Page 1
- ஆழ்ம்ப நி
லோ
44 Ir: ::: ம்
'அரசா 35 பா.
-*ரியிட்ட

໐ uຕ່ມຄໍາ
Fof <= ,
ສg u 33 ົ ີ ີ )

Page 2

1. ஆம்&சல்
. (Chess .1 /2
* 1-4Y VIt:4 |
-->
17 A11. ALAI F57 (r{UNN AKAMA
அன்பளிப்பு - A R)
அடு-1 - பொ.

Page 3
1-R 676–10,010 (6765)

03 ஏA!
3YG :3
40
5 RIALAW1:ா
CHUNNAKAM
-- -- 4, % 1
--செல்வராகவும், * ").
ஆரம்ப நிலையியல்

Page 4

ஆரம்ப நிலையியல்
எஸ். எல். லோனி
1966
அரசாங்க பாஷைப் பகுதி வெளியீட்டுப் பிரிவினருக்காக இலங்கை அரசாங்க
அச்சகத்திற் பதிப்பிக்கப்பட்டது.

Page 5
1956
முதற் பதிப்பு : இரண்டாம் பதிப்பு : 1966
பதிப்புரிமை பெற்றது
THE ELEMENTS OF STATICS
by S. L. LONEY
Copyright by THE CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS Translated and Published in Ceylen
by THE OFFICIAL LANGUAGE DEPARTMENT
(PUBLICATIONS SECTION)
by arrangement with THE CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகத்தாரின் இசைவுடன் அரசாங்க பாஷைப்
பகுதி வெளியீட்டுப் பிரிவினரால் வெளிவிடப்பட்டது.

அறிமுகம்
நிலையியல், இயக்கவியல், நீர்நிலையியல் என்பன பற்றி எஸ். எல். லோனி அவர்களால் ஆங்கிலத்தில் எழுதப்பட்ட பிரயோக கணித நூல் வரிசை, அப்பாடங்களை முதன்முதலிற் கற்கும் மாணவர்க்குப் பெரிதும் பயன்படும் வகையில் அமைந்துள்ளது. இதனால், ஆங்கில பாடசாலைகளில் இந்நூல்வரிசை நெடுங்காலமாக வழங்கப்பட்டு வருகிறது. ஆரம்ப சிரேட்ட வகுப்புகளிலும், சிரேட்ட வகுப்புகளிலும் இன்றும் பெரிதும் விரும்பிப் பயிலப்படுவன இந் நூல்களேயாம். இதனால், தமிழ்மொழியிற் பெயர்ப்ப தற்கு ஏற்றது இந்நூல்வரிசையே என விதந்துரைக்கப்பட்டுள்ளது.
இங்கு சில பந்திகள் உடுக்குறியிடப்பட்டுள்ளன. இவ்வாறு பிரித்துக் 'காட்டிய பந்திகளை, முதல் தடவை நூலைப் படிப்போர் வாசிக்காது தவிர்த்
துச் செல்லல் வேண்டும் என ஆசிரியர் தெரிவித்துள்ளார். இந்நூல் வரிசையைப் பயன்படுத்துவோர் இவ்விடயத்தைக் கவனித்தல் முக்கிய மாகும்.
இந்நூலை மொழிபெயர்த்தவர் கலாநிதி வ. பொன்னையா, Ph.D. அவர்களாவர். திணைக்களத்தின் நன்றி அவர்க்கு உரியது.
நந்த தேவ விஜேசேகர, அரசகரும மொழி விடய ஆணையாளர்.
அரசகரும மொழித் திணைக்களம்,
வெளியீட்டுப் பிரிவு,
1966. 2. 3.

Page 6
පෙරවදන
ඇස්. ඇල්. ලෝනි මහතා විසින් ස්ථිති විද්‍යාවත් ගති විද්‍යාවත් ද්‍රවස්ථිති විද්‍යාවත් පිළිබඳ ව ඉංග්‍රීසියෙන් ලියැවුණු ව්‍යවහාරික ගණිත පොත් පෙළ ඒ ඒ විෂයය මුලින් ම ඉගෙනීමට පටන් ගන්නා ශිෂ්‍යයන් හට ප්‍රයෝජනවත් පරිදි පිළියෙළ
කොට ඇති බැවින් ඉංගිරිසි පාඨශාලාවල මේ පොත් පෙළ බොහෝ කලක් තිස්සේ භාවිත කරන ලදී. පූර්ව ජ්‍යෙෂ්ඨය, ජ්‍යෙෂ්ඨය යන පන්තිවල ශිෂ්‍යයන් විසින් දැනුදු වැඩිපුර ම භාවිත කරන්නේ මේ පොත් පෙළ යි. එහෙයින් දෙමළට පරිවර්දනය කිරීම සඳහා මේ පොත් පෙළ සුදුසු යැ යි සම්මත කර ගන්නා ලදී.
මෙහි ඇතැම් ඡද තාරකා ලකුණු මඟින් වෙසෙසා දක්වා ඇත. පළමුවෙන් ම විෂයය හදාරන අවස්ථාවේ දී මේ ඡද නොකියවා හැරීම මැනවැ යි කර්තෘ සිය ප්‍රස්තාවනාවෙහි සඳහන් කරයි. පොත් පෙළ භාවිත කිරීමේ දී මේ කරුණ සින්හි
තබාගැනීම වැදගත් බව සඳහන් කරමු. .
මෙම දෙමළ පරිවර්තනය කරන ලද්දේ ආචාර්ය වී. පොන්නයියා (Ph.D.) • 2 විසිනි.
නන්ද දේව විජේසේකර, රාජ්‍ය භාෂා කටයුතු පිළිබඳ කොමසාරිස්.
1966-2-3, රාජ්‍ය භාෂා දෙපාර්තමේන්තුවේ, ප්‍රකාශන අංශයේ දී ය.

முதற் பதிப்பு முகவுரை
பின்வரும் நூலிலே இளம் மாணவர் பொருட்டு நிலையியல் பற்றி , ஒரு பாடப் புத்தகத்தை எழுத நோக்கியுள்ளேன்.
இந் நூலினுட் பலவிடங்களில் அனேக உதாரணங்கள் காணப்படும். உராய்வு சம்பந்தமான அதிகாரத்தின் முடிவிலுள்ள பெரும்பான்மையான உதாரணங்களையும், புத்தகத்தின் முடிவிலுள்ள பலவின உதாரணங்களையும், தவிர, ஏனையவை இலகுவானவை.
இயலக் கூடியவரை இந்தப் புத்தகத்தை முழுமையானதாக்க முயன்றி ருக்கின்றேன். எனினும், இந்தப் பாடத்தைத் தொடங்கும்பொழுது, புள்ளி யடையாளமிட்டுள்ள பகுதிகளை மாணவர் தவிர்ப்பது நன்று.'
அச்சுப் பிழைகளைத் திருத்தியும் பல யோசனைகளை அவ்வப்போது எனக்குக் கூறியுமுதவிய கேம்பிரிட்ஜ் சிட்னி சசெக்ஸ் கல்லூரியைச் சேர்ந்தவருமாகிய எனது நண்பர் திரு. எச். சி. றொப்சன், எம். ஏ. அவர்களுக்கு எனது நன்றியைத் தெரிவிக்கக் கடமைப்பட்டுள்ளேன்.
பிழை திருத்தம் பற்றியோ நூலின் முன்னேற்றம் பற்றியோ அனுப்பப்படும் யோசனைகள் நன்றியோடு ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்.
எஸ்.எல். லோனி.
பாண்ஸ், தெ. மே.,
டிசெம்பர், 1890.
vii

Page 7
ஐந்தாவது பதிப்பு முகவுரை
இந்தப் பதிப்பில் இந் நூல் ஓரளவு மாற்றப்பட்டும் திருத்தப்பட்டுமிருக் கிறது. வரைபுத் தீர்வுகள் எலவே சேர்க்கப்பட்டுள். புத்தசத்துட் பெரும் பகுதியில் வரைபு முறைகள் உபயோகிக்கப்பட்டுள. பரிசோதனை வேலைகளும் சேர்க்கப்பட்டுள. "வேலை சம்பந்தமான அத்தியாயம் நூலின் அத்தியாயங்களுட் சிறிது முன்னதாக எடுத்தாளப்பட்டுள்ளது. வேலைத் தத்துவம் பற்றிய பகுதி மிக்க அழுத்தமாக ஆராயப்பட்டுளது.
ஓரளவு நீண்ட பகுப்புமுறை நிறுவல்கள் கடைசி அத்தியாயத்துக்கு மாற்றப்பட்டுள். மேலும், வகையீட்டு நுண்கணிதத்தை ' உபயோகிக்கக் கூடிய நிறுவல்களை உட்புகுத்த நான் அதிகம் முயலவில்லை.
இந்தப் புத்தகத்திலுள்ள புதியவுருவங்களில் பத்து, கலாநிதி ஆர். தி. கிளேஸ்புரூக்கு என்பார் தம்முடைய நிலையியல் பற்றிய நூற்கென ஆக்கியவை. இவற்றைப் பயன்படுத்த அனுமதித்ததற்காக அவருக்கு என் நன்றி. இந்தப் படங்களில் அதிகமானவை கேம்பிரிட்ஜ், கவென்டிஷ் இரசாயனசாலையில் உபயோகத்திலுள்ள உபகரணங்களைப் பார்த்து வரையப்பட்ட மேலதிக பெருமை வாய்ந்தவை.
எஸ்'. எல். லோனி.
அரசினர் ஹொலவேய்க் கல்லூரி, எங்கிள்பீல்டு கிறீன், சறே, யூலை 23, 1906.
viii

பொருளடக்கம்
நிலையியல்
அதிகாரம்
பக்கம்
II.
- - ? ? ஐ ஐ
53
88 109 112
I. முன்னுரை
விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும் II. விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும் (தொடர்ச்சி) IV. சமாந்தர விசைகள்
V. திருப்புதிறன் VI. இணைகள் VII.
ஒரு தளத்திலே மூன்று விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற ஒரு
* விறைப்பான பொருளின் சமநிலை II.
ஒரு தளத்து விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற ஒரு பொருளின்
சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள் ' fx. புவியீர்ப்பு மையம்
முக்கோணி, நான்முகி, முதலானவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம்
புவியீர்ப்பு மையம் துணிதற்குப் பொதுச் சூத்திரங்கள் X. புவியீர்ப்பு மையம் (தொடர்ச்சி)
புவியீர்ப்பு மையத்தின் இயல்புகள்
உறுதிச் சமநிலையும் உறுதியில் சமநிலையும் XI. வேலை XII. பொறிகள்
I. நெம்பு II. கப்பிகளும் கப்பித் தொகுதிகளும் III. சாய்தளம் IV. சில்லும் அச்சாணியும்
வெஸ்ற்றனின் வேற்றுமைக் கப்பு
பொதுத் தராசு VI. துலாக்கோல் VII. திருகு .
118
137
140
149
156
158 163 177 184 187 189 197 203
V.
jy

Page 8
அதிகாரம்
பக்கம்
222
223
XIII. உராய்வு
210
உராய்வு விதிகள்
211
"ஒரு கரடான சாய்தளமீது சமநிலை
217 பொறிகளின் திறன்
உராய்வுள்ள பொறிகள் XIV. உராய்வுகொண்ட பிரசினங்கள்
235 XV. கலப்பினம்
ஒப்பாவான பிணையல்கள்
248 இழைப் பல்கோணி
252 மீள்தன்மை இழைகளின் இழுவைகள்
255 வரைபு அமைப்புகள், இணைப்புப் பல்கோணியும் விசைப் பல்கோணியும் ...
258 XTI.
சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
269 விசையிணைகரத்தின் முறைமையான நிறுவல்
269 வட்டவில், ஒரு வட்டத்தின் ஆரைச்சிறை, வட்டத்தின் துண்டம் என்பவற்றின்
புவியீர்ப்பு மையங்கள்
. 273 ஒரு கோள வலயத்தின் புவியீர்ப்பு மையம்
276
பொள் அரைக்கோளம், திண்ம அரைக்கோளம் என்பவற்றின் புவியீர்ப்பு
மையங்கள்
மாய வேலை
280 றொவேவலின் தராசு
284 இலேசான கலப்பினப் பயிற்சிகள்
287 அரும் பலவினப் பயிற்சிகள்
289
விடைகள்
....1- Xvi
2 2 2 2 : 52
278

நிலையியல் அதிகாரம் 1
முன்னுரை 1. ஒரு பொருள் என்பது ஒவ்வொரு திசையிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சடப்பகுதி .
2. விசை என்பது ஒரு பொருளினுடைய ஓய்வு நிலையையேனும் மாறா வியக்க நிலையையேனும் மாற்றுகின்ற, அல்லது மாற்ற முயலுகின்ற யாது மொன்று.
3. ஓய்வு. ஒரு பொருளானது தன் சூழலிலுள்ள பொருள்களை நோக் கத் தனது நிலையை மாற்றாதிருக்கும் பொழுது, அது ஓய்விலிருக்கின்ற தெனப்படும்.
4. நிலையியல் என்பது பொருள்கள் ஓய்விலிருக்கும் வண்ணம் ஒழுங் காக்கிய விசைகள் அப்பொருள்களின் மீது தாக்குந் தாக்கத்தைப் பற்றிக் கூறும் விஞ்ஞானம்.
இயூக்கத்திலுள்ள பொருள்களின் மீது விசையினது தாக்கத்தைப் பற்றிக் கூறும் விஞ்ஞானம் இயக்கவியல் எனப்படும். " படிப்படியாய்ப் பொதுவுடன்பாட்டைப் பெற்றுவரும் புதிய பெயரீட்டு முறையில், பொருள் களின்மீது விசையின் தாக்கத்தைப் பற்றிக் கூறும் விஞ்ஞானம் இயக்கவியல் எனப்படும் ; அது நிலையியல், இயக்கப்பாட்டியல் என்னும் இரு பிரிவுகளை உடையது; அவற்றுள்ளே நிலையியல் என்பது ஓய்விலிருக்கும் பொருள்களின்மீது விசைகளினுடைய தாக்கத்தைப் பற்றிக் கூறும்; இயக்கப்பாட்டியல் என்பது இயக்கத்திலிருக்கும் பொருள்களின்மீது விசைகளினுடைய தாக்கத்தைப் பற்றிக் கூறும். - 5. ஒரு துணிக்கையானது பருமன்பற்றி வரையறையின்றிச் சிறிதாகிய சடப்பகுதி ; வேறொருவகையாகக் கூறப்புகின், எங்கள் ஆராய்வில் அதன் வேறுவேறு பகுதிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரங்கள் புறக்கணிக்கத் தக்க அளவிற்கு மிகச் சிறியதாயுள்ள சடப்பகுதி எனலாம்.
ஒரு பொருளானது வரையறையின்றிப் பெருந்தொகையான வரை யறையின்றிச் சிறிய பகுதிகளைக் கொண்ட ஒன்று எனக் கொள்ளலாம். அன்றி அதனைத் துணிக்கைகளுடைய திரள் எனவுங் கொள்ளலாம்.
6. ஒரு விறைப்பான பொருள் என்பது தன்னுடைய பகுதிகள் ஒன்றுக் கொன்று மாறா நிலையிலிருக்கும்படி காக்கும் ஒரு பொருள்.
இவ்வெண்ணக்கருவும் ஒரு துணிக்கையினதைப்போலக் கற்பனையானது. இயற்கையில் ஒரு பொருளாயினும் நிறை விறைப்பைக் கொண்டதன்று. விசை பிரயோகிக்கப்பட்டால் ஒவ்வொரு பொருளும் ஒரு வேளை மிகச்சிறிய
அலமியம் றும் தாக்கத்

Page 9
நிலையியல்
அளவிற்கேனும் இளகும். மரத்தாற் செய்யப்பட்ட ஒரு கோலினுடைய ஒரு முனை உறுதியாய் மாட்டப்பட மற்றைமுனை இழுக்கப்பட்டால் அம்மரம் சிறிதாக நீள்கின்றது ; அக்கோல் இரும்பாலாயதெனின், உருவழிவு மிகச் சிறிதாகும்.
எங்கள் ஆராய்வை எளிதாக்குதற்கு நாங்கள் எடுத்துக் கூறவேண்டிய எல்லாப் பொருள்களும் பூரணவிறைப்பைக் கொண்டனவென்று கொள் வோம்.
7. சமவிசைகள். இரு விசைகள் ஒரு துணிக்கைமீது எதிர்த் திசை களிலே தாக்க, அத்துணிக்கை ஓய்விலிருந்தால், அவ்விரு விசைகளுஞ் சமன் எனப்படும். - 8. திணிவு. ஒரு பொருளினது திணிவு அப்பொருளிலுள்ள சடத்தின் கணியமாகும்.. இங்கிலாந்தில் வழங்கப்படுந் திணிவலகு ஓரிறாத்தலாகும். அது அரசிறைச் சேமிப்புச் சாலையில் வைக்கப்பட்ட ஒரு குறித்த பிளாற்றி னத் துண்டினது திணிவாகுமென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. - எனின், ஒரு பொருளானது நியமப் பிளாற்றினத் துண்டைப்போல 2, 3, 4 . . . என்னும் மடங்கு சடத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதன் திணிவு 2, 3, 4 . . . இறாத்தலாகும். - 'பிரான்சிலும் பிற அன்னிய நாடுகளிலும் அறிமுறைத் திணிவலகு ஒரு கிராமாகும்; அது ஏறத்தாழ 15-432 கிரேயினுக்குச் சமன். செய்முறை யலகு ஒரு கிலோகிராம் (1000 கிராம்) ஆகும் ; அது ஏறத்தாழ 2•2046 இறாத்தலாகும். - 9. நிறை. நிறையின் கருத்து எல்லோர்க்குந் தெரிந்ததொன்று. ஒரு பொருளைத் தரையில் விழாமல் தடுப்பதற்கு ஒரு குறித்த அளவு உழைப்பு வேண்டுமென நாமெல்லாம் அறிவோம். நாம் இயக்க வியலிற் காண்பதுபோல், புவியானது ஒவ்வொரு பொருளையும், அதன் திணிவுக்கு விகிதசமமான ஒரு விசையோடு தன்பக்கமாகக் கவருகின்றது. புவி யாதுமொரு பொருளைத் தன்பக்கமாகக் கவரும் விசை அப்பொருளி
னது நிறையெனப்படும். - 10. விசையளத்தல். நிலையியலில் விசையலகாக ஓரிறாத்தல் நிறையைத் தேர்வோம். ஆகவே, விசையலகானது சுயாதீனமாய்த் தூங்கும் ஓரிராத் தற்றிணிவை மட்டாகத் தாங்கும் விசைக்குச் சமனாகும். - ஓரிறாத்தலினது நிறை புவியின் பரப்பிலுள்ள வேறுவேறு புள்ளி களிலே முற்றாய் ஒரே பெறுமானமுடையதாயிராது என்பதை இயக்க
வியலிலே காண்போம்.
எனினும், புவிப் பரப்பின் வேறுவேறு புள்ளிகளிலுள்ள விசைகளை நாம் ஒப்பிடவேண்டியதில்லை ; ஆகவே, ஓரிறாத்தலினது நிறையிலுள்ள

முன்னுரை
இம்மாறலானது செய்முறையளவிற் பொருளாகாது ; ஆயின், இம்மாறலைப் புறக்கணித்து ஓரிறாத்தல் நிறை மாறாதெனக் கொள்வோம்.
11. நிலையியலில் " ஓரிறாத்தல் நிறை "' என்னுங் கூற்றுப் பெரும்பான் மையாக " ஓரிறாத்தல் " என்று செய்முறையிற் சுருக்கப்படும் ; ஆகவே, மாணாக்கன் '' 10 இறா. விசை " என்பதன் கருத்து '' 10 இறா. விசைக்குச் சமனான ஒரு விசை " என்பதை விளங்கல் வேண்டும்.
12. நேர்கோடுகளாற் குறிக்கப்படும் விசைகள். ஒரு விசையினுடைய (1) பருமனையும் (2) திசையையும் (3) அதன் பிரயோகப் புள்ளியையும் அதாவது ஒரு பொருளல் அவ்விசை தாக்கும் புள்ளியையும் நாமறிந்தால், அவ்விசை முற்றாய் அறியப்படும்.
, எனின், ஒரு விசையை அதன் பிரயோகப் புள்ளிக்கூடாக வரையும் ஒரு நேர்கோட்டினாலே குறித்தல் வசதியாகும் ; அதற்குக் - காரணம் ஒரு நேர்கோட்டிற்குப் பருமன், திசை என்னும் இரண்டும் உண்டு என்பதே.
இவ்வண்ணமாக, OA என்பது ஒரு புள்ளி 0 விலே தாக்குகின்ற 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையைக் குறிக்கின்றதெனக் கொள்க. அதே திசையிலே தாக்குகின்ற 5 இறா. நிறை என்னும் ஒரு விசை 0 என்பதை OA யின் மையப்புள்ளி B யோடு தொடுக்குங்கோடு OB யாற் குறிக்கப்படும் ; 20 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை OA= AC ஆக OA என்பதை நீட்ட உண்டாகும் 0C என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
0 8
ஓரம்புக்குறி ஒரு விசை தாக்கும் திசையைக் குறிப்பதற்குப் பெரும்பான் மையாக வழங்கப்படும்.
13. விசையினங்கள். ஒரு விசையை ஒரு திணிவிற்குப் பிரயோகிக்கும் போது அது மூன்று வேறு வடிவங்களிலே தோற்றலாம் ; அவை (1) கவர்ச்சி, (2) இழுவை, (3) மறுதாக்கம் என்னும் இனங்களாகும்.
14. கவர்ச்சி. ஒரு கவர்ச்சியானது புலனாகத்தக்க யாதுமொரு கருவி யினது தலையீடின்றியும் பொருள்கள் ஒன்றையொன்று தொடவேண்டும் என்னும் நியதியின்றியும் ஒரு பொருள் இன்னொன்றின்மீது உஞற்றும் விசையாகும். இந்நூலிலுள்ள ஒரே ஓர் உதாரணம் எப்பொருட்கும் புவிக்கு முள்ள கவர்ச்சியாகும் ; இக்கவர்ச்சி (பிரிவு 9) அதன் நிறையெனப்படும்.
15. இழுவை. ஓரிழையின் ஒரு முனையை ஒரு பொருளின் யாதுமொரு புள்ளியிற்கட்டி அவ்விழையின் மற்றை முனையில் இழுத்தால், நாம்

Page 10
நிலையியல்
அப்பொருளின்மீது ஒரு விசையை உஞற்றுகின்றோம் ; ஓரிழையினால், அல்லது கோலால் உஞற்றப்பட்ட அத்தகைய விசை ஓர் இழவை எனப் படும்.
அவ்விழை இலேசாயிருந்தால் (அதாவது, அதன் நிறை புறக்கணிக்கத் தக்க அளவிற்குச் சிறிதாயிருந்தால்) அவ்விழையால் உஞற்றப்பட்ட விசை அதன் நீளம் முழுவதிலும் சமனாயிருக்கும்.
உதாரணமாக, ஒரு நிறை W என்பது ஒரு மேசையின் ஒப்பமான ஓரத்தின் மேலாகச் செல் லும் ஓர் இலேசான இழையினாலே தாக்கப்பட்டால், அவ்விழையில் விசை பிரயோகிக்கப்படும் புள்ளி A, B, C என்பனவற்றுள் யாதாயிருந்தாலும்
அவ்விழைக்கு ஒரே விசையே பிரயோகிக்கப்பட வேண்டுமெனக் காணப்படுகின்றது.
இனி, A யில் அந்நிறையைத் தாங்க வேண்டிய விசை ஒவ்வொரு வகை யிலும் ஒரேயளவினதாகும்; எனின், அவ்விழையில் இழுவை பிரயோகிக் கப்பட்ட புள்ளி யாதாயிருந்தாலும் A யிலுள்ள விளைவு ஓரேயளவின தென்பதும், அதனாலே அவ்விழையின் இழுவையும் அதன் நீள முழுவதி
லும் ஒரேயளவினதென்பதுந் தெளிவு.
இன்னும், அந்நிறை W என்பது ஒப்பரவான ஒரு முளையாணி A என்பதைச் சுற்றிச் செல்லும் ஓர் இலேசான இழையினாலே தாங்கப்பட்டால், அவ் விழை இழுக்கப்படுந் திசை யாதாயிருந்தாலும் (AB, AC, அல்லது AD) மற்றை முனையில் ஒரே விசை உஞற்றப்படல் வேண்டும் என்றும் இவ்விசை நிறை W விற்குச் சமனாகுமென்றுங் காணப்படும்.
[இவ்விசைகளை அவ்விழையின் சுயாதீன முனையை ஒரு விற்றராசிற்குத் தொடுப்பதால் அளக்கலாம்.)
எனவே, ஓர் ஒப்பரவான முளையைச் சுற்றிச் செல்லும் இலேசான இழைக்கு அதன் நீளம் முழுவதும் ஒரே இழுவையே இருக்கும்.
இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட இழைகள் ஒருமித்து முடியப் பட்டால், ஒவ்வோரிழையிலும் இழுவைகள் ஒரேயளவினவாதல் வேண்டிய தில்லை.
மாணாக்கனானவன் ஓர் இழையின் இழுவை அதன் நீளத்திற்கு விகிதசமமாகாதென்பதை. மிக்க கவனத்தோடு குறித்தல் வேண்டும். ஓர் இழையினது நீளத்திற்கேற்ப அதன் இழுவையும் பெரிதெனக் கொள்ளல் ஒரு பொது வழுவாகும் ; நாம் நீளமான ஓர் இழைத்துண்டைப் பயன்படுத்தினால் எம் விசையைப் பெரும்பாலுங் கூடிய பயன் தருமாறு பிரயோகிக்கலாம்

முன்னுரை
என்பது உண்மை ; அதுபற்றி இவ்வியலை முதன்முதற் கற்போர் ஏனையவை மாறாதிருக்க, கூடுதலான நீளமுள்ள இழைக்குக் கூடுதலான இழுவை உண்டென்று பெரும்பான்மையாகக் , கருதுகின்றார்கள்.
16. மறுதாக்கம். ஒரு பொருளானது வேறொரு பொருளின்மீது சாய்ந் தால், அல்லது அமுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு பொருளுந் தொடுபுள்ளி யில் ஒரு விசையை அனுபவிக்கும் ; அத்தகைய விசை மறுதாக்கம் எனப்படும்.
ஒரு பொருளானது இரண்டாம் பொருளின்மீது உஞற்றுகின்ற விசை, அல்லது தாக்கம் இரண்டாம் பொருளானது முதலாம் பொருளின்மீது உஞற்றுகின்ற விசைக்கு அன்றேல் மறுதாக்கத்திற்குச் சமனுமெதிருமா யிருக்கும்.
இக்கூற்று நியூற்றனின் மூன்றாம் இயக்க விதிக்குள் (பகுதி 2, பிரிவு 73) அடங்கியிருப்பதைக் காணலாம்.
உதாரணங்கள். ஓரேணி ஒரு சுவர்மீது சாய்ந்தால், அச்சுவர்மீது அவ் வேணியின் நுனியால் உஞற்றப்படும் விசை, அச்சுவரால் அவ்வேணி நுனியில் உஞற்றப்படும் விசைக்குச் சமனும் எதிருமாயிருக்கும்.
ஒரு, மரச்சதுரமுகி ஒரு மேசைமீது வைக்கப்பட்டால், அது அம்மேசை . மீது 'உஞற்றும் விசை, அம்மேசை அதன்மீது உஞற்றும் விசைக்குச்
சமனும் எதிருமாயிருக்கும்.
17. சமநிலை. இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட விசைகள் ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும்பொழுது அப்பொருள் ஓய்விலிருக்கும் வண்ணம் அவை ஒழுங்காக்கப்பட்டால், அவ்விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன எனப்படும்.
18. சமனும் எதிருமாயுள்ள விசைகளைப் புகுத்தலும் நீக்கலும். விறைப்பான ஒரு பொருளின் யாதுமொரு புள்ளியிற் சமனுமெதிருமாயுள்ள விசை கள் இரண்டைப் பிரயோகித்தால், அப்பொருளின் சமநிலையில் அவற் றிற்கு யாதொரு விளைவும் இல்லையெனக் கொள்வோம் ; அதுபோல, ஒரு பொருளின் யாதுமொரு புள்ளியிலே சமனுமெதிருமாயுள்ள விசைகள் இரண்டு தாக்கினால், அவை நீக்கப்படலாம்.
19. விசையின் ஊடுகடத்தற் கோட்பாடு. ஒரு விசை விறைப்பான ஒரு பொருளின் யாதுமொரு புள்ளியிலே தாக்கினால், அது தனது தாக்கக் கோட்டில் அப்பொருளோடு விறைப் பாக இணைக்கப்பட்ட வேறு யாதும் புள்ளியிலே தாக்குகின்றதெனக் கொள்ளப்படலாம்.
ஒரு விசை F என்பது அப்பொருளினுடைய ஒரு புள்ளி A யில் AX என்னுந் திசையிலே தாக்குகின்ற தாகுக ; AX இல் யாதுமொரு புள்ளி B என்பதை எடுத்து அப்புள்ளியில் ஒவ்வொன்றும் F இற்குச் சமனாய்

Page 11
நிலையியல்
BA, BX என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்ற சமனுமெதிருமாயுள்ள
• இரு விசைகளைப் புகுத்துக; இவை அப்பொருளின் சமநிலையில் ஒரு விளை வையும் உண்டாக்கா.
AB என்னுந் திசையில் A யிலே தாக்குகின்ற விசை F என்பதும் BA என்னுந் திசையில் B யிலே தாக்குகின்ற விசை F என்பதும் ஒன்றுக் • கொன்று சமனுமெதிருமாயுள்ளன; அவை ஒன்றையொன்று நடுநிலை யாக்குகின்றனவெனக் கொள்வோம் ; ஆயின், அவை நீக்கப்படலாம்.
இவ்வண்ணமாக, B என்பதில் BX என்  ைந் திசையிலே தாக்குகின்ற விசை F என்பது மந்துள்ளது ; அதன் விளைவு A யிலுள்ள முந்திய விசை F இனது விளைவிற்குச் சமன்.
வி. ச F ஆனது A யிலோ B யிலோ பிரயோகிக்கப்பட்டுள்ளதெனக் , கொள்வதற்கேற்ப மேலுள்ள பொருளின் உள்விசைகள் வேறுவேறாகும், எனினும், இந்நூலில் உள்விசைகளைப்பற்றி நாம் கூறவில்லை.
20. ஒப்பமான பொருள்கள். ஒப்பமாய் மினுக்கப்பட்ட ஒரு தளமுகத் தையுடைய ஒரு மாத்துண்டைக் கூடியவளவு ஒப்பமான ஒரு மேசைமீது வைத்து, அத்துண்டை அம்மேசைப் பரப்பின் மீது இயக்கத் தெண்டித்தால், சில தடை அனுபவிக்கப்படும். அம்மரத்திற்கும் அம் மேசையின் பரப்பிற்கும் இடையே ஒரு விசை எத்துணைச் சிறிதாயினும் என்றும் உண்டு.
அப்பொருள்களானவை நிறை ஒப்பரவானவை எனின், அத்துண்டிற்கும் அம்மேசைக்கும் இடையே அம்மேசையின் பரப்பிற்குச் சமாந்தரமாய் ஒரு விசையும் இராது ; அவற்றிற்கிடையேயுள்ள ஒரே விசை அம்மேசைக்குச் செங்குத்தாகும்.
வரை. ஒன்றையொன்று தொடும் இரு பொருள்களானவை நிறையொப் பரவுடையனவாயின், அவற்றிற்கு இடையே உள்ள விசை, அல்லது மறுதாக்கம் அத்தொடுபுள்ளியில் அவற்றின் பொதுப் பரப்பிற்குச் செங்குத்தாகும்.

அதிகாரம் II விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
21. தட்டையான ஒரு மரத்துண்டு ஒப்பமான ஒரு மேசைமீது ஓய்விற் கிடக்கின்றதென்றும் அதன் மூலைகளுள் மூன்றிற்குத் தொடுத்துள்ள மூன்று இழைகளாலே, அவ்விழைகளால் உஞற்றப்பட்ட விசைகள் கிடையி லிருக்கும்வண்ணம் அது இழுக்கப்படுகிறதென்றும் கொள்க.
அம்மரத்துண்டு ஓய்விலிருக்குமாறு அவ்விழைகளினுடைய இழுவைகள் செப்பஞ் செய்யப்பட்டால், அம்மூன்று விசைகளும் சமநிலையில் இருக்கும். என்பது பெறப்படுகின்றது.
எனின், அவ்விசைகளுள் இரண்டு சேர்ந்து மூன்றாவதற்குச் சமனும். எதிருமாயுள்ள ஒரு விசையை உஞற்றல் வேண்டும். மூன்றாவதற்குச் சம், னும் எதிருமாயுள்ள இவ்விசை முதலிரண்டின் விளையுளெனக் கூறப்படும்.
22. விளையுள். வரை. இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட P.Q,S...என்னும். விசைகள் விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது தாக்க இவ்விசைகளுடைய விளைவிற்குச் சமனான. ஒரு விளைவைத் தரத்தக்க ஒரு ஒரே விசை R என்பது காணப்படுமாயின், இவ் ஒரே விசை R என்பது ஏனை விசைகளின் விளையுளென்றும், P,Q,S... என்னும் விசைகள் R இன். உறுப்புக்கள் என்றுங் கூறப்படும்.
விசை R இற்குச் சமனுமெ திருமாயுள்ள ஒரு விசையானது அப் பொருளின் மீது பிரயோகிக்கப்படின், அப்பொருளின்மீது தாக்கும் விசை. கள் சமப்படுமென்றும் அப்பொருள் சமநிலையை அடையுமென்றும் வரை விலக்கணத்திலிருந்து பெறப்படும் ; மறுதலையாக, ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் விசைகள் சமப்பட்டால், அவற்றுள் யாதாயினும் ஒன்று எனைய வற்றின் விளையுளுக்குச் சமனும் எதிருமாயிருக்கும்.
23. ஒரு நேர்கோட்டிலே தாக்குகின்ற விசைகளின் விளையுள். இரு விசைகள் ஒரு பொருளின்மீது ஒரே திசையிலே தாக்கினால், அவற்றின் விளையுள் அவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமன் என்பது தெளிவு ; இவ்வண்ண மாக, 5 இறா., 7 இறா. என்னும் நிறைகளுக்குச் சமமாய் ஒரே திசையிலே தாக்குகின்ற இரு விசைகள் அதே திசையிலே தாக்குகின்ற 12 இறா.. நிறை விசைக்குச் சமம்.
இரு விசைகள் ஒரு பொருளின்மீது எதிர்த்திசைகளிலே தாக்கினால், அவற்றின் விளையுள் அவற்றின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாய்ப் பெரியதன் திசையிலே தாக்கும் ; இவ்வண்ணமாக, 9 இறா., 4 இறா. என்னும் நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் எதிர்த்திசைகளிலே தாக்கினால், அவை முதலாவதன் திசையிலே தாக்குகின்ற 5 இறா. நிறை விசைக்குச் சமம்.

Page 12
நிலையியல்
24. இரு விசைகள் விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது வேறு வேறு திசைகளிலே தாக்கினால், அவற்றின் விளையுளைப் பின்வருவதைக்கொண்டு காணலாம்.
தேற்றம். விசையிணைகரம். ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற இரு விசைகள் ஓரிணைகரத் தின் கோணப் புள்ளி ஒன்றிற்கூடாக வரையப்படும் இரு பக்கங்களாலே பருமனிலும் திசையி லும் குறிக்கப்பட்டால், அவற்றின் விளையுள் அச்கோணப் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் அவ்விணை கரத்தின் மூலைவிட்டத்தாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்படும்.
நிலையியலிலுள்ள இவ்வடிப்படையான தேற்றம், அல்லது இதன் வேறொரு வடிவான விசை முக்கோணி என்பது (பிரிவு 36) முதன்முதல் 1586 ஆம் ஆண்டில் புருகேஸ் ஸ்ற்றெவினசால் (Stevinus of Bruges) விவரணவடிவிலே தரப்பட்டது. அவர் காலத்துக்கு முன் நிலையியல் என் னும் விஞ்ஞானம் நெம்புத் தத்துவத்தையே அடிப்படையாகக் கொண்டது. பின்வரும் பிரிவில் ஒரு பரிசோதனை முறை நிறுவலைத் தருவோம் ; முறைமையான நிறுவல் ஈற்றதிகாரத்திற் காணப்படும்.
இந்நூலின் பகுதி II இலுள்ள பிரிவு 72 இலே நியூற்றனின் இயக்க விதிகளை ஆதாரமாகக் கொண்ட ஒரு நிறுவல் காணப்படும்.
பி
--... - 2
5
25. பரிசோதனை முறை நிறுவல். F, G என்பன ஒரு நிலையான ஆதாரத்திற்குத் தொடுத்த இரண்டு இலேசான கப்பிகளாகுக; அவற்றின்

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
மீது 0 வில் ஒருமித்துக் கட்டியுள்ள இரண்டு இலேசான இழைகள் செல்லட்டும் ; அவற்றின் மற்றை முனைகள் L, M என்னும் இரு தராசுத் தட்டுக்களைக் காவுகின்றனவென்க.
இரண்டாம் இழையொன்று 0 விலே முடிச்சிடப்பட்டு மூன்றாந் தராசுத் தட்டு N என்பதைக் காவுகிறதென்க.
இத்தராசுத் தட்டுக்களிலே தெரிந்த நிறைகள் இடப்பட, முழுத்தொகுதி யும் சமநிலையை அடையுமாறு விடப்படுகின்றது. அத்தராசுத் தட்டுக்களி னுடைய நிறைகளோடு அவற்றிலுள்ள நிறைகளானவை முறையே P, Q, R. ஆகுக.
அத்தொகுதிக்குப் பின்புறமாக வசதியாய் வைக்கப்பட்டுள்ள ஒரு கரும் பலகைமீது, அல்லது ஒரு தாளின்மீது உருவத்திலுள்ளவாறு OF, OG, ON என்னுங், கோடுகளை வரைக.
வசதியான ஓரளவிடையை (இறாத்தலுக்கு 3 அங்குலம், அல்லது குறைந்ததொன்றை) கைக்கொண்டு P, Q, R என்பனவற்றைக் குறிக்கும்படி OA, OB, OD என்பனவற்றைக் குறிக்க . OACB என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க. எனின், 00, என்பது OD என்பதற்கு நீளத் திற் சமனாயுந் திசையில் எதிராயுங் காணப்படும்.
ஆனால், P, Q, R என்பன சமப்படுமாதலால், R என்பது P, Q என்பனவற்றின் விளையுளுக்குச் சமனுமெதிருமாதல் வேண்டும்.
ஆகவே, P, Q என்பனவற்றின் விளையுள் 00 யாற் குறிக்கப்படும் ; அதாவது அது P, Q என்பனவற்றைக் குறிக்கின்ற பக்கங்களையுடைய ஓரிணை கரத்தின் மூலைவிட்டத்தாற் குறிக்கப்படும்.
P, Q, R என்பனவற்றினுடைய தொடர்புப் பருமன்கள் எவையாயிருந் தாலும் அவற்றுள் ஒன்று ஏனையிரண்டின் மொத்தத்தினுங் கூடுதலாயில்லா திருந்தாலே இது உண்மையாகும்.
உருவத்தில், P, Q,R என்பன முறையே 4, 3, 5 இறாத்தலாகக் கொள்ளப்பட்டன. இங்கு 52=42+32 ஆதலால், AOB என்பது ஒரு செங்கோணமாகும்.
இப்பரிசோதனையைச் செய்யும்போது புள்ளி 0 என்பதை ஒன்றுக் கொன்று அண்மையான பல நிலைகளுக்கு அசைக்கலாமென்பது காணப் ப டும். இதற்குக் காரணம் அக்கப்பிகளின் சுழலையிலுள்ள உராய்வை முற்றும் நீக்கல் எம்மால் முடியாதென்பதே. அக்கப்பிகள் ஒரளவிற்குப் பெரிய விட்டங்களுடையனவாயின், இப்பரிசோதனையிலும் இதனைப் போன்ற பிற நிலையியற் பரிசோதனைகளிலும் இவ்வுராய்வின் விளையுள் மிகக் குறைக்கப்படும் ; ஒத்துப்பார்க்குமிடத்து அலுமினியக் கப்பிகளானவை பெரிய பருமனைக் கொண்டனவாயினுஞ் சிறிய நிறையுள்ளனவாயிருக்கு மாதலால், அவை வசதியாகும்.

Page 13
10
நிலையியல்
மேலுள்ள உருவத்திற் காட்டிய திடமான ஆய்கருவி பரும்படியா ஒரு பரிசோதனைக்குத் தேவைப்படாது. F, G என்னும் கப்பிகளிலே துவாரங் -களைத் தொளைத்து அவற்றிற்கூடாக ஊசித்துறப்பணங்களை இட்டு நிலைக்குத்
தான ஒரு கரும்பலகைக்குள்ளே தள்ளிவிடலாம்.
மேற்றந்த பரிசோதனையிலுள்ள கப்பிகளும் நிறைகளுஞ் சோல்ற்றரின் மூன்று விற்றராசு களாற் பதிலிடப்படலாம். இத்தராசுகளுள் ஒவ்வொன்றும் அளவுகோடிட்ட ஒரு முகத்திலே மேலுங் கீழுமாகச் செல்லும் ஒரு காட்டியினால் அதன் முனையிலுள்ள கொளுக்கிக்கு என்ன விசை பிரயோகிக்கப்படுகின்றதெனக் காட்டும்.
மூன்று இலேசான இழைகள் 0 விலே முடிச்சிடப்பட்டு விற்றராசுகளுடைய முனைகளுக்குத் தொடுக்கப்படுரின்றன. அம்மூன்று தராசுகளும் வசதியான இழுவைகள் எவற்றையேனுங் காட்டும் வண்ணம் இழுக்கப்பட்டு ஒரு இடை மேசைமீது வைக்கப்பட்டு உருவத்திற் காட்டியபடி கொளுக்கிகளால், அல்லது ஆணிகளால் அம்மேசையிலே நிலையாக்கப்பட்டிருக்கின்றன. ஆயின், அத்தராசுகளுடைய அளவீடுகள் அம்மூன்று இழைகளுடைய இழுவைகள் P, Q, R என்பனவற்றைத் தரும்.
10
நணா -
5: *
முந்திய பரிசோதனையிற் போல், வசதியான யாதுமோர் அளவுத்திட்டத்தில், P, Q, R என்பனவற்றைக் குறிப்பதற்கு OA, OB 00 என்னுங் கோடுகளை வரைந்து 0C என்பது OA, OB என்பனவற்றை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் மூலைவிட்டம் OD என்பதற்குப் பருமனிற் சமனாயுந் திசையிலே திட்பமாய் எதிராயும் உள்ளதென வாய்ப்புப் பார்க்கின்றோம்.
26. இரு விசைகளின் விளையுளுடைய திசையையும் பருமனையும் காண் பதற்கு அவ்விசைகளைக் குறிக்கின்ற இரண்டு பக்கங்கள் கொண்ட ஓரிணைகரத் தின் மூலைவிட்டத்தினுடைய பருமனையும் திசைகளையும் காணல் வேண்டும்.
'உ-ம் 1, செங்கோணங்களிலே தாக்குகின்ற இருவிசைகளானவை முறையே 12 இறா., 5 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமானால், அவ்விசைகளின் விளையுளைக் காண்க.
OA, OB என்பன அவ்விசைகளாகுக: ஆயின் , OA என்பது 12 நீளவலகுகளாயும் OB என்பது 5 நீளவலகுகளாயுமிருக்கும்;
OACB என்னுஞ் செவ்வகத்தை முடிக்க. ஆயின், OCe=OA2+AC = 122 +52=169. : Oc=13.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
AC அன்றியதுதான். AC 5 அன்றியும், தான் COA =0A = 12 எனின், வேண்டிய விளையுள் முதல் விசையோடு கோணம் தான் - 15.
(அதாவது ஏறத்தாழ 22°37') என்பதை ஆக்குகின்ற 13 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாகும்.
உ-ம் 2. 60° கோணத்திலே தாக்குகின்ற விசைகள் இரண்டு முறையே 5 இறா., 3 இரு. நிறைகளுக்குச் சமமாயின், அவ்விசைகளின் விளையுளைக் காண்க.
OA, OB என்பன அவ்விசைகளைக் குறிக்க ; ஆயின், OA என்பது 5 நீளவலகுகளாபும் OB என்பது 3 நீளவலகுகளாயுமிருக்கும் ; அன்றியும் 2 AOB=60° ஆகுக.
OACB என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க : CD என்பதை OA யிற்குச் செங்குத்தாய் வரைக. ஆயின் OC என்பது வேண்டிய விளையுளைக் குறிக்கும்.
இப்பொழுது, AD = AC கோசை CAD = 3 கோசை 60° = : ஃ OD = 23.
அன்றியும், DC = AC சைன் 60° = 3
> 3 V3
ஃ ,oc = Von + DC? = V142 + 2 = / 49 = 7,
தான் coD = மே = 1 = -3997.
A D
எனின், வேண்டிய விளையுள் OD யோடு தனது தான்சன் •3997 ஆகவுள்ள ஒரு கோணத்தை ஆக்குகின்ற ஒரு திசையில் 7 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை யாகும்.
இயற்கைத் தான்சன் அட்டவணையைப் பார்க்க, இக்கோணம் ஏறத்தாழ 21° 47" ஆகுமென எளிதிற் காணலாம்.
27. கோணம் aவிலே தாக்குகின்ற P, Q என்னும் இரு விசைகளின் விளையுள் R என்பதைத் திரிகோண கணிதத்தால் எளிதில் பெறலாம்.
OA, OB என்பன கோணம் aவிலே தாக்குகின்ற P, Q என்னும் விசைகளாகுக.
OACB என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க ; CD என்பதை OA யிற்கு, அல்லது வேண்டுமாயின், நீட்டிய OA யிற்குச் செங்குத்தாய் வரைக.

Page 14
12
நிலையியல்
R என்பது விளையுளின் பருமனைக் குறிக்க. ஆயின், OD = 0A + AD = OA + AC கோசை DAC
= P + Q கோசை BOD = P + Q கோசை a. [D என்பது இரண்டாமுருவத்தில் உள்ளவாறு 0, A என்பனவற்றிற்கு இடையே விழுந்தால்,
OD = OA - DA = OA - AC கோசை DAC
= P-Q கோசை (180° - a) = P+Q கோசை ]
B
அன்றியும், DC = AC சைன் DAC=Q சைன ய.
ஃ R2 = 002 = OD2 + CD2 = (P +Q கோசை a) + (Q சைன் a)? =P2 +Q2 +2 PQ கோசை .. ஃ R = V P2 + 2 + 2PQ கோசை ....
(i). DC
Q சைன் a அன்றியும், தான் COD = ?
ODP +Q கோசை 2
(ii).'
இந்த இரு சமன்பாடுகளும் விளையுளின் வேண்டிய பருமனையும் திசை யையுந் தருகின்றன.
கி. தே. 1 அவ்விசைகள் செங்கோணங்களில் இருந்தால், நாம் பெறுவது 1 = 90° ஆயின்
R = VP* + Q', தான் COA = :
கி. தே. 2. விசைகள் ஒவ்வொன்றும் P யிற்குச் சமனாயின், நாம் பெறுவன
R = V P2 (1 +1 + 2 கோசை a) = PV 2(1 + கோசை a)
=P.
4 /2.2 கோசை2 - = 2P கோசை - என்பதும்
2 சைன் * கோசை :
தான 004 - /*...' - தான;
P சைன் a தான் COA = -
P + P கோசை 4
= தான் -
2 கோசை? -
81N
என்பதுமாகும்.
ஆகவே, இரு சம விசைகளின் விளையுள் அவற்றின் இடையேயுள்ள கோணத்தை இரு கூறிடும் ; இது முதற் கோட்பாட்டிலிருந்து தெளிவாகும்.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
13
பயிற்சி 1 1. பின்வரும் உதாரணங்கள் ஏழிலும், P, Q என்பன கோணம் . விலே தாக்குகின்ற இரண்டு கூற்று விசைகளையும், R என்பது அவற்றின் விளையுளையுங் குறிக்கின்றன. (முடிபுகல் வரைபாலும் அளவீட்டினாலும் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படல் வேண்டும்.)
(1). P = 24 ; Q = 7; a = 90° ; ஆயின், R ஐக் காண்க. (ii). P = 13 ; R = 14 ; 1 = 90° ; ஆயின், Q வைக் காண்க. (ii). P = 7; Q = 8 ; a = 60° ; ஆயின், R ஐக் காண்க. (iv). P = 5; Q = 9; 2 = 1200 ; ஆயின், R ஐக் காண்க. (v). P = 3; =ெ 5; R = 7; ஆயின், aவைக் காண்க. (vi). P = 13 ; Q = 14 ; a = சைன் - 113 ஆயின், R ஐக் காண்க. (vii). P = 5; R = 7 ; a = 60° ; ஆயின், Q வைக் காண்க. 2. 12 இறா., 8 இறா. என்னும் நிறைகளை முறையே தம் பருமன்களாகக் கொண்ட இழுவைகளுடைய மிகப் பெரிய விளையுளையும் மிகச் சிறிய விளையுளையும் காண்க.
3. 3, 4, 5, 6 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் ஒரு துணிக்கை மீது முறையே வடக்கு, தெற்கு, கிழக்கு, மேற்கு என்னும் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; அவற் றின் விளையுளுடைய பருமனையும் திசையையும் காண்க.
4. 84 இறா., 187 இறா. என்னும் நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் செங்கோணங்களிலே தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளை காண்க.
5. TP, Pv2 இறா. நிறையைத் தம் பருமன்களாகவுள்ள இரு விசைகள் ஒரு துணிக்கை மீது ஒன்றுக்கொன்று 135° கோணத்திற் சாய்ந்த திசைகளிலே தாக்குகின்றன ;விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க.
6. 60° என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற இரு விசைகளுக்கு 2/3 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விளையுள் உண்டு. அவ்விசைகளுள் ஒன்று 2 இறா. நிறையாயின் மற்றை விசையைக் காண்க.
7. தனது தான்சன் & ஆயுள்ள ஒரு கோணத்தில் தாக்குகின்ற 13 இரா., 11 இறா. நிறைகளுக்கு முறையே சமமான இரு விசைகளின் விளையுளைக் காண்க. வரைதலால் சரிபிழை பார்க்க.
8. தனது தான்சன் ஆயுள்ள ஒரு கோணத்திலே தாக்குகின்ற 10 இறா., 9 இறா. என்னும் நிறைகளுக்கு முறையே சமமான இரு விசைகளின் விளையுளைக் காண்க. வரைதலால் சரிபிழை பார்க்க..
9. இரண்டு சமவிசைகள் ஒரு துணிக்கைமீது தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளின் வர்க்கம் அவற்றின் பெருக்கத்தின் மும்மடங்குக்குச் சமனாயின், அவற்றின் இடையே உள்ள கோணத்தைக் காண்க.
10. இரு விசைகள் செங்கோணங்களிலே தாக்கினால் அவற்றின் விளையுள் V10 இறா. நிறையாயும் 60° கோணத்திலே தாக்கினால் அவற்றின் விளையுள் V13 இறா. நிறையாயும் இருக்கின்றனவாயின், அவ்விரு விசைகளுடைய பருமனைக் காண்க.
11. P என்னும் இரு சம விசைகளின் விளையுள் (1) P மிற்குச் சமனாயின் (ii) இற்குச் சமனாயின், அவற்றிடையே உள்ள கோணத்தைக் காண்க.
12. A+ B, A-B என்பனவற்றிற்குச் சமமான இரு விசைகளின் விளையுள் VA+B? ஆகும்வண்ணம், அவ்விசைகள் என்ன கோணத்திலே தாக்கும் ?

Page 15
14
நிலையியல்
13. தந்த இரு விசைகள் ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்றன ; தந்த பருமனையுடைய மூன்றாம் விசையொன்று எத்திசையிலே தாக்கினால், அம் மூன்றினுடைய விளையுள் கூடிய வளவு பெரிதாகுமெனக் காண்க.
• 14. வரைதலால் மட்டும் பின்வருவனவற்றைத் தீர்க்க.
(i). P = 10; Q = 15 ; 4 = 37°; ஆயின், R ஐக் காண்க. (ii). P = 9 ; Q = 7 ; a = 133° ; ஆயின், R ஐக் காண்க. (i). P = 7: Q = 5; R = 10 ; ஆயின், 2 வைக் காண்க. (iv). P = 7-3; R = 8•7 ; a = 65° ; ஆயின், Q வைக் காண்க. 28. பருமனும் திசையும் தரப்பட்ட இரு விசைகளுக்கு ஒரு விளையுளே உண்டு ; 'அதற்குக் காரணம் OA, OB என்னும் இரு கோடுகளை (உரு. பிரிவு 27) அடுத்துள்ள பக்கங்களாக ஓரிணைகாமே அமைக்கப்படலாம் என்பது.
29. ஒரு விசையை முடிவின்றிப் பல வழிகளில் இரு கூறுகளாகத் துணிக்கலாம்; அதற்குக் காரணம் 0C என்பதை ஒரு மூலைவிட்டமாக
முடிவின்றிப் பல் இணைகரங்கள் அமைக்கப்படலாம் என்பதும் இவ்விணை ) கரங்களுள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு சோடி அத்தகைக் கூறுகளைத் தரும் என்பதுமே.
30. ஒரு விசையை ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள இரு கூறுகளாகத் துணித்தலே விசைத்துணிப்பு வகைகளிலே மிக முக்கியமானது.
0C என்பதாற் குறிக்கப்படும் F என்னும் ஒரு விசையை ஒன்று OA என்னுந் திசையிலும் மற்றையது OA யிற்குச் செங்குத்தான திசையிலுமா யுள்ள இறு கூறுகளாகத் துணிக்க விரும்புகின்றோம் எனக் கொள்க.
CM என்பதை OA யிற்குச் செங்குத்தாய் வரைந்து OMON என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க . OM, ON என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசை களுக்கு 00 என்னும் விசை விளையுளாகும் ; ஆயின், OM, ON என் பனவே வேண்டிய கூறுகளாகும்.
ZAOC என்பது % ஆகுக.,
ஆயின் OM = 0C கோசை a = F கோசை ;
ON = MC = OC சைன் 6 = F சைன் .. [புள்ளி M ஆனது இரண்டாம் உருவத்திற்போலப் பிற்பக்கமாக நீட்டிய OA யிற் கிடந் தால்,, திசை OA யில் F இன் கூறு.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
15
- -OM - -00கோசை CMO - -00 கோசை (180° -.a)
= 00 கோசை a - Fகோசை 2 அன்றியும், OA யிற்குச் செங்குத்தான கூறு
= ON = MC =OC சைன் COM= F சைன் ) எனின், ஒவ்வொரு வகையிலும் வேண்டிய கூறுகள்.
F கோசை a, F சைன் C. என்பனவாகும்.
இவ்வண்ணமாக, கிடையுடன் 60° கோணத்திலே. தாக்குகின்ற 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாது ஒரு கிடைத்திசையில் 10 கோசை 60° (= 10 x 4 = 6 இறா. நிறை) இற்கும் ஒரு நிலைக்குத்துத் திசையில் 10 சைன் 60° (= 10 x -
- = 5 x 1.732 = 8-66
இறா. நிறை) இற்கும் சமன்.
31. வரை.. - தந்தவொரு
அ திசையிலே ஒரு குறித்த > விசையின், துணித்த பகுதியானது அத்திசைக்குச் செங்குத்தான திசையிலுள்ள ஒரு கூற்றோடு சேர்ந்து அக்குறித்த விசைக்குச் சமனாயிருக்கின்ற, தந்த திசையி லுள்ள கூறாகும்.
இவ்வண்ணம் முந்திய பிரிவில் OA என்னுந் திசையில் விசை F இன் துணித்த பகுதி F கோசை ஆகும். எனின்,
தந்தவொரு திசையிலே ஒரு குறித்த விசையின் துணித்த பகுதி தந்த விசையைத் தந்த விசைக்குந் தந்த திசைக்கும் இடையிலுள்ள கோணத்தின் கோசைனாற் பெருக்குதலாற் பெறப்படும்.
32. ஒரு விசை தனது தாக்கக் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான திசையிலே ஒரு விளைவையும் ஆக்கல் முடியாது. விசை ON என்பது 0 வில் உள்ள ஒரு துணிக்கையை, நீட்டிய AO என்னுந் திசையிலும், OA என்னுந் திசையிலும் இயக்கும் நாட்டமேதும் உண்டென்பதற்கு நியாயம் இல்லை என்பதே இதற்குக் காரணம். எனின், விசை ON என்பதற்கு அத் துணிக்கையைத் திசை OA யிலோ நீட்டிய A0 விலோ இயக்கும் நாட்டமேதும் இருத்தல் முடியாது..
உதாரணமாக, ஓரிருப்புப்பாதை வண்டி ஓரிருப்புப்பாதையில் ஓய்விலே, நின்றால், அப்பாதைகளுக்குச் செங்குத்தான திசையிலே கிடையாகத் தாக்கு கின்ற யாதுமொரு விசையினால் அப்பாதைகளின் நீளத்துக்கு அதனை இயக்கல் முடியாது.
33. தந்தவொரு திசையிலே தந்தவொரு விசையின் துணித்த பகுதி அ த்தந்த திசையில் அவ்விசையின் முழு விளைவையுங் குறிக்கின்றது, விசை 00 என்பது (படம் பிரிவு 30) விசைகள் ON, OM என்பன வற்றாலே முற்றாய்க் குறிக்கப்படுகின்றது என்பதே அதற்குக் காரணம்.

Page 16
16
நிலையியல்
சம
"ஆக்
தூ
100
ஆனால், விசை ON என்பதற்குத் திசை OA யில் ஒரு விளையுள் இல்லை. எனின், திசை OA யில் விசை F இன் முழுவிளைவும் OM ஆல் அதாவது திசை OA யிலுள்ள அவ்விசையின் துணித்த பகுதியாற் குறிக்கப்படுகின்றது.
34. ஒரு விசையை எவையேனும் இரண்டு குறித்த திசைகளில் இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம்.
AC யினாற் குறிக்கப்பட்ட F என்னும் ஒரு விசைக்கு OA, OB என்னுந் திசை களிலுள்ள கூறுகள் வேண்டியனவாகுக ; கோணங்கள் AOC, COB என்பன முறையே a, 8 என்பனவாகுக. CM என்பதை OB யிற்குச் சமாந்தரமாய் OA என்பதை M இற் சந்திக்கும்படி வரைக ; OMON என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க.
ஆயின், OM, ON என்பனவே வேண்டிய கூறுகளாகும். MC, QN என்பன சமாந்தரமாதலால், நாம் பெறுவது
சரிபி
என் வாய்
கொல்
N/8
இரு
8.
ஒரு
கான்
9. அவ்
பரும்
10
இரு மற்ல
11
MC
விகை
'சைன் 6 = MIC -
பிரிக்
0COM = 3 ; அன்றியும் OMC = 180° -CMA = 180° - (a + 8). முக்கோணி OMC யினுடைய பக்கங்கள் எதிர்க் கோணங்களுடைய செலல்"9ா? சமமாகையால், நாம் பெறுவது.
OM
MC
0C சைன் OCM சைன் MOC சைன் OMC
OM
F சைன் 6
சைன் சைன் (a + 6) எனின், வேண்டிய கூறுகள்
உசைன் 8- சைன் a
என்பனவாகும். சைன் (a + 6)',
சைன் (a + 3) 35. குறித்த இரு திசைகளில் ஒரு விசையினுடைய கூறுகள் இத் திசைகளில் அவ்லிசையினுடைய துணித்த பகுதிகள்" ஆகா என்பதை மாணாக்கன் கவனமாகக் குறித்தல் வேண்டும். உதாரணமாக, திசை OA மில் IF இன் துணித்த பகுதி பிரிவு 30 இன்படி F கோசை ..
ஓரெ குறிச்
பயிற்சி II
1. 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை கிடைத் திசைக்கு 30° கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கின்றது ; அதனுடைய துணித்த பகுதிகளை முறையே கிடைத் திசையிலும் நிலைக்
குத்துத் திசையிலுங் காண்க.
2. தனது திசையோடு (1) 45° கோணத்தை (2) கோசை -1 (18) இற்குச் சமனான ஒரு கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு திசையில், P என்னும் ஒரு விசையின் துணித்த பகுதியைக் காண்க.
AB(

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
17
ஒரு வண்டி ஓர் இருப்புப்பாதையில் ஓய்வில் இருக்கின்றது ; அது 100 இறா. நிறைக்குச் மன ஒரு கிடை விசையினால் அப்பாதைகளின் திசையோடு 60° என்னுங் கோணத்தை தந் திசையில் இழுக்கப்படுகின்றது ; என்ன விசை அவ்வண்டியை முற்பக்கமாகத் எட முயலுகின்றது?
ஒன்றுக்கொன்று 60° என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற இரண்டு சம விசைகளாக இறா. நிறை என்னும் ஒரு விசையைத் துணிக்க. ஒரு வரைபாலும் அளவீட்டினாலும் ழை பார்க்க.
50 இறா. நிறை கொண்ட ஒரு விசையை அதனோடு எதிர்ப் பக்கங்களில் 60°, 45° னுங் கோணங்களை ஆக்கும் இரு விசைகளாகப் பிரிக்க. ஒரு வரைபாலும் அளவீட்டினாலும் ப்புப் பார்க்க.
ஒரு விசை P யினுடைய கூறுகளை அதனோடு எதிர்ப் பக்கங்களில் 30°, 45° என்னுங் ணங்களை ஆக்கும் இரு திசைகளிற் காண்க.
P என்னும் ஒரு விசை அதன் திசையோடு 45°, 15° என்னுங் கோணங்களை ஆக்கும் விசைகளாகத் துணிக்கப்பட்டால், பின்னதாகிய விசை " P எனக் காட்டுக.
- தந்தவொரு நிலைக்குத்து விசை F என்பதைத் தம் விளையுளாகக் கொண்ட கிடை விசையையும் நிலைக்குத்தோடு 60° கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு விசையையும்
எக.
ஒரு விசையானது ண்டு கூற்று விசைகளாகத் துணிக்கப்பட, அவற்றுள் ஒரு கூறு விசைக்குப் பருமனிற் சமனாய்ச் செங்கோணங்களில் இருந்தால், மற்றைக் கூற்றினுடைய மனையும் திசையையும் காண்க. -
. நிலைக்குத் திலே மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற 20 இறா. நிறை விசையொன்று விசைகளாகத் துணிக்கப்படுகின்றது. ஒரு விசை கிடையாய் 10 இறா. நிறைக்குச் சமனாயின், மற விசையினுடைய பருமனையும் திசையையும் காண்க. . ஒரு வரைபமைப்பினாலும் அளவீட்டினாலும் 35 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு சயை அதனோடு எதிர்ப் பக்கங்களில் 98°, 40° என்னுங் கோணங்களை ஆக்குங் கூறுகளாகப்
க.
6. விசை முக்கோணி. ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் Tழுங்கில் எடுத்த ஒரு முக்கோணிப் பக்கங்களாற் பருமனிலும் திசையிலும் ககப்பட்டால் அவை சமநிலையிலிருக்கும்.
ள்ளி 0 விலே தாக்குகின்ற விசைகள் P, Q, R என்பன முக்கோணி D யினுடைய பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படுக. ஆயின், அவை சமநிலையில் இருக்கும்.

Page 17
18
நிலையியல்
ABCD என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க.
BC, AD என்பன சமமுஞ் சமாந்தரமுமாகையால், BC, AD என்பன
• வற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகள் ஒன்றாகும்.
இனி, AB, AD என்னும் விசைகளின் விளையுள் விசையிணைகரத்தால் AC யினாற் குறிக்கப்படும்.
எனின், AB, BC, CD என்பனவற்றின் விளையுள் AC, CA என்னும் விசைகளின் விளையுளுக்குச் சமன் ; ஆகையால், அது பூச்சியமாகும். எனின், P, Q, R என்னும் மூன்று விசைகளுஞ் சமநிலையிலிருக்கின்றன.
கி. தே. AB, BC, CA என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகள் சமநிலையிலிருக்கின்றமையாலும், இம்மூன்று விசைகளும் சமநிலையிலிருக் கும்பொழுது ஒவ்வொன்றும் ஏனை இரண்டின் விளையுளுக்குச் சமனும் எதிருமாய் இருக்கின்றமையாலும், AB, BC என்பனவற்றின் விளையுள் CA யிற்குச் சமனும் எதிருமாயிருக்கும் என்பது பெறப்படும் ; அதாவது. அவற்றின் விளையுள் AC யினாற் குறிக்கப்படும்.
எனின், ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற இரு விசைகள் ஒரு முக்கோணி யின் பக்கங்கள் AB, BC என்பனவற்றாற் குறிக்கப்பட்டால், அவற்றின் விளையுள் மூன்றாம் பக்கம் AC யினாற் குறிக்கப்படும்.
37. விசை முக்கோணியில், விசைகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஒரு முக்கோணிப் பக்கங்களுக்குச் சமாந்தரமாயிருத்தல் வேண்டும் என்பதை மாணாக்கன் கவனமாகக் குறித்தல் வேண்டும் )
அதாவது அவ்வொழுங்கு ஒரேவழிச் சுற்றாதல் வேண்டும்.
உதாரணமாக, முதலாம் விசை திசை AB யிலே தாக்கினால், இரண்டாம் விசை திசை BC யிலும் மூன்றாம் விசை திசை CA யிலுந் தாககல் வே தdo) (ரம் ; இரண்டாம் விசை திசை BC யிற்குப் பதிலாகத் திசை CB யிலிருந்தால், மாவலிசைகள் சம நிலையிலே நிலலா. "அன்றியும், அம் மூன்று விசைகளும் ஒரு புள்ளியிலே தாக்கல் வேண்டும் ; அவ்விசை களுடைய தாக்கக் கோடுகள் BC, CA, AB என்பனவெனின், அ வலிசைகள் சமநிலையிலே நில்லா. விசைகள் AB, BC என்பனவற்றிறகு AC யிற்குச் சமாந்தாமாய் B யிலே தாக்குகின்ற ஒரு விளையுள் உண்டாகும் என்பதே இதற்கு கார கணம். ஆயின், அவ்விசைத் தொகுதி எதிர்த்திசைகளிலே தாக்குகின்ற சமனுமெதிருமாளள (இரு விசைகளாக ஒடுங்கும் ; பின்வரும் ஓரதிகாரத்திலே அத்தகை விசைச்சோடி சமநிலையிலே நில்லாதெனக் காண்போம்.
38. விசை முக்கோணியின் மறுதலையும் 22. விண்மையாகும் ; அது பின் வருமாறு :
ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் சமநிலையிலே நின்றால், அவை அவ் விசைகளுடைய திசைகளுக்குத் தன்னுடைய பக்கங்கள் முறையே சமாந்தரமாயிருக்கும்படி வரையப்பட்ட யாது மொரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்களாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக் கப்படலாம்...
ஒரு புள்ளி 0 விலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் P, Q, R என்பன சமநிலையிலே நிற்க, P, Q என்பனவற்றினுடைய திசைகளில் இவ்

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
: 19
விசைகளைக் குறிக்கும்படி முறையே OL, OM என்பனவற்றை அளந் தெடுக்க .
OLNM என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க ; ON என்பதைத் தொடுக்க. P, Q, R என்னும் விசைகள் மூன்றுஞ் சமநிலையிலே இருக்கின்றமை யால், ஒவ்வொன்றும் ஏனையிரண்டின் விளையுட்குச் சமனுமெதிருமாய் இருத்தல் வேண்டும். எனின், R என்பது P, Q என்பனவற்றின் விளை
M
யுட்குச் சமனும் எதிருமாய் இருத்தல் வேண்டும் ; ஆகவே, அது NO என் பதாற் குறிக்கப்படல் வேண்டும். அன்றியும், LN என்பது OM என்ப
தற்குச் சமனாயுஞ் சமாந்தரமாயும் உள்ளது.
எனின், விசைகள் P, Q, R என்னும் மூன்றும் A OLN இனுடைய பக்கங்கள் OL, LN, NO என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் விகிதசம்
மாயும் இருக்கும்.
தன்னுடைய பக்கங்களானவை முறையே A OLN இனுடைய பக்கங் களுக்குச் சமாந்தரமாயுள்ள வேறு யாதுமொரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்கள் A OLN இனுடைய பக்கங்களுக்கு விகித சமமாய், அது பற்றி அவ்விசைகளுக்கும் விகிதசமமாயிருக்கும்.
இன்னும், தன்னுடைய பக்கங்களானவை முறையே A OLN இனுடைய பக்கங்களுக்குச் செங்குத்தாயுள்ள யாதுமொரு முக்கோணியினுடைய பக்கங் கள் A OLN இனுடைய பக்கங்களுக்கு விகித சமமாய், அதுபற்றி அவ்விசைகளுக்கும் விகிதசமமாய் இருக்கும்.
39. பருமன் தெரிந்த மூன்று விசைகள் சமநிலையில் இருக்கும் போதுள்ள அவற்றின் தொடர்புத்திசைகளைத் துணிதற்கு முந்திய பிரிவிலுள்ள விவரணம் எளிதான ஒரு வரைபு முறையைத் தருகின்றது. பக்கங்கள் அவ்விசைகளுக்கு விகிதசமமாயுள்ள ஒரு முக்கோணியை நாம் அமைத்தல் வேண்டும், இயூக்கிளிட்டு I. 22 இன்படி அவ்விசைகளுள் இரண்டைக் கூட்டவருங் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவதிலுஞ் சிறிதானாலன்றி இது என்றுஞ் செய்யக் கூடியது.
40. லாமியின் தேற்றம். மூன்று விசைகள் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக் இக் கொண்டு அதனைச் சமநிலையில் வைத்திருக்குமாயின், ஒவ்வொன்றும் ஏனையிரண் டிற்கும் இடையிலுள்ள கோணத்தின் சைனிற்கு விகிதசமம்.
3- R. 6764 (6/65)

Page 18
20
நிலையியல்
பிரிவு 38 இல் உள்ள உருவத்தை எடுக்க ; விசைகள் P, Q, R என்பன சமநிலையில் இருக்கட்டும். முன்போல், விசைகள் P, Q என்பனவற்றைக் குறிப்பதற்கு OL, OM என்பனவற்றை அளந்தெடுக்க ; OLNM என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க . ஆயின், NO என்பது R என்பதைக் குறிக்கும்.
A OLN இனுடைய பக்கங்கள் எதிர்க்கோணங்களுடைய சைன்களுக்கு விகிதசமமாகையால்,
OL
LN
NO சைன் LNO = சைன் LON = சைன் OLN ஆனால், சைன் LNO=சைன் NOM=சைன் (180° -QOR) =சைன் QOR.
சைன் LON = சைன் (180° -LOR) = சைன் ROP.
சைன் OLN = சைன் (180° - POQ) = சைன் POQ. அன்றியும்,
LN = OM.
OM
NO எனின், சைன் QOR =சைன் ROP - சைன் PoQ'
R அதாவது,
சைன QORசைன் ROP சைன் POQ'
OL
41. விசைப்பல்கோணி. ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்குகின்ற எத்தொகை விசைகளும் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஒரு பல்கோணியினுடைய பக்கங்களாற் பருமனி லும் திசையிலும் குறிக்கப்பட்டால், அவ்விசைகள் சமநிலையிலும் இருக்கும்.
ABCDEF என்னும் பல்கோணியின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DE EF, FA என்பன 0 என்னும் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்கும் விசைகளைக் குறிக்க . AC, AD, AE என்பனவற்றைத் தொடுக்க.
பிரிவு 36 இலுள்ள கிளைத்தேற்றத்தின்படி விசைகள் AB, B0 என்பனவற்றின் விளையுள் AC யாற் குறிக்கப்படும்.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
21
> ம் ம்
அதுபோல, Ad, CD) என்னும் விசைகளின் விளையுள் AD யாலும்,' AD, DIE என்பனவற்றின் விளையுள் AE யாலும், AE, EF என்பன வற்றின் விளையுள் AF ஆலுங் குறிக்கப்படும்.
எனின, எல்லா விசைகளுடைய விளையுள் AIF, FA என்பனவற்றின் விளையுளுக்குச் சமன் ; அதாவது விளையுள் பூச்சியமாகின்றது.
எனின், விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன. விசைகளின் தொகை எதுவாயிருப்பினும் இதனையொத்த ஒரு நிறுவல் முறை பிரயோகிக்கப்படலாம். பல்கோணிப் பக்கங்கள் ஒரே தளத்தில் இருக்க வேண்டுமென்னும் நியதியில்லையென்பது இந் நிறுவலிலிருந்து தெளிவா கின்றது.
விசைப் பல்கோணியின் மறுதலை உண்மையன்று ; ஒரு பல்கோணியின் பக்கத் திசைகள் அறியப்பட்டால் அப்பக்கங்களுடைய விகிதங்கள் அறியப்படா என்பதே அதற்குக் காரணம். உதாரணமாக, மேலுள்ள உருவத்தில் AB யின்மீது யாதுமொரு புள்ளி A' என்பதை எடுத்து A'F' என்பதை AF இற்குச் சமாந்தரமாய் EF என்பதை F' இற் சந்திக்கும்படி வரையலாம் ; புதுப் பல்கோணி A BCDEF' என்பதனுடைய பக்கங்களானவை முறையே பல்கோணி ABCDEF என்பதனுடைய பக்கங்களுக்குச் சமாந்தரமாய் இருந்தாலும் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமமல்ல என்பது தெளிவு.
42. 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் OA, OB என்னும் திசைகளில் N. OA, 4. OB என்பனவற்றாற் பருமனிற் குறிக்கப்பட்ட இரு விசைகளானவை தாக்கினால் 0 என்பது 2. CA = 0. ஆகும்படி AB யிலுள்ள ஒரு புள்ளியெனின், அவ் விசைகளின் விளையுள் () + u). 00 யாற் குறிக்கப்படும்.
C என்பது AB என்னுங்கோட்டை A. CA = u. CB ஆகும்படி பிரிக்க,
t,--- /.08
'. 0A.
OCAD, 0CBE என்னும் இணைகரங்களை முடிக்க. விசையிணைகரத்தால், விசை ). OA என்பது 2. 00, A. OD என்பனவற் றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளுக்குச் சமன்.
அன்றியும், விசை (u.. OB என்பது ப. 00, ப. OE என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளுக்குச் சமன்.

Page 19
22
நிலையியல்
' 'எனின், விசைகள் A. OA, H. OB என்னும் இரண்டுஞ் சேர்ந்து விசைகள் A. OD, .. OE என்பனவற்றோடு விசை ()+ ய) 0C யிற்குச் சமம்.
ஆனால், (A. OD = A. CA = . CB = ம.OE ஆகையால் ) முன்னுள்ள இந்த இரண்டு விசைகளுஞ் சமனுமெதிருமாயிருக்கின்றமையாற் சமநிலை யில் இருக்கும்.
எனின், விளையுள் (A+u) - 00 ஆகும். கி.தே. C என்பது AB யின் மையமாயின், OA, OB என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளின் விளையுள் 2 OC ஆகும்.
00 என்பது OA, OB என்பனவற்றை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகவுள்ள இணைகரத்தின் மூலைவிட்டம் OD யின் அரைப்பங்கென்பதிலிருந்தும் இது தெளிவாகும்.
பயிற்சி III
1. ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன ; அவை ஒன்றுக்கொன்று 120° என்னுங் கோணங்களை ஆக்கினால் அவை சமனெனக் காட்டுக.
அக்கோணங்கள் 60°, 1500, 150 ஆயின், அவ்விசைகள் என்ன விகிதத்திலுள்ளன ? 2. ஒரு புள்ளியின் மீது தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன ; முதலாவதற்கும் இரண்டாவதற்கும் இடையே உள்ள கோணம் 90° ஆயும் இரண்டாவதற்கும் மூன்றாவதற்கும் இடையேயுள்ளது 120° ஆயுமிருந்தால், அவ்விசைகளுடைய விகிதங்களைக் காண்க.
3. 7P, 5P, 8P என்பனவற்றிற்குச் சமனான விசைகள் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்கிக் கொண்டு சமநிலையில் இருக்கின்றன ; கேத்திரகணித அமைப்பாலும் கணிப்பாலும் பிற்சோடி விசைகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணத்தைக் காண்க.
4. BP, 12P, 13P என்பனவற்றிற்குச் சமனான விசைகள் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்கிக்கொண்டு சமநிலையில் இருக்கின்றன ; கேத்திரகணித அமைப்பாலும் கணிப்பாலும் அவற்றினுடைய திசைகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணங்களைக் காண்க..
5. தந்த திசையுடைய 4P என்னும் விசையோடு சமநிலையாக்குகின்ற இரு விசைகள் 2P, 3P என்பனவற்றினுடைய திசைகளைக் கேத்திரகணித முறையால் அமைக்க.
6. ஒரு முக்கோணி ABC யின் பக்கங்கள் AB, AC என்பன D, E என்பனவற்றில் இருகூறிடப்படுகின்றன ; BE, DC என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படுகின்ற விசைகளின்
விளையுள் பருமனிலும் திசையிலும் 2 BC யாற் குறிக்கப்படுமெனக் காட்டுக.
7. A, B என்பன இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் ; P என்பது . AP, T. PB; என்பனவற் றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளாலே தாக்கப்படும் ஒரு துணிக்கை ; துணிக்கை P யானது எங் கிருந்தாலும், அவ்விசைகளின் விளையுள் பருமனிலும் திசையிலும் மாறாதெனக் காட்டுக.
8. ABCD என்பது ஓர் இணைகரம்; P என்னும் ஒரு துணிக்கை PA, PC என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான, விசைகளால் A, C என்பனவற்றின்முகமாகக் கவரப்பட்டு, PB, PD என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான விசைகளால் B, D என்பனவற்றிலிருந்து தள்ளப்படு கின்றது; P ஆனது எங்கிருந்தாலுஞ் சமநிலையிலிருக்குமெனக் காட்டுக.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
23
பின்வருவன கேத்திரகணித அமைப்பாலே தீர்க்கப்படல் வேண்டும். ஒவ்வொரு வகையி 'லும் P, Q என்பன கோணம் a விற் சாய்ந்த இரு விசைகளாயும், R என்பது P யோடு கோணம் 0 என்பதை ஆக்கும் விளையுளாயும் இருக்கின்றன.
9. P பா 25 இறா. நிறை, Q = 20 இறா. நிறை, 0= 35° ; R, a என்பனவற்றைக் காண்க. 10. P = 50 கிகி., Q = 60 கிகி., R = 70 இல். ; a, 0 என்பனவற்றைக் காண்க. 11. P = 30, R = 40, a = 130° ; Q, 9 என்பனவற்றைக் காண்க. 12. P = 60, a = 75, 0 = 40° ; Q, R. என்பனவற்றைக் காண்க. 13. P = 60, R = 40, 0 = 50° ; Q, a என்பனவற்றைக் காண்க. 14. P = 80. a = 55°, R = 100 ; Q, 0 என்பனவற்றைக் காண்க. 15. ஒரு வள்ளமானது அதன் நீளத்தோடு 20• என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற ஒரு தாம்பினால் இழுக்கப்படுகின்றது ; அவ்வள்ளத்தின்மீது நீரின் விளையுள் மறுதாக்கம் R என்பது இவ்வள்ளத்தின் நீளத்திற்கு 40 இற் சாய்ந்துள்ளதென்றும் அத்தாம்பின் இழுவை 5 அந்தர்க்குச் சமன் என்றும் அவ்வள்ளத்தின் மீதுள்ள விளையுள் விசை அவ்வள்ளத் தின் நீளத்தினது திசையில் இருக்கின்றதென்றுங் கொண்டு அவ்விளையுள் விசையை > வரைதலாற் காண்க.
பயிற்சி IV 1. இரு விசைகள் 120• கோணத்திலே தாக்குகின்றன. அவற்றுட் பெரியது 80 ஆற் குறிக்கப்படுகின்றது ; விளையுள் விசை சிறியதற்குச் செங்குத்தாக இருக்கின்றது. பின்ன தனைக் காண்க.
2. இரு விசைகளுள் ஒன்று மற்றை விசையின் இரு மடங்காயும், விளையுள் விசை பெரிய தற்குச் சமனாயும் இருந்தால், அவ்விசைகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணத்தைக் காண்க.
3. ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்ற இரு விசைகள் செங்கோணங்களில் இருக்கின்றன ; அவை அவற்றுள் ஒன்றோடு 150' என்னும் கோணத்தை ஆக்குகின்ற மூன்றாம் விசை யொன்றாற் சமமாக்கப்படுகின்றன. அவ்விரு விசைகளுட் பெரியது 3 இறா. நிறையாயின் ஏனையிரண்டினுடைய பெறுமானங்கள் என்னவாயிருத்தல் வேண்டும் ?
4. * செங்கோணத்திற்குச் சமான ஒரு கோணத்திலே தாக்குகின்ற இரு விசைகளின் விளையுள் சிறியதற்கும் செங்குத்து, பெரியது 30 இற. நிறைக்குச் சமனாயின், மற்றை விசை யையும் விளையுளையும் காண்க.
5. இரு விசைகளுடைய பருமன்கள் 3:6 என்னும் விதைத்திலுள்ளன ; விளையுளின் திசை சிறியதன் திசைக்குச் செங்குத்தாக இருக்கின்றது, பெரியதன் பருமனையும் விளை யுளின் பருமனையும் ஒப்பிடுக.
6. இரு விசைகளின் மொத்தம் 18 ; அகலிரு விசைகளுட் சிறியதற்குச் செங்குத்தாகிய திசையிலுள்ள விளையுன் 19; அவ்விசைக ளளுடைய பருமன்களைக் காண்க.
7, Pr, Q என்னும் இரு விசைகள் R = P 24கும் வண் ணம் ஒரு கோணத்திலே தாக்குகின்றன ; P என்பதை இரட்டித்தால், புது விளையுள் Q விற்குச் செங்குத்தாக இருக்குமெனக் காட்டுக.
8. 7, Q என்னும் இரு விசைகளில் விளையுன் v3 Q என்பதற்குச் சமனாய் P யினது திசை யோடு 30° என்றும் கோணத்தை ஆக்குகின்றது : P என்பது Q விற்குச் சமன், அல்லது அதன் இரு மடங்கு எனக் காட்டுக.
9. 2P, P என்பனவற்றுக்கு முறையே சமமான இரு விசைகள் ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்றன ; முதலாவதை இரட்டித்து இரண்டாவதை 12 இறா. நிறையினாற் கூட்டினால் விளையுளின் திசை மாறாது ; P யின் பெறுமானத்தைக் காண்க.

Page 20
24
நிலையியல்
'10. 0 என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற P, Q என்னும் இரு விசைகளின் விளையுள் (2m + 1)VP3 + Q2; அவை (90° - 9) என்னுங் கோணத்திலே தாக்கினால், விளையுள் (2m -1) VP2 + Q' ஆகும் ;
தான் 0 - m -1
பட என நிறுவுக.
m+12 11. P, Q என்னும் விசைகளின் விளையுள் R; Q என்பதை இரட்டிக்க R என்பது இரட்டிக்கப்படும் ; Q என்பது முன்பின்னாக்கப்பட R என்பது மீண்டும் இரட்டிக்கப்படும் ; P : Q: R :: V2 : V3 : V2 எனக் காட்டுக.
12. ஒன்றுக்கொன்று யாதுமொரு தந்த கோணத்திற் சாய்ந்த P, Q என்னும் இரு விசைகளின் விளையுள் R ஆனது P யினது திசையொடு 0 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினால், தந்த அக்கோணத்திலே தாக்குகின்ற P + R, Q என்னும் விசைகளின் விளையுள் P + R என்பதன் திசையோடு என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமெனக் காட்டுக.
13. ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற மூன்று தந்த விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன. அவற்றுள் ஒன்று தந்தவொரு கோணத்திற்கூடாகத் தன் பிரயோகப் புள்ளிபற்றித் திருப்பப் பட்டால், அம்மூன்றின் விளையுளை ஓர் எளிய அமைப்பினாற் காண்க ; அவ்விசையின் சாய்வு மாறிக்கொண்டிருந்தால், விளையுளின் சாய்வு அரைப் பங்காலே மாறுமெனக் காட்டுக.
14. பருமனும் தாக்கக்கோடும் தந்த ஒரு விசையைத் தந்த இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் இரு சம விசைகளாக, (1) அப்புள்ளிகள் அவ்விசையின் ஓரே பக்கத்தில் இருக்கும் போது (2) அவை எதிர்ப் பக்கங்களில் இருக்கும்போது ஒரு கேத்திரகணித அமைப்புத் தந்து பிரிக்க.
15. தந்த இரு விசைகள் ஒரு பொருளினுடைய தந்த இரு புள்ளிகளிலே தாக்குகின்றன. எவையேனும் இரு சம் கோணங்களுடாக ஒரே திசையில் அப்புள்ளிகளைச் சுற்றி • அவை திருப்பப்பட்டால், அவற்றின் விளைவு நிலையான ஒரு புள்ளிக்கூடாக என்றும் செல்லும் எனக் காட்டுக.
16. A, B, C என்பன நிலையான மூன்று புள்ளிகள் ; P என்பது PA, PB என்னும் விசைகளின் விளையுள் என்றும் C யிற்கூடாகச் செல்லுமாறுள்ள ஒரு புள்ளி ; P யினது ஒழுக்கு ஒரு நேர் கோடெனக் காட்டுக.
17. தந்த ஒரு திசையிலே தந்த ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற ஒரு தந்த விசை இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றது ; அக் கூறுகளுடைய எல்லாத் திசைகளுக்கும் ஒரு கூறு மாறாப் பருமனோடு இருக்குமாயின், மற்றையதைக் குறிக்கின்ற கோட்டின் முனை ஒரு வட்டத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
18. யாதுமொரு புள்ளியை ஒரு முக்கோணியின் கோணப் புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்குங் கோடுகளாற் குறிக்கப்படும் விசைத் தொகுதி அப்புள்ளியிலிருந்து அம்முக்கோணிப் பக்கங்க ளுடைய மையங்களுக்கு வரையும் நேர்கோடுகளாற் குறிக்கப்படும் தொகுதிக்குச் சமனெனக் காட்டுக.
19. ஒரு நாற்கோணியுட் கிடக்கும் ஒரு புள்ளியைக் கோணப் புள்ளிகளோடு தொடுக்குங் கோடுகளாற் குறிக்கப்படும் விசைகளால் அப்புள்ளி தாக்கப்பட, அது சமநிலையில் இருந்தால், அதன் நிலையைக் காண்க.
20. நான்கு விசைகள் ABCD என்னுமொரு நாற்கோணியினுடைய பக்கங்களின் நீளத் திற்கு அப்பக்கங்களுக்கு விகிதசமமாய்த் தாக்குகின்றன ; மூன்று AB, BC, CD என்னுந் திசைகளிலும் நாலாவது A யிலிருந்து D யிற்குள்ள திசையிலுந் தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க ; அது CD யைச் சந்திக்கும் புள்ளியையுந் துணிக.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
25
21. ABCD என்னும் ஒரு நாற்கோணியினுடைய பக்கங்கள் BC, DA என்பன முறையே F, H என்பனவற்றில் இருகூறிடப்படுகின்றன ; AB, DC என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமுஞ் சமனுமாயுள்ள இரு விசைகள் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்கினால், விளை யுள் HF இற்குச் சமாந்தரமாயும் 2. HF இற்குச் சமனாயுமிருக்குமெனக் காட்டுக.
22. ABCD என்னுமொரு நாற்பக்கலின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA என்பன முறையே E, F, G, H என்பனவற்றில் இருகூறிடப்படுகின்றன. EG, HF என்பனவற்றாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்பட்ட விசைகள் ஒரு புள்ளியிலே தாக்கி னால், அவற்றின் விளையுள் AC யாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்படுமெனக் காட்டுக. - 23. நிலையான மையத்தையுடைய ஒரு வட்டத்தினுள்ளே கிடக்கும் ஒரு புள்ளி P யிலிருந்து PA, PA, PA3, PA என்னும் நேர்கோடுகள் P யினூடாகச் செல்லும் ஆரையோடு சம சாய்விலிருக்குமாறும் பரிதியைச் சந்திக்குமாறும் வரையப்பட்டிருக்கினறன. இக்கோடு கள் P யிலிருந்து கதிர்க்கும் விசைகளைக் குறிக்குமாயின், அவற்றின் விளையுள் அவ்வட்டவாரை யின் பருமனைச் சாராதெனக் காட்டுக.

Page 21
அதிகாரம் III விசைகளுடைய சேர்க்கையும் துணிப்பும் (தொடர்ச்சி) 43. தந்தவொரு திசையில் இரு விசைகளுடைய துணித்த பகுதிகளின் மொத்தம் அத்திசையில் அவற்றின் விளையுளின் துணித்த பகுதிக்குச் சமன்.
OA, OB என்பன P, Q என்னும் இரு விசைகளையும் 00 என்பது அவற்றின் விளையுள் R என்பதையுங் குறிக்க; ஆயின் OACB என்பது ஓர் இணைகரமாகும்.
OX என்பது தந்த திசையாகுக; AL, BM, CN என்பனவற்றை OX இற்குச் செங்குத்தாயும் AT என்பதை CN இற்குச் செங்குத்தாயும் வரைக.
------
[N"*
ZE
OBM, ACT என்னுமிரு முக்கோணிகளுடைய பக்கங்களானவை முறையே சமாந்தரமாயிருக்கின்றன; அன்றியும், OB என்பது AC யிற்குப் பருமனிற் சமன்.
: OM = AT= LN . எனின், ON = OL + LN = OL + OM. ஆனால், OL, OM, ON என்பன திசை OX இலே முறையே P, Q, R என்பனவற்றினுடைய துணித்த பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன.
எனின், தேற்றம் நிறுவப்படுகின்றது. இத்தேற்றத்தை ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற எத்தொகை விசைகளின் விளையுளுக்கும் எளிதாக விரிக்கலாம்.
44. ஒரு துணிக்கை மீது தாக்குகின்ற ஒரு தளத்து விசைகள் எத்தொகையாயிருந்தா அவற்றின் விளையுளைக் காணல்.
P, Q, R... என்னும் விசைகள் 0 விலுள்ள ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்குவன என்க.
0 வினூடாக OX என்னும் நிலையான ஒரு கோட்டையும் OX இற்குச் செங்கோணங்களில் OY என்னும் ஒரு கோட்டையும் வரைக.
P, Q, R, . . . என்னும் விசைகள் Ox ஓடு , B, y என்னும் கோணங்களை ஆக்கட்டும்.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
27
பிரிவு 30 .ஆல், Ox, OY என்னுந் திசைகளில் விசை P யினுடைய கூறுகளானவை முறையே P கோசை a, P சைன் % ஆகும்.
அதுபோல, Q லினுடைய கூறுகள் Q கோசை 8, Q சைன் B ஆகும் ; . அதுபோல, மற்றை விசைகளுக்கும்.
எனின், அவ்விசைகள் 0X இன் திசையில், P கோசை +Q கோசை + R கோசை ஒ ...
என்னுமொரு கூற் றிற்கும்,
OY யின் திசையில், P சைன் a +Q சைன் B+ R சைன் v ... என்னும் ஒரு கூற் றிற்கும் சமன்.
இக்கூறுகளானவை முறையே. X, Y என்பனவாகுக ; F என்பது OX இற்குக் கோணம் 0 விற் சாய்ந்த அவற்றின் விளையுளாகுக.
F என்பது OX இன் திசையில் F கோசை 4 விற்கும் OY யின் திசையில் F சைன் 0 இற்கும் சமனாகையால், முந்திய பிரிவால் நாம் பெறுவன
F கோசை ( Eா X.......................(1),
IF சைன் 0 மா Y.......................(2). எனின், வர்க்கங்கண்டு கூட்டலால்,
19 am X --- Y்.
அன்றியும், வகுத்தலால், தான் () = *.
இந்த இரண்டு சமன்பாடுகனரும் 17, () என்பனவற்றை, அதாவது வேண்டிய விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் தரும்.
உ-ம். 1, ஒரு துணிக்கை 2, 2v2, 1 இற. நிறைகளுக்கு முறையே சமமான ஒரு தளத்து விசைகள் மூன்றாலே தாக்கப்படுகின்றன ; முதலாவது கிடைத் தளத்திலும், இரண்டாவது கிடையுடன் 45° இலும் மூன்றாவது நிலைக்குத்திலும் தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
இங்கு, X = 2 + 2/2 கோசை 45° +- (0 009 2 -+- 2v2. --
- = 4.

Page 22
28
நிலையியல்
Y = 0 + 2/2 சைன் 45° +1 = 2/2.
~ + 1 = 3.
எனின், F கோசை 0 = 4; F சைன் 0 = 3;
ஃF = V42 + 31 = 5, தான் 0 = 2. ஆகவே, விளையுள் கிடைத் தளத்தோடு தான் (அதாவது 36• 52') என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற 5 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை .
உ-ம். 2. ஒரு துணிக்கை P, 2P, 3v3P, 4P என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைக ளாலே தாக்கப்படுகின்றது : முதலாவதற்கும் இரண்டாவதற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் 60° ஆயும், இரண்டாவதற்கும் மூன்றாவதற்குமிடையேயுள்ளது 90° ஆயும், மூன்றாவதற்கும் நாலாவதற்குமிடையேயுள்ளது 150° ஆயுமிருக்கின்றன. விளையுள் முதலாம் விசைக்கு 120° என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு திசையில் விசை P ஆகுமெனக் காட்டுக.
/8
3/3P
60°
ON60° !
இவ்வுதாரணத்தில் OX என்னும் நிலையாள கோட்டை முதலாம் விசை P யினது திசையோடு பொருந்தும்படி எடுத்தல் எளிதாகும்;
x0x', YOY' என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு நிலைக்கோடுகளாகுக.
இரண்டாம் மூன்றாம் நாலாம் விசைகளானவை முறையே முதலாம், இரண்டாம், நாலாங் கால்களில் இருக்கும் ;
ஆயின் 2 BOx = 60° ; / COX' = 30°; 2 DOx = 60°. முதலாம் விசைக்கு OY யின் திசையில் ஒரு கூறுமில்லை. இரண்டாம் விசை OX, OY என்பனவற்றின் திசையிலே முறையே 2P கோசை 60° 2P சைன் 60° என்னுங் கூறுகளுக்குச் சமன். மூன்றாம் விசை OX', OY என்பனவற்றின் திசையிலே முறையே
3/3P கோசை 30°, 3/3P சைன் 30', என்னும் விசைகளுக்குச் சமன் ; ஆயின், அது OX', OY என்பனவற்றின் திசையிலே முறையே
--8VXP கோசை 30°, 3/3P சைன் 30° என்னும் விசைகளுக்குச் சமன்.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
29
ஆகவே, நாலாம் விசை OX, OY' என்பனவற்றின் திசையில் 4P கோசை 60°. 4P சைன் 60° என்பனவற்றிற்குச் சமன் ; அதனால் அது OX, OY என்பனவற்றின் திசைகளில் 4P கோசை 60°, -4P சைன் 60° என்பனவற்றிற்குச் சமன்.
எனின், X = P + 2P கோசை 60° -3/3P கோசை 30° + 4Pகோசை 60°
9P. = P + P - - +2P = -
2 '
Y = 0 + 2P சைன் 60° +3/3P சைன் 30° - 4P சைன் 60°
= PV3 + ? - ஓ.? = 2.
எனின், F என்பது OX ஓடு 0 என்னுங் கோணத்தில் உள்ள விளையுளாயின்,
F= Vx? +Y = E,
தான் 0 = 2-/3 = தான் 120°. ஆகவே, விளையுள் முதலாம் விசையோடு 120° என்னுங் கோணத்தில் உள்ள விசை P ஆகும்.
45. வரைபமைப்பு. ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற ஒரு விசைத் தொகுதியின் விளையுள் விசைப் பல்கோணியினாலும் பெறப்படலாம் : அது பின்வருமாறு : 0 என்னும் ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற விசைகள் (படம் பிரிவு. 41.) ABCDEF என்னும் பல்கோணியின் பக்கங்களாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்பட்டால் அவ்விசைகள் சமநிலையில் இருக்கும். எனின், AB, BC, CD, DE, EF என்பவற்றாற் குறிக்கப் படும் விசைகளின் விளையுள் மீந்துள்ள விசை FA யிற்குச் சமனும் எதிருமா யிருத்தல் வேண்டும் : அதாவது விளையுள் AF ஆற் குறிக்கப்படல் வேண் டும்.
ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்ற P, Q, R, S, T என்னும் விசைகளின் விளையுளை இதிலிருந்து பின்வருமாறு பெறலாம் :
ஒரு புள்ளி A 'என்பதனை எடுத்து AB என்பதனை P யிற்குச் சமாந்தர மாயும் விகிதசமமாயும் வரைக ; இனி, ஒன்றன்பின் ஒன்றாக BC, CD, DE, IEF என்பனவற்றை ), 13, 8, 1' என்பனவற்றிற்கு முறையே சமாந்தரமாயும் விகிதசமமாயும் வரைக ; வேண்டிய விளையுள் கோடு AF ஆற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்படும்.
அதே அமைப்பை எத்தொகை விசைகளுக்கும் பிரயோகப்படுத்தலாம் என்பது தெளிவு.
உ-ம். 2. 2, 1, 3 இல. நிறைகளுக்குச் சமமான நான்கு விசைகள் OP, 00, 0R, OS என்னும் நேர்கோடுகளின் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; ZPOQ = 40° ஆயும் 2QOR = 100° ஆயும், 2ROS - 125° ஆயுமிருந்தால், அவற்றின் விளையுளைப் பருமனி லும் திசையிலும் காண்க.

Page 23
30
நிலைவியல்
• AB என்பதனை OP யிற்குச் சமாந்தரமாயும் 2 அங்குலத்திற்குச் சமமாயும் வரைக ; B யினுடாக BC என்பதனை 0Q விற்குச் சமாந்தரமாயும் 2.5 அங்குலத்திற்குச் சமனாயும் வரைக; பின் CD என்பதனை OR இற்குச் சமாந்தரமாயும் 1 அங்குலத்திற்குச் சமனாயும்
---- 2%
1000
-- 25 6 7 P
வரைக ; அதன்பின் DE என்பதனை OS இற்குச் சமாந்தரமாயும் 3 அங்குலத்திற்குச் சமனாயும் வரைக. அளக்க நாம் பெறுவன AE = 2.99 அங்குலம் என்பதும்
2 BAE = 14° இலுஞ் சிறிது கூடியதொன்று என்பதுமே.
எனின், விளையுள் OP யிற்கு 14° இலே தாக்குகின்ற 2.99 கிகி. நிறை ஆகும்.
பயிற்சி V
(2, 3, 4, 5, 8 என்னும் வினாக்கள் வரைபு முறைத் தீர்வுகளுக்கு ஏற்றன). 1. 1, 2, V3 இறா. நிறையுள்ள விசைகள் ஒரு புள்ளி A யில் AP, AQ, AR என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; ZPAQ = 60° ஆயும் ZPAR ஒரு செங்கோணமாயும் இருந்தால் அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
2. ஒரு துணிக்கையானது செங்கோணங்களிலுள்ள 5 இறா. நிறை , 3 இறா. நிறை என்னும் விசைகளாலும், அவற்றினிடையேயுள்ள கோணத்தை இருகூறிடும் 4 இறா. நிறையுள்ள விசையொன்றாலும் தாக்கப்படுகின்றது ; அதனை ஓய்வில் வைக்கக்கூடிய விசையைக் காண்க.
3. ஒவ்வொன்றும் P யிற்குச் சமமான மூன்று விசைகள் ஒரு புள்ளியிலிருந்து விரியும்போது நடுவிசை மற்றை விசைகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் 60° கோணத்திற் சாய்ந் துள்ளது ; அம்மூன்றின் விளையுளைக் காண்க.
4. ஒரு தளத்து விசைகள் 5P, 10P, 13P என்னும் மூன்றும் ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்றன ; அவற்றுள் எவையேனும் இரண்டிற்கு இடையில் உள்ள கோணம் 120° ஆயின், அவற்றின் விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க.
5. ஒரு புள்ளியில் 2P, 3P, 4P என்னும் விசைகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த சமபக்க முக் கோணியொன்றின் பக்கங்களுக்குச் சமாந்தரமான திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; விளையுளின் பருமனையும் தாக்கக் கோட்டையும் காண்க.
6. விசைகள் P, P, P, P, என்பன ABCD என்னும் ஒரு சதுரத்தின் மையம் 0 விலுள்ள ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்குகின்றன ; P., P, என்பன மூலைவிட்டங்கள் OA, OB என்பனவற்றின் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; P., P. என்பன AB, BC என்

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
31
பனவற்றின் செங்குத்துக்களின் திசைகளிலே தாக்குகின்றன. P:P:P:P: : 4 : 6: 5: 1
ஆயின், அவற்றின் விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க.
7. ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; 1 இறா. நிறை, 6 இறா நிறை, 9 இறா நிறை என்னும் . விசைகளானவை முறையே AB, AC, AD என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளின் பருமனை இரு தசம தானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
8. ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற ஐந்து விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றன ; அவற்றுள் 4, 4, 1, 3 இறா. நிறைப் பருமனுள்ளவை தொடர்ச்சியாக ஒன்றோடொன்று 60° என்னுங் கோணங்களை ஆக்குகின்றன. ஐந்தாம் விசையின் பருமனைக் காண்க. வரைதலாலும் அள
வீட்டினாலும் வாய்ப்புப் பார்க்க.
9. நான்கு சம விசைகள் P, Q, R, S என்பன ஒரு தளத்திலே ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்றன ; P, Q என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கோணமும் Q, R என்பனவற்றிற் கிடையேயுள்ளதும் R, S என்பனவற்றிற்கிடையேயுள்ளதும் ஒன்றுக் கொன்று சமன் ; P, S என்பனவற்றிற்கிடையே உள்ளது 108° அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
10. 2, 3, 5, 73, 2 இறா. நிறையுள்ள விசைகள் ஒழுங்கான அறுகோணி ஒன்றினு டைய கோணப் புள்ளிகளுள் ஒன்றில் ஏனை ஐந்து கோணப் புள்ளிகளை நோக்கித் தாக்கு கின்றன ; விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க.
11. 2, 3, 4, 5, 6 இறா. நிறையுள்ள விசைகள் ஒழுங்கான அறுகோணி யொன் றின் ஒரு கோணப் புள்ளியில் ஒரொழுங்கில் எடுத்த எனைக்கோணப் புள்ளிகளை நோக்கித்
தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
12. 7, 1, 1, 3 இறாத்தலுக்குச் சமமான விசைகள் ஒழுங்கான ஐங்கோணி யொன் றின் ஒரு கோணப் புள்ளியில் ஓரொழுங்கில் எடுத்த எனைக் கோணப் புள்ளிகளை நோக்கித் தாக்கினால், அவற்றின் விளையுள் V71 இறா. நிறையெனக் காட்டுக. வரைதலா லும் அளவீட்டினாலும் வாய்ப்புப் பார்க்க.
13. P என்னுஞ் சமவிசைகள் ஒரெண்கோணியின் கோணப் புள்ளியொன்றில் எனைக் கோணப் புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றை நோக்கித் தாக்குகின்றன; அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
திரிகோணகணித அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துதலால், அல்லது வரைபு முறையமைப்பி னால், பின்வருவனவற்றில் விளையுளின் பருமனை இரண்டு தசமதானங்களுக்குத் திசையைக் கணிப்பினாற் கிட்டிய நிமிடத்திற்கும் வரைதலாற் கிட்டிய பாகைக்குங் காண்க :
14. 11, 7, 8 இறா. நிறையுள்ள விசை மூன்று, நிலையான ஒரு கோட்டோடு 180 18'ற் 74° 50', 130° 20' என்னும் கோணங்களைக் ஆக்குகின்றன.
15. 4, 3; 2, 1 இறா. நிறைக்குச் சமமான நான்கு விசைகள் ஒரு நிலைக்கோட்டோடு 200, 40°, 60° , 80° என்னும் கோணங்களை ஆக்குகின்றன.
16. 8, 12, 15, 20 இறா. நிறைக்குச் சமமான நான்கு விசைகள் ஒரு நிலைக்கோட்டோடு 30°, 70°, 120° 15', 155° என்னும் கோணங்களை ஆக்குகின்றன.
17. 86, 47, 63 என்னுங் கிக். நிறைக்குச் சமமான மூன்று விசைகள் ZAOB=78° ஆயும் 2BOC == 125° ஆயுமுள்ள OA, OB, 00 என்னும் கோடுகளின் திசைகளிலே தாக்குகின்றன.
46. ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்ற விசைகள் எத்தொகையாயிருந்தாலும் அவ, றின் சமநிலை நிபந்தனைகளைக் காணல்.
பிரிவு 44 இற்போல, விசைகள் ) என்னும் ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குவன் எனக.

Page 24
32
நிலையியல்
அவ்விசைகள் ஒன்றையொன்று சமமாக்கினால், விளையுள் பூச்சியமாதல் வேண்டும்; அதாவது F என்பது பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
எனின்,
X2 + Y2 = 0. இரு மெய்க் கணியங்களுடைய வர்க்கங்களின் மொத்தமானது ஒவ்வொரு கணியமும் தனித்தனி பூச்சியமானாலன்றிப் பூச்சியமாகாது ;
ப : x = 0, Y = 0. எனின், ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்குகின்ற விசைகள் சமநிலையில் இருந்தால், செங்கோணங்களிலுள்ள இரு திசைகளில் அவற்றின் துணித்த பகுதிகளின் அட்சரகணிதத் கூட்டுத்தொகை தனித்தனி பூச்சியமாகும்.
மறுதலையாக, செங்குத்தான இரு திசைகளில் அவற்றின் துணித்த பகுதி களது கூட்டுத்தொகை தனித்தனி பூச்சியமானால், விசைகள் சமநிலையில்
இருக்கும்.
அதற்குக் காரணம், இங்கு X உம் Y யும் பூச்சியமாகையால் F உம்" பூச்சியமாகும் என்பதே.
எனின், அவ்விசைகளின் விளையுள் பூச்சியமாதலால், அவ்விசைகள் சம நிலையில் இருக்கும்.
47. மூன்று விசைகளே ஒரு துணிக்கையின்மீது தாக்கினால், சமநிலை நிபந்தனைகள் லாமியின் தேற்றத்தைப் (பிரிவு 40) பயன்படுத்துதலாற் பெரும்பாலும் எளிதிற் காணப்படலாம்.
48. உ-ம். 1. 65 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் ஒரே கிடைக்கோட்டில் 13 அடி இடைத் தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குத் தொடுத்த 5 அடி, 12 அடி நீளமான ஈரிழை களாலே தூக்கப்படுகின்றது. அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
AC, BC என்பன இரண்டு இழைகளாகுக; ஆயின், AC = 5 அடி, BC = 12 அடி ,
_ 5 அடி. BC - 12 அடி, AB = 13 அடி.
A D
0 46;
13' = 122 + 52 ஆகையால், ZACB ஒரு செங்கோணம். அந்நிறையினது திசை CE என்பது AB என்பதை D யிற் சந்திக்குமாறு நீட்டப்படுக ; 2CBA = 0 ஆகுக ;
ஆயின், ZACD = 90° - ZBCD = 2CBD = 0. T, T, என்பன அவ்விழைகளினுடைய இழுவைகளாகுக. லாமியின் தேற்றத்தால்,

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
3)
12
1)
T,
65
65 சைன் ECB
சைன் ECA
சைன் ACB' - T_ __ சைன் BCD
சைன் 6
சைன் 90°' : T, = 65 கோசை 8. T, = 65 சைன் 9.
இAC 5 ஆனால், கோசை 0 = RA = 13: சைன் 0 = R = 13
... T, = 60 இறா. நிறை ; T, = 25 இறா. நிறை. வேறொருவழி : A ACB யினுடைய பக்கங்களானவை முறையே விசைகள் T, T., 65 என்பவற்றின் திசைகளுக்குச் செங்குத்தாயுள்ளன;
. BC _ 12 ; சைன் 9 = R = 13'
-- AB
ஃ T, = 65 இ = 60; T, = 65 = 25 .
, 11. T2 W
வரைபுமுறை : A யினூடாகச் செல்லும் ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டைச் சந்திக்குமாறு BC என்பதை O விற்கு நீட்டுக. ஆயின் ACO என்னும் முக்கோணியினுடைய பக்கங்கள் ,, T, W என்னும் மூன்று விசைகளுக்கும் சமாந்தரம். எனின், விசை முக்கோணியின்படி .
A A - co=OA' உ-ம். 2. ABCD என்னும் ஓரிழையானது A, D என்னும் நிலையான புள்ளிகள் இரண்டிற்குத் தொடுக்கப்பட்டு B, C என்பவற்றில் W 6 ன்னும் இரு சமநிறைகளானவை முடிச்சிடப்பட்டு AB, CD என்னும் பகுதிகள் நிலைக்குத்திற்கு முறையே 30°, 60° கோணங் களிற் சாய்ந்து கிடக்க ஓய்விலிருக்கின்றது. அவ்விழைகளினுடைய பகுதிகளிலுள்ள இழுவை களையும் நிலைக்குத்திற்கு BC யின் சாய்வையுங் காண்க.
அவ்விழைகளினுடைய இழுவைகள் T, T, T., ஆகுக / BC ஆனது நிலைக்குத் திற்குக் கோணம் 0 விற் சாய்ந்துள்ளதென்க.
ந.க. இமை BC யின் இழுவை நீளமுழுவதிலும் ஓரளவினதாயிருத்தலால், அது B என்பதை 3, யின்முகமாகவும் C என்பதை B யின்முகமாகவும் இழுக்கின்றது).
B என்பது சமநிலையில் இருக்கின்றமையால், அதன்மீது தாக்குகின்ற கடைக்கூறுகள், நிலைக்குத்துக் கூறுகள் என்னும் இரண்டும் பூச்சியமாதல் வேண்டும், (பிரிவு 46).

Page 25
34
நிலையியல்
(2)
.(3),
..(4).
- எனின்,
T, கோசை 30° -T, கோசை 0 = W.
T, சைன் 30° - T, சைன் 0 = 0. , அதுபோல், C என்பது சமநிலையில் இருக்கின்றமையால்,
T, கோசை 60° + T, கோசை 0 = W
T, சைன் 60° - T, சைன் 0 = 0 .... (1), (2) என்பவற்றிலிருந்து T, இற்குப் பிரதியிட,
W = T, [கோதா 30° சைன் 0 - கோசை 0] =
T, [v3 சைன் 0 - கோசை 4]. ஆகவே, (3), (4) என்பவற்றிலிருந்து T; இற்குப் பிரதியிட,
w = T, [கோதா 60° சைன் 0 + கோசை 0] =
சைன் 0 + கோசை 8
. "(6) ;
ஆகவே, (5), (6) என்பவற்றிலிருந்து,
<3 சைன் 9- கோசை 0 = 'சைன் 0 + கோசை 9:
ஃ 2 சைன் 9 = 2v3 கோசை 9 ;
: தான் சி = /3; எனின் 4 = 60°. இப்பெறுமானத்தை (5) இற்பிரதியிட,
11
w= [va * ] -க,
W = T, |
NI -
எனின், (2) இலிருந்து,
T, = T,
சைன் 60° சைன் 30°
= W. /3 ;
(4) இலிருந்து
சைன் 8 T, = T,
சைன் 60° = 12 = W.
எனின், நிலைக்குத்திற்கு BC யின் சாய்வு 60°. AB, BC, CD என்னும் பகுதிகளுடைய இழுவைகளானவை முறையே W/3, w, W என்பனவாகும்.
பயிற்சி VI
1. மனிதர் இருவர் W என்னும் ஒரு நிறையைத் தம்மிடையே அந் நிறையிற் கட்டிய இரு தாம்புகளாற் காவுகின்றனர் ; ஒரு தாம்பு நிலைக்குத்திற்கு 45° இலும் மற்றையது 30° இலுஞ் சாய்ந்துள்ளன; தாம்பு ஒவ்வொன்றிற்கும் இழுவையைக் காண்க.
2. 2 இறா. திணிவுடைய ஒரு பொருள் 25 அங்குல நீளமான ஓரிழையாலே நிலையான ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது; அது F என்னும் ஒரு கிடை விசையாலே தாக்கப்பட்டு நிலையான அப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோட்டிலிருந்து 20 அங்குலத் தூரத்தில் ஓய்வில் இருக்கின்றது ; F இன் பெறுமானத்தையும் அவ்விழையின் இழுவையையுங் காண்க.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
35
3. 130 இறா. திணிவுடைய ஒரு பொருள் ஒரு கிடை வளையில் 5 அடி 5 அங்., இடைத் தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளிலே தொடுத்த 1 அடி 4 அங்., 5 அடி 3 அங். என்னும் நீளத் தாம்புகள் இரண்டாலே தூக்கப்படுகின்றது. அவ்விழைகளுடைய இழுவைகள் என்ன ?
4. 70 இறா. திணிவுடைய ஒரு பொருள் ஒரு கிடைக் கோட்டில் 10 அடி இடைத் தூரமுள்ள இரு புள்ளிகளிலிருந்து முறையே 6 அடி, 8 அடி என்னும் நீளமான இழைகளாலே தூக்கப் படுகின்றது. அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
5. 60 இறா. திணிவொன்று 9 அடி, 12 அடி நீளங்களையுடைய இரண்டு இழைகளாலே தூக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழைகளினுடைய மற்றை முனைகள் ஒரு கிடைக் கோட்டில் 15 அடி இடைத் தூரமுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன ; அவ் விழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
6. ஓரிழையானது ஒரு பாவுபலகையிலிருந்து தூக்கப்பட்டு ஒவ்வொன்றும் 4 இறா. திணிவுடைய மூன்று பொருள்களுள் ஒன்றைத் தன் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளியிலும் ஏனைய வற்றுள் ஒவ்வொன்றையுந் தன்னுடைய முனைகளிலிருந்து சமதூரங்களிலுந் தாங்குகின்றது ; பிரிக்கப்பட்ட அவ்விழைப் பகுதிகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
7. w நிறையுள்ள இரண்டு சம் திணிவுகள் உச்சிக்கோணம் 120° ஆயும் அடியானது கிடையாயுமுள்ள இருசமபக்க முக்கோணியொன்றின் வடிவில் ஒரு சுவரில் ஒழுங்குபடுத்திய மூன்று சிற்றாணிகளுக்கு மேலாகச் செல்லும் மெல்லிழையொன்றினுடைய முனைகளுக்குத் தொடுக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சிற்றாணியிலுமுள்ள அமுக்கத்தைக் காண்க.
8. ஓரருவி 96 அடி அகலமானது ; ஒரு வள்ளம் ஒவ்வொருவனும் 100 இறா. நிறைக்குச் சமனான விசையோடு இழுக்கும் இரு மனிதரால் எதிர்க் கரைகளிலிருந்து அவ்வருவியின் நடுவாக இழுக்கப்படுகின்றது. தாம்புகள் ஒவ்வொன்றும் 60 அடி நீளமுள்ளதாய் அவ் வள்ளத்தின் ஒரு புள்ளியிலேயே தொடுக்கப்பட்டால், அவ்வள்ளத்தின் மீதுள்ள விசையைக் காண்க.
9. ஒரே கிடைத் தளத்தில் ஒப்பரவான இரு சமாந்தரச் சட்டங்களின் மீது செல்கின்ற ஓரிழையினுடைய முனைகளுக்கு இரு சம நிறைகளும், அச்சட்டங்களுக்கு இடையேயுள்ள அவ் விழையின் ஒரு புள்ளிக்கு வேறொரு சம நிறையும் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தொகுதி சம நிலையை அடையும் நிலையையும் ஒவ்வொரு சட்டத்தின்மீதுள்ள உதைப்பையுங் காண்க.
10. ஓரிழை ஒரு கிடைத் தளத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குக் கட்டப்பட்டிருக்கின்றது ; அவ்விழையின்மீது சுயாதீனமாய் வழுக்கக் கூடியதாயிருக்கின்ற 27 இறா. நிறையுள்ள ஒரு வளையம் P இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு இடை விசையால் இழுக்கப்படுகின்றது. அது சம நிலையை அடையும்போது அவ்விழைப்பகுதிகளானவை நிலைக்குத்திற்கு 45°, 75° கோணங் களிற் சாய்ந்திருந்தால், P யின் பெறுமானத்தைக் காண்க..
11. நிறையில் வளையங்கள் இரண்டு ஒப்பரவான ஒரு நிலைக்குத்து வட்டத்தின் மீது வழுக்குகின்றன ; அவ்வளையங்களுக்கூடாகச் செல்லும் ஓரிழை தன்னுடைய இரு முனை களிலும் அவ்வளையங்களுக்கு இடையேயுள்ள ஒரு புள்ளியிலும் நிறைகளைக் கொண்டுள்ளது. அவ்வட்டத்தின் மிகவுயர்ந்த புள்ளியிலிருந்து 30° தூரத்திலுள்ள புள்ளிகளில் அவ்வளையங் கள் இருக்கும்போது சமநிலை வருமாயின், அம்மூன்று நிறைகளுக்குமுள்ள தொடர்பைக் காண்க.
12. ஒவ்வொன்றும் 112 இறாத்தலுக்குச் சமமான இரு திணிவுகள் ஒரே கிடைத் தளத்தி லுள்ள A, 13 என்னும் ஒப்பரவான இரு சிறு முளையாணிகளின்மீது செல்லும் ஓரிழை யாலே தொடுக்கப்படுகின்றன ; 5 இறா. திணிவொன்று A, B என்பனவற்றிற்கிடையே அரைப் பங்கு தூரத்தில் அவ்விழைக்குத் தொடுக்கப்பட்டால், AB ஆனது 10 அடியெனக் கொண்டு AB யின் மட்டத்திற்குக் கீழே அது இறங்கும் ஆழத்தை அங்குலத்திற் காண்க.
சிறு திணிவு அவ்விழையின் வேறு யாதுமொரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டால், என்ன நிகழலாம் ?
தேடு

Page 26
36
நிலையியல்
• 13. 10 இறா. திணிவுடைய ஒரு பொருள் 7 அங்., 24 அங். நீளங்களையுடைய ஈரிழைகளாலே தூக்கப்படுகின்றது ; மற்றை முனைகள் 25 அங்குல நீளமுள்ள ஒரு கோலி னுடைய முனைகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அப்பொருளானது அக்கோலினது நடுப் 'புள்ளிக்கு நேரே கீழாகத் தூங்கும்படி அக்கோல் வைத்திருக்கப்பட்டால், அவ்விழையினுடைய
இழுவைகளைக் காண்க.
14. • பாரமான ஒரு சங்கிலி தன் முனைகளில் 10 இறா., 16 இறா. என்னும் நிறைகள் இணைக்கப்பட்டனவாய் ஒப்பரவான ஒரு கப்பியின்மீது சம நிலையிலே தூங்குகின்றது ; அச் சங்கிலியின் மிகப்பெரிய இழுவை 20 இறா. நிறையாயின், அச்சங்கிலியின், நிறையைக் காண்க.
15. 8 அடி 9 அங்குல நீளத்தையும் 15 இறா. நிறையையுமுடைய ஒரு பாரமான சங்கிலி தன் முனையொன்றில் 7 இறா. நிறை இணைக்கப்பட்டதாய் ஒப்பரவான ஒரு முளையாணியின்மீது சம நிலையிலே தூங்குகின்றது. அச்சங்கிலியின் எவ்வளவு நீளம் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும்
இருக்கின்றது ?
16. ஒரு பொருள் ஒப்பாவான ஒரு நிலைக்குத்து வட்டக் கம்பியொன்றின் மீது வழுக்கு தற்குச் சுயாதீனமாய் இருக்கின்றது ; அது அவ்வட்டத்தின் ஆரைக்கு நீளத்திற் சமனான ஓரிழையினால் அவ்வட்டத்தின் மிகவுயர்ந்த புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளது ; அவ் விழையின் இழுவையையும் அவ்வட்டத்தின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
17. தன்னுடைய கோணங்களுள் ஒன்று 120° ஆயுள்ள ஒரு சாய்சதுரவடிவமான சீரான தளத்தட்டொன்று அச்சாய்சதுரத்தின் ஒரு பக்கங் கிடையாக இருக்கும் வண்ணம் மூலைவிட்டங் களுடைய திசைகளிலே மையத்திற் பிரயோகிக்கப்பட்ட இரு விசைகளாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்விசைகள் P, Q என்பனவாயும், அவற்றுள் P என்பதே பெரிதாயுமிருந்தால், P2 = 3 Q? எனக் காட்டுக.
18. ஓட்டுங் கடிவாள வாரொன்றினுடைய முனைகள் கடிவாளத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத் திற்கும் ஒன்றாக இணைக்கப்பட்ட இரண்டு ஒப்பரவான வளையங்களுக்கூடாகச் செலுத்தப்படு கின்றன. பின்னர், அவை திருப்பி இரட்டிக்கப்பட்டுக் குதிரையினது தலையில் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் ஒன்றாகத் தலைத்துண்டிலுள்ள நிலையான புள்ளிகளுக்குத் கட்டப்படுகின்றன. குதிரையோட்டுவோனின் தந்தவோர் இழுப்பு P யினால் அக்குதிரையினது நாவின்மீது கடிவாளத்தால் ஆக்கப்பட்ட அமுக்கத்தைக் காண்க.
19. புலப்படத்தக்க நிறையில்லாத மூன்று சமவிழைகள் ABC என்னுஞ் சம்பக்க முக்கோணியொன்றை ஆக்கும்படி ஒருமித்து முடிச்சிடப்படுகின்றன. W என்னும் ஒரு நிறை A யிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது. அம்முக்கோணியும் நிறையும் BC யோடு B யிலும் C யிலும் ஒவ்வொன்றும் 135° கோணத்திலுள்ள இரண்டு இழைகளினாலே BC கிடையாக இருக்கத் தாங்கப்பட்டால், BC யிலுள்ள இழுவை
(3 - 73) எனக் காட்டுக.
20. மூன்று நிறைவில்லிழைகள் AC, BC, AB என்பன உச்சி C யாகவுள்ள இருசமபக்க முக்கோணியொன்றை ஆக்குமாறு ஒருமித்து முடிச்சிடப்படுகின்றன. W என்னுமொரு நிறை C யிலிருந்து தூக்கப்பட, முழுவதும் A, B என்பனவற்றிலுள்ள கோணங்களை இரு கூறிடும் இரு விசைகளால் AB என்பது கிடையாக இருக்குமாறு தாங்கப்பட்டால், இழை AB யினது இழுவையைக் காண்க.
21. நிறையில்லாத இழையொன்று ஒரே இடைக் கோட்டில் இல்லாத இரு புள்ளிகளிலிருந்து தூக்கப்பட்டு அவ்விழையின்மீது வழுக்குதற்குச் சுயாதீனமாய் இருக்கும் ஒரு பாரமான வளை யத்தினூடாகச் செல்லுகின்றது ; அவ்வளையம் ஒப்பாவுடையதாயின், அது சமநிலை அடையும் நிலையைக் காண்க.

விசைகளின் சேர்க்கையும் துணிப்பும்
37
அவ்வளையமானது அவ்விழையின்மீது இயங்குதற்குச் சுயாதீனமாய் இருத்தலுக்குப் பதிலாக அதன்மீது ஒரு புள்ளியிற் கட்டப்பட்டால், அவ்விழையினுடைய இரு பகுதிகளின் இழுவை 'விகிதத்தைத் தரும் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
22. (தன் இரு மிகத் தாழ்ந்த புள்ளிகள் கிடை நேர்க்கோட்டிலேயுள்ள) ஒழுங்கான அறு கோணியொன்றின் மிகவுயர்ந்த நாலு புள்ளிகளில் ஒரு சுவரிலே நான்கு முளையாணிகள் அறையப்படுகின்றன ; இவற்றின்மீது W என்னும் நிறையைத் தாங்குகின்ற ஒரு, தடம் எறியப்படுகின்றது : அத் தடமானது தன்னால் மிகத் தாழ்ந்த முளையாணிகளில் ஆக்கப்படுங் கோணங்கள், செங்கோணங்களாகும்படியான நீளமுடையது. அவ்விழையின் - இழுவை
யையும் அம்முளையாணிகளின்மீதுள்ள அழுத்தத்தையுங் காண்க.
23. ஓர் ஓடத்தின் மையமானது ஆற்றினது நடுவிலுள்ள ஒரு நிலைப்புள்ளிக்கு நீளமான ஒரு தாம்பால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றதெனக் கொண்டு, ஆற்றுக்குக் குறுக்காக அவ்வோ டத்தை ஓட்டுதற்கு எவ்வாறு நீரோட்ட விசையைப் பயன்படுத்தலாமென்று விளக்குக.
24. காற்றுக்கு ஏறத்தாழ எதிரான திசையில் ஒரு கப்பலானது எவ்வாறு ஓட்டப்படு கின்றதென விளக்குக.
அக்கப்பலை முற்பக்கமாக ஓட்டும் விசை இயன்றளவு பெரிதாயிருக்க வேண்டுமாயின், ஏராக்கட்டைக்கும் காற்றினது தோற்றத் திசைக்கும் இடையேயுள்ள கோணத்தை இருகூறிடும் படி அக்கப்பலினுடைய பாய்களானவை நிறுத்தப்படல் வேண்டுமென்றுங் காட்டுக.
[AB என்பது ஏராக்கட்டையினது திசையாகுக; அதுபற்றி அது கப்பலினது திசையுமாகும்; OA என்பது காற்றினது தோற்றத் திசையாகுக ; LOAB என்பது ஒரு கூர்ங்கோணமாயும் a விற்குச் சமனாயும் இருக்க. AC என்பது பாயினது திசையாகுக ; அது OA, AB என் பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்க ; 2BAC என்பது 0 ஆகுக.
P என்பது பாயின் மேலே காற்றின் விசையாகுக ; அவ்விசையைப் பாயினது திசையிலும் அதற்குச் செங்குத்தான திசையிலும் துணிக்க. அப்பாயினது திசையிலுள்ள கூறு (KA=) P கோசை (au -0) என்பதற்கு விளைவில்லை. அப்பாய்க்குச் செங்குத்தாகவுள்ள கூறு (LA=) P சைன் (u - 0) என்பது மறுபடியும் இரண்டாகத் துணிக்கப்படலாம் ; அவை AB யிற்குச் செங்குத்தான (NA =) P சைன் (a - 8) கோசை 0 என்பது AB யின் திசையாயுள்ள (MA= ) P சைன் (a -9) சைன் 6 என்பது ஆகும்.
முந்திய கூறு இயக்கத்தைப் பக்கமுகமாய் விளைவிக்கின்றது ; அதாவது அக்கப்பலின் நீளத்திற்குச் செங்குத் தான திசையிலே விளைவிக்கின்றது. இது காற்றெதிர்வழி எனப்படும் ; இது இயக்கத்திற்கு இயலக்கூடிய மிகப்பெரிய தடை கொடுக்கும்படியாக இயற்றப்பட்ட ஏராக் கட்டையின் வடிவத்தாலே மிகக் குறைக்கப்படும்.

Page 27
38
நிலையியல்
- பாயை வராக்கட்டையினது திசையில், அல்லது காற்றினது திசையில் நிறுத்தினாலன்றி, அல்லது காற்றானது கப்பலினது திசைக்கு நேரெதிராயிருக்குமாறு 0 என்பது பூச்சிய மாயிருந்தலன்றி, AB யினது திசையிலே தாக்குகின்ற P சைன் (au - 9) சைன் 0 என்னும் பின்னதாகிய கூறு ஒருபோதும் பூச்சியமாகாது.
இவ்வண்ணமாக அக்கப்பலை முற்பக்கமாக இயங்கச் செய்யும் விசை என்றும் உண்டு ; ஆனால், அக்கப்பலைத் திருப்ப முயலுங் காற்றைத் தடுத்தற்குச் சுக்கானைத் தொடர்ச்சியாகப் பிரயோகித்தல் வேண்டும்.
இவ்விசை = 4 P [கோசை (au -20) - கோசை a] ; கோசை (a - 20) என்பது மிகப்பெரி தாகும் பொழுது, அதாவது a - 20=0 ஆகும்பொழுது, அதாவது 6 = ; ஆகும் பொழுது, அதாவது பாயினது திசை வராக்கட்டைக்கும் காற்றினது தோற்றத் திசைக்கும் இடையிலுள்ள கோணத்தை இருகூறிடும்பொழுது, இவ்விசை மிகப்பெரிதாகும்.)
49. வரைபுமுறைத் தீர்வுக்கு உதாரணங்கள். பகுப்பு முறைகளாலே தீர்ப்பதற்கு அருமையான, அல்லது எப்படியாயினும் பிரயாசமான பல பிரசினங்கள் வரைபுமுறையாலே தீர்ப்பதற்கு ஓரளவு எளியனவாம்.
இக்கணக்குக்கள் எந்திரவியலிலும் பிற செய்முறை வேலைகளிலும் பொதுவாக வருவன. அங்கு, விசைமுக்கோணியையும் விசைப் பல்கோணி யையும் பயன்படுத்தலொழியப் பொதுவாக வேறொன்றும் வழங்கப்படுதல் இல்லை.
சிறப்பாக வழங்கப்படுங் கருவிகளாவன கவராயம், வரைகோல், அளவு . கோல், மூலைவிட்டவளவு கருவி, கோணங்களை அளக்கும் பாகைமானி என்பன.
பெறும் முடிவுகள் கணித முறையிலே செம்மையானவையல்ல என்பது உண்மையே ; மாணாக்கன் கவனமுள்ளவனாயும் கருவிகளை வழங்கு மிடத்துச் சாதுரிய முள்ளவனாயும் இருந்தால், விடை பொதுவாக முதலாந் தசம் தானத்திற்கு நம்பப்படத் தக்கதாயிருத்தல் வேண்டும்.
பிற்காணும் உதாரணங்களில் உருவங்களானவை - மூல்' வரைதல் களினின்றும் சிறுப்பிக்கப்பட்டுள்ளன; ஒவ்வோருதாரணத்திலும் கூறப்பட்ட அளவிடையிலே , மாணாக்கன் அவற்றைத் தானே மறுபடியும் வரையும்படி கேட்டுக் கொள்ளப்படுகிறான்.
50. உ-ம் 1. ABCD என்பது ஒரு கிடைக் கோட்டிலே ஒன்றுக்கொன்று ஏழடி தூரத்தி லுள்ள A, B என்னும் புள்ளிகளுக்குத் தொடுத்த முனைகளையுடைய ஓரிழை. AC, CD, DB என்பனவற்றினுடைய நீளங்களானவை முறையே 34 அடி, 3 அடி, 4 அடி என்பன ; C யில் ஓரிராத்தல் நிறையொன்று தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. D யிற் சமநிலை கொண்ட நிலையில் LCDB என்பது ஒரு செங்கோணமாகும்படியான அளவினதாகிய ஒரு தேரா நிறை தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. இந்நிறையின் பருமனையும் அவ்விழைகளுடைய இழு
வைகளையும் காண்க.

வரைபுத் தீர்வுகள்
39
T,, T,, T,, என்பன வேண்டிய இழுவைகளாகுக ; ல இறா. என்பது D யிலுள்ள நிறை
யாகு.
11:
இறா.'!
இறா.*
ஓரங்குல நீளமான ஒரு நிலைக்குத்துக் கோடு OL என்பதை C யிலுள்ள 1 இறா. நிறையைக் குறிக்கும்படி எடுக்க . 0 வினூடாக OM என்பதை AC யிற்குச் சமாந்தரமாயும் L இனூடாக LM என்பதை CD யிற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைக. விசை முக்கோணியால், OM என்பது T,
ஐயும் LM என்பது T, ஐயுங் குறிக்கும்.
OL என்பதை நிலைக்குத் திற் கீழ்முகமாக நீட்டுக ; M இனூடாக MN என்பதை BD யிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக.
ஆயின், LM என்பது T, ஐக் குறிக்கின்றமையால், T, ஆனது MN ஆலும் ஆனது LN ஆலும் குறிக்கப்படும்.
உண்மையான அளவீட்டி னாலே நாம் பெறுவன : OM = 3•05 அங்., ILM = 2•49 அங்., MN = 5.1 அங்., NL = 5.63 அங். எனின், D யிலுள்ள நிறை 6• 63 இறா : இழுவைகளானவை முறையே 3:05, 2•49, 5.1 இறா.
நிறைகள்...
உ-ம் 2. A, B என்பன ஒரு கிடைக் கோட்டில் ஒன்றுக்கொன்று 16 அடித் தூரங்களி லுள்ள இரு புள்ளிகள் ; OA, OB என்பன 6 அடி, 12 அடி நீளங்களையுடைய இரண்டு இழைகள் ; அவை 20 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருளை 0 விற் காவுகின்றன ; அப் பொருளுக்கு 0 வில் இணைக்கப்பட்ட மூன்றாம் இழையொன்று மற்றை முனையில் 5 இறா. நிறையு ள்ள ஒரு பொருளுக்கு இணைக்கப்பட்டு AB யினது நடுப்புள்ளி C யிலுள்ள ஒப்பரவான ஒரு சிறு கப்பியின்மீது செல்கின்றது ; A0, OB என்னும் இழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
T,, T,, என்பன வேண்டிய இழுவைகளாகுக. 00 என்னும் இழையின் 5 இறா - நிறையென்னும் இழுவையைக் குறிப்பதற்கு ஓரங்குலத்திற்குச் சமனான OL என்பதை OC யிற் குறிக்க. OM என்பதை நிலைக்குத் தாயும் 4 அங்குலத்திற்குச் சமனாயும் வரைக. M இனூடாக MN என்பதை OB யிற்குச் சமாந்தரமாயும் நீட்டிய AO என்பதை N இற் சந்திப்பதாயும் வரைக.

Page 28
40
நிலையியல்
ஆயின், விசைப்பல்கோணியால், கோடுகள் ON, NM என்பன T, T, என்னும் இழுவை களைக் குறிக்கும்.
V20
அளக்க, ON, NM என்பன முறையே 3.9 அங்., 2.45 அங். எனக் காணப்படும். எனின், T, = 5x3.9 == 19.5 இறா. நிறை.
T, = 5x2:45 = 12•25 இறா. நிறை. உ-ம். 3. கிரேன். ஒரு கிரேனின் மூலங்கள் பிற்சேர்த்த உருவத்திற் குறிக்கப்பட்டி ருக்கின்றன AB என்பது நிலைக்குத்தான ஒரு தூண் ; AC என்பது தூக்குமரமெனப் படும் ஒரு வளை ; அது தன் முனை A பற்றித் திரும்பக்கூடியது. அது பிணை என்று கூறப்படும் ஒரு மரச்சட்டம், அல்லது சங்கிலி CD யாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அப்பிணையானது AB என்னுந் தூணிலுள்ள 0 என்னும் புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. C யில்
2 -----
ஒரு கப்பியுண்டு ; அதன் மீது ஒரு சங்கிலி செல்கின்றது. அச்சங்கிலியின் ஒரு முனை தூக்கவேண் டிய. பாரத்திற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது; மற்றை முனை E யிற்கு, w என்பதை உயர்த்தும் விசை பிரயோகிக்கப்படுகின்றது. இம்முனை வழக்கமாக ஓர் உருளையைச் சுற்றிச் சுற்றப்படு கின்றது. CD என்னும் பிணை சில வேளைகளிற் கிடையாக இருக்கும் ; பெரும்பான்மையாக

வரைபுத் தீர்புகள்
41
CE என்னும் சங்கிலியினது திசை அதனோடு பொருந்தும். பிற்காணும் இரேனில் தூக்கு' மரத்திலும் பிணையிலுமுள்ள தாக்கங்கள் பின்வருமாறு வரைபுமுறையாலே துணியப் படலாம்.
KL என்பதை யாதுமோரளவிடையில் W வைக் குறிப்பதற்கு நிலைக்குத்தாக வரைக; பின், LM என்பதை KL இற்குச் சமனாயும் CE இற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைக ; M இனூடாக MN என்பதை AC யிற்குச் சமாந்தரமாயும் KN என்பதை DC யிற்குச் சமாந் தரமாயும் வரைக. ஆயின், KLMN என்பது C யின் சமநிலைக்குரிய ஒரு விசைப்பல் கோணியாகும்; அச் சங்கிலியானது கப்பி C யின்மீது செல்லும்போது அதனிழுவை மாறாதிருக்கின்றதென்றும் அதுபற்றி CE யின் இழுவை W விற்குச் சமனென்றும் நாம் கொள்வதே அதற்குக் காரணம். எனின், T என்பது AC யினது உதைப்பாயும் T என்பது CD யின் இழுப்பாயும் இருந்தால்,
T T' W
MN =NK - KL எனின், KL என்பது W வைக் குறிக்கின்ற அதே அளவிடையிலேயே T, T", என் பன MN, NK, என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும்.
பயிற்சி VII [பின்வரும் பயிற்சிகள் கேத்திரகணித அமைப்பாலே தீர்க்கப்படல் வேண்டும்.)
1. ஓர் ஆற்றங்கரையில் எதிரெதிரே 50 அடி தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளிலே உள்ள இரு மனிதரால் இழுக்கப்பட்ட, ஒரே புள்ளியிலே தொடுத்துள்ள இரு தாம்புகளால் ஒரு வள்ளம் அவ்வாற்றினது நீளத்திற்கு இழுக்கப்படுகின்றது ; ஒரு தாம்பு 30 அடி நீளமா னது ; அது 35 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையால் இழுக்கப்படுகின்றது; மற்றைத் தாம்பு 45 அடி நீளங்கொண்டது. அவ்வள்ளம் இவ்வாறு ஒரு நேர்கோட்டிலே சீராய் இயங் குமாறு செய்யப்படுகின்றது ; நீரோட்டத்தினால் அவ்வள்ளத்திற்குக் கொடுக்கப்பட்ட தடை யையும் இரண்டாம் தாம்பின் இழுவையையும் காண்க.
2. ஒரு கிரேனின் தூக்குமரம் 10 அடி நீளம் ; பிணைக்கோல் கிடையாய் அத்தூக்குமரத்தின் அடிக்கு நிலைக்குத்தாக 6 அடி மேலே உள்ள ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அக்கிரேன் 1 தொன் திணிவைத் தாங்கும் போது அப்பிணைக்கோலின் இழுவையையும் அத்தூக்கு மரத்தின்மீதுள்ள உதைப்பையும் காண்க.
3. A, B, என்பன B ஆனது A யிற்குக் கீழாகவுள்ள இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் ; அவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கிடை நிலைக்குத்துத் தூரங்களானவை முறையே 4 அடி, 1 அடி என்பன ; AC, BC என்பன முறையே 5 அடி, 3 அடி நீளங்கொண்ட இழைகள் ; C யில் 1 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கட்டப்பட்டிருக்கின்றது ; அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
4. ABCD என்பது ஒரே கிடைக் கோட்டிலுள்ள A, D, என்னும் இரு புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்ட ஓர் இலேசான இழை ; B, C என்பனவற்றில் இரு நிறைகள் இணைக்கப்பட் டுள்ளன. சமநிலையை அடையும் நிலையில் AD என்னுங் கோட்டிற்குக் கீழே B, C என்னும் புள்ளிகளுடைய தூரம் முறையே 4 அடி, 6 அடி என்பன. AB, CD என்பனவற்றின் நீளம் முறையே 6 அடி, 8 அடி என்பனவாயும், AD யினது தூரம் 14 அடி ஆயும், B யிலுள்ள நிறையின் பருமன் 4 இறா. ஆயுமிருந்தால், C யிலுள்ள நிறையைக் காண்க.
5. ABC என்னும் ஒரு சட்டப்படல் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே AB கிடையாக இருக்கும்படி A, B என்னுந் தாங்கிகளால் பேணப்பட்டிருக்கின்றது. AB, BC, CA என்பனவற்றின் நீளங்களானவை முறையே 10 அடி, 7 அடி, 9 அடி என்பன ; C யில் 10 அந்தர் நிறையொன்று வைக்கப்பட்டால், A, B, என்பனவற்றிலுள்ள தாக்கங்களையும் அச்சட்டப்படலின் வேறு வேறு பகுதிகளால் உஞற்றப்படுகின்ற விசைகளையுங் காண்க.

Page 29
-42
நிலையியல்
2. 6. ABC என்னும் ஒரு சட்டப்படலானது AB கிடையாய் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத் தில் இருக்கும் வண்ணம் A, B, என்பனவற்றிலே தாங்கப்படுகின்றது ; 200 இறா. நிறை யொன்று C யிலே தூக்கப்படுகின்றது ; AB = 5 அடி, BC = 4 அடி, AC=3 அடி ஆயின், AC, CB என்பனவற்றிலுள்ள இழுவைகளை , அல்லது உதைப்புக்களைக் காண்க : A, B என்பனவற்றிலுள்ள மறுதாக்கங்களையும் காண்க.
7. ஒரு கிரேனின் தூக்குமரம் 20 அடி நீளமாயும், பிணை 16 அடியாயும் தூண் 10 அடியாயும் உள்ளன. தூக்குமர நுனியிலுள்ள ஒரு கப்பிக்கு மேலாகச் சென்று பின்னர்ப் பிணையினது நீளத்திற்குச் செல்லும் ஒரு சங்கிலியின் நுனியில் 10 அந்தர் நிறையொன்று தூக்கப்படுகின்றது. அத்தூக்கு மரத்திலுள்ள உதைப்பையும் பிணையின் இழுப்பையுங் காண்க.
8. பிரிவு 50, உதாரணம் 3 இலுள்ள உருவத்தில், DC என்னும் பிணை கிடையாய்க் கிடக்க, சங்கிலி அதனோடு பொருந்துகின்றது ; W = 500 இறா. AC = 11 அடி , DC = 5 அடி
ஆயின் DC, AC என்பனவற்றின் வழியேயான தாக்கங்களைக் காண்க.
9. பிரிவு 50 உதாரணம் 3 இலுள்ள உருவத்தில், LCDB = 45, ZACD = 15 ; E D என்னுஞ் சங்கிலி DC யோடு பொருந்துகின்றது ; W ஆனது ஒரு தொன்னாயின் AC, CD என்னும் பகுதிகளால் உஞற்றப்பட்ட விசைகளைக் காண்க.
10. பிரிவு 50, உதாரணம் 3 இலுள்ள உருவத்தில், DA = 15 அடி , DC = 20 அடி,” AC=30 அடி ; ஒரு தொன் நிறையொன்று C யிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது ; அச் சங்கிலி (1) தூக்குமரம் CA யோடு (2) பிணை CD யோடு பொருந்தும்போது AC, CD, DA என் பனவற்றிலே ஆக்கப்பட்ட உதைப்புக்களை , அல்லது இழுவைகளைக் காண்க.
11. பிரிவு 50, உதாரணம் 3 இலுள்ள உருவத்தில், AC என்னுந் தூக்குமரம் 25 அடி நீளமாயும், CD என்னும் பிணை 18 அடியாயும், AD= 12 அடியாயும், AE = 8 அடியாயு முள்ளன ; 2 தொன் நிறை யொன்று சங்கிலியினது நுனியிலிருந்து தூக்கப்பட்டால், AC, CD என்பனவற்றிலுள்ள இழுவைகளை, உதைப்புக்களைக் காண்க.
12. ABCD என்பது தளர ஒருமித்திணைக்கப்பட்ட நான்கு நிறையில் கோல்களாலாகிய ஒரு சட்டப்படல் ; AB, AD என்பன ஒவ்வொன்றும் 4 அடி நீளம் ; BC, CD என்பன ஒவ்வொன்றும் 2 அடி நீளம். ( என்னும் பிணையல் A யோடு 5 அடி நீளமான ஒரு நுண் ணிழையினாலே தொடுக்கப்படுகின்றது. ஒவ்வொன்றும் 100 இறா. ஆகிய நிறைகள் B, D என்பனவற்றில் இணைக்கப்பட்டு முழுவதும் A யிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது. AC யிலுள்ள இழுவை 52 இறா. நிறையெனக் காட்டுக.
13. முந்திய கேள்வியில், இழை AC யிற்குப் பதிலாக 3 அடி நீளமான BD என்னும் நிறையில் கோலொன்று அப்படலை உரப்பாக்க உயோகிக்கப்படுகின்றது; 100 இறா. நிறையொன்று C யிலே தொடுக்கப்படுகின்றது ; B, D என்பனவற்றில் ஒன்றுந் தொடுக்கப்படவில்லை. BD என்னுங் கோலிலுள்ள உதைப்பு ஏறத்தாழ 77 இறா. எனக் காட்டுக.
14. 12 ஆம் கேள்வியில், B, D என்பனவற்றில் ஒரு நிறையுமில்லை ; முழுச்சட்டப்படலும் ஒப்பமான ஒரு கிடை மேசை மீது வைக்கப்படுகின்றது ; B, D என்பனவற்றிலுள்ள பிணையல் கள் BD என்னும் நேர்கோட்டில் ஒவ்வொன்றும் 25 இறா. நிறைக்குச் சமனான இரு விசை களால் ஒன்று ஒன்றின் முகமாக அமுக்கப்படுகின்றன. அவ்விழையின் இழுவை ஏறத்தாழ 31•6 இறா. நிறையெனக் காட்டுக.
15. ABCD என்பது தளர ஒருமித்திணைக்கப்பட்ட நான்கு நிறையில் கோல்களாலாகிய ஒரு சாய்சதுரம் ; AB, AD என்பனவற்றினுடைய மையங்களுக்கு இணைக்கப்பட்ட நாலு கோல்களுள் ஒவ்வொன்றின் அரைப்பங்கு நீளமான நிறையில் கோலொன்றினால் அவ்வுரு வம் உரப்பாக்கப்படுகின்றது. இச்சட்டப்படல் A யிலிருந்து தூக்கப்பட அதற்கு C யில் 100 இறா. நிறையொன்று தொடுக்கப்பட்டால், குறுக்குக் கோலின்மீதுள்ள - உதைப்பு ஏறத்தாழ 115•5 இறா. நிறையெனக் காட்டுக.

அதிகாரம் IV சமாந்தர விசைகள்
51. அதிகாரம் II, III என்பனவற்றில் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கின்ற விசைகளின் விளையுளை எவ்வாறு காணலாம் என்று காட்டினோம். இவ் வதிகாரத்திற் சமாந்தர விசைகளின் சேர்க்கையைப் பற்றி ஆராய்வோம். -எம் நாள் வாழ்க்கையின் பொதுவான நிலையியற் பிரச்சினைகளிற் சமாந்தர விசைகள் இடைவிடாது வருகின்றன.
இரு சமாந்தர விசைகள் ஒரே திசையிலே தாக்கும் பொழுது நிகர்த்த 4. விசைகள் எனப்படும் ; எதிர்ச்சமாந்தர திசைகளிலே தாக்கும் பொழுது நிகரர் விசைகள் எனப்படும்.
52. ஒரு விறைப்பான பொருளின் மீது தாக்குகின்ற இரண்டு சமாந்தரவிசைகளின் விலை யுளை காணல்.
வகை 1... அவை நிகர்த்த விசைகளாகுக. P, Q, என்பன அப்பொருளில் A, B என்னும் புள்ளிகளிலே தாக்கு கின்ற விசைகளாகுக; அவை AL, BM என்னும் கோடுகளாற் குறிக் கப்படுக.
AB யைத் தொடுக்க ; A, B என்பனவற்றில் ஒவ்வொன்றும் S இற்குச் 'சமனாய் முறையே BA, AB என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்ற இரண்டு சமனான எதிர் விசைகளைப் பிரயோகிக்க . இவ்விசைகள் AD, BE என்பன வற்றாற் குறிக்கப்படுக. இந்த இரண்டு விசைகளும் ஒன்றையொன்று சமப்படுத்தி அப்பொருளின் சமநிலையில் யாதுமொரு விளைவையுந் தராது நிற்கும்.
ALFD, BMGE என்னும் இணைகரங்களை முடிக்க . FA, GB என்னும் மூலை விட்டங்கள் 0 விற் சந்திக்குமாறு நீட்டப்படட்டும். OC என்பது AL இற்கு, அல்லது BM இற்குச் சமாந்தரமாய் AB என்பதை C யிற் சந்திக்கும் வண்ணம் வரையப்படட்டும்.
A யிலுள்ள விசைகள் P, S என்பனவற்றிற்கு AF என்பதாற் குறிக்கப். படும் P, என்னும் ஒரு விளையுள் உண்டு. அதன் பிரயோகப்புள்ளி 0 விற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
அதுபோல, B யிலுள்ள , S என்னும் விசைகளுக்கு B யாற் குறிக்கப்படும் Q1 என்னும் ஒரு விளையுளுண்டு. அதன் பிரயோகம் புள்ளியும் 0 விற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
0 விலுள்ள P) என்னும் விசையை AD யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள S என்னும் ஒன்றும், 0C யினது திசையிலுள்ள P என்னும் ஒன்றுமாகியம்" இரு விசைகளாகத் துணிக்கலாம். அதுபோல, 0 விலுள்ள Q1 என்னும்
டி.

Page 30
44
நிலையியல்
விசையை BE யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள S என்னும் ஒன்றும் 00 யின் திசையிலுள்ள Q என்னும் ஒன்றுமாகிய இரு விசைகளாகத் துணிக்க லாம்.
...........
* 3ட
லும் பின் இக' ) என்ன,
அன்றியும், 0 விலே தாக்குகின்ற S என்னும் இந்த இரண்டு விசை களும் சமநிலையில் இருக்கின்றன.
எனின், P, Q என்னும் முந்திய விசைகள் OC வழியே (அதாவது C யில் P, Q என்பனவற்றினுடைய முந்திய திசைகளுக்குச் சமாந்தர மாய்த்) தாக்குகின்ற (P+0) என்னும் விசைக்குச் சமம்.
புள்ளி C யின் இடத்தைத் துணிதல். அமைப்பின்படி, OCA என் னும் முக்கோணி ALF என்னும் முக்கோணிக்கு இயல்பொத் தது :
OC AL P
ஃ CA = LR = S
(ஆகவே,)
P. CA = S . OC .
- (1). அதுபோல், முக்கோணி OCB முக்கோணி BMG யிற்கு இயல் பொத்ததாதலால்.
00 BM Q
CB = MG = S' ஆகவே Q. CB = S. 00
(2). எனின், (1), (2) என்பனவற்றிலிருந்து,
P. CA = Q. CB ;
ஆகவே
4-?

சமாந்தர விசைகள்
45
அதாவது, C ஆனது AB என்பதை விசைகளினுடைய நேர்மாறு விகிதத்தில் உள்ளாற் பிரிக்கின்றது.
வகை II. அவ்விசைகள் நிகரா விசைகளாகுக. P, Q என்பன (P> Q எனக் கொள்க) அப்பொருளில் A, B என்னும் புள்ளிகளிலே தாக்குகின்ற விசைகளாகுக ; அவை AL, BM என்னுங் கோடுகளாற் குறிக்கப்படட்டும்.
AB என்பதைத் தொடுக்க ; A, B என்பனவற்றில் ஒவ்வொன்றும் S இற்குச் சமனாய் BA, AB என்னும் திசைகளிலே தாக்குகின்ற இரண்டு சமமான எதிர் விசைகளைப் பிரயோகிக்க . இந்த விசைகள் AD, BE என்பன வற்றாற் குறிக்கப்படட்டும் ; அவை ஒன்றையொன்று சமப்படுத்தி அப்பொரு ளின் சமநிலையில் யாதுமொரு விளைவையுந் தராதிருக்கும்.
ALFD, BMGE என்னும் இணைகரங்களை முடிக்க ; AF, GB
• என்னும் மூலைவிட்டங்களை 0 விற் சந்திக்குமாறு நீட்டுக.
[இம்மூலைவிட்டங்கள் சமாந்தரமானாலன்றி என்றும் சந்திக்கும் ; சமாந்தரமானால், P யும் Q வும் சமமாகும்].
0C என்பதை AL இற்கு, அல்லது BM இற்குச் சமாந்தரமாய் AB என்பதை C யிற் சந்திக்குமாறு வரைக.
A யிலே தாக்குகின்ற P, S என்னும் விசைகளுக்கு AF ஆற் குறிக்கப் படும், P), என்னும் விளையுள் உண்டு. அதன் பிரயோகப் புள்ளி 0 விற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
அதுபோல, B யிலே தாக்குகின்ற Q, S என்னும் விசைகளுக்கு BG யாற் குறிக்கப்படும் Q1, என்னும் விளையுள் உண்டு. அதன் பிரயோகப் புள்ளியும் 0 விற்குக் கொண்டு செல்லப்படட்டும்.
1tளியும் கப்படும் தாக்கும்.
S•<--)
M G
0 வில் உள்ள P, என்னும் விசையை AD யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள S என்னும் ஒன்றும், நீட்டிய CO என்னுந் திசையிலுள்ள P என்னும் ஒன்றுமாகிய இரு விசைகளாகத் துணிக்கலாம்.

Page 31
46
நிலையியல்
- அதுபோல் , 0 வில் உள்ள Q, என்னும் விசையை BE யிற்குச் சமாந்தர மாயுள்ள S என்னும் ஒன்றும் 0C யினது திசையிலுள்ள Q என்னும் ஒன்றுமாகிய இரு விசைகளாகத் துணிக்கலாம்.
அன்றியும், 0 விலே தாக்குகின்ற S என்னும் இந்த விசைகள் இரண்டும் சமநிலையில் உள்ளன.
எனின், P, Q என்னும் முந்திய விசைகளானவை நீட்டிய CO வினது திசையிலே, அதாவது C யில் P யினது திசைக்குச் சமாந்தரமான திசை மிலே தாக்குகின்ற P - Q என்னும் விசைக்குச் சமம்.
0 என்னும் புள்ளியின் இடத்தைத் துணிதல். அமைப்பினால், முக்கோணி OCA முக்கோணி FDA யிற்கு இயல்பொத்தது ;
OC FD AL P.
ஃCA = DA = AD = Si
ஆகவே,
P. CA = S. OC அன்றியும், முக்கோணி OCB முக்கோணி BMG யிற்கு இயல் பொத்த தாதலால்,
OG BM Q
CB= MG = S
ஆகவே
Q. CB = S. OC ...
.....(2). எனின், (1) , (2) என்பனவற்றிலிருந்து.P. CA = Q. CB.
Q எனின்,
.............(1)., - .
.(1).*
CB
= p'
அதாவது, C என்பது AB என்பதை அவ்விசைகளினுடைய நேர்மாறு விகிதத்தில் வெளியாற் பிரிக்கின்றது.
பொழிப்புரை ; P, Q என்னும் இரண்டு சமாந்தர விசைகள் ஒரு விறைப்பான பொருளில் A, B என்னும் புள்ளிகளிலே தாக்கினால்,
(1) அவற்றின் விளையுள் கூற்று விசைகளுடைய தாக்கக் கோடுகளுக்குச் எசமாந்தரமான தாக்கக் கோட்டையுடைய ஒரு விசையாகும்; அன்றியும் கூற்று விசைகள் நிகர்த்தவையாயின், அதனுடைய திசை அவ்விரு விசை களினுடைய திசையேயாகும்; அவை நிகராதவையாயின், அதனுடைய திசை பெரியதன் திசையாகும்.
(ii) பிரயோகப் புள்ளி P.AC = QBC ஆகும்படி AB யில் உள்ள 0 என்னும் ஒரு புள்ளியாகும்.
(ii) விளையுளின் பருமனானது விசைகள் நிகர்த்தவையாயின், அவ்விரு கூற்று விசைகளின் மொத்தமாயும், விசைகள் நிகராவாயின், அவ்விரு கூற்று விசைகளின் வித்தியாசமாயும் இருக்கும்.

சமாந்தர விசைகள்
47
53. முந்திய அமைப்புத் தவறும் வகை. மேலுள்ள பிரிவின் இரண்டாம் உருவத்தில், P, Q என்னும் விசைகள் சமமாயின், முக்கோணி FDA முக்கோணி GIEB யிற்கு ஒருங்கிசைவாகும் ; எனின், கோணம் DAF கோணம் EBG யிற்குச் சமனாகும்.
இங்கு, கோடுகள் AF, GF என்பன சமாந்தரமாய் 0 என்பது போன்ற யாதுமொரு புள்ளியிலுஞ் சந்தியா ; எனின், அமைப்புத் தவறும்.
எனின், இரண்டு சமனான நிகராச் சமாந்தர விசைகளுக்குச் சமமாய் ஒரு தனி விசையுமில்லை.
இவ்வகையை அதிகாரம் VI இல் மறுபடியும் ஆராயப் புகுவோம். 54. ஒரு தொகையான நிகர்த்த சமாந்தர விசைகள் விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது தாக்கினால், அவற்றின் விளையுளை, பிரிவு 53 ஐ ஒன்றன் பின்னொன்றாகப் பிரயோகிப்பதனாற் பெறலாம். நாம் முதலாம் இரண்டாம் விசைகளின் விளையுளைக் காணல் வேண்டும். பின்னர் இவ்விளையுளுக்கும் மூன்றாம் விசைக்கும் உரிய விளையுளைக் காணவேண்டும். இவ்வாறே பிறவும்.
ஈற்றுவிளையுளின் பருமன் அவ்விசைகளின் மொத்தமாகும். அச்சமாந்தர விசைகள் எல்லாம் நிகர்த்தவையல்லவாயின், விளையுளின் பருமன் ஒவ்வொன்றும் தன் முறைமையான குறி முன்னிடப்பட்ட விசை களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையெனக் காணப்படும்.
சிறிது சென்றபின், (பிரிவு 114 ஐப் பார்க்க) சமாந்தர விசைத் தொகுதி யொன்றின் மையத்தை (அதாவது அத்தொகுதியின் விளையுள் தாக்கும் புள்ளியைக்) கணிப்பதற்குச் சூத்திரங்கள் காணப்படும்.
55. இரண்டு சமாந்தர விசைகளின் விளையுள். பரிசோதனை முறை வாய்ப்புப் பார்த் தல்.
ஏறத்தாழ 3 அடி நீளமாகவும், ஓரங்குலம் அல்லது சற்றே கூடிய அளவு கொண்ட பக்கமுள்ள ஒரு சதுரம் குறுக்கு வெட்டு முகமாகவுமுள்ள
- 1
+Trார்)
சீரான செவ்வக மரச்சட்டம் ஒன்றை எடுக்க. இச்சட்டத்தின் ஒரு முகம்

Page 32
48
நிலையியல்
உருவத்திலுள்ளவாறு அங்குலங்களில், அல்லது அரையங்குலங்களில் அளவு கோடிடப்படல் வேண்டும்.
முனைகள் A, B என்பன ஒரு தாங்கிக்கு உறுதியாகத் தொடுக்கப்பட்ட விற்றராசுகளாலே தாங்கப்படட்டும். இந் நோக்கத்திற்குச் சோல்ற்றரின் வட்டத் தராசொன்றைப் பயன்படுத்துதல் வசதியாகும் ; அது விரிக்கப்படும்பொழுது ஒரு பொதுத் தராசிலும் மிகக் குறைவாகவே இறங்கும் என்பதே அதற்குக் காரணம். AB என்னுஞ் சட்டத்தின்மீது நிறைகளானவை தூக்கப்படத் தக்க ஒரு வளையத்தைக் கொண்டுள்ள C என்னும் இயங்கத்தக்க ஒரு தடம் இருக்கட்டும். இத்தடம் அச்சட்டத்தினது நீளத்திற்கு எந்நிலைக்கும் இயக்கப் படத்தக்கது.
எந்நிறைகளையேனும் இடுமுன்னர் C என்பது AB யின் மையத்தில் இருக்கும்போது, D, E என்னுந் தராசுகளுடைய அளவீடுகள் எடுக்கப்படுக. அச்சட்டம் சீராய் இருக்கின்றமையால், இவ்வளவீடுகள் ஒன்றாய் R இற்குச் சமனாய் (என்க) உள்ளன. - இனி, எல்லாமாக W என்னுந் தொகையுள்ள தேர்ந்த நிறைகளை O யிலே தூக்கி C என்பதை அச்சட்டத்தின்மீது யாதுமொரு நிலை C,, என்ப தற்கு இயக்குக. D, E என்னுந் தராசுகளுடைய புதிய அளவீடுகளை நோக்குக ; அவை முறையே P, Q என்பனவாகுக.
எனின், P - R (= P,), Q - R(= Q1) என்பன நிறை W வால் விளைந்த மிகையளவீடுகள் ; ஆகவே, Pl, Q1, என்பன C, இல் உள்ள W என்னும் விசையைச் சமப்படுத்தி D, E என்பனவற்றிலே இருக்கும் விசைகள்.
P,, Q, என்பனவற்றின் கூட்டுத்தொகை W விற்குச் சமனாதல் காணப் படும்.
....... (1) இனிக் கவனமாக AC, BC, என்னுந் தூரங்களை அளக்க.
P,x AC,. = Q1 BC,
.........(2). என்று காணப்படும்.
வேறு வகையாகக் கூறினால், A யில் உள்ள PJ, Q, என்னும் விசைகளின் விளை யுள் P,. AC, = Q.. BC, ஆகும்படியுள்ள C, என்பதிலே தாக்குகின்ற (P, + Q) என்பு தற்குச் சமன்.
ஆனால், இது பிரிவு 52 (வகை 1) இன் அறிமுறையாய்வினாலே பெற்ற முடிவாகும்.
W என்பதை அதேயளவினதாக வைத்துக் கொண்டு C, என்பதினுடைய நிலையை மாற்றி மறுபடியும் பரிசோதனை செய்க ; P., 21, என்பன வற்றினுடைய பெறுமானங்கள் மாறும் ; ஆனால், அவற்றின் கூட்டுத் தொகை இன்னும் W ஆயிருக்கும் ; P.. AC, என்பதன் புதுப் பெறு மானம் Q1. BC, என்பதன் புதுப் பெறுமானத்திற்குச் சமன் என்பது காணப்படும்.
படும்.. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 : 14

சமாந்தர விசைகள்
49
அதுபோல, பிரிவு 52 இன் தேற்றம் C, இனது யாதுமொரு நிலைக்கும் W இனது யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் உண்மையாகும் :
எண்முறையெடுத்துக்காட்டு. அவ்வளையானது (நிறைகள் எவையேனும் இன்றி) அதனோடு ' தொடுக்கப்பட்ட உபகரணத்தோடு சேர்ந்து 2 இறா. நிறையுள்ளதெனக் கொள்க. எனின், அத்தராசுகளுடைய R என்னும் முந்திய அளவீடுகள் ஒவ்வொன்றும் 1 இறா. ஆகும். "C யில் 4 இறா. நிறையொன்றை இட்டு A, B என்னுந் தராசுகளுடைய அளவீடுகளானவை
முறையே 4 இறா., 2 இறா. ஆகும் வரைக்கும் C யை C, இற்கு இயக்குக.
எனின், C, இல் உள்ள 4 இறா. என்னும் ஒரு விசை A யில் உள்ள 3 இறா. (= 4 - 1) என் னும் ஒரு விசையாலும் B யில் உள்ள 1 இறா. (=2 - 1) என்னும் ஒரு விசையாலும் சமப் படுத்தப்படும்.
தூரங்கள் AC, BC, என்பனவற்றை அளக்க ; AB யினது நீளம் 3 அடி, அதாவது 36 அங்குலம் எனக் கொண்டால் அவற்றின் நீளம் முறையே 9 அங்குலம், 27 அங்குலம் என்பனவாகும். இவ்வண்ணமாக நாம் பெறுவன
P. AC, = 3x9,
Q,. BC, = 1 x 27 என்பனவாகும். இவை ஒன்றுக்கொன்று சமன். எனின், இங்கு பிரிவு 52 (வகை 1) உண்மையாகும். திகராச் சமாந்தர விசைகள்.
சென்ற பரிசோதனையில் A, C., B என்பனவற்றிலுள்ள விசைகள் P, W, Q, என்பன சமநிலையில் இருக்கின்றன; ஆகவே, மேன்முகமாக வுள்ள P,, கீழ்முகமாகவுள்ள W என்பனவற்றின் விளையுள் Q, இற்குச் சமனும் எதிருமாயிருக்கின்றது ; AB, C,B என்னுந் தூரங்களை அளக்க .
ஆயின், 21 = W - P என்றும்.
P.. AB = W.C,B என்றும் காணப்படும். எனின், பிரிவு 52 (வகை II) இன் உண்மை உறுதியாகின்றது.
56. உ-ம். 6 அடி நீளமான ஒரு கிடைக் கோலானது புறக்கணிக்கப் படத்தக்கதான நிறையுடையதாய்த் தன்னுடைய முனைகளில் இரு தாங்கிகளின் மீது கிடக்கின்றது ; 6 அந்தர் நிறையுடைய ஒரு பொருள் அக்கோலில் அதன் ஒரு முனையிலிருந்து 24 அடி தூரத்திலே தூக்கப்படுகின்றது. தாங்கிப் புள்ளி ஒவ்வொன்றிலுமுள்ள மறுதாக்கத்தைக் காண்க. ஒரு தாங்கியானது 1 அந்தர் நிறைக்குச் சமனான உதைப்பையே தாங்குமானால், அப்பொருளானது தூக்கப்படக்கூடிய மற்றைத் தாங்கிலியிலிருந்து மிகப்பெரிய தூரத்கைக் காண்க.
TR
OF-->
அந் 6 AB என்பது அக் கோலாகுக ; R, S என்பன தாங்கிப் புள்ளிகளிலுள்ள மறுதாக்கங்களா குக. C என்பது அப்பொருள் தூக்கப்பட்ட புள்ளியாகுக. ஆகவே AC = 34 அடி ; CB = 24 அடி. சம நிலைக்கு R, 8 என்பனவற்றின் விளையுள் 6 அந்தரைச் சமப்படுத்தல் வெண்டும். எனின், பிரிவு 52 ஆல்,

Page 33
நிலையியல்
R + S = 6
R BC 2)
- S== AC = = 1 (1), (2) என்பனவற்றைத் தீர்க்க, R = 5, S = 2 என ஆகும். எனின், ம கங்களானவை முறையே 2, அந்தர், 3; அந்தர் என்பன. A யில் உள்ள மறுத்த 1 அந்தருக்கே சமமாகக் கூடுமாயின் , S என்பது 5 அந்தர் ஆதல் வேண்டும். - எனின் AC என்பது 2 ஆயின்,
BC 1 _ BC _ 6 -ல. 1 = 20 = 2
6 -ற
!
ஃ. ஐ = 5 அடி.
எனின், BC என்பது 1 அடி.
பயிற்சி VIII பின்வரும் நான்கு கணக்குக்களில் A, B என்பன P, Q என்னும் சமாந்தர விசைக பிரயோகப் புள்ளிகளையும், C என்பது அவற்றின் விளையுளான R ஆனது AB என சந்திக்கும் புள்ளியையுங் குறிக்கின்றன. 1. விசைகள் நிகர் விசைகளாயிருக்க,
(1) P = 4, Q = 7, AB = 11 அங்., (il) P = 11, Q = 19, AB = 24 அடி. (iii) P = 5, Q = 5, AB = 3 அடி. ஆயின் விளையுளின் பருமனையும் நிலையையுங் காண்க. 2. விசைகள் நிகரா விசைகளாயிருக்க.
(1) P = 17, Q = 25, AB = 8 அங்., (11) P = 23, Q = 15, AB = 40 அங்., (iii) P = 26, Q = 9, AB = 3 அடி. ஆயின் விளையுளின் பருமனையும் நிலையையும் காண்க. 3. விசைகள் நிகரானவையாயிருக்க.
(1) P = 8, R = 17, AC = 44 அங், ஆயின், Q, AB என்பனவற்றைக் காண்க. (i) Q = 11, AC = 7 அங்., AB = 83 அங். ஆயின், P யையும், R ஐயுங் கான் (iii) P = 6, AC = 9, அங். CB = 8 அங். ஆயின் Q வையும் R ஐயுங் காண்க. 4. விசைகள் நிகராதனவாயிருக்க.
(1) P = 8, R = 17, AC = 4 அங். ஆயின், Q வையும் AB யையும் காண்க. (ii) Q= 11, AC = - 7 அங்., AB = 83 அங். ஆயின், P யையும், R ஐயுங் க (1li) P = 6, AC = - 9 அங். AB = 12 அங். ஆயின், Q வையும், R ஐயுங் கான் 5. 20 இறா. நிறை என்னும் தந்தவொரு விசைக்குச் சமமான இரண்டு நிகர்த்த தர விசைகள் ஒன்றுக்கொன்று 2 அடி தூரத்திலே தாக்கும்போது ஒன்றினது கோடு தந்த விசையிலிருந்து 6 அங்குல தூரத்திலிருந்தால், அவ்விசைகளை காண்க.

சமாந்தர விசைகள்
51
... (1).
•. .(2).
உறுதாக் நாக்கம்,
ளுடைய ன்பதைச்
6. இர ண்டு நிகராத சமாந்தர விசைகள் 30 இறா. நிறை என்னுந் தந்தவொரு விசைக்குச், சமமாய்) 18 ரை ங்குல இடைத் தூரத்திலே தாக்கும்போது அவ்விரு விசைகளுட் பெரியது தந்த விசையிலிருந்து 8 அங்குல தூரத்திலிருந்தால், அவ்விசைகளைக் காண்க,
7. இரண்டு சமாந்தர விசைகள் P, Q என்பன ஒரு பொருளினுடைய தந்த புள்ளிகளிலே '
Pெ2 தாக்குகின்றன ; Q வானது - ஆக மாற்றப்பட்டால் விளையுளின் தாக்கக் கோடு தனியே விசை களை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றினபோதுள்ள தாக்கக்கோடேயாகும் எனக் காட்டுக.
8. இரண்டு மனிதர் 14 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு பாரமான பெட்டியைக் காவுகின்றனர். ஒவ்வொரு முனையும் அம்மனிதருள் ஒருவனுடைய தோளிலே தங்குகின்றதாயுள்ள 6 அடி நீளமான ஓர் இலேசான காவுதடியிலிருந்து அப்பெட்டி தூங்குகின்றது. அது தூக்கப்படும் புள்ளி ஒரு மனிதனிலும் மற்றை மனிதனுக்கு ஓரடி கிட்டியது. , ஒவ்வொரு தோளிலும் அமுக்கம் என்ன ?
9. இரு மனிதருள் ஒருவனிலும் மற்றவன் வலியன் ; அவர் இருவரும் 6 அடி நீளமான ஓர் இலேசான பலகையால் 270 இறா. நிறையுள்ள ஒரு கற்றுண்டை எடுத்து அகற்ற வேண் டியவராயிருக்கின்றனர் ; வலியவன் 180 இறா. காவத்தக்கவன்; அவனுக்கு அந்நிறையின் அப்பங்கை விடுதற்கு அத்துண்டு எவ்வாறு வைக்கப்படல் வேண்டும்?
10. 12 அடி நீளமும் 17 இறா. நிறையுங் கொண்ட சீரான கோலொன்று தன்கண் ணுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்பத்தக்கது ; 7 இறா. நிறையொன்று அதன் முனையிலே தூக்கப்பட்டால், அக்கோல் சமநிலையிலே நிற்கும் ; அதன் முனையிலிருந்து எவ் வளவு தூரத்தில் அது திரும்பக்கூடிய புள்ளி இருக்கின்றது ?
ந.க. சீரான கோல்களுடைய நிறைகள் அவ்வற்றினுடைய மையங்களிலே தாக்குகின்றன வாகக் கொள்ளப்படலாம்.
11. , சீரான நேர்க்கோலொன்று 3 அடி நீளமானது ; அதன் முனையொன்றில் 5 இறா. சுமையொன்று வைக்கப்பட்டால், அது அம்முனையிலிருந்து 3 அங்குல தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சமநிலையடையும் ; அக்கோலினது நிறையைக் காண்க.
12. 3 இறா. நிறையும் 4 அடி நீளமுமுள்ள சீரான சட்டமொன்று ஒரு முண்டிற்கு மேலாகச் சென்று, மற்றை முனையிலே மேன்முகமாக நிலைக்குத்திலே தாக்குகின்ற 1 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையினாற் கிடை நிலையிலே தாங்கப்படுகின்றது ; அச்சட்டத்தின் மையத்திலிருந்து அம்முண்டின் தூரத்தைக் காண்க.
13. பாரமான சீரான கோலொன்று 4 அடி நீளமுள்ளது; அது ஓரடி இடைத் தூரமுள்ள இரு முளைக் கட்டைகளுக்கு மேலே கிடையாகக் கிடக்கின்றது ; ஒரு முனையிலே தூக்கப்படும் 10 இறா. நிறையொன்று, அல்லது மற்றை முனையிலே தூக்கப்படும் 4 இறா. நிறையொன்று அதனை மட்டாகச் சரிக்கும் ; அக்கோலின் நிறையையும் அக்கோலின் மையத்திலிருந்து அம்முளைக் கட்டைகளுடைய தூரங்களையும் காண்க.
14. 21 அடி நீளமும் 8 இறா. நிறையுங் கொண்ட சீரான இரும்புக் கோலொன்று ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிலுள்ள A, B என்னும் புள்ளிகளிலே நிலைப்படுத்திய இரு சலாகை க ளின்மீது வைக்கப்படுகின்றது. 'AB ஆனது 5 அங்குல நீளமாய்க் கிடையில் இருக்கின்றது ; ப/ைச்சி லாகைகளின் மீதுள்ள உதைப்புக்களின் வித்தியாசம் 6 இறா. நிறையாயின், அசி #லாகைக ளுக்கு அப்பால் அக்கோலினுடைய முனைகளானவை நீண்டிருக்கின்ற தூரங்களைக் காசர்ரக,
15, 4 அடி நீளமான சீரான வளையொன்று 3 அடி இடைத்தூரமுள்ள இரு முண்டு அ ளிலும் ஒரு இடைநிலையில், அவ்வளை அம்முண்டுகளுள் ஒன்றுக்கப்பால் ஓரடி நீசரடி ருக்குமாறு தாங்கப்படுகின்றது ; ஒரு முண்டின்மீதுள்ள விசை மற்றையதன் மீதுள்ளதன் இரு மடங்கெனக் காட்டுக.
4-11 0704 (0/65)
எக்.
ண்க.
சமாந் தாக்கக்

Page 34
52
நிலையியல்
AE kை ஐ 5, டி
> 16. 2 அடி நீளமுள்ள ஒரு நேரான நிறைமில்லாக் கோல் 3 அங்குல இடைத் வைக்கப்பட்ட இரு முளைக் கட்டைகளுக்கிடையிலே கிடை நிலையிற் கிடக்கின்றது ; ஒரு ( அக்கோலின் ஒரு முனையில் இருக்க, மற்றை முனையிலிருந்து 5 இறா. நிறையொன்று கின்றது ; அம்முளைக்கட்டைகளின் மீதுள்ள அமுக்கத்தைக் காண்க.
17. W நிறையுள்ள ஒரு பாரமான சீரான கோல் ஒப்பமான ஒரு இடைத் தா கிடக்கின்றது ; அக்கோலின் மற்றை முனையிற் கட்டப்பட்ட ஓரிழை அத்தளத்தி நிலையான ஒரு புள்ளிக்கு இணைக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழையின் இழுவையை
18. ஒரு மனிதன் தனது தோளின் மீது வைக்கப்பட்ட ஒரு தடியின் மு? பொதியைக் காவுகின்றான் ; அவனுடைய கைக்கும் தோளிற்கும் இடையேயும் மாற்றப்பட்டால், அவனது தோளின் மீதுள்ள அமுக்கம் எவ்வாறு மாறும் ?
19. ஒரு மனிதன் தனது தோளின்மீது கிடக்கின்ற 3 அடி நீளமான ஒ முனையில் 50 இறா. நிறையொன்றைக் காவுகின்றான். தன்னுடைய தோளுக்குங் 6 இடையேயுள்ள நீளம் (1) 12 அங்., (2) 18 அங்., (3) 24 அங். ஆகுமாறு அவன் ஒழுங்குபடுத்துகிறான் ; ஒவ்வொரு வகையிலும் அவனுடைய கையால் உஞற்றப் களும் அவனுடைய தோளின்மீதுள்ள அமுக்கங்களும் எத்துணை பெரியன ?
20. மூன்று சமாந்தர விசைகள் ஒரு கிடைச் சட்டத்தின்மீது தாக்குகின்றன. ஒவ் 1 இறா. நிறைக்குச் சமன் ; வலக்கையிலுள்ளது நிலைக்குத்திலே மேன் ஏனையிரண்டும் முதலாவதிலிருந்து முறையே 2 அடி, 3 அடி. என்னுந் : நிலைக்குத்திற் கீழ்முகமாகவுந் தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளது பருமன்
யையுங் காண்க.
21. 3 அடி நீளமும் 2 அடி உயரமுள்ள ஒரு பயணப்பெட்டியின் புவியீர் அதன் உருவ மையத்திலுள்ளது ; அப்பெட்டி அதன் கீழ்முகத்தினுடைய முற்பக் வோரங்களிற் பிடிக்கின்ற இரு மனிதராலே மேன்மாடிக்குக் கொண்டு செல்ல இது கிடைத் தளத்திற்கு 30° கோணத்திற் சாய்ந்திருக்க அப்பெட்டியின் நிறை சாயின், ஒவ்வொருவனும் அந்நிறையின் எவ்வளவைத் தாங்குகின்றானெ

தூரத்தில் களைக்கட்டை தூக்கப்படு
த்தின்மீது ற்கு மேலே க் காண்க. னயில் ஒரு பள தூரம்
அதிகாரம் V.
திருப்புதிறன். 57. வரை. தந்தவொரு புள்ளிபற்றி ஒரு விசையினது திருப்புதிறன் அவ்விசை யைத் தந்த புள்ளியிலிருந்து தாக்கக் கோட்டின்மீது வரையுஞ் செங்குத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கமாகும்.
ரூ தடியின் கெகளுக்கும்
அத்தடியை : பட்ட விசை !
வொன்று முகமாகவும் தூரங்களிலே னயும் நிலை
இவ்வண்ணம், தந்தவொரு புள்ளி 0 பற்றியுள்ள விசை F இனது
திருப்புதிறன் Fx ON ; இங்கு, ON என்பது 0 வில் இருந்து F இனது. எப்பு மையம்
தாக்கக் கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்து. கப் பிற்பக்க ப்படுகின்றது. த விசை பூச்சியமானாலன்றி, அல்லது விசையானது திருப்புதிறன் எடுக்கப் ற 1 அந்த பாட்ட புள்ளியினூடாகச் சென்றாலன்றி, அப்புள்ளிபற்றி எடுக்கப்பட்ட அவ் னக்காண்க. | விசையினது திருப்புதிறன் பூச்சியமாகாதென்பது அறியப்படல் வேண்டும்.
58. ஒரு திருப்புதிறனின் கேத்திரகணித வகைக்குறிப்பு.
விசை IF ஆனது AB என்னும் கோட்டாற் பருமனிலும், திசையிலும் 1 தாக்கக் கோட்டி.லும் குறிக்கப்படட்டும். 0 என்பது தந்த யாதுமொரு புள்ளியாகுக ; ON என்பது 0 வில் இருந்து AB யின்மீது, அல்லது நீட்டிய AB யின்மீது வரைந்த செங்குத்தாகுக.
- - ------- 7
> > -- - - - - - - - - - - - - -
FN ) OA, OB என்பனவற்றைத் தொடுக்க.
வரைவிலக்கணத்தின்படி, 0 பற்றியுள்ள F இனது திருப்புதிறன் F x ON, அதாவது AB x ON. ஆனால், AB x ON ஆனது முக்கோணி (OAD யினது பரப்பளவின் இரு மடங்குக்குச் சமன் (அது, AB என்பதை அடி

Page 35
54
நிலையியல்
யாயும் ON என்பதை உயரமாயுங் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற். குச் சமன் என்பதே காரணம்). எனின், புள்ளி 0 பற்றியுள்ள விசை F இனது திருப்புதிறன் முக்கோணி OAB யினது பரப்பின் இருமடங் காற் குறிக்கப்படும் : அதாவது,
அது விசையைக் குறிக்கின்ற கோடே தன்னடியாயும் திருப்புதிறன் எடுக்கப்படும் புள்ளியே தன்னுச்சியாயுமுள்ள முக்கோணியின் பரப்பினது இருமடங்காற் குறிக்கப்படும் என்பது.
59. ஒரு புள்ளிபற்றியுள்ள ஒரு விசையினது திருப்புதிறனின் பௌதிகக் கருத்து. பிரிவு 57 இனது உருவத்திலுள்ள பொருள் ஒப்பமான ஒரு மேசையின் மீது கிடக்கும் ஒரு தளத்தகடெனக் கொள்க; அது தகரத் தகட்டுத் துண்டு, அல்லது மெல்லிய பலகைத் துண்டைப் போன்ற மிகச் சிறிய தடிப்பையுடைய ஒரு பொருளாயிருக்கலாம். அப்பொருளின் புள்ளி 0 என்பது நிலையான தெனக் கொள்க. அப்பொருளின் மீது தாக்குகின்ற விசை F இனது விளைவு, புள்ளி 0 என்பதை மையமாகக் கொண்டு அதனைத் திரும்பச் செய்வதே ; விசை F ஆனது பூச்சியமானாலன்றி அல்லது ON என்பது பூச்சியமாகுமாறு விசை F ஆனது 0 வினூடாகச் சென்றாலன்றி, இவ் விளையுள் பூச்சியமாகாது. எனின் FXON என்பது 0 பற்றி அப்பொருளைத் திருப்புதற்குள்ள F இனது நாட்டத்தின் ஒரு தக்க அளவாகும். இதனைப் பின்வருமாறு பரிசோதனை முறையால் வாய்ப்புப் பார்க்கலாம்.
அத்தகடு, F, F, என்பனவற்றைத் தம் இழுவைகளாகவுள்ள இரண்டு இழைகளுடைய தாக்கத்தின் கீழ் ஓய்விலிருக்கட்டும்; அவ்விழைகள் அத் . தகட்டினுடைய நிலையான புள்ளிகளுக்குக் கட்டுப்படட்டும்; அவ்விழுவை களுடைய தாக்கக்கோடுகள் அந்தத் தகட்டின் தளத்திற் கிடக்கிறதென்க.
ON, ON, என்பன 0 என்னும் நிலையான புள்ளியிலிருந்து F, F| என்பனவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகளின் மீது வரைந்த செங்குத்துக் களாகுக.
- ON, ON, என்னும் நீளங்களையும் F, F, என்னும் விசைகளையும் அளந் தால், பெருக்கம் F.ON என்பது பெருக்கம் Fl.ON, இற்கு என்றும் சமன் என்று காணப்படும்.

திருப்புதிறன்
55
எனின், 0 பற்றி F, F, என்னும் விசைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் ஒரே பருமனையுடையனவாயின், அவ்விசைகளுக்கு அப்பொருளை 0 பற்றித் திருப்புதற்குரிய நாட்டங்கள் சமமும் எதிருமாயிருக்கும்.
F, F, என்னும் இவ்விசைகள் இழைகளை இலேசான ஒப்பக் கப்பி களுக்கு மேலாகச் செலுத்திச் சமநிலை கொடுக்கப் போதுமான நிறையை அவ்விழைகளுடைய நுனிகளிலே தூக்குவதால் அளக்கப்படலாம் ; அல்லது பிரிவு 25 இல் உள்ளவகைகளைப்போல இழைகளை இரு விற்றராசுகளுடைய கொளுக்கிகளிற் கட்டி அத்தராசுகளுடைய அளவீடுகளைக் குறிப்பதனாலும் அளக்கலாம்.
60. பரிசோதனை. ஒரு புள்ளி நிலையா ஒரு பொருள் இரு விசைகளாலே தாக்கப்பட்டு ஓய்விற் கிடந்தால், அந்நிலையான புள்ளி பற்றியுள்ள அவ்விரு விசைகளுடைய திருப்பு திறன்கள் சமமுமெதிருமாகுமெனக் காட்டல். - பிரிவு 55 இல் வழங்கிய சட்டத்தை எடுத்து அது கிடைநிலையிற் கிடக்கு மாறு அதனை C யிலே தூக்குக ; அச்சட்டம் ஒருசீராயிருந்தால், C என்பது அதன் மையமாகும் ; அது சீராயில்லாதிருந்தால், C என்பது அதன் புவியீர்ப்பு மையமாகும் (அதிகாரம் IX). அச்சட்டம் C பற்றி எளிதாகவும் சுயாதீனமாயும் திரும்புமாறு தூக்கப்படல் வேண்டும்.
SC TTTTEIIIIIIIIm
P 14.
2 d
விசைகள் சமாந்தரமாயிருக்கும் நிலை. அச்சட்டத்தில் A, B என்னும் எவையே னும் இரு புள்ளிகளிலிருந்து இரு காவிகளைத் தூக்கி அவற்றின்மீது அச்சட்டம் • மறுபடியுங் கிடைநிலையிற் சமநிலையடையும்படி நிறைகள் வைக்க. - P என்பது A யிலே காவியின் நிறையுட்பட்ட முழு நிறையாகுக; அது போல், Q என்பது B யிலேயுள்ள முழு நிறையாகுக. கவனமாக, AC, BC என்னுந் தூரங்களை அளக்க.
ஆயின், P.AC என்னும் பெருக்கமும் Q. BC என்னும் பெருக்கமும் சமமாதல் காணப்படும்.
அச்சட்டத்தின் மீது இத்தகைக் காவிகள் பலவற்றை வைத்து அவற்றின் மீது சமநிலை பெறத்தக்க தொகையளவு நிறைகளை வைப்பதனால், இத் தேற்றம் இரண்டின் மேற்பட்ட விசைகளுக்கும் உண்மையோவெனச் சரி பிழை பார்க்கலாம்.

Page 36
56
நிலையியல்
ஒவ்வொரு வகையிலும், C யின் ஒரு பக்கத்து நிறைகளுடைய திருப்பு திறனின் மொத்தம், மற்றைப் பக்கத்து நிறைகளுடைய திருப்புதிறனின் * மொத்தத்திற்குச் சமனாதல் காணப்படும்.
விசைகள் சமாந்தரமாயில்லா நிலை. முன்போல் அச்சட்டத்தை ஒழுங்காக்குக ; ஆனால், A, B என்பனவற்றில் இலேசான இழைகள் இணைக்கப்பட அவ்விழைகள் இலேசான கப்பிகளின் மேலாகச் சென்று மற்றை முனை களிற் காவிகளைத் தாங்கட்டும். அச்சட்டம் கிடைநிலையிற் சமநிலையையடையு மாறு இக்காவிகளிலே நிறைகள் இடப்படுக.
2.
-> ()
P, Q என்பன அக்காவிகளுடைய நிறைகள் உட்பட 'அக்காவிகளின் மீதுள்ள முழு நிறைகளாகுக; இவை A, B என்பனவற்றிலுள்ள இழை களுடைய இழுவைகளாகும். ,
C யில் இருந்து முறையே OA, OB என்பனவற்றிற்குள்ள நிலைக்குத்துத் தூரங்கள் p, q என்பனவற்றை அளக்க..
ஆயின், P.ற = Qq என்று காணப்படும். 61. நேர் மறைத் திருப்புதிறன்கள். பிரிவு 57 இல் விசை F என்பது அத்தகட்டின்மீது தாக்குகின்ற தனி விசையாய் இருந்தால், அது மேசைமீது முகம் மேற்புறமாக வைக்கப்பட்ட ஒரு கடிகாரத்தினுடைய கம்பிகள் இயங்குந் திசைக்கு எதிரான திசையிலே அதனைத் திரும்பச் செய்யும்.
இவ்விசை F1 என்பது அத்தகட்டின்மீது தாக்குகின்ற ஒரே விசையாய் இருப்பின், இது அக்கடிகாரத்தினுடைய கம்பிகள் இயங்கும் அதே திசை யிலே அதனைத் திரும்பச் செய்யும்.
0 பற்றி F இனது திருப்புதிறன், அதாவது ) என்னுந் திசையிலே நேர் என்றும், 0 பற்றியுள்ள, F இனது திருப்புதிறன், அதாவது ) என்னுந் திசையிலே மறை என்றுங் கூறப்படும்.
திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை. விசைத் தொகுதியொன் றிற்கு தந்தவொரு புள்ளி பற்றியுள்ள திருப்புதிறன்களின் - அட்சர

திருப்புதிறன்
57
கணிதக் கூட்டுத்தொகையானது ஒவ்வொரு விசையின் திருப்புதிறனுக்கும் அதன் முறைமையான குறியை முன்னிட்டுக் கூட்டிய கூட்டுத்தொகை யாகும்.
உ-ம். ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; AB, CB, DC, DA என்னும் பக்கங்கள் வழியே முறையே 6, 5, 8, 12 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் தாக்குகின்றன. அச்சதுரத்தின் பக்கம் 4 அடி ஆயின், மையம் 0 பற்றியுள்ள அவற்றினுடைய திருப்பு திறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
DA, AB என்பனவற்றின் வழியேயான விசைகள் அச்சதுரத்தை 0 பற்றி நேர்த்திசையிலே திருப்ப முய லுகின்றன ; முயல, DC, CB என்பனவற்றின் வழியேயுள்ள விசைகள் அதனை மறைத்" திசையிலே திருப்ப முயலுகின்றன.
ஒவ்வொரு விசையிலிருந்தும் 0 வின் செங்குத்துத் தூரம் 2 அடி எனின், அவ்விசைகளின் திருப்புதிறன்கள் முறையே,
+ 6x 2, - 5 x 2, - 8x2, + 12 x 2 என்பன.
பு?
ஆகவே, அவற்றின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை 2 [6 - 5 - 8 + 12], அல்லது 10 திருப்புதிறனலகுகள், அதாவது 0 வில் இருந்து 1 அடி தூரத்திலே தாக்குகின்ற 1 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையினுடைய திருப்புதிறனின் 10 மடங்கு.
62. தேற்றம். எவையேனும் இரு விசைகளுடைய தளத்தில் யாதுமொரு புள்ளிபற்றி யுள்ள அவ்விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை அப்புள்ளி பற்றியுள்ள அவற்றின் விளையுளின் திருப்புதிறனுக்குச் சமன்.
வகை 1. அவ்விசைகள் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கட்டும். புள்ளி A யிலே தாக்குகின்ற P, Q என்பனவே அவ்விரு விசைகளா குக ; 0 என்பது திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்படும் புள்ளியாகுக. 00 என் பதை P யினது திசைக்குச் சமாந்தரமாய் Q யினது தாக்கக் கோட்டை C யிற் சந்திக்கும்படி வரைக.
AC என்பது Q வைப் பருமனிற் குறிக்கட்டும்; அதே அளவுத்திட்டத்தில் AB என்பது P• யைக் குறிக்கட்டும் ; ABCD என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க ; OA, OB என்பனவற்றைத் தொடுக்க.
ஆயின், AD என்பது P, Q ஆயவற்றின் விளையுள் R என்பதைக் குறிக் கும்.
(a) 0 ஆனது முதலாம் உருவத்திற்போல DAC என்னும் கோணத் திற்கு வெளியே இருந்தால், நாம் காட்ட வேண்டியது
2AOAB +2 AOAC ==: 2AOAD. (0 பற்றியுள்ள P, Q என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்கள் ஒரே திசையிலிருப்பதே அதற் குக் காரணம்.)
AB, OD 6என்பன சமாந்தரமாகையால், நாம் பெறுவது,

Page 37
58
நிலையியல்
AOAB = ADAB = AACD, 3. 2A OAB + 2A OAC= 2A ACD + 2A OAC= 24 OAD.
(8) 0 ஆனது இரண்டாம் படத்திற்போல் CAD என்னுங் கோணத் திற்குள்ளே இருந்தால், நாம் காட்ட வேண்டியது
2AAOB - 2AAOD = 2A AOD. (0 பற்றி P, Q என்பனவற்றின் திருப்பு திறன்கள் எதிர்த் திசைகளிலிருப்பதே அதற்குக் காரணம்.)
a விற்போல், நாம் பெறுவது,
- A AOB = ADAB = /AACD.
ஃ, 2A AOB - 2AA00 = 2AACD-2A OAC = 2A OAD.
வகை II. அவ்விசைகள் சமாந்தரமாகுக.
YR P+
.. (1) ;
P, Q என்பன இரண்டு சமாந்தர விசைகளாகுக; R (= P + Q) என்பது அவற்றின் விளையுளாகுக.
அவற்றினுடைய தளத்தில் யாதுமொரு புள்ளி 0 வில் இருந்து OACB என்பதை அவ்விசைகளுக்குச் செங்குத்தாக அவற்றை முறையே A, C, B என்பனவற்றிற் சந்திக்குமாறு வரைக.
பிரிவு 52 ஆல், நாம் பெறுவது P.AC = Q. CB ...
'. 0 பற்றி P, Q என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களது கூட்டுத்தொகை
= Q.OB + P.OA) = Q (00+ CB) + P (00- AC) = (P+ Q) 00+ Q. CB - P.AC = (P+ Q) . 00,
சமன்பாடு (1) ஆல். = 0 பற்றியுள்ள விளையுளின் திருப்புதிறன்.

திருப்புதிறன்
59
திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்படும் புள்ளி அவ்விசைகளுக்கிடையில் 0, என் பதைப்போல இருந்தால், P, (Q என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்கள் மறைக்.
குறிகளைக் கொள்ளும்.
இங்கு, நாம் பெறுவது : 0 பற்றியுள்ள P, Q என்பனவற்றினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத்தொகை,
= P.0, A - Q.0,B = P(0,0+ CA) - Q (CB - 0, 0) = (P + Q). 0,0+ P.CA - Q. CB = (P +Q). 0,C
சமன்பாடு (1) ஆல். அப்புள்ளி வேறு யாதும் நிலையைக் கொள்ளும் வகையும் அவ்விசைகள் எதிர்ச் சமாந்தர திசைகளிலே தாக்குகின்ற வகையும் மாணாக்கனுக்கு நிறு » வற் பயிற்சிக்காக விடப்பட்டுள்ளன.
63. முந்திய விவரணத்தின் முதலாம் வகையைப் பின்வருமாறு வேறுவிதமாக நிறுவ
லாம்.
P, Q என்னும் அவ்விரு விசைகளானவை முறையே AB, AC என்பனவற்றாற் குறிக்கப் படுக ; AD என்பது விளையுள் R என்பதைக் குறிக்கட்டும் ; ஆயின், ABDC என்பது ஓர் இணைகரமாகும்.
0 என்பது அவ்விசைகளினுடைய தளத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளி என்க. OA என்பதைத் தொடுக்க ; BL, CM என்பனவற்றை OA என்பதற்குச் சமாந்தரமாய் AD என்பதை முறையே L, M என்பனவற்றிற் சந்திக்குமாறு வரைக.
முக்கோணி ACM என்பதனுடைய பக்கங்களானவை முறையே முக்கோணி DBL என்பதனுடைய பக்கங்களுக்குச் சமாந்தரமாகையாலும் AC என்பது BD யிற்குச் சமனா கையாலும்,
•. AM = LD,
'. A OAM = A OLD. முதலாவதாக, 0 என்பது முதலாம் படத்திற்போல கோணம் CAD யிற்கு வெளியால் விழுகிறதென்க.

Page 38
60
நிலையியல்
ஆயின்,
2A OAB +2A OAC
= 2/\ OAL + 2A OAM = 2A OAL + A2 OLD
= 2A OAD எனின், P, Q என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை R இனது திருப்புதிறனுக்குச் சமன்.
இரண்டாவதாக, 0 என்பது இரண்டாம் படத்திற்போலக் கோணம் CAD யிற்குள்ளே விழுக.
0 பற்றி P, Q, என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களது கூட்டுத்தொகை,
= 2A OAB - 2A OAC = 2A DAL - 2A OAM = 2A OAL - 2A OLD = 2A OAD
= 0 பற்றியுள்ள R இனது திருப்புதிறன். 64. திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்படும் புள்ளி 0 விளையுளிற் கிடந்தால், அப்புள்ளிபற்றியுள்ள விளையுள்ன் திருப்புதிறன் பூச்சியமாகும். இங்கு, தந்த அப்புள்ளி பற்றியுள்ள கூற்று விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின், அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும் ; அதாவது, இரண்டு விசைகளின் விளையுளின் தாக்கக்கோட்டிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளிபற்றி எடுக்கும் அவ்விரு விசைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் சமனாயும் மறைக்குறியுள்ளனவாயுமிருக்கும்.
மாணாக்கன் இத்தேற்றத்தை ஒரு படத்திலிருந்து ஒருவருதவியுமின்றி எளிதாக நிறுவலாம், பிரிவு 62 இல், புள்ளி 0 என்பது புள்ளி D யோடு பொருந்துதல் காணலாம் ; ஆயின், முக்கோணிகள் ACO, AB0 என்பன சமன் என்றே நாம் காட்டல் வேண்டும்; இது உண்மை என்பது தெளிவு.
65. திருப்புதிறன்களின் பொதுமைப்படுத்திய தேற்றம். ஒருதளத்து விசை கள் எத்தனையேனும் விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது தாக்க, அவற்றிற்கு ஒரு விளையுள் உண்டெனின், அவற்றினுடைய தளத்தில் யாதுமொரு புள்ளிபற்றி எடுக்கும் அவற்றி னுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் விளையுளது திருப்பு திறனுக்குச் சமன்.
அவ்விசைகள் P, Q, R, S,....... என்பனவாகுக ; 0 என்பது அவற் றின் திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்படும் புள்ளியாகுக.
P, என்பது P, Q என்பனவற்றின் விளையுளாயும், P, என்பது P,, R என்பனவற்றின் விளையுளாயும், P; என்பது Pa, S என்பனவற்றின் விளையுளாயும் இருக்கட்டும் ; இவ்வாறே ஈற்று விளையுள் பெறப்படும் வரைக்குந் தொடரலாம்.
ஆயின், 0 பற்றி P, இனது திருப்புதிறன் = P, Q என்பனவற்றினு டைய திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை (பிரிவு 62) ;
Eே SRIF -ERIEWS 7

திருப்புதிறன்
61
அன்றியும், 0 பற்றி P, இன் திருப்புதிறன் = Pr, R என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை,
= P, Q, R என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களினது கூட்டுத்தொகை அவ்வாறே, 0 பற்றி P: இனது திருப்புதிறன்,
= P2, S என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களினது கூட்டுத்தொகை = P, Q, R, S என்பனவற்றின் திருப்புதிறன்களது கூட்டுத்
தொகை. இவ்வாறே எல்லா வகைகளும் எடுக்கப்படும் வரைக்கும் செல்லலாம். எனின், ஈற்று விளையுளது திருப்புதிறன்
= கூற்று விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை.
கி.தே. அதுபோல், பிரிவு 64 இற் காட்டியபடி, யாதேனும் ஒரு தொகை விசைகளின் விளையுளினது தாக்கக் கோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளி பற்றி எடுத்த அவ்விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட் டுத்தொகை பூச்சியமாகும் ; ஆகவே, மறுதலையாக, யாதேனும் ஒரு தொகை விசைகளினுடைய தளத்தில் ஒரு புள்ளி பற்றி எடுத்த அவ்விசை களுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமானால் அவற்றின் விளையுள் பூச்சியமாகும் (இவ்வமயத்தில் விசைகள் சம நிலையை அடையும்) அல்லது திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கூடாகச் செல் லும்.
66. முந்திய பிரிவிலுள்ள தேற்றம் ஒரு விசைத் தொகுதியின் விளை யுளது தாக்கக் கோட்டிற் புள்ளிகள் காண்பதற்கு உதவும். அவ்விசைத் தொகுதியினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும்படியுள்ள ஒரு புள்ளியையே காணல் வேண்டும். அவ்விளை யுள் அப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும் என்பதே அதற்குக் காரணம். இத்தத்துவம் பின்வரும் பிரிவிலுள்ள உதாரணங்கள் 2, 3 என்பன வற்றால் விளக்கப்படும்.
சமாந்தர விசைத் தொகுதியொன்று உண்டாயின், அத்தகைய ஒரு புள்ளி அறியப்படும்போது, விளையுள், பருமன் திசை என்னும் இரண்டிலும் அறியப்படும்.
67. உம். 1. 5 அடி நீளமான கோலொன்று தன்னுடைய முனைகளில் இணைத்த நிலைக்குத்திழைகள் இரண்டாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அதன்கண் ஒரு முனையிலிருந்து 1, 2, 3, 4 அடி தூரங்களிலே முறையே 4, 6, 8, 10 என்னும் இறா. நிறைகளானவை தூக்கப்படு கின்றன. அக்கோலினது நிறை 2 இறா. எனின், அவ்விழைகளுடைய இழுவைகள் என்ன ?
AF என்பது அக்கோலாயும், B, C, D, E என்பன அந் நிறைகளானவை தூக்கப்பட்ட புள்ளிகளாயும் இருக்க ; G என்பது அக்கோலின் மையமாகுக ; அக்கோ லினது நிறை
இப்புள்ளியிலே தாக்குகின்றதெனக் கொள்வோம்.

Page 39
62
நிலையியல்
R, S என்பன அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளாகுக. அவ்விசைகளுடைய விளையுள் பூச்சியமாதலால், A பற்றி அதனது திருப்புதிறன் பூச்சியமாதல் வேண்டும்,
கட உப
:10
எனின், பிரிவு 65 இன்படி, A பற்றியுள்ள திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
ஆகவே, 4x1+6x2+2x24+8x3+10x4 - Sx5=0,
ஃ 5S = 4+12+5+24+40=85,
• S= 17. அதுபோல, F பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க, நாம் பெறுவது
5R=10x1+8x2 +2x24 +6x3+4x4= 65.
ஃ. R=13. இழுவை R என்பது வேறு வழியாலும் பெறப்படலாம். அந்நிறைகளின் விளையுள் 30 இறாத்தலுக்குச் சமமான ஒரு நிறையாயும், R, S என்பனவற்றின் விளையுள் R+S என்பதற்குச் சமமான ஒரு விசையாயும் இருக்கின்றன. ஆனால், இவ்விளையுள்கள் ஒன்றை யொன்று சமன் செய்கின்றன.
ஃ. R+ S=30 ;
• R= 30 - S= 30 -17=13. உ-ம். 2. P, 2P, 3P, 4P என்பனவற்றிற்குச் சமமான விசைகள் ஓரொழுங்கிலெடுத்த ABCD என்னும் சதுரத்தினுடைய பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்றன ; விளையுளின் பருமன், திசை, தாக்கக் கோடு என்பனவற்றைக் காண்க.
AP B
+2p
அச்சதுரத்தின் பக்கம் a ஆகுக, P, 3P என்னும் விசைகள், பிரிவு 52 இன்படி, DE= : ஆகவுள்ள E என்னும் புள்ளி யிலே தாக்குகின்ற ஒரு சமாந்தர விசை 2P என்பதற்குச் சமன்.

திருப்புதிறன்
63
அதுபோல், AP, 27 என்னும் விசைகள் CD யின்மீது DF=a ஆகவுள்ள F என்னும் புள்ளியிலே தாங்குகின்ற 2P என்னும் விசைக்குச் சமன்.
இந்த இரண்டு கூறுகளுடைய தாக்கக் கோடுகள் 0 விற் சந்திக்கட்டும். ஆயின், ஈற்று ) விளையுள் CA யிற்குச் சமாந்தரமான திசையிலே தாக்குகின்ற 2PV2 என்பற்குச் சமன்.
வேறுவழி : (பெரிதும் ஆயாசமான) கேத்திரகணிதவமைப்பு யாதுஞ் செய்யாது விளையுள் விசையின் தாக்கக் கோட்டை, பிரிவு 65 இல் உள்ள தேற்றம் கொண்டு எளிதிற் பெறலாம்.
தாக்கக் கோடு AD, CD என்பனவற்றை Q, R என்பனவற்றிற் சந்திக்கட்டும். Q என்பது விளையுளின் தாக்கக் கோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியாதலால், Q பற்றியுள்ள நான்கு விசை களுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாதல் வேண்டும் ;
: P (DQ+a) +2P (@) = 3P.DQ;
ஃ DQ= ".
அவ்வறே புள்ளி R இற்கு, நாம் பெறுவது
P . a +2P (RD+a) = 4P .RD ;
ஃ RD=" அன்றியும், CD யிற்குச் செங்குத்தாயுள்ள விசைகளினுடைய கூறுகள் 4P - 2P, அதாவது 2P ஆயும், CD யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள கூறுகள் 3P -P, அதாவது 2P - ஆயும் இருக்கும். எனின், விளையுளின் பருமன் 292P ஆகும்.
உ-ம். 3. 3P, 7P, 5P என்பனவற்றிற்குச் சமமான விசைகள் ABC என்னும் சமபக்க முக்கோணியொன்றினுடைய பக்கங்கள் AB, BC, CA, என்பனவற்றின் வழியே தாக்கு கின்றன ; விளையுளின் பருமன், திசை, தாக்கக்கோடு என்பவற்றைக் காண்க.
A
BP
8 (e C"
அம்முக்கோணியின் பக்கம் a ஆகுக ; விளையுள் விசை BC என்னும் பக்கத்தை Q விற் சந்திக்கட்டும். பிரிவு 65 இன்படி, Q பற்றியுள்ள விசைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
ஃ 3Px(QC+a) சைன் 60° = 5PxQC சைன் 60°.
3a
: Q0 = 7
BC இற்குச் செங்குத்தான விசைகளுடைய கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை
=5P சைன் 60° - 3P சைன் 60° on Pv3. அன்றியும், BC என்னும் திசையிற் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை
=7P - 6P கோசை 60° -3P கோசை 60°=3P.

Page 40
64.
நிலையியல்
எனின், விளையுள் CQ = 2 BC ஆகவுள்ள Q விற்கூடாகச் சென்று BC இற்கு தான்- 1 அதாவது 30° என்னும் கோணத்திற் சாய்ந்துள்ள PV12 ஆகும்.
பயிற்சி IX.
//1. ABCD என்னும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கம் 4 அடி ; CB, BA, DA, DB என்னுங் கோடுகள் வழியே முறையே 4, 3, 2, 5 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; அவ்விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையை C பற்றி ஓர் அடி இறாத்தலின் அண்ணளவான தசமதானத்திற்குக் காண்க. >/2. ABCDEF என்னும் ஒழுங்கான அறுகோணி ஒன்றின் பக்கம் 2 அடி ; AB, CB, DC, DE, EF, FA என்னும் பக்கங்கள் வழியே முறையே 1, 2, 3, 4, 5, 6 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் தாக்குகின்றன ; அவ்விசைகளின் திருப்புதிறன்களது அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையை A பற்றிக் காண்க. /3. 20 அடி நீளமான ஒரு மரத்தின் ஒரு முனை ஒரு கிடைத்தளத்தில் வைக்கப்பட்டு, அம்மரம் 30 இறா. நிறைக்குச் சமனான இழுவையையுடைய ஓர் இழையினால் இழுக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழை அம்மரத்தின் மேல் நுனியிலே தொடுத்துள்ளதாய் கிடையுடன் 30° இற் சாய்ந்திருக்கின்றது ; எக்கிடை விசையை நிலத்திற்குமேலே 4 அடி உயரமான ஒரு புள்ளியிற் பூ பிரயோகித்தால் அம்மரம் நிலைக்குத்து நிலையிலிருக்குமெனக் காண்க.
4. சீரான இரும்புக் கோலொன்று 6 அடி நீளத்தையும் 9 இறா. திணிவையும் உடையது ; அதனுடைய முனைகளிலிருந்து முறையே 6 இறா., 12 இறா. என்னுந் திணிவுகளானவை தூக்கப்படுகின்றன ; எப்புள்ளியிலிருந்து அக்கோலைத் தூக்கினால், அது இடைநிலையிலிருக்கும் ? * 5. சீரான வளையொன்று 12 அடி நீளத்தையும் 50 இறா. திணிவையும் உடையது ; அதனுடைய முனைகளிலிருந்து முறையே 20 இறா., 30 இறா. என்னும் நிறைகள் தூக்கப்படு கின்றன ; அவ்வளை சம நிலையிலே நிற்குமாறு எப்புள்ளியிலே தாங்கப்படல் வேண்டும் ?
- 1 இறா., 2'இறா., 3 இறா., 4 இறா. என்னும் திணிவுகள் 5 அடியான சீரான கோலொன்றிலிருந்து முறையே 1 அடி, 2 அடி, 3 அடி, 4 அடி என்னுந் தூரங்களிலே தூக்கப்படுகின்றன. அக்கோலினது திணிவு 4 இறாத்தலாயின், அது சமநிலையை அடையும் புள் ளியினது நிலையைக் காண்க. 1 7. 4 அடி நீளமும் 2 இறா. நிறையுமுடைய சீரான கோலொன்று தன் முனையொன்றி லிருந்து ஓரடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்புகின்றது ; அம்முனை யிலிருந்து 10 இறா. நிறையொன்று தூக்கப்படுகின்றது. சமநிலையை விளைவித்தற்கு மற்றை
முனையில் எந் நிறை வைக்கப்படல் வேண்டும்?
8. பாரமான சீரான வளையொன்று 10 அடி நீளத்தையும் 10 இறா. திணிவையுங் கொண்டுள்ளது ; அது ஒரு முனையிலிருந்து 4 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலே தாங்கப் படுகின்றது ; இம்முனையில் 6 இறா. திணிவொன்று வைக்கப்படுகின்றது ; எத்திணிவை மற்றை முனையில் வைத்தால் அவ்வளை சம நிலையை அடையுமெனக் காண்க.
• 9. ஒரு பாலத்தின் கிடைத்தெரு 30 அடி நீளத்தையும் 6 தொன்னிறையையும் உடைய தாய்த் தன்னுடைய முனைகளில் ஒத்த தாங்கிகளின் மீது கிடக்கின்றது. 2 தொன் நிறையுள்ள ஒரு வண்டி (1) அத்தெருவின் அரைப்பங்கு தூரத்திற்கு (2) அத்தெருவின் ; பங்கு தூரத்திற்கு சென்றபோது ஒவ்வொரு தாங்கியுந் தாங்குகின்ற உதைப்பென்ன ? "v 10. 20 அங்குல நீளமான AB என்னும் ஓர் இலேசான கோல் 10 அங் இடைத் தூரமுள்ள இரு முளைக்கட்டைகளின் மீது கிடக்கின்றது. 2w, 3w என்னும் நிறைகளை முறையே A, B என்பனவற்றிலிருந்து தூக்கும்போது, அம்முளைக்கட்டைகளுடைய மறுதாக்கங்கள் சமமாகும் . வண்ணம் அக்கோல் எவ்வாறு வைக்கப்படல் வேண்டும் ?

திருப்புதிறன்
65
27 1. 3 அடி நீளமான ஓர் இலேசான கோலுக்கு ஒரு முனையிலிருந்து 9 அங்குலத் தூரத்தில் ஒரு நிறையும் மற்றை முனையிலிருந்து 15 -அங்குலத் தூரத்தில் அதற்குச் சமமான ஒரு நிறையும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அக்கோலானது தன்னுடைய முனைகளிலே தொடுத்த இரு ' நிலைக்குத் திழைகளாலே தாங்கப்பட்ட, அவ்லிழைகள் 1 அந்தர் நிறையிலும் பெரிய இழுவை யைத் தாங்காவாயின், அச்சம் நிறைகளின் மிகப் பெரிய பருமன் என்ன ? 4- 12. பாரமான சீரான வளையொன்று 40 இறா. திணிவுடையது ; ஒவ்வொன்றும் 35 இறா. நிறைக்குச் சமமான இழுவையைப் பொறுக்கக் கூடிய இரண்டு நிலைக்குத்திழைகளினால் ஒரு கிடை நிலையிலே அவ்வளை தூக்கப்படுகின்றது. அவ்விழைகளுள் ஒன்று மட்டாக் ஒடியுமாறு 30 இறா. திணிவுடைய ஒரு பொருள் அவ்வளையின் மையத்திலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் வைக்கப்படல் வேண்டும் ?
13. 10 அடி நீளத்தையும் 50 இறா. திணிவையுங் கொண்ட AB என்னும் சீரான சட்ட மொன்று தரையின்மீது கிடக்கின்றது. B யில் இருந்து 3 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியில் 100 இறா. திணிவொன்று அச்சட்டத்தின் மீது வைக்கப்பட்டால், முனை A என்பதை மட்டாக உயர்த்தத் தொடங்குதற்கு அதற்கு என்ன நிலைக்குத்து விசை பிரயோகித்தல் வேண்டும் ?
14. 16 அங்குல நீளமான ஒரு கோல் 9 அங்குல இடைத்தூரமான இரு முளைக்கட்டைகளின் மீது அவற்றிடையே தன் மையம் நடுவில் இருக்கும்படி கிடக்கின்றது. அதன் முனைகளிலிருந்து சம நிலையைக் குலைக்காது ஒன்றன்பின்னொன்றாகத் தூக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய திணிவு களானவை முறையே 4 இறா., 5 இறா. என்பன. அக்கோலினது நிறையையும் அதன் நிறை தாக்குகின்ற புள்ளியினது நிலையையும் காண்க.
15. 2 அடி நீளமான ஒரு நேர்க் கோலானது தன்னுடைய ஒரு முனையிலுள்ள ஒரு பிணையல்பற்றி இயங்கக்கூடியது ; அது அப்பிணையலிலிருந்து 8 அங்குலத் தாரத்தில் அக்கோலுக்கு இணைக்கப்பட்டும் அக்கோலுக்கு மேலே நிலையான ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப் பட்டும் உள்ள ஒரு நிலைக்குத்தான மெல்லிழையாற் கிடை நிலையில் வைக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழை அறாது 9 அவுன்சுத் திணிவொன்றை மட்டாகத் தாங்குமெனின், அக்கோலினது நிறையைப் புறக்கணித்துக்கொண்டு, அக்கோலின் மற்றை முனையிலே தூக்கத்தக்க பெரிய திணிவைக் காண்க.
16. 5 கல் 4 இறா. நிறையுள்ள ஒரு முச்சில்லிக்கு 3 அடி கிடைத்தூரமுள்ள இரு பெருஞ் சில்லுகளுக்குப் பின்னாக 3 அடி தூரத்திற் சமச்சீரில் வைக்கப்பட்ட ஒரு சிறு சில்லுண்டு. அப்பொறியின் புவியீர்ப்பு மையம் முற்சில்லுகளுக்குப் பின்னாக 9 அங்குல கிடைத் தூரத்திலும், 9 கல் நிறையுள்ள ஓட்டுவோனின் புவியீர்ப்பு மையம் முற்சில்லுகளுக்குப் பின்னாக 3 அங்குலத்தி லும் இருந்தால், தரையின்மீது வேறுவேறான அச்சில்லுகளுடைய உதைப்புக்களைக் காண்க.
17. 6 கல் நிறையுள்ள ஒரு முச்சில்லிக்கு 3 அடி இடைத்தூரமுள்ள அதன் இரு பெருஞ் சில்லுகளைத் தொடுக்கும் கோட்டிற்கு முன்னாக 3 அடி 6 அங்குலத்திற் சமச்சீரில் வைக்கப்பட்ட ஒரு சிறு சில்லுண்டு ; அப்பொறியின் புவியீர்ப்பு மையம் பிற்சில்லுகளுக்கு முன்னாக 1 அடி கி.ைத் தூரத்திலும், 11 கல் நிறையுள்ள ஓட்டுவோனின் புவியீர்ப்பு மையம் பிற்சில்லுகளுக்கு முன்னாக 6 அங்குலத்திலும் இருந்தால், அவ்வேறுவேறு சில்லுகளின்மீது எவ்வாறு நிறை பங்கிடப்படுகின்றதெனக் காண்க.
18. ஒரு தொக்காட்டுவண்டி 4 அந்தர் சுமை கொண்டதாய் 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையைக் குதிரையின் முதுகில் உஞற்றுகின்றது ; சேணமெத்தைக்கும் அச்சுக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் 6 அடியாயின், அச் சுமையின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
19. 3, 4, 5, 6 இறா. நிறை என்னும் விசைகளானவை முறையே ஓரொழுங்கில் எடுத்த ABCID என்னும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்றன , அவற்றின் விளையுளி னுடைய பருமன், திசை, தாக்கக்கோடு என்பனவற்றைக் காண்க.
20. ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; AB, CB, AD, DC என்பனவற்றின் வழியே P என்னுஞ் சமவிசைகளானவை தாக்குகின்றன : அவற்றின் விளைவுகளைக் காண்க.

Page 41
66
நிலையியல்
21. ABCD என்பது தன் பக்கம் 1 அடியாயுள்ள ஒரு சதுரம் ; AB, BC, DC, AD என் பனவற்றின் வழியே முறையே 1, 2, 4, 3 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான விசைகள் > தாக்குகின்றன ; விளையுள் அச்சதுரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக ;
அது அச்சதுரப் பக்கங்களை எங்கு வெட்டுகின்றதெனவுங் காண்க.
22. ABCD என்பது தன் அடுத்துள பக்கங்கள் AB, BC என்பன முறையே 3 அடி, 4 அடி என்பனவாயுள்ள ஒரு செவ்வகம் ; AB, BC, CD என்பனவற்றின் வழியே 30, 40, 50 இறா.. நிறை விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளைக் காண்க.
23. P, 2P, 3P என்னும் மூன்று விசைகள் ABC என்னும் தந்த சமபக்க முக்கோணி யொன்றினுடைய பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பனவற்றின் வழியே தாக்குகின்றன அவற்றின் விளையுளின் பருமனையும் திசையையும் காண்க ; அதனது தாக்கக் கோடு B0 என்னும் பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளியையுங் காண்க.
24. ABC என்பது கோணம் A= 1200 ஆகவுள்ள இருசமபக்க முக்கோணி ; 1, 1, V3 இறா. நிறை என்னும் விசைகள் AB, AC, BC என்னும் பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுள், BC என்பதை இருகூறிடுகின்றதென்றும் அம்முக்கோணியினுடைய மற்றைப் பக்கங்களுள் ஒன்றுக்குச் சமாந்தரமாயிருக்கிறதென்றுங் காட்டுக.
25. AB, BC, 2CA என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான விசைகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ABC முக்கோணிப் பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுள், பருமனிலும் திசையிலும் CA ஆற் குறிக்கப்படுமென்றும் அதன் தாக்கக் கோடு CX= BC ஆகவுள்ள X என்னும் ஒரு புள்ளியிலே BC என்பதைச் சந்திக்குமென்றும் காட்டுக.
26. ABC என்பது ஒரு முக்கோணி ; D, E, F என்பன அதனுடைய பக்கமையங்கள் ; AD, BE, CF என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகள் AD என்பதும் BE என்பதும் சந்திக்கின்ற புள்ளியில் ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்குகின்றன ; விளையுள் பருமனிலும் திசையிலும் 2 AC யாற் குறிக்கப்படுமென்றும் அதன் தாக்கக்கோடு BC என்பதை 2 : 1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்குமென்றுங் காட்டுக.
27. மூன்று விசைகள் ஒரு முக்கோணிப் பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்றன; அவ்விசைகளுள் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாம் விசைக்குப் பருமனிற் சமனாயும் திசையில் எதிராயுமிருந் தால், அம்மூன்று விசைகளின் விளையுள் அம்முக்கோணியின் உள்வட்ட மையத்தினூடாகச் செல்லுமெனக் காட்டுக. , 28. ஒரு தந்தி மரத்தைச் சுற்றிச் செல்கின்ற கம்பி கிடையாக இருக்கின்றது ; அம் மரத்திற்குத் தொடுத்துள்ள இரு பகுதிகளும் ஒன்றுக்கொன்று 60° கோணத்திற் சாய்ந் திருக்கின்றன. - அம்மரம் தன் மையத்தில் தொடுத்துள்ளதும் கிடையுடன் 60° இற் சாய்ந்திருக்கின்றதுமான, ஒரு கம்பியினாலே தாங்கப்பட்டுளது. இக்கம்பியின் இழுவை தந்திக்கம்பியின் இழுவையின் 4V3 மடங்கெனக் காட்டுக.
29. தந்த நீளத்தினையுடைய ஒரு தாம்பின் நுனியை ஒரு தூணின் அடியிலிருந்து என்ன உயரத்திலே கட்டினால், தரையிலே நின்று அத்தாம்பின் மற்றை முனையிலே தந்தவொரு விசையோடு இழுக்கும் ஒரு மனிதனுக்கு அத்தூணைக் கவிழ்க்கும் நாட்டம் மிகப் பெரிதாகும் ? -
30. ஒரு விசையின் பருமன் அறியப்பட்டுளது; அன்றியும் அதனுடைய திருப்புதிறன்களும் தந்த இரு புள்ளிகள் A, B என்பன பற்றி அறியப்பட்டுள். ஒரு கேத்திரகணித அமைப்பால் அதன் தாக்கக் கோட்டைக் காண்க.
31. தந்த பருமனையும் நிலையையுமுடைய இரு விசைகளுக்கு ஒரு தளத்திலே யாதுமொரு புள்ளிபற்றி ஒரு போக்கான சம திருப்புதிறன்கள் உண்டெனின் அப்புள்ளியின் ஒழுக்கைக் காண்க.
32. AB என்பது ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் ; BP, BQ என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள நாண்கள் ; BP, BQ என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் A பற்றிச் சமனெனக் காட்டுக.

திருப்புத்திறன்
67
33. சுழற்றி கிடையாயிருக்கச் சைக்கிள் முற்பக்கமாக இயங்குவதனின்றுந் தடைப்பட, 150 இறா. நிறையுள்ள சைக்கிளோடி யொருவன் தன்னிறை முழுவதையும் உதைமிதியில் இடுகின்றான் ; சுழற்றியினது நீளம் 6 அங்குலமாயும், சங்கிலிச் சில்லின் ஆரை 4 அங்குலமாயு மிருந்தால், சங்கிலியின் இழுவையைக் காண்க.

Page 42
அதிகாரம் VI.
இணைகள். 68. வரை. சமமான இரு சமாந்தர விசைகள் நிகராதனவாயும் ஒரே தாக்கக் கோட்டில் இல்லாதனவாயு மிருந்தால், அவை ஓர் இணையை உண்டாக்கும்.
ஓர் இணையின் புயம் அவ்விணையை ஆக்கும் விசைக ளுடைய தாக்கக் கோடுகளுக்கிடையே உள்ள செங்குத் துத் தூரம் ; அதாவது அவ்விசைகளுள் ஒன்றினுடைய தாக்கக் கோட்டிற் கிடக்கின்ற யாதுமொரு புள்ளியிலிருந்து மற்றையதன் தாக்கக் கோட்டிற்கு வரையும் செங்குத்தா கும். இவ்வண்ணம் (P, P) என்னும் இணையின் புயம் AB ஆகும்.
ஓர் இணையினது திருப்புத்திறன் அவ்விணையை ஆக் கும் விசைகளுள் ஒன்றை அவ்விணையின் புயத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கமாகும்.
உருவத்தில் அவ்விணையினது திருப்புதிறன் PxAB. இணைக்கு உதாரணங்கள் ஒரு திருகமுக்கியின் கைப்பிடிக்குப் பிரயோ கிக்கப்படும் விசைகள், ஒரு கடிகாரச் சாவியை முறுக்கும்போது பிரயோ இக்கப்படும் விசைகள், ஒரு கதவைத் திறக்கும்போது அதன் கைப்பிடிக்குப் பிரயோகிக்கப்படும் விசைகள் ஆகும்.
ஓர் இணையைச் சில எழுத்தாளர்கள் ஒரு முறுக்குதிறன் என்பர் ; முறுக்குதிறன் என்னுஞ் சொல் ஓர் இணையின் திருப்புதிறனைக் குறிப்ப தற்குப் பிற எழுத்தாளர்களால் வழங்கப்படும்.
69. தேற்றம். ஓர் இணையை ஆக்கும் இரு விசைகளுடைய தளத்திலே உள்ள யாது மொரு புள்ளிபற்றி அவ்விரு விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை ஒரு மாறிலியாயும் அந்த இணையினது திருப்புதிறனாயும் இருக்கும்.
அவ்விணை ஒவ்வொன்றும் P யிற்குச் சமனான இரு விசைகளாகுக; 0 என்பது அவற்றினுடைய தளத்திலேயுள்ள யாதுமொரு புள்ளி ஆகுக.

இணைகள்
69
OAB என்பதை அவ்விசைகளுடைய தாக்கக் கோடுகளுக்குச் செங்குத் தாய் அவற்றை முறையே, A, B என்பனவற்றிற் சந்திக்கும்படி வரைக.
0 பற்றி அவ்விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை = P. OB - P. OA = P (OB - OA) = P. AB
= அவ்விணையின் திருப்புதிறன் ; ஆகவே, திருப்புதிறன்கள் எடுக்கப்படும் புள்ளி 0 ஆனது எதுவாயிருந் தாலும் அவ்வட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை ஒரேயளவினதெனலாம்.
70. தேற்றம். திருப்புதிறன்கள் சமமுமெதிருமாயுள்ள இரண்டு இணைகள் விறைப் , பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே தாக்கினால், அவை ஒன்றையொன்று சமமாக்கும்.
ஓர் இணை ற ஆகிய ஒரு புயத்தின் முனைகளிலே தாக்கும் (P, P) என்னும் இரு விசைகளைக் கொண்டதென்க; மற்றை இணை 4 ஆகிய ஒரு புயத்தின் முனைகளிலே தாக்கும் (Q, Q) என்னும் இரு விசைகளைக் கொண்டதென்க.
வகை 1. P என்னும் விசைகளுள் ஒன்று Q என்னும் விசைகளுள் ஒன்றை 0 விற் சந்திக்கட்டும்; ஏனையிரண்டு விசைகளும் 0' இற் சந்திக் கட்டும். 0' இலிருந்து O' M, O'N என்னும் இரு செங்குத்துக்களை 01 என்பதனூடாகச் செல்லாத விசைகளின்மீது வரைக ; ஆயின், இச்செங்
குத்துக்களினுடைய நீளங்களானவை முறையே p, 4 என்பனவாகும்.
அவ்விணைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் பருமனிற் சமனாகையால்,
P .p=Q. ஏ. அ-து, P. O'M = Q. O'N. எனின், (பிரிவு 64),0' என்பது 0 விலே தாக் குகின்ற P, Q என்பனவற்றின் விளையுளின் தாக்கக் கோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும்; ஆயின், 00' என் பது இவ்விளையுளின் திசையாகும். அதுபோல், M|
0' இல் உள்ள P, Q என்பனவற்றின் விளையுள், 0'0 என்னும் திசையில் இருக்கும்.
அன்றியும்,. இவ்விளையுள்கள் பருமனிற் சமமாகும் ; அதற்குக் கார ணம் 0 வில் உள்ள விசைகளானவை முறையே 0' இல் உள்ள விசை களுக்குச் சமமாயும் ஒரே கோணத்தில் தாக்குவனவாயும் இருக்கும்.
எனின், இவ்விளையுள்கள் ஒன்றையொன்று அழிக்கும் ; ஆகவே, இவ் விரண்டு இணைகளையும் ஆக்கும் நான்கு விசைகளும் சமநிலையில் இருக்கும்.
வகை II. அவ்விணைகளை ஆக்கும் விசைகளெல்லாம் சமாந்தரமா யிருக்கட்டும்; அவற்றின் திசைகளுக்குச் செங்குத்தாக வரையும் யாது மொரு நேர்கோடு அவற்றை படத்திற்போல, A, B, C, D என்பன வற்றிற் சந்திக்கட்டும் ;

Page 43
70
நிலையியல்
...(1).
'ஆயின், திருப்புதிறன்கள் சமனாகையால், நாம் பெறுவது
P. AB = Q. CD .... L என்பது, C யிலுள்ள Q, B யிலுள்ள P என்பனவற்றின் விளையுளின் பிரயோகப் புள்ளியாகுக ;
ஆயின், P.BL = 0. CL (பிரிவு 52)...
.(2).
p/
(1) இல் இருந்து (2) ஐக் கழித்தலால், நாம் பெறுவது
P , AL = Q. LD ஆயின், L என்பது, A யிலுள்ள P, D யிலுள்ள Q என்பனவற்றின் விளையுளின் பிரயோகப் புள்ளியாகும்.
ஆனால், இவ்விளையுள்கள் ஒவ்வொன்றின் பருமன் (P + Q) ஆகும் ; அவை எதிர்த் திசைகள் உடையன ; எனின், அவை சமநிலையில் இருக்கும்
ஆகவே, அவ்விரண்டு இணைகளை ஆக்கும் நான்கு விசைகளும் சமப் படும்.
71. ஒரே தளத்திலே சமமும் எதிருமாயுள்ள திருப்புதிறன்களுடைய இரண்டு இணைகள் சமப்படுதலால், அவ்விணைகளுள் ஒன்றை ஆக்கும் விசைகளுடைய திசைகளை நேர்மாறாக்குதலால்,
ஒரே தளத்திற் சம திருப்புதிறன்களுடைய எவ்விரண்டு இணைகளும் சமம் என்பது பெறப்படும் ;
அன்றியும், சமதிருப்புதிறன்களுள்ள இரண்டு நிகர்த்த இணைகள் இரு மடங்கு திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணைக்குச் சமம் என்பதும் பெறப்படும்.
72. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளிலே தாக்குகின்ற ஒருதளத்து இணைகள் எத்தனையேனும் அவ்விணைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமான திருப்புதிறன் கொண்ட ஒரு தனி இணைக்குச் சமன்.
அவ்விணைகள் p ஆகிய புயமுடைய (P, P) என்னும் விசைகளை யும், 4 ஆகிய புயமுடைய (Q, Q) என்னும் விசைகளையும், " ஆகிய புயமுடைய (R, R) என்னும் விசைகளையும், இவ்வாறே பிறவற்றையுங் கொண்டனவாகுக. இணை (Q, Q) என்பதை (P, P) என்னும் விசைகளோடு ஒரே தாக்கக் கோடுகளுடைய கூறுகளுள்ள ஓர் இணையாற் பிரதியிடப்படுக. பின்னதாகிய இணையினுடைய விசைகள் ஒவ்வொன்றின் பருமன் X .p = 0.4 (பிரிவு 71) ஆகவுள்ள X ஆகும்.

இணைகள்
* [ உ
ஆயின், X= 0. அவ்வாறே, (R, R) என்னும் இணை தம் விசைகள் (P, P)' என்னும் விசைகளோடு ஒரே கோடுகளிலே தாக்குகின்ற என்னும் ஓர் இணையாற் பிரதிசெய்யப்படுக.
அதுபோலவே பிற இணைகளுக்கும் செய்யப்படுக. எனின், இணைகள் எல்லாம், ஒவ்வொன்றும் p ஆகிய புயத்திலே தாக்குகின்ற P+0+R... தாக்குகின்ற
... என்னும் விசைகளையுடைய ஒரு இணைக்குச் சமம்.
இவ் விணையின் திருப்புதிறன்
- (P+++...
அதாவது, P .p +Q - 4 + R . r +...... எனின், முந்திய இணைகளானவை தம் திருப்பு திறன்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமனான திருப்புதிறன் கொண்ட ஒரு தனி இணைக்குச் சமம்.
கூற்று இணைகள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒரே குறி இல்லையாயின் ஒவ்வொரு திருப்புதிறனுக்கும் முறைமையான குறியை நாம் இடல் வேண்டும் ; அதே நிறுவல் பிரயோகிக்கப்படலாம்.
பயிற்சி X. 1. ABCD என்பது தன் பக்கம் 2 அடியாயுள்ள ஒரு சதுரம் ; AB, BC, CD, DA என்பவை வழியே 1, 2, 8, 5 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகளும் AC, DB என்பன வழியே 5/2, 2v2 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகளும் தாக்குகின்றன ; 16 அடி - இறா, நிறைக்குச் சமமான திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணைக்கு அவை சமமெனக் காட்டுக.
2. ABCD என்னுஞ் சதுரத்தினுடைய AB, CD என்னும் பக்கங்கள் வழியே ஒவ்வொன் றும் 2 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகளும், AD, CB என்னும் பக்கங்கள் வழியே ஒவ்வொன்றும் 5 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகளும் தாக்குகின்றன ; அச்சதுரத்தின் பக்கம் 3 அடியாயின், சமநிலை கொடுக்கும் இணையினது திருப்புதிறனைக் காண்க.
3. ABCDEF என்பது ஒழுங்கான ஓர் அறுகோணி ; AB, CB, DE, FE என்பன வழியே முறையே 5, 11, 5, 11 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகளும் CD, FA என்பன வழியே ஒவ்வொன்றும் 2 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகளுந் தாக்குகின்றன. அவ் விசைகள் சம நிலையிலிருந்தால் ல என்பதைக் காண்க.
4. AB என்னும் நிறையில்லாத இடைச் சட்டமொன்று A யில் 1 இறா. நிறையென்னும் நிலைக்குத்தான கீழ்முக விசையாலும், B யில், 1 இறா. நிறையென்னும் நிலைக்குத் தான மேன்முக விசையாலும், அச்சட்டத்திற்கு 30° என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த C என்னுந்

Page 44
72
நிலையியல்
தந்தவொரு புள்ளியில் 5 இறா. நிறையென்னுங் கீழ்முக விசையாலும் தாக்கப்படுகின்றது. இவற்றைச் சமப்படுத்துதற்கு அச்சட்டத்தில் எப்புள்ளியில் ஒரு விசை பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டும் என்று காண்க ; அன்றியும் அவ்விசையினுடைய பருமனையும் திசையையும் காண்க.
73. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின் மீது தாக்குகின்ற ஓர் இணையை அதனு டைய தளத்திற்குச் சமாந்தரமான எத்தளத்திற்கும், முந்திய நிலைக்குச் சமாந்தரமாய் அதன் புயம் கிடக்குமாறு கொண்டுசென்றால் அதன் விளையுள் மாறாது.
அவ்விணை AB என்பதைப் புயமாகவுடைய (P, P) என்னும் இரு விசைகளால் அமைந்திருக்கட்டும்; அவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகள் AC, BD ஆகுக.
- ட ம
5 0 09
A, B, என்பது AB யிற்குச் சமனுஞ் சமாந்தரமுமாகிய யாது மொரு கோடாகுக; A, C.,B,D,, என்பனவற்றை முறையே AC, BD என்பனவற் றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக. A, இல் ஒவ்வொன்றும் P யிற்குச் சமனாய் அவற்றுள் ஒன்று திசை A, C, இலும் மற்றையது எதிர்த் திசை AE யிலுமாய்த் தாக்குகின்ற இரு சம் எதிர் விசைகளைப் புகுத்துக.
அதுபோல B, இல் ஒவ்வொன்றும் P யிற்குச் சமனாய் அவற்றுள் ஒன்று திசை B,D, இலும் மற்றையது எதிர்த் திசை B,F இலுமாய்த் தாக்குகின்ற இரு சம் எதிர் விசைகளைப் " புகுத்துக . - இவ்விசைகள் அப்பொருள்ன் சமநிலையைப் பாதிக்கா. ABL, A,B என்பனவற்றைத் தொடுக்க ; அவை 0 விற் சந்திக்கட்டும்; எனின், 0 என்பது AB,, A,B என்னும் இவை இரண்டின் மையமாகும்.
B மில் உள்ள விசை P என்பதற்கும் AE வழியே தாக்குகின்ற விசை P யிற்கும் உள்ள விளையுள் 0 வில் BD இற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற 2P ஆகும்.
A யில் உள்ள விசை P யிற்கும் B,F வழியே தாக்குகின்ற விசை P இற்கும் உள்ள விளையுள் 0 வில் AC யிற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற 2P ஆகும்.
இது * 5

இணைகள்
73
இவ்விரு விளையுள்களும் சமனுமெதிருமாயிருக்கும் ; ஆகையால் அவை ஒன்றையொன்று சமமாக்கும். எனின், A,B, என்பனவற்றிலே A, C,, B,D, என்னுந் திசைகளிலே (அதாவது முந்திய இணையினுடைய விசைகளினுடைய திசைகளுக்குச் சமாந்தரமாய்த்) தாக்குகின்ற (P, P) என்னும் இரு விசைகளையும் நீக்கிவிட்டோம்.
அன்றியும், A, C., B,D, என்பனவற்றினூடாகச் செல்லும் தளம் AC, BD என்பனவற்றினூடாகச் செல்லுந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம்.
எனின், தேற்றம் நிறுவப்படுகின்றது. இ.தே. இவ்வெடுப்பிலிருந்தும் பிரிவு 71 இலிருந்தும், இரண்டு இணைகளுடைய திருப்புதிறன்கள் ஒரேயளவினவாயின், அவற்றுள் ஓர் இணையை ஒரு சமாந்தரத் தளத்திலுள்ள வேறு யாதும் இணையாற் பிரதிசெய்யலாமென நாம் முடிவு கூறலாம்.
74. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரே தளத்திலே தாக்குகின்ற ஒரு தனி விசையும் ஓர் இணையுஞ் சேர்ந்து சமநிலையை ஆக்கத்தக்கனவல்ல; ஆனால், அவை முந்திய திசைக்குச் சமாந்தரமான திசையிலே தாக்குகின்ற ஒரு தனி விசைக்குச் சமம்.
அவ்விணை ஒவ்வொன்றும் P இற்குச் சமனாயும் அவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகளானவை முறையே OB, 0, 0 ஆயுமுள்ள இரு விசை களால் அமைந்திருக்கட்டும். தனி விசை 2 ஆகுக. வகை 1. Q என்பது அவ்விணையினுடைய விசைகளுக்குச் சமாந்தர மாயில்லையாயின், அது அவற்றுள் ஒன்றை 0 விற் சந்திக்குமாறு நீட்டப்படுக.
எனின், 0 விலே தாக்குகின்ற P, Q என்னும் விசைகள் OA, OB
என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கின்ற யாதோவொரு திசை OL இலே தாக்குகின்ற யாதோவொரு விசை R இற்குச் சமம்.

Page 45
74
நிலையியல்
(2)
- OL என்பது அவ்விணையின் மற்றை விசையை 0, என்பதிற் சந்திக்கு மாறு (வேண்டியதாயின் பிற்பக்கத்திற்காயினும்) நீட்டப்படுக ; R இனது "பிரயோகப்புள்ளி 0, இற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
0_A, ஐ OA யிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக. ஆயின், விசை R என்பது திசை 0,A) இலே தாக்குகின்ற 0 என்னும் ஒரு விசை யாயும் 0, 0 யிற்கு எதிர்த் திசையிலே தாக்குகின்ற P என்னும் ஒரு விசையாயும் துணிக்கப்படலாம்.
பின்னதாகிய இவ்விசை P திசை 0, 0 யிலே தாக்கும் இணையின் இரண்டாம் விசை P யினாலே சமன் செய்யப்படுகிறது.
எனின், முந்திய திசை OA யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள O/A) என்னும் திசையிலே தாக்குகின்ற Q என்னும் விசையே அத்தொகுதியின் விளையு
ளாக மீந்துள்ளது.
வகை II. விசை Q ஆனது அவ்விணையின் விசைகளுள் ஒன்றுக்குச் சமாந்தரமாகுக.
0,0 என்பது Q என்னும் விசையை 0, இற் சந்திக்கட்டும்.
:E
03 02
0 7 9
10 விலுள்ள P, 0, இலுள்ள Q என்னும் சமாந்தர விசைகள் பிரிவு 52 ஆல் OB யிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு திசையில் ஒரு புள்ளி 03 இலே தாக்குகின்ற (P+Q) என்னுமொரு விசைக்குச் சமன். அதுபோல், 0, இலுள்ள (P+Q), 0, இலுள்ள P என்னும் நிகராத சமாந்தர விசைகள் 0,D யிற்குச் சமாந்தரமான திசையில் ஒரு புள்ளி 04 இலே தாக்குகின்ற விசை Q விற்குச் சமன்.
எனின், அத்தொகுதியின் விளையுள் முந்திய திசைக்குச் சமாந்தரமான ஒரு திசையிலே தாக்குகின்ற Q என்னும் தனி விசைக்குச் சமன்.
75. விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் பருமன், திசை தாக்கக் கோடு என்பனபற்றி ஓரொழுங்கிலே எடுத்த ஒரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்களாறி குறிக்கப்பட்டால், அவை அம்முக்கோணிப் பரப்பளவின் இருமடங்காற் குறிக்கப்படுந் திருப்பு திறனுடைய ஓர் இணைக்குச் சமம்.
ABC என்பது அம்முக்கோணியாகுக ; P, Q, R என்பன அம்முக் கோணியின் பக்கங்கள் . BC, CA, AB -, என்பவற்றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளாகுக.

இணைகள்
75
a R/
B யினூடாக LBM ஐ AC யிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக; B யில் ஒவ்வொன்றும் Q விற்குச் சமனான இரு சம் எதிர் விசைகளைப் புகுத்துக; அவை முறையே BL, BM என்னுந் திசைகளிலே தாக்கட்டும். விசை , முக்கோணியின்படி (பிரிவு 36) கோடு BL இலே தாக்குகின்ற P, R, Q என்னும் விசைகள் சமநிலையில் இருக்கும்.
எனின், ஒவ்வொன்றும் Q விற்குச் சமனாய் முறையே CA, BM என்னும் திசைகளிலே தாக்குகின்ற இரு விசைகள் மீந்துள்ளன.
இவ்விசைகள் Qx BN என்பதைத் தனது திருப்புதிறனாகவுள்ள ஓர் இணையை ஆக்கும் ; இங்கு BN என்பது CA யிற்குச் செங்குத் தாக வரையப்பட்டுள்ளது.
அன்றியும், QXBN= CAXBN= முக்கோணி ABC யின் பரப்பளவின் இருமடங்கு.
கி.தே. அதுபோல், விறைப்பான ஒரு பொருளின் மீது தாக்குகின்ற ஒருதளத்து விசைத் தொகுதியொன்று பருமன், திசை, தாக்கக் கோடு என்பன பற்றி ஒரு பல்கோணியின் பக்கங்களாற் குறிக்கப்பட்டால், அவை அப்பல்கோணிப் பரப்பளவின் இருமடங்காற் குறிக்கப்படும் திருப்புதிறனு டைய ஓர் இணைக்குச் சமம் என்று காட்டலாம்.

Page 46
அதிகாரம் VII.
• ஒரு தளத்திலே மூன்று விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற
ஒரு விறைப்பான பொருளின் சமநிலை.
76. இவ்வதிகாரத்திலே ஒரு தளத்திற் கிடக்கின்ற மூன்று விசைக் ளாலே தாக்கப்படுகின்ற ஒரு விறைப்பான பொருளின் எளிய சமநிலை வகைகள் சிலவற்றைப்பற்றி ஆராய்வோம்.
அடுத்த பிரிவிலுள்ள தேற்றங்கொண்டு சமநிலை நிபந்தனைகள் ஒரு தனித் துணிக்கையினுடைய நிபந்தனைகளுக்கு ஒடுங்குமென்பதைக் காண் போம்.
77. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் அப்பொருளைச் சமநிலையில் வைத்திருந்தால், அவை ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கவேண் டும், அல்லது சமாந்தரமாக வேண்டும்.
அவ்விசைகள் எல்லாம் சமாந்தரமல்லவா யின், அவற்றுள் இரண்டாயினும் சந்தித் .
தல் வேண்டும் ; இந்த இரண்டும் P, Q என் பனவாகுக; அவற்றினுடைய திசைகள் 0 விற் சந்திக்கட்டும்.
ஆயின், மூன்றாம் விசை R, 0 விற்கூடா கச் செல்லல் வேண்டும்.
யாதுமொரு விசைத் தொகுதியில் அவற்றினுடைய தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றி எடுத்த திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை அவற்றின் விளையுளது திருப்புதிறனுக்குச் சமமாகையால், P, Q, R என்பனவற்றினுடைய 0 பற்றி யெடுத்த திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் விளையுளின் திருப்புதிறனுக்குச் சமம்.
ஆனால், விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றமையால், இவ்விளையுள் பூச்சி யமாகும்.
எனின், P, Q, R என்பனவற்றின் 0 பற்றி எடுத்த திருப்புதிறன் களின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும்.
ஆனால், P, Q என்னும் விரண்டும் 0 விற்கூடாகச் செல்கின்றமையால், 0 பற்றியுள்ள அவற்றின் திருப்புதிறன் பூச்சியமாகும்.
எனின், 0 பற்றியுள்ள R இன் திருப்புதிறன் பூச்சியமாகும். எனின், பிரிவு 57 இன்படி R என்பது பூச்சியமன்று ஆகையால், அதனுடைய தாக்கக் கோடு 0 விற்கூடாகச் செல்லல்வேண்டும்.
எனின், அவ்விசைகள் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கும்.
76

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
77
வேறொரு வழி.-P, Q என்பனவற்றின் விளையுள் 0 வினூடாகச் செல்லும் யாதுமொரு விசையாதல் வேண்டும்.
ஆனால், P, 2, R என் னும் விசைகள் சம நிலையில் இருக்கின்றமையால், இவ்விளையுள் ) R என்பதைச் சமப்படுத்தல் வேண்டும்.
ஆனால் ஒரே தாக்கக் கோட்டில் இருந்தாலன்றி இரு விசை கள் ஒன்றையொன்று சமமாக்கா. ஆனால் R இனது தாக்கக் கோடு 0 வினூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
78. முந்திய தேற்றத்தால், ஒரு தளத்திலே தாக்குகின்ற மூன்று விசைகளின் சமநிலை நிபந்தனைகள் எளிதிற் பெறப்படும் என்பதைக் காணுகின்றோம். அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : அம்மூன்று திசை களும் ஒரு புள்ளயிற் சந்திக்க வேண்டும் ; லாமியின் தேற்றத்தைப் (பிரிவு 40) பயன் படுத்துதலால், அல்லது அவ்விசைகளைச் செங்கோணங்களி லுள்ள இரு திசைகளிலே துணிப்பதால், அல்லது ஒரு வரைபு அமைப்பை ஆக்குவதால், வேண்டிய நிபந்தனைகளை நாம் பெறலாம்.
உ.-ம். 1. AB என்னும் பாரமான சீரான கோலொன்று A யிலே ஒரு நிலைப் புள்ளிக்குப் பிணையலாலே தைக்கப்பட்டு B என்னுங் கீழ் முனையிற் பிரயோகிக்கப்பட்ட F என்னும் ஒரு கிடை விசையினாலே தாக்கப்பட்டு கிடையுடன் 60° இற் சாய்ந்த ஒரு நிலையில் ஓய்வில் இருக்கின்றது ; அப்பிணையலிலுள்ள தாக்கத்தையும் F இன் பருமனையுங் காண்க.
அக்கோலின் மையம் C யினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்து B யினூடாகச் செல்லுங் கிடைக் கோட்டை D யிற் சந்திக்கட் டும் ; அக் கோலின் நிறை W ஆகுக. .
அக்கோலின்மீது தாக்குகின்ற விசைகள் மூன்றே ; அவை விசை F, நிறை W, பிணையலினது தேரா மறுதாக்கம் P என்பன.
ஆகவே, இம்மூன்று விசைகளும் ஒரு புள்ளியிற் சந்தித்தல் வேண்டும். இனி, F, W என்பன 0 விற் சந்திக்கின்றன ;
50) - எனின் பிணையலிலுள்ள தாக்கத்தினது திசை DA என்னுங் கோடாதல் வேண்டும்.
AE என்பதை EB யிற்குச் செங்குத்தாக வரைக ; கோணம் ADE என்பது 0 ஆகுக.
AE 2AE ) ஆயின், தான் 0 = = = = = 2 தான் 60° = 2v3.
EB
அன்றியும், லாமியினது தேற்றத்தால்,
F
W
சைன் WAD சைன் ADB சைன் WDB'
F
W
p
அதாவது ; -
சைன் (90° +0) சைன் (180° - 0) சைன் 90°
கோசை ()
•. F==W
சைன = =w கோதா 0 =,"*-*v3,

Page 47
78
நிலையில்
அத்துடன்,
P=W -
சைல்
=w V1+கோதா30=W /
வேறு வழி. ADE என்பதனுடைய பக்கங்கள் அவ்விசைகளுக்குச் சமாந்தரமாகையால் அது ஒரு விசை முக்கோணியாகும் ; எனின், 0 என்பது அளக்கப்படக்கூடியது ;
PF w அன்றியும்
AD = ED AE
உ.-ம். 2. AB என்னும் சீரானகோலொன்று B யில் இருந்து 1 அடி தூரத்திலுள்ள ( என்னும் புள்ளிக்கும் A யிற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் வரிலுள்ள ஒரு வளையத்திற்கும் தொடுத்த ஓரிழையினாலே தாங்கப்பட்டு A என்னும் முனை
அச்சுவருக்கெதிரே கிடக்க, நிலைக்குத்திற்கு 60° என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கின்றது; அக்கோலின் நீளம் 4 அடி ஆயின், அவ்வளையத்தின் நிலையையும், அவ்விழையினுடைய சாய்வையும் இழுவையையுங் காண்க.
A யினூடாகச் சுவருக்குச் செங்குத்தாக வரையும் கோடும் அக் கோலின் மையம் G யினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடும் 0 விற் சந்திக்கட்டும்.
ஆகவே, அவ்விழையின் இழுவை T என்னும் மூன்றாம் விசை 0 வினூடாகச் செல்லல் வேண்டும். எனின், நீட்டிய CO அவ் வளையத்தினது நிலையாகிய D யினூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
கோணம் CDA என்பது 0 ஆகுக ; 0G என்பதை E யிலும் சுவரை F இலுஞ் சந்திக்குமாறு CEF என்பதைக் கிடையாக வரைக.
CE CG சைன் CGE ஆயின், தான் 0 = தான் COE= --
AF
1.சைன் 60°
3. கோசை 60 v3
•. 0=30°. ஃZACD=60° - 0 = 30°.
OE
எனின், AD=AC=3 அடி ; இது வளைய நிலையைத் தருகின்றது R என்பது அச்சுவரின் மறுதாக்கமாயும், W என்பது அக்கோலினது நிறையாயும் இருந்தால், அவ்விசைகள் AAAOD இனுடைய பக்கங்களுக்கு விகித சமமாகையால்,
T R w OD AO DA
OD ஃ. T=W -
DA கோசை 30°
அ துடன்,
AO R=W --= W: தான் 30° = W .

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
79
உ.-ம். 3. a, b, என்னும் நீளங்களையுடைய இரு பகுதிகளாகத் தன் புவியீர்ப்பு மையத்தாற் பிரிக்கப்படுகின்ற ஒரு கோலிற்கு அதன் முனைகளிற் கட்டப்பட்ட 1 நீளமுடைய ஓரிழை உண்டு ; அவ்விழை ஒப்பரவான ஒரு சிறு முளைக்கட்டையின் மேலே தூக்கப்பட்டுள்ளது ; அக்கோலானது நிலைக்குத்தல்லாத நிலையிற் சமநிலையை அடைந்தால், அதன் நிலையைக் காண்க.
[ந.க.-ஒரு பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் அதன் நிறை தாக்குவதாகக் கொள்ளப்படும் புள்ளியாகும்.]
AB என்பது அக்கோலாகுக ; C என்பது அதன் புவியீர்ப்பு மையமாகுக : 0 என்பது முளைக்கட்டையாகுக; A0, OB என்னும் இழைப்பகுதிகளினுடைய , நீளங்கள் 0, y என்பனவாகுக.
மூன்று விசைகளே அப்பொருளின்மீது தாக்குகின்றமை யால், அவை ஒரு புள்ளியிற் சந்தித்தல் வேண்டும்.
ஆனால், இழுவைகள் இரண்டும் 0 வினூடாகச் செல்கின்றன : எனின், நிறை W இனது தாக்கக்கோடும் 0 வினூடாகச் செல்லல் வேண்டும் ; எனின், கோடு CO நிலை குத்தாத.. வேண்டும்.
இனி, அவ்விழை ஒப்பரவான ஒரு சிறு முளைக்கட்டை யைச் சுற்றிச் செல்கின்றமையால் அவ்விழையின் இழுவை 11 மாறாது ; எனின் W ஆனது இரு சம விசைகளைச் சமநிலை யடையச் செய்கின்றமைாயல் அது அவற்றிடையே கிடக்குங் கோணத்தை இருகூறிடும்.
ஃ ZA00 = 2BOC =a (என்க).
w
0 AC u
எனின் கேத்திர கணிதத்தால் =CB =5
அன்றியும்
2+v=l. ஃ. இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நாம் பெறுவது
-
7-6 a+b
•. (i)
அன்றியும், முக்கோணி AOB யில் இருந்து நாம் பெறுவது (a+b)2 = +ve - 20பு கோசை 20 = (+v) - 2ng (1+கோசை 2a) = (2 +V) - 40g கோசை.
12ab =13 - 4,
கோசை a,
(a+b)2 72 - (a+b)2 (a+b)2
... (ii).
•. கோசை' d=----12- -4
இச்சமன்பாடு « என்பதைத் தருகின்றது.
0 என்பது கிடையோடு அக்கோல் ஆக்கும் சாய்வாகுக ;
ஆயின், OCA= 90° +0. ACO என்னும் முக்கோணியிலிருந்து, நாம் பெறுவது
சைன் (90+9) A0 01
சைன்டி-= Ac= 4=a+டு' (1) அல்..

Page 48
80
நிலையியல்
... கோசை =' சைன் ஐ.
a+
, இது 0 என்பதைத் தருகின்றது.
அன்றியும், அவ்விசைகளை நிலைக்குத்தாகப் பிரிக்க, நாம் பெறுவது 2Tகோசைன =W இது T என்பதைத் தருகின்றது.
எண்ணுதாரணம்.- கோலினது நீளம் 5 அடியாயும், இழையினது நீளம் 7 அடியாயும் அக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் அதனை 4 : 3 என்னும் விகிதத்திற் பிரிப்பதாயுமிருந்தால் அவ்விழைப் பகுதிகள் செங்கோணங்களில் இருக்குமென்றும், கிடையோடு அக்கோல் தான் - 1 இற் சாய்ந்திருக்குமென்றும், அக்கோலினது நிறைக்கு அவ்விழையின் இழுவை v2 : 2 என்னும் விகிதத்தில் இருக்குமென்றும் காட்டுக.
உ.-ம். 4. 26 நீளமான ஒரு பாரமான சீரான கோல் ~ ஆரையுடைய ஓர் ஒப்பரவான அரைக்கோள நிலைக்கிண்ணத்திற்கு உள்ளாக ஒரு பகுதியும் வெளியாக ஒரு பகுதியுமாகக் கிடக்கின்றது ; அக்கிண்ணத்தின் விளிம்பு கிடையாய்க் கிடக்கின்றது ; அக்கோலின் ஒரு புள்ளி அவ்விளிம்பைத் தொடுகின்றது ; 6 என்பது அக்கோல் அடிவானத்தோடு ஆக்குங் கோணமாயின்
2r கோசை 20 = a கோசை ( எனக் காட்டுக. உருவம் அக்கோலினூடாகச் செல்லும் அரைக்கோளத்தினது நிலைக்குத்து வெட்டு முகத்தைக் குறிக்க.
AB என்பது அக்கோலாகுக; G என்பது அதன் புவியீர்ப்பு மையமாகுக ; C என்பது அக்கோல் அக்கிண்ணத்தின் விளிம்பைச் சந்திக்கும் புள்ளியாகுக ;
A யில் உள்ள மறுதாக்கம் அக்கிண்ணத்தின் மையம் 0 வினூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் வழியே இருக்கும் ; அதற்குக் காரணம் A0 என்பதே A யில் A யிற்கூடாக அக்கிண்ணத்தின் பரப்பிற்குச் செங்குத்தாய் உள்ளது.
அன்றியும், C யில் உள்ள மறுதாக்கம் அக்கோலிற்குச் செங்குத்து; அதற்குக் காரணம் அக்கோல், அக்கிண்ண விளிம்பு என்னும் இரண்டிற்குஞ் செங்குத்தாய் உள்ளது இத்திசையே.
இந்த இரண்டு மறுதாக்கங்களும் D யிற் சந்திக்கின்றன ; அன்றியும் இயூக்கிளிட்டு III. 31 ஆல், D என்பது அக்கிண்ணத்தைத் தன் பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு கேத்திரகணிதம் கோளத்தின்மீது கிடத்தல் வேண்டும்.
எனின், G என்னும் அக்கோலின் மையத்தினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு D யினூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
A யினூடாக DG என்பதை E யிற் சந்திக்குமாறு AE என்பதை வரைக. 0C என்பதைத் தொடுக்க.
0C, AE என்பன சமாந்தரமாகையால்

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
81
: 20CA = 2CAE = (). 00= A0 -ஆதலால், ' ZOAC = 20CA =0 அன்றியும்,
/LGDC= 90° - 2DGC=(0). இனி,
AE== AG கோசை 0=a கோசை (0), AE = AD கோசை 20= 2r கோசை 20.
: 2ா கோசை 20 = a கோசை (0)., இது 0 ஐத் தருகின்றது.
அன்றியும்,லாமியின் தேற்றத்தால், R, S என்பன A, C என்பனவற்றிலுள்ள மறு தாக்கங்களாயின், நாம் பெறுவது
W சைன் 60 சைன் ADG சைன் ADC'
R
W அதாவது :
சைன் 9 கோசை 28 கோசை ;
R
எண்ணுதாரணம் : r =a ஆயின் நாம் பெறுவன,
1/3
0 = 30° என்பதும்,R = S = w'' என்பதுமே.
உ. ம். 5. தன் புவியீர்ப்பு மையத்தால் a, b என்னும் இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படும் ஒரு வளை ஒப்பரவான ஒரு கோளத்திற்குள்ளே வைக்கப்படுகின்றது ; அது சமநிலையிலே நிற்கும்போது கிடையுடன் ஆக்கும் சாய்வு 0 ஆயும், அக்கோள மையத்தில் அவ்வளையால் எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் 20 ஆயுமிருந்தால்,
6 - a இ தான் 0 = ,-- தான் !
6 -+a' எனக் காட்டுக.
இங்கு அக்கோலின் முனைகளிலுள்ள R, S என்னும் இரண்டு மறுதாக்கங்களும் அக்கோண மையம் 0 வினூடாகச் செல்கின்றன. எனின், அக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் G என்பது 0 விற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே இருக்கும்.
OG என்பது A யினூடாகச் செல்லுங் கிடைக்கோட்டை N இற் சந்திக்கட்டும். OD என்பதை AB மிற்குச் செங்குத்தாக வரைக.
ஆயின்,
ZAOD = ZBOD = a
•. 2DOG = 90° - 2DGO = 2DAN = 6.

Page 49
82
நிலையியல்
எனின்,
a AG AD - GD OD தான் AOD - OD தான் GOD 6 GB BD+GD OD தான் BOD+OD தான் GOD
_தான் a - தான் 0 தான் a+தான் 6
b - 1
6 - 0 - .
•. தான் 0= --- தான் a
b10'
- R.
இச்சமன்பாடு 0 என்பதைத் தருகின்றது. அன்றியும், லாமியின் தேற்றத்தால்,
R
w சைன் BOG
சைன் AOG சைன் AOB
W ஃ. -
சைன் (a+9) சைன் (a - 0) சைன் 23 இது மறுதாக்கங்களைத் தருகின்றது.
எண்ணுதாரணம்.-அக்கோல் 40 இறா. நிறை கொண்டதாயுங் கோளமையத்தில் ஒரு செங்கோணத்தை எதிரமைப்பதாயும் அதன் புவியீர்ப்பு மையம் அதனை 1 : 2 என்னும் விகிதத்திற் பிரிப்பதாயும் இருந்தால், கிடைக்கு அதன் சாய்வு தான் - 1 என்றும், மறுதாக்கங்களானவை முறையே 8/5, 16V5 என்னும் இறா. நிறைகளென்றுங் காட்டுக.
உ.-ம். 6. ஒரு கடதாசிக் கொடிக்குள்ள செங்குத்தானது இழையினது திசைக்கும் நிலைக் குத்திற்கும் இடையே கிடக்கவேண்டுமென நிறுவி அதன்மீது தாக்கும் விசைகள் எவ்வாறு அதனைச் சமநிலையிலே நிறுத்துமெனக் காட்டுக.
AB என்பது அக்கொடியினது நடுக்கோடாகுக ; B என்பது வால் இணைத்துள்ள புள்ளியாகுக ; கொடியினது தளம் தாளினது தளத்திற்குச் செங்குத்தாகுக. G என்பது வாலுட்பட்ட கொடியின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக.
A M
அக்கொடியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலுமுள்ள காற்றினது தாக்கத்தை இரு கூறுகளாகத் துணிக்குமிடத்து ஒன்றைக் கொடிக்குச் செங்குத்தாயும் மற்றையதை அதன் பரப்பின் வழியேயும் துணிக்கலாம். பின்னவையாகிய கூறுகள் அதன் மீது ஒரு விளைவையுந் தராவாகையாற் புறக்கணிக்கப்படலாம். முன்னவையாகிய கூறுகள் G யிற்கு மேலே ஒரு சிறு தூரத்திலுள்ள H என்னும் புள்ளியிலே அக்கொடிக்குச் செங்குத்தாய்த் தாக்குகின்ற R என்னும் ஒரு தனி விசையாகக் கூட்டப்படும்.

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
83
...(1),
R, W என்பன 0 என்னும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கின்றன ; அப்புள்ளிக்கூடாகவே மூன்றாம் விசை, அதாவது அவ்விழையின் இழுவை செல்லல் வேண்டும்.
KL என்பதை நிறை W வைக் குறிக்கும்படி நிலைக்குத்தாக வரைக ; LM என்பதை ) HO விற்குச் சமாந்தரமாய் R ஐக் குறிக்கும்படி வரைக.
ஆயின், விசை முக்கோணிப்படி, MK என்பது அவ்விழையின் இழுவை T யைக் குறிக்க வேண்டும் என்பது தெளிவு.
உருவத்திலிருந்து கோடு LM இலும் கோடு MK ஆனது LK என்னும் நிலைக்குத்தோடு பெரிய கோணத்தை ஆக்கல் வேண்டும் ; அதாவது அக்கொடிக்கான செங்குத்து, நிலைக்குத் திற்கும் இழையினது திசைக்கும் இடை யே கிடத்தல் வேண்டும்.
விசை முக்கோணியிலிருந்து T, W என்னும் இரண்டும் காற்றினால் உஞற்றப்படும் விசை R இலுஞ் சிறியனவாதல் வேண்டுமென்பது தெளிவு.
79. திரிகோணகணிதத் தேற்றங்கள். நிலையியற் பிரசினங்களுக்குப் பயன்படுகின்ற திரிகோண கணிதத் தேற்றங்கள் இரண்டு உண்டு ; அவை பின்வருமாறு :
• P என்பது ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் தளம் AB யில் உள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயிருக்க, CP என்பது AB யை m, n என்னும் இரு பகுதிகளாயும் கோணம் C என்பதை 2, 3 என்னும் பகுதிகளாயும் பிரிக்க, கோணம் CPB 6 ஆயிருந்தால்,
(m +n) கோதா 0 = m கோதா 4 -0 கோதா ....... (m+m) கோதா 0 = 1 கோதா A - m கோதா B..
...(2). நிறுவல் பின்வருமாறு :-
m AP AP PC_சைன் ACP சைன் PBC
% PB PC PB சைன் PAC 'சைன் PCD' சைன் 2. சைன் (0+8) / PBC = 180° - (B+0) ஆயிருத்தலால், சைன் (0 --ர) சைன் B
சைன் a (சைன் 9 கோசை 8+கோசை 0 சைன் B) கோதா3+கோதா? சைன் B (சைன் 6 கோசைன - கோசை 6 சைன் )
கோதா - கோதா? ஃ. 10 கோதா 2 -- 2. கோதா B= (m+R) கோதா 9.
m சைன் ACP சைன் PBC இனி, ''=
சைன் PAC சைன் PCB சைன் (8 - A) சைன் B
சைன் Aாம்
சைன் (0+B) (சைன் 0 கோசை A - கோசை சைன் A) சைன் B சைன் A (சைன் 0 கோசை B+கோசை 9 சைன் B) கோதா A - கோதா ?
கோதா B+கோதா 0 5-R 8764 (6/65)
0

Page 50
84
நிலையியல்
ஃ (m +m) கோதா 0 =n கோதா A –m கோதா B இச்சூத்திரங்களுக்கு (ஓர் எடுத்துக்காட்டாகப் பிரிவு 78, உதாரணம் 5 ஐ எடுக்க . இங்கு சூத்திரம் (2) தருவது
(a+b)கோதாOGB=bகோதாOAB - aகோதாOBA அதாவது (a+b)தான்0=bதான்a - a தான் . இவற்றைப் பயன்படுத்தும் பிறவெடுத்துக்காட்டுக்கள் இந்நூலின் பிற்பகுதியிற் காணப்படும்.
பயிற்சி XI. 1. W நிறையுள்ள AB என்னும் சீரான கோலொன்று A யில் உள்ள ஒரு பிணையல் பற்றி ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தில் இயக்கப்படக்கூடியது ; அது AC என்பது நிலைக்குத்தா யுள்ள ஓர் ஒப்பரவான முளைக்கட்டை C யின் மேலாகச் செல்கின்ற BCP என்னும் ஓரிழைக்குத் தொடுத்துள்ள P என்னும் நிறையாற் சம நிலையிலே நிறுத்தப்படுகின்றது. ACiam AB ஆயின், P=W கோசை ACB எனக் காட்டுக.
2. சீரான கோலொன்று முனைகளுள் ஒன்றுபற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்பக்கூடியது ; -21து தன் மற்றை முனையிலே தாக்குகின்ற தன் நிறையின் அரைப்பங்குக்குச் சமனான ஒரு ைெட, விசையினாலே நிலைக்குத்தினின்று ஒரு பக்கத்திற்கு இழுக்கப்படுகின்றது ; நிலைக்குத்திற்கு எச்சாய்வில் அக்கோல் ஓய்விலிருக்கும் ?
3. A யிற் பிணைக்கப்பட்ட AB என்னும் ஒரு கோலானது தன்னோடு 450 கோணத்தை -ஆக்கும் BC என்னும் ஓரிழையினாற் கிடை நிலையிலே தாங்கப்படுகின்றது ; -அரக்கோலில் B யிலிருந்து 10 இறா. திணிவொன்று தூக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அக்கோலினது நிறையைப் புறக்கணித்து அவ்விழையின் இழுவையையும் பிணையலிலுள்ள தாக்கத்தை யும் காண்க.
4. AB என்னும் பாரமான சீரான கோலொன்றின் A என்னும் முனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரைத் தொடுகின்றது ; ஓரிழையின் ஒரு முனை அக்கோலிலுள்ள ஒரு புள்ளி C யிற்கு AC=1AB ஆகும்படி இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; மற்றை முனை அச்சுவருக்கு இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அக்கோலானது நிலைக்குத்திற்கு ஒரு கோணத்திற் சாய்ந்த நிலையில் ஓய்விலிருந்தால், அவ்விழையினது நீளத்தைக் காண்க.
5. ACB என்பது W நிறையுள்ள சீரான ஒரு கோல் ; B என்பது எல்லாவற்றிற்கும் மேலாகவும் A என்னும் முனை AD என்னும் ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கு எதிராகவும் இருக்கும்படி CD என்னும் ஓரிழையினாலே அது தாங்கப்படுகின்றது ; DB என்பது கிடையாயும் CD என்பது சுவருக்கு 30' என்னுங் கேர்ணச் சாய்வுடையதாயும்" இருந்தால், அவ்விழையின் இழுவையையும் அச்சுவரின் மறுதாக்கத்தையுங் காண்க ; AC=AB என்றும் நிறுவுக.
6. AB என்னும் சீரான கோலொன்று ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிரே தன் முனை A என்பது கிடக்க, A யின்மேலே நிலைக்குத்தில் C என்னும் ஒரு புள்ளிக்கும் அக்கோலின் மற்றை முனை B யிற்கும் கட்டப்பட்ட BC என்னும் ஓரிழையினாலே தாங்கப் படுகின்றது. அக்கோலைச் சம நிலையில் வைத்திருக்கும் விசைகளுடைய தாக்கக் கோடுகளைக் காட்டும் ஒரு வரிப்படம் வரைக ; வரைந்து, அவ்விழையின் இழுவை அக்கோலினது நிறையிலும் பெரிதெனக் காட்டுக..
7. தந்தவொரு நீளமுள்ள AB என்னும் சீரான வளையொன்று தன்முனை A யானது ஒப்பமான ஒரு சுவரோடு தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்படி அவ்வளையிலே தெரிந்த வொரு புள்ளி (1) யிற்கும் அச் சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளி D யிற்கும் தொடுத்துள்ள CD என்னும் ஓரிழையினாலே

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
85
தாங்கப்படுகின்றது; அவ்வளை சுவரோடு சாய்ந்திருக்குங் கோணம் தரப்பட்டால், இழை CD' என்பதனுடைய நீளத்தையும் A யிற்கு மேலேயுள்ள D யின் உயரத்தையுங் கேத்திரகணித அமைப்பால் எவ்வாறு காணலாமெனக் காட்டுக.
இக்கணக்குச் செய்யத்தக்கதாக இருப்பதற்கு AC என்பது 3 AB யிலுஞ் சிறிதாக, அல்லது பெரிதாக இருப்பதற்கேற்பத் தந்த கோணம் BAD என்பது கூர்ங்கோணமாய், அல்லது விரிகோணமாய் இருக்குமெனக் காட்டுக.
8. a நீளமான சீரான கோலொன்று ஒப்பமான நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிரே ! நீளமான ஓரிழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது; அவ்விழை அக்கோலின் ஒரு முனைக்குக் கட்டப் பட்டிருக்கின்றது; அவ்விழையின் மற்றை முனை அச்சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்
12 - 2 பட்டுள்ளது ; அக்கோல் கோசை? 6 == என்பதாலே தரப்படும் என்னுங் கோணத்தில்
32 அச்சுவருக்குச் சாய்ந்த நிலையில் ஓய்வில் இருக்கக்கூடுமெனக் காட்டுக. சமநிலை நிக, பத்தக்கதாக a :1 என்னும் விகிதத்தினுடைய எல்லைகளைக் காண்க.
9... P, P என்னும் சம நிறைகள் C என்னும் ஒப்பமான ஒரு முளைக்கட்டைக்கு மேலாகச் செல்லும் ACP, BCP என்னும் இரண்டு இழைகளுக்கு இணைக்கப்படுகின்றன. AB என்பது W நிறையுள்ள ஒரு பாரமான வளை ; அதன் புவியீர்ப்புமையம் A யில் இருந்து 4 அடியிலும் B யில் இருந்து 6 அடியிலும் உள்ளது : AB ஆனது கிடையுடன்
T
தான் -1
தான்
சைன் -
: தான் -1 ""தான் சைன்-1)|
தான் 'தான் (சைன் 'P)
[+6' என்னும் கோணத்திற் சாய்ந்துள்ளதெனக் காட்டுக.
10. பாரமான சீரான வளையொன்று ஒரு நிலைப் புள்ளியிலிருந்து தம் முனைகளிலே தொடுத்துள்ள இரண்டு இழைகளாலே தூக்கப்படுகின்றது ; இவ்விழைகளுடைய நீளங்களும் வளையின் நீளமும் 2 : 3 : 4 போல -ஆயின், அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளும் வளையின் நிறையும் 2 : 3 : V10 போலிருக்குமெனக் காட்டுக.
11. 15 அங். நீளமாக ஒரு பாரமான சீரான கோலானது தன்னுடைய முனைகளுக்குத் தொடுத்த இழைகளினால் ஒரு நிலைப் புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழைகளின் நீளம் ) -://ங்., 12 அங்., என்பன ; 6 என்பது நிலைக்குத்திற்கு அக்கோல் சாய்ந்துள்ள கோணமாயின், 25 சைன் 0 = 24 எனக் காட்டுக.
12. நேரான சீரான கோலொன்று 3 இறா. நிறைகொண்டது ; அது இரண்டு இழைகளினால் ஒரு முளைக்கட்டையினின்று தூக்கப்படுகின்றது. அவ்விழைகளினுடைய ஒருபக்க முனைகள் முளைக்கட்டையிலும் மற்றைப் பக்கமுனைகள் அக்கோலினுடைய முனைகளிலும் கட்டப்பட்டுள்ளன; அவ்விழைகளுக்கிடையே உள்ள கோணம், செங்கோணம் ; ஓரிழை மற்றையதின் இருமடங்கு நீளம் ; -ஆயின், அவற்றினுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
13. பாரமான இரு சமகோளங்கள் 1 அங்குல ஆரையையுடையன; அவை 3 அங்குல உரையைய/.ைய ஓர் ஒப்பமான கோளக் கிண்ணத்திற்குள்ளே சம நிலையிலே இருக்கின்றன. -அக்கிண்ண த்திற்கும் ஒரு கோளத்திற்கும் இடையேயுள்ள தாக்கம், அவ்விரு கோளங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தாக்கத்தின் இரு மடங்கெனக் காட்டுக.
14. தந்த வொரு நிறை W உள்ள ஒரு கோளம், ஒன்று நிலைக்குத்திலும் மற்றையது நிலைக்குத்திற்குத் தந்த வொரு கோணம் a என்னுஞ் சாய்விலும் உள்ள, இரண்டு ஒப்பமான தளங்களுக்கிடையே கிடக்கின்றது ; அத்தளங்களுடைய மறுதாக்கங்களைக் காண்க.
15. ஒரு திண்மக் கோளம் ஒரே கிடைத்தளத்திலுள்ள இரு சமாந்தரக் கம்பிகளின் மீது கிடக்கின்றது ; அக்கம்பிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் அக்கோளத்தின் ஆரைக்குச் சமன் : ஒவ்வொரு கம்பியின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.

Page 51
86
நிலையியல்
16. ஒப்பரவான ஒரு கோளம் ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரைத் தொட்டுக் கொண்டு இருக்கும்படி ஒரு முனை அதன் பரப்பிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் மற்றை முனை அச்சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் தொடுக்கப்பட்டுள்ள ஓரிழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்விழையின் நீளம் அக்கோளத்தின் ஆரைக்குச் சமனாயின், நிலைக்குத்திற்கு அவ்விழையின் சாய்வையும், அவ்விழையின் இழுவையையும், அச்சுவரின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
17. தந்த நிறையுடைய ஒரு சித்திரப்படம் ஒப்பமான ஒரு சுவருக்கெதிரே நிலைக்குத் திலே தூங்கிய நிலையில் அச்சுவரிலே அறைந்த ஓர் ஒப்பரவான முளைக்கட்டையின் மீது செல்லும் ஓரிழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்விழையினுடைய முனைகள் சட்டமேல்விளிம்பின் மையத்திலிருந்து சமதூரமாக அவ்விளிம்பிலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன; அம்முளைக்கட்டையிலுள்ள கோணம் 60° ; அவ்விழை தன் நீளத்தின் மூன்றில் இரண்டு பங்குக்குக் குறுக்கப்பட்டால் அதற்கு உண்டாகும் இழுவையோடு இங்குள்ள இழுவையை ஒப்பிடுக.
18. 40 இறா. நிறையுடைய ஒரு சித்திரப்படம் தன்னுடைய மேல் விளிம்புகளும் கீழ் விளிம்புகளும் கிடையாக இருக்கும்படி தன் மேல் மூலைகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்டு ஓராணிக்கு மேலாகச் செல்லும் ஒரு நாணினாலே தூக்கப்பட, அவ்வாணியினுடைய இரு பக்கங்களிலுமுள்ள நாண் பகுதிகள் ஒன்றுக்கொன்று 60° கோணத்திற் சாய்ந்துள்ளன. அந்நாணின் இழுவையை இறா. நிறையிற் காண்க.
19. ஒரு சித்திரப்படம் ஓராணிக்கு மேலாகச் சென்று தன்கண்னுள்ள இரு வளையங்களுக்குத் தொடுத்துள்ள ஓரிழையினாற் சமச்சீரிலே தூங்குகின்றது ; அப்படம் 10 இறா. நிறையுள்ள தாயும், அவ்விழை 4 அடி நீளமுள்ளதாயும், அவ்வாணி அவ்வளையங்களைத் தொடுக்கும் கிடைக்கோட்டிலிருந்து 1 அடி 6 அங். தூரமுள்ளதாயும் இருந்தால், அவ்விழையின் இழுவை என்ன ?
20. செவ்வக வடிவுள்ள ஒரு படச்சட்டம் தன் பிற்பக்கத்தின் மேல் விளிம்பிலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்ட சமாந்தர இழைகளாலே இரு புள்ளிகளிலிருந்து தூக்கப்பட்டு ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிரே ஓய்விலிருக்கின்றது ; ஒவ்வோரிழையினது நீளமும் அச்சட்டத்தின் நீளத்திற்குச் சமன். a அப்படத்தின் உயரமாயும் b அதனுடைய தடிப்பாயு மிருக்க அச்சட்டத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் அவ்வுருவ மையத்தோடு பொருந்தினால், அப்படம் அச்சுவருக்கு எதிரே நிலைக்குத்திற்கு தான் 1' என்னும் கோணத்திலே தூங்குமெனக்
3 காட்டுக.
21. ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரின் மீது ஒரு சித்திரப்படமானது அச்சுவருக்குத் தந்தவொரு சாய்வு u வில் ஓய்விலிருந்து அப்படத்தின் மிகத் தாழ்ந்த விளிம்பிற்கு மேலே தந்தவோருயரம் h கொண்ட அச்சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்ட ஒரு நாணாலே தாங்கப்பட்டுத் தூங்கவேண்டி இருக்கின்றது. அப்படத்தின் பிற்பக்கத்தில் அந்நாண் இணைக்கப்பட வேண்டிய புள்ளியை ஒரு கேத்திரகணித அமைப்பாலே துணிக ; வேண்டிய நாண் நீளத்தையும் காண்க.
22. ஒரு கோலானது - ஆரையுடைய ஓர் ஒப்பரவான அரைக் கோளக் கிண்ணத்திற்குள்ளே முழுவதுமாகக் கிடக்கின்றது ; அதன் புவியீர்ப்பு மையம் அதனை a, b என்னும் நீளப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றது. அது சமநிலையில் இருக்கும் போது கிடையுடன் அதன்
அ 6 - a சாய்வு 0 வாயிருந்தால், சைன்0=-
= எனக் காட்டுக ; அன்றியும், அக்கோ
2Vr2 - ab லிற்கும் கிண்ணத்திற்கும் இடையேயுள்ள மறுதாக்கங்களையும் காண்க.
23. ஒப்பரவான ஓர் அரைக்கோளக் கிண்ணத்திற்குள்ளே அக்கிண்ணத்தின் ஆரைக்குச் சமநீளமுள்ள ஒரு பாரமான கோல் வைக்கப்படுகிறது ; அக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் அக்கோலின் முனையொன்றிலிருந்து அதன் நீளத்தின் மூன்றிலொரு பங்கில் உள்ளது ; நிலைக்குத்தோடு அக்கோலால் ஆக்கப்படும் கோணம் தான்-1 (373) எனக் காட்டுக.

ஒரு பொருளின்மீது தாக்கும் மூன்று விசைகள்
87
24. 4 அங். நீளமுள்ள சீரான கோலொன்று ஆரை V3 அங்குலமாயும் அச்சு நிலைக் குத்தாயும் உள்ள ஓர் ஒப்பரவான அரைக்கோளக் கிண்ணத்திற்குள்ளே ஒரு முனை இருக்கும் படியாக வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அக்கோலின் காற்பங்கு அக்கிண்ணத்தின் விளிம்புக்கு ' மேலாக நீண்டிருக்குமெனக் காட்டுக.
அவ்வாறு கிடக்கும் மிகக்குறுகிய கோல் 2/2 அங்குல நீளமாகுமெனவும் நிறுவுக.
பின்வருவன வரைபு முறையாலே தீர்க்கப்படவேண்டியன.
25. 10 அடி நீளமான AB என்னும் பாரமான ஒரு வளை A யானது எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக இருக்குமாறு A, B என்பனவற்றிற் கிடைத் தளத்திற்கு 55°, 50°, கோணங்களிற் சாய்ந்துள்ள இரு தாம்புகளாலே தாங்கப்படுகின்றது ; AB ஆனது கிடைத்தளத்திற்கு 200 இற் சாய்ந்திருந்தால், A யிலிருந்து எத்தூரத்தில் அதன் புவியீர்ப்பு மையம் இருக்குமெனக் காண்க ; அன்றியும் அதன் நிறை 200 இறா. ஆயின், அவ்விரு தாம்புகளுடைய இழுவைகளையும் காண்க.
26. 2 அடி நீளமான AB என்னும் ஓர் இலேசான கோல் A யில் ஒரு நிலையான ஆதாரத் திற்கு ஒப்பரவாய்ப் பொருத்தப்பட்டுக் கிடையாய்க் கிடக்கின்றது ; AD=9 அங்குலமாயுள்ள D யில் அது C என்பது A யிற்கு நேரே கீழாயுள்ள CB என்னுமோர் இலேசான கோலாலே தாங்கப்பட்டு 10 இறா. நிறையொன்றைக் காவுகின்றது ; AC =6 அங்குலம் ; கோல் CB யில் உள்ள உதைப்பைக் காண்க.
27. AB என்பது C யில் உள்ள ஒரு சுழலையிலே திரும்புகின்ற சீரான வளை ; அது மிகவுயர்ந்த புள்ளி A இற்கும் C இற்கு நிலைக்குத்திற் கீழேயுள்ள ஒரு புள்ளி D இற்கும் இணைக்கப்பட்ட AD என்னும் ஓரிலேசான இழையினாற் சமநிலையில் வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. AB=3 அடி , AC=1 அடி, CD= 2 அடி, DA=2.7 அடி ; அவ்வளையினது நிறை =10 இறா ஆயின், அவ்விழையின் இழுவையையும் அச்சுழலிடத்தின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
28. ஒரு முனைநெம்பு A யில் ஒரு நிலையான ஆதாரத்திற்குப் பிணைக்கப்பட்ட AB என்னும் ஒரு கிடைக் கோலாலும், AB யில் C என்னும் ஒரு புள்ளியிற் பிணைக்கப்பட்டதும் A யிற்கு நிலைக்குத்திற் கீழே ஒரு நிலையான புள்ளி D யிற்குப் பிணைக்கப்பட்டதுமான DC என்னும் ஒரு கோலாலும் அமைந்துள்ளது ; 1 அந்தர் நிறை B யில் இணைக்கப்படுகின்றது ; AB=6 அடி, AC = 2 அடி, AD==3 அடி என்று தந்தால், கோல்களுடைய நிறைகளைப் புறக்கணித்து A, C என்பனவற்றிலுள்ள தாக்கங்களைக் காண்க.
29. ஒரு கொடியினது தளம் கிடையுடன் 50° இற் சாய்ந்திருக்கின்றது ; அதன் நிறை 10 இறா. அதன் மீது காற்றின் விளையுள் உதைப்பு அதன் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கு மேலே 8 அங்குலத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்றது ; இழை அதற்கு மேலே 10 அங்குலத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிற் கட்டப்படுகின்றது. அவ்விழையின் இழுவையையும் காற்றின் உதைப்பையும் காண்க.

Page 52
அதிகாரம் VIII. ஒரு தளத்து விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற ஒரு பொருளின் சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள் 80. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே தாக்குகின்ற எவ் விசைத்தொகுதியும் ஒரு தனி விசையாக, அல்லது ஒரு தனி இணையாக ஒடுக்கப்படக்கூடும்.
விசையிணைகரத்தின்படி தம் திசைகள் சந்திக்கின்ற எவையேனும் இரு விசைகள் ஒரு விசையாகக் கூட்டப்படக்கூடியன ; அன்றியும் பிரிவு 52 இன்படி, இரு சமாந்தர விசைகள் சமனிலிகளாயும் நிகராதனவாயும் இருந்தால் ஒரு விசையாகக் கூட்டப் படக்கூடியன.
முதலாவதாக, தந்த தொகுதியிலுள்ள எல்லாச் சமாந்தரவிசைகளை யும், அல்லது சமாந்தர விசையினங்களையும் ஒருமித்துக் கூட்டுக.
மீந்திருக்கும் தொகுதியில் ஓர் இணையை ஆக்காத எவையேனும் இரு விசைகளை எடுத்து அவற்றின் விளையுள் R1 ஐக் காண்க ; பின் R, அத்தொகுதியின் ஏற்றவொரு மூன்றாம் விசை என்னும் இவற்றின் விளையுள் R, ஐக் காண்க. அதன்பின் இந்த R, இற்கும் அத் தொகுதியின் ஏற்றவொரு நாலாம் விசைக்கும் உள்ள விளையுளைக் காண்க ; இவ்வாறே எல்லா விசைகளும் ஒழியும் வரை எடுத்து விளையுள் காண்க.
கடைசியாக, நாம் ஒரு தனி விசையைப் பெறல் வேண்டும், அல்லது ஓர் இணையை ஆக்கும் சமமாயும் சமாந்தரமாயுமுள்ள இரண்டு நிகராத விசைகளைப் பெறுவோம்.
81. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே ஒரு விசைத் தொகுதி தாக்க, ஒரே நேர் கோட்டிற்கு கிடக்காத மூன்று புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும்பற்றி எடுக்கும் திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை தனித்தனி பூச்சியமானால் அவ்விசைத் தொகுதி சமநிலையில் இருக்கும், இதனை நிறுவுவோம்:-
முந்திய பிரிவால், அத்தகை விசைத் தொகுதியொன்று ஒரு தனி விசையாக, அல்லது ஒரு தனி இணையாக ஒடுங்கும்.,
இங்கு அவ்விசைகள் ஒரு தனி இணையாக ஒடுங்கா ; அவ்வாறு ஒடுங்கினால், அவற்றினுடைய தளத்திலேயுள்ள ஒரு புள்ளி பற்றி எடுக்கும் திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை, பிரிவு 69 இன்படி, பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலிக்குச் சமனாகும். இது எம் கருதுகோளிற்கு எதிராகும். •
எனின், அவ்விசைத் தொகுதி ஒரு தனி இணையாக ஒடுங்க முடியாது. ஆகவே, அத்தொகுதி சமநிலையில் இருத்தல் வேண்டும், அல்லது ஒரு தனி விசை F ஆக ஒடுங்கல் வேண்டும்.
திருப் திறன்கள் எடுக்கப்படும் மூன்று புள்ளிகளும் A, B, C என்பன வாகுக. ஒரு விசைத் தொகுதியினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் விளையுளது திருப்புதிறனுக்குச் சமனா

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
89
கையால் (பிரிவு 62) புள்ளி A பற்றி F இனது திருப்புதிறன் பூச்சியமாதல் வேண்டும். எனின், IF பூச்சியமாகும். அல்லது A யினூடாகச் செல்லும். அதுபோல், B பற்றி எடுக்கும் F இனது திருப்புதிறன் பூச்சியமாகின்றமை யால், F பூச்சியமாகும், அல்லது B யினூடாகச் செல்லும்; அதாவது F பூச்சியமாகும், அல்லது கோடு AB யிலே தாக்கும். கடைசியாக, C பற்றி எடுக்கும் திருப்புதிறன் பூச்சியமாகின்றமையால், F என்பது பூச்சியமாகும், அல்லது C யினூடாகச் செல்லும்.
ஆனால் (புள்ளிகள் A, B, C என்பன ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாமை யால்) அவ்விசை AB வழியே தாக்கவும் மாட்டாது ; C யினூடாகச் செல்லவும் மாட்டாது.)
எனின், ஏற்கத்தக்க ஒரே வகை F என்பது பூச்சியமாயிருத்தல் வேண் டும் ; அதாவது, விசைகள் சம நிலையிலே இருத்தல் வேண்டும் என்க.
(1) A, B என்னும் இரு புள்ளிகளுள் ஒவ்வொன்று பற்றி எடுக்குந் திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை தனித்தனி பூச்சியமாயும் (2) AB வழியே பிரிக்கப்பட்ட விசைகளின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாயும் இருந்தால் அத்தொகுதியும் சம நிலையில் இருக்கும். அதற்குக் கார ணம் பின்வருமாறு:- (1) என்பது உண்மையாயின், முந்திய பிரிவின்படி விளையுள் பூச்சிய மாகும். அல்லது AB வழியே தாக்கும். அன்றியும், (2) என்பது உண்மையாயின், AB என்னுந் திசையில் விளையுள் யாதும் இராது; எனின் விளையுள் விசை பூச்சியமாகும். அன் றியும், முந்திய பிரிவிற் போல விளையுள் இணை யாதும் இல்லை. எனின் அத்தொகுதி சம் நிலையில் இருக்கும்.
82. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே ஒரு விசைத் தொகுதி தாக்க, அவற்றினுடைய தளத்திலே உள்ள இரு கோடுகளுள் ஒவ்வொன்றுக்கும் சமாந்தரமான அவற்றின் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாயும், யாதுமொரு புள்ளி பற்றி எடுக்கும் அவற்றினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையும் பூச்சியமாயும் இருந் தால், அத்தொகுதி சமநிலையில் இருக்கும்.
அதற்குக் காரணம் பிரிவு 80 இன்படி, அத்தகை விசைத்தொகுதி யொன்று ஒரு தனி விசையாக, அல்லது ஒரு தனி இணையாக ஒடுங்கக் கூடியது என்பது. இங்கு, அவ்விசைகள் ஒரு தனி விசையாக ஒடுங்கா.
அவற்றினுடைய தளத்திலேயுள்ள இரு கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமான விசைகளுடைய கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைகளானவை தனித்தனி பூச்சிய மாயிருக்கின்றமையால், இக்கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமான அவற்றின் விளையுள் விசையினுடைய கூறுகளும் பூச்சியமாகும். ஆகவே, விளையுள் விசை பூச்சியமாகும். அவ்விசைகள் ஒரு தனி இணையாக ஓடுங்கா ; அன்றி, அவை ஒடுங்கினால், தனது தளத்திலேயுள்ள யாருமொரு புள்ளிபற்றி எடுக்கும் இவ்விணையின் திருப்புதிறன் பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலிக்குச் சமனாகும்; எனினும், இது எம் கருது கோளுக்கு எதிர்.
எனின், அவ்விசைத் தொகுதி சமநிலையில் இருத்தல் வேண்டும். 83. முந்திய பிரிவின் விவரணத்திலே நாம் துணிக்கவேண்டிய திசைகள் பற்றி ஒன்றுஞ் சொல்லப்படவில்லை என்பது கவனிக்கப்படும். எனினும், செய்முறையிற் செங்கோணங்களிலுள்ள இரு திசைகளின் வழியே துணித் தல் என்றும் பெரும்பாலும் விரும்பத்தக்கது.

Page 53
90
நிலையியல்
- 1)
எனின், விறைப்பான ஒரு பொருளின் மீது ஒரு தளத்திலே தாக்குகின்ற யாதுமொரு விசைத் தொகுதியினுடைய சமநிலை நிபந்தனைகள் பின்வரு மாறு பெறப்படலாம்.
I. யாதுமொரு நிலையான திசையில் விசைகள் எல்லாவற்றினுடைய துணித்த பகுதிகளின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துக.
II. ஒரு நிலைக்குத்துத் திசையில் விசைகள் எல்லாவற்றினுடைய துணித்த பகுதிகளின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப் படுத்துக. - III. அவ்விசைகளினுடைய தளத்திலே உள்ள யாதுமொரு புள்ளி பற்றி எடுக்கும் அவற்றினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துக.
I உம் II உம் அப்பொருளுக்கு முழுவதுமாக இயக்கம் இருக்கப்படா ) தென்பதை மெய்ப்பிக்கின்றன ; III ஆவது. யாதுமொரு புள்ளி பற்றிச் சுழற்சியியக்கம் இருக்கப்படாதென்பதை மெய்ப்பிக்கின்றது.
மேலுள்ள மூன்று நிலையியற்றொடர்புகளும் ஒரு தொகுதியின் கூற்றுப் பகுதிகளுக்கிடையேயுள்ள கேத்திரகணிதத் தொடர்புகளோடு கூடி ஒரு தளத்து விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற யாதுமொரு தொகுதியின் சம் நிலையைத் துணிதற்குப் பொதுவாகப் போதியனவாகும்.
யாது மொரு குறித்த வகைக்கு மேலே தந்த சம நிலை நிபந்தனைகளைப் பிரயோகிக்குமிடத்து நாம் துணிக்குந் திசைகளைச் செப்பமாய்த் தேர்ந்தால் மிக்க சுருக்கங்களைச் சமன்பாடுகளிற் பெரும்பாலும் புகுத்தலாம். பொது வாகக் கிடைத் திசையும் நிலைக்குத்துத் திசையும் மிக்க வசதியானவை யாகும்.
இனி, நாம் திருப்புதிறன்கள் எடுக்கும் புள்ளியினது நிலை பிரதான மானது ; கூடியவரை குறைந்த தொகை விசைகளே திருப்புதிறன் சமன் பாட்டிற் புகுத்தப்படத் தக்கனவாக அது தேரப்படல் வேண்டும்.
84. முந்திய பிரிலிலே தந்த நிபந்தனைகள் ஒரு விசைத் தொகுதியின் சம நிலைக்குப் போதியனவென்று காட்டினோம் ; அவை வேண்டியனவுமாகும்.
முதலிரண்டு நிபந்தனைகளே தீர்க்கப்பட்டனவென்று அறிந்தோமெனக் கொள்க. ஆயின், அவ்விசைத்தொகுதி ஒரு தனி இணையாகச் சுருங்கலாம்; அதற்குக் காரணம் இவ்விணை யினுடைய விசைகள் சமனுமெதிருமாகையால் யாதுமொரு திசையில் அவற்றினுடைய கூறுகள் பூச்சியமாகுந் தகையனவாயிருக்கும். எனின், யாதுமொரு மூன்றாந் திசையில் துணிப்பு எங்களுக்கு மேலதிகமான நிபந்தனை யொன்றையுந் தராது. இங்கு, மூன்றாம் நிபந்தனை தீர்க்கப்பட்டாலொழிய விசைகள் சம நிலையிலே நில்லா.
இனி, அத்தொகுதியின் கூறுகளானவை தந்தவொரு கோட்டின் வழியே பூச்சியமாயுந் தந்த ஒரு புள்ளிபற்றி எடுத்த திருப்புதிறன்களும் பூச்சியமாயும் இருந்தனவென அறிந்தோ மெனக் கொள்க. இவ்வகையில் அவ்விசைகளானவை தந்த கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய்த்

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
91
தந்த புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற ஒரு தனி விசையாகச் சுருங்கலாம் ; எனின், வேறொரு கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் உள்ள கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையும் பூச்சியமாதல் வேண்டும் என்பதைக் காண்கின்றோம்.
85. இனி, பொதுச் சமநிலை நிபந்தனைகளின் பிரயோகத்திற்கு உதாரண ங்கள் சிலவற்றைத் தருவோம். யாதுமொரு நிலையியற் பிரசினத்தைத் தீர்க்குமிடத்து மாணாக்கன் பின்வருமாறு செல்லல் வேண்டும் :-
(1) தந்த நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப உருவம் வரைக. (2) ஒரு பொருள் வேறொன்றுக்கெதிரே அமுக்குமிடத்து (துணிய வேண்டிய) ஒரு தேரா மறுதாக்கத்தைக் கற்பனை செய்தற்கும், யாது மொரு தாங்கும் இழையின் வழியே ஓரிழுவையைக் குறிப்பதற்கும், அப்பொருள் வேறொரு பொருளுக்கு, அல்லது நிலையான புள்ளிக்குப் பிணைக்கப்படுமிடத்து ஒரு மறுதாக்கத்தைக் கற்பனை செய்தற்கும் கவன மெடுத்து அப்பொருளின்மீது, அல்லது பொருள்களின் மீது தாக்குகின்ற விசைகள் எல்லாவற்றையும் குறிக்க.
(3) அப்பிரசினத்திலுள்ள ஒவ்வொரு பொருளுக்கும், அல்லது பொருட் டொகுதிக்கும் வசதியான இரண்டு நிலைக்குத்துத் திசைகளின் வழியே (பொதுவாகக் கிடை, நிலைக்குத்துத் திசைகளின் வழியே) துணிக்கப்பட்ட விசைகளைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துக.
(4) அன்றியும், வசதியான யாதுமொரு புள்ளிபற்றி எடுக்கும் விசை களுடைய திருப்புதிறன்களையும் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துக.
(5) அவ்வுருவத்திலுள்ள நீளங்களை , அல்லது கோணங்களைத் தொடர்பு படுத்துங் கேத்திரகணிதத் தொடர்புகள் எவையேனுமிருந்தால், அவற்றை எழுதுக.
"ன
உ - ம். 1. பாரமான சீரான வளையொன்று தன் முனையொன்று ஒரு கிடைத் தளத்தின் மீதும் மற்றை முனை தந்தவொரு சாய்தளத்தின் மீதுமாகக் கிடக்கின்றது; அக்கிடைத்தளத்திற் கிடக்கின்ற முனைக்கும் அச்சாய்தளமுங் கிடைத்தளமும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கும் இணைக்கப்பட்ட ஓரிழையினால் அது சமநிலையில் வைக்கப்படுகின்றது; அக்கிடைத் தளத்திற்கு அவ்வளையின் சாய்வு (a) அச்சாய்தளத்தின் சாய்வின் அரைப்பங் கெனத் தந்தால் அவ்விழையின் இழுவையையும் அத்தளங்களுடைய மறுதாக்கங்களையும் காண்க.
AB என்பது அவ்வளையாயும் AO என்பது கிடைத்தளமாயும், OB என்பது அச்சாம் தளமாயும் இருக்கட்டும்.

Page 54
92
நிலையியல்
T என்பது அவ்விழை AO வின் இழுவையாகுக ; W என்பது அப்பொருளின் நிறையாகுக ; R, S என்பன முறையே நிலைக்குத்தாயும் OB யிற்குச் செங்குத்தாயும் A, B என்பன வற்றிலுள்ள மறுதாக்கங்களாகுக. கிடையாயும் நிலைக்குத்தாயும் துணிக்க,
T= பிசைன் 2a.........
....... (1) W=R+ S கோசை 2a...
... (2) அன்றியும், A பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுக்க நாம் பெறுவது W. aகோசைg= S. ABசைன்ABL = S. 2aகோசைன...
... (3). இங்கு 20 என்பது அவ்வளையின் நீளம். இம் மூன்று சமன்பாடுகளுஞ் சமநிலையின் செய்திகளைத் தருகின்றன. (3) இல் இருந்து, நாம் பெறுவது S= {W.
ஃ (2) இல் இருந்து R=W - 4W கோசை 20 = W (1- கோசை 2). அன்றியும் (1) இல் இருந்து
T= சைன் 2a.
எனின், மறுதாக்கங்களும் அவ்விழையின் இழுவையுந் துணியப்பட்டன. கிடையோடு அவ்வளை ஆக்கும் சாய்வு தரப்படுதற்குப் பதிலாக அவ்விழையினது நீளம் (=1 என்க) தரப்பட்டதெனக் கொள்க.
கிடையோடு அவ்வளை ஆக்கும் சாய்வு 0 எனக் கொள்வோம். (1), (2), என்னுஞ் சமன்பாடுகளானவை முன்போலவே இருக்கும். எனினும், திருப்புதிறன் சமன்பாடு பின்வருவதாகும்.
W.a கோசை 9 = S.AB சைன் ABL = 3.2a கோசை AB0
= S.2a கோசை (2 - 8) .................
(4). 0 வைத் துணிதற்கு ஒரு கேத்திரகணிதச் சமன்பாடு வேண்டப்படும்; அதாவது
1 OA சைன் AB0 சைன் (2a - 9) 20 AB சைன் AOB சைன் 2
- (5).
பின்னதாகிய இச்சமன்பாடு 0 வைத் துணியும் ; பின் (1), (2), (4) என்னுஞ் சமன் பாடுகள் T, R, S என்பனவற்றைத் தரும்.
இவ்வினா அவ்வளை வழியும் செங்குத்திற்கும் துணிப்பதாலே தீர்க்கப்படலாம் ; ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் T, R, S, W என்னும் கணியங்கள் ஒவ்வொன்றும் உள்ளடக்கப்படும் ; ஆயின் வரும் சமன்பாடுகள் மேற்றந்தனவற்றிலும் கூடிய சிக்கலுள்ளனவாகும்.
A பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுப்பதும் விரும்பத்தக்கதாயிருந்தது ; அதற்குக் காரணம் அவ்வுருவத்தில் அப்பொருளின் மீது தாக்குகின்ற இரு விசைகள் செல்லும் வசதியான புள்ளி இதுவே என்பது.
உ - ம். 2. தன் புவியீர்ப்பு மையத்தால் a, b என்னும் பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்ற ஒரு வளையானது ஒன்றையொன்று ஒரு கிடைக் கோட்டில் வெட்டி கிடையுடன் முறையே 1, 2 என்னுங் கோணங்களிற் சாய்ந்த இரண்டு ஒப்பமான தளங்களிலே தன் முனைகள் கிடக்கச் சமநிலையிற் கிடக்கின்றது. கிடையோடு அவ்வளை ஆக்கும் சாய்வையும் அத்தளங்களு டைய மறுதாக்கங்களையும் காண்க.

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
93
அத்தளங்கள் OA, OB என்பனவாகுக ; AB என்பது அவ்வளையாகுக; அதன் புவி யீர்ப்பு மையம் G ஆகு4 ; ஆயின் GA, GB என்பன முறையே a, 3 என்பனவாகும்.
R, S என்பன அச்சாய் தளங்களுக்குச் செங்குத்தாய் A, B என்பனவற்றிலுள்ள மறுதாக்கங்களாகுக ; (0 என்பது கிடையுடன் அவ்வளை -ஆக்குஞ் சாய்வாகுக.
ம!
9..... ?
(1),
R S
நிலைக்குத்தாகவும் கிடையாகவும் துணிக்க,
R கோசை + Sகோசை3 = W. R சைன்று = S சைன் ......... அன்றியும், G பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுக்க, R.GA சைன் GAL = S. GB சைன் GBM. இனி, 2GAL = 90° - BA0= 90° - (a - 0),
/GBM = 900 - ABO = 90° - (0 +0). எனின், திருப்புதிறன் சமன்பாடு
R. aகோசை(au - 0) = S. bகோசை (+0) ஆகும்.
... (3) (2) இல் இருந்து நாம் பெறுவது
R கோசை +S கோசை 3
W சைன் 3 சைன் சைன் 3 கோசைன + சைன்ல கோசை சைன் (a + 3)
(1) ஆல். இச்சமன்பாடுகள் R, S என்பனவற்றைத் தரும் ; அன்றியும் (3) இல்
R, S என்பனவற்றிற்குப் பிரதியிட aசைன் 3 கோசை (a - 9) =b சைன்ல கோசை (3 +0) ; ... சைன்(கோசை கோசை + சைன் a சைன் 9) =b சைன் (கோசை 3 கோசை - சைன் 3 சைன் 8) ; ஃ (a+b) சைன் 2 சை ைன்சன் 0 = கோசை (b சைன் கோசை 3 - கோசை a சைன் 3) ;
: (a +6) தான் 0 = bகோதா - a கோதா a...
(4), இது 0 வின் பெறுமானத்தைத் தரும். வேறு வழி : அப்பொருளின் மீது மூன்று விசைகளே தாக்குகின்றமையால், இவ்வினா முந்திய அதிகாரத்து வழிகளாலே தீர்க்கப்படலாம்.
-*----AM''-கம்
21-13

Page 55
94
நிலையியல்
க w
R
W
R, S, W என்னும் விசை மூன்றும் ஒரு புள்ளி 0' இற் சந்தித்தல் வேண்டும். ஆயின், பிரிவு 79 இல் உள்ள தேற்றத்தின்படி (6+6) கோதா 0'GA=6 கோதா - a கோதா ; அதாவது, (a+6) தான் 6=6 கோதா 3 - a கோதா டீ. இதுவே சமன்பாடு (4) ஆகும். அன்றியும், லாமியினது தேற்றத்தின்படி (பிரிவு 40)
R சைன் BOYG சைன் AOG சைன் AO'B
RS அதாவது,
சைன் 3 சைன் 4 சைன் (a+3) உ - ம். 3. 192 இறா. நிறையையும் 25 அடி நீளத்தையும் உடைய ஓர் ஏணியானது தன்னுடைய முனைகளுள் ஒன்று ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவர்மீதும் மற்றை முனை தரையின்மீதும் இருக்க ஓய்விலிருக்கின்றது ; அது தன் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளி யிலுள்ள ஒரு முளைக்கட்டையாலே வழுக்குதலினின்றுந் தடுபட்டிருக்கின்றது ; அம்மிகக் தாழ்ந்த புள்ளி அச்சுவரிலிருந்து 7 அடி தூரத்தில் இருந்தால், முளைக்கட்டை, தரை, சுவர் என்னும் இவற்றினுடைய மறுதாக்கங்களைக் காண்க.
AB என்பது அக்கோலாகுக ; G என்பது அதனுடைய நடுப்புள்ளியாகுக; R, R, என்பன தரை, சுவர் என்னுமிவற்றினுடைய மறுதாக்கங்களாகுக ; S என்பது அம்முளைக்கட்டையின் கிடை மறுதாக்கமாகுக.
கோணம் GAO என்பது ஆகுக ;
AO 7 ஆமின். கோசை a =AR = 25
... (1),
1192
எனின், சைன் = 1, 49 _ /576 _ 24
N/' 625 N/625 25 அக்கோலின் மீது தாக்குகின்ற விசைகளுடைய கிடைக் கூறுகளையும் நிலைக்குத்துக் கூறுகளையும் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்த,
R - 192= 0 R, - S=0 .......
....... (2). அன்றியும் A பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க,
192x AG கோசை a=R,XAB சைன் a.
. (3) ; ஃ. R, = 192x4 கோதா = 96x2=28. எனின், (1), (2) என்பனவற்றிலிருந்து,
R=192, S= 28. ஆகவே, வேண்டிய மறுதாக்கங்களானவை முறையே 28, 192, 28 இறா. நிறைகள்.
முந்திய அதிகாரத்தின்படி, R, S என்பனவற்றின் விளையுளானது நிறையும் R, உம் சந்திக்கும் புள்ளி 0, என்பதற்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
உ - ம். 4. சீரான கோலொன்றின் ஒரு முனை ஒரு பிணையலுக்கு இணைக்கப்பட்டிருக் கின்றது ; மற்றை முனை அதன்கண்ணே கட்டிய ஓரிழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அக்

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
95
கோலும் இழையுங் கிடைத்தளத்திற்கு ஒரே கோணம் 0 விற் சாய்ந்துள்ளன; அக்கோலின்
W நிறை W ஆயின், அப்பிணையலிலுள்ள தாக்கம் - 1/8+கோசீ2 ( எனக் காட்டுக.
AB என்பது அக்கோலாகவும், C என்பது அதன் மையமாகவும், BD என்பது A யினூடாகச் செல்லுங் கிடைக் கோட்டை D யிற் சந்திக்கும் இழையாகவும் இருக்க.
Ad..*** ***
அவ்விழையின் இழுவை T ஆகுக.
பிணையலிலுள்ள தாக்கம் பருமனிலும் திசையிலும் அறியப்படாதது . உருவத்திற் குறித்தபடி, இத்தாக்கத்தின் கிடைக் கூறும் நிலைக்குத்துக் கூறும் X, Y என்பனவாகுக. BE என்பதை AD யிற்குச் செங்குத்தாக வரைக. ஆயின், AD= 2AE = 2ABகோசை 0. கிடையாகவும் நிலைக்குத் தாயும் துணிக்க,
X=T கோசை 0
... (1), Y+Tசைன் 6 = W.
(2). அன்றியும், A பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க, நாம் பெறுவது
W. AC கோசை 0=T. AD சைன் 0
=T. 2AB கோசை ( சைன் 0 .......
AC
W (3) இல் இருந்து, T=W,
""2 AB சைன் 0 4 சைன் 6 எனின், (1), (2) என்பனவற்றால்,
W
W 3W X=- கோதா 0, Y=W -
ஆகவே, பிணையலிலுள்ள தாக்கம் = Vx2+Y2
W --V9+ கோதா2 0 = -V8+ கோசீ2 8.
w
DB என்பது W இனது திசையை M இற் சந்தித்தால், முந்திய அதிகாரத்தின்படி, AM என்பது A யில் உள்ள தாக்கத்தின் திசையாகும். எனின், CN என்பது AM இற்குச் சமாந் தரமாயிருந்தால், CMN ஒரு விசை முக்கோணியாகும்.
உ - ம். 5. பாரமான சீர.ன கோலொன்று தனது நிலையான ஒரு முனைபற்றிச் சுயாதீன மாய்த் திரும்பக்கூடியது : இம்முனைக்கு a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தைத் தாங்குகின்ற

Page 56
96
நிலையியல்
ஓரிழை இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அக்கோலின் நீளம், 40 ஆயும் அவ்விழையின் நீளம் a ஆயும் கோளம், கோலென்னும் ஒவ்வொன்றின் நிறை W ஆயும் இருந்தால், நிலைக்குத்தோடு - அக்கோலும் இழையும் ஆக்கும் சாய்வுகளையும் அவ்விழையின் இழுவையையுங் காண்க.
OA என்பது அக்கோலாயும், OC என்பது இழையாயும், B என்பது அக்கோள மையமாயும் D என்பது அக்கோல் அக் கோளத்தைத் தொடும் புள்ளியாயும் இருக்கட்டும்.
அக்கோளத்திற்கும் கோலிற்கும் இடையே D யில் OD யிற்குச் செங்குத்தாய் அவ்விரு பொருள்களின்மீது எதிர்த் திசைகளிலே தாக்குகின்ற ஒரு மறுதாக்கம் உண்டு.
அக்கோளத்தின் மீதே தாக்குகின்ற விசைகள் சமநிலையில் இருத்தல் வேண்டும் ; அவ்வாறே அக்கோலின் மீது தாக்குகின்ற விசைகளும் இருத்தல் வேண்டும்.
மூன்று விசைகளே அக்கோளத்தின் மீது தாக்குகின்றமையால், அவை ஒரு புள்ளியிலே அதாவது அக்கோளத்தின் மையத்திலே சந்தித்தல் வேண்டும். எனின், OCB என்பது ஒரு நேர்கோடு.
0, என்பன அக்கோலும் இழையும் நிலைக்குத்தோடு ஆக்கும் சாய்வுகளாகுக ;
DB 1
ஆயின், சைன் (0+¢)=0B = 24=# ; .
வ, 0+ = 30°
....... (1) அக்கோலின்மீது தாக்குகின்ற விசைகள், D யிலுள்ள மறுதாக்கம், அக் கோலின் நிறை, 0 என்னும் பிணையலிலுள்ள தாக்கம் என்பன.
0 பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுத்தால், இத்தாக்கத்தை விலக்கலாம் ; விலக்கினால், நாம் பெறுவது
W. 2 a சைன் 0 = R. OD = R. 20கோசை 30°
.(2). கோணத்தின் சமநிலை நிபந்தனைகளிலிருந்து,
T R W.
சைன் (¢+ 60°) சைன் ¢ சைன் 60° ஆகலே/, (2), (3) என்பனவற்றிலிருந்து,
R
... (3) ;

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
97
சைன் 9 R சைன் 6
கோசை 30° =w சைன் 60° ஃ = 6 எனின், '(1) இல் இருந்து, 6 = = 15 . (3) இற் பிரதியிட, நாம் பெறுவன
சைன் 60=WV+1 w
சைன் 750 T=w"
/6= (3v2+V6) =1-1153,+W,
சைன் 15° R=W °
=WV3 -1_W,
- == (3V2 - V6) ='2988xW என்பன.
"சன் 600 SW.
பயிற்சி XII. 1.• W நிறையுடைய AB என்னும் சீரான வளையொன்று A என்னும் முனை ஒப்பமான ஒரு கிடைத்தளம் AC யின்மீது இருக்கும்படி கிடக்கின்றது. B என்னும் மற்றை முனை
• முற்றளத்திற்கு 60° என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த CB என்னுந் தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது. CB யிற்குச் சமனான CA என்னும் ஓரிழை இயக்கத்தைத் தடுத்தால் அதன் இழுவையைக் காண்க.
2. W நிறையுடைய ஓர் ஏணி தன்னுடைய ஒரு முனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவர் மீதும் மற்றை முனை ஒப்பமான ஒரு தரையின்மீதுங் கிடக்க ஓய்வில் இருக்கின்றது ; அடி இடையுடன் அவ்வேணி 60° சாய்வில் இருந்தால், அவ்வேணி வழுக்குதலைத் தடுப்ப தற்குக் கீழ்முனையிற் பிரயோகிக்கப்பட வேண்டிய கிடை விசையைக் கணிப்பாலும் வரைபு முறையாலுங் காண்க.
3. W என்னும் நிறையுடைய ஒரு வளை தன் புவியீர்ப்புமையம் C யால் a, b என்னும் நீளங்களுள்ள AC, BC என்னும் இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அவ்வளை ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தில் AD என்னும் ஒப்பமான ஒரு தரையின் மீது DB என்னும் ஒப்ப மான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராய் ஓய்வில் இருக்கின்றது. ஓரிழையானது D யிலுள்ள ஒரு கொளுக்கிக்கும் அவ் வளையிலுள்ள ஒரு புள்ளி P யிற்கும் இணைக்கப்பட்டிருக் இன்றது. T என்பது அவ்விழையின் இழுவையாயும், 0, ¢ என்பன முறையே கிடை யுடன் அவ்வளையும் இழையும் ஆக்குஞ் சாய்வுகளாயும் இருந்தால்,
a கோசை 8 T=W -
(a +6) சைன் (0 - 6) எனக் காட்டுக. 4. ஓர் ஏணி தன்னுடைய முனைகள் ஒப்பமான ஒரு தரைமீதும் ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிற் சாய்ந்து கிடக்கின்றது ; அதன் கீழ்முனையானது அச்சுவருந் தரையும் சந்திக்கும் சந்திக்கு ஓரிழையினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது ; அவ்விழையின் இழுவையைக் காண்க.
அவ் வேணியினது நிறையின் அரைப்பங்கு நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் அதன் வழியே மூன்றிலிரண்டு பங்குக்கு ஏறினானாயின், அவ்விழையின் இழுவையையும் காண்க.
5. W நிறையுடைய சீரான வளையொன்றின் ஒரு முனை ஒப்பமான ஒரு இடைத்தளத்தின் மீது வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; ஓரிழை இணைக்கப்பட்டுள்ள மற்றை முனை கிடையுடன் . கோணத்திற் சாய்ந்து வேறோர் ஒப்பமான தளத்திற்கெதிராய்க் கிடக்கின்றது ; அச் சாய்தளத்து நுனியிலுள்ள ஒரு கப்பிக்கு மேலாகச் செல்லுகின்ற இழை நிலைக்குத்தாகத் தூங்கிக்கொண்டு ஒரு நிறை P யைத் தாங்குகின்றது ; 2P = W சைன் 2 ஆயின், அவ்வளை எல்லா நிலைகளிலும் ஓய்விற் கிடைக்குமெனக் காட்டுக.

Page 57
98
நிலையியல்
6. பாரமான சீரான வளையொன்.
வள்யொன்று ஒரு கிடைக்கோட்டிற் சந்திக்கும் இரண்டு ஒப்பமான சாய்தளங்களின்மீது தன்னுடைய
என்னுடைய முனைகள் கிடக்க ஓய்வில் இருக்கின்றது ; கிடையுடன் அத்தளங்களுடைய சாய்வுகள் 0, 8)
வுகள் 2, 3 என்பன ; சமநிலையில் இருக்கும்போது கிடையுடன் அவ்வளை ஆக்கும் சாய்வையும் அக்.,
9ம் "பவையும் அத்தளங்களுடைய மறுதாக்கங்களையும் காண்க. 7. சிரான வளையொன்று தன்னுடை
உன்னுடைய ஒப்பரவான ஒரு முனையானது தரையும் நிலைக்குத் துச் சுவரும் சந்திக்கும் சந்திக்கெதிராக
'ம் சந்திக்கெதிராய் இருக்கும் வண்ணம் கிடக்கின்றது ; அது தனது மற்றை முனைக்கும் அச்சுவரிலுள்ள .
(வாலுள்ள இருப்புக் கொளுக்கி ஒன்றிற்கும் இணைக்கப்பட்ட ஓரிழையி னாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்வி
1; அவ்விழையின் இழுவையைக் காண்க ; இழையின் நீளம் தரைக்கு மேலேயுள்ள அக்கொளுக்கியின் உயரத் திற்குச் சமனாயின், அவ்விழுவை அவ்வளையி னது நிறையின் அரைப் பங்காகுமெனக் காட்டுக.
.ே - இரு வேறுடைய BC எனும் சீரான கோலொன்று B பற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்பக்கூடியது ; அது B இருக்கும் அதே கிடைக்கோட்டிலுள்ள A என்னும் ஒரு புள்ளிக்கு 8 அங்குல நீளமான ஓரிழை AC யாலே கொடுக்கப்பட்டு அவ்விழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; AB என்னும் தூரம் 10 அங்குலம். அக்கோல் 6 அங்குல நீளமாயின், அவ்விழையின் இழு வையைக் காண்க. வரைதலாலும் அளத்தலாலும் சரிபிழை பார்க்க.
9. சீரான கோலொன்றின் மேல் முனை ஒரு பிணையலிலே தைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; ) மற்றை முனை அப்பிணையல் இருக்கின்ற அதே கிடைத் தளத்திலுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளிக்கு ஓரிழையினால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அவ்விழையின் நீளம் அந் நிலையான புள்ளிக்கும் பிணையலுக்கும் இடையேயுள்ள தூரத்திற்குச் சமன். அவ்விழையின் இழுவை அக்கோலின் நிறை W விற்குச் சமனாயின், அக்கோல் கிடையுடன் தான் - 14 என்னும் கோணத்திற் சாய்ந் திருக்கின்றதென்றும் அப்பிணையலிலுள்ள தாக்கம் கிடையுடன் தான்-13 என்னுங்
W கோணத்திற் சாய்ந்த = V10 என்னும் விசைக்குச் சமமென்றும் காட்டுக.
10. ஒரு கோலானது தன்னுடைய ஒரு முனையிலுள்ள ஒரு பிணையல்பற்றி நிலைக்குத்துத் தளத்திலே இயக்கப்படத்தக்கது ; அதன் மற்றை முனையில் அக்கோலின் நிறையின் அரைப் பங்குக்குச் சமனான ஒரு நிறை இணைக்கப்பட்டுள்ளது ; இம்முனை அப்பிணையலுக்கு நிலைக்குத் காக மேலே C என்னும் உயர க் கிலுள்ள
உயரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கு 1 நீளமான ஓரிழையி னாலே தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அக்கோலினது நிறை W ஆயின், அவ்விழையின்
IW இழுவை - எனக் காட்டுக.
)
11. AB என்பது 8a நீளமுள்ள சீரான கோலொன்று ; - அது A என்னும் நிலையான முன்பற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்பத் தக்கது ; C என்பது தன்னிறை அக்கோல் நிறையின் இரு மடங்காயுள்ள ஒர்
காயுள்ள ஓர் ஒப்பரவான வளையம் ; அவ்வளையம் அக்கோலின்மீது வழுக்கக் கூடியது ; அது A என்.
) என் னும் புள்ளிக்கு OD என்னும் ஓர் இமையினால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; AD, CD என் பவை ஒவ்வொன்றும் a நீளமுடையாகாயின்.
"முடையதாயின், அத்தொகுதி சம நிலையில் இருக்கும் போது அவ்வளையத்தினது நிலையையும் அவ்விழையின் இழுவையையும் காண்க.
அக்கோலின் நிறை W ஆயின், அக்கோலின்மீது நிலையான புள்ளி A யில் உள்ள தாக்கம் V/3W விற்குச் சமனான் ஒரு கிடைத் தாக்கமெனக் காட்டுக.
12. தன் மையத்தில் 2 கோ
கோணத்தை எதிரமைக்கும் ஒரு வட்ட வில்லின் வடிவ முடைய ஒரு விறைப்பான நிறையில் கம்பி
""ன நிறையில் - கம்பியானது தன் முனைகளில் P, Q என்னும் இரு நிறைகளை உடையதாய் ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது கன்
ஒரு படைத்தளத்தின் மீது தன் குவிவு கீழ்முகமாக இருக்கும்படி டெகசின் றது ; 0 என்பது > தூக்கப்பட்ட முனையிலுள்ள ஆரை நிலைக்குத்தோடு ஆக்கும் சாய்வாயிசன்,

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
99
Q சைன் a தான் (=
P+Q கோசை எனக் காட்டுக. 13. க என்னும் விட்டமுடைய ஓர் ஒப்பரவான அரைக்கோளக் கிண்ணமானது தன் விளிம்பு ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரைத் தொடுமாறு வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; பார் மான சீர்க் கோலொன்று ஒரு முனை அக்கிண்ணத்தின் உட்பரப்பின் மீதும் மற்றை முனை அச்சுவருக்கெதிராயும் இருக்குமாறு 60° இற் சாய்ந்ததாய்ச் சம நிலையில் இருக்கின்றது;
அக்கோலினது நீளம் a+ - ஆய் இருத்தல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
14. 4 அங்குல உயரத்தையும் 3 அங்குல விட்டத்தையும் கொண்டு ஓர் உருளைப் பாத்திரம் ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது நிற்கின்றது ; 9 அங்குல நீளமுள்ள ஓர் ஒப்பரவான சீர்க்கோலா னது அதன் விளிம்பிற் கெதிராய்க் கிடக்குமாறு அதற்குள் வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அக் கோலின்து நிறை 6 அவுன்சாயின், அக்கோலிற்கும் பாத்திரத்திற்கும் இடையேயுள்ள
தர்க்கங்களைக் காண்க.
15. R என்னும் ஆரையையும் W என்னும் நிறையையும் உடைய ஒரு மெல்லிய வளையம் " என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு நிலைக்குத்துருளையைச் சுற்றிப் போடப்பட்டு அவ்வுருளையி லிருந்து கிடையாக நீண்டிருக்கும் ஓர் ஆணியால் விழாமல் தடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அவ்வுரு ளைக்கும் வளையத்திற்கு மிடையேயுள்ள கிடை மறுதாக்கங்களைக் காண்க.
16. W என்னும் நிறையையும் " என்னும் ஆரையையும் உடைய ஒரு பாரமான வண்டிச் சில்லானது தன் மையத்திற் பிரயோகிக்கப்பட்ட F என்னும் ஒரு கிடை விசையினால் h. உயரமுடைய ஒரு தடைக்கு மேலாக இழுக்கப்படல் வேண்டும் ; F ஆனது W Y
r-h திலும் சற்றுப் பெரிதாதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
17. 2a நீளமுடைய சிரான வளையொன்று தனது ஒரு முனை ஓர் ஒப்பமான நிலைக் குத்துச் சுவருக்கெதிராய்க் கிடக்கவும் அச்சுவருக்குச் சமாந்தரமாய் அதிலிருந்து 6 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஓர் ஒப்பரவான கிடைக் கோலின்மீது தன் நீளத்தின் ஒரு புள்ளி கிடக்கவும் சம நிலையில் உள்ளது ; நிலைக்குத்திற்கு அவ்வளையின் சாய்வு சைன் -1
-1 (6)
எனக்
என்பு
காட்டுக.
18. a ஆரையையும் W நிறையையும் உடைய BCD என்னும் ஒரு வட்டத் தட்டு மதிக்கத்தகாத நிறையுந் தடிப்புமுள்ள ஓர் ஒப்பரவான நாடாவாலே தாங்கப்படு கின்றது; அந்நாடாவில் ஒரு பகுதி BCD இனது நீளத்திற்கு அத்தட்டைச் சுற்றியுள்ளதாய்க் கிடக்க அதன் முனைகள் ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிலுள்ள A என்னும் புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக் கின்றன ; AD என்னும் பகுதி அச்சுவரைத் தொடுகின்றது; அத்தட்டின் தளம் அச் சுவருக்குச் செங்குத்தாக இருக்கின்றது. அத்தட்டைத் தொடாதிருக்கின்ற நாடாப்பகுதி
2 W a2+62 யின் நீளம் 26 ஆயின், அந்நாடாவின் இழுவை --- எனக் காட்டுக; D யில் உள்ள
இழுவை 262 6 மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
19. பாரமான சீர்ச் சம நேர்க் கோல்கள் இரண்டு ஒரு பக்கத்தில் ஓர் இழையினால் இணைக்கப்பட்டு அதே கிடைக்கோட்டில் இரண்டு ஒப்பரவான முளைக்கட்டைகளின்மீது ஒரு கோல் ஒரு முளைக்கட்டைக்கு மேலும் மற்றையது மற்றையதிற்கு மேலுமாகக் கிடக்கின்றன ; அம்முளைக்கட்டைகளுக்கிடையேயுள்ள தூரம் ஒவ்வொரு கோல் நீளத்திற்குச் சமனாயும், அவ் விழையின் நீளம் அ(த் துரத்திகன் :9/ரைட்டாங்காயும் இருந்தால், அக்கோல்கள் கிடையுடன் 2 கோசைச் 0=1 என்பதாலே தரப்படும்) () என்னுங் கோணத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.

Page 58
100
நிலையியல்
20. W என்னும் நிறையுடைய சீரான கோலொன்று ஒரு முனைக்கு ஒன்றாகத் தொடுக்கப் பட்ட இரு நுண்ணிழைகளாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்விழைகள் ஒப்பரவும் நிலையுங் கொண்ட சிறு கப்பிகளுக்கு மேலாகச் சென்று மற்றை முனைகளிலே முறையே ய,, ய, என்னும் நிறைகளைக் கொண்டுள்ளன. அக்கோல் கிடையுடன்
சைன் -1
ய2 - ய,?
WV2 (ய, 2+ய,?) - W2 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
21. W நிறையுடைய சீரான கோலொன்று ஒப்பரவான ஒரு முளைக்கட்டைக்கு மேலாகச் செல்லுகின்ற 21 நீளவிழையொன்றால் தன்னுடைய முனைகளிலே தொடுக்கப்பட்டு சமநிலையிலே தாங்கப்படுகின்றது. இனி, W' என்னும் ஒரு நிறை அக்கோலின் ஒரு முனைக்கு இணைக்கப்பட்
IW.! டால், அவ்விழையின் ஈ, என்னும் ஒரு நீளத்தை அம் முளைக்கட்டைக்கு
WW மேலாக வழுக்குதலால், அந்நிறை சம நிலையடையுமாறு வேறொரு நிலையிலும் வைக்கப்பட் லாமெனக் காட்டுக. அத 22. AB என்பது 2a நீளமும் AW நிறையுமுடைய ஒரு நேர்க்கோல் ; அதன் கீழ்முனை A ஆனது AC என்னும் ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரின் அடியிலே தரையிற் கிடக்க B, C என்பன A யிற்கு மேலே அதே நிலைக்குத் துயரம் 26 யில் இருக்கின்றன ; W நிறையுள்ள ஒரு பாரமான வளையம் B, C என்பனவற்றைத் தொடுக்கின்ற 21. நீளவிழையொன்றின் வழியே சுயாதீனமாய் இயங்கக்கூடியது. அவ்வளையம் அவ்விழையின் மையத்திலிருக்க
A(+2) அத்தொகுதி சமநிலையை அடையுமானால், 72=a2 -63,''
; எனக் காட்டுக. (+1)2
23. 6 நீளப்பக்கத்தினையுடைய ABCD என்னும் தந்தவொரு சதுரப் பலகை நிலையான ஒரு கொளுக்கி 0 விற்கு மேலாகத் தூக்கப்பட்டு எதிர் மூலைகளுக்குக் கீழாகச் செல்கின்ற OAC0, OBD0 என்னும் தந்த இழைத் தடங்கள் இரண்டால் கிடையாகத் தாங்கப்படுகின்றது ; அப்பலகைக்கு மேலே O வின் உயரம் 6 ஆயின், அவ்விழைகளுடைய இழுவைகளைக் காண்க.
24. 100 இறா. நிறையுள்ள ஒரு படலை தன் புவியீர்ப்பு மையத்திலிருந்து 4 அடி தூரத் திலுள்ள ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டில் 3 அடி இடைத்தூரமுள்ள இரு பிணையல்களின்மீது தூக்கப்படுகின்றது. அப்படலையின் முழு நிறையுங் கீழ்ப்பிணையலாலே தாங்கப்படுகின்றதெனக் கொண்டு, ஒவ்வொரு பிணையலிலும் உள்ள மறுதாக்கங்களின் பருமனைக் காண்க.
25. மூன்று கோல்களாலாகிய ஒரு முக்கோணி ஒரு கிடை நிலையிலே நிலையாய் இருக்க அதன் மீது ஏகவினக் கோளமொன்று கிடக்கின்றது ; ஒவ்வொரு கோலின் மீதும் உள்ள மறுதாக்கம் அதன் நீளத்திற்கு விகித சமமெனக் காட்டுக.
26. இலேசான ஒரு முக்கோணிச் சட்டம் ABC என்பது ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே 3 ஆனது எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக இருக்கும்படி அதே கிடைக் கோட்டிலுள்ள A, B என்னும் இரு தாங்கிகளின் மீது நிற்க, C யில் இருந்து 18 இறா. நிறையுள்ள ஒரு திணிவு, தூக்கப்படுகின்றது. AB=AC = 18 அடியாயும், B0=5 அடி ஆயும் இருந்தால், அத்தாங்கிக
ளுடைய மறுதாக்கங்களைக் காண்க.
27. ஒரு முக்கோணிச் சட்டப்படலின் பக்க நீளங்கள் 13, 20, 21 அங்குலங்கள் ; அவற்றுள் மிக நீண்ட பக்கம் ஒப்பமான ஒரு கிடைமேசையின் மீது கிடக்க எதிர்க் கோணத்திலிருந்து 63. இறா. நிறையொன்று தூக்கப்படுகின்றது. அம்மேசையின் மீதுள்ள பக்கத்தின் இழுவையைக் காண்க. வரைதலாலும் அளத்தலாலும் சரிபிழை பார்க்க.
28. ஒரு கிண்ணம் a ஆரையையுடைய ஒரு பொட்கோளத்திலிருந்து ஆக்கப்படுகின்றது ; அதன் விளிம்பிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் வரைந்த அக்கோளவாரையானது நிலைக்குத்

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
101
தோடு a என்னுங் கோணத்தையுண்டாக்க அக்கிண்ணத்தின் A என்னும் ஒரு புள்ளிக்கு வரைந்த ஆரை, நிலைக்குத்தோடு 5 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படி அக்கிண்ணம் வைக்கப்படுகின்றது ; ஒப்பரவான சீர்க் கோலொன்று A யில் ஒரு முனையும் விளிம்பைத், தொட்டுக் கொண்டு தன் நீளத்தின் ஒரு புள்ளியுமிருக்க ஓய்விலிருந்தால், அக்கோலினது நீளம் 4aசைன் 9 சீக"
- 01 - எனக் காட்டுக.
86. பின்வரும் பிரிவுகளிலே பிரிவு 83 இல் விவரித்த சமநிலை நிபந்தனைகள் சிறிது வேறுபட்ட முறையிற் பெறப்படும்.
*87. தேற்றம். விறைப்பான ஒரு பொருளின்மீது ஒரு தளத்திலே தாக்குகின்ற யாதுமொரு விசைத்தொகுதி அப்பொருளில் எதேச்சையான ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற ஒரு விசையோடு சேர்ந்த ஓர் இணைக்குச் சமன்.
P என்பது அப்பொருளிலுள்ள ஒரு புள்ளி A யிலே தாக்குகின்ற அத் தொகுதியின் யாதுமொரு விசையாகுக.
0 வில் இரண்டு சமமுமெதிருமான விசைகளை ஒவ்வொன்றும் P என்னும் பருமன் கொண்டதாகப் புகுத்துக ; அவற்றினுடைய தாக்கக் கோடு P யின் திசைக்குச் சமாந்தரமாகுக. இவை அப்பொருள் சமநிலை யடையும் நிலையை மாற்றா.
p என்பது 0 வில் இருந்து முந்திய விசை P யினது தாக்கக் கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்தாயின், A யில் உள்ள விசை P என்பதும் 0 வில் உள்ள எதிர்ச் சமாந்தர விசை P என்பதும் சேர்ந்து P.p என்னுந் திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணையை ஆக்கும்.
எனின், A யில் உள்ள விசை P ஆனது 0 வில் உள்ள P என்னும் ஒரு சமாந்தர விசை P யோடு சேர்ந்து P.p என்னும் திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணைக்குச் சமன்.
அவ்வாறே B யில் உள்ள விசை Q ஆனது O வில் உள்ள Q என்னும் ஒரு சமாந்தர விசை 2 வோடு சேர்ந்த Q:ு என்னும் திருப்புதிறனுடைய ஒர் இணைக்குச் சமன். இங்கு q என்பது Q வின் தாக்கக் கோட்டின் மீது 0 வில் இருந்து வரைந்த செங்குத்தாகும்.

Page 59
102
நிலையியல்
இவ்வாறே அவ்விசைத் தொகுதியிலுள்ள ஒவ்வொரு விசைக்குஞ் செய்ய லாம்.
எனின், முந்திய விசைத் தொகுதி 0விலே தம் முந்திய திசைகளிலே தாக்குகின்ற P,, Q, R, "........... என்னும் விசைகளோடு சேர்ந்த ஒரு தொகை இணைகளுக்குச் சமன் ; இவை 0 வில் உள்ள ஒரு தனி விளையுள் விசையோடு சேர்ந்து P.ர+Q.q ............... என்னும் திருப்புதிறனுடைய ஒரு தனி இணைக்குச் சமம்.
*88. பிரிவு 74 இன்படி ஒவ்வொன்றும் பூச்சியமானாலன்றி ஒரு விசை யும் ஓர் இணையும் சமநிலையடையா.
எனின், 0 வில் உள்ள P, Q, R, ....... என்பனவற்றின் விளையுள் பூச்சிய மாதல் வேண்டும் ; ஆகவே பிரிவு 46 இன்படி, இரு திசைகளில் அவற்றின் துணித்த பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை தனித்தனி பூச்சியமாதல் வேண்டும். -
அன்றியும் திருப்புதிறன் P.p + Q. +........... என்பது பூச்சியமாதல் வேண்டும்: அதாவது எதேச்சையான ஒரு புள்ளி 0 பற்றி எடுக்கும் விசைகளுடைய திருப்பு
திறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையும் பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
*89. உ-ம். ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; AB, BC, DC, DA என்னும் பக்கங்கள் வழியே 1, 9, 5, 3 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; அச்சதுரத் தின் மையத்திற்கூடாகச் செல்கின்ற ஒரு விசையும் ஓர் இணையுஞ் சேர்ந்து அத்தொகுதிக்குச் சமமாயின், அவற்றைக் காண்க.
0 என்பது அச்சதுரத்தின் மையமாகுக ; OX, OY என்பன முறையே BC, CD என்னும் பக்கங்களுக்குச் செங்குத்தாகுக. அச்சதுரத்தின் பக்கம் 20 ஆகுக.
9 என்ற விசை 9.a என்னுந் திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணை யோடு சேர்ந்து OY வழியே தாக்குகின்ற விசை 9 இற்குச் சமன்.
3 என்ற விசை 3.a என்னுந் திருப்புதிறனுடைய ஓர் இணை யோடு சேர்ந்து OY வழியே தாக்குகின்ற விசை - 3 இற்குச் சமன்.
5 என்ற விசை -5.க என்னுந் திருப்பு திறனுடைய ஓர் இணை , யோடு சேர்ந்து 0X வழியே தாக்குகின்ற விசை 5 இற்குச் சமன்.
1 என்ற விசை 1.0 என்னுந் திருப்புத்திறனுடைய ஒரு இணையோடு சேர்ந்து OX வழியே தாக்குகின்ற விசை 1 இற்குச் சமன்.
எனின், விளையுளிணையினது திருப்புதிறன் 9a + 3a - 5a + 1.a, அதாவது 8.a. 0X வழியே தாக்குகின்ற கூறு 6 ஆயும் OY வழியே தாக்குகின்ற கூறு 6 ஆயும் இருக் கும்.
எனின், விளையுள் விசை AB என்னும் பக்கத்திற்கு 450 இற் சாய்ந்த 6/2 இறா. நிறையாகும்.
பயிற்சி XIII. 1. ஒரு சதுரமானது 2, 4, 6, 8 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகளால் ஓரொழுங்கில் எடுத்த அதனுடைய பக்கங்கள் வழியே தாக்கப்படுகின்றது ; விளையுள் விசை அச்சதுரத்தின் மையத்தினூடாகச் சென்றால், விளையுள் விசையையும் இவ்விசைகளின் விளையுள் இணையையும் காண்க.

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
103
2. ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; DA, AB, BC, CD, DB என்பன வழியே P, 3 P, 5P, 7P, 9y2 P என்பனவற்றிற்குச் சமமான விசைகள் தாக்குகின்றன ; அத்தொகுதிக்கு ஒருமித்துச் சமமாய் A யிற் கூடாகச் செல்கின்ற விசையையும் இணையையும் காண்க .. - 3. ஓரொழுங்கான அறுகோணிப் பக்கங்கள் AB, BC CD DE, EF, FA என்பன வழியே 1, 2, 3, 4, 5, 6 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகள் தாக்குகின்றன . அத்தொகுதிக்கு ஒருமித்துச்சமமாய் A யிற் கூடாகச் செல்கின்ற விசையையும் இணையையும் காண்க.
4. 10 இறா. நிறைக்குச் சமமான ஒரு விசையும் 2 அங்குல இடைத்தூரத்தில் ஒவ்வொன்றும் 4 இறா. நிறைக்குச் சமமாயுள்ள இரு விசைகளாலாய ஓர் இணையும் நிலைபற்றித் தரப்பட்டால், அவற்றிற்குச் சமனான தனி விசையை வரைக.
விகாரப்படுத்திய பொருள். 90. ஒரு பொருளினுடைய ஒன்று, அல்லது ஒன்றின் மேற்பட்ட புள்ளி கள் நிலையாயிருந்தால், அப்பொருள் விகாரப்பட்டதெனப்படும். உதாரண ,மாக ஒரு குண்டுக்குழியால் ஒரு சுவரிலே தொடுக்கப்பட்ட ஒரு கோலுக்கு" ஒரு நிலையான புள்ளி உண்டு ; ஆதலால், அக்கோல் விகாரப் பட்டிருக்கின்றது.
விறைப்பான ஒரு பொருளுக்கு A, B என்னும் இரு நிலையான புள்ளி கள் உண்டெனின், AB என்னுங் கோட்டிலுள்ள அப்பொருளினுடைய புள்ளிகள் எல்லாம் நிலையானவை; அப்பொருள் இயங்கக்கூடிய ஒரே வழி AB என்பதை அச்சாகக்கொண்டு சுற்றித்திரும்புதலாலே ஏற்படும். உதாரணமாக, இரு பிணையல்களாலே கதவுநிலைக்குத் தொடுக்கப்பட்ட ஒரு கதவு அப்பிணையல்களைத் தொடுக்குங் கோடுபற்றியே திரும்பக்கூடும்.
ஒரு பொருளுக்கு மூன்று புள்ளிகள் நிலையானவை யெனின், அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையாவிடின், அப்பொருள் இயங்கக் கூடியதன்று என்பது தெளிவு.
நாம் ஆராயும் தனி வகைகள் (1) அப்பொருளுக்கு நிலையான ஒரு புள்ளி இருக்க, அப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற ஒரு தளத்திற் கிடக்கின்ற ஒரு விசைத் தொகுதியாலே அப்பொருளானது தாக்கப்படுகின்ற ஒரு வகை யும் (2) அப்பொருளானது தன்கண்ணுள்ள ஒரு நிலையான அச்சுப் பற்றியே இயங்கக் கூடியதாயிருக்க, அவ்வச்சிற்குச் செங்குத்தான திசை களிலே ஒரு விசைத்தொகுதியினால் அப்பொருளானது தாக்கப்படுகின்ற ஒரு வகையுமாகும்.
91. விறைப்பான ஒரு பொருளுக்கு நிலையான ஒரு புள்ளி இருக்க, அப்பொருள் அப் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற ஒரு தளத்திலேயுள்ள ஒரு விசைத்தொகுதியினாலே தாக்கப்படும் போது, அந்நிலையான புள்ளிபற்றி விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக்
கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாயின், அப்பொருள் சமநிலையில் இருக்கும்.
ஒரு பொருளுக்கு (பிரிவு 85, உ-ம். 4 இற்போல) ஒரு புள்ளி A என்பது நிலையாய் இருக்கும்போது, அப்புள்ளியில் யாதுமொரு விகாரப்படை F என்பது தந்த விசைத்தொகுதியோடு சேர்ந்து சமநிலையில்

Page 60
104
நிலையியல்
இருக்கும்படி உஞற்றப்படல் வேண்டும். எனின், பிரிவு 83 இல் உள்ள சமநிலை நிபந்தனைகள் பொருந்தல் வேண்டும்.
செங்கோணங்களிலுள்ள இரு திசைகள்வழியே துணித்தால், " என்னும் விசையினுடைய பருமனையும் திசையையும் துணிதற்கு இரு சமன்பாடுகள் எமக்கு உளவாகும்.
எல்லா விசைகளுக்கும் A பற்றித் திருப்புதிறன் எடுத்தால், விசை F என்பது (அது A யினூடாகச் செல்கின்றமையால்) எங்கள் சமன்பாட்டில் வராது ; எனின், பிரிவு 83 இல் உள்ள திருப்புதிறன்களின் சமன்பாடு A பற்றி எடுக்கின்ற அந்தந்த விசைத்தொகுதியினுடைய திருப்புதிறன் களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகுமென்பதை உணர்த்தும் ஒரு சமன்பாடாகும்.
எனின், ஒரு பொருளின் சமநிலைக்கு (விகாரப்படை F என்பதைக் காணவிரும்பினாலன்றி) அந்நிலையான புள்ளி A பற்றி எடுக்கும் விசை களுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சிய" மாகும் என்றே நாம் கூறல் வேண்டும்.
92. உ-ம். AB என்னும் ஒரு கோலுக்கு A என்னும் ஒரு முனை நிலையாயுள்ளது ; அது தனக்கு 300 இற் சாய்ந்த ஒரு திசையில் B யிலே தாக்குகின்ற 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாற் கிடை நிலையில் வைக்கப்படுகின்றது ; அக்கோல் 4 அடி நீளமுள்ளதாயும் ஏகவினமானதாயுமிருந்தால், அதன் நிறையைக் காண்க.
A பற்றி எடுக்கும் அந்நிறையின் திருப்புதிறன் A பற்றி எடுக்கும் அவ்விசையின் திருப்புதிறனுக்குச் சமனாதல் வேண்டும்.
W என்பது அந்நிறையாயின், முன்னதாகிய திருப்புதிறன் Wx2 ஆயும் பின்னது 10x4 சைன் 30° ஆயுமிருக்கும்.
: 2W =10x4 சைன் 30° =20.
: W = 10 இறா. நிறை. 93. விறைப்பான ஒரு பொருளுக்கு ஓரச்சு நிலையாயிருக்க, அப்பொருள் இவ்வச்சிற்குச் செங்குத்தாகிய திசைகளிலேயுள்ள விசைகளாலே தாக்கப்படும்பொழுது, அந்நிலையான அச்சுப்பற்றி விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமானால், அப்பொருள் சமநிலையில் இருக்கும்.
(ஒரு விசை தந்தவோரச்சுக்குச் செங்குத்தாயிருந்து அதனைச் சந்தியாதிருந்தால், அவ்வச் சுப்பற்றி எடுக்கும் அதனுடைய திருப்புதிறன் அவ்விசையை அவ்வச்சுக்கும் விசைக்கும் இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கமாகும்.)
P| AP
நட்* - B
1 -

Page 61
106
நிலையியல்
மேசையினது நிறையும் EF பற்றிச் சம் திருப்புதிறன்கள் உடையனவாகும்பொழுது அது மட்டாகத் திரும்பும் நிலையில் இருக்கும்.
இனி, அந்நிறையானது வில் AB யின் மையம் M இல் வைக்கப்படும்பொழுதே அந்நிறைக்கு மிகப்பெரிய விளைவு உண்டு என்பது தெளிவு.
OM ஆனது AB யை L இற் சந்திக்கட்டும் ; ஐ என்பது வேண்டிய நிறையாகுக. இனி, FE பற்றித் திருப்புதிறன் எடுத்தால், AB பற்றி எடுத்தலுக்குச் சமன். அவ்வாறு எடுக்க, நாம் பெறுவது
2. LM = 80. OL. ஆனால், LM = OM - OL=OA - OA கோசை 45°
=oa (1-2) ஃ (1) 04 = 80. 0L=60. ... 04.
OA = 80. OL= 80. -
80
ஃ 0=-=80 (V2+1)
/2 -1 °° (V4+4)
=193.1 இறா. நிறை. 95. தேற்றம். ஒரு பொருளின் மீது தாக்குகின்ற மூன்று விசைகள் அதனைச் சம நிலையில் வைத்திருக்குமாயின், அவை ஒருதளத்திற் கிடத்தல் வேண்டும்.
அம்மூன்று விசைகளும் P, Q, R ஆகுக. P,, Q, என்பன முறையே P, Q என்பனவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகளிலுள்ள எவையேனும் இரு புள்ளிகளாகுக.
அவ்விசைகள் சம நிலையில் இருப்பதால், அவை ஒருமித்து அப்பொருளை PQ1 என்னுங் கோடு பற்றித் திருப்புதற்குக் காரணமாகா. ஆனால் P, Q என்னும் விசைகள் இக்கோட்டைச் சந் திக்கின்றன ; ஆகவே, அவை அப்பொருளை Pl, Q) என்னுங் கோடு பற்றித் திருப்புதற்குத் தனித் தனி காரணமாகா. எனின், மூன்றாம் விசை R உம் P| Q1 என்பது பற்றித் திருப்புதற்குக் காரணமாதல் கூடாது.
ஆகவே, P, Q, என்னுங் கோடு R ஐச் சந்தித் தல் வேண்டும்.
அதுபோல், Q2, Q: ....... என்பன Q வினது தாக் கக் கோட்டிலுள்ள பிற புள்ளிகளாயின், கோடுகள் P, 22, P Q....... என்பன R ஐச் சந்தித்தல் வேண்டும்.
எனின், R ஆனது P1 இற்கும் Q வினது தாக்கக் கோட்டிற்கு மூடாகச் செல்லும் தளத்திற் கிடத்தல் வேண்டும்; அதாவது Q, R என்பன

சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள்
1017
வற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகள் P, இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு தளத்திலே கிடத்தல் வேண்டும்.
ஆனால், P, என்பது P யினது தாக்கக் கோட்டிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளி ; எனின், மேலுள்ள தளம் P யினது தாக்கக் கோட்டிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ;
அதாவது அது P யினது தாக்கக் கோட்டைக் கொள்ளும். கி. தே. பிரிவு 77 இல் இருந்து அம்மூன்று விசைகளும் ஒரு புள்ளி யிலே சந்தித்தலும், அல்லது சமாந்தரமாயிருத்தலும் வேண்டும் என்பது
இப்போது பெறப்படுகின்றது.
பயிற்சி XIV. 1. சதுரவடிவான சீரான தட்டொன்று தன்னுடைய உச்சிகளுள் ஒன்றிலே தூக்கப்படுகின் றது ; அத்தட்டின் நிறையின் அரைப்பங்குக்குச் சமனான ஒரு நிறை அச்சதுரத்தின் அடுத்துள உச்சியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது. அத்தட்டுச் சமநிலையை அடையும் போதுள்ள நிலையைக் காண்க.
2. 2a ஆரையையும் 3டி உயரத்தையும் உடைய ஒரு நிலைக்குத்துப் பொள்ளுருளை ஒரு கிடைமேசைமீது கிடக்க, சீரான கோலொன்று அடியின் பரிதிமீது தன் கீழ் முனை கிடக்கு மாறு அவ்வுருளைக்குள்ளே வைக்கப்படுகின்றது ; அக்கோலின் நிறை அவ்வுருளையின் நிறைக்குச் சமனாயின், அக்கோல் அவ்வுருளையை மட்டாகக் கவிழ்ப்பதற்கு எவ்வளவு நீளமுள்ளதாய் இருத்தல் வேண்டும் ?
3. தன் நீளம் 6 ஆயும் அடியின் விட்டம் C ஆயுமுள்ள ஓர் உருளை மேற்புறம் திறந்ததாய் ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது ; சீரான கோலொன்று அவ்வுருளைக்குள்ளே ஒரு பகுதி அதனோடு மேல்விளிம்பிலுங் கீழ்லிளிம்பிலுந் தொட்டுக்கொண்டு இருக்குமாறு கிடக்கின்றது ; அவ்வுருளையினது நிறை அக்கோலினது நிறையின் 0 மடங்கெனக் கொண்டு, அவ்வுருளை விழத்தொடங்கும் கணத்தில் அக்கோலின் நீளத்தைக் காண்க.
4. ஒரு சதுர மேசை தன்னுடைய பக்கமையங்களில் முறையே அமைந்துள்ள நான்கு கால்களிலே நிற்கின்றது ; அதனுடைய மூலைகளுள் ஒன்றில் அதனைக் கவிழ்க்காது வைக்கத்தக்க மிகப் பெரிய நிறையைக் காண்க.
5. ஒரு வட்ட மேசை தன் விளிம்பிலுள்ள மூன்று சமதூரமான நிறையில் கால்களிலே நிற்க, ஒரு மனிதன் , ஒரு காலுக்கெதிராக அதன் விளிம்பின்மீது இருக்கின்றான். அது மட்டாகக் கவிழ்ந்து அதன் விளிம்பின்மீதும் இரு கால்களின்மீதும் விழுகின்றது. பின் அவன் அதன் மிகவுயர்ந்த புள்ளியிலிருந்து மறுபடியும் அதனை மட்டாக நிமிரச் செய்கிறான். அம்மேசையின் ஆரை ஒரு காலினது நீளத்தின் V2 மடங்கெனக் காட்டுக.
6. வட்ட வடிவான மேசையொன்று 10 இறா. நிறையுள்ளது; அதற்குப் பரிதியில் ஒன்றுக் கொன்று சமதூரமான மூன்று புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்ட மூன்று நிலைக்குத்துக் கால்கள் உண்டு ; அம்மேசை விளிம்பிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியில் எந்த மிகக் குறைந்த நிறையை வைத்தால் அதனை மட்டாகக் கவிழ்க்குமெனக் காண்க.
7. நாலுகாற் சதுர மேசை ஒன்று ஒரு காலை இழந்துவிட்டது ; அம் மேசையினது நிறைக்குச் சமனான ஒரு நிறையை அம்மேசையில் எவ்விடத்தில் வைத்தால், அம்மேசை யினுடைய மீந்திருக்குங் கால்களின் மீதுள்ள அமுக்கங்கள் சமமாகும் ?
8. 20 இறா. நிறையுள்ள ஒரு சதுர மேசைக்கு அ|தனுடை ய பக்க மையங்களிற் கால்கள் உண்டு ; ஒவ்வொன்றும் அம்மேசையினது நிறைக்குச் சமமான மூன்று சம நிறைகள்


Page 62
108
நிலையியல்
அக்கோணப் புள்ளிகளுள் மூன்றில் வைக்கப்படுகின்றன. சம நிலை ஓம்பப்படும்வண்ணம் நாலாம் மூலையில் வைக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய நிறை என்ன ?
9. சீரான தடிப்பையும் 2 என்னும் நிறையையும் உடைய வட்ட உலோகத் தட்டொன்று தன் பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது. அதன் விளிம்பிற் சுற்றிய ஓரிழை ற என்னுமொரு நிறையைக் காவுகின்றது. அத்தூக்கும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற விட்டம் நிலைக்குத்தோடு ஆக்குங் கோணத்தைக் காண்க.
10. 0W என்னும் நிறையுடைய ஒரு சீர் வட்டத் தட் டொன்றுக்கு அதன் விளிம்பிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்ட W என்னும் நிறையுள்ள ஒரு துணிக்கை உண்டு. அத்தட்டுத் தன் விளிம்பிலுள்ள A என்னும் புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்பட்டால், B என்பது மிகத் தாழ்ந்த புள்ளியாகும். - அத்தட்டின் மையத்தில் AB யினால் எதிரமைக்கப்படும் கோணம் 2 சீக- 12(m+1) எனக் காட்டுக.
11. பாரமான கிடை வட்ட வளையமொன்று தன் பரிதியிலுள்ள A, B, C என்னும் புள்ளிகளிலே மூன்று தாங்கிகளின் மீது கிடக்கின்றது. அதன் நிறையும் முக்கோணி ABC யினுடைய பக்கங்களுங் கோணங்களும் தரப்பட்டால், அத்தாங்கிகளுடைய மறுதாக்கங்களைக் காண்க.

' அதிகாரம் IX
புவியீர்ப்பு மையம் 96. ஒவ்வொரு துணிக்கையும் புவியின் மையத்திற்குக் கவரப்படுகின் றது; யாதுமொரு துணிக்கையைப் புவி கவரும் விசை, நாம் இயக்க வியலிற் காண்பதுபோல், அத்துணிக்கையினது திணிவிற்கு விகிதசமம். எப்பொருளும் ஒரு துணிக்கைத் திரட்டென்று கொள்ளலாம்.
4
புவியோடு ஒப்பிட அப்பொருள் சிறிதாயின், அதனுடைய கூற்றுத் துணிக்கைகளைப் புவிமையத்தோடு தொடுக்குங் கோடுகளானவை மிக்க அண்ணளவாகச் சமாந்தரமாகும் ; இந்நூலின் எல்லைகளுக்குள் அவற்றை அறச்சமாந்தரமெனக் கொள்வோம்.
ஆகவே, விறைப்பான ஒரு பொருளின் ஒவ்வொரு துணிக்கையிலும் நாம் அதன் நிறையெனக் கூறும் ஒரு விசை நிலைக்குத்தாகக் கீழ்முக மாகத் தாக்குவதுண்டு.
சமாந்தரமான விசைகளைக் கூட்டும் செய்கையால் (பிரிவு 52) இவ் விசை களை, அப்பொருளில் ஒரு குறித்த புள்ளியிலே தாக்குவனவாயும் அத் துணிக்கைகளுடைய நிறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாயும் உள்ள ஒரு தனி விசையாகக் கூட்டலாம். அத்தகைப் புள்ளி அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் எனப்படும்.
புவியீர்ப்பு மையம். வரை. ஒரு பொருளினது, அல்லது விறைப்பாக ஒருமித்துத் தொடுக்கப்பட்ட ஒரு துணிக்கைத் தொகுதியினது புவியீர்ப்பு மையம் அப்பொருள் எந்நிலையில் வைக்கப்பட்டாலும் அப்பொருளினது நிறையினுடைய தாக்கக்கோடு எப்போ தும் செல்கின்ற புள்ளியாகும். 197. ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் அல்லது விறைப்பாகத் தொடுக்கப்பட்ட துணிக்கைத்
தொகுதிக்கும் ஒரு புவியீர்ப்பு மையம் உண்டு.
- B
2 6: 62 :
5
A, B, C, D என்பன ய1, 02, 2013, 04 ... என்பனவற்றைத் தம் நிறைகளாக உள்ள துணிக்கைகளின் ஒரு தொகுதி என்க.
AB என்பதைத் தொடுத்து அதனை AG, : GB: : : ய, : 10) ஆகும்படி G, இற் பிரிக்க.


Page 63
110
நிலையியல்
ஆயின், A, B என்பவற்றிலே தாக்குகின்ற ய1, 0, என்னுஞ் சமாந்தர விசைகள், பிரிவு 52 இன்படி 6 இலே தாக்குகின்ற (0, +w.) என்னும் ஒரு விசைக்குச் சமம்.
G, C யைத் தொடுத்து அதனை G, G, : G.C :: 0 : 01 +0, ஆகும் படி G2 இற் பிரிக்க ; ஆயின், G, C என்பனவற்றிலே தாக்குகின்ற (0, +0), ய, என்னுஞ் சமாந்தர விசைகள் G, இலே தாக்குகின்ற (w + ய, +w) என்னும் விசைக்குச் சமம்.
எனின், ய, , , , ய, என்னும் விசைகள் விளையுள் மாற்றுப்படாமல் , இற் பிரயோகிக்கப்படுவன எனக் கொள்ளப்படலாம்.
அதுபோல், G, D என்பதை GG, : 3ெ D : : 4 : ய, +w, +03 ஆகும் படி G3 இற் பிரிக்க , A, B, C, D என்பனவற்றிலுள்ள நான்கு நிறை களின் விளையுள் G, இலே தாக்குகின்ற ய - w, - 03 +0, என்னும் ஒரு நிலைக்குத்து விசைக்குச் சமனெனக் காண்கின்றோம்.
இவ்வாறு செல்ல, யாதுமொரு பொருளை அமைக்கும் எத்தொகைத் துணிக்கைகளுடைய நிறைகளும் விளைவு மாற்றுப்படாமல் அப்பொருளில் ஒரு புள்ளியிற் பிரயோகிக்கப்படுவனவாகக் கொள்ளப்படலாம்.
98. சமாந்தர விசைகளின் விளையுளது நிலையைக் காண்பதற்குரிய அமைப்பு அவ்விசைகளுடைய திசைகளிலே தங்காது பிரயோகப் புள்ளி யிலும் பருமனிலுமே தங்குகின்றமையால், அப்பொருள் யாதுமொரு" கோணத்திற்கூடாகத் திருப்பப்பட்டாலும் நாம் ஈற்றில் அடையும் புள்ளி ஒரே புள்ளியாகும்; அதற்குக் காரணம் அப்பொருட் பகுதிகளுடைய நிறைகள் அவ்விரு நிலைகளிலும் அப்பொருளை நோக்க ஒரே திசையில்
இல்லாத போதிலும் இன்னும் சமாந்தரம் என்பதே.
எனின், ஒரு பொருளுக்கு ஒரு புவியீர்ப்பு மையமே இருக்கக்கூடுமென நாம் காட்டலாம். இயலுமாயின், அதற்கு G, G என்னும் இரு புவி யீர்ப்பு மையங்கள் உண்டென்க. வேண்டியதாயின், அப்பொருள் GG, கிடை யாகும் வரைக்குந் திருப்புப்படட்டும். ஆயின், G, G, என்னும் இரண்டிற்கு மூடாகத் தாக்குகின்ற ஒரு நிலைக்குத்து விசைத் தொகுதியின் விளையுள் எமக்குக் கிடைக்கும். ஆனால், விளையுள் விசை கட்டாயமாக நிலைக்குத்தாக இருத்தலால் GG என்னும் கிடைக்கோட்டிலே தாக்க இயலாதிருக்கும். எனின், அப்பொருளுக்கு ஒரு புவியீர்ப்பு மையமே இருக்கக்கூடும். ,
99. அப்பொருளினுடைய கூற்றுப் பகுதிகளினுடைய நிறைகளெல்லாம் மிக அண்ணள வாகச் சமாந்தரமெனக் கொள்ளப்படும்படியான அளவிற்கு அப்பொருள் சிறிதன்றெனின், அதற்குக் கட்டாயமாக ஒரு புவியீர்ப்பு மையம் உண்டென்பதில்லை.
எனினும், எவ்விதத்திலும் பிரிவு 97 இல் உள்ள அமைப்பினாலே நாம் அடையும் பொருளின் புள்ளிக்கு மிக முக்கியமான பண்புகள் உண்டு ; அப்புள்ளி அப்பொருளினது திணிவு மையம், அல்லது சடத்துவ மையம் எனப்படும். அப்பொருள் சீரான அடர்த்தியோ டிருந்தால், அதனுடைய திணிவு மையம் அதன் மையப்போலியோடு பொருந்தும்.

புவியீர்ப்பு மையம்
111
100. இனி, எளிய வடிவங்களையுடைய சில பொருள்களின் புவியீர்ப்பு மையத்தைத் துணிவோம்.
I. சீரான கோல்.
AB என்பது சீரான கோலொன்றாகுக; G என்பது அதன் மைய மாகுக.
அக்கோலில் G, A என்பனவற்றிற் கிடையே P யையும் GB யில் ஒரு புள்ளி Q வையும், GQ - GP ஆகும்படி எடுக்க .
P, Q என்பனவற்றிலுள்ள சம் துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையம் G என்பது தெளிவு ; அன்றியும் G, A என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ஒவ்வொரு துணிக்கைக்கும் G, B என்பனவற்றிற்கு இடையே G யில் இருந்து சமதூரத்தில் ஒரு சம் துணிக்கை உண்டு.
இத்துணிக்கைச் சோடிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் புவியீர்ப்பு மையம் G யில் இருக்கும் ; ஆகவே, அம்முழுக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் G யில் இருக்கும்.
ம ம
101. II. சீரான இணைகரம். ABCD என்பது ஓர் இணைகரமாகுக ; E, F என்பன AD, BC என்பனவற்றினுடைய மையங்களாகுக.
AD யிற்குச் சமாந்தரமான கோடுகளால் அவ்விணைகரத்தை ஒரு மிகப் பெரிய தொகைக் கீலங்களாகப் பிரிக்க . PR, QS
டவுட்* என்பன அடுத்துவரும் யாதுமொரு சோடியாகுக. ஆயின், PQSR என்பது தன் 8புவியீர்ப்பு மையம் தனது நடுப்புள்ளி . இல் உள்ள சீரான நேர் கோடெனக் கொள்ளப்படலாம்.
அவ்வாறே, ஏனைக் கீலங்களெல்லாவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையமும் EF இற் கிடக்கும் ; எனின், முழுவுருவத்தின் புவியீர்ப்பு மையமும் EF இற். கிடக்கும்.
அவ்வாறே, AB யிற்குச் சமாந்தரமான கோடுகளால் அவ்விணைகரத் தைப் பிரித்தலால், புவியீர்ப்பு மையமானது AB, CD என்பனவற்றி னுடைய மையங்களைத் தொடுக்கும் கோட்டிலே கிடக்குமெனக் காண் கின்றோம்.


Page 64
112
நிலையியல்
எனின், புவியீர்ப்பு மையம் இந்த இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளி G யில் இருக்கும்.
G என்பது அவ்விணைகரத்தினுடைய மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி என்பதும் தெளிவு.
102. சீரான பொருள் ஒன்றிலே தன்னைப்பற்றிச் சமன் செய்யப்படுந் துணிக்கைச் சோடிகளாக அப்பொருள் பிரிக்கப்படத்தக்கதாக ஒரு புள்ளி G என்பது காணப்படின், G ஆனது அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் என்பது முந்திய இரு பிரிவுகளின் வழியிலிருந்து தெளிவாகும்.
ஆகவே, சீரான வட்டமொன்றின், அல்லது சீரான கோளமொன்றின் புவியீர்ப்பு மையம் அதன் மையமாகும்.
தம் புவியீர்ப்பு மையங்களெல்லாம் ஒரு நேர்கோட்டிற் கிடக்கின்ற லேங்களாக ஒரு தகட்டை நாம் பிரிக்கக்கூடுமாயின், அத்த்கட்டின் புவி யீர்ப்பு மையம் அக்கோட்டில் இருக்க வேண்டும் என்பதும் தெளிவு.
அதுபோல, புவியீர்ப்பு மையங்கள் ஒரு தளத்திற் கிடக்கின்ற பகுதிகளாக ஒரு பொருள் பிரிக்கப்படக்கூடுமாயின், அம்முழுப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் அத்தளத்திற் கிடத்தல் வேண்டும்.
6,'' -',
A.
103. II. சீரான முக்கோணி அடர். ABC என்பது அம்முக்கோணி அடராகுக ; D, E. என்பன BC, CA என்னும் பக்கங்களுடைய மையங்களாகுக. AD, BE என்பனவற்றைத் தொடுக்க ; அவை G யிற் சந்திக்கட்டும். ஆயின், G என்பதே அம்முக் கோணியின் புவியீர்ப்பு மையமாகும்.
B, C, என்பது BC யிற்குச் சமாந்தரமாய் AD என்பதை D இல் வெட்டுகின்ற யாது மொரு கோடாகுக.
இணைகரத்திற் போல், B, C, என்பதைப் போன்று எல்லாம் BC யிற்குச் சமாந்தரமாயுள்ள மிகப் பெருந் தொகைக் கீலங்களால் அம் முக் கோணி ஆக்கப்பட்டுள்ளதெனக் கொள்ளலாம்.
B,C,, BC. என்பன சமாந்தரமாகையால், முக்கோணிகள் AB,D., ABD என்பன இயல்பொத்தவை ; அவ்வாறே முக்கோணிகள் AD,C,, ADC என்பனவும் இயல்பொத்தவை.
B,D, AD, D, C, எனின்,
BD = AD= D0. ஆனால், BD=DC ; ஆகவே, B,D,=D,C, எனின், B,C, என்னும் லேத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் AD யிற் கிடக்கும்..

புவியீர்ப்பு மையம்
113
அவ்வாறே, எனைக் கீலங்கள் - எல்லாவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களும் AD யிற் கிடக்கும் ; எனின், அம்முக்கோணியின் புவி யீர்ப்புமையம் AD யிற் கிடக்கும். ' BE யைத் தொடுக்க ; அது AD யினை G யிற் சந்திக்கட்டும்.
AC யிற்குச் சமாந்தரமான கீலங்களாக அம் முக்கோணியைப் பிரித் தலால், புவியீர்ப்பு மையம் BE யிற் கிடக்குமென்பதை முன்போலக் காண்போம்.
எனின், வேண்டிய புவியீர்ப்பு மையம் G யிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
D என்பது BC யின் மையமாதலாலும் E என்பது CA யின் மையமாத லாலும் DE என்பது AB யிற்குச் சமாந்தரம்.
எனின், முக்கோணிகள் CDE, GAB என்பன இயல் பொத்தவை,
GD DE CE 1
' GA =AB=CA=2 ஆயின், 2GD=GA; 3GD= GA+GD= AD.
: GD= AD. எனின், ஒரு முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையம் யாதுமொரு பக்கத்தின் மையத்தை எதிருச்சிக்குத் தொடுக்குங் கோட்டின்மீது அப்பக்கத்திலிருந்து அவ்வுச்சியினது தூரத்தின் மூன்றிலொரு பகுதிக்குச் சமனான தூரத்தில் இருக்கும்.* - 104. சீரான முக்கோணித் தகடுகளுள் எதன் புவியீர்ப்பு மையமும் அம்முக்கோணி உச்சிகளில் வைத்த மூன்று சம துணிக்கைகளின் மையத்தோடொன்றும்.
பிரிவு 103 இல் உள்ள படத்தை எடுக்க ; B, C என்பனவற்றில் ஒவ்வொன்றும் 4 விற்குச் சமனான இரு சம் துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு' மையம் BC யின் மையமாகிய D யில் இருக்கும் ; அன்றியும் D யில் உள்ள 2ம , A யில் உள்ள 10 என்பனவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம் DA என்னுங் கோட்டை 1:2 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும். ஆனால், அத்தகட்டின் புவியீர்ப்பு மையமாகிய G என்பது DA யை .1 : 2 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும்.
எனின், அம்மூன்று துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையம் அத்தகட்டினது புவியீர்ப்பு மையத்தோடு ஒன்றும்.
105. IV. ஒரு முக்கோணியை ஆக்கும் மூன்று கோல்கள். BC, CA, AB என்பன ஒரே தடிப்பையும் செய்பொருளையும் உடையனவாய் அம்முக் கோணியை ஆக்கும் மூன்று கோல்களாகுக; D, E என்பன அக்கோல்களுடைய மையங்க ளாகுக. DE, EF, FD என்பனவற்றைத் தொடுக்க. DE, EE, FD என்பன முறையே AB, BC, CA என்பனவற்றினுடைய அரைப் பங்குகளென்பது தெளிவு. அம்மூன்று கோல்களுடைய புவியீர்ப்பு மையங்கள் D, E, F என்பனவாகும்.
ஆகவே, AB, AC என்னும் கோல்களின் புவியீர்ப்பு மையம் EF இன்மீது


Page 65
114
நிலையியல்
EL :LF :: F இலுள்ள நிறை : E யிலுள்ள நிறை.
:: AB : AC.
:: DE : DF, ஆகவுள்ள L என்னும் ஒரு புள்ளியாகும். ஆயின், கேத்திரகணித்த்தால், DL என்பது FDE என்னும் கோணத்தை இரு கூறிடும். அன்றியும், அம்மூன்று கோல்களின் புவியீர்ப்பு மையம் DL இற் கிடத்தல் வேண்டும். அதுபோல், புவியீர்ப்பு மையம் கோணம் DEF என்பதை இருகூறிடும் EM இலும் கிடத்தல் வேண்டும்.
எனின், வேண்டிய புள்ளி EM, DL என்பன சந்திக்கும் புள்ளியாகும் ; ஆகவே, அது ) DEF என்னும் முக்கோணியின் உள்வட்ட மையமாகும் ;
அதாவது, அக்கோல்களின் மையங்களைத் தொடுப்பதால் ஆகும் முக்கோணியின் உள்வட்ட மையமாகும்.
106. V. நான்முகி. ABCD என்பது ஒரு நான்முகி ஆகுக ; E என்பது AB யின் மைய மாகுக; G, என்பது அடி ABC யின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக.
B12.16
Gl>>
ABC யிற்குச் சமாந்தரமான அந்நான்முகின் யாது மொரு வெட்டுமுகம் A' B' (' என்பதை எடுக்க ; DE ஆனது A'B' என்பதை E' இலும் DG என்பது E'C' என்பதை G' இலுஞ் சந்திக்கட்டும்.
E G DG' ஆயின், ஈ =n, இயல்பொத்த முக்கோணிகள் DE'G', DEG, என் பனவற்றால்,
CG' = 0, இயல்பொத்த முக்கோணிகள் DG'C', DGC, என்பவற்றால் ;

புவியீர்ப்பு மையம்
115
எனின், G' என்பது A'B'C' என்னும் வெட்டுமுகத்தின் புவியீர்ப்பு, மையம்.
அந்நான்முகி அடி. ABC யிற்குச் சமாந்தரமான முக்கோணிகளால் ஆக்கப்பட்டதெனக் கொள்வதால் ஒவ்வொரு முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையம் DG, என்னும் கோட்டில் இருக்கின்றமையால், அம்முழுத் திண்மத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் DG , என்பதிற் கிடக்குமென்பது பெறப்படும்.
அதுபோல், புவியீர்ப்பு மையம் எதிர்முகத்தின் Gெ, என்னும் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கு C யைத் தொடுக்கும் கோட்டிற் கிடக்குமென்றும் காட்டலாம். அன்றியும், G, என்பது ED என்னும் கோட்டிற் கிடந்து அதனை 1 : 2 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கின்றது.
எனின், G என்னும் வேண்டிய புள்ளி CG2, DG, என்பன ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளியாகும். 4.1
G, G, ஐத் தொடுக்க.
G, G G, G,
G,G G,G, - , , , , , - , 800 am என்பன ஆம்'00: GC - DC > இயம்
, இயல்பொத்த A கள் GGG, GCD என்பன வற்றால்,
EG,
=ா, இயல்பொத்த Aகள் EG, G2, ECD என்பனவற்றால்,
= {.
GC = 3. GG ;
: G.C=4.G.G. அதுபோல், பதிப்பு
ஆஆ G, D = 4G G . எனின், அக்கூம்பகத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் யாதுமொரு முகத்தின் புவியீர்ப்பு மையத்தை அந்நான்முகியின் எதிர்க்கோணப் புள்ளிக்குத் தொடுக்கும் கோட்டின்மீது அம்முகத்திலிருந்து அக்கோணப் புள்ளியிருக்கும் தூரத்தின் காற்பங்குக்குச் சமனான தூரத்திற் கிடக்கும்.
6-R 6764 (0/85)


Page 66
t16
நிலையியல்
கி, தே. ஒரு நான்முகியின் புவியீர்ப்பு மையம் அதனுடைய உச்சி வைக்கப்பட்ட சமதுணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையத்தோடு ஒன்றும் இதனை நிறுவுவோம் :-
ஒரு முக்கோணியின் கோணப் புள்ளிகள் A, B, C என்பன வைக்கப்பட்ட ய என்னுஞ் சம் துணிக்கைகள் பிரிவு 104 இன்பம் மின் புவியீர்ப்பு மையம் G, இல் வைக்கப்பட்ட 30 என்னும் நி சமம். அன்றியும், G என்பது G,D என்பதை 1: 3 6 விகிதத்திற் பிரிக்கின்றமையால், G, இல் உள்ள 3ல என்பதும் உள்ள w என்பதும் G யில் உள்ள 4 விற்குச் சமம்.
107. VI. யாதுமோரடியிலுள்ள கூம்பகம். திண்மக் கூம்பு.
முந்திய பிரிவிலுள்ள கூம்பகத்தின் அடி, ஒரு முக்கோணியாகா என்பதைத் தன் புவியீர்ப்புமையமாகவுடைய யாதுமொரு தள ABCLMN ....... ஆயின், புவியீர்ப்பு மையம் D என்பதை G.. தொடுக்குங் கோட்டில் இருக்க வேண்டும் என்பதை ஒத்த நிறுவல் யாற் காட்டலாம்.
அன்றியும், தளங்கள் DAG1, DBG....... என்பனவற்றை வரை தம் புவியீர்ப்பு மையங்களெல்லாம் ABCL............ என்பதற்குச் ச மான ஒரு தளத்தின்மீது D யில் இருந்து பின்னதாகிய தளம் இ தூரத்தின் முக்காற்பங்கு தூரத்திற் கிடக்கின்ற முக்கோணி - யுடைய ஒரு தொகைக் கூம்பகங்களாக முழுக் கூம்பகமும் பிரிக்கப்
எனின், முழுக் கூம்பகத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் G, D என்னும் டிற் கிடந்து அதனை 1:3 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும்.
இனி, அத்தள அடியினுடைய பக்கங்கள் ஒழுங்கான ஒரு பல்கே ஆக்குக; அவற்றின் தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்படுக. யாக, அத்தளவடி வட்டமாகும் ; அக்கூம்பகம் D என்பதைத் . சியாகவுள்ள ஒரு திண்மக் கூம்பாகும் ;* அன்றியும் இப்பொழுது
G, என்பது அவ்வட்ட அடியின் மையமாகும்.
எனின், ஒரு திண்ம நேர் வட்டக் கூம்பின் புவியீர்ப்பு மையம் மையத்தை உச்சிக்குத் தொடுக்கும் கோட்டின்மீது அடியிலிருந் யினது தூரத்தின் காற்பங்குக்குச் சமனான ஒரு தூரத்தில் இருக்கு
108. VII. ஒரு பொட் கூம்பின் பரப்பு. ஒரு கூம்பின் பரப்பானது அக்கூம்பின் உச்சியை அவ்வட்ட ஒன்றுக்கொன்று வரையறையின்றி அண்மையிலுள்ள புள்ளிக் தொடுத்தலாலே முடிவில் தொகை முக்கோணித் தகடுகளாகப் படக் கூடுமாதலாலும், அவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்கள்

புவியீர்ப்பு மையம்
117.
களிலே
அக் கூம்பின் அடிக்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்திலே உச்சியிலிருந்து; அடியினது தூரத்தின் மூன்றில் இரண்டு பங்கு தூரத்திற் கிடக்கின்றன: -
என்பதாலும், அம்முழுக் கூம்பின் புவியீர்ப்பு மையமும் அத்தளத்திற் வற்றில்,
கிடத்தல் வேண்டும். 1 AB( ! ஆனால், சமச்சீராற் புவியீர்ப்பு மையம் அக்கூம்பின் அச்சின்மீது கிடத் றைக்கும் "தல் வேண்டும்.
ன்னும்
எனின், வேண்டிய புள்ளி மேற்கூறிய தளம் அவ்வச்சைச் சந்திக்கும் D யில்
புள்ளியாகும் ; ஆகவே, அது அவ்வச்சின்மீது அடியிலிருந்து அக்கூம்பின் உயரத்தின் மூன்றிலொரு பங்குத் தூரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில்
இருக்கும். சது, • G|
பயிற்சி XV. வுருவம்
இற்குத் * 1. இருசமபக்க முக்கோணித் தகடு ஒன்றிற்கு 5 அடி நீளமான சமபக்கங்களும் 6 அடி 2 முறை
நீளமான அடியும் உண்டு ; ஒவ்வொரு பக்கத்தினின்றும் அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தின்
தாரத்தைக் காண்க.
2, ஒரு முக்கோணித் தகட்டினுடைய பக்கங்கள் 6, 8, 10 அடி நீளமானவை; ஒவ்வொரு தலால்,
பக்கத் தினின்றும் அதல புவியீர்ப்பு மையத்தின் தூரத்தைக் காண்க. மாந்தர
3. இருசமபக சக முக (கோ கணித M/wடொ ன்றின் 9/1டி, 4 மங். நீளமானது ; சம பக்கங்கள் இருக்கும்
ஒவவொன்றும் 7 அங். நீளமானது ; தம்முக(கோணியின் கோணப் புள்ளிகளிலிருந்து அடிகளை
புவியீர்ப்பு மையத், திணடைய 4தாரங்களைக் கா காக. படலாம்.
4. D என்பது ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் மடி. IBC யின் மையம் ; முக்கோணி ம் கோட்
ABD), ACD என்பவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களிடையே கிடக்குந் தூரங்கள் 4 BC எனக் காட்டுக.
5. பாரமான ஒரு முக்கோணித் தட்டு ABC தரைமீது கிடக்கின்றது ; புள்ளி A யிற் காணியை
பிரயோகிக்கப்படும் ஒரு நிலைக்குத்து விசை தரையிலிருந்து அவ்வுச்சியை உயர்த்தத் தொடங்கு இறுதி
தற்கு மட்டாகப் போதியதெனின், B, அல்லது C யில் அதே விசை பிரயோகிக்கப்பட்டாலும் தன்னுச்
போதியதெனக் காட்டுக. * 5 புள்ளி
6. மூன்று மனிதர் ஒரு நிறை W வை ஒப்பமான ஒரு முக்கோணிப் பலகையின் மீது வைத்து அத் தொகுதியைத் தம் தோள்களின் மீது முறையே கோணப் புள்ளிகளில் வைத்துத்
தாங்கே கொண்டு காவுகின்றார்கள் ; u என்பது அப்பலகையினது நிறையாயின், ஒவ்வொரு அடியின்
பணிதலும் தாங்கும் நிறையைக் காண்க. து உச்சி
7. ஒரு முக்கோணியின் அடி நிலையாயிருக்கின்றது ; அதன் உச்சி தந்தவொரு கோட்டின் தம். .
மீது இயங்குகின்றது ; புவியீர்ப்பு மையமும் ஒரு நேர் கோட்டின்மீது இயங்குகின்றதெனக் காட்சி,
6, ஒரு முக்கோணியின் அடி நிலையாயிருக்கின்றது; அதற்குத் தந்தவோர் உச்சிக் கோணம்
க, களம் | அம்முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையம் குறித்தவொரு வட்டத்தின் ஒரு வில்லின்மீது அடியில்
இயங்குகிறதெனாக காட்டுக. களுக்குத் பிரிக்கப்
9, தந்தவொரு நிறை ஒரு முக்கோணியின்மீது யாதுமோரிடத்தில் வைக்கப்படுகின்றது ;
அ த தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையம் ஒரு குறித்த முக்கோணிக்குள்ளே கிடக்கின்றதெனக் எல்லாம்
காட்(சு,


Page 67
118
நிலையியல்
10. ஒரு சீரான சமபக்க முக்கோணித் தட்டு அதனுடைய பக்கங்களுள் ஒன்றிலுள்ள ஒரு புள்ளியில் இணைக்கப்பட்ட ஓரிழையினாலே தூக்கப்படுகின்றது ; அப்புள்ளி அப்பக்கத்தை 2 : 1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கின்றது ; நிலைக்குத்திற்கு இப்பக்கத்தின் சாய்வைக் காண்க.
31. ஒரு செங்கோண முக்கோணி வடிவங்கொண்ட சீரான தகடொன்றின் செங் கோணத்தை அமைக்கும் பக்கங்களுள் ஒன்று மற்றைப் பக்கத்தின் மும்மடங்கு ; அம் முக்கோணி செங்கோணத்திற்கு இணைக்கப்பட்ட ஓர் இழையினாலே தூக்கப்படுகின்றது. அது சமநிலையில் இருக்கும்போது, செம்பக்கம் நிலைக்குத்திற்கு சைன் -16 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கிறதெனக் காட்டுக.
12. தன் பக்கங்கள் 3, 4, 5 அங்குல நீளமான சீரான முக்கோணித் தகடொன்று மிக நீண்ட பக்கத்தின் மையத்திலிருந்து ஓரிழையினாலே தூக்கப்படுகின்றது ; நிலைக்குத்திற்கு இப்பக்கத் தின் சாய்வைக் காண்க.
109. புவியீர்ப்பு மையம் துணிதற்குப் பொதுச் சூத்திரங்கள். பின்வரும் பிரிவுகளிலே தன் நிலையும் நிறையும் அறியப்பட்ட யாது மொரு துணிக்கைத் தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது நிலையைத் தருகின்ற சூத்திரங்கள் பெறப்படும்.
தேற்றம். தம் நிறைகள் ய, ய,,....... ய, என்பனவாகிய துணிக்கைத் தொகுதி ஒரு நேர் கோட்டிலே கிடக்க, நிலையான ஒரு புள்ளி 0 விலிருந்து அளக்கப்பட்ட அவற்றி னுடைய தூரங்கள் 2 ...........லை, என்பனவாயின், அந்நிலையான புள்ளியிலிருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் ல என்பது
: , 001 + 0,0, +.......... + 0%0%
- என்பதாற் பெறப்படும். (யா + 2 + ....... + wp. A, B, C, D....... என்பன் அத்துணிக்கைகளாகுக; A, B என்பனவற்றி லுள்ள ய , , ய, என்பனவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம் G ஆகுக; G, இல்
---
1
உள்ள (0,+u,) என்பதற்கும் C யில் உள்ள் 03 என்பதற்கும் புவியீர்ப்பு மையம் G2 ஆகுக ; அவ்வாறே அத்தொகுதியினுடைய பிற துணிக்கை களுக்கும் எடுக்க.
பிரிவு 97 இன்படி ய, .AG, = ய, .G,B;
ஃ. 0, (OG, -OA) = ய, (OB - 0G.). எனின், (ய+ய.). OG1 = 0, OA + 42. OB,
001 +0,02 அதாவது, OG, = -
...(1). 01-02 அதுபோல், G, என்பது G, இல் உள்ள (ய) + ய்,) இற்கும் C யில் உள்ள ய3 இற்கும் புவியீர்ப்பு மையமாதலால் நாம் பெறுவது

புவியீர்ப்பு மையம்
(ய, + ய,). 0G + ய. 00 OG, =
(0 + ய, )+ ய, u, 0, + மல், + 003
(1) ஆல் 01 +0,+03
(ய) +0, + wஓ) - 0G, + ய, OD அவ்வாறே O(
(w + v2 + )+ ய. யா, + ய, 2 + 33 + 0404
01 +0, +0+ 04 இவ்வாறு செல்ல நாம் எளிதாகப் பெறுவது
wன, + மத, + ....... + மூளை
w, +2+.......+0 அத்தொகுதியிலுள்ள துணிக்கைத் தொகை எதுவாயிருந்தாலும் இது உண்மை.
வேறுவழி : மேலுள்ள சூத்திரம் பிரிவு 65 இனது துணைகொண்டும் காணப்படலாம் அது பின்வருமாறு :-
அத்துணிக்கைகளுடைய நிறைகளானவை தம்" கூட்டுத்தொகை, அதாவது w, + 2 +... +0% என்பதற்குச் சமமான விளையுளுடைய ஒரு சமாந்தர விசைத் தொகு தியை ஆக்குகின்றன. அன்றியும், அவற்றினுடைய தளத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளி எடுக் கும் இவ்விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் விளையுளின் திருப்பு திறனுக்குச் சமமாகும். ஆனால், நிலையான புள்ளி 0 - பற்றி எடுக்கும் அவ்விசைக ளுடைய திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை :
- ய, ல, + யல், +...... யல nை அன்றியும் 2 என்பது 0 விலிருந்து புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரமெனின், விளையுளின் திருப்புதிறன்.
(ய, +- u, +... + ய )*. எனின், ல (ய, + ய, +... + ய%) = 00+ யன், +...... + யnலை ;
- u),0, + ய,+ை ........... + u'லை அதாவது, ஐ =
ப ய, + ய, +... +0) '110. உ.-ம். 1. 2 அடி நீளமும் 5 இறா. நிறையும் உடைய AB என்னும் ஒரு கோல் C, D என்றும் புள்ளிகளிலே முக்கூறிடப்படுகின்றது : A, C, D, B என்னும் புள்ளிகளிலே முறையே 1, 2, 3, 4 இறா. நிறைகள் வைக்கப்பட்டுள்ளன; அக்கோல் யாதுமொரு நிலையிற் கிடக்குமாறு அதன் எப்புள்ளியில் அது தாங்கப்படல் வேண்டும்? அதாவது, அத்தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
G என்பது மக்கோலின் மையமாகுக ; முந்திய பிரிவிலுள்ள 0 என்னும் நிலையான புள்ளி அக்கோலின் முனை A யோடு பொருந்துகின்றதெனக் கொள்க.
இங்கு, ம, ல, ள, ற, ல, என்னுங் கணியங்களானவை முறையே 6, 8, 12, 16, 24 அங்கு லங்களாகும்.


Page 68
120
நிலையியல்
எனின், X என்பதே வேண்டிய புள்ளியாயின் ,
1.0 + 2.8 + 5.12 + 3.16 +4.24 AX =
1+ 2 + 5 + 3 + 4 220 -
= 5 = 142 அங்.
12 =-
உ-ம். 2. மேற்றந்த கேள்வியில், B யிலுள்ள பொருளை நீக்கி அதற்குப் பதிலாக வேறொரு பொருளை வைத்தால், புதுப் புவியீர்ப்பு மையம் அக்கோலின் மையத்திலிருக்க வேண்டுமாயின், இத்தேராப் பொருளின் நிறையைக் காண்க.
வேண்டிய நிறை ) இறா. ஆகுக. A யிலிருந்து புதுப் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் 12 அங். ஆதலால்,
1.0 + 2.8 + 5.12 + 3.16 +). 24 124 + 24)
- 1+ 2 + 5 +3 +2 - 11 +) ஃ 132 +12) = 124 + 24).
: = 8 இறா. உ-ம். 3. 2 அடி நீளமும் 3 இறா. நிறையும் உடைய ஒரு கோலின் முனைக்கு 2 அங். ஆரையும் 10 இறா. நிறையும் உடைய ஒரு கோளம் தொடுக்கப்பட்டிருக்கிறது. அக்கூட்டுப் பொருளின் புவியீர்ப்புமைய நிலையைக் காண்க.
OA என்பது அக்கோலாயும், G, என்பது அதன் மையமாயும், G, என்பது அக்கோள மையமாயும், G என்பது வேண்டிய புள்ளியாயும் இருக்கட்டும்.
3.OG, + 10.OG, OG = -
3 + 10
ஆனால்
0G, = 12 அங். ; 0G, = 26 அங்.
3.12 + 10.26 296 ஃ 0G = ?
= 2218 அங். 3 + 10.
ஆயின்
பயிற்சி XVI 1. 1 அடி நீளமும் 1 அவுன்சுத் திணிவுமுடைய ஒரு நேர்க் கோலினுடைய ஒரு முனையில் ஓரவுன்சு நிறை ஈயமும் மற்றை முனையிலிருந்து அதன் நீளத்தின் மூன்றிலொரு பங்குத் தூரத்தில் வேறோரவுன்சு நிறை ஈயமும் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன ; அத்தொகுதி யின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
2. 3 அடி நீளமும் 6 அவுன்சு திணிவுங் கொண்ட சீரான சட்டமொன்றுக்கு ஒவ்வொன் றும் 3 அவுன்சு திணிவுடைய மூன்று வளையங்கள் ஒரு முனையிலிருந்து, 3, 15, 21 என்னும் அங்குல தூரங்களில் உண்டு. அத்தொகுதி அச்சட்டத்தின் எப்புள்ளிபற்றிச் சமநிலை எய்தும்?
3. AB என்னும் சீரான கோலொன்று 4 அடி நீளமும் 5 இறா. நிறையுங் கொண்டது. A யில் ஓரிருறாத்தலும், A யிலிருந்து 1 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியில் 2 இறா. உம், A யிலிருந்து 2 அடியில் 3 இறா. உம், A யிலிருந்து 3 அடியில் 4 இறா. உம், B யில் 5 இறா. உம் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. A யிலிருந்து அத்தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.

புவியீர்ப்பு மையம்
121
4. ஒரு தொலைகாட்டிக்கு 8, 7, 8 அவுன்சு நிறைகளையுடைய மூன்று குழாய் ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக உண்டு ; அக்குழாய் ஒவ்வொன்றும் 10 அங்குல நீளமானது ; அக்குழாய்களை. முழுநீளத் திற்கும் இழுத்தால், புலியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
5. ஒரு நேர்க்கோலின்மீது ஓரங்குலச் சமவிடைத் தூரங்களில் வைக்கப்பட்ட 12 பாரமான துணிக்கைகளினுடைய நிறைகளானவை முறையே 1, 2, 3, ...12 இரேயின் ; அக்கோலினது நிறையைப் புறக்கணித்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
6. 1, 4, 9, 16 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் ஒரு நேர்கோட்டிலே அவற்றினுடைய இடைத் தூரங்கள் சமமாகும் வண்ணம் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
7. சீரான தடிப்புள்ள ஒரு கோலானது தன் நீளத்தின் அரைப்பங்கு ஒர் உலோகத்தாலும் மற்றையரை வேறோர் உலோகத்தாலுஞ் செய்யப்பட்டுள்ளது ; அக்கோல் ஒரு முனையிலிருந்து தன் முழு நீளத்தின் மூன்றிலொரு பங்குத் தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சமநிலை எய்துகின்றது ; அவ்வுலோகங்களின் சமகனவளவுகளினுடைய நிறைகளை ஒப்பிடுக.
8. சாய்வுக் கோணம் 60° உள்ள ஒரு சாய்தளம் 3 அடி நீளமானது ; 7,5, 4, 8 என்னும் அவுன்சுத் திணிவுகள் அத்தளத்தின்மீது ஒழுங்காக 1 அடி தூரங்களிற் பின்னது மிக்க உயரத்தில் இருக்கும்படியாக வைக்கப்படுகின்றன ; அச்சாய்தளத்தின் அடியிலிருந்து அவற் றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
9. AB என்னும் சீரான கோலொன்று m அங்குல நீளமும் (m +1) W என்னும் நிறையும் உடையது. அக்கோலுக்கு W, 2W, 3W,......., miW நிறையுள்ள திணிவுகள் A யிலிருந்து முறையே 1, 2, 3, ...0 அங்குலத் தூரங்களில் இணைக்கப்படுகின்றன. A யிலிருந்து அக்கோலும் நிறைகளும் சேர்ந்த தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
10. 12 அடி நீளமான ஒரு கோலின் ஒரு முனையிலிருந்து 1 இறா. திணிவொன்று தூக்கப் பட்டிருக்கின்றது ; மற்றை முனையிலிருந்து 15 இறா. திணிவொன்று தூக்கப்பட்டால், அக்கோல் அம்முனையிலிருந்து 3 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சம நிலை அடையும் ; அங்கு 8 இறா. திணிவொன்று தூக்கப்பட்டால், அம்முனையிலிருந்து 4 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சம நிலையடையும். அக்கோலின் நிறையையும் அதன் புவியீர்ப்பு மைய நிலையையும் காண்க.
111. தேற்றம். நிறைகள் ய,, ,,....... யல என்பனவாயுள்ள துணிக்கைகளுடைய தொகுதி ஒரு தளத்திலே கிடக்க, Ox, OY என்பன அத்தளத்திலே செங்கோணங்களி லுள்ள இரண்டு நிலையான நேர்கோடுகளாகவும் Ox இலிருந்து அத்துணிக்கைகளுடைய தூரங்கள் V1, 92, ... .9% என்பன ஆகவும், அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் v ஆகவும் இருந்தால்
ய,V, + ய,0, + ... + யmn y = -
ய) + ய, + ... + ய அதுபோல, OY யிலிருந்து அத்துணிக்கைகளுடைய தூரங்கள் 01, 02,....... என்பன வாகவும், அவற்றின் புவியீர்ப்புமையத்தினது தூரம் 0 ஆகவும் இருந்தால்,
ப ய1, + யல், + ... +யா 0 = -
« + ய, + ... + ய% . A, B, C, ... என்பன அத்துணிக்கைகளாகுக; AL, BM, CN ... என்பன OX இன் மீதுள்ள செங்குத்துக்களாகுக.


Page 69
122
நிலையியல்
G, என்பது ய, , ய, என்பனவற்றின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக; G, "என்பது G, இல் உள்ள (0, +u,), C யில் உள்ள ய, என்பனவற்றின்
புவியீர்ப்பு மையமாகும் ; இவ்வாறே பிறவும்.
H
டு.
புய)
| |
O
1 |
1 |
| 1
R|
M RQ RAN
Rெ, G, R2, ... என்பனவற்றை OX இற்குச் செங்குத்தாய் வரைக ; 1ெ இனூடாக HG,K என்பதை OX இற்குச் சமாந்தரமாக AIL என்பதை H இலும் BM என்பதை K யிலும் சந்திக்குமாறு வரைக.
G) என்பது ய1, 0, என்பனவற்றின் புவியீர்ப்பு மையமாதலால்,
தேந்த்- 2; (பிரிவு 97.) இனி, AG,H, BGFK என்பன இயல்பொத்த முக்கோணிகள் ;
HA AG, 02
' BK =G,B= 6;
ஆனால்,
HA = HL - AL = G,R, -V1;
BK = PM -KM = 4,- G,R ; .. G,R -Vi_u,
9, - G,R ய,
எனின்,
01 (G,R -31) = ய, (92-G,R ) ;
- ஃ G,R, = "191 + 232
ய+ய, A G, என்பது Gஇல் உள்ள (0, + ய,) என்பதற்கும் C யில் உள்ள ய. என்பதற்கும் புவியீர்ப்பு மையமாதலால்,
(0, + ய.. G,R + ய:33 ய,9, + ய,92+ ம:33 G,R, = "
', (1 ஆல்). ய+0, + ய:
ய1 +2+3

புவியீர்ப்பு மையம்
123
> > --11 + 21,14, 4/.
இவ்வாறு செல்ல, நாம் எளிதிற் பெறுவது
u,91 + 10) 9, -+- ... --- 149% /»
0 + 4, + ... +0, இனி, முக்கோணிகள் AG,H, BGLK என்பன இயல்பொத்தவையாத லால்,
HG, AG, ய,
G,K=G,B=8
ஆனால்,
HG, = LR, = OR, - 0L = OR, - 04, GK = RM = OM - OR = 02 - OR.
ஃ ய, (OR - ற ) = ய, (ம. - OR ).
OR. __ 04*1 + 20,02
T ---
எனின்,
01 + 2 முன்போற் செல்ல இறுதியாக,
0+ ய, ல, +... + un 0p
0+ ய, +... + 0. இப்பிரிவிலுள்ள தேற்றம் பின்வருமாறு சிறிது வேறு வகையிற் கூறப் படலாம்.
அத்துணிக்கைகளின் தளத்திலுள்ள யாதுமொரு கோட்டிலிருந்து புவியீர்ப்பு மையத் தினது தூரம் ஒவ்வொரு நிறையையும் அந்தவந்தக் கோட்டிலிருந்து உள்ள தூரத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தன் தொகுதியாகவும் நிறைகளின் கூட்டுத்தொகையைத் தன் பகுதியாகவுங் கொண்ட பின்னத்திற்குச் சமன்.
வேறு வகையாகக் கூறுமிடத்து, புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் அத் துணிக்கைகளுடைய சராசரித் தூரத்திற்குச் சமன் என்க.
112. முந்திய பிரிவிலுள்ள சூத்திரம் பிரிவு 93 இல் இருந்து பின்வருமாறு உய்த்தறியப் படலாம். எல்லா நிறைகளுடைய புவியீர்ப்பு மையமாகிய G யிலே தாக்குகின்ற விளையுள் நிறை (141 -+- u), - ...+ ய ) என்பது கூற்று நிறைகள் ,, ,, ... என்பனவற்றிற்குச் சம் ைைகயால், கோடு 0X என்பது நிலையான ஓர் அச்செனக் கொள்ளப்படின், இந் நிலையான அச்சுப்பற்றி அக்கூற்று நிறைகளுக்குள்ள திருப்புதிறன்களே அவ்விளையுளுக்கும் இருக்கும். ஆனால் அவ்விளையுளின் திருப்புதிறன்
(ய) + ய, ++0%) ர; அறநிறைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை
0191 + 029, +...+ ய%9% >
019, + ய,9, +...+ ய%9% எனின்,
ஒ = -
w1 + 02, +...+un


Page 70
124
நிலையியல்
இவவாறே,
2 = .
ம, 01 +0, 0, +... + மலை
01 +0, +... + on
113. உ-ம். 1. 10 இறா. நிறையுடைய ஒரு சதுரத் தகட்டினுடைய கோணப் புள்ளி களில், ஒழுங்காக எடுக்குமிடத்து, முறையே 3,6,5,1 என்னும் இறா. நிறைகள் இணைக் கப்படுகின்றன. அத்தகட்டின் பக்கம் 25 அங். ஆயின், அத்தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
அத்துணிக்கைகள் 0, A, B, C என்னுங் கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படுக. தம் மிலிருந்து தூரங்கள் அளக்கப்படும் இரண்டு நிலையான கோடுகள் OA, 00 என்பனவாகுக.
9ெ)
6-13
'6 -x
அத்தகட்டினுடைய நிறை அதன் மையம் D யிலே தாக்குகின்றது. [G என்பது வேண்டிய புவியீர்ப்பு மையமாகுக ; DL, GM என்பனவற்றை OXTஇற்குச் செங்குத்தாக வரைக.
0x இல் இருந்து 0, A, B, C, D என்பனவற்றினுடைய தூரம் முறையே 0, 0, 25, 25, 12 அங்குலங்கள் என்பது தெளிவு.
3.0 + 6.0 +5. 25 + 1. 25 + 10,124 275 '. MG =y-- 3 + 6 + 5 +1+10
= 11 அங்.
அவ்வாறே, OY யில் இருந்து அத்துணிக்கைகளுடைய தூரம் முறையே 0, 25, 25, 0, 124 அங்குலங்கள்.
3.0 + 6. 25 + 5.25 + 1.0 + 10.124 400 ஃ. 04-0--- 34 61 5414 10
25
+1+10 = = = 16 அங்.
எனின், வேண்டிய புள்ளி OA யினது வழியே 0 வில் இருந்து 16 அங். அளந்து பின் 11 அங்குலச் செங்குத்தொன்றை நிமிர்த்தலாற் பெறப்படலாம்.
உ.-ம். 2. OAB என்பது தன்னடி OA என்பது 6 அங். ஆயும் தன்னுடைய பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் 5 அங். ஆயுமுள்ள நிறையில் இருசமபக்க முக்கோணி ஒன்று ; 0, A, B என்னும் புள்ளிகளில் 1, 2, 3 என்னும் இறா. நிறைகள் கொண்ட துணிக்கைகள் வைக்கப் படுகின்றன ; அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
நிலையான கோடு 0X என்பது OA யோடு பொருந்துக : OY என்பது 0 என்னும் புள்ளிக் கூடாக OA யிற்கு வரைந்த செங்குத்தாகுக.
BL என்பது OA யிற்குச் செங்குத்தாக வரையப்படின், OL = 3 அங்.
LB=/52 - 32 = 4 அங்., எனின், G என்பது வேண்டிய புவியீர்ப்பு மையமாயும், GM என்பது Ox இற்கு வரைந்த செங்குத்தாயும் இருந்தால்,

புவியீர்ப்பு மையம்
125
1.0+ 2.6--3,3 21 OM Eா - .
==3} அங். 1+-2+3 1.0+2.0+3.4 12 MG= :
1+2+3 - 6 27 2 அங். என்பன.
எனின், வேண்டிய புள்ளி OA யினது வழியே O வில் இருந்து 34 அங்குல தூரத்தை அளந்து 2 அங்குல நீளமான ஒரு செங்குத்தை நிமிர்த்தலாற் பெறப்படும்.
114. சமாந்தர விசைகளின் மையம். பிரிவுகள் 109, 111 என்பனவற்றிலுள்ள வழிகளும் சூத்திரங்களும் நிறைகளுக்கேயன்றி யாதுமொரு சமாந்தர விசைத் தொகுதிக்கும் பொருந்தி அத்தகைய யாதுமொரு தொகுதியின் விளையுளின் நிலையைத் துணிய உதவும். விளையுளின் பருமன் அவ்விசைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். ஒவ்வொரு விசையும் அதற்குரிய குறியோடு எடுக்கப்படல் அவசியம். ஏற்ற விளையுளைப் பெறாத ஒரு வகை உண்டு ; விசைகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாயின் , விளையுள் விசையும் பூச்சியமாகும் ; பிரிவு 111 இல் உள்ள சூத்திரங்கள்
2= ல, 9 = ல என்பனவற்றைத் தரும். இவ்வகையில், பிரிவு 53 இற்போல், சமாந்தர விசைத்தொகுதி ஓர் இணைக்குச் சமனாகும்.
பயிற்சி XVII 1. 1, 2, 3, 4 இறா. நிறைகளுடைய துணிக்கைகள் ஒரு சதுரத்தினுடைய கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படுகின்றன ; அச்ச துர மையத்திலிருந்து அவற்றின் பு. மை. ஐக் காண்க.
2. ABCD என்னும் ஒரு சதுரத்தினுடைய A, C என்னும் இரண்டு எதிர் மூலைகள் ஒவ்வொன்றிலும் 2 இறா. நிறைகளும் B, D என்பனவற்றிலே முறையே 1, 7 இறா. நிறைகளும் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
3. 'ஒவ்வொரு பக்கமும் 27 அங்குல நீளமான ஒரு இடைச் சதுரத்தினுடைய மூலைகள் A, B, C, D என்பனவற்றிலே முறையே 5, 6, 9, 7 இறா. துணிக்கைகள் வைக்கப் படுகின்றன ; சமநிலையைப் பேணுதற்கு ஒரு தனி விசை எங்கு பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டு மெனக் காண்க.
4. ஒரு சதுர மேசையின்மீது 1, 2, 3, 4, 5 அவுன்சு கொண்ட ஐந்து துணிக்கை கள் வைக்கப்படுகின்றன. அம்மேசையினுடைய ஒரு விளிம்பிலிருந்து தூரம் முறையே 2, 4, 6, 8, 10 அங். ஆயும் அடுத்துள விளிம்பிலிருந்து தூரம் முறையே 3, 5, 7, 9, 11 'அங். ஆயும் உள்ளன. அவ்விரு விளிம்புகளிலிருந்து புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
5. u நீளமான பக்கங்கொண்ட சமபக்க முக்கோணியொன்றினுடைய மூலைகளில் 1, 2, 3 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் வைக்கப்படுகின்றன ; முதலாம் நிறையிலிருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
நிறைகள் 11, 13, 6 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமாயின், அத்தூரம் யாதாகும் என்றுங் காண்க.


Page 71
126
நிலையியல் - |
தி
6. ABC என்பது 2 அடி நீளமான பக்கங்கொண்ட சமபக்க முக்கோணி. A, B, C என்பனவற்றில் 6,1, 3 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகளும், BC, CA, AB » என்பனவற்றினுடைய மையங்களில் 2, 4, 6 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகளும் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம் B யில் இருந்து 16 அங்குல தூரத்தில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
7. ஒவ்வொன்றும் 1 அவுன்சு கொண்ட சம திணிவுகள் பாரமான ஒரு முக்கோணித் தகட்டினுடைய கோணப் புள்ளிகளிலும் பக்கமையங்களிலும் வைக்கப்படுகின்றன ; அத்திணிவு களின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
8. ABC என்பது A யிற் செங்கோணமுள்ள ஒரு முக்கோணி ; AB என்பது 12 அங்குலமாயும் AC என்பது 15 அங்குலமாயுமுள்ளன ; A, C, B என்பனவற்றிலே முறையே 2, 3, 4 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் வைக்கப்படுகின்றன ; B, C என்பனவற்றிலிருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினுடைய தூரங்களைக் காண்க.
9. ஒரு முக்கோணியின் கோணப் புள்ளிகளில் 4, 1, 1 இறா. துணிக்கைகள் வைக்கப்படுகின்றன; அத்துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையம் முக்கோணிப் புவியீர்ப்பு மையத் திற்கும் அதனுச்சிகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தை இருகூறிடுகின்றதெனக் காட்டுக.
10. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியினுடைய கோணப் 'புள்ளிகளிலே மூன்று திணிவுகள் வைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் சடத்துவ மையம் A யிற்கும் BC யின் மையத் திற்கும் நடுவில் இருந்தால், அவற்றின் விகிதங்களைக் காண்க.
11. ஒரு முக்கோணியின் கோணப் புள்ளிகள் A, B, C என்பனவற்றிலே முறையே 2, 3, 4 இறா. திணிவுள்ள பொருள்கள் வைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம் G யைக் காண்க ; விசைகள் 2GA, 3GB, 4GC என்பன சம நிலையில் இருக்குமெனவும் காட்டுக.
12. ABC என்பது 3 இறா. திணிவுள்ள சீரான முக்கோணித் தட்டு. A, B, C என்பன வற்றிலே முறையே 2, 3, 5 இறா. திணிவுகள் வைக்கப்படுகின்றன. அம்முழுத் தொகுதியின் புவியீர்ப்புமைய நிலையைக் காண்க.
13. தனது திணிவு' 3 இறாத்தலும் தன் புவியீர்ப்பு மையம் G யும் ஆகிய சீரான முக் . கோணித் தட்டொன்றினுடைய உச்சிகள் A, B, C என்பனவற்றிற்கு முறையே 2, 2, 11 இறா. துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன ; அத்தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையம் GC யின் மையமெனக் காட்டுக.
14. 2, 3, 2, 6, 9, 6 இறா. திணிவுகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஓரொழுங்கான அறுகோணியினுடைய கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
15. 5, 4, 6, 2, 7, 3 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் ஓர் ஒழுங்கில் எடுத்த ஓரொழுங்கான அறுகோணிக் கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின் புவி யீர்ப்பு மையம் அவ்வறுகோணியின் மையமெனக் காட்டுக.
16. 1, 5, 3, 4, 2, 6 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஓரொழுங்கான அறுகோணிக் கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படுகின்றன ; அவற்றின புவி யீர்ப்பு மையம் அவ்வறு கோணியின் மையமெனக் காட்டுக.
17. 1, 2, 3, 4, 5, 6 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகள் ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஓரொழுங்கான அறுகோணிக் கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்பட்டால், அவ்வறுகோணியின் சுற்றுவட்ட மையத்திலிருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் அவ்வட்டவாரையின் * பங்கெனக் காட்டுக.

புவியீர்ப்பு மையம்
127
18. ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஒரு சதுரத்தினுடைய கோணப் புள்ளிகளில் 1: 3: 5: 7 என்னும் விகிதத்திலுள்ள சமாந்தர விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; அச்சதுரத்தின் மையத்திலி ருந்து அவற்றின் விளையுள் தாக்குகின்ற புள்ளியினது தூரத்தைக் காண்க.
19. A, B, C, D என்பன ஓரொழுங்கில் எடுத்த ஓர் இணைகரத்தினுடைய கோணங்கள் ; A, B, C, D என்பனவற்றிலே முறையே 6, 10, 14, 10 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிகர்த்த சமாந்தர விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; இவ்விசைகளுக்குப் பதிலாக 8, 12, 16, 4 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான சமாந்தர விசைகளானவை முறையே AB, BC, CD, DA என்னும் பக்கங்களுடைய மையங்களிலே தாக்கினால் அச்சமாந்தர விசைகளுடைய மையமும் விளையுளும் இவற்றினுடைய மையம் விளையுள்களோடு ஒன்றாகுமெனக் காட்டுக.
20. தந்தவொரு கோடு AB யினது வழியே தந்தவொரு புள்ளி A யில் இருந்து 1, 2, 3, 4, 5, 6 அங்குலத் தூரங்களிலே முறையே தம் பிரயோகப் புள்ளிகளையுடைய P, 2P, 3P, 4P, 5P, 6P என்பனவற்றிற்குச் சமமான சமாந்தர விசைகளின் மையத் தைக் காண்க.
21. P, Q, R என்னும் மூன்று சமாந்தர விசைகள் ஒரு முக்கோணியினுடைய உச்சிகள் A, B, C என்பனவற்றிலே தாக்குகின்றன ; அவை முறையே a, b, c என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமானால், அவற்றின் விளையுளினுடைய பருமனையும் நிலையையுங் காண்க.
115. ஒரு பொருளின் இரு பகுதிகளுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களானவை தரப்பட்டால், அம்முழுப் பொருளின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காணல்.
தந்த புவியீர்ப்பு மையங்கள் G, G, என்பனவாகுக; அவ்விரு பகுதிக ளுடைய நிறைகள் W, W, என்பனவாகுக; பிரிவு 97 இன்படி வேண்டிய புள்ளி G என்பது Gெ, என்பதை
G, G : GG, :: W, : W ஆகும் வண்ணம் பிரிக்கும். புள்ளி G என்பது பிரிவு 109 என்பதைத் துணைக்கொண்டும் பெறப்பட லாம்.
உ-ம். ஒரேயடி AB யில் அதனுடைய எதிர்ப் பக்கங்களிலே முறையே 12 அங்., 6 அங். என்னும் உமரங்கள் கொண்ட இருசமபக்க முக்கோணிகள் CAB, DAB என்பன வரையப்பட்டுள்ளன. AB யில் இருந்து CADB என்னும் நாற்பக் கலின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
CLD என்பது AB யிற்குச் செங்குத்தாய் அதனை L இற் சந் திக்க ;G,, G, என்பன முறையே CAB, DAB என்னும் முக் கோணிகளுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களாகுக. எனின்
CG, = CL = 8 ;
CG, = CL + LG, =12+2 =14. அம்முக்கோணிகளுடைய நிறைகள் அவற்றினுடைய பரப்புக்க ளுக்கு விகிதசமம் ; அதாவது, அவை BAB. 12, AAB. 6 என்ப னவற்றிற்கு விகித சமம்.
G என்பது அம்முழுவுருவத்தின் புவியீர்ப்பு மையமாயின்,
ACABxCG, +ADABxCG, CG = 1
ACAB +ADAB
4AB.12 x 8 -+ {AB.6x14
48 + 42 90 AB.12 + {AB.6
6 +3
" - 54 = 10.
= 10.


Page 72
128
நிலையியல்
எனின்,
LG = CL - CG = 2 அங். இம்முடிபு மெல்லிய மாட்டுத் தாளில் உருவம் வெட்டுதலாற் பரிசோதனை முறையால் செரிபிழை பார்க்கப்படலாம்.
116. ஒரு பொருள் முழுவதன் புவியீர்ப்பு மையமும் ஒரு பகுதியின் புவியீர்ப்பு - மையமுந் தந்தால், மீதிப் பகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காணல்.
G என்பது ABCD என்னும் ஒரு பொருளின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக ; G, என்பது ADC என்னும் பகுதியின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக.
W என்பது அம்முழுப்பொருளினது நிறையாயும், W என்பது ACD என்பதனுடைய நிறையாயுமிருக்க ;
ஆயின், W, (=W - W) என்பது ABC என்னும் பகுதியினது நிறை யாகும். G, என்பது ABC என்னும் பகுதியின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக.
அப்பொருளினுடைய இரு பகுதிகளுஞ் சேர்ந்து அம்முழுப் பொருளையும் ஆக்குகின்றமையால், G, இல் உள்ள W1 இற்கும் G2 இல் உள்ள W, இற் கும் புவியீர்ப்பு மையம் G யில் இருத்தல் வேண்டும்.
எனின், G என்பது W, .GG, = W.. GG, ஆகும் வண்ணம் G,G, இன் மீது கிடத்தல் வேண்டும்.
எனின், G, G, என்பன தரப்பட்டால், G, G என்பதை 2ெ இற்கு
GG, - W GG,
W, GG1)
=w - W, "
ஆகும் வண்ணம் நீட்டுவதால் G2 என்பது பெறப்படும். வேண்டிய புள்ளி பிரிவு 109 ஆலும் பெறப்படலாம். உ-ம். 1. - ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத் தட்டிலிருந்து தன் விட்டம் அத்தட்டினது ஓராரையான ஒரு வட்டம் வெட்டப்படுகின்றது ; மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
வட்டங்களுடைய பரப்புக்கள் ஒன்றுக்கொன்று அவற்றினு டைய ஆரைகளினுடைய வர்க்கங்களுக்கு விகித சமமாகையால், வெட்டப்பட்ட பகுதியின் பரப்பு : முழுவட்டத்தின் பரப்பு
G201 G|
: 1 : 4.

புவியீர்ப்பு மையம்
மையம்
129
எனின், வெட்டப்பட்ட பகுதி முழுவதன் காற் பங்காயும், மீதி முக்காற் பங்காயுமிருக்கும் ; ஆகவே, W= { W..
இனி, பகுதிகள் W, W. என்பன அம்முழுத் தட்டையும் ஆக்குகின்றமையால், ைைவ ) பற்றிச் சமநிலையை அடையும்.
எனின்,
( W, OG, = W.. OG, = { Wx47.
ஃOG, = kr. இதைப் பரிசோதனை முறையால் சரிபிழை பார்க்கலாம்.
உ-ம். 2. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணித் தட்டிலிருந்து அதனடி BC யிற்கு ஒரு சமாந்தரக் கோடு வரைதலால் அதன் பரப்பின் காற்பங்கு வெட்டப்படுகின்றது. மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
TG
DG = !
AB,C, என்பது வெட்டப்பட்ட பகுதியாகுக ; ஆயின், AAB,C, : AABC :: 1 : 4. கேத்திரகணிதத்தால், முக்கோணிகள் AB,C, ABC என்பன இயல்பொத்தவை யாதலால்
AAB, C : AABC :: AB,' : AB2;
: AB 2 : AB? : 1: 4. எனின்,
AB, = 4 AB. ஆகவே, B, C, என்னும் கோடு AB, AC, AD என்பனவற்றை இருகூறிடும். G, G, என்பன முறையே முக்கோணிகள் ABC, AB,C, என்பனவற்றினுடைய புவி யீர்ப்பு மையங்களாகுக ; அன்றியும், W1,W2 என்பன முறையே வெட்டிய பகுதி, மீதிப்பகுதி என்னும் இவற்றினுடைய நிறைகளாகுக ; ஆயின், W, = 3W,,
G, இல் உள்ள W, என்பதும் G, இல் உள்ள W, என்பதும் G பற்றிச் சமமாக்கப்படு கின்றமையால், பிரிவு 109 ஆல்,
W, DG , +W, DG, DG ,+3 DG ,
W, + w,'
.....(1).
ஆனால்,
DG = ! DA = : DD,,
DG, = DD + DA = DD + DD, = DD.. எனின், (1) என்பது - 4x DD, = DD + 3DG, ஆகும்.
: DG , - , DD.. இம்முடிபும் பரிசோதனை முறையால் எளிதில் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படக் கூடியது.
பயிற்சி XVIII (மாணாக்கன் பின்வருங் கேள்விகளுட் சிலவற்றைப் பரிசோதனை முறையால் வாய்ப்புப் பார்க்க வேண்டும். இந்நோக்கத்திற்குத் தக்கன 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 19 என்னும் எண்களிட்டனவே.]
1. 1 அடி நீளமான சீரான கோலொன்று 5 அங்குலம், 7 அங்குலம் என்னும் நீனங் களுள்ள இரு துண்டுகளாக முறிக்கப்பட்டு T என்னும் வடிவினையுடைய எழுத்தாக அமையம் படி நீண்ட துண்டு நிலைக்குத்தாயிருக்க வைக்கப்பட்டுள்ளது ; அத்தொகுதியின் புவியீர்ப்பு
மையத்தைக் காண்க.


Page 73
130
நிலையியல்
2. 6, 8 அங்குல நீளங்களையும் முறையே 2, 24 அங்குல அகலங்களையுமுடைய ஒரே மாட்டுத் தாளினுடைய இரு செவ்வகத்துண்டுகளுள்ளே நீண்ட பகுதி நிலைக்குத்தாயிருக்க அவை இரண்டும் T வடிவான உருவத்தை ஆக்குமாறு ஒன்றன் மேலொன்று பொருந்தாமல் தொட்டுக் கொண்டு இருக்கும்படி ஒரு மேசையின் மீது வைக்கப் படுகின்றன. அவ்வுருவத்தின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
3. தம் நீளங்கள் 3 : 5 என்னும் விகிதத்திலுந் தம் நிறைகள் 3:1 என்னும் விகித்த் திலும் உள்ள இரு பகுதிகளைப் பாரமான ஒரு வளை கொண்டுள்ளது ; அதன் புவியீர்ப்பு
மைய நிலையைக் காண்க. - 4. ஒரு செவ்வகத்தினுடைய இரு பக்கங்கள் ஏனையிரு பக்கங்களின் இரு மடங்கு ; நீளப் பக்கங்களுள் ஒன்றன்மீது சமபக்க முக்கோணியொன்று வரையப்படுகின்றது ; அச்செவ்வகத் தாலும் முக்கோணியாலும் ஆக்கப்படும் தகட்டின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
5. ஒரு துண்டு மாட்டுத்தாள் BC என்னும் பக்கத்தின்மீது வரையப்பட்ட இருசமபக்க முக்கோணியொன்றோடு கூடிய ABCD என்னும் ஒரு சதுரத்தின் வடிவைக் கொண்டிருக் இன்றது ; அச்சதுரத்தின் பக்கம் 12 அங்குலமாயும் அம்முக்கோணியின் உயரம் 6 அங்குல மாயும் இருந்தால், கோடு AD யில் இருந்து அம்மாட்டுத் தாளின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
6. இருசமபக்கச் செங்கோண முக்கோணியொன்றினுடைய பக்கங்கள் எல்லாவற்றின்மீதும் வெளிப்பக்கமாகச் சதுரங்கள் வரையப்பட்டிருக்கின்றன. அவ்வாறு அமைந்த உருவத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் செம்பக்கத்தை இரு கூறிடுங் கோட்டிலிருக்குமென்றும் அது அக்கோட்டை 1: 26 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்குமென்றும் காட்டுக.
7. ஒரே திரவியத்தாலாய சீரான கோளங்கள் இரண்டு உறுதியாகப் பொருத்தப்பட்டுள் னன; அவற்றினுடைய விட்டங்கள் 6, 12 அங்குலங்களாயின், அவற்றின் புவியீர்ப்புமைய நிலையைக் காண்க.
8. ஓர் இணைகரத்திலிருந்து அதனுடைய மூலைவிட்டங்களாற் பிரிக்கப்படும் நான்கு பகுதி களுள் ஒன்று வெட்டப்படுகின்றது ; மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
9. ஓர் இணைகரமானது எதிர்ப்பக்க மையங்களைத் தொடுப்பதாலே நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு, அவற்றுள் ஒரு பகுதி விலக்கப்படுகின்றது ; மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
10. ஒரு சதுரத்திலிருந்து அதனுடைய இரண்டு அடுத்துள்ள பக்கங்களின் மையங்களைத் தொடுக்குங் கோட்டினது நீளத்திற்கு வெட்டுதலால் ஒரு முக்கோணிப் பகுதி விலக்கப்படு கின்றது ; மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
11. ஒரு முக்கோணியிலிருந்து அதனடிக்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோட்டினாலே அதன் பரப்பின் பங்கு விலக்கப்படுகின்றது. மீதியின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
12. ABC என்பது 0 வைப் புவியீர்ப்பு மையமாகவும் 6 அங்குலத்தைத் தன் பக்க மாயுள்ள சம்பக்க முக்கோணி. முக்கோணி OBC என்பது நீக்கப்பட்டால், மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
13. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியிலிருந்து மூன்று சம முக்கோணிகள் ARQ, BPR, CQP என்பன நீக்கப்படுகின்றன ; ABC, PQR என்னும் முக்கோணிகளுடைய சடத்துவ மையங்கள் ஒன்றோடொன்று பொருந்துமெனக் காட்டுக.
14. G என்பது A யிற் செங்கோணமாயும் BC என்பது a யிற்குச் சமனாயுமுள்ள ABC எனும் ஒரு தந்த இருசமபக்க முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையம். பகுதி GBC என். பது நீக்கப்படுகின்றது ; A யில் இருந்து மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத் தூரத்தைக் காண்க. 4

புயியீர்ப்பு மையம்
131
15. ஒரேயடி - BC யில் ABC, ATBC என்னும் இரு முக்கோணிகள் உள் ; A' 'என்பது முந்திய முக்கோணிக்குள்ளே கிடக்கின்றது. A' என்பது அவ்விரு முக்கோணிகளுக்குமிடையே கிடக்கும் பரப்பின் புவியீர்ப்பு மையமாயின், அதனுடைய நிலையைக் காண்க.
16. ABC எனும் தந்தவொரு முக்கோணியிலிருந்து அதனுடைய கோணப்புள்ளிகளுள் இரண்டாகிய B, C என்பனவற்றின் எதிர்ப் பக்கங்களுக்குச் சமாந்தரமாய் வரையும் கோடுகளால் ஒவ்வொன்றும் முழுவதன் - பங்குள்ள இரு முக்கோணிகளானவை நீக்கப்படுகின்றன ; மீதியின் பு.மை. ஐக் காண்க.
17. ஒரு சதுரத் தட்டிலிருந்து அதனுடைய பக்கங்களுள் ஒன்றைத் தன் அடியாகவுள்ள ஒரு முக்கோணியை எவ்வாறு வெட்டினால், மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம் இம்முக்கோணியின் உச்சியாகி அது காரணமாக அம்மீதியானது , இப்புள்ளி தாங்கப்பட்டால், எந்நிலையிலுங் கிடக்குமெனக் காண்க.
18. 10 அங்குலச் சதுரமான சீரான உலோகத் தட்டொன்றிற்கு அதன் மையத்திலிருந்து 24 அங்குலத் தூரத்திலே தன் மையத்தினுடைய ஒரு துவாரம் 3 சதுரவங்குலப் பரப்புக் கொண்டதாய் வெட்டி வீசப்படுகின்றது : அத்தட்டினது மீதியின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காண்க.
19. 3 அடி ஆரையுடைய ஒரு வட்டத் தட்டிலிருந்து 1 அடி ஆரையுடைய ஒரு வட்டத் துவாரத்தை எங்கே துளைத்தால், மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம் அத்தட்டின் மையத்திலிருந்து 2 அங்குலத்தில் இருக்கும்?
20. a, b என்னும் ஆரைகளையுடைய இரு கோளங்கள் உள்ளாலே தொடுகின்றன ; அவற்றிடையே அமைந்துள்ள திண்மத்தின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
21. ஒரு நேர்க்கூம்பானது தன்னச்சைச் செங்கோணங்களில் இருகூறிடுகின்ற ஒரு தளத்தால் வெட்டப்பட்டால், அவ்வெட்டப்பட்ட அடித்துண்டின் புவியீர்ப்பு மையத்திலிருந்து அக்கூம்புச்சி யினது தூரத்தைக் காண்க. |
22. ஏகவினவிரும்பாலாயதும் 64 அங்குல உயரத்தையும் 8192 இறா. திணிவைக் கொண்டது மான ஒரு திண்ம நிமிர் வட்டக்கூம்பு தன்னச்சிற்குச் செங்குத்தான ஒரு தளத்தினாலே வெட்டப்பட்ட அந் நீக்கப்பட்ட சிறு கூம்பினது திணிவு 686 இறா. அக்கூம்பின் அடிக்கு மேலே அதன் அடித்துண்டின் புவியீர்ப்பு மையத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
23. ஒரு திண்ம நேர்வட்டக் கூம்பின் அடி தோண்டப்பட்ட அதன் குழி அதேயடியில் உள்ள ஒரு நேர்க்கூம்பாகின்றது ; எவ்வளவு தோண்டப்பட்டால், மீதியின் புவியீர்ப்பு
மையம் அக்குழியின் உச்சியோடு பொருந்தும்?
24. மதியினது திணிவு புவியினது திணிவின் '013 மடங்கு. புவியின் ஆரையை 4,000 மைல் என்றும் புவியின் மையத்திலிருந்து மதியின் மையத்தினது தூரம் புவியின் ஆரையின் 60 மடங்கென்றுங் கொண்டு, புவியின் மையத்திலிருந்து புவி மதிகளின் பு.மை. இனது தூரத்தைக் காண்க.
117. அரைக் கோளத்தின் புவியீர்ப்பு மையம். ஓர் அரைக்கோளத்தின் ஆரை 7 ஆயின், புவியீர்ப்பு மையம் அதனுடைய தளமுகத்திற்குச் செங்குத்தாயுள்ள ஆரையின்மீது அத்தளமுகத்தின் மையத்திலிருந்து 8 என்னுந் தூரத்திற் கிடக்கும். அவ்வரைக்கோளங்
- - - - - ----------
3r
குழியுள்ள தாயின், தூரம், , ஆகும். இவ்வுரைகளை நிறுவுதல் ஆரம்ப முறைகளால் உணர்த்தற்கரியன ; அவை இறுதியதிகாரத்திற் காணப்படும்.


Page 74
132
நிலையியல்
118. இரண்டு சமாந்தர பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு நாற்பக்கல் அடரின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காணல்.
ABCD என்பது அந்நாற்பக்கலாகுக ; அதனுடைய பக்கங்கள் AB, CD என்பன சமாந்தரமாயும் முறையே 20, 26 என்பனவற்றிற்குச் சமமாயும் இருக்க.
க்க; முறினுடைய வற்றிற்கு
E, F என்பன முறையே AB, CD என்பனவற்றின் மையங்களாகுக. DE, EC என்பனவற்றைத் தொடுக்க ; முக்கோணிகள் ADE, DEC, BEC என்பனவற்றினுடைய பரப்புக்கள் அவற்றினுடைய அடிகள் AE, DC, EB என்பனவற்றிற்கு அதாவது a, 26, a என்பனவற்றிற்கு விகிதசமம்.
அவற்றினுடைய கோணப் புள்ளிகளில் வைக்கப்படும் அவற்றின் நிறை களின் மூன்றிலொரு பகுதிக்குச் சமமான துணிக்கைகளால் அவற்றைப் பிரதியிடுக (பிரிவு 104).
இவ்வண்ணம் பின்வருவனவற்றிற்கு விகிதசமமான நிறைகளைப் பெறு வோம் :
... a , 26 C, D என்னும் ஒவ்வொன்றிலும் த+உம்,
A, B என்னும் ஒவ்வொன்றிலும் ; உம்,
* E மில் + உம். இனி, C, D என்பனவற்றிலுள்ள சம நிறைகளை CD யின் மையம் F இல், + , என்பதற்கு விகிதசமமான ஒரு நிறையினாலும், A, B என்பன வற்றிலுள்ள சமநிறைகளை E யில் என்பதற்கு விகிதசமமான ஒரு நிறையினாலும் பிரதியிடுக.
இவ்வாறு நாம் பெறும் நிறைகள்

புவியீர்ப்பு மையம்
133
F யில்
என்பதும்,
1
E யில் 9+ 3 *
எனின், வேண்டிய புவியீர்ப்பு மையம் G ஆனது EF என்னும் நேர் கோட்டின்மீது
EG F இலுள்ள நிறை a + 26 GFE யிலுள்ள நிறை 20 +6
ஆகும்படி இருக்கும்.
"பயிற்சி XIX , 1. ஒரு முக்கோணி மேசை தன் மூலைகளிலுள்ள தாங்கிகளிற் கிடக்கின்றது ; 6, 8, 10 என் னும் இறா. நிறைகள் அதனுடைய பக்கமையங்களில் வைக்கப்படுகின்றன. அதனாலே, கால் களிலேயுள்ள அமுக்கங்கள் எவ்வளவாற் கூடுகின்றன வெனக் காண்க.
2. மெல்லிய சீர்க் கம்பித்துண்டொன்று ABCD என்னுமொரு நாற்பக்கலுருவமாக வளைக்கப்படுகின்றது; அவ்வுருவத்தில் AB, CD என்பன சமாந்தரம் ; BC, DA என்பன AB யிற்குச் சமசாய்வுள்ளன.
AB என்பது 18 அங். ஆயும், CD என்பது 12 அங். ஆயும், BC, DA என்பன ஒவ்வொன் றும் 5 அங். ஆயும் இருந்தால், AB யில் இருந்து அக்கம்பியின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரத்தைக் காண்க.
3. AB, BC, CD என்பன மூன்று சமமான சீர்க் கோல்கள் ; அவை ஓரொழுங்கான அறுகோணியின் மூன்று அடுத்துவரும் பக்கங்களாயிருக்கும் வண்ணம் உறுதியாக இணைக்கப் 'பட்டு, புள்ளி A யில் இருந்து தூக்கப்படுகின்றன ; CD என்பது கிடையாகக் கிடக்குமெனக்
காட்டுக.
4. ABC என்பது சீரான கம்பித்துண்டு ; அதனுடைய பக்கங்கள் AB, BC என்பன நேராயும், கோணம் ABC என்பது 135 ஆயும் உள்ளன. B யில் உள்ள கம்பிக்கு இணைக்கப்பட்ட ஓரிழையினால் அது நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்பட AB என்னும் பகுதி கிடையாகக் கிடக்குமெனக் காணப்படுகின்றது ; BC : AB : : 92 : 1 எனக் காட்டுக.
5. aே நீளமான சீர்க் கோலொன்று ஓரொழுங்கான அறுகோணியாகும்படி வளைக்கப்படு கின்றது ; அக்கோலின் எம்முனையிலிருந்தும் அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம் -
-V133 எனக் காட்டுக.
6. ABCD என்னும் சீரான சரிவகப்போலித் தகடொன்றின் பக்கம் CD என்பது தனக்கு எதிராயுஞ் சமாந்தரமாயும் உள்ள AB யினது இருமடங்கு ; AB, CD என்பனவற்றிலிருந்து ABCD என்பதன் புவியீர்ப்பு மையத்தினுடைய தூரங்களை ஒப்பிடுக.
7. ABCD என்னும் ஒரு நாற்பக்கற் றகட்டின் புவியீர்ப்பு மையம் கோணங்களுள் ஒன்றாகிய A யோடு பொருந்தினால், BD என்னுங் கோட்டிலிருந்து A, C என்பனவற்றினு
டைய தூரங்கள் 1:2 என்னும் விகிதத்தில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
8. ABCD என்னும் சீரான நாற்பக்கலொன்றிற்குப் பக்கங்கள் AB, AD, என்பனவும் மூலைவிட்டம் AC என்பதும் சமம் ; கோணங்கள் BAC, CAD என்பன முறையே 30°, 60° ஆயுள்ளன. புள்ளி B யில் ABC என்னும் முக்கோணியினது நிறையின் மூன்றிலிரண்டு


Page 75
134
நிலையியல்
பங்குக்குச் சமனான ஒரு நிறையைத் தொடுத்து முழுவதையும் புள்ளி A யிலிருந்து தூக்கினால், மூலைவிட்டம் AC நிலைக்குத்தாகுமெனக் காட்டுக.
• 9. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணிப் பலகை தன் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல் கின்ற ஓர் ஒப்பரவான முளைக்கட்டையின் மீது தாங்கப்பட அதனுடைய பக்கங்கள்வழியே AB, BC, CA என்பனவற்றாலே முறையே குறிக்கப்படும் மூன்று விசைகளானவை தாக்கினால் என்ன நேரிடுமென விளக்குக.
10. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியினது தளத்திலுள்ள 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் OA, OB, 0C என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படும் மூன்று விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; இம்மூன்று விசைகளுஞ் சமநிலை அடையுமாறு 0 என்னும் புள்ளி எங்கு இருத்தல் வேண்டும்?
11. P என்னும் ஒரு துணிக்கை A, B, C என்னும் மூன்று புள்ளிகளுக்கு முறையே ப. PA, ப. PB, V.PC என்பனவற்றிற்குச் சமமான விசைகளாற் கவரப்படுகின்றது ; G என்பது ABC என்னும் முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையமாயின், விளையுள் 3. PG எனக் காட்டுக.
12. P என்னும் ஒரு துணிக்கை A, B, C,... என்னும் புள்ளிகளின் முகமாக 2. PA, ப. PB, V.PC,... என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படுகின்ற விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்றது; G என்பது A, B, C,... என்பனவற்றிலே முறையே 2, 1. 9,... என்பனவற்றிற்கு விகித சமமாக வைக்கப்பட்ட நிறைகளின் புவியீர்ப்பு மையமாயின், அவற்றின் விளையுள் () + ப+y +) PG எனக் காட்டுக.
(இது பிரிவு 42 இன் பொதுமைப்பாடெய்திய வடிவு ; இதனை அப்பிரிவினுடைய தொடர்ந்த பிரயோகங்களாலே நிறுவலாம்.)
13. சீரான கோலொன்று தன்னுடைய முனைகளிலே இணைக்கப்பட்ட இரண்டு இழைக ளாலே தூக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழைகளுடைய மற்றை முனைகள் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அவ்விழைகளுடைய இழுவைகள் அவற்றினுடைய நீளங்களுக்கு விகித சமமெனக் காட்டுக.
தன்னுடைய கோணப் புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்ட மூன்று இழைகளாலே தூக்கப்படும் சீரான முக்கோணித் தகடொன்றுக்கும் அதே தொடர்பு உண்மையாகுமென்றும் காட்டுக.
14. ஒரு கூம்பினது தளவடியோடு கூடிய முழுப்பரப்பின் புவியீர்ப்பு மையம் அதன் கனவளவின் புவியீர்ப்பு மையத்தோடு பொருந்துமாறு அக்கூம்பின் உச்சிக் கோணத் தைக் காண்க. * 15. ஓருருளைக்கும் ஒரு கூம்பிற்கும் ஒரே பருமன் கொண்ட அடிகள் உள் ; அவ்வடிகள் ஒருமித்து இணைக்கப்பட்டால், அவற்றின் பொதுப் புவியீர்ப்பு மையம் பொதுவடியின் மையத் தில் இருக்குமாறு அவ்வுருளையின் உயரத்திற்கு அக்கூம்பின் உயரத்தின் விகிதத்தைக் காண்க.
16. சீரான உருளை யொன்றிலிருந்து தன் அடி உருளையின் அடியோடு பொருந்தும் ஒரு கூம்பை எவ்வாறு வெட்டினால், மீதித் திண்மத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் அக்கூம்பின் உச்சியோடு பொருந்துமெனக் காட்டுக.
17. ஒரு கூம்பின் அடியின் விட்டம் அதன் உயரத்திற்கு 1:/2 என்னும் விகிதத்தில் இருந்தால், அதிலிருந்து கூடியளவு மிகப் பெரிய கோளம் வெட்டப்படும் பொழுது மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம் அக்கூம்பின் புவியீர்ப்பு மையத்தோடு பொருந்துமெனக் காட்டுக.
18. தன்னுச்சிக்கோணம் 60° ஆயுள்ள சீரான நிமிர்கூம்பொன்றிலிருந்து கூடியளவு மிகப்பெரிய கோளம் வெட்டப்படுகின்றது; மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம் அச்சை 11 : 49 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கின்றதெனக் காட்டுக.

புவியீர்ப்பு மையம்
135.
19. நிமிர்வட்டக் கூம்புவடிவான ஒரு திண்மத்தின் அடி குடையப்பட அதனாலே -ஆக்கப் படுங் குழி அதே அடியையும் முந்திய கூம்பின் அரைப்பங்கு உயரத்தையுங் கொண்ட ஒரு. நிமிர் வட்டக் கூம்பாகின்றது ; அவ்வாறு ஆக்கப்படும் கூம்பின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது', நிலையைக் காண்க.
20. ABC என்னும் சீரான சமபக்க முக்கோணி A யிற்குச் நிலைக்குத்தாக மேலேயுள்ள' D என்னும் புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்ட BD என்னும் ஓர் இழையினாலே கோணம் A யானது. ஒப்பரவான ஒரு சுவரைத் தொட்டுக்கொண்டு இருக்கும்படியாகத் தாங்கப்படுகின்றது. அவ் விழை, நீளத்தில் அம்முக்கோணிப் பக்கமொன்றிற்குச் சமனாயின், அச்சுவரிலிருந்து B, C என்பனவற்றினுடைய தூரங்கள் 1: 5 என்னும் விகிதத்தில் உள்ளன வெனக் காட்டுக.
21. தன் அடியின் ஆரையினது நான்கு மடங்கு உயரங்கொண்ட ஒரு கூம்பு தன் அடியின் பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது ; தன் அடியும் அச்சும் நிலைக்குத்திற்குச் சமமாய்ச் சாய்ந்து கிடக்க அது ஓய்விலிருக்குமெனக் காட்டுக.
22. ஒரே திரவியத்தாலாகிய இரு நிமிர்கூம்புகளுக்குச் சமமான சாய்பக்கங்களும் முறையே 60%, 120° என்னும் உச்சிக் கோணங்களும் உண்டு ; அவை ஒரு சாய்பக்கம் பொருந்தும்படி யாகத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை பொதுவுச்சியிலிருந்து தூக்கப்பட்டால், தொடுகைக் கோடு நிலைக்குத்துடன் 15° இற் சாய்ந்திருக்குமெனக் காட்டுக.
23. தாளாற் செய்யப்பட்ட ஒரு முக்கோணித் துண்டு இரு பக்கங்களை இருகூறிடுங் கோடு பற்றி மடிக்க அதனுச்சி அதனடிமீது கிடக்கும்படி கொண்டு வரப்படுகின்றது. அம்முக்கோணி வடிவிலிருந்து இந்நிலையிலுள்ள தாளின் சடத்துவ மையத் தூரம் அதே கோட்டிலிருந்து மடிக்கப்படாத தாளின் சடத்துவ மையத் தூரத்தின் முக்காற்பங்கெனக் காட்டுக.
24. தன் நீளம் தன் அகலத்திற்கு (2 : 1 என்னும் விகிதத்திலுள்ள ஒரு விறைப்பான செவ்வகத்தாளானது தன்னுடைய நீண்ட பக்கங்கள் ஒரு கிடை மேசையின் விளிம்பிற்குச் செங்குத்தாயும் அதற்கு மேலாக நீண்டுள்ளதாயும் அம்மேசையின்மீது கிடக்கின்றது. மடிப்புக் கீறுகளானவை மூலைகளைத் தொடுக்கும் பக்கத்தின் மையத்திற்கூடாகச் சென்று அதனோடு 45° இற்குச் சமமான கோணங்களை ஆக்குமாறு அம்மேசைமீதுள்ள மூலைகள் சமச்சீரில் இரட்டிக்கப்படுகின்றன. இப்பொழுது அத்தாள் விழுகின்ற நிலையில் இருக்கின்றது ; முன், அம்மேசையின் மீது அதன் நீளத்தின் 28 பங்கு இருந்ததெனக் காட்டுக.
25. 0 பக்கங்ளுடைய ஓரொழுங்கான பல்கோணியினுடைய கோணங்களுள் m -1 இலே. ஒன்றுக்கொன்றாகச் சம் துணிக்கைகள் வைக்கப்படுகின்றன ; அப்பல்கோணியின் சுற்றுவட்ட மையத்திலிருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தூரம், T என்பது அவ்வட்டவாரையாயின்,
எனக் காட்டுக.
7 -1
26. ஒரு சதுரத் துவாரம் ஒரு வட்டத் தகட்டிலிருந்து அச்சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் அவ்வட்டவாரையாகும்படி துளைக்கப்படுகின்றது. a என்பது அவ்வட்டத்தின் விட்டமாயின்,
1
மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம் அவ்வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து.-- என்னும் தூரத்தி
லிருக்குமெனக் காட்டுக.
• 27. சீரான முக்கோணிப் பலகை ஒன்றிலிருந்து உள்வட்டப் பரப்புப்பகுதி நீக்கப். படுகின்றது ; S என்பது அப்பலகையின் பரப்பாயும் S என்பது அதனரைச் சுற்றளவாயு மிருந்தால், யாது மொரு பக்கம் a யில் இருந்து மீதியின் புவியீர்ப்பு மையம்
S 233 - 3TaS
எனக் காட்டுக.
3as s2 - Sா 28. தந்தவொரு பருமனுடைய ஒரு வட்டத் துவாரம் சீரான வட்டத் தட்டொன்றிலிருந்து துளைக்கப்படுகின்றது ; புவியீர்ப்பு மையம் ஒரு குறித்த வட்டத்திற்குட் கிடக்குமெனக் சாட்டுக.


Page 76
136
நிலையியல்
29. ஒருதள நாற்பக்கற் றகட்டினுடைய கோணப் புள்ளிகளும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியும் அத்தளத்தில் உள்ள யாதுமொரு கோட்டிலிருந்து a, b, c, d, 8 ஆகிய தூரங் களில் உள்ளன; அதே கோட்டிலிருந்து சடத்துவ மையத்தினது தூரம் (a+6+c+d -e) எனக் காட்டுக.
A, B, C, D என்பன அக்கோணப் புள்ளிகளாகுக ; E என்பது மூலை விட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியாகுக. ஆயின்,
AACD D யிலிருந்து AC யின்மீதுள்ள செங்குத்து DE_d -e
AACB B யிலிருந்து AC யின்மீதுள்ள செங்குத்து EB e-6 பிரிவுகள் 104, 111 என்பனவற்றால், கிடையச்சிலிருந்து AACD யின் புவியீர்ப்பு மையத்
a -+ C + 1
a + C +b ஆகும் ; AACB யினது -'
தூரம் "
"3- ஆகும்.
எனின், கிடையச்சியிலிருந்து பு.மை. இனது தூரம்
AACD x(a + C +d) + AACBx (a +6+C)
AACD +AACB (d -e) (a + C +d) + (e -6) (a +6+C)
(d -e) + (e -6) = { (a +6 +C +d - 6), சுருக்குதலால், 30. A, B என்பன m, n என்னும் இரு திணிவுகளுடைய நிலைகளாயும், G என்பது அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையமாயுமிருக்க, P என்பது யாதுமொரு புள்ளி ஆயின்,
m . AP2 +0. BP2 = m. AG2 +0. BG2 + (m +m) PG3 எனக் காட்டுக. அதுபோல, m, 7, ற,... என்னும் யாதுமொரு தொகைத் திணிவுகள் A, B, C,.... என்னும் புள்ளிகளில் இருக்க, G என்பது அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையமாயின் ,
m . AP2 +0. BP2 + p. CP3 + ...
= m . AG2 +0. BG3 + CG2 + ... + (m +++ ..) PG: எனக் காட்டுக.

அதிகாரம் X |
புவியீர்ப்பு மையம் (தொடர்ச்சி) 119. தன்னுடைய புள்ளிகளுள் ஒன்று மட்டுமே நிலையாயிருக்க, விறைப்பான ஒரு பொருள் சமநிலையில் இருந்தால், அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் அந்நிலையான புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோட்டில் இருக்கும்.
0 என்பது அப்பொருளினது நிலையான புள்ளி ஆகுக ; G அதன் புவியீர்ப்பு மையமாகுக.
அப்பொருளின் மீது தாக்குகின்ற விசைகள் அப்பொருளினுடைய தாங்கி யினது நிலையான புள்ளியிலுள்ள மறுதாக்கமும் அப்பொருளினுடைய சுற்றுப் பகுதிகளுடைய நிறைகளுமே.
இக்கூற்றுப் பகுதிகளுடைய நிறைகள் அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையத் தினூடாகச் செல்லும் ஒரு தனி நிலைக்குத்து விசைக்குச் சமம்.
அன்றியும், இரு விசைகள் ஒரு பொருளைச் சமநிலையில் வைத்திருக்கும் போது, அவை ஒன்றுக்கொன்று சமனாயும் எதிராயு மிருத்தலன்றி, அவற்றிற்கு ஒரே தாக்கக் கோடும் இருத்தல் வேண்டும். ஆனால், G யினூடாக வரையும் நிலைக்குத்துக் கோடு 0 என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்றாலன்றித் தாக்கக் கோடுகள் ஒன்றாகா.
இரு வகைகள் எழுகின்றன ; புவியீர்ப்பு மையம் G தொங்கற் புள்ளி 0 விற்குக் கீழே இருப்பது முதலாம் வகை ; G ஆனது 0 விற்கு மேலே இருப்பது இரண்டாம் வகை.
முதலாம் வகையில், சம நிலையில் இருக்கும்போது அப்பொருள் சிறிது பெயர்க்கப்பட்டால் அது இந்நிலைக்குத் திரும்பிவர முயலும் ; இரண்டாம் வகையில் அப்பொருள் சமநிலையை நாடாது.
வல்


Page 77
138
நிலையியல் *
120. யாது மொரு வடிவுடைய ஒரு பொருளின் புவியீர்ப்பு மையத்தைப் பரிசோதனை முறையாற் காணல்.
யாதுமொரு வடிவுடைய ஒரு தட்டை : அட்டைத் துண்டை எடுக்க. அதன் கண்ணே ஒரு சிற்றூசி சுயாதீனமாகப் போகத்தக்க பல சிறு துவாரங்கள் A, B, C, D, ... என்பனவற்
றைத் துளைக்க.
தொங்க (58)
E
அவ்வட்டையைத் துவாரம் A யிலே தொங்க விடுக ; அது சுயாதீனமாகத் தொங்கி ஓய்விற்கு வருமாறு விடுக. அவ்வட்டையின்மீது இப்பொழுது நிலைக்குத்தாயிருக்கின்ற AA' என்னுங் கோட்டைக் குறிக்க ஒரு முனையில், முன் சோக்குத் தேய்க் கப்பட்ட (ஒரு சிற்றீயக் குண்டைக் கொண்ட) ஒரு நுண்ணிழைத் துண்டை அவ்வூசியிலிருந்து தூக்குதலால் இது செய்யப்படலாம். இனி, அவ்விழை அவ்வட்டைக்கு எதிராக இலேசாக அடிக்கப்பட்டால், அது AA' என்று சொல் லப்படும் சோக்கிட்ட கோடொன்றைத் தரும். இனி, அவ்வூசியின்மீது துவாரம் B இருக்கும்படி, அவ்வட்டையைத் தூக்கி, முன்போல், இப் பொழுது நிலைக்குத்தாயிருக்கும் BB' என்னுங் கோட்டைக் குறிக்க.
தம்மூடாக அச்சிற்றூசி செல்கின்ற புள்ளிகள் C, D, E என்பனவாக மறுபடியும் அப்பரிசோதனையைச் செய்து ஒத்த நிலைக்குத்துக் கோடுகள் CC', DD', EE' என்பனவற்றைப் பெறுக.
AA', 'B', CC', DD', EE' ஆகிய சோக்கிட்ட கோடுகளெல்லாம் G என்னும் ஒரே புள்ளிக்கூடாகச் செல்வதைக் காணலாம். அத்தாளினது தடிப்புப் புறக்கணிக்கப்பட்டால், இப்புள்ளி G அதன் புவியீர்ப்பு மையமாகும். இப்பொழுது அவ்வூசி G யினூடாகச் செலுத்தப்பட்டால், அவ்வட்டை அது வைக்கப்பட்ட எந்நிலையிலும் ஓய்விற் கிடக்குமென்பது காணப்படும்.
121. ஒரு பொருள் தன்னடி ஒரு கிடைத்தளத்தைத் தொடும்படி வைக்கப்பட்டால், அப் பொருளின் புவியீர்ப்பு மைய தி கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்து கோடு அத்தளத்தை அவ் வடியின் உள்ளே, அல்லது வெளியே சந்திப்பதற்கேற்ப அது நிற்கும் அல்லது விழும்.
அப்பொருளின் மீது தாக்குகின்ற விசைகள் அதன் புவியீர்ப்பு மையம் G யிலே தாக்குகின்ற அதன் நிறையும் அப்பொருளின் அடியிலுள்ள வெவ் வேறு புள்ளிகளிலே தாக்குகின்ற அத்தளத்தினுடைய மறுதாக்கங்களுமே.

புவியீர்ப்பு மையம்
139
இம்மறுதாக்கங்களெல்லாம் நிலைக்குத்தானவை. எனின், அவை அடியிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலே தாக்குகின்ற ஒரு தனி நிலைக்குத்து விசை யாகக் கூட்டப்படலாம்.
9. * ப்
C :
- இ
இரண்டு நிகர்த்த சமாந்தர விசைகளின் விளையுள் அவ்விசைகளுக்கு இடையேயுள்ள ஒரு புள்ளியில் என்றும் தாக்குகின்றமையால், அப் பொருளின் அடியின் மீதுள்ள எல்லா மறுதாக்கங்களின் விளையுள், அவ்வடிக்கு வெளியாலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கூடாகத் தாக்கமாட்டாதென்பது பெறப்படும்.
எனின், அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு அத்தளத்தை அடிக்கு வெளியாலுள்ள ஒரு புள்ளியிற் சந்தித்தால், அவ்விளையுள் மறுதாக்கத்தாற் சமநிலையடையாது ; ஆகவே அப்பொருள் சமநிலையில் இருத்தல் இயலாது ; ஆனால் அது கவிழல் வேண்டும்.
மேற்றந்த உருவத்திலுள்ளதுபோல், அப்பொருளின் அடி ஓர் உள்ளுறு கோணமுடைய ஓர் உருவமாயின், விவரணத்திலுள்ள "அடி'' என்னும் 4 சொல்லின் கருத்தைக் கேத்திரகணித அடியைச் சுற்றி இறுக்கமாக.
D
E
ஓரிழைத் துண்டை இழுப்பதாற் பெறப்படுகின்ற உருவத்திலுள்ள பரப்பைக் கருதுமாறு விரித்தல் வேண்டும். ஆகவே, மேலுள்ள உருவத்தில் " அடி '' என்னுஞ் சொல் ABDEFA என்னும் பரப்பைக் கருதுகின்றது.


Page 78
140
நிலையியல்
உதாரணமாக, விளையுள் மறுதாக்கம் தாக்குகின்ற புள்ளி C என்பது AHB என்னும் பரப்பிற்குட் கிடக்கலாம்; ஆனால், அது குத்திட்ட கோடு
• AB என்பதற்கு வெளியே கிடத்தல் இயலாது.
புள்ளி C என்பது A, B என்பனவற்றிற்கு இடையில் AB என்னும் கோட்டின்மீது கிடந்தால், அப்பொருள் கவிழும் நிலையில் இருக்கும்.
உ-ம். அடியின் ஆரை ஆயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஓர் உருளை சாய்தளத்தின் மீது வைக்கப்பட்டு வழுக்குதலி னின்றுந் தடுக்கப்படுகின்றது ; அத்தளத் தின் சாய்வு படிப்படியாய்க் கூட்டப்பட்டால், அவ்வுருளை எப்பொழுது கவிழுமெனக் காண்க.
கவிழும் நிலையிலுள்ள அவ்வுருளையின் வெட்டை உரு வமானது குறிக்க ; ஆகவே, அப்பெருளின் புவியீர்ப்பு மையம் G யினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு அடியின் முனை A யினூடாகச் செல்லல் வேண்டும். எனின், CAD என்பது அத்தளத்தின் சாய்வுக் கோணம் a விற்குச் சமனாதல் வேண்டும்.
h CB எனின்,
2. = = தான் CAB = கோதா ;
27
ஃ தான் = இது வேண்டிய தளச் சாய்வைத் தருகின்றது. உறுதிச் சமநிலையும் உறுதியில் சமநிலையும் நொதுமற் சமநிலையும். 122. பிரிவு 119 இன் முதலாம் உருவத்திலுள்ள பொருள் சிறிது பெயர்க்கப்பட்டாற் சமநிலையை அடையும் தன்னிலைக்குத் திரும்பிவரு மென்றும் இரண்டாம் உருவத்திலுள்ள பொருள் சமநிலையை அடைந்த தன் முந்திய நிலைக்குத் திரும்ப நாடாது அந்நிலையிலிருந்து இன்னும் அப்புறம் விலகுமென்றும் பிரிவு 119 இற் காட்டினோம்.
இந்த இரண்டு பொருள்களும் முறையே உறுதிச் சமநிலை, உறுதியில் சம நிலை என்பவற்றில் இருக்கின்றன வெனப்படும்.
இனி, ஒரு கிடைத்தளத்தோடு தனது தட்டையான வட்டவடி தொட்டுக் கொண்டு இருக்கின்ற ஒரு கூம்பானது, சிறிது பெயர்க்கப்பட்டாற் சமநிலையை அடையும் நிலைக்குத் திரும்பி வரும் ; தன்னுச்சி அத்தளத்தோடு தொட்டுக் கொண்டிருக்கும்போது பெயர்க்கப்பட்டாற் சமநிலையை அடையும் தன்னிலையி லிருந்து இன்னும் அப்புறம் விலகும் ; தன் சாய்பக்கம் அத்தளத்தோடு தொட்டுக்கொண்டு இருக்கும்படி வைக்கப்பட்டால் யாதொரு நிலையிலும் அது சமநிலையில் இருக்கும். பின்னதாகிய வகையிலுள்ள சமநிலை நொதுமற் சம நிலை எனப்படும்.
123. இனி தன் புவியீர்ப் மையந் தன் மையத்தில் இல்லாத ஒரு பார மான் கோளம் ஒரு கிடைத் தளத்தைத் தெரட்டுக் கொண்டிருப்பதைப் பற்றி ஆராய்க.

புவியீர்ப்பு மையம்
141
முதலாம் உருவஞ் சமநிலையை அடைந்த நிலையைக் குறிக்க ; இங்கு புவியீர்ப்பு மையம், 0 என்னும் மையத்திற்குக் கீழ் G1 ஆய், அல்லது
:) (1)
அதற்கு மேல் G, ஆய் இருக்கின்றது. இரண்டாம் உருவம் ஒரு சிறு கோணத்திற் கூடாகத் திரும்பிய கோளத்தைக் குறிக்க ; இங்கு B இப் பொழுது அத்தளத்தோடு தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்ற புள்ளியாகும்.
அத்தளத்தின் மறுதாக்கம் இன்னும் அக்கோளத்தின் மையத்தினூடாகத் தாக்கும்.
அப்பொருளினது நிறை G, இனூடாகத் தாக்கினால் அப்பொருள் சம நிலையை அடைந்த தன் முந்திய நிலைக்குத் திரும்பி வருமென்பதும், அதனாலே அது முன்னர் உறுதிச் சமநிலையில் இருந்ததென்பதும் தெளிவு.
அந்நிறை G, இனூடாகத் தாக்கினால், அப்பொருள் சமநிலையை அடைந்த தன் முந்திய நிலையிலிருந்து இன்னும் அப்புறம் இயங்கும் ; ஆகவே அது
முன்னர் உறுதியில் சமநிலையில் இருந்தது.
எனினும், அப்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் 0 வில் இருந்தால், இரண்டாம் உருவத்தில், அந்நிறை அத்தளத்தின் மறுதாக்கத்தால் இன்னுஞ் சமமாக்கப்படும் ; இவ்வண்ணம் அப்பொருள் புதிய நிலையில் இருக்கும் ; இச்சமநிலை நொதுமற் சம நிலை எனப்படும்.
124. வரை. ஒரு பொருள் சமநிலையை அடையும் நிலையிலிருந்து சிறிது பெயர்க்கப்பட அப்பொருளின் மீது தாக்கும் விசைகள் சம நிலைக்கு அதனைத் திரும்பிவரச் செய்தால் அது உறுதிச் சமநிலையில் இருக்கின்றதெனப்படும் ; அது சிறிது பெயர்க்கப்பட, அது சமநிலையை அடையும் நிலையிலிருந்து விசைகள் இன்னும் அப்புறம் அதனை இயக்க முயன்றால் அது உறுதியில் சமநிலையில் இருக்கும்; அதன் பெயர்க்கப்பட்ட நிலையில் அதன்மீது தாக்கும் விசைகள் சமநிலையில் இருந்தால் அது நொதுமற் சமநிலையில் இருக்கும்.
பொதுவாக, நுனி பாரமான, அல்லது சிற்றடிகளையுடைய பொருள்கள் உறுதியில் சமநிலையில் இருக்கும். -
இவ்வண்ணம், கொள்கையளவில், நிமிர்ந்த நிலையிலே தன் கூர் ஒரு கிடை மேசையின்மீது கிடக்க ஒரு குண்டூசியானது சமநிலையில் இருக்கும்படி . வைக்கப்படலாம் ; செய்கையளவில், அடி மிகச் சிறிதாயிருப்பதால் ஒரு சிறிய பெயர்ச்சி அதன் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்


Page 79
142
நிலையியல்
குத்தை அதன்டிக்கு வெளியாகக் கொண்டு செல்லும் ; அதனாலே அது விழும். அவ்வாறே மேசையின்மீது தன் முனை நிலைக்குத்தில் வைக்கப்பட்ட ஒரு பிலியாட்டுத் தடியும் விழும்.
பொதுவாக, புவியீர்ப்பு மையமானது ஒரு பொருள் எடுக்கக்கூடிய மிகத் தாழ்ந்த நிலையில் இருந்தால், அப்பொருள் உறுதிச் சமநிலையை அடைந்த நிலையில் இருக்கும் ; உதாரணங்கள், கடிகாரவூசலும் முந்திய பிரிவிலுள்ளதுமாகும் ; கடிகாரவூசல் பெயர்க்கப்பட்டால் என்றும் ஓய்வு நிலைக்குத் திரும்பிவரும்.
இனி, இறுக்கமான ஒரு தாம்பின்மீது நடக்கும் ஒரு மனிதனைப்பற்றி ஆராய்க. அவன், ஒரு முனையிலே மிக்க பாரங்கொண்ட ஒரு கோலை என்றும் காவுகிறான் ; அதனாலே அக்கோலோடு கூடிய அவனது புவி யீர்ப்பு மையம் என்றும் அவனுடைய அடிகளுக்குக் கீழே இருக்கும். அவன் ஒரு திசையிலே தான் விழுவதாக உணரும்பொழுது இப்புவி யீர்ப்பு மையம் தன்னுடைய அடிகளின் மற்றைப் பக்கத்தில் இருக்கும்படி அக்கோலைப் பெயர்க்கின்றான்; பின்னர், விளையுள் நிறை நிமிர்ந்த நிலைக்கு மறுபடியும் அவனை இழுக்கின்றது.
அறிமுறையில், ஒரு பொருளுக்குச் சமநிலையை அடையும் நிலை ஒன்றுக்கு மேற்பட்டனவாயிருந்தால், பொதுவாகப் புவியீர்ப்பு மையம் மிகத் தாழ்ந்த தாகவுள்ளதே உறுதிச் சமநிலைக்கு உரியதாகும் ; புவியீர்ப்பு மையம் மிக வுயர்ந்ததாகவுள்ளது உறுதியில் சமநிலைக்கு உரியதாகும்.
125. உ-ம். ஓர் உருளையும் ஓர் அரைக்கோளமுந் தம்மடியிற் பொருத்தப்பட்டுள்ள ஏகவினப் பொருளொன்று அரைக்கோளமுனை ஒரு கிடை மேசையின்மீது கிடக்கும்படியாக வைக்கப்படுகின்றது. சமநிலை உறுதியுள்ளதா, அல்லது உறுதியில்லாததா?
G, G, என்பன அரைக்கோளம், உருளை என்பனவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களாகுக ; A என்பது அம்மேசையோடு தொடக்கத்திலே தொட்டுக்கொண் டிருந்த அப்பொருளிலுள்ள புள்ளியாகுக ; 0 என்பது அவ்வ ரைக் கோளத்தின் அடியின் மையமாகுக.
h என்பது அவ்வுருளையின் உயரமாயும், T என்பது அதனடி யின் ஆரையாயும் இருந்தால்,
OG, = ", OG, = ; (பிரிவு 117).. அன்றியும், அவ்வரைக் கோளத்தினது நிறையும் உருளையி னது நிறையும் : ரா3, எ .rah என்பனவற்றிற்கு விகிதசமம். * அப்பொருளின் பெயர்க்கப்பட்ட நிலையில், அத்தளத்தின் மறுதாக்கம் மையம் 0 வினூடாக என்றும் செல்லும்.
அக்கூட்டுப் பொருளின் சமநிலை உறுதியுள்ளது, அல்லது உறுதியில்லாதது என்பது அதன் புவியீர்ப்பு மையம் G ஆனது 0 விற்குக் கீழே, அல்லது மேலே இருப்பதற்குத் தக்கதாகும்;
அதாவது OG,x அரைக்கோள நிறை, OGex உருளை நிறை என்பதற்குத் தக்கதாகும்.

புவியீர்ப்பு மையம்
143
அதாவது, இrxா
'
எல்
;x7 72% என்பதற்குத் தக்கதாகும்.
அதாவது,
h2, என்பதற்குத் தக்கதாகும்.
Tல * A V /\ V /\ V /\ V
அதாவது,
V2h என்பதற்குத் தக்கதாகும்.
அதாவது,
hேx1•42 ... என்பதற்குத் தக்கதாகும்.
6ம்
*126. இந்நூலினுடைய எல்லைகளுக்குள் ஒரு பொருள் ஒரு பொருளின் மீது சமநிலையில் இருத்தலைப்பற்றிப் பொதுவாராயச்சி செய்தல் இயலாது : மேல்வரும் பிரிவில், இரு பொருள்களுடைய தொடும் பகுதிகள் கோள் வடிவாயுள்ள வகையை ஆராய்வோம்.
ஒன்றையொன்று தொடும் இரு பொருள்களினுடைய தொடும் பகுதிகள் 1, R என்னும் ஆரைகளையுடைய கோளங்களாயிருக்க, அவற்றுள் ஒரு பொருளானது மற்றைப் பொருளின் மீது சமநிலையில் இருக்கின்றது; இரு பொருள்களும் வழுக்குதலைத் தடுத்தற்குப் போதிய உராய்வுடையனவாயின், முதலாம் பொருள் சிறிது பெயர்க்கப்பட்டாற் சமநிலை உறுதியுள் ளதா, அல்லது உறுதியில்லாததாவெனக் காணல்.
0 என்பது கீழ்ப்பொருளின் கோளப்பரப்பு மையம் ஆகுக; 0, மேற் பொருளினதாகுக; சமநிலை இருக்கின்றமை யால் மேற்பொருளின் புவியீர்ப்பு மையம் G, என்பது அப்பொருள்களுடைய தொடு புள்ளி A யிற் கூடாகச் செல்கின்ற 00, என்னும் கோட்டில் இருத்தல் வேண்டும். A,G என்பது h ஆகுக. உருளலாலே மேற்பொருளானது சிறிது பெயர்க்கப்படுக; ஆயின், மேற் பொருளின் மையத்தின் புதிய நிலை, 0, ஆயும் புதிய தொடுபுள்ளி A, ஆயும் புவியீர்ப்பு மையத் தின் புதிய நிலை G, ஆயும் A, என்பதன் .. புதிய நிலை C ஆயும் இருக்கும். எனின், CG) என்பது h ஆகும். 'A, இற்கூடாக A,L என்பதை நிலைக்குத்தாக , 0, 0 என்பதை L இற் சந்திக்கும்படி வரைக ; 0,M ஐ நிலைக்குத்தாகக் கீழ் நோக்கி A, இற்
கூடாகச் செல்லும் ஒரு கிடைக்கோட்டை M இற் சந்திக்கும்படி வரைக.
கோணம் A,OA,' என்பது 0 ஆகுக ; A,0,0 என்பது ¢ ஆகுக. ஆயின், கோணம் COM என்பது (0+8) ஆகும்.
மேற் பொருளானது தனது புதிய நிலைக்கு உருண்டமையால், வில் ATA, என்பது வில் CA) இற்குச் சமன்.


Page 80
144
நிலையியல்
.... (1),
எனின், (திரிகோணகணித மூலகங்கள், பிரிவு 158) நாம் பெறுவது
R. 0 = ". ......... இங்கு 1, R என்பன முறையே மேலேயும் கீழேயுமுள்ள பரப்புக் களுடைய ஆரைகள்.
G2 ஆனது A,L என்பதற்கு இடமாக, அல்லது வலமாகக் கிடப்பதற்குத் தக சமநிலை உறுதியுள்ளது, அல்லது உறுதியில்லது. அதாவது, OM இலிருந்து G, இனது தூரம்.
20,M இலிருந்து L இனது தூரம் அதாவது A,M என்பதற்குத் தக்கது,
அதாவது, 0,G, சைன் (0 +4) 20,A, சைன் 6 என்பதற்குத் தக்கது.
அதாவது, (r - h) சைன் (0 +்) 2r சைன் 6 என்பதற்குத் தக்கது.
r -h - சைன் 8 அதாவது -
என்பதற்குத் தக்கது. - சைன் (0 + $ )
சைன் 8 ஆனால்,
சைன் (9 +4)9 +்; (0, ¢ என்பன மிகச் சிறியன வாதலால்)
=, R, சமன்பாடு (1) ஆல், எனின், சமநிலை உறுதியுள்ளது, அல்லது உறுதியில்லது என்பது
* - * -
--< ++R என்பதற்குத் தக்கது,
அதாவது, " --
r+ R
என்பதற்குத் தக்கது,
Rர அதாவது, 22 h என்பதற்குத் தக்கது ;
1 1 1 அதாவது, > +R என்பதற்குத் தக்கது. 1 1 1 ந==+2 ஆயின், சம நிலை சில வேளைகளிலே நொதுமலானதெனப் படும் ; எனினும், அது உறுதியில்லது ; ஆனால் அவ்வாராய்ச்சி இந்நூலி
னுடைய எல்லைகளுக்கு அப்பாற்பட்டது.
- 1 1 1 . எனின்,
>+ E ஆனால் சமநிலை மட்டுமே உறுதியாகும். வேறு வகைகள் எல்லாவற்றிலும் அது உறுதியில்லாதது.

புவியீர்ப்பு மையம்
145
கி.தே. 1. கீழ்ப் பொருளினுடைய பரப்பு மேற்றந்த உருவத்தில உள்ளவாறு குவிவுள்ளதாகாது பின்வரும் உரு வத்திலுள்ளவாறு குழிவுள்ளதாயின், மேலுள்ள ஆராய்ச்சி R இனது குறியை மாற்றிய பின்னும் உண்மையாகும்.
1 1 1 எனின், > - 8 ஆயின், சமநிலை
உறுதியுள்ளதாகும். 4. அல்லாவிட்டால் அது பொது வாக உறுதியில்லாததாகும்.
கி.தே. 2. பின்வரும் உருவத்தில் உள்ளவாறு மேற்பொருளினுடைய
ஒரு முகம், கீழ்ப்பொருளோடு தொட்டுக்கொண்டிருந் * தால், " பெறுமானம்பற்றி முடிவிலி ஆகும் ;
1)
ஆகவே' - பூச்சியமாகும்.
க்
> ஆயின்,
அதாவது h ஆயின், அதாவது, » 

Page 81
146
நிலையியல்
2. 18 கனவங்குலக் கனவளவுள்ள ஓர் உலோகத்துண்டு 30° சாய்வுள்ள ஒரு சாய்தளத் தின்மீது தன் அடி கிடக்கின்ற ஓர் உருளையாக ஆக்கப்பட்டு வழுக்குதலினின்றுந் தடுக்கப்படு > கின்றது. அவ்வுருளை மட்டாகக் கவிழாதிருக்கும்படி எவ்வுயரங்கொண்டதாய் ஆக்கப்படலாம்?
3. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணித் தகடு தன் விளிம்பு AB என்பது ஒப்பமான ஒரு மேசையைத் தொட்டுக் கொண்டிருக்க ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே மட்டாக ஓய்விலிருக்கு
மாயின்
BC? ~ AC2 = 3 AB2 என நிறுவுக. 4. நிறை W உடைய சீரான சதுரத்தட்டு ABCD என்பதன் பக்கம் CD என்பது E யில் இருகூறிடப்பட, முக்கோணி AED என்பது வெட்டியெடுக்கப்படுகின்றது. ABCEA என்னுந் தகடு தன் பக்கம் ஒரு கிடைத்தளத்திற் கிடக்கும்படி ஒரு நிலைக்குத்தாக வைக்கப்படு கின்றது. அத்தட்டைக் கவிழ்க்காது A யில் வைக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய நிறையாது ?
5. ABC என்பது ஒரு தட்டைப் பலகை ; A என்பது ஒரு செங்கோணம் ; AC ஆனது ஒரு தட்டை மேசையைத் தொட்டுக் கொண்டு கிடக்கின்றது ; D என்பது AC யின் மையம் ; முக்கோணி ABD வெட்டியெடுக்கப்படுகின்றது ; அம்முக்கோணி மட்டாக விழும் நிலையில் இருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
6. ஒரு செங்கல்லானது தனது நீளத்தின் காற்பங்கு ஒரு சுவரின் விளிம்பிற்கு மேலாக நீண்டிருக்கும்படி வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; பின்னர் ஒரு செங்கல்லும் ஒரு செங்கல்லிற் காற்பங்கும் முதலாஞ் செங்கல்லின் விளிம்பிற்கு மேலாக ஒரு செங்கல்லின் காற்பங்கு நீண்டிருக்கும்படி அம்முதலாவதன்மீது வைக்கப்படுகின்றன ; ஒரு செங்கல்லும் அதன் பாதியும் இதன்மீது வைக்கப்படுகின்றன ; இவ்வாறே பிறவும் ; இவ்வாறு நாலொ ழுங்கு செங்கற்கள் வைக்கப்பட்டால் அவை சாந்தின்றிச் சமநிலையில் இருக்குமென்றும், ஐந்தாம் ஒழுங்கு வைக்கப்படின் அக்கட்டுக் கவிழுமென்றுங் காட்டுக.
7. வழுக்குதல் இல்லையாயின், தம் தடிப்புத் தம் விட்டங்களின் 25 இற்குச் சமனான ஒரே பருமனையுடைய நாணயங்களுள் எத்தனை, தன் உயரம் அடியின் பங்கான ஒரு சாய்தளத்தின் மீது ஓர் உருளையடுக்கிலே நிற்கக் கூடும்?
ஒவ்வொரு நாணயத்தின் விளிம்புந் தனக்குக் கீழே உள்ள நாணயத்தின் விளிம்புடன் ஒரு பக்கத்திலே மேவிப் பொருந்துமாயின், வரையறையில்லா உயரத்தையுடைய ஓரடுக்கு அத்தளத்தின் மீது நிற்றற்கு ஒவ்வொன்றும் விட்டத்தின் எப்பின்னத்தாலே மேவிப் பொருந்தல் வேண்டுமெனக் காண்க.
8. ஒவ்வொன்றும் 9 அங். நீளமும் 4 அங். அகலமும் 3 அங். தடிப்புமுள்ள ஒரு தொகைச் செங்கற்களின் மிக்க ஒடுக்கமான பரப்புக்கள், அல்லது தடிப்புக்கள் ஒரே நிலைக்குத்துத் தளத்திற் கிடக்க ஒவ்வொரு செங்கல்லும் தனக்குக் கீழுள்ளதை அரையங்குலத்தால் மேவிப் பொருந்தும்படி அச்செங்கற்கள் ஒன்றின் மேலொன்றாக வைக்கப்படுகின்றன ; மிகத் தாழ்ந்த செங்கல் ஒரு மேசையின்மீது வைக்கப்பட்டால், எத்தனை செங்கற்கள் விழாதவாறு வைக்கப் படலாம் ?
9. ABC நிறை W ஆயும் கோணம் A 120° ஆயுமுள்ள இருசமபக்க முக்கோணி, ; அம்முக்கோணியினது தளம் நிலைக்குத்தாக இருக்க, AB என்னும் பக்கம் ஒப்பமான ஒரு
W கிடை மேசையின் மீது கிடக்கின்றது; என்னும் ஒரு நிறை C யிலே தூக்கப்பட்டால், அம்முக்கோணி கவிழும் நிலையிலே மட்டாக நிற்குமெனக் காட்டுக.
10. ABCD என்னும் ஒரு நாற்பக்கற்றகடு, AC என்னும் ஒரு பொதுவடிக்கு எதிர்ப்பக்கங்களில் B, D என்பனவற்றைத் தம்முச்சிகளாயுள்ள சீரான இருசமபக்க முக்கோணி கள் ABC, ADC என்னும் இரண்டினால் ஆக்கப்படுகின்றது; கோணம் ABC என்பது

புவியீர்ப்பு மையம்
மையம்
147
ஒரு செங்கோணம் ; ADC யின் பரப்பு ABC யின் பரப்பினது நாலு மடங்கிலும் பெரிதன் றெனின், அத்தகடு BC ஒரு இடைத் தளத்தில் இருக்க, ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே ஓய்லி லிருக்குமெனக் காட்டுக.
11. ஒரே அடியின்மீது ஒரு கூம்பையும் ஓரரைக் கோளத்தையுங் கொண்ட ஒரு பொருள், அவ்வரைக்கோளம் மேசையோடு தொட்டுக்கொண்டிருக்குமாறு ஓர் ஒப்பமில் இடை மேசை யின்மீது கிடக்கின்றது ; சமநிலை உறுதியுள்ளதாகும் வண்ணம் அக்கூம்பின் மிகப்பெரிய உயரத்தைக் காண்க.
12. ஒரு திண்மம், அடியோடு அடி பொருத்தப்பட்ட ஓர் உருளையையும் சமவாரையுடைய ஓர் அரைக்கோளத்தையுங் கொண்டுள்ளது ; அவ்வரைக்கோளப் பரப்பு ஒரு கிடைத்தளத்திற் கிடக்கும்பொழுது சமநிலை நொதுமலாகும் வண்ணம் அவ்வுருளையின் உயரம் ஆரைக்கு என்ன விகிதத்தில் இருத்தல் வேண்டுமெனக் காண்க.
13. ஓர் அரைக்கோளம், சமவாரையுடைய ஒரு கோளத்தின்மீது சமநிலையிற் கிடக்கின்றது; அக்கோளத்தின்மீது கிடக்கும் அரைக்கோளத்தின் பரப்பு வளைபரப்பாயின், சமநிலை உறுதி யில்லாததென்றும் தட்டைப் பரப்பாயின் அது உறுதியுள்ளதென்றும் காட்டுக. > 14. பாரமான ஒரு நிமிர் கூம்பு தந்த ஆரையுடைய ஒரு நிலையான ஒப்பமில் கோளத்தின் மீது தன்னடி கிடக்க ஓய்விலிருக்கின்றது ; அக்கூம்பு உறுதிச் சமநிலையிலிருந்தால், அக்கூம்பின் மிகப் பெரிய உயரத்தைக் காண்க.
15. 26 தடிப்புள்ள சீரான வளையொன்று, a ஆரையுடைய ஓர் ஒப்பமில் கிடையுருளையின் மீது சமச்சீராய் ஓய்விலுள்ளது ; 6 என்பது a யிலுஞ் சிறிது, அல்லது பெரிது என்பதற் கேற்ப, அவ்வளையின் சமநிலை உறுதியுள்ளது, அல்லது இல்லதென நிறுவுக.
16. பாரமான சீர்ச் சதுரமுகியொன்று ஆரை " கொண்ட ஒரு கோளத்தின் மிகவுயர்ந்த புள்ளியிற் சமநிலை அடைகின்றது. அக்கோளம் வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்குத் தக்க
707
கரடுமுரடானதாயும், அச் சதுரமுகியின் பக்கம் - ஆயும் இருந்தால், அச்சதுரமுகி விழாது ஒரு செங்கோணத்தினூடாக ஆடுமெனக் காட்டுக.
17. உச்சிக் கோணம் . ஆயுள்ள இருசமபக்க முக்கோணியொன்றின் வடிவைக் கொண்ட ஒரு தகடு ~ ஆரையுடைய ஒரு கோளத்தின்மீது தனது தளம் நிலைக்குத் தில் இருக்குமாறும் தன்னுடைய சம்பக்கங்களுள் ஒன்று அக்கோளத்தைத் தொட்டுக் கொண்டு இருக்குமாறும் வைக்கப்படுகின்றது ; அம்முக்கோணியினுடைய சம்பக்கங்களுள் ஒன்று a ; அம்முக்கோணி
- 37 தனது தளத்திலே சிறிது பெயர்க்கப்பட, சைன் < < .
ஆயின், சம நிலை உறுதியான தெனக் காட்டுக.
18. W என்னும் ஒரு நிறை, தரப்பட்ட நிலையுடைய ஒரு நிலையான கப்பியைச் சுற்றிச் செல்கின்ற ஓர் இழையினால் W வோடு தொடுக்கப்பட்ட P என்னும் தந்த ஒரு நிறையினால ஒப்பரவான ஒரு சாய்தளத்தின்மீது தாங்கப்படுகின்றது. அத்தளத்தின்மீது W வினது. நிலையைக் காண்க ; அந் நிலை உறுதியுள்ளதா, அல்லது உறுதியில்லதா என்றும் துணிக.
19. 1. ஆரையும் p நிறையும் உடைய கரடுமுரடான சீரான வட்டத்தட்டொன்று தன் மையத்திலிருந்து ( தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றி இயங்கக்கூடியது. வழுக்குதலைத் தடுத்தற்குத்தக்க கரடுமுரடான தன்மையுள்ள ஓர் இழை பரிதிக்கு மேலாகத் தூங்கி W, w என்னும் இரண்டு சமனில் நிறைகளைத் தன்னுடைய முனைகளிற் காவுகின்றது. சம நிலையடையும் நிலையைக் காண்க ; அச்சமநிலை உறுதியுள்ளதா, அல்லது உறுதியில்லதா என்றுந் துணிக.
20. ஒரு திண்மக்கோளம் தன்னாரையின் இரு மடங்கான ஆரையுள்ள ஒரு நிலையான ஒப்பரவில்லா அரைக்கோளக் கிண்ணத்திற்குள்ளே கிடக்கின்றது. அக்கோளத்தின் மிகவுயர்ந்த புள்ளிக்கு எத்துணைப் பெரிய நிறையைத் தொடுத்தாலும் சமநிலை உறுதியுள்ளதெனக் காட்டுக.
7-R 6734 (6/06)


Page 82
148
நிலையியல்
21. 6 ஆரையும் W நிறையும் உடைய ஒரு மெல்லிய அரைக்கோளக் கிண்ணம் வழுக்குதலைத் தடுத்தற்குப் போதியவளவு கரடுமுரடான ஒரு நிலையான கோளத்தின் மிகவுயர்ந்த புள்ளியின்மீது சம நிலையிற் கிடக்கின்றது ; அந் நிலையான கோளத்தின் ஆரை 7 ஆகும். அக்கிண்ணத்திற்குள்ளே ய நிறையுள்ள ஓர் ஒப்பாவான சிறு கோளம் வைக்கப்படுகின்றது.
a - 5 w < W . -, ஆனாலன்றிச் சமநிலை உறுதியாகாதெனக் காட்டுக.

அதிகாரம் XI
வேலை 127. வேலை. வரை. ஒரு விசையின் பிரயோக புள்ளி அவ்விசையின் திசையிலே இயங்கும்பொழுது அவ்விசை வேலை செய்கிறதெனப்படும்.
ஒரு வண்டியை இழுக்கும் பொழுது ஒரு குதிரையினால் உஞற்றப்படும் விசை வேலை செய் கிறது.
ஒரு நிறையை உயர்த்தும்பொழுது ஒரு மனிதனால் உஞற்றப்படும் விசை வேலை செய் கிறது.
ஓரெஞ்சினின் முசலத்தை இயக்கும்பொழுது கொதி நீராவியின் அமுக்கம் வேலை செய் கிறது.
ஒரு மனிதன் கைக்கடிகாரத்தை, அல்லது கடிகாரத்தை முறுக்கும் பொழுது வேலை செய் கிறான். - ஒரு விசையினாற் செய்யப்படும் வேலையின் அளவு அவ்விசையானது தனது பிரயோகப்புள்ளியைத் தனது திசையிலே இயக்குகின்ற தூரத்தை அவ்விசையாற் பெருக்க வரும் பொருக்கமாகும்.
ஒரு பொருளின் புள்ளி A யிலே தாக்குகின்ற ஒரு விசை அப்புள்ளி A என்பதை D யிற்கு இயக்குகின்றதெனக் கொண்டால், P யினாற் செய்யப் படும் வேலையானது P என்பதை AD யினாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத் தால் அளக்கப்படும்.
A.
p1
புள்ளி D யானது அவ்விசை தாக்குகின்ற A யினது பக்கமுகமாக ' இருக்குமாயின், இவ்வேலை நேராகும் ; புள்ளி D யானது எதிர்ப் பக்கத்தில் இருந்தால், இவ்வேலை மறையாகும்.
இனி, அவ்விசையின் பிரயோகப் புள்ளி AB என்னுங் கோட்டிற் கிடக் காத புள்ளி C யிற்கு இயக்கப்படுகின்றதெனக் கொள்க.
CD யை AB அல்லது நீட்டிய AB யிற்குச் செங்குத்தாக வரைக. ஆயின், AD என்பது அப்பிரயோகப் புள்ளியானது விசையினது திசையில் இயக்கப்பட்ட தூரமாகும்.
- 5
எனின், முதலாம் உருவத்திற் செய்த வேலை Px AD ; இரண்டாம் உருவத்திற் செய்த வேலை -Px AD. விசையாற் செய்யப்படும் வேலை


Page 83
150
நிலையியல்
மறையாயிருந்தால், அவ்விசை தனக்கெதிராக வேலை செய்கின்றது எனக் கூறுதலால் இது சில வேளை உணர்த்தப்படும்.
AC என்பது AB யிற்குச் செங்குத்தாய் இருக்கும்போது புள்ளிகள் A, D என்பன ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் ; அவ்விசை P யினாற் செய்யப்படும் வேலை பூச்சியமாகும்.
உதாரணமாக, ஒரு பொருளானது ஒரு கிடை மேசையின்மீது அங்குமிங்குமாக இயக்கப்பட் டால், அதன் நிறையினாற் செய்யப்படும் வேலை பூச்சியமாகும்; அவ்வாறே, ஒரு பொருள் ஒரு சாய்தளத்தின்மீது இயக்கப்பட்டால், அத்தளத்தின் செவ்வன் மறுதாக்கத்தால் ஒரு வேலையுஞ் செய்யப்படாது. - 128. நிலையியலில் வழங்கப்படும் வேலையலகு அடி-இறாத்தல் எனக் கூறப்படும் ; அது ஓர் இறாத்தலுக்குச் சமனான ஒரு விசையானது தன் பிரயோக புள்ளியைத் தன் திசையிலே ஓரடிக்கூடாக இயக்கும்பொழுது அவ்விசையினாற் செய்யப்படும் வேலையாகும். வசதியற்றதாய் இருந்தாலும் "' அடி-இறாத்தல் " என்பதிலும் சிறந்த சொல் " அடி - இறாத்தல் நிறை "', என்பது.
இவ்வண்ணம், 10 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் 4 அடித்தூரத்திற்கூடாக விழும்பொழுது அப்பொருளினது நிறையாற் செய்யப்படும் வேலை 10x4 அடி-இறாத்தல்.
அப்பொருள் 4 அடி நிலைக்குத்துத் தூரத்திற் கூடாக உயர்த்தப்பட்டால், அதன் நிறையாற் செய்யப்படும் வேலை - 10x4 அடி-இறாத்தல் ஆகும்.
129. பிரிவு 127 இலே தந்த வேலையினது வரைவிலக்கணம் கட்டாய மாக இயக்கத்தைக் குறிக்கின்றது என்பது அவதானிக்கப்படும். ஒரு மனிதன் ஒரு பொருளை இயக்குதற்குப் பெருமுஞற்றுகையை வழங்கலாம்; எனினும் அப்பொருளின்மீது ஒரு வேலையுஞ் செய்யாதிருக்கலாம். - உதாரணமாக, ஒரு மனிதன் தான் இயக்கமுடியாத மிக்க பாரங்கொண்ட ஒரு வண்டியின் ஏர்க்காலில் இழுக்கின்றான் எனக் கொள்க. அவன் தன் வலிமை முழுவதையுங் கொண்டு இழுக்கலாம்; ஆனால், அவன் உஞற்றும் விசை பிரயோகபுள்ளியை இயக்காதிருக்கின்றமையால், அவன் ஒரு வேலையையும் (விஞ்ஞானரீதியில்) செய்யவில்லை.
130. தேற்றம். W என்பது ஒரு தொகைத் துணிக்கைகளின் மொத்த நிறையாயும், h என்பது அத்துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையம் உயர்த்தப்பட்ட தூரமாயும் இருந்தால் அத் துணிக்கைகளை ஒரு நிலையிலிருந்து மற்றை நிலைக்கு உயர்த்தும்போது செய்யப்படும் வேலை Wh எனக் காட்டல்.
01, 02, 03, ... 0, என்பன அத்துணிக்கைகளுடைய , நிறைகளாகுக ; 01, 22, 23, ... 0, என்பன தொடக்க நிலையில் ஒரு கிடைத்தளத்திற்கு மேலே உள்ள அவற்றினுடைய உயரங்களாகுக ; ல என்பது அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தின் உயரமாகுக.
ஆயின், பிரிவு 111 இற்போல், நாம் பெறுவது

வேலை
151.
0' = '
...........(2).
4,0, +202 +...-+ 20%a)
..(1). 01 +0, +...---w, இறுதி நிலையில் ல', ல,',...ல,' என்பன அத்துணிக்கைகளுடைய உயரங் . களாயும் ஐ' என்பது புதிய புவியீர்ப்பு மையத்தின் உயரமாயும் இருந்தால்,
- 20,0,' + ய,ல,' +...+ ஜ0%'
ய+2+... +ய. ஆனால், 01 +0, +... = W ஆயிருத்தலால், சமன்பாடுகள் (1), (2) என் பனவற்றிலிருந்து
11+யல,+...= W . 2, ய, '+ ய, ல,'+... = W.ல'
எனவரும். கழித்தலால்,
* 01 (1' - 01) + ய, (0,' - 02) +... = W (2 - ல) .ஆகும் ஆனால், இச்சமன்பாட்டின் இடக்கைக் கோவையானது தொடக்க நிலை யிலிருந்து இறுதி நிலைக்கு அத்தொகுதியினுடைய வேறுவேறு துனிக்கை களை உயர்த்துதற்கண்ணே செய்த மொத்த வேலையைத் தருகிறது ; அன்றியும், வலக்கைப் பக்கம்
= WXபுவியீர்ப்பு மையம் உயர்த்தப்பட்ட உயரம்
= W. h.. எனின், தேற்றம் நிறுவப்படுகின்றது. 131. வலு. வரை. ஒரு கர்த்தாவின் வலு அக் கர்த்தா அலகு நேரத்திற்குச் சீராய் வேலை செய்தால் அக் கர்த்தாவாற் செய்யப்படும் வேலையினது தொகையாகும்.
எந்திரிகளால் வழங்கப்படும் வலுவலகு பரிவலு எனப்படும். ஒரு கருவி நிமிடத்திற்கு 33,000 அடி - இறாத்தல் செய்யும்பொழுது, அதாவது, ஒரு நிமிடத்தில் ஓரடிக்கூடாக 33,000 இறாத்தலை உயர்த்தும் பொழுது, அல்லது ஒரு நிமிடத்தில் 100 அடிக்கூடாக 330 இறாத்தலை உயர்த்தும் பொழுது, அல்லது ஒரு நிமிடத்தில் 1,000 அடிக்கூடாக 33 இறாத்தலை உயர்த்தும் பொழுது, அக்கருவி ஒரு பரிவலுவோடு வேலை செய்கின்றது எனப்படும்.
ஒரு பரியினது வலுவின் இம்மதிப்பு வாற்று என்பவராற் செய்யப்பட்டது; ஆனால் இது பொதுவான குதிரைகளின் வல்லமைக்கு மேற்பட்டது. பரிவலு என்னுஞ் சொல் வழக்கமாக ப. வ. எனக் குறிக்கப்படும்.
132. அத்துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையத்தினுடைய ஆரம்பலிறுதி நிலைகள் அத்துணிக்கைகளுடைய ஒழுங்குகளிலே தங்குமென்பதைத் தவிர, பிரிவு 130 இல் உள்ள முடிபு அத்துணிக்கைகளுக்கு அவற்றிடையேயுள்ள ஆரம்பவிறுதியொழுங்குகளிலே ஒருவாற்றாலும் தங்காதென்பது அவதா னிக்கப்படும்.


Page 84
152
நிலையியல்
உதாரணமாக, ஒரு குழி தரையிலே தோண்டப்படலாம். மண் உயர்த் தப்பட்டு அக்குழியின் மேற்புறத்திற் புவியின் பரப்பிற் பரப்பப்படலாம். நாம் வேண்டுவன ஆரம்பத்திலும் இறுதியிலும் உள்ள புவியீர்ப்பு மைய நிலைகளே ; ஆயின் செய்த வேலை அறியப்படும். இவ்வேலை மண்ணானது தன் ஆரம்ப நிலையிலிருந்து தனது இறுதி நிலைக்குச் சென்ற வழியை ஒருவாற்றாலுஞ் சாராது.
உ-ம். பக்கம் ஒவ்வொன்றும் 4 அடி நீளமான ஒரு சதுரத்தைத் தன் வெட்டாகவுள்ள ஒரு கிணறு 300 அடி ஆழமுள்ளதாய் நீராலே நிறைந்திருக்கின்றது ; தரை மட்டத் திற்கு அக்கிணற்றினது நீரைப் பம்பும்போது செய்யப்படும் வேலையை அடி இறாத்தலிலே காண்க.
இவ்வேலையை ஒரு மணிநேரத்திலே மட்டாக முடிக்கக்கூடிய எஞ்சினின் பரிவலுவையுங் காண்க.
[ந.க. ஒரு கன அடி நீர் 1,000 அவுன்சு நிறை கொண்டது.) ஆரம்பத்தில், அக்கிணற்றின் அடிக்குமேலே நீரின் புவியீர்ப்பு மையவுயரம் 150 அடி ; ஈற்றில் அது 300 அடி ; ஆகவே, புவியீர்ப்பு மையம் உயர்த்தப்பட்ட உயரம் 150 அடி.
நீரின் கனவளவு = 4x4x300 கன அடி. ஆகவே, அதன் நிறை = 4x4x300x1980 இறா. = 300,000 இறா.
எனின், செய்த வேலை = 300,000x150 அடி - இறா. = 45,000,000 அடி - இறா. ல என்பது வேண்டிய பரிவலுவாகுக. எனின், எஞ்சினால் ஒரு மணிநேரத்தில் செய்யப் பட்ட வேலை
= 2 x 60 x 33,000.
எனின்,
2x 60x33,000 = 45,000,000 ;
ஃ.ஐ = 22 8. 133. ஒரு விசையினாற் செய்யப்படும் வேலையின் வரைபு வகைக்குறிப்பு. ஒரு மரறும் விசையினாற் செய்யப்படும் வேலையை நேரே கணித்தல் சில வேளைகளில் ஆயாசமாகும் ; ஆனால், அண் ணளவு கூடிய படியொன்றிற்கு முடிபைப் பெறுதல் இயலக்கூடியதாய் இருக்கலாம்.
விசை எப்பொழுதும் OX என்னும் நேர் கோட்டிலே தாக்குகின்றதெனக் கொள்க; அதன் பிரயோகபுள்ளி A யில் இருந்து B
1 0 A LMN Bx யிற்கு இயங்கும்போது செய்யப்படும் வேலை யைக் காண்போம். A, B என்பனவற்றில் AC, DB என்னும் நிலைக்கூறுகளை இவ்விரு பிரயோகபுள்ளிகளுக்கும் விசையின் பெறுமானத் தைக் குறிக்கும்படி வரைக. ஒவ்வோரிடைப் பிரயோகபுள்ளி L இற்கும் LP என்னும் நிலைக்கூற்றை அத்தாக்கும் விசையின் ஒத்த பெறுமானத் தைக் குறிக்கும்படி வரைக ; ஆயின், இந்நிலைக்கூறுகளினுடைய நுனிகள் CPD போன்ற ஒரு வளையி மீது கிடக்குமென்பது தெளிவு.
L இற்கு மிகக் கிட்டிய ஒரு புள்ளி M ஐ எடுக்க ; எடுக்கும் போது, LM என்னுஞ் சிறு தூரத்திற்கூடாக அவ்விசையின் பிரயோக
PQRYD

வேலை
153
புள்ளி இயங்கும்போது அவ்விசை மாறாதிருக்கின்றதெனக் கொள்ளத்தக்க தாகக் கிட்டிய தூரத்தில் M இருத்தல் வேண்டும்.
ஆயின், அவ்விசையாற் செய்யப்பட்ட வேலை = அதன் பருமன்xஅதன் பிரயோக புள்ளி இயங்கிய தூரம் = LPxLM = ஏறத்தாழப் பரப்பு PM.
அதுபோல், பிரயோகபுள்ளி M இல் இருந்து N இற்கு இயங்கும் போது செய்யப்பட்ட வேலை.
= ஏறத்தாழப் பரப்பு QN, இவ்வாறே பிறவும். எனின், நீளங்கள் LM, MN, ... என்பன வரையறையின்றிச் சிறியன வாக எடுக்கப்படும் பொழுது, பிரயோகபுள்ளி A யில் இருந்து B யிற்கு இயங்கும்போது செய்யப்படும் வேலை ஏறத்தாழப் பரப்பு ACDB என்பதற்கு மேலும் மேலுஞ் சமமாகும்.
[வளையி CPI யினது வடிவம் ஒழுங்கில்லாததாயின், அதன் பரப்பள வின் பரும்படியான அண்ணளவு பின்வருமாறு காணப்படலாம் ; AB யை ஒரு தொகை (10 என்க) சமதுண்டங்களாகப் பிரிக்க ; இத்துண் உங்களுடைய நடு நிலைக்கூறுகளை எடுத்து அவற்றின் சராசரியைக் காண்க ; இச்சராசரி நிலைக்கூற்றை AB என்னுந் தூரத்தாற் பெருக்குக. இது ACDB யின் பரப்பின் அண்ணளவைத் தரும் என்பது தெளிவு].
134. மேற்றந்த அமைப்பிற்கு ஓர் உதாரணமாக, ஆரம்பத்திற் பூச்சியமாய் இருந்து தன் பிரயோக புள்ளி இயக்கப்படும் தூரத்தோடு மாறுகின்ற ஒரு விசையாற் செய்யப்படும் வேலையைக் காண்போம்.
இங்கு, AC = 0 ; ) என்பது யாதுமொரு மாறிலியாயின், NP = ).. AN.
PN
வயின "த )
ஃ தான் PAN == ; ஆகவே P என்பது A யினூடாகச் செல்"
AN லும் ஒரு நேர் கோட்டின் மீது கிடக்கும். செய்த வேலை = பரப்பு ABD = { AB . BD = 2. பிரயோகபுள்ளிப் பெயர்ச்சி x விசையின் ஈற்
றுப் பெறுமானம்.
பயிற்சி XXI 1. (1) ஒரு மனிதனது நிறை 10 கல்லாயின், அவன் 2,700 அடி உயரமான ஒரு மலையின உச்சிக்கு ஏறினால், (2) அவனுடைய இயக்கத்திற்கு எதிராகவுள்ள தடை 5 இறா. நிறைக் குச் சமனாயின் அவன் 10 மைல் தூரத்திற்குச் சைக்கிளில் ஓடினால், அவன் எவ்வளவு வேலை செய்வான் ?
2. அடிக்கு 8 இறா. திணிவுள்ள ஒரு சங்கிலியானது சுரங்கவழி ஒன்றிலிருந்து நாற்பது இலட்சம் அலகு வேலைச் செல்வாற் சுற்றப்படுகின்றது ; அச்சங்கிலியினது நீளத்தைக் காண்க.
3. தன் கிடை வெட்டு 10 அடி நீளமும் 8 அடி அகலமுமான செவ்வகச் சுரங்கவழிபொன்று நிலத்திற்குள் 100 அடிக்கு ஆழ்த்தப்படல் வேண்டும். மண்ணின் சராசரி நிறை கன அடிக்கு 150 இறா. ஆயின், மண்ணை நிலத்தின் பரப்பிற்குக் கொண்டுவருதற்கண்ணே செய்யப்படும் வேலையைக் காண்க.


Page 85
154
நிலையியல்
4. 100 ப. வ. உள்ள ஓரெஞ்சின் ஒரு மணிநேரத்தில் 150 அடி ஆழத்திலிருந்து எத்தனை
• கனவடி நீரை உயர்த்தும்?
5. நிலைக்குத்தான ஒரு சுரங்கவழியின் விட்டம் 9 அடியாயும் ஆழம் 420 அடியாயுமிருந் தால், நீராலே நிரம்பிய அச்சுரங்கவழியை 18 ப. வ. உள்ள ஒரெஞ்சின் எத்தனை மணிநேரத்தில் வற்றச் செய்யும் ?
6. ஓர் உருளை வடிவான சுரங்கவழியின் விட்டம் 8 அடியாயும் ஆழம் 600 அடியாயும் இருந்தால், நீராலே நிரம்பிய அச்சுரங்கவழியை 32 மணி நேரத்தில் வற்றச் செய்யக்கூடிய எஞ்சினின் ப.வ. ஐக் காண்க.
7. வேலையின் மூன்றிலொரு பங்கு உராய்வு முதலியனவற்றாற் செலவழியுமாயின், 100 அடி உயரத்திற்கு 5,000 கன அடி நீரைப் பம்புவதற்கு 20 ப. வ. உள்ள ஓரெஞ்சின் எவ்வளவு நேரம் எடுக்கும் ?
8. தனது நிறை 10 கல்லான ஒரு மனிதன் செக்கனுக்கு 18 அங்குல வீதத்தில் ஒரு கயிற்றில் ஏறுகின்றான். மட்டாய் நீ ப.வ. இற்குக் கீழ் அவன் வேலை செய்கின்றான் என நிறுவுக.
9. தனது அடிப்பக்கம் 22 அடி x 9 அடி என்னும் புற அளவினையுடைய ஒரு செவ் * வகமாகவும், உயரம் 66 அடியாகவும், சுவர்கள் 2 அடித் தடிப்புள்ளனவாகவும் உள்ள ஒரு கோபுரம் செங்கற்கட்டடமாகக் கட்டப்படல் வேண்டும் ; ஒரு கனவடிச் செங்கல்லின் நிறை 112 இறா. ஆயின், 3 ப. வ. உள்ள ஓர் எஞ்சினானது அச்செங்கற்களை நிலத்திலிருந்து உயர்த்த எடுக்கும் நேரத்தை மணித்தியாலத்திற் காண்க.
10. 275 அடி ஆழமான ஒரு கரிச்சுரங்கத்தின் அடியில் 14 அந்தர் நிறை நிலக்கரி கொண்ட ஓர் இரும்புக் கூண்டு உண்டு : அக்கூண்டினது நிறை 4 அந்தர் 109 இறா. அதனை உயர்த்தும் கம்பிக்கயிறு யாருக்கு 6 இறா. அப்பாரம் பரப்பிற்கு உயர்த்தப்படும் பொழுது செய்யப்படும் வேலையையும், இவ்வேலையை 40 செக்கனிற் செய்யும் எஞ்சினின் ப. வ. ஐயும்
காண்க.
11. ஒரு நீராவிக் கப்பலானது மணிக்கு 15 மைல் வீதம் ஓடுகின்றது ; அதனுடைய எஞ்சின்களின் விளைவுப் ப. வ. 10,000 ஆயின், அதன் இயக்கத்திற்கு உள்ள தடை என்ன?
12. ஒரு மனிதன் 20 இல் 1 என்னுஞ் சாய்வுடைய ஒரு குன்றிலே மேன்முகமாக மணிக்கு 6 மைல் வீதத்திற் சைக்கிளில் ஓடுகின்றான் ; பொறியோடு கூடிய அம் மனிதனுடைய நிறை 200 இறா. ஆயின், அவன் குறைந்தது 0.16 ப.வ. வீதத்தில் வேலை செய்யவேண்டுமென நிறுவுக.
13. நிமிடத்திற்கு 40 வலிப்பு தண்டுவலிக்கும் ஒரு மனிதன் ஒரு வள்ளத்தை மணிக்கு 10 மைல் வீதத்தில் ஓட்டுகிறான்; அவனுடைய இயக்கத்திற்குத் தடை 8 இறா. நிறை ; ஒவ்வொரு வலிப்பிலும் அவன் செய்யும் வேலையையும், அவன் வேலை செய்யும் ப. வ. ஐயுங் காண்க.
14. ஒரு வெனிசுத் திரையானது ஒவ்வொரு சட்டத்தினது தடிப்பும் புறக்கணிக்கத்தக்க 30 இயங்கத்தக்க சட்டங்களை உடையது ; அது தூங்கும் போது, அடுத்துவரும் சட்டச்சோடி ஒவ்வொன்றுக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் 25 அங். ; ஒவ்வொரு சட்டத்தினது நிறை 4 அவுன் சாயின், அத்திரையை மேன்முகமாக இழுக்கும் போது செய்யப்படும் வேலையைக் காண்க.
அங்குள்ள அத்தகைச் சட்டங்களின் தொகை 7 ஆயின், ஒத்த வேலை என்னவாகும் ? 15. ஒரு வெனிசுத் திரை நுனியிலுள்ள நிலைச் சட்டத்தைத் தவிர 7, மென்சட்டங்களையுங் கொண்டுளது; அசையக் கூடிய பகுதியினது நிறை W ஆகும். விழ விடப்படும்போது அத்திரையினது நீளம் a; மேன்முகமாக இழுக்கப்படும் போது அதன் நீளம் 6. அத்திரையை மேன்முகமாக இழுத்தற்கண்ணே புவியீர்ப்புக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலை
n +1
W ..'(a-6) எனக் காட்டுக.

வேலை
155
16. 12 இறா. நிறையும் 1 அடி ஆரையும் கொண்ட ஒரு திண்ம அரைக்கோளம் தனது தட்டைமுகம் ஒரு மேசை யின் மீது இடகக ஓய்விலிருக்கின்றது. அதன் வளைபரப்பு அம்மேசையைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்க அது ஓய்விலிருக்கும் வண்ணம் அதனைப் புரட்டுதற்கு. எத்தனை அடி-இறா. வேலை வேண்டும் ? [பிரிவு 130 இன் முடிவைப் பயன்படுத்துக.
17. அரைத் தொன் நிறையுள்ள சீரான குற்றியொன்று தன் வெட்டினுடைய பக்கங்களானவை முறையே 15 அடி, 2 அடி, 24 அடி என்பனவாகிய ஒரு முக்கோணி அரிய வடிவத்தில் இருக்கின்றது ; அக்குற்றி தரையின் மீது தன் மிக்க ஒடுக்கமான முகத்திற் கிடக்கின்றது. அது தனது அகலமான முகத்திற்குக் கவிழுமாறு அதன் விளிம்புபற்றி அதனை உயர்த்துதற்குச் செய்யப்பட வேண்டிய வேலை அண்ணளவாக 0.27 அடி - தொன்னென நிறுவுக.
18. தன் ஆரம்பப் பெறுமானம் 20 இறா. நிறையான ஒரு விசை ஒரு துணிக்கையின் மீது தாக்குகின்றது ; அத்துணிக்கை 1, 2, 3, 4, 5, 6 அடிகள் சென்றபோது அதனியக் கத் திசையில் அவ்விசையினுடைய பெறுமானங்களானவை முறையே 25, 29, 32, 31, 27, 24 இறா. நிறைகள் ; விசையானது ஒவ்வோர் அடி இயக்கத்திற்கும் சீராய் மாறு கின்றதெனக் கொண்டு, அவ்விசையாற் செய்யப்பட்ட வேலையை ஒரு வரைபாற் காண்க.


Page 86
அல்லது கொண்டனவொறு பகுதிகள் 8
அதிகாரம் XII
பொறிகள் 135. இவ்வதிகாரத்தில் எளிய பொறிகள் சிலவற்றின் சமநிலையை விளக்கி அவற்றைப்பற்றி ஆராய்வோம் ; அவை (1) நெம்பு , (2) கப்பியும் கப்பித் தொகுதிகளும், (3) சாய்தளம், (4) சில்லும் அச்சாணி யும், (5) பொதுத் தராசு, (6) துலாக்கோல், (7) திருகு என்பன.
அவற்றுள், நெம்பு, சில்லும் அச்சாணியும், பொதுத்தராசு, துலாக் கோல் என்பன ஒத்த பொறிகள். அப்பொறியானது பற்றிச் சுற்றக்கூடிய நிலைத்த ஒரு புள்ளி, அல்லது ஓர் அச்சு ஒவ்வொன்றிலும் உண்டு.
கப்பிகளில் முக்கிய பகுதி வளையத்தக்க ஓர் இழை, அல்லது இழைகளாகும். இப்பொறிகளுடைய பல்வேறு பகுதிகள் ஒப்பம், விறைப்பு என்பன வற்றைக் கொண்டனவென்றும், வழங்கப்படும் எல்லா நாண்களும், * அல்லது இழைகளும் முற்றாய் வளையத்தக்கனவென்றும், அப்பொறிகளின் மீது தாக்கும் விசைகள் ஓய்வில் இருக்குமாறு என்றும் சமநிலை எய்து மென்றும் கொள்வோம்.
உண்மை நடைமுறையில் இந்நிபந்தனைகள் பல பொறிகளில் அண் ணளவிற்காயினும் நிறைவேற்றப்படுதல் இல்லை.
136. ஒரு பொறிக்குப் பிரயோகிக்கப்படும் இரண்டு புறவிசைகள் சம நிலை எய்தினால், ஒன்றை வலுவெனலாம். முன்னர் அவ்வாறே அது வழங்கப்பட்டது. மற்றையதை நிறையெனலாம்.
ஒரு பொறி யாதுமொரு தடையை வெல்வதற்கே செய்முறையிற் பயன் படும்; நாம் அப்பொறியின்மீது உஞற்றும் விசை வலு எனப்படும் ; வெல்ல வேண்டிய தடை எவ்வடிவிலே தோற்றினாலும் நிறை எனப்படும்.
துரதிட்டவசமாக வலு என்னும் சொல் பொறிபற்றி (பிரிவு 131) வேறொரு பொருளிலும் வழங்கப்படுகின்றது ; இப்பிரிவின் பொருளிலே முன்னர் வலுவென்று கூறப்பட்டதைக் குறிப்பதற்குப் பிந்திய காலங்களில் எத்தனம் என்னும் சொல் வழங்கப்பட்டுள்ளது. நிறை என்னும் சொல்லிற்குப் பதிலாகத் தடை என்னும் சொல்லும் வழங்கப்படுகின்றது; சில எழுத்தாளர்கள் சுமை என்பதை நிறை என்பர்.
137. பொறிமுறை நயம். யாதுமொரு பொறியில் எத்தனம் ? ஒரு நிறை W வைச் சமன் செய்தால் சு என்னும் விகிதம் அப்பொறி யின் பொறிமுறை நயம் எனப்படும் ; ஆயின்,
தடை
- = பொறிமுறை நயம் ;
எத்தனம் ஆகவே,
தடை = எத்தனம்x பொறிமுறை நயம்.
?

பொறிகள்
157
ஏறத்தாழப் பொறிகள் எல்லாம் ஒன்றின்மேற்பட்ட விகிதமுள்ள பொறி முறை நயம் கொள்ளுமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளன.
யாதுமொரு பொறியிற் பொறிமுறை நயம் ஒன்றிலும் சிறிதானால், அதனைப் பொறிமுறை நட்டம் என்பதே பொருத்தம் எனலாம்.
பொறிமுறை11 நயம் என்பதற்குப் பதிலாகச் சில வேலைகளில் விசை விகிதம் என்னுஞ் சொல் வழங்கப்படும்.
வேக விதம். யாதுமொரு பொறியின் வேக விகிதம் எத்தனத்தின், அல்லது வலுவின் பிரயோக புள்ளி இயங்கும் தூரமானது தடையின், அல்லது நிறையின் பிரயோக புள்ளி அதே நேரத்தில் இயங்கும் தூரத் தோடு கொள்ளும் விகிதமாகும். ஆயின்,
P இயங்கும் தூரம் வேக விகிதம் =
W இயங்கும் தூரம் அப்பொறியானது தன் கூற்றுப் பகுதிகளை உயர்த்துதற்கண் ஒரு வேலையுஞ் செய்யவேண்டா நிலையிலிருக்க, எங்கும் நிறையொப்பங் கொண்டிருந்தால், பொறிமுறை நயமும் வேக விகிதமுஞ் சமமெனக் காணப்படும் ; ஆயின் இங்கு ,
W P இயங்கும் தூரம்
PW இயங்கும் தூரம் ஆயின், PXP இயங்குந் தூரம் = Wx W இயங்கும் தூரம் ; வேறு வகையாகக் கூறுமிடத்து,
P யாற் செய்யப்படும் வேலை = W விற்கு எதிராகச் செய்யப்படும் வேலை. 138. இவ்வண்ணமாகப் பின்வருவது வேலைத் தத்துவம் எனக் கூறப்படும் ஒரு பொதுத் தத்துவமெனக் காண்போம் ; அதாவது,
நாம் வழங்கும் பொறி எதுவாயிருந்தாலும் உராய்வு யாதும் இல்லாததாயும் புறக்கணிக்கத் தக்க நிறை உடையதாயுமிருந்தால், எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை அதன் நிறைக்கு அல் லது தடைக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலைக்கு என்றுஞ் சமன்.
எத்தனம் நிறையிலும் சிறிதாகும்படி நாம் வழங்கும் பொறியானது பொறிமுறை நயந் தருகின்றதெனக் கொண்டால், எத்தனத்தால் இயக் கப்படுந் தூரம் நிறையால் இயக்கப்படும் தூரத்திலும் அதே விகிதசமத்திற் பெரிதாகும். இது பின்வரும் வடிவிற் சில வேளைகளில் உலகியல் மொழியிற் கூறப்படும் ; வலுவிற் பெறும் நயம் கதியில் இழக்கப்படும்.
கதி குறைதலுக்கு விகிதசமனான ஒரு முறையில் பொறிமுறை நயம் கூடுதலுறும் எனல் அதிபொருத்தமான கூற்றாகும். பொறிமுறை நயத் தைப் பொதுவாகப் பெறமுடிந்தாலும் ஒரு பொறியைப் பயன்படுத்தி எவ்வேலையையும் நயம் பெறமுடியாது.


Page 87
158
நிலையியல்
.. 139. செய்முறையில், யாதுமொரு பொறியை உபயோகிக்குமிடத்து ஓரளவு வேலை என்றும் இழக்கப்படும் என்பது அடுத்த அதிகாரத்திற் காணப்படும்.
ஒரு பொறியினுடைய உபயோகங்களாவன :- (1) ஒரு மனிதன் உதவியின்றி நடத்தக் கூடியதிலும் மிகப் பெரிய நிறைகளை உயர்த்தும்படி, அல்லது மிகப்பெரிய தடைகளை வெல்லும்படி ஒரு கப்பித் தொகுதி, ஒரு சில்லும் அச்சாணியும், திருகு யாக்கு முதலி யனவற்றாற் செய்வித்தல்.
(2) ஒரு புள்ளிக்குக் கொடுக்கப்பட்ட இயக்கமொன்றை ஒரு சைக்கிளிற் போலக் கூடிய விரைவான இயக்கமாக மாறும்படி செய்வித்தல். >
(3) ஒரு விசையானது வசதி கூடிய புள்ளியில், அல்லது வசதி கூடிய விதத்திற் பிரயோகிக்கப்படும்படி செய்வித்தல் ; நெருப்பைக் * கிளறுவதற்குரிய தீக்கிளறியின் உபயோகத்தின்கண்ணும், ஒரு முனை, தரையிலே நிற்கின்ற ஒரு மனிதனால் இழுக்கப்பட, ஒரு கட்டிடத்தினது நுனியிலுள்ள ஒரு கப்பியின்மீது செல்லும் ஒரு நீண்ட தாம்பினால் ஒரு சாந்து வாளியை மற்றை முனையில் உயர்த்துதற்கண்ணும், இதற்கு உதாரணங்கள் காணலாம்.
I. நெம்பு. 140. ஒரு நெம்பானது பிரதானமாகத் தன்கண்ணுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளிபற்றி எனைப்பகுதி திரும்பக்கூடிய நேர், அல்லது வளைந்த வடி வத்தினையுடைய ஒரு விறைப்பான சட்டத்தைக் கொண்டது. இந்நிலை யான புள்ளி, சுழலை எனப்படும் ; சுழலைக்கும் எத்தனம், நிறை என் னும் இவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகளுக்கும் இடையேயுள்ள செங்குத் துத் தூரங்களானவை நெம்பினுடைய புயங்கள் எனப்படும்.
நெம்பானது நேராயிருக்க, எத்தனமும் நிறையும் நெம்பிற்குச் செங் குத்தாகத் தாக்கினால், நெம்பை மூன்று இனமாக வேறு பிரித்தறி தல் வழக்கு.
இனம் I. இங்கு P என்னும் எத்தனமும் W என்னும் நிறையும் C என்னுஞ் சுழலைக்கு
IIIIIIIாப் 2 எதிர்ப்பக்கங்களிலே தாக்கும்.
இ VW இனம் II. இங்கு P என்னும் எத்தனமும் W என்னும் நிறையும் C என்னுஞ் சுழலைக்கு ஒரே பக்கத்திலே தாக்குகின்றன ; ஆனால்,
A IIIIIIIIIIIIIIIE C சுழலையினின்று முன்னது பின்னதிலும் கூடிய தூரத்திலே தாக்குகின்றது.
(8 w
R

பொறிகள். நெம்பு
159
//7
ஒவ்ரு நேர் நெகடிவாக்குகின்றது
இனம் III. இங்கு P என்னும் எத்தனமும். W என்னும் நிறையும் C என்னுஞ் சுழலைக்கு B ஒரே பக்கத்திலே தாக்குகின்றன ; ஆனால், சுழலையினின்று முன்னது பின்னதிலும் குறைந்த தூரத்திலே தாக்குகின்றது.
Wa, W
141. ஒரு நேர் நெம்பின் சமநிலை நிபந்தனைகள்.
ஒவ்வொரு வகையிலும் சுழலையிலுள்ள R என்னும் மறுதாக்கம் P, W என்பனவற்றின் விளையுளிற்குச் சமனு மெதிருமாகுமாறு அப் பொருளின் மீது தாக்குகின்ற மூன்று சமாந்தர விசைகள் உண்டு.
முதலாம் இனத்தில், விளையுள் P+ W ஆகும்படியுள்ள P, W என்னும் இரண்டு சமாந்தர விசைகள் உண்டு. எனின்,
R = P+ W. இரண்டாம் இனத்தில், P, W என்பன நிகராச் சமாந்தர விசைகள் ; ஆகவே,
R = W - P. அதுபோல், மூன்றாம் இனத்தில் R = P- W. முதலாம் மூன்றாம் இனங்களில், R, P என்பன எதிர்த் திசைகளிலே தாக்குவதைக் காண்கின்றோம் ; இரண்டாம் இனத்தில் அவை ஒரே திசையிலே தாக்குகின்றன.
மூன்று இனங்களிலும், P, W என்பனவற்றின் விளையுள் C யினூடாகச் செல்கின்றமையாற் பிரிவு 52 இற் போல் நாம் பெறுவது
அகர் P. AC = W. BC ; அதாவது, PXP யின் புயம் = WxW வின் புயம். W Pயின் புயம் p = wசெப ஆதலால், பொதுவாக இனம் ஒன்றிலும், என்றும் இரண்டிலும், பொறிமுறை நயம் உண்டென்றும், ஆனால் இனம் மூன்றிற் பொறிமுறை நட்டம் உண்டென்றுங் காண்கிறோம்.
பின்னினத்து நெம்புகளின் செய்முறை உபயோகமாவது நேரே விசை யைப் பிரயோகித்தற்கு வசதியில்லாத யாதுமொரு , புள்ளியில் அவ் விசையைப் பிரயோகித்தல் என்க.
இப்பிரிவில், நெம்பினது நிறை புறக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்நிறை யும் சிந்தனைக்கு எடுக்கப்பட்டாற் பிரிவு 91 இற்போல் C என்னுஞ் சுழலைபற்றி எடுக்கும் விசைகளினுடைய திருப்புதிறன்களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத்தொகையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமமாக்குதலாற் சமநிலை
நிபந்தனைகளை நாம் பெறல் வேண்டும்.


Page 88
160
நிலையியல்
நெம்பினது தத்துவம் கி.மு. மூன்றாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த
• ஆக்கிமிடீஸ் என்பவர்க்குத் தெரிந்ததொன்று ; பதினாறாம் நூற்றாண்டில் விசையிணைகரம் வெளியாக்கப்படும் வரைக்கும், இதுவே நிலையியலின் மூல் தத்துவமாயிருந்தது.
142. நெம்பின் உதாரணங்கள் :
இனம் 1. தீக்கிளறி (தீமூட்டுமிடத்துச் சட்டஞ் சுழலையாயிருக்கத் தீயைக் கிளறுதற்கு உபயோகப்படும்போது) ; நகச் சுத்தியல் (ஆணி பிடுங்கற்கு உபயோகப்படும்போது); பாரை (தன்கண்ணுள்ள ஒரு புள்ளி நிலையான ஒரு தாங்கியிற் கிடக்கும் வகை உபயோகப்படும்போது);
தராசு ; ஒரு பம்பியினது தடுப்பு .
இவ்வினத்து இரட்டை நெம்புகளாவன, கத்தரிக்கோல், குறடு என்பன. இனம் II. சில்லுப்பண்டி ; தக்கை நெருக்கி; பாரை (ஒரு முனை தரையைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்போது) ; சவள் (நீரைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கின்ற அவளின் " முனை ஓய்விலிருப்பதாகக் கொண்டால்).
இவ்வினத்து இரட்டை நெம்பிற்கு உதாரணம் பாக்கு வெட்டி.
இனம் II. கடைச்சலியின் மிதிமரம் ; மனிதனது முன்னங்கை (உள்ளங்கையில் வைத்த ஒரு நிறையைத் தாங்க உபயோகிக்கப்படும்போது சுழலை முழங்கை * யாகவும் தசைகளால் உஞற்றப்படும் இழுவை எத்தனமாகவும் இருக்கும்).
இவ்வினத்து இரட்டை நெம்பிற்கு உதாரணம் வெல்லவிடுக்கி. 143. வளைந்த நெம்புகள் . AOB என்பது 0 வைச் சுழலையாகவுள்ள ஒரு வளைந்த நெம்பு ; OL, OM என்பன O வில் இருந்து எத்தனம் P, தடை W என்பவற்றினுடைய தாக்கக் கோடுகள் AC, BC என்பனவற்றின் மீது வரைந்த செங்குத்துக்களாகுக.
மறுபடியும் பிரிவு 91 இலுள்ள சம நிலை நிபந்தனைகள் பொருந்துகின்றன ; 0 பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க,
P. OL = W. OM
P OM
" - (1);
ஃw OL
சுழலையிலிருந்து தடைத் திசைக்கு வரைந்த செங்குத்து கழலையிலிருந்து எத்தனத் திசைக்கு வரைந்த செங்குத்து
0 விலுள்ள மறுதாக்கத்தைப் பெறுதற்கு P, W என் னும் இவற்றினுடைய திசைகள் C யிற் சந்திக்க . அப்பொரு ளின்மீது மூன்று விசைகளே தாக்குகின்றமையால், 0விலுள்ள மறுதாக்கம் R என்பது C யிற்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும் ; ஆயின் வாமியின் தேற்றத்தால்,
R
அ P
W
P சைன் ACB சைன் BCo சைன் ACo'

பொறிகள். நெம்பு
161
பிரிவு 46 இற்போல் R, P, W என்னும் விசைகளைச் செங்கோணங்களில் உள்ள இரு திசைகளிலே துணிப்பதாலும் மறுதாக்கம் பெறப்படலாம். எத்தனமும் தடையும் சமாந்தர விசைகளாயின், மறுதாக்கம் R அவற்றுள் ஒன்றுக்குச். சமாந்தரமாயும் (P + W) என்பதற்குச் சமனாயும் இருக்கும் ; முன்போல்,
P. OL = W. OM. இங்கு OL, OM என்பன 0 விலிருந்து அவ்விசைகளுடைய தாக்கக்கோடுகளுக்கு வரைந்த செங்குத்துக்களாகும்.
அந்நெம்பினது நிறை W' புறக்கணிக்கப்படாது விட்டால், எம் திருப்புதிறன் சமன்பாட்டிற் குள்ளே புகுத்தவேண்டிய மேலதிகமான ஓர் உறுப்பு எமக்கு உண்டு.
144. இரு நிறைகள் ஒரு நிலையான சுழலைபற்றி ஒரு நெம்பினுடைய முனைகளிலே நிலைக்குத்திற்குச் சாய்ந்த யாதுமொரு நிலையிலே சமநிலை எய்தினால், அவை வேறு யாது நிலையிலும் சமநிலை எய்தும்.
AB என்பது W' என்னும் நிறையுடைய ஒரு நெம் பாகுக ; அதன் புவியீர்ப்பு மையம் G ஆகுக. A, B என்பனவற்றிலுள்ள நிறைகளானவை முறையே P, W என்பனவாயிருக்க, அந்நெம்பானது கிடைக்கோட்டிற்கு 0 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த யாதுமொரு நிலையில் 0 என்னுஞ் சுழலை பற்றிச் சமநிலை எய்துக.
0 வினூடாக LONM என்னும் ஒரு கிடைக் கோட்டை P, W', W என்பனவற்றினுடைய தாக்கக்கோடுகளை முறையே L, N, M என்பனவற்றிற் சந்திக்கும்படி வரைக.
அவ்விசைகள் 0 பற்றிச் சமநிலை எய்துதலால்,
P. OL = W. OM + W '. ON. : P. OA கோசை 6 = W. OB கோசை 0 + W.OG கோசை 8.
•. P. OA = W. OB + W '. 0G.
இச்சமநிலை நிபந்தனை கிடைக்கோட்டிற்கு அந்நெம்பின் சாய்வு 0 என்பதைச் சாராது ; எனின், அந்நெம்பின் வேறு யாது நிலையிலும் நிபந்தனை அதேயாகும்.
எனின், அந்நெம்பு யாதுமொரு நிலையிற் சமநிலை எய்தினால், அது எல்லா நிலைகளிலும் சமநிலை எய்தும்.
பயிற்சி XXII 1. நிறையில்லாத நெம்பொன்றில் விசைகளுள் ஒன்று 10 இறா. நிறைக்குச் சமனாயும், சுழலைமீதுள்ள உதைப்பு 16 இறா. நிறைக்குச் சமனாயும், குறும் புயத்தினது நீளம் 3 அடியாயும் இருந்தால், நெடும் புயத்தினது நீளத்தைக் காண்க.
2. 7 அடி நீளமான ஒரு நேரான நிறையில்லா நெம்பின்மீது 8 இறா. நிறையொன்று 8 இறா. நிறையொன்றைச் சமநிலைப்படுத்துதற்குச் சுழலை எங்கே இருத்தல் வேண்டும் ? ஒவ்வொரு நிறையும் 1 இறாத்தலாற் கூட்டப்பட்டால், அந்நெம்பு எத்திசையிலே திரும்பும் ? 3. நிறையில்லாத நெம்பொன்றிற்குப் பிரயோகிக்கப்பட்ட இரு விசைகள் சமநிலை எய்தச் சுழலைமீதுள்ள உதைப்பு அவ்விசைகளின் வித்தியாசத்தின் பத்து மடங்காயின் புயங் களின் விகிதத்தைக் காண்க.


Page 89
162
நிலையியல்
•4. 1 யார் நீளமான ஒரு நெம்பிற்கு அதனுடைய முனைகளில் இணைக்கப்பட்ட 6 இறா., 20 இறா. நிறைகள் உண்டு. அது ஒரு முனையிலிருந்து 9 அங்குலத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சமநிலை எய்துகின்றது ; அதன் நிறையைக் காண்க.
5. 12 அடி நீளமான AB என்னும் ஒரு நேர் நெம்பு A யிலிருந்து 13 இறா. நிறையொன்று தூக்கப்படும்போது A யிலிருந்து 1 அடியிலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சமநிலை எய்துகின்றது. அது B யிலிருந்து 11 இறா. நிறையொன்று தூக்கப்படும்போது B யிலிருந்து 1 அடியிலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிச் சமநிலை எய்தும். அந்நெம்பின் புவியீர்ப்பு மையம் அதன் மையத்திலிருந்து 5 அங்குலத்தில் இருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
6. ஒரு சீர் நேர் நெம்பு தன் புயங்களுடைய முனைகளில் இணைக்கப்பட்ட 12 இறா.. 5 இறா. நிறைகளினாற் சமநிலையில் வைக்கப்படுகின்றது ; ஒரு புயத்தினது நீளம் மற்றைய தன் இரு மடங்கு. அந்நெம்பினது நிறை என்ன?
7. 5 அடி நீளமும் 10 இறா. நிறையுமுள்ள ஒரு சீர் நேர் நெம்பின் சுழலை ஒரு முனையில் இருக்கின்றது ; அச்சுழலையிலிருந்து 1 அடி, 3 அடி தூரங்களிலே முறையே 3 இறா., 6 இறா. நிறைகள் அந்நெம்பிற்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன ; மற்றைமுனையி லுள்ள ஒரு விசையினால் அது கிடையாக வைக்கப்படுகின்றது ; சுழலையின்மீதுள்ள உதைப்பைக் காண்க.
8. ஒரு சீர் நெம்பு 18 அங்குல நீளத்தையும் 18 அவுன்சு நிறையையும் கொண்டது ; அந் ) நெம்பிலுள்ள 27 அவுன்சென்னும் ஒரு நிறை மற்றை முனையிலுள்ள 9 அவுன்சு நிறையைச் சமநிலைப்படுத்தினால், சுழலை நிலையைக் காண்க.
குறைந்த நிறை இரட்டிக்கப்பட்டால், சம நிலையை ஓம்பச் சுழலை நிலை எவ்வளவாற் பெயர்க்கப்படல் வேண்டும் ?
9. புறக்கணிக்கத்தக்க நிறையையுடைய ஒரு கோலினுடைய எதிர் முனைகளுக்கு இணைக்கப் படும்போது 8 அவுன்சு, 4 அவுன்சு என்னும் இரு நிறைகள் சம நிலை எய்துகின்றன ; பெரியதற்கு 2 அவுன்சு கூட்டப்பட்டால், சமநிலையை ஓம்புதற்குச் சுழலை ; அங்குலத்திற் கூடாக அசைக்கப்படல் வேண்டும் ; அந்நெம்பினது நீளத்தைக் காண்க.
10. ஒரு நெம்பின் குறும் புயம் இரண்டாம் நெம்பொன்றினது நெடும் புயத்தோடு பிணையலிடப்பட்டுள்ளது ; பின்னதன் குறும் புயம் ஓர் அமுக்கிக்குத் தொடுக்கப் பட் டிருக்கின்றது ; நெடும் புயங்கள் ஒவ்வொன்றும் 3 அடி நீளமாயும் குறும் புயங்கள் 6 அங்குல நீளமாயுமுள்ளன ; முதலாம் நெம்பினது நீண்ட முனைக்குப் பிரயோகிக்கப்பட்ட 10 கல் நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையினால் என்ன உதைப்பு அவ்வமுக்கியில் உண்டாக்கப் படும் எனக் காண்க.
11. பாரமான ஒரு சீர் நேர் நெம்பு 21 அங்குல நீளமுள்ளது ; அதற்கு ஒரு சுழலை அதன் முனையில் உண்டு. 12 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை சுழலையிலிருந்து 7 அங்குலத் தூரத்திலே தாக்கிக் கொண்டு அந்நெம்பின் மற்றை முனையிலே தூங்குகின்ற 3 இறா. நிறையொன்றைத் தாங்குகின்றது. அந்நிறை 1 இறாத்தலாற் கூட்டப்பட்டால், சுழலையிலிருந்து 5 அங்குல தூரத்திற் பிரயோகிக்கப்படும் என்ன விசை நெம்பைத் தாங்கும் ?
12. ஒரு நெம்பின்மீது 13 இறா., 14 இறா. விசைகள் சமநிலை எய்துகின்றன ; அவற்றி னுடைய திசைகள் கோசை - ஃ ஆகவுள்ள ஒரு கோணத்திற் சந்திக்கின்றன ; சுழலை யின்மீதுள்ள உதைப்பைக் காண்க.
-).
13. நேரான ஒரு நெம்பானது தன்னுடைய முனைகளில் V3+1 : V3 -1 என்னும் விகிதத்திலுந் தன் நீளத்திற்கு 30°, 60° என்னும் சாய்வுகளிலும் உள்ள விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்றது. சுழலை மீதுள்ள உதைப்பின் பருமனையும் அது தாக்கும் திசையையுங் காண்க.

பொறிகள். நெம்பு
163
14. வளைவான ஒரு நெம்பினுடைய புயங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களில் 5 : 1 என்னும் விகிதத்தில் இருக்கின்றன. நெடும் புயம் கிடையுடன் 45° கோணத்திற் சாய்ந்து தன் முனையில் 10 இறா. நிறையொன்றைக் கொண்டுள்ளது ; குறும் புயத்தின் முனை ஒரு கிடைத்தளத்திற்கு எதிராய் அமுக்குகின்றது ; அத்தளத்தின் மீதுள்ள உதைப்பைக் காண்க.
15. வளைவான சீர்க் கோலொன்று பாரமானது ; அதனுடைய சிறைகள் ஒன்றுக்கொன்று 120° கோணத்திற் சாய்ந்துள்ளன; அவற்றினுடைய நீளங்கள் 2 : 1 என்னும் விகிதங் கொண்டுள்ளன ; அக்கோல் தன் கோணப் புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்பட்டால், அது ஓய்விலிருக்கும் நிலையைக் காண்க -
16. 75 அடி நீளமும் 17 இறா. நிறையுங் கொண்ட சீர்ச் சட்டமொன்று ஒரு கிடை மேசையின்மீது அதன் விளிம்பிற்கு மேலாகத் தன் முனை 22 அடிக்கு நீண்டிருக்கும்படி கிடக்கின்றது ; அச்சட்டத்தைக் ' கவிழ்ந்து விழச் செய்யாமல் அதன் முனைக்குத் தொடுக்கப்படத்தக்க மிகப்பெரிய நிறையைக் காண்க.
17. நேரான நிறையில் நெம்பொன்றிற்கு ஒரு முனை A யில் ஒரு பிணைச்சல் அதன் சுழலையாக உண்டு ; ஒரு புள்ளி B" யிலிருந்து W என்னும் நிறையையுடைய ஒரு பொருளானது தூக்கப்படுகின்றது. அப்பிணைச்சலிலுள்ள விகாரம் மேன்முகத் திசையிலுங் கீழ்முகத் திசையிலும் 4 W என்பதிலுங் கூடுதலாக இருக்கப்படாதாயின், எத்தனம் AB யிற்குச் சமனான தூரத்திற்குள் யாதும் ஓரிடத்திலே தாக்கவேண்டுமெனக் காட்டுக.
18. எட்டுச் சவளுள்ள ஒரு வள்ளத்திலே ஒவ்வொரு மனிதனும் 56 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையோடு தன் சவளை வலிக்கின்றானென்றும், சவளலகின் மையத்திலிருந்து கைப்பிடிக்குள்ள சவளின் நீளம் கைப்பிடியிலிருந்து வலிப்புப் பூட்டினது நீளத்தின் மும்மடங் கென்றுங் கொண்டு, அவ்வள்ளத்தின் மீதுள்ள ஓட்டும் விசை 224 இறா. நிறையெனக் காட்டுக. - 19. 5 அங்குல நீளமான ஒரு வித்து நொறுக்கியிலே வித்து பிணைச்சலிலிருந்து ? அங்குலத் தூரத்தில் வைக்கப்பட்டால், புயங்களுடைய முனைகளிற் பிரயோகிக்கப்படும் 34 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசை வித்தை உடைக்கும். அவ்வித்தினது நுனியின்மீது வைக்கப்படும் என்ன நிறை அதனை உடைக்கும் ?
20. ஒரு மனிதன் 2 தொன் நிறையுள்ள 3 அடிச் சதுரமுகிக் கல்லொன்றை 4 அடி நீளமான பாரையொன்றால் அப்பாரையின் ஒரு முனையைக் கல்லிற்குக் கீழே 6 அங்குலத் தூரத்திற்குப் பாய்ச்சிவிட்டு உயர்த்துகின்றான் ; அக்கல்லை உயர்த்துதற்கு என்ன விசை பாரையின் மற்றை முனையிற் பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டும் ?
21. a நீளமான விளிம்புள்ள சதுரமுகித் துண்டொன்று தன் புவியீர்ப்பு மையத் தினூடாகச் செல்லும் ஒரு . தளத்தில் விளிம்பு மையத்திற் பிரயோகிக்கப்பட்ட ஒரு பாரையாற் புரட்டப்படுகின்றது ; அப்பாரை இடையுடன் 60° கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கும் போது ஓய்விற் பிடிக்கப்பட்டும் அத்துண்டின் கீழ்முகம் அப்பொழுது கிடையுடன் 30° இற் சாய்ந்தும் இருக்க, அத்துண்டினது நிறை பிரயோகிக்கப்பட்ட விசையின் 7 மடங்காய் இருந்தால், அப்பாரைக்குச் செங்கோணங்களில் விசை பிரயோகிக்கப்பட்டதாயின், அப்பாரை யினது நீளத்தைக் காண்க.
II. கப்பிகள். 145. ஒரு கப்பியானது ஓர் இழையை, அல்லது கயிற்றை ஏற்பதற்குத் தன் பரிதி வழியே தவாளிப்புக் கொண்ட ஒரு மரச்சில்லால், அல்லது உலோகச் சில்லால் ஆயது ; அது தனது தளத்திற்குச் செங்குத் தாய்த் தன் மையத்தினூடாகச் செல்கின்ற ஓர் அச்சுப்பற்றிச் சுயாதீனமாகத்


Page 90
164
நிலையியல்
திரும்பத்தக்கது ; இவ்வச்சினுடைய முனைகள் கப்பி தாங்கியெனக் கூறப் படும் மரப்படலொன்றாலே தாங்கப்படுகின்றன.
கப்பிதாங்கியானது அசையத்தக்கதாய், அல்லது நிலையானதாய் இருப்ப தற்கேற்ப ஒரு கப்பி அசையத்தக்கது, அல்லது நிலையானதென்று கூறப் படும்.
கப்பியானது நிறை பெரும்பாலும் அது தாங்கும் நிறைகளோடு ஒப்பிடப்படும் போது மிகச் சிறிதாகையால், அது புறக்கணிக்கப்படலாம் ; அத்தகைக் கப்பி நிறையில்லாக் கப்பியெனப்படும்.
கப்பியைச் சுற்றிச் செல்லும் இழையினது, அல்லது கயிற்றினது நிறையை என்றும் புறக்கணிப்போம்.
கப்பியைச் சுற்றிச் செல்லும் ஓர் இழையின் இழுவை தன் நீளம் முழு வதிலும் மாறாதிருக்கும் பொருட்டு, இவ்வதிகாரத்திற் கப்பியைப் பூரண . ஒப்பரவு உள்ளதெனக் கொள்வோம்.
146. தனிக் கப்பி. ஒரு தனிக் கப்பியின் உபயோகம் ஓரெத்தனத்தைப் பிரயோகித்தற்கு எமக்கு வசதியான ஒரு திசையில் அவ்வெத்தனத்தின் திசையை மாற்றிப் பிரயோகித்தல்.
இவ்வண்ணமாக முதலாம் உருவத்திலே தரையிலே நின்று கொண்டு கயிற்றின் ஒரு முனையிலே நிலைக்குத்தாக இழுக்கும் ஒரு மனிதன் மற்றை முனையிலே தூங்குகின்ற ஒரு நிறை W வைத் தாங்கலாம் ; இரண்டாம் உருவத்தில் ஒரு பக்கமாக இழுக்கும் அதே மனிதன் அந்நிறையைத்
தாங்கலாம்.
ஒவ்வொன்றிலும் அக்கப்பியைச்சுற்றிச் செல்லும் இழையின் இழுவை மாறாதிருக்கும்; ஆகவே, P என்னும் எத்தனம் W என்னும் நிறைக்குச் சமன்.
முதலாம் உருவத்தின் கப்பிதாங்கி தொடுக்கப்பட்ட அந்நிலையான தாங்கி யின் மீதுள்ள தாக்கம் கப்பிதாங்கியின் மீதுள்ள ஏனை விசைகளைச் சமநிலைப் படுத்தல் வேண்டும் ; ஆகவே, அது
ஒரு பக்கா அரு நிறை # இழுக்கும் என
W +P + w என்பதற்கு,
அதாவது 2 W + w என்பதற்குச் சமனாதல் வேண்டும். இங்கு 0 கப்பி தாங்கியினது நிறை.
இரண்டாம் உருவத்திற் கப்பியினது நிறை புறக்கணிக்கப்பட்டால் எத் தனம் P, நிறை W என்பன சமமாதல் பற்றி OA என்னுங் கோட்டிற்குச் சம் சாய்வுள்ளன ஆதல் வேண்டும்.

பொறிகள். கப்பி
165
எனின், T என்பது OB என்னுந் தாங்கும் இழையின் இழுவையாயும், 20 என்பது P, W என்பவற்றினுடைய திசைகளுக்கு இடையேயுள்ள் கோணமாயும் இருந்தால்,
>
0
W LA
w VA
T = P கோசை 0 + W கோசை 9 = 2 W கோசை 8. ய கப்பியினது நிறையா யின, நாம் பெற வேண்டியது
T2 = (W + ய) + P2 + 2 (W + ய ). P. கோசை 28. = 2W2 + 2Wய + ய் + 2(W + w). W(2 கோசைட் 6 -1),P, W என்பன சமமாதலால்
= யம் + 4W(W + ய) கோசை2 6. 147. "மூன்று கப்பித் தொகுதிகளை ஆராய்வோம் ; ஆராய்தற்கண் வழக்கமான ஒழுங்கைப் பின்பற்றுவோம் ; இவ்வொழுங்கைக் கைக் கொள்வதற்கு நியாயம் யாதும் இல்லை ; ஆனால், சுட்டிக்கூறும் நோக்கங்களுக்கு அதனைக் கைக்கொள்ளுதல் வசதியாகும்.
முதலாங் கப்பித் தொகுதி. ஒவ்வோரிழையுந் தாங்கும் வளைக்குத் தொடுக்கப்பட்டுள் ளது. எத்தனத்திற்கும், அல்லது “வலு'விற்கும் நிறையிற்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காணல்.
இக்கப்பித் தொகுதியிலே நிறையானது மிகத் தாழ்ந்த கப்பிக்குத் தொடுக்கப்படுகின்றது; அத னைச் சுற்றிச் செல்லும் இழையின் ஒரு முனை நிலையான ஒரு வளைக்கும் மற்றை முனை அடுத்த உயர்ந்த கப்பிக்குந் தொடுக்கப்படுகின்றன ; பின்னைய கப்பியைச் சுற்றிச் செல்லும் இழை யின் ஒரு முனை நிலையான ஒரு வளைக்கும் மற்றை முனை அடுத்த கப்பிக்குந் தொடுக்கப் படுகின்றன ; இவ்வாறே பிறவும் ; எத்தனம் ஈற்றிழையின் சுயாதீன முனைக்குப் பிரயோ கிக்கப்படுகின்றது. - பெரும்பாலும் ஈற்றிழையின் சுயாதீன முனை மேற்செல்கின்ற ஒரு நிலையான
m) W கப்பி மேலதிகமாய் உண்டு; அப்பொழுது எத்தனம் ஒரு கீழ்முக விசையாய்ப் பிரயோகிக்கப்படலாம்.


Page 91
166
நிலையியல்
A1, A2,... என்பன கீழிருந்து தொடங்கியிருக்கின்ற கப்பிகளாகுக ;
•அவற்றைச் சுற்றிச் செல்லும் இழைகளுடைய இழுவைகள் T,, T,,... என் பனவாகுக. W நிறையாயும் P எத்தனமாயும் இருக்க.
(ந. க. யாதுமொரு கப்பியைச் (A, என்க) சுற்றிச் செல்லும் இழை A, ஐ நிலைக்குத்திலே மேன்முகமாகவும் A, ஐக் கீழ்முகமாகவும் இழுக்கும்.) I. அக்கப்பிகளுடைய நிறைகள் புறக்கணிக்கப்படுக. ஒழுங்காக எடுத்த A , A2,... என்னுங் கப்பிகளின் சமநிலையிலிருந்து நாம் பெறுவன
2T, = W ; '. T, = [W. 2T, = T; - T, = 4T, = ;w.
2T, = T, ; .. T, = 4T,
|||||| 2- அ - ஆ - 3 2 3
2T, = T, ; : T, = {T,
ஆனால், எம் உருவத்தின்படி, T. = P.
- P=w. அதுபோல, 10 கப்பிகள் இருந்தால், நாம் பெறவேண்டியது
P=w. எனின், இக்கப்பித்தொகுதியிற் பொறிமுறை நயம்
W = $ = 2".
II. ஒன்றின் பின் ஒன்றாகக் கீழே தொடங்கியுள்ள கப்பிகளுடைய நிறைகள் ய, யத... என்பனவாகுக.
இங்கு, ஒவ்வொரு கப்பியிலும் மேலதிகமாய் ஒரு கீழ்முக விசை உண்டு. முன்போலத் துணிக்க, நாம் பெறுவன்
2T, = W +0); 2T,=T, + ய, 2T, =ா,+ 03, 2T, = T, + 04,
T, = +4.

பொறிகள். கப்பி
167
1,= +1,+=++" 1,= 4r, - த+ ""
+ + Bல் ல் Sன் + + + Sல் S'ல Sjள் +
t, W #1 , , , w3, 04 அத்துடன் P=T, = T: += ஒ4 +94 +23 +22 +2
அதுபோல் , 0 கப்பிகள் இருந்தால், நாம் பெறவேண்டியது
P= - த+2++ ";
: 2* P = W+ 20, + 2 . 200, + 22ug +...+ 27 -1 20. கப்பிகள் எல்லாஞ் சமமாயின் ,
01 = 02 =... = 0 = 0.
• 2n P= W +ய (1+ 2 +22 +...+20-1)
= W+ய (2ா - 1), பெருக்கல் விருத்தியைக் கூட்டுதலால்.
W
, என்னும் பொறிமுறை நயம் கப்பிகளுடைய நிறைகளைச் சார்ந் துள்ளது என்பது பெறப்படும்.
இக்கப்பித் தொகுதியில், கப்பிகளின் நிறை பெரிதாதற்கேற்பத் தந்த வொரு நிறை W வைத் தாங்கும் P யும் பெரிதாதல் வேண்டும் ; கப்பிகளின் நிறை எத்தனத்தை எதிர்க்கும் ; ஆகவே, கப்பிகள் வேண்டிய
மைக்குத் தக்க இலேசானவையாய்ச் செய்யப்படல் வேண்டும்.
கப்பிகள் தூக்கப்படும் வளையினது தகைப்பு. R என்பது வளையின் மீதுள்ள தகைப்பாகுக. R, விசை P யோடு கூடி நிறை W வோடு கூடிய கப்பித்தொகுதியைத் தாங்குகின்றமையால்,
R + P= W +1+ ய+... +0% .
W -- ய, +2ய, +22ய, +... + 20 -1 ) ஃ R = W + 01 +0, + + யற -
20
-w(1-4) +- (1-4) +- (-)
+- (1-2) +-+-- (-).என ஆகும்.
NI -
என,
உ-ம். மிகத் தாழ்ந்துள்ளது தொடங்கி 4, 5, 6, 7 இறா. நிறைகளையுடைய நான்கு அசையத்தக்க கப்பிகள் இருந்தால், 1 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு பொருளை என்ன எத்தனம் தாங்கும்?


Page 92
168
நிலையியல்
முற்பிரிவிலுள்ள குறியீட்டை வழங்க, நாம் பெறுவன
2T, = 112 + 4;
ஃ. T, = 58. 2T, = T, +5 = 63;
ஃT, = 314. 2T, = T, +6 = 374 ;
ஃT, = 18%. 2P = T, + 7 = 254; : P = 128. இறா. நிறை, 148. வேலைத் தத்துவம் சரி(யாவெனப் பார்த்தல். நான்கு கப்பிகள் இருந்தால் அக்கப்பிகளினுடைய நிறைகளைப் புறக் கணிக்க வருவது,
P= W.
நிறை W என்பது ஒரு தூரம் ல இற்கூடாக உயர்த்தப்பட்டால், A, ' என்னும் கப்பி, A,A, என்னும் தூரம் மாறாதிருக்க, 2 என்னும் தூரத் . தால் எழும்பும் ; ஆனால், அதே நேரத்தில் A, ஐ அவ்வளைக்குத் தொடுக்கும் இழையினது நீளம் ல ஆற் குறுகும் ; ஆகவே, அவ்விழையின் ல என்னும் பகுதி A, ஐச் சுற்றி வழுக்கும் ; எனின், A2 என்னுங் கப்பி 2ல என்னும் மொத்த தூரத்திற்கூடாக எழும்பும்.
அதுபோல், A, என்னுங் கப்பி 40 என்னும் தூரத்தாலும் A, என்னுங் கப்பி 8ல என்னுந் தூரத்தாலும் எழும்பும்.
A, என்பது 8ல என்னுந் தூரத்தால் எழும்புகின்றமையால், அதனை வளைக்கும் P பிரயோகிக்கப்படும் புள்ளிக்குந் தொடுக்கும் இழைகள் இரண்டும் 8ல ஆற் குறுகும்.
எனின், தளர்ந்த இழை A, என்னுங் கப்பியைச் சுற்றிச் செல்கின்ற மையால், P யின் பிரயோகப் புள்ளி 160 இற்கூடாக, அதாவது W வின் பிரயோகப்புள்ளி செல்லும் தூரத்தின் பதினாறு மடங்கு தூரத்திற்கூடாக எழும்பும்.
எனின், வேக விகிதம் (பிரிவு 137) = 16 ; ஆயின், இங்கு அது பொறி முறை நயத்திற்குச் சமன்.
அன்றியும், எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை P. 16ல நிறைக்கெதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலை w . ல
W . W .*
= 1.
W. ல
:W . 16ல
W. ஒ=w =1. எனின், அத்தத்துவம் சரியென ஆகிறது. கப்பிகளுடைய நிறைகளைப் பொருட்படுத்தினால்,
நான்கு
கப்பி களுடைய ஒரு தொகுதிபற்றி நாம் பெறுவது,

பொறிகள். கப்பி
169
Wu0, 0, 43, 44
P = 2++++ முன்போல், A, என்பது ஐ என்னுந் தூரத்தால் ஏற, ஏனைக் கப்பிக' ளானவை முறையே 2ல, 40, 8ல என்னுந் தூரங்களால் ஏறும். எனின், நிறையின் மீதும் அக்கப்பிகளுடைய நிறைகளின் மீதுஞ் செய்யப்படும் வேலை
- W. ஐ + ய.ல +u, 2ல -- 03. 40 + ம . 8ல = 16ல த++++
= 16லXP = எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை. கப்பிகளுடைய தொகை யாதாயிருந்தாலும், நிறுவல் முறை இதற்கு ஒத்ததாகும்.
பயிற்சி XXIII 1. பின்வருவனவற்றில் அசையத்தக்க கப்பிகளானவை நிறைவில்லன ; அவற்றினுடைய தொகை 70 ஆயும், நிறை W ஆயும், " வலு' அல்லது எத்தனம் P ஆயும் உள்ளன;
(1) m= 4, P= 20 இறா. நிறை ஆயின், W வைக் காண்க ; (2) m = 4, W = 1 அந்தர் ஆயின், P யைக் காண்க ;
(3) W = 56 இறா. நிறை, P=7 இறா. நிறை ஆயின், 7 ஐக் காண்க. 2. பின்வருவனவற்றில் அசையத்தக்க கப்பிகள் 00 என்னும் சமநிறையுள்ளன; அவற்றினுடைய தொகை 10 ஆயும், "' வலு ” அல்லது எத்தனம் P ஆயும், நிறை W ஆயும் உள்ளன ;
(1) 0 = 4, 0 = 1 இறா. நிறை, W = 97 இறா. நிறை ஆயின், P யைக் காண்க ; (2) m= 3, w = 1; இறா. நிறை, P=7 இறா. நிறை ஆயின், W வைக் காண்க. (3) 0 = 5, W = 755 இறா. நிறை, P = 31 இறா. நிறை ஆயின், ய வைக் காண்க ; (4) W = 107 இறா. நிறை, P= 2 இறா. நிறை, ய = 8 இறா. நிறை ஆயின், 7 ஐக் காண்க.
3. முதற் கப்பித் தொகுதியில் ஒவ்வொன்றும் 2 இறா. நிறையுள்ள 4 கப்பிகள் இருந். தால், 20 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஓர் எத்தனத்தால் என்ன நிறையை உயர்த்தலாம் ?
4. மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாகத் தம் நிறை முறையே 9, 2, 1 இறாத்தல், கொண்ட 3 அசையத்தக்க கப்பிகள் இருந்தால், 69 இறா. நிறையொன்றை என்ன விசை
தாங்கும் ?
5. மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாகத் தம் நிறை முறையே 4, 3, 2, 1 இறாத்தல் கொண்ட 4 அசையத்தக்க கப்பிகள் இருந்தால், 54 இறா. நிறையொன்றை என்ன விசை
தாங்கும் ?
6. ஒவ்வொன்றும் ய நிறையுள்ள 4 அசையத்தக்க கப்பிகளிருக்க, எத்தனம் P ஆயின், வளையின்மீதுள்ள தகைப்பு 15P - 11ய எனக் காட்டுக.
7. 3 அசையத்தக்க கப்பிகள் இருக்க, அவற்றினுடைய நிறை மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்க: மாக முறையே 4, 2, 1 இறா. ஆயின், 28 இறா. நிறையொன்றைத் தாங்குதற்கு என்ன: விசை வேண்டும் ?


Page 93
170
நிலையியல்
'8. கப்பிகள் நிறையில்லாதனவெனக் கொண்டுள பொறிமுறை நயம் உண்மையா யுள்ளதிலும் பெரிதெனக் காட்டுக. - 9. ஒவ்வொன்றும் தனித்தனி ஒவ்வொரிழையினாலே தூங்குகின்ற மூன்று கப்பிகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் ஒரு குறித்த நிறையானது 7 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஓர் எத்த னத்தாலே தாங்கப்படலாமெனக் காணப்படுகின்றது ; ஆனால், அங்கு 4 கப்பிகள் இருந்தால் அதே நிறை 4 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஓர் எத்தனத்தாலே தாங்கப்படலாம் ; தாங்கப்பட்ட நிறையையும் சம நிறையுடைய அக்கப்பிகளினுடைய நிறையையுங் காண்க.
10. ஒரு தொகுதியானது ஒவ்வொன்றும் தனித்தனி ஓர் இழையினாலே தூங்குமாறு ஒழுங்கு படுத்திய 4 கப்பிகளைக் கொண்டுள்ளது; அவ்விழைகளினுடைய சுயாதீன முனைகளானவை நிலைக்குத்தாயிருக்க மற்றை முனைகள் ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியே மேற்கப்பிக்கு இணைக்கப் பட்டுள்ளன. மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாக அக்கப்பிகளினுடைய நிறைகள் ய, 2, 3, 4ய என்பனவாயின், 15ய என்னும் ஒரு நிறையைக் தாங்குதற்கு வேண்டிய எத்தனத்தை யும், அவ்விழைகளினுடைய ஏனை முனைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ள வளையைத் தாங்குதற்கு வேண்டிய தனி விசையின் பருமனையும் காண்க.
11. பாரமான 4 கப்பிகளுள்ள ஒரு தொகுதியில், P எத்தனமாயும், W நிறையாயும் இருந்தால், வளையின்மீதுள்ள தகைப்பு, 18 W. 15P என்பனவற்றிற்கு இடையானதெனக் காட்டுக.
12. 12 கல் நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் ஒவ்வொன்றுந் தனித்தன ஓர் இழையினாலே தூங்கு கின்ற 4 நிறையில் கப்பிகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதியின் மிகத் தாழ்ந்ததிலிருந்து தூக்கப் பட்டு நிலையான ஒரு கப்பியின்மீது செல்கின்ற இழையின் முனையில் இழுத்தலாலே தன்னைத் தாங்குகின்றான். இவ்விழையின் மீது அவன் இழுப்பின் பருமனைக் காண்க.
13. 156 இறா. நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் ஒவ்வொன்றும் 10 இறா. நிறையுள்ள 4 கப்பிகள் கொண்ட ஒரு தொகுதியின் மிகத் தாழ்ந்ததிலிருந்து தூக்கப்பட்டு நிலையான கப்பியின்மீது செல்லும் இழையின் முனையில் இழுத்தலாலே தன்னைத் தாங்குகின்றான். இழைகளெல்லாம் நிலைக்குத்தாக உள்ளனவெனக் கொண்டு அவன் அவ்விழையின்மீது உஞற்றுகின்ற விசையைக் காண்க.
149. இரண்டாங் கப்பித் தொகுதி. ஒரேயிழை எல்லாக் கப்பிகளையுஞ் சுற்றிச் செல் கின்றது. எத்தனத்திற்கும் நிறைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காணல்.
இத்தொகுதியில் கப்பிகளைக் கொண்ட இரு கட்டைகள் உள் ; மேற் கட்டை நிலையாயிருக்கும் ; கீழ்க் கட்டை அசையத்தக்கது. உருவங்களில் உள்ளவாறு ஒரேயிழை கப்பிகள் எல்லாவற்றையுஞ் சுற்றிச் செல்லும்.
மேற்கட்டையிலுள்ள கப்பித்தொகை கீழ்க் கட்டையிலுள்ள கப்பித் தொகைக்குச் சமனாயின் (படம் 1), இழையின் ஒரு முனை மேற்கட்டைக்கு இணைக்கப்படல் வேண்டும் ; மேற்கட்டையிலுள்ள தொகை கீழ்க்கட்டையி லுள்ள தொகையிலும் ஒன்றாற் கூடியதாயின் (படம் 2), இழையின் முனை கீழ்க் கட்டைக்கு இணைக்கப்படல் வேண்டும்.
முதல் வகையில், அக்கட்டைகளைத் தொடுக்கும் இழைப் பகுதிகளினு டைய தொகை இரட்டை எண்ணாகும் ; இரண்டாம் வகையில் அது ஒற்றை எண்ணாகும்.
இவற்றுள் எதன்கண்ணும் கூ என்பது கீழ்க்கட்டையிலுள்ள இழைப் பகுதிகளினுடைய தொகையாகுக. ஓர் இழையே ஒப்பாவான கப்பிகளின்

பொறிகள். கப்பி
171
மீது செல்கின்றமையால், இப்பகுதிகள் ஒவ்வொன்றினதும் இழுவை P ஆகும் ; ஆயின், கீழ்க்கட்டையிலுள்ள மேன்முக விசையின் மொத்தம், m. P ஆகும்.
W தாங்கப்பட்ட நிறையாகுக; ய கீழ்க்கட்டையினது நிறையாகுக. எனின், W+w =nP. இது வேண்டிய தொடர்பைத் தருகின்றது.
pllpple
PPe
0 க்
2 N
படம் 1.
படம் 2, செய்முறையில் இழைகள் கணித முறையாகச் சமாந்தரமாயிரா; ஏனெனின் ஒவ்வொரு கட்டையிலுமுள்ள கப்பிகள் பெரும்பான்மையாக ஒன்றுக் கொன்று சமாந்தரமாய் வைக்கப்படுகின்றன ; எனினும், அவை மிக்க அண்ணளவிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின் மேற்பெற்ற தொடர்பு இப்போது மிக்க அண்ணளவிற்கு உண்மையாகும்.
பயிற்சி XXIV 1. 5 இறா. நிறையொன்று 24 இறா. நிறையொன்றைத் தாங்கினால், ஒவ்வொரு கட்டை யிலும் 3 கப்பிகள் கொண்ட ஒரு தொகுதியின் கீழ்க் கட்டையினது நிறையைக் காண்க.
2. இழையினுடைய சுயாதீன முனைகளிலே முறையே 5 இறா., 6 இறா. என்னும் நிறைகள் கீழ்க்கட்டையிலுள்ள 18 இறா., 22 இறா. என்னும் நிறைகளைத் தாங்கினால், இழைத் தொகையையுங் கீழ்க் கட்டையினது நிறையையுங் காண்க.
3. 4 இறா., 5 இறா. நிறைகளானவை முறையே 5 இறா., 18 இறா. நிறைகளைத் தாங்கி னால் கீழ்க் கட்டையினது நிறை என்ன ? அதன்கண் எத்தனை கப்பிகள் உண்டு ?
4. 6 இறா. நிறையொன்று 28 இறா. நிறையொன்றையும், 8 இறா. நிறையொன்று 42 இறா. நிறையொன்றையும் மட்டாகத் தாங்குகின்றன ; இழைத் தொகையையும் கீழ்க் கட்டையினது நிறையையும் காண்க.
5. இரண்டாங் கப்பித் தொகுதியிற் கீழ்க் கட்டையிலிருந்து ஒரு கூடை தூக்கப்பட, அக்கூடைக்குள்ளே இருக்கும் ஒரு மனிதன் தன்னையும் அக்கூடையையும் கயிற்றின்


Page 94
172
நிலையியல்
சுயாதீன முனையில் இழுத்தலாலே தாங்கினானாயின், நிலைக்குத்திற்கு அக்கயிற்றின் சாய்வைப் புறக்கணித்து அம்மனிதனது நிறையும் அக்கூடையினது நிறையும் ஒருங்கு 'W எனக் கொண்டு அவன் உஞற்றும் இழுவையைக் காண்க.
அக்கயிற்றின் சுயாதீன முனை தரைக்குத் தொடுக்கப்பட்ட ஒரு கப்பியைச் சுற்றிச் செல்ல அது அம்மனிதனாற் பிடிக்கப்படுமாயின், அவன் உஞற்றும் விசையைக் காண்க.
6. 12 கல் நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் ஒவ்வொரு கட்டையிலும் 4 கப்பியுள்ளதாயும் ஒரே கயிறு மேற்கட்டைக்குத் தொடுக்கப்பட்டு எல்லாக் கப்பிகளையுஞ் சுற்றிச் செல்வதாயுமுள்ள ஒரு கப்பித் தொகுதியால் 3 அந்தரை உயர்த்துகின்றான்: அவன் கீழ் முகமாக நிலைக்குத்தில் இழுத்தானாயின், அக்கப்பிகளுடைய நிறைகளைப் புறக்கணிக்கத் தரையின்மீது அவனுதைப்பு என்னவாகும்?
7. 18 தொன் நிறையுள்ள " பெரிய போல் ' என்பதைக் கோயிற் கோபுரத்தில் அதனிடத் திற்கு உயர்த்திய வடம் இரு கப்பிக்கட்டைகளுக்கூடாக நான்கு தரஞ் சென்றதென அறி கின்றோம். இக்கூற்றிலிருந்து அக்கப்பிகளினுடைய விவரணத்தைத் தருக ; அவ்வடத்தினது
வலிமையையும் மதிப்பிடுக.
8. இக்கப்பித் தொகுதியில் வேலைத் தத்துவத்தை நிறுவுக ; வேக விகிதத்தையுங் காண்க. 9. கயிற்றோடு சேர்ந்த ஒரு பொதுக் கப்பிதாங்கிக்குக் கீழ்க் கட்டையில் இரண்டும் மேற்கட்டை யில் இரண்டுமாக நாலு கப்பிகள் உண்டு. 300 இறா. சுமையொன்றை உயர்த்துதற்கு என்ன விசை உஞற்றப்படல் வேண்டும் ? அத்தொகுதி உராய்வின்றியதாயின் உயர்த்தப்படும் சுமையில் 0• 45 மடங்கு சுமையையே தந்தவொரு விசை உயர்த்துமாயின், வேண்டிய விசையைக் காண்க.
10. கயிற்றொடு சேர்ந்த ஒரு கப்பிதாங்கியில் வேக விகிதம் 8:1. பிரயோகிக்கப்படும் விசை யின் 55% என்பதே பயன்படத் தக்கதாய் உராய்வு இருக்கின்றது. அதன் உபயோகத்தால் 5 அந்தரை என்ன விசை உயர்த்தும் ?
150. மூன்றாங் கப்பித் தொகுதி. எல்லா இழைகளும் நிறைக்குத் தொடுக்கப்படு கின்றன. எத்தனத்திற்கும் நிறைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காணல்.
இத்தொகுதியில் யாதுமொரு கப்பியைச் சுற்றிச் செல் லும் இழை ஒரு முனையிலே நிறை தூக்கப்படுஞ் சட்டத் திற்கும் மற்றை முனையில் அடுத்த கீழ்க்கப்பிக்குமாகத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. மிகத் தாழ்ந்த கப்பியைச் சுற்றிச் செல்லும் இழை ஒரு முனையிற் சட்டத்திற்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளது ; இவ்விழையின் மற்றை முனையில் எத்தனம் பிரயோகிக்கப்படுகின்றது. இத் தொகுதியிலே மேற்கப்பி நிலையாய் இருக்கும்.
மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாக, Al, A2, A3, ... என்பன அசையத்தக்க அக்கப்பிகளாகுக : இக்கப்பிகளைச் சுற்றிச் செல்கின்ற இழைகளுடைய இழுவைகளானவை முறையே 1,, T,, T,, ... என்பனவாகுக.
எத்தனம் P ஆயின்,
T, = P.
D E F G
2 W

பொறிகள். கப்பி
173
I. அக்கப்பிகளுடைய நிறைகள் புறக்கணிக்கப்படுக.
மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாக ஒழுங்காக எடுத்த கப்பிகளின் சம நிலைக்கு
T, = 2T, = 2P, T, = 2T, = 22P,
T, = 2T, = 29P. ' என வரும் ஆனால், நிறை W என்பது தூக்கப்பட்ட சட்டம் சமநிலையில் இருக் கின்றமையால்,
W = T+T+T, +T = P+ 2P + 22P +23P
24 -1 = P: =P (24 -1) ...
....... (1)
அதுபோல், தம்முள் (m - 1) கப்பிகள் அசையத் தக்கவையாயுள்ள . , கப்பிகள் இருந்தால், நாம் பெறவேண்டியது.
W = T+T, +1, +... +T,
= P+2P +22P+... + 27-1P
-- [-1].
=P
• .(2).
பெருக்கல் விருத்தியைக் கூட்டலால்,
அ =P (2ா -1). எனின், பொறிமுறை நயம் 2" -1.
II. மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாக ஒழுங்காக எடுத்த அவ்வசையத்தக்க கப்பிகளுடைய நிறைகள் 01, 02, ... என்பனவாகுக.
அக்கப்பிகளுடைய சமநிலையை ஒழுங்காக ஆராயுமிடத்து,
T, = 2T, +ய, = 2P + ய1, T, = 2T,+ u, = 22P+ 2 + ,,
T, = 21, + ய, = 23P + 2?ய+202 +0, என்பன வரும். ஆனால், அச்சட்டத்தின் சமநிலையிலிருந்து,
W =T, +1,+T, +T,
= (23 +22 + 2 +1) P + (22 + 2 + 1) w)+(2 +1) 02 +0;
24-1- 23 -1 22 -1 = 2 - 1P + 2 = 10, +2-1 02 + 03
= (24 -1) P+ (23 - 1) 01 + (22 - 1)02 + 10,..........(3). அதுபோல், தம்முள் (m - 1) கப்பிகள் அசையத்தக்கனவாயுள்ள, 70 கப்பிகள் இருந்தால், நாம் பெறவேண்டியது


Page 95
174
நிலையியல்
W = T+T - 1+... +T,+T,
= (27-1+20-2+...+1) P + (2% - 2 + 2 -3 +... + 1) |
+ (2%-3 +2"-4 +... +1) ய, +... +(2 +1) 0 - 2 +0-1
20-1- 2n - 1-1 20 - 2 -1 =2-1 P + 2 -101 + 2 -1 02 |
22 -1 +... + ww- 2+000 -1
=(2) - 1) P+ (27-1-1) + (2%-2 - 1) u,+......
+ (22 - 1) 0% - 2+(2 - 1)% -1......
... (4). அக்கப்பிகள் எல்லாம் சமமாயின் ,
, 0 = ய, =... = - 1 = ய, எனின், தொடர்பு
W = (20 -1) P+ u [20-1+ 27 - 2 +..... +2 - (0 - 1)]
- = (2n -1) P+ [2ா -n - 1], ஆகும், பெருக்கல் விருத்தியைக் கூட்டுதலால்.
தாங்கும் வளையின் மீதுள்ள தகைப்பு. தகைப்பு எத்தனத்தையும் நிறையையும் அக்கப்பி களுடைய நிறையையும் சமநிலைப்படுத்தும் அதனாலே,
P + W + u1 +u, +... + wp. என்பதற்குச் சமனாகும் ; எனின், அது எளிதிற் காணப்படும்.
உ-ம். மிகத் தாழ்ந்தது தொடக்கமாக 4, 5, 6, 7 இறா. நிறையுள்ள 4 கப்பிகள் இருந்தால், 1 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு பொருளை என்ன எத்தனம் தாங்கும் ?
முற்பிரிவிலுள்ள குறிப்பீட்டை வழங்க.
T, = 2P + 4, T, = 2T, + 5 = 4P +13,
T, = 2T, + 6 = 8P + 32 என்பன. அத்துடன்,
112 = T, +1, +T, +P = 15P + 49.
ஃ P= 83 = 4 இறா. நிறை. 151. இத்தொகுதியில் ஒவ்வொரு கப்பியின் நிறையும் பெரிதாயிருத்தற்கு ஏற்ப P தந்த வொரு நிறை W வைத் தாங்குதற்குச் சிறிதாயிருத்தல் வேண்டும். எனின், அக்கப்பிகளுடைய நிறைகள் எத்தனத்திற்குத் துணை செய்யும். அக்கப்பிகளினுடைய நிறைகள் செம்மையாகத் தேரப்பட்டால், யாதுமோர் ஏத்தனத்தின் பிரயோகமின்றி, அத்தொகுதி சமநிலையில் இருக்கும்.
உதாரணமாக, ஒவ்வொன்றும் ய நிறையுள்ள 3 அசையத்தக்க கப்பிகள் உண்டென்று கொண்டால், முற்பிரிவிலுள்ள தொடர்பு
W = 15P + 11ய ஆகும். எனின், 110 = W ஆயின், P பூச்சியமாகும் ; ஆயின், சம நிலையை ஓம்புதற்கு அவ்விழை யின் சுயாதீன முனையில் யாதுமொரு விசையும் பிரயோகிக்கப்படத் தேவை இல்லை.

பொறிகள். கப்பி
175
DX =
152. மூன்றாங் கப்பித்தொகுதியில், நிறை W தொடுக்கப்பட்ட புள்ளி செம்மையாகத் தேரப்பட்டாலன்றி, அந் நிறையைத் தாங்குஞ் சட்டம் கிடையாக நில்லாது. யாதுமொரு குறித்த வகையில், அது தொடுக்கப்படும் செம்மையான புள்ளி எளிதிற் காணப்படும்.
பிரிவு 146 இலுள்ள உருவத்திற்போல், தம் நிறைகள் புறக்கணிக்கத்தக்கனவாயுள்ள" மூன்று அசையத்தக்க கப்பிகள் இருக்க. இழைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் D, E, F, G என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள தூரங்கள் ஒன்றன் பின்னொன்றாக a ஆகுக ; நிறை இணைக்கப்பட்ட புள்ளி x ஆகுக.
T,, T,, T,, T, என்பனவற்றின் விளையுள் X இனூடாகச் செல்லல் வேண்டும். எனின், பிரிவு 109 ஆல்,
T, X0 +T,x a +T,x2a + T, x3a
T, +T, +1, +T) 4P'. a + 2P . 24 + P 3u 11a
8P + 4P + 2P + P5 15 ஃ. DX = 1; DE, இது X இனது நிலையைத் தருகின்றது. 153. எனினும், இக்கப்பித் தொகுதி நிறைகளை உயர்த்துதற்குரிய மாதிரி யாக அமைக்கப்படவில்லை. அது அந்நோக்கத்தின் பொருட்டு வழங்கப் பட்டால் விரைவில் வேலைசெய்ய இடங்கொடாதெனக் காணப்படும். உதாரண மாக, அது ஒரு கப்பலினது மேற்றட்டிலே பின்னாதாரத்தை ஆக்குதற்கு வழங்கப்படும்.
பிரிவு 150 இலுள்ள உருவத்தில் DEFG என்பது இழைகள் இணைக்கப் பட்ட கப்பலின் மேற்றட்டு ; W என்பது இல்லை ; Al, A, A., A., என்பனவற்றிற்குத் தொடுத்துள்ள இழைகளானவை நிலைக்குத்திற்குச் சாய்ந்துள்ளன ; புள்ளி 0 நிமிர்த்தி வைக்கவேண்டிய பாய்மரத்தினது நுனியிலுள்ளது. இங்கு, தடையானது 0 விற் பாய்மரத்தை நிமிர்த்தி வைக்க வேண்டிய விசையாகும் ; உருவத்தில் உள்ளவாறு எத்தனம் பிரயோகிக்கப்படும்.
154. வேலைத் தத்துவத்தைச் சரிபிழை பார்த்தல். நிறை W என்பது ஐ என்னுந் தூரத்தினூடாக ஏறுகின்றதெனக் கொள்க. B யைச் சட்டத்திற்கு இணைக்கும் இழை ல இனாற் குறையும் ; எனின், A, என்னுங் கப்பி ல தூரம் இறங்கும்: A, என்னுங் கப்பி 0 தூரம் இறங்கச் சட்டம் ல தூரம் ஏறுகின்றமையால், A, ஐச் சட்டத்திற்கு இணைக்கும் இழை 2ல ஆற் குறுகும் ; இப்பகுதி A, இற்கு 'மேலாக வழுக்கும் ; எனின், A, என்னுங் கப்பி A, இறங்குந் தூரத்தோடு 2ல இற்குச் சமனான ஒரு தூரம் இறங்கும் ; அதாவது A, என்பது 20 +0, அல்லது 3ல என்னுமொரு தூரம் இறங்கும். எனின், A,F என்னும் இழை 40 ஆற் குறுக, அக்குறுகிய பகுதி A, என்னும் கப்பிக்குமேலாக வழுக்கும் ; ஆயின், A என்னும் கப்பி A2 இறங்கும் தூரத்தோடு 40 என்னும் தூரம் அதாவது 40 +3ல, அல்லது


Page 96
'!
176
நிலையியல்
7ல என்னும் தூரம் இறங்கும். எனின், A,G என்னும் இழை 82 ஆற் குறுகும் ; A, தானும் 72 இறங்கும் ; எனின், P யின் பிரயோக புள்ளி 15ல இறங்கும்.
ஆகவே, அக்கப்பிகளுடைய நிறையைப் புறக்கணித்தால், P யினாற் செய்யப்படும் வேலை
= 15ல. P= 0 (24 -1) P =ல . W பிரிவு 150, சமன்பாடு (1) ஆல், = W நிறை மீது செய்யப்பட்ட வேலை.
அக்கப்பிகளுடைய நிறைகளைப் பொருட்படுத்தினால், எத்தனத்தாலும் (வலுவிற்கு இங்கு துணை செய்கின்ற) அக்கப்பிகளுடைய நிறைகளாலும் செய்யப்பட்ட வேலை.
=P - 150 + ய, . 72 +0, 3ல + ய, ல = [P (24 - 1) + ம, (23 - 1) + ம, (22 - 1) + ம ] =0. W பிரிவு 150, சமன்பாடு (3) ஆல்,
= W நிறை மீது செய்யப்பட்ட வேலை. அதுபோல் , 0 கப்பிகள் இருந்தால் W இயங்கிய தூரத்தின் (2ா -1) மடங்கு தூரத்திற்கு P என்னும் பிரயோக புள்ளி இயங்குதலை நாம் காணல் வேண்டும் ; வேக விகிதம் 21 -1 ஆகும்.
பயிற்சி XXV
1. பின்வருவனவற்றில், கப்பிகள் நிறையில்லாதவை ; அவற்றினுடைய தொகை 7 ; P என்பது "' வலு "', அல்லது எத்தனம் ; W என்பது நிறை :-
(1) 0 = 4, P = 2 இறா. நிறை ஆயின், W வைக் காண்க. (2) n= 5, W = 124 இறா. நிறை ஆயின், P யைக் காண்க.
(3) W = 105 இறா. நிறை, P = 7 இறா. நிறை ஆயின், 2 ஐக் காண்க. 2. பின்வருவனவற்றில், ஒவ்வொன்றும் ய நிறையுடைய சம கப்பிகள் : P என்பது வலு : W என்பது நிறை :
(1) 0 = 4, w = 1 இறா. நிறை, P = 10 இறா. நிறை ஆயின், W வைக் காண்க ; (2) 0 = 3, ய = 4 இறா. நிறை, W = 114 இறா. நிறை ஆயின், P யைக் காண்க ; (3) n = 5, P= 3 இறா. நிறை, W = 106 இறா. நிறை ஆயின், ய வைக் காண்க ; (4) P= 4 இறா. நிறை, W = 137 இறா. நிறை, ய = { இறா. நிறை ஆயின், 10 ஐக் காண்க,
3. ஒவ்வொன்றும் 1 இறா. நிறையுடைய 5 கப்பிகள் இருந்தால் 3 அந்தரைத் தாங்குதற்கு என்ன எத்தனம் வேண்டும் ?
அக்கப்பிகள் சம் பருமனையுடையனவாயின், வளை என்றுங் கிடையாக இருக்கும்படி அச்சட்டத்தின் எப்புள்ளிக்கு நிறை தொடுக்கப்படல் வேண்டுமெனக் காண்க.

பொறிகள். சாய்தளம்
177
4. 4 நிறையில் கப்பித் தொகுதியொன்றைச் சுற்றிச் செல்லும் இழைகள் ஒரு நிறையில் கோலிற்கு ஒன்றன் பின்னொன்றாக ஓரங்குல தூரங்களில் இணைக்கப்பட்டால், அரக்கோல் கிடையாக இருக்கும்படி அக்கோலியன் எப்புள்ளிக்கு நிறை இணைக்கப்படல் வேண்டுமெனக் காண்க.
5. ஒவ்வொன்றும் சுமையின் க நிறையுள்ள கப்பிகளினது தொகை 4 ஆயின், பொறிமுறை நயத்தைக் காண்க.
6. ஒவ்வோரிழையும் நிறையைக் காவுகின்ற, ஒரு சட்டத்திற்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ள 3 நிறையில் கப்பிகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதியில், ஒவ்வொரு கப்பியின் விட்டம் 2 அங்குலமாயின், சட்டம் கிடையாகக் கிடக்குமாறு அச்சட்டத்தின் எப்புள்ளிக்கு நிறை இணைக்கப் படல் வேண்டுமெனக் காண்க.
7. கப்பிகள் சமனாயும் எத்தனம் அவற்றுள் ஒன்றினது நிறைக்குச் சமனாயும் இருக்க, கப்பித் தொகை 5 ஆயும் இருந்தால், நிறை எத்தனத்தின் 57 மடங்கெனக் காட்டுக.
8. 3 கப்பிகள் கொண்ட மூன்றாந் தொகுதியில், கப்பிகளுடைய நிறைகள் எல்லாம் சழமாயின், சம நிலை நிலை நாட்டப்பட்டபோது நிறைக்கு எத்தனத்தினது தொடர்பைக் காண்க. ஒவ்வொரு கப்பியும் 2 அவுன்சு நிறையுடையதாயின், அக்கப்பிகளால் மட்டும் என்ன நிறை தாங்கப்படும்?
தாங்கப்பட்ட நிறை 25 இறா. நிறையாயும் எத்தனம் 3 இறா. நிறையாயும் இருந்தால், ஒவ்வொரு கப்பியின் நிறையும் யாதாயிருக்கவேண்டுமெனக் காண்க.
9. நிறையில் கப்பிகளின் மூன்றாந் தொகுதியில், நிறையானது 70 இறா. எத் தனத்தாலே தாங்கப்படுகின்றது. இழைகளுள் ஒன்றை அந்நிறைக்குத் தொடுத்த கொளுக்கி முறிகின்றது ; பின் அவ்விழை தான் மேலாகச் சென்ற கப்பிக்கு இணைக்கப்படு கின்றது ; இப்போது 150 இறா. அளவான எத்தனம் தேவைப்படுகின்றது. கப்பிகளினது தொகையையும் தாங்கிய நிறையையும் காண்க.
10. நிறையில் கப்பிகளின் மூன்றாம் தொகுதியில், ஈற்றுக் கப்பியைச் சுற்றிச் செல்லும் இழை நிறைக்குக் கட்டப்பட்டால், இழையின் இழுவை கப்பித் தொகையைச் சார்ந்த ஒரு விகிதத்திற் குறையுமெனக் காட்டுக.
அவ்விழுவை 16 : 15 என்னும் விகிதத்திற் குறைக்கப்பட்டால், கப்பித் தொகையைக் காண்க.
11. ஒவ்வோரிழையும் நிறைக்கு இணைக்கப்பட்ட கப்பித் தொகுதியில் ஒவ்வொரு கப்பியும் w என்னுமொரு நிறையுள்ளதாயும், அக்கப்பிகளினுடைய நிறைகளின் மொத்தம் W' ஆயும், P, W என்பன இங்கு எத்தனம், நிறை என்பனவாயும் இருந்தால், P +ய என்னும் எத்தனமானது, கப்பிகளுக்கு நிறையில்லாதிருந்தால், அதே தொகுதியில் W + W' என் னும் நிறையைத் தாங்குமெனக் காட்டுக.
12. % நிறையில் கப்பிகள் இருக்க, தன்னுடைய முனைகள் P, W என்னும் நிறை களுக்குத் தொடுக்கப்பட்டுள்ள ஓர் இழையானது , W' என்னும் ஒரு நிறை தூக்கப்பட்டுள்ள ஒரு கப்பியைத் தாங்கினால், P, W, W' என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காண்க.
13. ஒவ்வொன்றும் 20 விட்டத்தையும் புறக்கணிக்கத்தக்க நிறையையும் உடைய 0 கப்பிகள் இருந்தால், எத்தனத்தினது தாக்கக் கோட்டிலிருந்து நிறையின் பிரயோக
2n) கப்புள்ளியினது தூரம் ... ma ஆயிருத்தல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
III. சாய்தளம். 155. சாய்தளம் என்பது ஒரு பொறிமுறைச் சாதனமாகக் கொள்ளப் பட்டால், அது கிடையுடன் ஒரு கோணத்திற் சாய்ந்துள்ள ஒரு விறைப் பான தளமாகும்.


Page 97
178
நிலையியல்
அது பாரமான பொருள்களை எளிதாக உயர்த்துதற்குப் பயன்படும். இவ்வதிகாரத்தில், சாய்தளம் கிடைத்தளத்தை வெட்டுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான ஒரு தளத்திலே, அதாவது மிகப் பெருஞ் சாய்வுக் கோட்டிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு நிலைக்குத்தான தளத்திலே உள்ள விசைகளாலே தாக்கப்பட்டு அச்சாய்தளத்தில் ஓய்விற் கிடக்கின்ற ஒரு பொருளைப்பற்றியே ஆராய்வோம்.
வாசகன் ஒரு சாய்தளத்தின்மீதுள்ள மிகப் பெருஞ் சாய்வுக் கோட்டைப் பின்வருமாறு தனக்குத்தானே கற்பனை செய்ய லாம் ; ABCD என்னும் ஒரு செவ்வக அட்டையை எடுத்து கோடு AB ஒரு கிடை மேசையைத் தொட்டுக்கொண்டு இருக்கும் படி அதனைக் கிடைத்தளத்திற்கு ஒரு கோணத்தில் வைக்க . அவ் வட்டைமீது யாதுமொரு புள்ளி P யை எடுத்து AB என்னுங் கோட்டிற்கு PM ஐச் செங்குத்தாக வரைக ; PM என்பதே புள்ளி P யிற்கூடாகச் செல்லும் மிகப் பெருஞ் சாய்வுக்
கோடாகும். C யில் இருந்து AB யினூடாகச் செல்லும் கிடைத்தளத்திற்கு CE யைச் செங்குத்தாக வரைக ; BE யைத் தொடுக்க. BC, BE, CE என்னுங் கோடுகளானவை முறையே அச்சாய்தளத்தினுடைய நீளம், அடி, உயரம் எனக் கூறப்படும் ; அன்றியும், CBE என்னுங் கோணம் கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வாகும்.
இவ்வதிகாரத்தில், சாய்தளம் ஒப்பரவானதாகக் கொள்ளப்படும் ; ஆயின், அதற்கும் அதன்மீது கிடக்கும் ஒரு பொருளுக்கும் இடையேயுள்ள ஒரே மறுதாக்கம் அச்சாய்தளத்திற்குச் செங்குத்தாகும்.
சாய்தளம் விறைப்பானதாகையால், சமநிலை கொடுக்க வேண்டிய அள விற்கு எத்துணைப் பெரிய மறுதாக்கத்தையும் உஞற்றக் கூடியது.
156. தந்தவொரு நிறையுள்ள ஒரு பொருள் ஒரு சாய்தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது ; எத்தனம், நிறை, தளத்தின் மறுதாக்கம் என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைத் துணிதல்.
W அப்பொருளினது நிறையாகுக; P எத்தனமாயும், R அத்தளத்தின் மறுதாக்கமாயும் இருக்க ; a என்பது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய் வாகுக.
வகை. 1. எத்தனம் அத்தளத்திலே மிகப்பெருஞ் சாய்வுக் கோட்டின் வழியே மேன்முகமாகத் தாக்குக.
AC அச்சாய்தளமாகவும், AB என்பது A யினூ டாகச் செல்லும் கிடையாகவும், DE என்பது ஒரு நிலைக்குத்துக் கோடாகவும் இருக்க. D யினூடாகச் செல்லுந் தளத்திற்கு வரையுஞ் செங்குத்தானது AB யை F இற் சந்திக்க. ஆயின், தெளிவாக,
/FDE = 90° - ZADE
- /DAE ==a.
\R P

பொறிகள். சாய்தளம்
179
- லாமியினது தேற்றத்தால் (பிரிவு 40), மூன்று விசைகளே அப்பொருளின். மீது தாக்குகின்றமையால், ஒவ்வொன்றும் ஏனையிரண்டிற்கும் இடையே, யுள்ள கோணத்தின் சைனுக்கு விகிதசமம்.
P R
w |
W 'சைன் (R, W) சைன் (W, P) சைன் (P, R)'
R
P
அதாவது,
சைன் (180° - 4)
சைன் (90° +a) சைன் 90°'
P
R
அதாவது,
-= W ...........(1). சைன் கோசைன
•. P= W சைன் ன; R = W கோசை a. தொடர்பு (1) பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். P : R : W : : தளவுயரம் : தளவடி: தள் நீளம். வேறொரு வழி. W வை அத்தளத்தின் வழியேயும் அதன் செங்குத்திற்குமாகத் துணிக்க ; அதனுடைய கூறுகள்
DA வழியே W கோசை ADE, அதாவது W சைன் ..
DF வழியே W சைன் ADE, அதாவது W கோசை .. எனின், P= W சைன் 3, R = W கோசை a.
A யிலிருந்து C யிற்கு இழுத்தற்கண் விசை P யாற் செய்யப்படும் வேலை Px AC.
ஆனால்,
P= W சைன் .. ஆகவே, செய்யப்பட்ட வேலை W சைன் axAC.
அதாவது, WxAC சைன் a; அதாவது WxBC. எனின், செய்யப்பட்ட வேலையானது அச்சாய்தளத்தினது தலையீடின்றி அதே உயரத்திற்கு அப்பொருளினது நிறையை உயர்த்துதற்கண்ணே செய்யப் படும் வேலைக்குச் சமன் எனின், வேலைத் தத்துவம் இங்கு உண்மையா கின்றது. - வகை II. எத்தனம் கிடையாகத் தாக்குக.
(இவ்வகையில், தளத்தில் D என்னும் புள்ளியில் ஒரு சிறு துவாரம் இருப்பதாகவும், அப்பொருளுக்கு இணைக்கப்பட்ட ஓர் இழை அதற்கூடாகச் செல்வதாகவும் நாம் கற்பனை செய்தல் வேண்டும் ; அன்றி, அப்பொருள் அத்தளமுகமாக ஒரு கிடை விசையாலே தள்ளப்படுகின்றதெனவுங் கொள்ளலாம்.) வகை (1) இற்போல், நாம் பெறுவது
R சைன் (R, W)சைன் (W, P)சைன் (P, R)' 8-6764 (6165)
P)


Page 98
180
நிலையியல்
P
W அதாவது,
சைன் (180° -1) சைன் 90° சைன் (90° +a)'
P R W அதாவது,
...(1). சைன் a 1 கோசை .
ஃ P =W தான் ; R =W சீக a. தொடர்பு (1) ஆனது பின்வரும் வடிவில் எழுதப்படலாம்.
P: R : W :: தளவுயரம் : தள நீளம் : தளவடி. வேறொரு வழி. அத்தளத்தின் வழியேயும் செங்குத்திற்கும் W வினுடைய கூறுகள் W சைன் a, W கோசை என்பனவாகும் ; அதுபோல, P யினுடைய கூறுகள் P கோசை 4, P சைன் a என்பனவாகும்.
ஃ. P கோசை a = W சைன் a ;
(சைன் 2 R = P சைன் a +W கோசை a = W
'+ கோசை . கோசை 4
சைன்: 4 + கோசை ! = W
-= W சீக a .
கோசை 0. ஃ. P= W தான் a: R = W சீக .. வகை III. எத்தனம் சாய்தளத்தோடு 4 கோணத்திலே தாக்குக.
லாமியினது தேற்றத்தால் நாம் பெறுவது
R
W
R
W
அதாவது, சைன் (180-3) - சைன் (88+ 0 +e) சைன் (0-8)-
சைன் (R, W)
சைன் (W, P) சைன் (P, R)
P அதாவது,
சைன் (180° - 2)
சைன் (90° +0+a) சைன் (90° - 9)
W அதாவது,
சைன்கோசை (8 +a) கோசை 8
சைன்
கோசை (0 +a)
•. P= W
கோசை 8
கோசை 6
P
> W
வேறொரு வழி. தளத்தின் வழியேயும் செங்குத்திற்கும் துணிக்க நாம் பெறுவன Pகோசை 0 = Wசைன்a, R + P சைன் 6 = W கோசைன என்பனவாகும்.

பொறிகள். சாய்தளம்
181
=W.
= W.
சைன் a ஃ P= W
கோசை 6'
சைன் 4 சைன் 07 R = W கோசை a - P சைன் 6 = W /கோசை -
கோசை 6 கோசை % கோசை 6 - சைன் டிசைன் 0
கோசை (az +0) கோசை 0
கோசை 0 E யினூடாக EK யை P யிற்குச் சமாந்தரமாய் DF ஐ K யிற் சந்திக்கும்படி வரைந்தால் DEK என்பது ஒரு விசை முக்கோணியாகும்.
- ஃ P : R : W :: EK : KD : DE. இவ்வண்ணம் P, R என்பனவற்றிற்கு ஒரு வரைபைப் பெறுகின்றோம். வகை III இல் வகைகள் I உம் II உம் அடங்கும். எப்படியெனில், 0 வை பூச்சியமாக்க வகை I பெறப்படும்.0 வை (- a) ஆக்க வகை II பெறப் படும்.
• வேலைத் தத்துவத்தைச் சரிபிழை பார்த்தல். வகை III இல் அப்பொருள் அத்தளத்தின் வழியே ல தூரஞ் செல்க ; P யினது பிரயோகபுள்ளி செல்லும் தூரம் பிரயோக திசையின் வழியே அளக்கப்பட்டால் 2 கோசை 9 ஆகும் என்பது தெளிவு ; அன்றியும், நிறை செல்லும் நிலைக்குத்துத் தூரம் லசைன் ஆகும்.
எனின், எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை P.2 கோசை ; நிறைக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலை W. ல சைன்ல மேலே நிறுவிய தொடர்பால் இவை சமமாகும்.
157. பரிசோதனை. ஒரு சாய்தளத்தில் எத்தனத்திற்கும் நிறைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைப் பரிசோதனையாற் காணல்.
ஒரு மேசையோடு பிடிபூட்டிடக் கூடிய ஒரு பலகைக்கு A யிற் பிணையலிட்ட AB என்னும் ஒரு மரப்பலகையை எடுக்க ; உராய்வை இயலுமளவு குறைப்பதற்கு AB என்னும் பலகைக்கு ஒரு கண்ணாடித் தட்டுப் பொருத்தப்படுக. A யிற்கு மேலே B யின் உயரம். எளிதில் வாசிக்கப்படத்தக்கதாக B யில் அளவுகோடிட்ட ஒரு நிலைக்குத்தான அளவுச்சட்டம் நாட்டப்படுகின்றது.
tiாராள
பாலா


Page 99
182
நிலையியல்
நிறை ஓர் இழையினாலே தொடுக்கப்பட்ட ஒரு பாரமான பித்தளையுருளையைக் கொண்டுள்ளது; அவ்விழை ஒரு கப்பிக்கு மேலாகச் சென்று நிறைகள் இடக்கூடிய ஒரு தராசுத் தட்டைத் தாங் குகின்றது. இந்நிறைகளானவை அத்தராசுத் தட்டோடு சேர்ந்து P என்னும். "' எத்தனம்", அல்லது " வலு " என்பதை ஆக்குகின்றன.
கப்பியானது தனக்கும் W விற்கும் இடையேயுள்ள இழை அத்தளத்திற்குச் சமாந்தர மாயிருக்கும் வண்ணம் ஒழுங்காக்கப்படுகின்றது.
AB என்னும் புயத்தை யாதுமொரு வசதியான கோணத்திலே நிறுத்துக ; W என்பது மட்டாகத் தாங்கப்படுமாறு தராசுத் தட்டிற்குச் சுமையேற்றுக. (உண்மையான செய்முறையில் W என்பதை மட்டாக ஓட விடுகின்ற நிறையையும் அதனை மட்டாக மேன்முகமாக இழுக்கும் விசையையுங் கண்டு, அவற்றினுடைய நிறைகளின் பெறுமானங்களின் சராசரியை P யின் பெறுமானமாக எடுப்பது சிறந்தது.)
A யின்மேல் B யின் உயரம் h என்பதையும் AB யினது நீளம் 1 என்பதையும் நோக்குக.
Phஆயின், ஈ= என்பது காணப்படும்.
இனி, அப்பலகையை வேறொரு கோணத்திலே நிறுத்தி இந்த இரண்டாம் பரிசோதனைக் குரிய P, h, 1 என்பனவற்றைத் துணிக. அதே தொடர்பு உண்மையாதல் காணப்படும்.
அவ்விழை செல்லக்கூடிய ஒரு பிளவு அப்பலகையினது நீளத்திற்கு இருக்குமாயின் அவ்லிழை கிடையாகக் கிடக்கக்கூடிய ஒரு நிலையில் அக்கப்பியிருக்குமாறு ஒழுங்காக்கலாம். பிரிவு 156, வகை II இற்போல, இங்கு, எத்தனம் கிடையாக இருக்கும்.
P தளவுயரம்
- என்பதும் காணப்படும்.
w தளவடி
158. எத்தனம் மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டிற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே தாக்காதாயின், ஒப்பரவான ஒரு சாய்தளத்தின் மீது சமநிலை இருத்தல் இயலாது; எனினும், இங்கு அச்சாய்தளம் ஒப்பரவின்றியதாயின் சமநிலை இருக்கலாம். அடுத்த அதிகாரத்தில் இவ் வகையை ஆராய்வோம்.
பயிற்சி XXVI
1. 3 அடி உயரத்தையும் 4 அடி நீள அடியையுமுடைய ஓரொப்பரவான சாய்தளத்தின் மீது 16 இறா. திணிவொன்றை என்ன விசை கிடையாகத் தாக்கிக் கொண்டு ஓய்வில் வைத்திருக்கும்? அத்தளத்தின் மறு தாக்கம் என்ன ?
2. ஒரு பொருள் ஒரு சாய்தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற தன் நிறையின் அரைப்பங்குக்குச்' சமனான ஒரு விசையினாலே தாங்கப்பட்டு அத்தளத்தின்மீது ஓய்விற் கிடக்கின்றது. கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வையும், அத்தளத்தின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க,
3. நிலைக்குத் துடன் 30° சாய்வுள்ள ஒரு கயிறு கிடையுடன் 30° சாய்வுள்ள ஓர் ஒப்ப ரவான தளத்தின்மீது 180 இறா. என்னும் ரு நிறையைத் தாங்குதற்கு மட்டான வலிமை கொண்டது. அக்கயிறு உஞற்றக்கூடிய மிகப் பெரிய இழுவையை அண்ணளவாகக் காண்க.
4. ஒரு பொருள் கிடையுடன் 60° கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது ; அது கிடையுடன் 30° கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு விசையாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ் விசையும் அத்தளத்தின் மறுதாக்கமும் தனித்தனி அப்பொருளினது நிறைக்குச் சமமெனக் காட்டுக.

பொறிகள். சாய்தளம்
183
5. 2P நிறையுடைய ஒரு பொருள் ஒரு சாய்தளத்தின்மீது ரைத் தளத்திற்குச் சமாந்தர மாய்த் தாக்குகின்ற P என்னும் ஒரு விசையோடு கூடிய P 61 ன்னும் ஒரு சிடை விசையாலே. சமநிலையில் வைக்கப்படுகின்றது ; அத்தளத்தின் அடி. மரதன் உயரத்திற்கு என்ன விகிதத்தில் உள்ளதெனக் காண்க ; அத்தளத்தின் மறுதாக்கத்தையும் காண்க.
6. ஒரு பொருள் கிடையுடன் 30° கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு தளத்தின்மீது அத்தளத்திற்கு 30° இற் சாய்ந்துள்ள ஒரு விசையினாலே தாங்கப்பட்டுக் கிடக்கின்றது ; அப்பொருளினது நிறை அவ்விசைக்கு என்ன விகிதத்தில் உள்ளதெனக் காண்க.
7. ஒரு நிறை ஒரு சாய்தளத்தின்மீது அத்தளத்திற்குச் சாய்ந்துள்ள ஒரு விசையாலே தாங்கப்படுகின்றது ; நிறை, விசை, மறுதாக்கம் என்பன 4,3, 2 என்பன போல இருந்தால், அத்தளத்தின் சாய்வையும் அவ்லிசையினது திசையையும் காண்க. 18. 5 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 30° இற் சாய்ந்துள்ள ஓர் ஒப்பரவான தளத்தின்மீது வைக்கப்படுகின்றது ; ஒன்று 2 இறாத்தலுக்குச் சமனாய் அத் தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய் மேன்முகமாகத் தாக்குவதாயும் மற்றையது P யிற்குச் சமனாய் அத்தளத்தோடு 30° கோணத்திலே தாக்குவதாயுமுள்ள இரு விசைகளாலே அப் பொருளானது தாக்கப்படுகின்றது ; P யையும் அத்தளத்தின் மறுதாக்கத்தையுங் காண்க.
9. ஒரு சாய்தளத்தில் உள்ள 10 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருளின் மீது மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற விசை, அத்தளத்தின் மறுதாக்கம், அப்பொருளினது நிறை என்பன கூட்டல் விருத்தியில் இருக்கின்றன எனத் தந்தால், அப்பொருளை என்ன விசை சம நிலையில் வைக்குமெனக் காண்க.
10. P என்னும் ஒரு விசை ஒரு சாய்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்கிக்கொண்டு W நிறையுடைய ஒரு திணிவைத் தாங்கிக் கொண்டு அத்தளத்தின்மீது R என்னும் ஓர் உதைப்பை ஆக்கினால், அதே எத்தனம் கிடையாகத் தாக்கிக்கொண்டு R நிறையுடைய ஒரு திணிவைத் தாங்கிக்கொண்டு அத்தளத்தின் மீது W என்னும் ஓர் உதைப்பை விளை விக்குமெனக் காட்டுக.
11. 11 அடி, 8 அடி நீளங்களுடைய இரு பலகைகளானவை தம் கீழ்முனைகள் ஒரு கிடைத்தளத்தில் இருக்குமாறும் மேன்முனைகள் ஒன்றையொன்று தொடுமாறும் நாட்டப்பட்டுள்ளன ; இத்தளங்களின்மீது அப்பலகைகளின் பொதுவுச்சிக்கு மேலாகச் செல்லும் ஓர் இழையினால் இணைக்கப்பட்ட W இறா., 12 இறா. என்னும் நிறையுள்ள பொருள்கள் ஓய்விற் கிடக்கின்றன ; W வின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
12. கிடையுடன் a கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு திராம் பாதையின் ஒரு பகுதியில் உள்ள ஒவ்வொன்றும் 1 தொன் சுமைகொண்ட சுமை வண்டிகளின் ஒரு தொகை 3 என்னும் சாய்வுகொண்ட வேறொரு பகுதியிலுள்ள வெற்று வண்டிகளின் சமதொகையைத் தாங்கு கின்றது. ஒரு வண்டியினது நிறையைக் காண்க.
13. ஒரு பொருள் கிடையுடன் 4 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு தளத்தின் மீது ஓய்விற் கிடக்கின்றது ; அத்தளத்தின் மறுதாக்கம் பிரயோகிக்கப்பட்ட எத்தனத்திற்குச் சமனாயின் அச்சாய்தளத்திற்கு எத்தனத்தின் சாய்வு 90° - 2a எனக் காட்டுக.
•14. தனது ஒரு பகுதி த ந்தவொரு சாய்தளத்தின்மீது கிடக்க மீதிப்பகுதி அத் தளத்தினுடைய நுனியிலுள்ள ஒரு சிறு கப்பிக்கு மேலாக நிலைக்குத் திலே தூங்கும்படி ஒரு பாரமான இறை வைக்கப்படுகின்றது. சமநிலை அடைதற்கு அவ்விழையின் எப்புள்ளி அக்கப்பிக்கு மேலாக வைக்கப்படல் வேண்டுமெனக் காண்க.
15. சம உயரமுள்ள இரு சாய் தளங்கள் மீது இர ண்டு நிறைகள் பொதுவுச்சிக்கு மேலாக அத்தளங்களுக்குச் சமாந்தரமாய்ச் செல்லும் ஓர் இழையினாலே தாங்கப்படுகின்றன; ஒரு தளத் தின் நீளம் அதனுயரத்தின் இரு மடங்கு ; மற்றைத் தளத்தின் நீளம் அதனடியின் இரு மடங்கு ; ஒரு தளத்தின் மறுதாக்கம் மற்றைய தன் மறுதாக்கத்தின் மும்மடங்கெனக் காட்டுக.


Page 100
184
நிலையியல்
16. 50 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 20° 20' கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் ஒப் .பாவான தளத்தின்மீது மேன்முகமாக அத்தளத்திலே தாக்குகின்ற ஒரு விசையாலே தாங்கப்பட்டுச் சமநிலையில் இருக்கின்றது ; அவ்விசையையும் அத்தளத்தின் மறுதாக்கத் தையும் வரைபால் அல்லது திரிகோணகணித அட்டவணையை வழங்குவதாற் காண்க.
17. 20 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 25° கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் ஒப்பாவான தளத்தின்மீது அதனோடு 35° என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற P என்னும் விசையாலே தாக்கப்பட்டு ஓய்விற் கிடக்கின்றது; P யையும் அத்தளத்தின் மறு தாக்கத்தையும் வரைபு முறையால் அல்லது திரிகோண கணித அட்டவணையை வழங்குதலாற் காண்க.
18. 30 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 28° 15' கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் ஒப்பரவான தளத்தின்மீது P என்னும் ஒரு கிடைவிசையாலே தாங்கப்பட்டு ஓய்விற் கிடக் கின்றது ; P யையும் அத்தளத்தின் மறுதாக்கத்தையும் வரைபு முறையால் அல்லது திரிகோணகணித அட்டவணையை வழங்குதலாற் காண்க.
IV. சில்லும் அச்சாணியும். 159. இப்பொறி நிலையான தாங்கிகளிலே சுயாதீனமாகத் திரும்பக் கூடிய A, B என்னும் இரு சுழலைகளிலே முடிவடைகின்ற ஒரு வன் மையான வட்ட உருளையை, அல்லது அச்சாணியைக் கொண்டது.
அவ்வுருளைக்கு CD என்னும் சில்லொன்று தனது தளம் அவ்வச் சாணிக்குச் செங்குத்தாயிருக்கும்படி விறைப்பாகத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
ஒரு முனை அவ்வச்சாணிக்கு உறுதியாகத் தொடுக்கப்பட்டதாயும் மற்றை முனை நிறைக்குத் தொடுக்கப்பட்டதாயும் உள்ள ஒரு கயிறு அவ்வச் சாணியைச் சுற்றிச் சுற்றப்பட்டிருக்கின்றது.
ஒரு முனை சில்லிற்கு உறுதியாகத் தொடுக்கப்பட்டதாயும் மற்றை முனை பிரயோகிக்கப்படும் " வலுவை '', அல்லது எத்தனத்தைக் கொண்டதாயு முள்ள இரண்டாங் கயிறொன்று முதலாங் கயிற்றினது திசைக்கு எதிர்த் திசையாகச் சில்லின் பரிதியைச் சுற்றிச் சுற்றப்பட்டிருக்கின்றது. கயிற்றை வழுக்குதலினின்றுந் தடுப்பதற்குச் சில்லின் பரிதி தவாளிப்பிடப்பட்டி ருக்கின்றது.

பொறிகள். சில்லும் அச்சாணியும்
185
160. எத்தனத்திற்கும் நிறைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காணல். பிரிவு 93 இல், ஓர் அச்சுப்பற்றி விசைகளுடைய திருப்பு, திறன்களின் அட்சர்' கணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமானால், ஒரு நிலையான அச்சுப்பற்றிச் சுயாதீனமாகத் திரும்பக்கூடிய ஒரு பொருள் சம நிலையில் இருக்குமெனக் காட்டினோம். இங்கு, அப்பொறியின்மீது தாக்குகின்ற தனி விசை களானவை அப்பொறியை எதிர்த்திசைகளிலே திருப்ப முயலுகின்ற P என் னும் எத்தனமும், W என்னும் நிறையுமாகும். எனின், a என்பது அச்சாணியின் ஆரையாயும், 6 என்பது சில்லின் ஆரையாயுமிருந் தால், சமநிலை நிபந்தனை
P. 6 =W - a...
...................(1).
W எனின், பொறிமுறை நயம் = 2
சில்லின் ஆரை =-=-
a அச்சின் ஆரை வேலைத் தத்துவத்தைச் சரிபிழை பார்த்தல். அப்பொறி நான்கு செங் கோணங்களுடாகத் திரும்புக.27b நீளமான ஓர் இழைப்பகுதி சில்லினின்று கழலும் ; எனின், P இத்தூரத்திற்கூடாக இறங்கும். அதே நேரத்தில் 2ரா யிற்குச் சமனான ஒரு பகுதி அச்சாணியின் மீது சுற்றப்படும் ; ஆயின், W என்பது இத்தூரத்தால் எழும்பும். P யினாற் செய்யப்படும் வேலை Px2mb ஆயும் நிறை W விற்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலை Wx2ரa ஆயும் இருக்கும். தொடர்பு (1) ஆல், இவை சமமாகும்.
அன்றியும் வேக விகிதம் (பிரிவு 137).
2ாb b =-== பொறிமுறை நயம்.
161. அறிமுறையாக, உ என்னுங் கணியத்தை மிகப் பெரியதாக்க, நாம் விரும்பியபடி பொறிமுறை நயத்தைப் பெரிதாக்கலாம்; எனினும், செய்முறையில் எல்லைகள் உண்டு. அச்சின்மீது நிலையான தாங்கிகளின் அமுக்கம் P, W என்பனவற்றைச் சமநிலைப்படுத்த வேண்டுமாகையால், அச்சாணியினது தடிப்பு 20 என்பது தகாதவாறு குறைக்கப்படக் கூடா தென்பது பெறப்படும் ; அதற்குக் காரணம் அச்சாணி அப்போது முறியும் என்பதே. செய்முறையிலே சில்லின் ஆரை மிகப்பெரிதாகாது ; பெரிதாகு மெனின், பொறியானது பெயர்க்க அரிதாகும். எனின், பொறிமுறை நயம் அடையக்கூடிய பெறுமானங்கள் ஒரு திசையில் எம்முடைய திரவியங் களின் வன்மையாலும் மற்றைத் திசையிற் பொறியின் பருமனை நியாய மான எல்லைகளுக்குள் வைக்க வேண்டிய தேவையாலும் எல்லைக்குட் படும்.


Page 101
186
நிலையியல்
P)
162. பிரிவு 160 இல் கயிறுகளுடைய தடிப்புக்களைப் புறக்கணித்தோம். எனினும் சில்லச்சுக்களுடைய ஆரைகளோடு ஒப்பிட அவை புறக்கணிக்கப்படுதற்கு மிகப் பெரியனவாயின் அக்கயிறுகளுடைய இழுவைகள் அவற்றினுடைய நடு இழைகளிலே தாக்குமெனக்கொண்டு அத்தடிப்புக்களை எமது ஆராய்விற்குள் எடுப்போம்.
சில்லையும் அச்சையும் சுற்றிச் செல்லுங் கயிறுகளுடைய ஆரைகளானவை முறையே ல, ஒ எனக் கொள்க; இழுவைகள் இப்போது தாக்குகின்ற சுழலைகளைத் தொடுக்குங் கோட்டி லிருந்து உள்ள தூரங்களானவை முறையே (a +ஐ), (b +v) என்பனவாகும். எனின் சமநிலை நிபந்தனை
P (b +y) = W (a +0) ஆகும்.
அச்சின் ஆரை + அதன் கயிற்றின் ஆரை ஆயின்
W சில்லின் ஆரை + அதன் கயிற்றின் ஆரை 163. சில்லொடு அச்சாணியினுடைய வேறு வடிவங்களாவன கிணற்றி லிருந்து நீர் எடுப்பதற்கு வழங்கும் பாரமெழுப்பியுங் கப்பலில் வழங்கும் ஓஞ்சியுமாகும் (Capstan). இப்பொறிகளில், பிரிவு 159 இற்போல, எத்தனம் ஓர் உருளையைச் சுற்றிச் செல்லும் ஒரு கயிற்றினாற் பிரயோகிக்கப்படுவதற்குப் பதிலாக அச்சாணிக்குச் செங்குத்தாயுள்ள ஒரு தளத்திலே புகுத்திய ஓர் ஆரத்தினுடைய, அல்லது ஆரங்களுடைய முனைகளிற் பிரயோகிக்கப்படும்
பாரமெழுப்பியில் அச்சாணி கிடையாயும், ஓஞ்சியில் அது நிலைக்குத் தாயும் இருக்கும்.
பின்னதிலே தடை அச்சைச் சுற்றியுள்ள கயிற் றின் இழுவை T ஆகும் ; எத்தனம் அச்சாணி யின் புள்ளி A யிலுள்ள தாங்கு குழிகளுட் புகுத்திய சட்டங்களினுடைய முனைகளிற் பிர யோகிக்கப்பட்ட விசைகளாகும். புயச் சோடி களினுடைய நயம் ஓஞ்சியினுடைய உராய்வு தாங்கு பகுதிகளின் மீதுள்ள விகாரம் அத னாலே மிகக் குறைக்கப்படுகின்றது, அல்லது அழிக்கப்படுகின்றது என்பதே. சம நிலை நிபந் தனை பிரிவு 160 இற்போலப் பெறப்படும்.
164. வேற்றுமைச் சில்லும் அச்சாணியும். பொதுச் சில்லொடு அச்சாணியினின்றுஞ். சிறிது வேறுபட்ட வடிவம் வேற்றுமைச் சில்லொடு அச்சாணியாகும். இப் பொறியிலே அச்சாணி தம் முனைகளிலே பொருத்தப்பட்ட ஒரு பொது அச்சைக் கொண்ட இரண்டு உருளைகளாலாயது. இரண்டு உருளைகளினதும் ஆரைகள் வெவ்வேறானவை. கயிற்றின் ஒரு முனை இவ்வுருளைகளுள் ஒன்றைச் சுற்றிச் சுற்றப்படும். கயிற்றினது தளர்ந்த பகுதியி னின்றும் நிறை இணைக்கப்பட்ட ஒரு கப்பி தூக்கப்படும். சிற்றுருளையைச் சுற்றிச் செல்லுங் கயிற்றுப்பகுதி எத்தனந் தாக்கும் அதே திசையில் பொறியைத் திருப்புதற்கு முயலும்.
முன்போல் 6 சில்லின் ஆரையாகுக. a, C என்பன அச்சாணியினுடைய பகுதிகள், A.C, CB யினுடைய ஆரைகளாகுக. அவற்றுள் a மிகச் சிறிதாகுக.

பொறிகள். சில்லும் அச்சாணியும்
187
கப்பி ஒப்பரவாயிருக்கின்றமையால் அதனைச் சுற்றிச் செல்கின்ற இழையின் இழுவை T அதன் நீளம் முழுவதிலும் ஒரேயளவினதாய் இருக்கும் ; நிறையின் சமநிலைக்கு நாம், பெறுவது T = {W.
அப்பொறியின் சமநிலைக்கு AB என்னுங் கோடுபற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க,
P.6 +T. a = T. C.
- a W C - a
: P = T = 7 5
- W 26 எனின், பொறிமுறை நயம் = = = --
* P C - 4
அச்சாணியின் இருபகுதிகளினுடைய ஆரைகள் C, a என்பனவற்றை மிக்க அண்ணள விற்குச் சமனாக்குதலால் அப்பொறியைத் தகாத விதத்தாலே மெலியதாக்காது பொறிமுறை நயத்தை மிகப் பெரிதாக்கலாம்.
165. வெஸ்ற்றனின் வேற்றுமைக் கப்பி. இப்பொறியில் இரு கப்பிகள் உண்டு ; மேலுள்ளதில் ஒரு கப்பிபோன்று ஒருங்கு திருப்புகின்றனவும் ஏறத்தாழ ஒரே பருமனைக் கொண்டனவுமான இரு கப்பிகள் உள ; கீழுள்ள தில் W என்னும் நிறை இணைக்கப்பட்ட ஒரு கப்பி உள்ளது.
படம் அப்பொறியின் ஒரு வெட்டைக் குறிக்கின்றது.
முடிவில் சங்கிலியொன்று மேற்கப்பிகளுட் பெரியதைச் சுற் றிச் செல்கின்றது ; பின்னர் கீழ்க் கப்பியைச் சுற்றியும் அதன் பின்னர் மேற்கப்பிகளுட் சிறியதைச் சுற்றியுஞ் செல் கின்றது. சங்கிலியின் மீதிப்பகுதி தளர்ந்து தூங்குகின்றது ; அது சங்கிலியின் முதற் பகுதிக்குத் தொடுக்கப்படுகின் றது. எத்தனம் P படத்திற்போன்று பிரயோகிக்கப்படுகின்றது. மேற்கப்பிகளுடைய பரப்பின்மீதுள்ள சிறு முனைப்புக்களால், அல்லது கப்பிகளிற் சங்கிலிக் குண்டுகளானவை மட்டாய்ப் போகக்கூடிய அழுத்தங்களாற் சங்கிலி வழுக்காத வாறு தடுக்கப்படுகின்றது.
நிறை W வைத் தாக்குஞ் சங்கிலிப் பகுதிகளின் இழுவை T ஆயின், அப்பகுதிகளானவை மிக்க அண்ணளவிற்கு நிலைக்குத்தாய் இருத்தலால், சங்கிலியினது நிறையையுங் கீழ்க் கப்பியினது நிறையையும் புறக்கணிக்க,


Page 102
188
நிலையியல்
2T= W............
...(1). * R, r என்பன மேற்கப்பி தாங்கியிலுள்ள பெருங்கப்பியின் ஆரையாயுஞ் சிறு கப்பியின் ஆரையாயும் இருந்தால், மேற்கப்பி தாங்கியின் மையம் A பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுத்தலால்,
P .R + T. r = T.R.
R -r W R -r எனின்,
P = T
F R2 R ஆகவே, இத்தொகுதியின் பொறிமுறை நயம்
W 2R
-PR - R, T என்பன ஏறத்தாழச் சமனாகையால், இப்பொறிமுறை நயம் மிகப் பெரிதாகும். வேற்றுமைக் கப்பி தாங்கியில் வேற்றுமைச் சில்லோடு அச்சாணியிலு ள்ள ஒரு பெரிய குறை பாடு பின்னதாகிய பொறியில் ஒரு மதிக்கக்கூடிய தூரத்திற்கூடாக நி றையை உயர்த்து தற்கு மிகப் பெருந் தொகையான கயிறு தேவைப்படும் என்பதே.
பயிற்சி XXVII
1. ஒரு சில்லோடு அச்சாணியின் ஆரைகளானவை முறையே 2 அடியும் 3 அங்குலமும் ஆ யின், 56 இறா. நிறையை உயர்த்துதற்கு என்ன எத்தனம் பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டு மெனக் காண்க.
2. சில்லு, அச்சாணிகளின் ஆரைகளானவை முறையே 30 அங்குலமும் 5 அங்குலமும் ஆயின், 20 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையால் என்ன நிறை தாங்கப்படுமென்றும், அச்சாணி கிடக்கின்ற தாங்கிகளின்மீது என்ன அழுத்தங்கள் உள்ளனவென்றுங் காண்க.
கயிறுகளினுடைய தடிப்பு ஒவ்வொன்றும் 1 அங். ஆயின், இப்போது என்ன நிறை தாங்கப்படுமெனக் காண்க.
3. ஒரு சில்லோடு அச்சாணியினால் 3 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஓர் எத்தனம் 30 இறா. என்னும் ஒரு நிறையைச் சமநிலைப்படுத்தினால், அச்சாணியின் ஆரை 2 அங். ஆயிருக்கும் போது சில்லின் ஆரை என்ன?
4. ஓர் ஒஞ்சியின் விட்டம் 16 அங்குல நீளமுள்ளது; அதன் கண் 8 சட்டங்கள் உண்டு. அச்சிலிருந்து எத்தூரத்தில் 8 மனிதர், ஒவ்வோரு சட்டத்திலும் ஒவ்வொருவனாக, ஒவ் வொருவனும் 2(இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையை உஞற்றிக் கொண்டு தள்ளினால், 1 தொன் நிறையை உயர்த்தப் போதுமான ஒரு விகாரத்தை மட்டாக விளைவிப்பர்?
5. 4 அங்குல ஆரையையுடைய ஓர் ஓஞ்சியால் ஒரு நங்கூரத்தை நான்கு கப்ப லோட்டிகள் உயர்த்துகின்றார்கள் ; ஆரங்களின் நீளங்கள் அவ்வோஞ்சியிலிருந்து 6 அடி ; ஒவ்வொரு மனிதனும் 112 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையை உஞற்றி
னால், அவ்வோஞ்சியினது நிறையைக் காண்க.
6. ஒவ்வொன்றிலும் அரைகள் 5 : 1 என்னும் விகிதத்திலுள்ள நான்கு சில்லச்சுக் களானவை ஒவ்வோரச்சின் பரிதி அடுத்த சில்லின் பரிதிக்குப் பிரயோகிக்கப்படுமாறு ஒழுங்காக் கப்படுகின்றன ; 1875 இறா. நிறையொன்றைத் தாங்குதற்கு என்ன எத்தனம் தேவைப்படும்?
7. ஒரு சில்லினுடைய ஆரைகளானவை முறையே 2 அடியும் 2 அங்குலமுமாயிருக்க, அவற்றிலிருந்து தூங்கும் இழைகள் 2 அடி 2 அங்குல நீளத்தையும் 10 இறா. நிறையையு முள்ள சீரான கோலொன்றினுடைய இரு முனைகளுக்குத் தொடுக்கப்படுகின்றன ; அக்கோல் கிடை நிலையிலே தூங்கும் வண்ணம் அவ்விழைகளுள் ஒன்றன்மீது அக்கோலோடு என்ன நிறை தூக்கப்படல் வேண்டும்?

பொறிகள். பொதுத் தராசு
189
8. ஒரு கப்பி ஒரு சில்லொடு அச்சாணியிலிருந்து நிலைக்குத்தான இழைத் தடமொன்றாலே தூக்கப்பட்டு 1 அந்தர் நிறையொன்றைத் தாங்குகின்றது ; அவ்விழையின் ஒரு முனை அச்சாணியைச் சுற்றியும் மற்றையது எதிர்த்திசையிற் சில்லைச் சுற்றியும் சுற்றப்பட்டிருக்கின்' றன. சில்லொடு அச்சாணியினுடைய ஆரைகள் 1 அடியும் 2 அங்குலமுமெனக் கொண்டு 2 அடி நீளமான ஒரு புயத்தியின் முனையிலே அவ்வச்சாணியைத் திருப்பத்தக்கதாய்த் தாக்குகின்ற விசையைக் காண்க.
9. வேற்றுமைச் சில்லொடு அச்சாணியிலே, சில்லின் ஆரை 1 அடி ஆயும், அச்சினுடைய இரு பகுதிகளினுடைய ஆரைகளானவை முறையே 5 அங்., 4 அங். என்பனவாயும் இருந்தால், 56 இறா. நிறையொன்றை என்ன எத்தனம் தாங்கும்?
10. வேற்றுமைச் சில்லொடு அச்சாணியிலே, சில்லின் ஆரை 18 அங். ஆயும் அச்சாணியி னுடைய இரு பகுதிகளுடைய ஆரைகளானவை முறையே 6 அங்., 4 அங். என்பனவாயும் இருந்தால், 20 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஓர் எத்தனத்தால் என்ன நிறை தாங்கப்படும்?
11. ஒரு வேற்றுமைச் சில்லொடு அச்சாணியிலே, சில்லின் ஆரை 1 அடி ஆயும் அச்சாணியின் ஆரை 1 அங்குலமாயும் உள்ளன ; அச்சில்லின் விளிம்பின்மீது தம்மைத் தொடுக்குங் கோடு அச்சில்லின் மையத்தில் 120° என்னுங் கோணத்தை எதிரமைக்கும்படியா யுள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு ஒவ்வொன்றும் 10 இறா. ஆன 2 நிறைகள் இணைக்கப்பட்டால், அச்சாணியிலிருந்து வழக்கமான முறையின்படி தூங்குகின்ற ஓர் இழையாலே தாங்கப்படக்கூடிய மிகப் பெரிய நிறையைக் காண்க.
12. ஒரு சில்லொடு அச்சாணியிலே, சில்லின் ஆரை அச்சாணியின் ஆரையின் ஆறு மடங்கு ; 5 இறா. நிறையுள்ள ஓர் எத்தனத்தில் ஒரு பொருள் 60 அடிக்கூடாக உயர்த்தப் படுமாயின், செலவழிந்த வேலையைக் காண்க.
13. 20 அங்குல விட்டமுள்ள ஓர் ஓஞ்சி தன்னச்சிலிருந்து 5 அடித் தூரத்திலுள்ள ஒரு நெம்பாற் செலுத்தப்படுகின்றது. கிடையுடன் கோசை - 15 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் ஒப்பமான தளத்தின் பரப்பில் 35 அடி தூரத்திற்கு ஒரு தொன் நிறையுள்ள ஒரு பொருளை ஒரு கயிற்றினால் இழுத்தற்கண் செய்யப்படும் வேலையைக் காண்க. அன்றியும் அந்நெம்பின் முனைக்குப் பிரயோகிக்கப்படும் விசையையும் பிரயோக புள்ளி செல்லும் தூரத்தையுங் காண்க.
14. ஒவ்வொன்றிலும் வேக விகிதத்தைக் கண்டு, வேற்றுமைச் சில்லொடு அச்சாணி, வெஸ்ற்றனின் வேற்றுமைக் கப்பி என்னும் இவற்றிலே, வேலைத் தத்துவத்தைச் சரி பார்க்க.
V. பொதுத் தராசு. 166. பொதுத் தராசு என்பது ஒவ்வொரு முனையிலுந் தூக்கப்பட்ட ஒரு தராசுத் தட்டைக் காவுகின்ற AB என்னும் (பிரிவு 167) ஒரு விறைப்பான கோலை உடையதாயும் அக்கோலுக்குப் புறத்தேயுள்ள 0 என்னுஞ் சுழலை பற்றிச் சுயாதீனமாகத் திரும்பக்கூடியதாயும் இருக்கும். சுழலையுங் கோலும் விறைப்பாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; தராசு நன்கு செய்யப்பட்டால், 0 என்னும் புள்ளியிலே தன் விளிம்பு கீழ்முகமாகத் திரும்பி ஒரு சிற்றகேற்றுத் தட்டில் ஓய்விற் கிடக்கின்ற ஒரு வல்லுருக்கு
ஆப்பு உண்டு.
நிறுக்கப்பட வேண்டிய பொருள் ஒரு தராசுத் தட்டிலும் பருமன் தெரிந்த நிறைகளானவை மற்றைத் தட்டிலும் இடப்படுகின்றன. அத்தராசுக்


Page 103
190
நிலையியல்
கோல் ஒரு கிடை நிலையில் ஓய்வடையும் வரைக்கும் இந்நிறைகள் செம்மை யாக்கப்படுகின்றன. OH என்பது அக்கோலிற்குச் செங்குத்தாயும் புயங்கள் HA, HB என்பன சமநீளங்களுள்ளனவாயும், அக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் OH என்னுங் கோட்டிற் கிடப்பதாயும், தராசுத் தட்டுக்கள் சம் நிறையுள்ளனவாயும் இருந்தால், அப்பொருளினது நிறை மற்றைத் தராசில் இடப்பட்ட நிறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாம்.
அப்பொருளினது நிறை மற்றைத் தட்டில் இடப்பட்ட நிறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனில்லையாயின், தன் கோல் கிடையாக இருக்கத் தராசு ஓய்விலிருக்காது. ஆனால் கிடையுடன் தன் கோல் சாய்ந் திருக்க ஓய்வில் இருக்கும்.
சிறந்த தராசுகளில், கோலானது தனக்கு H இலே தொடுத்த ஒரு நீண்ட காட்டியை வழக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. இக்காட்டியின் முனை அளவு கோடிட்ட ஓர் அளவு கோலின் வழியே செல்லும் ; கோல் கிடையாக இருந்தால், காட்டி நிலைக்குத்தாக இருந்து அளவுகோலிற் பூச்சிய அளவுக் கோட்டைக் காட்டி நிற்கும்.
167. தராசுத் தட்டுக்களிலே இட்ட நிறைகள் சமனில்லையாயின், ஒரு தராசு சமநிலை யடையும் நிலையைக் காணல்.
தாரசுத் தட்டுக்களிலே இட்ட நிறைகள் P, W என்பனவாகுக. அவற்றுள்ளே முன்னது பின்னதிலும் பெரிதாகுக; S ஒவ்வொரு தட்டினதும் நிறையாகுக; கோலினது நிறை (அதனோடு விறைப்பாகத் தொடுக்கப்பட்ட பகுதிகளின் நிறையோடு) W' ஆகுக; அந்நிறை OH இன் மீது K யிலே தாக்குக.
(புள்ளிகளைத் தெளிவாகக் குறிக்கக்கூடியவாறு படம் தரப்பட்டுள்ளது. உண்மையிற் K, கோலிற்கு மிக அண்மையிலேயே உள்ளது.)
சமநிலையிலிருக்கும் பொழுது, கோல், கிடையோடு கோணம் 0 விற் சரிந்துள்ளது. எனவே OH ஆனது நிலைக்குத்துடன் அதே கோணம் 0 வில் சரிந்துள்ளது.
OH, OK என்பன முறையே h, k என்பன ஆகுக; AH அல்லது HB இனது நீளம் 3. ஆகுக.
0, H என்பனவற்றிற்கூடாக வரையுங் கிடைக் கோடுகள் கோலினுடைய முனைகள் A, B என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடுகளை L, M, L', M' என்பனவற்றிற் சந்திக்க.
அன்றியும், HI, K என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடுகள் LM என்பதை முறையே F, G என்பனவற்றிற் சந்திக்க.

பொறிகள். பொதுத் தராசு
191
இத்தொகுதி சமநிலையில் இருந்தால், விசைகளுக்கு 0 பற்றி எடுக்கும் திருப்புதிறன்கள் சமமாக வேண்டும்.
OL--
6) ---M'
VIlw+S
P+S II |
ஃ (P +S ) . OL= (w + S) OM + W' .OG, அதாவது, (P+ S) (FL - FO) = (W + S) (FM + OF) + W' .OG
• (P+ S) (a கோசை 9 - hசைன் 8) = (W+S) (a கோசை 0 +» சைன்0)
அ + W' . k சைன் 9. (அதற்குக் காரணம் OF = OH கோசை FOH === » சைன் 9 ;
OG = OK சைன் 9 ; FIL, HL' = a கோசை 0] என்பனவாகும்.
ஃ a கோசை 9 (P - W) = சைன் 8 [W'b + (P+ W +2S) h].
(P - W)ய ' தான் 0=W'k + (P+ W + 2S) k: 168. நல்ல தராசினுடைய தேவைப்பாடுகள். (1) தராசு உண்மையாதல் வேண்டும்.
தராசினுடைய புயங்கள் சமனாயும், தராசுத் தட்டுக்களுடைய நிறைகள் சமனாயும், கோலின் புவியீர்ப்பு மையஞ் சுழலைக்கூடாகக் கோலிற்குச் செங்குத்தாக வரையுங் கோட்டில் உள்ளதாயும் இருந்தால், தராசு உண்மையாகும் ; அதற்குக் காரணம், தராசுத் தட்டுக்களிற் சம நிறைகள்
இடப்பட்டாற் கோல் கிடை நிலையில் இருக்கும் என்பதே.
தராசு உண்மையானதோவெனச் சோதிப்பதற்கு முதற்கண் அதனுடைய தட்டுக்கள் வெறுமையாய் இருக்கும்போது கோல் கிடை நிலையில் இருக்கின்றதாவெனக் காண்க ; பின்னர், ஒரு தராசுத் தட்டில் இடப்பட்ட ஒரு பொருளினது நிறையைச் சமன்செய்தற்குப் போதிய நிறைகளை மற்றைத் தராசுத் தட்டில் இடுதலாற் கோலைக் கிடையாக இருக்கச் செய்க; இனி, அப்பொருளையும் நிறைகளையும் அவற்றுள்ளே மாற்றுக ; இரண்டாம்


Page 104
192
நிலையியல்
வகையிலே கோல் நிலைக்குத்திற்கு யாதுமொரு நிலையிற் சாய்ந்திருந்தால் தராசு உண்மையாகாது.
(2) தராசு உணர்ச்சி உள்ளதாய் இருத்தல் வேண்டும் ; அதாவது, தராசுத் தட்டுக்களிலிருக்கும் நிறைகளுக்கு இடையேயுள்ள எத்துணைச் சிறிய வித்தியாசத்திற்குங் கோல் கிடையுடன் ஒரு மதிக்கத்தக்க கோணத்திற் சாய வேண்டும்.
P, W என்பனவற்றிற்கிடையே தந்தவொரு வித்தியாசத்திற்குக் கிடையுடன் கோல் ஆக்குஞ் சாய்வுக்கேற்பத் தராசு கூடிய உணர்திறன் உடையதாகும்; அன்றியும், தந்தவொரு சாய்வு 0 என்பதை ஆக்க வேண்டப்படும் நிறை களுக்கு இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தின் சிறுமைக்கேற்பத் தராசின் உணர்திறன் பெரிதாகும்.
எனின், P - W தரப்பட்டால், கூடக் கூட அது பற்றி தான் 0 கூடக்கூட உணர்திறனுங் கூடும் ; அன்றியும், 8 தரப்படும் பொழுது அது
P- w என்பதனோடு மாறும்.
ஆகவே, உணர்திறன் ஏற்கத்தக்கதாக
தான் 6
என்பதால், P- W
அதாவது, wடp 1 wட 269% என்பதால் அளக்கப்படும். (பிரிவு 167.)
எனின், h, k என்னுந் தூரங்களோடு ஒப்பிடப்படுமிடத்துப் புயம் a செப்பமாய் நீண்டிருக்க, அப்பொறியினுடைய நீளத்திற்கும் விறைப்பிற் குந் தக்கதாய்க் கோலினது நிறை W' என்பது சிறிதாயிருந்தால், தராசின் உணர்திறன் பெரிதாகும்.
h என்பது பூச்சியமாகாது விட்டால், உணர்திறன் P, W என்பன வற்றினுடைய பெறுமானங்களை, அதாவது தராசுத் தட்டுக்களிலே உள்ள சுமைகளைச் சாரும். ஓர் இரசாயன ஆய்கூடத்தியிலே வழங்குந் தராசொன் றிற்கு இது வேண்டப்படாது. ஆகவே அத்தகைய தராசுகள் » பூச்சியமாகும் படி, அதாவது உருவத்திலுள்ள புள்ளி 0 வானது H ஓடு பொருந்தும்படி செய்யப்படும். ஆயின், உணர்திறனானது 0, அல்லது H இற்குக் கீழேயுள்ள கோலின் புவியீர்ப்பு மையத் தூரம் k யோடு நேர்மாறாக மாறும். ' ஆனால், h, k என்னும் இரண்டையும் நாம் பூச்சியமாக்கல் ஆகாது; ஆக்கினால், 0, K என்னும் புள்ளிகள் இரண்டும் H ஓடு பொருந்தும். இங்கு, தராசுத் தட்டுக்களிலே உள்ள நிறைகள் சமமானால், தராசானது பிரிவு 144 இற்போல் எந்நிலையிலுஞ் சமநிலை எய்தும் ; அன்றித் தட்டுக்களி லுள்ள நிறைகள் சமனில்லையெனின், அப்பொறியின் அமைப்பு விடக்கூடிய அளவிற்குக் கிட்டிய நிலைக்குத்து நிலையை அது எடுக்கும்.

பொறிகள். பொதுத் தராசு
193
(3) தராசு உறுதியாய் இருக்கவேண்டும் ; அதுவேயன்றிச் சமநிலையடை யும் நிலையையும் விரைவாய் எடுக்கவேண்டும்.
சமநிலை அடையும் நிலையை எடுத்தற்கு அப்பொறியால் எடுக்கப்படும் நேரத்தைத் துணிதல் சிறப்பாக இயக்கவியலிற்குரியது. எனினும், சுழலை 0 பற்றி எடுக்கும் விசைகளினுடைய திருப்புதிறன் மிகப் பெரிதா கும்போது, இந்நிபந்தனை மிக நன்கு தீர்க்கப்படும் எனக் கொள்வோம். தாரசுத் தட்டுக்களிலுள்ள நிறைகள் ஒவ்வொன்றும் P ஆயின், சம நிலையைக் கொடுக்க முயலும் விசைகளுடைய திருப்புதிறன்
= (P+S) (a கோசை 0 +h சைன் 0) - (P + S) (0 கோசை 9 -hசைன் 9)
+ W '. ஃசைன் 0. = [2 (P + IS) h+ W' .h)சைன் 9. k, h என்பன மிகப் பெரியனவாயின், இக்கோவை மிகப் பெரிதாகும். தராசானது h, k என்பன சிறியனவாயிருக்கும்போது மிக்கவுணர்திறன் உள்ளதாயும் இக்கணியங்கள் பெரியனவாயிருக்கும்போது மிக்கவுறுதியுள்ள தாயும் இருப்பதால், எத்தராசிலும் பெரிய உணர்திறனும் விரைவாய் நிறுத்தலும் ஓரளவிற்கு ஒன்றோடொன்று இசையா என்பதைக் காண் கின்றோம். செய்முறையில், இது பிரதானமானதன்று; அதற்குக் காரணம் பெரிய உணர்திறன் வேண்டிய தராசுகளில் (ஆய்சாலையில் வழங்குவன போன்றவற்றில்) விரைவாய் நிறுப்பதை ஒறுத்து விடலாம்; இதற்கு எதிர் பொதுவான வியாபார நோக்கங்களுக்கு வழங்குவது.
உணர்திறன், விரைவாய் நிறுத்தல் என்னும் இரு பண்புகளையுங் கூடிய வரைக்கு உறுதியாக்குதற்குத் தராசானது செப்பமாய் இலேசான நீள் புயங்களாற் செய்யப்படல் வேண்டும்; அதனோடு கோலிலிருந்து சுழலை யினது தூரம் பெரிதாதல் வேண்டும்.
(169. இரு முறை நிறுத்தல். இம்முறையால், தராசு செப்பமில்லாத விடத்தும் ஒரு பொருளினுடைய நிறை செப்பமாகத் துணியப்படலாம்.
நிறுக்கவேண்டிய பொருளை ஒரு தர 'சுத் தட்டில் இடுக; மற்றைத் தட்டில் அப்பொருளைச் சமனசெய்தற்குப் போதிய மணலை, அல்லது வசதி யான பிற திரவியத்தை இடுக. இனி, அப்பொருளை எடுத்துவிட்டு அதற்குப் பதிலாக அம்மணலைச் சமன்செய்தற்குப் போதிய தேர்ந்த நிறை களை இடுக. அப்பொருளினது நிறை அத்தேர்ந்த நிறைகளின் மொத்த மென்பது தெளிவு.
மிக்க செப்பம் வேண்டியவிடத்து மிகச்சிறந்த பொறிகளை வழங்குதற் கண்ணும் இம்முறை வழங்கப்படும். இது போடாவின்முறை எனப்படும்.
170. உ - ம். 1. ஒரு தராசினுடைய புயங்கள் சமநீளமுள்ளன ; ஆனால், கோல் சீரற்ற முறையிற் சுமையேற்றப்பட்டிருக்கின்றது ; ஒரு பொருள் ஒவ்வொரு தராசுத் தட்டிலுந்


Page 105
194
நிலையியல்
தொடர்ச்சியாக இடப்பட்டு நிறுக்கப்பட்டால், அதன் உண்மையான நிறை அதனுடைய தோற்ற நிறைகளின் கூட்டலிடையெனக் காட்டுக.
புயங்களினுடைய நீளம் a ஆகுக; சுழலையிலிருந்து கோலின் புவியீர்ப்பு மையத்தின் கிடைத்தூரம் ல ஆகுக.
தனது உண்மையான நிறை W ஆகவுள்ள ஒரு பொருளானது தொடர்ச்சியாக W, W2 என்னும் நிறைகளைக் கொண்டதாகத் தோற்றுக. 'W' என்பது கோலினது நிறையாயின்,
W . a = W' . ல + Wa,
W,. a = W' - 2 + W . a எனப் பெறுவோம். எனின், கழித்தலால்,
(W - W) க = (W-W) a.
.. W = 2 (W+ W.)
= தோற்ற நிறைகளின் கூட்டலிடை. உ - ம். 2. ஒரு தராசின் புயங்கள் சமனில் நீளங்களுடையன; ஆனால், தராசுத் தட்டுக்கள் சுமையேற்றப்படாது இருக்கும்போது கோல் கிடை நிலையில் இருக்கின்றது; ஒரு பொருளானது தொடர்ச்சியாக ஒவ்வொரு தராசுத் தட்டிலும் இடப்பட்டால், அதன் உண்மையான நிறை அதனுடைய தோற்ற நிறைகளின் பெருக்கலிடையெனக் காட்டுக.
[கோசின் முறை.] ஒரு வியாபாரி ஒவ்வொரு தராசுத் தட்டையும் ஒன்றுவிட்டொன்றாக வழங்கி, ஒரே திரவியத்தினுடைய சமவௗவுகளை நிறுக்கின்றவனாகத் தோற்றினானாயின், அவன் தன்னை வஞ்சிக்கின்றான் எனக் காட்டுக.
தராசுத் தட்டுக்களிலே நிறை யாதுமில்லாதிருக்கும்போது கோல் கிடையாக இருக்கின்றமை யால், தராசுத் தட்டுக்களோடு சேர்ந்த கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் சுழலைக்குக் கீழே நிலைக்குத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.
a, b என்பன கோலினுடைய புயங்களின் நீளங்களாகுக ; தனது உண்மையான நிறை W ஆகவுள்ள ஒரு பொருளினுடைய தோற்ற நிறைகள் W1, W,, என்பனவாகுக.
எனின்,
W . a = W,.6...
... (1), W, a = W.6..
..(2).' எனின், பெருக்கலாலே,
W2 . ab = WW, ab.
ஃW = VW,. W,, அதாவது உண்மையான நிறையானது தோற்ற நிறைகளின் பெருக்கல் இடை. இனி, அவ்வியாபாரி தொடர்ச்சியாக W விற்குச் சமனான அளவுகளை நிறுக்கின்றவனாகதீ தோற்றினானாயின், அவன் தன்னுடைய வாடிக்கைக்காரருக்கு உண்மையாகக் கொடுப்பது W, + W,.
இன்னும், W+ W, -2W :
W, -2w
= wா? +62 - 2ab.
-- = w " ".
aம்

பொறிகள். பொதுத் தராசு
195
இனி, a, b என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் எவையாய் இருந்தாலும், இச் சமன்பாட்டின் வலக்கையுறுப்பு என்றும் நேர்க்குறி கொண்டதாகும் ; ஆயின் W. -+ W, என்பது என்றும் 2W விலும் பெரிதாகும். எனின், அவ்வியாபாரி தன்னை வஞ்சிப்பவனாவான்."
எண் உதாரணம். புயங்களின் நீளங்களானவை முறையே 11 அங்., 12 மங். என்பனவாயும், நிறுக்கப்பட்ட தோற்றவளவுகள் ஒவ்வொரு வகையிலும் 66 இறா. ஆயும்.
12
இருந்தால், உண்மையான அளவுகள் -: 66 இறாத்தலும் ,.. 66 இறாத்தலு.
11
மாகும் ; அதாவது 60 இறாத்தலும் 72 இறாத்தலுமாகும்; அதாவது 1324 இறாத்தலாகும் ; ஆயின் அவ்வியாபாரி 8 இறாத்தல் இழக்கின்றான்.
உ - ம். 3. சமனில் புயங்களையுடைய ஒரு தராசு சீரற்றமுறையிற் சுமையேற்றப்பட்டிருக்க ஒரு வியாபாரி வாடிக்கைக்காரன் ஒருவனுக்கு யாதுமொரு திரவியத்தில் 2W என்னும் ஓரளவை அவ்விரு தராசுத் தட்டுக்களிற் சமபகுதிகளை இட்டு நிறுத்துக் கொடுக்கிறான். கோலினது புவியீர்ப்பு மையமானது நீண்ட புயத்தில் இருந்தால், அவன் தன்னை வஞ்சிக் கின்றானெனக் காட்டுக.
a, b என்பன புயங்களின் நீளங்களாகுக ; அப்பொறியினது நிறை W' என்பது சுழலை யிலிருந்து ல தூரத்தில் 6 நீளமுள்ள புயத்தில் ஒரு புள்ளியிலே தாக்குக. W நிறையுடைய ஒரு பொருளானது தொடர்ச்சியாக அவ்விரு தராசுத் தட்டுக்களில் இடப்படும் போது முறையே W,, W, என்பவற்றாற் சம நிலையெய்துக. ஆயின்,
W . = W.6 + W' . ல, W, a = w .6 + W' ஐ என்பன
- W .a - W' ல W .6 + W' .2 : W+ W - 2W = "
-2W 6 W (h - a), 6 - a
--+ W' ஐ.
- - -
ab
26 ..
b>a ஆயின், இச்சமன்பாட்டின் வலக்கையுறுப்பு நேர்க்குறியோடு பொருந்தும் ; ஆயின், W + W, > 2W.
எனின், கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் நீண்ட புயத்தில் இருந்தால், அவ்வியாபாரி தன்னையே வஞ்சிப்பானாவான்.
பயிற்சி XXVIII 1. ஒரு தராசிலுள்ள ஒரேயொரு குறை அத்தராசினுடைய தட்டுக்களானவை சமனில் நிறை கொண்டமையாயின், ஒரு தட்டிலிடும் 10 இறாத்தலோடும் மற்றையதனிலிடும் 12 இறாத்தலோடுஞ் சமநிலை எய்தும் ஒரு பொருளின் உண்மையான நிறை என்ன?
2. ஒரு தராசின் புயங்களானவை முறையே 83, 9 அங்குலங்கள் ; நிறுக்க வேண்டிய பொருள்கள் அதன் நீளப் புயத்தினின்றுந் தூக்கப்படுகின்றன ; 27 இறா. நிறை
யைத் தோற்ற நிறையாகவுள்ள பொருள்களின் உண்மையான நிறையைக் காண்க.
3. தனது உண்மையான நிறை 18 அவுன்சாகவுள்ள ஒரு பொருளினது தோற்ற நிறை 20 அவுன்சு ஆகுமாறு ஒரு பொதுத் தராசின் ஒரு தட்டு சுமையேற்றப்படுகின்றது ; அத்தட்டில் ஏறியிருக்கும் நிறையைக் காண்க.
4. ஒரு தராசின் இரு புயங்களிலிருந்துந் தொடர்ச்சியாக நிறுக்கப்பட்ட ஒரு பொருளினுடைய தோற்ற நிறைகள் 9 இறா., 4 இறா. என்பன. அப்புயங்களுடைய நீளங்களின் விகிதத்தையும் அப்பொருளின் உண்மையான நிறையையுங் காண்க.


Page 106
196
நிலையியல்
5. ஒரு பொருள் ஒரு தராசுத் தட்டிலிடப்பட 24 இறா. கொண்டதாயும் மற்றைத் தட்டிலிடப்பட்ட 25 இறா. கொண்டதாயுந் தோற்றமளிக்கின்றது. அத்தட்டுக்களுடைய புயங்கள் சமனில் நீளங்கள் உடையனவெனக் கொண்டு அப்பொருளின் உண்மையான நிறையை மூன்று தசம தானங்களுக்குக் காண்க.
6. ஒரு தராசினது தட்டு A யில் இருக்கும் ஓர் ஈயத்துண்டு B என்னுந் தட்டிலுள்ள 100 கிரேயினாற் சம நிலையடைகின்றது ; அதே ஈயத்துண்டு B என்னுந் தட்டில் இடப்படும்போது அதனைச் சமநிலைப்படுத்தற்கு A யில 104 கிரேயின் இடப்படல் வேண்டும். அத்தராசின் புயங்களினுடைய நீளங்களின் விகிதம் என்ன?
7. ஒரு தராசுத்தட்டில் இடப்பட்ட ஒரு பொருளானது மற்றைத் தட்டிலிடப்பட்ட 10 இறாத்தலாற் சம நிலை எய்துகின்றது ; அப்பொருளினுடைய நிலையும் அந்நிறைகளுடைய நிலையும் ஒன்றிருந்த இடத்திற்கு ஒன்றாக மாற்றப்பட்டால் அப்பொருளைச் சமநிலைப்படுத்தற்கு. 11 இறா. தேவைப்படும். குறும் புயத்தினது நீளம் 12 அங். ஆயின், நெடும் புயத்தினது நீளத்தையும் அப்பொருளினது நிறையையுங் காண்க.
8. நிறை புறக்கணிக்கப்படத்தக்க ஒரு பொய்த் தராசினுடைய புயங்கள் 10 : 9 என்னும் விதத்தில் உள்ளன. ஒவ்வொரு புயத்திலிருந்தும் பொருள்கள் ஒன்றுவிட்டு ஒன்றாக. நிறுக்கப்பட்டால், விற்போன் 5% இழப்பான் எனக் காட்டுக.
9. ஒரு பொய்த் தராசினுடைய புயங்களானவை முறையே 8, 9 அங்குல நீளங்களை உடையனவாயின், (i) நீண்ட (ii) குறுகிய புயத்தின அந்தலையிலிருந்து தேயிலைபை நிறுக்கும் போது இறாத்தலுக்கு இரண்டு சிலினாகத் தேயிலை கொள்வதற்கு ஒரு மனிதனால் உண்மை யாகக் கொடுக்கப்பட்ட விலைகளைக் காண்க.)
10. ஒரு வியாபாரியிடஞ் செப்பமான படிகள் உண்டு; ஆனால், அவனுடைய தராசில். ஒரு புயம் மற்றையதிலும் பங்காற் சிறிது. ஒவ்வொன்றும் 9 இறா. தோற்ற நிறை கொண்ட ஒரு மருந்தினுடைய இரண்டு அளவுகளுள் ஒன்றை ஒரு தட்டிலிட்டு நிறுத்தும் மற்றையதை. மற்றைத் தட்டிலிட்டு நிறுத்தும் இறாத்தல் 40 சிலனாக விற்றானாயின், அவன் அடையும் நயம், அல்லது நட்டம் எனன?
11. தந்தவொரு தராசு சமநிறைகளாற் சுமையேற்றப்படும் பொழுது கோலானது கிடை யாகவில்லை எனபது காணப்படுகினறது ; ஆனால், புயங்கள் சமனில நீளங்களுடையனவோ எனபது தெரியாது ; ஒரு தட்டிலுள்ள 51 075 கிரேயின் மற்றையதிலுள்ள 51-362 கிரேயினைச் சமநிலைப்படுத்தும் ; 25 592 கிரேயினும் 25-879 கிரேயினைச் சமநிலைப்படுத்தும் ; புயங்கள் சமமென்றும் ஆனால், தட்டுக்கள் நிறையில் '287 கிரேயினால் வேறுபடுமென்றுங். காட்டுக.
12. P, Q என்பன ஒரு பொதுத் தராசில் சமநிலைப்படுகின்றன ; அவற்றை ஒனறிருந்த. விடத்தில் ஒன்றாக மாற்றினால் Q விற்கு அதன் 1ா பங்கைக் கூட்டல் வேண்டுமென்பது காணப்படுகின்றது; புயங்களின் விகிதத்தையும் P என்பது 2 வோடு கொள்ளும் விகிதத்தை
யும் காணக.
13. ஓர் உண்மையான தராசில் ஒரு தட்டு முறையின்றிச் சுமையேற்றப்பட்டிருக்கின்றது; ஒரு பொருள அவ்விரு தட்டுக்களிலுந் தொடர்ச்சியாக நிறுக்கப்பட, முறையே P இறா.. 0 இறா. என்னும் நிறைகளுடையனவெனத் தோற்றம் அளித்தால், முறையற்ற சுமையினது அளவையும், அப்பொருளின் உண்மையான நிறையையுங் காண்க.
14. ஒரு பொய்த் தராசினுடைய புயங்கள் சமனாய் இல்லை ; தட்டுச் சுமையேற்றப்பட்டிருக். கின்றது ; தனது உண்மையான நிறை P இறா. ஆகிய ஒரு பொருள் ஒரு தட்டிலிட ய இறா. நிறையுள்ளதாயும் மற்றைத் தட்டிலிட ய' இறா. நிறையுள்ளதாயுந் தோற்றமளிக்கின்றது ; புயங்களின் விகிதத்தையுந் தட்டில் ஏற்றிய நிறையையுங் காண்க.
15. சமனில் புயங்களையுடைய ஒரு சுமையேற்றப்பட்ட தராசில், P என்பது Q நிறையுள்ளதாக வும் Q என்பது R நிறையுள்ளதாகவும் தோற்றம் அளிக்கின்றன ; R என்பது என்ன நிறையுள்ளதாகத் தோற்றம் அளிக்குமெனக் காண்க.

பொறிகள். துலாக்கோல்
197
16, நீண்ட ஆப்பு வடிவமுள்ள ஒரு மரத்துண்டு சீரான அகலமும் ஒரு முனை 4 அங்குலத் தடிப்பும் மற்றை முனை 4 அங்குலத் தடிப்புங் கொண்டது ; அது தன் புவியீர்ப்பு மையத்திலே தூக்கப்பட்டு , ஒரு தராசின் கோலாக வழங்கப்படுகின்றது ; நிறுக்கவேண்டிய பொருள்கள் அதன் நீண்ட புயத்தினின்றுந் தூக்கப்படுகின்றன ; தோற்றநிறை 20 இறா. ஆகிய பொருள் களின் உண்மையான நிறையைக் காண்க.
17. ஒரு பொய்த் தராசினுடைய புயங்கள் a, 5 என்னும் நீளங்களுடையன ; W என்னும் ஒரு நிறை b என்னும் அளவுள்ள குறும் புயத்தின் முனையிலுள்ள P என்பதையும் a என்னும் அளவுள்ள புயத்தின் முனையிலுள்ள Q என்பதையுஞ் சமநிலைப்படுத்தும் ; a P - W
5W-0 எனக் காட்டுக.
18. ஒரு நிறுக்கும் பொறியின் ஒரு தட்டில் ஒரு மனிதன் இருந்து கொண்டு அத்தட்டுத் தூக்கப்பட்டிருக்கும் புள்ளிக்குஞ் சுழலைக்கும் இடையே தராசுக் கோலிலுள்ள ஒரு புள்ளிக் கெதிராக ஒரு தடியால் அமுக்கினால், அவன் முன்னிலுங் கூடிய நிறையுள்ளவனாகத் தோற்ற மளிப்பான் எனக் காட்டுக.
VI. துலாக்கோல்கள். 171. பொது, அல்லது ரோமர் துலாக்கோல் என்பது பொருள்களை நிறுத்தலுக்குரிய ஒரு பொறி ; அது C என்னும் ஒரு புள்ளியில் உள்ள,
ஆ)
தி
* * 0 1 2 3 4
ஒரு நிலையான சுழலை பற்றி அசையத்தக்க AB என்னும் ஒரு கோலைக் கொண்டது.,


Page 107
198
நிலையியல்
பின்னால் ல ஓய்விலிருக்கும் நிறையைத் துவகப்பட்டுள்ளன :
புள்ளி A யில் ஒரு கொளுக்கி அல்லது தராசுத்தட்டு நிறுக்க வேண்டிய பொருளைக் காவுதற்கு இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. புயம் CB 'யின்மீது P என்னும் ஓர் அசையத்தக்க நிறை வழுக்குகின்றது. அக்கோல் கிடை நிலையில் ஓய்விலிருக்குமாறு P வைக்கப்பட வேண்டிய புள்ளி தராசுத் தட்டிலுள்ள பொருளினது நிறையைத் துணியும். புயம் CB யில் அதன் நீளத்தின் வேறு வேறு புள்ளிகளில் எண்கள் செதுக்கப்பட்டுள்ளன; P ஓய்விலிருக்கும் அளவு கோடு அப்பொருளினது நிறையைத் தரும்.
172. துலாக்கோலுக்குப் படிவகுத்தல். W', தராசுத்தட்டோடு கூடிய துலாக் கோலினது நிறையாகுக; கோலிலே, தன்னுடாக W' தாக்குகின்ற புள்ளி G ஆகுக. G ஆனது AC என்னுங் குறும் புயத்தில் இருக்குமாறு கோல் வழக்கமாகச் செய்யப்படுகின்றது.
தராசுத் தட்டிலே நிறை யாதும் இல்லாதிருக்கும்போது CB யில் W' என் பதைச் சமன்செய்துதற்கு P என்னும் இயங்கும் நிறை வைக்கப்பட வேண்டிய புள்ளி 0 ஆகுக.
C பற்றித் திருப்புதிறன் எடுக்க,
" W'. GC = P. CO...
... (i). இந்நிபந்தனை அளவு கோடுகளின் பூச்சியப் புள்ளியாகிய 0 வினது நிலையைத் துணிகின்றது.
தராசுத்தட்டிலுள்ள நிறை W வாய் இருக்கும்போது P வைக்கப்பட வேண்டிய புள்ளி X ஆகுக. திருப்புதிறன் எடுக்க,
W. CA + W' .GC = P. CX...
... (i). சமன்பாடு (ii) இலிருந்து சமன்பாடு (1) ஐக் கழிக்க,
W.CA = P. OX.
ஃ ox = " CA.
(ii).
முதன்முறை, W = P ஆகுக ; ஆயின் (ii) ஆல்,
OX - CA. எனின், 0 விலிருந்து ஒரு தூரம் OX, (= CA) ஐ அளந்து புள்ளி x ஐ 1 என்னும் எண்ணற் குறித்தால், இயங்கும் நிறை இங்கு ஓய்வில் இருக்கும்போது, தராசுத் தட்டில் உள்ள பொருள் P இறா. ஆகும்.
இரண்டாவதாக, W= 2P ஆகுக ; ஆயின், (ii) இலிருந்து OX = 2CA. எனின், 0 விலிருந்து ஒரு தூரம் 2 CA யைக் குறிக்க ; ஈற்றில் 2 என்னும் எண்ணை இடுக. மூன்றாவதாக, W = 3P ஆகுக ; ஆயின் (iii)

பொறிகள். துலாக்கோல்
துல
கோல்
199
இலிருந்து OX - 3CA ; ஆகவே , 0 விலிருந்து 3CA யிற்குச் சமனான ஒரு தூரத்தைக் குறிக்க ; ஈற்றில் 3 என்னும் எண்ணைக் குறிக்க.
எனின், துலாக்கோலிற்கு அளவு கோடுகள் இடுதற்கு , 0 விலிருந்து தொடர்ச்சியாக CA, 2CA, 3CA,... என்னுந் தூரங்களைக் குறித்து ஈறுகளில் 1, 2, 3, 4,... என்னும் எண்களை இடல் வேண்டும். இடையி லுள்ள தூரங்கள் P இறாத்தலினுடைய பின்னங்களைக் காட்டுதற்கு சிறு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படலாம்.
இயங்கு நிறை 1 இறா. ஆயின், அளவீடுகள் இறாத்தல்களைக் காட்டும். கி. தே. தொடர்ச்சியான அளவு கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூாங்கள் சமமாகையால், சம நிறையேற்றங்களுக்கு, சுழலையிலிருந்து அளவு கோட்டுப் புள்ளிகளுடைய ஒத்த தூாங் களானவை தன் பொது வித்தியாசஞ் சுழலைக்கும் நிறுக்கவேண்டிய பொருள் இணைக்கப்பட்டு ள்ள புள்ளிக்கும் இடையேயுள்ள தூரமாயுள்ள ஒரு கூட்டல் விருத்தியை ஆக்குமென்பது பெறப்படும்.
173. அப்பொறியினுடைய புவியீர்ப்பு மையம் G நீண்ட புயத்தில் இருக்கும்போது, தன்னிலிருந்து அளவு கோடுகள் அளக்க வேண்டிய புள்ளி 0 வானது குறுகிய புயததில் இருக்க வேண்டும். இங்கு சமன்பாடுகள் (1) ஐயும் (i) ஐயுங் கூட்டல் வேண்டும் என் பதன்றிக் கொள்கை முன்னதிலிருந்தும் வித்தியாசப்படாது.
174. டேனர் துலாக்கோலானது ஒரு பாரமான குமிழி, அல்லது பந்து B யிலே முடிவடைகின்ற ஒரு சட்டம் AB யைக் கொண்டது. A யி ல நிறுக்க வேண்டிய பொருளைக் காவுதற்கு ஒரு கொளுக்கி, அல்லது தராசுத்தட்டு இணைக்கப்பட்டுள்ளது.
"தி 8
15:11:
X3X2 C 31 4 3 2/ 1
W
பொருளினது நிறை அச்சட்டத்தின் எப்புள்ளிபற்றி அப்பொறி சம நிலை அடைகின்ற தெனக் காண்பதாலே துணியப்படும்.
(அச்சட்டத்தின் வழியே வழுக்கக்கூடிய ஓர் இழைத் த த்தை வைத்து அது சமநிலை தருவதற்கு எங்கே இருக்க வேண்டுமெனக் காண்பதா லே இது பெரும்பாலும் செய்யப்படும்.]


Page 108
200
நிலையியல்
175. டேனர் துலாக்கோலுக்குப் படிவகுத்தல். P தராசுத் தட்டோடு கூடிய சட்டத்தின் நிறையாகுக ; G அவற்றின் பொதுப் புவியீர்ப்பு மையமாகுக. W நிறையுடைய ஒரு பொருள் அத்தராசுத் தட்டில் இடப்படும் பொழுது C என்பது சுழலையினது நிலையாகுக.
C பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுக்க,
AC. w= CG. P= (AG - AC) . P. ஃ AC (P + W) = P. AG.
P
ஃAC = Dw AG ...
... (1)
முதலாவதாக, W =P ஆகுக ; ஆயின், AC = { AG. எனின், AG யை இருகூறிடுக ; அதன் மையம் X, இலே 1 என்னும் எண்ணைச் செதுக்குக ; இப்புள்ளிபற்றித் துலாக்கோல் சமநிலையடையும் போது தராசுத்தட்டிலுள்ள அப்பொருளினது நிறை P ஆகும்.
இரண்டாவதாக, W == 2P ஆகுக ; ஆயின், AC = AG. A யிலிருந்து AG யிற்குச் சமமான ஒரு தூரத்தில் ஒரு புள்ளியை எடுத்து அதனை 2 என்பதாற் குறிக்க.
இனி, W தொடர்ச்சியாக 3P, 47, ... என்பனவற்றிற்குச் சமனாகுக. (1) இலிருந்து AC யினுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் * 4 AG, A AG, ... என்பனவாகும். அச்சட்டத்தில் A யிலிருந்து இத்தூரங்களிலுள்ள புள்ளிகளை எடுத்து அவற்றை 3, 4,....... என்பனவற்றாற் குறிக்க.
கடைசியாக, W = { P ஆகுக ; ஆயின், (1) இலிருந்து, AC = ? AG ;
W =P ஆகுக ; ஆயின், (1) இலிருந்து, AC = 4 AG, A யிலிருந்து தம் தூரங்கள் AG, 4 AG, 4 AG, ...., என்பனவாகிய புள்ளிகளை எடுத்து அவற்றை 2, 3, 4, ... என்பனவற்றாற் குறிக்க.
புள்ளி G எளிதாகத் துணியப்படலாமென்பது காணப்படும்; அதற்குக் காரணந் தராசுத் தட்டில் ஒரு நிறையுமில்லாதிருக்கத் துலாக்கோல் சம் நிலையடையும்போது அதுவே சுழலையினது நிலையாகும் என்பதே.
கி. தே. AX), AX3, AX3,... என்பன 2, 3, 4,....... என்னும் எண்களுக்கு நேர்மாறு விகித சமமாகையால், அவை ஓர் இசை விருத்தியை ஆக்கும் ; எனின், (நிறுக்க வேண்டிய பொருளினுடைய சமவேற்றங்களுக்கு ஒத்த) தராசுத் தட்டிலிருந்து அளவு கோட்டுப்புள்ளி களுடைய தூரங்கள் இசை விருத்தியில் இருக்கும்.
உ - ம். டேனர் துலாக்கோலொன்றினது நிறை 6 இறா. தராசுத் தட்டிலிருந்து அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தின் தூரம் 3 அடி ; சுழலையிலிருந்து தொடர்ச்சியாயுள்ள அளவுகோட்டுப் புhrளிகளுடைய தூரங்களைக் காண்க.
முற்பிரிவின் குறியீட்டை எடுக்க, நாம் பெறுவன P = 6, AG = 3 அடி என்பனவாகும்.

பொறிகள். துலாக்கோல்கள்
201
13
ஃ. AC = : w x3 = w46 அடி. ஃ w = 1 ஆகும்போது, AX= 1 = 24 அடி,
W = 2 ஆகும்போது, AX, = 1 = 24 அடி, W = 3 ஆகும்போது, AX, = 8 = 2 அடி.
18 W = 1 ஆகும்போது, AX} = = 24? அடி.
பாது;
2
air
இவ்வாறே பிறவும். இவை வேண்டிய அளவு கோடுகளைத் தருகின்றன.
பயிற்சி XXIX. 1. ஒரு பொதுத் துலாக்கோலினுடைய நிறை 10 இறா. ஆகும். நிறை சுழலையிருந்து 4 அங்குலத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றது ; அத்துலாக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையஞ் சுழலையின் மற்றைப் பக்கத்தில் 3 அங்குலத்தில் இருக்கின்றது ; இயங்கு நிறை 12 இறா ; 1 அந்தருக்கு ஒத்த அளவுகோடு எங்கே இருத்தல் வேண்டும் ?
2. 14 அங்குல நீளத்தையும் 3 இறா. நிறையையும் உடைய ஒரு பாரமான கூம்பு கோலுக்கு அதன் புவியீர்ப்பு மையந் தடிப்பான முனையிலிருந்து 18 அங்கலத்தில் இரு கின்றது ; அது ஓரியங்கு நிறை 2 இறாத்தலோடு ஒரு துலாக்கோலாக வழங்கப்படுகின்றது. 12 இறா. வரைக் கும் நிறுப்பதற்கு அதன் சுழலை எங்கே வைக்கப்படல் வேண்டும்? இறாத்தல்களைக் குறிக் கும் அளவு கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள இடைத் தூரங்கள் எவை ?
3. நிறை துக்கப்படும் புள்ளியிலிருந்து சுழலையினது தூரம் 1 அங்குலமாயும், இயங்கும் நிறை 6 அவுன்சாயும் உள்ள ஒரு துலாககோலில் 15 இறாத்தலை நிறுப்பதற்கு நிறையானது சுழலையிலிருந்து 8 அங்குலத்தில் வைக்கப்படல் வேண்டும் ; 24 இறா நிறுப்பதற்கு எங்கே வைக்கப்படல் வேண்டும் ?
4. • சுழலையானது நிறுக்கவேண்டிய பொருள்கள் தூக்கப்படுகின்ற புள்ளியிலிருந்து 1 அங்குலத் தூரத்திலுஞ் சட்டத்தின் புவியீர்ப்பு மையத்திலிருந்து 2 அங்குலத் தூரத்திலும் உள்ளது ; அச்சட்டமே 3 இறா. நிறையுள்ளது ; அதன் மீது 2 இறா. நிறையொன்று வழுக்குகின்றது. தொடர்ச்சியான இறா. நிறையைக் குறிக்கின்ற அளவு கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று எத்தூரத்தில் இருக்கின்றன ? நிறுக்கக்கூடிய மிகக் குறைந்த நிறை என்ன ?
5. 4 அடி நீளமான AB என்னும் ஒரு துலாக்கோலுக்கு A யிலிருந்து அதன் புவியீர்ப்பு மையம் 11 அங்குலத்திலும் சுழலை 8 அங்குலத்திலும் இருக்கின்றன. அப்பொறி யினது நிறை 4 இறாத்தலாயும் இயங்கத்தக்க நிறை 3 இறாத்தலாயும் இருந்தால் 15 இறாத்தலைக் குறிக்கும் அளவுகோடு B யிலிருந்து எத்தனை அங்குலத்தில் இருக்கின்றதெனக் காண்க.
6. 2 அடி நீளத்தையும் 3 இறா. நிறையையுங் கொண்ட AB என்னும் சீரான சட்ட மொன்று A யிலிருந்து 4 அங்குலத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலே தாங்கப்பட்டு ஒரு துலாக்கோலாக வழங்கப்படுகின்றது. 2 இறா. எனனும் ஓர் இயங்கத்தக்க நிறை கொண்டு நிறுக்கக் கூடிய மிகப்பெரிய நிறையைக் காண்க. எப்புள்ளியிலிருந்து அளவு கோடுகள் அளக்கப்படுகின்றன என்றுங் காண்க.


Page 109
202
நிலையியல்
7. சீரான கோலொன்று 20 சமபங்குகளாகப் பிரிக்கப்படச் சுழலை முதலாம் அளவு கோட்டில் வைக்கப்படுகின்றது. அப்பொறி நிறுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய நிறையும் மிகச்சிறிய
• நிறையும் 20 இறாத்தலும் 2 இறாத்தலுமாகும்; அதனுடைய நிறையையும் இயங்கு நிறையின் பருமனையுங் காண்க.
8. 2 அடி நீளத்தையும் 3 இறா. நிறையையும் உடைய சீரான கோலொன்று தன் சுழலை ஒரு முனையிலிருந்து 2 அங்குலமாயும் வழுக்கு நிறை 1 இறா. ஆயுமுள்ள ஒரு துலாக்கோலாக வழங்கப்படுகின்றது. அளக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய நிறையையும் மிகச் சிறிய நிறையையுங் காண்க.
20 இறாத்தலைக் காட்டுதற்கு வழுக்கு நிறை எங்கே இருத்தல் வேண்டும் ? 9. ஒரு துலாக்கோலின் கோல் 33 அங்குல நீளமுள்ளது ; நிறை இணைக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து சுழலை 4 அங்குலத் தூரத்திலும் அக்கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் 54 அங்குலத்திலும் உள்ளன ; அக்கோலினது நிறை 6 இறாத்தலாயும், நிறுக்கக்கூடிய மிக்க பாரமான நிறை 24 இறாத்தலாயும் இறாந்தால், அசையத்தக்க நிறையின் பருமனைக் காண்க.
10. ஒரு துலாக்கோல் 3 அடி நீளத்தையும் 24 இறா. நிறையையும் உடைய சீரான சட்ட மொன்றால் -ஆக்கப்பட்டுள்ளது ; அதன் சுழலை ஒரு முனையிலிருந்து 4 அங்குலத் தூரத்தில் இருக்கின்றது ; இயக்கத்தக்க நிறை 1 இறா. ஆயின், அப்பொறியால் அளக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய நிறையையும் மிகச் சிறிய நிறையும் காண்க. அன்றியும் அது இறாத்தல்களைக் காட்டுதற்கு அளவு கோடி.டப்படும்போது அவ்வளவுகோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தையுங் காண்க.
11. சீரானதெனக் கொள்ளப்பட்ட ஒரு பொதுத் துலாக்கோல் 40 அங்குல நீளமானது ; அதன் கோலினது நிறை இயங்கத்தக்க நிறைக்குச் சமன் ; அதனாலே நிறுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய நிறை இயங்கத்தக்க நிறையினது நாலு மடங்கு ; சுழலையினது நிலையைக் காண்க.
12. டேனர் துலாக்கோலொன்றிலே, பூச்சிய அளவுகோட்டிற்கும் அப்பொறியின் முனைக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் 20 சமபங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது ; நிறுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய நிறை 3 இறா. 9 அவுன்சு ; . அப்பொறியினது நிறையைக் காண்க.
13. தன் நிறை 1. இறாத்தலாயும் 4, 5 என்னும் இறாத்தல்களைக் குறிக்கின்ற அளவு கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் 1 அங்குலமாயுமுள்ள டேனர் துலாக்கோலொன்றின் அளவுகோடிட்ட புயத்தினது நீளத்தைக் காண்க.
14. டேனர் துலாக்கோலொன்றிலே சுழலை முதலாம் இரண்டாம் அளவு கோடுகளுக்கு இடையே பாதிவழியில் இருக்கின்றது; தராசுத்தட்டில் உள்ள நிறை சட்ட நிறையின் ' எனக் காட்டுக.
15. ஒரு துலாக்கோலினுடைய நீளமும் புவியீர்ப்பு மையமும் மாறாதிருக்க, அதனுடைய நிறை அரைப்பங்காகும்படி தேய்ந்திருக்கின்றது ; முன்னர்ச் சுழலையிலிருந்து பூச்சியவளவுக் கோட்டுப் புள்ளியினது தூரம் தொடர்ச்சியான அளவு கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தின் மூன்றிலொரு பங்காயும், இயங்கத்தக்க நிறை ஓர் இறாத்தலாயும் இருந்தால், நிறுத்தலை உண்மையாக்குதற்கு என்ன திருத்தங்கள் செய்யப்படல் வேண்டும் ?
16. ஒரு துலாக்கோல், தன் புவியீர்ப்பு மையம் உபயோகிப்புக் காரணமாக மாறா திருக்க தனது நிறையின் ஃ பங்கை இழக்கின்றது ; அதனுடைய அளவுகோடுகளை எவ்வாறு திருத்தலாமெனக் காட்டுக.
17. ஒரு துலாக்கோல் ஓரியங்கத்தக்க நிறைக்காக அளவுகோடிடப்பட்டுள்ளது; ஒரு கடைக்காரன் அதனை வழங்கும்போது அந்நிறையை மாற்றுகின்றான்; அவன் தன்னையா அல்லது தன் வாடிக்கைக்காரரையா வஞ்சிக்கின்றான் ?

பொறிகள். திருகு
203
18. ஒரு பொதுத் துலாக்கோலினது தத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு அமைக்கப் பட்ட ஒரு நிறுக்கும் பொறியில், 0 இலிருந்து 14 இறா. ஐக் குறிக்கின்ற அளவு கோடுகளால் இறாத்தல்களும் புயத்தின் முனையிலே தூக்கப்பட்ட ஒரு நிறையினாற் கல்லுகளும் வாசிக்கப் , படுகின்றன ; 1 கல்லுக்கு ஒத்த நிறை 7 அவுன்சாயும் இயங்கத்தக்க நிறை 4 இறாத்தலாயும் சுழலையிலிருந்து அளந்த புயத்தினது நீளம் 1 அடியாயும் இருந்தால் அடுத்தடுத்த அளவுகோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் : அங். எனக் காட்டுக.
19. நிறுக்குத் தட்டில் வைக்கப்படும் ஒவ்வொரு முழுக்கல்லுக்குஞ் சுழலையிலிருந்து அளக்கப்பட்ட ஓரடி நீளமுள்ள புயத்தின் முனையிலே மேலதிகமாய் m அவுன்சுத் திணிவொன்று வைக்கப்பட வேண்டியதாக ஒரு நிறுக்கும் பொறி அமைக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; நிறுக்குந் தட்டிலுள்ள மேலதிக இறாத்தல்கள் அந்நிறுக்கும் புயத்தினது நீளத்திற்கு வழுக்குகின்ற 0 அவுன்சுத் திணிவொன்றால் அளக்கப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியாயுள்ள இறாத்தல்களைக்
6m குறிக்கின்ற அளவுகோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் 2 அங்குலம் என்றுஞ் சுழலை
3m யிலிருந்து நிறை தூக்கப்பட்ட புள்ளியினது தூரம்
அங்குலம் என்றுங் காட்டுக. 56
VII. திருகு. 176. ஒரு திருகு என்பது தனது வெளிப்புறத்தைச் சுற்றி ஒரு புடைப்பான உலோகப் புரி ஓடுகின்ற ஓர் உலோக உருளையைக் கொண்டுள்ளது.
DOC
0 2. ய
1 2 3 டி
-- 8
ABCD ஒரு திண்மவுருளையாகுக ; EFGH என்பது EF என்னுந் தன் அடி அத்திண்மவுருளையின் பரிதிக்குச் சமனான ஒரு செவ்வகமாகுக. EH, FG என்பனவற்றின்மீது
EL, LN,...FK, KM, MP... என்னும் இவையெல்லாஞ் சமமாகும்படி
L, N, Q... ; K. M, P...
என்பனவற்றை எடுக்க ; EK, LM, NP,... என்பனவற்றைத் தொடுக்க.
- E என்னும் புள்ளி A யோடும் EHA என்பது AD என்னுங் கோட்டோடும் பொருந்தும்படி அச்செவ்வகத்தை அவ்வுருளையைச் சுற்றிச் சுற்றுக. அவ்வுருளையைச் சுற்றிச் சுற்றப்படும்போது F என்னும் புள்ளி A யில் E யோடு பொருந்தும்.


Page 110
204
நிலையியல்
EK, LM, NP,... என்னுங் கோடுகள் அவ்வுருளையின் பரப்பின் மீது இப்போது தொடர்ச்சியான ஒரு சுருளிக் கோடாகும் ; இச்சுருளிக் கோட்டின் வழியே அவ்வுலோகம் புடைப்பாய் வருமென்று நாம் கற்பனை செய்தால், ஒரு திருகுப் புரியைப் பெறுவோம்.
புரியானது உருளையைச் சுற்றி ஓடுகின்ற ஒரு சாய்தளம் என்றும் கிடையுடன் அதன் சாய்வு எங்கும் ஒரேயளவினதாய்க் கோணம் KEF இற்குச் சமன் என்றும் அமைப்பு முறையாலே தெளிவாகும். இக் கோணம் பெரும்பாலுந் திருகின் கோணம் எனப்படும்; அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் அளக்கப்பட்ட இரண்டு அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையே யுள்ள தூரந் திருகின் புரியிடை எனப்படும்.
திருகின்மீது அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் FK, என்பதும், EF தன்மீது புரிவரையப்பட்ட உருளையின் பரிதிக்குச் சமன் என்பது தெளிவு.
FK ஃ. தான் (திருகுக் கோணம்) = Rா
திருகுப் புரியிடை. அச்சிலிருந்து திருகிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியினது தூரத்தைத்
தன் ஆரையாகவுள்ள ஒருவட்டத்தின் பரிதி. செய்முறையில், திருகுப்புரியின் வெட்டுமுகத்திற்குப் பலவடிவங்கள் உண்டு. நாம் ஆராயுந் தனியினத்திற்குச் செவ்வக வெட்டு முகமே உண்டு.
177. திருகு வழக்கமாக ஒரு நிலையான தாங்கியிலே வேலை செய்யும் ; செய்ய, அதன் உட்புறத்தின் நீளத்திற்கு அத்திருகின் புரியைப்போன்ற அதே வடிவமுள்ள ஒரு குழி வெட்டப்பட அக்குழியின்வழியே புரி வழுக்கும். திருகினால் இயலக்கூடிய ஒரே ஓர் இயக்கவகை தன்னச்சுப் பற்றிச் சுழலும் அதே நேரத்திலே, தனது நீளத்திற்குச் சமாந்தரமான திசையிலே இயங்கலுமாகும்.
திருகை ஒரு நிமிர்ந்த நிலையில் வைத்து அதன்மீது ஒரு நிறையை வைத்தால், அதற்கும் அதனுடைய தாங்கிகளும் இடையே உராய்வு இல்லை யெனக் கொள்ளின் அது சுழன்று இறங்கும். எனின், திருகானது சமநிலையில் இருக்கவேண்டுமாயின், யாதுமொரு விசை அதன்மீது தாக்கல் வேண்டும் ; இவ்விசை வழக்கமாக ஒரு கிடைப்புயத்தின் ஒரு முனை யிற் பிரயோகிக்கப்படும் ; மற்றை முனை திருகுக்கு விறைப்பாகத் தொடுக் கப்படும்.
178. ஒப்பமான ஒரு திருகில் எத்தனத்திற்கும் நிறைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர் பைக் காணல்.

பொறிககா. திருகு
205
a ஒரு திருகின் அச்சிலிருந்து அதன் புரியின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியினது தூரமாகுக ; 6 அத்திருகின் அச்சிலிருந்து எத்தனம்) பிரயோகிக்கப்படும் புள்ளியியது தூரம் AB யைக் குறிக்க.
* W
TOIIIIIIII/!
MITIIIIIIA
(VI )
S 8
P என்னும் எத்தனம், W என்னும் நிறை, திருகுப்புரியை நிலையான துண்டு தொடும் புள்ளிகளிலுள்ள மறுதாக்கங்கள் என்னும் இவற்றினுடைய தாக்கத்தால் அத்திருகு சம நிலையை அடையும்.
R, S, T,... என்பன அத்திருகுப் புரியில் வேறுவேறு புள்ளிகளில் அத்துண்டின் மறுதாக்கங்களாகுக. அது ஒப்பமாயிருக்கின்றமையால், இவை எல்லாந் திருகுப்புரிக்குச் செங்குத்தாகும். - 1 என்பது கிடையுடன் அத்திருகுப் புரியின் சாய்வாகுக. R என்னும் மறுதாக்கத்தினுடைய கிடை, நிலைக்குத்துக் கூறுகளானவை முறையே R சைன் a, R கோசை 2. என்பனவாகும்.
அதுபோல , S, T,... என்பனவற்றையும் நாம் துணிக்கலாம், எனின், அத்துண்டினுடைய மறுதாக்கங்களானவை நிலைக்குத்தில் R கோசைன, S கோசை a, T கோசை ,.... என்னும் விசைக் கூட்ட மொன்றுக்குங் கிடையில், R சைன்a, S சைன்ற, T சைன் 2,... என்னும் விசைக்கூட்ட மொன்றுக்குஞ் சமன். பின்ன வையாகிய இவ்விசைகள் அத்திருகினு
டைய வேறு வேறு புள்ளிகளிலே தாக்குமாயினும், .. அவையெல்லாம் அத்திருகின் அச்சிலிருந்து ஒரே தூரத்திலே தாக்கும் ; அன்றியும் அவை அத்திருகை P யினது திசைக்கு எதிர்த் திசையிலே திருப்ப முயலும்.
நிலைக்குத்து விசைகளைச் சமமாக்க, நாம் பெறுவது W= R கோசை + S கோசைன +... = (R + S +T+...) கோசைa...(1).


Page 111
206
நிலையியல்
அன்றியும், அத்திருகின் அச்சுப்பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க, பிரிவு 93 ஆல்,
P.6 = R சைன் .. a + S சைன்.. a + T சைன் .. a + ...
= a சைன் (R + S + T+...) .......
... (2) சமன்பாடுகள் (1), (2) என்பனவற்றிலிருந்து வகுத்தலால்,
P.6 a சைன் a
W .
கோசை .
-'தானா - 2ா, தான்..
276
W
=
ஆனால், பிரிவு 176 ஆல், 2ாக தான்a = அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் = திருகு புரியிடை.
அன்றியும், 27b = எத்தனப் புயத்தின் முனை B யால் வரையப்பட்ட வட்டத்தின் பரிதி.
எனின், பொறிமுறை நயம்-P 2nraதான்.
26
எத்தனப் புயத்தைத் தன் ஆரையாயுள்ள வட்டத்தின் பரிதி
திருகின் அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் வேலைத் தத்துவத்தைச் சரிபிழை பார்த்தல்.
எத்தனப் புயத்தாற் செய்யப்பட்ட ஒவ்வொரு சுழற்சிக்கும் திருகு இரண்டு அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்திற்குச் சமனான ஒரு தூரத்திற்கூடாக எழும்பும்.
எனின், ஒவ்வொரு சுழற்சிக்கும் எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை PXஎத்தனப் புயத்தின் முனையால் வரையப்படும் வட்டத்தின் பரிதி நிறைக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலை Wx இரண்டு அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரமாகும்.
இப்பொழுது நிறுவிய தொடர்பால் இவை சமம். *179. அறிமுறையிலே, திருகுப் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தைப் போதிய அளவிற்குக் குறைப்பதால் அதன் பொறிமுறை நயத்தை நாம் வேண்டும் அளவிற்குப் பெரிதாக்கலாம். எனினும் செய்முறையிலே இது இயலாது ; அதற்குக் காரணம் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தை மிகச் சிறிய கணியமாக்கினால், புரிகளானவை தம்மீது இடப்பட்ட விகாரத் தைத் தாங்குதற்குப் போதிய வன்மை இல்லாதனவாகும்.

பொறிகள். திருகு
207
கன்ற்றரின் வேற்றுமைத் திருகால் இத்தொல்லை நீக்கப்படலாம். இப் பொறியில், AD என்னும் ஒரு திருகு நிலையான ஒரு துண்டில் வேலை செய்கின்றது. திருகு AD யின் உட்பக்கம் பொள்ளாயுள்ளது ; ஒரு சிறு திருகு DE யை ஏற்கத்தக்கதாகத் தவாளிப்பிடப்பட்டுள்ளது. DE என்னுந் திருகு சுழலாமல் தனது நீளத்தினது திசையிலேயே இயங்கத்தக்கதாக E யில் ஒரு துண்டிற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது.
AB என்னும் எத்தனப் புயம் ஒரு சுற்றுச் சுற்றிமுடித்தால், AD என்னுந் திருகு இரண்டு அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத் திற்குச் சமனான ஒரு தூரம் முன்செல்லும் ; அதே நேரத்திற் சிறு திருகு தன்னுடைய இரண்டு அடுத்துள் புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத் திற்குச் சமனான ஒரு தூரம் DA யிற்குட் செல்லும்.
7272
8
எனின், சிறு திருகும் அதுபற்றி நிறையும் இந்த இரண்டு தூரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனான ஒரு தூரம் முன்செல்லும்.
சம நிலையில் இருக்கும்போது R, S, T,... என்பன பெருந் திருகுக்கும் அதனுடைய துண்டுக்கும் இடையேயுள்ள மறுதாக்கங்களாகுக ; R', S', T',... என்பன உள்ளேயுள்ள திருகுக்கும் வெளியேயுள்ள திருகுக்


Page 112
208
நிலையியல்
R + S -...-கோசை a.
கும் இடையேயுள்ள மறுதாக்கங்களாகுக ; a, a' என்பன அத்திருகு. களுடைய ஆரைகளாகவும் a, a' என்பன அவற்றினுடைய கோணங் களாகவும் இருக்க.
முற்பிரிவிற்போல், வெளித் திருகு சம நிலையில் இருக்கின்றமையால், P . 6 = (R + S + T +...) சைன் . a - (R' + S' + ..) சைன் '. Q'
....... (1), (R+ S + T +.) கோசைன = (R' + S'+...) கோசை வ'..........(2). எனவாகும்.
அன்றியும், உள்ளேயுள்ள திருகு சம நிலையில் இருக்கின்றமையால்,
W = (R' + S' +T.) கோசைட்'...
....... (3). (2), (3) என்பனவற்றிலிருந்து,
W
W R' + S' +...=2.
என்பன. கோசை a" எனின், (1) இலிருந்து
P.6 = W . a தான் - W .a' தான் ல'.
2ா) P 2ாa தான் 2- 2ான' தான் a.'
வலுப்பு முனையால் வரையப்பட்ட வட்டத்தின் பரிதி
இரு திருகுகளுடைய புரியிடைகளின் வித்தியாசம் இரு திருகுகளுடைய புரியிடைகளை ஏறத்தாழச் சமனாக்குதலாற் பொறியை மெலிதாக்காது பொறிமுறை நயத்தை நாம் மிகப் பெரிதாக்க லாம்.
இங்கும் வேலைத்தத்துவம் உண்மையாதல் காணப்படும்; அதற்குக் காரணம் இங்கு நிறையானது திருகுகளுடைய புரியிடைகளின் வித்தி யாசத்திற்குச் சமனான ஒரு தூரத்தால் உயரும் என்பதே.
W.
பயிற்சி XXX 1. 14 அங்குலப் புரியிடையுள்ள ஓர் ஒப்பமான நிலைக்குத்துத் திருகை வழங்குமிடத்து, வலுவானது 34 அடி நீளப் புயமொன்றின் முனையிலே தாக்குகின்ற 25 இறா. நிறையுள்ள ஒரு விசையாயின், எத்திணிவு அத்திருகால் உயர்த்தப்படுமெனக் காண்க.
2. பொறிமுறை நயம் 216 ஆகுமாறு அங்குலத்திற்கு 6 புரியுள்ள ஒரு திருகினது நீளம் என்னவாயிருக்க வேண்டும் ?
3. ஒரு திருகில் 7 சுழற்சிகள் அதனை 2 அங்குலத்திற்கு முன் செல்லச் செய்யுமாயின், 18 அங்குல நீளப் புயமுனை ஒன்றிலே பிரயோகிக்கப்படும் என்ன விசை அத்திருகுத் தலை யின்மீது 1,100 இறா. நிறை அமுக்கத்தை ஆக்கும் ?

பொறிகள். திருகு
209
4. 4 அங்குலப் புரியிடையுள்ள ஒரு திருகு 4 அடி நீள நெம்பொன்றாலே திருப்பப்படு கின்றது ; 15 அந்தரை உயர்த்தும் விசையைக் காண்க.
5. ஒரு திருகு யாக்கின் புயம் 1 யார் நீளமானது ; அத் திருகுக்கு அங்குலத்திற்கு' 2 புரிகள் உண்டு. 1 தொன்னை உயர்த்தற்குப் புயத்திற்கு என்ன விசை பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டும் ?
6. அங்குலத்திற்கு 4 புரியுள்ள ஒரு திருகில், 2 அடி நீளமான ஒரு புயத்தின் முனைக்கு 50 இறா. நிறை விசையொன்று பிரயோகிக்கப்படும்போது, அத்திருகினால் ஆக்கப்பட்ட உதைப்பு என்ன ?
7. எத்தனம் 112 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாயின், 2 அடி நீளப் புயத்தையும் ஒவ்வோரடி நீளத்திற்கு 10 புரிகளையும் உடைய ஒரு திருகு என்ன உதைப்பை விளைவிக்கும் ?
8. 1 அடி நீளப் புயமொன்றின் முனையில் எத்தனம் பிரயோகிக்கப்படத் திருகு தனது நீளத்தின் 1 அடியில் 7 முழுச் சுழற்சிகளை ஆக்குமாயின், 1 தொன் நிறை ஒன்றைத் தாங்கும் எத்தனத்தைக் காண்க.
9. ஒரு திருகை வேலை செய்யுமாறு இயக்கும் நெம்பு 6 அடி நீளமாயின், அந்நெம்பின் ஒவ்வொரு முனைக்கும் பிரயோகிக்கப்படும் 10 இறா. நிறையான ஓர் உதைப்பு அத்திருகு முனையில் 1,000 இறா, நிறையான ஓர் உதைப்பை விளைவித்தற்கு அத்திருகின் இரண்டு அடுத் துள புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தைத் துணிக.
10. அங்குலத்திற்கு 5 புரிகளையும் அங்குலத்திற்கு 6 புரிகளையும் உடைய ஒரு வேற்றுமைத் திருகை வழங்குமிடத்து, எத்தனம் 4 அடி விட்டமுள்ள ஒரு சில்லின் பரிதியிற் பிரயோகிக்கப் பட்டால், அத்திருகின் பொறிமுறை நயத்தைக் காண்க.
11. ஒரு வேற்றுமைத் திருகிற் பெருந்திருகில் அங்குலத்திற்கு 8 புரிகளுஞ் சிறு திருகில் அங்குலத்திற்கு 9 புரிகளும் இருக்க, எத்தனப் புயம் 1 அடி நீளமுடையதாயின், அதன் 'பொறிமுறை நயத்தைக் காண்க.
12. ஒரு திருகின் அச்சு நிலைக்குத்தாய் இருக்கின்றது ; புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் 2 அங்குலம் ; 100 இறா. நிறையுள்ள ஒரு கதவு ஒரு பிணையலுக்குத் தொடுத்ததுபோல் அத்திருகுக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது ; அக்கதவை ஒரு செங்கோணத்தினூடாகத் திருப்புகையிற் செய்யப்படும் வேலையைக் காண்க.
13. அங்குலத்திற்கு 5 புரிகளையுடைய ஒரு வலஞ்சுழித் திருகையும் அங்குலத்திற்கு 6 புரிகளையுடைய ஓர இடஞ்சுழித்திருகையுங் கொண்ட, ஓர் இரட்டைத் திருகின் மீது 2 அடி நெம்புத் தாக்கத்திலே தாக்குகின்ற 49 இறா. விசையொன்றால் ஆக்கப்படும் ஒரு தாங்குபற்றின் (Stay) இழுவை 9 தொன் நிறைக்குச் சமனென நிறுவுக.
[அத்திருகின் முழுச் சுழற்சிக்கு அதனுடைய முனைகள் (k +4) அங்குலத்தால் அண்மைக் குக் கொண்டுவரப்படும். எனின், வேலைத் தத்துவந் தருவது Tx (k +6)x = 49x2ர .2 இங்கு T என்பது இறா. நிறையில் அத்தாங்குபற்றின் இழுவை.)


Page 113
அதிகாரம் XIII.
உராய்வு. 180. பிரிவு 20 இல், ஒப்பமான பொருள்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டுக் கொண்டு இருந்தால், அவற்றிடையேயுள்ள ஒரே ஒரு தாக்கம் தொடு புள்ளியிலே இரு பரப்புக்களுக்குஞ் செங்குத்தில் இருக்கும் என இலக் கணங் கூறினோம். ஆகவே, ஒப்பமான பொருள்களுள், ஒரு பொரு ளானது மற்றைப் பொருளின்மீது வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்கு முயலும் விசை யாதுமில்லை. "- நிறை ஒப்பங்கொண்ட ஒரு பொருள் ஒரு நிறை ஒப்பங்கொண்ட சாய்தளத்தின்மீது வைக்கப்பட்டால், " அப்பொருள் அத் தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்கு அத்தளத்திற்கும் பொருளுக்குமிடையே தாக்கம் யாதும் இல்லை ; எனின், யாதுமொரு புற விசை அப்பொருளுக்குப் பிரயோகிக்கப்பட்டாலன்றி, அப்பொருள் ஓய்வில் " இருக்காது.
எனினும் செய்முறையிலே, நிறை ஒப்பமுடைய' பொருள்கள் யாதும் இல்லை ; ஒன்றையொன்று தொடும் பொருள்களுக்கிடையே ஒரு பொருளின் மீது ஒரு பொருள் வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்கு யாதுமொரு விசை எப் பொழுதும் உண்டு. அத்தகைய விசை உராய்வுவிசை யெனப்படும்.
உராய்வு. வரை. இரு பொருள்கள், ஒன்றையொன்று, தொட்டுக்கொண்டிருந்தால் ஒரு பொருளானது மற்றையதன்மீது வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்கு அவற்றினுடைய தொடுபுள்ளி யில் உஞற்றப்படும் விசைக்குக் காரணமாயுள்ள அவ்விரு பொருள்களினுடைய பண்பு உராய்வு எனப்படும். அன்றியும், உஞற்றப்பட்ட விசை உராய்வு விசை எனப்படும்.
181. உராய்வு என்பது தற்சீர்மை விசை ; இயக்கத்தைத் தடுப்ப தற்குப் போதியதிலும் கூடிய' உராய்வு நிகழ்வதில்லை.
தளவடியோடு கூடிய ஒரு பாரமான இரும்புத் துண்டு ஒரு கிடை மேசையின்மீது வைக்கப்படட்டும். பொருளின் யாதுமொரு புள்ளிக்கு "ஓர் இழைத்துண்டு இணைக்கப்பட்டு அத்தகட்டின் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கிடைத்திசையில் இழக்கப்பட்டால், அப்பொருளின் இயக்கத் தைத் தடுக்கும் ஒரு தடை உணரப்படும் ; இத்தடை அப்பொருளின்மீது உஞற்றப்படும் விசைக்குச் சரிசமனாகும்.
இழுத்தல் இப்போது நிறுத்தப்பட்டால், உராய்வு விசையும் தாக்காது, நின்றுவிடும் ; - அதற்குக் காரணம் உராய்வு விசையினது, தாக்க லொழியாதாயின், அப்பொருள் இயங்கும் என்பதே.
எனினும், அவ்விரு பொருள்களுக்குமிடையே உஞற்றப்படக்கூடிய உராய் வுத் தொகை எல்லையில்லாததன்று. " அத்தகட்டின்மீது உஞற்றப்படும் விசை இடைவிடாது கூட்டப்படுமாயின், இறுதியாக இவ்விசையை வெல் வதற்கு உராய்வு போதியதாகாது ; அதுபற்றி அப்பொருள் இயங்கும்.

ஒபாமா,
உராய்வு .
211
182. பொது வாழ்க்கையின் பொறிமுறைப் பிரச்சினைகளில் உராய்வு சிறப்பாய்ப் பங்குபற்றுகின்றது. எம் பாதரட்சைகளுக்குந் தரைக்கும் இடை யே உயராய்வு இல்லை யாயின், நாம் நடத்தல் இயலாது ; ஓர் ஏணிக்கும் தரைக்கும் இடையே உராய்வு இல்லையாயின், ஏணியானது நிலைக்குத்திற்குச் சாய்ந்த யாதுமொரு நிலையிற் பிடிக்கப்பட்டலான்றி ஓய்வில் இருக்காது ; உராய்வின்றி ஆணிகளுந் திருகுகளும் மரத்திற்குள்ளே நில்லா ; உராய் வின்றி இடம் பெயரிகளும் வண்டித் தொடர்களை இழுக்க மாட்டா.
183. நிலையியலுராய்வு விதிகள் பின்வருமாறு : விதி.1. இரு பொருள்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், அவற்றுள் ஒன்றன்மீது அதனுடைய தொடுபுள்ளியிலுள்ள உராய்வினது திசை இத்தொடுபுள்ளி இயங்கத் தொடங்குந் திசைக்கு எதிராகும்... »
விதி.2. சமநிலையுளபோது உராய்வின் பருமன் பொருளின் இயக்கத்தைத் தடுப் பதற்கு மட்டாகப் போதியதாகும்.
184. பிரிவு 156, வகை 1 இலே, தளம் ஒப்ப மில்லாததென்றும், பொருள் ஒரு விசையாலே தாங்கப்படுவதற்குப் பதிலாக அத்தளத்தின் மீது சுயாதீனமாகக் கிடந்ததென்றுங் கொள்க. * இங்கு P என்னும் விசை உராய்வினால் மாற்றீடு செய்யப்படும் ; ஆகையால் அது W சைன் a இற் குச் சமனாகும்.)
உ-ம். 1. (1) ஒரு வண்டியின் சில்லில் (2) நடக்குமொரு மனிதனின் அடிகளில், எத்திசையில் உராய்வு விசை தாக்கும் ?
உ-ம். 2. 30 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் ஒப்பமில்லாத ஒரு இடைத்தளத்தின் மீது ஓய்விற்கிடக்க, அது கிடைத்தளத்தோடு 30° என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் 10 இறா. நிறை விசை ஒன்றாலே தாக்கப்படுகின்றது ; உராய்வு விசை ஏறத்தாழ 8•66 இறா. நிறைக்குச் சமமெனக் காட்டுக.
உ-ம்.3. ஒப்பமில்லாத ஒரு கிடைத்தளத்தின்மீது கிடக்கின்ற ஒரு பொருள் 7, 8 என்னும் இறா. நிறைக்கு முறையே சமமான இரு கிடை விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்றது; அவ்விசைகள் 30° கோணத்திலே தாக்கினால், உராய்வு விசை முதல் விசையோடு
- என்னுங் கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் 13 இறா. நிறைக்குச் சமமெனக்
1, 1)
சைன்-14v3.
காட்டுக.
உ-ம்.4.4, 40, இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 300 இற் சாய்ந்த ஒப்பமில் தளமொன்றன்மீது கிடக்க, அது (1) அத்தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற 14 இறா. நிறையளவு விசையொன்றாலே (2) அத்தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்கு கின்ற 25 இறா. என்னும் விசையொன்றாலே, (3) 20 இறா. நிறைக்குச் சமனான இடைவிசை யொன்றாலே, (4) அத்தளத்தோடு 30° என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற 30 இறா. நிறை என்னும் விசையொன்றாலே தாங்கப்படுகின்றது. ஒவ்வொரு வகையிலும் உராய்வு விசையைக் காண்க.
விடை. (1) தளத்தின்மீது மேன்முகமாக 6 இறா. நிறை ; (2) தளத்தின்மீது கீழ் முகமாக 5 இறா. நிறை ; (3) தளத்தின்மீது மேன்முகமாக 2•68 இறா. நிறை : (4) தளத் தின்மீது கீழ்முகமாக 5• 98 இறா. நிறை."
9-R 8764 (6/85) )


Page 114
--
212
நிலையியல்
185. மேற்றந்த விதிகள் பொதுவாக உண்மையாகும்; ஆனால், உஞற் றப்படக்கூடிய உராய்வின் அளவுக்கு எல்லையுண்டு ; சில வேளைகளிற் சம நிலை அழிக்கப்படக்கூடிய நிலையில் இருக்கும் ; பெரும்பாலும் இயக்கம் விளையும்.
எல்லையுராய்வு. வரை. ஒரு பொருள் வேறொரு பொருளின்மீது மட்டாக வழுக்குறு நிலையிலே இருந்தால், அச்சமநிலை எல்லையடைகின்ற தெனப்படும் : அப்போது உஞற்றப்படும் உராய்வு எல்லையுராய்வு எனப்படும்.
186. எல்லையுராய்வினது திசை விதி 1 ஆலே (பிரிவு 183) தரப்படும். எல்லையுராய்வினுடைய பருமன் பின்வரும் மூன்று விதிகளாலே தரப்படும்.
விதி 3. எல்லையுராய்வின் பருமன் செவ்வன் மறுதாக்கத்திற்கு என்றும் ஒரு மாறா விகிதத்தில் இருக்கும்; இவ்விகிதம் அப்பொருள்கள் அமைக்கப்படும் பதார்த்தங்களிலேயே தங்கிநிற்கும். *
விதி 4. செவ்வன் மறுதாக்கம் மாறாதிருக்கும் வரைக்கும் எல்லையுராய்வு தொடும் பரப்புக்களுடைய பரப்பையும் வடிவத்தையும் சாராதிருக்கும்.
விதி 5. ஒரு பொருள் ஒரு பொருளின்மீது வழுக்குதலால், இயக்கம் விளையும்போது, உராய்வுத் திசை இயக்கத் திசைக்கு எதிராகும் ; உராய்வின் பருமன் வேகத்தைச் சாரா திருக்கும் ; ஆனால், உராய்வானது செவ்வன் மறுதாக்கத்தோடு கொள்ளும் விகிதம் பொருள் ஓய்விலிருந்து இயங்க மட்டாசுத் தொடங்கும்போது உள்ளதிலுஞ் சிறிது குறைவு. 2. மேற்றந்த விதிகள் பரிசோதனைக்குரியன ; அவை" பொது நிபந்தனை களுக்குக்கீழ்ச் செய்திகளை ஒரு சிறந்த செம்மைப்படிக்குக் குறிக்கின்றன வாயினுங் கடுந்திருத்தமானவை யென்று கொள்ளல் இயலாது.
உதாரணமாக, தொடுபரப்புக்கள்னாவை நெரியப்படு நிலையில் இருக்கு மாறு ஒரு பொருள் வேறொன்றன்மீது இறுக்கமாய் அமுக்கப்படுமெனின், விதி 3. உண்மையாகாது ; அப்போது செவ்வன் மறுதாக்கத்திலுங் கூடிய வீதத்தில் உராய்வு கூடும்.
187. உராய்வுக் குணகம். எல்லையுராய்வு - செங்குத்தமுக்கத்தோடு கொள்ளும் மாறாவிகிதம் உராய்வுக் குணகம் எனப்படும் ; அது பொதுவாக ம் என்பதனாற் குறிக்கப்படும் ; சமநிலை அழிக்கப்படும் நிலையில் இருக்கும் போது F உராய்வாயும் R செவ்வன் அமுக்கமாயும் இருந்தால், நாம் பெறுவது = u; எனின், F = uR.
ஒன்றையொன்று தொடும்போது வேறு பொருட் சோடிகளுக்கு ப வினுடைய பெறுமானங்கள் பெரிதும் வித்தியாசப்படும் ; எனினும், உராய் வுக் குணகம் 1 அளவு பெரிதான பொருட் சோடிகள் அறியப்படவில்லை. - 188. பரிசோதனையால் உராய்வு விதிகள் சரியோவெனப் பார்த்தல்.
பரிசோதனை 1. ஒப்பமான ஒரு பெருமரத்துண்டு A யை எடுத்து அது கிடையாக இருக்குமாறு ஓரிறுக்கியாற் பிடிக்க. வழுக்குந் துண்டாகச் செயற்படுதற்கு இரண்டாம் மரத்துண்டு B யை எடுத்து அதனைக் கூடியவரை ஒப்பமாக்குக ; அதற்கு ஓர் இலேசான இழையைத் தொடுத்து அவ்விழையைத் துண்டு A யிலே நிலைப்படுத்திய ஓர் இலேசான கப்பிக்கு மேலாகச் செலுத்துக; இழையின் மற்றை முனையில் ஒரு தராசுத் தட்டை இணைக்க.

உராய்வு
213
அவ்விழையினது நிலைக்குத்தாயிராத பகுதி கிடையாக இருக்கும்படி அக்கப்பி வைக்கப்படல் வேண்டும்.
1.
வழுக்கியானது மட்டாக இயங்கு நிலையிலே இருக்கும் வரைக்கும் வழுக்குந் துண்டின் மீது ஒரு தேர்ந்த நிறை R ஐயுந் தராசுத்தட்டுக்களுள்ளே தேர்ந்த நிறை F ஐயும் இடுக. F என்னும் வேண்டிய நிறை நிலையான துண்டு A யை மென்மையாகத் தட்டுதலாலே மிக்க. அண்ணளவிற்கு அறியப்படலாம்.
இப்பொழுது, வலக்கைப் படத்தை ஆராய்க. W என்பது R இனதும் வழுக்குந் துண்டினதும் மொத்த நிறையாகுக; W' என்பது F இனதும் தராசுத் தட்டினதும் மொத்த நிறையாகுக. வழுக்கியானது இயக்க நிலையிலே மட்டாக இருத்தலால், அதன் மீதுள்ள உராய்வு ப. W ஆகும் ; அவ்விழையின் இழுவை T எனபது தராசுத் தட்டோடு கூடிய F ஐச் சமநிலைப் படுத்துதலால் W' என்பதற்குச் சமன்.
வழுக்கியின் சமநிலையிலிருந்து, நாம் பெறுவது
யW = T = W'.
W ஃ = w'
இனி, அவவழுக்கியின் மீது வித்தியாசமான ஒரு நிறையை வைத்து வழுக்கியானது மறுபடியும் இயக்க நிலையை அடையும் வரைக்கும் ஒத்த நிறை F ஐச் சீர்ப்படுத்துக. W, W" என்பனவற்றினுடைய புதுப் பெறுமானங்கள் WI, W' என்பனவற்றைக் காண்க. ஆயின், முன்போல்
W,'
ப = W.'
வழுக்கியின் மீது வேறுவேறு நிறைகளை வைத்து மறுபடியும் பரிசோதனை செய்து w,' w,
.. என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைப் பெறுக.
( ' W 3
W' W' W,' ஆயின், அண்ணளவாக ஈ, எ:
அண்ணளவாக
W ' W, 'W,
.. என்பன சமமெனக் காணப்படும். எனின், விதி 3 இன் முதலாம் பகுதியின் உண்மை, அதாவது பூவின் பெறுமானஞ் செவ்வன் மறுதாக்கத்தைச் சாராதென்பது சரிபார்க்கப்படுகின்றது.
பரிசோதனை 2. முதலாம் பரிசோதனையில் வழங்கிய துண்டிலிருந்து மிகவேறுபட்ட வடிவத் தினையுடைய (வேறொரு மரத்துண்டு B யை எடுக்க. [முதலாந்துண்டு B எடுக்கப்பட்ட அதே நற்றள மரத்துண்டிலிருந்து வெட்டுதலால் இதனைப் பெறல் வேண்டும்].


Page 115
214
நிலையியல்
பலகை A யோடு தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்ற இத்துண்டு B யின் பரப்பு பெரிதாயிருந்தா லும், அல்லது சிறிதாயிருந்தாலும், முதலாம் பரிசோதனையில் உள்ளதிலும் பெரிதும் வித்தி யாசப்படல் வேண்டும்.
மறுபடியும், பரிசோதனை 1 ஐச் செய்து வின் ஒத்த பெறுமானத்தை உய்த்தறிக. பரிசோதனை எல்லைகளுக்குள் அது பரிசோதனை 1 ஐப்போல் ஒரே யளவினதாகும். ஆனால், அவ்விரு பரிசோதனைகளுக்கும் இடையேயுள்ள ஒரே வித்தியாசந் தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்ற ஒப்பமில் பரப்புக்களின் பரப்பே.
எனின், விதி 4 இன் உண்மை சரி பார்க்கப்படுகின்றது. பரிசோதனை 3. வேறோரின் மரத்துண்டொன்று C யை எடுத்து அதனை நற்றளமாக்குக, அதிலிருந்து வித்தியாசமான பரப்புக்களுடைய துண்டுகளை வெட்டியெடுக்க ; மற்றைப்படி அவற்றினுடைய பரப்புக்கள் கூடியவரைக்கும் ஏறத்தாழ ஒத்தனவாயிருத்தல் வேண்டும்.
பரிசோதனைகள் 1, 2 என்பனவற்றை மறுபடியுஞ் செய்து பூவின் பெறுமானத்தைப் பெறுக. ப.வின் இப்பெறுமானம் மரம் B யினால் வழுக்கி செய்யப்பட்ட போதுள்ள ப.வின் பெறுமானத் திலும் வேறுபடுதல் காணப்படும். எனின், விதி 3 இன் இரண்டாம் பகுதியின் உண்மை, அதாவது விகிதம் பொருள்கள் அமைக்கப்பட்ட பதார்த்தங்களிலே தங்குகின்ற தென்பது " சரி பார்க்கப்படுகின்றது.
பரிசோதனை 4. மேலுள்ள மூன்று பரிசோதனைகளையும் மறுபடியுஞ் செய்க ; ஆனால், இங்கு வழுக்கியானது இயக்க நிலையிலே மட்டாக இருக்காது, ஒரு மாறா வேகத்தோடு இயங்குமாறு F ஐத் தேர்க. விதி 5 இன் உண்மை அப்போது அண்ணளவாகத் தோற்றும்.
முந்திய பரிசோதனைகளில் வழங்கிய மரத்தினுடைய பரப்புக்கள் எவ்வளவு கவனமாகச் செய்யப்பட்ட போதினும் மாணாக்கன் தான் பெறும் உண்மையான எண் முடிபுகளிற் பல ஒவ்வாமைகளைக் காண்பதை எதிர்பார்க்க வேண்டும். கப்பியைத் திரும்பச் செய்தற்கு வேண்டிய விசைக்கு ஒரு திருத்தமும் பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டும் எவ்வளவு இலேசாகவும் நன்றாகவும் அது செய்யப்பட்ட போதிலும், அதனச்சில் ஒரு குறித்த உராய்வுத் தொகை என்றும் இருக்கும். எனின், நாம் கொண்டதுபோல் இழையினுடைய இழுவைகள் அதனுடைய ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் முற்றாய்ச் சமனாகா ; வேறு வகையாகச் செல்லுமிடத்து, F இன் சில பகுதி அக்கப்பியைத் திருப்புதற்கு வழங்கப்படும்.
இம்முறை கி. பி. 1833 இலே மோரின் (Morin) ஆல் வழங்கப்பட்டதொன்று.
189. உராய்வுக் கோணம். சமநிலை எல்லையுறும் போது உராய்வுஞ் செவ்வன் மறுதாக்கமும் ஒரு தனி விசையாகக் கூட்டப்படின், செவ்வ னோடு இவ்விசை ஆக்குங் கோணம் உராய்வுக் கோணம் எனப்படும் ; அத்தனி விசை விளையுள் மறுதாக்கம் எனப்படும்.
A என்பது அவ்விரு பொருள்களுடைய தொடுபுள்ளியாகுக; AB, A என்பன செவ்வன் விசை R, உராய்வு I R என்பனவற்றினுடைய திசை களாகுக.
AD என்பது விளையுள் மறுதாக்கம் S என்பதனுடைய திசையாகுக; ஆயின், உராய்வுக் கோணம் BAD ஆகும். இக்கோணம் - ஆகுக.
R, uR என்பன S இனுடைய கூறுகள்.

உராய்வு
215
ஆதலால், நாம் பெறுவன
S கோசை = R,
S சைன் = uR என்பன. எனின், வர்க்கங்கண்டு கூட்டலால், நாம் பெறுவது
S = RV1 + பம்; வகுத்தலால், தான் = ய. எனின், உராய்வுக் குணகம் உராய்வுக் கோணத்தினது தான்சனுக்குச் சமனென்று காண்கிறோம்.
190. உராய்வின் மிகப் பெரிய பெறுமானம் uR ஆயிருக்கின்றமையால், செவ்வனோடு விளையுள் மறுத்தாக்கத்தினுடைய திசை ஆக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய கோணம் 2, அதாவது தான்-'. என்பது பெறப்படும்.
எனின், இரு பொருள்களானவை தொட்டுக் கொண்டிருக்க, பொதுச் செல்வனை அச்சாகவும் தொடுபுள்ளியை உச்சியாகவுங்கொண்டு அரையுச்சிக் கோணம் தான் -1 ஆகவுள்ள ஒரு கூம்பை நாம் வரைந்தால், விளையுள் மறுதாக்கத்திற்கு யாதுமொரு திசை இக் கூம்பிற்குள், அல்லது இக்கூம்பின்மீது இருத்தல் கூடும் ; ஆனால், அக்கூம்பிற்குப் புறத்தே யாதுமொரு திசையும் அதற்கு இல்லை.
இக்கூம்பு உராய்வுக் கூம்பு எனப்படும்.
191. பேராசிரியர் ரங்கினின் 'எந்திரமும் மில்வேலையும் '' என்னும் நூலிலிருந்து பின்வரும் அட்டவணை எடுக்கப்பட்டுள்ளது; அது சில பதார்த்தங்களுக்கு உராய்வுக் குணகங் களையும் உராய்வுக் கோணங்களையுந் தருகின்றது.
பதார்த்தங்கள்
மரத்தின்மீது மரம்
- உலர்ந்தவை மரத்தின் மீது மரம்
- சவர்க்காரமிட்டவை உலோகமீது உலோகம்
- உலர்ந்தவை உலோகமீது உலோகம் -ஈரமானவை உலோகமீது தோல்
- உலர்ந்தவை உலோகமீது தோல்
- ஈரமானவை உலோகமீது தோல்
- நெய்ப்பற்றுள்ளவை
'25 - 5 - 04 - 2
•15 - 2
•3
• 56 '36
14°-2640 20-1100 84 - 1140
1640 293°
200
•15
84
192. ஒரு பொருள் ஒப்பமில் சாய்தளம் ஒன்றின்மீது வைக்கப்பட்டுத் தன் நிறையும் அத்தளத்தினுடைய மறுதாக்கங்களுமாகிய இவற்றின் தாக்கங்களினாலேயே கீழ்முகமாக வழுக்கு நிலையில் இருந்தால், கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வுக் கோணம் உராய்வுக் கோணத்திற்குச் சமன்.
0 என்பது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வாகுக ; W அப்பொரு எனது நிறையும் R மறுதாக்கமுமாகுக.


Page 116
216
நிலையியல்
\ R
அப்பொருள் அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக இயங்கு நிலையில் இருப்ப தால், உராய்வு அத்தளத்தின்மீது பR என்பதற்குச் சமனாய் மேன்முக மாகத் தாக்கும்.
அத்தளத்திற்குச் செங்குத்தாயும் சமாந் தரமாயும் துணிக்க,
W கோசை 0 = R,
W சைன் 0 = uR ஆகும். எனின், வகுத்தலால், தான்) = = தான் (உராய்வுக் கோணம்),
•. 0 = உராய்வுக் கோணம். இது இவ்வண்ணமாக வேறு வழியாற் காட்டப்பலாம் : அப்பொருளானது தன்னிறையும் விளையுள் மறுதாக்கமுமாகிய இவற்றினுடைய தாக்கத்தின் கீழ்ச் சமநிலையில் இருப்பதால், பின்னது நிலைக்குத் தாதல் வேண்டும் ; ஆனால், சமநிலை ” எல்லையுறுதலால், விளையுள் மறுதாக்கஞ் செவ்வனோடு உராய்வுக் கோணத்தை ஆக்கும்.
எனின், செவ்வனிற்கும் நிலைக்குத் திற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் உராய்வுக் கோணம் ஆகும் ; அதாவது, கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வு உராயவுக் கோணம் ஆகும்.
இப்பொழுது நிறுவப்பட்ட பண்பு காரணமாக உராய்வுக் கோணஞ் சில வேளைகளிலே தங்கற்கோணம் எனப்படும்.
பொருள் ஒரு புறவிசையாலே தாங்கப்பட்டு ஒரு சாய்தளத்திற் கிடந் தால், உராய்வுக் குணகம் கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வினது தான்சனுக்குச் சமனென்று கொள்ளப்படாதென்பதை மாணாக்கன் கவன மாய்க் காணல் வேண்டும்.
193. உராய்வுக் குணகத்தைப் பரிசோதனையாலே துணிதலும் உராய்வு விதிகளைச் சரி பார்த்தலும். (இரண்டாம் வழி.)
முந்திய பிரிவினது தேற்றத்தால், இரு பொருள்களுக்கு இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் பரிசோதனையாற் பெறப்படலாம்.
ஒரு சாய்தளம் திரவியங்களுள் ஒன்றால் ஆக்கப்படுக ; அதன் முகம் கூடியவளவு ஒப்பமாக்கப்படுக ; இம்முகத்திலே மற்றைத் திரவியத்தினால் செய்யப்பட்டு ஒரு தள முகத்தைக் கொண்ட ஒரு தட்டு வைக்கப்படுக.
அத்தளத்தின் சாய்வுக் கோணம் படிப்படியாக அத்தட்டு மட்டாக வழுக்கும் வரைக்குங் கூட்டப்பட்டால், உராய்வுக் கோணத்தினது தான்சன் உராய்வுக் குணகமாகும்.
முடிபைக் கூடியவளவிற்குத் திருத்தமாகப் பெறுதற்கு, ஒரே திரவியங்களோடு பரிசோதனை பன்முறை செய்யப்பட்டு அம்முடிவுகளனைத்தின் சராசரி எடுக்கப்படல் வேண்டும்.
இங்கு வரையப்பட்ட ஆய்கருவியிலே மேசையோடு பிடியியால் இறுக்கப்படக்கூடிய ஒரு பலகைக்கு ஒரு முனையிற் பிணையலிடப்பட்ட ஒரு பலகை உண்டு. பிணைக்கப்பட்ட பலகை தனக்குத் தொடுக்கப்பட்ட இழையினால் உயர்த்தப்படலாம், அல்லது தாழ்த்தப்படலாம். அவ்விழையின் மற்றை முனை ஒரு நிலையான தாங்கியின் நுனிக்கு மேலாகச் செல்கின்றது.

உராய்வு
217
பிணைக்கப்பட்ட பலகையின் மீது தமக்கு மேலே வித்தியாசமான நிறைகள் வைக்கப்படக் கூடியனவும் வித்தியாசமான பருமன்களையுந் திரவியங்களையுங் கொண்டனவும் ஆகியவழுக்கிகள் வைக்கப்படலாம். ல என்னும் ஒவ்வொரு வழுக்கிக்கும் இரண்டு மெல்லிய
பப்பு) |
TITTTTTT\\
பித்தளைக் கோல்களானவை திருகுகளாற் பூட்டப்பட்டிருக்கின்றன; பரிசோதனை செய்யும் போது வழுக்காதவாறு அவற்றின்மீது நிறைகள் அடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன. B யிலுள்ள பிணைக்கப்பட்ட பலகையின் உயரம் எளிதிற் காணப்படுமாறு கீழ்ப்பலகைக்கு அளவுகோடிட்ட
BC நிலைக்குச் சட்டமொன்று இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. ஆயின், என்பதன் பெறுமானம், அதாவது பிரிவு 185 இனது தான் 8 என்பது எளிதிற் பெறப்படும்.
இவ்வாய்கருவியால் உராய்வு விதிகள் சரியோவெனப் பார்க்கலாம்; அதற்குக் காரணம் பரி
BC சோதனை யெல்லைகளுக்குள், அதாவது பூவின் பெறுமானம்
(1) ல என்னும் வழுக்கி ஒரே பரப்புப் பக்குவ நிலைமையில் ஒரே திரவியத்தாற் செய்யப்பட் டதாயிருக்கும் வரைக்கும் ஒரேயளவினது,
(2) வழுக்கியின்மீது இடப்பட்ட நிறைகளை , அல்லது அதன் வடிவத்தைச் சாராது ,
• (3) வேறு வேறு பொருள்களுக்கு வேறுவேறாகும் என்பனவாம். இவ்வழி கூலோம் (Coulomb) என்பவரால் 1785 ஆம் ஆண்டில் வழங்கப்பட்ட தொன்று. 194. ஒப்பமில் சாய்தளமொன்றின்மீதுள்ள சமநிலை. ஒரு பொருள் கிடையுடன் உராய்வுக் கோணத்திலும் பெரியகோணத்திற் சாய்ந்த ஒப்பமில் சாய்தளம் ஒன்றன் மீது வைக்கப்பட்டு மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டின்வழியே அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற ஒரு விசையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; எவ்வெல்லைகளுக்கிடையே அவ் விசை கிடக்க வேண்டுமெனக் காணல்.


Page 117
218
நிலையியல்
...(1).
-W
a என்பது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வாகுக; W அப்பொரு எனது நிறையும், R என்பது செவ்வன் மறுதாக்கமும் ஆகுக. (படம் 1, பிரிவு 156.)
(1) அப்பொருள் அத்தளத்தின்மீது கீழ் முகமாக இயங்கு நிலையில் இருக்க ; ஆகவே, உராய்வு .R இற்குச் சமனாய் அத்தளத்தின்மீது மேல் முகமாகத் தாக்கும் ; P அப்பொருளை ஓய்வில் வைத்திருப்பதற்கு வேண்டிய விசையாகுக.
அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயும் நிலைக்குத்தாயும் துணிக்க நாம் பெறுவன
P +R = Wசைன்ன .......
R = W கோசைன என்பன .
.....(2). ஃ P= W (சைன் a - zu கோசை a). ப= தான் ஆயின், நாம் பெறுவது P= W (சைன் a - தான் A கோசை a]
(சைன் கோசை - சைன் கோசைன
கோசை ! ஈசைன் (a - 2)
... (3). கோசை A (ii) அப்பொருள் அத்தளத்தின்மீது மேன்முகமாக இயங்குநிலையி லிருக்க ; ஆகவே, உராய்வு [R என்பதற்குச் சமனாய் அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாகத் தாக்கும் ; P. அப்பொருளை ஓய்வில் வைப்பதற்கு வேண்டிய விசையாகுக. இங்கு நாம் பெறுவன
P, - R= Wசைன் a,
R = W கோசைன என்பன. எனின், P = W (சைன் + கோசை a)
= W (சைன் க + தான் A கோசை a] = W
ஈசைன் (a +A)
(4).
கோசை / அப்பொருள் சமநிலையில் இருக்க வேண்டுமாயின், P, P, என்னும் இப்பெறுமானங்கள் அவ்விசையினுடைய எல்லையுறும் பெறுமானங்கள் ளாகும்; அவ்விசை P, P, என்பனவற்றிற்கிடையே கிடந்தால், அப் பொருள் சமநிலையில் இருக்கும் ; ஆனால், அது இரு திசைகளுள் ஒன்றி லாயினும் இயங்கு நிலையில் இல்லை..
எனின், சமநிலைக்கு அவ்விசை Wசைன் (& 41) என்னும் பெறுமானங்
கோசை A களுக்கிடையே கிடக்க வேண்டும்.
னன்

உராய்வு
219
P) இன் பெறுமானம் P யின் பெறுமானத்திலிருந்து பூ வின் குறியை' மாற்றுவதாற் பெறப்படலாம் என்பது அவதானிக்கப்படும்.
195. வலு P என்பது சாய்தளத்தோடு (பிரிவு 156, வகை 3 இற் போல) கோணம் 0 விலே தாக்கினால், பொருள் தளத்தின்மீது கீழ்முக மாக இயங்கு நிலையிலிருக்கும்போது அதுபற்றி உராய்வு தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்கும்போது, சமநிலை நிபந்தனைகள்
P கோசை 9 + uR = W சைன் ........................ (1),
P சைன் 6 + R = W கோசை a என்பன ...............(2). எனின், (2) ஐ ய வாற் பெருக்கிக் கழித்தலால், நாம் பெறுவது
P=W்
சுசைன் a - A கோசை a_rள சைன் (a - A)
கோசை 0 - பூசைன் 6
கோசை (0 +A) P இன் இப்பெறுமானத்தை (2) இற் பிரதியிடுதலால், R இன் பெறு மானங் காணப்படலாம்.
பொருள் தளத்தின்மீது மேன்முகமாக இயங்கு நிலையிலிருந்தால், பா வின் குறியை மாற்றுவதால், நாம் பெறுவது
P, = W சைன் (a + 2)
கோசை (0 - 2) சைன் (a + NA)
- என்பது மிகச் சிறிதாயின், அதாவது,
கி.தே. " தோசை (8 - N)
கோசை (0 - 2) என்பது 1 இற்குச் சமனாயின், அதாவது, 9 = ஆயின், அத் தளத்தின் மீது மேன்முகமாகப் பொருளை மட்டாக இயக்கும் விசை மிகச் சிறிதாகும்.
எனின், ஒரு தளத்தின்மீது மேன்முகமாக இயக்குதற்கு வேண்டிய விசை, சாய்தளத்தோடு உராய்வுக் கோணத்திற்குச் சமனான ஒரு கோணத்தை ஆக்குந் திசையிற் பிரயோகிக்கப்படும்போது மிகச் சிறிதாகும். 196. முந்திய பிரிவினுடைய முடிபுகள் கேத்திரகணித அமைப்பாற் காணப்படலாம்.
K
>'2
>!


Page 118
220
நிலையியல்
வசதியான யாதுமோர் அளவுத்திட்டத்தில் (உதாரணமாக இறாத்தலுக்கு ஓரங்குலம், அல்லது 10 இறாத்தலுக்கு ஓரங்குலம்) W வைக் குறிப்பதற்கு KL என்னும் ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டை வரைக.
LO வை R என்னும் செவ்வன் மறுதாக்கத்தினது திசைக்குச் சமாந்தரமாய், வரைக. படத்திலுள்ளவாறு OLF, OLF, என்னும் ஒவ்வொன்றையும் ) என்னும் உராய்வுக் கோணத்திற்குச் சமனாய் வரைக.
ஆயின், பொருளானது தளத்தின் மீது கீழ்முகமாக, அல்லது மேன்முகமாக இயங்கத் தொடங்குவதற்கேற்ப, LF, LF, என்பன D யிலுள்ள விளையுள் மறுதாக்கமாகிய DH, DH, என்பனவற்றினுடைய திசைகளுக்குச் சமாந்தரமாகும்.
KMM, ஐ F என்னும் தாங்கு விசைக்குச் சமாந்தரமாய் LF, LF, என்பனவற்றை M, M, என்பனவற்றிற் சந்திக்கும்படி வரைக.
ஆயின், KLM, KLM, என்பன முறையே சமநிலையின் இரு ஈற்று நிலைகளுக்குமுரிய விசை முக்கோணிகளாகுமென்பது தெளிவு.
எனின், KL என்பது W வைக் குறிக்கும் அதேயளவுத்திட்டத்தில், KM, KM, என்பன முந்திய பிரிவிலுள்ள P, P) என்பனவற்றைக் குறிக்கும்.
தெளிவாக, ZOLK = R இற்கும் நிலைக்குத்திற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் =a: ஆயின், 2MLK = a-) ; ZM, LK = a+). அதுபோல, /KQ0 = R, P என்பனவற்றினுடைய திசைகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் = 90° - 8,
ஆயின், LKQL = 90° +0, 2KM,L = 90° + 0 - .
2KML = 90° + 6 +). எனின்,
KM சைன் KLM
சைன் (a - N)
சைன் (ca - N) w KL சைன் KML சைன் (90° + 0 + }) கோசை (0 + )' P, KM, சைன் KLM, சைன் (a +)) சைன் (a + )
w KL சைன் KM,L சைன் (90° + 6 -2) கோசை (8 - 3) கி. தே. KM, என்பது LF இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படும்பொழுது, அதாவது,, P) என்பது DH, என்னும் விளையுள் மறுதாக்க த்தினது திசைக்கு ஒரு செங்கோணத்திற் சாய்ந் திருக்க, அதுபற்றிச் சாய்தளத்திற்கு ) என்னுங் கோணத்திலிருக்கும்போது, KM, என்பது மிகச் சிறிதாகும்.
பயிற்சி XXXI. 1. 40 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் : 25 என்னும் உராய்வுக் குணகத்தையுடைய முரட்டுக் கிடைத் தளமொன்றின்மீது கிடக்கின்றது ; கிடையாகத் தாக்கி அப்பொருளை இயக்கும் மிகச் சிறிய விசையைக் காண்க.
கிடைத் தளத்தோடு கோசை -19 என்னுங் கோணத்திலே தாக்கி அப்பொருளை இயக்கும் மிகச்சிறிய விசையையுங் காண்க.
ஒவ்வொரு வகையினும் அத்தளத்தின் விளையுள் மறுதாக்கத்தினுடைய திசையையும் பருமனையும் துணிக.
2. அடி தளமான ஒரு பாரமான குற்றி கரடான ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது. அது அத்தளத்திற்கு 45° சாய்வில் ஒரு விசையாலே தாக்கப்படுகின்றது; அக்குற்றி

உராய்வு
221
மட்டாக வழுக்கத்தொடங்கும் வரைக்கும் அவ்விசை படிப்படியாகக் கூட்டப்படுகின்றது. உராய்வுக் . குணகம் 5 ஆயின், அவ்விசையைக் குற்றியின் நிறையோடு ஒப்பிடுக.
3. 30 இறா. திணிவொன்று கரடான ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது கிடக்கின்றது ; அதைக் கீடையாகத் தாக்குகின்ற 10 இறா. நிறை என்னும் ஒரு விசையாலே மட்டு மட்டாக இயக்கலாம் ; உராய்வுக் குணகத்தையும் அத்தளத்தின் விளையுள் மறுதாக்கத்தினுடைய திசை பருமன் ஆகியவற்றைக் காண்க.
4. 6 என்பது உராய்வுக் கோணமெனின், W என்னுமொரு நிறையை கரடான ஒரு கிடைத்தளத்தின்மீது இயக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய விசை W சைன் எனக் காட்டுக.
5. ஒரு காட்டுத் தளத்தின் கிடையுடனான சாய்வு கோசை -11; உராய்வுக் குணகம் 3 ஆயின், அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்கிக் கொண்டு அத்தளத்தின்மீது வைக்கப் பட்ட 1 அந்தரைத் தாக்கும் மிகக் குறைந்த விசை 8: இறா. நிறை எனக் காட்டுக ; அத் தளத்தின்மீது மேன்முகமாக அப்பொருளை இயக்கத் தொடங்கும் விசை 7713 இறா. நிறை என்றும் காட்டுக.
6. ஒரு சாய்தளத்தின் அடியின் நீளம் 4 அடியும் உயரம் 3 அடியுமாகும்; அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற 8 இறா. விசை 20 இறா. நிறையொன்றை வழுக்குதலினின்று மட்டாகத் தடுக்கும் ; உராய்வுக் குணகத்தைக் காண்க.
7. 4 இறா. நிறையுள்ள ஒரு பொருள் 30° சாய்வுள்ள கரட்டுத் தளமொன்றின் மீது எல்லைச் சமநிலையிற் கிடக்கின்றது ; அத்தளம் 60° என்னும் ஒரு சாய்விற்கு உயர்த்தப்பட்டால், அத்தளத்தினது நீளத்திற்கு அப்பொருளைத் தாங்கும் பொருட்டு வேண்டப்படும் விசையைக் காண்க.
8. ஒரு 30 இறா. நிறையுள்ள கரடான ஒரு சாய்தளத்தின் மீது மட்டாக ஓய்விற்கிடக்கின்றது ; அத்தளத்தின் உயரம் அதன் நீளத்தில் *. அத்தளத்தின் மீது மேன்முகமாக அந்நிறையை மட்டாக இயக்கத் தொடக்குதற்கு அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற 36 இறா. நிறை விசை வேண்டுமெனக் காட்டுக.
9. ஒரு 60 இறா. நிறை ஒப்பமில்லாத ஒரு சாய்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய் தாக்கு கின்ற 24 இறா. விசையாலே தாங்கப்படும்போது, அது அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக இயங்கும் நிலையில் இருக்கின்றது ; தளத்திற்குச் சமாந்தரமான 36 இறா. நிறையென்னும் ஒரு விசையாலே தூண்டப்படும்போது அது அத்தளத்தின் மீது மேன்முகமாக இயங்கு நிலை யில் இருக்கும் ; உராய்வுக் குணகத்தை காண்க.
10. இரு சாய்தளங்களுக்கு ஒரு பொது உச்சி உண்டு. அவ்வுச்சியிலுள்ள ஓர் ஒப்பமான சிறுகப்பியின் மேலாகச் செல்கின்ற ஓர் இழை இரண்டு சம நிறைகளைத் தாங்குகின்றது. அத் தளங்களுள் ஒன்று கரடானதாகவும் மற்றையது ஒப்பமானதாகவுமிருந்தால், அவ்வொப் பமான தளத்தின்மீதுள்ள நிறை கீழ்முகமாக இயங்கும் நிலையில் இருக்கும்போது, அவ் விரு தளங்களுடைய இரு சாய்வுக் கோணங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காண்க.
11. கரடான ஒரு சாய்தளத்தின்மீது சமனில் நிறைகள் இரண்டு அத்தளத்திலேயுள்ள ஒரு நிலையான கப்பியைச் சுற்றிச் செல்கின்ற ஓர் இழையால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அந் நிறை கள் சமநிலையில் இருப்பதற்கு அத்தளத்துக்கு அமையக்கூடிய மிகப் பெரிய சாய்வைக் காண்க.
12. கரட்டுத் தன்மை சமமான இரு தளங்களின் நுனிக்கு மேலாக வைத்த ஓர் இழையின் முனைகளுக்கு இரண்டு சம நிறைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அத்தளங்கள் ஒன்றுக்கொன்று பிற்புறமாக வைக்கப்பட்டுள்ளனவாய் ஒரே உயரத்தையும் கிடையுடன் முறையே 30°, 60° என்னுஞ் சாய்வுக் கோணங்களையும் கொண்டிருக்கின்ற Cன. உ.ராய்வுக் குணகம் 2 - V/3 ஆயின், அந்நிறைகள் இயக்க நிலையில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
13. உராய்வுக் குணகம் (ப. ஆகவுள்ள ஒரு கரட்டுக் கோளத்தின் வெளிப் பரப்பின்மீது ஒரு துணிக்கை வைக்கப் படுகின்றது. அத்துணிக்கையில் இருந்து மையம்' வரையும் ஆரை


Page 119
222
நிலையியல்
நிலைக்குத்தோடு தான் ' என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்போது அத்துணிக்கை இயக்க நிலை யில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
1
14. உராய்வுக் குணகம் - ஆயின், a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு பொட் கோளத்தி னுள்ளே எவ்வளவு உயரத்தில் ஒரு துணிக்கை ஓய்விற் கிடக்கும் ?
15. சில்லில்லா வண்டியொன்று ஒரு குறிப்பிட்ட குன்றின்மீது மேன்முகமாக மிகக் குறைந்த முயற்சியோடு இழுக்கப்படுமாறு, என்ன சாய்வுக் கோணத்தில் அவ்வண்டிக்கு வார்கள் இணைக்கப்படல் வேண்டும் ?
16. 5 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு கனவடிவக் கற்றுண்டு கரட்டுக் கிடைத்தளமொன்றின் வழியே கிடைத்தளத்திற்கு 40° இற் சாய்ந்த P என்னும் ஒரு விசையால் இழுக்கப்படல் வேண்டும். உராய்வுக் கோணம் 25° ஆயின், P யின் மிகக் குறைந்த பெறுமானத்தை ஒரு
வரைபாற் காண்க.
17. 1 அந்தர் நிறையுள்ள் ஒரு பொருள் கிடையுடன் 250 இற் சாய்ந்த ஒரு தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற 15 இறா. விசையால் வழுக்குதலிலிருந்து மட்டாகத் தடுக்கப் பட்டு அத்தளத்தின்மீது ஓய்விற் கிடக்கின்றது ; ஒரு வரைபினால் அப்பொருளை மேன்முகமாக ம மட்டாய் இழுக்கும் விசையையும் உராய்வுக் குணகத்தின் பெறுமானத்தையுங் காண்க.
197. ஒரு பொருளைக் கரடான ஒரு சாய்தளத்தின்மீது மேன்முகமாக இழுத்தற்கண் செய்யப்படும் வேலையைக் காணல்.
பிரிவு 194, வகை (ii) இலிருந்து ஒரு தளத்தின்மீது மேன்முகமாக ஒரு பொருளை மட்டாக இயக்கும் விசை P, என்பது
W (சைன் a + கோசை a) ஆகுமென அறிகின்றோம். எனின், அதனை A யிலிருந்து C யிற்கு இழுத்தற்கண் செய்யப்படும் வேலை = PX AC (பிரிவு 156. படம்.) = W (சைன் a + கோசை a). AC. = W. AC சைன் % +uW. AC கோசை . = W. BC +W.AB = தளத்தின் தலையீடின்றி அதே நிலைக்குத் துயரத்திற்கூடாக அப்
பொருளை இழுத்தற்கண் செய்யப்படும் வேலை. + அத்தளத்தைப் போன்ற அதே கரட்டுத் தன்மையும் அச்சாய்தளத் தின் அடிக்குச் சமனும் ஆய ஒரு கிடைத்தூரத்தின் வழியே அப்பொருளை இழுத்தற்கண் செய்யப்படும் வேலை.
198. முற் பிரிவிலிருந்து நமது சாய்தளம் கரடானதாயின், வலுவாற் செய்யப்படும் வேலை நிறைக்கெதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலையிலுங் கூடியது என்பதைக் காண்கின்றோம். இது எப்பொறிக்கும் உண்மையாகும்; இத் தத்துவம் இவ்வண்ணம் உரைக்கப்படலாம்.
யாதுமொரு பொறியில், எத்தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலை அப்பொறியின் உராய்வுத் தடைகளுக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலையையும் அப்பொறியினுடைய கூற்றுப்பகுதிகளு

உராய்வு
223
டைய நிறைகளுக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலையையும் நிறைக்கு எதிராய்ச் செய்யப்படும் வேலையையுங் கூட்ட வருவதற்குச் சமன்.
எந்தப் பொறிக்கும், நிறையின்மீது செய்யப்படும் வேலை எத் தனத்தாற் செய்யப்படும் வேலையோடு கொள்ளும் விகிதம் அப்பொறியின் திறன் எனப்படும்; ஆகவே,
பொறியாற் செய்யப்படும் பயன்படும் வேலை திறன் =
பொறிக்கு வழங்கிய வேலை P, என்பது உராய்வு இல்லாத போது வேண்டிய ஊக்கு விசையாகுக; P என்பது உண்மையான எத்தனமாகுக. ஆயின், பிரிவு 138 ஆல் நிறைக்கு எதிராகச் செய்யப்படும் வேலை
= PXஅதன் பிரயோகப் புள்ளி இயங்குந் தூரம்; பொறிக்கு வழங்கிய வேலை = PXஅதன் பிரயோகப் புள்ளி இயங்குந் தூரம் ;
எனின், வகுத்தலால்,
திறன் = 2
உராய்வு இல்லாத போதுள்ள எத்தனம்
உண்மையான எத்தனம் உராய்வுத் தடைகளை முற்றாய் விலக்கல் எம்மால் முடியாது ; எம் பொறி களை நிறையின்றியனவாகச் செய்தலும் முடியாது ; ஆகவே, இந்த இரு காரணங்களால் வேலையிற் சிறிதை என்றும் இழத்தல் வேண்டும். இதனால் பொறியின் திறன் 1. அளவு பெரிதாய் ஒரு போதும் இராது. திறன் எவ்வளவிற்கு ஏறத்தாழ 1 ஐ அணுகுகின்றதோ அவ்வளவிற்கு அப் பொறி சிறந்ததாகும்.
பொறிகளைப் பிரயோகிப்பதால், நாம் வேலையை ஆக்கல் இயலாது : பொறி எவ்வளவு ஒப்பரவாயும் நிறைவாயும் இருந்தாலும் செய்முறையில், என்றும் வேலையை இழக்கின்றோம். யாதுமொரு பொறியின் உபயோகம் நாம் பிரயோகிக்கும் விசையைப் பெருக்குதல் மட்டுமே ; அதே நேரத்தில் விசை வேலை செய்யுந் தூரம் விகிதசம் அளவை விட அதிகமாகக் குறைக் கப்படும்.
199. கரட்டுத் திருகின் சமநிலை. ஒரு திருகில், உராய்வைப் பொருட்படுத்துமிடத்து எத்தனத்துக்குத் தடைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காணல்.
பிரிவு 178 இலுள்ள அதே குறிப்பீட்டை வழங்குவோம்; திருகு கீழ்முகமாக இயங் கும் நிலையில் இருக்க ; ஆயின் உராய்வு . புரியினது நீளத்திற்கு மேன்முகமாக தாக் கும். [பிரிவு 176 இற் போல அதன் வெட்டு முகம் செவ்வக வடிவினது].


Page 120
224
நிலையியல்
இங்கு, அக்குற்றியினுடைய நிலைக்குத்தமுக்ககங்கள் "R (கோசை + சைன் a), S (கோசை + சைன் a), ... என்பன ; இவ்வமுக்கங்களுடைய கிடைக் கூறுகள்
R (சைன்ல - கோசை a), S (சைன் - கோசை a), ... என்பன. எனின், பிரிவு 178 இலுள்ள சமன்பாடுகள் (1), (2) என்பன
W = (R+ S + T +..) (கோசை a + டிசைன் a) .....................(1). P.6 = a (R+ S+ T +...) (சைன் - கோசைன) என்பனவாகும் (2) எனின், வகுத்தலால். P.6 சைன் 7- L கோசைன கோசை a + சைன்.
சைன் கோசை - கோசை சைன் 2 = 4
கோசை a கோசை +சைன் சைன் ?" சைன் (a - A) - "கோசை (e-))
w =ா
ஃw = நீதான் (a - N).
அதுபோல், திருகு மேன்முகமாக இயங்கும் நிலையில் இருந்தால், வின் குறியீட்டை மாற்றுவதால், நாம் பெறுவது
P,a சைன்ல + கோசைன
W bகோசை 2 - பசைன்ற 6
-- = ; தான் (a + ).
எத்தனத்துக்கு P, P. என்பனவற்றிற்கு இடையே யாதுமொரு பெறு மானம் இருந்தால், திருகு சமநிலையில் இருக்கும்; ஆனால் உராய்வு எல்லையுராய்வாகாது.
திருகின் கோணம் a ஆனது ) என்னும் உராய்வுக் கோணத் திற்குச் சமனாயின், எத்தளனம் P யின் பெறுமானம் பூச்சியமாகுமென்பது அறியப்படும். இங்கு, திருகுப் புரிவழியேயுள்ள உராய்வாலேயே தாங் கப்பட்டுத் திருகு மட்டாய்ச் சமநிலையில் இருக்கும். 

Page 122
228
நிலையியல்
ABC என்பது ஓராப்பின் ஒரு வெட்டு முகமாகுக; அதனுடைய முகங்கள் BC என்னும் அடிக்குச் சமமாகச் சாய்ந்திருக்க . CAB என்னுங் கோணம் a ஆகுக.
P என்பது மேன்முகத்திற்குப் பிரயோகிக்கப்பட்ட விசையாயும்; R, R' என்பன ஆப்பு மரத்தைத் தொடும் புள்ளிகளிலே மரத்தின் செங்குத்து மறுதாக்கங்களாயும், R, R' என்பன உராய்வுகளாயும் இருக்க. இங்கு, ஆப்பானது உள்ளே தள்ளுப்படு நிலையில் இருப்பதாகக் கொள்ளப்படு கின்றது.
P என்னும் விசை BC யின் மையத்திற் பிரயோகிக்கப்படுகின்றதென்றும் அதனுடைய திசை BC யிற்குச் செங்குத்தென்றுங் கொள்வோம் ; ஆயின் அது கோணம் BAC யை இருகூறிடும்.
BC வழியேயும் செங்குத்திற்குமாகத் துணிக்க, நாம் பெறுவன
MR சைன் - R கோசை ; = uR' சைன் - R' கோசை ;... (1),
P = u (R+ R') கோசை ; + (R+ R') சைன்... (2). சமன்பாடு (1) இலிருந்து நாம் பெறுவது R = R'; பின் (2) தருவது
8 |
8 TN
P= 2R (A கோசை ; + சைன் ;) எனின், 2--- =
2R எனின், P
கோசை)
=
3
கோசை + சைன்
சைன் கோசை + கோசை சைன் /A
கோசை )
சைன் (+)'
சைன்
8 TN
> என்பது உராய்வுக் குணகமாயின்.
ஆப்பின் பிளக்கும் வலு R ஆல் அளக்கப்படும். ஆகவே, தந்தவொரு விசை P யிற்கு மிகச் சிறிதாயிருக்கும்போது இந்தப் பிளக்கும் வலு மிகப் பெரிதாகும்.
அறிமுறையில், a ஆனது பூச்சியமாயிருக்கும் பொழுது, அதாவது ஆப்பு நுண்ணெண்ணளவு (infinitesimal) வன்மையுடையதாய் இருக்கும்பொழுது பிளக்கும் வலு மிகப் பெரிதாகும். செய்முறையில், ஆப்பானது தன் வன் மைக்கு இசைவாய் மிகச் சிறிய கோணத்தோடு செய்யப்பட்ட போது அதற்கு மிகப்பெரிய பிளக்கும் வலு உண்டு.
202. ஆப்பிற்கும் மரத்திற்கும் இடையே உராய்வு யாதும் இல்லையெனின் (இது செய் முறையில் இயலக் கூடாததொன்றாயினும்), நாம் பெறவேண்டியது ) = 0; ஆகவே,

உராய்வு
229
* '- கொலை;
- கோ
சை
6 | 5
சைன் -
203. 'ஆப்பின் மீது மரத்தால் உஞற்றப்பட்ட அமுக்க விசை போதிய அளவிற்குப் பெரி தாயின் , விசை P ஆனது ஆப்பைக் கீழ் முகமாக இயங்கச் செய்தற்குப் போதியளவு பெரிதாகாதிருக்கலாம்.
இங்கு, P யின் பெறுமானம் P. ஆயின், பிரிவு 201 இல் உள்ள . வின் குறியை மாற்றுவதால் அதன் பெறுமானங் காணப்படும் ; ஆயின், நாம் பெறவேண்டியது
P, = 2 (சைனா - கோசை :)
சைன்
காசை -
8 IN
8 |N
சைன்
8 (N
= 2R -
கோசை
>) ஆயின், P) இன் பெறுமானம் நேர்க்குறியோடு ஒத்துவரும்
& N 81
<) ஆயின், P) என்பது மறைக்குறியோடு ஒத்து வரும்.
ஆகவே, ஆப்பினது பரப்பின் மேற்பக்கத்திற்கு ஓரிழுவை பிரயோகிக்கப்பட்டால், அவ்வாப்பு வெளியே வழுக்கு நிலையிலேயே இருத்தல் கூடும்.
\ ஆயின், யாதுமொரு விசையின்
பிரயோகமின்றி, ஆப்பு மட்டாய் உறுதியாகப் பற்றும்.
உ-ம். புரியிடை C ஆகவும் வலு 26 நீளமுள்ள ஒரு குறுக்குச் சட்டத்தினுடைய முனைகளிற் பிரயோகிக்கப்பட்டதாகவுமுள்ள ஒரு திருகமுக்கியால் விளைவிக்கப்பட்ட விசையின் பெருக்கம்.
சைன் = - 4ாம்.
ஆகும்படி என்னுங் கோணத்தையுடைய ஒரு மெல்லிய இருசமபக்க முக்கோண வடிவ ஆப்பினால் விளைவிக்கப்பட்டதற்குச் சமனென நிறுவுக .
204. உராய்வின் செல்வாக்கு பொறிகளின் செய்முறை வேலைகளில் மிக முக்கியமாகையால், அறிமுறை ஆராய்வுகள் உண்மையாகப் பெரிதும் உபயோகப்படா ; யாதுமொரு குறித்த பொறிக்குப் பரிசோதனையே வழி வகை தரும். இதைச் செய்யும் முறை பொறியின் மெல்லாவற்றிற்கும் ஒரே விதமாகும். - வேக விகிதம் பரிசோதனையாற் பெறலாம்; எவ்வாறெனில் எல்லாப் பொறிகளுக்கும், அது எத்தனம் இயங்குந் தூரத்தை நிறை, அல்லது தடை இயங்கும் ஒத்த தூரத்தால் வகுக்க வரும் ஈவிற்குச் சமன். அதனை 0 எனக் கூறுக.


Page 123
230
நிலையியல்
உயர்த்தப்பட்ட நிறை W ஆகுக. ஆயின், உராய்வின்மைக்கு ஒத்த
W அறிமுறை எத்தனம் P, என்பது ஆகும். W என்பதை மட்டாக உயர்த் தும் எத்தனம் P யின் உண்மையான பெறுமானத்தைப் பரிசோதனை
W யாற் காண்க. பொறியின் உண்மையான பொறிமுறை நயம் 5 ஆகும்;
அதன் திறன் பிரிவு 198 ஆல் : ஆகும். திறன், வேக விகிதம்
P, W W என்பனவற்றின் பெருக்கம் = = = பொறிமுறை நயம்.
205. ஓர் உதாரணமாக, வேற்றுமைச் சில்லோடு அச்சாணியின் வகுப்பறை மாதிரி யொன்றை எடுத்து, அதைக்கொண்டு சில பரிசோதனைகள் செய்க. அப்பொறி ஒருபோதும் ' நன்னிலையில் இருந்ததன்று ; உபயோகப்படுத்துமுன் அது துப்புரவாக்கப்படவில்லை ; அதனுடைய தாங்கிகளுக்கோ, கப்பிக்கோ மசகு இடப்படவில்லை.
பிரிவு 164 இலுள்ள குறிப்பீட்டோடு a, b, C என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் 12, 3, 64 என்னும் அங்குலங்களெனக் காணப்பட்டன; ஆகவே, வேக விகிதத்தின் பெறு மானம் 7
26 2x 63
= :- a=3 -15 இப்பெறுமானம் பரிசோதனையாலும் சரி பிழை பார்க்கப்பட்டது; அதற்குக் காரணம் W மேன்முகமாகச் சென்ற ஒவ்வோர் அங்குலத்திற்கும் P கீழ்முகமாக 9 அங்குலஞ் சென்ற தென்று காணப்பட்டமையே.
P யின் தொகைக்குள்ளே தன்னிறையும் சேர்க்கப்பட்ட ஒரு தராசுத் தட்டிலே இட்ட நிறை களால், P அளக்கப்பட்டது ; அதுபோல் W விற்குஞ் செய்யப்பட்டது.
w தொடுக்கப்பட்ட கப்பியினது நிறையும் W இன் நிறைக்குள் சேர்க்கப்பட்டது. பின்வரும் அட்டவணையில் P, W என்பனவற்றின் உரிய உரிய பெறுமானங்கள் கிராமில் தரப்படுகின்றன ; P யின் பெறுமானம் நிறை W வினும் சற்று அதிகமானது. மூன்றாம் நிரல் P. இன் உரிய பெறுமானங்களைத் தருகின்றது, அதாவது உராய்வுத் தடைகள் இல்லாதபோது வேண்டப்படும் எத்தனம்.
W
P...
=
M =
212
1-79 2-78 3•3 4:17
45 60 90
50 100 150 250 450 650 850 1050 1250 1450
5-55 11:11 16-67 27-78 50 72•22 94:44 116. 67 138•88 161-11
0•2 0•31 0:37 0-46 0 • 56 0•61 0-64 0.67 0•68 0-694
119
5-46 5-78
147 175 203 232
6:16
6:25

உராய்வு
231
நாலாம் நிரல் ஒத்த திறனாகிய E யினுடைய பெறுமானங்களைத் தருகின்றது ; ஈற்றுநிரல் பொறிமுறை நயம் ஆகிய M இன் பெறுமானங்களைத் தருகின்றது.
மேலே தந்த முடிபுகளை மாணாக்கன் சதுரக்கோடிட்ட தாளிலே தானாகக் குறித்தால், P யைத் தரும் புள்ளிகளானவை மேற்றந்தவற்றுள்ளே மூன்றாவதற்கும் ஈற்றிலிருப்பதற்கும் ஊடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டிலே ஏறத்தாழ இருப்பனவாகக் காணப்படும். எனின், வரைபுக் கொள்கையின்படி, P, W என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு P = aW + 6 என்னும் வடிவத்தையுடையதாகும். இங்கு 2,6 என்பன மாறிலிகள்.
அன்றியும்,W = 150 ஆயின், P = 45 ; W = 1450 ஆயின், P = 232.
ப : 45 = 150a +6; 232 = 1450a +6. தீர்த்தலால், நாம் பெறுவன அண்ணளவாக a = 144, 6 = 23-4 என வரும் ; ஆயின்,
P= •144W + 23•4. இது பொறி விதி எனப்படும். அன்றியும்,
P. = W = 111W.
P, 1 .111 W எனின்,
E = P= .144W + 23:4'
2 வீA S/A
W W .
W
M = p= 144W + 23•4
இவை யாதுமொரு நிறை W விற்கு E, M என்பனவற்றைத் தருகின்றன.
W கூடக்கூட E, M என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் கூடும். E யினது மேற்றந்த பெறுமானம் W வினுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் உண்மையெனக்கொண்டால் அதன் மிகப் பெரிய பெறுமானம் W வானது முடிவின்றிப் பெரிதாயினாற்றான் உண்டாகும் ;
•111 அது = = எறத்தாழ 77.
ஆகவே, இப்பொறியில் அதற்குள் இடப்பட்ட வேலையுள்ளே குறைந்த அளவு 23% இழக்கப்படுகின்றது.
சிறந்த பொறிமுறை நயத்தின் மிகப்பெரிய பெறுமானம்
=.144 = ஏறத்தாழ 7.
அப்பொறி பரிசோதனைக்கு முன்னர் நன்கு துப்புரவாக்கப்பட்டு மசகு இடப்பட்டால் மேலும் சிறந்த முடிபுகள் பெறப்படலாம்.
206. முந்திய பிரிவின் உதாரணத்திலுள்ளது போல பிற பொறி எதிலும் உண்மையான திறன், ஒன்றிலும் மிகக்குறைவான ஓரெண்ணிற்கு விழுவதாகக் காணப்படும்.
ஒப்பீடாய்ச் சிறிய திறனுடைய பொறிகளுக்குப் பொதுவாய் ஒரு நயம் நடைமுறையில் உண்டு.
யாது மொரு பொறியிற் பிரயோகிக்கப்படும் எத்தனத்தின் பருமன் உராய்வை எவ்வகையிலும் பாதிக்காதாயின் எத்தனம் பிரயோகிக்கப்


Page 124
232
நிலையியல்
படாத பொழுது திறன் இலுங் குறைவானாலன்றிச் சுமை தானாக இறங்காது என்று காட்டலாம்.
தன்புரியிடை சிறிதாயும் வலு, அல்லது எத்தனம் பிரிவு .178 இற் போலக் கிடையாகப் பிரயோகிக்கப்பட்டதாயுமுள்ள திருகும் பிரிவு 194 இற்போல எத்தனம் தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற சாய் தளமும் அத்தகைப் பொறிகளுக்கு உதாரணங்களாகும்.
உராய்வானது பிரயோகிக்கப்படும் எத்தனத்தைச் சாராதிருக்கின்ற பொறி களில், அத்தகைப் பொது விதியை அறிமுறையாலே நிறுவல் இயலாது ; ஒவ்வொரு வகையுந் தனித்தனி ஆராயப்படல் வேண்டும். ஆனால், எத் தனம் உராய்வுத் தொகையில் ஒப்பீடாய்ச் சிறிய விளைவை ஆக்குமிடத்து, திறன் 2 இலுங் குறைவாயின் சுமை இறங்காது என்பதைப் பரும்படியான ஒரு பொது விதியெனக் கொள்ளலாம். அத்தகைப் பொறி முன்பின்னாக்கு வதில்லை எனப்படும்.
வழக்கமான மாதிரியிற் செய்யப்பட்ட ஒரு வேற்றுமைக் கப்பியில் (பிரிவு 165), இவ்வாறு திறன் இலுங் குறைவு ; யாதுமொரு விசை P பிரயோகிக்கப்படாதபோது அதாவது பொறி தனியாக விடப்பட்டுச் சங்கிலி ஓடுமாறு விடப்பட்டபோது சுமை W என்பது இறங்காது நிற்கும்.
முன்பின்னாக்காத இத்தன்மை பெருமளவிற்கு ஒப்பீடாய்ச் சிறிய திறனை ஈடு செய்யும்.
ஒரு சில்லோடு அச்சாணியிலே, பொறிமுறை நயம் வழக்கமாகப் பெரிது; திறன் வழக்கமாக இலும் மிகப்பெரிது ; ஆனால் அது முன் பின்னாக்குமென்னுஞ் செய்தி வேற்றுமைக் கப்பியிலுங் கூடிய பயன் கொண்ட பொறியாக அதனை என்றும் ஆக்குவதில்லை.
பொறிகளின் செய்முறை வேலையைப்பற்றிக் கூடிய அறிவைப் பெறு தற்கு விரும்பும் மாணாக்கன் சேர் றொபேட் போல் என்பவரின் “ பரிசோதனைப் பொறியியலை "', அல்லது பிரயோகப் பொறியியல் நூல்
களை ஆராயவேண்டும்.
பயிற்சி XXXII. 1. உராய்வுக் குணகம் * ஆயின், 3 அடி உயரத்தையும் 20 அடி நீள அடியையும் உள்ள கரட்டுச் சாய்தளம் ஒன்றன்மீது மேன்முகமாக 6 அந்தர் சுமை யொன்றை இழுத்தற்கண் எவ்வளவு வேலை செய்யப்படும் ?
2. 10 தொன் நிறையொன்று 30° சாய்வையும் உராய்வுக் குணகத்தையும் உள்ள ஒரு சாய்தளத்தின்மீது மேன்முகமாக 330 அடி நீளத்திற்கூடாக அரை மணி நேரத்தில் இழுக்கப் படுகின்றது ; செலவழிந்த வேலையையும் அவ்வேலையைச் செய்யக்கூடிய எஞ்சினின் ப.வ. ஐயுங் காண்க.
3. 24 அடி நீளத்தையும் 12 அடி அகலத்தையும் 16 அடி ஆழத்தையும் உடைய ஒரு தொட்டியானது ஒரு கிணற்றிலுள்ள நீராலே நிரப்பப்படுகின்றது ; அக்கிணற்று

உராய்வு
233
நீரின் மேற்பரப்புத் தொட்டியின் நுனிக்கு என்றும் 80 அடி.க்குக் கீழே யிருந்தால் அத்தொட்டியை நிரப்புதற்கண்ணே செய்யப்படும், வேலையையும், அத்தொட்டியை 4 மணி நேரத்திலே நிரப்பும் '5 திறனுடைய ஓரெஞ்சினின் ப.வ. ஐயுங் காண்க.
4. ஒரு நீராவி யெஞ்சினின் வட்ட முசலத்தின் விட்டம் 60 அங்குலம்; அது நிமிடத் திற்கு ஒவ்வொன்றும் 8 அடி நீளமான 11 அடிப்புக்களை அடிக்கின்றது : முசலத்தின் மீது ஒவ்வொரு சதுரவங்குலத்திற்கும் உள்ள சராசரியமுக்கம் 15 இறா. ஆகும் ; எஞ் சினின் திறன் • 65. வேலையாதும் வீணாக்கப்படவில்லையெனக் கொண்டு 300 அடி ஆழ மான ஒரு கிணற்றிலிருக்து மணிக்கு எத்தனை கனவடி நீரை அது உயர்த்து மெனக்
காண்க.
5. ஓரெஞ்சினின் முசலத்தின் விட்டம் 80 அங்குலம்; நீராவியின் சராசரியமுக்கம் சதுரவங்குலத்திற்கு 12 இறா. ஆகும் ; அடிப்பின் நீளம் 10 அடி ; இரட்டையடிப்பின் தொகை நிமிடத்திற்கு 11; அவ்வெஞ்சின் 500 பாக ஆழத்தினின்று நிமிடத்திற்கு 42) கனவடி நிரை உயர்த்துவதாகக் காணப்படுகின்றது. அதன் திறன் ஏறத்தாழ '6 எனக் காட்டுக.
6. ஒரு சில்லுக்கும் அச்சாணிக்கும் ஆரைகள் 4 அடி, 6 அங். என்பன. 56 இறா. நிறை விசை 200 இறா. நிறை தடையை உயர்த்துதற்கு வேண்டப்படுமாயின், அப்பொறியின் திறன் என்ன ?
7. வேக விகிதம் 4 ஆகவுள்ள கப்பிதாங்கியும் கயிறும் (இரண்டாங் கப்பித் தொகுதி) கொண்டு செய்த சில பரிசோதனைகளில், உயர்த்தப்பட்ட விசைகள் 10, 80, 160 இறாத்தல்கள் ; இவற்றுக்குரிய எத்தனங்கள் 23, 58, 85 இறாத்தல்கள். ஒவ்வொரு தருணத்திலும் திறனைக் காண்க.
8. ஒரு குறித்த பொறியில், 12, 7-5 இறா. நிறைக்குச் சமமான எத்தனங்கள் கொண்டு முறையே 700, 300 இறா. நிறைக்குச் சமமான தடைகள் வெல்லப்படுகின்றன. P = a + bW எனக் கொண்டு, a, b என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
9. ஒரு திருகு யாக்குக் கொண்டு செய்யப்படுஞ் சில பரிசோதனைகளில், சுமைகளின் பெறு. மானங்கள் 150, 180, 210, 240, 270 இறா. நிறைகளாயும், எத்தனம் P யின் பெறுமானங், கள் 20•9, 22-7, 25-75, 28•4, 31-4 என்னும் இறா நிறைகளாயும் இருந்தன. முடிபுகளைச் சதுரக்கோட்டுத் தாளிற் குறிக்க ; P = a +6W எனக் கொண்டு a, b என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.
10. ஒரு மாதிரிக் கப்பிதாங்கியும் கயிறும் (இரண்டாங் கப்பித் தொகுதி) கொண்டு செய்த சில பரிசோதனைகளில், (கீழ்க் கப்பி தாங்கியினது நிறையோடு கூடிய) W வின் பெறுமானங். களும் P யின் பெறுமானங்களும் கி. நிறையில் உரைக்கப்படப் பின்வருமாறு காணப்பட்டன
w = 75, 175, 275, 475, 675, 875, 1075.
P= 25, 48, 71, 119, 166, 214, 264. அன்றியும், கீழ்க் கப்பிதாங்கியில் ஐந்து கயிறுகள் இருந்தன. P யிற்கும் W விற்குமிடையே ஓர் அண்ணளவான தொடர்பையும், திறனுக்கும் பொறிமுறை நயத்திற்கும் உரிய உரிய பெறுமானங்களையுங் காண்க.
P, P., E, M என்பவற்றன் வரைபுகளைக் கீறுக. 11. பின்வரும் அட்டவணை ஒரு பாரந் தூக்கியின் மீதுள்ள சுமையைத் தொன்னிலும். உரிய எத்தனத்தை இறா. நிறையிலும் தருகின்றது :
சுமை - 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11.
எத்தனம் 9, 20, 28, 37, 42, 51, 56. அப்பொறியின் விதியைக் காண்க ; வேகவிகிதம் 500 எனத் தரப்பட்டால், 5 தொன் சுமையிலும் 10 தொன் சுமையிலும் திறனைக் காண்க.


Page 125
234
நிலையியல்
12. விசை 15 அங்குல நீளமான ஒரு நெம்புக்குச் செங்கோணங்களிற் பிரயோகிக்கப்பட, ஒரு நிறை 4 அங்குலப் புரியிடையுள்ள ஒரு திருகு யாக்கால் உயர்த்தப்படுகின்றது. நிறையி னுடைய பெறுமானம் தொன்னிலும், உரிய விசை இறாத்தலிலும் பின்வரும் அட்டவணை யிலே தரப டுகின்றன :
நிறை 1, 2.5, 5, 7, 8, 10.
விசை 24, 32, 46, 57, 63, 73. அப்பொறியின் விதியைக் காண்க : 4 தொன் நிறைக்கும் 9 தொன் நிறைக்கும் அதன் திறனைக் காண்க.

ப.
அதிகாரம் XIV.
உராய்வு (தொடர்ச்சி). 207. இவ்வதிகாரத்தில் உராய்வு கொண்ட பிரசினங்களின் தீர்வுக்கு மேலதிகமான சில உதாரணங்களைத் தருகின்றோம்.
உ-ம். 1. ஒரு முனை தரையின் மீதும் மற்றை முனை நிலைக்குத்தான ஒரு சுவருக்கெதி ராகவும் கிடக்க, சீரான ஏணியொன்று சமநிலையில் இருக்கின்றது ; தரை, சுவர் என்னும் இரண்டும் கரடானவையாயும் உராய்வுக் குணகம் முறையே , u' என்பனவாயுமிருக்க, ஏணி தன் முனைகள் இரண்டிலும் வழுக்கு நிலையில் இருந்தால், அவ்வேணியின் கிடையுடனான சாய்வைக் காண்க.
AB என்பது அவ்வேணியாயும் G என்பது அதன் புவியீர்ப்பு மையமாயும் இருக்க ; R, S என்பன முறையே A, B என் பனவற்றிலுள்ள செவ்வன் மறுதாக்கங்கள் ஆகும்; அவ் வேணியின் முனை A என்பது சுவரிலிருந்து வழுக்கு நிலையில் இருக்கின்றது ; எனின், பR என்னும் உராய்வு சுவர் நோக்கி இருக்கும் ; முனை B என்பது நிலைக்குத்திற் கீழ் முகமாக இயங்கும் நிலையில் இருக்கின்றது ; ஆகவே, ப.'S என்னும் உராய்வு மேன்முகமாகத் தாக்கும்.
6 என்பது தரையுடன் அவ்வேணியின் சாய்வாகும் ; 2 a என்பது அதன் நீளமாகும்.
A AR
கிடையாகவும் நிலைக்குத்தாகவும் துணிக்க,
uR = S .....
....... (1), R +'S = W .
.....(2). அன்றியும், A பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுக்க,
W.a கோசை 0 = 'S. 2a கோசை 0 + S.வை சைன் 8.
ஃW கோசை 0 = 2S (u' கோசை 8 + சைன் 6) ... (1) , (2) என்பனவற்றிலிருந்து,
ய(W - 'S) = 8 ; : W = S (1 + ப')...
(4). (3) , (4) என்பனவற்றிலிருந்து, வகுத்தலால்,
கோசை 6 2 (ப' கோசை 8 + சைன் 6)
- 1+ ப' ஃ கோசை 0 (1- ') = 2 சைன் 0.
எனின்,
தான் 9 = '- u'
2.
வேறொரு வழி பின்வருமாறு :
X, X' என்பன A, B என்பனவற்றிலுள்ள உராய்வுக் கோணங்களாகுக ; A யிலுள்ள செவ்வனோடு > என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் AC என்பதையும், B யிலுள்ள செவ்வ னோடு ' என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் BC என்பதையும் படத்திற் போல வரைக,


Page 126
236
நிலையியல்
பிரிவு 189 ஆல், AC, BC என்பன A, B என்பனவற்றிலுள்ள விளையுள் மறுதாக்கங்களின் திசைகளாகும்.
ஏணியானது இவ்விளையுள் மறுதாக்கங்களினாலும் தன் நிறையாலும் சமநிலையில் வைத் திருக்கப்படுகின்றது ; எனின், அவற்றின் திசைகள் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கவேண்டும் ; ஆகவே, G யினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக்கோடு C யினூடாகச் செல்லவேண்டும்.
பிரிவு 79 இலுள்ள சூத்திரம் (1) தருவது
(a + a ) கோதா CGB = a கோதா ACG - a கோதா BCG ;
அதாவது
2 தான் 6 = கோதா)- தான் = -- '.
1- ப.ப.' ஃ தான் 9 = -
2ப. உ-ம். 2. ஒரு முனை தரையிலும் மற்றை முனை நிலைக்குத்தான ஒரு சுவருக்கெதிராயும் ஓர் ஏணியானது தந்தவொரு நிலையில் வைக்கப்படுகின்றது. தரை, சுவர் என்னும் இரண்டும்' கரடானவையாயும் உராய்வுக் கோணம் முறையே , X' என்பனவாயும் இருந்தால், ஏணி வழுக்காதவாறு ஒரு மனிதன் எவ்வளவு உயரத்திற்கு அவ்வேணியில் ஏறக்கூடுமென ஒரு வரைபாற் காண்க.
AB என்பது (உ-ம் 1. படம்) அவ்வேணியாகுக. AC, BC என்பன முறையே சுவருக்குந் தரைக்கும் A, B என்பனவற்றிலுள்ள செவ்வன்க ளோடு உராய்வுக் கோணங்களை ஆக்குமாறு, அவற்றை வரைக.
AB என்பதை G யிற் சந்திக்கும்படி CG என்பதை நிலைக்குத்தாக வரைக. ஏணியோடு கூடிய மனிதனின் புவியீர்ப் புமையம் A, G என்பனவற்றிற்கு இடையே இருந்தால், அவ் வேணி ஓய்வில் இருக்கும்; அன்றெனின், அது வழுக்கும்.
அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : இப்புவியீர்ப்பு மையம் G, B என்பனவற்றிற்கு இடையே இருந்தால் அதற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்து B யிலுள்ள உராய்வின் எல்லைத் திசையாகிய BC என்பதை P என்னும் ஒரு புள்ளியில் LPAR என்பனது A யிலுள்ள உராய்வுக் கோணத்திலும் பெரி தாகும் வண்ணஞ் சந்திக்கும் ; ஆயின், இது இயலாததொன்று.
இப்புவியீர்ப்பு மையம் G, A என்பனவற்றிற்கு இடையே இருந்தால், சமநிலை இருக்கக் கூடும் ; அதற்குக் காரணம் உராய்வு A யில் எல்லையுறுகின்றதாயினுஞ் சமநிலை இருக்குமாறு இப்புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்து AC என்பதை P என்னும் ஒரு புள்ளியிற் கோணம் PBS என்பது ' என்பதிலுஞ் சிறிதாகுமாறு சந்திக்கும் என்பதே. அதுபோல், உராய்வு B யில் எல்லையுறுமாயின் இன்னுஞ் சமநிலை இருக்குமென்று நாம் காட்டலாம்.
ஆயின், G, என்பது ஏணியின் புவியீர்ப்பு மையமாயும், G, என்பது மனிதனுடைய இயலக் கூடிய மிகவுயர்ந்த நிலையாயும் W,, W, என்பன முறையே ஏணியினது நிறையும் மனித னுடைய நிறையும் ஆயுமிருந்தால், G, பின்வருந் தொடர்பாலே துணியப்படும்.
W, GG, = W.. GG,.
பயிற்சி XXXIII. 1. 13 அடி நீளமான சீரான ஏணியொன்று, ஒரு முனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராயும் மற்றை முனை அச்சுவரிலிருந்து 5 அடியிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் காட்டுக் கிடைத் தளமொன்றின் மீதுமாக ஓய்விலிருக்கின்றது ; அவ்வேணியினது நிறை 56 இறா. ஆயின் அவ்வேணிக்குந் தரைக்கும் இடையேயுள்ள உராய்வைக் காண்க.

உராய்வு
237
2. சீரான ஏணியொன்று ஒரு முனை ஒரு கிடைத் தரையின்மீதும் மற்றைமுனை ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராயும் ஓய்விலிருக்கின்றது ; உராய்வுக் குணகம் முறையே *, 3 ஆகும் ; அவ்வேணி வழுக்கத் தொடங்கும்போது அதன் சாய்வைக் காண்க.
3. முந்திய உதாரணத்திற் பயிற்சிக் கணக்கின் ஒவ்வொரு வகையிலும் உராய்வுக் குணகம் ஆயின், நிலைக்குத் திற்கு அவ்வேணியின் சாய்வு தான் -1 ஆயிருக்கும்போது அவ்வேணி வழுக்கும் எனக் காட்டுக.
4. ஒரு முனை உராய்வுக் குணகம் ஆகவுள்ள கரட்டுத் தரையொன்றின்மீதும் மற்றைமுனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக் கெதிராகவுங் கிடக்க சீரான ஏணியொன்று எல்லைச் சமநிலையில் இருக்கின்றது ; நிலைக்குத்துடன் அதன் சாய்வு தான் - 1(2ய) எனக் காட்டுக.
5. ஒரு சீரான ஏணி ஒரு சுவருடன் சார்த்தி வைக்கப்படுகின்றது ; தரையுஞ் சுவரும் கரட்டுத் தன்மையிற் சமனாயின், உராய்வுக்குணகம் தான் 0 ஆயிருக்கும்போது நிலைக்குத்திற்கு ஏணியின் எல்லைச் சாய்வு 20 எனக் காட்டுக.
அவ்வேணி இந் நிலையில் இருக்கும்போது அது வழுக்காதவாறு ஏறக்கூடுமா ? 6. ஒரு முனை கரடான ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீதும் மற்றை முனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத் துச் சுவருக்கெதிராகவும் இருக்க சீரான ஏணியொன்று எல்லைச் சமநிலையில் ஓய்விலிருக் கின்றது ; பின்னர், ஒரு மனிதன் அவ்வேணியில் ஏறுகின்றான்; அவன் அதன் அரைப் பங்களவு 'தூரத்திற்குக் கூட ஏறமாட்டான் எனக் காட்டுக.
7. ஒரு முனை ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கு எதிராயும் மற்றைமுனை தரையின் மீதுங் கிடக்க சீரான ஏணியொன்று ஓய்விலிருக்கின்றது ; உராய்வுக் குணகம் ; ஆகும் ; தரைக்கு அவ்வேணியின் சாய்வு 45° ஆயின், அவ்வேணி நிறைக்குச் சமமான நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் அவ்வேணி வழுக்காதவாறு அதன் நுனிக்கு மட்டாக ஏறக்கூடுமெனக் காட்டுக.
8. 70 அடி நீளமுள்ள சீரான ஏணியொன்று ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிலே சார்ந்து அதனோடு 45° என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு ஓய்வில் இருக்கின்றது ; அவ்வேணிக்கும் சுவருக்குமிடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் : ஆயும் அவ்வேணிக்குந் தரைக்கும் இடையே யுள்ளது : ஆயும் இருக்கின்றன. அவ்வேணி நிறையின் அரைப்பங்கு நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் அவ்வேணியில் ஏறினானாயின், அவவேணி வழுக்கும்போது அவன் எவ்வளவு உயரத்தில் இருப்பான் ? )
இப்போது ஏணியின் கீழ் நென்பில் ஒயு சிறுவன் நின்றால், மனிதன் ஏணியின், உச்சியை அடையக் கூடியதாக இருப்பதற்கு. அச்சிறுவனுக்கு இருக்கவேண்டிய ஆகக் குறைந்த நிறை யாது?
9. ய என்னும் நிறையுடைய இரண்டு சமவேணிகளுள் ஒன்று ஒன்றிற் கெதிராய்ச் சாயு மாறும் அவற்றின் முனைகள் காட்டுக் கிடைத்தரை யொன்றின்மீது கிடக்குமாறும் வைக்கப்படு கின்றன ; உராய்வுக் குணகம் . என்பதும் அவை ஒன்றோடொன்று ஆக்குங் கோணம் 20 என்பதுந் தரப்பட்டால், நுனியிலிடப்படும் என்ன நிறை அவற்றை வழுக்கச் செய்யுமெனக் காண்க.
தான் a> 2, அல்லது < ஆகும்போது, அம்முடிபின் கருத்தை விளக்குக. 10. தன் மேல்முனை ஒப்பமில்லாத ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிற் சார்ந்தும் தன் கீழ் முனை தரையின்மீதும் இருக்க, ஒரு சீரான ஏணி கிடையுடன் 45° கோணத்திற் கிடைக்கின்றது ; ப என்பது ஏணிக்கும் தரைக்குமிடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகமாயும், ' என்பது எணிக்குஞ் சுவருக்குமிடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகமாயும் இருந்தால், கீழ் முனையைச் சுவர் நோக்கி இயக்கும் மிகக் குறைந்த கிடை விசை 1w 1 + 21 - u' -
"" எனக் காட்டுக. மே 1- u' 11. 9 ஆம் பயிற்சிக் கணக்கில், நிறையானது ஒரு காலின் மையத்தில் வைக்கப்பட அது வழுக்குவித்தற்குப் போதிய அளவு பாரமுடையதாயின், மற்றைக் காலே முதல் வழுக்குமெனக் காட்டுக.


Page 127
238
நிலையியல்
208. உ-ம். 1. தனது தள அடி ஒப்பமில்லாத ஒரு சாய்வுத்தளத்தின்மீது கிடக்கும்படி சீரான உருளையொன்று வைக்கப்படுகின்றது ; கிடையுடனான அத்தளத்தின் சாய்வு படிப்படி வாகக் கூட்டப்படுகின்றது; அவ்வுருளையடியின் விட்டம் அதன் உயரத்தோடு கொள்ளும் விகிதம் உராய்வுக் குணகத்திலுஞ் சிறிதாயின் அவ்வுருளை வழுக்கு முன்னர் கவிழுமெனக் காட்டுக.
அவ்வுருளை கவிழும் நிலையில் இருக்கும்போது, என்பது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வாகுக. அவ்வுருளையின் G
E த என்னும் புவியீர்ப்பு மையத்திற் கூடாகச் செல்லும் நிலைக் குத்துக்கோடு அதனடிக்குள்ளாக மட்டாய் விழல் வேண்டும்.
எனின், AB என்பது அதனடியாயின், GA என்னுங் கோடு நிலைக்குத்தாய் இருத்தல் வேண்டும். C என்பது அடி யின் மையமாயும் - அதன் ஆரையாயும், h. அதன் உயர மாயும் இருந்தால்,
தான் = கோதா CAG - - -
.........................(1).
.(1).
அன்றியும், அவ்வுருளை வழுக்கும் நிலையில் இருக்கும்போது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வு 4 ஆனது
தான் 0 = ..
....... (2) என்பதாலே தரப்படும்.
எனின், என்பது 0 விலுஞ் சிறிதானால்,
27 அதாவது >< ப. ஆனால்,
அவ்வுருளை வழுக்கு முன்னர் கவிழும்.
உ-ம். 2. தனது அடி AB என்பது ஒரு கரட்டு மேசையின் மீது கிடக்க ABCD என்னும் ஒரு செவ்வகம் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தின் மீது ஓய்வில் இருக்கின்றது ; படிப்படியாகக் கூடும் விசையொன்று DC வழியே தாக்குகின்றது ; வழுக்குதலாலா, அல்லது கவிழுதலாலா சமநிலை ஒழிக்கப்படும் ?
F என்பது விசையாயும் W என்பது நிறையாயும் இருக்கட்டும். AB = 20 ஆயும், BC = h ஆயும் இருக்கட்டும். அச் செவ்வகம் கவிழுமாயின், அது B பற்றித் திரும்பும் என்பது தெளிவு ; B பற்றி எடுக்கும் F, W என்பனவற்றி னுடைய திருப்புதிறன்களானவை மட்டாகச் சமநிலை எய்தினால், இது நிகழும்.
அதாவது F.h = W.க ஆயின், இது நிகழும்...................(1). அன்றியும் F ஆனது எல்லையுராய்விற்குச் சமனாயின், அதாவது : F = uW ஆகும்பொழுது .....
....(2). அச்செவ்வகம் வழுக்கும். (1) ஆலே தரப்பட்ட F இன் பெறுமானம் (2) ஆலே தரப்பட்ட F இன் பெறுமானத்திலுஞ் சிறிது, அல்லது பெரிது என்பதற்கேற்ப,
க< அதாவது என்பதற்கேற்ப,

உராய்வு
239
அதாவது அடி செவ்வகவுயரத்தின் இரு மடங்கோடு கொள்ளும் விகிதம் என்பதற் கேற்ப, அச்செவ்வகங் கவிழும், அல்லது வழுக்கும்.
பயிற்சி XXXIV.
1. தன் வட்ட அடி கரடான ஒரு சாய்தளத்திற்கிடக்க ஓர் உருளை ஓய்வில் இருக்கின்றது ; உராய்வுக் குணகம் 2. அவ்வுருளை வழுக்கும் நிலையிலுங் கவிழும் நிலையிலும் இருக்குமாறு அதனுடைய தளத்தின் சாய்வையும், அவ்வுருளையின் உயரத்திற்கும் அடிவிட்டத்திற்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பையும் காண்க.
2. தன்னுடைய தட்டை முனையொன்று கரடான ஒரு கிடைத்தளத்தின்மீது கிடக்க ஒரு திண்மவுருளை ஓய்விலிருக்கும்போது தன் மேல் நுனி மையத்தினூடாகச் செல்லும் ஒரு கிடை விசையினால் தாக்கப்படுகின்றது. இவ்விசை அத்திண்மத்தை இயக்க மட்டாகப் போதிய தாயின், அவ்வுருளையின் அடியின் ஆரை அதன் உயரத்தோடு கொள்ளும் விகிதத்திலும் உராய்வுக் குணகஞ் சிறிதாயிருக்கும் போது, அது கவிழாது வழுக்கு மெனக் காட்டுக. * 3. தன்னடி கரடான ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது கிடக்கச் சமபக்க முக்கோணியொன்று ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே ஓய்விலிருக்கின்கின்றது ; படிப்படியாகக் கூடுங் கிடைவிசை யொன்று, அதனுச்சியில் அம்முக்கோணியின் தளத்திலே தாக்குகின்றது ; உாரய்வுக் குணகம் V3 இலுஞ் சிறிதாயின், அம்முக்கோணி தன்னடி முனைபற்றித் திரும்பு முன்வழுக்கு மெனக் காட்டுக.
4. தன்னுயரம் தன்னடி விட்டத்தின் இரு மடங்காகவுள்ள கூம்பு வடிவான வெல்லவப்ப மொன்று வழுக்குதலைத் தடுத்தற்குப் போதிய கரடுமுரடான ஒரு மேசைமீது நிற்கின்றது; அது கவிழு நிலைக்கு வரும் வரைக்கும் அதன் ஒரு முனை மெல்லென எழுப்பப்படுகின்றது ; இந்நிலையில் அத்தளத்தின் கிடையுடனான சாய்வைக் காண்க.
5. 2a என்னும் உச்சிக் கோணமுள்ள ஒரு கூம்பு கிடையுடன் சாய்ந்த கரடான ஒரு தளத்தின்மீது ஓய்விற் கிடக்கின்றது. அத்தளத்தின் சாய்வு கூட்டப்படும் போது உராய்வுக் குணகம் 4 தான் a விலுஞ் சிறிதாயின், அக்கூம்பு கவிழுமுன் வழுக்குமெனக் காட்டுக.
6. தன்னடி கரடான ஒரு சாய்தளத்தின்மீது கிடக்கும்படி ஒரு நேர்க் கூம்பு வைக்கப்படு
1 கின்றது ; என்பது உராய்வுக் குணகமாயின், அக்கூம்பு வழுக்குநிலை, கவிழு நிலை என்
னும் இரண்டிலும் இருக்கும்போது அதன் கோணத்தைக் காண்க.
7. ஒரு கூம்பு கரடான ஒரு மேசையின்மீது கிடக்க, அக்கூம்பின் உச்சிக்குத் தொடுத்த ஒரு நாண், அக்கூம்பினது நுனியின் உயரத்திற்குச் சமமான உயரத்திலுள்ள ஓர் ஒப்பமான கப்பிக்கு மேலாகச் சென்று ஒரு நிறையைத் தாங்குகின்றது. அந்நிறை தொடர்ச்சியாகக் கூட்டப்படுமாயின், a என்பது அக்கூம்பின் அரையுச்சிக் கோணமாயிருந்தால், உராய்வுக் கோணம் தான் என்பதற்கேற்ப , அக்கூம்பு கவிழும், அல்லது வழுக்குமெனக் காட்டுக.
- 8. தன்னுடைய விளிம்புகள் கரடான ஒரு சாய்பலகையினுடைய விளிம்புகளுக்கு? சமாந்தரமாயிருக்க, ஒரு சதுரமுகிக் குற்றி அப்பலகையின் மீது கிடக்கின்றது. அப்பலகையானது படிப்படியாக உயர்த்தப்பட அக்குற்றி வழுக்குமுன் கவிழுமாயின், உராய்வுக் குணகம் பெறக்
கூடிய மிகச்சிறிய பெறுமானம் என்ன?
9. B யிற் செங்கோணமுள்ள ABC என்னும் முக்கோணித் தகடு தன் பக்கம் BC ஆனது ஒப்பமில்லாத ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது கிடக்கும்படி நிற்கின்றது. B என் னுங் கோணம் 0 என்னுங் கோணத்திலுந் தாழ்ந்திருக்கும் வண்ணம் அத்தகடு BC யிற்குச்


Page 128
240
நிலையியல்
செங்குத்தாய்த் தனது தளத்திலுள்ள ஓரச்சைச் சுற்றிப் படிப்படியாகச் சரிக்கப்பட்டால், உராய்வுக் குணகம் தான் A யிலுஞ் சிறிது, அல்லது பெரிதாதற்கு ஏற்ப அத்தகடு வழுக்க அல்லது கலிழத் தொடங்குமெனக் காட்டுக..
10. சதுர வடிவான ஒரு சீருலோகத் தட்டு ABCD தன் பக்கம் BC ஆனது கிடையுடன கோணம் a விற் சாய்ந்த ஒரு நிறை கரடான தளத்திற் கிடக்க ஓய்வில் இருக்கின்றது. அத் தட்டின் மிகவுயர்ந்த புள்ளி A யிற்குத் தொடுத்துள்ள AP என்னும் ஓரிழை அத்தளத் தினுச்சி P யிலுள்ள ஓர் ஒப்பமான கப்பிக்கு மேலாகச் சென்று ய என்னும் ஒரு நிறையைத் தாங்குகின்றது ;' AP கிடையாக இருக்கின்றது. W அத்தட்டினது நிறையாயின், ய கூடு
- ஆகும் பொழுது அத்தகடு திரும்புதற்குத் தொடங்குமெனக்
தலுற u > w 1+ தான் a
பட 2 காட்டுக.
11. ஒரு தொன் நிறையுள்ள ஒரு குற்றி 8 அடி உயரமான ஒரு செவ்வக இணைகரப் பரவை வடிவினதாய் 6 அடிப்பக்கமுள்ள ஒரு சதுர அடியிலே நிற்கின்றது. தன்னடியினு டைய பக்கங்கள் ஒரு கரடான நிறையில் பலகையினுடைய நீளவகலங்களுக்குச் சமாந்தரமாயிருக் . கும்படி அப்பலகையின்மீது வைக்கப்படுகின்றது ; அடியின் மையம் அப்பலகை முனையொன்றி லிருந்து 6 அடி தூரத்தில் இருக்கின்றது. அக்குற்றி வழுக்காது கவிழும் வரைக்கும் இம் முனையைச்சுற்றி அப்பலகை இப்பொழுது சரிக்கப்படுகின்றது ; செய்த வேலையைக் காண்க. "
209. உ-ம். சீரான கோலொன்று கரடான பொட் கோளமொன்றுக்குள்ளே எல்லைச் சமநிலையிற் கிடக்கின்றது ; அக்கோல் அக்கோள மையத்தில் 20 என்னும் கோணத்தை எதிர மைக்க, > என்பது உராய்வுக் கோணமாயின், கிடையுடன் அக்கோலின் சாய்வுக் கோணம்
தான் (a +2 ) - தான் (a - 3)
தான்-1)
எனக் காட்டுக.
AB என்பது அக்கோலாயும் G என்பது புவியீர்ப்பு மையமாயும் 0 என்பது அக்கோள மையமாயுமிருக்கட்டும் ஆயின், 2 GOA= 2GOB = a. A, B, என்பனவற்றிற்கூடாக, A, B என்பனவற்றை மையத்திற்குத் தொடுக்குங் கோடுகளோடு ) என்னுங் கோண ணத்தை ஆக்குகின்ற AC, BC, என்னுங் கோடுகளை வரைக. பிரிவு 189 ஆல், இவை முறையே A, B என்பனவற்றிலுள்ள R, S என்னும் விளையுள் மறுதாக்கங்களினுடைய திசைகளாகும்.
74
இம்மறுதாக்கங்களும் நிறையும் அக்கோலைச் சமநிலையில் வைத்திருக்கின்றமையால், C யினூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு G யினூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
AD என்பது A யினூடாக CG என்பதை D யிற் சந்திக்கும்படி வரைந்த கிடைக்கோடாகுக. 2GAD = 0 ஆகுக.
2CAG = 20AG-) = 90° -a-),
LCBG = JOBG +) = 90° - a+). எனின், பிரிவு 79 இலுள்ள தேற்றந் தருவது
(a + a ) கோதா CGB = a கோதா CAB - aகோதா CBA;

உராய்வு
241
..(1).
(4).
அதாவது, 2 தான் 0 = கோதா (90° - a-)) - கோதா (90° - a + )
= தான் (a + N) - தான் (a-N) ..... வேறொருவழி பின்வருமாறு : பிரிவு 83 இனுடைய நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்துதலாலே தீர்வுகள் பெறப்படலாம். டி.
விசைகளைக் கோலினது நீளத்திற்குத் துணிக்க,
R கோசை (90° -a-l) - S கோசை (90° - a+)) = W சைன் 6 ; அதாவது, R சைன் (a + X) - S சைன் (ca - N) = W சைன் 9 அக்கோலுக்குச் செங்குத்தாகத் துணிக்க,
R கோசை (a+)) + S கோசை (a-N) = W கோசை 0 A பற்றித் திருப்புதிறன்களை எடுக்க, S.AB சைன் (90° - a+)) = W. AG கோசை 0.
அதாவது 2S கோசை (a - N) = W கோசை 0. (3), (4) என்னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து, R கோசை (a+) = S கோசை (a -N) = 4 W கோசை 6 (2) இல் R, S, என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைப் பிரதியிட, தான் (a + R) - தான் (a - N) = 2 தான் 0. எண்ணுதாரணம்: அக்கோல் அக்கோள மையத்தில் ஒரு செங்கோணத்தை எதிரமைத தால், கிடையுடன் அதன் சாய்வு உராய்வுக் கோணத்தின் இரு மடங்கெனக் காட்டுக.
210. உ-ம். W, W, என்னும் நிறைகளுடைய இரு பொருள்கள் ஒரு சாய்தளத்தின் மீது வைக்கப்பட்டு அத்தளத்தின் மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டோடு பொருந்துகின்ற ஓரி லேசான இ ைழயினாலே தொடுக்கப்பட்டுள்ளன ; அவற்றுள் ஒப்பரவு கூடிய பொருளானது மற்றையதற்குக் கீழாய் இருக்கின்ற தெனக் கொண்டு, அப்பொருள்களுக்குந் தளத்திற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் முறையே ,, ப., ஆயின், அவ்விரு பொருள்களும் இயக்க நிலையிலிருக்கும்போது கிடையுடன் அத்தளத்தின் சாய்வைக் காண்க.
சாய்வு தான் - 'u1 ஆயிருக்கும்போது, கீழுள்ள பொருள் வழுக்கும் ; ஆனால், சாய்வு தான்- 'ப.2 என்பதைப் பெறும் வரைக்கும் மேலுள்ள பொருள் அவ்வாறு செய்யாது. இரண்டும் ஒருங்கு கட்டுப் பாட்டால் வழுக்குதலுக்குரிய சாய்வு இந்த இரண்டு
ட:R! பெறுமானங்களுக்கு இடையில் இருக்கும். அது ) ஆகுக ;R, R, என்பன அப்பொருள்களுடைய செவ்வன் மறுதாக்கங்களாகுக ; அன்றியும் T என்
W
YW2 பது இழையின் இழுவையாகுக.
u, R, ப..R, என்னும் ஈருராய்வுகளும் அத்தளத்தின்மீது மேன்முகமாகத் தாக்கும்.
W,, இன் சம நிலைக்கு நாம் பெறுவன
W, சைன் 0 = T + 1 R.,
W, கோசை 0 = R, என்பன. ஃT = W, (சைன் 9 - 1 கோசை 8) ...
... (1) W, இன் சமநிலைக்கு நாம் பெறுவன
W, சைன் 8 + T = ப., R,
W, கோசை 6 = R, என்பன. ஃ. T = u,R, - W, சைன் 0 = W, (ப, கோசை 0 - சைன் 9) ......(2).


Page 129
242
நிலையியல்
எனின், (1), (2) என்பனவற்றிலிருந்து
W, (சைன் 6 - , கோசை 8) = W. (1, கோசை - சைன் 9). ஃ. (W+ W) சைன் 8 = (W, 11 + W, ப.) கோசை 6.
ஃ தான் = "; " + W, ப.,
W+W உ - ம். 1. இரண்டு சமமான பொருள்கள் ஓர் இலேசான இழையினாலே தொடுக்கப்பட்டு, கரட்டுச் சாய்தளம் ஒன்றன் மீது வைக்கப்பட்டிருக்கின்றன ; உராய்வுக் குணகம் முறையே 1, ஆயின், அத்தளத்தின் சாய்வு தான் -15 ஆயிருக்கும்போது அவை இரண்டும் இயக்க நிலையில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
உ-ம். 2. ஒரு சாய்தளத்தின்மீது தம்முராய்வுக் குணகம் முறையே 2, 3, ஆயுள்ள மூன்று சமபொருள்கள் விறைப்பாக ஒருங்கு தொடுக்கப்பட்டு வழுக்காது கிடைத்தற்கு கிடையுடன் அத்தளத்தின் மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோணம் தான்-1 எனக் காட்டுக.
211. உ-ம். கிடையுடன் a என்னுஞ் சாய்வுள்ள கரட்டுத் தளம் ஒன்றன்மீது ஒரு துணிக்கை வைக்கப்பட்டு அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய் அத்தளத்தின் மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டோடு என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற P என்னும் ஒரு விசையாலே தாக்கப்படுகின்றது ; உராய்வுக் குணகம் 4 ஆகவும் சமநிலை எல்லையுறுகின்றதாகவும் இருந் தால், அப்பொருள் இயங்கத் தொடங்குந் திசையைக் காண்க.
W என்பது அத்துணிக்கையினது நிறையாகுக ; R என் பது செவ்வன் மறுதாக்கம் ஆகுக.
RUR O அச்சாய்தளத்திற்குச் செங்குத்தான விசைகள் பூச்சியமா
'8 ற் ன/ தல் வேண்டும்.
ஃ R =W கோசை a .......................(1).
Wசைன்ன நிறையின் மற்றைக் கூறு மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டின் மீது கீழ்முகமாகத் தாக்குகின்ற W சைன் a ஆகும்.
HR என்னும் உராய்வு மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டோடு 0 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கு கின்ற AB என்னுந் திசையிலே தாக்குக. ஆயின், அத்துணிக்கை நீட்டிய BA என்னுந் திசையில் இயங்கத் தொடங்கும்.
அத்தளத்தின் பரப்பின்மீது தாக்குகின்ற விசைகள் சமநிலையில் இருக்கின்றமையால், லாமியினது தேற்த்தால்,
பR W சைன் a P
சைன் 3 சைன் (0 + 3) சைன் 9 (1), (2) என்பனவற்றிலிருந்து R, W என்பனவற்றை நீக்க ,
R சைன் 4 சைன் 3 கோசை a =
W டிசைன் (0 + 3)
தான் a சைன் ? எனின்,
சைன் (0 + R) = -
..... (3). - ப.
ப., இது கோணம் 0 என்பதைத் தருகின்றது.
எண்ணுதாரணம். அத்தளத்தின் சாய்வு 30° என்றும் உராய்வுக் குணகம் என்றும் விசை P யிற்கும் மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டிற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் 30° என்றும் கொள்க.
....(2).

உராய்வு
243
இங்கு, நாம் பெறுவது
தான் 30°. சைன் 30° V3 சைல (0 +30°) -
- சைன் 60° ...........(4).
எE6dr, •() Ena 30° ; மிகப்பெரிய சாய்கை கோட்டோடு 30° கோணத்தை -ஆக்குகின்ற ஒரு தி»ைச யிலே அப்பொருள் அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக வழுக்கும்.
w விசை P என்பது - V3 ஆகுமென எளிதிற் காட்டலாம்.
அவ்விசை நிறையை வெல்லும் நிலையில் இருந்தால், uR என்னும் உராய்வு கிடையாகத் தாக்குமென்றும், அதுபற்றி அத்துணிக்கை ஒரு கிடைத் திசையில் இயங்கத் தொடங்கு மென்றும், P யினது ஒத்த பெறுமானம் ஈv3 ஆகுமென்றும் எளிதிற் காட்டல் கூடும் .வேறொரு தீர்வு 0 = 90° ஆயிருக்கின்றமையால், அது (4) இல் இருந்து பெறப்படும்).
W
பயிற்சி XXXV - 1. தன் புவியீர்ப்பு மையத்தால் a, 6 என்னும் நீளங்களுடைய இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட ஓர் ஏணி தன்னுடைய முனையொன்று காட்டு கிடைத்தளம் ஒன்றன்மீது இருக்க வும் மற்றை முனை காட்டு நிலைக்குத்துச் சுவர் ஒன்றிற்கு எதிராகக் கிடக்கவும் ஓய்விலிருக் கின்றது. தரையிலுஞ் சுவரிலுமுள்ள உராய்வுக் குணகம் முறையே ப.. ' என்பனவாயின், சம நிலை எல்லையுறும்போது, தரைக்கு ஏணியின் சாய்வு
தான்-14 -bu.'
எனக் காட்டுக.
4 (a +6) 2. நிறையில் கோலொன்று ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள இரண்டு கரட்டுச் சாய்தளங்களுக்கிடையே கிடையாகத் தாங்கப்படுகின்றது ; உராய்வுக் கோணம் > என்பது ஒவ்வொரு தளத்தின் சாய்விலுஞ் சிறிது. . என்பது கிடையுடன் ஒவ்வொரு தளத்தின் சாய்வாயின், இயக்கம் விளைக்காதவாறு ஒரு நிறை வைக்கப்படக்கூடிய அக்கோற் பகுதியினது நீளம் அக்கோலின் மொத்த நீளத்தின் சைன் 2a . சைன் 2) எனக் காட்டுக.
3. இரு கிடை முளைக்கட்டைகளுள் ஒன்றன் மேலும் மற்றையதன் கீழுமாகப் பாரமான சீரான கோலொன்று ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே கிடக்கும்படி வைக்கப்படுகின்றது ; a என்பது அம்முனைக்கட்டைகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரமாயும் என்பது அவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் கிடையுடனான் சாய்வுக் கோணமாயும், ) என்பது உராய்வுக் கோண மாயும் இருந்தால் அந்நிலையில் ஓய்விலிருக்கத்தக்க மிகக்குறுகிய கோலினது நீளம்
a (1 + தான் z கோதா ?) எனக் காட்டுக. 4. பாரமான 1 அடி நீளமுள்ள சீரான கோல் ஒன்று ஒரு முனை ஒப்பமில்லாத் தாயும் மற்றைமுனை ஒப்பமானதாயும் உள்ளது ; அது 10 அங்குல ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட வளையத்திற்குள்ளே ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே கிடக்கின்றது. அக்கோலின் கரட்டு முனை அவ்வளையத்தின் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளியில் இருக்கும் போது, அக்கோல் எல்லைச் சம நிலையில் இருந்தால், உராய்வுக் குணகம் 43 எனக் காட்டுக.
5. பாரமான சீரான கோலொன்று தன்னுடைய முனைகள் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே நிலைப்படுத்திய ஒரு கரட்டு வட்ட வளையத்தின்மீது கிடக்க ஓய்வில் இருக்கின்றது ; அக்கோல் அவ்வளையத்தின் மையத்தில் 120° என்னுங் கோணத்தை எதிரமைத்துக் கொண்டு, எல்லைச் சமநிலையை அடையும்போது கிடையுடன் 6 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்திருக் கின்றது. a என்பது உராய்வுக் குணகமாயிருக்க, V31 = தான்a ஆயின்,
- தான் 6 : தான் 2a :: 2:/3 எனக் காட்டுக. 10-R 6764 (6/65)


Page 130
244
நிலையியல்
6. A, B என்பன காடான ஒரு இடைக் கோலின்மீது வழுக்குகின்ற இரண்டு பாரமான சிறு சமவளையங்கள் ; உராய்வுக் குணகம் 3-2 என்றும் வேறொரு பாரமான சமவளையம் C, A, B என்பனவற்றைத் தொடுகின்ற ஓர் ஒப்பரவான நிறையில்லிழையின்மீது வழக்கு கின்றது ; எல்லைச் சமநிலையை அடையும் நிலையில், ABC என்பது சமபக்க முக்கோணியா
குமெனக் காட்டுக.
7. AB என்னும் பாரமான சீரான கோலொன்றின் ஒரு முனை ஒரு வளையத்தாலே தொடுக்கப்பட்ட AC என்னும் ஒரு கரட்டுக் கிடைக்கோலின்மீது வழுக்கக் கூடும் ; B, C என்பன ஓரிழையாலே இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அக் கோல் வழுக்கு நிலையில் இருக்கும் போது, ABC என்பது ஒரு செங்கோணமாயும், ப. என்பது உராய்வுக் குணகமாயும், 4 என்பது AB யிற்கும் நிலைக்குத்திற்கும் இடையேயுள்ள கோணமாயும் இருந்தால்,
தான் 4
தான்2 a+2 எனக் காட்டுக.
8. சீரான கோலொன்று தன் முனைகள் இரண்டு சமக் கரடுமுரடான நிலைப்பட்ட கோல்களின் மீது ஒன்று நிலைக்குத்தாயும் மற்றையது கிடையுடன் a என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்ததாயு மிருக்க வழுக்குகின்றது . அசையத்தக்க கோல் வழுக்கு நிலையில் இருக்கும்போது, கிடையுடன் அதன் சாய்வு 3 என்பது
1+ 2 தான் a - '
தான் 8 = 2 (தான் a+ ப.)
என்பதாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
9. தனது நீளம் a ஆயும் நிறை W ஆயுமுள்ள சீரான ஏணியொன்று கிடைத் தளத்தோடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக்கொண்டு ஒரு முனை ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கு எதிராய்க் கிடக்கவும் மற்றைமுனை ஒரு கிடைத் தரையின்மீது கிடக்கவும் ஓய்வில் இருக்கின்றது; அச் சுவருந் தரையுஞ் சமகரடுமுரடானவை; உராய்வுக் குணகம் தான் > ஆகும். தன் நிறை P ஆயுள்ள ஒரு மனிதன் அவ் வேணியினது நுனிக்கு
W கோதா 22 + P கோதா)- (W+P) தான் 6
-a சைன் 23
2P
என்பதிலுங் கூடிய அண்மைக்கு ஏறமாட்டான் எனக் காட்டுக.
10. ஒரு தெனிசு வலையைத் தாங்குகின்ற இரு கோல்கள் ஒரு நிலைக்குத்து நிலையில் இரு தாம்புகளாலே நிறுத்தப்பட்டிருக்கின்றன ; அத் தாம்புகளுள் ஒவ்வொன்றும் அக்கோல்களி லிருந்து 2 அடி தூரமான முளைக்கட்டைகளைச் சுற்றிச்சென்று ஒவ்வொரு கோலுக்கும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கோல்களுடைய உயரம் 4 அடி யாயிருக்க அத்தாம்புகளுக்கும் முளைக்கட்டைகளுக்கும் இடையேயுள்ள எல்லையுராய்வுக் குணகம் ஆயின், நிலைக்குத்திற்குப் பின்னதன் சாய்வு தான்-1 இனுஞ் சிறிதாய் இருத்தல் இயலாதெனக் காட்டுக.
11. மூடி விலக்கி நிறுக்க வருந் தன் நிறை 200 இறா. ஆயும் பிற்பக்கத்திலிருந்து முற்பக்கத்திற்கு அகலம் 1 அடியாயுமுள்ள செவ்வகத்திண்ம வடிவப் பெட்டகமொன்றிற்கு 50 இறா. நிறையுள்ள ஒரு மூடி உண்டு ; அது ஒப்பமான ஒரு சுவரிலிருந்து தன் பிற்பக்கம் 6 அங்குலத் தூரத்தில் இருக்க அச்சுவருக்குச் சமாந்தரமாய் நிற்கின்றது. அம்மூடி திறந் துள்ளதாய் அச்சுவருக்கு எதிராய்ச் சாய்ந்திருந்தால், இயக்கம் இல்லாதிருத்தற்பொருட்டு அப்பெட்டகத்திற்குந் தரைக்கும் இடையேயுள்ள மிகச்சிறிய உராய்வுக் குணகத்தைக் காண்க.
12. தனது தளம் நிலைக்குத்தாயுள்ள ஒரு பாரமான வட்டத்தட்டு காட்டுச் சாய்தளம் ஒன்றன்மீது அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயும் அவ்வட்டத்தைத் தொடுவதாயுமுள்ள ஓரிழையி னால் ஓய்வில் நிறுத்தப்படுகின்றது. 6 என்பது அத்தளத்தின் சாய்வாயிருக்க, உராய்வுக் குணகம் { தான் 9 விலுஞ் சிறிதாயின், அத்தட்டு அத்தளத்தின்மீது வழுக்குமெனக் காட்டுக.

உராய்வு
245
13. உராய்வுக் குணகம் ஆயுள்ள ஒரு கரட்டு மேசையிற் கிடக்கின்ற ஒரு துணிக்கை, a நீளமான ஓரிழையினால் அம்மேசைமீதுள்ள A என்னும் நிலையான ஒரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அத்துணிக்கைக்குத் தொடுக்கப்பட்ட வேறோரிழை அம்மேதை யின் ஒப்பமான விளிம்பிற்கு மேலாகச் சென்று சுயாதீனமாய்த் தூங்கும் ஒரு சமதுணிக் கையைத் தாங்குகின்றது. மையம் A ஆயும் ஆரை a ஆயுமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் யாது மொரு புள்ளி P யில், AP என்னும் இழை இறுக்கமாயிருக்கும்படியும் A யில் இருந்து இரண்டாம் இழையினது தூரம் ப.a யிலும் பெரிதாகாதிருக்கும்படியும் அம்மேசை மீதுள்ள அத்துணிக்கை ஓய்வில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
14. 2க நீளமுள்ள ஒரு பாரமான கோல் கரடான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராய் ஒரு முனை சாய்ந்திருக்க ஒப்பமில்லாத ஒரு முளைக்கட்டையின் மீது கிடக்கின்றது : 0 என்பது அச்சுவரிலிருந்து முளைக்கட்டையினது தூரமாயும், 7 என்பது முளைக்கட்டை, சுவர் என்னும் இரண்டிலுமுள்ள உராய்வுக் கோணமாயும் இருந்தால், அக்கோல் அச்சுவரைத் தொடும் புள்ளி அம்முளைக்கட்டைக்கு மேலாக இருக்கும்போது , 0 என்பது அச்சுவருக்கு
• அக்கோலின் சாய்வாயின்,
சைன் -- கோசை )
ஆகும்பொழுது அக்கோலானது கீழ்முகமாக வழுக்கும் நிலையில் இருக்குமெனக் காட்டுக. அக்கோல் அச்சுவரைத் தொடும் புள்ளி அம்முளைக்கட்டைக்குக் கீழாக இருந்தால்,
சைன் 6 சைன் (0+21) = கோசை' )
ஆகும்பொழுது அக்கோலானது கீழ் முகமாக வழுக்கும் நிலையில் இருக்குமென்றும்,
சைன் 0 சைன் (6 - 2N) = கோசை 2
ஆகும்பொழுது மேன்முகமாக வழுக்கும் நிலையில் இருக்குமென்றும் நிறுவுக .
15. க என்னும் ஆரையையும் WW என்னும் நிறையையுமுடைய ஒரு வட்டத்தட்டு b என் னும் ஆரையையுடைய ஓர் ஒப்பமான கோளத்திற்குள்ளே வைக்கப்படுகின்றது; ய என்னும் நிறையுள்ள ஒரு துணிக்கை அத்தட்டின் மீது வைக்கப்படுகின்றது. அத்துணிக்கைக்குந் தட்டுக்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் . ஆயின், அத்தட்டின் மையத்திலிருந்து அத்துணிக்கை தங்கக்கூடிய மிகப்பெரிய தூரத்தைக் காண்க.
16. தந்த வொரு நிறை W உடைய ஓர் ஒப்பமான கோளம் ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கும் ஓரரியத்திற்கும் இடையே கிடக்கின்றது; அவ்வரியத்தினுடைய முகமொன்று ஒரு கிடைத் தளத் தின்மீது கிடக்கின்றது; அக்கிடைத் தளத்திற்கும் அரியத்திற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் 1. ஆயின், a என்பது அக்கோளத்தைத் தொடும் முகத்தின் கிடையுடனான சாய்வா
(தான் x | யிருந்தால், சமநிலையோடு இசைவான அவ்வரியத்தின் மிகச் சிறிய நிறை W -
எனக் காட்டுக.
17. 2a நீளமான இரு சம கோல்கள் ஒரு சதுரத்தினுடைய இரு பக்கங்களை ஆக்குமாறு ஒருங்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன; அவற்றுள் ஒன்று ஒரு கரட்டு முளைக்கட்டையின் மீது கிடக்கின் றது. 4. என்பது உராய்வுக் குணகமாயின், அக்கோலின் மையத்திலிருந்து தொடு புள்ளி களுடைய எல்லைத் தூரங்கள் (14) ஆகுமெனக் காட்டுக.


Page 131
246
நிலையியல்
18. AC, BC என்னும் சீரான கோல்கள் இரண்டு தன்னுடைய பகுதிகள் செங்கோணங் களில் இருக்கின்ற சீரான வளைகோலொன்றை ஆக்குமாறு C யில் விறைப்பாகத் தொடுக் கப்படுகின்றன. இவ்வளைகோல் AC என்பதை அதன் மையத்திலே தொடுகின்ற ஒரு கரட்டு மேசையின் விளிம்பிலே தாங்கப்படுகின்றது. BC என்பது AC யின் மூன்று மடங்காயின் , கிடையுடன் AC யின் சாய்வினது தான்சன் எனக் காட்டுக.
அன்றியும், A என்னும் புள்ளி அம்மேசையின் விளிம்பின்மீது இருக்கும் அக் கோல் ஒய் வில் இருக்குமாறு உராய்வுக் குணகத்தின் மிகச்சிறிய பெறுமானத்தையுங் காண்க.
19. பாரமான ஓரிழை ஒரே திரவியத்தாற் செய்யப்பட்டு, தந்த இரு சாய்தளங்களின் மீது அவற்றின் பொது வுச்சியிலுள்ள ஒரு சிறு கப்பிக்கு மேலாகச் சென்று ஓய்வில் இருக்கின்றது. அவ்விழை இயங்கு நிலையில் இருக்குமாயின், அதனுடைய முனைகளைத் தொடுக்குங் கோடு கிடையுடன் உராய்வுக் கோணத்திற் சாய்ந்திருக்குமெனக் காட்டுக.
20. கரடான ஒரு சாய்தளத்தின் மீது ( = ;), W என்னும் ஒரு நிறை அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாய் மேன்முகமாகத் தாக்குகின்றது என்னும் ஒரு விசையாலே மட்டாகத் தாங்"
கப்படுகின்றது. " என்னும் விசை அத்தளத்தின் வழியே மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டோடு 60" இலே தாக்கும் போது அத்தளத்தின் வழியே தாக்கி இயக்கத்தைத் தடுக்கும் மேலதி கமான மிகச் சிறிய விசையினுடைய பருமனையும் திசையையுங் காண்க.
21. W என்னும் ஒரு நிறை கிடையுடன் 450 இற் சாய்ந்த ஒரு காட்டுத் தளத்தின்
மீது (. - 2
, வைக்கப்பட்டு அத்தளத்தினது நுனியிலுள்ள ஓர் ஓப்பமான வளையம் A யிற்கூடாகச் செல்கின்ற ஓரிழையினாலே நிலைக்குத்தாகத் தூங்குகின்ற P என்னும் ஒரு நிறையோடு தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது W = 3P ஆயும். 0 என்பது அத்தளத்தின் மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டிற்கு இழை AW வின் இயலக்கூடிய மிகப் பெரிய சாய்வாயும் இருந்தால்,
2V2
கோசை 0 = எனக் காட்டுக.
W என்பது இயங்கத் தொடங்குந் திசையையுங் காண்க. 22. W என்னும் ஒரு நிறை கிடையுடன் a என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு கரடான சாய்தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது : உராய்வுக் குணகம் 2 தான். அப்பொருளை அத்தளத்தின்மீது இயக்கும் மிகச் சிறிய இடை விசை V/3W சைன் ? என்றும், அப்பொருள் அத்தளத்தின் மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டிற்கு 600 இற் சாய்ந்த ஒரு திசையில் இயங்கத் தொடங்குமென்றுங் காட்டுக.
23. கரட்டுத்தன்மையிற் சமனில்லாத இரு சம நிறைகள் இலேசும் விறைப்புங் கொண்ட ஒரு கோலால் இணைக்கப்பட்டு ஒரு சாய்தளத்தின் மீது வைக்கப்படுகின்றன ; கிடையுடன் அத் தளத்தின் சாய்வு 0 என்பது உராய்வுக் குணகங்களின் பெருக்கலிடையைத் தனது தான் சனாயுள்ள கோணமாக, ப.1, ப., என்பன உராய்வுக் குணகங்களாயிருந்தால், அக்கோல் ஓய்வில் இருக்கும்போது மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டிற்கு அது ஆக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய சாய்வு
(1 + 2) எனக் காட்டுக. கோசை '2/20, 2)
24. பாரமான ஒரு துணிக்கை கிடையுடன் 1 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு காட்டுத் தளத்தின் மீது வைக்கப்பட்டு ஓர் ஈர்க்கப்பட்ட நிறையில்லிழை AP யினால் அத்தளத்திலுள்ள

உராய்வு
247
ஒரு நிலையான புள்ளி A யிற்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றது. AB என்பது மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோடாயும், அத்துணிக்கை வழுக்கு நிலையில் இருக்கும் போது 0 என்பது கோணம் PAB ஆயும், இருந்தால்,
சைன் 0 = 4 கோதா ன எனக் காட்டுக. ப.கோதா என்பது ஒனறலும் பெரிதாயின் முடிவை விளக்குக 25. அரைக்கோள வடிவான ஓடொன்று உராய்வுக் கோலம் A ஆகவுள்... ஒரு கரட்டுத் தளத்தின்மீது கிடக்கின்றது ; அதன் விளிம்பினது தளவடியின் கிடையுடனான சாய் சைன்-1 (2 சைன் X) இலும் பெரிதாகாதெனக் காட்டுக.
26. எகவினத்திண்ம அரைக்கோளமொன்று கரடான ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது கரடான ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராய்க் கிடக்கின்றது. உராய்வுக் குணகம் இலும் பெரிதாயின், அவ்வரைக்கோளம் யாதுமொரு நிலையில் ஓய்வில் இருக்குமென்றும், சிறிதாயின் நிலைக்
LV8.
குத்தோடு அவ்வரைக்கோளத்தின் அடி ஆக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய கோணம் கோசை -1
கோசை- (24)
என்றும் காட்டுக.
மே 1 + u' | அச்சுவர் கரடான தெனின் (உராய்வுக் குணகம் ') இக்கோணம் கோசை -1
3 1+4u.'/ ஆகுமென்றுங் காட்டுக.
27. பாரமான சீரான அரைக்கோளமொன்று தன் குவிவான பரப்பு ஒரு கரடான சாய் தளத்தைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்படி ஒய்வில் இருக்கின்றது ; கிடையுடன் அத்தளத்தின் இயலக்கூடிய மிகப்பெரிய சாய்வு சைன் -1 எனக் காட்டுக.
எகவினக் கோளமொன்றின் கரட்டுமை எதுவாயிருந்தாலும், அக்கோளம் யாதுமொரு சாய்தளத்திற் சமநிலையிலே தங்காதெனக் காட்டுக.
28. அரைக் கோளமொன்று தன் வளைவான பரப்பு கிடையுடன் சைன் -1ஃ என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஓரத்தில் தளத்தைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்க ஓய்வில் இருந்தால்,
சிலைக்குத்திற்கு அவ்வரைக்கோளத்தினது தளவடியின் சாய்வைக் காண்க.
29. 4. என்னும் ஆரையையும் W என்னும் நிறையையுமுடைய சீரான கோளமொன்று தன் கோளப்பரப்பு ஒரு கிடைத் தளத்தின் மீது இருக்கும்படி கிடக்க W' என்னும் நிறையுடைய ஒரு காட்டுத் துணிக்கை அத்தளப் பரப்பின் மீது கிடக்கின்றது. . என்பது உராய்வுக் குணக
3Wa) மாயின், தளமுக மையத்திலிருந்து அத்துணிக்கையினது தூரம் -
- இலும் பெரிதன்
8W றெனக் காட்டுக.
30. தன்னாரை a ஆயுந் தன் புவியீர்ப்பு மையம் மையத்திலிருந்து C என்னுந் தூரமாயும் முள்ள ஒரு கோளம் கிடையுடன் a என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு கரட்டுத் தளத்தின்மீது எல்லைச் சமநிலையிற் கிடக்கின்றது ; அது
சைன் 1
2 கோசை
-- ("சைன் )
என்னுங் கோணத்திற்கூடாகத் திருப்பப் படலாம் என்றும், அவ்வாறு திருப்பப்பட்டாலும் இன்னும் எல்லைச் சமநிலையில் இருக்குமென்றுங் காட்டுக.


Page 132
அதிகாரம் XV.
பலவினம்
212. ஒப்பரவான பிணையல்களாலே தொடுக்கப்பட்ட பொருள்கள். இரு பொருள்கள் ஒருங்கு பிணைக்கப்படும் பொழுது ஒரு பொருளினது திரட்டிய ஒரு முனை மற்றைப் பொருளிலே முன்னதாக ஆக்கப்பட்ட ஒரு குழியிற்குள்ளே குண்டுந் தாங்குகுழியும் என்னும் மூட்டிற்போலத் தளர்வாகப் பொருந்துதல் வழக்கம் ; அன்றி, திரட்டிய ஓராணி, அல்லது வேறு கொளுக்கி ஒன்று ஒவ்வொரு பொருளிலுமுள்ள துவாரத்திற்கூடாக ஒரு கதவின் பிணையலிற் போலச் செல்வதும் வழக்கம்.
இரு சந்தர்ப்பங்களிலும், அப்பொருள்கள் ஒப்பமானவையாயின், ஒவ் வொரு பொருளின்மீதும் பிணையலிலுள்ள தாக்கம் ஒரு தனி விசையாய் அமைந்திருக்கும். படம் இரு பொருள்களைத் தொடுக்கும் ஒரு மூட்டின் ஒரு வெட்டு முகத்தைக் குறிக்கட்டும். அது ஒப்பமாய் இருந் தால், அம்மூட்டினுடைய எல்லாப் புள்ளிகளி லுமுள்ள தாக்கங்கள் ஆணியின் மையத்தினுடாகச் சென்று 0 வினூடாகச் செல்கின்ற ஒரு தனி விசையைத் தம் விளையுளாகக் கொள்ளும். அன்றியும், அப் பொருள்களுள் ஒன்றன்மீதுள்ள அப்பிணையலினது தாக்கம் மற்றைப் பொருளின்மீதுள்ள அப்பிணையலினது தாக்கத்திற்குச் சமனுமெதி ருமாகும்; இத்தாக்கங்களுக்குச் சமனுமெதிருமான விசைகள் அவ் வாணியை, அல்லது கொளுக்கியை, அதன் நிறை புறக்கணிக்கப்படத்தக்க தாய் இருக்கின்றமையால், சமநிலையில் வைக்கும் என்பதே அதற்குக் காரணமாகும்.
அம்மூட்டு கரடானதாயின், A, B, C, D,... என்னுந் தொடு புள்ளிகளில் OA, OB, 0C,... என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்தான திசைகளிலே தாக்குகின்ற உராய்வுத் தடைகளும் இருக்கும். அத்தகை மூட்டிலே தாக்குகின்ற விசை பொதுவாக ஒரு தனி விசையாகவன்றி ஒரு விசையாகவும் ஓர் இணையாகவும் ஒடுங்கும்.
ஒப்பமான பிணையல்கள் பற்றிய பிரச்சினைகளைத் தீர்த்தற்கண்ணே பிணையலிலுள்ள தாக்கத்தினுடைய திசை, பருமன் என்னும் இரண்டும் வழக்கமாகத் தேரப்படா. எனின், ஒரு பொருளின் மீது ஓர் ஒப்பமான பிணையலினது தாக்கம் ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள இரண்டு தேராக் கூறுகளால் அமைந்திருக்கின்றன எனக் கொள்ளுதல் பொதுவாக மிக வசதியாகும் ; ஆயின், மற்றைப் பொருளின்மீது அப்பிணையலினது தாக்கம் இவற்றிற்குச் சமனுமெதிருமான கூறுகளால் அமைந்திருக்கும்.

பலவினம்
249
ஒவ்வொரு பொருளின்மீதும் தாக்குகின்ற விசைகள் அதன்மீதுள்ள பிணையலினுடைய தாக்கங்களோடு சேர்ந்து சம நிலையில் இருக்கும் ; பிரிவு 83 இல் உள்ள சமநிலையின் பொது நிபந்தனைகள் இப்போது பொருந்தும்.
ஒவ்வொரு பொருளின் மீது தாக்குகின்ற மறுதாக்கத்தினுடைய கூறுகள் பற்றிய தவறுகளை விலக்குதற்குப் பின்வரும் உதாரணத்தின் இரண்டாம் உருவத்தில் உள்ளது போல் வளைகளைச் சந்திக்கும்படி நீட்டாது அவற்றிடையே இடம் விடுவது வசதியாகும்.
213. உ-ம். ஒவ்வொன்றும் W நிறையுள்ள மூன்று சமமான சீர்க் கோல்கள் சமபக்க முக்கோணி யொன்றை ஆக்குமாறு ஒப்பரவாக மூடப்பட்டிருக்கின்றன. அத்தொகுதி அக்கோல்களுள் ஒன்றன் மையத்திலே தாங்கப்பட்டால், மிகத் தாழ்ந்த கோணத்திலுள்ள
/13 தாக்கம் - W என்றும் ஏனையவற்றுள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ளது Wஎன்றும் காட்டுக .
ABC என்பது அக்கோல்களால் ஆக்கப்பட்ட முக்கோணியாகுக; D என்பது அத்தொகுதி தாங்கப்பட்ட பக்கம் AB யின் மையமாகுக.
AB என்னுங் கோலின்மீது A யில் உள்ள பிணையலினது தாக்கமானது நிலைக்குத்துத் திசையிலுங் கிடைத்திசையிலும் முறையே தாக்குகின்ற Y, X என்பனவற்றிற்குச் சமமான இரு கூறுகளால் அமைந்திருக்க ; எனின், AC யின்மீது அப்பிணையலினது தாக்கம் இவற் றிகுச் சமனுமெதிருமாயுள்ள கூறுகளால் அமைந்திருக்கும்.
D யிற் கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு பற்றி முழுத்தொகுதியுஞ் சமச்சீராய் இருக்கின்றமையால், B யில் உள்ள தாக்கம் உருவத்திலுள்ளவாறு X, X என்பனவற்றிற்குஞ் சமமான கூறுகளால் அமைந்திருக்கும்.
CB யின் மீது C என்னும் பிணையலினது தாக்கம் நிலைக்குத்திலே மேன்முகமாகவுள்ள Y, என்பதனாலும் வலப்பக்கத்திற்குக் கிடையாகவுள்ள X என்பதனாலும் அமைந்திருக்க ; ஆயின், CA யின்மீது அதே பிணையலினது தாக்கம் உருவத்திலுள்ளபடி இவற்றிற்கு எதிராயுள்ள இரு கூறுகளால் அமைந்திருக்கும்.
15
தம்
.(1).
AB யிற்கு நிலைக்குத்தாகத் துணிக்க,
S = W+ 2Y. இங்கு S என்பது D யிலுள்ள முளைக்கட்டையினது நிலைக்குத்து மறுதாக்கம். CB யிற்குக் கிடையாகவும் நிலைக்குத்தாகவும் துணித்து C பற்றித் திருப்புதிறன்கள் எடுக்க,
X+ 31 = 0.
(9).


Page 133
250
நிலையியல்
(3),
• . . (4).
(5).
W = Y +Y,.. W. a கோசை 60° +X. 2a சைன் 60°=Y. 2a கோசை 60° என்டன. CA யிற்கு நிலைக்குத்தாகத் துணிக்க,
W =Y - Y, (3), (5) என்னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து,
Y1 = 0, Y = W. எனின், சமன்பாடு (4)
x = {w கோதா 60° = ",=" w ஆகும்.
ஆகவே, (2) இலிருந்து x = - ''w. அன்றியும் (1) தருவது S = 3W. எனின் B இலுள்ள பிணையலினது தாக்கம் கிடையுடன் தான்-1
ஒ(அதாவது தான்-12/3)
என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற VX2 + Y2
(அதாவது W.
என்னும் ஒரு
விசையால் அமைந்திருக்கும் ; அன்றியும் C யிலுள்ள பிணையலினது தாக்கம் இற்குச் சமமான ஒரு கிடை விசையால் அமைந்திருக்கும்.
முன்னது ஏதுவான முடிபு கொள்ளல் C யிலுள்ள பிணையலினது தாக்கம் கிடையாக இருத்தல் வேண்டுமென எமக்குக் காட்டி இருக்கலாம் ; முழுத் தொகுதியும் CD என்னுங் கோடுபற்றிச் சமச்சீராகும் ; அன்றியும் Y, என்னுங் கூறு பூச்சியமானாலன்றி C யிலுள்ள மறுதாக்கம் சமச்சீர் நிபந்தனையைத் தீராது. இவையே அதற்குக் காரணமாகும்.
பயிற்சி XXXVI 1. AB, BC என்னுஞ் சமமான சீரான வளைகள் இரண்டு B யிற் சுயாதீனமாக மூடப்பட் டுள்ளன ; ஒரு சுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றி AB என்பது ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுயாதீனமாய்த் திரும்பக்கூடியதாய் அப்புள்ளியிலுள்ள ஒரு பிணையலுக்கு A என்பது நிலையாக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அவ்விரு வளைகளையும் ஒரு கிடைக்கோட்டில் வைத்திருத்தற்கு BC யிலுள்ள எப்புள்ளியில் ஒரு நிலைக்குத்து விசை பிரயோகிக்கப்படல் வேண்டும் ? அவ் விசையின் பருமன் என்ன ? .
2. AC, CB என்னும் சீரான வளைகள் இரண்டு C யில் ஒப்பரவாக ஒருங்கு பிணைக்கப்பட் டுள்ளன ; அவற்றினுடைய முனைகள் ஒரே கிடைக் கோட்டிலுள்ள A, B என்னும் இரு புள்ளிகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அவை ஒரே திரவியத்தாற் செய்யப்பட்டனவாயும் 60 இறா. மொத்த நிறையுடையனவாயுமிருக்க ஒவ்வொன்றும் கிடையுடன் 60° கோணத்திற் சாய்ந்திருந்தால், C என்னும் புள்ளியிலுள்ள பிணையலினது தாக்கம் 5/3 இறா. நிறையுள்ள ஒரு கிடை விசையெனக் காட்டுக.
3. ஒவ்வொரு காலும் W என்னும் நிறையுடைய சீரான சட்டமொன்றாலாய ஒரு கவராயம் ஒரே கிடைக் கோட்டிலே அக்கால்களுடைய மையங்களில் வைக்கப்பட்ட இரண்டு ஒப்பமான முளைக்கட்டைகளாற் பிணையல் கீழ் முகமாக இருக்குமாறு தாங்கப்படுகின்றது ; அக்கால் களானவை தம் முனைகளைத் தொடுக்கின்ற நிறையில் கோலொன்றால் ஒன்றுக்கொன்று 27 என்னுங் கோணத்திலிருக்கும்படி வைக்கப்படுகின்றன ; இக்கோலின் உதைப்பும் அப்பிணைய லிலுள்ள தாக்கமுந் தனித்தனி {W கோதா 2 எனக் காட்டுக.

பலவினம்
251
4. ஒவ்வொன்றும் W என்னும் நிறையுடைய AB, AC என்னுஞ் சமமான சீரான கோல்கள் இரண்டு A யில் ஒப்பமாக மூட்டப்பட்டு முனைகள் B, C என்பன ஒப்பமான ஒரு மேசையின் மீது கிடக்கும்படி ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே வைக்கப்படுகின்றன. AB யின் மையத்திற்கு C என்பதைத் தொடுக்கின்ற ஓர் இழையால், சமநிலை ஓம்பப்படுகின்றது. அவ் விழையின் இழுவை
--- W. :
யும் A யிலுள்ள கோல்களுடைய மறுதாக்கங்களுந் தனித்தனி கோசீய V1 + 8 கோசைன என்பதற்குச் சமன் என்றும், a என்பது கிடையுடன் அக்கோல்கள் ஒவ்வொன்றும் ஆக்கும் சாய்வாயின், ஒவ்வொரு கோலும் கிடைக்கு தான்-1 ( தான் a) என்னுங் கோணத் திற் சாய்ந்திருக்குமென்றுங் காட்டுக.
5. இரண்டு சமவளைகள் AC, BC என்பன C யிற் சுயாதீனமாய் ஒருங்கு மூட்டப்பட்டன வாய்த் தம்முனைகள் A, B என்பன கரடான ஒரு கிடைத்தளத்தோடு தொட்டுக் கொண்டு கிடக்கும்படியும், ABC என்னுந் தளம் நிலைக்குத்தாய் இருக்கும்படியும் நிற்கின்றன. உராய்வுக் குணகம் 2 ஆயின், ACB என்னுங் கோணம் ஒரு செங்கோணத்திலும் பெரிதாகா
• தெனக் காட்டுக ; சம நிலை கொள்ளும் யாதுமொரு நிலையில் C யில் உள்ள உதைப்பைக் காண்க.
6. 5, 4, 3 அடி நீளங்கள் கொண்ட AB, BC, CA என்னும் பாரமான சீரான கோல்கள் மூன்று ஒரு முக்கோணியை ஆக்குமாறு தம் முனைகளில் ஒருங்கு பிணைக்கப்பட்டிருக் கின்றன. AB என்பது கிடையாகக் கிடக்க A பக்கமாக மையத்திலிருந்து 15 அங்குலத் தூரத் தில் உள்ள ஒரு சுழலைபற்றி முழுவதுஞ் சம நிலையெய்துமெனக் காட்டுக. அன்றியும், W என்பது அக்கோல்களின் மொத்த நிறையாயின், அக்கோல் சமநிலை எய்தும்பொழுது A, B என்னும் பிணையல்களிலுள்ள தாக்கங்களுடைய நிலைக்குத்துக் கூறுகளானவை முறையே 187 - 163 ...
W என்பன என்று நிறுவுக. 600 600
7. AB, BC என்னும் இரண்டு சமமான கோல்கள் B யிலே மூட்டப்பட்டுத் தம் மையங் களிலே மீள்தன்மையில் இழையொன்றால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன; அவ்விழையானது நேராக்கப் பட்டால் ABC என்னுங் கோணம் ஒரு செங்கோணமாகும்படியுள்ள ஒரு நீளமுடையது. இத்தொகுதி புள்ளி A யிலிருந்து சுயாதீனமாய்த் தூக்கப்பட்டால், நிலைக்குத்திற்கு AB யின் சாய்வு தான்- 1 எனக் காட்டுக ; அன்றியும், அவ்விழையின் இழுவையையும் அப்பிணையலி லுள்ள தாக்கத்தையுங் காண்க.
8. ஒவ்வொன்றும் 1 அடி நீளமும் W என்னும் நிறையுமுடைய இரண்டு சமமான சட்டங்கள் AB, BC என்பன B யில் ஒருங்கு மூட்டப்பட்டு ஒரு நிலையான முளைக்கட்டை 0 விலிருந்து ஒவ்வொன்றும் 1 அடி நீளமான OA, OB, 00 என்னும் இழைகளாலே தூக்கப்படுகின்றன ; இவ்விழைகளும் சட்டங்களும் ஒரு தளத்தில் இருந்தால், அம்மூன்று இழைகளுடைய இழுவைகளையும் அப்பிணையலிலுள்ள தாக்கத்தின் பருமனையுங் காண்க.
9. ஒரே தடிப்பையும் 1, 21, 1 என்னும் நீளங்களையுமுடைய AB, BC, CD என்னும் மூன்று சீரான வளைகள் B, C என்பனவற்றில் ஒப்பமான பிணையல்களாலே தொடுக்கப்பட்டு 21 என்னும் ஆரையையுடைய நிறை ஒப்பக் கோளமொன்றின்மீது BC யின் மையமும் A, D என்னும் முனைகளும் அக்கோளத்தைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்படி ஓய்வில் இருக் மின்றன ; BC யின் மையத்திலுள்ள அமுக்கம் அவ்வளைகளுடைய நிறையின் ஃஃ எனக் காட்டுக.
10. தம் நீளங்கள் a, b, C என்பனவற்றிற்கு விகித சமமான நிறைகளையுடைய மூன்று சீரான கோல்கள் AB, BC, CD என்பன B, C என்பனவற்றிலே மூடப்பட்டு P, Q என்னும் இரு முளைக்கட்டைகளின் மீது தங்கிக்கொண்டு கிடை நிலையில் இருக்கின்றன ; B, C என்னும் மூட்டுக்களிலுள்ள தாக்கங்களைக் காண்க ; அன்றியும், அம்முளைக்கட்டைகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்
+6 ஆதல் வேண்டுமென்றுங் காட்டுக. 21+6 T2c46 " ஆதல் வேண்டுமென்றுங் க


Page 134
252
நிலையியல்
11. ஒவ்வொன்றும் a என்னும் நீளமுடைய AB, AC என்னும் இயல்பொத்த சீரான கோல்கள் A யில் ஒப்பமாக மூட்டப்பட்டிருக்கின்றன. 6 என்னும் நீளமுடைய BD என்னும் நிறையில் சட்டமொன்று B யில் ஒப்பமாக மூட்டப்பட்டு AC யின்மீது வழுக்குகின்ற ஓர் ஒப்ப மான வளையத்திற்கு D யில் இணைக்கப்படுகின்றது. அத்தொகுதி A யிலுள்ள ஓர் ஒப்பமான சிற்றாணியின்மீது தூக்கப்படுகின்றது. கோல் AC என்பது நிலைக்குத்தோடு
3
தான் -1-
என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமெனக் காட்டுக.
12. ABCD என்னும் ஒரு சதுரவுருவம் நான்கு சமமான சீரான கோல்களானவை மூட்டப்பட்டமையால் ஆக்கப்படுகின்றது ; அத்தொகுதி மூட்டு A யிலிருந்து தூக்கப்பட்டு A, C என்பனவற்றைத் தொடுக்கும் ஓரிழையினாற் சதுரவடிவில் வைத்திருக்கப்படுகின்றது; அவ் விழையின் இழுவை அந்நான்கு கோல்களினுடைய நிறையின் பங்கென்று காட்டுக. அன்றி யும், B, D என்னும் மூட்டுக்களிலுள்ள தாக்கங்களினுடைய திசையையும் பருமன்களையும் தனித்தனி காண்க.
13. நான்கு சமமான கோல்கள் ஒரு சாய்சதுரத்தை ஆக்கும் வண்ணம் ஒருங்கு மூட்டப்பட் டுள்ளன ; எதிர் மூட்டுக்களானவை மூலைவிட்டங்களை ஆக்குகின்ற இழைகளாலே தொடுக்கப்பட் டிருக்கின்றன ; முழுத்தொகுதியும் ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையின்மீது வைக்கப்படுகின்றது? அவற்றினுடைய இழுவைகள் அவற்றினுடைய நீளங்களைப் போன்ற அதே விகிதத்தில் இருக் கின்றன எனக் காட்டுக.
214. இழைப் பல்கோணி. இலேசான ஒரு நாணினுடைய முனைகள் இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டிருக்க, அந்நாணினுடைய வேறுவேறு புள்ளிகளிலே நிறைகள் இணைக்கப்பட்டால், அந்நாணினால் ஆக்கப்படும் உருவம் இழைப் பல்கோணி எனப்படும். (0, 0, என்பன அந்நாணினுடைய முனைகள் கட்டப்பட்ட இரு நிலை யான புள்ளிகளாகுக ; Al, A2,... A. என்பன ய,,,, ...., ஆகிய வற்றைத் தம் நிறைகளாகவுள்ள பொருள்கள் இணைக்கப்பட்ட அந்நாணி னுடைய புள்ளிகளாகுக. OA), A,A), A, A.,...A, O,, என்னும் பகுதி களுடைய நீளம் முறையே ,,a,, ag,...a+1 என்பனவாயும் கிடையுடன் அவற்றினுடைய சாய்வுகள் 41, 42,....... +1 என்பனவாயும் இருக்க.
.
W2
W)
h, k என்பன முறையே 0, 0), என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள கிடை, நிலைக்குத்துத் தூரங்களாகுக;

பலவினம்
253
ஆயின், எ, கோசை1ை+a, கோசை a2+.......+a + 1 கோசை am +1 =
h........... (1),
a, சைன் a+a,சைன் a2+... +an +1 சைன் on +1 = : ......................(2). T,, T,...T, +1 என்பன முறையே அந்நாண் பகுதிகளுடைய இழுவை களாகுக.
தொடர்ச்சியான அவ்வேறுவேறு நிறைகளின் சமநிலைக்கு நிலைக்குத்தாக வும் கிடையாகவும் துணிக்க,
T, சைன் - T,சைன் = ய , T, கோசைன - T கோசை 1 = 0, T, சைன் - T, சைன்க, = ய,, T, கோசை - T, கோசைன, = 0, T, சைன் - T, சைன் = 03, T, கோசைன - T, கோசை a = 0,
T. +,சைன் ap +1-T, சைன் = ய,, T+ கோசை ap +1-T,கோசை a =0.
15 43
| 101
இந்த 2ற சமன்பாடுகள் (1), (2) என்னும் சமன்பாடுகளோடு சேர்ந்து (m +1) தேராவிழுவைகளையும் (m + 1) தேராச் சாய்வுகளாகிய 1, 2, ....... a, +1 என்பனவற்றையுந் துணிதற்கு அறிமுறையளவிற் போதியன வாகும்.
அச்சமன்பாடுகளின் வலக்கை நிரலிலிருந்து, T, கோசை a =T, கோசை a = T, கோசை a =...=T +1 கோசை an +1
= K (என்க) ....... (3). ஆயின், அந்நாணின் இழுவையின் கிடைக் கூறு ஏகத்திற்கு ஒரு மாறிலி யாகும் ; அது K என்பதனாற் குறிக்கப்படும்.


Page 135
254
நிலையியல்
என்பனவற்றிற்கு அச்சமன்பாடு
(3) இல் இருந்து, 1,, T,,...T,+1 களின் இடக்கை நிரலிற் பிரதியிட,
தான் a2 - தான் aj = .
தான் a3 - தான் 32 =
தான்4- தான் =
W,
தான் an+1 - தான் ap = " என்பன பெறப்படும்.
அந்நிறைகள் எல்லாஞ் சமமாயின், அச்சமன்பாடுகளின் பின்னதாகிய நிரலினுடைய வலக்கையுறுப்புக்கள் எல்லாஞ் சமமாகும் ; இதிலிருந்து தான்a1, தான் a), ... தான் p+1 என்பன கூட்டல் விருத்தியில் இருக்கு மென்பது பெறப்படும்.
எனின், மேலுள்ளவாறு சமநிறைகளின் ஒரு தொகுதி ஒரு நாணி னுடைய வேறு வேறு புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டால், கிடையுடன் அந்நாணினுடைய தொடர்ச்சியான பகுதிகளுடைய சாய்வுகளின் தான் சன்கள் யாதுமொரு தொடுத்த துணிக்கையினது நிறையை அந்நாண்களின் மாறாக்கிடையிழுவையால் வகுக்க வரும் ஈவைத் 'தன் மாறா வித்தியாசமாக வுள்ள ஒரு கூட்டல் விருத்தியை ஆக்கும்.
Pu+1
215. வரைபமைப்பு. இழைப் பல்கோணியில், நாணினுடைய வேறு வேறு பகுதிகளுடைய சாய்வுகளானவை தரப்பட்டால், கேத்திரகணித அமைப்பால் ய) 02, ... ... என்பனவற்றினுடைய விகிதங்களை நாம் எளிதிற் பெறலாம்.
C என்பது யாதுமொரு புள்ளியாகுக; CD என்பது C யினூடாக வரைந்த கிடைக் கோடாகுக. CP,, CP,, ... CP +1 என்பனவற்றை OAL, A/A2, ... AO) என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக ; ஆயின், P,CD, P,CD ... என்பன முறையே 171, 32, ... என் னுங் கோணங்களாகும்.
இக்கோடுகளை D, Pl, P2 ....... என்பனவற்றில் வெட்டுன்ற யாதுமொரு நிலைக்குத்துக் கோட்டை வரைக.

பலவினம்
255
01
ஆயின், முந்திய பிரிவால்,
DP, DP, PP, = தான் a2 - தான் a1=7
- DP, DP, P,P: k= தான் 3- தான் a) =ா
| SIG
?'' "3 ?''' "2 -CD CD
CD'
இவ்வாறே பிறவும்.
எனின், கணியங்கள் K, ய,, 02,...ய, என்பன முறையே CD, P.P,, P,P3,...PP +1 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமாகும்; அதுபற்றி அவற்றி னுடைய விகிதங்களானவை தேரப்படும்.
CP, PI, CP:P,, ... என்பன முறையே A, A, ... என்பனவற்றிலுள்ள நிறைகளுக்கு விசை முக்கோணிகளாகும் என்பதிலிருந்தும் இம் முடிவு 'பெறப்படும்.
அதுபோல், மூட்டுக்களிலே தூக்கப்பட்ட நிறைகள் கொடுக்கப்பட, அந் நாண்களுள் எவையேனும் இரண்டினுடைய திசைகளுந் தேரப்பட்டால், ஏனையவற்றினுடைய திசைகளை நாம் துணியலாம். நாம் ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டை வரைந்து அதன் மீது Wi, W., ... என்பனவற்றிற்கு விகித சமமாக P.P, P, P., ... என்பனவற்றைக் குறிப்போம். OA), A,A, என்னும் நாண்களுடைய திசைகள் கொடுக்கப்பட்டால், P,0, P,0 என்பன வற்றை அவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைந்து அதுபற்றி 0 என்னும் புள்ளியைத் துணிவோம். 0 என்பதை P, P,,....... என்பனவற்றிற்குத் தொடுக்க ; ஆயின், ஏனை நாண்களுடைய திசைகளைப் பெறுவோம்.
216. மீள்தன்மையுள்ள இழைகளுடைய இழுவைகள். இந் நூல் முழு வதிலும் எம்மிழைகளும் நாண்களும் விரிக்கப்படத்தகாதவை எனக்கொண் டோம்; அதாவது, அவை தம் நீளத்தை மாற்றாது எவ்விழுவையையும்
தாங்கும்.
செய்முறையில், விரிதகவு பல வகைகளிலே மிகச் சிறியதாயும் புறக் கணிக்கப்படத்தக்கதாயும் இருந்தபோதிலும் எல்லாவிழைகளும் விரிக் கப்படத்தக்கவை. இழையின் விரிதகவு புறக்கணிக்கப்படத்தக்கதன் றெனின், இழையின் இழுவையை இழையின் விரிவின் அளவோடு தொடுக்கும் ஓர் எளிய பரிசோதனை விதி உண்டு. அதைப் பின்வரும் வடி வத்தில் உரைக்கலாம்.
மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழையின் இழுவை தன் இயல்பான நீளத்திற்கு அப்பாலுள்ள அவ்விழை விரிவுக்கு விகிதசமமாய் மாறும்.
ஓர் இழை இயல்பாய் ஓரடி நீளமுள்ளதெனக் கொள்க ; நீளம் 13 அங்குலமாயிருக்கும் போதுள்ள அதன் இழுவை நீளம் 15 அங்குலமாயிருக்கும் போதுள்ள அதன் இழுவைக்கு 13 - 12 : 15 -12, அதாவது 1: 3 ஆக இருக்கும்.


Page 136
256
நிலையியல்
இவ்விதி இவ்வண்ணமாகப் பரிசோதனையால் சரி பார்க்கப்படலாம் ; சுருளிவில்லொன்றை அல்லது இந்தியாறப்பர்ப் பட்டையொன்றை எடுக்க. ஒரு முனை A யை நிலையான புள்ளிக்குத் தொடுக்க ; மற்றை முனை B யிலே நிறைகளைத் தொடுக்க ; அந்நிறைகளால் விளைந்த விரிவுகளின் அளவுகளை நோக்குக. இவ்விரிவுகள் அந்நிறைகளுக்கு அண்ணளவாக விகிதசமமாகும் என்பது காணப்படும். பயன்பட்ட நிறைகளின் அளவு அவ்வில்லின் வலி மையை, அல்லது இந்தியாறப்பரின் வலிமையைச் சார்ந்து நிற்கவேண்டும். மிக்க பாரமானது அவ்வில்லை, அல்லது பட்டையைக் கெடுப்பதற்கு, அல்லது நிலைபேறாய் உருவழிப்பதற்குப் போதிய நிறையுள்ளதாயிருக்கக்கூடாது.
217. இழையின் இழுவை ஈர்க்கப்பட்ட அதன் நீளத்திற்கு விகிதசமமா காது , அதன் விரிவிற்கு விகிதசமமாகும் என்பதை மாணாக்கன் கவனமாக அவதானிக்கவேண்டும்.
மேற்றந்த விதி ஹக் (Hooke) என்பவரால் (கி.பி. 1635 - 1703). வெளியாக்கப்பட்டு "இழுவை எவ்வழி, விரிவும் அவ்வழி" என்னும் வடி வத்தில் அவரால் விவரிக்கப்பட்டது. அதிலிருந்து யாதுமொரு வகையி லுள்ள இழுவையைத் தருகின்ற ஒரு சூத்திரத்தை நாம் எளிதிற் பெறலாம்.
a என்பது ஓர் இழையின் ஈர்க்கப்படாத நீளமாகுக; அது ல என்னும் நீளங்கொள்ளுமாறு ஈர்க்கப்படும்போது T என்பது அதன் இழுவையாகுக.
இப்போது விரிவு ஐ - a ; விதி கூறுவது
Tc - ன. இது பொதுவாகப் பின்வரும் வடிவத்தில் உரைக்கப்படும்.
T=a." ".
இங்கு மாறலின் மாறிலி 4 ஆகும்.
கணியம் > என்பது அவ்விழையினது தடிப்பையும் அது செய்யப்பட்ட திரவியத்தையுமே சார்ந்து நிற்கும். அது அவ்விழையின் மீள்தன்மை மட்டு எனப்படும்.
அது ஒப்பமான ஒரு கிடை மேசையின்மீது வைக்கப்பட்ட அவ்விழையை அதன் இயல்பான நீளத்தின் இரு மடங்கிற்கு ஈர்க்கக்கூடிய விசைக்குச் சமன் ;
2ா, - .
0 = 20 ஆயின், இழுவை == / என்பதே அதற்குக் காரணம்.
க
எனினும், மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழையும் வரையறையில்லாத ஈர்ப் பைத் தாங்காது ; ஈர்க்கப்படுதலால் இழை ஒடியும் நிலையில் இருந்தால், அதன் இழுவை ஒடியுமிழுவை எனப்படும்.
ஹ க்கின் விதி உருக்குச் சட்டத்திற்கும் பிற சட்டங்களுக்கும் உண்மை யாகும் ; இவ்வகைகளில் அது உண்மையாகும் விரிவுகளாவன மிகச் சிறியன. நாம் ஒரு சட்டத்தை அதன் இயல்பான நீளத்தின் இரு மடங்குக்கு

பலவினம்
257
ஈர்த்தல் இயலாது. ஆனால், A என்பது அச்சட்டத்தை அதன் இயல்பான நீளத்தின் கண் பங்கால் விரிக்கும் விசையின் 100 மடங்காகும். 2-0 = கல்
ஆயின், T = என்பதே அதற்குக் காரணம்.
அன்றியும் T யின் பெறுமானம் அச்சட்டத்தினது தடிப்பையுஞ் சாரும் ; அச்சட்டம் ஒரு சதுரவங்குல வெட்டுமுகங் கொண்டதாக வழக்கமாகக் கொள் ளப்படும். இவ்வண்ணம் ஓர் உருக்குச் சட்டத்தின் மீள்தன்மைக் குணகம் ஏறத்தாழச் சதுரவங்குலத்திற்கு 13,500 தொன்னாகும்.
பிரிவு 134 இல் உள்ள முறையால், மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழையை ஈர்த்தற்கண்ணே செய்யப்படும் வேலையானது விரிவை ஆரம்ப இறுதி யிழுவைகளின் சராசரியாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
உ-ம். ABC என்பது மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழை ; அது A என்னும் நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து நிலைக்குத்தாகத் தூங்குகின்றது; B, C என்பனவற்றில், முறையே 2w, W என்னும் நிறைகளுடைய துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அவ்விழையின் மீள்தன் மைக் குணகம் 3W ஆயின், அவ்விழைப் பகுதிகளுடைய ஈர்க்கப்பட்ட நீளங்கள் ஈர்க்கப்படாத நீளங்களோடு கொள்ளும் விகிதத்தைக் காண்க.
C, C1, என்பன AB, BC என்பனவற்றினுடைய
ஈர்க்கப்படாத நீளங்களாகுக; ஐ, ! என்பன அவற்றினுடைய ஈர்க்கப்பட்ட நீளங்களாகுக.
T, T. என்பன அவற்றினுடைய இழுவைகளாகுக ; ஆயின்,
T= * = 3w" ', T, = = w' "
டயட்
B, C என்பனவற்றின் சமநிலையில் இருந்து,
T-T, = 2W, T, = W என்பன. எனின்,
T = 3W. 3w" = 30. 3w' = W.
ஃல = 20, y = 4, ஆயின், ஈர்க்கப்பட்ட நீளங்களானவை முறையே இயல்பான நீளங்களுடைய இரு மடங்கும் மூன்றில் நாலு மடங்குமாகும்.
பயிற்சி XXXVII
1. ABC என்பது A யில் ஒரு நிலையான புள்ளிக்குக் கட்டப்பட்ட ஓர் இழை ; அதன் மீள் தன்மை குணகம் 4W. B, C என்பனவற்றில் ஒவ்வொன்றும் W விற்குச் சமனான நிறைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; AB, BC என்பன அவற்றினுடைய ஈர்க்கப்படாத நீளங்கள், ஒவ்


Page 137
258
நிலையியல்
வொன்றும் C யிற்குச் சமன். அவ்விழையும் பொருள்களும் சம நிலையில் ஒரு நிலைக்குத்து நிலையை ஏற்றால், AB, BC என்பனவற்றினுடைய ஈர்க்கப்பட்ட நீளங்களானவை முறையே cே, 40, என்பனவென்று காட்டுக.
2. மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழை ஒரே கிடைத் தளத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்குத் தன்னுடைய முனைகள் இணைக்கப்பட்டனவாய்க் கிடக்கின்றது; தொடக்கத்தில், அது மட்டான இறுக்கத்தோடு ஈர்க்கப்படாததாய் இருக்கின்றது ; W என்னும் நிறையுடைய ஒரு துணிக்கை அவ்விழையின், மையத்திற் கட்டப்படுகின்றது ; மீள்தன்மைக் குணகம் , ஆயின், சம நிலை எய்தும் நிலையில் அவ்விழையினுடைய இரு பகுதிகளும் ஒன்றுக்கொன்று 60° கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கு மெனக் காட்டுக.
.. முந்திய வினாவில், 2a என்பது அவ்விரு புள்ளிகளுக்கு மிடையேயுள்ள தூரமாயும், 2c என்பது அவ்விழையின் ஈர்க்கப்படாத நீளமாயும், > என்பது மீள்தன்மைக் குணகமாயும் இருந்தால், நிலைக்குத்திற்கு அவ்விழைகளுடைய சாய்வு 0 என்பது
W
: தான் 0 + சைன் 0 = -
என்பதாலே தரப்படும் எனக் காட்டுக.
4. கரடான ஒரு சாய்தளத்தின்மீது ஒரு பொருள் ஓய்விலிருக்கின்றது ; கிடையுடன் அத் தளத்தின் சாய்வு என்பது உராய்வுக் கோணம் என்பதிலும் பெரிது ; அப்பொருளானது மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழையினாலே தனக்கும் அத்தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் தொடுக்கப் பட்ட மீள்தன்மையிழை ஒன்றாலே ஓய்விற் பிடிக்கப்பட்டிருக்கின்றது. மீள்தன்மைக் குணகம் அப்பொருளினது நிறைக்குச் சமனாயின், சம நிலை எய்தும் நிலையில், அவ்விழையினது நீளம் ஆரம்பத்திலுள்ள அதன் நீளத்திற்கு
- 1 +சைன் (az-N). சீக) என்னும் விகிதமெனக் காட்டுக. 5. மூட்டப்பட்ட நான்கு சமகோல்கள் எதிர்ப் புள்ளியோடு மீள்தன்மையுள்ள ஓர் இழை யினாலே தொடுக்கப்பட்ட ஒரு கோணப்புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்படுகின்றன ; அக்கோல்கள் ஒவ் வொன்றும் a. நீளமுடையது. அவ்விழையின் மீள்தன்மைக் குணகம் ஒரு கோலினது நிறைக்குச் சமனாயிருக்க, அக்கோல்கள் சதுர வடிவிலே தூங்குமாயின், அவ்விழையின்
- a20 ஈர்க்கப்படாத நீளம் -- எனக் காட்டுக.
6. மீள்தன்மையுள்ள நாண் ஒன்றினது இயல்பான நீளம் 10 அங்குலம் ; அந் நாண் 5 இறா. நிறை விசையினால் 15 அங்குல நீளத்திற்கு ஈர்க்கப்பட்டதாய் வைக்கப்படலாம் ; 12 அங்குல நீளத்திலிருந்து 15 அங்குல நீளத்திற்கு அதனை ஈர்த்தற்கண் செய்யப்படும் வேலையின் அளவைக் காண்க.
7. ஒரு சுருளிவில்லை, ஓர் அங்குலம் ஈர்த்தற்கு ஓர் இறா. நிறை விசை வேண்டப்படும் ; இன்னும் மூன்றங்குலம் ஈர்த்தற்கண் எவ்வளவு வேலை செய்யப்படும்?
வரைபமைப்புக்கள் 258. ஒருதள விசைகளின் யாதுமொரு தொகையின் விளையுளைக் காணல். தம் தாக்கக் கோடுகள் இடப்புறப் படத்தில் இருப்பவை போலுள்ள P, Q, R, S என்பன அவ்விசைகள் ஆகுக.
ABCDE என்னும் உருவத்தை அதனுடைய பக்கங்கள், AB, BC, CD, DE என்பன முறையே P, Q, R, S என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும்

பலவினம்
259
விகிதசமமாயும் இருக்கும்படி வரைக. AE என்பதைத் தொடுக்க ; ஆயின், விசைப் பல்கோணியால் AE என்பது பருமனிலும் திசையிலும் வேண்டிய விளையுளைக் குறிக்கும்.
R
/4
7' - / *
----
• யாதுமொரு புள்ளி 0 என்பதை எடுத்து அதனை A, B, C, D, E என்பனவற்றிற்குத் தொடுக்க; இத்தொடுக்குங் கோடுகளினுடைய நீளம் முறையே a, b, c, d, e என்பனவாகுக.
P யினது தாக்கக்கோட்டில் யாதுமொரு புள்ளி என்பதை எடுக்க ; a8 என்பதை BO விற்குச் சமாந்தரமாய் Q வை 8 விற் சந்திக்கும் படியும், By என்பதை CO விற்குச் சமாந்தரமாய் R என்பதை y விற் சந்திக்கும்படியும், அம் என்பதை DO விற்குச் சமாந்தரமாய் S என்பதை 8 விற் சந்திக்கும்படியும் வரைக.
8, என்பனவற்றிற்கூடாகக் கோடுகளை முறையே EO, OA என்பன வற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் 6 இற் சந்திக்கும்படி வரைக. - 6 இனூடாக 6L என்பதை AE யிற்குச் சமாந்தரமாயுஞ் சமனாயும் வரைக. ஆயின், P என்பதை AB குறிக்கும் அதேயளவுத்திட்டத்தில், CL, என்பது பருமனிலுந் தாக்கக் கோட்டிலும் வேண்டிய விளையுளைக்
குறிக்கும். இதனை நிறுவுவோம் :
P என்பது AB யாற் குறிக்கப்படுகின்றமையால் A0, OB என்பனவற் றாற் குறிக்கப்படும் விசைகளுக்குச் சமன் ; ஆகவே, அது எa, லே என்னுந் திசைகளிலே a, 6 என்பனவற்றிற்குச் சமமான விசைகளாலே பதிலிடப் படலாம். அவ்வாறே Q என்பது எதி, ஒ8 என்னுந் திசைகளில் 6, 0 'என்பனவற்றாலும், R என்பது yே, 0y என்னுந் திசைகளில் C, என்பன வற்றாலும், S என்பது ye,6 என்னுந் திசைகளில் d, e என்னும் விசைகளாலும் பதிலிடப்படலாம்.
ஆகவே, P, Q, R, S என்னும் விசைகள் aeye, என்னும் உருவப் பக்கங்களுடைய நீளத்திற்குத் தாக்குகின்ற விசைகளாலே பதிலிடப் பட்டன் : அவ்விசைகளுள் an, By, v் என்பனவற்றினுடைய நீளத்திற்
குத் தாக்குகின்ற விசைகள் சம நிலை எய்துகின்றன.


Page 138
260
நிலையியல்
எனின், AO, AE என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் சமனாயும் உள்ள விசைகள் 6 என்பதில் விடுபட்டுள்ளன; அவற்றின் விளையுள் AE ஆகும்.
CL என்பது AE யிற்குச் சமாந்தரமாயும் சமனாயும் வரையப்பட்டிருக் கின்றமையால், அது வேண்டிய விளையுளைப் பருமனிலுந் தாக்கக் கோட்டி
லுங் குறிக்கும்.
ABCDE என்பதுபோன்ற படம் விசைப் பல்கோணி எனப்படும் ; ayes என்பதுபோன்ற உருவம் சமநிலையில் உள்ள இழைத் தொகுதியொன் றைக் குறிக்கின்றமையால் இழைப் பல்கோணியெனப்படும்; அதனை நாண் பல்கோணியெனினும் அமையும்.
219. அவ்விசைப் பல்கோணியின் புள்ளி E ஆனது புள்ளி A யோடு • பொருந்தினால், அது மூடுகின்றதெனப்படும் ; ஆயின், விளையுள் பூச்சிய மாகும்.
விசைப் பல்கோணி மூட, இழைப் பல்கோணி மூடாதாயின், அதாவது 8co. என்பது ஒரு நேர் கோடன்றெனின், 6, a என்பனவற்றில் OE, A0 என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய்த் தாக்குகின்ற விசைகள் விடப்படும் ; அதாவது இவ்வகையில், சமனுமெதிருமாய் ஓர் இணையை ஆக்கும் இரு சமாந்தர விசைகள் விடப்படும்.
எனினும், அவ்விழைப் பல்கோணியும் மூடினால் , sa என்பது ஒரு நேர். கோடாகும் ; சமனு மெதிருஞ் சமாந்தரமாயுமுள்ள இவ்விரு விசைகளும் இப்பொழுது ஒரே நேர் கோட்டிலிருந்து சமநிலை எய்தும்.
எனின், P, Q, R, S என்னும் விசைகள் சமநிலையில் இருந்தால், விசையிழைப் பல்கோணிகள் இரண்டும் மூடல்வேண்டும்.
220. அவ்விசைகள் சமாந்தரமாயின், அமைப்பு முந்திய பிரிவிலுள்ள தைப்போன்றது. இங்கு சேர்க்கப்பட்ட படம் விசைகள் சமாந்தரமாயும்
ஐந்து விசைகளுள் இரண்டு ஏனை மூன்றிற்கு எதிர்த் திசையாயும் உள்ள வகைக்கு வரையப்பட்டுள்ளது.

பலவினம்
261
P, R, S என்பன ஒரே திசையில் இருக்கின்றமையால், AB, CD, DE என்பன ஒரு திசையிலும், Q வையும் T யையும் குறிக்கும் BC, EF என்பன எதிர்த் திசையிலுமாக இருக்கின்றன.
இவ்வமைப்பின் நிறுவல் முந்திய பிரிவிலுள்ளது போன்றது. AF என்பதற்குச் சமனுஞ் சமாந்தரமாயுள்ள [L என்னுங் கோடு பருமன், தாக்கக்கோடு என்னும் இரண்டிலும் வேண்டிய விளையுளைக் குறிக்கும்.
இவ்வமைப்பு ஒரு தொகை நிறைகளின் விளையுள் நிறையைக் காண் பதற்குப் பொருந்தும் என்பது தெளிவு.
221. முனைகளிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்ட இலேசான கோல்களாலாய ஒரு மூடிய பல் கோணி சமநிலையிலிருக்கின்ற மூட்டுக்களிலே தாக்குகின்ற ஒரு தந்த விசைத் தொகுதியி
/P.
As/
A',
A14;
L)
னாலே தாக்கப்படுகின்றது ; அக்கோல்களின் வழியே தாக்குகின்ற தாக்கங்களைக் காணல்.
A,A), A, A .,...AA, என்பன தம்முனைகளிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்ட ஐந்து கோல்களின் ஒரு தொகுதியாகு ; அம் மூட்டுக்களில் PI, P, P, P,, P5 என்னுந் தந்த விசைகள் படத்திலுள்ளவாறு தாக்குக.
அக்கோல்களின் வழியே ஏற்பட்ட தாக்கங்கள் உருவத்திற் குறித்த வாறு t), t2, 63, 64, t என்பனவாகுக.
aa,a,a,ax என்னும் ஐங்கோணியை Pl, P2,... P; என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் விகிதசமமாயுமுள்ள பக்கங்களைக் கொள்ளும் வண்ணம் வரைக. விசைகள் சம நிலையில் இருக்கின்றமையால், இப்பல்கோணி ஒரு மூடியவுருவமாகும்.
a, என்பதற்கூடாக a,0 என்பதை AA2 இற்குச் சமாந்தரமாயும், as என்பதற்கூடாக a O என்பதை AA) இற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைக.
இப்பொழுது agoa, என்னும் முக்கோணியில், அதனுடைய பக்கங்கள் A) என்னும் மூட்டிலே தாக்குகின்ற P,,t, ts என்னும் விசைகளுக்குச் சமாந்தரம். ஆகவே, அப்பக்கங்கள் இவ்விசைகளுக்குச் சமாந்தரம் எனின் aa, என்பது P, என்பதைக் குறிக்கின்ற அதே அளவுத்திட்டத்தில், Oas, a,0 என்பன ts, t1 என்பனவற்றைக் குறிக்கும்.


Page 139
262
நிலையியல்
002, O,, 00, என்பனவற்றைத் தொடுக்க. a,02, Oa1, என்னும் பக்கங்கள் A, இலே தாக்குகின்ற Pa, t) என்னும் விசையிரண்டைக் குறிக்கின்றன. எனின், a, 0a, என்னும் முக்கோணியை முடிக்கின்ற a,0 என்பது பருமனிலும் திசையிலும் , என்னும் மூன்றாம் விசையைக் குறிக்கும்.
அதுபோல், கை,, 00, என்பன முறையே,,, என்பனவற்றைக் குறிக்கும். ஆகவே, Oa, Oa,, Oa, Oa, Oa என்பன அச்சட்டப்படலினுடைய பக்கங்கள் வழியே தாக்குகின்ற விசைகளைப் பருமனிலும் திசைகளிலும் குறிக்கும். aaaaa 5 என்னும் உருவம் விசைப் பல்கோணி எனப்படும்.
அச்சட்டப்படலில் எத்தனை பக்கங்கள் இருந்தாலும் இது போன்ற அமைப்புப் பொருந்தும்.
222. முந்திய பிரிவிலுள்ள உருவமும் அமைப்பும் உண்மையாகப் பிரிவு 218 இல் உள்ளவற்றிற்குச் சமானமாகுமென்பது தெளிவு.
வலப்புறப் படம் a, 0, a, O, ... என்பன வழியே தாக்கும் விசைகளால் மூட்டுக்களிலே தாக்கப்படுகின்ற aa,, aa, aவது... என்னுங் கோல்களின் சட்டப்படல் ஒன்றைக் குறித்தால், A,A), A,A... என்பன முறையே 6,0, a,0... என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாகையால், இடப்புறப் படத்திலுள்ள ATA,A.A.A, என்னும் பல்கோணி அதன் விசைப் பல்கோணியாகும் என்பது தெளிவு.
எனின், இவ்விரு பல்கோணிகளுள் எதனையும் சட்டப்படலாய், அல்லது இழைப் பல்கோணியாய்க் கொள்ளலாம்; ஆயின், மற்றையது விசைப் பல் கோணியாகும். இந்நிமித்தமாக அத்தகைய உருவங்கள் நிகர்மாற்
றானவை (reciprocal) எனப்படும்.
வேறோர் உதாரணமாகச் சமநிலையில் இருக்கின்றனவும், a,aa என்பதை விசைப் பல்கோணியாகக் கொள்கின்றனவுமான PP, P: என்னும் மூன்று விசைகளாலே மூட்டுக்களின்மீது தாக்கப்படுகின்ற ஒரு முக்கோணிச் சட் டப்படலைத் தருகின்றோம் ; மறுதலையாக, AAA என்பது T,, T2, IT,
| A|
> ”.
T3/T,
--1)
P)
P:

பலவினம்
263
என்னும் விசைகளாலே தாக்கப்படுகின்ற aa,a, என்னும் முக்கோணிக்கு விசைப் பல்கோணியாகும்.
223. உ-ம். 1. ABCD என்னும் ஒரு சட்டப்படல் AC என்னும் ஓர் உதைகாலால் உரப்பாக்கிய இலேசான கோல்களால் அமைந்துள்ளது ; அது A, B என்பனவற்றிலே தாங்கி களால் ஒரு நிலைக்குத்துக்குத் தளத்திலே AB என்பது கிடையாக இருக்குமாறு தாங்கப்படு கின்றது ; AB, BC, CD, DA என்பன முறையே 4,3,2,3 அடி நீளமானவை; அன்றியும், AB, CD என்பன சமாந்தரமாயும், AD, BC என்பன AB யிற்குச் சமசாய்வுள்ளனவாயும் இருக்கின்றன. C, D என்பனவற்றிலே முறையே 5, 10 அந்தர் நிறைகள் வைக்கப்பட்டால் A, B என்பனவற்றிலுள்ள தாங்கிகளினுடைய மறுதாக்கங்களையும் அச்சட்டப்படலினுடைய வேறு வேறு பகுதிகளால் உஞற்றப்பட்ட விசைகளையுங் காண்க.
அப்பக்கங்களிலுள்ள விசைகள் உருவத்திற் குறித்தவாறு இருக்கட்டும் ; P, Q என்பன A, B யிலுள்ள மறுதாக்கங்கள் ஆகும்.
* ப '
D யிலுள்ள 10 அந்தர் நிறையைக் குறிப்பதற்கு 5 அங்குல நீளமான as என்னும் ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டை வரைக ; அன்றியும், வலி என்பதை AD யிற்குச் சமாந்தரமாயும் 38 என்பதை CD என்பதற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைக.
ஆயின், a் என்பது D என்னும் மூட்டிற்கு விசை முக்கோணியாகும் ; D யிலுள்ள விசைகள் உருவத்திற் குறிக்கப்பட்ட திசைகளில் இருத்தல் வேண்டும்.
சட்டம் DC யில் C யிலுள்ள விசை DC அல்லது CD வழியேயும் அதே சட்டத்தில் D யிலுள்ள விசை CD அல்லது DC வழியேயும் இருத்தல் வேண்டும் என்பதை அவதானிக்க.
[இது ஒரு முக்கியமான பொதுத் தத்துவம் ; தகைப்புக்குட்பட்ட யாதுமொரு சட்டம் தன்னை அமுக்கும் இயல்பை, அல்லது ஈர்க்கும் இயல்பை எதிர்க்கும்.)
முதலாம் வகையில், ஒவ்வொரு முனையிலுமுள்ள தாக்கம் அதன் மையத்திலிருந்து முனைகளின் முகமாக இருக்கும்; இங்கு அது உதைப்பு எனப்படும் ; இரண்டாம் வகையில், அது மையமுகமாக இருக்கும் ; அது இழுவை எனப்படும்.


Page 140
264
நிலையியல்
இவ்விரண்டு வகைகளுள் எதன்கண்ணும் அக்கோல்களுடைய இரு முனைகளிலுமுள்ள தாக்கங்கள் சமனுமெதிருமாக இருக்கும்).
er என்பதை 23 அங்குலத்திற்குச் சமனாயும் நிலைக்குத் தாயும் C யிலுள்ள நிறையைக் குறிக்கும்பொருட்டு வரைக. re என்பதை BC என்பதற்கும், eே என்பதை AC என்பதற் குஞ் சமாந்தரமாய் வரைக. ஆயின், 63r என்பது C என்னும் மூட்டிற்கு விசைப் பல் கோணியாகும் ; ஆயின், C யிலுள்ள தாக்கங்கள் உருவத்திற் குறிக்கப்பட்டவாறு இருக்கும்.
ar என்பதை இற் சந்திக்குமாறு ' என்பதைக் கிடையாக வரைக. ஆயின், 27 என்பது B யிற்கு விசை முக்கோணியாகும்; ஆயின் Q என்னும் மறு தாக்கம் என்பதாலும் T, என்பது 8 ஆலுங் குறிக்கப்படும்.
இறுதியாக, A என்னும் மூட்டிற்கு Bean என்னும் பல்கோணி உண்டு; ஆயின், P என்பது ' என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
அளத்தலால் அங்குலத்திலே ,
( = 1•10, re = 3:31, 88 = 1-77, aே = 5.30, 3e = '91,
r( = 3:125,a = 4:375 ஆகும். எனின், ஓர் அங்குலம் 2 அந்தரைக் குறிப்பதால் அந்தரிலே
T, = 2•20, T, = 6•62, T, = 3.54, T. = 10•6, T, = 1•82
Q= 6:25, P = 8.75 ஆகும். AB, AC என்னுஞ் சட்டங்கள் இழுவை நிலையில் இருப்பனவாக அவதானிக்கப்படும் ; அதாவது அவை இழுவைகளாகும் ; அச்சட்டப்படலின் ஏனைய சட்டங்கள் அமுக்க நிலையில் இருக்கும் ; அதாவது அவை உதைப்புக்களாகும்.
P, Q என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் அடுத்த உதாரணத்திலுள்ள R, S என்பன காணப்படுமாறு பிரிவு 220 இலுள்ள அமைப்பாலுங் காணப்படலாம்.
உ-ம். 2. ஒரு வாரன் கேடரின் ஒரு பகுதி ABC, CBD, CDE என்னுஞ் சமபக்க முக் கோணி மூன்றினாலாய ஓர் இலேசான சட்டத்தால் அமைந்திருக்கின்றது ; அது A, E என்பன வற்றிலே தாங்கப்பட்டு ACE என்பது கிடையாக இருக்கும்படி கிடக்கின்றது. 2, 1 தொன் சுமைகள் B, D என்பனவற்றிலே தூக்கப்பட்டிருக்கின்றன. பல்வேறு உறுப்புக்களிலு
முள்ள தகைப்புக்களைக் காண்க.
8_ T3)
மெ ற
( 1
, TS T6:.. 148 ( 6 8.12
a8, er என்பனவற்றை முறையே 2, 1 அங்குலங்களுக்குச் சமமாய் நிலைக்குத்தில் வரைக ; அவை 2 தொன், 1 தொன் என்பனவற்றைக் குறிக்க. யாதும் ஒரு முனைவு () என்பதை எடுக்க ; Oa, 00, 07 என்பனவற்றைத் தொடுக்க.

பலவினம்
265
2 தொன் நிறையினது தாக்கக் கோட்டின்மீது என்னும் ஒரு புள்ளியை எடுக்க ; ud என்பதை a0 விற்குச் சமாந்தரமாய் R என்னும் மறுதாக்கத்தை d யிற் சந்திக்கும்படி வரைக ; பின்னர் ab என்பதை 30 யிற்குச் சமாந்தரமாய் D யினூடாகச் செல்லும் நிலைக் குத்தை 6 யிற் சந்திக்கும்படி வரைக ; அதன்பின் bc என்பதை 70 விற்குச் சமாந்தரமாய் S என்பதை C யிற் சந்திக்கும்படி வரைக. cd என்பதைத் தொடுக்க. (08 என்பதை cd யிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைந்தால்) are என்னும் விசைப் பல்கோணிக்கு (இங்கு அது ஒரு நேர் கோடாயிருக்கின்றது) abcd என்பது இழைப் பல்கோணியாகும். எனின், பி என்பது R ஐயும் 7ம் என்பது S ஐயுங் குறிக்கும்.
அக்கோல்களால் உஞற்றப்பட்ட விசைகள் உதைப்புக்களாயினென் இழுவைகளாயினென் உருவத்திற் குறிக்கப்பட்டமைபோல் T, T,,... என்பனவாகும்.
eே என்பதை CA யிற்குச் சமாந்தரமாயும் as என்பதை AB யிற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைக ; ஆயின், ae என்பது A என்னும் மூட்டிற்கு விசை முக்கோணியாகும் ; ஆகவே, ae, et என்பன T,, T, என்பனவற்றைக் குறிக்கும்..
87, 8, என்பனவற்றை முறையே BC, BD என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக. ஆயின், eae என்பது B என்னும் மூட்டிற்கு விசைப் பல்கோணியாகும் ; ஆகவே, T, T, > என்பன முறையே 2, 3 என்பனவற்றாலே தரப்படும்.
80 வை DC யிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக ; ஆயின், be(9 என்பது C என்னும் மூட்டிற்கு விசைப் பல்கோணியாகும்; எனின், (0, 08 என்பன Ti, T. என்பனவற்றைக் குறிக்கும்.
rt என்பதை DC யிற்குச் சமாந்தரமாய் நீட்டிய ' என்பதை இற் சந்திக்குமாறு வரைக ; ஆயின், (8rt என்பது D என்னும் மூட்டிற்கு விசைப் பல்கோணியாகும் ; ஆகவே , என்பன முறையே Ta, T, என்பனவற்றைக் குறிக்கும் ; (Yt என்பது 80 என் பதற்குச் சமனுமெதிருமாதல் வேண்டுமென்பது பெறப்படும் ; எனின், 40 என்பது 18 என்ப தற்குச் சமனுமெதிருமாதல் வேண்டும் ; ஆகவே அது S என்பதைக் குறிக்கும்.)
இறுதியாக, 107 என்பது E என்னும் மூட்டிற்கு விசை முக்கோணியாகும். எனின், மீ, 87, eo, ca, 18, e', (0, 68, என்பனவற்றை அங்குலத்தில் அளந்தோமானால், R, S, T,, T,, T,, T, T, Ta, T, என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைத் தொன் நிறையிற் பெறுவோம்.
அவை முறையே 1-75, 1•25, 1•01, 2•02, '87, 29, 72, '29, 1:44 தொன் நிறை களெனக் காணப்படுகின்றன.
படத்திலிருந்து AC, CE, CD என்பன இழுவைகளென்றும் ஏனையவை உதைப்புக்க ளென்றுந் தெளிவாய் அறியலாம்.
பயிற்சி XXXVIII
(பின்வருவன வரைபு முறையாலே தீர்க்கப்படல் வேண்டும்.) 1. 30 இறா. நிறையுள்ள ABC என்னும் சீரான முக்கோணித் தகடொன்று B யிலுள்ள ஒரு பிணையல் பற்றி ஒரு நிலைகுத்துத் தளத்திலே திரும்பத்தக்கது ; அது BC யின் மையத் தில் வைக்கப்பட்ட ஒரு முளைக்கட்டையால் AB என்னும் பக்கம் கிடையாக இருக்கும்படி தாங் கப்படுகின்றது. பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பன முறையே 6, 5, 4 அடி நீளமாயின், அத் தாங்கியின் மீதுள்ள அமுக்கத்தையும் பிணையல் மீதுள்ள விகாரத்தையுங் காண்க.
1. 30 அடி நீளமான சீரான ஏணியொன்று ஒரு முனை ஒப்பமான ஒரு சுவர்மீதும் மற்றைய முனை ஒப்பமில்லாத தரைமீதும் கிடக்க ஓய்விலிருக்கின்றது ; சுவரிலிருந்து அத னடியினது தூரம் 10 அடி ; அவ்வேணியினது நிறை 150 இறா. ஆயின் (1) அவ்வேணிமீது


Page 141
266
நிலையியல்
மேலதிகமான நிறை இல்லாதபோது, (2) 1 அந்தர் நிறை கீழிருந்து மேன்முகமாக 3 பங்கு தூரத்தில் வைக்கப்படும்போது, அவ்வேணியின் அடிமீது தரையால் உஞற்றப்படும் விளையுள் விசையைக் காண்க.
3. கிடையுடன் 45° இற் சாய்ந்துள்ள ஒரு சாய்தளத்தின்மீது மேன்முகமாக 10 இறா. திணிவொன்றை இயக்கத் தொடக்குதற்கு 10 இறா. நிறைக்குச் சமமான ஒரு விசை அத் தளத்தின்வழியே தாக்கவேண்டுமென்று பரிசோதனையாற் காணப்படுகின்றது ; அத்திணிவிற்
குந் தளத்திற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகத்தைக் காண்க.
4. 5.05 இறா., 4:24 இறா., 3•85 இறா. என்னும் நிறைகளுக்கு முறையே சமமான மூன்று விசைகள் ஒப்பமான ஒரு இடை மேசையின்மீது கிடக்கின்ற ஒரு தட்டைத் தட்டிலுள்ள மூன்று தந்த புள்ளிகளிலே தாக்குகின்றன. கேத்திரகணித அமைப்பினால், அத்தட்டுச் சம் நிலையில் இருக்குமாறு அவ்விசைகளை வைக்க ; அவை ஒன்றோடொன்று ஆக்குங்கோணம் ஒவ்வொன்றிலுமுள்ள பாகைத் தொகையைக் காண்க.
5. ABCD என்பதைத் தன் புவியீர்ப்பு மையத்தினூடாகச் செல்லுஞ் சமச்சீர் வெட்டுமுக மாய்க்கொண்ட சீரான செவ்வகக் குற்றியொன்று CD என்பது காட்டுக் கிடைத் தளம் ஒன்றோடு (( = 4) தொட்டுக் கொண்டிருக்கும்படி ஓய்விற் கிடக்கின்றது ; அக்குற்றியினது நிறை 40 இறா. 10 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒருவிசை D யில் CD என்னுந் திசையிலே தாக்குகின்றது; BC, CD என்பனவற்றினுடைய நீளம் முறையே 3, 5 அடிகளாயின், மூலைவிட்டம் DB யிற்குச் சமாந்தரமாய் CB யின் மையத்தில் பிரயோகிக்கப்பட அக்குற்றியை இயக்கும் மிகச் சிறிய விசையின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
6. :3 இல் 1 என்னுஞ் சாய்வையும் என்னும் உராய்வுக் குணகத்தையும் உடைய காட்டுத் தளமொன்றின்மீது 100 இறா. நிறையுள்ள பொருளொன்று கிடக்கின்றது ; அத்தளத்தோடு 40° கோணத்தில் ஒரு விசையானது அப்பொருளின்மீது தாக்க அப்பொருள் அத்தளத் தின்மீது மேன்முகமாக இழுக்கப்படு நிலையில் இருக்குமாயின், அவ்விசையின் பருமனைக் காண்க. அன்றியும், அத்தளத்தோடு 40° கோணத்தில் ஒரு விசை அப்பொருளின்மீது தாக்க அப்பொருள் அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக இழுக்கப்படு நிலையில் இருக்குமாயின் அவ் விசையின் பருமனையும் காண்க. - 7. ABC என்பது தன்னுடைய பக்கங்கள் AB, BC, CA என்பன முறையே 12, 10, 15 அங்குல நீளமான ஒரு முக்கோணி. BD என்பது B யிலிருந்து CA யிற்கு வரைந்த செங்குத்து. விசையிழைப் பல்கோணிகளாற் பின்வரும் விசைகளின் விளையுளின் பருமனை யும் தாக்கக் கோட்டையுங் காண்க ; A யிலிருந்து C யிற்கு 8, 0 யிலிருந்து B யிற்கு 8, B யிலிருந்து A யிற்கு 3, B யிலிருந்து D யிற்கு 2.
8. AB என்பது 3 அடி நீளமான ஒரு நேர் கோடு ; A, B என்பனவற்றிலே முறையே 7 அந்., 5 அந். என்பனவற்றுக்குச் சமானமாயும் (1) நிகர்த்தனவாயும் (2) நிகராதனவாயும் உள்ள சமாந்தர விசைகளானவை தாக்குகின்றன ; ஒவ்வொரு வகைக்கும், அவற்றின் விளையுள் AB என்பதைச் சந்திக்கும் புள்ளி D யினது நிலையைக் காண்க ; A யிலிருந்து அதனுடைய தூரத்தை அளக்க.
9. 2, 4, 3 அந்தர் சுமைகள் 10 அடி நீளமான ஒரு வளையில் அதன் முளையொன்றிலிருந்து 1 அடி, 3 அடி, 7 அடி என்னுந் தூரங்களில் வைக்கப்படுகின்றன. செம்மையாய் வரைதலால் விளையுளினது தாக்கக் கோட்டைக் காண்க.
10. 20 அடி நீளமான ஒரு இடை வளை தன்னுடைய முனைகளிலே தாங்கப்பட்டு 3, 2, 3, 4 அந்தர்களை முறையே ஒரு முனையிலிருந்து 3, 7, 12, 15 அடி தூரங்களிற் காவு கின்றது. ஓர் இழைப் பல்கோணியால் அதனுடைய முனையிரண்டிலும் உள்ள உதைப்புக்களைக் காண்க. 11.
மூட்டப்பட்ட கோல்களாலாய ABC என்னும் ஒரு முக்கோணிச் சட்டம் A யிற் செங் (கோணமுள்ளதாய் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே A பற்றித் திரும்பத்தக்கது. AB என்னும் ப4 4ம் இடையாகக் கிடக்க, C என்னும் மூலை A யிற்குக் கீழே ஒப்பமான ஒரு நிலைக்குத்து

பலவினம்
267
நிறுத்திக் கெதிராக ஓய்விற் கிடக்கின்றது. AB = 3 அடி. AC = 1 அடியாயின், B யில் 50 இறா. என்னும் ஒரு நிறை தூக்கப்படும் பொழுது அவ்வெவ்வேறு சட்டங்களிலுள்ள தகைப்புக்களை வரைபு முறையாற் காண்க.
12. 1, 2, 4, 4 இறா. நிறைகளுக்குச் சமமான விசைகளானவை முறையே ஒரு சதுரத்தி னுடைய பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA என்பன வழியே தாக்குகின்றன. அவற்றின் விளையுள் CG = BC ஆயுள்ள G யிலே நீட்டிய BC என்பதை வெட்டி CB யிற்கு தான்-12 என்பதிற் சாய்ந்த ஒரு திசையில் 3.6 இறா. நிறையென நிறுவுக . - 13. AC, CB என்பன ஒன்றுக்கொன்று 400 இற் சாய்ந்துள்ள இரு சம் வளைகள் வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்குப் போதிய அளவு கரடுமுரடான தரையின்மீது A, B என்னும் முனைகள் கிடக்க, ACB என்னுந் தளந் தரைக்கு 70° கோணத்திற் சாய்ந்திருக்கின்றது. C யில் 10 அந்தர் நிறையுள்ள ஒரு பொருள் இணைக்கப்பட, அத்தொகுதி C யிற்கு இணைக்கப்பட்ட ஒரு தாம்பாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அத்தாம்பு C யிற்கும் AB யின் மையத்திற்கும் ஊடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துத் தளத்திலே இருக்கின்றது. அத்தாம்பு தரைக்குத் தொடுக்கப்பட்டுத் தரைக்கு 50° கோணத்திற் சாய்ந்திருந்தால், அத்தாம்பின் இழுவையையும் அவ்வளை கள்வழியே உள்ள தாக்கத்தையும் காண்க. (இவ்வொழுங்கு மேன்முகச் சாய்வுக்கால்கள் 'எனப்படும்.)
14. 140 இறா. நிறையுள்ள AB என்னும் ஒரு வளையானது A என்னும் முனை கரட்டுக் கிடைத்தளமொன்றின்மீது கிடக்க ஓய்வில் இருக்கின்றது ; B என்னும் மற்றை முனை A யிலிருந்து கிடை, நிலைக்குத்துத் தூரம் முறையே 15, 20 அடி தூரங்களில் இருக்கின்ற C யிலுள்ள ஓர் ஒப்பமான கப்பிக்கு மேலாகச் செல்லும் ஒரு நாணாலே தாங்கப்படுகின்றது. அவ் வளையினது நீளம் 15 அடி ஆயின், B என்னும் முனை கிடைத்தளத்திற்கு மேலே 9 அடி உயரத்தில் இருக்கும்பொழுது அவ்வளை வழுக்கு நிலையில் இருந்தால், உராய்வுக் குணகம், நாணின் இழுவை A யிலுள்ள விளையுள் மறுதாக்கம் என்னும் இவற்றைக் காண்க.
15. தன்னுடைய கோணப் புள்ளிகளிலே மூட்டப்பட்ட மூன்று சட்டங்களாலாய ABC என்னும் ஒரு முக்கோணிப் படலானது தன்னுடைய கோணப் புள்ளிகளில் வெளிப்பக்கமாகத் தாக்குகின்ற P, Q, R என்னும் மூன்று விசைகளினுடைய தாக்கத்தின் கீழ்ச் சமநிலையில் இருக் கின்றது ; ஒவ்வொன்றினுடைய தாக்கக்கோடு அதன் பிரயோகப் புள்ளியை எதிர்ச் சட்ட மையத்திற்குத் தொடுத்த கோடாகும். பக்கங்கள் BC, CA, AB என்பன முறையே 9, 8, 7 அடி நீளமாயிருக்க, P என்னும் விசை 50 இறா. நிறைக்குச் சமனாயின், Q, R விசை களின் பெறுமானத்தையும், அச்சட்டப்படலினுடைய சட்டங்களின் வழியே தாக்கும் விசை களையுங் காண்க.
16. A, B என்பன நிலையான இரு முளைக்கட்டைகள் : B என்பது A யிலும் உயரத்தில் உள்ளது ; பாரமான ஒரு கோல் B யின் மீது கிடந்து A யின் கீழ்ச் செல்கின்றது ; அக்கோ
லிற்கும் அம்முளைக்கட்டைகளிற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் கோணம் இரண்டுக்குஞ் சமனா யிருக்க, கிடையுடன் AB யின் சாய்வு உராய்வுக் கோணத்திலும் சிறிதாயிருந்தால், அக் கோலானது தன் புவியீர்ப்புமையம், B யிற்கு அப்பாலுள்ள யாது மொரு நிலையில் ஓய்வில் இருக்குமெனக் காட்டுக ; அன்றியும், யாது மொரு பெரிய சாய்விற்கு B யிற்கு அப்பாலுள்ள புவியீர்ப்புமைய எல்லைத் தூரத்தைச் சமநிலைக்கு இசைவாய் வரைபு முறையாலே துணிக.
17. 100 இறா. நிறையுள்ள AB என்னும் சீரான வளையொன்று AC, BD என்னும் இழைகளாலே பின்னது நிலைக்குத்தாயும் கோணங்கள் CAB, ABD என்பன ஒவ்வொன்றும் 105° ஆயுமிருக்கும்படி தாங்கப்படுகின்றது. B யிற் பிரயோகிக்கப்பட்ட P என்னும் ஒரு கிடை விசையினால் அக்கோல் இந்நிலையில் ஓம்பப்படுகின்றது .P யின் பெறுமானம் ஏறத்தாழ 25 இறா. நிறையெனக் காட்டுக.
18. AB, AC என்பன தம்முனைகள் BC என்னும் ஒப்பமான ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது வைக்கப்பட்டனவாய் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தில் ஓய்விற் கிடக்கின்றனவாயும் A யில் ஓப்பமாக ஒருங்கு மூட்டப்பட்டனவாயும் மதிக்கத்தக்க நிறையில்லாதனவாயுமுள்ள இரு சமகோல்


Page 142
268
நிலையியல்
கள். AD = AB ஆகும்படி D என்பது AB யிலுள்ள ஒரு புள்ளி ; E, F என்பன AC என்பதை முக்கூறிடும் புள்ளிகள் ; E என்பது F இலும் A யிற்கு அண்மையிலுள்ளது. ஒரு நுண்ணிழை D, F என்பனவற்றைத் தொடுக்கின்றது ; அது கோணம் A = 60° ஆகும் படியான ஒரு நீளம் உடையது. W என்னும் ஒரு நிறை E யிற்குத் தொடுக்கப்பட்டால், அவ்
W விழையின் இழுவை : எனக் காட்டுக.
19. ABCDEF என்பது ஓரொழுங்கான அறுகோணி EC வழியே தாக்குகின்ற 40 இறா. நிறை விசையோடு சமநிலை விளைவித்தற்கு AC, AF, DE என்பனவற்றின்வழியே தாக்க வேண்டிய விசைகளானவை முறையே 10, 17-32, 34•64 இறா. நிறைகள் எனக் காட்டுக.
20. படம் 1 ஆனது சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்டு முனைகளிலே நிலைக்குத்தாகத் தாங்கப்பட்ட இலேசான கோல்களின் சமச்சீர்த் தொகுதியொன்றால் அமைந்துள்ளது ; 10 அந்தர், 5 அந்தர் என்னும் நிலைக்குத்துச் சுமைகள் காட்டப்பட்ட புள்ளிகளில் வைக்கப்படுகின்றன ; பக்கக்கோல்கள் கிடையுடன் 50' இற் சாய்ந்திருந்தால், அக்கோல்களுடைய உதைப்புக்களை, அல்லது இழுவைகளைக் காண்க.
21. படம் 2 ஆனது சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்டு A, B என்பனவற்றிலுள்ள நிலைக்குத்து மறுதாக்கங்களாலே தாங்கப்பட்ட இலேசான கோல்களின் சமச்சீர்த் தொகுதியொன்றால் • அமைந்துள்ளது ; D யில் 10 அந்தர் நிறையொன்று வைக்கப்பட்டால், 2DAB = 55°, 2CAB == 35° ஆயின், அக்கோல்களிலுள்ள உதைப்புக்களை, அல்லது இழுவைகளைக் காண்க.
10 அந்.
15 அந்.
150
படம் 1
படம் 2.
படம் 3.
22. பாரந் தூக்கியொன்று படம் 3 இல் உள்ளவாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளது ; A யில் 15 அந்தர் தூக்கப்படுகின்றது ; AC, AB என்னும் பகுதிகளுடைய நீளத்திற்குள்ள விசைகளைக் காண்க.
BC என்னுங் கோல் அசைதற்குச் சுயாதீனமாயிருக்க BD என்பது உறுதியாக நிலையாக்கப் பட்டால், CD என்னும் இழுவைக் கோலிலுள்ள இழுவையைக் காண்க.
23. வாரன் கேடர் ஒன்றின் ஒரு பகுதி ABC, ADC, BCE என்னுஞ் சமபக்க முக்கோணி மூன்றால் அமைந்துள்ளது ; கோடுகள் AB, DCE என்பன கிடையாயிருக்கப் பின்னது மேலாக• இருக்கின்றது. அப்பகுதி A, B என்பனவற்றிலே தாங்கிகளில் ஓய்விற் கிடந்து D யில் 5 தொன்னையும் E யில் 3 தொன்னையுங் காவுகின்றது. அத்தாங்கிகளிலுள்ள மறுதாக்கங்களை யும் அந்நான்கு சாயுறுப்புக்களிலுள்ள தகைப்புக்களையுங் காண்க.
24. ABCD என்பது தளர்வாக மூட்டப்பட்ட நான்கு இலேசான கோல்களால் அமைந்த ஒரு நாற்கோணியால் அமைந்துள்ளது ; அது BD என்னும் ஒரு கோலால் உரப்பாக்கப்படு ன்ெறது. A, C என்பனவற்றில் 40 இறா. நிறைக்குச் சமமான விசைகள் தாக்கு மின்றன. AB = 2 அடி , BC = 3 அடி, CD = 4 அடி, DA = 44 அடி , DB= 5 அடி எனத்
தரப்பட்டால், அக்கோல்களினுடைய இழுவைகளை , அல்லது உதைப்புக்களைக் காண்க.

அதிகாரம் XVI
• சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
1.
224. விசையிணைகரத்தின் முறைமையான நிறுவல். நிறுவல் இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றது :- (1) திசை பற்றியது (2) விளையுளின் பருமன் பற்றியது.
திசை . (a) சம விசைகள்.
அவ்விசைகள் சமமாயும் OA, OB என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படுவன் வாயும் இருக்க . OACB என்னும் இணை கரத்தை முடிக்க ; 00 என்பதைத் தொடுக்க. ஆயின், 0C என்பது /AOB என்பதை இருகூறிடும்.
அவ்விசைகள் சமமாய் இருக்கின்றமை யால், விளையுளானது அவற்றிடையே கிடக்குங் கோணத்தை இருகூறிடல் வேண்டும் என்பது தெளிவு ; விளையுளானது OC யின் ஒரு பக் கத்திலன்றி மற்றைப் பக்கத்திலேயே இருக்க வேண்டுமென்பதற்கு ஏது யாதும் இல்லையென்பதே அதற்குக் காரணம். எனின், சமவிசைகளுக்குத் திசைபற்றி அத்தேற்றத்தின் உண்மையை நாம் கொள்ளலாம்.
(8) பொதுவளவுள்ள விசைகள். கொளு. திசைபற்றி அத்தேற்றம் P, Q என்னும் விசைச் சோடி ஒன்றிற்கும், அதே கோணத்திலே தாக்குகின்ற P, R என்னும் விசைச் சோடி ஒன்றிற்கும் உண்மையாயின் , P, (Q+R) என்னும் விசைச் சோடிக்கும் அத் தோற்றம் உண்மையாகுமெனக் காட்டல்.
அவ்விசைகள் விறைப்பான ஒரு பொருளின் A என்னும் புள்ளியிலே தாக்குக ; AB என்பது P யினது திசையாகும் ; ACD என்பது Q, R என்பனவற்றினுடைய திசையாகுக.
AB, AC என்பன P, Q என்னும் விசைகளைப் பருமனிற் குறிக்க. விசை ஊடுகடத்தல் தத்துவத்தால், R என்னும் விசை தனது தாக்கக் கோட்டில் யாதுமொரு புள்ளியிலே தாக்குவதாகக் கொள்ளப்படலாமாகை யால், அது C யிலே தாக்குவதாயும் CD யாற் குறிக்கப்படுவதாயுங் கொள்க.


Page 143
270
நிலையியல்
ABEC, ABFD என்னும் இணைகரங்களை முடிக்க. P, Q என்பனவற்றின் விளையுள் எடுகோளின்படி AE என்னுந் திசையிலே
தாக்குகின்ற ஒரு விசை T யிற்குச் சமன் ; அவை இவ்விளையுளாற் பதி லிடப்படுக; அதன் பிரயோகபுள்ளி E யிற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
E யிலே தாக்குகின்ற இவ்விசை T என்பது P யிற்கும் Q விற்குஞ் சமனாய் முறையே CE, EF என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்ற விசைகளாற். பதிலிடப்படும்.
அவற்றினுடைய பிரயோக புள்ளிகள் C, F என்பனவற்றிற்குக் கொண்டு செல்லப்படுக.
பின்னும் எடுகோளால், C யிலே தாக்குகின்ற P, R என்பனவற்றின் விளையுள் CF என்னுந் திசையிலே தாக்குகின்ற யாதோ ஒரு விசைக்குச் சமன் ; அவை இவ்விளையுளாற் பதிலிடப்படுக; அதன் பிரயோக புள்ளி F இற்குக் கொண்டுசெல்லப்படுக.
இப்பொழுது விசைகளெல்லாம் அவற்றின் சேர்விளைவை மாற்றாது F இற் பிரயோகிக்கப்பட்டுள்ளன; எனின், F என்பது அவற்றின் விளைவு ளின் தாக்கக் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதல் வேண்டும் ; ஆகவே AF என்பது வேண்டிய விளையுளின் திசையாகும்.
எனின், கொளு நிறுவப்பட்டிருக்கின்றது. கொளுப் பிரயோகம்
(c) ஆல் ஒவ்வொன்றும் S இற்குச் சமனான விசைகளுக்கு நிறுவல் உண்மையாகுமென்பதை நாம் அறிகின்றோம்.
எனின், கொளுவின்படி, P, Q, R என்னும் ஒவ்வொன்றும் S இற்குச் சமனெனப் பிரதியிட, S, 2S என்னும் விசைகளுக்கு அத்தேற்றம் உண்மை யாதலைக் காண்கின்றோம். இனி, கொளுவின்படி, (S, S), (S, 2S) என்னும்' விசைகளுக்கு அத்தேற்றம் உண்மையாகின்றமையால் அது (S, 3S) என்னும் விசைகளுக்கும் உண்மையாகுமென்று காண்கின்றோம். அதுபோல (S, 4S) என்னும் விசைகளுக்கும் பிறவற்றிற்கும் உண்மையாகும்.
இவ்வாறு தொடர்ந்து செல்ல S, mS என்னும் விசைகளுக்கு உண்மை யாகுமென்பதைக் காண்கின்றோம் ; இங்கு m என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண்.
கொளு விளையுளின் பள்ளியாதல், அவற்றின் "

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
271
இனி, கொளுவின்படி P= mS, Q= R = S, என்று பிரதியிட அத் தேற்றம் mS, 2S என்னும் விசைகளுக்கு உண்மையாகும்.
இனி, P என்பதை mS இற்கும் Qஎன்பதை 2S இற்கும், R என்பதை S இற்கும் பிரதியிட, அத்தேற்றம் mS, 38 என்னும் விசைகளுக்கு உண்மை யாகும்.
இவ்வாறு செல்ல, m, m என்பன நேர் முழுவெண்களாயின், mS, nS என்னும் விசைகளுக்கு அத்தேற்றம் உண்மையாகும் என்பதைக் காண் கின்றோம்.
அன்றியும், பொதுவளவுள்ள எவையேனும் இரு விசைகள் mS, mS என்பனவற்றாற் குறிக்கப்படக்கூடும். . (7) பொதுவளவில்லாத விசைகள்.
P, Q என்பன பொதுவளவில்லாத விசைகளாகுக ; AB AC என்பன அவற்றைக் குறிக்க.
E1)
ABDC என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க.., P, Q என்பனவற்றின் விளையுள் AD என்னுங் கோட்டில் இல்லையா யின், அது CD என்பதை E யிற் சந்திக்கின்ற AE என்னுங் கோட்டிலே
தாக்குக.
AC என்பதை ஒவ்வொன்றும் 2 இற்குச் சமமாய் ED யிலுஞ் சிறிதாயுள்ள ஒரு தொகைப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க ; CD யிலிருந்து ஒவ்வொன் றும்ல இற்குச் சமனான பகுதிகளைத் தொடர்ச்சியாக வெட்டுக. அப்பிரிப்பின். ஈற்றுப்புள்ளி F என்பது E, D என்பனவற்றிற்கு இடையே விழல் வேண்டும் ; அதற்குக் காரணம் என்பது ED யிலும் சிறிதென்பதே.
FG என்பதை CA யிற்குச் சமாந்தரமாய் AB என்பதை G யிற் சந்திக் கும்படி வரைக ; AF என்பதைத் தொடுக்க.
AC, AG என்னுங் கோடுகள் பொதுவளவுள்ள விசைகளைக் குறிக் கின்றன ; ஆகவே, அவற்றின் விளையுள் (B) ஆல் AF என்னுந் திசையில் இருக்கும்.
எனின், AC, AB என்னும் விசைகளின் விளையுள் BAF என்னுங் கோணத்தினுட் கிடக்கவேண்டும். ஆனால், இவ்விளையுள் BAF என்னுங் கோணத்திற்கு வெளியேயுள்ள AE என்னுந் திசையில் இருக்கின்றது.


Page 144
272
நிலையியல்
ஆனால், இது பொருந்தாது. எனின், AE என்பது விளையுளின் திசையாகாது. அதுபோல், AD அல்லது பிறகோடுகளுள் யாதொன்றும் அவ்விளையுளின் திசையாகாது.
எனின். AD என்பதே விளையுளினது திசையாகும்.
2. பருமன் முன்போ, 7, AB, AC என்பன P, Q என்னும் விசைகளைக் குறிக்க. ABDC என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க.
P, Q என்பனவற்றைச் சமநிலைப் படுத்துதற்கு AE யாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்படும் R என்னும் ஒரு விசையை எடுக்க .
ஆயின், நிறுவலின் முதற்பகுதியால், AE என்பது AD யோடு ஒரு கோட்டில் இருக்கும். AE என்பது AD யிற்குச் சமமாயுமிருக்கும்.
AEFB என்னும் இணைகரத்தை முடிக்க . P, Q, R என்னும் மூன்று விசைகளும் சமநிலையில் இருக்கின்றமை யால் ஒவ்வொன்றும் ஏனையிரண்டின் விளையுளுக்குச் சமனுமெதிருமாகும். இனி, P, R என்பனவற்றின் விளையுள் AF என்னுந் திசையிலிருக்கும். எனின், Q வினது திசை AC என்பது AF ஓடு ஒரு திசையிலிருக்கும்.
ஆகவே, ADBF" என்பது ஓர் இணைகரமாகும்; எனின், DA என்பது BF இற்குச் சமனாகும்.
ஆனால், AEFB என்பது ஓர் இணைகரமாகையால், BF என்பது AF இற்குச் சமனாகும்.
ஆகவே, AD என்பது AE யிற்குச் சமனாகும்; எனின், AD என்பது P, Q என்பனவற்றின் விளையுளிற்குப் பருமனிலும் திசையிலும் சமனாகும். மேலுள்ள நிறுவல் இச்சையிலாவினது நிறுவல் எனப்படும்.

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
273
படி
Pv•!
225. சீரான வட்ட வில்லொன்றின் புவியீர்ப்பு மையம். AB என்பது தன் மையம் 0 வில் 2 கோணத்தை எதிரமைக்கும் ஒரு வட்டவில்லாகுக; 00 என்பது கோணம் AOB யை இருகூறிடுக.
AB என்னும் வில் 2» சம்பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்
K-1) படுக; C யிலிருந்து A முகமாகவுள்ள பிரிப்புப் புள்ளிகள் P., .P2, .P-1 என்பனவாகுக : 0 யிலிருந்து B முகமாகவுள்ளவை Q, Q, ெ-1 என்பனவாகுக
இப்பிரிப்பு புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றிலும், A, B என்னும் முனைகளிலும், C என்னும் புள்ளி யிலும் ஒவ்வொன்றும் m திணிவுள்ள சம் துணிக்கைகள் இடப்படுக.
தொடர்ந்துவரும் இரண்டு துணிக்கைகளைத் தொடுக்கும் வில் 0 என்னும் மையத்தில் 8 என்னுங் கோணத்தை எதிரமைக்க ; ஆயின், 28 = 2a.
அத்துணிக்கைத் தொகுதி OC என்னுங் கோடு பற்றிச் சமச்சீரில் இருக்கின்ற மையால், G என்னும் புவியீர்ப்பு மையம் 00 என்னுங் கோட்டில் இருத் தல் வேண்டும். ல என்பது OG என்னுந் தூரமாகுக.
ஆயின், பிரிவு 111 ஆல், -_mா + 2m.கோசை +ே 2m.r கோசை 28 + ... + 2mr கோசை m8
m+2m +2m + ... + 2m. = [1 + 2 கோசை B+ 2 கோசை 28 +... + 2 கோசை m8)
E =
கோசை” + சைன்"
இசை
1+2
[திரிக. பிரிவு 242].
2ற +1
சைன்
திரிகோணகணிதத் தொடரைக் கூட்டுதலால்,
சைன் (m +4) 8- சைன்
• = 2r +1 1+
2ஸ +1 -
சைன் !
வல்
சை
_சைன் (* +2) - சைன் (= + 5)
(2n + 1) சைன்; (2n + 1) சைன்,
="
•(1).


Page 145
274
ເກົດເກົພຄໍາ
இனி, துணிக்கைத் தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்படுக ; . மாறிலி யாக இருக்க ; அதுபற்றி B வரையறையின்றிக் குறையும். இவ்வண்ணம் சீரான வட்ட வில்லொன்றின் வகையைப் பெறுகின்றோம்.
இனி, (2ற +1) சைன் ~ _(2m+ 1 ) சைன்"
2m
2m
சைன்.
- [[+].. சைன»
8 S ) 3 85
% என்பது வரையறையின்றிப் பெரிதாக்கப்பட்டால்.
எனின், சீரான வட்டவில்லொன்றில் (1) என்பது
2 =+ சைன் .
" ஆகும்*.
T
கி.தே. அரைவட்ட வில்லொன்றில் a =' ஆகும் ; மையத்திலிருந்து புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரம்
T
சைன்
ை
உன் 2 2
=T-
E/ல்
* தொகையீட்டு நுண்கணிதங் கற்ற மாணாக்கன் இம்முடிபை மிக எளிதில் பின்வரு மாறு பெறலாம்.
P என்பது அவ்வில்லில் ZPOC = 0 ஆகவுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. P' என்பது /P'OP = 80 ஆக அதற்கு மிக்க அண்மையிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக.
M அம்முழுவில்லினது திணிவாயின், PP' என்னும் மூலகத்தினது திணிவு 3. M, P என்னும் புள்ளியின் கிடைக்கூறு r கோசை 8 ஆகும். 20.
எனின், பிரிவு 111 ஆல்,
80 .
(+4
- M.T கோசை 8
(+4
கோசை 0d0 - 1
(+0.
) - 2 கப்
- - -
(+ 1
និង
d9
J. -4

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
275
+a
(மா)-- வானம்
சைல
சைன்
+2
-2
அன்றியும், சமச்சீரால், புவியீர்ப்பு மையம் 0C யிற் கிடத்தல் வேண்டும். 226. ஒரு வட்டத்தின் ஆரைச் சிறையொன்றின் புவியீர்ப்பு மையம்.
முந்திய பிரிவிலுள்ள அதே குறியீட்டோடு P, Q என்பன ஆரைச் சிறையின் வட்டவெல்லையிலுள்ள இரண்டு அடுத்துள் புள்ளிகளாகுக ; ஆயின், PQ என்பது மிக்க அண்ணளவான ஒரு நேர் கோடாகும்; OPQ என்பது 0 விலே மிகச் சிறிய உச்சிக்கோணமுள்ள ஒரு முக்கோணியாகும். 'OP யின்மீது P' என்பதை OP' = OP ஆகும்படி எடுக்க ; PQ என்பது மிகச்சிறிதாகும் பொழுது, P' என்பது OPQ என்னும் முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையமாகும்.
AB யின்மீதுள்ள அடுத்துள புள்ளிகளின் வரையறையின்றிய ஒரு பெருந் தொகைக்கு 0 வைத் தொடுப்பதால், " என் பதை ஆரையாகவுள்ள வட்டவில்லின் மீது (உருவத் திற் குற்றுக்களாற் காட்டப்பட்டுள்ளது) தம் புவி யீர்ப்பு மையங்கள் கிடக்கின்ற ஒரு மிகப் பெருந் தொகை முக்கோணிகளாக அவ்வாரைச்சிறை பிரிக்கப்படலாம்.
ல 0
எனின், அவ்வாரைச்சிறையின் புவியீர்ப்பு மையம் A'C'B' என்னும் வட்ட வில்லின் புவி யீர்ப்பு மையமாகும் ; ஆயின், முந்திய பிரிவால் ,
OG' = 00 சைன் " =சைன் ..
சை
4
இ.தே. ஆரைச்சிறை ஓர் அரை வட்டமாயின், a =5,0G' என்னுந் தூரம் =
227. ஒரு வட்டத் துண்டத்தின் புவியீர்ப்பு மையம்.
• ஒரு வட்டத் துண்டம் ACB என்பது OACB என் னும் ஆரைச்சிறைக்கும் OAB என்னும் முக்கோ ணிக்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்.
0-6b6,) முந்திய இரு பிரிவுகளிலுள்ள குறிப்பீட்டையே வழங்குவோம் ; G,, G, என்பன முறையே முக் கோணி AOB துண்டம் ACB என்பனவற்றி னுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களாகுக.
11-2 6764 (8/65)


Page 146
276
நிலையியல்
அன்றியும், G என்பது ஆரைச்சிறையின் புவியீர்ப்பு மையமாகுக; AB என்பது OC யை D யிற் சந்திக்கட்டும்.
பிரிவு 109 ஆல்,
an_AAOBx OG,+ துண்டம் ACBx OG,
....(1). AAOB + துண்டம் ACB ஆனால், OG, = OD=r கோசை a,
OG = 2 சைன் a
அன்றியும், AAOB = 2r சைன் 2a, துண்டம் ABC= ஆரைச்சிறை AOB- AAOB
= தா.2 - சைன் 2. எனின், சமன்பாடு (1) என்பது 2 சைன் a
* [N
Ar2 சைன் 2axr கோசை +r2 (2ன - சைன் 2a)x OG,
r2. 20 2r கோசை சைன் 2a+ OG, (26- சைன் 20)
"" ஆகும்.
2a ஃr சைன் - இr கோசைனசைன் 2a = OG, (2 - சைன் 2a) ;
சைன் - கோசை a சைன் a ஃ OG, = 4
20 - சைன் 20
சைன் a = 4r -
20 - சைன் 2ல 228. ஒரு கோள வலயத்தின் புவியீர்ப்பு மையம். ஒரு கோளத்தின் யாதுமொரு வலயத்தின் பரப்பின் புவியீர்ப்பு மையம் அதனுடைய தள் அந்தங்களுக்கு நடுவே இருக்குமெனக் காட்டல்.
[ஒரு வலயம் என்பது எவையேனும் இரு சமாந்தரத் தளங்களுக்கு இடையே வெட்டப்படும் ஒரு கோளப்பகுதி.)
ABCD என்பது அக்கோள மையத்தினூடாக அதனுடைய தள அந்தங் களுக்குச் செங்குத்தான ஒரு தளத்தினால் ஆக்கப்பட்ட வலய வெட்டு
முகமாகுக.
காகிதத் தளத்தில் ROR' என்பது தள அந்தங்களுக்குச் சமாந்தரமான விட் டமாகுக. RU, R'U' என்னுந் தொடலிகளை அதனுடைய முனைகளில் வரைக. AB, CD என்பன அவற்றை a, b, c, d என்னும் புள்ளிகளிற் சந்திக்கட்டும். மேலுள்ள உருவத்தை EOE' என்பது பற்றிச் சுற்றுதலாற் பெறப்படும்

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
277
உருவத்தைச் சிந்திக்க. AD என்னும் வில் அவ்வலயத்தை வரையும் ; ad என்னுங் கோடு சுற்றுருளையின் ஒரு பகுதியை வரையும்.
|2
ட!
b pa 3
ab, cd என்னுந் தளங்களுக்கிடையே வெட்டப்பட்ட வலயப் பகுதியின் பரப்பும் உருளைப்பகுதியின் பரப்பும் சமனெனக் காட்டுவோம்.
A, D என்பனவற்றிற்கிடையே அவ்வில்லின் மீது யாதுமொரு புள்ளி P யையும் அதற்கு வரையறையின்றிய அண்மையில் வேறொரு புள்ளி Qவையும் எடுக்க . pPMP'ற', qQNQ'q' என்னுங் கோடுகளை OE என்பதற்
குச் செங்குத்தாய்ப் படத்திலுள்ளவாறு வரைக.
PQ என்பது E'E யை T யிற் சந்திக்க ; QS ஐ PM இற்குச் செங்குத் தாக வரைக.
Q என்பது அவ்வில்லின்மீது P யிற்கு மிகவடுத்த புள்ளியாதலால், தொடலியின் வரைவிலக்கணத்தால், PQ என்னுங் கோடு P யிலுள்ள தொடலியாகும் ; எனின், OPT என்பது ஒரு செங்கோணமாகும். P, Q என்பன ஒன்றுக்கொன்று மிக்க அண்மையில் இருக்கும்போதுள்ள எல்லை யில், PQ என்பதனால் வரையப்படும் பரப்பு உண்மையாக இர MP. PQ, 2ா NQ. PQ என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடந்த போதிலும் அவற்றுள் எதற் குஞ் சமனாகும்.
ஆயின், வலய மூலகம் PQ வால் வரையப்படும் பரப்பு உருளை மூலகம் pc வால் வரையப்படும் பரப்பு - 2ா.MP. PQ MP.PQ MP 1
2ா .Mp.pg Mp. SQ Mp கோசை SQP MP 1
MP 1
MP OP FMp கோசை OTPFMp சைன் MOPMp MP
OP
=-== 1.
Mp


Page 147
278
நிலையியல்
ஆகவே, வரையறையின்றி அண்மையான இந்த இரண்டு தளங்களாலே வெட்டப்படும் வலயப் பகுதியும் உருளைப் பகுதியும் சமனாகும்; எனின், அவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்கள் ஒரே புள்ளியாகும். - இனி, அவ்வலயவுருளைகளுடைய ஒரு பெருந்தொகை மென்றுண்டுகளை AB தொடக்கம் D ஈறாக வரையறையின்றி எடுத்தால், ஒத்த துண்டுக
ளுக்கு ஒரே திணிவும் ஒரே புவியீர்ப்பு மையமும் இருக்கும்.
ஆகவே, வலயம், உருளை ஆகியவற்றின் புவியீர்ப்பு மையம் ஒரே புள்ளி யாகும் ; உருளையின் புவியீர்ப்பு மையம் LL' என்பதன் மையம் என்பது தெளிவு.
எனின், ஒரு கோளத்தின் யாதுமொரு வலயத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் அதனுடைய அந்தங்களுக்கு இடையே நடுவில் உள்ளது.
தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தால். 2AOE = 6. ZDOE = 8, 2POE = 0 ஆகுக. P யிலுள்ள பரப்பு மூலகம் = ஃ0x2ான சைன் 0 ; P யின் கிடைக்கூறு a கோசை 6 எனின் பிரிவு 111 ஆல்
(ன
20 a சைன் 9 80. கோசை 3
சைன் 8 கோசை 6 d0
2Ta2 சைன் Ca0
சைன் 0 d0
--ல்
சைன்2 )
8 a சைன் a - சைன் ?
2 கோசை - கோசைன - கோசை 8
கோசை: 3- கோசைன் a
(கோசை 3 + கோசை a) 2 கோசை 3- கோசைன
= 4 [OL + OL]. 229. ஒரு பொள் அரைக்கோளத்தின் புவியீர்ப்பு மையம். AB என்பது அக்கோளத்தின் மையத்தினூடாகச் செல்க; அதனாலே அது RR' என்பதனோடு பொருந்துக; அன்றியும், DC என்னும் வரைப்புத் தளம் E யில் ஒரு புள்ளியாகும்படி D, C என்பன E யோடு பொருந்து மாறு இயங்குக.
இவ்வண்ணமாக அவ்வலயம் RDECR' என்னும் அரைக் கோளமாக வரும்; ஆகவே, அதன் புவியீர்ப்பு மையம் OE யின் மையமாகும்; அதா வது, அது அவ்வரைக் கோளத்தினது தள வடிக்குச் செங்குத்தான கோள வாரையை இரு கூறிடும்.
230.
திண்ம அரைக்கோளமொன்றின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையைக் காணல்.

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
279
*LAM என்பது காகிதத் தளத்தால் ஆக்கப்பட்ட அரைக் கோளத்தின் வெட்டுமுகமாகுக ; OA என்பது அதனுடைய தள வடிக்குச் செங்குத்தான கோளவாரையாகுக. அவ்வரைக்கோளத்தில் யாது மொரு புள்ளி P என்பதை எடுத்து, P யிலுள்ள மிகச்சிறிய பரப்பு மூலகமொன்றை ஆராய்க. இச் சிறு மூலகத்தைத் தன்னடியாயும் 0 என்பதை உச்சியாயுங் கொண்ட மிக மெல்லிய கூம்பகத்தின் புவி யீர்ப்பு மையம் OP யின்மீது OP' = 30P ஆகவுள்ள P' என்னும் ஒரு புள்ளியில் இருக்கும். (பிரிவு 107.)
ஆகவே, இந்த மிக மெல்லிய கூம்பகத்தினது நிறை P' என்பதிற் செறிந்திருப்பதாகக் கொள்ள
லாம்.
M' -
அவ்வரைக்கோளத்தின் வெளிப்பரப்பு முழுவதும் மிகச் சிறிய பகுதிக ளாகப் பிரிக்கப்படும் ; ஒத்த கூம்பகங்களும் வரையப்படுக. அவற்றினுடைய புவியீர்ப்பு மையங்களெல்லாம் 0 வை மையமாகவும் Oa (= OA) யை ஆரையாகவுங் கொண்ட LP'aM' என்னும் அரைக்கோளத்தின் மீது கிடக்கும்.
எனின், அத்திண்ம அரைக்கோளத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் LP'aM' என் னும் அரைக்கோளவோட்டின் புவியீர்ப்பு மையமாகும்; அதாவது, அது OG = Oa - OA ஆகவுள்ள G யில் இருக்கும்.
*தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தால் .P என்பது AL என்னும் வில்லிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக ; OA யிற்குச் செங்குத்தாக PN ஐ வரைக ; ON = ஆயும் NP = ! ஆயும் இருக்க ; ஆயின், a என்பது அவ்வரைக்கோளத்தின் ஆரையாயின், ஐ +ve = 0.2 என்பது தெளிவு.
PN இற்கும் ஐ + லே தூரத்திலுள்ள தளத்திற்கும் இடையே அமைக்கப்படுங் கன வளவு மூலகம் எg Sல ஆகும். அன்றியும், P யின் கிடைக்கூறு 2 ஆகும்.
எனின், பிரிவு 111 ஆல்,
(a
Tgற .ல
ல (a - ஐ) ல
ஈழ25ல (a -ஐ) மற
a22 ஐ40 a4
4 / 0
லை
2. ! |
ம| 2 !!
a.
aலே -


Page 148
280
நிலையியல்
231. முந்திய பிரிவிலுள்ளதைப் போன்ற ஒரு முறையில், பிரிவு 228 இல் உள்ள OAQEBO என்னும் உருவம் போன்ற வட்ட ஆரைச்சிறை யொன்று இருகூறிடும் ஆரை OE என்பது பற்றிச் சுற்றுதலால் ஆக்கப்படும் ஒரு கோளவாரையின் புவியீர்ப்பு மைய நிலையை நாம் பெறலாம்.
0 விலிருந்து அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தூரம் (OL+OE) என்பது எளிதிற் காணப்படும்.
232. மேலுள்ள நிறுவல்களில் தீரத்திருத்தமில்லாத அம்சங்கள் சில வுண்டு. கண்டிப்பாக மெய்ப்பிப்பதற்கு நுண்கணிதப் பிரயோகம் வேண்டப் படும்.
233. மாயவேலை. சமநிலையில் உள்ள ஒரு பொருளின்மீது ஒரு விசைத் தொகுதி தாக்க, " அத்தொகுதி தான் உட்பட்டுக்கிடக்குங் கேத்திரகணித நிபந்தனைகளுக்கு இசைவான ஒரு சிற்றிடப் பெயர்ச்சியை அடைகின்றதென நாம் கொள்ளும் போது, இக்கற்பனையான இடப்பெயர்ச்சியோடு கூடிய அப்பொருளின் Q என்னும் ஒரு புள்ளி Q' என்பதற்குச் சென்றால் QQ' என்பது 0 என்னும் புள்ளி யின் மாய வேகம், அல்லது மாய இடப்பெயர்ச்சி எனப்படும்.
"மாயம்'' என்னுஞ் சொல்லானது அவ்விடப்பெயர்ச்சி கற்பனையானதன்றி உண்மையானதன்று என்பதைக் குறிப்பதாக வழங்கப்படும்.
234. R என்னும் ஒரு விசை ஒரு பொருளின் Q என்னும் ஒரு புள்ளியிலே தாக்க, QQ' என்பது Q வின் மாய இடப்பெயர்ச்சியாய் இருக்க, QN என்பது Q' இலிருந்து R இனது திசையின்மீது வரைந்த செங்குத்தாயின், பெருக்கம் R. QN என்பது விசை R இன் மாயவேலை, அல்லது மாயத் திருப்புதிறன் எனப்படும். பிரிவு 127 இற்போல, QN என்பது R ஓடு ஒரே திசையில், அல்லது எதிர்த் திசையில் இருப்பதற்கேற்ப, இவ்வேலை நேராய் அல்லது மறையாய் இருக்கும்.
235. ஒரு விசையின் மாயவேலை அதனுடைய கூறுகளுடைய மாயவேலைகளின் மொத்தத் திற்குச் சமன்.
செங்கோணங்களிலுள்ள இரு திசைகளில் R Y இனுடைய கூறுகள் X, Y என்பனவாகுக ; R ஆனது X இனது திசைக்கு 8 என் னுங் கோணத்திற் சாய்ந்திருக்க ; ஆயின் X = R கோசை , Y = R சைன் த.
Q வின் பிரயோக புள்ளி ஒரு மாய இடப்பெயர்ச்சியால் Q' இற்குக் கொண்டு செல்லப்ட்டுக ; Q'N ஐ R இற்குச் செங்குத்தாய் வரைக ;
/ NQQ'=% ஆகுக.

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
281
X, Y என்பனவற்றினுடைய மாய வேலைகளின் மொத்தம்
= XQL + Y. QM = Rகோசை ¢ QQ' கோசை (¢ +a) + R சைன் 4. QQ' சைன் (¢ +a) = B QQ' [கோசை கோசை (¢ +a) +சைன் சைன் (¢ +a)] = R. QQ' கோசை. = R. QN
= R இன் மாயவேலை. 236. மாயவேலைத் தத்துவஞ் சொல்வது. ஒரு பொருளின்மீது தாக்குகின்ற ஒரு விசைத் தொகுதி சமநிலையில் இருக்க, அப்பொருள் அத்தொகுதியின் கேத்திரகணித நிபந்தனைகளுக்கு இசைவான ஒரு சிற்றிடப் பெயர்ச்சியை அடைந்தால், அம்மாய வேலை களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும் என்பது ; மறுதலையாக, இவ்வட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாயின் , அவ்விசைகள் சமநிலையில் இருக்கும். வேறுவகையாகச் சொல்லுமிடத்து, R என்னும் ஒவ்வொரு விசைக்கும் அதனுடைய தாக்கக் கோட்டுத் திசையில் r என்னும் மாய இடப்பெயர்ச்சி உண்டெனின், 2 (R.r) = 1; அன்றியும், மறுதலையாக, 2(R.r) என்பது பூச்சியமாயின், அவ்விசைகள் சமநிலையில் இருக்கும்.
அடுத்த பிரிவில் ஒருதள விசைகளுக்கு இத்தேற்றத்தினுடைய நிறுவலைத் தருவோம்.
237. ஒரு தளத்திலுள்ள யாதுமொரு விசைத்தொகுதிக்கு மாயவேலைத் தத்துவத்தினது நிறுவல்.
அவ்விசைகளினுடைய தளத்தில் ஒன்றுக் கொன்று செங்கோணங்களி லுள்ள எவையேனும் இரு நேர் கோடுகளை எடுக்க ; அப்பொருள் ஒரு சிற்றிடப்பெயர்ச்சியை அடைக. அப்பொருளை 0 பற்றி ஒரு தக்க சிறு கோணம் ஆரையனூடாகத் திருப்பி அதனை அச்சுக்குச் சமாந்தரமாய் a, b என்னுந் தக்க தூரங்களூடாக இயக்குவதால் இது செய்யப்படலாம் என்பது தெளிவு.
[ஒரு மேசையின்மீதுள்ள ஒரு புத்தகத்தை ஒரு நிலையிலிருந்து வேறொரு நிலைக்கு அம்மேசையோடு அப்புத்தகம் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்படி இயக்குவதால் இதை மாணாக்கன் விளங்கலாம்.)
0 என்பதைக் குறித்த தன்னுடைய ஆள் Y கூறுகள் 0, 9 என்பனவாயும் முனைவாள் கூறுகள் (r, 0) என்பனவாயுமுள்ள R என்னும் யாதுமொரு விசையின் பிரயோகப் 'புள்ளி Q ஆகுக ; ஆயின், 2 =r கோசை 0 ; V = r சைன் 9 ; இங்கு 0Q =r, AX00 = 0.
சிற்றிட்டபெயர்ச்சிகள் செய்யப்பட்ட பொழுது, Q வின் புது நிலை Q' என்பதனுடைய ஆள்கூறுகள் :-
r கோசை (0 +a) +a,r சைன் (0 +a) +6 என்பன ; அல்லது, r கோசை 9 லோசை - சைன் டிசைன் a +a,
?


Page 149
282
நிலையியல்
மாய்
rசைன் 6 கோசை a +r கோசை 6 சைன் a+b என்பன, அதாவது, r கோசை 9 - 1. சைன் 0 +a, rசைன் 9 +a. 1 கோசை 0 +6 ; a என்பது மிகச் சிறிதாகையால்.
ஆகவே, Q வினுடைய ஆள்கூறுகளிலுள்ள மாற்றங்கள் a-a.r சைன் 0, 6 + r கோசை 8 என்பன அதாவது a - ag, 6 + aல என்பன.
X, Y என்பன R இனுபைய கூறுகளாயின் X, Y என்பனவற்றினுடைய மாய வேலைகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனான R இன் மாயவேலை
X (a - aw) + Y (6 + am ) அதாவது 6. X+6. Y +a (Yல - Xg) அதுபோல், a, b, a என்பன ஒவ்வொரு விசைக்கும் சமமாயிருப்ப," அத்தொகுதியின் வேறு யாதும் விசையின் மாய வேலையைப் பெறலாம்.
ஆகவே, 22 (X) +6 2(Y) +a 2 (Yல - X9) பூச்சியமாயின், மாய் வேலைகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும்.
அவ்விசைகள் சமநிலையில் இருந்தால், 2 (X), 2 (Y) என்பன OX, Y என்னும் அச்சுக்களின் வழியே அவ்விசைகளுடைய கூறுகளின் கூட்டுத் தொகையாகும் ; எனின், பிரிவு 83 ஆல், அவை தனித்தனி பூச்சியமாகும்.
அன்றியும் Yல - Xy = உற்பத்தி 0 பற்றியெடுக்கும் X, Y என்பன வற்றின் திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத்தொகை = 0 பற்றியெடுக்கும் R இனது திருப்புதிறன்.
(பிரிவு 62). எனின், 2(Yல - Xg) = 0 பற்றி எடுக்கும் எல்லா விசைகளுடைய திருப்பு திறன்களின் கூட்டுத்தொகை ; இக்கூட்டுத்தொகையானது பிரிவு 83 இன் படி பூச்சியமாகும்.
விசைகள் சம நிலையில் இருந்தால் அவற்றினுடைய மாய வேலைகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் என்பது பெறப்படும்.
238. மறுதலையாக , யாதுமோரிடப்பெயர்ச்சிக்கு மாயவேலைகளின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாயின், அவ்விசைகள் சம நிலையில் இருக்கும்.
முந்திய பிரிவிலுள்ள அதே குறியீட்டோடு, மாயவேலைகளின் கூட்டுத் தொகை
a 2 (X) +6 2 (Y) +02 (Yற - Xg) .........
...(1). " [ இடப்பெயர்ச்சிகள் எல்லாவற்றிற்கும் இது பூச்சியமெனத் தரப்பட்டுள்ளது. 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் a என்னுந் தூரத்திற்கூடாகவே அப்பொருள் இடம்பெயர்க்கப்படத்தக்க ஓரிடப் பெயர்ச்சியைத் தேர்ந்தெடுக்க.
இவ்விடப் பெயர்ச்சிக்கு 6,0 என்பன பூச்சியமாகும் ; ஆயின் (1) தருவது
a 2 (X) = 0 ;

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
283
A # 1 \62
(66
5AA
ஆயின், 2 (X) = 0 ; அதாவது, OX இற்குச் சமாந்தரமான கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும். - அதுபோல், > அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஓரிடப் பெயர்ச்சியைத் தேர்ந் தெடுக்க, OY இற்குச் சமாந்தரமான கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையும் பூச்சியமாகும்.
இறுதியாக, அவ்விடப்பெயர்ச்சியானது உற்பத்தி 0 என்பதைச் சுற்றுகின்ற எளிய சுழற்சியாகுக. இங்கு a, b என்பன பூச்சியமாகும் ; (1) தருவது
2 (Y -Xy) = 0 ; ஆயின், 0 பற்றி எடுக்கும் விசைகளுடைய திருப்புதிறன்களின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாகும்.
ஆகவே, பிரிவு 83 இலே தரப்பட்ட சமநிலை நிபந்தனை மூன்றும் பொருந்தும் ; ஆகவே, அவ்விசைத் தொகுதி சமநிலையில் இருக்கும்.
239. மாய வேலைத் தத்துவத்தின் பிரயோகத்தின் உதார
இ A2B ணமொன்றாகப் பின்வரும் பிரசினத்தைத் தீர்ப்போம். * ஒவ்வொன்றும் W நிறையுடைய ஆறு சமகோல்கள் AB, BC, CD, DE, EF, FA என்பன அறுகோணி ஒன்றை அமைக்குமாறு |
ஒன்றை அமைக்குமாறு FC ! | WCை தம்முனைகளிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்டுள்ளன ; AB என்னுங்
G5 / 63/ கோலானது ஒரு கிடை நிலையிலே நிலையாக்கப்படுகின்றது ; AB,
| w4Tw DE என்பனவற்றினுடைய மையங்கள் ஓரிழையினால் இணைக்கப் படுகின்றன ; அதனிழுவை 3W என நிறுவுக. G,, G, G:, G:, G:, G: என்பன அக்கோல்களுடைய மையங்களாகுக. சமச்சீரால் BC, CD என்பன நிலைக்குத்திற்குச் சமமாய்ச் சாய்ந்திருக்கின்றமையால், AB யிற்குக் கீழே C, G,, D என்பனவற்றினுடைய ஆழங்களானவை முறையே G, இன்தைப்போல 2, 3, 4 மடங்கு பெரியனவாகும்.
D, E என்பன என்றும் B, A என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக் கோடு களிற் கிடக்க DE என்பது என்றுங் கிடையாக இருக்கும்படி அத்தொகுதி ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே ஓரிடப்பெயர்ச்சியை அடைக.
G, ஆனது ஐ என்னும் ஒரு நிலைக்குத்துத் தூரம் இறங்க, G, என்பது 30 தூரமும், G, என்பது 4ல தூரமும், G, G. என்பன முறையே 3ல, ல என்னுந் தூரமும் இறங்கும்.
அந்நிறைகளாற் செய்யப்படும் மாய வேலைகளின் கூட்டுத்தொகை
= W .ல + W.3ல + W. 4ல + W.3ல + W .ல = 12W .2 T என்பது அவ்விழையின் இழுவையாயின், அதனாற் செய்யப்படும் மாய வேலை
Tx(- 40) ஆகும். G, இன் இடப்பெயர்ச்சி T தாக்குகின்ற திசைக்கு எதிரான திசையில் இருந்ததால் அதனாற் செய்யப்படும் மாயவேலை மறைக்குறியோடு பொருந்தும். ஆயின், மாய வேலைத் தத்துவந் தருவது
12 W .ல + T ( - 40) = 0,
T= 3W.
அதாவது,


Page 150
284
நிலையியல்
240. ரோபவலினது தராசு. இத்தராசு காதிதம் நிறுகருவியின் பொது வான ஒரு வகையாகும் ; இது A, B, E, D என்னும் மூலைகளிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்ட AB, BE, ED, DA என்னும் நான்கு கோல் களால் ஓர் இணைகரத்தை ஆக்குமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளது ; AB, ED என்பனவற்றினுடைய மையங்கள் C, F என்பன ஒரு நிலைக்குத்து நேர் கோட்டிலுள்ள C, F என்னும் நிலையான புள்ளிகளுக்குத் தொடுக்கப் பட்டிருக்கின்றன. AB, DE என்னுங் கோல்கள் C, F என்பனபற்றிச் சுயாதீனமாய்த் திரும்பத்தக்கன.
AD, BE என்னுங் கோல்களுக்குத் தராசுத் தட்டுகள் இணைக்கப்பட் டுள்ளன. இவற்றுள் ஒன்றிலே நிறுக்கப்பட வேண்டிய திரவியம் W இடப்படுகின்றது ; மற்றைத் தட்டில் அதனைச் சமநிலைப்படுத்தும் நிறை P இடப்படுகின்றது.
தராசுத் தட்டுக்களில் இன்ன பகுதியில், P, W என்னும் நிறைகளை இடல் வேண்டும் என்பதில்லையென நிறுவுதற்கு மாயவேலைத் தத்துவத்தைப் பிர
யோகிப்போம்.
CBEE, CADF என்பன இணைகரங்களாகையால், அத்தராசு எக்கோ ணத்தினூடாகத் திருப்பப்பட்டாலும் BE, AD என்னுங் கோல்கள் CF இற்கு என்றுஞ் சமாந்தரமாய் அதுபற்றி என்றும் நிலைக்குத்தாய் இருக் கும்.
AB என்னுங் கோல் ஒரு சிறு கோணத்தினூடாகத் திருப்பப்பட்டால், A என்னும் புள்ளி தாழ்கின்ற அளவிற்கு B என்னும் புள்ளி எழும்பும். ஆகவே, AD என்னுங் கோல் தாழ்கின்ற அளவிற்கு BE என்னுங் கோல் எழும் பும் ; இடக்கைத் தராசு விழுகின்ற அளவிற்கு வலக்கைத் தராசு எழும்பும். ஆகவே, அத்தகை இடப்பெயர்ச்சியில் BE என்னும் கோலினது நிறையின மாயவேலையும் அதனுடைய தட்டினது நிறையின் மாய வேலையும் AD என்பதனுடைய நிறையின் மாய வேலைக்கும் அதனுடைய தட்டினது நிறை யின் மாயவேலைக்குஞ் சமன். ஆகவே, இம்மாய வேலைகள் மாய வேலைச் சமன்பாட்டில் ஒன்றையொன்று வெட்டும்.

சில மேலதிகமான தேற்றவுரைகள்
285
அன்றியும், வலக்கைத் தராசுத்தட்டின் இடப்பெயர்ச்சி மேன்முகமாக p ஆயின், இடக்கைத் தட்டின் இடப்பெயர்ச்சி கீழ்முகமாக ற ஆகும்.
ஆயின், மாயவேலையின் சமன்பாடு தருவது
P p+ W (-p) = 0, அதாவது,
P= W. எ எனின், அப்பொறி யாதுமொரு நிலையிற் சமநிலை எய்தினால், P, W என்னும் நிறைகள் சமனாகும்; இந்நிபந்தனை அத்தராசுத் தட்டுக்களி லுள்ள நிறைகளினுடைய நிலையைச் சாராது. ஆகவே, அத்தராசுத் தட்டுக்களின்மீது அந்நிறைகள் எவ்விடத்திலேனும் இருக்கலாம்.
அத்தராசுத் தட்டுக்கள் ஒரே வடிவினவாய் இருத்தல் வேண்டியதில்லை என்பது பெறப்படும் ; அவை அப்பொறிக்கு ஒரே விதமாய் இணைக்கப்பட வேண்டியதுமில்லை; அவை ஒரே நிறையுடையனவாய் மாத்திரம் இருத்தல் வேண்டும்.
உதாரணமாக, மேலுள்ள படத்தில், தராசுத் தட்டுக்கள் இரண்டில் எதுவாயினும் CF இற்கு எதிர்முகமாய்கச் சுட்டி நிற்றலுக்குப் பதிலாக அதன் முகமாகச் சுட்டலாம் ; மற்றையதன் நிலையில் ஒரு மாற்றமுந் தேவையில்லை.
பயிற்சி XXXIX
1. நான்கு பாரமான சீரான சமகோல்கள் ஒரு சாய்சதுரத்தை அமைக்குமாறு சுயாதீன மாய் மூட்டப்பட்டுள்ளன ; அச்சாய்சதுரம் ஒரு கோணப் புள்ளியிலிருந்து சுயாதீனமாய்த் தூக்கப் படுகின்றது ; மேலிரண்டு கோல்களினுடைய மையங்கள் அச்சாய்சதுரஞ் சுருங்காதவாறு இலேசான ஒரு கோலால் இணைக்கப்படு கின்றன. W என்பது ஒவ்வொரு கோலினுடைய நிறையாயும், 20 என்பது தூக்கற் புள்ளியில் அச்சாய்சதுரத்தின் கோணமாயும் இருந் தால், இலேசான இந்தக் கோலின் இழுவை 4W தான் என நிறுவுக . -
2. a நீளமான ஓர் இழை, ஒருங்கு பிணைக்கப்பட்ட நான்கு சீரான கோல்களால் ஆக்கப்பட்ட ஒரு சாய்சதுரத்தின் குறுகிய மூலைவிட்டமாக அமைகின்றது ; அக்கோல்கள் ஒவ்வொன்றும் b என்னும் நீளத்தையும் W என்னும் நிறையையும் உடையது.
அக்கோல்களுள் ஒன்று ஒரு கிடை நிலையிலே தாங்கப்பட்டால், அவ்விழையின் இழுவை 2w (262 -a)
6 Ap:- என நிறுவுக.
3. ABCDEF என்னும் ஓர் ஒழுங்கான அறுகோணி ஒவ்வொன்றும் W என்னும் நிறையுள்ள 6 சமகோல்கள் ஒருங்கு சுயாதீனமாய் மூட்டப்படுவதால் ஆயது. அவ்வறுகோணி ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே, AB என்பது ஒரு கிடை மேசையைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்க, ஓய்வில் இருக்கின்றது; C, F என்பன இலேசான ஓர் இழையாலே தொடுக்கப்பட்டால், அதன் இழுவை W/3 என நிறுவுக .
4. ஒரு முக்காலியானது ஒவ்வொன்றும் ல நீளத்தையும் ய நிறையையுமுடைய மூன்று சீரான சட்டங்கள் ஒரு முனையிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்படுவதால் அமைந் துள்ளது ; அவற்றினுடைய மையங்கள் & நீள இழைகளினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அம்


Page 151
286
நிலையியல்
முக்காலியானது தன்னுடைய சுயாதீன முனைகள் ஒப்பமான ஒரு கிடைத் தளத்தைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும்படி வைக்கப்படுகின்றது ; W என்னும் ஒரு நிறை பொது மூட்டிற்குத் தொடுக்கப்படுகின்றது. ஒவ்வோரிழையின் இழுவை (2W +30) -
'V902 - 125 என நிறுவுக.
5. ஒவ்வொன்றும் W நிறையுடைய பாரமான சீரான கோல்கள் ஒருங்கு மூட் பப்படுதலால் அமைந்த ஒரு சதுரச் சட்டப்படல் ஒரு மூலையாலே தூக்கப்படுகின்றது ; கீழ் மூன்று மூலைகள் ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து W என்னும் ஒரு நிறை தூக்கப்படுகின்றது ; அச்சதுரத்தின் வடிவம் கிடை மூலைவிட்டத்தினது நீளத்திற்கு உள்ள ஒர் இலேசான கோலால் ஓம்பப்படுகின்றது. அதன் இழுவை 4W என நிறுவுக.
6. ஒவ்வொன்றும் a நீளமான நான்கு சமகோல்கள் ABCD என்னும் ஒரு சாய்சதுரத்தை ஆக்குமாறு மூட்டப்படுகின்றன ; B, D என்னுங் கோணங்கள் 1 நீளமுள்ள ஓர் இழையினால் இணைக்கப்படுகின்றன. A ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது கிடக்க AC நிலைக்குத்தாய் இருக்கும்படி அம் முழுத்தொகுதியும் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே வைக்கப்படுகின்றது. W என்பது ஒவ்வொரு கோலினது நிறையாயின், அவ்விழையின் இழுவை 2W -
"V40: _ என நிறுவுக.
7. அச்சு நிலைக்குத் தாயும் அரையுச்சிக் கோணம் a வாயுமுள்ள ஓர் ஒப்பமான கூம்பைச் சுற்றித் தன் இயல்பான நீளம் 2ான ஆகவுள்ள ஒரு பாரமான மீள்தன்மை இழை வைக்கப்படுகின்றது. அவ்விழையினது நிறை W ஆயும் மீள்தன்மைக் குணகம் - வாயு
மிருந்தால், அது தன்னாரை a (1 + கோதா a) ஆகவுள்ள ஒரு வட்ட வடிவில் இருக் கும்போது சமநிலையடையுமென நிறுவுக.
8. ஒவ்வொன்றும் 26 நீளமுளள் சீரான சமகோல்கள் இரண்டு AB, AC என்பன A யிற் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்டனவாய் a என்னும் ஆரையுள்ள ஓர் ஒப்பமான நிலைக்குத்து வட்டத்தின்மீது ஓய்வில் இருக்கின்றன. மாயவேலைத் தத்துவத்தால், 20 என்பது அவற் றிடையேயுள்ள கோணமாயின், 6 சைன் 0 = a கோசை 0 எனக் காட்டுக.
9. பக்கம் 252 இலுள்ள பயிற்சி 13 ஐ மாயவேலைத் தத்துவத்தின் பிரயோகத்தாலே தீர்க்க.

இலேசான பலவினப் பயிற்சி 1. சைன் 18 ஆகவுள்ள ஒரு விரிகோணத்திலே தாக்குகின்ற 13 இறா., 14 இறா. என்னும் நிறைகளுக்கு முறையே சமமான இரு விசைகளின் விளையுளைக் காண்க.
2. 100 இறா. நிறை விசையொன்றை 60° கோணத்திலே தாக்குகின்ற இரு சம விசை களாகத் துணிக்க.
3. ABCD என்பது ஒரு சதுரம் ; 1 இறா. நிறை, 6 இறா. நிறை, 9 இறா. நிறை என்னும் விசைகளானவை முறையே AB, AC, AD என்னுந் திசைகளிலே தாக்குகின்றன ; அவற்றின் விளையுளின் பருமனை இரண்டு தசமதானத்திற்குத் திருத்தமாய்க் காண்க.
4. 120° என்னுங் கோணத்திலே தாக்குகின்ற இரு விசைகளின் விளையுள் சிறிய கூற்றிற்குச் செங்குத்து ; பெரிய கூறு 100 இறா. நிறைக்குச் சமன் ; மற்றைக் கூற்றையும் விளையுளையும் காண்க.
5. E, F என்பன ABCD என்னும் நாற்கோணியின் மூலைவிட்டங்கள் AC, BD என்பனவற்றினுடைய மையங்களாயிருக்க, EF என்பது G யில் இருகூறிடப்பட்டால், AG, BG, CG, DG என்பனவற்றாற் பருமனிலும் திசைகளிலும் குறிக்கப்படும் விசைகள் நான்கும் சமநிலையிலிருக்குமென நிறுவுக.
6. 12 அடி நீளமுள்ள ஓர் உரப்பான கோல் ஒரு நிலைக்குத்துச் சுவரிலிருந்து வெளியே கிடையாக முனைத்திருக்கின்றது. அதன் முனையில் 28 இறா. நிறையொன்று தூக்கப்பட்டால் அது ஒடியும். 8 கல் நிறையுள்ள ஒரு சிறுவன் அக்கோலினது நீளத்திற்கு வெளியே எவ்வளவு தூரத்திற்குப் பாதுகாப்போடு செல்லத் துணியலாம்.
7. ஒரு யார் நீளமும் 4 அவுன்சு நிறையுங் கொண்ட ஒரு கோல் ஒரு மேசையின் மீது அதன் நீளத்தின் மூன்றிலொரு பங்கு விளிம்புக்கு மேலாக நீண்டிருக்கும்படி வைக்கப்படு கின்றது. அக்கோலைக் கவிழ்க்காதவாறு அக்கோலின் முனைக்கு ஓர் இழையால் இணைக்கப் படத்தக்க மிகப் பெரிய நிறையைக் காண்க.
8. 30 இறா. நிறையுள்ள சீரான வளையொன்று தன் கீழ் முனை தரையின் மீது கிடக்கும் படியும் மேல் முனை ஒரு சிறு கப்பிக்கு மேலாகச் செல்லுகின்ற ஒரு இடையிழையினாலே ஒரு நிறைக்குத் தொடுக்கப்பட்டிருக்கும்படியும் ஓய்வில் இருக்கின்றது. அவ்வளை நிலைக்குத்திற்கு 60° இற் சாய்ந்திருந்தால், கீழ் முனையிலுள்ள அமுக்கம் ஏறத்தாழ 40 இறா. நிறை என்றும், அவ்விழைக்குத் தொடுக்கப்பட்ட நிறை ஏறத்தாழ 26 இறா. நிறை என்றும் நிறுவுக. - 9. • 1, 2, 3, 4, 5, 6 இறா. நிறைக்குச் சமமான சமாந்தர விசைகளுடைய பிரயோகப் புள்ளிகளின் தூரங்களானவை தந்தவொரு கோடு AB யினது நீளத்திற்குத் தந்தவொரு புள்ளி A யிலிருந்து முறையே 1, 2, 3, 4, 5, 6 அங்குலங்களாயின் அச்சமாந்தர விசைகளின்
மையத்தைக் காண்க.
10. ABC என்னும் முக்கோணியின் கோணம் B ஆனது ஒரு செங்கோணம் ; AB என்பது 8 அங்குல நீளமும் BC என்பது 11 அங்குல நீளமுமானவை ; A, B, C என்பன வற்றிலே முறையே 4, 5, 6 நிறையுள்ள துணிக்கைகள் வைக்கப்படுகின்றன ; A யிலி ருந்து அவற்றின் புவியீர்ப்பு மையத் தூரத்தைக் காண்க.
11. ABC என்னுஞ் சமபக்க முக்கோணியொன்றின் பக்கம் AB யின்மீது C யிற்குச் செம்மையாக உயரம் AB யின் அரைப்பங்கான ஒரு செவ்வகம் வரையப்பட்டிருக்கின்றது ; அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட முழு வுருவத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் AB யின் மையமென நிறுவுக.
12. ஒழுங்கான அறுகோணி யொன்றிலிருந்து தன் உச்சி மையமாகவும் தன் அடி ஒரு பக்கமாகவுமுள்ள சமபக்க முக்கோணியொன்று வெட்டியெடுக்கப்படுகின்றது. '. மீதியின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
287


Page 152
288
நிலையியல்
41 =+1 = =i 1111 { * * * * * )
13. ஆறு பென்னிகளின் ஓரடுக்கு ஒரு கிடை மேசையின்மீது கிடக்கின்றது. ஒவ்வொரு பென்னியுந் தனக்குக் கீழ் உள்ளதற்கு அப்பால் ஒரே தூரத்திற்கு நீண்டிருக்கின்றது. மிக வுயர்ந்த பென்னியின் மையத்திற்கும் மிகத் தாழ்ந்த பென்னியின் மையத்திற்கும் இடையே இயலத்தக்க மிகப் பெரிய கடைத் தூரத்தைக் காண்க.
14. 12 அங்குல நீளமான ஒரு நேர் நெம்பின் முனையில் இரு நிறைகளானவை தூக்கப்படும் போது சுழலையின் மீதுள்ள அமுக்கம் 20 இறா. நிறை ; முனைகளிலிருந்து சுழலைத் தூரங் களின் விகிதம் 3 : 2. அந்நிறைகளைக் காண்க.
15. 5 அடி நீளமும் 10 இறா. நிறையுமுள்ள ஒரு நேர் நெம்புக்கு ஒரு முனையில் அதன் சுழலை உண்டு ; 3, 6 இறா. நிறைகள் சுழலிலையிலிருந்து 1 அடி, 3 அடி என்னுந் தூரங்களில் அதற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அது மற்றை முனையிலுள்ள ஒரு விசையாற் கிடையாக வைக்கப்படுகின்றது ; சுழலையின் மீதுள்ள அமுக்கத்தைக் காண்க.
16. ஒவ்வொரு கப்பியும் P என்னும் நிறையுடையதாய் வெவ்வேறிழையாலே தூங்கு கின்ற 5 அசையத் தக்க கப்பித் தொகுதியொன்றில் எத்தனம் P யிற்கும் நிறை W விற்கும், இடையேயுள்ள தொடர்பைக் காண்க.
17. நிறைகள் தூங்குகின்ற ஒரு நிறையில் சட்டத்திற்கு ஒவ்வோரிழையுந் தொடுக்கப்பட் டுள்ள, 5 நிறையில் கப்பி கொண்ட தொகுதியொன்றில் அவ்விழைகளானவை தொடர்ச்சியாக ஓரங்குல தூரங்களில் இருந்தால், அச்சட்டம் என்றுங் கிடையாக இருக்கும் வண்ணம் அந் நிறை அச்சட்டத்தின் எப்புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்படல் வேண்டுமெனக் காண்க.
18. 5 இறா. திணிவுள்ள ஒரு பொருள் கிடையுடன் 300 இற் சாய்ந்த ஓர் ஒப்பமான தளத் தின்மீது கிடக்க, அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாக மேன்முகமாகத் தாக்குகின்ற 2 இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாலும், அத்தளத்திற்கு 30° கோணத்திலே தாக்கு கின்ற P இறா. நிறைக்குச் சமனான ஒரு விசையாலுந் தாக்கப்படுகின்றது. அப்பொருள் சம நிலையில் இருந்தால், P யின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
19. செம்மையான ஒரு தராசின் ஒரு தட்டு நீக்கப்பட, மற்றைத் தட்டில் ஒரு திணிவும் வைக்கப்படவில்லையாயின், 2a என்பது தராசுக் கோலினது நீளமாயும் h, k என்பன முறையே கோலிலிருந்தும் அத்தராசின் புவியீர்ப்பு மையத்திலிருந்தும் தூக்கப் புள்ளியி னுடைய தூரங்களாயும், S, W' என்பன முறையே அத்தராசுத் தட்டினது நிறையும் அத் தராசின் மீதியின் நிறையுமாயிருந்தால், கிடைக்கு அக்கோலின் சாய்வு
Se
தான்-1
Sa) W/k+ S% என நிறுவுக.
20. ஒரு பொதுத் துலாக் கோலின் சுழலையிலிருந்து அதன் சட்டத்தின் புவியீர்ப்பு மையத் தூரம் 2 அங்குலமாயும் அசையத்தக்க நிறை 4 அவுன்சாயும் சட்டத்தினது நிறை 2 இறா. ஆயும் இருந்தால் புவியீர்ப்பு மையத்திலிருந்து அளவுகோடுகளின் பூச்சியத் தூரத் தைக் காண்க. அன்றியும் சுழலைக்குந் தராசுத் தட்டு இணைக்கப்பட்டுள்ள முனைக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் 4 அங்குலமாயின் அடுத்தடுத்துள்ள அளவுகோடுகளுக்கு இடை யேயுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
21. ஒரு திருகின் பரிதி 20 அங்குலமாயும் அடுத்தடுத்துள்ள புரிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் •75 அங்குலமாயும் இருந்தால், அதன் பொறிமுறை நயத்தைக் காண்க.
22. கரட்டுத் தளமொன்றின் உயரத்திற்கு அதன் அடி 3 : 4 என்னும் விகிதத்திலுள்ளது. அப்பொருளினது நிறையின் அரைப்பங்குக்குச் சமனான ஒரு கிடை விசையினால் ஒரு பொருள் அதன்மீது மட்டாகத் தாங்கப்படுமெனக் காணப்படுகின்றது ; அப்பொருளுக்கும் அத்தளத் திற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகத்தைக் காண்க.
23. 30 அடி நீளமான ஓரேணி ஒரு முனை ஓர் ஒப்பமான நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராகக் இடக்க மற்றை முனை உராய்வுக் குணகம் ! ஆயுள்ள கரட்டுத் தரையின் மீது இருக்க ஓய்வில்

பலவினப் பயிற்சி
289
இருக்கின்றது; அவ்வேணியின் அடி சுவரிலிருந்து 6 அடியாயின் அவ்வேணிபோல் நான்கு மடங்கு நிறையுள்ள ஒரு மனிதன் அவ்வேணி வழுக்கத் தொடங்குமுன் எவ்வளவு உயரத்திற்கு ஏறுவான் எனக் காண்க.
24. உருளை வடிவான இயக்கு பொறித் தண்டொன்று நீரின் 2-3 மடங்கு அடர்த்தியான சோக்குக்கூடாக 100 பாக ஆழத்திற்கு ஆழ்த்தப்படல் வேண்டும் ; அத்தண்டின் விட்டம் 10 அடி ஆயின் நாளுக்கு 8 மணி நேரம் வேலை செய்து 12 நாள்களிலே அத்திரவியத்தை வெளியே அகற்றும் எஞ்சினின் ப.வ. என்னவாதல் வேண்டும்?
அரும் பலவினப் பயிற்சி 1. 0 என்பது ABC என்னும் முக்கோணியின் சுற்றுமையமாயிருக்க, BC, CA, AB 'என்பனவற்றிற்கு விகிதசமான விசைகள் OA, OB, OC என்பனவற்றின் வழியே தாக்கினால்,
அவற்றின் விளையுள் உள் மையத்திற்கூடாகச் செல்லுமெனக் காட்டுக.
2. ஓரொழுங்கில் எடுத்த ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்களின் வழியே மூன்று விசைகள் தாக்குகின்றன; அவற்றின் விளையுள் அம்முக்கோணியின் நிமிர்கோண மையத்திற்கூடாகவும் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகவுஞ் செல்கின்றது; அவ்விசைகள்
சைன் 2A சைன் (B - C) : சைன் 2B சைன் (C - A) : சைன் 2C சைன் (A - B) என்னும் விகிதத்தில் இருக்குமெனக் காட்டுக. அன்றியும், அவ்விசைகள் கோசை B - கோசை C: கோசை C - கோசை A: கோசை A - கோசை B என்னும் விகிதத்தில் இருந்தால், அவற்றின் விளையுள் உள் மையத்தையும் சுற்றுமையத்தையும் தொடுக்குங் கோட்டின் வழியே தாக்கு மெனவுங் காட்டுக.
3. மூன்று விசைகள் PA, PB, PC என்பன P என்னும் புள்ளியிலிருந்து விரிகின்றன : வேறு மூன்று AQ, BQ, CQ என்பன Q என்னும் புள்ளிக்கு ஒருங்குகின்றன. அவ்வாறு விசைகளின் விளையுள் 3PQ என்பதனாற் பருமனிலும் திசையிலும் குறிக்கப்படுமென்றும் அது ABC என்னும் முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கூடாகச் செல்லுமென்றுங் காட்டுக.
4. T என்பது ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் நிமிர்கோண மையம் ; 0 என்பது அதன் சுற்றுமையம்; AT, BT, CT என்னும் மூன்று விசைகளுக்கும் 2 OT யாற் குறிக்கப் படும் ஒரு விசை விளையுளாக உண்டு எனக் காட்டுக.
5. ஒரு முக்கோணியினுடைய வெளிவட்ட மையங்களில் வைக்கப்படும் மூன்று துணிக்கைகள் அவ்வட்டவாரைகளுக்கு நேர்மாறு விகிதமாயின், அத்துணிக்கைகளின் புவியீர்ப்பு மையத் தைக் காண்க.
6. ABCD என்பது ஒரு செவ்வகம் ; P என்பது AD யில் உள்ள ஒரு புள்ளியாயிருக்க PDC என்னும் முக்கோணி எடுக்கப்பட, மீந்திருக்கும் ABCP என்னுஞ் சரிவகவுருவானது P யிலிருந்து தூக்கப்படும் பொழுது, AP, BC என்னும் பக்கங்கள் கிடையாக இருக்கத் தூங்கினால் P யினது நிலையைக் காண்க.
7. C யில் விரிகோணமுள்ள ABC என்னும் ஒரு முக்கோணித் தகடு தன்பக்கம் AC ஆனது ஒரு மேசையைத் தொடும்படியாக நிற்கின்றது. W என்பது அம்முக்கோணியின் நிறையாயின் B யிலிருந்து தூக்கப்பட அம்முக்கோணியைக் கவிழ்க்கும் மிகச் சிறிய நிறை
1ா +362 - 02
3W 2- 2-62
எனக் காட்டுக.
> a + 36 ஆயின் மேலுள்ளதை விளக்குக.


Page 153
290
நிலையியல்
8. ஒரு சீட்டுக்கூட்டம் ஒரு மேசையின்மீது வைக்கப்பட்டுள்ளது : ஒவ்வொரு சீட்டு தனக்குக் கீழேயுள்ளதற்கு அப்பால் அக்கூட்டத்தினது நீளத்திசையிலே நீண்டிருக்கின்றது ; ஒவ்வொன்றும் இயலத்தக்க அளவிற்கு நீண்டிருந்தால் அடுத்தடுத்த சீட்டுக்களுடைய முனைகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் ஓர் இசைவிருத்தியை ஆக்குமெனக் காட்டுக.
9. aA, bB, CC... என்பன தம் பிரயோகப் புள்ளிகள் a, b, c... என்பனவாயும், தம்முனை கள் A, B, C,... என்பனவாயுமுள்ள m விசைகளைக் குறித்தால், g என்பது a, b, 0,... என்னும் n துணிக்கைகளின் சடத்துவ மையமாயும், G என்பது A, B, C,... என்னும் 1 சமதுணிக் கைகளின் சடத்துவ மையமாயும் இருக்க, அவ்விசைகளின் விளையுள் பருமன் திசைகளில் 7'gG என்பதாலே தரப்படும் எனக் காட்டுக.
g என்பது G யோடு பொருந்தினால் என்ன பெறப்படும் ? 10. W நிறையுடைய ஒரு பொருளிலிருந்த w நிறையுடைய ஒரு பகுதி வெட்டப்பட்டு 23 என்னுந் தூரத்திற்கூடாக இயக்கப்படுகின்றது ; அம்முழுப் பொருளின் புவியீர்ப்பு மையத் தினுடைய இரு நிலைகளையுந் தொடுக்குங் கோடு இயக்கப்பட்ட பகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத் ) தினுடைய இரு நிலைகளையுந் தொடுக்குங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக.
11. ஒரே திரவியத்தாற் செய்யப்பட்ட AB, AC என்னும் சீரான கோல்கள் இரண்டு A யில் விறைப்பாகத் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன ; BAC என்னுங் கோணம் 60° ஆயும், AB யினது நீளம் AC யினது நீளத்தின் இரு மடங்காயும் இருக்கின்றன. G என்பது அக்கோல்
இப்புதிறன் ?w Ac.
களின் சடத்துவ மையமாயின், BG = AC / எனக் காட்டுக; அத்தொகுதி AB என்னுங் கோலின் B என்னும் முனையிலிருந்து சுயாதீனமாய்த் தூக்கப்பட்டால் A யிலுள்ள தாக்கம் அத்தொகுதியினது நிறை W என்பதன் மூன்றிலொன்றுக்குச் சமமான ஒரு நிலைக் குத்து விசையாலும் தனது திருப்புதிறன் 2w, ஆயுள்ள ஓர் இணையாலும் அமைந் துள்ள தெனக் காட்டுக.
12. 10 அடி அகலத்தையும் 500 இறா. நிறையையுமுடைய ஒரு படலையின் பிணையல்கள் ஒன்றுக்கொன்று 4 அடி தூரத்தில் இருந்தால், எல்லா நிறையுங் கீழ்ப்பிணையலாலே தாங்கப்படுகின்றதெனக் கொண்டு மேற்பிணையலின் மீதுள்ள தகைப்பு 625 இறா. நிறை யாதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
13. A என்னும் எழுத்தின் வடிவமுள்ள படியேணியொன்றிற்கு ஒவ்வொரு காலும் நிலைக்குத்திற்கு a என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்துள்ளது; அது ஒரு கிடைத் தளத்தின் மீது வைக்கப்பட்டு அக்கால்களுடைய மையங்களைத் தொடுக்கும் ஒரு நாணாற் பிடிக்கப்படுகின்றது; ஓரிடமும் உராய்வில்லை ; தரையிலிருந்து அவ்வேணியின் உயரத்தின் - இற்குச் சமனான ஒருயரத்திலுள்ள படியொன்றில் W என்னும் ஒரு நிறை வைக்கப்பட்டால், அந்நாணின் இழுவையின் அதிகரிப்பு - W தான் a எனக் காட்டுக.
14. ~ ஆரையையுடைய ஓர் உருளை கிடையாக நிலையாக்கப்பட்டள்ளது ; அது ஒரு பிறப்பிக்குங் கோட்டினது நீளத்திற்கு ஒரு நிலைக்குத்தான சுவரைத் தொடுகின்றது 21 நீளத்தையும் W நிறையையும் உடைய ஒரு தட்டையான வளை சீரான திரவியத் தால் ஆக்கப்பட்டுத் தன்னுடைய முனைகள் அச் சுவரையும் உருளையையுந் தொட்டுக் கொண்டிருக்க, நிலைக்குத்தோடு 45° என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக்கொண்டு
| 1 V5-1 கிடக்கின்றது. உராய்வு இல்லை எனின், - => என்றும், அச்சுவரின் மீதுள்ள அமுக்
'' "/10 " கம் AW என்றும், அவ்வுருளையின் மறுதாக்கம் 4/5w என்றுங் காட்டுக.

பலவினப் பயிற்சி
291
15. a ஆரையுடைய ஓர் ஒப்பமான உருளைக் கிண்ணமொன்றின் உட்பக்கம் ஒரு பகுதியும் வெளிப்பக்கம் ஒரு பகுதியுமாக 32ா நீளமான சீரான கோலொன்று கிடக்கின்றது. சமநிலை எய்தும் நிலையில் அக்கோல் சிடையுடன் 60° கோணத்தை ஆக்குகின்றதெனக் காட்டுக ; அன்றியும், அவ்வுருளையினது நி றை குறைந்த அளவில் அக்கோலினது நிறையின் ஆறு மடங்காயினாலன்றி, அவ்வுருளை கவிழுமென்று நிறுவுக.
16. கோளவடிவான அக மேற்பரப்புள்ள ஒரு கவிழுங் கலசம் தன் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கு மேலே a என்னுந் தூரத்திலும் கோள மையத்திற்குக் கீழே - என்னுந் தூரத்திலுமுள்ள ஓரச்சைச் சுற்றித் திரும்புதற்குச் சுயாதீனமாய் இருக்கின்றது ; பாரமான ஒரு பந்து அக் கலசத்தின் அடியில் வைக்கப்படுகின்றது ; அப்பந்தினது நிறை அக்கலசத்தினது நிறையின் - என்னும் பின்னத்திலும் மேற்பட்டால் அக்கலசம் கவிழுமெனக் காட்டுக.
17. ஒரு தளவடியாலே மூடப்பட்ட மெல்லரைக்கோள ஓடொன்று நீராலே நிறைக்கப் - பட்டுள்ளது; அதனடி விளிம்பிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூக்கப்பட்டால், அது தன்னடி நிலைக்குத்தோடு a என்னுங் கோணத்திற் சாயந்திருக்கத் தூங்குகின்றது. நீரினது நிறை ஓட்டினது நிறையோ கொள்ளும் விகிதம் தான் a -: - தான் எனக் காட்டுக.
18. a என்னும் ஆரையுடைய ஒரு பொள்ளுருளை இரு முனைகளிலும் திறந்த தாய் மெல்லுலோகத்தால் ஆக்கப்பட்டதாய் ஓர் ஒப்பமான கிடைத்தளத்தின்மீது வைக்கப்படுகின்றது. அதற்குள் r என்னும் ஆரையுடைய இரண்டு ஒப்பமான கோளங்கள் ஒன்றிற்கு மேல் ஒன்றாக வைக்கப்படுகின்றன. 20 > 2r>a ஆயும், அவ்வுருளையினது நிறை W ஆயும், அக் கோளங்களுள் ஒன்றினது நிறை W' ஆயுமிருக்க, W . a = 2W' (a -Tr) ஆயின் அவ் வுருளை கவிழாது மட்டாக நிமிர்ந்து நிற்குமெனக் காட்டுக.
19. தனது தளம் நிலைக்குத்தான இருசமபக்க முக்கோணித் தகடொன்று ஒரே கிடைக் கோட்டிலுள்ள இரண்டு ஒப்பமான முளைக்கட்டைகளுக்கிடையே உச்சி கீழ்முகமாக இருக்கும் படி கிடக்கின்றது; அத்தகட்டின் உச்சிக்கோணம் 20 ஆயும், அடியின் நீளம் அம்முளைக் கட்டைகளுக்கிடையேயுள்ள தூரத்தின் மூன்று மடங்காயுமிருக்க, அடி நிலைக்குத்தோடு சைன்- 1 (கோசை'a) என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினால், அங்கு சம நிலை இருக்குமெனக் காட்டுக.
20. தன் குறுக்கு வெட்டுமுகஞ் சமபக்க முக்கோணியாயுள்ள ஓர் அரியம் தன்னுடைய விளிம்பு இரண்டு, கிடையுடன் 2, 3 என்னுங் கோணச் சாய்வுடைய ஒப்பத் தளச் களின் மீது கிடையாக இருக்கும்படி ஓய்விற் கிடக்கின்றது. இவ்விளிம்புகளுக்கூடாகங் செல்லுந் தளம் நிலைக்குத்தோடு 0 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினால்,
2/3 சைன் a சைன் 3 + சைன் (a + 3) தான் 0 = -
' எனக் காட்டுக.
V3 சைன் ( ~ 3) 21. 1 இறா. நிறையுள்ள சமபக்க முக்கோணி மென்பலகையொன்று தன்னடியின் காற்பகுதி ஒரு கிடை மேசை முனையின்மீது கிடக்கும்படி இருக்கின்றது; அதன் உச்சிக்கும் அம்முக்கோணி இருக்கின்ற அதே நிலைக்குத்துத் தளத்தில் அம்மேசையின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் தொடுக்கப்பட்ட ஓர் இழையினால் அது விழாதவாறு நிறுத்தப்படுகின்றது. அவ் விழையினது நீளம் அம்முக்கோணியின் அடிக்கு மேலே உச்சியின் உயரத்தின் இரு மடங்கா யின், அதன் இழுவையைக் காண்க.
22. உயரம் h ஆயும் அரையுச்சிக் கோணம் . ஆயுமுள்ள ஒரு திண்மக் கூம்பு ஓர் ஒப்பமான நிலைக்குத்துச் சுவருக்கெதிராய் அடி இருக்குமாறு வைக்கப்பட்டு அதன் உச்சிக்கும் அசசுவரிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்குந் தொடுக்கப்பட்ட ஓர் இழையினாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ் விழையின் இயலக்கூடிய மிகப்பெரிய நீளம் h/1+ 'நீ தான் எனக் காட்டுக.
1:2-1 (1704 (6765)


Page 154
292
நிலையியல்
23. • ஒரு கூம்பின் உயரம் h ; அதன் அடியின் ஆரை "; அதனுச்சிக்கும் அதன் வட்ட வடியின் பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் ஓரிழை தொடுக்கப்பட்டு ஒப்பமான ஒரு முளைக் கட்டைக்கு மேலாக வைக்கப்படுகின்றது ; தன்னச்சுக் கிடையாக இருக்கும்படி அக்கூம்பு ஓய்வடைந்தால், அவ்விழையினது நீளம் Vh2 + 472 ஆதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
24. ஒப்பமான ஒரு இடைத் தளத்தின்மீது ஒன்றையொன்று தொட்டுக்கொண்டு ஒப்ப மான மூன்று சம கோளங்கள் கிடக்கின்றன ; அவை தம் மையங்களினுடைய தளத்திலே முடிவில்லிழையொன்றாலே மட்டாகப் பொருத்தப்பட்டு ஒருங்கு வைக்கப்படுகின்றன ; நாலாஞ் சமகோளமொன்று அவற்றின்மீது வைக்கப்பட்டால், அவ்விழையின் இழுவை அக்கோளங்களுள் யாதுமொன்றினது நிறையோடு 1: 3/6 என்னும் விகிதங்கொள்ளு மெனக் காட்டுக.
25. 2a நீளமுள்ள ஒர் ஒப்பமான கோல் கிடையுடன் a சாய்வுள்ள ஒரு தளத்தின்மீது ஒரு முனை கிடக்கும்படி இருக்க அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமான ஒரு. கிடைச் சலாகையால் அதிலிருந்து C தூரத்திலே தாங்கப்படுகின்றது. அச்சாய்தளத்துடன் அக்கோலின் சாய்வு சி என்பது
( சைன் a=a சைன் 6 கோசை (0 - a) என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக. 26. ஒரு சதுரப் பலகையானது தன் மேல் விளிம்பினுடைய இரு முனைகளுக்குத் தொடுக்கப் பட்டதும் ஒரு நிறை ஒப்பரவுச் சலாகையைச் சுற்றித் தூக்கப்பட்டதுமான ஓரிழையினால் ஒரு சுவருக்கெதிராய்க் கிடையாகத் தூக்கப்படுகின்றது ; அவ்விழையினது நீளம் அப்பலகையின் மூலைவிட்டத்திலுஞ் சிறிதாகும்போது சமநிலை எய்தும் மூன்று நிலைகள் அதற்கு உண் டெனக் காட்டுக.
27. ~ ஆரையுடைய அரைக்கோளத் தகழியொன்று ஒப்பமான ஒரு கிடை மேசையின் மீது கிடக்கின்றது ; 21 நீளத்தையும் அத்தகழியினது நிறைக்குச் சமனான நிறையையு முடைய ஒரு கோல் ஒரு பகுதி அத்தகழிக்குள்ளே இருக்கக் கிடக்கின்றது. a என்பது கிடையுடன் அக்கோளவடியின் சாய்வாயும், 23 என்பது அத் தகழிக்குட் கிடக்குங் கோலின் பகுதியாலே மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங் கோணமாயும் இருந்தால், சமநிலை அடையும் நிலை 1 சைன் (a + 3) = r சைன் 4 = - 2r கோசை (a + 23) என்னுஞ் சமன்பாட் டாலே தரப்படும் எனக் காட்டுக.
28. W நிறையுள்ள சீரான கோலொன்று தன்னுடைய முனைகளுக்குத் தொடுக்கப்பட்டன வாயும் ஒவ்வொன்றும் 1 நீளமானதாயுமுள்ள இரண்டு நிலைக்குத் திழைகளாலே ஒரு சுவரில் இரண்டு ஆணிகளிலிருந்து கிடையாகத் தூக்கப்படுகின்றது. 30° என்னும் உச்சிக் கோணமுள்ள ஓர் ஒப்பரவான நிறையில்லா ஆப்பு அவ்விழைகளைத் தொடாதவாறு அச்
W சுவருக்குங் கோலுக்குமிடையே என்னும் ஒரு நிலைக்குத்து விசையோடு கீழ்முகமாக அமுக்கப்படுகின்றது ; அதன் கீழ்முகம் கிடையாக இருக்க அதன் முகமொன்று அச்சுவரைத் தொடுகின்றது. அக்கோல் அச்சுவரிலிருந்து தள்ளப்படுந் தூரத்தைக் காண்க.
29. AB என்பது கிடையுடன் , a என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் ஒப்பமான தளம் ; அதன் கீழ்முனையாகிய A யில் உள்ள ஒரு பிணையல்பற்றி 2a என்னு நீளமுள்ள AC என்னும் ஒரு பாரமான சீரான ஒப்பப் பலகை உராய்வின்றி வேலை செய்கின்றது." அத்தளத்திற்கும் பலகைக்குமிடையே - ஆரையையுடைய ஓர் ஒப்பாவான உருளை வைக் கப்படுகின்றது ; அவ்வுருளை மேலுள்ள பலகையின் அமுக்கத்தால் வழுக்குதலினின்றுந் தடுக்கப்படுகின்றது. W என்பது அப்பலகையினது நிறையாயும், W' என்பது அவ்வுருளை யினது நிறையாயும் 0 என்பது அத்தளத்திற்கும் பலகைக்குமிடையேயுள்ள கோணமாயும் இருந்தால்,
Wr
1- கோசை 8 = கோசை (a +0) -
- எனக் காட்டுக. சைன் a

பலவினப் பயிற்சி
293
30. r என்னும் ஆரையையும் ஒ பமான விளிம்புகளையும் உடைய இரண்டு சமவட்டத் தட்டுக்கள் 2a என்னுங் கோணத் திற் சாய்ந்த இரண்டு ஒப்பமான நிலைக்குத்துத் தளங்க ளக்கு இடையிலுள்ள மூலையிலே தம் தட்டைப் பக்கங்களின்மீது வைக்கப்படுகின்றன ; அவை அககோணத்தை இருகூறிடுங் கோட்டிலே ஒன்றையொன்று தொடுகின்றன ; அவற்றை விலகச் செய்யாது அவற்றிடையே அமுக்கப்படத்தக்க மிகச்சிறிய தட்டின் ஆரை 7(சீக - 1) என நிறுவுக.
31. ABCD என்னும் ஒரு செவ்வகச் சட்டம் புறக்கணிக்கப்படத்தக்க நிறை உடையனவும் சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்டனவுமாகிய நான்கு சலாகைகளாலாயது; AD என்னுஞ் சலாகை ஒரு நிலைக்குத்து நிலையிலே நிறுத்தப்பட்டுள்ளது. AB என்னும் மேற் கிடைச் சலாகையிலே தந்த ஒரு புள்ளி P யில் ஒரு நிறை வைக்கப்படுகின்றது; அச்சட்டம் AC என்னும் ஓர் இழையி னால் ஒரு செவ்வகவடிவில் வைக்கப்படுகின்றது. அவ்விழையின் இழுவையைக் காண்க; இந்நிறை அதன் முந்திய நிலைக்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே CD என்னுஞ் கீழ்ச்சலாகையின் மீது வைக்கப்பட்டால், அவ்விழுவை மாறாதெனக் காட்டுக.
32. MN என்னும் சீரான கோலொன்றினுடைய முனைகள் கிடையுடன் 2, 3 என்னுங் கோணங்களை ஆக்குகின்ற ஒரே நிலைக்குத்துத் தளத்திலுள்ள OA, OB என்னும் இரண்டு நிலை யான நேர்க்கரட்டுத் தவாளிப்புக்களுள் இருக்கின்றன ; 8 என்பது உராய்வுக் கோணமாயின், M என்னும் முனை AO என்னுந் திசையில் வழுக்கும் நிலையில் இருக்கும் பொழுது கிடையுடன்
சைன் (au -3-28) - MN இன் சாய்வுக் கோணத்தின் தான்சன் -
எனக் காட்டுக "" 2 சைன் (348) சைன் (a - 6) 33. கிடையுடன் தன் சாய்வு 0 என்பது உராய்வுக் கோணம் என்பதிலும் பெரிதா யுள்ள ஒரு காட்டுச் சாய்தளத்தின்மீது ஓய்விற் கிடக்கும் ஒரு கோல், அத்தளத்திற்குத் தொடுக் கப்பட்டுள்ள தன்னுடைய முனைகளுள் ஒன்று பற்றித் திரும்புதற்குச் சுயாதீனமாய் இருக் கின்றது ; சமநிலைக்கு, மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோட்டு ன் அக்கோலின் மிகப்பெரிதாயிருக்கத்
தக்க சாய்வு சைன்- 1 (தான் ) கோதா a) எனக் காட்டுக.
34. 2a நீளமுடைய சீரான சமகோல்கள் இரண்டு ஒரு பிணையலால் ஒரு முனையிலே மூட்டப்பட்டனவாய் c என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு நிலையான கரட்டுத்தளத்தின்மீது சமச்சீரிற் கிடக்கின்றன. சம நிலையின் எல்லை நிலையைக் காண்க. உராய்வுக் குணகம் C :- a ஆயின், நிலைக்குத்திற்கு ஒவ்வொரு கோலின் காஸ்லைச் சாய்வு தான் -- 1/C - a எனக் காட்டுக. 35. 2c நீளமான சீரான நோகோலொன்று a என்னும் ஆரையையுடைய கரட்டுப் பொட்கோளமொன்றிற்குள்ளே இயலக்கூடியவளவு உயரத்தில் ஒரு இடை நிலையில் வைக்கப் படுகின்றது. அக்கோலின் மையத்தை மக்கோளத்தின் மையத்தோடு தொடுக்குங்கோடு நிலைக் 'குத்தோடு தான் - 1
R---..., ப.a
ன 'Va9 - 0 °
என்னுங் கோ ண த்தை ஆக்குமெனக் காட்டுக.
36. ஒரு கரட்டுக் கோல் ஒரு நிலைக்குத்து நிலையிலே நிறுத்தப்படுகின்றது ; நிலையான ஒரு புள்ளிக்கு ஒரு முனை சுயாதீனமாய் மூட்டப்பட்ட ஒரு கோல் அந் நிலையான கோலின்மீது கிடந்து கொண்டு சமநிலையில் இருக்கின்றது ; மந் நிலையான புள்ளியிலிருந்து அந் நிலையான கோலிற்கு வரையுஞ் செங்குத்து, 6 நீளமுடையதாய், இடையுடன் a கோணத்திற் சாய்ந் திருந்தால், ப. என்பது உராய்வுக் குணகமாயிருக்க, அவ்வசையத்தக்க கோலானது கிடக் கக்கூடிய புள்ளியுள்ள அந் நிலையான கோற்பகுதி,
2. 6 கோசைa
-- எனக் காட்டுக. Vசைன்ட் 4 - u.2 கோசை a - 37. ஒரு கண்ணாடிக் கோலானது, தன் கீழ்முனை ஒரு பளிங்குக் கிண்ணத்தினது நிலைக்குத் துப் பக்கத்திற் சார்ந்து கிடக்க, அக்கிண்ணத்திற்கு உள்ளே ஒரு பகுதியும் வெளியே ஒரு பகுதியுமாகக் கிடக்கின்றது. aa, 3 என்பன நிலைக்குத்தோடு அக்கோல் ஆக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய கோணமும் மிகச்சிறிய கோணமும் ஆயின, உராய்வுக் கோணம்
ப.a


Page 155
294
நிலையியல்
சைன்' a - சைன் ? { தான்-1-
சைன்' 1 கோசை ய+சைன் 3 கோசை 3
--% ஆகும் எனக் காட்டுக.
38. செவ்வகத்திண்ம வடிவான ஒரு பெட்டியின் உள்ளே ஒரு பகுதியும் வெளியே ஒரு பகுதியுமாக ஒரு கோல் கிடந்து ஒரு முனையால் அப்பெட்டியின் கரட்டு நிலைக்குத்துப் பக்கத் தின் மீது அமுக்கிக்கொண்டு ஒப்பமான எதிர் விளிம்பைத் தொட்டுக் கொண்டு கிடக்கின்றது. > என்பது உராய்வுக் குணகமாயும் அப்பெட்டியினது நிறை அக்கோலினது நிறையினுடைய நாலு மடங்காயுமிருக்க, அக்கோல் வழுக்கும் நிலையிலும் அப்பெட்டி அதே கணத்திற் கவிழும் நிலையிலும் இருந்தால், நிலைக்குத்தோடு அக்கோல் ஆக்குங் கோணம் 4) + கோசை -1 (கோசை )) எனக் காட்டுக.
39. பாரமான சீரான கோலொன்று காட்டுக் கிடை மேசை ஒன்றன்மீது கிடக்கின்றது; அது யாதுமொரு புள்ளிக்குத் தொடுக்கப்பட்ட ஒர் இழையினாலே தனது நீளத்திற்குச் செங்குத் தாக இழுக்கப்படுகின்றது. எப்புள்ளி பற்றி அது திரும்பத் தொடங்கும்?
அன்றியும் அக்கோலை இயக்குதற்கு அதன் மையத்திலும் அக்கோலின் முனைக்கூடாக அதற்குச் செங்குத்திலும் விசைகள் பிரயோகிக்கப்பட்டால், அவற்றின் விகிதம் V2 +1:1 ஆகு மெனக் காட்டுக.
40. இலேசான ஒரு கோலின் மையத்திலிருந்து C என்னுஞ் சமதூரங்களிலே பாரமான இரண்டு சமதுணிக்கைகளும், a என்னுஞ் சமதூரங்களிலே இரண்டு இழைகளுந் தொடுக்கப்பட் டுள்ளன ; பின் அக்கோல் ஒரு கரட்டுக் கிடை மேசையின் மீது வைக்கப்படுகின்றது ; அவ் விழைகள் அக்கோலின் எதிர்த் திசைகளிலே நிலைக்குத்தோடு ஒரே கோணம் 0 என்பதை ஆக்கிக் கொண்டு இருக்கின்ற அக் கோலிற்குச் செங்குத்தான திசைகளில் இழுக்கப்படுகின்றன. அக்கோலைத் திருப்பும் மிகக் குறைந்த இழுவைகளைக் காண்க ; உராய்வுக் குணகம் - ஆயின், 0 என்பது 45° ஆகும்போது இழுவை மிகக் குறைந்ததாகுமெனக் காட்டுக.
41. ஒவ்வொன்றும் W நிறையுள்ள இரண்டு ஒத்த சமதுணிக்கைகள், A, B என்பன .. ஒரிலேசான இழையினாலே தொடுக்கப்பட்டனவாய், கரடான ஒரு கிடைத் தளத்தின்மீது கிடக்கின்றன ; உராய்வுக் குணகம் 1. ஆகும். 2. W விலுங் குறைவான P என்னும் ஒரு விசை BA என்னுந் திசையில் A யிற் பிரயோகிக்கப்படுகின்றது; அதனுடைய திசை கிடைத் தளத்தில் 0 என்னுங் கோணத்திற்கூடாகப் படிப்படியாகத் திருப்பப்படுகின்றது. P என்பது
P
v2u.W விலும் பெரிதாயின, கோசை 0 =
- ஆகும் பொழுது இரு நிறைகளும் வழுக்கு
மெனக் காட்டுக; ஆனால், P. என்பது W விலும் பெரிதாய் இருந்தால், சைன் 6 = ஆகும்பொழுது A மாத்திரம் வழுக்குமென்றுங் காட்டுக.
42. AB என்னும் சீரான காட்டு வளையொன்று வேறிரண்டின்மீது A, 0 என்னும் புள்ளிகளிற் கிடையாகக் கிடக்கின்றது. AB என்பது 2a யாயும், AC என்பது 6 ஆயும், வளையினது நிறை W வாயும், உராய்வுக் குணகம் வாயும் இருந்தால், BA யிற்குச் செங்குத்தான ஒரு திசையில் B யிற் பிரயோகிக்கப்பட்டு அவ்வளையை இயக்கத் தக்க மிகச் '
b - a சிறிய கிடை விசை 4 பw, u W, என்னும் இரு விசைகளுட் குறைந்ததாகும் எனக் காட்டுக.
'20 - 6) 43, 2u நீளமான AB என்னும் கரடான, சீரான வளையொன்று கரட்டுத்தன்மை சமனான இரு சம பந்துகளின்மீது கிடையாக வைக்கப்படுகின்றது; அவ்வளை அப்பந்துகளை C, D என்பனவற்றிலே தொடுகின்றது ; அப்பந்துகளுடைய மையங்களிடையேயுள்ள தூரம் 6 ஆகும்; ) என்பது ' இலும் பெரிதன்றனின், B யில் அவ்வளைக்குச் செங்குத்தாக உஞற்றப்படும் P

பலவினப் பயிற்சி
295
என்னும் ஒரு விசை அவ்வளையை C, D என்னும் இரண்டிலும் ஒரே நேரத்தில் இயக்க நிலையில் இருக்கும்படி செய்யும் ஒரு நிலை அவ்வளைக்குக் காணப்படலாமெனக் காட்டுக.
44. கிடையுடன் தந்த கோணங்களிற் சாய்ந்த இரண்டு கரட்டுத்தன்மை சமனின்றிய நிலைத்த தளங்களுக்கிடையில் ஒரு கிடை நிலையில் அத்தளங்களுக்குச் செங்குத்தான ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திற் பாரமான சீரான வளையொன்று வைக்கப்படுகின்றது. அது அங்கே தங்கும்படியான நிபந்தனையைக் காண்க. - 45. ஒரு முனை ஒரு காட்டுக் கிடைத்தளத்தின்மீதும் மற்றைமுனை கிடையுடன் a என்னுங் 5 கோணத்திற் சாய்ந்ததும் கரட்டுத்தன்மை சமனானதுமாய ஒரு தளத்தின்மீதுங் கிடக்க, சீரான கோலொன்று எல்லைச் சம நிலையில் இருக்கின்றது. ) எனபது உராய்வுக் கோண மாயிருக்க அக்கோல் ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தில இருந்தால், கிடையுடன் அக்கோலின் சாய்வு 0 என்பது
சைன் (az - 2) , தான் 0 =-
- என்பதாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக. அன்றியும், அத் 2 சைன் ) சைன் (a - N) தளங்களுடைய செவ்வன் மறுதாக்கங்களையுங் காண்க.
46. C என்னும் ஆரையையுடைய ஓர் ஒப்பமான கிடையுருளைக்குக் குறுக்காக ஒரு கவராயம் கிடந்தால், அக் கவராயக்கால்களை வழுக்குதலினின்றுந் தடுத்தற்கு மூட்டிலுள்ள உராய்வு இணை W(c கோதா கோசீ 4 - a சைன் a) ஆதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
இங்கு W என்பது ஒவ்வொரு காலினது நிறை என்றும், 20 அக்கால்களுக்கிடையே யுள்ள கோணமென்றும், a என்பது மூட்டிலிருந்து ஒரு காலின் புவியீர்ப்பு மையத்தூர மென்றுங் கொள்க.
47. ஓர் இலாச்சியினுடைய கைப்பிடிகள் அவ்விலாச்சிப் பக்கங்களிலிருந்து சமதூரமாய் ஒன்றுக்கொன்று C தூரத்தில் உள்ளன ; பிற பக்கத்திலிருந்து முற்பக்கத்திறகுள்ள அவ்விலாச்சியினது நீளம் u.C என்பதை அதிகரித்தாலனறி ஒரு கைப்பிடியிழுவையால் அவ்விலாச்சியை வெளியே இழுத்தல் இயலாத காரியமெனக் காட்டுக.
48. ஒரு பலகணிச் சட்ட யன்னலின் ஒரு நாண ஒடிந்தால், மற்றை நிறை அந்த யன்னலை இன்னுந் தாங்குமாறு பலகணிச் சட்டத்திற்கும் யன்னற் சட்டத்திற்கும் இடையேயுள்ள மிகசி சிறிய உராய்வுக் குணகத்தைக் காண்க.
49, ஓரடி ஆசையுள்ள ஒரு வட்ட வளையம் ஒரு இடைச் சட்டத் தின் மீது தூங்க, ஒரு மனிதன் ஒரு கையால் அவ்வளையூத்திலிருந்து தூங்குகின்றா ன. மவ்வளையத்திற்கும் அச்சட்டத்திற்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம் 1--- V3 ஆயின், அவவkளயத்தி மனது நிறையைப் புறக் கணித்துக் கொண்டு அம்மனிதன் கையிலிருந்து அச்சட்டத்திற்கு மிகக் குறுகியிருக்கக் கூடிய
தாரத்தைக் காண்க.
50. ஒரே கிடைக் கோட்டில் ஒன்றுக்கொன்று (0) என்னுந் தூரத்தில் இருக்கின்ற இரண்டு ஒப்பமான முளைக்கட்டைகளுக்கிடையே 2 பக்கமுடைய ஒரு சதுரம் தனது தளம் நிலைக்குத்தி லிருக்கும்படி வைக்கப்படுகின்றது ; அதனுடைய விளிம்புகளுள் ஒன்றின் இடையுட னான சாய்வு
a* -0? 45° அல்லது { சைன் -1 ...
ஆயிருக்கும்போது, அது சமநிலையில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
c?
51. A, B, C என்னும் மூன்று சம வட்டத் தட்டுக்கள் ஒப்பமான ஒரு இடைத் தளத்தின் மீது ஒன்றையொன்று தொட்டுக் கொண்டிருக்கும்படி வைக்கப்படுகின்றன ; மேலதிகமாக, B, C என்பன கரடான ஒரு நிலைக்குத் திச் சுவரையுந் தொடுகின்றன. அத்தட்டுக்களுடைய உராய் வுக் குணகம் 2 - V3 ஆயின், A ஆனது யாதுமொரு விசை P யோடு அச்சுவர் முகமாகச் செங்குத்திலே தள்ளப்படும்போது இயக்கம் யாதும் விளையாதெனக் காட்டுக.
52. ஒரு சில்லொடு அச்சாணியின் புவியீர்ப்பு மையம் அச்சிலிருந்து a என்னுந் தாரத்தில் இருந்தால், b என்பது அச்சின் ஆரையாயும் ¢ என்பது உராயவுக் கோணமாயும், சைன் 6


Page 156
296
நிலையியல்
என்பது - சைன் 6 இற்குச் சமனாயுமிருக்க, அச்சிற்கும் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கும் ஊடாக வுள்ள தளம் நிலைக்குத்திற்கு 0 விலுங் குறைவான ஒரு கோணத்திற் சாய்ந்ததாய் இருக்க அச்சில்லு ஓய்விற் கிடக்கலாமெனக் காட்டுக.
53. ய நிறையுள்ள ஒரு துணிக்கை W நிறையுடைய ஒரு காட்டுச் சாய்தளத்தின் மீது கிடக்கின்றது ; அச்சாய்தளத்தின் அடி கரடான ஒரு மேசையின்மீது கிடக்கின்றது; உராய்வுக் குணகங்கள் ஒரேயளவின. அத்தளத்தின் சாய்வுக் கோணம் 7 ஆயிருக்கப் படிப்படியாகக் கூடும் ஒரு விசையானது ய என்னுந் துணிக்கைக்கு அச் சாய்தளத்தின் பரப்பினது நீளத்திற்குப் பிரயோகிக்கப்பட்டால், அத்தளம் அம்மேசையின்மீது வழுக்குமுன் அத்துணிக்கை அத்தளத்தின் மீது மேன்முகமாக இயங்குமாவென்று காண்க.
54. W' என்னும் நிறையுள்ள ஒரு கரட்டுருளை கிடைத்தளத்திற்கு 4 என்னுஞ் சாய்வுள்ள ஒரு தளத்தின்மீது தன் அச்சுக் கிடையாக இருக்கும்படி கிடக்க, W என்னும் நிறையுடைய ஒரு மனிதன் (தனது உடல் நிலைக்குத்தாக இருக்கும்படி) அவ்வுருளையின்மீது நின்று அதனை ஓய்வில் வைத்திருக்கின்றான். அவனுடைய அடிகள் A யில் இருக்க, A யினூடாகவுள்ள அவ்வுருளையின் ஒரு நிலைக்குத்து வெட்டுமுகம் அத்தளத்தை B யிலே தொட்டால், உராய்வு வழுக்குதலைத் தடுக்கப் போதியதாயிருக்க, AB யினால் அவ்வெட்டு முகத்தின் மையத்தில எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் 0 என்பது W சைன் (0 + ca) = (W + W') சைன் a என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
55. சமவாரைகளையும் W, W, என்னும் சமனில் நிறைகளையுமுடைய இரண்டு கரடான ஒப்பக் கோளங்கள் ஒரு கோளக் கலசத்திற்குட் கிடக்கின்றன ; அவற்றினுடைய மையங்களைத் தொடுக் குங் கோடு கிடையாய் இருந்து கொண்டு அக்கலசத்தின் மையத்தில் 20 என்னுங் கோணத்தை எதிரமைக்கின்றது ; அவற்றிற்கிடையேயுள்ள உராய்வுக் குணகம்
W, - W,
ஈw தான் ( 45° - 2) என்பதிலுஞ் சிறிதன்றெனக் காட்டுக. 56. விறைப்பான இரண்டு நிறையில் கோல்கள் செங்கோணங்களில் இருக்கும்படி உறுதியாக மூட்டப்பட்டிருக்கின்றன ; அவற்றின் சந்தியில் ஒரு நிறை நிலையாக்கப்பட்டுள்ளது; அத்தொகுதி ஒரே கிடைத்தளத்தில் ப, ய' என்பன உராய்வுக் குணகங்களாகவுள்ள இரண்டு கரட்டு முளைக்கட்டைகளுக்கு மேலே வைக்கப்படுகின்றது. அது தன் சமச்சீர் நிலையிலிருந்து ' தான்-1'T' என்னுங் கோணத்திற்கூடாக வழுக்காது இரு பக்கங்களுள் எப்பக்கத்திற்குந் திருப்பப்படலாம் எனக் காட்டுக.
57. W என்னுங் நிறையுள்ள ஒரு கோளம் கிடையுடன் உராய்வுக் கோணத்திலுஞ் சிறி தான z என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்த ஒரு காட்டுத் தளத்தின்மீது வைக்கப்படுகின்றது; அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமான விட்டத்தின் மேல்முனையில் அக்கோளத்திற்கு இணைக்கப்பட்ட
சைன் 4
என்னும் ஒரு நிறை அக்கோளத்தை அத்தளத்தின்மீது கீழ்முகமாக கோசை z - சைன் 2 உருளுதலின்றி மட்டாகத் தடுக்குமெனக் காட்டுக.
இந்நிறையைச் சிறிது குறைத்தலால், அல்லது சிறிது கூட்டலால் விளைவது என்ன ? 58. சீரான சம கோல்கள் இரண்டு உச்சிக்கோணம் 2a ஆகவுள்ள ஒரு V என்னும் உருவத்தை ஆக்குமாறு ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு முனையில் உறுதியாக ஒருங்கு மூட்டப்பட்டன வாய் அந்த V இன் புவியிர்ப்பு மையம் கரடான ஒரு நிலைக்குத்து வட்டத்தின் பரிதியிற் கிடக்கத் தக்க ஆரையைக் கொண்ட அவ்வட்டத்தின்மீது கால்கள் ஒவ்வொரு பக்கத்திற் கிடக்குமாறு வைக்கப்படுகின்றன. 8 உராய்வுக் கோணம். அந்த V இன் உச்சியை அவ்வட்ட மையத் தோடு தொடுக்குங்கோடு கிடையாக இருக்கும் போது Vஆனது இயங்கு நிலையிலே மட்டாக இருந்தால், சைன் = vசைன் எனக் காட்டுக.
- 2 என்னுங் கோணத்திற்காக
W.

பலவினப் பயிற்சி
297
அக்கோல்கள் விறைப்பாகக் தொடுக்கப்படாமல் ஒரு பிணையலாலே தொடுக்கப்பட்டிருக்கச் சுயாதீன முனைகள் ஓரிழையினாலே தொடுக்கப்பட்டிருந்தால், சைன் < ஆயிருக்கும்பொழுது அத்தொடுக்கும் இழை அவ்வட்டத்தைக் தொடாது எனக் காட்டுக ; இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்பட, W என்பது அக்கோலொன்றினது நிறையாயின், V இன் உச்சியை மையத்தோடு தொடுக்குங் கோடு கிடையாக இருக்கும்போது V ஆனது மட்டாக வழுக்கும் நிலையில் இருந்தால் அவ்விழை
W யின் இழுவை : V1+ கோசீ a எனக் காட்டுக.
• 59. W என்னும் நிறையுள்ள நிலைக்குத்துச் செவ்வக வளையொன்று தன் கீழ்முனை ஒப்ப மான தரையிற் கிடக்கத் தனது திசையிலேயே இயங்குமாறு வழிகாட்டிகளால் அடக்கப்படு கின்றது. தந்த சாய்வுடைய ஓர் ஒப்பமான சாய்தளம் தன் பிற்பக்கத்திலே தாக்குகின்ற ஒரு கிடை விசையினாலே அதற்குக் கீழே தள்ளப்பட்டால், வேண்டிய விசையைக் காண்க.
, அத்தரைக்கும் சாய்தளத்திற்கும் இடையேயன்றி வேறோரிடத்திலும் உராய்வு இல்லையாயின் அச்சாய்தளம் அவ்வளைக்குக் கீழே தந்தவொரு நிலையில் விடுபடும்போது வெளித்தள்ளப் படாது கிடத்தற்கு 4 வின் மிகச் சிறிய பெறுமானம் என்னவாய் இருத்தல் வேண்டும் ?
60. W என்னும் நிறையையும் a என்னும் ஆரையையுமுடைய ஒரு வட்டத் தட்டுத் தன் சுற்றிற்குச் சமச் சீராய்த் தொடுக்கப்பட்டனவும் ஒவ்வொன்றாக b நீளமுள்ளனவுமான மூன்று சம நிலைக்குத் திழைகளாலே கிடையாகத் தூக்கப்பட்டிருக்கின்றது. அதனை 0 என்னுங் கோணத்திற்கூடாக முறுக்கப்பட்டவாறு வைத்திருத்தற்கு வேண்டிய இணையின் பருமன்.
சைன் 9 W2,
எனக் காட்டுக. 62 - 4a் சைன்2 :
61. ஒவ்வொன்றும் W என்னும் நிறையுடைய இரண்டு சிறு வளையங்கள் ஒவ்வொன்றும் நிலைக்குத்திற்கு a என்னுங் கோணத்தில் சாய்ந்து ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே உள்ள இரண்டு கோல்களுள் ஒவ்வொன்றன் மீது ஒரு வளையமாக வழுக்குகின்றன ; மீள்தன்மைக் குணகம் ) வாயும் இயல்பான நீளம் 20 ஆயுமுள்ள ஒரு நுண் மீள்தன்மையிழையால் அவ் வளையங்கள் இணைக்கப்படுகின்றன ; ஒவ்வொரு கோலுக்கும் வளையத்திற்கும் உராய்வுக் குணகம் தான் 3; அவ்விழை கிடையாகக் கிடந்தால், ஒவ்வொரு வளையமும் நீளம்
W)-1a கோசீ % {கோதா (€ - )ே - கோதா (a +9)} ஆகவுள்ள ஒரு கோற்றுண்டின்மீது யாதுமொரு புள்ளியில் ஒய்விற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
62. 60° என்னுங் கோணமுள்ள ஓர் ஆப்பு ஒப்பமான ஒரு மேசையின் மீது வைக்கப்படு கின்றது ; அதன் சாய்முகத்திலுள்ள 20 இறா. என்னும் ஒரு நிறை அம்முகத்திற் கிடக்கும் ஓரிழையாலே தாங்கப்படுகின்றது ; அவ்விழை நுனியிலுள்ள ஓர் ஒப்பமான வளையத்திற்கூடாகச் சென்று நிலைக்குத்தாகத் தூங்கும் W என்னும் ஒரு நிறையைத் தாங்குகின்றது ; W வின் பருமனைக் காண்க. அன்றியும்.
(1) அவ்வளையம் அவ்வாப்பிற்குத் தொடுக்கப்படாதபோது, (2) அது அவ்வாறு தொடுக்கப்பட்டபோது, அவ்வாப்பை ஓய்வில வைத்திருத்தற்கு வேண்டிய இடை விசையையுங் காண்க.
அவ்வாப்பின் சாய்முகம் கரடானதென்றும் உராய்வுக் குணகம் - என்றும், 20 இறா. நிறை கீழ்முகமாக இயங்கு நிலையில் இருக்கின்றதென்றுங் கொண்டு இதே கேள்வியைத் தீர்க்க.


Page 157
298
நிலையியல்
63. " என்னும் ஆரையையும் W என்னும் நிறையையும் உடைய ஓர் உருளையை, கிடையுடன் a கோணத்திற் சாய்ந்த ஓர் அப்பமான தளத்தின்மீது கிடையுடன் 3 என்னுங் கோணத்திற் சாய்ந்து தன் நீளம் 1 ஆகவுள்ள ஒரு பாரையாலே மேன்முகமாக இயக்குதற்கு வேண்டிய வலு
Wr -
சைன் 4
= எனக் காட்டுக. 11 + கோசை (a + ) 64. 3 அவுன்சுத் திணிவுள்ள காகித நிறுகருவியொன்று ABC என்னுஞ் செங்கோண இருசமபக்க முக்கோணி வடிவமான சீரான தகடொன்றால் அமைந்துள்ளது ; அது நிலை) யான ஒரு புள்ளியிலிருந்து C என்னும் தன் செங்கோணத்தாலே துக்கப்படுகின்றது ; அதற்கு ஒரு குண்டு நூலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. A என்னுங் கோணத்திலிருந்து காகிதங்களானவை தூக்கப்படுகின்றன ; அவற்றினுடைய நிறை AB யின்மீது 1 அவுன்சு, 2 அவுன்சு, 3 அவுன்சு ........... என்று குறிக்கப்பட்ட ஒரளவுகோலை அக்குண்டு நுல் வெட்டும் இடத்தை நோக்குதலால் வாசிக்கப்படும்.- A யிலிருந்து அவ்வளவுகோற் பிரிப்புக்களினுடைய தூரங்கள் ஓர் இசை விருத்தியை ஆக்குமெனக் காட்டுக.
65. 1 அடி நீளமும் W இறா. நிறையுமுள்ள ஏணியொன்று எவ்வகையிலும் முழுவதும் சீராய் இருக்கின்றது ; அது A, B என்னும் இரு மனிதரால் ஒரு கிடை நிலையிலிருந்து ஒரு நிலைக்குத்து நிலைக்கு உயர்த்தப்படுகின்றது. A என்பவன் ஒரு முனையிலே நிற்க B என்ப வன் அவ்வேணிக்குக் கீழே சென்று தரையிலிருந்து d அடி உயரத்திலே தனது தலைக்கு மேலாக அவ்வேணியினுடைய தொடர்ச்சியான புள்ளிகளைப் பிடித்தவண்ணம் A யின்முகமாக மற்றை முனையிலிருந்து நடக்கின்றான்; அவன் உஞற்றும் விசை செங்குத்தில் இருக்கின்றது. A யிலிருந்து 7 அடி தூரமான ஒரு புள்ளியை அவ்வண்ணந் தாங்கும்போது B யினால் உஞற்றப் படும் விசையைக் காண்க. 7 ஆம் அடியிலிருந்து (n -1) ஆம் அடிக்குச் செல்லுகையில்
அவனாற் செய்யப்படும் வேலை ..... எனக் காட்டுக.
"2m (n - 1) எப்பொழுது A என்பவன் அவ்வேணியினது தன் பக்கத்து முனைக்கெதிராகக் கீழ்முகமாகத் தன்னுடைய அடிகளை அமுக்க வேண்டும் ?
66. ஒரு பொது இலாச்சியினுடைய கைப்பிடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் a ஆயும் உராய்வுக் குணகம் [. ஆயும் இருக்குமிடத்து, அவ்விலாச்சியானது வேறு விதமாகப் பிரயோகிக்கப்பட்ட விசைகளினால் a. ப. தூரத்திற்குத் தள்ளப்படும் வரைக்கும் ஒரு கைப்பிடிக்குப் பிரயோகிக்கப்படும் ஒரு விசையினால் உள்ளே தள்ளப்படக்கூடியதன்றென நிறுவுக.
67. ஒவ்வொன்றும் W நிறையுள்ள மூன்று சீரான கோல்கள் சம பக்க முக் கோணியொன்றை ஆக்குமாறு தம் முனைகள் ஒருங்கு பிணைக்கப்பட்டுள்ளன ; அச்சு நிலைக்குத்தாயும் அரையுச்சிக் கோணம் a ஆயுமுள்ள ஓர் ஒப்பமான கூம்பை ஒவ்வொரு கோலுந் தொட்டுக்கொண்டிருக்க அம்முக்கோணி ஒரு இடை நிலையிற் கிடக்கின்றது ; ஒவ்வொரு
W கோதா a பிணையலிலும் உள்ள தாக்கம் -
" என நிறுவுக.
V3 68. a ஆரையையுடைய இரு வட்ட முனைகளையும் C ஆரையையுடைய ஒரு சுழற்றியை யுங் கொண்ட ஒரு நூற்கட்டை கரட்டுச் சாய்தளம் ஒன்றன்மீது வைக்கப்படுகின்றது ; அந்நூற்கட்டை கீழ்முகமாக உருளும்போது அதன்மீது சுற்றப்பட்டுள்ள நூல் அவிழ் நின்றது. ப. என்பது உராய்வுக் குணகமாயும், a என்பது கிடைத் தளத்துடன் அத்
C சைன் a தளத்தின் சாய்வாயும் இருக்க, ப. என்பது -
- இலுங் குறைவன்றெனின், அந்
a - C கோசை 2 நூலினால் அந்நூற்கட்டை அத்தளத்தின்மீது மேன்முகமாக இழுக்கப்படலாமெனக் காட்டுக.

பலவினப் பயிற்சி
299
69. ABCD என்னும் சீரான நாற்கோணி யொன்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்பதற்கும் பின்வரும் கேத்திர கணித அமைப்பை நிறுவுக ; ABD, CBD என்னும் முக்கோணிகளுடைய புவியீர்ப்பு மையங்கள் X, Y என்பனவற்றைக் காண்க ; XY என்பது BD எனபதை U விற் சந்திக்க ; ஆயின், வேண்டிய புவியீர்ப்பு மையம் XY யில் YG = XU ஆகவுள்ள ) என்னும் புள்ளியாகும்.
70. ஒரு கதவின் அடிக்குந் தரைக்கும் இடையே ஒரு சிறிய இடைவெளி உண்டு ; மதிக்கத் தகாச் சிறு நிறையையுடைய ஒராப்பு இவவிடை வெளிக்குள்ளே முடுக்கப்படுகின்றது. அதனடிக கும் தரைக்கும் இடையேயுள்ள உராயவுக் குணகம் தேரப்பட்டிருக்கின்றது. அவ்வாப்பின் சாய்விளிம்பு ஒப்பமானதென்று கொள்ளப்படும்போது, அவ்வாப்பின் கோணம் ஒரு குறித்த அளவிலுங் குறைவாயின, ஒரு விசையும் அக்கதவைத் திறக்காதெனக் காட்டுக.
71. r என்னும் ஆரையையுடைய கரட்டு நிலையுருளையொன்றினது நுனியின்மீது மெல்லிய சீரான பலகையொன்று கிடக்கின்றது ; ஒரு மனிதன் அப்பலகையின் மீது தொடுபுள்ளிக்கு மட்டாக மேலே நிற்கின்றான். அப்பலகையினது நிறை அம்மனிதனின் நிறையின் 0 மடங் காயும் அப்பலகைக்கும் அவ்வுருளைக்கும் இடையேயுள்ள உராய்வுக் கோணம் 5 ஆயுமிருந்தால், அப்பலகை அவ்வுருளையிலிருந்து வழுக்கி விழாதவாறு அப்பலகை வழியே (12+1)rs என்னுந் தூரத்திற்கு அவன் மெல்லென நடக்கலாமெனக் காட்டுக.
72. ஒரு வளையமானது தனது தளத்தாலே மிகப்பெரிய சாய்வுக் கோடொன்றில் வெட்டப் படும் ஒரு கரட்டுச் சாய்தளத்தின்மீது ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே நிற்கின்றது. அப்பரிதியி லுள்ள ஒரு புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு அப்பரிதியைச் சுற்றிச் சுற்றப்பட்டதும் அச்சாய்தளத்தின் மேன்முகமாகத் தூரத்தில் அதே தளத்திலுள்ள ஒரு முளைக்கட்டைக்கு இணைக்கப்பட்டதுமான ஓரிழையாற் சம நிலையில் அவ்வளையம் வைக்கப்படுகின்றது ... என்பது உராய்வுக் கோணமாயும், 9 என்பது அவ்வளையம் அம்முளைக்கட்டையில் எதிரமைக்குங் கோணமாயும், என்பது
சைன் (a-)) அச்சாய்தளத்தினது கோணமாயும் இருந்தால் , 0 = a + கோசை - 1
ஆகும்
L சைன் ) | போது எல்லைச் சமநிலை இருக்குமெனக் காட்டுக. 0 என்பதற்கு இதனிலும் பெரிய பெறுமான மிருந்தால் என்ன விளையும் ?
73. W என்பது பாரமான சீரான கோளமொன்றினது நிறையாயும் : என்பது உராய்வுக் கோணமாயும் இருந்தால்,
, V5 -1 : ஆனது கோசை - 1)
- இலுஞ்
சிறிது, அல்லது பெரிது என்பதற்கேற்ப , அக்கோளத்தைக் கரட்டு நிலைக்குத்துச் சுவருக கெதிராய்ச் சமநிலையிலே மட்டாக வைத்திருப்பதற்கு அக்கோளத்தின் பரப்பிற்குப் பிரயோ கிக்கப்படும் மிகச் சிறிய விசை W கோசை 8, அல்லது W தான் : (தான் 8 - V தான்: 8 - 1] எனக் காட்டுக.
74. W நிறையுடைய சீரான கோலொன்று ஒரு முனையிலுள்ள ஒரு பிணையல் பற்றித் திரும்பத்தக்கது ; தன் மற்றை முனை கரட்டு நிலைக்குத்துச் சுவரொன்றிற்கு எதிராய் அச்சுவரோடு . என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டிருக்க, அது ஓய்விற் கிடக்கின்றது. ப. என்பது உராய்வுக் குணகமாயின், இம்முனை 2 தான் - 1 [ தான் a) என்னுங் கோணத்தை யுடைய ஒரு வட்டவில்லின் மீது எப்புள்ளியிலாதல் கிடக்கலாமென்றும், அதன் இறுதி நிலை இரண்டனுள் எதன் கண்ணும் அச்சுவரின்மீதுள்ள அமுக்கம் W[கோதா' a +u.?) - என்றுங் காட்டுக.
75. சீரான அடர்த்தியுள்ள ஒரு திண்மக் கோளத்திலிருந்து வெட்டத்தக்க பெரிய சதுரமுகி
(8(3ா - V6) வெட்டியெடுக்கப்பட்டால், இடையுடன் தன் அடி சைன் -1
சைன் . 97 - 8
என்னுங்


Page 158
300
நிலையியல்
கோணத்திற் சாய்ந்ததும் a என்பதைத் தன் சாய்வாயுள்ளதும் பூரண கரடானதுமாகிய ஒரு சாய்தளத்தின்மீது வளைபரப்புக் கிடக்குமாறு மீதி ஓய்வில் இருக்கலாமெனக் காட்டுக.
76. 1 நீளத்தையும் - ஆரையையும் உடைய ஒர் உருளைத் தக்கை ஒரு போத்திலின் கழுத் திலிருந்து மெல்லெனப் பிடுங்கப்படுகின்றது. அப்போத்திலுக்கும் அத்தக்கையின் பிடுங் கப்படாத பகுதிக்கும் இடையே ஒவ்வொரு பரப்பலகிற்குமுரிய செங்குத்தமுக்கம் யாது' மொரு கணத்தில் ஒரு மாறிலியாய் P யிற்குச் சமனாயின், ப. என்பது உராய்வுக் குணக மாகும்போது, அத்தக்கையைப் பிடுங்குதற்கண் செய்யப்படும் வேலை (url2P எனக் காட்டுக..

பயிற்சி விடைகள்
I. (13 ஆம், 14 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. (1) 25 ; (ii) 3/3; (ii) 13; (iv) v61; (v) 60° ; (vi) 15 அல்லது V505 ; (vi) 3. 2. 20 இறா. நிறை ; 4 இறா. நிறை. 3. தென் மேற்குத் திசையில் V2 இறா. நிறை. 4. 205 இறா. நிறை. 5. முதலாங் கூற்றிற்குச் செங்குத்தாக P இறா. நிறை. 6. 2 இறா. நிறை. 7. 20 இறா. நிறை.
8. 17 இறா. நிறை.
•9. 60°.
10. 3 இறா. நிறை; 1 இறா. நிறை.
11. (1) 120° ; (ii) கோசை -1
க!
அதாவது 151° 3'.
1 A+B2 ) 12. கோசை-1
2 A2 - B2) 13. தந்த இரு விசைகளின் விளையுளினது திசையில். 14. (1) 23.8 ; (ii) 6•64 ; (iii) 680 12' ; (iv) 2. 56.
1
P
II. (16 ஆம் பக்கம் ) 1. 5/3 இறா. நிறையும் 5 இறா. நிறையும். 2. (1) AP/2 ; (i) 132. 3. 50 இறா. நிறை. 4. ஒவ்வொன்றும் 100/3, அதாவது 57-735 இறா. நிறை. 5. ஏறத்தாழ 36•603 இறா. நிறையும் 44•83 இறா. நிறையும்.
P
6. P (V3 - 1) உம் (V6 - V2) உம், அல்லது Px0-732 உம் Px0.5176 உம்.
8. FV3 உம் 2F உம். 9. மற்றைக் கூற்றோடு 135° இல் FV2. 10. நிலைக்குத்தோடு தான் - 14 கோணத்தில் 105. (அதாவது 260 34' இல் 22 36). 11. 33.62 இறா. நிறை : 51-8 இறா. நிறை.
I. (22 ஆம், 23 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 1: 1:/3.
2. /3 : 1 : 2.
3. 120° . 4. 90°, 1120 37' (= 180° - கோசை -13), 157° 23' என்பன. 9. R = 34•4 இறா. நிறை, a] = 81° ; R = 6.5 இறா. நிறை, % = 169°. 10. 1014° : 57°.
11. 52; 950.


Page 159
நிலையியல்
12. 67 - 2 ; 101. 14. 29•6 ; 14°.
13. 46 ; 138°. 15. 2•66 அந்தர்.
IV. (23-25 ஆம் பக்கங்கள் )
1. 40.
2. கோசை
அதாவது, 104° 29'.
3. 2/3 இறா. நிறையும் /3 இறா. நிறையும். 4, 15/3 இறா. நிறையும் 15 இறா. நிறையும்.
5. 5: 4. 6. 5 உம் 13 உம்.
9. 12 இறா. நிறை. 16. அந்நேர்கோடு C யிற்கூடாகவும் AB யின் நடுப்புள்ளிக்கூடாகவுஞ் செல்லும். 19. வேண்டிய புள்ளி மூலைவிட்டங்களுடைய நடுப்புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோட்டை
இருகூறிடும். 20. B யினூடாக BL என்பதை AC யிற்குச் சமாந்தரமாய் CD யை L இற் சந்திக்கு
மாறு வரைக ; DL ஐ X இல் இரு கூறிடுக ; விளைவுள் X இனூடாக AD யிற்குச் சமாந்தரமாயும் AD யின் இருமடங்காயுமுள்ள ஒரு விசை.
தான் -
V. (30 ஆம், 31 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. AQ வினது திசையில் 4 இறா. நிறை.
7 + 472)
- கோணத்தில் 750+32/2, அதாவது
முதலாம் விசையோடு
36° 40' இல், 9.76 இறா. நிறை. 3. நடு விசையினது திசையில் 2P. 4. கோசை -111 இல் 7P, அதாவது மூன்றாம் விசையோடு 38° 13'. 5. மூன்றாம் விசையோடு 30° இல் /3P. 6. AB யுடன் கோணம் தான் -1 5, அதாவது 78° 41' யை ஆக்குகின்ற 12-31. 7. 14• 24 இறா. நிறை. 8. இரண்டாம் விசைக்கு எதிராய் 5 இறா. நிறை.' 9. Q, R என்பனவற்றிற்கு இடையுள்ள கோணத்தை இருகூறிடும்
1P(V5 +1)V10 + 2/5. 10. எதிர்க் கோணப் புள்ளி முகமாக 10 இறா. நிறை.
64 + 19/3 , 11. முதலாம் விசையோடு தான்-1
கோணத்தில் V125+ 683 இறா. நிறை, அதாவது 76° 39' இல் 15-58 இறா. நிறை. 13. அவ்வெண்கோணியின் எதிர்க் கோணப்புள்ளி முகமாக Px5-027. 14. நிலையான கோட்டோடு 66° 29' இல் 17-79 இறா. நிறை. 15. நிலையான கோட்டோடு 39° 45' இல் 9•40 இறா. நிறை. 16. நிலையான கோட்டோடு 111° 46' இல் 39•50 இறா. நிறை. 17. OA யுடன் 30° இல் 42.5 கிகி. நிறை.
23

விடைகள்
iii
VI. (34-37 ஆம் பக்கங்கள் )
W
1. ;(V6 - V2) : W (V3-1).
2. 23 இறா. நிறையும் 31 இறா. நிறையும். 3. 126 இறா. நிறையும் 32 இறா. நிறையும். 4. 56 இறா. நிறையும் 42 இறா. நிறையும். 5. 48 இறா. நிறையும் 36 இறா. நிறையும். 6. 4, 8, 12 இறா. நிறைகள்.
7. W. 8. 120 இறா. நிறை. 9. அவ்விழையினுடைய சாய்ந்த பகுதிகளானவை நிலைக்குத்தோடு 60° ஆக்குகின்
ப றன ; உதைப்பு WV3. 10. 7•23 இறா. நிறை.
11. நிறைகள் சமன். 12. 1. 34 அங்.
13. 25 இறா. நிறையும் 9* இறா. நிறையும். 14. 14 இறா. நிறை.
15. 6 அடி 5 அங். ; 2 அடி 4 அங். 16. அவை ஒவ்வொன்றும் அப்பொருளினது நிறைக்குச் சமன். 18. a என்பது அக்கடிவாள வாரினுடைய இரு பக்கங்களுக்குமிடையேயுள்ள கோணமாயின்,
2P கோசை ;•
20. சீக ;
W.. C
22. W} W/2.
VII. (41, 42 ஆம் பக்கங்கள்.) 1. 42.9 இறா. நிறை ; 19.91 இறா. நிறை. 2. 1; தொன் நிறையும் 10 தொன் நிறையும். 3. 37-8 இறா. நிறையும் 85•1 இறா. நிறையும்.
4. 15•2 இறா. 5. முறையே 3-4, 6-6, 3-67, 7•55, 5 அந்தர்.
160 இறா. நிறையும் 120 இறா. நிறையும் ; 128 இறா. நிறையும் 72 இறா. நிறையும்.
20 அந்தரும் 6 அந்தரும். 8. 244.84 இறா. நிறையும் 561•34 இறா. நிறையும். 9. 2.73 தொன் நிறையும், 0•93 தொன் நிறையும். 10. (1) 3, 14, 1 தொன் நிறை ; (2) 2, 3, 1 தொன் நிறை. 11. AC யில் 5•01 தொன் நிறையுள்ள ஓர் உதைப்பும் CD யில் 1.79 தொன் நிறை
யுள்ள ஓர் இழுப்பும்.
VII. (50–52 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. (1) R = 11, AC = 7 அங். ; (ii) R = 30 , AC = 1 அடி 7 அங். !
(i11) R = 10, AC = 1 அடி 6 அங். 2. (1) R= 8, AC= 25 அங். ; (ii) R=8, AC= - 75 அங்.: (iii) R= 17, AC = - 19 அங்.


Page 160
நிலையியல்
3. (1) Q= 9, AB = 84 அங். ; (ii) P= 23, R = 133;
- (iii) Q= 64, R = 124. 4. (1) Q= 25, AB = 3 அங். ; (ii) P = 243, R = 133; (ii) Q= 24, R = 33. 5. 15 இறா. நிறையும் 5 இறா. நிறையும். 6. 43 இறா. நிறையும் 133 இறா. நிறையும். 8. 98 இறா. நிறையும் 70 இறா. நிறையும். 9. அக்குற்றி வலிய மனிதனிலிருந்து 2 அடியில் இருத்தல் வேண்டும். 10. 4 அடி 3 அங்.
11. 1 இறா. நிறை. 12. 1 அடி. 13. 20 இறா.; 4 அங். ; 8 அங்.
14. 14 அங். ; 105 அங். 16. 40 இறா. நிறையும் 35 இறா. நிறையும் 17. AW. 18. விசை அவனுடைய கையிற்குந் தோளிற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தோடு நேர்மாறாக
மாறும். 19. (1) 100 இறா. நிறையும் 150 இறா. நிறையும் ; (ii) 50 இறா. நிறையும் 100 இறா.
நிறையும்; (iii) 25 இறா. நிறையும் 75 இறா. நிறையும். 20. முதலாவதிலிருந்து 5 அடி தூரத்தில் 1 இறா. நிறை. 21. அண்ணளவாக 77 •55 இறா. நிறையும் 34•45 இறா. நிறையும்.
IX. (64- 67 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 10•1.
2. 5/3 அடி இறா. 3. 75/3 = 129-9 இறா. நிறை..! 4. 6 இறா. நிறையிலிருந்து 3 அடி 8 அங். 5. 20 இறா. நிறையிலிருந்து 6 6 அடி தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியில். 6. முனையிலிருந்து 28 அடி.
7. 25 இறா. 8. 25 இறா. 9. (1) ஒவ்வொன்றும் 4 தொன் நிறை ; (2) 4 தொன் நிறை, 32 தொன் நிறை. 10. B ஆனது முளையிலிருந்து 3 அங்குலம். 11. அந்தர். 12. அவ்வளை நீளத்தின் காற்பங்கு. 13. 55 இறா. நிறை. 14. நிறை 34 இறா. அப்புள்ளி 5 இறா. நிறையிலிருந்து 8 அங். 15. 3 அவுன்சு. 16. 854, 85, 29 இறா. நிறைகள். 17. 96, 96, 46 என்னும் இறா. நிறைகள். 18. அச்சாணியிலிருந்து 18 அங். 19. CA யிற்குச் சமாந்தரமாய் AP = AேD ஆகும்படி AD யை P யில் வெட்டுகின்ற
2v2 இறா. நிறை. 20. DC வழியாய்த் தாக்குகின்ற 2P. 21. விளையுள் AP யிற்குச் சமாந்தரமாய் AP = : அடியாகும்படி AD யை P யில
வெட்டுகின்றது. 22. A யில் இருந்து முறையே 8 அடி, 16 அடி தூரமான புள்ளிகளில் AB, AD என்பன
வற்றை வெட்டும் 20/5 இறா. நிறை.

விடைகள்
23. BC யிற்குச் செங்குத்தாய் அதனை' BQ = 2 BC ஆகவுள்ள Q வில் வெட்டுகின்ற
PV3. 29. வேண்டிய உயரம் அத்தாம்பினது நீளத்தின் 4/2 மடங்கு. 31. தம் சைன்களினுடைய நேர்மாறு விகிதம் விசைகளின் விகிதத்திற்குச் சமமாயுள்ள இரு
கோணங்களாக அவ்விசைகளுக்கு இடையேயுள்ள புறக் கோணத்தைப் பிரிக்கும்
ஒரு நேர்கோடு. 33. 225 இறா. நிறை.
X. (71 ஆம் பக்கம் ) 2. 9 அடி. இறா. 4. CC' = ? AB ஆக AC யில் உள்ள C' என்னும் புள்ளியிலே "தாக்குகின்றதும் C யில்
உள்ள விசைக்குச் சமனும் சமாந்தரமும் எதிருமானதுமாகிய ஒரு விசை.
XI. (84 - 87 ஆம் பக்கங்கள் )
2. 45°.
3. 10/2, 10 இறா. நிறைகள். 4. அவ்விழையினது நீளம் AC. 5. wv3 ; W//3.
ம் ம்
8. என்பது 1 இலுஞ் சிறிதாய் 4 இலும் பெரிதாய் இருத்தல் வேண்டும்.
12. V5, Vே5 இறா. நிறைகள். 14. W கோசீ 2. W கோதா என்பன. 15. W/3. 16. 30° ; WV3 ; W/3.
17. V7 : 2v3. 18. 42v3 இறா. நிறை.
19. 6 இறா. நிறை. 21. 2a என்பது அப்படத்தின் உயரமாயின், hVA2 + a் சைன்” al(h+a கோசை ). 22. மறுதாக்கங்கள்
0
., - 5,W, - ,..=W என்பன.
/r - ab"'a +6/W என்பன.
25. 3.16 அடி ; 133, 118•8 இறா. நிறைகள். 26. 15-5 இறா. நிறை.
27. 6-75, 16•6 இறா. நிறைகள். 28. 2.83, 3-61 அந்தர்.
69. 26•8, 32.1 இறா. நிறைகள்.
XII. (97-101 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. +W/3.
2. WV3. 4. Aw கோதா : wே கோதா..
W சைன் 3 W சைன்
(கோதா 8- கோதான 6.
; தான்-1 சைன் (a + ) சைன் (a + 3) 8. : இறா. நிறை.
11. AC = a ; இழுவை = 2 WV3.


Page 161
V1
நிலையியல்
14. விளிம்பிலும் அடியிலுமுள்ள மறுதாக்கங்களானவை முறையே அண்ணளவாக
3 24, 4•8 அவுன்சு நிறைகள்.
18. W;
23. W/6.
15. W.1 /2VR -11.
24. 133; இறா. நிறையும் 166: இறா. நிறையும். 26. 178 இறா. நிறையும் 38 இறா. நிறையும்.
27. 20 இறா. நிறை.
XIII. (102 ஆம், 103 ஆம் பக்கங்கள் )
1. அவ்விசை மூன்றாம் விசைக்கு 450 இற் சாய்ந்த 4/2 இறா. நிறையாகும் ; a என்பது
அச்சதுரத்தின் பக்கமாயின், அவ்லிணையினது திறப்புதிறன் 10 a ஆகும். 2. அவ்விசை DB யிற்குச் சமாந்தரமான 5P/2 ஆகும்; அச்சதுரத்தின் பக்கம் a ஆயின்,
அவ்விணையினது திருப்புதிறன் 3Pa ஆகும். 3. அவ்விசை CB யிற்குச் சமாந்தரமான 6 இறா. நிறையாகும். a என்பது அவ்வறு
கோணியின் பக்கமாயின், அவ்விணையினது திருப்புதிறன் -- ஆகும்.
21/30 ..
XIV. (107 ஆம், 108 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. பக்கம் கிடையுடன் தான்-12 கோணத்தை ஆக்கும். 2. 15a.
3. (m +2)v62 + c. 4. அம்மேசையினது நிறைக்குச் சமனான ஒரு நிறை. 6. 10 இறா. 7. இழந்த காலுக்கு எதிரான காலுக்கு மையத்தைத் தொடுக்குங் கோட்டின்மீது,
மையத்திலிருந்து சதுரத்தின் விட்டத்தின் மூன்றிலொரு பங்குக்குச் சமமான தூரத்தில்.
8. 120 இறா.
9. சைன்-1 ?
p + ய
கோசை A 11. A யின்மீதுள்ள அமுக்கம் W.
2 சைன் B சைன் C'
XV. (117 ஆம், 118 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 12, 13, 13 அடிகள்.
2. 2, 23, 1 அடிகள். 3. 2/5, 3, 3 அங்குலங்கள். 6. a என்பது பக்கம் BC யில் இருந்து நிறை W வினது செங்குத்துத் தூரமாயின்,
அம்முக்கோணியின் புள்ளி A யில் உள்ள அமுக்கம்
3 + W.
(சைன் B
12. கோசை-12, அதாவது 73° 44'.
10. 60°.

விடைகள்
V11
XVI. (120 ஆம், 121 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. முனையிலிருந்து 48 அங். 2. முனையிலிருந்து 15 அங். 3. 23 அடி.
4. நடுவிலிருந்து 21 அங். 5. முதலாந் துணிக்கையிலிருந்து 7 அங். 6. அது இரண்டு இறுதி நிறைகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தை 7 : 2 என்னும்
விகிதத்திற் பிரிக்கின்றது.
2n 7. 5 : 1.
8. 1.335..அடி.
-அங்.
9.
10. 12 இறா.; அக்கோலன் நடுப்புள்ளி.
XVII. (125- 127 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. சதுரத்துப் பக்கத்தின் ஐந்திலொன்று.
3க 2. a என்பது சதுரப் பக்க நீளமாயின், AB யில் இருந்து : AD யில் இருந்து)
3. AB, AD என்பனவற்றிலிருந்து முறையே 16, 15 அங்குலத் தூரங்களிலுள்ள புள்ளி
யில்.
4. 7, 8 அங்குலங்கள்.
5. /ே19:/283. 7. அவ்வடரின் புவியீர்ப்பு மையத்தில். 8. 8, 11 அங்குலங்கள்.
10. 2 : 1: 1. 12. BC, CA என்பனவற்றிலிருந்து தம் தூரங்கள் அக்கோடுகளிலேயே இருந்து A, B
என்பனவற்றினுடைய தூரங்களின் ., 8 என்னும் பகுதிகளாயுள்ள ஒரு
புள்ளியில். 14. அது மையத்தை ஐந்தாம் நிறைக்குத் தொடுக்குங் கோட்டை 5 : 9 விகிதத்திற் பிரிக்கும் 18. சதுரப் பக்கத்தின் காற்பங்கு. 20. A யில் இருந்து 4 அங். 21. அது அம்முக்கோணியின் உள்வட்ட மையத்தினூடாகச் செல்லும்.
XVIII. (129- 131 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. பொருத்திலிருந்து 2 அங். 2. அவ்வுருவத்தின் கீழ் முனையிலிருந்து 5 அங். 3. அது அவ்வளையை 5 : 11 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும். 4. அம்முக்கோணி அடியின் மையத்தில். 5. 7 அங்.
7. பெரிய கோள மையத்திலிருந்து ஓரங்குலம். 8. அவ்லிணைகரத்தின் மையத்திலிருந்து அதனுடைய தூரம் ஒரு பக்கத்தின் ஒன்பதிலொரு
பங்கு. 9. மையத்திலிருந்து தூரம் மூலைவிட்டத்தின் பன்னிரண்டில் ஒரு பங்கு.


Page 162
viii
நிலையியல்
10. மையத்திலிருந்து தூரம் அச்சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் பங்கு. 11. அது எதிர்ச் சமாந்தரப் பக்கங்களினுடைய மையங்களைத் தொடுக்குங் கோட்டை 5 : 7
என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும்.
கே 12. 0 வில் இருந்து V/3 அங்.
14. .
18 15. D என்பது BC யின் நடுப்புள்ளியாயின் , A' என்பது AD யை இருகூறிடும். 16. அது GA யை Vm -1: mym - 3 Vm +1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும்.
3- V3 17. அம்முக்கோணியின் உயரம் , அதாவது சதுரப் பக்கத்தின் 0-634.
18. மையத்திலிருந்து 4 அங். 19. தட்டுமையத்திலிருந்து துவார மையம் 16 அங்குலத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.
63 20. அது பெரிய கோளத்தின் மையத்திலிருந்து ,
'a +ab + டு 2
தூரத்தில் இருக்கும்.
21. h என்பது அக்கூம்பின் உயரமாயின் , 8h. 22. 13-532 அங். 23. தோண்டப்பட்ட பகுதியின் உயரம் ல ஆனது அக்கூம்பின் உயரத்தின் மூன்றிலொன்று. 24. ஏறத்தாழ 3080 மைல்.
XIX. (133 - 136 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. முறையே 7 8, 9 இறா. நிறைகளால். 2. 15 அங்.
6. 5: 4. 10. அம்முக்கோணியின் புவியீர்ப்பு மையத்தில். 14. 2 சைன் - 1
15. V6 : 1. 16. அக்கூம்பின் உயரம் அவ்வுருளையின் உயரத்திற்கு 2 - /2 : 1 போல, அதாவது
0 - 5858 : 1 போல. 19. முந்திய கூம்பின் அச்சை அது 3: 5 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும்.
XX. (145-148 ஆம் பக்கங்கள் )
2. அங்.
*
1. 6 அங். 7. 120 ; 13 பங்கு. 8. அவற்றினுடைய நீளப் பக்கங்களுக்குப் பொருந்தினால் 18, அவற்றினுடைய அகலப்'
- பக்கங்களுக்குப் பொருந்தினால் 8. 11. அரைக்கோள ஆரையின் 3 மடங்கு. 12. 1:/2.
14. 4r.
(W !
ன் 1
கோணத்தை
18. கிடையுடன் சாய்வுடைய தளத்தோடு அவ்விழை கோசை -1
ஆக்குகின்றது ; சம நிலை உறுதியுள்ளது.

விடைகள்
39. நிலையான புள்ளியிலிருந்து மையத்திற்குள்ள கோடு நிலைக்குத்துடன்
W - ய r)
Lp + W + 0 C) கோணத்திற் சாய்ந்துள்ளது ; சம நிலை உறுதியுள்ளது.
சைன் -1
XXI. (153 - 155 ஆம் பக்கங்கள் ) > 1. (1) 168 அடி - தொன் ; 117 அடி - தொன்.
2. 1000 அடி. 3. , 6x 107 அடி - இறா. 4. 21120.
5. 983 மணி. 6. 81.
7. 714 நிமிடம்.
9. 4.4352. 10. 600,000 அடி - இறா.; 30 ப.வ. 11. 111!? தொன் நிறை. 13. 176 அடி- இறா. ; 213 ப.வ. 14. 24:2.அடி- இறா.: 1 m(m + 1) அடி-இறா. 16. 3 அடி-இறா.
18. 166 அடி-இறா.
XXII. (161-163 ஆம் பக்கங்கள் )
1. 5 அடி. 2. முதல் நிறையிலிருந்து 4 அடி ; முதல் நிறையின் முகமாக. 3. 11: 9.
4. 2 இறா.
6. 4 இறா. 7. 9% இறா. 8. 27 அவுன்சிலிருந்து 6 அங். ; 15 அங். 9. 1 அடி.
10. 360 கல் நிறை.
11. 21 இறா. நிறை. 12. 15 இறா. நிறை. 13. நெம்புடன் 45 இல் 24/2. 14. 50 இறா. நிறை.
15. ' நீண்ட புயம் கிடையுடன் தான் - 1
கோணத்தை ஆக்கும்.
V3
16. 84 இறா. நிறை. 19. 20 இறா. 20. 24 அந்தர் நிறை. 21. : (v3 - 1)ன.
XXIII. (169 ஆம், 170 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. (i) 320 ; (i) 7 ; (ii) 3. 2. (1) 7 ; (ii) 45; (ii) 7; (iv) 6. 3. 290 இறா.
4. 10 இறா.
5. 5 இறா. 7 5 இறா.
9. 49 இறா.; ஒவ்வொன்றும் 1 இறா. 10. 4ய ; 210.
12. 945 இறா. நிறை. 13. 18 இறா. நிறை.
ப
அs


Page 163
நிலையியல்
XXIV. (171 ஆம், 172 ஆம் பக்கங்கள்.) 1. 6 இறா.
2. 4 இழைகள் ; 2 இறா. 3. 47 இறா. ; 6 கப்பிகள்.
4. 7 இழைகள் ; 14 இறா.
5. 0 என்பது இழைத் தொகையாயின் ,
6. 9 கல் நிறை. 7. அவ்வடம் 24 தொன்னைத் தாங்கும். 8. 10. 9. 75 இறா. ; 1665 இறா.
10. 1 அந்தர்.
XXV. (176ஆம், 177 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. (i) 30 இறா. ; (i) 4 இறா.; (iii) 4. 2. (1) 161 இறா. நிறை ; (ii) 16 இறா. நிறை ; (ii) 4 இறா. ; (vi) 5. 3. 10 இறா. நிறை ; வேண்டிய புள்ளி முதலிரண்டு இழைகளுக்கும் இடையேயுள்ள
தூரத்தை 23 : 5 விகிதத்திற் பிரிக்கும். 4. முனையிலிருந்து 1 அங்குலம்.
5. 18 . 6. முனையிலிருந்து அங்குலம். 8. W = TP + 40 ; 8 அவுன்சு ; 1 இறா. நிறை. 9. 4; 1050 இறா.
10. 4. 12. W = P (2n - 1) + W (20-1- 1).
XXVI. (182-184 ஆம் பக்கங்கள் )
1. 12 இறா. நிறை ; 20 இறா. நிறை. 2. 30° } w். 3. 103•92 இறா. நிறை.
5. 3: 4; 2P. 6. v3 : 1.
7. கோசை - 11; தளத்துடன் சைன் - 11. . இறா. நிறை இரு. நிறை.
9. 6 இறா. நிறை.
சைன் 2 11. 164 இறா.
தொன்.
சைன் 3 - சைன் a 14. அப்புள்ளி அவ்விழையை 1: சைன் a என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கின்றது. 16. 17-347 இறா. நிறை; 46.884 இறா. நிறை. 17. 10-318 இறா. நிறை; 12•208 இறா. நிறை. 18. 16-12 இறா. நிறை ; 34 -056 இறா. நிறை.
12. -
XXVII. (188, 189 ஆம் பக்கங்கள் )
1. 7 இறா. நிறை. 2. 120 இறா. நிறை : ஒவ்வொன்றின் மீதும் 70 இறா. நிறை : 11018 இறா. நிறை.

விடைகள்
5. 34 தொன். 8. 23: இறா. நிறை. 11. 120 இறா.
3. 20 அங்.
4. 7 அடி.- 6. 3 இறா. நிறை.
7. 55 இறா. 9. 2 இறா. நிறை.
10. 360 இறா. 12. 1500 அடி - இறா. 13. 47040 அடி - இறா. ; 2 அந்தர் ; 210 அடி.
26, 2R)
14. 'R -1
XXVIII. (195 - 197 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 11 இறா.
2. 264 இறா.
3. 2 அவுன்சு. 4. 2 : 3 ; 6 இறா. 5. 24-494 இறா.
5. 5:/26. 7. Vே110 அங். ; V110 இறா.
• 9. 2 சி. 3 பெ. ; 1 சி. 9; பெ. 10. அவன் ஒரு சிலின் இழப்பான். 12. 10 : V101 ;/101 : 10.
13. "; 749
Iய' - P?
14. ய- P :P - ய' :p - ய
15. R- (Q - R)*
16. 16 இறா.
P - 2
XXIX. (201- 203 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. சுழலையிலிருந்து 346 அங்குலம்.
முனையிலிருந்து 2 அங்குலம் ; 1 அங்குலம். 3. சுழலையிலிருந்து 32 அங்குலம். 4. அங். ; 44 இறா.
5. 4 அங்குலம். 6. 16 இறா.; நிறை தூக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு அப்பால் 8 அங்குலம். 7. இறா. ; 18 இறா. 8. 26 இறா. 15 இறா.; சுழலையிலிருந்து 10 அங்குலம். 9. 3 இறா.
10. 15 இறா. ; 6 இறா.; 4 அங்குலம். 11. நிறை இணைக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து அது 10 அங்குலத்தில் இருக்கின்றது. 12. 3 அவுன்சு .
13. 30 அங்குலம். 15. பொறியானது இறாத்தல்களைக் காட்ட அளவுகோடிடப்பட்டால், குறிக்கப்பட்ட நிறைகள்
ஒவ்வொன்றும் இறாத்தலாற் கூட்டப்படல் வேண்டும்.


Page 164
xii
நிலையியல்
16. 2, என்பன முறையே சுழலையிலிருந்து அப்பொறியின் புவியீர்ப்பு மையத்தினது தூரமாயும் முனையினது தூரமாயும் இருக்க, W என்பது அப்பொறியினது நிறை
ஐ W யாயின், அப்பொறியிற் குறிக்கப்பட்ட எண்கள் ஒவ்வொன்றும்--- என்பதாற் கூட்டப்
9 10 °ன்பதாற் -
படல் வேண்டும். 17. அசையத்தக்க நிறையைக் குறைத்தல், அல்லது கூட்டுதலுக்கு ஏற்ப, அவன் தன்னுடைய
வாடிக்கைக்காரர்களை , அல்லது தன்னை வஞ்சிக்கின்றான்.
XXX. (208 ஆம், 209 ஆம் பக்கங்கள் )
(பின்வருவனவற்றில் ஈ= 2 ஆக எடுக்கப்பட்டுள்ளது.) 1. 4400 இறா.
2. 5 அங்குலம். 3. 25 இறா. நிறை.
4. 11% இறா. நிறை. 5. 495 இறா. நிறை.
6. 1323 தொன் நிறை. 7. 6 தொன் நிறை.
8. 501 இறா. நிறை. 9. 4% அங்குலம்.
10. 45253. 41. 5430;.
12. 44 அடி-இறா.
XXXI. (220-222 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 10 இறா. நிறை ; 121 இறா. நிறை ; கிடையுடன்' தான்-14 கோணத்திலே
சாய்ந்த 10 V17, 15/17 இறா. நிறைகள். , P /2 2. w == 0-4714. 3. கிடையுடன் தான் - 13 கோணத்தில் 10/10 இறா. நிறை. 6. 1.
7. v3 இறா. நிறை.
10. சைன் 3 = சைன் a + கோசை .. 11. W, W என்பன அவ்விரண்டு நிறைகளாயின், தான் (யாக).
- 7, W,+W.)
14. ax0-134. 15. உராய்வுக் கோணத்திற்குச் சமனான ஒரு கோணத்தில். 16. 2•19 அந்தர்.
17. 79.7 இறா. நிறை ; 0- 32.
1.
XXXII. (232 ஆம் 234 ஆம் பக்கங்கள் ) 3808 அடி - இறா.
2. 7.392,000 அடி - இறா. ; 7% ப.வ. 3. 23,040,000 அடி - இறா.; 54 ப.வ. 4. 7766.
6. 0•446. 6. ஏறத்தாழ 0•11, 0-34, 0•47. 8. a = 4-125 ; 6 = 0 01125.

விடைகள்
xiii
(பின்வரும் 4 வினாக்களுக்கும் உரிய விடைகள் அண்ணளவானவையே) 9. a = 5.3 ; 6 = 0097. 10. P= 7.3 +0•236W ;
W 36.5 + 1.18w: 11 = 7.
'7•3 +0•236W் 11. P= 43 + 4.7W ; 0•8 உம் 0•88 உம். 12. P= 18-5 + 55W : 0 - 59 உம் 0-79 உம்.
W
XXXIII. (236 - 237 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 11: இறா. நிறை.
2. 45°. 5. அது மையம் வரைக்கும் ஏறப்படலாம். 8. 50 அடி ; ஏணி நிறையின் காற்பங்கு.
ப '; தான் > 2 ஆயின், நிறை மறை குறியோடு பொருந்தும் : அதா தான் a - ப. வது, சம நிலையிலிருக்குமாறு அவ்வேணி மேன்முகமாகப் பிடிக்கப்படல் வேண்டும் ; தான் < ஆயின், மறுபடியும் நிறை மறைக் குறியோடு பொருந்தும் ; அவ்வேணி மேன்முகமாகப் பிடிக்கப்பட்டால், அப்போதுதான் எல்லைச் சமநிலையை நாம் பெறல் வேண்டும்; இங்கு அடிகள் ஒன்றையொன்று நோக்கி இயங்கும் நிலையில் இருக்கும்.
9. 2 - தான்
XXXIV. (239-240 ஆம் பக்கங்கள்.) 1. தான்-1 ; உயரம் = விட்டத்தின் இரு மடங்கு.
4. 45°, 6. 2 தான் - 1 = 2 தான்- 1 (0-1443) = 16° 26'.
8. ஒன்று.
XXXV. (243-247 ஆம் பக்கங்கள்.) 11. 2-0-0577.
15. (க +1) Vs - . 18. ?. 10. வேண்டிய விசை மிகப் பெரிய சாய்வுக் "கோட்டோடு ரேகசை - 113 கோணத்
தில் 2 W.
21. மிகப் பெரிய சாய்வுக் கோட்டோடு கோசை -1
- (== 15° 48') கோணத்தை ஆக்குந்
திசையில். 24. 1 கோதா ஒன்றிலும் பெரிதாயின் சமநிலையடையும், எல்லை நிலை இல்லை;
அதாவது அத்துணிக்கை யாதுமொரு நிலையில் ஓய்விலிருக்கும். 28. 60°.


Page 165
Xiv
நிலையியல்
XXXVI. (250-252 ஆம் பக்கங்கள்.)
3W 1. BP = BC ஆகவுள்ள P யில் ;
- ம்
* தான் கத
3W
7. % ; கிடையுடன் தான் - 14 இல் "/10. த W 3W /3w 8. 2 : 2: 4 10. நடுக்கோலினது நிறையின் அரைப்பங்கு. 12. ஒரு கிடைத் திசையிலே தாக்குகின்ற அக்கோல்களின் மொத்த நிறையின் எட்டிலொரு
பங்கு.
XXXVII. (257 ஆம், 258 ஆம் பக்கங்கள் )
7. 5 அடி - இறா.
6. அடி- இறா.
XXXVIII. (265- 268 ஆம் பக்கங்கள் ) 1. 39 இறா. நிறை ; கிடையுடன் 1°40' இல் 25•8 இறா. நிறை. 2. 152.3, 267•96 என்னும் இறா. நிறைகள்.
3. 0 • 41. 4. 124°, 103°, 133°.
5. 26•9 இறா. நிறை. 6. 74 இறா. நிறை ; 12:7 இறா. நிறை. 7. BC யையும் நீட்டப்பட்ட AC யையும் K, L என்னும் புள்ளிகளில் CK=19•25 அங்குல
மாகும்படியும் CL = 17-6 அங்குலமாகும்படியும் வெட்டுகின்ற ஒரு கோட்டின்
வழியாய்த் தாக்கும் ஒரு 2.6 இறா. விசை. 8. (1) 14 அடி : (2) AB யிற்கு எதிர்த் திசையில் 74 அடி. 9. முனையிலிருந்து 3.9 அடி. 10. 7•15 இறா. நிறையும் 6•85 இறா. நிறையும். 11. 150, 158-115, 50 இறா. நிறைகள். 13. ஒவ்வொன்றும் 10 அந்தர் நிறைக்குச் சமன். 14. 0•46 ; 91•2, 57•2 இறா. நிறைகள். 15. முறையே 58-1, 65•8, 37-4, 33.2, 29 இறா. நிறைகள். 20. T, = 13:05 ; T, = 9•79 ; T, = 3.26 ; T, = 8.39 ; T. = 5 அந்தர். T, T. என்பன
இழுவைகள் ; ஏனையவை உதைப்புக்கள். 21. T, = 8• 39 ; T, = 11•98; T, = 9 • 62. T, ஓர் உதைப்பு : T,, T என்பன இழுவைகள். 22. 37 •2, 47-6, 43.1 அந்தர்கள். 23. 6 தொன்னும் 2 தொன்னும் ; 5-77, 1.155, 1.155, 3•464 ; என்பன 1 இவ்வீற்று
நான்கினுள்ளே, முதலாவதும் மூன்றாவதும் நான்காவதும் உதைப்புக்கள், இரண் டாவது ஓர் இழுவை.

விடைகள்
XV
24. AB, BC, CD, DA என்பனவற்றினுடைய இழுவைகள் 32-4, 36-4, 16•8, 25-5
இறா. நிறைகள் ; BD யின் உதைப்பு 36-7 இறா. நிறை.
இலேசான பலவினப் பயிற்சி
(ப. 287-289) 1. இரண்டாம் விசையோடு தான் -1 கோணத்தில் 15 இறா. நிறை. 1). ஒவ்வொரு கூறும் 57 •735. இறா. நிறை. 3. 14. 24 இறா. நிறை. 4. 50, 86-6025. இறா. நிறை : 6. 3 அடி..
( 7. 2 அவுன்சு.
9. A யிலிருந்து 4 அங்குலம், ) 10. 7 அங்குலம்.
12. அது மையத்தை எதிர்ப்பக்க நடுப்புள்ளிக்குத் தொடுக்கும் கோட்டை 2 : 13 என்னும் + - விகிதத்திற் பிரிக்கும். ' 13. ஒரு பென்னியின் விட்டத்தின் ..
14. 8, 12 இறா. நிறைகள்.
15. 9* இறா. நிறை. 16. W = P. 17. வேண்டிய புள்ளி ஈற்றிரண்டு இழைகளுக்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தை 13 : 49
" என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும். 18. V3 இறா. நிறை.
20. 18 அங்குலம் ; 4 அங்குலம். 21. 26.
22. 2. 23. அவன் முழு நீளத்தையும் ஏறக்கூடும். 24. 102.
அரும் பலவினப் பயிற்சி
(ப. 289-300)
5. உள்வட்ட மையம். 6. P என்பது AD யை 1: V/3 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும். 9. அவ்விசைகள் சம நிலையில் இருக்கும்.
21. : இறா. நிறை.
28. ஏ.
31. a, b என்பன அச்சட்டப் பக்கங்களுடைய நீளங்களாயும், ஐ என்பது AP யினது நீளமாயும்
Vைa2 + 62 இருந்தால், W
39. அக்கோலினது நீளம் 20 ஆயும், மையத்திலிருந்து தந்த புள்ளியினது தூரம்
a ஆயுமிருந்தால், அக்கோலின் மையத்திலிருந்து Vc' +a் -தூரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில்.


Page 166
Xyi
நிலையியல்
ப.cW
(4)
40. W ஒவ்வொரு துணிக்கையினது நிறையாயின்,
a சைன் 0 + C கோசை 8 44. கிடையுடன் அத்தளங்களுடைய சாய்வுக் கோணங்களின் வித்தியாசம் உராய்வுக் கோணங்
களின் கூட்டுத்தொகையிலும் பெரிதாகப்படாது. 45. W அக்கோலினது நிறையாயின், W கோசை ) சைன் (ர-) ) கோசி , W கோசை 2
சைன் ) கோசீ € என்பன. 48. அப்பலகணிச் சட்டத்தின் ஆழம் அதன் அகலத்தோடு கொள்ளும் விகிதம். 49. V3 அடி. 53. « அத்தளமுகத்தின் சாய்வாயின், W> (1 + 2) ய கோசை சைன் ஆனான்),
அத்துணிக்கை முதலாவதாக இயங்கும். 57. சம நிலை குலைக்கப்படும். 59. சாய்தளத்தினது நிறை W' ஆயும் சாய்வு * ஆயுமிருந்தால், W தான் ;)
W
w + w" தான் . என்பன.
10 )
62. W = 10v3 ; விசை (i) 5/3 இறா. நிறை, (i) பூச்சியம் என்பன.
- 20v3)
W = --; விசை (i), இறா. நிறை, (ii) பூச்சியம் என்பன. 65. B அவ்வேணியின் அரைப் பங்கிற்குக்கூட உயர்த்தியபோது அவன் கீழ் முகமாக
அமுக்க வேண்டும்.

அருஞ்சொல் அகராதி
அடர் அரைக்கோளம்...
Lamina Hemisphere
ஆப்பு ஆரைச்சிறை
Wedge Sector
இணை இணைகரப்பரவை இயக்கச் சக்தி ... இயக்கப்பாட்டியல் இயக்கவியல் இயல்பொத்த .. இழுவை
Couple Parallelopiped Kinetic energy Kinetics Dynamics Similar Tension
உணர்ச்சி உருளை உறுதிப்பாடு |
Sensitivity Cylinder Stability
ஊசிமூட்டு ஊடுகடத்தல் ...
Pin-joint Transmission
41 lil 11:11:1!!!
l.all 191 iii 1111111
எத்தனம் எதேச்சையான
Effort Arbitrary
•.
ஒப்பம் (அழுத்தம், ஒப்பரவு) ஓய்வு
Smoothness Rost
காட்டுமை
RoughnOSS
கிடை கிரேன்
Horizontal Crane
குணகம்
Coefficient
கூம்பகம் கூம்பு
Pyramid Cone
கேடர்
Girder
கொளு
Lemma
கோளம்
... Sphere


Page 167
xviii
நிலையியல்
Inertia
சடத்துவம் சதுரமுகி (கனம்) சமநிலை
Cube Equilibrium
சீரான சுயாதீனமான ... சுழலை
Uniform Free Pivot
செவ்வன்
Normal
தகைப்பு
Stross
திசை திரவியம் திருகு திருப்பம் (திருப்புதிறன்) திறன்
Direction Material Screw
Moment Efficiency
துண்டம் துணிசல் துலாக்கோல்
Segment Resolute Steelyard
தொகையீடு தொடலி
Integration Tangent
நழுவு
Slip
நாண்
Chord Tetrahedron
நான்முகி
till il பர்பil)
நிகரா நிகர்த்த நிலைக்குத்து நிலைச் சக்தி நிலையியல்
Unlike Like Vertical Potential energy Statics
நுண்கணிதம்
Calculus
நெம்பு
Lever
நொதுமல்
Neutral
படிவகு பரப்பளவு பரப்பு பருமன்
Graduate Area Surface Magnitude
பிணையல்
Hinge

அருஞ்சொல் அகராதி
xix
புயம் புரியிடை புவியீர்ப்பு
Arm
Pit oh Gravity
பொள் ந பொறியியல்
Hollow Mechanica
மசகு மறுதாக்கம் மறை
Lubricant Reaction Negative
மாயவேலை
Virtual work
மள் தன்மை
Elasticity
யைப்போலி ...
Centroid
14:11/i1:21:14
1111111111: 11:11
வகைக்குறிப்பு வகையீடு வரைபு வலயம் வலு வழுக்கு
Representation Differentiation Graph Zone Power Slide
-),,பட்ட .
விகாரப்படுத்து விகாரப்படை ... விசை வில் விளையுள் விறைப்பான
Constrain Constraint Force
c0 Aro Resultant Rigid
வேற்றுமைக் கப்பி
Differential pulley


Page 168



Page 169