Page 1
101 (0)
அட்சர
U(353
ஆம் வகுப்புத் தொடக்கம் 8
நூலாசி
வ. பொன்னேயா, E
(கொக்குவில்,
(oldin {ւլ அப்போதிக்கரிசுக் கம்ெ குமாரவிதி, கோட்டை, !

அக்கர் கணிதம்
பும் வகுப்பு வரைக்குமுரியது.)
hilայի
3.A. (Hons.); Ph.D.
இலங்கை.)
ம்பு பனி, இலிமிற்றெட்டு
கொழும்பு இலங்கை,

Page 2

இல: ஈ. பிபி/39/சீ/35
சான்றிதல் மாணுக்கர் அச்சர கணிதம்-பகுதி 1 1952ம் ஆண்டு பெப்ருவரி மாதம் 29ந் திகதி வெளிவந் துள்ள இலங்கை அரசாங்க வர்த்தமானப் பத்திரிகையில் உதவி நன்கொடை பெறும் தன்மொழிப் பாடசாலைகளுக் கும், இரு பாஷைப் பாடசாலைகளுக்கும் ஆங்கில் பாடசாலை களுக்குமான ஒழுங்குச் சட்டத்தின் 19 (A)-ம் பிரிவில் பிரசுரிக் கப்பட்டதற்க மைய இப்புத்தகம் 6ம்;7ம், 8ம் வகுப்புகளில் அட்சர கணிதம் படிப்பித்தற்கு ஒரு பாடப்புத்தகமாக 1969ம் ஆண்டு டிசெம்பர் மாதம் 31ந் திகதிவரை உபயோகித்தற்கு வித்தியாதிபதி அவர்களால் அங்கீகரிக்கப்பட்டுள்ளது.
ஜிவானந்த நானுயக்கார, S > செயலாளர் T டநூற்பிரச்ர ஆலோசனைச் &# GooLu. பாடநூற் பிரசுர ஆலோசனைச் சபை, ལེ་༨- , மலாய் வீதி, கொழும்பு, 2. ” I-6-1964.

Page 3

மாணுக்கர் அட்சர கணிதம் பகுதி !
(6 ஆம் வகுப்புத் தொடக்கம் 8 ஆம் வகுப்பு வரைக்குமுரியது.)
O
நூலாசிரியர் sa. GLIT6ör2Tum, B. A (Hons.); Ph.D. (கொக்குவில், இலங்கை.)
|பதிப்புரிமை அப்போதிக்கரிசுக் கம்பனிக்கே உரியது.
பிரசுரிப்பவர் கொழும்பு அப்போதிக்கரிசுக் கம்பெனி, இலிமிற்றெட்டு
குமாரவீதி, கோட்டை, கொழும்பு, இலங்கை,
1957 விலை 。而下瓦
3951-A

Page 4
முதற் பதிப்பு 1957
கல்லூரிகளில் வழங்குதற்கு இலங்கையரசுக் கல்வி அதிகாரியின் அங்கீகாரம் பெற்றது.
கொழும்பு அப்போதிக்கரிசுக் கம்பெனி, இலிமிற்றெட்டு அச்சியந்திர சாலையிற் பதிப்பிக்கப்பட்டது.

உள்ளுறை
பகுதி 1 அத்தியாயம் பக்கம்
1. பொதுமைப் பாடுடைய எண்கணிதம் 五
2. அடைப்புக் குறிகள் Kr NA 1 7 3. சூத்திரங்கள் . 30 பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 1 o 38
4. இலகுவான உத்திக்கணக்குக்களுஞ்
சமன்பாடுகளும் a 43 5. வரைப்படத்தின் நெடுங்கணக்கு . 55。
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 2 wo w 7 ዑ
6. திசையெண்கள் - a e 1 a 77 7. ஒத்த உறுப்புக்களும் ஒவ்வாத உறுப்புக்களும் 89.
8. கோவைகள் a 1042
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 3 to . . 1 2 Ꭴ
9. ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் . . . . 124 10. ஒருபடிச்சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள் 130
11. அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் ; a 139
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 4 es - - I55。 12. காரணிகளாய்ப் பிரித்தல், அல்லது சினைகளாய்ப்
பிரித்தல் a 0 e. I59 13. ஒருங்கமை சமன்பாடுகளும் அச்சமன்பாட்டு
உத்திக்கணக்குக்களும் O 8 - 182
14. நேர்கோட்டு வரைப்படம் 199
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 5 s ... 216

Page 5

முகவுரை
தமிழ் மொழி மூலம் அட்சரகணிதங் கற்கும் மாளுக்கருக்குப் பயன்படத்தக்க நூல்கள் பல எம்மொழி யில் இல்லையே. என்ற எண்ணங் காரணமாக இந்நூல் எழுதப்பட்டது; இந்நூலாசிரியரால் எழுதப்பட்ட "மாணுக்கர் கேத்திரகணிதம்' என்னும் நூலொடு வழங் கத் தக்கது; கணிதங் கற்பிக்கும் முறையில் இந்நூலாசிரி யரின் 35 ஆண்டு அனுபவத்தையுங் கொண்டது; ஆரும் வகுப்புத் தொடக்கங் கல்விப் பொதுத் தகுதிப் பத்திர வகுப்பு வரைக்கும் பயன்படும் இரண்டு பகுதிகளால் ஆயது; இங்கிலாந்துக் கணிதக்குழுவினரால் ஏற்றுக் கொள்ளப்பட்ட முறையையே தழுவியுள்ளது; அட்சர கணிதத்தை முதன் முதற் கற்போர்க்கு மலைவு வராமைப் பொருட்டும் அதன் மாட்டுக் கவர்ச்சி உண்டாக்குதற் பொருட்டும் அதனைப் பொதுமைப் பாடுடைய எண் கணி தம் எனக் கொண்டு செல்கின்றது; இந்நூலிற் காணப் படும் அத்தியாயங்கள் எல்லாம் படிமுறையில் எழுதப் LJl L-607 : ஒவ்வோர் அத்தியாயத்திலுமுள்ள கணக்குக் களும் அம்முறை கொண்டே இயற்றப் பட்டன. அத்தி யாயப் பொருள்களிலே மாணுக்கர் தேர்ச்சி அடைதற் பொருட்டு மூன்று, அல்லது நாலு அத்தியாயங்களுக்கு ஒருமுறையாகப் பரீட்சைப் பத்திரங்கள் சேர்க்கப்பட் டுள்ளன.
இலங்கையரசுத் தன்மொழியலுவலகத்தாரால் வெளிப் படுத்தப் பட்ட கலைச்சொற்களே இந்நூலில் எடுத்தா 6IT l I L 1 l - L - 6ð .
இந்நூலைச் சிறந்த முறையில் வெளிப்படுத்தி உதவிய கொழும்பு அப்போதிக்கரிசுக் கம்பனியாரின் பணிபோற் றத்தக்கது.
இந்நூலில் யாதேனுந் திருத்த ஞ் செய்யப்பட வேண்டும் என இதனை வழங்கும் ஆசிரியர் எவரேனுங் கண்டால், அதனை நூலாசிரியர்க்கு அறிவித்தல் பெருந் தொண்டாகும்; தக்க திருத்தமாயின், அடுத்த பதிப்பில் அது சேர்த்துக் கொள்ளப்படும்.
தாய்மொழிக்கல்வியைப் பொருளாகக் கொள்ளும் ஆசிரியருக்கும் மானக் கருக்கும் இந்நூல் விருந்தளிக்கும் என்பது நூலாசிரியர் துணிபு.
வ. பொன்னையா
கார்த்திகை, 1957. (கொக்குவில்)

Page 6

அணிந்துரை
இந்நூலின் ஆசிரியரை இலங்கைத் தமிழ் உலகிற்கு அறிமுகப்படுத்த வேண்டிய அவசியமேயில்லை. இவ் வாசிரியர் யாழ்ப்பாணத்திலுள்ள சில தலையாய கல்லூரி களில் ஆசிரியராயும், பின்பு கொழும்பு ஆசிரியர் பயிற் சிக் கல்லூரியில் விரிவுரையாளராயுங் கடமை ஆற்றியுள் 6τΓτ Γi . விஞ்ஞானப் பாடங்கள் கணக்குப் பாடங்களில் ஆசிரியராய் நெடுங்காலங் கடமையாற்றிய பயிற்சியுந் தமிழ் மொழியைச் செம்மை குன்றது ஆளும் ஆற்றலுந் தமிழ்ப் பாடங்களிற் பயில்வதற்கான ஒரு கணிதநூலை இயற்றுஞ் செவ்வியை அவர்க்கு அளித்துள்ளன. தன் மொழி அலுவலகம் நியமித்த கலைச்சொற்ருெ குதிக் குழு வினருள் ஒருவனுய் யான் இவருடன் கடமை யாற்றும் வாய்ப்பை அண்மையிற் பெற்றிருந்தேன். உயர் விஞ் ஞான அறிவுடன் தமிழ்ப்புலமையும் ஒருங்கு பெற்ற இவரை யான் பலமுறையுங் கண்டு வியந்ததுண்டு. தன் மொழியலுவலகம் வெளியிட்ட கலைச்சொற்ருெ குதிகள் கலாநிதி வ. பொன்னையா அவர்கள் தமிழரிடை விஞ் ஞானக் கலையறிவினை வளர்ப்பதற்கு ஆற்றிய சேவையின் நினைவுச்சின்னங்களாகும் என்பதில் ஐயமில்லை.
இந்நூலை வாசித்து யான் சுவைத்துள்ளேன். இது தூய. எளிய தமிழில் எழுதப்பட்டுள்ளது. இது ‘மாணுக்கர் அட்சர கணிதம்’ என்னும் பொருத்தமான தலைப்புடைத்து; இது ஆசிரியர் துணையின்றி மாணுக்கர்களால் எளிதில் விளங்கிக் கொள்ளத்தக்க இயல்புடைத்து என்பதே அதற்குக் காரண மாகும். இதனைக் கையாண்ட முறை தருக்க முறையில் அமைந்துள்ளது. இதன் கண்ணே யுள்ள எடுத்துக்காட்டுக் கள் யாவும் அறிவு கொளுத்துந் தகையன.
கணிதக் குறியீடுகட்டுப் பிறமொழி எழுத்துக்களைப் பயன் படுத்தல் வேண்டுமென்று பலர் வாதாடுவதை நாம் கேட்டதுண்டு. ஆசிரியருக்கு இக்கொள்கையிற் பற்றுக் கிடையாது; தமிழ் எழுத்துக்கள் அத்தொண்டினை ஒத்த நன்முறையில் ஆரம்ப பருவத்திலா தல் ஆற்றக் கூடி யன என்பதை ஆசிரியர் நிறுவியுள்ளார்.
தமிழன்பர் யாவரும் இந்நூலை முழுமனதுடன் வர வேற்பர் என்பதில் எனக்கு ஐயமில்லை. ஆசிரியர் இந் நூலில் ஒரு நியமத்தை ஆக்கியுள்ளார்; கணித நூலா சிரியர் இதனைப் பின்பற்றல் நலமாகும்.
சி. நடராசர் (கணித உபபேராசிரியர், இலங்கைப் பல்கலைக்கழகம்)

Page 7

மாணுக்கரட்சரகணிதம் பகுதி ! அத்தியாயம் 1
பொதுமைப்பாடுடைய எண்கணிதம் 1. அட்சரகணிதம் எண் கணிதம் போல எண்களைப் பற்றிக்கூறும். எண்கணிதத்தில் எண்களை 0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9 என்னும் இலக்கங்களாற் குறிக்கின்ருேம். அட்சர கணிதத்தில் இவ்விலக்கங்களாற் குறிக்கப்படும் எண்களே யன்றிக் க, ப, ம, , , . என்னும் எழுத்துக்களாற் குறிக்கப் படும் எண்களும் வழங்கப்படும். எண்கணிதத்திலுள்ள அடிப்படையான செய்கை நான்கும் அட்சரகணிதத்தி லும் உண்டு. அவை அங்குள்ளவாறு இங்குங் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்னு நான்கு திறத்தன
வாய் முறையே + , -, X , - என்னுங் குறிகளாற் காட்டப்படும். + என்பது சக என்றும், - என்பது சய என்றும், x என்பது தர என்றும், + என்பது அரண
என்றுஞ் சொல் பற்றி உரைக்கப்படும். எண்கணிதத்திற் போல, அட்சர கணிதத்திலும் .. என்னுங் குறி * ஆகவே ” என்றும், - என்னுங் குறி ' என்பதற்குச் சமன் என்றுங் கூறப்படும். ஒரு சமன் குறியா லே தொடு பட்டவை ஒரு சமன்பாட்டைத்தரும். 2x4=8 என்பது ஒரு சமன்பாடு. இதனைச் சொல் பற்றி உரைப்பின், இரண்டு தர நாலு என்பதற்குச் சமன் எட்டு என்று கூறல் வேண்டும். அன்றி, இரண்டு தர நாலுக்குச் சமன் எட்டு என்று கூறி னும் அமையும். இக்குறிகளேயன்றி வேறுசில குறிகளும் அட்சரகணிதத்தில் உள. அவை வேண்டிய இடங்களிற் கூறப்படும்.
2. இலக்கங்களானவை தனித்தனி குறிப்பிட்ட பெறு மானம் உடையன. ஆதலால், இலக்கங்களாற் குறிக்கப்படும் எண்களுங் குறிப்பிட்ட பெறுமானம் உடையன. அவ்வா றன்றி, எழுத்துக்களாற் குறிக்கப்படும் எண்களானவை
3951-B

Page 8
2 மாணக்கரட்சரகணிதம்
தமக்கெனக் குறிப்பிட்ட பெறுமானங்களை உடையனவல்ல. அவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் இடத்துக்குத்தக்கபடி வரையப்படும். எனினும், அவ்வெண்கள் இலக்கங்களாற் குறிக்கப்படும் எண்கள்போலக் கூட்டல், கழித்தல், பெருக் கல், வகுத்தல் என்னுஞ் செய்கைகள் செய்தற்குரியன. த வொடு ப வைக் கூட்டல் த + ப என்பதனுலும் த விலிருந்து ப வைக் கழித்தல் த-ப என்பதனலுங் காட்டப்படும். த வும் ப வும் ஒன்றை ஒன்று பெருக்கி நிற்றல் தX ப என்ரு யினும் தப என்ரு யினுங் காட்டப்படும். பெருக்கிப் பெற்ற பெருக்கம் தப என்பதனற் குறிக்கப்படும். த வைப் ப வினல் வகுத்தல் த-ப என்பதனற் காட்டப்படும். வகுத் துப்பெற்ற ஈவு என்பதனலும் த/ப என்பதனலும் உணர்த்தப்படும். இங்கு, த + ப, த-ப, த ப, t என்பன குறியீட்டுக் கோவைகள் எனக்கூறப்படும்.
3. குறியீட்டுக் கோவைகள் உறுப்புக்களால் ஆவன. ஒரெண்ணுனது தனித்து நின்ருலும், இரண்டு முதலாய எண் கள் ஒன்றை ஒன்று பெருக்கி நின்ருலும் வகுத்து நின்ருலும் அவை ஒவ்வொன்றும் உறுப்பெனப் பெயர் பெறும். 5,த,
த 3த வ ao o 6ப, 3தப, த் எனபன உறுபடிககளுககு உதாரணங் களாகும். தனித்துநிற்கும் ஒருறுப்பும் சக, சய என்னுங் குறிகளாலே தொடுக்கப்பட்டு நிற்கும் இரண்டு முதலாய உறுப்புக்களும் குறியீட்டுக்கோவை எனப் பெயர் பெறும். அக்கோவைகள் ஒருறுப்புக்கோவை, ஈருறுப்புக்கோவை, பல்லுறுப்புக்கோவை என்னும் வகையின : அவற்றுக்கு உதாரணங்கள் பின்வருமாறு :-
ப்பக்ே 4. 5 g, 2த
SCIBDIL I LH 35 951 T Go) (6 多 A历, d 3பம’
D GQ ஈருறுப்புக்கோவை த + 2, த-2பம, த + 3.
ால்லுறுப்புக்கோவை த + ப-2ம-3வ,

பொதுமைப்பாடுடைய எண்கணிதம் 3
ஒருறுப்புக்கோவையில் ஒருறுப்பும், ஈருறுப்புக்கோவையில் ஈருறுப்புக்களும், பல்லுறுப்புக்கோவையில் இரண்டின்மேற் பட்ட உறுப்புக்களும் இருத்தல் காணலாம். ஈருறுப்புக் கோவை முதலாயின அடைப்புக் குறிகளால் அடைக்கப் படின் உறுப்பெணப் பெயர் பெறும். (த + ப) என்பது த வொடு ப வைக் கூட்ட வந்த தொகையைக் குறிக்கு மாத லால் அதனை ஒருறுப்பு என்று கூறல் பொருந்துதல் காண்க.
4. எண்கணிதமானது குறிப்பிட்ட பெறுமானங்கள் கொண்ட இலக்கங்களா லாய எண்கள் பற்றிச் செய்கைகள் செய்து நிற்கும். அட்சரகணிதமானது இவ்வெண்க ளொடு எழுத்துக்களா லாய குறிப்பிடாப் பெறுமானங்கள் கொண்ட எண்கள் பற்றிய செய்கைகளைப் பொருந்தி நிற்கும். ஆதலால், அட்சரகணிதம் எண்கணிதத்திலும் பொதுமைப்பாடுடையது எனலாம். இதனைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
(1) ஒரு தொகை பொருளை ஒன்று ரூபா மூன்று வீதங் கொள்ளச் செலவு அவ்வீதத்தை அத்தொகையாற் பெருக்கிப்பெற்ற பெருக்கமாகும்.
இதன் உண்மையை எண்கணித முறைபற்றிக் காட்ட முயலுவோம் : பொருளுடைய தொகை 1 ஆயின் செலவு ரூபா 3 ஆகும்.
3 9 2 , , sts , , 6 , ,
இவ்வாறு ஒவ்வொரு தொகை விகற்பத்திற்கும் ஒவ் வொரு செலவு விகற்பங் காணலாம். தொகை விகற்பங்
களோ அளவிறந்தன. எனவே, செலவு விகற்பங்களும் அளவிறந்தனவாகும். ஆகையால், எண்கணிதமுறை அவ் வுண்மையை முற்ருகக் காட்டவியலாது நிற்றல் புலனுகும்,
அவ்வுண்மையை அட்சரகணித முறைபற்றி உணர்த்த விரும்பின் * பொருளுடைய தொகை க ஆயின் செலவு

Page 9
4 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
ரூபா 3க ஆகும் " என்று காட்டலாம். இங்கு க என்பது குறிப்பிடாப் பெறுமானங்கொண்ட எண்ணுதலின், அதற்கு 1,2,3, . . . என்னும் பெறுமானங்களை விகற்பித்துக் கொடுக்க, 3க என்பது முறையே 3,6,9, , . என்பனவற் றைப் பெறுமானமாகக் கொண்டு நிற்றல் காணலாம். இதனலே எண்கணிதமுறையாலே முடிவுறக்காட்டவியலாத உண்மைகளை அட்சரகணித முறையாற் சுருக்கமாக உணர்த்தலாம் என்பது பெற்ருேம்.
(2) ஒரு தொகை பொருளை ஒரு வீதங்கொள்ளச் செலவு அவ்வீதத்தை அத்தொகையாற் பெருக்கிப் பெற்ற பெருக்கமாகும்.
இதன் உண்மையை எண்கணித முறைப்படி காட்டப் புகுவோம்.
வீதம் ஒருபொருள் ரூபா 1 ஆயின் 1,2,3 . . . என்னுந் தொகையுள்ள பொருள் கொள்ளச் செலவு முறையே ரூபா 1,2,3 . . . என்பனவாகும்.
வீதம் ஒரு பொருள் ரூபா 2 ஆயின் 1,2,3. . . என்னுந் தொகையுள்ள பொருள் கொள்ளச் செலவு முறையே ரூபா 2,4,6. . . என்பனவாகும்.
வீதம் ஒரு பொருள் ரூபா 3 ஆயின் 1,2,3, . . என்னுந் தொகையுள்ள பொருள் கொள்ளச் செலவு முறையே ரூபா 3, 6, 9 . . . என்பனவாகும்.
இவ்வாறு ஒவ்வொரு வீதம் பற்றியும் அளவில்லாத தொகை விகற்பங்களுக்குரிய செலவு விகற்பங்களை அளவில் லாத முடிவுருத் தொடர்களாலேயே காட்டல் வேண்டும். ஆகையால், எண்கணித முறை மேற்கூறிய உண்மையை முடிவுறக் காட்டவியலாது நிற்றல் புலணுகும்.
அவ்வுண்மையை அட்சரகணித முறைப்படி காட்ட விரும்பின், ‘க பொருள்களை ஒன்று ரூபா ப வீதங் கொள்ளச் செலவு ரூபா கப ஆகும் ' என்று கூறிமுடிக்கலாம். இங்கு

பொதுமைப்பாடுடைய எண்கணிதம்
கப என்பது க வின் பெறுமானம் பற்றியும் ப வின் பெறு மானம் பற்றியும் அளவிறந்த முடிவுருத் தொடர்களிலுள்ள *எண்களை உள்ளடக்கிப் பொதுமைப் பாட்டிற் சிறந்து நிற்றல் காணலாம்.
(3) ஒரெண்ணை ஒரெண்ணுற் பெருக்கினல் அது பின் னெண்ணை முன்னெண்ணுற் பெருக்கியதற்குச் சமன்.
மேற்கூறிய உண்மையை எண்கணித முறைப்படி காட்டப்புகின் பின்வருமாறு எழுதலாம் :-
1 X 1 = 1 XI 2 X 1 = 1 X 2 3X 1 = 1 X 3 1 X 2 = 2 X 1 2 X 2-2 X 2 3 x2 = 2 x 3 l X 3 = 3 x 1 2 X 3 = 3 X 2 3 X 3 = 3 X 3
இதனை ஆராய்வோம் : வரிசைகளோ அளவிறந்தன. ஒவ் வொரு வரிசையிலும் உள்ள சமன்பாட்டுத் தொடர்களும் அளவிறந்தன. ஆகவே, அவ்வுண்மையை எண்கணித முறை முற்ருகக் காட்ட வியலா மனிற்றல் புலனுகும். அதனை அட்சரகணித முறைப்படி காட்டக் கருதினல், கX ப= பX க என்னுஞ் சமன்பாடு ஒன்ருலேயே காட்டலாம். இங்கு இச்சமன்பாடு க வின் பெறுமானம் பற்றியும் ப வின் பெறு மானம் பற்றியும் பொதுமைப்பாட்டுடனிற்றல் காண்க.
மேற்காட்டிய மூன்று உதாரணங்களாலும் பிறவாற்ரு லும் அட்சரகணிதத்தைப் பொதுமைப் பாடுடைய எண் கணிதம் என்று கூறல் பொருந்து மெனலாம்.
5. எண்கணிதத்தில் 5ஐ 8 உடன் கூட்டுதற்கு 8ஐ 5 ஒடு கூட்டுதல் சமன். அதுபோல, அட்சர கணிதத்தில், த வைப் ப வுடன் கூட்டுதற்குப் ப வைத் த வொடு கூட்டு தல் சமன். இவ்வுண்மையைப் ப+ தீ=த + ப என்னுஞ் சமன்பாடு காட்டும். எண்கணிதத்தில், 5 x 7 x 105× I 0×7= 7 × 5 × I 0= 7× I 0 × 5= I 0 × 5×7= I 0× 7 × 5. அதுபோல, அட்சர கணிதத்தில், த. ப. ம= த.ம.ப-ப.ம. த = ப.த. ம.= ம.த.ப= ம.ப.த. ஆகவே, 5.த.ப என்பதனை

Page 10
6 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
5.ப.த என்றுந் த. ப. 5 என்றுந் த. 5.ப என்றும் ப. 5.த என்றும் ப. த.5 என்றும் எழுதலாம். ஆயினும் பெருக்கங்களை எழுதும்போது இலக்கங்களாலாயவற்றை முன்னும் ஏனையவற்றைப் பின்னும் எழுதுதலே வழக்கு. எனவே, அப்பெருக்கத்தை 5 த ப என்ருதல் 5 பத என்ருதல் எழுதல் வேண்டும். இவற்றுள்ளு நெடுங்கணக்கு முறை தப்பாத 5தப என்பதே சிறந்தது. பெருக்கிநின்ற எண் 1ஆயின் அதனை எழுதாது விடுதல் வழக்கு. ஆகவே, 1ப என்பதனைப் ப என எழுதல் வேண்டும்.
6. எண்கணிதத்திற் செய்கைக் குறிகள் பெரும்பான் மையாகத் தொக்கு நிற்கும். இதனை விளக்குவோம் : ஐம்பத்தாறு என்பதனை இலக்கங்களால் 56 என எழுது கின்ருேம். இங்கு 5, 6 என்பன இடப்பெறுமானங்கள் பெற்று நிற்கின்றன. எனவே, 56 என்பது 5 பத்தையும் 6 ஒன்றையுங்கூட்டிப் பெற்ற தொகையைக் குறிக்கின்றது. இதனை அட்சர கணித முறைப்படி எழுதவிரும்பின் 5 x 10 + 6 x 1 என்று எழுதலாம். இங்கு 5, 6 என்பன நின்ற இடங்களிற் பொதுமைப்பாடுடைய க வையு ந வையு நிறுத்தினல், கX 10 + நx 1 என்பதனைப் பெறுவோம். இதனை 10 க + ந என எழுது த ல் வழக்கு, க வுக்கு ந வுக்கும் 0 தொடக்கம் 9 வரையுமுள்ள வேறுவேறு எண்களைப் பெறு மானங்கள்ாகக் கொடுத்து 10 க + ப என்பதை 0 தொடக் கம் 99 வரையிலுள்ள எவ்வெண்ணையுங் குறிக்கும் படி செய்யலாம். அவ்வாறே க, ந, ய என்பனவற்றுக்கு 0 தொடக்கம் 9 வரையிலுமுள்ள எண்களுள் ஏற்றனவற்றைப் பெறுமானங்களாகக் கொடுத்தால், 100 க + 10 ந+ ய என் பதை 0 தொடக்கம் 999 வரையிலுமுள்ள எவ்வெண்ணை யுங் குறிக்கும்படி செய்யலாம்.
7. மேற்கூறியவற்றைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :- உ-ம்.
(1) ஒரெண்ணுெடு ஒரெண்ணைக் கூட்டினல், அது பின் ணெண்ணுெடு முன்னெண்ணைக் கூட்டியதற்குச் சமன். இதன் உண்மையை அட்சரகணித முறைப்படி காட்டுக.

பொதுமைப்பாடுடைய எண் கணிதம் 7
எண்கணிதத்தில், 5 + 6 = 6 + 5. இங்கு 5-ம் 6-ம் நின்ற இடங்களிற் பெறுமானங் கள் பற்றிப் பொதுமைப்பாடுடைய க வையு ந வையு நிறுத்தினுல், க + ந=ந+ க என்னுஞ் சமன் பாட்டைப் பெறுவோம்.
". க + ந= ந + க என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்வுண்மையை
உணர்த்துகின்றதெனலாம். (2) 4 + 4 = 2 x 4; 6 + 6 = 2 x 6; 34 + 34= 2 x 3 : 基+器=2×器。
இவற்றினுடைய உண்மைகளை அகப்படுத்தி நிற் கும் பொதுவுரை தருக. பொதுவுரை :-ஒரெண் ஞணனது முழுவெண், பின்னவெண், கலப்பெண் என்னும் இவற்றுள் எவ்வகையினதாய் இருப்பினும், அதனை அதனெடு கூட்டியதற்கு அதனை இரண்டாற் பெருக் கியது சமன். (3) ஒன்று ரூபா 4 வீதம் பின்வருவனவற்றுக்கு விலை
Sir GT5 -
5 கதிரைகள், 12 கதிரைகள், க கதிரைகள். கதிரை 1 கொள்ளச் செலவு ரூபா 4 ;
.. கதிரை 5 கொள்ளச் செலவு ரூபா 4 x 5= ரூபா 20. (இது வீதத்தைத் தொகையாற் பெருக்கிக் கண்டது).
’. கதிரை 12 கொள்ளச் செலவு ரூபா 4X 12= ரூபா 48. (இதுவும் வீதத்தைத் தொகையாற் பெருக்கிக் கண்டது).
*. கதிரை க கொள்ளச் செலவு ரூப்ா 4X க= ரூபா 4 க. (இதுவும் வீதத்தைத் தொகையாற் பெருக்கிக்கண்டது). (4) ஒன்று க இருத்தல் வீதம் பின்வருவனவற்றுக்கு நிறை காண்க :-
2 பெட்டிகள், ப பெட்டிகள். ஒரு பெட்டியினது நிறை க இருத்தல் :
.. 2 பெட்டிகளுடைய நிறை கX2 இரு.=2க இரு. (இது வீதத்தைத் தொகையாற் பெருக்கிக்கண்டது).
". ப பெட்டிகளுடைய நிறை கXப இரு- கபு இரு.

Page 11
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(இதுவும் வீதத்தைத் தொகையாற் பெருக்கிக்கண்டது). (5) பின்வருவன 6 இலும் எத்தனையாற் கூடியன ? ー& 5.
8 என்பது 6 இலும் 8-6 அல்லது 2 ஆற்கூடியது. (இது தந்த எண்ணிலிருந்து 6 ஐக் கழித்துக்கண்டது).
க என்பது 6 இலும் க-6 ஆற்கூடியது. (இதுவுந் தந்த எண்ணிலிருந்து 6 ஐக் கழித்துக்கண்டது). (6) பின்வருவன 8 இலும் எத்தனையாற் குறைந்தன? -4, 1.
4 என்பது 8 இலும் 8-4 அல்லது 4 ஆற் குறைந்தது. (இது 8 இலிருந்து தந்த எண்ணைக் கழித்துக்கண்டது).
ப என்பது 8 இலும் 8-ப ஆற் குறைந்தது. (இதுவும் 8 இலிருந்து தந்த எண்ணைக் கழித்துக் கண்டது). (7) பின்வருவன க விலும் எத்தனையாற் கூடியன ?-9, ப.
9 என்பது 5 இலும் 9-5 ஆற் கூடியது. அதுபோல, 9 என்பது க விலும் 9-க ஆற்கூடியது;
ப என்பது க விலும் ப-க ஆற் கூடியது. (8) க நாற்காலிகளை ஒன்று ரூபா ப வீதம் விலைக்குக் கொண்டு ஒன்று ரூபா ம வீதம் விற்றல் எனது நயம் என்ன? இங்கு க, ப, ம என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமான முறையே 10, 4, 6 ஆணுல், எனது நயம் எத்தனை ரூபா வாகும் ?
ஒரு நாற்காலியின் கொள்விலை ரூபா ப ;
. க நாற்காலிகளுடைய கொள்விலே ரூபா பX க = ரூபா கப
ஒரு நாற்காலியை விற்ற விலை ரூபா ம ; .. கநாற்காலிகளை விற்ற விலை ரூபா மX க= ரூபா கம.
". எனது நயம் ரூபா கம-கப ஆகும். (விற்றவிலை -கொள்விலை = நயம்).
க-10, ப- 4, ம= 6 ஆயின், 5 L D-35 L = 10 X 6-10 X 4
200-40
:20 .", எனது நயம் ரூபா 20 ஆகும்.

பொதுமைப்பாடுடைய எண்கணிதம்
(9) ஒரு பெண்ணினது தற்போதைய வயது ப ஆண்டு. 6 ஆண்டுகள் சென்ருல் அவள் என்ன வயதினள் ஆவாள்? ஒரு பெண்ணினது தற்போதைய வயது 15 ஆண்டு எனின், 6 ஆண்டுகள் சென்ருல் அவள் வயது 15 + 6 ஆண்டு ஆகும்.
,, அதுபோல, ஒரு பெண்ணினது தற்போதைய வயது ப ஆண்டு எனின், 6 ஆண்டுகள் சென்ருல் அவள் வயது ப+ 6 ஆண்டு ஆகும். (10) 3 அடுத்துவரும் எண்களுள் க என்பது மிகக் குறைந்த எண்ணுயின், மற்றைய இரண்டையுங் காண்க. க= 140 ஆயின், அவ்விரண்டு எண்களும் யாவை ?
5 இலுங் கூடிய அடுத்துவரும் எண்கள் 5 + 1-ம் 5 + 2-ம் ஆகும்.
அதுபோல, க விலுங்கூடிய அடுத்துவரும் எண்கள் க +1-ம் க + 2-ம் ஆகும்.
க=140 ஆயின், க + 1 = 140 + 1 - 141 ; க + 2-140 + 2 མཁང་པའག (42 -
. அவ்விரண்டெண்களும் 141-ம் 142-ம் ஆகும். (11) ஒரெண்ணின் பத்தினிடத்து இலக்கம் க வாயும் ஒன்றினிடத்து இலக்கம் ந வாயும் இருப்பின் அவ் வெண் யாது ?
க= 8, ந=5 ஆயின், அவ்வெண்ணின் பெறுமானம் என்ன ?
ஒரெண்ணின் பத்தினிடத்து இலக்கம் 5 ஆயும் ஒன்றினிடத்து இலக்கம் 4 ஆயும் இருப்பின், அவ்வெண் 5 x 10 + 4 x 1 ஆகும்,
அதுபோல, ஒரெண்ணின் பத்தினிடத்து இலக்கம் க வாயும் ஒன்றினிடத்து இலக்கம் ந வாயும் இருப்பின், அவ்வெண் = கX 10 + நX 1
- 10 க + ந.
●=8 5=5 数cmór 105+5=I0×8+5
= 8 .. அவ்வெண் 85 ஆகும்

Page 12
潭0 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(12) க பொருள்களின் விலை கந ரூபா வாயின் ம
பொருள்களின் விலை என்ன ?
க பொருள்களின் விலை கந ரூபா.
.. ஒரு பொருளின் விலை ருபா = ந ரூபா.
.. ம பொருள்களின் விலை நXம ரூபா - மந ரூபா. இதனைப் பின்வருமாறுஞ்செய்யலாம் :- க பொருள்களின் விலை கந ரூபா.
". ம பொருள்களின் விலை மந ரூபா. (இது க-ம எனப் பிரதியிட்டுக் கண்டது).
பயிற்சி 1 (அ) 1. பின்வரும் உண்மைகளை அகப்படுத்திநிற்கும் அட்சர கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தருக :-
(9) 2 + 2 + 2 = 2 x 3 ; 5 + 5 + 5 = 5 x 3 ;
6+6+6=6×3 ・・・ (鸟)墨×2=1;慕×3=1;景×4=1,...
(@り 3×I=3; 4×I=4; 5×I=5・・・
2 x 5 2
2×显一 2 &之性= (F) = 융,
; すマエーす・・ 2. பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கி நிற்கும் பொது வுரைகள் யாவை ?
(、) 2×0=0 ; 3×0=0 ; 墨×0=0 ; I豊×0=0 ・・・
3. 5
R
(ஆ)
(@) 器×4=3; 蓋×II=6; 蓋×I3=
3. பின்வரும் பொதுவுரைகளுடைய உண்மைகளை அட்சர கணிதச் சமன்பாடுகளாற் காட்டுக.
(அ) சமன்களுடன் சமன்களைக் கூட்டினல், அக் கூட்டுத் தொகைகளானவை தம் முட் சமன்களாகும்.

பொதுமைப்பாடுடைய எண் கணிதம் 1.
(ஆ) சமன்களிலிருந்து சமன்களைக் கழித்தால், அம் மிச்சங்களானவை தம்முட் சமன்களாகும். (இ) சமன்களைச் சமன்களாற் பெருக்கினல், அப் பெருக் கங்களானவை தம்முட் சமன்களாகும்.
(ஈ) சமன்களைச் சமன்களால் வகுத்தால், வகுத்துப் பெற்ற ஈவுகளானவை தம்முட் சமன்களாகும்.
4. எத்தனையால் (1) 6 ஆனது 4 இலுங்கூடியது ? (2) 3த ஆனது 5 ப இலுங் கூடியது ?
5. எத்தனையால் (1) 5 ஆனது 9 இலுங் குறைந்தது ? (2) 21 ஆனது 3ம இலுங் குறைந்தது ?
6. எத்தனையால் 2க ஆனது (1) 3ப இலுங் கூடியது ? (2) 4ம இலுங் குறைந்தது ?
7. எதனை (1) 3 ஆற் பெருக்கினற் பெருக்கம் 7 ஆகும் ? (2) த வாற் பெருக்கினுற் பெருக்கம் ப ஆகும் ?
8. ஒரெண்ணினுடைய இரு காரணிகளுள் ஒன்று த வு மற்றையது ப வும் ஆயின் அவ்வெண்யாது ? த= 2, ப=3 ஆயின், அவ்வெண்ணின் பெறுமானம் என்ன ? 9. 3த வில் ப எத்தனை முறை அடங்கும் ? 10. ஒரு மரணுக்கனது தற்போதைய வயது M ஆண்டு ஆயின் (1) 'த ஆண்டுகட்குமுன் அவனுடைய வயது என்ன ? (2) ஆண்டுகள் சென்ருல் அவன் என்ன வயதினன் ஆவான் ?
11. எனது தந்தையார் எனது தாயாரிலும் 3தி ஆண்டுக ளால் வயது கூடியவர். எனது தந்தை யாருடைய வயது 2ப எனின், எனது தாயாருடைய வயது என்ன ?
12. அடுத்துவரு மூன்று இயற்கை யெண்களுண் மிகக் கூடியது ப ஆயின், மற்றைய இரண்டையுங் காண்க.
13. 5 அடுத்துவரும் இயற்கையெண்களுட் க நடு வெண்ணுயின், ஏனையவற்றைக் காண்க. க = 24 ஆயின், அவ்வெண்களுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க. .
14. அடுத்துவரு நாலு இயற்கை யெண்களுட் ப என்பது மிகக் குறைந்ததற்கு அடுத்த வெண்ணுயின் ஏனையவற்றைக் காண்க. ப=50 ஆயின் ஏனையவை யாவை ?
P

Page 13
2 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
15. மேசை ஒன்று ரூபா 4த வீதம் ப மேசைகள் கொள்ள எத்தனை ரூபா வேண்டும் ?
16. நாற்காலி ஒன்று ரூபா 3த வீதம் ரூபா 4ப வுக்கு எத்தனை நாற்காலிகளைக் கொள்ளலாம் ?
17. ஒருவனுடைய பணப் பையில் உள்ள தொகை த பவுண், ப சிலின், ம பென்சு. இத்தொகை எத்தனை கினிக்குச் சமன் ?
18. ஒரு மனிதன் கடைக்காரன் ஒருவனிடம் ப சிலின் களைக் கொடுத்துவிட்டு இத்தொகையைப் (1) பவுணிற் கொடுக்க என்ரு ல், எத்தனை பவுண் கொடுப்பான் ? (2) பென்சிற் கொடுக்க என்ரு ல், எத்தனை பென்சு கொடுப்
T6õt ?
19. புகையிரதமொன்று மணிக்குத் தீ மைல் வீதம் ஒடு கின்றதெனின் (1) --மணி நேரத்தில் எத்தனை மைற். 3' றுாரம் ஒடும் ? (2) மசீ^மைற்றுாரம் ஒட எத்தனை மணி நேரஞ்செல்லும் ? 4, M
20. ம மனிதர்களுடைய நிறை மப இருத்தலாயின் (1) ஒரு மனிதனது நிறை என்ன ? (2) க மனிதருடைய நிறை என்ன ?
21. ஒருவன் ப ஆடுகளை ஒன்று ரூபா ம வீதம் விலைக்குக் கொண்டு ஒன்று ரூபா த வீதம் விற்முன் அவனது நட்டத்தைக் காண்க.
22. ஒரெண்ணினுடைய இலக்கங்கள் இடம் வலமாக முறையே த, ப, ம என்பன வாயின் அவ்வெண்யாது ? த=4, ப= 6, ம= 0 ஆயின், அவ்வெண்ணின் பெறுமானம் என்ன ?
23. 71 என்னும் எண் அட்சரகணித முறைப்படி 100த + 10 ப+ ம என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படின், த, ப, ம என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க. 24. 4 ப-9 என்பதன் பொருள் என்ன ? ப என்பது 3-க்காக நிற்பின், அக்கோவையின் பெறுமானம் என்ன ?
25. க என்பது 3 ஐக் குறித்தால் என்பது எவ்
வெண்ணைக் குறிக்கும் ?

பொதுமைப்பாடுடைய எண்கணிதம் 8
26, ப என்பதை 4 ஆற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்தி லிருந்து 3 ஐக் கழிக்கவரு மிச்சத்தைக் காண்க. ப வின் பெறுமானம் 4 ஆயின், அம் மிச்சத்தின் பெறுமானம் யாதாகும் ?
27. நான் ஒருநாள் ப மைற்றுார நடந்துவிட்டு 16  ைமற்றுாரம் வண்டி ஒன்றிற் போனேன். நான் சென்ற மொத்தத் தூரத்தைக் காண்க. ப=5 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
28. கடைக்காரன் ஒருவன் றன்னிடமுள்ள 3ப மாம் பழங்களில் 5-ஐத் தின்றுவிட்டு மீதியை விலைக்கு விற்ரு ன். அவன் விற்ற மாம்பழங்களுடைய தொகையைக் காண்க. ப- 6 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
8. குணகம் :-
எண்கணிதத்திற்போல அட்சரகணிதத்திலுஞ் சில வெண்களைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கலாம். 5 பம என்பத னுடைய காரணிகள் 5, ப, ம என்பனவாகும். இங்கு 5 பம வில் 5 ஐப் பம வின் குணகமென்றும் 5 ப வை ம வின் குணக மென்றுங்கூறுவர்.
ஒரெண்ணைப் பெருக்கி நின்ற பிற வெண்களுடைய பெருக்கம் அவ்வெண்ணின் குணகம் ஆகும். ஒரெண்ணின் குணகம் இலக்கங்களால் ஆக்கப்பட்டதெனின் எண் குணகம் என்றும் எழுத்துக்களாலா யதெனின் எழுத்துக் குணக மென்றுங் கூறப்படும்.
9. அடுக்குக்குறி :-
சில பெருக்கங்களை ஒரெண்ணே பற்றிக் காரணிவடிவ ) 55 GITLD) -
4=2×2 ; 27=3×3×3 ; 625=5×5×5×5. இங்கு 4 ஐ 2 இன் இரண்டாம் அடுக்கென்றும், 27 ஐ 3 இன் மூன்ரும் அடுக்கென்றும், 625 ஐ 5 இனது நாலாம் அடுக்கென்றுங் கூறுதல் வழக்கு. இவைபோலக் கX க என்பதைக் க வின் இரண்டாம் அடுக்கென்றும், நx நX ந என்பதை ந வின் மூன்ரும் அடுக்கென்றும், யx யx யX ய என்பதை ய வினது நாலாம் அடுக்கென்றுங் கூறலாம். இவற்றை முறையே க?, ந”, ய என்று சுருங்கிய முறையால் எழுதுதல் வழக்கு. க* என்பதைக் க ஈரடுக்கென்றும்,

Page 14
i4 மாணக்கரட்சரகணிதம்
ந? என்பதை ந மூவடுக்கென்றும், ய4 என்பதை ய நாலடுக் கென்றுஞ் சொல் பற்றி உரைத்தல் வழக்கு. இப்பெயர்கள் க?, ந", ய என்பனவற்றுக்குப் பொதுப்பெயர்கள் ஆகும். எண்களுடைய ஈரடுக்குக்கு மூவடுக்குக்கும் இப்பொதுப் பெயர்களேயன்றிச் சிறப்புப் பெயர்களும் உண்டு. க?, ந8 என்பனவற்றைச் சிறப்புப் பெயர் பற்றி முறையே க வர்க் கம், ந க்கனம் என்றுங் கூறலாம். க?, ந?, ய என்பனவற்றி லுள்ள 2, 3, 4 என்னும் இவைகள் அடுக்குக்குறிகள் எனப் படும். இவற்றைக் குறிகாட்டிகள் என்றுங் கூறலாம்.
10. (i) ஒரெண்ணின் முதலாம் அடுக்கு அவ்வெண்ணே யாகும். ஆகையால், க வின் முதலாம் அடுக்கைக் க" என்று எழுதாது க என்றே எழுதலாம். அதுபற்றி 1க, க, 1 க என்பன க வொடு ஒரு பொருளனவாதல் காண்க.
(i) ஒன்றின் எந்த அடுக்கும் ஒன்றேயாகும்.
; 1 = IX1 --سمبر 12
• 1 == 1 ملا 1 ملا 1 == 13 (ii) பூச்சியத்தின் எந்த அடுக்கும் பூச்சியமாகும்.
02=0×0=0 ; 03= 0×0×0=0. (iv) ஒரெண்ணை அடுக்குக்குறியாகப் பெற்ற ஒருறுப்புக் கும் அவ்வெண்ணையே குணகமாகப் பெற்ற அவ்வுறுப் புக்கும் உள்ள வேற்றுமை அறியற்பா லது :
5"=5× 5× 5 ; v , 3க-3 X க ; ஆகவே, க3 என்பதும் 3 க என்பதும் வேறு வேறென அறிதல் வேண்டும்.
க=2 ஆயின், கஃ= 28
=2×2×2
-- 8 . க= 2 ஆயின், 3க-3X 2
6 سیاسی = . அவற்றி னு  ைடய பெறுமான முறையே 8-ம் 6-ம் ஆகும்.

பொதுமைப்பாடுடையனண்கணிதம் 15
11. மேற்கூறியவற்றைப் பயன்படுத்தும் . உதாரணங் கள் பின்வருமாறு :- உ-ம்.
1. ப கதிரைகளை ஒன்று ரூபா ப வீதம் விலைக்குக் கொண்டதன்பின் என்னிடம் உள்ள தொகை ரூபா 2ப ஆயின், கதிரைகள் கொள்வதற்கு முன், நான் எத்தனை ரூபா வைத்திருந்தேன்? ப= 5 ஆயின், விடையாதாகும் ?
(i) ஒரு கதிரையின் கொள்விலை ரூபா ப ;
". ப கதிரைகளுடைய கொள்விலை ரூபா பX ப= ரூபா L2. கதிரைகள் கொண்டதன்பின் என்னிடம் உள்ள தொகை et l_JIT 2 Lu;
‘. கதிரைகள் கொள்வதற்குமுன் என்னிடம் இருந்த தொக்ை ரூபா ப?+ 2 ப.
(ii) Lu= 5 ஆயின், 2 + 2 == 52 + 2 5 كلا
- 25 -- I 0 ==35. `, ப=5 ஆயின், விடை ரூபா 35 ஆகும். 2. 2ப2 + 3 பம 4 ம? என்னுங் கோவையிலிருந்து Li*, ம?, மப, ப, ம என்னும் இவற்றினுடைய குணகங்களைக்
5TT GÕÕT OG .
(i) ப? என்பதன் குணகம் 2 ஆகும் ; (i) ம?என்பதன் குணகம் 4 ஆகும் ; (i) பம என்பதன் குணகம் 3 ஆகும் ; (iv) ப என்பதன் குணகம் 3 ம ஆகும் ; (v) ம என்பதன் குணகம் 3 ப ஆகும்.
பயிற்சி 1 (ஆ)
1. ஒரு வேலைக்காரனின் கூலி நாளொன்றுக்கு ரூபா ப ஆயின், ப நாள்களுக்கு அவன் கூலி என்னவாகும் ?
2. ஒரு சதுர வறையினது நீளம் க அடியாயின், அதன் பரப்பளவு என்ன ? க-11 எனின், விடை யாதாகும் ?
3. ஒரு சதுரத்திண்மத்தின் விளிம்பொன்று ம அங்குல மாயின் அச்சதுரத்திண்மத்தின் கனவளவைக் கனவடியிற் காண்க.

Page 15
6 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
I; * 42 - B2 == 2 × 3 + I + چ2 × 2 == 22 - 32. ;1 + 1 >لا 2 = 12 - 22 .4 இவற்றை உட்படுத்தி நிற்கும் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு ஒன்று தருக.
.8×4=9°一7° و 6 لا 4 == 2 5 س 72 و 2 كلا 4 سنة 1 مـ 32 . 5 இவற்றை உட்படுத்தி நிற்கும் பொதுவுரை தருக.
6. 3 அ? என்பதற்கும் 2 அ? என்பதற்கும் பொருளள வில் என்ன வேற்றுமை உண்டு? அ= 4 ஆயின், அவற்றினு டைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
7. என்னிடம் ப? வாழைப்பழங்களுண்டு. அவற்றுள் 2ப பழங்கள் பழுதடைந்தன. என்னிடம் உள்ள நல்ல பழங்களுடைய தொகை யாது? பட 10 ஆயின், விடை யாதாகும்?
8. 3க? + 5 கந+ ந? என்னுங் கோவையில் (1) க?, (2) ந?, (3) கந, (4) க, (5) ந என்னும் இவற்றினுடைய குண கங்களைக் காண்க. க = 1, ப- 1 ஆயின், அக்கோவையின் பெறுமானம் என்ன?
9. 4கநய என்பதிலே கநய, கந, க, ந என்னும் இவற்றினுடைய குணகங்களைக் காண்க.
10. 2ப என்பதற்கும் ப? என்பதற்கும் பொருளளவில் என்ன வேற்றுமை உண்டு ? ப்= 2 ஆயின், ப? -2ப என்ப தன் பெறுமானம் என்ன ?
11. ஒவ்வொரு பக்கமும் ப அடி நீளமுள்ள சதுர வறை யொன்றின் மத்தியில் ஒவ்வொரு பக்கமு ம அடி நீளமுள்ள சதுரக் கம்பள மொன்றை விரித்து வைத்தால், கம்பள மில்லாப் பகுதியின் பரப்பளவு என்ன?
12. மூடியோடு கூடிய கனவடிவ மரப்பெட்டி யொன்றின் புற விளிம்பினது நீளந் த அங்குலமும் உள்விளிம்பினது நீளம் ப அங்குலமும் ஆயின், மரத்தின் கனவளவைக் கன வடியிற் காண்க.
13. அ(அ + இ)= அ*+ அஇ. இங்கு அ=4, இ= 2 என்று கொள்ளின், இச் சமன்பாடு உண்மையாகுமா ?
14. அ(அ- இ)=அ? - அஇ. இச்சமன்பாட்டை அ=5, இ= 3 என்னும் பெறுமானங்களுக்கு வாய்ப்புப்பார்க்க.

அத்தியாயம் 2.
அடைப்புக் குறிகள்
12. அடைப்புக் குறிகளானவை செய்கை களுடைய அடைவைக் காட்டுகின்றன. அவை தாந் தொடுக்கின்ற ஒவ்வொரு கோவையையும் ஒருறுப்பெனும்படி செய்யும். உதாரணமாக, (5 + 3) என்பது 5 ஒடு 3 ஐக் கூட்ட வந்த தொகையைக் குறிக்குமாதலால் அதனை ஒருறுப்பு என்று கூறுதல் பொருந்தும் எனலாம்.
அடைப்புக் குறிகள் பலதிறத்தன. பிறையடைப்புக்கள் ( ' ), இருதலையடைப்புக்கள் ( ), பகர வடைப்புக்கள் ( என்பன அவற்றினுடைய வகைகள். இருதலையடைப்புக்களை இரட்டையடைப்புக்களென்றும் பகர வடைப்புக்களைப் பவ் வடைப்புக்களென்றுங் கூறுவாரும் உளர். அடைப்புக் களுடைய முன்னங்கத்தைத் திறந்த அடைப்பென்றும், பின்னங்கத்தை மூடிய அடைப்பென்றுங் கூறுதல் வழக்கு. 5 + 3 என்பதை அதன் கண்ணுள்ள எண்கள் இரண்டிற்கு மேல் ஒரு கோடிட்டு 5 + 3 என்று தொடுத்தால் அக்கோடு தொகுப்புக்கோடு எனப்படும். ಕಿಸ್ಥಿತಿ என்பதில் உள்ள கோடும் ஒரு வகைத் தொகுப்புக்கோடாகும்.
13. அடைப்பு நீக்கம். கூட்டலுங் கழித்தலும் : (9-5)-2 என்பதன் பொருளாவது 9 இல் இருந்து 5ஐக் கழிக்க வந்த மிச்சத்திலிருந்து 2ஐக் கழித்தல் என்பதே, 9-5-2 என்பதும் அப்பொருளையே தரும்.
. 2--5--9 = 2--ر 5---9 ) .*. இங்கு 9, 5, 2 என்னும் எண்களுக்காகப் பொதுமைப் பாடுடைய த, ப, ம என்னும் இவற்றை நிறுத்தினல்,
(த-ப)-ம=த-ப-ம. என்னுஞ் சமன்பாட்டைப் பெறலாம். இச்சமன்பாடு ஒரு விதியைத் தரும் :
ஒரு குறியாலுந் தொடரப்படாத அடைப்புக்குறிகளை நீக்கி விட்டால், அது பயனளவில் வேறுபடாது.

Page 16
8 மாணக்கரட்சரகணிதம்
14. ரூபா 10 ஐக் கைப்பணமாகவுள்ள ஒருவன் றனது தந்தையாரிடம் ரூபா (5 + 3)ஐப் பெற்ருஞயின், அவனிட முள்ள தொகை ரூபா 10 + (5 + 3) ஆகும். ஒருசேரப் பெருது ஒருமுறை ரூபா 5 ம் ஒருமுறை ரூபா 3ம் ஆகப் பெற்ருனயின், அவனிடம் உள்ள தொகையை ரூபா 10 + 5 + 3 என்பதனுற் குறிக்கலாம். ஒருசேரப் பெறுவதும் இருமுறைகளாகப் பெறுவதும் பயனளவில் வேறுபடா.
... 1 0 + (5 + 3) = 1 0 + 5 -- 3. (1)
ரூபா 10 உடைய அவனுடைய தம்பி தனது தந்தையாரி டம் ரூபா (5-3) பெற்ருனயின், அவனிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10 + (5-3) ஆகும். இது ரூபா 5 ஐப் பெற்றுக்கொண்டு ரூபா 3 ஐக் கொடுத்ததாகும். அவ்வாறு செய்ய அவனிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10 + 5-3 ஆகும்.
.". I 0 +(5ー3)=I 0 + 5ー3. (2)
இனி, ரூபா 10 உடைய ஒருத்தி இரு பொருள்களை ரூபா (5 + 3) க்கு விலையாகக் கொண்டாளாயின், அவளிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10-(5 + 3) ஆகும். ஒரு சேரக்கொள்ளாது ஒருமுறை ஒரு பொருளையும் ஒருமுறை மற்றைய பொருளை யுங் கொண்டாளாயின், அவளிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10-5-3 ஆகும். ஒரு சேரக் கொள்ளலும் இருமுறையாகக் கொள்ளலும் பயனளவில் வேறுபடா.
... 10-(5 + 3) = 10-5-3. (3)
ரூபா 10 உடைய அவளுடைய தங்கை ஒரு பொருளை ரூபா (5-3)க்கு விலையாகக் கொண்டாளாயின், அவளிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10-(5-3) ஆகும். இது ரூபா 5ஐக் கொடுத்துவிட்டு ரூபா 3 ஐப் பெற்றதாகும். அவ்வாறு செய்ய அவளிடம் உள்ள தொகை ரூபா 10-5 + 3 ஆகும்.
.". I 0ー(5ー3)= I 0ー5 + 3. (4)
இந்நான்கு சமன்பாடுகளிலும் 10, 5, 3 என்பனவற்றுக் காகப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப்பாடுடைய 35 , LU, ம என்பனவற்றை நிறுத்தினற் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம் :-
த + (ப + ம)=த + ப + ம ;
த + (ப-ம)=த + ப-ம ;
写ー(L + Lpり=gーLーtp ;
受ー(LーLD)=gーL + Lo.

அடைப்புக் குறிகள் 9
இவற்றை ஆராயின் இருவிதிகள் புலனகும் :- (1) ஒரடைப்புக்குமுன் + என்னுங் குறி இருந்தால், அவ்வடைப் புக்குள் இருக்கும் உறுப்புக்களைத் தொடுத்துநிற்கும் ஒரு குறியும் அவ்வடைப்பு நீக்கத்தின்கண் வேறுபடாது.
(2) ஒரடைப்புக்குமுன் - என்னுங் குறி இருந்தால், அவ்வடைப் புக்குள் இருக்கும் உறுப்புக்களைத் தொடுத்துநிற்கும் எல்லாக் குறிகளும் அவ்வடைப்பு நீக்கத்தின்கண் வேறுபடும்.
15. மேற்கூறிய விதிகள் பற்றி அடைப்பு நீக்கங்களைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
(1) 9-(5-2). இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
9-(5-2) = 9-5 + 2 அடைப்புநீக்க, - ஆற் ருெடரப்பட்ட
என்பது + ஆக மாறுகின்றது
= 6.
உ-ம்.
(2) த - (ப+ ம). இதன் கண்ணுள்ள அடைப்பைநீக்குக. த - (ப + ம) =5 - 1 - LD அடைப்பு நீக்க-ஆற் ருெடரப்பட்ட + என்பது - ஆக மாறுகின்றது. உ-ம்.
(3) (ப + ம)-(ப-ம). இதனைச் சுருக்குக,
(ப + ம) - (ப-ம)
-- E - I -- if)
are I - I - D -- D
= 2 LD.
உ-ம்.
(4) (த-ப + ம)-(த-ப-ம). இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
(த-ப+ ம)-(த-ப- ம) ==55 — Lu + LD —ğ5 -+ L u + LD =55 — g5 + Lu — L u + Lf) + LD = 2 ம.

Page 17
20 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
έΣ - . .
(5) த + 3 ப-ம என்பதிலிருந்து த-ப-ம என்பதைக் கழிக்க.
(த + 3 ப - ம) - (த-ப- ம) = 5 + 3 U - Lp - 5 + L + Lo = S — 5 + 3 L + L + LD -- 1ð
= 4 Li.
உ-ம்.
(6) த + 2 ப- ம என்பதனேடு த - 2ப + ம என்பதனைக் கூட்டுக. த-4ஆயின் விடையாதாகும் ? (த + 2 ப- ம) + (த-2ப + ம) = 5 + 2 Lu — LD + ğ5 — 2 L u -+ LD —– 35 + ğ5 + 2 L I — 2 Lj + LD — l D ਸ= 25. த=4 ஆயின், 2த= 2 X4
܀ 8 -ܝ .. த=4 ஆயின், விடை 8 ஆகும்.
பயிற்சி 2 (அ) பின்வருங் கோவைகளுடைய் பெறுமானங்களைக் காண்க.
1. 8 + (3 - 2). 2. 9 - (4 + 2). 3. 1 0 + (6 - 2). 4. (9 + 2) + (6 - 3). 5. (9ー2)ー(4 + 3). 6. 8 - (3-2). 7. த - (த - ப). 8. த + ப - (த - ப). 9. (த + ப) (த - 2 ப). 10. த + (த - 2ப). 11. அ + (அ + 3இ). 12. 2அ - (அ- 3இ). பின்வருவனவற்றை அடைப்பினின்று நீக்குக --
13. அ + (இ- உ). 14. அ - (இ + உ). 15. (அ- இ) + உ. 16. அ- (இ - உ).
17. 2அ - (3இ - 5உ). 18. (அ- 3இ) - 2உ.

அடைப்புக் குறிகன் 2.
பின்வருவனவற்றைச் சுருக்கித் தருக :-
l 9. 1 - (LJ -l). 20. (1 + த) - (1 - த).
21. 2த - (த + 3 ப). 22, (த - ப) - (த - ப).
23. (235 + Lu) — (35 — Lu). 24. (த - 2ப) + (த + 2ப).
25. (த + ப - ம) - (த - ப - ம), 26. ( 2 த - ப + 3 ம) +
(5 + 1).
27. (த-ப) + (ப- ம) + (ம-த). 28. 1 - (1 - 2 க) + (1 - க). 29. (2 க - 3 ப - ம) - (க - 3 ப), 30. 1 - (1 - 2 க) - (க - 1).
,)25o - (go - 2 Lo .32 .(نارL -- *5) - *;ی .31
33. (2 க? - ப?) - (க2 - ப?) + ப?. 34. (க? - ப?) + (ப? - ம?)
+ (ம? - க?).
35. (1 - s”) - (1 - 25°) + 1. 36. 2 - (1 - 2s).
16. அடைப்பு நீக்கம். பெருக்கலும் வகுத்தலும் :- 3(7+ 5) என்பது 7ஒடு 5ஐக் கூட்ட வந்த தொகையை 3ஆற் பெருக்குதலைக் காட்டும். 7ஐயும் 5ஐயுந் தனித்தனி 3ஆற் பெருக்கவந்த பெருக்கங்களைக் கூட்டினலும் ஒரு பயனையே பெறலாம்,
* 3(7+5)=3×7+3 ×5. இனி, 3(7 - 5) என்பது 7இல் இருந்து 5ஐக் கழிக்க வந்த தொகையை 3 ஆற் பெருக்குதலைக் காட்டும். 7ஐயும் 5ஐயுந் தனித்தனி 3 ஆற் பெருக்க வந்த பெருக்கங்களுட் பின்னதனை முன்னதனிலிருந்து கழித்தாலும் ஒரு பயனையே பெறலாம்.
・ 3(7ー5)=3×7-3 ×5. இச் சமன்பாடுகள் இரண்டிலுங் குறிப்பிட்ட பெறுமா னங்கள் உள்ள 3, 7, 5 என்னும் இவற்றிற்காகப் பெறு மானம்பற்றிப் பொதுமைப்பாடுடைய வ, த, ப என்பன வற்றை நிறுத் தின ற் பின்வ ருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம் :-
வ(த + ப)= வத + வட. வ(த - ப) - வத - வப. இவைபோல, வ(த - ப + ம)=வத - வப+ வம.

Page 18
22 மாணுக்கர்ட்சரகணிதம்
இவற்றினின்றும் பின்வரும் விதியைப் பெறலாம் :- ஒரடைப்புக்குள் இருக்கும் ஒரு கோவையை ஒரெண்ணுற் பெருக்க விரும்பின், அக்கோவையிலுள்ள ஒவ்வோருறுப்பையும் அவ்வெண் ணுற் பெருக்கிவிட்டு அவ்வடைப்பை நீக்குக.
எண்கணித முறைப்படி (7+5)-3-4(7+ 5)=+++, இங்கு 3, 7, 5 என்பனவற்றுக்காகப் பெறுமானம்பற்றிப் பொதுமைப்பாடுடைய வ, த, ப என்னும் இவற்றை நிறுத் தினல் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறலாம் :-
الف۔ 4 --- وم ۔ ۰+ = (لا + زی) ==uه - ب (L1 + (قیر)
. ܙܘ ܀- L _ é5 L HD அதுபோல, (த-ப+ ம)+ வ=(த-ப+ம)=-+.
இவற்றினின்றும் பின்வரும் விதியைப் பெறலாம் :-
ஒரடைப்புக்குள் இருக்கும் ஒரு கோவையை ஒரெண்ணுல் வகுக்க விரும்பின், அக்கோவையிலுள்ள ஒவ்வோருறுப்பையும் அவ்வெண் ணுல் வகுத்துவிட்டு அவ்வடைப்பை நீக்குக.
17. மேற்கூறிய விதிகளைப் பயன்படுத்துதலைச் சில
வுதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
(1) த(2ப - 5 ம). இதனைச் சுருக்குக.
த(2 ப - 5 ம) = 2த ப - 5 மத.
உ-ம்.
(2) 6(த + ப) - 5 (த - 2ப). இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
6(த + ப) - 5(த - 2ப) =(6த + 6 ப) - (5 த - 10 ப)
=6த + 6 ப - 5 த + 10ப = 6த - 5த + 6ப + 10ப =த + 16 ப.

அடைப்புக் குறிகள்" 23
இதனை இவ்வாறு முன் பெருக்கலைச்செய்து பின் குறியை மாற்றுதல் பிழைபடாமற் செய்தற்கு ஏதுவாகும் : பயிற்சி கூடினல் இரு செய்கைகளையும் பின்வருமாறு ஒருசேரச் செய்யலாம் :-
6 (த + ப)- 5 (த -2ப) -- 6த + 6 ப - 5 த + 10ப = 6த - 5த + 6 ப + 10ப
உ-ம்.
(3) த(த + 2 ப) - த(த - 2ப). இதனைச் சுருக்குக.
த(த + 2 ப) - த(த - 2 ப) =(த* + 2தப) - (த? - 2தப) --த* + 2தப-த* + 2தப =த?-த* + 2தப+ 2தப
ப. 4 த ப.
உ-ம்.
2 2(4) 3 ಲೈ೬೭-೭-೭. இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
ப=5ஆயின், விடையாதாகும் ?
3 + 2 2 - 1
4 3. 3 (3 + 2)- 4 (2 - 1)
(9 Lo + 6) - (8Lo - 4)
9 Lu? -- 6 — 8 Luo + 4 = —- -
Li+ 10
2
0 1 + 52 0 1 + L2 و ப=5 ஆயின், 12 2
25 - 10 12

Page 19
24
l.
9.
I 1.
13.
5.
17.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 2 (ஆ)
76 (100-1) என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. அதுபற்றி 76X 99 என்பதன் பெருக்கத்தை உய்த்தறிக.
2. 224 (2 - 4) என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. அதுபற்றி 224 x 1 என்பதன் சுருக்கத்தை உய்த்தறிக. பின் வருவனவற்றில் உள்ள அடைப்புக் குறிகளை நீக்குக:-
3 (5 g,5 - LI). த (2ப - 3ம). 49] (3) + 2D). (6.அ - 8இ). (6.5 + 2 L). (த - 2தப)- த." த (த + 6 ப). 掌(5a+25)
5 r
4.
6.
8.
I 0.
12.
l 4.
I 6.
பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக -
18.
2 O.
22.
24.
26
28.
3 O.
32.
18.
6( க + 2) - 3(க - 2).
4(ந - 3) - 2(ந - 6).
த(ப - ம) + ப(த - ம). 3(த - 2ப + 3 ம)
- 2(த + ப). த(த - ப) - ப(ப - த).
2க? + 1 2 க? - 1 5 9
2 L u — 3 Lo?
2L2 (க* + ந?) - (க? - ந?).
1 -
அடைப்புக்குள் அடைப்பாகப்
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
3 (3 ப - 3 ம), அ (3இ- 2). தப (ம - 2 வ. (9 அ- 3இ). (த ப - 2தம)--த. (6 பம - 2 மத)--2ம. ப (3 ப - 9த).
4(க - 2) + 9 ( க + 3) 3 க - 3(க - ந).
5 ( 5 - 1) - 3 (5 - 1). த(த-ப) + ப(ப - ம) + LD(LD - 5). 1 - دا 5 1 + 52 8 4 .قl - "قه _ 2یو
3.
ப(ப - 2ம) + பம.
பல வடைப்புக்கள்
இருந்தால் உள்ளீடாக இருப்பதை முன்னும் ஏனையவற்றை
அவற்றின் அடைவுக்
வேண்டும்.
கேற்றவாறு பின்னு மாக
நீக்கல்

அடைப்புக் குறிகள் 25
உ-ம்
(1) த - (த - ப - ம.) இதனைச் சுருக்குக.
த - (த - ப் - ம) =த - (த - ப + ம). (உள்ளீடாக உள்ள தொகுப்புக்
கோடு நீக்கப்பட்டது)
=5 - 5 + - 0 &
= L - lf) •
உ-ம்.
(2) 3 lu — {Lu — 3 (Lu + LD) — LD} என்பதன் பெறுமானத்
X தைக் காண்க. 3 ப - (ப- 3(ப+ ம)- ம} =3 ப - (ப - 3 ப - 3ம - ம} = 3 Li - 1 + 3 Li + 3 if) -- LD - 5ப + 4 ம.
உ-ம்.
(3) 102 - 2 கt2க - 3{க - 2(க- 2). இதனை அடைப்பு நீக்கிச் சுருக்குக. க= 2 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
10க? - 2 க(2க - 3{க - 2(க - 2)}} =10க?-2 க(2க - 3{க - 2 க + 4}} = 10 க? - 2 க(2க - 3 க + 6 க - 12) - 10 க2 - 4 க? + 6 க2 - 12 க2 + 24க
- 24 க. க= 2 ஆயின், 24 க- 24 X 2
三4& *. க = 2 ஆயின், விடை 48 ஆகும்.
பயிற்சி 2 (இ) . Li + 2 LD - {lu-(u - 2 lb). இதனைச் சுருக்குக.
名。 க- {க +(க- க +1)} இதன் பெறுமானத்தைக்
காண்க

Page 20
26 மானுக்கரட்சரகணிதம்
3. ப+2(ம-2த) -{ப-2(ம + 2த)}. இதன் சுருக்கதி தைக் காண்க.
4. 8 அ(2அ- 3இ) என்பதிலிருந்து 5அ(2அ- 3இ) என் பதைக் கழிக்க, அ=4, இ= 2 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
5. 2அ(3அ + 4இ) என்பதை அ(3அ + 4இ) என்பதனேடு கூட்டுக. அ=2, இ=0 ஆயின், விடையாதாகும்.
6. த(ப -ம) என்பதனேடு ம(த-ப) என்பதைக் கூட்டிப் பெற்ற தொகையிலிருந்து ப(த - ம) என்பதைக் கழிக்க. பின்வருங் கோவைகளை அடைப்பு நீக்கிச் சுருக்குக --
7. க-(க-(க-ந)-(க-க- ந). 8. s°- (s- (5°- (s-p-us) + 5°) + p”). .{(ناB 2 - نوی + B2) 3 - 432} 2 .9 10. க(க2- க(க2- க(க - 1)}). 11. {ந(ந?-1) + ந} - ந(ந?-1) + ந. 12. 2ந-{2ந+(2.ந - 2. ந+1) - 1. 13. 1 - (1 - {1 - (1 - 1 - க)}). 14. 2(2-2{2 - 2(2 - அ)}} + 1. 15. 2 [1 — 2 {1 - 2(1 — 2. 1 — Lu)] + (1 — 2 Lu). 16. })52 - Lت( + Lp2} + (L2 – up2 – 2ویں(. 19. அடைப்பிடுதல். அட்சர கணிதத்தில் அ டைப்பு நீக்கலேயன்றி அடைப்பிடுதலுஞ் சில அமயங்களிலே தேவைப்படும். ஆகவே, இங்கு அடைப்பிடுதற்குரிய விதி களை ஆராய்வோம்.
அடைப்பு நீக்கும் விதிகள் கொண்டு,
த + (ப - ம)=த + ப - ம g5 + ( — L u + LD) = ĝ35 — L J + LD ; த - (ப - ம)- த - ப +ம த-(-ப+ ம)=த + ப- ம.

அடைப்புக் குறிகள் 27
என்பனவற்றைப் பெறலாம். இவற்றினின்றுங் கப-ந ஆயின், ந= க என்றும் விதிபற்றிப் பின்வருஞ் சமன்பாடு களைப் பெறலாம் :-
த + ப - ம=த + (ப்-ம்) : g5 - J -- LD=5 + ( - Lu + LD) ; g5 - LI -- LD=35 - (Li - LD) ; த + ப - ம - த - ( - ப + ம). இவற்றை ஆராயின் அடைப்பிடுதற்குரிய விதிகள் இரண்டைப் பெறலாம் :-
(1) ஒரட்சரகணிதக் கோவையில் ஏதும் ஒரு பகுதியை + என்னுங் குறி முன்னிட்டு ஒரடைப்புக்குட் சேர்த்தால், அவ்வடைப்புக்குள் அகப்படும் ஒருறுப்பாயினுங் குறிபற்றி மாற்றம் அடையாது.
(2) ஒரட்சரகணிதக் கோவையில் ஏதும் ஒரு பகுதியை - என்னுங் குறி முன்னிட்டு ஒரடைப்புக்குட் சேர்த்தால், அவ்வடைப்புக்குள் அகப்படும் எல்லா வுறுப்புக்களுங் குறிபற்றி மாற்றம் அடையும்.
மேற்கூறிய விதிகள்பற்றி ஒரட்சரகணிதக் கோவையி லுள்ள உறுப்புக்களைப் பலவாறு அடைப்புக்களுக்குள் அடைக கலா ம.
உதாரணமாக அக - அந + இக - இந + உக -உந என்னுங் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களை அடைக்கும் வகைகளிற் சிலவற்றை இங்கு காணலாம் :-
(அக + இக + உக) - (அந + இந + உந) : (2) (அக - இந) + (இக - உந) + (உக - அந). (3)
ஒரடைப்புக்குட் கிடக்கும் உறுப்புக்களுக்கு ஏதும் ஒரு பொதுக்காரணி உண்டெனின், அவ்வுறுப்புக்களை அக்காரணி யால் வகுத்து ஈவுகளை அவ்வடைப்புக்குள் அடைத்து அக் காரணியை அவ்வடைப்பா லாய உறுப்புக்குக் குணகமாக நிறுத்தலாம்.
மேற்கூறிய முதலிரண்டு வகைகளையும் பின்வருமாறும் எழுதலாம் :-
அ(க - ந) + இ(க- ந) + உ(க - ந) :
க(அ + இ + உ) - ந(அ + இ + உ).

Page 21
28 மானுக்கரட்சரகணிதம்
20. அடைப்புக் குறியிடும் வகையைச் சில உதாரணங் களால் விளக்குவோம் :- உ-ம்.
(1) 2ப - 4 ம. இதனை ஒருறுப்பாக்குக. ஆக்கும்பொழுது பொதுக்காரணியை அதன் குணகமாக நிறுத்துக.
2 LJ — 4 li po =2(ப - 2 ம). உ-ம்.
(2) அக - இக* + உக?. இதன் கண் க* என்பதன் குணகங்
களை அடைப்பில் இடுக. அக - இக* + உக? - அக - க*(இ - உ). உ-ம்.
(3) அக + இக - இக* +1. இதன் கண் க" என்பதன் குணகங்களை (i) + முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக (ii) -- முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக, (i) அக" + இக - இக + 1
- 1 + இக + அக? - இக? = 1 + இக + கஃ(அ-இ) : (i) அக” + இக - இக9 + 1
= 1+ இக - இக + அக? = 1 + இக - க”(இ- அ).
பயிற்சி 2 (ஈ)
பின்வருவனவற்றை அடைப்புக்குள் இடுக. இடும் பொழுது பொதுக்காரணிகளை அவ்வடைப்புக்களுக்கு முன்னர் நிறுத்துக.
1 . 3 ப + 9 ம. 2. 4 க - 12 ப. 3, 2 அ - 4இ. 4. அக - க?. 5. அந - இந. 6. அஇ- அ'இ. 7. அ'இ + 3 அஇ?. 8. 3அ’இ” - அஇ. 9. 4 க% - 8ந?. 10. அக - இக - உக. 11. தக - பக + மக. 12. 2க9 - 4 க? +2க.

அடைப்புக் குறிகள் 29
13. அக - இக? - உக?. இதன் கண் க? என்பதன் குணகங் களை அடைப்பிலிடுக.
14. அக - இக + உக? இதன் கண் க வினுடைய குணகங் களை (1) + முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக (ii) - முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக;-
பின்வருவனவற்றிற் ப வினுடைய ஒத்த அடுக்குக் களுடைய குணகங்களை
(1) + முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக.
(i) - முன்னிட்ட அடைப்பிலிடுக.
15. அப? - இப? - உப + ப.
16. ப+ ப - அப + இப.
17. அப? + ப - இப? + உப? + 3.
18, 2 - 3ப* + ப+ அப* - ப?.

Page 22
அத்தியாயம் 3
சூத்திரங்கள் 21. சூத்திர நிறுவுதல் : எண் கடுணையாக எண்ணப் படுவன எல்லாங் கணியங்கள் எனப்படும். 5 அங்குலம், 8
இருத்தல், க ரூபா, ப பிள்ளைகள் என்பன கணியங்களுக்கு உதாரணங்களாகும். இங்கு முறையே ஒரங்குலம். ஒரி ருத்தல், ஒரு ரூபா, ஒரு பிள்ளை என்பன அலகுகளாகும். குறிக்கப்பட்ட கணியங்களுக்கிடையில் ஏதும் ஒரு ப்ொதுத் தொடர்பு நிறுவப்படின், அதுவே குத்திரம் எனப்படும். இதனை விளக்குவோம் :
ஒரு மணி நேரத்திற்குச் சராசரி 30 மைல் வீதஞ் செல்லும் புகைவண்டி யொன்று 10 மணிநேரத்தில் 30 X 10 மைல் அல் லது 300 மைற்றுாரஞ் செல்லுமென்பது எண்கணித முறை யாற் பெறலாம். இங்கு குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங்களை யுடைய 30, 10, 300 என்பனவற்றுக்காக முறையே பொது மைப்பாடுடைய வ, ம, த என்பனவற்றை நிறுத்தினல்,
த-வம என்னுஞ் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். இதன் கண் த என்பது தூரத்தையும் வ என்பது வீதத்தையு ம என்பது மணிநேரத்தையும் எண்ணளவிற் குறித்து நிற்றல் காணலாம். இச்சமன்பாடு தூரத்திற்கும் வீதத்திற்கு மணிநேரத்திற் கும் உள்ள பொதுத் தொடர்பைக் காட்டுகின்றமையாற் சூத்திரம் எனப்படும். இதனைச் சொல் பற்றி உரைக்கப் புகின், வீதத்தை மணிநேரத்தாற் பெருக்கிப் பெற்ற பெருக்கமே தூரமாகும் என்று ஒரு பொதுவுரையாற் கூறலாம.
இதன் கண் வ= 5, ம= 4 ஆயின், த - 5 x4=20.
6) == 1 0, ԼԸ = 8 , , , g5 = 1 0 x 8 == 80. இவ்வாறு பிற வீதங்களுக்கு மணிநேரங்களுக்குமுரிய தூரங்களை இச்சூத்திரத்திலிருந்து பெறலாம் : பிற சூத்தி ரங்களும் இதனைப் போன்றவையெனக் காட்டலாம். ஆகவே,

சூத்திரங்கள் 3.
ஒவ்வொரு சூத்திரமுஞ் சிறப்புவகைகள் எல்லாவற்றையும் ஒரு பொதுவுரைக்குள் அகப்படுத்தி நிற்கும் என்பது புலணுகும்.
22. மேற் கூறியதைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :
உ-ம்.
(1) க இருத்தற் கயிற்றை இருத்தல் ஒன்று ரூபா ப வீதம் விலையாகக் கொண்டு ரூபா த வீதம் விற்றல் வரு நயம் ரூபா ந ஆயின், ந, ப, த, க என்பனவற்றுக்குள்ள தொடர்பை ஒரு சூத்திரத்தாற் காட்டுக. க= 100இரு. , ப- ரூபா, த= ரூபா ஆயின், ந வின் பெறுமானத்தைக் காண்க. (i) இருத்தற் கயிற்றின் கொள்விலை ரூபா ப;
”。巴历 9 y P py ரூபா கப ;
9 p. விற்றவிலை ரூபா த ; ... g. y s ரூபா கத
க இருத்தற் கயிற்றை விலைக்குக் கொண்டு விற்க வருநயம் ரூபா (கத - கப) = ரூபா க(த-ப) :
ஆனல், கணக்கின்படி நயம் ரூபா ந ஆகும்.
ந= க (த - ப); (i) ந= க (த-ப) : இங்கு க = 100, ப-, த= ஆயின்
历=100(署一基)
=I00×量 - 25. .. ந வின் பெறுமானம் ரூபா 25 ஆகும். ad-lb.
(2) ந அடி நீளமும் அ அடி அகலமும் உள்ள ஒரு செவ்வக வயலின் பரப்பளவு ப சதுர வடி ஆயின், ப, ந, அ என்பனவற்றுக்குரிய தொடர்பைக் காண்க.
ந= 320', அ= 150 ஆயின், ப வினது பெறுமானத்தைக்
Gf Gð075
() ஒரு செவ்வக வயலினது நீளம் ந", அதன் அகலம் அ’,

Page 23
32 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
.. அதன் பரப்பளவு நஅ சதுர வடி.
கணக்கின்படி அதன் பரப்பளவு ப சதுரவடி
... t = 59.
(i) ப=நஅ
இங்கு ந=320', அ= 150 ஆயின்,
= 320' X 150' =48000 சதுர வடி.
உ-ம்.
(3) ஒரு முக்கோணத்தில் ஒருகோணந் த ஆயும் ஒரு கோணம் ப° ஆயும் இருப்பின், மற்றைய கோணத்தின் பெறு மானத்தைத் காண்பதற்கு ஒரு சூத்திரந் தருக.
மற்றைய கோணத்தின் பெறுமானம் ம° எனக் கொள் வோம்.
கேத்திரகணிதத்தின்படி ஒரு முக்கோணத்தினுடைய மூன்று கோணங்களுஞ் சேர்ந்து 180° ஆகும்.
ஆணுல், முதல் இரண்டு கோணங்களின் பெறுமானம் (த + ப)" ஆகும் ;
'. மூன்ரு ங் கோணத்தின் பெறுமானம் 180°- (த + ப)°;
இது ம° என்பதற்குச் சமன் :
‘. ம= 180 - (த + ப).
பயிற்சி 3 (அ)
1. ப பசுக்களை ஒன்று ரூபா க வீதங் கொண்டு ஒன்று ரூபா வ வீதம் விற்ருல் வரு நட்டத்தைச் சூத்திர வடிவிற்றருக.
2. ஒரு புகைவண்டியானது ஒரு மணி நேரம் வ மைல் வீதமாகத் த மைற்றுாரத்தை எத்தனை மணிநேரத்திற் செல்லுமென்பதைச் சூத்திர வடிவத்திற் காட்டுக.
3. ஒரு நாடகசபையின் அங்கத்தவர் ஒவ்வொருவருக் கும் 2 இலவசச் சீட்டுக்களோடு ஒன்று ரூபா 3 வீதம் எத்தனை சீட்டுக்களுங் கொள்ள உரிமை உண்டெனின், (i) 9 சீட்டுக்கள் பெற (ii) க சீட்டுக்கள் பெற, ஓரங்கத்தவனுக்கு எத்தனை ரூபா வேண்டும் ?

சூத்திரங்கள் 33
4. த அடி சுற்றுக்கொண்ட வண்டிச்சில்லு ஒன்று ம தரஞ்சுற்றப் ப யார் போகுமெனின், த, ப, ம, என்பனவற்றின் ருெடர்பைக் காட்டுஞ் சூத்திரந் தருக.
5. 180 ப அடி நீளமுள்ள ஒரு தெருவின் கரை யொன்றில் 60 யாருக்கு ஒன்ருக வ விளக்குக் கம்பங்களை நாட்டலா மெனின், ப வுக்கும் வ வுக்குமுள்ள தொடர்பு யாது?
6. ந யார் நீளமும் அ யார் அகலமும் உள்ள ஒரு செவ்வக வயலைச் சுற்றி வேலி அடைப்பதற்கு 3 அடிக்கு ஒரு மரக்குற்றியாக ம குற்றிகள் வேண்டுமாயின், ந, அ, ம என்பனவற்றின் ருெ டர்பைக் காட்டுஞ் சூத்திரந் தருக. ந= 350 யார், அ=க 250 யார் ஆயின், ம வின் பெறுமானத் தைக் காண்க.
7. 3க யார் நீளமும் 2க யார் அகலமும் உள்ள ஒரு செவ்வக வயலின் பரப்பளவு ப சதுர வடியாயின், க விற்கும் ப விற்கும் உள்ள தொடர்பைக் காட்டுஞ் சூத்திரந் தருக.
8. த அடிச் சதுரமான அறையொன்றின் மத்தியிலே ம அடிச் சதுரமான கம்பளம் ஒன்றை விரித்து வைத்தால், அவ்வறையிற் கம்பளமில்லாப் பகுதியின் பரப்பளவு ப சதுரவடியாயின், ப வின் பெறுமானத்தைத் த, ம என்னும் இவற்றிற்றருக.
9. த கலனளவு நீராலே நிரம்பிய தொட்டி யொன்றி லிருந்து ப கலன் கொள்ளுஞ்சா டி ஒன்றை ம முறை நிரப்பலா மெனின், ம வின் பெறுமானத்தைத் த, ப என்பனவற்றிற் றருக.
10. ஒரு தகரப்பெட்டியினுடைய நீள வகலவுயரங்கள் உட்பக்கமாக முறையே ந, அ, உ அங்குலங்களாயின், அதன் கொள்ளளவு க க்கன யாரை ந, அ, உ என்பனவற்றிற்றருக. 11. ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் ப° ஆயும் ஒரு கோணம் 2ப° ஆயும் இருப்பின், மற்றைய கோணத்தின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
12. அ அங்குல நீளமுள்ள கம்பி ஒன்றை முக்கோண வடிவ மாக்க ஒரு பக்கம் இ அங்குலமும் ஒரு பக்கம் உ அங்குலமு மாய் இருப்பின், மற்றைய பக்க்த்தின் அளவு என்ன?
3951-(;

Page 24
34 மானுக்கரட்சரகணிதம்
13. ஒராசிரியரின் வேத ன முதலாண்டுக்கு ரூபா க ஆயும் இரண்டாம் ஆண்டுக்கு ரூபா க + ந ஆயு மூன்ரும் ஆண்டுக்கு ரூபா க + 2 ந ஆயும் இருப்பின், ஆரும் ஆண்டுக்கு அவர் வேதனம் என்ன?
14. ம மாணுக்கருடைய தற்போதைய வயதுகளைக் கூட் டினல், ப ஆண்டுகளாகும். த ஆண்டுகள் சென்றபின் அவர்களுடைய வயதுகளின் கூட்டுத் தொகை என்னவாகும் ? 15. ஒரெண்ணைத் த வாற் பெருக்கி 3 ஆல் வகுக்க விடை ப வாகுமெனின் அவ்வெண் யாது?
23. குத்திரங்களைப் பயன்படுத்தல் :-கணித வகைகள் எல்லாவற்றிலுஞ் சூத்திரங்கள் உண்டு. ஆகவே, மாணக்கர் அவற்றைப் பயன்படுத்தும் வகையிற் பயிற்சியடைதல் வேண்டும்.
ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு எண்ணளவில் அதன் அடியை அதன் குத் துயரத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத் தின் அரைப்பங்குக்குச் சமன் என்று அளவியனுால் கூறும் . இத்தொடர்பைப் பின்வருஞ் சூத்திரங் காட்டும் :-
ப=* அஉ; இதன் கண் ப என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பள வையும், அ என்பது அதன் அடியையும் உ என்பது அதன் குத் துயரத்தையும் எண்ணளவிற் குறித்துநிற்கும். ப, அ, உ என்னும் இவற்றுள் இரண்டினுடைய பெறுமானங்களைத் தந்தால், மூன்ருவதன் பெறுமானத்தைக் காண்பதற்கு இச் சூத்திரம் பயன்படும்.
24. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தும் வகைகளைச் சில வுதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
(1) 6 அங்குல அடியையும் 4 அங்குலக் குத் துயரத்தையும் உடைய ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
அளவியனுரலின்படி ப என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும், அ என்பது அதன் அடியையும், உ என்பது அதன் குத் துயரத்தையும் எண்ணளவிற் குறித்து நின்ருல்,
L=德 의

சூத்திரங்கள் 35
என்னுஞ் சூத்திரம் அவற்றிற்கிடையே யுள்ள தொடர் பைக் காட்டும்.
இங்கு அ= 6", உ- 4".
ப= x 6 x 4 சதுர வங்குலம்
= 12 சதுரவங்குலம்.
தந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 12 சதுர வங் குலமாகும் உ-ம்.
(2) 8 அங். ஆரையுடைய வட்டமொன்றின் பரிதியைக்
ტყა F H - 6ზშjr ტ. ა.
(ஒரு வட்டத்தினுடைய ஆரையும் பரிதியும் எண்ணள விலே முறையே அவுஞ் ச வும் ஆயின், அவற்றின் ருெ டர்பைச் ச= உாஅ என்னும் அளவியனுாற் சூத்திரம் உணர்த்தும் என்பதறிக.)
(T- என்பது ஏறத்தாழ 2என்பதற்குச் சமன் என்று கொள்ளலாம்.)
ச- 2ாஅ ; இங்கு அ= 8" ஆயின்,
ச- 2 ×響×s"
352 " .
=503"
தந்த வட்டத்தின் பரிதி ஏறத்தாழ 504" ஆகும். உ-ம் W
(3) 7 அங். ஆரையுடைய வட்டமொன்றின் பரப்ப ளவைக காணக.
(ஒரு வட்டத்தினுடைய ஆரையும் பரப்பளவும் எண்ண ளவில் அ ஷம் ப வும் ஆயின், அவற்றின் ருெ டர்பைப் ப-Tஅ? என்னும் அளவியனுாற் சூத்திரம் உணர்த்தும்
என்பதறிக.)
ப=Tஅ? இங்கு அ==7".
. L=響× 7?ச. அங்,
- 154 ச. அங். ". தந்த வட்டத்தின் பரப்பளவு ஏறத்தாழ 154 ச. அங்.

Page 25
36 மாஞ்றக் கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 3 (ஆ) 1. 8 அங். அடியையும் 5 அங். குத் துயரத்யையும் உடைய ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
2. 10 அங். அடியையுடைய முக்கோண மொன்றின் பரப்பளவு 60 ச. அங். ஆயின், அதன் குத்துயரம் என்ன? 3. ஒரடிக் குத்துயரமுள்ள முக்கோண மொன்றின் பரப்பளவு 84 ச. அங். ஆயின், அதன் அடியின் அளவை அங்குலத்திற்றருக.
4. 9" ஆரையையுடைய வட்டமொன்றின் பரிதியைக் காண்க. அதன் பரப்பளவையுந் தருக.
5. அ அலகு ஆரை யையுடைய ஒரு கோளத்தின் வளை பரப்பு வ சதுரவலகு என்பது 4Tஅ? என்பதற்குச் சமன யின் 6 அங். ஆரையையுடைய கோள மொன்றின் வளை பரப்பைச் சதுர வடிகளிற் றருக.
6. அ அலகு ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கன வளவின் அலகு 西=器° ஆயின், 7 அங். ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கனவளவைக் காண்க.
7. அ அலகு ஆரையையுடைய அடித்தளமுந் த அலகு சாயுயரமும் உடைய ஒரு செவ்விய வட்டக்கூம் பின் வளே பரப்பு அலகு ப =Tஅத என்றும், அதன் அடிப்பரப்பு அலகு பg=Tஅ? என்றுங் கொண்டு பின்வருவனவற்றுக்கு விடை காண்க.
(1) 6" ஆரையையுடைய அடித்தளத்தையும் 12" சாயு யரத்தையுமுடைய ஒரு செவ்விய வட்டக்கூம்பின் வளை பரப்பைக் காண்க.
(2) 3" ஆரையையுடைய அடித்தளமும் 5" சாயுயரமும் உடைய ஒரு செவ்விய வட்டக்கூம்பின் புறப்பரப்பைக் காண்க.
8. ப சதுர வடிப் பரப்புடைய அடித்தளமும் உ அடிக் குத் துயரமுங் கொண்ட ஒரு நான்முகத் திண்மத்தின் கன வளவு க- ப உ ஆயின், 800 சதுர வடிப் பரப்புடைய அடித்தளமும் 450 உயரமுங் கொண்ட ஒரு நான் முகத் திண்மத்தின் கனவளவைக் காண்க.

சூத்திரங்கள் 37
8 9. ம மைல் என்பது ஏறத்தாழ # கில்லோ மீற்றருக் குச் சமனனல் 25 மைல் எத்தனை கில்லோ மீற்றருக்குச் சமனுகும்?
10. ஒரு செக்கனுக்குக் க அடி வேகம் என்பது ஒரு
5 மணிநேரத்திற்கு மைல் வேகத்திற்குச் சமனுனல், ஒரு செக்கனுக்கு 88 அடி வேகத்தை மணிக்கு இத்தனை மைல் வேகமெனக் கூறுக.
11. முதல் இ இயற்கை யெண்களுடைய கூட்டுத்தொகை =இஇ ) ஆயின், முதல் 50 இயற்கை யெண்களுடைய கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
12. முதல் இ இயற்கை, யெண்களுடைய வர்க்கங்களின்
கூட்டுத்தொகை , இ(இ2இ-1) ஆயின், முதல் 20
இயற்கை யெண்களுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை
G6) | | 535 5T Gò33 g ..
13. அ, அ + வ, அ + 2வ . . . என்னுந் தொடரில் இ ஆம் உறுப்பு அ + இ - 1வ ஆயின், 6, 8, 10 . . . என்னுந் தொட ரில் 24 ஆம் உறுப்பைக் காண்க.
14. அ, அ + வ, அ + 2வ . . . என்னுந் தொடரில் முதல் இ உறுப்புக்களுடைய கூட்டுத்தொகை த=இ2அ+இ-1வ) ஆயின், 6, 8, 10 . . . என்னுந் தொடரிலே முதல் 25 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க. -
15. அ, அவ, அவர் . . . என்னுந் தொடரிலே முதல்
( 1 مم. *** لمدة ) بدوي
- , * ஆயின் 1, 2, 4 . . . என்னுந் தொடரிலே முதல் 8 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
16 அ, அவ, அவ? . . . என்னுந் தொடரில் இ ஆம் உறுப்பு அவசி'ஆயின், 1, 2, 4 . . . என்னுந் தொட ரில் 8 ஆம் உறுப்பைக் காண்க.
இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை த

Page 26
38 மாணக்கரட்சர கணிதம்
17 ந அலகு நீளமும் அ அலகு அகலமும் உ அலகு உயர மும் உள்ள ஒரு செவ்வகப் பெட்டியின் கொள்ளளவலகு க=நஅஉ ஆயின், 12 நீளமும், 8 அகலமும், 4" உயரமுங் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டி யொன்றின் கொள்ளளவைக் காண்க.
18. ந அலகு நீளமும் அ அலகு அகலமும் உ அலகு உயரமும் உள்ள ஓரறையினுடைய உட்பக்கச் சுவர்களின் பரப்பள வலகு ப-2(ந+ அ)உ ஆயின், 16 அடி நீளமும் 14 அடி அகலமும் 12 அடி உயரமுங் கொண்ட ஓரறையினுடைய உட்பக்கச் சுவர்கள் எத்தனை சதுரவடிகள் ஆகும்?
19. எ யை வ வால் வகுக்க இ ஈ வாயு ம மிச்சமாயும் வரின், எ= வஇ+ ம. எனின், 12 ஐ வகுக்குமெண்ணு யும் 16 ஐ ஈ வர் யும் 7 ஐ மிச்சமாயுமுள்ள நெடு முறை வகுத் தற்கணக்குக்குரிய வகுக்கப்படுமெண் யாது?
20. is 5 +ம ஆயின், ம என்பது முறையே 0, 1, 2, 3, 4 என்னும் பெறுமானங்களைப் பெறப் ப என்பது எவ்வெப் பெறுமானங்களைப் பெறும்?
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 1
(அ) 1. பின்வருவன க விலும் எத்தனையாற் கூடியன :-8, ந’. 2. (1) 2x5க ; (2) 5 கX3 ; (3) 2தபXம ; இவற்றைச் சுருக்குக.
3. ஒரெண்ணை அவ்வெண்ணுடன் கூட்ட வருந்தொகை அவ்வெண்ணை இரண்டாற் பெருக்கவருவதற்குச் சமன். இப்பொது வுரைக்குரிய அட்சரகணிதச் சமன்பாடு தருக.
4. 1 - (3 - 2 க) + 1 + 3 க. இதனை அடைப்பு நீக்கிச் சுருக்குக. க= 2 ஆயின், விடையாதாகும்?
5. ஒரு கைக் கடிகாரம் ஒரு மணிநேர ம நிமிட வீதம்
பிந்தி ஒடுகின்றது. அக்கடிகாரம் ஒரு மணிநேரம் இத்தனை செக்கன் வீதம் பிந்தி ஒடுகின்றதெனக் காண்க.

சூத்திரங்கள் 39
(ஆ)
1. பின்வருவன க விலும் எத்தனையாற் குறைவு? 5, ந?.
2. 3 க + 4 க" - 5 க + 2. இதனைக் க வினுடைய ஏறடுக்கு வரிசையிலும் இறங்கடுக்கு வரிசையிலும் எழுதுக.
3. ந= 3 க? - 2 க + 1 . இதன் கண் க- 3 ஆயின், ந வினது பெறுமானத்தைக் காண்க.
4. (2த?-3 ப?-4ம?)- (த2+3 ப?-4ம"). இதனை அடைப்பு நீக்கிச் சுருக்குக.
5. கூலிக்காரணுெருவன் நாளொன்றுக்கு ரூபா த வீதம் ஒரு வாரத்தில் ரூபா ப உழைக்கின்றன். ப வின் பெறு மானத்தைத் த விற்றருக.
(இ) ܫ
1. ஒரெண்ணினுடைய இரு காரணிகளுள் ஒன்று க வும் ஒன்று ந வும் ஆயின், அவ்வெண் யாது? க- 3, ந= 4 ஆயின், அவ்வெண்ணின் பெறுமானம் என்ன ?
2. 2 க + 3 கப+ ப?. இக் கோவையிலே க?, க என்னும் இவற்றினுடைய குணகங்களைக் காண்க.
3 ந- 5 க - 3 க - 1. இதன் கண் க= 1 ஆயின், நவினது பெறுமானத்தைக் காண்க.
4. 3 lu - 2 { LI - 3 (Lu + 2)}. இதனை அடைப்பு நீக்கிச் சுருக்குக. ப- 2ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன?
5. கதிரை யொன்று ரூபா 2த வீதம் 3 ப கதிரைகள் விலைக் குக் கொள்ள ரூபா 4ம வேண்டும். இவ்வுண்மையை ஒரட் சரகணிதச் சமன்பாட்டாற் காட்டுக.
(FF)
1. த வினுடைய ஒரு காரணி ப ஆயின், மற்றைய காரணி யாது?
2. 3 க" - 2 க + க + 1 - க இதனைக் க வின் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதுக.
2 2 ,இதனைச் சுருக்குக, க = 2 ஆயின் .1 –ه 2_2-چ 3
இதன் பெறுமானம் என்ன?

Page 27
40 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
4” 7 ملا - LL 2 L1 - 2 {L 3 - ل )L1 - 2({ [. இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க. ப= ஆயின், விடை யாதாகும்?
5 ம மாணக்கருடைய தற்போதைய வயதுகளைக் கூட் டினுற் க ஆண்டுகளாகும். ப ஆண்டுகளுக்கு முன்னுள்ள அவர்களுடைய வயதுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
(உ) 1. 5க வொடு 4க வைக் கூட்ட வருந்தொகையை 3 ந வால் வகுக்க,
2. 3க'ந' - 2 கர்ந - கந8+ ந4 + 4க*. இதனைக் க வினுடைய ஏறடுக்கு வரிசையில் எழுதுக.
3. க = 2, நா; ஆயின், பின்வருவனவற்றுக்குப் பெறு மானங்கள் காண்க :-(1) 2கந:(2) க? - ந? ; (3) க- ந.
க + ந 4. 33 - 3 (3 - 3(3 - ப)}}. இதனைச் சுருக்குக. ப-2 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன?
5. 3 அடுத்துவரும் இயற்கை யெண்களுட் பெரியது ப ஆயின், சிறியது யாது?
(ஊ)
3க - 5
5
1. க என்பது 5 ஐக் குறிக்கின், என்பது எவ்
வெண்ணைக் குறிக்கும் ?
2 ப° என்பதற்கும் 3 ப என்பதற்கும் உள்ள வேறுபாடு யாது? ப+3 ஆயின், ப - 3 ப என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க,
3. ந=2க - 3 க +1. இதன் கண் க-1 ஆயின், ந வினது பெறுமானம் என்ன?
4. 2 * - ينه. இதனைச் சுருக்கித் தருக.
5. அ" ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் புறப்பரப்பின் அளவு ப சதுர வங்குலமாயின், அ விற்கும் ப விற்கும் உள்ள தொடர்பு ப-47 அ? என்னுஞ் சூத்திரத்தாற் காட்டப்படும். 元=尝 எனக் கொண்டு 3" ஆரையையுடைய
கோள மொன்றின் புறப்பரப்பினளவைக்காண்க.

சூத்திரங்கள் 4.
(στ) 1. ஒரு சதுர வறையினது நீளம் ந' ஆயின், அதன் பரப்
பளவைச் சதுர யாரிற் றருக.
2. 86 என்னும் எண் அட்சரகணித முறைப்படி 100த + 10 ப+ம என்று எழுதப்படின் த, ப, ம என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
3. ந=2க" - 4. இதன் கண்ணே க- ஆயின், ந வின் பெறு மானம் என்ன ?
4. அக + உக? - இக?. இதன் கண்ணே க வினுடைய ஒத்த அடுக்குக்களுக்குரிய குணகங்களை - முன்னிட்ட அடைப் பிலிடுக.
5. இ இருத்தல் இனிப்ன்ப இருத்தலொன்று ரூபா த வீதங் கொண்டு ரூபா வ வீதம் விற்க வருநட்டம் ரூபா ம ஆயின், இ, த, வ, ம என்பனவற்றுக்குரிய தொடர்பை ஒரு சூத்திரத்தாற் காட்டுக்.
(ஏ)
1. ஒரெண்ணே 2 ஆல் வகுத்து 3 ஆற் பெருக்க விடை வ வாகுமெனின் அவ்வெண் யாது?
2. 209 என்னும் எண்ணை அட்சரகணித முறைப்படி எழுதுக.
3. க-த், ந= ஆயின், க - 2 கந + ந’ என்பதன் பெறு மானத்தைக் காண்க.
4. ப-(க-(க- (க- க - ப)}}. இதனைச் சுருக்குக.
5. முதல் இ இயற்கை யெண்களுடைய கூட்டுத்தொகை இ(இ + 1)
2
ஆயின், முதல் 100 இயற்கை யெண்களுடைய கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(ஐ) 1. 3க என்பதன் வர்க்கத்தின் அரைப்பங்கைக் காண்க. 2. 3 க* + 4 க* - 2 க + 1 + 4க - 3 க + 2. இதன் கண்ணே க? என்பதன் குணகத்தைக் காண்க.

Page 28
42 மானுக்கரட்சரகணிதம்
3. + . இதனைச் சுருக்குக.
4, த + 2 ப - 3ம என்பதிலிருந்து த - ப + 3ம என்பதைக் கழிக்க.
5. த நாற்காலிகளை ஒன்று ரூபா ப வீதம் விலைக்குக் கொண்டு ஒன்று ரூபா ம வீதம் விற்றல் எத்தனை ரூபா நட்டம் ?

அத்தியாயம் 4
இலகுவான உத்திக் கணக்குக்களுஞ்
சமன்பாடுகளும்
25. அட்சரகணிதவுத்திக்கணக்குக்கள் செய்யுமிடத் து முன்னர் அக்கணக்குக்களுக்குரிய சமன்பாடுகளைப் பெற வேண்டும். பின்னர் அச்சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளைக் காணவேண்டும். இத்தீர்வுகளே அக்கணக்குக்களுக்குரிய விடைகளாகும். ஆயின், இவ்விரண்டையும் இரண்டு பிரிவில் வைத்து ஆராய்வோம்.
26. உத்திக் கணக்குக் களிலிருந்து சமன்பாடுகளைப் பெறும் வகைகளை உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
(1) ஒரு மனிதனுடைய தற்போதைய வயது 28 ஆண்டு. அவன் மகனின் வயது 5 ஆண்டு. க ஆண்டுகளிலே மகன் றனது தந்தையின் மடங்கு வயதினன் ஆவன். கவின் பெறுமானத்தைக் காண்பதற்குரிய சமன்பாட்டைத் தருக. குறித்த மனிதனினுடைய தற்போதைய வயது 28 ஆண்டு ;
*. க ஆண்டுகளில் அவன் வயது 28 + க ஆண்டாகும் ; அவன் மகனினுடைய தற்போதைய வயது 5 ஆண்டு ;
. க ஆண்டுகளிலே மகனின் வயது 5 + க ஆண்டு ஆகும் ; ஆனல், கணக்கின்படி மகன் வயது தந்தையின் வயதின் மடங்காகும்.
', 5 + க = (28 + க) : . வேண்டிய சமன்பாடு 5 + க = (28 + க) என்பதே.
உ-ம்.
(2) ஒரெண்ணை 3 ஆற் பெருக்கவந்த பெருக்கத்தோடு 6 ஐக் கூட்டவந்த கூட்டுத்தொகை 42 ஆகும். இதனை ஒரு சமன்பாட்டாற் காட்டுக.
தந்த எண் க எனக் கொள்வோம் ; அதனை 3 ஆற் பெருக்கவந்த பெருக்கம் 3க ஆகும் ;

Page 29
44 மானுக்கரட்சரகணிதம்
இப் பெருக்கத்தோடு 6 ஐக் கூட்டினற் கூட்டுத்தொகை 3 க + 6 ஆகும் ;
கணக்கின்படி இதற்கு 42 சமன் ;
3 க + 6 - 42.
உ-ம்.
(3) ஒரு முதலாளி இரு கூலிக்காரர்க்கு ரூபா 50 ஐப் பகுக் கும்போது ஒருவனிலும் ஒருவனுக்கு ரூபா 12 கூடுதலாகக் கொடுத்தான். இதனை ஒரு சமன்பாட்டாற் காட்டுக.
குறைந்த தொகை பெற்றவன் ரூபா க பெற்றன் எனக் கொள்வோம் : w
* கூடிய தொகை பெற்றவன் ரூபா (க + 12) பெற்ரு ஞவன் ;
. இருவரும் பெற்ற தொகை ரூபா க + (க + 12) ஆகும் ; கணக்கின்படி இதற்கு ரூபா 50 சமன்
*. க + (க + 12) - 50.
உ-ம்.
(4) 48 மைல் இடைத்தூரமுள்ள இரு பட்டினங்களி லிருந்து இருவர் காலை 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு ஒருவனிலும் ஒருவன் இருமடங்கு வேகமாக நடந்து 8 மணிநேரத்தில் ஒருவனை ஒருவன் சந்தித்தனர். இவ்வுண்மையை விளக்குஞ் சமன்பாட்டைத் தருக.
மெல்ல நடந்தவன் ஒரு மணிநேரத்திற்குக் க மைல் வீத நடந்தான் எனக் கொள்வோம்.
" விரைவாய் நடந்தவன் ஒரு மணிநேரத்திற்கு 2க மைல் வீத நடந்தானவன் ;
.. 8 மணிநேரத்தில், மெல்ல நடந்தவன் சென்ற தூரம் 8க மைல் ஆகும் ;
8 மணிநேரத்தில், விரைவாய் நடந்தவன் சென்ற தூரம் 8 X 2க மைல்=16க மைல் ஆகும் ;
", ஒருவனை ஒருவன் சந்தித்தபோது இருவரு நடந்த தூரம் 8 க + 16க மைல் ஆகும் ; கணக்கின்படி இதற்கு 48 மைல் சமனுகும்.
* 8 க + 16 க= 48.

லக வான உக்திக் கணக்கக்க ரு சமன்பாடுகளும் 45 லகு த குககளுஞ ளு
பயிற்சி 4 (அ) 1. பின்வருவனவற்றைப் பிழை நீக்கி எழுதுக.
(1) அவனது வயது க எனக் கொள்வோம். (2) ஒரு தேங்காயின் விலை ப. (3) ஓரறையினது நீளங் க எனக் கொள்வோம். (4) 3 க + ந= 12 . (5) க'X'ந'= கந' . (6) ஒரு புகைவண்டியின் வேகங் க வெனக் கொள் வோம்.
(7) ந நீளமும் அ அகலமும் உ உயரமும் உடைய ஓரறையின் கொள்ளளவு நஅஉ ஆகும். -
(8) ஒரு வட்டத்தின் ஆரை அ ஆயின், அதன் பரப் பளவு Tஅ* ஆகும்.
(9) த என்பது ஒற்றை யெண்ணுயின் த + 2 என்பது இரட்டை யெண்ணுகும்.
(10) த என்பது இயற்கை யெண்களுள் எதனைக் குறித்தா லும் 2த + 1 என்பது இரட்டை எண்களையே குறிக்கும்.
பின்வருவனவற்றின் கண்ணுள்ள உண்மைகளை விளக்குஞ் சமன்பாடுகளைக் காண்க :-
2. இரண்டு எண்களுடைய கூட்டுத்தொகை 240. ஒன்றன் 4 மற்றையதன் இலும் 40 ஆற் கூடியது.
3. அ, இ, உ, என்னு மூவர்க்கு ரூபா 810 ஐப் பகுத்துக் கொடுக்க. கொடுக்கும்போது அ வின் பங்கு இ யின் பங்கின் மும்மடங்காயும் இ யின் பங்கு உ வின் பங்கின் இருமடங்காயும் வரச் செய்க.
4. ஒரெண்ணுனது தன் இலும் 125 ஆற் கூடியது. 5. ஒரெண்ணின் தி இல் இருந்து 16 ஐக் கழிக்க வந்த மிச்சத்தை 6 ஆற் பெருக்க வந்த பெருக்கம் அவ்வெண்ணி லும் 6 ஆற் குறைந்தது.
6. அ, இ என்பவர்களுடைய தற்போதைய வயது களைக் கூட்டினற் கூட்டுத் தொகை 48 ஆண்டுகளாகும். 6 ஆண்டுகளுக்குமுன் அ என்பவனின் வயது இயின் வயதின் மும் மடங்கு.

Page 30
46 ழாணுக்கரட்சரகணிதம்
7. 4 அடுத்துவரும் இயற்கை யெண்களின் கூட்டுத் தொகை 274.
8. 750 யாரை இருபங்குகளாக்குமிடத்து ஒன்றின் 4 மற்றையதன் இலும் 30 ஆற் கூடும்படி செய்க. 9. 50 என்பது ப விலும் 6 ஆற் கூடியது. 10. அ என்பவன் ஒரு மணிநேரத்திற்குத் த மைல் வீதமாகப் ப மணிநேர நடந்த தூரம் இ என்பவன் ஒரு மணிநேரத்திற்கு ம மைல் வீதமாக வ மணிநேர நடந்த தூரத்திற்குச் சமன்.
11. இரண்டு இலக்கங்களா லாய ஓரெண்ணின் ஒன்றி னிடத்து இலக்கம் 4. அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை அவ்வெண்ணின் 4 க்குச் சமன்.
27. இலகுவான சமன்பாட்டுத் தீர்வுகள்: சமன்பாடுகளைப் பல முறை கள் பற்றி வகுக் கலாம். அவற்றை ச் சர்வ சமன்பாடுகள், நிபந்தனைச் சமன்பாடுகள் என்று வகுத்தல் ஒரு முறை. க + ந= ந+ க என்பதைச் சர்வ சமன்பாட்டுக்கும், 5 க=15 என்பதை நிபந்தனைச் சமன் பாட்டுக்கும் உதாரணங்களாகக் கூறலாம். இவற்றுட் க+ ந= ந + க என்பதில், க வு ந வும் பெறுமானம் பற்றி ஒருவகை நிபந்தனையுமின்றிப் பொதுமைப்பாடடைந்தி ருப்பதைக் காணலாம். ஆயின், அதனைச் சர்வ சமன்பாடு எனலாம். இதனைக் க + ந = ந + க என்று எழுதுதல் வழக்கு. இங்கு = என்னுங் குறி ' என்பதற்குச் சர்வ சமன் என்பதைக் குறிக்கும். 5 க-15 என்னுஞ் சமன்பாடு க வின் பெறுமானம் 3 ஆயினுற்ருன் உண்மையாகும். அதுபற்றி அதனை நிபந்தனைச் சமன்பாடு என்று கூறுவர். இங்கு 3 என்பது அச்சமன்பாட்டுத் தீர்வாகும். அதனை அச்சமன் பாட்டு மூல மெனினும் அமையும்.
நிபந்தனைச் சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் காணும் வழிகளுட் சிலவற்றைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் பற்றி அறியலாம் :- உ-ம். .
(1) க - 4=5. இச்சமன்பாட்டினது தீர்வைக் காண்க.
க - 4= 5 ;

இலகுவான உத்திக் கணக்குக்களுஞ் சமன்பாடுகளும் 47
இரு பக்கங்களுக்கும் 4 ஐக் கூட்டுக.
க - 4 + 4 = 5 + 4 ; ‘。占=9。
உ-ம்.
(2) க + 9 = 12. இச்சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் காண்க.
み + 9= I2 ;
இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 9 ஐக் கழிக்க.
. (5 + 9 - 9=l 2 - 9
‘. 5=3。
உ-ம்.
(3) 4ப=24. இதற்குத் தீர்வுகாண்க.
4 ப- 24 ; இரு பக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுக்க.
4ப_24 o 44
L = 6.
2 - Lib.
(4) = 2. இதனைத் தீர்க்க.
இரு பக்கங்களையும் 5 ஆற் பெருக்க.
த 5
.. ந= 10.
× 5=2 × 5 ;
பயிற்சி 4 (ஆ) பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
1. 45= 12. 2. 55= 15. 3.
巴叛
4. 五= 5. 5. 5ー5=7. 6.
3க_
7. 6 க= 1. 8. -- 9. 9.
5
4க- 0
g + 5= S.
க + 3 = 8.

Page 31
48 மாணக்கரட்சரகணிதம்
dg፩ 3க . Z * 9-- . 11 (0 -حس س- و 0 ll
4 ο. 4 9 12; 55 - 2 13. 5 - 7= 9. 14. 9= 5 - 3. 15. 5 - 65.
க 3 6、一=ー。 . 4 க= 1. 二 I 2 4 17 g= I 五 8。6=占十2
29, 5 9. l = -. 20。ー=ー。 I l 4 5 3
28. சமன்பாட்டுத் தீர்வுகள் பெரும்பான்மையாகப் பின்வரு நான்குண்மைகளைத் தழுவி நிற்றல் புலணுகும்: (1) சமன்களுடன் சமன்களைக் கூட்டினல், அக் கூட்டுத் தொகைகள் ஒன்றுக்கொன்று சமன்.
(2) சமன்களிலிருந்து சமன்களைக் கழித்தாற் கழித்துப் பெற்ற மீதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமன்.
(3) சமன்களைச் சமன்களாற் பெருக்கினல், அப்பெருக் கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமன்.
(4) சமன்களைச் சமன்களால் வகுத்தால், வகுத்துப் பெற்ற ஈவுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமன்.
இவ்வுண்மைகளைப் பயன்படுத்திச் சமன்பாட்டுத்தீர் வுகள் காண்பதைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் விளக்கும் :- உ-ம்.
(1) 4 க - 3 = 2 க + 3. இச் சமன்பாட்டினுடைய தீர்வைக் காண்க.
4க - 3-- 2 க + 3 ; இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 2க வைக் கழிக்க.
.". 2 க - 3 = 3 ; இரு பக்கங்களுக்கும் 3 ஐக் கூட்டுக.
", 2 க- 6 ; இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுக்க.
”。5=3·
உ-ம்.
(2) 5 க + 6 = 16 + க. இதன் மூலத்தைக் காண்க.
5 க + 6 - 16 + க ; இரு பக்கங்களிலிருந்துங் க வைக் கழிக்க.
‘,45十6=丑6;

இலகுவான உத்திக் கணக்குக்களுஞ் சமன்பாடுகளும் 49
இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 6 ஐக் கழிக்க.
“. 4と五= l 0 ; இரு பக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுக்க.
* 5=2墨。
உ-ம்.
(3) க + 8- 11 - க. இதற்குத் தீர்வு காண்க.
+ 8= 11 - 5 :
இரு பக்கங்களுக்கும் 4க வைக் கூட்டுக.
. க + 8= 11 ; இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 8 ஐக் கழிக்க.
.. க-3 ; இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் வகுக்க.
13 . . . *=ィエ lf 丁4个5” =4器·
பயிற்சி 4 (இ) பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காண்க.
1, 6 க - 3 - 9. 2. 5 ந + 2 = 22. 3. க - 5=0 4. 2.க - 3 = க + 1 5. 3 க + 2-2 க + 7. 6. ந - 1=ந+ 14. 7. 5 ந- 2 ந+ 6. 8. 3க - 1= க - 4.
க 5 க 9. ーエーコーエーー。 o Vinn o
3 6 9 10. க + 2-5 - க
க 1 க 1 I・ ー +ー=三ー 十ー。 与=黒 w
is lots I2 与=墨(5+5) 13. ந+ 5-இ(ந+11). 14. ந - 5=(ந + 3).
座上座_° 34 15. + = 16・基=斎・
3 g5 2 5 I 7。ー=ー。 8. بی ب= "------۔= -- .
7 2 I 3க 9 19, 5(க + 3)-3 க + 20. 20. (க + 2)=(க + 8).
21. (க - 6)- (க + 1).

Page 32
50 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
29. அட்சர கணித வுத்திக் கணக்கொன்றுக்கு விடை காணுதற்குத் தெரியாக் கணியத்தை யாதும் ஒரெழுத் தாகிய குறியீடு பற்றிக் குறித்துவிட்டு அக்கணக்கிற்றந்தன கொண்டு இரண்டு சமமான குறியீட்டுக் கோவைகளைப் பெறமுயல வேண்டும். முயல ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற லாம். அச்சமன்பாட்டினுடைய தீர்வே தந்த கணக்கின் விடையாகும்.
உத்திக்கணக்குக்கள் செய்யுமிடத்து மாணுக்கர் தந் நினை வில் அழுத்தி வைத்திருக்கவேண்டியவை இரண்டு உள - i. எண்கள் எழுத்துக்களாற் குறிக்கப்படலாம். ஆனல், கணியங்கள் எழுத்துக்களாலேயே குறிக்கப்படுதல் தகாது. கருதிய எண் அ ஆகுக என்பதிற் பிழையாது மில்லை. குறித்த மனிதனது நிறை அ ஆகுக என்பது பிழை. குறித்த மனிதனது நிறை அ இருத்தல் ஆகுக என்று கூறலாம். i. கணியங்கள் பற்றியெழுங் கணக்குக்களில் அலகுகள் இன்ன எனத் தெளிவாய்க் கூறவேண்டும். அ அங். நீளமும், இ அங். அகலமும், உ அங். உயரமும் உள்ள ஒரு பெட்டியின் கொள்ளளவு அஇஉ எனின், அலகு பற்றிக் கொள்ளளவு தெளிவாயில்லை. அப்பெட்டியின் கொள்ளளவு அஇஉ கன அங். எனலே தெளிவாகும்.
இவற்றின் றுணைகொண்டு உத்திக் கணக்குக்களுக்கு விடைகாணும் வழிகளைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் : உ-ம்.
(1) ஒரெண் 30 இலும் எவ்வளவாற் கூடியதோ, அவ் வளவால் அது நூறிலுங் குறைந்தது. அவ்வெண் யாது?
அவ்வெண் க ஆகுக'. க என்பது 30 இலும் க - 30 ஆற்கூடியது. க என்பது 100 இலும் 100 - க ஆற் குறைந்தது.
. கணக்கின்படி, க - 30= 100 - க. இரு பக்கங்களுக்குங் க வைக் கூட்டுக.
", 2 க - 30-100 ; இரு பக்கங்களுக்கும் 30 ஐக் கூட்டுக.
*. 2க- 130 ;

இலகுவான உத்திக் கணக்குக்களுஞ் சமன்பாடுகளும் 51
இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுக்க.
... = 65.
.. அவ்வெண் 65 ஆகும்.
உ-ம்.
(2) அ என்பவனுடைய தற்போதைய வயது இ என்ப வனுடைய தற்போதைய வயதிலும் 5 ஆண்டாற் கூடியது. 30 ஆண்டுகளுக்குமுன் அ வின் வயது இ யின் வயதின் LDL — Iš (35. அவர்களுடைய தற்போதைய வயதுகளைக் GfT (oððf 35 .
இ யினது தற்போதைய வயது க ஆண்டு எனக் கொள்வோம்.
." அ வினது தற்போதைய வயது க + 5 ஆண்டு ஆகும்.
. 30 ஆண்டுகளுக்குமுன் இ யின் வயது க - 30 ஆண்டு:
", 30 ஆண்டுகளுக்குமுன் அ வின் வயது க + 5 - 30
ஆண்டு ;
கணக்கின்படி, முன்னதன் 3 மடங்கு பின்னதனுக்குச் SF LD 6ð .
·器(西一30)=á+5一30;
·器争一40=á+5—30、
இரு பக்கங்களிலிருந்துங் க வைக் கழிக்க.
.. க - 40=5 - 30 ;
இரு பக்கங்களுக்கும் 40 ஐக் கூட்டுக.
.. க=40 + 5 - 30 ;
= 15 ; இரு பக்கங்களையும் 3 ஆற் பெருக்குக.
‘。占=45.
.. இ என்பவனுடைய தற்போதைய வயது 45 ஆண்டு; .. அ என்பவனுடைய தற்போதைய வயது (45 + 5) ஆண்டு=50 ஆண்டு.
உ-ம். s
(3) ஒரு பிரயாணி காலை 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு மணியொன்றுக்கு 4 மைல் வீத நடந்து செல்கின்றன். ஒரு சைக்கிளோ டி காலை 9 மணிக்குப் புறப்பட்டு மணியொன்

Page 33
52 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
றுக்கு 10 மைல் வீதம் அப்பிரயாணியைப் பின் ருெடர்ந்து ஒடிச் சந்திக்கின்ரு ன். சந்திக்கும்போது அப்பிரயாணி எத்தனை மைற்றுார நடந்துள்ளான் ?
சந்திக்கும்போது அப்பிரயாணி க மணிநேர நடந் துள்ளான் எனக்கொள்வோம்.
. அச்சைக்கிளோடி க - 3 மணிநேரம் ஒடியவன் ஆவான்.
க மணிநேரத்தில் அப்பிரயாணி சென்ற தூரம் 4க மைல்; (க - 3) மணிநேரத்தில் அச் சைக்கிளோ டி சென்ற தூரம் 10(க - 3) மைல். கணக்கின்படி, இரு தூரங்களும் ஒன்றுக் கொன்று சமன்.
'. 10(க - 3)- 4க ;
'. 10க ட் 30 - 4 க.
இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 4க வைக் கழிக்க.
* 6 க - 30 = 0 ; இரு பக்கங்களுக்கும் 30 ஐக் கூட்டுக.
“。6と五= 5 0 ; இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுக்க. .”,占=5。 .', 4க- 20.
. பிடிபடும்போது அப்பிரயாணி நடந்த தூரம் 20
மைல் ஆகும். ر
பயிற்சி 4 (ஈ)
1. இரண்டு அடுத்துவரும் இயற்கை யெண்களின் கூட்டுத்தொகை 43 ஆயின், அவ்வெண்களைக் காண்க.
2. இரண்டு இலக்கங்களாலாய ஒரெண்ணின் பத்தி னிடத்திலக்கம் ஒன்றினிடத்திலக்கத்திலும் 4 ஆற் கூடி யது. அவ்வெண் அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் 7 மடங்கு. அவ்வெண் யாது ?
3. இரண்டு மனிதர் ஒன்றுக்கொன்று 42 மைற்றுார முள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து ஒரு நேரத்திற் புறப்பட்டு ஒருவரை ஒருவர் எதிர் நோக்கி நடக்கின்றனர். ஒருவரது வேகம் ஒருவரது வேகத்தின் இரு மடங்கு. அவர்கள் 6 மணி நேரத்தில் ஒருவரை ஒருவர் சந்திப்பாராயின் அவர் வேகங் களைக் காண்க.

இலகுவான உத்திக் கணக்குக்களுஞ் சமன்பாடுகளும் 53
4. நான் ஒரு வீட்டை விக்லக்குக் கொண்டு கொள்விலை யின் 4 பங்களவு திருத்தத்திற்குச் செலவு செய்தேன். மொத்த முடிப்பு ரூபா 15,000 ஆயின், என் வீட்டின் கொள்விலை யென்ன ?
/5. அ, இ, உ என்பவரிடையே ரூபா 85 ஐப் பகுத்துக் கொடுத்தற் கண் இ என்பவர் அ விலும் ரூபா 10 கூடுதலாகவும் உ என்பவர் இ யிலும் ரூபா 20 கூடுதலாகவும் பெறும்படி செய்க. '
6. எனது வயது என் மகன் வயதின் 4 மடங்கு. 10 ஆண்டு சென்ரு ல் என்வயது அவன் வயதின் 2 மடங்காகும். எனது தற்போதைய வயதென்ன ?
7. அ என்பவன் இ என்பவனுக்குச் சொல்லுகிருன், நான் உன்னிலும் 12 ஆண்டான் மூப்பு. 4 ஆண்டில் என் வயது நின் வயதின் 2 மடங்காகும் அவர்களுடைய வயதுகளைக் காண்க.
8. இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை 84. அவ் வெண்களின் வித்தியாசம் 24, அவ்வெண்களைக் காண்க. 9. ஒரெண்ணை 5 ஆற் பெருக்க வந்த பெருக்கத்தினின் றும் 10 ஐக் கழிக்க 25 மீதியாகுமெனின் அவ்வெண் யாது ?
10. மூன்று அடுத்துவரும் இயற்கை யெண்களுடைய கூட்டுத் தொகை 11 1. அவ் வெண்களைக் காண்க.
11. ஒரெண்ணின் பங்குடன் 10 ஐக் கூட்டினல் அது அவ்வெண்ணின் பங்குடன் 12 ஐக் கூட்டியதற்குச் சமன் அவ்வெண் யாது ?
12. நான் ஒரெண்ணை மனதாலே நினைத்து அதன்ை இரட்டித்து 8 ஐக் கூட்ட 28 ஐப் பெற்றேன். நான் நினைத்த எண் யாது ?
13. என் வயது எனது தந்தையாரின் வயதின் அரை மடங்கு. எனது தந்தையார் என்னிலும் 20 ஆண்டான் மூப்பு. என் வயதென்ன ?
14. அ, இ, உ என்பவர் ரூபா 250 ஐத் தம்முட் பகுத்துக் கொண்டனர். இ பெற்ற தொகை அ பெற்ற தன் 13 மடங்கு. உ பெற்றது அ பெற்றதன் 23 மடங்கு. அவர்கள் பெற்ற தொகைகளைத் தனித்தனி காண்க.

Page 34
54 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
15. ஒரு வியாபாரி ஒரு தொகை கத்திகளை 3 ரூபாவுக்கு 4 வீதம் விலைக்குக் கொண்டு 4 ரூபாவுக்கு 3 வீதம் விற்ரு:ன். விற்க, 140 ரூபா நயமடைந்தான். அவன் விலைக்குக் கொண்ட கத்திகளின் ருெ கையைக் காண்க.
16. த என்னும் பட்டினம் ப என்னும் பட்டினத்தி லிருந்து 35 மைற்றுாரம். அ என்பவன் த விலிருந்து பவுக்கு மணிக்கு 4 மைல் வீதஞ் செல்கின்ரு ன். இ என்பவன் ப விலிருந்து த வுக்கு மணிக்கு 3 மைல் வீதம் நடக்கின்ருன். இருவரும் ஒரு நேரத்திற் புறப்பட்டனராயின், எவ்வளவு நேரத்தில் ஒருவர்க்கொருவர் 7  ைமற்றுாரத்தில் (1) முன் காட்டி நிற்பார் (2) பின்காட்டி நிற்பார் ?

அத்தியாயம் 5
வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு
30. ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் : ஒரு தாளில் ஒரு குறித்த புள்ளியினது நிலையை உணர்த்த விரும் பின், அப்புள்ளி அத்தாளின் இடப்பக்க விளிம்பிலிருந்து இன்ன தூரமும் அதன் அடிவிளிம்பிலிருந்து இன்ன தூரமுங் கொண்டுள்ளதெனலாம். அத்தாளிலுள்ள வேறு புள்ளி களுடைய நிலைகளையும் இவ்வாறே இடப்பக்க விளிம்பு, அடி விளிம்பு என்னும் இரு விளிம்புகளுடைய துணைகொண்டு உணர்த்தலாம். இவ்விரண்டையுந் துணைகொள்ளாது அத் தாளுக்குக் குறுக்கே ஒரு கோடு வரைந்துவிட்டு அதனை வெட்டும் வேருெரு கோடுங் கீறி அவ்விரு கோடுகளுடைய துணை கொண்டுங் குறித்த புள்ளியினது நிலையை உணர்த்த லாம். இம்முறையையே அட்சர கணித நூலோர் கையா ளுவர். அக்கோடுகளுள், தாளுக்குக் குறுக்கே கிடக்குங் கோட்டைக் கிடையச் சென்றும் அதனை வெட்டி அதன் மேலே நிற்குங் கோட்டை நிலையச் சென்றுங் கூறுவர். கிடை யச்சைக் க-அச்சென்று நிலை யச்சை ந- அச் சென்றுங் கூறலாம். இரண்டு அச்சுக்களும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி உற்பத்தித் தானம் எனப்படும். ஒரு குறித்த புள்ளி யானது நிலையச் சினின்று கிடையச்சுக்குச் சமாந்தரமாய் எவ்வளவு தூரத்திலுள்ளதோ அத்தூரத்தை அப்புள்ளியின் கிடைத்தூர மென்றும், கிடையச் சினின்று நிலையச் சுக்குச் சமாந்தரமாய் எவ்வளவு தூரத்திலுள்ளதோ அத்தூரத்தை அப்புள்ளியினது நிலைத்தூர மென்றும் அழைப்பர். இவ்விரு தூரங்களையும் அப்புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளென்பர். நிலையச் சுக் கிடையச் சுக்குச் சாய்வின்றிச் செங்குத்தாய் இருப்பின் அது தெக்காட்டேயின் முறையாகும். இம் முறை இலகுவானது. ஆகையால் அதுவே இங்கு ஆளப் படும்.
31. புள்ளிநிலை குறித்தல் : ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் கொண்டு அதனது நிலையைக் காண்டலே

Page 35
56 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
புள்ளிநிலை குறித்தல் எனப்படும். இதனை ஒரு தாரணத்தால் விளக்குவோம்.
உ-ம்.
(1) ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளானவை முறையே 2ம், 3ம், ஆயின் அதனது நிலையை ஒரு வெண்டாளிற் குறிக்க. ந ஒரு வெண் ட (ா ஞ க் கு க் குறுக்கே உக என்னு நேர் கோடொன்று வரைக. அதனை அங்குலங்களா கப் பிரிக்க. உ விலிருந்து உந என்னு நேர் கோ டொ ன்  ைற, உக விற் குச் செங்குத் தாகக் கீறுக" அதனையும் அங் குலங்களாகப் பி ரி க் க. விலிருந்து உக வில் 2 அங்கு லத் துரரமுள்ள புள் விரி  ைய க் குறிக்க. அப் * புள்ளி ப ஆகுக. உரு. 1 இனி உ விலிரு ந்து உந வில் 3 அங்குலத்தூரமுள்ள புள்ளியைக் குறிக்க அப்புள்ளி ம ஆகுக'. ப ஊடாக உந விற்குச் சமாந்தரமாக ஒரு கோடும் ம ஊடாக உக விற்குச் சமாந்தரமாக ஒரு கோடுங் கீறுக. அவ்விரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி வ ஆகுக.
6. 1D- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -r(2,3)

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 57
ஆயின், வ என்பதே வேண்டிய புள்ளியாகும்.
இதனைச் சாதிப்போம்: மவ என்பது உப விற்குச் சமாந் தரமாயும், பவ என்பது உம விற்குச் சமாந்தரமாயுமிருக்க டமஉப என்பது செங்கோணமாயிருப்பதால் உபவ ம என்பது ஒரு செவ்வகமாகும். ஆகவே, மவ= உப என்பதும் யவ= உம என்பதும் பெறப்படும்.
உப்=2, gp LD = 3 ;
LD GJ = 2, LJ 6u = 3.
ஆதலால் வ வினுடைய ஆள்கூறுகள் 2ம் 3ம் ஆகும்.
எனின், வ என்பதே வேண்டிய புள்ளியாகும்.
அதனைப் புள்ளி (2, 3) என்று குறித்தல் வழக்கு.
அதுபோலக் கிடைத் தூரங் கவு நிலைத் தூர ந வுங் கொண்ட புள்ளியைப் புள்ளி (க, ந) என்று குறிக்கலாம்.
வர்ைப்படங் கீறுதற்கு வெண் டாளுக்குப் பதிலாக ச் சதுரக்கோடுள்ள வரைப்படத்தாளை உபயோகித்தாற் புள்ளி நிலை குறித்தல் இலேசாக அமையும். புள்ளிகளுடைய நிலைகளைப் புள்ள டிகளாற் குறித்தல் வழக்கு. அவற்றுக்கு அருகாமையில் அவற்றினுடைய ஆள்கூறுகளை மேலுள்ள படத்திற் காட்டியவாறு குறிக்கலாம்.
பயிற்சி 5 (அ)
ஒரு வெண்டாளில்ே மேல்வரும் புள்ளிகளைக் குறிக்க. 1. ( 1, 2). 2. (3,2). ○ (4,3). 4. ( 0, 3). 5. (4,0) 6. ( 3, 1). ஒரு வரைப்படத்தாளிலே மேல் வரும் புள்ளிகளைக் குறிக்க.
7. (2, 1). 8. (3,4). 9. 5, 1.8). 10. (2 5, 1 4). 11. ( 27, 0). 12. ( 0, 3 6). 13. (0, 0), 14. (4 6, 2 3) 15. (4 1, 2 3)
16. ஒரு வரைப்படத்தாளில் (0, 1), (3, 2), (2, 3) என் னும் புள்ளிகளைக் குறிக்க. அவற்றை இவ்விரண்டாக, நேர் கோடுகளாற் ருெடுக்க வரும் உருவத்திற்குள் இருக்குஞ்

Page 36
58 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
சிறு சதுரங்களின் ருெ கையைக் காண்க. (அச்சதுரங்களுள் அரைப்பங்கிற் குறைந்தனவற்றை நீக்கியுங் கூடியனவற்றை முழுச்சதுரங்களெனக் கொண்டும் எண்ணுக).
17. ஒரு வரைப்படத்தாளிற் பின்வரும் புள்ளிகளைக் குறிக்க : (0, 1 5), (1, 9), (2,6), (32,33), (4, 26), (4*8, 16), (52, 24). அடுத்துள்ள புள்ளிகளை நேர் கோடுகளாற் ருெடுக்க.
18. பின்வரும் புள்ளிகளை ஒரு வரைப்படத்தாளிற் குறிக்க :-(0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5). அடுத் துள்ள புள்ளிகளை நேர்கோடுகளாற் ருெடுக்க. தொடுக்கப் பெற்ற உருவம் என்ன ?
32. ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் வரைப்படத் தாளுக்கு அடங்காத பெரிய எண்களாற் குறிக்கப்படின், அளவுத் திட்டங்கொண்டு அடங்குமாறு செய்யலாம். உதா ரணமாக, (21, 18) என்னும் புள்ளியைக் குறிப்பதற்கு ஒரலகுக்கு வகைக் குறி *1 அங்குலம் என்னும் அளவுத் திட்டம் அமையும் என்பதைக் காட்டுவோம்.
历
 

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 59
வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே உக என்னுங் கிடையச் சைக் கீறுக. உ விலிருந்து உக விற்குச் செங்குத்தாய் உந என்னு நிலையச்சைக் கீறுக. உ விலிருந்து உக வில் 2.1 அங்குலத் தூரமுள்ள ப என்னும் புள்ளியைக் குறிக்க. ப விலிருந்து உந விற்குச் சமாந்தரமாய் ஒரு கோடு வரைக : அதன் கண் பவிலிருந்து 18 அங்குலத்தூரமுள்ள ம என்னும் புள்ளியைக் குறிக்க. ஆயின், வேண்டிய புள்ளி ம வாகும். இதனைக் காட்டுவோம் :-
1 அங்குலம் 1 அலகுக்கு வகைக் குறி. ஆகவே 21 அங்குலம் 21 அலகுக்கும் 18 அங்குலம் 18 அலகுக்கும் வகைக் குறிகளாகும். எனின், மேலுள்ள படத்திலே ம என்பது (21, 18) என்னுமாள் கூறுகளைக் கொண்டுள்ள தெனலாம்:
33. புள்ளி விவரங்களின் வரைப்படம். ஒரு வரை ப் படமானது பருமன்பற்றி ஒரு கணிய மாற மாற அதளுேடுை தொடர்புள்ள வேருெரு கணியம் எவ்வாறு வேறுபடும் என்பதைக் காட்டும். முற்கூறிய கணியத்தினுடைய பெறு மானங்களைத் தெரிந்தெடுத்துக்கொண்டு பிற்கூறிய கணி யத்தினுடைய ஒத்த பெறுமா னங்களை நோ க்கு த லாலாயினும் கணித்த லா லாயினுங் காணலாம். தெரிந் தெடுக்கும் பெறுமானங்களையுடைய கணியத்தைச் சாரா மாறி என்றும், அதனேடு சார்ந்து நின்கின்றமையாலே நோக்கியோ கணித்தோ காணுகின்ற பெறுமானங்களை யுடைய கணியத்தைச் சார்ந்த மாறி என்றுங் கூறுதல் வழக்கு.
சில வேளைகளில் இரு மாறிகளுடைய ஒத்த பெறுமானங் ளானவை நோக்குதலாலோ சோதனையாலோ பெற வேண்டிய நிலைமைகள் ஏற்படும். அவ்வாறு பெற்ற பெறு மானங்கள் பிழைகளினிங்கியுள்ளன எனக் கொள்வது தகாது. ஆகவே, அப்பெறுமானங்கள் கொண்டு குறித்த புள்ளிநிலை முற்ரு ய் நம்பத்தக்கனவல்ல. இந்நிலை  ைம களில்,

Page 37
மானுக்கரட்சரகணிதம் 60
(1) குறித்த புள்ளிநிலைகளுக்கு ஊடாக ஒரழுத்தமான வளைகோடோ நேர் கோடோ கீறலாமெனக் கண்டால் அதனை வரைக.
(2) குறித்த புள்ளிநிலைகளுட் பெரும்பான்மையானவை ஒரழுத்தமான வளைகோட்டிற் கிடப்ப ஏனையவற்றுட் சில ஒரு புறமும் சில மற்றைய புறமும் ஏறத்தாழச் சமமாயிருப்பின் அவ்வளை கோட்டை வரைக.
(3) குறித்த புள்ளிநிலைகள் ஒரொழுங்குக்கும் அகப்படாது. அங்குமிங்குமாய்க் கிடந்தால், அடுத்துவரும் புள்ளிகளை நேர்கோடுகளாற் ருெடுக்க,
இம்மூன்றுவகை வரைப்படங்களும் புள்ளிவிவரங்களி னுடைய வரைப்படங்கள் எனப்படும். இவற்றை உதார
ணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
1. தடிமன் காய்ச்சலால் வருந்துகின்ற குழந்தை யொன்
றின் வெப்பநிலை ஒருநாளிலே மு.ப. 8 மணி தொடங்கிப் பி.ப.
8 மணி வரைக்கும் இரு மணிநேரத்திற்கு ஒரு முறையாக
எடுக்கப்பட்டுக் கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்பட்டுள்ளன :-
பி.ப. | பி.ப. பி.ப. பி.ப. .
. فسا : 0) و السا و 0.0 : : நேரம் மு; h," * | [5. L8 2 ل
வெப்ப
நிலை
98. 8°ւ } | 98 • 2°ւ } | 99 • 4ՉԱ | 99 • 9°լ } |100 - 19ւյ|102 • 0°ւյ102 4°ւ 1
(1) நேரத்திற்கு நேரம் வெப்பநிலை வேறுபடுகின்றதை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக.
(i) பி. ப. 5 மணிக்கு அக்குழந்தையின் வெப்பநிலையை அவ்வரைபடத்தினின்று காண்க.

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 6
வெப்பநிலை வரைப்படம்
03
02
101
l()0'
99
(p.U. 10 5. li. ւն. 1. 4 մ լ3.ւյ. 6 2. с. 8
உரு. 3 (1) வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே உக என்னுங் இடை கோட்டைக் கீறுக. அதன் கண் அரை யங்குலம் இரண்டு மணி நேரத்திற்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு மு.ப. 8 மணி தொடங்கிப் பி.ப. 8 மணி வரைக்குமுள்ள மணிகளைப் புள்ளிகளாற் குறித்துப் பெயரிடுக. அக்கிடை கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக உந என்னு நிலைகோட் டைக் கீறுக. அதன் கண் அரையங்குலம் ஒரு பரனற்றுப் பாகைக்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு 98° ப. தொடங்கி 103. வரைக்குங் குறிக்க, இனி (8,988), (10,982 ) (12,994), (2,999), (4, 1 001), (6,102), ( 8, 1024) என்னும் புள்ளிகளுடைய நிலைகளைப் புள்ள டிகளாற்

Page 38
62 மானுக்கரட்சரகணிதம்
குறிக்க. அப்புள்ளிகளுள் அடுத்து வருவனவற்றை நேர் கோடுகளாற் ருெடுக்க. அவ்வாறு தொடுக்க ஒழுங்கற்ற முறிவுள்ள கோடொன்று பெறப்படும். அதுவே வேண்
டிய வரைப்படமாகும்.
(i) கிடையச் சில் உ விலிருந்து 225 அங்குலத் தூரமுள்ள ம என்னும் புள்ளியே பி. ப. 5 மணியைக் குறிக்கும். ம விலிருந்து மவ என்னு நேர்கோ டொன்றை உந விற்குச் சமாந்தரமாயும் வரைப்படத்தை வ வில் வெட்டுவதா
யுங் கீறுக.
வரைப்படத்திலிருந்து மவ=1754" எனக் காணலாம். ஓரங்குலம் இரு பரனேற்றுப் பாகைக்கு வகைக் குறியா கை யால், 1° 54' குறிப்பது 308 பரனேற்றுப் பாகையாகும். ஆகவே வ என்னும் புள்ளி குறிக்கும் வெப்பநிலை (98 + 3* 08)° ப. = 101* 08° ப. எனின் பி. ப. 5 மணிக்கு அக் குழந்தையின் வெப்பநிலை 101. 08° ப.
D-L).
2. ஒரு சுருள் வில் லிற் ருெங்கும் பாரமாகிய க கிராமிற்கும் அவ் வில்லினது நீளமாகிய ந தசம மீற்றருக் கும் உள்ள தொடர்பு ந= 008 க + 5 18 என்பது சோதனை யாற் பெறப்பட்டது. இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத் தாற் காட்டுக. அப்படத்தினின்று 260 கிராமைத் தூக்கி நிற்கும் வில்லினது நீளத்தைக் காண்க.
ந- "008 க + 518.
க விற்கு முறையே 0, 100, 200, 300, 400, 500 என்னும் பெறுமானங்களைக் கொடுக்க, ந பெறும் பெறுமானங்களைக் கணித்துப் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்.

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 63
ፈ85 0 100 200 | 300 400 500 55 s
B 5 18 52' 6 53 - 4 || 5 4:2 55' 0
55
5
4
s
3.
52
5.
al 00 200 300 400 500 A.
க வின் பெறுமானங்கள்,
உரு. 4
(i) வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்காக உக என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுக. உ விலிருந்து உக விற்குச் செங்குத் தாக உந என்னு நிலையச்சைக் கீறுக. அரையங்குலம் 100 கிராமிற்கு வகைக்குறியெனக் கொண்டு கிடையச்சில் ஒவ்வோரரையங்குலத் தூரத்திற்கும் உரிய கிராமை மேற் காட்டியவாறு குறிக்க. அரையங்குலம் ஒரு தசம மீற் றருக்கு வகைக் குறியெனக் கொண்டு நிலையச் சில் ஒவ்வோ | !ை யங்குலத் தூரத்திற்கு முரிய தசம மீற்றரை மேற் காட்டியவாறு குறிக்க. இனி, அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறிக்க. ' அப் புள்ளிகளெல்லாம் ஒரு நேர்கோட்டில் அமைவதைக் காணலாம். ஒரு வரை கோல் கொண்டு அந்நேர்கோட்டைக் கீறுக. அக்கோ டே வேண் டிய வரைப்படமாகும்.

Page 39
64 மா ஞக் கரட்சரகணிதம்
(ii) கிடையச்சில் 260 ஐக் குறிக்கும் புள்ளியைப் ப எனக் குறிக்க, ப ஊடாகப், பம என்னு நேர்கோ டொன்றை உந என்னு நிலையச் சுக்குச் சமாந்தரமாயும் வரைப் படத்தை ம என்னும் புள்ளியில் வெட்டுவதாயுங் கீறுக. வரைப்படத்திலிருந்து ம வினது நிலைத் தூரம் 53 9 என்பதைப் பெறலாம். ஆயின், 260 கிராமைத் தூக்கி நிற்கும் வில்லினது நீளம் 539 தசம மீற்றராகும்.
உ-ம்.
3. க வு ந வும் பெறும் பெறுமானங்கள் சோதனையாற்
கண்டபடி பின்வரும் அட்டவணையிற் றரப்பட்டுள்ளன :-
| ཚ| 0 | 1 2 3 || 4 || 5 6 || 7 | 8 | 9 10 II 12
is 6667 68695 to a 74 it so Is49,872 93 100
(1) அப்புள்ளிகளுக்கூடாக ஒப்புரவாகச் செல்லும் வரைப்
படத்தை வரைக ;
(i) க= 65 ஆயின், ந வினது பெறுமானத்தைக் காண்க : (i) ந=90 ஆயின், க வினது பெறுமானத்தைக் காண்க.
2
8
O
7
4. 6 8 0
க வின் பெறுமானங்கள்
2
gd- (gb5. 5
 

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 65
(1) வரைப்படத்தாளுக்குக் குறுக்காக உக என்னுங் கிடை யச்சைக் கீறுக. உ விலிருந்து உக விற்குச் செங்குத்தாக உந என்னு நிலையச்சைக் கீறுக. கிடையச்சில் அரை யங் குலம் 2 அலகுக்கு வகைக் குறியாகவு நிலையச் சில் அரை யங்குலம் 10 அலகுக்கு வகைக் குறியாகவுங் கொண்டு ஒவ்வோரரையங்குலத்திற்கு முரிய அலகுகளை மேற் படத்திற் காட்டியவாறு குறிக்க. இனி, அட்டவணையிற் றரப்பட்டுள்ள புள்ளிநிலைகளைப் புள்ள டிகளாற் குறிக்க. ஒழுங்கற்ற 4 புள்ளிகளை விலக்கிவிட்டால் ஒரழுத்தமான வளைகோடு கீறலாமென்பதைக் காணலாம். அவ்வாறு கீறி மேலுள்ள வரைப்படம் பெறப்பட்டது. இதுவே அப்புள்ளிகளுக்கூடாக ஒப்புரவாகச் செல்லும் வரைப் படம்.
(i) வரைப்படத்திலிருந்து க=65 ஆயின், ந= 74 என் பது பெறப்படும் ; (i) வரைப்படத்திலிருந்து ந= 90 ஆயின், க= 104 என் பது பெறப்படும்.
A2.—— ub.
4. கூட்டுக்கடை யொன்றில் மாத மாதம் விலைப்பட்ட
கரர்களுடைய தொகைகள் பின்வரும் அட்டவணையிற்
றரப்பட்டுள்ளன.
- தை. மாசி பங், சித். வை. ஆணி மாதம் I 2 3 4 5 6
கார்த்தொகை 250 | 262 225 30 O 39 O. 385
o ஆடி ஆவ. புரட். ஐப்பசி கார்த். மார். ւOn 5ւԸ 7 8 9 O Il II 12
LS0SLSEHEEE LLLSLSSLLSLSLLTSSSCMSMSSLLLSLSLSLSLS S LSLSSSLSSSMSSqSLSASSSSLqSqqSSL ܚܝܝܝܝܝܝܝܝܝܝܫܝܚܝܝܝܝܝ
கார்த்தொகை 470 400 370 340 | 380 325
இதனை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக. எந்த மாதம் நடைபெற்றதென்பதையும்
கார் விற்பனை
8ህሰ1-• | )
கூடுதலாக

Page 40
66 மாணக்கரட்சரகணிதம்
எந்த மாதம் அது குறைவாக நடைபெற்றதென்பதையும் அவ்வரைப் படத்திற் காட்டுக.
ந 500
40
o
3.
O
0
200
2. 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 12 Js மாதங்கள
2-Q5. 6
வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே உக என்னுங் கிடை யச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத்தாக உந என்னு நிலையச்சைக் கீறுக. கிடையச்சில் ஒவ்வொருகாலங்குல மும் ஒவ்வொரு மாதத்தைக் குறிப்பதாகக் கொள்க. நிலை யச்சில் அரையங்குலம் 100 கார்களுக்கு வகைக் குறியாகக் கொள்க. இனி, அட்டவணையிற் றரப்பட்டவை கொண்டு புள்ளிநிலைகளைப் புள்ள டிகளாற் குறிக்க. குறித்தால், . அப் புள்ளிநிலைகள் செவ்விய வளை கோட்டிலே நில்லாமை காண லாம். ஆகவே, அடுத்துவரும் புள்ளிகளை நேர் கோடுகளாற் ருெடுக்க ஒழுங்கற்ற முறிந்த கோடொன்று பெறப்படும். அதுவே வேண்டிய வரைப்படமாகும்.
கார் விற்பனை கூடுதலாக நடைபெற்ற மாதம் ஆடி யென்றுங் குறைவாக நடைபெற்ற மாதம், பங்குனி என்றுங் காணலாம். அவை முறையே ப வாலும் ம வாலும் வரைப் படத்திற் காட்டப்பட்டுள்ளன.
 

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 67
இவ்வகையான வரைப்படங்கள் குறிக்கப்பட்ட புள்ளி நிலைகளுக்கிடையில் உள்ள முழு மாறுதல்களைப் பற்றிய பொது வெண்ணத்தைத் தருமேயன்றி அப்புள்ளி நிலைக ாருக்கு இடையிலுள்ள புள்ளிகளைப் பற்றிய திருத்தமான விவரங்களைக் காட்டா. அவ்விவரங்கள் வேண்டாவிடத்து இவ்விலேசான முறையே புள்ளி விவரங்களின் வரைப்
படத்தை விளக்குகின்றதற்குப் பெரிதும் பயன்படும்.
34. பின்வரும் விதிகளைக் கைக்கொண்டு வரைப்படம் வரைந்தால் வரைப்பட விளக்கம் இலேசாகும்.
(அ) தெரிந்தெடுக்கப்பட்ட பெறுமானங்களுடைய கணி யங் கிடையச் சிலே அளக்கப்படவேண்டும்.
(ஆ) நோக்கியோ கணித்தோ பெறும் பெறுமானங்களு டைய கணியம் நிலையச் சில் அளக்கப்பட வேண்டும்.
(இ) ஒவ்வோரச்சிலுங் கணியங்கள் குறிக்கின்றன இன்ன இன்ன வென எழுதல் வேண்டும்.
(ஈ) வரைப்படத்தாள் கொள்ளும் அளவுக்குரிய மிகப் பெரிய அளவுத் திட்டத்தையே தெரிந்தெடுக்க வேண்டும். 6 மணினும், அவ்வளவுத் திட்டம் புள்ளிநிலை குறித்தற்கும்’ காண்டற்கும் இலேசாக அமைய வேண்டும்.
(உ) ஒவ்வோரச்சிற்கும் உரிய அளவுத் திட்டத்தைத் தெளிவாய்க் காட்டுதற்கு அளவு கோடிட வேண்டும்.
பயிற்சி 5 (ஆ) 1. ஒரு வகுப்பில், மாணுக்கனெருவன் அடுத்துவரும் 8 கிழமைகளிற் கணித பாடத்தில் எடுத்த புள்ளிகள் பின் வரும் அட்டவணையிற் குறிக்கப்பட்டுள்ளன :-
ழெமை 1 2 3 + 5 6 7|༦|
புள்ளி 60 1.55 43 66 75 | 62| 82 71)
இதனை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக.

Page 41
68 மானுக்கரட்சரகணிதம்
2. குறிப்பிட்ட ஆண்டுகளில் வியாபாரி யொருவன் இறுத்த வருமான வரியைப் பின்வரும் அட்டவணையிற் காணலாம்.
1950195119521953
ஆண்டு 1946 1947 1948,1949
450
763 568 782 so 420
வருமானவரி ரூபாவில் siege
இதனை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக.
3. வட்டங்களுடைய பரிதிகளுக்கும் ஒத்த விட்டங் களுக்குமுள்ள தொடர்பு பின்வருமாறு :-
பரிதி அங்குலத்தில் 1 2 3 4 | 5 6
விட்டம் 1 . 32 64-96 1 - 2 81 - 6 o 1 : 92 அங்குலத்தில்
இதனை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி 23 அங்குலப் பரிதி கொண்ட வட்டத்தின் விட்டத்தைக் காண்க.
4. பின்வரும் அட்டவணை குறிப்பிட்ட ஆண்டிறுதிகளில் எடுத்த ஒரு நகரின் சனத்தொகையை இலட்சங்களிற் குறிக்கின்றது :-
ஆண்டு 1900,1910.1920 1930 1940) 1950)
சனத் தொகை 8
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத் தாற் காட்டி அப் படந்துணை கொண்டு 1935 ஆம் ஆண்டுத் தொடக்கத் திலுள்ள அந்நகர்ச் சனத்தொகையைக் காண்க.
5. கல்லொன்றை ஒரு சுரங்கத்தில் விழவிட்டு நிலத்தி லிருந்து அதனுடைய தூரங்களை அடிகளில் அரைச் செக்கனுக்கு ஒரு முறையாகக் காணப் பின்வருவன பெறப் பட்டன : 4, 16, 36, 64, 100. இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி அப்படந்துணை கொண்டு 24 செக் கனில் அக் கல்லினது நிலையைக் காண்க.
6. வானுேக்கி எறிந்த பந்தொன்றின் அரைச் செக்கனுக் கொருமுறையாக நிலத்திலிருந்து எடுத்த உயரம் அடிகளிற் பின்வருமாறு : 1 0, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18, 10.

வரைப்படத்தினெடுங்கணக்கு 69
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி அப் படந் துணைகொண்டு 21 செக்கனில் அப் பந்தினது நி%லயைக் காண்க.
7. ஒரு ரூபாவை 4% என்னும் வீதத்தொடர் வட்டிக்குக் கொடுக்கக் காலத்துக்குக் காலம் பெறக்கூடிய மொத்தத் தொகை பின்வரும் அட்டவணையிற் காணப்படும் :-
-حكس
ஆண்டுத்தொகை 1 5 11 16 20 26 30 மொத்தத்தொகை 1041.22| 54|18712-1912-1324
ரூபாவில்
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக. அப் 11 -ந் துணைகொண்டு 18 ஆண்டுகளில் ஒரு ரூபா முதலின் மொத்தத் தொகையைக் காண்க.
8. ஒரு தொட்டியிலுள்ள நீரை நீர்போக்கிக் குழா யொன்று போக்க நிமிடத்துக்கு நிமிடம் அத் தொட்டியிலே மீந்துள்ள நீர் கலனிற் பின்வருமாறு :-120, 110, 100, 90, 80, 70, 60. இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் கட்டி அப் படந் துணை கொண்டு 34 நிமிடத்தால் அத் தொட்டியிலுள்ள நீரைக் கலனிற் காண்க.
9. சுரங்கண்ட பிள்ளை யொன்றின் வெப்பநிலை ஒரு நாளிலே மு.ப. 9 மணி தொடங்கிப் பி. ப. 9 மணிவரைக்கு மூன்று மணிநேரத்திற்கு ஒரு முறையாக எடுக்கப்பட்டுப்
பின்வருமாறு குறிக்கப் பட்டன :-
நேரம் மு.ப. 9 மு.ப. 12 பி. ப. 3 பி.ப. 6 பி.ப. 9
Gauju 62ai 99 · 2° || 9 8 - 8°1 || 1 0 1 - 2 ° 1 0 3 o 4 oli 99 o 6°u
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி அப் படந் துணைகொண்டு பி. ப. 2 மணிக்கு அப் பிள்ளையின்
வெப்ப நிலையைக் காண்க.
10. க என்பது 1, 2, 3, 4, 5, 6 என்னும் பெறுமான ங் களைப் பெற ந வானது முறையே 2, 5, 8, 11, 14, 17

Page 42
70 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
என்னும் பெறுமானங்களைப் பெறும். இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி அப்படந் துணை கொண்டு
க=35 ஆயின், ந வின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் (2) (அ)
1. பின்வரும் உண்மைகளை அகப்படுத்தி நிற்கும் அட்சர கணிதச் சமன்பாட்டைத் தருக.
2 5 3 7 4. 9
5×五=H; テ×5=H; 高×五=1・
2. 2 - (க - 2) + (4 - க). இதனைச் சுருக்குக.
3. 2அ அடி நீளமும் 3இ அடி யகலமுமுள்ள ஒரு செவ்வக வயலின் பரப்பளவு ப சதுர வடி ஆயின், ப, அ, இ என்னும் இவற்றினுடைய தொடர்பைக் காண்க
அ=350', இ= 120 ஆயின், ப வின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
4. க + 6 =*(க + 24). இச் சமன்பாட்டினுடைய தீர் வைக் காண்க.
5. ஒரு மணி நேரத்திற்கு வ" மைல் வீதம் ஒடுகின்ற புகைவண்டியை நிற்பாட்டக்கூடிய தூரமாகிய த அடியைப் பின்வரும் அட்டவணை தருகின்றது :-
o 20 25 30 35 40 45 50 55 60
533 675 s33 100s 1200
33 208 300 4.08
| 800
இதனை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக. ஒரு மணி நேரத்திற்கு 38 மைல் வீதம் ஒடுகின்ற புகைவண்டியை எத்தனை மைற்றுாரத்திலே நிற்பாட்டலாம் என்பதை அவ் வரைப் படத்திலிருந்து காண்க.
(ஆ) 1. 3க என்பதற்கும் க* என்பதற்கும் உள்ள வேற்றுமை யாது? க= 2 ஆயின், க - 3க என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

பரீட்சைப் பத்திரங்கள்
Li+ 1 L- 1
a 3. அ அங்குல நீளமுள்ள கம்பி யொன்றை இ அங்குல நீளமான ஒரு செவ்வக வடிவத்தில் வளைக்க அதன் அகலம் 6 ன்ன வாகும் ?
2. இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
4. (க + 9)=(க + 36). இதனுடைய தீர்வைக் காண்க.
5. ஒரு கூட்டுக்கடையிற் சித்திரை மாதந் தொடங்கி மாத மாதம் ஒராண்டுக்கு விலைப்பட்ட சைக்கிள்களுடைய தொகைகள் பின்வருமாறு :-
மாதம் சித். வை. ஆனி ஆடி ஆவ. புரட்.
2 3. 4 5 6
சைக்கிள்களின்
தொகை 31 O 276 422 354 446 400
மாதம் ஐப்பசி கார்த். மார். தை மாசி | பங்.
7 8 9 1 O II 2
சைக்கிள்களின்
தொகை 525 | 4 89 | 553 | 5 I 4 | 390 | 4 56
இதனை ஒரு வரைப்படத் தாற் காட்டுக. அப்படத்தில், எப் புள்ளி சைக்கிள் விற்பனை கூடுதலாக விலைப்பட்ட மாதத்தினைக் காட்டுகின்றது.
(9)
1. 2க* + 3 கந+ ந? என்னுங் கோவைக்கண் (1) க?, (2) கந, (3) ந? என்னும் இவற்றினுடைய குணகங்களைத் Ab (56.
2. க - (க - ப + ம). இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
3. அ அலகு ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் வளை $68r சதுர வலகு ப=47 அ? ஆயின், 5 அலகு ஆரையை וניו זקו ו யுடைய ஒரு கோளத்தின் வளை பரப்பைக் காண்க.
4. க - 3=(க + 3). இதனுடைய தீர்வைக் காண்க.

Page 43
72 மாணுக் கரட்சரகணிதம்
5. ஒரு தொட்டியை நீர் நிரப்பிக் குழாயொன்று நிரப்ப, நிமிடத்துக்கு நிமிடம் அத் தொட்டியிற் சேர்ந்த நீரைக் கலனிற் கணக்கிடப் பின்வரும் அட்டவணை பெறப் LJ L - L-ġbi/ :-
நிமிடம் |
1 2 3 436 48 60 79
(i) இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக ; (i) 32 நிமிடத்தால் அத் தொட்டியிற் சேர்ந்துள்ள நீர் எத்தனை கலனுகும் ?
(ii) 15 கலனளவு நீர் சேர எத்தனை நிமிடங்கள் செல்லும் ?
(FF) 1. 2த அடி நீளமுந் த அடி யகலமுமுள்ள ஒரு செவ்வக வறையினது நடுவிலே ம அடி நீளமும் வ அடி யகலமுமுள்ள கம்பள மொன்றை விரித்து வைத்தாற் கம்பள மில்லாப் பகுதியின் பரப்பளவு என்ன ?
2. 2ப + 2{ப - 2(2-3 ப)} - 7(ப - 2). இதனைச் சுருக்கித் தருக. ப= 2 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
3. அ அங்குல வாரை யையுடைய ஒரு வட்டத்தின் பரப் பளவு ப சதுர வங்குலம் என்பது ப=Tஅ? என்பதாற் பெற்லாமெனின், 7 அங்குல வாரை யையுடைய வட்டத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
4. ஓரெண்ணுனது தன் இலும் 5 ஆற் கூடியது. இதனை ஒரு சமன்பாட்டாற் காட்டுக.
5. ஒரு நிறை தொட்டியினது நீரை நீர் போக்கிக் குழா யொன்று போக்க, நிமிடத்துக்கு நிமிடம் அத் தொட்டியிலே

பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 73
மீந்துள்ள நீரைக் கலனிற் கணக்கிட்டுப் பின்வரும் அட்ட வணையிற் குறித்தோம் :-
நிமிடம் I 2 3 4 5 6
பி 6Ո --- - o: 385 στο 355 34 0 || 325 || 3 || 0
(i) இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக ; (i) 43 நிமிடத்தால் எத்தனை கலனளவு நீர் அத் தொட் டியிலே மீந்துள்ளதென அவ் வரைப்படம் பற்றிக் காண்க.
(이)
1. அடுத்துவரும் 4 இயற்கை யெண்களுட் கூடியது க பனின், ஏனைய மூன்றெண்களையுங் காண்க.
2. 25 - 215 - 2 (25 - 5 - 1) J - 1. இதன் சுருக்கத்தைக் Wnt 657 (95.
க= 3 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
3. ஒரு கார்ச்சில்லின் பரிதி க அடி. அக் கார் ஒரு செக்கனுக்கு ந அடி வீதம் ஒடுமாயின், ஒரு மணி நேரத் திற்கு அச் சில்லு எத்தனை சுற்றுச் சுற்றும் ?
க - 2 2க + 1 4. a 5 இதற்குத் தீர்வு காண்க.
5. க பெறும் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கு ந பெறும் ஒத்த பெறுமானம் பின்வருமாறு :-
O 5 75 1 1 5 2
த 0 06 14 25 56
ti) க விற்கு ந விற்குமுள்ள தொடர்பை ஒரு வரைப் படத்தாற் காட்டுக;
(ii) க- 125 ஆயின், ந பெறும் பெறுமானத்தை அவ் வரைப்படம் பற்றிக் காண்க :
(i) ந= 2 ஆயின், க என்ன பெறுமானம் பெறுமென்று அவ் வரைப்படமூலங் காண்க.

Page 44
74 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(ஊ) 1. மேசை யொன்று 2ப ரூபா வீதம் 3ப மேசைகளுங் கதிரை யொன்று ம ரூபா வீதம் 5 கதிரைகளும் விலைக்குக் கொள்ள எத்தனை ரூபா வேண்டும் ?
2. 2க + 2ாக + 2 (2 க - (க-1) 1- 1. இதனைச் சுருக்கித் தருக.
க-2 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ? 3. நான் 5 ந ஆட்டை விலைக்குக் கொண்டு அவற்றுள் 5 ஐ விற்க 20 ஆடு மீதியாக இருக்கக் கண்டேன். இவ் வுண்மையைக் காட்டுஞ் சமன்பாட்டைத் தருக.
4. (க - 6)=(க - 1). இதனுடைய தீர்வைக் காண்க. 5. ஒரு திருகுத் தூக்கி தூக்க வேண்டிய பாரத்திற்கும் அதனுடைய தாக்கு விசைக்குமுள்ள தொடர்பு பின்வரும் அட்டவணையிற் காணலாம் :-
பாரம் இருத்தலில் 100 20 40 60 80 200
தாக்குவிசை 122 150 168 18 s 21-0 23 - 0 இருத்தனிறையில்
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக. அப் படம் வாயிலாக 16 இருத்தனிறை கொண்ட தாக்குவிசை எத்தனை இருத்தற் பாரத்தைத் தூக்குமெனக் காண்க.
(6 т) 1. 3 க + 2 கந+ ந?. இதன் கண் க?, க என்பனவற்றி னுடைய குணகங்களை எழுதுக. க=2, ந= 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
3க? + 1 4க? - 1
೨ ಅ" + !.
3 4
3.அ அங்குல வடியையும் உ அங்குலக் குத் துயரத்தையும் உடைய ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ; அஉ ச்சதுர வங்குலமாயின், 5 அங்குல வடியையும் 6 அங்குலக் குத் துயரத்தையும் உடைய ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பள 6) Gidy, 95IT600T
இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.

பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 75
4. ஒரெண்ணின் மூன்றிலொரு பங்கோடு 12 ஐக் கூட்ட வருங் கூட்டுத் தொகை அவ் வெண்ணின் அரைப்பங்கோடு 4 ஐக் கூட்டியதற்குச் சமன். அவ்வெண் யாது ?
5. வானுேக்கி ஒரு கல்லை எறிந்துவிட்டு, அரைச் செக்க பூனுக்கொருமுறையாக அதனிலை நிலத்திலிருந்து எத்தனை யடி தூர மெனக் காணப்பட்டுப் பின்வரும் அட்டவணையிற் குறிக்கப்பட்டுள்ளன :-
நேரம் செக்கனில்
#''ဖို့ | 0 || 2 || 80 || 63| bs || 6 || 6 || 36 || 8 அடியில்
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத் தாற் காட்டி, அப் படமூலம் எத்தனை செக்கனில் அக்கல்லு நிலத்திலிருந்து 60 அடி உயரத்தில் இருக்குமெனக் காண்க.
(ஏ)
1. அ ஆடுகள் அஇ இருத்தல் கொண்டனவாயின், க ஆடுகள் எத்தனை இருத்தல் கொண்டனவாகும் ?
2. 1 - அக + இக? + உக. க வினுடைய குணகங்களை - முன்னிட்ட அடைப்பிலிட்டு இதனை எழுதுக. 3. க - 3-4(த்க - 1). இதனுடைய தீர்வைக் காண்க. 4. நாலு அடுத்துவரும் இயற்கை யெண்களின் கூட்டுத் தொகை 86. அவ்வெண்களைத் காண்க.
5. ஒரு குழாய்க்குள் உள்ள காற்றினுடைய வெப்பநிலை யுங் கனவளவும் பின்வருமாறு இணைபட்டுள்ளன :-
வெப்பநி2ல
f75 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ச. இல்
கனவளவு LTTTtGGSSYSSSS 00 L00S00S00S000aaLLLL0S0LL0S000000000S0000S00 00S00 00S00
இல் ་ པར་མ་ ཟད། ད་བར་ ༧༠། ་པར་ པ་།

Page 45
76 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டி, அப் படம் வாயிலாக அக்காற்றின் வெப்பநிலை 65°ச, ஆயின், அதன் கனவளவு என்னவென்று காண்க.
(ஐ)
1. ஒரு வியாபாரி ப மாடுகளை ஒன்று ப ரூபா வீதங் கொண்டு ஒன்று ம ரூபா வீதம் விற்ருன். அவனது நட்ட மென்ன ?
2. 10 ப?-2ப3 ப - 2{ப - 2. ப - 2)]. இதன் சுருக்கத் தைக் காண்க.
ப- 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
3. முதல் இ இயற்கை யெண்களின் கூட்டுத் தொகை
s=@+) ஆயின் முதல் 200 இயற்கை யெண்களின்
கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
4. பழக் கடைக்காரனெருவன் ஒரு தொகை பழங்களை ரூபாவுக்கு 12 வீதம் விலைக்குக் கொண்டு ரூபாவுக்கு 10 வீதம் விற்க ரூபா 10 நய மடைந்தான். அவன் விலைக்குக் கொண்ட பழங்கள் எத்தனை ?
5. ஒரு பொருளுடைய வெப்பநிலைகள் ப்ரனைற்றளவை யிலுஞ் சதமவளவையிலுங் காணப்பட்டுப் பின்வரும் அட்ட வணையிற் றரப்பட்டுள்ளன :-
| " : பாகை பரனேற்று 32 | 52| 72 92 112182 152172 92
பாகை சதமவளவை 0
33 344. 4 55-566-677-788-8
(1) இத் தொடர்பை ஒரு வரைப்படத்தாற் காட்டுக; அவ் வரைப் படந் துணை கொண்டு,
(i) 100°ப என்பது எப்பாகை சதம வளவைக்குச் சமனெ னக் காண்க :
(i) 50°ச என்பது எப்பாகை பரனேற்றுக்குச் சமனெனக் காண்க

அத்தியாயம் 6
திசை யெண்கள்
35. நேர்க்கணியங்களும் எதிர்க்கணியங்களும் : அட்சர கணிதத்திற் சக, சய என்னுங் குறிகள் கூட்டல், கழித்தல் என்னுஞ் செய்கைகளைக் குறித்தலேயன்றித் தம்மொடு பொருந்தி நிற்கும் எண்களுக்குச் சில குணங்கள் உண்டு என்றுங் காட்டும். இதனை ஆராய்தல் தகும் :-
எண்கணித முறைப்படி 5 - 3 = 2. ஆனல் 3 - 5 என்ப தற்குப் பொருள் யாதுமில்லை. எனினும், அட்சரகணித முறைப்படி அதற்கு ஒரு பொருள் உண்டு என்பதைக் காட்டுவோம்:
(1) காய்கறிக் கடைக்காரனெ ருவன் ரு ன் செய்த தொழில் காரணமாக ஒருமுறை ரூபா 5 நயமும் ஒரு முறை ரூபா 3 நட்டமும் அடைந்தானயின், அவனது தொழிற் பயன் ரூபா 2 நயமாகும். அன்றி, ஒருமுறை ரூபா 3 நயமும் ஒருமுறை ரூபா 5 நட்டமும் அடைந் தானுயின், அவனது தொழிற் பயன் ரூபா 2 நட்டமாகும். இவற்றை அட்சரகணித முறைப்படி எழுதப்புகின், நயங்களை + ஒடு பொருந்திய எண்களாலு நட்டங்களை - ஓடு பொருந்திய எண்களாலுங் குறித்தல் வழக்கு. அவ்வாறு செய்ய,
+ 5 ரூபா - 3 ரூபா - + 2 ரூபா, + 3 ரூபா - 5 ரூபா = - 2 ரூபா என்னுஞ் சமன்பாடுகள் பெறப்படும். (2) ஒரு பிரயாணி ஒரிடத்திலிருந்து கிழக்கு நோக்கி 5  ைமற்றுார நடந்துவிட்டுத் திரும்பி மேற்கு நோக்கி 3  ைமற்றுார நடந்ததும் அங்கு தங்கினையின், தங்கிய இடம் புறப்பட்ட இடத்தினின்று கிழக்கே 2 மைற் றுாரமாகும். அன்றி, கிழக்கு நோக்கி 3 மைற்றுார

Page 46
78
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
நடந்து விட்டுத் திரும்பி மேற்கு நோக்கி 5 மைற்றுார நடந்ததும் அங்கு தங்கினனுயின், தங்கிய இடம் புறப் பட்ட இடத்தினின்று மேற்கே 2 மைற்றுார மாகும்.
இவற்றை அட்சரகணித முறைப்படி உணர்த்த விரும் பின், ஒரிடத்திலிருந்து கிழக்கே செல்லுந் தூரங்களை + ஒடு பொருந்திய எண்களாலும், மேற்கே செல்லுந் தூரங்களை - ஒடு பொருந்திய ள்ண்களாலுங் குறித்தல் வழக்கு.
அவ்வாறு செய்ய,
+ 5 மைல் - 3 மைல் = + 2 மைல்,
+ 3 மைல் - 5 மைல் = - 2 மைல் என்னுஞ் சமன்பாடுகள் பெறப்படும்.
இங்கு - 2 மைல் என்பது + 2 மைல் என்பதற்கு அளவாற் சமனுந் திசையால் எதிருமான துர ரத்தைக் குறிக்கின்றதெனலாம். பொதுவாக ஒரு திசை பற்றி வருவனவற்றை + என்னுங் குறிபற்றி வரும் எண் களாற் குறிக்கின், எதிர்த்திசை பற்றி வருவனவற்றை - என்னுங் குறிபற்றி வரும் எண்களாற் குறித்தல் வேண்டும்.
ஆகவே + 5 மைல் என்பது வடக்கே 5  ைமற்றுாரத் தைக் குறிக்கின், - 5 மைல் என்பது தெற்கே 5  ைமற் றுாரத்தைக் குறிக்கும். + 3 அடி என்பது மேலே 3 அடி உயரத்தை உணர்த்தின் - 3 அடி என்பது கீழே 3 அடி யாழத்தை உணர்த்தும். அதுபோல, நயம் ரூபா 2 என்பது எனது முதல் ரூபா 2 ஆன் மேற்பட்ட தென்றும் நயம் ரூபா - 2 என்பது எனது முதல் ரூபா 2 ஆற் கீழ்ப் பட்டதென்றுங் கொள்ளலாம். இங்கு + பற்றிவரும் எண்களானவை நேரெண்கள் என்றும் - பற்றிவரும் எண்களானவை எதிரெண்கள் என்றுங் கூறப்படும். +2, +3, + 5 என்பன நேரெண்களுக்கும், - 2, - 3, -5 என் பன எதிரெண்களுக்கும் உதாரணங்களாகும். இவ் வெண்களானவை தி  ைச பற்றித் தம் பொருளைத் தரு தலாலே திசையெண்கள் எனப்படும்.

திசை யெண்கள் 79
எண்கள் போல எண் கடுணையாக எண்ணப்படுங் கணியங்களும் நேர்க்கணியங்கள், எதிர்க் கணியங்கள் என்னும் இரண்டு வகைகளாக வகுக்கப்படும். + 3 ரூபா, + 5 மைல் என்பன நேர்க்கணியங்களுக்கும், - 3 ரூபா, - 5 மைல் என்பன எதிர்க்கணியங்களுக்கும், உதாரணங் களாகும். 36. கூட்டல் :- திசையெண்கள் இரண்டனுள் ஒன்றை ஒன்றுடன் கூட்டுதற்கு எண்ணளவுத் திட்டத்தைப் பயன் படுத்திச் செய்யலாம் :-
உ-ம். 1
(i) (+ 3) + (+ 5); (ii) ( -'5) + ( — 3); (iii) (+ 3) + ( — 5); (iv) ( + 5) + (- 3).
இவற்றிற்குப் பெறுமானங்கள் காண்க.
b
ஒரு வெண்டாளில் உ என்னும் ஒரு புள்ளி யைக் குறித்து அதற்கூடாக ந ந' என்னு நிலைக் கோடொன்று கீறுக. அக் கோட்டைச் சமதூரங் களாகப் பிரிக்க, இனி உ என்பது பூச்சியம் என்னும் எண்ணைக் குறிக்கின்றதெனக் கொண்டு அதற்கு மேற்புறமாக இருக்குத் தூரங்களை நேரெண்களாலுங் கீழ்ப்புறமாகவிருக்குந் தூரங் களை எதிரெண்களாலுங் குறிக்க. இப்படம் எண் ணளவுத் திட்டத்திற்கு ஒரு தாரணமாகும்.
-
9
ந' -10
2 (b. 7
(i) ( + 3) ஒடு + (5) ஐக் கூட்டுதற்குப் படத்தில் (+3) என்பதில் ஆரம்பித்து மேற்புறமாக 5 படிகள் செல்க. செல்ல + 8 என்னும் புள்ளி பெறப்படும். .”。(+ 3)+(+5)=+ 8 ;

Page 47
80 மானுக்கரட்சரகணிதம்
(ii) ( - 5) ஒடு ( - 3) ஐக் கூட்டுதற்குப் படத்தில் ( - 5) என்பதில் ஆரம்பித்துக் கீழ்ப்புறமாக 3 படிகள் செல்க. செல்ல - 8 என்னும் புள்ளி பெறப்படும். .”.(ー5)+(- 3)=ー 8 ; (ii) ( + 3) ஒடு ( - 5) ஐக் கூட்டுதற்குப் படத்தில் (+3) என்பதில் ஆரம்பித்துக் கீழ்ப்புறமாக 5 படிகள் செல்க. செல்ல - 2 என்னும் புள்ளி பெறப்படும். .”。(+3) + (ー5リ=ー 2 ; (iv) (+5) ஓடு ( - 3) ஐக் கூட்டுதற்குப் படத்தில் ( + 5) என்பதில் ஆரம்பித்துக் கீழ்ப்புறமாக 3 படிகள் செல்க. செல்ல + 2 என்னும் புள்ளி பெறப்படும். .....(+5)+(- 3)=+ 2. இவ்வுதாரணப் பகுதிகளுள், முன்னிரண்டிலிருந்து ஒரு விதியையும் பின்னிரண்டிலிருந்து ஒரு விதியையும் பெற லாம் :
விதி 1: ஒத்த குறிகளுடைய எண்களிரண்டின் கூட்டுத் தொகையைக் காணுதற்கு, அவ்வெண்களை எண்ணளவிற் கூட்டிக் கண்ட தொகைக்கு அவ்வெண்களின் குறியை இடுக.
விதி 11. ஒவ்வாத குறிகளுடைய எண்களிரண்டின் கூட்டுத் தொகையைக் காணுதற்கு, அவ்வெண்களுள் எண்ணளவிற் பெரிய திலிருந்து சிறியதைக் கழிக்கவருந் தொகைக்குப் பெரியதின் குறியை இடுக.
இவ்விதிகள் பற்றிப் பின்வருமாறு கூட்டற் கணக்குக்கள் செய்யலாம் :-
絮
உ-ம்.
1. ( + 6) ஒடு (+ 4) ஐக் கூட்டுக.
( - 6) + ( + 4) = + (6+ 4) விதி 1. . 10 ۔+ سیحیت
உ-ம்.
2. ( - 7) + (-8). இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
( - 7) + ( - 8) =ー(7 + 8) விதி I.
=ー l 5.

திசை யெண்கள் 81 ۔۔۔۔
a2 —— Lb.
3. ( + 5) ஒடு ( - 9) ஐக் கூட்டுக.
( + 5) + ( - 9) = - (9 - 5) 6áîG II. ਸ - 4 .
. Lib ----_2ع
4. (-4), (+ 10). இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(ー4月+( + I 0り = + (10 - 4) 5íîG III. = + 6.
பயிற்சி 6 (அ)
பின்வருவனவற்றை எண்ணளவுத் திட்டம் பற்றி விளக்
குக:-
I・ (+ 7)+(+ 2)=+ 9. 2. (ー6)+ (ー3)=- 9.
3. (ー3)+ (+ 7)=+4. 4 (ー4人+(-6)=ー I 0. 5. ( - 5) + ( + 5) = 0. 6. ( - 2) + ( - 9)= - 1 1. 7. (ー6) + ( + 2)=ー4. S. (+5)+ (ーl)=+4.
9. (+ 6)+(-6)=0.
பின்வருவன வற்றிற்குப் பெறுமானங் காண்க :-
10. ( -- 8) + ( -- 6). ll. ( -- 7) + ( - 7). 12. ( + 1) + ( - 9). 13. ( -- 3) + ( - 9). 14. ( - 6) + ( - 8). 15. (+6) + ( - 8). 16. ( - 8) + ( -- 6). I 7. (ーI)+ (+ 7). 18. ( - 4) + ( + 1). 1 9 . -- 6 9 -+۔ . 2 0 : -- 9 -||- 6 - 21. - 3 + 3.
22. பிரயாணி யொருவன் ஓரிடத்தினின்று வடக்கு நீோக்கி 7 மைற்றுார நடந்ததுந் திரும்பித் தெற்கு நோக்கி 12  ைமற்றுார நடந்துவிட்டு அவ்விடந் தங்கினன். தங்கிய இடம் புறப்பட்ட இடத்தினின்று வடக்கே எத்தனை  ைமற் ? מL שחש.

Page 48
82 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
23. ஒரு கப்பல் ஓரிடத்தினின்று கிழக்கு முகமாக 25  ைமற்றுாரஞ் சென்று விட்டுத் திரும்பி மேற்கு முகமாக 40 மைற்றுாரஞ் சென்று நின்றது. அது நின்ற இடம் புறப்பட்ட இடத்தினின்று கிழக்கே எத்தனை  ைமற்றுாரம்?
24. ஒரு வியாபாரி இரு முறை செய்த தொழில் காரண மாக முறையே ரூபா 250 நயமும் ரூபா 150 நட்டமும் அடைந்து நின்றன். அவனது தேறிய நயமென்ன ?
அவனது தேறிய நட்ட மென்ன ?
25. ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை - 10°ச, (i) அது 7°ச. ஆற் கூடினல் என்னவாகும் ? (ii) அது - 2°ச. ஆற் கூடினல் என்னவாகும் ?
37. கழித்தல் : ஒரெ ண் ணு னது ஒரு குறியுமின்றி நின்றல் + என்னுங் குறி அவ்வெண்ணின் முன் ருெக்கு நிற்கின்றதெனக் கருதப்படும். 3 என்பதனை + 3 என்று கொள்ளல் வேண்டும்.
எனவே, - என்னுங் குறி பற்றி நிற்கும் ஓரெண் அக்குறி இன்றிய அ வ் வெண் ணுக்கு எதிர் என்பது புலணுகும்.
ஆயின் - (+3) என்பது + 3 என்பதற்கு எதிர் ;
ஆனல் - 3 என்பதும் + 3 என்பதற்கு எதிர் ;
・・・ー(+ 3)=ー 3.・ SS SSSSSSqSqSqSqqq qSqSqSqSqSqSSSSqSqSqqSSSS SSSSSqSSSSqqqqqSqSq S SqSqSqSSSSSSSSLLLSSLSSLSSLSSqSSSS SSqq SqqSqSqqqq SqSq SSSSLSLSLSSSqSS ( 1)
இனி - ( - 3) என்பது - 3 என்பதற்கு எதிர் ஆணுல் + 3 என்பதும் - 3 என்பதற்கு எதிர் ; ・・ー(ー3)=+ 3・・ - ... ( 2)
இச் சமன்பாடுகளுடைய உண்மைகளைத் திசைகள் பற்றி யுங் காட்டலாம் :
(1) + 3 என்பது ஓரிடத்தினின்று கிழக்கே 3 அலகுகள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும்;
" - (+3) என்பது அவ்விடத்தினின்று மேற்கே 3 அல குகள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும் ;

திசை யெண்கள் 83
ஆனல் - 3 என்பதும் அவ்விடத்தினின்று மேற்கே 3 அல குகள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும் ;
..". - (+3 = - 3.
(2) இனி, - 3 என்பது ஒரிடத்தினின்று மேற்கே 3 அலகு கள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும் ;
.. -( - 3) என்பது அவ் விடத்தினின்று கிழக்கே 3 அலகு கள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும் ;
ஆனல் + 3 என்பதும் அவ் விடத்தினின்று கிழக்கே 3 அலகுகள் கொண்ட தூரத்தைக் காட்டும் ;
.”。ー(ー3)=+ 3.
இச் சமன்பாடுகளை நோக்க, ஒரெண்ணிலிருந்து + 3 ஐக் கழிப்பது அவ்வெண்ணுடன் - 3 ஐக் கூட்டுவதற்குச் சம னென்றும் ஒரெண்ணிலிருந்து - 3 ஐக் கழிப்பது அவ்வெண் ணுடன் + 3 ஐக் கூட்டுவதற்குச் சமனென்றும் அறியலாம்.
3 நின்ற விடத்து எவ் வெண்ணு நிற்கலாம் என்பது கொண்டு ஒரு விதியைப் பெறுவோம் :-
விதி :-ஒரெண்ணிலிருந்து ஒரெண்ணைக் கழித்தலுக்கு முன் னெண்ணுெடு பின்னெண்ணின் எதிரைக்கூட்டுதல் சமன்.
இவ் விதியைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்கு வோம்.
a --lb.
1. + 8 இல் இருந்து + 5 ஐக் கழிக்க.
(+ 8) - (-5) = + 8 + ( - 5) = -- 3. 2. + 3 இல் இருந்து - 8 ஐக் கழிக்க
(+ 3) - ( - 8) = ( -- 3) + ( + 8) s= | 1. 3. - 5 இல் இருந்து - 9 ஐக் கழிக்க.
( - 5) - ( - 9) = ( - 5) + ( -- 9) =+4...

Page 49
84 மாணக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 6 (ஆ) பின்வருவனவற்றில் இடப்பக்க வெண்ணிலிருந்து வலப் பக்கவெண்ணைக் கழிக்க :-
1. -- 8, + 4. 2. + 4, - 8. 3. - 3 - 5. 4. - 6, - 6. 5. -1, -9. 6. --2, - 9. 7. - 8, - 5. 8. -l, + 7. 9. - 8, - 2. பின்வருவனவற்றைச் சுருக்கித் தருக :-
10. (+9) - (-4). 11. 6 - (-- 4). 12. 1 - O - 8). 13. - 2 - (-7). 14. - 9 - (-3). 15. - 9 - ( - 9). 16. - I - (-t- 5). l 7. - 2 - ( - 6). 18. 7 - (+ 8). பின்வருவனவற்றிற்குப் பெறுமானங்கள் காண்க :-
19. ( - 1) - ( - 1). 20. 2 - (+3). 2 l . I l - ( + l. 2). 22. 3 - (+3). 23. - 4 - O - 6). 24. -- 6 - ( - 6). 25. ஒரு சதம வளவை வெப்ப மா னி யில் - 10°ச.
இற்கும் 25°ச. இற்கும் இடையிலுள்ள ஏற்றம் எத்தனை பாகையாகும் ?
26. ஒரெண் ஒரெண்ணிலும் 2 ஆற் குறைவு. பெரிய வெண் - 6 ஆயின், சிறியவெண் யாது ?
27. - 6, - 9. இந்த இரண்டு எண்களுள் எது பெரிது? எவ்வளவாற் பெரிது ?
28. 3,000 ரூபா வாற் கடன் காரணுயிருந்த மனித னெருவன் ஒராண்டு வியாபாரங் காரணமாக 1,500 ரூபாக் கை முதலுள்ளவனனன். அவ் வாண்டில் அவன் பெற்ற நயமென்ன ?
38. பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒரு புகைவண்டியின் வேகம் ஒரு பகலிலே மணிக்கு 5 மைல் வீதம் ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்குங் கூடுகின்றதெனக் கொள்வோம். நண் பகலைப் பூச்சிய மணியெனக் கொள்ளின், பிற்பகல் ம

திசை யெண்கள் 85
1ணரிக்கு அதன் வேகம் ( + 5) Xம மை லாலே நண்பகல் வேகத்திற் கூடியதாகும். இங்கு ம என்பது ஒரு திசை யெண். w
பிற்பகல் 3 மணிக்கு ம- + 3 ; முற்பகல் 9 மணிக்கு LD= – 3 ;
பி. ப. 3 மணிக்கு அதன் வேகம் மணிக்கு 15 மைல் வீதம் நண்பகல் வேகத்திற் கூடியதாகும்.
." (+5)×(+3)=+ I 5. (i) மு. ப. 9 மணிக்கு அதன் வேகம் மணிக்கு 5 மைல் வீதம் நண்பகல் வேகத்திற் குறைந்ததாகும் ;
." (+5)×(ー 3)=ー I 5. (ii) இனி, அப்புகைவண்டியின் வேகம் ஒரு பகலிலே மணிக்கு 5 மைல் வீதம் ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்குங் குறைகின்ற தெனக் கொள்வோம்.
பி. ப. 3 மணிக்கு அதன் வேகம் மணிக்கு 15 மைல் வீதம் நண்பகல் வேகத்திற் குறைந்ததாகும் ;
." (-5)×(+3)=ー I 5. (iii) மு. ப. 9 மணிக்கு அதன் வேகம் மணிக்கு 15 மைல் வீதம் நண்பகல் வேகத்திற் கூடியதாகும் ;
." (ー5)×(ー 3)=+ l 5. (iv) இந்நான்கு சமன்பாடுகளிலும் 5, 3 என்பன நின்ற விடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய க, ந என்பனவற்றை நிறுத்தினுற் பின்வருவனவற்றைப் பெறலாம்.
(i) இல் இருந்து (+ க) X(+ ந)= + கந : . . . . . . . . . . . . ( 1) (iv) இல் இருந்து ( - க) X( - ந)= + கந : . . . . . . . . . . . . (2) (i) இல் இருந்து ( - க) X(+ ந)= - கந . . . . . . . . . . . . (3) (i) இல் இருந்து (+ க) X( - ந)= - கந : . . . . . . . . . . . . (4)
இவற்றுள் (1) என்னுஞ் சமன்பாட்டுடன் (2) ஐயும் (3) என்பதனேடு (4) ஐயுஞ் சேர்த்துப் பார்க்க ஒருண்மை புலனகும்.

Page 50
86 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இரு திசை யெண்களுள் ஒன்றை ஒன்ரு ற் பெருக்கினல் ஒத்த குறிகள் + ஒடு பொருந்திய பெருக்கத்தையும், ஒவ்வாத குறிகள் - ஒடு பொருந்திய பெருக்கத்தையுந் தரும்.
மேற்றந்த நான்கு சமன்பாடுகளிலிருந்து பின்வருவன வற்றைப் பெறலாம்.
+ கந_ (1) இல் இருந்து ェリー+* p (4) இல் இருந்து 三笠-+· (2) இல் இருந்து 子—一。
e - கந (3) இல் இருந்து 一言一°
இவற்றிலிருந்து ஒருண்மை புலஞகும் :-
இரு திசையெண்களுள் ஒன்றை ஒன்ரு ல் வகுத்தால் ஒத்த குறிகள் + ஒடு பொருந்திய ஈவையும், ஒவ்வாத குறிகள் - ஒடு பொருந்திய ஈவையுந்தரும்.
இந்த இரண்டு உண்மைகளையுஞ் சுருக்கமாகப் பின்வரும் விதி கூறும் :-
ஒரு திசையெண்ணை ஒரு திசையெண்ணுற் பெருக்கினுலும் வ்குத் தாலும் ஒத்த குறிகள் + ஒடு பொருந்திய வெண்ணையும், ஒவ்வாத குறிகள் - ஒடு பொருந்திய வெண்ணையும் பலனுகத் தரும். இதுவே பெருக்கல் வகுத்தல்களின் குறி விதியெனப் படும். இவ் விதியைப் பயன்படுத்துதற்கு உதாரணங்கள் பின்வருமாறு :-
உ-ம்.
1. ( + 5) ஐ (-4) ஆற் பெருக்குக.
(十5)×(一4) . 0 2 -- =شهج 2. ( - 9) X( - 6). இதன் பெறுமானத்தைத் தருக.
( - 9) X ( - 6)
= + 54・

திசை யெண்கள் 87
3. ( ~ 18) ஐ (- 3) ஆல் வகுக்க,
- 18
– 3
= + 6.
" இதன் பெறுமானம் என்ன ?
-- 20
5
= - 4.
பயிற்சி 6 (இ) பெருக்குக -
1. ( - 12) ஐ (+5) ஆல். 2. ( - 8) ஐ (+ 12) ஆல். 3. + 8 ஐ ( - 7) ஆல். 4. ( + 9) ஐ ( - 11) ஆல். 5. (+ 16) ஐ ( - 3) ஆல். 6. ( + 12) ஐ ( - 6) ஆல். 7. ( - 16) ஐ ( - 4) ஆல். 8. ( - 3) ஐ (- 2) ஆல். 9. ( - 12) ஐ ( - 4) ஆல். 10 (- 24) ஐ ( - 3) ஆல். 11. (-18) ஐ (-3) ஆல். 12. (+8) ஐ (-10) ஆல்.
வகுக்க :-
13. ( - 12) ஐ ( + 4) ஆல். 14. 18 ஐ ( - 6) ஆல். 15. ( - 15) ஐ ( - 5) ஆல். 16. ( + 5) ஐ ( - 1) ஆல். 17. ( - 16) ஐ (-8) ஆல். 18. ( - 14) ஐ (- 2) ஆல். 19. ( + 18) ஐ ( - 3) ஆல். 20. ( - 5) ஐ ( - 1) ஆல்.
பின்வருவனவற்றிற்குப் பெறுமானங்கள் காண்க :-
2卫。(一慧)×(一18)。 22。(一基)×(十盖)。
23·(一碧)×(一器) 24. (-2)--(-5).
25. ( - 1)-- (-|- 5). 26. (-)은(+). 27 (ー羅)→ー(ー露). 28,(署)×(一器)。
29. ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மணிக்கு 5°ச ஆற் கூடுகின்றது. ஒரு நாட் காலை 11 மணிக்கு அதன் வெப்ப

Page 51
88 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
நிலை 12°ச. ஆயின், (1) அன்று பி. ப. 3 மணிக்கு அதன் வெப்பநிலை என்ன ? (2) அன்று மு.ப. 7 மணிக்கு அதன் வெப்ப நிலே என்ன ?
30. ஒரு மனிதனுடைய நிதிநிலையப் பாக்கி ஆண்டுக்கு ரூபா 50 வீதங் குறைகின்றது. தற்போது நிதிநிலையத்தில் அவனிடம் உள்ள தொகை ரூபா 400. க ஆண்டுகளில் அவனது நிதிநிலையப் பாக்கி ரூபா ந ஆகும். ஆயின் ந= 400 + (- 50) க என்பதை நிறுவுக. 5 ஆண்டுகளுக்கு முன் அவனது நிதிநிலையப் பாக்கி என்ன ? 5 ஆண்டுகள் சென்ரு ல் அது என்னவாகும் ?
31. ஒரு புகைவண்டியின் வேகம் ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்கு மணிக்கு 10 மைல் வீதம் குறைகின்றது. ஒரு நண்பகலில் அதன் வேகம் மணிக்கு 30 மைல் ஆனல், அன்று பிற்பகல் 2 மணிக்கு அதன் வேகம் என்ன ? அன்று முற்பகல் 9 மணிக்கு அதன் வேகம் என்ன ?

அத்தியாயம் 7
ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும்
39. உறுப்புக்களானவை தம்முள் வேற்றுமையின்றி நின் முலும், எண் குணகங்களின் மாத்திரம் வேற்றுமைப்பட்டு நின்றலும், ஒத்தவுறுப்புக்கள் எனப்படும். இவையல்லாத பிறவுறுப்புக்கள் ஒவ்வாதவுறுப்புக்கள் எனப்படும். ஒத்தவுறுப்புக்களுக்கு உதாரணம்.
(1) 2க, 2க, 2க ;
(3) 4தப, - 5 தப, + 6தப ;
(4) 2(க + ந), - 3(க + ந), - 5 ( க + ந). ஒவ்வாத வுறுப்புக்களுக்கு உதாரணம்.
(1) 3த, 3ப, 3ம ;
(2) . 25o, – 6 Lo, - 8 Lpo ;
(3) - 3தப, +4 பம , - 3மத
(4) 3(க - ந), 4(ந - ய), - 7(ய - த).
40. கூட்டல் :- ஒத்தவுறுப்புக்களைக் கூட்டும் வகைகளை
ஆராய்வோம் :-
(i) 3ப, 4ப, 9 ப என்னும் இவற்றின் கூட்டுத் தொகை யைக் காண்போம். ப வினது பெறுமானம் எதுவாயி
ருப்பினும் அதனை 3 தரமும் 4 தரமும் 9 தரமும் எடுத்துக் கூட்டுதல் அதனை 16 தரம் எடுத்துக் கூட்டுத லுக்குச் சமன். .*. 3 L + 4 Lu -- 9 Lu = Il 6 .
இங்கு கூட்டுத்தொகையாகக் கண்ட 16ப என்பது கூட்டப்பட்ட 3ப, 4ப, 9 ப என்னும் இவற்ருேடு ஒத்த வுறுப்பாதல் காண்க.
இன்னும், கூட்டுத் தொகையிலுள்ள ப வினது எண் குணகம் கூட்டப்பட்டனவற்றிலுள்ள எண் குணகக் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமனுதலையுங் காண்க.

Page 52
90 மானுக்கரட்சரகணிதம்
(i) இனி, - 2க, - 3க, - 7க என்னும் இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்போம். + என்னுங் குறிபற்றி வருவனவற்றை நயமாகவும், - என்னுங் குறிபற்றி வருவனவற்றை நட்டமாகவுங் கொள்வோம்.
க வினது பெறுமானம் எதுவாயிருப்பினும் அதனை 2 தரமும் 3 தரமும் 7 தரமு நட்ட மடைதல் அதனே 12 தரம் நட்ட மடைதலுக்குச் சமன் ;
". - 2 க - 3 க - 7க- - 12 க.
இங்குங் கூட்டுத் தொகை கூட்டப்பட்ட தொகை களுக்கு ஒத்தவுறுப்பாதல் காண்க. இன்னுங் கூட்டுத் தொகையிலுள்ள க வினது எண் குணகம் கூட்டப்பட்டன வற்றில் உள்ள எண் குணகக் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன தலையுங் காண்க. இவற்றிலிருந்து பின்வரும் விதிகளைப் பெறலாம் :- விதி :-(1) ஏதும் ஒருகுறிபற்றி வரும் ஒத்தவுறுப்புக்களு * டைய கூட்டுத்தொகை அக்குறி பொருந்திய ஒத்தவுறுப்
பாகும்.
விதி:-(2) அக்கூட்டுத்தொகையின் எண்குணகம் அவ்வுறுப்புக் களுடைய எண்குணகமொத்தமாகும்.
இவ் விதிகளைத் துணைக்கொண்டு பின் வருங் கணக்குக்க ளைச் செய்வோம் :-
.LD -ــــــــــــــنس~~2
1 . 3க, - 5க, + 8க, - 4க, - 3க. இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
3 க - 5 க + 8 க - 4 க - 3க = - 2 க + 8 க - 4 க - 3க (", 3 க - 5 க= - 2 க)
= 6 க - 4 க - 3க (‘.’ - 2 க + 8 க- 6க) = 2 க - 3க (‘.’ 6 க - 4 க-2க)
55 - ܫܝ̈ܡܗ
உ-ம்.
2. 5 பம - 6 பம - 4 பம + 3 பம. இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாத வுறுப்புக்களும் 9.
5 பம - 6 பம - 4 பம + 3 படம
= — L u L D — 4 L u LD +- 3 L u LD (". 5 LILD - 6 Li LD= - LD) = - 5 L I LD + 3 Lilf (. - பம - 4பம= -5 பம)
= - 2 L J L D.
11 ஒவ்வாதவுறுப்புக்களைக் கூட்டினுல் வருங் கூட்டுத் தொகை ஒரு கோவையாகும். 3த, - 5 ப, 6ம என்பன வற்றின் கூட்டுத்தொகை 3த - 5 ப+ 6ம என்பதே.
41. கூட்டல் கழித்தல்களின் மாற்று விதியுந்தொகுப்பு விதியும்:
10 - 6 + 3 - 2 = - 6 - 2 + 3 + 1 0 = - 2 - 6 + 3 + 1 0 = 3 + 10 - 2 - 6
அதுபோல, த - ப+ ம - வ= - ப - வ+ ம + த= - வ - ப + ம + த-ம + த - வ - ப,
இச்சமன்பாடுகள் பற்றிப்பின்வரும் விதியைப் பெறலாம்: விதி -1. பல வுறுப்புக்களைக் கூட்டல் கழித்தல் என்னுஞ் செய் கைகளுக்குள் அகப்படுத்தும்போது இதனை முன்னதாகவும் இதனைப் பின்னதாகவுஞ் செய்யவேண்டும் என்னும் வரையறையில்லை.
இதுவே கூட்டல் கழித்தல்களின் மாற்று விதி எனப்படும். இனி 10 - 6+3-2=(10-6)+(3 - 2)= -(6+2)+3+10 =ー(2 + 6ー 3ル + l O= 3 + (I 0ー 2ー 6);
அதுபோல, த - ப + ம - வ=(த - ப) + (ம - வ)= - (ப +.வ) +ம + த= - (வி + ப - ம) + த=ம + (த - வ - ப).
இச் சமன்பாடுகள் பற்றிப் பின்வரும் விதியைப் பெற
GDIT)
விதி :-I. பல வுறுப்புக்களைக் கூட்டல் கழித்தல் என்னுஞ் செய்கைகளுக்குள் அகப்படுத்தும்போது அவற்றை வேண்டியவாறு தொகுக்கலாம்.
இதுவே கூட்டல் கழித்தல்களினுடைய தொகுப்பு விதி எனப்படும்.
இவ் விதிகளைத் துணைக்கொண்டு 40-ஆம் பிரிவிலுள்ள உதாரணக் கணக்குக்களைச் செய்வோம்:

Page 53
92 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
1 . 3 க - 5 க + 8 க - 4 க - 3க
= 3 க + 8 க - 5 க - 4 க - 3க LDT. g. = (3 க + 8க) - (5 க + 4 க + 3க) தொ. விதி, =ll 35 - 12 95
rt - 5.
உ-ம்.
2. 56 Lu LD — 6 L_u LD -~ 4 L I Lf) –+ 3 L_u Lfb
= 5 LILD + 3 l l l D - 6 L J L D - 4 L I LD மா. விதி - (5 பம + 3 பம) - (6 பம + 4 பம) தொ. விதி. = 8 LJ LD — Il 0 L J LD = — 2 LJ Lo.
பயிற்சி 7 (அ) பின்வரும் உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க:
4க, 3க, 2க, 5 க. ந, 3 ந, 5 ந, 4 ந. - 3 அ, - 2அ, - அ , - 6 அ. - இ, - 2இ, - 10இ, - 3இ. 2க?, - 3 க?, - 5 க?, 4க?, 3 க?. 4த", - 5 த°, - 6த°, +2த°, - த?. - ப, 3 ப, - 4 ப, 2 ட. - கந, 2 கந, - 3 கந, 2 கந. — 6 L u L D, — 2 L I LD, 5 L u L fD, 3 Lu LfD. 10 3தப, - 5 பம , - 6 மத.
9
பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக --
11 5 க + 4 க - 3 க - 7 க + க
12 - Lu + 3 Li - 2 L 1 + L J. 1 3 2 Lp*o — 3 L Do — 4 L p*o -- Lp*o — 2 Lp* 14. - ய3 - 2ய3 + 4 ய' - 6ய8.
l 5. 2 L J L O -+- 3 L J LD — 5 L J LD — LI L D + Lu L p. 16, 2 அக - 3 அக + 2. 17. 1 - L + LI. ' 18, 6 ம - 3 ம - 2.

ஒத்த வுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும் 93
Il 9. 335 -- 4 -- Lu — 295 — 8 Lu -- 2.
20. 1 0 Lu - 8 L i + LD - 2. மேல் வருவனவற்றிற்குப் பெறுமானங்கள் காண்க :-
21, 8க - 3 க - 4 க + 2 க - க.
22. - ப - 2 ப - 3 ப + 6 ப.
23. - ந2-3 ந2 - 5 ந2 + 6 ந?.
24. 3ந4 - 2 ந4 - ந4 + 4ந* - 5 ந4.
25. 2த ப - 3 ப ம - த ப - 3.
26. - பம + 3 மவ + 2 பம - 5 மவ.
27. 3, Lu — LD — Lu + 3.
28. 5; LI + LD — L_u.
29,墨西一慕L一盘一墨西十墨L·
30,量函一墨L一墨十占-墨u一量...
31. ஒருகூலிக்காரன் ஒருநாள் ப மணிநேரமும் ஒரு நாள் 2ப மணிநேரமும் ஒருநாள் 4 ட மணிநேரமும் வேலை செய்தானுயின், மூன்று நாள்களுக்கும் மொத்தமாக எத்தனை மணிநேரம் வேலைசெய்துள்ளான் ?
32. இருத்தலொன்று 2 ரூபா வீதங் க இருத்தற் கோப்பி யும் இருத்தலொன்று 1 ரூபா வீத ந இருத்தற் றேயிலையும் இருத்தலொன்று ரூபா வீதம் ய இருத்தற் சர்க்கரையும் ஒருவன் விலைக்குக் கொண்டால், அவனது செலவு என்ன ? .
33. ஒரு நாற்கோணத்தினுடைய நான்கு பக்கங்களு முறையே க", 2க', 3 க', 4 க" ஆயின் அதன் சுற்றளவு என்ன ?
34. ஒரு முக்கோணத்தினுட்ைய மூன்று பக்கங்களு முறையே ப யாரும், ம அடியும், வ அங்குலமுமாயின், அதன் சுற்றளவு எத்தனை அடியாகும்.
35. எனது பணப்பையில் 3 ப பவுணும், 2க சிலினும், க பென்சும் உண்டு. என்னிடம் உள்ள தொகையைச் சிலினிற் காண்க.
36. எனது வீட்டு நிலையின் உயரம் ப யார், ப அடி, ப அங்குலம். அதனை அங்குலத்திற் றருக.

Page 54
94. மாணுக்கரட்சரகணிதம்
42. கழித்தல் : ஒருறுப்பிலிருந்து ஒருறுப்பைக் கழிக் கும் வகையை ஆராய்வோம் :
8 இல் இருந்து + 3 ஐக் கழித்தாற் பெறுவது 8 - (+3)= 8 - 3
8இல் இருந்து - 3 ஐக் கழித்தாற் பெறுவது 8-(-3)= 8 - 3.
இவற்றிலிருந்து நாம் காண்பது 8 இல் இருந்து + 3 ஐக் கழித்தலுக்கு 8 ஒடு - 3 ஐக் கூட்டல் சமன் என்பதும், 8 இல் இருந்து - 3 ஐக் கழித்தலுக்கு 8 ஒடு + 3 ஐக். கூட்டல் சமன் என்பதுமே.
8, 3 என்பன நின்றவிடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய ப, ம என்பனவற்றை நிறுத்தினற் பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம் :-
ப விலிருந்து ம வைக் கழித்தலுக்குப் ப வொடு - ம Gð) @) i 35 Gin. L. L. G.) 3F LD GOT
ப விலிருந்து - ம வைக் கழித்தலுக்குப் ப வொடு + ம வைக் கூட்டல் சமன்.
இவற்றைச் சொல்பற்றி உரைப்பின் ஒரு விதி பெறு வோம் :
விதி:-ஒருறுப்பிலிருந்து ஒருறுப்பைக் கழித்தலுக்கு முன்னுறுப் போடு பின்னுறுப்பின் எதிரைக்கூட்டுதல் சமன்.
இவ் விதியைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்கு வோம் :-
உ-ம்.
1. 8ப விலிருந்து 5ப வைக் கழிக்க.
8 ப - ( + 5 ப) = 8 _1 + ( - 5 Lu) = 3 LI .
உ-ம்.
2. 3ப? விலிருந்து 5 ப? வைக் கழிக்க.
3L – ( + 5 Lj") =3Lo + ( - 5 Lo) = -2 °.

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும் 95
--L)
3. 5 பம விலிருந்து - 7 பம வைக் கழிக்க.
5 பம - ( - 7பம) = 5 L_u L D. -+- ( -+ 7LI LD) = Il 2 L_1 LO.
*
4. - 8ப என்பதை - 3 பம விலிருந்து கழிக்க.
- 3பம - ( - 8ப)ே = - 3 பம + ( + 8 ப?) = - 3 பம + 8 ப8.
பயிற்சி 7 (ஆ) பின்வருவனவற்றில் இடப்பக்கவெண்ணிலிருந்து வலப் பக்கவெண்ணைக் கழிக்க -
.1 . 9 ப, 4 ப. 2. 8ப, - 3 ப.
3. - 6க, 4 க. 4. -- 9 க, - 4 க. 5. - 11 க?, - 13 க?. 6. - 5 கர், - 8 க.ே 7. 6பம, - 8பம. 8. 3 l 1, - 1. 9. 2ப, - 3 ம. 10. கத, - கந.
11. - 2 அஇ, - 3இஉ. 12, 2 அ*இ, - 3 அஇ?.
பின்வரும் ஒவ்வொன்றிலும் இடப்பக்கவெண்ணைப் பெறு வதற்கு வலப் பக்கவெண்ணுேடு எதனைக் கூட்ட வேண்டும்?
13. க?, - 3க?. I 4 - – L , – 3 L.
15. பம , - 3 பம. l6, l, - 3 35.
17. 4 ப, - 1. 18. - க?, - 5 க?.
19. - பம, - மவ. 20. - 2அஇ, - 3 அஇ
21. அக, - அக. 22. - 2இந, +2இந.
23. 2அ'இ, - 5 அஇ?. 24. 6 கஃ, - 5 கஃ. எத்தனையால்,
25. க விலும் 3க பெரிது ? 26. - 3ப விலும் - 2ப பெரிது ? 27. - 3வ விலும் - 5வ பெரிது ? 28. - 2ப விலும் + 3ப சிறிது ? 29. 4கந விலும் - 5கந பெரிது ?

Page 55
96 மாணுக்கரட்சர கணிதம்'
30. - 3ப? இலும் + 8ப? சிறிது ? 31. 8ப அடியிலிருந்து'9ப அடியைக் கழிக்க. (விடையை அங்குலத்திற் றருக).
32. ஒரெண் ஒரெண்ணிலும் ம வாற் குறைவு. பெரிய வெண் ப ஆயின், சிறிய வெண்ணைக் காண்க.
33. ஒரு மனிதன் ஒரு பொருளை ரூபா ப ஆக விற்று ரூபா ம நயமடைந்தான். அப்பொருளின் கொள்விலை யாது ?
34. ஒரு மேசையையும் ஒரு கதிரையையும் 4 ப பவுண், 2ப சிலின், ப பென்சுக்குக் கொள்ளலாம். கதிரையின் விலை 6ப சிலின் ஆயின், மேசையின் விலையைப் பென்சிற் றருக.
35. ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை - ப°ச. விலிருந்து + ப°ச. இற்கு ஏறிற்று. அதன் ஏற்றம் எத்தனை பாகையாகும் ?
பெருக்கல்
43. பெருக்கலின் மாற்று விதி - எண்கணிதத்தில் 30 ஐக் காரணிவடிவத்திற் காட்ட விரும்பின் 2 x 3 x 5, 2×5×3。3×2×5。3×5×2、5×2×3。5×3× 2 argörgy பலவாறு எழுதலாம். அதுபோல, அட்சரகணிதத்திலும் பமவ " என்னும் பெருக்கத்தை பX மXவ, பX வx ம, LD X @nJ X L J , LD X, L J X @nJ, 6)1 X L 1 X LD, @nJ X LD X, L J 6T 6öT [p] L J (a) வாறு எழுதலாம். இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறுவோம்:
விதி:-ஒரு பெருக்கத்தைக் காரணிவடிவமாக்க விரும்பின். அக் காரணிகளை எவ்வரிசைக் கிரமத்திலும் எழுதலாம்.
இது பெருக்கலின் மாற்றுவிதி யெனப்படும்.
44. பெருக்கலின் ருெகுப்பு விதி :-எண்கணிதத்தில்
3 ×4×5×7=(3 ×4)×(5×7)=3×(4×5)×7=3×(4×5 ×7)=(3×4×5)×7.
அதுபோல, அட்சரகணிதத்தில், 5 X LIX LD X onu=(5 X LI) X (LDX 61) = 35 X (LI X LD) X onu = 5 X (LI X L D X 6) u )= (ğ5 X L u X LD) X 6).u.

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும் 97
இவற்றிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறுவோம் :- விதி:--ஒரு பெருக்கத்தைக் காரணி வடிவமாக்கும்பொழுது, அக் காரணிகளை வேண்டியவாறு தொகுக்கலாம்.
இது பெருக்கலின் ருெ குப்பு விதி.
45. பெருக்கலின் அடுக்குக்குறி விதி :-ஒரடுக்குக் குறி பெற்ற ஒரெண்ணை ஒரடுக்குக் குறிபெற்ற அவ் வெண்ணுற் பெருக்கினல் வரும் பெருக்கம் யாதாகும் என்பதனை ஆராய்வோம் :-
வரைவிலக்கணத்தின்படி
●"= 5×5× 5 ; க*= க X கX கX க ; 5"× 安" = 5×5× 5×5×5×5×●
- க?
۴4 3 بیت இங்கு குறிப்பிட்ட பெறுமா னங்களையுடைய 3,4 என் பனவற்றுக்காகப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப்பாடு டைய அ, இ என்பனவற்றை நிறுத்துவோம்.
.. 岛*×岛@=5°+ இ
இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம் :-
விதி:--ஒரடுக்குக்குறி பெற்ற ஒரெண்ணை ஒரடுக்குக்குறி பெற்ற அவ்வெண்ணுற் பெருக்கினுல் வரும் பெருக்கம் அவ்வடுக்குக் குறி களுடைய கூட்டுத்தொகையை அடுக்குக்குறியாகப் பெற்ற அவ்வெண்
குைம்.
46. இப்பிரிவில்,
o! ೩೭-೨' + ೩ + ೭- என நிறுவுவோம். 5历 <க இ<க"-(க9<கஇ)<க" தொ. விதி.
=க" இxக" அடுக்குக்குறி விதி. 2ھ + ((9یک + لاوے)۔ --22 + (93 + {(قو>ے
895 -E

Page 56
98 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம் :-
விதி:-ஒரெண்ணினுடைய பல வடுக்குக்களது தொடர்பெருக்கம் அவ்வடுக்குக்களின் கூட்டுத்தொகையை அடுக்குக்குறியாகப் பெற்ற வெண்ணுகும்.
47. மேற் கூறியனவற்றைப் பின்வரும் உதாரணங்க ளால் விளக்குவோம்.
உ-ம்.
1. - 6க என்பதை - 3ப வாற் பெருக்குக.
- 6க X - 3 ப = ( — 6 ) ( — 3) (#5) (Lu) மாற்று. விதி. = 1 8 5 i.
உ-ம்.
2. - 2தX - 3பXம X - 5வ. இதன் சுருக்கத்தைத் தருக.
- 235 X - 3 LI X LD X - 5 Golu
= – 2 х. – 3 x – 5 X 5 XLIX LD X 6 : LDтрђmi. 63. = + 6 x - 5 x 5 Lu X LD6j ா - 30 த ப ம வ. உ-ம்.
3. கநX - கந. இதனைச் சுருக்குக.
4கநX - 4கந =墨×ー還×5×5×巫 × 5 1 + 1.51 + s1دی - ببینی= = - 4கந? உ-ம்.
4. - க?நx*கந?. இதனைச் சுருக்குக. க-1, ந= - 3
ஆயின், விடை யாதாகும்? - க?நx*கந?
=ー豊×器×5"×5× 5×●"
= - க**1. ந1+2
= - 4கந’.
க=1, ந= - 3 ஆயின்,
- கநே8= - 4. 1. ( - 3)?
I. - 27
ع
-
--
鲨
حساس سح
1.
3

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும் 99
உ- ம்
2 * 5. அக?x - இக9x - 물으5. இதன் சுருக்கத்தைக் கTண்க :
க= - 2 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ? 2 2 3 3 5 *அக*x -இக"X - உக
3 * =器×ー器×ー器×3×@×a-×●"×●"×5 2+3+1;g »« دyg) gو »«1 =بس۔
=அஇஉக. க= - 2 ஆயின், அஇஉக=ே அஇஉ(- 2)
- அஇஉX 64
= 64 அஇஉ:
பயிற்சி 7 (இ) பின்வரும் உறுப்புக்களுடைய பெருக்கங்களைக் காண்க :-
l . 2 L J, 3 L D. 2. - 3 ப, - 6 ம. 3. 5 அ, - 6 அ. 4 . -- 2 9ی 3 حس۔ و/9ے[ . 5. - 4 க?, 5க. 6. - 3 கந, - 4கந?. 7. கந, - கந. 8. 3 அக, - 3இக. 9. -4க, ++க.
பின்வரும் உறுப்புக்களுடைய தொடர் பெருக்கங்களைக் 5ft GT5 -
10. அக, இக, உக.
11. கந, - நய, - யக.
12. - 3 க?, - 5க3, 6 க.
13. - 6க, 4க, - க. 14. அக, - இ?க, உ*க. 15. -4பம, - 6 மவ, - க் @ l l l .
16. கர், - கந, - 4ந?. 2
17,器马“,一翠g}*,一墨2_°,
18. க, - கர்ந?,கந?.
19。霧み"× - க?x 一号5, இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. க- - 2 ஆயின், விடையாதாகும்.
20. கந* x - 4கநX 6க. னைச் சுருக்கக. க= 2, ந= - 1 ဖါးဓါ. #???? ருககு

Page 57
1 00 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
வகுத்தல் 48. வகுத்தலின் மாற்று விதியுந் தொகுப்பு விதியும் :-வகுத் தல் என்பது பெருக்கலின் றலைகீழ்ச் செய்கையாயிருத் தலின், பெருக்கலினுடைய மாற்று விதியுந் தொகுப்பு விதியும் வகுத்தலுக்குஞ் செல்லும்.
மாற்று விதியின் படி, த - பX ம- வ= த X ம-ப-வ
= த X ம - வ--ப.
= LD-- 6). X 5-- Li. தொகுப்பு விதியின் படி, த - பX ம- வ=(த-பX ம)- வ
- (த-ப) X(ம- வ) =(தX ம--ப)-வ - (தX ம-வ)--ப.
49. வகுத்தலின் அடுக்குக் குறி விதி:-ஒரடுக்குக் குறி
பெற்ற ஒரெண்ணை ஒரடுக்குக் குறி பெற்ற அவ் வெண்ணுல் வகுத்தால் வரும் ஈவு யாதாகும் என்பதை ஆராய்வோம் :- முதற் கண் வகுபடுமெண்ணிலும் வகுக்குமெண் அடுக்குக் குறி பற்றிச் சிறிதாயிருக்கும் ஒரு தாரணத்தை எடுப் போம் :-
வரை விலக்கணத்தின் படி,
み"=5×5×5×5×5;
க9= க X கXக ;
み" 5×5×5×5×5
த8 ど五 >く 5 × 95
இங்கு 5, 3 என்பன நின்ற விடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய அ, இ என்பனவற்றை நிறுத்தினற் பின்வருஞ் சமன்பாட்டைப் பெறலாம் :- அ வினுஞ் சிறிது இ யெனில் க* கசி-க * கி
இதனினின்று ஒரு விதியைப் பெறலாம்.

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாத வுறுப்புக்களும் 1 0 1
விதி 1 :-ஒரடுக்குக்குறி பெற்ற ஒரெண்ணை அவ் வடுக்குக் குறியினுங் குறைந்த அடுக்குக்குறி பெற்ற அவ் வெண்ணுல் வகுத் தால் வரும் ஈவு அவ் வடுக்குக் குறிகளுடைய வித்தியாசத்தை அடுக் குக்குறியாகப் பெற்ற அவ் வெண்ணுகும்.
இனி வகுபடுமெண்ணிலும் வகுக்குமெண் அடுக்குக் குறி பற்றிப் பெரிதாயிருக்கும் ஒரு தாரணத்தை எடுப்போம் :-
வரை விலக்கணத்தின் படி, க=ே கX கX க, க = கX கX கX é万 >く g 。
க 写 >く g × 5。 I 1
”丽丁岛又高又高文西文高丁亭丁高可
இங்கு 3, 5 என்பன நின்ற விடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய அ, இ என்பனவற்றை நிறுத்தினற் பின்வருஞ் சமன் பாட்டைப் பெறலாம் :-
9H இکہ அ விலும் பெரிது இ யெனின், க + க --R-
باقی - (قی
இதனினின்று ஒரு விதியைப் பெறலாம்.
விதி II :-ஒரடுக்குக்குறி பெற்ற ஒரெண்ணை அவ்வடுக்குக் குறி யிலுங் கூடிய வடுக்குக்குறி பெற்ற அவ்வெண்ணுல் வகுத்தால் வரும் ஈவு அவ்வடுக்குக் குறிகளுடைய வித்தியாசத்தை அடுக்குக் குறியாகப் பெற்ற அவ்வெண்ணினது தலை கீழாகும்.
50; மேற்கூறிய விதிகள் பற்றி ஒருறுப்பை ஒருறுப்பால் வகுத் தலைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
gD -- LO
1. 15 அ என்பதை 3 அ? என்பதால் வகுக்க,
15 அ?--3அ 15 அ9
” - ” جو 5 ==

Page 58
O2 மானுக்கரட்சர கணிதம்
D-)
2. 3 இ? என்பதை - 15 இ? என்பதால் வகுக்க.
3இ?-ட - 15இ?
3இ? - 15 இ8
* I T5ვ)“ -2
T5இ.
உ-ம்.
6 į jo el 8 Dð . - 16 L?
3. 3ഥ8 (~g ബ8" 9 ഖ? ' இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
6 Li 8 LD5 - 16 Li 3LD8 963 9 612
3 p.3* 9 as * 16, 2
_ 6×8×9 ` 3 x 9 x 1 6’’ L_j2’ Lp3 * თJ3*
3 م. 5 D = ~ 3 - 2
o
Lo? =一了
உ-ம்.
2°、3°,52 4. 2.3 53' இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
2沙.32,52 2 : ვ , 53
23 32 52 千ーすす斎
23ー1.32ー1

ஒத்தவுறுப்புக்களும் ஒவ்வாதவுறுப்புக்களும் 1 03
22.3 =ー一ァ
2 =ーす。
பயிற்சி 7 (ஈ) பின்வருவனவற்றில் ஈவுகளைக் காண்க :-
1, 15 க9-5க.ே 2. கந?--கந? 3. — l_f°L D -:– Lu LDʻ. 4. - பமே- - ப?ம. 5. - 12 ம?வ-- - 3மவர். 6. - 81 க9-3 க?. 7. 1-க*ப?. 8. 6 கநே2+ - கஃந8. 9. 36 ப8ம?வ+ - 3ப?மவ. 10. ஆக?--4கந. 11. - க?ந?-ஜ்கந?. 12. - அக?-- *அக?. 13. -*க+ - கந?. l 4. - அக?+ - இக?.
15. *அகந++அநய. பின்வருவனவற்றைச் சுருக்கித் தருக --
16அ'இக* - 5 அ'இ? 16. SRT 2 s. 17. 一エー・
4அஇக? அ?இ?க - 153, Ihu i 24 க9 ந3 ப3 18. - 19கநய 19, 24கநய
- 3 கநய - 3 க?
- 2°52 ~27பக 21. - . 3 பக - 29
-- 3 ، 2 - 2م - 27ப'ம'வ لاله - په او” LD. 48 pooo - 3 பவ 一 3°q3压4 :3 ? 4 k3 24. -p. 53 - 3 - 29 . و 283,215 2 33.54 ... 25. 32.52 - 24.42 26. - 23.5°. 27. 二、
23.52 23.32. 7 க* 8ந 4க 28. 2ந3*21க*3 ந? இதன் பெறுமானத்தைக் 95 TT 6T 65
6 அக* 7இக 21 அ . --محے سے۔ --بنگ - X کی- جیسے ...29
இx + c இதனைச் சுருக்குக
3 அர்இ ) 15உஇ 3 அஇஉ
காண்க.

Page 59
அத்தியாயம் 8
கோவைகள்
51. கூட்டல் :- இரண்டு அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட அட்சரகணிதக் கோவைகளுடைய கூட்டுத் தொகையைப் பின்வரும் விதிகள் பற்றிக் காணலாம் :-
விதி 1 :-ஒவ்வொரு கோவையையும் ஒவ்வோரடைப்புக்குள் அடைத்து அவற்றைச் சக வென்னுங் குறியாற்றெடுத்து ஒரு கோவையாக்கி அவ் வடைப்புக்களை நீக்கிச் சுருக்கப் பெறுவதே அக் கோவைகளுடைய கூட்டுத் தொகையாகும்.
விதி 2 :-ஒவ்வொரு கோவையையும் அவ்வவற்றினுடைய ஒத்தவுறுப்புக்கள் ஒரே நிலைக்குத்து நிரலில் இருக்கும்படியாக எழுதி அவ்வந்நிலைக்குத்து நிரல்களிற் கிடப்பனவற்றை இடப்பக் கத்தினின்று கூட்டப் பெறுவதே வேண்டிய கூட்டுத் தொகை யாகும்.
பெரும்பாலும் இரண்டாம் விதி பற்றியே கூட்டற் கணக் குக்கள் செய்யப்படும். அவ்வாறு செய்யும்போது எல்லாக் கோவைகளையும் ஒரு மாறிபற்றி ஏறடுக்கு வரிசையிலாதல் இறங்கடுக்கு வரிசையிலா தல் எழுதியே கூட்ட வேண்டும்.
52. இவ் விதிகளைப் பயன்படுத்திக் கோவைகளைக் கூட்டு முறைக்கு உதாரணங்கள் பின்வருமாறு :- உ-ம்.
1. 2ப - 3ம + 4வ, 3 ப+ 2 ம - 5வ, - 2ப+ ம. இவற்றைக் கூட்டுக.
(i) இதனை முதலாம் விதிபற்றிச் செய்வோம் : வேண்டிய கூட்டுத்தொகை
=(2ப - 3ம + 4 வ) + (3 ப+ 2 ம - 5 வ) + (- 2ப + ம) =2ப - 3ம + 4வ + 3 ப + 2 ம - 5வ - 2ப+ ம == 2 L_1 + 3 L u — 2 Lu -- 3 L D +- 2 L D + D +- 4 G1 — 5 Ghu = 3 -- Gol = 3 ப - வ.

கோவைகள் 105
(i) இதனை இரண்டாம் விதிபற்றிச் செய்வோம்.
2L 1 - 3 l D + 4 6)
3 ப + 2 ம - 5 வ __LD +لL 2 -
3ப -- Ꭷ f .
உ-ம்.
2, 3 க? - 3 கந - 4ந? ; - 2 க + 3 ந? ; 3கந+ ந?. இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
இவற்றைக் க வின் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதிக் கூட்டுவோம்:
3 க?-3 கந - 4ந?
- 2 க? + 3ந?
+ 3 கந+ ந?
உ-ம்.
3. அ-4இ, $இ-*உ, உட்:அ. இவற்றைக் கூட்டுக.
墨-9一墨g)
1 G) - 붉 ー場、勢 十苦°
O
உ-ம்.
4. 1 - 3 க + 6 க?, 3க - 3க? - 2, க?+ 2. இவற்றின்
கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
இவற்றைக் க வின் ஏறடுக்கு வரிசையில் எழுதிக் கூட்டு
வோம்
1 - 3 க + 6 க? - 2 + 3 க - 3 க? 2 + க?
l + 4க?

Page 60
O 6 மானுக்கரட்சர கணிதம்
பயிற்சி 8 (அ) பின்வரு வ ன வ ற் றினுடைய கூட்டுத் தொகை களை க்
காண்க :-
1. அ + இ + உ , அ-இ-உ, - அ + இ-உ. 2. 2க - 3ந - 5 ய, 3 க + 2ந - ய, - 4 க + ந+ 6ய. 3, 1 + 3 க - 5 க, 4க - 1 - 2 க?, க + க. 4. 4கந - 5 நய + 3 யக, - 3 கந + 4நய - 2யக, - கந + நய
5. 3 கந + 4 யக, - 2நய - 3யக, - 3 கந + 2 நய. 6. அ? - இ - உ*, இ? - உ? - அ?, உ? - அ? - இ?. 7. 5 அ + 1 - 2அ, 2 அ + 2 அ? - 1, - 2 அ + 3 அ.ே 8. 3க?- 5 ந? - 4 ய?, - 2 க? + 7ய? + 6 ந?, - 3ய? - ந2 + க?. 9. க + க - கஃ, - 2 க + 3 க?-2க, க - 2 க? - 3க. 10. 6 க - 5 க?-3 க + 1, 4 க + 4 க - 3, க + 2. 11. 3 கந - 2 கந? + 2, 2 கந? - 1, - கந - 1. 12. அக - இந + உய, - அக + இந + உய, அக - இந - உய. 13. க - கந+ ந*, 2 க + 3 கந - 3ந?, - 3 க*- 2 கந+ 2ந?. 14. 2க" - 1, 2 க - க, க - 2 க + 1. 15. (அ + இ - உ), (அ- இ + உ), :( - அ + இ + உ). 16. அ + இ - +உ, அ-+இ+4உ, - அ- இ. 17. (பம - மவ), (மவ - வப), (வப- பம).
m 1 - 18. (பம + மவ - வப), (ம வ+வப- பம), (வப+ பம
19. - ம + 1, ம4 - 3 க?, 4 ம? + ம? - ம4, 1. 20, 2 + 3 அ2 + 5 அ9, 5 - 4 அ + அ, - 7 + அ - அ. 21. 2(க - 1)? - (க - 1) + 1, 2 + 2(க - 1) - (க - 1)?, 1 - (க - 1)? - (க - 1). பின்வருவன வற்றைச் சுருக்கித் தருக :-
22. (அ- இ - உ) + (அ + இ - உ) + (அ- இ + உ). 23. +(க2- ந?- ய?) + (ந?- ய?- க) + (ய2- க - ந”). 24. 3(க? - ந?) + 5(க2 - ந?) + 2(க? - ந?). 25. அ=3 க? - 2 க + 1 , இ= - க + 3 க + 2, உ= க?- க + 1 ஆயின், அ + இ + உ என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

கோவைகள் 1 O7
26. (2 க?-3 கந - ந?)+(க2 + 2.கந~ 2ந) +(3 க + கந - 3ந?). இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க. க= 1, நா - 1 ஆயின், விடை யாதாகும் ? W
53. கழித்தல் -ஒரு கோவையிலிருந்து ஒரு கோவை யைக் கழித்தலைப் பின்வரும் விதிகள் பற்றிச் செய்யலாம்:
விதி 1 :-கழிமுதற் கோவையையுங் கழிக்கப்படுங் கோவையை யும் இரண்டு அடைப்புக்குள் அடைத்து அவற்றைச் சய என்னுங் குறியாற்றெடுத்து ஒரு கோவையாக்கி அவ் வடைப்புக்களை நிக்கிச் சுருக்கப் பெறுவதே வேண்டிய கழித்தற் பயணுகும்.
விதி 2 :-கழிமுதற் கோவையையுங் கழிக்கப்படுங் கோவையை யும் அவற்றினுடைய ஒத்தவுறுப்புக்கள் ஒரே நிலைக் குத்து நிரலில் இருக்கும்படி யெழுதிக் கழிக்கப்படுங் கோவையிலுள்ள ஒவ்வோரு றுப்பின் குறியையும் மாற்றிக் கழிமுதற் கோவையிலுள்ள ஒத்த வுறுப்போடு கூட்டப் பெறுவதே கழித்தற் பயணுகும்.
இவ் விதிகள் கொண்டு ஒரு கோவையை ஒரு கோவையி லிருந்து கழித் தலைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்கு (δολιπτιο -
உ-ம்.
1, 3 ப - 4ம + 2வ என்பதிலிருந்து 2 ப - 5 மட வ என் பதைக் கழிக்க.
(i) இதனை முதலாம் விதிபற்றிச் செய்வோம் :ட
கழித்தற் பயன் - (3 ப - 4ம + 2 வ) - (2 ப - 5 ம - வ) =3 ப - 4ம + 2வ -2 ப+ 5ம + வ பிரிவு 14. விதி (2) ஐப் பார்க்க. =3 ப - 2ப - 4ம + 5ம + 2வ +வ கூட்டலின் மாற்று விதியின்படி = L_1 + L D + 3 GI .

Page 61
I 08 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(i) இதனை இரண்டாம் விதிபற்றிச் செய்வோம் :
3 ப - 4ம + 2 வ முதலா நிலைக்குத்து நிரலிற் கழிக் 2 ப - 5 ம - வ கப்படு முறுப்பாகிய 2ப வினுடைய Lu + LD + 3 61 குறி  ைய மாற் ற - 2 ப  ைவ ப்
பெறுவோம். அதனை 3ப வொடு கூட்டப் ப வைப் பெறுவோம். அது போல, - 5 ம வினுடைய குறியை மாற்ற + 5ம வைப் பெறுவோம். அதனை - 4ம வொடு கூட்ட + ம வைப் பெறுவோம். இனி - வ வின் குறியை மாற்ற + வ வைப் பெறுவோம். அதனை + 2வ வொடு கூட்ட + 3வ வைப் பெறுவோம். ஆகவே கழித்தற் பயன் ப+ ம + 3வ ஆகும். உ-ம்.
2. 2க? - 3ந? - 5 ய’ என்பதை 3 க? + 4ந? - 3ய? என்பதி லிருந்து கழிக்க.
3க2 + 4ந? - 3ய? 2க? - 3ந? - 5 ய? 2رg2 + 7p2 + 2 u `
3. 3ப9 + 1 - 2ப? என்பதிலிருந்து 2 + 2 ப? + 3 ப என்ப தைக் கழிக்க. இவற்றைப் ப வினது இறங்கடுக்கு வரிசை யில் எழுதிக் கழித் தலைச் செய்வோம்.
3 3 - 2 Lu? + 1 2 + 1_ן 3 + *r ו 2 33-4 2- 3 - 1 (இங்கு + 3 ப வை 0ப விலிருந்து கழிப்பதற்கு + 3 ப வின் குறியை மாற்ற - 3ப வாகும். இதனை 0ப வொடு கூட்ட - 3 ப வாதல் காண்க.)
பயிற்சி 8 (ஆ) மேல் வருவனவற்றில் இடப்பக்கக் கோவையை வலப்பக்கக் கோவையிலிருந்து கழிக்க :-
1. உப + 3 ம - 3வ, 3 ப + 4 ம - 5வ. 2, ப - 3ம் - 4வ, 2ப + 3 ம - வ.

கோவைகள் 1 O 9
3 - 5 LD+ 661°, 4 L - 3 LD’- 56.7°. 2L + 3 LD8 - 5 G, 3 Li-2 LD + 6i. Lu LD + 2 LD 61 - 7 6J LJ, 2 Li LD - 3 LD all - 5 all 1. 2 L u L D — 2 LD @)J — @)I Lu, 3 L_u LD –+ 2 LD @)u — @)J Lu. 2க? + 7 க - 4, 3 க? - 5 க - 1. 2ந? + 2 ந + 5, 5 ந9 - 2 ந + 3. . 2 L - 1, 4 Li-2 Li' - 1.
இவ? + 1, வ8 - வ?-வ + 1. மேல் வருவனவற்றில் இடப்பக்கக் கோவையிலிருந்து வலப்பக்கக் கோவையைக் கழிக்க :-
11. 2க*- 3 அக + அ’, 3 க* + 4 அக + அ?. صبر 12. 3 க* 2 அக? + 3 அ?க - அ°, 4க - அகம் + 2 அக + 2 அ? 13. 3 க9 - 2 கந? + ந9, 5க9 - ந’ + 2 க?ந. א 14. த்கர் - கந++ந?, க + கந - ந?. 15,盡一蠻5°一繼5,愚5+器一臺5°. பின்வருங் கோவைகளைச் சுருக்கித் தருக :-
16. (ப - 2 ம + 3 வ) - (4ப + 3 ம - வ). l7. (21 1 – 3 L D – 5 6)1) — (Lu — 3 L D + 5 6)!). 18. தி(அ- இ) - (இ- உ) + (உ - அ). 19. (அ? - இ?)- (இ? - உ?) + (உ? - அ?). 20. (ப? - ம - வர்) - (ம° - வ? - ப?) - (வ - ப - ம?). 21, 3 க?- 2 க + 1 என்பதிலிருந்து 2 க? - 1, 3 க + 2 என் னும் இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் கழிக்க. கா - 2 ஆயின், விடையாதாகும் ?
I
22, 2 ந* - 3ந + 1 என்பது ந? - 4ந - 2 என்பதிலும் எவ் வளவாற் கூடியது ? ந= - 1 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
23. 2(அ? - இ?) - (அ? - 2 அஇ + இ?) - (அ? - 2 அஇ- இ?). இதனைச் சுருக்குக.
அ=2, இ= 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ? 24. அ(அ - இ - உ) - இ (இ- உ - அ) - உ(உ + அ - இ).
இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
அ=1, இ= 0, உ= - 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?

Page 62
1 1 0 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பெருக்கல் 54. பெருக்கலின் பங்கீட்டு விதி :-முதற்கண் ஒரு கலப் பினக் கோவையை ஒருறுப்பாற் பெருக்கு முறையை ஆராய்வோம் :-
எண்கணிதத்தில், (2 + 3) என்பதனை 5 ஆற் பெருக்க வரும் பெருக்கம் 2 ஐயும் 3 ஐயுந் தனித்தனி 5 ஆற் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன் என அறிவோம்.
இதனைக் குறியீட்டு முறை பற்றிப் பின்வருமாறு காட்ட 6υπτιο -
(2-3) 5 = 2 x 5 - 3 x 5 ; இங்கு குறித்த பெறுமானங்களையுடைய 2, 3, 5 என்பன நின்ற விடத்துக் குறிப்பிடாப் பெறுமானங்களை யுடைய ப, ம, வ என்னும் இவற்றை நிறுத்தினல்,
(ப + ம) வ= பவ + ம வ என்னுஞ் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். அதுபோல, (த + ப - ம) வ=தவ + பவ - மவ. இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம். விதி :-ஒரு கலப்பினக் கோவையை ஒரு குறித்தவுறுப்பாற் பெருக்க வரும் பெருக்கம் அக்கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களைத் தனித்தனி அக் குறித்த வுறுப்பாற் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன்.
இதுவே பெருக்கலின் பங்கீட்டு விதி எனப்படும். 55. இனி, ஒரு கலப்பினக் கோவையை ஒரு கலப்பினக் கோவைய்ாற் பெருக்கு முறையை ஆராய்வோம் : மேற் காட்டியவாறு (ப + ம) வ= பவ + மவ ;
இங்கு வ என்பதற்காக (அ + இ) என்பதை நிறுத்துக. .. (ப+ ம)(அ + இ)= ப(அ + இ) + ம(அ + இ)
=(அ + இ)ப+ (அ + இரீம மாற்று. விதி. = அப+ இப+ அம + இம பங், விதி. = அப+ அம + இப+ இம. தொகு. விதி. இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம்.

கோவைகள் 1 11
விதி :- ஒருகலப்பினக் கோவையை ஒருகலப்பினக் கோவையாற் பெருக்க வரும் பெருக்கம் பெருக்கப்படுங் கோவையிலுள்ள உறுப்புக் களைப் பெருக்குங் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களாற் றணித்தனி பெருக்க வரும் பெருக்கங்களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன்.
இது பெருக்கலின் பங்கீட்டு விதி அல்லது விரிகாணும் விதி எனப் பெயர் பெறும். பெருக்கப்படுங் கோவையும் பெருக்குங் கோவையும் அடுக்குக் குறி வேறுபட்ட ஒரு மாறி பற்றிய உறுப்புக்களாலா யவெனின், இரு கோவை களையும் ஒரு சேர அம் மாறியின் ஏறடுக்கு வரிசையிலா யினும் இறங்கடுக்கு வரிசையிலாயினும் எழுதிப் பெருக்கலே இலேசான முறையாகும்.
இவ் விதிகள் பற்றி ஒரு கோவையை ஒரு கோவையாற் பெருக்கு முறைகளைப் பின்வரும் உதாரணங்களால் அறிய லாம்.
உ-ம்.
1. 3க? - 2 கந+ ந? என்பதனை - 3 கத வாற் பெருக்குக. வேண்டிய பெருக்கம்= - 3 கந(3க*- 2 கந+ ந?). - - 9 கந+ 6 க?ந? - 3 கந°. இதனைப் பின்வருமாறுஞ் செய்யலாம்:
3க? - 2 கந+ ந?
- 3 கந SqS - 9 கநே + 6 க?ந? - 3 கந?
உ-ம்.
2. (க - 3)(க+2). இதன் விரியைக் காண்க. இந்த இரண்டு காரணிகளுள் ஒன்றைப் பெருக்குங் கோவையாகக் கொண்டால், மற்றையதைப் பெருக்கப் படுங் கோவையாகக் கொள்ள வேண்டும். இங்கு (க - 3) என்பதைப் பெருக்குங் கோவையெனக் கொள்ளுவோம்.
" (க - 3)(க+2)= க(க+2) - 3(க+2)
= கஃ- க - 6.

Page 63
II 2 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
gd-D.
3. (2 க - 4)(3 க + 1). இதன் விரியை உளவாராய்வாற் கண்டெழுதுக.
(2 க - 4)(3 க + 1)= 6க? - 10க - 4. இங்கு 3க வை 2க வாற் பெருக்கி 6க? என்பதைப் பெற் ருேம். 1ஐ 2க வாலும் 3க வை - 4 ஆலும் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களைக் கூட்டி - 10க வைப் பெற்ருேம். + 1 ஐ - 4 ஆற் பெருக்கி - 4ஐப் பெற்ருேம். உ-ம்.
4. (3 க - 2)?. இதன் விரியை உளவாராய்வாற் கண் டெழுதுக.
(3க - 2)2=9 க* - 12 க + 4. இங்கு (3 க - 2)* என்பதை (3க - 2) (3 க - 2) என்பதாகக் கொண்டு உதாரணம் 3 இற் காட்டியபடி செய்து விரியைப் பெற்ருேம்.
D-L). 5. (3 க + 2) என்பதை (2 க - 3) என்பதாற் பெருக்குக. பெருக்கம் = (3 க + 2)(2 க - 3)
= 3 க(2 க - 3) + 2 (2 க - 3) = 6 க? - 9 க + 4 க - 6 - 6க? - 5 க - 6.
இதனைப் பின்வருமாறு செய்தல் இலகுவான முறை யாகும்:
3 க + 2 2க - 3 6 க2 + 4க
- 9 க - 6 6 க2 - 5 க - 6
இது 3 க + 2 என்பதை 2க வாலும் - 3 ஆலும் பெருக்கி
ஒத்த வுறுப்புக்களை ஒரே நிலைக்குத்து நிரலில் எழுதிக் கூட்டிய தாகும். 2 ஆம் 3 ஆம் 4 ஆம் உதாரணங்களையும் இவ்வாறு செய்யலாம்.

"கோவைகள் 113
2-LE).
6. 2க - 2 + 3 க" என்பதனை 3 க? - 2 - 2க என்பதனற் பெருக்குக.
இவற்றைக் க வின் இறங்கடுக்கு வரிசையில் இடப் பக்கந் தொடங்கி ஒன்றுக்குக் கீழ் ஒன்ருக எழுதுவோம். எழுதும் போது இல்லாத வடுக்குக்கு இடம்விடுவோம்.
338 + 2 35 - 2 க* இல்லாததினல் அதற்கு இடம் 3க?-2க - 2 விடப்பட்டுள்ளது. 9 க3 + 6 க3 - 6க? இது 3க ஆற் பெருக்க வந்தது. - 65 - 4 க + 4க இது- 2 கவாற் பெருக்க வந்தது. - 6க3 - 4 க + 4 இது - 2 வாற் பெருக்க
வந்தது" 9 க9 - 6 கA - 10 க? L 4 இது பெருக்கங்களின்
கூட்டுத் தொகை. இக் கணக்கிற் குணகங்களை மாத்திரம் எழுதிப் பெருக்கி விட்டுப் பெற்ற பெருக்கத்தின் குணகங்களுக்கு அதுவதற்கு குரிய அடுக்குக் குறிபெற்ற மாறியை இணைக்கலாம்.
இது தனிக்குணகமுறை யெனப்படும். இம்முறையை யாளும்போது இடையில் ஏதுமோ ரடுக்குக் குறி பெற்ற மாறி இல்லையாயின், அதன் குணகம் 0 எனக் குறிக்க வேண்டும்.
இம்முறைபற்றி மேற்றந்த பெருக்கலைச் செய்வோம் :
3 - 0 + 2 - 2 3 - 2 - 2 9 0 - 6 - 6
- 6 - 0 - 4 + 4
4 +– 4 -- 0 ہے۔ 6 ہے۔
9- 6 - 0 1 0 - 0 - 4
ஆகவே வேண்டிய பெருக்கம் 9 க9 - 6 க* - 10 க? + 4
இம்முறையானது இரு மாறிகளையுடைய ஒரு படித்தான இருகோவைகளுள் ஒன்றை ஒன்ருற் பெருக்குதலுக்கும் பயன்படும்.
அட்சரகணிதம் முதன்முதற் கற்போர் பெருக்கற் செய் கையிற் றேர்ச்சியடைந்த பின்னரே இம்முறையைக் கையாளுதனன்று.

Page 64
114 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 8 (இ) 1 . 3 ப - 4ம + 3 வ என்பதை - 5 ஆற் பெருக்குக. 2. - 3ப + 2 ம - 3வ என்பதனை + 3க வாற்பெருக்குக. 3. 2ப? - 3ம? - 4 வ* என்பதை 2ப வாற்பெருக்குக.
4, 2 பம - 3மவ + 5வப என்பதனை - 3 அக வாற் பெருக்குக. பின்வருங் கோவைகளுடைய பெருக்கங்களைக் காண்க:- 5. 2 Li - 3 LD, 3 L 1 + 2 L D. 6. 3 க - 2 ப, 2 க - 3 ப. 7. 3 க - 1, 2 க + 1. 8. 5ци — 2, 2 ц! + 5. 9. 3 LI - 2 , 2 L. I - 3 . l 0. 5 L J - 3, 2L i + 1 . l I. 36u - I , ë 6) + l. 12. ம - 4, 4 ம - 4. 1 3. ! LD + 1, #; LD - l . 14. 2க*- 3க+ 1, 3 க - 1.
15. 3 க? - 2 க - 1, 2 க + 3. 16. 17. 3 க? - 2 கந - ந2,2க +3ந. 18.
19. க? - 4கந - ந, 2க - ந. பின்வருவனவற்றிற்குரிய விரிகளை திரையாற் கண்டெழுதுக --
20. (க - 1) (க + 2). 21. 22. (க - 5) (க - 4). 23. 24. (3 க - 1) (2 க + 1). 25. 26. (3 ந - 1) (4.ந - 1). 27. 28. (1 + 2 ந) (2 - 3ந). 29. 30. (5ந + 2) (6 ந - 1). 3 l . 32. (கந + 1) (2 கந - 3). 33. 34. (5 ш — 1) (2 ш + 7). 35. 36. (5u 1 - 1) (2u 1 - 1). 37. 38. (க2 + 1)(க2 - 1) 39. 40. (க2 - 5) (க2 + 5). 4 l . 42. (3 க? - 2) (4 கஃ- 3). 43. 44. (க் - 2)?. 45。 46. (1 - க)?. 47. 48. (35 - 1). 49. 50. (2 க - 5)?. 51. 52. (2க - 5)?. 53.
54. (அக +ந்)?. 55.
1 - 5 க + 6க?, 2 - 3க. 2க* - கந + ந’,3க - ந
உளவா ராய்வு மாத்
(க - 3) (க + 3). (2 க - 1) (2 க + 3). (5 க - 1) (க + 4). (1 - 5 ந) (1 + 3 ந). (3 + 2 ந) (4 - 3ந). (கந - 2) (கந + 2). (3 கந - 2) (2 கந - 1). ( 2 u 1 — I ) (3 uLu — 5). (1 - 5 ய) (1 + 5 ய). (க? - 2) க* - 3). (க2 - 1) (க2 + 2). (5 க? + 1) (3 க? - 1). (க + 3)?.
(2 க + 3)2.
(3 க + 2)?.
(35 + 1)? (அக + இந)?. (அக - இந).

கோவைகள் 1 15
56. 2ப? - 3 ப - 3 என்பதை 3 ப - 2 ஆற் பெருக்குக. ப= - 1 ஆயின், பெருக்கத்தின் பெறுமானம் என்ன ?
57. 5 க + 8 - 2 க என்பதை 2 க*- 1 - 3க வாற் பெருக்குக. 58. 3 க - 2 + க என்பதால் 6 - 2 க + 5 க" என்பதைப் பெருக்குக. க- 0 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
59. 4 க* - 2 கந+ ந? என்பதால் 4க? + 2 கந+ ந? என்ப தைப் பெருக்குக. க= 1, ந= - 1 ஆயின், விடை என்ன ?
60. க - 2ந + 3 ய என்பதை 3 க - 2ந - ய என்பதாற் பெருக்குக.
61. (16 க9 - 16க? - 5) (8 க + 6 க? - 1). இதன் விரியைக் காண்க.
62. (க* +ந? + ய? - 2 கந+ 2நய - 2யக) (க- ந - ய). இதன் விரியைக் காண்க.
63. 3க - 2 க? + 1 என்பதால் 1 - 6க - 3க என்பதைத் தனிக் குணக முறையாற் பெருக்குக.
64. (க- கந? - ந?)(க* - கந + ந?). இதன் விரியைத் தனிக் குணக முறையாற் பெருக்கிக் காண்க.
56. வகுத்தல்:-இங்கு ஒரு கலப்பினக் கோவையை ஒருறுப்பால் வகுக்குமுறையை ஆராய்வோம் :-எண்கணி தத்தில், (2 + 3) என்பதை 5 ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு 2 ஐயும் 3 ஐயுந் தனித்தனி 5 ஆல் வகுக்க வரும் ஈவுகளைக் கூட்டுவதற்குச் சமன் என அறிவோம். இதனைக் குறியீட்டு முறைபற்றிப் பின்வருமாறு காட்டலாம் :-
(2 +3)-5=를 + 불· இங்கு, குறித்த பெறுமானங்களையுடைய 2, 3, 5 என்பன நின்ற விடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய ப, ம, வ என்னும் இவற்றை நிறுத்தினற் பின்வருஞ் சமன்பாட்டைப் பெறலாம் :-
( )ー ult
t_1 + LD人ーのl=ー+ー。
Go)
Gol
HP. گا۔ تانگ ____.
அதுபோல, (த + ப - ம)- ° வ "வ"வ"
இவற்றிலிருந்து பின்வரும் விதியைப் பெறலாம்.

Page 65
116 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
ஒரு கலப்பினக்கோவையை ஒரு குறித்த உறுப்பால் வகுத்தால் வரும் ஈவு அக்கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களைத் தனித்தனி அக் குறித்த உறுப்பால் வகுக்க வரும் ஈவுகளின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன்.
இதுவே வகுத்தலின் கூட்டுவிதி யெனப்படும். 57. ஒரு கலப்பினக்கோவையை ஒரு கலப்பினக்கோவை யால் வகுத்தல் எண்கணிதத்திலுள்ள நெடுமுறை வகுத் தலைப் போன்ற தெனலாம்.
உதாரணமாக 672 ஐ 32 ஆல் வகுத் தலைப் பார்க்க.
32) 672 (21
64 T32
32 இதனை அட்சரகணித முறைப்படி மேல் வருமாறு எழுதலாம் :
3. 1 0 + 2)6. 10' + 7. 1 0 + 2 (2. l 0 + 1
இதன்கண் குறித்த பெறுமானமுடைய 10 என்பதற் காகப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய க வை நிறுத்தினுல், மேல் வருவதைப் பெறலாம் :-
3 க + 2) 6 க* + 7 க + 2(2 க + 1
6 க* + 4க
3 க + 2
3 க + 2
இங்கு வகுபடுங் கோவையின் முதலுறுப்பாகிய 6 க? என்பதை வகுக்குங் கோவையின் முதலுறுப்பாகிய 3க வால் வகுக்க, ஈவின் முதலுறுப்பாகிய 2க வைப் பெறு வோம். வகுக்குங் கோவையை 2க வாற் பெருக்கிப் பெற்ற பெருக்கத்தை வகுபடுங் கோவையிலிருந்து கழிக்க 3 க + 2 என்பதைப் பெறுவோம். இதனைப் புதிய வகுபடுங் கோவை யெனக் கொண்டு அதன் முதலுறுப்பை வகுக்குங் கோவை

கோவைகள் 117
யின் முதலுறுப்பால் வகுக்க ஈவின் இரண்டாம் உறுப்பாகிய 1 ஐப் பெறுவோம். வகுக்குங் கோவையை 1 ஆற் பெருக் கிப் புதிய வகுபடுங் கோவையினின்று கழிக்க மீதி இல்லை
யாகும். ஆகவே வேண்டிய ஈவு உக + 1 என்பதே.
வகுபடுங் கோவையையும் வகுக்குங் கோவையையும் ஒரு மாறி பற்றிய சார்புகளாகக் கொள்ளலாமெனின், அவற்றை ஒரு சேர அம் மாறியின் ஏறடுக்கு வரிசையிலா யினும் இறங்கடுக்கு வரிசையிலாயினும் எழுதி வகுக்க வேண்டும். அவ்வாறு வகுக்க, வகுபடுங் கோவை வகுக்குங் கோவையினது திருத்தமான மடங்கன்றெனக் காணின், வகுக்குங் கோவையின் படியினுங் குறைந்த படியுள்ள மீதி பெறும் வரைக்கும் வகுத்தல் வேண்டும்.
58. கலப்பினக் கோவைகளை ஒருறுப்புக் கோவைகளாலும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளாலும் வகுத் தலைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் விளக்கும் :-
உ-ம்.
1. 12 கந - 3கய - 6 கநய என்பதை - 3க வால் வகுக்க,
12கந - 3கய - 6 கநய-ட - 3க
12 கந - 3கய - 6 கநய - 3க " - 3க " -- g و
= - 4ந + ய + 2நய.
பங். விதி.
2. - 12 அக* + 4 அக? - 16 அக என்பதை 4 அக வால் வகுக் க.
- 12 அக9 + 4 அக?-16 அக-4 அக
12 அக 4அக_16அ'க பங். விதி.
4 அக 4 அக 4 அக =-3 க + அக-4அ’,
உ-ம்.
3. 4 + 4 க*- 17க? என்பதை 2 க*- 2 - 3க என்பதால் வகுக்க.

Page 66
i8 மாணக் கரட்சரகணிதம்
இவற்றைக் கவின் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதி வகுத் தலைச் செய்வோம்.
23.* - 3 3 - 2)45, 4 .- I 7 یg; 2 + 4(2க? + 3 க - 2
4கக் - 6க-ே 4 க?
6,8. 13.2
6 க* - 9 க? - 6க
- 4 க9 + 6 க + 4 - 4க? + 6 க + 4
இங்கு, வகுபடுங் கோவையில் இல்லாத அடுக்குக்களுக்கு இடம் விடப்பட்டுள்ளன.
உ-ம்.
4. மூன்ரும் உதாரணத்திற் றந்த வகுத்தலைத் தனிக் குணக முறையாற் செய்க.
தந்த கோவைகளைக் க வினது இறங்கடுக்கு வரிசையில் ஒழுங்குபடுத்தி அவற்றினுடைய குணகங்களை மாத்திரம் எழுதிப் பின்வருமாறு வகுக்கலாம் :
2 - 3 - 2) 4 + 0 - 17 + 0 + 4 (2 + 3 - 2
4 میب، 6 - - 4
6 - 13 + 0
6 - 9 - 6 T4 - 6 - 4 二4+6土全
ஆகலான், ஈவு 2 க + 3 க - 2 என்பதாகும்.
ங்கு, இல்லா டுக்குக்களுடைய குணகங்கள் 0 எனக்
கு தி அ குககளு கு கொள்ளப்பட்டுள்ளன.
பயிற்சி 8 (ஈ) 6 க* - 3க என்பதை 3க வால் வகுக்க. -3 க + 24 க" என்பதை - 3க வால் வகுக்க. 6 க9 - 4கந - 12 கந? என்பதை - 2க வால் வகுக்க. 12க ந?- 8க*ந? என்பதை - 4கந? ஆல் வகுக்க.
;

கோவைகள் 19
பின்வருவனவற்றின் ஈவுகளைக் காண்க :-
5. 18ந? - 36 கந + 108ந8-6ந. 6. 4கந2 - 16 கநே8 - 8 கநே4-- - 4 கஃந?. 7, 24தபே8ம4 - 40 த*பமே? - 32தபே2ம8-8த2ப2ம?. 8. - 27 அக? + 18 அகந - 36 அகந?-- - 9 அக. மேல் வருவனவற்றுள் இடப்பக்கக் கோவையை வலப் பக்கக் கோவையால் வகுக்க :-
9. 2அ? - 7 அ + 7 அ - 2,அ? - 3 அ + 2. 10. 6 அ? - 11அ*+ 1, 2 அ? - 3 அ - 1. 11. 4 க* - 4 க + க + 2, 2 க? - 3 க + 2. 12. 6 க* - 5 க9 - 4 க2 + 2 க + 1, 3 க* - க - 1. 13. 1 6 luo— 4 lu“ — 8 lu“ — 13 Lu + 6, 3 l u + 2 — 2 luo. 14. 16 + Lu' – 12 Lu, Lu’- 4 - 2 Lu. 15. க + ந°, க + ந. 16. 8க9 - ந3, 2க - ந. 17. - 12 + 7 க + க - க + 2 க*, 3 - க + க?. 18. 4கக் - 17 க?ந? + 4 ந4, 2 க? - 3 கந - 2 ந?. 19. 16.5 - 1, 2 5 - 1. 20. 8.அ + இ + 6 அஇ - 1, 2 அ + இ - 1, 21. 1 - அ + 2 அ* - அ,ே 1 + அ - அ?. 22. க* - ந” - ய? - 3 கநய, க - ந - ய. 23. க* - அக?+ 2அஇக - இ*, க + அக - இ?. 24. அ? - இ + 9 அஇ + 27, அ - இ + 3. 25. 2 - 15 க?+ 4க* + 9 க என்பதை 2 க?-2-3 க என்ப தாற் றனிக் குணக முறைபற்றி வகுக்க.
26. 6 க9 - 13 கபே? - 2 கபே8 + 6 கப* + 3 ப என்பதை 2 க?- 3 ப? என்பதாற் றணிக் குணக முறை பற்றி வகுக்க, க = - 1
ப- 2 ஆயின், விடையாதாகும் ?
த
27. க9 - ந9 என்பதை க3 - ந” என்பதால் வகுக்க, க = 1, ந= - 1 ஆயின், விடை யாதாகும் ?
28, 6 + 9 க*+ 6 க* + 17க - 2 க" என்பதை 4 க + 3 + 2 க3 என் பதால் வகுக் க. கா - 1 ஆயின், விடை யாதாகும் ?

Page 67
120 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் (3)
(3) 1. பின்வருவனவற்றை வரைப்படம் பற்றி விளக்குக. (i - 6 அங். + 4 அங். - - 2 அங். (i) - 5 மீற்றர் + 8 மீற்றர் = 3 மீற்றர். 2. 3 ப - 2 ம - 3வ என்பதிலிருந்து 2ப - 3ம + வ என் பதைக் கழிக்க.
3. 1 - 2 க + 3 க? - 4 க* + 5 க* என்பதை 1 - 2 க + க? என்பதாற் பெருக்குக.
4. 4 க*-3 க2 - 6 க2 - 5 க?. இதனைச் சுருக்கித் தருக. 5. ஒரு வயல் (2 அ + 3இ) யார் நீளமும் (3அ - 2இ) யார் அகலமுங் கொண்டுள்ளது. அதன் பரப்பளவைக் காண்க.
(ஆ) 1. 2ப - 3ம + 4வ என்பதை 3 ப + 5 ம - 6வ என்பதனுேடு கூட்டுக.
2. க* - 12 க2 - 3 க + 2 என்பதைக் க2 - 3க - 2 என்பதால் வகுக் க.
3. (3 க - 4) (4 க + 3). இதன் விரியை எழுதுக.
3த2ப8ம4
4. ----
9தபம8
இதனைச் சுருக்கித் தருக.
5. ஒரு வியாபாரி ஒரு பொருளை ரூபா 30க வுக்கு விலை யாகக் கொண்டுவிட்டுக் க% வீதம் நயம்வர விற்ருன். அவன் அப்பொருளை விற்ற விலை என்ன?
(9)
1. ப?-4ம?, ம2-வ?, வ? - ப?. இவற்றைக் கூட்டுக
2. 8பமவ - 16பம?வ - 4பமவ? என்பதை - 4பமவ
ள்ன்பதால் வகுக் க.

கோவைகள் 121
3. (2 க - 3 ந)2. இதன் விரியை எழுதுக.
12 அஇ2உ8
- 3 அஇஉ’ 5. ஒரு சதுர வறையினது நீளம் 3ந அடி. அதனடுவில் 2க அடி நீளமுள்ள சதுரப்பாய் ஒன்று விரிக்கப்பட்டுள்ளது. பாயில் லாப்பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க.
(FF) 1. 2க2 - 3 க + 1 என்பதிலிருந்து க2 - 5 க + 2 என்பதைக் கழிக்க.
2. க - 8ந? என்பதைக் க - 2 ந என்பதால் வகுக்க.
4. இதனைச் சுருக்கித் தருக.
3. ( க - 5 ந) (5 க + ந) என்பதன் விரியை எழுதுக. கா 1, ந= 2 ஆயின், விடை யாதாகும்? -
4. 3(க2-ந?) - 2(க2- {ந2+ கந+ ந(ந - க - ந)). இதனைச் சுருக்குக.
5. ஒருவனிடம் உள்ள நூல்களின் ருெ கை (4 அ- இ); அவற்றுள் (3அ- 2இ) கணிதநூல்கள்; அ- 2இ விஞ்ஞான நூல்கள்; அவனிடமுள்ள பிறநூல்களின் ருெ கையைக்
காண்க.
(9)
1. 2(அ- இ)2- 3(அ- இ) + 1, 4(அ- இ) + 2 - 3(அ- இ)2, (அ- இ)? - (அ-இ) - 2. இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
2. க + ந, 2க - ந, 3 க - 2 ந. இவற்றினுடைய தொடர் பெருக்கத்தைக் காண்க.
3. (2க - 3ந) (3 க + 2 ந) - (க - 2 ந) (2 க + ந). இதனைச் சுருக்கித் தருக.
க= 2, ந= - 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
4. க + 64ந8 என்பதைக் க* - 4கந? + 8ந4 என்பதால்
வகுக்க,

Page 68
122 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
5. ஒருநாளிலே நண்பகலில் ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை க°ச. அதன் வெப்பநிலை மணிக்கு 5°ச குறைகின்றதெனின், அன்று மு.ப. 6 மணிக்கு அதன் வெப்பநிலை என்ன? அன்று பி. ப. 4 மணிக்கு அதன் வெப்பநிலை என்ன?
(ஊ)
1 1. க = 5, நா - 6 ஆயின், கTந என்பதன் பெறுமானம் என்ன?
2. (3ப + 2 ம)?. இதன் விரியை யெழுதுக.
3. உ+அ.கெனச் சுருக்கிச்
List, 3.9 ச சுருக கத தருக. 4. த*ப - தப? + ப?ம - பம? + ம?த - மத? என்பதை த்
த - ப என்பதால் வகுக் க.
5. ஒரு கத்தியின் விலை 2க ரூபா. ஒரு கோடரியின் விலை
ஒரு கத்தியின் விலையிலும் அரை மடங்கு கூடுதலானது.
10 கோடரிகளை என்ன விலைக்குக் கொள்ளலாம்?
(எ)
I・豊(5-I)*ーI +量(5ーI) 2ー墨(5-I)ー墨(5ーI)",量(5ーI) - (ந - 1)? - 3. இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
2. 2க?-3 க + 1 என்பதை 2க - 3 என்பதிலிருந்து கழிக்க. க= - 2 ஆயின், விடையாது?
3. க + ந?+ ய? + கந - நய+ யக என்பதைக் க - ந - ய என்பதாற் பெருக்குக.
4. (க - 3ந) (3 க + ந) - (2 க + ந) (க - 2 ந). இதனைச் சுருக் கித்தருக, க = -1, ந= 0 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன?
5. க அடி அகலமும் 2க அடி ஆழமும் 3க அடி நீளமு முள்ள ஒரு குழியை வெட்டும்போது எத்தனை கனவடி மண் அகற்றப்படும்?

கோவைகள் 123
(ஏ) 1. அ= 3 க - ந, இ= 3ந - ய, உ= 3ய - க ஆயின், அ + 2 இ - 3உ என்பதன் பெறுமானம் என்ன ?
2. க - 2 க?, 1 + 3 க? என்னும் இவற்றின் கூட்டுத் தொகையைக் க + 1 + 3 க* என்பதிலிருந்து கழிக்க.
3, 2 + 3 கஃ- க - கசி என்பதை 1 + க - 2 க* + 2 கசி என்ப தாற் பெருக்குக.
4. 8 கஃ- ந3 - ய3 - 6 கநய என்பதை 2க - ந - ய என்ப தால் வகுக்க,
5. ந அடி நீளமும் அ அடி அகலமும் உ அடி உயரமு முள்ள ஓரறையினுடைய சுவர்களின் உட்பக்கப் பரப்பள வைக் காண்க.
(ஐ)
1. க= அ - 1, 互= "fーI。 ILI =سنسن gf3 1 ۔ ۔ ஆயின், க வின் பெறுமானத்தை ந, ய என்பனவற்றிற் றருக.
2, 3க யார், க அடி, 2க அங்குலத்தை 5க யார், (க - 1) அடி, (2க - 1) அங்குலத்திலிருந்து கழிக்க, க = 2 ஆயின், விடையாது?
3, 6 + க - 3க3 என்பதை 1 + க - க என்பதாற் பெருக்குக.
4. 1 - 2 க3 + க என்பதை 1 - க என்பதால் வகுக் க.
5. ஒரு மனிதன் ஒரிடத்தினின்று புறப்பட்டுக் கிழக்கே 2க - 3ந  ைமற்றுாரஞ் சென்றுவிட்டு மேற்கே 3 க  ைமற் றுாரம் போனன். அதன் பின் கிழக்கே க + ந  ைமற்றுாரஞ் சென்று தங்கினயிைன், அவன் றங்கிய இடம் புறப்பட்ட இடத்திலிருந்து கிழக்கே எத்தனை ைமற்றுாரம்?

Page 69
அத்தியாயம் 9 ஒருபடிச் சமன்பாடுகள்
59. ஒரு படியினையுடைய தெரியாக் கணியம் ஒன்றினலாய
சமன்பாடுகள் ஒரு படிச் சமன்பாடுகள் எனப்படும். 5 கபா 10 என்பதையும் 3 க - 6= 2 க + 9 என்பதையும் அவற் றிற்கு உதாரணங்களாகக் காட்டலாம். இவ்விரு சமன்
பாடுகளுங் க என்னுந் தெரியாக் கணியம் ஒன்றினலாய வென்றும், அக்கணியந்தானும் ஒருபடியினையே கொண்ட தென்றுங் காணலாம். இத்தகைய சமன்பாடுகளுள் இலகு வானவற்றினுடைய தீர்வுகளைக் காணுமுறை நாலாம் அத்தியாயத்தில் 28 ஆம் பிரிவிற் கூறப்பட்டுள்ளன. அவற்றை இன்னுமொரு முறை பார்த்தல் நன்று. இங்கு கடுமையான சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளைக் காண்போம்: உதாரணமாக 5 க - 7-3 க - 11 என்பதன் றீர்வைக் காணும் வகையை ஆராய்வோம்.
3க வை இரு பக்கங்களிலிருந்து கழிக்க நாம் பெறுவது
5 க - 3 க - 7= - 11 7 ஐ இரு பக்கங்களுக்குங் கூட்ட நாம் பெறுவது
5 க - 3 க- 7 - 1 1 ; .. 2 க= - 4;
“. க= - 2 இங்கு 3 க என்பது தந்த சமன்பாட்டின் ஒருபக்கத்தி னின்று ஒரு பக்கத்திற்குத் தள்ளுப்பட - 3க ஆக மாறியதை யும் - 7 என்பது அவ்வாறு செய்யப்பட + 7 ஆக மாறிய தையும் அறிக.
இதிலிருந்து இரு விதிகளைப் பெறலாம்:- விதி : (1) ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள எக்கணியத்தையும் அச்சமன் பாட்டினது ஒரு பக்கத்தினின்று ஒரு பக்கத்திற்கு இடமாற்றஞ் செய்யின், அதன் குறியீட்டை மாற்றவேண்டும்.
விதி : (ii) ஒரு சமன்பாட்டினது தீர்வைக் காண்பதற்கு மாறிகளை அவற்றினுடைய குணகங்களோடு ஒருபக்கமும், மாறிகளை ஒரு பக்கமுமாக இடமாற்றஞ் செய்யவேண்டும்.

ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் 125
இவ்விதிகளைப் பயன்படுத்திச் சில சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வுகள் காண்போம் :-
உ-ம்.
1. 7க - 9=4க - 21. இதனுடைய தீர்வைக் காண்க.
4க வை இடப்பக்கமும் - 9 ஐ வலப்பக்கமும் இட
மாற்றஞ் செய்வோம். .. 7க - 4 க=9 - 21;
*. 3கா - 12 .. க = - 4. இங்கு இடமாற்றஞ்செய்ய 4க என்பது - 4க ஆகவும் - 9 என்பது + 9 ஆகவும் வந்தமை காண்க. உ-ம்.
2. 14 - 5(க - 1)=16( க + 5) + 2. இதற்குத் தீர்வு காண்க.
அடைப்புநீக்க நாம் பெறுவது 14 - 5 க + 5 = 16 க + 80 + 2; இடமாற்றஞ்செய்ய நாம் பெறுவது
;2 + 0 & + 5 -- 4 gs = -- Bى 6 1 -- , 5 --
و 3، 6 كبـ 35 1 2 م ــ .. *
63 * 写=ーエ。
l 2 مس.
= - 3.
உ-ம்.
3. ( க - 2) - (2 க - 5) - 1= 0. இதற்குத் தீர்வு காண்க. பின்னங்களை நீக்க இருபக்கங்களையும் 6 ஆற் பெருக்குக.
.. 3(க - 2) - 2(2 க - 5) - 6ா 0; அடைப்புக்களை நீக்க நாம் பெறுவது 3 க - 6 - 4 க + 10
- 6 - 0 இடமாற்றஞ் செய்ய நாம் பெறுவது 3 க - 4 க=6 - 10 + 6;
。一占=2;
*. க= - 2.

Page 70
126
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 9 (அ) பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளைக் காண்க :
܀ 7 - ܒ݁ܒܝܼ 4 - g5 2
4 - 5 க- 1.
5== 8 - 3 க.
I 1.
2.
13.
14.
I 5.
6.
17.
I 8.
19.
2 O.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
I
3 க + 6 = 5 - 3 க. 2 - 3 க= 1 - க. 2க - 1 - 1 - 2 க. 6 - க-2 - 3 க.
- 1 - 44 - 1
萤5=蓋占,
墨西一盘5=器· .,{ 3 + 5 4 - 3 = 5ى 2 – 11 (2 க - 1) = 1 - (2 க - 1). 5(க - 3) = 6 க - 5.
2(க - 2)= 3(க - 2) + 4.
16 - 5(5 + 2)- 3 (3 + 2). 2(2க - 1)= 3(2 க - 1) + 3, 16 - 5 ( 5 - 2) = 45, - 1. 3(க - 6) - 4(க - 3) + 5 = 0. 2(4 - க) - 3(க - 6) - 2ய 7 க. 2க - அ= 3(க - இ). 1 - (க - அ)=(அ + க) + 2. ور (அ + 1) (க - அ) - அ(க - அ)= இ. அக - இ= இக + அ2. அக - இ= அ- இக. அ(க - இ) + இ(க - அ) + 3 அஇ= 0. 4(க + 2) + 3(2 க - 5)= 3, 5(1 - 2 க) - 2(1 - 4க)= 3(1 - 3க). 2(2க - 1) - 3(2க - 1) - 1 - 0.
- - - 1. க ?"க
། ༧ 占 7 2 3 4 3

ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் I 27
2க 3க க
969 ཕང་ང་ལ་ཁས་ལས་ཁལ་----ཡས་མས་ཡ-མ་ w 0. - 誘*
1 - 2 3 1. ძ_1 + 3 ძნ.
3 2
I 32. 基+場=場・
2 33. E + !-------.
d 2க - 5 3 க - 1
= 1 . 34 4 35 3க - 4 2 க - 1 ・一志ー一す
2(3க - 1) 3(2க - 1) 36. • 3 - - - - --.
37. (1 - 3க) - 4(2க - 1) + (க + 1)= 2. 38。墨(35ーI)ー墨(25+ 1)=量
39. 3க - (க - 5)= 5.
40. 3 க - 5க- 1 - 2.
41. 5 க - 6 க=1 : 1.
42. 2(2 க - 1) + - 5 (2 க - 9) = 3,
60. சில சமன்பாடுகளில் ஒரளவிற்குச் சுருக்கஞ் செய்த
பின்னரே இடமாற்றஞ் செய்யவேண்டும்.
---
1. 46 - 2)= 1 : -3 (4 - εφ). இதன் றீர்வைக் காண்க.
盐
↔ 3 அடைப்புகளை நீக்க நாம்பெறுவது- 7 -- ༈ +
பின்னங்களை நீக்க இரு பக்கங்களையும் 24 ஆற் பெருக்குக.
6 க - 24 - 36 - 3 + 8 க; இடமாற்றஞ் செய்ய நாம் பெறுவது
6 க - 8 க= 24 + 36 - 3 , 7 5 = g5 2 م- .*
57
·á=一于这 = -28.

Page 71
28 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
D-L).
2. (5 க + 2) (5 க - 3) - (5 க - 1) (5 க - 4)= - 12. இதனைத் தீர்க்க.
இங்கு (5 க + 2) (5 க - 3) என்பதன் விரியையும் (5 க - 1) (5 க - 4) என்பதன் விரியையும் உளவா ராய்வாற் கண்டு அடைப்புக்குள் இடுவோம்.
(25 க? - 5 க - 6) - (25 க? - 25 க + 4)= - 12; அடைப்பு நீக்க நாம்பெறுவது 25 க? - 5 க - 6 - 25 க* + 25க
- - 4 = - 12 ; '. - 5 க - 6 + 25 க - 4= - 12; இடமாற்றஞ் செய்ய நாம் பெறுவது
- 5 க + 25க- 6 + 4 - 12; .. 20 க= - 2;
2 1
- - - - to
61. மேற் காட்டிய உதாரணங்களிலிருந்து ஒருபடிச் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளைப் பின்வரும் விதிகள் கொண்டு காணலா மென்பது புலணுகும்.
(i) தேவைப்படுமாயின் பின்னங்களை நீக்குக.
(i) அடைப்புக்களை நீக்குக.
(i) தெரியாக் கணியத் தாலாய உறுப்புக்களை ஒரு பக்கமும் ஏனையவற்றை ஒரு பக்கமுமாக இடமாற்றஞ் செய்க.
(iv) ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் வேறுவேருகச் சுருக்குக.
(w) இருபக்கங்களையுந் தெரியாக் கணியத்தின் குணகத் தால் வகுக் க.
பயிற்சி 9 (-2)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:- 1. ( க - 1) (க - 2)= க(க - 4) - 1.
(2 க - 1) (3 க + 1) - (2 க + 1) (3 க - 1)- க - 3. (2 க - 3) (க - 1) - (2 க + 3) (க + 1)= 0. (4 க - 5) (3 க + 2)= (3க - 2) (4 க + 5). (1 - 2 க) (1 + 2 க) + 2 க(2 க - 3) = 4. 。(墨5+ I)(墨みー2)ー(墨5ーl)(墨・万十 I)=l.

7.
8.
9.
0.
ll.
12.
l3.
I 4.
I 5.
6.
7.
18.
19.
20.
2 :
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29,
ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் 129
க(க + 1) க(க - 1) (க + 2) (க - 3)
式ーーーすー= 6 墨(25ー墨)+豊(25+暴)=量(25+ I). 墨(35ー墨)+墨(25ー墨)=量(5ーI). 7(5+墨)=2(5+豊)ー5. (2க - 3) (க - 1) - (2 க + 1) (க - 1)=2(க+3). 2(க +1) - 3=3(க + 4) - 7.
28 6
基下gエサ古千"
2 3 I 3கT2க 基+5=0.
3
(235 - 3) = (25 + 1) + 1 . (2 க - 3)?- 4 க(க - 2) - 3. (2 க - 3) (2 க + 5)-(2 க + 3)?. (3க - 1)? - 3 க(3 க - 1)-3 க - 5. 2(க + 1) (க + 3) - 3(க - 1) (க - 3) = 1 - (க - 2)?. (2 க - 1)? - 4=2(க - 1) (2 க - 3). 9(க - 1)2 = (3க - 2)? - 1. (2 க + 1)2 - 12 க(க + 1)= 35 - 2(2க - 3)?. (2 க + 1) (4 க + 3) - 2(2 க + 1)?= 8. .3 -+ نا ( 1 + 25 ) = 2( 1 - 25 ) (3க - 4)?=(2க - 1)2 + 5 க(க - 2). . 5 1 - 5ی 2 == (1 - js2ی 4 ) 3 - 2 (1 - 25 ) 3 பின்வருங் கோவைகளை ஒன்றுக்கொன்று சமஞனுக்குங்
க வின் பெறுமானத்தைக் காண்க:-
30.
(2 க - 3)2, (2 க + 3)2 - 4 (3 க - 2). க வினது பெறுமானம் எதற்கும் பின்வருங்கோவை
கள் ஒன்றுக்கொன்று சமனெனக் காட்டுக:-
9 க? - 16, (3க - 4) (3 க + 4).
395-F

Page 72
அத்தியாயம் 10 ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள்
62. இவ்வதிகாரத்திலுள்ள உத்திக் கணக்குக்களை நான் காம் அதிகாரத்தில் இருபத்தொன்பதாம் பிரிவிற் கூறிய படி செய்தல் வேண்டும். ஏதுமோ ருத்திக் கணக்கைச் செய்ய விரும்பின், அதன் கண் ஒரு கணியத்தையே தெரி யாக் கணியமாகக் கொள்ளல் நன்று. அக் கணக்கிற் றந்தன கொண்டு ஒருபடிச் சமன்பாடொன்றைப் பெறலாம். அச் சமன்பாட்டைத் தெரியாக் கணியம் பற்றித் தீர்த்து விடை யைக் காணலாம்.
நாலாம் அதிகாரத்திற் றந்த உத்திக்கணக்குக்கள் நேர்க் கணியங்கள் பற்றியே எழுந்தன. இங்கு தரப்படுங் கணக் குக்கள் நேர்க் கணியங்கள், எதிர்க் கணியங்கள் என்னும் இரு கணியங்களையுந் தழுவி நிற்கும். 2-ーtb.
1. இரண்டு எண்களுள் ஒன்று ஒன்றிலும் 48 ஆற் கூடியது. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சிறியதிலு நாலு மடங்கு. அவ்வெண்களைக் காண்க.
சிறியது க ஆகுக ; .. பெரியது க + 48 ஆகும்; " அவற்றின் கூட்டுத் தொகை க + (க + 48)ஆகும்;
சிறியதின் 4 மடங்கு 4க ஆகும்;
. கணக்கின் படி, க + (க + 48)= 4 க;
.. க + க + 48=4க (இது அடைப்பு நீக்கப் பெற்றது)
. க + க - 4 க = - 48; (இது இடமாற்றஞ் செய்யப்
பெற்றது). ' . - 2 = - 48
ਸ: 24 . *. க + 48- 24 + 48,
2 7 تاسیس . வேண்டிய எண்கள் 24, 72 என்பனவாகும்.

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள் 13 I
3-D.
2. ஒரு மனிதனினது தற்போதைய வயது 54 ஆண்டு. அவன் மகனுடைய தற்போதைய வயது 12 ஆண்டு. தந்தை மகனின் இருமடங்கு வயதினன் ஆக எத்தனை ஆண்டுகள் செல்லும்?
வேண்டிய ஆண்டுத் தொகை க ஆகுக';
. க ஆண்டு செல்லத் தந்தையின் வயது க + 54
ஆண்டுகளாகும்; க ஆண்டு செல்ல மகனின் வயது க + 12
ஆண்டுகளாகும்; கணக்கின்படி க ஆண்டுசெல்லத் தந்தை மகனின் இருமடங்கு வயதினனுவன்;
.. க + 54 - 2( க + 12); .. க + 54= 2 க + 24; (இது அடைப்பு நீக்கலாற் பெற்றது) . க - 2 க~~ - 54 + 24; (இது இடமாற்றஞ் செய்த லாற் பெற்றது). .. - க - - 30;
“。5=30.
வேண்டிய ஆண்டுத் தொகை 30.
பயிற்சி 10 (அ)
1. அ என்பவரிலும், இ என்பவருக்கு 2 ரூபா குறைத் தும், உ என்பவருக்கு 3 ரூபா கூட்டியும் அ, இ, உ என்ப வருக்கிடையே 49 ரூபா வைப் பகுத்துக் கொடுக்க.
2. அ, இ, உ என்பவர் தம்முள் 90 ரூபாவைப் பகுத்துக் கொண்டனர். இ என்பவர் அ விலும் 6 ரூபா குறை வாகப் பெற்றனர். உ என்பவர் பெற்ற தொகை அ என்பவர் பெற்ற தொகையின் இருமடங்கு. ஒவ்வொரு வரும் பெற்ற தொகையைக் காண்க.
3. அ விடம் 48 ரூபாவும் இ யிடம் 36 ரூபாவும் உண்டு. அ என்பவர் இ யிடமிருந்து ஒரு தொகையைப் பெறத் தனது பணம் இ யின் மீதிப் பணத்தின் 6 மடங்காயினமை கண்டனர். இ யிடமிருந்து அ பெற்ற தொகை என்ன?

Page 73
32 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
4. ஒரு மனிதன் ஒரு தொகை முட்டைகளை ஒரு ரூபா வுக்கு 6 வீதம் விலைக்குக் கொண்டு ஒரு ரூபாவுக்கு 5 வீதம் விற்க 3 ரூபா நயமடைந்தானுயின், அவன் கொண்ட முட்டைகள் எத்தனை?
5. ஒரு மனிதன் ஒரு தொகை முட்டைகளை 6 ரூபாவாக விலைக்குக் கொண்டான். தான் கொண்ட முட்டைகளுள் 6இன் விலை ஒரு ரூபாவிலும் எவ்வளவாற் கூடியதோ அவ்வளவால் 5 இன் விலை ஒரு ரூபாவிலுங் குறை வெனக் கண்டான். அவன் கொண்ட முட்டைகள் எத்தனை?
6. ஒரெண் ஓரெண்ணிலும் 15 ஆற்கூடியது. சிறிய எண்ணின் 4 பெரிய எண்ணின் + இலும் 3 ஆற் கூடியது. அவ்வெண்களைக் காண்க.
7. ஒரெண்ணின் 4 ஐ 100 இலிருந்து கழிக்க வந்த மீதி அவ்வெண்ணின் ஒடு 25 ஐக் கூட்டியதற்குச் சமன். அவ்வெண் யாது?
8. ஒரெண்ணின் ஒடு 2ஐக் கூட்ட வருந்தொகை அவ் வெண்ணின் 구 ஐ 20 இலிருந்து கழிக்க வருவதற்குச் சமன். அவ்வெண்ணைக் காண்க.
9. நாலு அடுத்துவரும் இரட்டையெண்களின் கூட்டுத் தொகை 60 ஆயின், அவ் வெண்களைக் காண்க.
10. இரண்டு அடுத்துவரும் இரட்டையெண்களின் கூட்டுத் தொகை அவற்றிற்கு அடுத்து முன்னும் இடையிலும் பின் னும் உள்ள ஒற்றையெண்களின் கூட்டுத் தொகையிலும் 17 ஆற் குறைந்தது. அவ்விரட்டையெண்களைக் காண்க.
11. ஒரு தந்தையின் வயது அவன் மகன் வயதின் 3 LD L—Ißi (Ģ. 15 ஆண்டுகள் செல்லத் தந்தையின் வயது மகன் வயதின் இரு மடங்காகும். அவர்களுடைய தற் போதைய வயதுகளைக் காண்க.
12. தற்போது தன் மகனின் மும்மடங்கு வயதினனுகிய ஒரு தந்தை 15 ஆண்டுகள் செல்லத் தன் மகனின் இரு மடங்கு வயதினனவானெனில் அவனுடைய தற்போதைய வயதென்ன?

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள் 133
13. ஒரு தந்தை தன் மகனின் இருமடங்கு வயதினன். 10 ஆண்டுகளுக்குமுன் அவன் றன் மகனின் மும்மடங்கு வயதினனுயிருந்தான். அவர்களுடைய தற்போதைய வயது க%ளக் காண்க.
14. அ என்பவன் இ என்பவனிலும் 8 வயதாற் கூடிய வன். 8 ஆண்டுகளுக்கு முன் அவன் இ யிலும் இருமடங்கு வயதினன். அவர்களுடைய தற்போதைய வயதுகளைக் கண்க.
15. அ என்பவன் இ என்பவனின் இருமடங்குவயதினன். ஆறு ஆண்டுக்குமுன் அவன் இ யின் மும் மடங்கு வயதினன் ஆயின், அவர்களுடைய தற்போதைய வயதுகளைக் காண்க
16. அ வின் வயது இ யின் வயதின் , ஐம்பது ஆண்டில் அவன் வயது இ யின் வயதின் 3 ஆகும். ஆயின், அவர்கள் தற்போது என்ன வயதினர் எனக் காண்க.
17. அ வின் வயதின் இ யின் வயதின் இலும் 13 ஆற் கூடியது. அ என்பவன் இ யிலும் 6 வயதாற் கூடியவன யின், அவர்களுடைய வயதுகளைக் காண்க.
18. ஓரறையினது நீளம் அதன் அகலத்திலும் 11 அடியாற் கூடியது. நீளம் 3 அடியாற் கூடிய தென்றும் அகலம் 2 அடியாற் குறைந்த தென்றுங்கொண்டாலும் அதன் பரப் பளவு மாருது. அவ்வறையினுடைய நீளவக லங்களைக் ტ5 {T 6ზ01” ტყiნ .
19. ஓரறையினிளம் அதன் அகலத்திலும் 6 அடியாற் 'Jill-ll gil. அதனுடைய நீள வகலங்களைத் தனித்தனி 3 அடியாற் குறைத்தால், அதன் பரப்பளவு 1 17 சதுர வடியாற் குறையும். அவ்வறையினிளத்தைக் காண்க.
20. நான் ஒரு தொகை பழங்களை ஒரு ரூபாவுக்கு 12 ஆகவும் அத்தொகையில் 3 ஆகிய வேருெரு தொகையை ஒரு ரூபாவுக்கு 10 ஆகவும் விலைக்குக் கொண்டு அவற்றைக் கலந்து ஒரு ரூபாவுக்கு 11 ஆக விற்று 1 ரூபா நயமடைந் தேன். ஆயின், நான் எல்லா மாகக் கொண்ட பழங்கள்
எத்தனை?

Page 74
1 34 மானுக்க ரட்சர கணிதம்
21. 280 கூலிக்காரருள் ஆண்களுக்கு 3 ரூபா வீதமும் பெண்களுக்கு 2 ரூபா வீதமுங் கொடுக்க 720 ரூபா செலவா ஞல், ஆண்களுடைய தொகையையும் பெண்களுடைய தொகையையுந் தனித்தனி காண்க.
22, 2 ரூபாத் தாள்களும் 5 ரூபாத் தாள்களுமாக ஒரு மனிதனிடம் 700 ரூபா உண்டு. அவனிடமுள்ள தாள்க ளுடைய தொகை 230 ஆயின், அவன் ஒவ்வோரினத்திலும் எத்தனை தாள்கள் வைத்திருக்கிரு?ன்?
23. இரு மனிதர் 36 மைல் இடைத் தூரமுள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து ஒரு வரை ஒருவர் நோக்கி நடந்து 6 மணிநேரத்திற் சந்தித்தனர். ஒருவர் வேகம் ஒருவர் வேகத்தின் இருமடங்காயின், அவர் நடந்த வேகங்களைக் காண்க.
24. ஒரடி நீளமுள்ள நேர்க்கோடு ஒன்று இருசமனில் பகுதி
களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. சிறியதுண்டு பெரியதின் நீளமுடையதாயின், அத்துண்டுகளுடைய நீளங்களைக் காண்க.
63. சில கணக்குக்களிற் க என்பது வேண்டிய கணிய மல்லாத பிற கணியங்களைக் குறிப்பதாகக் கொண்டால் அக்கணக்குக்களைச் செய்தல் இலகுவாக வமையும். அக் கணக்குக்களிற் க வின் பெறுமானத்தைக் கண்டு அதிலிருந்து வேண்டிய விடையைக் காணலாம்.
உ-ம்.
1. இரண்டு இலக்கங்களா லாய ஓரெண்ணின் பத்தி னிடத்து இலக்கம் அதன் ஒன்றினிடத்து இலக்கத்திலும் 4 ஆற் கூடியது. அவ்வெண் அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையின் எழு மடங்காயின், அவ்வெண் யாது?
அவ்வெண்ணின் ஒன்றினிடத்து இலக்கம் க ஆகுக'; ". அவ்வெண்ணின் பத்தினிடத்து இலக்கம் (க + 4) ஆகும்;
, அவ்வெண் 10(க + 4) + க ஆகும்; அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் எழுமடங்கு 7(க + 4 + க) ஆகும்;

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள் 135
கணக்கின்படி 10(க+ 4) + க =7(க+4+ க); ", 10(க + 4) + க = 7(க + 4 + க);
. 10 க + 40 + க = 7 க + 28 + 7 க; *. 10க + க - 7க - 7க= - 40 + 28,
*. க + 4 - 8. ". அவ்வெண் 10 x 8 + 4
ா 84. ஆகும் உ-ம்.
2. ஒரு நாட் காலை 6 மணிக்கு அ என்பவன் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 4 மைல் வீதமாக ஒரு பட்டினத்தை நோக்கி நடக்கத் தொடங்கினன். 3 மணிநேரத்தால் இ என்பவன் ஒரு மணிநேரத்திற்கு 8 மைல் வீதமாக அ வைப் பின் ருெடர்ந்து சைக்கிளில் ஒடிஞன். பிடிபடமுன் அ என்ப வன் எத்தனை  ைமற்றுாரஞ் சென்றனன்?
பிடிபடமுன் அ என்பவன் நடந்தநேரம் க மணி
நேரமாகுக; இ என்பவன் ஓடிய நேரம் க - 3 மணி நேரமாகும்; .. அ என்பவன் க மணிநேரத்திற் சென்ற தூரம்
4க மை ல், ". இ என்பவன் க-3 மணி நேரத்திற் சென்ற தூரம் 8(க - 3) மைல்; கணக்கின் படி இருதூரங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமன்:
*. 8(க - 3): 4 க;
, 8க - 24 - 4 க; *. 8க - 4 க - 24
*, 4 க-ட 24.
". பிடிபடமு ன் அ என்பவன் நடந்த தூரம் 24 மைல் ஆகும்.

Page 75
36 மானுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 10 (ஆ)
1 35 மைல் இடைத்துரர முள்ள இரு பட்டினங்களி லிருந்து இருவர் ஒரு நாட்காலை 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு முறையே மணிக்கு 3 மைல் வீதமு மணிக்கு 4 மைல் வீதமுமாக ஒரு வரை ஒருவர் நோக்கி நடந்தனர். எத்தனை மணிநேரத்தில் அவர்கள் ஒருவர்க்கொருவர் 7 மைற் றுாரத்தில் எதிர்நோக்கி நிற்பர்?
2. மணிக்கு 6 மைல் வீதமு மணிக்கு 9 மைல் வீதமு மாகச் செல்லும் இரு சைக்கிளோடிகள் 45 மைல் இடைத் தூரமுள்ள இருபட்டினங்களிலிருந்து ஒருநாளினது நண் பகலிற் புறப்பட்டு ஒருவரை ஒருவர் நோக்கி ஓடினர். அவர்கள் ஒருவரை ஒருவர் சந்தித்த பின் எத்தனை மணிக்கு அவர்களுக்கிடையிலுள்ள தூரம் 73 மைல் ஆனது?
3. ஒரு நாட்காலை 6 மணிக்குக் கார் ஒன்று மணிக்கு 25 மைல் வீத வேகத்தோடு ஒரு பட்டினத்தை நோக்கி ஓடினது. 4 மணிநேரத்தால் வேருெருகார் அதே இடத்தி னின்று புறப்பட்டு மணிக்கு 35 மைல் வீத வேகத்தோடு அதனைப் பின்ருெடர்ந்து ஓடினது. புறப்பட்ட இடத்தி லிருந்து எத்தனை  ைமற்றுாரத்தில் ஒன்றையொன்று சந்திக் கும்?
4. ஒரு மனிதன் றன் வீட்டிலிருந்து ஒரு வானெலி நிலை யத்திற்குச் சென்று திரும்பிவர மணிக்கு 10 மைல் வீதஞ் சைக்கிளில் ஒடினல் ஒரு குறித்த நேரத்திற் போய் வரலா மெனக் கண்டான். மணிக்கு 4 மைல் வீதமாக வானெலி நிலையத்திற்கு நடந்து சென்று மணிக்கு 25 மைல் வீதமாக வீட்டிற்குக் காரில் ஒடிவந்தால் 4 மணி நேரங்கூடுமெனக் கண்டான். ஆயின், வானெலி நிலையம் அவன் வீட்டிலிருந்து எவ்வளவுதூரம் ?
5. இரண்டு இலக்கங்களா லாய ஓரெண்ணின் பத்தினி டத்து இலக்கம் ஒன்றினிடத்து இலக்கத்தின் மும்மடங்கு. அவ்வெண் அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் எண் மடங்கிலு மூன்றற் குறைவு. அவ்வெண் யாது?

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள் I 37
6. இரண்டு இலக்கங்களா லாய ஓரெண்ணின் ஒன்றி னிடத்து இலக்கம் 3. அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அவ்வெண்ணின் ஏழிலொன்று. அவ்வெண் யாது?
7. ஒரெண்ணினது நூற்றினிடத்து இலக்கத்திலும் பத்தி னிடத்து இலக்கம் 4 ஆலும் ஒன்றினிடத்து இலக்கம் 2 ஆலுங் கூடியது. அவ்வெண் அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையின் 22 மடங்காயின் அவ்வெண்ணைக் காண்க.
8. ஒரு விளையாட்டிடத்திணிளம் அதன் அகலத்திலும் 5 அடியாற் கூடியது. அதனகல்ம் 4 அடியாலும், நீளம் 5 அடியாலுங் கூடினல், அதன் பரப்பளவு 400 சதுர வடியாற் கூடும். ஆயின், அதன் உண்மையான பரப்பளவு என்ன?
9. ஒரு புற்றரையினது நீளம் அதன் அகலத்திலும் 4 அடியாற் கூடியது. அதன் அகலத்தை 2 அடியாலும் அதனிளத்தை 5 அடியாலுங் குறைத்தால் அதன் பரப் பளவு 810 சதுர வடியாற் குறையும். அதன் உண்மையான பரப்பளவைக் காண்க.
10. ஒரு செவ்வக வடிவத்தின் அகலம் அதனிளத்திலும் 4 அடியாற் குறைவு. அதனிளத்தை 2 அடியாற் குறைத் தும் அதன் அகலத்தை ஒரடியாற் கூட்டியு நின்ரு ல் அதன் பரப்பளவு 8 சதுர வடியாற் குறையும். அதன் பரப்பளவு என்ன?
11. ஒரு பலகையினிளம் அகலத்திலும் 11 அங்குலத் தாற் கூடியது. அதனுடைய நீள வகலங்களைத் தனித்தனி 9 அங்குலத்தாற் கூட்டினல், அதன் பரப்பளவு 846 சதுர வங்குலங்களாற் கூடும். அப்பலகையினிளத்தைக் காண்க.
12. ஒரு வயலினிளம் அதன் அகலத்திலும் 24 அடியாற் கூடியது. அதனுடைய நீள வக லங்களைத் தனித்தனி 9 அடியாற் குறைத்தால் அதன் பரப்பளவு 219 சதுர யாராற் குறையும். அதனிளத்தைக் காண்க.
13. ஒரு மனிதன் 12 ரூபாவுக்கு ஒரு தொகை மாம்பழங் களை விலைக்குக் கொள்ளும் பொழுது, 8 மாம்பழங்களின் விலை ஒரு ரூபாவிலும் எத்தனையாற் குறைகின்றதோ அத்

Page 76
138 மாணக் கரட்சரகணிதம்
தனையால் 12 மாம்பழங்களின் விலை 2 ரூபாவிலுங் கூடிய தெனக் கண்டான். அவன் எத்தனை பழங்களை விலைக்குக் கொண்டான்?
14. ஒரு தோட்டக்காரன் 342 புகையிலைக் கன்றுகளுட் சிலவற்றை நிரைக்கு 12 ஆயுஞ் சிலவற்றை நிரைக்கு 15 ஆயு நட 25 நிரை நிறைவடைதலைக் கண்டான். 15 கன்று நிரைகள் எத்தனை?
15. ஒராசிரியன் ஒரு மானுக்கனது வாய்ப்பான விடை ஒவ்வொன்றுக்கும் 10 புள்ளியும் பிழையான விடை ஒவ் வொன்றுக்கும் - 1 புள்ளியுங் கொடுக்க, அம் மானுக்கன் எல்லா மாக 10 விடைகளுக்கு 56 புள்ளி பெற்றன். அம்மா னக்கன் இறுத்த வாய்ப்பான விடைகள் எத்தனை?
16. ஒரு மாணுக்கன் வளையமெறியும்போட்டி ஒன்றில் இலக்குவாய்ப்பு ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு ரூபாவும் இலக்குத் தப்பு ஒவ்வொன்றுக்கும் - ரூபாவும் பரிசாகப் பெற்றனன். அவன் 18 முறை எறிந்து 8 ரூபா வைப் பெற்றனெனின், எத்தனை முறை இலக்குத் தவறினன்?

அத்தியாயம் 11
அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 64. அடுக்குக் கணிப்பு:-ஒரு கோவையினுடைய இரண்டு
முதலாய அடுக்குக்களைக் காணலே அடுக்குக் கணிப்பு எனப் படும். ஒரு கோவையில் எத்தனை உறுப்புக்கள் இருந்தாலும் பெருக்கற் செய்கை பற்றி அதனுடைய அடுக்குக்களைக் காணலாம். எனினும், இங்கு ஒருறுப்புக் கோவைகளுடைய அடுக்குக்களைக் காணு முறைகளை ஆராய்வோம்.
வரைவிலக்கணத்தின்படி:
(க2ந4)3--க?ந4x க?ந4X க?ந4
= 5*X *X 92X p*Xp*Xj* மா. விதி. == 3 - 2 + 2 p4 + 4 + 4 45 ஆம் பிரிவின்படி .8× 84×2 ,3ی است.
இங்கு 2, 4, 3 என்பன நின்ற விடத்துப் பெறுமானம் பற்றிப் பொதுமைப் பாடுடைய அ, இ, உ என்பனவற்றை நிறுத்தினுற் பின்வருஞ் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்.
(கஅ நஇ)உ- அ2 நஇஉ இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம்:- விதி 1 ஒருறுப்புக் கோவை ஒன்றின் அடுக்கைக் காண்பதற்கு அதனுடைய காரணிகளின் குறிகாட்டி ஒவ்வொன்றையும் அதன் அடுக்குக் குறியாற் பெருக்கி வேண்டிய அடுக்கைப் பெறுக.
மேற்பெற்ற சமன்பாட்டில் ந=இ= 1 என்று பிரதியிட,
(அ)உஅஉ என்னுஞ் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம். விதி II ஒரெண்ணின் அடுக்கின் அடுக்கு அவ்வடுக்குக்களின் பெருக்கத்தை அடுக்குக் குறியாகப்பெற்ற அவ்வெண்ணுகும்.
மேற்கூறிய விதிகளைப் பயன்படுத்தி ஒருறுப்புக் கோவைகள் சிலவற்றினுடைய அடுக்குக்களைக் காண்போம்.

Page 77
1 4 0 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
உ-ம்.
1. - 3 அ? என்பதன் வர்க்கத்தைக் காண்க.
( - 3 அ?)?=( - 3)?(அ?)? 62 ஆம் பிரிவு விதி 1 இன் படி
.j2 × 2 விதி 2 sوي 9 = = 9 அ4.
உ-ம்.
2. - 2 க* என்பதன் கனத்தைக் காண்க.
( - 2 க*)?=(- 2)°(க*) 62 ஆம் பிரிவு விதி 1 இன் படி - - 8க 4 x 8 62 ஆம் பிரிவு விதி 2 இன் படி 112 8 - سه تسمی=
உ-ம்.
3. (க2)?(-க?)°( -*க). இதன் சுருக்கத்தைக் காண்க.
க= - 1 ஆயின், விடை யாதாகும்? (墨5°(一暴á°(一碧ó)
==( Ꮠ)* 2x2x( - ) x 2X8x - க ;وی .2x8;وی . j2x2ی . ( - ) . دارا - )2(3) =
=:(-) (- 2) க. க.ே க.
__ * _4 + 6 + 1
144
= --- all 144 க= - 1 ஆயின், விடை ( — II )11
=五子女(卫一)
- - - 4
பயிற்சி 11 (அ)
பின்வருங் கோவைகளுடைய வர்க்கங்களைக் காண்க :-
1. க*. 2. - 2 க?. 3. - 3 க?. 4. 4 க9. 5. - 2 கநே?. 6. 3க?ந8.

ll.
அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 1 4
5 கந°. 8. - 4கந. . கநே?ய. 10, -கநேய?. கந2ய8. 12. - ஜ்க?ந2ய2.
பின்வருங் கோவைகளுடைய கனங்களைக் காண்க :-
13. - 23,8. 14. 4 க?. 15. - 5 95. 16. 23. 17. - .. 18. - -.
3க 2ந 19. A. 20. – 21 .2 تھی۔ --
3. 5 is 2க?ந8
2 22. - ls. 25。ーマー。 24. --- 3 கந 5கந? 2கந பின்வருங் கோவைகளுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க:- 25. (அ?இ)?. 26. ( - அஇ?). 27. (2அ?இ?).
!\N3 அஇ [9ی 28. ( - 2 அ(இ8)8, 29 (- --- -------------- ) 30.(
( அஇ?) 2இக? க?ந8
3 க\4 3. 3 I. (- O 32. () 33. (- Ε.
இக? இந2/" 3 3,2/ 22・52ヘ2 I 2 ፵ 2 » 8 34(芋) 35. (-) 36. (ਰੂਨ)
பின்வருங் கோவைகளைச் சுருக்குக:-
37.
፵ 8 .
39.
40.
41.
42.
43.
(5க2), ( - 3க)2 (苦*)
2 )°29Ꭷ°)Ꮈ (一壳 ( 8ر92وی 5 -- )
2 ( 3 Ꮷ;2)? ( -- 2 Ꮷ5*)* (5'). (22.3°)°(一3°.2°)°(一卫)、 ( - 22)3 ( – 88)8 62. ( - 1)% ( -- 2* . 38)* ( - 8 ) .
காண்க.
(க3)2 ( - 3 க?ந2)3. ( - ந?)?. இதன் பெறுமானத்தைக்

Page 78
l42 மாணக்கரட்சரகணிதம்
44. (-素) (). க. இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. க= - 2 ஆயின், விடை யாதாகும்?
65. ஈருறுப்புக் கோவைகளுடைய வர்க்க கனங்களையும் மூவுறுப்புக்கோவைகளுடைய வர்க்கங்களையுங் காணுமுறை களை இங்கு ஆராய்வோம்-எட்டாம் அத்தியாயத்தில் 55 ஆம் பிரிவிலே நான்காம் உதாரணத்திற் காட்டியவாறு உளவாராய்வாலேனும் பெருக்கற் செய்கை பற்றியேனும் பின்வருஞ் சர்வ சமன்பாடுகளைப் பெறலாம்:-
(க + ந)?Eக2 + 2 கந + ந2; (l) (க - ந)?Eக? - 2 கந+ ந?; (2) (க + ந + ய)?Eக? + ந2 + ய2 + 2 கந + 2நய + 2யக; (3) (க - ந - ய)?=க? + ந? + ய? - உகந + 2நய - 2யக; (4) (க + ந)=ேக3 + 3 க?ந+ 3 கந2 + ந8; (5) (க - ந)=க9-3 க?ந + 3 கந2 - ந8; (6)
இவற்றுள்ளே முதலிரண்டினுடைய உண்மைகளைப் பின் வரும் விதி தழுவுகின்றது:-
விதி 1:-இரண்டு உறுப்புக்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையின் வர்க்கம் அவ்வுறுப்புக்களுடைய வர்க்கங்களைக் கூட்டி அதனுேடு அவற்றின் பெருக்கத்தின் இருமடங்கைக் கூட்ட வருந் தொகைக்குச் சமன்.
இவ்விதியின்படி, (க+ந)?= {(க) + (ந)}2
=(க)2 + (ந)2 + 2(க)(ந) - க? + ந2 + 2 கந = க? + 2 கந+ ந?. . . . . . . a ( 1) (க - ந)2 = {(க) + (-ந)}?
= (க)2 + ( - ந)? + 2(க) (- ந)
= க? + ந2 - 2 கந = க - 2கந + ந?. . . . . . . On O ( 2) இடையிரண்டினுடைய உண்மைகளைப் பின்வரும்
விதி தழுவுகின்றது.

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணப்பும் 1 4 3
விதி 11:-பல உறுப்புக்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகை யின் வர்க்கம் அவ்வுறுப்புக்களுடைய வர்க்கங்களைக் கூட்டி அதனுேடு அவ்வுறுப்புக்களை இவ்விரண்டாகப் பெருக்கக்கிடைக்கும் பெருக்கங் களுடைய இருமடங்கைக் கூட்ட வருந் தொகைக்குச் சமன்.
இவ்விதியின் படி,
(க+ ந+ ய)?={(க) + (ந) +(ய)}?
=(க)2 + (ந)2 + (ய)2 + 2(க)(ந) + 2(ந)(ய) + 2(ய)(க) = க + ந2 + ய2 + 2 கந + 2நய + 2யக ... (3) (க - ந - ய)?= {(க)2 + (-ந) + (- ய))?
- (க)2 + (-ந)2 + ( - ய)2 + 2(க)( - ந) + 2( - ந)( - ய) + 2( - ய)(க) == க? + ந? + ய? - 2 கந + 2நய - 2யக. ஈற்றிரண்டினுடைய உண்மைகளைப் பின்வரும் விதி தழுவு கின்றது :-
விதி 11:-இரண்டு உறுப்புக்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையின் கனம் அவ்வுறுப்புக்களுடைய கனங்களைக் கூட்டி அதனுேடு அவ்வுறுப்புக்களின் பெருக்கத்தின் மும்மடங்கை அவற்றின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையாற் பெருக்கக் கிடைக்கும் பெருக்கத்தைக் கூட்டவருந் தொகைக்குச் சமன்.
இவ்விதியின் படி,
(க+ந)?= {(க) + (ந)}
- (க) + (ந) + 3 கந(க + ந) - க3 + ந3 + 3 க?ந + 3 கந? - க3 + 3 க2ந + 3 கந2 + ந°. இது க வின் இறங் கடுக்கு வரிசையில் எழுதப்பட்டது. . . (5) (க- ந)8-((க) + (-ந)}
-(க)3 + ( - ந} + 3(க) (- ந) (க) + (-ந)} =க9 - ந9-3 கந{க - ந} = க3 - ந8 - 3 க?ந + 3 கந? - க3 - 3 க?ந + 3 கந2 + ந?. இது க வின் இறங் கடுக்கு வரிசையில் எழுதப்பட்டது. . . (6):

Page 79
1 44 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(க - ந)* என்பதன் விரியில் ஒன்றுவிட்ட ஒன்று - குறி யீட்டுடன் பொருந்தியிருத்தல் காண்க. இனி, இவ்விதி மூன்றையும் இலேசாக ஞாபகத்தில் வைத்திருக்க ஒரு வழி தருகின்ருேம்:-
உ1, உ2 உ; என்பன முறையே முதலாம், இரண்டாம், மூன்ரும் உறுப்புக்களைக் குறிக்கின், பின்வருஞ் சமன்பாடு மூன்றும் அவ்விதிகளினுடைய உண்மைகளை அடக்கி நிற்றல் புலனுகும்:-
(உ + உ)?= உ2 + உ2 + 2உஉ2. விதி 1 இன் உண்மை (உ + உ + உg)?= உ2+ உ? + உ + 2உஉ + 2உ2உg
+ 2 లి.్క 2.1 விதி 11 இன் உண்மை 》 妙 , , . (وی-D + 21ے )ڑ(ے 1طے 3 + 3 2 + 2.81ے سستہ (2 - (یہ۔ 21ھ ) இவ்விதிகளைப் பயன்படுத்திச் சில கோவைகளுடைய அடுக்குக்களைக் காண்போம்:-
உ-ம்.
1. 2க + 3 ந. இதன் வர்க்கத்தைக் காண்க (2 க + 3ந)2-(2க)2 + (3ந)2 + 2(2 க) (3 ந) -4க2+ 9ந2 + 12 கந - 4 க2 + 12 கந + 9ந2.
உ-ம்.
2. (2க - 5 ந)2. இதன் விரியைக் காண்க.
(2க - 5 ந)2=(2க)2 + (- 5ந)2 + 2(2 க) ( – 5 ந)
-4க2 + 25 ந2 - 20 கந - 4 க2 - 20 கந+ 25 ந?
2_一Lb。
3. ( க - 2 ந+ 3ய)2. இதன் விரியைக் காண்க.
(க - 2ந+ 3ய)2=(க)? + (- 2 ந)? + (3ய)? + 2(க) (- 2ந) + 2( - 2 ந)(3ய) + 2(3ய)(க) = க?+ 4ந? + 9 ய? - 4கந - 12நய + 6யக.
உ-ம்.
4. 3 க + 2 ந. இதன் கனத்தைக் காண்க.
(h ) ( 2[b)( 3 3; + 2 /Bی 3) 3 + 3(lb 2) + 3ر5ى B ) –3ر5] 2 + ;وی 3 )

3.
அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும்
I 45
- 27 க3 + 8ந3 + 18 கந(3 க + 2ந) - 27 க3 + 8 ந3 + 54 க?ந + 36 கந2 - 27 க3 + 54 க?ந + 36 கந2 + 8ந8.
ம்
5. (க - 5 ந)? இதன் விரியைக் காண்க.
(க - 5ந)8= (க)3 + ( - 5 ந)3 + 3(க),( - 5ந)(க - 5 ந
- க3 - 125 ந8-15 கந (க- 5 ந) - க3 - 125 ந8 - 15 க?ந + 75 கந? - க3 - 15 க?ந + 75 கந? - 125 ந8.
பின்வருங்கோவைகளுடைய வர்க்கங்களைக் காண்க:-
西十5。
g5 + 2. க + 5 ந. 2க + ந. 2க + 5 ந. 2அ - 5 இ. 4அ + 1 . 4.அ - 3. 3 அஇ + 1. 1 - 5 அ. 3 - அ. க - 2 ந -3ய.
2க - 3ந - 5 ய.
5 க - ந + 3 ய.
35, -- 215 - 1.
<9一墨@一翡°· அ - இ + உ. 3அ? + 2. 2க2+ ந?. 5 க2 + ந2.
பயிற்சி 11 (ஆ)
2. க - 4. 4. க - 2 ந. 6. க - 4ந. 8, 2க - 3ந. 10. அ - 3இ. 12. 3அ + இ. 14. 5 அ - 2. 16. 2அஇ - 1. 18. 5அஇ - 2. 20. 2 + 5 அ. 22 - 95 + 2 ,[B + u_1 - 24. க + ந - 2ய. 26. 3க - 2 ந + ய. 28, 2 க2 - 3ந2 + 1. 30. 5 க2 - 2 ந2 - 1. 32. அ + இ - உ. 34. 2அ? - 1. 36. 2அ2 - 3. 38. 3 ф? — 2 дѣ°.

Page 80
146 மானுக்கரட்சரகணிதம்
பின் வருங்கோவைகளுடைய கனங்களைக் காண்க:-
40. 5一卫· 4l. 5 + 2. 42. க - 3. 43. 2 க + 1 . 44, 3 க - 1. 45. 3 க + 1 46, 2 க - 3ந. 47. 2 க + 3 ந. 48. 3க - ந. 49. அஇ - 3. 50. 1 - 2அஇ. 51, 1 + 3 அஇ. பின்வருங்கோவைகளுடைய விரிகளை எழுதுக:- 52. (2அஇ - 3)?. 53. (3 அஇ - 1)?. 54. (2 அஇ + 1)?. 55. (அஇ + 2)?. 58. (க + உந - 3)2. 57. (அஇ-5)?. 58 . ( 45* - f5* + u r*)*. 59。 ( 1 — yo.
.2(2رu 3 - لاB/ 2 - 2;وی ) . 60
66. மூலக்கணிப்பு:-ஒரு கோவைக்கு அதன் மூலத்தின் குறி காட்டியை அடுக்காகக் கொண்ட ஒரு கணியஞ் சமனயின், அக்கணியமே அக்கோவையின் மூலமாகும். அம்மூலத்தைக் காணலே மூலக்கணிப்பு எனப்படும். V என்னுங் குறியீடு
2ーー மூலக்குறியெனப்படும். w/ க? என்பது க? என்பதன் வர்க்கமூல மென்ருதல் இரண்டா மூல மென்ருதல் கூறப் படும். அதனைக் குறிகாட்டியின்றி V க? என்று எழுதுதல்
8.--
வழக்கு. \/ க" என்பது க" என்பதன் கனமூலமென்ருதல் மூன்ற மூல மென்ருதல் கூறப்படும்.
+ க வின் வர்க்கமும் - க வின் வர்க்கமும் க* ஆக லான், க? என்பதன் வர்க்கமூலம் + க என்றும், அன்றி - க என்றுங் கூறலாம். இவ்விரு மூலங்களையும் + க வென எழுதல் வழக்கு. இதனைச் சக அல்லது சய க வெனச் சொல் பற்றி உரைக்கலாம். + என்னுங் குறி இரட்டைக் குறி எனப்படும்.
குறியீட்டுவிதியின்படி
(+க)?= க*; .. v/க? = +க.
----سس- 4 (+5)*= తా*; .. V g;4 =: +க
س- 6 ( + க)-ே க9; .. \/ க9 - + க.
இவற்றிலிருந்து இருவிதிகளைப் பெறலாம்.

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 147
விதி 1 :-மூலக்குறிகாட்டி இரட்டையெண்ணுயின், ஒரு நேர்க் கணியத்தின் மூலம் இரட்டைக் குறியோடு பொருந்தும்.
இன்னும், ஒரு கணியத்தின் அடுக்குக் குறி இரட்டை யெண்ணுயின், அதன் அடுக்கு நேர்க்கணியமாயன்றி எதிர்க் கணியமாய் வராது.
ஆகவே, பின்வரும் விதி புலனுகும்:-
விதி 11:-எதிர்க் கணியங்களுக்கு இரட்டையெண்ணை அடுக்குக்
குறியாகப் பெற்ற மூலங்கள் இல்லை.
V - 1, V- 2, V- க என்பனவற்றிற்கு எண்கணித
முறைப்படி பொருளில்லை. அவை கற்பனைக் கணியங்கள் எனப்படும்.
இனி, குறியீட்டு விதியின்படி
8 ( - 5)= -s; .°. V — 35° =* — 35.
5 ( - جيدة روى --- க3; .. - க .را سست تستست
-سس- 3 (க)8 = க;ே ", Vக9 = க. 5- v(க)8 = கன்; .ʻ. ʻ v/«9s° -- 55 ܀
இவற்றிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம். விதி 11:-மூலக்குறிகாட்டி ஒற்றையெண்ணுயின், ஒரு கணியத் தின் மூலம் அக்கணியத்தின் குறியையே கொள்ளும்
64 ஆம் பிரிவு விதி 1 இன்படி. (+அ'க')?=அக"; . Vஅக" = + و نہ ہو += " و" ہو
D 8 --- 6 (அகே)ே? - அக9; .. Vigy'5'= அ2க9= அ 3க
6 2
9. 3.
1 5 5
5 - 5||9ے س۔ === 3;925ے ہ- == 16وی y10و ---V .". ;16 جون 10 ہوی - == 6 (8 جون y2و -۔ ) இவற்றிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம். விதி 1V: - ஒருறுப்புகோவையொன்றின் மூலம் அக்கோவை யிலுள்ள காரணிகளுடைய அடுக்குக் குறிகளை மூலக்குறி காட்டிகளால் வகுக்க வரும் ஈவுகளை அடுக்குக் குறிகளாகக் கெயண்ட காரணிகளின் பெருக்கமாகும்.

Page 81
148 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இவற்றைப் பயன்படுத்தி ஒருறுப்புக் கோவைகள் சில வற்றினுடைய மூலங்களைக் கணிப்போம்.
ஆ.-ம்.
1. கந? என்பதன் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க.
4 6 /கந6 = + க*ந* மேற்றந்த விதிகள் 1 உம் IV உம்
பற்றிக்கண்டது. .க2நஃ مسؤسس سحنة உ-ம்.
2. -'கநே9ய2 என்பதன் கனமூலத்தைக் காண்க. 6 9. 12 P----མཁཁལ་ཁ་ས་ཁམས་ཁ་བ་ཁ་ཡ་ཁལ་ལ 京 百 一百一 V - கநே9ய2 = - க ந ய் - - கநேர்ய4.
• دهLi -----?ي
--ས་དང་ལག་ཆ་ཡ་ས་མ་ཡ་མ་ཡ་མཁཁམ──། མགས་ཁ─་མ་ཁ། 3. /- 125 கநே?. இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
ہسپانسہ ۔ سس۔ سر 8 ----------------سست------۔ 8 V — 1 2 53* 59= V/ — 583;ogbo
- - 5 , = - 5 கந?.
2 -- If
4. /- 32அஇே8. இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க
V 243 520 அ=1, இ= - 1, க = 2 ஆயின், விடையாதாகும்?
/-32அ10இல் MMw 5 / - 25 அ10இ5 V 2 4320 . T W/ 35520
5 10 -15 = - 25அ 5 இ 5
520 ვ ნ ჟ; 5 - 2 அ2இ8 354 அ- 1, இ=-1, க= 2 ஆயின்,
2அஇே? 2 12. ( — I )?

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் I 49
2 - 1. ( - 1)
3. I 6
- 2
4s
- I 24 ۔ ۔
பயிற்சி 11 (இ)
பின் வருங் கோவைகளுடைய வர்க்க மூலங்களைக் கர்ண்க:-
1. கA. 2. 25ந2. 3. 9 க.ே 4. 4ந*. 5. 495 B. 6. 16 க?ந8.
7. 36 g;° [b፥. 4,8510. 9. 一去。
36 க"ந 8. 64கந 458 ந16 نا;و 10. --. 。一なーエ。 ... ---.
49 9 12·亏动
3 4. 2 13. _T. 14. - 15. – 36 هي * إلى இக்கே 25 ےgy10g;10 169இ*க10
g14 196அஇே4 பின்வருங் கோவைகளுடைய கனமுலங்களைக் காண்க:-
17. 27 அஇே8. 18. - 125இஉே9. 19. - 8 அஇே2.
I அ? 20. 9(କ୍ର15, m- - - 2. مجھے --- کے سیسہ
0. 64அ9இ *** "శ్మి- ۰ 18 و 86 ۰ثث
O 6 9 100ooo. 24. ---- 27 gig, அ8இகே9
பின்வருங்கோவைகளைச் சுருக்கித் தருக : அ= - 1, இ= 1, க- - 2 ஆயின், அவை ஒவ்வொன்றுக்கும் பெறு மானங் காண்க.
25. /அஇேக் 26. / -- 8 3 يوg,6 27. /16அ4இ8
V க4 ’ V g3 81 ״ ״ த8 1 ד/ .30 - 56 2 / 4 . 29 ר' 5 12 ר־/ 8 .28
27 அ8இகே3 V 625 அக' V 25 அஇே*

Page 82
星50 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3
V(4.9) . . V(- 972'). . V(ovo). 8 o • 3
V(27அகே)ே V(4 gy"3") v/(- 125 go) 67. இங்கு மூவுறுப்புக்கோவைகள் சிலவற்றினுடைய வர்க்க மூலங்களை யு நாலுறுப்புக்கோவைகள் சிலவற்றினுடைய கன மூலங்களையுங் கணிக்குமுறைகளை ஆராய்வோம்:
65 ஆம் பிரிவிலுள்ள முதலாம் விதியின் படி,
(க + ந)?= க? + 2 கந+ ந2;
3
.. Vக* + 2 கந+ ந?= க + ந. அவ்விதியின்படி, (க - ந)?= க? - 2 கந + ந?;
.. Vas° — 2 g, J5 + pb° = க - ந.
இவற்றிலிருந்து பின்வரும் விதிகள் புலணுகும். (1) யாதுமொருகோவை க +2கந+ந” என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படுமாயின், அதன் வர்க்கமூலம் க + ந என்னும் வடிவத் தைக் கொள்ளும்.
(2) யாதுமொருகோவை க?-2கந+ ந” என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படுமாயின், அதன் வர்க்கமூலம் க - ந என்னும் வடிவத் தைக் கொள்ளும்.
இனி 65 ஆம் பிரிவிலுள்ள மூன்ரும் விதியின்படி (க + ந)
- க + 3 க?ந + 3 கந?ந8;
SSSSSSSS ---------------س-. * '. Vக* + 3 க?ந + 3 கந? + ந’ = க + ந. அவ்விதியின் படி, (க - ந)°= க - 3 க*ந + 3 கந? - ந8;
:3 SqqqSqS qqqSqSASAAAASSSAS SSSSS SSASS \/க9 - 3 க?ந + 3 கந? - ந9 = க - ந. இவற்றிலிருந்து பின்வரும் விதிகள் புலனுகும்:-
(3) யாதுமொருகோவை க +3கந+3கந?+ ந” என்னும் வடிவத்
தில் எழுதப்படுமாயின், அதன் கனமூலம் க +ந என்னும் வடி வத்தைக் கொள்ளும்.

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 5
(4) யாதுமொருகோவை க?-3கந + 3கந?-ந? என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படுமாயின், அதன் கன மூலம் க - ந என்னும் வடிவத்தைக் கொள்ளும்.
உ-ம்.
1. க* - 6 கந+ 9ந? இதன் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க.
/க? - 6கந+ 9ந?
- Vக? - 2 க(3ந) + (3ந)? = க - 3ந. பி. 65 விதி (2)
உ-ம்.
2. 8க° - 12 க*ந + 6 கந?-ந?. இதன் கனமூலத்தைக்
காண்க.
8 --— /8க9 - 12க*ந+ 6 கந?-ந?
= V(2க)? - 3(2க)?ந+ 3(2க)ந? - ந8 -- 2 க - ந. பி. 65 விதி (4)
உ-ம்.
3. v/4ਯ+ 2 + . இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
க- - 2 ஆயின், விடையாதாகும்? 2 ,9 |{ + 2 + 2 و 4/
A Ι = (25) ۶ + 2 (25 ) () + ( )
2க
I - 2க * 23. பி. 65 விதி (1)
2 அயின், 2 ச 2} --2 -س க--2 ஆயின, + = ( - ( + 2 ) – رو
= - 4 - = - 44
4 68. இனி, மூவுறுப்புக் கோவைகளுக்கேயன்றிப் பல்லு
றுப்புக்கோவைகளுக்கும் வர்க்கமூலங்காணும் முறையை
இங்கு தருவோம்:- w

Page 83
152 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
1. க + 2கந+ ந?. இதன் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
க*+ 2கந+ ந?(க+ ந
க? 2க + ந) 2கந+ ந?
உகந+ ந?
இதன் விளக்கம் பின்வருமாறு:-
க? என்பதன் வர்க்கமூலம் க. இதுவே வேண்டிய வர்க்க மூலத்தின் முதலுறுப்பு. இதன் வர்க்கத்தைத் தந்த கோவை யினின்று கழிக்க உகந+ ந? என்பது மீதியாகப் பெறப்படும். இனி, வர்க்கமூலத்தின் முதலுறுப்பாகிய க வை இரட்டிக்க 2க பெறப்படும். இது வகுக்குமெண்ணின் முதலுறுப் பாகும். இதனல் 2கந வை வகுக்க ந பெறப்படும். இதனை மூலத்தின் இரண்டா முறுப்பாகவும் வகுக் குமெண்ணின் இரண்டா முறுப்பாகவுங் கொண்டு வகுக்குமெண் முழு வதையும் ந வாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்தை முதன் மீதியினின்று கழிக்க மீதி இல்லாமற் போகும். ஆகவே, வேண்டிய வர்க்க மூலம் க + ந ஆகும்.
g2.—— LO .
2, 4க! - 12க9 + 13 க? - 6க +1. இதன் வர்க்கமூலத்தைக்
காண்க. 4க* - 12க9 + 13 க? - 6 க + 1(2க2-3 க + 1) 45号 4க2-3க) - 12 க9 + 13 க?
:yی 9 + 953 2 I س.
4க? - 6 க + 1)4க? - 6க + 1 4க? - 6 க + 1
இதன் விளக்கம் பின்வருமாறு:-
4க4 என்பதன் வர்க்கமூலம் 2 க?. இதுவே வேண்டிய வர்க்கமூலத்தின் முதலுறுப்பு. அதன் வர்க்கத்தைத் தந்த கோவையினின்றுங் கழிக்க - 12க9 + 13 க? . . . . என்னு மீதி

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 53
யைப் பெறு (வாம். இனி, வர்ச் முலத்தின் முதலுறுப்பாகிய 2க? என்பதை இரட்டிக்க 4க? என்பது பெறப்படும். இதனை வகுக்குமெண்ணின் முதலுறுப்பாகக் கொண்டு - 12க” என்பதை வகுக்க - 3க என்பது பெறப்படும். இதனை மூலத்தின் இரண்டாமுறுப்பாகவும் வகுக்குமெண்ணின் இரண்டாமுறுப்பாகவுங் கொண்டு 4 க?-3 க என்னும் வகுக்குமெண் முழுவதையும் - 3க வாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்தை முதன் மீதியிலிருந்து கழிக்க 4க2-6 க + 1 என்பது இரண்டா மீதியாகப் பெறப்படும். இனி 2க*- 3க என்பதை இரட்டிக்க 4க? - 6க பெறப்படும். இதனை இரண் டாம் வகுக்குமெண்ணின் ஒரு பகுதியாகக் கொண்டு இரண் டா மீதியின் முதலுறுப்பாகிய 4 க? என்பதை இதன் முதலு றுப்பாகிய 4 க2 என்பதனுல் வகுக்க மூலத்தின் மூன்ரு முறுப் பாகிய 1 பெறப்படும். இதனை இரண்டாம் வகுக்குமெண் ணின் மூன்ரு முறுப்பாகவுங் கொண்டு இரண்டாம் வகுக்கு மெண் முழுவதையும் இதனுற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்தை இரண்டா மீதியினின்று கழிக்க மீதியில்லாமற்போகும். ஆகவே, வேண்டிய மூலம் 2 க? - 3 க + 1 ஆகும்.
பயிற்சி 11 (ஈ)
பின்வருங்கோவைகளுடைய வர்க்கமூலங்களைக் காண்க:-
1. க? + 12 க + 36,
ந2 - 16ந + 64.
4 க2 + 12 க + 9.
9 ந2 + 12 ந + 4.
9 க2 - 24கந + 16ந2.
16 க+ே 24கந + 9ந?.
.5° + 2 س. 2 ,9 4 9 க2 - 2 + e.
(க - 2)2 + 4 + 4(க - 2).

Page 84
54
0.
1 I.
1 2.
13.
l 4. 15.
6.
7.
8.
I9.
20.
-2.
22.
23.
24.
25. 26.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
4(5 - 1) + 1 - 4 (5 - 1). க2+ ந2 + 4 - 2 கந - 4 க + 4ந. க2 + 4 ந2 + 9 ய2 - 4கந - 12நய + 6யக. 16 க* - 16 க9 - 4 க2 + 4 க + 1. 4க4 - 12 க + 25 க2 - 24 க + 16, 2க - 5 க2 + 9 க* - 6 க9 + 1. 4க* + 1 - 4 க + 2 க - 3 க?. 4 க* - 23 க2 + 36 + 12 க - 4க9. 36 க + 4 க + 4 - 12 க9 - 23க2. 4.ந - 4ந3 + 1.
9 ந9 + 12 ந? + 4.
36 po+ 12 po+ 1. 25 ந4 - 20 ந2 + 4. 1 - 2 ந - 11 ந2 + 12 ந’ + 36 ந*. 1 + 2 15 - 1 115 - 1215* + 3615. 4 க + 4 க9 - 8 க + 4 க2 + 1 - 4 க. 95' + 45* + 1 - 45° 4-63 - 12.5°.
பின் வருங் கோவைகளுடைய கனமூலங்களைக் காண்க:-
r? 2 / .
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
க* + 6 க2 + 12 க + 8. க3 - 9 க2 + 27 க - 27. 27 க9 - 27 க%ந + 9 கந2 - ந?. 27 க + 54கந + 36 கந2 + 8ந8. 1 - 9ந + 27 ந2 - 27ந3. 8 + 36 ந+ 54 ந2 + 27ந’.
க* + க*ந+*கந2+ 'ந'.
. . 1 --: 27 க9 - 9 க*ந+ கந2 - ந’.
I I

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் 15:5
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 4
(qع)
இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
3
A.
OWO
8
அ- - 2, இ= + 1, க- - 1 ஆயின், விடையாதாகும்? 2. (3 க + 5 ந)?, (3க - ந)?. இவற்றிற்கு விரிகள் எழுதுக. 3. 9 கt - 48 க3 + 46 க2 + 48 க + 9. இதன் வர்க்கமூலத்
தைக காணக. 4. 2(க + 4) - 2( - க) + 6 = 0. இதனைத் தீர்க்க. 5. ஒரெண்ணின் மூன்றிலொன்றை 50 இல் இருந்து கழிக்க வரு மீதி 75 ஒடு அவ்வெண்ணின் இரண்டி லொன் றைக் கூட்ட வருந் தொகை க்குச் சமன். அவ்வெண் யாது?
(ஆ)
l. /- 4 அ’இ4இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
V 254 r
அ=2, இ= - 1, க - 2 ஆயின், விடை யாதாகும்?
2. (5 அஇ - 1)?,(1 + 4க)?. இவற்றிற்கு விரிகள் எழுதுக.
3. - 11 க2 + 25 க* + 70க9 - 84 க + 36. இதன் வர்க்க மூலத் தைக் காண்க.
۔۔۔۔ 3 سے
.இதன் நீர் வைக் காண்க 2 – 95 – 2 + 95 س 3 - 5 .
2 4
5. ஆண்கள் ஒவ்வொருவருக்கும்’ 25 ரூபா வீதமும் பெண்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் 2 ரூபா வீதமும் 80 கூலியாள ருக்குப் பகுத்துக் கொடுக்க 190 ரூபா தேவைப்படுமாயின், அக் கூலியாளருள் ஆண்கள் எத்தனை பேர்?
(9)
க- - 1, ந= 2 ஆயின், விடை யாதாகும்?

Page 85
56 மானுக்கரட்சர கணிதம்
2. (2க - ந - 1)2. இதன் விரியை எழுதுக. 3. 1 + 4 க + 4 க? - 4க" - 8க++ 4க.ே இதன் வர்க்க மூலத் தைக் காண்க.
க - 2 க - 4 1. 2 " .. 5 5. ஓர் அறையினது நீளம் அதன் அகலத்திலும் 2 அடி யாற் கூடியது. அதனிளத்தை 4 அடியாற் கூட்டி அதன் அகலத்தை 3 அடியாற் குறைத்து நின்ருலும் அதன் பரப் பளவு மாருது. ஆயின். அவ்வறையினீளம் என்ன?
(FF)
-------------------- 1. V27க” - 135 கநே+225 கந2 - 125 ந3, இதன் பெறு மானத்தைக் காண்க.
- 1. இதனுடைய தீர்வைக் காண்க
க= 2, ந= - 2 ஆயின், விடை யாதாகும்? 2. (1 - 2அ + 3இ)2. இதன் விரியை எழுதுக. 3, 64 க9 - 16 க9 + 1. இதன் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க . 4 -=7. இதனுடைய தீர்வைக் காண்க. 5. ஓரறையினீளம் அதன் அகலத்தின் 14 மடங்கு. அதனிளம் 3 அடி குறைந்தும் அதன் அகலம் 3 அடி கூடி யும் இருப்பின், அவ்வறை சதுரமாகும். அவ்வ்றையி னுடைய நீள வகலங்களைக் காண்க.
()
V32 gia. 15. இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
<9=2, இ=1, உ= - 1. ஆயின், விடை யாதாகும்? 5, 3 3 2. ஓ - ). இதன் விரியைத் தருக.
3. 16க*- 72க?ந2 + 81ந*. இதன் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க,

அடுக்குக் கணிப்பும் மூலக்கணிப்பும் I 57
4. 4க - 5 (6க - 7(8க - 9)) = 66. இதனைத் தீர்க்க. 5. இரண்டு அடுத்துவரும் எண்களுட் பெரியதனுடைய
நா லிலொன்று சிறியதன் ஐந்திலொன்றிலும் 13 ஆற் கூடியது; அவ்வெண்கள் யாவை?
(95m)
4 / 6 அ4 1. -V 81@కి 510 இதன் பெறுமானம் என்ன? அ= 3,
இ= - 2, க-1 ஆயின், விடையாது?.
2. {(க - அ) - (த-இ)}. இதன் விரியைக் காண்க.
3, 27 க9 - 54க2 + 36 க - 8. இதன் கனமூலத்தைத் தருக.
4. (க - 2) (க-3) - (க+2) (க+3) -10. இதனைத் தீர்க்க
6
5. எவ்வெண்ணை 27 என்னும் பின்னத்தின் பகுதியி னின்றுந் தொகுதியினின்றுங் கழித்தால் வரும் பின்னம் * க்குச் சமனகும்?
(எ)
l. y- :இதனச் சுருக்குக. அ= க ம - 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன?
2. {க - அ +1}°. இதன் விரியைக் காண்க. 3. 64 க + 48 க2 + 12 க + 1 . இதன் கனமூலத்தைத் தருக. 4. (க- 2) (க+3) + 12=(க - 1) (க-4). இதனைத்தீர்க்க 5. கமக்காரன் ஒருவன் மணிக்கு 4 மைல் வீத நடந்து தன் வயலுக்குச் செல்கின்றன். 15 நிமிடங்களுக்குப்பின் அவன் மகன் மணிக்கு 8 மைல் வீதம் அவனைப் பின் ருெடர்ந்து ஓடுகின்றன். எவ்வளவு தூரஞ் சென்றபின் மகன்றந்தையை அடைவான்?

Page 86
58 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(ஏ)
l. <9=2, இ== - l, 8 ܒܝ̄ - ܣܧ ஆயின்,
V3 அஇ(அ-இ) + 3 இஉ(இ-உ) + 3 உஅ(உ-அ) என்ப தன் பெறுமானம் என்ன?
2. (3க?-2ந?)?. இதன் விரியை எழுதுக. 3 1 + - - - I + - இதன் s
அஇ -- 3 அ2இ? 27g3@ಾ?' இதன கனமூலததைத் தருக.
2 - -- 4 3 حس۔ 4. + +1= " - 17. இதனைத் தீர்க்க.
5. நான் மணிக்கு 4 மைல் வீத நடந்தும் மணிக்கு 6 மைல் வீதம் ஒடியும் 1 மைற்றுாரத்தில் உள்ள பட்டின மொன்றிற்கு 18 நிமிடங்களிற் சென்றேன். நான் ஓடிய தூர மென்ன?.
(pe)
-V/( ́3 1. அ= 3, இ- - 2, க = 4 ஆயின், y அ) எ ன் பதன்
V(— 4g°35)
பெறுமானத்தைக் காண்க.
2. (5 க2 + 2). இதன் விரியை எழுதுக:
3. (5 க - 1)2-2(5 க - 1)(3 க + 2) + (3 க + 2)2. இதன் வர்க் கமூலத்தைக் காண்க.
4. (3க - 2)?- 9-(3க - 1) (3 க + 2). இதனுடைய தீர் வைக் காண்க.
5. 36 மைல் இடைத் தூரமுள்ள இரு பட்டினங்களி லிருந்து இருவர் ஒரு நாட்காலை 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு முறையே மணிக்கு 2 மைல் வீதமும் மணிக்கு 3 மைல் வீதமுமாக ஒரு வரை ஒருவர் நோக்கி நடந்தனர். எத்தனை மணி நேரத்தில் அவர்கள் ஒருவர்க்கொருவர் முதன் முதல் 6 மைற்றுாரத்திலே நிற்பர்?

அத்தியாயம் 12
காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் அல்லது சினேகளாய்ப் பிரித்தல்
70. முதலாம் அத்தியாயத்திலே மூன்ரும் பிரிவிற் கூறிய வண்ணம், ஒரெண்ணனது தனித்து நின்றலும் இரண்டு முதலாய எண்கள் ஒன்றை ஒன்று பெருக்கி நின்ருலும், வகுத்து நின்ருலும் உறுப்பெனப் பெயர் பெறும். ஆயின், க
அ 8 5 கந, S- என்பன உறுப்புக்களாகும்.
இஉ உறுபட கு
தனித்து நிற்கும் ஒருறுப்பும் + , -ன்னனுங் குறிகளாலே தொடுக்கப்பட்டு நிற்கும் இரண்டு முதலாய உறுப்புக்களும் தந்தொகைக்கேற்ப ஒருறுப்புக்கோவை, ஈருறுப்புக்கோவை, மூவுறுப்புக்கோவை, பல்லுறுப்புக்கோவை யெனப்பெயர்
2 ● பெறும். ஆயின், 5, க, 5 அஇ என்பன ஒரு றுப்புக்
கோவைகளாகும். (க + ந) என்பது க வொடு நவைக்கூட்ட வருந் தொகையைக் குறிக் குமாதலால் ஒருறுப்புக்கோவை எனப்படும். ஆணுல், க + ந என்பது ஈருறுப்புக்கோவை யாகும் 3 க? - 4 க + 1 என்பது மூவுறுப்புக்கோவைக்கும் 4க-3க?-2 க + 1 என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் உதாரண ங்களாகும்.
ஒருறுப்பை ஒருறுப்பாற் பெருக்கினலும் ஒரு றுப்பே பெறப்படும் க என்பது ஒருறுப்பு: ந என்பதும் ஒருறுப்பு. அவற்றினுடைய பெருக்கமாகிய கந என்பதும் ஒருறுப்பு.
அதுபோல (க + ந) என்பது ஒருறுப்பு. (ந + ய) என்பதும் ஒருறுப்பு. ஆகவே, அவற்றின் பெருக்கமாகிய (க + ந) (ந + ய) என்பதும் ஒருறுப்பு. இதனை ஒருறுப்புக்கோவை யென்றுங் கூறலாம்.
இரண்டு முதலாய உறுப்புக்களுடைய கோவையைக் காரணி வடிவமுள்ள (சினை வடிவமுள்ள) ஒருறுப்புக்கோவை

Page 87
60 மாணக் கரட்சரகணிதம்
யாய் ஆக்கினல், அதுவே காரணிகளாய்ப் பிரித்தல், அல்லது சினைகளாய்ப்பிரித்தல் எனப்படும்.
71 (i) ஒரு கோவையினுடைய உறுப்புக்கள் ஒவ்வொன் றும் ஒரு பொதுக் காரணியால் வகுக்க இடங்கொடுக்கு மெனின், ஒவ்வோர் உறுப்பையும் இக்காரணியால் வகுத்து வரும் ஈவை ஒர் அடைப்புக்குள் அடைத்துவிட்டு, அப் பொதுக்காரணியை அவ்வடைப்புக்குப் புறத்தே குணக மாக நிறுத்தி அக்கோவையை ஒருறுப்புக் கோவையாகச் சுருக்கிக் காரணிவடிவமாக்கலாம்.
'உ-ம்.
1. 4அ?- 8.அ இ. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. இவ்வீருறுப்புக் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களுக்கு 4 அ என்பது பொதுக் காரணி.
.. 4அ? - 8 அஇ= 4 அ(அ-2இ).
உ-ம்.
2. 6 அ- 9 அ2 + 12 அ?. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. இம்மூவுறுப்புக் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களுக்கு 3அ என்பது பொதுக்கார ணி.
6அ- 9 அ2 + 12 அல்- 3 அ(2 - 3 அ + 4 அ)?. இந்த இரண்டு உதாரணங்களிலும் 4 அ (அ-2இ) என் பதும் 3 அ(2 - 3 அ + 4 அ?) என்பதுங் காரணிவடிவமான ஒரு று/ப்புக் கோவைகளாதல் அறிக.
(i) ஒரு கோவையினுடைய உறுப்புக்கள் அனைத்திற்கும் பொதுக்காரணி ஒன்றும் இல்லையாயின், அக்கோவையைப் பொதுக்காரணிகளுள்ள உறுப்புத் தொகுதிகளாக்கிச் சுருக் கிக் காரணிவடிவ மாக்கல்ாம்.
உ-ம்.
3. அக - அந+ இக - இந+ உக - உந. இதனைக் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
இப்பல்லுறுப்புக்கோவையிலே முதலிரண்டு உறுப்புக் களுக்கும் பொதுக் காரணிஅ; இடையிரண்டுக்கும் பொதுக் காரணி இ. கடையிரண்டுக்கும் பொதுக்காரணி உ.

காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சினைப் பிரித்தல் 161
.. அக - அந+ இக - இந+ உக - உந -அ(க - ந) + இ(க - ந) + உ(க - ந) இங்கு (க - நீ) என்பது
பொதுக்காரணி =(க - ந) (அ + இ + உ).
உ-ம்.
4. கஃ+ க2 - க - 1. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. இப் பல்லுறுப்புக்கோவையிலே முதலிரண்டு உறுப்புக்க ளுக்கு க? என்பதும் ஈற்றிரண்டு உறுப்புக்களுக்கு - 1 என்பதும் பொதுக் காரணி.
". க + க? - க - 1 இது பல்லுறுப்புக்கோவை
இது (க + 1) என்பதைப் பொதுக் - கஃ(க + 1) - (க + 1) காரணியாகவுள்ள ஈருறுப்புக் கோவை. - (க + 1) (க? - 1). இது ஒருறுப்புக்கோவை.
உ-ம்.
5. 1 - 2 க - க? + 2 க?. இதனைக் காரணிவடிவமாக்குக.
1 - 2 க - க2 + 2 க3 * - 1 (1 - 2 க) - க?(1 - 2 க) - (1 - 2 க) (1 - க?).
உ-ம்.
6. தப(ம2 + வ?) - மவ(த2 + ப?). இதனைக் காரணிக
ளாய்ப் பிரிக்க, தப(ம2 + வ?) - ம வ(த2 + ப?) = த பம? + வதே ப - மவத? - பமே வ = த பம? - மவத? - ப2ம வ+ வ?தப மா. விதி = மத(ப ம - வத) - வப(பம - வத) ா (பம - வத) (மத - வப).
(ogي) 12 Luflib9h
பின்வருங் கோவைகளைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க:-
1. 4 க? - 2 கந. 2. க3 - க2. 3, 2க - 6 க2.
3951-G

Page 88
மானுக்கரட்சரகணிதம்
5 அக + 5 அகே?. க? + கந.
I 6 - 165.
3 க2 - க.ே
க3 - க?ந. 5.அ - 25 அ?இ. 7 அ8 + அ.
2 + 49°g?.
4அ+ே அ2. அக + அ?க? + அ8க.ே 2க - 4 க2 - 8 க.ே 7க - 14 க2 + 7க3. அ? + அக - அக?. 2கநே+ 4 க?ந2 + 6 கந8. 6 கநே2 - 4 க?ந + 2 கந. அக - அந - இக + இந. அக + அந - இக - இந. அ? - அக + அ இ - இக. 2க - அக - 2 அ + அ?. 2 அக - அந - 2இக + இந. 6 க?-3 கந - 2அக + 3 அந. க* + 3 கந - அக - 3 அந.
• 1 - 5 + 52 - *sژق '
க்ந+ ந?- க - ந. m க - ந + அ (ந - க). (அ + இ)? + அ + இ. அக - அந - இக + இந - 2 க + 2 ந. க(ந? - 1) - ந (க2 - 1). (அ-இ) (அ - 3இ) + (அ-இ). கசி - க + 2 க - 2. க(ந? - 1) + ந (க2 - 1). க(அ-இ) + ந (இ - அ). க* - (அ + இ) க + அஇ. தப(ம? - வ?) + மவ (த? - ப?). க(அ - 1) + (அ - 1).

காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சினைப் பிரித்தல் 163
39. தப(ம2+ வ?) + மவ (த2+ ப?). 40. தப(ம2 - வ?) - மவ (த2 - ப?). 41. அஇ(அ-இ) + இஉ (இ-உ) + உஅ (உ - அ). 42. அ(இ? - உ?) + இ (உ? - அ?) + உ (அ2 - இ?).
72. சில நியம வடிவங்களில் எழுதக்கூடிய கோவைகள் சிலவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கும் வகையை ஆராய் G3 GunT ub:
65-ஆம் பிரிவிற் கூறிய விதிகள் பற்றியேனும் உளவா ராய்வாலேனும் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம்.
(க + ந)2=க2+ ந2 + 2 கந. (க - ந)2- க2 + ந? - 2 கந; (க + ந+ ய)?= க2 + ந2 + ய2 + 2 கந + 2நய + 2யக ; (க + ந)?= க + ந8 + 3 கந (க + ந); (க - ந)8= கஃ - ந8 - 3 கந (க - ந). இவற்றை மறுதலைகளாக வெழுதப் பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:-
(1) க2 + ந2 + 2 கந=(க+ ந)2; (2) க2 + ந2 - 2 கந=(க - ந)?; (3) க? + ந? + ய? + உகந + 2நய + 2யக=(க + ந + ய)?; (4) க9 + ந8 + 3 கந (க + ந)=(க + ந)3; (5) க9 - ந8 - 3 கந (க - ந)=(க - ந)?. இங்கு க?+ ந? + 2 கந முதலாய ஐந்து வடிவங்களில் எழுதக்கூடிய கோவைகளைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கும் வகை கள் காட்டப்பட்டுள்ளன.
73. இனி க? - ந?, க + ந8, க* - ந8, க + ந8 + ய8 - 3 கநய என்னும் வடிவங்களில் எழுதக்கூடிய கோவைகளைக் காரணி களாய்ப் பிரிக்கும் வகைகளை ஆராய்வோம்:-
(l) 5’ - D5°. இக்கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களுக்குப் பொதுக் காரணிகளில்லை. இதற்குக் கந என்னும் உறுப் பைக் கூட்டியுங் கழித்தும் அதனை நாலுறுப்புக்கோவை யாக்கினல், அதனைப் பொதுக் காரணியுள்ள ஈருறுப்புக் கோவையாக்கிச் சுருக்கலாம்.

Page 89
1 64 மானுக்கரட்சரகணிதம்
க2 - ந2 பொதுக் காரணியில் லாத ஈருறுப்புக்கோவை.
= க? + கந - கந - ந? நாலுறுப்புக்கோவை. = க(க + ந) - ந(க - ந) பொதுக் காரணியுள்ள ஈரு
றுப்புக் கோவை.
=(க + ந) (க - ந). ஒருறுப்புக்கோவை.
(2) க3 + ந3. இக் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களுக்கும் பொதுக் காரணியில்லை. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரித் தற்கு 72 ஆம் பிரிவிலுள்ள சமன்பாடு (4)ஐ ஆள்வோம்:-
க* + ந? + 3 கந (க + ந)=(க+ ந); இடமாற்றஞ் செய்ய நாம் பெறுவது
க3+ ந8=(க + ந) - 3 கந(க+ ந)
=(க+ந) (க+ந)?-3 கந} - (க + ந) (க2+ ந2+ 2 கந - 3 கந} - (க + ந) (க - கந+ ந?).
(3) க3 - ந8. இக் கோவையிலுள்ள உறுப்புக்களுக்கும் பொதுக் காரணியில்லை. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரித் தற்கு 72 ஆம் பிரிவிலுள்ள சமன்பாடு (5) ஐ ஆள்வோம்.
க3-ந9 - 3 கந (க - ந)=(க - ந)?.
இடமாற்றஞ் செய்ய நாம் பெறுவது
க3 - ந8=(க - ந)? + 3 கந(க - ந)
=(க- ந) (க-ந)?+ 3 கந} = (க - ந) (க2+ ந?-2 கந+ 3 கந} -(க - ந) (க2 + கந+ ந?).
(4) க + ந+ ய° - 3கநய. இக்கோவையிலுள்ள உறுப்புக் களுக்கும் பொதுக்காரணி யில்லை.
க3+ ந8 + ய8 - 3 கநய =(க+ ந)8 - 3 கந(க+ ந) + ய8 - 3கநe =(க+ ந)8+ ய8 - 3 கந (க + ந) - 3கநய மா.விதி. - (க + ந)” + ப8 - 35 ந (க + ந + ய)

காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சினைப் பிரித்தல் 165
=(க + ந + ய)3 - 3 (க + ந) ய(க + ந+ ய) - 3 கந( க + ந + ய) =(க+ந+ ய)3 - 3ய (க + ந) (க + ந+ ய) - 3 கந(க+ ந+ ய) = (க + ந + ய) {(5+5+ ய)? - 3 ய(க+ ந) -3 கந} =(க+ந+ ய) (க2+ ந2+ ய2 + 2 கந+ 2 நய+ 2யக -3யக
3நய - 3கந} =(க + ந + ய) (க2 + ந2 + ய? - கந - நய - யக.) இவற்றைச் சொல் பற்றி விதிகளாகப் பின்வருமாறு உரைக்கலாம்:-
விதி 1:-ஈருறுப்புக்களுடைய வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் அவ் வுறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையை அவற்றின் வித்தியாசத்தாற் பெருக்கவரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன். .
விதி II:-ஈருறுப்புக்களுடைய கனங்களின் கூட்டுத்தொகை அவ்வுறுப்புக்களின் பெருக்கத்தாற் குறைந்த அவ்வுறுப்புக்களுடைய வர்க்கங்களின் மொத்தத்தை அவ்வுறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யாற் பெருக்கவரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
விதி II:-ஈருறுப்புக்களுடைய கணங்களின் வித்தியாசம் அவ் வுறுப்புக்களின் பெருக்கத்தாற் கூடிய அவ்வுறுப்புக்களுடைய வர்க் கங்களின் மொத்தத்தை அவ்வுறுப்புக்களின் வித்தியாசத்தாற் பெருக்கவரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
விதி IV:-மூவுறுப்புக்களுடைய கனங்களின் கூட்டுத்தொகை யிலிருந்து அவ்வுறுப்புக்களின் பெருக்கத்தின் மும் மடங்கைக் கழிக்க வரும் வித்தியாசம் அவ்வுறுப்புக்களுடைய வர்க்கங்களின் மொத் தத்திற்கும் அவ்வுறுப்புக்களுள் இவ்விரண்டின் பெருக்கங்களின் மொத்தத்திற்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை அவ்வுறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையாற் பெருக்கவரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
இவற்றை வேருெருவாறுஞ் ஞாபகத்தில் வைத்திருக்கக் கூடிய வடிவத்தில் எழுதலாம்:-
உ1, உ2, உ8 என்பன முறையே முதலாம் இரண்டாம் மூன்ரும் உறுப்புக்களைக் குறிப்பனவாகக் கொள்வோம்.
)1( .(D-1 + 22-2) ( D!-- D9 ) = شہD -- ? 221 உ+ உஃ=(உ + உ) ) 22-;ے -- شD12 ط + உ?). (2)

Page 90
I 66 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
)3( . (ثر ہD + ( 22-1 + شادی ) (2 - ط --1-D ): سینٹر - p - 8ھ உ8 + உ + உ* - 3உ உ2 உ8=(உ + உ + உx) (உ+ உ* + உ? - உ1உ2 - உ2 உ3 - உ8உ1). (4)
74. மேற்கூறியனவற்றைப் பயன்படுத்திக் காரணிக ளாய்ப் பிரித்தலைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் விளக்கும்:- உ-ம்.
1. 9 க? - 30 க + 25. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
5 2 + 5 0 3 -- ناوى 9 - (3க)2 - 2(3 க) (5) + (5)2 = (3 க - 5)?.
2. 9 க2 - 64. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
9 க2 - 64. =(3.五)2ー(8)2 =(3 க + 8) (3 க - 8) பிரிவு 73, உ(1) இன்படி
3. 32க*ந4 - 2. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
325 - 2. - 2(16 கசிந4 - 1) = 2-((4.5° 15') - (1)
2(4கந2 + 1) (4 கஃந? - 1) பிரிவு 73, உ (1) இன்படி
1) {(25p) - (1) - 2(4க2ந2 + 1) (2 கந+ 1) (2 கந - 1). பிரிவு 73, உ (1) இன்படி, g_一tb。
4. 9 அ2 - 9 இ2 - 4உ2 + 12 இஉ. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. - دی (3 2 1 + 2_دت 4 - (یا 9 س. او 9 = 9 அ? - (9இ2 + 4உ2 - 12இஉ) 2 (g) -- 2D 3) - 2([(وہ 3 ) === =(3அ+ 3இ- 2உ) (3அ-3இ-2உ) பிரிவு 73, உ (1) இன்படி. == ( 3 9y + 3 98) - 222 ) ( 3 9y -- 39) + 2(2).

காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சினைப் பிரித்தல் 167
9-LD.
5. 1 + 27 க?. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
1 + 27 க3 -(1)3 + (3க)3 =(1 + 3 க) (1)?-(1)(5க) + (3க)?) பிரிவு 73, உ (2) இன்படி. = (1 + 3 க) (1 - 3 க + 9 க?).
உ-ம்.
6. 64க9 - 125 ந8. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
64க9 - 125 ந8 =(4க)8 - (5ந)8 =(4க - 5 ந) (4க)2 + (4க) (5ந) + (5ந)2) பிரிவு 73, உ (3) இன்படி, =(4க - 5 ந) (16 க?+ 20கந+ 25ந2). உ-ம்.
7. 2அகே-ே 125 அ?ந?. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
2அ2க9 - 128 அ?ந8 - 2அ(ேக9 - 64 ந)ே {3رلا8B ) – لارۀ;5 )} لارو 2 = =2அ2(க3 - 8ந8) (க3+ 8ந8) பிரிவு 73, உ (1) இன்படி. =2அ2{(க)?-(2ந)} {(க)8 + (2ந}} =2அ(ேக - 2 ந) {(க)2 + க(2ந) + (2ந)?) (க + 2 ந) (க) - க(2ந) + (2ந}} ா 2அ?(க - 2ந) (க? + 2 கந + 4ந?) (க + 2 ந) (க2 - 2 கந + 4 (52) = 2 அ?(க - 2 ந) (க + 2 ந) (க2 + 2 கந+ 4ந?) (க2 - 2 கந + 4 152). உ-ம்.
8. ப8 - 8 ம8 - 27வ8 - 18பமவ. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. ப8 - 8 ம8 - 27வ8 - 18பமவ =(ப) + (- 2ம)? + (-3 வ)? - 3(ப) (- 2 ம)( - 3வ)

Page 91
168
மாணக் கரட்சரகணிதம்
== (LJ – 2 LD — 3 @J) {(Lu)° + ( — 2 LD)% + ( — 3 Ln)o — Luo — 2 un ) -(- 2ம) (- 3வ)-( - 3வ) (ப)} =(ப - 2ம - 3வ) (ப2 + 4 ம2 + 9 வ? + 2 பம - 8 ம வ + 3 வட).
பயிற்சி 12 (ஆ)
பின்வருங் கோவைகளைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க:-
*
2.
13.
14.
5.
6.
7.
8.
9.
2O.
21.
22.
23.
9 க2 + 6 க + 1. 4க2-4கந+ந2. க% - 4 க + 4.
2 r2 7 -F ༧ཏ+ ༡ཏ༧.
6 1_9۔ m_2 1 + 5 + .
1. - 212 1 -க்கந+ க ந”. (க - அ)2 + 2(க - அ) + 1. அ?க? - 2 அஇக + இ?. 4க? - 4 க(அ-இ) + (அ-இ)?.
2 2. ಆ I
3ந 9ந2
4 4ந 2
5 令
4கந" 64s is? (4க)? - (3ந)2. 92 - (4க)2. 25 - 4 க?. 25 க2 - 1. 64 - 25 க?. 4க2 - 49 ந2 100 - க?ந2. கநே2ய2 - 121. அகே? - இ?. 9 கநே2 - 25 அஇே2. (அ + இ)? - 1.

24.
25。
26.
27.
28.
29.
30.
3 l .
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
4 0.
4 Il .
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
5 O.
5 l .
52.
53.
54.
55。
56。
57.
காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சினைப் பிரித்தல் 169
36 - (அ - இ)?. (2 க - ந)? - 1. 1 - (க - 2 ந)?. (அ-2இ+ 3 உ)2-1, க*-ந4. 169-81 g). 1 - 25 65o. 81கக் - ந4. (2 க - ந -3)2-(க + 1)2. (2 க + 2 ந)?-(2க - 3ந)2. . 2(3 س- ولی ) - ( 3 + ژوق ) (3 க - 2ந)?-(3ந - 2க)2.
9 - 1. (அ + இ - 2)? - இ?. . 4 – 2 رفيس- 95 ) க?-ந?-(க-ந). அ(அ- 1) - இ(இ- 1). அ(அ + 1) - இ(இ + 1). (க2 + ந?)2-(2 கந)2. க2 + 2 கந+ ந2 - 1. 25 - 4 க? + 4கந - ந2 க? - 2 கந + ந2 - 9. 4 க2 - 12 கந + 9ந2 - 25.
.1 ـ وژى 2 + لsژی س- *
க? + ந2 + 2 கந - 4 க?ந2. க?-2 க + 1 - ந2 + 2 நய- ய2. க?-2 கந+ ந?- 36, க?-ந2 - ய2 + 2 நய. 1 + 2 க + 2நய + க?-ந2 - ய2. க*+ அ*-இ4-2 அகே?. க*- அ2 + 9 ந2 - 6க2ந. அ*- 2 அ3 + அ2 - 81. க9 - க*- 2 க3 + 1. அ? + 2 அஇ+ இ?-உ2-2உஎ - எ2.

Page 92
170 மானுக்கரட்சரகணிதம்
58. அ2 + இ2- உ?- எ?-2அஇ + 2உள். 59. 4அ? + 9 க?-இ?-உ2-12 அக + 2 இஉ. 60. அ2 + 12 இஉ-4இ2 + 9உ2.
61. & g;3 + 27 53 . . 62 . 1 2 5 53 -- 1 • 63, 1 + 64 க9. 64. 1 - 8க.ே 65. 1 + 64க3ந8. 66. 1 000.- Jop5o. 67. கநே3ய3 + 1. 68. கநே8- ய3. 69. க+ே 27ந8. 70. 1 - 645. 71. 1285,6-2 s. 72 . 2 - 2 . 73. (2 க - ந) + 1. 74. 1 - (க - 2 ந)?. 75. 1 + (2க-ந)?. 76. (க + 2 ந)*- க9. 77. (க- 2ந)?-ந?. 78. க*- (க-2ந)?. .2 -+۔ 3;gئی 16 .80 . I -- 8 (ر 1 + ;gی )27 .79 81. 2 - 16 ( 5 - 1). 82. (க + ந)° - (க-ந)?. 83 . 5 - 64. 84. (க + ந)3 + (க- ந). 85. 8 க + (ந- 2க)?. 86. க-ே 8 அ8க3. 87. (க2+ ந?)- (2 கந)?. 88. (க3-ந?) + (க-ந). 89. க + ந? - க - ந. 90. 8(க-ந)*-(க-ந). 91. க9-3 க?ந + 3 கந?-ந8- ய?. 92. கஃ - ந3 + 3 ந2ய-3நய2 + ய.ே 93. க-ே 3 க* + 3 க2 - 1 - க.ே 94. 8 க3 + ந3 + ய8-6 கநய. 95. க3 + 8 ந8 - 27ய3 + 18 கநய. 96. க3 + 27ந3 + 1 - 9 கந.
75. இங்கு அக* + இக + உ என்னும் வடிவத்தில் அமைக் கக் கூடிய மூவுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக் கும் வகைகளை ஆராய்வோம்;-
1. தொகுத்தன் முறை:-அக?+ இக + உ என்னும் வடி வத்தையுடைய பொதுக்காரணியில்லாத மூவுறுப்புக் கோவையைக் காரணிகளாய்ப் பிரித்தற்கு அதனைப் பொதுக்காரணியுள்ள ஈருறுப்புத் தொகுதியாக்கத்தக்க தாக அக்கோவையினது நடுவுறுப்பை ஈருறுப்பின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத் தொகையாக்கி அதனலே அதனை நாலு றுப்புக்கோவை யாக்கிச் சுருக்கல் வேண்டும். நடுவு

காரணிப் பிரித்தல் அல்லது சின்ைப் பிரித்தல் 171
றுப்பை ஈருறுப்பின் கூட்டுத் தொகையாக்கும் பொழுது க? என்பதன் குணகமும், க வின் ஒரு பகுதியின் குணக மும், க வின் மற்றைப் பகுதியின் குணகமும், தனியுறுப் பும் விகித சமமாகும் படி செய்தல் வேண்டும். இம்முறையை உதாரணங்களால் விளக்குவோம்:-
22-─- LÓ
1. 6க2+ 17 க + 12. இதனை காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
6 க2 + 17 க + 12 = 6 க2 + 8 க + 9 க + 12 6: 8: : 9: 12. - 2 க(3 க + 4) + 3 (3 க + 4) = (3 க + 4) (2 க +3).
(இங்கு 17 க வை 8 க + 9 க என விரிக்கும்போது 6, 8, 9, 12 விகிதசமமாதல் காண்க).
Զ - ԼՐ -
2. 15 க?- 13 கந - 20 ந?. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
15 க2 - 13 கந - 20 ந2 - 15 க2 + 12 கந - 25 கந - 20 ந l 5: l 2: : - 25: - 20 = 3 க(5 க + 4ந) - 5 ந(5 க + 4ந) =(5 க + 4ந) (3 க - 5 ந).
இங்கு - 13 கந என்னு நடுவுறுப்பை 12 கந - 25 கந என விரிக்கும்போது 15, 12 - 25, -20 என்பன விகித சம மாதல் காண்க.
1. குறுக்குமுறை:-இம்முறை பயிற்சியினல் இலகுவாக அமையும். இதனை விளக்குவோம்-ஒரு புள்ள டி கீறிக் காரணி வடிவமாய்ப் பிரிக்கத் தந்த கோவையின் முதலு றுப்பினுடைய காரணிச் சோடிகளுள் ஒரு சோ டியை அப்புள்ள டியினுடைய இடப்பக்கமுனைகளிலும் ஈற்று றுப்பினுடைய காரணிச்சோடிகளுள் ஒரு சோடியை அப்புள்ள டியினுடைய வலப்பக்கமுனைகளிலும் எழுதுக. இடப்பக்க மேன்முனையுறுப்பை வலப் பக்கக் கீழ்முனை யுறுப்பாலும் இடப்பக்கக் கீழ்முனையுறுப்பை வலப்பக்க

Page 93
I 72 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
மேன்முனையுறுப்பாலுங் குறுக்காகப் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களின் அட்சர க்க ணCத க் கூட்டுத் தொகை தந்த கோவையினது நடுவுறுப்பாயின், அக்கோவையின் காரணிவடிவம் மேன் முனையுறுப்புக்களின் அட்சரகணிதக் கூட்டுத்தொகையுங் கீழ்முனையுறுப்புக்களின் அட்சர கணிதக் கூட்டுத் தொகையும் ஒன்றை ஒன்று பெருக்கி நின்ற வடிவமாகும். பெருக்கங்களின் அட்சர க் கணிதக் கூட்டுத் தொகை தந்த கோவையினது நடுவுறுப்பாகாதுவிடின், நடுவுறுப் பாகும் வண்ணங் காரணிச் சோடிகளை மாற்றி அமைக்க.
இம்முறையை 6 க?-7க - 3 என்பதைக் காரணிவடி மாய்ப் பிரிக்கும் வகையில் விளக்குவோம்:-
6 க? என்பதனை 6 கX க என்ருதல், 2க X 3க என்ருதல்
காரணிவடிவமாகப் பிரிக்கலாம். - 3 என்பதனை 3x - 1
என்ருதல் - 3 x 1 என்ருதல் காரணிவடிவமாகப் பிரிக்கலாம். இக்காரணிகளை மேற்கூறியவாறு புள்ள டி முனைகளில் வைத்
தால், நான்கு வகைகள் பெறப்படும்:-
><" ">< 1 3 + سے ح”گ 『><
പ്പെ~ ܓܠ ܓܠ
- 3 க + 3 3 க - 1 3க i ii iii iv
(i) இன்படி குறுக்குப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 6 கX - 3 + க X + 1 - - 17 க; (i) இன்படி குறுக்குப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 6 க X + 3 + க X - 1 - 17 க; (i) இன்படி குறுக்குப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை
2க X - 1 + 3 க X + 3 - 7 க;
iv) இன்படி குறுக்குப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 2கX + 1 + 3 கX - 3 = - 7க. இவற்றுள்ளே நான்காவது வகையிலுள்ள குறுக்குப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையே தந்த கோவையினது நடுவுறுப்பாய் அமைகின்றது.
- l

காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் I 73
.. அதன்படி, வேண்டிய காரணி வடிவம் (2 க - 3) (3 க + 1) என்பதே.
இக் குறுக்கு முறையிலே மாறிகளைப் புள்ள டிமுனைகளில் எழுதாது குணகங்களை மாத்திரம் எழுதிச் செய்துவிட்டுக் காரணி வடிவத்தில் அவ்வக் குணகங்களுக்குரிய மாறிகளைச் சேர்த்து எழுதுதல் சுருக்கமான முறையாகும்:
உ-ம்.
1. 6 க?- க - 15. இதனைக் குறுக்குமுறைபற்றிக் கார னிகளாய்ப் பிரிக் க.
3 + 2 15 ہس- gs حس۔ 952 6 = (2 க + 3) (3 க - 5).
><
3 - 5 (@向@ 2×3=6 3×ー5=ー15 2×ー5+3×+3=ーI.
உ-ம்.
2. கஃ- 5 கந + 6 ந2. இதனைக் குறுக்கு முறை பற்றிக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
க2- 5 கந + 6 ந? - 2 =(க-2 ந) (க-3 ந).
><
I - 3
(@成s@ I×I=I。ー2×ー3=+6 I×ー3 + l×ー2=ー5.り
உ-ம்.
3. 15 க?ந?-2கந- 1. இதனைக் குறுக்குமுறைபற்றிக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
15 க?ந2-2 கந - 1 3. =(3கந - 1) (5 கந + 1)
- I
><
-- I (@産 あ3×5=15。ーI×+1=ーl 3×+H+ 5×ーI=ー2り

Page 94
1 74 மாணக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
4. 1 + க - 30 க?. இதனைக் குறுக்குமுறைபற்றிக் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
1 + க - 30 க? - 5
- (1 - 5 க) (1 + 6 க). ><
I ~പ+
(இங்கு 1 x 1= 1, - 5 x + 6 = - 30, 1x + 6 + 1 X - 5= + 1) III. நிறைவர்க்கமுறை. 72-ஆம் பிரிவிற் கூறியபடி க?+ 2கந + ந2=(க+ ந)?. இதில் 应=岩 எனப் பிரதியிடப் பின்
வருஞ் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:
L.I V 2 I Y 2 க? + பக + () = (a+1) இதிலிருந்து ஒரு விதியைப் பெறலாம்.
விதி: யாதுமொரு கோவை க +பக என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கப்படுமாயின், அதனை நிறைவர்க்கமாக்குதற்கு அதனுேடு
க இன் குணகத்தின் அரைப்பங்கின் வர்க்கமாகிய)ே என்பதைக் கூட்டவேண்டும்.
எனவே, க?-பக என்பதை நிறைவர்க்கமாக்குதற்கு அதனேடு(-)என்பதைக் கூட்ட வேண்டும். கூட்ட க-பக + (-)என்னு நிறைவர்க்கம் பெறப்படும்.
இது(க- 岩) என்பதற்குச் சமனுதல் அறிக. இவ்விதியைக் கடைப்பிடித்து அக?+ இக + உ என்னும்
வடிவத்தில் அமைக்கக்கூடிய மூவுறுப்புக்கோவைகள் சிலவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கலாம்.

காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் 75
உ-ம்.
1. க?- க - 6. இதனை நிறை வர்க்கமுறையாற் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
க2- க - 6
இங்கு க?- க என்பதை நிறை க?- க + (-)?-6-(-)?வர்க்கமாக்குதற்கு க இன் குணகத்தின் அரைப்பங்கின் gy + ) - 4(2{ -- ) 6 + 4) வர்க்கமாகிய (-)* என்பதுى -2;3}
(க
கூட்டப்பட்டு, கோவையின் 一聂)°一6量 பெறுமானம் மாரு த வாறு
பின்னர்க் கழிக்கப்பட்டது).
er:
)
2
a
25 5
=(5一墨 4
2 - இது இருவர்க்கங்களின் வித்தி () - 2 ر4 - gs)==
u fTF Lib.
5 5 =(5-+ ) (--용)
* x 5 =(á一墨+器)(5一墨一器) =(க + 2) (க - 3).
உ-ம்.
2. 10.5% + 13 5-3. இதனை நிறைவர்க்க முறை யாற் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
10 க2 + 13 க - 3
ܐ ̄-%- - ܣ ܦ݁ܶܝܐ + 2 = 10{க +千活5ーず命}
1 3 1 3 2 - 3 3 1 / بس \\
= 10(a+ + (물) - - (물)"}· 9 6 3 2 3 .1 3 1 کہ T n ---- =10 + + () - - ) ስ8 3 2 1 2 0 + 1, 6 9 3. = 10{(க+ :)-4+'}இங்கு க2++ க என்பதை
1. 3 2 2 8 9 2 ـ 8 1 م - م =10{(+ 붉高) - நிறைவர்க்க மாக்க(ம் , Υ2 - ( 1 7Υ2 @ T 607 i Ugi 3. L L L — 1 1 u 13 کTrn - =10{(西十蓋 ( O டுக் கோவையின் பெறு
1 ர்க் கழிக்கப் பட்
"1 ೯ || 1 7, 3 1 7
=10{(+ + :)(5+# – :): மாரு தவாறு பின்
3 7 3
=10(西十号需十苦音)(西十芸希一号高)Lg.

Page 95
76 மாணக்கரட்சரகணிதம்
= 10(ਲ +) க-ச்
பின்னங்களை நீக்குதற்கு - gル5(5ー舌 10 இன் ஒரு காரணியா
பதை யு மற்றைக் கார னியாகிய 5 ஆல்(க-) என்பதையும் பெருக்குக.
உ-ம்.
3. 1-2 க-15 க?. இதனை நிறைவர்க்க முறையாற் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
1 - 2 க-15 க?
= - 15(4,” + 3, -'s) ཡཟ - # 5(༡༧-E ཧ+ (1)” -- - ( )”} =-15{(*+吉)°ー吉ーを器。} =一15{(西+吉)一(吉+支器言)} = - 15 (5 + 1)- { "و"و - *(" + gs)} 15 س- =: === -15 {(5+i)* - (1)}
4 1. =一15(5+吉+古)(5+工苇一吉)
= -15(க+)(க-)
=3(*+器)(一5)(防一器)
- (1 + 3 க) (1 - 5 க).
76. இங்கு அக* + இக?ந?+ உந* என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கக்கூடிய மூவுறுப்புக் கோவைகள் சிலவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கும் வகையை ஆராய்வோம்:-
72 ஆம் பிரிவின் படி,
க? + ந2 + 2 கந=(க + ந)2;
க? + ந?-2 கந=(க - ந)?;

காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் 177
ஆயின், கஃ+ ந? என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கத்தக்க ஒரு கோவையை நிறைவர்க்கமாக்க விரும்பின், அக்கோவை யோடு + 2 கந அல்லது - 2 கந ஐக் கூட்டவேண்டும், இம் முறை பற்றி அக* + இக?ந2+ உந* என்னும் வடிவத்தில் உள்ள கோவைகள் சிலவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிப்போம்:-
- D.
1. க* + க?ந2+ ந4. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. கசி + க?ந2+ ந4 - (52)2+ (IB2)2 + 3,215? - (க2)2 + (ந2)2 + 2 க?ந2 + க%ந2 - 2 கநே2. இங்கு (க2)2 + (ந2)2 = {(க2)2 + (ந2)2 + 2 க?ந2) - (கந2} என்பதை நி றை
=(க2+ ந?)? - (கந)2 வர்க்க மாக்க 2 க?ந? -(க2+ ந2 + கந) (க2 + ந? - கந) எ ன் பது கூட்டப் - (க2 + கந+ ந?) (க? - கந + ந?). பட்டுக் கோவையின்
பெறுமானம் மாழுத வாறு பின் னர் க் கழிக்கப் பட்டது.
go-r
2. 9கக் - 37 க?ந2 + 4 ந*. இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. 9 கA - 37 க?ந2 + 4 ந4 252;IB 2) 2 - 37 g نے ) + 2 (2;g 3) === =(3க2)2 + (2ந2)2 - 2(3க2)(2 ந2) - 37 க?ந2 + 2(3க2)(2ந2) =(3க2)2 + (2ந2)2 - 2(3க?)(2ந?) - 37 க?ந2 + 12 க2ந? -(3 க2 - 2 ந2)2 - 25 க2ந2 = (3 க2 - 2 ந2)2 - (5 கந)2 )க2 - 2 ந2 - 5 கந 3( رB 5 5 + 52] 2 - 2;وی 3 ) == - (3 க2 - 2 ந2 + 5 கந) (3 க2 - 2 ந2 - 5 கந) = (3 க - ந) (க + 2 ந) (3 க + ந) (க - 2 ந). இதனைப் பின்வருமாறுஞ் செய்யலாம்:- 9 க* - 37 க?ந2+ 4ந*
=(9 க2 - ந2) (க2 - 4ந2) =(3 க + ந) (3 க - ந) (க + 2 ந) (க - 2 ந).

Page 96
1 78
பயிற்சி
பின்வருங் கோவைகளைத் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க:-
1. க? + 7 க + 12. 3. க?- 4 க - 12. 5. 8 க2 + 2 க - 1. 7. 6 க?+ க - 15. 9. 9 க2 - 3 க - 20.
11, 1 + 2 க - 15க2. ..، 2 -+ I l gs -- وی 5 l :3 . Iز 15. 10 க?-3 க - 1. 17. 8க2-49 கந+ 6 ந2. 19. 8க2ந2+ 63கந- 8. 21. 24 க?ந2 + 10 கந- 1. 23. 12 க + 7 அக- 12அ?.
பின்வருங் கோவைகளைக் களாய்ப் பிரிக்க:-
25. க2-3 க - 10. 27. க2 - 10 க + 16. 29. 18இ2-9இ- 20. 31. 9 இ2-8இ- 1. 33, 24 ம2-38 ம + 15. 35. 30 கநே2+ கந - 1. 37. 25 க2-10 கந + ந?. 39. 1 - 4கந - 12 க?ந2. 41. 54 க2 + 3 கந - ந2. 43. 8-92-7-91'. 45. 12-79°- 12 g). 47. 5 க + 24 க?ந2-5 ந*.
12
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(9)
தொகுத் தன் முறைபற்றிக்
8.
1 0.
12.
l 4.
I 6.
18.
20.
22.
24.
க?- க - 12. 6 க? - 5 க + 1. க* + க - 12. . 5 gy -- Iى 4 ---- g52ى 4 1 - 7க - 8 க?. 9 - 27 க + 8 க2. .0 1 -- 3 3 -- B2ی
16க2-54கந+ 45ந2. 6 க?-35 கந- 6ந2. 8க?ந2 + 13 கந- 6. 6 க?- 5 அக - 6 அ?. 25 க?-40 அக + 12 அ2
குறுக்குமு ன்ற பற்றிக் காரணி
26.
28.
30.
32.
34.
36.
38.
40.
42.
44.
4 6.
48.
பின்வருங் கோவைகளை நிறை
னிகளாய்ப் பிரிக்க
49, 12 க2 + 10 க - 12, 51, 10 க2 + 21 க - 10. 53. க2 - 12 க + 20,
5 O.
52.
54.
க? + 4 க - 12. 8 அ?- 2 அ- 1. l 8 Li? - 9l I – 5. வ2 - 8வ + 15. 3 + க - 10 க2. 18க2+ 9 கந - 14 ந2. 4 - க - 5 க?. 8க?ந2- கந - 9. 24 + 34 க - 3 க2. 6 L - Lu2-2. 6 க-ே 5 கநே8-6 ந.ே 6 க + 23 கநே3-4 ந.ே வர்க்க முறை பற்றிக் கார
12 க? - க - 1.
5 5;2 - 24 5 - 5. . 5 I -- 95 4 --س 952 4

காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் 179.
55. க2 + கந - 42 ந2. 56. 1 + க - 12 க2. 57. க2 - க - 20. 58. 9 க?ந2 - 9 கந - 4. 59. 5 க2ந2 - 7 கந - 6. 60. 1 - 3ந - 18ந2. 61. 12 - 299, -852. 62. 16 க?-8கந- 15ந2.
63. 6 க2 + 17 கந - 3ந2. 64. க*+ 4கந2+ 16ந4. 65. 16 கசி-12 க?ந2+ ந*. 66. க + க2 + 1. 67. க + 3 க2 + 4. 68. க* - 11 க2 + 1. 69. 4க*- 5 க?ந2+ ந4. 70. 9கக் - 10க2ந2+ ந4 71. 4கசி-17க2ந2 + 4ந4. 72. கA- 13 க?ந2 + 4 ந4.
பின்வருங் கோவைகளை இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட காரணிகளாய்ப் பிரிக்க:-
73. அக? - 13 அக + 42 அ. 74. 2 இக? - 4இக - 96இ.
75. அ2இ2கசி - அ2க2. 76. 25 க + 31 க2ந2+ 16ந4. 77. 4 (9) - g)? - 1. 78. 27) وol + g(( 8 + 1. 79. 1 - 8(அ- இ)8. 80. 5-150. 81. 9(அ- இ)3 - (அ - இ).
82. 5-l.
83. 4 க* - 12க?ந?+ 9ந4. 84. 4கA - 13 க?ந2 + 9ந4. 85. க9 - 8ந8 - க + 2 ந. 86. 1 - 5 ( க - 1) - 6(க - 1)?. 87. (க?-2க)? - 2(க? - 2க) - 3. 88. 365* - 1352 + 1. 89. க? - கந - க - 2 ந - 6. 1 + 4 ,{ 2 سن 98 و 0 9 91. கந - ந? + 5 ந - 3க - 6. 92. (க2 + 2 க)? - 2(க2 + 2 க) - 3. 93. க* - 2 கந+ ந? - க + ந. 94. க - (அ? + இ?)க? + அ?இ?. 95, 1 - 13 க2 + 36 கசி. 96. 12 அ2 - 145 அஇ + 12 இ?. . 1 س- 4ر({gy -- gي ) .97 98. (u_u + 1 D)* — 1 . 99. ( 5 - 1) + ( 5 - 1) + 1.

Page 97
180
Η Ο Ο.
IOI.
I O2.
O3.
104.
1 05.
1 O 6.
07.
1 08.
O9.
1 1 0.
l 1 1.
I 12,
13.
ll 4.
15.
6.
II 7.
1 18.
19.
I 20.
l 21.
1 22.
123.
卫24。
25.
26,
27.
128.
29.
13 0.
31,
I 32.
I 33.
மானுக்கரட்சரகணிதம்
1 - 13 அ2 + 36 அ4.
அ*இ- அ?இ8 - அஇே? + அஇ4 1 - 7இ8 - 8இ8. 5 கசி - 4 க?ந2- ந4. 4 க* - 9ந?+ 6 ந - 1. (அ- இ)? - (அ + இ)?. 21 - 10 ந+ ந2. Lu°up°— 9 l u LD + 20. 6 க*- கந - ந2+ க + 2 ந - 1. க? + 4கந + 4ந? - 2 க - 4ந - 3. (அ + 1)? - (அ - 1)?. அ?-144இ?.
. gy -- I)* -- Iے ) (க + அ)? - இக - அஇ. 4 அ + 4 அ*இ - அஇ? - இ8. அ?- 8இ? - 6 அஇ(அ- 2இ). 6 க* - 13 கந2 + 6 ந2 - 5 ந - 6. 8க* + 63 கந - 8ந2. 2 — 1 8 (gy — 1)2. (அ- 1)*- 2(அ-1) + 1, 6 - 7ந - 24 ந2. L - LLD + L2 Los - LD5. க(க2 + க + 1) - ந(ந2+ ந+ 1). க*ந4 - 7 கநே2 + 1. க(க2 - க - 1) - ந(ந? - ந - 1). க*(க? - 1) - ந?(ந2 - 1). Il 0 gy* + 9(gy — l) 3 கந(3 கந - 8) + 16, அஇ(அ-இ) + இ(இ-1) + அ(1 - அ). அ + அஇே* - அ?இ8 - இ8. அ(அ+ 1) - இ(இ? + 1). ごs(*ーI)ー@(@*ーI). க*(க? + 1) - ந2(ந2 + 1). 1 - 59.

l34.
1 35.
36.
37.
138.
காரணிகளாய்ப் பிரித்தல் 18
(க - ந)3 - க2+ ந2 - க + ந. 144 க2 - 48 க - 5. (அ- 1)3 + (இ - 1)8 + அ + இ - 2. 32க - 8 க3 + 4 க? - 1. 35 - 15 + 5°- B.

Page 98
அத்தியாயம் 13
ஒருங்கமை சமன்பாடுகளும் அச்சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்களும் 77. ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் :-50 கலனிருள்ள நீர் தாங்கி ஒன்றிலே நீர் நிரப்பிக்குழாய் ஒன்று காலை 6 மணி தொடங்கி நிமிடத்திற்கு 8 கலன் வீதம் நீர் நிரப்புகின்ற தெனக் கொள்வோம். க நிமிடநேரத்தால் இந்நீர்தாங்கி யிலுள்ள நீர் ந கலனயின் க இற்கும் ந இற்கும் உள்ள தொடர்பைப் பின்வருஞ் சமன்பாடு காட்டும்.
ந- 50 + 8 க; O a ( 1) இனி, 200 கலனிருள்ள நீர்தாங்கி ஒன்றிலிருந்து நீர் போக்கிக் குழாய் ஒன்று காலை 6 மணி தொடங்கி நிமிடத் திற்கு 12 கலன் வீதம் நீர்போக்குகின்றதெனக் கொள் வோம். க நிமிட நேரத்தால் இந்நீர்தாங்கியிலுள்ள நீர் ந கலனயின் க இற்கும் ந இற்கும் உள்ள தொடர்பைப் பின்வருஞ் சமன்பாடு காட்டும்.
ந- 200 - 12க; - ... (2) முதலாஞ் சமன்பாட்டில் க இற்கு 1, 2, 3. . . . என்னும் பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானம் முறையே 58, 66, 74 . . . என்பனவாகும். இரண்டாஞ் சமன்பாட்டில் க இற்கு 1, 2, 3. . . . என்னும் பெறுமானங் களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானம் முறையே 188, 176, 164. . . என்பனவாகும். நீரானது முதலாம் நீர்
தாங்கியிற் கூடிக் கொண்டு போவதையும் இரண்டாம் நீர் தாங்கியிற் குறைந்து கொண்டு போவதையுங் காண லாம். ஆயின், ஒரு கால வெல்லையிலே நீரின் அளவு இரு நீர் தாங்கிகளிலுஞ் சமனகுமெனலாம். இதன் பொருள் இரு சமன்பாடுகளிலும் க இனது பெறுமானம் ஒன்றற்கு ந இனுடைய பெறுமானங்கள் ஒன்றற் கொன்று சமனுகும் என்பதே.

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 183
... 50 + 8 g; = 200 - 1 25; 8 p. P (3) .. 8க + 12க- 200 - 50;
'. 205= 150;
‘. 5=7基。
க=7 என்று முதலாஞ் சமன் பாட்டிலாயினும் இரண் டாஞ் சமன்பாட்டிலாயினும் பிரதியிட ந= 110 என்பதைப் பெறுவோம்.
இங்கு க=74, ந= 110 என்பன ந= 50 + 8க, ந=200 - 12க என்னுஞ் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகள் எனப்படும்.
ந=50 + 8க, ந= 200 - 12க என்னுஞ் சமன்பாடுகள் இரண்டும் க- 7, ந= 110 என்னும் பொதுத் தீர்வுக்கு ஒருங் கமைந்து நிற்கின்ற மையால் ஒருங்க மை சமன்பாடுகள் எனப்படும்.
இதுபோலவே, பொதுத்தீர்வுகளுக்கு அமைந்து நிற்குஞ்
சமன்பாடுகள் எ ல் லாம் ஒருங்க மை சமன்பாடுகள் ஆதலறிக.
78. ஒருங்கமை சமன்பாட்டுத் தீர்வுகள் :-இரு கணியங் கள் பற்றியெழும் ஒருங்கமை ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் ஒரு சோடியினுடைய தீர்வு காண்டற்கு (1) பிரதியீட்டு முறை (2) குணகங்களைச் சமன் செய்யுமுறை (3) வரைப் படமுறையென மூன்று முறைகள் ஆளப்படும். இவற்றுள் வரைப்படமுறை அடுத்த அதிகாரத்திற் கூறப்படும்.
(1) பிரதியீட்டுமுறை: இம்முறையிலே இரு சமன்பாடு களிலுமுள்ள தெரியாக் கணியங்கள் இரண்டனுள் ஒன்றின் பெறுமானத்தை ஒரு சமன்பாடுபற்றி மற்றைக் கணியத் தின் சார்பாகக் கண்டு அப்பெறுமானத்தை மற்றைச் சமன்பாட்டிற் பிரதியிட ஒரு சமன்பாடு வரும். அதனைத் தீர்க்க இரண்டாங் கணியத்தின் பெறுமானம் பெறப்படும். இப்பெறுமானத்தைத் தந்த சமன்பாடுகளில் ஒன்றிற் பிரதி யிட முதற்கணியம் பற்றிய ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறலாம். இதனைத் தீர்க்க முதற் கணியத்தின் பெறுமானம் பெறப் படும்.

Page 99
84 மாணு க்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
1. பிரதியீட்டு முறையாற் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளு
டைய தீர்வைக் காண்க.
2க - 3ந= 7, 8 ( 1) 3 க + 2 ந= 4; (b O as ( 2) (1) இல் இருந்து பெறுவ - 3ந= - 2க + 7
2 க + 7
2 7 =す5ーす
ந இனது இப்பெறுமானத்தை (2) இற் பிரதியிட நாம் பெறுவது,
35 + 2(ఈ-)=4; ་.9 ཨཏ+ ཧ- ཟ 4 .". 9 க + 4 க - 14 - 12; *. 9 க + 4 க= 14 + 12;
. 1 35-26 .". க - 2. க-2 என (2) இற் பிரதியிட நாம் பெறுவது
3×2十2互=4;
2 நபர் 4 - 6;
=一2; ந= - 1. க= 2, ந= -1 என்பனவே தந்த சமன்பாடுகளுடைய தீர்வாகும்.
(11) குணகங்களைச் சமன்செய்யுமுறை: இம் முறையிலே இருசமன்பாடுகளிலுமுள்ள தெரியாக் கணியங்கள் இரண்ட னுள் ஒன்றினுடைய குணகங்களுடைய பொதுப் பெருக்கங் களுக்குட் சிறியதைக் கண்டு, அப்பெருக்கமே அதன் குணக மாக வரும்படி இரு சமன்பாடுகளையும் ஏற்ற எண்களாற் பெருக்க வரும் பெருக்கங்களுள் ஒன்றை ஒன்ருேடு கூட்டு தலாலோ ஒன்றிலிருந்து கழித்தலாலோ ஒரு கணியம் நீக்கப் பட மற்றைக் கணியம் பற்றிய சமன்பாடு ஒன்று பெறப்

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 85
படும். அதனைத் தீர்க்க அக்கணியத்தின் பெறுமானம் அறியப்படும். இப்பெறுமானத்தைத் தந்த சமன்பாடு களுள் ஒன்றிற் பிரதியிட முற்கணியத்தின் பெறுமானம் பெறப்படும்.
உ-ம்.
1. 2க + 3ந= - 8, (l) 3 க - 4ந= 5. & 8 ... (2) இவற்றிற்குத் தீர்வு காண்க. இங்கு ந என்பதை நீக்கல் செய்ய (1) ஐ 4 ஆலும் (2) ஐ 3 ஆலும் பெருக்குவோம்.
8 க + 12 ந= - 32; . . Ꭶ (3)
9 க - 12 ந= 15; 8 d. (4) (3) ஐயும் (4) ஐயுங் கூட்ட நாம் பெறுவது 17 க= - 17:
'. கா - 1.
க இனது இப்பெறுமானத்தை (1) இற் பிரதியிடுவோம்.
2X - 1 + 3ந= - 8:
.. - 2 + 3 ந= - 8
*. 3ந= 2 - 8;
, 6 -سس- == .. ந= - 2.
ஆகவே, க = - 1, ந= - 2 என்பனவே தந்த சமன்பாடுக ளுடைய தீர்வாகும்.
பயிற்சி 13 (அ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பிரதியீட்டு முறையாலே தீர்க்க:-
1. க + ந= 9, 2. க - ந= 4,
க - ந= 3. க+ ந=10. 3. க + ந= - 1. 4. ந-3 க - 1.
க - ந= 7. ந - 2 க = - 1. 5. 3க - 2 ந= 10, 6. 2 க + 5 ந=0,
2க + 3 நா - 2. 3 க + 10ந= 5. 7. 3க - ந= 9, 8. 4க - 3ந= 0,
2க + 3ந= 6. 3 க - 4ந=7.

Page 100
I 86
9.
ll.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
5 க - 3ந= 27, 0. 4 க + 5 ந + 8 = 0. 3க-8 - 4ந, 12. 5ந= 1 - 6க.
3க ட2ந+7= 0, 2க + 3 ந+ 9 = 0. 3 க + 2 ந + 5 - 3, 12க= 18ந + 5.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைக் குணகங்களைச் சமன் செய்யு முறையாலே தீர்க்க:-
13.
5.
7.
19.
21.
23.
25.
27.
3 க + 4ந= 11,
14. 4 க + 9 ந= - 1,
6க - 3ந= 4. 4 க + 5 ந= -1. 2 க + 15ந= 2.
3க - 4.ந + 14=0, 6 க + 2 ந + 3 = 0. 2க-3 - 6ந, 4 க + 3ந= 1. 10 க + 14ந= 11, 1 4.5 + 1 0 15= 1. 6 க + 8ந= - 3, 8 க + 6ந= - 1.
3க-4ந + 13, 4 க + 3 ந= 9. 5க- 4ந, ந - க- - 1.
5 க + 6 ந= 12. 3 க + 2ந= - 2, 6. 9 க + 8ந= - 7. 7க - 5 ந - 15= 0, 8. 3க - 7ந + 13= 0. 2க - 5 ந= - 10, 20. 2 க + 4 ந + 19= 0. 4க - 3ந= - 1, 22. 3 க + 5 ந= - 34. 5 க - 6ந= 4, 24. 6 க - 5ந=44. பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:-
2க= 3ந + 5, 26. 2 க + 3 ந + 13- 0. 7 க + 10ந + 6 = 0, 28. 10க = 6 - 7ந.
3க = ந - 1, 30.
29.
11 க - 5 ந - 3 = 0.
79. சில சமன்பாடுகளுடைய அச்சமன்பாடுகளைச் சுருக்கிய பின்னரே மேற்கூறிய முறை களுள் ஏதும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்:-
உ-ம்.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:-
l.
3(2 க - 3ந) - 2(2 க + 3ந)= 9,
2(க + 3 ந) - (க-ந)= -10.
2க= 3ந + 9, 2ந= 5 க + 6.
தீர்வுகளைக் காணுதற்கு
( 1) (2)

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 187
(1) இல் இருந்து பெறுவது 6 க - 9ந - 4 க - 6ந= 9; . 2க - 15ந=9; .. (3) (2) இல் இருந்து பெறுவது 2 க + 6 ந - க + ந= - 10, *. க + 7ந= - 10, (4) (4) ஐ 2 ஆற் பெருக்க நாம் பெறுவது 2 க + 14 ந=
- 20 & ... (5) (5) இல் இருந்து (3) ஐக் கழிக்க நாம் பெறுவது 29ந= - 29; .. ந= - 1. (4) இல் ந= -1 எனப் பிரதியிட நாம் பெறுவது க - 7- - 10,
”。5=7一l 0;
= - 3.
.". தந்த சமன்பாடுகளுடைய தீர்வு க- - 3, ந= - 1 ஆகும்.
80. இருகணியங்களுடைய பெருக்கம் 1 க்குச் சமனயின் அக்கணியங்கள் ஒன்றுக்கொன்று தலைகீழ்ப்பின்ன மெனப் படும். பின்வருஞ் சோடிகள் ஒவ்வொன்றுந் தலைகீழ்ப்
Yx 1 அ இ பின்ன உதாரணமாகும் :-4, 号;5、-“一;業。学 XO
த்திற்கு உத @ *’ க ’இ”அ ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் சிலவற்றில் க, ந என்னும்
I Φ இவற்றினுடைய தலை கீழ்ப் பின்னங்களாகிய க'ந 66ST GST வற்றைத் தெரியாக் கணியங்களாகக் கொண்டால், தீர்வு காண்டல் இலகுவாக அமையும்.
உ-ம்.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வைக் காண்க.
B 2. ーーー= l 3, (I)
க ந
3 + = 0. & 48 & (2)
க ந

Page 101
I 88 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(1) ஐ 3 ஆலும் (2) ஐ 2 ஆலும் பெருக்க நாம் பெறுவன
ーーー= 39。 (3) க ந
부+=0 as (4) க ந
க- என (2) இற் பிரதியிட நாம் பெறுவது
十
O
3.=
0;
6
十
---
*. க=4, ந= - 4 என்பனவே வேண்டிய தீர்வு ஆகும்.
81. மூன்று தேராக் கணியங்கள் கொண்ட ஒருங்கமை சமன்பாடு மூன்று தந்தால், அவற்றினுடைய தீர்வைக் காணுதற்கு ஒரு தேராக் கணியத்தை நீக்கல் செய்து இரு கணியங்கள் கொண்ட இரு சமன்பாடுகள் பெற்று அவற்றினுடைய தீர்வைக் காணல் வேண்டும்.

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 89
g0 ------ LO பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வுகாண்க.
2 க + 3 ந - 2ய= 3, 8 w ... (1) க - 2 ந + 3 ய= - 3, ... (2) 3க - 3ந - 2ய= 10. . (3) ய ஐ நீக்கல் செய்ய (1) ஐ 3 ஆலும் (2) ஐ 2 ஆலும் பெருக்குக.
6 க + 9ந - 6ய-9; is d 8 ... (4)
2க - 4ந + 6ய= - 6 a w . (5) (4) ஐயும் (5) ஐயுங் கூட்டுக
8 க + 5 ந= 3; (6)
இனி ய ஐ நீக்கல் செய்ய (3) இல் இருந்து (1) ஐக் கழிக்க.
க - 6ந= 7; (7) (7) ஐ 8 ஆற் பெருக்குக.
8க - 48ந= 56; (8) (6) இல் இருந்து (8) ஐக் கழிக்க.
53ந= - 53; " தா - 1. ந= -1 என (7) இற் பிரதியிடுக.
5 – 6 ( - 1) = 7; க + 6 = 7;
“.占=7一6=l。 க= 1, ந= -1 என (1) இற் பிரதியிடுக.
2(1) + 3 ( - 1) - 2 u = 3;
2 - 3 - 2u f;
- 2 u = 3 - 2 + 3;
=4、
. '. Այ= -2. .. தந்த சமன்பாடுகளுடைய தீர்வு க= 1, ந= - 1, u」=ー2 ஆகும்.

Page 102
NI 9 0 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
82. இரு சமன்பாடுகளுள் ஒன்று ஒன்றுடன் பொருந்தா தாயின், அவற்றிற்கு அளவுகட்குட்பட்ட தீர்வு காணல் இயலாது. க - 2 ந= 6, 3 க - 6ந=24 என்னுஞ் சமன் பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று பொருந்தா. 3க - 6ந=24 ஆயின், க - 2 ந= 8 ஆகும். இது க - 2 ந= 6 என்பதோடு பொருந்தாது என்பது புலனுகும்.
இனி, இரு சமன்பாடுகளுள் ஒன்று ஒன்றுடன் சாராது நின்ருலேயன்றித் தீர்வுகாணல் இயலாது. 3க - 4ந= 1, 12க - 16ந= 4 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள்ளே பின்னது முன்ன தனை 4 ஆற் பெருக்க வருமாதலால், அவை ஒன்றுடன் ஒன்று சார்ந்து நிற்பனவாகும். ஆகவே, அவற்றிற்குத் தீர்வு காணல் இயலாது.
பயிற்சி 13 (ஆ) பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காண்க:-
1. 2க - 3(ந - 1)- - 10, 2. 5(க - 1) - 3ந= - 4, 3.5 +2(15 - 1) = -2. 3(க + 2) + 2 ந= - 1. 3. 3(க - 2) + 2(ந - 1)= - 7,
2(5+ I)ー3(Eー2)=I3. 4. 3(க - ந) - 2 க- 8,
2(க - ந) + 3 க= 14. 5. 3(க - 1) + 4(ந - 1)= - 2,
4(5ーlリー3(互ーI)=ーII 6. 2(க - ந) + 3(க + ந)= - 1, 3(க - ந) + 2(க + ந)= - 4.
7. 25ー互=5, 8. க-= 5 ந,
等一器= ந+ = 1,
9 等+= s 10.等+应=5,
みー巫=4・ + க = -1
亚卫,5一西=一卫, 12,器西+5历=4,
甚5+诺5=2... க + 4ந + 1 = 0.

3.
15.
7.
9.
2 l .
23.
ス 5.
27.
29.
ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்
སྣེ་ I = 1
ਸ - 15 = ,
器5+应=7,
1. 1.
墨5十蠻5十臺=0
历=器(西一1), ந:-(2 க + 1),
2
-2-24, க ந
க ந
க ந
3 2 . --3 === " + ۔ க"ந 2
ー + 2互=ー4。 高* ந
2
Ro = 1. 玄+ 5
4.ந + 3க- கந,
. ق و = - | க ந 6
3ந - க - 11 2க 5ந マサ子=-3
(க - 2)=(5 - ந),
4.
I 6.
8.
20.
22.
24.
26.
28. 5 க - 2 ந_2க - ந
3 O.
9
க + 2 ந= 0,
붉
க-ந - 1=0.
3.ந - 2க- 1 - (க-2ந)
12க - 5ந= 2.
5.
i
3C
ra
5.
--
3.ந
0,
—
0
----سسسس
3
불
حسیت
•თ.
3
물
4 3க - 4ந= 1.
2(5-2)+ 3(互ーI)+2=0。 3(2 க + 1) + 2(2ந + 3)- 9.

Page 103
192
3 Il .
32.
34.
35.
36.
37.
39.
4l.
பாடு தந்தாலன்றி அவற்றைத் தீர்த்தல்
பதை அறியலாம். ஆகவே, ஒருங்க மை சமன்பாடுகளைப்
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
等+号=9á一°历一1=0... 2க - 3 ந_2(க - 1) : 6 5 3 _°受土应_罗二°一墨=0 11 4 2 க + 4ந= 6, 3 - 4 க - 04ந- 01,
8 க + 8, 4 ந= 6, 1 - 2 க - 1 - 4ந= 5. 4లో 7_**- P__5.
5 4 2க - ந= 4. 2க - 1 2 - ந - - - - - - - -, 2க + 3ந= 1. 2க - 3ந + ய= - 3, 3க - ந - 2ய= 13, க + 3 ந - 3 ய= 5. 2க - 3 ந= - 1, 2ந - 3 ய= - 8, 2u - 3 g5- - 1 0. 2.க - 3ந= - 7, 2ந - 4 ய= - 5, 4 սմ - 25 = 1 2.
38.
40.
42.
3 க + 4 ந - 2ய= 5, 2க - 3 ந + 4 ய= - 2, 4க - 2ந - 3 ய= 7. 3க - 5 ந + 2ய= - 4, 2க - 3 ந - 5 ய= - 15, 5க - ந + 2ய= - 2. 2க - 3ந= - 4கந, 2ந - 3 ய= - 5 நய, 2ய - 3 க= 7யக.
ஒருங்கமை சமன்பாட்டுத்திக் கணக்குக்கள். 83. இதுவரையுங் கற்றனவற்ருற் பெறுமானங்கள் காண வேண்டிய தெரியாக் கணியங்களுடைய தொகை யளவு சமன்
இயலாதென்
பயன்படுத் திச் செய்யத் தகும் உத்திக் கணக்குக் களிலும் பெறுமானங்கள் காணவேண்டிய கணியங்களினது தொகை யளவு ஒன்றிலொன்று சாராது நிற் குஞ் சமன்பாடுகள் காணத்தகுந் தன்மை இருத்தல் வேண்டும்.

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 93
D -- LÓ .
1. இரண்டு எண்களுள் ஒன்று ஒன்றனிலும் 12 ஆற் குறைவு. அவற்றின் கூட்டுத் தொகை 84. அவ்வெண்கள் u IIT 63) a JP
சிறியவெண் க ஆகுக; பெரிய வெண் ந ஆகுக'.
* கணக்கின்படி, ந - க= 12, (I)
ந + க = 84. * * ( 2)
(1) ஐ யும் (2) ஐயுங் கூட்டுக.
2ந- 96;
.. ந= 48.
(1) ஐ (2) இல் இருந்து கழிக்க.
2த- 72;
. 6.
.. வேண்டிய எண்கள் 36-உம் 48-உம் ஆகும்.
{H_f سسسسسسسب 22
2. ஒருவன் மாடொன்று 250 ரூபா வீதமும் ஆடொன்று 150 ரூபா வீதமுமாக 25 மிருகங்களை 4750 ரூபாவுக்கு விலைக்குக் கொண்டான். அவன் கொண்ட மிருகங்களுடைய தொகைகளைத் தனித்தனி காண்க.
அவன் கொண்ட மாடுகளுடைய தொகை க உம் ஆடுக ளுடைய தொகை ந உம் ஆகுக'. அவன் கொண்ட மாடுக ளும் ஆடுகளுந் தொகையளவில் 25.
. க + ந= 25. as w ( 1) மாடொன்று 250 ரூபா வீதம் க மாடுகளையும் ஆடொன்று 150 ரூபா வீதம் ந ஆடுகளையும் விலைக்குக் கொள்ளச் செலவு (250 க + 150 ந) ரூபா ஆகும்.
கணக்கின் படி, செலவு 4750 ரூபா
.. 250 க + 150 ந= 4750; - (2) 5 க + 3ந= 95; - a (3)
(1) ஐ 3 ஆற் பெருக்குக.
.. 3 க + 3ந= 75; (4)
395-H

Page 104
94 மானுக்கரட்சரகணிதம்
(3) இல் இருந்து (4) ஐக் கழிக்க.
2க= 20;
.". 5= I 0. க= 10 என்று (1) இற் பிரதியிடுக. ... 1 0 + b = 25;
* ந=25 - 10;
5 H سست .". அவன் கொண்ட மாடுகளுடைய தொகை 10; ஆடு களுடைய தொகை 15.
ad-lib.
3. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதிக்கு 2 ஐயும் பகு திக்கு 4 ஐயுங்கூட்ட அது ஆகும். அப்பின்னத்தினது தொகுதியிலிருந்து 5 ஐயும் பகுதியிலிருந்து 2 ஐயுங் கழிக்க அது ஆகும். அப்பின்னம் யாது?
வேண்டிய பின்னம் ஆகுக. அப்பின்னத்தினது தொகுதிக்கு 2 ஐயும் பகுதிக்கு 4 ஐயுங்
க + 2 th கூடட அது ஆகு
க + 2 ஐ • •صي •
g 。ーニーエ。 Z . கனக கன படி 4 4 (l)
அப்பின்னத்தினது தொகுதியிலிருந்து 5 ஐயும் பகுதியிலி
க - 5 ருந்து 2 ஐயுங் கழிக்க அது قی لوک و ہے جوLD.
. கணக்கின்படி == (2)
குறுக்குப்பெருக்கலால் (1) இல் இருந்து பெறுவது
4 க + 8= 3ந + 12;
.. 4க - 3ந= - 8 + 12;
.. 4க - 3ந= 4. (3)
குறுக்குப் பெருக்கலால் (2) இல் இருந்து பெறுவது

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 1 95
3க - 15-ந - 2;
", 3 க - ந= 15 - 2
.. 3க - ந= 13. (4)
(4) ஐ 3 ஆற் பெருக்க நாம் பெறுவது 9 க - 3ந= 39;
(5) இல் இருந்து (3) ஐக் கழிக்க நாம் பெறுவது 5 க=35,
• 7 سمع ولك و *
க=7 என (4) இற் பிரதியிட நாம் பெறுவது
3×7ー互=I3;
*. - ந= - 21 + 13
ਸ .- 8
ਸੁਗ 8 .
வேண்டிய பின்னம் 4 ஆகும்.
4. ஒரு நாட்காலை 6 மணிக்கு 20 மைல் இடைத்தூர முள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து இருவர் நடக்கத் தொடங் கினர். அவர்கள் ஒரே திசை பற்றி நடந்தால் 10 மணி நேரத்திலும் எதிர்த்திசை பற்றி நடந்தால் 2 மணி நேரத் திலும் ஒருவரை யொருவர் சந்திப்பர். அவர்கள் சென்ற வேகங்களைக் காண்க.
விரைவாய் நடப்பவர் மணிக்கு க மை ல் வீதமும் மற்றையவர் மணிக்கு ந மைல் வீதமும் நடக்குக.
ஆயின், ஒரே திசை பற்றி நடக்கும்போது விரைவாய் நடப்பவர் மணிக்கு (க - ந) மை ல் வீதம் மற்றைய வரை அணுகுவர்.
.. 10 மணிநேரத்தில் அவர் 10 (க - ந) மைல் துர ரம் மற் றைய வரை அணுகுவர். ஆனல், கணக்கின்படி இது 20 மைலுக்குச் சமன்.
.. 10(க - ந)- 20:
.. க - ந= 2. (l)
எதிர்த்திசை பற்றி நடக்கும்போது அவர்கள் ஒருவரை யொருவர் மணிக்கு (க + ந) மைல் வீதம் அணுகுவர்.
24 மணிநேரத்தில் அவர்கள் ஒருவரையொருவர் 2 ( க + ந) மைல் தூரம் அணுகுவர்.

Page 105
196 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
". கணக்கின்படி இது 20 மைலுக்குச் சமன். .. 2(க + ந)=20;
* み + 万=20-ー2豊。
・ 5 + 5= S. (2) (1) ஐயுங் (2) ஐயுங் கூட்ட நாம் பெறுவது 2க- 10 .' g=5. -
(2) இல் இருந்து (1) ஐக் கழிக்க நாம் பெறுவது 2ந= 6;
.”. ந= 3. .. அவர்களுடைய வேகம் முறையே மணிக்கு 5 மைல் வீதமும் மணிக்கு 3 மைல் வீதமுமாகும்.
பயிற்சி 13 (இ)
1. இரண்டு எண்களுள் ஒன்று ஒன்றிலும் 25 ஆற்பெரிது. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 81. அவ்வெண்கள் யாவை?
2. இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் அரைப் பங்கு 42. அவ்வெண்களுட் பெரியது சிறியதின் மும் மடங்கு. அவ்வெண்களைக் காண்க.
3. இரண்டு எண்களுட் பெரியதின் சிறியதின் இலும் 4 ஆற் கூடியது. சிறியதின் 4 பெரியதின் 4 இலும் 1 ஆற் கூடியது. அவ்வெண்கள் யாவை?
4. இரண்டு எண்களின் வித்தியாசம் அவ்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையின் 붉. பெரியது சிறியதிலும் 30 ஆற் கூடியது. அவ்வெண்களைக் காண்க.
5. ஒரு பின்னத்தினது தொகுதியிலிருந்து 2 ஐக் கழித் தால் அது ஆகும். அப்பின்னத்தின் பகுதியோடு 1 ஐக் கூட்டினல் அது ஆகும். அப்பின்னம் யாது?
6. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதிக்கும் பகுதிக்கும் 3 ஐக் கூட்டினல் அது 품 ஆகும். அப்பின்னத்தினுடைய தொகுதியிலும் பகுதியிலுமிருந்து 3 ஐக் கழித்தால் அது ஆகும். அப்பின்னம் யாது?

ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் 1 97
7. ஒரு பின்னத்தினது தொகுதியை 1 ஆற் கூட்டியும் அதன் பகுதியை 1 ஆற் குறைத்தும் நின்ரு ல் அது ஆகும். அப்பின்னத்தினது தொகுதியை 1 ஆற் குறைத் தும் அதன். பகுதியை 1 ஆற் கூட்டியும் நின்ற ல் அது 4 ஆகும். அப்பின்னம் யாது?
8. ஒரு பசுவையும் ஒராட்டையும் விலைக்குக் கொள்ள 355 ரூபா வேண்டும். 3 பசுவையும் 2 ஆட்டையுங் கொள்ள 910 ரூபா வேண்டும். ஒரு பசுவின் விலை ஒராட்டின் விலையி லும் எவ்வளவாற் கூடியது?
9. என்னிடம் 315 ரூபா இருந்தால் 6 மேசைகளும் 3 கதிரைகளுமாயினும், 4 மேசைகளும் 9 கதிரைகளு மாயினும் விலைக்குக் கொள்ளலாம். ஒவ்வொன்றின் விலை யென்ன?
10. எட்டு ஆண்டுக்குமுன் ஒரு மனிதன் றன் மகனின் மும் மடங்கு வயதினன். எட்டு ஆண்டு சென்ரு ல் அவன் றன் மக னின் இருமடங்கு வயதினனுவான். அவர்களுடைய தற் போதைய வயதுகளைக் காண்க.
11. அ என்பவன் இ என்பவனிலும் வயதளவில் 6 ஆண்
டாற் கூடியவன். 10 ஆண்டுக்கு முன் அவர்களுடைய வயதின் கூட்டுத்தொகை 70. அவர்களுடைய தற்போதைய வயதுகளென்ன?
12. 10 ஆண்களும் 8 பெண்களும் பெறும் நாட்கூலி 55 ரூபா. 6 ஆண்களும் 10 பெண்களும் பெறும் நாட்கூலி 46 ரூபா. ஒரு பெண்ணின் நாட்கூலி என்ன?
13. 220 இனிப்பை 20 ஆண் குழந்தைகளுக்கும் 30 பெண் குழந்தைகளுக்கு மாயினும் 28 ஆண் குழந்தைகளுக்கு கும் 20 பெண் குழந்தைகளுக்குமாயினும் பகுத்துக் கொடுக் கலாம். ஒவ்வொரு குழந்தையும் பெறும் இனிப்பு எத்தனை?
14. இரண்டு இலக்கங்கள் கொண்ட ஒரெண்ணிலிருந்து 18 ஐக் கழித்தால் அதனுடைய இலக்கங்கள் இடமாறி நிற்கும். அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 8 ஆயின் அவ்வெண்ணைக் காண்க.

Page 106
198 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
15. சைக்கிளோடிகள் இருவர் ஒரு நாட்காலை 6 மணிக்கு
30 மைல் இடைத்தூரமுள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து புறப்பட்டனர். அவர்கள் ஒரே திசை பற்றி ஓடினல் 7 மணிநேரத்திலும், எதிர்த்திசை பற்றி ஒடிஞல் 1 மணி நேரத்திலும் ஒருவரையொருவர் சந்திப்பா ராயின், அவர் களுடைய வேகங்களைக் காண்க.
16. இரண்டு இலக்கங்கள் கொண்ட ஒரெண் அவ்விலக் கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் 6 மடங்கிலும் 4 ஆற் பெரிது. அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் வித்தியாசத்தின் 4 மடங்கிலும் 3 ஆற்பெரிது. அவ்வெண் u ufTg5I?
17. ஒரு மனிதன் ஒரு குறித்த தூரத்தை ஒரு குறித்த
வேகத்தொடு நடக்கின்றன். அவன் வேகம் மணிக்கு ஒரு மைல் வீதங் கூடுமாயின் அவன் எடுக்கும் நேரம் 1품 மணி நேரத்தாற் குறையும். மணிக்கு ஒரு மைல் வீதம் அவன் வேகங் குறையுமாயின் அவன் 2 மணி நேரங் கூடுதலாக நடக்க வேண்டும். அத்தூரத்தைக் காண்க.
18. ஒருவர்க்கொருவர் 48 மைல் தூரத்திலுள்ள இருவர் எதிர் நோக்கிநடந்து 8 மணிநேரத்திற் சந்தித்தனர். அவர் களுள் ஒருவன் றன் வேகத்தை இரட்டித்தானுயின், சந்தித் தல் 6 மணிநேரத்தில் அமையும். இருவர் வேகங்களையுங் காண்க.
19, 3 கதிரையும் 2 வாங்கும் 45 ரூபாவிற்குக் கொள்ள லாம். ஒரு மேசையும் 5 கதிரையும் 50 ரூபாவிற்குக் கொள்ளலாம். 2 மேசையும் 4 வாங்கும் 110 ரூபாவிற்குக் கொள்ளலாம். அத்தளபாடங்கள் ஒவ்வொன்றையும் எவ் வெவ் விலைக்குக் கொள்ளலாம்?
20. 2 பலாப்பழமும் 4 மாம்பழமும் விலைக்குக் கொள்ள
3 ரூபா முடியும். 3 மாம்பழமும் 2 வாழைப்பழமுங் கொள்ள ஒரு ரூபா தேவைப்படும். 8 வாழைப்பழமும் 3 பலாப்பழமுங் கொள்ள 4 ரூபா செலவாகும். அப்பழங்க ளுடைய விலைகளைத் தனித்தனி காண்க.

அத்தியாயம் 14
நேர் கோட்டு வரைப்படம்
83. மாட்டேற்றச்சுக்கள்: ஒரு தளத்திலுள்ள புள்ளி நிலைகளை அறிதற்கு மூன்று முறைகள் பயன்படும்.
(1) நிலைகள் அறிய வேண்டிய புள்ளிகள் ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால், அக்கோட்டிலுள்ள ஒரு குறித்த புள்ளியினது நிலைபற்றி அப்புள்ளிகளுடைய நிலைகளை அறிய லாம். அக் குறித்த புள்ளி மாட்டேற்றுப்புள்ளி எனப்படும்.
மேற்காட்டிய க உக' என்னுங் கிடைக்கோட்டிலுள்ள ப, ம, வ என்னும் புள்ளிகளுடைய நிலைகளை உ என்னும் மாட் டேற்றுப் புள்ளியினது நிலை பற்றி அறியலாம். க உக' என்னுங் கிடைக்கோடு அரையங்குலங்களாகப் பிரிபட்டுக் கிடக்கின் றது. ப, ம என்பன உ இலிருந்து வலப்புறத்தே முறையே 1 அரையங்குலத் தூரத்திலும் 2 அரையங்குலத் தூரத்திலுங் கிடக்க, வ என்பது இடப்புறத்தே 2 அரையங்குலத் தூரத்தில் இருப்பதைக் காணலாம். வலப்புறத் தூரங்களை நேர்க்கணியங்களாலும் இடப்புறத் தூரங்களை எதிர்க் கணியங்களாலுங் குறித்தால், ப இனது கிடைத்தூரம் + 1 என்றும் ம இனது கிடைத் தூரம் + 2 என்றும், வ இனது கிடைத் தூரம் - 2 என்றும் அறியலாம்.

Page 107
200
த
u -- 2
-- 1
9 0
( -
tD4- 2
3 حس () {6
ந'
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இனி, நஉந' என்னும் நிலைக்கோட்டிலுள்ள ப, ம, வ என்னும் புள்ளிகளுடைய நிலைகளை உ என்னும் மாட்டேற்றுப் புள்ளியினது நிலைபற்றி அறியலாம். ந உ ந' என்னும் நிலைக்கோடு அரையங்குலங்களாகப் பிரிபட்டிருக்கின்றது. ப என்பது உ இலிருந்து மேற்புறமாக 2 அரை ய ங் குலத் தூர மும் , ம, வ என்பன உ இலிருந்து கீழ்ப் புறமாக முறையே 2 அரை யங்குலத் தூரமும் 3 அரையங்குலத் தூரமுமாக இருப்பதைக் காணலாம். மேற்புறத்தூரங்களை
நேர்க்கணியங்களாலுங் கீழ்ப் புறத் தூரங்களை
எதிர்க்கணியங்களாலுங் குறித்தால், ப இனது நிலைத்தூரம் + 2 என்றும் ம இனது நிலைத் தூரம் - 2 என்றும், வ இனது நிலைத்தூரம் - 3 என்றும் அறியலாம்.
(2) நிலைகள் அறியவேண்டிய புள்ளிகள் ஒரு தளத்திலே எங்கிருந்தாலும் அத்தளத்திலுள்ள ஒரு குறித்த புள்ளிபற்றியும் அக் குறித்த புள் ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கிடையச்சுப் பற்றியும் அப்புள்ளிகளுடைய நிலைகளை அறியலாம்.
9.
3.
குறித்த புள்ளி உ என்றும் அப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கிடையச்சு உக என்றுங் கொள்வோம். நிலையறியவேண்டிய புள்ளி ப ஆகுக'. உ ஐ மையமாகவும் உக ஐஆரையா

நேர் கோட்டு வரைப்படம் 20 I
கவுங் கொண்டு உ பற்றி உ க என்னும் ஆரையை இடஞ் சுழியாகச் சுற்ற அவ்வாரை உப என்னும் நிலைக்கு வர உண் டா குங் கோணம் ய ஆரையன் எனக் கொள்வோம். உ இலி ருந்து ப என்பதன் தூரம் அ அலகுகள் எனக் கொள்வோம். ஆயின், ப இனது நிலை (ய, அ) ஆகும்.
இங்கு ஆரையன் = 180° என்று அறிதல் வேண்டும். இதுபோலப் பிற புள்ளிகளுடைய நிலைகளையும் அறியலாம்.
(3) நிலைகள் அறிய வேண்டிய புள்ளிகள் ஒரு தளத்தில் எங்கிருந்தாலும் அத்தளத்திற்குக் குறுக்கே ஒரு கிடையச்சுக் கீறி அதனை வெட்டும் நிலையச் சுங் கீறி அவ்வீர் அச்சுக்கள் பற்றியும் அப்புள்ளிகளுடைய நிலைகளை அறியலாம். தெக் காட்டேயின் முறையில் ஈரச் சுக்களும் ஒன்றையொன்று ஒரு கோணத்தில் வெட்டும். கோணம் 90° ஆயுள்ளதை இங்கு ஆள்வோம். இந்த இரண்டு அச்சுக்களும் மாட்டேற்றச்சுக்கள் எனப்படும்.
ந

Page 108
2O2 மாணுக்க ரட்சரகணிதம்
கஉக' என்னுங் கிடையச்சையும் அதற்குச் செங்குத் தாய் நஉந' என்னும் நிலையச்சையுங் கீறுவோம். அவ்வீரச் சுக் களிலும் வலம், இடம், மேல், கீழ் என்னும் பக்கங்களில் அரை யங் குலத்திற்கு ஒன்ருகக் கோடுகளிடுவோம். த, ப, ம, வ என்பனவே நிலைகள் அறியவேண்டிய புள்ளிகளாகுக. நஉந' என்னு நிலையச் சினின்று வலப்புறமாக அளக்குந் தூரங்களை நேர்க்கணியங்களாலும் இடப்புறமாக அளக் குந் தூரங்களே எதிர்க்கணியங்களாலுங் குறிப்போம். கஉக' என்னுங் கிடை யச்சினின்று மேற்புறமாக அளக்குந் தூரங்களை நேர்க்கணி யங்களாலுங் கீழ்ப்புறமாக அளக்குந் தூரங்களை எதிர்க்கணி யங்களாலுங் குறிப்போம். ஆயின், படத்தின்படி
த இனுடைய கிடைநிலைத் துர ரங்கள் (1.5, 2) ஆகும்
ப இனுடைய 8 s is s 9 ( - 1, 5, 1) ஆகும் fÀ இனுடைய s s is (ーI。ー2・5) ஆகும் வ இனுடைய 9 % و و is is (1.5, - 1.5) ஆகும் 84. மாட்டேற்றச் சுக்கள் வரை ப் படத் தாளினது
தளத்தை கஉந, நஉக', க'உந', ந'உக என்னு நான்கு கால் வட்டங்களாகப் பிரிக்கும். அவை முறையே முதலாங் கால் வட்டம், இரண்டாங் கால் வட்டம், மூன்ருங் கால் வட்டம், நாலாங் கால் வட்டம் எனப் பெயர் பெறும்.
முதலாங் கால் வட்டத்திலுள்ள புள்ளிநிலைகள் ( + , +)
என்னுங்குறி பெற்ற கணியங்களாலும், இரண்டாங் கால் வட்டத்திலுள்ள புள்ளிநிலைகள் ( - , +)
என்னுங்குறி பெற்ற கணியங்களாலும், மூன்ருங் கால் வட்டத்திலுள்ள புள்ளிநிலைகள் (ー。ー)
என்னுங் குறி பெற்ற கணியங்களாலும், நாலாங் கால் வட்டத்திலுள்ள புள்ளிநிலைகள் ( --, -) என்னுங்குறி பெற்ற கணியங்களாலுங் குறிக்கப்படுதல் காண்க.
உ-ம்.
1. பின்வரும் புள்ளிநிலைகளைக் குறிக்க:- (I・I・5)。(ー2。五・4ル (ーI・5。ー2・2り。(2。ーI・6)。(0。ー I・8) ( - 2.6, 0).

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 203
ந
・5”
நி வரைப்படத்தாளிற்குக் குறுக்காக க உக' என்னுங் கிடை யச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத்தாக ந உ ந' என்னும் நிலையச் சைக் கீறுக. இரண்டு அச்சுக்களிலும் உ இலிருந்து அரையங்குலத்திற்கு ஒன்ருக அளவு கோடுகளிடுக.
இனி, வேண்டிய புள்ளிநிலைகளைப் புள்ள டிகளாற் குறித்து அவற்றினுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களே அவற்றிற்கு அருகில் அடைப்புக்களுக்குள் இடுக.
உ-ம்.
2. ஒரு கப்பல் ஒரு துறைமுகத்தினின்று புறப்பட்டு வடக்கே 4 மைல் தூரஞ் சென்றதும் மேற்குப் பக்கமாகத் திரும்பி 6 மைல் தூரம் ஓடிற்று. பின்னர்த் தெற்குப் பக்க மாகத் திரும்பி 12 மைல் தூரஞ்சென்று ஒரு கோட்டையை அடைந்தது. இக்கோட்டை அக்கப்பல் புறப்பட்ட இடத்தி லிருந்து எவ்வளவு மைல் தூரம் ?

Page 109

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 205
அக் கப்பல் புறப்பட்ட இடம் உ ஆகுக'.
உ இற் கூடாக கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத்தாய் ந உந' என்னு நிலையச்சையுங் கீறுக. இரண்டு அச்சுக்களிலும் ஒவ்வோர் அரை அங்குலத் திற்கு ஒன்ருக அளவு கோடுகள் இடுக.
இனி அங்குலம் ஒரு மைலுக்கு வகைக்குறியாகக் கொள்க.
படத்தில் உ இலிருந்து வடக்கே 4 மைல் தூரம் ப ஆலும், ப இலிருந்து மேற்கே 6 மைல் தூரம் ம ஆலும் ம இலிருந்து தெற்கே 12 மைல் தூரம் வ ஆலுங் காட்டப்பட்டிருக்கின் றன. ஆகவே கோட்டையினது நிலை வ ஆற் குறிக்கப்பட்டுள் ளது. படத்தின்படி உ வ=5 அங்குலம்; அங்குலம் ஒரு மைலைக் குறிக்கின்றமையால் 5 அங்குலம் 10 மைலைக் குறிக்கும்.
" கோட்டை கப்பல் புறப்பட்ட இடத்தினின்று 10 மைல் துரரமாகும்.
பயிற்சி 14 (அ)
1. பின்வரும் புள்ளிநிலைகளை ஒரு வரைப்படத்தாளில் ஒரு
சோடி மாட்டேற்றச்சுக்கள் பற்றிக் குறிக்க:- (2・I・I・5) (ー2・5。ー I・7)。 (0。ー2・3)。(2・5。0り。 ( 0, 0), (1 6, - 22).
2. ஒரங்குலம் 10 அலகுகளுக்கு வகைக் குறியெனக் கொண்டு பின்வரும் புள்ளிநிலைகளை ஒரு வரைப்படத் தாளிற் குறிக்க:-(34, 28), ( - 23, - 11), (28, - 13).
3. (1.5, 0), (0, 23), (- 15, - 1) என்னும் புள்ளிகளு டைய நிலைகளைக் குறிக்க. அவற்றை இவ்விரண்டாய் நேர் கோடுகளாலே தொடுக்க. பெற்ற உருவத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
4. (- 1, - 3), (0, - 1), ( 5,0), (2,3) என்னும் புள்ளி களுடைய நிலைகளைக் குறிக்க. இப்புள்ளிகளெல்லாம் ஒரு நேர் கோட்டில் அமைந்துள்ளன என்பதைக் காட்
டுக.

Page 110
206 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
5. (22, 0), (- 18, 2 - 4), (- 15, - 2 1) என்பன ஒரு முக் கோணத்தினுடைய கோணப்புள்ளிநிலைகள். அம்முக் கோணத்தை வரைந்து அதனுடைய பக்கங்கள் ஒவ் வொன்றும் என்ன அளவிற்றெனக் காண்க.
6. ( - 3, 3), (3, - 1) என்னும் புள்ளிகளைக் குறித்து அவற் றை ஒரு நேர் கோட்டாலே தொடுக் க. அக்கோடு ஈரச்சுக்களையும் எப்புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன?
7. (- 2, - 1), (-1, - 3) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டாலுங்கிடை நிலையச் சுக்களாலும் வரையப்பட்ட முக்கோணத் தின் பரப்பளவைக் 5ft gig.
8. ( 5, 15), (175, - 1-5) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் நேர்கோடு ( - 2, - 1), (0, - 1-5) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டை வெட் டும் புள்ளியினது நிலையைக் காண்க.
9. ஒரு மனிதன் ஒரிடத்தினின்று புறப்பட்டுக் கிழக்கே 10 மைல் தூரஞ் சென்றதுந் தெற்கே திரும்பி 15 மைல் தூரம் நடந்தான். அதன்பின் மேற்குப் பக்கமாக 22 மைல் தூரஞ் சென்று தங்கினன். அவன் தங்கிய இடம் புறப்பட்ட இடத்தினின்று எவ்வளவு தூரத்திலுள்ளது.
10. ஒரு நாட்காலை 8 மணிக்கு ஒரிடத்தினின்று சைக்கிளோ டிகள் இருவர் புறப்பட்டனர். ஒருவர் வடக்கு முக மாக 6 மைல் தூரம் ஓடினதும் மேற்கே திரும்பி 8 மை ல் தூரஞ்சென்று தங்கினர். மற்றையவர் கிழக்கு முகமாக 3 மைல் தூரம் ஒடினதுந் தெற்கே திரும்பி 11 மைல் தூரஞ் சென்று தங்கினர். அவர் தங்கிய இடம் ஒன்றுக்கொன்று எத்தனை மைல் தூரம் ?
85. சார்புகளுடைய வரைப்படங்கள். ஒரு மாறியினலாய ஒரு கோவையின் பெறுமானம் அம்மாறியின் பெறுமானத்தைச் சார்ந்து நிற்கின்றமையால், அக்கோவை அம்மாறியின் சார் பெனப்படும். அச்சார்பு தன் மாட்டுள்ள மாறியினுடைய அடுக்குக்களுட்கூடிய அடுக்கினுற் பெயர் பெறும். ஆகவே, 3க - 2 என்பதை க இன் ஒரு படிச்சார் பென்றும் 2க* - 3 க + 1 என்பதை க இன் இருபடிச் சார் பென்றும் 3க" - க* + 2க - 2 என்பதை க இன் முப்படிச் சார் பென்றுங் கூற வேண்டும். *க இன் சார்பு’ என்பது சுருக்க முறையில் ச (க) என்னுங் குறியீட்டினுற் காட்டப்படும்.

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 207
ந= ச(க) என்பது க, ந என்னும் இவற்றிற்கிடையில் உள்ள தொடர்பைக் காட்டின், க இற்கு ஒரு தொகை எண் விகற்பங் களைப் பெறுமானங்களாகக் கொடுத்து ந இற்கு ஒத்த பெறு மான விகற்பங்களைப் பெறலாம். இவற்றை முறையே கிடைத் துரரமாகவும் நிலைத் தூரமாகவுங் கொண்டு ஒரு வரிசைப் புள்ளி நிலைகளைக் குறிக்கலாம். குறிக்க, ஒரு நேர் கோட்டை யேனும் ஒரு வளைகோட்டையேனும் பெறுவோம். இக்கோடு க இனது சார் பின் வரைப்படம் என்று கூறப்படும். இது ந= ச(க) என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப்படம் என்றுங் கூறப்படும். எனவே, 3க - 2 என்னும் க இனது சார்பின் வரைப்படமும் ந= 3க - 2 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப் படமும் ஒன்ருதல் காண்க.
86. ஒருபடிச் சார்புகளுடைய வரைப்படங்களும் ஒருபடிச் சமன் பாடுகளுடைய தீர்வுகளும்:
ந= அக + இ என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கக்கூடிய ஒரு சமன்பாடு தந்தால், க இற்கும் ந இற்கும் உள்ள தொடர்பை ஒரு வரைப்பட மூலமாகக் காட்டலாம். அவ் வரைப்படத் தின் படி நா 0 ஆயின், க பெறும் பெறுமானம் என்னவெனக் காணலாம். அதுவே அக + இ=0 என்னும் ஒருபடிச் சமன் பாட்டினுடைய தீர்வாகும்.
உ-ம்.
ஓரங்குலம் ஓரலகுக்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு மாட்டேற்றச்சுச்சோ டி ஒன்றுபற்றி ந=2க - 3 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. 牌
அவ்வரைப்படத்திலிருந்து 2 க - 3= 0 என்னும் ஒருபடிச் சமன்பாட்டினது தீர்வைக் காண்க.
ந= 2க - 3.
க இற்குச் சில பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானங்களைக் கணித்துப் பின்வருமாறு அட்டவணைப் படுத்துக.

Page 111

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 209
கஉக' என்னுங் கிடையச்சையும் அதற்குச் செங்குத்தாய் நஉந' என்னும் நிலையச்சையுங் கீறுக.
இனி, ஓரங்குலம் ஓரலகுக்கு வகைக் குறியெனக் கொண்டு அட்டவணையிற் காணும் புள்ளிநிலைகளை வரைப்படத்தாளிற் புள்ள டிகளாற் குறிக்க. அப்புள்ளிநிலைகள் எல்லாம் ஒரு நேர்கோட்டிற் கிடப் ப ைத க் காணலாம். அந் நேர் கோட்டை வரைக. அதுவே வேண்டிய வரைப் LI L - L Cft (ég5 Lib.
படத்திலிருந்து ந= 0 ஆயின், க= 1.5 என்பது பெறப்படும். ஆகவே, க- 1.5 என்பதே 2க - 3= 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டினது தீர்வாகும்.
87. ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் எல்லாம் நேர்கோடுகளாலே யன்றி வளைகோடுகளாற் குறிக்கப்படாவாதலால், 2 புள்ளி நிலைகள் கொண்டே அவற்றினுடைய வரைப்படங்களை வரையலாம். எனினும், 3 புள்ளிநிலைகளைக் குறித்தால் வரைப் படம் அங்கிங்கு ஓடாது செவ்விதாக அமையும். ஆகவே, மூன்று புள்ளிநிலைகள் பற்றியே நேர்கோட்டு வரைப்படங் களை வரைதல் வேண்டும். அம்மூன்று புள்ளிநிலைகளும் வரைப் படத்தாளிற் செப்பமாகக் குறிக்கத் தக்கனவாயிருத்தல் வேண்டும்.
. Lib ------ 2ی
மாட்டேற்றச்சுச் சோடியொன்று பற்றி ஒரங்குலம் ஒரலகுக்கு வகைக் குறியெனக் கொண்டு 3-1 22 என்னுஞ் சார்புகளுடைய வரைப்படங்களை வரைக. அப்
3க - 2 2 படங்களிலிருந்து s:- என்பதற்குத் தீர்வு
35IT 6:35,
3க - 1 ந= - ஆகுக'. (1)
க இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க, ந பெறும் பெறுமானங்களை மேற்காணும் அட்டவணையிற் காணலாம்.
3961一夏

Page 112
21 O மாணுக்கரட்சரகணிதம்
安 o l 1 .. 6 و.1 || 1 || و... - || ۵ |
இனி --- <毁@占· e ge » (2)
இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க, ந பெறும் பெறுமானங்களைப் பின்வரும் அட்டவணையிற் காணலாம்.
- 25 ... 2 2
p5 - 1 ... 8 2
|-- - -
2)
ந
அரை பங்குலத்தை ஓரலகுக்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு இரண்டு அட்டவணைகளிலுமுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறிக்க. முதலாம் அட்டவணைப் புள்ளி நிலைகளை ஒரு நேர் கோட்டாலும் இரண்டா மட்டவணைப் புள்ளிநிலைகளை வேருெரு நேர் கோட்டாலுந் தொடுக்க. முதலாம் நேர் கோட்டிற்கு (1) என்றும், இரண்டாம் நேர் கோட்டிற்கு (2) என்றும் பெயரிடுக. இரு நேர் கோடுகளும் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளிநிலை படத்தின் படி (1 - 4, 1 மீ) ஆகும்.
 

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 2 11
3 க - 1 2 2 ஆகவே, - 츠 என்பதன் தீர்வு க= 1 - 4 ஆகும்.
இதனை நிறுவுவோம் :-இருவரைப்படங்களும் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளியிலே முதலாஞ் சமன்பாட்டின் ந இன் பெறுமானம் இரண்டாஞ் சமன்பாட்டின் ந இன் பெறுமானத்திற்குச் சமன்.
3க - 1 2 க + 2
.. அப்புள்ளியில் 2 3
3க - 1_2 க + 2
.. அப்புள்ளியின் க இன் பெறுமானம் 2 3
என்பதை மெய்ப்பிக்கும். . க-1 - 4 என்பது தந்த சமன்பாட்டினது தீர்வாகும். 88. ஒருங்கமை ஒருபடிச் சமன்பாட்டு வரைப்படத் தீர்வுகள் :- ஒருங்க மை ஒரு படி ச் சம ன் பாடுகள் இரண்டை வரைப்பட மூலந் தீர்த்தற்கு மாட்டேற்றச்சுச் சோடி ஒன்று பற்றி ஒரேயளவுத் திட்டங் கொண்டு ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கு முரிய நேர்கோடுகளை வரைந்து அக் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியினுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களை அவ்வரைப் படத்திலிருந்து கான வேண்டும்.
உ-ம்
வரைப்படமுறை யா ற் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத்
தீர்க்க :-
2 க + 3 ந= 3, - ( 1) 2க - ந + 5 = 0. (2)
(1) இல் இருந்து நாம் பெறுவது ந= - 4 (2க - 3).
இங்கு க இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானங்கள் கீழ்க்காணும் அட்டவணை யிலே தரப்பட்டுள்ளன.

Page 113
22 மானுக்கரட்சரகணிதம்
க 3 O 3
நி -- 3 + I - 1
(2) இல் இருந்து நாம் பெறுவது
ந= 2 க + 5. இதன் கண் க இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானங்கள் கீழ்க்காணும் அட்ட வணையிலே தரப்பட்டுள்ளன.
க - 3 2 مس۔ - I
ந l 3 |
கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்
குத்தாக நஉந' என்னும் நிலையச்சைக் கீறுக.
இரு வரைப்படங்களுக்கும் ஓரங்குலத்தை ஓரலகுக்கு வகைக் குறியாகக் கொள்க. முதலாம் அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளை வரைப்படத்தாளிற் குறித்து, அப் புள்ளிகளுக் கூடாக நேர்கோடொன்று வரைக. அதுவே 2க + 3 ந=3 என்பதன் வரைப்படமாகும். அதற்கு (1) என்று பெயரிடுக. அவ்வாறே இரண்டாம் அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறித்து 2 க - ந+ 5 = 0 என்பதன் வரைப் படத்தையும் வரைக. அதற்கு (2) என்று பெயரிடுக. இனி, இரு வரைப்படங்களும் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளியினுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களை வரைப்படத் திலிருந்து காண்க. படத்திலிருந்து அவை ( -1 - 5, 2) என்று அறியலாம். இரு சமன்பாடுகளும் இப்புள்ளியி னுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களுக்கு ஒருங்கமைந்து நிற் கின்றமையால், அவற்றினுடைய தீர்வு க= -1 - 5, ந=2 ஆகும்.

Page 114
214 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
89. வரைப்படங்கள் வரை தற்கு மு ன் மாணுக்கர் பின்வரும் உண்மைகளை ஆராய்ந்துணர வேண்டும்.
1. உற்பத்தித் தானத்தினுடைய கிடைநிலைத் தூரங் கள் (0, 0).
2. கிடையச்சிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ந இன் பெறுமானம் 0. ஆகவே, ந= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப்படங் கிடையச்சேயாகும்.
3. நிலையச் சிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் க இன் பெறுமானம் 0. ஆகவே, க-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப்படம் நிலை யச்சேயாகும்.
4. ஒரு குறித்த கிடைத்தூரங் கொண்ட புள்ளிக ளுடைய வரைப்படம் நிலையச் சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோடாகும்.
5. ஒரு குறித்த நிலைத்தூரங் கொண்ட புள்ளிகளு டைய வரைப்படங் கிடையச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோடாகும்.
பயிற்சி 14 (ஆ) 1. ந= 2க -1 என்பதன் வரை ப் படத்தை வரைக. க-2, 6 ஆயின், ந இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
2. 2க - 5 என்னும் க இனது சார்பின் வரைப் படத்தை வரைக. அவ் வரை ப் படத்தா லுங் கிடைநிலையச்சுக் களாலும் வரையப்பட்ட முக்கோணத்தின் பர ப் ப ள வைக் காண்க.
3. 5ந= 3க - 7 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. ந=1 . 4 ஆயின், க இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
4. 2க - 4ந + 5 = 0 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. க= -1 - 2 ஆயின், ந இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
5. 2க - 3ந= 4 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அது நிலையச்சை வெட்டுகின்ற புள்ளியினுடைய கிடை நிலைத் தூரங்களைக் காண்க.

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 2 15
6. 3 க + 4ந= 6, ந= -1 என்னும் இவற்றினுடைய வரைப்படங்களை மாட்டேற்றச்சுச் சோடி ஒன்று பற்றி ஒரே யளவுத்திட்டங் கொண்டு வரைக. அவையிரண்டும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியினுடைய அச்சுத் தூரங்களைக் காண்க.
7. க= - 2 - 5 என்பதன் வரைப்படத்தையும் ந= 2. 8 என்பதன் வரைப்படத்தையும் மாட்டேற்றச்சுச் சோடி ஒன்றுபற்றி ஒரே யளவுத்திட்டங் கொண்டு வரைக. அவ்வரைப்படங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி யினுடைய அச்சுத் தூரங்களைக் காண்க.
8. 3க - 2, 5 - 2க என்னுஞ் சார்புகளுடைய வரைப் படங்களை ஒரளவுத் திட்டங் கொண்டு ஒரு கிடை நிலையச் சுச் சோடி பற்றி வரைக. அவ்வரைப் படங்களிலிருந்து 3க - 2=5 - 2க என்னுஞ் சமன்பாட்டினது தீர்வைக் காண்க.
9. 2க - 1 என்னும் க இனது சார் பின் வரைப் படத்தை வரைக. அதேயளவுத்திட்டங் கொண்டு அதே கிடைநிலையச் சுச் சோடி பற்றி 9 - 2க என்னும் க இனது சார்பின் வரைப்படத்தையும் வரைக. இவ்வரைப்படங் களிலிருந்து 9 - 2க=2க - 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வு காண்க.
\ பின்வரும் ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை வரைப்படமூலந் தீர்க்க :-
10. 2க - 6 - 5= (< 5 - க). 11. இக- -2க - 5. 12. 2(க + 1)=(க + 1). 13. 4 க + 2 5-(க - 1). 卫4。一占=占一卫。 I5 墨(a + 3)=ー墨(5+5).
பின்வரும் ஒருங்கமை யொருபடிச் சமன்பாடுகளை வரைப் படமூலந் தீர்க்க:-
卫6·2占十互=一卫, 17. 2க - 3ந= 3,
2க + 3ந= 3. 4க - ந= - 4. Is 万=墨(25ーI)。 19. 10க - 6.ந - 5=0,
E=号(35+2). 2க + ந + 5 = 0.

Page 115
21 6 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
20. 2க + 3 ந - 6==0, 21, 3 ந= 6 + க,
3 க + 2 ந - 6= 0. 5ந= 39 - 2 க.
22. மணி க்கு 60 மைல் வேகம் = செக்கனுக்கு 88 அடி வேகம் ஆயின், மணிக்கு 48 மைல் வேகத்தைச் செக்க னுக்கு இத்தனையடி வேகமென வரைப்படமூலங் காண்க.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 5.
(9)
1. (க - 1) + 3(க - 1)2 + 3(க - 1) + 1. இதனைச் சுருக்கித் தருக. க = - 2 ஆயின், விடையாதாகும் ?
2. (i) 2.அ - அ2+2அ-1;
(ii) க(க + 1) -ந (ந + 1) ; (iii) கந + க? - க + 2 ந - 6. இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
3. (1) $(க -1) - 1=3 (க்-1) -2;
(i) 2 க + 3 ந= 1,
5க - 6ந= 3. இவற்றிக்குத் தீர்வு காண்க. 4. 2 பலாப்பழமும் 8 மாம்பழமும் விலைக்குக் கொள்ள 33 ரூபா தேவை. 5 பலாப் பழ மும் 3 மாம்பழமுங் கொள்ள 43 ரூபா செலவாகும். ஒவ்வொரு பழத்தை யும் என்ன விலைக்குக் கொள்ளலாம் ?
5. பின்வருஞ் சமன்பாட்டை வரைப்படமூலந் தீர்க்க
2க - 3 3 க + 2
5 4
(ஆ)
(2 க - ந, க + 2 ந) - (க - 2 ந) (2 க + ந). இதனை ச் சுருக்குக.
க= -1, ந= - ஆயின், விடையாதாகும் ?

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 21 7
2. (i) தப(ம2 + வ?) + ம வ(த2+ ப?); (ii) க(க2 - 1) - 2 ந(4ந2 - 1); (ii) கந + 2 க +ந? - ந - 6.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
ኃ
2 3 3. - 一=基 - (i) 玄=塾サァ (ii) 5 — = 2},
த 2 + = -5.
ந
இவற்றிற்குத் தீர்வு காண்க. 4. இரு பட்டினங்களுக்கிடையில் ஒடும் புகை வண்டி யொன்று மணிக்கு 45 மைல் வீதஞ் சென்ழுல் 5 நிமிடம் பிந்தியும், மணிக்கு 40 மைல் வீத ஞ் சென்ருல் 17 நிமிடம் பிந்தியும் ஒடும். அப்பட்டினங்கள் ஒன்றுக் கொன்று எத்தனை மை ல் தூரம் ?
5. பின்வருஞ் சமன்பாட்டை வரைப்படமூலந் தீர்க்க.
3 க - 1 3 க + 1
4. 3.
(9)
1. க?= க + 1 ஆயின், க*= 3 க + 2 என நிறுவுக. 2. (i) 6 க2 - 35 க - 6 ;
; 1 -- 8ر 1 -- ;gى )8 (ii) (ii) க? + 2 கந + ந? - க - ந - 6.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க . 3. (1) 5(க - 2) - (க - 2)= 3(க - 2) - 4 ;
d
-2= - - 二 (ii) 万下落 3க - ந + 3 = 0.
இவற்றைத் தீர்க்க.

Page 116
218 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
4. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதியையும் பகுதியை யுந் தனித்தனி 1 ஆற் கூட்டினல் அது 3 ஆகும் , அன்றி 1 ஆற் குறைத்தால் அது 3 ஆகும். அப்பின்னம் யாது?
5. மாற்டேற்றச்சு ஒரு சோ டி பற்றி ஒரேயளவுத்
3 - க 3 - 2க
3 4 டைய வரைப்படங்களை வரைக. அவ் வரைப் படங்களி
லிருந்து قتل = என்னுஞ் சமன்பாட்டினது தீர்வைக்
திட்டங் கொண்டு என்னுஞ் சார்புகளு
காண்க.
(FF) 1. க2 - 2க - 3-0 ஆயின், க* - 10க? + 9 = 0 என நிறுவுக. 2. (1) 18க2+ 19கந - 12ந?; (ii) 8(35 — 1 )* - 2(35 — 1 ) ; (i) 2க? + 3 கந - 2ந2 - 2 க + 11 ந - 12.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
க 3 க + 2 2 க - 3
3 ()云ー=京ー=5ーー
3 2 (*) ェ五ー茂二。一ー5 2 十 3 12 க - 1 ந - 2 3
இவற்றைத் தீர்க்க. 4. இரண்டு இலக்கங்களாலாய ஓரெண் அவ்விலக்கங் கள் இடமாறி நின்ற எண்ணிலும் 18 ஆற் குறைவு. அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 14 ஆயின், அவ் வெண் யாது ?
5. 3(க - 2), -2க என்பன க இனுடைய சார்புகள். இவற்றினுடைய வரைப்படங்களை மாட்டேற்றச்சுச் சோடி யொன்று பற்றி ஒரேயளவுத் திட்டங் கொண்டு வரைக. அவ் வரைப்படங்களிலிருந்து 3(க - 2)= - 2க என்னுஞ் சமன்பாட்டினது தீர்வைக் காண்க.

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 29
(e) 1. முதல் இ இயற்கையெண்களுடைய வர்க் கங்களைக் கூட்டினுல் இஇ டி2இ ) என்பதைப் பெறலாமெ னின், முதல் 20 இயற்கை எண்களுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை என்ன ?
2. (i) 1 - 4 க - 12க? ;
(ii) கசி-17 கநே2 + 16ந4; (ii) க2 - 4ந2 + 12 ந - 9.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
; 6 =*(2 + g5 3) -- *ر 2 - 335) (i) .3
2 3 و 4 ii) ------------== I (i) -=
.8== گ+
க ந
இவற்றினுடைய தீர்வுகளைக் காண்க.
4. ஒரு செவ்வகத்தினுடைய நீளத்தை இரண்டடி கூட்டியும் அகலத்தை ஒரடி குறைத்தும் நின்ருல் அதன் பரப்பளவு 2 சதுர வடியாற் குறையும். அதனுடைய நீளத்தை ஒரடி குறைத்தும் அகலத்தை ஒரடி கூட்டியும் நின்ரு ல் அதன் பரப்பளவு 4 சதுர வடியாற் கூடும் ; அதனுடைய நீளவகலங்களைக் காண்க.
5. ஒரு வரைப்படத்தாளில் ஒரு கிடைநிலை யச் சுச்
_4 க + 3 ー一ェー・
சோடிபற்றி ஒரேயளவுத்திட்டங் கொண்டு
2ந= 3 க + 1 என்னும் இவற்றினுடைய வரைப்படங்களை வரைக. அப்படங்களிலிருந்து இரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்க்கும் க, ந என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் ֆFT 6001 B5 .

Page 117
220 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(ஊ) 1. (க+ந)?(க - ந)2(க2+ ந?)?. இதன் விரியைக் காண்க. க=2, நா - 1 ஆயின் விடையாதாகும்.?
2. (1) 12க?ந2 + 11 கந - 36 ;
(i) (க2 - 2 ந2)3 + (2 க2 - ந2)3; (ii) க + 2 கந + ந? - க - ந.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
2
3. (i) --Aਸ------------ : ")互言二广亨言二了+盘> 2 க - ந க - ந 1 (ii) 4 豆一=一5... 竺一°二°_一毫 3. 4 3 *
இவற்றைத் தீர்க்க. 4. பிரயாணி ஒருவன் மணிக்கு 8 மைல் வீதம் வண்டி யில் ஊர்ந்தும் மணிக்கு 4 மைல் வீதங் காலாலே நடந்தும் 4 மணி நேரத்தில் 27 மைல் சென்ரு விண். அவன் வண்டியாற் சென்ற தூரத்தையுங் காலாலே நடந்து சென்ற தூரத்தையுந் தனித்தனி காண்க.
5. ஒரு கிடைநிலையச்சுச் சோ டி பற்றி ஒரேயளவுத்
1 - 2 -- 1 e
திட்டங் கொண்டு 5=*.* *. 2ந- 1 -" என்னும் இவற்றினுடைய வரைப்படங்களை வரைக. அப்படங்
l - 2 I களிலிருந்து * * *-1 - என்பதனுடைய தீர்வைக்
காண்க.
(எ)
1. (க - 1)8 - (1 - க)(1 + க + க?). இதனைச் சுருக் கித் தருக. க- - 1 ஆயின், இதன் பெறுமானம் என்ன ?
2. (i) க? - 1 - 2 ந - ந? ;
: 1 -سی (I - ژان ) 4 - (1 - 95 ) 2 1 (ii) (ii) கA - 10 கந2 + 9 ந4.
இவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.

நேர்கோட்டு வரைப்படம் 22
; ( 4 --- ;g ) -||- 2(1 - زi) 2( gs -- 2) 2 - 5 = ( g) .3
(ii) 豊(巧ー2)=黒(5ー3)+ 豊;
2க - ந - 1 = 0. இவற்றைத் தீர்க்க 4. இரண்டு மனிதர் ஒருவர்க்கொருவர் 39 மைல் தூரத்திலே நின்று ஒரு குறித்த நேரத்திற் புறப்பட்டு ஒரே திசை பற்றி நடந்தால் 26 மணி நேரத்திலும் எதிர்த்திசை பற்றி நடந்தால் 6 மணி நேரத்திலும் ஒரு வரையொருவர் சந்திப்பர். அவர்களுடைய வேகங்களைக்
95 GÖT ,
5. வரைப்பட மூலம் பின் வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
25+ 5=l。 4க - 3ந= 10.
(ஏ)
l l 1 s 1. *=历十京 应=u+历,u=á十六 ஆயின், க இன்
பெறுமானத்தை ந, ய என்பனவற்றிலே தருக. ந=2, ய- - 3 ஆயின், விடையாதாகும் ?
2. (i) க* + ந4 - ப - 2க*ந? ; இதனைக் காரணிகளாய்ப்
பிரிக்க. (ii) 15 க? - 16 க + 15 இதனை வர்க்க முறை பற்றிக்
காரணிகளாய்ப் பிரிக்க. (i) (க + ந)? - க - ந8 இதனைக் காரணிகளாய்ப்
பிரிக்க.
3. (i) 1 : 4 க + 5 = 6 - 2(க - 1)--3 - 2 :
(i) (க + 1)(ந - 2)= கந - 5, 2 க + 3 ந= 5.
இவற்றைத் தீர்க்க. 4. ஈரெண்களுட் பெரியதைச் சிறியதால் வகுத்தால் ஈவும் மீதியுந் தனித்தனி 8 ஆகும். சிறியதின் 70 மடங் கைப் பெரியதால் வகுத்தால், முன்போல ஈவும் மீதியுந் தனித்தனி 8 ஆகும். அவ்வெண்கள் யாவை.

Page 118
222 மாணக்கரட் சரகணிதம்
5. பின்வருஞ் சமன்பாட்டினது தீர்வை வரைப்படம் மூலங் காண்க :-
3 - 4க
=五 -க
(ஐ)
1. ( க + 1) + 3 க%(க + 1) - 3க(க + 1)? - கஃ; இதனை ச் சுருக்குக.
2. (i) (க2 - 2 க)? - 2(க2 - 2க) - 3 ; இதனைக் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
(ii) 65* + 355 B-6 is”; இதனை வர்க்க முறை பற் றிக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
(iii) 9 - L 3 + 1 + 3 5 L1; இதனுடைய காரணிகளைக்
காண்க .
: 0 = ( و 2 - - 1 )4 + ( 35 5 -- 3 ) مس - (95 3 - س- 1 ) (i) . 3
(i) > 2 க + 1 - 2 ந= - 1 - 2,
- 3க - 2 - 8ந- 5 - 1. இவற்றைத் தீர்க்க. 4. ஒரு வள்ளம் ஆற்ருேட்டத்திற்கு எதிராக 25 மைலும் ஆற்ருேட்டத்தோடு ஒத்து 26 மைலும் 7 மணி நேரத்தில் ஒடுகின்றது. அது ஆற்றேட்டத்திற்கு எதி ராக 20 மைலும் ஒத்து 39 மைலும் ஒரே நேரத்தில் ஒடுமாயின், ஆற்றேட்டத்தின் வேகத்தையும் வள்ளத் தின் வேகத்தையுந் தனித்தனி காண்க.
5. பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுக்கு வரைப்படமூலமாகத் தீர்வு காண்க.
安
2
g
- 4 க + 2 ந= 1.

விடைகள்
பயிற்சி 1 (அ). பக்கம் 10.
L அX க_அ . 7ہ - س * . 1. க + க + க = 3க ; 基×5= கX 1 -க ; இXக இ’ 2. கX0=0; அ/உ/இ/உ=அ/இ; x இ=அ. 3. அ=இ
ஆயின், அ+ க =இ+க ; அ- க=இ-க ; அX க=இXக; அ+ க =இ-க. 4. 2.; 35 - 5 Lu. 5. 4 3ம -2ப. 7 3த. 6. 2க - 3ப; 4ம - 2க. 7. * ld. 8. தப; 6. 9. తg.
3 த
10. ம - த ஆண்டு; 2ம ஆண்டு. 11. 2ப-3த ஆண்டு.
12. Lー2。LーI. 13. க - 2, க - 1, க+ 1, க + 2; 22, 25,24,25,26。 14. L1 - 1 , L1 + 1 , u + 2, L49 ; 3 + ו, 51, 52, 53 . 15. 4தப ரூபா. 16. 4ப/3த.
240 12 - ,LT + LD கினி, 18. பவுண்; 12ப பென்சு نے 1 + 5 U 4 لیے وہ
252
19. தப மைல்; 考 மணி. 20. ப இரு. கப இரு.
21. (பம-பத) ரூபா. 22. 100த + 10ப+ ம ; 460. 23. த =0, ப-7, ம=1, 24, 4ப இலிருந்து 9 ஐக் கழிக்க
I
வருவது 3. 25. 26.4Lー3; I3. 27 (L+ 16)
மைல்; 20 மைல், 28. 3 Lu - 5; 13.
பயிற்சி 1 (ஆ). பக்கம் 15. 1. ப* ரூபா. 2. க2 சது. அடி; 121 சது. அடி. , 3. ம
கன வங்குலம். 4. (க + 1)? - க?=2க +1. 5. (5 + 1)2 ;3அ?=3Xஅxஅ, 2அ°=2Xஅxஅxஅ .6 . ;3 4 == لار 1 -- ;jى) - 48, 128. 7. Li-2 L1; 80. 8. : 3 و . I ه.9 ;95 5.. ,5] 5 . و 5 و
3951-I,

Page 119
ij மாணுக்கரட்சரகணிதம்
9. 4, 4 ய, 4நய, 4கந. 10, 2ப - 2x ப, ப?= பX ப; 0" 11. ப? - ம? சது. அடி. 12. த* - ப? கனவங்குலம். 13. உண்மையாகும்.
பயிற்சி 2 (அ). பக்கம் 20.
1 9. 2. 3. 3. 14. 4. 14. 5. O. 6. 7. u. 9. 3 Lu . 10. 25 — 2 lu. 11. 2அ 2 .8 .1_ו .7 + 3இ. 12. அ+ 3இ. 13. அ + இ - உ. 14. அ- இ - உ. 15. அ - இ + உ. 16. அ - இ . உ. 17. 2அ - 3இ + 5உ. 18. அ - 3இ - 2உ. 19, 2 - ப. 20. 2த. 21. த - 3ப. 22. 0. 23. த + 2 ப. 24. 2த. 25. 2 Lu. 26. 3த -+ 3 L D. 27. 0. 28. க + 1. 29 க - ம. 30. I + 5. 31. Li'. 32. 5* + 2 Li'. 33. க2 + ப?. 34,0。 35. க2 + 1. 36. 1 + 2 க?.
பயிற்சி 2 (ஆ). பக்கம் 24.
1. 75.24. 2. 420. 3. 15 த - 3ப. 4. 9 L u — 9 Lo.
5. 2த ப - 3மத. 6. 3 அஇ - 2 அ. 7. 4அஇ + 8உஅ.
8. த பம - 2வதப. 9. 3 அ - 4இ. 10, 3 அ - இ.
6
11. σ + 2υ. 12. Lj — 2 LD. 13. 1 - 2 99 - 1_ן 3. .14 .1_ן
15. த* + 6தப. 16. 3ப2-9த ப. 17. ம2+ 5 ம. 18, 3 க + 18
19. 13 க + 19, 20. 2ந. 21, 3ந: 22, 2தப-பம-மத. 23. 2க-2. 24. த-8ப + 9ம. 25. த?+ ப? + ம?-தப-பம-மத.
க2 + 7 8 க2 + 14 2க? + ந? 2- . .2 .حسد و ܚܡ ܚܚܚܚ-ܚܝܢ ܚܚ o' 29 .-کوت .28 . وك" .27 .L2 - 52 .26
3 Lp? 30. 2L2 32. ந?.
பயிற்சி 2 (இ). பக்கம் 25. 1. 1. 2. l. 3. 4 ம. 4. 9 அ2-9 அஇ; 24. 5, 9 அ? + 12 அஇ; 36. 6. 0. 7. க. 8. க2 - ய?.
9. 2 க + 6ந?. 10, 0, 11. 2ந. 12. 1. 13, 1 - க. 14. 13 - 8.அ. 15. Il 4 Lu - 9. 16. 2த?.

விடைகள் iii
பயிற்சி 2. (ஈ) பக்கம் 28.
1. 3(l u +- 3 LD). 2. 4(க - 3ப). 3,2(9一2@), 4. க(அ - க). 5. ந(அ-இ). 6. அஇ(இ - அ). 7. அஇ(அ + 3இ). 8. அஇ(3அஇ - 1), 9. 4(க2 - 2 ந?). 10. க(அ-இ-உ) 11. க(த - ப + ம), 12. 2க(க2-2 க + 1). 13. அக-க*(இ + உ) 14. க(அ-இ) + உக?; உக - க(இ-அ). .y - gD) L 18; ப - இ ப? - (உ - அ) ப8و ) +شLI (ڈی --- LJ .15 LI. 17. 3 + LI (رgy + g))L_I; L3 -- ( 9 -- g) --- l - 1 ) +۔ L3 .16 + (அ - இ + உ)ப?; 3 + ப - (இ-உ - அ)ப. 18, 2 + ப - ப? + (அ-3) ப4; 2 + ப - ப?-(3 - அ)ப.
பயிற்சி 3 (அ). பக்கம் 32.
1. நட்டம் ந= ப(க - வ). 2. மணி Ld =. 3. (9-2)3 ரூபா (க - 2) 3 ரூபா. 4. lu= ""?. 5. 6u = U + 1.
6. ம =2(ந+ அ) + 1; 1201, 7. ப-54 க?. 8. ப=த? -- ம2.
- நஅஉ ř v A_ قرية 9. "=ァ 10. *千互ァエ・ 11. மற்றைக் கோணம் ம= It 80 - 3 1. 12. ம ற்  ைற ப் பக்கம் ம = அ - இ - உ.
13. (க + 5ந) ரூபா. 14. மத + ப ஆண்டு. 15. 学
பயிற்சி 3 (ஆ). பக்கம் 36.
1. 20 சது. அங். 2. 12 அங். 3. 14 அங். 4. 56.57 அங்; 254 - 57 சது. அங். 5. 3 - 14 சது. அடி 6. 1437 - 67 கன அங். 7. 226 - 3 சது. அங், 75 - 43 சது. அங். 8. 120000 கி. அ1. 10. மணிக்கு 60 மைல் வீதம். 11, 1275, 12. 2870. 13. அ + 23 வ. 14. 750. 15. 255. 16. 128, 17. 384 க. அடி. 18. 720 சது. அடி. 19. 1 99. 20, 5, 57, 6-4, 71, 78.

Page 120
iV மாணக்கரட்சரகணிதம்
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 1, பக்கம் 38.
அ. 1, 8 - க; ந2 - க. 2. l 05; 155; ಕ್ರಿ... 3.5十历=25... 4. 5 க - 1; 9. 5. மணிக்கு 60 ம செக்கன் வீதம்.
ஆ. 1. க - 5: க - ந?. 2. 2 - 5 க + 3 க?+ 4க*; 4கக் ۰ ژن 7 دینی= L 2. 5. L 6 -- ۶ ژن 3 . 4 . 22 .3 .2 + 95 5 - 392 + . இ. 1. கந; 12, 2, 2; 3ப. 3. 1. 4. 7ப+12. 5. 2 1 D =3ğ5 L u. •
卢 4. r2 6 க2 - 5 FF. 1. –. 2. g54 + 3 2 م- 53ق g5* -- g5 -+-- I . 3. -----;
Ll I 2 If 4. ப?+12ப; 64. 5. (க-பம) ஆண்டு.
pl. 1. 2. 4க -2 கந+3 க*ந?- கந8+ந4. 3, 2;
3; . 4. 63 — 27 Lu; 9. 5. Lu — 2.
gam. 1. 2 2. Lu* = Lu X u X _u; 3 L_u = 3 X i u; I 8. 3. 0.
2க2+ 1 5
4. . 154. சது. அங்.
ந? எ. 1. சது. யாா. 2. g5= 0, - Lu = 8, LD = 6. 3. s 4. அக-(இ-உ) க”. 5. ம=இ(த-வ).
22
2 X 100 -- 0 - - ஏ. 1 3 2 X -- 0 X 10 - 9 3 36 4. 2ப - க. 5, 5050.
2 7 ஐ. 1. 9 2. l. 10, 4. 3ப - 6ம.
5. ந(ப - ம) ரூபா.
பயிற்சி 4 (அ). பக்கம் 45.
1. அவனது வயது க ஆண் டெனக் கொள்வோம்; ஒரு தேங்காயின் விலை ப ரூபா, ஓரறையினது நீளம் க அடி; 3 க + ந=12; கXந= கந; ஒரு புகைவண்டியின் வேகம்

விடைகள் V
மணிக்கு க மைல்; ந' நீளமும் அ அகலமும் உ உயரமும் 9 - 6ð - L - L1 ஒ ர  ைற யி ன்  ெகா ள் ள ள வு 历<9°一 கன வடி ஒரு வட்டத்தின் ஆரை அ அலகாயின் அதன் பரப்பளவு 7 அ? சது. அலகு: த என்பது ஒற்றையெண் ஞயின், த + 2 என்பதும் ஒற்றையெண்ணுகும்; த என் பது இயற்கையெண்களுள் எதனைக் குறித்தாலும் 2த + 1 என்பது ஒற்றையெண்ணையே குறிக்கும்.
2. ஆக-4 (240-க)=40, 3. க + 2 க + 6 க=810. 4. க - =125. 5. க - 6(ஆக-16)=6. 6. க - 6=3(48 - க - 6). 7. க + க + 1 + க + 2 + க + 3 = 274. 8. க - (750 - க)= 30. 9, 50 - ப - 6. 10. தப=மவ. 11. பத்தினிடத்து
இலக்கம் க எனின், 5+山=芸(105+4).
பயிற்சி 4 (ஆ). பக்கம் 47.
。20=க-5. 3,5=0。 4。占 .2 • اث جسد 85 ه 1 5。5=12。 6. க- 3. 7,5=基。 8,5=15。 9. 5=5. 10. க - 0. 11。5=卫2 12,5=器 13。占=卫6。 14. க-12. 15,5=器... 16. 5=l.
17,5=盘,18 历=4,19。历=4,20,5=4器...
பயிற்சி 4 (இ). பக்கம் 49.
1 5=2 2. 万=4. 3 5=I 0. 4. 5= 6. நம 6, 7. ந= 2. 8. க = 4. 9. 历=1景... 10. க = 4.
11. க-1. 12. க- 5. 13. ந= 14. ந= 9
Il 15. 西=巧舌... 16. d5 3. 17,5=9。 18. 5=1器”
19,5=2墨,20,5=4,21,5=27,
பயிற்சி 4 (ஈ). பக்கம் 52.
1. 21, 22. 2. 84. 3. மணிக்கு 2 மைல்; மணிக்கு 43 மைல். 4. 1200 ரூபா. 5. 15 ரூபா,

Page 121
Vị மானுக்கரட்சரகணிதம்
25 elil IIT, 45 eul IIT. 6. 40 ஆண்டு. 7. 20 ஆண்டு, 8 ஆண்டு. 8. 54, 30. 9. 7. 10. 36, 37, 38.. 11. 12. 12. I 0. 13. 20. 14. 50 ரூபா, 75 ரூபா, 125 ரூபா. 15. 240. 16, 4 மணி, 6 மணி.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 2. பக்கம் 70.
அஇ=1. 2. 8 - 2 க. 3. ப- 6அஇ;
. 1. - அ இTஅ 252000 சது. அடி. 4. க=3.
Lu * + 5 --- 3ஆ, 1, 3க-3X க, 5= 3, X5 X 5, 2 2 6 3. (அ-இ) அங். 4. g=I 8.
9. 1. 2, 3, 1. 2. ப+ ம. 3. 104.76 சது. அலகு. 4. 与=6.
ஈ. 1. (2த? - மவ) சது. அடி. 2. 9 ப - 6, 12. 3. 154 சது. அங். 4. க - க = 5.
உ. 1. க - 3, க - 2, க - 1. 2. 4 க + 3, 15.
3 3600 ந 4。5=12...
ஊ. 1. (6 ப? + 5 ம) ரூபா. 2. 8 க + 2; 18. 3. 5 ந - 5 e-20. 4. க - 21.
எ. 1. 3, 2ந; 17, 2. 吉 3. 15 சது. அங். 4. 48.
ஏ. 1. இக இருத்தல். 2. 1 - (அ-உ) க + இக*. 3. 西=8... 4. 20, 21, 22, 23.
ஐ. 1. (ப?- பம) ரூபா. 2. Il 6 Lu; 1 6. 3. 20 1 00. 4. 600.
பயிற்சி 6 (அ). பக்கம் 81.
10. -- 14. 11. 0. 12. - 8. 13. - 6. 14. - 14. 15. - 2. 16. - 2. 17. -- 6. 18. - 3. 19. + 3, 20. - 3, 21, 0, 22. - 5 மைல், 23. - 15 மைல். 24. 100 ரூபா, - 100 ரூபா.
25. 5 F, -12F.

விடைகள் vii
பயிற்சி 6 (ஆ). பக்கம் 84.
1. 4. 2. 12. 3. 2. 4. 0. 5. 8. , 6., 11. 7. - 3. 8. - 8. 9. - 6. 10. 13. 11. 2. 12. 9. 13. 5. 14. - 6. 15. 0. 16. - 6. 17. 4. 18. - 1. 19. O. 20. - 1. 21. - 1. 22. 0. 23. 2. 24. 0. 25. 35°g. 26. - 8. 27. - 6; 3. 28. 4500 ebLJח .
பயிற்சி 6 (இ). பக்கம் 87.
1. - 60. 2. - 9 6 . 3. - 56. 4. - 99. 5. - 48. 6. - 72. 7. 64. 8. 6.. 9. 48. 10. 72. 1. 54. 12. - 80. 13. - 3. 14. - 3. 15. 3. 16. - 5. 17. 2. 18. 7. 19. - 6. 20. 5. 21. 6;
22. -붉. 23. 붉. 24. 품. 25. -붉. 26·-구. 27. 1. 28. -- 29, 32 °ச - 8°ச. 30. 650 ரூபா; 150 ரூபா.
31. மணிக்கு 10 மைல்; மணிக்கு 60 மைல்.
பயிற்சி 7 (அ). பக்கம் 92.
1. 14 க. 2. 13ந. 3. - 12 அ. 4. - 16இ. 5. க?. 6. - 6த9. 7. 0. 8. 0. 9. 0. 10. 3தப - 5 பம - 6மத. 11. 0, 12. ப. 13. - 6ம?, 15. 0. 16. 2 - அக. 17, 1. 18. 3LD -2. 19. க ட 7ப + 6. 20. 2L + L2 -- م. 21. 2. 22. 0. 23. - 3ந?. 24. - ந4. 25. தப - 3 பம - 3. 26. பம - 2 மவ. 27. Lu — LD + 3. 28. LD — 5; Lu. 29. 器L +器g万ー碁・ 30. த - ப -?. 31. 7 Lu LD 60of?. 32. (2 க+ந+}ய) ரூபா. 33. 10க அங். 34. (3u+°+岩) அ1. 35. 729; ဒီ9: சிலின்
36. 49 ப அங்.

Page 122
viji மாணக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 7 (ஆ). பக்கம் 95. 1. 5 ц_1. 2. 1 1 Lu. 3. - 105. 1. - 5 க. 5, 2 க2. 6, 3 க.ே 7. l 4 L u LD. 8. 3ப + 1.
9. 2ப + 3 ம. 10, 2 கந. 11. இஉ. 12, 2 அ*இ + 3 அஇ?. 13. 4 g5?. 14. 2 Lu. 15. 4 u_u LD. 16. 1 + 3 95. 17. 4 L_u -+ . l .
18, 4 க?. 19. LD 6) — Lu LD. 20. அஇ. 21. 2அக. 22. - 4இந. 23, 2 அஇே + 5 அஇ?. 24. 11 க.ே 25. 2க. 26. Li. 27. - 2 Ꭷ1 . 28. -5 Ll. 29. - 9 கந. 30. - 11 12. 31. - 12ப அங். 32. ப - ம . 33. (ப - ம) ரூபா. 34. 913 ப பென்சு, 35. 2 LooF.
பயிற்சி 7 (இ). பக்கம் 99.
1. 6பம. 2. 1 8 Lu LfD. 3. - 30 அ?. 4. 6 அ2. 5. - 20 கீ. 6. 12 கநே8. 7. - 4கந2. 8. - 9 அஇக2. 9. - க. 10. அஇஉக. 11. க*ந2ய2. 12. 90க10. 13. 4 க3. 14. - அ2இ2உ2க.ே 15. - 2 ப2வ2ம2. 16. స్థాశిలో 17. وے'۔y2 ?)? D_2. 18. -க"ந* 19. తారీ; కి. 20. - ਯp ; 16.
பயிற்சி 7 (ஈ). பக்கம் 103.
2
1. 3க. 2. கந?. 3. - ப. 4. பம4. 5. 4ಿ
6. -27a. 7. 8. 9. - 121. 10 -
b த
7 2 2 5 9#' ,, 255 ہے۔
11. 丁亥高” 12. 16a 13. கந2 14. 9 இ’ 15. 3ய’
16, 4 அ8க2, 17. -తీ, 18. 55u 2. 19. - 8கநயே8.
4 9 12 2 Li LD 9க
20. - 9. 21. -8. 22. T 16 o?' 23. வ" 24. T8ந” ،- --- - - 2 5 க3
25. 2 26 28 .3 - .27 36 - ... ه. I 29 3 1 18ᏰᏛ
30. I.

விடைகள் İX
பயிற்சி 8 (அ). பக்கம் 106.
1. அ + இ - உ. 2. க. 3, 2க2. 4. 0. 5. uLu 35. .அ8. 8.2g2. 9. — 5зѣ 8 .7 .(2_ هي + 2 أي + 2 بقي ) ــ .6 10. 6 க-ே க. 11. 2க?ந. 12. அக-இந+ உய. J3. 0. 14, 25°. 15, @ + p. 16. - G)+ . 17. வேப - மவ. 18. (11பம+19மவ+வப). 19. LD2 + 2. 20. 5 ܦ݂ܢ*. 21, 5, 22 {(7அ-3இ-5உ). 23. -(19க2+ 11 ந2+ ய2). 24. 10(க2-ந?). 25. 3க2+ 4. 26, 6(க2- ந?); 0.
பயிற்சி 8 (ஆ). பக்கம் 108.
1. ப+ ம - 2 வ. 2. ப+ 6ம + 3 வ. 3. ப? + 2 ம?-11 வ?. 4. ப8 - 5 ம8 + 6 வ8, 5. பம - 5 மவ + 2வப. 6. பம + 4 மவ. 7. க? - 12 க + 3, 8, 5 ந8 - 2ந2 - 4.ந - 2, 9. 4 ப8-2ப?-2ப. .2 J. 11. - க 2 - 7 அ க + 2 அه 4 - *ره ل. - 8 نه ؤ .10 12. - க - அக2+ அ2க - 3 அ8. 13. - 2 க9 - 2 க?ந - 2 கந?+ ந8. 14. - க?-4கந+ ந2. 15. 4 - ந - ந?. 16. - 3 ப - 5 ம + 4வ. 17. ப - 10 வ. 18, 4அ-+இ+உ. 19. அ? ;க? - 5 க .21 .(8يه 5 - 8 م13L/8 -- 7L) .20 .2 وع 1 + 2(2 - 14. 22. ந? + ந + 3, 3. 23, 4அஇ- 2இ2; - 11. 24. அ? - இ? - உ2 + 2 இஉ; 0.
பயிற்சி 8 (இ). பக்கம் 114.
1. - 15 L + 2 OLD - 15 au. 2. - 9பக + 6 ம க - 12 வக. 3. 4 ப8 - 6பம? - 8வபே. - 4. - 6அபம க + 9 அம வக - 15அவபக. 5, 6 ப? - 5 பம - 6 ம?. 6, 6 க? - 13 பக + 6 ப2. 7. 6 க? + க - 1. 8. 1 0 L Ꭵ* + 2 1 L.1 -- 1 0 . 9 , 6 Ꮮ Ꭵ* - l 3 Ꮮ 1 + 6 .
10. 10 L2 -- Lu -- 3. 11. வ? - 1. 12. 3, LD°— * LD + i. 93 6 .15 .1 - 695 + 92 11 - 3 و 6 .14 .Ln 2 + LD - I .13 + 5 க2 - 8 க - 3. 16 2 - 1 3 95 + 27 6 17 . 953 8 1 -سه 2 و g8 + 5 க?ந - 8 கந2-3ந8. 18, 6 க9 - 5 க?ந+ 4கந? - ந.ே 19. 2க3 - 9 க?ந + 2 கந2 + ந?. 20. க? + க - 2. 21. كg52 - 9 . 22. க? - 9 க + 20. 23. 4 க? + 4 க - 3. 24, 6 க? + க - 1.
395-La

Page 123
X மாணுக்கரட்சரகணிதம்
25. 5 க2 + 19க - 4. 26, 12 ந2 - 7ந+ 1, 27. 1 - 2 ந - 15ந2 28. 1 + ந - 6ந?. 29. 12 - ந - 6ந?. 30, 30 ந2 + 7ந - 2. 31. கநே2 - 4. 32. 2க%ந?- கந - 3. 33. 6க?ந2 - 7கந + 2. 34, 10 ய2 + 33 ய - 7. 35. 6 u? - 13 u -- 5. 36. 1 0 L2 ட 7ய + 1 . 37, 1 - 25 ய2, 38. க* - 1. 39. க - 5 க?+ 6. 40. கA - 25. 41. கசி + க2 - 2. 42. 125 - 175?-- 6. .9 + I ۰ 44, க% - 4 க + 4. 45,க2 + 6 க -- 95 2 - 4 و 5 1 43 46, 1 - 2 க + க?. 47, 4 க2 + 12 க + 9. 48, 9 க2 - 6 க + 1. 49 9 க2 + 12 க + 4, 50, 4 க2 - 20 க + 25. 51. 9 க2 + 6 க + 1. 52. 4 க? - 20 க + 25. 53. அ2க2 + 2 அஇகந+ க?ந2. 54, அக2 + 2 அகந+ ந2. 55. அ?க?- 2அஇகந+ இ?ந? 56, 6 ப8 - 13 ப? - 3ப + 6: - 10, 57, 10 க9 - 15 க* - 9 க3 + 22 க2 - 22 க - 8. 58, 5 க9 + 13 கசி - 16 க9 + 10 க2 + 18 க - 12 - 12, 59, 16 க* + 4க?ந2 + ந4; 21, 60. 3 க2 + 4ந?-3ய? - 8கந - 4நய + 2யக. 61. 96 க + 32 க* - 144 க9 - 14 க?- 40 க + 5, 62. க3 - ந8 - ய? - 3 கநய. 63. 12 க - 18க* - 11 க2 + 1. 64. க - கசிந - ந.
பயிற்சி 8 (ஈ). பக்கம் 118.
1, 2 க - 1. 2. க2 - 8க. 3. - 3 க2 + 2 கந + 6 ந?. 4, - 3 க3 + 2 ந8. 5. 18ந2 + 3 ந - 6க. 6. 2ந2 + 4 ந - 1. 7. 3பம? - 5 த*ப - 4தம. 8, 3 க - 2ந+ 4ந?. 9, 2 அ - 1. ?gy -- 1 . 11. 2 க + 1. 12, 25% - 5 - I . 13. 4 u uے 3 .10 - 2 ப - 3. 14. ப2 + 2 ப - 4. 15. க?- கந+ ந?. 16, 4 க? + 2 கந + ந?. 17. 2 க? + க -4. 18. 2க2 + 3 கந - 2 ந2.
19. 8 க + 4 க2 + 2 க + 1 20, 4 அ2+ இ2+ 1 - 2அஇ + இ + 2 அ. 21. 1 - அ + அ3. 22. க?+ ந?+ ய2+ கந - நய+ யக. 23. க? - அக + இ?. 24. அ?+ இ? + 9 + அஇ + 3இ- 3அ. 25, 2 க* - 3க - 1, 26, 3 க9 - 2 கப?- ப8; - 3. 27. க+ே கநே8+ ந;ே 1. 28, 2 + 3 க - க?; - 2.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 3. பக்கம் 120.
~94. 2. L u + LD — 4 6)I. 3, 1 - 4 க + 8 க2 - 12 க3 + 16கக் - 14 க + 5 க.ே 4. - 10 க?. 5, 6 அ? + 5 அஇ- 6இ2 ச. யார்.

விடைகள் Xi
ஆ. 1. 5ப+2ம - 2 வ. 2. க?+3க-1, 3, 12க?-7க - 12, 4. தபமே. 5. (100+ ai) 5 T.
இ. 1. (ப2+ ம2+ வ?). 2. வ - 2ப + 4 ம. 3, 4 க? - 12 கந+ 9ந?. 4. - 4இஉ?. 5. (9ந? - 4 க?) சது. அடி. ஈ. 1. க? + 2 க - 1. 2. க?+ 2 கந+ 4ந2, 3, 5 க2 - 24கந - 5 ந?; - 63. 4. க2 + 3ந?. 5. 3இ.
உ. 1. 1. 2. 6க9 - 13 க?ந + 9 கந? - 6ந8. 3. 4க? - 2 கந - 4ந?; 16. 4. க* + 4 க?ந? + 8ந4, 5. (க + 30)°ச (க - 20)°ச.
鲁 11. 2. 9ப? + 12 பம + 4 ம?. 3. வ(2ம + வ).
30 8 D 4, த ப + ம? - மத - பம. 5. 30க ரூபா,
எ. 1 - 2, 2. - (2 க? - 5 க + 4); - 14. 3. க-ே ந8 - ய8 - 3 கநய. 4. க? - 5 கந - ந?; 1, 5, 6 க* கனவடி.
ஏ. 1. 6 க + 5 ந - 11ய. 2, 3க-ே க?. 3, 2 - க - 4 க? + 7 க + 2கக் - 8 க + 5 க+ே 5 க? - 2 க.ே 4, 4க2+ ந? + ய2 + 2 கந
நய + 2யக. 5. 2(ந+ அ) உ சது. அடி.
25II, 1
· 1. 2. 2. (72க - 13) அங். 3 யார், 1, 11". 3, 6 - 6 க + 7க? - 4 கஃ+ 4 க* - 3 க9. 4. 1 + க + க - க* - க*. 5. - 2ந மைல்.
பயிற்சி (9) அ. பக்கம் 126,
1。一卫墨。2。器。3。I,4。一器,5。墨,6。墨。 7. - 2. 8. 1붉. 9. 新. 10. 8. 11. 堂. 12, - 10. 13. — 2. 14. 0. 15. — l. 16. 3. 17. — II . 18, 2.
2 2 19. 3இ - அ. 20. - 4. 21. அ + இ. 22.
இ 23. 1. 24. --சிஇ 25, 1 26, 0, 27. 0, 28 - 2.
அ + இ .3 ---- .33 . 6- ,32 . بیلی۔ -- .31 .2 -- .30 . 4- .29
34. - 3품. 35. - 7. 36. 몸. 37. - 붉붉. 38. 1. .5 42 . 11 س- 41 - 6 -- 40 . I .39

Page 124
xii மாளுக்கரட்சர கணிதம்
பயிற்சி 9 (ஆ). பக்கம் 128.
1. - 3. 2, 1. 3. 0. 4, 0. 5. - . 6, - 4.
3 7. - I. 8, 4. 9. 23 10. 一五墨。 11. 一繼· 12, 3羞。 13. 7. 14, - 2. 15. -. 16. - 17. 구. 18, 3. 19. - 1. 20. 1. 21. 0. 22, 1. 23. 1. 24. 1. 25. 3. 26. -붉. 27. 1. 28. 1. 29. - .
பயிற்சி 10 (அ). பக்கம் 131.
1. 16 ரூபா, 14 ரூபா, 19 ரூபா. 2, 24 ரூபா, 18 ரூபா, 48 ரூபா. 3, 24 ரூபா. 4, 90. 5. 33. 6. 60, 45. 7. 90. 8, 96. 9. 12, 14, 16, 18. 10. 16, 18. 11. 35 ஆண்டு, 10 ஆண்டு. 12. 45 ஆண்டு. 13, 40 ஆண்டு, 20 ஆண்டு. 14. 24 ஆண்டு, 16 ஆண்டு. 15. 24 ஆண்டு, 12 ஆண்டு. 16, 30 ஆண்டு, 10 ஆண்டு. 17. 66 ஆண்டு, 60 ஆண்டு. 18, 39', 28. 19, 24'. 20, 1320, 21. 160, 120. 22. 150, 80. 23. மணிக்கு 4 மைல்,
மணிக்கு 2 மைல். 24, 5+", 6".
பயிற்சி 10 (ஆ). பக்கம் 136.
1, 4 மணி நேரம். 2. LS. L. 330. 3. 350 மைல். 4. 5품 மைல். 5. 93. 6. 63. 7. 264. 8. 1800 சது. அடி. 9, 13920 சது. அடி. 10. 140 சது. அடி. 11. 4 gyuq. 12. 42 uurt ti. 13. 80. 14. I 4. 15. 6. 16, 8,
பயிற்சி 11 (அ). பக்கம் 140.
1. கs. 2. 4 கA. 3. 9 க.ே 4. 16 க10. 5. 4 aਸੁ.
6. 9 ჟ;*[bწ. 7, 25 க?ந8. 8. 16 ਸੁ. 9. Sofiouo. 10 ਯBu. 11. க?ந*ய.ே 12. க*ந4ய4. 13. - 859. 14. 64 go. 15. – 125 g. 16. 8 go. 17. --
丁丞7丐”

விடைகள் xiii
க3 Jopo 2753 1 . 18. " - 8 55* 19. 「g7丁・ 20. - 12 5p6* 21. 8s. 659
8 27 nnn H- H- SS -6 ܐ ܚ(Y3 22. 27கநே6" 23. 125 கநே6" o 853 E3 25. அஇே?.
418 1010 - R a.3(a)9 _அ3 26. அ4இ8. 27. 32அ10இ10. 28. -8 அஇே9. 29. 8இ8கே
அ*இ அ8 அக்கக் 8 அ3 30. g,8512 * 31. - @(3 32 "99ی இந8 33. - 2 7 L 3 96ی"
24.54 ვ6 34. 34 够 35. 24.36 36. − 29. 56 37. 3,12. .68 - .41 .612 .. 4 .py0g)6g<6. 39. – 2 ... s17وی 5 -- .38
3 42. 24.37. 43 275,121512. 44. - Ε: 2.
பயிற்சி 11 (ஆ). பக்கம் 145.
1. க? + 10 க + 25. 2. க2 - 8 க + 16. 3. க? + 4 க + 4. 4. க? - 4கந+ 4ந?. 5. க?+10கந+ 25 ந?. 6. க? - 8 கந + 16ந?. 7. 4க2+ 4கந+ந2. 8. 4க2 - 12 கந+ 9ந2. 9, 4 க? + 20 கந+ 25ந?. 10. அ2 - 6அஇ + 9 இ2, 11, 4 அ2 - 20 அஇ + 25இ?. 12. 9 அ2 + 6 அஇ + இ?. 13. Il 6 gy* + 8 g) + 1 . 14, 25 அ? - 20 அ + 4. 15. 16அ2 - 24 அ + 9, 16, 4 அ?இ? - 4அஇ + 1. 17, 9 அஇே2 + 6 அஇ+1. 18, 25 அ2இ2 - 20அஇ +4. 19. 1 - 10 அ + 25 அ?. 20. 4 + 20 அ + 25 அ?. 21. 9 - 6அ+ அ?. 22. கஃ+ 4ந2 + ய2 + 4கந + 4நய + 2யக. 23. க2 + 4ந2+ 9 ய2 - 4கந+ 12நய - 6யக. 24. க2+ ந2 + 4 ய? + 2 கந - 4நய - 4 யக. 25. 4 க2 + 9 ந2 + 25 ய2 - 12கந - 30 நய - 20யக. 26. 9 க2 + 4ந2+ ய2 - 12 கந - 4நய + 6யக. 27. 25 க2 + ந2 + 9 ய2 - 10 கந- 6நய + 30 யக. 28, 4 க* + 9ந*
+ 1 - 12 க?ந2- 6ந2 + 4க2. 29. 9 க* + 4ந4 + 1 + 12 க?ந2 - 4ந2 - 6க?. 30, 25 க + 4ந4 + 1 - 20 க?ந2+ 8ந2 - 10 க?. 31. அ2++இ+ உ?-அஇ+ இஉ-ஃஉஅ. 32. அ2 + 4இ?
+ உ2+ அஇ-இஉ-ஃஉஅ. 33. அ2++இ+ உ2 - அஇ - இஉ++உஅ. 34. 4அ4 - 4அ?+1. 35, 9 அ4 + 12 அ2+ 4.

Page 125
Xiv மாணுக்கரட்சர கணிதம்
36, 4 அ4 - 12 அ? + 9. 37. 4 க + 4 க?ந2 + ந4. 38. 9ց,4 - 12 க?ந2 + 4 ந4. 39. 25 கA + 10 க?ந2+ ந4. 40. க3 - 3 க2. + 3 க - 1. 4. க+ே 6 க2 + 12 க + 8 , 42. க3 - 9 க2 + 27 க - 27, 43, 8 க3 + 12 க2 + 6 க + 1. 44. 27க9 - 27 க2 + 9 க - 1. 45. 27 க3 + 27 க2 + 9 க - 1. 46. 8க9 - 36 க?ந+ 54கந2 - 27ந2, 47, 8க3+ 36 க?ந+ 54கந2 + 27ந8. 48. 2738 - 27க?ந + 9 கந2 - ந8. 49. அஇே8- 9 அ?இ2 + 27 அஇ - 27. 50. 1 - 6 அஇ + 12 அ?இ? - 8 அஇே?. 51, 1 + 9 அஇ+ 27 அ2இ? + 27 அஇே?. 52. 4அ?இ?-12அஇ + 9. 53, 27 அ2இ3 - 27 அ?இ? + 9 அஇ - 1. 54. 4அ?இ2 + 4 அஇ + 1, 55. அ"இ? + 6 அ?இ2 + 12 அஇ + 8 56. க?+ 4ந2+ 9 + 4கந - 12ந - 6க. 57. அஇே9 - 15 அ2இ2 + 75 அஇ- 125 58 க* +ந4 + ய4 - 2 க?ந2 - 2 ந2ய2 + 2யகே?. 59. 1 -t-. 60. க + 4ந4 + 9 ய4 - 4 க?ந2 + 12ந2ய?- 6யகே?.
பயிற்சி 11 (இ). பக்கம் 149.
1. க?. 2. 5 д6. 3. 35. 4. 2 bo. 5. 7கநே. 6. 4கந4, 7. 6 கநே?. 8. 8ჟ74ეbნ. 9. : 10. .14 .13 12雾 قوة .11 15. 6. |- 17. 3-9/g). 18. - 5 gad 8. 19. - 2அ2இ4. 20, 4 அஇே8. 21. "* 22. 2* 23. # 24. "ఆడా 25. తిథి 26. _22 27. ಶಿಳ್ಗಣ್ಣ, 28, 344 29 , 30 తేడా 31. · 32. 33. -

விடைகள் XV
பயிற்சி 11 (ஈ). பக்கம் 153.
1. க + 6. 2. ந - 8. 3. 2க+ 3, 4, 3 க + 2. 5. 3க
I I - 4ந. 6, 4 க + 3 ந. 7. 2 - 8. 3 9 ܀ 8 - ܗ̄. க. 10. 2க - 3. 11. க - ந - 2. 12. க - 2 ந+ 3ய. 13, 4 க? - 2 க - 1. 14, 2 க2-3 க + 4. 15, 3 க? - க - 1. 16, 2க? - க - 1. 17, 2 க2 - க - 6. 18, 6 க? - க - 2, 19, 2 ந3 - 1. 20. 3ந3+2. 21, 6 ந2 + 1, 22, 5 ந2 - 2, 23, 1 - ந - 6ந?.
24. 1 +ந- 6ந2. 25, 2 க3 - 2 க + 1. 26, 3 க3 - 2 க? + 1.
27。5十2。 28. க - 3. 29, 3 க - ந. 30, 3 க + 2 ந.
31. 1 - 3ந. 32, 2 + 3ந. 33. க + ந. 34, 3 க - இந.
35. 3 36 8 - ܗ̄. *サあエ
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 4. பக்கம் 155.
2
- 6 கந +ந?. 3, 3 க2 - 8 க - 3. 4. - 1. 5. - 30.
2அஇ? - , 1. - - -; - -. J》 2@2一五 l + 5க2 5 2, 25 அ?இ 0 அஇ ولي 1 + 12 க + 48க2+ 64க3, 3, 5க2+ 7க - 6. 4. 30, 5, 60. இ, 1, 4க - ந; - 6. 2, 4 க?+ ந2 + 1 - 4கந+ 2 ந - 4 க.
3, 1 + 2 க - 2 க.ே 4. 54. 5. 20 அடி.
ஈ. 1, 3க - 5ந; 16. 2. 1 + 4அ2 + 9 இ2 - 4 அ - 12அஇ + 6 g). 3 8 353 - 1 - 4 -- I : - 5. 18 அடி, 12 அடி.
அ 27 27 1 - - 1 . 2 , - 5 + - , , 4 க? 2. 1 2g228 2 歪ァ*ー&*+すエーすエ 3. 4க - 9ந2. 4. 1. 5. 255, 256.
2அ gsm. 1. 8ളൂ?#* 瑟· 2. க2 - 2 கந + ந2 - 2(அ - இ)க
+ 2(அ- இ)ந+ அ2 - 2அஇ+ இ?. 3. 3க - 2, 4 - 1. 5. - 6.
-2 .2 -- 953ق • ؟ --سسستممس ـ 6T. 1. 4அக?" 2. க - 3(அ - 1) க? + 3(அ? - 2 அ

Page 126
Xvi மாணக்கரட்சரகணிதம்
+ 1)க - அ- 3 அ + 1, 3, 4க +1. 4. - 4. 5. 2 மைல்.
I . 1. 6. 2, 9 க* - 12க?ந2+ 4ந4. 3. 1 + خے سس۔ سیحہ۔
4 - 2 5. மைல்.
ஐ. 1. - 4. 2. 125 க+ே 150கக் + 60 க?+ 8. 3, 2க - 3. 4. - 붉. 5. 5 மணிநேரம்.
பயிற்சி 12 (அ). பக்கம் 161. 1. 2க(2க - ந). 2. க?(க - 1). 3, 2க(1 - 3க). 4. 5 அக(1 + அக). 5. க(க+ந). 6. 16(1 - 5). 7. கஃ(3 - க). 8. க*(க-ந). 9. 5அ(1 - 5 அஇ). 10. அ(7அ2 + 1). 11. 2(1 + 2அ?இ?). 12. அ?(4அ4 + 1). 13. அக(1 + அக + அ?க?). 14. 2க(1 - 2 க - 4 க?). 15. 7க(1 - 2 க + க?). 16. அ(அ + க - அ?க). 17. 2கந(க2+ 2கந + 3 ந?). 18. 2கந(3க? - 2 கந+2). 19. (அ- இ)
(க - ந). 20. (அ- இ)(க+ ந). 21. (அ + இ)(அ- க). 22, (2 - அ)(க-அ). 23. (அ-இ)(2 க - ந). 24. (2க - 3ந)(3 க - அ). 25. (க + 3ந)(க - அ). 26. (க -1) (க2 + 1). 27. (க + ந)(ந - 1). 28. (1 - அ)(க - ந). 29. (அ + இ)(அ + இ + 1). 30. (க - ந)(அ- இ - உ). 31. (க - ந)(கந - 1), 32, (அ-இ)(அ- 3இ + 1). 33. (க - 1)(க3+2). 34. (க + ந)(கந - 1). 35. (அ- இ) (க - ந). 36. (க - அ)(க - இ). 37. (பம + வத)(மத - G1). 38. (9) - 1) ( 5 + 1). 39. (பம + வத)(மத + பவ). 49. (பம - வத)(மத - பவ). 41 - (அ-இ)(இ - உ) (உ - அ). 42. (அ-இ)(இ- உ)(உ - அ).
பயிற்சி 12 (ஆ). பக்கம் 168.
i. (3.5 + 1). 2. (2க - ந)?. 3. (க - 2)?. 4. (1 + *க)2. 5. (1 ++க)2. 6. (1 - கந)2. 7. (க - அ + 1)?.
8. (அக-இ)2. 9. (2க - அ + இ)?. 10. (*一菇片

விடைகள் XVi i
2 . ... I 11. (+ந). 12. )1–4( .13 .*(و په چக - 3ந)(4க 3ந). 14. (9 - 4க)(9 + 4 க). 15. (5 - 2க)(5 + 2க). 16. (5 க - 1)(5 க + 1). 17. (8 - 5 க)(8 + 5 க), 18, (2க
- 7ந)(2 க + 7ந). 19. (10 - கந)(10+ கந). 20. (கநய - 11)(கநய+11). 21. (அக - இ)(அக + இ). 22, (3கந - 5 அஇ)(3கந+ 5 அஇ). 23. (அ + இ - 1)(அ + இ + 1). 24. (6 - அ + இ)(6 + அ - இ). 25. (2 க - ந - 1)(2 க - ந + 1). 26. (1 - க + 2ந)(1 + க - 2 ந). 27. (அ- 2இ + 3.உ - 1)(அ-2இ + 3 உ + 1). 28. (க - ந)(க+ ந)(க2+ ந?). 29. (2 அ - 3இ)(2 அ + 3இ)(4 அ? + 9 இ?). 30. (1 - 2 க) (1 + 2 க)(1 + 4 க?)(1 + 16 க*). 31. (3 க - ந)(3 க + ந)(9 க? + 5"り。 32. ( க - ந - 4)(3க - ந - 2). 33, 4 க(க + 6 ந). 34, 12 க. 35. 5(க - ந)(க + ந). 36. (அ-1)(அ + 1) (அ? + 1). 37. ) 9[ -- ےD) ( 9} + 2(g) -- D (. 38. (க - 2) (க + 1). 39. (க - ந)( க + ந - 1). 40. (அ- இ)(அ + இ - 1). 41 (அ-இ)(அ + இ + 1). 42. (க - ந)2(க + ந)?. 43. ( க + ந - 1)(க + ந + 1). 44. (5 - 2 க + ந)(5 + 2 க - ந). 45. (க - ந - 3) (க - ந + 3). 46. (2 க - 3ந - 5)(2க - 3ந +5). 47. (க2 - க + 1)(க2+ க -1). 48. (க + ந + 2 கந) (க+ ந - 2 கந). 49. (க - ந - ய - 1)(க+ ந - ய - 1). 50. (க- ந - 6)(க- ந+ 6). 51. ( க - ந + ய)(க + ந - ய). 52. (1+ க - ந+ ய)(1 + க + ந - ய). 53. (க2- அ? --இ2). (க2 - அ2+ இ?). 54. (க2 - 3ந+அ)(க2-3 ந - அ). 55, (அ? - அ - 9)(அ?- அ + 9). 56. (க3 - க?-1)(க3+ க2 - 1). 57. (அ + இ - உ - எ)(அ + இ + உ + எ). 58. (அ- இ - உ + எ)(அ- இ + உ - எ). 59. (2அ - இ - உ - 3க)(2 அ + இ - உ - 3க). 60. (அ- 2இ + 3உ)(அ + 2இ + 3உ). 61. (2 க + 3 ந)(4 க? - 6 கந+ 9ந?). 62. (5 க - 1)(25 க2 + 5 க + 1). 63. (1 + 4 க) (1 - 4 க + 16 க?). 64. (1 - 2 க) (1 + 2 க + 4 க?). 65. {1 + 4கந)(1 - 4கந+ 16 க?ந?). 66. (10 - கந)(100 + 10 கந+ க?ந2). 67. (கநய + 1) (கந?ய?- கநய + 1). 68. (கந - ய)(க2ந2+ கநய + ய2). 69. (க2 + 3ந)(க* - 3 க?ந+ 9ந?). 70. (1 - 2 க)(1 + 2 க) (1 + 2 க + 4 க?)(1 - 2 க + 4 க?). 71. 2(2க - ந)(2 க + ந)

Page 127
ХViji மாணக்கரட்சரகணிதம்
(4 கஃ+ 2 கந+ ந?)(4க?-2 கந+ ந?). 72. 2(5 - 1)(5 + 1) (க2 + க + 1)(க? - க + 1). 73. (2க - ந + 1)(4க% - 4கந. + ந?-2 க + 2 ந+1). 74. (1 - க + 2ந)(1 + க - 2ந+ க? - 4கந+ 4ந?). 75. (1 + 2 க - ந)(1 - 2 க + ந + 4 க? - 4கந+ дb”). 76. 2ந(3க2+ 6 கந+ 4ந?). 77. (க - 3ந) (க2-3 கந+ 3ந2). 78. 2ந(3க? - 6 கந+ 4ந2). 79. (3 க + 2) (9 க2 + 21 க + 13). 80. 2(25 + 1)(4 5 - 25 + 1). 81. 2(3 - 2க)(3 - 6 க + 4 க?). 82, 2ந(3க2+ ந2). 83.
(க - 2)( க + 2)(க2+ 2 க + 4)(க2 - 2 க + 4). 84 2க(க2 + 3ந?). 85. ந(14க2 - 6கந + ந?). 86. க(ேக - 2அ)(க2 + 2 அக + 4அ?). 87. (க- ந)(கக் + 2 கநே + 6 க?ந2 + 2 கந8+ ந4). 88. (க - ந)(க2+ கந+ ந2 + 1). 89. (க + ந)(க2- கந+ ந2 - 1). 90. (க - ந)(2 க - 2ந - 1)(4 க? - 8கந + 4ந2+ 25 - 2 b + 1). 91. ( க - ந - ய)(க2-2கந+ ய2- நய+ யக + ய?). 92. (க - ந - ய)(க2 - 2 கந+ ந? + யக - நய + μμ.). 93. (க2 - க - 1)(க* + க - க? -க + 1). 94. (2க + ந+ ய)(4க2+ ந2+ ய?-2 கந - நய - 2யக). 95. (க + 2ந - 3ய)(க2+ 4ந2 + 9 ய2 - 2 கந + 6நய + 3யக). 96. (க + 3ந + 1)(க2+ 9ந2 + 1 - 3கந - 3ந - க).
பயிற்சி 12 (இ). பகக்ம் 178.
1. ( க + 3)(க + 4). 2. ( 5 - 4)(3 + 3). 3. ( க - 6) (5 + 2). 4. (25 - 1)(35 - 1). 5. (2 க + 1)(4 க - 1) 6. (க - 3)(க + 4). 7. (2 க - 3)(3 க + 5). 8. (2 க + 3) (2 க - 5). 9. (395 + 4)(3.5 - 5). 10. (1 - 8க)(1 + க). 11. ( 1 - 35)(1 + 5 5). 12. (3 - க)(3 - 8க). 13. (35 - 1)(55 - 2). 14. (க - 5)(க + 2). 15. (2 க - 1) (5 க + 1). 16. (2 க - 3ந)(8க - 15ந). 17. (க - 6ந) (8க - 1). 18. (க - 6ந)(6 க + ந). 19. (கந+ 8)(8கந - 1). 20. (கந + 2)(8கந - 3). 21. (2 கந + 1)(12கந - 1). 22. (2 க - 3 அ)(3 க + 2 அ). 23. (3 க + 4 அ)(4க
- 3). 24. (5 க - 2 அ)(5 க - 6 அ). 25. (க + 2)(க - 5). 26. (க - 2)(க + 6). 27. (க - 2)(க - 8). 28. (2 க - 1) (4 க + 1). 29. (3இ- 4)(6இ + 5). 30. (3 ப - 1)(6 ப+5).

விடைகள் Xix
31. (இ- 1)(9இ + 1), 32. (வ - 3)(வ - 5). 33. (4ம - 3) (6ம - 5). 34. (1 + 2க)(3 - 5க). 35. (5 கந+ 1)(6கந - 1). 36. (3 க - 2 ந)(6 க + 7ந). 37. (5 க - ந)2. 38. (1 + க) (4 - 5 க). 39. (1 + 2 கந)(1 - 6 கந). 40. (கந + 1)(8கந - 9). 41. (9க - ந)(6 க + ந). 42. (2 + 3 க)(12 - க). 43. (1 - அ) ر(4g ـ 3 ) .45 . ( 1 + *L 2 )(2 - لارL 3 ) .44 . (او 7 + &)(]وۍ + 1 ) (4 + 3இ). 46. (2க9 - 3ந8)(3க* + 2ந?). 47. (5 க?-ந2) (க2 + 5 ந?). 48. (க3 + 4ந3)(6 க* - ந?). 49. (3 க + 4)(4க - 3). 50. (3 க - 1)(4 க + 1). 51. (2 க + 5)(5 க - 2). 52. (க - 5) (5 க + 1) . 53 (க - 2)( க - 10). 54 (2 க + 3)(2 க - 5). 55. (க - 6ந)(க + 7ந). 56 (1 - 3க)(1 + 4 க). 57. ( க + 4) (க - 5). 58. (3 கந + 1)(3கந -4). 59. (கந - 2)(5 கந+ 3). 60. (1 + 3 ந)(1 - 6ந). 61. (3 - 8க)(4 + க). 62. (4 க + 3 ந) (4 க - 5 ந). 63. ( க + 3 ந)(6 க - ந). 64. (க-2 ந)( க + 2ந)2. 65. (4க2 + 2கந - ந?)(4 க?-2 கந - ந?). 66. ( 5 - 5 + 1)(5* + க + 1). 67. (க2 - க + 2)(க2 + க + 2). 68. (க2-3 க - 1) (க2+3 க - 1). 69. (க-ந)(க + ந)(2 க - ந)(2 க + ந . 70. (க - ந)(3 க - ந)(க + ந)(3 க + ந). 71. (க + 2 ந)(க - 2 ந) (2 க - ந)(2 க + ந). 72. (க2 + 3 கந - 2 ந?)(க2-3 கந - 2 ந?). 73. 2(க - 6)(க - 7). 74. 2இ(க + 6)(க-8). 75. அ2க2(இக - 1)(இக + 1). 76. (5 க?-3 கந + 4ந?) (5 க? + 3 கந + 4ந2). 77. (2 அ-2இ-1)(2 அ-2இ + 1). 78. (3 அ + 3 இ + 1) (9 அ2+ 18 அஇ + 9 இ2-3 அ- 3இ + 1). 79. (1 - 2அ + 2 இ) (1 + 2 அ-2இ + 4 அ2-8அஇ + 4இ?). 80. (க - ந)(க + ந)(க2+ கந+ ந )(க?- கந+ ந?). 81. (அ- இ)(3அ - 3இ- 1) (3sgy – 3 g) + 1 ). 82. (5 – 1)(5 + 1)(5* + 1)(52 + 4). 83. (2 க2-3 ந?). 84.(க - ந)(க+ ந)(2 க - ந)(2 க + ந).85.(க - 2ந) (க2 + 2 கந + 4ந? - 1). 86. க(5 - 6க). 87. (க + 1)(க - 3) ( 5 - 1). 88. ( 2.5 - 1)(25 + 1)(3.5 - 1)(35 + 1). 89. (5 + 2) (க - ந -3). 90. (க - 1) (க + 1)2(க2 + 1)2. 91. (ந - 3) (க-ந+2). 92. (க + 1) (க-1)(க+3). 93. ( க - ந}(க- ந - 1). 94. (க - அ)( க + அ)(க - இ)( க + இ). 95. (1 - 2 க)(1 + 2க) (1 - 3க)(1 + 3க). 96. (12 அ- இ)(அ - 12இ). 97. (அ- இ-1)(அ- இ + 1)(அ?-2அஇ + இ2+1). 98. (ப+ ம - 1)

Page 128
XX மானுக்கரட்சரகணிதம்
(ப+ ம + 1)(ப2 + 2 பம + ம? + 1). 99. (க2 -க + 1)(க23 க + 3) 100. (1 - 2அ)(1 + 2 அ)(1 - 3 அ)(1 + 3 அ). . 101. அஇ(அ- இ)*(அ + இ). 102. (1 + இ)(1 - 2இ)(1 - g) + g)(1 + 2(g) + 43o). 103. (க - ந)(க+ ந)(5 க + ந?). 104. (2க - 3ந+ 1) (2 க + 3ந - 1). 105. - 4 அஇ. 106. (3 - ந)(7 - ந). 107. ( u l po — 4 )(l u LD — 5). 108 (2 க - ந + 1)(3 க + ந - 1). 109. (க + 2 ந + 1)( க + 2 ந - 3). 11. 4.அ. 111. (அ- 12இ)(அ + 12இ). 112. அ(அ- 2). 113. ( க + அ)(க + அ - இ). 114. (அ + இ)(2அ - இ)(2 அ + இ). 115. (அ-2இ)8. 116, (2க-3ந - 2)(3க-2ந+ 3). 117. (க + 8ந) (8க - ந). 118. - 2(4 - 3 அ)(2 - 3 அ). 119. (அ- 2)?. 120. (2 + 3 ந)(3 - 8ந). 121. (ப + ம)?(ப - ம)(ப? - பம + ம?). 122. (க- ந)(க2+ கந+ ந2+ க + ந+ 1). 123. (கந? - 3 கந + 1)(கந? + 3 கந + 1). 124. (க - ந)(க"+ கந+ ந? - க - ந - 1). 125. (க - ந)(க2+ கந+ ந? - க - ந). 126. (2 அ + 3) (5அ-3). 127 (3 கந - 4)?. 128. (அ-இ)(அ-1)(இ- 1). 129. (அ- இ)(அ + இ)(அ + அஇ + இ). 130. (அ- இ) (அ + அஇ + இ + 1). 131. (அ- இ)(அ + அஇ + இ? - 1). 132. (க - ந)(க2+ கந + ந2 + க + ந). 133. (1 - ந) (1 + ந+ ந?)(1 + ந8+ ந?). 134. (க - ந)(க2-2கந+ ந? - க - ந - 1). 135. (12க + 1)(12க - 5). 136. (அ + இ - 2)(அ2 + இ? - அஇ - அ - இ + 2) 137. (2 க - 1)(2 க + 1)?(4க - 2 க + 1). 138. (க - ந)(க + ந)(க2+ ந2 + 1).
பயிற்சி 13 (அ). பக்கம் 185. 1。5=6,历=5,2。5=7,历=3,3。占=3,历=一4。
4 5=0 万=ーI. 5. க = 2, ந= - 2. 6. க- - 5, ந= 2. 7. க - 3, ந= 0. 8. 5=ー3 5=ー4。 9. க - 3, ந= - 4. 10. 5 is - 3, 15= - 1. 11. 5 = - 4, ந= 5. 12 5=ー墨 5=ー墨。 13. க = - 9, ந= 9. 14 5=豊。巫=ー墨・ 15,历=一翡,西=一墨· 16, 9, F. - , =붉. 17. க - 5, ந=4. 18 5=ーI場。 万=2豊。 19 あ=ー7塁 5=ーI. 2 5=ー甚 5=器 21 5=ー場。
巫=ー暴・ 22 5=ーl 5=I場。 23。5=墨,历=一基°

விடைகள் XXi
24 5=墨 5=ー霧・ 25 5=ー2 p=ー3 26 5=3。 巫=ーI・ 27. க- 2, ந= - 2. 28 க= - 4, ந= - 5. 29 5=ー2 5=ー5 30 み=ー3古、万=ー5吉。
பயிற்சி 13 (ஆ). பக்கம் 190.
2 5=ーI。 历=一2, 3.
1・ 5=ー2。 万=3. 2 க- 1, ந= -1 , ' 4。占=2,历=一2,5。占=一卫,互=2... 6. க- - த், ந= 1. 7 cm=10 万=I5. 8。5=2墨, E万=場・ 9 5=4器, 历=8器 10. கட - 3, ந= 6. 11. க= 4, ந= 5, 12. க= - 5, ந= 1 13,5=6,5=4。 14. க- 2, ந= - 4. 15。5=一碧,西=器 16. 5 = 1, ந= 2. 17. க - - 1, ந= - ச் 18。5=墨,历=一暴。 19 5=豊 万=ー量・ 20 5=墨 5=ーI 21. க-2, |b = 1. 22. 5=2 5=ー2 23 5=墨。。 万=ー3. 24. க= 2, ந= - 1 25. க = 2, ந= - 3. 26. க- 6, ந=5 27、5=一S墨,历= 28. க= 3, ந= 2. 29. க- 4, ந=2 30,5=一2,历=3 31. 5=吉。 E=ー吉 32 5=8墨 5=5 33 5=・02 万=I・45 34 5=4塁 5=器・35 5=3古 5=2古・36、36 写=2, ந= - 1 37. க- - 10, ந= - 11, ய= - 16 38 5= I, 5=0 u」=ーI・ 39 5=ー2。。 万=ー I, u=2・
40. க-ா - 1, ந= 1, ய= 2. 41. க = - 33, ந= 0, ய=1
பயிற்சி 13 (இ). பக்கம் 196.
1. 53, 28. 2, 63, 21. 3. 72, 40. 4. 90, 60.
8 5. . 6. . 7. .ே 8. 45 ரூபா. 9. 45 ரூபா, 15 ரூபா. 10. 56 ஆண்டு, 24 ஆண்டு. 11. 48 ஆண்டு, 42 ஆண்டு. 12. 2 e5 unir. 13. 5, 4. 14. 53. 15. மணிக்கு 12 மைல், மணிக்கு 8 மைல். 16. 64. 17, 24 மைல். 18. மணிக்கு 4 மைல், மணிக்கு 2
மைல். 19, 25 ரூபா, 5 ரூபா, 5 ரூபா. 20, 1 ரூபா,
1 ரூபா, ரூபா.

Page 129
XXii மாளுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 14 (ஆ). பக்கம். 214. 1. 4, 2, 2. 64 சது. அலகு. 3, 4-67 அங். 4. 65.
5. (0, - 1.3). 6. (3: 3, - 1). 7. ( - 2 - 5, 2 . 8). 8. I 4. 9, 2 .. 5 10. 2, 7. 1. - 2. 12. 1. 13. — II , 14. 5. 15. - 4 - 2, 16. க - - 1 = 5, ந= 2. 17. க- - 1 = 5, ந= 2. 18. க-2 - 6, ந= 1.4, 19. க= - 1 - 14, ந= - 2, 73. 20. க = 1 - 2, ந= 1 - 2. 21.
5=4・64。互=3・55. 22. செக்கனுக்கு 70 - 4 அடி.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 5. பக்கம் 216.
அ. 1. க;ே - 8. 2. (2அ - 1)(அ? + 1) (க - ந)(க+ ந + 1); (க+2)(க+ ந - 3). 3. - 5=ー墨。 5=器 4. i elib_IIT, i el IIT. 5. — 3 • 14. く
ஆ. 1. 6 கந; 3. 2. (பம+ வத)(மத + பவ); (க-2ந) (க2+ 2 கந+ 4ந2 - 1); (ந+2)( க + ந - 3). 3。一2; 5=墨, ந- - த். 4. 75 மைல். 5. -23.
இ. 2. ( க - 6)(6 க + 1); (2 க - 3)(4 கஃ- 6 க + 3);
(க + ந+2)(க+ ந - 3). 3. - 2; க- - 2, ந= - 3, 4. ஜ். 5. ー I・5.
ஈ. 2. (2 க + 3 ந)(9க - 4ந); 2க(க - 1)(க - 2); (க + 2த - 3)(2 க - ந + 4). 3. -*卷。 5=ー2。互=ー I. 4、68. 5. I 2.
g2 ... 1. 2870. 2. (1 + 2க)(1 - 6க); (க- ந)( க + த) (க - 4ந)(க + 4ந) (க + 2 ந - 3)(க - 2 ந+ 3). 3。一基; க= 4, ந= - 4. 10 அடி, 5 அடி. 5. க= 5, ந = 1 - 25.
ஊ. 1. க3-2 க*ந4+ ந8; 225. 2. (3 கந - 4)(4கந + 9); 9(க- ந)(க + த)(க*- க?ந2+ ந4); (க + ந)(க+ ந - 1). 3. -; க= -1, ந= - 2. 4. 22 மைல், 5 மைல். 5. - 4.

விடைகள் XXiii
எ. 1. 0; 0. 2. (க - ந - 1)(க+ ந + 1); (2க - 3) (6க - 5); (க - ந)(க+ ந)(க - 3ந)(க + 3 ந). 3. 7; 5=一卫,互=一3· 4. மணிக்கு 4 மைல், மணிக்கு 2
மைல். 5. க=1 . 3, ந= - 1 - 6.
6, 1. *=ーリ - 6. 2. )5* - ]52 -- L*)(5,* - [52 + Lر*(;
(3க - 5)(5 க + 3); 3 கந(க+ ந). 3. 2器; 5=l豊, 5=豊。 4. 104, 12. 5. - 1 - 33.
ஐ. 1. 1. 2. (க - 1)?(க + 1)(க - 3); (க + 6ந)(6க - ந); (க - ப + 1)(க2+ ப? + 1 + கப+ ப - க). 3,器; 5=3, ந= - 1 - 5. 4. மணிக்கு 9 மைல், மணிக்கு 4 மைல். 5. み=I, 乃=ーI場・

Page 130