கம் BC கோடு 11x-4y=0 இற்குச் சமாந்தரமாகவுமிருப்பின், முக்கோணியின் பக்கங்களின் சமன் பாடுகளைக் காண்க.
15. c(ac. + be+C) நேர் அல்லது எதிர் என்பதற்கேற்ப உற்பத்தியும்
(0, 8) என்னும் புள்ளியும், ax-by-c-0 என்னும் கோட்டின் ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கத்தில் கிடக்குமென நிறுவுக. முக்கோணி ABC இன் பக்கம் AB இன் சமன்பாடு X-2y+4=) ஆகும். கோணம் BAC இன் இருகூறாக்கியின் சமன்பாடு X-y= 1 ஆகும். பக்கம் AC இன் சமன்பாட்டைக் காண்க. உற்பத்தி முக் கோணி A B C இன் உள்மையமாகவும், பக்கம் B C என்பது 11x-2y =(1) என்னும் கோட்டிற்குச் சமாந்தர மாகவுமிருந்தால் இப்பக்கத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
16.
A B C D என்பது ஒரு வட்ட நாற்கோணி (நாற்பக்கல் / , AB, BC, CA என்பவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே X-3y = 0 4x-3y-9 - 0, X + 4y +4=0 ஆகும். BD இன் நீளம் 5/3 அலகு களாயின், பக்கம் (D இருக்கக்கூடிய இரு வரைகளின் சமன் பாடுகளைக் காண்க.
17. புள்ளிகள் (x,, y,), (X2, y2) ஐ இணைக்கும் வரையின் இருசம்
வெட்டிச் செங்குத்துக்களின் சமன்பாடுகள் முறையே x+y - (0) X-2y=0 ஆகும். பக்கம் BC, (1, 2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கிறது. A இன் ஒழுக்கு x2+y2-X+7y=0 எனக் காட்டுக.
18. புள்ளிகள் P= (x, y), Q=(X2,y2) ஐ இணைக்கும் கோட்டை 1x-my=0 என்னும் வரை செங்குத்தாக இரு சமகூறிடுகிறது.
X2-X1 _ 92-y1 - -2 (1x1+my,).
12 +m2
எனக் காட்டுக.
புள்ளியொன்றின், 1x +my=0, 1x-my= 0 என்னும் நேர் வரை களின் மேலுள்ள மறுபடிவங்கள் (hk) என்ற நிலையான புள்ளி யுடன் ஒரே வரையில் இருப்பின், அப்புள்ளியின் ஒழுக்கு . (12-m2) (x2 +y2) - (12 -m2) (hx-ky)-g என்னும் வட்டம் எனக் காட்டுக,
எனக் காட்டி'' - (12 +m2) க"', அப்புள்ளியின் "

19.
முறையே (1, p); (1, q); (1, 1) என்பவற்றை ஆள்கூறுகளா கக் கொண்ட P, Q, R என்னும் புள்ளிகள் x=1 எனும் கோட் டில் கிடக்கின்றன. இங்கு p>q r ஆகும். 0 என்பது உற்பத்தி யாகும். OP,00,OR என்பவற்றிற்கு முறையே 7, Q, R இலுள்ள செங்குத்துக்கள் X Y Z என்ற முக்கோணியை ஆக்குகின்றன. இம் முக்கோணியின் பரப்பு ! (q-r) (T-p) (p-q) என நிறுவுக.
20. (i) புள்ளி A (1, 2) இற்கூடாக ஒரு கோடு 2y=3x-5 என்ற
கோட்டை P இலும் x + y= 1 2 என்ற கோட்டை Q இலும் வெட்டும்படி வரையப்படுகிறது. AQ-2AP ஆயின், P, 0 இன து ஆள் கூறுகளைக் காண்க.
21. P (h k) ஆனது உற்பத்தி புள்ளிகள் A (a, 0); B(0, b) C(a, b)
என்பவற்றால் ஆக்கப்படும் செவ்வகத்திற்குள் உள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகும். L, M என்பன முறையே P இலிருந்து X - அச்சு y - அச்சிற்கு வரைந்த செங்குத்துக்களின் அடிகளாகும். AM, BL இன் வெட்டும் புள்ளி நீட்டப்பட்ட ( P இல் கிடக்கிற தென்றும், CP ஐ வெளிப்புறமாக ab : hk என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றதென்றும் காட்டுக.
0 என்பதை உற்பத்தியாகவுடைய முதற் காற்பகுதியில் P' என் பது x+y= a இலுள்ள யாது மொரு புள்ளியாகும். IN என்பது P இலிருந்து X அச்சிற்குள்ள செங்குத்தின் அடியாகும் AOPN இன் (1) சுற்றுவட்ட மையம். (ii) திணிவு மையம் என்பவற் றின் ஒழுங்கு களின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
முக்கோணி 0, P, N இன் சுற்றுவட்ட மையம் முக்கோணி OP, N, இன் திணிவு மையத்துடன் பொருந்தும் வண்ணம் P, N,, P, N, என்னும் நிலைத்தூரங்கள் (Ordinates ) காணப் படலாம் என நிறுவுக. P1, P2 இன் ஆள்கூறுகளையும் தந்து, P, ஆனது A OP, N, இன் சுற்றுவட்டத்தில் கிடக்குமெனவும் காட்டுக.
23, சதுரம் OABC இன் உச்சிகள் 0, A, B என்பன முறையே (0, 0):
(1,0); (1, 1) என்ற புள்ளிகளாகும். P என்பது BC இலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகும். நீட்டப்பட்ட OP, நீட்டப்பட்ட ABஐ Q இலும், B இற்கூடாக CQ இற்குச் சமாந்தரமான கோடு OPஐ R இலும் சந்திக்கின்றன. CP=(V5-1 )/2 ஆகும்போது, R ஆனது மூலைவிட்டம் AC இற் கிடக்குமென நிறுவுக. P மாறும் போது R இன் ஒழுக்கைக் காண்பதுடன், அதன் பருமட்டான வரைபடத்தையும் தருக.

Page 6
-- 6 --
A என்பது (2,3) என்னும் புள்ளியாகும். B ஆன து y-1 ஆற் தரப்படும் PQ என்னும் கோட்டிலுள்ள A இன் ஆடிவிம்பமாகும். 0 ஆனது 4y = 6x-3 னாற் தரப்படும் RR, என்னும் கோட்டி. லுள்ள ஆடிவிம்பமாகும். C இன் ஆள்கூற்றையும், AC இன் நீளத்தையும் காண்க.
A ஆனது P இற்கூடாக C A இற்கும் செங்குத்தான கோட்டி லுள்ள ( இன் ஆடி விம்பம் எனக் காட்டுக. முக்கோணி A B C இனது சுற்றுவட்டத்தின் சமன்பாட்டை எளிய வடிவிற் காண்க..
25.
( h,, k, ) என்னும் புள்ளி Ix +my+ 1-0 என்ற கோட்டில் புள்ளி (h,, k1) இன் ஆடிவிம்பமாயின், 1(h, + h,) + m (k, + ka) = -- 2n என்றும்
m (h, - h,)-1 (k, - k,) - 0 என்றும் காட்டுக. y=0; x = 0, 2x+3y=q என்ற கோடுகளின் மேல் (2, 1) என் னும் புள்ளியின் விம்பங்களை உச்சிகளாகவுடைய முக்கோணியின் பரப்பைக் காண்க.
26.
முக்கோணி ABC இன் உச்சிகள் முறையே A(-16, 0), B (9, 0) C (0, 12) இம் முக்கோணியின் கோணம் A இன் உள்ளிருகூறாக் கியின் சமன்பாடு X -- 3y + 16 = 0 எனக் காட்டுக.
கோணம் B இன் உள் இருகூறாக்கியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இதிலிருந்தோ அல்லது வேறுவழியாலோ இம் முக்கோணியின் மூன்று பக்கங்களையும் தொடும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
27, m சாய்வாகக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு C (h, 0) இனூடாக
- 1 என்ற நீள் வளையத்தை P, Q இல் சந்திக்கின்றது,
P Q இன் நடுப்புள்ளி R ஆனது
a2 h m2
அ -b2 hm a2m2 1b2 ' a-m2.+b2)
என்ற ஆள்கூற்றைக் கொண்டிருக்கும்
எனக் காட்டுக.
m ஆன து மாறும்போது R எப்பொழுதும்
hX
- இல் இருக்கும் எனக் காட்டுக ,

P.(Xo, yo) இலிருந்து ax+by+C=0 என்னும் நேர்கோட்டிற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி N ஆகும். N இன் ஆள்கூறு கள் (xo+at, yo+bt) ஆகுமென நிறுவுக.
இங்கு t= - axo+by%' +c.
; T என்பது பரமானமாகவும்,
a2+b2 12-+ m2=1 ஆகவும் இருக்க ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடான து
-1 = ''1 - T என்னும் பரமான வடிவில் எடுத்துரைக்
அகப்பட்டால், TT | என்பது P, (X,, y:) என்னும் நிலைத்த புள்ளி யிலிருந்து P (X, +1T,y: +mT) என்னும் புள்ளியின் தூரமாகும் எனக் காட்டுக. A (2, 1) என்பது சாய்சதுரமொன்றின் ஒரு உச்சியாகும். அதன் மூலை விட்டங்களில், 4y 5 நீளமுடைய ஒன்று x-2y+5=0 என்ற நேர்கோட்டின் மீது கிடக்கின்றது. சாய்சதுரத்தின் ஏனைய உச்சிகளைக் காண்க.
28. (i) ax + by + C=0 என்னும் கோட்டுடன் இருசமபக்கச் செங்
கோண முக்கோணியொன்றை உருவாக்கும் வண்ணம், இரு செங்குத்தான நேர்கோடுகள் உற்பத்தியினூடாக வரையப் பட்டுள்ளன. அவற்றின் சமன்பாடுகள் (a-b) x+ (a--b) y=0, (a+b) x-(a-b) y=0 ஆகுமெனக்
காட்டுக. (i)
* - * - * எனின்,
ax2 +2hxy+by2+2gx+2fy +C=0 என்னும் சமன்பாடு சம் பந்தமான இரு நேர்கோடுகளைக் குறிக்கும் எனக் காட்டுக; இவற்றிற்கிடையேயுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
29. P(h,k) என்னும் புள்ளியினூடாக 1Eax+by+c=0 என்னும்
நேர்கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்ட நேர்கோட்டின் மீதுள்ள யாதாயினுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை (h+at,k+bt) என்னும் வடிவத்தில் எடுத்துரைக்கலாமெனக் காட்டுக; இங்கு t ஒரு பரமானம்.
P யிலிருந்து 1=0 ஆகிய கோட்டிற்கு வரையப்பட்ட செங் குத்தின் அடிக்கு ஒத்த t யின் பெறுமானத்தைக் காண்க; இச் செங்குத்தின் நீளம் | ah+bk+c ||V/a2 +62 எனக் காட்டுக.

Page 7
இதிலிருந்து அல்லது வேறுவிதமாக, a, X, + buy + C, =0, a.ox + by + 02 = 0 என்னும் நேர்கோடுகளுக்கிடையேயான தும் உற்பத்தியைக் கொண்டிருப்பதுமான கோணத்தினுடைய இரு கூறாக்கியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு, (a, b, - a, b, + 0, 0, 0, 0, 0)
30. பின்வரும் கோடுகளினால் ஆக்கப்படும் இணைகரத்தினுடைய மூலை
விட்டங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
ax - by + C - (
ax -- by + 1 = 0 a'x - by + C' = 0 a'x + by d! -: 0 (i) (a2 - b2) (c' - d')2 = (a2 +b2) (c-d)2 ஆக இருப்பின்
மேற்படி இணைகரம் சாய்சதுரமாகுமெனவும்,
(0-d) (C1-11) | (ii) இணைகரத்தின் பரப்பளவு
|-4b1-416- ஆகுமெனவும் காட்டுக ,
31. P (h,k) என்னும் புள்ளியினூடாக ax- by 0= 0 என்னும் நேர்
கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்ட நேர்கோட்டின் மீதுள்ள யாதாயினு மொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (h+at, k+bt) என் னும் வடிவில் எடுத்துரைக்கலாமெனக் காட்டுக; இங்கு t என்பது ஒரு பரமானமாகும்.
P இலிருந்து ax +by +c= 0 என்னும் கோட்டின் மீதுள்ள செங்குத்தின் அடிக்கு ஒத்த k இன் பெறுமானத்தைக் கண்டு, "இச்செங்குத்தின் நீளம் | ah-bk +c 1/Va2 + b2 ஆகுமெனக்
காட்டுக.
32. S என்னும் ஒரு வளையியானது , X -- cos60, y - sind என்னும்
சமன்பாடுகளினாலே தரப்படுகின்றது, இங்கு () என்பது ஒரு பர மானமாகும். அத்துடன் (41)<2 7 ஆகும். 1 என்பது 7x+y + 1 2 V 2 = 0 என்னும் நேர்கோடாகும், S மீதுள்ள தும் 1 இற்கு மிகவும் கிட்டவுள்ளதுமான புள்ளி P. இன் ஆள்கூறு களைக் காண்க. P0 இலிருந்து 1 இற்குள்ள ( ஆகவுங் குறுகிய) தூரத்தையும் காண்க.

-- 9 ---
33. A (0, - 4), B7, 3), ( (5, 3,) ஆகியன நாற்பக்கல் ABCD
இன் மூன்று உச்சிகளாகும். 11y-10x--0 என்னும் கோட்டுக்கு BD சமாந்தரமாகவும் 4y -- 3x -- 0 என்னும் கோட்டுக்கு AD செங்குத்தாகவும் இருப்பின் D இன் ஆள்கூறுகளையும், கோடுகள் BC உம் AD உம் நீட்டப்பட்டால் இவை சந்திக்கும் புள்ளி P ஐயும் காண்க. இதிலிருந்து (a) AB, CDக்குச் சமாந்தரம் எனவும்,
(b) AABP ஒரு இருசமபக்க முக்கோணி என்றும்
காட்டுக. APCD இன் பரப்பு : A PAB இன் பரப்பு --- 1:4 என உய்த்தறிக,
34.
புள்ளி (xo, yo) இல் இருந்து கோடு ax -- by + C-0க்கு வரையப் பட்ட செங்குத்தின் நீளம்.
I ax0+ byo|c |
எனக் காட்டுக. V(a2 + b2)
இரு சமாந்தரக் கோடுகள் ஒவ்வொன்றும் x-அச்சின் நேர்த் திசையுடன் 3. கோணத்தை அமைக்கின்றன. ஒரு கோடு (h, k) ஊடாகவும் மற்றைய கோடு (fn, n) ஊடாகவும் செல் கின்றன. இந்தக் கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரம் |(h-m) சைன் .-- (k-n) கோசை | எனக் காட்டுக.
(ii) 13 சதுர அலகுகளைப் பரப்பாகக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தின்
மையம் (-), 1) இதன் இரண்டு பக்கங்கள், 12x - 5y - (0) என்னும் கோட்டுக்குச் சமாந்தரமாகும். - இச்சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களின் சமன்பாடுகளையும் காண்க.
35,
வட்டமொன்றின் தளத்திலுள்ள 0 எனுமோர் புள்ளியூடாக 1, 1' எனும் இரு நேர்கோடுகள், வட்டத்தை முறையே P,Q;R,S, ' எனும் புள்ளிகளில் வெட்டும் வண்ணம் வரை யப்படின்,
OP.0Q - OR .OS என நிதுவுக. ABC எனுமோர் முக்கோணியின் பக்கங்களாக BC, CA,AB ஆகியவற்றில் முறையே அமைந்துள்ள D,E,F எனும் புள்ளிகள், AD, BE, CF எனும் மூன்று கோடுகளும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக் குமாறுள்ளன. D, E, F என்பவற்றிற்கூடான வட்டமானது BC, CA, AB என்பவற்றை மீண்டும் முறையே D', E' , F' என்பவற்றில் சந்திக்கின்றது.AD', BE', (F' என்பனவும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்குமென நிறுவுக. ஆள் 2

Page 8
10 ----
36. A, B, C ஆகிய புள்ளிகள் ABC எனுமோர் முக்கோணியின்
உச்சிகளாகும். AB, AC என்பனவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே 2x-y-1=0, X- 2y+1=0 ஆகும். (-2, -2) என்பது BCயின் நடுப்புள்ளியாகும். பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
(i) AC யின் நடுப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள். (ii) பக்கம் BC யின் சமன்பாடு. (iii) A ABC யின் பரப்பளவு (iv) A ABC யின் சுற்றுமையத்தின் ஆள்கூறுகள்
, அலகு 2
வட்டங்கள்
> இன் எல்லா மெய்ப்பெறுமானங்களுக்கும், x2+y2-9--22 (x+y-3) =0 என்னும் சமன்பாடு, P, 0 என் னும் இரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் எனக் காட்டுக.
3x -4y-6-0 என்னும் கோட்டைத் தொடும்படி P, Q இற் கூடாக இரு வட்டங்கள் வரையலாமெனக் காட்டி, அவற்றின் சமன்பாடுகளையும் காண்க.டிபி
(2, 0), (0, 2) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் எல்லா வட்டங்களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இவ்வட்டங்களில் இரண்டின் பரிதியை x2 +y2-4x+6y-10-0 என்னும் வட்டம் இரு கூறிடுமென நிறுவி, இவ்விரு வட்டங்களும் ஓன்றையொன்று செங்குத்தாக வெட்டும் எனக் காட்டுக.
ஒருமைகள் g, f என்பவற்றின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் x2-y2-2gx -2fy-a2=0) என்னும் வட்டம் x2 -y2-a2-0 என்
னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடுமென நிறுவுக. x2 -y2 - 4 - 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இரு கூறிடக் கூடியதாகவும் y+5-0 என்னும் கோட்டைத் தொடக் கூடிய தாகவும் (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக இரு வட்டம் வரையலா மெனக் காட்டி அவற்றின் சமன்பாடுகளையும் காண்க.

--- 11 ---
(1, 0) : (0, 1) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல் லும் எல்லா வட்டங்களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. இவற்றில் இரு வட்டங்கள் x2 -y2-2x-8y-3--0 என்னும் வட்டத்தைக் தொடுமெனக் காட்டி இவ்வட்டங்களின் சமன்பாடுகளையும் காண்க. இவ்விருவட்டங்களும் கெங்குத்தாக வெட்டு மெனவும் காட்டுக . - - - -
51A,
5. x2 + y2-1=0, x2 -y2-8x -7=0, x2 -y25y 15-0 என் னும்
மூன்று வட்டங்களில் ஒவ்வொன்றும் மற்றைய இரண்டையும் தொடுமெனக் காட்டுக.
தொடுபுள்ளிகளிலுள் ள ! மூன்று பொதுத் தொடலிகளின் சமன் பாடுகளையும் கண்டு மூன்று தொடலிகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக் கும் என்பதை வாய்ப்புப் பார்க்குக. தரப்பட்ட மூன்று வட்டங் களையும் செங்குத்தாக வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டையும் காண்க. 1ல், ..
6. (1,0), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல் லும் எல்லா 12 வட்டங்களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இவற்றுள் இரு வட்டங்கள், 2x-y-3–0 என்னும் கோட்டைத் தொடுமென நிறுவி அவற்றின் சமன்பாடுகளையும் காண்க. இவ் விரு வட்டங்களும் செங்குத்தாக வெட்டுமெனவும் நிறுவுக.
7. x2-y2 + 2gx+ 2fy,4c-0 என்னுமவட்டத்திற்கு (x, ,y, 2இலிருந்து
வரையப்படும் தொடலிகளின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
P என்பது X- அச்சில் ஒரு மாறும் புள்ளியாகும். Q, R. என்பன x2+y2-2x-+6y- 6-0 என்னும் வட்டத்திற்கு P இலிருந்து வரை . யும் தொடலிகளின் தொடு புள்ளியாகும். Q R. இன் நடுப்புள்ளி 3(x2+y2)- 6x+14y+18=0 என்னும் வட்டத்தில் கிடக்கும். எனக் காட்டுக.
8. S = 0, S1 = 0 என்பன் இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாயின்
S +2 S1 = 0 என்னும் சுமன்பாட்டை விளக்குக. இங்கு x ஒர் ஒருமை.
x24y2-2x +4y-3--0 என்னும் வட்டத்தால் பரிதிகள் இரு கூறிடப்படும் வண்ணம் (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரையப் படும் வட்டங்களின் மையங்கள் ஒரு வட்டத்தில் கிடக்குமெனக் காட்டி இவ்வட்டத்தின் சமன்பாட்டையும் காண்க.

Page 9
9. t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
(1--t2) (X- h) + 2t (y-k) =r (1+12) என்னும் கோடு, (x-h)2 --(y-k)2-=r2 என்னும் வட்டத்தைத் தொடு மென நிறுவுக. - 5(x2-y2) - 6x - 8y -- 35-0 என்னும் வட்டத்தில் 4 அலகு நீள முடைய இரு நாண்கள், x2 +y2-2x-4y-11=0 எனும் வட் டத்தைத் தொடும்படி வரையலாமென நிறுவி அவற்றின் சமன் பாடுகளையும் காண்க,
x--அச்சை (1,0) என்னும் புள்ளியில் தொடும் எல்லா வட்டங் களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க இவற்றுள் இரு வட்டங்கள் x2 +y2-4x+ 8y +11-0 என்னும் வட்டத்தைத் தொடுமெனக் காட்டி அவற்றின் சமன்பாடுகளை யும் காண்க. (x y ) என்னும் புள்ளியிலிருந்து x2 + y2 + 2gx +2fy-c=0 எனும் வட்டத்திற்கு வரையும் தொடலியினது நீளத்தைக் காண்க. (2,3) எனும் புள்ளியிலிருந்து S இற்கு வரையும் தொடலியின் நீளம் S இன் ஆரையின் இரு மடங்குக்குச் சமமாகும் வண்ணம் S என்பது (1, 1) எனும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு மாறும் வட்டமாகும். S இன் மையம் 4 (x2-y2)-6x-4y-3=0 என்னும் வட்டத்தில் கிடக்கும் எனக் காட்டுக.
12.
2g g2+2f, f=c, +C,ஆ யின் x2 -y2 +2g, x+ 2f, y + C, = 0 x2 + y2 + 2gax - 2fzy + c2 - 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று செங்குத்தாக வெட்டுமெனக் காட்டுக. x2+y2.--x +3y-] =0 எனும் வட்டத்தைச் செங்குத்தாக வெட்டக் கூடியதாகவும், x + 2y + 1 = 0 என்னும் கோட்டைத் தொடக் கூடியதாகவும் உற்பத்திக்கூடாக இரு வட்டங்கள் வரையலா மெனக்காட்டி, இவ்விரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளையும் காண்க.
13.
x2 +y2 + 2gx - 2fy + G -- ) என்னும் வட்டத்திற்கு (x1,y,) இலிருந்து வரையும் தொடலிகளின் நீளத்தைக் காண்க. (3.4) எனும் புள்ளியிலிருந்து S இற்கு வரையும் தொட லியின் நீளம் S இன் ஆரையின் இருமடங்காகும் வண்ணமுள்ள S என் னும் மாறும் வட்டம் x2 +y2 + 2x- 4y-3--0 என்னும் வட்டத் தைச் செங்குத்தாக வெட்டுகின்றது. S இன் மையம் x2 +y2 + 4x-7y-10-0 என்னும் வட்டத்தில் கிடக்குமென நிறுவுக.
14.
x2 +y2 - 2gx +2fly +C-0 என்னும் வட்டம், x2 +y2 = r2 என்னும் வட்டத்தைத் தொட்டால் 4r2 (g2+ f2) (c H#r2)? என நிறுவக.

13
15.
x2 +y2-4 எனும் வட்டத்தைத் தொடுகின்றதும், x2 +y2 + 8x-- 4y-+-12=0 என்னும் லட்டத்தின் பரிதியை இரு கூறிடுகின்றது மான ஒரு மாறும் வட்டம் Sஆகும். S இன் மையம் 3x2-4xy+ 24X-12y-36-0 என்னும் கூம்பில் கிடைக்குமென நிறுவுக. புள்ளி (x, , y,) இலிருந்து வட்டம் x2 +-y2 + 2gx+2fy--- c=0 இற்கு வரைந்த தொடலியினது நீளத்தைக் காண்க. A, B என்பவை கோடு X-y=0 இலுள்ள இரு புள்ளிகளாகும். வட்டம் S=x2 +y2--4x+8y +-10=0 இற்கு அப்புள்ளிகள் ஒவ் வொன்றிலுமிருந்து வரைந்த ஒரு தொடலியினது நீளம் 4 அலகு
ஆயின் A, B என்பவற்றின் து ஆள் கூறுகளைக் காண்க. புள்ளிகள் A, B இனூடாகச் செல்லுகின்ற எல்லா வட்டங்களி
னதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. இதிலிருந்தோ வேறு வழியினாலோ புள்ளிகள் A, B இனூடாகச் சென்று வட்டம் S=0 இன் பரிதியை இருகூறாக்குகின்ற வட்டத் தின் சமன்பாடு 3x2 +3y2-4x -+16y-18=0 எனக் காட்டுக.
16.
புள்ளி (x, y,) இலிருந்து x2-y2 +2gx- 2fy+C=0 எனும் வட்டத் திற்கு வரைந்த ஒரு தொடலியினது நீளத்தைக் காண்க. P என் னும் ஒரு புள்ளியானது, அப்புள்ளியிலிருந்து முறையே S, S, என்னுந் தரப்பட்ட இரு வட்டங்களுக்கு வரைந்து தொடலி களினது நீளங்கள், 1:k என்னும் தரப்பட்ட விகிதத்தில் இருக் கும் வண்ணம் இயங்குகின்றது. இங்கு k#1: பின்வருவனவற் றைக் காட்டுக. (i) P இன் ஒழுக்கானது S, S, என்பவற்றாலே துணியப்பட்ட
பொதுவச்சுத் தொகுதியின் S என்னும் ஒரு வட்டமாகும். (ii)
S இன் மையமான து S, , S, ஆனவற்றின் மையங்களைத் தொடுக்கும் கோட்டை k2:1 எனும் விகிதத்தில் வெளிப்
புறமாகப் பிரிக்கின்றது. 17. x2 4-y29, x2 +y2-8x +1 2--0
எனும் வட்டங்களின் பொதுத் தொடலிகள் வெட்டும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்டுள்ள தும், இவ்வட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி ளிக்கூடாகச் செல்வதுமான வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
18. ax2-1 by2+2hxy-- 2 gx+2fy--C=0
எனும் சமன்பாடு வட்டத்தைக் குறிப்பதற்கான நிபந்தனைகளைக் காண்க.

Page 10
- 14 ---
m,- m என்பவற்றைச் சாய்வு வீதங்களாகக் கொண்ட இரு நேர்கோடுகள் px2+qy2-1 என்ற கூம்பை நான்கு வேறுவேறான புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. இந்நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு பரிதியிலுள்ளன என நிறுவுக. x2-y2+6x--!y--12=0 x2-y2-4 x-16y-32=0 என்ற இரு வட்டங்களும் செங்குத்தாக வெட்டுகின்றன எனக் காட்டுக. மூன்றாவது வட்டமொன்று இவ்விரண்டிற்கும் செங் குத்தாயின் இதன், மையம் (2)+1) இல் இருக்குமென நிறுவுக. இங்கு > ஒரு மா றி. > இன் உறுப்புக்களில் இதன் ஆரையையும் காண்க. ச ாடல் .... ? (18)
24). 0 என்பது ஆள்கூற்றச்சின் உற்பத்தியாகும். A (a, 0) B (0, b}
என்பன இரு புள்ளிகள். மாறும் புள்ளி P ஆனது PO/PA - B) -- ஆகும் வண்ணம் தளம் A B இல் அசைகிறது , P ஆன து .
2 (537:48
2 V (a2 1b2) ஆரையுடைய ஒரு வட்டத்திற் கிடக்குமெனவும்
a :
அதன் மையம் C ஆனது 0 இலிருந்து b2/a தூரத்தில் இருக்கு மெனவும் காட்டுக.-2 Oo/OB - AO/AB ஆகும்வண்ணம் 2 என்ற வேறொரு புள்ளி அசையுமாயின், Q கிடக்கும் வட்டத்தின் ஆரையையும் அதன்
மையம் C, ஐயும் முன்னையதைப்போல் பெறுக. 4 : C. இனாலும் C, இனாலும் வட்டங்கள் ஓன்றையொன்று வெட்
டும் புள்ளிகளிலொன்றினாலும் ஆக்கப்படும் முக்கோணியைக் கருதுவதன் மூலம் இரு வட்டங்களும் 600 இல் ஒன்றையொன்று வெட்டும் எனக் காட்டுக. ( 17 பார் - 1 21. x2 -y2 + 2gx +2fy+g2=0 என்ற வட்டம் x அச்சைத் தொடுகிற
தெனக் காட்டி, தொடுபுள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. ஒரு வட்டம் நேர் (positive) X- அச்சைத் தொட்டுக்கொண்டு P(1, 3/2) Q (7, 6) என்ற புள்ளிகளுக்கூடாகவும் செல்கின்றது . அதன் சமன்பாடு. 2(x2+y2) -16x-15y+32-0 எனக் காட்டுக. PQ இற்குச் செங்குத்தான விட்டத்தின் சமன்பாட்டையும். காண்க.
22.
(X1 y1), (x2, y2) எனும் புள்ளிகளை விட்டத்தின் முனைவுகளாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலேயுள்ள விட்டத்திற்குச் செங்குத்தான் விட்டத்தின் முனைவு களின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.

- 15 -
23.
பு" :
ஒருமைகள் p, q இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், (X-a) (x-a-Fp) + (y-b) (y-b+q) =r2 என்னும் வட்டம் (x-a)2 + (y-b)2 =r2 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருசம் கூறிடும் எனக் காட்டுக.. (x-y) -0 என்னும் கோட்டை உற்பத்தியில் தொட்டுக்கொண் டும், x2 +y2 + 2y=3 எனும் வட்டத்தின் பரிதியை இருசமகூறிட் டுக்கொண்டும் இருக்கும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
24. y அச்சைத் தொடுவதும் தனக்குச் சார்பாக உற்பத்தியில்
முனையை (Polar) x+py=1 ஆகவும் கொண்டுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க'. உற்பத்தியிலிருந்து வரையப்படும் மாற் றத் தொடலியின் சமன்பாட்டையும் காண்க. p மாறின் வட்ட மைமத்தின் ஒழுக்கு ஒரு பரவளைவு எனக் காட்டி வட்டம் எப்பொழுதும் 2 (x2 + y2) = x எனும் நிலை யான வட்டத்தைத் தொடும் எனவும் காட்டுக.
25.
(i) A என்பது ஒரு நிலைத்த புள்ளிக்கூடாகச் செல்வதும், நிலை யான வட்டமொன்றின் மாறுகின்ற விடடங்களின் முனைகளில் வெட்டுவதுமான ஒரு மாறுகின்ற வட்டமாகும். மாறுகின்ற வட்டமையத்தின் ஒழுக்கு ஒரு நேர்வரை எனக் காட்டுக. (ii) x2+y2 - 2gx+2fy +c-=0 என்னும் வட்டத்தின் சார்பாக உற்பத்தியின் முனைவு வட்டத்தை PQ இல் வெட்டுகின்றது, PQஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு, (f2 +g2) (x2 +y2)+2gcx-2fcy+2c2---c(g2+f2)=0 எனக் காட்டுக.
26.
4x-3y-2a=0, 3x-4y +12a=0, 3x-4y-12a=0 என்னும் நேர் வரை களின் மேல் பக்கங்களைக்கொண்ட ஒரு முக்கோணியின் உள்வட்டத்தின் மைய ஆள்கூற்றையும் ஆரையின் நீளத்தையும்
கர்ண்க. 27. 1x-my+n=0 என்ற கோட்டின்மேல் அமைந்துள்ள (x-c) 2 --
y2 =a2 என்ற வட்டத்தின் நாண், உற்பத்தியில் செங்கோணத்தை அமைப்பதற்குரிய நிபந்தனைகளைக் காண்க.
இதிலிருந்தோ அல்லது வேறு வழியாலோ, C ஐ மையமாக வுடைய வட்டமொன்றின் மாறுகின்ற நாண் PQ, நிலையான ஒரு உட்புள்ளி 0 இல் செங்கோணத்தை அமைப்பின் 0 இலிருந்து PQ இற்கு வரையும் செங்குத்தின அடியின் ஒழுக்கு ஒரு வட்டம் என்றும் அதன் மையம் 0 இற்கும் ( இற்கும் நடுவில் உள்ள தென்றும் நிறுவுக.

Page 11
வாலாமா
16
28. y2-y2--22 எனும் வட்டத்திற்கு T (a cos 6, a sind) எனும் புள்
ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டை காண்க. இத் தொடலி X+a=0 யை R இல் வெட்டுகிறது. RT, P வரை நீட்டப்படு கிறது. இங்கு RT-TP P ஆனது P யின் ஆள்கூறுகளைக் ( வின் சார்
பில் y அச் சை சந்திக்கும்போது அதன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
29.
Q (--5, 0), R (7, 6) யை இணைக்கும் கோட்டின் செங்குத்து இருகூறாக்கியை காண்க. இவ்விருகூறாக்கி y அச்சை S இல் சந் திக்கிறது . Q இனூடாக வரையும் Q S இற்கு செங்குத்தான கோடு, இச் செங்குத்து இரு கூறாக்கியை வெட்டும் புள்ளி P யைக் காண்க. Q, R, S இனூடான வட்டம் , pயினூடாகவும் செல்லும் எனக் காட்டி, வட்டத்தின் மையத்தைக் காண்க.
30. P, Q என்பன புள்ளிகள் (x, y), (X2, y2) ஆயின் PQ வை விட்ட
மாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு. (x-x) (x-x2) + (y---y,) (y-y2) --0 எனக் காட்டுக. உற்பத்தி 0 இலிருந்து x2+y2-8x-10-0 எனும் வட்டத்திற்கு வரையும் தொடலிகளின் வட்டத்தை A, B இல் தொடுமாயின், (1) வட்டம் OAB இன் சமன்பாட்டைக் காண்க. (b) நேர்வரை A B இன் சமன்பாட்டையும் காண்க.
31.
இருவட்டங்கள் X- அச்சையுய் 3x-4 y+3=0 என்னும் கோட் டையும் தொடுகின்றன. இவற்றின் மையங்கள் x+y=0 இல் இருக்குமாயின் ஒருவட்டத்தின் சமன்பாடு, x2-y2-4 X --2y+4=0 எனக் காட்டுக. மற்றைய வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலே தரப்பட்ட வட்டத்துக்கு உற்பத்தியிலிருந்து வரையப் படும் இரண்டாம் தொடலியின் சமன்பாட்டையும் காண்க.
32. (y+mx)2 = ky (3x+4y-9) என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பா
டாயின் மாறிலிகள் k, m என்பதன் பெறுமானம் காண்க. k, m என்பதன் பெறுமானங்களுக்குரிய இரு வட்டங்களின் சமன் பாடுகளைக் காண்க. வரை 3x+4y.-9=0, இரு வட்டங்களையும் தொடுமெனக் காட்டுக. மேலும் மற்றைய பொதுத் தொடலி களின் சமன்பாடுகளையும் காண்க.
33.
இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்களைத் தொடக் கூடியதாகவும் (9, 2) என்ற புள்ளிக் கூடாகச் செல்லக் கூடியதாகவும் உள்ள இரு
வட்டங்களின் சமன்பாடுகளைத் தருக. !

---- 17 ---
(i) இவ் விருவட்டங்களின் இரண்டாவது இடை வெட்டும்
புள்ளியின் ஆள்கூறு ,
(ii) இவ்விரு வட்டங்களின் பொது நாணின்' ச ம ன் ப டு
ஆகியவற்றைக் காண்க.
34.
மணிக்கூட்டுத் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் எழுத்திடப்பட்ட ச து ரம் ABCD இன் உச்சி A, இன் ஆள்கூறு (-1, -3) ஆகும். மூலைவிட்டம் BD, X ----. 2 y --- 5 - (0 என்னும் கோட்டின்மேல் அமைந்துள்ளது .
(i) கணித்தலின் மூலம் - இன் ஆள்கூறு (-5, 5) என நிறுவி
B, D யின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
(ii)
இச்சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களை யும் தொடக்க, டி யவாறு வரைந்த வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க, இவ்வட் டம் உற்பத்தியினூடாகச் செல்கின்றது என்பதை உறுதிப் படுத்துக.
முதலாவது கால் வட்டத்துள் அமைந்திருக்கும் இச்சதுரத் தின் பாகத்தின் பரப்பினைக் காண்க. இங்கு (x), y> 10)
35, 2 7. கோணம் - அமைக்கும் இரு நேர்கோடுகளை 0 A, 0 B
குறிக்கின்றன. P ஐ மையமாகவும்a ஐ ஆரையாகவுமுடைய வட்டம் OA, OB ஐத் தொடுகின்றது. வட்டங்கள் தொடர்ச் சியாக ஆரை குறையும் வண்ணமும் OA, OB ஐயும் அதற்கடுத் துள்ள வட்டத்தையும் தொடும்படியும் வரையப்படுகின்றன. இவ்வட்டங்களின் பரப்புகள் ஒரு பெருக்கல் விருத்தியில் அமை யும் எனக் காட்டுக. முதல் n பரப்புகளின் கூட்டுத்தொகை Sn ஆகவும் முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை S ஆகவுமிருப்பின்
S-s, 

Page 12
36.
இரு மாறும் நேர்கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாக உள்ளன. இவை x அச்சை C, D யிலும் y அச்சை E, F இலும் வெட்டுகின்றன. CD, EF இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே Aயும் Bயும் ஆகும். A, B நிலையானவை ஆயின் இரு கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு, A B ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டமாகும் எனக் காட்டுக,
37.
S) எனும் வட்டம், S, என்ற வட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொடுகிறது. S, இன் மையம் C, (a, b,) அதன் ஆரை 1, , S2 இன் மையம் (2 (a), b,) அதன் ஆரை 12, (a, 2 - 2, 2) - (b, 2 - b, 2) - (r, 2 -1,2) என்பது தொடு புள்ளியிலுள்ள தொடலி உற்பத்திக்கூடாகச் செல்லின் உண்மை யென நிறுவுக. உற்பத்தியில் இருந்து S, , S, இற்கு வரையப்பட்ட மற்றைய தொடலிகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தெனில்
Ta2 b, - a, b, I = {a, 3, + b, b, என நிறுவுக. இதிலிருந்து C, நிலையாக இருக்க, S, , S, மாறுபடின் C, என் பது (a, 2 - b,2) (x2 - y2) + 4a, b, xy - 0 எனும் வளையியில் இருக்கும் எனக் காட்டுக.
38. x2 +y2+2g, X + 2f y - C, = 0, 0 x2 +y2 + 2g,x - 2fzy C2-)
என்னும் வட்டங்கள் செங்குத்தாயின் 2g, g, - 211 12 -C, 1 2 எனக் காட்டுக. A, B என்பன முறையே இவ்வட்டங்களின் மையங்களாகவும் C, D என்பன இவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டும் புள்ளி களாகவும் கொண்டு A, B, C, D என்ற புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு.
2 (x2 +y2)-+2 (3,+g)x -- 2(f-f2)y-C, +C2--0 எனக் காட்டுக. C Dஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு.
x2 +y2 +2g, X + 2f, y + C - 2 {2 (g-g)) x-2(f1-f2/y + C. - C, - 0 என்னும் வடிவில் தரப்படலாம் எனக் கொண்டு +-- -r / AB2 எனக் காட்டுக.
இங்கு 1, என்பது முதல் வட்டத்தின் ஆரையாகும்.
30.-
ax 2 - ay2 - 2gx - +2fy - c== 0 என்னும் வட்டத்திற்கு ('X 1, y1) என்ற புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடலியின் நீளத்தைக் காண்க.

- 19 -
t-2 - aat, 2-3t: +Y ஆயின் (x1, y1) என்பது 2x+4y--3a-) என்ற நிலையான நேர்வரையின்மேல் இருக்கும் வண்ணம், 2, 3, 17" ஆகிய ஒருமைகளின் பெறுமானங்கள் காணப்படலாம் என நிறுவுக. இங்கு t1, 12, t; என்பன முறையே x2 - y2-a2, x2 +y2-2ax, x2 + y2--2ay என்னும் வட்டங்களுக்கு யாதுமொரு புள்ளி (x1 , y) இலிருந்து வரையப்பட்ட தொடலிகளின் நீளங்களாகும்.
40.
வட்டங்கள் S==x2 - y2 - 2g1 X -- 2f y C - (0)
S1=x2 - y2 + 2gQX -- 2f2y - C2 = 1 ஆகியவற்றின் இடைவெட்டுகளுக்கு ஊடாகச் செல்லும் வட்ட டத்தை S-AS1-0 என்னும் சமன்பாடு குறிக்கிறது. என்பதைக் காட்டவும்: இங்கே ) ஒரு பரமானம். புள்ளி (15, ---5) ஊடாக வும் வட்டங்கள் x2-y2-10x=0, x2y24--X-8y-30-0 ஆகிய வற்றின் இடைவெட்டுப் புள்ளிகளுக்கூடாகவும் செல்லும் வட்டத் தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
பின்வருவனவற்றைக் காட்டுக. (a) இம்மூன்று வட்டங்களில் இரண்டு நிமிர்கோணமாக இடை
வெட்டுகின்றன. (b) இம்மூன்று வட்டங்களின் பொது நாணனது, இவற்றுள் ஒரு
வட்டத்தின் விட்டம்,
41, 1x-my-n=0 எனும் நேர்கோடானது (x-a )2 - (y-b)2 = r2
எனும் வட்டத்தைத் தொடுமாயின், (al+bm + n)2=(12+m2)r2 என நிறுவுக.
3x -+ 4y = 0 எனும் நேர்கோட்டுக்குச் சமாந்தரமாக S = (x+1 )2 - (y-- 2)2 - 1 = 0 எனும் வட்டத்துக்கு வரையப் படும் இரு தொடலிகளினதும் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
ஓவ்வொன்றும் இந்த இரு தொடலிகளையும் S == 0 எனும் வட்டத்தையும் தொடுகின்ற இரு வட்டங்களினதும் சமன்பாடு களைக் காண்க.


Page 13
அலகு 3
பரவளைவுகள்
1. y2 = 4ax என்னும் பரவளைவிலுள்ள புள்ளிகள்
(at, 2, 2at,), (at22, 2at2) என்பவற்றை இணைக்கும் நா களின் சமன்பாட்டைக் காண்க. AB என்னும் நாண் (2a,0) என்ற புள்ளிக்கூடாகச் செல் லும் வண்ணம் A, B என்பன y2=4ax என்னும் பரவளைவிலுள்ள மாறும் புள்ளிகளாகும். AB இன் நடுப்புள்ளி y2- 2a ( X-2a) என்னும்
பரவளைவில் கிடக்குமெனக் காட்டுக. 2. y2=4ax என்னும் பரவளைவிற்கு (at2, 2at) என்னும் புள்ளியி
லுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
y”-4ax என்னும் பரவளைவிற்கு A, B இல் வரையப்படும் தொட லிகள் X-4a=) என்னும் கோட்டில் வெட்டும் வண்ணம் A, B என்பன பரவளைவிலுள்ள இரு மாறும் புள்ளிகளாகும். AB இன் நடுப்புள்ளி y2--2a (X-4a) என்னும் பரவளைவில் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
y2 - 4ax என்னும் பரவளையில் (at, 2, 2at, ), (at,2, 2at2) எனும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(4a, 0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு மாறும் கோடு, y2 - 4ax என்னும் பரவளைவை AB இல் சந்திக்கிறது, AB என்ற நாண் உற்பத்தியில் செங்கோணத்தை அமைக்குமென நிறுவுக.
AB இரு நடுப்புள்ளி y2-2a (X-4a) எனும் பரவளை யில் கிடக்கு மெனவும் நிறுவுக.
y- --- 4 ax என்னும் பரவளைவிற்கு (at2, 2at) என் னும் புள்ளியி
லுள்ள தொட லியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
V - 4ax என்னும் பர வளைவிற்கு புள்ளிகள் P ( at 2, 2a.t, } Q (at22, 2at2) இலுள்ள தொடலிகள் T இற் சந்திப்பின், T' இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. T, 2x+y - aே -- 0 என்னும் கோட்டில் கிடைக்கக்கூடியதாக P, Q என்பன பரவளைவில் அசையும் புள்ளி களாயின், P) இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு y2=a ( 2x------- 2a) என்னும் பரவளைவு என நிறுவுக.

21
5, பரவளைவு y2 = 4ax இலுள்ள புள்ளிகள் P, { at 2, 2at,),
P2 (at22, 2ata) என்பவற்றைத் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாட் டைக் காண்க. P, P, என்பது அப் பரவளைவின் ஒரு குவிய நாணாயின், t, t) -----! எனக் காட்டுக. AB,CD என்பவை பரவளைவு y2 = 4ax இனது மாறுங் குவிய நாண்களாகும். AC என்பது புள்ளி (2a,0) இனூடாகச் செல் கின்றதெனின், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (i) BD என்பது புள்ளி (a/2,0) இனூடாகச் செல்கிறது. (ii) BD இன் நடுப்புள்ளியானது y2=a(2x-- a] இல் கிடக்கிறது.
6.
y2=4ax என்னும் பரவளைவிற்கு (at2,2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனின் சபன்பாட்டைக் காண்க. AB இன் நடுப்புள்ளி y-a=0 என்னும் கோட்டில் கிடக்கும் வண் ணம் A,B என்பது y2 - 4ax எனும் பரவளைவில் உள்ள மாறும் புள்ளியாகும். பரவளைவிற்கு A, B இலுள்ள செவ்வன்கள் சந்திக் கும் புள்ளி x-y-31-0 என்ற கோட்டில் கிடக்கும் என நிறுவுக.
y=4ax என்னும் பரவளைவிற்கு (at2, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க. P Q என்பது y2 = 4ax என்னும் பரவளைவின் குவிக. நாண் ஆகும். பரவளைவிற்கு P Q இலுள்ள செவ்வன்கள் R இற் சந்திப்பின் PQ இன் நீளம், பரவளைவின் செலுத்தியிலிருந்து R இன் செங் குத்துத் தூரத்திற்குச் சமனென நிறுவுக. y2-4ax என்னும் பரவளைவிற்கு புள்ளி P (at2, 2at) இலுள்ள தொடலி செவ்வன் ஆகியவற்றின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.. P இலுள்ள தொடலி, செவ்வன் என்பன பரவளைவின் x-அச்சை முறையே T, N இல் சந்திக்கின்றன. S என்பது பரவளைவின் குவியம். Pபரவளைவில் அசைய, முக்கோணி PSN இன து நிமிர் மையம் xy2 = a( X-a)2 என்ற வளையியை வரையும் எனக் காட்டுக. முக்கோணி PST இனது நிமிர் மையத்தின் ஒழுக்கையும் காண்க.
3.
y2 - 4ax என்னும் பரவளைவிற்கு P (at2, 2at) என்னும் புள்ளி யிலுள்ள செவ்வன், பரவளைவை மீண்டும் புள்ளி Q (aT2, 2aT) இல் சந்திக்கிறது. T-----(t+2/t) என நிறுவுக. P, 2 இலுள்ள பர வளைவின் தொடலிகள் R இற் சந்திப்பின், t இன் எல்லாப் பெறுமானங் களுக்கும் R என்பது y2 (x - 2 a ) + 4a3 - (0 என்ற வளையியில் கிடக்குமெனவும் நிறுவுக.


Page 14
22
10. பின்வருவனவற்றைக் காட்டுக”.
(i) a என்பது ஓர் ஒருமையாயின் x = at2, y=2at என்னும்
சமன்பாடுகள் ஒரு பரவளைவின் பரமானச் சமன்பாடு
களாகும். (ii) t என்னும் பரமானத்தை உடைய புள்ளியினூடாக அப்
பரவளைவினது குவிநாணின் நீளம் a(t-t-1)2 ஆகும். இதி லிருந்து அப்பரவளைவினது செங்கோணங்கள் வெட்டுஞ் சம நீளமுள்ள இரு குவிய நாண்களின் முனைப் புள்ளிகள் - 1 -- v 2 என்னும் பரமானங்களை உடைய புள்ளிகளாகு மெனக் காட்டுக.
11. y2 - 4a என்னும் பரவளைவில் 7 (at, 2, 2at), 2 ( at22, 2at, )
என்பவை இரு மாறும் புள்ளிகளாகும். PQ இன் நடுப்புள்ளி M ஆகும். PQக்களிலுள்ள தொடலிகள் R இற் சந்திக்கின்றன. (a) R இன் ஆள்கூறுகள் (at1 12, a(t + t2)] எனக் காட்டுக. (b) புள்ளி R ஆனது X = h என்னும் நேர்கோட்டிற் கிடந்தால்
M இன் ஒழுக்கையும், (C) MR இன் நீளம் ஓர் ஒருமை ( ஆயின், R இன் ஒழுக்கையும்
காண்க.
12. v2-4ax-8a2, y2-4ax= 4ax2 ஆகிய இரு பரவளைவுகளினதும்
குவியங்களினதும் உச்சிகளினதும் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. இப்பரவளைவுகள் வெட்டும் புள்ளிகளின ஆள்கூறுகளையும், வெட் டும் புள்ளிகளில் ஒன்றில் இரு பரவளைவுகளுக்கும் வரையப்பட்ட தொடலிகளுக்கு உட்பட்ட கூர்ங்கோணத்தையும் காண்க.
13. "பரவளைவு y2 = 4ax இற்கு
P (at2, 2at), Q (an2 12, 2ant) இலுள்ள தொடலிகள் R இற் சந்திக்கின்றன. இங்கு n ஒரு முழுவெண். t மா று ம் போ து R என்பது எப்போதும் 2y2=9ax என்னும் பரவளைவிற் கிடப்பின் n இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. P,) இலுள்ள செவ்வன்களும், y = - 48a என்ற கோடும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திப்பின், PQ இன் நீளத்தைக் காண்க.
14. பரவளைவுகள் y2-4ax; x2-4ay என்பன வெட்டும் புள்ளிகள்
0 (உற்பத்தி), P ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள தொடலிகளுக்கிடையி லுள்ள கோணங்களைக் காண்க.

23
x2=4ay இற்கு P இலுள்ள தொடலி x அச்சை 2 இலும், y2=4ax இற்கு P இலுள்ள தொடலி y அச்சை R இலும் சந்திக்கின்றன. பின்வருவனவற்றைக் காண்க. (a) நாற்கோணி 0 0 P K இன் பரப்பு. (b) R P ஆனது P இலுள்ள தொடலியாகவும், O P ஆனது
- நாணாகவுமுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடு.
1.5.
குவியத்தை முனைவாகவும், அச்சை ஆரம்பக் கோடாகவும் கொண்டு, ஒரு பரவளைவின் முனைவுக்குரிய (polar) சமன்பாடு 1/r - 1 + கோசை ( என்னும் வடிவில் தரப்படலாம் எனக் காட்டுக. பரவளைவுக்கு 9-11 ஆகும். புள்ளியில் உள்ள தொட. லியின் சமன்பாடு.
1/r - கோசை 6 - கோசை (0 - 1) என நிறுவுக. S, S, என்பன 0 என்பதைப் பொதுக் சூவியமாகக் சொண்ட இரு பரவளைவுகளாகும். S இன் செலுத்தி S, இற்கு P, இலுள்ள தொடலியாகும். அவற்றின் முனைவுக்குரிய சமன்பாடுகளைக் காண்க. S, இற்கு P, இலுள்ள தொடலி, S, இற்கு P, இலுள்ள தொடலிக்குச் சமாந் தர மாயின் , Pl, P,, 0 இற்கூடாகச் செல்லும் எனக் காட்டுக.
16.
பரவளைவின் நாண் P Q, குவியம் S இற்கூடாகச் செல்கிறது. S இற்கூடாகச் சென்று பரவளைவை P இற் தொடும் வட்டம் S இற்கூடாகச் சென்று பரவளைவை Q இற் தொடும் வட்டத் திற்குச் செங்குத்து என நிறுவுக.
17.
y2 = 4ax என்ற பரவளைவுக்கு (at2, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. P, Q, R என்னும் மூன்று புள்ளிகள் இப்பரவளைவில் எடுக்கப்பட் டுள்ளன . நாண் P Q செலுத்திக்குச் சமாந்தரம், P, R இலுள்ள தொடலிகள் y2-4a(2x -a) என்னும் பரவளைவில் சந்திக்கின்றன. Q, R இலுள்ள தொடலிகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க,
13. y2=4ax என்னும் பரவளைவின் நாண் (0, 9) இல் இரு கூறிடப்
படுகின்றது. இந்நாணின் சமன்பாடு 2ax-ey=21a-B2 எனக் காட்டுசு. y2-4ax=0 என்ற பர வளைவைத் தொடுகின்ற y2-4ax இற்கு வரையப்பட்ட நாண்களின் நடுப்புள்ளிகளின் ஒழுக்கைக் காண்க.


Page 15
24
19,
y2=4ax இற்கு (at2, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க. P (at, 2, 2at,), Q (at,2, 2at,) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள செவ் வன்கள் பரவளைவில் R (aT2, 2aT) இல் சந்திக்கின்றன . t, உம், t, உம் t2 +tT+2=0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனக் காட்டுக. T இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், நாண் PQ இன் மையப்புள்ளியின் ஒழுக்கு ஒரு பரவளை வெனக் காட்டுக. y2=4ax இற்கு (at2, 2at) இலுள்ள தொடலியினதும், செவ்வனி
ன தும் சமன்பாடுகளைக் காண்க. y2=4ax என்ற பரவளைவைக் குறித்து A இன் முனைவு (Polar) பரவளைவை P,0 இல் வெட்டுகிறது. PQ இலுள்ள செவ்வன்கள் B இல் சந்திக்கின் றன. A என்பது xy=c2 என்ற அதிபரவளைவில் இருப்பின், B இன் ஒழுக்கு ஒரு நேர்வரையெனக் காட்டுக,
21).
y2--4ax இற்கு (at2, 2at) இலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
குவியநாணின் ஒரு முனையிலுள்ள செவ்வன், புள்ளி (15a, 1 2a) இனூடாகச் செல்லும் என நிறுவுக. இப்புள்ளியிலிருந்து வரை யப்பட்ட எஞ்சிய செவ்வன்களின் அடிகளின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
22.
y2 -4 ax எனும் பரவளைவிற்கு புள்ளி P (4a, 4a) இல் அமையும் தொடலியின் சமன்பாட்டினை பெறுக, இத்தொடலியான து x அச்சினை புள்ளி R (-4a, 0) இல் சந்திக்குமென காட்டுக. பரவளைவுக்கு R இலிருந்து வரையப்படும் மற்ற தொடலியானது பரவளைவை Q இல் சந்திப்பின், 2 இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. தொடலிகள் RP, RQ, என்பவற்றாலும் பரவளைவாலும் அடைக் கப்படும் பரப்பினைக் காண்க.
23.
y2-4ax எனும் பரவளைவிற்கு புள்ளி T (at2, 2at) இல் அமையும் தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. S என்பது பரவளைவின் குவியமாய் இருக்க நாண் QSR ஆனது T இலுள்ள தொடலிக்கு சமாந்தரமாகுமாறு வரையப்படுமாயின், அந்நாணின் சமன் பாட்டைக் காண்க. QR-4TS எனவும் நிறுவுக,
24.
x2==4ax எனும் பரவளைவிற்கு (Pat2, 2at) எனும் புள்ளியிலான தொடலியைக் காண்க. உற்பத்தி ) வினுடான P யிலான தொடலிக்கு சமாந்தரமான கோடு பரவளைவை Q வில் சந்திக்கிறது. பரவளைவின் அச்சுக்கு

- 25 --
சமாந்தரமான P யினுடான கோடு, 00 வின் நடுப்புள்ளிக்கு ஊடாக செல்லும் எனக் காட்டுக.
P யிலான தொடலியும், செவ்வனும் x அச்சை முறையே Tயிலும், N இலும் வெட்டின் முக்கோணி TPN இன்பரப்பு 2at (1 - 12) என நிறுவுக.
இE.
(at2, 2at) எனும் புள்ளியில் y2 = 4ax எனும் பரவளைவின் சாய் வைக் காண்க. இதிலிருந்து இப்புள்ளியில் அமையும் தொடலி யின் சமன்பாடு X-ty+at2=0. எனக் காட்டுக. இத்தொடலியானது y அச்சை T இல் சந்திக்கிறது. 0 உற்பத்தி 0, P, T எனும் புள்ளிகளினூடு செல்லும் வட்டத்தின் மையத் தின் ஆள்கூறுகள் (gat2 +a, at) எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து t மாறும்போது மையத்தின் ஒழுக்கு இன்னொரு பரவளை வென உய்த்தறிக.
26. y2 = 15x எனும் பரவளைவிற்கு, m பூச்சியமல்லாமல் இருக்க
15 y --- mx + - என்பது தொடலி என நிறுவுக.
4m இதை பிரயோகித்து அல்லது வேறுவிதமாக பரவளைவிற்கும், x2-y2=16 எனும் வட்டத்திற்கும் ஆன பொது தொடலியின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
x2+y2-24x+ 24-0 என்ற வட்டம் y2=9x என்ற பரவளைவை P, Q,R,S என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. PQRS இன் பரப் பையும், நாற்பக்கலின் ஒவ்வொரு கோணத்தையும் கணிக்க. பரவளைவில் இரு புள்ளிகளை தொட்டுக் கொண்டு செல்லும், முன்னைய வட்டத்தின் மையத்தை மையமாகக் கொண்டு வரை' யப்படும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
பரவளைவு y2=4ax என்பதற்கு புள்ளிகள் P (ap2, 2ap) Q (aq2, 2aq) இதிலிருந்து வரையும் தொடலிகள் R இல் சந்திக் கின்றன , R இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. A PQR இன் பரப்பு { a2 (p-q) 3 | எனக் காட்டுக. A P Q R இன் பரப்பு 4a2 ஆகுமாறு புள்ளிகள் P, Q என்பன
பரவளைவில் அசையுமாயின் R இன் ஒழுக்கைக் காண்க. 29, பரவளைவு y2 =4ax இலுள்ள புள்ளிகள் P(ap2, 2ap) Q (aq2, 2aq)
என்பவற்றை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு.
-2x - (p +- q) y - 2apq - 0 என நிறுவுக. ஆள் 4


Page 16
-- 26
பரவளைவின் குவியம் S, P Q இன் நடுப்புள்ளி M ஆகும், S இல் இருந்து P Q இற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து செலுத்தியை R இல் சந்திப்பின், 2RM --- SP - SQ என நிறுவுக.
30.
பரவளைவு y2=4ax இலுள்ள புள்ளிகள் P (aP2, 2ap), Q (aq2, 2aq) PQ ஒரு நிலைத்த புள்ளி (a, 0) இனூடாகச் செல்லும் வண்ணம் அமைந்துள்ளன. qp - -- 1 என நிறுவுக. மேலும் p, q, pq----- 1 என்பதற்கேற்ப மாறினால் பின்வருவன வற்றை நிறுவுக . (i) P, Q இல் பரவளைவிற்கு உள்ள தொடலிகள் வெட்டும்
புள்ளி ஒரு நிலையான கோட்டில் அமைந்துள்ளது. (இக்
கோட்டின் சமன்பாடு காணப்படலாம்.) (ii) PQ இன் நடுப்புள்ளி y2 == 2a (r-a) என்னும் வளையியில்
அமைந்துள்ளது. 31. பரவளைவு y2=4ax இல் P(ap2, 2ap), Q(aq2, 2aq) ஆகிய
புள்ளிகளில் உள்ள தொடலிகள் T இல் சந்திக்கின்றன. T இன் ஆள்கூறுகளை a, p, q இல் கண்டு பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (i) முக்கோணி PTQ இன் பரப்பு +a2 (p---q)3
p-q #1) சைன் LPTQ = -
V{(1+p2) (1+q2)}
32. y2=4ax எனும் பரவளைவின் மீதுள்ள P (at2, 2at) எனும் புள்ளி
யிலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாடு y-+-tx=2at+at3 என நிறுவுக. P இல் உள்ள செவ்வன் மீண்டும் பரவளைவை Q என்னும் புள்ளி யில் சந்தித்தால், Q இன் ஆள்கூறுகளை t இல் காண்க. 0 ஆனது பரவளைவின் உச்சி எனின், P பரவளைவில் மாறும்போது, முக் கோணி OPQ இன் சுற்றுமையத்தின் ஒழுக்கு 2y2 = a (X - a) எனும் பரவளைவாகும் எனக் காட்டுக. y2 = 4ax எனும் ப ர வ ளை வின் மீதுள்ள P, (at, 2, 2at,), P, (at,2, 2at2) எனும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு (t, + t2) y - 2x + 2at, t2 ஆகுமென நிறுவுக. இந்நாண், (a, 0) எனும் குவியத்தினூடு செல்லுமாயின் t, t>--! ஆகுமென்பதை உய்த்தறிக. இப்பரவளைவின் இரு நாண்களான P, P2, P:P4 எனும் நாண் கள் இடைவெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு x+a=0 எனும் செலுத் தலியாகுமென நிறுவு க.
33.

27
34. y2 = 4ax எனும் பரவளைவுக்கு P(at2, 2at) என்னும் புள்ளியிலே
வரையப்படும் செல்வனின் சமன்பாடுy -- tx - 2at ---at3 - 0 எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து, பொதுவாகப் பரவளைவின் மூன்று செவ்வன்கள், பரவளைவின் தளத்திலேயுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி Q ஊடாகச் செல்லுமெனக் காட்டுக,
Q என்பது (aT2, 2aT) என்னும் புள்ளியாயின், Q ஊடாகச் செல்கின்ற மூன்று செவ்வன்களும் பரவளைவின் நாண்களான Q R, QQ1, QQ, ஆகுமெனக் காட்டுக. இங்கு பரவளைவின் மீதுள்ள R, Q1, 22 என்னும் புள்ளிகளின் பரமானங்கள் முறையே
- - T. (- T+ T:-). ; (-T -- V T2 -8) ஆகவும் Q R என்பது Q விலுள்ள
செவ்வனும் ஆகும்.
QR, 00, , Q0, என் னும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றும் பரவளை வுக்கு ஒரு செவ்வன் ஆகும். பொதுவான நிபந்தனையைப் பயன் படுத்தி, இந்நாண்கள் ஒவ்வொன்றினதும் முனைப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் இரு தொடலிகளினதும் வெட்டுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு y2 (x+2a) -- 4a3 - (0 எனும் வளையியாகும் எனக் காட்டுக.
35.
y2 = 4ax என்ற பரவளைவுக்கு P, (at, 2, 2at,), P, (at,2, 2at,) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகள் R இல் சந்திக்கின்றன. புள்ளி R இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. ஒரு பரவளைவிலுள்ள மூன்று புள் ளி க ளா ல் அமைக்கப்படும் அப்புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணி யின் பரப்பளவின் இரு மடங்காகுமெனக் காட்டுக
36. y2 = 4ax என்னும் பரவளைவிலுள்ள P (ap2, 2ap), Q(aq2, 2aq)
என்னும் புள்ளியினூடாகச் செல்லும் நாணின் ச ம ன் பா டு 2x -- (p + q) y -- aேpq - 0 எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து பரவளைவிற்கு P என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி யின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. PQ என்னும் மாறும் நாணொன்று பரவளைவின் அச்சுமீதுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியினூடாகச் செல்லுமாயின், P யிலும் 2 விலும் உள்ள செவ்வன்களினுடைய வெட்டுப் புள்ளிகளின் ஒழுக்கு ஒரு பரவளைவாகுமெனக் காட்டுக.


Page 17
- 28 ---
37. y2 = 36 X என்னும் பரவளைவுமீதுள்ள P, = (1,6) P, = (4, 12)
என்னும் புள்ளிகளில் வரையப்பட்டிருக்கும் தொடலிகள் T=(2, 9) என்னும் புள்ளியில் இடைவெட்டுமென நிறுவுக. P, T, P, T ஆகிய தொடலிகளினாலும் பரவளைவின் P1 P, என் னும் வில்லினாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவைக் காண்க. பரவளை வின் P, P2 ஆகிய வில்லினாலும் P, P, என்னும் நாணினாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவானது x அச்சுபற்றி நான்கு செங்கோணங் களினூடாகச் சுழற்றப்படுகிறது. இங்கு பிறப்பிக்கப்படும் திண்
மத்தின் கனவளவைக் காண்க.
38.
(at2, 2at) இலே y2 -- 4ax என்னும் பரவளைவுக்கான செவ்வன் tx+y=at (t2 -+- 2) இனால் தரப்படுமெனக் காட்டுக. பரவளைவு மீதுள்ள புள்ளிகள் P, Q ஆகியவற்றின் பரமானங்கள் முறையே t, , t2 ஆகும்; இங்கு t, t2 = 2 ஆகும். P, Q இலுள்ள செவ்வன் கள் பரவளைவுமீது சந்திக்கின்றன எனவும், PQ என்னும் நாணா னது பரவளைவினது அச்சை ஒரு நிலைத்த புள்ளியிலே வெட்டு கின்றது எனவும் காட்டுக.
அலகு 4
அதிபரவளைவு
1. - C (h, k) என்னும் நிலையான புள்ளிக்ககூடாகச் செல்லும் ஒரு
மாறும் கோடு xy == a2 என்னும் அதிபரவளைவை A, B களில் சந்திக்கின்றது. A, B இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழு க் க ா ன து 2xy=kx-hy என்பதனால் தரப்படும் என நிறுவுக. இவ் ஒழுக் கானது xy = a2 என்னும் அதிபரவளைவைத் தொடுமாயின் , ( ஆனது இவ்வதிபரவளைவில் உள்ளது எனக் காட்டுக.
xy - c2 என்னும் செவ்வக அதிபரவளைவுக்கு (ct, c/t) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இப்புள்ளியிலுள்ள செங் கோட்டின் சமன்பாடு 13x-ty =c (t4--1) எ னக் காட்டுக. xy-c2 என்னும் அதிபர வளைவுக்கு, P இலுள்ள தொடலி x அச்சை 1 இலும் y அச்சை T1 இலும் சந்திக்கின்றது. TP - PT' என நிறுவுக.

99
இல் , இகல்
P இலுள்ள செவ்வன் X அச்சை N இலும் y அச்சை N1 இலும் சந்திக்கின்றன. N" ஆன து y அச்சில் N இனது தெறிப்பாகும். T, N', N", T! ஆகிய நான் கு புள்ளிகளும் P இலுள்ள செங் கோட்டில் தன் மையத்தை உடைய ஒரு வட்டத்தில் உள்ளன என நிறுவுக.
3. xy =c2 என்னும் அதிபர வளைவில் உள்ள புள்ளிகள் P (ct,c/t),
Q (ct1, c/t4) ஐத் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாடு. X +tt1 y = C (t - 11) எனக் காட்டுக.
PQ இனூடாக அணுகு கோடுகளுக்கு சமாந்தரமாக கோடுகளால் ஒரு செவ்வகம் ஆக்கப்படுகிறது. நாண் P Q ஒரு நிலையான புள்ளி R (h, k) இனூடாகச் செல்லுமாயின், செவ்வகத்தின் மறு உச்சிகள் xy-kx-hy ---c2=0 இல் கிடக்கின்றன எனக் காட்டுக.
xy == c2 க்கு, P (ct, c/t) இலுள்ள செங்கோட்டின் சமன்பாட்
டைக் காண்க. P இலுள்ள செங்கோடு, வளையியை மீண்டும் Q இல் சந்திக்கின் றது. Q இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. Q இனூடாகச் செல்லும் நாண் QR ஆக P அசையும் பொழுது P R இன் மத்திய புள்ளி யின் ஒழுக்கு 4x3 y3 - c2 (x2 + y2) 2 எனக் காட்டுக.
5.
நேர்கோடு |
--
ச<
t, t2 - (t: +12) = 0
அதிபரவளைவு *18 Y/e = */4 -Y/2 =ஐ (t ஒரு சாரமா றி)
வெட்டும் புள்ளிகளின் t இன் பெறுமானங்கள் ty, t, எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து இவ்விரு புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நர்ணின் படித்திறன் m ஆயின், (am-b) t, t2 am +b எனக் காட்டுக, ஓர் அதிபரவளைவில் P,, P2, Pa, P4 என்பன மாறு புள்ளிகள் P, P), P, Ps, P: P, என்பவற்றின் படித்திறன்கள் மாரியாயின் P, P, இன் படித்திறன் மாறிலி எனக் காட்டுக.
x2 y2 P (a சீக 05 தான் ()) என்பது
--=1 இல் ஒரு புள்ளியாகும்
P இன் y ஆள் கூறு PL ஆகும் LQ என்னும் கோடு x2 +y2=a2 ஐ (2 இல் தொடுகின்றது. {P, Q, X அச்சின் ஒரே பக்கத்தில் இருக் கின்றன.) LPL Q- 0 என நிறுவுக.


Page 18
3) -
இவ்வதிபரவளைவு ஒரு செவ்வக அதிபரவளைவு ஆயின், PL-L) எனக் காட்டுக, P அசையும் பொழுது PQ ஒரு நிலையான புள் ளிக் கூடாகச் செல்கின்றது எனக் காட்டுக.
x2 y2 7. Z (aசீகரி, 6 தான் 0, -,- - - 1 இல் கிடக்கின்றது.
அதிபரவளைவின் மையம் 0 ஆகும். Z இல் உள்ள தொடலி அணுகு கோடுகளை X, Y இல் வெட்டுகின்றது. Z மாறும்பொழுது AOXY இன் பரப்பு ஒரு மாறிலி எனக் காட்டுக.
SS' என்பன அதிபரவளைவின் இரு குவியங்களாகும். P என்பது அதிபரவளைவிலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாயின், PS - PS' ஓர் ஒருமை என நிறுவுக. C, C' என்பன இரு நிலைத்த வட்டங்கள்; அவற்றின் மையங்கள் 6cm. தூரத்திலுள்ளன. அவற்றின் ஆரைகள் முறையே 1cm, 3cm ஆகும். C, C' இரண்டையும் (" என்ற மாறுவட்டம் வெளிப் புறமாகத் தொடுகிறது. C" இம் மையத்தின் ஒழுக்கு ஓர் அதி பரவளைவு எனக் காட்டுக.
X2 y 2 9. அதிபரவளைவு ---- = 1 இற்குப் புள்ளி P (a சீக 05 தான் 6)
இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. IP இலுள்ள
தொடலியானது
0 எனும் நேர்கோடுகளை முறையே
T, T' என்னும் புள்ளிகளிலே சந்திக்கின்றது. S, S" என்பவை அதிபரவளைவின் குவியங்களாயிருக்க, 0 என்பது அதன் மையம் மாயின், OT, OT' = OS, OS' எனக் காட்டுக. இதிலிருந்தோ வேறுவழியாலோ, S, S', T, T' ஆனவை ஒரு பரி திப் புள்ளிகளெனக் காட்டுக.
10. x கோசை at + y சைன் .-- 4 எனும் கோடு
x 2 - v 2
த-', = 1 என்னும் அதிபரவளைவுக்கு தொடலியாவதற்கு
d 2
a2 கோசை 2 1-b2 சைன் 2 1=p2 ஆதல்வேண்டும் எனக்காட்டுக தொடுபுள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் சுாண்க. x2 |-y2:-9 ஐத் தொடும் 9x2 - 16y2 - 144 என்னும் அதிபரவளைவின் தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

-- 31 --
11.
அதிபரவளைவு xy=c2 இற்கு P (ct, cit) இலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க. P இலுள்ள செவ்வன் அதிபரவளைவை மீண்டும் P1 இற் சந்திப்பின் P1 இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. P' இலுள்ள செவ்வன் அதிபரவளைவை மீண்டும் வெட்டும் புள்ளி P" இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. PP இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
செவ்வக அதிபரவளைவு x=al, y=a/k இல் Ar, (r - 1, 2, 3, 4 ) என்பது நான்கு புள்ளிகளின் சாராமாறிகளாயிருப்பதுடன் ,, 12 13 14 = 1 ஆகவுமிருப்பின், நான்கு பு ள் ளி க ளு ம் ஒரு
வட்டத்திலுள்ளன என நிறுவுக. அதிபரவளைவில் P ஒரு புள்ளியாயின், P இல் அதிபரவளைவைத் தொடுவதும் மீண்டும் வேறொரு புள்ளியில் தொடுவதுமாக இரு வட்டங்கள் உள்ளன என்றும், இரண்டாவது தொடுபுள்ளிகள் ஒரு வட்டத்திற்கு Q உம், மற்றைய வட்டத்திற்கு R உம் ஆயின் QR அதிபரவளைவின் விட்டம் என்றும், P இல் இது ஒரு செங் கோணத்தை எதிரமைக்கும் என்றும் நிறுவுக. இரண்டு வட்டங்களும் சமமான ஆரையுடையன என்றும் நிறுவுக.
13.
x2-y2+2gx+ 2fy + C=0 என்னும் வட்டம் x==at, y=art எனும் செவ்வக அதிபரவளவை P1, P2, F3. P4 என்ற நான்கு புள்ளி களிலும் சந்திக்கிறது. இவற்றின் சாராமாறிலிகள் முறையே t,, t2, t;, t4 ஆகும். ti, t2, ta, t4 ஐ மூலகங்களாகக் கொண்ட நாற்படிச் சமன்பாட்டைக் காண்க. t, t2 t; t4; t1+12+t3+t4;
1 + +++ + + + இன் பெறுமானங்களையும் உய்த்தறிக. இதிலிருந்து பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (i) P, P,, P: PA என்பன பேரச்சுடன் சமமாகச் சாய்ந்துள்ளன. (ii) நான்கு புள்ளிகளின் திணிவுமையம் வட்டத்தின் மையத்தை
யும் உற்பத்தியையும் இணைக்கும் கோட்டின் நடுப்புள்ளி. (iii) P, P, P. இன்: நிமிர்மையம் P4 இற்கு விட்டத்தின் வழி
எதிரே அதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளி.
செவ்வக அதிபரவளைவில் A (ct, c/t1 ), B (ct). C/t2) என்பவற்றை இணைக்கும் நாண் A B ஒருமையான நீளம் 1 ஐ உடையது. நாணின் நிலை மாறும்போது முக்கோணி A 0 B இன் திணிவு
மையம் ஆனது .


Page 19
32
(9xy-4c2) (x2 | y2) - 12xy என்னும் வளைவில் கிடக்கும் எனக் காட்டுக. இங்கு 0 என்பது உற்பத்தியாகும். G இன் ஆள்கூறு (c, 2c) ஆகும்போது முக்கோணி AOB இன் பரப்பையும் காண்க.
15. xy - c2 எனும் அதிபரவளைவில் t, , t, என்ற புள்ளிகளை இணைக்
கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. A B என்பது செவ்வக அதிபரவளைவிலுள்ள நிலையான புள்ளி A இல் செங்கோணத்தை அமைக்கும் நாணாகும். BA என்பது நிலையான திசைக்குச் சமாந்தரம் எனக் காட்டுக. AB ஐ விட்ட மாகக் கொண்ட வட்டம் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியில் ஒன்று எனவும் காட்டுக.
16,
Xy = c2 என்ற செவ்வக அதிபரவளைவுக்குச் சார்பாக (x, , y1)
என்ற புள்ளியின் முனைவின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (x,, yi), xy=a2 இல் கிடப்பின் முன்னைய முனைவு 32 xy=c4 என்ற வளைவைத் தொடும் எனக் காட்டுக.
17.
செவ்வக அதிபரவளைவில் xy=c2 இல் (ct,, c/t,), (ct2, C/t2) என் னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. புள்ளிகள் P Q இலுள்ள தொடலிகள் xy=4c2 என்ற அதிபர் வளைவில் சந்திப்பின், P Q என்பது 4 xy - c2 என்ற அதிபரவளை வைத் தொடும் எனக் காட்டுக.
18,
மூன்று புள்ளிகள் P, Q, R என்பன வளைவில் எடுக்கப்பட்டுள்ளன. PQR இன் செங்குத்து மையம் H வளைவில் இருக்கும் என்றும், QR இனதும் RH இன தும் மையங்களை இணைக்கும் கோடு 0 இல் செங்கோணத்தை அமைக்கும் என்றும் காட்டுக.
19.
இரண்டு புள்ளிகள் P (4p, 4/p), Q (44, 4/q) xy = 16 என்னும் செவ்வக அதிபரவளைவின் ஒரே கிளையில் கிடக்கின்றன. நேர் வரை LPQM ஆனது அச்சுக்களை L, M இல் சந்திப்பின் LP = QM எனக் காட்டுக. அதிபரவளைவின் மற்றைய கிளையில் T எனும் ஒரு புள்ளியிலான தொடலி அச்சுக்களை R, S இல் சந்திப்பின் TR = TS எனக் காட்டுக , பரவளைவின் புள்ளிகள் P, Q இலுள்ள தொடலிகள் U இல் சந்திக்கின்றன. PQ//RS ஆயின் புள்ளிகள் T, U உற்பத்தி என் பன ஒரே நேர்கோட்டில் கிடக்குமெனக் காட்டுக.

33
20.
21.
அதிபரவளைவு x-ct y-c/t இற்கு புள்ளி P (t-t, ) இல் அமையும் செவ்வன் வளையியை மீண்டும் ) (t-t2) இல் சந்திப்பின் 1, ஐ t, இல் காண்க PQ வை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டம் அதிபரவளைவை மீண் டும் R இல் அமையும் செவ்வன் PQ இற்குச் சமாந்தரம் என நிறுவுக. செவ்வக அதிபரவளைவு (x - h) (y - k) == c2 இன் அணுகுகே ட் டின் சமன்பாட்டையும் மையத்தின் ஆள்கூறுகளையும் எழுதுக. அதிபரவளைவுகள் 2x (y-2) - 3; 2y (x-1) -- 3 என்பவற்றை பருமட்டாக வரைக. இவை ஓன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி கள் P, 2 இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. அதிபரவளைவுகளுக்கு P, Q இல் அமையும் தொடலிகளினால் ஒரு இணைகரம் உருவாக்கப்படுகிறதெனக் காட்டுக. x2/a22/b2-1 என்னும் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை எழுதுக. அதிபரவளைவின் புள்ளி P(3'sec 8, 4tan 6) இல் தொடலி அணுகு கோடுகள் X, Y இல் சந்திப்பின் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (2) P ஆனது XY இன் நடுப்புள்ளி; (5) 0) உற்பத்தியாயின் A KOY இன் பரப்பு 4 வில் தங்கியிராது.
23. x =ct, y - - எனும் அதிபரவளைவை, ஒரு வட்டம் P, Q, R. S
இல் வெட்டுகிறது. PO வின் நடுப்புள்ளி உற்பத்தி எனின் RS இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என நிறுவு க. நேர்கோடு y=mx +b ஆள்கூற்று அச்சுக்களை P1, Q இல் சந்திக் கின்றது. செங்கோண அதிபரவளைவு xy=c2 ஐ P, Q இல் சந் திக்கின்றது. P, 21, PC ஆகியன ஒரே நடுப்புள்ளியைக் கொண் டுள்ளன என நிறுவுக.- சமாந்தர நேர்கோட்டுத் தொடை ஒன்று அதிபரவளைவை வெட் டும்படி வரையப்பட்டால், பெறப்படும் நாண்களின் நடுப்புள்ளி கள் உற்பத்தியினூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டில் அமை
யும் என நிறுவுக.
28.
ஒரு அதிபரவளைவின் சமன்பாடு
"2 " B2 - "
--- 1 இனால் தரப்படு கிறது. இவ் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகளின் சமன்பாடுகள் y2-02x2 எனவும், அதிபரவளைவு (a, 0) இனூடு செல்லுகிறது.
*2
+ J2
ஆள் 5


Page 20
34 -
எனவும் தரப்படின் அதிபரவளைவின் சமன்பாட்டை x, y, m, க என்பவற்றில் தருக. அதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளி P ஆனது X அச்சிலிருந்து தன் தூரம் அதிபரவளைவிள் அணுகுகோடொன்றில் இருந்து தன் தூரத்திற்கு சமனாகுமாறு உள்ளது. nn இன் எல்லாப் பெறுமானங்கட்கும் ? ஆன து (x2-y2)2=4x2(x2---a2) எனும் வளையியில் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
26.
xy=c2 எனும் செவ்வக அதிபரவளைவில் P
என்பன இரு புள்ளிகள் நாண் PQ இன் சமன்பாடு x+pqy=c(p+q) என நிறுவுக. PQ ஆனது புள்ளி (cp+cq-d, c) இனூடு செல்லுமாயின், புள்ளி கள் P, Q இல் அமையும் தொடலிகள் சந்திக்கும் புள்ளியானது y=x எனும் கோட்டில் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
27. xy= c2 எனும் அதிபரவளைவிற்கு x =ct, y= ? இலான செவ்வ
னைக் காண்க. இச் செவ்வன் P (h, k) இனூடாகச் செல்லின் ct4- ht3+kt-C =0 எனக் காட்டுக. அதிபரவளைவின் நான்கு செவ்வன்கள் P யில் சந்திக்கின்றன. இச் செவ்வன்கள் அதிபரவளைவை வெட்டும் புள்ளிகளின் x ஆள் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை h இற்கும், y ஆள்கூறுகளின் கூட்டுத்
தொகை k இற்கும் சமன் என நிறுவுக. 28. xy=c2 எனும் செவ்வக அதிபரவளைவில் புள்ளி p (ct, G/t) இல்
அமையும் செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க, "முறையே t, , t,, t,, t) எனும் பரமானங்களையுடைய புள்ளிகள் P1, P2, Ps, P, என்பவற்றில் அமையும் செவ்வன்கள் ஒரு புள்ளி யில் சந்திப்பனவாயின் t, , t,, t,,t, - - 1 எனக் காட்டுக. இவ்வகையில் யாதுமிரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடான து மற்ற இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தென காட்டுக. A P, P, P: இன் நிமிர்மையத்தின் ஆள்கூறுகளை t, t2 t3 இல் உய்த்தறிக.
xy = (2 எனும் செவ்வக அதிபரவளைவில் உள்ள இரு புள்ளிகள் P (cp, C/p), Q (cq, c/q) என்பவற்றை இணைக்கும் நா ணி ன் படித்திறன் - என நிறுவுக.
pq
29.
-1

35
R என்பது VQPR =900 ஆகுமாறு அதிபரவளைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும். QR ஆனது P இல் அமையும் தொடலிக்குச் செங் குத்தெனக் காட்டுக.
30. xy=c் என்னும் அதிபரவளைவில் P (cpy).a(eq,) எனும்
புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. PQ எனும் கோடு xy-C2-0 எனும் அதிபரவளைவை M இல் தொடுகிறது. P க்கும், Qக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பைப் பெறுக. M, PQ.வின் நடுப்புள்ளி எனவும் நிறுவுக. xy=c2 எனும் அதிபரவளைவிற்கு P,Q இலான தொடலிகள் T இல் சந்திப்பின் MT இன் நடுப்புள்ளி உற்பத்தி என நிறுவுக.
x2 v2 *5-2-1- 0 எனும் அதிபரவளைவின் மீதுள்ள P (a சீக13, b தான் 6) எனும் மாறும் புள்ளியிலான தொடலியின் சமன் பாட்டைக் காண்க. P யிலான தொடலியானது அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகளை Q, R என்னும் புள்ளிகளிற் சந்திப்பின், Q R இன் நடுப்புள்ளி P ஆகுமெனக் காட்டுக. A 0QR இன் பரப்பளவானது மாறிலி யாகும் எனவுங் காட்டுக; இங்கு 0 என்பது அதிபரவளைவின் மையமாகும். 00, OR என்பவற்றின் செங்குத்து இருசமகூறாக்கி களைக் கருதுவதன் மூலமாக அல்லது வேறு விதமாசு A 0QR.
-a2+b2 - a2 +b2 இன் சுற்றுமையாமானது C
- தான் 6 என்னும் புள்ளியாகுமெனக் காட்டுக. இதிலிருந்து P யின் நிலை அதிபரவளைவின் மீது மாறுகையில் ( யின் ஒழுக்கைக் காண்க.
28
ab)
32. xy=c2 எனும் அதிபரவளைவுக்கு (ct, ) என்னும் புளியிலுள்ள
தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. புள்ளி 0 ஆனது ஒரு செங்கோண அதிபரவளைவின் மையமாகும். P என்பது அதிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும். P இல் அதிபரவளை வுக்கான தொடலிக்கு 0 இலிருந்து வரையப்பட்ட செங்குத்தா னது வளையியை 0 விலும் R இலும் சந்திக்கின்றது. PQ, PR. என்னும் நாண்கள் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகளுள் ஒன்றை U இலும் V இலும் சந்திக்கின்றன. M என்பது UV இன் நடுப் புள்ளியாயின், MP ஆனது அதிபரவளைவின் மற்றைய அணுகு கோட்டுக்குச் சமாந்தரமாகுமெனக் காட்டுக.


Page 21
- 36 --
33 -
x2 y2
2--- -- 1 என்னும் அதிபரவளைவினுடைய அணு கு கோடுகள்
ஒவ்வொன்றிலும் P, Q என்னும் புள்ளிகள் இ ரு க் கி ன் ற ன. அவற்றின் ஆள்கூறுகளை (ap, bp) (aq, bq) என்னும் வடிவத்தில் எடுத்துரைக்கலாமெனக் காட்டுக. இங்கு p, q என்பன பரமா னங்களாகும். P Qவின் நடுப்புள்ளியான M அதிபரவளைவு மீது இருக்குமாயின், pq=1 எனவும் அவ்வாறாயின் PQ ஆனது அதி பரவளைவுக்கு M இல் உள்ள தொடலியாக இருக்கும் எனவும் காட்டுக.
அதிபரவளைவின் மையம் C ஆகுமெனின், இச்சந்தர்ப்பத்தில், CPQ என்னும் முக்கோணியில் பரப்பளவான து மாறிலியாகும் எனவும் காட்டுக.
34.
xy-02 என்னும் அதிபரவளைவின் மீதுள்ள (x, -y2) எனும் புள்ளி யிலான தொடலியின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. xy==c2 எனும் செங்கோண அதிபரவளைவின் மீதுள்ள P எனும் ஏதேனுமொரு புள்ளியிலான தொடலியானது அணுகுகோடுகளை TT' என்பவற்றிலும், P யிலான செவ்வனானது y = x எனும் கோட்டினை G யிலும் சந்திக்கின்றன . T, T1, G என்பனவும் அதிபரவளைவின் மையமும் Pயை மையமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
35.
x2 y2 S =-
- 1 = 0 எனும் அதிபரவளைவுக்கு , a2 b2 P (a சீக 6, b தான் 0) எனும் புள்ளியிலான செவ்வன் ax சைன் 8+by = (a2+b2) தான் 0 எனக் காட்டுக. S=0 க்கு P இல் உள்ள் செவ்வன் x-- அச்சை G இல் சந்திக்கிறது. P இன் ஊாக y - அச்சுக்கு சமாந்தரமாகச் செல்லும் கோடு அணுகு கோடுகளை Q இலும் Q, இலும் சந்திக்கிறது. 0 என்பது அதிபரவளைவின் மையமாக இருப்பின் ) G ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் 0, Q, G, Q, அமைந்துள்ளன' என நிறுவுக.
36.
செவ்வக அதிபரவளைவு xy= k2 இல் Pi (i== 1, 2, 3) என்பன மூன்று புள்ளிகளாகும். முக்கோணி P, P, P; இன் சுற்றுவட்டம் அதிபரவளைவை t, ஐ சாராமாறியாகக கொண்ட நாலாவது புள்ளியில் வெட்டும் எனக் காட்டுக. இங்கு t=.
ஆகும். t, teta

37. அதிபரவளைவு xy =c2 இற்கு புள்ளி P இலுள்ள தொடலி x, y
அச்சுகளை முறையே A, B இற் சந்திக்கின்றது. ) அதிபரவளை வின் மையம் POQ ஒரு விட்டம். BQ x - அச்சை C இற் சந் திக்கின்றது. முக்கோணிகள் BOA Q0C என்பவற்றின் பரப் புகள் முறையே 2c2, c2/3 எனக் காட்டுக.
38.
அதிபரவளைவு xy=c2 இற்கு புள்ளி P 't' இலுள்ள தொடலி X ,y அச்சுக்களை முறையே A, B இலும், P இலுள்ள செவ்வன் வரை கள் y=x, y =-X ஐ முறையே C, D இலும் சந்திக்கின்றன, ACBD ஒரு சாய் சதுரமெனக் காட்டுக. (t2#1)
39.
அதிபரவளைவு xy - k2 இன் ஒரு மாறும் நாணின் நடுப்புள்ளி, y-- அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நிலையான கோட்டிற் கிடக் கின்றது. இந்நாணின் முனைகளிலுள்ள தொடலிகளின் வெட்டுப் புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க.
40.
அதிபரவளைவு xy -2 இற்கு புள்ளி P இலுள்ள தொடலி பர வளைவு y2=4ax இன் குவியத்தினூடாகச் செல்கின்றது. P இன் ஆள்கூறுகளை a, C இற் தருக. P ஆனது பரவளைவில் கிடக்குமா யின் a4=2c4 எனவும், P இல் இருவளையிகளுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் தான் --1/ 2 எனவும் காட்டுக.
41.
அதிபரவளைவு 2xy= ab உம், நீள்வளையம் b2x2 +a2y2=a2b2(a) b)
b
உம் ஒன்றையொன்று புள்ளி P
இல் தொடுகின்றன
V 2 2 y 2) வெனக் காட்டுக.
நீள்வளையத்தின் மையத்திலிருந்து, P இலுள்ள பொது த் தொட லிக்குக் கீறிய செங்குத்து அதிபரவளைவை Q இற்" சந்திக் கின்றது. அதிபரவளைவிற்கு Q இலுள்ள தொடலி, நீள்வளையத் தின் குவியத்தினூடாகச் செல்லுமாயின், a2=3b2 எனக்காட்டுக.
42. xy=c2 என்னும் செங்கோண அதிபரவளைவில் P Ip] Q [qI, R [[!
என்பவை மூன்று புள்ளிகள். p, 4, r என்பவை t3+at-b=0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும். புள்ளிகள் P,Q, R இல் அதிபரவளைவுக்குள்ள தொடலிகள் QR, RP, PO ஐ முறையே L, M, N இல் சந்திக்கின்றன. L இன் ஆள்கூறுகள் (c(3b-a)/a, --cp/a] எனக் காட்டுக.
L, M, N என்பவை 3ax-a2y-:9cb எனும் கோட்டில் கிடக் கின்றன எனக் காட்டுக.


Page 22
---- 38 --
43. செங்கோண அதிபரவளைவு xy - c2 இல் PQ ஒரு நாணாகும்.
PQ வை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டம் அதிபரவளைவை மீண் டும் R,S இற் சந்திக்கின்றது. RS உற்பத்தித் தானத்தினூடாகச் செல்கின்றதெனக் காட்டுக.
PQ உம் RS உம் H இல் சந்திக்கின்றன, PQ எப்பொழுதும் புள்ளி (1, 2) இனூடாகச் செல்லுமாயின், H இன் ஓழுக்கைக் காண்க.
44. நீள்வளையம் b2x2+a2y2--- 232b2 ஆனது, அதிபரவளைவு xy-:abஐத்
தொடுகிறதெனக் காட்டுக.
நீள்வளையத்திற்கு அதிலுள்ள புள்ளி A இலுள்ள தொடலி அதிபரவளைவை BC இற் சந்திக்கின்றது. அதிபரவளைவிற்கு B, C இலுள்ள தொடலிகள் நீள்வளையத்தில் ஒரு புள்ளி D இற் சந்திக் கின்றன எனக் காட்டுக.
-நீள்வளையத்திற்கு D இலுள்ள தொடலி, அதிபரவளைவை P,Q இற் சந்திப்பின், AP, AQ என்பன அதிபரவளைவிற்கு P,Q
இலுள்ள தொடலிகள் எனக் காட்டுக. 45.
X=4u, y=4/u என்னும் அதிபரவளைவினது x=t2, y=2t என் னும் பரவளைவினதும் பொதுப்புள்ளி P யின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. P யில் u=1. t=2 எனக் காட்டுக.
பரவளைவிற்கு P யிலுள்ள தொடலி அதிபரவளைவை M இற் சந்திக்கின்றது. அதிபரவளைவிற்கு P யிலுள்ள தொடலிபரவளைவை N இல் சந்திக்கின்றது. MN இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
MN ஆனது பரவளைவிற்கு N இல் ஒரு தொடலியெனவும் அதிபரவளைவிற்கு M இல் ஒரு தொடலியெனவும் காட்டுக.
46. செங்கோண அதிபரவளைவு xy-C2 இற்கு புள்ளி P (t, ct) (t>1)
இலுள்ள தொடலி, செவ்வன் ஆகியவற்றின் சமன்பாடுகளைக் காண்க,
இவற்றிற்கு, உற்பத்தித்தானம் 0 இலிருந்து கீறிய செங்குத் துகளின் நீளங்களைக் காண்க. இவ்விரு செங்குத்துகளும் தொடலி, செவ்வன் ஆகியவற்றுடன் சேர்ந்து ஒரு சதுரத்தை அமைக்கின் றனவெனின் t2=1 +V 2 எனக் காட்டுக.
செங்கோண அதிபரவளைவு xy =c2 இல் P (ct, c/t) Q (Qu, c/u) என்பவை இரு புள்ளிகளாகும். PQ ஆனது வளையியிற்குப் P இல் ஒரு செவ்வனாகும். 63u+1=0 எனக் காட்டுக.
Q இலுள்ள செவ்வன், வளையியை மீண்டும் N இற் சந்திக் கின்றது. PN சமன்பாடு x+t10y==ct (1+t8) எனக் காட்டுக.

-- 39
49.
48.
செங்கோண அதிபரவளைவு xy = 02 இற்கு புள்ளி P இலுள்ள தொடலி x, y அச்சுக்களை முறையே A, B இலும் P இலுள்ள செவ்வன் x, y அச்சுக்களை முறையே C, Dஇலும் சந்திக்கின்றன. AD இன் நடுப்புள்ளி M, BC இன் நடுப்புள்ளி N, M இன் ஒழுக்கு 2c2xy=c4-x4 எனவும், N இன் ஒழுக்கு 202xy=c4-y4 எனவும் காட்டுக. செங்கோண அதிபரவளைவு xy = k2 இல் A [a] ; B [b]; C [G] மூன்று மாறும் புள்ளிகள். AB ஆனது AC இற்குச் செங்குத்து. A யிலிருந்து, X அச்சிற்குக் 'கீறிய செங்குத்தின் அடியினூடாக BC செல்கின்றது, (1) a2 bc +1 = 0.
(ii) a = b +3 என நிறுவுக. முக்கோணி ABC இன் மையப்போலியின் ஒழுக்கைக் காண்க. 50. அதிபரவளைவு b2x2-a2y2=a262 இலுள்ள ஒரு புள்ளியின் பரமர்
எனக் குறியீடு x 2 (+), y=2(-) ஆகுமெனக் னக் குறியீடு x -
ஆகுமெனக் காட்டுக. t=11, t=v ஆகவுள்ள t புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன் பாடு : (1+ uv) + - (1-uv) = 1+v எனக் காட்டுக.
இந்நாண் அதிபரவளைவை A, B இலும், அணுகு கோடுகளை C, D இலும் வெட்டினால் AC=BD எனக் காட்டுக.
51. (Cpr, C/p), r- 1, 2, 3, 4 என்பவை xy = (2 இல் நாலு
புள்ளிகள். இவை ஒரு பரிதிப் புள்ளிகளாயின் t, t, t: 14 =1 எனக் காட்டுக , ப Xy =c2 இன் ஒரு விட்டம் AB ஆகும். அதிபரவளைவை A இற் தொட்டுக் கொண்டு B இனூடாகச் செல்லும் வட்டம், அதிபர வளைவை மீண்டும் C இற் கந்திக்கின்றது. வளையியிற்கு A இலுள்ள செவ்வன் 'AC எனக் காட்டுக.
அதிபரவளைவின் மையம் 0 ஆயின், 30A2 -- 02 - AC2 எனக் காட்டுக.
(x 2
52.
| = ! என்னும் அதிபரவளைவின், (h, k) யை
நடுப்புள்ளியாகக் கொண்ட நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (h, kt) வளையியில், இருக்கும்போது வரும் முடிபை விளக்குக. - இவ் அதிபரவளைவின், ஒரு மாறும் நாண். x2+y2=r2 என் னும் வட்டத்திற்கு - ஒரு தொடலியாகும். இந்நாணின் நடுப் புள்ளியின் ஒழுக்கு,


Page 23
- 40 -
40
5
X)
(**) = ? (:: + ) எனக் காட்டுக. 53. x2-y2=32 என்னும் அதிபரவளைவில் P (01. Q[0+7/2] என்பன
புள்ளிகள், PQ இன் நடுப்புள்ளி R(x,y,) ஆகும். 1 = சைன்8+
கோசை ( எனக் காட்டுக. R இன் ஒழுக்கைக் காண்க. 54.
x2-y2=32 என்னும் அதிபரவளைவில் (a சீக a, b தான் c2 ) (a சீக 8, b தான் 8 ) என்னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
(t-3)
(2 +6) X கோசை
-- y சைன்
- -- 4 கோசை
(x--2)
53
எம்.
எனக் காட்டுக.
இவ் வதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளிகள் PQ இன் சாராமாறிகள் முறையே 3+3, x-B ஆகும். A, A1 என்பவை அதிபரவளை வின் உச்சிகள். « ஒரு ஒருமையாக விருக்க 8 மாறும்போது, AP, A1 ( என்பவற்றின் வெட்டுப் புள்ளியின் ஒழுக்கு, x2 +y2 -2ay தான் x==a2 எனக் காட்டுக. P, 0, R என்பவை xy =c2 இன் மூன்று புள்ளிகள், A PQR இன் நிமிர்மையம் H வளையியில் கிடக்கின்றது எனக் காட்டுக. QR, FH என்பவற்றின் நடுப் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு 0 வில் செங்கோணம் அமைகின்றது எனக் காட்டுக. (0 உற்பத்தி) PQ, PR என்பவை xy - C2 இல் செங்குத்தாகவுள்ள இரு நாண் கள் P யிலுள்ள செவ்வன் QR இற்கு சமாந்தரம் எனக் காட்டுக. F யில் இருந்து X அச்சுக்கு மீறிய செங்குத்தின் அடியினூடாக QR செல்லுமாயின் A PQR இன் மையப்போலியின் ஒழுக்கு
• 7 202xy--- 16C4+8. x4-0 எனக் காட்டுக. 57. செங்கோண அதிபரவளைவு xy--C2 இல் P ஒரு மாறும்புள்ளி
உற்பத்தி ) வில் இருந்து 7 இலுள்ள தொடலிக்கு மீறிய செங் குத்தின் அடி Q ஆகும்.
(i) OP OQ- மாறிலி எனக் காட்டுக
(in) Q வின் ஒழுக்கைக் காண்க. 53. செங்கோண அதிபரவளைவு xy-C2 க்கு புள்ளி P யில் உள்ள
தொடலி X--y=0, x+y=0 என்னும் கோடுகளை முறையே A B யில் சந்திக்கின்றது. 0 உற்பத்தி முக்கோணி OABயின் பரப்பு A ஆகும். P யிலுள்ள செவ்வன் X--அச்சை C யிலும், Y அச்சை D யிலும் சந்திக்கின்றது. முக்கோணி ODC யின் பரப்பு A, ஆகும். A2 A, - 8C6 எனக் காட்டுக.

அலகு 5
நீள்வளையம்
= 1 என்னும் நீள் வளையத்திற்கு
વરુ
(a கோசை 0,b சைன் 0) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
9-4
*- + 25 - 1 என்னும் நீள்வளையத்தைத் தொடும்படி வரையப் படும் 2 அலகு நீளமுடைய x2 +y2=6 என்னும் வட்டத்தின் எல்லா நாண்களினதும் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
2, a212 +b2m2 =n2 எனின், 1x +my+n=0 என்னும் கோடு,
= 1 என்னும் நீள்வளையத்தைத் தொடும் எனக் காட்டுக. (10,5) என்னும் புள்ளியிலிருந்து x4+4y2=4 என்னும் நீள்வளை யத்திற்கு வரையப்படும் இரு தொடலிகளின் சமன்பாடுகளையும்
அவற்றின் தொடுபுள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளையும் காண்க. 3. 0 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
V
X2.
a
- கோசை 0 +உசைன் 0=1 எனும் கோடு, : +62 = 1 எனும் நீள்வளையத்தை தொடுமென நிறுவுக. x2 +y2=r2 எனும் வட்டத்தின் மாறும் தொடலி x - அச்சை A இலும் y- அச்சை B இலும் வெட்டுகிறது. C என்பது OA இன் நடுப்புள்ளியாயின், BC எனும் கோடு 4x2+y2=r2 எனும் நீள் வளையத்தைத் தொடுமென நிறுவுக. இங்கு 0 என்பது உற்பத்தியாகும்.
Y2
2 + 2 = 1 என்னும் நீள்வளையத்திற்கு ( a கோசை 6, b சைன் 6) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்
டைக் காண்க.
ஆள். 6


Page 24
- 42 -
x2 v2
- +2 = 1 எனும் நீள்வளையத்தின் தொடலிக்கு குவியங்களின்
செங்குத்துத் தூரங்களின் பெருக்குத் தொகை b2 என நிறுவுக.
x2 , v2
+= 1 எனும் நீள் வளையத்திற்கு P இலுள்ள தொடலி Q0 இற்குச் சமாந்தரமாகுமாறு P (a கோசை 0, b சைன் 6), Q (a கோசை ¢, b சைன் 4) என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள இரு மாறும் புள்ளிகளாகும். இங்கு 0 என்பது உற்பத்தி. 0, ¢ என் பன 7/ 2 இன் ஒற்றை மடங்கின் பெருக்குத் தொகையால் வித்தி யாசப்படுமென நிறுவுக. PQ இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கையும் காண்க.
நீள் வளையத்திலுள்ள புள்ளியொன்றின் மையவகற்சிக் கோணம் என்பதால் என்ன கருதப்படுகிறது என்பதை விளக்குக . நீள் வளையத்திலுள்ள P, Q, R என்ற புள்ளிகளின் மையவகற்சிக் கோணங்கள் முறையே 1, (0 +a), (0 - n) என்பனவாகும். 4. ஒருமையாக இருக்க , 0 மாறக்கூடியதாக P, Q, R என்பன நீள்வளையத்தில் அசைகின்றன. முக்கோணி PQR இன் பக்கங் களின் நடுப்புள்ளிகளும் மையப்போலியும் நீள்வளையங்களை வரை யுமென நிறுவுக.
x 2 y 2
2 +3=1 எனும் நீள் வளையத்திற்கு (a கோசை 0, b சைன் 6) எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
x2 v2 ': ? என்பன 2 + 2 = 1 என்னும் நீள்வளையத்திலுள்ள இரு P, Q என்பன -
மாறும் புள்ளிகள் ஆகும். நீள்வளையத்திற்கு Q இலுள்ள தொடலி "OP இற்குச் சமாந்தரமாயின், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i) P, Q இன் மையவகற்சிக் கோணங்கள் /2 இன் ஒற்றை
மடங்கின் பெருக்குத் தொகையால் வித்தியாசப்படுகிறது. (ii) OP2 - 0Q2 = a2 + 62 (iii) முக்கோணி OPQ இன் பரப்பு = bab.
இங்கு 0 என்பது உற்பத்தி.
a 2 'b 2
x2
8. நீள்வளையம் S =+ 2-1 = 0 இற்கு அதிலுள்ள புள்ளி
(x, , y1) இலுள்ள தொடலியினதுஞ் செவ்வனினதும் சமன்பாடு
களைக் காண்க ,

- 43 - புள்ளி (x0, yo) இலிருந்து நீள்வளையம் S = 0 இற்கு வரைந்த தொடலிகளின் தொடுகை நாணினது சமன்பாடு, க*,2 + 129 =1 எனக் காட்டுக .
P (a கோசை 6, b சைன் 0) என்பது நீள்வளையம் S=0 இலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகும். அந் நீள் வளையத்திற்கு P இலுள்ள செவ்வன் அந் நீள்வளையத்தை மீண்டும் Q இற் சந்திக்கின்றது. அந் நீள்வளையத்திற்கு P, Q இலுள்ள தொடலிகள் T இற் சந்திக்கின்றன. T' இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. இதிலிருந்து T இன் ஒழுக்கு b6x2 + aby2 = (a2-b2) x2y2 என்னும் வளையி எனக் காட்டுக.
+2
|2
= 1 என்னும் நீள்வளையத்திற்கு (a கோசை 6, b சைன் 9)
82 +
X 2
என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாட்டைக் காண்க; P, Q என்பன -
= 1 என்னும் நீள்வளையத்திலுள்ள இரு " 2 5 1 புள்ளிகளாகும். அவற்றின் மையவகற்சி கோணங்கள் முறையே 6, (எ-0) ஆகும். நீள்வளையத்திற்கு P இலுள்ள செவ்வன் ஆள் கூற்று அச்சுக்களை L,M இற் சந்திக்கிறது. LM இன் நடுப்புள் ளிக்கூடாகச் செல்வதும், உற்பத்தியைக் Q உடன் இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாக உள்ளதுமான 1 என்னும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. Q இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் 1 என்னும் கோடு 25x2 +9y2-=64 என்னும் நீள்வளையத்தைத்
தொடுமென நிறுவுக . 10. ஒரே வரிப்படத்தில் x2 + y2 = a2 என்னும் வட்டத்தையும்
x2 y 2 _
{2
22 + = 1
+ = 1, a> b40 என்னும் நீள்வளையங்களையும் காண்க. P, Q, R என்பவை முறையே இம்மூன்று வளையிகளிலுள்ள மாறும் புள்ளிகளாகும். இப்புள்ளிகளானவை, RP ஆனது X- அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயும். QP ஆனது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயும் இருக்கும் வண்ணம் ஒரே காற்பகுதியிற் கிடக்கின்றன. இந்நீள் வளையங்களிற்கு Q R ஆனவற்றிலுள்ள செவ்வன்கள் இடை வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு x2 +y2=(a+b)2 என்னும் வட்ட மாகுமெனக் காட்டுக.


Page 25
-- 44 -
y2
x2ா.
5 + 5 = 1 என்னும் நீள் வளையத்தில் '6', '4' ஐத் தொடுக்கும்
நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க, -
P, Q, R, S என்பன நீள்வளையத்தில் உள்ள புள்ளிகள். அவற்றின் மையவகற்சிக் கோணங்கள் முறையே 1, 7 - 3, 4 - 3, 4 +2 ஆகும். நாண் RS, PQ இலுள்ள தொடலிகளுக்கு சமாந்தரம் எனக் காட்டுக. R, S இலுள்ள தொடலிகள் PQ இல் வெட்டு கின்றன எனக் காட்டுக.
12. நீள் வளையத்தில் உள்ள புள்ளிகள் P '0', Q '8' ஆகியவற்றைத்
தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. நாண் PQ, x2 +y2-=-=t2 ஐத் தொடுகின்றது. P,Q இல் நீள்வளை யத்துக்குக் கீறப்பட்ட தொடலிகளின் வெட்டுப்புள்ளி.
4 + 64 = 2 இல் கிடக்கிறது எனக் காட்டுக
13. புள்ளி P (1, 1), நீள் வளையம் b2x2-a2y2=a2b2 இற் கிடக்கிறது,
இங்கு a>b, p இலுள்ள தொடலி x- அச்சை Q இலும் y- அச்சை R இலும் சந்திக்கிறது. 0 ஆள்கூற்றச்சின் உற்பத்தி a இன் உறுப்புக்களின் 20, OR இன் நீளத்தைக் காண்க.
நீள்வளை யத்தின் அரை பேரச்சை விட்டமாகக்கொண்டு கீறப்படும் வட்டம் நீள்வளையத்தை L, M இற் சந்திக்கின்றன. a இன் உறுப்புக்களில் OL (அல்லது OM) இன் நீளத்தைக் காண்க.
14. 4x2 9y2 = 36 என்னும் நீள்வளையமும், 4x2-y2=4 என்னும்
அதிபரவளைவும் ஒரே குவியங்களையுடையன என்றும் இரண்டும் செங்கோணங்களில் வெட்டுகின்றன என்றும் நிறுவுக. இரண்டு கூம்புகளும் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டையும் காண்க.
15.
ஒரு நீள் வளை யத்தின் பேரச்சு 2a, சிற்றச்சு 2na, இங்கு n-1: ka ஐ ஆரையுடைய ஒரு வட்டத்தின் மையம், நீள் வளையத்தின் ஒரு குவியத்தில் இருக்கிறது k (2-k)> n2 எனத் தரப்படின் வட்டமும் நீள்வளையமும் இரண்டு மெய்யான புள்ளிகளில் வெட்டும் என நிறுவுக. நீள்வளையத்திற்குள் உள்ள வட்ட வில் லின் நீளத்தையும் காண்க. வட்டமும் நீள்வளையமும் செங்குத்தாக வெட்ட இயலாதெனக் காட்டுக.

- 45 -
16.
x2 y2
5 + , = 1 (a>b) நீள்வளையத்திற்கு புள்ளி (a கோசை 0, b சைன் 9) இலுள்ள தொடலி நீள்வளையம் a2x2 +b2y2=a4ஐ P, Q இற் சந்திக்கின்றன. P Q இன் நீளம் (a+ சைன் 2 (6) + b4 கோசை 2 0) PQ2 = 4a4 (a4_b4) சைன்2 0 (a2 சைன் 2 0+b2 கோசை 2 (0) ஆம் தாப் படுமெனக் காட்டுக. a2 (2b2 ஆயின், 0=0 அல்லது 7 ஆகும்போது, PQ இழிவென்றும் 0=1/2 அல்லது 3/2 7 ஆகும்போது PQ உயர்வென்றும் காட்டுக.
17.
x2 1 y? நீள்வளையம் ,, +
22 a இன் குவியம் S =P: (a கோசை 4,
b சைன் 7) நீள்வளையத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி P இலுள்ள தொட லிக்கும் SP இற்குமிடையிலுள்ள கோணம்.
தான் -1[(1-e2) 2/e சைன் 1] என நிறுவுக. இங்கு e என்பது மையவகற்சித் திறன் S' என்பது ம ற் றை ய குவியமாகவும், P இலுள்ள தொடலி X- அச்சை T இலும் சந்திப்பின் , ST:S'T = TP:S'P என நிறுவுக.
18.
bx2 -ay2 = a2b2 ஒன்றை நீள்வளையத்திற்குச் சார்பாக , 1x+my=1 என்ற கோட்டின் முனைவு (Po10) P இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. வரையும் நீள் வளையம் தொடுவதற்குரிய நிபந்தனையையும் உய்த் தறிக. அல்லது வேறு வழியால் காண்க. 0 என்பது மேலேயுள்ள நீள்வளையத்தின் மையமாகும். M உம் N உம் P இன் முனைவுக்கு 0 இலும் P இலும் இருந்துள்ள் செங்குத்துக்களின் அடிகளாகும். OM, PN = ) ஆயின், முனைவு .
25 + 5-- = 1 என்ற நீள் வளையத்தைத் தொடும் எனக்
காட்டுக. இங்கு ) ஓர் ஒருமை,
19. P (0, 8) ஐ நடுப்புள்ளியாகக் கொண்ட நீள்வளையம்.
b2x2+a2y2=a2b2 இன் நாணின் சமன்பாடு,
82 5: எனக் காட்டுக.
2 + 2 =
:


Page 26
- 46
இந்நாணின் முனை (Pole) வட்டம் x2+y2 = a2 இல் இருப்பின், P ஆனது 22b4(x2 +y2) = (b2x2+a2y2) 2 என்ற வளையியில் உள்ளது எனக் காட்டுக. வட்டத்திலுள்ள (a/V 2 , a/V2) என்ற புள்ளிக்கொத்து p என்ற புள்ளியைக் காண்க.
x2
2 +2 = 1 என்ற நீள்வளையத்தில் 0, 4 என்னும் மையவகற்
சிக் கோணங்களையுடைய புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
* கோசை ('') - * சைன் ('*) - கோசை ('=')
(சை
சை
எனக் காட்டுக. இந்நாண் இந்நீள்வளையத்தின் சிற்றச்சை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தைத் தொடுமாயின், நாணின் நீளம் a சைன் (0-ம்) என நிறுவுக.
எண
x2
:5+5=1 என்ற நீள்வளையத்தில் (a + 8) , (a - 9) ஐ
மையவகற்சிக் கோணங்களாகக் கொண்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு, bx கோசை +ay சைன் w=ab கோசை 8 எனக் காட்டுக. இந்நாண் யாதுமொரு குவியத்தினூடாகச் சென்றால், இதன் நீளம் 2a சைன் ? எனக் காட்டுக.
x2 - y2
22. நீள் வளையம் ; +2= 1 இல் 1, 8 ஐ மையவகற்சிக் கோணங்க
ளாகக் கொண்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
--ல்
(3) (1- தான் தான் :)+(2)(தான்./2 +தான் 4)
= 1 + தான் தான் :
Y2
23, நீள்வளையம் + 2 = 1 y அச்சை A, C இலும் ம றை
அச்சை B இலும் வெட்டுகின்றது. A,B, C என்பவற்றிற்கூடா கச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 +y2 +3x-4=0 எனக் காட்டுக.

47
நீள்வளையத்தின் புள்ளி
இல் அமையும் தொடலி
யின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இத்தொடலி வட்டத்தையும்
தொடுமெனக் காட்டுக. 24. x2/a2+y2/b2=1 எனும் நீள்வளையத்தின் (a cos 9, b sin 9) புள்ளி
யில் அமையும் தொடலியின் சமன்பாடு. x coS 6, y sin 0 8+ b
" = 1 எனக் காட்டுக,
நீள்வளையத்தில் P யாதுமோர் புள்ளியாகும் P இல் அமையும் தொடலி ஆள்கூற்றச்சுக்களை Q,R இல் சந்திக்கின்றது. P ஆனது Q R இன் நடுப்புள்ளியாயின் நீள்தளத்தின் சுற்றுருவமாகவும் பக்கங்கள் ஆள்கூற்று அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமாகவும் வரை யப்படும் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தில் P இருக்குமெனக் காட் டுக. Q R இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க. x2/a2 + y2b2 = 1 என்னும் நீள்வளையத்தின் புள்ளி P (a cos 0, b sin 6) வில் அமையும் செவ்வனின் சமன்பாடு, ax sin 0 - by cOS 6 = (a2-b2) sin 0 cos 0 எனக் காட்டுக. x2/25 + y2/, = 1 என்னும் நீள்வளையத்தின் புள்ளி Q வில் அமையும் செவ்வன் ஆள்கூற்றச்சுக்களை முறையே A B இல் சந்திக்கின்றது. Q மாறும்போது AB இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு இன்னொரு நீள் வளைய மாகுமெனக் காட்டுக. இவ்விரண்டாம் நீள்வளையத்தின் குவியங்களின் ஆள்கூறுகளைத் தருக. y= mx+c எனும் கோடு x2 +y2 = 16 எனும் நீள்வளையத்தை P, Q வில் வெட்டுகின்றன. P Q வின் நடுப்புள்ளி M இன்
- 4 mc ஆள்கூறுகள் x =
' என நிறுவுக. 4m2-1 )
25.
26.
4m2 1 1 , 3 -
நாண் P,Q (2,0) எனும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லின், Mx2+4y2=2x எனும் நீள்வளையத்தில் இருக்கும் எனக் காட்டுக. இரு நீள்வளை யங்களையும் ஒரே படத்தில் கீறுக.
x2
21.
= 1 எனும் நீள்வளை யத்தின் குவியங்கள் S, S' ஆகும். நீள்வளையத் தில் யா துமோர் புள்ளி P இலிருந்து வரையப்பட்ட
82 } }2
62 \


Page 27
- 48 -
செவ்வனானது SP, S'P என்பவற்றுடன் சம் கோணங்களில் சாய்ந்துள்ளதெனக் காட்டுக."
P இல் அமையும் தொடலிக்கு உற்பத்தி 0 இலிருந்து வரையப் பட்ட செங்குத்தானது, SP ஐ அல்லது நீட்டப்பட்ட S'P ஐ G இல் சந்திக்கிறது. G இன் ஒழுக்கு S ஐ மையமாயும் a ஐ ஆரையாயும் உடைய ஒரு வட்டம் எனக் காட்டுக.
x2)
28. y=mx+c எனும் கோடு -
= 1 எனும் நீள்வளையத்திற்கு
22X92
தொடலியாக அமைய a2m2=02-b2 எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
y=mx +C என்பது
எனும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்வதும்,
8x2 + 3y2 = 35 எனும் நீள்வளையத்திற்கு தொடலியும் எனின்
c=35 அல்லது 35 எனக் காட்டுக.
( 5 ) எனும் புள்ளியில் இருந்து நீள்வளையத்திற்கு வரையப்
படும் தொடலியின் தொடுபுள்ளிகளைக் காண்க.
29.
x2
2 + 2 = 1 எனும் நீள்வளையத்திற்கு P ( a cos 0, 1 sin 9 ) இலான சாய்வைக் காண்க. P இலுள்ள தொடலியும் T இல் சந்திக்கின்றன. 0 உற்பத்தி எனின் OPTQ ஓர் இணைகரம் எனக் காட்டி அதன் பரப்பைக் காண்க. (1) மாற புள்ளி T யின் ஒழுக்கு , a2+2 = 2 எனும் நீள்வளையம் எனக் காட்டுக.
x2
30. Po(xo, yo) என்னும் புள்ளியிலிருந்து S =- +:-
1 = 0
ஒ3X /2
62
என்னும் நீள்வளையத்துக்கு வரையப்படும் இரு தொடலிகளின தும் தொடுகை நாணின் சமன்பாடு. хХo yyо a2 b2 -
- 1 = 0, என நிறுவுக.

49 ---
இதிலிருந்து S -- 0 என்னும் நீள்வளை யத்தின் நாணான 1x-my +n=0 இன் முனைப்புள்ளிகளிலே S=0 எனும் நீள்வளை யத்துக்கு வரையப்படும் இரு தொடலிகளினதும் வெட்டுப்புள்ளி
யைக் காண்க. S=0 என்னும் நீள்வளை யத்தின் ஒரு தொடை நாண்கள் ஒவ் வொன்றும் x2-y2-22-0 என்னும் வட்டத்துக்குத் தொடலி யாகும். இத்தகைய நாண்கள் ஒவ்வொன்றினதும் முனைவுப் புள்ளிகளிலே, இந்நீள்வளையத்துக்கு வரையப்படும் இரு தொடலி களினதும் வெட்டுப்புள்ளியின் ஓழுக்கு. x2, y2 - 1
-- 0 என்னும் நீள்வளையமாகும் என நிறுவுக.
84 |
-- -- -- 1 எனும் நீள்வளையத்திற்கு P (a கோசை 6, bசைன்0) எனும் புள்ளியிலான செவ்வனின் சமன்பாட்டைப் பெறுக.
நீள்வளையத்திற்கு P யிலான செவ்வனானது - X -- அச்சை A யிலும் y-அச்சை B யிலும் சந்திக்கின்றது. AB யின து நடுப் புள்ளியான Qவின் ஒழுக்கானது ஆரம்ப நீள் வளையத்தின் அதே மையவகற்சித்திறனைக் கொண்ட ஒரு நீள்வளையமாகுமெனக் காட்டுக. Pயினது மையவகற்சிக் கோணம் - ஆயின், முதலா
வது நீள்வளையதிற்கு P யிலுள்ள செவ்வனானது, இரண்டாவது நீள்வளையத்திற்கு 2 விலுள்ள தொடலியாகுமெனவும் காட்டுக.
[9
32.
* \ 2 T என்னும் ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து -
என்னும் நீள்வளையத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடலிகள் TP, TO ஆகும். (i) T = (h, k) ஆயின் PQ இன் சமன்பாடு
bx, ky
- +- 3 = 1 ஆகுமெனக் காட்டுக. (i) PO இன் சமன்பாடு 1x+my+1=0 ஆயின் T இன் ஆள்
கூறுகளைக் காண்க.
P யை ஆள்கூறுகளின் உற்பத்தி 0 உடன் இணைக்கும் நேர் கோடானது, மீண்டும் நீள்வளையத்தை R இற் சந்திக்குமாயின், OR ஆனது T0 இற்கு சமாந்தரமாகும் எனக் காட்டுக.
ஆள் 7


Page 28
33. S = - +--- 1 = 0, (a>b>0) எனும் நீள் வளையத்துக்கு
- a2 " b2 அதன் மீதுள்ள (xo ya) எனும் புள்ளியில் உள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. நீள் வளையத்துக்கு வெளியே (x1, y') எனும் புள்ளியில் இருந்து S=0 க்கு வரையப்பட்ட தொடலிகளின் தொடுகை நாண்
- 1 - 0 என உய்த்தறிக.
S-0 என்னும் நீள்வளையத்தின் சிறியச்சை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மேலுள்ள P எனும் புள்ளியில் உள்ள தொடலி நீள்வளையத்தை Q இலும் R இலும் சந்திக்கிறது. நீள்வளையத் துக்கு 0 இலும் R இலும் உள்ள தொடலிகள் T இல் இடை வெட்டுகின்றன. PT நீள்வளையத்தின் பெரியச்சுக்கு சமாந்தரம் என நிறுவுக;
x2 y2
-1=0 எனும் நீள்வளையத்துக்கு P (aகோசைடு, bசைன் (1)
62
எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
P, 4 கோசை (5 + ). 5 சைன் (5 + )) என்பவர்
P, 01 a கோசை
1, b சைன்
என்பவற்
றி லுள்ள தொடலிகள் T எனும் புள்ளியில் இடை வெட்டுகின்றன. 0 என்பது உற்பத்தியாயின் , POQT என்பது ஒரு இணைகரமாகு மெனக் காட்டுக. P ஆனது நீள்வளையத்தின் மீது மாறும்போது, T இன் ஒழுக்கு
= 2 எனும் நீள்வளையமாகும் எனவுங் காட்டுக. a2 ' 62
*2
ஒரு வெளிப்புள்ளி P (h, k) இலிருந்து (3) +(3)°=1இற்கு
வரையப்பட்ட தொடலிகள் PQ, PR ஆகும். Q R இன் சமன்
பாடு -, + = 1 எனக்காட்டுக. QR இன் சமன்பாடு,
Una hx ky
Ix +my =- 1 எனின் P இன் ஆள்கூறுகளை 1, m, n இற் தருக.
Q இனூடாகச் செல்லும் விட்டத்தின் மறுமுனை Q' ஆகும். Q'R ஆனது P0 இற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக. 0 உற்பத் தித்தானமாகும்.

-- 51
36.
b2x2+a2y2 = 82b2 இல் புள்ளிகள் 'a', 'e' ஐ இணைக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இந் நாண் x2 +y2=r2 எனும் வட்டத் தைத் தொடுகின்றது. இந்நாணின் முனைகளிலுள்ள தொடலி களின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு x2/a4-y2/b4 = எ ன க் காட்டுக.
37.
நீள்வளையம் b2x2 +a2y2-a2b2 இற்கு புள்ளி A(a கோசை 0, b சைன் 9) இலுள்ள செவ்வன் X --அச்சை M இலும், y - அச்சை N இலும் சந்திக்கின்றது. O உற்பத்தித் தானமெனின் முக்கோணி OMN இன் பரப்பைக் காண்க. இப்பரப்பின் அதி உயர் பெறு மானம் என்ன ? முக்கோணி OMN இன் மையப்போலியின் ஒழுக்கு 9a2x2 ட 9b2y2= (32-b2)2 எ ன் னு ம் நீள்வளையமெனக் காட்டுக.
+2
நீள்வளையம் ;
1 இன் நாண் AB இன் நடுப்புள்ளி M (a, 9) ஆகும். AB இன் சமன்பாடு, ". ( X -1 ) - (y-e) = 0 எனக் காட்டுக.
AB ஆனது X - அச்சை P இலும், y - அச்சை 0 இலும் வெட்டுகின்றது. ஒ+, ஒரு மாறிலி எனின் (0 உற்பத்தி) AB இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க.
- a2 b2
39.
நீள்வளை யம் b2x2--a2y2=a2b2 இற்குக் கீறப்பட்ட ஒரு செங்குத் தான தொடலிகளின் வெட்டுப் புள்ளியின் ஒழுக்கு ஒரு ஒருமைய வட்டமெனக் காட்டுக.
T என்பது இவ்வட்டத்தில் ஒரு புள்ளி. 7 இலிருந்து நீள் வளையத்திற்குக் கீறிய இரு தொடலிகள் நீள்வளையத்தை முறையே A, B இலும், வட்டத்தை முறையே C, D இலும் சந்திக்கின்றன. முக்கோணி TCD இன் அதிஉயர் பரப்பு a2+b2 எனவும், குறைந்த பரப்பு 2ab எனவும் காட்டுக.
40.
ஒரு வெளிப்புள்ளி T (h, k) இலிருந்து நீள் வளையம் b2x2 + a2y2 = a2b2 இற்குக் கீறிய தொடலிகளின் தொடுகை நாண் PQ இன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
PQ இன் நடுப்புள்ளி M (p, q) எனின், PQ இன் சமன் பாட்டை p, q இற் தருக.


Page 29
52
பின்வரும் வரைகளில் M இன் ஒழுக்கைக் காண்க. (a) T ஆனது, கோடு x+y+1=0 இல் கிடக்கின் றது. (b) P0 ஆனது புள்ளி (2, 3) இனூடாகச் செல்கின்றது. (c) PQ இன் படித்திறன் ஒரு ஒருமை m . (d) PQ இன் செங்குத்துச் சமகூறாக்கி புள்ளி (a, 23) இனூடாகச்
செல்கின்றது.
41. a+b (a+b) நீளமுடைய கோலொன் றின் முனைகள் P, 0 என்
பவை முறையே x, y அச்சுக்களின் வழியே வழுக்கிச் செல்கின் றன. M என்பது PQ இல் PM=b, MQ=a ஆகுமாறு ஒரு புள்ளி யாகும். M இன் ஒழுக்கு ஒரு நீள்வளையமெனக் காட்டுக. அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
செவ்வகம் OPQR ஆனது பூர்த்திசெய்யப்படுமாயின் (0 உற் பத்தித்தானம்) இந்நீள்வளையத்திற்கு M இலுள்ள செவ்வன் MR எனக் காட்டுக.
இது துணைகொண்டு, ஒரு நீள்வளையத்திற்கு ஏதாவதொரு புள்ளி M இலுள்ள செவ்வன் மையத்தினூடாகச் செல்லுமாயின் P ஆனது நீள்வளையத்தின் அச்சுக்களின் முனைகளில் இருக்கவேண்டும் மெனக் காட்டுக.
நீள்வளையம் b2x2+a2y2-a2b2 இற்கு புள்ளி P இலுள்ள தொடலி புள்ளிகள் A (a, 0), A1 (-a, 0) இலுள்ள தொடலிகளை முறையே T, T1 இற் சந்திக்கின்றது. (1) AT - AI T1 = b2 (ii) T T1 ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டம் X- அச்சில் இரு
நிலையான புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்றது எனக் காட்டுக.
43:
1x+my-n =C என்னும் கோடு b2x2 -ay2-42b2 என்னும் நீள் வளையத்திற்கு ஒரு தொடலியாயின் a212 + 52 m2 - n2 எனவும் இக்கோடு, y2=4Px என்னும் பரவளைவிற்கு ஒரு தொடலியாயின் pm2 = In எனவும் காட்டுக.
ஒரு நேர்கோடானது x, y அச்சுக்களை முறையே M, N இற் சந்திக்கின்றது. 3OM2+40N2=OM2 - ON2 ஆகுமாறு கோடுMN அசைகின்றது. இக்கோடு ஒரு நிலையான நீள்வளையத்தைத் தொடு கின்றதெனக் காட்டுக. இதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இந்நீள்வளையத்தினதும், பரவளைவு y2 = 4x இனதும் பொதுத் தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

53
4.
ஒரு நிலையான புள்ளி Q (X0', yo) இனூடாகச் செல்லும் நேர் கோட்டின் மீதுள்ள ஏதாவதொரு புள்ளி P இன் ஆள்கூறுகளை ('x, + கோசை 9, y0 +Y சைன் 6) என்னும் வடிவில் இடலா மெனக் காட்டுக.
P ஆனது நீள்வளையம் b2x2 - a2y2 = a2b2 இல் கிடத்தற்கு வேண்டிய நிபந்தனையை 1 இலுள்ள ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகப் பெறுக.
இது துணைகொண்டு, Q இனூடாகச் செல்லும் படித்திறன் தான் 6 உடைய நேர்கோடொன்று நீள்வளையத்தை H, K இல் (HK இன் நடுப்புள்ளி Q ஆகுமாறு) சந்தித்தால்,
[ 0 = - 30 b2 ,
' எனக் காட்டுக.
Voa2 எனக் .
(xo, y) இல் சமகூறிடப்படும், நீள்வளையத்தின் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
45.
(a கோசை a, b சைன் . ), ( a கோசை 8, b சைன் B) என்னும் புள்ளைகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு. * கோசை " + - சைன் "= கோசை ".
எனக் காட்டுக.
x = a (1 - t2) / (1 - t2), y = 2bt //(1+ t2) என்னும் நீள் வளையத்தில் t, , t) என்னும் சாராமாறிகளையுடைய புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
- (1-t, t2) + 2 (t, + t,) = 1 + t, t2 என உய்த்தறிக.
1ெ.
இக்கோடு x2 +y2 =b2 என்னும் வட்டத்தைத் தொடுமாயின்,
e (1 -t, t2) = - (t, - t2) எனக் காட்டுக. இங்கு b2 = a2 (1-62 ) ஆகும்.
46.
E, E1 என்னும் இரு நீள்வளையங்கள் ஒவ்வொன் றின து குவியங் களும் மற்றையதின் சிற்றச்சின் முனைகளில் உள்ளன. (1) E, E' என்பவற்றின் பேரச்சுக்கள் சமன். (ii) E, E' இன் மையவகற்சித் திறன்கள் முறையே 8, e' எனில்
e2 + e/2 = 1, (iii) E, E' இன் பொதுத்தொடலிகள், E இன் பேரச்சுடன்
சைன் - 'e என்னும் கோணமமைக்கின்றன எனக் காட்டுக>


Page 30
-- 54 ---
47, CD, EF என்பன நீள்வளையம் b2x2 - a2y2 - a2b2 இன் இரு
மாறும் விட்டங்கள் C, E என்பனவற்றின் மையவகற்சிக் கோணங் கள் முறையே 8, ¢ எனின் D, F இன் மையவகற்சிக் கோணங் களைக் காண்க.
C இலுள்ள தொடலி OE இற்குச் சமாந்தரமாயின் (0 உற் பத்தித்தானம்) , 0, 0 என்பன /2 இன் ஒற்றை மடங்கின் பெருக் குத் தொகையால் வித்தியாசப் படுகின்றனவெனக் காட்டுக. CE இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு.
4b2x2 - 4a2y2 = a2b2 எனக் காட்டுக. CD2 - EF2 == 4 (a2 - 62) எனக் காட்டுக.
43. நீள்வளையம் b2x2 + a2y2 - a2b2 இன் பேரச்சினதும், சிற்றச்
சின தும் முனைகள் முறையே A, B ஆகும். P என்பது நீள்வளை யத்தில் ஒரு மாறும் புள்ளியாயின் முக்கோணி PAB இன் நிமிர் மையத்தின் ஒழுக்கு ஒரு நீள்வளையமெனக் காட்டுக.
4).
b2x21a2y2=a262 என்னும் நீள்வளையத்தின் ஒரு விட்டம் PQ ஆகும். நீள்வளையத்திற்கு P இலுள்ள செவ்வன் X, Y அச்சுக் களை முறையே H, K இற் சந்திக்கின்றது. இணைகரம் OHRK பூர்த்தியாக்கப்படுகிறது. (0 உற்பத்தித்தானம்) Pஅசையும்போது ( 1 ) QR இன் நடுப்புள்ளியாயின் ஒழுக்கு ஒரு நீள்வளையமெனக்
காட்டுக. (ii) PH/ PK - b2 எனக் காட்டுக. (iii) R இன் ஒழுக்கைக் காண்க. நீள்வளையம் b2x2+a2y2-a2b2=0 இல் மையவகற்சிக் கோணங் கள் 0 - 3, 4 -- 3 ஆகவுள்ள புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு bx கோசை .--ay சைன் w=ab கோசை B எனக் காட்டுக.
இது ஒரு குவிய நாணாயின் அதன் நீளம் 2a சைன் 26 எனக் காட்டுக.
F0,
51. நீள் வளையம் ('x/a )2 + (y/b)2 = 1 இன் மையத்திலிருந்து புள்ளி
P[0] இலுள்ள தொடலிக்கு வரைந்த செங்குத்தின் அடி N இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
- N இலிருந்து நீள்வளையத்துக்குக் கீறிய மறு தொடலியின் தொடுபுள்ளி Q [4] ஆகும்.
a2 தான் 0 = b2 தான் ( 0 + $ ) / 2 என நிறுவுக.

- 55 --
Q இனூடாகச் செல்லும் விட்டத்தின் மறுமுனையினூடாக P இலுள்ள செவ்வன் செல்கின்றதெனக் காட்டுக.
ஒரு வெளிப்புள்ளி T (h, k) இதிலிருந்து நீள்வளையம் b2x2 +a2v2 = a2b2 இற்கு இரு தொடலிகள் TP, TQ கீறப்பட்டுள்ளன. 0 உற்பத்தித் தானமாயின் நாற்கோணி OPTQ இன் பரப்பு V (b2h2 + a2k2 - a2b2) எனக் காட்டுக.
PQ ஆனது நீள்வளையம் 9 (b2x2+a2y2) =a2b2 ஐத் தொடு மாயின் T இன் ஒழுக்கு 62x2 +a2y2-9a2b2 என்னும் நீள்வளைய மெனக் காட்டுக.
இம்மூன்று நீள்வளையங்களையும் ஒரே அச்சு குறித்துக் கீறிக் காட்டுக. 53. நீள்வளையம் b2x2 -a2y2=a2b2 இல் P ஒரு மாறும் புள்ளி, இந்
நீள்வளையத்தின் பேரச்சு AA1 ஆகும். சிற்றச்சின் ஒரு முனை B ஆகும். P இலுள்ள தொடலிக்குச் சமாந்தரமான விட்டம் PA, PA1 ஐ முறையே X, Y இற் சந்திக்கின்றது. முக்கோணி BXY இன் பரப்பு P இன் நிலையிற் தங்கியிருக்கவில்லையெனக் காட்டுக. நீள்வளையம் b2x2 +-a2y2=a2b2 இல், மையவகற்சிக் கோணங்கள் «, 8 ஆகவுள்ள புள்ளிகளை இணைக்கும் வரைபின் சமன்பாடு ,
54.
(1- தான் தான் 9) +
தான் --- தான்
= 1+ தான் , தான் :
எனக் காட்டுக.
இந் நீள்வளையத்தின் ஒரு நாண் PQ ஆன து (m, a, 0) என் னும் புள்ளியினூடாகச் செல்கிறது. சிறிய அச்சில் P [a]. இன் ஆடிவிம்பம் R ஆகும். RQ இன் சமன்பாடு.
- (1 - m sin t) + " shin 01. = m - coS . எனக் காட்டுக.
55. P CP1, QCQ1 என்பவை, நீள்வளையம் b2x2 + 22y2 = a2b2 இன்
இரு உடன் உடன்புணரி விட்டங்கள் குவியங்கள் S, S1 இலிருந்து முறையே PCPI QCQ1 இற்குக் கீறிய செங்குத்குக்களின் வெட். டுப் புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க. நீள்வளையம் b2x2 - a2y2=a2b2 இலுள்ள புள்ளியொன்றின் ஆள்
1-2 2 bp
என இடலாமெனக் காட்டுக.
56.
கூறுகளை (a +2' 1 + p2/


Page 31
56 --
பரமானங்கள் p, q உடைய புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இதிலிருந்து முதலாவது புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இது துணைகொண்டு (h, k) என்னும் புள்ளியினூடாகச் செல்லும் தொடலிகள்,
h, p2 (1+ )--PA + 1- " = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டால் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
இந் நீள்வளையத்திற்குக் கீறிய ஒரு மாறும் தொடலி, வரை கள் x = +1 ஐ M, N இற் சந்திக்கின்றது. M, N இலிருந்து நீள்வளையத்திற்குச் கீறிய மறுதொடலிகள் L இற் சந்திக்கின் றன. IL இன் ஒழுக்கைக் காண்க.
57
நீள்வளையம் b2x2 + a2y2 - a2b2 இற்கு புள்ளிகள் P [07, Q [4] இலுள்ள தொடலிகளின் வெட்டுப்புள்ளி R[a கோசை + (0-8)// கோசை ; (0-6), b சைன் - (0-ம்) / கோசை ( 0-ம் ) எனக் காட்டுக .
0-ம் என்பது ஒருமையாக இருக்குமாறு P, Q அசையுமாயின் R இன் ஒழுக்கைக் காண்க.
4 - 360 ஆயின், R இன் ஒழுக்கைக் காண்க.
58. நீள்வளையம் b2x2+a2y2=ia2b2 இற்கு புள்ளி P இலுள்ள தொடலி
X, Y அச்சுக்களை முறையே A, B இற் சந்திக்கின்றது. Pஇலுள்ள செவ்வன் X, Y அச்சுக்களை முறையே C, D இற் சந்திக்கின்றது. 0 நீள்வளையத்தின் மையமாகும். நிறுவுக: (a) OA • 0C, PC/ PD என்பவை P இன் நிலையிற் தங்கியிருக்க
- வில்லை. (b) AD ஆனது BC ற்கு செங்குத்து. (c) CD இன் நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு, தந்த நீள்வளையத்தில்
மையவகற்சித் திறன் உடைய ஒரு நீள்வளையம்,

பின்னிணைப்பு
ஆள்கூற்று கேத்திர கணிதம் அலகு 1 நேர் கோடுகள்
37. ax-by-+ C-0 எனும் கோட்டில் (X0, yo) என்னும் புள்ளியின்
விம்பம் (xo+at, yo+bt) என நிறுவுக,
இங்கு t - -2(axo+by+C)
a2+b2 1,: 3x-4y+5=0 எனும் கோட்டில் 1,: 2x-y +5=0 எனும் கோட்டின் விம்பத்தைக் காண்க.
25 சதுர அலகுகளைப் பரப்பள வாகவுடைய சாய்சதுரமொன்று அதன் அடுத்துள்ள இருபக்கங்கள் 1, இலும் 1 இலும் கிடக்கு மாறு வரையப்படுகிறது. நான்கு இயல்தகு சாய்சதுரங்கள் உள்ளன எனக் காட்டுக.
1, வை ஒரு மூலைவிட்டமாகவுடைய சாய் சதுரங்களின் பக்கங் களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
A (x,,y,), A2(x),y2) என் னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை உட்புறமாகவும் வெளிப்புறமாகவும் m, :m, எனும் விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள் முறையே (m,x2 - m,x m192+mayi) (m,X2-m,x, m, V2 - may1) ( m, -+ m2 9 m, +m, /> ( m, - m, 7 m-m, ) என நிறுவுக. A(-2, 6) B(1, -6) என்னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு உட்புறமாகவும், வெளிப்புறமாகவும் 2 : 1 எனும் விகிதத்தில் x, y என்னும் புள்ளிகளாற் பிரிக்கப்படுகிறது. P என்பது 4 xpy ஒரு செங்கோணமாகுமாறும் A PAB யின் பரப்பளவு 24 அலகு கள் ஆகுமாறுமுள்ள ஒரு புள்ளியாகும். P. P2, Ps, PA என் னும் நான்கு நிலைகளில் இரண்டு P,; P, (என்க) நிறையெண் ஆள்கூறுகளை உடையதாகும் என நிறுவுக...
* AP, B, * AP,B என்பவற்றின் இரு சம கூறாக்கிகளின் சமன் பாடுகளைக் காண்க. ஆள். 8


Page 32
58
39. ax + by + C --- 0 எனும் நேர்கோட்டில் (xo, yo) ஒரு புள்ளி
எனின், இக்கோட்டிலுள்ள யாதாயினும் ஒரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகளை (x0+bt, yo-at) என்னும் அமைப்பில் தரலாம் என நிறுவுக. இங்கே t ஒரு பரமானமாகும். 3x+4y-24-0 எனும் நேர்கோட்டில், P எனும் புள்ளி உற்பத் தியிலிருந்து தனது தூரத்தின் பருமன் P உம் A(3, 1) B(-1, 3), ஆகிய புள்ளிகளும் அமைக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவினது பருமனுக்குச் சமனாக உள்ளவாறு அமைந்துள்ளது. P க்கு இரு நிலைகள் உண்டு எனவும் இதில் ஒரு நிலை P, எனக் கொண்டால் கோணம் PAB ஒரு செங்கோணம் என்றும் நிறுவுக. PABQ ஒரு செவ்வகமாக அமையு மெனின் நான்காவது உச்சி
யான Q இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
40. (x0, y) எனும் புள்ளியினூடாகச் செல்வதும் m எனும் படித்தி
றனையுடையதுமான நேர்கோட்டின் மீதுள்ள யாதாயினுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (30+t, yo+mt) எனும் வடிவத்தில் எடுத்துரைக்கப்படலாம் எனக் காட்டுக. இங்கு t ஒரு பரமான மாகும். A, C என்பன முறையே (5,-1) (-2, 0) என்னும் புள்ளிகளாயின், AC இன் செங்குத்து இருசம் கூறாக்கி மீதுள்ள P எனும் யாதாயினுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை மே லே காட்டப்பட்டவாறு t எனும் ஒரு பரமானத்தில் எடுத்துரைக்க. PA யின தும் PC யினதும் படித்திறன்களை t யிற் காண்க. இதி லிருந்து A,B,C,D என்பன சதுரமொன்றின் ஒழுங்காக எடுக்கப் பட்ட உச்சிகளாக அமையும் வண்ணம் B, D என்னும் இரு புள்ளி களின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. A,B',C,D' என்பன பரப்பளவு 50 சதுர அலகுகளாக இருக்கும் வண்ணம் அமைந்தவொரு சாய்சதுரத்தின் ஒழுங்காக எடுக்கப் பட்ட உச்சிகள் எனின் B' இனதும் D'இன தும் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
a, X -+by+C1---0 , apx+b,y--C2===0 என்னும் நேர்கோடுகளுக்கி டையிலான கோணங்களின் இரு சம கூறாக்கிகள் இரண்டினதும்
a, X+b,y+C, - a2X--by-C, சமன்பாடுகள் -
- எனக் காட்டுக. - \/a, 2+b, 2
Va22-b,2 (3, 13) (0, 10) (6,-8) என்னும் புள்ளிகள் முறையே முக் கோணி ABC இன் A, B, C என்னும் உச்சிகளாகும்.
(a) LBAC இன் இரு சம கூறாக்கிகள் இரண்டினதும் சமன்பாடுகளைக்
காண் க.

59
(b) இந்த இருசம் கூறாக்கிகளுள் எது A யிலுள்ள அகக் கோணத்தை
இரு கூறிடுகின்றது எனத் துணிக.
(c) AB யின் நீளத்தையும் AC இன் நீளத்தையும் காண்க.
(d) BP: PC-=AB:AC ஆகுமாறு BC மீதுள்ள் P என்னும் புள்ளியின்
ஆள் கூறுகளைப் பெறுக.
(6)
LBAC இன் உள்ளிரு சம கூறாக்கி மீ து P அமைந்துள்ளது எனக் காட்டுக..
அலகு 2. வட்டங்கள்
42.
2gg' - 2ff' -C +c' எனின், மட்டுமே x2 -+ y2-2gx -+2 f y+C = 0, x2 -y2 +2g' x+ 2f'y+c'-0 என்னும் வட்டங்கள் நிமிர் கோணங் களில் இடைவெட்டும் என நிறுவுக. சோடிகளாக எடுக்கும் போது
x2+y2--6y-1=0 x2 +y2--2x-2y+1=0
x2 -y2 -6x-4y-21=0 எனும் வட்டங்களின் மூன்று பொது நாண்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. அவற்றின் இடைவெட்டுப் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளைக் காண்பதன் மூலம் அவை ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கும் எ ன க் காட்டுக. தரப்பட்ட மூன்று வட்டங்களையும் ஒவ்வொன்றாக நிமிர் கோணங்களில் வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைத் துணிந்து அதன் மையம், மேலேயுள்ள சந்திக்கும் புள்ளியுடன் பொருந்தும் எனவும் வாய்ப்புப் பார்க்க.
- 43. (f2-x,2-2x1g-c) m2 + 2(x, +g) (y, +f) m + (g2 - y, 2- 2y;
f-c) = 0 எனின்
y-y-m(x-x,)-0 என்னும் நேர்கோடு x2 +y2 - 2gx+2fy-C =0 என்னும் வட்டத்திற்கு ஒரு தொடலியாகும் என நிறுவுக. S'Ex2+y2+4x+6y-2- 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இரு சம கூறிடும் வட்டமொன்றின் பொதுச் சமன்பாடு
S=x2+y2-+2\x + 2uy +- V==-0 எனும் வடிவில் எழுதப்படலாம் என நிறுவுக. இங்கு ), 11 என்பன பரமானங்களும் v=4)+ 6/u-28 உம் ஆகும்.


Page 33
-- 60 -
P{1, 3) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் S-0 என்னும் வட்டத்திற்கான தொடலிகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனின் S==3 என்னும் மையத்தின் ஒழுக்கு x2-y2 -10x +18+ 46 =0 ஆகுமெனக் காட்டுக.
வேறுவேறான சமாந்தரமற்ற மூன்று நேர்கோடுகளின் சமன் பாடுகள் U, = 1,x + my + n, - 0, 0,=1,x + may+n, = 0, U;=1;x-mgy +n3-=-=0 ஆகும்.
}, u1+22u2+All:-0 என அமைய 1, 2, 3 ஆகிய பூச்சியமற்ற ஒருமைகள் உண்டு எனின் இந்த மூன்று நேர்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்குமென நிறுவுக.
S=x2+y2 + 2gx+ 2fy +C=0 S'Ex2-y2 - 2glx+ 2fly +c1-0 ஆகிய வட்டங்கள் நிமிர்கோ ண வட்டங்களாக அமைவதற்குத் தேவையான தும் போதுமானது மான நிபந்தனை ஒன்றைத் தருக. S'-0, S"=x2+y2 +2g"x+2f"y+c"-0 ஆகிய இரு வட்டங் களுக்கும் வட்டம் S==0 என்பது நிமிர்கோணத்திற்குரியதாக அமையின் வட்டம் S-0 இனது மையம் S'-S"-0 என்னும் நேர்கோட்டில் அமையும் என நிறுவுக. இதிலிருந்து பின்வரும் வட்டங்கள் ஒவ்வொன்றையும் நிமிர் கோணமாக இடைவெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
S (1) = x2 + y2 + 5x - 5y - 9 = 0 S (2) = x2 + y2 - 2x + 3y - 7 = 0 S (3) = x2 - y2 + 7x - 9y -+ 29 - 0
45. யாதாயினுமோர் நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது. P_0 ஆகவும்
0<< 2ா ஆகவும் இருக்க X கோசை 1.--y சைன் 01=P எனும் வடிவத்தில் எடுத்துரைக்கப்படலாம் எனக் காட்டுக.
இதிலிருந்தோ, வேறுவிதமாகவோ 1x + my +1 = 0 என்னும் கோடானது S=x2-y2+2=0 என்னும் வ ட்ட த் து க் கு ஒரு தொடலியாவதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனையைக் காண்க.
t, , t) என்பன y-- அச்சுக்கு சமாந்தரமாக S - 0 எனும் வட்டத்துக்கு வரையப்பட்ட இரு தொடலிகளாகும். உற்பத்தி 0 இற்கூடாகச் செல்கின்றவையும் 0 விலே செங்கோணமொன்றை

- 61 -
அமைக்கின் றவையுமான OT, , 01, எனும் இரு நேர்கோட்டுத் துண்டங்கள் t1 , t2 எனும் தொடலிகளை முறையே T, இலும் T, இலும் சந்திக்கின்றன. S = 0 என்னும் வட்டத்துக்கு T, 1, என்பது ஒரு தொடலியாகுமென நிறுவுக.
அலகு 3 பரவளைவுகள்
39. 1x+my+1=0 எனும் நேர்கோடு am2+312 + In =0 எனின் மட்
டுமே y2-4a (B-x) எனும் பரவளைவைத் தொடும் என நிறு வுக. இங்கு a, 9 என்பன ஒருமைகள். புள்ளிகள் P(ap2, 2app) Q (aq2, 2aq) என்பன PQ ஒரு நிலைத்த புள்ளி (a, 0) ஊடே செல்லுமாறு பரவளைவு S=y2-4ax=0 மீதுள்ள மாறும் புள்ளி களாகும். P யிலும் Qவிலுமுள்ள செவ்வன் கள் S=0 ஐ மீண் டும் முறையே R (ar2, 2ar), T(at2, 2at) இற் சந்திக்கின்றன. ( 1 ) Pq= -1
(ii) P+q = r-t (iii) 2 (r+ t)2 - rt+9 - 0 எனக் காட்டுக
RT என்பது பரவளைவு y2 - 32a (9a-- x) ஐத் தொடும் 57 ன உய்த்தறிக.
40.
S=y2-4ax-0 எனும் பரவளைவிற்கு (at2, 2at) என்னும் புள்ளி யிலுள்ள செவ்வனின் சமன்பாடு.
y+tx-2at-at3=0 எனக் காட்டுக. S==0 எனும் பரவளை விற்குப் புள்ளிகள் P, (at,2, 2at,), P2 (at,2, 2at,) இலுள்ள செவ்வன்கள் P: (at;2, 2at,) என்னும் புள்ளியில் இடை. வெட்டுகின்றன. (1) t, , t, என்பன T2 +t:T+2-0 என்னும் சமன்பாட்டைத்
திருப்திப்படுத்தும் எனவும், (2) நாண் P, P, இனதும், 5-0 இற்குப் புள்ளி P: இலுள் ள
தொடலியினதும் இடைவெட்டுப் புள்ளி
y2 (3x+4a) + a (4a + 2x )2 =0 என் னும் வளையியிற் கிடக்கும் எனவும் நிறுவுக்.
41. P (at2, 2at) எனும் புள்ளியில் SEy2-4ax-0 எனும் பரவளை
விற்கு வரையப்பட்ட செவ்வனின் சமன்பாடு y-t: x--2at-at-3 =0 என நிறுவுக. P(at, 2, 2at,), P) (at22, 2ax.,)


Page 34
62 ----
P3 (at 2, 2ats) ஆகிய புள்ளிகள் பரவளைவில் இப்புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்கள் R (xo, yo) எனும் புள்ளியில் சந்திக்கும் வகையில் அமைந்துள்ளன. (அ) t1 + t2 + t;- 0 என்றும் (ஆ) P, PP: எனும் முக்கோணியின் சுற்று வட்டம் பரவளைவின்
உச்சியினூடாகச் செல்கின்றது எனவும், இதன் மையம்
A0 y0
a --
| என்றும் நிறுவுக.
S=y2--4ax-0 எனும் பரவளைவிற்கு அதன் மீதுள்ள (x1 , y1) எனும் புள்ளியிலான தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (x), yo) எனும் வெளிப்புள்ளியிலிருந்து S-0 எனும் பரவளை விற்கு வரையப்படும் தொடலிகளின் து தொடுகை நாணின் சமன்பாடு yyc=2a (x+x0) என உய்த்தறிக. T (X, 0), 2-0 எனும் புள்ளியிலிருந்து S=0 எனும் பரவளை விற்கு வரையப்படும் தொடலிகளினது தொடுகை நாணானது S=0 என்பதை P யிலும் Q விலும் S= 0 எனும் பரவளைவின் அச்சை R இலும் சந்திக்கின்றன. இவ்வச்சின் மீதுள்ள N எனும் புள்ளி, S=0 இன் குவியமான F என்பது TN இன் நடுப்புள்ளி யாகுமாறு அமைந்துள் ளது.
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக , (ca) RN = 24 (8) NP, NQ எனுங் கோடுகள் S=0 இற்குச் செவ்வன்கள் ஆகும் (s) F ஐ மையமாகவுடைய ஒரு வட்டத்தின் மீது T, P, N, Q
என்பன அமைந்துள்ளன.
அலகு 4 அதிபரவளைவு
59. கோடு Ix-my+n=0 செவ்வக அதிபரவளைவு xy-C2 ஐ AB யில் ,
இடைவெட்டுகிறது. AB ஐ விட்டமாகவுடைய வட்டத்தின் சமன்
, 1. 'n :2 (11)=0 என ! பாடு x2 +y2 + 1 x + -- y+c2 (-+-)--0 என நிறுவுக.
m
இவ்வட்டம் அதிபரவளைவை மீண்டும் C,D இல் சந்திப்பின் CD இன் சமன்பாட்டைக் காண்க. AB ஒரு நிலையான புள்ளி (h, k) பயினூடே செல்லும் எனிள் AB யினதும் CD யினதும் இடை

- 63 -
(வெட்டும் புள்ளி x2-y2 =hx-ky எனும் அதிபரவளைவின் மீது கிடக்கும் எனக் காட்டுக. (on,8,7,8 என்பன 0x4+bx3+cx2-dx-+-e=0 இன் மூலங்கள் எனின் a.+ 2 + +8=" எனவும் 2, 3, 7, 8 = - எனவும் நீர் எடுத்
துக் கொள்ளலாம்.)
60..
S=xy-c2-0 என்னும் செவ்வக அதிபரவளைவின் மீதுள்ள புள்
எ
விகள் P, (ct, 2) P2 (12) என்பவற்றை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு x+t, tay=c (t,+t,) என நிறுவுக. 7. (", :) P (3:2, 3) > (*.. :)
மன|
என
T
என்பன S=0 இன் மீதுள்ள மூன்று வேறுபட்ட புள்ளிகள் ஆகும் முக்கோணி P, PP யின் நிமிர் மையம் PA' (என்க) S=0 இன் மீது கிடக்கும் என நிறுவுக. அத்துடன் முக்கோணி P, PF, இன் சுற்று வட்டம் S=0 ஐ மீண்டும் P, (என்க) என்னும் புள் ளியில் இடைவெட்டும் எனவும் நிறுவுக. S=0 இன் மையம் PP,' என்னும் கோட்டின் நடுப்புள்ளியாகும் எனக் காட்டுக .
a2b2
1. (i) S= - - - 1 = 0 என்னும் அதிபரவளைவில் P (a சீக ),
b தான் 0) எனும் புள்ளியில் வரையப்பட்ட செவ்வனின் சமன் பாடு : - ----- == a2 + b2 என நிறுவுக.
பாடு 2 x 4. by
தான் 6
P இல் உள்ள செவ்வன் ஆள்கூறுகளின் அச்சுக்களை M இலும், N இலும் சந்திக்கிறது. M, N இனது நடுப்புள்ளி Q ஆக இருப்பின் S=0 இல் P மாறும்போது 2 இன் ஒழுக்கு
இன்னுமோர் அதிபரவளைவு என நிறுவுக. (11) S=xy--C2- 0 எனும் செங்கோண அதிபரவளைவின்
P (ct, *) எனும் புள்ளியிலுள்ள படித்திறன் 2 எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து P, Q =(- (13 ) ஆகிய புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாண் S = 0 என் தற்கு P இல் செவ்வனாக அமையும் எனக் காட்டுக.


Page 35
64
நிலையான நேர்கோடான y=mx க்குச் சமாந்தரமாக PP' எனும் நாண் அமையும் வண்ணம் S=0 இல் P! எனும் புள்ளி உண்டு. P இலும் P1 இலும் உள்ள செவ்வன்கள் மீண்டும் S=0 என் பதை முறையே Q இலும் Q1 இலும் சந்திக்கின்றன.
நிலை யான நேர்கோட்டுக்கு QQ1 ஆனதும் சமாந்தரம் ஆகும் என நிறுவுக.
62. S = xy - c2 = 0 எனும் செங்கோண அதிபரவளைவிற்கு P=
ct,
எனும் புள்ளியிலான செவ்வனின் ச ம ன் பாடு
13x-ty+C (1-t4) = 0 எனக் காட்டுக. இச் செவ்வனானது S=0ஐ மீண்டும் சந்திக்கின்ற Q எனும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை t இற் காண்க. PQ ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டமானது S - (0 ஐ மீண்டும்
R = T-- ct
எனும் புள்ளியிற் சந்திக்கும் எ ன வு ம் காட்டுக. S=0 இற்கு R இலும், P இலும்
வரையப்படும் செவ்வன்கள் சமாந்தரமாகும் என உய்த்தறிக.
அலகு 5 நீள்வளையம்
/2
b2
59), • S="-- -- 1 = 0, ( a>b) எனும் நீ ள் வ ளை ய த் தி ன்
மீதுள்ள புள்ளி P (a கோசை 0, b சைன் 9) விலுள்ள தொடலி யின் சமன்பாட்டைக் காண்க. S=0 இற்கு P( a கோசை 6, ,
•b சைன் 0, ), P, (a கோசை 0,, b சைன் 6,) எனும் புள்ளி களிலுள்ள தொடலிகளின் இடைவெட்டும் புள்ளி Q இன் ஆள் கூறுகளைக் காண்க. (1) Q,+Q, = ஒருமை ஆகுமாறு புள்ளிகள் P உம் P2 உம்
S==0 மீது மாறும் எனின் 0 வின் ஒழுக்கு ஒரு நேர்கோடு எனக்காட்டுக'. x2 + y2 = b2 என்னும் வட்டத்தை P, P2 தொடுமாறு புள்ளிகள் P, உம் P, உம் S=0 மீது மாறும் எனின் Q இன்

65
ஓழுக்கு
*1*
- எனும் நீள்வளையம் எனக் காட்டுக.
60. s= +--- 1 = 0 எனும் நீள்வளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி
கள் Q(a கோசை ¢, b சைன் ¢}, R (a கோசை 4, bசைன் 4) என்பவற்றை இணைக்கும் நாணின்சமன்பாடு : கோசை 4 (8+ '4) + - சைன் { {¢ + y) = கோசை } (¢ - v ) எனக் காட்டுக.
x2
v2
நாண் QR என்பது,
கோசை ! (கட 9) bசைன் (4+) |
என் னும் புள்ளி கோசை (-) 1 கோசை (W-W)) யிலிருந்து நீள்வளையம் S = 0 இற்கு வரையும் தொடலிகளின் தொடுநாண் ஆகுமென உய்த்தறிக. P என்பது ,+ = 1 எனும் நீள்வளையத்தின் மீது மாறுமொரு புள்ளியாகும் P ஐக் குவியங்கள் S,S' இற்குத் தொடுக்கும் கோடுகள் நீள்வளையத்தை மீண்டும் முறையே Q,R எனும் புள்ளிகளில் சந்திக்கின் றன. S=-0 இற்கு Q, R இலுள்ள தொடலிகள் T இல் இடைவெட்டின் 1 யின் ஒழுக்கு - +2 = 1 என்னும் நீள்வளையமாகும் என நிறுவுக.
- x2 |
61. S = + 2- 1 = 0, a>b>0 எனும் நீள்வளை யத்தில் P| (x,,
V,) எனும் புள்ளியில் வரையப்பட்ட தொடரிலியின் சமன்பாட் டைக் காண்க.
இதிலிருந்து Sa) எனும் நீள் வளையத்திற்கு P0 (x) : yo) எனும் புள்ளியிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடலிகளின்  ெத ா டு  ைக நாணின் சமன்பாடு X$ 3 + 1 - 1 = 0 என நிறுவுக.
என
x2+y2- a2= 9 எனும் வட்டத்திலுள்ள P (a கோசை 8, aசைன்)} எனும் புள்ளியிலிருந்து S =) எனும் நீள்வளையத்துக்குத் தொட லிகள் வரையப்பட்டுள்ளன. S=0 எனும் நீள்வளையத்தின் ஆள். 9


Page 36
- 665 ----
மையம் (0 ஆக இருக்கும்போது தொடுகை நாணின் நடுப்புள்ளி
OP இல் இருக்குமெனக் காட்டுக. 62, P. (xo ya) எனும் புள்ளியிலிருந்து la+my+ n=0 எனும் நேர்
கோட்டிற்கான செங்குத்துத் தூரத்தைக் காண்க.
( - X2 y2 S =., + 5 - 1 - 0, a>b>0 என்னும் நீள்வளையத்துக்கு அதன் மீதுள்ள (a கோசை 6, b சைன் 9) என்னும் புள்ளியிலான தொடலியின் சமன்பாடு, x கோசை ( y சைன் () --- 1 = 0
b
என நிறுவுக. S==0 இன் குவியங்களிலுமிருந்து S~0 இன் எந்த வொரு தொடலிக்குமான செங்குத்துத் தூரங்களின் பெருக்க மானது ஒரு ஒருமையாகும் என நிறுவுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
விடைகள்
அலகு 1 நேர்கோடுகள்
1. (i) 2x +y-22-0: 2 X ---y-7-0)
- x-2y +4=0; x-2y-1- (ii) x-7y+94 ===0 X-7y-56-( 2. B (-t, - 2t); ( (-t, t) 3. G (31/3, 4), H (4 , 4), S (3 , 2) 4. y=5x; 5y==x; X- 5y-4 8-0; 5x-y--48=0 5. 2x-y=0; X-2y=0 6, 3y+x +4-0 7. X-2y +1=0, 2x- 4y------ (0 ;
x--3y + 2 = 0, 3x-9y+4 - (0 8. A (-3, 1), 1 (2/3, -1/3)
4x2-4y2 +4 x--8y +61-0;
4 (x2+y)-12x-40y+450 10. 4x+3y-25-0, x- 2y-15-0, 34 y---20-60 11. 7x+y+p=0
7 x+4y- 33=0, X-8y +21=0
7x+4y+27-0, X-8y-- 39=0 13. x+ 2y +2=0
11 x-4y +3=0 4X--3y+2=0 7x-y-12=0 2x-y-5=0- AC இன் சமன்பாடு
11x=2y-25=0 - BC இன் சமன்பாடு 26. X+ 2y-9=0; x2+y24 2x--10y-+1=0 27. B A= (-3 , 1) B= (2, 1) C= (5, 5)' D= (0, 5) 28, d- 9Ty--ac T!
Ta2 +b2 | ஆள் . 10


Page 37
68
29.
arx +by+{
a2x+b2y +2 V (a, 24-b,?)
V (a2-+-b,2)
30. ACQoir FLDSÖT LIIT O ax+by+---- (alx -tbly-d') == 0
C-d BD asòT FLD Gör JTG axby+c+
- , (alx-+bly-d) = 0 1. *
31. 1 9WG
33. P=(3, 0) 34. BC 26ör &LDSTUTO 10X-24 y -29+13V130
AD Qoir FLWGÖF ELITO- 10X-24y-+29-13V1 320
-3 F1
36. (i) (---1, 0); (ii) BC FLOGT LJTO
- 1} (X-4-1)
(iii) 6 JV5 (iv) (- 2/3 , - 2/3 )
அலகு 2 வட்டங்கள்
1. x2+y2 -- 9-6 (x-y) = 0 2. x2 + y2-3x-3y-2=0
x2+y2–1 26(x+y)+369 -=0x2+y2-2x-2y--8=0 3. x2+y2 -22x--20y-4=0 4. x2+y2-4x + 4y +3=0
x2+y2-2x + 4y-e4=0
x2 + y22/3X-2/3y--/3=0
5. x=1; y=1; 3y-4X --1=0
x2+y2 + 2fy1=0 x2+y2 + 2x.-- 2y --1==0
x2+y2-y--1=0 8. 2(x2 + y2)-4X--2y--1=0
(x2+y2+y7=0
9. 3y +4x+10=0
10. x2+y2-2x + 2fy +1=0 3x--4y15=0
x2+y2.—2x-+&y+-1=0 x2+y2—2x-48/2y1=0
12. x2 +y2—4x-—2y=0 15. (i) A (1,1), B (-3, --3)
5 (x2+y2) 4x--2y=0. (ii) x2 + y2 2gx -+ 2(2-g)y_60
x cos 0 + y sin 0 = a. [a ( 2 cos 0 + 1), a (2 sin2 -1 ---cos 0 | sin 0) ].
(0, -1· 155 a), (0, 1:155 a)

-- 69 --
30. x(X~~4) +y (y-2) == 0; 2x -y-5 31. (x +332 - (y- 6 )2 = 36:4x-3y= 0 32. k -- -- 2, m=-3, x2 +y2-2y
k=2/, m=1/3 x2.4-y2-18y = 03x-4y +9-0; y=0 33. x2 -y2--10x-10y +25=0
x2-+y?- 34x-34y+ 2890 34. ( 1 ) B, D என்பன (1,3)!(-7.-1)
(ii) x2-y2-6x-2y=0
(iii) 12/3 சதுர அலகு 40. x2 -y2-16 x+8y -30=0 41. y +2x=5, (10, -15)
அலகு 3 பரவளைவுகள்
4. (at, t2, a (t, +12)
8. aya =>- a2 12. v 2a, 0; (-a, 0); F (a, 0); (0, 0);
(;, V6a) ; 70 2 81
13. n=2; PO - 4ay10 14. 900; தான் --1 (3/4)
(a) 8a2; (b) x2 +y2-16ax -+- 8ay=0 15. S, = 1 1 + கோசை 6; S, = 21=1- கோசை 17. ty=x+at2t ye=4a (a-x) 18. y2 - 4ax
21. (9a. 16a) ; (6a, 8a) 22. 3 24 2/3 26. y = + ( + 5) 27.
பரப்பு = 21 (2+V11) Lகள் - 610, 619, 1190, 1190
*2-12-24x + (5)' =0


Page 38
70
28, [ apy, a (p+q)]: y2=3a (x-a
30. (i) x = - a 31. R = at, t2; a (f1 + t2)
35. R = [attz: a(t, Et2)
அலகு 4 அதிபரவளைவு 10. (* Gat ons a - ns = *)
* IT 98F O
р
EV3V 2X FV 7y 15 (4 OSTLAN air)
11. (-8 - ct" ) (cto, *)
4x3y3-c2 (x2-y2) 2=0
12. - 13. 1-2ga, -2f/a 14. 37 702
20. t2 = - 1/1,3
21. ( h, k), x=h, y=k
P (14,3), Q (--, --1 )
22. y= 4x/3 (b) UTü4 = 12
28. ct4-tox-+ty—C=0
30. X + pay == cp = cq
(q+q)2 + 4 pq = 0
31. bx sec 0 ; ay tan 0 -- ab = 0
4a2x2 + 4b2y2 = ( a2 + b2 )
32. x + 2y == 2ct
34. x,y yx = 2c2
bx sec 0 ay tan 0 -- ab = 0: c 2öðT 432x2 - 4 boy2 = (a2 + b2 ) x + t2y = 2ct

- 71 ---
அலகு 5 நீள்வளையம்
1. x+ 2y - 5 = 1;
x +y +5 = 0; 2. 2x - 3y - 5 = 0
3x - 8y - 10 = 0
2y - X + 5 = 0 2y - X -- 5 = 0
தொடுபுள்ளி ( 13/3. - 3/5 ) ஆள்கூறுகள் (-11/5, 4/5 )
5. 43 + 4 = 1 8. (a3 சீக 8, - b3 கோச்'0)
9. 3y சைன் 6 - 5x கோசை 60 -+- 8 - 0
13. 00 = a2; OR -- a2 / (a2--1) : OL = a/y (a2-2 )
14. x2 + v2 = 5 (4x2-gy2 எனக் கணக்கில் திருத் து 45 )
15. 2K a தான்-1 [ nyk (2---k)-n2/(k-m) ! 18. p= (la2, mb2) : 12a2+m2b2=1
2
y2ab2 19. (- 10.
a2 +b2!
// 2ab2 a2+b2
3x + 4y 10y - 28 24. (a2/x2) + (b2/y2) = 4 | 25. 25x2 .+ Qy2 = 64 (0+321, 5) 28. 9y=-- 48x + 105, தொடுபுள்ளி {2, 1)
9y = 8x + 35 தொடுபுள்ளி (-1, 3) 29. - bla cot ) ; பரப்பு - ab
30. a21, 52m
a sin e 31. ( y - b sin (0 ) - -
b cos 0
( X -- 2 COS 6)
32. (i) (= 69 %)


Page 39
dharan
72
35. P= (, - bam) 40. (i) hx+ky = 1
- H- R- (iii) a) a2b2 (-y) + b2x2 + a2y2 = 0
b) b? (x2 - 2X) + a2 (y2--3y) == 0 c) b2x a2my = 0 d) aoy -- 2ab2x = xy (a2 - bo)
41. ( x / a) 2 + (y/b) 2 - 1
44. i) (b2cos20-ta2620)r2 + 2(xocos6+Yoho)r+b2x02+aoy.?,-a2b2=0
ii) Xo(X-Xo) Yo (y-Yo) 0
b2
a2
47. {(1+0), (T +) }
49. a2x2 + b2y2 = (a2 - b2)2
S1. ( asec 0, bcosec 0 )
56. i) bx + apy -- ap = 0
57. X
x?cos2 8
y?cos 20
- 0 b2
a2

பின்னிணைப்பு விடைகள்
அலகு 1 நேர்கோடுகள் 37. விம்பம் 2x - 11y - 5 = 1
சாய்சதுரங்கள் 2x---y=5; 2x--y +15-0; 23-11y--55-0;
2x-11y-45=0
38. P,=(4, -2) P,=(0, -18)
P, = (42, 7); P. = (5*, 75)
39. Q= (0, 5)
40. P= (,", -(14 ))
141 - 1) PA யின் படித்திறன் -
(2t +-7
11141) PC யின் படித்திறன் -
2t-7 B = (1, --4 ), D = (2, 3)
B' = (!, -25), D' = (5, 2)
41.
(2) X +3y -- 42 = 1
3x -y + 4 -- (0 (b) 3x ~ y + 4 --- ) (c) AB = 3y 2 அலகு, AC - 15y 2 அலகு (d) P = (1, 7)
அலகு 2 வட்டங்கள்
42. பொதுநாண்கள் X - 2y - 1 = 0
4X -- y - 11 = 0
3x -- y - 10 - (0 ; (3, 1) ; x2 -y2-6x-2y+7={)
மையம் = (3, 1)


Page 40
-- 74 -
4. S= x2 + y2 - 16x - 18y - 4 - )
அலகு 4
அதிபரவளைவு
59. CD => ly + mx = 0
Y2
61. Q வின் ஒழுக்கு
61. 2 வின் ஒழுக்கு (ன்)" - 5)' -1 62. Q= (F, - ct)
22-b2\2 -
2a
a2 - 52 \2 - 1
2b
அலகு 5
நீள்வளையம்
(0,--02
59. 0= acos (1) bsin
cos ('',)'
sெ (':-) cos (':-) Q இன் ஒழுக்கு y=mx எனும் நேர்கோடு.
cos
cos



Page 41
137。 德,重德,,
(1) 能是

国际赛需如, 于1992 (1們是:
了之中。