கவனிக்க: இந்த மின்னூலைத் தனிப்பட்ட வாசிப்பு, உசாத்துணைத் தேவைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தலாம். வேறு பயன்பாடுகளுக்கு ஆசிரியரின்/பதிப்புரிமையாளரின் அனுமதி பெறப்பட வேண்டும்.
இது கூகிள் எழுத்துணரியால் தானியக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட கோப்பு. இந்த மின்னூல் மெய்ப்புப் பார்க்கப்படவில்லை.
இந்தப் படைப்பின் நூலகப் பக்கத்தினை பார்வையிட பின்வரும் இணைப்புக்குச் செல்லவும்: பிரயோக கணிதம் இயக்கவியல் 2

Page 1
க.பொ.த உயர்தர
 

வகுப்புக்கான
B.Sc, Dip-in-Ed

Page 2


Page 3

க. பொ. த
உயர்தர வகுப்புக்கான
பிரயோக கணிதம்
இயக்கவியல் - பயிற்சிகள்
பகுதி 2
K. GANEshAliNqAM. B.Sc. Dip in Ed.
Rs.24O
Sai Educational Publications
155, Canal Road, Colombo - 6 Phome : 592707

Page 4

Title
Language
Author
Publications
Date of Issue
No • of pages
Copyright
Type Setting
BBLOGRAPCAL DATA
Applied Mathematics for G.C.E (AVL) Dynamics-Exercises part-II
Tamil
Karthigesu Ganeshalingam B.Sc.Dip-in-Ed
puttali, puloly.
SaiEducational publication 155, Canal Road, Colombo-06. August, 1998, 2000
230 -- iv
Sai Educational Publication.
SDS COMPUTER SERVICES, Colombo-06.
Printed at: G.M. Offset Press, Ch-5. Ph:55190944
வெளியீடு
பிரசுரத்திகதி
பதிப்புரிமை
கணணிப்பதிவு
நூலின் விபரம் க. பொ. த உயர்தர வகுப்புக்கான பிரயோக கணிதம் - இயக்கவியல் பயிற்சிகள் பகுதி II
தமிழ்
கார்த்திகேசு கணேசலிங்கம்.
புற்றளை, புலோலி
சாயி கல்வி வெளியீட்டகம் 155, கனல் வீதி கொழும்பு - 06 ஆகஸ்ட் 1998, 2000
230 + iv
சாயி கல்வி வெளியீட்டகம்.
எஸ்.டி.எஸ் கம்பியூட்டர் சேர்விசஸ்
அச்சிட்டோர்: ஜிஎம். ஆப்செட் பிரஸ், சென்னை - 5. போன் :55910944

Page 5

என்னுரை
க.பொ.த உயர்தரம் பிரயோக கணிதம் பாடத்திட்ட இயக்கவியல் பகுதியைப் பூர்த்தி செய்யுமுகமாக பிரயோககணிதம் இயக்கவியல் பயிற்சிகள் 1 இனைத் தொடர்ந்து பகுதி - II ஆகிய இந்நூல் வெளிவருகிறது.
இணைந்த கணிதம், உயர்கணிதம் என இரு பாடங்கள், தற்போதைய தூய, பிரயோக கணிதங்களுக்குப் பதிலாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. இவ்விரு புதிய பாடங்களிலும் பிரயோக கணிதப்பகுதிகள் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளன. இணைந்த கணிதப் பாடத்திற்கான பிரயோககணிதப்பகுதியில், பகுதி I இல் உள்ள அலகுகள் 1, 2, 3, 4, 5 (a), 5 (b), 6 உம், பகுதி I இல் உள்ள அலகு 7 அலகு 8 என்பனவும் அடங்கும் உயர் கணிதப்படத்திற்கான பிரயோககணிதப்பகுதியில் பகுதி I இல் உள்ள அலகுகள் 5 (c), 5 (d) , 6 உம், பகுதி I இல் உள்ள அலகுகள் 9, 10, 11 உம் அடங்கும்
தற்பொழுது வெளிவருகின்ற இயக்கவியல் பயிற்சிகள் பகுதி I இல், வழமைபோல் பாடத்துடன் தொடர்புடைய பிரதான பாடப் பரப்புக்களைக் கொடுத்திருப்பதோடு, சில உதாரணங்களும் எடுத்துக் காட்டப்பட்டுள்ளது. w
இப்பொழுது நடைமுறையிலிருக்கும் பிரயோககணிதம் என்ற பாடத்திட்டத்தின் இயக்கவியல் பகுதியை நோக்கமாகக் கொண்டு இப்புத்தகம் எழுதப்பட்டது. ஆயினும் புதிய இரு கணிதபாடங்களிலும் "மாறும் திணிவு" "ஏவுகணை இயக்கம்" என்ற பகுதி நீக்கப்பட்ட மையினால், அலகு 12 ஆக இப்புத்தகத்தில் இடம் பெறவிருந்த இப்பகுதி இதில் இடம் பெறவில்லை. சாயிகல்வி வெளியீட்டகத்தினரால் வெளியிடப்படும் இந்நூல் மாணவர்களுக்கும், ஆசிரியர்கட்கும் பேருதவியாக அமையும் என நம்புகிறேன்.
நன்றி
ஆகஸ்ட் 1998 . ஆசிரியர்

Page 6

பொருளடக்கம்
k is a k l k k k k kalk
7. வட்ட இயக்கம்
8. எளிய இசைஇயக்கம்
9. மாறும் ஆர்முடுகல், தடை ஊடகங்களில்
இயக்கம்
10.சுழற்சி
11.காவிப்பிரயோகமும், தளவளையியின் வழியே
துணிக்கையின் இயக்கமும்
பலவினப் பயிற்சிகள்
விடைகள்
பக்கம்
43
74
105
172
198
224

Page 7

அலகு 7
7(a)
வட்ட இயக்கம் (i) கோணவேகம்
ஒரு புள்ளி P ஒரு தளத்திலே இயங்குகின்றதென்க. O ஒரு நிலையான புள்ளியாகவும், OA நிலையான ஒரு கோடாகவுமிருக்க P இன் Oஐக் குறித்த கோண வேகம், கோணம் AOP இன் அதிகரிப்பு வீதமாகும்.
の9 9 கோன வேகம் அல்லது 9 அல்லது 0 என்பதால் குறிக்கப்படும்
கோண வேகத்தின் அலகு ஆரையன் செக்கன்" ஆகும்.
P(t)
d0 9 ஒரு ஒருமை வீதத்தில் அதிகரிக்கின்றதெனின், கோணவேகம் (α θ, ω)
சீரானதெனப்படும்.
(i) புள்ளி Pஆனது, Oவை மையமாகவும், r ஐ ஆரையாகவும் கொண்ட ஒரு வட்டத்தில் இயங்கினால் Oஐக் குறித்த அதன் கோணவேகம் அதன் கதியை வட்டத்தின் ஆரையினால் பிரிக்கவரும்.
அதன் கதியை y என்க. t=0 இல் துணிக்கையின் நிலை P எனவும், 1செக்கனின் பின்னர் துணிக்கையின் நிலை Q எனவும், கொள்வோம். வரைவிலக்கணத்தின்படி கோணவேகம்  ைஆனது, 9 ஆரையன்கள் ஆகும். துணிக்கை 1செக்கனில் சென்ற துாரம் PQ = v sy,6OTIT6ö
PQ = ro=ro
எனவே 1y = rዕ)
Q(t=1)

Page 8
(i) ஒரு நேர் கோட்டிலே, வழுக்காது சீராக உருளும் வட்டத்தட்டின்
விளிம்பிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் வேகத்தைக் காணல்.
வட்டத்தட்டின் ஆரை, மையம் O என்க. மையம் O சீரான வேகம் y உடன் கிடையாக இயங்குகின்ற தென்க. இங்கு அடர் வழுக்காது உருளுவதாலி , வட்டத்தட்டின் விளிம்பிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் மையம் O தொடர்பாகத் தொடலித்திசையிலே, பருமன் v ஐக் கொண்ட வேகம் இருக்கும்.
V Vo+ V.
ട് --— ، ــــــــــــــــــسے<
ν + ν V,= Wፌe+ V.
جیس- جسمس
glV -- gv = 24 அதி உயர்புள்ளி Bயின் வேகம் கிடைத்திசையில்
2 ஆகும்.
தொடுகைப் புள்ளி A யின் வேகம் பூச்சியம் ஆகும். இங்கு புள்ளி A கணநேர ஓய்விலுள்ளதால் A கணச் சுழற்சிமையம் எனப்படும்.
VA= V 十 V
 
 
 

இங்கு நீளம் AP = 2rcos,A P. P இல் விளையுள் வேகத்தின் திசைக்குச்
2ναος θ /2 செங்குத்து. எனவேP இன் A ஐக் குறித்த கோணவேகம் 2rcos 0.72
- V
r
(ஸ்) தரப்பட்ட வேகங்களையுடைய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும்
கோட்டின் கோண வேகத்தைக் காணல்.
இரு புள்ளிகளையும் A,B என்க. AB வழியேயான A இனதும் B இனதும் வேகக் கூறுகள் AB இன் திசையில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்தாது. A,B என்பவற்றின் AB இற்குச் செங்குத்தான திசையிலான வேகக் கூறுகள்
முறையே u, u, எனின், AB இன் B
- கே (3 معة و b. A
ாண வேகம -- ஆகும Y S h . . . . e. Y -
உதாரணம் : மணிக்கூடு ஒன்றின் மணிக்கம்பியினதும், நிமிடக்கம்பியினதும் கோண வேகத்தைக் காண்க.
ገr மணிக்கம்பி 1 மணித்தியாலத்தில் ஆரையனுாடு சுழலும்.
冗 எனவே 1 செக்கனில் 3600 ஆரையனுாடு சுழலும்,
ገዢ
21600 நிமிடக்கம்பி 1 மணித்தியாலத்தில் 2ா ஆரையனுாடு சுழலும்,
21 ஆகவே 1 செக்கனில் டி ஆரையினுாடு சுழலும்,
கோணவேகம் ஆரையன் செக்கன்
ܠ ܃ ܃ 4 دسمبر
கோண வேகம் 1800 ஆரையின் செக்கன்

Page 9
a ஆரையுடைய வட்டம் ஒன்றில் இயங்கும் துணிக்கையின்
வேகத்தையும் ஆர்முடுகலையும் காணல்.
POX= 69 665.
一> OP= -
0,0y வழியேயான அலகுக்காவிகள் முறையே i,j என்க.
t - நேரம்
= a cos 0 i + a sin 9j
O = — a s in 9 i + a cos 0j 6
= -a sin 00 i + a cos 00.j——(A) ]ar9 عنا=蓋
rー#-【-a σος θό. — a sin 06)i + (-a sin 9ê? + a cosθό)/-(B
O O. 2 6 -
dt
OP &,6og. PM, P gesò வட்டத்தின் தொடலி. O, Oy இற்கு சமாந்தரமான வேகத்தின் கூறுகள் முறையே, x =-a sin 0 ,
ν = α coς θ θ OP வழியே, வேகத்தின் கூறு
= x cos 0 + y sin 0 =0 PM வழியே, வேகத்தின் கூறு
= y cos 60 - x sin 60 = d.
 
 

எனவே வட்டத்தின் வழியே இயங்கும் துணிக்கையொன்றின் வேகம் வட்டத்திற்கு
அப்புள்ளியிலுள்ள தொடலி வழியே a9 அல்லது aம ஆகும்.
0,0y இற்கு சமாந்தரமான ஆர்முடுகலின் கூறுகள் முறையே = — a cos 0ế” — a sin 06. y = — a sin 0ể* — a cos 06
OP 6useu SystypGæses sagn = x cos 9 + y sin 9
Sa -a oosθό’ —asinө6]cosө+(-a sin 0ểo +acoseёјsine
=-a6*
PMவழியே ஆர்முடுகலின் கூறு = y cos9-XSin9
s-a sineê” + a cosθθcosθ--α cosθθ' – a sin eesin-0
=aઉં
ஆர்முடுகல்
v=a 0 a 0
எனவே a ஆரையுடைய வட்டத்தில் இயங்கும் துணிக்கையொன்றின் வேகம் தொடலி வழியே (16 அல்லது aல ஆகும்.
ལྟམ་
2 ஆர்முடுகலானது, மையத்தை நோக்கி a6°(aல* அல்லது (فسه தொடலி
.do. δυμβΦμ αθ(αω Θ6ύουεν O உம் ஆகும். துணிக்கை சீரான கோண
வேகத்துடன் இயங்கினால் (0 - ஒருமை) பூேச்சியமாகும். எனவே மையத்தை நோக்கிய திசையில் மட்டும் ஆர்முடுகல் தொழிற்படும்.

Page 10
antbarso (Conical pendulum)
ஒரு நிலைத்த புள்ளி 0 இலே ஓர் இழை மூலம் கட்டப்பட்டுள்ள துணிக்கையொன்று,0 இனுாடான நிலைக்குத்தினை அச்சாகவுடைய ஒரு கூம்பினை அமைத்து அவ்விழை இயங்குமாறு ஒரு கிடை வட்டத்தில் இயங்கினால் அத்துணிக்கையும் இழையும் கூம்பூசல் எனப்படும்.
O - நிலைத்தயுள்ளி
துணிக்கையின் திணிவு m. இழையின் நீளம் 2, கோணம் POC= 9 6īsies. துணிக்கை Cஐ மையமாகவுடைய கிடை வட்டத்தில் ஒருமைக் கோண வேகம்  ைஉடன் இயங்குகிறது.
m Tcos 0-mg =0-(1)
<- Tsin 9 = mesin 9 co*- (2)
T's neo?
بیگ = 0 e cos چ= me o2 = گT
cos 0
e A. e. - 8 8 8 (2) O இற்குக் கீழ் P இன் ஆழம் OC" இது 2 இல் தங்கவில்லை.
as (b) சமன்பாடு (1) இலிருந்து 0ே36 -学, tg பூச்சியமாகாது.
冗 cos640, எனவே 9デ芸 ஆகவே இழை கிடையாக இருக்கமுடியாது.
。ケ=ー"空ー As a (c) சமன்பாடு (1) இலிருந்து T=之。 > mg [0mg ஆகும்.
உதாரணமி 5மீற்றர் நீளமுடைய இலேசான நீட்டமுடியாத இழை ABC யில், m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று B இல் இணைக்கப்பட்டுள்ளதுAB=2மீற்றர் ஆகும். 3m திணிவுடைய சிறிய வளையம் ஒன்று C இற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. முனை A நிலைப்படுத்தப்பட்டு C இலுள்ள வளையம் A யினுாடாகச் செல்லும் நிலைக்குத்தான ஒப்பமான கம்பி மீது வழுக்கிச் செல்லக் கூடியவாறு உள்ளது.
6
 

தொகுதி, கம்பியைப் பற்றி 0 என்னும் மாறாக் கோண வேகத்துடன் சுழல்கிறது. C யானது, A யிற்குக் கீழே உள்ளது. கோணம் BAC = 60° எனின்,
? = g(4 +
) எனக் காட்டி, கம்பிக்கும் வளையத்திற்குமிடையேயான
மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
B யிலுள்ள துணிக்கை 0 வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்திலியங்குகின்றது. P= mf ஐப் பிரயோகிக்க.
B இற்கு
P T sin 0 + T, sin 60 = m 2 sin 60 co * ——(1)
T cos 60 - T cos 0 — mg = 0 --(2)
CSgib(ğ5
Τ; coς θ-3mg = 0 -- (3)
->R- 1; sine = 0 —(4)
முக்கோணி ABC இற்குச் சைன் விதியைப் பிரயோகிக்க.
3 2
ஸ் 60"he -(5)
(5) =sine- core-E o= 7-器-鴞
(4)= R = Ti sin 9 = 警
mg T = 8mg = { 7 - <ܒ (2)
(:g(4 + N = * ه ܛܒܚ (1)
7

Page 11
1.
2.
பயிற்சி 7 (a)
கோண வேகம், கிடை வட்டத்தில் இயக்கம்
ஒரு சில்லு அதன் மையத்தைக் குறித்து 300க/நிமிடம் வீதம் சுழல்கிறது; சில்லிலுள்ள எந்த ஒரு புள்ளியினதும் மையத்தைக் குறித்த கோண வேகத்தைக் காண்க. மையத்திலிருந்து 2 Cm துாரத்திலுள்ள புள்ளியொன்றின் கதியைக் காண்க.
ஒரு வட்டத்தில் சீரான கதியுடன் புள்ளியொன்று இயங்குகிறது. வட்டத்தின் பரிதியிலுள்ள எப்புள்ளியையும் குறித்து இயங்கும் புள்ளியின் கோண வேகம் மாறிலியெனக் காட்டுக.
- 64 kmh வீதம் வண்டித் தொடரொன்று செல்கிறது. எஞ்சின் சில்லுகளுள் ஒன்றின் விட்டம் 1.5m. நிலத்திலிருந்து 1.2m உயரத்தில் இச்சில்லிலுள்ள இரு புள்ளிகளின் வேகங்களைக் காண்க.
2.4 மீற்றர் விட்டமுள்ள சில்லொன்று 6ms' வேகத்துடன் கிடை நிலத்திலே உருளுகின்றது. சில்லின் கோண வேகத்தின் பருமனையும். கிடை விட்டத்தின் முனைகளின் வேகங்களின் பருமன்களையும், திசைகளையும் காண்க. ஒரு கடிகாரத்தின் மணிக்கம்பி நிமிடக்கம்பி ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே 2.3 cm ஆயின் அக் கம்பி முனைகளின் வேகங்களை ஒப்பிடுக.
ஆரையுடைய வட்டம் ஒன்றில் இயங்கும் துணிக்கை ஒன்று நேரம் t இல் a + k துாரத்தைக் கடக்கிறது. நேரம் t இல் மையத்தைக் குறித்து அதன் கோண வேகத்தைக் காண்க. துணிக்கையின் தொடக்க வேகம் யாது?
விறைப்பான உடலொன்று நிலைத்த ஒரு அச்சுபற்றி a - bt இற்குச் சமமான மாறும் கோண வேகத்துடன் சுழல்கிறது. இங்கு a,b ஒருமைகளும், t நேரமுமாகும் உடலானது, ஓய்விற்கு வருமுன் எக்கோணத்தினுாடு திரும்பும் எனக் காண்க.
. பூமி 6400km ஆரையுடைய கோள வடிவமானதெனவும் 24 மணித்தியாலத்திற்கு
ஒரு முறை தன்னுடைய அச்சுபற்றி சுழல்கின்றதெனவும் கொண்டு அதன்
கோணக்கதியையும், புவிமத்தியகோட்டில் (equator) ஒரு புள்ளியில் அதன்
கதியையும் காண்க.
துணிக்கை ஒன்று வட்டத்தில் இயங்குகின்றது. செக்கனில் அதன் கதி (2l+ 4) ms". வட்டத்தின் ஆரை 9m, 1 செக்கனின் பின் துணிக்கையின் ஆர்முடுகலின் ஆரைவழியேயான, தொடலி வழியேயான கூறுகளைக் காண்க.

10.5kg திணிவொன்று ஒப்பமான கிடைத்தளமொன்றிலுள்ள நிலைத்த ஒரு புள்ளியுடன்
4mநீளமுள்ள இலேசான நீளா இழையொன்றினால் இணைக்கப்பட்டு 8ms கதியுடன் தளத்தில் வட்டத்தில் இயங்குகிறது. இழையின் இழுவையைக் காண்க.
11.3 kg திணிவொன்று 1.2 m நீளமான இழையொன்றினால் இணைக்கப்பட்டு ஒப்பமான கிடை மேசை ஒன்றின் மீது 1 நிமிடத்திற்கு 300 சுழற்சிகளை ஆக்குகிறது. இழையிலுள்ள இழுவையைக் காண்க.
12. 1kgதிணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று 1m நீளா இழையர்ல் இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறு முனையானது, ஒப்பமான கிடை மேசை ஒன்றிற்கு மேல் 0.5m உயரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கையானது மேசை மீது சீரான கதியுடன் 2செக்கன்களுக்கு ஒரு சுழற்சியை ஆக்குகிறது. இழையின் இழுவையையும், மேசையின் மறு தாக்கத்தையும் காண்க.
13. 2 நீளமுடைய இலேசான நீளா இழையொன்றின் ஒரு முனை, ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையிலுள்ள O என்னும் புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு இழையின் மறுமுனையில் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழை தாங்கக்கூடிய அதி உயர் இழுவை Mg எனின், துணிக்கை மேசையின் மீது 1 செக்கனில் ஆற்றக் கூடிய சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
14.துணிக்கை ஒன்று இரு சமநீள, இலேசான இழைகளினால் இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறு முனைகள் ஒரே நிலைக்குத்துக் கோட்டில் a இடைத்துாரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன. துணிக்கை () எனும் சீரான கோண வேகத்துடன் ஒரு கிடை வட்டத்தில் இயங்குகிறது. இரு இழைகளும் இறுக்கமாக
ت 座 ܚܗܡ. *இருக்க  ைஆனது 후 இலும் அதிகமாக இருக்கவேண்டுமெனக் காட்டுக.
- I6 மேலும் இழைகளின் இழுவைகள்2:1 என்ற விகிதத்திலிருப்பின் ல ள் ψΕ. எனவும் காட்டுக.
15.18 a நீளமுடைய இலேசான இழையொன்றின் முனைகள் ஒரே நிலைக்குத்துக் கோட்டில் 12 a இடைத்துாரத்திலுள்ள A, B என்னும் இரு புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன. B, A இற்குக் கீழே உள்ளது. இவ்விழையில் m திணிவுடைய C என்னும் வளையம் ஒன்று கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. வளையம் B ஐ மையமாகக் கொண்ட கிடை வட்ட மொன்றில் இழை இறுக்கமாக இருக்கத்தக்கதாகச் சுழல்கிறது. BC = Sa எனவும், இழையிலுள்ள இழுவை
f
13 m g . . . . . .
- எனவும காட்டுக. சுழற்சிக் காலத்தைக் காண்க.

Page 12
16.
17.
18.
19.
a ஆரையுடைய ஒப்பமான கோளவடிவப் பாத்திரமொன்றினுள் துணிக்கை ஒன்று
α r பாத்திரத்தின் மையத்திற்கு கீழ் ஆழத்தில் கிடைவட்டமொன்றில்
l இயங்குகிறது. துணிக்கையின் கதி w6ga எனக் காட்டுக.
அரை உச்சிக் கோணம் C ஐ உடைய வட்டக்கூம்பொன்று அதன் அச்சு நிலைக்குத்தாகவும், உச்சி மேல் நோக்கியும் இருக்குமாறு நிலைப்படுத்* ட்டுள்ளது. 2 நீள முடைய இலேசான நீளா இழையொன்றின் ஒரு முsை கூம்பின் உச்சிக்கு இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறு முனையில் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இத்துணிக்கை கூம்பின் ஒப்பமான வெளி மேற்பரப்பில் ஓய்விலுள்ளது. துணிக்கையானது கூம்புடன் தொடுகையிலுள்ளவாறு சீரான கோண வேகம்  ைஉடன் கிடை வட்டமொன்றில் இயங்குகின்றது.
2 C g sec o
2
எனக் காட்டி இழையிலுள்ள இழுவையைக் காண்க.
கரடான வட்டத்தட்டொன்று அதன் மையம் O வினுாடாக நிலைக்குத்து அச்சுபற்றி கிடை வட்டத்தில் 1 செக்கனுக்கு n சுழற்சிகளை ஆக்குகிறது. O விலிருந்து துாரத்தில் P என்னும் ஒரு துணிக்கை தட்டில் வைக்கப்பட்டுள்ளது.
4 π* η "ν > -- எனின் துணிக்கை P, தட்டுத்தொடர்பாக ஓய்விலிருக்குமெனக் காட்டுக. இங்கு யு, துணிக்கைக்கும் தட்டுக்குமிடையேயான உராய்வுக் குணகம்.
m திணிவுடைய ஒரு துணிக்கை டே நீளமுடைய இலேசான நீளா இழையொன்றினால் நிலைத்த ஒரு புள்ளியிலிருந்து தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. இத்துணிக்கை 0 எனும் சீரான கோண வேகத்துடன் கிடைவட்டமொன்றினை
வரைகிறது. நிலைக்குத்துடன் இழையின் சாய்வு 9 எனின், ை * cos 0 = 器* நிறுவுக. இழை, மீள்தன்மையுடைய தெனவும், இழையின் இயற்கை நீளம் a எனவும் இழையில் x நீளம் நீட்சியை ஏற்படுத்தத் தேவையான விசை AC எனவும், தரப்படின் சீரான வட்ட இயக்கத்தில் 0.9 என்பன
2 O ω*cosθ= 星(l- -) என்னும் சமன்பாட்டால் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
o
10

20.
கரடான கிடையான தட்டு ஒன்று நிலைத்த ஒரு நிலைக்குத்து அச்சு பற்றி 0 என்னும் ஒருமைக் கோண வேகத்துடன் சுழல்கிறது, m திணிவுடைய துணிக்கை
5a ஒன்று, அச்சிலிருந்து 4. துாரத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கைக்கும்
1 தட்டுக்குமிடையேயான உராய்வுக் குணகம் 3. ஆகும். துணிக்கை, தட்டுத்
4 தொடர்பாக ஓய்விலிருப்பின் லே 3 유 எனக் காட்டுக. g
இப்பொழுது துணிக்கை C இயற்கை நீளமும் 3mg மீள்தன்மை மட்டும் உடைய
21.
22.
கிடையான இழையொன்றினால் அச்சிற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை
5a தட்டுத் தொடர்பாக அச்சிலிருந்து 4. துாரத்தில் ஓய்விலிருப்பின், தட்டின் அதி
13
உயர் கோண வேகம் எனக் காட்டி, மிகக் குறைந்த கோண வேகத்தைக்
காண்க.
திணிவுடைய 905 துணிக்கை P, நிலையான புள்ளி O விலிருந்து 2 இயற்கை நீளம் கொண்ட இலேசான மீள் தன்மை இழை ஒன்றினால்
32 தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. சமநிலையில் P ஆனது, O விற்கு கீழ் 2 ஆழத்தில்
தொங்குகிறது. துணிக்கை P ஆனது, இழை நிலைக்குத்துடன் ை கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு சீரான கோண வேகத்துடன் கிடை வட்டம் ஒன்றில் இயங்குமாறு செய்யப்படுகிறது. இழையின் இழுவையையும், வட்டத்தின் ஆரையையும், கோண வேகத்தின் பருமனையும் காண்க.
3 a நீளமுடைய ஒரு இலேசான இழையின் ஒரு முனை A என்னும் ஒரு புள்ளிக்கும் மறு முனை A இற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே A இலிருந்து 2a துாரத்திலுள்ள B என்னும் புள்ளிக்கும் நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. m திணிவுடைய ஒரு சிறிய வளையம் R இழையில் கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. (a) R, இழையின் நடுப்புள்ளியில் நிலைப்படுத்தப்பட்டு 5ga என்னும் கதியுடன் கிடை வட்டம் ஒன்றில் இயங்கினால், இழையின் AR, ER பகுதிகளிலுள்ள இழுவைகளைக் காண்க (b) R இழையில் சுயாதீனமாக அசையக் கூடியதாகவும், இழை இறுக்கமாக இருக்க B ஐ மையமாகக் கொண்ட கிடை வட்டம் ஒன்றில் இயங்கினால்
5а BR= 6 எனக் காட்டி, R இன் கதியைக் காண்க:
l

Page 13
23.
இலேசான நீளா இழை ஒன்றின் முனைகள் ஒரே நிலைக்குத்துக் கோட்டிலுள்ள A,B என்னுமிரு புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன. A ஆனது B இற்கு மேலே உள்ளது. இழையானது m திணிவுடைய ஒரு சிறிய ஒப்பமான மோதிரத்தினுாடு செல்கிறது. மோதிரம் இழையில் P என்னும் புள்ளியில் கட்டப்பட்டுள்ளது. இழை இறுக்கமாக இருக்கும் போது கோணம் APB, 90*
ஆயும் கோணம் BAP, 9 ஆகவும் கோடு AB யிலிருந்து P ன் துாரம் r ஆகவும்,
உள்ளது. மோதிரம் ஒருமைக் கோண வேகம் 0 உடன் இழை இறுக்கமாக இருக்குமாறு கிடைவட்டமொன்றில் இயங்குகிறது. இழையின் பகுதிகள் AP BP இலுள்ள இழுவைகளை m, g, r, 0, 9 இன் உறுப்புக்களில் காண்க. AB =5a, AP = 4a எனத் தரப்படின் 16 aல>5g எனக் காட்டுக.
மோதிரமானது இழையில் கட்டாது சுயாதீனமாக இயங்கக் கூடியதாக இருப்பின்
கோண வேகம் Q ஆனது, 12 a Q = 35g என இருப்பின் மோதிரமானது,
24.
25.
இழையில் முன்னர் இருந்த அதே தானத்தில் இருக்குமெனக் காட்டுக. இவ்வகையில் இயக்கத்தின் காலத்தை T, a, g இல் தருக.
2m திணிவுடைய துணிக்கைP, a நீளமுடைய இலேசான நீளா இழையால் O எனும் நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை P இன்னொரு a நீளமுடைய இலேசான நீளா இழையால் 3m திணிவுடைய ஒரு சிறிய வளையம் 0 இற்கு இணைக்கப்பட்டு, இவ்வளையமானது O வினுாடாகச் செல்லும் ஒப்பமான நிலைக்குத்துக் கம்பியொன்றில் வழுக்குமாறு உள்ளது.
冗
துணிக்கைP ஆனது, OP கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் - கோணத்தை ஆக்கிக்கொண்டு ஒரு கிடைவட்டத்தில் இயங்குகிறது.
(a) இழைகள் OP, OQ இலுள்ள இழுவைகளைக் காண்க.
(b) P யின் கதி (6ga)2 676. காட்டுக. (c) தொகுதியின் சுழற்சிக் காலத்தைக் காண்க. ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையிலுள்ள துவாரம் O இனூடாகச் செல்லும் 2 நீள இலேசான நீள இழையின் முனைகளுக்கு ஒவ்வொன்றும் சம திணிவுடைய P,Q என்னும் துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டள்ளன. துணிக்கை P மேசையின் மீது இயங்குவதற்குச் சுயாதீனமுடையது. OP மாறாக் கோண வேகம் 0
உடன் இயங்கிP கிடை வட்டத்தினை மேசை மீது வரைகிறது. துணிக்கை Q மேசையின் கீழ் இழை இறுக்கமாக இருக்க, அதே கோணவேகம் a) உடன்
2 இயங்குகிறது. OP = என நிறுவுக. OQ நிலைக்குத்துடன் அமைக்கும்
kij 2g கோணத்தைக் கண்டு o? > e எனக் காட்டுக.
12

26.
O வை மையமாகவும் a ஐ ஆரையாகவும் கொண்ட ஒப்பமான அரைக் கோள
வடிவக் கிண்ணம் ஒன்று, அதன் விளிம்பு மேல் நோக்கியும் கிடையாகவும்
27.
8.
இருக்குமாறு நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 3m திணிவுடைய P என்னும் துணிக்கை கிண்ணத்தின் உள் மேற்பரப்பில் 0 எனும் கோண வேகத்துடன் கிடைவட்டத்தில் இயங்குகிறது. P இற்கு2a நீளமுடைய இலேசான இழை ஒன்று இணைக்கப்பட்டு இழையானது, பாத்திரத்தின் அதி தாழ் புள்ளியிலுள்ள ஒப்பமான துவாரத்தினுாடு சென்று மறு முனையில் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இத் துணிக்கை (0 எனும் கோண வேகத்துடன் கிடை வட்டத்தில் கூம்பூசலாக
இயங்குகிறது. இரண்டாவது துணிக்கையின் இயக்கத்தைக் கருதி బ2> எனின், மட்டுமே இவ்வியக்கம் சாத்தியமாகுமென நிறுவுக. இங்கு bபாத்திரத்திற்கு வெளியேயுள்ள இழையின் நீளம். நிலைக்குத்துடன் OP அமைக்கும் கோணம்
O 2 60 6T66 () - எனக் காட்டி, பாத்திரத்திற்கும், முதலாவது துணிக்கைக்குமிடையேயான மறு தாக்கத்தைக் காண்க.
துணிக்கை ஒன்று நீேளமுடைய இலேசான ஓரிழையால் O என்னும் நிலையான புள்ளியிலிருந்து தொங்குகிறது. அதே திணிவுடைய இன்னொரு துணிக்கை
முதலாவது துணிக்கையிலிருந்து அதே நீேளமுடைய இழையில் தொங்குகின்றது. தொகுதி முழுவதும் O வினுாடான நிலைக்குத்து பற்றி கோணக்கதி 0 உடன்
இயங்குகின்றது. மேலேயுள்ள இழையும் கீழே உள்ள இழையும் நிலைக்குத்துடன்
முறையே 0, 8 என்னும் ஒருமைக் கோணங்களை அமைக்கின்றன.
tam O == p(sin ɑ --- sin p)
ea’
tan 3 = p(sin a + sin b) எனக் காட்டுக. இங்கு pள் g பூமியின் மேற்பரப்பிற்கு வெளியே அதன் ழையத்திலிருந்து துாரத்திலிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஈர்வையிலான ஆர்முடுகல் fx இற்கு நேர்மாறு விகித சமமானது. பூமியின் ஆரை R ஆகவும், பூமியின் மேற்பரப்பில் f இன் பெறுமானம் g ஆகவுமிருப்பின் fஐ R, g, x என்பவற்றில் காண்க. செய்மதி ஒன்று பூமியின் மையத்தை மையமாகக் கொண்டு பூமியைச் சுற்றி 7200 km ஆரையுடைய வட்டத்தில் வலம் வருகிறது. செய்மதியின் கதியை km/மணியிலும் அது ஒரு முறை வலம் வர எடுக்கும் நேரத்தை நிமிடங்களிலும் காண்க. பூமியின் ஆரை R= 6336km எனவும், g= 9.8ms" எனவும் கொள்க.
13

Page 14
GMm 9. சந்திரன் பூமியை நோக்கி r 2 பருமனுடைய விசை ஒன்றினால்
கவரப்படுகிறது. இங்கு Mn என்பன முறையே பூமி சந்திரன் என்பவற்றின் திணிவுகளும், r அவற்றிற் கிடையேயான துாரமும் ஆகும். அகில ஈர்ப்பு ஒருமை G= 6.66x10'm/kgs’ ஆகும். சந்திரன் பூமியைச் சுற்றி சீரான
கதியில் வட்டமொன்றில் இயங்குகிறதெனவும், ஒரு பூரண சுழற்சிக்கான காலம் 27 நாட்களெனவும் இரண்டிற்கு மிடையேயான துாரம் 384,000 km எனவும், Qasm soiG fluisit isoloshii assrooias. (G-universal gravitational constant)
30. m திணிவுடைய செய்மதி ஒன்று, பூமியின் மையம் O ஐ நோக்கி உள்ளதும், Fபருமனும் உடையதுமான ஈர்ப்பு விசை ஒன்றினால் இயங்குகிறது. செய்மதியின் பாதை 0 வை மையாகவும் aஐ ஆரையாகவும் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும். செய்மதியின் சுழற்சியொன்றிற்கான காலம் T இற்கான ஒரு கோவையை m, கு: a, F இல் காண்க.
O விலிருந்து r துாரத்திலுள்ள m திணிவுடைய உடலொன்றின் மீது தொழிற்படும்
mi 3 2 تھی ۔ . . ஈர்ப்பு விசை 2. எனின், T =4ாள் எனக் காட்டுக. இங்கு ஒருமையாகும்.
பூமியின் ஆரை 6400 km 676976nqub, பூமியின்,ழேற்பரப்பில் ஈர்வையிலான ஆர் முடுகல் 10ms" எனவும் கொண்டுய=(6.4) 107 mS" எனக் காட்டுக. இதிலிருந்தோ அல்லது வேறு வழியாகவோ செய்மதி பூமியின் மேற்பரப்பிற்கு மேலே 500km
துாரத்தில் வட்ட பாதையில் இயங்குகையில் அதன் சுழற்சிக் காலத்தைக்
565,
31.A,B என்பன B இற்கு மேலே A அமைய, ஒரே நிலைக்குத்துக் கோட்டில் இடைத்துாரம் C யிலிருக்கும் நிலைத்த இரு புள்ளிகளாகும். இவை சுயாதீனமாக அசையத்தக்க பாரமான சிறிய ஒரு வளையம் C யினுாடாகச் செல்கின்ற நீட்ட முடியாத இலேசான இழை ஒன்றினால் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன. AB மீது மையத்தைக் கொண்ட கிடை வட்டம் ஒன்றில் வளையம் C ஆனது மாறாக் கோணக் கதில உடன் செல்லும் போது A,B ஆகியவற்றில் இருந்து C ன் துாரங்கள் முறையே b, a ஆகும் , b > a எனவும் ல" ஆனது,
2 1 1 (cos A - cos B) co “ = g ァ*高 இனாலே தரப்படுகிறதெனவும் காட்டுக. இங்கு A,B என்பன முறையே கோணங்கள் BAC, ABC என்பவற்றைக் குறிக்கின்றன. மேலும் முக்கோணி ABC இற்கான கோசைன் சூத்திரத்தைப்
- coo = 2gc a + b Uuj6irl G5s bーa[(a +b)* co) எனவும் காட்டுக.
14

7(b) நிலைக்குத்து வட்டத்தில் இயக்கம். *
வட்டத்தில் இயங்கும் துணிக்கை ஒன்றின் வேகம், ஆர்முடுகல் என்பவற்றைக்
காணும் முறையை நாம் முன்னர் கற்றுள்ளோம். இதை வேறொரு முறையிலும் εξπ6ύστουπιio.
வட்டத்தின் ஆரை 1 அலகு என்க.
2 : 2 ۔۔۔ OP= e= cos 9i+ sin 9j (le=Veos 69 + sin 6 = 1)
de
-= i -sin 69 i+cos 6j || 60
dif (-sin0i+cos ej)
m = - sin 9 i + cos 9 j 6Tsitas.
இப்பொழுது -, em=0 எனவே 2 L 7
هر ی d
-91 - ()
dm
=(-cos 0i - sinej)0=-6e - (2)
a ஆரையுடைய வட்டம் ஒன்றில் இயங்கும் துணிக்கை P, வட்டமையம் O ஆகும்.
15

Page 15
一惨>
OP = r 676.518.
=a2 (OP=a,OP யின் திசையில் அலகுக் காவி2)
d r d 4 V = ー= a حسیت" --س۔ a 69 nm re dt dt T எனவே, வேகம் தொடலி வழியே a9 ஆகும்.
dvo d : R - dm - f= - = (a,0m)=a0m+a 9 --=a0m-a0* é dit dit : — dt - a Mars
ஆர்முடுகலின் கூறுகள், மையத்தை நோக்கி a6 உம் தொடலி வழியே a 9 உம் ஆகும்.
ஒரு துணிக்கை ஒர் ஒப்பமான வட்ட வளையியின் வழியே வழுக்குகின்றதெனில், மொத்த பொறிமுறைச்சக்தி மாறாது என்பதைப் பிரயோகிக்கலாம். இங்கு வளையியின் மறுதாக்கம் R இயக்கத் திசைக்கு செங்குத்தாகையால், அது வேலை செய்யாது என்பதாலாகும். இது போலவே நிலையான புள்ளி ஒன்றிலிருந்து நீளா இழை மூலம் தொங்க விடப்பட்டுள்ள துணிக்கை, நிலைக்குத்துத் தளத்திலே ஊசலாடும் போதும், பொறிமுறைச் சக்திக்காப்புத்தத்துவத்தைப் பாவிக்கலாம்.
வட்டத்தின் மையம் O, ஆரை a, AB நிலைக்குத்து விட்டம். மணியின் திணிவு m. மணி அதிதாழ்புள்ளி A இலிருந்து t=0 இல் கிடையாக u வேகத்துடன் எறியப்படுகிறதென்க. நேரம் t இல் கோணம் AOP = 6 என்க, அப்பொழுது வேகம் y என்க.
1) நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் நிலைப்படுத்தப்பட்ட, ஒப்பமான வட்ட
வளையத்தில் கோக்கப்பட்ட சிறிய மணி ஒன்றின் இயக்கம்.
சக்திக் காப்பு விதிப்படி.
號叫 =|mثب +mg α(1-αοςθ)
v°=tô°—2ag(1—cos 0) — (1)
6
 
 

ཅོར། P=nf • 2
R - mig cos e = m -- --(2)
R = T-[v° + ag c os 6)
R = Lu - 2ag + 3ag cos θ
இங்கு மணி, வளையத்தில் கோக்கப் பெற்றிருப்பதால், மணி வளையத்தை விட்டு நீங்காது. மணி பூரண வட்டத்திலியங்க 6 = 1 இல், y>0 ஆதல் வேண்டும்.
e= Tt 9Q6èb v ́= u"- 4ag > 0
at > 4ag
u'> 4ag எனின், மணியானது பூரண வட்டங்களில் இயங்கிக் கொண்டிருக்கும் u > 2. αε
9-1 இல் y = 0 எனின் u= 4ag; u =4ag 676thoi, upon
அதி உயர் புள்ளி B ஜ மட்டுமட்டாக அடையும்.
u< 4ag 61685.
v* = u” — 2ag (1 — cos 9)
• 6-空ニ“ v=0 éも5。cos 9= 2ag A
O< u<4ag=> -4ag<- u'<0
- 4ag +2ag.<2ag- u< 2ag
2 2ag.2ag - 4 2ag. 2ag 2ag 2g
or - , 2 ag -<
- 1 <
2 ag
7

Page 16
a"< 4ag எனின் O<9<ா ஆகவுள்ள 9 எனும் கோணத்தினுாடு மணி திரும்பியதும் வேகம் பூச்சியமாகும்.
ஆகவே மணியானது O வினுாடான கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் இருபக்கமும் 9 என்னும் கோணத்தினுாடு ஊசலாடும்.
7、
a 2ag GTGilsit, 0s.
2ag < uo < 4 ag GTG:ssä, ; < 0 * ஆகும்.
இழை மூலம்தொங்கும் துணிக்கையின் வட்டத்தின் வழியே இயக்கம்.
m திணிவுள்ள துணிக்கை a நீள o O Ο இழைமூலம் நிலையான புள்ளி 0 விலிருந்து தொங்குகின்றது. 0. சமநிலைத் தானத்திலிருந்து 0 (அதிதாழ் புள்ளி A) கிடையாக u jv T எனும் வேகம் கொடுக்கப்படுகிறது. P
2 P A A A. mg
சக்திச் சமன்பாடு.
: mo= mw'+mga(1-cos0)
vʻ= u°- 2ga (1 - cos 9)-(1)
2 P=mへ。 T- mg cos 6 = m Y -
O
T - A [uo — 2 ag + 3ag cos 9-2
6= c ஆக V=0 என் -28 --
= o, gab V = U 676oTa5, cos ou= 2 ag (3)
2ag - u’
9= 3 ஆக T= 0 என்க, cos B = Заg
இங்கு u's 4ag எனின், 0 இற்கு மெய்ப் பெறுமானங்கள் இல்லை. ஆகவே
>4ag எனின் yபூச்சியத்தை அடையாது.
8

இதேபோல் > 5ag எனின், S இற்கு மெய்ப்பெறுமானங்கள் இல்லையென்பதால் O a>5ag எனின், T பூச்சியத்தை அடையாது.
வகை (1)
O < u < 2lag 676ff6ð cos o > cos ß > 0 4- uo<2ag
冗 ஆகவே O<0. 

Page 17
நிலைக்குத்தாக நிலைப்படுத்தப்பட்ட ஒப்பமான வட்டவளையத்தின் உட்புறத்தின் அதிஉயர் புள்ளியிலிருந்து கிடையாக எறியப்பட்ட துணிக்கையின் இயக்கம்
B இல் வேகம் u எனவும், C இல் வேகம் V எனவும் கொள்க.
சக்திச் சமன்பாடு
1.
mu? = my'-mga(1-cos 0)
2 2 vo=u? +2ga(1 — cos e) - -(1)
P = mf ܓܠ
R + mgcos 0 =
* עm
R = t (u'* + 2ag — 3ag cos 9) துணிக்கை எப்பொழுதும் வளையத்துடன் தொடுகையிலிருக்க, R ன் இழிவுப் பெறுமானம் > 0 ஆதல் வேண்டும். Rஇழிவு, 9 = 0 இல் பெறப்படும்.
R இழிவு = u” — ag ஆகும். u> ag எனின், துணிக்கை பூரண வட்டங்களில் இயங்கும். u?< ag எனின், எறியற் புள்ளி B யிலேயே, துணிக்கை வளையத்தை விட்டு நீங்கும். 0>考 فQ வட்ட வளையத்தின் வெளிப்புறத்தில் இயக்கம். ( n
அதி உயர் புள்ளி B இலிருந்து கிடையாக வேகம் u உடன் எறியப்படுகிறதென்க.
சக்திச் சமன்பாடு
mus? =mvشم -mga(1-case)
2 vo=uo+2ga(1-cos e) | d *ע m ( P-ாரி mg cos 6 - R =
R=" [3ag cos 69 — 2ag —
20
 
 

?
u +2ag.
R = O sissis, cos 0 = S
Заg
u’+2ag
Заg இல் துணிக்கை வளையத்தை விட்டு
u< ag 676cf6ör, 9 = cor( நீங்கும்.
> ag எனின், எறியற் புள்ளி B யிலேயே துணிக்கை வளையத்தை விட்டு நீங்கி புவியீர்ப்பின் கீழ் இயங்கும்.
உதாரணம். 1
O வை மையமாகவும், a ஆரையாகவும் கொண்ட பொட்கோளமொன்றின் ஒப்பமான உள் மேற்பரப்பிலே, துணிக்கையொன்று, O வினுாடான தளத்திலே நிலைக்குத்து வட்டத்திலே இயங்குகிறது. துணிக்கையானது, கோளத்தின் உட்பரப்பின் அதி தாழ்புள்ளியிலிருந்து u எனும் தொடக்க வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. துணிக்கை P எனும் புள்ளியில் கோளப்பரப்பை விட்டு நீங்குகிறது. OP யானது, O இனுடான மேல் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 6 எனும் கோணத்தை அமைக்கின்றது.
) - in
u-2ag
αος θ
3ga
எனக் காட்டுக.
t 4. COS 9=; எனின், துணிக்கை கோளத்தை விட்டு நீங்கிய பின்னர் தொடரும்
இயக்கத்தில் O வினுடாக நிலைக்குத்துக் கோட்டை O விற்கு மேலே
15 28" துாரத்தில் கடந்து செல்லும் எனக் காட்டுக.
fi sia(S).
சக்திச் சமன்பாடு.
SS -m v° + mga (1 + cos 0) v° = u? + 2gα(1+ cos θ) -(1)
p = mf
2 R+ mg cos 0= 77 V
R = (u” — 2ga — 3ag cos 6{----2)سس(
2

Page 18
R=O ஆக துணிக்கை கோளப்பரப்பை விட்டு நீங்கும்.
O = u-2ga - 3ga cos 9)
2 ag 3ag
cos 0 =
cos 9 = 4. -
T5 எனின், 5
2 4ga (1) A6(bög v“ =
Pஇல் துணிக்கை விட்டு நீங்கிய பின்னர், இயக்கம் புவியீர்ப்பின் கீழ் நடைபெறும்.
2 ممبر 1 S = Aut +f ஜப் பாவிக்க.
{-PB = V cos 69.ť
a sin 0 o Ycos 0. - (1)
४ि
个 h=BC= vsin 0,1- gio (2)
(1) இலிருந்து =48
ہو۔ 1“
w" 媒战 2 2 (2) ல் பிரதியிட, h = Vin63 ga tan“ 0
2Ꮴ 2
2. 2 h- a tan o sin 0-o:o m 2V
h = a 33-399 x - - 4 S 2 x 16 4ga
ada 63 a 640
O விற்க மேல் 63а, 4 — 115а
றகு மேல உயரம +4 = 2;
22

உதாரணம் 2
m திணிவுடைய மணி ஒன்று வட்ட வடிவில் வளைக்கப்பட்ட ஒப்பமான a ஆரையுடைய நிலைக்குத்துத் தளத்தில் நிலைப்படுத்தப்பட்ட கம்பி ஒன்றில் வழுக்கிச் செல்லக் கூடியதாக உள்ளது. இம்மணி a நீளமும், 3mg மீள்தன்மை மட்டும் உடைய இழை ஒன்றிற்கு இணைக்கப்பட்டு இழையின் மறுமுனை வட்டக் கம்பியின் அதிஉயர் புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் மணி, வட்டக் கம்பியின் அதிதாழ் புள்ளியினுாடாக u எனும் கதியில் அசைகிறது. u=ag எனின், மணி மட்டுமட்டாக வளையத்தின் உச்சியை அடையும் எனக் காட்டுக. e
இழை முதலில் தொய்வடையும் கணத்தில் மணியின் கதி u எனக் காட்டி, அப்பொழுது கம்பிக்கும், மணிக்குமிடையேயான மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
A. 「ミ、 V
B (i) (ii)
Bஐ பூச்சிய அழுத்த சக்தி மட்டம் என்க. C இல் இழை தொய்யும் (i) இல்
அ. சக்தி-O
- -m u = -m g a இ. சக்தி = 2 2 g
1 a° 3mga மீள்தன்மை அழுத்த சக்தி = 3mg - =
2 2. 2
(i) இல்
3mga
se sig = mga (l + cos 60) =
- ክገገ
இ. சக்தி 2 மீள்தன்மை. அழுத்த சக்தி =O
23

Page 19
omeg.3m43.3mgl.2 to
2 2 2 2
y? = ag; C இல் வேகம் Naց
O வை அழுத்த சக்தி மட்டமென்க.
mga
C இல் அசக்தி = mgaCO360 = 2
አገገ ደC! இ.சக்தி = omv* =
A இல் அ. சக்தி = mga
1 ... 2
A இல் இ. சக்தி = mல
mga mga 2 2.
= O V
1... 2 = mga + -no
2
... ω
ஆகவே மணி, A ஐ மட்டுமட்டாக அடையும்
2
C 96) M P=mf R + m g cos 60 =
R = 8
2
நிலைக்குத்து வட்டத்தில் இயக்கம்.
1. ஒப்பமான வட்ட வளையம் ஒன்று, அதன் தளம் நிலைக்குத்தாக இருக்குமாறு நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அவ்வளையத்தில் மணி ஒன்று கோர்க்கப்பட்டு, கிடைவிட்டத்தின் முனை ஒன்றிலிருந்து, அம்மணி இயங்க விடப்படுகின்றது. மணியினுாடு செல்லும் ஆரை கிடையுடன் கோணம் 9 அமைக்கும் பொழுது மணியிலுள்ள மறுதாக்கம் 3mgsin 9 எனக் காட்டுக.
2. m gofiosolu துணிக்கை ஒன்று 7 ஆரையுடைய நிலைக்குத்தாக நிலைப்படுத்தப்பட்ட ஒப்பமான வட்டவளையம் ஒன்றினுள் 180 இனுாடாக ஊசலாடுகிறது. வளையத்தின் எந்த ஒரு புள்ளியிலும் துணிக்கை இருக்கையில்
2
7? My
துணிக்கையிலான மறுதாக்கம் எனக் காட்டுக. இங்கு y தரப்பட்ட புள்ளியில் துணிக்கையின் வேகமாகும். 24

3.
a நீள இழையொன்றின் ஒரு முனை நிலையான புள்ளி O விற்கு இணைக்கப்பட்டு மறுமுனையில் பாரமான திணிவொன்று கட்டப்பட்டு நிலைக்குத்தாக தொங்குகிறது. இத்துணிக்கைக்கு கிடையாக v எனும் வேகம் கொடுக்கப்படுகிறது. O வின்
7 மட்டத்திற்கு மேல் 2. உயரத்தில் இழை தொய்கின்றதெனின், v? =ga
என நிறுவுக.
நிலையான புள்ளியொன்றிலிருந்து இழையொன்றினால் தொங்கும் துணிக்கை ஒன்று நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் வட்டத்திலியங்குமாறு எறியப்படுகிறது. துணிக்கையானது விட்டமொன்றின் எதிர் முனைகளிலிருக்கும் போது, இழுவைகளின் கூட்டுத்தொகையானது, எந்தவொரு விட்டத்திற்குமுரிய இழுவைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் எனக் காட்டுக.
m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று நிலையான புள்ளி ஒன்றிலிருந்து r நீள இழையினால் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. இத்துணிக்கை சமநிலையில் தொங்கும் போது u எனும் கிடைவேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. துணிக்கை நிலைக்குத்துத் தளத்தில் வட்டத்தில் இயங்குகின்றது. இழை கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன்
6 கோணத்தை ஆக்கும் போது இழையின் இழுவை T(? -gr(2-3cosθ)
எனக் காட்டுக. இழையின் அதி உயர் இழுவைக்கும், மிகக் குறைந்த இழுவைக்குமுள்ள விகிதம் 3:1 எனின், அதி உயர் கதிக்கும், மிகக் குறைந்த கதிக்குமுள்ள
விகிதம் J2 :1 எனக் காட்டுக.
6. a ஆரையுள்ள ஒப்பமான கோளம் ஒன்று நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இக்கோளத்தின்
|7 உட்புறத்தில் அதி தாழ் புள்ளியில் துணிக்கை ஒன்று கிடையாக எனும்
3a வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. அதி தாழ்புள்ளியின் மட்டத்திற்கு மேல் ア
உயரத்தில் துணிக்கை கோளத்தை விட்டு நீங்குமெனக் காட்டுக.
27a பின்னர் நடைபெறும் இயக்கத்தில், துணிக்கை எறியற் புள்ளிக்கு மேல் 16 உயரத்தை அடையுமெனவும் மீண்டும் கோளத்தினை எறியற் புள்ளியிலே சந்திக்குமெனவும் சாட்டுக.
m திணிவுடைய P எனும் துணிக்கை இலேசான நீளா இழைமூலம் O எனும்
நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு O வை மையமாகக் கொண்ட
நிலைக்குத்து வட்டத்திலே இயங்குகின்றது. P யானது அதன் மிகத் தாழ்ந்த
25

Page 20
10.
புள்ளியிலிருக்கும் போது இழையிலுள்ள இழுவை T ஆகும். OP கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 9 கோணவேகத்தை ஆக்கும் போது இழையின் இழுவை T ஆனது T-3mg(1 - COS9) என்பதால் தரப்படுமென நிறுவுக. OP கிடையாக
இருக்கும்போது, இழையின் இழுவை T =1 எனின் இழை தொய்யாது துணிக்கை
T - 1 7: - . . பூரண சுழற்சிகளை ஆக்குவதற்கு 斎*五 என நிறுவுக. 五ー石 எனின்
இழை தொய்யும் போது 9 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
b நீளமுடைய இலேசான கோலொன்றின் ஒரு முனை O எனு. யூலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு மறுமுனை A யில் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. OA நிலைக்குத்தாகத் தொங்குகையில் துணிக்கைக்கு கிடையாக 5u எனும் வேகம் கொடுக்கப்பட்டு நிலைக்குத்துத் தளத்தில் பூரண வட்டத்தில் இயங்குகிறது. அதன் வட்டப்பாதையின் அதிஉயர்
1 புள்ளியில் துணிக்கையின் கதி 3u எனின், u=igh எனக் காட்டுக.
OA கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 6 கோணத்தை ஆக்கும் பொழுது
2 d|0} 1 در () (17+8cos 6)8 எனக் காட்டி கோலிலுள்ள விசையைக் காண்க.
ஒரே கிடைமட்டத்தில் ,22COSO எனும் துாரத்திலுள்ள A,B எனும் நிலைத்த புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொன்றும் 2 நீளமுடைய CA, CB ஆகிய இரண்டு இலேசான நீளா இழைகளினால் m திணிவுடைய C எனும் வளையம் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. வளையம் சமநிலைத் தானத்திலிருந்து ACE எனும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான கிடைத்திசையிலே u எனும் வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. வளையம் 2sin 0 எனும் ஆரையுடைய நிலைக்குத்தான பூரண வட்டத்தில் சுற்றுகிறது. C இல் இருந்து AB க்கு வரையும் செங்குத்து கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 9 கோணத்தை ஆக்கும் போது இழைகளிலுள்ள இழுவைகளைக் கண்டு U225g2 sin O எனக் காட்டுக. வளையம் அதன் பாதையில் உள்ள மிகத் தாழ்ந்த புள்ளிக்கு அடுத்திருக்கும் போது ஓர் இழை அறுகிறது.
2 = gé? coto, cos o 6T6f6öI, 660d6 Tuutb é cos o s6ooyu 60DLuu fl6ODL6J'ġġ96ö சுற்றுமெனக் காட்டுக.
ஒரு திறப்பிசின் (Trapeze) இன் சட்டப்படல் ஒவ்வொன்றும் 2a நீளமுடைய A,B,C என்பவற்றில் அழுத்தமாகப் பொருத்தப்பட்ட BCCAAB எனும் மூன்று இலேசான மெல்லிய சட்டங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சர்க்கஸ் அரங்கில்
26

A எனும் உச்சியிலிருந்து அது சுயாதீனமாகத் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது.
ஒவ்வொன்றும் m திணிவுள்ள PQ என்னுமிரண்டு சிறிய பாதுகாப்புப் பிடி வளையங்கள் ஒவ்வொன்றும் 8( vag, a

Page 21
14. ஆரை a உடைய ஒப்பமான கோள ஒட்டின் உட்புறத்தில் உச்சிப் புள்ளியில் m திணிவுடைய சிறு துணிக்கை ஒன்று வைக்கப்பட்டு t என்னும் கிடை வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது.
(i) น* > ag எனின், துணிக்கை கோளப்பரப்பைவிட்டு அகலாது எனக் காட்டுக.
21്? (i) 

Page 22
20.
21.
m திணிவுள்ள துணிக்கை ஒன்று M திணிவுள்ள மூடிய பெட்டியின் மூடியிலிருந்து தொங்கும் இலேசான நீட்டமுடியாத a நீள இழையோடு தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பெட்டி கரடான கிடைமேசையின் மேல் ஓய்விலுள்ளது. துணிக்கை மூடிக்கு அருகில் பிடிக்கப்பட்டு கயிறு இறுக்கமாக இருக்க விடுவிக்கப்படுகிறது. பெட்டி அசையாது எனக் கருதி, மேசையினால், பெட்டியில் ஏற்படும் உராய்வு விசையையும், செவ்வன் மறுதாக்கத்தையும் காண்க. பெட்டி ஒருச்சரிவு அடையாது எனக் கொண்டு பெட்டி வழுக்காதிருப்பதற்குரிய நிபந்தனை.
> 3 m
2 M (M + எனக் காட்டுக. இங்கு டி பெட்டிக்கும், மேசைக்கும்
இடையே உள்ள உராய்வுக் குணகம் ஆகும்.
A என்பது நிலையான கிடையான வட்ட உருளையொன்றின் அழுத்தமான வெளிமேற்பரப்பிலுள்ள ஒரு புள்ளி ஆகும். A யிலுள்ள ஒரு துணிக்கை அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளத்தில் உருளைக்குத் தொடலியாக அமையும் வழியில் u எனும் வேகத்துடன் மிக உயர்ந்த புள்ளிக்குத் தொலைவில் கீழ்நோக்கி எறியப்படுகிது. A ஆனது அச்சின் மட்டத்திற்கு மேல் h உயரத்தில் உள்ளது. u>gh எனின், துணிக்கை உடனே மேற்ப்பரப்பை விட்டுச் செல்கிறதெனவும்,
-- 2 ஆனால் 2m) ஆகும். இழையானது இறுக்கமாய் இருக்கும் பொழுது மையத்தில் கோணம் 20 ஐ அமைக்கிறது. தொடக்கத்தில் இழையானது மையத்திற்கு மேல் கிடையாக அமையுமாறு மணிகள் ஓய்வில் பிடிக்கப்பட்டு பின்னர் விடுவிக்கப்படுகின்றன. இழையானது கிடையுடன் 9 கோணம் அமைக்கும் போது
A2 =န္တီ[orc:- Mcos(9 + o) + mcos(0- o)
0 M--n எனக் காட்டுக. இங்கே
a ஆனது, வட்டக் கம்பியின் ஆரை ஆகும். இதிலிருந்தோ அல்லது வேறு வழியாகவோ இழை நிலைக்குத்தாக வருமுன் அதன் இழுவை
2Mmgtano cos 0
எனக் காட்டுக. M+n (6
30

23. M எனும் திணிவுடைய R எனும் சிறிய வளையமொன்று கிடையாய நிலைப்படுத்தப்பட்ட ஓர் ஒப்பமான நேர்க்கம்பியில் ஓய்விலுள்ளது. 2 எனும் நீளமுடைய இலேசான நீட்டமுடியாத இழையொன்றின் ஒரு முனை R இற்குப் பிணைக்கப்பட்டு, மற்றைய முனை m எனும் திணிவுடைய P எனும் துணிக்கை ஒன்றைத் தாங்குகிறது. RP= 2 ஆகுமாறு P ஆனது கம்பிக்கு அண்மையில் பிடிகக்கப்பட்டு பின்னர் விடுவிக்கப்படுகிறது.
() வளையம் R ஆனது, கம்பியின் ஒரு புள்ளியில் நிலையாய் நிறுத்தப்பட்டால், RP நிலைக்குத்தாக அமையும் போது இழையிலுள்ள இழுவையைக் காண்க.
(i) வளையம் R கம்பியில் செல்லச் சுயாதீனம் உண்டெனில் RP நிலைக்குத்தாக
አገ? அமையும் போது இழையிலுள்ள இழுவையானது (2m+3M)g
ஆகுமெனக் காட்டுக.
(i) இலுள்ள முடிவை (i) இலுள்ள முடிவிலிருந்து எவ்வாறு உய்த்தறியலாம்?
24. மையம் O வையும், ஆரை a யையும் உடைய ஒப்பமான நிலைத்த திண்மக் கோளம் ஒன்றின் மேற்பரப்பிலே பாரமான ஒரு துணிக்கை P ஆனது, மேன்முக நிலைக்குத்துடன், ஒரு கூர்ங்கோணம் 0 வை OA ஆக்கத்தக்கதாக, ஒரு புள்ளி A யிலே வைக்கப்பட்டு விடப்படுகிற்து. OP ஆனது மேன்முக நிலைக்குத்துடன் ஒரு கோணம் 9 வை ஆக்கும் போது துணிக்கை கோளத்தின்
மேற்ப்பரப்பு மீது இருக்குமாயின் துணிக்கையின் வேகம் 2ag.coso-case) எனக் காட்டி, இவ்வேளையிலே துணிக்கை மீதுள்ள மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
2cos
-1 இதிலிருந்து OP ஆனது, மேன்முக நிலைக்குத்துடன் ??? (
கோணத்தை ஆக்கும் போது, துணிக்கை கோளத்தின் மேற்ப்பரப்பிலிருந்து வெளியேறும் எனக் காட்டுக.
25. நிலைக்குத்து வெட்டானது, வட்டம் ஒன்றின் காற்பகுதியாக இருக்கும் நிலைத்த ஒப்பமான திண்மம் ஒன்றின் உச்சியிலிருக்கும் இலேசான ஒரு கப்பி A யிற்கு மேலாகச் செல்லுகின்ற நீட்டமுடியாத இலேசான இழை ஒன்றினால் முறையே m,M(>m) திணிவுள்ள P, Q எனும் துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. OP ஆனது, (OB, வழியே) கிடையாக இருக்கும் போது இயக்கம் ஆரம்பிக்குமெனின், (M + m) a 0 = 2g (M9 - m sin 9) 660Täs asmrť06a5. Sg5 9 6T6ðug (85yub t யிலே OP யிற்கும் OB யிற்குமிடையிலுள்ள கோணமாகும்.
டு 9= 0 ஆக இருக்கும்போது, துணிக்கை Pயிற்கும் வளைபரப்பிற்குமிடையே
31

Page 23
உள்ள மறுதாக்கம் உயர்வானதெனக் காட்டுக. gägö M<3m ss gobä5, cos o 2 M
M + 3n (i) 9=0 அல்லது 9-8 ஆகும் போது இம்மறுதாக்கம்
மறைகின்றதெனக் காட்டுக.
P
இங்கு * <(r-1) ஆக இருக்க, B ஆனது ஐ
sin ß = 2M எனும் சமன்பாட்டைத்
M + 3n திருப்தியாக்கும்.
26. ஒப்பமானதும், ஒடுக்கமானதுமான பொட்குழாயொன்று மையம் O உம் ஆரை a யும் உடைய வட்டம் ஒன்றின் வடிவிற்கு வளைக்கப்பட்டு அதன் தளம் நிலைக்குத்தாக இருக்குமாறு நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. முறையே
7ta m,km திணிவுகளையுடைய PC) என்னுமிரு துணிக்கைகள் (筠 நீளமுள்ள
நீட்டமுடியாத இலேசான இழையென்றினால் இணைக்கப்பட்டு O விற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே P உம், O இன் அதேமட்டத்தில் Q உம் இருக்க "குழாயினுள்ளே வைக்கப்பட்டுள்ளன. இழை குழாயினுள் கிடக்கின்றது.நேரம் t= Oஇல் தொகுதி ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகின்றது.நேரம் t ல் OP யானது மேன்முக நிலைக்குத்துடன் கோணம் 6 வை அமைக்குமாயின் பொறிமுறைச்சக்திக் காப்பு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, இழைஇறுக்கமாய்
α2θ அமைந்தால் 瓦丁= ( in + kco89) எனக் காட்டுக.
ገr 9 < 9< 4. ஆயிருக்கும் போது மட்டுமே மேலே குறிப்பிட்ட சமன்பாடு
வலிதானது என்பதை உய்த்தறிக. துணிக்கை P மீதுள்ள மறுதாக்கத்தை கண்டு K>3-22 ஆக
இருப்பின் அதன் திசையானது இழை இறுக்கமற்றதாகு முன்னர் மாறுகின்றதெனவும் காட்டுக.
27. நீளம் a ஐ உடைய நீட்ட முடியாத இலேசான ஓர் இழை OP யுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள திணிவு m ஐ உடைய ஒரு துணிக்கை P ஆனது இழை இறுக்கமாக இருக்க O வை மையமாக் கொண்ட முழுமையான நிலைக்குத்து வட்டமொன்றில் சுற்றுகிறது. ஆகவும் தாழ்ந்த புள்ளியில் P யின் வேகம் 7 எனின், OP ஆனது கீழ்முக நிலைக்குத்துடன் ஒரு கோணம் 9 வை ஆக்கும் போது இழையிலுள்ள இழுவை * ஆனது,
32
 

28.
29.
மேலும், ஆகவும் உயர்ந்த தானத்தில் P யின் வேகம்
(#门 - 2 g sin o
T = Hy2 - 2lag + 3ag cos 6) இனால் தரப்படுமெனவும் V* > 5ag எனவும் காட்டுக.
Yy
2 P மிகத் தாழ்ந்த தானத்தில் இருக்கும் போது இழையின் இழுவைக்கும், P மிக உயர்ந்த தானத்தில் இருக்கும் போது, இழையின் இழுவைக்கும் உள்ள விகிதம் 19:1 எனவும் காட்டுக.
எனின், Wஐத் துணிந்து
a நீளமுள்ள இலேசான கோல் ஒன்று நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ள ஒரு முனை A பற்றிச் சுயாதீனமாகத் திரும்ப வல்லது. முறுமுனை B இலே m திணிவு கொண்ட துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. முனை B ஆனது, A இற் கூடாகச் செல்கின்ற நிலைத்த ஒப்பமான கிடைக்கம்பி மீது வழுக்கிச் செல்லக் கூடிய m திணிவுள்ள ஒரு சிறிய வளையம் C உடன் A நீளமுள்ள நீளா இழையொன்றினாலே தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் A,B,C ஆகிய ஒரே கோட்டிலுள்ளனவாயும் AC யின் நீளம் 27 ஆகவும் உள்ளது. தொகுதி ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. நேரம் 1 இலே கோணம் CAB= 9 எனில்,
d 1 + 4s in 20 எனக் காட்டுக. இழையிலுள்ள இழுவை T ஐ 9 இன் ஒரு சார்பாகக் கண்டு, கோலிலுள்ள இழுவைக்கும் இழையிலுள்ள இழுவைக்கும் இடையிலுள்ள விகிதம், 3 : 2 எனக் காட்டுகி.
O வை மையமாகவும் a ஐ ஆரையாகவும் உடையதும் நிலைக்குத்துத் தளமொன்றிலே நிலைப்படுத்தப்பட்டதுமான ஒப்பமான வட்டக் கம்பி ஒன்றின் மீது m திணிவுடைய ஒரு சிறிய வளையம் Pசுயாதீனமாக வழுக்க வல்லது. அது இயற்கை நீளம் a யும் மீள்தன்மை மட்டு mgயும் உடைய இலேசான மீள்தன்மை இழை ஒன்றினால் கம்பியின் மிக உயர்ந்த புள்ளி A இற்கு தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கம்பியின் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளி B யிலே வளையம்
பிடிக்கப்பட்டு, கம்பிக்குத் தொடலியாக u (> 12ga) எனும் கிடைவேகம்
கொடுக்கப்படுகிறது. நேரம் t இல் கோணம் BOP= 9 என எடுத்து, கம்பியின் தொடலித் திசையிலே துணிக்கைக்கான இயக்கச் சமன்பாட்டை எழுதுக.
2 TT இதிலிருந்து அல்லது வேறுமுறையில் 0 $65 ஆக இருக்கும் போது
a'5'- 4ga (l- cos ) எனக் காட்டுக. மேலும் u SW3ga எனத்
33

Page 24
2 — | tu T - ĝia தரப்படுமிடத்து, மேல்முக நிலைக்குத்துடன் ° ( 2ga ]என்னும்
கோணத்தை OP அமைக்க, வளையம் கணநிலை ஓய்வுக்கு வருமெனக் காட்டுக.
30.சிறுவர் பூங்கா ஒன்றிலுள்ள ஓர் ஊஞ்சலானது, ஒடுங்கிய இலேசான 69 பலகை AB ஐயும் ஒரே கிடைமட்டத்திலுள்ள நிலைப்படுத்தப்பட்ட A, B எனும் இரு புள்ளிகளுடன் இணைக்கப்பட்டதுமான ஒவ்வொன்றும் 2 நீளமுள்ள AA, BB எனும் இரு சமனான நீண்ட இலேசான நிலைக்குத்துக் கயிறுகளையும் கொண்டுள்ளது. m திணிவுடைய ஒரு பிள்ளை தனது திணிவுமையம் G ஆனது ಙ್ಗಾಹ மீது இருக்குமாறு பலகையின் நடுப்புள்ளியில் அமர்ந்துள்ளது. தளம் ABBA இற்குச்
செங்குத்தான திசையிலே ஒரு கிடைவேகம் u(<2g2) பலகைக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(1) ஊஞ்சல் தொடர்பாக பிள்ளை அசைவற்று அமர்ந்திருக்கிறது
- u’ +-COS9-1 என் கார் mg 2gé எனபதாற கொடுக்கப்படுகிறதென்பதைக் காட்டுக. இங்கு 6 என்பது நிலைக்குத்துடன்
ABBA இன் சாய்வு
கயிறுகளிலுள்ள இழுவை T ஆனது
(t) கணநிலை ஓய்வுத் தானமான 6 = 0 இற்கு ஊஞ்சல் வரும்போது பிள்ளை சுறுசுறுப்படைந்து, உடனடியாகப் பலகை மீது தளம் ABBA இலே எழுந்து நின்று, பின்னர் 9 = 0 எனும் நிலைக்குத்துத் தானத்திற்கு ஊஞ்சல் திரும்புகையில் உட்கார்ந்த நிலைக்குத் தன்னைப் படிப்படியாகத் தாழ்த்துகிறது. பலகை மீது பிள்ளை எழுந்து நிற்கையில் பலகையிலிருந்து
h G ன் துாரம் h ஆக இருக்க, cos-(-)-osa ஆக அமையுமாறு
ஊஞ்சலின் கோண வீச்சம் 0 இலிருந்து 8 இற்கு அதிகரிக்கின்றதெனக் காட்டுக. பிள்ளை செலவழித்த சக்தி யாது?
31. சிறிய குறுக்கு வெட்டுப்பரப்புடைய சீரான ஒப்பமான குழாயொன்று a ஆரையுடைய வட்டவில் வடிவில் வளைக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வில் வட்ட மையத்திலமைக்கும் கோணம் 2(ா-0) ஆகும். இங்கு O கூர்ங்கோணம். இக் குழாயானது, அதன் சமச்சீர் அச்சானது நிலைக்குத்தாகவும், குழாயின் திறந்த முனைகள் மேல் நோக்கியும் இருக்குமாறு நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில்
34

நிலையாக நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை ஒன்று-குழாயின் உட்புறத்தின் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளியிலிருந்து வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. துணிக்கை குழாயில் இருந்து வெளியேறி, புவியீர்ப்பின் கீழ் இயங்கி மீண்டும் குழாயினுள் செல்கின்றது. d இன் பெறுமானத்தைக் கண்டு, அதன் மிகக்குறைந்த பெறுமானம்
7. 2(1+v/2)ag எனக் காட்டுக. 0 = ஆகும் போதே இப்பெறுமானத்தை
எடுக்குமெனவும் காட்டுக. துணிக்கை அடைந்த அதியுயர் புள்ளியானது குழாயினுாடு செல்லும் பூரண வட்டத்தின் அதியுயர் புள்ளிக்கு மேல்
ά (secα + cos0-2) உயரத்திலுள்ள தெனக் காட்டுக.
32. ஒவ்வொன்றும் m திணிவுடைய PQ என்னுமிரு துணிக்கைகள் இலேசான நீட்ட முடியாத இழையொன்றினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. a ஆரையும் அச்சுக் கிடையாக உள்ளதுமான வட்ட உருளையொன்றின் அதி உயர் பிறப்பாக்கியிலுள்ள ஒரு புள்ளியில் துணிக்கை P வைக்கப்பட்டு ஓய்வில் பிடிக்கப்பட்டுள்ளது. P யினுாடாகச் செல்லும் உருளையின் அச்சுக்குச் செங்குத்தாக உள்ள நிலைக்குத்துத் தளத்திலே துணிக்கை Q சுயாதீனமாகத் தொங்குகிறது. P இப்போழுது விடுவிக்கப்படுகிறது. P யினுாடான ஆரை நிலைக்குத்துடன் O எனும் கோணத்தை ஆக்கும் போது, P உருளையின் மேற்பரப்பை விட்டு நீங்குமெனின் 2coso-1-o = 0 எனக் காட்டுக. P உருளையின் மேற்பரப்பைவிட்டு நீங்கும் கணத்தில் இழையிலுள்ள இழுவை
1.
;-m g (1 - sinc.) எனக் காட்டுக.
33. O வை மையமாகவும் a ஐ ஆரையாகவும் கொண்ட ஒப்பமான வட்டக் கம்பி ஒன்று நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் நிலைப்படுத்தப்பட்டு m திணிவுடைய ஒரு துணிக்கை P அக் கம்பியில் வழுக்கிச் செல்லக் கூடியதாக உள்ளது. தொடக்கத்தில் துணிக்கை P , கம்பியின் மிகத் தாழ்ந்த புள்ளி A யிலிருந்து கம்பியின் வழியே கம்பியின் அதியுயர் புள்ளியை மட்டுமட்டாக அடையக் கூடிய வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. கோணம் POA ஐ 6 எனக் கொண்டு, கம்பிக்கும், துணிக்கைக்குமிடையேயான மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
t சக்திச் சமன்பாட்டை எழுதி, அதிலிருந்து துணிக்கை 6 = 万 எனும்
2 கோணத்தினுாடு திரும்ப எடுத்த நேரம் 臼 0ே8, (+2) எனக் காட்டுக.
g
34. பாரமான துணிக்கை ஒன்று a நீளமுடைய நீட்டமுடியாத இழைக்கு இணைக்கப்பட்டு O என்னும் நிலையான புள்ளியிலிருந்து தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது.
35

Page 25
துணிக்கை O விற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே ஓய்விலிருக்கும் போது, அதற்கு u எனும் பருமனுடைய கிடைவேகம் ஒன்று கொடுக்கப்படுகிறது. தொடரும் இயக்கத்தில் சிறிது நேரத்தின் பின் இழை தொய்வடைகின்றது. பின்னர் மீண்டும் இழை கிடையாக இருக்கும் கணத்தில், அது இறுக்கமடைகின்ற தெனின் uo = n எனக் காட்டுக. 33. m திணிவுடைய சிறிய மோதிரம் ஒன்று நிலைக்குத்துத் தளத்திலே நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ள a ஆரையுடைய வட்ட வடிவ ஒப்பமான கம்பியொன்றில் கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. இலேசான நீளா இழை ஒன்று மோதிரத்திற்கு இணைக்கப்பட்டு இழையானது, வட்டத்தின் மையத்திலுள்ள சிறிய வளையத்தினுாடாகச் சென்று இழையின் மறுமுனையில் சுயாதீனமாகத் தொங்கும் M திணிவைத் தாங்குகின்றது. மோதிரமானது, கம்பியின் அதி தாழ்
புள்ளியிலிருந்து kga கதியுடன் கம்பியின் வழியே எறியப்படுகிறது. மோதிரம் கம்பியின் அதி உயர் புள்ளியை மட்டாக அடையுமெனின் k இன் பெறுமானத்தைக் கானன்க. K= 6 என எடுத்து, M ஆனது m இற்கும்7m இற்குமிடையில் இருக்குமெனின், இயக்கத்தின் ஒரு புள்ளியில் மோதிரத்திற்கும், கம்பிக்குமிடையேயான மறுதாக்கம் அற்றுப் போகுமெனக் காட்டுக.
36. A,B,C ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் நிலைக்குத்தான நேர்கோடொன்றில்
4 இவ்வொழுங்கில் A மிகவும் கீழாகவும் AB = 2a, BC =a ஆகவும்
அமையுமாறு உள்ளன. ஒரு மெல்லிய ஒப்பமான கம்பி ADBEC, இம்மூன்று புள்ளிகளினுாடாகவும் சென்று தளம் ஒன்றில் கிடக்கின்றது. ADB ஆனது,
AB 6LLDTatsä GasT68öIL ED600DJ 6 JULDTa56b, BEC S60īgi BC 3 6' LuDTa5äs கொண்ட அரைவட்டமாகவும், அமைந்துள்ளது. DE என்பன ABC இன் எதிர்ப்பக்கங்களில் அமைந்துள்ளன. ஒரு சிறிய மணி இக்கம்பியில் கோர்க்கப்பட்டு A யிலிருந்து W5ag எனும் கதியுடன் எறியப்படுகிறது. இவ்வியக்கத்தின் போது மணிக்கும், கம்பிக்குமிடையேயான மறுதாக்கம் கம்பியின் மூன்று
புள்ளிகளில், மணியின் நிறைக்குச் சமமாகுமெனக் காட்டி, A இற்கு மேல் அப்புள்ளிகளின் உயரங்களைக் காண்க.
36

7 (c)
வளைபாதையிலே வண்டி ஒன்றின் இயக்கம்.
கிடையான தரையிலே வட்டப்பாதை ஒன்றிலே வண்டியானது, செல்லும் போது வட்டப்பாதையின் மையத்தை நோக்கி ஆர்முடுகல் தொழிற்படுவதால், வண்டியின் இயக்கம் தரையின் உராய்வு விசையில் தங்கியுள்ளது. இதனால் வண்டியின் கதி குறிப்பிட்ட ஒரு பெறுமானம் வரை மட்டுமே இருக்க முடியும். இதனை ஓரளவு நீக்குவதற்கு வட்டப் பாதையை சரிவாக அமைக்கலாம்.
1. m திணிவுடைய வண்டி ஒன்று 9 சாய்விலே உள்ள r ஆரையுடைய வட்டப்
பாதையில் y கதியுடன் செல்கிறதென்க.
R
வட்டப்பாதையின் மையம் O என்க. சீரான கதி y உடன் இயங்குவதால் வட்டத்தின் மையத்தை நோக்கிய திசையில் மட்டும் ஆர்முடுகல் இருக்கும்.
P= ma ஐப் பிரயோகிக்க
2 <— RSin 0="" — ---- (1)
f R cos 9 -mg = O - (2)
2 ... tan 0 --, v2 = " gr tan 0
v = Vg r ta n 0
எனவே வண்டியானது y = Wgr tan 9 என்ற கதியில் இப்பாதையில் செல்லும் போது பக்கச் சறுக்கல் நாட்டமின்றிச் செல்லமுடியும்.
37

Page 26
(a) வண்டியானது கதி y (> w) உடன் செல்லுகிறது என்க. வண்டி வெளி நோக்கி வழுக்க முயலும். எனவே உள்நோக்கி உராய்வு விசை தொழிற்படும்.
P = n.a.
* עm
 * என்க. ஆகவே, திணிவு மையம் G இன் வேகம் v எனின்
v° = x° + (αό ) + 2 άαθ cos(90+θ)
= i+ a θ’ -2α (αθ)siηθ
கிடையாக G இன் வேகம் பூச்சியமாதலால்,
k-a0 sin0 = O
= a6 sin 69
v’ = (αθ sinθ) +aoéo. 2aoéosinoe
= a?ẻ” cos?9
சக்திக்காப்புத் தத்துவம்.
l
못16 +mv - mga sin8 = O
( in 4a)6 +ma ẻ?cos?9 = mga sunt
e a 6 c 6ჯsinმ M; ?、 ሁ 4 + 3 cost 6
ገዢ 季 う 9=若* 6= 7فه&
:
6=ஆக,
6 = ਪੁ,
உதார்ணம் 6.
M திணிவுடைய ஒரு சீரான கோல் AB யின் முனை B இற்கு, ஒரு நீளா இழை இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறுமுனையில் m திணிவுடைய ஒரு துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. தொகுதி ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசை மீது துணிக்கையானது B இல் இருக்க ஓய்விலுள்ளது. துணிக்கையானது AB யிற்குச் செங்குத்தாகக்
162

கிடையாக W என்னும் வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. இழை இறுகியதும் உடனடியாகத்
4 m V துணிக்கையின் வேகம் 4 எனக் காட்டுக.
MmᏤ* ஏற்பட்ட சக்தி நட்டம் 2(M+4m) எனவும் காட்டுக.
t
t
A G(M) # – GMO
இழை இறுகும்போது இழையில் ஏற்பட்ட கணத்தாக்கு J என்க. உடனடியாக திணிவுமையம் G இன் வேகம், கோலுக்குச் செங்குத்தாக u எனவும், கோலின்
கோண வேகம் 0 எனவும் துணிக்கையின் வேகம் V எனவும் கொள்க. கோலின் நீளம் 2a என்க.
திணிவுமையம் G இற்கு, l = A(mV)
J - Mu -(1) துணிக்கைக்கு -J = m(Κ -V) -(2)
(1),(2) இலிருந்து Mu = m (V-V)—(A)
தொகுதிக்கு கோண உந்தக் காப்புவிதி,
mᏤa === Ma” o + тИa -(3) இழை, இறுகியதும் உடனடியாக கோலின்முனை B, துணிக்கையின் வேகங்கள் சம்ம் என்பதால்
V = μ+αω -(4) (A), (3), (4) என்பவற்றிலிருந்து
4 m V 环= எனப் பெறலாம்.
163

Page 89
கணத்தாக்கின் திருப்பம் =கோனஉந்தமாற்றம் GasT6ð AB tibes, Jea = 붉ra*cܣ துணிக்கைக்கு 1 = A(ry}
—-J = am (V — 5V)
இவ்விரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்தும் சமன்பாடு (3) ஐப் பெறலாம்.) இழை இறுகியபின் இயக்கசக்தி
ml + قمر فMa أهمMar 1 2 2A 3 2
2 2 - "
1 \r2 مر
2 ;'1' 2و ۔۔۔1 . . . "مہ . சக்தி Blld = omv —і(м+4т)и
-la. MmaᏤ*
2(M+m}
பயிற்சி 10(d)
1. G சாய்வுள்ள கரடான சாய்தளமொன்றின் வழியே கீழ்நோக்கி உருளும்,
சீரான வட்டத்தட்டின் ஆர்முடுகல் 子g sr10. எனக் காட்டுக.
2. 0 சாய்வுள்ளதும், வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்கு வேண்டிய அளவு கரடானதுமான தளமொன்றின் வழியே கீழ்நோக்கி உருளும் ஒருமெல்லிய வட்டவளையத்தின்
1 . ஆர்முடுகல் ஒ83ா0 எனக் காட்டுக. வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்குத் தேவையான
4. l மிகக்குறைந்த உராய்வுக் குணகம் 3 апа எனவும் காட்டுக.
164

3.
உள், வெளி ஆரைகள் a , b ஆகவும் M திணிவையும் உடைய சீரான
- . . . . . . 2 .. 2 உருளையொன்றின், அதன் அச்சுபற்றிய சடத்துவத்திருப்பம் ;M (a +b )
எனக் காட்டுக. இவ்வுருளையானது, அச்சுக்கிடையாக அமையுமாறு 0 சாய்வுள்ள சாய்தளத்தில் கீழ்நோக்கி ஓய்விலிருந்து உருளுகின்றது. தளத்தின் வழியே தூரம் 2 ஐக் கடக்க எடுத்த நேரம் T ஆனது.
2 . O2 2 - و e - = 878ர்? என்பதால் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
ஒரு சீரான வட்ட வளையத்தின் ஒருபுள்ளி P யிலே, வளையத்தின் திணிவுக்குச் சமமான திணிவுடைய துணிக்கையொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. வளையம் ஒரு பூரண கரடான கிடைமேசை மீது ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே உருளுகிறது. P அதியுயர் புள்ளியிலிருக்கையில் தொகுதி ஒய்விலிருந்து புறப்பட்டால் கீழ்முகநிலைக்குத்துடன் P யினூடான ஆரை ஆக்கும் கோணம் 6 ஆக இருக்கும் போதுள்ள கோணவேகம் ல ஆனது,
2 m g l + cos 9
e -ت === ""0)
a 2-cos
என்பதால் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
2a பக்க சதுரவடிவான M திணிவு கொண்ட தளத்தட்டொன்று, அதன் அதி தாழ்புள்ளி ஓர் ஒப்பக்கிடைமேசையில் ஒருமூலை விட்டம் ஏறத்தாழ நிலைக்குத்தாக இருக்கும்படி வைக்கப்பட்டு, இந்நிலையிலிருந்து விழுகின்றது. விழும்போது, அது நிலைக்குத்துத் தளத்தைவிட்டு நீங்கவில்லை. நிலைக்குத்தாயிருந்த மூலைவிட்டம் நிலைக்குத்துடன் 9 கோணத்தை ஆக்கும் போது, தட்டின் கோணவேகம் ல எனின்,
coo = 32 g (1-cose)
a( 1+3sin' 6) எனக் காட்டுக.
6.
m திணிவும் a ஆரையும் உடைய சீரான வட்டத்தட்டொன்று கரடான
கிடைமேசையொன்றின் மீது, நிலைக்குத்துத்தளமொன்றில் உருளுவதற்குச்
摩?
* சுயாதீனமுடையது. தட்டின் ஆரையொன்றின் நடுப்புள்ளியில் 万 திணிவுடைய
துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கையானது, :விட்டத்தட்டின் மையத்திற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே இருக்கத் தொகுதியானது ஓய்விலிருந்து உருளத் தொடங்குகிறது. தட்டானது கோணம் 9 இனூடு திரும்பியதும், அதன்
65.

Page 90
4 g 1- cosθ கோணக்கதி a "17+4cose எனக் காட்டுக.
மேலும், துணிக்கையானது தட்டின் மையத்தின் மட்டத்திலிருக்கும் போது உராய்வு
92 விசையானது தொகுதியின் மொத்த நிறையின் 867 எனக் காட்டுக.
7. m திணிவும் 22 நீளமும் கொண்ட AB என்னும் சீரான கோலானது, அதன் முனை B யானது ஒரு அழுத்தமான கிடைத்தரையிலும், முனை A யானது ஒரு அழுத்தமான நிலைக்குத்துச் சுவருடனும் தொடுகையிலுள்ளவாறு ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்தில் ஓய்விலுள்ளது. தொடக்கத்தில் AB யானது நிலைக்குத்துடன் 30 ஐ ஆக்கும் போது ஓய்விலிருந்து விடப்படுகிறது. கோல் நிலைக்குத்துடன் 9 கோணத்தை ஆக்கும் போது
مع 4
6° = (3-2cos 0)g எனக் காட்டுக.
A யிலுள்ள மறுதாக்கம் S எனின்,
S = 38sine (3cosθ -3) எனக் காட்டுக.
கோல், சுவரை விட்டு நீங்கும் போது, அது நிலைக்குத்துடன் அமைக்கும் கோணத்தையும் காண்க.
' Wገጊ 8. 10 திணிவைக் கொண்ட Pஎன்னும் ஒரு துணிக்கையானது O வை மையமாகவும்,
திணிவு m உம், ஆரை aஉம் கொண்ட ஒரு சீரான திண்மக் கோளத்தின் மேற்பரப்பிற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கோளம் கரடான கிடை மேசையொன்றின் மேல் வைக்கப்பட்டுத் தொடக்கத்தில் OP யானது மேன்முக நிலைக்குத்துடன்
7t 3 வழுக்காது உருளுகின்றது. OP யானது நேரம் t இல் நிலைக்குத்துடன் கோணம்
保
கோணம் ஆக்கும் நிலையில் ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. கோளம்
2 8 வை ஆக்கும்போது P யின் இயக்கசக்தி | (1+ c039) எனக் காட்டுக.
கோளத்தின் இய்க்க சக்தியை " a,9苦 இன் உறுப்புக்களில் காண்க.
166

இதிலிருந்தோ அல்லது வேறு வழியாகவோ
2 の9 g ( 1 — cos 0) = 2(鄂 (8+c039) எனக் காட்டுக.
OP யானது முதலில் கிடையாக வரும்போது O, P என்பவற்றின் வேகங்களைக் காண்க.
3m திணிவும் 2a நீளமும் கொண்டAB என்னும் சீரான கோலின்முனை A யில் m திணிவுள்ள ஒரு சிறிய வளையம் இணைக்கப்பட்டு, இவ்வளையமானது ஒப்பமான ஒருநிலைத்த கிடைக்கம்பியில் கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் கோலானது கம்பியுடன் சேர்த்துக் கிடை நிலையில் பிடிக்கப்பட்டு ஓய்விலிருந்து
6g விடுவிக்கப்படுகிறது. AB நிலைக்குத்தாக வரும்போது, கோணவேகம் °悲
எனக் காட்டுக. இந்நிலையில் B யின் வேகத்தைக் காண்க.
10. திணிவு m உம், ஆரை aஉம் உடைய சீரான-வட்டத்தட்டு ஒன்று கிடையுடன்
11.
12.
Oசாய்வுடைய சாய்தளத்தில் கீழ்நோக்கி (வழுக்காது) உருளுகின்றது. தட்டுக்கு தளத்திற்குமிடையேயான உராய்வுக் குணகம் ய ஆகும். தட்டின் மையத்திை
2 . 1 ஆர்முடுகல் 5 gstnα எனவும், u < قةtano எனவும் காட்டுக.
G திருப்பமுடைய மாறா இணையொன்று (இயக்கத்தைத் தடுக்கும்) தட்டிற்குப் பிரயோகிக்கப்படின்,
l tano + T எனின், தட்டு தொடர்ந்தும் கீழ்நோக்கி உருளும் எனக்
d.8
காட்டுக.
ஒரு நூற் கட்டையிலே சுற்றப்பட்டுள்ள நூலின் ஒரு நுனி நிலைப்பட்டுள்ளது. நூற்கட்டையின் அச்சு கிடை ஆகுமாறும், குலைந்த நூல் நிலைக்குத்தாகுமாறும் நூற்கட்டையானது நிலைக்குத்தாக விழுகிறது. நூற்கட்டையானது a ஆரையும் M திணிவும் கொண்ட உருளையாயின், நூற்கட்டையின் மைய ஆர்முடுகல்
2
1. 8 எனவும், நூலின் இழுவை M3 எனவும் காட்டுக.
3 3
திணிவு m'உம் நீளம் 2aஉம் உடைய சீரான கோலொன்றின் ஒருமுனை ஒரு ஒப்பமான நிலைக்குத்துச் சுவரைத் தொடவும் மறுமுனை ஓர் ஒப்பமான கிடைத்தளத்தைத் தொடவும் சுவருக்குச் செங்குத்தான நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் வைக்கப்பட்டு ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. தொடக்கத்தில் கோல் சுவருடன் ஆக்கும் கோணம் C ஆகும்.
167

Page 91
கோல் சுவருடன் கோணம் 6 வை ஆக்கும்போது, ல் கோலின் கோண வேகம் 9 ஆனது,
2 a6 = 3g (cosa-cose) இனால் தரப்படும். (ii) கோலின் மேன் முனையானது ஆரம்பத்தில் தரையிலிருந்து உள்ள உயரத்தின்
2
ஒபங்கு உயரத்தில் உள்ள போது சுவரை விட்டுநீங்கும்.
(i) தரையின் மறுதாக்கம் ( 1 - 6 cos o cos 9 + 9cose)
(iv)கோல் தரையை விட்டு ஒருபோதும் நீங்காது எனக் காட்டுக.
13.m திணிவும் a ஆரையும் உடைய சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்று அதீன் தளம் நிலைக்குத்தாக இருக்கக் கரடான கிடை மேசை ஒன்றின் மீது ஓய்கின்றது. தொடுகைப்புள்ளியில் உராய்வுக்குணகம் u ஆகும். தட்டின் தளத்தில் Mm ga மாறா இணையொன்று தட்டிற்குப் பிரயோகிக்கப்படுகிறது. தட்டானது
2. உருளுகின்றதெனக் கொண்டு, அதன் மையத்தின் ஆர்முடுகல் எனக்
காட்டுக.
2. இவ்வகையில் 4 2 எனவும் காட்டுக.
14. நிலைக்குத்தாக நிலைப்படுத்தப்பட்ட ஒப்பமான வட்டக்கம்பியொன்றின் மீது, m திணிவும் 2a நீளமும் உடைய சீரான கோல் ஒன்றின் முனைகள் வழுக்கிச் செல்லுமாறு உள்ளன. கோலின் நடுப்புள்ளி C யிற்கும், வட்டக்கம்பியின் மையம் O விற்குமிடையேயான தூரம் 8 ஆகவும், OC கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் ஆக்கும் கோணம் 6 வை ஆக்கும்போது 6 = (re-o) என நிறுவுக.
ገር இங்கு *(<:) ஆனது இயக்கத்தின் போது, 9 இன் உயர்வுப்
பெறுமானமாகும்.
15. திணிவு m உம் நீளம் 22 உம் உடைய சீரான கோலின் ஒருமுனையில் சிறிய
இலேசான வளையம் ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வளையம் ஒப்பமான
நிலைத்த கிடைக்கம்பி ஒன்றில் வழுக்கிச் செல்லச் சுயாதீனமுடையது. கோல்
நிலைக்குத்தாகச் சமநிலையில் தொங்கிக் கொண்டிருக்கையில் அதன்
கீழ்முனையில் கம்பிக்கு சமாந்தரமாகக் கிடைத்திசையில் 2 mV பருமனுடைய
கணத்தாக்கு ஒன்று கொடுக்கப்படுகிறது. கோலின் கீழ்முனையானது 8V என்னும்
168

கதியுடன் இயங்கத் தொடங்குகிறது எனக்காட்டி, கோல் நிலைக்குத்துடன் கோணம் 6 வை ஆக்கும்போது, ( 1+3sin' 6)። 62 = 36V6 - 2 ع g(1- cosθ)
எனக் காட்டுக.
16. M #66ff6aqub 2a 66m (pub D6ooLuu fyT6oT GB5mrsò AB, , asiphéâu56ögÓ AB கிடையாக இருக்க புவியீர்ப்பின் கீழ் சுயாதீனமாக விழுகின்றது. கோலின் கதி y ஆக இருக்கையில், அதன்முனை A திடீரென நிலைப்படுத்தப்படுகிறது. கோல் சுழலத் தொடங்கும் கோணக்கதியைக் காண்க.
17. m திணிவும் 2a நிஜாமும் உடைய சீரான கோல் AB ஓர் ஒப்பமான கிடைமேசையில் ஓய்விலுள்ளது. கோலிலுள்ள ஒரு புள்ளி P யிற்கு பிரயோகிக்கப்படுகிறது. கணத்தாக்கிற்கு உடனடியாகப்பின், முனை A நிலையாக இருப்பின், AP யின் தூரத்தைக் கணிக்க. கோலின் ஆரம்பத்திசைக்குச் செங்குத்தாக முதலில் அது வரும்பொழுது, கோலின்
冗 திணிவுமையம் தூரம் இயங்கியிருக்குமெனக் காட்டுக.
18. ஒவ்வொன்றும் m திணிவுடைய இரு துணிக்கைகள் A, B & நீளமுடைய இலேசான கோல் ஒன்றினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. தொகுதியானது, B மேசையுடன் நிலைப்படுத்தப்பட்டு ஒப்பமான கிடைமேசை ஒன்றின் மேல் 冗
3 கிடைக் கணத்தாக்கு J கொடுக்கப்பட்டது. AB யின் கோண வேகத்தைக் காண்க. A, B இரண்டும் இயங்குவதற்குச் சுயாதீனம் உடையவை எனின், தொடக்கத்தில் A யானது, BA உடன் 9 கோணத்தை ஆக்கும் திசையில் இயங்கத் தொடங்கும்
ஓய்விலுள்ளது. A இற்கு, BA யுடன் கோணத்தை ஆக்கும் திசையில் ஒரு
'எனக் காட்டுக. இங்கு tan 9 : 2/3 இவ்வகையில் கணத்தாக்கினால் பிறப்பிக்கப்பட்ட இயக்கசக்தியைக் காண்க.
19. திணிவு m உம், ஆரை aஉம் மையம் O வும் உடைய சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்று ஓர் ஒப்பமான கிடைமேசை மீது ஒய்கின்றது. இவ்வடருக்கு, அதன் விளிம்பிலுள்ள A என்னுமொரு புள்ளியில், புள்ளி A யின் தொடக்கவேகத்தின் பருமன் V ஆகவும், AO உடன் 45° கோணத்தை ஆக்குமாறும் கணத்தாக்கு
V ஒன்று கொடுக்கப்படுகிறது. கணத்தாக்கின் ugudsir" |5
எனவும். தட்டின்
இயக்கசக்தி" எனவும் காட்டுக
169

Page 92
தட்டு ஒரு பூரண சுழற்சியை ஆக்கும்போது மையம் O அசைந்த தூரத்தைக் ( காண்க.
20. ஆரை a உடைய சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்று அதன் தளம் நிலைக்குத்தாக அமைய, கரடான கிடைத்தளமொன்றில் சீரான கோணக்கதில உடன் உருள்கிறது.
1. கிடைத்தளத்திற்கு மேல் ஒa உயரத்திலுள்ளதும் தட்டின் தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளதுமான நிலைத்த மீள்தன்மையற்ற கிடைக்கோலொன்றினை
இவ்வடர் அடிக்கிறது. கோல், வழுக்குதலைத் தடுப்பதற்குப் போதியளவ உராய்வுடைய தெனக் கொண்டு
36g < 49 acoo< 54g எனின்,
தட்டானது கோலுடன் தொடுகையை இழக்காது, மேற்போந்து (surmount) செல்லுமெனக் காட்டுக.
21. பூரண கரடானதும் a ஆரையுடையதுமான சீரான வட்டவளையம் ஒன்று கிடைத்தளமொன்றில் மீள்தன்மையற்ற h உயரமான படி ஒன்றை நோக்கி u
V− C வேகத்துடன் உருளுகின்றது, h<ஓ ஆகும். வளையத்தின் தளம்
நிலைக்குத்தாகவும், படியின் விளிம்பிற்குச் செங்குத்தாகவும் உள்ளது. வளையமானது படியுடன் தொடுகையை இழக்காமல் படியை மேற்போந்து செல்வதற்கான நிபந்தனை
4a2 hg.< u(2a-h) <4a (a-h) g ஆகுமென நிறுவுக.
22.Mதிணிவும் a பக்க நீளமும் கொண்ட சீரான சதுர அடர் ஒன்று ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையின் மேல் வைக்கப்பட்டுள்ளது. அடருக்கு உச்சி A யில் AB திசையில் MWபருமனுடைய கிடைக்கணத்தாக்கு ஒன்று கொடுக்கப்படுகிறது. அடர் பெற்ற இயக்கசக்தியைக் காண்க. அடரானது ஒரு பூரண சுழற்சியை
8 w . 2 πα ஆக்கும் போது, அதன் மையம் சென்ற தூரம-- எனக் காட்டுக.
23.m திணிவும், a ஆரையுமுடைய வட்ட அடரொன்று ஒப்பமான கிடைமேசை யொன்றின் மேல் அதன் மையம் O பற்றி கோணவேகம்  ைஉடன் சுழல்கிறது. அடரின் தளம் கிடையாக உள்ளது. அடரின் விளிம்பில் இருக்கும் ஒரு புள்ளி -A யில் சடுதியாக நிறுத்தப்படும் போது புதிய கோண வேகத்தையும் A யில்
பிரயோகிக்கப்பட்ட கணத்தாக்கையும் காண்க.
24.ஒவ்வொன்றும் m திணிவுடைய ABBC என்னும் இரு சீரான கோல்கள் B யில் சுயாதீனமாக மூட்டப்பட்டு ஓர் ஒப்பமான கிடைமேசை ஒன்றின் மேல் AB, BC
17O

ஒரு நேர்கோட்டில் அமையுமாறு வைக்கப்பட்டுள்ளன. A யில், AB யிற்குச் செங்குத்தாக 1 பருமனுடைய கிடைக் கணத்தாக்கு ஒன்று கொடுக்கப்படுகிறது. கோல்களின் மையங்களின் ஆரம்பக் கதிகளைக் காண்க.
25. திணிவு M. ஆரை a, மையம் B ஆகியவற்றையுடைய திண்மக்கோளமொன்று, ஆரை 2a யும், மையம் A யும் உடைய நிலைத்த கரடான கோள மொன்றின் உச்சியில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. கோளமானது அதன் உறுதியற்ற சமநிலைத் தானத்திலிருந்து சிறிது இடம் பெயர்க்கப்படுகிறது. உருளுகின்ற கோளமானது எந்த ஒரு நேரம் யிலும், AB நிலைக்குத்துடன் ஆக்கும் கோண்ம் 9ஆக,
21 a 6’ = 10g (1 - cos9) எனக் காட்டுக. இரு கோளங்களுக்குமிடையேயான உராய்வுக் குணகம் ய எனின்,
2sin6 = u (17cos 9-10) ஆகும்போது வழுக்குதல் நடை பெறும் எனக்
10 காட்டுக. இங்கு 0ே38* 17
6. m திணிவும் aஆரையும் கொண்ட சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்று கிடையுடன் 30 சாய்ந்துள்ள கரடான சாய்தளமொன்றில் வைக்கப்பட்டு ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. தளத்திற்கும், தட்டிற்குமிடையேயான உராய்வுக் குணகம் */3 . 10 ஆகும. தட்டானது கீழ் நோக்கி உருளும் போது வழுக்குமெனக் காட்டுக. தட்டின் மையமானது தளத்தின் வழியே கீழ் நோக்கி 14a தூரம் நகர எடுத்த
80a நேரம் g எனக் காட்டுக.
27.5 m திணிவும், a ஆரையும் கொண்ட ஒரு திண்மக் கோளமானது ய உராய்வுக் குணகம் கொண்ட ஒரு கரடான கிடைத்தரையில் மெதுவாக வைக்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் கோளமானது அதனுடைய கிட்ைவிட்டம் ஒன்றினைப்பற்றி கோணவேகம் ல உடன் சுழல்கிறது. கோளமானது அதனுடைய
2 a a
6DDUD
எனும் தூரம் நகரும் வரை வழுக்குமெனக் காட்டுக. 49 u g
5 வழுக்குதல் முடிவடையும் தறுவாயில் அதன் கோணவேகம் デe எனக்காட்டுக.
171

Page 93
அலகு 11
காவிப்பிரயோகமும், தளவளையியின், வழியே துணிக்கையின் இயக்கமும் (முனைவாள் கூற்று வடிவம்)
உதாரணம்
+ + k என்னும் ஒருமை வேகத்துடன் இயங்கும் துணிக்கை A, 31-7-4k ஐ தானக்காவியாகவுடைய புள்ளியினூடாகச் செல்லும் அதே கணத்தில், துணிக்கை B + + p k ஐ தானக்காவியாகவுடையாக புள்ளியினூடாகச் செல்கிறது. B யானது ஒருமை வேகக்காவி 2- j-5k ஐக் கொண்டுள்ளது.
(a) B இன் A தொடர்பான வேகத்தைக் காண்க. (b) A உம், B உம் மோதுமெனின், p இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(C) p-一塁 எனின், தொடரும் இயக்கத்தில், A,B இற்கிடையேயான மிகக் குறைந்த
தூரத்தைக் காண்க.
r4.g = i+ f+k
VB, E = 2i-j-5k
(a) VB, AFB, E * VE, A
=(2i–j–5k)–(፤+j+k) = ι-2.J-6k -(1) (b) A உம், B உம் மோதுவதால், VBA B
Bằ = oẫ-Öễ
= 4-8-(4+p)K-(2)
-6 1. (1), (2) இலிருந்து -(4+p)4 p = 20
(c) fiasasüçuu Tyub = A M = BA sin 9
172
 
 

4. 上呜小 1205
LLSLLS SLLSL LMMSMSqS
*/41 2
2. A, B, C என்னும் மூன்று துணிக்கைகள் மாறா வேகக் காவிகள் VA, ”。 V
என்பவற்றுடன் இயங்குகின்றன. Va = -1 +ர்+3k ஆகவும், A, B Gigiusupilsit C தொடர்பான வேகங்கள் முறையே -31-8ர் உம், 3 -3 j-10k D lib ஆகும். VA, W என்பவற்றைக் காண்க. ஒரு குறித்த நேரத்தில் A, B, என்பவற்றின் தானக்காவிகள் முறையே 11 - 2) +168 உம், -7 +7ர்+22k உம் எனின், A உம் B உம் மோதும்ெனக் காட்டுக. ۔۔۔۔
ᏤᎪᎬ =Ꮴ4c + ᏤoᎬ
= (-3i - 8 k)+(-i + j + 3 k) =ー4i+ fー5k VBE =VBC +VCE
= (3i - 3.j - 10k)+(-i + i + 3 k) = 2i -2J - 7 k t நேரத்தின்பின் A உம், B உம் மோதுமெனின், (11 i — 2j + 16k) + t V = (—7 i + 7 j + 22 k) + t VYB
(11-4t) i +(-2+t) j+(16-5t) k = (-7+2t) i+(7-2t) j+(22-7t)k
11-4 t = -7+2t => t = 3 -2+t =+7-2t =>t=3 6-5 t = 22-7 t > t = 3 எனவே 3 அலகு நேரத்தில் துணிக்கைகள் மோதும். 3. நேரம் t இல், துணிக்கை Pயின் தானக்காவி ஆனது
r = cost i + 2 sinto j + sin 2t k 6T6ărugBIT6ð g5gūL4(6aŝpĝ5. ĝriĉig5, i, j, k ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தான 1m பருமனுடைய அலகுக்காவிகளாகும்.
P யில் தாக்கும் விசைகளில் ஒன்று F, F=2 costi + cos2 என்பதால் தரப்படுகிறது. F, வேலை செய்யும் வீதத்தைக் காண்க.
73

Page 94
. 冗 ' 1 = 0 இலிருந்து =ァ க்கு F இனால் செய்யப்பட்ட வேலையைக் காண்க.
= cost i + 2 sintoj + sin 2t k
v = = -sint i + 2cost j + 2cos2t k
F, வேலை செய்யும் வீதம். F.y
= -2cost sint " + 2cos2t.cost
=2cost (cos2t-sint) • GAITrgÖLD மாறும் விசை ஒன்றினால் செய்யப்பட்டவேலை.
s Pd i =f(F.)dt P- Gugy)
2cost (cos2t -sint)d t
4. A, B, C என்பவற்றின் O ஐக் குறித்த தானககாவிகள் முறையே 4 + 3ர்,
3 + + 2k, 7 + 4 +2k ஆகும். இங்கு தூரங்களின் அலகு மீற்றர் ஆகும். P என்னும் ஒரு துணிக்கை O விலிருந்தும், Q என்னும் இரண்டாவது துணிக்கை B இலிருந்தும் ஒருங்கமையப் புறப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு துணிக்கையும் மாறா வேகத்துடனும் இயங்குகின்றன. P OA வழியேயும்.
174

Q, BA வழியேயும் இயங்குகின்றன. Q இன் கதி 6ms" உம், P இன் Q தொடர்பான வேகம் OC க்கு சமாந்தரமாகும். P இன் கதியைக் காண்க. தொடரும் இயக்கத்தில் P இற்கும் Q இற்குமிடையேயான மிகக் குறைந்த தூரம் யாது? என்பவற்றைக் காண்க. V = v (4+3) என்க. A B
斎着= 5着-5務=i+2Jー2k Vor = u(i+ 2j–2k) 6Iö; *. |VQ e|= 6=>以=2
Pos=2f+4j一4厝 O
V p.Q = V p.e + VE.Q
=(4)-2)i+(3)ー4)J+4k
VPQ, s60īgi OC @ÖG5 சமாந்தரமாகும்.
OC = 7 i + 4j — 2k
4入一2_3入一2 7 4.
x = 4 ஆகும்.-(2) /ps=4(4i+3j)=16i+12f p இன் கதி = iள்+12 = 20ms" -(2)
(1), (2) இலிருந்து V = 14 + 8ர் + 4k ஆகும்.
4 2
1-12i +16 i + 10k TTF8方+ 4A|
“ 135m - ܒܪ
276
175

Page 95
5. நேரம் t=0 இல் துணிக்கை A உற்பத்தியிலும், துணிக்கை B, 5-10j-12k ஐ தானக்காவிகளாக உடைய புள்ளியில் உள்ளன. A, ஒருமை வேகக்காவி 2 உடனும், B ஒருமை வேகக்காவி4+ 4) +5k உட்டனும் இயங்குகின்றன. தொடரும் இயக்கத்தில் A,B இற்கிடையேயான மிகக்குறைந்த gryb /89 m ஆகும். மூன்றாம் துணிக்கை C நேரம் t = 0 இல் -i + 8 ஐ தானக்காவியாக
உடைய புள்ளியில் உள்ளது. அது சீரான வேகத்துடன் சென்று t=3 இல், B உடன் மோதுகிறது. C இன் வேகக்காவியைக் காண்க.
Ꮴ4Ꭼ = 2i v VBE = 4 i + 4 j+ 5k VAB = VA E + VEB
(j + 5kر 4 + 2i --(4i = =-2i - 4 j-Sk - (9)12k A - زAB= OB= 5i - 1o மிகக்கிட்டிய தூரம் =ABsin 9
-|ABли|
|V| |2i + 49 - 40k 2i - 4 J-5k - 405-189
*/45
Cயின் வேகம் VC என்க.
(-i + 8)+3 Vc = (5-10-12)+3(4 + 4 + 5k)
3Vc = 18 - 6 + 3k Vc = 6i - 2j + k
6. (a) கோள மொன்றின் வேகம் 2-5ர் ஆகும். இது j இற்குச் செங்குத்தான ஒப்பமான சுவரை மோதுகிறது. கோளத்திற்கும், சுவருக்குமிடையேயான
2 ’’ ہے . மீளமைவுக் குணகம் 3. எனின், மோதுகையின் பின் கோளத்தின் வேகத்தைக் காண்க.
176
 

(b) m திணிவுள்ள ஒரு கோளம் 3-2 வேகத்துடனியங்கி, 12+5ர் இன் திசையிலான ஒப்பமான சுவர் ஒன்றுடன் மோதுகிறது. மோதுகையின் பின்னர்,
3. 8 கோளத்தின் வேகம் 友" *5/ ஆகும். () மொத்தலினால் ஏற்பட்ட கணத்தாக்கு (i) சுவருக்கும், கோளத்திற்குமிடையேயான மீளமைவுக் குணகம், (i) மொத்தலினால் ஏற்பட்ட சக்தி நட்டம் என்பவற்றைக் காண்க.
a) - 一※出 ༡༦)()(ཀྱི། །
5 J てア V
நியூட்டனின் மீளமைவு விதிப்படி,
2 10
-- == x5 --س- ==
3 3
10 மோதுகையின் பின் கோளத்தின் வேகம் 2H寺八 ஆகும்.
u = 31 - 2 1 (b) W - 12 i+5
3m
1.
-5i + 12 J)
177

Page 96
(ii) J இன் திசையிலான அலகுக் காவி 13 (-5i + 12 j)
நியூட்டனின் மீளமைவு விதி
臣 +)-6- 121)-e(3 : 21)-(-) (-5i+12f)
2 5 l 1596 -(-)(-1-2) 3 2 5 13
3 B = 一 10
12 1.2 (iii) säga) LDTibgplb =މީ mu 一云”
7. P = 5 i + 12 j, P = 12 - 5ர் என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான காவிகள் எனக் காட்டுக. PP இன் திசைகளிலான அலகுக் காவிகள் முறையே n , எனின் 13 + 13j = 17 +7 எனவும், 26 = 10 + 24 எனவும் காட்டுக. இரு பூரண மீள்தன்மைக் கோளங்கள் S, S, என்பன சமதிணிவும், சம ஆரையும் உடையன. இரண்டும் ஒப்பமான மேசையொன்றின் மீது V =13 + 13ர் , V =26 என்ற வேகங்களுடன் மோதுகின்றன. மோதும் கணத்தில் மையமிணை கோட்டின் வழியேயான அலகுக்காவி n ஆகும். மோதுகையின் பின்னர் S, S, இன் வேகக்காவிகளை n ,1 இல் கண்டு, பின் அக்காவிகளை i, j இல் தருக.
PP = (5i + 12j). (12i —5 j) = 0 எனவே P P செங்குத்தானவை.
178

1 r- . 1r. ۔ ۔ .حہ n= + 12) rー苦回2-3刀
и = 13 +13 i = (13i + 13 J) n n + (13i + 13.j)-tt
-- = 17 t + 7t V, = 26i = 26i.n)n+26i.tt
= 10n +24፤
1a
7f 24t
17n - : 10 للر in и, п Nーノへレ μι η
7t 24t
உந்தக்காப்புவிதி 14 + 1 = 17+10 நியூட்டனின் விதி 14 - 1 = 17-10
叫=17,b=10
1 o மோதுகையின் பின் S இன் வேகம் = 101+71 = 341 +85小 S இன் வேகம் = 71+241 = (373i + 84 )
8. தளமொன்றில் இயங்கும் துணிக்கை ஒன்றின், ஆரைவழியே அதற்குச் செங்குத்தான ஆர்முடுகலின் கூறுகள் (r ーr6" ), (r9+ 279) எனக் காட்டுக.
OP = r (356steOOTub POA = 0 OP வழியேயான அலகுக்காவி உேம், OP இற்குச் செங்குத்தாக 9 அதிகரிக்கும் திசையில் அலகுக்காவி m உம் என்க.
dé? O dm p d6
- = 0 Ꭰ - - -90 D. = 0 dt 12 dt ازنطق)کیD 偿 ö= r = r 2
179

Page 97
re) m حسس عسم حمـصصصص سم=
dt idt 2
dt dt
= *-e + rêm
t 6%^ރ dy d || dr th Ο N f = - = - - || -é? + r 60 m
dt dt dt
v2 O dfre dr[d62 + ")نام( m + rؤT" dt? dt dt dt dt
2 A. = f e + dr ёт +4 (r6)т + rê(-êe)
αι. dt dt
dor が2 d , a dra = . --Ir 6* |4 + - -(r.69)+ "-0 || m f 保 腺 )+芳
(?-ré)e -- (ré+2; Ө)т
(i) துணிக்கை ஒன்று r = 3e° என்ற வளையியின் வழியே இயங்குகின்றது. முனைவு O விலிருந்து துணிக்கை 7 தூரத்திலிருக்கையில், துணிக்கையின்
2 ஆரை வழியேயான வேகம் ஆகவுள்ளது. துணிக்கையின் ஆர்முடுகல் O
8 வை நோக்கி s எனக் காட்டுக.
18O

ஆரை வழியேயான வேகம் = ܚܒr6 =
r° 6 = 2
2 0 = --
2
°笛=一二 فأمر = f dt 3 مr
*= rê +rઉં =ー。
r
ஆர்முடுகலின், ஆரை வழியேயான கூறு =-ré?
= (ré2 + ré)-r62
3م
re= rားဒြီxzé)
ஆரைக்குச் செங்குத்தான வழியேயானகூறு = rë + 2}é
() +2(νό)θ
r
()(), )
-8 =- + - = 0 3م *
3م
8 எனவே, ஆர்முடுகல் O வை நோக்கி 3. ஆகும்.
(ii) சில்லு ஒன்று 壟a மையம் O பற்றி ம என்னும் ஒருமைக் கோணவேகம் ல உடன் சுழல்கிறது. பூச்சி ஒன்று 0 விலிருந்து ஆரையொன்றின் வழியே சில்லுத்தொடர்பாக u என்னும் ஒருமைக்கதியுடன் இயங்குகிறது. O விலிருந்து
181

Page 98
பூச்சி இயங்கத் தொடங்கி r நேரத்தின் பின், P யின் ஆர்முடுகலின் ஆரைவழியேயான, ஆரைக்குச் செங்குத்தான கூறுகளைக் காண்க. t=2 இல் P இன் வேகத்தினதும், ஆர்முடுகலினதும் ஆரைக்குச் செங்குத்தான கூறுகளைக் காண்க. சில்லு - W, பூமி - E, பூச்சி 1.
VE = V y + Vive
V = ué + (ut) o m -(1)
d v de dm f =ァ="ァサ O 1 - (uω )
= (-co? ut)e + (2u(o)m —(2)
ஆரை வழியேயானகூறு =-ல*u
தொடலி வழியேயானகூறு - 2uல
(1) இலிருந்து t=2 இல் தொடலிவழியேயான வேகக்கூறு = 2uல
(2) இலிருந்து t=2 இல் தொடலிவழியேயான ஆர்முடுகல் = 240
(i) m திணிவுடைய ஒரு துணிக்கை A ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. நீட்டமுடியாத இழையொன்றின் ஒருநுனி துணிக்கை A இற்கு இணைக்கப்பட்டு, இழையானது மேசையிலுள்ள ஒரு சிறு துவாரம் H இனூடு சென்று, இழையின் மறுமுனையில் அதே m திணிவையுடைய B என்னுமொரு துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை B சுயாதீனமாகத் தொங்குகிறது. தொடக்கத்தில் AH = a ஆகவும், துணிக்கை A யானது,
மேசைவழியே இழைக்குச் செங்குத்தாக 2gh கதியுடனும் இயங்குகிறது.
CI
இங்கு h>表 நேரம் t இன் பின்னர் தூரம் AH ஆனது r எனின்,
2 s2 o r' = gh -器}、 (a-r) எனக் காட்டுக.
துணிக்கை B ஆனது மேசையை அடையுமெனின், இழையின் நீளம்
h+ ho+4 ah JA இலும் பெரிதாகாது எனவும் காட்டுக.
P= mரி பிரயோகிக்க. B. f T-mg = m1) - سسسسسسسؤ(
182

)2(-)?T = m (?-ré سے جس-4 سس۔ (3)----------------- ré* = - g - ٹ;2 (2)+(1)
A இற்கு AH இற்குச் செங்குத்தாக,
o = m. (6) -(4)
H
e) A
=#(*)-o
ongl63 = ف2م چ= =rö"=与ー() "
r
(3), (5) இலிருந்து,
... κ 2 r = — - — g
3م
e os k .
2rr=二古rーgr
dی - | d(2۱ - d_( -k 煞°-刹杀川 g。(r)
ܐ ؟؟ , d (ε2) , , α = κ 一先川 d J诺体 )-J诺 ( 古Jg” f
r
t=O @6ð r = a, ř= O என (6) இல் பிரதியிட
4=*亨 --- -- (7)
£rr
f = O g6S r = a, rê = 12gh 6T60T (5) இல் பிரதியிட,
183

Page 99
k Κ r9 2 = => 2 g h = - ( ) 2r. ዷ d
k = 2gha -(8)
2 (6), (7), (8) இலிருந்து ? = (a-r) -(A)
r = 2 ஆக, = 0 என்க. (A) இலிருந்து
h (e-a)+e (a-r) = O
h(e + a)- e * = O (e-a = O; aguib uğë f6ð t = O)
e-eh-ah = O جہ ہو۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔
hith 4 h h+n+4 h in tvnt an سهھهيى e = "RYTTT372 ,e>O
2 2
பயிற்சி 11
1. வர்ணம் ஒன்று அது ஏவப்பட்டு நேரத்தில் அதன் வேகம் V ஆனது
W=50 + (70 - 10t) ஆகுமாறு அசைகிறது. இங்கு i, j என்பன கிடை, நிலைக்குத்துத் திசைகளிலான (மேல்நோக்கிய) அலகுக் காவிகளாகும். (a) ஏவுகணையின் தொடக்கவேகம் என்ன? (b) t=2இல் அதன் கதியைக் காண்க. (c) =3 இல் ஆர்முடுகல் யாது? (d) நேரத்தில், ஏவப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து இடப்பெயர்ச்சியைக் காண்க. (e) எப்பொழுது அதிஉயர் உயரத்தை அடையும்? () அடைந்த அதி உயர் உயரம் என்ன?
2. துணிக்கை ஒன்று u =24 + 40ர் என்னும் தொடக்க வேகத்துடனும்,
ா =2 -10ர் எனும் சீரான ஆர்முடுகலுடனும் இயங்குகிறது. இங்கு i,j என்பன * Ow, Oy திசைகளில் அலகுக்காவிகளாகும்.
(a) 2 செக்கன்களின் பின் (b) செக்கன்களின் பின் துணிக்கையின் வேகம் என்ன? (c) ஆரம்பத்தில் இயக்கத்திசை Ox உடன் ஆக்கும் கோணம் என்ன? (d) எந்நேரங்களில் Ox இன் நேர்த்திசையுடன் 45° ஆக்கும் திசையில்
இயங்கும்? (e) எந்நேரத்தில் ஆரம்ப இயக்கத் திசைக்கு செங்குத்தாக இயங்கும்?
184

3.
80 m உயரமான கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து புறப்பட்டுச் செல்லும் ஏவுகணை ஒன்றின், t நேரத்தின்பின் அதன் இடப்பெயர்ச்சியானது 3 + 4 + 52k என்பதால் தரப்படுகிறது. இங்கு i,j, k என்பன முறையே மேற்கு, வடக்கு, கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துத் திசைகளிலான அலகுக்காவிகளாகும். (a) t செக்கன்களின் வேகம் யாது? (b) ஆரம்பத்தில் கிடையாக இயங்குகிறதெனக்காட்டி திசைகோளைக் காண்க. (c) 2 செக்கன்களின் பின் கதி 5/17ms" எனக் காட்டுக. (d) புறப்பட்டு 2 செக்கன்களின் பின் தூரத்தைக் காண்க. (e) அது எப்போது பூமியை அடிக்குமெனக் காண்க.
1: f است . விமானம் ஒன்று தெற்கு நோக்கிய ஓடுபாதையிலிருந்து கிடையுடன் "ே {羚
எனும் கோணத்தில் 225.5 kmh" உடன் புறப்பட்டுச் செல்கிறது. ஒடுபாதையின்
முடிவு குறித்து, புறப்பட்டு t நேரத்தில் விமானத்தின் தானக்காவி
f
r = (高 (2i 十 k) எனக் காட்டுக. இங்கு ,j,k என்பன தெற்கு, கிழக்கு, நிலைக்குத்தாக மேனோக்கிய திசைகளில் 1 km நீளமுள்ள காவிகளைக் குறிக்கின்றன. இவ்விமானம் ஓடுபாதையை விட்டுக்கிளம்பும் அதே கணத்தில் இரண்டாவது விமானம் ஒன்று 7202 kmh" உடன் தென்மேற்குத்திசையில் கிடையாகப் பறக்கிறது. அப்பொழுது அதன் தானக்காவி -1.2 + 32) + k ஆகும். நேரம் இல் அதன் தானக்காவியைக் காண்க. விமானங்களின் பாதை மாற்றப்பட்டா லொழிய மோதுகை ஒன்று நடை பெறுமெனக்காட்டி, மோதுகை நடைபெறும் நேரத்தைக் காண்க.
A, B என்பன இரு சந்திகளாகும். j என்பது A யிலிருந்து B இற்குத் திசை கொண்ட அலகுக்காவியாகும். j என்பது AB இற்குச் செங்குத்தான அலகுக் காவியாகும். நேரம் 1 = 0 இல், C எனும் சைக்கிளோட்டி A யிலிருந்து
J3
2 fi + 2. fj எனும் ஒரு சீரான ஆர்முடுகலுடன் புறப்படுகிறான். நேரம் to
செக்கனின் பின்னர் C. எனும் சைக்கிளோட்டி B இலிருந்து புறப்பட்டு
J3 2 செக்கன்களின் இருவரும் சந்திக்கிறார்கள். ஒரே வரிப்படத்தில் C,C இன்
3 . f サ秀f j எனும் சீரான ஆர்முடுகலுடன் செல்கிறான். (t+ tc)
185

Page 100
பாதைகளையும், ஒரேவரிப்படத்தில் C, C இன் கதிநேர வளையிகளையும் வரைக
tc= (1+3) எனக் காட்டுக.
நேரத்தில் ஒரு துணிக்கையின் தானக்காவி (t) ஆகும். வேகக்காவி V ஐயும், ஆர்முடுகல் காவிfஐயும் வரையறுக்க. காவி = b + g +ce" (k> 0) என்பதால் ஒரு துணிக்கையின் நிலை
தரப்படுகிறது. இங்கு b, g, c என்பன ஒருமைக்காவிகள். t நேரத்தில் இத் துணிக்கையின் வேகம் V ஐயும் ஆர்முடுகல் f ஐயும் துணிந்ஆ f = g, k V எனக் காட்டுக. இந்தச் சமன்பாடு எழக்கூடிய பெளதீகச் சூழ்நிலையை விபரிக்கவும். ܫ
Oxy என்பது செங்கோன தெக்காட்டின் மாட்டேற்றுச் சட்டம் ஆகும். i, j என்பன முறையே Ox,Oy அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமான அலகுக் காவிகளாகும். 9 என்பது எண்ணி ! யின் ஒரு சார்பாக இருக்க, =ே cos 9 i + Sin 9,
m = -Sin 9 i + cos 9 j என்பவற்றால் வரையறுக்கப்படும். 2, m என்பன
தம்முள் செங்குத்தான அலகுக்காவிகளாகுமெனக் காட்டுக.
dé — 40, dm--sde)e எனவும் காட்டுக dit dit "" dit dt
உற்பத்தி O, தொடக்கக்கோடு Ox என்பன குறித்து நேரம் t யில் P யின் தள முனைவாள் கூறுகள், (r, 9 ) எனின், OP = 2 என மேலும் காட்டுக. P யின் ஆர்முடுகல்
2
dor (de 1 d d0
- - 2 + )-- ۰ - ||-|||||||||| r۰ ۰-سس மென உய் 5,
偿 { { #}m کR,)35 த்தறி
U, W, a,  ைஎன்பன ஒருமைகளாகவும், i,j என்பன தளம் Oxy இல் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தான அச்சுகள் Ox , Oy வழியேயான அலகுக்காவிகளாகவுமிருக்க P,Q எனுமிரு துணிக்கைகளின் தானக்காவிகள்
r = U t i + Vt j, r, = (a + ut + acoscot)i + (Vt+asinoot)r TGinugt6ð
தரப்படுகிறது. நேரம் 1 இல் P இனதும், Q இனதும் வேகக்காவியையும், ஆர்முடுகல் காவியையும் காண்க. P தொடர்பாக Q ஒரு வட்டத்தை வரைகின்றதெனவும், P, Q என்பவற்றின் தானங்கள் ஆவர்த்தன முறையில் பொருந்துகின்றன எனவும் நிறுவுக. P, () ஆகியவை பொருந்தும் போது அவற்றின் இயக்கத் திசைகளுக்கிடையான கோணத்தைக் காண்க.
186

9. நேரம் t=0 இல் கப்பல் A ஆனது புள்ளி 0 இலும், கப்பல் B ஆனது O ஐக் குறித்து 10 j ஐ தானக்காவியாகக் கொண்ட புள்ளியிலும் உள்ளன.
இருகப்பல்களும் சீரான வேகங்களுடன் இயங்குகின்றன. A யின் கதி 34 kmh ஆகவும், அதன் திசை காவி 8i + 15ர் இன் திசையிலும் உள்ளது. B யின் கதி
30kmh" ஆகவும், காவி 3 + 4) இன் திசையிலும் உள்ளது. (a) கப்பல்கள் A,B இன் வேகக்காவி. (b) B இன் A தொடர்பான வேகக்காவி. (c) நேரம் 1 இல் B இன் A தொடர்பான தானக்காவி என்பவற்றை எழுதுக. ஒன்றையொன்று தொடர்பு கொள்ளக்கூடிய தூரம் 10 km எனில் மூன்று மணித்தியாலங்கட்கு ஒன்றுடனொன்று தொடர்பு கொள்ளலாம் எனக்
காட்டுக.
10.4 எனும் கப்பல் கிழக்குநோக்கி 24kmh" உடன் செல்கின்றது. நண்பகல் 12
மணிக்கு இரண்டாவது கப்பல் B ஆனது, A இற்கு வடகிழக்குத் திசையில் 8km தூரத்தில் உள்ளது.ஒரு மணித்தியாலத்தின் பின்னர் B என்னும் கப்பல் மீண்டும் 8 k m தூரத்தில் தென்கிழக்குத் திசையிலிருக்கிறது. B சீரான வேகத்துடன் செல்கின்றதெனக் கொண்டு B இன் வேகத்தைக் காண்க. A இற்கும் B இற்குமிடையேயான மிகக் குறைந்த தூரத்தைக் காண்க. இந் நிலையில் கப்பல் B ஆனது, A இற்கு நேர்கிழக்கே இருக்குமெனக் காட்டுக.
11. P எனும் துணிக்கை ( +j) என்ற வேகத்துடனும், () என்ற துணிக்கை
(-i +2j) என்ற வேகத்துடனும் இயங்குகின்றன. P தொடர்பான O இன் வேகத்தை எழுதுக. - துணிக்கை P உற்பத்திப் புள்ளியில் இருக்கும் அதே வேளையில் துணிக்கை Q (2l+1) ஐ தானக்காவியாகவுள்ள புள்ளியில் உள்ளது. தொடரும் இயக்கத்தில் P, Q இற்கிடையேயான மிகக் குறைந்த தூரத்தைக் காண்க.
12.கிழக்கு, வடக்கு திசைகளிலான அலகுக்காவிகள் i,j ஆக இருக்க வெளிச்ச வீடு O குறித்து நண்பகல் 12 மணிக்கு A, B எனும் இருக்கப்பல்களின் 'தானக்காவிகள் முறையே (3+20j) , (-201-10)) ஆகும். A,B என்பவற்றின் சீரான வேகங்கள் முறையே (-21-5.j), (15+25j) ஆகும். (அலகுகள் km,kmh'ஆகும்) 4 இன் B தொடர்ப்ான வேகத்தைக் காண்க. ' 1 மணித்தியர்லங்களின் பின் A இன் B தொடர்பான தர்னக்காவியை எழுதுக. இரு கப்பல்களும் மிகக் கிட்ட்வரும் நேரத்தைக் காண்க. V
13.நண்பகல் 12 மணிக்கு விமானம் A இன் தானக்காவி 5+ ஆகவும், அதன்
சீரான வேகம் -T3) ஆகவும் உள்ளது. அதே கணத்தின் இரண்டாவது
விமானம் B இன்தின்க்காவி 31-3) ஆகவும், அதன் சீரானவேகம்"2+5)
r = 4 - 1+2(2l+1) என்ற கர்விச்சமன்பாட்டினால் தரப்ப்டும்கோட்டிலுள்ள்
87

Page 101
எந்த ஒருபுள்ளியிலுமிருந்து சமதூரத்தில் உளளதெனக் காட்டுக. ( 1 - )) எனும் புள்ளியிலிருந்தும், இக்கோட்டிலுள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும், சமதூரத்திலிருக்குமாறு இக்கோட்டிலுள்ள புள்ளியைக் காண்க. A யும் B யும் மிகக் கிட்டியதாக இருக்கும் நேரத்தைக் காண்க.
14.5kg திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று ஒர் ஒப்பமான கிடைமேற்பரப்பில் ஓய்விலுள்ளது. அத்துணிக்கை மீது P,Q, R எனும் விசைகள் தொழிற்படுகின்றன. P = i + 7 j , () = 6 i - 3 j, R = -2 i + 6 j நியூட்டன்கள் ஆகும். இங்கு i,j என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான கிடையான அலகுக் காவிகள் ஆகும். 4 செக்கன்களின் முடிவில் துணிக்கையின் இடப்பெயர்ச்சியையும், வேகத்தையும் காண்க.
...,
15. i,j,k என்பன கிடையாக கிழக்கு, வடக்கு, நிலைக்குத்தாக மேனோக்கிய திசைகளிலான அலகுக் காவிகளாகும். ஒப்பமான கிடைத்தளத்திலிருக்கும் 5kg திணிவொன்றிற்கு விசைகள் F = 3-j + 2k, F = 2 +ர் -2k நியூட்டன் விசைகள் பிரயோகிக்கப்படுகின்றன. எத்திசையில் துணிக்கை அசையத் தொடங்கும் எனவும், 2 செக்கனில் அது செல்லும் தூரத்தையும் காண்க.
16, 2kg திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்றின் நிலையானது O எனும் நிலைத்த புள்ளி குறித்து 2 + 4 + 10 k மீற்றர் என்பதால் தரப்படுகிறது. ஒய்விலிருக்கும் இத்துணிக்கை மீது F, E, F ஆகிய விசைகள் தொழிற்படுகின்றன.
@ i g F = i+2j-3k, F, = 2i -j - 4 k, F = i -2j +2k
நியூட்டன்கள் ஆகும். இரு செக்கன்கள் முடிவில் O விலிருந்தான இடப் பெயர்ச்சியைக் காண்க.
17. இரு விசைகள் F = 2 + j N, F = -3j N. துணிக்கை ஒன்றின் மீது தாக்கி 15-10) m எனும் இடப்பெயர்ச்சியைக் கொடுக்கிறது. ஒவ்வொரு விசையினாலும், விளையுள் விசையாலும் செய்யப்பட்ட வேலையைக் காண்க.
18. வெளியில் இயங்கும் திணிவு m ஐ உடைய துணிக்கை ஒன்றின் ஆர்முடுகல் a ஆனது a = (cost) + sint) என்பதால் தரப்படுகிறது. நேரம் t=0 இல் துணிக்கை, உற்பத்தியில் -j + k எனும் வேகத்துடன் இயங்கத் தொடங்கியதெனின், நேரம் t இல் துணிக்கையின் தானக் காவியையும், வேகக்காவியையும் காண்க. நேரம் t இல் துணிக்கையின் இயக்கசக்தியையும், அதில் தாக்கும் விசையின் பருமனையும் காண்க.
19.இயங்கும் துணிக்கை ஒன்றின் தானக்காவிரி, நேரம் t இல்,
r = (5 + 20) + (95 + 10 - 5) என்பதால் தரப்படுகிறது. () துணிக்கையின் தொடக்க வேகத்தைக் காண்க. (i) நேரம் =T இல், துணிக்கை தொடக்க இயக்கத் திசைக்குச் செங்குத்தாக
188

20.
21.
இயங்குகின்றதெனின், T இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. (i)T இன் இப் பெறுமானத்திற்கு, ஆரம்ப நிலையிலிருந்து துணிக்கையின்
தூரத்தைக் காண்க.
P, P என்பவற்றின் தானக்காவிகள் முறையே 2-5ர் + k உம், -8i-j + 4 k உம், Q, Q என்பவற்றின் தானக்காவிகள் முறையே 13j + 5 k, Dillb 4 i-3 j-3k Dub sg5b. (a) P P , Q Q என்னும் கோடுகள் ஒன்றையொன்று செங்கோணத்தில் வெட்டுமெனக் காட்டி, வெட்டும் புள்ளியின் தானக்காவியைக் காண்க.
(b) P Q இன் திசையில் தாக்கும், F பருமனையுடைய விசை ஒன்று, ஒரு
துணிக்கையை, P இலிருந்து Q இற்கு இயங்குகிறது. இவ்விசை செய்த வேலையைக் காண்க.
A , B என்னும் இரு துணிக்கைகள் முறையே மாறா வேகக்காவிகள் V = 5 + 3 - k , V = 3 + 4) -3k என்பவற்றுடன் இயங்குகின்றன. A இன் B தொடர்பான வேகக்காவியைக் காண்க. நேரம் t=0 இல் துணிக்கை A யின் தானக்காவி - 4 +7 + 6 k ஆகும். t = 5 இல், இரு துணிக்கைகளும் மோதும் எனின், t = 0 இல் B இன் தானக்காவியைக் காண்க. - இயங்கிக் கொண்டிருக்கும் மூன்றாம் துணிக்கை C தொடர்பாக A இன் வேகட 2i + 1 - 2k இன் திசையிலுள்ளது. C தொடர்பான B இன் வேகம் 2+3) - 6k இன் திசையிலுள்ளது. வேகம் Cயின் பருமனையும், திசையையும் காண்க.
22.A, B என்னுமிரு துணிக்கைகள், முறையே -11 + 17-14k, .9 +9ர் -32k
என்பவற்றைத் தானக் காவிகளாகக் கொண்ட புள்ளிகளிலிருந்து ஒரே நேரத்தில் இயங்க ஆரம்பிக்கின்றன. A, B என்பவற்றின் வேகங்கள் முறையே 6 - 7ர் +8k உம், 5 - 3 + 17k உம் ஆகும். A, B என்பன மோதும் என நிறுவுக. மூன்றாவது துணிக்கை C யின், A தொடர்பான வேகம் 2 + 3 + 4 k இற்கு சமாந்தரமாகவும், C யின் B தொடர்பான வேகம் + 2 + 3 k இற்கு சமாந்தரமாகவும் உள்ளது. C யின் வேகத்தைக் கண்டு, மூன்று துணிக்கைகளும், ஒரேநேரத்தில் மோதுமெனில், C யின் ஆரம்ப நிலையைக் காண்க.
23. இயங்கிக் கொண்டிருக்கும் 3*2,488 திணிவுள்ள இரு துணிக்கைகள் AB
என்பவற்றின், நேரம் t இலான தானக்காவிகள் , 7 ஆகும். இங்கு =(-1)+sintt j+(* +2)k re =sini+(-8), 3 k ஆகும்.
189

Page 102
24.
(a) நேரம் t இல் துணிக்கைகளின் மொத்த இயக்கசக்தி. (b) நேரம் t இல் துணிக்கை A இல் தொழிற்படும் விசையின் பருமன் (c) = 1 இல், A யின் ஆர்முடுகல், A யின் பாதையுடன் அமைக்கும் கோணத்தின்
கோசைன், இறுதியில் A யும், B யும் மோதுமெனக்காட்டி, மோதும் புள்ளியின் தானக்காவியைக் காண்க.
2kg திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று, 4 + 3 + 2 k என்னும் தானக் காவியாகவுடைய புள்ளி A யிலிருந்து i + 2 j + 3 k என்ற வேகத்துடன் இயங்கத் தொடங்குகிறது. துணிக்கையானது, தன் நிறையின் தாக்கத்தின் கீழும், மாறாவிசை F = 3 + 4 + 8 k, இன் கீழும் இயங்கி 4 செக்கன்களில் B ஐ அடைகிறது. B இன் தானக்காவியையும், B ஐத் துணிக்கை அடைகையில் அதன் கதியையும் காண்க. ● துணிக்கை A யிலிருந்து B இற்கு இயங்குகையில், F ஆல் செய்யப்பட்ட வேலையைக் காண்க.
(இங்கு காவி k நிலைக்குத்தாக மேனோக்கி உள்ளதெனவும், g = 10ms*
25.
26.
எனவும் விசை, நியூட்டனிலும், தூரங்கள், மீற்றரிலும் உள்ளன எனவும் கொள்க.)
2kg திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்றின் தானக்காவி, நேரம் 1 இல் r = e (costi + sintj} என்பதால் தரப்படுகிறது. எல்லா t இற்கும்,
தானக்காவி r உம், ஆர்முடுகல் காவிய உம் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தானவை எனக்காட்டி, துணிக்கையில் தாக்கும் விளையுள் விசையைக் காண்க.
T t=0 இல் துணிக்கையின் இயக்க சக்தி 2 யூல்கள் எனக்காட்டி, = 2 இல்
துணிக்கையின் இயக்க சக்தியைக் காண்க.
7t இதிலிருந்து t=0 இலிருந்து 1 = 万 வரையிலான ஆயிடையில் துணிக்கையில்
தாக்கும் விசையில் செய்யப்பட்ட வேலையைக் காண்க.
சம ஆரையும் முறையே m, 2m திணிவுகளுமுடைய A, B என்னுமிரு கோளங்கள், ஒப்பமான மேசையொன்றின் மீது இயங்குகின்றன. A, B இன் வேகங்கள் முறையே A ( + j) j ஆகும். இங்கு M > 0 ஆகும். கோளங்களின் மையமிணைகோடு காவி t இற்குச் சமாந்தரமாக இருக்கையில், அவை மோதுகின்றன. மீளமைவுக்குணகம் e (< 1 ) ஆகும். மோதுகைக்குப் பின் கோளம் B + 2 இன் திசையில் இயங்குகிறது.
3 3
- < W < - 6Tani arri" 4 2 எனக் காட்டுக.
*90

5 A = 4. எனின் e இன் பெறுமானத்தையும், மோதுகையால் ஏற்பட்ட இயக்க
சக்தி நட்டத்தையும் காண்க.
27. காவிகள் P = 3 + 4, P2 = 4-3ர் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டுக. P , P2 என்பவற்றின் திசைகளிலான அலகுக்காவிகள் முறையே n, எனின் V = 3, V = 1+ i என்பவற்றை V = an + b என்ற வடிவில்
எழுதுக. சமதிணிவும், சமஆரையுமுடைய இருபந்துகள் மோதும் கணத்தில் V, V
என்னும் வேகங்களைக் கொண்டுள்ளது. மோதும் கணத்தில் மையமிணை
கோடு காவி n இற்கு சமாந்தரமாகும். மீளமைவுக்குணகம் 2 எனின்,
மோதுகையின் பின்னர், அவற்றின் வேகங்களை n, t இன் உறுப்புக்களில் காண்க. இதிலிருந்து கோளங்களின் வேகங்களை i,j இன் உறுப்புக்களில் தருக.
28.6i + 13j = c. (3 + 4j) + 6 (4 -3j) எனின் o, 6 ஐக் காண்க. ஒப்பமான செவ்வக மேசை OABC இல், கோளம் P ஓய்விலுள்ளது. (16 i + 13j) u வேகத்துடன் மேசை வழியே இயங்கும் இன்னொரு கோளம் Q,P ஐ மோதுகிறது. இங்கு i,j முறையே OA , OC திசைகளிலான அலகுக் காவிகளாகும். மோதுகையின் பின் P, Q இன் வேகங்கள் முறையே 3 + 4,7+ i இன்
1
திசைகளிலுள்ளன. கோளங்களுக்கிடையேயான மீளமைவுக் குணகம் 2 எனக்
காட்டுக.
29. சம ஆரையும், m, Mதிணிவுமுடைய இரு ஒப்பமான கோளங்கள் A, B என்பன ஒப்பமான கிடைமேசையோன்றில் இயங்குவதற்கு சுயாதீனமுடையவை. கோளம் B, மேசையில் ஓய்வுநிலையில் உள்ளபோது கோளம் A , வேகம் u உடன் B ஐ மோதுகிறது. மோதுகையின் போது வேகக்காவி ய உம், மையமிணை கோட்டின் திசையும் 9 என்னும் கூர்ங்கோணத்தை ஆக்குகிறது. மோதுகையின் பின் A இன் இயக்கத்திசை, அதன் முன்னைய இயக்கத் திசைக்குச்
e M-n
M + m
2 செங்குத்தெனின் 1ள9 = எனக் காட்டுக.
மேலும் B இன் வேகத்தின் பருமன் Mcose எனக் காட்டுக.
191

Page 103
30. நேரம் t = 0 இல், ஒரு துணிக்கையானது r = (-15 + 51) + (70 + 30 !
-5ர்)k என்னும் பாதை வழியே இயங்குமாறு எறியப்படுகிறது. (தூரம், மீற்றரிலும், நேரம் செக்கனிலும் அளக்கப்படுகிறது) (a) எறியல் புள்ளியின் தானக்காவியையும், எறியல் வேகத்தையும் காண்க. (b) நேரம் t இல் துணிக்கையின் வேகம் யாது? * துணிக்கையானது, 5 ஐ தானக்காவியாகவுடைய புள்ளியினூடு செல்கின்றதும் i + 19k ஐ படித்திறனாகவும் கொண்ட நேர்கோட்டினை புள்ளி A யில் சந்திக்கின்றது. 1 = 5 ஆக, இது நடைபெறுமெனக் காட்டுக. A யின் தானக்காவியைக் காண்க. ஆரம்பத்திசைக்குச் செங்குத்தாகத் துணிக்கை இயங்கும் நேரத்தைக் காண்க.
31. தளமொன்றில் இயங்கும்துணிக்கை யொன்றின் முனைவாள் கூறு (r, 9 ),
நேரம் t இல் ř = 24 sin 0, é = (5 + 3 cos 9)" என்ற சமன்பாடுகளைத் திருப்தி செய்கிறது. 9 = 0 ஆக, r = 1 எனத் தரப்படின் r ஐ, 9 இன் உறுப்புக்களில் காண்க. 9 - O என்ற கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகத் துணிக்கை இயங்கும் r இன் பெறுமானம் யாது? இப்புள்ளியில் ஆரை வழியேயான ஆர்முடுகலைக் காண்க.
32. தளமொன்றிலே இயங்கும் துணிக்கையொன்றின் முனைவு O பற்றி முனைவாள் கூறு (r, 6) ஆகும். துணிக்கை r = a (1 + Sin9) எனும் வளையின் வழியே இயங்குகிறது. இங்கு a > O. OP யானது சீரான கோணக்கதி 0 உடன் இயங்குகிறது. துணிக்கையின் கதியை a, 0, 9 இன் உறுப்புக்களில் காண்க, கதி, அதிஉயர்வாக இருக்கும் 9 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
33. தளமொன்றில் இயங்கும் அலகுத்திணிவுள்ள துணிக்கை ஒன்றின், நேரம் ! இலான முனைவாள்கூறு (r, 6) ஆகும். துணிக்கை மீது தாக்கும் ஒரே விசை
上_ 3م
2 ஆகும். இங்கு 2 ஆரைத்திசையிலான அலகுக்காவியாகும். ய
ஒரு மாறிலி,
de C dru + C
"2" |2 = 3 எனக் காட்டுக. இங்கு C ஒருமை.
34. தளமொன்றில் இயங்கும் m திணிவுடைய துணிக்கையொன்றின் பாதை r = ae" * என்பதால் தரப்படுகிறது. a > 0 ஒருமையும் (r,6) முனைவாள்கூறும் ஆகும். துணிக்கையின் மீது தாக்கும் விசை, முனைவை நோக்கி F(r) ஆகும்.
2.mho * F(r ) * - 3 எனக் காட்டுக. இங்கு h ஒருமையாகும். துணிக்கையின் கதி
r
h2 A - எனவும் காட்டுக.
r
192

35. P என்னும் ஒரு துணிக்கை, O வை முனைவாகவும், OA ஐ தொடக்கக்
2 கோடாகவும் கொண்டு, அதன் பாதையின் சமன்பாடு r = 2+cosθ என்ற
வடிவில் தரப்படுகிறது. இயக்கத்தின்போது எந்த ஒரு நேரம் r இலும் = 2 ஆகும். rō இற்கான கோவையை 9 இன் உறுப்புக்களில் எழுதி r-Sin6 எனக் காட்டுக. P யின் ஆர்முடுகல், O வை நோக்கியுள்ளதெனவும், அதன் பருமன் 2 இற்கு நேர்மாறு விகிதசமம் எனவும் காட்டுக.
36. முனைவு O குறித்து, இயங்கும் புள்ளி P யின், நேரம் t இலான முனைவாள் கூறு (r,0) ஆகும். ஆரைக்காவி OP வழியேயும், OP இற்கு செங்குத்தாகவும், ஆர்முடுகலின் கூறுகளைக் காண்க. m திணிவுடைய துணிக்கை P, கிடைத்தளத்திலுள்ள வளையி r (1 + cos 9) =2a இன் வழியே இயங்குகிறது. ஆரைக்காவி OP, மாறாக் கோணக்கதி 0
3 உடன் சுழல்கிறது. எந்த ஒரு கணத்திலும் துணிக்கையின் கதி 0 - எனக்
O
7. காட்டுக. 6 = 2 ஆகும்போது, துணிக்கையின் மீது தாக்கும் விளையுள் கிடை விசையின் பருமன் 2maல* W5 எனக் காட்டுக.
37. தளமொன்றில் இயங்கும் துணிக்கை P யின், ஆள்கூறு முனைவாள் கூறில் தரப்பட்டுள்ளது.OP வழியே, OP இற்கு செங்குத்தான திசையில் ஆர்முடுகல் கூறுகளைக் காண்க. ஒரு துணிக்கை Q ஆனது, தளமொன்றில் ஒரு நிலைத்த புள்ளி O பற்றி ஒருமைக் கோணவேகம் ல உடன் இயங்குகிறது. OQ வழியே ஆர்முடுகல் பூச்சியமாகும். தூரம் OQ ஆனது r ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. t=0 ஆகும்போது
dr
r = a எனவும் αφ3aω எனவும் தரப்படின், நேரம் t இல் r=a(2 هستی- بهع"(
எனக் காட்டுக. 38. ஓரலகு திணிவுடைய துணிக்கை P ஒப்பமான கிடைத் தளமொன்றில், தளத்தில்
cooao
- பருமன r
உள்ள நிலையான புள்ளி O ஐ நோக்கியுள்ளதும், coor +
உள்ளதுமான விசை ஒன்றின் தாக்கத்தின் கீழ் இயங்குகிறது. இங்கு () ஓர் ஒருமையும், OP = r உம் ஆகும். t=0 இல் துணிக்கையானது O இலிருந்து a தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து OP இற்கு செங்குத்தான திசையில்
193

Page 104
4 a co
|3 பருமன் கதியுடன் கிடையாக எறியப்படுகிறது. தொடரும் இயக்கத்தில்
2 -o’ (r-a)(r-2a)(3a + 9ar + 8a” rー = 3r எனக் காட்டி r, a இற்கும்
2a இற்குமிடையில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
39. தளவளையி ஒன்றின் வழியே இயங்கும் துணிக்கை ஒன்றிற்கான ஆரை வழியேயும், அதற்குச் செங்குத்தான திசையிலுள்ளதுமான ஆர்முடுகலின் கூறுகளைக் காண்க. கோணவேகம் () ஒருமை எனவும், ஆரை வழியேயான ஆர்முடுகலின் கூறு (a-2r) 0° அதற்குச் செங்குத்தானகூறு 4aல* cos 9; ஓர் ஒருமை.எனவும் தரப்படின் வளையியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. வளையியை பருமட்டாக வரைந்து விளையுள் ஆர்முடுகல் உயர்வாக இருக்கும் புள்ளியை வளையியில் காண்க.
40. தளமொன்றில் இயங்கும் துணிக்கை ஒன்றிற்கு, ஆரை வழியேயும், அதற்கு
செங்குத்தான திசையிலும் ஆர்முடுகலின் கூறுகளைக் காண்க. 1kg திணிவுடைய ஒரு துணிக்கை P ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையில் இயங்குகிறது. இத்துணிக்கை P , மேசையிலுள்ள O என்னும் நிலையான
8 புள்ளிக்கு 1மீற்றர் இயற்கை நீளமும், y, மீள்தன்மை மட்டும் கொண்ட
இழையினால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மேசையில் P இன் நிலை O ஐக் குறித்து முனைவாள் கூறு (1,9) ஆல் தரப்படுகிறது. OA ஆரம்பக் கோடாகவும், OP = r ஆகவும் உள்ளது. தொடக்கத்தில் P ஆனது OA இல் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இழை மட்டாக இறுக்கமாக இருக்குமாறு பிடிக்கப்பட்டு OA இற்குச் செங்குத்தாக 2ms' கதியுடன் எறியப்படுகிறது. எறியப்பட்டு t செக்கன்களின் பின்னர்.
dor 4 8 (a) = 3 + (-1) எனவும்
2 dr 4 8 A. (b) É =4-;-(-1) எனவும் காட்டுக.
194

41.
42.
43.
ஒப்பமான கிடைத்தளமொன்றில் இயங்கும் துணிக்கை வரையும் வளையியின்
2 a சமன்பாடு ""; p என்பதால் தரப்படுகிறது. துணிக்கையின் மீது தாக்கும்
விசை r-O ஐ நோக்கியுள்ளது. 7=2a ஆக, துணிக்கையின் கதி V ஆகும்.
2 d6 r ஆனது, 2 aV இற்குச் சமமான ஒருமை எனக் காட்டுக.
or = V cos 0
(a)
dor -2a. sin 60
(b) 2 ーエー எனவும் காட்டுக.
துணிக்கையின் கதி உயர்வாக இருக்கையில் அதன் ஆர்முடுகலைக் காண்க.
.kܪ தளமொன்றில் இயங்கும் துணிக்கையொன்றின் முனைவாள்கூறு (r, 9)
ஆகும். ஆரைவழியேயும், ஆரைக்குச் செங்குத்தாகவும், துணிக்கையின்
ஆர்முடுகலின் கூறுகளைக் காண்க.
நிலையான நீரில் ஒரு வள்ளம் B, 3u கதியுடன் செல்லக்கூடியது. சீரானகதி ! உடன் பாய்கின்ற ஆற்றின் ஒருகரையிலுள்ள A என்னும் புள்ளியிலிருந்து, வள்ளம் அதன் முனை, A இற்கு நேர் எதிரே மறுகரையிலுள்ள O என்னும் புள்ளியை நோக்கியிருக்கச் செலுத்தப்படுகிறது. ஆறு OA யின் திசைக்குச் செங்குத்தாகப் பாய்கிறது. OB யின் தூரம் r எனவும், கோணம் AOB = 9 எனவும் தரப்படின்,
dr O cos 0 - de r(sin9-3) størs காட்டுக.
Oxy தளத்தில் ஒரு துணிக்கை P ஆனது, நேரம் t இல் அதன் தானக் காவி
ஆனது, r = 2a cos do t [cos co t i 十 sincot j) ஆகுமாறு இயங்குகிறது.
i,j, Ox, Oy திசையிலான அலகுக் காவிகளாகும். 函馆
s
di
() துணிக்கையின் பாதை, புள்ளி C=(a,0) இல் மையத்தைக் கொண்டதும்
a ஆரையுடையதுமான ஒரு வட்டம் எனவும்
(i) துணிக்கையின் கதி 2aல பருமனையுடையதும் CP யிற்கு செங்குத்தான
தெனவும்
iேற்துணிக்கையின் ஆர்முடுகல் 4aம* பருமனுடையதும் வழியே உள்ளது
s எனவும் காட்டுக. d
195

Page 105
(W0A விட்டமாக இருக்க OP, CP, AP என்பவற்றின் கோண வேகங்களைக்
( | ann'1. (w) துணிகை 0வை அடைய எடுத்த நேரத்தையும் காண்க. ஐ
44. 11h ஒnfல் இயங்கும் துணிக்கையொன்றின், முனைவாள் கூறுகள் (7,9) ம:ணிக்கையின் ஆர்முடுகலின் ஆரை வழியேயானதும், அதற்குச் பெங்குத்தானதுமான கூறுகள் முறையே
dr (deY 1d (d0) . .
2 d rdt r TGT6 காட்டுக. aே நீளமுடைய மெல்லிய நீளா இழையொன்று ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையின் மீதுள்ள O என்னும் நிலைத்த புள்ளியிலுள்ள ஒப்பமான வளையத்தினூடு சென்று, முனைகளில் ஒவ்வொன்றும் m திணிவுடைய P , Q என்னுமிரு
ணிைக்கைகளைக் கொண்டுள்ளது. ஆரம்பத்தில் துணிக்கைகள் மேசையின்மீது
OP = OC) = a ஆகுமாறும், POC) ஒரு நேர்கோடு ஆகுமாறும் உள்ளன. POQ ஆனது Ox அச்சாக எடுக்கப்படுகிறது. Ox இற்குச் செங்குத்தாக P இற்கு என்னும் வேகம் கொடுக்கப்படுகிறது. நேரம் t இல் OP = r , கோணம் POX = 9 ஆகும். துணிக்கைகள் P, Q விற்கு இயக்கச் சமன்பாடுகளை எழுதி, இதிலிருந்து
d? I a? ա?
() 223
2 2 | r2-a? o -
yr
(ii) இழையிலுள்ள இழுவை T=
α 16 u 3 (iv)துணிக்கை Q, நேரம் a N6 இன் பின்னர், வேகம் D-L6 O
2. வை அடையும் எனக் காட்டுக.
45. ஓரலகு திணிவுடைய ஏவுகணை ஒன்று நீரின் கீழ் u கதியுடன் கிடையாக எறியப்படுகிறது. புவியீர்ப்புத் தவிர்ந்த, வேகத்தின் k மடங்கு தடைவிசையும்
ஏவுகணையின் மீது தொழிற்படுகிறது. எறியற் திசையிலான அலகுக்காவி 1, நிலைக்குத்தாக மேல் நோக்கிய திசையில் அலகுக்காவி j ஆகும்.
196

(i) இயக்கச் சமன்பாட்டினை 7 = - k Y- gj என்னும் வடிவில் எழுதமுடியு
மெனக்காட்டுக. V இன், i,j திசையிலான கூறுகளின் பருமன் Vx, Wy எனின், Vx, Wy இற்கான இரு சமன்பாடுகளைத் தனித்தனியாகப் பெறுக. மேற்படி இரு சமன்பாடுகளையும் தீர்த்து Vx, Wy ஐ f இன் உறுப்புக்களில் E%I60085
(ii) V இற்கு நேரம் t இலான காவிச் சமன்பாட்டை உபயோகித்து ஆர்முடுகலின்
திசை ஒரு மாறிலி எனக்காட்டுக.
(i) = 0 இல், ஏவுகணையானது உற்பத்தி O விலுள்ளதெனக் கொண்டு நேரம் || ||۱|| k- ص - 1 ) - 8 - || 8 || - ||۱| k- ص - 1 ) - : 1 இல் அதன் தானக்காவி , - ( 2 )i | ፭2 (1 62 )
எனக் காட்டுக.
197

Page 106
பலவினப்பயிற்சிகள்
1. 7a நீளமுடைய இலேசான நீளா இழை AB தாங்கக்கூடிய அதி உயர் இழுவை 4mg ஆகும். m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இழையில் P என்னும் புள்ளிக்கு கட்டப்பட்டுள்ளது. இங்கு A P - 4 a ஆகும். இழையின் முனைகள் A உம், B உம் ஒரே நிலைக்குத்துக் கோட்டிலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன. A ஆனது, B இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே 5a உயரத்திலுள்ளது. இழையின் இரு பகுதிகளும் இறுக்கமாக இருக்கத் துணிக்கை
O கிடை வட்டமொன்றில் சுழலுமாயின், சுழற்சிக்காலம் 37t 5g இற்கும் 87t 5g இற்குமிடையில் இருக்குமெனக் காட்டுக.
2, 2 நீளமான இலேசான இழை ABயில் m திணிவுடைய ஒப்பமான சிறிய மணி கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. இழையின் நுனி A ஆனது, ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும், மற்றைய நுனி B, A இற்கு நிலைக்குத்தாக
(8LD086ზა 2. உயரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மணியானது
மேசையுடன் தொடுகையிலுள்ளவாறு 0 எனும் கோண வேகத்துடன் வட்ட மொன்றில் இயங்குமாறு எறியப்படுகிறது. வட்டத்தின் ஆரையைக் காண்க.
15 இழையிலுள்ள இழுவைmலே’ என நிறுவி ல இன் இழிவுப்பெறுமானம்
64
என நிறுவுக.
3. இரு இலேசான நீளா இழைகள் AP BP என்பன, P என்னும் துணிக்கையை
A, B என்னும் நிலைத்த புள்ளிகளுடன் இணைக்கின்றன. புள்ளி B ஆனது, A இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே உள்ளது. AB = AP = 2 உம், BP = 3e உம் ஆகும். துணிக்கை Pஒரு கிடைவட்டத்தில் மாறாக்கதியுடன் இயங்குகிறது.
இரு இழைகளும் இறுக்கமாக இயங்குமாறு P இயங்கும் மிகக் குறைந்த கோணக்கதி 0 ஆகும். இக் கதியில் ல இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
Pயின் கோணக்கதி ல (> ω) ஆக இருக்கும் பொழுது இரு இழைகளிலுமுள்ள
2 2g இழுவைகள் சமமாகும். 01" 2/3 எனக் காட்டுக.
198

4. C யிலுள்ள திணிவு m இரு இலேசான கோல்கள் CA, CB ஆகியவற்றுடன் சுயாதீனமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. CA இன் முனை A, ஒரு நிலைத்த புள்ளி A இலே சுழற் பொருத்திடப்பட்டுள்ளது. முனை B ஓர் m திணிவு கொண்ட பாரமான மணியுடன் சுயாதீனமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. அம்மணி ஓர் ஒப்பமான நிலைக்குத்துச்சட்டம் AB இல் வழுக்கிச் செல்லக்கூடியவாறு உள்ளது. திணிவு C கிடை வட்டமொன்றில் சீரான கோணக்கதி ல உடன் சுழலும்போது CA, CB ஆகிய கோல்களுக்கும் நிலைக்குத்துக்குமிடையேயுள்ள
3g
2
darambor( எனக் காட்டுக. இங்கு, 2 ஒவ்வொரு கோலினதும்
நீளம் ஆகும்.
5. நிலைக்குத்தான அச்சு ஒன்று பற்றி சுழலுவதற்கு சுயாதீனமுடைய ஒரு சிறிய ஒப்பமான வளையத்தினுடு செல்லும் 2 நீளமுள்ள இலேசான இழையொன்றின் முனைகளில் m , m திணிவுடைய இரு துணிக்கைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பாரம் கூடிய துணிக்கை n வளையத்துக்கு கீழ் நிலைக்குத்தாகத் தொங்குகின்றது. பாரம் குறைந்த துணிக்கை n. மாறாக்கதி y உடன் கிடை வட்டமொன்றில் இயங்குகிறது. துணிக்கை m, இவ் வட்டத்தின் தளத்தில் கிடக்கின்றது.
l
-77 v’ = 1
g2 எனக் காட்டுக.
6. துணிக்கை ஒன்று. இலேசான இழையின் ஒரு முனைக்கு இணைக்கப்பட்டு இழையின் மறுமுனை நிலையான ஒரு புள்ளி O விற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கையானது O வினூடான் நிலைக்குத்து பற்றி சீரான கோணவேகம் ல உடன் சுழல்கின்றது. இழை கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 0 என்னும்
g
கோணத்தை ஆக்குகின்றது. இழையின் நீளம் ω* cosα
எனக் காட்டுக.
புள்ளி O ஆனது நிலையாக இல்லாது, சீரான ஆர்முடுகல் fஉடன் கீழ்நோக்கி இறங்குகிறது. துணிக்கையானது சீரான கோணவேகம் ல உடன் சுழல்கின்றதெனின், இழை மேல்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 0 கோணத்தை ஆக்குமாறு f இன் பெறுமானத்தை காண்க.
7. ஒரு சிறிய வளையம் C இருமுனைகளும் A, B என்னும் புள்ளிகளுக்கு நிலைப்படுத்தப்பட்ட இழை ஒன்றில் இயங்குவதற்கு சுயாதீனமுடையது. புள்ளி A ஆனது, B இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே C தூரத்திலுள்ளது. வளையம் C மாறாக் கோணக்கதி 0 உடன் கிடைவட்டம் ஒன்றில் இயங்குகையில் A, B என்பவற்றிலிருந்து Cயின் தூரங்கள் முறையே b, a ஆகும்.
2gc (a+b) = o(a-b) [c2 – (a+b) to நிறுவுக.
199

Page 107
8. P என்னும் ஒரு துணிக்கையானது. a நீளமுள்ள ஒரு இலேசான இழை OP
10.
இனது ஒருமுனையிலே தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்விழையின் மற்றைய முனையானது O என்னும் ஒரு நிலைத்த புள்ளியிலே கட்டப்பட்டுள்ளது. அத்துணிக்கையானது, அவ்விழை இறுக்கமாக இருக்குமாறும் OP ஆனது கீழ்
முக நிலைக்குத்துடன் கோணம் 60° இலே சாய்ந்திருக்குமாறும் பிடிக்கப்பட்டு தொடரும் இயக்கத்தில் அவ்விழை இறுக்கமாக இருக்குமாறு எறியப்படுகிறது.
(i) P ஆனது ஒரு கிடை வட்டத்தை வரைந்தால் எறியல் வேகத்தைத் துணிக.
(i) P ஆனது 0 வை மையமாகக்கொண்டு ஒரு முழு நிலைக்குத்து வட்டத்தை வரைந்தால், மிகச் சிறிய எறியற் கதியையும் ஒத்த திசையையும் துணிக.
மெல்லிய நீட்டமுடியாத 2 நீளமுடைய இழையின் ஒருமுனை நிலையான புள்ளி A யிற்கு இணைக்கப்பட, மறுநணி m திணிவுடைய துணிக்கை B ஐ
欧 ஒய்வு நிலையில் காவுகிறது. துணிக்கையானது பின்னர் tg வேகத்தில்
கிடையாக எறியப்படுகிறது. இழை தொய்யும்போது, A இற்கு மேல் B இன் உயரத்தைக் காண்க. இச்செய்கை திரும்பச் செய்யப்படுகிறது. ஆனால் இம்முறை இழையானது கிடையாகும்போது முளையைத் தொடும்படி A யின் மட்டத்தில் முனை C வைக்கப்பட்டிருக்கிறது. (AC<2). துணிக்கை பின்னர் Cஐப் பற்றி ஒரு முழு வட்டத்தை ஆக்கின் AC இன் இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. AC இழிவுப் பெறுமானத்திலுள்ள போது, இழை முளையை மோதமுன்னும், மோதியபின்னும் இழையிலுள்ள இழுவிசையைக் காண்க.
பாரமான துணிக்கை ஒன்று 2 நீளமுள்ள இழையின் ஒருமுனைக்கு இணைக்கப்பட்டு, மறுமுனை O என்னும் நிலையான புள்ளிக்குக் கட்டப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் இழை இறுக்கமாகவும், O இனூடான கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 6 கோணத்தை ஆக்குமாறும் துணிக்கை ஓய்வு நிலையில் பிடிக்கப்பட்டு விடப்படுகிறது. பின்னர், துணிக்கை அதன் பாதையின் அதி தாழ் புள்ளியினூடாக செல்கையில் துணிக்கையின் வேகத்தில் எவ்வித மாற்றமுமின்றி, இழையின் நடுப்புள்ளியில் பிடிக்கப்படுகிறது. இப்பொழுது துணிக்கை மறுபக்கத்தில் B என்னும் புள்ளிவரை எழுகின்றது. இழையின் கீழ்ப்பகுதி கீழ்நோக்கிய
நிலைக்குத்துடன் ஆக்கும் கோணம் எனின், 0ே ; * = 0ே89 என நிறுவுக.
.aஆரையுடைய உருளை வடிவக் குழாய் ஒன்று அதன் அச்சுபற்றி 0 என்னும்
சீரான கோண வேகத்துடன் சுழல்கின்றது. அச்சு கிடையாக உள்ளது. குழாயின் உட்பரப்பில் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று வைக்கப்பட்டு வழுக்காது தொடுகையிலிருக்கின்றது. துணிக்கையினூடான ஆரை மேல்நோக்கிய
2OO

நிலைக்குத்துடன் 9 கோணத்தை ஆக்கும்போது, குழாயினால் துணிக்கை மீது தொழிற்படும் விசையின் செவ்வன் கூறு R ஐயும், தொடலிக்கூறு F ஐயும், காண்க. aல* ஆனது 8 இலும் குறையமுடியாதெனக் காட்டுக.
αω F
- - - secas பிரதியிட்டு 6 = 0 ஆகும்போது, R உயர்வாகுமெனக்
F காட்டுக. இந்நிலையில் R இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
12. m திணிவுடைய மணி ஒன்று வட்டவடிவில் வளைக்கப்பட்ட ஒப்பமான a ஆரையுடைய நிலைக்குத்துத் தளத்தில் நிலைப்படுத்தப்பட்ட கம்பி ஒன்றில் வழுக்கிச் செல்லக்கூடியதாக உள்ளது. இம் மணி a நீளமும் 3mg மீள்தன்மை மட்டும் உடைய இழை ஒன்றிற்கு இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறுமுனை வட்டத்தின் அதி உயர் புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் மணி வட்டக்கம்பியின் அதிதாழ் புள்ளியினூடாக u என்னும் கதியில் அசைகிறது. t= a g எனின், மணி மட்டுமட்டாக வளையத்தின் உச்சியை அடையும் எனக் காட்டுக. இழை முதலில் தொய்வடையும் கணத்தில் கதி 1 எனக்காட்டி, அப்பொழுது கம்பிக்கும், மணிக்குமிடையேயான மறுதாக்கத்தைக் காண்க.
13.சமமான இரண்டு இலேசான கோல்கள் AC, CB என்பன Cயில் சுயாதீனமாக
冗 மூட்டப்பட்டுள்ளன. முனைகள் A யும் B யும் 4ACB= 2 AB= a ஆகுமாறும்,
மூட்டு C, AB யிற்கு நிலைக்குத்தாக கீழே இருக்குமாறும், ஒரே கிடைமட்டத்திலுள்ள இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக்கு ஒப்பமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. m திணிவுடைய ஒரு சிறிய வளையம் Pஇலேசான a நீளமுள்ள ஒரு நீளா இழையால் Cயிலிருந்து தொங்கவிடப்படுகிறது. ஆரம்பத்தில் வளையம் P, இழை இறுக்கமாகவும், AB இற்கு சமாந்தரமாகவும் (ACIBP) இருக்குமாறு ஓய்வில் பிடிக்கப்பட்டுள்ளது. வளையம், பின்னர் இந்நிலையிலிருந்து மெதுவாக விடுவிக்கப்படுகிறது. 9 கோணத்தினூடாக வளையம் அலைந்த போது, இழையின் இழுவையைக் காண்க.
கோல் ACயிலுள்ள தகைப்பு (இழுவ்ை) 3mgsin 6. cos G-9 எனக் காட்டுக.
அதன் அதியுயர்ந்த பெறுமதியைக் காண்க.
2O.

Page 108
14.m என்னும் திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று 2 a நீளமும், 10 m g உயர் இழுவையையும் தாங்கக்கூடிய மீள்தன்மையில்லாத இலேசான இழையொன்றினால் A என்னும் நிலைத்த புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம்பத்தில் துணிக்கையானது Aயின் கீழ் நிலைக்குத்தாகத் தொங்கியபொழுது அது 4ag வேகத்துடன் கிடையாக எறியப்பட்ட்து. நிகழும் இயக்கத்தில் இழையானது அறாது எனக் காட்டுக. இழை, கிடையாக வரும்போது, அது A யிலிருந்து a தூரத்திலுள்ளP என்னும் நிலைத்த ஒரு முனையுடன் தொடுகையுறுமெனின், துணிக்கையானது Pபற்றிச் சுழலத் தொடங்குமாயின், இழையானது முளையுடன் தொடுகையுற்றதும் அறுந்துவிடுமெனக் காட்டுக.
15. m திணிவுள்ள ஒரு துணிக்கைP ஆனது, உள்ளாரை a ஐ உடையதும் 9 ஐ மையமாகக் கொண்டதுமான நிலைத்த பொட்கோளம் ஒன்றின் ஒப்பமான உள்மேற்பரப்பு மீது நிலைக்குத்து வட்டம் ஒன்றிற் செல்கின்றது. கோளத்தின், ஆகவும்கீழே உள்ள புள்ளியிலிருந்து துணிக்கை ஒரு கிடைவேகம் u உடன் எறியப்படுகிறது. கோடு OPயானது மேன்முகநிலைக்குத்துடன் கோணம் 9 ஐ ஆக்கும்போது, துணிக்கையின் வேகம் y ஆகவும், துணிக்கைக்கும் கோளத்துக்குமிடையேயான மறுதாக்கம் R ஆகவும் இருக்குமெனின்
V° = u°—2ag (1+case) எனவும்,
R = |۶ -ag (2+3cosθ) எனவும் காட்டுக.
1. J3 துணிக்கை கோளத்திலிருந்து வெளியேறுமெனவும் அதன் கடவையானது, O வினூடு செல்லும் எனவும் காட்டுக.
அத்தோடு u2)= ف+N3)ag 6T661, cose = ஆக உள்ள இடத்திலே
16.துணிக்கை ஒன்று நீளம் a ஐ உடைய மீள்தன்மையற்ற இழை ஒன்றின் நுனி ஒன்றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழையின் மற்றைய நுனி நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒய்விற் சுயாதீனமாகத் தொங்கும் போது துணிக்கை கிடைத்திசை ஒன்றிலே கதி uஉடன் எறியப்படுகிறது. () : < 2ag எனத் தரப்பட்டிருப்பின், துணிக்கை நிலைக்குத்துத்தளம் ஒன்றிலே
வட்டம் ஒன்றின் வில் ஒன்றில் செல்கின்றதெனக் காட்டுக.
24 . (ii) மேலும் துணிக்கையின் கதி 2 ஆகும்போது, இழை கீழ்முக நிலைக்குத்துடன்
..-1 4 3 கோணம் 23ர் 佛剧 இற் சாய்ந்திருக்கும் எனக் காட்டுக.
2O2

(i) இழையிலுள்ள அதிஉயர் இழுவை, மிகக் குறைந்த இழுவையின் M
2(-1)
மடங்கெனின் (λ+2) 78 எனக் காட்டுக.
17.A, B என்னும் இரு சமதுணிக்கைகள் நீளம் a ஐ உடைய நீட்டமுடியாத இலேசான இழை ஒன்றினாலே தொடுக்கப்பட்டுள்ளன. நீளம் a ஐ உடைய வேறொரு நீட்டமுடியாத இலேசான இழையினால் நிலைத்த ஒரு புள்ளி 0 வுடன் A இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழைகள் OA, AB என்பன எப்பொழுதும் நிலைக்குத்துத்தளம் ஒன்றிலே இருக்க துணிக்கைகள் கிடை வட்டங்களில் இயங்கி கீழ்முக நிலைக்குத்துடன் முறையே 0, 8 என்னும் கோணங்களை ஆக்குகின்றன. () OA, AB ஆகிய இழைகளிலுள்ள இழுவைகள் 2COSB : COSO என்னும்
விகிதத்தில் இருக்கின்றன எனவும்,
(ii) கோண வேகம் 0 ஆனது, ©”-___ 8ጫP ___ இனால் தரப்படுமெனவும்
α(sinα + Sinβ)
(ii) sino. Sin B = (sin a +sin B)(2tano-tan p) 67GTqub sitú65.
18. சிறிய செய்மதி ஒன்று பூமியைச் சுற்றி அதன் புவிமத்திய கோட்டுத் தளத்திலே
2ገኟ சீரான கதியுடன் இயங்குகிறது. சுழற்சிக்காலம் o ஆகும். பூமி R ஆரையுடைய ஒரு கோளம் எனவும், பூமியின் மேற்பரப்பிற்குமேல் y
2 g R உயரத்தில் ஈர்வையினாலான ஆர்முடுகல் ( R+ y) எனவும் கொள்க:
(a) o'-志 எனின், செய்மதியின் உயரம் (n-1)R எனக் காட்டுக. குறித்த ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் இவ்வுயரம் 400km எனின், R= 6336 km எனவும், g = 9.8ms’ எனவும் கொண்டு, சுழற்சிக் காலத்தை கிட்டிய நிமிடங்களில்
காண்க. (b) பூமியிலிருந்து (n-1) R உயரத்தை மட்டாக அடைவதற்கு செய்மதி
நிலைக்குத்தாகச் செலுத்தப்படவேண்டிய வேகத்தை g,n, R உறுப்புகளில் காண்க.
203

Page 109
19.
பூமியின் மையம் O விலிருந்து r தூரத்திலுள்ள m திணிவுள்ள துணிக்கை
T ፲ገገg ፴ ̆ ஒன்றின் மீது தொழிற்படும் ஈர்வையிலான விசை g; ஆகும். இங்கு a
பூமியின் ஆரையும் r> a யும் ஆகும். பூமியின் மேற்பரப்பிலிருந்து, துணிக்கையை உயர்த்தச் செய்யப்படும் வேலையைக் கணிப்பதன் மூலம், அதன் அழுத்த
சக்தி mga” {-光 எனக் காட்டுக.
Ω γ'
Oவை மையமாகக் கொண்டு r ஆரையுடைய வட்டப்பாதையில் சீராக இயங்கும்
20.
| 2 துணிக்கையின் கதி ga எனக் காட்டுக.
r
துணிக்கையின் மொத்த சக்தியை உய்த்தறிக. துணிக்கையின் பாதையின் ஆரை ஒரு சிறிய கணியம் Sr இனால் அதிகரிக்கப்படின், துணிக்கையின் மொத்தசக்தி
2 mga அண்ணளவாக 2 r? ), இனால் அதிகரிக்குமெனக் காட்டுக.
செய்மதி ஒன்றின் இயக்கமானது சிறிய அமர்முடுகும் விசை F காரணமாக அதன் ஆரை r இலிருந்து r - p (p - சிறியது ) இற்கு சீரான வட்டங்களில்
2۔ ۔ ۔۔۔ mga இயங்கி, n சுழற்சிகளில் குறைகின்றதெனின் F இன் பெறுமானம் 器) р
ஆகுமெனக் காட்டுக.
a ஆரையுடைய வட்ட வடிவமான கரடான மெல்லிய குழாயொன்றினுள் துணிக்கை ஒன்று வைக்கப்பட்டுள்ளது. குழாய் நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் நிலைப்படுத்தப்பட்டபோது, குழாயின் கீழ் அரைவாசிப்பாகத்தில் துணிக்கை வழுக்காது ஓய்வில் இருக்கக்கூடிய அதியுயர் புள்ளி P ஆகும். Pயினுடான
ஆரை கீழ்நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் 8 என்னும் கோணத்தை ஆக்குகிறது.
குழாயின் மையத்தினூடான நிலைக்குத்துபற்றி, குழாயானது சீரான கோண п r வேகம்  ைஉடன் சுழலும்போது, Bei எனின், ஸ் இன் எல்லாப்
பெறுமானங்கட்கும் துணிக்கை குழாயின் P என்னும் புள்ளியிலேயே தொடர்ந்தும் இருக்குமெனக் காட்டுக.
7t ,.་་་་་་་་་་་་ 8<。 எனின், ல? இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு இது சாத்தியமாகும் எனக்
காண்க.
2O4

21. கார் ஒன்றின், கிடையாக உள்ள பின் ஆசனத்தில் பொருள் ஒன்று வைக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசனத்திற்கும் பொருளிற்குமிடையேயான உராய்வுக்
3 குணகம் 4. ஆகும். கிடையான பாதையில் நேர்கோடொன்றில் 54 km || h
மணியில் செல்லும் இக்கார், தடுப்புக்களைச் சீராகப் பிரயோகிப்பதால் ஓய்வுக்குக் கொண்டு வரப்படுகிறது. ஒய்வுக்கு கொண்டுவரப்படும் தூரம் 15.3 மீற்றரிலும் அதிகமாக இருப்பின், பொருள் முன்னோக்கி வழுக்காதெனக் காட்டுக. பின்னர் இக்கார் பாதையிலுள்ள வட்டவளைவிலே 54km h கதியில் செல்கிறது. வளைவின் ஆரை 30.6 மீற்றரிலும் குறைவாக இருப்பின், காரின் பக்கத்தினை நோக்கி அசையுமெனக் காட்டுக.
22. இயற்கை நீளம் 2 ஐ உடைய மீள்தன்மை இழையொன்றின் ஒரு முனை சீலிங்கிலுள்ள O என்னும் நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு, இழையின் மறுமுனைக்கு பாரமான ஒரு துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை சமநிலையில் தொங்கும்போது இழையின் நீளம் a ஆகும். இப்பொழுது நீட்டப்பட்ட இழையின் நீளம் 32 ஆகுமாறு துணிக்கையானது கீழே இழுக்கப்பட்டு ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. துணிக்கை மட்டாக சீலிங்கை அடையுமெனின்
50
a யானது, இற்குச் சமமாகுமெனக் காட்டி, துணிக்கை விடுவிக்கப்பட்ட
2n 20 கணத்திலிருந்து சீலிங்கை அடைய எடுத்த જર્મ g ஆகுமெனக்
காட்டுக.
23.2 இயற்கை நீளமும் 5mg மீள்தன்மை மட்டும் உடைய மீள்தன்மை இழையின் ஒரு முனை O இல் நிலைப்படுத்தப்பட்டு மறு முனையில் m திணிவுடைய A எனும் துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. A ஆனது 0 இற்கு நிலைக்குத்தாக
கீழே 2 தூரத்தில் பிடிக்கப்பட்டு துணிக்கைக்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழ்நோக்கி
3 ge 32
- - என்னும் வேகம் கொடுக்கப்படுகிறது. இழையின் உயர்நீட்சி s
) 1. எனக் காட்டுக் இழையின் இழுவை 2 8 ஆக இருக்கும்போது A இன்
ஆர்முடுகலைக் காண்க. 24.h உயரமும், உருளை வடிவமும் கொண்ட சீரான மரககுற்றி ஒன்றின் ஓரலகு
கனவளவின் நிறை C ஆகும். அது மிகப்பரந்த நீர்ப்பரப்பினுள் அதன் அச்சு நிலைக்குத்தாக இருக்குமாறு மிதக்கிறது. ஓரலகு நீரின் நிறை ல ஆகும்.
2O5

Page 110
` hC சமநிலையில் உருளையின் அமிழ்ந்த பகுதியின் ஆழம் o எனக் காட்டுக.
இம்மரக்குற்றி மேலும் சிறிது தூரம் அமிழ்த்தப்பட்டு விடப்படுகிறது. மரக்குற்றி எளிமை இசை இயக்கத்தில் இயங்குமெனக் காட்டி அதன் அலைவுகாலம்
27t ch
ω8. எனக் காட்டுக.
25.துணிக்கை ஒன்று மீள்தன்மை இழை மூலம் நிலையான புள்ளியிலிருந்து புவியீர்ப்பின் கீழ் தொங்குகின்றது. சமநிலையில் இழையின் நீட்சி c ஆகும். சமநிலைத்தானம் பற்றி, நிலைக்குத்தாக சிறிய அலைவுகளுக்கான காலம்
cY2 2 எனக் காட்டுக.
g
சமநிலைத்தானத்தின் கீழே, 3c தூரத்தில் துணிக்கை ஓய்விலிருந்து
i
விடுவிக்கப்பட்டால் அது ]r=1 ܘܗ () () எனும் நேரத்திற்கு
g மேலெழும்பும் எனக் காட்டுக.
26. a இயற்கை நீளமும் mg மீள்தன்மைமட்டும் உடைய இலேசான மீள்தன்மை இழை OA ஒரு கரடான கிடை மேசை மீது உள்ளது. m திணிவுடைய துணிக்கை இழையின் முனை A இற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழையின் முனை O, AO
O இன் திசையில் சீரான வேகம் உடன் இயக்கப்படகிறது. மேசைக்கும்
1. துணிக்கைக்குமிடையேயான உராய்வுக்குணகம் 4. ஆகவும், a co-g
ஆகவுமிருப்பின், A இயங்கத்தொடங்கி t நேரத்திற்குப்பின் இழையின் நீளம்
O2 (15+2sina) எனக் காட்டுக. இயக்கத்தின் போது இழையின் உயர் இழுவையைக் காண்க.
27.ஒவ்வொன்றும் m திணிவுடைய இரு துணிக்கைகள் இயற்கை நீளம் 2a உம் மீள்தன்மைமட்டு A உம் கொண்ட மீள்தன்மை இழை யொன்றினால் இணைக்கப்பட்டு, ஒப்பமான கிடைமேசையொன்றின் மேல் உள்ளன. இழையின்
நீளம் 2a + 2b ஆகுமாறு துணிக்கைகள் இழுக்கப்பட்டுப் பின்னர் விடுவிக்கப்படுகிறது. இழையின் நீளம் 2a ஆகும்போது, ஒவ்வொரு
2O6

28.
29.
ஆற்றுகிறதெனக் காட்டுக.
30.
А. துணிக்கையின் கதியும் " என நிறுவுக.
ஒரு துணிக்கை P ஆனது, நேர்கோடொன்றில் இயங்குகிறது. அதன் ஆர்முடுகலானது அக்கோட்டிலுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளி O ஐ நோக்கியும், ஆர்முடுகலின் பருமன் தூரம் OPயிற்கு விகிதசமமாயும் உள்ளது. துணிக்கை
P, புள்ளி A யில் உள்ளபோது அதன் கதி 33ms ஆகவும், புள்ளி B இல்
உள்ளபோது அதன் கதி 3 ms ஆகவும் உள்ளது. இங்கு OA = lm,
OB=3m ஆகும். P அடைந்த அதிஉயர் கதியையும், OPயின் அதிஉயர் பெறுமானத்தையும் காண்க. A யிலிருந்து Bயிற்கு நேரடியாகத் துணிக்கை
冗 செல்ல எடுக்கும் நேரம் செக்கன்கள் எனக் காட்டுக. P யானது O ஐக்
கடந்து 1 செக்கனின் பின்னர் அதன் கதியைக் காண்க.
ー4 படத்தில் காட்டியவாறு a இயற்கை நீளமும், C X மீள்தன்மைமட்டும் கொண்ட OPQ என்னும் மீள்தன்மை இழை, O என்னும் நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டு P இலுள்ள நிலையான ஒப்பமான வளையத்தினூடு சென்று, Q என்னும் வளையத்திற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. m திணிவுடைய Q என்னும் வளையம் ஒப்பமான நிலைக்குத்துக் கம்பி AB இல் வழுக்கக்கூடியதாக உள்ளது. P யிலிருந்து, ABயிற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து N - வளையம் Q, Cயில் பிடிக்கப்பட்டுப் பின்னர் விடுவிக்கப்படுகிறது. இங்கு NC = c ஆகும். வளையம் ஓர் எளிமை இசை இயக்கத்தை
D Q
இயக்கத்தின் அலைவு காலத்தையும், வளையம் N இல் இருக்கும்போது அதன் கதியையும் காண்க.
O
a இயற்கை நீளமும் kmg மீள்தன்மை மட்டும் உடைய இலேசான மீள்தன்மை இழையொன்றின் ஒருமுனை, கிடையுடன் 9 கோணத்தில் சாய்ந்திருக்கும் ஒப்பமான தளம் ஒன்றிலுள்ள நிலையான புள்ளி ஒன்றிற்குக் கட்டப்பட்டுள்ளது. மறுமுனைக்கு பாரமான ஒரு துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இழை தளத்தின் அதி உயர் சரிவுக்கோடொன்றின் வழியே கிடக்கத் துணிக்கை ஓய்விலுள்ளது. இழையில் ஏற்பட்ட நீட்சி b ஆகும். துணிக்கை d தூரம் கீழே இழுக்கப்பட்டு விடப்படுகிறது. d = 2b எனின், எவ்வளவு நேரத்தின் பின் இழை தொய்வடையும் எனவும், தொய்வடையம் நேரத்தில் துணிக்கையின் கதியையும் காண்க. V
2O7

Page 111
31. இயற்கை நீளம் 6 உம், 2mg மீள்தன்மை மட்டும் கொண்ட AB என்னும்
இலேசான சுருள்வில் கிடையான தரையில் புள்ளி A யில் நிலைப்படுத்தப் பட்டுள்ளது. இயற்கை நீளம் 46 உம் மீள்தன்மை மட்டு mg உம் கொண்ட இலேசான மீள்தன்மை இழை BC யின் ஒருமுனை, சுருள்வில்லில் B இற்கும், மற்றைய முனை, A இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே 5ம் உயரத்திலுள்ள C என்னும் புள்ளிக்கும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. B இல் m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டபோது
(a) Cயின் கீழ் திணிவின் சமனிலைத் தானத்தையும்,
32.
33.
(b) சமநிலைத்தானம் பற்றி சிறிய நிலைக்குத்து அலைவுகளுக்கான காலத்தையும்
காண்க.
இரு திணிவுகள் m,m, ஓர் இலேசான மீள்தன்மை இழையினாலே இணைக்கப்
பட்டு ஓர் ஒப்பமான கிடை மேசையில் உள்ளன. m நிலைப்படுத்தப்படின் m,
ஒரு செக்கனுக்கு n முழு அலைவுகளை ஆற்றும். n ஐ நிலைப்படுத்தினால்
园 m ஆனது, ஒரு செக்கனுக்கு ? m அலைவுகளை ஆற்றும் எனவும், இரண்டும் அலைவுகளை ஆற்றுமாறு விடப்படின், அவை ஒரு செக்கனுக்கு
m + m,
m அலைவுகளை ஆற்றுமெனவும் காட்டுக. எல்லாச் சந்தர்ப்பங்களிலும்
அலைவுகள் வில்லின் கோட்டிலேயே உள்ளன.
m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று ஒப்பமான கிடைமேசையில் நேர் கோட்டில், O என்னும் புள்ளியிலிருந்து a 0 என்னும் கதியுடன் இயங்க ஆரம்பிக்கிறது. துணிக்கையின் மீது O ஐ நோக்கி m 0 x என்னும் விசை தாக்குகிறது. இங்கு *, O இலிருந்து துணிக்கையின் தூரமாகும். துணிக்கை b தூரம் அசைந்ததும், ஓய்விலிருக்கும் m திணிவுள்ள இன்னோர் துணிக்கை ஒன்றுடன் மோதி, இணைந்து விடுகிறது. விசையின் பருமன் mao*x @6ð மாற்றமில்லை யெனக் கொண்டு, முதலில் ஒய்வுக்கு வருமுன் இணைந்த துணிக்கை அசைந்த தூரத்தைக் காண்க. ஆரம்பத்திலிருந்து முதலில் ஓய்வுக்கு வரும் வரை எடுத்த மொத்த நேரம்
sint' b + W2 cos — ხან2 — O G at எனக் காட்டுக.
Vზებ08

34. இயற்கை நீளம் a உம், மீள்தன்மை மட்டு M உம் உடைய இழையின் ஒருமுனைக்கு m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டு, மறுமுனை ஒரு நிலையான புள்ளிக்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை சமனிலையில் தொங்கிக்கொண்டிருக்கையில், அதற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழ்நோக்கி 1 எனும்
32
கணத்தாக்கு கொடுக்கப்பட்டது. 12 *{2 ஆகும்போது இயக்கத்தை விபரித்து, இழை தொய்யாது எனக் காட்டுக. I இன் பெறுமானம் இதனிலும் பெரிதெனின், துணிக்கையின் பாதையின் அதிஉயர்புள்ளியில் இழை தொய்வாக உள்ளது எனக்கொண்டு, கணத்தாக்குக் கொடுக்கப்பட்ட கணத்திலிருந்து அதி உயர் புள்ளியைஅடையும் வரை துணிக்கை
21 3 12 பயணம் செய்த மொத்த தூரம் 21 λη 2A "2n', எனக் காட்டுக.
35. ஒரு கரடான கிடைத்தட்டு, கிடைத்திசையில் a வீச்சத்தையுடைய எளிமை இசை இயக்கத்தை ஆற்றுகிறது. அது 1 செக்கனில் n பூரண அலைவுகளை ஆற்றுகிறது. தட்டு அதன் இயக்கத்தினுடைய ஒரு அந்தத்திலிருக்கும்போது தட்டின் மீது ஒரு துணிக்கையொன்று வைக்கப்படுகிறது. ய உராய்வுக் குணகமாக இருக்க, ug < 4ாra எனின், துணிக்கை தட்டின் மீது உடனடியாக வழுக்கத்
தொடங்குமென நிறுவுக. தட்டிற்கும், துணிக்கைக்குமிடையே வழுக்குதல் நடைபெறும் காலம் T இற்கான ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுக.
1 குறித்த ஒரு சந்தர்ப்பத்தில், வழுக்குதலானது, அலைவொன்றின் 6 பங்கு
நேரத்திற்கு நடைபெறுகின்றதெனின் யg=6ாan V3 என நிறுவுக. இந்நேரத்தில் தட்டுத் தொடர்பாகத் துணிக்கை அசைந்த தூரத்தைக் காண்க.
36.பூமியின் மேற்பரப்பினுள் துணிக்கையொன்று, பூமியின் மையத்தை நோக்கி, மையத்திலிருந்தான துணிக்கையின் தூரத்திற்கு விகிதசமமான விசையினால் கவரப்படுகிறது எனக் கொண்டு, பூமியின் மேற்பரப்பிலிருந்து 32 km ஆழமான நிலைக்குத்தான குழியொன்றினுள் துணிக்கை விழ எடுக்கும் நேரத்தை கிட்டிய செகக்கன்களில் காண்க. ( பூமியின் ஆரை 6400 km 6T60,T6Ayub g = 9.8ms* எனவும் கொள்க).
37. (i) m திணிவுள்ள ஒரு துணிக்கை P ஆனது, நீேளமுள்ள இலேசான இழையொன்றினாலே நிலைத்த ஒரு புள்ளி A உடன் தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துணிக்கை P ஆனது, A இற்குக் கீழே CேOSC ஆழத்தில், sேino,
209

Page 112
ஆரையுள்ள கிடையான வட்டமண்டிலம் ஒன்றிலே மாறாக் கோண வேகம்
w - 8 ـ | 1-محرم . ல உடன் செல்கிறது. C = COS eo? எனக் காட்டுக.
() V
(i) m திணிவுள்ள உபகோள் ஒன்று புவியின் மத்திய கோட்டுத் தளத்திலே b ஆரையுள்ள வட்ட மண்டிலம் ஒன்றிற் செல்கிறது. புவியும் உபகோளும்
Mn விசை Z உடன் ஒன்றையொன்று கவருகின்றன; இங்கு M என்பது
புவியின் திணிவும், r என்பது உபகோளுக்கும் புவிக்குமிடையேயுள்ள தூரமும் Y என்பது ஒரு மாறிலியும் ஆகும். புவியானது கோண வேகம் ல
γMγ% உடன் சுழலுகின்றதெனின் -{筠 ஆக இருக்கும் போது புவி O
தொடர்பாக உபகோள் ஒய்விலிருக்குமெனக் காட்டுக.
38.m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று நேர்கோடொன்றில் இயங்குகிறது. அந் நேர்கோட்டிலுள்ள நிலையான புள்ளி O விலிருந்து நேரம் t இல் துணிக்கையின்
தூரம் ut et" ஆகும். இங்கு n, என்பன ஒருமைகள் 1-0 இல் அதனுடைய வேகம் a ஆகுமென நிறுவுக. துணிக்கையின் மீது தாக்கும் விசை O ஐ நோக்கி, O விலிருந்து அதன் தூரத்தின்
mn* மடங்கு பருமனுள்ள விசையும், குறித்த ஒரு தடையும் ஆகும். தடை
துணிக்கையின் வேகத்திற்கு விகிதசமமாகும் எனக் காட்டுக.
39.மீள்தன்மை மட்டு M உம், இயற்கை நீளம் a உம் உடைய
λα"
8r பருமனுடைய விசை ஒன்றினாலும் ஒன்றையொன்று கவருகின்றன. இங்கு r துணிக்கைகளுக்கிடையேயான தூரமாகும். ஒவ்வொரு துணிக்கையின் மீதும், மற்றையதை நோக்கித் தாக்கும் விளையுள் விசை F ஆனது,
சுருள்வில்லொன்றினால் இரு துணிக்கைகள் தொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை
A | з F = - Pسیست م g۔۔۔۔ت م+۔ من
6T65 SL35.
ar? 8 (6
சமநிலை சாத்தியமாகுமாறு r இற்கு இரு பெறுமானங்கள் உண்டு எனக் காட்டி, அவற்றை காண்க.
210

40. நிலைக்குத்தான நேர்கோடொன்றில் இயங்கும் m திணிவுடைய பலூன் ஒன்றின்மீது
)ே அதனுடைய நிறை (i) நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கிய (1 -k)mg என்னும் விசை (i) அதன் கதியின் mM மடங்கு பருமனுடைய வளித்தடை என்பன
தொழிற்படுகின்றன. நிலத்திற்கு மேல் h உயரத்தில் ஓய்விலிருந்து பலூன் இறங்கத் தொடங்குகிறது. பலூன் a (

Page 113
42.மோட்டார் கார் ஒன்றின் கதி y ஆக இருக்கையில் அதன் ஆர்முடுகல் a-by? என்பதால் தரப்படுகிறது. இங்கு a, b என்பன நேர் ஒருமைகள். கதி, ஒரு குறித்த உயர் பெறுமதி Vஐ அணுகும் என நிறுவுக. ஆரம்பப் புள்ளியிலிருந்து
கார் x தூரத்திலிருக்கையில் அதன் கதி vW1 —e—2b* எனக் காட்டுக. இயங்கத்தொடங்கி 2 தூரத்தில் கதி p ஆகவும், மேலும் அடுத்த 2 தூரத்தில்
2
p கதி q ஆகவும் இருப்பின், அதிஉயர் கதி 2? என நிறுவுக.
43.துணிக்கை ஒன்று, வேகம் v ஆக இருக்கையில் ஓரலகு திணிவிற்கு ky?
தடையுடைய ஊடகமொன்றில் ஒப்பமான கிடைத்தளத்தில், நேர்கோட்டின் வழியே இயங்குகிறது. துணிக்கையின் தொடக்கவேகம் V எனின் நேரம் t இல்
1. இடப்பெயர்ச்சி k nே (1+kW) என நிறுவுக. துணிக்கை நிலைக்குத்தாக மேல்
நோக்கி எறியப்பட்டிருப்பின் நேரத்தின் பின் அதன் வேகம் v ஆகவும், உயரம் h ஆகவுமிருப்பின்,
எறியல்வேகம் ஆகவும், T நேரத்தின் பின் H உயரத்தில் துணிக்கை
ஓய்விற்கு வருமெனின், 2k H= 2n2, 16gkT*=ா? எனவும் காட்டுக.
44. தடை விசையானது வேகத்தின் வர்க்கத்துடன் மாறுகின்றதும், முடிவு வேகம் V ஐ உடையதுமான ஊடகமொன்றில் துணிக்கை ஒன்று நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி எறியப்படுகிறது. எறியல் வேகம் V tan o. எனின், துணிக்கை எறியற்புள்ளிக்கு Vsino எனும் வேகத்துடன் திரும்புமெனக் காட்டுக.
- O Y துணிக்கை மேனோக்கிச் செல்ல எடுத்த நேரம் r毒 எனவும், கீழிறங்கிய
1. நேரம் Ven (seco + tan α) எனவும் காட்டுக.
212

45. m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று வேகம் v ஆக இருக்கையில், mkv? தடையை உடைய ஊடகமொன்றில் நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி u வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. 2 ஐக் கொண்டுள்ள உறுப்புக்கள் புறக்கணிக்கப்படலாமெனில்,
துணிக்கை அடைந்த அதிஉயர் உயரம்" 2g T4g2 எனக் காட்டுக. துணிக்கை
r . . . . . 22 Mu எறியல் புள்ளிக்குத் திரும்பும் வேகம் V ஆனது, 7=4 --- என்பதால் தரப்படுமெனவும் காட்டுக. 46. துணிக்கை ஒன்று நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி a வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. வளித்தடை வேகத்திற்கு விகித சமமாகவும், தொடக்கத்தில் துணிக்கையின் நிறையின் 2 மடங்கிற்கு சமமாகவும் உள்ளது. துணிக்கை அடையும் உயரம்
g (-en(1+ W) எனவும், இவ்வுயரத்தை அடைய எடுத்த நேரம்
62n -س--
g η (
1+A) எனவும் நிறுவுக.
'47.M., m (M >m ) திணிவுடைய இரு துணிக்கைகள் ஒப்பமான கப்பியொன்றின் மேலாகச் செல்லும் மெல்லிய நீளர் இழிையொன்றின் முனைகளுக்கு இணைக்கப்பட்டுத் துணிக்கைகள் நிலைக்குத்தாகத் தொங்குகின்றன. கதி y
ஆக இருக்கையில் ஒவ்வொரு துணிக்கையினதும் வளித்தடை ky ஆகும்.
ப; புவியீர்ப்பின் கீழ் இவ்வியக்கம் முடிவின்றித் தொடர்ந்தால் கதி ஓர் எல்லைப்
(M-m)g
பெறுமானம் Veg அடையுமெனக் காட்டுக. இங்கு Ꮴ2 -- 一五一 ஆகும்.
கதி y ஆக இருக்கையில் எந்த ஒரு துணிக்கையினதும் ஆர்முடுகலின் பருமன் (M-m) (v* -y)
 ̈ (M, ወ)v3 8 எனக் காட்டுக. ஓய்விலிருந்து t கதியை ஒவ்வொரு துணிக்கையும் அடைகையில், சென்ற
(M + m) V° 4 ... தூரம் 2(M-m)g en எனக் காட்டுக.
213

Page 114
48.k என்பது ஒருமையாகவும், y என்பது கதியாகவுமிருக்க, mky" என்னும் தடையையுடைய ஊடகம் ஒன்றில் m என்னும் திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று a என்னும் கதியுடன் நிலைக்குத்தாக மேனோக்கி எறியப்படுகிறது. துணிக்கை
1 κμε
அடைந்த ஆகக்கூடிய உயரம் -- g ஆகுமெனக் காட்டுக.
துணிக்கையானது எறியற்புள்ளிக்கு 属 எனும் கதியுடன் மீழ்கின்றதெனக்
1 + Υ
g
காட்டுக.
49.11 ஆனது ஒருமையாகவும், y ஆனது கதியாகவுமிருக்க 12 என்னும் தடையை விளைவிக்கும் ஊடகமொன்றில் அலகுத்திணிவுடைய துணிக்கையொன்று u என்னும் கதியுடன் நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி எறியப்படுகிறது. அது அடைந்த
u ஆகக்கூடிய உயரம் 2 nே (1+x) எனக் காட்டுக. இங்கு -1.
துணிக்கையானது எறியற்புள்ளிக்கு |1+A என்னும் கதியுடன் திரும்பி
வருமெனக் காட்டுக.
50.நிலைக்குத்துத் தளம் ஒன்றில் நிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ள, O வை மையமாகவும் a ஐ ஆரையாகவும் கொண்ட ஒப்பமான வட்டக் கம்பியொன்றில் m திணிவுடைய P என்னும் சிறிய மணி கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. நீட்டமுடியாத இழையொன்றின் ஒரு முனை Pஇற்கு இணைக்கப்பட்டு, 0 இற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே 2a தூரத்திலுள்ள ஒரு ஒப்பமான சிறிய வளையத்தினூடு சென்று, இழையின் மறு முனையில் m திணிவுடைய Q என்னும் துணிக்கை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. தொடக்கத்தில் Q ஓய்விலுள்ளது. P ஆனது கம்பியின் மிகத்தாழ்ந்த புள்ளி A
யினூடாக W3ga கதியுடன் இயங்குகிறது. கோணம் POA ஐ 9 எனவும் தூரம் PBஐ r எனவும் கொண்டு, தொடரும் இயக்கத்தில்,
2 2 dr 2 d6
– !! + a“| - || = g (3a + 2a cos 0 - 2r É É g( ) எனக் காட்டுக.
ገር r ஐ 9 இன் ஒரு சார்பாக உணர்த்தி 9, பெறுமானம் 3. ஐ அடையும்போது,
214

Q இன் வேகம் (g2-s)" என உய்த்தறிக.
51.Mதிணிவுடைய கப்பல் ஒன்று நீரில், நேர்கோடொன்றில் செலுத்தப்படுகிறது. எஞ்சின் ஒருமை விசை F ஐ விருத்தியாக்குகிறது. கப்பலின் கதி v ஆக இருக்கையில் நீரினால் ஏற்படும் தடைவிசை k y ஆகும். இங்கு k ஒரு மாறிலி. கப்பல் ஓய்விலிருந்து நேரம் t =0 இல் புறப்படுகிறது. கப்பல் அது அடையக்கூடிய
அதி உயர் கதி k இன் அரைவாசியை 1= ஆகும்போது அடையும்
எனக் காட்டுக.
F கப்பல் 2k கதியில் இயங்குகையில், எஞ்சினின் விசை பின்னோக்கித் தொழிற்பாடு, எஞ்சின் புறமாற்றப்படுகிறது. கப்பல் ஓய்வுக்கு வருமுன்,
MF 1 3 ஆரம்பப்பாதை வழியே மேலும் 2 중-40 | தூரம் செல்லுமெனக்
காட்டுக.
52. ல கதியாக இருக்க, ஓரலகு திணிவிற்கு kஸ் தடையை விளைவிக்கும் ஊடகமொன்றில் துணிக்கை ஒன்று ஈர்வையின் கீழ் இயங்குகிறது. இங்கு k ஒரு நேர்மாறிலியாகும். நேரம் t=0 இல், துணிக்கையொன்று உற்பத்தி O விலிருந்து எறியப்படுகிறது; அதன் தொடக்க கிடை, மேல் நோக்கிய நிலைக்குத்து வேகங்கள் முறைய்ே u, v ஆகும். நேரம் t இல், O விலிருந்து துணிக்கையின் கிடை, நிலைக்குத்து இடப்பெயர்ச்சிகள் முறையே
x = (---")
- )(--")
என்பவற்றால் தரப்படுகிறதெனக் காட்டுக. துணிக்கையின் பாதையின் தெக்காட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
3.கிடை நிலத்திற்கு மேல் h உயரத்தில் ஓய்விலிருந்து துணிக்கை ஒன்று புவியீர்ப்பின் கீழ் விழுகிறது. ஓரலகு திணிவுக்கு இயக்கத்துக்கான தடை ky ஆகும்.
இங்கு y கதியும், k நேர் ஒருமையும் ஆகும். துணிக்கைக்கும் நிலத்திற்குமிடைய்ேயான் மீளமைவுக் குணகம் X ஆகும். நிலத்துடன்ான
215

Page 115
முதலாவது மொத்தலின் பின்னர், துணிக்கை எழும்பும் அதி உயர் உயரம் H ஆனது
2k H = 2n 1+ ثمة (--) என்பதால் தரப்படுமெனக் காட்டுக.
H sy ar y tro kh சிறிய தெனின் A எனக காட்டுக.
54.a ஆரையுடைய சீரான திண்ம அரைக்கோளமும், அதே அடர்த்தியுடைய உலோகத்தால் ஆக்கப்பட்டதும் a ஆரையும், a உயரமும் உடைய திண்ம செவ்வட்டக் கூம்பொன்றும், அவற்றின் வட்ட அடிகள் பொருந்துமாறு இணைக்கப்பட்டு சீரான திண்ம உடல் ஒன்று ஆக்கப்பட்டுள்ளது. உடலின்
11 Ma”
30
திணிவு M ஆயிருக்க, சமச்சீர் அச்சு பற்றிய அதன் சடத்துவத்திருப்பம்
எனக் காட்டுக.
55. இரு சமபக்க முக்கோணி வடிவ சீரான அடர் ABC இல் AB= AC = b;
BC-a ஆகும். அடரின் மையத்தினூடு BC க்கு சமாந்தரமான அச்சுபற்றி
4b? -ീ
அதன் சுழிப்பாரை 一テー எனக் காட்டுக.
56.Mதிணிவுடைய சீரான திண்ம வட்ட உருளை ஒன்று, அதன் வட்டமுகங்களில் ஒன்றின் விட்டத்துடன் பொருந்துகின்ற கிடை அச்சு பற்றி சுயாதீனமாகச் சுழலக்கூடியது. ஊருளையின் ஆரையும், உயரமும் 4 இற்குச் சமமாகும்.
2
இவ்வச்சுபற்றிய உருளையின் சடத்துவத்திருப்பம் எனக் காட்டுக.
உருளையானது , அதன் திணிவு மையம் அச்சுக்கு நிலைக்குத்தாக மேலே இருக்குமாறு ஓய்விலிருக்கும்போது, சிறிது இடம்பெயர்க்கப்படுகிறது. மேல் நோக்கிய நிலைக்குத்துடன் உருளையின் அச்சு 9 கோணத்தை ஆக்கும்போது,
7 aმ? =12g(1-cose) எனக் காட்டுக. 9 இற்கான ஒரு கோவையை பெறுக.
57.M திணிவும் 2a நீளமும் உடைய சீரான கோல் AB யின் முனை A இல்
சுழலக்கூடியவாறு ஒப்பமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. இயற்கை நீளம் 2aஉம்
மீள்தன்மை மட்டு k Mg உம் உடைய இலேசான மீள்தன்மை இழை ஒன்றின்
ஒரு முனை B இற்கும், மறுமுனை A இற்கு நிலைக்குத்தாக மேலே AP = 24
ஆகுமாறுள்ள ஒரு புள்ளி P யிற்கும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கோலானது,
அதன் முனை B, P இல் ஓய்வில் பிடிக்கப்பட்டு விடுவிக்கப்படுகிறத. கோல்,
216

π. அடுத்து கணநிலை ஓய்விற்கு வரும்போது, கோணம் PAB ஆனது 万 இற்கும்
ா இற்குமிடையில் இருப்பின் k இன் இயல்தகு பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க.
58. m திணிவுடைய ஒரு சீரான அடர், a ஆரையுடைய வட்டத்தின் காற்பகுதி
fer
வடிவில் அமைந்துள்ளது. அடரின் தளத்திற்கு செங்குத்தாக, வட்டத்தின்
1 மையத்தினூடு செல்லும் அச்சு L பற்றிய அடரின் சடத்துவத்திருப்பம் 2 ma
எனத் தொகையீட்டு முறையால் காட்டுக.
42 a
இவ்வடரின் புவியீர்ப்பு மையம், L இலிருந்து 37t தூரத்தில் உள்ளதென
ിനൃഖ്ട്. இவ்வடரானது அச்சு L பற்றி, நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுழலச் சுயாதீன (p68)lugs. உறுதிச் சமநிலைத்தானம் பற்றி, சிறிய அலைவுகளுக்கான காலத்தைக் காண்க.
59. ஒவ்வொன்றும் 22 நீளமுடைய மூன்று சீர்க் கோல்கள் BC, CA, AB என்பன
ஒரு சமபக்க முக்கோணி ABC ஐ அமைக்குமாறு அவற்றின் முனைகளில் கட்டப்பட்டுள்ளன. கோல் BC இன் திணிவு Mஉம், CA, AB ஒவ்வொன்றினதும் திணிவு m உம் ஆகும். முக்கோணியின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக A யினுாடு
2
செல்லும் அச்சுபற்றி, முக்கோணியின் சடத்துவத்திருப்பம் (SM +4m)? எனக் காட்டுக. A இலுள்ள ஒப்பமான பிணையல்பற்றி, இம்முக்கோணி தன் நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுயாதீனமாகச் சுழலக் கூடியது. உறுதிச் சமநிலைத்தானம் பற்றி சிறிய அலைவுகளுக்கான காலத்தைக் காண்க. சமானமான எளிய ஊசலின் நீளம் L எனின், M, m இன் பெறுமானங்கள் எவ்வாறிருப்பினும்
82<33 L<102 எனக் காட்டுக.
60. திணிவு 6m உம், நீளம் 2aஉம் உடைய சீரான கோல் AB யின் முனை B இல்
m திணிவுடைய துணிக்கை ஒன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இத்தொகுதி, A யினுடான ஒப்பமான கிடை அச்சுபற்றி நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுழலச் சுயாதீனமுடையது. AB கிடையாக இருக்கத் தொகுதி ஒய்விலிருந்து
" விடுவிக்கப்படுகிறது. AB, கிடையுடன் 9 கோணம் ஆக்கும்போது,
- (de Yo ਨੇ 34) t = 4g sin 6 எனக் காட்டுக.
217

Page 116
61.
62.
冗 6-活 ஆகும்போது சுழறச அசசன மதான, மறுதாக்கத்தின் கிடை, நிலைக் கூறுகளைக் காண்க.
சீரான கோல் ஒன்று, கோலிலுள்ள C என்னும் புள்ளியினூடாகச் செல்லும் ஒரு நிலைத்த கிடை அச்சு பற்றி நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுயாதீனமாகச் சுழலக் கூடியது. இங்கு C, கோலின் புவியீர்ப்பு மையம் G இலிருந்து வேறானது. இக்கோல், நிலைக்குத்தான, உறுதியற்ற சமநிலைத் தானத்திலிருக்கையில் மெதுவாக இடம்பெயர்க்கப்பட்டு, நிலைக்குத்துத் தளத்திலே பூரண சுழற்சி யொன்றை ஆற்றுகின்றது. கோலானது 9 கோணத்தினூடாகத் திரும்பியபொழுது,
C யிலுள்ள மறுதாக்கத்தின் கிடைக்கூறு பூச்சியமாகும். 9 ஆனது C யின்
தானத்தில் தங்கியிருக்கவில்லையெனக் காட்டுக. C யானது கோலின் ஒரு முனையிலிருப்பின், C யிலுள்ள மறுதாக்கத்தின் நிலைக்கூறு பூச்சியமாகும். கோலின் தானத்தைக் காண்க.
திணிவு m ஐ உடைய அடர் ஒன்று, அதிலுள்ள புள்ளி Cயினூடாகச் செல்லும் நிலைத்த கிடை அச்சுபற்றி, நிலைக்குத்துத் தளமொன்றில் சுழலச்
சுயாதீனமுடையது. இவ்வச்சு பற்றிய அடரின் சடத்துவத்திருப்பம் Ama’
63.
ஆகும். இங்கு a என்பது அட்ரின் திணிவுமையம் G இலிருந்து C யிற்கான தூரமும், A ஓர் ஒருமையும் ஆகும். தொடக்கத்தில் அடரானது G, C இற்கு நிலைக் குத்தாக மேலே இருக்குமாறு பிடிக்கப்பட்டு மெதுவாக இடம்பெயர்க்கப்படுகிறது. நேரம் t இல், கோணம் 9 இனூடு சுழற்சியடைந்த
தெனில் (0<9<ா)
(2) 67.6 என்பவற்றை, 9,g,a,% இன் உறுப்புக்களில் காண்க. (b) திணிவு மையத்தின், கீழ் நோக்கிய நிலைக்குத்துத் திசையிலான ஆர்முடுகல்
(நேரம் t இல்). (1+2cos 0-3cos' 6) எனக் காட்டுக.
T (c) Cயிலான மறுதாக்கத்தின் நிலைக்கூறு 6= ஆகையில் முதலில் பூச்சியமாகு
மெனின்V இன் பெறுமானத்தைக் கண்டு மீண்டும் நிலைக்கூறு பூச்சியமாகும்
9 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. } }ነነ
m திணிவும் 2a நீளமும் உள்ள சீரான கோல் ஒன்று ஒருமுனை A யிலிருந்து
፲ገገ * சுயாதீனமாகத் தொங்குகிறது. v வேகத்தில் கிடையாக இயங்கும் s திணிவுள்ள
குண்டு, B என்னும் புள்ளியில் கோலைத்தாக்கி, அதனுள் பதிந்து விடுகிறது. கோல் கணநிலை ஒய்வுக்கு வருமுன் 0. (< T ) எனும் கோணத்தினூடு
2.8

64.
65.
ஊசலாடுகிறது. AB = b எனின் மோதுகையின் சற்றுப்பின் கோலின் கோண வேகத்தைக் காண்க.
2 v? =f(3a+b)(4a +b)(1-cosa) எனக் காட்டுக.
4a w<ァ 308 என அமைந்தால் அடுத்த நிலைக்குத்து நிலையில், கோல்
2 24 ga”
2
இருக்கும்போது குண்டு விடுவிக்கப்பட்டால், கோல் V" - (1 — cos ß)
என்பதால் தரப்பட்ட கோணம் B இனூடாக ஊசலாடும் எனக் காட்டுக.
m திணிவும் a ஆரையும் கொண்ட சீரான வட்டத்தட்டின் தொடலிக் கோடு
5 பற்றிய சடத்துவத்திருப்பம் ma எனக் காட்டுக. குறிப்பலகை ஒன்று m
திணிவும், a ஆரையும் கொண்ட வட்டத்தட்டு வடிவிலுள்ளது. இப்பலகை அதன்
'பரிதியிலுள்ள A என்னும் புள்ளியிலிருந்து தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. அது A
யினுடாக செல்லும் கிடையான தொடலியைப் பற்றிச் சுயாதீனமாகச் சுழலக் கூடியது. தொடக்கத்தில் மையம் O ஆனது A இற்கு நிலைக்குத்தாகக் கீழே இருக்க இப்பலகை ஒய்விலிருக்கின்றது. a என்னும் வேகத்துடன் கிடையாக
አገ பலகைக்குச் செங்குத்தாக நகரும் 4. திணிவுடைய குண்டினால்
இப்பலகையானது O வில் தாக்கப்படுகிறது. O வில் குண்டு பதிந்து விடுகிறது.
தாக்கத்திற்கு உடன் பின்னதாக பலகையின் கோண வேகம் என நிறுவுக.
uo <120 ga என இருப்பின் பலகை கோணம் C இனுடாக ஆடிய பின் இத் தொகுதி கணநிலை ஓய்வை அடையுமெனக் காட்டுக.
is cosa = 1இங்கு 60gα
திணிவு m ஐ உடைய சீரான மெல்லிய தகடு ஒன்று இருசமபக்க முக்கோணி ABC usai 6J196ugb605i GlasT603tL5). gigs AB = AC-5a, BC = 8a ஆகும்.
() A யினூடாகவும், BC யிற்குச் சமாந்தரமாவும் உள்ள அச்சுபற்றியும் (i) A யினுடாகவும், BCயிற்கு செங்குத்தாகவும் ABCயின் தளத்திலுமுள்ள
அச்சு பற்றியும், தகட்டின் சடத்துவத் திருப்பத்தைக் காண்க. A யினூடாகவும் முக்கோணியின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாகவும் உட்ள்ள கிடை அச்சு ஒன்றைப்பற்றி இவ்வடர் சுயாதீன்மாக சுழலத்தக்கது. A யிற்குக்
219 w

Page 117
கீழே BC இருக்கும் நாப்பத் தானம் பற்றிச் சிறிய அலைவுகளின்
43a
காலம் 7 3g எனக் காட்டுக.
66.Mதிணிவும் 2a பக்கமுமுள்ள சீரான சதுர அடர் ஒன்று அதன் விளிம்பு ஒன்றின் வழியேயுள்ள ஒப்பமான நிலைத்த கிடை அச்சு ஒன்றைப் பற்றிச் சுயாதீனமாகச்
M சுழலத்தக்கது. அடர் ஓய்விலே தொங்கும் போது திணிவுள்ளதும் அடரின்
தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசை ஒன்றிலே 20a g வேகத்தடன் இயங்கு கின்றதுமான துணிக்கை ஒன்று அடரிலே அதன் மையப்போலியில் பட்டு, அடரிற் பதிகிறது. 4.
4a () அடரில் பட்டு உடனடியாகப் பின்னர் துணிக்கையின் கதி எனவும்
(i) மொத்தல் காரணமாக இயக்கப்பாட்டுச் சக்தியிலுள்ள பின்ன இழப்பு s
எனவும்
T (i)அடர் கணநிலை ஒய்வுக்கு வருமுன்னர் 3. ஆரையன் கோணத்தினூடு
திரும்புகிறதெனவும் காட்டுக.
67.Mதிணிவும் a ஆரையுமுள்ள சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்றின் மையத்திலிருந்து
u த தூரத்திலிருக்கும் நாண் ஒன்றைப் பற்றி அத்தட்டின் சடத்துவத்திருப்பம்
1
2 தூரத்திலிருக்குமாறும், தட்டின் பெரும் பகுதி மேசையின் நேர் விளிம்பிற்கு அப்பால் நீட்டியிருக்குமாறும், தட்டு மேசை மீது சமதளமாக வைக்கப்படுகிறது. பின்னர் அது ஓய்விலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது. தட்டு மேசையின் விளிம்பிலே நழுவுவதில்லை எனக் கொண்டு தட்டின் கோண வேகம் 9 ஆனது,
Ma’ எனக்காட்டுக. தட்டின் மையம் கிடைமேசை ஒன்றின் விளிம்பிலிருந்து
=2gsin6 வினாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
இங்கு 9 , கிடையுடன் தட்டின் சாய்வாகும். அத்தோடு 9=ar" کE{,86
4
݂ ݂ இருக்கும்போது தட்டு நழுவுமெனவும் காட்டுக. இங்கு ய என்பது உராய்வுக் குணகமாகும்.
22O

68. திணிவு m ஐயும் நீளம் 2a ஐயும் உடைய சீரான ஒரு கோல் AB, அதன் முனை A ஆனது, கரடான கிடை மேசை ஒன்றைத் தொட்டுக் கொண்டிருக்க, நிலைக்குத்துத்தளம் ஒன்றிலே ஓய்வில் நிற்கின்றது. இப்போது கோல் இத் தானத்திலிருந்து இடம் பெயர்க்கப்படுகிறது. கோலானது A யில் நழுவவில்லையெனக் கொண்டு கோண வேகம் 9 ஆனது :
3 ጴ” 62 =( -cosθ) இனாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
இங்கு 9 , நிலைக்குத்துடன் கோலின் சாய்வாகும். செவ்வன் மறுதாக்கம் R
ஆனது (3cosθ-1)" ஆகுமெனக் காட்டுக.
கோல் மேசையிலிருந்து பிரிந்து செல்லுமா?
69. பக்கம் 2a ஐயும் திணிவு m ஐயும் உடைய சீரான சதுரவடிவ அடரொன்றின் தளத்துக்குச் செங்குத்தாக அதன் மையம் O வினூடு செல்கின்ற ஒரு அச்சுபற்றி அவ்வடரின் சடத்துவத்திருப்பத்தைக் காண்க.
4a
இவ்வடரானது, அதன் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக O விலிருந்து 3. என்னும் தூரத்தில், அடரின் மீதுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியினூடு செல்கின்றவொரு கிடையச்சுபற்றி, ஒரு நிலைக்குத்துத் தளத்திலே சுயாதீனமாகச் சுழல கூடியதாகவுள்ளது. உறுதிச் சமநிலைத்தானம் பற்றி, இவ்வடரின் சிறி
11 a அலைவுகளின் காலம் *腊 எனக் காட்டுக. இதே காலத்தைத் தருகின்ற,
O விற்கு அண்மித்த P யின் வேறொரு தானம் உண்டெனவும் காட்டுக.
70. திணிவு m ஐயும் ஆரை a ஐயும் உடைய மெல்லிய சீரான வட்டத்தட்டு ஒன்றின் விளிம்பின் தரப்பட்ட புள்ளி ஒன்றினூடாக அதன் தளத்திற்குச்
செங்குத்தாகவுள்ள ஓர் அச்சு 2 பற்றி அத்தட்டின் சடத்துவத்திருப்பம் ma’ எனக் காட்டுக. () அச்சு 2 கிடையாக நிலைப்படுத்தப்பட்டிருக்க, தட்டு அதனைப் பற்றி நிலைக்குத்துத் தளம் ஒன்றில் சுயாதீனமாகச் சுழல்கின்றது. தட்டின் அதிஉயர்
国 g கோணக்கதி எனின், மிகக் குறைந்த கோணக்கதி எனக்
காட்டுக. (i) அச்சு 2 கிடையாக நிலைப்படுத்தப்பட்டிருக்க, தட்டு சமநிலையில்
தொங்குகிறது. திணிவு m ஐயுடையதும் தட்டைக் கொண்ட தளத்தில் கிடையாக
வேகம் 4 உடன் இயங்குகின்றதுமான துணிக்கை ஒன்று தட்டிலே அதன்
22.

Page 118
71.
72.
கிடை விட்டத்தின் நுனி ஒன்றில் அடித்து, அதனுடன் இணைந்து கொள்கிறது.
2и மோதுகைக்குப் பின்னர் உடனடியாகத் தட்டின் கோணக்கதி ர எனக்
7a காட்டுக.
சமாந்தர அச்சுத்தேற்றத்தைக் கூறுக. பக்கம் ஒன்று 2a ஆகவுள்ள ஒரு சமபக்க முக்கோணியின் வடிவத்திலான, m
1. திணிவுள்ள சீரான அடர் ஒன்றின் விளிம்பு பற்றிய சடத்துவத்திருப்பம் --ma’
2 எனத் தரப்பட்டிருக்க இவ்விளிம்பிற்கு எதிராகவுள்ள மூலையினூடான ஒரு சமாந்தர அச்சுபற்றி இவ்வடரின் சடத்துவத்திருப்பத்தைக் காண்க. *
திணிவு Mஉம் பக்கம் 2aஉம் ஆகவுள்ள சீரான ஒழுங்கானவொரு அறுகோணி
23 வடிவ அடரின், ஒரு விளிம்பு பற்றிய சடத்துவத்திருப்பம் 2ma* ஆகும்
என்பதை உய்த்தறிக. இந்த அறுகோண வடிவுடைய அடரின் ஒரு விளிம்புடன்
பொருந்தும் ஒரு கிடை அச்சுபற்றிச் சுயாதீனமாகச் சுழலவல்ல இவ்வடரானது
அதன் தளம் நிலைக்குத்தாக இருக்க ஓய்விலே தொங்குகிறது. அடரின் தளத்திற்கச்
செங்குத்தாக கதி உடன் இயங்கும் MM திணிவுள்ள ஒரு குண்டு, அடரை
இதன் மையத்தில் அடித்து, அங்கேயே பதிந்து விடுகின்றது. குண்டின் கதியானது
. 23
கணநிலையில் 3. இற்கு, குறைக்கப்படின் A 36 எனவும், துணிக்கையின்
இயக்கப் பாட்டுச் சக்தியின் மூன்றிலொரு பகுதி மாத்திரமே தொகுதியில்
தேக்கப்படுகிறதெனவும் காட்டுக.
ஆரை a யும் திணிவு M உம் உடைய சீரான வட்டவடிவத்தட்டு ஒன்றின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அதன் மையத்தினூடான ஓர் அச்சு பற்றிய
சடத்துவத்திருப்பம் Ma“ sistă காட்டுக. ஆரை d உம் திணிவு M உம்
2 உடையதும் அதன் அச்சு கிடையாக இருக்க உராய்வின்றி சுழலவல்லதுமான சீரான வட்டவடிவத் தட்டின் வடிவத்தலுள்ள கப்பி ஒன்றின் மீது செல்கின்ற 2
நீளமுள்ள இலேசான நீளா இழையொன்றின் நுனிகளுடன் m, m' ( 

Page 119
விடைகள் 7(a)
1. 10 17 ஆரையன் - செக்' 3. 114.5kmh' கிடையுடன் மேல்நோக்கி கீழ்நோக்கி 2653 4. 5 ஆரையன் செக்-1 ,8.5ms-1 கிடையுடன் மேல்நோக்கி / கீழ்நோக்கி 45°
u + kt t S. 8: 1 6.
2
冗 - 40007 -l - ஆரை.செக்" * 斎 43200 -ms
9. 4ms, 4ms 10. 80 N
2 1- Tr? 1,3600N 12. நியூட்டன், 2 நியூட்டன்.
Mg 10a 13. 4o 4m 15, 27 13g
20. 21. 2 mg, e W3. Iš 'W3 a m,g, “ V2
24. 10 mg, 6mg, 2 7t |-- V6g
g R” 26.12mg 28. / =ー 26.600 km / LD60, 102 6u6Lib Χ
29.2.05 x 10° தொன் 30. 7-2°架 1.60p605
7(b)
224

3S. K = 4
1. 15.34 ms
3. 42.27 ms -l, 76.68ms 5. 8230N, 0.0147 m
1. 15 ms
λα 13.
- 6те Wé? ... 2 10. 2n 112 22 ክn
16. (t + 1) ll-- °岛
冗 l 19. --t, a
2. 2
20. V = 2λ. , V = V.—
mι για
23.3 2 TIL 2 mina
Л. Л.
2λαθ
28. ma6 = mg sin 69
7(c)
2. 21.8 4, 18.8
8(a)
225

Page 120
. ma9 = (po -0)- mg (cos 0-cos B)
m ab 2π -- Υ -- V 2 Wa -- mgb
8(c)
9(a)
1. 10 2n 2 2. v = 10 - x:
گـ
2 3. 2 u. 4. g Te 9T
JV 2 2 2/2 5。V=一 u , 1 ,4 ,8 .6 ܒܒ
V S sمح--aمح , f s
9(b)
M l H Y3 23. 34 || ---س
V2 (祭)
10(a)
으 2 5Ꮇ a? 1. 志011 4. 3
2 e2 16 Me' 56 Me' 6. r : 7.
M t 3 3
226

10(b)
2 4 و -ک- || 6
3α mg a
2π η α 10. v y
3.
13.27 14a
9a’+2x’ 3α
ዷ X
15.27t
jշ
19.3
4 mga 112g 5π2 Ν 15πα
23.
3g 3 13 26器(F-)器ws苦ng
3g 4 4 2. 2 - — -, -- m g, --
| mg | mg
9. 7. 16
M mig M+2m
11. 2 Tt 7 a. 3g
14. a 2, 2T
227

Page 121
20,
21.
16.
18.
10.
11.
12.
13.
28 i + 20 j, (24 + 2t) i + (40-10 t)j, tan'
18 it maio 81 m a
to to
4ma co, 8ma co, 岑
10(d)
3v. 17.4a. 4a 8 3 羌 品 19. Tta v/10
11
107. கிடையுடன் (a') 502 -10)
5
r = 50t i + (70 t-st) i. 7 செக் , 245m
4, 8 செக் 3
3 + 4 + 10 tk, 10 V5m, 4 செக் 16 GAFÈ
16 i + 30 j, 18 i + 24 j, 2i - 6 j2t i + (10 - 6t).j
8W11 km h-", 4,2 km
45
5
-36i - 30 j, (25-36t) i + (30–3t) j; 12.49 10-2 14 15. బీకి 2 3 五ノ・ 13 கழககு
228

16.
18.
19.
21.
22.
23.
24.
25.
27.
30.
31.
32.
39.
6 i + 3 j + 5 k 17. ' 20Ꭻ , 45Ꮧ , 65 J V = sinti - costj +k r = (1-cost) i-sint j + t k , m, m 20 t + 10.1 , 5, 125 20.2i — 5j + k, F-/84 2i - j + 2 k, 6i + 2 j+4k, Wii, i + j +3k -6i - 25.j - 16k, 13i + 53j + 34k ,9+'rt + 4t*(+ 2 In cost +9t*ܘco ܊ܗ +1) ܊ 2 16 4
2
(5 + 1)?
20i + 27 J-34k, W590 ms', -144.J. 4e" (sinti-cost j); 2e" J, –2(e -1)
V, = 2 n + 3,1, V, =4 n + !t ; 2n + 21, In + 1
5 5 2 5
(1411-121) (39 + 62)
-15i + 70k, 5i +30k,5i + (30-10t)k, 10i +95k
l 25 V2, 3
V2 12 r=ーギー、半-4096
5+ 3 coS 6 2
l T ao (2+2 sin0)2, 0 = i;
r -α(1+2sinθ), (3a )
229

Page 122
பலவினப் பயிற்சிகள்
2g if O. 3 32 11, CO
2 g R ( n -1 12.8 , . 18. 93 நிமிடங்கள், 2 g R (n-1) 2 P?
2 , 2g cos ß ہاسس سے > O 20. a cos 2B 23. 8
15 m g 26. 12
7PO Ac’ 2 TIL b 2 |πα == ܚܝ=ܘ-- : "|- , ჯ/3b ir 69 29. Z 7C A 2g c if ( 30, 3 V g sin 9 g Sin
40b 47 lb í 31.一,一j一 ; 35. --Aشسسس 9 3 Wg 12
: 1 ,α 36.81 செக்கன் 39. 2a (+5)
g-hy kχ 52. y =
t k *,
2 l 3 πα: ν2 )2 57. 2 < k < 3 + 2 V2
4g
29 2 . 8nng, −4— 0= , cos 0 = - 60. 8 mng 3 - mg 61 COS 五 "=3
62. 9 – 2g (1-coso). o — & Sin0, 5 - 1 λα λα 4 ' 6
23O


Page 123


Page 124
மனித உயிரியல் பகுதி - மனித உயிரியல் பகுதி - மனித உயிரியல் பகுதி - பிறப்புரிமையியல் பிரயோக விலங்கியல் (மீன் விலங்குச் சூழலியல்
(ஆண்டு 2000
உயிரியல் - பகுதி - உயிரியல் - பகுதி - 2 தொழிற்படும் தாவரம் - பு தொழிற்படும் தாவரம் -
- SjGUITG. 4. TELITF 15. பிரயோக
SA EDUCATIONA 364B, PAMANKADA ROA
 

வெளியீடுகள்
த உயர்தரம்
தகவும் புள்ளிவிபரவியலும் அச்சில்)
PUBLICATION D. COLOMBO - OO, SRLANKA