Page 1
୯୬
-9/L (FIT
பகுதி
முதற்பகுதியோடு இப்பகுதி 6 ஆ பொதுத் தகுதிப்பத்திர வ
நூலா வ. பொன்னேயா,
(கொக்குவில்,
கொழு
அப்போதிக்கரிசுக் கம் குமாரவிதி, கோட்டை,
1)
 

}க்கர்
கணிதம் 演 11
பூம் வகுப்புத் தொடக்கங் கல்விப் துப்பு வரைக்கும் உரியது.)
D
Asus
B.A. (Hons.): Ph.D.
இலங்கை)
s இலிமிற்றெட்டு,

Page 2

இல: ஈ. பீபி/சீ/133
சான்றிதல்
மாணுக்கர் அட்சர கணிதம்-பகுதி 11
1952ம் ஆண்டு பெப்ருவரி மாதம் 29ந் திகதி வெளிவந்துள்ள இலங்கை அரசாங்க வர்த்த மானப் பத்திரிகையில் உதவி நன் கொடை பெறும் தன்மொழிப் பாடசாலைகளுக்கும், இரு பாஷைப் பாடசாலைகளுக்கும் ஆங்கில பாடசாலைகளுக்குமான ஒழுங்குச் சட்டத்தின் 19 (A)-ம் பிரிவில் பிரசுரிக்கப்பட்டதற்கமைய இப்புத் தகம் க. பொ. த. வகுப்புகளில் அட்சர கணிதம் படிப்பித்தற்கு ஒரு பாடப் புத்தகமாக 1969ம் ஆண்டு டிசெம்பர் மாதம் 31 ந் திகதிவரை உபயோகித்தற்கு வித்தியாதிபதி அவர்களால் அங்கீ கரிக்கப்பட்டுள்ளது,
ஜீவானந்த நானுயக்கார,
செயலாளர். பாடநூற் பிரசுர ஆலோசனைச் சபை.
பாடநூற் பிரசுர ஆலோசனைச் சபை, மலாய் வீதி, கொழும்பு 2. 7-10-1964.

Page 3

மாணுக்கர் அட்சர கணிதம் பகுதி 11
(முதற்பகுதியோடு இப்பகுதி 6 ஆம் வகுப்புத் தொடக்கங் கல்விப் பொதுத் தகுதிப்பத்திர வகுப்பு வரைக்கும் உரியது.)
நூலாசிரியர் 6. GLIT6öT260Tui T, B.A. (Hons.); Ph.D. (கொக்குவில், இலங்கை.)
O
|பதிப்புரிமை அப்போதிக்கரிசுக் கம்பனிக்கே உரியது.)
பிரசுரிப்பவர் கொழும்பு அப்போதிக்கரிசுக் கம்பனி இலிமிற்றெட்டு,
குமாரவீதி, கோட்டை, கொழும்பு, இலங்கை,
1958
விலை ரூபா. 4.00

Page 4
முதற் பதிப்பு 1958
கொழும்பு அப்போதிக்கரிசுக் கம்பனி இலிமிற்றெட்டு
அச்சியந்திர சாலையிற் பதிப்பிக்கப்பட்டது.

உள்ளுறை
பகுதி II
அத்தியாயம்
15. பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பன
16. பின்னங்கள் 17. கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக்கணக்குக்
களும
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 6 18. சார்புக்குறியீடும் மீதித்தேற்றமும் 19. இருபடிச் சமன்பாடுகள் 20. இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக் கணக்குக்கள் 21. இருபடிச் சார்பின் வரைப்படம்
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 7 r 22. குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுழு
மூலங்களும் 23. மடக்கைக் கொள்கையும் மடக்கைகளுடைய
பிரயோகங்களும் 24. ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடுகளும்
உத்திக் கணக்குக்களும் 25. இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள்
(தொடர்ச்சி) பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 8 26. விகிதமும் விகிதசமமும்
27. மாறல்
28. விருத்திகள்
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 9
பக்கம்
223
234
255
272
277
286
301
31 I
33
337
358
380
39 6
405
413
435
446
484

Page 5

முகவுரை
மாணுக்கர் அட்சரகணிதம் என்னும் நூல் இங்கிலாந் துக் கணிதக் குழுவினரால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முறைப் படி அட்சரகணிதத்தைப் பொதுமைப்பாடுடைய எண் கணிதமெனக் கொண்டு எழுதப்பட்டது; கணிதங் கற்பிக் கும் முறையில் நூலாசிரியரின் 35 ஆண்டு அனுபவத்தையுங் கொண்டது. இந்நூலின் முதற்பகுதி ஆரும் வகுப்புத் தொடக்கம் எட்டாம் வகுப்பு வரைக்கும் பயன்படும்; இரண்டாம் பகுதி கல்விப்பொதுத் தகுதிப் பத்திர வகுப்பில் வழங்கத்தக்கது. இப்பகுதியின் அத்தியாயங்களும் முதற் பகுதி யிற் போல ப் படி மு றை யில் எழு த ப் பட்ட ன. மாணுக்கர் அத்தியாயப் பொருள்களிலே தேர்ச்சியடைதற் பொருட்டுப் பரீட்சைப் பத்திரங்கள் இடையிடையை சேர்க்கப்பட்டிருக்கின்றன.
இலங்கையரசுத் தன் மொ ழி யலு வலகத் தா ரா ல் வெளிப்படுத்தப்பட்ட கலைச் சொற்களே இந்நூலில் எடுத் தாளப்பட்டன. இதன் கண் யாதாயினுந் திருத்தஞ் செய்யப் படல் வேண்டுமாயின், அதனை நூலாசிரியருக்கு அறிவித்தல் சிறந்த தொண்டாகும்.
இந்நூலைச் சிறந்த முறையில் வெளிப்படுத்தித் தந்த அப்போதிக் கரிசுக் கம்பனியாருக்கு நூலாசிரியரது நன்றி உரியது.
வ. பொன்னையா ஐப்பசி, 1958 (கொக்குவில், இலங்கை.)

Page 6

அத்தியாயம் 15
பொ. கா. பெ, பொ. ம. சி. என்பன
90. அட்சரகணிதத்தில் இரண்டு கோவைகளை, அல் லது இரண்டின் மேற்பட்ட கோவைகளை மீதியின்றி வகுக்குங் கோவைகள் பொதுக் காரணிகள் எனப்படும். அன்றிப் பொதுச் சினைகள் என்றுங் கூறலாம். அவற்றுட் பெரியது பொ.கா. பெ. , அல்லது பொ.சி. பெ. என்று சுருக்க முறையால் அழைக்கப்படும். பொ. கா. பெ. என் பது பொதுக்காரணிகளுட் பெரியதென்றும் பொ.சி. பெ. என்பது பொதுச்சினைகளுட் பெரியது என்றும் விரியும்.
ஒருறுப்புக்கோவைகளுடைய பொ. கா. பெ. உள வாராய்வு மாத்திரையாற் காணப்படும்.
உ-ம்.
1. அ?இ, அ?இ?, அ*இஉ. இவற்றினுடைய பொ. கா.
பெ. ஐக் காண்க. இவற்றின் பொ. கா. பெ. அ?இ என்று உளவாராய் வாற் காணலாம்.
உ-ம்.
2. 6 கந2ய8,8க?நயே, 10 கநேய2. இவற்றின் பொ. கா. பெ.
ஐக் காண்க. w
6, 8, 10 என்னும் இவற்றின் பொ.கா. பெ. 2 ஆகும். கந2ய°, க?நயே, கநேய? என்னும் இவற்றின் பொ.கா.பெ. கநய ஆகும். . வேண்டிய பொ.கா. பெ. 2கநய ஆகும்"
о-- Lib.
3. 6 க(க - ந), 9 க?ந(க - ந). இவற்றின் பொ.கா. பெ.
turf gif 6, 9 என்னும் இவற்றின் பொ.கா. பெ. 3ஆகும். க(க - த), க?ந(க - ந) என்னும் இவற்றின் பொ.கா. பெ. <历(占一历)。
" வேண்டிய பொ. கா. பெ. 3க(க - ந) ஆகும்.

Page 7
224 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
எண் குணகங்களோடு பொருந்திய கோவைகளின் பொ. கா. பெ. ஐக் கண்டவிடத்து அக்குணகங்களின் பொ.கா. பெ. ஐக் கண்டு, அதனை அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொ. கா. பெ. இன் குணகமாக நிறுத்தியமை காண்க.
பயிற்சி 15 (அ) பின்வருங் கோவைகளின் பொ.கா. பெ. ஐக் காண்க.
1. அ*இ’, அ’இ”. 2. 2அ, 6 அ?இ. 3. 6 கந*, 4கந8. 4. 125, 20ਲB. 5. 2க?ந, 8க*ந8. 6. 4, 8க?ந. 7. பமவ, பம?வ, பம வ?. 8. பம?வ3, பமே?வ, ப8மவ?. 9. 6 go 53 un 4, 83,854 uuo, 1 05“ BouL3. 10. 12 ժ5յ54սյ3, 18 g;"|5%այծ, 24கந*ய5. 11. அ(அ-இ), இ(அ- இ). 12. கந(க + ந), கந(க + ந). 13. கந(க - ந), கந*(க - ந). 14. 8 க*ந?ய(க+ந- ய), 12கநய?(க + ந - ய). 15. 6 அ?இ(க - 1), 12 அஇ*(க - 1). 16. 18அ?இ°(க - அ), 27 அ'இ’(க - அ). 17. 8(2 க + 3)(3க - 2), 12(3 க + 2) (3க - 2). 18. 10 க(க + 1)(க + 2), 15(க + 1)(க + 2)(க + 3). 19. 4(சு - 1)2( க + 2)?, 2(க + 2)?(க - 3)?. 20. 3(1 - க)?, 9(1 - க)3(1 + க). 21. ( க - 1)(க + 2), (க + 2)(க - 3), (க - 4)(க + 2). 22. 4 க?(க + 12)(க + 2)?, 8க?(க + 22)(க + 3)2,
12 க? (க + 2)2(க + 4)?. 23. (2க - 1)2(3 க + 1)?, (3க - 1)(3 க + 1)?,
(2க - 3)(3 க + 1)?. 24. 5(1 - க)?, 10(1 + க) (1 - க)", 15(1 + க)(1 - க)?.

பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பன 225
91. பல்லுறுப்புக் கோ வை களு  ைடய பொ. கா. பெ. (1) காரணிமுறை (2) வகுத்தன்முறை என்னும் இரு முறைகள் பற்றிக் காணப்படும்.
(1) காரணிமுறை : தந்த கோ வை கள் ஒவ்வொன்றுங் காரணியாக்க இடங்கொடுக்குமெனின், இம்முறையாளப் படும். இம்முறையிற் கோவைகளைக் காரணிகளாகப் பிரித்துவிட்டு உளவாராய்வு மாத்திரையால் பொ. கா. பெ. காணப்படும்.
(உ-ம்).
1, 2 க + 3 கந - 2 ந?, 6 க? - 5 கந+ ந?. இவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
2 - 2க + 3 கந - 2 ந?); 〉། = (2 க - ந)( க + 2 ந). །།
6க?-5கந+ ந? = (2க - ந)(3க - ந);
><
3 - 1 .. வேண்டிய பொ.கா. பெ. (2க - ந) ஆகும். உ-ம்.
2. 6 கந - 6கந?, 9 க*ந - 9 கந4, 15 க?ந - 15கந?. இவற் நினுடைய பொ.கா.பெ. ஐக் காண்க.
6 கஃந - 6 கந8 = 6 கந(க? - ந?)
== 6 கந(க - ந)(க + ந);
9 க*ந - 9 கந4 - 9 கந(க3 - ந8)
= 9 கந(க - ந)(க* + கந + ந?);
15 க?ந - 15 கந7 = 15 கந(க9 - ந)ே
- 15கந(க3 - ந?)(க3+ ந?) -- 15கந(க - ந)(க* + கந+ ந*)(க + ந)
(க? - கந+ந?) = 15 கந(க - ந)(க + ந)(க2 + கந + ந?)(க2 - கந + ந2); " வேண்டிய பொ.கா. பெ. 3 கந(க - ந) ஆகும்.
:94 »Ö t — AK

Page 8
226 மானுக் கரட்சரகணிதம்
(2). வகுத்தன்முறை : இம்முறை பின்வரும் பொதுவுண் மையை அடிக்கொண்டுள்ளது.
ஆ உம் ஈ உ ம் க இனுடைய முழு வெண்சார்புகளாயின், அவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. பஆ+ மஈ என்பதன் காரணியாகும். இங்கு ப உம் ம உம் கஇனுடைய முழுவெண் சார்புகளாயிருக்கலாம்; அன்றி, மாறிலிகளாயு மிருக்கலாம்.
இவ்வுண்மையை நிறுவுவோம். ஆ, ஈ என்னும் இவற்றினுடைய பொ.கா. பெ. வ ஆகுக', ஆ, ஈ, என்னும் இவற்றை வ ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு முறையே அ உம் இ உம் ஆகுக'.
". ஆ = அவ, ஈ = இவ. ". பஆ = அபவ, மF = இமவ. ". பஆ + மF = அபவ + இமவ = வ (அப + இம). ". வ என்பது பஆ+ மF என்பதன் காரணியாகும். .. ஆ, ஈ, என்னும் இவற்றினுடைய பொ. கா.பெ. பஆ+ மஈ என்பதன் காரணியாகும்.
இனி, இதிலிருந்து ஒரு சிறப்புண்மையைப் பெறு வோம் :-
ப= 1, ம= 1 ஆயின், பஅ + மF என்பது ஆ+ ஈ ஆகும். lu= 1, LD= - 1 ஆயின், ப.ஆ+ மஈ என்பது ஆ - ஈ ஆகும். .. க இ னு  ைட ய இரு முழு வெண் சார்புகளு  ைடய பொ. கா.பெ. அவற்றினுடைய கூட்டுத் தொகைக்கும் வித் தியாசத்திற்குங் காரணியாகும்.
இவற்றைப் பயன்படுத்தி, பொ.கா. பெ. காணுதற்குரிய வகுத்தன் முறையை ஆராய்வோம்:-
அ உம் வ உம்-க இனுடைய இருமுழுவெண்சார்பு களாகுக. அ என்பதை வ ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு இ ஆகுக ; மீதி ம ஆகுக'. வ என்பதை ம ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு இ? ஆகுக ; மீதி மத ஆகுக. ம. என்பதை ம2 ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு இ; ஆகுக ; மீதி மஐ ஆகுக'.

பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பன 227
இவ்வகுத்தற் செய்கைகளைப் பின்வருமாறு காட்டலாம்:-
வ) அ (இ.
இவ
ம1)வ(இ2
2D
ம2)ம(இ3
இ8 tD2
D3 . . .
இதிலிருந்து வகுத்தலுரு மாற்ற விதிப்படி பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம் :-
அ= இவ+ ம; 8 - (1) வ= இ2ம + ம2 ; o a · · (2) ம= இ8ம2+ ம8 . a (3) (1) இல் இருந்து ம=அ - இவ : (4) (2) is , , மஜ= வ - இம ; (5) (3) s is 岁岁 Lô3== uD — 9)3 LD,2. O (6)
மேலே தந்த பொது வுண் மை பற்றி (4) இல் இருந்து அ இற்கும் வ இற்குமுள்ள பொதுக்காரணிகளெல்லாம் ம இற்குங் காரணிகளாகுமென்று அறியலாம். (1) இல் இருந்து வ இற்கும் ம இற்கும் உள்ள பொதுக்காரணிகளெல் லாம் அ இற்குங் காரணிகள் ஆகு மென்று அறியலாம். ஆகவே, அ இற்கும் வ இற்குமுள்ள பொ. கா. பெ. வ இற்கும் ம, இற்கும் பொ. கா. பெ. ஆகும்.
அதுபோல, (2) இலும் (5) இலுமிருந்து வ இற்கும் ம இற்கு முள்ள பொ. கா.பெ. ம, இற்கும் மp இற்கு ங் பொ.கா. பெ. ஆகும்.
(8) இல் இருந்து ம இற்கும் ம2 இற்கும் உள்ள பொதுக்காரணிகள் எல்லாம் ம8 இற்குங் காரணியாகும்,
ld 0 ஆயின், ஈற்று வகுக் குங் கோவை யாகிய ம என்பது ம, மg என்னும் இரண்டிற்கும் பொ. கா.பெ. ஆகும். எனவே அது அ இற்கும் வ இற்கும் பொ.கா. பெ.
• bا 45 چک>

Page 9
228 "மாணக்க ரட்சரகணிதம்
6pCB5 மாறிலியாயின், அ இற்கும் வ இற்கும் * هt பொ.கா. பெ. இல்லையெனலாம்.
இதிலிருந்து பின்வருவன பெறப்படும் :- வகுத்தற் செய்கை 0 மீதியைத் தந்தால், ஈற்று வகுக்குமெண்ணே வேண்டிய பொ.கா. பெ. ஆகும்.
வகுத்தற் செய்கை ஒரு மாறிலியா கிய மீதியைத் தந்தால் அக் கோவைகளுக்கு பொ.கா. பெ. இல்லை.
இம்முறையை உதாரணங்களால் விளக்குவோம் :-
உ-ம்
1. 4 க9 - 15 க + 9, 4 க9 - 10 க2 + 9. இவற்றிற்குப் பொ.கா.பெ. காண்க.
23° 45;o - 15க + 94 க3 - 10 க? +- 9 kl.
4க* - 6க? 4க3 - 15 க + 9 38 --
6க? - 15 க + 9 - 5 க - 10க2 + 15க
6க? - 9க ܚ----ܚܝܢܝ ܝܚܚܝܝܝܝܝܝ ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ــــــــــــ۔۔۔۔۔ـــــــــــــــ۔۔۔۔۔۔۔۔ 3 - 2க יוקיו------------------------------- - 3 - 6க + 9
— 6 дѣ 9
.. வேண்டிய பொ.கா. பெ. 2க - 3 ஆகும்.
இங்கு 4 க" - 10 க + 9 என்பதை 4 கஃ-- 15 க + 9 என்ப தால் வகுக்க - 10 க* + 15க என்பதை மீதியாகப் பெறுவோம். தந்த இருகோவைகளுக்குமுள்ள பொ. கா. பெ. முதற் கோவைக்கும் அவ்விரு கோவைகளுடைய வித்தியாசமாகிய - 10 க + 15க இற்கும் பொ. கா. பெ. ஆகும். இனி, வித்தி யாசத்தின் காரணியாகிய -5க என்பது முதற் கோவைக்குக் காரணியாகாமையின், அதனை நீக்கி விடலாம். ஆயின், வேண்டிய பொ. கா. பெ. 2க - 3 என்பதற்கும் முதற் கோவைக்கும் பொ. கா. பெ. ஆகும். முதற் கோவையை 2க - 3 ஆல் வகுக்க மீதி 0 ஆகும். ஆகவே, 2க - 3 என் பதே வேண்டிய பொ.கா. பெ. எனலாம்.

பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பன 239
30 — 1íb.
2. 12க - 13 க?-4 + 6 க9, 7க - 12க?+9க - 2. இவற்
றிற்கு பொ.கா. பெ. காண்க.
இக்கோவைகளை க இன் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதி
மேற்காட்டியவாறு செய்வோம் :-
6.க - 13 க? + 12 க - 4 9க* - 12க? + 7க - 2 5 2 2த}30 க9 - 65 க2 + 60 க - 20 18க9 - 24க? + 14க - 4 ls 30க - 44 க* + 16க 18க9 - 39க? + 36 க - 12
- - - 21 க? + 44 க - 20 15க* - 22 க + 8 15க
- 5 15 க? - 10க
7 105 க? - 220 க + 100 - 129, -- 8 - 4
105 க? - 154 க + 56 - 25 -- 8 ; - 22 - 66 க + 44 3க - 2
.. வேண்டிய பொ. கா. பெ. 3க -2 ஆகும்.
இரண்டாங் கோவையை முதலாங்கோவையால் வகுக்கின் பின்னக் குணகங்கள் பொருந்திய கோவையே மீதியாகப் பெறப்படும். ஆகையால், இரண்டாங் கோவையை 2 ஆற் பெருக்கி அதனை முதலாங் கோவையால் வகுக்க 15க* - 22 க + 8 என்பது மீதியாகப் பெறப்பட்டது. இனி (முதலாங் கோவையை இம் மீதியால் வகுத்தாற் பின்னக் குணகங்கள் பொருந்திய கோவையே மீதியாகப் பெறப் படும். மீதி அவ்வாறு வராதபடி முதலாங் கோவையை * ஆற் பெருக்கி மு ன் பெற்ற மீதியால் வகுக்க
21 க + 44க - 20 என்பது இரண்டா மீதியாகப் பெறப் படும். இது வகுக்குங் கோவை யொடு ஒருபடித்தாயிருக் கின்றமையின் பின்னுமொரு முறை முதன் மீதியால் வகுக் கப்பட்டது. பின்னக் குணகங்கள் வராதபடி வகுக்கப்படும் \போது, இது - 5ஆற் பெருக்கப்பட்டு வகுக்கப்பட்டுள்ளது. வகுக்க வந்த ஈவு - 66க + 44 ஆகும். இதன் காரணியாகிய - 22 என்பது தந்த இருகோவைகளுக்குங் காரணியாகா

Page 10
230
மாணுக்கரட் சரகணிதம்
மையினலே நீக்கப்பட்டது. நீக்க, 3க - 2 என்பது பெறப் பட்டது. இதனலே முன்பெற்ற மீதியாகிய 15க? - 22 க + 8 என்பதை வகுக்க மீதி 0 ஆனது.
ஆகவே, வேண்டிய பொ.கா. பெ. 3க - 2 என்பதே.
92. மூன்று கோவைகளுடைய பொ.கா.பெ. அக்கோவை களுள் இரண்டின் பொ.கா.பெ. இற்கும் மூன்ரு ங் கோவைக் கும் உள்ள பொ. கா. பெ. ஆகும்.
பயிற்சி 15 (ஆ)
பின்வருங் கோவைகளுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
7.
8.
9.
2 O.
2. l.
22.
க9 - க, க + 1.
. க + 8, க? + 6 க + 8. . (அ- 2)?, அ? - 8. . அ?இ(அ + இ)?, அ4 - அ*இ?.
1 - அ?, 1 - அ + அ?. க? - 2க + 1, க? - 4 க + 3. க* + க - 2, க?-3 க + 2. 4க? - 4க - 3, 4 க? + 4 க - 15.
6க? - 5 கந - 4ந?, 12க? - 7கந - 12 ந?.
36க? -ந2, 36 க? + 24கந - 5 ந?. 16அ? - 8 அஇ+ இ?, (4அஇ - இ?)?.
அ?-அ, (அ- 1), அ- 1. . அ + 3, அ? - 9, அ + 27.
க* - க?, க + க - 2க, க - 4 க? + 3 க. 6க? - 11க + 3, 6க? - 7க -3, 6க - 5 க - 6. 12க? - 25கந+ 12 ந?, 12க? - 7கந - 12ந?, 6க? - 11க ந
+ 4ந?. 1 + க - 6க?, 1 - க - 12 க?, 1 - 2க - 15க?. 3 அக* - 12 அக + 9 அ4, 6 அ? + 12 அக - 18அ?,
9 அக? - 18 அக + 9 அ*. க" - 3 க? - 13 க + 15, க9-3 க? - 10 க + 24. க" - 5 க + 4, க9 - 5 க? + 4. 4க9 - 3 க + 1, 16 கஃ-- 12க? + 1. க* + கர்ந? + நக், க + கநே + கநர் + ந4.

பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பன 23
23. 16 க* - 24 க + 8 க? - 2க - 1, 16 க* + 8 கஃ
- 8க2 + 6 க - 1. 24. 8க* + 3 க - 5, 4 க* - 6 க + 3 க? - 2க + 1. 25. 2கA - 3க2 + 1, 3 க* - 2 க? + 2 க - 3. 26. 8 க9 - 12க2 - 26 க + 15, 16 க* - 88 க? - 48 க + 45. 27. 2கர் + 3 க? - 1, 3 க" - 2 க + 1, 2க + க + 1. 28. 1 + க - 11க2+ 5 க + 4 க*, 1 - 4 க + 9 க? - 10க* - 6க',
1 - 3க - 2 க? + 7 க + 3 க*. 29, 6கக் - 11க9 + 7 க? + க - 2, 2 க* - 5 க + 3 க? + க - 2,
8 க* - 14 க9 + 13 க? - 5 க + 2. 30. க* - க? - 2 க - 1, க* - 3க2 + 1, க* - 3க
+2 க? + க - 1. 93. பொ.ம.சி: இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட அட்சரகணிதக் கோவைகளுடைய பொது மடங்குகளுட் சிறி யது அக்கோவைகளாலே தனித்தனி மீதியின்றி வகுக்கத் தக்க கோவைகளுட் படியாற் குறைந்த கோவையாகும். சுருக்க முறைபற்றி அது பொ. ம. சி. எனப்படும்.
ஒருறுப்புக் கோவைகளுடைய பொ. ம. சி. உளவா ராய்வு மாத்திரையாலும், ஏனையுறுப்புக் கோவைகளுடைய பொ. ம. சி. பெரும்பான்மையாய்க் காரணி முறையாலுங்காணப்
1. கந, கந?, கநர். இவற்றினுடைய பொ. ம. சி. ஐக் காண்க.
கரி, க, க என்பனவற்ருல் வகுபடும் க இனுடைய அடுக் குக்களுட் குறைந்தது க. ந, ந?, ந? என்பனவற்ருல் வகுபடும் ந இனுடைய அடுக் .°குக்களுட் குறைந்தது ந سی கந, க*ந?, கந? என்பனவற்ருல் வகுபடும் கோவை களுட் படியாற் குறைந்தது கந°. அவற்றினுடைய பொ. ம. சி. கஃந° ஆகும். al-lb.
2. 8(க” - ந?). 12(க° - ந°), 8(க3+ ந?). இவற்றினுடைய டொ. ம. சி. ஐக் காண்க.

Page 11
232 மாணுக்க ரட்சரகணிதம்
6(*ーリ"= 6(テーリり(z+あり 12(க* - ந?) = 12(க - ந) (க2 + கந + ந?); 8(க3+ ந*) = 8(க + ந) (க? - கந+ ந?);
இங்கு 6, 12, 8 என்னும் இவற்றினுடைய பொ. ம. சி. 72. க? - ந?, க9 - ந, க + ந’ என்னும் இவற்றினுடைய பொ.ம.சி. (க - ந) (க*+ கந + ந?) (க + ந) (க? - கந+ ந?)
- (க3 - ந)ே (க3 + ந3) = க-ே ந.ே .. வேண்டிய பொ. ம. சி. 72 (க9 - ந)ே ஆகும்.
94. தந்த கோவைகள் எண் குணகங்களொடு பொருந் தியிருந்தால், அக் குணகங்களுடைய பொ. ம. சி. ஐக் கண்டு அதனை அட்சரகணித பொ. ம. சி. இன் குணகமாக நிறுத் தலாம். தந்த கோவைகள் எளிதிற் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க இடங்கொடாவாயின், அவற்றிற்கு பொ. கா. பெ. கண்டு அந்த பொ.கா.பெ. ஆல் ஒவ்வொரு கோவையையும் வகுத்து, அவ்வக் கோவையினுடைய காரணிகளைப் பெற்று, அதனுலே அக்கோவைகளுடைய பொ.ம. சி. ஐக் காணலாம்.
உ-ம் .
24க* - 4 க? - 13 க - 3, 24க9 - க? - 15 க - 4. இவற்றினு டைய பொ.ம. சி. ஐக் காண்க.
8க 24க9 - 4 க?-13க - 3 24க*- க2-15க - 4 1
24க* - 16 க? - 8க 24க* - 4 க* - 13 க - 3 -- 4 + 1252 - 55 - 3 3க?-2க -1 க + 12 க? - 8க - 4 3 க? + க
3 க + 1 - 3க - 1 - 1
1 سے 55 3 ---
.. தந்த கோவைகளுடைய பொ. கா. பெ. 3 க + 1 ஆகும். இதனைத் துணைக்கொண்டு தந்த கோவைகளைக் காரணிக
ளாய்ப் பிரிப்போம்.

பொ. கா. பெ., பொ. ம. சி. என்பன 233
24க9 - 4க? - 13 க - 3 = 8க*(3 க + 1) - 4 க(3 க + 1) - 3(3 க + 1)
(3 க + 1)(8க? - 4 க - 3) : 24க* - க? - 15க - 4 8க*(3 க + 1) - 3க(3க +1) - 4(3க + 1) (3 க + 1)(8க? - 3 க - 4) ;
.. வேண்டிய பொ.ம. சி. (3 க + 1)(8க?-4க - 3)(8க? -
3க - 4) என்பதே.
تستمنستان
பயிற்சி 15 (9) பின்வருங் கோவைகளுடைய பொ. ம. சி. ஐக் காண்க,
அஇ?உ°, அ’இ”உ, அ'இஉ?. 16அ'இ°உ?, 32அ'இ*உ, 48அஉ8. 4அஇே, 6 இ2உ, 8உ?அ. க(க - 1), க2 - 1, க9 - 1. க2+ க, (க + 1)?, க + 1. (2 க - 1)(க + 1), (க - 2)(2 க - 1). க(3 க + 2)(2 க - 3), க(3க - 2)(2 க - 3). 10 க2 + 23 க - 5, 10 க2 + 13 க - 3. 8க2 - 15க - 2, 16 க2 - 6க - 1, க9 - 1, 4 க2 - 3க - 1.
l
11. க* - க?ந2+ ந4, க + ந9. 12. 2க9 - 3 க + 1, 3 க* - 5 க2 + 2. 13. 8க9 - 4 க + 1, 8க9 - 16 க2 + 3. 14. 2க - 3 க2 - 2 க + 3, 2க” + 5 க2 + 4 க + 1. 15. 2க' - க2-3 க + 2, 4க" - 5 க + 2. 16. 12 க + 8 க2-13க + 3, 12க9 + 16 க2 - 5 க - 3, 17. 18 க3 - 9 க2 - 2 க + 1, 18 க9 - 21 க2 + 8 க - 1. 18. 1 + க2 + க*, 1 - க9, 1 - க.ே 19. க2 - ந?, க* - ந, க2 - கந + ந2. 20. 2க - 1, 8க* - 1, 4க2 - 4 க + 1. 21, 6க9 - 5 க2 - 2 க + 1, 9 க2 - 7க + 2, 6 க2 + க - 1. 22, 10 க2 + 21 க - 10, 6 க2 + 1 1 க - 10, 8 க2 + 18 க - 5. .6 + ;3 3 1 -- 52ى 6 , 9 + 25 1 + 2 ,9 4 ,9 -- لا 5یم 4 . { نه 24. 36 க! - 97 க2 + 36, 12க9 + 8 க2 - 27க - 18,
18 க3 - 27க2 - 8 க + 12.

Page 12
அத்தியாயம் 16
பின்னங்கள்
95. எண்கணிதத்தில் என்னும் பின்னம் 4 இல் 3 என்ரு
தல் 3 இன்கீழ் 4 என்ருதல் கூறப்படும். இங்கு, 4 ஐ அப்பின் னத்தின் பகுதியென்றும் 3 ஐ அதனுடைய தொகுதியென் றுங் கூறுதல் வழக்கு. அதுபோல, அட்சரகணிதத்தில் و என்னும் பின்னம் க இல் அ என்ருதல் அ இன்கீழ் க என்ரு தல் கூறப்படும். க என்பதை அப்பின்னத்தின் பகுதியென் றும் அ என்பதை அதனுடைய தொகுதியென்றுங் கூறலாம்.
எண்கணிதத்திற் போல, அட்சரகணிதத்திலும் ஒரு பின்
னத்தின் பெறுமானம் அதன் பகுதியையுந் தொகுதியையும்
ஒரு கணியத்தாற் பெருக்கினலும் வகுத்தாலும் மாருது.
அ_அப. அப_அ
BS கப கப க
எண்கணிதப் பின்னங்கள் போல, அட்சரகணிதப் பின்னங் களுங் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்னும் அடிப்படைச் செய்கை நான்கிற்கும் இடந்தரும்.
96. கூட்டல் கழித்தல்கள் : ஒரு தொகை பின்னங்க ளுடைய அட்சரகணிதக் கூட்டுத் தொகையைக் காண்ப தற்கு, முதல் அப் பின்னங்களுடைய பகுதிகளுக்கு பொ.ம.சி. காணவேண்டும். பின் அந்த பொ.ம. சி. ஐயே அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் பகுதியாக்க வேண்டும். அதன் பின் எண்கணிதத்திற் போல வேண்டிய கூட்டுத் தொகை யைக் காணலாம் :-
உ-ம்.
அ g - تسبر ۔ 2கந? 6நய’ 9யக’ இவற்றினுடைய கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

பின்னங்கள் 235
பகுதிகளாகிய 2க ந, 6 நய, 9 யக என்னும் இவற்றினு டைய பொ. ம. சி. 18 கநய. 18கநய என்பதனை 2கந, 6நய, 9 யக என்னும் இவற்ருல் வகுக்க, முறையே 9ய, 3க, 2ந என்பன ஈவுகளாகப் பெறப்படும்.
அ 9 ய 9 அய 9ی
* 2கந"2கந’9ய 18 கநய; இ இ 3க_3 இக 6நய 6நய’3க 18 கநய’
------ 2ந_ -2உந. 9யக 6க 2ந 18 கநய’
. வேண்டிய கூட்டுத் தொகை
9 அய 3இக 2°-历
18கநய" 18கநயT 18கநய
9 அய+ 3இக -2உ --- 18கநய இதனைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகச் செய்யலாம் :-
அ -H g ---
2கந 6நய 9 யக
_9 அய + 3இக - 2உந
18கநய
இங்கு, 2கந, 6 நய, 9 யக என்னும் இவற்றினுடைய பொ. ம. சி. 18கநய என்பது சுருக்கத்தின் பகுதியாகக் கொள்ளப்பட்டது. இதனை முதற் பின்னத்தின் பகுதியால் வகுக்க வந்த ஈவை அதனுடைய தொகுதியாற் பெருக்க வந்த பெருக்கமே சுருக்கத்தின் முதலுறுப்பாகும். இவ் வாறே ஏனைய உறுப்புக்கள் இரண்டுங் காணப்பட்டன.
அ · 9. 1 -ش س------ ଅଁ୪୮
க + அ இதனைச் சுருக்குக
அ L (க+ அ) -அ
க + அ க + அ

Page 13
236 மாணுக் கரட்சரகணிதம்
_ க + அ - அ
க + அ
க க + அட்
இங்கு 1 ஐ 봄 எனக் கொண்டு 1ம் (க + அ) என்பது மாகிய இருபகுதிகளுக்கும் பொ.ம. சி. (க + அ) எனக்கண்டு முன்னுதாரணத்திற் காட்டியவாறு செய்தமை காண்க.
sea
SS --- །ཡཔ་མང་ལ་─ ཡང་འགས་──────────--པ་མ་-། - ------ ટ%g இதனைச் رA – 2پو) 2 ٦٣ ر2 - ;و مT A 2(2 - يو م4 ۰؟
சுருக்குக.
s I Mwww. I 4(a, -2)2 4 (as 2) 2) نg;2 - 4(
க(க + 2) - (க2 - 4) - 2(க - 2)
4(க - 2)2(க + 2)
க2+2க - க + 4-2 க + 4
4(க - 2)2(க + 2)
8 4(க -2)2(க+2)
(க - 2)?(க + 2)
97. பின்னக் கூட்டலிற் குறியீட்டு மாற்றம் : ஒர் அட்சர கணிதப் பின்னமானது அதனுடைய தொகுதியைப் பகுதி யால் வகுக்க வரும் ஈவாகும். ஆகவே, பின்னக் கூட்டலின் குறியீட்டுமாற்றம் வகுத்தற்குறியீட்டு விதியிலே தங்கி யுள்ளது. அவ்விதி 38-ஆம் பிரிவிற் பின்வருமாறு கூறப் பட்டுள்ளது :
ஒருறுப்பை ஒருறுப்பால் வகுத்தால் ஒத்த குறியீடுகள் + ஒடு பொருந்திய ஈவையும் ஒவ்வாத குறியீடுகள் - ஒடு பொருந்திய ஈவையுந் தரும்.

பின்னங்கள் 237
அவ்விதியின்படி,
+ கந
+ ந -- 5 ( . )
二“=+5; - -------+---........---..................................: , .....(2)
+ கற்_ _ dቓ ፰ (3)
- ந
-- கந
ந
இவற்றிலிருந்து பின்னக் கூட்டலின் குறியீட்டுமாற்றத் தைப் பற்றிய இரு விதிகள் பெறலாம்.
விதி I. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதியின் குறியீட் டையும் பகுதியின் குறியீட்டையும் ஒருங்கு மாற்றினல் அப்பின்னத்தினுடைய குறியீடு மாற்ற மடையாது.
விதி. 11. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதியின் குறியீட் டையேனும் அதன் பகுதியின் குறியீட்டையேனும் மாற்றி னல், அப்பின்னத்தின் குறியீடும் மாற்றமடையும்.
இவ் விதிகளைப் பயன்படுத்திச் சில பின்னங்களைச் சுருக் குதல் எளிது. V,
உ-ம்
I 2 . 1- 2, - - ஒக+ -4; இதனை க இன் இறங்க டுக்கு வரிசையில் எழுதிச் சுருக்குக
I 2 * يو 4 - 1 " يو 2 - 1 1 + ;و 3
I l 2 ر2 و 4 - 1 ) – " " رو 2 - 1 ) - * 1 + و و "
I 2 1 - A g2 ٦ I – ;و 2 * j + ;ی 2 ٦ (2 க - 1) + (2 க + 1) - 2
4 க2 - 1

Page 14
238
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
_2க - 1 + 2 க + 1 - 2 - 4 52 - 1
_4க - 2 I -- 2 و 4 " "
இங்கு,
முதற் பின்னத்தின் பகுதி 2 க + 1 இனது இறங்கடுக்கு வரிசையில் இருக்கின்றது.
பின்னங்களுடைய பகுதிகளையும்
க இன் உறுப்புத் தொடங்கி க இனது இறங்கடுக்கு வரி
சையில் எழுதுவதற்கு அப்பகுதிகளுடைய மாற்றிப் பின்னங்களுடைய குறியீடுகளையு மாற்றியவாறு
காண்க
பின்வரும்
பயிற்சி 16 (அ)
பின்னங்களுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
இ
என்பது க
குறியீடுகளை

0.
11.
2.
翼3。
14.
5.
6.
7.
18.
盈9。
20。
21.
22。
டன்னங்கள்
نه + ;و
ந 3 - ".
ந
25
ந2 ந 3_28_ ந2 ந
1一一单一
க + அ -- + 1
கி - அ
I க - அ " க + அ
I I அ- கTஅ + க
க?
• 5 – 1 حس به
I (s; - 12 as - 1
I 2
Ι (க ந)2T(க+ந)?"
乐 2 கம் - நர்"க-ந" (க- ந)?
I 2 க(க+ந) க(க-ந) க2-ந2
I t ՑԻ " I + 3 و " " 1 -- 2 و "" T --س و
l I 35 21 - 3) T3(1 - 3a) T1 - 93
3 2 I
41 + 3 a 3(1-3a) 12(1-92)
239

Page 15
s40
26.
38.
29.
30.
31,
32.
33.
34.
36.
37.
38.
39.
40.
4 1 .
42.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
I I l 4(1 + 2s.) T4(2a, 1) T2(1-42)
l 3த2 32 - 3a) 3(3a; 2) T4 - 9a2
I I II 0 4(23 - 5) T4(5 - 2a) (5 - 2a)?' گ------- گ ---------- க(க-ந) கந” ந(ந - க)
கடபு. கநடக‘நட க - ந (ந - க)? (ந - க)*
2(1 - 5.) 2(5–1) | 1 | 3,2 .,,- ,2+ ہونے شو-فو + چھتی۔ ந + 1 1 - ந? ந’ + 1
l 2 ந(ந + 1) ந(1 - ந) ந?+ 1
-- -- -- s க + 1 1 - க 2 - க க + 2
l l I I 3a; 1 T1 - 3, "2 - 3a, T3, -2 1- அ 1+ அ 2+ அ2 - அ அ - 2 அ + 2 அ + 3 அ - 3
4 4 l 3 க + T3 க + 41-3 கT4-3 க”
I I 2 4. ٠ i -- شپو " 2 + 1 " T – و. T ,ی + I
I I அ 2 அ + 272 - அTஅ2 - 474- அ*
1 . 1 **رT -- ,ی ) ״ ״ 2رI – ;ی مg2 | 1 -- g3 T + ;و + T 1 + 4 க2 1 2க
"2 و 4 --g + 1 "TTى TT2 + 3 ,و 8

பின்னங்கள் 24
98. ஒரு பின்னத்திலுள்ள மாறிகளை வட்ட வரிசையில் எழுதல் முடியுமாயின், அவ்வாறு எழுதி அப்பின்னத்தைச் சுருக்குதல் எளிது.
yوہ
V ஒரு வட்டம் வரைந்து அதனைச் சுற்றி அட்ச ரங்களை எழுதி அவற்றை அவ்வொழுங்கின் s- படி எடுத்தலே வட்ட வரிசை யாகும்.
இப்படத்தில், அ-இ, இ - உ, உ - அ என்பன வட்ட வரிசையிலுள்ளன.
வட்ட வரிசையில் எழுதுதல் பற்றியேனும் பிறகாரனம் பற்றியேனும் ஒரு பெருக்கத்தினுடைய காரணிகளுள் ஒன்றின் குறியீட்டை மாற்றினுல் அப்பெருக்கத்தின் குறியீட்டையும் மாற்ற வேண்டும். அன்றி, இரண்டின் குறியீட்டை மாற்றினல் அப்பெருக்கத்தின் குறியீட்டை மாற்றல் ஆகாது :
(அ- இ)(உ-இ)=(அ-இ)(-(இ- உ)
= - (அ- இ)(இ - உ); (இ-அ) (உ- இ)= { - (அ- இ)}{-(இ - உ)
=(அ-இ)(இ-உ);
மேலுள்ள சமன்பாடுகளிற் காரணிகளுள் ஒன்றின் குறி யீட்டை மாற்றப் பெருக்கத்தின் குறியீடு மாறின மையும் இரண்டின் குறியீட்டை மாற்றப் பெருக்கத்தின் குறியீடு
மாரு மையுங் காண்க.
உ-ம். -
அ ーキー ജി_ (அ-இ)(அ-உ) (இ - உ) (இ - அ)
SSSSSSSSSSSSiSSSSSSYSSS னைச் சுருக்கக. " (உ- அ)(உ- இ) இத ருககுக.

Page 16
&42 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
அ -- இ -- 3. e (அ-இ)(அ-உ) (இ - உ)(இ - அ) " (உ - அ)(உ - இ)
அ இ
" -(அ-இ)(உ-அ) "-(இ-உ)(அ-இ)
மேலே தந்த விதி பற்றிப் பெறப்
LJL - L-gy.
+--
- (உ - அ)(இ - உ)
=-------------- (அ-இ)(உ - அ) (இ - உ)(அ- இ)
_அ(இ-உ) + இ(உ- அ) + உ(அ- இ)
(அ-இ)(இ - உ)(உ - அ) அஇ-உஅ + இஉ - அஇ+ உஅ - இஉ (அ-இ)(இ - உ)(உ - அ)
O (அ-இ)( இ-உ)(உ- அ) 二 0.
(உ-ம்.)
l I * (க-1)(க-2) " (2 - க) (3 - க) (1 - க)(க-3) இதனைச் சுருக்குக.
l I I (a, - 1)(a, -2)" (2-3)(3 - as ) (1-s)(a, -3)
I I 1
(a - 1)(3-2) (a, -2) (a, -3)" (a - 1)(a, -3)
க இனது இறங்கடுக்கு வரிசை. _(க - 3) + (க - 1) + (க - 2)
( 5 - 1)(5 - 2)( 5 - 3) 2 سس l -i- BS -س- H5 + 3ة -- gy

பின்னங்கள் 另4品
395 - 6 (3 -- ,g )(2 --- وی )(1 - ;و ) ״ - 3(க - 2) T(x-1)(a, -2)(a, -3)
3
“ ( 3 -- وی ) رI -- ;و ٢״ ״
பயிற்சி 16 (ஆ)
பின்வரும் பின்னங்களுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க :-
I I I ' (அ-இர(அ-உ) (இ-உ(இ-அ) " (உ-அ)(உ-இ) 2. அ? -- இ2 -- 2_دي
(அ- இ)(அ- உ) (இ - உ)(இ - அ) " (உ - அ)(உ - இ) 3. ந -- --
(க - ந)(க - ய) (ந - ய)(ந - க) (ய-க)(ய - ந) 4. ,ןb - u I -H - 5 15 - 25هـ e
(க - ந)(க - ய) (ந - ய)(ந - க) (ய - க)(ய - ந) 5. க + 1 ந + 1 -- ህ ! + ] s
(க-ந)(க - ய) (ந - ய) (ந - க) (ய - க)(ய - ந) 6 க + அ -- க + இ -- dy -- go
(அ-இ)(அ-உ) (இ - உ) (இ - அ) " (உ- அ)(உ - இ) . جب ”آگ“سی + جس “ 2 --سب + چشت ”سب .7
(ய - க)(ய - ந) (க - ந)(க - ய) (ந - ய) (ந - க) 8. அக -- இக -- 3.
(அ- இ)(அ - உ) (இ - உ)(இ - அ) " (உ - அ)(உ - இ) 9 ட அஇட டி-இட +-------- (இ - உ)(உ - அ) (உ - அ)(அ-இ) (அ-இ)(இ- உ) அ'(இ+ உ)_ _இ’(உதுஅ) _உ*(அ + இ) பூ (அ-இ)(அ-உ) (இ - உ)(இ - அ) (உ - அ)(உ - இ)
க I (به - 3)(5 - a - 3)(a - A ) " (4 - 2)(5 - 6 ) " (a) * 2. க - 2 2(5 - 3) 4 - க
(க - 3)(க - 4) " (க - 2)(4 - க) (2 - க)(3 - க)

Page 17
244 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3 க + 3 2(4 + க) 2 + க
(க - 2)(க - 4) (3 - க)(2 - க) )4 – 5( )9, – 3 ر'/ 14 I 2 /
(2s-1)(2a, 3) (3 - 2a)(5-29)
(2a-5)(1-2s) I I 5. - l 692 -- و - i "1 - 2 7 - 1 3 روی 5 1 - و க + 10 க?
I 1 6 16 3க 13க
' ۶و 4 + ;و 8 - 3 2;و6 - 3 - 2 " 6 - ;و 5- 2 ,63 .
99. பெருக்கலும் வகுத்தலும் :-அட்சரகணிதப் பின்னங் களுடைய பெருக்கலும் வகுத்தலும் எண்கணித முறையைப் போன்றன.
பின்னங்களைப் பெருக்கும் பொழுது அவற்றினுடைய தொகுதிகளையும் பகுதிகளையுங் காரணிகளாகப் பிரித்தெ ழுதி அத்தொகுதிகளுக்கும் பகுதிகளுக்கும் உள்ள பொதுக் காரணிகள் எல்லாவற்றையும் வகுத்தலால் ஒழித்துவிட்டு மீந்திருக்குந் தொகுதிகளுடைய பெருக்கத்தைப் புதுத் தொகுதியாகவும் பகுதிகளுடைய பெருக்கத்தைப் புதுப் பகுதியாகவுங் கொள்ள வேண்டும்.
ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல் எண்கணிதத்திற்போல அதன் தலைகீழ்ப் பின்னத்தாற் ப்ெருக்குதலுக்குச் சமன்.
(உ-ம்.)
12 அ2இஉ. 36இ? سی سر ہو . -ٹ ,
24அஇ2^9இ' இதனைச் சுருக்குக. 12 அஇேஉ U36இ? 12 x 36x அ?இ1 + 2 உ 24அஇ? 9 இஉ 24 x 9 x அஇ2 + 1 உ
_12 x 2 x 9x 2 x அ2இ8உ T 12 x 2 x 9x அஇ8உ = 2 அ. இங்கு, பகுதியையுந் தொகுதியையும் 12 x 2 x 9 x அஇஉே என்பதால் வகுக்க 2 அ பெறப்படுதல் காண்க .
l.

பின்னங்கள் 245
(உ-ம்.)
க? - ந? க? - கந +
ந? 2. 3و + p3 3و --p3 ٦٠ இதனைச் சுருக்குக.
க?-ந?) க?- கந+ந?
கஃ+ ந3 க* - நீ -
三 (க - ந)(க + ந)(க* - கந+ ந?)
(க +ந) (க2 - கந+ ந?)(க - ந)(க2 + க ந+ ந?)
--- I
க2 + கந+ ந* இங்கு, பகுதியையுந் தொகுதியையும் (க - ந)(க+ ந) (க2 - கந+ ந?) என்பதால் வகுக்க,
100. பெருக்கற் குறியீடுகளும் வகுத்தற் குறியீடுகளுங் கலந்து இருந்தால் எண்கணிதத்திற் போல அடைப்புக் குறியை முன்னும் வகுத்தற் குறியீட்டைப் பின்னும், பெருக்கற் குறியீட்டை அதன் பின்னுமாக நீக்கல் வேண் டும்.
(&一一tf.儿
3 அ*இ 9 அஇஉU இ? கச் --محب اگلگی --------- .1
5இ2 "155 అగస్ இதனைச் சுருக்குக.
3ஆஇ9அஇஉஇ نبوي ״ له وي نا-دي 5 1 “ - دي دا(g 5
_3அ'இ, 15உ?அU இ? 5இ?உ7 9 அஇஉ^ அ? 3 X I5×よy"+1 g)1+2 g>2
1 + 1_y2 + 1 e 2 + 1 ہوتی x 9 بریز 5 "
அஇே8உ?
2_دو3(gنيو " "
= 1.

Page 18
246 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(உ-ம்.)
2க? - 3 க + 1 2க? + க - 1 க? + க - 2 2. -- னைச். 2க?-3 க - 2 ‘ x) இத
சுருக்குக. 2க? - 3 க + 1 / 2 க? + க - 1 க? + க - 2
2 -- ,g - *,و ^ 2 + ;و 5 + 2g2) * 2 - و، 3 - 2 پوه 2 (2க - 1)(க- 1) s (23 - 1)(a + 1) (as - 1)(5 + 2) (2a, + 1)(a, -2) (25 - 1)(a + 2) (; ; )(a, -2)
(2.5 - 1)(5-1) (2 J, - 1)(5 -1) (2a, + 1}(a, -2) (23 - 1)(a, -2)
அடைப்பு நீக்கப்
Lull" - l —-ĝilo -
_(2க - 1)(க - 1))(2 க + 1)(க - 2)
T(25 + 1)(a) - 2) (25 - 1)(3 - 1)
-- 1
பயிற்சி 16 (இ) பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக --
2 2r-2 அ’இக'ந' கந அஇ 3 அஇ' க2ந2
கநே3 6 2 و g(** 12அஇ_4அஇ
5 கந 15 க?ந’ 4 3 அ2இ8 - 9 அஇே? 16 gobo 32 gob 35 25 2 gyي 8 1552 5இ? 4அ?இ8 6 12 அ"இ_4 அ'இ அந
5 க?ந3 "15 கநேC 9 அஇ2க" 16 ჟ°Ljზ . 4மப 5ம?வ8 3தவ^ 12தபே?
7

10.
11.
12.
13.
14.
卫5。
16.
17.
18.
9.
20.
2.
22.
பின்னங்கள் 24?
12தப? 3த*மU5 தவம்
5மவ5 ப3வ? C 4ப5ம’ 9.அ'இ. 3இ’உ 器) 20கந2 \4ந2ய2^ 5உ2அ/ )#* 3_gD 294 5- دك 34 و 6
2 . "
35 கநே4ய5 \5ந2ய5 Ж 7ந
அ? கே?-5கந- 6ந” இ? 4க? -9ந? அ?இ? 3 க + 2ந’
1+ gy* - 4 . அ-2 க” + கے ‘ 2 + அ 1 - " و " " " 1 -- 8 و
6 க? - க - 1 3க? - 2 க - 1 க - 1 ' 1 + 53 -- 52 6 ^ 2 --- 3 3 - 252 • 1 -- لری + 52 6 4க2 + 4க - 3 6 க? + 5 க - 6, 2 க + 1
۰ 2 -- ,g, -- 6 ^ 6 , 2 + g 5 - 632 * 3 – يو 4 - 2 ,A g 1 - 5 க + 6 க? / 1 - 2க - 3 க? -)
54 - 62 V1 2g, 3g2 1 g, 1 + 5-65*1-6ಆ +95* 1 - 5 க + 6 க? 1 - க - 6க2^ 1 + 6 க + 9 க? 1 + 3 க
4க? - 4 க + 1 / 1 - 4 க? ) ' /* ;3 6 + 53 + 1 ^ * ;9.9 - 1\ ٠ 1 + 5 6 + لا;93
க? - க க? + க - 6 க2 + 3 க + 2 க? - க - 2^ க2 + க - 2^ க2 + 2 க - 3'
அ8 - இ8 X அ அ - இ அஇ(அ + இ)T அ*+ அ?இ?+ இச் இ
3 + I அ 27 --س 3/gت
அ2+ 6அ+9*அ2-9*அ2+3அ+ 9'
8 அ3 + 1 9یp3 - 49 29yوے 5 -- شy + 2 அ(அ- 2)^4அ2-1^4அ2+2அ+ 1 க* - 1 கஃ-- 1 க? + க + 1 ٠ 2ر1 + ;و) ^ 1 + g2 -- 4 و : 1 + 6 وه க6 + ந9 க* - க?ந2+ ந4 க2 - ந2 3,6- 15 is + 5°152 + 5° 5' + 15°

Page 19
248 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
1 - க - ந+ கந 1 - க + 2ந - 2 கந
24.
4 + 2 க + 2ந+ கந 2 + 4 க + ந + 2 கந
2 + க + 4ந+2கந 1 + 2க - ந - 2கந’ 25 2க? - 3கந + ந? 1 + 2க - ந - 2 கந
’ 1 - க - ந+ கந7 2க - ந+ 2கந - 4சு?
1 - 25 . وی است. این این سس بیمارس - ۰ - ع و»لا க - ந - 2கந+ 2க 26 (勢土*ー "_(リー*ー*×* + 5ー* ந?-(அ- க)? (ந - க)?-அ? 5+应+鸟 27 (*+"ー"×(*ー*ーリンリーエ க2-(ந+ அ)2' (ந - அ)? - க* க - அ- க அ’-(இ+ உ), அ-(இ-உ'அ'- அஇ+ அஉ
X -─་ཚང་བ་ (அ + இ)? -உ? அஇ - இ? - இஉ இ 101. இப்பிரிவிற் சிக்கற் பின்னங்களையுந் தொடர் பின் னங்களையுஞ் சில கலப்பினப் பின்னங்களையுஞ் சுருக்கு மூறைகளை ஆராய்வோம்.
1. ஒரு பின்னத்தினுடைய தொகுதியிலாயினும், பகுதி
யிலாயினும், அன்றி அவை இரண்டிலுமாயினும், ஒரு பின்னக்கோவை இருப்பின், அது சிக்கற் பின்னம் எனப்படும்.
அ அ 1
இ, க, இ, 1, அ, க - ந என்பன சிக்கற் பின்னங்
க அ க அ 1 களாகும்.
இ ந இ இ க + ந
இவற்றைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம் :
f
*・。素/ 寒・リー இ/ க, இ' இ is / இ இ s க-ந/ க + ந
ஓர் அட்சரசனிதப் பின்னமானது அதனுடைய தொகு தியை அதன்பகுதியால் வகுக்க வரும் ஈவா கும்.

(i) .".
(iii)
==
i
is
حصـــــسنحاسطة تتت.
இவை போல,
பின்னங்கள்
盖
بی
ہے۔
s
X
i
இ
FE
i
盖
安
Χ
இ
அT
i
Ж
இ
s
பெறலாம்.
(உ-ம்.)
இதன் பெறுமானத்ை
249
எனப்
தக்
காண்க.

Page 20
250 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இக்கோவையினுடைய தொகுதியையும் பகுதியையும் 30.அ? ஆற் பெருக்கினுற் பெறுமானம் மாழுது.
30 அ? - 9 அ - 3 5 -- yو 5 - 2 و 30 _3(10அ? - 3.அ - 1) (1 -- yریہ ۔ 2 ہوے 6 ) 5| ""
3 (59) + 1)(29 - 1)
5(3அ + 1)(2அ - 1)
.. தந்த கோவை=
_3(5அ + 1) 5(3 g + 1)
(உ-ம்.)
1 ـ 3 دقي . 2
இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. ཡཚོ་རྟག་அ*+ 1 தந்த கோவை=(அ-1)-(அ+1).(அ- 1) (அ+ 12
அ? + 1 ” ےgy * + 1 _ - 2 2அ? * 1 + 2 و * 1 + 2 و " .
--- 2 அ? + 1
iK
- I بنای " | \ II. I
=突s十ー இ++
உ + ... என்னும் வடிவத்திலுள்ள பின்னந் தொடர் பின்னமெனப்படும்.
இவ்வினப் பின்னங்களைச் சுருக்குதற்குக் கீழ்ப்பின்னந் தொடங்கிப் படிப்படியாக மேற்பின்னங்களுக்குச் செல்ல வேண்டும்.

பின்னங்கள் 25
உ-ம்.
o 1 - - - இதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
7 - ཁམ-──ས་མང་ཡང་། གལ།─ང་ཡཚཡཚང་མས་ང་ལ་ -------س- il
{ی
o Iー一方ー=Tー
- 1 -س I
அ - 1
9 ஆ
l = 1 -
% அ - 1
—
(அ- 1) - அ அ - 1 ーナー一ー
- 1
அ - 1 = 1 + அ - 1
- அ. 11. சில பின்னங்களைச் சுருக்குதற்கு எல்லாப் பகுதிகளுக் கும் ஒருங்கு பொ. ம. சி. ஐக் கண்டு செல்லுதலினும் பின்னங்களை இரண்டு இரண்டாகச் சுருக்குதல் இலேசா கப் பயன் அளிக்கும்.
உ-ம்.
-- . இகனைச் சுருக் 5( 27 (اوو – 1 )4 ؟ رو + 1 )I + 3 4 " 2( 1 + g, 2) " A
1 - க + 1 +க பின்னம்= 十 十 s
1 + க 2(1 + க?) ' 4(1 - க2)
راپو- 1 )2 " (لاوی + 1)2 " + s + 1 `

Page 21
252
—
--
மாணுக்க ரட்சரகணிதம்
1 1 - க + 1 + க? رهبو - 1 )2 ٣ *I + g
1 1 V− 4 ہی ہI *4 + 1 1 - க* + 1 + க*
98ی T ""
1 - க*
பயிற்சி 16 (ஈ)
பின்வரும் பின்னங்களைச் சுருக்குக.
l.

1 O.
.
1s2.
13.
4.
5.
6.
7.
8
பின்னங்கள் 353
அ + ஆ
l i--
- پم - او
1 l --
se
2 அ ---- 9Hے
--س۔ gag
அ 1-4 * 1I -- است.-. سیستم...تست سیسیلا அ - 1 அ + 1
2 25; 1 T 2, 1 T4s;2 + 1
3க 2 3a; -2 (3 2)2 (3a; 2)2
8 m -- -- 4(க+2) 4(க - 2) க2 + 4 க4 + 16
s -- ● க - 3 T க - 4 T (க - 3)2 (க - 4)? அ - இக
-- - -- I அ + இக அ - இக
- அ + இக
க? + ந2 - ய2 2கந ந’+ ய’ க2 2நய
I -- I 2அ - 1 3 அ + 1 T2 அ + 1 T3 அ - 1
I 2 2
5 க + 2 5க - 2 ” (5 க + 2)2 (54 - 2)2

Page 22
254
9
l
20.
21.
2&。
23.
24.
25.
26.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(1 + z ) ( + ) ( - ).
(3 - وه 2)2 - 5 - 5 12 - 5 2
க - 1 க - 3 க - 2 ‘
(9o+4go + ) ( 2 +)
2 (三卷) -- 1 2கந(கந)
و ۶۶ -|
十 3 --- 1 - a, "a, 2 "3 - a, a -4.
2 2 ( – 2 + ) (+ 2 + 2)-(– 2 + o
ந зъл Уд, ந
Ι அ(அ-இ)(அ-உ) இ(இ-உ)(இ-அ)
உ(உ- அ)(உ- இ) அ இஉ_இ + உஅ , (அ- இ)(அ- உ) (இ - உ)(இ - அ)
உ + அஇ (உ-அ)(உ + இ)

அத்தியாயம் 17
கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும்
102. பின்னச் சமன்பாடுகள்: ஒரு பின்னச் சமன்பாட்டி னுடைய தீர்வைக் காண்பதற்கு அச்சமன்பாட்டிலுள்ள பின்னங்களுடைய பகுதிகளுக்கு பொ. ம. சி. கண்டு அதனல் அச்சமன்பாட்டிலுள்ள உறுப்புக்கள் ஒவ்வொன் றையும் பெருக்கப் பெரும்பாலும் அச்சமன் பாட்டொடு ஒரு தீர்வுடையதும் பின்னம் நீங்கியதுமான வேருெரு சமன்பாட்டைப் பெறலாம். இதனுடைய தீர்வே தந்த சமன்பாட்டிற்குந் தீர்வாகும்.
உ-ம்.
1. ****3-1=*-. இதனைத் தீர்க்க. இருபக்கங்களையும் பகுதிகளுடைய பொ. ம. சி. ஆகிய
24 ஆற் பெருக்குக.
. 8(க - 2) + 4(க+1) - 24 = 6(2க - 3) - 6க. .. 8க ட 16 + 4 க + 4 -24 - 12 க - 18 - 6க, .". 8 க + 4 க - 12 க + 6க == 1 6 8 1 ـ 4 2 + 4 سن •
", 6க = 18.
s = 3.
உ-ம்.
2க + 3 2 க + 1
g高丁五飞函下5”
இருபக்கங்களையும் பகுதிகளுடைய பொ. ம. சி. ஆகிய (2 க - 1)(2 க + 5) என்பதாற் பெருக்குக.
இதனுடைய தீர்வைக் காண்க.
". (2 க + 3)(2 க + 5) = (2க - 1)(2 க + 1). .*, 4க2 + 16 க + 15 ਜ4 - 1 .
... l 6&s = - 15 - 1
0 6 1 ســ تصيب
". க = - 1.

Page 23
256 மாணுக் கரட்சரகணிதம்
இத்தீர்வில், முதற் பின்னத்தினுடைய தொகுதியை இரண்டாம் பின்னத்தின் பகுதியாற் பெருக்க வருவது முதற் பின்னத்தின் பகுதியை இரண்டாம் பின்னத்தினு டைய தொகுதியாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன் என்பது முதற்படியாற் பெற்ருேம். இம்முறை குறுக்குப் பெருக்கன்முறை எனப்படும்.
103. ஒரு பின்னச் சமன்பாட்டிலுள்ள பின்னங்களுடைய தொகுதிகளானவை தந்தம் பகுதிகளோடு ஒரு படித்தா னவையாய் இருப்பின், அல்லது மேற்பட்ட படித்தா னவை யாயிருப்பின், அவற்றை அவ்வப்பகுதிகளால் வகுத்து மேற் செல்லுதலே இலேசாகும்.
. Lib---س--P.
3 க + 1 2 க + 3 .g g, -- 3 ' இதனைத் தீர்க்க` 2 -- وی 3
- 6 + (3 – 5ة 2) - 3 + (2 – 5 3 ) .
'. குறுக்குப் பெருக்கலாற் பெறுவது 3(2க - 3)=
6(3), -2) ; ", 6க - 9 - 18க ட 12 ; 655 - 1835 = 9 - 12 - 12க = - 3 ;
‘。巴历二
e
104. யாது மொரு சமன்பாட்டில் இரண்டு பின்னங்க ளேனும், இரண்டின் மேற்பட்ட பின்னங்களேனும் ஒரு பகுதியுடையனவாயின் அவற்றை ஒருங்கு தொகுத்துச் சுருக்கிச் செல்லுதல் தீர்வு காண்டற்கு எளிது.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 257
உ-ம்.
- 9 5ق 3 -- 5
函丁互丁2瓯丁5=+ 1 . இதனுடைய தீர்வைக்
d/TÖÖs; -
இதனை க இனது இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதுவோம்.
3 თ — 5 க - 9_4க - 3 2க - 1 2க - 5 2க - 1 ஒரு பகுதியுடைய பின்னங்களை ஒரு பக்கமாக்குவோம்.
-- l ;
4க - 3 3க - 5 க - 9
* エ7 下 エ五丁“下アエう*
(4 க - 3) - (3க - 5) (2க - 5) - (க - 9)
*飞孺二互 R 25 - 5
க + 2 க + 4
*亚高二五丁巫高二百” '. குறுக்குப் பெருக்கலாற் பெறுவது (க +2)(2க - 5)= (2 க - 1)(க + 4) ; *. 2 க2 - க - 10 - 2 க2 + 7 க - 4 .. - க - 7க- 10 - 4 ; .. - 8க- 6 ;
·5=一盖· 105. ஒரு மாறிலியையேனும் ஒரு வெற்றெண்ணையே னுந் தொகுதியாகக் கொண்ட இரு பின்னங்கள் ஒன்ற னுக்கொன்று சமனயின், அவற்றினுடைய பகுதிகளும் ஒன்றனுக்கொன்று சமனுகும். இதனை நிறுவுவோம் :-
ஆ அ இக+ உ'இக + உ) யைத் தொகுதியாய்க் கொண்டு ஒன்றற்கொன்று சமனன இரு பின்னங்கள் எனக் கொள்வோம்.
என்பன அ என்னும் ஒரு மாறிலி
அ }{2ی
'. وبه + قوي له + قرية *
குறுக்குப் பெருக்கலாற் பெறுவது அ(இக + உ)= அ(இக + உ).
3951-L

Page 24
258 மாளுக்க ரட்சர கணிதம்
'. இக + உ2=இக + உ).
. பகுதிகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமனுதல் காண்க.
உ-ம்.
2 2 st 9-9., ), a 3.5%. 554. இங்கு ஒரு வெற்றெண்ணைத் தொகுதியாகக் கொண்ட இரு பின்னங்கள் ஒன்றனுக்கொன்று சமன்;
.. அப் பின்னங்களுடைய பகுதிகளும் ஒன்றனுக் கொன்று
P LD (of ". (2 க - 1)(க + 2)= (2 க + 1)(க - 3); .. 2க2 + 3 க - 2=2க? - 5 க - 3; .. 3 க + 5 க= 2 - 3;
", 8க- - 1 ;
- 。●=ーき・
106. ஒரு தொகுதியையுஞ் சமனில்லாப் பகுதிகளையும் உடைய இரு பின்னங்கள் ஒன்றனுக்கொன்று சமசூனயின், அத்தொகுதி 0 ஆகும்.
இதன் உண்மையைக் காட்டுவோம் :-
ஓ, எனபன ஒரு தொகுதியையுஞ் சமனில்லாப் பகுதி களையுங் கொண்டு ஒன்றனுக்கொன்று சமனுன இரு பின்
னங்களெனக் கொள்வோம்.
அ_அ ・す=ァ・ குறுக்குப் பெருக்கலாற் பெறுவது 9 அ= 8.அ : .. 9 அ - 8 அ= 0 .. அ= 0.
.. தொகுதி பூச்சியமாதல் காண்க.
உ-ம்.
2க - 3 2க - 3 ==:F. இதனைத் தீக்ர்க க இனது எப்பெறுமானத்திற்கும் க? - 10க + 21 என் பது க?-10க + 21 என்பதற்குச் சமனகாது.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 259
இங்கு, ஒரு தொகுதியையுஞ் சமனில் லாப் பகுதிகளையும் உடைய இரு பின்னங்கள் ஒன்றனுக்கொன்று சமனெத் தரப்பட்டுள்ளன.
.. தொகுதி 0 ஆகும் ;
'. 2க - 3 = 0 ; .". 2க= 3 ;
·á=卫嘉...
107. மேற்கூறியனவற்றைப் பயன்படுத்துவோம்
உ-ம்.
க - 4 க - 3 க - 5 க - 2 言了*高二丁高二百*言口” இதனைத் தீர்க்க. (க - 5) + 1 (க - 4) + 1 (க - 6) + 1 (க - 3) + 1 க - 5 , - 4 g. 6 5 -- 3 '
•ʼ• " "t C 5
I l جت--سی۔ --سہ --س------- -+
エ 「エ 「エー
l 十 I + -ー一= I + -- I -- க - 4 க - 6
க - 3
இனி, இடமாற்றஞ் செய்துஞ் செல்லலாம், செய்யாதுஞ் செல்லலாம்.
(i) இட மாற்றஞ் செய்யப் பெறுவது
I I 1 த ட 5 க - 6"கட3 த ட 4 . (3 -- 35 ) -- (4 -- g5ی )__(ر5 -- 5ى ) --- (6 -س. j5ن ) و ’ (க - 5)(க - 6) (க - 3)(க - 4)
-l -l a 2 11s 30,27a; - 12 இங்கு ஒரு வெற்றெண்ணைத் தொகுதியாகக் கொண்ட இரு பின்னங்கள் ஒன்றனுக்கொன்று சமன் ; ." பகுதிகளும் ஒன்றனுக்கொன்று சமன் :
", க2 ட 11 க + 30- க2 - 7 க + 12 , ;12 + 30 - سبب = gs -+ 7 B5 11 -- . •
一4凸=一l 8; .. க-4;.

Page 25
260 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(i) இடமாற்றஞ் செய்யாது பின்வருமாறு தீர்வு காண Garth :
I I I 1 o د 3 – يو " 6 -- وی ؟ 4 - نوي " 5 – ,g (க - 4) + (க - 5)_(க - 3) + (க - 6)
؟ ( 3 -- 5ی )( 6 - 5 ) ״ ״ (4 - دوی )( 5 - وی )
2க - 9 2க - 9 * & 1 + ;ی 9 -- 2;ی د 20 + ;و 9 -- 2 او ٠ க இனது எப்பெறுமானத்திற்கும் க*- 9க + 20 என்பது க2 - 9 க + 18 என்பதற்குச் சமனுகாது ;
.. இங்கு, ஒரு தொகுதியையுஞ் சமனில்லாப் பகுதிகளை யும் உடைய இரு பின்னங்கள் ஒன்றனுக்கொன்று சமனெ னப் பெறப்பட்டன :
.. தொகுதி 0 ஆகும் ; ; 0 === 9 س- 95 2 . * •
“.25=9,
·伍=4嘉...
U uji)9, 17 (o)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :-
2க - 1 2 க + 3 3க - 2
I。ーーートー -
3 4 2 க க + 1 2க - 1 2 க + 1 2 ァー一ァー+1=一aーー一ェー 3 - 35 4__5 - 95 3 دي
3 க + 4 4 க + 3' 2க -5_5க-4 ” 2з, — 3 55 — 1 ”
5 4 க - 9 6з. — 13 — 2, 3 T 33, -2
5 6. I Og, - 3 8 d5 + ܀ (0 ܚܘܒ
"3 -+ gy -- 2 " " " 4 gى 5

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 261
7
O.
ll.
12.
3.
l4.
15.
6.
7.
18.
9.
(க + 2)(2 க + 3) = क + 4
(க - 2)(2 க - 3) க - 3
(3 க + 2)(2 க + 1) _3(க + 1)
(3க -2)(2க -1) 3க - 4
3 2 5
I I I a + 5 ਲ +6 ਲ + 4 ਨ7
2 2 1 I 3エ* エ
3 3 I I 5٠ -- ویل " 1 – .3 * 7 I – ;و 3 " 1 -- ,g 3
க - 7 க - 8 க - 10 க - 5 ٠ 4 – پو" ` 9 -- ;و 7٦ – وه " 6 -- وی
க+ 5 க + 8_க + 7 க + 6 க + 4 க + 7 க + 6 க + 5'
3க - 1 3க - 4 3க - 7 3 க - 10 * TI -- ;ی 3 " 3 -- , 3 5 - ;و 3 ` 2-- او 3 16 க - 5 8க - 11 4(6க - 5)
4 க - 1 -- 43 - 5 4 " ^ 5 -- و 3(4 க + 3) 2(3 க + 4)_18 க + 19
6 க + 5 3(2a, 3) 65 - 7 l 05 - 13 6க - 25_6க - 13 10 க - 33 7۔ وہ 2 *** 5 - یوم 2 g ہو 2 T 3- پی 2 185 + 1 132 + 10 18-, + 47.32 E 4
3 க + 2 35 -- ll 3 க + 8 3 க + 5'

Page 26
262 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
108. எழுத்துக் குணகங்களோடு பொருந்திய சமன்பாடு களைத் தீர்க்குமிடத்து, அவ்வெழுத்துக்கள் தெரிந்த கணி யங்களைக் குறித்து நிற்குமாதலாலே தீர்வுகளிலுங் காணப் படும் :-
g-L)
1. 2அ(க - இ)= இ(இ - க) + அ?. இதனைத் தீர்க்க. அடைப்புக்களை நீக்குவோம் : .. 2அக - 2அஇ-இ? - இக + அ? ;
இடமாற்றஞ் செய்வோம். .. 2அக + இக= அ? + 2 அஇ + இ? ;
'. க(2.அ + இ)=(அ + இ)? ;
2. (அக - இ)(இக + அ)= அ(இக2- அ). இதனைத் தீர்க்க. .. அஇக?+ அகே - இ?க -அஇ= அஇக? - அ? ; .. அகே - இ2க= - அ2 + அஇ ; .. க(அ? - இ?)= - அ(அ - இ) :
அ(அ -இ) அ2 - இ2 _ __அ(அ -இ) T (அ -இ)(அ + இ) --- ہ- = T அ + இ"
க- அக-இ_(அ-இ? இதனுடைய தீர்வைக் அ + இ அ-இ அ2-இ2 ‘ காண்க. இரு பக்கங்களையும் அ2 - இ2 என்பதாற் பெருக்குக.
.. (அ-இ)(க - அ) + (அ + இ)(க - இ)= (அ-இ)? : .. (அ-இ)க - அ(அ-இ) + (அ + இ)க - இ(அ + இ)=
(அ -இ)? ; “. க(அ - இ + அ + இ)=(அ - இ)2 + அ(அ-இ) +
இ இ இ శీ4@);

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும்
263
2அக= அ2 - 2அஇ + இ2+ அ? - அஇ + அஇ + இ?
=2அ2 - 2 அஇ + 2இ2 .. அக= அ? - அஇ + இ? ;
--س.................. ----- س ------55، “
உ-ம்.
0S TTT SS TTT S KS0SSS SSSSA AASSAiSiiSiS iiSiiS
அ'க+ இந+ உ'= 0. இவற்றைத் தீர்க்க.
(1) இல் இருந்து, அக + இந= -உ;. (2) , , , , அ'க + இந= - உ';.
(3) ஐ இ' ஆலும் (4) ஐ இ ஆலும் பெருக்குக.
அஇக + இஇந= - இ'உ . அ'இக + இஇந= - இஉ' . (5) இல் இருந்து (6) ஐக் கழிக்க. . க(அஇ' - அ'இ)=இஉ' - இ'உ :
_இஉ' - இஉ
அஇ' - அ"இ"
...(1)
- - - - - - (3) ... (4)
・ (5) - - - - - (6)
இனி (3) ஐ அ' ஆலும் (4) ஐ அ ஆலும் பெருக்குக.
அஅ'க + அ'இந= - உஅ' . அஅ'க + அஇந= - உ'அ;. (7) இல் இருந்து (8) ஐக் சழிக்க. .. ந(அ'இ- அஇ')= உ'அ - உஅ ;
_உ'அ - உஅ' * அ'இ-அஇ'
உ-ம்.
5. அக - இந= அ? - அஇ, .
(ر8 ) ...........
(ر 1 )................
رو) س................... ..........................................................اس............. ق - ق او =5 + 5(ق
இவற்றைத் தீர்க்க.
(1) ஐ அ ஆலும் (2) ஐ இ ஆலும் பெருக்குக.
இ?க + அஇந= இ?(அ-இ) ;.
அ?க - அஇந= அ?(அ-இ);.
(3) ஐயும் (4) ஐயுங் கூட்டுக.
ر4).....

Page 27
264 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
க(அ + இ?)=(அ-இ)(அ2+ இ2) :
_(அ- இ)(அ+ இ*) (அ2 + இ2) =அ- இ. இனி, க-அ-இ என (2) இற் பிரதியிடுக. இ(அ-இ) + அந=அஇ-இ2. அந = அஇ-இ? -இ(அ -இ)
。”。ó
= அஇ-இ2 - அஇ + இ2 = 0.
.. ந= 0,
க= அ - இ.
பயிற்சி 17 (ஆ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
அ(க - அ)= இ(க - இ). .gy2 = سب- 2( g5 -- [9)--952 (க - அ)(க + அ - இ)=(க + அ)(க-இ). (க-அ)(இ+ உ)-(க-இ)(உ + அ) + (க-உ)(அ + இ)=0. (க - அ + இ)(க + அ - இ)=(அ+இ)2 + (க-அ2). (அக - இ)(இக + அ)=அ(இக2- அ).
s அஇ" இஉ" உஅ 8. அதிக-அ)=இ+இக-இ.
9. க + இ_க - இ_4அஇ. அ-இ அ + இ அ2-இ? க + அ க + இ_(அ + இ) அ + இ அ-இ அ2-இ2
7
l.
772 ལས་པ 2པའི་
அ - இ இ- அ அ2-இ2 2. அ. க.அ - இ
அ + க அ + இ

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 265
3.
14.
5.
6.
7.
8.
9.
20.
21.
22.
23.
24.
25。
26.
அ + இ = 1+ ! இக அக அ இ’ அ_ இ_1 - 1 இக அக அ இ’ அக-இ_இ அக + இ அ - - - - - - 1 க - அ + இ க + இ
க - 2அ க - 4 அ_க - 6அ க - 8.அ க - 3 அ க - 5 அ க - 7 அ க - 9அட்
3க-4அ. க - 5 அ_3க - 10அடிக - 3அ க - அ க - 4 அ க - நஅ க - 2அ 5க +4அ2க +9அ_7க + 19அ
க + அ க + 5 அ க + 3 அ 2க+3 அக+5அ_3 க + 10அ க+ 2அ, க + 6 அ க + 4 அ அக - இந= அ?,
இக - அந= இ?.
அக - இந=ப,
அக + இந= ம.
十
= --
ஆ,
=
இ.
十
--
t
I
i 十
--
جس

Page 28
266 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
க- அ_ந - இ.
2 3 =இ.
27. அ(2க + ந) + இ(2க - ந)=2அஇ,
அ(2 க + ந) - இ(2க - ந)= அஇ.
28. +- P
... ----
அ அ - இ
و[9ے جس مسح
- - - -
அ - இ இ 109. கடுமையான உத்திக் கணக்குக்களைப் பின்வருமாறு செய்யலாம் :-
உ-ம்.
1. மாளுக்கன் ஒருவன் தன் இல்லத்திலிருந்து மணிக்கு
3 மைல் வீதம் நடந்தால் 4 நிமிடம் பிந்தியும் மணிக்கு 4 மைல் வீதம் நடந்தால் 2 நிமிடம் பிந்தியுந் தன் பாட சாலை சேர்வான். அப்பாடசாலை அவன் இல்லத்திலிருந்து எத்தனை மை ல் தூரம் ?
அவன் பாடசாலை அவன் இல்லத்திலிருந்து க மைல் தூரமாகுக ; மணிக்கு 3 மைல் வீதம் க மைல் தூரஞ்.
செல்ல எடுக்கும் நேரம் மணியாகும் ;
மணிக்கு 4 மைல் வீதம் க மைல் தூரஞ் செல்ல
எடுக்கும் நேரம் மணியாகும் ;
.. இரண்டு நேரங்களின் வித்தியாசம் -
I கணக்கின்படி, இது 2 நிமிடம், அல்லது 30 மணிநேரம் ;
க க_ I 3 T 430
இரு பக்கங்களையும் 60 ஆற் பெருக்குக.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 267
.. 20க - 15க-2 ;
“. 55 == 2 ;
s2
”。岛二
" அப்பாடசாலை அவன் இல்லத்திலிருந்து 품 மைல் தூரம்,
உ-ம்.
2. ஒரு மனிதன் 3 ஆடுகளையும் 5 மாடுகளையும் 1800 ரூபாவாக விலைக்குக் கொண்டு ஆடுகளை 10% வீதம் நட்ட மாகவும் மாடுகளை 10% வீதம் நயமாகவும் விற்றன். அவனது தேறிய நயம் 120 ரூபா ஆயின், அவன் ஒவ்வோர் ஆட்டையும் என்ன விலைக்குக் கொண்டான்.
ஆடு ஒன்றின் விலை க ரூபா ஆகுக ; மாடு ஒன்றின் விலை ந ரூபா ஆடுக. .. 3 ஆடுகளையும் 5 மாடுகளையும் 3 க + 5ந ரூபா வாகக் கொள்ளலாம் ;
இது கணக்கின்படி 1800 ரூபாவாகும். . . . (1) ", 3 க + 5 ந= 1800 3 ஆடுகளையும் விற்க 10% வீதம் நட்டம் அடைந்தான். ", 3 ஆடுகளின் விற்ற விலை கொள்விலையின் 90%.
3 90 = ó 牙 × oo C5-7 ·
27க f n (5
5 மாடுகளையும் விற்க 10% வீதம் நயம் அடைந்தான். ", 5 மாடுகளின் விற்ற விலை கொள்விலையின் 110%
I II 0 = 5 நx ரூபா
100 l lib =--ரூபா.
O 27க .. 3 ஆடுகளையும் 5 மாடுகளையும் விற்ற விலை 0. !” eliöluri .
கணக்கின்படி, இது (1800 + 120) ரூபா, அல்லது 1920 ரூபா.

Page 29
268 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
27க 11ந
(1) ஐ 9ஆற் பெருக்க வருவது 27 க + 45 ந= 16200 ;.(4)
(3) இல் இருந்து (4) ஐக் கழிக்க வருவது 10ந=3000 ;
.. ந=3000 :
ந=300 என (1) இற் பிரதியிடுக.
.”。3cm + 5>く300= I 800 ;
3க= 300 :
. 0 0 1 حبصحبت ,y ,*.. .. ஒவ்வோராட்டின் விலை 100 ரூபா.
உ-ம்.
3. ஒரு சைக்கிளோடி அ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து மு. ப. 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு இ என்னும் பட்டினத்தைப் பி. ப. 3 மணிக்கு அடைந்தான். வேருெரு சைக்கிளோடி இ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து மு. ப. 8 மணிக்குப் புறப் பட்டு அ என்னும் பட்டினத்தைப் பி. ப. 4 மணிக்குச் சேர்ந்தான். இருவரும் மாரு வேகத்தோடு ஒடிஞராயின், அவர்கள் ஒருவரை ஒருவர் எந்நேரஞ் சந்தித்தனர்?
அவர்கள் மு. ப. 6 மணிக்குப் பின் க மணி நேரத்திற் சந்தித்தனர் எனக் கொள்வோம்.
அ இலிருந்து இ இனது தூரம் ந மை லாகுக. .. முதற் சைக்கிளோ டி ந மைல் தூரத்தை 6 மணிநேரத் தில் ஒடிஞன்.
.. அவனது வேகம் மணிக்கு i மை லாகும். மு. ப. 6 மணி தொடங்கி க மணிநேரத்தில் அவன்
ஒடிய தூரம் மை லாகும்.
இனி, இரண்டாஞ் சைக்கிளோடி ந மைல் தூரத்தை 8 மணி நேரத்தில் ஓடினன்.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 269
.. அவனது வேகம் மணிக்கு 4 மைலாகும்.
மு. ப. 8 மணி தொடங்கி (க - 2) மணி நேரத்தில்
(க - உ)ந
8 மை லாகும்.
அவன் ஒடிய தூரம்
". இருவரும் ஓடிய தூரம் ++ -- மை லாகும். கணக்கின்படி, இது ந மைல் தூரமாகும்.
கந(க - 2)ந_
·音十一瓦一=
இருபக்கங்களையும் ஆற் பெருக்குக.
.. 8 க + 6(க - 2)- 48 ;
8 க + 6 க - 12= 48 ;
14 க - 60 ;
2 க = 4-.
7
". அவர்கள் ஒருவரை ஒருவர் சந்தித்த நேரம் மு. ப. 10 மணி 17号 நி.
பயிற்சி 17 (இ)
1. மனிதன் ஒருவன் ஒரு பட்டினத்திலிருந்து ஒரு பட்டினத்துக்கு மணிக்கு 3 மைல் வீதம் நடந்து தன் பிரயாணத்தை முடித்தான். அவன் மணிக்கு 4 மைல் வீதம் நடந்தானுயின் 40 நிமிடம் முந்தித்தன் பிரயாணத்தை முடிப்பன். இரு பட்டினங்களுக்கு மிடையேயுள்ள தூரம் என்ன?
2. மாணுக்கன் ஒருவன் தன் இல்லத்திலிருந்து செக்க னுக்கு 12 யார் வீதஞ் சென்ருல் 8 செக்கன் பிந்தியும் செக்கனுக்கு 15 யார் வீதஞ் சென்ருல் 2 செக்கன் முந்தி யுந் தன் பாடசாலை சேர்வன். அவனில்லத்திலிருந்து அப் பாடசாலை எவ்வளவு தூரத்திலுள்ளது? ܠ

Page 30
270 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3. ஒரு மனிதன் மணிக்கு 1 மைல் வீதம் ஒடும் ஆற்றில் ஒரு தூரத்தை ஆற்ருேட்டத் தோ டொத்து நீந்த எடுத்த நேரம் ஆற்றேட்டத்தை எதிர்த்து நீந்த எடுத்த நேரத்தின் அரை மடங்கு. அவன் நீந்திய வேகம் என்ன?
4. கூலிக்காரன் ஒருவன் தன் சேமிப்புப் பணத்தை 2 ரூபாத்தாள்களும் 5 ரூபாத்தாள்களுமாக 56 தாள்களில் வைத்திருந்தான். அவன் 2 ரூபாத்தாள்கள் எல்லாவற் றையும் 5 ரூபாத்தாள்களாகவும் 5 ரூபாத்தாள்களெல்லா வற்றையும் 2 ரூபாத்தாள்களாகவும் மாற்றினையின், அவனது பணந் தொகையளவில் வேறுபடாது. அவனி டம் உள்ள 5 ரூபாத்தாள்கள் எத்தனை?
5. மனிதன் ஒருவன் தனது 1125 ரூபா முதலில் ஒரு பகுதியை 3% வீத வட்டிக்கும் மற்றைப் பகுதியை 34% வீத வட்டிக்குங் கொடுத்து ஆண்டொன்றுக்கு 37 ரூபா வருமானம் பெறுகின்றன். அவன் 34% வீத வட்டிக்குக் கொடுத்த பணம் எவ்வளவு ?
6. பிரயாணி ஒருவன் ஒரு குறித்த தூரத்தை நடந்து முடித்தான். தான் மணிக்கு அரை மைல் வீதங் கூடுத லாக நடந்தால் 5 மணி நேர முந்தியும், மணிக்கு அரை மைல் வீதங் குறைவாக நடந்தால் 7 மணி நேரம் பிந்தி யுந் தன் பிரயாணத்தை முடிக்கலாம் என்பதை உணர்ந் தான். அவனுடைய பிரயாணத்தினது தூரத்தையும் நடந்த வேகத்தையுங் காண்க.
7. மிருக வியாபாரி ஒருவன் 5 குதிரைகளையும் 8 மாடு களையும் 9 200 ரூபாவுக்கு விலையாகக் கொண்டு, குதிரை களை 5% வீத நயமாகவும் மாடுகளை 5% வீத நட்டமாக வும் விற்க 140 ரூபா நயமடைந்தான். அவன் ஒவ்வொரு குதிரையையும் என்ன விலைக்குக் கொண்டான் ?
8. ஒரு மனிதன் 840 ரூபா முதலில் ஒரு பகுதியை 3% வீத வட்டிக்கும் மற்றைப் பகுதியை 4% வீத வட் டிக்குங் கொடுத்தான். அவனது வருமானம் அவன் பணத் தின் 33% வீதமாயின், அவன் ஒவ்வொரு வீதத்திலுங் கொடுத்த தொகை என்ன ?

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 271
9. ஒரு செவ்வகத்தினுடைய நீளம் 5 அடி குறைந்தும் அகலம் 3 அடி கூடியுமிருந்தால் அதன் பரப்பளவு 15 சதுர வடியாற் கூடும். அன்றி, அதனிளம் 5 அடி கூடியும் அகலம் 5 அடி குறைந்து மிருந்தால், அதன் பரப்பளவு 125 சதுரவடியாற் குறையும். அச் செவ்வகத்தினது நீளத்தைக் காண்க.
10. ஒரறையினது நீளம் 6 அடி குறைந்தும் அதனகலம் 4 அடி கூடியுமிருப்பின், அவ்வறை பரப்பளவின் மாருது சதுர வடிவம் பெறும். அவ்வறையினுடைய நீளவ கலங் களைக் காண்க.
11. ஒரு தொகை மாம்பழங்களை ரூபாவுக்கு 8 ஆக விலைக் குக் கொண்டு, அத்தொகையில் 4 ஐத் தின்றுவிட்டு மீதியை ரூபாவுக்கு 5 ஆக விற்க 2 ரூபா நயமடைந்தேன். நான் வாங்கிய பழங்கள் எத்தனை ?
12. ஒரு தொகை ரூபா ஒரு தொகை மானுக்கருக்குச் சமனுகப் பங்கிடப்பட்டன. மானுக்கர் தொகை 10 ஆற் கூடினல், அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் 2 ரூபா குறைவாகப் பெறுவர். அவர்களுடைய தொகை 8 ஆற் குறைந்தால் அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் 2 ரூபா கூடுதலாகப் பெறுவர். மாணுக்கர் தொகையையும் அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் பெற்ற பணத்தையுங் காண்க.
13. அ என்பவன் 40 யார் ஒடும் நேரத்தில் இ என் பவன் 35 யார் ஒடுவான். இ என்பவன் 5 நிமிடம் முந்தி ஒடத்தொடங்கினனயின், எத்தனை நிமிடங்களில் அ என் பவன் இ ஒடு தோளொடு தோளாகப் போவான்.
14. ஒரு புகைவண்டி அ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து மு.ப. 8 மணிக்குப் புறப்பட்டு இ என்னும் பட்டினத்தை மு. ப. 11 மணிக்கு அடைந்தது. வேருெரு புகைவண்டி இ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து மு.ப. 9 மணிக்குப் புறப் பட்டு அ என்னும் பட்டினத்தை மு. ப. 11 மணிக்குச் சேர்ந்தது. இருவண்டிகளும் மாரு வேகத்தோடு ஒடின வெனின் அவை ஒன்றை ஒன்று எத்தனை மணிக்குச் சந்
தித் தன ?

Page 31
272 மாணுக்கர ட்சரகணிதம்
15. அ என்பவனும் இ என்பவனும் ஓர் ஒட்டப் போட் டியிற் பங்குபற்றினர். அ என்பவன் செக்கனுச்கு 11 அடி வீதமும் இ என்பவன் செக்கனுக்கு 84 அடி வீதமும் ஓடினர். இ என்பவனுக்கு 16 அடி முந்தி நிற்க இடங் கொடுத்தால், இருவரும் ஒருங்கு தங்குறிக்கோளை அடை வர். அப்போட்டி எத்தனை அடித் தூரம் ?
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 6
(அ)
1. 2க - 3 க + 1, 3 க" - 4 க2 + 1. இவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
2. க* - 4 க?, க9 - 8, க + க?. இவற்றினுடைய பொ. ம. சி. ஐக் காண்க.
அ + இ அ + 2இ o O (YY v 3. 2(في 2 – (يو 5 - 2 و 3 3 و 4 ـ فتوى" இதனைச் சுருக்கித் தருக.
I 4. – ஃ-ல் இதனைத் தீர்க்க.
அகT இக அT இ?" 5. ஒரு பட்டினத்திலிருந்து புறப்பட்ட புகைவண்டி ஒன்று தன் வேகத்தை மணிக்கு 10 மைல் வீதங் கூட்டி ஒடினல் 2 நிமிடம் முந்தியும் மணிக்கு 5 மைல் வீதங் குறைத்து ஓடினல் 2 நிமிடம் பிந்தியுந் தான் குறித்த இடத்தைச் சேரும். அதன் வேகம் என்ன ?
(ஆ) 1. க2 + க - 6, 2க? - 5 க + 2, க? - க - 2. இவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
2. 8க9 - 20க2 + 18 க - 9, 8க3 + 4க2- 6ச + 9. இவற்றி னுடைய பொ. ம. சி. ஐக் காண்க.
2(1 - 3 அ) 2 5
3. 十
gy 2 - 9 3 - அ 1 + அ
. இதனைச் சுருக்கித் தருக.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 273
அக- இ அ2 - இ? في من محمر و .இதனைத் தீர்க்க '2@ + 2ړو ` @ + ;وو.
5. ஒரு மனிதன் மணிக்கு 14 மைல் வீதம் ஒடும் ஆற் றில் ஒரு மைல் தூரத்தை ஆற்ருேட்டத்திற் கெதிராக நீந்த எடுத்த நேரம் ஆற்றேட்டத்தோடொத்து நீந்த எடுத்த நேரத்தின் இருமடங்கு. அவனது சொந்த வேகம் என்ன ?
(9)
1. 1 + 5 க - 4 க2 - 20க3, 1 + 6க - 4 க2 - 24 கஃ. இவற்றி னுடைய பொ. கா . பெ. , பொ. ம. சி. என்பனவற்றைக் காண்க.
I I g2 + 1 352 + 1
--- -- - w னைச் 2 க - 1 ہو + i T 1 - 53ل 1 + 3 ہو இதனைச் சுருக்குக
அ இ , . 3 A. 3. *+蓋(*+*ー@+。 (க + இ). இதனுடைய தீர்வைக்
I
காண்க.
அ இ
4. 2 க + 3, 2a, 3 is இவற்றைத் தீர்க்க,
5. ஒரு செவ்வகத்தினது நீளம் 5 அடியாற் கூடினுல் அதன் பரப்பளவு - 150 சதுரவடியாற் கூடும். அன்றி, அதன் அகலம் 5 அடியாற் கூடினுல் அதன் பரப்பளவு 200 சதுரவடியாற் கூடும். அச்செவ்வகத்தினுடைய நீள வகலங்களைக் காண்க
(FF)
655 என்பது 2க - 4 க? -
l. س-----س---•مسی---------------
1 - 25
T-- 2 32 எ ன் பதற்கு ச்
சமன் என நிறுவுக.
2. அ? இ’(அ) - இ?), அஇே?(அ4 - இ4), அஇ(அ- இ)?. இவற்
றினுடைய பொ. ம. சி. ஐக் காண்க.
395)-M

Page 32
274 மாணுக்க ரட்சரகணிதம்
3. அ + க -- இ + க ყ2 - -|- ტნ . இத
(அ-இ)(அ-உ) (இ-உ)(இ-அ) " (உ-அ)(உ-இ) னைச் சுருக்குக.
2 3 5 ;E + = . இதனைத் தீர்க்க. 5. ஒரு தோட்டத்தினுடைய நீளம் 12 அடியாற் குறைந்தும் அகலம் 10 அடியாற் கூடியும் இருந்தால், அது பரப்பளவிலே மாருது சதுரவடிவங் கொள்ளும். அத் தோட்டம் என்ன நீளவகலங்களை உடையது ?
(g) )
ஆயின், ந இன் பெறுமானத்தை க, ய
፱5 – ህ ! I・ み=
[b + IJ என்னும் இவற்றிற் காண்க.
2. க - 7க + 6, க*- 6க2 + க + 6. இவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
2 4 o இதனைச் சுருக் * 4-1۔ 4ہو 14 + x2و 4 1 + yو 12 -- oyو ہے
3.
குக.
24 க + 29 18 க- 7 . -- - - - 0. க் காண்க. 4 4 க + 5 3க-1 இதனுடைய தீர்வைக் காண்க
5. கூலிக்காரன் ஒருவன் ஒரு விடுதிச் சாலையிலிருந்து செக்கனுக்கு 12 யார் வீதஞ் சென்ருல் 3 செக்கன் பிந்தி தியுஞ் செக்கனுக்கு 16 யார் வீதஞ் சென் ருல் ஒரு செக் சன் முந்தியுந் தனது தொழிற்சாலையை அடைவான். அவன் வீட்டிலிருந்து அத்தொழிற்சாலை எத்தனை யார் தூரம் ?
(ஊ) I ஆயின், வ இன் பெறுமானத்தை க, ப என் 655 6! ! பனவற்றிற் காண்க .
2. 12 க + 8 க2 + 21 க + 10, 12 க + 8 க? - 19க - 10. இவற் றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
l.

கடுமையான சமன்பாடுகளும் உத்திக் கணக்குக்களும் 275
5 - 33, 8- 3க_2 க + 3, 2க + 5 2 - க க - 3 2 + க 3 + க 4. அ(க- 1) + இ(ந - 1)= இ(க- 1) + அ(ந- 1)= 1. இவற் றைத் தீர்க்க.
5. முட்டை வியாபாரி ஒருவன் ஒரு தொகை முட்டை களை ரூபாவுக்கு 10 ஆக விலைக்கு வாங்கினன். அவற்றுள் பழுதடைந்தது. மீதியை ரூபாவுக்கு 6 ஆக விலைக்கு விற்க 9 ரூபா நயமடைந்தான். அவன் விலையாகக் கொண்ட முட்டைகள் எத்தனை?
3. . இதனைச் சுருக்குக.
(6г) =அஇ ஆயின், "அ+க-இ அ- இ க + அ க + இ மானத்தை அ, இ என்பனவற்றிற் காண்க.
2. 2க + க - 7க - 6, 6 க9 - க2 - 19க - 6. இவற்றினுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
l. 3, என்பதன் பெறு
ਸ - 1 . 5 + 5 - 1 v Mr 3. + 2 T 2 - 1 ( ᎯᏏ -- 1 )** இதனைச் சுருக்கித் தருக.
-- 3 9 4. :+2=2ே. இதனைத் தீர்க்க.
5 + ;وی ` د دع + ; " 2 + ;وی 5. அ என்பவன் 60 யார் ஒடும் நேரத்தில் இ என்ப வன் 50 யார் ஓடுவான். இ என்பவன் 10 நிமிடம் முந்தி ஒடத்தொடங்கினணுயின், அ என்பவன் எத்தனை நிமிடங் களில் இ என்பவனேடு தோளொடு தோளாகப் போவான்?
(ஏ)
2 2 l. *=羞 ஆயின், ( ) என்பதன் பெறு மானத்தை அ, இ என்பனவற்றிற் காண்க.
2. 2க9 - 5 க2 - 4 க + 3, 3 கஃ-- 13 க2 + 13க - 3. இவற்றி னுடைய பொ. கா. பெ. , பொ. ம. சி. என்பனவற்றைக் d35fT GðÖf S5

Page 33
276 மாணு க்கரட்சரகணிதம்
I 2 -- னைச் சுருக்கக (கள்) - 3 = r (த. இதனைச் சுருக்குக. 205 - 17 203, - 37 l 25 - 17 125 - 29
LLSASSASSASSJSASS S TTTT
தீர்க்க.
5. நிலையான நீரிலே மணிக்கு 3 மைல் வீதம் நீந்தும் ஒருவன் மாரு வேகத்தோடு ஒடும் ஒராற்றில் ஒரு தூரத்தை ஆற்றேட்டத்திற்கு எதிராக நீந்த எடுத்த நேரம் ஆற் ருேட்டத்தோடு ஒத்து நீந்தும் நேரத்தின் மும்மடங்கு. அவ் வாற்ருேட்டத்தின் வேகத்தைக் காண்க.
(2)
1. அ- இ=2 ஆயின், (அ- 1)(அ + 2) என்பதன் பெறு மானத்தை இ இற் காண்க.
2. 2க9 - 3 க - 1, 3 க + 2 க + 1, 4 க + க - க + 2. இவற்றி னுடைய பொ. கா. பெ. ஐக் காண்க.
க + ந .fb + u I ሀ!! ÷ Šb * (ய- சு)(ய- ந) (க-ந(ச ய)"(ந- ய)(ந- க) இசி னைச் சுருக்குக.
2க - 5 அக- 6அ_2க - 9 அச - 4அ க- 2அ க - 5 அ க - 4 அ க - 3அ திர்க்க.
5. ஒரு மனிதன் அ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து காலை 6 மணிக்குப் புறப்பட்டு இ என்னும் பட்டினத்தை மாலை 6 மணிக்குச் சேர்ந்தான். வேருெரு மனிதன் இ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து காலை 8 மணிக்குப் புறப்பட்டு அ என் னும் பட்டினத்தை மாலை 6 மணிக்குச் சேர்ந்தான். இரு வரும் மாரு வேகத்தோடு நடந்தாராயின், அவர்கள் ஒரு வரை ஒருவர் எந்நேரஞ் சந்தித்தனர்?
இ த னை த்

அத்தியாயம் 18
சார்புக்குறியீடும் மீதித்தேற்றமும்
110. சார்புக்குறியீடு : ஒரு மாறி பற்றியெழும் ஒரு கோவையின் பெறுமானம் அம்மாறியின் பெறுமானத்தைச் சார்ந்து நிற்கும். அதுபற்றி அக்கோவை அம்மாறியின் சார்பு எனப்படும். அக? + இக + உ என்பது க இனது சார்பு ஆகும். க இன் சார்பு என்பது 85-ஆம் பிரிவிற் கூறியபடி சுருக்கமாக ச (க) என்னுங் குறியீட்டினுற் காட் டப்படும். க இற்கு யாதுமொரு குறித்த பெறுமானத் தைக் கொடுக்க, அச்சார்பு அடையும் பெறுமானம் அச் சார்பில் க இன் பெறுமானத்தைப் பிரதியிட்டுக் காணலாம்:
ச (க)=அக2 + இக + உ , க=3 ஆயின், ச (3)- அ(3) + இ(3) + உ :
= 9 அ + 3இ + உ.
அக2 + இக + உ என்பது க இன் ஒரு சார்பு. அக + இ, அக" + இக2 + உக + எ என்பன க இனுடைய பிற சார்புகள். இவற்றை சா(க), சி(க) முதலியனவற்ருற் குறிக்கலாம். சார்புகளுடைய வேறுபாடுதோன்ற ச(க), சா(க), சி(க), சீ(க) முதலியனவற்றை முறையே க" இனுடைய சச்சார்பு, சாச்சார்பு, சிச்சார்பு, சீச்சார்பு என்று சொல் பற்றிக் கூற லாம்.
இனி இக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவோம் :-
垒_一th。
1. ச(க)=2க?-3 க + 1 ஆயின், ச(0), ச(), ச(1), ச(- 2) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் 巴拓f了Gö了巴5。
(i) ச(க) ப2க? - 3 க + 1 ;
gF ( 0) == 2(0)2 -- 3( 0) + Iى .۰ 1 +۔ 0 || 0 سلسی=
sc 1.

Page 34
278 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
(ii) ச(க) - 2 க? - 3 க + 1 ;
·伊(瑟)=2(瑟)°一3(器)十1
=2×器ー暑 + I =瑟一卫墨十1 ܀ (0 =-
(ii) ச(க) - 2 க2 - 3 க + 1 ;
1 +. ر1 36 -- 2رl )2 == (رgF( l ." =2X 1 - 3 X 1 - 1
= 2 - 3 -- 1
= O.
(iv) ச(க) - 2 க? - 3 க + 1 ;
. F) 1 + (2 - )3 -س ن(2 است. )2 بیت = (2 -سنت
I +– 6 + 8 ستمبت
----
உ-ம்.
2. ச(க) - 2 க2 - 3 க + 1, சி(க) - க + 2 க - 3 ஆயின், ச(2) + சி(- 3) என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
ச(க)==2க2 - 3 க + 1 ; * 字(2)=2(2)2ー3(2)+ I
=2×4ー 6 + I
• دا جنسيت
சி(க) - க2 + 2 க - 3 ; 3 - ر3 -- )2 + 2ر3 --- ) تس= ( 3-- )3R .". =9 - 6 - 3
---- ’. ச(2) + சி(- 3)= 3 + 0
ཡ་མཚ3 -
உ-ம்.
3. ச(இ)=இஇ ) ஆயின், ச(இ) - ச(இ- 1) என்ப
தன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

சார்புக் குறியீடும் மீதித்தேற்றமும் 279
(ഉ= ' ' ';
2
'. ச(இ - D-"ニ(هو.
2
'. ச(இ) - ச(இ - り-"+"- (இ) இ
=இ{(இ+1)-(இ- 1)} = ଝି{@+1– ସ୍ଥ+ }}
X 2
- இ.
பயிற்சி 18 (அ)
1. ச(க)= க9 - 3 க + 1 ஆயின், ச(2), ச( - 1), ச(0) என் னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
2. ச(க)= க - 5 க - 6 ஆயின், ச(- 2), ச(0), ச(2) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
3. ச(க) = அக? + இக + உ ஆயின், ச( - 1), ச(0), ச(ப) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
பெறுமானம் என்ன ?
5. ச(இ)-இஇ ) ஆயின், ச(இ + 1) - ச(இ) என்ப தன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
6. ச(க)= அக? + இக - உ, சி(க) - அக? - இக - உ ஆயின், ச(க) - சி(க), ச(0) + சி(0), 3 ச( - 1) - 2சி(- 2) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
7. ச(க) - பக? + மக + வ ஆயின், ச(அ), ச( - அ), ச(0) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.

Page 35
28 0 மாணக்கரட்சரக ணிதம்
8. ச(அ)= அ(இ2 - உ2) + இ (உ? - அ?) + உ (அ2 - இ?) ஆயின், ச(இ)= 0 என நிறுவுக.
9. ச(ப)= பம(ப- ம) + மவ(ம - வ) + வப(வ - ப) ஆயின், ச(ம) = 0, ச(வ) = 0 என நிறுவுக.
10. ச(க)=2க - 1, ச'(க)=2 க + 1 ஆயின், ச'(க + 1) - ச(க + 1) - 4 என நிறுவுக.
111. மீதித் தேற்றம் : க என்பதைக் கொண்டுள்ள எக்கோவைகளும் க இனுடைய சார்புகளென அறிவோம். ஒரு சார்பானது வர்க்கமூலத்தை யேனும் பிற மூலங்களையே னுங் கொள்ளாதிருப்பின் அது விகிதமுறுசார்பெனப்படும். அதனிலுள்ள க இனுடைய அடுக்குக்கள் எல்லாம் முழு நேரெண்க ளாயின், அது முழுவெண்சார்பென்று கூறப்படும். இங்கு விகிதமுறு முழுவெண் சார்புகளே ஆளப்படும்.
தக” + பக? + மக + வ என்னும் க இன் சார்பு அத்தன்மை யது. அதனை க- அ என்பதால் வகுப்போம் :-
க-அ) தக" + பக? + மக + வ(தக? + தஅ+ ப. க + தஅ2+ பஅ+ ம.
தக9 - த அக2 M MMMWV (தஅ + ப்) க2 + மக
(தஅ + ப) க? - அ(த அ + ப)க
(த அ2 + பஅ + ம) க + வ (த அ? + பஅ+ ம)க- அ(தஅ” + பஅ + ம)
த அ + பஅ? +ம அ + வ இதனை ஆராயின், பின்வரும் உண்மை புலணுகும் : க இனது விகிதமுறு முழுவெண் சார்பு ஒன்றை க இன்றிய மீதிபெறும் வரை க - அ ஆல் வகுத்தால் வருமீதி அ இனது அச்சார்பாகும்.
இதுவே மீதித் தேற்றம் எனப்படும். இவ்வுண்மையைப் பின்வருமாறும் நிறுவலாம் :- ச(க) என்பது க இனது ஒரு விகிதமுறு முழுவெண்சார் பெனக் கொள்வோம். அதனை க -அ ஆல் க இன்றிய மீதி பெறும்வரை வகுக்க வரும் ஈவு ச'(க) என்றும் மீதி ம என்றுங் கொள்வோம்.

சார்புக்குறியீடும் மீதித்தேற்றமும் 281
எண்கணித முறைப்படி,
வகுக்கப்படுமெண் = வகுக்குமெண் X ஈவு + மீதி இதன்படி, ச(க)= (க - அ) ச'(க) +ம. இங்கு க= அ எனப் பிரதியிடுக. .. ச(அ)= (அ- அ)ச'(அ) + ம
=0 X ச'(அ) + ம) מL + 0 ===
=B: A0. *. ச(க) என்பதை க இன்றிய மீதி வரும் வரை க - அ ஆல் வகுத்தால், மீதி ச(அ) ஆகும். அதுபோல, ச(க) என்பதை க இன்றிய மீதிவரும்வரை க + அ ஆல் வகுத் தால், மீதி ச( - அ) ஆகும்.
இதனலே மீதித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டவாறு காண்க. இம் மீதித் தேற்றத்திலிருந்து பின்வரும் உண்மைகள் புல னகும் :-
(1)ச (அ)=0 ஆயின், க - அ என்பது ச (க) இன் காரணியாகும். (2)ச (-அ)=0 ஆயின், க + அ என்பது ச (க) இன் காரணி uTG5ib.
இந்த இரண்டு உண்மைகளுங் கோவைகள் சிலவற்றைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்கும்பொழுது மிக்க பயனளிக்கும்.
உ-ம்.
1. மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத் தி க - 3 அக? + 3 அக- அ என்பதை க- அ ஆல் வகுக்க வரு மீதியைக் காண்க. ச(க)- க - 3 அக2 + 3 அ2 க - அ8 எனக் கொள்வோம்.
*. ச(அ) = அ8 - 3 அ(அ2) + 3 அ?(அ) - அ? -அ8 - 3 அ8 + 3 அ - அ 三G。
.. ச(க) ஐ க - அ ஆல் வகுக்க வருமீதி 0 ஆகும்.

Page 36
282 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
2. க + 1 என்பது க - 3க - 2 என்னுங் கோவையினு
டைய காரணிகளுள் ஒன்று என நிறுவுக. ச(க) - க - 3 க - 2 எனக் கொள்வோம்.
2 س- (ر1 ---- )3 -س- 3*(1 -- )=(1 ---- )gF .".
:= 0 .
*. க + 1 என்பது க* - 3க - 2 என்னுங் கோவையினு டைய காரணிகளுள் ஒன்று.
@_一星f],
3, 2க3+ பக2+ மக - 8 என்பது க? - 2க - 8 என்பதாலே மீதியின்றி வகுபடுமாயின், ப, ம என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
க2 - 2 க - 8-( க + 2)(க - 4) ; இனி, ச(க)- 2 க + பக2+ மக - 8 எனக் கொள்வோம்
..... 学(ー2)=2(ー2)"+ L(ー2)*+LD(ー2)ー 8
= 2 ( - 8) + L(4) - 2 D - 8
se- - 16 + 4 L J - 2 LD - 8
= 4 L_u — 2 LD — 24 .
க + 2 என்பது ச(க) இன் காரணியாதலால்,
ச( - 2)= 0. .*. 4L_u —— 2 LD — 24 == 0 ;
.ʻ. 2 Lu — LD - l2 = 0 ; . . . . . . . . . . . . . . (1)
இனி ச(4)=2(4)8+ ப(4)2 + ம(4) - 8 = 2 x 64 -- X 16 - 4 p - 8 = Il 2 8 -- I 6 Lu -- 4 D -- 8 == Il 6 Lu -- 4 L D -- I 2 0 ; க- 4 என்பது ச(க) இன் காரணியாதலால், ச(4)= 0.
... l 6L + 4 LD + l20= 0 . .*. 4 Lu -- D + 3 0 = 0 ; . . . . . . . . . . . ... (2)

சார்புக்குறியீடும் மீதித்தேற்றமும் 283
(1) ஐயும் (2) ஐயுங் கூட்ட நாம் பெறுவது 6 ப+ 18= 0;
..". 6 LI= - 18
“. Lu = - 3.
ப= - 3 என (1) இற் பிரதியிடுக. .ʻ. 2 X — 3 — LD — l 2== 0 ; .“. — 6 — LD — l 2 — == 0 ;
* - ԼD - 18= 0 ;
“。ー Lp= I S
ساهمة لا LI = - 3
4. 4க9 - 8 க? + க + 3 என்பதை மீதித் தேற்றந் துணைக்
கொண்டு காரணிகளாய்ப் பிரிக்க .
ச(க)= 4க9 - 8க2+ க + 3 எனக் கொள்வோம்.
. F(1) = 4 (1) - 8(1)2 + 1 - 3
= 4 - 8 + 1 + 3
• 0 جيمسي
.". (க - 1) என்பது ச(க) என்பதனுடைய காரணிகளுள் ஒன்ரு கும்.
.. 4க9 - 8க2+ ச + 3
= 4 கஃ(க - 1) - 4 க(க - 1) - 3(க - 1) - (க - 1)(4 க? - 4 க - 3) = (a, - 1)(23, + 1)(2.5 - 3).
பயிற்சி 18 (ஆ) பின்வரும் வகுத்தற் கணக்குக்களில் வருமீதிகளைக் காண்க :-
1. 2க - 3 க? + 3 க + 2 + க - 1. 2. 3க9 - 2 க? + 5+ க + 1. 3. 5 க* - 3 க2 - 1 - க - 2. 4. 4 க* - 3 க3 + 2 க? - க + 5-- க + 2 ,

Page 37
284 மாணுக்கரட்சரக ணCதம்
5. 8 க + 4க? - 1-2க - 1. 6. 27 க3 - 9 க2 + 3 க + 1-3 க + 1. வகுத்தற் செய்கையை ஆளாது பின்வருவனவற்றை நிறுவுக - М
7. க + 1 என்பது 3 க* - க + 2 என்பதற்குக் காரணி. 8. 2க - 1 என்பது 8 க* - 6க? + 1 என்பதற்குக் காரணி. 9. 3 க + 1 என்பது 3 க* - 5 க -2 என்பதற்குக் காரணி. 10. க - அ என்பது க* - 3 கஃஅ + 3 கஅ2 - அ என்பதற்குக் காரணி.
11. க + 2அ என்பது க* - 4 கஃஅ + க*அ + 4அ என்பதற்குக் காரணி.
12. க9 - ந9 என்பதை க - ந என்பது வகுக்குமென நிறுவுக. r
13. க - 2, க + 2 என்பன 3க* -க9 -16 க2 + 4 க + 16 என்பதற்குக் காரணிகளாகுமெனக் காட்டுக.
14. 6 க2 + க - 1 என்பது 18க - 3 க + 8க2+3க - 2 என் பதை வகுக்குமெனக் காட்டுக.
15. 2க? - 9 க + 4 என்பது 6 க* + பக" + மக? - 4 க + 4 என் பதை வகுக்குமெனின், ப, ம என்பன என்ன பெறு மானங்களை ஏற்று நிற்கும் ?
16. 6 ச2 + 5 க - 6 என்பது 24க* + 20க9 - 30க? - அக-இ என்பதை வகுக்குமெனின், அ, இ என்பன என்ன பெறு மானங்களைப் பெறும் ?
17. அ உம் இ உம் எப் பெறுமானங்களைப் பெற்ருல் 2க* + 3 க + (அ + இ)க?- க + (அ + 1) என்பது 2க? + க - 6 என்பதால் வகுக்கப்படும்.
18. (அ + இ) என்பது (அ + இ) - அ - இ என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளுள் ஒன்றென நிறுவுக.
19. (ப - ம), (ம - வ), (வ - ப) என்பன ப(ம - வ)? + ம(வ - ப)? + வ(ப - ம)? என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளெனக் காட்டுக.

சார்புக்குறியீடும் மீதித்தேற்றமும் 285
20. (க - ந)(க + ந) + (ந - ய)(ந + ய) + (ய - க)(ய + க)? என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளுள்ளே மூன்றைக் காண்க.
21. அ(இ- உ) + இ (உ - அ) + உ(அ - இ) என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளுள்ளே மூன்றைக் காண்க.
22. அ - இ, இ - உ, உ - அ என்பன அ? (இ - உ) + இ’(உ - அ) + உ(அ- இ) என்னுங் கோவையினுடைய மூன்று காரணிகள் எனக் காட்டுக.
பின் வருங் கோவைகளைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க :-
23. க3 - 7 க + 6.
24. க + 4 க? - 4 க - 16.
• 5 - bی 3 -- 32 20 + 3 3 2 1 .25
26, 30 க3 - க2 - 6 க + 1.
27, 4 கஃ-- 13 க - 6.
28. 24 க9 - 2 க?ந - 5 கந2 + ந3.
29. க* - 2 கர்ந - 6 கந? - 9ந4.
30. 36 க* - 13 க2ந2 + ந*.
31. அஇ(அ- இ) + இ உ(இ- உ) + உ அ(உ- அ).
32. அ(இ?-உ?) + இ(உ? - அ?) + உ(அ? - இ?).
33. கஃ(ந - ய) +ந(ய - க) + யஃ(க - ந).
34. (க+ந+ ய)(கந+நய+ யக) - கநய.
35. (அ-இ)?+(இ-உ)?+(உ - அ)?.

Page 38
அத்தியாயம் 19
இருபடிச் சமன்பாடுகள்
112. ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள தேராக்கணியத்தினுடைய அடுக்குக்கள் இரண்டின்மேற்படாமல் இருந்தால், அது இருபடிச் சமன்பாடெனப்படும். அத்தகைய சமன்பாடுகளை அக?+இக+உ=0 என்னும் நியம வடிவத்தில் அமைக்கலாம். அவ்வடிவச் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளைக் காணுமுறையைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் விளக்கும் :-
go - ) .
1. 4க? -100-0. இதனுடைய தீர்வுகளைக் காண்க.
இருபக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுக்க நாம் பெறுவது
ஆ? -25=0 : | 25 -سین 5 .۰ இருபக்கங்களுக்கும் வர்க்கமுலங்காண, நாம் பெறுவன
土伍=土5;
இது + க= + 5, - க - -ந, + க = - 5, - க = + 5 என்னும் நான்கு சமன்பாடுகளைத் தரும். இவற்றுள் + க- + 5 என்பதும் - க - - 5 என்பதும் க=5 என்னும் ஒரு தீர்வையையும், + க = - 5 என்பதும் - க= + 5 என்பதும் க= - 5 என்னும் ஒரு தீர்வையையுந் தரும்.
ஆகையால், +க = +5 என்று எழுதாது
க-+5 என்று எழுதுதலே முறையாகும். + 5, - 5 என்பனவே வேண்டிய மூலங்களாகும்.
உ-ம்.
2. (க - 2)2-3 இதனைத் தீர்க்க.
இருபக்கங்களுக்கும் வர்க்க மூலங் காண்க.
. 5 - 2 = + V3 ; ..'. 5 = 2+ V3.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 287
.. 2 + v/3, 2 - V8 என்பனவே வேண்டிய மூலங்
களாகும்.
இங்கு, 2 + V3, 2 - V8 என்பன விகிதமுரு மூலங்க ளெனப்படும்.
உறுப்பு மூன்றுமுள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளுடைய மூலங்களைக் காண்பதற்கு நாலு முறைகள் ஆளப்படும். அவை (1) காரணி முறை, (2) நிறைவர்க்க முறை, (3) சூத்திர முறை, (4) வரைப்பட முறை என்பனவாகும். இவற்றுள் வரைப்படமுறை அடுத்த அத்தியாயத்திற் கூறப்படும்.
113. காரணிமுறை : இம் முறை பின்வரும் உண்மையைச் சார்ந்து நிற்கின்றது. முடிவில் அல்லாத ஈரெண்களின் பெருக்கம் 0 ஆயின், அவ்வெண்களுள் ஒன்ருயினும் 0 ஆகும்.
உ-ம்.
1. க? - 7க + 12=0. இதனைத் தீர்க்க.
க? - 7 க + 12=0 : ." (5ー3人(みー4)=0 ; .". க - 3= 0, அல்லது க - 4-0 ;
'. க-3, க= 4 என்பனவே வேண்டிய மூலங்களாகும்.
3 2
--=; இதனைத் தீர்க்க 3(க+3) - 2(க - 1)_6. (a, - 1)(a, -3) a
3 க + 9 - 2 க + 2 6
க + 2 க - 3 க"
5 -- I l 6.
' ;ی 3 - 3 2 + او “ ", 6(க2 + 2 க - 3)- க(க + 11) ; *. 6க2 + 12க - 18- க2 + 11க ;

Page 39
288 மாணக்க ரட்சரகணிதம்
.. 5க? + க - 18=0 :
(5க - 9)(க + 2)= 0 ; ", 5க -9= 0, அல்லது க + 2-0 ;
9
・・*=5 5= - 2 என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகளாகும்.
d-D.
3. க*- (அ + இ) க + அஇ= 0. இதனைத் தீர்க்க .
.". (க - அ)(க-இ)=0 : .. க - அ=0, அல்லது க - இ=0 : .. க=அ, க-இ என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகளாகும்.
பயிற்சி 19 (அ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுடைய மூலங்களை எழுதுக. :-
. (க - 2)(க - 3)= 0. . (க + 3)(க + 4)= 0. (க + 5)(க - 6)= 0. . (5 - 4)(5 -- 7) = 0. (1 - க)(1 + க)- 0. ( - க)(க - 3)- 0. . (2க + 1)(க - 3)- 0.
(2க - 1)(3 க + 1)- 0. . (3க - 4)(5 க + 4)= 0. 10. (5.5 - 1)(35 + 2)=0 ll. (395 - 4)(35 - 5)= 0. 12. (55 - 2)(55 - 3) = 0. 13. (2.5 -3)(2.5 - 5) = 0. 卫4.(25一7)°=0。
s
5 あ .0 = )- 3 س+ـ --- ) • 5 (+ )(3.5 + ...)
6. ) - 3()3 0=ر–چ.
17. க - அ)(க - அ - 1)=0.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 289
18. (க + அ)(க - அ + 1)= 0. 19. (அக -இ)(அக + இஅ -1)- 0. 20. (அக + இ)(அக - இஅ + 1)= 0. பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :- 21. க? - 8க + 15-0. 22,5°十14历十45=0。 23. க? - க - 6= 0. 24. க? + 2க - 63= 0. 25. 2க? - 7க + 5= 0. 26. 2க2 + 3 க - 5= 0. 0 سایت 0 1 + J 0 is +- 29 s . 27 28. 14க? - 53 க + 14=0, : 0 تبیین 2 1 + I 2 93 -- 25 s . 29 30, 12க2 + 7க - 12= 0. 31, 2 + 5 க - 25 கஃ-- 0. 32, 6 + 5 க - 25 க=ே 0. 33. 49.5 - 425 + 9 = 0. 34. 25க? + 20க + 4 = 0. 35, 6க2 - 13 க + 7 = 0. 36. 1 035 - 5 - 9 = 0. .0 = (2 - نن وو )6 + gsق • 7 کا 38. 2(6க2 + 1) - 11க- 0. .g 7 - 6 ملی۔ 2;g 20 . 9 3 40. 19க + 4=30க2. 41. 2(க - 1)2 + 3(க - 1) + 1 = 0. 42. 12( க + 1)? - 5(க + 1) - 3-0. 43. 6(2க - 1)2 + 5(2க - 1) - 6= 0. 44. 12(35 -l)- (35 - 1) - 20= 0.
4க ه 0 = 1 + مس - سبب -- - - - است . 5 4
1 + 2க 7 - 4
2 .= جس گا۔ -- جی -- .46
47. க? -(3 - அ)க=3அ.

Page 40
290 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
48. = 2.
--
49. க?-2அ- 1.க + அ(அ- 1)=0. 50. க? - க - அ(அ- 1)- 0. 114. நிறைவர்க்க முறை : இருபடிச் சமன்பாடுகளிலுள்ள இருபடிச் கோவைகள் காரணிகளாக இலேசாகப் பிரிக்கப் படா வாயின், இம்முறையே ஆளப்படும். இம்முறையில் க இல் உள்ள எல்லாவுறுப்புக்களையும் இடப்பக்கத்திற்கும் ஏனையவுறுப்புக்களை வலப் பக்கத்திற்கு மாக மாற்றி க? என்பதன் குணகத்தால் இருபக்கங்களையும் வகுத்து 75 ஆம் பிரிவிற் கூறியபடி இடப்பக்கத்தை நிறைவர்க்க மாக்க வேண்டும். பின் இருபக்கங்களுக்கும் வர்க்கமூலங் காண வரும் ஒருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
உ-ம்.
1. 3க?=4க + 2. இதனுடைய மூலங்களை இருதசமதானங்
• களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க .
3க?-4 க + 2 ;
.. 352 == ;9 4 - ن s* - 35 =* sقى

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 29
3.
= " 72 , அல்லது 39.
(இரு தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமானவை).
5 - 3 ۰== و | پی இதனைத் தீர்க்க. 0. (*ー2りー(リー*り_2 8"T (2 --۔ زنی) (3 --- ;g) ’’
க - 2 - க + 3
s? - 55 - 6
'g25 + 6 ” *. 2(க2 - 5 க + 6)=3X 1 :
.."2க? - 10 க + 12=3 : .. 2க? - 10க = - 9
s
劃
y
影
9
. க?-5 க + ()’=()*-

Page 41
292 மாணக்கரட்சரகணிதம்
5 + 2 - 645 ல்ல 5 - 2 - 645 --- 2 அலலது - 2
7·645 2 355
=--, அலலது -
=3 : 83, அல்லது 1 18 (இருதசமதானங்களுக்குத்
திருத்தமானவை.)
115. செவ்விய எண்வடிவத்திற் காட்ட முடியாத மூலங்கள் விகிதமுருக் கணியங்களெனப்படும். ஏனையவை விகிதமுறு கணியங்களெனப்படும்.
w/10, V7, Vட 6, Vட் 1 என்பன விகிதமுருக் கணியங் களுக்கு உதாரணங்களாகும்.
விகிதமுறுகணியங்கள் எப்பொழுதும் மெய்யானவை. விகிதமுருக்கணியம் மெய்யாய் இருக்கலாம் ; அன்றிக் கற்பனையாய் இருக்கலாம்.
w/10, V7 என்பன மெய்யானவை. V- 6, V- 1 என்பன எதிரெண்களுடைய வர்க்க மூலங்களைக் குறித்தலாற் கற்பனைக் கணியங்கள்.
பயிற்சி 19 (ஆ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளை நிறைவர்க்க முறைபற்றித் தீர்க்க -
க2 - 20 க + 96-0. .0 تس 80 - g52 -- I I g5ن . 0 = ض = 2 3 j5 -- Iی -- j5ق க2= 6( க + 12). 2க2= 110 - 9 க. 3க2= 156 - 23 க. 23 க-14 - 30 க?. 42-85 க - 42 க?.
35 (9.5 + 1) = 2. 3 க(9 க - 2)= 5.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 293
2 ll. 72s +- 90=0.
9 12. 5’- - -s 1 - 5).
க s க)
3க 5 l 3 ・ ー +ーー=2.
5 3க
2 - 5 14. 巴历十 _ க
3 க + 8 5 க + 2’ 15. (2க - 2)(3 க + 2)= 16. 16. (3 க - 5)(க + 2) + 8 = 0. 17. 995 (45 - 3) = 13. I 8 (75ー5)(75ー6)=56.
க - 1 க + 1 6
19. ----------------- --- ----س -- ---------------سسسس----- 2க - 1 2 க + 1 35
l 3. 3 20. 十ーヘゴート。
க - 1 க - 2
21 l H- I 24 35 "" "2-- و 3 " 1 - 9 3 *
1 I 22. 3 - ی -- 4 " " وge O"
6 5 I 9 4 – ټي – 5 ٦ پوه _ 6 ٠ ده نه 24. 1 5 க + 4 க - 678
2 മൃ? 25. ہو 3 = 2+ ہو
2அ? 6. ------------~~5 سسہ حس 2 அ 巴历
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுடைய மூலங்களை இரண்டு த சம தா னங்களுக்குத் திருத்தமாக நிறைவர்க்கமுறை பற்றிக் காண்க :-
27. க? + க - 1-0.
28. 2க2 + 3 க - 3 = 0.

Page 42
2.94
29.
30.
31. 32. 33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
4 Il .
42。
மானுக்கரட்சரகணிதம்
4க? - 2 க - 3-0. 2க? - 8 க + 3 = 0. 5 க* - க = 1. 6க2 - 2க-1. 7க?-3 க + 1. 5(க2 - 1)= 8க. 4(க2 - 1)=3க. ( 5 - 1)(5 - 2) = 5. (1 - 3 க)(1 - 2 க) - 6. (3 - 2க)(2 - 3க) - 7.
2 2 - - ਸl.
安
3 35 - -= 1.
Ö፵
= - گ - + =! க + 1 க + 2 2
2 3. " F S . و 3 " | 1 ـ يو 2و
116. சூத்திர முறை : அக? + இக +உ= 0 என்னும் நியம
வடிவச்
சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களை நிறைவர்க்க
முறைபற்றிக் காண்போம்.
அக?+இக +உ=0 :
*. அக?+ இக - - உ ;
இ .
* த2 + ஃக མ- མཚམང་ལ་ཁ་ཡང་མ་མཐ─།
அ پ - () = (A) + + ۶ ه ...
அ
. (5 +*) _இ 4அஉ
2அ

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 295
இ. _டிVஇ?- 4அஉ 2அ wHM 2அ
_இ +Vஇ- 4அஉ
2அ“ 2அ
- இt Vஇ2 - 4 அஉ -a-
இதிலிருந்து ஒரு பொதுச் சூத்திரத்தைப் பெறலாம் :- அ, இ, உ என்பன எப்பெறுமானங்களைப் பெற்றலும்
(s) سبسـنتتسس سمبسـمـعـسـا அக?+இக+உ=0 ஆயின், --೩೭vಥ್ವಿ-೨r
இச் சூத்திரத்தைத் துணைக் கொண்டு இருபடிச்சமன் பாடுகள் எல்லாவற்றிற்கும் மூலங்கள் காணலாம் :-
(g_-سسس--
1. 3க?=5க - 2. இதனைச் சூத்திரமுறைபற்றித் தீர்க்க.
3க2=5க - 2 : : 0 ساعت 2 + 3 5 - 95 3 .۰- இங்கு அ=3, இ= - 5. உ=2.
5+-V( — - 5)2- - 4(3 )( 2 ) వికాE 2X 3 5+ V25-24 -- 5 + ~V/
5+1 = --
அல்லது
;
=1, அல்லது

Page 43
296 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
ه Lib-----س--P
2. 2க*-2க +1=0. இதனைச் சூத்திர முறை பற்றித் தீர்க்க.
இங்கு அ=2, இ= - 2, உ=1.
Ptv - 2)-4(2)(1) 2×2 2 + V4 - 8 4 2+ V— 4 -- Ι --
2it v4 x( - 1) 4 2 + 2 V—L. 1 =一ェー
1 + V. i` =- -. ఫ్లో ఆ க இனுடைய மூலங்கள் கற்பனைக் கணியங்களாத GN) fDS.
5
பயிற்சி 19 (இ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைச் சூத்திரமுறைப்பற்றித் தீர்க்க:-
12க? + 13 க - 14= 0. 20க2 + 39 க + 7 = 0. 5 க? - 14 க - 3 = 0. 10க? - 11க ட 6-0. 10க? + 19 க + 6-0. s’ - 5 - 72=0。 21.க - 10(1 - க2).
• (ن5 5 -- 1 ) 4 == Eی I 1 .g 1 2 سے (1 ----۔ 2;g ) 110 42(க2-1)-13க. d5(5 - 1) = 15 6.
i

13.
l 4.
15.
6.
இருபடிச் சமன்பாடுகள் 397
2க(2 க - 1)= 72.
56 9க - -- 3.
s
25 க - 12
(1 - )(2 - )=6.
5.
(e-)(-i)=14.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளுடைய மூலங்களை இரண்டு தசம
தானங்களுக்குத் திருத்தமாய்ச்
காண்க :-
7.
I 8.
19.
20.
2 il .
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
க? - க - 1= 0. க? + 3 க - 2= 0. 10 க2 - 2 க-1. 5 க? - 4 க= 2. 3க? - 5க-3. 2க? - 5 க- 9. 3 ( 952 -- 1 ) == 4 5. 4(க? - 1)- 5 க.
(1 - 3க)(1 - 4 க)= 5.
(2 - 3 d5)(1 + 4 5)=l.
55 --5.
6த - -- 6
2 I =. 2க - 1 2க + 1 °
1 3 க - 1 3 க + 1 *
சூத்திர முறை பற்றிக்
117. இரண்டின் மேற்பட்ட படிகளையுடைய சமன்பாடுகள் சிலவற்றைக் காரணி முறையாலே தீர்க்கலாம் :-

Page 44
மாளுக்கரட்சரகணிதம்
க* - 13 க2 + 36=0. இதனைத் தீர்க்க. 5 - 1352 -- 36 = 0 ,
; 0 == ( 9 -- ناول )( 4 -- 952 ) . * . க?= 4, அல்லது 9 ; *. க = f_2, அல்லது +3.
க9-3 க + 2-0. இதனுடைய மூலங்களைக் காண்க. இடப்பக்கத்துக் கோவையில், க= 1 எனப் பிரதியிடக் கோவையின் பெறுமானம் 0 ஆகின்றது.
". க - 1 என்பது அதனுடைய காரணிகளுள் ஒன்ரு கும். *. கஃ(க - 1) + க(க - 1) - 2(க - 1)= 0 ; .". (க - 1)(க2 + க - 2)= 0 ;
... ( 5 - 1)( 5 - 1)(5 + 2)= 0 ,
’. க-1, அல்லது - 2.
. க? - 4 க -
இதனுடைய மூலங்களைக் ۰ وی 4 - 2 وی
காண்க.
க? - 4 க= ந எனப் பிரதியிடுக.
36 9 = مسـ ــمه
ந இருபக்கங்களையும் ந ஆற் பெருக்குக.
". ந2 - 36= 9ந. .. ந2 - 9ந - 36= 0.
。(p+3)(互ー I2り=0.
ந= க? - 4க எனப் பிரதியிடுக.
". (க2 - 4 க + 3)(க2 - 4 க - 12)= 0 ; ". (க - 1)(க - 3)(க + 2)(க - 6)ா 0 ; *. க= 1, 3, - 2, அல்லது 6.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் 299
பயிற்சி 19 (ஈ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :-
1. க(க - 1)(க + 2): 0.
(க - 2)(க + 3)(க - 4): 0. (2 க - 1)(3 க + 1)(4க - 1): 0.
(3.5 + 2)(2Js - 3)(5 - 5) = 0. க(க? + 5 க + 6)- 0. க3 - க = 0.
க* + 3 க? - 10க - 24= 0.
12 க* - 16க? - 7 க + 6-0.
9. க - 34 க2 + 225 = 0.
10. க* - 10 க2 + 9 - 0.
11. க - 25 க2 + 144 = 0.
12. கக் - 17 க2 + 16= 0.
13. 16)7 25 =(+ 2 و. 14. 4 )17 = (4 + 2 ہو. 5. 9 )82==(2+ ع و. 6. 4 * + = 5.
2
G s 17. க + C- அ2 + 1.
á-+亨=乌“+
2/2 8. 8ق + بدرو = لیگ + یا به.
19. (க2 + க)2 + 240=32(க2 + க), 20. (க2- க)2 + 72-18(க2- க). 21 . ( g;2 - 4)2 == 2(g,2-- 4) + 15 .

Page 45
300
22。
23.
2 4 .
25.
26.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
.40 ۔ (4 + 2;g) 13 سس= 2(4 + 952 )
24 ( - 5 ) - -2
க(க - 5)
II 2 *- 6க --ட்"-=9. *ー*ーエ
20அ4 མ་བྱy)ཡ──- འ་ཡལ་ཏེ། མཛད་ཚ7 ----- 8. ཀྱཕོ་ க(க ஆ و بوى 3 - 52ت அ
2. മൃ4 க* + 3 அக + அ 22.
(yوے 3 + ;ی ) دو

-955) ui (Tub 20
இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள்
118. இங்கு காணப்படும் உத்திக் கணக்குக்கள் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தரும். ஒவ்வோர் இருபடிச் சமன்பாட்டிற் கும் இரு மூலங்கள் உண்டு. எனினும், அம் மூலங்கள் இரண்டும் செய்முறையளவிலே தந்த கணக்குக்களுக்குத் தீர்வுகளாகும் என்னும் நியதியில்லை. ஒன்றே பொருந் தினல் அதனை ஏற்றுக் கொண்டு மற்றையதைத் தள்ள வேண்டும். இரண்டும் பொருந்தினல் அவ்விரண்டையுங் கொள்ளலாம்.
Զ.- | Ր -
1. அடுத்துவரும் இரண்டு இயற்கை எண்களுடைய வர்க் கங்களின் கூட்டுத் தொகை 85 ஆயின், அவ்வெண்களைக் காண்க. -
அவ்வியற்கையெண்களிற் குறைந்தது க எனக் கொள் GSGIT Lib ;
ஆயின், கூடியது (க + 1) ஆகும் ; .. அவற்றினுடைய வர் க் கங்களின் கூட்டுத்தொகை க2+ (க + 1)? ;
* கணக்கின்படி, க2 + (க + 1)?-85 ;
.. க2 + க2 + 2 க + 1 - 85 ;
*. 2 க2 + 2 க - 84-0 ; . க2 + க - 42 - 0 ;
*. (க - 6)( க + 7) - 0 ; *. க - 6, அல்லது - 7. - 7 என்பது இயற்கையெண்ணுகாமையின், பொருந்தா தெனத் தள்ளலாம்.
தள்ள, க-6 என்னு மூலமே கொள்ளப்படும்.

Page 46
3O2 மானக்கரட்சர கணிதம்
*. க + 1 = 6 + 1
7 عیس۔ . வேண்டிய இயற்கையெண்கள் 6, 7 என்பனவாகும்.
உ-ம்.
2. ஒரு செவ்வக வயலின் சுற்றளவு 80 யார். அதன் பரப்பளவு 375 சதுர யாராயின், வயலினுடைய நீளவ கலங்களைக் காண்க.
அவ்வயலினது நீளம் க யார் ஆகுக ; அதன் சுற்றளவு 80 யார் ஆனமையின், அதன் அரைச் சுற்றளவு 40 யார் ஆகும் ;
.. அதன் அகலம் 40 - க யார் ; .. அதன் பரப்பளவு க(40 - க) சதுர யார் ; * கணக்கின்படி, க(40 - க) - 375 ;
", 40 க - க?= 375 , * க2 - 40 க + 375 = 0 ; . (க-15)(க-25)=0 : .. க = 15, அல்லது 25. - 40 - க = 25, அல்லது 15. . அவ்வயலினுடைய நீளம் 25 அடி, அகலம் 15 அடி.
பயிற்சி 20 (அ)
1. ஒரெண்ணின் வர்க்கம் அவ்வெண்ணின் 9 மடங்கி லும் 18 ஆற் குறைவு. அவ்வெண் யாது ? . .
2. ஒரியற்கை யெண்ணின் வர்க்கம் அவ்வெண்ணின் 9 மட்ங்கிலும் 252 ஆற் கூடியது. அவ்வெண் யாது ?
3. அடுத்துவரும் இரண்டு இயற்கையெண்களின் பெருக் கம் 420 ஆயின், அவ்வெண்கள் யாவை ?
4. அடுத்து வரும் இரண்டு ஒற்றையெண்களின் பெருக் கம் 483 ஆயின், அவ்வெண்கள் யாவை ?
5. அடுத்துவரும் இரண்டு ஒற்றையெண்களுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 290 ஆயின், அவ்வெண் கள் யாவை ?

இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள் 303
6. அடுத்துவரும் இரண்டு இரட்டையெண்களுடைய வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் 44 ஆயின், அவ்வெண்கள் uit 60) 6) ?
7. ஒரெண்ணின் வர்க்கம் அதன் 4 இன் வர்க்கத்திலும் 63 ஆற் கூடியது. அவ்வெண் யாது?
8. ஒரெண்ணின் பத்தினிடத்து இலக்கம் ஒன்றினிடத்து இலக்கத்தின் வர்க்கமாகும். அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 12 ஆயின், அவ்வெண்ணைக் காண்க.
9. ஒரு செவ்வக முற்றத்தினுடைய அடுத்துள பக்கங் களின் வித்தியாசம் 8 யார். அதன் பரப்பளவு 768 சதுர யார் ஆயின், அதனுடைய நீள வகலங்களைக் காண்க.
10. ஒரு செவ்வகத் தோட்டத்தின் சுற்றளவு 160 யார். அதன் பரப்பளவு 1536 சதுர யார். அதனுடைய நீள வக, லங்களைக் காண்க.
11. ஒரு சதுரத்தினுடைய ஒரு பக்கத்தை 3 அடியாற் கூட்டியும் ஒரு பக்கத்தை 4 அடியாற் குறைத்தும் நிற்க, வருஞ் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அச்சதுரத்தின் பரப்பள வின் ஆயின், அச்சதுரம் என்ன அளவு கொண்ட பக்கங் களை உடையது ?
12. ஒரு செவ்வகத்தின் மூலை விட்டம் 15 அடி நீள முடையது. அதன் பரப்பளவு 108 சதுர வடி. அதனுடைய பக்கங்கள் என்ன அளவின ?
13. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் 10 அங்குல நீளமானது. அதன் பரப்பளவு 24 சதுரவங்குலம். அதனுடைய பக்கங்கள் என்ன அளவின ?
14. ஒரு செங்கோ ண முக்கோணத்தினுடைய இரு பக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 28 சதம மீற்றர். அதன் பாப்பளவு 96 சதுரச் சதம மீற்றர். அதன் செம்பக்கத் தினது நீளத்தைக் காண்க.
15. 5 அங்குல நீளமுள்ள நேர் கோடொன்று இரு சுருக்கப்படும்பொழுது, அவ்விரு கூறுகளாலாய செவ்வகம் அவ்விரு கூறுகளையும் பக்கங்களாகவுள்ள சதுரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் . சமன கப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக்

Page 47
304 மாணக் கரட்சரகணிதம்
கூறுகளுடைய நீளங்களை 2 தசம தானத்திற்குத் திருத்த
I DI 5 5 6 55
16. 12 அங்குல நீளமுள்ள நேர் கோடொன்று இரு கூருகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக் கூறுகளா லாய செவ் வகத்தினுடைய இருமடங்கு அக் கூறுகளினுடைய பங்கு களிலுள்ள சதுரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனயின், அக் கூறுகள் என்ன அளவின என்பதை 2 தசம தானங் களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
17. ஒரு சதுரத்தினுடைய ஒரு பக்கத்தை 16 அடியாற் கூட்டியும் ஒரு பக்கத்தை 2 அடியாற் கூட்டியும் நிற்க வருஞ் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அச்சதுரத்தின் இரு மடங்காயின், அச்சதுரத்தினுடைய பக்கங்கள் என்ன அளவின என்பதை 2 தசம தானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
18. முதல் இ இயற்கை எண்களின் கூட்டுத் தொகை இ(இ + 1). எத்தனை எண் கள் சேர்ந்தாற் கூட்டுத் தொகை 210 ஆகும்.
19. வானேக்கி எறிந்த கல்லொன்று இ செக்கனில் 60இ - 16இ? அடி உயரத்திற்குச் செல்லுமாயின், 54 அடி உயரஞ் செல்ல எத்தனை செக்கன் எடுக்கும் ?
20. இ பக்கங்கள் கொண்ட வடிவமொன்று இ(இ-3) மூலை விட்டங்கள் கொண்டுள்ளது. 230 மூலை விட்டங்கள் கொண்டுள்ள வடிவ மொன்று க்கு எத்தனை பக்கங்கள் உண்டு ?
21. (4க - 1)( க + 1), (க + 2)(3 க - 4) என்பன அடுத்து வரும் இயற்கை யெண்களாயின், அவை யாவை ?
119. முற்பிரிவில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் எண்கணிதத் திற்குங் கேந்திரகணிதத்திற்கும் பயன்படும் விதத்தைக் காட்டியுள்ளோம். இனிப் பிற இடங்களில் அவை பயன் படுமாற்றை விளக்குவோம் :-
உ-ம்.
1. ஒரு பிரயாணி ஒரு குறித்த நேரத்தில் 50 மைல் தூரஞ் சென்றனன். மணிக்கு ஒரு மைல் வீதந் தன்

இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள் 305
வேகத்தைக் கூட்டினணுயின், 24 மணி நேரத்திற்கு முன்னர்த் தான். குறித்த இடத்தை அடைவான். அவன் எத்தனை மணி நேரத்தில் அப்பிரயாணத்தைச் செய்து முடித்தான் ?
அப்பிரயாணி நடந்த வேகம் மணிக்கு க மைல் வீத மெனக் கொள்வோம் ; மணிக்கு க மைல் வீதம் 50 மைல் செல்ல அவன் எடுத்த நேரம் s மணி நேரமாகும் ;
. மணிக்கு க + 1 மைல் வீதம் 50 மைல் செல்ல, அவன்
O எடுக்கும் தேரம் மணி நேரமாகும்.
50 50
இவற்றின் வித்தியாசம் கT க + 1 மணி நேரமாகும் ;
N 50 50
*. கணக்கின்படி, 言一亭壬五=°墨江
50(க +1) - 50க 5 s(a, -l) 2
50 க + 50 - 50க 5
க(க+ 1) "2" 50 5. * 2 ' ,g + 2;و ٠ ", 5(க2 + க)= 2 X 50 ; ‘,5°十占=20:
*. க2 + க -20 = 0 ; ". (க - 4)( க + 5) = 0 ; *. க = 4, அல்லது - 5.
வேகம் மணிக்கு - 5 மைல் வீதமென்பது தந்த கணக் குக்குப் பொருந்தாதா கையால், க- - 5 என்பதைத் தள்ளலாம்.
*. க = 4 என்பதே கொள்ளப்படும்.
50 50
s 4
= 12 . அவன் எடுத்தது 12 மணி நேரமாகும்.
395-N

Page 48
3 O 6 மானுக்கரட்சர கணிதம்
ه [LD --سسسسسس- 9
2. ஒரு மனிதன் ஒரு பொருளை 24 ரூபாவாக விற்கக் கொள்விலையின் ரூபாத் தொகையளவினதாகிய நூற்று வீதம் நட்ட மடைந்தான். அப்பொருளின் கொள்விலை என்ன ?
அப்பொருளின் கொள்விலை க ரூபா ஆகுக ; .. அவனது நட்டம் க - 24 ரூபா ;
கணக்கின்படி, இது கொள்விலையின் க% ; .. க - 24- க இன் க9
=6×=業 --- 1 OO
க? 100 .. 100 க - 2400 - க? ;
*. க2 - 100 க + 2400 - 0 ; ". (க - 40)(க - 60) - 0 ; , *. க -:40, அல்லது 60. . அப்பொருளின் கொள்விலை ரூபா 40, அல்லது ரூபா 60.
2 - 1. Ο
3. இரு நீர்நிரப்பிகளுள் ஒன்று மற்றையதிலும் 10 மணி நேரங் குறைவாகவும் இரண்டிலும் 11 மணிநேரங் கூடுதலாகவும் ஒரு நீர்தாங்கியை நிரப்புமெனின், அந் நிரப்பிகள் அந் நீர்தாங்கியைத் தனித்தனி எத்தனை மணி நேரத்திலே நிரப்பும் ?
ஒரு நீர்நிரப்பி ஒரு நீர்தாங்கியை க மணி நேரத்திலே நிரப்பு மெனக் கொள்வோம் ;
'. மற்றை நீர்நிரப்பி அந் நீர்தாங்கியை க + 10 மணி நேரத்திலே நிரப்பும் ;
.. முதலாம் நீர்நிரப்பி ஒரு மணி நேரத்திலே நிரப்புவது
நீர்தாங்கியின் :

இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள் 307
w I .. இரண்டாம் s+10
e 1 l
இரு நீர்நிரப்பிகளுஞ் சேர்ந்து ਨਯ + 10
2 க + 10 .
க(க + 10)
". இரு நீர்நிரப்பிகளுஞ் சேர்ந்து அந்நீர்தாங்கியை க(க + 10) a- . . . . . . 23 - 10 மணிநேரத்திலே நிரப்பும் ;
கணக்கின் படி, இது க மணிநேரத்திலும் 14 மணிநேரத் தாற் குறைவு ;
巴历 க(க+10)
= } க(2 க + 10) - க(க + 10) 5
2.5 + 10 =五・ 2 க + 10க - க2 - 10க 5 2 1 0 4 க2 5 ””夏原丁五石下丕”
(0 I -+ 295 ) 5 -سن-ثis 4 .۰ - 10 க + 50 ;
*, 4 க2 - 10 க - 50 - 0 ; .. 2க2 - 5 க -25- 0 ; ." (5ー5)(25+5)=0 ;
5 “. 5=5。 அலலது -
மணிநேரம் என்பது கணக்கொடு பொருந்தாதாகை
i
யால், テ=ー。 என்பதைத் தள்ளலாம்.
*. க-5 என்பதே கொள்ளப்படும்.
. 5 - 10 - 15 . '. முதலாம் நீர்நிரப்பி 5 மணிநேரத்திலும், மற்றையது 15 மணிநேரத்திலும் அந்நீர்தாங்கியை நிரப்பும்.

Page 49
308 மாணக்கரட்சர கணிதம்
பயிற்சி 20 (ஆ)
1. ஒரு தொகை பிள்ளைகளுக்கு 144 ரூபாவைச் சம ஞகப் பகுத்துக் கொடுத்தேன். பிள்ளைகளுடைய தொகை 2 ஆற் குறைந்தால் ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் 6 ரூபா கூடுத லாகக்கொடுக்கலாம். பிள்ளைகளினது தொகை என்ன ?
2. ஒரு தொகை பிள்ளைகளுக்கு 240 ரூபாவைச் சமனுகப் பகுத்துக் கொடுத்தேன். பிள்ளைகளுடைய தொகை 10 ஆற் கூடினல் ஒவ்வொரு பிள்ளையும் 2 ரூபா குறைவாகப் பெறும். பிள்ளைகளினது தொகை என்ன ?
3. ஒரு மனிதன் ஒரு பொருளை 24 ரூபாவாக விற்கக் கொள்விலையின் ரூபாத் தொகையளவான நூற்று வீதம் நயமடைந்தான். அப்பொருளின் கொள்விலை என்ன ?
4. ஒரு மனிதன் ஒரு பொருளை 16 ரூபாவாக விற்கக் கொள்விலையின் ரூபாத் தொகையளவான நூற்று வீதம் நட்டமடைந்தான். அப்பொருளின் கொள்விலை என்ன ?
5. நான் ஓரினப்பந்தில் ஒரு தொகையை 72 ரூபா விற்கு விலையாகக் கொண்டேன். மலிவான பிறிதோரி னத்தில் ஒன்று 2 ரூபா வீதங் குறைவாகக் கொண்டே ஞயின், எனது பணத்திற்கு 6 பந்து கூடுதலாகக் கிடைக்கும். ஒவ்வொரு பந்தின் கொள் விலை என்ன ?
6. இரு நீர்நிரப்பிகள் ஒன்று சேர்ந்து ஒரு நீர்தாங்கியை 63 நிமிடங்களிலே நிரப்பும். ஒரு நீர்நிரப்பி அந்நீர்தாங் கியை நிரப்ப மற்றையதிலும் 3 நிமிடங்கள் கூடுதலாக எடுக்கும். ஒவ்வொரு நீர்நிரப்பியுந் தனித்தனி எத்தனை நிமிடங்களில் அந்நீர்தாங்கியை நிரப்பும் ?
7. ஒரு நீர் நிரப் பியும் ஒரு நீர் போக்கியும் ஒருங்கு ஒரு நீர்தாங்கியை 48 நிமிடங்களிலே நிரப்பும். அந்நீர் நிரப்பி அந்நீர்தாங்கியை நிரப்பும் நேரத்திலும் அந்நீர் போக்கி அந்நீர் தாங்கி கொள்ளும் நீரைப் போக்கும் நேரம் 4 நிமிடங்களாற் கூடியது. அந்நீர்நிரப்பி அந்நீர்தாங்கியை எத்தனை நிமிடங்களிலே நிரப்பும் ?
8. ஒரு சைக்கிளோடி 20 மைல் தூரத்தை ஒரு வேகத் தோடு ஓடி முடிக்கின்றன். மணிக்கு 2 மைல் வீதங் கூடுத

இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள் 309
லாக ஒடினனெனின் 4 மணி நேரத்திற்கு முன் குறித்த இடத்தை அடைவான். அவனது வேகம் என்ன?
9. ஒரு பிரயாணி 15 மைல் தூரத்தை ஒரு வேகத் தோடு நடக்கின்ரு ன். மணிக்கு 2 மைல் வீதங் குறை வாக நடந்தானுயின், 2 மணி நேரம் பிந்திக் குறித்த இடத்தை அடைவான். அவனது வேகம் என்ன ?
10. ஒரு பாய்க் கப்பல் 2400 மைல் ஒடுகிறது. மணிக்கு 2 மைல் வீதங் குறைவாக ஒடிஞல் அத் தூரஞ் செல்ல 2 நாள்கள் கூடுதலாக எடுக்கும். அது எத்தனை நாள்களில் அத்துரரத்தை ஒடிமுடிக்கும் ?
11. வள்ளக்காரன் ஒருவன் தன் வள்ளத்திலே நீரோட் டத்திற்கு எதிராக 8 மைல் சென்று திரும்பித்தான் புறப் பட்ட இடத்திற்கு வர 5 மணி நேரம் எடுக்கின்றன். நீரோட்டத்தின் வேகம் மணிக்கு 3 மைல் வீதமெனின், நிலையான நீரில் அவனது வேகம் என்ன ?
12. மணிக்கு 6 மைல் வீதம் நிலையான நீரிலே நீந்தும் ஒருவன் ஓர் ஆற்றிற்கு எதிராக நீந்தி 4 மைல் தூரஞ் சென்றதும் நீரால் அள்ளப்படத் தன்னை விட்டனன். நீந்தத் தொடங்கி 4 மணிநேர ஞ் சென்றதுந் தான் புறப்பட்ட இடத்தைத் தாண்டி 2 மைல் தூரத்திற்கப்பால் இருப் பதைக் கண்டான். அவ் வாற்றேட்டத்தின் வேகம் என்ன ? 13, 11 அடிச் சுற்றுள்ள வண்டிச்சில்லு ஒன்று ஒவ் வொரு சுற்றுச் சுற்ற ஒரு செக்கன் கூடுதலாக எடுக்கு மெனின், வண்டியின் வேகம் மணிக்கு 3 மைல் வீதங் குறையும். அவ்வண்டியின் வேகம் என்ன ?
14. 36 அடி நீளமும் 24 அடி அகலமுமுள்ள புற்றரை யொன்றைச் சுற்றி ஒரேயகலமான வழியொன்று விடப் பட்டுள்ளது. அவ்வழியும் புற்றரையும் பரப்பளவிற் சமன பின், அவ்வழியின் அகலம் என்ன ?
15. ஒரு செவ்வகப் புற்றரையைச் சுற்றி 6 அடி அகல 10ான வழியொன்று விடப்பட்டுள்ளது. அப் புற்றரையின் பரப்பளவு 1280 சதுர வடி ; அவ்வழியின் பரப்பளவு 152 சதுரவடி. அப்புற்றரையினுடைய நீளவ கலங்களைக் fT GT5.

Page 50
30 மானுக்கர ட்சர கணிதம்
16. ஒரு தொகை பணகத்வட்டிதித்ன். இராண்டுக்கு 36 ரூபா. வட்டி ஒரு நூற்று வீதங் குறைந்தால், அவ்வட்டி யைப் பெறுதற்கு இன்னும் 300 ரூபா கூடுதலாக முதலிட வேண்டும். முன்னர் எத்தொகை முதலிடப்பட்டது? V 17. ஒரு தொகை பணத்தின் வட்டி ஒராண்டுக்கு 48 ரூபா, வட்டி ஒரு நூற்று வீதங் கூடிற்ரு யின், அவ்வட்டி யைப் பெறுதற்கு 240 ரூபா குறைவாக முதலிடலாம். முன்னர் எத்தொகை முதலிடப்பட்டது ?
18. ஒரு மனிதன் தனது பணத்தை 4%பங்குமுதலிலே முதலீடு செய்தான். செய்யும்போது பங்கு முதலின் பெறு
மானம் 15 ரூபா வீதங் கூடிற்ரு யின், தனது பணத்திற்கு 8
9% வீதம் வருமானங் குறைவாகப் பெறுவான். அப்பங்கு முதலை என்ன வீதங் கொண்டான்?
19. ஒரு மனிதன் தன் பணத்தை 3% சரக்கு முதலிலே முதலீடு செய்தான். செய்தபோது சரக்கு முதலின் பெறு மானம் 15 ரூபா வீதங் குறைந்ததாயின் தன் பணத்திற்கு 1% வீதம் வருமா னங் கூடுதலாகப் பெறுவான். என்ன வீதம் அச் சரக்கு முதலைக் கொண்டான் ?
20. ஒரு மனிதனின் வயதை ஆண்டிற் குறிக்குமெண் னின் பத்தினிடத்து இலக்கம் ஒன்றினிடத்து இலக்கத்தின் வர்க்கம். அவ்விலக்கங்களின் வித்தியாசம் 6. அவனு டைய வயது என்ன ?

அத்தியாயம் 21 இருபடிச் சார்பின் வரைப்படம் 120. அக?+ இக + உ என்னும் நியம வடிவத்தில் எழுதத் தக்க இருபடிச் சார்புகளுடைய வரைப்படங்கள் வரையு முறையை ஆராய முன், அச்சார்புகளுள் இலேசானதை ஆராய்வோம். அது க? என்பதே. ஆக லான், முதற் கண் அதன் வரைப்படத்தை வரைந்து அதனுலே எண்கள் சில வற்றினுடைய வர் க் கங்களை யும் வர் க்க மூலங்களையுங் காண்போம்.
. Lib --سمس-_Dع
1. ந= க? என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப் படத்திலிருந்து (1-4)?, W/3 என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
க, ந என்னும் இவற்றினுடைய ஒத்த பெறுமானங்களைக் கணித்து ஒர் அட்டவணையிற் குறிப்போம் :-

Page 51
32 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
வரைப்படத்தாளுக்குக் குறுக்கே அதன் அடியிற் கஉக' என்னுங் கிடையச் சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத் தாய் உ, இற்கூடாக ந உந' என்னும் நிலையச்சைக் கீறுக. கிடையச் சிலும் நிலையச் சிலும் அரை அங்குலத்தை ஒர் அலகுக்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட்டவணையிலுள்ள புள்ளி நிலைகளைக் குறிக்க. அப்புள்ளிகளெல்லாம் ஒர் ஒழுங்கான வளைகோட்டில் அமைவதைக் காணலாம். அவ்வளைகோட் டைச் செவ்விதாக வரைக. அது பரவளைவு எனப்படும். உ என்னும் புள்ளி அதன் உச்சியாகும்.
(1) நா க? என்னுஞ் சமன்பாட்டில் க- 174 எனப் பிரதி யிட, ந= (1 : 4)2 என்பது பெறப்படும். வரைப்படத்திலி ருந்து, க = 1 - 4 ஆயின், ந=1 . 96 என்பதைப் பெறுவோம்.
. 6 9 . 1 -سیت 2 (4 . 1 ) . .
(i) ந= க? என்பது தரப்பட்டது.
.. க=ேந; ..'. 5 = V 5. இச் சமன்பாட்டில் ந - 3 எனப் பிரதியிட, க= V8 என்பது பெறப்படும்.
வரைப்படத்தின்படி, ந=3 ஆயின், க- +V1. 73.
121. ந= க2 என்பதன் வரைப்படம் முழுவதுங் கிடை யச்சிற்கு மேலாயும் நிலையச்சிற்குச் சமச்சீராயும் இருப் பதைக் காண்க .
அதுபோல, ந= - க? என்பதன் வரைப்படும் முழுவதுங் கிடையச் சிற்குக் கீழாயும் நிலையச் சிற்குச் சமச்சீராயும் உள்ளது என்பதை வரைப்படம் வரைந்து காண்க.
இவ்வரைப்படங்களில் எண்ணளவில், க இனுடைய பெறுமானங் கூடக்கூட ந இனுடைய பெறுமானம் விரை வாய்க் கூடுதலை நோக்குக.
122. ந= அக? என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கக் கூடிய எச்சமன்பாடும் நிலையச் சிற்குச் சமச்சீரான ஒரு பரவளை வைக் குறிக்கும். க அச்சு அப்பரவளைவுக்கு உச்சித் தொடுகோடாகும். அ என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயின், அப்பரவளைவு நிலையச்சுப் பக்கமாகக் குத்தாய் எழும்பும். அன்றி, அது ஒரு பின்னமாயின், அப்பரவளைவு நிலையச்சிற்கு வலப்புறமும் இடப்புறமும் விரிந்து தட்டையாயிருக்கும். அ என்பது ஒரெதிரெண்ணுயின், அப்பரவளைவு கிடையச்

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 313
சிற்குக் கீழே எண்ணளவில் அ இன் பெறுமானத்தின்படி முற்கூறியவாறு குத் தாயோ தட்டை யாயோ வரும்.
நிலையச் சுப் பக்கமாய்க் குத் தாய் எழும்பும் வரைப் படங்களை வரை தற்கு ந இன் வகைக் குறியை க இன் வகைக் குறியின் ஏற்றதொரு பின்னமாகக் கொள்ள வேண்டும். அவ்வாறு கொண்டு வரைந்தால், செய்முறை யளவிலே நல்ல வளைவுகளைப் பெறலாம். ஆனல், புள்ளி நிலை காணும்போது வகைக்குறி வேறுபாட்டிற் கருத்து இருத்தல் வேண்டும். உ-ம்.
ந= - 6க? என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப் படத்திலிருந்து V என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க. க, ந என்னும் இவற்றினுடைய ஒத்த பெறுமானங் களைக் கணித்து ஓர் அட்டவணையிற் குறிப்போம்.
|-||-||- - ༠༧།༠ ... 5 I 1 .. 5 s
- .............۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔سعتــــــــــــــــ
--ས་མས་ཁག་-། ཡཡས་ཁཐ-----།
岛一24一19.5 - "|-1 O - 1 - G - 13-5-24
−

Page 52
314 மானுக்கரட்சர கணிதம்
வரைப்படத்தாளுக்குக் குறுக்கே அதனுடைய நுனிப் பக்கத்தில் கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத்தாய் உ இற்கு ஊடாக நஉந' என்னும் நிலையச் சைக் கீறுக. கிடையச்சில் அரையங்குலமும் நிலையச்சில் 05 அங்குலமும் ஓரலகுக்கு வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட்ட வணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறிக்க. அப்புள்ளிகள் எல்லாம் ஒர் ஒழுங்கான வளைகோட்டில் அமைவதைக் காணலாம். அவ்வளைகோட்டைச் செவ்விதாக வரைக. அதுவே ந= - 6 க” என்பதன் வரைப்படம். அது ஒரு பரவளைவாதலறிக.
ந= - 6 க? என்னுஞ் ச ம ன் பா ட் டி ல் ந= -1 எனப் பிரதியிட - 6க2= -1 என்பது பெறப்படும்.
.=ܧܣ
5=一
வரைப்படத்திலிருந்து, ந= - 1 ஆயின் க- + 41 என் பதைப் பெறுவோம்.
. २/तै— =t 41.
123. இருபடிச் சமன்பாட்டுத் தீர்வு: இப்பிரிவில் அக? + இக + உ என்னும் வடிவத்தில் அமைக்கத்தக்க சார் புகளுடைய வரைப்படங்களை வரையு முறையையும், வரைப்படங்கள் வாயிலாக அக?+ இக + உ = 0 என்னும் வடிவங்கொள்ளுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கு முறையையும் ஆராய்வோம்.
gd-D.
1. 9 க2 + 3 க - 20 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அவ்வரைப்படம் வாயிலாக 9 க* + 3 க - 20= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
ந= 9 க2 + 3 க - 20 எனக் கொள்வோம்.
க என்பதற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கணித்து ஒரட்டவணை யிற் குறிப்போம் :-

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 35
க-1-75-15 - -5 - . 25: 0 }
25 5 || 1 || 1·25 1.5
- 6.25 -8
-- اس۔
23-425 1925-2010-20-187 4.75 أو 1. وي,
ந
ܐ--
கஉக' என்னுங் கிடையச்சை வரைப்படத்தாளுக்
குக் குறுக்கே கீறுக. அக்கிடையச்சிற்குச் செங்குத்தாய் நஉந' என்னும் நிலையச்சைக் கீறுக.
கிடையச் சில் அரையங்குலம் ஓரலகுக்கும் நிலையச் சில் 1 அங்குலம் ஓரலகுக்கும் வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட் டவணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறிக்க. அப்புள்ளிக டாகச் செல்லும் பரவளைவை அழுத்தமாக வரை க. துவே 9 க2 + 3 க - 20 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்பட மாகும்.
இவ்வரைப்படம் கஅச்சை ப இலும் ம இலும் வெட்டு கின்றதெனக் கொள்வோம்.
இப்புள்ளிகளில் க இனுடைய பெறுமானங்கள் 1.3, - 1 - 7 என்பன என்றும் ந இனது பெறுமானம் 0 என் றும் வரைப்படத்திலிருந்து அறிவோம்.

Page 53
36 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
-. 9 க + 3 க-20 = 0 ஆயின், க = 13, அல்லது -17 ஆகும். .. வேண்டிய தீர்வுகள் க-1- 3, க = - 1 - 7 என்பனவே.
g-O.
2. ந=2க?, ந= 10 - க என்னும் இவற்றினுடைய வரைப்படங்களை வரைக. அவ்வரைப்படங்கள் வா லாக, 2க? + க - 10-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
0 S 0 S S C S SLLLSSS S S S S S S S S S S S S s ... (1) க இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானங்களைக் கணித்து ஒரட்டவணையிற்
ந=2க?
குறிப்போம் :-
། ཨ་ - 9 -2། ཡང 7 - ་་ཧོ་། O 5 I 2.
18850 52 818 ந= 10 - க ( 2)
க உம் ந உம் பெறும் ஒத்த பெறும்ானங்கள்ப் பின்வரும் அட்டவணையிற் காணலாம் :-
ཧ། - 9། 0 ། 3 །
 

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 317
வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுக. அதற்குச் செங்குத்தாய் நஉந' என்னும் நிலையச் சைக் கீறுக.
கிடையச் சில் 25 அங்குலம் ஓரலகுக்கும் நிலையச்சில் 1 அங்குலம் ஓரலகுக்கும் வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட்டவணைகளில் உள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறித்து இரு வரைப்படங்களையும் வரை க. அப்படங்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளிகள் ப உம் ம உம் ஆகுக'. படத்திலிருந்து, ப இன் கிடைத் தூரம் - 2 என்றும் ம இன் கிடைத் தூரம் 2 என்றும் அறியலாம்.
.. க = - 24, க- 2 என்பனவே 25?-- 5 - 1 0 = 0 என்பதனுடைய தீர்வுகளாகும். இதனை நிறுவுவோம் :- ப, ம என்னும் புள்ளிகளுடைய கிடைநிலைத் தூரங்கள் ந=2க? என்பதற்கும் ந= 10 - க என்பதற்கும் உண்மை யாகும்.
". ப, ம என்னும் புள்ளிகளுடைய கிடைத்தூரங்கள் 2க?-10 - க என்பதற்கு உண்மையாகும். 2க2= 10 - க என்னுஞ் சமன்பாடும் 2 க? + க - 10= 0 என்னுஞ் சமன் பாடும் ஒன்ரு கும்.
.. ப, ம என்னும் புள்ளிகளுடைய கிடைத் தூரங்கள் 2க? + க - 10-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை மெய்ப்பிக்கும். . க- - 2, 5, க-2 என்பனவே 2 க? + க - 10-0 என்ப தற்குத் தீர்வுகளாகும்
A.
d
3. 2 + 3 க - 9 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை வ  ைரக . அவ் வரை ப் படத்தை த் துணைக் கொண்டு
36 க? - 11 க - 4-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
36 க? - 11 க - 4 = - 4(2 + 3 க - 9 க?) + 4 + க = 0. . 4(2 + 3 க - 9 க?) = 4 + க.
", 2 + 3 க - 9 க?==1 サ五・

Page 54
3 18 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
.. ந=2 + 3 க - 9 க?, ந=1 + என்னும் வரைப்படங்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளிகளுடைய கிடைத்து ரங் களே 36 க?-11 க - 4 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய தீர் வுகளாகும்.
அப்படங்களை வரைவோம் :
15 = 2 + 3 J, -9.5°. . . . . . . . . . . . . . . () க உம் ந உம் பெறும் ஒத்த பெறுமானங்கள் பின்வரு மாறு :-
ಆ 口エ 25 5 75
5 - 1 . 75 69 - 19 1581
= 1 + ... (2 ந 1 + 1 . o - A es (2)
க உம் ந உம் பெறும் ஒத்த பெறுமானங்கள் பின்வரு மாறு :-
a T - 5 0 5
is . 88 T 11.25
 

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 319
வரைப்படத்தாளுக்குக் குறுக்கே கஉக' என்னுங் கிடை யச்சையும் அதற்குச் செங்குத் தாய் நஉந' என்னும் நிலை யச்சையுங் கீறுக.
க அச்சில் 2 அங்குலம் ஓரலகுக்கும் ந அச்சில் அரை யங் குலம் ஓரலகுக்கும் வகைக்குறியாகக் கொண்டு இரு வரைப் படங்களையும் வரைக.
அப்படங்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் புள்ளிகள் ப, ம என்பனவாகும்.
அவற்றினுடைய கிடைத் தூரங்கள் 52, - 21 என்பன. * கா. 52, க - - - 21 என்பனவே 36 க2 - 11 க - 4=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகளாகும்.
124. வரைப்படங்கள் வரையும் மாணுக்கர் பின்வருவன வற்றைக் கருத்தில் வைத்தல் வேண்டும் :-
(1) வரைப்படம் க அச்சை வெட்டும் புள்ளியினுடைய கிடைத் தூரத்தைக் காணுதற்கு ந= 0 என்றும் அப்படம் ந அச்சை வெட்டும் புள்ளியினுடைய நிலைத் தூரத்தைக் காணுதற்கு க = 0 என்றும் பிரதியிடுக.
(2) த - அகம் + இக + த் என்பதன் வரைப்படத்தை க= ப, க- - ம என்னும் நோக்குக்களுக்குள் வரைக என்று நோக் குத் தரவில்லையாயின், ந= 0 ஆகுமாறு க பெறும் பெறு மானங்களை அடக்கி நிற்கும் நோக்குக்களுக்குள் அவ் வரைப்படத்தை வரைக.
(3) யாதும் ஒரு சமன்பாட்டைத் தந்து அதன் வரைப் படத்தை இன்ன வகைக் குறிகொண்டு வரைக என்று கூற வில்லையாயின், வரைப்படம் ஏறத்தாழ வரைப்படத்தாள் முழுவதுங் கொள்ளுமாறும், எளிதாகக் கிடைநிலைத் தூரங்களைக் காணுமாறும் வகைக்குறியைத் தெரிந்தெடுத் த ல் வேண்டும்.
(4) ஒவ்வொரு வரைப்படத்திலுமுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியினுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களும் அவ்வவ் வரைப் படத்தின் சமன்பாட்டை மெய்ப்பிக்கும்.

Page 55
320 - மாணக்கரட்சரகணிதம்
(5) இரு சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளை அச்சமன்பாட்டு வரைப்படங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளு டைய கிடைநிலைத் தூரங்கள் கொண்டு காணலாம்.
பயிற்சி 21 (அ)
1. நடக? என்பதன் வரைப்படத்தைத் தக்க அளவுத் திட்டங் கொண்டு வரைக. அப்படத்திலிருந்து V7 என்பதன் பெறுமானத்தை 2 தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
2. (1 3)? என்பதன் பெறுமானத்தை வரைப்பட மூலங் காண்க.
3. ந=3க? என்பதன் வரைப்படத்தை வரைந்து, அப் படந்துணைக் கொண்டு w/2 என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
4. ந= - 4 க? என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படந்துணைக் கொண்டு* என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
5. ந=2க? என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அவ் வரைப்படத்தைப் பயன்படுத்தி 2 க? + 3 க - 9= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
6. ந=2க?, ந= க + 6 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுடைய வரைப்படங்களை வரைக. அப்படங்கள் வாயிலாக 2க? - க - 6= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
7. க = 1, க= - 1 - 5 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் ந= 9க? + 6 க - 8 என்பதன் வரைப்படத்தைப் பெரிய அளவுத் திட்டங் கொண்டு வரைக. அப்படம் வாயிலாக 9 க? + 6 க - 8-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
8. தக்க அளவுத்திட்டங் கொண்டு க= 25, க- - 25 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் 15 க? + 2 க - 1 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைந்து, அவ்வரைப்படந் துணைக் கொண்டு 15க?= 1 - 2க என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 321
9. க-2 5, க= - 2 என்னும் நோக்குக்களுக்குள்
4 க? - 5 க - 6 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை வரைக. அவ்வரைப்படந் துணைக் கொண்டு 5 க-2(2க? - 3) என் னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
10. க = 2, க = - 2 என்னும் நோக்குக் களுக்கு ஸ் 6 க? - க - 14 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை வரைக. அப் படம் வாயிலாக 6 க?= க + 15 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
11,5=一墨, க- 3 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் ந= 1 (3 + 12 க - 4 க?) என்பதன் வரைப்படத்தை வரைந்து, அப்படந் துணைக்கொண்டு 4 க?-3(1 + 4க) என்னுஞ் சமன் பாட்டைத் தீர்க்க,
12. ந= (3 + க)(2 - க) என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படந்துணைக்கொண்டு (3 + க)(2 - க) என் பதை 3 இற்குச் சமனுக்கும் க இனுடைய பெறுமானங்களைக்
35 fT 6ÖT 5 .
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளை வரைப்படமூலந் தீர்க்க :-
13. 12 க? - 11 க - 15 = 0.
14. 8 + 2 க - 3 க?= 0.
15. க? + 2 க - 4 - 0.
16. 3 - 3 க - க?= 0.
17. 5 க2 - 9 க - 6= 0.
18. 9 க2 - 9 க + 2 = 0.
19. 9 க2 - 60 க + 91 - 0.
: 0 = ش 5 و 3 -- 5 3 - 5 . 20
125. சார்புகளுடைய உயர்வுப் பெறுமானங்களும் இழிவுப் பெறு
மானங்களும் :-
சார்புகளுடைய உயர்வுப் பெறுமானங்களும் இழிவுப் பெறுமானங்களும் அச்சார்புகளுடைய திரும்பு பெறு மானங்களெனப்படும். ஒரு சார்பின் வரைப்படந் தனது திரும்பு பெறுமானம் பெறும் புள்ளியில் அதுவரை சென்ற திசையை விட்டு வேருெரு திசையைப் பற்றும்.

Page 56
322 மானுக்கரட்சரகணிதம்
ஓர் இருபடிச் சார்பினது திரும்பு பெறுமானத்தை அறிமுறையாலும் வரைப்பட முறையாலும் எளிதாகக் காணலாம்.
அறிமுறையால் ஒரு சார்பினது திரும்பு பெறுமா னத்தைக் காணும்போது பின்வரும் உண்மைகள் இரண் டும் பயன்படும் :
(1) ஒரு நிறைவர்க்கம் நேரெண்ணுகு மன்றி எதிரெண் சூ ைகாது.
(2) ஒரு நிறைவர்க்கத்தினுடைய பெறுமானங்களுட் சிறியது பூச்சியமாகும்.
இந்த இரண்டு உண்மைகளையும் பயன்படுத்திச் சில சார்புகளுடைய திரும்பு பெறுமானங்களை அட்சரகணித முறை பற்றிக் காண்போம் :-
உ-ம்.
1. 2 + 3 க - 9 க? என்பதனுடைய திரும்பு பெறுமானத்தை அட்சரகணிதமுறையாற் காண்க.
ந= 2 + 3 க - 9 க2 எனக் கொள்வோம். 万=ー9(与*ー墨5ー器)
1 { سـ ل ـ لارې ) + زوى نه – * 5 } 9 – شت = - 9 {(3,-4)*- : .2({ -- gsی )9 -- = இங்கு (க - 4)? என்பது பெறும் பெறுமானங் குறையக் குறைய ந என்பது பெறும் பெறுமானங் கூடிக்கூடி வரும். ". (க - )? என்பது தான் பெறும் பெறுமானங்களுட் சிறியதைப் பெற ந என்பது தான் பெறும் பெறுமானங் களுட் பெரிய தைப் பெறும்.
ஆனல், (க - 4)2 என்பது ஒரு நிறைவர்க்கமாதலால் அது பெறும் பெறுமானங்களுட் சிறியது 0 ஆகும்.
'. ந இனுடைய பெறுமானங்களுட் பெரியது - 9x 0
二 0 سس
" . தந்த சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானம் 24 என்பதே.

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 323
* n } مسلحسد-سي- - 22
2. 45* + 33, -10 என்பதனுடைய திரும்பு பெறுமா னத்தை அட்சரகணித முறையாற் காண்க. ந- 4 க2 + 3 க -10 எனக் கொள்வோம். ( ب - 5 + 52 ) 4 == I5 .".
--4 (༡ཏ94- ༈ཚཏ+(སྤྱི)ཡི- 1 -- ལྷོ} =4{(5+影)°一
1 6 g) . 6 ــ 2 ( + 95 ) 4 جيد
இங்கு (க + :)? என்பது பெறும் பெறுமானங் குறையக் குறைய ந என்பது பெறும் பெறுமானமுங் குறைத்து குறைந்து வரும்.
- (க + :)? என்பது தான் பெறும் பெறுமானங்களுட் சிறி யதைப் பெற ந என்பதுந் தான் பெறும் பெறுமானங் களுட் சிறியதைப் பெறும்.
ஆனல், (க + ;)? என்பது ஒரு நிறைவர்க்கமாதலின், அது பெறும் பெறுமானங்களுட் சிறியது 0 ஆகும்.
..'. Ib இனுடைய பெறுமானங்களுட் சிறியது
I 69 9 9 . ہے۔ 10 ----- سم = حج سے ۔ 10 سس۔ 0 == ------------ ---- 4×0一一五动 16 16
" தந்த சார்பினுடைய இழிவுப் பெறுமானம் - 1 0.
126. ஒரு சார்பினுடைய உயர்வுப் பெறுமானத்தை யேனும் இழிவுப் பெறுமானத்தையேனும் வரைப்படம் வாயிலாகக் காணும்போது, அச்சார்பினது திரும்பு புள் ளிக்கு அருகில் உள்ள புள்ளிகள் பலவற்றினுடைய நிலை
களைக் குறித்தல் வேண்டும். அப்புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் வரைப்படப்பகுதியை மிக்க கவனத்தோடு வரைதல் வேண்டும்.
இங்கு, மேலே தந்த சார்புகளுடைய வரைப்படங்களை வரைந்து, அப்படங்கள் வாயிலாக அச்சார்புகளுடைய தன்மைகளை ஆராய்வோம் :

Page 57
324 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
1, 2 + 3 க - 9 க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைக. அச்சார் பின் பெறுமானங்களுள் எது உயர்ந்த தென்று காண்க. அச்சார் பின் பெறுமானம் நேர்க்கணிய மாதற்கு க இன் பெறுமானம் எந்நோக்குக்களுக் கிடை யில் இருக்க வேண்டுமென்றும் அவ்வரைப்படம் வாயி g) T595 d5T6ó07 95.
ந=2 + 3 க - 9 க2 எனக் கொள்வோம். க இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந பெறும் பெறுமானங்களைக் கணித்து ஒரட்டவணையிற் குறிப்போம் :
. 75
.. 8
க - 4 - 25 0 1 2 - 2 - ? 6
வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுவோம். அக்கிடையச் சிற்குச் செங் குத்தாய் உ இற் கூடாக நஉந' என்னும் நிலையச்சையுங் கீறுவோம்.
 

இருபடிச் சார்பின் வரைப்படம் 3.25
க அச்சில் 2 அங்குலம் ஓரலகுக்கும் ந அச்சில் அரை யங் குலம் ஒரலகுக்கும் வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட்ட வணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறித்து அப்புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் வளைகோட்டை அழுத்தமாக வரை வோம். அதுவே வேண்டிய வரைப்படமாகும்.
அவ்வரைப்படம் க அச்சை வ, ப என்னும் புள்ளி களில் வெட்டுகின்றது என்றும் அதன் உச்சி ம என்றுங் கொள்வோம்.
படத்திலிருந்து, வ இன் கிடைத் தூரம் - 33 என்றும் ப இன் கிடைத் தூரம் 67 என்றும் ம இனுடைய கிடை நிலைத் தூரங்கள் ( 17, 2 25) என்றுங் காணலாம்.
படத்தின்படி, க ஆனது - " 5 தொடங்கி 17 வரைக் கும் படிப்படியாகக் கூட, ந ஆனது - 1 - 75 தொடங்கி 2, 25 வரைக்கும் படிப்படியாகக் கூடுவதையும், பின்னர் க ஆனது 17 தொடங்கி - 75 வரைக்கும் படிப்படியாகக் கூட, ந ஆனது 2 25 தொடங்கி - 81 வரைக்கும் படிப் படியாகக் குறைவதையுங் காணலாம்.
ஆகவே, க= - 5, க = 75 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் அச்சார்பினுடைய பெறுமானங்களுட் பெரியது 2 - 25 என்பது தெளிவு.
அச்சார் பின் பெறுமானம் நேர்க்கணிய மாதற்கு க ஆனது - 33, 67 என்னும் பெறுமானங்களுக்கிடையில் யாதுமொன்றைப் பெறவேண்டுமென்பதுந் தெளிவு.
O-).
2. 4 க2 + 3 க - 10 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைந்து, அப்படந்துணைக் கொண்டு அச்சார்பினுடைய இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. அச்சார்பின் பெறு மானம் எதிர்க்கணியமாதற்கு க இன் பெறுமானம் எந் நோக்குக்களுக் கிடையில் இருக்க வேண்டு மென்றும் அவ் வரைப்படம் வாயிலாக்க் காண்க.
ந=4க2 + 3 க - 10 எனக் கொள்வோம்.

Page 58
326 மாணக் கரட்சரகணிதம்
க பெறுங் குறித்த பெறுமானங்களுக்கு ந பெறும்
ஒத்த பெறுமானங்கள் பின்வருமாறு :-
巴5 -2 - 5 - 2 - ? - 1 - .5 | o 5
1.5
5 ۰ 3 : 3 است.
| ந | 75| 0 1-5-5-9-10.5 - 101-75
வரைப்படத்தாளுக்குக் கு று க் கே கஉக' என்னுங் கிடையச் சைக் கீறுவோம். அக்கிடையச் சிற்குச் செங் குத்தாய் நஉந' என்னும் நிலையச்சையுங் கீறுவோம்.
க அச்சில் அரையங்குலம் ஓரலகுக்கும் ந அச்சில் 05 அங் குலம் ஓரலகுக்கும் வகைக் குறியாகக் கொண்டு அட்டவணை யிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறித்து, அப்புள்ளிகளுக்கூடா கச் செல்லும் வளைகோட்டை அழுத்தமாக வரைவோம். அதுவே வேண்டிய வரைப்படமாகும். அவ்வரைப்படம் க அச்சை வ, ப என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது என்றும் அதன் உச்சி ம என்றுங் கொள்வோம்.
படத்திலிருந்து, வ இன் கிடைத் தூரம் - 2 என்றும் ப இன் கிடைத் தூரம் 1-25 என்றும் ம இனது நிலைத் தூரம் - 10-56 என்றுங் காணலாம்.
படத்திலிருந்து, அச்சார்பினுடைய இழிவுப் பெறுமா னம் - 10-56 என்பது புலனகும். அச்சார்பின் பெறு
 

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 327
மானம் எதிர்க்கணிய மாதற்கு க ஆனது - 2, 1.25 என் னும் பெறுமானங்களுக்கிடையில் யாது மொன்றைப் பெற லாம் என்பதும் புலனுகும்.
127. வளைகோட்டின் சாய்வு : * யாது மொரு வளைகோட்டின் சாய்வை அக்கோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியிற் காண்பதற்கு அப்புள்ளிக்கூடாக அவ்வளை கோட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையவேண்டும். அதன்பின் அத் தொடுகோடு வரைப் படத்தாளிலுள்ள எவ்வெச் சிறு சதுரங்களுடைய மூலைகளுக் கூடாகச் செல்லுகின்றதெனக் கண்டு, அவற்றுள் ஒன்றுக்கொன்று தூரமான இரு புள்ளிகளைக் குறிக்க. அப்புள்ளிகளிலிருந்து ஒன்றை யொன்று சந்திக்கும் இரு கோடுகளை ஈரச்சுக்களுக்குஞ் சமாந்தரமாய் வரைய வேண்டும்.
ந அச்சிற்குச் சமாந்தரமான நேர்கோட்டிற்கும் க அச் சிற்குச் சமாந்தரமான நேர்கோட்டிற்குமுள்ள விகிதமே எண்ணளவில் அவ்வளைகோட்டின் சாய்வைக் குறிக்கும். அட்சரகணித விகிதத்தைக் காண்பதற்கு அத்தொடுகோட் டிற்கும் க அச்சின் வலப்பக்கத்திற்கு மிடையில் மேலுள்ள கோணங் கூர் ங்கோணமாயின் பெற்ற விகிதத்திற்கு + என்னுங் குறியீட்டையும், விரிகோணமாயின் பெற்ற விகி தத்திற்கு - என்னுங் குறியீட்டையும் இடுக.
உ-ம்.
ந=9 க? - 6 க - 35 என்பதன் வரைப்படத்தை வரைந்து க= 1 - 5 என்னும் புள்ளியில் அவ்வளைகோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
ந இழிவுப் பெறுமானத்தைப் பெற க என்ன பெறுமானத் தைப் பெறும் என்பதையுங் காண்க.
ந=9க? -6க -35巴5 இற்குக் குறித்த பெறுமானங்களைக் கொடுக்க ந
பெறும் பெறுமானங்களைக் கணித்து ஒரட்டவணையிற் குறிப்போம் :

Page 59
328 மாணக்கரட்சரகணிதம்
༡ | -2 -T་5 -1 - 5 0 5 1 | 1.5 T 2 2-5
---
卧* 35-20.75-201_5.75۔ L 35.75 - 32 23.75, -116.25
ந
வரைப்படத் தாளுக்குக் குறுக்கே கஉக' என்னுங் கிடையச்சைக் கீறுவோம். அக்கிடையச் சிற்குச் செங் குத்தாய் உ இற் கூடாக நஉந' என்னும் நிலையச்சையுங் கீறுவோம்.
க அச்சில் அரையங்குலம் ஓரலகுக்கும் ந அச்சில் 05 அங் குலம் ஓரலகுக்கும் வகைக் குறியாகக் கொண்டு . அட்ட வணையிலுள்ள புள்ளிநிலைகளைக் குறித்து, அப்புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் பரவளைவை அழுத்தமாக வரைவோம். அதுவே வேண்டிய வரைப்படமாகும்.
 

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 329
அவ்வளைகோட்டில், க =15 என்னும் புள்ளி த ஆகுக'. அதன் உச்சி அ ஆகுக'. த என்னும் புள்ளிக்கூடாக அவ்வளைகோட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு கீறுவோம். அது வரைப்படத்தாளில் ஒன்றுக்கொன்று தூரமான ப, வ என்னுஞ் சிறு சதுர மூலைகளுக் கூடாகச் செல்வதைக் காண லாம். ப ஊடாக பம என்னும் நேர்கோட்டையும் வ ஊடாக வம என்னும் நேர்கோட்டையும் முறையே நிலையச் சிற்குங் கிடையச் சிற்குஞ் சமாந்தரமாய்க் கீறுவோம்.
வரைப்படத்தின்படி, பம = 36 , வ ம = 1 - 7.
. எண்ணளவில் அவ்வளைகோட்டின் சாய்வு 복 என்
பதே. வப என்னுந் தொடுகோட்டிற்கும் க அச்சின் வலப்பக்கத்திற்கும் இடையில் மேலுள்ள கோணங் கூர் ங் கோணமாதலின், அவ்விகிதம் + என்னுங் குறியீட்டைப் பொருந்தும்.
க= 1 - 5 என்னும் புள்ளியில் அவ்வளைகோட்டின் சாய்வு 부뿔 ; அதாவது 21. இனி, வரைப்படத்தின்படி அ இனுடைய கிடைநிலைத்தூரங்கள் (33, - 36) ஆகும். '. ந என்பது இழிவுப் பெறுமானமாகிய - 36 ஐப் பெற க என்பது 3-3 என்னும் பெறுமானத்தைப் பெறும்.
பயிற்சி 21 (ஆ)
1. வரைப்பட முறையாலும் அட்சரகணித முறையா லும் (4 - க)(1 + க) என்னுஞ் சார்பின் உயர்வுப் பெறுமா னத்தைக் காண்க. அவ்வரைப் படத்தினது திரும்பு புள்ளியினுடைய கிடைநிலைத் தூரங்களையுங் காண்க.
2. வரைப் படமுறையாலும் அட்சர கணித முறையா லும் 2 க?+ 3 க + 2 என்னுஞ் சார்பினுடைய இழிவுப் பெறு மானத்தைக் காண்க. அவ்வரைப் படத்தினது திரும்பு புள்ளியின் கிடைத் தூரத்தையுங் காண்க.
3. க இனுடைய பெறுமானங்களுள் எதற்கு 3 க - 3 - க? என்னுஞ் சார்பு உயர்வுப் பெறுமானத்தைப் பெறுமென்று வரைப்படமூலங் காண்க.

Page 60
330 மாணக்கரட்சரகணிதம்
4. க இனுடைய பெறுமானங்களுள் எதற்கு 2 க? + 3 க - 1 என்னுஞ் சார்பு இழிவுப் பெறுமானத்தைப் பெறு மென்று வரைப்படமூலங் காண்க.
5. 6 - க - 12க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படத்திலிருந்து அச்சார் பின் உயர்வுப் பெறு மானத்தைக் காண்க.
6. எந்நோக்குக்களுக் கிடையில் க கிடந்தால் 5 + 7க - 6க? என்னுஞ் சார்பு நேர்க்கணியங்களைப் பெறுமானங் களாகப் பெறு மென்று வரைப்படமூலங் காண்க.
7. க + க - 6 என்னுஞ் சார்பு - 3 தொடங்கி + 2 வரையுமுள்ள க இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற் கும் எதிர்க்கணியங்களையும், அந்நோக்குக்களுக்குப் புறத் தேயுள்ள பெறுமா னங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் நேர்க்கணி யங்களையும் பெறுமானமாகப் பெறு மென்று வரைப்பட மூலங் காட்டுக.
8. க இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற் றிற்கும் க?-3 க + 5 என்பதன் பெறுமானம் நேர்க்கணிய மாகும் என்பதை வரைப்படமூலங் காட்டுக.
9. Ib = ( 5 - 1)(5 + 2) என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படம் வாயிலாக (க-1)(க+2) என்னுஞ் சார்பினுடைய இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க.
10. 2க + க - 6 என்னுஞ் சார்பினுடைய வரைப்படத் தை வரை க. அப்படத்தில் க= -1 என்னும் புள்ளியில், அதன் சாய்வைக் காண்க.
11. 6 - க - 2க? என்னுஞ் சார்பினுடைய வரைப் படத்தை வரைக. அப்படத்தில் க-1 என்னும் புள்ளியில் அதன் சாய்வைக் காண்க.
12. ந=6 க?+ 5 க - 3 என்னுஞ் சமன் பாட்டின் வரைப் படத்தை வரைக. அப்படத்தில், க = - 5 என்னும் புள் ளியில் அதன் சாய்வைக் காண்க. அப்படந் துணைக்கொண்டு 4க2 + 3 க - 1-0 என்னுஞ் சமன் பாட்டினுடைய தீர்வுகளை யுங் காண்க.

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 33 1
13. ந=6 + 5 க - 6 க?, ந= (3 - 2க) என்னுஞ் சமன் பாடுகளுடைய வரைப்படங்களை வரைந்து, அப்படங்கள் மூலம் 10க? - 9 க - 9=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. க- 5 என்னும் புள்ளியில் 6 + 5 க - 6க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப் படத்தின் சாய் வைக் காண்க.
14. 4 கஃ+ க - 3 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைந்து அதனுடைய இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. அப்படத்தில் க = - 6 என்னும் புள்ளியில் அதன் சாய் வையுங் காண்க.
15. ந=2க? + க + 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப் படத்தை வரைக. அவ்வரைப்படந் துணைக் கொண்டு 2க? + க + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகள் மெய்க் கணியங்களா காவென நிறுவுக. ந இனது இழிவுப் பெறுமானத்திற்கு ஒத்த க இனது பெறுமானத்தைக்
காண்க.
16. எப்பெறுமானங்களுக்கிடையில் க கிடந்தால் 3 - 4 க - 3 க? என்னுஞ் சார் பின் பெறுமானம் நேர்க்கணிய மாகுமென்று வரைப்படமூலங் காண்க. அச்சார் பின்
உயர்வுப் பெறுமானத்தையுங் காண்க.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 7
- )ܼܦ!(
1. ச(க) - 2 க9 - 3 க?- க + 1 ஆயின், ச( - 2), ச(0), ச (அ) என்னும் இவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
I 3 95 -- 6 . இதனை மீதித் தேற்றத் است. او - ن 5و2 ه 2 துணைக்கொண்டு காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
3. 12க? - 7க - 12=0. இதற்குத் தீர்வு காண்க.
4. ஒரு தொகை பிள்ளைகளுக்கு 432 ரூபாவைச் சம ஞகப் பகுத்துக் கொடுத்தேன். பிள்ளைகளுடைய தொகை 4 ஆற் குறைந்தால் ஒவ்வொரு பிள்ளையும் 9 ரூபா கூடு தலாகப் பெறும். பிள்ளைகளினது தொகை என்ன ?

Page 61
332 மாணக்கரட்சர கணிதம்
5. தக்க அளவுத் திட்டங் கொண்டு க = 1, க - - 14 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் 9 க?+ 6 க - 8 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைக. அவ்வரைப்படம் வாயி லாக 9 க?=2(4 - 3க) என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
(ஆ)
1. ச(அ) - அஇ(அ - இ) + இ உ(இ - உ) + உஅ(உ - அ) ஆயின், ச(இ) = 0 என நிறுவுக.
2. 3 கல் - க - 8 க - 4. இதனை மீதித் தேற்றந் துணைக் கொண் டு காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
3, 24 க? - 13 க = 2. இதனுடைய " மூலங்களை நிறை வர்க்கமுறையாற் காண்க.
4. நான் ஓரினப் பொருளில் ஒரு தொகையை 84 ரூபாவுக்கு விலையாகக் கொண்டேன். மலிவான பிறிதோ ரினத்தில் ஒன்று ஒரு ரூபா வீதங் குறைவாகக் கொண்டே ஞயின், எனது பணத்திற்கு 2 பொருள் கூடுதலாகக் கிடைக் கும். ஒவ்வொரு பொருளின் கொள்விலை என்ன ?
5. க = 1, க - - 2 என்னும் நோ க் குக் களுக்கு ஸ் ந=(10 - 9 க - 9 க?) என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப்படத் தை வரைக. அப்படந் துணைக்கொண்டு 9(க2 + க) -10 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
(9)
l. சஇ-இஇ 'ஆயின், ச(5) என்பதன் பெறு மானத்தைக் காண்க.
2. 12 க + 16 க?-3 க - 4. இதனை மீதித் தேற்றந் துணைக்கொண்டு காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
3. 11 க? - 7க + 1 =0. இதனுடைய மூலங்களைச் சூத்திர முறைபற்றிக் காண்க.
4. ஒரு செவ்வகத் தோட்டத்தைச் சுற்றி 4 அடியகல வழியொன்று விடப்பட்டுள்ளது. அத்தோட்டத்தின்

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 333
பரப்பளவு 2400 சதுரவடி ; அவ்வழியின் பரப்பளவு 864 சதுர வடி. அத்தோட்டத்தினுடைய நீள வகலங் களைக் காண்க.
5. ந=(2 + க)(1 + க) என்பதன் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படந் துணைக்கொண்டு (2 + க)(1 + க) என்பதை 3 இற்குச் சமனுக்கும் க இனுடைய பெறுமானத்தைக் காண்க .
(FF)
1, 2க* - 3க - 2 க* - க + 1 என்பதை க - 2 என்பதால் வகுக்க வருமீதியைக் காண்க.
2. க(க-1)(க-2)+2(க+ 4). இதனைக் காரணிகளாய்ப் பிரிக்க.
3. 6 க* - 5 க = 2. இதனுடைய மூலங்களை இரண்டு தசம தானங்களுக்குத் திருத்தமாய் நிறைவர்க்க முறையாற் காண்க.
4. சைக்கிளோ டி ஒருவன் 24 மைல் தூரத்தை ஒரு வேகத்தோடு ஒடி முடிக்கின்ருன் , மணிக்கு 2 மைல் வீதங் கூடுதலாக ஓடினனெனின் ஒரு மணி நேரத்திற்கு முன் குறித்த இடத்தை அடைவான். அவனது வேகமென்ன?
5. ந=2க?, ந= 1 - க என்னுஞ் சமன்பாடுகளுடைய வரைப்படங்களை ஒரே அளவுத் திட்டங் கொண்டு மாட்டேற்றச்சுச் சோடி ஒன்று பற்றி வரைக. அப்படங்கள் வாயிலாக க(2 க + 1) = 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க
()
1. 3க* - 2 க + 3 க? - க - 2 என்பதை க + 2 என்பதால் வகுக்க வருமீதியைக் காண்க.
2. (க + 1)(க + 2)(க +3) - 4(க + 5). இதனைக் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
iAiSASASSiAiSiSMSMS SiASJSiSAJS 3க - 2 3 க - 1 2 க + 1 இரண்டு தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாய்க் காண்க.
இதனுடைய மூலங்களை

Page 62
334 மானுக்கரட்சர கணிதம்
4. 32 அங்குல நீளமுள்ள நேர்கோடு ஒன்று இரு கூறு களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக் கூறுகளாலாய செவ்வ கத்தின் இருமடங்கு பரப்பளவில் அக்கோட்டின் அரைப் வங்கிலுள்ள சதுரத்திற்குச் சமனயின், அந்நேர்கோட்டி னுடைய கூறுகள் ஒவ்வொன்றும் எத்தனை அங்குலம்? (விடை இரண்டு தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாய் இருத் தல் வேண்டும்).
5. (5 - 3க)(3 + க) என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைக. அப்படத்திலிருந்து அச்சார்பின் உயர்வுப் பெறு மானத்தைக் காண்க.
(ஊ) 1. ச(க)=3 க? - 2 க + 3, சி(க) -2 க?-3 க - 2 ஆயின், 2 ச(அ) - 3 சி(அ)=5 அ + 12 என நிறுவுக.
2. க + 3 என்பது க + 3 க - 2 க? - 4 க + 6 என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளில் ஒன்றெனக் காட்டுக.
- - =" இதனுடைய மூலங்களைக்
காண்க.
4. ஒரு தொட்டியை ஒரு நீர்நிரப்பியும் ஒரு நீர் போக்கியும் ஒருங்கு 60 நிமிடங்களிலே நிரப்பும். அந்நீர் நிரப்பி அத்தொட்டியை நிரப்பும் நேரத்திலும் அந்நீர் போக்கி அத்தொட்டி கொள்ளும் நீரைப் போக்கும் நேரம் 3 நிமிடங்களாற் கூடியது. அந்நீர்நிரப்பி அத்தொட்டியை எத்தனை நிமிடங்களிலே நிரப்பும் ?
5. 12 + க - 6 க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைக. க - - - 25 என்னும் புள்ளியில் அவ்வளைகோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
(6т) 1. ச(க)= க - ந, சி(க) - க?ந - கந? ஆயின்,
{ச(க)}8-க3-ந3-3 சி(க) என நிறுவுக. 2. அ2 - அ இ + இ?- 0 ஆயின், அக2 - 2 இ2க - இ? என்பது க + அ என்பதாலே மீதியின்றி வகுக்கப்படுமென நிறுவுக.

இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் 3.35
3. (க2 - 2 அக)2 + 24 அ4 - 11 அக(க - 2 அ). இதனைத் தீர்க்க.
4. ஒரு தொகை பணத்தை வட்டிக்குக் கொடுத்து 288 ரூபாவை ஆண்டு வருமானமாகப் பெற்றேன். வட்டி இரண்டு நூற்று வீதங் கூடிற்ரு யின் அவ்வருமானத்தைப் பெற 1200 ரூபா குறைவாக முதலிடலாம். முன்னர் முதலிட்டதொகை என்ன ?
5. ஒரு மாட்டேற்றச்சுச் சோடிபற்றி க-3, க- - 2 என்னும் நோக்குக்களுக்குள் 6 க? - 5 க-25 என்னுஞ் சமன் பாட்டின் வரைப்படத்தை வரைக. அவ் வரைப்படத்தி லிருந்து 6க* - 5 க + 25 என்னுஞ் சார்பினது இழிவுப் பெறு மானத்தைக் காண்க, க = என்னும் புள்ளியில் அவ்வளே கோட்டின் சாய்வையுங் காண்க.
(ஏ)
1. 3 க + 2 என்பது 6 க* + க? - 4 அக - 20 என்னுங் கோவையினுடைய காரணிகளுள் ஒன்ரு யின், அ இனது பெறுமானத்தைக் காண்க.
2. (அ + இ + உ)? -- அ? - இ - உ8. இதனைக் காரணி களாய்ப் பிரிக்க.
க2 அ2
3. "( + = 82. இதனைத் தீர்க்க.
4. நிலையான நீரிலே மணிக்கு 4 மைல் வீதம் நீந்தும் ஒருவன் ஆற்ருேட்டத்திற்கு எதிராக 4 மைல் தூரம் நீந்தி யதுந் திரும்பித் தான் புறப்பட்ட இடத்திற்கு நீந்திச் சென்றனன். அவன் எல்லா மாக எடுத்தது 2 மணி நேர மாயின், அவ்வாற் ருேட்டத்தின் வேகம் என்ன ?
5. ந=25 க2 + 5 க - 12 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப் படத்தை வரை க. அப்படத்தில், க- - > 2 என்னும் புள்ளியில் அப்படத்தின் சாய்வைக் காண்க. அப்படந் துணைக் கொண்டு 12=5க (1 + 5 க) என்னுஞ் சமன்பாட்டி னுடைய தீர்வுகளையுங் காண்க.

Page 63
336 மாணக்கரட்சர கணிதம்
(ஐ) 1. 12 க* - (2 அ + இ) க9 - 125 க" - (2அ - இ) க + 20 என்னுங் கோவை 2க - 5, 3 க + 1 என்பனவற்ருல் மீதியின்றி வகுக்கப்படுமெனின், அ, இ என்பன எப்பெறுமானங்களைப் பெறும் ?
2. அ + இ + உ= 0 ஆயின், அ + இ + உ8=3அஇஉ என நிறுவுக.
.இதனைத் தீர்க்க . لاہوی 2 == " بھی کیریس- + s ہو تو -- شھ .3
க(2.அ - க) 4. ஒரு வியாபாரி தன் பணத்தை 4% பங்குமுதலிலே முதலீடு செய்தான். செய்தபொழுது அப்பங்குமுதலின் பெறுமானம் 15 ரூபா வீதங் குறைந்ததாயின், தன் பணத் திற்கு 14% வீதம் வருமானங் கூடுதலாகப் பெறுவான். என்ன வீதம் அப்பங்குமுதலைக் கொண்டான்?
5. 35 - 6க - 9 க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை வரைந்து அதனுடைய திரும்பு பெறுமானத்தைக் காண்க. க இன் பெறுமானம் எந்நோக்குக்களுக்குள் இருந்தால் அச்சார்பின் பெறுமானம் நேர்க்கணியமாகுமென்று அப் படம் வாயிலாகக் காண்க.

அத்தியாயம் 22
குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுறமூலங்களும்
குறிகாட்டிக் கொள்கை.
128. அ என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயின், ó*=ó×5×á... அ காரணிகள் வரைக்கும் என வரைவிலக்கணங் கூறினேம். அதன்படி, அ, இ என்பன முழுவெண்களாயிருந்தால்,
(ق + باقی (قی و مرز اقوی (i)
அ.இ.அ - இ. (i) (அ)இ அஇ. (i) (கந/இ = கஇநஇ.
என்னும் நான்கு தேற்றங்கள் உண்மையாகுமென நிறுவு வோம்.
129. தேற்றம் 1. அ, இ என்பன நேர் முழுவெண்களாயின்,
,இ என நிறுவல் + اقع ہ_98قومبر إعه
வரைவிலக்கணத்தின்படி,
テ"=み× ф5 X ®5 Х . . . . . . . . . . அ காரணிகள் வரைக்கும்; 。°一。×高×áx a இ காரணிகள் வரைக்கும்; ஆகவே, * *-(、 அ காரணிகள் வரைக் கும்) x (கX கX கX . . . . . . . . இ காரணிகள் வரைக்கும்) ニ 95 × g × 5>く ・・・・・・・。 (அ + இ) காரணிகள் வரைக்கும்
- * * இ வரை விலக்கணத்தின்படி .
395 - O

Page 64
338 மானுக்கரட்சர கணிதம்
உ என்பதும் ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
ತಿ॥೩೭_o! + ೩ + ೭
அதுபோல,கசி> கஇ> க*> சு"<.= கசி+இ***** 130. தேற்றம் 11. அ, இ என்பன நேர்முழுவெண்களாயி ருக்க, அ>இ ஆயின், 3 - افقی بناه என நிறுவல். வரைவிலக்கணத்தின்படி,
テ"=あ× கX கX . . . அ காரணிகள் வரைக்கும்; 。°一。× கX கX . . . இ காரணிகள் வரைக்கும் : み” cm×5×5×・・・ அ காரணிகள் வரைக்கும் ஆகவே,TS- --
கX கX கX . . . இ காரணிகள் வரைக்கும் (قوه
அ>இ ஆதலால், மேலுள்ள பின்னத்தின் பகுதியிலுள்ள இ காரணிகளுந் தொகுதியிலுள்ள இ காரணிகளோடு வெட்டப்பட அ - இ காரணிகள் விடப்படும்.
.. 4*++&=ax g5 X 55 X (அ - இ) காரணிகள் வரைக்கும். .வரைவிலக்கணத்தின்படி ,30) - اقے அதுபோல, இ> அ ஆயின், *-ಟಿ- ༧ ལྷ་ ஆகும்.
131. தேற்றம் 11. அ, இ என்பன நேர்முழுவெண்களாயின், (அ)இ_அஇ
என நிறுவல். (ఆ)2_ఆ x9, ਲx . இ காரணிகள் வரைக்கும் _。°+°+°+ . . . இ உறுப்புக்கள் வரைக்கும்
அஇ
5 ܚܒܝܕ

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுழு மூலங்களும் 339
132 தேற்றம் iv. இ என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயின் (్కృతి- నీతి என நிறுவல். வரைவிலக்கணத்தின்படி,
(கநரசி-கநx கநx கநx ... இ காரணிகள் வரைக்கும் =(கX கX கX . . . இ காரணிகள் வரைக்கும்) x (நX நXநx . . . இ காரணிகள் வரைக்கும்) = கஇநஇ = கஇநஇ. 133. குறிகாட்டிகளெல்லாம் நேர் முழு வெண்களாகக் கொள்ளப்பட்டே இம்முடிபுகள் பெறப்பட்டன. எனினும்,
LJ.
குறிகாட்டி க"என்பதிற்போன்று பின்ன வடிவத்திலுள்ளன வற்றையும் க° என்பதிற் போன்று பூச்சிய வடிவத்தி லுள்ளனவற்றையும் - இ என்பதிற் போன்று எதிரெண் வடிவத்திலுள்ள ன வ ற்றையும் வழங்கல் பயன்படும்; வழங்கும்போது நேர்முழுவெண்களுக்கு ஒரு விதியும், பின் னங்கள், பூச்சியம், எதிரெண்கள் என்பனவற்றிற்கு வேறு விதியும் விதித்தல் இசைவாகாது; இசைவாகும் பொருட்டு அ, இ என்பன எவ்வெண்களாயிருந்தாலும், மேலே தந்த நான்குவிதிகளும் உண்மையெனக் கொள்வோம்.
134. ப, ம என்பன நேர்முழுவெண்களாயின், پو" என்பதற்குப் பொருள் காணல்.
*x இ_அ+ இ என்பது அ,இ என்பனவற்றினுடைய
எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் உண்மை எனக் கொள்வ
qa o O தால், அ, இ என்பனவற்றை எனபதால இடம்

Page 65
@4G மாணுக்கரட்சர கணிதம்
பெயர்க்க நாம் பெறுவது
l Il II 2
D D ம +ம க X க - க 5 ܚܒܝܒܚܗ
அதுபோல, மூன்று காரணிகளுக்குத் தொடர்ந்து செல்ல,
3
ம ம ம " み >く 95 >く 5 = 五
இவ்வாறு ம காரணிகளுக்குத் தொடர்ந்து செல்ல,
ബn ~~~~_ -
A0 , D க X கTX கTX . . . ம காரணிகள் - க
I YA O அதாவது, (...) = a,"
ம ஆம் மூலத்தை எடுக்க, நாம் பெறுவது
ԼD / լյ s"=V 巴历
135. க என்பது பூச்சிய மன்றெனின், க° என்பதற்குப் பொருள் காணல்,
o! @_-೨' + 'ತಿ। என்பது அ, இ என்பனவற்றி னுடைய பெறுமா னங்களெல்லாவற்றிற்கும் உண்மை
யெனக் கொள்வதால், அ என்பதை 0 ஆல் இடம் பெயர்க்க, நாம் பெறுவது
கoxகஇடr * இ.இ
= I.
ஆகவே, பூச்சியத்தைக் குறிகாட்டியாகப் பெற்ற எவ் வெண்ணும் 1 க்குச் சமன்.

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுழுமூலங்களும் 341
36. -இ என்பதற்குப் பொருள் காணல்.
° ®ತಿ' + ® என்பது அ, இ என்பனவற்றி னுடைய பெறுமானங்கள் யாவற்றிற்கும் உண்மை எனக் கொள்வதால் அ என்பதை - இ என்பதால் இடம் பெயர்க்க, நாம்பெறுவது.
– இ.இ ے= a - (3) + 30 = aہ پ__ . " இ_ !
占一”。 அதுபோல, قه== a.
137. மேற்கூறியவற்றைப் பயன்படுத்தும் உதாரணங்கள் பின்வருமாறு:
. Lb - س ------۔D
1. பின் வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க;
i ... - (i) அ* x அச், (ii) 125°, (ii) க"- க *.
+ (i) அ’x அ = அ° 4.
2
=<罗 (ii) 125* - (5*)
_3 X శీ
=5'
5 .
3 l (iii) iso-- 5 * = 35
- )
--

Page 66
342 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
2. பின்வருவனவற்றை நேர்க் குறிகாட்டியோ டு எழுதுக்
一贾, - 2 3 (i) 3 ** (ii) 4s fa”.
5ந4 இ - 5
- 3 3 i ) 3ar ° ==Jሽ = .
- 2 5 3 (ii) 4 அ 4 இக
4 - 5 2 4 5 ந7 இ 5 அ ந
ad-lb.
3. பின்வருவதை மூலக்குறிக்குக் கீழ்பட்ட குறிகாட்டி
3 r
யோடு எழுதுக கT5+3அ
5
8 3அ 355
" و/V
5 3 V8
பயிற்சி 22 (அ)
1. பின்வருவனவற்றினுடைய பெறுமானங்களை எழு
துக --
() 是 ... 一響 4. (i). அ* x அ’, (ii). இX இ °, (iii). க$--க "நீ,
一器主。一封
(iv). 5 2. பின்வருவனவற்றை முழுவெண்வடிவிலே தருக :-
l l (i). 8*, (iii). 81 * , (iii). 9 56*, (ίν). 3. பின்வருவனவற்றை மூலக்குறியின்றி எழுதுக --

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுழு மூலங்களும் 343
,1652 ii(. V— 83)°, (iii. vý) ,8/و/Vہ .(i)
(vi). Vy— 64-4.
4. பின்வருவனவற்றை மூலக்குறியோடு எழுதுக:-
2 4 5
(8). so, (iii). @To, (iii). Lo, (iv). Ido.
3. 5
3 3 5. I296T=4牽「×243 எனக் காட்டுக.
? -- - , Ni 6. V - 64-91°g 4அ'/ இ என நிறுவுக. பின்வருவனவற்றை நேர்க்குறிகாட்டியோடு எழுதுக:-
-l - 7. 39'. 8. 4அ *.
- 2 -8 - 3 - - 4 9. 2அ Tஇ . 10. 5அ இ T
I l. -1 "ד"ר .12 "2 س.
5க 6க *
----- 23 - 2 3 3அ g 3அ
• حسب مدرس- - - - 4 I - - -ہ . 3 1 2 - 3 - 3 2 4க ந 7இ ந
- I - 2 - 3 15. 3க* x 5ந 16. அ க --4 த.
3 17. ཡ──མ་མམ───ལ་མ────མག་ལས་གང་ 18. --سس------------
3/ . 3 / 2 م . / க A/ த பின்வருவனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
t - 1 县 - 보 19. 2அ°x 3 அ *. 20, 3 அ"--4அ 5 .
4a, - 1. - 2 21. அ °—:- 6 J9/ 3. 22. -

Page 67
344 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
23. 1. 3 – و باك - و و . هو
ந −
3 2 - lv - ;08) --سه 25. 2 a 3x3 ...” 26. 3 (a, ந )
1. NA 3 一弯。一3 27. ("**" ) 28. 243ಕೆ.
6
- -l 29. (512) . 30. ( - 1728)
138. குறிகாட்டி விதிகள் பொதுமைப்பாடடைந்துள்ளன என்று நாம் கொள்ளுவதால், பெருக்கல் முதலாய செய்கை களெல்லாம் பின்னவெதிரெண் குறிகாட்டிகளோடு கூடிய கோவைகளுக்கும் பொருந்தும் :-
உ-ம்.
盐
1. 2கT* + 1 என்பதை 2 க? - 1 என்பதாற் பெருக்குக.
இவற்றை க இன் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதிப் பெருக்குவோம் : -
- 1 + 2 க *
1. 2க* - 1
--
2க* + 4
- 1 - 25, T'
割 - 25, 4- 3 - 23, T'
gd_—— tib
불上 - - l . 萤,一一盐 2. 4க*ந + 16 க + ந என்பதை 4 க + ந *
- 1 - 2 க"ந என்பதால் வகுக்க.
இவற்றை க இன் இறங்கடுக்கு வரிசையில் எழுதிவகுப்
போம்.

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுருமூலங்களும் 345
-l 2
墨。一卦一一墨,一鼓 -1 س 墨,。一悬一器,一勤 4 க*-2க*ந * + ந )16க +4க ந " + ந )43, 4 + 2 5( + *5 * و
3 · LI 붉 - 붉 16க-8க ந +4கந 3 -l 85'' is
: [---۔ 1 1__ 8 ='B *-4கந* + 2க'ந
- 3 3-3 - 1 4க*ந ? - 2க*ந + + ந
- 붙 - - 1 4க*ந *-2க ந ' + ந
உ-ம்.
− -
3 墨 8 2 3. T X "". T - எனபதைச
l நி ת u I
சுருக்கி நேர்முழுவெண் குறிகாட்டிகளோடு தருக.
l - 2 N - i. α' Y , (μ, Y ( Υ
4 X
ந நய
g52 L
*ー - ---سسسسسس---- --
ந * ந °ய
3 2 l 33 2 + க‘ந - -- X it --
ந
3. 2 =-X யந”X -
2 3.3
க”ந 3. g52 一ーエ 占3
°一° コニ 万2 3.
5. ニ 写6。

Page 68
346 மானுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்
இ இ - 1
4 - 2 - 3 - 2 4 = - இதனைச் சுருக்குக.
4.2இட 32இ !
2 - (قی و - 1 - (2ی و ر3 - 4.2)" = 30 و
ر1-- و)* – 0ق و 3 - 8 (2 - (2) - (1 - (ق) و - 一方ー = 2.5
0 1 سمعت
பயிற்சி 22 (ஆ)
பின்வருவனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க:-
l. )أو – أب)(أو واي(
(, , )( - ). (1 – 4 م و) .3
2
4. (+2)(-). 5. )3 ه 3 + أبو 9)(اه و – أبو"(.
6
.(1+ أو 2) -- )i - آيو 4)
l - 暴 ー墨
7. க + க + க " என்பதை க* - க என்பதாற் பெருக்குக.

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகித முருமூலங்களும் 347
2.
8. 2 – 3 وه g4.5 + 5؟* .
பெருக்கத்தைக் காண்க.
2 . © ፳*ኣ ቅ፡ + 2 க’ ந + 4நT என்பனவற்றின்
- 3 - 1 - 1 9. 18 + 3 + 7L என்பதை 1 + 3ப என்பதால் வகுக்க.
10. 8ப + 27ம - வ+ 18பமவ என்பதை 2L4 + 3 4ره - 3 م என்பதால் வகுக்க.
1 I. 6 + 4 + 5 Lu* + Lu தைக் காண்க.
- 12 Lio என்பதன் வர்க்க மூலத்
i
பின்வருவனவற்றைச் சுருக்கி நேர்க்குறிகாட்டிகளோடு தருக:
12. (-)ii. 13. {(-)", i.
(...)x (
14.
X ف" (ه از و - ) × (؟ - ۶ و ) .15
3. 16 27க
- 3 ந
7.
18.
2. 5 2 ح في سيس
Luo Gol 羞 3. L u 66 u 2
19. X - J - .
Lo ** Ll

Page 69
B48
20.
2.
22.
23.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
மாணுக்கரட்சர கணிதம்
J°/7丁夏、2】一盘
> * V (a ந”) .
4/下二五一ア=五 。 / 47V 35 v/ʻ ʻ V/
1 - ر@+ ہو)x ”ر@ + ہو)/v
(2-3) i /(அ- இ~ .2 { لقدرة + مم) بباقة { 2 – رة – هم)
:
/ー Y 1. wwIK N-12
:( .')( .X^2_iی۔ t V A5 لرلو \g, ' '
க - 27ந
2 க" + 3 க*ந* + 9ந?
6க - 13Vகந+ 6ந
- ) 2)2 Li " リ;" \ 9 /ーゴー一ーーーー ( す */s、エV5.
6
- J

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகித முருமூலங்களும் 349
1 -இ 1 – او
32. @@-1) (@+1)® -1 33. இ,( இ-1) இ ( இ-1)இ+1 6.33 l- او بر 9
இ இ -2 3 م 9-س ا°عته 3 5 . --سے --------جے- مسیح -- ہے --------۔ . 34
இ_இ -1 இ g) -3 2 و 8-س- 91عته 2 - 4 8 5 , -, -, -- .
3- 0قی و.s + (قی و.4
விகிதமுற மூலங்கள்
139. V2, /5 என்பன போன்ற எண்களுடைய பெறு மா னங்களை வேண்டிய யாதுமொரு தசம தானத் தொகைக்குத் திருத்தமாகக் காணலா மன்றி இரு முழு வெண்களின் விகிதமாகச் செம்மையாக உரைத்தல் இய லாது ; ஆகவே, அவை விகிதமுரு வெண்கள் எனப்படும்;
ப, ம என்பன முழுவெண்களாயின், 岩 என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தத்தக்க எண் களெல்லாம் விகிதமுறுமெண்கள் எனப்படும். யாதுமொரு விகிதமுறுமெண்ணின் மூலம் விகிதமுமுதாயின், அது விகிதமுறமூலம் எனப்படும் ; V2 3. w/5 என்பன விகிதமுருமூலங்களுக்கு உதாரணங்களாகும்:
3 எனினும், A/4, A/2 7 என்பன விகிதமுருமூலங்களா கா.
ஒரு விகிதமுற மூலத்தின் வரிசை அதன் மூலக்குறியாற்
3
காட்டப்படும் ; V2, v/5 என்பன முறையே இரண்டாம் மூன்ரும் வரிசைகளுடையன எனலாம் ; இரண்டாம் வரிசையிலுள்ளனவே பெரும் பான்மை யாக நிகழ்வன. அவை இருபடி விகிதமுற மூலங்கள் எனப்படும்.

Page 70
350 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
ஒரு விகிதமுறுங்கணியம் வேண்டிய யாதுமொரு வரிசை யுடைய விகிதமுற வடிவில் உணர்த்தப்படலாம்; உதாரண
-- 3 DIT G5, 2= v*—v* —8.@ʻ யாதுமொரு வரிசையிலுள்ள
2
ஒரு விகிதமுரு மூலம் வேருெரு வரிசையிலுள்ள ஒன்முக மாற்றப்படலாம்.
உ-ம்.
I /5 % =ة 6 – 58= و * ;
அ இ ----- عہـــــــــــــ..............سم۔م۔--سہ 7ܦܸܢ ܢ 2 به هم همبسته ཕྲ་༡༼ཆ་ ༧
140. ஒரு விகிதமுறு மூலத்தை இரு காரணிகளாகப் பிரிக்குமிடத்து ஒரு காரணி விகிதமுறு கணியமாயும் ஒரு காரணி விகிதமுரு மூலமாயும் வருமாயின், அவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட விகிதமுருமூலந் தனது எனிய வடிவத்தில் இருக்கின்றதெனப்படும்.
உ-ம்.
V50 = V25 x 2 = 5 v2.
ஒரு விகிதமுரு மூலத்தின் விகிதமுறு காரணி மூலக் குறிக்குக் கீழ்க் கொண்டுவரப்படலாம்.
உ-ம்.
5 V2 = V25 x 2 = V50.
141. ஒவ்வோ ரெண்ணிற்கும் இரண்டு வர்க்க மூலங்கள் உண்டு ; உதாரணமாக 4 இற்கு 2, -2 என்னும் இரண்டு வர்க்க மூலங்கள் உண்டு. எனினும், V4 என்பது + 2 என்பதையே குறிப்பதாகக் கொள்ளப்படும்.
142. விகித முரு? மூலங்கள் ஒரே விகிதமுழுக்காரணி யோடு உணர்த்தப்படத்தக் கன வாயின், அவை ஒத்த மூலங்கள் என்றும், அவ்வாறு உணர்த்தப்படா வாயின்

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுருமூலங்களும் 351
அவை ஒவ்வாத மூலங்கள் என்றுங் கூறப்படும். 5V2, 6 V2 என்பன ஒத்த மூலங்களுக்கும் 3V3 ,6w/5 என்பன ஒவ்வாத மூலங்களுக்கும் உதாரணங்களாகும்.
விகிதமுரு மூலங்கள் கூட்டப்படுமிடத்து, ஒத்தன எளிய வடிவத்திற் கொண்டுவரப்படத் தம்முட் சேர்ந்து நிற்கும்; ஒவ்வாதன அவ்வாறு கொண்டுவரப்படத் தம்முட் சேராது நிற்கும்.
உ-ம்.
1. 3 v2.0, 5 v 5, / L S LLLS S LLLLLL
20, 5 V5, V 5° இவற்றைக் கூட்டுக.
/4
3 V20 5 V5 + V/
re- 4 =3 vax 5+5 V5+/4
Ж V丞5×°
- 2 - =6 v5+ 5 v 5 - V5
-(+5+) vs
57 = V5.
உ-ம்.
2, 3V2, 5 V12 என்பனவற்றைக் கூட்டுக.
3 V2 + 5 V12 =3v/g+ 5v/石叉エ =3 V2 + 1 0 V 3.
143. இரண்டு விகித முரு மூலங்களின் பெருக்கத்தைக் காண்பதற்கு அம் மூலங்கள் ஒரே வரிசையை யுடையன வாயின், விகிதமுறு காரணிகளையும் விகிதமுழுக்காரணி களையுந் தனித்தனி பெருக்குக ; அவை வேறு வேறு
வரிசையையுடையனவாயின், அவற்றைப் பொது மடங்கு களுட் சிறிய வரிசைக்குளாக்கிப் பெருக்குக.

Page 71
352 மாணக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
l. 4 V3, 5 V3 என்பனவற்றின் பெருக்கத்தைக் காண்க.
4 V3 X5 V3 =4×5×ヤ/3 × V弱 3 ميلا 20 میبینی 三6G。
உ-ம்.
- 8 2 AV3, 5V3 என்பனவற்றின் பெருக்கத்தைக் காண்க.
4 V弱×5v/否
3 =4×5× V否× V3
6. 6 - - =4×5× V33 × V32
6 6. =20v/g 7× V/5
6 = 20 V243.
144. விகிதமுரு வெண்களைத் தம் பகுதிகளாக உள்ள பின்னங்கள் கொண்ட ஒரு கோவையைச் சுருக்குதற்
கண் அப் பின்னங்களுடைய பகுதிகளை விகிதமுறுமெண் களாக்கிச் செல்லுதல் அச்செய்கையை எளிதாக்கும்.
உ-ம்.
3. 5 6 .னைச் சுருக்கக * - " ל ר"- בהםל-ר" -ן - בד" - "" Vg" V3 W6 இத ருககு
=" - = *- + =؟ W2 V3 V6
3 V2 5 v3 6 v6 vs. V2 vs. vs V6. V6

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுருமூலங்களும் 353
* v 2.5 V3-6vo 2 gT 6 9 v2 + 1 0 V3 - 6 v6
இங்கு, V2, V3, V6 என்பன முறையே V2, V3, V6 என்பனவற்றை விகிதமுறச்செய்யுங் காரணிகள் ஆதல் அறிக.
பயிற்சி 22 (இ)
பின்வருவனவற்றை முழுவெண்களுடைய வர்க்கமூலங் களாக்குக:
1 . 8 Ꮙ2. 2. 2 V8. 3. 2 V3. .V5. 6. 3 V7 4 .5 . 3/ہ 3 .4 7. 2 V11. 8. 4 V9. பின்வருவனவற்றை விகிதமுறு பகுதிகளுள்ளன வாக்குக:
5 8 2 9・ ーテ=。 I 0. 一三。 ll. -- . .
v/g V3 -v2 + 1 3 3 4 I 2。ーニー五. 1. ------- 74... -----ས་མ་ལ་སན་པས་ཧ་ལག་པ་ཐ་
-v3 - 1 3 - V2 2 + V3
I அ9 5 - . . . |l 6 ۰ -سسیوس-سیاسی
அ- v/இ 2அ + V3 இ
பின்வருவனவற்றை ஏறு வரிசையில் ஒழுங்கு படுத்துக :
1 7. 5 V8, 4 V1 8, 2 V3 2, V5 0. 18. 7 V12, 4 V27, 2 V48, V108. 1 9. 6 V2 0, 4 V3 6, 3 Vʻ4 8, 2 V7 2. 2 0. 6 Vi80, 4 V243, 3 V2 88, 3 V5 76. பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக !
21. 5 V2 X 2 V2. 22. 5 V6X2 V24.
8 8 23. 2V5 K V20. 24. 2 Vy`2 X 3 Vʻ4 .

Page 72
354 மாணக்கரட்சரகணிதம்
V2 5 سبـ 3 ج ــر 3 み5、5V否×2V5. 26. -a-.
6 V16 8 3 V9 27. --. 2 8. y/ 3 ."اختر
-- அஇXஅVஅஇ. 8 W243 Vஅஇ
/--ਅ 29. V54அஇ?. 30. /2 ந.
Ib'V a அ 3/27க2 1 ۰ - - /3: " . 2 / ysی 3 ، 1 3
ஆ V/ œ5 32. 2V وہ X3 V إلاوہ_. ----- =午ー இ 3 VஇX2 v/இ
3 3. V7 2 + V 8 — VI 28. 34. VI 2 — V2 7 + V48.
35。°子云、°一 °—云
° V/l 92 — V/ 3 — V/ 8 i .
• لوی 25 V نوى - يو ناروV |و 2 + ;ولV */و 3 .36 37. V9 அக9 - அV 16 அக3+ கVஅகே. 38. '8 அகச்-5அ'அக+3 க/அகே?. 145. ஈருறுப்புக்களையுடைய இருபடி விகிதமுழு மூலங் கள் ஈருறுப்பிருபடி விகிதமுரு மூலங்களெனப்படும். அத் தகைய மூலங்கள் இரண்டு குறிபற்றியே வேறுபடின், அவை ஒன்றுக்கொன்று இணை எனப்படும். இரண்டு இணை விகிதமுரு மூலங்களின் பெருக்கம் என்றும் விகித முறும் ; இவ்வண்ணம் vʻ3, — Vjb என்பது vo; + v is என்பதற்கு இணையாகும் ; அவற்றின் பெருக்கம் க - ந ஆதல் அறிக. 146. ஈருறுப்பிருபடி விகிதமுற மூலமொன்றைத் தன் பகுதியாயுள்ள ஒரு பின்னத்தைச் சுருக்குதற்கு அப்பகுதி யின் இணையாலே அதனுடைய பகுதியையுந் தொகுதி

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகித முருமூலங்களும் 355
யையும் பெருக்கி அப் பகுதி யை விகிதமுறுமெண்ணுக்கிச் செல்லல் பயன் விளைவிக்கும்.
உ-ம்.
2 V3 — V2 2 V3 V2 2 V3 — V2 (2 V3 — v/2) (2 V3 — V2) 2 V3 + v/2 (2 V3 + v/2) (2 V3 — V2)
4. 3 — 4 V6 + 2
4.3 - 2 1 4 — 4 v6 IO 7 - 2 V6
5
என்பதனைச் சுருக்குக.
2. /_/இ என்பதை விகிதமுறு பகுதியுடை யதாக்குக.
1+Vஅ+Vஅ+1 در 11 نو/ہ + وV - 1 ) (1+وy + 1 ( 1 + V-Vو V -- تو V + 1
1 + Vs) + V3) + 1 (1 + (و) - (و /۹ + 1)
1 + V9I + V9 + 1 (1 + 2V قy + ق) - (ابوy + 1( -- 1 + V9I + V9I + 1 وV 2 ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ _Vஅ(1+Vஅ+Vஅ+1)
2அ - Vஅ+ அ +Vஅ(அ+1).
2அ

Page 73
で 56 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
பயிற்சி 22 (ஈ)
பின்வருவனவற்றினுடைய வர்க்கங்களைக் காண்க.
V 335 — 5 — v^2( g. — 2 lb).
V3, + J5 — V3; — b. பின்வருவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
5. 1.-- (5-2 V6). 6. 1 -- (8 - 3 V7). 7. (7+ 4 V3) -- (7 - 4 V3). 8. (2 - V3) -- (2 + v 3). 9. Vக3Vகந - ந) (3 க - Vகந).
I
O. - - - -- --به ----------سسسسسسسسسسسرع ----------------- *
அ-Vஅஇ Vஅஇ இ/ " Vஅஇ பின் வருவனவற்றை விகிதமுறு பகுதிகளுள்ளன ஆக்குக.
I . 下=一丁ー・
2 vs. V5
5 و تستر سیس-سسسسسس - است. ز---۳۰۰ ، 2 I
3 V2 + 2 V3 ._اق V 2_ . و 1
5 – 2 V gi 14.5 F2 vo 5 - 2 V6
• حسينمر" - س - ست سنس - س - و 5 | V9 - 2 Vg
/7示 , 2Vஅ+ 3Vஇ
2 V9) — 3 V@'

குறிகாட்டிக் கொள்கையும் விகிதமுருமூலங்களும் 357
l ”・五二Vエ
2 *5 /ہ V3 ہو/vہ 130
பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.
V2 + 1 V2 - 1 v2 - 1 V2 + 1 5 6 *"・エ サ Vエ
2 Va, +3 2 vs.-3 2 va, 3 ° 2va, + 3°
22. (v + ')+(vā - )
V2=1-414, V3=1-732, V5=2-236 எனத் தரப்பட் டால், பின்வருவனவற்றின் பெறுமானங்களை இரண்டுதசம தானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
19.
2 Ꭰ.
e.g. 4 V2 - 1.
4 V2 + 1 .2V3 – V5 .هو
3 + V2 5 V3 - 2 V2 25。ーデニーーニ・
5 V3 + 2 V2 s. 2V5-2v3.
4 - V2

Page 74
அத்தியாயம் 23.
மடக்கைக் கொள்கையும் மடக்கைகளுடைய
பிரயோகங்களும்
மடக்கைக் கொள்கை
147. ப என்பது அ இன் க ஆம் அடுக்கு என்பதை Lu = 9* என்னுஞ் சமன்பாட்டாற் காட்டலாம் ; இச்சமன் பாடுபற்றி க இற்கு வேறு வேறு பெறுமானங்கள் கொடுக்க, ப பெறும் ஒத்த பெறுமானங்கள் கணிக்கப்
படலாம். உதாரணமாக, க இற்கு 1, 2, 3. . . என் னும் பெறுமானங்கள் கொடுக்க, ப பெறும் ஒத்த பெறு மானங்கள் அ, அ?, அ? . . . என்பனவாகும். இங்கு ப இன்
பெறுமானத்தை க பற்றி அறிகின்ருேம் ; மறுதலையாக க இன் பெறுமானத்தை ப பற்றி அறிய ஒரு சமன்பாடு வேண்டும். எனின், க ஆனது ப இற்குச் சமனுகும்படி அ என்னும் எண் உயர்த்தப்பட வேண்டிய அடுக்குக் குறி என்று கூறலாம். க என்னுங் குறிகாட்டியை ப இன் மடக்கை என்றும் அ என்பதை அம் மடக்கை யின் அடி என்றுங் கொண்டால், க ஆனது அ என்னும் அடிக்கு ப இன் மடக்கை எனலாம். இதனை *=“一。 ப என எழுதலாம்.
இச்சமன்பாடு க இன் பெறுமானத்தை ப இலே தருதல் காண்க. ஆயின், ப=அ” என்பதும் *=“一。 u GT Gör LP
தும் க, ப என்பனவற்றுள் ஒன்ருேடு ஒன்று கொள்ளுந் தொடர்பைக் காட்டும். எனவே, அ என்பது 2 இற்குச் சமனெனக் கொண்டால் அடுக்குக் குறியீடு பற்றி என்று எழுதப்படுவன வற்றை . . . . . . . 8 == 3 2 و 4 تجسس. 2 2 و 2 -سسي 1 2 மடக்கைக் குறியீடு பற்றி LD L—22= l , LD L — 2 4 = 2. மட28-3 . . . . . . . . என எழுதலாம்.

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 359
வ.இ. தந்த ஒரடிக்குத் தந்த ஒரெண்ணின் மடக்கை யானது அவ்வெண்ணுக்குச் சமனுகும் படி அவ்வடி உயர்த் தப்பட வேண்டிய குறிகாட்டியாகும்.
148. பின்வரும் மேற் கோளுரைகள் இரண்டும் யாது மொரு குறித்த அடியைச் சாராது எல்லா மடக்கைகளுக் கும் பொருந்தும் :
(1) எவ்வடிக்கும் 1 இன் மடக்கை பூச்சியமாகும்.
அ இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், அ°=1. அ என்பது எப்பெறுமானத்தைப் பெற்ருலும் tD L— 0 = "ܦ݂.
2) எவ்வடிக்கும் அவ்வடியின் மடக்கை 1 ஆகும்.
அ இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் அ = அ. " அ என்பது எப்பெறுமானத்தைப் பெற்ருலும்,
if l- PP.
لاكو இனி, மடக்கைகளைப்பற்றிய நான்கு தேற்றங்களை நிறுவுவோம் :
149. கேற்றம் 1. மட பம - மட ப + மட ம ᎶᎢ ᎧᎼᎢ
தற அ <9H நிறுவுதல்.
w ந ப=அ7 ஆயும் ம=அ' ஆயும் இருக்க.
u96ör, 5 = LDL – Lu, 15= LDL LD. <氢 அ ந <9H
த
இனி, பம= அTXஅ
க+ ந
"... LD - LJ LD= 5 + 5
அ
== LAŬ LI—— L J -+- LD LI - LD ...
ஆ அ
அதுபோல, மட பமய = மட ப+ மட ம + மட ய.
ஆ அ அ ஆ
இதனைப் பின்வருமாறு சொல்பற்றி உரைக்கலாம் :

Page 75
36 O மானுக்கரட்சர கணிதம்
ஒரு பெருக்கத்தின் மடக்கை அதனுடைய காரணிகளினுடைய மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமன்.
நிறுவுதல்.
ந
e o பா அ ஆயும் ம = அ" ஆயும் இருக்க . எனின், é55 === LD L— L u, pB5 == LD L — - LD.
9N அ
«Յ:
L S9) இனி.=",
அ
-
·“一到五=5一西
--—= L D t L l I ~— L f0 L - Lf) ..
இதனைப் பின்வருமாறு சொல்பற்றி உரைக்கலாம் : ஒரு பின்னத்தின் மடக்கை அதனுடைய தொகுதியின் மடக்கை
யிலிருந்து அதன் பகுதியின் மடக்கையைக் கழிக்க வரும் மீதிக்குச் Fld íðr.
151. தேற்றம் 111. மடப"=வ لاو اما என நிறுவுதல்,
ப- அ ஆகுக'.
”。古二 LD L一 L.
அ

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 3 é
இதனைப் பின்வருமாறு சொல் பற்றி உரைக்கலாம் : ஒரெண்ணின் வ ஆம் அடுக்கின் மடக்கை அவ்வெண்ணின் மடக் கையை வ ஆற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
152. தேற்றம் IV. _1= 10" - "" 6+6ז நிறுவல்,
க= மட ப ஆகுக. இதனை அடுக்குக் குறிவடிவத்தில் எழுத நாம் பெறுவது
i i = 1 o:
ஆகவே, ப - 10 lf) - I
LD ! - ! ! 153. தேற்றம் V. மடப அ_ என நிறுவல்.
3 = , இ
அ
& DL s
இ ー劉@
*. g) = Lu.
. . ) - == D 1.
அ 30 و
.. '. d55. Lf) L. —- LD L . LU
L fÖ L. L. L 1
மட இ
{ی
lD l l LU
கி. தே. இதன் கண் ப=அ எனப் பிரதியிடுவோம் :
DGT Gof Gör, LD L- ا ہے۔DL-ایف . —
இ மட,இ மட-இ . #༧, ༡༡. மட,இ=1.
அதுபோல, ,!, ༡་ மட-இ. மட உ= 1.

Page 76
362 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
(முதன் முதலாக மடக்கைக் கொள்கையைக் கற்போர் இத்தேற்றத்தை விலக்கிக் கற்கலாம்.)
154. அடி 10 ஆயுள்ள மடக்கைகள் பொது மடக்கைகள் எனப்படும். பொது மடக்கைகளில் அடி குறிக்கப்படும்
வழக்கம் இல்லை. Lô t— 5, upl— oʻ8 என்பன மட 5,
மட 8 என்றே எழுதப்படும். முந்திய பிரிவுகளிலுள்ள முதன் மூன்று தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தும் உதாரணங் கள் பின்வருமாறு :
உ-ம்
1. 34=81 என்பதை மடக்கை வடிவத்தில் எழுதுக.
வேண்டிய வடிவம் LD L-81=4.
உ-ம்.
'mi
3. 2. LD L - 64 8, LD L l V/3 2 4 என்பனவற்றை LD L 2. மட 3 என்பனவற்றில் உணர்த்துக.
3 _4 3 (i) LDL - 648 = LDL 2.3 = LDL 2 + L3==* 3 – م LD L 2 + 4 LDL - 3.
8- 暴 2 。4,割 2 4 (ii) LDL v/3 24 = LDL (324) * = LDL ( 2 . 3 )* = LDL 2 *. 3* 2 4 =மட 23 + மட33=* மட2 + 4 மட3.
உ-ம்.
3. மட+ மட' = மட 3 - 3 மட 2 என நிறுவுக.
3. 2, 1 3. 2 1 LDL + LDL--- = LDL- X -
= L D- 붉
= LDL 9 - LDL8
2 3.
== LD L 3 — LD L2
= 2 Lf) L 3 — 3 LDL l2 .

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 363
பயிற்சி 23 (அ)
பின்வருவனவற்றை மடக்கை வடிவத்தில் எழுதுக :
* 5 2 1 == * 5 .4 . 256 مس= 44 .3 . 243 = 35 .2 . 64 سے 26 .1
பின்வருவனவற்றை மடக்கைக் குறியீடின்றி எழுதுக :
5. LDL 2 256 = 8. 6. LO L i 3 7 2 9 = 6 .
7. LDL— L_u = uf). 8. L 1 = LD L l ~ LfD.
அ இ
9. பின்வருவனவற்றை மட2, மட3, மட5 என்பன வற்றில் உணர்த்துக :
LD L - 450 ; LD L
尘 10. மட2= 3010, மட3= - 4771 ஆயின், மடV768 என் பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
பின்வருவனவற்றை மடஅ. மடஇ, மடஉ என்பனவற் றில் உணர்த்துக.
k)
அ ༤༧༈ Il Il . ம-இ 12. чен-ба»,-
v9. - - - - l 4. LDL- V e9I. V/ gd s • مهر -سست شجسته - - H 3 tip
V 22 Vg3 (قوی)
l --- 15. மட(144)"X w/192-மட2 ++மட3 எனக் காட்டுக.
8 4 16. மட - மட7 = மிட2+ மட3 என நிறுவுக.
8 11 w 17. 2மட3 + மட" + மடத் என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
- தைக் காண்க.
18. ԼDւ- மட++ மட12 என்பதன் பெறுமானத்
155. பொதுமடக்கைகள். பின்வருஞ் சமன்பாடுகள் அடுக் குக் குறிவடிவத்திலும் ஒத்த மடக்கை வடிவத்திலுந் தரப்பட்டுள்ளன :

Page 77
3: 金 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
.10000-4 il 0 0 0 0 LA) L -ایم . 4 0 I .3 = 0 0 0 1 – .1 )IO O O LE =بین۔103 I O2 - 10 O D L 100 = 2. I 0 1 = 10 LD L - 10 =l. .0 = 1 LD L 1 - بيج " 0 1
- I O = = · 1 Ln L : * I - 1.
-2 l .2- = 01 LD L 1 0 . است. چیره -- دست 0 l|
102
-3 IO =-a- 001 L ) L • 0 0 I — — 3 .
1 O3
1 o'- I - OOO1 to 0 0 0 H 1 -بیمت.
104 --
இவற்றை ஆராயப் பின்வரும் உண்மைகள் பெறப்படும். (1) எண்கள் படிப்படியாகக் குறைய மடக்கைகளும் படிப்படியாகக் குறையும் ;
(i) 1 இலும் பெரிய எண்களுடைய மடக்கைகளானவை நேர்க்குறியுடையன ;
(ii) 1 இலுஞ் சிறிய எண்களுடைய மடக்கைகள் எதிர்க் குறியுடையன ;
(iv) 1 இனுடைய மடக்கை பூச்சியமாகும். (V) 10 இனுடைய மடங்குகளுடைய மடக்கைகளெல் லாம் முழுவெண்கள் ;
(Vi) பிற வெண்களுடைய மடக்கைகள் ஒரு பகுதி முழு வெண்ணுயும் ஒரு பகுதி பின்னமாயும் இருக்கும்.
ஒரு மடக்கையின் முழுவெண்பகுதியை முழுவெண் என்றும் பின்னப்பகுதியைத் தசமக்கூட்டு என்றுங் கூறு வோம். ஆயின், மடக்கை வடிவத்திலே தரப்பட்ட சமன்பாடுகளிலிருந்து பின்வருவன பெறப்படும்:-
10000, 1000 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளன வற்றின் மடக்கை= 3 + த சமக் கூட்டு ;
1 000, IOO என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளன வற்றின் மடக்கை-2 + தச மக்கூட்டு :

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 365
100, 10 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளனவற்றின் மடக்கை- 1 + தச மக்கூட்டு ;
10, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளனவற்றின் மடக்கை= 0 + தச மக்கூட்டு ;
1, -1 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளனவற்றின் மடக்கை- - 1 + தசமக் கூட்டு ;
1, 101 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளனவற்றின் மடக்கை= - 2 + தச மக்கூட்டு ,
* 01, 001 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ளனவற்றின் மடக்கை- --3 + த சமக் கூட்டு,
இவற்றை ஆராய, மடக்கைகளின் முழுவெண் பகுதி களைப் பற்றிய இரு விதிகள் பெறப்படும்.
விதி 1. ஒன்றிலும் பெரிய ஒரெண்ணினது மடக்கையின் முழு வெண்ணுனது நேராயுந் தசமப் புள்ளிக்கு முற்கிடக்கும் இலக்கத் தொகையிலும் ஒன்றற் குறைவாயும் இருக்கும்.
உ-ம். மட 286 இன் முழுவெண் 2; மட 1 86 இன் முழு வெண் 0.
விதி 11. ஒன்றிலுஞ் சிறிய ஒரெண்ணினது மடக்கையின் முழு வெண்ணுனது எதிராயுந் தசமப் புள்ளிக்குப் பின்னுல் உடனே யுள்ள பூச்சியத் தொகையிலும் எண்ணளவில் ஒன்றற் பெரிதாயும் இருக்கும்.
உ-ம். மட 807 இன் முழுவெண் - 1, மட 0568 இன் முழுவெண் - 2.
156. இங்கு, தசமக் கூட்டுக்களைப் பற்றிய ஒருண்மையை ஒரு தாரணம் பற்றி ஆராய்வோம் :-

Page 78
366 மாணக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
மட8 524= 0 - 9306 ஆயின், மட8524, மட852 - 4, மட 8524, மட 0.08524 என்பனவற்றினுடைய பெறு மானங்களைக் காண்க.
LDL 8524= LDL-109x8.524 = LD L 10 + LDL 8: 524 = 3 + '0. 93 06
LD u 852 • 4 = LD L_I 0? X 8 • 5 2 4== Lp L I 0? –+- LD u — 8 • 5 2 4 == 2 +- O. 93 06 :
மட 8524= மட10 x 8 5 24= மட10 + மட8 - 524- 1 + 0 93 06
LD l • 0 0 8524 = LD L 1 0 8X 8 - 5 2 4 === LD L 1 0 8 -+- LD L 8 • 5 2 4 - - 3 + 0 - 93 06.
இதிலிருந்து ஒரு விதி பெறப்படும்.
ஒரே யிலக்கத் தொடருள்ள எண்களெல்லாவற்றினு *டைய மடக்கைகளுக்கும் ஒரே த சமக் கூட்டு வரும்படி செய்யலாம் ; அவ்வாறு செய்ய, முழு வெண் பகுதி நேராய் அல்லது எதிராய் அல்லது பூச்சியமாய் வரும்.
157. மடக்கைக் கணக்குக்கள் செய்யுமிடத்து முழுவதும் எதிர்க்குறியோடு பொருந்திய மடக் கைகள் சில வேளை களில் வரும்; அவ்வாறுவந்தால், தச மக்கூட்டை நேர்க்குறி யோடு பொருந்தச் செய்தல் வேண்டும். உதாரணமாக, -2 5869 என்பது ஒரெண்ணின் மடக்கை என்க. இங்கு, முழு வெண்ணுந் த சமக் கூட்டும் எதிர்க் குறியோடு பொருந்தியுள்ளன. அம் மடக்கை ( -2) + ( - 5869) என்பதற் குச் சமன்; தசமக் கூட்டிற்கு 1 ஐக் கூட்டி முழுவெண் ணிலிருந்து 1 ஐக் கழித்தால், எம் முடிபு ( -2 -1) + (1 - 5869), அதாவது -3 + 4131 ஆகும். இதனை 3. 4131 என்று எழுதுதல் வழக்கு. இங்கு மூன்றுக்கு மேலுள்ள கோடு பிரிகோடு எனப்படும்.
மடக்கைகளுடைய முழுவெண் பகுதி எதிர்க்குறியோடுந் தச மக்கூட்டு நேர்க்குறியோடும் பொருந்தியுள்ள எண் களைக் கூட்டன் முதலாய செய்கைகளுக்குட்படுத்து முறை யைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் விளக்கும் :

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 36 7
உ-ம்.
1. 38678 ஒடு 1.7651 என்பதைக் கூட்ட வருங்
கூட்டுத் தொகையிலிருந்து 5' 3157 என்பதைக் கழிக்க:
3. 8678 தசம தானங்களைக் கூட்டியபின் கொண்டு 1. 7631 செல்லும் இலக்கம் 1 ஆகும் ; இவ்வண்ணம் முழுவெண்பகுதி - 3 - 1 + 1, அதாவது -3
3, 6309 ஆகும். அது 3 என எழுதப்படும். இனி, 33157 தசம தானங்களைக் கழித்த பின் - 3 2 3152 இலிருந்து - 5 ஐக் கழிக்க வேண்டும்;
கழிக்க முழுவெண் - 3 -( - 5), அதாவது 2 ஆகும். ஆயின், விடை 2-3152 ஆகும்.
. Lib-سسسD
2. 2.3068 என்பதை 5 ஆற் பெருக்க வரும் பெருக் கத்தை 4 ஆல் வகுக்க.
2. 3068 இங்கு 3 ஐ 5 ஆற் பெருக்கு மிடத்துக் 5 கொண்டு செல்லும் இலக்கம் 1 ஆகும் ; 49. 5340 ஆகவே, முழுவெண்பகுதி - 2x5 + 1, அதா 3-8835 வது - 9 ஆகும். அது 9 என எழுதப்படும். இனி, - 9 என்பதை 4 ஆல் வகுத்தல் இயலாது. முழுவெண் பகுதியாகிய - 9 என்பதற்கு - 3 ஐக் கூட்ட, அது - 12 ஆகும் ; அதனை 4 ஆல் வகுக்க - 3 ஈவாக வரும் ; முழு வெண்பகுதிக்கு - 3 ஐக் கூட்டியமையால், தசமக் கூட்டிற்கு 3 ஐக் கூட்டவேண்டும்; அவ்வாறு செய்ய அது 3- 5340 ஆகும் ; அதனை 4 ஆல் வகுக்க ஈவு 8835 ஆகும் ; ஆகவே, வேண்டிய விடை 3.8835 ஆகும்.
பயிற்சி 23 (ஆ) 1. பின்வரும் எண்களுடைய முழுவெண்பகுதிகளை உள வாராய்வு மாத்திரையாற் காண்க:
2756, 283. 4, . 6, 45. 62, 000812, 1 : 56 7. 2. 56 - 68 என்பதன் மடக்கை 1 - 7534 ஆயின், பின் வரும் எண்களுடைய மடக்கைகளை எழுதுக:
. 5668, 566. 8, .05668, 0005 668.

Page 79
368 மானுக்கரட்சரகணிதம்
3. 29631 ஓடு 18671 ஐக் கூட்ட வருங் தொகையிலிருந்து 26150 என்பதைக் கழிக்க.
4. 3. 07:51 இலிருந்து 5-6781 ஐக் கழிக்க யோடு 2.5631 ஐக் கூட்டுக.
யிலிருந்து 5.6781, 14321 என்பனவற்றின் தொகையைக் கழிக்க.
கூட்டுத்
வருமீதி
5. 2.7862, 3 1863 என்பனவற்றின் கூட்டுத்தொகை
கூட்டுத்
பின்வருவனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க:
6. 5.6 71 4 x 4. 7. 2. 6532 - 4. 8. 3.06 78-5. 9. g・235I×5. 10. 1.0763-3. 11. 2.9 163 x 4. 12. 1.0567 +2.97.83. 13. 0.56 78-1.7639. 14, (2.9803). I 5. 붙(3·9108). 16. 1.6231 -3.86 74. 17. 0.6241 - 0.8923. 18. (1.8 245). 19. 2. 3841 + 3, 4156.
20,器×互·7192,
நாலிலக்க வட்டவணையைப் பயன் படுத்துமுறை
158. இம்முறையை உதாரணங்களால் விளக்குவோம்.
பின்வருவது மடக்கையட்டவணையிலிருந்து பட்ட ஒரு பகுதி:
எடுக்கப்

O 369
யாகங்களும்
பிரே
க் கொள்கையும்
மடக்கைக்
哈t f g i, †
9 g †
qi so ufm @ @ ₪e
395 --P

Page 80
370 மாணுக் கரட்சர கரிைதம்
32-)
1. பின்வருவனவற்றினுடைய மடக்கைகளைக் காண்க
82, 82 0, 82, O 082.
இடப்பக்க நிரலிலுள்ள 82 இற்கு நேரே கிடையில் 0 இனது நிரலில் 9138 என்பதைக் காண்கின்ருேம். இதற் குத் தசமப் புள்ளியை முன்னிறுத்த வருவது 8, 2 என்பன வற்றைப் பொருளுடைய இலக்கங்களாகக் கொண்ட எல்லா வெண்களுக்குமுரிய மடக்கைகளினுடைய தசமக் கூட் டாகும்.
எனின், மடக்கை முழுவெண்களை முன்னிறுத்த நாம் பெறுவன
மட82=1 . 9138, மட820=2-9138, மட 82-19138, மட0082-3-9138 என்பன.
EE0-ـــــــــسس-D
2. பின்வருவனவற்றைக் காண்க: மட 8 25, மட 8250,
LD L . 0 0 0 82 5 .
இடப்பக்க நிரலிலுள்ள 82 இற்கு நேரே கிடையில் 5 இனது நிரலில் 9 165 என்பதைக் காண்கின்ருேம். இதற் குத் தசமப்புள்ளியை முன்னிறுத்த வருவது 8, 2, 5 என் பனவற்றைப் பொருளுடைய இலக்கங்களாகக் கொண்ட எல்லா வெண்களுக்குமுரிய மடக்கைகளினுடைய தச மக் éfin. L-L-IT (obls).
எனின், மடக்கை முழுவெண்களை முன்னிறுத்த நாம் பெறுவன
ԼՈԼ-8 * 25 = 0 * 91 65, ԼDլ -825 0= 3, 9 165, ԼDւ- * 0 0 0825
4 9165 என்பன.
உ-ம்.
3. பின்வருவனவற்றைக் காண்க: மட 8256,மட 8256,
LD L * 0.825 6.
இடப்பக்க நிரலிலுள்ள 82 இற்கு நேரே கிடையில் 5
இனது நிரலில் 9165 ஐயும், 6 என்னும் வித்தியாசத்தினது

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரபோ கங்களும் 371
நிரலில் 3 ஐயுங் காண்கின்ருேம். இரண்டையுங் கூட்ட 9165 + 3, அதாவது 9 168 என்பதைப் பெறுவோம். இதற் குத் தசமப் புள்ளியை முன்னிறுத்தப் பெறுவது 8, 2, 5, 6 என்பனவற்றைப் பொருளுடைய இலக்கங்களாகக் கொண்ட எல்லா வெண்களுக்குமுரிய மடக்கைகளினுடைய தச மக் கூட்டாகும்.
எனின், மடக்கை முழுவெண்களை முன்னிறுத்த நாம் பெறுவன
LDL - 82 5 6 -- 3 · 91 68, Lo L, * 82 5 6 == 1 · 9 1 68, o * 0 8 2 5 6 - 29168 என்பன.
159. தந்தவொரு மடக்கைக்கு ஒத்த எண் அதன் முரண் மடக்கை எனப்படும். முந்திய உதாரணத்தில், முரண் மட 39168-8256, முரண் மட 2-9168= 08:256. தந்த வொரு மடக்கையின் முரண் மடக்கையைக் காண்பதற்கு மடக்கையட்டவணையையே பயன்படுத்தலாம். இதனை உதாரணத்தால் விளக்குவோம்.
g-f).
1. முரண் மட 29 127, முரண் மட 39127 என்பன வற்றைக் காண்க.
தந்த மடக்கைகளுடைய முழுவெண்கள் அட்டவணயி லிருந்து எடுக்கப்பட்ட எண்களினுடைய தசமப்புள்ளியையே நிலைநாட்டும் என்பதை மனத்திற் கொண்டு 9 127, அல்லது அதனிலுஞ் சிறிது குறைந்ததொன்று மடக்கை யட்டவணையில் இல்லையென்றும் அதனிலும் 5 ஆற் குறைந்த 9122 என்பது இடப்பக்க நிரலிலுள்ள 81 இற்கு நேரே கிடையில் 7 இனது நிரலில் இருக்கின்றதென்றும் அக்குறைவாகிய 5 தானும் 81 இற்கு நேரே கிடையில் 9 என்னும் வித்தியாசத்தினது நிரலில் இருக்கின்றதென்றுங் காண்கின்ருேம். ஆயின், "9127 என்பது 8, 1, 7, 9 என்பன வற்றைப் பொருளுடைய இலக்கங்களாகக் கொண்ட எல்லா வெண்களுக்குமுரிய மடக்கைகளினுடைய தசமக் கூட்டாகும்.

Page 81
372 மாணுக்கரட்சர கணிதம்
எனின், தசமப்புள்ளியை அதற்கு முன்னிறுத்த நாம் பெறுவன
முரண் மட 2-9127-817-9, முரண் மட 39127= *008179 என்பன. முரண் மடக்கைகளானவை முரண் மடக் கையட்டவணையைப் பயன்படுத்துதலாலுங் காணப்பட லாம். அவ்வழி சிறந்ததன்று. வேண்டுவோருக்காக அல் வட்டவணையும் இந்நூலிற் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.
160. மடக்கையட்டவணையைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கணக்குக்கள் செய்யலாம் என்பதை இங்கு விளக்குவோம்.
உ-ம்.
1. 1 2.78 x . O O58.32 என்பதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
க என்பது வேண்டிய பெறுமானம் ஆகுக'. .”. g=I 2・78×・005832.
'. LDL 55 = LD L I 2 78 X 00:58.32
- LDL l 2 78 - LDL 00:58.32
= 1 - 1065 +3. 7658 = 2.8723. . க = முரண் மட 2. 8723
--* 0 74 51 வேருெருவழி: 10- என்னுந் தேற்றத்தைப் பயன் படுத்தியும் இக் கணக்கைச் செய்யலாம்.
12 78 X ... O 058.32
ԼԸ Լ- 12 . 78 LD L 005 832
X 10
— 1 0
5832 0 0 - - )լք -- 8 7 12-سHDL است.
_101·1065+3·7658
ف 872 2۰ (0 =
=·0745丑。

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 373
உ-ம்.
ܫܚܚܚܚܚܚ- -- ܙ - ܚ - -- s ܫܫܫܫܝ -- -ܫ 2 -V2. 856 X V. 0 006 4 23 gy s o
. ----- - –. இதனைச் சுருக்குக.
3 -V58 2 .. 4
— 3 ܚܚܚܚܝܚ v/gエ6×V/エoö6423 ------------- 2,ਲ5.
V58 2 . 4 ・ LoLー み=墨 Lotー2・856+墨 LDLー・0006423ー墨 Lpl-582・4
- A. - =× 0.4557+ × F8077-× 27652 " "" 2・93 59 2279 7 281 S9 • 0 س- 9 35, 9 + 2 +– 279 2 * 0-سی-۔ = 2.242 1. 2 . 9359 ..... 5=·0丑746. I. 1638 O. 921 7
------- 3. - - - -- . .2.2 ----------------س V2. 856 X V. 0 0 0 6 4 23 42互 வேறுவழி: --------
-V58 2 . 4 * மட2 - 8: LDL- 2 1 Jldt 2. 856 åudl-0006423 --- }LDL5 82 - 4 _3 மட2856+}மட0006423-ஆமட5824
0.2279 + 2. 9359 - 0.921 7
o2 2421
. 6 4 7 1 0 ܀ --
3. 2 Vʻ4 . 6 7 4 — V. 0 0 5845
-- இதனைச் சுருக்குக. Vʻ4 . 6 7 4 + V. 0 0 5845

Page 82
374 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3 2 -- ந=V4 674 ஆகுக: ய=V. 00:5845 ஆகுக'.
தந்த பின்னம் க ஆகுக'. ஆயின், あ="二“ ஆகும்.
נb + uן
3. -- — 2 qS I5 - VA. 674 u I = V. 005845 ' ʻ. LD L —15 =-: 4; L D L l4 • 6 7 4 .. மடய=மட" 00:5845
=黒×0・6697 =墨×3 7668 = 0 - 22 32 , = 2 - 8834. * .. ந=முரண் மட0 2232 .. ய=முரண் மட2. 8834
= 1 . 672. - =·G7645。
נש - 5ן ந + ய
1. 672 - ... O 7645
1. 6 7 2.Ι. . 0 7 645
596 1.748
* LIDL I 395 === LD Ll • 5 96 — L D L _l • 74 8 02031 = 0・203 I ー (リ・24 25 0・24 25
-19606. 1.9606 . கா முரண் மட19606
h 3 T 9 ۰ به
3. 2
-V4 • 6 74 - V• 0 0584 5 ----- Vʻ4. 6 7 4 + V. 0 0 5845
வேறுவழி:
ldl-4674 மட005845
மட4674 4, lpL • 0 0 584 5 13 to 103'-
και οι Χ 0,6697 , οι Χ 3.7668
4 x 0. 6697 x 3-76.68

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 375
O o. 10 22822, 8834 0.2232 a. s.s., IO 2 8834 1672 - 07645 16 72.07645 1 : 596 i. 748
toll '596
o - ԼՐլ -1 * 748 oil- 59 6 - ԼՐլ - 1 ՝ 74
O' 2031 - 0.2425 0 H =سس
o I ۰9 606
st 931.
உ-ம்.
4. 2.3 - 18 ஆயின், க இன் பெறுமானத்தை 2தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
க 1 - க 2 .. 3 -18
1 - க
1 - 2 ". மட2".3 "=மட3 . 2.
.ʻ. d95 LfD L—2 -+ (l — 35) L D L 3= 2 LD L 3 —+- L D L2.
“. dğ#5 LD L. I.2 -+ L D L-3 — 95 L D L l3 = 2 L D u L3 -+- LD L2. “. — d#5 Lf) L .8 -!- 55 L fô L —2== LfD L l3 —+- LD L.-—2.
- 5(LDL 3 -L DL-2)== L D L 3 + LDL 2.
LD L 3 + LDL - 2
丐 سس۔۔۔۔۔------------- ۔ــــــــــــــــــ ـــــــ --------
மட3 - மட2
0. 4771 - 0 3 0 1 0 0.4771 - 0.3010 . 7781 . 1761 = - ந என்க.

Page 83
376 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
- 7 7 8 1
. 1761
“. LDL lib= LDL 7781 - LDL 1761.
= i. 8911 - 12457 - O - 6454.
. ந= முரண் மட 0 - 6454
= 4 42.
5=ー4・42.
ந.க. எதிர்க்குறியோடு வரும் பின்னங்களைச் சுருக்குதற்கு
ப=10"என்னுந் தேற்றத்தைத் துணைக்கொண்டு செய் தலே எளிது.
முந்திய கணக்கிற் பெற்ற எதிர்க்குறிப் பின்னத்தை இவ்வழியாற் சுருக்குவோம் :-
7781 T. 761
LD L. 7781 O
Lol – 1761 1 O
lol. 7781 - LD L 1761
1. 8911 - 1.2457 - II 0
0. 6454 - II 0 - 4 42.
161. மடக்கைகளினுடைய பிரயோகங்கள். கூட்டுவட்டிக் கணக் குக்களிலும் விஞ்ஞானக் கணக்குக்களிலும் மடக்கைப் பிரயோ கம் பயன்படும். இதனை ஒருதாரணத்தால் விளக்குவோம்:
ad-lib.
எத்தனை ஆண்டில் 364 ரூபா ஆண்டுக்கு 4% வீதக்
கூட்டுவட்டியில் 925 ரூபாவைத் தொகையாகத் தரும் ? கூட்டுவட்டிச்சூத்திரத்தால், ம ரூபா முதல் ஆண்டுக்கு
வ வீதக் கூட்டுவட்டியில் இ ஆண்டிலே தருந் தொகை

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும்
a 3 *="("サ荒a)
4 ... 364 f 1 + T- 25ے 9-بے;
( "100)
இ 925 و به ستارهای تست تخت ( 4 0 ۰ I ( ) 364 - இ மட1 04= மட925 - மட364;
LD L925 — LD u. 3 64 ". இ=
377
ld 1.04 T 2, 9661 - 2 - 5661
0.0170 0.4000 0.0170 400 17
வகுத்தலால், அல்லது மடக்கையாற் கணித்தலால்,
இ==235.
, விடை அண்ணளவாக 23 ஆண்டு.
பயிற்சி 23 (இ) பின்வருவனவற்றினுடைய பெறுமா னங்களை நான்கு பொருளுடைய இலக்கங்களுக்குக் காண்க:
l. 36・78×5・672. 2. 7・543 × 254・6.
5' 234 3. I・096×2・056. 4. ` 1 6. 7 8 *
76 - 9 6 8965 23.54 4654 7。・05677×2・456。 8. ・ 003427×・05832.
2 * 6 73 07684 . 05784 45.67 ' ܖ " Ꭴi 40 H 2 4 5 ta 'C024
12. 8. 5 : 684 2. ( : 65)

Page 84
378 மாணக்கரட்சர கணிதம்
・05678×2・589
13. (167) 1 4. 14. 45.67
·00692及×43·56 ... no of a : 0069,21 х 4,3 ° о0. 1 6. Vʻ 0 824 6
259 8 * --
V 4 6 - 23
1 7. A/. 007693 ʻ V/1 . 782. V·0789×2·567,
18.
71.56
5 2 A7.073 – 32 84 . س------س- 8 --------------- 19. v・0842I×V21・56. 20・ vʻ• 8432 — V• 073 25.
3 -V• 843 2 + V. 073 25
-- " -- v 4712 - Y 1965 2.781 x.00569 1
3 MMMMMM SASSSSS SLLL L S S SSS SS MSMSMSSS 44' 44 V4 - 7 l 2 + V1 - 9 65
23. ·4682-- · 005628. 24. 204 V• 0 05869.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளில், க இனுடைய பெறுமானங் களை இரண்டு தசம தானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
- - 2க د .. 1 ـ 25.3"下=506。 4 – 5ك 3 _ 3 – 5 2 و و و .
-l 2 3. 27. ვ ” 4' ' ' - 460. 28. ()- 4.56.
I rinn -
go. *. * **_1లో "*
31. எத்தனை ஆண்டு 4 சதம வீதக் கூட்டுவட்டியில் 250 ரூபா முதல் 750 ரூபா ஆகும் ?
32. எத்தனை ஆண்டில் 244 ரூபா ஆண்டுக்கு 3% வீதக் கூட்டுவட்டியில் 856 ரூபாவைத் தொகையாகத் தரும்?
33. 216 ரூபா முதல் 3% வீதக் கூட்டுவட்டியில் 20 ஆண்டில் எத்தனை ரூபா ஆகும்?
34. க = "அ" என்னுஞ் சூத்திரம் அ என்னும் ஆரையை யுடைய ஒரு கோளத்தின் கனவளவு க ஐத் தருகின்றது. அ= 34 6 ச. மீ. ஆயின், க இன் பெறுமானத்தைக் கூடிய அளவிற்குத் திருததமாகக் காண்க.

மடக்கைக் கொள்கையும் பிரயோகங்களும் 379
35. க-Tஅ*உ என்னுஞ் சூத்திரம் அ என்னும் அடியா ரையையும் உ என்னும் நீளத்தையுமுடைய ஒர் உருளையின் கனவளவு க ஐத் தருகின்றது. 456 கன ச. மீ. கனவ ளவுள்ள ஓர் உருளையினது நீளம் 19 ச. மீ. ஆயின், அதன் அடியாரையை இயன்ற அளவிற்குத் திருத்தமாகக் காண்க.

Page 85
அத்தியாயம் 24
ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடுகளும் உத்திக்கணக்குக்களும்
162. ஒரு சோடிச் சமன்பாடுகளுள் ஒன்ருயினும் இரண் டாம் படியை யாதல் இரண்டின் மேற்பட்ட படியையாதல் கொண்டால், அவற்றினுடைய தீர்வுகளைக் காண்பதற்குப் பொது விதி யாதும் இல்லை. ஒருங்கமை யிருபடிச் சமன் பாடுகளைத் தீர்க்குஞ் சில முறைகளும் இரண்டின் மேற் பட்ட படியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குஞ் சில முறைகளுங் கீழே காணப்படும்.
163. க + ந= அ, க - நாஇ என்னுஞ் சமன்பாட்டுத் தீர்வு களைச் சார்ந்து நிற்கத்தக்க இருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதித் தீர்வுகள்.
& ーLD.
1. க + ந=7 & 4 8 a is w . . ( ). கந= 12 a as x . . (2), இவற்றைத் தீர்க்க. (1) ஐ வர்க்கமாக்க நாம் பெறுவது
க2 + 2 கந+ ந2=49 w a x ... (3) :
(2) இலிருந்து 4கந - 48 . . a > ... (4):
(4) ஐ (3) இலிருந்து கழிக்க, க?-2 கந + ந2-1;
க - நா+1 (5)、
(1)ஐயும் (5) ஐயுங் கூட்ட 2 க- 8, அல்லது 6; . க = 4, அல்லது 3. (2) இலிருந்து க-4 ஆயின், ந= 3; க= 3 ஆயின், ந=4;
3 جنبع جس ஆகவே 23). } என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகள்.
உ-ம்.
2. க + ந = 7 (l), கந= 12 w 净 始 & 8 w (2).

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக் கணக்கும் 381
இவற்றிற்குப் பிரதியீட்டு முறையாலே தீர்வுகள் காண்க. 'ನ್ತಿ। 占=7一历。 க இன் பெறுமானத்தை (2) இற் பிரதியிட,
7 - ந)ந= 12. ・ 75一万"=12.
ந? -7ந+ 12=0. (த -3)(ந -4) = 0. ந= 3, அல்லது 4. (2) இலிருந்து ந= 3 எனின், க = 4. ந = 4 எனின், க = 3,
ఆ==4 | ༽
占=3 熔 .. ($. (୫ ଟ) ! it 6 it.
ந-3 , ந=4 என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகள்
. tib-سسسس--_Dك
(3) க2+ ந2=41 ፩ ቋ is a a 0 . . (1), கந - 20 b XX & ... ( 2).
இவற்றைத் தீர்க்க.
(2) இலிருந்து 2கந= 40 & h (3).
(1) ஒடு (3) ஐக் கூட்ட, க? + 2 கந+ ந2-81;
", க + ந=+9 8 ... (4);
(1) இலிருந்து (3) ஐக் கழிக்க, க? - 2 கந+ ந?-1;
‘,5一互=土马 (5).
(4) ஐயும் (5) ஐயுங் கூட்ட, 2கா 10, 8, - 10, அல்லது - 8. க= 5,4, -5, அல்லது - 4.
.. (2) இலிருந்து ந= 4, 5, -4, அல்லது - 5
கா 5 U க= 4R 5 -5 - ܚܚܚ 历=一4U 5=4月「' 万=5月「" 万=ー 4」「” 万=ー5」「 என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகளாகும்.
உ- ம்
(4) க?+ ந2=5 . . K6 w as 8. ... (l), க+ ந= 3 . . y w & ... (3). இவற்றைத் தீர்க்க. (2) ஐ வர்க்கமாக்குதலால், கஃ+ 2 கந+ ந2 - 9 . . (3);
(3) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க, 2கந=4 . . (4);

Page 86
382 மாணுக் கரட்சரகணிதம்
(4) ஐ (1) இலிருந்து கழிக்க, க? -2கந+ ந?= 1.
..'. 5 -b= + 1 . . . (5).
(2) ஐயும் (5) ஐயுங் கூட்ட , 2கா 4, அல்லது 2.
‘. கா 2, அல்லது 1.
(2) இற் பிரதியிட ந= 1, அல்லது 2.
五=2 い み=I U
○=I」「' 5=2」「 என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகள்.
உ-ம்.
I 1 5 ("表す。一話 (1),
p36 o a 8 (2). இவற்றைத் தீர்க்க.
a まュ H_ュ_* 」 H_25 3): (1) ஐ வர்க்கமாக்க, க?'கநTந2 36 (3);
景 2 12 (2) ஐ (3) இலிருந்து கழிக்க, و g 36 = 3 ۰۰ . . ) گ(;
1 4) ஐ (2) இலிருந்து கழிக்க, சு கநTந*36
I I 丐下 Ti-6 . . (5).
(1) ஐயும் (5) ஐயுங் கூட்ட, = 1, அல்லது :
I
= ஏ, அலலது x
(1) இற் பிரதியிட, = அல்லது 墨·
. க- 2, அல்லது 3. ந= 3, அல்லது 2. . ;-;} என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகளாகும்.

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக் கணக்கும் 383
பயிற்சி 24 (அ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
1.
I 1.
13.
5.
9.
21.
க + ந= 3, கந= 2. 2 க + ந= 1, கந= - 1. 3 க - 2ந= 1,
கந= 2. க? - 2 ந= 2, க= ந + 1.
. 3க? - 2 கந= - 1,
2ந - க = - 3, க2 + ந2=5,
க+ ந= - 3. க - ந= - 1,
க2+ ந2-13.
க + ந= 2,
க2 + கந+ ந-ே 7.
க2 - கந+ ந?=13,
க - ந= 4.
(க - ந)=1,
க? - 3 கந+ ந?= - 1.
7
言丁高丁五@”
கந= - 12.
I 3
T高丁五’
5
2.
l4.
6.
8.
20.
22.
24.
5ー巫5=4。
கந= -3. க -2 ந= 5, கந= -3- 2க + 3ந= -2, ਨਮ - 4 .
2க - 3ந + 1,
க2 - ந?-3.
*+5=高・
5 سابق سس۔ س+۔ --
க ந
I
18 12கந= 1.
I I 13
2** 36°
I I 2a, 353

Page 87
384 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
164. தந்த சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒரே படியினை உடை யனவாய் மாறிகள் பற்றி உறுப்புக்கள் எல்லாவற்றிலுஞ் . சமச்சீராய் இருந்தால், அவை பின்வருமாறு தீர்க்கப் LjL -G)IT ub: ———
உ-ம்.
1. க? - கந+ ந2=3 9 8 a ( 1), 2க*+ கந+ 2ந2= 12 . . . . . (2). இவற்றைத் தீர்க்க.
முதல் வழி:
க*- கந+ ந* 3_ 25?-- 5 D5 + 2 B212 .. 4(க?- கந+ ந?)=1(2க2+ கந+ 2ந2), . 4 க? - 4கந+ 4ந2-2 க? + கந+ 2ந?. .. 2க? - 5 கந+ 2ந?- 0.
". (க - 2 ந)(2க - ந)= 0.
.. கா. 2ந. அல்லது க= ந. இதனை (1) இற் பிரதியிட இதனை (1) இற் பிரதியிட
(2ந)? - 2ந(ந) + ந?= 3. (ந)? -(ந)ந+ ந=ே 3, .ந? - இந2 + ந2-3 .. • 3 تأسست * 5 + 252 سم 52 4 .* . ", 3 ந2= 3, .. ந2-3. .4=I ۰ * ந2 جیبB2 .۰ ・ 5=土I・ .”。历=土2... ஆணுல், க- 2 ந. ஆனல், க=ந. *. க-ஆ2. .”。田=土卫·
)1 + =一2U க=● 2٦ + =ژوي . வேண்டிய தீர்வுகள் ந= + 1) 互=ーI」「” 万=+2」「”
;二二} என்பன. இரண்டாம் வழி:
ந- ம க எனக் கொள்க. ந இன் இப்பெறுமானத்தை (1), (2) என்னுஞ் சமன் பாடுகளிற் பிரதியிடுக.

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக்கணக்கும் 385
க? - க. மக + (மக)?- 3 • ❖። a (3). 2க2+ க(மக) + 2(மக)?= 12 够 必 (4). (3) இலிருந்து க*(1 - ம + ம?)= 3 (5). (4) . . . . 55°(2 + LD –+- 2 Lpo°)= 1 2 . . (6).
. 1 - LD + LD (3) ஐ (6) ஆல் வகுக்க 2 - d - f2
*, 4(1 - ம + ம?)- 1(2 + ம + 2 ம?),
.. 4 - 4ம + 4 ம?-2 + ம + 2ம?.
... 2 D - 5 D +2 = 0. .ʻ. (LD — 2)( ́2 LD — I ) == 0.
*. ம = 2, அல்லது .
.. ந=2க. அல்லது ந=க. இதனை (1) இற் பிரதியிட இதனை (1) இற் பிரதியிட
க? - க(2க) + (2 க)?-3. க? - க(திக) + (க)?-3. .. க? - 2 க? + 4 கஃ= 3. . க? - க? + க?-3.
", 3 க?=3, ۰. 3 دس= 52لاق . .4=க2 .* 1 است .g .۰ .. க - +1. .. க =+2. ஆனல், ந=2க. ஆனல், ந=4க. * 万=土2・ ."・巫=土I・
க= + 1 \ 历=一l U 5=十2 U வேண்டிய தீர்வுகள் 写=+2J「” 5=ー2」「” 万=+ IJ" க="2\, என்பன. ந= -1 (
165. இருபடிச் சமன்பாடுகளுட் சில வேறுவேருன உபா யங்கள் பற்றித் தீர்க்கப்படலாம்.
உ-ம்.
1. க + கந= - 1 v v s a s a (1), கந - ந?- - 6 S L S L0 S S 0 S LLLL S SYS S SLS 0SS S S S S S S (2). இவற்றைத் தீர்க்க. (1) ஐ 6 ஆற் பெருக்க, 6 க + 6 கந= - 6 . . . . (3) இலிருந்து (2) ஐக் கழிக்க, 6 க + 5 கந+ ந2=0. .. (2 க + ந)(3 க + ந) = 0.
(3).

Page 88
386 மாணுக் கரட் சரகணிதம்
.. 5=ー墨s万. அல்லது க= - ந. (1) இற் பிரதியிட, (1) இற் பிரதியிட, (ー墨互)*+(ー墨5)巫万=ーI・ ( - ந)2 + ( - ந)ந= -1
. ந2 - ந?= -1 品互°一熟应°=一马
ー量互"=ーI - ந?= -1
2= 9 2 ந . =불=속 g) 15=3 V2 ஆணுல, 1. த் 5 ஆனல், க = - 4 ந
9历二十 5=す場v/2
இச்சமன்பாடுகளில், ந= மக என பிரதியிட்டுந் தீர்வு
காணலாம்.
g---Lh.
2. 4கந+ 3ந2=4 (l). 2ந2-3 கந=14 (2). இவற்றைத் தீர்க்க. (1) ஐ 3 ஆலும் (2) ஐ 4 ஆலும் பெருக்க.
12 கந+ 9ந2= 12 s 8 w - (3). 8ந2 - 12கந=56 8 e v. (4). (3) ஐயும் (4) ஐயுங் கூட்டுக.
1715?=68. . ந2=4. ." 5 =土2・ ந இன் பெறுமானங்களை (1) இற் பிரதியிடுக.
●=エl.
- Ֆ= + 1 Ն க= -1 (U வேண்டிய தீர்வுகள் ந= - 2f* ந= + 2 J 6 T6 63T

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக் கணக்கும் 387
இச்சமன்பாடுகளில், ந= மக எனப் பிரதியிட்டுந் தீர்வு
காணலாம்.
உ-ம்.
3. 4 க2 - 9ந2=7 . . . . . . . . . . . . (l). 2 க + 3 நட7 - (2). இவற்றைத் தீர்க்க. (1) ஐ (2) ஆல் வகுக்க, 25 - 3ந=1 a (3). (2) ஐயும் (3) ஐயுங் கூட்ட 4 க = 8. .' 5=2. (2) இற் பிரதியிட ந=1 . . வேண்டிய தீர்வு ;-;} என்பனவே. உ-ம்.
4. க2 + 9 ந? - 16 க + 48ந + 78= 0, . . . . . . (l). கந= -- 3. LSS S SS S SLL S SLSS SLSL SLSS SSS (2).
இவற்றைத் தீர்க்க. (2) ஐ 6 ஆற் பெருக்குக.
. 8 l| سه سب= {f 5 6 .. 6 கந + 18 = 0. (3). (1) இலிருந்து (3) ஐக் கழிக்க.
க? - 6 கந + 9ந? - 16 க + 48ந + 60=0. ." (க - 3ந)? - 16(க - 3ந) + 60 = 0. ’ (க - 3ந - 6)(க - 3ந - 10) = 0. .. க - 3நா6, அல்லது க - 3ந=10. இவற்றின் வர்க்கங்களை எடுக்க. க2 - 6கந+ 9ந2=36. க? - 6கந + 9 ந?-100. (2) இலிருந்து 12 கந= - 36. 12கந= - 36.
. க2 + 6 கந+ 9ந2=0. க?+ 6 கந+ 9ந2-64. . க + 3ந=0. க+ 3ந =+8. ஆனல், க - 3ந- 6. ஆணுல், க - 3ந=10. * கூட்டலால், 2 க - 6. கூட்டலால், 2க =18,
அல்லது 2. . க = 3, .. க-9, அல்லது 1.
(2) இற் பிரதியிட ந= - 1. (2) இற் பிரதியிட ந= - 4,
அல்லது - 3.

Page 89
388
மாணுக்கரட்சரக
- o-o .. வேண்டிய தீர்வுகள் ந= -1
னிதம்
占=五 占=9
互=ー3」「” 5=ー暴」 என்பன.
பயிற்சி 24 (ஆ)
மேல் வருஞ் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வுகள் காண்க :
l.
II.
13.
6.
18.
9.
க? - கந - ந=ே 7, 2.
கஃ+ 6 கந + நம்=28,
5க? - 12 கந+ 18 ந2=21, 4.
க? - கந+ 3ந2-3 .
3க + கந= 5, G,
3கந - ந2= 2.
4 5 - 9 5: 8.
- 2 கந + 3 ந2-- 7.
2க? - 3கந I O
==2கந + 3 ந2- 8.
3கந + 4ந2= 4, 13.
3ந? - 4கந- 3. க? - 9ந2-4, 1.
க + 3 ந~ 2.
க? - 6கந - 4ந2= - 13, க*+ 4கந+ 4 த2- 25. க* + 3 கந= 10, கந - ந2-1. 4 க? + 3 கந= 7, 4கந + 3ந2=6. 4 க?-9ந2
= 4கந + 6ந2=64. . க + 2 கந= 3,
கந - 4 த?= - 7. 4 க? - ந2=6,
2க - ந= 3,
2க*+ 8ந? - 16 க + 32 க + 39=0,
8 கந: - 9,
4க?+ 9ந2 - 36 க - 54ந+ 112 - 0,
3கந= 8. I وہ۔ 2 جن = (3 ہ-dB -+- 2 ) ( B )
கந- 6. க ந 97 ந க 36“ கநா: 1. 2க - 3 ந 2க + 3த 17 2 க + 3த 2 க - 3 டு 4
.fے ست= B/9 -- ش35 4
7
(2 க - 3)(3ந+ 2)-5,
与.5== 2.
- 2 2s – 5 I 0 2 க + ந க - 2த T3 *
க2+ந2=26,
166. இரண்டாம் படியிலுங் கூடிய படிகளையுடைய சமன் பாடுகள் சிலவற்றைத் தீர்த்தற்கு முற் பிரிவுகளிற் காட்டிய முறைகள் பயன்படும்.

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக்கணக்கும் 389
go.--Lio.
,)a S S S S S S C S SS S SL S S S (l 7 =سی=IB3 س- 8;g .1 க-நட் 1 . . a * * KO S (2). இவற்றைத் தீர்க்க. (1) ஐ (2) ஆல் வகுக்க, க + கந+ ந?=7 . . . . (3), (2) ஐ வர்க்கமாக்க, க? - 2 கந+ந2= . . . . (4), (4) ஐ (3) இலிருந்து கழிக்க, 3 கந=6.
'. கந- 2 . . . . (5). (5) ஐ (3) ஒடு கூட்ட, க?+ 2 கந+ந2=9.
‘。西十历=+3 8 . . (6).
(2) ஐ (6) ஒடு கூட்ட, 2 க= 4, அல்லது - 2.
' க- 2, அல்லது - 1.
(5) இற் பிரதியிட, ந= 1, அல்லது - 2.
5= 2 5= -1 R
" வேண்டிய தீர்வு 5=IJ「” 5=ー2」「 என்டன.
3D - D,
2 கநய= 6, கந2ய-12, 55ى tf 2=8 1 جسي • இவற்றைத் தீர்க்க.
எல்லாவற்றையும் ஒருங்கு பெருக்குக. 与"の"ur"=6×12×I8=6×6×2×3×6=6×6×6×6
. கநய- +6 , தந்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றையும் இதல்ை வகுக்க. 5=土I 5=土2。 ur=土3. க-1) க - - 1)
" ந= 2 > ந= - 2 > என்பனவே வேண்டிய தீர்வுகளாகும்.
Այ= 3) Ec - 3 J
பயிற்சி 24 (இ)
பின்வருவனவற்றினுடைய தீர்வுகளைக் காண்க:
1. க + ந-ே 7, 2. க9 - ந3-35, க+ ந= 1. க - நம 5, 3. 2க - ந- 6, 4. க + 3ந= - 2,
8க9 - ந=ே 72. 5* + 27 B- - 26.

Page 90
39 O.
1 I .
13.
. I 5.
16.
17.
8.
19.
20.
167. இங்குள்ள உத்திக் கணக்குக்கள் இருபடிச் சமன் இச் சமன்பாடுகளுக்கு என்றும் எனினும், தந்த உத்திக்கணக்குக்கு தீர்வுகளும் பொருந்துமா, அன்றி ஒரு தீர்வுதான்
பாடுகளைக் கொண்டவை. இரு தீர்வுகள் உள.
இரு
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
க* + க?ந2+ ந4- 91, 6 . 5 + 5 +p= 1.33 க? - கந+ ந2= 13. க? + கந+ ந?= 7.
I I l I
=56, 8. -=10) I I I
て十ーニ - m - c.
க ந க ந 4(ந - க)= 3 கந, 10. க + ந=2கந,
1 1 9 1 1 7 64 ٠ 64 f3 ٦ 3و
I I
- =", 12 ---- 1? க? ந க? ந? க* கந ந
I 1 -- l
க? கநTந2
க3+ ந-ே - 35, 14. க9 - ந=ே 133, க?ந+ கந2= - 30. க?ந - கந2- - 70.
க3 - ந3 + 26 கந= க - ந+ 6 கந2-0. க3+ ந8-189கநே8,
க+ ந= - 54 க?ந?. க?நய- 6, கந2ய- - 12, கநய?= - 18. கந2= 18, நய2- - 48, யக2- - 16.
கந2ய2= 2, க?நய2= 4, க?ந2ய= - 4.
2 re-2 2, 2 2 2-ر
**P_4. Б” “HT32, “- - 32.
II 占 ந
இருபடிச் சமன்பாட்டு உத்திக்கணக்குக்கள்
(கடுமையான வகைகள்)
பொருந்துமா என மாணுக்கர் ஆராய்தல் வேண்டும்.

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக்கணக்கும் 391
32 - Η Ο
1. அ என்னும் பட்டினத்திலிருந்து இ என்னும் பட்டி னத்திற்கு ஒரு புகைவண்டியும் இ இலிருந்து அ இற்கு ஒரு புகைவண்டியும் ஒரே நேரத்திற் புறப்பட்டு ஓடின. அவைகள் சந்தித்த போது முன் னது பின்னதிலும் 40 மைல் கூட ஒடினதெனக் காணப்பட்டது. சந்தித்த பின் முன்னது 34 மணி நேரத்திலும் பின்னது 5 மணி நேரத்தி லுந் தம்மோட்டங்களை முடித்தனவாயின், அப்பட்டினங் கள் ஒன்றுக்கொன்று எவ்வளவு தூரம் எனக்காண்க.
அப்புகைவண்டிகள் புறப்பட்டு க மணிநேரத்திற் சந்திக்க. அச் சந்திக்கும் புள்ளி அ இலிருந்து ந மைல் தூரமாகுக.
" அப்புள்ளி இ இலிருந்து ந - 40 மைல் தூரமாகும்.
அ இலிருந்து புறப்பட்ட வண்டி ந - 40 மைல் தூரத்தை 31 மணி நேரத்தில் ஒடும்.
0 4 --س .. அதன் வேகம் மணிக்கு 5 - 4 υ மைல் = மணிக்கு
31 5
5 5(ந -40) மை ல் ,
I 6
இ இலிருந்து புறப்பட்ட வண்டி ந மைல் தூரத்தை 5 மணி நேரத்தில் ஒடும்.
ந
. அதன் வேகம் மணிக்கு மைல்.
அ இலிருந்து இ இனது தூரம் (ந+ ந -40) மைல் =(2ந -40) மைல்.
க மணி நேரத்தில் அ இலிருந்து புறப்பட்ட வண்டி
க மணிநேரத்தில் இ இலிருந்து புறப்பட்ட வண்டி
கந o சென்ற தூரம் மைல.
ஆணுல், கணக்கின்படி இத் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை 2ந - 40 மைல்; வித்தியாசம் 40 மைல்.

Page 91
392
உ-ம்.
2. இரு வட்டங்களின் பரிதிகளின் வித்தியாசம் 44 அடி:
மானுக்கரட்சரகணிதம்
9க(ந49)+கத-2த-40
I6 5 5க(ந-40)_கந_
16 5 5(ந - 40) ந
6 5 2 is - 40 (5 is - 40) A 40
1 6 5
25(ந -40) + 16ந_ந - 20
25(is-40) - 16 is 20
{25(5-40) + 16ந} + {25(ந -40) - 16ந}
. {25(ந -40) + 16ந} - (25(ந -40) - 16ந}
_(ந - 20) + 20
(Is - 20) - 20
50(ந -40)_ந
32ந ந - 40
25(ந - 40)_ந
16ந ந - 40
* 25(ந - 40)2-16ந2.
..... 5(Abー40り=土4巫.
" ந=200, அல்லது 22.
கணக்கின்படி ந=22 என்பது பொருந்தாது.
.. ந= 200. .. 2ந - 40= 360.
" அப்பட்டினங்களின் இடைத் தூரம் 360 மைல்.
அவற்றின் பரப்பளவுகளின் வித்தியாசம் 550 சதுர வடி. அவ்வட்டங்களின் ஆரைகள் என்ன அளவுகளை உடையன?
பெரிய வட்டத்தின் ஆரை க அடியாகுக; சிறிய வட்டத் தின் ஆரை ந அடியாகுக.

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக்கணக்கும் 393
o 22 .. அவற்றின் பரிதிகளின் வித்தியாசம் 2×ーテ×チ
22 ー2×子×5 99.
22 22 அவற்றின்பரப்பளவுகளின் வித்தியாசம் 152 =- شہوتی۔ சதுர
6մւգ-.
ஆணுல், கணக்கின்படி இவை முறையே 44 அடி, 550 சதுரவடி என்பன.
.. 2×芋x*一2×芋x5—44 - - - - ( 1);
22 22 IR2 ۔ ۔ ۔ 2 جgر ۔۔۔
-க テ5 550 .. .. .. (2); (1) இலிருந்து க - ந=7 a n - u (3); (2) இலிருந்து க? - ந?= 175 . . . . . . . . (4); (4) ஐ (3) ஆல் வகுக்க, க + ந=25 (5); (5) ஐ (3) ஒடு கூட்ட 2 க-32. .". g= I6.
5= 1 6 GT 60T (5) இற் பிரதியிட ந - 9. .. அவ்வட்டங்களின் ஆரைகள் முறையே 16 அடி, 9 அடி என்பனவாகும்.
பயிற்சி 24 (ஈ)
1. 240 யார் ஒடும்போது ஒரு வண்டியின் சிறுசில்லுப் பெருஞ் சில்லிலும் 12 சுற்றுக்கள் கூடுதலாகச் சுற்றியது. ஒவ்வொரு சில்லின் பரிதியும் 2 அடி குறைந்திருப்பின், சிறு சில்லுப் பெருஞ்சில்லிலும் 18 சுற்றுக்கள் கூடுதலாகச் சுற்றும். அச்சில்லுகளின் பரிதிகளைக் காண்க.
2. இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்திலிருந்து அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கழிக்க வருவது 19. அவற்றின் வர்க் கங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து அவற்றின் வித்தியா சத்தினது நாலும் டங்கைக் கழிக்க வருவது 53. அவ் வெண்கள் யாவை ?

Page 92
394 மானுக்கரட்சரகணிதம்
3. ஒரு புகைவண்டி ஒரு பட்டினத்திலிருந்து 210 மைல் தூரமுள்ள வேருெரு பட்டினத்திற்குப் புறப்படுகின்றது. இரண்டுமணி நேரத்திற்குப் பின் வேருெரு புகைவண்டி அதே பட்டினத்திலிருந்து புறப்பட்டு 24 மணி நேரத்தில் முதலாம் புகைவண்டி 1 மணி நேரத்திற்கு முன் விட்டுப் போன இ ட த்  ைத க் கடக்கின்றது. அதன் பின், தன் வேகத்தை மணிக்கு 5 மைல் வீதங் கூட்டித் தான் அடையவேண்டிய பட்டினத்தை முதலாம் புகைவண்டிக்கு 5 நிமிடம் முன்னர்ச் சேர்கின்றது. அப்புகைவண்டிகள் என்ன வேகங்களோடு புறப்பட்டன?
4. இரு குழந்தைகளுடைய வயதுகளின் கூட்டுத் தொகை 10; அக்குழந்தைகளுடைய வயதுகளின் வர்க்கங் களின் கூட்டுத் தொகையின் 6 மடங்கு அவ்வயதுகளின் பெருக்கத்தின் 13 மடங்குக்குச் சமன். அக்குழந்தைகளின் வயதுகளைக் காண்க.
5. இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தை அவற்றின் கூட் டுத் தொகையாற் பெருக்க 960 உம் அவற்றின் வித்தி யாசத்தாற் பெருக்க 360 உம் வருமாயின் அவ்வெண்கள் யாவை ?
6. இரண்டு எ ண் க ளி ன் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையை அவ்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையாற் பெருக்க 65 உம், அவ்விரு கூட்டுத்தொகைகளையுங் கூட்ட 18 உம் வருமாயின், அவ்வெண்கள் யாவை ?
7. இரண்டு இலக்கங்கள் கொண்ட ஒர் எண் அவ் விலக்கங்களின் பெருக்கத்தின் மூன்று மடங்கிலும் 11 ஆற் கூடியது. அவ்விலக்கங்களின் கனங்களின் வித்தியாசம் அவ்விலக்கங்களின் வித்தியாசத்தின் 97 மடங்கு. அவ் வெண்ணைக் காண்க.
8. ஒரு தொகை கோழிகள் ஒரு தொகை ரூபாவிற்கு விலைப்பட்டன. அதே விலைக்கு 5 கோழிகள் கூடுதலாக விலைப்பட்டால், ஒவ்வொரு கோழியும் ஒரு ரூபா குறைந் தும், 5 கோழிகள் குறைவாக விலைப்பட்டால் ஒவ்வொரு

ஒருங்கமையிருபடிச் சமன்பாடும் உத்திக்கணக்கும் 395
கோழியும் ஒரு ரூபா கூடியும் விலைப்பட்டிருக்கும். கோழி களினது தொகையையும் ஒவ்வொரு கோழியின் விலையை யுங் காண்க.
9. இரு புகைவண்டிகள் இரு பட்டினங்களிலிருந்து புறப்பட்டு ஒடிச் சந்தித்தபோது முன்னது பின்னதிலும் 30 மைல் கூடுதலாக ஒடினதெனக் காணப்பட்டது. சந் தித்த பின் முன்னது 24 மணிநேரத்திலும் பின்னது 4 மணிநேரத்திலுந் தம்முடைய ஒட்டங்களை ஒடி முடித்தன வாயின், அப்பட்டினங்களின் இடைத் தூரத்தைக் காண்க.

Page 93
அத்தியாயம் 25. இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் (தொடர்ச்சி)
168, 21 ஆம் அத்தியாயத்தில் பரவளைவுகளின் வரைப் படங்கள் பற்றி ஒருவகை ஒருங்கமை யிருபடிச் சமன்பாடு களைத் தீர்க்கும் முறைகள் கூறப்பட்டன. இவ்வத்தியா யத்தில் இப்பிரிவில் வட்டம், அதிபரவளைவு என்பனவற் றின் வரைப்படங்கள் பற்றி வேறு வகை ஒருங்கமை யிரு படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகள் கூறப்படும்.
1. வட்டம் : உற்பத்தியிலிருந்து யாதுமொரு புள்ளி ப இனது தூரம் உப?= க + ந? என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். அதுபற்றி அ என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்க, க + ந?-அ’ என்னுஞ் சமன்பாடு அ என்பதை ஆரையாகவும் உற்பத்தியை மையமாகவுமுள்ள ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் எனலாம்.
உ-ம்.
(i) க?+ ந?=25, (i) நட2க - 3 என்னுஞ் சமன்பாடு களை வரைப்பட முறையாலே தீர்க்க.
சமன்பாடு (i) ஆனது ந=A/25 - க? என்னும் வடிவத் தில் இடப்படலாம். இச்சமன்பாடு க- 3, ந= 4 என்னும் ஆள் கூறுகளுக்கு உண்மையாதல் பரீட்சையினுற் காணப்படும். " ஒரலகைக் குறிப்பதாகக் கொண்டு உற்பத்தியை மைய மாகவும் (3, 4) என்னும் புள்ளியை உற்பத்தியோடு தொடுக் கும் நேர் கோட்டை ஆரையாகவுமுள்ள வட்டத்தை வரைக.
இனி, ந= 2க - 3 என்னுஞ் சமன்பாட்டில், க இனுடைய தேர்ந்த பெறுமானங்கள் சிலவற்றிற்கு ந இன் ஒத்த பெறுமா னங்களைக் கணித்துப் பின்வருமாறு அட்டவணைப்படுத்துக --
(i) ந=ா 2க - 3

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 397
இச்சார் பின் வரைப்படமாகிய நேர் கோட்டையும் அதேயளவுத்திட்டங் கொண்டு வரைக.
அந்நேர்கோடு அவ்வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளே தந்த சமன்பாடுகளினுடைய தீர்வுகளாகும்.
படத்திலிருந்து பின்வருந் தீர்வுகள் பெறப்பட்டன :- க= 3 35, ந= 3 - 70; க - - - 95, ந= - 4 90. 11. அதிபரவளைவு : அ என்பது ஒரு மாறிலியாகவும் க என்பது ஒரு மாறியாகவும் இருக்க 2 என்னும் பின்னத் தின் பெறுமானத்தைப் பற்றிச் சிந்திக்க. இங்கு, க ஆனது
சிறிது சிறிதாக, இன் பெறுமானம் பெரிது பெரிதா
கும். உதாரணமாக, க என்பது "1, 01, 001 என்னும்

Page 94
398 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பெறுமானங்களைப் பெற, அ என்பது முறையே 10 அ, 100 அ, 1000 அ என்னும் பெறுமானங்களைப் பெறும். க என்பதற்குப் போதிய அளவு சிறிய பெறுமானத்தைக் கொடுக்க என்பதை வேண்டிய அளவு பெரிய பெறு
மானத்தைப் பெறச் செய்யலாம். க என்பது யாஞ் சிந்
திக்கத் தக்க எண்களுட் சிறியதினுஞ் சிறிதாயின், ਫ763
பது யாஞ் சிந்திக்கத்தக்க எண்களுட் பெரியதினும் பெரி
தாகும். யாஞ் சிந்திக்கத் தக்க எண்களுட் சிறியதினுஞ்
சிறியது பூச்சியம் எனப்படும்; யாஞ் சிந்திக்கத் தக்க எண்
களுட் பெரியதினும் பெரியது முடிவிலி எனப்படும்; முன்னது
0 என்றும் பின்னது OC என்றும் எழுதப்படும்.
க= 0 ஆயின், = c ஆகும்.
இனி, ந=
*. கநா அ. கந= அ என்னுஞ் சமன்பாட்டின் வரைப்படம் அதிபர வளவு எனப்படும்.
<鸟@5...
உ-ம்.
1. (1) கந - 5, (i) 3க - 2 ந = - 4 என்னுஞ் சமன் பாடுகளை வரைப்பட முறையாலே தீர்க்க.
5 3 க + 4
இவை முறையே ந= ந= -- எனனும வடிவங்க ளில் எழுதப்படலாம். இரு சமன்பாடுகளிலும் க இனது தேர்ந்த பெறுமானங்கள் சிலவற்றிற்கு ந இன் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கணித்துப் பின்வருமாறு அட்டவணைப் படுத்துக.
巫=ー ・・ w ... (i)

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 399
5ع
-- 0 5 2 3 4 5 10 o
10 || 5 || 2.5 || I ۰ 67 || 1.25 || 1 || ۰ || || + 0
) - 5. - 1- || 2 || 3 ۔۔۔ || 4 -- ! 5 – ;()1 - |حیرہ || 5ی
-0 || - ·5| - 1 ||- 1·25 - 1·67-2.5 || - 5 || - 10 || - c
ந - ܝܚܚ- ܚ- --
3 க + 4 .)11 ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔سیسمیہ ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ ۔
2 (ii)
巴历 - 2 0 2 ந - 1 || 2 5
"1" ஒரலகைக் குறிப்பதாகக் கொண்டு இவற்றின் வரைப்படங்களை வரைக.

Page 95
400 மாணக் கரட்சரகணிதம்
(i) ஆவது ஒர் அதிபர வளைவையும் (ii) ஆவது ஒரு நேர் கோட்டையுந் தருதல் காண்க. அந்நேர்கோடு அவ் வதிபரவளைவை வெட்டும் புள்ளிகளுடைய ஆள்கூறுகளே அச் சமன்பாடுகளுடைய தீர்வுகளாகும்.
படத்திலிருந்து பின்வருந் தீர்வுகள் பெறப்பட்டன:
க=1 28, ந =3 92 : க ம - 2 61. ந ப - 1 92.
உ-ம்.
(2) (i) கந=28, (ii) க?+ ந2=65 என்னுஞ் சமன் பாடுகளை வரைப்பட முறையாலே தீர்க்க.
28 - கந=28 என்னுஞ் சமன்பாடு 历=了 என்னும் வடிவத்
தில் எழுதப்படலாம். இச்சமன்பாட்டில் க இனது தேர்ந்த பெறுமானங்கள் சிலவற்றிற்கு ந இன் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கணித்துப் பின்வருமாறு அட்டவணைப் படுத்துக:
(i) ó一芋 +0 1 | 2 | 4 5 | 8 | 7 | 14 ༧༠ ། ༡༡ ། أ 0 | 1 | 2 | 4 | 7-4 6-ة 7 | 14 281 عن قر g ||- -2-1 - ? - "|-|-| ||-|| - 고 エ 5 -o - 1|| -2|-4 |4.7.5 - 6 - 7 -14 -2 - ဓား ||
----
05 ஆனது ஒரலகைக் குறிப்பதாகக் கொண்டு இச் சார் பின் வரைப்படமாகிய அதிபரவளைவை வரை க.
இனி, க + ந2=65 என்னுஞ் சமன்பாடு ந= V65 - க? என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம். இச்சமன்பாடு (4, 7) என்னும் ஆள்கூறுகளுக்கு உண்மையாதல் பரீட்சையினற் காணப்படும். உற்பத்தியை மையமாகவும் (4, 7) என்னும் புள்ளியை அவ்வுற்பத்தியோடு தொடுக்கும் நேர்கோட்டை ஆரையாகவுமுள்ள வட்டத்தை முன் வரைப்படத்தின் அளவுத் திட்டங் கொண்டு வரைக.

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 40
அவ்வதிபரவளைவை அவ்வட்டம் வெட்டும் புள்ளிக ளின் ஆள்கூறுகளே தந்த சமன்பாடுகளினுடைய தீர்வு களாகும்.
படத்திலிருந்து பின்வருந் தீர்வுகள் பெறப்பட்டன:-
5=土4 5=土7; 5=土7 万=土4.
169. இப்பிரிவில் இருபடிச் சார் பின் வரைப்படம் பற் றிய சில செய்திகளை ஆராய்வோம்.
d-LD.
4 + 3 க - 2 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= - 3 இலிருந்து க = 4 வரைக்குமுள்ள க இன் பெறு மானங்களுக்கு வரைக.
(1) க இன் எப்பெறுமானங்களின் வீச்சிற்குள் அச்சார்பு நேர்க்குறியோடு பொருந்தி நிற்கும்?
395l-Q

Page 96
402 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(i) அச்சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (i) உமது வரைப்படந் துணைக்கொண்டு 2 க?-3 க - 6= 0. என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
ந= 4 + 3 க - 2 க” ஆகுக'. க இனுடைய தேர்ந்த பெறுமானங்கள் சிலவற்றிற்கு ந இனுடைய ஒத்த பெறுமானங்களைக் கணித்துப் பின் வருமாறு அட்டவணைப் படுத்துக.
|| 5 7 || ۰ || 0.. || 1 س- || 5 ، 1 - -
- 5 - 1
2 - 5
l س
3.
4 5, 13 5 2
- 5
க- அச்சில் " ஒரலகிற்கும் ந அச்சில் 4" ஓரலகிற்
கும் வகைக்குறி எனக்கொண்டு 4 + 3 க - 2 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படமாகிய பரவளைவை வரைக.
 

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 403
(i) அவ்வரைப்படம் (- 85, 0), (2.35, 0) என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடையில் க அச்சிற்கு மேற்பக்க மாகக் கிடத்தல் காண்க. ஆயின், க இன் பெறு மானம் - 85, 2 - 35 என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடை யிற் கிடக்கும் வரைக்கும் ந இன் பெறுமானம், அல்லது 4 + 3 க - 2 க? என்னுஞ் சார் பின் பெறு மானம் நேர்க்குறியோடு பொருந்தி நிற்கும். (i) படத்தின்படி, அச்சார்பின் உயர்வுப் பெறுமா
னம் 5 - 13. (i) இனி, 2க?-3 க - 6 = - (4 + 3 க - 2 க?) -2
=ー互ー2。 2க? - 3 க - 6 = 0 எனின், - ந - 2-0;
அதாவது ந= - 2. ந= - 2 என்னும் வரைப்படமாகிய நேர் கோட்டை அதேயளவுத் திட்டங் கொண்டு வரைந்து அப்பரவளைவை அந்நேர்கோடு வெட்டும் புள்ளிகளின் கிடைத் தூரங் களைக் காண்க. அக்கிடைத்தூரங்களே 2 க?-3 க - 6==0 என்பதனுடைய தீர்வுகளாகும்.
படத்தின்படி, வேண்டிய தீர்வுகள் க = 2 - 6, க = - 1 - 14 என்பனவாகும்.
பயிற்சி 25
1. பின்வரும் ஒருங்கமை சமன்பாடுகளை வரைப்பட முறையாலே தீர்க்க:
(i) க2+ ந2=41, (ii) 355 = 6, (iii) so + p5? - 13,
ந=3க - 2. 2jib — 3 55 = 2. கந - 4. (iv) 55 f5 = 4, (v) 35o -- Ibo = 45, (vi) 515 = 7,
த-3 க - 2. ந - க - 3. க2+ ந2= 40. (vii) so+ 5o= 34, (viii) 355 = 8, . (ix) 35° + [bo = 20,
ந- 2 க + 3. 3ந= 2 க + 3. கந= 4.
2. க? - 2 க - 8 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை க= - 2, க= 4 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடையில் வரைக.

Page 97
404 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(1) க இன் பெறுமானங்களின் எவ்வீச்சிற்குள் அச்சார்பு
எதிர்க்குறியோடு பொருந்தி நிற்கும்? (2) அச்சார்பின் இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (3) அவ்வரைப் படத்தைத் துணைக் கொண்டு க? - 2க - 6= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 3. 6 + க - 2 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க-3, க = - 2 - 5 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக் கிடையில் வரைக.
(1) க இன் பெறுமானங்களின் எவ்வீச்சிற்குள் அச் சார்பின் பெறுமானம் 1 இலும் பெரிதாகும்? (2) அச்சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (3) அவ்வரைப் படத்தைத் துணைக் கொண்டு 2 க2 - க - 5= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 4. 2க? - க - 10 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= 3, க= - 3 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடையில் வரைக.
(1) க இன் பெறுமானங்களின் எவ்வீச்சிற்குள் அச்
சார்பு 2 இலுஞ் சிறிதாகும்? (2) அச்சார்பின் இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (3) அவ்வரைப்படத்தைப் பயன்படுத்தி 2 க? - க - 9
= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 5. 15 - 4 க - 4 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க=2, க= - 3 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடையில் வரைக.
(1) க இன் எப் பெறுமானத்திற்கு மேல் க ஆனது கூடு தலுற அச்சார்பு எதிர்க்குறியோடு பொருந்திக் குறைதலுறும்? (2) அச்சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (3) அவ்வரைப்படத்தைப் பயன்படுத்தி 4 க? + 4க
- 13= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 405
6. 2க? - க - 15 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= 3* 5, க- - 3 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக் கிடையில் வரைக. ஒரு தக்க நேர்கோட்டை இவ்வரைப் படம் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டு 2 க? + க - 11= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
7. 6 - க - 2 க2 என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= 3, க = - 3 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடை யில் வரைக.
(1) க= - 1 என்னும் புள்ளியில் அவ்வரைப்படத்
தின் சாய்வைக் காண்க. (2) அச்சார்பின் இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (3) ஒரு தக்க நேர்கோட்டை அவ்வரைப்படம் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டு 2 க? + 2 க - 3 என் னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 8. ந= (2 - 3க)(க + 1) என்பதன் வரைப்படத்தை - 2, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள க இன் பெறுமா னங்களுக்கு வரைக. உமது வரைப் படத்தைப் பயன் படுத்தி 6 க? + 4 க - 3 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
9. 6 + 5 க - 6க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை க= 2, க = -1 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக் கிடையில் வரைக.
(1) க இன் எப்பெறுமானத்திற்கு மேல் க ஆனது கூடுதலுற அச்சார்பு எதிர்க்குறியோடு பொருந் திக் குறைதலுறும்? (2) க இன் எப்பெறுமானத்திற்குக் கீழ் க ஆனது குறைதலுற அச்சார்பு எதிர்க் குறியோடு பொருந்திக் குறைதலுறும்?
3 10. ஒரு சோடி அச்சுக்கள் பற்றி =
み + 3 என்பனவற்றின் வரைப்படங்களை வரைந்து அவற்றைத் துணைக் கொண்டு 2 க + 3 க - 9= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
万=5+墨

Page 98
406 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 8.
(அ)
1. 9 க - 24கநக்+ 16ந* என்பதன் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
2. மடக்கையட்டவணையைப் பயன்படுத்திப் பின்வரு வனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க :-
I 6・58×や/ 55五5 ・ö五655 ×(g.575)2” (ii) Vr56 . 74)2 — (5 5. 93 )2, 3. 2க - ந= 5, 2 க? - கந + 4 = ந?. இவற்றைத் தீர்க்க.
4. இரு வட்டங்களின் பரிதிகளின் வித்தியாசம் 44 அ1. அவற்றின் பரப்பளவுகளின் வித்தியாசம் 462 சதுர வடி. அவ்வட்டங்களின் ஆரைகளின் அளவுகளைக் காண்க.
5. க? - 2 க - 5 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை க= 4, க- - 2 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடை யில் வரைக.
(i) க இன் எப் பெறுமான்ங்களின் வீச்சிற்குள் அச்
சார்பு எதிர்க்குறியோடு பொருந்திநிற்கும். ? (i) அச்சார்பின் இழிவுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (iii) egy 616), 60J li படத்தைத் துணைக் கொண்டு க? - 2க - 4-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
(ஆ)
அ8-இ-8 அ- இ-1
2. (1) அட்டவணையை வழங்காது மட8 243, மட2 128, மட 125 என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.
என்பதைச் சுருக்குக.

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 407
(ii) ó="(1+黑、)” இங்கு ம= 720, வ= 3 5, அ= 16 எனின், த இன் பெறுமானத்தை அட்டவணையை வழங்கிக் காண்க.
3. 3 க + 2 நா 1, க? - 3ந?-3 க - ந - 6. இவற்றைத் தீர்க்க.
4. இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையாற் பெருக்க 120 உம், அவற்றின் வித் தியாசத்தாற் பெருக்க 30 உம் வருமாயின், அவ்வெண் களைக் காண்க.
5. 7 + 2 க - க? என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை க= - 2, க-4 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடையில் வரைக.
(i) க இன் பெறுமானங்களின் எவ்வீச்சிற்குள் அச்சார்
பின் பெறுமானம் 1 இலும் பெரிதாகும் ? (i) அச்சார் பின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. (i) அவ்வரைப் படத்தைத் துணைக் கொண்டு க? -2க
- 6= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
(9)
-T-T. இதனைச் சுருக்குக.
க 2 + 3 2. மடக்கையட்டவணையைப் பயன்படுத்திப் பின்
வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் கணிக்க:-
(i) Vக3+ ந3, க-3 675, ந= 0574 ஆயின். ..、2・& 34 × ・ 8652
(ii) — ,
(・0846)2
3. க? + ந? - 2 க - 3ந - 10= 0, க - 2 ந= 6. இவற்றைத் தீர்க்க.
4. இரு குழந்தைகளின் வயதுகளின் கூட்டுத்தொகை 9. அக் குழந்தைகளுடைய வயதுகளின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அவ் வயதுகளின் பெருக்கத்தின் 2 மடங்குக்குச் சமன். அக்குழந்தைகளின் வயதுகளைக் காண்க.

Page 99
4.08 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
5. 13 - 3 க - 2 க? என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= - 3 = 5, க = 2 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக். கிடையில் வரைக.
(1) க இன் எப் பெறுமானத்திற்கு மேல் க ஆனது கூடு தலுற அச்சார்பு எதிர்க்குறியோடு பொருந்திக்
குறைதலுறும்? (ii) அச்சார் பின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக்
காண்க. (ii) அ வ் வரை ப் படத்  ைத த் து னை க் கொ ன் டு 2க? + 3 க - 12=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க
(FF)
l ۔۔۔۔۔۔۔۔ 3
1. க - ந - ய - 3 Vகநய என்பதை க" - ந° - ய" என் பதால் வகுக் க.
2. மடக்கையட்டவணையைப் பிரயோகித்துப் பின் வருவனவற்றின் பெறுமானங்களை இரண்டு தசமதானங் களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
82 - 63 X O. O.856 (i)
l
5
( 9 . 024)2 ” (ii) ( 0 · 6074) “.
3,25十历=7 竺上座_马° இவற்றைத் தீர்க்க
O ந= ந க" 3 s2) so g5
4. இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்திலிருந்து அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கழிக்க வருவது 25. அவற்றின் வர்க் கங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து அவற்றின் வித்தியா சத்தின் மூன்று மடங்கைக் கழிக்க வருவது 29. அவ் வெண்கள் யாவை?
5. 2க? - க - 13 என்னுஞ் சார் பின் வரைப்படத்தை க= 3, க - - 3 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடை யில் வரைக. ஒரு தக்க நேர்கோட்டை இவ்வரைப்படம் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டு 2 க? + க - 12= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 4.09
(9) 器,器 1. க" - ந’ + 1 + க*ந° + ந° - க என்பதாற் பெருக்குக.
1.
1.
1 என்பதை க" - ந° + 1
2. (1) மடக்கை யட்டவணையைப் பிரயோகிக்காது
மட432 - மட288- மட3 - மட2 என நிறுவுக. (ii) அ= 9645, இ=4 : 078, உ= 9531 ஆயின்,
器+V劉 என்பதன் பெறுமானத்தை மடக்கை யட்டவணையைப் பயன்படுத்திக் காண்க.
3. 2க* + 2 ந? + 5 கந= க + 3 ந= ந - க. இவற்றைத் தீர்க்க.
4. ஒரு தொகை ஆடுகள் ஒரு தொகை ரூபாவிற்கு விலைப்பட்டன. அதே விலைக்கு 6 ஆடுகள் கூடுதலாக விலைப்பட்டால், ஒவ்வோர் ஆடும் 12 ரூபா குறைந்தும், ( ஆடுகள் குறைவாக விலைப்பட்டால் ஒவ்வோர் ஆடும் 20 ரூபா கூடியும் விலைப்பட்டிருக்கும். ஆடுகளினது தொகையையும் ஒவ்வோர் ஆட்டின் விலையையுங்
HT GHOT 95.
5. ந=(3 - 2க)(2 + 3க) என்பதன் வரைப்படத்தை 3, - 2 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடையில் வரைக. உமது வரைப்படத்தைப் பயன்படுத்தி 6 க? + 6 க - 5=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
(96)
- - 3 - 1 - 불
l. (...) * (i. இ த னை ச்
இ 8 دى_ இ உ?
சுருக்குக.
2. மடக்கையட்டவணையை வழங்கிப் பின்வருவனவற் றின் பெறுமானங்களை இரண்டு தசமதானங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க.
51 .. 64 X 6834
(i) (7. 189)
, (ii)

Page 100
41 0 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3. க? - கந+ ந?= க + 4 = ந+ 5. இவற்றைத் தீர்க்க. 4. 360 யார் ஒடும்போது ஒரு வண்டியின் சிறு சில்லுப் பெருஞ்சில்லிலும் 12 சுற்றுக்கள் கூடுதலாகச் சுற்றியது. ஒவ்வொரு சில் லின் பரிதியும் 2 அடி குறைந் திருந்தால், சிறுசில்லுப் பெருஞ்சில்லிலும் 16 சுற்றுக்கள் கூடுதலாகச் சுற்றும். அச்சில்லுகளின் பரிதிகளைக் காண்க.
5. 5 + 3 க - 4 க* என்னுஞ் சார்பின் வரைப்படத்தை க= - 2, க-2 என்னும் க இன் பெறுமானங்களுக்கிடை யில் வரைக.
(1) க இன் எப்பெறுமானத்திற்கு மேல் க ஆனது கூடு தலுற அச்சார்பு எதிர்க்குறியோடு பொருந்திக்
குறைதலுறும்? (ii) க இன் எப்பெறுமானத்திற்குக் கீழ் க ஆனது குறைதலுற அச்சார்பு எதிர்க்குறியோடு
பொருந்திக் குறைதலுறும்? (ii) க= 1 என்னும் புள்ளியில் அச்சார் பின் சாய்வைக்
காண்க.
(எ)
4 - 2 2(அ-1) * F' - இதனைச் சுருக்குக. ( 1 – الك )2 و و و إك هو 2. மடக்கையட்டவணையைப் பயன்படுத்திப் பின்வரு வனவற்றின் பெறுமானங்களைக் கணிக்க:-
: *- (i) V. 8 23 4, )ii( ہV.o6 432,
3. ..., V. 8 234 - V. 0643 2 (iii) --i.
V. 8 23 4 + V. 0 6 4 3 2 3. க + 4ந2= 17, க + 2 ந=3. இவற்றைத் தீர்க்க. 4. ஓர் ஆகாயக் கப்பல் 2400 மைல் தூரத்தை ஒரு குறித்த வேகத்தோடு பறக்குமாறு திட்டமிடப் பட்டி ருந்தது. காற்றுக் குழப்பங் காரணமாக அதன் வேகம்

இருபடிச் சார்புகளின் வரைப்படங்கள் 41 I
மணிக்கு 60 மைல் வீதங் குறைக்கப்பட அது தனது பயணத்தை முடிக்கத் திட்டமிட்ட நேரத்திலும் 2 மணி நேரங் கூடுதலாக எடுத்தது. அது பறந்த வேகமென்ன?
5. க?+ ந?-5, கந= 2 என்னுஞ் சமன்பாடுகளை வரைப் படமுறையாலே தீர்க்க.
(ஏ)
೨) + 'ಶ அ + 2
l. --
- 6. 3
To 3
3°+°×8
2. மடக்கையட்டவணையைப் பயன்படுத்திப் பின்வரு வனவற்றின் பெறுமானங்களை இரண்டு தசமதானங்களுக் குத் திருத்தமாகக் காண்க:-
i) ( 2567)"Χ 142 θ (η) 16, 4. 5 6 32, 3, ο 842 (i) V9 . I 56 ʼ (ii) (4 56 28 – 8. 984%). 3. கந= 3(க + ந)ா 4(க - ந). இவற்றைத் தீர்க்க. 4. இரு புகைவண்டிகள் இருபட்டினங்களிலிருந்து ஒன்றையொன்று நோக்கிப் புறப்பட்டு ஓடிச் சந்தித்த போது முன்னது பின்னதிலும் 60 மைல் கூடுதலாக ஒடின தெனக் காணப்பட்டது. சந்தித்த பின் முன்னது 2 மணிநேரத்திலும் பின்னது 4 மணிநேரத்திலுந் தம் முடைய ஓட்டங்களை ஒடி முடித்தனவாயின், அப்பட்டி னங்களின் இடைத் தூரத்தைக் காண்க.
5. கந= 7, க - 2 ந= 2 என்னுஞ் சமன்பாடுகளை வரைப் பட முறையாலே தீர்க்க.
இதனைச் சுருக்குக.
(p)
l l l. {(a + 3 + (2-3). இதன் பெறுமானத்தைக்
காண்க.
2. 2. (1) அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாது 25°, 27°,
ვY — # (so) 3. என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.

Page 101
412 மாணுக் கரட்சரகணிதம்
4 e e WMA g 22 t (i) க="அ" என்னுஞ் சூத்திரத்தில் (= ஆயும் அ= 8325 ஆயுமிருந்தால், க இன் பெறுமானத்தை அட்டவணையைப் பயன்படுத்திக் காண்க. 3. 3க? - 4கந=20, 3 கந + 4ந?= - 2. இவற்றைத் தீர்க்க. 4. இரண்டு இலக்கங்கள் கொண்ட ஓர் எண் அவ்விலக் கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கிலும் 23 ஆற் கூடி யது. அவ்விலக்கங்களின் வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் அவ் விலக்கங்களின் வித்தியாசத்தின் 8 மடங்கு. அவ்வெண்யாது? 5. க + ந?= 25, 2 க + 3 ந= 1 என்னுஞ் சமன்பாடுகளை வரைப்பட முறையாலே தீர்க்க.

அத்தியாயம் 26 விகிதமும் விகிதசமமும்
விகிதம்
170. விகிதம் என்பது ஒரே இனத்து இரு கணியங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு; அது ஒரு கணியம் மற்றைக் கணியத்தின் என்ன மடங்கென்ருதல் என்ன பின்ன மென் முதல் உணர்த்தும்.
அ, இ என்பன ஒரே இனத்து இருகணியங்களாயின், அ இற்கு இ என்னும் விகிதம் என்னும் பின்னத்தாற் குறிக்கப்படும்.
அ இற்கு இ என்னும் விகிதத்தை அ இ என எழுது த ல் வழக்கு : இங்கு, அ என்பது அவ்விகிதத்தின் முன்னுறுப்பு என்றும் இ என்பது அதன் பின்னுறுப்பு என்றுங் கூறப்படும்.
171. ஒரு விகிதத்தின் உறுப்புக்களை ஒரே கணியத்தாற் பெருக்கினலும் வகுத்தாலும் அவ்விகிதத்தின் பெறுமா னம் மாருது.
鬍一醬 .. அ இ= மஅ : ம இ.
அ
ཆ་་་ : : : : । ம
172. கூட்டுவிகிதம் : இரண்டு விகிதங்களாதல் இரண்டின் மேற்பட்ட விகிதங்களாதல் ஒருங்கு பெருக்கப்பட்டால், அவை கூட்டுப்பட்டன எனப்படும்.

Page 102
4l 4 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
என்பன கூட்டுப்பட்டால் ਫੈ। என்பது பெறப்
படும்.
2
என்பது தன்னேடு கூட்டுப்பட்டால் இ2 என்பது பெறப்படும்.
அ? s9
இ2 என்பது இ இன் இருமடிவிகிதம் எனப்படும்.
அ8 . گH ےہ_.
அதுபோல, இ8 எனபது இ இன் மும்மடிவிகிதம் எனப்
படும்.
ತಿತಿ <အr: என்பன முறையே கீழிருமடிவிகிதம், கீழ்மும் இத்’ இ* மடிவிகிதம் எனப்படும்.
173. அ>= <இ என்பனவற்றிற்கு ஏற்ப அ என்னும் விகிதம் முறையே பெருஞ்சமனிலி, சமமுளி, சிறுசமனிலி எனப் பெயர் பெறும்.
5 : 4 என்பது பெருஞ்சமனிலி, 4 : 4 என்பது சம முளி, 4 = 5 என்பது சிறு சமனிலி. 174. அ, இ, க என்பன மூன்று நேர்க்கணியங்களாயின்,
A NA O -- அ>= <இ என்பனவற்றிற்கு ஏற்ப 酱>=<蚤。
இதனை நிறுவுவோம் :
சிே என்பது நேராகவோ, பூச்சியமாகவோ,
O அரு_ , அ + க எதிராகவோ இருத்தலுக்கு ஏற்ப இ? இ+ க"

விகிதமும் விகிதசமமும் 415
ஆயின், அ>=<இ என்பனவற்றிற்கு ஏற்ப
அ__) அ + க இ*இ+ க" இவற்றிலிருந்து பின்வரும் உண்மை பெறப்படும்: ஒரு விகிதத்தின் உறுப்புக்களுக்கு ஒரே கணியத்தைக் கூட்டினுல், அவ்விகிதம் பெருஞ் சமனிலியாயின் குறைதலுறும், சிறு சமனிலி யாயின் கூடுதலுறும்.
இவ்வுண்மையை எடுத்துக்காட்டுக்களால் விளக்குவோம்: 4 : 3 என்னும் விகிதத்தின் ஒவ்வோர் உறுப்பிற்கும் 3 ஐக் கூட்டினு ற் பெறும் புதுவிகிதம் 7 6. இது 4 3 என் பதிலுஞ் சிறிதாதல் காண்க. 3 4 என்னும் விகிதத் தின் ஒவ்வோர் உறுப்பிற்கும் 4 ஐக் கூட்டினற் பெறும் புதுவிகிதம் 7 : 8. இது 3 : 4 என்பதிலும் பெரிதாதல் காண்க.
175. அ, இ, க என்பன நேர்க் கணியங்களாயிருக்க, க என்பது அ, இ என்பனவற்றுட் சிறியதிலுஞ் சிறிதாயின்,
அ<->இ என்பனவற்றிற்கு ワあ“露>ー<器三。
- க’ இதனை நிறுவுவோம் : அ அ - க அ(இ- க) - இ(அ- க)
இ இ - க இ(இ- க)
_க(அ- இ) இ(இ- க) க(அ- இ)
என்பது எதிராகவோ, பூச்சியமாகவோ,
இ(இ-க) நேராகவோ இருத்தலுக்கு ஏற்ப 盖> <盖三、
-- ፊ95
ஆயின், அ<=>இ என்பனவற்றிற்கு ஏற்ப,
- [9 م سے لاطینی 一三>=<~云一。 இ இ- க
இவற்றிலிருந்து பின்வரும் உண்மை பெறப்படும் :

Page 103
416 மானுக்கரட்சரகணிதம்
ஒரு விகிதத்தின் உறுப்புக்களிலிருந்து அவற்றிலுஞ் சிறிய ஒரு கணியத்தைக் கழித்தால், அவ்விகிதம் பெருஞ் சமனிலியாயின் கூடுதலுறும், சிறு சமனிலியாயின் குறைதலுறும்.
இவ்வுண்மையை எடுத்துக்காட்டுக்களால் விளக்குவோம்:
7 : 6 என்னும் விகிதத்தின் ஒவ்வோர் உறுப்பிலு மிருந்து 3 ஐக் கழிக்க வரும் புது விகிதம் 4 : 3. இது 7 : 6 என்பதிலும் பெரிதாதல் காண்க.
5 : 8 என்னும் விகிதத்தின் ஒவ்வோர் உறுப்பிலு மிருந்து 4 ஐக் கழிக்க வரும் புது விகிதம் 1 : 4. இது 5 8 என்பதிலுஞ் சிறிதாதல் காண்க. உ-ம்.
1 . 3 : 4, 5 9 என்றும் விகிதங்களை ஒப்பிடுக.
3 5 27- 20 7
4 9 6
7 36 என்பது ஒரு நேர்க்கணியம் ; 3, 5 ・z>5・
3 : 4) 5: 9
2. 2 : 3, 4 : 5, 6 : 8 என்னும் விகிதங்களைக் கூட்டுப் படுத்துக.
வேண்டிய கூட்டுவிகிதம் =2 x 4 x 6 = 3 x 5 x 8
=2 : 5. உ-ம்.
3. 2 : 3 இன் இருமடிவிகிதத்தையும் 3 : 4 இன் மும்மடிவிகிதத்தையும் 16: 25 இன் கீழிருமடிவிகிதத்தை யுங் கூட்டுப்படுத்துக.
2 : 3 இன் இருமடி விகிதம் 4 : 9; 3 : 4 இன் மும்மடி விகிதம் 27 64; 16 : 25 இன் கீழிருமடி விகிதம் 4 : 5. .. வேண்டிய கூட்டு விகிதம் 4 x 27 x 4 : 9 x 64x 5
-- 3 : 20 .

விகிதமும் விகிதசமமும் 4 7
உ-ம்.
4. 3 க? - 7 க்ந + 2 ந?-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிலிருந்து
என்னும் விகிதத்தைக் காண்க.
3 க? - 7 கந + 2 ந2=0. இருபக்கங்களையும் ந? என்பதால் வகுக் க.
... () - (): 2-0. ... (; – )(-2)=0.
= அல்லது 2.
உ-ம்.
5. இரு மாணுக்கருடைய வயது விகிதம் 6 ! 7. ஆறு ஆண்டில் அவர்களுடைய வயது விகிதம் 9 10 ஆகும். அவர்களுடைய வயதுகளைக் காண்க.
அம்மாணக்கருடய  ைவயது முறையே 6க, 7க ஆகுக. 6 ஆண்டில் அவர்களுடைய வயது விகிதம் (6 க + )ே
(7 க + 6) ஆகும்.
'. கணக்கின் படி, 6 க + 6_9
7 க + 6 10 .. 9(7 க + 6) = 10(6 க + 6).
* 3 க- 6.
.. க = 2.
*, 6 அக உ12; 7 க = 14,
.". அவர்களுடைய வயது 12, 14 என்பன.
பயிற்சி 26 (அ) 1. பின்வரும் விகிதங்களை ஒப்பிடுக :
(1) 5: 6, 9 : 10 ; (2) l l ; 12, 8 : 9 ;
(3) 12 : 13, 15 : 16.

Page 104
41 8 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
2. மேல் வரும் விகிதச்சோடிகள் ஒவ்வொன்றிலும் பெரியதைக் காண்க.
(1) 6 : 7, 15 : 1 7 ; (2 4 : 7, 6 : 13;
(3) 9 : 7, 81 : 64.
3. 4 : 5 இன் இருமடி விகிதத்தை 5 : 32 என்னும் விகிதத்தோடு கூட்டுப்படுத்து க.
4. 12 : 11 என்னும் விகிதத்தையும் 2 : 3 இன் மும்மடிவிகிதத்தையும் 81 16 இன் கீழிருமடிவிகிதத்தை யுங் கூட்டுப்படுத்த வரும் விகிதத்தைக் காண்க.
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து க ந என்னும் விகி தத்தைக் காண்க :
5. 5(3 க - 2 ந) =4(2 க + ந).
6. 6 க?- 19 கந + 10ந2=0.
4க - 5 ந 5 க - 9ந 一万一ー一エー
8 3 அக + இந_இ
3 அக - இந அ’
க ந =2 : 3 எனின், பின்வருவனவற்றின் பெறுமா னங்களைக் காண்க :
7.
9. 2త-త్ 3 க + ந
2 - 02 *** ר"פ - 10
கந 11 2க?-3 கந + 3 ந? கந vo க?-2கந + 3 ந? l2. ے ---------کس۔ سےfک
க2 + 2 கந + 3 ந?
13. அ?- க? : அ + க? என்னும் விகிதம் அ - க : அ + க இலும் பெரிதெனக்காட்டுக.
14. அ + இ8 : அ + இ?> அ + இ? : அ + இ என நிறுவுக.
15. ம> <வ இற்கு ஏற்ப மஅ வஇ> <அ : இ
எனக் காட்டுக.

விகிதமும் விகிதசமமும் 419
16. இரண்டு எண்கள் 3 8 என்னும் விகிதத்தில் உள்ளன. ஒவ்வொன்றிற்கும் 6 ஐக் கூட்ட, அவை 1 : 2 என்னும் விகிதத்தில் இருக்கும். அவ்வெண்களைக் காண்க.
17. 9 11 என்னும் விகிதத்தைப் பெறுதற்கு 21:29 என்னும் விகிதத்தின் உறுப்புக்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் எவ் வெண்ணைக் கூட்டல் வேண்டும் ?
18. இரு முக்கோணங்களினுடைய அடிகள் 2 : 3 என் னும் விகிதத்தில் உள்ளன. அவற்றினுடைய உயரங்கள் 3 : 4 என்னும் விகிதத்தில் உள்ளன. அவற்றினுடைய பரப்பளவுகளின் விகிதத்தைக் காண்க.
176. பொதுவளவில்லாக் கணியங்கள் : இரு முழுவெண்களின் விகிதமாக உணர்த்தப்படாத விகிதமுள்ள இரு கணியங்கள் பொதுவளவில்லாதன எனப்படும் ; அவ்வாறு உணர்த்தப் படும் விகிதமுள்ள இரு கணியங்கள் பொதுவளவுள்ளன எனப்படும்.
V2, V3 என்பன இரு முழுவெண்களின் விகிதமாக உணர்த்தப்படாத விகிதமுள்ளனவாதலாற் பொதுவள வில்லாதனவாதலறிக.
ங்கள் : *=*-=ே 177. சமவிகிதங்கள் : இ எ - எனின், இவ்
ஒ &?
பஅ?+ மஉ?+ வஒ?+ 8 p. );
விகிதங்கள்ஒவ்வொன்றும்
பஇ?+ மஎ?+ வ ந
ஐ' + .
என்பதற்குச் சமன்.
இதனை நிறுவுவோம் :
=== ・ ・ ・ ニ 写F ご劉@55・
எனின், அ-இச, உ-எச, ஒ=ஐச . .
1. As பஅ?+ மஉ?+ வஒ?+ O 8 ந பஇ"+ மஎ?+ வஐ"+ 48

Page 105
மானுக்கரட்சரகணிதம்
420
— பஇ"ச"+ மஎ"ச"+ வஐ"ச"+ \ந பஇ?+ மஎ?+ வஐ"+ . . .
l +"பேஇ"+மஎ?+ வஐ تسمية
(பஇ?+ மஎ?+ வஐ"+ . . .) (*),
二乐
_34_-_ஒ_ இ எ ஐ ப= ம - வ - . . . என்றும், ந= 1 என்றுங் கொண்
இங்கு, டால், பின்வருவதைப் பெறலாம்
அ உ ஒ * 2 =---C = . . . எனின், வ் விகி கங்கள் ஒவ்வொன் m ம் இ எ ஐ இ 占 ஒ JO!
அ + உ + ஒ+ . . . இ + எ + ஐ + . . . எனபதறகுச சமன. இதனைப் பின்வருமாறு சொல் பற்றிக் கூறலாம் ஒரு தொகை பின்னங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமஞயின், ஒவ்வொரு பின்னமுந் தொகுதிகளின் கூட்டுத் தொகையைப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்க வருவதற்குச் சமன். இங்கு வழங்கிய முறை ச முறை எனப்படும்.
அ உ ஒ KO s 178. 3, - , * , , , என்பன ே ப்புக்களைக் கொண்ட
இ’ எ’ ஐ நருறுபட சமனில் விகிதங்களாயின்: . என்னும் விகிதம் இவ்விகிதங்களுக்குட் பெரியதற்குஞ் சிறியதற்கும் இடைப் பட்ட பெறுமானமுடையதாகும்.
இதனை நிறுவுவோம்.
என்பதே தந்த விகிதங்களுட் பெரியதாகுக. அது
இ
ச இற்குச் சமனெணக் கொள்க.

விகிதமும் விகிதசமமும் 42
ལྕི་
. . . . ,z,2܊ ,z=
GT 岛
. அ=இச, உ<எச, ஒ<ஐச, .
அ + உ + ஒ + . . . இச+ எச + ஐச + .
இ+ எ+ 2 + . . . * இ+ எ + ஐ + . . . < F.
இனி, 출 என்பதே தந்த விகிதங்களுட் சிறியதாகுக. அது த இற்குச் சமனெனக் கொள்க.
ஆ ஒ "。プー > 写。ーニ g 。一ーー s s
இ7 占 g 凸 >త్
‘. அ>இத, உ= எத, ஒ) ஐத, .
. - > இத + எத + ஐத + . . .
இ + எ + ஐ + . . . இ+ எ + ஐ + . . . > 5・
அ + உ + ஒ+ .
++... என்பது தந்த விகிதங்களுள்ளே பெரியதற்குஞ் சிறியதற்கும் இடைப்பட்ட பெறுமான (up 60 L - it gil.
179. அக + இந+ உய=0 ・・ ・・ ・・ ・・ ・・ (H)。 அடிக+ இந+ உ2ய=0 . . . . . . . . . . (2). இவற்றிலிருந்து க ந | ய என்னும் விகிதங்களைக் காணல்.
தந்த இரு சமன்பாடுகளையும் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
அக + இந= - உய . . . . . . . . . . . . )3( و அடிக+ இந= - உ2ய . . . . . . . . . . . . ( 4 ) ۰ (3) ஐ இ ஆலும் (4) ஐ இ ஆலும் பெருக்குக. .. அஇ2க + இ இ2ந= - இ2உய . . . . . . . . (5), அ2இக + இ இந= - இ உதய a O (6).
(6) ஐ (5) இலிருந்து கழிக்க.
. க(அ1இ2- அ2இ)-(இஉ2- இ2உ1)ய.

Page 106
422 மாணக்கரட்சரகணிதம்
t க_இ உ2- இ2உ1
ய அ1இ2- அ2இ’
1|[9 29 ح - b 21<9N2] அதுபோல, ==
学ーー ந - YA g, وده -- gം ഉ", ഉ- ഷ - உ2அ அ இ2- அ2இட் .(9/2ے 2 ہD --9/9ے 21 ) : ( 1-طے ہو{ھی -- 1222 (قوی) سم=B5 : [5 : tLJ .".
(அ1இ2- அ2இ). இப்பிரிவிலுள்ள சமன்பாடுகளில் ய=1 எனப் பிரதியிட, அ, க + இந+உ=0, அடிக+ இஉந+ உ2= என்னுஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். இவற்றினுடைய தீர்வுகள் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளாற் பெறப்படும் :
s - ந I இஉ2- இ2உ உ1அ2- உ2அ அ இ2- அ2இட் மேற்கூறிய உண்மைகளைப் பயன்படுத்தும் முறை பின் வரும் உதாரணங்களால் அறியப்படும் :
g-f).
(1) 器一蒂一影 எனின், இவ்விகிதங்கள் ஒவ்வொன்றும்
அஉ? - 3 உஒ? - 4 அஉஒ o 3 / (萄 என்பதறகுச சம «V னென நிறுவுக.
----- ”。<°= ச, உ= எச, ஒ=ஐச.
எனின், தந்த கோவை
--- 3 / 2இஎச?- 3 எஐ°ச - 4 இஎஒச8 / 2இஎ2 - 3 எஜ2-4இஎஒ
)2இஎ?-3 எஐ?-4 இஎஒ( 3:وى )
=/ 2இஎ-3 என இஎடு

விகிதமும் விகிதசமமும் 423
-v4
-ை
གང་།།
óታ።
அ_உ_ இ எT
உ-ம்.
2. அ + இ + உ என்பது 0 ஆகா தெனக் கொண்டு
*இ=இ**= 3 எனின், இவ்விகிதங்கள் இ+ உந உ + அந அ + இந
இற்குச் சமனென நிறுவுக.
இவ்விகிதங்கள் ஒவ்வொன்றும் த இற்குச் சமனுகுக.
தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை பகுதிகளின் கூட்டுத் தொகை அ + இ + உ + (அ + இ + உ) க "அ + இ + உ + (அ + இ + உ)ந
(அ + இ + உ)(1 + க) (அ + இ + உ)(1 + ந) 1 + க
அ + இ + உ என்பது 0 ஆகாதெனின்.
ஒவ்வொன்றும்
・"・ 写=
பயிற்சி 26 (ஆ)
al at
எனின், ஒவ்வொரு விகிதமும் பின்வரு
வனவற்றிற்குச் சமனென நிறுவுக -
(i) 3 அ - 4 உ + 2ஒ (ii) / (器三崇器)
3இ - 4 எ + 2 ஐ V VA2 go — 3 672 + ??
2. -- 67 gohair,
க?-தம + ம? கத O ---------- شست:س----س---س"-----مره [1 () - என நிறுவுக;
9 க2 - 4 கதம + ம2ய_கம
9ந?ட 4நபம + ய8 Tநய
(ii)
என்றும் நிறுவுக.

Page 107
424 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
அ உ ஒ o 3. 2=C= A எனின், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக
இ எ ஐ
2அ8 - 3 உ3 + 4ஒ\?_ (4அ2 + 3 உ?-2ஒ? 3. (i) (霹三盏)= 4@2 + 3 GT2 - 2@* (ii) v( *_அ-உ + ஒ இஎ - எ ஐ + ஐஇ/ இ - எ + ஐ 4 等=等一号 எனின், V4 க?+ ந? - ய2=ந என நிறுவுக.
க ந க+ந+ ய பக + மந+ வய ܀܀-- -ܚ- -----܀ - ܚ--ܚ-ܚܚ-----ܝ-- ܒܚܚܘ- ܚܘܝܚ- --۔ سے۔ سکf ==حہ . 5 அ இ உ எனின், அ + இ + உ பஅ + மஇ + வஉ
என நிறுவுக. 6. --- சி-R=-ஃ-- எனின், இவ்
இ+உ-அTஉ +அ-இ அ+இ- உ விகிதங்கள் ஒவ்வொன்றும் 1 இற்குச் சமனென நிறுவுக.
ந vn L அ-2இ + உ இ - 2உ + அ உ - 2 அ + இ க+ந+ ய= 0 என நிறுவுக.
எனின்,
இய-உந_உக அய_அந - இக க_ந_ய அ இ <9 & °一 என நிறுவுக.
ந
== == r^2 எ னின், பக + மந LL LLL LLLL SS aLLS S SLLLLSc S LLLL L AS S SLLLLGLLL LLLL SS LLLL
+ வய= 0 என்றும் ம க + வந+ பய= 0 என்றும் நிறுவுக. −
இக - அ_உக - அந_ந+ 1 ' உ - அந இ - அக க+ந - பூச்சியமாகாதபோது இப்பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றும் க இற்குச் சமனென நிறுவுக.
க ந ய
C=C=- எனின்,
அ இ உ க* ந8 ய_(க+ ந+ ய)? .67r GoolT நிறுவுக * رده + a + او) 2- به "2"2 رو
10. எனின், இ + உ என்பது
ll.

விகிதமும் விகிதசமமும் 425
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து க: ந: ய என்னும் விகிதங்களைக் காண்க.
12. க - 2ந + ய=0,
4 க + ந - 2ய -0. 13. க + 2ந - 2ய=0,
3க + 2ந - 3ய -0. 14. 2Ց + 15 - Այ = 0, க - 2ந+ ய= 0. 15. 5க - 5ந+ ய=0,
3 க + 4ந - 5ய -0.
1 6 : 一°+@___@土*一一 உ+ ஆ எனின்,
(D-- gy) 4 " ردی -- (g)3 || ((9ی -- 9yے )2 9 அ + 10 இ + 7 உ-0 என நிறுவுக. 180. விகிதசமம்: இரண்டு விகிதங்கள் ஒன்றுக் கொன்று சம
னென்னுங் கூற்று விகிதசமம் எனப்படும் ; ஒப்பிடப்பட்ட நான்கு கணியங்களும் அவ்விகித சமத்தின் உறுப்புக்கள் எனப்படும்; முதலுறுப்பும் ஈற்றுறுப்பும் முனைகள் என்றும், இரண்டாமுறுப்பும் மூன்றமுறுப்பும் இடைகள் என்றுங் கூறப் படும்.
2.
στ எனின், அ, இ, உ, எ என்பன விகிதசமம். Go
.. அ இ=உ : எ எனின், அ, இ, உ, எ என்பன விகித சமம்.
அ : இ-உ : எ என்னும் விகிதசமம் அ இ உ எ என எழுதப்படுவதும் உண்டு. இவ்விகிதசமம் அ இற்கு இ போல உ இற்கு எ எனச் சொல்பற்றி உணர்த்தப்படும்.
இங்கு எ என்பது அ, இ, உ என்பனவற்றிற்கு நான்காம் விகிதசமன் என்று கூறப்படும்.
\9 Φ.
181. இ எ எனின், அஎ=இஉ. இதனை நிறுவுவோம்: அ_உ
இ எ

Page 108
426 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இரு பக்கங்களையும் இஎ என்பதாற் பெருக்குக.
. அஎ=இஉ.
இதனைச் சொல் பற்றிப் பின்வருமாறு உணர்த்தலாம்:
முனைகளின் பெருக்கம் இடைகளின் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
182. ஒரு தொகை கணியங்களுள்ளே முதலாவதற்கு இரண்டாவதுபோல், இரண்டாவதற்கு மூன்ரு வதும், மூன்ரு வதற்கு நான்காவதும், நான்காவதற்கு ஐந்தாவதும் ,. இருந்தால் அக்கணியங்கள் தொடர்விகிதசமத்தில் உள்ளன எனப்படும்.
-. எனின், அ, இ, உ, எ, ஒ .
என்பன தொடர் விகிதசமத்தில் உள்ளன எனப்படும்.
183. அ, இ, உ என்னும் மூன்றுகணியங்கள் தொடர்விகித சமத்தில் இருந்தால்,
அ
இ உ’ எனின், அஉ= இ?.
.. முனைகளின் பெருக்கம் இடையின் வர்க்கத்திற்குச் சமன். இங்கு, இ என்பது அ, உ என்பனவற்றிற்கு இடைவிகிதசமன்
எனப்படும்.
உ என்பது அ, இ என்பனவற்றிற்கு மூன்றம் விகிதசமன் எனப்படும்;
184. ஒருவகை விகிதசமத்திலுள்ள நான்கு கணியங்களிலி ருந்து பல்வேறுவகை விகித சமங்கள் பெறலாம். இவற்றுட் பயன்மிக்கன பின்வருமாறு:
1. அ இ=உ : எ எனின், இ அ= எ:உ.
அ_உ . 望_7/兰 இ எ ... / E = 1 / τ.
----
a T
2D --

விகிதமும் விகிதசமமும் 427
11. அ:இ= உ: எ எனின், அ:உ=இ: எ. ஒன்றுவிட்ட விகிதசமம்
அ_உ இ எ’
‘. அஎ=இஉ. இரு பக்கங்களையும் உஎ ஆல் வகுக்க.
IV. அ:இ= உ : எ எனின், அ- இ . இ=உ - எ : எ. கழித்தல்
விகிதசமம். அ_உ இ எ’ ਟੰ ’ இ"* எ l 9 - 3 - o --~~~~~~~_ (о Г .. அ - இ . இ= உ + எ : எ. V. அ இ= உ | எ எனின், அ + இ : அ - இ= உ+ எ ! உ - எ. கூட்டல் கழித்தல் விகிதசமங்கள்
அ_ இ
GT (கூட்டல் விகித சமத்தால்)

Page 109
428 மானுக்கரட்சரகணிதம்
՞. తిర్థాa_ఒజ్జ, (கழித்தல் விகித சமத்தால்) As அ + இ அ- இ_உ+ எ உ - எ
g) | 9) @丁 ଜt அ + இ_உ + எ
185. இப்பிரிவில், விகிதத்திலும் விகித சமத்திலுமுள்ள கணக்குக்களை ச முறையாலும் மேற்பெற்ற முடிபுகளாலுந் தீர்க்கும் முறைகள் காட்டப்படும்.
உ-ம்.
1. 2அ?இ8, 6 அ?இ4, 3 அஇே8 என்பனவற்றிற்கு நான்காம் விகித சமனைக் காண்க.
வேண்டிய நான்காம் விகித சமன் க ஆகுக. .. 2அ?இ8: 6அஇே4=3அஇே8:க. .. 2அ?இ8க=6அஇே4 x 3 அ8இ8.
6 அ*இ4 x 3 அ8இல் " " 3@2 و 2 " " " = =9 அஇ.ே .. வேண்டிய நான்காம் விகித சமன் 9 அஇே.ே
உ-ம்.
2. 4(அ- இ)?, 8(அ? - இ?) என்பனவற்றிற்கு மூன்ரும் விகித சமனைக் காண்க.
வேண்டிய மூன்ரும் விகித சமன் க ஆகுக. .. 4(அ-இ)?: 8(அ? - இ?)= 8(அ? - இ?): க. .. 4 க(அ-இ)2=64(அ?-இ?)?. 2(*(gی -- 9/2 )64__
4(அ-இ)? = 16(அ + இ)?. உ- ம் .
3. 9(அ- இ)?, 25(அ + இ)? என்பனவற்றிற்கு இடை விகித சமனைக் காண்க.
வேண்டிய இடைவிகித சமன் க ஆகுக'.

விகிதமும் விகிதசமமும் 429
.....9( 9ー@)*: 5=5:25("s+g)*。
. க2= 9 x 25(அ- இ)*(அ + இ).
. க = + 3 x 5 x (அ-இ)(அ + இ)
.(?(9 -- 9y ) 15 + = سی=
ad-lb.
4. 2க - 3 க + 2 = 3 க - 4 : 3 க + 2.
இதனைத் தீர்க்க. .. (2க - 3)(3 க + 2)-(க +2)(3க - 4); . 6 க2 - 5 க - 6-3 க? + 2 க - 8
* 3 க2 - 7 க + 2 = 0, ". (க - 2)(3 க - 1) = 0; .. க = 2, அல்லது 3.
உ-ம்.
5. 3க - 1 5ந +1=ந + 2 : 2 க + 3 ந + 3- 5 16.
இவற்றைத் தீர்க்க. 3 க - 1 5 55-116 *. 48 க - 16 - 25 ந + 5 . *, 48 க - 25 ந= 21 «» «» 8 Y - ... (I).
+ 2 ਗੇਗੀ , = .. 10 க + 15ந + 15 = 16.ந + 32. به ( ن ) . . . . . . . . . . 17 - ب g - B 10 ... (2) ஐ 25 ஆற் பெருக்குக. .. 250 க - 25ந= 425 (3) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க, 202க=404;
.. க = 2 \ க= 2 என (2) இற் பிரதியிட, ந - 3'
(3)
உ- ம்.
6. அ இ= உ : எ எனின்,
3 அ + 2இ 4அ - 5இ=3உ + 2எ 4உ - 5 எ என
நிறுவுக.

Page 110
43份
உ-ம்.
7.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
2TT"
نے 3__ 2இT2 எ 3அ + 2இ_3உ + 2 எ 263) , 2 στ
4அ 4 உ.
@" 露一落
4அ - 5இ_4 உ - 5 எ
0. 5இ ଠି ତt
3அ + 2இ 4.அ - 5இ_3 உ + 2எ_4உ - 5 at
2இ ' 5இ 2எ 56F
3அ + 2 இ5 3 உ + 2எ 5
24 - 5 at 2'
* 4அ- 5இ 4உ - 5 எ '. 3அ + 2 இ: 4அ - 5இ=4உ + 2எ 4 உ - 5 எ.
அ:இ= உ.எ எனின்,
அ2 - அஇ + இ2 உ2 - உஎ + எ2= அ? - 5 இ?! உ*- 5 எ என நிறுவுக
9 D. இ எ”* <敦@ 5,
எனின், அ-இச; உ= எச.
அ?- அஇ+ இ இச*-இச+இ?
உ2 - உஎ + எ2 எ2 ச2 - எ2ச + எ2
g'(g - F + 1) ر 1 + gr -- 2 =ی ) 2 or ' ' '
இ?

விகிதமும் விகிதசம மும் 43
இனி அ?-5இ_இச2 - 5 இ?
a 2-5 ar2 at 2g2-5 at
ر 5 - * وه )*{g_ GT (af2-5) _இ
στ2
அ?- அஇ+ இ_அ’-5இ*
"2 Gr 5 - 2 دي " "r + Cr2ه - ه - 2 دي " .. அ?-அஇ + இ?: உ?- உஎ + எ?-அ?-5இ2: o -- 5 قهr 2
9- ).
_V(2அ+ 3இ)+V(2அ-3இ) V(2அ + 3இ) - V(2அ - 3இ)
3இக*- 4 அக + 3இ= 0 என நிறுவுக. 135 V(2s9I + 39)) + V(2s9I — 39)) 1 V(2அ + 3இ) - V(2 அ- 3இ) க + 1 W/(2அ + 3இ) (கூட்டல் கழித்தல் விகித ' க - 1 V(2அ- 3 இ) சமங்களால்.)
க? + 2 க + 1 2அ + 3இ
*(g 3 - او 2 1 + ;وی 2 - دوی ؟
க2 + 1 2அ
24, 8 മൃ' .. 3இக* + 3இ= 4 அக. .. 3 இக? - 4 அக + 3இ= 0.
எனின்,
(கூட்டல் கழித்தல் விகித சமங்களால்)
go-LD.
9. ஒரு பால் வியாபாரி பாலையும் நீரையும் ஒரு பாத்தி ரத்தில் 2 : 3 என்னும் விகிதத்திலும் வேருெரு பாத்திரத் தில் 415 என்னும் விகிதத்திலுங் கலந்து வைத்திருக்கிருன். 3 - 4 என்னும் விகிதமுள்ள கலவையை ஆக்குதற்கு அப்பாத் திரங்களிலிருந்து என்ன விகிதத்திற் கலவைகள் எடுத்தல் வேண்டும் ?
முதற்பாத்திரத்திலிருந்து க கலனும், இரண்டாவதிலி ருந்து ந கலனும் எடுக்கப்படுக.

Page 111
432 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
.. முதற் பாத்திரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை
, 3க s கலனபாலும கலன நீருமாகும்.
.. இரண்டாவதிலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை ಶ್ಯ கலன்
5 பாலும் கலன் நீருமாகும்.
'. கணக்கின்படி, +デ=3 4.
29, 4 3க 5 .. (苦-寄)→ 苦+等) ". 4(18 க + 20ந)=3 (27 க + 25 ந).
", 72 க + 80 ந - 81 க + 75ந. .. 9 க = 5 ந.
க 5
·高丁西” ". வேண்டிய விகிதம் 5 9.
பயிற்சி 26 (இ)
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளில் க இன் பெறுமானத்தைக் காண்க -
1. 4 : =l 2 : 5.
2。7 :&=占:卫2。
3. அஇே2 : க =அ?இ9 : அ2இ4.
4. (அ-இ)? : க = க : (அ + இ)?. கீழ்வருவனவற்றிற்கு நான்காம் விகிதசமனைக் காண்க --
5. அஇே?, இ?உ°, உஅ?.
6. அ? - இ?, (அ-இ)?, (அ + இ)?. மேல் வருவனவற்றிற்கு மூன்ரும் விகித சமனைக் காண்க :-
7. 3 (l u — LD)6, 6 (l u? — LD*)8.
8. (அ + இ)?, அ + இ?.

விகிதமும் விகிதசமமும் 433
கீழ் வருவனவற்றிற்கு இடைவிகித சமனைக் காண்க -
9. (2 அ + இ)?, (2அ - இ)?. 1- و 1 -- ش9yی . 10 மேல் வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
11. க2 - 3 க + 5 = 3 க - 5. க? - 2 க + 3 = 2 க - 3. 12. க? - 2 க + 3 க2 + 2 க - 3 = க? - 3 க + 2 : க2 + 3 க - 2. 13. 3க - 1 : 2ந + 3 =5ந + 3 = க + ந+ 1 - 8 : 5. 14. 2 க - 1 : 3 ந + 1 = 3 க + 1 : 5 க - 2 ந+ 3 = 5 ; 7. அ, இ, உ என்பன மூன்று விகித சமன்களாயின், பின் வரு வனவற்றை நிறுவுக:
15. 2.அ + 3 இ 2இ + 3 உ= 3 அ - 4இ 3 இ - 4 உ. 16. அஇ + இஉ : அ + இ =இ* அ?. 17. அ(அ -இ) இ(அ + இ) - இ(இ - உ) : ڈیک) ہط( + Dہ(. 18. அ அ? - இ?-இ இ? - உ?. 19. அ, இ, உ, எ என்பன தொடர் விகித சமத்தில் இருந்தால், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக --
(i) அ + இ + உ8 இ9 + உ3+ எ8.அ - எ. (ii) அ2 + உ? இ(அ + உ) - இ?+ எ? : உ(இ + எ). அ, இ, உ, எ என்பன விகித சமத்தில் இருந்தால், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
2. o-の-a--ッ-“="#*
(அ + உ)(அ- உ*)_(இ- எ)(இ?- எ) (அ + உ)(அ? + உ?) (இ + எ)(இ2+ எ?) 23. இ(ேஅ2+ உ2)(உ2+ எ2)=உ?(அ + இ?)(இ?+ உ?). இ? ഉ? 24. プーデ一本辞ケオエーエ=プーあーエフーエーエ、。
(GT2 -- - )(2 - ع -- ?yی ) (g))(3)2 - 6T - ۶ و ) 25. 4, 5, 18, 21 என்னும் எண்கள் ஒவ்வொன்றுக்கும் எவ்வெண்ணைக் கூட்டினல், அக் கூட்டுத் தொகைகள் விகித சமத்தில் இருக்கும் ?
26. க + இக + இ2 : ந2+ அந+ அ2=க2- இக + இ? ந? அந+ அ? எனின், க : அ = இ - ந, அல்லது க : இ=ந - அ என நிறுவுக.
3951-R,

Page 112
434 மாணக்கரட்சரகணிதம்
s s ந MWWWWW அ - இ + உ இ - உ + அ உ - அ + இ அ இ
எனின்,
IB
எனின், க + ந+ ய என்பது பூச்சிய மன்றெனக் கொண்டு
I தந்த ஒவ்வொரு விகிதமும் و{ + g( + به இற்குச் சமனெனக் காட்டுக.
க+ ந ந+ ய ய+ க னின் க+ ந + ய 29. 2அ - இ 2 இ - உ 2உ - அ ତT ତ୪t!!! ଈ ୪t, அ + இ + உ அக+ இந+ உய R 92ي + g(2 + 2_دى என நிறுவுக.
30. 40 என்னும் எண்ணை இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கு மிடத்து, அக்கூறுகளின் பெருக்கத்திற்கு அவற்றின் வர்க் கங்களின் கூட்டுத்தொகை 6 13 என்னும் விகிதமாயின், அக்கூறுகள் யாவை ?
31. 14 23 என்னும் விகிதத்தினுடைய உறுப்புக்களி லிருந்து என்ன எண்ணை எடுத்தால் வரும் விகிதம் 1 : 2 இற்குச் சமனுகும் ?
32. இரண்டு பாத்திரங்களிற் பாலும் நீருங் கலந்து வைக்கப் பட்டுள்ளன. ஒன்றின் கலவை விகிதம் 3 ; 4, மற்றையதன் விகிதம் 5 : 6, 4 : 5 என்னும் விகிதமுள்ள கலவையை ஆக்குதற்கு அப்பாத்திரங்களிலிருந்து என்ன விகிதத்திற் கலவைகள் எடுத்தல் வேண்டும் ?

அத்தியாயம் 27
மாறல்
186. நேராய் மாறுதல் : என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்கு மாறு க, ந என்னும் இருமாறிகள் மாறினல், க இற்கு விகித சமம் ந என்ருதல் க ஒடு நேராய் மாறுவது ந என்ருதல் கூறப் படும்.
க ஒடு மாறுவது ந என்று கூறினும் நேராய் மாறு வ தென்றே கருதப்படும்.
க ஒடு மாறுவது ந என்பதை க 0Cந என்பதாற் குறீயீடு பற்றி உணர்த்துதல் வழக்கம்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாயின், இதனை சக-ந, அல்லது ந= சக என்னுஞ் சமன்பாட்டாலும் உணர்த்தலாம்.
ஆயின், = r. இங்கு, க, ந என்பன மாறிகள் எனப்படும் ; க என்பது சாராமாறி என்றும் ந என்பது சார்ந்தமாறி என்றும், ச என்பது மாறன் மாறிலி என்றுங் கூறப்படும்.
க, ந என்பன ஈர மயங்களிற் பெறும் பெறுமானங்கள் (க, ]51 و (ر (க, ந2) என்பனவாயின்,
க1 க3 திடநி2
க ტ52
க_ந1
கி2 நி2
187. நேர் மாறய் மாறுதல் : கந என்பது ஒரு மாறிலியா யிருக்குமாறு க, ந என்னும் இருமாறிகள் மாறினல், க இன் தலைகீழொடு மாறுவது ந என்ருதல் க ஒடு நேர் மாருய் மாறுவது ந என்ருதல் கூறப்படும்.

Page 113
436 மானுக்கரட்சரகணிதம்
க ஒடு நேர்மாரு ய் மாறுவது ந என்பதை t CAC ந என் பதாற் குறியீடுபற்றி உணர்த்துவது வழக்கம்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாயின், இதனை 霹一町 அல்லது 应一兼 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலும் உணர்த்தலாம்.
ஆயின், கந=ச.
க, ந என்பன ஈர மயங்களிற் பெறும் பெறுமானங்கள் (க, ந), (க2, ந2) என்பனவாயின்.
க) ந= ச க2 ந2= ச.
'. க நா க2 ந2.
க_ந2 d52 (51
188. க, ந என்பனவற்றினுடைய தொடர்புகள் மேற் கூறிய வகைகளேயன்றி வேறு வகையாகவும் இருக்கலாம்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்க, ந= சக? எனின், ந என்பது க இன் வர்க்கத்தோடு நேராய் மாறுவது எனப் படும்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்க, リー露 எனின், ந என் பது க இன் வர்க்கத்தோடு நேர் மாறய் மாறுவது எனப்படும்.
189. மேற் கூறியனவற்றைப் பயன்படுத்தும் முறைகள் பின்வரும் உதாரணங்களால் அறியப்படும் :-
HB حسحیح توهین
1. க OCந என்றும் க = 8 எனின், ந= 5 என்றுந் தந்தால், க, ந என்பனவற்றைத் தொடுக்குஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச் சமன்பாட்டிலிருந்து க = 12 எனின், ந ஐக் காண்க.

விகிதமும் விகிதசமுமம் 437
35 OC F5. '. ந - சக. இங்கு ச என்பது ஒரு மாறிலி.
க= 8 எனின், ந=5. “。5= g × S. 、一°
8' .. வேண்டிய சமன்பாடு 历=器西·】
5 > விடை. க=12 எனின், ந=x12 = 72. )
9- ).
2. ந என்பது க ஒடு நேர் மாரு ய் மாறுவதென்றும், கா 4 எ னின், ந= 6 என்றுந் தந்தால், க, ந என்பன வற்றைத் தொடுக்குஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச் சமன்பாட்டிலிருந்து ந= 3 எனின், க ஐக் காண்க.
I
言cc应·
·厄=言· க் - 4 எனின், ந= 6.
gF 6=五・
.”,于=24,
.. வேண்டிய சமன்பாடு 第一学。 அல்லது கந= 24.
நா 3 எனின், 3 க - 24
*, க - 8. உ-ம்.
3. ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு அதன் ஆரையொடு மாறுகின்றது; அதன் ஆரை 1 அடி 9 அங். ஆயிருக்கும் பொழுது அதன் பரப்பளவு 9. சதுரவடி. அதன் ஆரை 3 அடி 6 அங். ஆயிருக்கும் பொழுது அதன் பரப்பளவைக் காண்க.
அவ்வட்டத்தின் பரப்பளவு ப சதுரவடி ஆகுக ; அதன் ஆரை அ அடி ஆகுக'.

Page 114
43& மாணுக்கரட்சரகணிதம்
கணக்கின்படி, அ? Cப.
’. பா ச அ?. இங்கு ச என்பது ஒரு மாறிலி. அ= 1 அடி எனின், U=9.? சதுர வடி.
5 32 "s=チ ( 13)
5
= x 4\o. ` 8 7
உ-ம்.
4. க என்பது இரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன். அவ்வெண்களுள் ஒன்று ந? ஒடு நேராயும் மற்றையது ய ஒடு நேர் மாரு யும் மாறுகின்றன.
ந= 2, ய= 1 எனின், க= 12; நா 3, ய= 2 எனின், க- 20. ந= V2, ய= எனின், க இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
l- O o க=சந+எனக கொள்க. இங்கு ச, ப என்பன மாறிலிகள்.
互=2 u」=I graof Gör 5= I2.
L ... 12 = A(2)2 +۰
=> 4 gf -- Li .

மாறல் 439
.*, 4ச + ப- 12 ・・ ・・ (I)・ இனி ந= 3, ய= 2 எனின், க- 20.
.'. 20= یr)3ر* +
. ق+ 9g ==
... l 85F -- L| = 40 * ቋ - Ar 8 a ... (2). (1) ஐ (2) இலிருந்து கழிக்க.
* 4ச- 28,
*. ச= 2.
&r=2 என (1) இற் பிரதியிடுக.
... 4 X 2 - Lisc 1 2.
“。L」=4.
4 . a = 2 bo+.
WM 4 ந= V2, யாழ் எனின், s=2(v2) + i.
=4十&
- 12
பயிற்சி 27 (அ)
1. க ocந என்றும் க-2 எனின், ந= 5 என்றுந் தந்தால், க, ந என்பனவற்றைத் தொடுக் குஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச்சமன்பாட்டிலிருந்து க= 4 எனின், ந ஐக் காண்க .
2. ந என்பது க ஒடு நேர்மாரு ய் மாறுகின்றதென்றும், க= எனின், ந= 20 என்றுந் தந்தால், க, ந என்பன வற்றைத் தொடுக் குஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச் சமன்பாட்டிலிருந்து ந= 3 எனின், க ஐக் காண்க.
3. ச என்பது க? ஒடு நேர்மாரு ய் மாறுகின்றதென்றும், க= 2 எனின், ந= 2 என்றுந் தந்தால், க, ந என்பன வற்றைத் தொடுக்குஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச் சமன்பாட்டிலிருந்து ந= எனின், க ஐக் காண்க.

Page 115
440 மாணக்கரட்சரகணிதம்
4. ப, ம என்பன மாறிலிகளாயிருக்க, ந= பக + ம க-10 எனின், ந=3 : க = 6 எனின், ந=2 : க-8 எனின், ந ஐக் காண்க.
5. ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு அதன் ஆரையின் வர்க் கத்தோடு மாறுகின்றது ; அதன் ஆரை 33 அடியாயிருக்கும் போது அதன் பரப்பளவு 38 சதுர வடி ; அதன் ஆரை 10 அடியாயிருக்கும் போது அதன் பரப்பளவைக் காண்க. 6. 'ஒரு கோளத்தின் கனவளவு அதன் ஆரையின் கனத் தோடு மாறுகின்றது ; அதன் ஆரை 3 அடியாயிருக்கும் போது அதன் கனவளவு 1793 கனவடி ; அதன் ஆரை 7 அடியாயிருக்கும்போது அதன் கனவளவைக் காண்க.
7. ஒரு பொருள் ஒய்விலிருந்து முதல் இ செக்கனில் ப அடி தூரம் விழும் என்று கொள்ள, த என்பது இ? ஒடு மாறுகின்றதெனக் காணப்பட்டது. முதல் 5 செக் கனில், அது விழுந்தூரம் 400 அடியாயின், முதல் இரண்டு செக்கனில் அது விழுந்தூரத்தைக் காண்க.
8. ந= அ + இ க OCஅ; ہV 5 OC இ க-4 எனின், ந=14 க= 9 எனின், ந= 24 , க, ந என்பனவற்றினுடைய தொடர்பைக் காண்க.
9. க என்னும் ஒரு கணியம் வேறு இரு கணியங்களின் கூட்டுத் தொகையோடு மாறுகின்றது ; இவற்றுள் ஒன்று ந* ஒடு நேராயும் மற்றையது ய ஒடு நேர் மாரு யும் மாறு கின்றன ; ந= 4, u=: எனின், க-9 ; ந= 1, נש=# எனின், க= 1 ; க, ந, ய என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள தொடர் பைக் காண்க.
10. ந என்பது க ஒடு நேராய் மாறும் ஒரு கணியத் தையும் க ஒடு நேர் மாரு ய் மாறும் ஒரு கணியத்தையுங் கூட்ட வருங் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன். க-1 எனின், ந=7; க-2 எனின், ந= 8 : க= 3 எனின், ந ஐக் காண்க.
11. க என்பது அ + இ + உ ஒடு மாறுகின்றது , அ என்பது க ஒடும், இ என்பது க? ஒடும், உ என்பது க* ஒடும் மாறுகின்றன; க-1 எனின், ந= 6; க-2 எனின், ந=22;
●ョー I எனின், நா 0 ; ஆயின், ந என்பதை க பற்றித் தருக.

மாறல் 441
12. ஒரு கோளத்தின் கனவளவு அதன் ஆரையின் கனத் தோடு மாறுகின்றது. 6", 8", 10" என்னும் ஆரைகளை யுடைய மூன்று உலோகக் கோளங்களை உருக்கி ஒரு தனிக் கோளமாகச் செய்தால், இதன் ஆரையைக் காண்க.
190. இணைந்த மாறல் : சில அமயங்களில் ஒரு கணிய மானது ஒன்றையொன்று சாராது மாறுகின்ற இரண்டு, அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட கணியங்களைச் சார்ந்து நிற்கும்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாய் இருக்க, க = சநய எனின், க என்பது ந, ய என்பனவற்ருேடு இணைந்து மாறுகின்ற தெனப்படும்.
ச என்பது ஒரு மாறிலியாய் இருக்க, *—笼 எனின், க
என்பது ந ஒடு நேராயும் ய ஒடு நேர்மாறயும் மாறுகின்ற தெனப்படும்.
191. ய என்பது மாரு திருக்க, ந என்பது க ஒடும், க என்பது மாரு திருக்க, ந என்பது ய ஒடும் மாறினல், க, ய என்னும் இரண்டும் மாற ந என்பது கய ஒடு மாறும்.
இதனை நிறுவுவோம் :
க, ந0, ய என்பன முறையே க, ந, ய என்பனவற்றி னுடைய மூன்று ஒத்த பெறுமானங்களாகுக.
ந இன் மாற்றம் ந, ய என்னும் இரண்டின் மாற்றங் களைச் சார்ந்துள்ளது. ஆகவே, ந என்பது தனது ஈற்றுப் பெறுமானமாகிய ந) என்பதை இரண்டு பருவங்களில் அடைகின்ற தெனக் கொள்வோம்.
(1) ய என்பது மாரு திருக்க, க என்பது தனது ஈற்றுப் பெறுமானத்தை அடைய, ந என்பது ந ஆக மாறுகின்றது எனக் கொள்க.
sl . . . . 2__פן ‘’ ந, க0 4 制 ( 1)

Page 116
442 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(11) க என்பது க0 என்னும் பெறுமானத்தை அடைந்து மாரு திருக்க, ய என்பது ய என்னும் பெறுமானத்திற்கு மாற ந என்பது ந இலிருந்து தனது ஈற்றுப் பெறுமான மாகிய ந என்பதற்கு மாறுகின்ற தெனக் கொள்க.
,座_", . . . . . . . . . . . . . . (2)
I50 Ա 10 (1) ஐயும் (2) ஐயும் பெருக்க நாம் பெறுவது
நந_க ய ந ந0 க0 Ա 10
Jნე
&50 Ա 10
'. ந= 95.
0פן
கபடி .. ந என்பது கய ஒடு மாறும் .
என்பது ஒடு மாறிலி.
192. மேற் பிரிவுகளிலுள்ளனவற்றைப் பயன்படுத்தும் முறைகள் பின்வரும் உதாரணங்களால் அறியப்படும் :-
2- D.
1. க என்பது ந, ய என்பனவற்றேடு இணைந்து மாறு கின்றது ; ந=, ய=; எனின், க = 1 ; க, ந, ய என்பன வற்றினுடைய தொடர் பைக் காட்டுஞ் சமன்பாட்டைக் காண்க : அச்சமன்பாட்டிலிருந்து ந= 1, ய= எனின், க இன் பெறுமானத்தை யுங் காண்க.
க என்பது ந, ய என்பனவற்றேடு இணைந்து மாறு கின்றது.
. க = சநய. இங்கு ச என்பது ஒரு மாறிலி. ந=, ய= 4 எனின், க- 1.
.. I= チ×豊×器・
", ச - 6.
.. வேண்டிய சமன்பாடு க= 6நய என்பதே. 互=I、u=墨 Grofair 5=6×I×器=3.

LDTp6v 443
உ-ம். w
2. க என்பது ந ஒடு நேராயும் ய ஒடு நேர் மாரு யும், மாறுகின்றது; ந= 2, ய= 10 எனின், க = 1 ; ந= 6, ய=3 எனின், க இன் பெறுமானம் என்ன ?
க என்பது ந ஒடு நேராயும் ய ஒடு நேர்மாரு யும் மாறுகின்றது.
சந այ .". ந= 2, ய= 10 எனின், க-1.
. . Ց5 இங்கு ச என்பது ஒரு மாறிலி.
g × 2 1=ー五方ー・ *. ச= 5. ", க, ந, ய என்பனவற்றிற்கிடையேயுள்ள தொடர்பு
5 ந . 西=古 என்பதாலே தரப்படும்.
6 ந- 6, ய= 3 எனின், க=
=c I 0.
- D.
3. ஒரு வட்டவுருளையின் கனவளவு அதனுயரம் மாரு திருக்க அதனடியினுடைய ஆரையின் வர்க்கத்தோடும் அதனடி மாரு திருக்க அதன் உயரத்தோடும் மாறுகின்றது. அதன் உயரம் 10 அடியா யும் அதனடியின் ஆரை 7 அடி யாயுமிருக்க, அதன் கனவளவு 1540 கன வடி ; 9 அடி உயரத்தையும் 6 16 கனவடி கனவளவையுங் கொண்ட வட்டவுருளையின் அடியின் ஆரையைக் காண்க.
அவ் வட்டவுருளையின் அடியின் ஆரை அ அடியாயும் உயரம் உ அடியா யும், கனவளவு க கனவடியாயும் இருக்க.
'. க-சஅ?உ. இங்கு ச என்பது ஒரு மாறிலி.
அ= 7 அடியா யும், உ= 10 அடியா யும் இருந்தால் க-1540 கனவ டி.
... 1540 = f(7)?(10).

Page 117
444 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இனி, க = 616 ஆயின், உ= 9.
22 ... 616 = ്x ex 9.
7 كلا 68 - ثيو 22 × 9
196 =-5- அ=
- 3
I 4 அ= - எனபது பொருந்தாது.
14 o ・ "=す என்பதே பொருந்தும்.
.. வேண்டிய வட்டவுருளையினது அடியின் ஆரை 9 - =4辑<94...
பயிற்சி 27 (ஆ)
1. க என்பது ந, ய என்பனவற்றேடு இணைந்து LDT OOI கின்றது ; ந=5, ய= 8 எனின், க-120 ந= 6, ய= 9 எனின், க ஐக் காண்க.
2. க என்பது ந?, Vய என்பனவற்றேடு இணைந்து மாறு கின்றது; ந= 2, யா9 எனின், க = 60 ; ந= 1, ய= 4 எனின், க ஐக் காண்க.
3. க என்பது ந ஒடு நேராயும் ய ஒடு நேர் மாரு யும் மாறுகின்றது ; ந= 8, ய-2 எனின், க = 3 ; யா 6, க= 5 எனின், ந ஐக் காண்க.

மாறல் 445
4. க OC ந எனின், க?-ந? CC கந என நிறுவுக.
5. க - ந cc க + ந எனின், க?+ ந? CC கந என நிறுவுக.
6. க oC ந?-ய2; ந OC இ? ; ய CC Vஇ; இ= 4 எனின், க=15 ; இ= 9 எனின், க= 108 ; இ= 1 எ னின், க ஐக்
},fT Gðð S5 .
7. ஓரிடத்திலிருந்து ஓரிடத்திற்குச் செல்லும் நேரந் தூரத்தோடு நேராயும் வேகத்தோடு நேர் மாரு யும் மாறு கின்றது. இருபுகைவண்டிகள் செல்லுந் தூரங்கள் 4 9 என்னும் விகிதத்திலும் அத் தூரங்களைச் செல்ல எடுக்கும் நேரங்கள் 3 8 என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், அவற் றினுடைய வேகங்களின் விகிதத்தைக் காண்க.
8. 5 கூலிக்காரர் 8 நாள்களில் 120 ரூபா உழைத்தன ராயின், 9 கூலிக்காரர் 3 நாள்களில் எத்தனை ரூபா உழைப்பர் ?
9. ஓர் உருளையின் வளை பரப்பு அதனுடைய நீளத் தோடும் அடியின் ஆரையோடும் மாறுகின்றது. இரண்டு உருளைகளுடைய நீளங்கள் 3 7 என்னும் விகிதத்திலும், வளை பரப்புக்கள் 1 - 2 என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், அவற்றினுடைய அடிகளின் ஆரை விகிதத்தைக் காண்க.
10. ஒரு வட்டத் தட்டினது நிறை அதனுடைய தடிப்பு மாரு திருக்க அதன் ஆரை யொடும், ஆரை மாரு திருக்கத் தடிப் பொடும் மாறுகின்றது. இரண்டு வட்டத் தட்டுக்க ளினுடைய தடிப்புக்கள் 5 8 என்னும் விகிதத்திலும் அவற்றினுடைய நிறைகள் 2 : 5 என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், அவற்றினுடைய ஆரைகளின் விகிதத்தைக்
ST 6ððf P, .

Page 118
அத்தியாயம் 28
விருத்திகள் 193. தொடர் : ஒரு தொகை கணியங்கள் யாதோ ஒரு விதிபற்றி ஆக்கப்பட்டு ஒன்றையொன்று தொடர்ந்தால் அத்தொடர்ச்சி ஒரு தொடர் எனப்படும். அக்கணியங்களை அத்தொடரின் உறுப்புக்கள் என்றும், அவ்வுறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையை அத்தொடரின் கூட்டுத் தொகை என்றுங் கூறுதல் வழக்கு.
gd — Lb.
1. 1, 4, 7, 10, . . . . . . . . என்பது ஒரு தொடர். இத்தொடரின் ஆக்க விதி ஒவ்வோருறுப்பும் முன்னுறுப் பொடு 3 ஐக் கூட்டுதலாற் பெறப்படும் என்பதே.
உ-ம்.
2. 1, 2, 4, 8, . . . . . . . . என்பதும் ஒரு தொடர். இத்தொடரின் ஆக்க விதி ஒவ்வோருறுப்பும் முன்னு றுப்பை 2 ஆற் பெருக்குதலாற் பெறப்படும் என்பதே.
கூட்டல் விருத்தி (கூ.வி.)
194. தன்னுடைய ஒவ்வோருறுப்பும் முன்னுறுப்போடு ஒரு மாருக் கணியத்தைக் கூட்டுதலாற் பெறப்படுந் தொடர் கூட்டல் விருத்தி எனப்படும். இக்கணியம் அக் கூட் டல் விருத்தியின் பொது வித்தியாசம் எனப்படும்.
கூட்டல் விருத்தி என்னுஞ் சொல்லுக்குப் பதிலாக, கூ.வி. என்னுங் குறுக்கம் வழங்கப்படும். பின்வரும் உறுப்புக்களினுடைய தொடர்கள் கூ.வி. இல் இருத்தல் காண்க :-
l, 3, 5, 7, . . . . . . . . பொது வித்தியாசம் = 2.
3, 7, 11, 15, . . . . . . . . பொது வித்தியாசம் = 4.
10, 9, 9, 8, . . . . . . . . பொது வித்தியாசம் = - 4.

விருத்திகள் 447
195. முதலுறுப்பு அ ஆயும் பொதுவித்தியாசம் வ ஆயுமுள்ள ஒரு கூ.வி. இன் இ ஆம் உறுப்பைக் காணல்,
முதல் உறுப்பு = அ :
இரண்டாம் is 9 - அ + வ - அ + (2 - 1)வ மூன்றம் , , - அ + 2வ - அ + (3 - 1)வ
இ ஆம் 9 = அ + (இ - 1)வ.
இ ஆம் உறுப்பை ஈற்றுறுப்பெனக் கொண்டு ம ஆற் குறித்தால், நாம் பெறுவது
ம=ா அ + (இ - 1)வ என்னுஞ் சமன்பாடாகும். ஆயின், ஒரு கூ. வி. இன் முதலுறுப்பும் பொது வித்தி யாசமுந் தரப்பட்டால், அத்தொடரின் எவ்வுறுப்பையும் இச்சமன் பாட்டைத் துணைக் கொண்டு காணலாம்.
196. முதலுறுப்பு அ ஆயும் பொதுவித்தியாசம் வ ஆயுமுள்ள ஒரு கூ.வி. இல், இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
என்பது அத்தொடரில் இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்
്മൃ தொகையாகுக.
.. *@=°+(y+a)+(°+2a)+ + (அ+இ- 3. வ)
+ (அ + இ - 2. வ) + (அ + இ - 1.வ). இத் தொடரை முன் பின்னக்கி எழுத நாம் பெறுவது
ಅ–(ತಿ!+ இ- 1. வ) + (அ + இ - 2. வ) + (அ + இ - 3.வ) + . . . + (அ + 2வ) + (அ + வ) + அ. இச்சமன்பாடுகளில் ஒத்த உறுப்புக்களைக் கூட்டுதலால் நாம் பெறுவது
2த இ=(2அ+இ-1 வ) + (2 அ+இ-1.வ) + (2 அ+ இ-1.வ) + . . . இ உறுப்புக்கள் வரைக்கும்
=இ(2அ+இ-1.வ).
.. =కి(29+ @=1.ఎ).

Page 119
4 48 மாணுக்க ரட்சரகணிதம்
ஆயின், ஒரு கூ.வி. இன் முதலுறுப்பும் பொது வித்தி யாசமும் உறுப்புக்களினது தொகையுந் தரப்பட்டால், அத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையை இச்சமன்பாடு துணைக் கொண்டு காணலாம்.
197. மேற் கூறிய உண்மைகளைப் பயன்படுத்தும் முறை களைச் சில உதாரணங்களால் விளக்குவோம்.
உ-ம்.
1. முதலுறுப்பு 10 ஆயும் பொது வித்தியாசம் 3 ஆயு முள்ள ஒரு கூ. வி. இன் 5 ஆம் உறுப்பையும் 8 ஆம் உறுப் பையுங் காண்க.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் வ என்பது பொது வித்தி யாசத்தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
கணக்கின் படி, அ= 10, வ= 3. இனி, உஇ=அ+இ-1.வ. ", 5 ஆம் உறுப்பு உ= 10 + 5 – 1.3=22.
.31 == 1.3 - 8 + 10 جی -- 22 . . . ظاgھے 8 .".
உ-ம்.
2. 18, 16, 14, . . . . என்னுந் தொடரில் 8 ஆம் உறுப் பையும் 12 ஆம் உறுப்பையுங் காண்க. -
அ என்பது முதலுறுப்பையும் வ என்பது பொது வித்தி யாசத்தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
கணக்கின் படி, அ= 18, வ= - 2.
இனி, ༧ ༡ 4་ 2 - 7 ༠/་
.. 8 ஆம் உறுப்பு 4 === 14 - 18 = (2 - )1 - 8 + 18 == 2ھ.
.4 - = 22 -- 18 = (2 - ) i - 12 + & 1 == نو ہے , , bا{ھے 12 .'.

விருத்திகள் 449
உ-ம்.
3. ஒரு கூ.வி. இல் 4 ஆம் உறுப்பு 3 ஆயும் 9 ஆம் உறுப்பு - 12 ஆயும் இருந்தால், அத் தொடரைக் காண்க.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் வ என்பது பொதுவித்தி யாசத்தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
கணக்கின் படி, وہ ہے அதாவது அ + 3வ= 3 . . . . . . (1):
و ہے و அதாவது அ + 8வ= - 12 a 0 (2). (2) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க, 5 வ= -15.
". வ- - 3. வ= - 3 என (1) இற் பிரதியிட, அ= 12.
.. வேண்டிய தொடர் 12, 9, 6, . . . என்பதே.
உ-ம்.
4. 20, 16, 12, . . . என்னுந் தொடரில் 9 உறுப்புக்
களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க : ஈற்றுறுப்பையுங் காண்க.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் வ என்பது பொதுவித்தி யா சத்தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையும் சீஇ
என்பது இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையையுங் குறிக்க.
கணக்கின் படி, அ= 20, வ - - 4.
இனி, q=(29+ இ- 1. வ).
9 .. z, {{2, 20+ '(-)'}
9 40 - 32 = (40-32)
=36.
*ー/ヘ千e" 十 @ーI. au.
இ-அ + இ- 1. வ '. లి. =20+8 ( 4)

Page 120
450 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
e20 - 32
= - 12. . வேண்டிய கூட்டுத்தொகை= 36 ; ஈற்றுறுப்பு= - 12.
உ-ம்.
5. 3, 5, 7 . . . என்னுந் தொடரில் எத்தனை உறுப்புக் களின் கூட்டுத் தொகை 168 ஆகும் ?
அ என்பது முதலுறுப்பையும், வ என்பது பொதுவித்தி யாசத்தையும் *இ என்பது இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையையுங் குறிக்க.
கணக்கின்படி, அ= 3, வ- 2 ‘
இனி, த-2ேஅ+இ-1.வ) இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 168 ஆகுக'.
)3-1.2 + 3 x 168-2 ܀".
=இ?+2இ. ". இ2+2இ- 168= 0. .. (இ - 12)(இ + 14) = 0. ". இ= 12, அல்லது - 14.
இ= - 14 என்பது பொருந்தாது. ". இ= 12.
. வேண்டிய உறுப்புக்களினுடைய தொகை 12.
பயிற்சி 28 (அ)
பின்வருந் தொடர்களினுடைய பொதுவித்தியாசத்தை யும் 8 ஆம் உறுப்பையுங் காண்க.
l. 3, 8, 1 3, . . . . . 2. 4, 7, 1 0, . 3. 15, 11, 7, . . . . . 4. 1, 3, 0, . . . . .

விருத்திகள் 451
1, -, - 2, . . . . .
அ, - 39), - 7 அ, (அ + 2), 0, - (அ + 2) , . . . . . 8. (அ- உ)?, (அ? + உ?), (அ + உ)?, . . . . .
மேல் வருமாறு ஒவ்வொரு தொடரிலும் ஈருறுப்புக்கள் தரப்பட்டால் அத்தொடர்களைக் காண்க.
9. 6 ஆம் உறுப்பு 32, 10 ஆம் உறுப்பு 56. 10. 9 ஆம் உறுப்பு 37, 16 ஆம் உறுப்பு 65. 11. 4 ஆம் உறுப்பு 3, 9 ஆம் உறுப்பு - 22. 12. 7 ஆம் உறுப்பு 6, 12 ஆம் உறுப்பு - 9. 13. 11 ஆம் உறுப்பு - 2, 21 ஆம் உறுப்பு - 4. 14. 5 ஆம் உறுப்பு 0, 9 ஆம் உறுப்பு - 12க.
கீழ்க் காணப்படுந் தொடர்களினுடைய இ ஆம் உறுப்புக் களைக் காண்க.
l 5. l 4, 17, 20, . . . . .
16. 16, 24, 32, ..
17. 1 0, 5, 0, . . . . .
18. 9, -l, - 1 1, ..
19·马,马,瑟,·····
20. க + ந, க, க - ந, . . . . .
21. - 5, - 3, - 1 . . . . . என்னுந் தொடரின் எவ் வுறுப்பு 15 ஆகும் ?
22. 8, 12, 16 . . . . என்னுந் தொடரின் எவ்வுறுப்பு 84 ஆகும் ?
23. " 5, 75, 1, . . . . . என்னுந் தொடரின் எவ்வுறுப்பு 6 - 25 ஆகும் ?
பின் வருந் தொடர்களினுடைய ஈற்றுறுப்பையுங் கூட்டுத் தொகையையுங் காண்க.
24. 1, 3, 5, . . . . . 10 உறுப்புக்கள் வரைக்கும். 25. 2, 4, 6, 8 V 12 99
5 7 26. . 6 6 s 9 ) 27. . . . . . . . . 15 9 is 8

Page 121
452
28.
29.
30.
3 l.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
மாணுக்கரட்சரகணிதம்
2, 4 3, 5 4 .. . 7, 7
+ ந, க - ந, க - 3ந
7, 13,
உறுப்புக்களின் 36, 32, 28
உறுப்புக்களின் 45, 39, 33, . . . . .
உறுப்புக்களின் 8, 7, 6,
உறுப்புக்களின் 15அ, 10 அ, 5 அ, .
5, 6 3 . . . .
10 உறுப்புக்கள் வரைக்கும்.
8 y
... 12 9 9
என்னுந் தொடரின் எத்தனை கூட்டுத் தொகை 408 ஆகும் ? என்னுந் தொடரின் எத்தனை கூட்டுத்தொகை 180 ஆகும் ? என்னுந் தொடரின் எத்தனை கூட்டுத் தொகை 180 ஆகும் ? என்னுந் தொடரின் எத்தனை கூட்டுத்தொகை - 20 ஆகும் ? என்னுந் தொடரின் எத்தனை
உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 0 ஆகும் ? இ ஆம் உறுப்பு 3இ ஆயுள்ள தொடரின் 5 ஆம் உறுப்பைத் தருக. இ ஆம் உறுப்பு 2 இ - 3 ஆயுள்ள தொடரின் 9 ஆம் உறுப்பைத் தருக. இ ஆம் உறுப்பு 3(இ- 1) ஆயுள்ள தொடரின் 25 ஆம் உறுப்பைத் தருக. இ ஆம் உறுப்பு 2(3இ- 2) ஆயுள்ள தொடரின் 10 ஆம் உறுப்பைத் தருக. இ ஆம் உறுப்பு t ། ஆயுள்ள தொடரின் 12 ஆம் உறுப்பைத் தருக. முதல் இ இரட்டை முழுவெண்களின் கூட்டுத்
ஒரு கூ. வி. இல் *@"
தொகையைக் காண்க. - 30, அ = 15, வ= - 4
எனின், இ ஐக் காண்க.
ஒரு கூ. வி. இல் ഉ" 414, அ= 64 , வ = - 4 எனின்
இ ஐக் காண்க.
44. 528 மைல் தூரம் போகவேண்டிய மனிதன் ஒருவன்
முதனுள் 12 மைலும்,
இரண்டாம் நாள் 12 மைலும்,
மூன்ரும் நாள் 12 மைலும், இவ்வாறே மற்றைய நாள்

விருத்திகள் 453
களிலுஞ் சென்ருனயின், எத்தனை நாள்களில் அவன் தனது
பிரயாணத்தை முடிப்பன் ?
198. கூட்டலிடை : மூன்று கணியங்கள் கூ.வி. இல் இருந்
தால், நடு உறுப்பு ஏனைய இரண்டின் கூட்டலிடை எனப்
படும்.
4, 7, 10 என்பன கூ. வி. இல் இருக்கின்றமையால், 7
என்பது 4, 10 என்பனவற்றின் கூட்டலிடையாகும்.
199. இருகணியங்களின் கூட்டலிடையைக் காணல்.
அ, எ என்பன இரு கணியங்களாகுக ; அ என்பது அவற்
றின் கூட்டலிடையாகுக.
.. பொது வித்தியாசம் = அ - அ, அல்லது எ-அ.
.". அ - அ - எ - அ
.. 2 அ= அ + எ.
அ + எ 9 = --
ஆகவே, இரு கணியங்களின் கூட்டலிடை அவற்றின் கூட்டுத் தொகையின் அரைப்பங்கு.
200. அ, எ என்பனவற்றிற்கிடையே இ கூட்டலிடைகளை இடுதல்.
அ, எ என்பனவற்றிற்கு இடையில் இ உறுப்புக்கள் இடப்பட்டால், அத் தொடரில் எல்லா மாக இ+ 2 உறுப்புக்கள் இருக்கும்.
வ என்பது அத்தொடரின் பொது வித்தியாசமாகுக. ஆயின், எ= அ + (இ + 2 - 1)வ
= அ + (இ + 1)வ _எ - அ a( + 1 o = له . வேண்டிய இடைகள் அ +7, 。4°(奚二、
இ + 1 இ + 1 a s e இ(எ - அ) அ + இ + 1
201. மேற்கூறிய உண்மைகளைப் பயன்படுத்தும் முறை களைச் சில உதாரணங்களால் விளக்குவோம்.

Page 122
454 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம். S. 1. 3 இற்கும் 15 இற்கும் இடையேயுள்ள கூட்டலினட யைத் தருக.
வேண்டிய கூட்டலிடை= (3 + 15)
= 9.
d-D
2. 4 இற்கும் 24 இற்கும் இடையில் 3 கூட்டலிடைகளை இடுக.
4, 24 என்பனவற்றிற்கிடையில் 3 உறுப்புக்கள் இடப் பட்டால், எல்லாமாக அத்தொடரில் 5 உறுப்புக்கள் இருக்கும். முதலுறுப்பு 4 ஆயும் 5 ஆம் உறுப்பு 24 ஆயும் வருப0 .
அ என்பது முதலுறுப்பாயும் வ என்பது பொது வித்தி யாசமாயும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பாயும் இருக்க.
கணக்கின்படி, உ, அதாவது அ=4 : . . . (l), உ, அதாவது அ + 4வ - 24 , , , , (2) . (1) ஐ (2) இலிருந்து கழிக்க.
4வ - 20,
.. வ= 5.
.. வேண்டிய கூட்டலிடைகள் 4 + 5, 4 + 2 x 5, 4 + 3x5 என்பன.
.. அவை 9, 14, 19 என்பன.
உ-ம்.
3. கூ. வி. இலுள்ள 3 எண்களின் கூட்டுத் தொகை 15. அவற்றினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 83. அவ் வெண்களைக் காண்க .
அவ்வெண்கள் அ - வ, அ, அ + வ என்பன ஆகுக'.
. கணக்கின்படி, (அ-வ) + (அ) + (அ + வ)=15 . . . . (1): (அ- வ)2 + அ + (அ + வ)?= 83 . . . . (2): .. 3அ2 + 2வ?ட 83 . . . . (3).

விருத்திகள் 455
(1) இலிருந்து 3 அ= 15.
.”,<9=5... அ= 5 என (3) இற் பிரதியிட 3(5)2 + 2வ?= 83.
- 8 -سستیت 2 (26 * ... 61'= 4.
’. வ-+2.
.. அ-வ, அ, அ + வ என்பன முறையே 3, 5, 7, அல்லது 7, 5, 3 என்பனவற்றிற்குச் சமன்.
. வேண்டிய எண்கள் 3, 5, 7 என்பனவே.
ad-L).
4. கூ.வி. இலுள்ள 4 எண்களின் கூட்டுத்தொகை 20. அவற்றினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 120. அவ் வெண்களைக் காண்க.
அவ்வெண்கள் அ - 3வ, அ - வ, அ + வ, அ + 3வ என்பன
こ勢@5・
. கணக்கின்படி,
அ - 3வ + அ - வ+ அ + வ + அ + 3வ = 20 . . . . (1); (அ- 3வ)2 + (அ - வ)? + (அ + வ)2 + (அ + 3வ)2= 120. (2).
.. 4அ2 + 20வ?-120.
.. அ? + 5வ?-30 . . . . (3). (1) இலிருந்து 4அ- 20.
.. அ= 5. .”. அ= 5 என (3) இற் பிரதியிட வ-பு 1. .. அ - 3வ, அ-வ, அ + வ, அ + 3வ என்பன முறையே 2, 4, 6, 8 என்பனவற்றிற்குச் சமன்.
.. வேண்டிய எண்கள் 2, 4, 6, 8 என்பனவே.
Lu un fi)5, 28 (-gy)
1. 12, 6 என்பனவற்றிற்கிடையில் 3 கூட்டலிடைகள்
இடுக.
2. 36, - 24 என்பனவற்றிற்கிடையில் 4 கூட்டலிடைகள் இடுக.

Page 123
456 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
3. - 17, 18 என்பனவற்றிற்கிடையில் 6 கூட்டலிடைகள் இடுக.
4. 3, 11 - 4 என்பனவற்றிற்கிடையில் 4 கூட்டலிடைகள் இடுக.
5. 8 - 1,-9 - 3 என்பனவற்றிற்கிடையில் 5 கூட்டலிடைகள்
இடுக. பின்வரும் நிபந்தனைகளுள்ள தொடர்களைக் காண்க :-
6. 3 ஆம் உறுப்பு 12 7 ஆம் உறுப்பு 12. 7. 5 ஆம் உறுப்பு 2 11 ஆம் உறுப்பு - $. 8. முதல் 5 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 품 ; முதல் 6 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை - .
9. முதல் 4 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை 7 ; முதல் 10 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை 13.
10. ஒரு கூ. வி. இன் 6 ஆம் உறுப்பு 1: ; 16 ஆம் உறுப்பு - 1. ஆயின், முதல் 20 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யைக் காண்க.
11. கூ. வி. இலுள்ள 4 எண்களின் கூட்டுத்தொகை 16. அவற்றினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 84. அவ் வெண்களைக் காண்க.
12. கூ. வி. இலுள்ள 5 எண்களின் கூட்டுத்தொகை 15. அவற்றினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 135. அவ்வெண்களைக் காண்க.
13. ஒரு கூ. வி. இன் 4 ஆம் உறுப்பு 4க 10 ஆம் உறுப்பு 16க. ஆயின், அதன் க ஆம் உறுப்பைக் காண்க.
14. அடுத்து வரும் ஒற்றை முழுவெண்கள் 20 இல், இறுதி யெண் 75 ஆயின், அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க. 15. ஒரு தொடரின் இ ஆம் உறுப்பு 2 இ - 3 ஆயின், அத் தொடரின் இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
16. 4(2ப+ 3ம) + 4(3ப + 2ம) + 4(4ப + ம) + . . . . 10 உறுப் புக்கள் வரைக்குங் கூட்டுக.
17. (ப-1) + (ப-1) + 2(ப-1) + . . ப உறுப்புக்கள்
வரைக்குங் கூட்டுக.

விருத்திகள் 457
18. 4 எண்கள் கூ. வி. இல் இருக்கின்றன. முதலெண்ணை நான்காம் எண்ணுற் பெருக்க 70 உம், இரண்டாம் எண்ணை மூன்ரும் எண்ணுற் பெருக்க 88 உம் வந்தால், அவ்வெண் களைக் காண்க.
19. ஒரு கூ. வி. இல் இ ஆம் உறுப்பு இ+ம. ஆயின், 2இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
20. க?, ந?, ய? என்பன கூ. வி. இல் இருந்தால்,
l I
ய+ க ந+ ய என்பனவும் கூ. வி. இல் இருக்கும் என நிறுவுக.
21. இரண்டு புகை வண்டிகள் 560 மைல் இடைத் தூரமுள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து ஒரே நேரத்தில் ஒன்றையொன்று நோக்கி முறையே மணிக்கு 60 மைல் வீதத் தோடும், 50 மைல் வீதத்தோடும் புறப்பட்டன. அடுத்து வரும் ஒவ்வொரு மணிநேர முடிவிலும் அவற்றினுடைய வேகங்கள் முறையே மணிக்கு 6 மைலாலும், மணிக்கு 4 மைலா லுங் குறைந்தால், அவை எத்தனை மணிநேரத்தில் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் ? J
பெருக்கல் விருத்தி 202. தன்னுடைய ஒவ்வோர் உறுப்பும் முன்னுறுப்பை ஒரு மாருக்கணியத் தாற் பெருக்குதலாற் பெறப்படுந் தொடர் பெருக்கல் விருத்தி எனப்படும். இக்கணியம் அப் பெருக்கல் விருத்தியின் பொது விகிதம் எனப்படும்.
பெருக்கல் விருத்தி என்னுஞ் சொல்லுக்குப் பதிலாக பெ. வி. என்னுங் குறுக்கம் வழங்கப்படும்.
பின்வரும் உறுப்புக்களினுடைய தொடர்கள் பெ. வி. இல் இருத்தல் காண்க :
1, 2, 4, 8 . . . . . . ; பொது விகிதம் 2. 4, 12, 36, 108 . . . . ; பொது விகிதம் 3.
7 7 7
' "5:25" 12
; பொது விகிதம்

Page 124
458 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
203. முதலுறுப்பு அ ஆயும் பொது விகிதம் ப ஆயுமுள்ள ஒரு பெ.வி. இன் இ ஆம் உறுப்பைக் காணல்.
முதல் உறுப்பு= அ.
e 2 - 1 இரண்டாம் உறுப்பு= அப= அப
O o o 2 3 - I மூனரும உறுபட= அப - அப w
o 1 حسب இ ஆம் உறுப்பு=அபசி
இ ஆம் உறுப்பை ஈற்றுறுப்பெனக் கொண்டு ம ஆற் குறித்தால் நாம் பெறுவது
இ- 1 O w
LID = s9] LJ எனனு ஞ சமனபாடாகும.
ஆயின், ஒரு பெ. வி. இன் முதலுறுப்பும் பொது விகிதமுந் தரப்பட்டால், அத்தொடரின் எவ்வுறுப்பையும் இச்சமன் பாட்டைத் துணைக் கொண்டு காணலாம்.
204. முதலுறுப்பு அ ஆயும் பொதுவிகிதம் ப ஆயுமுள்ள ஒரு பெ.வி. இல் இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
என்பது அத்தொடரில் இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்
சீஇ
தொகையாகுக.
2 இ - 3 ". த-அ+ அப+ அப - . . . . . . . egll
+அபஇ*+அப இ" ! ஒவ்வோர் உறுப்பையும் ப ஆற் பெருக்க நாம் பெறுவது - 3 - 2 பத-அப+அப+அப+ .+அபகி +அபகி
-l +அபகி +அபகி.
எனின், கழித்தலாற் பெறுவது
-அப.ே

விருத்திகள் 459
.. తీg( - ப)=அ(1 - ر0قار.
راداري - 1)lو-
లీg == -- ஆயின், ஒரு பெ. வி. இன் முதலுறுப்பும் பொது விகிதமும் உறுப்புக் களுடைய தொகையுந் த ர ப் பட்டா ல், அத் தொடரின் கூட்டுத் தொகையை இச்சமன்பாட்டைத் துணைக்கொண்டு காணலாம்.
205. பெருக்கலிடை மூன்று கணியங்கள் பெ. வி. இருந்தால், நடு உறுப்பு ஏனைய இரண்டின் பெருக்கலிடை எனப்படும்.
4, 12, 36 என்பன பெ.வி. இல் இருக்கின்றமையால் 12 என்பது 4, 3 6 என்பனவற்றின் பெருக்கலிடையாகும்.
206. இரு கணியங்களின் பெருக்கலிடையைக் காணல்.
அ, எ என்பன இரு கணியங்களாகுக ; அ2 என்பது அவற் றின் பெருக்கலிடையாகுக.
.. பொது விகிதம்=, அல்லது *
l2_- 6 Tك . அ அ2 .. அஃ= அஎ.
.. அg=t Vஅஎ.
ஆயின், இரு கணியங்களின் பெருக்கலிடை அவற்றி னுடைய பெருக்கத்தின் வர்க்கமூலமாகும்.
207. அ எ என்பனவற்றிற்கிடையே இ பெருக்கலிடைகளை இடுதல். அ, எ என்பனவற்றிற் கிடையில் இ உறுப்புக்கள் இடப் பட்டால், அத்தொடரில் எல்லா மாக இ+ 2 உறுப்புக்கள் இருக்கும்.
ப என்பது அத்தொடரின் பொது விகிதமாகுக.

Page 125
460 மாணக்கரட்சரகணிதம்
- 1 "آقا را روی == rی ه "۰ . இ+ 1_எ egy இ+1, - (
அ
ܠ=L .܃.
N
I 2 .. வேண்டிய இடைகள் -() -- '-()?" 1.
g9| V ʼ அ
இட e o a se as sa a so a e o() இ + 1 என்பனவே.
அ
208. மேற்கூறிய உண்மைகளைப் பயன்படுத்தும் முறைகளைச் சில உதாரணங்களால் விளக்குவோம்.
உ-ம்.
1. முதலுறுப்பு 12 ஆயும் பொதுவிகிதம் 4 ஆயுமுள்ள ஒரு பெ. வி. இன் 5 ஆம் உறுப்பைக் காண்க.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத்தையும்உ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க,
கணக்கின் படி, அ= 12, ப-b.
இனி, ೭=ತಿ।
5 ஆம் உறுப்பு 1--6رہ). 12 = عہدے
= 12. () 4
உ-ம்.
2. 81, - 27, 9, ... என்னுந் தொடரில் 4 ஆம் உறுப் பையும் 7 ஆம் உறுப்பையுங் காண்க.

விருத்திகள் 46
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத்தையும் உஒஎன்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
கணக்கின்படி, அ= 81, ப-=
8 g-l
二27
இனி, 2- ༡,,
", 4 ஆம் உறுப்பு *4=81×(ー場り"一"
=81×(ー暴)8
=ー3.
.. 7 ஆம் உறுப்பு *z=81×(ー場の"ー"
=81×(ー暴)"
= 9.
3. உறுப்பு- ஆயும் இருந்தால், அத்தொடரைக் காண்க.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத் தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
2-– Lh.
ஒரு பெ. வி. இல் 5 ஆம் உறுப்பு 4 ஆயும் 8 ஆம்
கணக்கின்படி, உத, அதாவது அப*=4 (l); உ8, அதாவது அப7= -; (2).
8= -s.
(2) ஐ (1) ஆல் வகுக்க,ப . . . .
最
ப= - 4 என (1) இற் பிரதியிட அ=64. .. வேண்டிய தொடர் 64, - 32, 16, . . . . என்பதே.
உ-ம்.
4. ஒரு பெ. வி. இல் 3 ஆம் உறுப்பு 12 ஆயும் 5 ஆம் உறுப்பு 48 ஆயும் இருந்தால், அத்தொடரின் 6 ஆம் உறுப்
பைக் காண்க,

Page 126
462 மானுக்கரட்சரகணிதம்
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத் தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
கணக்கின்படி, உ?, அதாவது அப2= 12 a (I);
உத, அதாவது அப*=48 (2). (2) ஐ (1) ஆல் வகுக்க, L-4.
Lu = +2
.. 6 ஆம் உறுப்பு உ8= உ5X ப
= 48 (+2) = 98, அல்லது - 96.
உ-ம்.
5. 12, - 6, 3, . . . என்னுந் தொடரில் 6 உறுப்புக் களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க : ஈற்றுறுப்பையுங் காண்க .
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத் தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையும் ്മൃ என்பது இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையையுங் குறிக்க.
- 6 கணக்கின்படி, அ=12, 中=ーエー 一瑟·
இ அ(1 - ப*) இனி తోg =
!°رلي - ) - 1 } 12 ༼ ༽ ༥ ༧༧༦༼ را - ) - 1 - - - 6 ق م
l 12(Iー エ)
1 =12×"×学 =**×否五×3

விருத்திகள் 463
இனி, ༧ ཞི་བ་ལྟར་ - 1
6 - 1 ". رفي - ) × 12 -- مع
.س--
5 12×(一墨) - 8.
8 3 .. வேண்டிய கூட்டுத்தொகை = 7 : ஈற்றுறுப்பு= - 5'
உ-ம்.
6. 4, 32 என்பனவற்றிற்கிடையில் 3 பெருக்கலிடைகளை இடுக.
அ என்பது முதலுறுப்பையும் ப என்பது பொது விகிதத் தையும் *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பையுங் குறிக்க.
4, 32 என்பனவற்றிற்கிடையில் 3 பெருக்கலிடைகள் இடப்பட்டால், அத்தொடரில் எல்லாமாக 5 உறுப்புக்கள் இருக்கும் ; 32 என்பது 5 ஆம் உறுப்பாகும்.
. கணக்கின்படி, உ, அதாவது அ=$ . . . . (l);
உத, அதாவது அப*=32 . . . . (2). (2) ஐ (1) ஆல் வகுக்க ப4=256.
“... LI = i4 .
.. வேண்டிய பெருக்கலிடைகள் 4, 2, 8 என்பனவாகும், அல்லது - த், 2, - 3 என்பனவாகும்.
9- ).
7. பெ. வி. இலுள்ள மூன்று எண்களின் கூட்டுத் தொகை 26 ஆயும் பெருக்கம் 216 ஆயும் இருந்தால் அவ் வெண்களைக் காண்க.
அவ்வெண்கள் அ , அப, அப? என்பனவாகுக. கணக்கின்படி, அ + அப + அப?= 26 . . . . . . (l); அ. அப.அப?= 216 . . . . . . (2); (1) இலிருந்து அ(1 + ப+ ப?)= 26 . . . . . (3).

Page 127
464 மானுக்கரட்சர கணிதம்
(2) இலிருந்து அபே=ே 216.
.. அப= 6 .
;( 4 ) . . . . . . . = [9ى .'
6 அ= என (3) இற் பிரதியிடுக.
6 .....ー(I +L + L"り=26.
... 3 (1 + L + L2) = 13L. .. 3 ப2 - 10ப + 3 = 0. ... ( u - 3)(3 Lu — l) = 0.
" ப=3, அல்லது {. .. (4) இலிருந்து அ= 2, அல்லது 18.
.. வேண்டிய எண்கள் 2, 6, 18 என்பனவே.
பயிற்சி 28 (இ)
பின்வருந் தொடர்களில், 7 ஆம் உறுப்பையும் 8 ஆம் உறுப்பையுங் காண்க:-
1. 2, 4, 8, .. 2. 1, 3, 9 . . 3,2,一卫,墨...... 4. 8 1 , -- 27 , 9 . . 5·3,一卫,暴··· என்னுந் தொடரில் எந்த உறுப்பு
P ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ
: Ln © ,{ھو> 9چے 8. 3. - 6, 12 . . . என்னுந் தொடரில் எந்த உறுப்பு 768 ஆகும் ? 7. 128, 64, 32, ... என்னுந் தொடரில் எந்த உறுப்பு
- ஒ ஆகும 8. 2, 2, 02 . . . என்னுந் தொடரில் எந்த உறுப்பு
* 00002 ஆகும் ?

விருத்திகள் 会65
9. 4 ஆம் உறுப்பு - 3 ஆயும் 7 ஆம் உறுப்பு ஆயுமுள்ள பெ. வி. ஐக் காண்க.
8
10. ஒரு பெ.வி. இன் 5 ஆம் உறுப்பு: 8 ஆம் உறுப்பு
4 243 ஆயின், அந்தப் பெ. வி. ஐக் காண்க .
11. 3 ஆம் உறுப்பு 1 ஆயும் 8 ஆம் -01-1 Վ9է Ավ
முள்ள பெ. வி. இன் இ ஆம் உறுப்பைக் காண்க .
பின்வருந் தொடர்களினுடைய கூட்டுத் தொகைகளைக் காண்க.
12.
l, 2, 4 8 உறுப்புக்கள் வரைக்கும். 그 3. 3, II, . . 6 y se s s 14,I,一墨,盘. O 9 15. 128, 32, 8 ... 7 9 s
2 2 16. 움, - 융, 2 9 y y
3 3 17. 3, - , 7 is p 9 18. ம= அ + அப + அப? + . . என்பது இ உறுப்புக்கள் வரைக்குங் கூட்ட வந்த கூட்டுத் தொகையாயின்,
Lil D - 9) த 6 ,------.-----سسسسسس--- جسست T68}T" 9. இ ப - அ நிறுவு
19. 8 இற்கும் 32 இற்கும் இடையிலுள்ள பெருக்க லிடையைக் காண்க. 20. - 9 இற்கும் - 4 இற்கும் இடையிலுள்ள பெருக்க லிடையைக் காண்க. 21. 54 இற்கும் 6 இற்கும் இடையிலுள்ள பெருக்க லிடையைக் காண்க. 22. 4V2 இற்கும் 是 இற்கும் இடையிலுள்ள பெருக்க லிடையைக் காண்க.
இற்கும் 盖 இற்கும் இடையில் 4 பெருக்க ق . ق 2 லிடைகள் இடுக.
3951-S

Page 128
466 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
24. 24 இற்கும் 4 இற்கும் இடையில் 3 பெருக்கலிடைகள் இடுக.
25. - 256 இற்கும் இற்கும் இடையில் 6 பெருக்க லிடைகள் இடுக.
4 26. - 64 இற்கும் 25 இற்கும் இடையில் 3 பெருக்க லிடைகள் இடுக.
27. 4, - 8, 16, . . . . என்னுந் தொடரில் எத்தனை உறுப் புக்கள் சேர்ந்தால் 172 ஆகும் ? 28, 81, - 27, 9 . . . என்னுந் தொடரில் எத்தனை உறுப்
புக்கள் சேர்ந்தால் 61 ஆகும் ?
27 9 3 a
29. ஒ. - இ. எனனுந தொடரில் எத்தனை உறுப்
o .. . 55
புக்கள் சேர்ந்தால் 96 ஆகும் ?
30. 4, 2, 1 . . என்னுந் தொடரில் எத்தனை உறுப்
5 புக்கள் சேர்ந்தால் 7器 ஆகும் ?
5 31. இரண்டு எண்களின் கூட்டலிடை 24 ஆயும் பெருக்க
லிடை ஆயும் இருந்தால், அவ்வெண்களைக் காண்க.
32. பெ. வி. இலுள்ள மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகை 28 ஆயும், பெருக்கம் : ஆயும் இருந்தால், அவ்வெண்களைக்
காண்க.
33. அ, எ, ஒ என்பன பெ. வி. இல் இருந்தால்,
2 -() என நிறுவுக.
34. அ, எ என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள இ பெருக்க லிடைகளின் பெருக்கம் அ, எ என்பனவற்றின் பெருக்கலி டையின் இ ஆம் அடுக்கென நிறுவுக.

விருத்திகள் 4 6 7
முடிவில் பெருக்கல் விருத்தி 209. முடிவில்லாத் தொகை உறுப்புக்களிலுள்ள பெருக்கல் விருத்தி முடிவில்லாத் தொடர் எனப்படும்; அத்தகைத் தொட ரின் கூட்டுத்தொகை அத்தொடரின் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை எனப்படும்.
த-அ+அப+அப+ . . அபசி" ஆகுக. (1) முதற்கண் எண்ணளவில், ப> 1 ஆகுக'. பிரிவு 204 இற்பெற்ற வண்ணம் க-அ-
ہوی - 0قرL ہو _
I - I ہوئے۔ قرL ہو __
" 1 - 1_ו 1 – נן
எண்ணளவில் ப> 1 எனின், இ பெரிது பெரிதாகி OO என் பதை அணுக, இ என்பதும் பெரிது பெரிதாகி OO என்பதை அணுகும்.
S94 “ OO S9 *ం L = 1 Lu - 1
அ = o
— CC .
இத்தகைத் தொடர் விரிதொடர் எனப்படும்; இத்தொட ரின் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை CO ஆகும்.
(2) இனி, ப- 1 ஆகுக'. எனின், 凸5c=°十°十°十·· முடிவிலித் தொகை உறுப் புக்கள் வரைக்கும் == OO • 9ي|
- CC

Page 129
468 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
இத்தொடரும் விரிதொடராகும்; இதன் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை CC ஆகும்.
(3) இனி, ப- - 1 ஆகுக'.
ଗt ଜର୍ମା ଗାଁt, தc = அ - அ + அ - அ + . . . முடிவிலித் தொகை
உறுப்புக்கள் வரைக்கும் = அ , அல்லது 0.
இத்தொடர் அலைதொடர் எனப்படும் இதன் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை அ , அல்லது 0 ஆகும்.
-, 3 பிரிவு 204 இற் பெற்ற வண்ணம் - )
قارا و /2ی
1 - T1 - '
எண்ணளவில், ப < 1 எனின், இ பெரிது பெரிதாகி 6
என்பதை அணுக, இ என்பது சிறிது சிறிதாகி 0 என்பதை அணுகும்.
_அ_அX0 T ". خبرہ قائم 00
པ/ = - 0
T1 - L.
.Lb------ دے
1. 9, 3, 1 . . . என்னுந் தொடரின் முடிவிலித் தொகை
உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

விருத்திகள் 469
0-lb.
2. . 356 என்பதனைப் பொதுப் பின்னத்திலே தருக.
56 十 56 -- 56 قة عر : 6 1 0 1 000 1 00000 1 0000000"
="+".(1+ !
0 o 103( * - 02 o 04'
3 56 I 1 of 103* I
02 6.0 10" 108 - 99
3 56
O'990
353 990
so-th.
3. முடிவில்லாத பெ. வி. ஒன்றின் கூட்டுத் தொகை 72. அதன் இரண்டாம் உறுப்பு 18. அத்தொடரைக் காண்க.
அ என்பது அவ் விருத்தியின் முதலுறுப்பாயும், ப என்பது அதன் பொது விகிதமாயும் இருக்க.
கணக்கின்படி, = 72 ・・ ・・ ・・ ・・ ・・ (H);
அப- 18 • w O ... (2)
(2) ஐ (1) ஆல் வகுக்க, அப+ஆ=
அப(1 - LI)–1
玄下ー*
(رLJ مس- LJ( I و
- 1 - .

Page 130
470 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
.. 1ட 4 ப - 4 ப?.
.0 بسبب= 1 + 1 L 12 -- 4 L 4 .*. ... (2 -l)?= 0. ... 2 L 1 - 1 = 0. ・・L=墨・ பாத் என (2) இற் பிரதியிட அ=36. .. வேண்டிய விருத்தி 36, 18, 9, . . . . . என்பதே.
பயிற்சி 28 (ஈ)
பின்வருந் தொடர்களை முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்கள் வரைக்குங் கூட்டுக
1. 16, 8, 4 . . . .
2 4 2,I,一士,士 3 9
3 9 3。云,一士,士,
2 8 32
4 . •
3 32' 33
5. . 8, 04, 002, . . . 6. 6 - 4, 3 - 2, 1 6, . . .
பின்வருவ்னவற்றினுடைய பெறுமானங்களைப் பொதுப் பின்னங்களிலே காண்க:
7. (i) .. 6 (i)·67 (iii) - 5 6 8, (i) .. 3 (ii) - 3 64 (iii) - 459 9. (i) .. 5 (ii) • 256 (iii) - 06 &
10. ஒரு பெ. வி. இல் தce = 18; இரண்டாம் உறுப்பு - 20. எனின், அத்தொடரைக் காண்க.
3. 11. ஒரு முடிவில் பெ. வி. இன் கூட்டுத் தொகை அதன்
9 இரண்டாம் உறுப்பு - ஒடு: ஆயின், அதனு ைடய முதல்
ஐந்துறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

விருத்திகள் 47
12. ஒரு முடிவில் பெ. வி. இன் கூட்டுத் தொகை 1 ஆயும் முதலுறுப்பு + ஆயும் இருந்தால் அதன் 6 ஆம் உறுப்பைக் காண்க.
13. ஒரு முடிவில் பெ. வி. இன் முதல் 3 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 14 ஆயும், அடுத்த 3 உறுப்புக்களின்
a 14 影 w கூட்டுத் தொகை-; ஆயும் இருந்தால், அத்தொடரின் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
14. தன் முதலுறுப்பு இ ஆயும் ஒவ்வோர் உறுப்பும் அடுத்துத் தொடரும் எல்லா உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யின் இ மடங்காயுமுள்ள முடிவில் பெ. வி. ஐக் காண்க.
15. ஒரு புகைவண்டி ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்கும்
Φ ஒடுந் தூரம் அதற்கு முந்திய மணிநேரத்தில் ஓடியதன் :
மடங்காயின், அது எத்தனை மணிநேரத்திற்கு ஓடினலும் ஒரு குறித்த அளவிற்கு மேற்பட்ட தூரம் ஒடமாட்டாதெனக் காட்டுக.
இசை விருத்தி (இ.வி.)
210. ஒரு தொடரிலுள்ள கணியங்களினுடைய தலைகீழ்கள் கூட்டல் விருத்தியில் இருந்தால் அத்தொடர் இசைவிருத்தியில் இருக்கின்ற தெனப்படும்.
உ-ம்.
(1) 2, 4, 6, 8 . . . . என்பன கூ.வி. இல் இருக்கின்றன; '. , 4, 4, 1 . . . . என்பன இ.வி. இல் இருக்கின்றன. (2) அ, அ + வ, அ + 2வ, ... , அ + (இ - 1) வ என்பன
கூ.வி. இல் இருக்கின்றன.
1 I I ‘அ’ அ + வ’ அ + 2வ " " அ + (இ-1)வ இ.வி. இல் இருக்கின்றன"
211, இசையிடை: மூன்று கணியங்கள் இ.வி. இல் இருந்தால், நடு உறுப்பு ஏனைய இரண்டின் இசையிடை எனப்படும்.
என்பன

Page 131
4. 72 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
*, 4, 4 என்பன இ.வி இல் இருக்கின்றமையால், 4 என்பது
*, 4 என்பனவற்றின் இசையிடை எனப்படும்.
212. இருகணியங்களின் இசையிடையைக் காணல்.
அ, எ என்பன இருகணியங்களாகுக ; அs என்பது அவற் றின் இசையிடையாகுக.
ஆயின், அ, அg, எ என்பன இ. வி. இல் இருக்கும்.
I 1 1
.. -, - , " என்பன கூ. வி. இல் க்கம். அ அஜ Tெ இல் இருக்கு
0. 2அஎ . " . 91 , ᎧT ᎶᎢ 6ᏈᎢ t Ꭵ ᎧᏈᎢ Ꭷ1 ன் இசை யிடை-T-.
ஆ ற்றின் இசை அ + எ
213. எவையேனும் இருகணியங்களின் பெருக்கலிடை அவற்றின் கூட்டலிடை இசையிடைகளின் பெருக்கலிடைக்குச் சமன்.
அ, எ என்பன இருகணியங்களாகுக ; அ, அ அ என்பன முறையே அக்கணியங்களுடைய கூட்டலிடை, பெருக்க லிடை, இசையிடை என்பனவாகுக.
w அ + எ 一。 _2அஎ ஆயின், 6/و/۹ = واقی : - و - = 1/فT۰ی پول = 8اق ن
-ಅ + 5T 2அஎ ... 9/1 -9s-- அ+ எ
= அஎ =(அ2)?.
.. அ, அ2, அ; என்பன பெ. வி. இல் இருக்கின்றன.
* அ, 6 என்பனவற்றின் பெருக்கலிடை அவற்றின் கூட்ட லிடை இசையிடைகளின் பெருக்கலிடைக்குச் சமன்.

விருத்திகள்: 73
214. இ. வி. இலுள்ள ஒருதொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை நேரே கூட்டுதலான் மாத்திரங் காணப்படும்.
இசை விருத்தியிலுள்ள கணியங்கள் கொண்ட கணக்குக் களைச் செய்யுமுறைகள் பின்வரும் உதாரணங்களால் அறியப் படும் :- V
உ-ம். -
1, 5 இற்கும் 9 இற்கும் இடையில் 3 இசையிடைகள் இடுக.
முதற்கண் : இற்கும் 9 இற்கும் இடையில் 3 கூட்டலிடை கள் இடுவோம்.
I உ, அதிTவது அ
5
I உத, அதாவது அ+ 4வ =
4 *=5ー5=ー云5
6) i 4 5
.. கூ.வி. இலுள்ள தொடர்
I l l l 2 1 3 I 4 5' 5 - 45' 5 ° 45' 5 - 45' 5 - 45 °"?” tiġbilல்லக . . . 2.4 என்பக: அலலது ;, ;, ;, ;, e எனபது:
. . . 45 45 45 o . இ.வி. இலுள்ள தொடர் 5, す・ア・す。 9 என்பது,
5, 52.6.7. 9 argirl அலலது 9, 9 ஒ. 07, 1ஓ 9 எனபது.
3.
... - 5 1 . d . வேண்டிய இசையிடைகள் ಶಿ 67, 7s எனபனவாகும்

Page 132
474 மாணக்கரட்சரகணிதம்
உ-ம்.
2. இ.வி. இலுள்ள மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகை 33; அவற்றினுடைய தலைகீழ்களின் கூட்டுத் தொகை: அவ் வெண்களைக் காண்க.
I I
இ. வி. இலுள்ள அவ்வெண்கள்
y y என்பன
乌@5·
அவற்றினுடைய தலைகீழ்கள் அ - எ. அ. அ+ எ என்பன கூ. வி. இல் இருத்தல் காண்க.
I ணக்கின்படி, --- + - + --= 33 - e. l) 5550 g, ""۴۰ یس وr " 1( ه . او " و)
3. ターST+身+<タ+ T=あ (2).
3 3 ܒܗ- -- *=あ
,·°=器· அ= என (1) இற் பிரதியிடுக.
l
+ 1 + =33 鼓ーのT き き+ GT
8 8
-- =3 جیسی 1 - 8 3 |1 + 8 ଜt
8 8 "་ཡ---──────མག་-H-- =25。
1 - 8 at 1 + 8 or
1 25 1.8 at 1 - 868
2 25 1 - 6 4672 8
I 9 . ------ 1 ==>۔ == 6T2 64 - 1

விருத்திகள் 475
9 . متی:۔ == 64GT2
"=g5
2--
25 X 64 = +2 "=エzó
.. வேண்டிய எண்களினுடைய தலைகீழ்கள்
-- 8
8 4 0 8 என்பன.
3.
1. 3 O * 3. 1.
+ ' எனபன, அலலது இ + , , ஓ - 6
-
". அத்தலைகீழ்கள் த, 昔, 붉 என்பன, அல்லது
5, 8' 2.
என்பன.
.. வேண்டிய எண்கள் 20, 8, 5 என்பன, அல்லது 5, 8, 20 என்பன.
பயிற்சி 28 (உ) 1 . 3 இற்கும் 5 இற்கும் இடையிலுள்ள இசையிடை யைக் காண்க.
2. - 6 இற்கும் 9 இற்கும் இடையிலுள்ள இசையிடை யைக் காண்க.
3. த் இற்கும் 4 இற்கும் இடையிலுள்ள இசையிடை யைக் காண்க.
4. வ இற்கும் 2வ இற்கும் இடையிலுள்ள இசையிடை யைக் காண்க .
5. 14 இற்கும் 품 இற்கும் இடையில் 2 இசையிடைகள் இடுக.
6. 3 இற்கும் 2 இற்கும் இடையில் 4 இசையிடைகள் இடுக.
7. 그붉 இற்கும் - 2 இற்கும் இடையில் 3 இசையிடைகள் இடுக.
8. - 14 இற்கும் 1 இற்கும் இடையில் 3 இசை யிடைகள் இடுக.

Page 133
476 மானுக்கரட்சரகணிதம்
9. 1, 4, 4 . . . என்னும் இ.வி. இன் 5 ஆம் உறுப்பைக்
10. 2, 14, 4. என்னும் இ.வி. இன் 6 ஆம் உறுப்பைக்
11. - 4,-1, 2 . என்னும் இ.வி. இன் 8 ஆம் உறுப்பைக்
12. இ.வி. இலுள்ள 3 எண் களின் கூட்டுத்தொகை :
l .
; ஆயின், அவ்வெண்களைக்
அவற்றின் பெருக்கம் - காண்க.
13. ஓர் இ.வி. இன் க ஆம் உறுப்பு ந ஆயும் ந ஆம் உறுப்பு க ஆயும் இருந்தால் (க + ந) ஆம் உறுப்பைக் காண்க. 14. இ.வி. இலுள்ள 3 எண்களின் கூட்டுத்தொகை 1; அவற்றினுடைய தலைகீழ்களின் கூட்டுத்தொகை : ; ஆயின், அவ்வெண்களைக் காண்க.
15. இரண்டு எண்களின் கூட்டலிடை 13 ; அவற்றின் பெருக்கலிடை 112; அவற்றின் இசையிடையைக் காண்க.
16. அ, உ, எ என்பன கூ.வி. இலும் உ, எ, ஒ என்பன இ வி. இலும் இருந்தால், அஒ=உஎ என நிறுவுக.
17. அ. உ, எ என்பன இ. வி. இல் இருந்தால், 2அ- உ, உ, 2எ - உ என்பன பெ. வி. இல் இருக்குமென நிறுவுக.
18. அ, உ, எ என்பன கூ. வி. இலும் உ, எ, அ என்பன பெ. வி. இலும் இருந்தால், எ, அ, உ என்பன இ.வி. இல் இருக்குமென நிறுவுக.
19. உ + எ, எ + அ அ + உ என்பன இ. வி. இல் இருந் தால், அ?, உ?, எ? என்பன கூ.வி. இல் இருக்குமென நிறுவுக. 20. க, ந, ய என்பன கூ. வி. இலும் க, மந, ய என்பன பெ. வி. இலும் இருந்தால், க. ம?ந, ய என்பன இ. வி. இல் இருக்குமென நிறுவுக.
விருத்திகளோடு தொடர்புள்ள சில தொடர்கள்
215. சில தொடர்கள் கூட்டல் பெருக்கல் விருத்திகளோடு தொடர்புள்ளவையாய் உள.

விருத்திகள் 477
அ + (அ + வ) + (அ + 2வ + . . . . + (அ + இ- 1 வ),
1-இ . . . . -+۔ 2/L -+۔ Lu + 1 என்னும் இரு தொடர்களுடைய ஒத்த உறுப்புக்களை
ஒருங்கு பெருக்க நாம் பெறுவது w
அ + (அ + வ)ப + (அ + 2 வ)ப? + . . . (அ + இ - 1 .oقرار د - என்பதே.
இத்தொடர் கூட்டல் பெருக்கற்றெடர் எனப்படும். 'nu)LI2 + . (அ+இ-1.வ)பஇه 2 + qو) + 6nu}Lu + إ9ی) +- qو .216
என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் ST606).
த-அ+(அ + வ)ப + (அ + 2 வ)ப2 + .
- I
(அ -இ-1 வ)பசி ஆகுகி.
.. LA = அப + (அ + வ)ப? + . . . (அ+இ-2 வ)பசி' +(அ+இ-1 வ)பசி
.. கழித்தலால், த (1-ப)=அ+(வப | ale + ... ailo )
- (அ +இ-1.வ)பசி
_,@一1 ܚܫܚ ܚ ܢ =அ+''-2-(அ+இ- 1 வ)பசி
அ வப(1-பசி')_(அ+இ-1.வ)பசி
L, "" "" ( 1 - L( 2 l - Lu - 1 *ھی ظلم
བ་27 வப வபே அ + இ - 1 .oرL,3( 1, 1921 - )2 l - Lu
இ
இங்கு, ப< 1 எனின், இ என்பது co என்பதை அணுக ப என்பது 0 என்பதை அணுகும்.

Page 134
478 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
_அ_வப_வ0 ਤਪ , ੦੦ = 0
_(அ+இ-1 வ)0
l -
9 6.'lı 1 -- Lu " ( 1 — Lu)?” 217. இ இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை=இஇ ) எனக்
காட்டல்.
த= 1 + 2 + 3 + . . . + இ.
இத்தொடர் கூ.வி. ஆகும் ; இதன் முதலுறுப்பு 1 ஆகும் பொதுவித்தியாசமும் 1 ஆகும்.
. *-*× + இ - 1 - 1)
一劉e + இ- 1) _இ(இ+ 1)
2
இதனைப் பின்வருமாறுங் காட்டலாம் :
க? - (க- 1)?=2க - 1 என்னுஞ் சர்வ சமன்பாடு க இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மை யாகும். ஆகவே, இச்சமன்பாட்டில் க இற்கு முறையே 1, 2, 3, . . இ என்பனவற்றைப் பிரதியிட நாம் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறுவோம் :
12-02=2x 1 - 1.
• I -- 2 >لا 2 =س= 12 -- 22 . I -- 3 ×لا 2 =سست 22 --- 32
. 1 س- (g× 2 ==2ر1 -- (g) س- 2(g

விருத்திகள் 479
இ? - 2(1 + 2 + 3 + . . +இ) - இ
=2த - இ. .. 2த=இ?+ இ
=இ(இ + 1). .. മ=@(+1),
218. இ இயற்கை எண்களுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை -4இ(இ+ 1)(2இ+ 1) எனக் காட்டல்.
த என்பது இ இயற்கை எண்களின் கூட்டுத் தொகை யாயும் த2 என்பது அவ்வெண்களினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாயும் இருக்க.
க3 - (க - 1)8-3 க2 - 3 க + 1 என்னுஞ் சர்வசமன்பாடு க இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மை யாகும். ஆகவே, இச்சமன்பாட்டில் க இற்கு முறையே 1, 2, 3, . . இ என்பனவற்றைப் பிரதியிட நாம் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறுவோம் :
18 - 0 = 3.1- 3.1 + 1. 1 + 3.2 م- 3.22 ==ست.I3 -- 23 1 + 3.3 -س- 3.32 == 23 -- 33
இ8 - (இ - 1)?= 3. இ? - 3. இ+1" இச்சமன்பாடுகளைக் கூட்டுதலால், நாம் பெறுவது
g=3(1+ 2 + 32 . . g) - 3 (1 + 2 + 3 + . . . +g)) +9).l. = 3த9-3த+இ
=3த- മേ1), இ.
3 .. 3-@3+ಶಿ೩(೩+2 - இ.
---- {@jo-o-

Page 135
48 0 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
_இ(2இ2+ 3இ + 1) .இ(இ+ (2® + 1). 2. هدده هسبع .
219. இ இயற்கை எண்களினுடைய கணங்களின் கூட்டுத்
2. தொகை- (இஇ ) எனக் காட்டல்.
J த என்பது இ இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை யாயும், த என்பது அவ்வெண்களினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாயும், த; என்பது அவ்வெண்களினுடைய கனங்களின் கூட்டுத் தொகை யாயும் இருக்க.
க* - (க - 1)4-4க - 6 க2 + 4 க - 1 என்னுஞ் சர்வ சமன்பாடு க இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மை யாகும். ஆகவே, இச்சமன்பாட்டில், க இற்கு முறையே 1, 2, 3, . . . இ என்டனவற்றைப் பிரதியிட நாம் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைப் பெறுவோம் :
1 سي 1 . 4 + 12 - 6 - 13 - 4 حمص- 04 - 14 24 - 14== 4.23 - 6 22-- 4.2 - 1 1 ۔ 43 ہے۔ 632 سس- 433 مجسے 24ھ ۔ 34
இ-இ-1)=4-இ -6-இ +4-இ-1. இவற்றைக் கூட்ட நாம் பெறுவது
இ4=4(18+ 23 + 38+ . . + இ?) - 6( 12 + 22+32+. + இ?) + 4(1 + 2 + 3 + . . +இ) - இ. 1 ட 4தg - 6த + 4 த - இ
2 ج - (1 + 4.563 + (1 + 23) 1 +ه)لهم – ومه=
=4தs-இ(இ+1)(2இ+1)+2இ(இ+1)-இ. . 4 தg=இ + இ(இ+1)(2இ+1) -2இ(இ+1) + இ -இ4 + இ + இ(இ + 1)(2இ + 1) - 2இ(இ + 1)

விருத்திகள் 48
=இ(இ8+ 1) + இ(இ+1)(2இ+1) -2இ(இ+ 1) =இ(இ+1)(இ?-இ+1) + (2இ+1) -2} =இ(இ+ 1) (இ2+ இ}
=இ(இ + 1)இ(இ + 1)
=(இ(இ+1)}*
_ (இ(இ + 1))? =く 2 ---
‘,占8
220. மேற் கூறியனவற்றைப் பயன்படுத்தும் முறைகளைச் சில உதாரணங்கள் பற்றி விளக்குவோம்.
உ-ம்.
1. 1 + 3 அ + 5 அ?+ . . . என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க .
آ - ق. م. , , یار مه بر : த-1 + 3 அ + 5 அ? + . . . . . . (2இ - 1)அ° ஆகுகி.
- 1 .. 2(+ فق ہو (3 -@2) ........ + 2 ہی 3 + ہی = یورپیളൂ - 1).മീ.
-l கழித்தலால், த(1 - அ)= 1 + 2 அ + 2 அ + . . . ادارو و
تخل ہو۔ (1 - (2G) - இ - 1 d , , 2 அ(1 - அ" ) -- T ( قگروه? = 1 - 五主。一ー(g 1).
- 1 "・g5= I 2 2(_) 0قل ہو نے 1) اورളൂ -1)ച്ച്
1 - அ (1 - அ)2 1 - அ
உ-ம்.
2. க<1 எனின், 1 + 2 க + 3 க2 + . . . என்னுந் தொடரின்
முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக்
காண்க.
తా = 1 + 25 + 382 + . . . முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்கள் வரைக்கும் ஆகுக'.

Page 136
482 மானுக்கரட்சரகணிதம்
" கத- க + 2க?+ . . . முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்கள் வரைக்கும்.
.. த(1 - க)=1 + க + க? . . . . . முடிவிலித் தொகை உறுப் புக்கள் வரைக்கும்
T1 - க
--- ܚ ... 1)2
2-lb.
3. 1 -4 + 2 - 4 دی . . . . என்னுந் தொடரின் முடிவிலித்
5 ' 52 53 தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
= 1 - 2 + 4 - 4 あ=ユー5+5ー5+
1 1 2 3
கூட்டுதலால், நாம் பெறுவது 1 + 4) = 1 - 4 + 4 - 4x + த( +5)= * TT & T • • • •
I
1-(一凯
4. 1.3 + 2.5 + 3.7 + . . . என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க. இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை த ஆகுக.

விருத்திகள் 483
தந்த தொடரின் க ஆம் உறுப்பு க(2 க + 1), அல்லது 2க? + க என்பது தெளிவு. *இ என்பது இ ஆம் உறுப்பைக்
குறிக்க, க இற்கு முறையே 1, 2, 3 . . . என்பனவற்றை 2க2+ க என்பதிற் பிரதியிட நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம் :
go = 2.12+ 1. ഉ= 2.2 + 2 . உg= 3.32+ 3.
உ - = 2. இ2 + இ .
இ=2-இ?+இ இவற்றைக் கூட்ட நாம் பெறுவது
த = 2த2+ த
_இ(இ+1)(2இ+ 1) இ(இ+ 1)
6 2
_2இ(இ+ 1)(2இ+1)+ 3இ(இ+1)
6 இ(இ+ 1) (4இ+2+3} =--
_இ(இ+ 1)(4இ + 5)
6 U
பயிற்சி 28 (ஊ)
பின்வருந் தொடர் ஒவ்வொன்றிலும் இ ஆம் உறுப்பை
யும் இ உறுப்புக் களின் கூட்டுத் தொகையையுங் காண்க:
l. 2, 3, 5, 9; . . . .
2. 3, 7, 15, 31, . . . .
3. 5, l 1, 29, 83, . . . .
4. - 3, - 1, 5, 23, . . . .
5. 12 -- 32 + 52 + . . . .
6. 22-- 42-- 62 + .
7. l. 3.-- 3.7 + 5. l l -- .

Page 137
484 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
8. 1.4 4-2.6 - 3.8 + . . . . 9. 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . 10. 1.3.5 + 3.5.7 + 5. 7.9 + . .
மேல் வருந் தொடர் ஒவ்வொன்றிலும் முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க:
11.1 +4, +3, +4
ge 222 eo | n
3 5 7 I 2. lー一十ーニー一。 5 . 52 3 13. 1 + 4 அ + 7 அ? + 10 அ8 + . . . . . அ<1 எனின்,
பின்வருவன தம் இ ஆம் உறுப்புக்களாயுள்ள தொடர் களினுடைய இ உறுப்புக்களைக் கூட்டவருங் கூட்டுத் தொகை கலைக் காண்க:
14. 29) - 3.
I 5. ༈ ༡.
16. 2 g(g) - 1).
17. இ? - 2இ + 3 .
18. இ(இ - 1) (இ + 2) ,
19. அ2 + (அ + 1)2 + (அ + 2)2 + . . . என்னுந் தொடரினு டைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க .
20. 112 + 132 + 152 + . . . என்னுந் தொடரினுடைய 20
உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க .
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 9
(9)
1. அ : இ= 11 : 3 எனின், அ- 3இ : அ + 3இ இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
2. இரு பாத்திரங்களிற் பாலும் நீருஞ் சேர்ந்த கலவை கள் உண்டு. பாலும் நீரும் முதற்பாத்திரத்தில் 2 : 3 என்னும் விகிதத்திலும் இரண்டாம் பாத்திரத்தில் 4: 5

விருத்திகள் 485
என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், ஒவ்வொரு பாத்திரத் திலும் எவ்வளவு கலன் கலவை எடுத்தால், 8 கலன் பாலும் 11 கலன் நீரும் பெறலாம் ?
3. ந என்பது இரு கணியங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன் , அவற்றுள் ஒன்று க ஒடு நேராயும் மற்றையது க ஒடு நேர் மாரு யும் மாறுகின்றன. க = 2 எனின், ந= 16; க=6 எனின், ந=32; க= 8 எனின், ந ஐக் காண்க.
4. 100 இற்கும் 300 இற்கும் இடையிலுள்ள எண்களுள் 8 ஆல் வகுக்கப்படும் எண் களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க .
5. அ(1 எனின், 1 + 4 அ + 7 அ2 + . . . என்னுந் தொடரின் முடிவிலித்தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(ஆ)
1. இரண்டு எண்களின் வித்தியாசம் 4; அவற்றின் விகிதம் 3 2; அவ்வெண்கள் யாவை ?
2. அ_இ_உ எனின்,
இ உ எ
(அஇ + இஉ + உஎ)2-(அ2+ இ?+ உ?)(இ2+ உ2+ எ?)
என நிறுவுக.
3. ஒரு கோளத்தின் கனவளவு அதன் ஆரையின் கனத் தோடு மாறுகின்றது ; 13 அடி, 2 அடி, 24 அடி என்னும் ஆரைகளையுடைய மூன்று உலோசக் கோளங்கள் உருக்கப் பட்டு ஒரு தனிக் கோளமாகச் செய்யப்பட்டன; இதன் ஆரையைக் காண்க.
4. கூ.வி. இலுள்ள ஒரு தொடரின் முதல் இ உறுப்புக் களின் கூட்டுத் தொகை இ(இ - 2). அவ்விருத்தியினுடைய முதலுறுப்பையும் பொது வித்தியாசத்தையுங் காண்க.
5. 1, 22 + 2.32 + 3.42 + . . . என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

Page 138
4&6 மாளுக்கரட்சரகணிதம்
(9)
3க - 2 ந_க + ந எனின் என்ம்ை விகி க க்கைக்
3 is T 2, ந ணு தததை
l.
காண்க.
2. அ இ உ : எ எனின், அ அ +உ= அ + இ : அ + இ + உ + எ என நிறுவுக.
3. ஓர் உருளையின் நிறை நீளம் மாரு திருக்க அதன் ஆரையின் வர்ச் கத்தோடும், ஆரை மாரு திருக்க அதன் நீளத் தோடும் மாறுகின்றது. இரண்டு உருளைகளினுடைய நீளங் கள் 32 : 27 என்னும் விகிதத்திலும் நிறைகள் 2 : 3 என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், அவற்றின் ஆரைகளின் விகிதத் தைக் காண்க.
4. 7 நேருறுப்புக்களையுடைய ஒரு பெ. வி. இன் கூட்டுத் தொகை 58. அதன் ஈற்றுறுப்பு நடு உறுப்பின் மடங் காயின், அதன் முதலுறுப்பைக் காண்க.
5 1 + + ++ . . . என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(RF) 1. அ இ=(அ + க)? (இ + க)? எனின், க ஐக் காண்க. 2. அ இ உ : எ எனின்,
(அ? + உ?)(இ2+ எ?)- (அஇ + உ எ)? என நிறுவுக. 3. ந என்பது இருகணியங்களின் கூட்டுத் தொசைக்குச் சமன் , அவற்றுள் ஒன்று மாறிலி , மற்றையது க ஒடு மாறுகின்றது ; க-1 எனின், ந= 1 ; க= 6 எனின், ந=2: ந=1 எனின், க ஐக் காண்க.
4. கூ.வி. இலுள்ள 30 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை 180 ; அவ்விருத்தியின் 15 ஆம் உறுப்புக்கும் 16 ஆம் உறுப்புக்கும் இடையிலுள்ள கூட்டலிடையைக் காண்க.
5. 212 + 22?+ 23?+ . . . என்னுந் தொடரினுடைய முதல் 20 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

விருத்திகள் 487
(g» )
- 2 1. = எனின், 芋 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
2. அ. இ உ: எ எ னின், அ2எ - இஉ?=அஉ(இ- எ என நிறுவுக.
3. பாரமான ஒரு பொருள் ஒய்விலிருந்து விழுந்தூரம் நேரத்தின் வர்க்கத்தோடு மாறுகின்றது. ஒரு பொருள் 5 செக்கனில் 400 அடி விழுந்தால், 3600 அடி விழ எத்தனை செக்கன் எடுக்கும் ?
4. இரண்டு நேரெண் களின் கூட்டலிடை அவ்வெண் களின் பெருக்கலிடையின் 4 மடங்காயின், அவ்வெண்களின் விகிதத்தைக் காண்க.
5. தன் இ ஆம் உறுப்பு ളൂ? -2ി ஆயுள்ள தொடரி னுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(ஊ)
1. 8 கிலோ மீற்றர் ஒரு யாருக்குச் சமனெனக் கொண்டு ஒரு மீற்றருக்கு ஒரு யார் என்ன விகிதமெனக் காண்க.
2. அ: இ : : உ: எ எனின், (அ + உ); (இ + எ)?: : அ(அ- உ)?: இ(இ- எ)? என நிறுவுக. 3. ந என்பது க ஒடு நேராயும், க என்பது ய இன் வர்க்கத்தொடு நேர் மாறயும் மாறினல், ந என்பது ய இன் வர்க்கத்தோடு நேர்மா ருய் மாறுமென நிறுவுக.
4, தங் கூட்டலிடை 40 ஆயும் பெருக்கலிடை 24 ஆயு முள்ள இரண்டு எண்களைக் காண்க.
1 2 3 4 if (ଗ 5. -+3-4 என்னுந தொடரினுடைய
முடிவிலித் தொகை உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

Page 139
488 மாணுக்கரட்சரகணிதம்
(6)
1. இரண்டு எண்கள் 6: 7 என்னும் விகிதத்தில் உள்ளன; ஒவ்வொன்றுக்கும் 3 ஐக் கூட்டினல், அவை 7; 8 என்னும் விகிதத்தில் இருக்கும்; ஆயின், அவ்வெண்களைக் காண்க.
2. 2க - 4: 3 க + 2 = க - 2: 2 க + 5 . இச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
3. ஒரு வா யுத் திணிவின் கனவளவு அதன் தனிவெப்பநிலை யொடு நேராயும் அதன் அமுக்கத்தோடு நேர்மாரு யும் மாறு கின்றது. அமுக்கம் 320 இரசவங்குலமாயும், தனி வெப்ப நிலை 120 ஆயும் இருக்க , அதன் கனவளவு 12 கன வங்குலம்; தனி வெப்பநிலை 160 ஆயும், கனவளவு 8 கன வங்குலமாயும் இருந்தால், அதன் அமுக்கத்தைக் காண்க.
4. 12 6 அங்குல நீளமுள்ள ஒரு கம்பி தம்முடைய நீளங்கள் கூ.வி. இல் இருக்குந் துண்டுகளாக வெட்டப் படுகின்றது. மிகச் சிறிய துண்டு 6 அங். ஆயும் மிகப் பெரியதுண்டு 22 அங்கு ல மா யும் இருந்தால், அத்துண்டு களினது தொகையைக் காண்க.
5. 5, 10, 19, 36 . . . என்னுந் தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(ஏ)
1. 2 : 3 என்னும் விகிதத்திலுள்ள இரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகைக்கு அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 5 : 26 என்னும் விகிதத்தில் இருந்தால், அவ்வெண் களைக் காண்க.
க3 ந8 அ3 8
2. க: ந= அ; இ எனின், +இ-கந: அஇ என நிறுவுக.
3. ஒரு கொண்டாட்டத்தின் செலவுகளின் ஒரு பகுதி மாரு திருக்க மற்றைப் பகுதி வந்த விருந்தினரினுடைய தொகைக்கு விகிதசமம். 60 விருந்தினரின் செலவு 50 ரூபா ஆயும், 90 விருந்தினரின் செலவு 60 ரூபா ஆயுமிருந்தால், 120 விருந்தினரின் செலவைக் காண்க.

விருத்திகள் 489
4. ஒரு பெ.வி. இன் இரண்டாம் உறுப்பு 9 ஆயும், முதன் மூன்று உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 39 ஆயும் இருந் தால், முதல் 5 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக்
5.
5. 2 - 4 + 6 - 8 + 10 - , , . என்னுந் தொடரினுடைய 2இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
(g)
1. 2க - 3: 3 ந + 2-ந + 2 : 5 க + 3 ந+ 1 = 3; 14 என்னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து க, ந என்பனவற்றைக் காண்க.
2. 2க - 3ந+ ய - 4, 3 க + 2 ந - ய-5 என்னுஞ் சமன் பாடுகளிலிருந்து க: ந: ய என்னும் விகிதங்களைக் காண்க .
3. ஒரு கோளத்தின் நிறை அதன் ஆரையின் கனத்தோ டும், அதன் திரவியத்தின் அடர்த்தியோடும் மாறுகின்றது. இரு கோளங்களினுடைய ஆரைகள் 2: 3 என்னும் விகிதத்தி லும், அடர்த்திகள் 3 - 4 என்னும் விகிதத்திலும் இருந்தால், அவற்றினுடைய நிறைகளின் விகிதத்தைக் காண்க.
4. முதலுறுப்பு 2 ஆயுள்ள ஒரு கூ. வி. இன் மூன்று உறுப் புக்களோடு முறையை 2, 1, 4 என்பனவற்றைக் கூட்டினுல், பெ. வி. உள்ள மூன்று உறுப்புக்கள் பெறப்படும். அக் கூட்டல் விருத்தியின் பொது வித்தியாசத்தையும் அப் பெருக்கல் விருத்தியின் பொது விகிதத்தை யுங் காண்க .
5. தன் இ ஆம் உறுப்பு இ(இ + 1)(இ + 2) ஆயுள்ள ஒரு தொடரினுடைய இ உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக்
5fT (aðð 5

Page 140
0
0000
0414
ss
39
146
19
20
21 22 23 24
25
27 28 29
30
32 33 34
35 36 37 38 39
40
42 43 44
45
47 48 49
176
204
2304
2553
2788
'300 3.222 3424 367 3S02
3979 450 43.4 4472 4624
477. 494 5051 585 535 5441 5563 5682 5798 59 6021 628 62.32 6335
6582 6628 672
1.
2
004:310086
04530492
0.864
1173 1206
1492, 1523
790
206.8
1818
2095
23235
2577260
30323054 3243,3263 34443464 36.36.3655 3820.3838
s
466
4487 4639
598 5328 5453 5575 5694
6243 6345 6444
6637 6730
682
68.21
690269.
*
483
4330.4346
4502 4654
478614800 4928,4942 50655079
!
5340 54.65 5587 5705
5809;ჩ821 5922.5933 603,6042 6138,649
6258 6355 6.454
6542.6551
6646 6739 6830 6920
3 028
053
0899
239
ចំ
22
2380
2625
2856
3.075 3284 3483
3856
403 4200 4362 4518 4669
484 4955 |5092 '5224 i5353 5478 5599 57.7 58.32 5944 6053
222
4.
0.569
0934
1584
1875
2878
3096
4048 426 4378 4533 4683
4829 4969 505 5237 5366 5.490 56 5729 5848
5955
6064
660 670 62636.274 6365,6375 64646474,6484 6561657 6580
6749,67586767 68396848; 6.857 6928.6937,6946
27
5
17്. ۔ا عہہستہـــــــــــــــــــــــــــــــــ--.............--
021202530294
3304-3324 3502:3522 3674369237 Il 3874.3892
42324.249
மடக்கைகள்
6
0.645
O607
7 8
0682
ਨ
לן
26.303438 2428 3286
27 335 629 33
0969
1303
1004
1335
1614
24
2900 38
29:23 339 3345 3541 ፰7:29 3909
43934.409 45484,564 4698 473 4843 4857 4983. 4997 59 52.505.263 878|5891 502|14 56.235635 5740|5752 5855 |F5866 59665977 607:56085 680619
6385,6395 6493 6,590 6684 6776
1038
1367
1673 1703
1959, 1987
2227
1399.1430
2253
1732
2014
2279
528 32
2 2 2
36923
2
12 15 1912
17 2024 27 3
26 29
28
3.26 36 911 14. 720 2326 8 8_$11 14 17119 22:25 36 8 469 22 24 35 80 13 618 21 23
2 20 דו 14 12
2695:
2480250.42529
3365,338.513.404 3560'3579.3598 374.73766'3784 3927,3945,3962
4099.41 1614133 4265-428-14298 4.425. 44404456 4579459446.09 4728. 47424.757 487.148864900 ಪ್ರ೦] 150245038 51455159 5172 5276 5289.5302 540354 165428 ភ278956] 56475658,5670 57635775 5786 5877 5888 | 5899
360 38
60966 1076117 620 622.6222 63046314.6325 6405,641564.25
5988 彌
|08|618 622
6599,66096618 6693,6702,6712 6785 6794; 6803
6866 6955
6875,68846893 69646972698
35 803 51820 23
3
4.
;
--
:
:
12 14 9 14
3:15 3
(
)
G
5 8 по 12 1517 20 22
7 92 1416 is 21 1316 is 20
17 19
5 17 9
6 S 5 7 5 7 6
15 5 4. 4 13
3 2 2 2. I
 
 
 

19494
2
7243 732473.32 7404742 74827.490 75597566
7:9
7
r
7497427
75747582
7709776,7723 773 77827789.77967 S()3
8062.806)
829.836 89582028209 8215 826,8267824 8:280 8325,833 18338 8:3-44 83888395.840 18407 8451845784638,470 8,513 S.59852.58:53 ချိုးမြှို့ 859 86.33863986451865 8692.8698,87041870 875 8756,8762.876s 880slss48820 iss25 8865.887.8876's 882 892 18927,89328938 89768982.89878993 903190369042,9047 ಇಲ್ಪಟ್ಟ?Q9Q80969) 938.9 439 49954 919.996.920 92()6 924819248:9-2፥ኝ:% 92:58 9294-19299|9304,9309 934593509:559360 9:39594.00.9405.940
--- - - - - - -
67024.7033 70767084170937 10171107118 71607 1687,777 1857 93.7202 26772757284 7340,734873567364
7497760718|7620
78537860.7868, 787578827889 7924.793.79387.94579527959 79938000 8007180 14802 18028
80758082,8089
9499.95049509
95.42
4 || 5 || 6 || 7
7042.7050, 7059 72671357143 72 () 728; 7226 7308 729217300ן 7372,7380,7388
74517459.7466 7528,7536 17543 7604762.769 7679,7686.7694 775277.607767
78.257.832 7839 789)67903,790 7966,79737.980 8035.8048048 8 ()280986
869876882 8235.824 8248 82998.306832 835.8357.836.383708376
84.1484208.4268432'S439 s 1768.482848s 8494.8500 8:537854385.498:55:58:56: s:97860318609s65 so? 1
8657.866386698675868]
87687.2287278733|8739 87.74871987.8589 8797 SS38837.884.28848,8854 888788938899.8904 890 8948|8949||89.048960) 8965 s998'9004:900990 159020
90.531.9058'906390699.074 906.911297.9122928 922,9217922:29:227.9232 9268|9269,92749279.9284 93 1593.20.93259330.9335 9365.9370.9375,93809385 9459420,94259430'9435 946,59469947494799484 95395181952395289533
74357443
789|797 7672
7738 7745 780. 788
8096 862 82,228228 8:28782.93
9547; 955295 57.9562
964396.47965296.57 9685 ល្អម្លុះ 9703 97.779782 9786979 19795 98239827,983.29836984 986.8987219877.98819886
9590 9638
9999799 9926.9930 9956|99619965|996919974
9566.957 9576958 9614961996249628 966|666967|967 970897.397797.22 97.5497.5997639768
98.009805980998.4 98459.85098.54|9859 989.09894-9899990.3 9934.993.999439948
7067 752 7235 736 7396
7474 755 7627 770 7774
7846 797 7987 8055 822
889 825.4 839 8382 8445
8506 8567 8627 8686 8745
8802 8859 895 897 9025
907) 933 986 92.38 9.289
9340 93.90 9440 94.890 95.380
95.860 96.330 96.800 97.27 9773
1
I
I
l I
l O
9978,998399879991
12
3
i
i
i
i
i
4
5
6
7
8
9
i
3
)
)

Page 141
முரண் மடக்கைகள்
1 2 3 4 5 || 6 7 || 8 9 1 2 3 4 56789 --- ---- ェ ;---------- ل - - ----------------- !-------۔ --مح------------------۔۔۔۔۔ oo: 1000002100519071009, 1012 1914 1016 1019 1021 0 0 l l l l 22.2 出 1222 '92 || 0471950. 1052054.0571059:10621964. 1067, 10690 () 1222 03 i0721074 1076. 10791081084 1086.1089.109'1094) () ! !!黑挖奖翌 '04 ||1096||10991102110410711091112 111417, 190 1 2222 CCCLS0S0000S00000000000S0000000000000S0000S 1 22 22 - 06 || 48il 15ll 1531156.1159,116 || 16467.1169,1720 I 22 22 07 175l. 178,1180 l 1831 18611899 iiiiiii 99 0 1 22 22 08 2021205208.2 12312163935.225 i327. I lii : 2 3 09 1230 CE: E 1250.1253,2560 l 1212 23 1o 1259.1262,1265 1268.271274,276.279/1282285) 212 23 11 : 1288.291 1294.12971300 1303: 1306309 1312||1315) I 222 2 3 : 12 1381.32 II:324, 327.330.334,337.340,1343.3460 l l 222 2 3 !3|黜說出憑燃恩燃!洲137恩歌機!憑體!!!巡:影 14||13801884,1387. 13901393.1396.1400 103,1406 1409 22,233 15 H43.1416, 1419, 1422,426, 1429432435. 1439.4420 | 1 || 2 源
·16 ||144514491452155| 145914621466|1469147214760 1 11 2 2233 233
·8 ||15157 158 158 1535|153815: 1545' ! !! 23 3 19549 1563:1567 1 1578 ,1574 70תןჯ581||0 1 1 || 2 2 || 3 3 :} 2O5855S9 ಜ್ಷdī 16 11614, 16180 2 238 3 21 6.226261629, 1633.1637 1641644, 1648.1652.16560 l l 22 2.333 22 1660.1663. 1667. 1671.675, 167916836871690: 1694) 22 2333 23 1698.02 1706, 1914,118 172226.30734 22 233 4 24 || 738 1742.17461750.1754 1758176위 176617701774) 1 1인 2 23 3 4 2577 1782. 1786, 1791 179517991803 1807 1811 1816 () 2 22:334 26 1820.824-1828, 1832837 1841 1845 | 2 23.33 4 27 || sé2s66 1871 is 75.1879, 1884, 1888.1892, 1897 1901) l l 22 383 4 | 19! !98980 ! ! 4 4 29||1950|195419591963|196819721977 1982, 1986-1991.0 l l 12 233 44 * 30 995 2000 2004-2009 2014 i2018.2023 2028.2032,2037 0 1 12 23.34 4
·3 ||204와 204620512056||2061 20652070 ವ್ಹಿಜ್ಡ 0 1 12 233 44 32 2089.209420992 04209 2 328.212321282,330 l l 22 33 44 33 21382143248.253.258.263268.2732 782830 22 33 4 4 34 ||2188219321982203|220822132218222322282234|| 1 2 2 33445 35|223:22442249 2.254 2259'2265.2270.2275.2280'2286 223 3445 36.2292296'230 2307,232 237,2323.232s2333,2339 2 2 3 3. 4 5 37 (234423502355 23602366 237 123772382.23882393 l l 22 33445 45 334 122 461 4324 54 438 54:39 427 415 5122 10241 424 1340}}}2:3||||||||||||38۔ '39 ||245||246024662472|24771248324892495250025061 | 2 2 33 4 55 4ol25.1225 is 2523-2529 2535,254 25-472553.25.5925641 2 23 44 55
·41 ||257에 257625822588259426002606||261226182624|| 1 22344 55 : 42 |26302636 2642 2649|2655.266 2667|2673 26792685 || || 2 |2 3 4 |4 5 6 43 26922.698.2704127027162723,2729.273512742.2748 233 44 56
·44邯2754疆276127672773 ခွံ မှီခိဖိပြွ#8င္ငံ၌ ၇၅ံမှီ 2799 28052812 233 44 56 45281828252831|2838,2844285 28:582864'28712877. 1 2 33 455 6 43ssiss62s629029.2912954.29313038294 is 33 4556
·47 ||2951295829652972297929852992299980088013i I 28 3 ||55 48 (3020802.3034,304 13048 ಫ್ಲಿಂಗ್ಡಿ 306930.763083 1 2 3 4 4.5 6 6 - 49309030973.05 ိါနှီပြိုးါမ္ဗိနိပ္ဖို႔ါး 314 3148.3155 I 2 3 4 45 66
 
 
 
 
 
 
 

முரண் மடக்கைகள்
σII 2 3 4 5 6 7 8 9 | 23 Ιε ο 7 η 31621317031773184B19231993206B21432213228|112344|56 3236324332513258.3266,32738281.3289.3296 3304, 22 3 4 5) 5 6 33 1133 193327.3334.33423350.3357.3365,3373.3381.1 2 2 3 4 5) 5 6 3388.3396.340434,234203428.3436 22 3 4 5 6 6 3467,3475.3483,3491 ვ460 ჭ508|ვ5riნ 352435323540|| 22 3 4 5 6 6 3548.3556.3565'3573-85813589.3597.360636148622 22 4 5 6 7 3631363.93648,365686643673.36813690 *:608|ვ707|i 5 3 3 4 წ. 6 7
38903899.390839,8926.39363.94539.543.963.39722 34 55 6 7 3981,3990 3999.4009.40 184027.4036 046.4055.4064 1 2 3 4 5 6' 6 7 4074,4083 s 4:Ա 1.41214130|4140 4150 41591 2 3 4 5 6 7 8 41694784 1884 19842074217,42274236,4246.42561 2 3 4 5 67 8 42664:2764285.429543054315|43254.3354345.43551 2 3 5 6 7 8 43654375438543954406441644264436444644571 23||4 5 6|| 78 446714477.4487 4498 4508451945294 539 455045601 2 3 4 5 6 7 8 4571.4581.45924603463,4624,4634.46454.65646671 2 3 4 5 67 91 梵7对地泌4°4710H7恕7懿+7竖博烈47创47兹博奖搬4娜 燃盟要 47s.64797.4808489483,48424.853814875.488. 2 34 6 7, 8 9 4898 4909,4920.4932 4943.4955'4966 497714989.5000 235 6 78 9 0
45 6 7 8 9 51295.140. 51525645.176'51885200,5212 5224.5236. 2 45 6 78 10 11 52481526052735284529158095}?!ುಟ್ಟಿ ಪ್ರಕ್ಗಿ ಪ್ರತಿಸ್ಪ8 24 5 6 7 | 3 |ು !! 53705.383,5395,540854.205433'54455458,547054831 345 6 8 9 10 11
5585 5598 5623|56365649566256755689570257155728571{1 345 78 910 12 5754.5768.57815794-58085825834,5848 586.15875 345 7 89 12 5888.5 02:5916,5929.59435957, 59.7059845998.602 3 4 5 7 810 l l 12 6026603960536067.60816095 61096 1246.1386.52 3 46 7 810 1 1 13 61666.180694,6209.6223,623.762526266 62816295. 34.6 7 910 1 13 63,063246339,6353636816383-63976412,642764421346 7 910 12 13 6457647|64866016516653166466661 67786022 3 |6 8 9|1 12 14
67667766792,68086823,6839.685568716887 '690223 56 8 911 13 14 6018|6934|6950|6}{6|69826998701508|047,70682 8 |0 & 0 18 15 15 13 1012 8 57 722823 71947211 178 7|161 2971457ן 7|12ן 7|7917096 70 7244726.17278,72957311,7328.734573627.37973962 3 57 8 1012 13 15 758||7წ03||7821 7638||7ზუწ|774|76ყ!|77997727 17745|ა 4 57 9, 11112 14 18||1 16 1314|11 9 7ו 5 4 79252 7907 7889|7870|7852|7834|16 78|776277807798
t ; تبرw:بہمنبہٹہ"
7943,7962 * 80 17 || 8035|| 805480728091181 10 2 4 6 37 9 II || 13 15 17 sl288.1478.1668.1858.204822282482608298.2992 4 689 13 1517. 83 188337.835683758395184148433,8453 84.7284922 4 68 10 12-14 1517 851 18531855185708590,8610863086,508670-86902 4 68 10 12 14 16 18 870 8730 $0 $70 879088.08831885 iss72 88922 4 68 10 1214 16 is 8913593389548974189959016903690579078909924 6810 121517 19|| 920914-191629,839204|922692479268|9290 93 l (2 4 68 ll 1315 17 19 93339354.937693979419944 194629484.950695282479 II 1315.17 20 95.50 ಟ್ವಿಟ್ಲಿ 9638,9661,968.39705'9727,9750247 9 1316 1820

Page 142
விடைகள்
பயிற்சி 15 (அ). பக்கம் 224.
1. அஇே?. 2. 2அ?. 3. 2கநே5. 4. 4ਲB. 5. 2க?ந. 6. 4. 7. பமவ. 8. பமவ. 9, 2க?ந2ய2. 10. 65°p*u j*. 11. அ - இ. 12. கந(க + ந).
13. கந(க- ந). 14, 4கநய(க+ ந - ய). 15, 6 அஇ(க - 1). 16, 9 அ2இ?(க - அ). 17, 4(3க - 2). 18. 5(க + 1) (க + 2). 19. 2( க + 2)2. 20, 3(1 - க)2. 21. ( க + 2). 22, 4 க?. 23. (3 க + 1)?. 24. 5(1 - க)?.
பயிற்சி 15 (ஆ). பக்கம் 230.
1. 5 + 1. 2. க + 2. 3. -gi - 2. 4. அ?(அ + இ). 5. - . 6. க - 1. 7. க - 1. 8. 2க - 3, 9, 3 க - 4ந. 10. 6 க - ந. 11. 4.அ - இ. 12. அ - 1. 13. - . 14. க(க - 1). 15. 2.க - 3. 16. 3 க - 4ந. 17. 1 + 3 க. .1 + gy . 19. g., + 3. 20. க - 1. 21. 4 க? - 4 கي 3 • 18 22。ー・ 23. 4 க2 - 2 க + 1 . 24. - . 25. க - 1.
26. 8க3 - 12க? - 26 க + 15. 27. க + 1, 28. 1 - 2 க - க2. 29, 2 க2 - 3 க + 2, 30. க? - க - 1.
பயிற்சி 15 (இ). பக்கம் 233.
?அ*இ*உ8. 3. 24 அ2இ*உ 96 .2 .8_«ع 3(g 98 .1 4. க(க2 - 1)(க2 + க + 1). 5. க(க + 1)2(க2 - க + 1). 6. (5 + 1)(5 - 2)(25 - 1). 7. க(2 க - 3)(9க2-4). 8. (5 க - 1)(2 க + 3)(2 க + 5). 9. (8க + 1)(க - 2)(2 க - 1). 10. ( 5 - 1)(4 d5 + 1)(5 + (5 + 1). 11. ਯ+ਲ 12. (க - 1)(2 க? + 2 க - 1)(3க?- 2க - 2). 13. (2 க - 1)(4க2 + 2 க - 1)(4 கஃ- 6 க - 3). 14. (க- 1)(2 க + 1)(2க - 3)(க+ 1)?.

15. 16. 18. 21. 22. 23.
18.
21.
24.
28.
31.
34.
விடைகள் XXV
(க - 1)(2 க - 1)(2 க? + க - 2). (9க?-1)(4க? + 4 க - 3). 17. (2க - 1)(3 க + 1)(3க - 1)?. 1 - க.ே 19. ) یB6 -- [b0( 20. (2 க - 1)(8 க3 - 1). (க - 1)(3க - 1)(2 க + 1)(9க? - 7க + 2).
(2.5 + 5) (5.5 - 2)(3.5 - 2)(495 - 1). (2 க + 3)(3க - 2)(4க% - 9). 24. 36 கசி - 9 7க2 + 36,
பயிற்சி 16 (அ). பக்கம் 238. 6அ- 4இ + 3 உ 2இஉ+3 உஅ - 4அஇ
12 அஇஉ 6.உ - 4 அ - 3இ 4அ?-3இ+2உ?
12 அஇஉ 12 அஇஉ 4அக - 2இந+ உய 8அநய-6இயக-3உகந
8அஇஉ e 24அஇஉகநய A. அ-இ 8. அஇ க(ந+ 1) 3 ந - க
அ இ ந
-- 2 க+ ந 12. ( ) 13. - ?
ந fB க + அ
25 2க lay "T . 17 .ج------ یہ ہے۔ . க - அ க? - அ? 16 அ? - க? 7 க - 1
I s 4கந ۔۔۔۔۔ .20 。ーーート。19 -------ہ ---------------~ ( Ꮷ5 - 1)* (க + 2)2 (s? - 15°)
2 5o ------്. 22. 0. 23. -- . (க + ந)(க - ந)? (க - 1)(க3 + 1
l 1795 3 -------- - --" SqS l 6(1 + 3க) 25. g 4 - 1(2 .26 ۰ وக?) 27. 붉.
5(4க?-28க+5) 4க - 5 ந a8 2(2 க + 5)(2 க - 5)? " " கந(க - ந) ’ (க- ந)8
4அ8 2 ந2 )58 + 1( )is - 1( .33 5 - 1 .32 4 او س- 4 ,0ی
- a 2 4 35 6(2 - க2)
ந4 - 1 ’ (1 - க?)(4 - க2)*

Page 143
XIXVi மாணுக்கரட்சரகணிதம்
18க 2அ(2 அ- 13)
· (0 - نو fرو ناوو) – .37 ( A - نبوه و راس 3 به 9 - ۰ 3
120 I 38. (932-1)(932-16) 39. 0. 40. وy + 2*
க(1 + 2 க) 8ց:3 41. (1-5)*(1 - 58) 42. (492-1)(4.2 2s. 1.)
பயிற்சி 16 (ஆ). பக்கம் 243.
2 2 2- - - 1. 0. 2. 1. 3. க + ந” + ய- கந - நய - யக
(க - ந)(ந - ய)(ய - க) 2(க2+ ந? + ய? - கந - நய-யக) .0 ,6 0 .5 --گ--۔۔۔!-- ...... ---------گ--------------------سے۔ ----------ایس-ایس~~
(க- ந)(ந - ய)(ய - க) 7. 0. 8. 0. 9. - 1. 10. 0.
3 2 11. ------------. 12. --------------
1. (க - 3)(க - 4)(க - 5) 2 (க - 2)(க - 3)(க - 4) 13. ---- 14. ---- (க-2)(க-3)(க-4) (2க-1)(2க-3)(2 க-5) 15. ----- 16. ------ (2.95 - 1)(35 + 1)(5 d5 - 1) (1 - 2 க)(2 + 3க)
பயிற்சி 16 (இ). பக்கம் 246.
一ー 2இ 1. அகந. 2. 2அகந’ 3. 9 க. 4. 3அந’ 5,暴...
I அஉே I 6. 7. I 8,冠 ' ਫੁ 10.
1 l l 11. 2s + 3 is 12. I. 13. (3,-1)2 14. 3க -- 2
I I 5· 五丁g酥 17,1,18,三方,19,1
4அ? - 2 அ + 1 I 20. )2.2 ( .2 "2 ر3 + و+ i)2T 22. ऊ + 1 ।।' 23. 1. 24. 1. 25. . . . 26. 1. 27. 1. 28. .
1 - க அ

விடைகள் ххvн
பயிற்சி 16 (ஈ). பக்கம் 252. . # JS -ر سl அக-இந O . 2. . عس--س- . جیس-------۔----------- அ - 1 2 3 க + 1 அக + இந 5(4 + ტE) 4க + 1 அ(2அ + 1) அ 4(5 - க) 3 க +1' و " " "" : 1 + (و -- I
48க ---- کس۔ __ انتخ___۔ 9. - 10. 2· · · 12. (952 - 4)2
256 2ܗ̄ -- T 2 " அ 13. sag. 14• a. —A)*r.~3 52ʻ "°. Tஇக
ய(க - ந + ய) 10அ?
2 00 ց: 2 2 برق - بوی (و ... بویر 1 - و 20۰ .J 9 - ۰ قر4 . وی 5 و - 18۰
அ2 + 3 இ? “. . . 6 21. அ+2இ' 22. க+ ந’ 23. 1 —- و)(ф — 2)(з, — 3)(в — 4)”
I 24. 1. 25. --- 26. l.
அஇஉ
பயிற்சி 17 (அ). பக்கம் 260. 1. - · 2. - 13. 3. - · 4. - 1羅. 5. 2. 6·一器,7 6,8,-2,9,2吉·10,高,11,2星。 12. - 5. 13. 2. 14. 3. 15. 64. 16. - 52. 17. 9. 18. 2. 19. 3. 20. - 1. 21. 3. 22. - 2 .
பயிற்சி 17 (ஆ). பக்கம் 264.
1. அ + இ. 2. அ. 3. - (அ-2இ) 4. 3 அ+2இ? 6. - - அஇஉ o 2 gy அ + இ’ அ + இ + உ
1 شیوہ۔ 2 ہوتی . *டட்டே, 9 அ - இ. 10, இ. 11. --S. 12. இ. 8 அ + இ 9. அ-இ 0. இ. 11 "அ + இ இ
395-T

Page 144
XXV ii மாணுக்கரட்சரகணிதம்
13. அ+ இ 14. - (அ + இ). 15. இ(அ +இ) 16, 0,
அ + இ அ(அ- இ)
17. 6அ. 18. 2அ, 19. - 3 அ. 20. - 4அ.
_அ*அஇ+ இ . அஇ 22 டப+ம
21. లో== } 'Tஅ + இ’ is 2அ
VWM as
t?--LD2 2- to _அஇ.
23. * அப - இம *"இப-அம 24. க-- +இ'
_அஇ.
அ + இ _அ’-இ ._அ*-இ? - الاسلاف نه – + هم په به و 25. *下エ・ PT2அ-இ 26. க= 2அ + இ. •ur 2
_அ+3இ .__அ- 3இ 8. --அ'(அ - இ) 27 ===す* a=ー*子* 28 ==ー露。三訪 _அ(அ-இ)(அ’-அஇ இ)
ந 2அ? - 2அஇ + இ?
பயிற்சி 17 (இ). பக்கம் 269.
1. 40 மைல். 2. 240 யார். 3. மணிக்கு 4 மைல். 4. 16.
5. 650 ரூபா. 6. 105 மைல், மணிக்கு 3 மைல். .r. 8. 390 ரூபா, 450 ரூபா. 9. 35 அடிחebu 200 1 .7 10. 18 அடி, 8 அடி. 11. 80. 12. 80 ; 18 et Lunt. 13. 35 நிமிடம். 14. மு.ப. 9 மணி 48 நிமிடம். 15. 66 அடி.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 6. பக்கம் 272.
.)4 + ?ell. 1 . 9 - I ۰ . 2. க?(க + 1)(க2 - 4)(க* + 2கی
3. பூட2ஆட்இே’பூ, 4 அஇ
(3அ + இ)(அ?-4இ?) ட் அ + இ’
5. மணிக்கு 20 மைல்.

விடைகள் XXix
ஆ. 1. க - 2. 2 ( 4 35 -- 9) ( 4 352 - 4 5 + 3)
அ2 + 4அ - 37
, . . 4. . 5. மணிக்க 3* மைல்.
(அ + 1)(அ? - 9) அ. 3. மணககு 34
இ. 1. 1 - 4 க2 ; (1 + 5 க)(1 + 6க)(1 - 4க2). 2. ه"T.
一岁+@ 。_鄂二@ 3. - (அ + இ). 4. க- 4" • లీ" ""
5. 40 அடி, 30 அடி. w
ஈ. 2. அஇே°(அ + இ)(அ - இ)°(அ + இ?)(அ? + அஇ+இ?)*
3. 3. 0. 4. 10 5. 72 அடி, 50 அடி.
Այ( 1 + 5) 8 S S YJSSS SK S uKhAS 0SJASASA uSAJS 0S S TS0SS S00SS S 0S 竺_ ந 1 - க) 256 gy - 1 3. க - 2, 4 6 5. 1 92 u ustri.
105 96ιΙ. 1. ec st . 2 95 + 1 ۰ 3 جسس حی ساب- -- ه
o BS -- I 2 -- ( - 4)(5- 9)
I I 4. - , m= 5. 360.
அ + இ ' " அ + இ
2(அ? - 3 அஇ + இ?)
.6 - 2க? - க .2 • میکنگ-ک-رے ----- ک ----- .1 . 6 (அ+இஅே-இ) ó“一 安
-- —. - O. 50 b; க2(க - 1) 4 5. 5. 50 pufólih:
2அ°(அ+இ?)
O 2ر2(g -- 92) 2. Sss - 3 ; ( 35 - 3)(352 - 1)(255 - 1 ) (35 — 1).
4 w 3. (9:2- 1)2 4. 1. 5. மணிக்கு 1 மைல்.
ஐ. 1. இ*+ 5இ + 4. 2. க + 1. 3. 0. 4. 3*அ.
5. 12 to goof, 32吉 நிமிடம்.
பயிற்சி 18 (அ). பக்கம் 279.
1. 3 ; 3; 1, 2, 8 ; - 6 ; - 12, 3. அ- இ + உ , உ , அப?+இப+ உ. 4. 385. 5. இ+1. 6. 2இக ; - 2உ , - (5அ + 7இ + உ). 7. பஅ2+ மஅ + வ ; பஅ? - மஅ +வ வ.

Page 145
XXX மாணுக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 18 (ஆ). பக்கம் 283,
1. 4. 2. 0. 3.. 67. 4. 103. 5. .. 6. - 1. 15. Lu = — 24, LD = l 5. 16. அ= 5, இ- - 6. 17. அ='- 31, இ=:36. 20. க - ந, ந - ய, ய - க. 21. அ - இ, இ- உ, உ - அ. 23. (க - 1)(க - 2)( க + 3). 24. (க - 2)(க +2)(க + 4) 25. (2 க - 1)(2 க + 1)(3 க + 5). 26. (2.5 + 1)(3 J5-1)(5 5-1). 27. (க-2)(2 க + 1)(2 க + 3). 28. (2 க + ந)(3க-ந)(4க-ந). 29. (க+ ந)(க-3 ந)(க2 + 3ந?). 30. (2க - ந)(2 க + ந)(3க - ந)(3 க + ந). 31. -(அ-இ)(இ-உ)(உ-அ). 32. (அ-இ)(இ-உ)(உ-அ). 33. - (க - ந)(ந - ய)(ய - க). 34. (க + ந)(ந+ ய)(ய + க). 35. 3(அ- இ)(இ - உ)(உ - அ).
பயிற்சி 19. (அ) பக்கம் 288.
1. 2, 3. 2. - 3, - 4. 3. - 5, 6. 4. 4, - 7.
5,1,一1,6,1,3,7,一墨,3,8,瑟,一慕,9,1慕,苦... 10. 붉, -德. 11. 1-1. 12. 흉, 붉. 13. 1, 2. 14. 31, 3, 15. - 6, - 4. 16. 6, 14. 17. அ, அ-1.
- 1 18. - அ, அ + 1. 19. இ. -2-1) 20 - இ. இ(அ + 1). 21. 3, 5. 22. - 5, -9.
9H அح 23. - 2, 3. 24. - 7, 9. 25. 1, 2. 26. 1, -2 27 -름, - 28. 룸, - 29. , 1. 30, , - 1 31. , -붉. 32. 봄, - . 33. 봄, 봄. 34. - , -름. 35. 1, 1 36. , - 1 37。卫慕,一卫瑟,38。器,墨 39,器,一碧,40,器,一器,41。嘉,0,42。一基,一1慕... 43. -, 器. 44. 곰, - 1 · 45. , 0. 46. 2, - 1
4
7
3,
* {9گی
4
8
3
4
9
. அ.அ - 1, 50. அ, - (அ- 1).

xxxІ.
6.
• 22.
79.
78.
74.
: O
- 12.
- l.
56.
• 47.
・55.
. 70.
92.
-
3.
• 1 سب
விடைகள்
பயிற்சி 19 (ஆ). பக்கம் 292.
1. 8, 12. 2. 16, - 5. 3. 12, -11. 4. 12, 5. 5德, - 10. 6. 4, - 12. 7. 품, - 1. 8. 봄, -
2 5 5 9. 품, - . 10. 음, - . 11. , 器. 12. 붉, 13. I器、I盤・ 14。ー4。ー5豊・ 15 2。ー I翻・ 16。器。
1. 6 2 1. 17,1吉,一慕... 18. 그놈, - 품. 19. ', 20. 1붉, - 1. 21. 붉봄, - . 22. 8, - 1. 23. - 1, 24. 4, -2. 25. அ, 2அ. 26. 2அ, - அ. 27. 62, - 1 28. 69, - 2. 19. 29. I. 15, - 65. 30. 5: 16, - I - 31. .. 56, - 36 32. 61, - . 28. 33. 65, - 34. 2 - 08, - . 48. 35. 1 44, - . 69. 36. 3. 79, - . 37. 1 - 42, - . 59. 38. 2: 24, - . 07. 39. 1 - 28, - . 40. 1 18, -85. 41. 46, - I - 46. 42. 1 . 57, - .
பயிற்சி 19 (இ). பக்கம் 296. 1. 羅, - 1. 2. - 붉, - 그羅. 3. 3, - 붉. 4. 1, 5. - 품, - 1. 6. 9, - 8. 7. 흉, - 2 8。景, 9,1古,一器· 10,1蔷,一号。 11. 13, 12. 4, - 4. 13. 2德, - 2. 14. 붉, - 體. 15. , 16. 불, - 2. 17. I. 62, - . 62. 18 • • 5 63 س- و • 19。・43。ー・23. 20. I・I5。ー・35. 21・2・I4。ー 22. 3. 71, -1 - 21. 23. 1 87, - 54. 24. 1 - 80, - 25. 94, - 36. 26. 56, - . 15. 27. 1 - 70, - 28. l. 68, - . 68. 29. 1 .. 61, - 86. 30. 1 92, -
பயிற்சி 19 (ஈ). பக்கம் 299.
1. 0, 1, -2. 2. 2, 4, -3. 3·墨,墨, 4。卫墨,5,一器。 5. 0, -2, -3. 6. 0, 1, 7. 3, -2, - 4. 8. 墨,1景,一繼· 9. 3, 5, - 3, - 5.
10. 1, 3, -1, -3.
11. 3, 4, -3, -4. 12. 1, 4, -1, - 4.

Page 146
XXXii மாணுக்கரட்சரகணிதம்
13. 器。4。ー暑。ー4. 14、墨。2。ー墨。ー2. 15・墨。3。ー黒。ー3・ 16. 1, -1, -1. 17. 1, -1, அ. -அ. 18. அ, -அ, இ, -இ. .3 -- ,3 ,1 -- ,1 . 21 .3 -- ,2 -- ,4 ,3 .20 .5 -- و4 -- ,4 ,3 .19 22. II, - 1, 2, - 2. 23. I。ーI。4。6. 24・6。7。ーI。ー2・ 25. அ, 2அ, 5அ, - 2அ. 26. அ, 3அ, - 4அ, - 6.அ.
i
2
பயிற்சி 20 (அ). பக்கம் 302.
1. 3, 6. 2. 21. 3. 20, 21. 4. 21, 23. 5. 11, 13. 6. 12, 10. 7. 12. 8. 93. 9. 32 шпт пї, 24 шптпї. 10. 48 யார், 32 யார். 11, 6 அடி. 12. 12 அடி, 9 அடி. 13. 8 அங். 6 அங். 14. 20 த.மீ. 15, 3 - 09 அங், 1 - 91 அங். 16. 10 - 68 அங்., 1 . 32 அங். 17. I 9 · 63 gyuq. 18. முதல் 20 இயற்கையெண். 19. 14 செக்கன். 20. 23. 21・25。24.
பயிற்சி 20 (ஆ). பக்கம் 308.
1. 8. 2. 30, 3. 20 ரூபா. 4. 20 ரூபா அல்லது 80 ருபா. 5. 6 ரூபா. 6. 15 நிமிடம், 12 நிமிடம். 7. 12 நிமிடம். 8. மணிக்கு 8 மைல். 9. மணிக்கு 5 மைல். 10. 240 நாள்கள். 11. மணிக்கு 5 மைல். 12. ம ணிக் கு 2  ைம ல், அ ல் ல து மணிக்கு 4 மைல். 13. மணிக்கு 7 மைல். 14. 6 அடி. 15, 64 அடி, 20 அடி. 16. 900 e5 Lunt. 17. 1200 et5lut. 18. 75 ரூபா. 19. 75 ரூபா. 20, 93 ஆண்டு.
பயிற்சி 21 (அ). பக்கம் 320.
1. 2.65. 2. 1 . 69. 3. 1 43. 4. 72. 5. 1, -3. 6。2,一卫墨。 7,鬍,一1臺. 8. 붉, - . 9。2,一署。 10. 1, -1. 11. 2 - 15, - . 15. 12. 1 30, - 23 0. 13. 1 67, -1 - 33. 14. 1 .. 79, - I - 12. 15. 1 - 24, - 3 - 24. 16. .. 79, -3.79. 17. 2. 32, - 52. 18. I 19, - . 19. 19. 4.33, 2.33. 20. 88, - 1 - 88.

விடைகள் XXXiii
பயிற்சி 21 (ஆ). பக்கம் 329.
1・6・25 ; (I・5, 6・25). 2. 88; ( - 75, 88). 3. 1 : 5. 4。ー・5・ 5. 6. 02. 6 g=ー墨 み=器・ ه I است و 5 2 ۰ و 1 - - 12 - 5 - ۰ 11 - 3 - - - 10 ه 25 . 2 م. - 9 13. 1 5, - 6 ; - l. 14. - 3 - 06 - 3 - 8. 15 5 2 ۰ است. به •
16。占=一卫·87,占=·54:4·33.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 7. பக்கம் 331.
அ. 1 - 25 ; 1 ; 2 அ9 - 3 அ? - அ + 1. 2. (க - 3)(க + 2)(2 க + 1). 3,1墨,一署。 4. 16. 5. 67, - I - 33.
ஆ. 2. (க - 2)(க+1)(3க +2). 3. - 4, *. 4. 7 ரூபா. 5. 67, - 1 - 67.
இ. 1. 225. 2. (2க - 1)(2 க + 1)(3 க + 4). 3. 42, 22. 4. 60 அடி, 40 அடி, 5. 30, - 3* 30.
FF. 1. — 1. 2. (5 + 1)(5? – 4 5 + 8). 3. Il • 13, – 30. 4. மணிக்கு 6 மைல். 5. 5, - 1.
உ. 1. 76, 2. (க - 1) (க2+ 7 க + 14) 3. 43, - 1 - 93. 4. 4 - 69 அங், 27 31 அங். 5. 16. 33.
ஊ. 3. 1, - 2, 4. 12 நிமிடம். 5. 4. எ. 3. 3அ, 4 அ, - அ, - 2அ, 4. 4800 et5 urt. 5. 96; 1. W ஏ. 1, 8. 2. 3(அ + இ)(இ + உ)(உ + அ). 3. 3அ,-3அ:-. 4. மணிக்கு 1 மைல்.
3 5. - 5; 6, - .. 8
ஐ. 1. அ=4, இ=-18. 3. அ,அ,3அ.-அ. 4. 75 ரூபா. 5. 36;க = - 2 - 33,க-1 67.
பயிற்சி 22 (அ). பக்கம் 342.
1. (i). 9j°. (ii). G31 2. (iii). 35. (iv). jb 1 0. 2. ii). 2. (ii). 3. (iii). 2. (iv). — 6.
3 2 os e 3. (i). Jagy*. (ii). — 2 g3. (iii) 23:2. (iv). — 4 5 응

Page 147
XXXίν மாணுக்கரட்சரகணிதம்
4. (i). vso. (ii). Vエ (iii). vý„ “. (iv). Vin-5.
.2م .11 قتين .10 . قة .9 .3 .8 .3 .7
T - அ அ°இ 5 அ* அ*
一基 3இந? 3 இ8க3. 1 5 512. l. 13 - 15 - .14 مایک,′°。
༡ 4அ2க? 7அ?ந2 ந 16. -- 17. *. 18. 3 తో, 19. 69%. 20. ఆ సే o 4அகேதே' கி , 马丁· அ 1 2 . ·羞<9
1 - 21. 9. 22. - 23 . 5. 24. ਫ਼ 25 ° ®
க* 应°
3 I 26. s. 27. ---. 28. 3. 29. - 8. 30. - 12.
க*ந 8.
6க 2 ந
பயிற்சி 22 (ஆ). பக்கம் 346.
器,器 - 4 1. க* - ந’. 2. 5 3 - 1. 3. 4க - 4 க* + 1.
- 1. 1.
4. 6 .5 .6 – أبى – إلىஅ + 5 ఆగీ@*- 6@. 6. 2அ° - 1. 4 - 4 器 " -- 2 - 1
7 8 - க °, 8. க3 + 4கந2 + 16ந4. 9, 6 ப -2ப + 3.
器
2. 2. 2. 1 器一惠 붉 10. 4 ப? + 9 ம° + வ? - 6ப*ம° + 3ம?வ° + 2 ப?வ?.
] l -
I I I 6 ----*ی .16 . ,"fـ - .15 . ---- .14 . .13 .---: .12
__ அ8 7 上 3. அ 2 3, 2 3 க?
3. 17. "3 .8 * 2 جيم عمروLD'. 19. I
கந
4. l a 20. 구. 21. -. 22. "... 23. I
ந? Lu 8

விடைகள் XXXV
ந5 24。鸟十@,25。一云· 26. -- , 27 . . .
அ-இ )لقة 2 (22 – لايو s
2 + 3 وي 3 وہ 2 墨 3 - فوی و 28. க - 3ந?. 29. 罕,30.一盏 31・干a一ー・
2க* + 3ந? a +1 க° - 2
32. I. 33. 2. 34. 6. 35. .
பயிற்சி 22 (இ). பக்கம் 353.
1. V128. 2. V3 2 . 3. V1 2 T. 4. V27
5. V80. 6. V63 T. 7. V44. 8. Vʻl 44 `
9 "Y2 10 "Y" 11."(Y翌ー" 12."(Vリサ"
2 3 2
13. ( V2). 14. 4 (? - V3). 15. 9 Vg
I அ? - இ.
அ(2அ - V3இ) ܚ• ༦---་ཐང་ག 4 ,8/iv/ 2 , 5 W 2 , .17 اصیکه مه ۷- مس |
49-3g) -V50, 2 V3 2, 5-Vʻ8, 4 Vi 8.
18. V I 08, 2 V48, 4-V2 7, 7-VI2. 19. 2 V7 2, 3 VZ48, 4 V36, 6 V20. 20. 3 V288, 4 V2 43, 3 ہv/ 576 6 و V180.
21. 20. 22. 120. 23. 20. 24. 12. 25. 30. 26. ஃ. 27, 4 28. அஇே? 29, 3இv2அ, 30. V2 影 12 e 8 அ 2 -דןஅ* is
3 . 0 .35 .3/3 .34 .g / .33 . او 36 .32 . بی/۹ .31 36. O. 37. 0. 38. 0.
பயிற்சி 22 (ஈ). பக்கம் 356.
.y2وی 4 - 1 /v 2 + 2 •2 . 21 وی/vہ 2 + /9یہ 2 - 1 3. 5(5 - 15) - V6s2 - 14 as 42. 4. 28, -2 Va;22. 5. 5 + 2 V6. 6. 8 + 3 V7. 7. 97 + 56 V3. 8. 7 - 4 V3.
395丑一Ta

Page 148
XXXVi மாணக்கரட்சரகணிதம்
- அ + இ 2 -V3 + ~V/5 9. A/. 1(), ---중. 11. Y Y.
VB அ - இ 7 12. 5(3 V2 - 2 V3). 13. 2( 5Ꮙ2i + 2 <2Ꭰ.
6 25 - 4அ 14 49 + 20ν 6. 15. V3 + 2 v 3.
I அ - 4இ 4அ+9இ+12Vஅஇ. 17. 2 + V6- V2. 4.அ - 9 இ 4 18. 2 V3 + 3-V2 + v 3 0. 19. 6. 20. V3 it
6 2
21 */* 22 * 23.・70。24 ・28 25 ・51
திசு - 9 க - 1
26. 19.
பயிற்சி 23 (அ). பக்கம் 363.
1. மட,64=6. 2. மட243=5. 3. மட256=
8 6 4. மட,125=3. 5. 2 = 256. 6. 3 729 جب جمہ.
7. அ"=ப. 8. இ"-ம. 9. 1 -+- 2 l D L 3 –+ LD L 5 ; 3 LD r - 2 -+ 2 L fb L — 3 — 3 LD L 5. 10. 2.94 73. 11. LD L l s9I — LDL -Q9) — LD L - 2d .
12. 2மடஅ-மடஇ-2மடஉ. 13. மடஅ-மடஇ-மடஉ.
14. மடஅ-த்மடஇ + 4 மடஉ. 17. 0, 18, 0.
பயிற்சி 23 (ஆ) பக்கம் 367.
1. 3; 2; i. 1; 4: 0. 2. I-7534; 27.534; 27.534, 4.7534. 3 , 2 · 2 1 5 2. , Ꮞ. 1 . 9601 .. 5. 4 · 8623 . 6. 1 8 : 6856 . 7. l. 6633. 8. 1. 4138. 9. 19. 1755. 10. I. 6921.

விடைகள் XXXvii
. 0.350. 13. , 8039. 14. I. 2352.
11. 5.6652. 12. 2. 15. lī. 5643. 16. 1. 7557. 17. lī. 738. 18. - 8596. 19. 1 .. 7997. 20. 2.932 7
பயிற்சி 23 (இ). பக்கம் 377,
. 208, 7. 2, 1921. 3. 2・253。 4. 3 l l 9. 5 7. 515. 6. 1 . 925. 7. 1394. 8. . 000 1999.
9. 46.22. 10. . 001 682. 11 . . 000 2 191. 12. 031 86. 13. 1310. 14. . 0.03.218. 15. . 001160. 16. 08000. 17. . 07 23 6. 18. ... O I O 08. 9. . 8 O 75. 20, .3632. 21. . 2681. 22. 0.0035 62. 23. 83. 20. 24. 15 63.
25. 6・66 8. 26. 1 : 043. 27. 1 - 5 O. 28. 3 - 743. 29. 4 025. 30. - 6, 341, 31. ஏறத்தாழ 28 ஆண்டு. 32. ஏறத்தாழ 42 ஆண்டு. 33. ஏறத்தாழ 389 ரூபா. 34. 1736 கன மீ. அண்ணளவாக, 35. 2. 758 ச.மீ. அண்ணளவாக,
பயிற்சி 24 (அ). பக்கம் 383.
1・ 5=2。互= I ; 五=I。互=2. 2. 5=3。巫=ーI ; 5=l。 互=ー3・ 3 5=I。互=ーI; 5=一墨。 万=2 4・ 5=3 5=ーl;
5=2 5=ーI器・ 5 5=ーI 5=ー2; 5=I場。互=I墨・ 6. 5=2。互=ー2; 五=ー3。巫=I墨。 7. க- 2, ந= 1 ;
●=0 万=ー I. 8,西=2,历=1;á=一2器,5=一2苦... "・ 5=ー I 5=ー2; 5=ー墨。互=ーI豊。10 5=3 5=ー2; க= - 2, நா 3. 11。占=一卫,历=一2; 5=一2,互=一卫· 12. cm=4。巫=ー3 ; 5=3。 15= -4. 13. g=ー3。 万=ー2; க- 2, ந= 3, 14・ 5=3。 万=2; g=2, 5=3. 15. க = 3, ந= - 1 க= - 1, ந= 3, 16. க - - 4, ந= - 2 ; கா 2, ந= 4. 17. க= 1 , த = - 3 க= 3, 应=一1, 18. க - - 2, ந=3 : க- 3, ந= - 2. 19. க - 5, நட2 ;
க= - 2, ந= - 5. 20・6=場 万=黒; 5=器。A万=墨。

Page 149
XXXViii மாணுக்கரட்சரகணிதம்
21 あ=3 5=ー4 ; 5=4 5=ー3 22・5=ー墨 b
●5=ー蓄。 万=ー鼓・ 23. க = 4, ந= - 6 ; க = 6, ந
حسن
ra
της
影
娜
24. க - 3, ந=2 : 历=1器, ந= 8
பயிற்சி 24 (ஆ). பக்கம் 388.
1. க=+1, ந=+3 ; க =+3, ந=+1. 2,5=3, ந - 1
G=ー3 5=ーl ; 5=I黒 5=ー3器; あ=ーI墨 5=3黒・ 15 VI 5 . 3,5=卫, =一器; 5=一1,历=器; க=Y', 互=ー ー →
5 5 Vʻi 5 WI5 5 *=ー 5 5= ァ・ 4. க =+2, ந=1 : 5= , 西=土瑟 5 5=土I 5=土2; 5=土器v/2 5=土塁v2. 6 み=土I 5=土l ; 五=土器。 ந="+4, 7. க - +2, ந=+1. 8,5=土5,互=土2 9・5=土I 5=丁2; み=土2v/歪, 15 = + v 2. 10. 5 = + 3, 15 = 1; 3 = +3 V6, 5–t's V6. 11. க = 0, ந=+1. 12. க - 1, ந= - 4. 13. க = 2, ந=0 14. 与=I豊 5=ー羅; 5=4墨 5=ー暑 ; 5=豊 5=ー2量・ 15. 5=2 5=I黒; 5=I。互=2藩: 5= , ந=3. 16. க - 2, ந=3 17. க - 2, ந=1 18,á于土卫墨,历=土器; 5=土器,历=土卫嘉 19. G= , 巫=土場 。 历=土卫吉, 历=下器 20。历=土卫, நி="+5 க-+5, ந=+1
பயிற்சி 24 (இ). பக்கம் 389.
1・ 5=2 5=ー I ; 5=ーI。巫=2. 2. க = 3, ந= - 2 ‘ க= 2, ந= - 3. 3 み=2 万=ー2; み=I。 万=ー4. 4 五= I。 万=ーl ; 5=ー3。 万=墨。 5. あ=土3 5=丁I r
●=土I。互=+3“ 6. 5=土3。 万=下2; 5=土2 万=+3. 7・5=量 5=ー墨; 5=ー墨、p=器。 8 5=器 5=ーI;
●=l 。 5=ー器・ 9・李=2 5=ー4 ; 5=4 万=ー2。

10 历=量, E=ー墨; க= - 4, 西=量... 11. (5=l, 巫=ー墨。 5=墨 万=ーI 12. 五=場 5=ー場 。 5=ー墨。 万=墨 13・ 5=ー3。A5=ー2; 5=ー2。互=ー3 14. க - 5, ந= - 2 க= 2, ந= - 5 15. 五=墨 5=l ; 5=ーI 5=ー墨 16 西=器, 互=ー墨 ; 五=ー墨。 ந=. 17 五=I。互=ー2。 u=ー3 ; 5=ーI。 万=2 u=3. 18. 安=2 5=ー3。 u=ー4。 19. க = 2, ந=1, ய= - 1. 20 5=2。A万=ー2。Ll=4
பயிற்சி 24 (ஈ). பக்கம் 393.
1. 10 அடி, 12 அடி. 2. 15 அடி, 12 அடி ; 18 அடி, 10 அடி, 3. 8, 3. 4. மணிக்கு 30 மைல், மணிக்கு 40 மைல். 5. 6, 4. 6. 10, 6, 7, 3, 2. 8. 83, 9, 25, ரூபா 6. 10. 210 மைல்.
பயிற்சி 25 பக்கம் 403.
1. (i) 占=2·6, ந=5, 9 ; 5=一卫·4, = - 6 3 (ii) 与=I・7 万=3・5; 5=-2・4。互=ー2・5 (iii) 5=土3・5 互=土・8 ; 5=土・27 万=土II・0. (iv) 3, = - 9, 15 = 4 · 6 ;
3.
3.
s
み=ーI・5 万=ー2・6・ (v) 5=ー3。 万=ー6 ; 与=6。互= (Vi) க= 6 2, ந=3 : 2 ; க-1-1, ந= ட 1 9. (vii) 5= 1, 3, ந= 5, 6 க - -3 7, ந= - 4 : 4. (viii) 55 = 2 · 8, p5 = 2 · 9 ; あ=ー4・3。互=ーI・9・ (ix) 与=土4・4, 乃=土・9; み=土・9, .5=上4・4・
2. (1) க- - 2, க= - 4 என்பனவற்றிற்கிடையில். (2) - 9. (3) க= 3 - 64, அல்லது - 1 64.
3. (1) க- - 1 - 35, க-1 85 என்பனவற்றிற் கிடையில், (2) 6 13. (3) க= 1 85, அல்லது - 1 35.
4. (1) க= - 5 - 42, க =4 : 42 என்பனவற்றிற்கிடையில். (2) - 10- 13. (3) க-2 - 39, அல்லது - 1 - 89.
5. (1) க=1 - 5. (2) 16. (3) க-1- 37, அல்லது - 2, 37 6. க = 2 1, அல்லது - 2 - 6. 7. (1) 3. (2) 6 13. (3) க- 82, அல்லது - 1 82.

Page 150
x மாணக்கரட்சரகணிதம்
8. கா 45, அல்லது - 1 - 12.
9. (1) 1 : 5. (2) - 67. 10. க= 1 - 5, அல்லது - 3.
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 8. பக்கம் 406.
1. 1. (அ) 1. 3க* - 4ந°. 2. (i) 50 - 70, (ii) 91 · 26. 3 み=I。巫=ー3 ; み=5暑。 万=5器。 4. 14' 7. 5. (i) க= - 1 - 45, க-3 45 என்பனவற்றிற்கிடையில்,
(i - 5 - 75, (ii) க-3 24, அல்லது - 1 - 24.
(-e) 1.22°్య2+, 2. (i) 5, 7, 3 ; (ii) 1 246 · 5.
3. க= 1, ந= - 1 ; க= - 1, ந=2. 4. 5 ; 3. 5. (1) க = -1 - 65, க=3 : 65 என்பனவற்றிற் கிடையில், (i) 8 , (ii) க = - 1 : 65, அல்லது 3 - 65.
(@) 1. ਲ-ਨ 2. (i) 7 - 045 ; (ii) 342 - 6. 3. க= 2, ந= - 2 ; க=34 ந= -1. 4. 6 ; 3. 5. (i) 1 - 15 ; (ii) 14. 13 ; (iii) 5= 1 - 81, egy Gb Gog – 3: 31.
을 堂, 1, 1. 빌
(ஈ) 1. க +ந? + ய? + க*ந°-ந°ய° + ய°க°. 2. (1) = 08687
(ii) · 905 1 . 3 5=3 5=I; 5=I器 万=4器。 4. 7; 4. 5. க-2 21, அல்லது - 2 - 71.
1.
(g)) 1. قه - B + 1 + 3 * * B*. 2. (ii) 2 - 3 05. 3. g=0 万=0 ; 5=2 5=ー2。 4. 24; 60. 5. க= 54, அல்லது - 1 - 54
(ஊ) 1. 1. 2. (1) - 6830 , (i) 2 885 3. க= - 1, 互=ー2; 5=3。互=2. 4. 12; 20. 5. (1) க-1 60 (ii) 35 = - 86 ; (iii) — 5.
(GT) 1. j. 2. (i) - 9374 ; (ii) • 2536 ; (iii) 574 1.
3. க- - 1, ந=2 : க-4, ந= -1. 4. மணிக்கு 300 மைல். 5 5=土I。互=土2; 5=土2 万=土I・

விடைகள் xli
(ஏ) 1. 4 2. (1) 3.11 : (ii) 3.77. 3. க=0, ந=0 : 5=24 5=3器・ 4 300 Goloa 5 み=4・88 万=1・44; க= - 2.88, ந= - 2 44.
(p) 1. 29 + 2 Vigyo — go. 2. (i) 1, 3, , is (ii) 2 · 418* 3. 5=+2, p5=+1 ; 5=+ V2, p5=+v/2.
4. 53. 5. க=4 : 3, ந= - 7.6 ; க- - 4, ந= - 7.
பயிற்சி 26 (அ). பக்கம் 417.
1. (i) 9: 1 0 > 5 : 6; (ii) 11: 1 2 > 8 : 9; (iii) 15: 1 6 > 1 2 : 1 3 2 (i) 15:I7>6:7 (ii) 4:7>6:I3; (i) 9:7>8I:64。 3. 1:8. 4. 8:11, 5, 2: 1. 6. 5:2, அல்லது 2:3. 7. 3:4; அல்லது 3:1. 8. g?: 39°. 9. 붉. 10. 물
2O3
5 1. 2융 12. 33 I'
16.. 9, 24. 17. 15. 18. 1: 2.
பயிற்சி 26 (ஆ). பக்கம் 425.
12. 1:2:3. 13. 2: 3:4. 14. 1: 3:5. 15. 3: 4: 5.
பயிற்சி 26 (இ). பக்கம் 432.
1. க= 21, 2. க= 104. 3. க - அஇே8. 4. க=+(அ?-இ?). 5. உ4. 6. அ2-இ2. 7. 12(ப + ம).ே 8. (அ?-அஇ + இ?)?. 9. +(4அ?-இ?). 10. +1. 11. க- 0, அல்லது 2. 12. க= 0, அல்லது - 1. 13. க- 3, ந= 1. 14. க- 3, ந= 2. 25. 3. 30. 16, 24. 31. 5. 32. 7: I.1.
பயிற்சி 27 (அ). பக்கம் 439.
IO 1 万=器5; 器・ 2. 5="; 3. 3 5=エ; 土5・
巴云 4. 2· 5. 346 சதுர வடி. 6. 1437 கனவடி.

Page 151
xlii மாணுக்கரட்சரகணCதம்
7. 64 "st? 8. p=g + 5v/亮 9. 5=豊p*+ 10. 10.
5 ш 11. ந= 3 க + 2 க? + க.ே 12. 12".
பயிற்சி 27 (ஆ). பக்கம் 444,
1. 162. 2. 1 0. 3. 40. 6. - 3. 7. 32:27. 3. 81 ரூபா. 9, 7:6. 10. 16:25,
பயிற்சி 28 (அ). பக்கம் 450.
1。5,38,2,3,25。3。一4,一13。4。一基,一2嘉... 5. - 1, - 9. 6. - 4 அ, - 27அ. 7. - (அ + 2), - 6(அ + 2).
8. 2அஉ, அ2 + 12 அ உ + உ?. 9. 2, 8, 14, . . . 10. 5 9, 13, . . . 1 1. 18, 13, 8, . . . 12. 24, 21, 18, . . . 13. , , (0, . .. 14. 12 க, 9க, 6 க. . . . 15. 3 இ + 11. 16. 8(இ + 1). 17. 5(3 - இ). 18. 19 - 10இ. 19. 2 - இ. 20. க + இந. 21. 11 ஆம் உறுப்பு. 22. 20 ஆம் உறுப்பு. 23, 24 ஆம் உறுப்பு. 24. 19, 100. 25. 24, 156, 26. 3, 16. 27. 7, 57.
28. 13: 1, 81 - 5. 29. 3, 36, 30. க - 21ந, 12( க - 10ந). 31. 12, 32, 9, அல்லது 10 - 33, 6, அல்லது 10. 34, 20. 35. 7. 36. 15. 37. 15. 38. 72. 39. 56. 40. 4. 41. இ(இ + 1). 42. 10. 43, 11, அல்லது 15. 44. 33.
பயிற்சி 28 (ஆ). பக்கம் 455.
1。10嘉,9,7基。2。24,互2,0一12。3。一12,一7一2,3,8,13. 4. 2.5, 4 - 7, 6.9, 9 l. 5. 5. 2, 23, - 6, -35, - 6 4.
6,24,18,12,... 7. 3墨,3,2隸,··· 8,1器,隸,鬍,··· 9. 9, 8, 8, ... 10. 12. 11. 1, 3, 5, 7. 12. - 3, 0, 3, 6, 9. 13. 2க(க - 2). 14. 1120.
15. இ(இ - 1). 16. 20(13 ப - 3ம). 17. ப(ப - 1)(ப + 3). 18. 5, 8, 11, 14, அல்லது 14, 11, 8, 5. 19. இ(இ+1. ப+ ம). 21. 7.

- 27. 7. 28, 5. 29.
விடைகள் xliii
பயிற்சி 28 (இ). பக்கம் 464,
1. 128, 256. 2. 729, 2187. 3. ਯੂ . . . 4. . 一吉· 5. 8 ஆம் உறுப்பு. 6. 9 ஆம் உறுப்பு. 7. 13 ஆம் உறுப்பு. 8, 6 ஆம் உறுப்பு 9. 24, - 12, 6, . . .
1 10. 36, - 12, 4,.. 11. இ ஒற்றை எண் ணெனின் இ - 3'
3
I இ இரட்டை எண்ணெனின் - -- .
3 - (gک و 21 12. 255. 11
3 4 2 . 5 1. 14. . 15. 170붉. 16,1093器· 17,2吉... 19. +16. 20. +6. 21. +18. 22,土2...
1 8- 2 7.
23. 4, ', ", 4. 24. 13, 1, $, அல்லது - 13, 1, -க். 25, 64, -16, 4,-1,1,- 26. த், -1, 4 அல்லது -, -1, 27 5. 30, 7 31. (, ), அல்லது
s (-4, - ), 32. 13, 4, , அல்லது , 3, 1.
பயிற்சி 28 (ஈ). பக்கம் 470.
1·32,2,器,3,器,4,1瑟,5,1,6,12·8,
9
7. (i) , (ii) , (iii) 33. 8. (i) , (ii) , (iii) . 9. (i) 3, (ii) 3, (iii) o. 10. 30, — 20, 13 , . . 11. . 12. 고물. 13. 13. 14. 3)+ 1·
பயிற்சி 28 (உ). பக்கம் 475.
l. 33. 2. - 36. 3. ஐ. 4. ஜ்வ. 5。卫基,卫署。 6. 1, 1, , 불. 7. 2, 6, - 6. 8. - 2, - 8, 4. 9. 붉.
5 2 கந 10. g. 11·吉,12,一慕,1,苦· 13. க+ந”
14. - 3, 3, 1. 15. 11.

Page 152
xliv · மாணக்கரட்சரகணிதம்
பயிற்சி 28 (ஊ). பக்கம் 483. بر1- قومي ,1 – 1 * قا و .2 .@ + * - 30 وو , 1 + 1 - 30 و .1 3. 3 30 + 4 - ر1 – أقة وفي , 4 – 3 – 3 3 .4 .هو و + ر1 - 30 3) پ,و - 5. ( 29Ꭷ - 1 )* , "ag'ーロ) 6. 4இ?, இ(இ + 1)(2இ + 1).
7. (2இ-1)(4இ - 1), இ8இ+3இ-2).
8. 2இ(இ + 1), *இ(இ + 1)(இ +2). 9. g(g) + 1)(g) + 2), இஇ+1)(இ+2)(இ+3).
4 10. 4இ(இ + 1)(2இ - 1), *இ(இ+ 1)(இ + 2)(3இ- 1). 5 3அ 11. 4. 12. 12" 13. 1- அ " (1 - அ)? 14. இ(இ- 2).
15. இ(இ + 13). 16, 4இ(இ?-1). 17. G-3ളൂ-18).
I Ι8. இ(இ+1)(3இ?+ 7g) - 10).
19. %}2@* + 3 a)2 20661 ,20 .{1+ ہو 6 - ہو 6 + (1- ہو۔.
J
பரீட்சைப் பத்திரங்கள் 9. பக்கம் 484. அ. 1. . 2. 10 கலன், 9 கலன். 3. 413, 4, 5000.
1 3. 5 அ
,"2 راوی - 1) ”و ہ I *
ஆ. 1. 12, 8. 3. 3 அடி. 4. - 1, 2. 5. இ(இ+1)(இ+5)(3இ+ 4).
இ. 1, 31 2. 3. 3: 4. 4. 256.
1 3. I 5. 3ー一る一マーテ(2@ーI)ーない。
இ- 2 s' ئیک ہی(

விடைகள் xlv
بحیہ 4.۔ بحیرہ 1.°二望T@垩,3,4,4,6。
O SSSS 5. I 92.70.
F அ-இ
உ. 1. . 3, 15 செக்கன். 4. 1; 9, அல்லது 9: 1. .ر1 – قة 269 – ر1 + هو 9)(1 + (ه)ه .5
96. 1. 8: 1. 4. 8, 72. 5·吉·
6 r. 1. 6, 7. 2。ó=3。 3. 640 இரசவங்குலம். .4 – 3 " لقة و + ر1 + (ه) هي .5 .9 .4
ஏ. 1. 4, 6. 3. 70 ரூபா. 4. 40. 5. - 2இ.
ஐ. 1. க-= 3, ந= 14, 2. க. ந. ய-2: 1: 3, 3. 2: 9 4. 5, 2. 5, இ(இ + 1)(இ+2)(இ + 3).

Page 153