Page 62
112 ஆரம்ப தூய கணிதம்
12 OX, OY என்னுஞ் செவ்வக வச்சுக்கள் பற்றி ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு 120 + 5g +19=0 ஆகும். A(1, -1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக சமாந்தர வச்சுக்கள் பற்றி அதே கோட்டின் சமன்பாடு 120 + 5g + 26 = 0 ஆகுமெனக் காட்டுக. அது துணைகொண்டு அக்கோட்டிலிருந்து A யின் செங்குத்துத் தூரத்தைப் பெறுக.
13, 2 + 2g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டோடு 45° என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோடுகள் இரண்டினுடைய சமன்பாடுகளைக் காண்க : அம்மூன்று கோடுகளாலும் ஆக்கப்படும் முக்கோணியின் பரப்பளவையுங் காண்க. 14. P(a),g), 0 (0.g) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோடு p2 + y2 = 1 என்னும் ஒழுக்கை PR/R2 = k ஆகுமாறு k என்னும் புள்ளியிற் சந்தித்தால்.
k2 (a + g -1) + 28 (aல + gg -1) + 2 +g? -1 = 0 எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 3
சமாந்தர கோடுகள்
சமாந்தரமான இரு கோடுகளினுடைய சமன்பாடுகள் aa + b,g + c = 0, a + b,g + c- 0 என்பன எனக் கொள்க.
b, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின், அவற்றினுடைய சரிவு
6. (i. 7 ܫ¬ - o கள் - , -? என்பனவாகும். அக்கோடுகள் ஒரே போக்கில் எடுக்கப்
-
2
படும் பொழுது, அவை OX ஒடு சமகோணங்களை ஆக்கும்.
. - := - 4 அல்லது aby-ab=0
ხ1 ba
b= 0 எனின், முதலாங்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும். ஆயின், மற்றைக் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாதல் வேண்டும். ஆகவே, b என்பதும் பூச்சியமாகும்.
ஆகவே, இவ்வகையிலும் a,b - ab = 0.
அதுபோல, b= 0 எனின், b = 0 ஆயும் a,b - a,b - 0 ஆயும் இருக்கும்.
ஆகவே, ax + b,g + c = 0, ax+by+c= 0 என்னும் எவை யேனும் இரு கோடுகள் சமாந்தரமாயின்,
a,b - a,b = 0.
மறுதலையாக, a,b - a,b - 0 ஆயின், aa + by+ 0 = 0, 02 + by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் சமாந்தரமாகும். இது பின்வருமாறு நிறு வப்படும் :-
b - 0 எனின், a = 0 அல்லது b= 0.
a, b என்னும் இரண்டும் பூச்சியமாகும்பொழுது ax +by+c=0 என்னுஞ் சமன்பாடு பொருள்படாதாகையால், a = 0 என்னும் வகை ஆராயப்படத் தேவையில்லை.
ஆகவே, b = 0 ஆயின், b= 0 ; அதுபோல் b = 0 ஆயிருந்தால், b= 0 ; அதாவது, அக்கோடுகளுள் ஒன்று y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடும் அதே அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆகவே, அக் கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
b என்பது பூச்சியமன்றெனின், b என்பது பூச்சியமாகாது; ஆயின்,

Page 63
14 ஆரம்ப தூய கணிதம் ஆகவே, அக்கோடுகளினுடைய சரிவுகள் சமமாகும் ; எனவே அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
a'a +by+c = 0 என்னுங் கோடு aa + bg + c = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகுக.
எனின், ab'- a'b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) a, b என்பனவற்றுள் ஒன்ருயினும் பூச்சியமன்று. a' என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்க. ஆயின், a என்பதும் பூச்சியமாகாது. = k அல்லது a = ab ஆகுக.
(1) gyi) Sa Guó), ab' - kab = 0.
b' = bk. ஆகவே, k என்பது பூச்சியமாகாமையால், a'a+by+c = 0 என்னுஞ்
arupaö7utG ac-by-l- 0 என எழுதப்படலாம்.
ஆகவே, aa + by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான எக் கோடும் a+by+A= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்; இங்கு A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒரு பரமானம். உ-ம். 30-4g + 6 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் (1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒன்றயின், அச்சமன்பாடு 30 - 4g +A= 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அக்கோடு (1,-2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
3+ 8+À = 0. A = -ll ஆகவே, அச்சமன்பாடு 33 - 4g - 11= 0 ஆகும். செங்குத்துக் கோடுகள்.
ax+by+c= 0, a +by+c= 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனக் கொள்க.
ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
ஆகவே, a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றையதும் பூச்சியமாகும் ; a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றை யதும் பூச்சியமாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 113
ஆகவே, அக்கோடுகளுள் ஒன்று ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின்,
aே+bb= 0. அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்றதல் ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தர மன்றெனின், ஒவ்வொரு கோட்டிற்குஞ் சரிவு உண்டு ; அது பூச்சி யமாகாது. 9 என்பது OX ஒடு ax + b,g + c = 0 என்னுங் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகுக.
ஆயின், 0+என்பது OX ஒடு மற்றைக் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகும். S.
கான் சி=- ?! 写)=ー? .. தான் 6- தான (+3) ხ2
'=ே தான் 9x தான்(0+ = தான் 6 (-கோதா9) = - 1. ხ1ხა. 2
.. (102 -- ხaხ2 0.
ஆகவே, ax + b,g + c = 0, a0 +by+c= 0 என்னும் எவையே னும் இரு கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனின்,
aa2+ bb = 0.
மறுதலையாக, யு+ே bb= 0 எனின், யு2 + by + 0 = 0, 00+ by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து. அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு :- a=0 ஆயின், b= 0 ஆகும் ; b= 0 ஆயின் a = 0 ஆகும் ; அன்றியும் a= 0 ஆயின், b = 0 ஆகும் ; b = 0 ஆயின், a=0 ஆகும். ஆகவே, ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின், அக்கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகும்.
a, a, b, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
嵩=十嵩
ஆகவே, 9, 9 என்பன அவ்விரு நேர்கோடுகளால் OX ஒடு
ஆக்கப்பட்ட கோணங்களாயின்,
தான் 6 = - கோதா 9,
அல்லது கோசை 9 கோசை 9 + சைன் 6 சைன் 6= 0,
அல்லது கோசை (9 - 9) = 0.
ஆகவே, 9, 9, என்பன இன் ஒற்றை மடங்கொன்றல் வேற்றுமைப்
பட்டால், அவ்விரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
6-R 11681 (1166)

Page 64
16 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இரு கோடுகளுக்கு m, m என்னுஞ் சரிவுகள் இருந்தால், அவ்விரு நேர் கோடுகளும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை mm - - 1 என்பதே.
a'a + b'g + c = 0, aa + by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகுக. ஆயின், aa + bb = 0. a, b என்பன வற்றுள் ஒன்றதல் பூச்சியமல்லாததாகும். a என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்க. ஆயின், a, b என்பனவற்றுள் ஒன்றதல் பூச்சியமாகாதென்
பதால் b என்பது பூச்சியமன்று. =k அல்லது a = bb ஆகுக.
ஆகவே, aa' + 66 = 0 ஆயிருக்கின்றமையால்,
abik -- bb'' = 0
... b' = - ak
ஆகவே, a'a + b'g + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு
ba 十 c' O
ay+産= என எழுதப்படலாம்.
ஆகவே, A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராவெனின்,
ᎺᏆ -+- bgy -+- C = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான எக்கோடும்
bac - ay - A = 0
என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். உ- ம், 30 + 4g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் (-2, 3) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
gld, FLO6öTLIITO)
4x – 3y +À = 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். அக்கோடு (-2, 3) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
– 8 – 9 +À = 0.
..'. À= 17. ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு
4 - y + l7 = 0.
இருகோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்.
aur十 buyー+-c1=0, aa + by + -ே 0

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 17
என்பன ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமல்லாதனவாயுஞ் செங்குத்தல்லாத னவாயுமுள்ள இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்றதல் y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத போதுள்ள வகையை முதலாவதாக ஆராய்வோம். OX ஒடு 0, 1ா என்பனவற்றிற்கிடையில் (ா அன்றி o உட்பட) கிடக்கின்ற கோணங்களை ஆக்குங் கோடுகளினுடைய திசைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க.
9, 6 என்பன அவ்விருகோடுகளால் ஆக்கப்படும் கோணங்களாகுக. ஒரு கோணத்தின் குறியையன்றி அதன்பருமனையே காரியமெனக் கொள்ளும் பொழுது, அக்கோடுகளுக்கிடையில் ஒன்று கூர்ங்கோணமாயும் ஒன்று விரிகோணமாயுமுள்ள இரு கோணங்களிருக்கும் ; இக்கோணங்க ளின் கூட்டுத்தொகை r ஆகும். தான் (ா - 2) = - தான் a வாயிருக்கின்ற மையால், 0, 8 என்பன அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள இருகோணங் களாயின், தான் a= -தான் 8 என்பது பெறப்படும். 9>9 அல்லது <சி என்பதற்கேற்ப, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று 8- 9 அல்லது 8- 9 ஆகும்.
தான் (6-9) - - தான் (9 - 9) ஆயிருக்கின்றமையால், எல்லாவகைகளிலும் அக்கோடுகளுக்கு இடை யிலுள்ள கோணமொன்றின் தான்சன், தான்(9 - 9) ஆகுமென்பது பெறப்படும்.
தான் 6 = -1, தான் =ே - وه ხ1 ba
தான் 6-தான் 0_T b,T5,
3 == 227 دسمہیب 22 دسمیت == (699- ,69)rن U5IT6 .".
点 (6-6) 1 + தான் தோன் 6 (t1d. 1 +- ---- ხ1 ხa ab - a,b) QQ-+bb ஆகவே, c என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
ம்ே- யும் frgörcz= |ーニ一五千デ干|; 凸 aa2+bb
இ ab - a,b) இன் எண் ெ ானக்
.)ཡམ་ས་ ཡང་དང་ཡང་གདམས་པ་──མ་ཡ་མ-L966762། Lad ۔۔۔۔۔۔۔۔ 3. (1442–1–ხaხ2 Ol ததை காட்டுகின்றது.
இப்பொழுது, a + bi,y + c = 0
என்னுங் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமெனக் கொள்க.
3ே+by+ =ே 0

Page 65
18 ஆரம் தூய. கணிதம்
என்னுங்கோடு OX ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால், OYயோடு அது ஆக்குங் கோணத்தின் பருமன் > அல்லது < என்பதற்
π. 2
ஆகவே, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றினது தான்சன்,
கேற்ப 8 - அல்லது - 6 ஆகும்.
தான் (, 8) - கோதா 6 = -
2 2 ஆகவே, a என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
b தான் a = 2 02
முன்னர் ஆராய்ந்த வகையில், தான் a விற்கு அக்கோவையில் b = 0 என
இட,
.a என்பது பூச்சியமாகாமையால் وb|- اوd1b -
01.02 Cl2 ஆகவே, b = 0 ஆகும் பொழுதும்
a,b - a,b) TGOT C - - - - 点 QQ-+bb
என்னுஞ் சூத்திரம் உண்மையாகும். அதுபோல, b= 0 ஆகும்பொழுதும்
அது உண்மையாகும்.
m, m என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயாதல், சமாந்தரமாயாதல்
இல்லாத இருகோடுகளின் சரிவுகளாயின், அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள
கூர்ங்கோணம் Q என்பது
772 - no
தான் a =
என்பதாலே தரப்படும்.
g) - b. 2a + 3y = 0, 20 - g = 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையி
4 லுள்ள கூர்ங் கோணம் இலும் பெரிதெனக் காட்டுக. a என்பது கூர்ங்கோணமாயின்,
8 بیست|||||||||||||||| === roxز தானo
TT .. தான் a > தான் 4.
a aid."
4.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 19
இரு கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங்
கோடுகள்.
a0 +by+c = 0, ax+by+ =ே 0 என்பன இரு நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக. அக்கோடுகள் ஒன்றை யொன்று வெட்டினல், அவ்வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் அச்சமன் பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்க ளாகும்.
a,b- a,b என்பது பூச்சியமன்றெனின், அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்த்தற்கு a, g என்பனவற்றின் ஒரு தனிப் பெறுமானத் தொகுதி காணப்படலாம். a,b - a,b, என்பது பூச்சியமெனின்,
a, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்கள் அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையும் ஒருங்குதீர்த்தல் காணப்படாது ; அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
X என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருக்க,
aux + buy+ca十A(agr十bay+ca)=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது 20, y என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு. ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். தந்த இரு கோடுகளுஞ் சமாந்தரமல்ல எனக் கொள்க. ஆயின், அவை (c,y) என்னும் புள்ளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். இப்புள்ளி அக்கோடுகள் இரண்டிலுங் கிடக்கின்றமையால்,
da + by + c = 0, 02 + bx + c) = 0 X இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
auxa十biya十c 十A(aga十baya十ca)=0. ஆகவே, (x, y) என்னும் புள்ளி,
(aux + buy +c)+À (a22 + b2y + c2) = 0 என்னுங் கோட்டிற் கிடக்கும்.
X இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் (a + b,g + c + X (a + by+ c) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு (3+by+ 0 = 0, aல + by + c) = 0 என்னுங் கோடுகள் சந்திக் கும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.
ac -- bly -- c = 0, aல +by+c=0 என்னும் கோடுகள் சமாந்தரம் எனக் கொள்க.
ஆயின், Qರಿ – Qಶಿ = 0.

Page 66
20 ஆரம்ப தூய கணிதம்
A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், a (b+Àb») – bi (a +Àa») =À (a,b» - asbl) = 0,
(a-+- Ada) a0 -+- (b-+- Aba)g -+- (c-+- ACa) == 0 என்னுங் கோடானது A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும் ax+by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
. A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும்,
ata--by-ci - A (aa-bey -- ca) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு
aar -- by -- c = 0, a + by+ c = 0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும்.
உ-ம். ஒரு முக்கோணியின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகள் 3 + g+ 1 = 0, 0 + 2g + 1 = 0, 20 + g+ 1 = 0 என்பன. அம்முக்கோணியின் நிமிர் மையத்தின் ஆள்கூறுகளையும் அம்முக்கோணியின் மூன்றம் பக்கத்தை இருகூறிடும் இடையத்தின் சமன்பாட்டையுங் காண்க.
2+g+1+A(a+2y+1)=0 என்னுஞ் சமன்பாடு A யிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு BC யிற்குச் செங்குத் தெனின்,
2 (1 + A) + (1 + 2A) = 0
g 3 . À = 4. ஆகவே, A யிலிருந்து BC யிற்கு வரையுஞ் செங்குத்து
3 a +y+1-(a + 2y+ 1) = 0,
அல்லது ac - 2 y + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
a + 2g + 1 + A(2ல + g + 1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு C யிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு AB யிற்குச் செங் குத்தெனின்,
(1 + 2λ) - 2 --λ = 0.
A = -1.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 12.
ஆகவே, C யிலிருந்து AB யிற்கு வரையுஞ் செங்குத்து 2ー+ 2yー+ lー(2a 十3/十-1)=0, அல்லது - ac -- y = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
ஆகவே, நிமிர் மையமானது
a -2y+ 1 = 0,
g-a = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியாகும்.
ஆகவே, அதனுடைய ஆள்கூறுகள் (1, 1) ஒரு இடையத்தின் சமன்பாடும் A, B, C என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளைத் துணியாமற் பெறலாம்.
CD, BD என்பன முறையே AB, AC என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர மாய் வரையப்பட்டால், AD என்பது பக்கம் B0 என்பதை இரு கூறிடும். CD இன் சமன்பாடு
a +2y+1+A(2z十3y+1)=0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அது AB யிற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
(1 + 2)-(2--X) = 0. λ = 1.
ஆகவே, CD ஆனது
Зx + 3y —+- 2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
BD இன் சமன்பாடு a + g + 1 + A(2a + g + 1) = 0 என்னும் வடிவத் தில் இருக்கும். அது AC யிற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
2(1 -- 2À) - (1 -- XA) = 0.
O À= -3.
ஆகவே, BD இன் சமன்பாடு
*十y十1一5(2z十幼十1)=0,
அல்லது a + 2g +2 = 0 ஆகும். ஆகவே, 30+ 3ழ+ 2 + A(x + 2g+2) - 0 என்னுஞ் சமன்பாடு D இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும்.

Page 67
22 ஆரம்ப தூய கணிதம்
A யினுடைய ஆள்கூறுகள்
2十3/=一l, at--2y= - 1 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கின்றன.
ஆகவே, A என்பது D இற்கூடாகச் செல்லும் மேற்றந்த கோட்டிற் கிடந்தால்,
– 3 +2+À (–1 +2) = 0 ... À = 1 . AD இன் சமன்பாடு
3c -- 3y -- 2 -- (a -- 2y -- 2) = 0, அல்லது 4x -- бу -- 4 = 0.
பயிற்சி 11
1. (1,1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று a+2g - 1=0 என்னுங் கோட்டோடு தான் "13 என்னும் ஒரே கோணத்தை ஆக்கும் இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
2. ஒருச்சி (1,2) இலும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி (3, -1) இலுமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பக்கங்களுடைய சமன்பாடுகளையும் உச்சிகளுடைய ஆள்கூறுகளையுங் காண்க. /3. P என்பது y=0 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி ; Q என்பது y=0 என்னுங் கோடிற்கு PQ செங்குத்தாகும்படி y=3ல என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. PQ வின் மையம் 3g=50 என்னுங் கோட்டின் மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. v/4. ஓர் இணைகரத்திற்கு இரண்டு எதிருச்சிகள் (1, 1), (2) -3) என்னும் புள்ளிகளில் உண்டு; ஒரு பக்கம் 2g+32=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயும் வேருெரு பக்கம் g - 23=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாயும் இருக்கின்றன. அவ்விணைகரத்தின் பரப்பளவைக் காண்க. 75. ஒரு சாய்சதுரத்திற்கு இரண்டு அடுத்துள உச்சிகள் (3, 4), (-1, 2) என்பனவற்றில் இருக்கின்றன ;.(3, 4) இற்கூடாகச் செல்லும் மூலைவிட்டம் 2y+a=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரம். மற்றையிரண்டு உச்சிகளின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. 76. P என்பது aa+by+c=0 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி ; Q என்பது
EፇE a2+by+d=0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. nọ"* ஆகுமாறு ே என்பது PQ வின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், R என்பது aa+by+c+)\ (aa+by+d) =0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. - 7.அது துணைகொண்டு தந்த கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாய் அவற்றிற்கு நடுவிற் கிடக்குங் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரையும் ஒரு மாறுங்கோடு 30, g அச்சுக்களை முறையே )1 ,1( .7 محمد p, q என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது.
P, Q என்பனவற்றிற்கூடாக முறையே 07, OX என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைந்த கோடுகள் t இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ag -39 -g=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றதெனக் காட்டுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 123
8. ஓர் இணைகரத்தினுடைய பக்கங்கள் a2+by+c=0, a^2+by+c'=0, a3+by+d=0, "ஐ--b'g+d'=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. அதனுடைய மூலைவிட்டங்கள்,
(cʼ — dʻ) (aa:-+- b2y —+-c) — (c — d) (aʼas-+- bʻa/ -+- cʻ) = 0, (c' — d’) (aa; --by -- c) —— (c - d) (a'a--b'y -- c') == 0. ான்பன வெனக் காட்டுக. /9. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் பக்கம் AC யின்மீது B யிலிருந்து வரைந்த செங்குத்து g +23-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது : C யிலிருந்து AB யின்மீது வரைந்த செங்குத்து g=23 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது. B0 என்னும் பக்கம் (1 -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்றல், A யினுடைய ஆள்கூறுகள்
ா? -4g2+33 - gே=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் 5 FTL CBS. 10, A (1, 2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து 2p+3y+5=0 என்னுங் கோட்டின்மீது வரைந்த செங்குத்து அக்கோட்டை 4 இற் சந்திக்கின்றது. AM என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு பரமானம்பற்றி உணர்த்துக ; M என்னும் புள்ளிக்கு ஒத்த அப் பரமானத்தின் பெறுமானத்தைக் காண்க. AM ஆனது MN-AM ஆகுமாறு N இற்கு நீட்டப்பட்டால், N இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. B= (2, 3} எனின், P யானது தந்த கோட்டின்மீது AP,BP என்பன அக்கோட்டிற்குச் சம சரிவிலிருக்கும்படியுள்ள புள்ளியா யிருக்கும்பொழுது P யின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
11. P என்பது +ைg +1=0 என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி. PM என்பது 23+3ழ+5 = 0 என்னுங் கோட்டை M இற் சந்திக்குமாறு அதற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது; MN=PM ஆகுமாறுPM என்பது N இற்கு நீட்டப்பட்டுள்ளது. N இன் ஒழுக்கு
13 (a+g+1) -10 (23+3று+5) = 0 எனக் காட்டுக. 12. ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயில்லாது ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடுகள் இரண்டு t -by+c = 0, a'a+by+c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. P கr:பது(a, g) என்னும் புள்ளி : P யிலிருந்து முதலாங் கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்து அவ்விருகோடுகளையும் முறையே M, N என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது. PMN இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளை ஒரு பரமானம் பற்றி உணர்த்துக; M, N என்பனவற்றிற்கு ஒத்த அப் பரமாக்கத்திலுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க. அது துணைகொண்டு
(aa”十bb") (azi十by1十c)(a/a十b'ya十C) என்பது பூச்சியத்திலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதாதற்கேற்ப P என்பது தந்த இரு கோடுகளுக் விடையேயுள்ள கூர்ங்கோணத்திற்குள்ளே அல்லது விரிகோணத்திற்குள்ளே கிடக்கின்ற தெனக் காட்டுக.
18. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்கள்
?ti s= auጫ + bu9 + C፤ = 0, 24 = 3ே + b + c = 0, u = '"' + b(y + c = 0
என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன.
அம்முக்கோணியினுடைய இடையங்கள்
(atba - aba) (abi - aba), (ab - abs)ua= (ab – ab)u, al(وb )U3 ==(dgb8 - dgb و a - وdab) என்றுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
அம்மூன்று இடையங்களும் ஒருங்கு சந்திக்குமென வகுத்தறி முறையாற் காட்டுக.

Page 68
124 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு கோட்டைக்குறித்து ஒரு புள்ளியினது நிலை.
என்னும் ஒரு கோடு aa + bg + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுக : P. P என்பன (0,0) தளத்தில் (a, g), (a, g) என்னும் ஆள்கூறுகளை உடையனவாய் இன்மீது கிடவாத இரு புள்ளிகளாகுக. PP என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமன் றெனின், அவ்விரு கோடுகளும் Q என்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். P. P என்பன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் இருந்தால், Q என்னும் புள்ளி P. P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் , P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கத்தில் இருந்தால், அது P. P என்னுந் துண்டிற்கு வெளியே கிடக்கும். 鶯一 k ஆகுக!
ஆயின், P. P என்பன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் அல்லது ஒரே பக்கத்தில் இருப்பதற்கேற்ப, k என்பது நேர் அல்லது மறையாகும்.
@三 (铠 ಶಿಮ್ಟಿ)
1--k I--k ஆகவே, 0 என்பது இன்மீது கிடக்கின்றமையால்,
a (al-kata) -- b (y--ky) -- c (1--k) = 0.
... k = - °十*y十° aza十bya十c ஆகவே, ax+by+ c, a2+by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல் லது எதிர்க் குறிகள் இருப்பதற்கேற்ப P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கம் அல்லது எதிர்ப் பக்கங்களிற் கிடக்கும்.
PP என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமெனின், P. P என்னும் புள்ளிகள் இன் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும்.
P(ல, g) என்பது இன் எதிர்ப்பக்கத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. ஆயின், aa + bg + c, da + by+ 0 என்பவற்றிற்கு எதிர்க்குறிகள் இருக்கும் ; a2+by+ c, da + by+ c என்பவற்றிற்கும் எதிர்க்குறிகள் இருக்கும். "
ஆகவே, a2+by+ c, da+by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும்.
ஆயின், P. P என்பன இன்மீது கிடவாத எவையேனும் இரு புள்ளிகளாயின், aa + b + c, aa + by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க் குறிகள் இருத்தற்கேற்ப, அவை இனுடைய ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும்.
ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்.
என்னும் ஒரு கோடு aa + bறு + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் , P(a, g) என்பது இன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளியாகுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 125
இற்குச் செங்குத்தாய் P யிற்கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின் சமன்பாடு
a(y-yı) - b (a: - acı) = 0 6TGöTLğ5İTG3Ln. . . . . . . . . . . . . . (l) a, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
என எழுதலாம்.
ஆகவே P யினுடாகச் செல்லுஞ் செங்குத்தின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள், t என்பது ஒரு சாராமாறியாயின்,
2=21十at y=3/1十bt என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம். a அல்லது b பூச்சியமாயிருக்கும் பொழுதும் இப்பரமான வகைக்குறிப்பு உண்மையாகுமென்று சமன்பாடு (1) இலே நேரே பிரதியிடல் காட்டுகின்றது.
N என்பது P யிலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடி யாகுக. ஆகவே, k என்பது N இற்கு ஒத்த t என்னும் பரமானத்தின் பெறுமானமாயின், N இனுடைய ஆள்கூறுகள் 2 + ab, g + bல் என்பன. N என்பது இன்மீது கிடத்தலால், a (a -- alk) --- b (y -- bke) -- c = 0.
'. k = - aa-l-by--c
a?--b? ..— ,
-¡-b இங்கு, |b| என்பது b இன் எண் ப்ெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது.
PE (acı, y), NW E (ac -- ak, y -- bk). .". PN* = (ac -- ak - a)? -- (y -- bk - y)? = (a* -- b*) ko. ஆகவே, இலிருந்து P யின் செங்குத்துத் தூரம்
by --c ki/ (a2+b2)—“itoohito. V (a -- ) V/(a°—+— b°) அதாவது 0+by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து (ag) என்னும் புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்,
aa-by--c V(a-b) உ-ம். 1. aல +by+ 0 = 0, aல +by+ d= 0 என்னுஞ் சமாந்தர மான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
என்பதன் எண் பெறுமானமாகும்.
முதலாங் கோட்டில் யாதுமொரு புள்ளி (0,g) என்பதை எடுக்க, மற்றக் கோட்டிலிருந்து இப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்விரு சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரமாகும்.

Page 69
126 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரம்
air-by-d V(a°-+- b°) (a, g) எனபது aa + bg + 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற் கிடத்தலால்,
Cla -- byı 十 )9 =0 قسمت, அல்லது ах -+- by = — c. ஆகவே, aa + by + 0 = 0, a + bg + d= 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரம்
|ld — c| V(a2 +-b*) உ-ம். 2. ஒரு முக்கோணியினுடைய உச்சிகள் A, B, C என்பன வற்றினுடைய, ஆள்கூறுகள் (1, 1), (-2,-3), (-3, 4) ஆகும். ABC என்னும் முக்கோணிக்கு வெளியே, A'B', B'C', O'A', என்பன முறையே AB, BO, CA என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் அவற்றிலிருந்து ஓரலகு தூரமுமாயிருக்கும்படி A'B'0' என்னும் ஒரு முக்கோணி வரையப்படுகின்றது. A'B'0' என்னும் முக்கோணியி னுடைய பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
ஆகும்.
AB யின் சமன்பாடு y - 1 = (ač - 1), அல்லது 4a -3y-1 = 0. (a, g) என்பது AB இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி. AB யிலிருந்து அப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்.
4 - 3y-l
|*ー" ー"|ー1
5
(a,y), (- 3,4) என்பன AB யினுடைய எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடத்தலால் 42-3g -1 என்பதற்கு 4(-3) - 3(4) - 1 என்பதன் குறியின் மறைக்குறி இருக்கும்.
42-3g - 1 என்பது நேர்க்குறியுள்ளது.
40-3g -1_
5 40-3g - 6 = 0.
l.
(3,g) என்பது AB இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயிருத்த லால், AB இன் சமன்பாடு 40 - 3று -6 = 0 ஆகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 127
AC யின் சமன்பாடு,
y-l= -2 (c-1), அல்லது 32+4y - 7 = 0. (a, g) என்பது A',0', இன் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியெனின்,
!!--
33, +4g-7 என்பதற்கு 3(-2) +4(-3) -7 என்பதன் எதிர்க்குறி இருக்கும்.
3a1 + 4/1-7
5 som
அல்லது 3a' -- 4 - 12 = 0.
A'O" 96ö7 J-LoadTUITG
3ac + 4y - 12 = 0.
அதுபோல, BC இன் சமன்பாட்டையுங் காணலாம்.
l,
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுடைய இருகூருக்கிகள்.
aac -- by -- c = 0, ax+by+ c = 0 என்பன ஒன்றுக்கொன்று, சமாந்தரமல்லாத இரு நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
(ag) என்பது அவ்விரு கோடுகளிலிருந்துஞ் சமதூரமான ஒரு
புள்ளியாயின்,
ar -- by 士坐 –I– ხ1ყ1 –!- Cal V(ao-- bo) -v(a-b)
P,0 என்னும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒரே எண் பெறுமானம் உண் டெனின், P,9 என்பவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க் குறிகள் இருத்தற்கேற்ப P = 2 அல்லது - .ெ
aa' -- by -- c سیس a42 + b,g + c, adı acı -- bayı -- cı
V/(a° —+— b°) -v(a-b)
ஆகவே, அவ்விரு கோடுகளிலுமிருந்து சமதுரமான யாதுமொரு புள்ளி
aar -- by -- c alia -bay -- c. ata - by -- с
- ٹارچ” سب س- [ O060E)|[9یک
V(ao-H bo) V(ao-- bo) ዯ/(a፤* + b,*) என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்றைத் தீர்த்தல் வேண்டும்.
ஆனல், தந்த இரு கோடுகளிலிருந்து சமதூரமான ஒரு புள்ளி அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றின் இருகூருக்கியின் மீது கிடத்தல் வேண்டுமென்று அறிவோம்.
அல்லது -
யின் ஆள்கூறுகள்

Page 70
28 ஆரம்ப தூயகணிதம்
ஆகவே அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள இரு கோணங்களுடைய இரு கூருக்கிகள்
aar -- by -- ca1aa + by -- cı V/(a° —+- b°) T V/(a* -+— b*) aar -- by -- c - a12c -- bly --c. V(a° -|- b°) V(a? —+- b,*) என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும்.
உ-ம். A = (1,1), B = {-2,-3), C = (-3, 4) என்பனவாயுள்ள ABC என்னும் முக்கோணியின் கோணம் A யின் உள்ளிரு கூருக்கியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
AB, AC என்பனவற்றினுடைய சமன்பாடுகள்
40 - y - 1 = 0, ac-+-4y - 7 = 0 என்பன.
ஆகவே, கோணம் A யின் உள்ளிருகூருக்கி 竺二型一l_主$土华y一? 5 5 ருலே தரப்படும் ; மற்றச் சமன்பாடு வெளி யிருகூருக்கியைத் தரும். எச் சமன்பாடு உள்ளிருகூருக்கியைத் தருமென்பதைத் துணிதற்கு B, O என்பன உள்ளிருகூருக்கியின் எதிர்ப்பக்கங்களிலும் வெளியிருகூருக்கி யின் ஒரே பக்கத்திலும் இருக்கின்றன என்னும் பண்பைப் பயன்படுத்து கின்ருேம்.
என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்
40 - By -1_32 + 4y -7 5 wwA 5
அல்லது 0 - 7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க.
2-7g + 6 என்பதில் B, C என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளைப் பிரதி யிடும் பொழுது மறைக் குறிகளையுடைய - 2 + 21 + 6, -3-28 + 6 என்பன வற்றைப் பெறுகின்றேம்.
ஆகவே, 0-7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு கோணம் A யின் உள்ளிருகூருக்கியைத் தருகின்றது.
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தின் இருகூறக்கி.
aa + by + 0 = 0, ax + b,g + c = 0 என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங் குத்தல்லாத இரண்டு வெட்டுங் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று கூர்ங்கோண மாயும் மற்றையது விரிகோணமாயுமிருக்கும். 6 என்பது அக்கூர்ங்கோண
T
2 < π- 9<ா. என்பது அக்கூர்ங்கோணத்
மாகுக ; ஆயின், 0 <θ< .

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 129
தின் இருகூருக்கியைக் குறிக்க ; என்பது அவ்விரிகோணத் தின் இருகூருக்கியாகுக. ஆயின், இற்குந் தந்த கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் <; இற்கும் இக்
கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் "9-
ஆகவே, A இற்கும் அக்கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தினது தான்சன் 1 இலுஞ் சிறிது ; இற்கும் அக் கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தினது தான்சன் 1 இலும் பெரிது. இருகூருக்கிகள் இரண்டினுள் எது கூர்ங்கோணத்தை இருகூறிடும் எனத் துணிதற்கு இவ்வுடைமை உதவும்.
உதாரணமாக, a + g - 1 = 0, 0-7g + 2 = 0 என்னுஞ் சமன் பாடுகளாலே தரப்பட்ட கோடுகள் இரண்டையும் ஆராய்க.
அவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணங்களின் இருகூருக்கிகளின் சமன் LITGB356T
*土型ー"=上*ニ7y土2 v/2 5 V2 இருகூருக்கிகளுள் ஒன்று
5 (ac + y - 1) == ac - 7 y + 2,
அல்லது 40 + 12g-7 = 0 என்பதாலே தரப்படும்.
என்பன.
1. இக்கோட்டின் சரிவு 3.
தந்த முதலாங் கோட்டின் சரிவு -1. இக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தினது தான்சன்
岸 1 +- 붉 .. கூர்ங் கோணத்தின் இருகூருக்கி
= < 1.
40 + 12று - 7 = 0 என்பது.
பயிற்சி 12
1. 520 + 12g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் அக்கோட்டிற்கு (-5, -1) என்னும் புள்ளி இருக்கும் அதே பக்கத்தில் அக்கோட்டிலிருந்து 2 அலகு தூரத்திலுள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
2. a + 2 + 1 = 0, 20 + 11று + 1 = 0, 112 - 2g + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் பக்கங்களையுடைய முக்கோணியின் உள்வட்டமையத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
அம்முக்கோணியின் வெளி வட்டங்களுள் ஒன்றின் மையத்தினுடைய ஆள்கூறுகளையுங் as stators.

Page 71
130 ஆரம்பு தூய கணிதம் ,
3. 33 + 4g + 1 = 0, 30 + 4g - 3 = 0, 40 +3g -1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொடும் இரு வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
4. ABC என்பது A = {0, -1), B = ( -2, -3), C = (1, 1) ஆயுள்ள ஒரு முக்கோணி. BCயைத் தன்னுடைய பக்கங்களுள் ஒன்றாய் AABC யிற்கு வெளியாற் கிடக்குஞ் சதுரத்தி னுடைய எனை உச்சிகளைக் காண்க.
5. 50 + 12g + 1 = 0, 30 - 4g + 1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொட்டுக் கொண்டு அக் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்திற்குட் கிடக்கும் ஓரலகு ஆரையுடைய வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள்கூறுகளைக் காண்க. . . .
6. cd>0 அல்லது < 0 ஆதற்கேற்ப, aa + bg + 0 = 0, 60 + ag + d = 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையில் உற்பத்தித் தானத்தைக் கொள்கின்ற கோணத்தின் இருகூருக்கியின்
Floodturf GB
(a - b) (a -y) -- (c-d) = 0, அல்லது (a + b) (a + y) + (e + d) = 0 ஆகுமெனக் காட்டுக.
7. A=(0, 2), B= (2, 0) ; 0 என்பது உற்பத்தித் தானம். OPA, OPB என்பனவற்றிற்கு ஒரே பருமன் இருக்குமாறு P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளி இயங்குகின்றது. P என்பது y -ஐ = 0, g + 0 = 2, a + g? -20 -2g = 0 என்னும் ஒழுக்குக்களுள் ஒன்றின் மீதாயினுங் இடத்தல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
8. (x, y) என்னுந் தளத்திலே 4(a, 0), B(-a, 0) என்னும் நிலையான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும்படியும் அக்கோட்டிலிருந்து அந்நிலையான புள்ளிகளினுடைய தூரங்களின் பெருக்கம் ஒரு மாறிலியாய் 30° இற்குச் சமனுகும்படியும் அம்மாறுங்கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாதுமொன்றிலிருந்து அக் கோட்டின்மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி ஸ்? -- g = 4d என்னும் வட்டத்தின் மீது கிடக்கு மெனக் காட்டுக. (ற கோசை 0x + y சைன்o-p= 0 என்னும் வடிவத்தில் அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை எடுக்க).
9, A(2a, 0), B( -2a, 0) என்னும் நிலையான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் எதிர்ப் பக்கங்களிற் கிடக்குமாறும் அக்கோட்டிலிருந்து அப்புள்ளிகளினுடைய துரங்களின் பெருக்கம் a* என்பதற்குச் சமனுகுமாறும் அம்மாறுங் கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாதுமொன்றிலிருந்து அக்கோட்டின் மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி a + g = 3a" என்னுங் வட்டத்தின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
10. இரண்டு சமாந்தரமான கோடுகள் p2 + g + r = 0, pa + ga + 8 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. (pa + g + 7) (pa + g + 8) < 0 எனின், (a, g) என்னும் புள்ளி அந்நேர் கோடுகளுக்கு இடையிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 4
வட்டம்
ஒரு தளத்தில் A என்பது ஒரு நிலையான புள்ளியாயும் P என்பது ஒரு மாறும் புள்ளியாயும் இருக்க, A, P என்பனவற்றிற்கு இடையி லுள்ள தூரம் மாறதிருக்கும்படி P யானது இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகும். அத்தளத்தில் செவ்வகவச்சுக்கள்பற்றி A, P என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகள் (a, b), (a, g) என்பனவாகுக ; அம் மாறத் தூரம் r ஆகுக'. ஆயின், (a-a)? + (y-b)* = ?,
ஆகவே, இது, மையம் (a, b) ஆயும் ஆரை 7 ஆயுமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாகும்.
அச்சமன்பாடு
ac-- y- 2aa-2by -- a-- b- r = 0 என எழுதப்படலாம். இது
ac'-- y? -- 2ga -- 2fy + c = 0 என்னும் வடிவத்தில் உள்ளது ; இங்கு g, f, C என்பன மாறிலிகள். மறுதலையாக, g? +f2 - 0 என்பது நேராயிருக்கும்பொழுது,
aco -- yo -- 2ga -- 2fy -- c = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள எச்சமன்பாடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் ; அச்சமன்பாடு
(x+の"+(y+f)"= 7"+f"-e என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்பதே அதற்குக் காரணம். தன்மையம் (-ர, -f) ஆயும் தன்னுரை V(g?+f?-c) ஆயுமுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடே இது. உ-ம். (1, 0), (-1,-1), (2, 1) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டத் தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச்சமன்பாடு a + g^ + 2ga + 2fg + c = 0 ஆகுக. அம்மூன்று புள்ளிகளும் அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால், 1+27十c = 0, 1+1-27ー2f十c=0,
‘.c=一6,9=器, = -. ". அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு a2+g?--50 - 9g - 6- 0.
3.

Page 72
32 ஆரம்ப தூய கணிதம்
தந்த ஒரு விட்டமுள்ள வட்டம்.
A = (a1, y) ஆயும், B = (32, g) ஆயுமிருக்க. P(a, g) என்பது AB என்பதை ஒரு விட்டமாகவுள்ள ஒரு வட்டத்தின்
மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. ஆயின் AP, BP என்னுங்
கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
a A a எனின், AP யின் சரிவு=E.
اسمه "-
9 - 92 a * a எனின், BP யின் stíflay = 2%
* */
/二3/1 /ー3/2_ *" ar-2్ను 20 - 2
.". (a: - acı) (ae - ara) --(y-yı) (y-ya) = 0 2 = 3 ஆயின், AP யானது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
- 1
.. BP யானது 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
... y F 2/a. ஆகவே, மேலுள்ள சமன்பாடு இவ்வகையிலுந் தீர்க்கப்படும். அதுபோல, 2 =  ைஆகும் பொழுதும் அது தீர்க்கப்படும்,
. AB என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடு
(X-X)(X-X) + (y-yı) (y-y2) = 0.
ஒருவட்டம் பற்றிக்காணும் ஒரு புள்ளியினது நிலை.
a2+ g^ + 2ga + 2fy + 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாகுக. (3,g) என்பன அத்தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள் கூறுகளாகுக. a* + g? + 2ga + 2fg + c = 0 எனின், அப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின் பரிதியின் மீது கிடக்கும். அன்றெனின், அவ்வட்டமையத் திலிருந்து அதனுடைய தூரம் அவ்வட்டவாரையிலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதாதற் கேற்ப அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்குள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.
அவ்வட்டத்தின் மையம் (-g, -f) ; அதனுரை V(g? +f?-0) ஆகவே, (a + g)? -- (g +f)ogo --fo - c,
அதாவது, 2, +g2+2ga+2fg+030 ஆதற்கேற்ப அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 33
தந்த ஒரு புள்ளியில் ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலி.
(0,g) என்பது ல? + g^ + 2g0 + 2fy + c = 0 என்னும் வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. (0,g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற அவ்வட்டத்தின் ஆரை (a, g), (-g, -f) என்னும் புள்ளி களைத் தொடுக்கும் கோடாகும்.
". அதன் சமன்பாடு,
(y — y) (a* -+- g) = (a" — ac) (a/ -+-f). (ல, g) இலுள்ள தொடலி இவ்வாரைக்குச் செங்குத்தாய் (a, g) இற்கூடாகச் செல்லுங் கோடாகும்.
.. அத்தொடலியின் சமன்பாடு,
(ac - ac)(ar + g') -- (y - y) (y +-f) = 0, Jejö26)ğı acarı -- yyı + ga' +fy - acı”-yı*-ga’ı -fyı = 0 {a, g) என்பது அவ்வட்டத்திற் கிடத்தலால்,
ao -- yo -- 2ga -- 2fy -- c = 0. .. (a, பூ) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு,
arac -- yy -- g(at -- a) --f(y -- y) -- c = 0. அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
ac.a. -- y.y +g(ac +a) +f(y+y)+ c = 0 67607 GrupöÜLL'LI76), (acı, yı) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு ஒவ்வொரு உறுப்பிலுள்ள ஒரு 2 ஐ 3 என்பதாலும் ஒரு g யை g என்பதாலும் இடம் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.
உதாரணமாக, ல* + g^ + 2a + 6g-15 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு (2, 1) இலுள்ள தொடலி
2a + y十(a 十2)十3(yー+1)ー15 = 0. அல்லது a + 4y - 10 = 0. (0-d)^ + (y-b)* = ? என்னும் வட்டத்திற்கு (a, g) இலுள்ள தொடலி (a-a) (a-a) + (y - ம்) (g-b) = ? என்பது. தொடலியாதற்றன்மைக்குரிய நிபந்தனை.
ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலியெனின், அக்கோட்டி லிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமன் ஆகும். மறுதலையாக, ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் செங் குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமனயின், அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலி யாகும். வேருெரு வகையாகச் சொல்லப்புகின், ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலியாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை அக் கோட்டிலிருந்து அவ்வட்டமையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்வட்டத்தின் ஆரைக்குச் சமன் என்பதே.

Page 73
34 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு ? + g^ +2ர0 + 2fg + c = 0 ஆகுக ; அக் கோட்டின் சமன்பாடு a + ing + n = 0 ஆகுக. அவ்வட்டத்தின் மையம் (-g, -f) ; அதன் ஆரை V(g? +f?-c).
அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலியாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை = v("+P-)
slópapg (ーlgーmf+c)"= ("+m")(g"十f"-c). சிறப்பாக, a + mg + n = 0 என்னுங் கோடு ஐ? + y2 = a* என்னும் வட்டத்தைத் தொடுதற்கு வேண்டிய நிபந்தனை,
இம்முடிவைப் பின்வருமாறும் பெறலாம் :- (3, g) என்பது தொடு புள்ளியாகுக. (2, g) இல் அவ்வட்டத்திற் குத் தொடலி 20+gy-a? - 0. h
ஆகவே, இச்சமன்பாடு a + mg + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு ஒன்ருகும். . . . ...
20 g - a* 万宁双气下双飞
s dv2Ꮣ - aom a=ーァ a=一。
". (2, y) என்பது அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால்,
αιγε - aom\o قه = (""=)+"(-)
. (2 + m)a? = n.
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலி.
(a, g) என்பது ? + g^ +2ga +2fழ + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக.
(3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமின்றிச் செல்லும் எக். கோடும்
3/ーm2ー3/1十m21 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டால் தரப்படும்.
{ーリ“}-r+r-c
*○○g {m(a+の一ya-f}"=(1+m")(g"+fーc) எனின் இக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொடலியாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 135
இது n இல் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. (0,g) இலிருந்து மு அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் ஒரு தொடலியாயினும் இருத்தல் வேண்டு மென்று அறிவதால், இச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இருத்தல் வேண்டும். n இற்கு மெய்மூலங்கள் இருத்தல் அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டி னது தன்மை காட்டியை ஆராய்வதால் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படலாம். அச்சமன் பாடு m இற்கு இரு மூலங்களைத் (m, m என்க) தருமாயின் (a1, y) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலிகள்
9 - 91 = ?mru (ac - ac), .6T6dTLI60T (ونa --مgy - g == 7mg(a
அச்சமன்பாடு m இற்கு ஒரு பெறுமானத்தையே தருமாயின், (அச்சமன் பாட்டில் m* இன் குணகம் பூச்சியத்திற்கு ஒடுங்கும்போது இது நிகழும்), (3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் ஒரு தொடலியே இருக்கும்.
மற்றைத் தொடலி y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின் அதன் சமன்பாடு 0 - 2 - 0.
அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டினது தன்மைகாட்டியை ஆராய்வதால், (0, y) என்னும் புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு வெளியே இருந்தால், அதாவது 3 + g^ + 2ga + 2fg + c> 0 எனின், அச்சமன்பாடு பொருந்தும் மூலங்களைத் தரமாட்டாதென எளிதில் வாய்ப்புப் பார்க்கலாம்.
உ-ம். (0, 6) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+ g? -20 + 2g-23 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
அவ்வட்டத்தின் மையம் (1, -1) ; அதன் ஆரை 5.
g அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் (0, 6) இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோடு y - 6 = ma என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
-l - 6 - m.
Ꮤ(l + 723) -- +5. அல்லது (m十7)°=25(1十m°), அல்லது 12m2-7m-12 = 0 எனின்,
அதாவது m = * அல்லது - எனின், இக்கோடு அவ்வட்டத்தைத் தொடும்.
.. அவ்விரு தொடலிகளுடைய சமன்பாடுகள்
3ყ — 4az — 18 = 0, 4y-3a - 24 = 0
என்பன.

Page 74
136 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் ஒரு தொடலியினது நீளம்.
0 என்பது மையமாயும், T என்பது P யிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரைந்த
ஒரு தொடலியினது தொடுபுள்ளியாயுமுள்ள a + g^ + 2ga +2fy + c - 0
என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியே P(a, g) என்பது கிடந்தால்,
/ހ.
f(xc ჯu)
PT = OP-CT = (a, --g) -- (y |f)-(g--f-c)
= co-- yo -- 2ga -- 2fy -- c.
ஆகவே, (a, g) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலியினது
நீளத்தின் வர்க்கம்
ー a* + y* + 2ga + 2fy + c.
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடலிகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்.
PT., PT" என்பன மையம் C யாயுள்ள ஒரு வட்டத்திற்கு P என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளாயின்,
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 137
--- 60) gr6ö7 ZOPTP ר Op*
இங்கு r என்பது அவ்வட்டத்தின் ஆரை. ஆகவே, 29 என்பது (0, y) இலிருந்து a + g^ +2ga +2fg + c - 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலிகளுக்கு இடையிலுள்ள கோண மாயின்,
四十fーc_。 (a+の"+(n+f)* ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடலிகளினுடைய தொடுநாண்.
T, 1" என்பன (a, g) இலிருந்து a2+ g^ + 2ga + 2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலிகளினுடைய தொடுபுள்ளிகளா குக.
அவ்வட்டத்தின் TT" என்னும் நாண் (2,g) என்னும் புள்ளியைக் குறித்துத் தொடுநாண் எனப்படும்.
(a, g); (23, gs) என்பன T, T என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளாகுக.
சைன்?9 =
T, T" என்பனவற்றிலுள்ள தொடலிகளினுடைய சமன்பாடுகள்
2ra十3/ya十g(c十aa)十f(y十ya)十c = 0 2a十3/ya十g(r十as)十f(y十3/a)十c = 0 5TajfLaol. இத்தொடலிகள் (2 g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றமை ιι Που,
2ara十3/13/a十g(ra十2a)十f(ya十ya)十c = 0, ara十3/aya十g(r1十aa)十f(yュ十3/s)十c = 0 graöfLao7. ஆகவே, (x, y), (a, gs) என்னும் புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும்
acic -- yy -- g(ac -- a) --f(y -- y) -- c = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
ஆகவே, இது தொடுநாணின் சமன்பாடாகும். இவ்வண்ணம் (a,y) என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியைக் குறித்து எடுக்கப்படும் தொடுநாணின் சமன்பாடு (a,g) என்னும் புள்ளி அவ் வட்டத்திற் கிடக்கும்பொழுது அப்புள்ளியில் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலியின் சமன்பாட்டோடு ஒரே வடிவினதாகும்.
உ-ம். (1,2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+ g2+ a + g -1 = 0 என் னும் வட்டத்தை P, 9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுமாறு ஒரு மாறுங் கோடு வரையப்படுகின்றது ; P, 0 என்பனவற்றிலுள்ள தொடலிகள் R இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ஒரு நேர் கோடெனக் காட்டுக.

Page 75
38 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அம்மாறுங் கோட்டின் யாதுமொரு நிலைக்கு R இனுடைய ஆள்கூறுகள் (31, 3) ஆகுக.
ஆயின், PQ வின் சமன்பாடு
arュ十yyュ十器(c十a)十器(y十ya)ー1 = 0 இக்கோடு (1, 2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
a十2/十基(1十a)十瑟(2十y)一1=0, அல்லது - &r + 5y + 1 = 0.
.. R இனுடைய ஆள்கூறுகள் என்றும் 30+ 5g + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும். .. R இன் ஒழுக்கு,
30 + 5g + 1 = 0 என்னும் நேர்கோடாகும். ஒரு வட்டத்தின் பரமான வகைக்குறிப்பு.
a + g^ = ? என்னும் வட்டத்தை ஆராய்க. OP யானது OX ஒடு 9 Y என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படியாக P என்பது பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளி யாயின், P யினுடைய ஆள்கூறுகள்
Р r a = r கோசை 9, 6Y g = r சைன் 9
X O என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்
படும். இச்சமன்பாடுகள் அவ்வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை 6 என்னும் பரமானம் பற்றி ஒரு பர
மான வகைக்குறிப்பைத் தரும். P யிலுள்ள தொடலி OP யிற்குச் செங்குத்தாதலால், அத்தொடலி யின் சமன்பாடு
2 கோசை 6 + g சைன் 9 = r. ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு v
(c-d)^ + (y-b)* = ? என்னும் வடிவத்திலிருந்தால், பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
a = a + 7 கோசை 9, g = a + 7 சைன் 8 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் : இங்கு 9 என்பது ஒரு மாறும் பரமானம்.
(a + 7 கோசை 9, a + r சைன் 9) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி யின் சமன்பாடு
(a-a) கோசை 9+ (g-b) சைன் 9 - r.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 139
பயிற்சி 13
1. ஒவ்வொன்றும் 2 அலகு ஆசையுடையதாய் ஆள்கூற்றச்சுக்களைத் தொடும் நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுதுக.
2. (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 23 + g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டை (-2 - 1) என்னும் புள்ளியிலே தொடும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. *3. ( - 5, -7) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 32 + 4g - 7=0 என்னுங் கோட்டைத் தொடும் 5 அலகு ஆரையுடைய வட்டங்களுள் ஒன்றன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
3 4. A ( -1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாக OX ஒடு f என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்
ஒரு கோடு வரையப்படுகின்றது. இக்கோடு OX, OY என்பனவற்றை முறையே P, 9 என்பன வற்றில் வெட்டினல், P2 வை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்திற்கு A யிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளினது தொடு நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
5. (1,0), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்ற எல்லா வட்டங்களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. A என்பது y அச்சிற் கிடவாத ஒரு புள்ளியாயும், C யிற்கு வெளியே 4 கிடக்குமாறு 0 என்பது அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டமாயுமிருந்தால், 0 என்னும் வட்டத்திற்கு A யிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளினது தொடு நாண் என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுமென்று காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை A யின் ஆள்கூறுகள் பற்றிக் காண்க.
8. 3.0 + 4g = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான a + g^ + 20 - 4g -4 = 0 என் னும் வட்டத்தினுடைய தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க ; அவற்றின் தொடு புள்ளி களின் ஆள்கூறுகளையுங் காண்க. -/7. » அச்சை உற்பத்தித் தானத்திலே தொடுகின்ற ஒரு வட்டத்திற்கு (2,1) என்னும் புள்ளி யிலிருந்து வரைந்த தொடலியினது நீளம் 2 அலகு ஆயின், அவ்வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
8. a கோசை 9 + y சைன்9 = 3 என்னுங் கோடு a + g? -40-2g + 4 = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொடுமாறு கோசை 9, சைன் 0 என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க,
அது துணைகொண்டு இவ்வட்டத்திற்கும் a + g? = 9 என்னும் வட்டத்திற்கும் பொதுவா" யுள்ள தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைப் பெறுக. J 3. P. என்பது a + y = 4 என்னும் வட்டத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி ; A என்பது (1, 1) என்னும் புள்ளி. AP யின் மையம் (ஐ -4)2 + (y -3)?=1 என்னும் வட்டத்திற் கிடக்கு மெனக் காட்டுக.
10. ஒரு கோடு ka + mறு + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலும், ஒரு வட்டம் a + g? = a* என்னும் சமன்பாட்டாலுந் தரப்படுகின்றன. A என்னும் ஒரு தனிப் புள்ளியானது தனக் கூடாக அவ்வட்டத்தை P, Q என்பனவற்றில் வெட்டும்படி ஒரு மாறுங்கோடு வரையப்படும் பொழுது P, எென்பனவற்றிற்கூடாக அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகள் தந்த கோட்டிற் சந்திக்குமாறு உண்டென்று காட்டுக. புள்ளி A யின் ஆள்கூறுகளை , m, n, d என்பனவற்றிற் காண்க, ר
ஒரு வட்டமும் ஒரு நேர்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்.
3 + g^ + 2ர0 + 2fy + 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாயும் lac +mg + n = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயும் இருக்க m 4 0 எனின், அக்கோட்டின் சமன்பாடு kc十7】
2) = m என எழுதப்படலாம்.

Page 76
40 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அவ்வட்டத்திற்கும் அக்கோட்டிற்கும் பொதுவான புள்ளிகள் உண் டெனின், அவற்றின் ஆள்கூறுகள் அவ்விரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்த்தல் வேண்டும். இச்சமன்பாடுகளில் ழ யை நீக்கினல்,
l 念 l .0 = 2n-2 -- c+ ( ) + ماه
a* இன் குணகம் பூச்சியமல்லாததால், இது 2 இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு ; அதற்கு வேறு வேறன இரு மெய் மூலங்கள் அல்லது பொருந்து மெய்மூலங்கள் இருக்கலாம் அல்லது ஒரு மூலமும் இல்லா
திருக்கலாம்.
அதற்கு வேறு வேருன இரு மூலங்கள் இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேருன புள்ளிகளில் வெட்டும் ; அவ்விரு மூலங்களும் அவ்வெட்டுப் புள்ளிகளின் கிடைக்கூறுகளைத் தரும். அவற்றி
lac + n
னுடைய நிலைக் கூறுகள் g = - என்னுஞ் சமன்பாட்டிற் பிரதி
யிடுதலாற் பெறப்படும்.
ல இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்குப் பொருந்து மூலங்கள்
இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளி
களில் வெட்டும் ; அதாவது, அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொட
லியாகும் , அப்பொருந்து மூலங்களின் பெறுமானந் தொடுபுள்ளியின்
கிடைக்கூறைத் தரும்.
2 இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலம் யாதும் இல்லை
யெனின், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டா.
m = 0 எனின், பூச்சியமாகாது.
அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை 20 = - my 某 என்னும் வடிவத்தில்
எழுதி முன்போல வாதிக்கலாம்.
ஒரு வட்டத்தின் ஆரையை ஒரு கோட்டிலிருந்து அவ்வட்ட மையத்தின் செங்குத்துத் தூரத்துடன் ஒப்பிடுதலால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் பிரசினம் மிக எளிதாகத் தீர்க்கப்படலாம். ஆரை V(g? +f?-c) ஆகும் ; அக்கோட்டிலிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரம்
– lg–mf+n Ꮙ/(ᏓᎸ -i- m*) .. | ??? என்பது W/(g2+f?-c) என்பதிலுஞ் சிறிது அல்லது
பெரிதாதற் கேற்ப, அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒருபோதும் வெட்டா.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 4.
|–g–mf+n 下Vエ தொடும்.
= V(g?--f?-c) எனின், அக்கோடு அவ்வட்டத்தைத்
உதாரணமாக, a + g^ + 2 + 6g-1 = 0 என்னும் வட்டத்தையும் 2a + 3g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டையும் எடுக்க.
ஆரையின் வர்க்கம் = 1 + 32 + 1 = 11.
அக்கோட்டிலிருந்து மையம் (-1,-3) இனது தூரத்தின் வர்க்கம்
سے 100 ہے (1 + 9 - 2 - )
}" = } < 11
ஆகவே, அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில்
வெட்டும்.
ஒரு வட்டமும் ஒரு கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டங்கள்.
S = 0, 26 = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடுமாகுக ; இங்கு S என்பது a + g^ + 2g2+ 2fy + c என்பதையும் a என்பது a + mg + n என் பதையுங் குறிக்கின்றன.
S+ M = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க : இங்கு X என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராது.
இச்சமன்பாடு ?+ g^ + 2g'a + 2fg + 0 = 0 என்னும் வடிவினது ஆகை யால் அது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
தந்த அவ்வட்டத்திற்கும் அந்நேர் கோட்டிற்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, 2 - 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருப்பினும், அவை S+ X = 0 என்பதைத் தீர்க்கும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், S+x = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0 என்னும் வட்டமும் a = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
உ-ம். P.0 என்பன a2+ g? -- 20-8 = 0 என்னும் வட்டமும் a + g - 1 = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளாயின், P0 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் a + g^ + 20-8 +A (a + y-1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு P, Q என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு
S S SLSLS SSSS S LLSSSLL SS À À வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (- T2 -) ஆகும். PQ என்பது இவ்வட்டத்தின் ஒரு விட்டமாயின், அதன் மையம் PQ வின் மீது கிடக்கல் வேண்டும்.

Page 77
耻42 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு
,0 = )1 -g* + 23 - 8 - 2 (a + g + 3 مa அல்லது ac'-- y-2y - 6 = 0 ஆகும்.
2 = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொட்டால், S = 0, 2 - 0 என்னும் சமன்பாடுகளிலிருந்து 3 அல்லது g யிற்குச் தீர்வு காணும்பொழுது இரண்டு பொருந்து மூலங்களைப் பெறுகின்றேம். ஆனல், இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகள் S + Au = 0, u = 0 என் னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகளேயாகும்.
ஆகவே, S+x=0 என்னுஞ் சமன்பாடு, S= 0 என்னும் வட்டத்தை 2 = 0 என்னுங் கோடு தொடும் புள்ளியில் அவ்வட்டத்தைத்தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் பொது நாண்.
S = 0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக : இங்கு,
S Eat* -- y? -- 2gac -- fy + c, S'=aco -+-yo-+- 2g'aw -- 2fy -- c'. அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள்
As - S = 0,
அல்லது 2(g - g") ac + 2 (f-f") y + c' - c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இச்சமன்பாடு 30,g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியைக் கொண்டது ; ஆகவே, அது அவ்விரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டைக் குறிக்கும்.
அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S- S = 0 என்னுங் கோடு அவற்றினது தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும். இக்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறு யாதும் புள்ளியில் வெட்டினல், அப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S- S = 0 என்பனவற்றைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்பதையுந் தீர்க்கும் ; அதாவது, அப்புள்ளி அவ்விரு வட்டங்களின் ஒரு பொதுப் புள்ளியாதல் வேண்டும். அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான தனிப்புள்ளி அவற்றினது தொடுபுள்ளி யாதலால், இது இயலாது. ஆகவே S- S = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறேரிடத்திலும் வெட்டாது.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 143
ஆகவே, அக்கோடானது S = 0, S = 0 என்னும் இரு வட்டங் களுக்கும் பொதுத் தொடலியாகும்.
ரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதற்குரிய நிபந்தன.
ரு வ ஒனறை Ol தற்கு நத
3ஃg? என்பனவற்றின் குணகங்கள் 1 இற்குச் சமனகவுள்ள Sது 0, S = 0 என்பன வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகும்.
ஆயின், S- S = 0 என்பது முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடாகி ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும். இந்நேர்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டினல், அவ்வெட்டும் புள்ளி ஒன்றின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S-S'- 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும்; அதாவது அவ்விரு வட்டங்களும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். அக்கோடு 8-0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டாதா யின், S = 0, S = 0 என்னும் இரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்க்கும் புள்ளி யாதும் இல்லை.
ஆகவே, S- S = 0 என்னுங்கோட்டிலிருந்து S = 0 என்னும் வட்டத் தின் மையத்தினது தூரம் S = 0 என்னும் வட்டத்தின் ஆரையிலுஞ் சிறிது அல்லது அதற்குச் சமன் அல்லது அதிலும் பெரிதாதற்கேற்ப, அவ்விரு வட்டங்களும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒன்றையொன்று தொடும் அல்லது ஒன்றையொன்று வெட்டா.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் அல்லது வெட்டா என்பது அவ்விரு வட்டங்களின் ஆரைகளையும் அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையி லுள்ள தூரத்தையுங் கணித்தலாலே துணியப்படலாம். r, r என்பன ஆரைகளாயும், d என்பது அம்மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயு மிருந்தால், 7, 7, d என்னும் நீளப் பக்கங்களுடைய ஒரு முக்கோணி வரையக்கூடியதாயிருக்குமாயின், அவ்விரு வட்டங்களும் இரு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். ஒரு முக்கோணியின் யாதுமொரு பக்கம் எனை யிருபக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையிலும் சிறிதாயும் அவற்றின் வித்தியாசத்திலும் பெரிதாயுமிருத்தலால் r-rd எனின், அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டா; சிறு வட்டம் பெருவட்டத்திற்குட் கிடக்கும்.

Page 78
144 ஆரம்ப தூவ கணிதம்
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும்
வட்டங்கள். a, g? என்னும் ஒவ்வொன்றின் குணகம் 1 இற்குச் சமனயுள்ள S = 0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. X என்பது -1 இற்குச் சமனகாது 2, g என்பனவற்றைச் சாராதுள்ள S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது இரண்டாம் படி யிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு; முழுவதையும் 1 + A ஆல் வகுத்தபின் a* + y* + 2pa + 2qy + r = 0 என்னும் வடிவத்திலே அதனை எழுதலாம் ; இங்கு p, g, r என்பன ல, y என்பனவற்றைச் சாராதிருக்கின்றன. ஆகவே, அச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள் X இன் எப்பெறுமானத் திற்கும் இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
ஆகவே, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு -1 இற்குச் சமனகாதX இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
X= -1 ஆகும்பொழுது, அச் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் பொது நாணைக் குறிக்கும்.
S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு இரு வட்டங்களை அவற்றின் பொதுத் தொடு புள்ளியிலே தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்.
P என்பது இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுள் ஒன்ருக; PA, PB என்பன அவ்வட்டங்க ளுக்கு P யிலுள்ள தொடலி களாகுக. அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணை அமைக்கின்ற PA, PB என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் அவ்வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம் எனப்படும். 9 என்பது இக்கோணமாயும் C, C என்பன அவ்வட்டங்களின் மையங்களாயுமிருந்தால், /CPC= r - 9 என்பது எளிதிற் புலப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 145
r, r என்பன அவ்வட்டங்களின் ஆரைகளாயும், d என்பது அவற் றின் மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயுமிருந்தால்,
2 p கோசை (ா - 9) = rهو و+ه -- d3
2- مو -- 2 - مو -- 2 அல்லது கோசை 6 - d* - r2 - rفي
செங்குத்துவெட்டு.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்
ஆயின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுகின்றன எனப்படும். முன் னுருவத்திலுள்ள வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டினுல், /CPC ஒரு செங்கோணமாகும் ; ஆயின், d?= 72 + r?. மறுதலையாக, d? - ??-- r? எனின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டும். அவ்வட்டங்களின் சமன்பாடுகள்
2*+ y"+2ga;+2f.y-+ ca=0, ல?+ g^ + 2ர0 + 2fது + c = 0 என்பனவாகுக.
மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தின் வர்க்கம் (g-g) + (f-f)? ஆகும். ஆகவே, அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை
(gaーga)"十(f ー f)"=ga"十f"ーc1十ga"十f"ーca
அல்லது 2gg2+2ff= C+ c ஆகும். ஒரு வட்டப்பரிதியை இருகூறிடும் வட்டங்கள்.
ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு 2?+ g^ + 2ga + 2fg + 0 = 0 ஆகுக'. ஆயின் அதன் மையம் (-ர, -f) என்னும் புள்ளியாகும். , n என்பன எவையேனும் மாறிலிகளாயின் (a+g) +m (g+f) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு இப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். ஆகவே இக்கோடு இவ்வட்டப்பரிதியை இருகூறிடும் ; ஏனெனின் கோடு வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகள் A,B யாயின் AB யானது வட்டத்தின் ஒரு விட்டமாகும்.
ac* -- y* + 2gac + 2 fy-!-- c. -- l (ac-y-g) -- m (y +f) = 0
என்னுஞ் சமன்பாடு A,B என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். ஆகவே , m என்பன எதேச்சை மாறிலிகளாக, இச்சமன்பாடு தொடக்க வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். அத்தகைய எவ்வட்டமும் இவ்வடிவத்திலுள்ள சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
a2+ g^ +2g2+2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டம் a2+ g + 2ga+2fg + c = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடுவதற்கு நிபந்தனை எளிதிற் பெறப்படும்.

Page 79
146 ஆர ம்ப தூய கணிதம்
(ae? -- y* + 2g'ac' + 2 f'y + c') = (ac* -- y* + 2gac + 2 fy + c) + 2 (g' - g) ac +2 (f'-f) g + c - ஆேதலால் 2 (g" - ர) 2 + 2 (f'-f) g + c - 0 - 0 என்னும் நேர்கோடு (-g, -f) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும். ஆகவே -2 (g'-g) g -2 (f'-f)f+ c - c = 0 ஆகவேண்டும்.
உ-ம். a2+g? = 1, a2+g?-40 - 5 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒவ்வொன் றின் பரிதியையும் இருகூறிட்டு a2+ y2 - 20 - 3g - 2 - 0 என்னும் வட்டத்தை நிமிர்கோணத்தில் வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க a + g^-1 = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடும் வட்டம் எதுவேனும் a + g^ + 2 + 2my - 1 = 0 என்னுமொரு சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
(a + y + 2la. --2my - 1) - (a + y - 4a – 5) = (2 + 4) a--2my + 4 ஆதலால் இவ்வட்டம் 3* + g?-40 - 5 = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடுதற்கு
(2l - 4)2 + 4 = 0 X− ஆகவேண்டும் ; அதாவது = - 3 ஆகவேண்டும். ஆகவே a + g?-60 +2mg - 1 = 0 என்னும் வட்டம் தந்த முதல் இருவட்டங்கள் ஒவ்வொன்றின் பரிதியையும் இருகூறிடும். இவ்வட்டம் a2+ y2-2-3g-2=0 என்னும் வட்டத்தை நிமிர்கோணத்தில் வெட்டுதற்கு 2(-3) (-1)+2m(-) = -1 - 2 ஆகவேண்டும். அதாவது m = 3 ஆகவே வேண்டிய சமன்பாடு a2+ g?-6a + 6g - 1 = 0.
ஒரு வட்டத்தைக் குறித்து ஒரு புள்ளியின் வலு. P(a, g) என்பது ல? -- g? -- 2g0 + 2fy + c =0 என்னும் வட்டத்தினது தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0X ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு கோடு P யிற்கூடாக வரையப்படுக. 7 என்பது P யிலி ருந்து OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் அளக்கப்பட்ட அப்புள்ளியினது தூரமாயின், இக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொருபுள்ளி யின் ஆள்கூறுகள் a + rகோசை 9, g + rசைன் 6 என்பனவுாகும். இப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின்மீது கிடந்தால்,
(a + r கோசை6)2 + (g + rசைன் 9)? + 2g(a + rகோசை 9)
+ 2f(g + rசைன் 6) + 0 - 0 ܫ ? + 2r(a,கோசை 9 + g, சைன் 6 + g கோசை 9 +f சைன் 6)
+ ac *+ y? -- 2gac + 2 fly! -- c = 0. இது r இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகள் ,ெ R என்பனவற்றில் வெட்டினல் இந்த இருபடிச் சமன்பாடு (தம் செவ்விய குறிகளோடு கூடிய) P9, PR என்னுந் தூரங்களாகிய இரண்டு வேறு வேருன மெய்ப்பெறுமானங்களை

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் V− 147
இற்குக் கொடுக்கின்றது. r இற்குரிய இரு மூலங்களின் பெருக்கம்
a -- y -- 2ga' + 2 fly -- c PQ.PR = allo + yo + 2 gac + 2fy+ c.
ஆகவே, அவ்வட்டத்தை ,ெ R என்னும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டுதற்கு P யிற்கூடாக யாதுமொரு கோடு வரையப்பட்டால், P0.PR என்னும் பெருக்கத்திற்கு a*+ g2+ 2ga + 2fg + 0 என்னும் ஒரு மாறப் பெறுமானம் உண்டு. அவ்வட்டத்தையும் P என்னும் புள்ளியினது நிலையையுமே சார்ந்த இம்மாருப் பெறுமானம் அவ்வட்டத்தைக் குறித்து P யின் வலு எனப்படும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்கு வெளியால் இருந்தால், P0, PR என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும் ; ஆயின் வலு நேராகும். )ெ, R என்பன பொருந்தும்போது P யிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலி எல்லையுறுமாதலால், P யின் வலு. P யிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலியினது நீளத்தின் வர்க்கமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்தின் மீதே கிடந்தால், ,ெ R என்னும் புள்ளிகளுள் ஒன்று P யோடு பொருந்தும் ; ஆயின், வலு பூச்சியமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்குட் கிடந்தால், P9, PR என்பனவற்றிற்கு முரண்குறிகள் இருக்கும் ; ஆயின், P யின் வலு மறையாகும்.
3 + g^ +2g0 + 2fg + c என்பது மறை அல்லது நேர் ஆதற்கேற்ப, (a, g) என்னும் புள்ளி a + g^ + 2g0 + 2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்குமென முன்னர் கண்டுள் ளோம்.
இரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சு.
As Eat' -- y' -- 2ga -- 2fy -- c = 0, S'' = aco -- yo -- 2g'aw -- 2f’y -- c = 0 என்பன் இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. (a, g) என்பது அவ்விரு வட்டங்ளையுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியாயின்,
acʼ°-+— gy* —+— 2gac -+— 2 fy —+— c = acʼ° -+- y*-+- 2gʻʼat —+- 2,fʼy -+- c
2(g - g') ac --- 2(f-f") y + c, - c' == 0 அவ்விரு வட்டங்களையுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியின் ஆள் கூறுகள்
2(g-g') a -- 2(f-f') y + c - c = 0. என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இது 2, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள சமன்பாடாய் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
7-R11681 (1166)

Page 80
148 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்களைக் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஒழுக்கு S- S = 0 என்னும் நேர்கோடாகும். இக்கோடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சு எனப்படும். அவ்வட்டங்கள் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டினல், சமத்தொடலியச்சு அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணுகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், சமத்தொடலியச்சு அவற்றின் பொதுத் தொடலியாகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாவாயின், சமத் தொடலியச்சு அவ்விரு வட்டங்களுள் ஒன்றையாதல் வெட்டாத ஒரு கோடாகும். பொதுவச்சு வட்டங்கள்.
S = a* + g^ + 2ga + 2fg + c= 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன் பாடாயும் u = a + ing + n = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயு மிருக்க. A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருக்கும் S + M = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. இவ்வட்டத்தைக் குறித்து (a, g) என்னும் ஒரு புள்ளியின் வலு
«,°+ y*+2ga, +2fy1 + c +À (la, +my +n).g65 h. ஆகவே, (a, g) என்னும் புள்ளி u = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடந்தால், S + M = 0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அப்புள்ளியின் வலு S = 0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலுவோடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S+ Xu = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்; இவ்வட்டம், S = 0 என்னும் வட்டம் ஆகிய இரண்டினதுஞ் சமத்தொடலியச்சு n = 0 என்னுங் கோடா கும். A இன் வேறு பெறுமானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் 2 = 0 என்னும் சமத்தொடலியச்சோடு கூடிய ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்குமெனப்படும்.
S =E ac? -- y? -- 2gac –- 2 fy + c, = 0, S" is ac? -- y? + 2g'ac' + 2 f"y + c' = 0 என்பன இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. X = -1 ஆயின், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சைக் குறிக்கும். 24 என்பது S-S" என்பதைக் குறிக்க ; ஆயின், u = 0 என்பது சமத் தொடலியச்சின் சமன்பாடாகும்.
À 7A. — 1 GTGOfGÖT, S -- ÀS" = S -- A (S - u) = (1 +Ms-蠢) ஆகவே, S + AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S- 1-X = 0 என்பதனேடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, -1 இற்குச் சமனகாத X இன் வேறு வேறு பெறுமானங் களுக்கு, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியைக் குறிக் கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 149
ஒன்றையொன்று வெட்டும் பொதுவச்சுத் தொகுதியும் அவ்வாறு வெட்டாப்
பொதுவச்சுத் தொகுதியும். ஒரு பொது வச்சுத் தொகுதியின் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை P என்னும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினல், அத்தொகுதி யின் யாதுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து P யின் வலு பூச்சியமாகும். ஆகவே, அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டமும் P யிற் கூடாகச் செல்ல வேண்டும்.
ஆகவே பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A, B என்னும் இரண்டு வேறு வேருண புள்ளிகளில் வெட்டினல், அத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு பிற வட்டமும் A, B என்னும் இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்ல வேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A என்னும் ஒரு புள்ளியிலே தொட்டால், அது அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்தையும் ஒரே புள்ளி A யிலே தொடவேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத் தொகுதியின் ஒரு குறித்த வட்டத்தை வெட்டாகயின், அது அத் தொகுதியின் யாதுமொரு  ை தீம்ைதயு வெட்ட முடியாது. ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங் கள் எல்லாவற்றிற்கும் பொது வெட்டுப் புள்ளிகள் A, B என்பன இருக்கும்பொழுது, எல்லா வட்டங்களினதும் மையங்கள் AB யின் செங்குத்து இா,nருகிவியாபிய ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடக்குமென தூய கேத்திர கணிதத்தி மிேருந்து பெறப்படும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று ஒரே புள்ளியிலே தொட்டால், அவ்வட்டங்களின் மையங்கள் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங் குத்தாகிய பொதுத் தொடு புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோட்டின் மீது கிடக்கும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாத பொழுதும் அவற்றின் மையங்கள் அவற்றின் பொதுச் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங் குத்தான ஒரே நேர்கோட்டின் மீது கிடக்குமென எளிதாக நிறுவப்படலாம்.
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எவையேனும் இரு வட்டங்கள்
aco -- yo -- 2ga -- 2fy --c = 0, a02-+- y2 -+- 2g"ac +- 2f’gy -+- c == 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுக. அவற்றின் மையங்களைத் தொடுக்கும் நேர் கோட்டின் சமன்பாடு
(y -- f)(g - g") - (ac + g') (f-f") = 0. சமத்தொடலியச்சின் சமன்பாடு
2a (g-g") + 2y (f-f") -- c - c' = 0. இந்த இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து. ஆகவே, ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எல்லா வட்டங்களின் மையங் களும் அவற்றின் பொதுச் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங்குத்தான ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடத்தல் வேண்டும்.

Page 81
150 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியினது நியமச் சமன்பாடு.
யாதுமொரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை எடுக்க. பொதுச் சமத தொடலியச்சும் மையமிணைகோடும் இரண்டு செங்குத்துக் கோடுகளாகும். 3 அச்சாக மையமிணை கோட்டையும் y அச்சாகப் பொதுச் சமத்தொடலி யச்சையும் எடுக்கின்றேமெனக் கொள்க. அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் ஆள்கூறுகள் (X, 0) ஆகும் ; இங்கு, A என்பது அவ்வட்டத்தோடு மாறும்.
ஆகவே, அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
a' + y - 2a: + c = 0 gigs h;
இங்கு C என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராது X என்பதைச் சார்ந்துமிருக்கலாஞ் சாராதுமிருக்கலாம்.
உற்பத்தித்தானஞ் சமத்தொடலியச்சின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதலின், அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலு ஒன்ற யிருத்தல் வேண்டும்.
ஆகவே, c என்பது X ஐச் சாராது வட்டங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒன்ருகும். ஆகவே, பொதுவச்சுத் தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் பொதுச் ift O66TL IITGB
ac*+ y* - 2Aac + c, = 0 i gyce5Lh ;
இங்கு A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயும் c என்பது ஒரு மாறிலியாயும் இருக்கும்.
பொதுத்தொடலியச்சு 0=0 எனுங் கோடாகும் ;
ஆகவே, g^ + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு g யிற்கு மெய்மூலங்களைத் தந்தாற்ருன், பொதுத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை வெட்டும்.
ஆகவே, C< 0 எனின், அவ்வட்டங்களுக்கு இரண்டு பொது வெட்டுப் புள்ளிகள் இருக்கும் , c = 0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று தொடும் ; c> 0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று வெட்டா. ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள்.
A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயும் c என்பது ஒரு நேர் மாறிலியாயுமுள்ள a2+ g?-2Xa + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப் பட்ட ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்களே ஆராய்க. அச்சமன்பாடு
(3-A)? + y2 =X2-0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். X? 0 ஆகுமாறு X இன் பெறுமானங்களுக்கே, அத் தொகுதியின் வட்டங்கள் பெறப்படலாம். X?> 0 எனின், V (A?-0) மென்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தைப் பெறுவோம். X = 0 எனின், பூச்சிய ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தை அல்லது (A, 0) என்னும் புள்ளியில் ஒரு புள்ளி வட்டத்தைப் பெறுவோம். X = c என்னுஞ் சமன்பாடு X இற்கு இரு பெறுமானங்களைக் கொடுத்தலால், அத்தொகுதியின் இரண்டு புள்ளி வட்டங்களே (Vic, o), (- V0, 0) என்னும் புள்ளிகளிற் பெறுவோம். இப்புள்ளிகள் அப்பொது வச்சுத் தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் எனப்படும். அவை பொதுத் தொடலியச்சிற்குச் சமச் சிராய் நிலை கொள்ளும்.
Y
ܠ ܠ܁2/ | \ܠ2r
にプエブー・
I, I' என்பன எல்லைப் புள்ளிகளாயின், அப்பொது வச்சுத் தொகுதி யின் ஒரு வட்டத்திற்கும் அதன் மையம் L, L என்பனவற்றிற்கு இடையில் இராது.
L=(Ve, 0) எனின், அச்சமத்தொடலியச்சின் I இருக்கும் அதே பக்கத்திற் கிடக்கின்ற வட்டங்கள் A (>w/c) இனுடைய நேர்ப்பெறு மானங்களாலே தரப்படும். a2+ g?-2Aa + c = 0 என்பது அத்தகை வட்டமொன்றின் சமன்பாடாகுக. a2+ g?-2M + c என்பதில் 0 = + v/c, g = 0 எனப் பிரதியிட்டால், மறைக்குறியோடு கூடிய 2/c (Ve-A) என்பதைப் பெறுவோம்.
ஆகவே, L என்பது அத்தகை வட்டம் ஒவ்வொன்றிற்குள்ளுங் கிடக்கும். அதுபோல, அச்சமத்தொடலியச்சின் L ஐப் போல அதே பக்கத்திற் கிடக் கின்ற அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்திற்குள்ளும் L' கிடக்கும்.
அப்பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், அத்தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் பொதுத் தொடு புள்ளியோடு பொருந்தும்.

Page 82
152 ஆரம்ப தூயணிதம்
அத்தொகுதியின் வட்டங்கள் இரண்டு வேறுவேருண புள்ளிகளில் வெட்
டினல், அத்தொகுதிக்கு எல்லைப் புள்ளிகள் இல்லை.
உ-ம். A, B என்பன ஒரு தளத்தில் இரண்டு நிலையான புள்ளி
களாயும் P என்பது 瓮一* (மாறிலி) ஆகவுள்ள ஒருமாறும் புள்ளியாயும்
இருந்தால், P யின் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகுமென்றும் k இன் வேறு வேறு, பெறுமானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் A, B என்பனவற்றில் எல்லைப் புள்ளிகளுள்ள ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்குமென்றுங் காட்டுக.
அத்தளத்தில் எவையேனுஞ் செவ்வக வச்சுக்களை எடுக்க : (a, b) (c,d) என்பன இவ்வச்சுக்கள் பற்றி எடுத்த A, B என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளாகுக. (0, y) என்பன P என்னும் மாறும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளாயின்,
- PA” - (-a)+(y-b)” PB? (ac - c)?--(y — d)?
.0 = [2 (ac-- Q)* -+- (gy -- b)2 -- k*[(ac --- c) 2 -+- (gy -- d) لا6060gإطه
a, g? என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகள் சமனதலாலும், லg யில் ஒருறுப்பும் இல்லாததனலும், இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
S = (a, -a) + (y-b) eyujib, S = (a, -c) + (y-d)
ஆயுமிருந்தால், அச்சமன்பாடு S-k?S'- = 0 என்பதாகும்.
S = 0, S = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் இரண்டு புள்ளி வட்டங்களைக் குறிக்கும். ஆகவே, b இன் வேறு வேருண பெறுமானங்களுக்கு S-ஃS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரண்டு புள்ளி வட்டங்களும் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்கும். ஆகவே, அத்தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன வாயிருக்கும் ; அதன் எல்லைப் புள்ளிகள் A,B என்பனவற்றில் இருக்கும்.
செங்குத்துப் பொதுவச்சுத் தொகுதி
A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயுள்ள a2+ g?-2Xa + c = 0 என் னும் பொதுச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியை ஆராய்க.
C(0,p) என்பது அவ்வட்டங்களுக்கு வெளியே சமத்தொடலியச்சின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0 யிலிருந்து அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்திற்கு வரைந்த ஒரு தொடலியினது நீளத்தின் வர்க்கம் p2 + c , ஆகும்.
ஆகவே, மையம் C யாகவும் ஆரை W/(p?+ c) ஆகவுமுள்ள வட்டம் அப் பொதுவச்சுத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு விட்டத்தையுஞ் செங்குத்தாக வெட்டும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 53
இவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
,p* -+- c جسے 2(ac2 -+- (gy --p
அல்லது ac-- y- 2py - c = 0.
p யின் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு, g அச்சை மையமிணை கோடாயும் a அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடலியச்சாயுமுள்ள ஒரு பொது வச்சு வட்டத் தொகுதியை இச்சமன்பாடு தரும்.
ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையன வாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங்களே யுடையனவாகும் ; ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங் களையுடையனவாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையனவாகும். ஆரம்பத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றை யென்று தொடுமாயின், செங்குத்துத் தொகுதியின் வட்டங்களும் ஒன்றை யென்று தொடும்.
பயிற்சி 14,
1. w--g - 4, 20?--2y? - 30+g - 3 - 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் பொது நாணின் சமன்பாட்டையுங் காண்க. /2. a+று? - 4, 2?-+2g? -32+g - 3 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் சென்று சி+g?--20 - 1 = 0 என்னும் வட்டத்தைச் செங்குத்தாக வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
73. ஐ?--g = 4 என்னும் வட்டமும் a+g - 1 = 0 என்னுங்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு மாறும் வட்டஞ் சென்று ?--g? -20 - 1-0 என்னும் வட்டத்தை P, Q என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. P0 வானது என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றதெனக் காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
4. ஒரு மாறும் வட்டம் A, B என்னும் இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக்கூடாகச் சென்று வேருெரு நிலையான வட்டத்தை வெட்டுகின்றது ; அவ்விரு வட்டங்களின் பொது நாண் A, B என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது கிடக்கின்ற ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் அல்லது AB யிற்குச் சமாந்தரமாயிருக்குமெனக் காட்டுக.
5 மூன்று வட்டங்களின் மையங்கள் ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லையாயின், அவ்வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சுக்கள் சோடி சோடியாக எடுக்கப்பட ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கும்.
6. ao--yo--2)(--y - 3) - 4 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு X இன் வேறு வேறு பெறு மானங்களுக்கு ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்குமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் எல்லைப் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளையும் காண்க.
7. ஒரு வட்டத்தின் மையம் y அச்சின்மீது இருக்கின்றது. அவ்வட்டத்தைக் குறித்து வி அச்சின் மீதுள்ள P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளியினது தொடு நாண் & அச்சை 0 விற் சந்திக்கின்றது. P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் g அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடலி யச்சாகவுள்ள ஒரு நிலையான பொது வச்சுத் தொகுதியின் ஓர் உறுப்பாகுமெனக் காட்டுக. ஆரம்ப வட்டம் 3 அச்சை வெட்டுகிறது அல்லது வெட்டுகிறதில்லை என்பதற்கேற்ப அப்பொது வச்சுத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன அல்லது வெட்டுகின்ற வட்டங்களுடையன என்றுங் காட்டுக.

Page 83
154 ஆரம்ப தூய கணிதம்
a?--g?-1, 3?--g? - 0 - 3=0, 3?--g? -g - 4-0 என்னும் மூன்று வட்டங்களுள் .8/ہ
ஒவ்வொன்றையும் செங்குத்தாக, வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. /9. (1,1), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டம் a+g =4 வட்டத்தை P, Q என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. P, Q என்பனவற்றில் இரண்டாம் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகள் R இல் ஒன்றையொன்று வெட்டினல், R என்பது 53--3g - 4 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
v/10. ஆள்கூற்றச்சுக்கள் இரண்டையுந் தொடும் வட்டங்கள் நான்கு 2(a+g?)+0 - 4y - 2 என்னும் வட்டத்திற்குச் செங்குத்தாகுமென்று நிறுவுக ; அவற்றின் சமன்பாடுகளையுங் காண்க.
/11. ல?+g2+20 -2y=0, a2+g? -20+2y=0 என்னும் இரு வட்டங்களுக்கும் மூன்று பொதுத் தொடலிகள் மாத்திரம் உண்டு எனக் காட்டி அவற்றின் சமன்பாடுகளேக் காண்க.

அத்தியாயம் 5
பரவளைவு
வரைவிலக்கணம்.
என்பது ஒரு தளத்திலேயுள்ள ஒரு நிலையான கோடாகுக ; S என்பது அத்தளத்தில் இன்மீது கிடவாத ஒரு நிலையான புள்ளியாகுக. P என்பது அத்தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக ; M என்பது P யிலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடியாகுக. P என்பது 1 ஆகுமாறு இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கு ஒரு பரவளைவு என வரையறுக்கப்படுகின்றது.
SA என்பதை இற்குச் செங்குத் தாக ஐ A யிற் சந்திக்கும்படி வரைக. O என்பது SA யின் மையமாகுக. 08 என்பதை 30 அச்சிதுை நேர்த் திசையாகவும் இற்குச் சமாந்தரமாய் 0 விற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டை y அச்சாகவும் எடுக்க. OS = a A ஆகுக'.
P.(a,y) எனின்,
Y
P
wa
ܣܫܒܺܝܝ
g/2. ~പ-ן.2(a - (t) .2י1א, 1ᏢᎷᏬ :rs (ac-l-a)° l ..". (ac-y-a)?== (ac - a)*+-y*.
. g?-4aல.
இது OX, OY என்பனவற்றை a, g என்னும் அச்சுக்களாகக் குறித்து வரைந்த பரவளைவின் சமன்பாடாகும். S என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவின் குவியம் என்றும் அக்கோடு செலுத்தி என்றுங் கூறப்படும். அவ்வளையி முழுவதும் y அச்சினது நேர்ப்பக்கத்திற் கிடக்கும் ; அது உற் பத்தித் தானத்திற்கூடாகச் செல்லும். அது OX பற்றிச் சமச்சீராயி ருக்கும் ; OX இற்கு மேலுங் கீழுமுள்ள அதனுடைய கிளைகள் g=2V(aa), g= -2V(aa) என்பனவற்ருலே தரப்படும். OX என்பது அப் பரவளைவின் அச்சு என்றும் 0 என்பது அதன் உச்சி என்றுங் கூறப்படும்.
S இற்கூடாக OX இற்குச் செங்குத்தாயுள்ள அப்பரவளைவினது நாண்
செவ்வகலம் எனப்படும்.
155

Page 84
156 ஆரம்ப தூய கணிதம்
20 என்பது மிகப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது, g என்பதும் மிகப் பெரி தாகும் ; ஆயின், அவ்வளையி முடிவில்லாததாகும். அதற்கு இரண்டு முடிவில் கிளைகள் இருக்கும்.
ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
(a, பூ), (a, g) என்பன g?=400 என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக.
yy — 2a (ac –+- a') -+-yy/3 — 2a (ac-+-ac3) — yy3 -+- 2a (ac -+- ac) == 0 6T6öT69)Jö5 சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது a, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியி லுள்ள ஒரு சமன்பாடு. ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். g?-4aa=0 ஆதலால், a=0, y=g ஆகும்பொழுது அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
2=0, y=g ஆகும்பொழுதும் அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும். ஆகவே அச்சமன்பாடு (a, g), (a, g) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணைக் குறிக்கும்.
a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு.
(2,g) என்னும் புள்ளியானது அப்பரவளைவின்மீது நிலையாயிருக்க (3, y) என்னும் புள்ளியானது (ல,g) என்னும் புள்ளியோடு பொருந்தும்படி அப்பரவளைவினது நீளத்திற்கு இயங்குகின்றதெனக் கொண்டால், அவ்விரு புள்ளிகளையுந் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாடு .----. yy. — 2a(ac-+-a*) —+-yy. — 2a(ae-+-Q*) — y*-+-4a a",= 0. அல்லது 3/yaー2a(r十21)=0 என்னும் வடிவத்தை அணுகும்.
(,ை g) என்பது (0, y) ஓடு பொருந்தும்போது எல்லை நிலையிலுள்ள நாண் அப்பரவளைவிற்கு (0,g) இலுள்ள தொடலியாகும்.
ஆகவே, அப்பரவளைவிற்கு (a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு gg-2a (a+2) = 0 ஆகும். அவ்வளையியின் சமன்பாடு g = 2a (3+2) என எழுதப்படின், (a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு g என்பதி லொன்றை g ஆலும் 0 என்பதிலொன்றை 2 ஆலும் பிரதியிடுதலாற் பெறப்படும்.
பராமான வகைக்குறிப்பு.
a - a2, g - 2at எனின், g2-4aa = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்குந் தீர்க்கப்படும். ஆகவே, t என்பது ஒரு மாறுஞ் பராமானமாயின், அப்பரவளைவின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி யின் ஆள்கூறுகள் (a2, 2at) என உணர்த்தப்படலாம். t=0 ஆகும் பொழுது அப்பரவளைவின் உச்சி பெறப்படும். t இன் நேர்ப் பெறு

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 157
மானங்களுக்கு 3 அச்சிற்கு மேலேயுள்ள கிளையின் மீதுள்ள புள்ளிகளை யும் அதன் மறைப்பெறுமானங்களுக்கு 3 அச்சிற்குக் கீழேயுள்ள கிளை யின் மீதுள்ள புள்ளிகளையும் பெறுவோம். ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
t, t என்பன அப்பரவளைவின் மீதுள்ள P. P என்னும் இரு புள்ளிகளின் பராமானங்களாகுக. P. P என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சமன்பாடு
(y - 2at) (at” - at”) = (ac - at”) (2ait - 2at). t-t என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருத்தலால், அச்சமன்பாடு
(y - 2at) a (ta-l-t) = (ac - at”)2a, அல்லது (t1十fa)3/=2r十2ata。 னே எழுதப்படலாம். (u, 2t) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி.
என்பது (16ன்டதை அg), அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணின் é} [ቦነqነdIt ዘ|(ፁ 2t2 = 2a-2at, என்னும் வடிவத்தை அணுகும்.
ஆகவே, அப்பாவளேவிற்கு (a, 2a) இலுள்ள தொடலியின் சமன் un (7 ty = ac-+-ato.
ஆகவே, (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி g=a+a2. ா 0 எனப் பிரதியிட, உச்சியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டை a = 0 என்னும் வடிவத்திற் பெறுகின்ருேம்.
ஆகவே, g அச்சே உச்சியிலுள்ள தொடலியாகும். இரு தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்.
* t”, “t,” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகள் ஒன்றை யொன்று (3, g ) என்னும் புள்ளியில் வெட்டுக.
ஆயின், tij = a + at,*; ty = 3 +Ct”. (t-t)y= a(t-t') t-t என்பது பூச்சியமல்லாததால்,
y = a(ti-i-ta)
at= atı(tı-+-te) — ato= atta. ஆகவே, அத்தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெடநம் புள்ளி
atta, a(ti-ta)) அவ்விரு தொடலிகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின, =ே -1.

Page 85
丑58 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, இரு செங்குத்துத் தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு a = - a என்னுங் கோடாகும் ; இது அப்பரவளைவின் செலுத்தியாகும்.
தொடுநாண்.
(a, g) என்பது g? - 400 என்னும் பரவளைவினது தளத்திலேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அப்பரவளைவிற்கு (at?, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி (a, g) இற் கூடாகச் சென்றல், ίψ = α + αι*. புள்ளி (a, g) என்பது தரப்படும்பொழுது, இது இலுள்ள ஓர் இரு படிச் சமன்பாடாகி t இற்கு இரு பெறுமானங்களுக்கு மேலே தராது. பூ?>4aa எனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் வேறு வேறயும் மெய்யாயுமிருக்கும் ; g - 400 எனின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந் தும் ; /*>400 எனின் மெய்மூலங்களில்லை. ஆகவே, (x, y) என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவிற்கு வெளியாற் கிடந்தால், இரண்டு வேறு வேறன தொடலிகள் இப்புள்ளியிலிருந்து வரையப்படலாம் ; அது அப்பரவளைவிற் குட் கிடந்தால் ஒரு தொடலியையுங் கீறுதல் இயலாது. அப்பரவளைவு (a, g) என்னுந் தளத்தை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ; அப்பரவளைவின் அச்சைக் கொள்ளுகின்ற பகுதி அப்பரவளைவிற்குள்ளே கிடக்கின்றதென்றும் மற்றைப் பகுதி அதற்கு வெளியே கிடக்கின்றதென்றுங் கூறப்படும். (a, g) என்பது அப்பரவளைவிற்கு வெளியே கிடக்க, t, t என்பன (a, g) இலிருந்து வரைந்த இரு தொடலிகளினுடைய தொடு புள்ளிகளின் பராமானங்களாயிருந்தால், t, d என்பன
ato — ty -- ac = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.
". ti -+- t2 == //a, tuta ==
இம்முடிபுகள் வேறு வழியால் இதற்கு முன்னே பெறப்பட்டன. * t. ”, “,ே” என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாடு
(t. -- t) = 2a: -- 2alta, அல்லது 919. 2n +2e.
O -
ஆகவே, (x, y) இலிருந்து வரையுந் தொடலிகளினுடைய தொடு நாணின் சமன்பாடு gg - 2a (a + a).
இம்முடிவு ஒரு வட்டத்திற்கு வழங்கிய வழியாலும் பெறப்படலாம்.
ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன்.
ஒரு பரவளைவின் P என்னும் ஒரு புள்ளிக்கூடாக அப்புள்ளியிலுள்ள தொடலிக்குச் செங்குத்தாயுள்ள கோடு P யிலுள்ள செவ்வன் எனப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 丑59
P=(at2, 2at) எனின், P யிலுள்ள தொடலி
i ty = c + ato
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
ஆகவே, P யிலுள்ள செவ்வன்
y -- ta: = 2at -- at
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
பரவளைவினுடைய சில இயல்புகள்.
1. குவியத்திலிருந்து பரவளைவின் ஒரு தொடலிக்கு வரையுஞ் செங் குத்தின் அடி உச்சியிலுள்ள தொடலியின்மீது கிடக்கும்.
ஒரு தொடலியின் சமன்பாடு g = 3 + at?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1).
குவியமானது (a, 0) என்னும் புள்ளி.
ஆகவே, (a, 0) இலிருந்து அத்தொடலிக்கு வரையுஞ் செவ்வனின் és lfölöII.J17(8) у + fa = ай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
6
3 = 0, y=at ஆகும்பொழுது (1), (2) என்னுஞ் சமன்பாடுகளானவை தீர்க்கப்படும். ஆகவே, குவியத்திலிருந்து அத்தொடலியின்மீது வரை யப்படுஞ் செங்குத்தின் அடிக்கு (0, t) என்னும் ஆள்கூறுகள் உண்டு.
ஆகவே, அது உச்சியிலுள்ள தொடலியாகிய y அச்சின்மீது கிடக்கும்.
2. ஒரு பரவளேவிேலுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது செலுத்தியை M இற் சந்தித்தால், S என்பது அப்பரவளைவின் குவியமா யிருக்கும்பொழுது SM, SP என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
|alta? (at”, 2at) 3.6}}|Gitat GJITL65) ty = a + atë. a(t-1)
-.
 ை= - a யாகும்பொழுது, g =
M = { -- OU, a(t- .
t J t2 -
"2# س
2t 2 ”. 24 1 எனின் SIM என்பது SP யிற்குச் செங்குத்து. t= 1 எனின், P = (a, 2a), M = (-a, 0)
.. SM இன் சரிவு »حسمت
241 எனின், SP யின் சரிவு =
ஆகவே, SP என்பது y அச்சிற்கும் SM என்பது 0 அச்சிற்குஞ் சமாந்தரம்.
ஆகவே, SP என்பது SM இற்குச் செங்குத்து. சமச்சீரால், t = -1 ஆகும்பொழுதும் இம்முடிபு உண்மையாகும்.

Page 86
160 ஆரம்ப தூய கணிதம்
3. இரண்டு செங்குத்துத் தொடலிகள் செலுத்தியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும் ; அவற்றினுடைய தொடு புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோடு குவியத் திற்கூடாகச் செல்லும்.
புள்ளி (at?, 2a) இலுள்ள தொடலி g = 3 + at?.
t இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் இச்சமன்பாடு g = மாறிலி என்னும் வடிவத்திற்கு ஒடுங்காது. ஆகவே, பரவளைவிற்கு a அச்சிற் குச் சமாந்தரமான ஒரு தொடலியும் இருத்தல் இயலாது. ஆகவே, இரண்டு தொடலிகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின், அத்தொடலி களுள் ஒன்ருயினும் g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகாது.
அச்செங்குத்துத் தொடலிகள் tg = 3 + at?,
ty = 3 + ab* என்பனவாகுக. சரிவுகளின் பெருக்கம் ---- 1.
ಶಿ அத்தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a, a(+t) என்பனவாகும்.
ஆகவே, அவ்வெட்டும் புள்ளி செலுத்தியாகிய a = - a என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
PP என்னும் நாணின் சமன்பாடு
y (t -- t) = 2ac -- 2at te
அல்லது y (t. -- t) = 2a-2a.
a = a, g = 0 ஆகும்பொழுது இது தீர்க்கப்படும்.
ஆகவே, PP என்னும் நாண் குவியத்தினூடாகச் செல்லும்,
4. ஒரு பரவளைவில் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் அப்பரவளைவின் அச்சை இெற் சந்தித்தால், SG=SP.
PE (ato, 2at) gyGg55. P யிலுள்ள செவ்வன் g + ta = 2a + at?.
g = 0 ஆகும்பொழுது, 0 = 2a + at?.
... G = (2a -- ato, 0).
..". SG = a + at*. SP2 = (at-a)? -- (2at)? = (a - at?)?
... SG = SP.
5. p என்பது ஒரு பரவளைவில் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலியிலிருந்து குவியத்தின் செங்குத்துத் தூரமாயிருக்க, r என்பது S இலிருந்து P யினது தூரமாயின், p?= ar.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 6.
Pe (ato, 2at) (55.
a(1+to)
இப்போது p -- V(1 +g?)F° «V(l --t?). ஆளுனல், r = SP = a (1 -- to)
... po= ar.
6. குவியத்தை முனைவாயும் அச்சை ஆரம்பக் கோடாயுங் குறித்து எடுத்த ஒரு பரவளைவின் முனைவுச் சமன்பாடு 1/r = 1 - கோசை 9.
இங்கு என்பது அரைச் செவ்வகலம். அப்பரவளைவின் அச்சு செலுத்தியை யிற் சந்திக்க, S என்பது குவிய மாகுக. P என்பது அப்பரவளைவின் மீது SP=7 ஆயும் நீட்டிய AS ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குவதாயு முள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. PM என்பது செலுத்திக்கு வரைந்த செங்குத்தாயின் SP = PM = r,
L என்பது செவ்வகலத்தின் ஒரு முனையாகுக ; LN என்பது செலுத் திக்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக.
- pulasö7, LN= LS= 1. PK என்பது AS இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டமையால், AS தன்னுந் திசையில் அளக்கப்படும் SK இனது நீளம் r கோசை6.
AK = AS + SK = NL + r GasT60,96. .. r = + r கோசை 9;
l
ட் - 1 - கோசை 9.
6 என்பது SA யோடு SP யால் ஆக்கப்பட்ட கோணமாயின்,
l
gr
= 1 - (காசை (ா - 9) = 1+ கோசை 9.
பயிற்சி 15.
1. AB'C' என்பது ஒரு பரவளைவின் A, B, C என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிக ளால் ஆக்கப்பட்ட முக்கோணியாயும், ,ெ 'ெ என்பன முறையே ABC, A B,C என்னும் முக்கோணிகளின் மையப்போலியாயும் இருந்தால், GG என்பது அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக.
H என்பது Gெ இன்மீது Hெ=2 H7ெ ஆகுமாறுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், H என்பது அப் பரவளைவின் மீது கிடக்குமெனக் காடடுக.

Page 87
162 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2. ஒரு பரவளைவினது நாண் அதன் உச்சிக்கூடாக வரையப்பட்டால் அதன் மையம் ஒரு நிலையான பரவளைவிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
3. ஒரு பரவளைவினுடைய நாண்கள் ஒரு நிலையான திசையில் வரையப்பட்டால், அவற்றின் மையங்கள் அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
4. g?=4 aa என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள (at?, 2a), (ae?,2a) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாண் (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வணுயின் 12+18+2=0 எனக் காட்டுக.
அது துணைகொண்டு, 8a யிற் பெரிதான கிடைக்கூறுள்ள அப்பரவளைவின் எப்புள்ளியும் அப்பரவளைவின் வேறிரு புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்களின் வெட்டுப் புள்ளியாகுமெனக் காட்டுக.
5. g2-4ag என்னும் பரவளைவின் இரு புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகள் (a, g) என்னும் புள்ளியிற் சந்திக்க, அப்புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்கள் (a, g) இற் சந்தித்தா9ே a2=2a2+g? - aa என்றும் ag+ag= 0 என்றுங் காட்டுக.
6. g2=4aa என்னும் பரவளைவின் குவிய நாணுென்றினுடைய முனைகளிலுள்ள செவ்வன் களின் வெட்டுப் புள்ளி g?-a(a - 3a) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
7. g2-4aa என்னும் பரவளைவின்மீது (ae?, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் (h,k) என்னும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் சென்றல், ! யினலே தீர்க்கப்படுஞ் சமன் பாட்டை எழுதுக. தந்த ஒரு புள்ளிக் கூடாக மூன்றின் மேற்பட்ட செவ்வன்கள் செல்லா என்றும் * t. ”, “e”, “e” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்கள் ஒரே புள்ளிக்கூடாகச் சென்ருல் t+b+t=0 என்றும் உய்த்தறிக.
8. நிலையான இரு நேர்கோடுகள் 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றையொன்று செங் கோணங்களில் வெட்டுகின்றன. ஒரு மாறுங்கோடு P, 0 என்பனவற்றில் OP=002 ஆகும் படி அந்நிலையான கோடுகளை வெட்டுமாறு வரையப்படுகின்றது. அம்மாறுங் கோடு ஒரு நிலையான பரவளைவை என்றுந் தொடுமெனக் காட்டுக.
9. P, 0 என்பன g?-43 என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் ; அவற்றைத் தொடுக்கும் நேர்கோடு (2, 0) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றது. அப்பரவளைவிற்கு P, 0 என்பனவற்றிலுள்ள செவ்வன்கள் g?=4(3 - 4) என்னும் பரவளைவின்மீது ஒன்றை யொன்று வெட்டுமென நிறுவுக.
10. PQ என்பது ஒரு பரவளைவின் குவியத்திற்கூடாகச் செல்லுமாறு P, 2 என்பன அப்பரவளைவின் மீதுள்ள இரு மாறும் புள்ளிகள், P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் அப்பரவளைவை மீண்டும் L,M என்னும் புள்ளிகளிற் சந்தித்தால், LM என்பது அப்பரவளைவின் அச்சின்மீது நிலையான ஒரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுமெனக்காட்டுக.
11. A,B,P,0 என்பன g2=4ag என்னும் பரவளைவின்மீது A யிலுள்ள தொடலிக்கு BP யானது சமாந்தரமாகும் படியும் B யிலுள்ள தொடலிக்கு 40 வானது சமாந்தரமாகும் படியுமுள்ள புள்ளிகள். AB என்பது அப்பர்வளைவின் குவியத்திற்கூடாகச் சென்றல், P9 வின் மையம் 5g?=2a(3-9a) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
12. PQ வானது ஒரு பரவளைவின் குவிய நாணுயின் அதனை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் பரவளைவின் செலுத்தலியைத் தொடும் எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 6
நீள்வளையம்
வரைவிலக்கணம்.
ஆனது ஒரு தளத்திலுள்ள நிலைத்தவொரு கோடும், S ஆனது இல் இராத, அத்தளத்திலுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P யானது அத்தளத்தில், இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலிருக்கும் ஒரு மாறும் புள்ளியும், M ஆனது P யிலிருந்து இற்குள செங்குத்தின்
அடியுமாகுக. P யானது, 1 இலும் குறைந்தவொரு மாறிலி e ஆக, SP e
PM எனும் வண்ணம் அசையுமாயின், P யின் ஒழுக்கு ஒரு நீள்வளையம் எனப்படும். S அதன் குவியம் எனவும், செலுத்தி எனவும், e மையவகற்சித்திறன் எனவும் கூறப்படும்.
つ×
E'
இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதை Z இல் சந்திக்கும் படியாகவும் SZ ஐ வரைக.
SA SA" w
.=2 = ഋഥ ഖങ്ങഥ 4,4' எனும் புள்ளிகளை முறையே S2 இலும் நீட்டித்த ZS இலும் எடுத்துக் கொள்க. எனவே A, A' என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 வானது AA இன் நடுப்புள்ளியும் 2a அதன் நீளமுமாகுக. ஆகவே,
63

Page 88
164,... ஆரம்ப தூய கணிதம்
இன்னும் . SA + SA 2a. а
39) AZAZ (a-OZ) (OZ- a) OZ
... OZ = .
e a அச்சின் நேர்த்திசைக்கு O2 ஐயும் O ஊடு செல்கின்ற செங்குத்துக் கோட்டை g அச்சாகவும் எடுத்துக் கொள்க. P(a),g) ஆனது நீள் வளையத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன்னும் PM ஆனது
இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்படுவதாகுக. எனவே,
SP2 - e2PM2.
P=E(w,y), S = (ae, o) geg5GÚNGÖT
SP? = (x — ae)2+y*.
ஆனது 20= α எனுங் கோடாதலின்
e
PMr = ( - )
ፀ
)2 ( *e =سي= ae)2-+-gy2 -- مa)
e a?(1-e)--y= a(1-e) X2 y a2 -- be 1. இங்கு b = a? (1-8?) எனவும், b நேர் எனவும் கொள்ளப்படும். இதுவே நீள்வளையத்தின் சமன்பாடாகும். a ஆனது -ல இனலோ, அல்லது g ஆனது -g இனலோ மாற்றீடு செய்யப் படின், சமன்பாடு மாற்றமடையாதிருக்கும்.
", (a,g) வளையியிலுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், (-a,g), (a, -g)(-a, -g) என்பனவும் அதிலுள்ள புள்ளிகளாகும்.
.. அவ்வளையியானது இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியும் சமச்சீருடைய தாகும். r
g நேரெனின் y = b V1-afa. .. a ஆனது 0 இலிருந்து 0 வரையும் அதிகரிக்கும்போது, y ஒழுங்காக b யிலிருந்து 0 இற்குக் குறைந்து வருகின்றது. நேர்காற் பகுதியிலுள்ள வளையியின் பாகமானது பின்னர் பெறப்படும். முழுமையான வளையி வரிப்படத்திற் காட்டிய வடிவத்தையுடையது. உருவத்தின் சமச்சீரிலிருந்து நீள்வளையமானது S" என்னும் இரண்டாங் குவிய மொன்றையும் ! என்னும் அதனேடொத்த செலுத்தியொன்றையுமுடையது. P யானது நீள்வளைய

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 65 மொன்றின் யாதுமொரு புள்ளியும்,‘PM ஆனது ' இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுமிருப்பின்
SP PMý நீள்வளையமானது y அச்சின் நேர்ப் பாகத்தை B யிலும் மறைப் பாகத்தை B இலும் வெட்டுமாயின், BB இன் நீளம் 2ம் யாயும் B= (0, b), B = {0, -6) யாயும் இருக்கும்.
0 விற்கூடாகச் செல்லும் ஒவ்வொரு நாணும் 0 வில் இருகூறிடப்படும். எனவே 0 வானது நீள்வளையத்தின் மத்திய புள்ளி எனப்படும்.
AA', BB என்பன நீள்வளையத்தினது தலைமையச்சுக்கள் எனப்படும் ; AA ஆனது பேரச்சு எனவும் BB ஆனது சிற்றச்சு எனவுங் கூறப்படும். பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாகக் குவியமொன்றினூடு செல்லும் நாண் செவ்
வகலம் எனப்படும்.
P யானது நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு புள்ளியாயின்
SP = e PM, SP = e PM ..'. SP + S"P = e (PM + PM') = e ZZ”
= 2e. OZ = 2a: . ஆகவே நீள்வளையத்தினது புள்ளியொன்றின் குவியத்துரக் கூட்டுத் தொகை மாறததாயும் பேரச்சின் நீளத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கும். ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
(a, g), (a, g) நீள்வளையத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக. ஆகவே
பின்வரும் சமன்பாட்டினைச் சிந்திக்க.
இது 20,g இலுள்ள முதலாம்படிச் சமன்பாடானமையின் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றதாகும். a = 0, g = g ஆனபோது சமன் பாடானது தீர்க்கப்படும். இன்னும் 30 = 22, g = g; ஆனபோதும் இது தீர்க்கப்படும்.
.. இச்சமன்பாடு அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் கோட்டைக் குறிக்கும். தொடலியின் சமன்பாடு.
(3, g), (0,g) ஆகிய இரு புள்ளிகளும் ஒன்றையொன்று நோக் கிச் சென்று, இறுதியில் ஒன்றுபடும்போது, அந்நாணுனது ஒன்றும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலியாகும்.

Page 89
66 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. நீள்வளையத்தில் (a, g) எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடானது 22- 2, gg=g என மேற்கூறிய சமன்பாட்டிற் போடப்படுவதனற் பெறப்படும்.
அதாவது (a, y) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடானது
acau i 3/p/ \__, ac * ) y* (窯+繁)- + + 1 = 2
AO 1 || }/1__ அல்லது ? -- `b2 ! 1.
பரமானக் குறியீட்டு விளக்கம்.
a = a கோசை 9, g = b சைன்9 ஆக இருக்கும்போது, 9 என்ன
2 2 வாயிருப்பினும், -- = 1 ஆகிய சமன்பாடானது தீர்க்கப்படும்.
(a கோசை 9, 6 சைன் 6) ஆகிய புள்ளி 0 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் நீள்வளேயத்திலுளது. VM
6= 0 ஆகும்போது, புள்ளியானது A யைக் குறிப்பதாகும். 6 வானது
0 இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க, புள்ளியானது நேர்க் காலியிலுள்ள
நீள்வளையத்தினது வில்லை வரைகின்றது. 8 attorg, இலிருந்து 1ா இற்கு அதிகரிக்க, இரண்டாவது காலியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும்.
6 வானது ா இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க மூன்றம் காலியிலுள்ள
வில்லா ஈது வரையப்படும். இன்னும் 9 வானது இலிருந்து 2ா
இற்கு அதிகரிக்க நாலாம் காலியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும். . 8 வானது 0 இலிருந்து 27 இற்கு அதிகரிக்க, முழுவளையியும் A யிற் தொடங்கி இடஞ்சுழியாக ஒரு முறை வரையப்படும்.
", வளையியிலுள்ள எப்புள்ளியும் (a கோசை 9, b சைன் 8) எனும் ஆள்கூறுகளை யுடையதாகும். இங்கு 0 - 9 2 2 T. 6 வானது அப்புள்ளிக்கொத்த மையவகற்சிக் கோணமெனப்படும். A எனும் புள்ளி 0 ஐ அல்லது 2ா இனை மையவகற்சிக் கோணமாகவுடையதெனக் கருதப்படும்.
நாணின் சமன்பாடு.
6, சி, என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளின் மையவகற்சிக் கோணங்களாகுக. ஆகவே அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்குங்
கோட்டின் சமன்பாடு

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 67
(g-6 சைன் 6) (a கோசை 9-a கோசை 9)
= (a - a கோசை 6) (b சைன் 6-6 சைன் 6)
அ-து - (g - b சைன் 9) a சைன் ಕ್ರಿಕ್ಟರಿ
= (a - a கோசை 9) b கோசை ಕ್ರಿಸ್ಥೀ,
-2|-gs) * கோசை 6.--6, + 4 சைன் 伪十6。
0. 2 b 2
- கோசை 6 - 0, o
தொடலியின் சமன்பாடு.
6 ’ எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு 9, ஒடு 9,
ஒன்றுபட மேற்கூறப்பட்டுள்ள நாணின் எல்லை வடிவமாகும். . “ 9 ”
ஆகிய புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு
கோசை0+4சைன் 6 = 1.
செவ்வனின் சமன்பாடு.
* 9” எனும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனனது
சைன் 9
- (g-b சைன் 8) ဖ## f6
(a-a கோசை 9)
= 0 ஆகிய
. சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்படும்.
b b கோசை9 வும் சைன்9 வும் பூச்சியமில்லாதனவாயின், இது
a0 சீக 9-g கோசி 6= a?-bஎன எழுதப்படலாம். arsece-b外 یحec69 صےaمحیط --مح தொடுகை நிபந்தன.
அ-து. சைன் 6 - கோசை 9 = (; rinn ) கோசை 9 சைன் 6.
- ეფ2 2 SL SSSS S LLLL S SLL
a + mg + n = 0 என்னுங்கோடு a -H 祭 = 1 என்னும் நீள்வளையத்
திற்கு ஒரு தொடலியாகுக. ஆயின் (ல', y) என்னும் புள்ளி அதன்
தொடுபுள்ளியாயின் 4ား -- tg = 1, lac + my + n = 0 என்னுமிரு
Oi, 2
சமன்பாடுகளும் ஒரு கோட்டையே குறிக்கும்.

Page 90
168 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 16.
1. 2a, 26 என்பன தனது பேரச்சினதும் சிற்றச்சினதும் நீளங்களாகவுள்ள நீள்வளைய
22
மொன்றினது செவ்வகத்தின் நீளம் - எனக் காட்டுக.
"2. நீள்வளையமொன்றிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் மையவகற்சிக்கோணம் 6 எனின், அந் நீள்வளையத்தின் குவியங்களிலிருந்து அப்புள்ளியின் தூரங்கள் a(1+cகோசை0), a(1 - e கோசை 9) என நிறுவுக. இங்கே 20 யானது பேரச்சின் நீளமாகும்.
3. நீள்வளையமொன்றில் P எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது செலுத்தியை T இற் சந்தித்தால், S ஆனது ஒத்த குவியமுமாயின், SP யிற்கு ST செங்குத்தென நிறுவுக.
4. நீள்வளையமொன்றினது குவியமொன்றிலிருந்து அந்நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு தொடலிக்குள்ள செங்குத்தின் அடியானது அந்நீள்வளையத்தின் பேரச்சை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
(இவ்வட்டமானது துணைவட்டமெனக் கூறப்படும்)
5. நீள்வளையமொன்றில் P யாதுமோர் புள்ளி ; துணைவட்டத்தை 0 விற் சந்திக்க P0 வானது பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுளது. P யினது மையவகற்சிக் கோணம் பேரச்சின் நேர்த்திசையுடன் 00 ஆக்குங் கோணமெனக் காட்டுக. இங்கு 0 நீள்வளையத்தின் 60)ւԸսjւԻ.
6. நீள்வளையமொன்றின் இரு குவியங்களிலுமிருந்து அந்நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு தொடலிக்குள்ள செங்குத்துக்களின் நீளங்களினது பெருக்குத் தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6% இற்குச் சமமெனவும் நிறுவுக. இங்ரு 26 யானது சிற்றச்சின் நீளமாகும்.
7. நீள்வளையமொன்றினது தொடலியொன்று இரு குவியங்களையும் தொடு புள்ளிக்குத் தொடுக்குங் கோடுகளுடன் சமசரிவுடையதென நிறுவுக.
ac2 | gy 2 s r a - 8. lac+my + n = 0 676g)jiā16576 a? -- 涙エー 1 ஆகிய நீள்வளையத்திற்குத் தொடலியாயின்
a*-+b2n2=m2 எனக் காட்டுக.
a கோசை 9+g சைன் 6=p, g கோசை 9 - a சைன் 0=g ஆகிய சமன்பாடுகள் a2+g"= p?+? என்பதைத் தருகின்றனவெனும் உண்மையைக் கொண்டு அந்நீள்வளையத்தின் எவையேனும் இரு செங்குத்தான தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி
a+y=a+b? எனும் வட்டத்திற் கிடக்குமென நிறுவுக. இவ்வட்டமானது செலுத்திவட்டமென்று கூறப்படும் 9. நீள்வளையமொன்றின் ஒரு புள்ளி P யிலுள்ள செவ்வனனது பேரச்சை இெற் சந்திப்பின் SG = 8.SP எனக் காட்டுக. இங்கு S ஆனது நீள்வளையத்தின் ஒரு குவியமும், 8 அதன் மையவகற்சித் திறனுமாகும்.
2 2 10, 石十 = 1 எனும் நீள்வளையத்தின் ஒரு மாறு நாண் g = ma எனும் ஒரு தரப்பட்ட
O
கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயுளதாயின் அந்நாணின் மத்திய புள்ளி g = ma எனும் நிஜலக்
bጂ கோட்டிலிருக்குமெனக் காட்டுக. இங்கு mm - - . (g = ma,y = m' ஆகிய கோடுகள் நீள்வளையத்தின் ஒரு சோடி இணைவிட்டங்களெனப்படும்.)

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 69
მფზ 2 11. (த2) ஆகிய புள்ளியில் இருகூறிடப்பட்ட + = 1 ஆகிய நீள்வளையத்தின்
2yg/ ac* , 2y*
is a -- ba 6T607ă 5ITL(B5, ( ைஅச்சின் நேர்த் திசையுடன் நாணுனது கோணம் 6 வை ஆக்குக. அந்நாணிலுள்ள புள்ளி யானது (a+r கோசை 0), (g++ சைன் 0) எனும் வடிவத்தையுடைய ஆள்கூறுகளையுடைய தாகும். இப்புள்ளியானது நீள்வளையத்திலுள்ளதாயின்,
(a+7 கோசை 9)2 (g+r சைன் 9)?
2 -- :سیم O bጻ . இச்சமன்பாடானது நீள்வளையமும் நாணும் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றதாகிய இரு புள்ளிகளுக்கும் ஒத்த 7 இன் இரு பெறுமானங்களையும் கொடுக்கின்றது. எனவே இச் சமன்பாட்டினுற் கொடுக்கப்பட்ட 7 இன் இரு பெறுமானங்களும் பருமனிற் சமமாயும் குறியில் எதிரானவையாயும் இருக்கும். .. r இன் குணகம் பூச்சியமாகும்.)
12. தன் ஒரு குவியத்தை முனைவாகவும் பேரச்சைத் தொடக்கக் கோடாகவுங் கொண்ட
aca நாணினது சமன்பாடு " دهa --
1.
ஒரு நீள்வளையத்தின் முனைவுச் சமன்பாடானது - = 1 + e கோசை 9 என நிறுவுக.
r
இங்கு 2 ஆனது செவ்வகலத்தின் நீளமும் 8 மையவகற்சித் திறனுமாகும்.
13. 20, 26 என்னுந் தலைமை அச்சுக்களும் 0 என்னும் மையமும் உள்ள நீள்வளையத்தில் P, Q என்பன இரு புள்ளிகளாகும். P யிலுள்ள தொடலி 02 இற்குச் சமாந்தரமாயின், Q விலுள்ள தொடலி OP யிற்குச் சமாந்தரமாகுமெனக் காட்டுக. அன்றியும் OP யிற்குச் சமாந்தரமான யாதுமொரு நாண் OQ என்பதால் இருகூறிடப்படுமெனக் காட்டுக.
OP8. OQ2 = a-ba
என்பதையும் நிறுவுக.
2 by و aca • 14,忘十 読古=" என்னும் நீள்வளையத்திற்கு 2, 3 என்னு மையவகற்சிக் கோணங்
C களுள்ள புள்ளிகளில் வரையப்படுந் தொடலிகள்
a கோசை a+3. b 6æ#âr の十6
2 2 கோசை ده கோசை فيه
என்னும் புள்ளியில் வெட்டுமெனக் காட்டுக.

Page 91
அத்தியாயம் 7
அதிபரவளைவு வரைவிலக்கணம்.
ஆனது தளமொன்றிலுள்ள ஒரு கோடும் S ஆனது இல் இராது அத்தளத்திலிருக்கின்றவொரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P யானது அத் தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள புள்ளியும், இன்னும் P யிலிருந்து இன் மீதுள்ள செங்குத்தின் அடி M உம் ஆகுக. e யானது 1 இலும் கூடிய ஒரு மாறிலியாகவுமிருக்க, 盖一·
எனும் வகையில் P யானது இயங்குமாயின், P யின் ஒழுக்கு ஒரு அதிபரவளைவெனப்படும். அதிபரவளைவின் குவியம் S எனவும், செலுத்தி னவும், மையவகற்சித்திறன் e என வுங் கூறப்படும்.
AY f
B
O 才杰─古一x
4B
S2 ஐ இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதனை 2 இற் சந்திக்கவும் வரைக.
SA SA" AZ A'Z S2 இலும் நீடித்த S2 இலும் எடுத்துக் கொள்க. ஆகவே A, A' என்பவை அதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 வானது AA இன் மத்திய புள்ளியும் 20 யானது AA இன் நீளமுமாகுக.
B三 SA' + SA SO-a-SO-a OS
Al’Z-- AZ 2a,
". OS = ae.
= e எனும் வகையில் A, A ஆகிய புள்ளிகளை முறையே
170
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 17.
இன்னும், e='-=ே 2a. α
9" AZ - AZ Oza (a - Oz, Oz
... OZ =.
e 20 ஐ, X அச்சின் நேர்ப் பக்கமெனவும் 0 விற்கூடாகவுள்ள அதன் செங்குத்தை Y அச்செனஷம் கருதுக.
P(a),g) யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன் னும் இற்குச் செங்குத்தாக PM ஆனது வரையப்படுக. எனவே SP2 - e2. PM2. S = ( — ae, 0) SP2 = (ac -- ae)? -- yo.
ஆனது a = - என்னுங் கோடாதலின்
2 PM2- (e -- 2)
e
("'+ x) مع = مe + ae)" + g) a?(e-1)-y2 = a(e? - 1)
2 2 器一器=1 இங்கு b?= a*(e?-1) எனவும் b நேரெனவும்
鲁 ●
எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.
இதுவே அதிபரவளேவின் சமன்பாடாகும். வளையியானது இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியுஞ் சமச்சீருடையது.
g = 0 ஆகும்போது 0 = + a எனவே, A = (-a,0), A' = (a,0). 2=0 ஆகும்போது, g யிற்குப் பெறுமானம் இல்லை. ஆகவே வளையியானது y அச்சை வெட்டமாட்டாது.
g நேராயிருக்கும்போது
2
.. வளையியிலுள்ள புள்ளிகளுக்கு a2> a2 a யிலிருந்து 3 ஆனது அதிகரிக்க, y யானது உறுதியாகப் பூச்சியத் தினின்று அதிகரிக்கின்றது.
at -> o gya5, y -> oo.

Page 92
172 ஆரம்ப தூய கணிதம்
". நேர்க் காலியில் முடிவில்லாத கிளையொன்று A இல் தொடங்கி வரையப்படுகின்றது.
.. நிறைவான வளையியும் வரிப்படத்திற் காட்டிய உருவத்தை உடையது.
அது ஒவ்வோர் கிளையும் முடிவில்லாத பகுதிகளையுடைய இரு தெளிவான கிளைகளைக்கொண்டதாகும். அதிபரவளைவானது S எனும் இரண்டாங் குவிய மொன்றையும் ' எனும் ஒத்த செலுத்தி ஒன்றையும் உடையதெனச் சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படுகின்றது. P யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாது மொரு புள்ளியும், ' இற்குச் செங்குத்தாய் PM ஆனது வரையப்பட்
டுளதுமாயின், Plf" = 6 י&y(9tימ O விற்கூடாகச் செல்லும் அதிபரவளை வின் ஒவ்வொரு நாணும் 0 வில் இருகூருக்கப்படுகின்றது. எனவே 0 வானது அதிபரவளைவின் மையப்புள்ளியெனப்படும். O விற்கூடாகச்செல் லும் நாணென்றிற்கு ஒரு முனையானது அதிபரவளைவின் ஒரு கிளையிலும் மற்றை முனையானது அதன்மற்றைய கிளையிலும் இருக்கும்.
AA ஆனது அதிபரவளைவின் குறுக்கச்சு எனப்படும். y அச்சில் B, B என்பன O விலிருந்து b என்னும் ஒரே தூரத்திலும் அதற்கு எதிர்ப்பக்கங்களிலும் எடுக்கப்படுவனவாயின், BB ஆனது அதிபர வளைவின் இணையச்சு எனக் கூறப்படும்.
குறுக்கச்சிற்குச் செங்குத்தாக குவியமொன்றிற்கூடாகச் செல்லும் அதிபர வளைவின் நாணென்று ஒரு செவ்வகலமென்று சொல்லப்படும். P யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயின்
SP = e PM, S'P = e PM''.
". எண் பெறுமானத்தில் SP - SP = eZZ",
2 e.OZ,
ா 20, ". அதிபரவளைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் குவியத் தூரங்களின் வித்தியாசம் ஒரு மாறிலியாகும். இன்னும் அது குறுக்கச்சின் நீளத்திற்குஞ் சமமாகும்.
நாணுென்றின் சமன்பாடு.
நீள்வளையத்துக்குள்ளது போல 露一露=1 என்னும் அதிபரவளைவிலுள்ள (a, g), (a, g) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
*1991 atoeg 992 - 21223/12/2
志ー苦+ エー苦=言ポーリf+1

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 173 (3, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு.
231 3//
- 紫 - 1 என்பதாகும்.
பரமானக் குறியீடு.
b - z = ( + ), 9 = (-) எனின்
az2 ገ/2
-- 1 ஆகிய சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் தீர்க்கப்படும்.
IV b . {(+ ). 氯-洲 எனும் வடிவத்தில் t எனும் ஒரு பரமர்னம் மூலம் தம் ஆள்கூறுகள் கொடுக்கப்படுகின்ற புள்ளியானது அவ் வதிபர வளைவிற் கிடக்கும்.
அதிபரவளைவிற்கு “ ’ எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது.
l\ y b ... (+)-(-) = 1
6) (, ; Y-4 (-Y-1 அல்லது 弧”十高りー競い*ー五り千
ஆகிய சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்படும்.
இதனிலுங் கூடுதலாக இசைவாகும் பரமானக் குறியீடு a = a சீக 9, g = b தான் 9 வாகும். 6 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் இவ்வாள்
2 a.2 கூறுகள் உள்ள புள்ளி - = 1 என்னும் அதிபரவளைவிற் கிடக்கும்.
9 என்னும் பரமானப் புள்ளியில் வரையப்படுந் தொடலி
22
* a சீக 9 - , b தான் 9=1
அல்லது * ஒக9 -4தான் 9=1
0. b என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். அணுகுகோடுகள்.
அதிபரவளைவின் சமன்பாடு
* - Y (Y-1 - - - - - P. α ό a 5 = 1 என எழுதப்படலாம்.

Page 93
174 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. -- 0 எனுங் கோட்டில் அல்லது + = 0 எனுங் கோட்டி லுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் முன் கூறியுள்ள சமன்
பாட்டினைத் தீர்க்கமாட்டா. ஆகவே நேர்கோடுகள்
= 0,
g
gy +競一0 என்பன அதிபரவளைவை எவ்விடத்தும் வெட்டமாட்டா.
நேர் காலியிலுள்ள அதிபரவளைவின் முடிவிலாப் பாகத்திலுள்ள P(n, y) எனும் ஒரு புள்ளியைக் கருதுக. அதிபரவளைவில் P யானது உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து முடிவிலாத் தூரத்திற்கு அசைய, 30 , g ஆகிய இரண்டும் முடிவிலியை அணுகும். . P யானது முடிவிலியை நோக்கிச் செல்ல
O -Y- * h ხ
191 0 چ۔ ༧, 9 ༧ ། / O b
- = 0 எனுங் கோட்டிலிருந்து P யினது தூரம்
-/ α ό aすが
... ar y
o g一誘=0 எனுங் கோட்டிலிருந்து P யின் தூரம், P யானது நேர்
காலியிலுள்ள கிளைவழியே முடிவிலியை அணுக, பூச்சியத்தை அணுகும்.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 175
மூன்றம் காலியிலுள்ள முடிவில்லாத கிளையில் P இருக்கும் போது இதே பெறுபேறு அமையுமென்பது சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படும். இன்னும் சமச்சீரிலிருந்து, + = 0 எனுங் கோடும் இரண்டாம் நான் காங் காலிகளிலுள்ள முடிவில்லாக் கிளைகளும் பற்றி அதே உடைமை அமையும்.
... a y
O - b - வின் பொருத்தமான முடிவிலாக் கிளைகளை, அவைகளை ஒரிடத்தும் வெட்டாது,
அணுகும். இக்கோடுகள் அதிபரவளைவின் அணுகு கோடுகளெனக் கூறப் படும்.
O, -- = 0 ஆகிய இரு கோடுகளும் உறுதியாய் அதிபரவளை
பயிற்சி 17,
2 2 252 .器一霹= 1 எனும் அதிபரவளைவின் செவ்வகலத்தினது நீளம் - எனக் காட்டுக هلی 2. அதிபரவளைவொன்றில் குவியமொன்றிலிருந்து தொடலியொன்றிற்குள செங்குத்தின் அடியானது குறுக்கச்சைத் தன் விட்டமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்திலிருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
(துணை வட்டம்) 73. அதிபரவளைவொன்றில் அதன் குவியங்கள் இரண்டிலுமிருந்து யாதுமொரு தொடலிக் குள செங்குத்துக்கள் இரண்டின் நீளங்களினது பெருக்குத்தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6% இற்குச் சமமெனவும் நிறுவுக. அ74. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலி செலுத்தியொன்றை T இற் சந்தித்தால் அதன் ஒத்த குவியம் S ஆயின், ST ஆனது SP யிற்குச் செங்குத் தெனக் காட்டுக.
5. அதிபரவளைவொன்றின் தொடலி இரு குவியங்களையும் அத்தொடு புள்ளியையும் இணைக்குங் கோடுகளுக்குச் சமசாய்வுடையதெனக் காட்டுக.
g2 O L V 2نa
a ஆகிய அதிபரவளைவின் எவ்விரு செங்குத்தான தொடலிகளும் ஒன்றை யொன்று ஐ? + g^ = a* - b* எனும் வட்டத்தில் வெட்டுகின்றனவெனக் காட்டுக.
(செலுத்தி வட்டம்) 77. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் குறுக்கச்சை G இற் சந்தித்தால், SG = 8.SP எனக் காட்டுக. இங்கு S, ஒரு குவியமாகும்.
b2 8. mm = ஆயிருக்க g = ma ஆகிய கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகவுள்ள அதிபரவளை
வின் எந்த நாணின் நடுப்புள்ளியும் y = m'a எனுங் கோட்டிலிருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
9. (ல, y) எனும் புள்ளியில் இரு சமக்கூறிடப்பட்ட - = 1 எனும் அதிபரவளைவு நாணின் சமன்பாடு
9 - 30 ـ /99 - 2008
- - - - -- - - எனக் காட்டுக.
ዕጻ Œዲ D2

Page 94
176 ஆரம்ப தூய கணிதம்
10. தனது குவியமொன்று முனைவாகவும் குறுக்கச்சு தொடக்கக் கோடாகவும் உள்ள அதிபரவளைவொன்றின் முனைவுச் சமன்பாடு
- = 1 + e கோசை 6 என நிறுவுக. இங்கு 24, செவ்வகலமாகும்.
r
11. ஓர் அதிபரவளைவிலுள்ள P என்னும் யாதுமொரு புள்ளியில் வரையப்படுந் தொடலி அணுகுகோடுகளை முறையே 0, R என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுமாயின் P யானது Rெ இன் நடுப்புள்ளியெனக் காட்டுக.
12. ஒர் அதிபரவளைவிலிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியிலிருந்து அணுகுகோடுகளுக்குச் செங்குத்துக்கள் வரையப்படுமாயின் இச்செங்குத்துக்களின் பெருக்கம் மாறிலியாகுமெனக் காட்டுக.
13. ஓர் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகள் செங்கோணங்களில் இருக்குமாயின் மையவகற் சித்திறன் V2 ஆகுமெனக் காட்டுக.
அணுகுகோடுகள் ஆள்கூற்றச்சுக்களாக எடுக்கப்படுமாயின் இச்செங்கோண அதிபரவளைவின் சமன்பாடு ay = c* என்னும் வடிவமாகுமெனக் காட்டுக.

நுண்கணிதம்

Page 95

அத்தியாயம் 1
ஒரு மாறியின் சார்பு
e என்பது குறித்த மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கூடாக மாறும் ஒரு கணியத்தைக் குறிக்க. g என்பது 0 இனுடைய பெறுமானங்களுட் சிலவற்றிற்கு அல்லது எல்லாவற்றிற்கும் ஒத்த தன்னுடைய பெறு மானங்கள், யாதோ ஒரு விதி பற்றித் தீர்மானிக்கப்பட்ட வேருெரு மாறுங் கணியமாயின், g என்பது a இன் சார்பெனப்படும் ; அதனை y -f(a) என எழுதுகின்றேம்.
a இன் யாதுமொரு தந்த பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் g யிற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் இல்லையெனின், g என்பது 3 இன் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பெனப்படும். 2 இன் யாதுமொரு பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g யிற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் உண்டெனின், g என்பது a இன் பல் பெறுமானச் சார்பெனப்படும். உதாரணமாக, g, a என்பனவற்றிற்கிடையேயுள்ள தொடர்பு g = Va (ல இனது நேர் வர்க்கமூலம்) என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்டால், y என்பது பூச்சியத்திலும் மேற்பட்ட, அல்லது அதற்குச் சமனன எல்லா 2 இற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது 2 இன் ஒற்றைப் பெறு மானச் சார்பாகும். ஆனல், அத்தொடர்பு g = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டாலே தரப்பட்டால், g என்பது 0 இன் இரட்டைப் பெறுமானச் சார்பாகும் ; அதற்குக் காரணம் 3 இன் யாதுமொரு நேர்ப் பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g யிற்கு இரு பெறுமானங்கள் உண்டு என்பதே. அத்தொடர்பு சைன் g = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப் பட்டால், 20 ஆனது -1, +1 என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்படக்) கிடக்கும்போதே g என்பது வரையறுக்கப்படும் ; இவ்வீச்சிற்குள் a இன் யாதுமோர் ஒற்றைப் பெறுமானத்திற்கு று யிற்கு எத்தொகைப் பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். அப்போது g என்பது முடிவின்றிய பல்பெறுமானச் சார்பெனப்படும்.
g என்பது a இன் சார்பாயின், 20 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத் திற்கும் y யானது வரையறுக்கப்படும் என்பது இன்றியமையாத ஒன்றன்று என்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும். இன்னும், ஆராய்ந்த உதாரணங் களிற் போல, 30 பற்றி g வரையறுக்கப்படும் விதியானது y யையும் 2 ஐயுந் தொடுக்கும் ஒரு சமன்பாடாயிருக்க வேண்டியதில்லை. உதாரண மாக, g என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணுக்குச் சமன் என்னும் உடைமையால் g என்பது a இன் சார்பாக உரைக்கப்பட லாம். g யானது a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப் படுமென்பதும் அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளுமென்பதும் எளிதிற்
9
8-R 11681 (1166)

Page 96
80 ஆரம்ப தூய கணிதம்
புலனுகும். 0, 1 என்பனவற்றிற்கிடையே (0 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு, g = 0 ஆகும். 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையே (1 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = 1 ஆகும். -1, 0 என்பன வற்றிற்கிடையே (-1 உட்பட) a இன் யாதுமொரு ப்ெறுமானத்திற்கு g = -1 ஆகும். - 2, -1 என்பனவற்றிற்கிடையே (-2 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = -2 ஆகும். இவ்வாறே பிறவும்.
பல்லுறுப்புச் சார்பு.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க a, a . . . . . . . . . . . . . . n என்பன m மெய்யெண்களாயின், aa" + aa" + . . . . . . . . . . . . 十0, என்பது m என்னும் படியுள்ள 2 இன் பல்லுறுப்புச் சார்பெனப்படும். அது 2 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளும்.
விகிதமுறுஞ் சார்பு.
P, 0 என்பன ஒரே படியிலுள்ளனவாயிருத்தல் வேண்டும் என்று நியதி
யில்லாத 2 இனுடைய இரண்டு பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயின், என்பது
ο a இன் விகிதமுறுஞ் சார்பெனப்படும். அது ஒற்றைப் பெறுமானமுடை யது ; ஆனல், )ெ என்பது பூச்சியமாகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானங் களுக்கு (எவையேனும் அவ்வாறிருந்தால்) அது வரையறுக்கப்படுவ
2م
ac -- ll யறுக்கப்படாத ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பு ; ஆனல், அது  ைஇனுடைய எனைப் பெறுமானங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற் றைப் பெறுமானமுடையது. P, 0 என்பனவற்றினுடைய பொதுக் காரணி கள் (எவையேனு மிருந்தால்) அகற்றப்படும்பொழுது வருஞ் சார்பு
2 - என்றும் ஆரம்பச் சார்போடு ஒன்றகாது. என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பு a + 1 என்பதனேடு ஒன்ருகாது. 2 = 1 ஆகும்பொழுது 30+ 1 என்பதற்கு 2 என்னும் வரையறுக்கப்பட்ட பெறுமானம் இருக்க, 20 = 1
: -
ஆகும்பொழுது என்பது 器 ஆய் மாறிப் பொருளற்றிருக்கு மென் பதே அதற்குக் காரணம்.
தில்லை. உதாரணமாக என்பது 2= 1 ஆகும்பொழுது வரை
லி = 1 ஆதலால், c என்னும் ஒரு மாறிலியானது 20 இல் 0 படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பாகக் கொள்ளப்படலாம் ; அதற்குக் காரணம் c = caரி என்பதே.
P 0 என்பது பூச்சியப்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயின், Q என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பு ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். இவ்வண்ணம் ஒரு

நுண்கணிதம் 8.
விகிதமுறும் எண்ணின் பகுதியிலுள்ள முழுவெண் 1 ஆயிருக்கும் போது அம்முழுவெண் அவ்விகிதமுறும் எண்ணின் ஒரு சிறப்பு வகை யாயிருத்தல் போல, அப்பல்லுறுப்புச் சார்பும் அவ்விகிதமுறுஞ் சார்பின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்.
அட்சரகணிதச் சார்பு.
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், P. P. . . P என்பன 2 இனுடைய பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயுமிருக்க, g என்பது
Poy" -- Pyo + ... + P = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாயின், ழ என்பது a இன் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பெனப்படும்.
y- வாயின், gெ -P= 0. இது 0, - P என்னுங் குணகங்களோடு
g யிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு ; ஆகவே, ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பும் ஒர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும். ஆணுல், அட்சர கணிதச் சார்பு ஒவ்வொன்றும் விகிதமுறுஞ் சார்பாகாது. உதாரணமாக, விகிதமுறுஞ் சார்பாகாத y = a + V (a + 5) என்பதை எடுக்க. (g -2)? = a + 5 அல்லது g? -2:g + a?-0-5 = 0. இது a இனுடைய பல்லு றுப்பிச் சார்புகளாகிய 1, - 23, 2-3-5, என்னும் குணகங்களோடு y யில் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு. ஆகவே,
- V(a + 5) என்பது a இன் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும். ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பு 0 இல் விளக்கமாகத் தரப்பட்டால், அது விளக்க அட்சரகணிதச் சார்பு எனப்படும். அவ்வட்சரகணிதச் சார்பு ஒருசமன் பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டால், அது மறைவட்சர கணிதச் சார்பு எனப்படும். y = a + V( + 5) எனின், g என்பது ஒரு விளக்கச் சார்பாகும் ; ஆனல், y என்பது p?-2லg + 2 - 8-5 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டால் வரையறுக் கப்பட்டால், அது ஒரு மறைவுச் சார்பு எனப்படும். கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சார்பு.
அட்சரகணிதச் சார்பல்லாத எச்சார்புங் கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சாப்பு எனப்படும். திரிகோணகணிதச் சார்புகள் எல்லாங் கடந்தவை. y என்பது 3 இலும் பெரிதல்லாத மிகப் பெரிய முழுவெண் என்னும் ஐ.டைமையினல், y யானது வரையறுக்கப்பட்டால், y என்பது ஒரு கடந்த சார்பாகும். உயர் கணிதத்திலுள்ள பல சார்புகள் கடந்த சார்புகளாகும். X என்பது முடிவிலிக்கு அணுக, f (x) இன் எல்லை.
f(a) என்பது a இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட 30 இன் ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
பின்வரும் வரைவிலக்கணத்தைத் தருகின்றேம்.

Page 98
184 ஆரம்ப தூய கணிதம்
(ac* -- ac + 1) - ac* ac -!-- ll 2 a- re. تســتة Y"+*+"ー"=立エ=vエ
1 +
2 - 7 - -
/( ++i) +1 ->4, 3-> 00, ஆகும் பொழுது. வரைவிலக்கணம்.
K என்னும் யாதுமொரு பெரிய நேர்க்கணியந் தரப்பட 30 இலும் பெரிதாகிய எல்லா 2 இற்கும் f(a) > K ஆகுமாறு 20 என்பதைக் காண்போமாயின், 2-> 00 ஆயிருக்க, f(a)-> OO எனக் கூறுவோம்.
a' -- 1
ஒர் எடுத்துக் காட்டாக, a > 0 ஆகும்பொழுது, f(a) = 2: என்பதை
எடுக்க : f(a) = a2 + < aفن.
K என்பது யாதுமொரு நேர்க்கணியமாயின், எல்லா ல> VK ஆயிருந் 517 @i), ac*> K.
.. a= VK எனின், எல்லா 2 > 2 ஆயிருந்தால், f(a) > K.
a -- i.
.OO >-- و 3 CO g <-- ...
ac —> OO -gey,55, jf (ac) -> OO -geBu5?oör, ac —> OO -gb,55, f(e) --0 ஆகும். அதற் குக் காரணம் பின்வருமாறு :-
e என்பது யாதுமொரு சிறு நேர்க் கணியமாயின், எல்லா a > சில a
ஆயிருக்க, f(a) >よ ஆகும். ஆகவே, எல்லா 3 > 30 ஆயிருக்க 志  0 ஆக, f (3) ->0 ஆயின், ல-> 0 ஆக
ஆகும். அதாவது எல்லா ல> 30 ஆயிருக்க 店-" < e g (5th.
f(a) |-co ஆகும்.
அதற்குக் காரணம், K என்பது யாதுமொரு பெரிய நேர்க் கணிய
if (at)
மாயிருந்தால், எல்லா a > சில 30 ஆயிருக்க, <ஆகும்.
.. எல்லா >ை20 ஆயிருக்க 庐 < K زنت) یا|Lh.

நுண்கணிதம் 85
3-> OO ஆக, -f(x)-> 0 ஆகுமாறு, f(a) என்னும் ஒரு சார்பு இருந்தால், 2->00 ஆக, f(a) -> - OO என்று கூறுவோம்.
முடிவில் தொடரின் ஒருங்கல்.
24, ய2, 23, . d, . என்னும் ஒரு முடிவில் உறுப்புத் தொடரை ஆராய்க. இங்கு 70 ஆம் உறுப்பு n என்னும் நேர்முழுவெண் மாறியின்
சார்பாகும்.
S என்பது அத்தொடரின் முதல் 7 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யாகுக. n ->00 ஆக, S-> (ஒரு முடிவுள்ள எல்லே) ஆயின், அதாவது e என்னும் யாதுமொரு நேர்க்கணியந் தரப்பட்டால், m இலும் பெரி தாகிய n இன் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் S,->CO ஆக, S என்பது ஒரு முடிவுள்ள எல்லைக்கு அணுகாதாயின் அத்தொடர் விரிதொடர் எனப்படும்.
உதாரணமாக,
l l l 1.2 - 2.3 + 3.4 h" n (n + 1) "
என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
T, என்பது 7 ஆம் உறுப்பைக் குறித்தால்,
- - - - - - Tr=rエ)=ァーエ
T 12
T 23
سI___ 1-- T in Tin - 1
S, =五一高工五→1 n->00 ஆக

Page 99
86 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அத்தொடர் ஒருங்குவதொன்றகும்; அதன் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். இனி, 1 + 2 + 3 + ... + n + . என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
n (n -- l) .S =- - ->00 ஆகும، وتتولي OO حس- 70
". அத்தொடர் விரிவதொன்றகும். பெருக்கற்றெடர்.
பொது விகிதத்தின் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு ஒரு பெருக்கற் ருெடரின் ஒருங்கு தன்மையை இப்போது ஆராய்வோம்.
r என்பது மாருத ஒர் எண்ணுயிருக்க, m என்பது நேர்முழுவெண் பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுத்தால், m->00 ஆக, " இன் எல்லையை முதல் ஆராய்வோம்.
r என்பது பூச்சியமாகாது -1, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கின்ற தெனக் கொள்க ; அதாவது 0 0
= (1+a)"
m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருத்தலால், (1 + a)" என்பது ஈருறுப்பித் தேற்றத்தால் விரிக்கப்படலாம்; அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக் கள் எல்லாம் நேராகும்.
அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக்களுள் ஒன்று 10 ஆகும்.
.". (1 + a)” > па.
(1 + a)“ Sna" |r"|= ||r" <  ஆயிருந்தால், அதாவது எல்லா n> ஆயிருந்தால்,
(e.
|r| < 1 எனின், m-> co ஆக, "->0 ஆகும். r = 1 எனின், எல்லா m இற்கும் " - 1. r = -1 எனின், " - (-1)" - 1, m என்பது இரட்டையெண்ணுயின், = -1, n என்பது ஒற்றையெண்ணுயின், |r| > 1 எனின், Ir|=1 + a, இங்கு a > 0 . −

நுண்கணிதம் 87
K எல்லா n > ஆயிருந்தால், |r"| > ma > K. .OO ج- "r و sقلعه m --> CO gQ JG3Lurīgi, a + ar + aro + ... -- ar”1 + ... என்னும் பெருக்கற்றெடரை எடுக்க.
S என்பது அத்தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையாயின்.
S - ma, r = 1 எனின்,
a(1 - r")
- r ”
", r - 1 எனின், a = 0 என்னும் பயனற்ற வகையை விலக்கும்
r #1 எனின்.
பொழுது n -> 0 ஆக, S என்பது ஒருமுடிவுள்ள எல்லையை அணுகாது.
r = 1 எனின், அத்தொடர் ஒருங்காது. .0 جنس " وتلقي CO جم- 10 و x < 1 6T6of661 > 1 -
O S, —> 1- r"
அத்தொடர் ஒருங்கும் ; முடிவிலி வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
1 - r”
r = -1 எனின், S = 0, m என்பது இரட்டை யெண்ணுயின் ;
F—= 6, m என்பது ஒற்றையெண்ணுயின்.
, n->CO ஆக, S என்பது ஒரெல்லேக்கு ஒருங்காது.
". அத்தொடர் ஒருங்காது. 10 கூடுதலுற, S என்பது 0, 0 என்னும் பெறுமானங்களுக்கிடையே அலைதலால், அத்தொடர் அலைதொடர் எனப் படும்.
|r| > 1 எனின், n-> co ஆக, |#"|-> ထ. ". S, என்பது முடிவுள்ள ஒரெல்லையை அணுகாது. . அத்தொடர் விரிதொடர் ஆகும்.
l + -- a V2 ! -- ac Y3 -- )b. 1 + 5 + 3 + (蒜) -- (菇-ع
என்னுந் தொடர் ஒருங்கத்தக்கதாய் ல இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க.
! -- 2 - 3a
< 1 எனின்,

Page 101
90 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2-> a + 0 ஆக, f(a) என்பது என்னும் எல்லையையும் 2->a - 0 ஆக, f(a) என்பது ' என்னும் வேறேர் எல்லையையும் அணுகு வதுமான வகையை ஆரம்பச் சார்புகள் விளக்குவதில்லை. இந் நோக்கத்திற்குச் சிறப்புவகைச் சார்பொன்றை எடுக்கவேண்டும். f (2) என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணென வரை யறுக்கப்படுக. 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையில் 2 இன் எப்பெறுமானத்திற் கும் f(a) = 1 ; ஆயின், f(x)-1 என்பது 1, 2 என்பனவற்றிற் கிடையிலுள்ள எல்லா 2 இற்கும் யாதுமொரு நேர்க்கணியத்திலுஞ் சிறி தாகும்.
.". at->2 - 0 gas, if (ac) -> l.
2, 3 என்பனவற்றிற்கிடையிலுள்ள  ைஇன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
j (c)= 2.
2 <- (g, f(acرلي 0 +- 2 <-- a ,*
இவ்வண்ணம் a->2-0 ஆகவுள்ள எல்லை a->2 + 0 ஆகவுள்ள எல்லையோடு ஒன்ருகாது.
சில ஆரம்பச் சார்புகளும் 2 இன் ஒரு குறித்த பெறுமானத்தினுடைய பக்கங்கள் இரண்டினுள் எதன்கண்ணும் a இன் ஒரு சார்பினது நடத்தை வித்தியாசத்தை வேருெரு முறையிற் காட்டும்.
உதாரணமாக f(a) = என்பதை எடுக்க.
3 = 1 ஆகும்பொழுது அது வரையறுக்கப்படுவதில்லை.
a > 1 ஆகும்பொழுது, 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் 2 இருக்க, f(a), என்பது நேராயும் மிகப்பெரிதாயுமிருக்கும். a என்பதை போதிய அளவு 1 இற்கு அண்மையில் எடுத்தலால், விரும்பும் அளவிற்கு அதனைப் பெரிதாக்கலாம். ஆகவே, 0->1 + 0 ஆக, f(x)-> OO என எழுது கின்ருேம்.
a < 1 ஆகும்பொழுது 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் a இருக்க, என்பது மறைக்குறியோடு பொருந்தும் ; அதற்கு மிகப்பெரிய எண் பெறு மானம் இருக்கும் ; a என்பதை 1 இற்கு போதிய அளவு அண்மையாக எடுப்பதால் அப்பெறுமானத்தை, விரும்பும் அளவிற்குப் பெரிதாக்க 6ÙՈւb.
0-91 - 0 ஆக, f(a)-> - OO என எழுதுகின்றேம். தான் a என்னுஞ் சார்பிற்கும் z = இற்கு அண்மையில், இதனே
டொத்த உடைமையுண்டு.

நுண்கணிதம் 19
咒 z→露-0 ஆக, தான் 3-> 00
冗 z→焉+0 gas, 3 FT607 a--> - o.
if (a) (-1) என எடுத்தோமாயின்,
3->1 + 0 ஆகவும், 2->1 - 0 ஆகவும்,
if (ac) -> oo.
இங்கு, “ 1-0 ”, “ 1 + 0 ” என்பனவற்றை வரையறுக்க வேண்டிய தில்லை யாதலால், 2->1 ஆக, f(a)-> OO என எழுதுகின்ருேம்.
x - a x—> a gцѣ X سه- {;
என்பதன் எல்லை m என்பது ஒரு விகிதமுறுமெண்ணுயும் a என்பது
ac** -- **
பூச்சியமல்லாததாயும் இருக்க, 3->a ஆக, - 0
-> ma" எனக்
காட்டுவோம்.
வகை 1.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுகுக.
ஆயின், ?-a" என்பது ? என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பி யாகும் ; a = a ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
மீதித் தேற்றத்தால், 0-0 என்பது 3'-0" என்பதன் ஒரு காரணியாகும். 3'-0" என்பது 0-0 என்பதால் வகுக்கப்படப் பெறும் ஈவு
a** + aa"2 + .... + a*" என்பதாகும்.
24 a ஆகும்பொழுது, - a ti -- aa 2 - .... -- all
-- 6
இது 3 இன் 1-1 என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பி ; இதற்கு m உறுப்புக்கள் உண்டு ; 2 -> 0 ஆக, ஒவ்வோர் உறுப்பும் a" என்பதை அணுகும்.
?? ?德
-- na" -1
.". 3-> 0 ஆக,
are

Page 102
192 ஆரம்ப தூய கணிதம்
6m 6n3, II.
70 என்பது - m இற்குச் சமனன ஒர் மறை முழுவெண்ணுகுக ; ஆயின் m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகும்.
ac** - a '* am I am am* -- *** I
2 - 0, ᏘᏆ -- ᎤᏓ 2 - O acᏡaᏓᏡ*
a- a முதலாம் வகையால், ۔< mq**** 1
- 0, a" - a 1 mam 1 77 - 1 22ー> Q ó --6) كي - ممه - ممه " ح(OR( 1700 نوع -
ஆக, qz -- q, ፰”ዐ”ዬ go 7ܦܸܰ
a - d. 港一1 .. 30 -> a ஆக, ~÷► ጎ00,
6m 6n3G III.
p, q என்பன முழுவெண்களாயும், அவற்றுள் g என்பது நேராயு மிருக்க, m என்பது ; யிற்குச் சமனன ஒரு பின்னமாகுக.
i.
2 = X ஆயும் a = A யாயுமிருக்க.
р 2
ஆயின், aپان == XP, qd پس AP
X - Aزر XP - A2ز a"_XP -- AP -- «مa
– a Xa - Aa -- X -- A * Xa - Aao
X - A என்னும் வகை கருதப்படாமையால்,
p, q என்பன முழுவெண்களாயிருத்தலால், X-> A ஆக, அதாவது 3-> 0 ஆக
4pر س- Xp Χ - Α. Xα - A4 X - A
-- > pᎪ? "- 1
→q47て"
qኃ” -- ዐ” pAp
2 - A -1 pAp-1 pA a 丝乌一1
.. 20-> 0 ஆக,
ஆனல், Aa - 1 " " q = n" = all ", m என்பது யாதுமொரு விகிதமுறும் எண்ணுகும்பொழுது 2->a ஆக,
”፴ حبس 278
-> ገ0q”  ̈*.
67 مسك :

நுண்கணிதம் 93
- -b 6T6) 8 என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க,
4- "انه، 64 حــره
ach - 8 ach - 64 i g A 64 எனின், ബ് -m- 关 644 ـ لأنه 4 ـ لأنه
64 - ag | * 64 - فنa
ac --- 64 i ach - 64* 3 - (64) في سبـ 1 - 3(64) في ج. =3 (64) = 3, a->64 ஆகும் பொழுது.
2->0 ஆக sor a இன் எல்லை.
a என்பது ஆரையனில் 0, π என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஒரு கோணத்தின் அளவாகுக.
0 என்பதை மையமாகவும் r என்பதை ஆரையாகவுமுள்ள ஒரு வட்டம் வரைக. AB என்பது மையத்தில் 2 ஆரையன் என்னும் ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கும் வட்டவில்லாகுக. A யில் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலி நீட்டிய 0B யை C யிற் சந்திக்க.
ஆயின் 40 = r தான் 0.
A AOB யின் பரப்பளவு < ஆரைச்சிறை OAB யின் பரப்பளவு < AA00 யின் பரப்பளவு.
.. ?? சைன் a  0 ஆதலால், முழுவதையும் ; r? சைன் 20 ஆலே வகுக்கலாம்.
சைன் a > கோசை a’
1 <
.. கணியங்கள் எல்லாம் நேராதலால்
சைன் 2
l > > கோசைல.
ஆளுனல், கோசைa - 1 -2656*
0, என்பனவற்றிற்கு இடையே எல்லா 2
இற்கும்,