Page 362
696 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
t,_1 << 1, W్క_1 కy
Page 363
沿8 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
D யில் தி (a, y) = f(a),g) ஆகுமாறும், D யிற்கு வெளியில் f (x, y) = 0, ஆகுமாறும் p (a, g) ஆனது ஒரு துணை சார்பாகுக.
ஆயின், sy (ac, y) dw dy 676ö7Llg) JJ (ac, y) dardy
என்பதற்குச் சமமென வரையறுக்கப்படும்.
ைஅச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் அவ்வாட்சிக்குட் கிடக்கும் யாதுமொரு கோடு வரைப்பாட்டை இரண்டு புள்ளிகளில் மாத்திரம் வெட்டுமாறு அவ் வாட்சியின் வரைப்பாட்டை ஆக்கும் வளையி உள்ளதெனக் கொள்க. a அச்சிற் குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டில் g மாறிலியாகும்; M, N என்னும் இரண்டு வெட்டுப் புள்ளிகளின் 3 ஆள்கூறுகள் g யின் சார்புகளாகும். இவை
(0), g (g) ஆகுக. இங்கு (g) > j (g) ஆகுக.
ү
a, 8 என்பன D யில் g யின் மிகச்சிறிய பெறுமானமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமுமாகுக. R இலும் 2 s g S 8 ஆகுமாறு R என்னுஞ் செவ்வகந் தேர்ந்தெடுக்கப்படுக. மாறிலி g யிற்கு ஒத்தகோடு அச்செவ்வ
கத்தை A, B என்பனவற்றிற் சந்திக்க. ஆயிடை AB மீது f φ (α, υ) ά α
ஆனது ஆயிடை MN மீது ff (3, g) da இற்குச் சமன்.
; Jye, y) dedy=J* (, y) dedy
qya(u) = d. , y) da. s y sy (at, y) dat அதுபோல, y- அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் ஆட்சி D யிற்குட் கிடக்கும் ஒரு கோடு அவ்வரைப்பாட்டை இரண்டு புள்ளிகளில் மாத்திரம் வெட்டினல், அவ்விரட்டைத் தொகையீடானது தொகையிடும் ஒழுங்கு மாற்றப்பட்ட ஒரு மறிதந்த தொகையீடாக உணர்த்தப்படக் கூடும். மாறிலி ைஇற்கு
யாதுமோர் ஆட்சிமீது இரட்டைத் தொகையீடு 699
ஒத்த கோடானது 0,(a), (0,0) என்பன தம் நிலைக்கூறுகளாயுள்ள புள்ளிகளில் வரைப்பாட்டைச் சந்திக்க, a, b என்பன D யில் ல இன் மிகச்சிறிய பெறுமானமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமுமாயிருந்தால்,
J. (az, go) dacdy = fe (, y) dy.
vu(a)
உதாரணம்: பரவளைவு g=40, நேர்கோடுg=0 என்பனவற்றல் வரைப்புற்ற முடிவுள்ள
ஆட்சி முழுவதும்] acy dae dy GT6ör LU 6M5ú Gugp LDT STÅ BEGRíšs.
Х
28 மாறிலி து யிற்கு ஒத்த கோடானது g என்பனவற்றைத் தம் கிடைக்கூறுகளாகக்
கொண்ட இரண்டு புள்ளிகளில் வரைப்பாட்டைச் சந்திக்கின்றது : y யின் மிகச்சிறிய பெறுமா னமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமும் 0 விலும் A யிலும் பெறப்படும்.
". இரட்டைத் தொகையீடு- dy J. acy dat.
0. 4
-((-)-(-)-3 o 2 6 2 V4 96 / 3 அவ்விரட்டைத் தொகையீட்டின் பெறுமானம் மற்றை மறிதந்த தொகையீட்டை வழங்கு வதாலும் கணிக்கப்படக்கூடும்.
மாறிலி ைஇற்கு ஒத்த கோடானது ,ை 2V என்பனவற்றைத் தம் நிலைக்கூறுகளாகக்
கொண்ட இரண்டு புள்ளிகளில் அவ்வரைப்பாட்டைச் சந்திக்கும் ; 2 இன் மிகச்சிறிய பெறு மானமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமும் 0 விலும் A யிலும் பெறப்படும்.
4 (2 Ve இரட்டைத் தொகையீடு= d0 arydy
翰
41 ) - معه =
Page 364
700 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
வரைவிலக்கணத்திலிருந்து,
(1) ஓர் ஆட்சி D முழுவதும் எடுக்கப்படும் |1.drg யானது D யின் பரப்பளவைத்தரும் என்பதும்,
(2) ஓர் ஆட்சி D யானது D, D என்னும் இரண்டு ஆட்சிகளாகப் பிரிக்கப்படின்,
jf (z, w) dzdy = f (e, ) dzdy +f (e, y) dedy
D D Ds
என்பதும் பெறப்படும்.
வளைகோட்டுத் தொகையீடுகள்
C யானது (a, g) தளத்தில் ஒரு குறிக்கப்பட்ட போக்கில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு வளையியாகுக. அது 2 = தி (), g = u () என்னுஞ் சமன்பாடு களாலே தரப்பட்டதெனக் கொள்க : இங்கு, யானது அவ்வளையி எடுத்து நோக்கப்பட்ட போக்கிலே வரையப்பட a விலிருந்து 8 விற்கு மாறும் ஒரு பரமானம். இன்னும் தி (), " () என்பன உண்டென்றும் அவை எல்லா யிற்குந் தொடர்ச்சியானவை என்றுங் கொள்க. f(a),g) ஆனது a = f(t), g = f() ஆகுமிடத்து F () ஆக ஒடுங்குகின்ற a, g என்பன வற்றின் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாகுக.
ஆயின்,
s f(a),g) da என்னும் வளைகோட்டுத் தொகையீடு F (t)f(t) de
C என்பதற்குச் சமனென்று வரையறுக்கப்படும்.
அதனேடு
[ựe, v) đg =[F ()!” ()dt.
2=兜(), y = h(t) ஆகுமிடத்து P, னென்பன முறையே F(), R(f) என்பனவாக ஒடுங்கும் 2, g என்பனவற்றின் சார்புகளெனின்,
(Pde +Qdy) = (F, () , ()+F, () y(t)}d.
வெவ்வேறு பரமான வகைக்குறிப்புக்களுள்ள P,ெ Rெ என்னும் இரண்டு வளையிகள் Q விலே தொடுக்கப்படின், முழுவளையி PQR இன் வழியே வளைகோட்டுத் தொகையீடு P,ெ Rெ என்பனவற்றின் வழியே எடுக்கப்படுந் தொகையீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
றைமானின் சூத்திரம் 70
றைமானின் சூத்திரம்.
C யானது ஒன்றித் தடத்தைக் கொண்ட ஒரு மூடிய வளையியாயும் D யானது அகத்துள்ள ஆட்சியாயுமிருக்க, P, எென்பன தொடர்ச்சியான பகுதிப் பெறுதிகளையுடைய 2, g என்பனவற்றின் தொடர்ச்சியான சார்பு
களெனின்,
aQ aP J(Pde+ Ωάν) = ff(影 Ogwr 鬍 dardly ;
இங்கு, வளைகோட்டுத் தொகையீடு C யின் இடஞ்சுழிப் போக்கில் எடுக்கப் ட்டுள்ளது. N
M *プ_L
a=f() 2=#్మ(4)
A 2/ So B
O Χ
2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான IM. AB என்னும் நேர்கோடுகளாலும் BI, MA என்னும் வளையிகளாலும் வரைப்புற்ற ஓர் ஆட்சி D யை எடுத்து நோக்குக. 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான யாதொரு கோடும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளில் BI, MA என்னும் வளையிகளுள் யாதொன்றையும் வெட்டாது. இவ்வளையிகளின் சமன்பாடுகள் a = b,(g), a = b (g) ஆகுக'; LM, AB என்னும் நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகள் y=8, g= 2 ஆகுக.
მQ 3 φαίν) θ0 ..'. --- 3C: d d
j:dzdy f gy 2 ثقة (هو労
=Ꮭ:(Qa- QᎯ dy ;
இங்கு, ,ெ ெஎன்பன முறையே 3= f(y), 2= f(y) ஆகுமிடத்து ெஒடுங்கும் g யின் சார்புகளாகும்.
வளைகோட்டுத் தொகையீட்டின் வரைவிலக்கணத்தால்,
f *iெg= f Qdy,
Z B
s Qudყ = jQಣಿ!
'. 瓜器*一儿Qy+J.9° 4 - O 9 4 ...(1).
Page 365
702 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
I, M என்பன ஒன்றேடொன்று பொருந்தலாம் என்பதும் A, B என்பனவும் ஒன்றேடொன்று பொருந்தலாம் என்பதுங் குறிப்பாக அறியப் படல் வேண்டும்.
இப்போது, ஒன்றித் தடத்தைக் கொண்ட யாதுமொரு மூடிய வளையியி னல் வரைப்புற்ற ஒர் ஆட்சியை எடுத்து நோக்குக.
ү
O Χ a அச்சிற்குச் சமாந்தரமான கோடுகளை வரைதலால், அவ்வாட்சியை ஒவ்வொன்றும் முன்னர் எடுத்து நோக்கப்பட்ட வடிவத்தையுடைய ஒரு முடிவுள்ள தொகை ஆட்சிகளாகப் பிரித்தல் கூடும். மேற்பெற்ற விளைவு (1) க்கு ஒத்த விளைவு ஒவ்வோர் ஆட்சிப்பிரிவுக்கும் பொருந்தும்.
". கூட்டுதலால்,
முழுவாட்சியின் மீதும் எடுக்கப்படும் 頂體 dady யானது அவ்வரைப்பாட்
டின் இடஞ்சுழிப் போக்கின் வழியே எடுக்கப்படும் jQdy யிற்குச் சமன் எனப் பெறுவோம்.
ஆயின், ஒரு மூடிய இடஞ்சுழி வளையி C யினல் வரைப்புற்ற யாது
மோர் ஆட்சி D யிற்கு
ᎧᎶᎩ d = davdu. 9 லெ 3J
三红(功
3/-, (e)
தள உருமாற்றம் 703
அதுபோல, முடிபு
f Рda = s enw aP dady யானது
C D dy
a = a, a = b என்னும் நேர்கோடுகளாலும் y = (3), g = f (2) என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் வளையிகளின் விற்களாலும் வரைப் புற்ற ஓர் ஆட்சியை முதன்முதல் எடுத்து நோக்குதலால் நிறுவப்படும்.
'. (Pd.: -H Qdყ) == ff(器 has 霸) dat dy.
தள உருமாற்றம்.
இரண்டு செங்கோணவச்சுத் தொடைகளை எடுத்து நோக்குக. 0, y என்பன ஓர் அச்சுத் தொடையைக் குறித்து எடுக்கப்படும், இவ்வச்சுக்களின் தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளாகுக. 0, 0 என்பன மற் றையச்சுத் தொடையைக் குறித்து எடுக்கப்படும் இவ்வச்சுக்களின் தளத்தி லுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளாகுக. a=f(a),g), 0 = f (x, y) என்னுந் தொடர்புகள் (a, g) தளத்திலுள்ள புள்ளிகளை (24, 0) தளத்திலுள்ள புள்ளிகளாக ஓர் உருமாற்றத்தைத் தரும். f(x, y), f (x, y) என்பன 2, g என்பனவற்றின் ஒன்றிப் பெறுமானச் சார்புகளெனின், (a, g) தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி (u, ) தளத்திலுள்ள ஒன்றின் மேற்பட்ட புள்ளிகளுக்கு ஒத்ததாய் இருத்தல் முடியாது. ஆனல், (0, 0) தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி (a, g) தளத்திலுள்ள ஒன்றின் மேற்பட்ட புள்ளிக்கு ஒத்ததாகவோ ஒவ்வாததாகவோ இருக்கலாம்.
(2CD36TD (u,lV) ğ567Tib
f(x, y), p (a, y) என்பன (a, g) என்பனவற்றின் தொடர் சார்புகளா யிருக்க (a, g) தளத்தில் D யானது ஒர் ஆட்சியாகுக. ஆயின் D யானது (u, 0) தளத்தில் ஓர் ஆட்சி A ஆக உருமாறும். D யிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் A இலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கு மாத்திரம் ஒத்ததாகும். A இலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் D யிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கு மாத்திரம் ஒத்திருக்கும் வகையை எடுத்து நோக்குவோம். வேறு விதமாகச் சொல்லப்புகின், D யின் புள்ளிகளுக்கும் A இன் புள்ளி
Page 366
704 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
களுக்கும் ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபு உண்டு எனக் கூறலாம். f(a),g), தி (a, g) என்பனவற்றின் பகுதிப் பெறுதிகள் உண்டு என்ப தையும் அவை தொடர்ச்சியானவை என்பதையும் எடுத்துக்கொள்வோம். P (a, g), (ெa+h, g), R (a, g+b) என்பன D யிலுள்ள மூன்று புள்ளிகளாகுக. முக்கோணி PQR இன் சுற்றளவு PQR இடஞ்சுழிப் போக்கில் இருந்தால், பெருக்கம் hb நேர்க்குறியுடையதாகும். அம் முக்கோணியின் பரப்பளவு hb ஆகும். p, q, 7 என்பன A இல் முறையே P, Q, R என்பனவற்றின் விம்பங்களாகுக. PQR என்னும் முக்கோணியின் பக்கங்கள் பொதுவாக A இல் வளையிகளாக உருமாறும். ற, டி, r என்னும் புள்ளிகளால் ஆக்கப்படும் முக்கோணியை எடுத்து நோக்குக. p=(a,0) ஆயும், q = (c+h, U+b) ஆயும், 7 = (a+b2, 0+b) ஆயும் இருக்க.
hı kı ha k2 குறியுடையதாகவோ இருத்தற்குத்தக றgr இன் போக்கு இடஞ்சுழி யாகவோ வலஞ்சுழியாகவோ இருக்கும். pgr என்னும் முக்கோணியின் பரப்பளவு (hb-hk) என்பதன் எண் பெறுமானமாகும்.
მqb - მdb af. h, k->o 6 جس
அல்லது h-h என்பது நேர்க்குறியுடையதாகவோ மறைக்
θα θυ θα θυ ஆகி. 器 an 警 影 என்னுஞ் சார்பு அவ்வுருமாற்றத்தின் ஜக்கோபியன் எனப்படும் அது 器 அல்லது J என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
யானது புள்ளி P யில் நேர்க் குறியுடையதெனின், h, b என்பன வற்றிற்குச் சிற்றெண் பெறுமானங்கள் இருக்குமிடத்து PQR என்னும் முக்கோணியின் இடஞ்சுழிப் போக்கு அதன் விம்பத்தின் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்ததாகும். மறைக்குறியுடையதெனின், PQR இன் இடஞ்சுழிப் போக்கு அதன் விம்பத்தின் வலஞ்சுழிப்போக்குக்கு ஒத்ததாகும். ஆதலால், 0 யானது (a, g) தளத்தில் P யிற்கூடாகச் செல்லும் யாதுமொரு சிறிய மூடிய வளையியாயிருக்க, C ஆனது (u, 0) தளத்தில் அதன் விம்பமெனின் நேர்க்குறியுடையதாயிருக்கு மிடத்து C யின் இடஞ்சுழிப்போக்கு C இன் இடஞ்சுழிப்போக்குக்கு ஒத்த தாகும். மறைக்குறியுடையதெனின், C யின் இடஞ்சுழிப்போக்கு C இன் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்ததாகும். இன்னும் வளையி C யானது P யில் ஒரு புள்ளியாகச் சுருங்குமிடத்து C இனல் அடைக்கப் படும் பரப்பளவு C யினல் அடைக்கப்படும் பரப்பளவோடு கொள்ளும் விகிதம் எல்லை |J ஐ நாடும்.
மடங்குத் தொகையீடுகள் 705.
யானது D யில் குறிமாற்ருது என்பதும் பெறப்படும். J யானது D யிலுள்ள ஒரு புள்ளி A யில் நேர்க்குறியுடையதாயும் D யிலுள்ள வேறெரு புள்ளி B யில் மறைக்குறியுடையதாயும் இருக்கின்றதெனக் கொள்க.
A, B என்பனவற்றிற்கூடாகச் சென்று D யிற்கு உள்ளே கிடக்கும் ஒரு மூடிய வளையி C யை வரைக. (0, 0) தளத்தில் அதன் விம்பம் A இற்கு உள்ளே கிடக்கும் ஒரு மூடிய வளையி 0 ஆகும். A இலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் D யிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கு மாத்திரம் ஒத்திருப்பதால், C யின் இடஞ்சுழி வரைதற் போக்கு C இன் இடஞ்சுழி வரைதற் போக் குக்கோ வலஞ்சுழி வரைதற் போக்குக்கோ ஒத்திருத்தல் வேண்டும். C இன் வரைதற் போக்கு ஒரு புள்ளியில் இடஞ்சுழியாயும் வேறெறு புள்ளி யில் வலஞ்சுழியாயும் இருத்தல் முடியாது. C யின் மீது A யிற்கு மிக அண்மையில், A யின் எதிர்ப்பக்கங்களில் L, M என்னும் இரண்டு புள்ளி களை எடுக்க , I, M என்பனவற்றைத் தொடுத்து C யிற்கு உள்ளே கிடக்கும் ஒரு சிறு வளையியை வரைக. அப்போது A யிற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு சிறு மூடிய வளையியைப் பெறுவோம். A யில் >0 ஆயிருத்தலால்
(Xழதளம் (ய,U)தளம்
இம்மூடிய வளையியின் இடஞ்சுழிப் போக்கு (u, 0) தளத்தில் அதன் விம்பத்தின் இடஞ்சுழிப் போக்கிற்கு ஒத்ததாகும், , a, m என்பன I, A, M என்பனவற்றின் விம்பங்களெனின், A யிற்கூடாகச் செல்லும் அச் சிறிய மூடிய வளையியின் விம்பம் C இன் Iam என்னும் வில்லையும் 0 இற்கு உள்ளே கிடக்கும் ஒரு வில்லையுங் கொண்டதாகும். C யின் இடஞ்சுழிப் போக்கு C இன் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்திருத்தல் வேண்டுமென்பது பெறப்படும். B யில், J
Page 367
706 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
முதல் உருமாற்றத்தின் ஜக்கோபியன்
ди до (u, り) მერ 0a θ (α, υ) θα θυ მყ მყ இரண்டாம் உருமாற்றத்தின் ஜக்கோபியன்
θξ θη д (8, т) |ди ди a (u, v) ag an öv ov
இவ்வுருமாற்றங்கள் இரண்டும் ஒருங்கெடுக்கப்படுமிடத்து (a, g) தளத்திலி
ருந்து (g, m) தளத்திற்கு மாற்றும் ஒரு தனியனன உருமாற்றத்தைத் தரும் ; இவ்விளையுள் உருமாற்றத்தின் ஜக்கோபியன்
θξ θη θ (ξ, η) θα θα δ (α, υ) οξ θη
მყ მყ
பகுதி வகையீட்டுச் சூத்திரங்களை வழங்க
θξε θξ θμε θξ θυ θα διι θα θυ θα'
θξ θξ Qu + 2ế მი) ду ди дy ... до ду”
θη θη θμε θη θυ
. . .
θη θη ди - ду მი) ôgy ôu, ôgy ' ôv ôgy'
துணிகோவைகளைப் பெருக்குதற்குரிய விதியிலிருந்து
(3. უ) — მ (Š,ገ) X θ (u, υ). მ (a, ყ) მ (w, t)) `` მ (at, ყ) குறிப்பாக, தீ=2, m=g என எடுக்க
l 2 (2, y) ? you, v)
θ (α, υ) * θ (α, υ) எனப் பெறுவோம்.
மாறிகளின் மாற்றம் 707
.. (a, g) தளத்திலிருந்து (u, 0) தளத்திற்குச் செய்யும் உருமாற்றம் {a, g) தளத்தின் புள்ளிகளுக்கும் (24, 0) தளத்தின் புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபைத் தாபிக்குமாயின்,
0 (ae, y) = 1 a (u, v) a (u, v) მ (ay, ყ)
மாறிகளின் மாற்றம்
C யானது (a, g) தளத்தில் ஒரு திசையளித்த வளையியாகுக, P யானது 2, g யின் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாகுக.
IPda என்னும் வளைகோட்டுத் தொகையீட்டை எடுத்து நோக்குக.
C
a=f(u, 0), g=தி (u, 0) என்னுந் தொடர்புகளால் a, g யிலிருந்து a, 0 யிற்கு மாறிகளை மாற்றுகின்றேமெனக் கொள்க. இது (a, g) தளத்திலிருந்து (24, 0) தளத்திற்கு ஒர் உருமாற்றத்தைத்தரும். அவ்வுரு மாற்றம் C யின் புள்ளிகளுக்கும் (2, 0) தளத்திலுள்ள ஒரு வளையி 0 இன் புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபைத்தரும் எனக் கொள்க. வளையி C ஆனது u = u (), 0 = u () என்னுஞ் சமன்பாடு களாற் பரமான முறையாகக் குறிக்கப்படுக ; இங்கு, வளையி C ஆனது எடுத்து நோக்கப்பட்ட C யின் போக்குக்கு ஒத்தபோக்கில் வரையப்பட, ! யானது 2 விலிருந்து 8 விற்கு மாறுமெனக் கொள்க. ஆயின், 0 மீது ஒரு புள்ளியின் 2, g ஆள்கூறுகள் பற்றி உணர்த்தப்படக்கூடும் ; அதனேடு
da 0x du 0a dv 五下魂 五す5 五
3, de 8, /00 dய 0a d\, . s.Pd. = saP, al-P, (需 dit -- до 2) dit ; இங்கு, 2, g யிற்கு பற்றிப் பிரதியிடுமிடத்து, P ஒடுங்கும் e யின் சார்பே P ஆகும். P ஆனது 2, g யிற்கு a, 0 பற்றிப் பிரதியிடுமிடத்து P ஒடுங்கும் 24, 0 இன் சார்பெனின்,
მეფ მეფ 3 /дx du дx do J." (院 da+誘。 Eم= fಕ್ಲಿ(?? 高す5 凯 dt.
მერ მერ J.Pde J.P.( du +2, a
இதுவே ஒரு வளைகோட்டுத் தொகையீட்டில் மாறிகளின் மாற்றத்திற்குரிய சூத்திரமாகும். இனி, C யானது (a, g) தளத்தில் ஒன்றித் தடத்தோடு கூடிய ஒர் இடஞ்சுழியான மூடிய வளையியாகுக. 0' ஆனது (2, 0) தளத்தில் அதன் விம்பமாகுக.
Page 368
708 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
0 யினல் அடைக்கப்படும் பரப்பளவு= acdy.
C
ду dy J。 (影 du+読
றைமானின் குத்திரத்தால், இது
a/0y\a (oy 士 小椿 (...) до (z 影)} du div
என்பதற்குச் சமன்; இங்கு, D ஆனது C இன் உட்பக்கம். C யின் இடஞ்சுழிப் போக்கு 0 இன் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்ததெனின், நேர்க்குறி பொருந்தும் ; மற்றைப்படி மறைக்குறி பொருந்தும். 24, 0 யைக் குறித்து 2, g என்பனவற்றின் இரண்டாம் பகுதிப் பெறுதிகள் உண்டென்றும் தொடர்ச்சியானவை என்றுங் கொள்க.
Cயினல் உள்ளடைக்கப்படும்பரப்பளவு = !) dud) எனப்பெறுவோம்
Ds
-- д (ar, y) இங்கு, J-a. v)
நேர்க்குறியுடையதெனின், C யின் இடஞ்சுழிப் போக்கு C இன் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்ததாகும். 3 மறைக்குறியுடையதெனின், C யின் இடஞ்சுழிப் போக்கு C இன் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கு ஒத்ததாகும்.
.. C யினல் அடைக்கப்படும் பரப்பளவு = s J | du dv.
D
no uses im d sts th
இனி, அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமான பக்கங்களோடு கூடிய (0, y) தளத்திலுள்ள ஒரு செவ்வகம் R மீது எடுக்கப்படும்
f f (x, y)dady என்னும் இரட்டைத் தொகையீட்டை எடுத்து
ER,
நோக்குவோம். D யானது (u, ) தளத்தில் R இன் விம்பமாகிய ஆட்சியாகும். R இன் புள்ளிகளுக்கும் D யின் புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக் கொன்று ஒத்தியைபு உண்டெனக் கொள்க. a, g அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமான கோடுகள் வரைதலால் R ஐச் செவ்வகப் பிரிவுகளாகப் பிரிக்க, D யின் ஒத்த பிரிவொன்றைக் கலங்களாகப் பெறுவோம்.
மாறிகளின் மாற்றம் 709
ல், ஆனது 3. Sa Sa, g- Sg Sg என்னுஞ் செவ்வகப் பிரிவிற்கு ஒத்த ID யின் கலத்தின் உட்பக்கமாகுக. m., M. என்பன இச் செவ்வ கப் பிரிவில் f(x, y) யின் மிகச் சிறிய பெறுமானமும் மிகப் பெரிய பெறுமானமுமாகுக. 0, g என்பன 24, 0 பற்றி உணர்த்தப்படுமிடத்து, f(x, y) ஆனது F (4, 0) ஆக ஒடுங்கினல், m, M. என்பன ,ே என்னும் ஆட்சியில் F (0, 0) யின் மிகச்சிறிய பெறுமானமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமும் ஆகும்.
(2,-3.) (y -g.)= செவ்வகப் பிரிவின் பரப்பளவு
= J du du ;
dr, q
მ (qz, ყ) இங்கு, Js 0 (u, o»)ʼ
d, இல் நாம் பெறுவன
m, J. SF (u, v) J SM, J.
.. "...|. Jį du de < F(u,v) lJ| du du
፳, ፴ r, q
< M.I. g J| du do.
J. F (೩,೪)||ಡೇ ಡೇ| > (و- 9-y) (-به-راه) ,m , .
܀ ஒவ்வொரு செவ்வகப் ன்ே பரப்பளவும் பூச்சியத்தை நாடுமாறு
செவ்வகப் பிரிவுகளின் தொகை வரையறையின்றிக் கூடுதலுற 8, S என்னும் இரண்டும் ஒரே எல்லையை நாடும்
இவ்வெல்லை J. (3, g) lady ஆகும். f F (u, ) || du d0 ஆனது செவ்வகம் R ஐப் பிரிக்கும் விதத்தைச் சர்திருத்தலால்
f if (a, y) dedy= F (u, v) |J| dudv என்பது பெறப்படும் D இதுவே ஓர் இரட்டைத் தொகையீட்டில் மாறிகளின் மாற்றத்திற்குரிய
சூத்திரம்.
25-R 8289 (8165)
Page 369
710 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
தொகையிடலின் ஆட்சி செவ்வகமல்லாத வகைக்கும் இச்சூத்திரம் விரிந்து நிற்கும் என்பது தெளிவு. இது அத்தகையாட்சியின் மீது இரட் டைத் தொகையீட்டின் வரைவிலக்கணத்திலிருந்து உடன் காணப்படும்.
உதாரணம் 1, y=0, y=23, 2"=g, a=2g என்னும் பரவளைவுகளால் எல்லையுறும்
ஆட்சி முழுவதிலும் எடுக்கப்படும்
ac“y'daç dy 3(g9-+-0نa)
என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
ეფo ="-, p:- எனப் பிரதியிடுக.
g
ஆயின், (0, y) தளத்திலுள்ள பரவளைவுகள் (4, 0) தளத்தில் u=1, 4=2, 9=1, y=2 என்னும் நேர்கோடுகளாக உருமாறும்.
usa at g
as 创学3
° v.- *
さ
ay g56mro u, U ğ56mTLD
.g8 = ase9 ,گروa8 = ag ஃ , 9 தரப்படின் 2 இற்கு ஒரு பெறுமானம் மாத்திரம் உண்டு; து யிற்கும் ஒரு பெறுமானம் மாத்திரம் உண்டு.
.. (0, y) தளத்தில் அப்பரவளைவுகளால் எல்லையுறும் ஆட்சி ABCD யிற்கும் (, ) தளத்திற் செவ்வகம் abcd பிற்கும் ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபு உண்டு.
y 2 д (и, о) s a (, y) 2y 2 yo
- θ (α, μ) 1 ** a (4, 9) " " " 8* -
ஆட்சி ABCD யின் இடஞ்சுழிப்போக்கு அதன் விம்பத்தின் வலஞ்சுழிப்போக்குக்கு ஒத்தி ருக்கும் என்பதை மறைக்குறி காட்டும்.
மாறிகளின் மாற்றம் 71
O Onn ", இரட்டைத் தொகையீடு = 'g dиdt»
ff и?v*dиdv 1 2 f * u*du S: - - = - 1 wdw i -.
3. )a2 + 3 ۹ (در J )aa +8 (2 ر todo d 戮 s dи ァー。一エ、= | ttーパー本ァーエ 冷 du = |ー之一一な| 十 | 本一ェ・ رہ؟ -+۔ a) ’’ J.2 aaر+ـ 3ھ) 2 (2ر+ـ قھ) 2 | J" da ق (قرہ -+- ضu)
il 1, 1 2 : - 2 դ 661 - 1
2 1+ شر+ 4 نور +动 தான -త్ ö ! فره2-- *ره dy 2ره-+ 4 *ره-+-1\J.6
" .. இரட்டைத் தொகையீடு =
1 2 + - 10 தான்” . -0 தான்" - dய.
6 y y
T 2 = 0 - தான் "1 e - 20+ 4 தான்” + 1 g தான்" - -ஐ தான்" -
12 y
6 2
1 ("Λ - 2υ2 2ر ά Tl2 1 طبقي" 4 + قر *。
1 neu - 2 - 2-4 a res, -1} +?!+1)+}} 4 رgneh -1{+ 6V7ータ :576+++7-4,5 2
-தான்-1 2) -(---- 2-2-4 தான்" :::)
1 / 5ገፐ EE -- 1 -> a 9. ;r -- -
蟲( 2 தான் 2 - 8 தான் 2 1)
od உதாரணம் 2. f e "dல என்பதனைப் பெறுமானங் கணிக்க.
o
у
2/= a
-K
O - X 03:0SK, 0sgsK என்னுஞ் சதுரத்தின்மீது |- مو- می dady என்பதை எடுத்து
நோக்குக.
Page 370
72 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
K K K. 然 pigs f هواه-ه x 'ay= .-عنه { இற்குச் சமன்.
() O O
OО K -> 0 ஆக, இரட்டைத் தொகையீடு - 14ء - ہ={
o இனி, ல> 0, g> 0, R> 0, ஆயிருக்க, a2+g=R என்பதாலே தரப்படும் வட்டத்தின் காற்பகுதி முழுவதிலும் jم - م -vraz dg என்பதை எடுத்து நோக்குக.
r, 6 என்பன புதிய மாறிகளாயிருக்குமிடத்து ை= rகோசை6, y = rசைன்) என்னும் உருமாற்றத்தை வழங்குக.
9 மாறிலியெனின், 7 ஆனது 0 இலிருந்து, R இற்கு மாறும் ; r ஆனது மாறிலியெனின
T 9 யானது 0 இலிருந்து 2 இற்கு மாறும்.
(, y). ∂ (ነ‛, ፀ)
கோசை 9 6ਹ6 0
ም
- சைன் 9 கோசை 9 ܘܚܙܝ
.. இரட்டைத் தொகையீடானது 0 s r s R 0 s 9 s g என்னும் ஆட்சியின்மீது எடுக் கப்படும் |--“ናፊ d6 என்பதற்குச் சமம்.
.. தொகையீடு = f Te-rrar -? )1 - e - BA( جس π. R -> oo gas.
2 4. 4. எல்லா 2, g யிற்கும் e ****>0 ஆதலால், பக்கம் K ஆயுள்ள சதுரத்தின்மீதுள்ள இரட்டை தொகையீடு K, KV2 என்பன ஆரைகளாயுள்ள வட்டக் காற்பகுதிகளின் மீதுள்ள இரட்டைத் தொகையீடுகளுக்கு இடையிற் கிடக்கும். K->00 ஆக, இக்காற்பகுதிகளின் மீதுள்ள இரட்டைதி
தொகையீடுகள் இரண்டும் * g நாடும்.
,{I: *4=}’-န္တီ၊
". l-l= ұі. தொகையீடு நேர்க்குறியுடையதாதலால்.
குறிப்பு, (a, g) தளத்திலுள்ள உற்பத்தி உள்ளடைக்கப்படின், (a, g) புள்ளிகளுக்கும் (r, 6) புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக்கொன்ருன ஒத்தியைபு நிபந்தனை திருத்திப்படாது. இத்தொல்லையானது, ஆரை 6 விற்குச் சமனக, மையம் உற்பத்தியிலுள்ள ஒரு சிறுவட்டத்திற்கு வெளியே கால் வட்டத் தின் பகுதியை எடுத்து நோக்கி அதன்பின் 6 -> 0 ஆக எல்லைகளை எடுப்ப தால் நீக்கப்படலாம்.
மும்மைத் தொகையீடுகள்.
f(x, y, z) gyda 07g) ac, y, z G06).J6îu5°Gor), (a < x < b, c2. < y <8, y < x < ô) T என்னுஞ் செவ்வக இணைகரப்பரவையின் அகத்தில் வரையறுக்கப்படும் 30, y, z இன் ஒரு வரைப்புற்ற சார்பாகுக. ஆள்கூற்றுத் தளங்களுக்குச்
மும்மைத் தொகையீடுகள் 713
சமாந்தரமான தளங்களை வரைதலால் இவ்வாட்சியை ஒருதொகை செவ்வக இணைகரப்பரவைகளாகப் பிரிக்க. m, M என்பன கனவளவு 0 ஐயுடைய ஒர் ஆட்சிப் பிரிவில் f(x, y, z) இன் மிகச்சிறிய பெறு மானமும் மிகப்பெரிய பெறுமானமுமாயிருந்தால், 70 என்னும் வடி வத்தையுடைய எல்லாப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகிய S ஐயும் M) என்னும் வடிவத்தையுடைய எல்லாப் பெருக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாகிய 0 ஐயும் ஆக்குக. ஒவ்வோர் ஆட்சிப் பிரிவின் கனவளவும் பூச்சியத்தை நாடுமாறு ஆட்சிப் பிரிவுத் தொகை வரையறையின்றிக் கூடுதலுற 8, S என்பன ஒரே முடிவுள்ள எல்லை 1 ஐ நாடின், 1 யானது என்னும் ஆட்சியின்மீது f(a),g,2) இன் மும்மைத் தொகையீடெனப்படும் ;
Jg335] f f(x, y, z) dலdgda என்பதனுற் குறிக்கப்படும். f(x, y, z) ஆனது
T T யில் தொடர்ச்சியானதெனின், மும்மைத் தொகையீடு உண்டு ; அது ஒரு மறிதந்த தொகையீடாய் உணர்த்தப்படல் கூடும்.
D ஆனது (a, g) தளத்தில் T யின் நிமிர்கோண எறியமாகிய செவ்வகமெனின்,
if (a, y, z) da dy dz = dacdy of (at, y, 2) dz T
— Pa: JJ. (a', g, 2) dat dy.
D ஆனது (g, 2) தளத்தில் T யின் நிமிர்கோண எறியமெனின், மும்மைத் தொகையீடு
b b .s dyd: f(r, έν, 2) ஸ்= dac s if (ac, y, 2) dy dz حساس
Da D D ஆனது (2, 3) தளத்தில் T இன் நிமிர்கோண எறியமெனின், மும்
மைத் தொகையீடு
s d:da!? (, ), 2) dy-y f if (æ, y, z) dzdat.
Da O O D8 D ஆனது (a, g, 2) வெளியில் யாதுமொரு முப்பரிமாண ஆட்சியெனின்,
if (e, y, z) dedlyde eers s.h (e, y, z) dzdydz
ஆக வரையறுக்கப்படும் ; இங்கு, T யானது D ஐ உள்ளடைக்கும் ஒரு செவ்வக இணைகரப்பரவையாக,
φ (aw, 3/ 2) = f(a, 9, 2), D இல்
= o, D யிற்கு வெளியில். 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் D யிற்கு உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் யாதுமொரு கோடு D யின் வரைப்பாட்டுப் பரப்பை இரு புள்ளிகளில் மாத்திரஞ் சந்திக்குமாறு D உள்ளதெனக் கொள்க. 2 அச்சுக்குச் சமாந்தரமான
Page 371
74 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ஒரு கோட்டில், 2, g ஆள்கூறுகள் மாறிலிகளாகும். 0 (0, g), 0 (a, g) என்பன அவ்விருவெட்டுப் புள்ளிகளுக்கும் ஒத்த a யின் பெறுமானங்க ளாயிருக்க, D ஆனது (a, g) தளத்தில் D யின் நிமிர்கோண எறிய மெனின், 02 (a, g) > 0 (a, g) ஆயிருக்குமிடத்து,
if (e, y, z) dzdydx= ||ಕೋdy sir (æ, y, z) dz.
v (at, y)
2 a 3 உதாரணம். z=0+g என்னும் பரவளைவுரு, s +器 = 1 என்னும் நீள்வளைய வுருளை, 2 = 0 என்னுந் தளம் என்பனவற்றல் உள்ளடைக்கப்படுங் கனவளவைக் காண்க. 2 அச்சுக்கூடாகச் செல்லும் யாதுமொரு தளத்தால் வெட்டப்படும் வேண்டிய ஆட்சியின் வெட்டு, படத்தில் கீறிட்ட பகுதியின் வடிவினதாகும். (ல, g) தளத்தின்மீது அவ்வாட்சியின்
2 a.2 நிமிர்கோண எறியம் இத்தளத்தில் + = 1 என்னும் நீள்வளையமாகும். a, g என்பன மாறிலிகளுக்கு ஒத்ததாய் அவ்வாட்சிக்கு உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் யாதுமொரு கோடு, 0, 2? + g? என்பனவற்றைத் தம் 2 ஆள்கூறுகளாகக் கொண்ட இரண்டு புள்ளிகளில் அவ்வாட்சியின் வரைப்பாட்டை வெட்டும்.
മ
a2+y . அவ்வாட்சியின் கனவளவு = sss • dat dy dz = dardy f .da
D O
;f (ac* + g*) dat dy تعتمد
D y
இங்கு, D யானது +- 1 என்பதாலே தரப்படும் (a, g) தளத்திலுள்ள நீள்வளைய
மாகும். w
Xs Y are g எனின், (a, g) தளத்திலுள்ள நீள்வளையம் (X, Y) தளத்தில் X-Y = 1
என்னும் வட்டமாக உருமாறும். இனி, X = கோசை 9, Y = r சைன் 6 எனப் பிரதியிடுக. ஆயின், 6 வானது நிலையாயிருக்க, r ஆனது 0 இலிருந்து 1 இற்கு மாறும் 7 ஆனது நிலையாயிருக்க, 6 வானது 0 இலிருந்து 27 யிற்குச் செல்லும்.
a = 2r கோசை 9, g = 3ர சைன் 0. მ(aი, ყ) 2 கோசை 9 3 சைன் 9 6 6, 6) T - 27 சைன் 9 37 கோசை 9 |T"
பரப்புத் தொகையீடுகள் 715
s (azo -- yo) dae dy = sje கோசை0ே + 9 சைன்9ே) * 8 d0
D
2. 芝三 f (4 கோசை 9 + 9 சைன் 0) d0 6rdr,
O
39
as 37 - , ,
冗 2
பரப்புத் தொகையீடுகள்.
2 அச்சுக்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டால் ஒரு புள்ளியில் மாத்திரம் வெட்டப்படும் (ல, y, z) வெளியிலுள்ள ஒரு பரப்பு S ஐ எடுத்து நோக்குக. தி(a, g) ஆனது a, g யின் ஒன்றிப் பெறுமானமுள்ள தொடர்ச்சியான சார்பாயிருக்குமிடத்து, அப்பரப்பின் சமன்பாடு 2=தி(a, g) என்னும் வடிவத்தில் இடப்படக்கூடும். 蠶 என்பன உண்டென்றும் அவை தொடர்ச்சியானவை என்றுங் கொள்க. C யானது அப்பரப்பில் முழுவதுமாய்க் கிடக்கும் யாதுமொரு வளையியாகுக. C யின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் ஒன்றிப் பரமானம் பற்றி உணர்த்தப் படல் கூடும். யைக் குறித்து வகையிட,
dz 0h. da , 0h dy
需, 體 冠 என்பன புள்ளி * b * யில் அவ்வளையியினது தொடலியின் திசைக்கோசைன்களுக்கு விகிதசமமாயிருத்தலால், அப்பரப்பின் (a, g, 2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று அப்பரப்பின் மீது முற்றுங்கிடக்கும்
ஒவ்வொரு வளையியும் s -1 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான
திசைக்கோசைன்களுடன் இப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டுக்குச் செங்குத்
தாகும்.
. - მqb - მqb YS GS S LLL S SLLLS S S SLLSLLL S S LLL
g: 2=魂・7=赤 ஆயிருக்குமிடத்து, (a, y, z) என்னும் புள்ளியில் அப்பரப்புக்கு வரையப்படுஞ் செவ்வன் ற, g, -1 என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமான திசைக்கோசைன்களை உடையதாகும்.
f(x, y, z) என்பது S இன் ஒவ்வொரு புள்ளியின்மீதும் வரையறுக்கப் பட்ட 2, g, 2 இன் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாகுக. 2= தி(a, g) என பிரதியிடுமிடத்து, f(x, y, z) ஆனது R(m, y) என ஒடுங்குக. D யானது 2, g தளத்தின்மீது S இன் நிமிர்கோண எறியமாகுக. SS ஆனது (a, g, 2) என்னும் புள்ளியில் S இன் பரப்பளவின் ஒரு சிறு மூலகமாகுக ; SA ஆனது (a, g) தளத்தின்மீது அதன் நிமிர்கோண எறியத்தின் பரப்பளவாகுக. (0, y) தளத்திற்கும் (a, g, 2) இல் S இற்கு
Page 372
716 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
வரையப்படுந் தொடலித் தளத்திற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தின்
கோசைன் v/1 + a + )ق ஆகும். 6S மிகச் சிறிதெனின், அதுSAVi+p+72
என்பதற்கு மிக்க அண்ணளவாகச் சமமாகும். ஆதலால் பரப்புத்
தொகையீடு f (0, y, z) dS என்பதை இரட்டைத் தொகையீடு
S
s F(a, g) V1 + p2 + y2 dady என்பதற்குச் சமமாக வரையறுப்போம். m
D
ஆனது (0, g, 2) என்னும் புள்ளியில் அப்பரப்புக்கு வரையப்படுஞ செவ்வனின் 2 திசைக்கோசைனெனின்,
JJ,if(ac, y, z) dS = J尚 F(x, y) dat dy.
S ஆனது வேறு யாதும் ஒழுங்கான பரப்பெனின், மேற்றந்த வடிவத்தை யுடைய ஒரு முடிவானதொகை பரப்புக்களாக அது பிரிக்கப்படலாம். S இன்மீது பரப்புத் தொகையீடு அத்தனித் தனியான துண்டுகளின்மீது எடுக்கப்படும் பரப்புத் தொகையீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
அப்பரப்பின் சமன்பாடு p'(x, y, z) = 0 என்னும் வடிவத்தில் இருந்தால் அதன்மீதுள்ள (a, g, 2) என்னும் யாதுமொரு புள்ளியிற் செவ்வனின்
ôl oil) ôl მaz’ მყ’ მz பதை நினைவில் வைத்திருத்தல் பயனளிக்கலாம். அதற்குக் காரணம் a, g, 2 என்பன e யின் சார்புகளெனின்,
dil da dili i dy dil dz 魂 五す研" 五すāz 五丁"
திசைக்கோசைன்கள் என்பனவற்றிற்கு விகிதசமமாகுமென்
என்பதே.
*y را بa உதாரணம். + s 1, 0
Page 373
78 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
S, இன் வெளிமுகச் செவ்வனேடு ஒரு வலக்கைத் தொகுதியை ஆக்கும் C இன் போக்கில் எடுக்கப்படும் f Pda என்பதை எடுத்து
Ꭴ. நோக்குக. T, என்பதன் ஒத்த போக்கு ஒரு வலக்கைத் தொகுதியை
அச்சின் நேர்த்திசையோடு ஆக்கும். .. T இன் ஒத்த போக்கு (a, g) தளத்தில் இடஞ்சுழிப் போக்காகும்.
Pd =f Pda. J. T32) وسل
aP,
றைமானின் சூத்திரத்தால், f Pdar = f — dacdy.
I D მყ OP OP 1, OP az, OP 1, OP adb. இனி, 所で研す魂 ay Taytaz მყ *
இங்கு 2 ஆனது வகையிடல்கள் செய்யப்பட்டபின் தி(a, g) என்பதால் இடம் பெயர்க்கப்பட்டும். -
әР әР әф ..”. I Pd. - ( = nത്ത = − — )d d
J. 2. DA θυ θα ον acay
OP 1, OP ad, 一J.-(霧+鬍 激 / ة قبل قبولS.
9P 9P - 77: -- - dS. J.( 罵+噶)
எல்லாத் துண்டுகளுக்குங் கூட்ட
Pda = 2P 2P ds ப் பெறுவோம் J. *一j, 一”丽十”动 எனப பெறுவோம. அத்தேற்றத்தின் எனைய பகுதிகள் இதையொத்த ஒரு வழியால் நிறுவப்படலாம். கிறீனின் தேற்றம் (அல்லது கெளசின் உருமாற்றம்).
S ஆனது ஒர் ஆட்சி T யை வரைப்புறும் ஒரு மூடிய ஒழுங்கான
பரப்பாயிருக்க, P, ,ெ R என்பன தொடர்ச்சியான பகுதிப் பெறுதிகளைக் கொண்ட 2, g, 2 என்பனவற்றின் சார்புகள் எனின்,
(TP + mQ+ nR) dS= ffJ. (需 -- 十 繫) dacdydz; இங்கு, , m, n என்பன S இன் வெளிப்பரப்புக்கு வெளிமுகச் செவ்வனின் திசைக்கோசைன்களாகும். அத்தேற்றம் மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட லாம் ; அவற்றுள் ஒன்றை நிறுவல் போதியதாகும்.
0R . . . f” RdS= JJJ, 2 dodydz
என்பதை எடுத்து நோக்குக.
கிறீனின் தேற்றம் 719
2 அச்சுக்குச் சமாந்தரமான பிறப்பாக்கிகளோடு கூடிய ஒரு மூடிய உருளைப் பரப்பை எடுக்க ; அது மேலுங் கீழும் பரப்புக்கள் S, S என்பன வற்றல் எல்லையுறுக ; இப்பரப்புக்களுள் ஒவ்வொன்றும் 2 அச்சுக்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளியில் வெட்டப்பட வில்லை. ஒவ்வொன்றுக்கும் (a, g) தளத்தில் ஒரே எறியம் D உண்டு.
S, S என்பனவற்றின் சமன்பாடுகள் முறையே 2 = தி,(a, g), 2 = தி,(x, y) என்பனவாகுக. 2 திசைக்கோசைனனது S இன் வெளிமுகச் செவ்வனுக்கு நேர்க்குறியுடையதாயும் S இன் வெளிமுகச் செவ்வனுக்கு மறைக்குறி யுடையதாயும் இருக்கும்.
". மூடிய உருளைப் பரப்பின்மீது sin Rds என்னும் பரப்புத் தொகையீடு
f R ddy-J Rdலdg ஆகும் ;
D
இங்கு, R, R என்பன முறையே 2 = f(x, y), 2=b(x, y) ஆகுமிடத்து R ஒடுங்கும் (a, g) என்பனவற்றின் சார்புகள்.
". பரப்புத் தொகையீடு= (R2-R1) dat dy
TD −
a- b(a, y) aR - aR - fledy (b(a, v) 03 dz = sss dz drdydz,
அவ்வுருளைப்பரப்புக்கு உள்ளேயுள்ள ஆட்சியின்மீது எடுக்கப்பட்டவிடத்து.
ஆயின், அத்தேற்றம் இவ்வகைப் பரப்புக்கு உண்மையாகும். ஒரு மூடிய ஒழுங்கான பரப்பால் வரைப்புறும் யாதும் ஓர் ஆட்சி மேற்றந்த வடிவத் தினையுடைய ஒரு முடிவான தொகை ஆட்சிகளாகப் பிரிக்கப்படலாம். ஆதலால் அத்தேற்றம் அத்தகையாட்சிக்கு உண்மையாகும்.
Page 374
720. பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
பயிற்சி
1, 2 + y = x, y = u0 எனின், 0 = 0, g = 0, 2 + g = 5, 3 + g = 1 என்பனவற்றல் வரைப்புறுஞ் சரிவகம் (, ) தளத்தில் ஒரு செவ்வகமாக உருமாறுமென நிறுவுக.
6->0 ஆக வரும் எல்லையை எடுத்து நோக்குதலால், 30 = 0, y = 0, 2 + y = 1 என்னும் கோடுகளால் வரைப்புறும் முக்கோணியின்மீது எடுக்கப்படும்
盘 J(壬) dady யானது (7 v2-8) ஆகுமெனக் காட்டுக.
2. 1 = g^ + 0, p = g -2 என்னும் பிரதியீடுகளை வழங்கி, (0, g) தளத்தில் y = 1, g - 3 = 0 என்னுங் கோடுகளாலும் g + a = 0 என்னும் பரவளைவாலும் வரைப்புறும் முடிவான பரப்பின்மீது எடுக்கப்படும்
3(تg2 + a) + 1
a, b என்பன நேர்க்குறி உடையனவாயிருக்குமிடத்து, a + g = a, a + y = b என்னும் வட்டங்களாலும், y2 = aa, g = ba என்னும் பரவளைவுகளாலும் வரைப்புறும் நேர்க் காலியிலுள்ள பரப்பை ஒரு செவ்வகமாக உருமாற்றுதலால், இப்பரப்பின்மீது எடுக்கப்படும்
* + 9 a. * அகமெனக் காட் αυ(α’ + υ) dைg யானது < மட α ஆகுமெனக் காட்டுக.
4. f() ஆனது b யின் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பெனின்,
2; 22 f dit f(μ) *ー」 (x — и)f(и)du
O O
O
l -- 2 O
+ 2y) (y-a) da dy என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
3
6Teoids as it (0s.
3 = 0 ஆயிருக்குமிடத்து, φία) என்பதும் அதன் முதல் n பெறுதிகளும் மறைவதோடு d"+(a) = f(a) at 6fair,
எனக் காட்டுக.
a: y a y? 5. aق 十 l, ai -- 浜下 2 என்னும் நீள்வளையங்களுக்கும்
gy9 a: y? I க்கும் இடையில் நேர்க்கால் قag 960L- Sist( 630 ܐ ܒ ܙ - -- 2 ܒܗ - ܚወጻ bጻ Q* bጻ 2 என்னும் அதிபரவளைவுகளுக்கு நாகக
あ வட்டத்தில் அடைக்கப்படும் பசப்பளவு 3 அகோதை - 2 - அகோசை” 4 - 4 அசைன் -', எனக் காட்டுக ; இங்கு, நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளுக்கு அவற்றின் நேர்ப்பெறு மானங்கள் கொடுக்கப்படும்.
6. y = 2, 29 = y என்னும் பரவளைவுகளால் வரைப்புறும் (, து) தளத்திலுன்ன ஆட்சியின்மீது எடுக்கப்படும்.
6acoyodady 4V .ஆனது மட 3 T எனக் காட்டுக ق(gه + y2 + هيه)
பயிற்சி 721
ay
Y - -
7. (a + g) = 2rg என்னும் வளையியின் அகம் முழுவதும் எடுக்கப்படும் (2a+ 3y)
3.
என்பதன் இரட்டைத் தொகையீடு 5 மட () -2 எனக் காட்டுக.
8. a: ya 2.it ம் பிரிக்கப்படும் a y 2.
as -- bo எனனும பரவளைவுருவாற &&llu(?Lb oف -- ba -- 2 நீள்வளைய
2 аbc
வுருவின் அகங்களின் இருபகுதிகளுட் சிறியது 3
7 ( (v2- என்னும் கனவளவையுடைய தாகுமெனக் காட்டுக.
9. 2 + g^ + 2 = a* என்னுங் கோளம் (a + g2)2 = a*(r-g) என்னும் உருளையினுற் பாய்ச்சப்பட்டிருப்பின், அக்கோளத்திற்கு உள்ளே கிடக்கும் உருளையின் கனவளவு
8 5 44/5 幂 -- 3 -ty) a ஆகுமெனக் காட்டுக.
10. a, b என்பன நேர்க்குறியுடையனவெனின், +- என்னும் நீள்வளையவுரு
6. a y? ளேக்குள்ளே அடங்கியுள்ள 2 = - + b என்னும் பரவளைவுத் திண்மத்தின் பரப்புப்
o
め பகுதியின் பரப்பளவு (5v5-1) எனக் காட்டுக.
Page 375
அதிகாரம் 36
ஒரு சிக்கல்மாறியின் சார்புகள்
a, g மெய்யெண்களாயிருக்குமிடத்து 2 = 3 + g ஆகுக. f(z) ஆனது 2 இன் ஒரு சார்பெனின், f(z) ஆனது 0(0, g) + 0(0, y) என்னும் வடிவத்தினதா கும்; இங்கு, u(x, y), 0(0, g) என்பன 2, g என்பனவற்றின் மெய்ச் சார் புகளாகும்.
D யானது 2 தளத்தில் ஒர் ஆட்சியாகுக ; P யானது D யின் யாது மொரு புள்ளியாகுக. மாறுஞ் சிக்கலெண் 2 ஐக் குறிக்கும் புள்ளி P என்னும் புள்ளியிலிருந்து புறப்பட்டு D யில் முற்ருய்க் கிடக்கும் யாதுமொரு மூடிய வளையியை வரைந்தபின் அப்புள்ளிக்குத் திரும்பிச் செல்லுமெனின், f(2) இன் தொடக்கப் பெறுமானமும் ஈற்றுப் பெறு மானமுஞ் சமமாகவோ சமமில்லனவாகவோ இருக்கலாம். அவை சமமெனின், f(2) ஆனது D யில் ஒன்றிப் பெறுமானமுடையதெனப்படும் ; மற்றைப்படி, அது D யிற் பல்பெறுமானமுடையதெனப்படும்.
உதாரணமாக,f(2) = 2 + 2 + 3, அல்லது சைன்2 அல்லது e என்பதனை எடுக்க. ஆயின், ைதளத்தில் யாதும் ஓர் ஆட்சியில் யாதுமொரு தந்த புள்ளியில் f(2) இற்கு ஒன்றின் மேற்பட்ட பெறுமானம் இருத்தல் முடியாது. .. இச்சார்புகள் எல்லாம் யாதும் ஓர் ஆட்சியில் ஒன்றிப் பெறுமான முடையன.
ஆனல், f(x)= 2 என எடுக்க, உற்பத்தியை உட்பக்கத்திற் கொண்ட ஒர் ஆட்சியை எடுத்த நோக்குக. T ஆனது 2 இன் மட்டாயிருக்க, 8 வானது ஒரு புள்ளி P யில் (யாதுமொருவிதத்தில் எடுக்கப்பட்ட) அதன் வீச்சமெனின் P யில் f(x) இன் பெறுமானம் 7க் (கோசை 體+ ତ୪ଥF667 鬍) உற்பத்தி C யிற்கு உட்பக்கத்தில் இருக்குமாறு C யானது P யிற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு மூடிய வளையியாகுக. புள்ளி a ஆனது P இலிருந்து புறப்பட்டு இடஞ்சுழிப்போக்கில் C யை வரைய, 2 இன் வீச்சம் உறுதியாகக் கூடுதலுறும். புள்ளி a ஆனது மறுபடியும் P யை அடைய, வீச்சம் 9+2ா ஆகும்.
0-4-2T . ... ፀ+-2ገr
2 +ம் சைன் 学)
ஆதலால், f(x) இன் பெறுமானம் rச் (கோசை
ஆகும். இது - ( 76 + சைன் () என்பதற்குச் சமம். ஆதலால் f(z) ஆனது P யில் முந்திய அதே பெறுமானத்தை அடைவதில்லை. ஆதலால் 2 ஆனது உற்பத்தியைக்கொண்ட யாதும் ஓர் ஆட்சியில் 2 இன் ஓர் ஒன்றிப் பெறுமானச் சார்பன்று.
ஒரு சிக்கல் மாறியின் சார்புகள் 723
ஆனல், அவ்வாட்சி உற்பத்தியைக் கொள்ளவில்லையெனின், அச்சார்பு ஒன்றிப் பெறுமானமுடையதென்பது எளிதிற் காணப்படும்.
நாம் ஒன்றிப் பெறுமானச் சார்புகளை மாத்திரம் எடுத்து நோக்குவோம்.
எல்லை.
f(z) ஆனது 2 = 0 விற்கு அண்மையில் வரையறுக்கப்பட்டதும் ஆனல் 2 = 0 வில் அவ்விதம் இல்லாமலும் இருக்கக்கூடிய 2 இன் ஓர் ஒன்றிப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
யாதுமொரு சிறு நேர்க்கணியம் < தரப்பட்டவிடத்து, o<2-a|<6 ஆகிய 2 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் f(x)- 0 ஆகரி(2)->என எழுதுவோம்; இங்கு ஆனது ஒரு முடிவுள்ள சிக்கலெண்.
2->0 ஆக, f(2)-> எனின், Z = Q ஆகுமிடத்து f(2) இன் பெறுமானம் பற்றி யாதொன்றும் கூறப்படவில்லை. இப்பெறுமானம் இற்குச் சமனகவோ சமனிலியாகவோ இருக்கலாம்.
தொடர்ச்சி.
2-> 0 வாக, f(2)-> ஆயிருக்க, f(x)= எனின், f(a) ஆனது 2 = a வில் தொடர்ச்சியான தெனப்படும்.
ஆயின், 6 தரப்பட்டவிடத்து எல்லா 2-0|<6 விற்கும் f(x)-f(x) o ஆக, f(α H. h) - f(α) h வில் வகையிடத்தக்கதெனப்பட்டு அவ்வெல்லை f'(c) வினுற் குறிக்கப்படும்.
h) - teithyl-16) ஒரு முடிவுளள எல்லையை நாடுமாயின், f (2) ஆனது புள்ளி 2 இல் வகையிடத்தக்க
df(
தெனப்படும்; எல்லை f'(2) அல்லது இனற் குறிக்கப்படும்.
வகையிடலுக்குரிய பின்வரும் நெறிகள் உண்மையாகும்.
d (1) {f(z)+ 5(2)} = f'(a) + d'(z).
ஒரு முடிவுள்ள எல்லையை நாடுமாயின், f(z) ஆனது 2= a
பொதுவாக, 2 நிலையாயிருக்க, h->o ஆக,
d (2) ξ{f(2)φ(ε)} = r (2) φ(2) + f(2) φ(2).
Page 376
724. பல்கலைக்கழகத் தூள கணிதம்
disf(z) f(z) is(z)-f(z) d'(z) (3) 器{獄 -toಷ್ಟ್ರೇಲ್ರ φ(α) Α. ο எனின் (4) 20 வானது 2 இன் வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பாயிருக்க, f() ஆனது 0 வின் வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பெனின்,
f(v)-f(u)x. இவை மெய்ம்மாறியின் சார்புகளுக்குரிய அதே வழியாற் பெறப்படும். n ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க, h யாதுமொரு பூச்சியமல்லாத சிக்கலெண்ணெனின்,
2 - (h -- بع)
h ". m ஒரு நேர்முழுவெண்ணெனின், எல்லா 2 இற்கும்
= nzo" + h("c, zoo+.... + ho)-» nzor, h-»o gas.
盐 )چ"( == n1-"بی. n ஒரு மறைமுழுவெண்ணுய் -m இற்குச் சமனெனின்,
岩e” 一岩() == - ma" = na", 2 a. o. atafair.
f(2) = u (a, g) + 0(0, y) என்பது 2 இன் ஒரு வகையிடத்தக்க சார்பாகுக.
2 ஆனது மாறிகள் a, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளப்படு மிடத்து, 2 இன் பகுதிப் பெறுதிகள் உண்டு ; அவை மாறிலிகளாகும்.
2-1 02.
62下** 丽=* of 0ة .,,م 02ة سره .. 黑, 影 என்பன உண்டு ; அவை முறையே f'(2) aa * f'(z) 冠
என்பனவற்றிற்குச் சமமாகும். அன்றியும் நாம் பெறுவன,
მf_ მtz \, ,,მთ
22. ';' ôf ôu a dôv 魂下研サ"赤
Ou . .0v
fa)=蔬十*藏,
:/.) — მ“ , ; მუ f'(z Taytay
இவை கோஷி-றைமான் சமன்பாடுகள் எனப்படும்.
பகுப்புச் சார்பு 725
ஒர் ஆட்சி D யில் எல்லா 2 இற்கும் f'(2) = 0 எனின், D யில் எல்லா 2 இற்கும் f(2) ஆனது மாறிலியாகும்.
f(2) = u +ஸ் எனின், D யில் எல்லா 2, g யிற்கும்
ди . . до fe)=孟十菇=o
, D யில் எல்லா 2, y யிற்கும் -- ༠ -
дv ди, D uSlão, მqu’’ ’’ ôy”
.. , 0 என்பன D யில் மாறிலிகளாகும். f(z) ஆனது D யில் மாறிலியாகும். f(z) ஆனது 2 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கதாயிருக்க, 2 (0, g), 0 (a, g) என்பனவற்றின் இரண்டாம் பகுதிப் பெறுதிகள் உள்ளனவாய்த் தொடர்ச்சியானவையெனின்,
32, 32. 02, 32 p్క +్క=0; 3్క +్క=0; 6u 0v ди მფ) o 3=5 ஆயும், 2-3 ஆயுமிருத்தலால், 92, 32 3 () 02.
да да ду ду\да) ду?“
0 02 ". 斎十赤=" அதுபோல ஃ+ஃ=0
მეჯ2 ' მყ*
பகுப்புச் சார்பு.
f(z) ஆனது புள்ளி a வில் 2 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கதெனின், f(z) ஆனது புள்ளி a வில் பகுப்புக்குரியது அல்லது நிறையுருவானது எனப்படும்.
f(2) ஆனது a வில் பகுப்புக்குரியதன்றெனின், புள்ளி a வானது f(2) இன் ஒரு தனிச்சிறப்பெனப்படும், உதாரணமாக 2=1 இல் இற்கு ஒரு தனிச்சிறப்பு உண்டு.
சிக்கற்றெகையிடல்
C யானது 2 தளத்தில் ஒரு வளைகோட்டுத் தொகையீடு வரையறுக்கப் படக்கூடிய ஓர் எளிய வளையியாகுக.
Page 377
726 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
f(2) ஒன்றிப் பெறுமானமுடையதாய் C மீது தொடர்ச்சியுள்ளதாய்
u (x, y) +ஸ் (a, g) இற்குச் சமனெனின், சிக்கற்றெகையீட்டைப் பின் வருமாறு வரையறுப்போம்.
sfe) dz = | (и —+ iv) (de + idy)= (ude-ray)+ij (vda: + udy).
O O Ο Ο
0 மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் t என்னும் ஒரு பரமானம் பற்றித் தரப்படுக ; அவ்வளையி எடுத்து நோக்கப்பட்ட போக்கில் வரையப்பட
யானது 2 விலிருந்து 8 விற்கு மாறுக.
ஆயின்,
f(2) dz =f (иdar — vdy) +) (vda' + udy). C Ο C
é / dat dy . s8 / dat , dy -『(醬-體)血+『(需+噶)血
3 . . /da: , .dy -se+的(嵩+體)血
3 dz esse z) - dit.
saf(e) ; உதாரணமாக, n ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்குமிடத்து, f(2) = 2" என எடுக்க, C யானது உற்பத்தியில் மையத்தையும் r ஆரையையும் உடைய ஒரு வட்டமாகுக. ஆயின், 2 ஆனது a = r கோசை9, g = r சைன் 6 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும். 6 வானது 0 இலிருந்து 2ா யிற்கு மாற, அவ்வட்டம் ஒருமுறை இடஞ்சுழிப்போக்கில் வரையப்படும். .. தொகையீடு
C யின் இடஞ்சுழிப்போக்கில் எடுக்கப்படின்,
f 2"dz = ("கோசை m9+ b சைன் m9) r (-சைன் 9+ i கோசை 9) d9.
O O
2T nnnnnnnnnnnnnnnn ❤ .கோசை n + 19+ர் சைன் n + 16) d9(1** -سسسس
= 0, 0, 4 - 1 எனின், = 27Ti, n = -1 6T60fait, ஆயின், தொகையீடு அவ்வட்டத்தின் ஆரையைச் சாராது.
இத்தொடர்பில், a, b என்பன மெய்யாயிருக்க, b>a ஆயும் f(a) ஆனது மெய்ம்மாறி a இன் ஒரு தொடர்ச்சியான (மெய் அல்லது சிக்கற்) சார்பாயும் இருந்தால்,
f(t) de s f(a) | dat
என்பதை அறிதல் அவசியமாகும்.
சிக்கற்ருெகையிடல் 727
இது பின்வருமாறு நிறுவப்படும் : ஆயிடை (a, b) யை ஒரு பெருந்தொகை 70 ஆயிடைப் பிரிவுகளாகப் பிரிக்க,
(1,-1, 0,) என்பது r ஆம் ஆயிடைப்பிரிவாகுக : கி ஆனது இவ்வாயிடைப் பிரிவில் யாதுமொரு புள்ளியாகுக.
*》 f f(a) de=are 2,f(g) (,-,-),
笃 | f(a) | dz = GT», I f($)| (a,-2,-),
ஒவ்வோர் ஆயிடைப்பிரிவும் பூச்சியத்தை நாடுமாறு, பிரிவுத்தொகை வரை யறையின்றிக் கூடுதலுறுமிடத்து.
ஆளுல்ை 2f(8)(a, -a, -1) < 27 f(8) (*ー2,-1)="|f(á)(2,ー2,-i)
எல் 2f(8)(a, -a, -1) 《 எல்2 f(8) | )2, -3,1-ر(
b s f(x) doels |r) αα.
இனி ஆனது 2 தளத்தில் ஒரு வளையி C யின் நீளமாகுக ;f(z) ஆனது C மீது தொடர்ச்சியுள்ளதாகுக ; 0 மீது எல்லா 2 இற்கும் |ftz) 2 ஆகுக'. ஆயின்,
dz 3 dz |rel=ed se)
d
ஆயின்,
< M எனப் பெறுவோம்.
|f(x) de
இனி, 0 மீது 20, 2 2. . . .2 என்னும் பிரிவுப் புள்ளிகளை ஏற்படுத் துதலால் C யானது ஒருதொகை சிறுவிற்களாகப் பிரிக்கப்படுக; இங்கு, 20, 2 என்பன C யின் முனைகளுக்கு ஒத்தன. தீ, ஆனது அடுத்துள புள்ளி கள் 2.1, 2, என்பனவற்றிக்கு இடையிலுள்ள வில்லின்மீது யாதுமொரு
笃 புள்ளியாகுக. 2f(5) (4, -2.) என்னுங் கூட்டுத்தொகையை ஆக்குக.
rsul ጎ
Page 378
728 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ஒவ்வொரு சிறு வில்லின் நீளமும் பூச்சியத்தை நாடுமாறு பிரிவுத்
தொகை வரையறையின்றிக் கூடுதலுறின், இக்கூட்டுத்தொகையின் எல்லை
fΘάς ஆகும். ஒரு வரையறுத்த தொகையீடு ஒரு கூட்டுத்தொகையின்
எல்லையாகும் என்பதிலிருந்து இது பெறப்படும்.
இம்முடிபு சில சிக்கற்ருெகையீடுகளின் பெறுமானத்தைக் கணித்தற்கு
வழங்கப்படலாம்.
உதாரணமாக f 1da = எல் 21. (2,–2,-1) = 2-20; இங்கு, 20, 2, என்
C பன C மீது 2 இன் தொடக்கப் பெறுமானமும் ஈற்றுப்பெறுமானமுமாகும். குறிப்பாக, C யானது மூடிய வளையியெனின்
dz = o. C
s 2da = எல் 22, (2,-2,-1) = எல் 22,. (2,-2.)
C
= ភ្នំ ) 2)2الاع – ق - প্রকেল্স- (2-2)
0 மூடியதெனின், தொகையீடு பூச்சியமாகும்.
கோஷியின் தேற்றம்.
f(2) ஆனது ஒன்றித் தடத்தோடு கூடிய ஒரு மூடிய சீராக்கத்தக்க வளையி 0 மீதும் அதன் உட்பக்கத்திலும் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பகுப்புக்குரியதெனின், f f(z) dz = o.
C இது சிக்கன்மாறிச் சார்புக்கொள்கையில் ஓர் அடிப்படையான தேற்றம்.
f(2) = 0 (0,0) + 0(0,g) ஆகுக.
2, 0 என்பனவற்றின் பகுதிப்பெறுதிகள் எல்லாம் C மீதும் அதன் உட்பக்கத்திலுந் தொடர்ச்சியுள்ளவையெனின், இத்தேற்றம் றைமானின் சூத்திரத்திலிருந்து நேரே பெறப்படும்.
f f(2) dz = f (uda - vdy)-- | (vda:--udy).
C C C
მa) მფt * მის მფ) E J.( 「öz下 G)ady+i |.ே )ry=0 y
இங்கு, D யானது C யிற்கு உட்பக்கத்திலுள்ள ஆட்சி.
ஆனல் f (2) இன் வகையிடற்றகவு 0, 0 என்பனவற்றின் பகுதிப்பெறுதிகள்
எல்லாவற்றின் தொடர்ச்சியியல்பையும் குறிக்காது. C யானது ஒரு முக்கோணி
யாயிருக்குமிடத்து, அத்தேற்றத்தின் பொதுநிறுவலைத் தருவோம்.
கோஷியின் தேற்றம் 729
f(z) ஆனது ABC என்னும் முக்கோணி உருவரையின்மீதும் அதன் உட் பக்கத்திலும் பகுப்புக்குரியதாகுக.
f f(z) dz) = k ஆகுக'.
ABC
A, B, C என்பன முறையே BC, CA, AB என்பனவற்றின் நடுப்புள்ளி களாகுக.
J.se*ー」。se)*+.s*+s.se)*+
ABC AC. Bu C1BA1 AuCB
f(2) dz. As BC '||...|(2)irl+|...'odl+||...|(2)il+
ACBu CIBAL : , Alı CBı
# < | عf(e)a|
ABC.
". இடக்கைப் பக்கத்து நான்கு கணியங்களுட் பெரியது > A ஆனது இப்பெரிய கணியத்திற்கு ஒத்த முக்கோணியாகுக. முன்போல A என் பதை நான்கு சம முக்கோணிகளாகப் பிரிக்க. இந்நான்கு முக்கோணிக ளுள் A ஆனது உருவரைத் தொகையீட்டுக்கு மிகப்பெரிய மட்டுள்ள முக்கோணியாகுக. ஆயின்
k dz || >
f (۶) dz || > i As இவ்வாறு தொடர, அத்தகைய ? படிகளுக்குப் பின்பு
sfe) dz Af
> Ꮞ**
எனப் பெறுவோம்.
% ஆனது வரையறையின்றிக் கூடுதலுற, A ஆனது முக்கோணி ABC மீது அல்லது அதன் உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் ஓர் எல்லைப்புள்ளி a வை நாடும்.
Page 379
730 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
f(z) ஆனது 0 வில் பகுப்புக்குரியதாதலின் 2 -> 2 ஆக
f(z) - f(a)
2
Y->f' (a). m- C
.. யாதுமொரு நேரெண் e தரப்படின் எல்லா o
Page 380
732 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
C, C என்பன Z, ஐ Z இற்குத் தொடுக்கும் எவையேனும் இரு வளையிகளாகுக. அவை வேறுயாதும் புள்ளி பொதுவாயில்லாது முற்ருய் D யிற் கிடக்குக. C இன் வழியே Z0 இலிருந்து 2 இற்குச் சென்று அதன்பின் C இன் வழியே Z இலிருந்து Z0 இற்குச் செல்வோமாயின், நாம் D யில் ஒரு மூடிய வளையியை வரைவோம்.
கோஷியின் தேற்றத்தால் J. f(z) dz - J. f(z)dz = o.
'' . f(z)dz= J. f(2)dz, எல்லா C இற்கும் C இற்கும்.
C, C என்பனZZ என்பனவல்லாத புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட் டினல், வேறுயாதும் புள்ளியில் C, C என்பனவற்றை வெட்டாதுD யில் முற் ருய்க் கிடக்கும் வேறெரு வளையி C ஐ Z0 இலிருந்து Z இற்கு நாம் வரைதல் கூடும்.
எனின் f f()dt = j f(2) dz = s f(z) dz.
C. Cs Ca 2. f(2) ஆனது ஓர் எளிய மூடிய வளையியினல் வரைப்புற்ற ஓர் ஆட்சி யிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாகுக.
D யில் இரண்டு புள்ளிகள் தரப்பட்டவிடத்து, இவ்விரு புள்ளிகளையுந் தொடுத்து D யிற்கிடக்கும் யாதுமோர் எளிய வளமிக்கு f(z)dz 6GBT பெறுமானமுடையதாகுக. ஆயின் D யில் 20 ஆனது நிலையாயிருக்க, 2
2 ஆனது மாறு மிடத்து ? (a)- f(p) d0 எனின் F"(2) ஆனது உண்டு:
20 அது f(2) இற்குச் சமனகும்.
2
F(z+h)-F(z) - 1 *** l Fel-Fe- f(e) de- f(w) duv
2e. 2十h
-: f(и)dи.
2 இலிருந்து 2+h இற்கு நேர்கோட்டுவழியை எடுக்க. f(0) ஆனது u=2இலே தொடர்ச்சியுள்ளதாகையால், C தரப்பட்டவிடத்து, எல்லா |oーz| <ð Gígib கும் f(x)-f(x) 0 ஆக
.. ' (2) ஆனது உண்டு அது f(2) இற்குச் சமன். 3. தி (2) ஆனது ஒர் எளிய மூடிய வளையியினல் வரைப்புற்ற ஓர் ஆட்சி D யில் தொடர்ச்சியாக (2) dz ஆனது D யில் இரண்டு தந்தபுள்ளி
களைத் தொடுத்து D யில் முற்ருய்க் கிடக்கும் யாதுமோர் எளிய வளையியிக்கு ஒரே பெறுமானம் உடையதெனின், D யிற் கிடக்கும் 2, 2 என்பனவற்றிக்கு
s': '(e)dz = q(z)- (2).
2 ஆனது D யில் இருக்குமிடத்து F (2) = 2 fi” (w) dv gG35. ஆயின், F (2) = தி'(2): அதாவது D யிலுள்ள எல்லா 2 இற்கும்
; F(-)-d (2)} = 0 F(2) - p(2) ஆனது D யில் மாறிலி. -OB96ốd F(z) = o. \
. D யிலுள்ள எல்லா 2 இற்கும், F(2) - தி(2) = - தி (2)
F (22) — çib (2,2) == - çB (2) ܫ
::: :b'(a) dz = F(z)= d(e)- b(z).
மடங்கு உருவரைகளுக்கு கோஷியின் தேற்றம்.
C என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் ஒன்றுக் . . . . . . . . . . وC ويC கொன்று வெளியாற் கிடக்கும் எளிய மூடிய வளையிகளாகுக: C யானது C என்பனவற்றை உட்பக்கத்தில் அடைக்கும் ஒர் , . . . . . . . . . . ولC ووC ويC
எளிய மூடிய வளையியாகுக.
f(2) ஆனது எல்லா வளையிகளின்மீதும் இவ்வளையிகளால் வரைப்புற்ற ஆட்சியிலும் பகுப்புக்குரியதெனின்,
Wo*一儿fe*+JJea+... . -- | f(z) dz;
C C1 Cs Con
இங்கு, தொகையீடானது ஒவ்வொரு வளையிக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்கில்
எடுக்கப்படும்.
Page 381
734 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
அவ்வளையிகளுக்கிடையிற் குறுக்கு வெட்டிகளை எற்படுத்துதலால், ஒவ் வொன்றுக்கும் ஓர் எளிய மூடிய வளையி வரைப்பாடாகும் ஒரு முடிவுள்ள தொகை ஆட்சிகளாக, f(2) பகுப்புக்குரியதாயுள்ள ஆட்சி பிரிக்கப்படக் கூடும். கோஷியின் தேற்றம் இவ்வளையிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் உண்மை шпG510.
இவ்வளையிகள் ஒவ்வொன்றின் வழியே இடஞ்சுழிப்போக்கில் எடுக்கப் படும் f(2) da என்னும் தொகையீட்டுக் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும். ஒவ்வொரு குறுக்கு வெட்டியின் நீளத்திற்குந் தொகையீடு இருமுறை எதிர்த்
திசைகளில் எடுக்கப்படுதல் காணப்படும். ஆயின், குறுக்கு வெட்டிகளின் வழியே தொகையீடுகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகும்.
.. J. f(2) d2- lj(2) dz - lj(2) dz. . . . . . . . - f() dz=o. .. Jy (2) ά2 = J. (2)dz十・・・・・・・・・・・・・・ +. (α) αία.
கோஷியின் தொகையீடு.
f(2) ஆனது ஒர் எளிய மூடிய வளையி 0 மீதும் அதன் உட்பக்கத்தி லும் பகுப்புக்குரியதாயிருக்க 0 வானது C யின் உட்பக்கத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியெனின்,
1 s f(z) . جd 4 ""\ 7 == f(α) 2ሞ6 JCZ – ፴ 2 இங்கு, தொகையீடு C யின் இடஞ்சுழிப்போக்கில் எடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y ஆனது C யின் உட்பக்கத்தில் a வாகிய மையத்தையும் r இற்குச் சமனன ஆரையையுங் கொண்ட ஒரு சிறு வட்டமாகுக. ஆயின், l (2) ஆனது C, y
- O என்பனவற்றின்மீதும் C,y என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஆட்சியிலும் பகுப்புக்குரியது.
f(z)dz == f(2) d2
C 2 - O Y zーの
கோகழியின் தொகையீடு 735
f(z) ஆனது 2 வில் தொடர்ச்சியுள்ளதாதலால், e தரப்படின், எல்லா |2-21<6 விற்கும் m
Page 382
7ვტ பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
h-->o gas P->o.
-o ea, -
h 27 O)2 - 2( ق" جd (ع)ff_1__\,, f °一克牌、
இப்போது 70 ஆம் பெறுதியின் உண்மையும் 70 ஆம் பெறுதிக்குச் சூத்திர மும் தொகுத்தறிமுறையால் நிறுவப்படக்கூடும்.
ጎm !
f(z) dz
f"(a) என்பது உண்டென்றும் அது 器川ா இற்குச் சமனென் றுங் கொள்க.
ஆயின்,
- - - - 一瓦一一动 J.(2) (z – a – h)" (z-a)”+1 dz.
ክሲ+1 (z — ax — h)"*** = (z — ·( )
2ーCX
--or{1- + 'P},
02. இங்கு, எல்லா 2-2| > k இற்கும், எல்லா h
k ஒரு முடிவுள்ள கணியத்திலும் சிறிது.
{ (n+1) h
(z– «-ኤ)”+1 " (z-«)”+1 2ーの。
<4 இற்கும் IP
-+-h*ᏣᎲ }.
இங்கு, C மீதுள்ள எல்லா 2 இற்கும் எல்லா ஆனது ஒரு முடிவுள்ள கணியத்திலுஞ் சிறிது. 0 மீதுள்ள எல்லா 2 இற்கும் எல்லா |b| <48 இற்கும் N ஆனது ||ெ வின் மிகப்பெரிய பெறுமானமாகுக.
f" (a +h)-f"(a) m. ಕ್ಷೌ# m (¥ಲ್ಲ: 飞飞丞齐赢Ja(z一z)”+° 丁玩Ja(z一a)”+°
一臀 f(2) dz -- R
2ar ; Je(z - Ꮿ**+* T ***
< 4 இற்கும் IQ
h, NM இங்கு, எல்லா |h i OO ஆக -> ஒர் எல்லை ஆகுக.
ጎኔ ο του n+1 n—> oO| a,, இவ்வெல்லை > 1 எனின் விரியும் இயல்பினதாயும் இருக்கும் (டலம்
பாட்டின் சோதனை).
<1 எனின் அத்தொடர் அறவொருங்கும் இயல்பினதாயும்,
. எல் 0% I_ CO| da+ = R ஆக, |a| R எனின் அது விரியுமியல்பினதாயும் இருக்கும்.
Page 383
738 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
R ஆனது அவ்வலுத் தொடரின் ஒருங்கலாரை எனப்படும் ; 2 தளத் திலே, உற்பத்தியில் மையத்தையும் R இற்குச் சமனன ஆரையையும் உள்ள வட்டம் அத்தொடரின் ஒருங்கல் வட்டம் எனப்படும். அத்தொடரானது ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக்கத்தில் எலலா 2 இற்கும் அறவொருங்கு மியல்பினது ; அது அவ்வட்டத்திற்கு வெளிப்பக்கத்தில் எல்லா 2 இற்கும் விரியுமியல்பினது. 2 ஆனது அவ்வட்டத்தின்மீதே இருந்தால், பொதுவாக யாதொன்றையுங் கூறல் முடியாது ; அத்தொடர் ஒருங்குமியல்பினதா கவோ விரியுமியல்பினதாகவோ இருக்கலாம்.
ஒர் எல்லையை நாட, எல் |a1 > * مع எனின்,
22 --> 00 அத்தொடர் ஒருங்குமியல்பினதாயும், இவ்வெல்லை > 1 எனின், அது விரியுமியல்பினதாயும் இருக்கும் (கோஷியின் சோதனை).
an} ,5گCO gg ح- 70
". அத்தொடரின் ஒருங்கலாரை - என்பதற்குச் சமன்.
எல் |a|* 0. எல் ' = 0 எனின், எல்லா 2 இற்கும்.
莺
an+1
". அத்தொடர் எல்லா 2 இற்கும் அறவொருங்குமியல்பினது; அப்போது ஒருங்கலாரை முடிவிலியெனப்படும்.
எல்
ta- O.
@n+1
m -> oo gas, -> co எனின், 2 இன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறு
笃 மானத்திற்கும், அத்தொடர் ஒருங்குமியல்பினதாகாது. அப்போது, ஒருங் கலாரை பூச்சியமெனப்படும்.
பூச்சியமல்லாத ஒருங்கலாரையோடுகூடிய வலுத்தொடரின் உடைமைகள். 1. ஒரு வலுத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கல் வட்டத்திற்குள்ளே 2 இன் ஒரு தொடர் சார்பாகும்.
தொடர்ச்சியின் வரைவிலக்கணத்திலிருந்து ஒரு முடிவுள்ள தொகை தொடர் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு தொடர் சார்பாகும் என்பது எளிதிற் பெறப்படும். V
ஆனல், இது ஒரு முடிவில் தொடருக்குக் கட்டாயமாக உண்மை யாகுமென்பது இல்லை.
R ஆனது 00+a2+a*+ . . . . . +Q2*+ . . . . . என்னும் வலுத்தொட ரின் ஒருங்கலாரையாகுக ; f (2) ஆனது முதல் 70 உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாகுக ; f (2) ஆனது |a| < R என்பதற்கு முடிவில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையாகுக. ஒவ்வோர் உறுப்பும் 2 இன் ஒரு தொடர்சார்பா யிருத்தலால், f (2) ஆனது 2 இன் ஒரு தொடர் சார்பாகும்.
பூச்சியமல்லாத ஒருங்கலாரையோடுகூடிய வலுத் தொடரின் உடைமைகள் 739
.. e ஆனது தரப்படின், எல்லா |b| < 6 விற்கும் f (2+h)-f(x) ஆகுமாறு 2 ஐச் சாராத 8 வைக் காணல் கூடும். |2| 00 ஆக,
| Ꮹ, | ᎡᎥ" + | Ꮹ441 | ᎡᎥ"Ꮙ + ............ என்னும் முடிவில் தொடரின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியத்தை நாடும்
". எல்லா n > சில m இற்கும்
6 TG650G) ÎT |z |}
|aa|R" +- !an+1 ||R""۴1 +- ......... < .. எல்லா n > 10 இற்கும், எல்லா 12| S R இற்கும்
ld, (a) -
N> 10 ஆகுக.
|2+h I, 12 என்பன R இலுஞ் சிறியனவாயோ அதற்குச் சமமாயே இருந்தால்,
|f(z+h)ーf(z)|= |fy(z+h)ーfy(z)+ Aw(z+h)ーów(z)|
< |fw(z+h)ーfy(z)|十|óy(z+h)|十|py(z)| <++= e 6T6)6CIT |W| <8 விற்கும். ". எல்லா 2| SR இற்கும், f (2) ஆனது தொடர்ச்சியுள்ளது. அதாவது, எல்லா |a| < R இற்கும் f(z) ஆனது தொடர்ச்சியுள்ளது. 2. ஒரு வலுத்தொடரானது ஒருங்கல் வட்டத்திற்குட் கிடக்கும் யாது மோர் எளிய வளையியின் நீளத்திற்கு உறுப்புறுப்பாகத் தொகையிடப்படக் கூடும்.
அதாவது C யானது ஒருங்கல் வட்டத்திற்குட் கிடக்கும் ஒரு வளையியா யிருக்குமிடத்து
!! (z) dz = f aodz+- Jod? -- كعيبيa= . . . . . 十 f az”dz -- . . .
C C C O C
Page 384
740 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
|2 = R என்பது 0 யை அடைத்து ஒருங்கல் வட்டத்திற்குட் கிடக்கும் ஒரு வட்டமாகுக. .
.dz (ع) ,dz = b {(ع) ,f– (ع) f} முன்போல, எல்லா n > n இற்கும், எல்லா 12| SR இற்கும்
|?, ()|< ஃ. ஆனது C யின் நீளமெனின், எல்லா n > n இற்கும்
JA (2) dz
.". n -> oo gbés, (2)-f(z)} dz —> o.
e
l. S3
plg5 Tagl, 70 -> OO gas, s f (2) da - jf (2) dz.
O Ο .E, J°+ a 12 - . . . . . - az") dz 一s (z) dzاؤOO g ج– a? .؟
O Ο ". | stz -- f azd2 + . . . . . -- f az"dz -> f if (2) dz.
C Ο C C. அதாவது f ad2 + s azda + . . . . . -- f ae”dz -- . . . . .
C Ο O
என்பது ஒருங்குமியல்பினது; அதன் கூட்டுத்தொகை f (2) dz.
C
3. ஒரு வலுத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட் பக்கத்தில் 2 இன் ஒரு பகுப்புக்குரிய சார்பாகும் ; அத்தொடர் அவ்வட்டத் திற்கு உட்பக்கத்தில் 2 பற்றி உறுப்புறுப்பாக வகையிடப்படக்கூடும்.
C யானது ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக்கத்திற்கிடக்கும் யாதும் ஓர் எளிய மூடிய வளையியாயின்,
扈 (2) de - ada + J;#f4 -- . . . . . -- f az”dz +- . . . . . تسد O و
O፧ O C 0
கோஷியின் தேற்றத்தால். ஒவ்வோர் உறுப்பும் பூச்சியமாதலால் மொறெறவின் தேற்றத்தால், f(z) ஆனது ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக் கத்தில் பகுப்புக்குரியது. உறுப்புறுப்பாக வலுத்தொடரை வகையிடுதலாற் பெறப்படுந் தொடர்
a -- 2a2 -- . . . . . . + па„z""*+ . . . . . . . . இதுவும் ஒரு வலுத்தொடராகும். இதன் ஒருங்கலாரை
ወ,z + 2asጾ*+ • • • • • • • -- na?" -- . . . . . . . .
என்னும் தொடரின் ஒருங்கலாரைக்குச் சமன்.
பூச்சியமல்லாத ஒருங்கலாரையோடுகூடிய வலுத் தொடரின் உடைமைகள் 74.
700п .. ன் ங்கலாரை = எல் I -
இத ஒரு ta-> d (n. -- 1) n+1
= GTổi) |- “- |= R.
-> oo n+1
". வகையிடலாற் பெறப்படுந் தொடருக்கும் முந்திய தொடருக்கும் ஒரே ஒருங்கலாரை உண்டு.
.. இவ் வகையிடப்பட்ட தொடர் ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் யாதுமோர் எளிய வளையியின் வழியே உறுப்புறுப்பாகத் தொகை யிடப்படலாம். மேலும், தி (2) ஆனது அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையெனின்,
தி (2) ஆனது ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக்கத்தில் 2 இன் ஒரு பகுப்புக் குரிய சார்பாகும்.
.. அவ்வட்டத்தின் உட்பக்கத்தில், 20 ஆனது ஒரு நிலையான புள்ளி யாயிருக்க, 2 ஆனது ஒரு மாறும் புள்ளியெனின்,
J. φ (2) άα = adz -- f 2azd2 + . . . . + J. na,2"'dz + ...
20 0
=f(z)ーf(zo). .. f (2) = தி (2) = a + 2a2 + . . . . . . + па,2””* + . . . . . . .. முந்திய வலுத்தொடர் ஒருங்கல் வட்டத்திற்குள் உறுப்புறுப்பாக வகை யிடப்படலாம்.
உதாரணமாக,
2. in
2 22 1十正五十五十 a o d os a a «u a d 十 . . . . . . . . . .
என்னும் அடுக்குக்குறித் தொடரை எடுத்து நோக்குக. டலம்பாட்டின் சோதனையால், அத்தொடர் 2 இன் எல்லாப் பெறுமானங் களுக்கும் அறவொருங்குமியல்பினது. .. ஒருங்கலாரை முடிவிலியாகும். ". அத்தொடர் எல்லா 2 இற்கும் உறுப்புறுப்பாக வகையிடப்படலாம். உறுப்புறுப்பாக வகையிடுவோமெனின், நாம் பெறுந் தொடர்
22 2 - 1 正石十五十 十 ' ' ' ' ' ' ' s
2 1- 2 2 ممبر M அல்லது 1十五十五十 (n-1) + 8 & ஆகும்.
இது முந்திய தொடரேயாகும்.
26ーR 8289 (8/65)
Page 385
742 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
2 ஆனது மெய்யாயிருக்குமிடத்து, அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை 8 ஆகும். 2 ஆனது சிக்கலெண்ணுயிருக்குமிடத்து, கூட்டுத்தொகையை e ஆல் குறிப்போம்.
d
ஆயின், dz )eمح( === eع.
அறவொருங்கலுக்குரிய பெருக்கலுடைமையால்
e? X e = e21 tea.
என்பது பெறப்படும். திரிகோண கணிதச் சார்புகளையும் அதிபரவளைவுச் சார்புகளையும் அடுக்குக் குறிச் சார்புபற்றி வரையறுக்கும் வரைவிலக்கணங்களால்,
dz (சைன் 2) = கோசை 2, 盏 (கோசை 2) = -சைன் 2,
盐 (அசைன் 2) = அகோசை 2, அகோசை 2) = அசைன் 2,
என்பன பெறப்படும்.
2 - e" எனின், 20 = மட 2 என வரையறுப்போம். r ஆனது 2 இன் மட்டாயிருக்க, 6 வானது 2 இனது வீச்சத்தின் தலைமைப் பெறுமான மெனின், மட 2 இற்கு மட r + i (9 + 2mா) என்பதாலே தரப்படும் ஒரு பெருந்தொகையான பெறுமானங்கள் உண்டு ; இங்கு, m ஆனது ஒரு முழுவெண்ணுகும் , மட r ஆனது மடக்கை r இன் ஒரு தனிமெய்ப் பெறுமானமாகும். n = 0 இற்கு ஒத்த பெறுமானம் மடக்கை 2 இன் தலைமைப் பெறுமானமெனப்படும். அது மட 2 இனற் குறிக்கப்படும். 10 = மட2 எனின், 2, 20 என்பனவற்றின் பெறுமானங்கள் ஒன்று ஒன்றுக்கு ஒத்தனவாகும். மெய்மாறிச் சார்புகளிற்போல,
dz duv 1 动关9 எனின், dz dz
duv
இனி, 2 = eo.
duv l * 五=み=2 *チo எனின்.
d
.A o எனின் 2 = (2 سلاما) இனி,
22 g 24 2ー之 -+ー エ ー -
g十gー石十・・・・・・・・ (-1)"な+...
என்னும் வலுத்தொடரை எடுத்து நோக்குக. டலம்பாட்டின் சோதனையால், ஒருங்கலாரை = 1.
பூச்சியமல்லாத ஒருங்கலாரையோடுகூடிய வலுத் தொடரின் உடைமைகள் 743
| 2| < 1 ஆயிருக்குமிடத்து f(z) ஆனது அத்தொடரின் கூட்டுத் தொகையாகுக.
............. +۔ 1۔ ”یہ 1-**(1-) ۔+۔ . . . . . . . . - *2 -+- 2 - 1 == (2) ”6dT, f{كuؤg
.எனின் 1 < |2| یہ - 1 ==
α. L十2)= அன்றியும், 五"-(1+z)=五 十2
. எல்லா |a| < 1 இற்கும்
盖tre--a+a}=·
.. C யானது ஒரு மாறிலியாயிருக்குமிடத்து
எல்லா |a| < 1 இற்கும்
LOL (1 -- 2) = f(z) -- C. .ஆயிருக்குமிடத்து ; o = 0 + 0 எனப் பெறுவோம் 0 ܘܒܒܗ 2
. LOL (1 -- z) = f(z)
22 28 ۶ 1 .Yt ۔ --- 4۔ ---------- یوہ ہسس۔ =zー歪 -- 3 ' ' ' ' ' ' -- (-1) n . . . . . . . .
எல்லா | z | <1 இற்கும். வேறேர் உதாரணமாக,
1 - a-- ac-a'-- . . . . . . . . -+- ) - 1("a2 م"* -+- . . . . . . என்னுந் தொடரை எடுத்து நோக்குக. 2 இலுள்ள வலுத்தொடரின் ஒருங்கலாரை = 1
|a| < 1 ஆயிருக்குமிடத்து அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை 1 -- aقن" b யானது 1 இலுஞ் சிறிய எண்பெறுமானமுள்ள ஒரு மெய்யெண்ணெ
னின்,
k dla R
da - acidae -- ada. . . . . . . . 陆、 0. + .. -1
Page 386
744 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
குணகங்களைச் சமன்படுத்துங் கோட்பாடு.
ರಜೆ' + ' . . . . . . . என்னும் வலுத்தொடர் + ....... -+- *یشوao +- (ta2 -+– d ஒருங்குமியல்பினதாய் எல்லா |z| 00 ஆக, R ー> O。
... n —> oO -g, P —> o.
.. f(z) ஆனது l (f(w) dw 2 - off (w) dw f("=5cm」。
(z — ɑ)” ( f (w) duv ・十下エ」。高エサ・・・・・・・・ Y2 -- ሶy \ፃይہم - -7(2)+ 7"()+ 7"()+. + r"()+ .....
என்னும் வடிவத்தில் ஒரு முடிவில் தொடராக விரிக்கப்படலாம். இவ்வண்ணம் f (2) ஆனது 2 விலும், 0 வைக் கொண்ட ஒர் ஆட்சியிலும் பகுப்புக்குரியதெனின், f (2) ஆனது 0 வின் அயலில் (2-0) விலுள்ள ஒரு வலுத் தொடராக விரிக்கப்படலாம்.
Page 387
746 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
இவ் வலுத்தொடரின் ஒருங்கல் வட்டம் a விற்கு மிக்க அண்மையிலுள்ள அச்சார்பின் தனிச்சிறப்புக்கூடாகச் செல்லும்,
கோஷியின் சமனிலி.
ao十a2十dez°十········ 十0.2”十········ என்பது ஒருங்கலாரை R > 0 ஆய் 2 இலுள்ள ஒரு வலுத்தொடராகுக. | z | < R ஆயிருக்குமிடத்து f (2) ஆனது அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை யாயும், M ஆனது |a| = r < R என்னும் வட்டத்தில் எல்லா 2 இற்கும் |f (2)|இன் மிகப் பெரிய பெறுமானமாயும் இருந்தால், எல்லா m இற்கும், |a, ༤《 ,م"
f (2) ஆனது ஒருங்கல் வட்டத்தின் உட்பக்கத்தில் பகுப்புக்குரியதாதலால்
2° 2ኽ f(o) + zf (o) + 1 f" (o) -- . . . . . . . . ו%־ד f'(o) + . . . . . . . . என்னும் வடிவத்தில் விரிக்கப்படலாம்.
.. இத்தொடருந் தந்த தொடரும் ஒரே தொடராதல் வேண்டும்.
". எல்லா m இற்கும் a,-
մn (o) l s f (2) dz ... a = in 一岚 2%+1 | இங்கு, C ஆனது |a| = r என்னும் வட்டம்.
M. M
. |4|క n+i ' zaTr = n'
லியூவியின் தேற்றம். v
f(2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் பகுப்புக்குரியதாயிருக்க, எல்லா 2 இற்கும் f (2) SK ஆகுமாறு K என்னும் ஒரு மாறிலி உண்டெனின், எல்லா 2 இற்கும் f(2) ஆனது மாறிலியாகும்.
f (2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் பகுப்புக்குரியதாயிருத்தலால், f (2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும்
a0+ 42 + a* + . . . . . . . . 十a,z”十········ என்னும் வடிவத்தில் விரிக்கப்படலாம்.
இவ்வலுத்தொடரின் ஒருங்கலாரை முடிவிலியாகும். .. r ஆனது யாதுமொரு நேரெண் எனின்,
எல்லா m இற்கும் |a| s
n > எனின், r -> 0 ஆக 石→o・
லோறென்வறின் தேற்றம் 747
.. எல்லா n > 1 இற்கும் a = 0.
.. எல்லா 2 இற்கும் f (2) = a0. எல்லா 2 இற்கும் பகுப்பிற்குரியதாகிய ஒரு சார்பு, 2 இன் ஒரு முழுவெண் சார்பெனப்படும். உதாரணமாக e ஆனது 2 இன் ஒரு முழுவெண் சார்பாகும். 2 இன் ஒரு முழுவெண் சார்பு ஒரு தனி மாறிலியன்றெனின், 12 ஆனது முடிவிலியை நாட அதன் மட்டு வரைப்புற (ԼՈւԳ-եւ-յոՖl.
கிளைத்தேற்றம், f (2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் பகுப்புக்குரியதா யிருக்க, அதன் மெய்ப்பகுதி எல்லா 2 இற்கும் வரைப்புற்றல், f(2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் மாறிலியாகும்.
f (2) = u + 40 ஆகுக. ஆயின், eع) آ( == e04 (G3gSIT60) g: 0 -+ 60).g:6 نT p(.
... |e/(2)) = e" . எல்லா 2 இற்கும்|u|வரைப்புற்றல், எல்லா 2 இற்கும் e வரைப்புறும். ஆனல் f(2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் பகுப்புக்குரியதெனின், எல்லா 2 இற்கும் e* ஆனது பகுப்புக்குரியது.
. எல்லா 2 இற்கும் e* ஆனது மாறிலி. ". எல்லா 2 இற்கும் f (2) ஆனது மாறிலி.
லோறென்வRன் தேற்றம்.
f (2) ஆனது புள்ளி a வில் மையத்தையுடைய 0, 0' என்னும் இரண்டு ஒருமைய வட்டங்களுக்கு இடையிலுள்ள கங்கணத்தில் பகுப் புக்குரியதாயும் C, C என்பனவற்றின் மீதும் பகுப்புக்குரியதாயும் இருந்தால், அக் கங்கணத்தில் யாதுமொரு புள்ளி 2 இல்
f(z)= a0十 a1(2ーの)十・・・・・・・・ -- a, (z - a)”-+- . . . .
ხ1 ba ba ・サzエサエサ a A v w |- 4) – 1 f f(?) dz - % سمسم இங்கு, O = 2T J. (2 - 2) + 1 * f (z) (2ーd) dz.
2 ஆனது அக் கங்கணத்தில் யாதுமொரு புள்ளியாகுக. C, C என்பன வற்றிற்கிடையில் 2 இற் கூடாகச் செல்லாத இரண்டு குறுக்கு வெட்டிகளை ஏற்படுத்துக ; அவை ஒர் எளிய மூடிய வளையியினுல் ஒவ்வொன்றும் வரைப்புறும் இரண்டு ஆட்சிகளாக அக் கங்கண ஆட்சியைப் பிரிக்கும். 菇J°
2; 1 - ஆனது இம்மூடிய வளையிகளுள் ஒன்றின் வழியே பூச்சியமாயும்
Page 388
748 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
மற்றையதன் வழியே f (2) இற்குச் சமமாயும் இருக்கும். நாம் அவற்றை ஒருங்கே கூட்டினல், ஒவ்வொரு வெட்டியின் மீதும் எதிர்த் திசைகளில் எடுக்கப்படுந் தொகையீடுகள் ஒன்றையொன்று ஒழிக்கும்.
ஆதலால்,
f(-)=-s J“) o– so dw.
T2tti Jo v- 2 27ri Jov–z
எனப் பெறுவோம்.
இவ்விரு தொகையீடுகளுள் ஒவ்வொன்றும் ஒத்த வட்டத்தின் இடஞ் சுழிப் போக்கில் எடுக்கப்படும்.
菇儿°一菇 if (uv) duv 2ntic w - 2 一菇属 (loーの)ー(2ーの) தெயிலரின் தேற்றத்தின் நிறுவலிற் போல, இத் தொகையீடு
= ao + a፤ (z – ፴) + • • • • • • • • —+- a, (2 — Çx)“ —+- . . . . . . . . - if (w) dw இங்கு, a =
-- il s f(w) duv — — Il if (w) dw திரும்பவும், -2 C (pー2) - , (2ー2)ー(tpーの)
- l - f f'(w) fi , w - o ፲p – G\”-1 (20 - ४)” 2πιο °{、 -- 穹+...+(三) +ーリエ}* =基エ・ 森」。 (w) duv -- )2( - چ || (೪) (w - (x) dw
- - 7-1 d. . . . . . . . . +宮・森」r"("-" w -- P; இங்கு, P 1 s f (w) (w-o)"
| 2n, J (2 - 2)* (2 - ) "
லோறென்வமின் தேற்றம் 749
M ஆனது 0 மீது எல்லா 20 விற்கும் f(p) இன் மிகப் பெரிய பெறுமானமாகுக ; R ஆனது வட்டம் 0 யின் ஆரையாகுக ; b ஆனது 0 மீது எல்லா 20 இற்கும் 2-0 இன் மிகச் சிறிய பெறுமானமாகுக.
R ஆயின், |z-z < 1 ஆதலால், n -> 00 ஆக,
|P <盏x(±)*一。
:k /! & -- ع| .o حج- OO ggg5 P جس- 70 .* . I l s f(w) duv — bı ხ2 ხ„ ふーリー。十cm+・+cm+・
- 笃...1 இங்கு, bn || (2) (w — a)”1 diw
f (20) (20 - 2)" என்பன C, C என்பனவற்றின் மீதும் C, C'
என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கங்கணத்திலும் எல்லா 20 விற்கும் பகுப்புக்குரியதாதலால், a, b, என்னுங் குணகங்களை வரையறுக்குந் தொகையீடுகள் C யின் மீதோ C மீதோ C, C என்பனவற்றிற் கிடையிலுள்ள யாதுமோர் ஒருமையை வட்டத்தின் மீதோ எடுக்கப்படலாம்.
.". J (2) = ao -- a (z - ɑ) -- . . . . . . . . -+- a (z - ɑ)” -- .
— ხ1_ , — ხ2 — bn s ・十二z+はエサ... -+ (-) ۳ - ۰۰۰۰۰۰۰۰ s - – 1 f f(2) dž - 1 ገቢ – 1 இங்கு, ಡಿ = 2.T. J. (z - 19+70(ه ხ„. - 2Tr. J. f (z) (z ^_^ α) dz. மேலும், a இல் m ஆனது -70 ஆக மாற்றப்படுமிடத்து b ஆனது பெறப்படும்,
OO d .. if (z) =笠 d (z — g)”; இங்கு *=+l. 為:
10 ஆனது பூச்சியம் உட்பட எல்லா நேர்முழுவெண் பெறுமானங்களையும் மறை முழுவெண் பெறுமானங்களையும் எடுக்கும்.
2: உதாரணம். 2 + 0 எனின், A Tar கோசை r0 அகோசை (2 கோசை 9) ஆயிருக்கு
O
மிடத்து
1. அகோசை ( -- :) = Aο + ΣAη )ܘܕ 十 ) எனக் காட்டுக.
2 之
அகோசை (+) என்னுஞ் சார்பு உற்பத்தி தவிர்ந்த ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பகுப்
2
புக்குரியது.
Page 389
750 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
உற்பத்தியில் மையத்தையுடைய எவையேனும் இரண்டு வட்டங்கள் வரையப்படின் அச் சார்பு அவ் வட்டங்களில் மீதும் அவற்றிற்கிடையிலுள்ள கங்கணத்திலும் பகுப்புக்குரியது.
'. 2 + 0 ஆகுமிடத்து,
அகோசை ( -- == a -+- az -+- a 22° -+ . . . . . . + anጾ” + ..
அகோசை ( -- 2):
2 -سگش----س---------------- || - = j, dmن)gNIbl
27tJC 2?--i மொரு வட்டம்.
, C ஆனது உற்பத்தியில் மையத்தையுடைய யாது
C யானது அலகு வட்டமாக எடுக்கப்படின்,
.2nr > 0 > 0 ,0أz = e
(27 அகோசை (2 கோசை 9) i0 ... a F 2πί 0. ei(n+1)0 e86 أ -
2ጥር .)அகோசை (2 கோசை 9)e - in8 de - تست
27 to
2冗 2冗
அகோசை (2 கோசை 9) கோசை m9d0 - ਜ அகோசை (2 கோசை 9) 27T.Jo 27TJo
சைன் n0d0. 27 - 6 எனப் பிரதியிட,
2 冗 f அகோசை (2 கோசை 9) சைன் m0d9 = - அகோசை (2 கோசை (b) 60-f6t ndbdb
冗 O
எனப் பெறுவோம்.
2雪 f அகோசை (2 கோசை 9) சைன் n6d0 = 0, எல்லா n இற்கும்.
O
2T 冗 ஆனல், அகோசை (2 கோசை 9) கோசை n0d9 = 2 அகோசை (2 கோசை 9)
0. 0 கோசை m6d0. மேலும், φ = 7ா - 0 என்னும் பிரதியீடு தருவது,
冗 π
அகோசை (2 கோசை0) கோசை m0d0 = *அகோசை (2 கோசை φ) 2 O கோசை (not-ngb) dqþ.
.. n ஒற்றையாயிருக்குமிடத்து,
冗
அகோசை (2 கோசை 9) கோசை m9d6 = 0 ; 0.
n இரட்டையாயிருக்குமிடத்து,
冗
2 f அகோசை (2 கோசை 9) கோசை n6d9 = 2 அகோசை (2 கோசை 0) கோசை m9d9.
O O
முனைவுகள் 75
1 o அகோசை ( -- ..) = ao + X a am )هan -- i)
2 l 878ي
電
அகோசை (2 கோசை 9) கோசை 2n6d6.
O
இங்கு, on F
முனைவுகள்.
f(2) ஆனது புள்ளி a வில் பகுப்புக்குரியதன்றெனின், இப்புள்ளி f(2) இன் ஒரு தனிச்சிறப்பெனப்படும். f(2) ஆனது இவ்வாட்சியில் வேறு யாதுந் தனிச்சிறப்பில்லாததாகுமாறு a வைக் கொண்ட ஒர் ஆட்சி யைக் காணல் முடியுமெனின், q வானது f(2) இன் ஒரு தனித்த தனிச்
சிறப்பெனப்படும். உதாரணமாக என்பதற்கு 2 - 1, 2 = 2
என்னும் புள்ளிகள் லெவொளம்: ിം தனிச்சிறப்பு உண்டு. தனிக்காத ஒரு தனிச்சிறப்புக்கு ஓர் உதாரணம் கோசீ () என்னுஞ் சார்பினலே தரப்படும். இச்சார்புக்கு 2 = 0 இலும், m ஆனது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்குமிடத்து 2 = ஆல் தரப்படும் யாதுமொரு புள்ளி யிலும் ஒரு தனிச்சிறப்பு உண்டு. உற்பத்தியைக்கொண்ட யாதுமோர் ஆட்சி ஒரு குறித்த பெறுமானத்திற்கப்பால் n இன் பெறுமானங்களுக்கு 2 = என்னும் எல்லாப் புள்ளிகளையும் கொள்ளும்.
.. உற்பத்தியானது அச்சார்பின் ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பன்று ; ஆனல், வேறுயாதுந் தனிச்சிறப்பு # ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பாகும்.
அது வேறு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பகுபடுமியல்பினது. கண்டிப்பாய்ப் பேசுமிடத்து, அதற்கு 2 = 0 இல் ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பு உண்டு.
2 4 o எனின், அச்சார்பு
22 24 22n
1一莎丁十岳了十 a B 8 & + (-1)" (2-1)+ As
போன்ற சார்பு 2 = o இல் வரையறுக்கப்படாது. ஆனல்,
என்னும் வடிவத்தில் விரிக்கப்படலாம். இது எல்லா 2 இற்கும் ஒருங்குமியல்பினதாயுள்ள 2 இல் ஒரு வலுத் தொடர்.
கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் உட்பட எல்லா 2 இற்கும் 2 இன் ஒரு பகுப்புச் சார்பாகும்.
Page 390
752 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
சைன் 2
2 யது என்பதும் அது மேற்றந்த தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் என்பதும் பொதுவாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.
இனி, f(2) இற்கு 2 = 0 வில் ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பு உண்டெனக் கொள்க. ஆயின், f(2) ஆனது C, C என்பனவற்றின் மீதும் C, C" என்பன வற்றின் இடையிலுள்ள கங்கணத்திலும் பகுப்புக்குரியதாகுமாறு a வில் மையத்தையுடைய 0, 0' என்னும் இரண்டு வட்டங்களைக் காண முடியும். உள்ளேயுள்ள வட்டம் 0 நாம் விரும்புமளவிற்குச் சிறிதாய் எடுக்கப்படலாம். கங்கணத்தில் யாதுமொருபுள்ளி 2 இல் f (2) ஆனது லோறென்வயின் தேற்றத்தால் விரிக்கப்படலாம்.
ஆனது (பூச்சியம் உட்பட) எல்லா 2 இற்கும் பகுப்புக்குரி
", 0' இற்கு உட்பக்கத்தில் 2 வல்லாத யாதுமொரு புள்ளி 2 இல்,
J (2) = ao -- a1 (2-0) -- . . . . . . . . + aw (z - ه(" + .....
bı - be bn ...+z二z+エサ... + (-) + ۰۰۰۰۰۰۰۰
எனப் பெறப்படும்.
:இன் வலுக்களில் உள்ள தொடர் முடிவுற்றல், Q விலுள்ள தனிச் சிறப்பு ஒரு முனைவு எனப்படும்.
5.40 ஆயிருக்க, b+1, +2,... . . என்னுந் தொடர்ந்து வருங் குண கங்கள் எல்லாம் பூச்சியமெனின், q வானது வரிசை m ஐயுடைய ஒரு முனை வெனப்படும்.
முதல் வரிசையையுடைய ஒரு முனைவு ஒர் எளிய முனவெனப்படும். 2 வானது வரிசை m ஐயுடைய ஒரு முனைவெனின், f (2) இன் விரியிலுள்ள
. Եւ ხ2 bn 2········ T )ه - ج(
என்னுங் கோவை 2 - a வில் f (2) இன் தலைமைப் பகுதி எனப்படும். இவ்வகையில்,
b ხი, f(z)= f(z)+...+ 0 0 & 0 V 0 V W + )۲۶(یہ -- چہ
qh (z) (z — ɑ)” + b (z — ɑ)** --. . . . . . . . 士°。 (z — az)” s இங்கு, தி (2) ஆனது 0 இன் உட்பக்கத்தில் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் பகுப் புக்குரியது.
b,#0 ஆதலால், 2 = 2 ஆயிருக்குமிடத்து, கடைசிப் பின்னத்தின் தொகுதி பூச்சியமன்று.
பூச்சியங்கள் 758
f(2) இற்கு a வில் 70 வரிசையுடைய ஒரு முனைவு உண்டெனின், a விற்கு அண்மையில், O விற்குச் சமனில்லாத எல்லா 2 இற்கும்
F (2) jf (z) (zーの)"
இங்கு, F (2) ஆனது 0 விலும் 2 விற்கு அண்மையிலும் பகுப்புக் g5ifugi ; F (a) z o.
மாறுநிலையாக, F(2) ஆனது மையம் 0 வைக் கொண்ட ஒரு வட்டத்தில்
F பகுப்புக்குரியதாயிருக்க, F(0) 4 o எனின், (z என்னுஞ் சார்புக்கு
z = a வில் 70 வரிசையுடைய ஒரு முனைவு உண்டு. அதற்குக் காரணம் தெயில ரின் தேற்றத்தால், AO # o ஆயிருக்க அவ்வட்டத்திலுள்ள எல்லா 2 இற்கும்
F (2) = Ao -- A (z — ɑ)--. . . . . . . . -- A (2 - G)" -- . . . . . . . . IF (z) Ao A.
● ).2 - 2) ? (2 - ی(n پن - ی.) تا( n - it e O 9 - A + A-1 (2-a) + . . . . .
F(z)
* (z - (x)* என்பதற்கு a வில் 70 வரிசையுடைய ஒரு முனைவு உண்டு.
f(2) இற்கு 2 வில் n வரிசையுடைய ஒரு முனைவு உண்டெனின், 12->CO ஆக (2 - 0)"f(2) -> ஒரு முடிவுள்ள பூச்சியமல்லாத எல்லை.
f(2) இற்கு a வில் முனைவல்லாத ஒரு தனிச்சிறப்பு உண்டெனின், 2 வானது f(2) இன் ஒரு பிரதான தனிச்சிறப்பு எனப்படும்.
1. உதாரணமாக, f(2) = e என்பதை எடுக்க. ஆயின், 2=o என்பது ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பாகும். 240 ஆயிருக்குமிடத்து,
=1+ 부+ 부 وی او با ۰۰۰۰ - f- قلی 2 - ا- بی - l- تستحيح * 2
. . . . ;
இங்கு z இன் வலுக்களில் உள்ள தொடர் முடிவடைவதில்லை.
l - 2 - 0 என்பது ef இன் ஒரு தனித்த பிரதான தனிச்சிறப்பாகும்.
பூச்சியங்கள்.
f(z) ஆனது புள்ளி a வைக் கொண்ட ஒர் ஆட்சியில் பகுப்புக்குரியதாயிருக்க, f(a) = 0 எனின், f(2) இற்கு 2 = a வில் ஒரு பூச்சியம் உண்டெனப்படும். f(2) இற்கு 2 = 0 வில் ஒரு பூச்சியம் உண்டெனின், தெயிலரின் தேற்றத் தால், தி(z) ஆனது 2 இன் ஒரு பகுப்புச்சார்பாயும் தி() 40 ஆயும், m ஆனது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயும் இருக்க f(2) = (2-2)" தி(2) என்பது பெறப்படும். அப்போது f(2) ஆனது 0 வில் n வரிசையுடைய பூச்சியத்தை உடையது எனப்படும். n = 1 எனின், f(z) ஆனது a வில் எளிய பூச்சியத்தையுடையது
Page 391
754 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
எனப்படும். f(2) ஆனது a வில் 70 வரிசையுடைய பூச்சியத்தை உடைய
1. தெனின், ஆனது 0 வில் 70 வரிசையுடைய ஒரு முனைவை உடையதாகும்;
f(z) அதற்குக் காரணம்.
ந்கொண்ட ஒர் அட்சியில் نہ ہے لہو ورم ، ورنہ ہے -- . ------ f(α) φ(2) )6765 مره - ج/Lع) في عالق( என்பது a வைக்கொண்ட ஒா ஆட்
பகுப்புக்குரியது என்பதுமே. மாறுநிலையாக, f(z) ஆனது 0 வில்
n வரிசையுடைய முனைவை உடையதெனின், ஆனது a வில் வரிசை n
l f(2) ஐயுடைய பூச்சியத்தையுடையது.
f(2) ஆனது a வில் n வரிசையுடைய பூச்சியத்தையும், F(2) ஆனது a வில் m வரிசையுடைய பூச்சியத்தையும் உடையனவெனின், 鬍 ஆனது m = m எனின் a விலே பகுப்புக்குரியதாய், பூச்சியமில்லாததாகும் ; n > m எனின் a வில் m - m வரிசையுடைய பூச்சியத்தையுடையதாகும் ; m> 0 எனின் 2 வில் m - 7 வரிசையுடைய முனைவை உடையதாகும்.
எச்ச நுண்கணிதம்.
f(2) இற்கு a வில் ஒரு தனித்த தனிச்சிறப்பு இருக்க ; C யானது மையம் a வைக் கொண்ட ஒரு வட்டமாகுக ; அது தன் பரிதியிலாதல் உட்பக்கத்திலாதல் f(2) இன் வேறெத் தனிச்சிறப்பையும் கொள்ளாதிருக்க. ஆயின் C மீதோ அல்லது அதன் உட்பக்கத்திலோ யாதும் ஒரு 2 இற்கு
ხ2
ხ1 f(z) = f(z) + + . . . . . . s
இங்கு, f(z) ஆனது 0 மீதும் அதன் உட்பக்கத்திலும் பகுப்புக்குரியது. r ஆனது C யின் ஆரையெனின், எல்லா 0< 2-0 660b@ازb, b, 20 + b رuفن + .......... என்னுந் தொடர் ஒருங்கும்.
.. வலுத்தொடர்க் கொள்கையிலிருந்து, எல்லா 20 விற்கும் 6,20+b20?. . . . என்னுந் தொடர் ஒருங்கும்.
". அத்தொடர் 20 தளத்தில் யாதும் ஒர் எளிய வளையியின் வழியே 2 ஐ நோக்கி உறுப்புறுப்பாகத் தொகையிடப்படலாம்.
எச்ச நுண்கணிதம் 755
ხ1 b
2 ( - ) آپ - یہ ۰۰ 2 ஐ நோக்கி உறுப்புறுப்பாகத் தொகையிடப்படலாம்.
.. se) dz = |A)ع( dz -- budz -- f bd2 . . . . . .
02ーの "Jo(zーの"
உற்பத்தியில் மையத்தைக் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் வழியே எடுக்கப்படும்
. . . . . . . . என்னுந் தொடர் வட்டம் C யின் வழியே
|="dz ஆனது 70 = -1 ஆயிருக்குமிடத்து 2ார் என்பதும் m இன் வேறுயாதும்
முழுவெண் பெறுமானத்திற்குப் பூச்சியம் என்பதும் முன்னரே காட்டப் பட்டுள்ளன.
dz
= 2ar c (z — ɑ)” 7T,
", m - 1 எனின்
மற்றைப்படி அது பூச்சியத்திற்குச் சமம்.
.. f(z) dz = 2rari b.
C ம் ஐத் தனிச்சிறப்பு a வில் f(2) இன் எச்சமெனக் கூறுவோம்.
", f(2) இற்கு 0 வில் ஒரு தனித்தனிச்சிறப்பு உண்டெனின், C யானது f(2) இன் வேறெத் தனிச்சிறப்பையும் கொள்ளாத, மையம் a வைக் கொண்ட யாதுமொரு வட்டமாயிருக்குமிடத்து,
f f(z) dz = 2TTi X (a Glối) GTájguro).
C
இனி, C யானது யாதும் ஒர் எளிய மூடிய வளையியாகுக ; f(2) ஆனது C யின் உட்பக்கத்தில் ஒரு முடிவுள்ள தொகைத் தனிச் சிறப்புக்களிலே தவிர C மீதும் அதன் உட்பக்கத்திலும் பகுப்புக்குரியதாகுக.
Cw و . . . . . . ,C3 . . . . . . a என்பன தனிச்சிறப்புக்களாகுக ; C, C و C2 و C என்பன 0, 02, . . . . . . Q என்பனவற்றை முறையே மையங்களாகக் கொண்டு C யின் உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் வட்டங்களாகுக. 1, 7, . . . . . . 'm என்பன முறையே 0, 2. . . . . . , Q, இலுள்ள எச்சங்களாகுக.
மடங்கு உருவரைகளுக்குரிய கோஷியின் தேற்றத்தால்,
f(2) d2 = J. f(z) dz -- J. f(z) dz +- . . . . -- f(2) dz
=27ri(r1十ra十・・・・十rn) = 2r X (C யின் உட்பக்கத்தில் தனிச்சிறப்பு எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகை). ஆயின், ஒரு சார்பின் தனிச்சிறப்பில் எச்சம் மிகப் பிரதானமானது.
Page 392
756 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ಬಿ. φ(2) என்பன எங்கும் பகுப்புக்குரியனவாய் இருக்குமிடத்து, ஒரு சார்பு 2
என்னும் வடிவத்தில் இருந்தால், அச்சார்பின் தனிச்சிறப்புக்கள் தி(2) இன் பூச்சியங்களை எடுத்து நோக்குதலாற் பெறப்படும். தி(2) இற்கு 2 = a வில் ஒரு பூச்சியமும், f(2) இற்கும் Q வில் அதே வரிசையை யுடைய அல்லது உயர் வரிசையையுடைய ஒரு பூச்சியமும் இருந்
f(z) . . Y - Y - தால், φ(2) என்பதற்கு 0 விலே தனிச்சிறப்பு யாதும் இல்லை. தி(2) இற்கு a வில் ஒரு பூச்சியமும் /్యల a வில் குறைந்த வரிசையையுடைய
2 ஒரு பூச்சியமும் இருந்தால், φ(2) இற்கு 0 வில் ஒரு முனைவாகிய தனிச்சிறப்பு உண்டு.
இம் முனைவில் எச்சம் தெயிலரின் தேற்றத்தால் (2-0) வின் வலுக்களில் f(z), தி(2) என்பனவற்றை விரித்தலாலே துணியப்படலாம்.
(2 - Oz)
f(a)+(e-a) f'(a) + , , f'(a)+........
(z) 2ー
t 2
φ(α) + (2 - α) φ (α) + )مع( φ" (α) + ... ... .
j{
2
ܚ
φ
தி(a) = 0 ஆயும், தி'(c) 40 ஆயும், f(c) 40 ஆயும் இருந்தால்,
என்பதற்கு 2 - a வில் ஒர் எளிய முனைவு உண்டு.
- yY2 φe)= (a-α) φια) + "φ (α) + o p a e o a
--- ך φ(2) (α -α) φ (α) , μα - α - φ"(α)
1十一丞 $(2) it
- (2-2) d"(a) a
- () 2 +ே (-) வின் உயர் வலுக்கள்},
|z-2 ஆனது சிறிதாயிருக்குமிடத்து.
ך )J α-αφ (α - س، 1 - (۶)J .
φ(2) (α-α) φ (α) 2 就高+・}{se)+e-Pre)+・} +(-) வின் நேர் வலுக்கள்.
°. a வில் எச்சம் ஆகும்.
எச்ச நுண்கணிதம் 757。
r 之
p(2) இற்கு 0 வில் எளியதல்லாத ஒரு பூச்சியமும், 獻 இற்கு 0 வில் ஒரு
தனிச்சிறப்பும் உண்டெனின், ஒத்த ஒரு முறையால் எச்சத்தைப் பெறலாம்.
f(z), p(2) என்பன 2 இலுள்ள பல்லுறுப்பிகளெனின், தனிச்சிறப்புக்
2
களில் எச்சங்கள் 鼻 என்பதைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிளத்தலாற் பெறப்படும். w
2.
உதாரணம். () சைன் 2
2 芝 li) , - , (iii) -- Υ -- 前 ( ( 3 – ہیر2 - وجہ (iii) சைன் 2 என்னுஞ் சார்புகளின்
தனிச்சிறப்புக்களையும் ஒத்த எச்சங்களையுங் காண்க.
(1) ? ஆனது ஒரு முழுவெண்ணுயோ பூச்சியமாயோ இருக்குமிடத்து சைன் & என்பதற்கு 2 = 707 யில் பூச்சியம் உண்டு. ம = 2 - 770 ஆயிருக்குமிடத்து,
சைன் 2 ைசைன் (ம + n) = {-1}* சைன் &
----(-- ......)
. சைன் 2இற்கு 2 = nT யில் எளிய பூச்சியம் உண்டு.
名
2 = 0 இல், - இற்கு தனிச்சிறப்பு இல்லை.
6ð}}'6ðf Z
ஒக் 0 எனின், - இற்கு 2 = mர யில் ஒர் எளிய முனைவு உண்டு :
6∂እቇ6õ፪ ፳ሪ
念 , ) - ( ew سی: tioو 6T
கோசை 2/3-
念 3
(ii)
奖 జా - -- 2*ー2zー3 (zー3)(z+ 1) 4(zー3) ' 4(2-+ 1) .. இச்சார்புக்கு 2 - 3 இல் எச்சம் ஒடு கூடிய எளிய முனைவும் 2 = -1 இல் எச்சம் ஓடு கூடிய எளிய முனைவும் உண்டு.
ރިޗް
*=ी:
சைன் 2 சைன் 2 சைன் &
(iii)
2
சைன் 2 கோசை2
". இச் சார்புக்கு 2 = 0 இல் ( எளிய முனைவு உண்டு.
) = 1 என்னும் எச்சத்தோடு சுடிய
n + 0 எனின், அச்சார்புக்கு 2 = nT யில் இரண்டாம் வரிசையையுடைய முனைவு உண்டு. எச்சத்தைப் பெறுதற்கு 0 = 2 - n எனப் பிரதியிடுக.
雷£》
多 °土”死_
சைன் 2T சைன்யT
s . . . .
s - (+)(++ ...)
锣 ??T 3.
27ー耳 8289 (8/65)
Page 393
758 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
U aty -(+++ ....)
ፃጌፃር 3
_ የመገር : 1 , ነገር (85i - - - -
Tuji 十 କt 3. + 20 இன் நாவலுகா) .. 2 = 707 யிலும் எச்சம் 1 ஆகும்.
இப்போது பின்வருந் தேற்றத்தை நிறுவுவோம்.
f(z) ஆனது எங்கும் பகுப்புக்குரியதாயிருக்க, அதற்கு 21, c2, . . . . 8 A R P , q என்பனவற்றில் முறையே 0, my, , , , , , m என்னும்
f'(z)
வரிசைகளையுடைய பூச்சியங்கள் உண்டெனின், f(z) GT60TL لایلD)و 21 ژان Q2 ۵ و . . . . و
என்பனவற்றில் முறையே m, n . . . . , n, என்னும் எச்சங்களோடு கூடிய
எளிய முனைவுகள் உண்டு ; அது வேறு எங்கும் பகுப்புக்குரியதாகும்.
n வரிசையுடைய பூச்சியம் a வின் அயலில், f(2) = (2-a)"தி (2) ; இங்கு,
p(2) ஆனது 2 விலும் 0 விற்கு அண்மையிலும் பகுப்புக்குரியது; தி() 4 o
... f'(z) = n(z- a)" (d5(2) + (2 - a)” d'(z).
'' (α) , 2 - α φ(2) - φ(α) f'(z) . O φ(2) ஆனது 2 வில் பகுப்புக்குரியதாதலால், 帶 எனபதறகு 2= a வில் எச்சம் m ஒடு கூடிய ஓர் எளிய முனைவு உண்டு. அன்றியும், 帶 ஆனது f(x) இன் பூச்சியமல்லாத யாதுமொரு புள்ளியில் பகுப்புக் குரியது. ஆயின், தேற்றம் பெறப்படும்.
றுஷேயின் தேற்றம்,
f(x), தி(2) என்பன ஒர் எளிய 6ւՔւԳԱմ வளையி C மீதும் அதன் உட்பக்கத்திலும் பகுப்புக்குரியதாயிருக்க, 0 மீது எல்லா 2 இற்கும் |ற்(2)|< |f(z) எனின், f(2) இற்கும் f(2) + தி (2) என்பதற்கும் C யின் உட்பக்கத்தில் ஒரே பூச்சியத்தொகை உண்டு.
0 மீது தி(2) (< |f(z) ஆதலால், f(z) இற்கு 0 மீது பூச்சியம் யாதுமில்லை என்பது பெறப்படும்.
72
ஆனது 0 மீது பகுப்புக்குரியது ;
றுஷேயின் தேற்றம் 759
f(2) இற்கு பூச்சியம் யாதும் இருந்தால் அதிலே தவிர C யின் உட்பக்கத்தில் ^{2 帶 பகுப்புக்குரியது. f(z) ஆனது 0 இன் உட்பக்கத்தில் ஒரு புள்ளி a வில் 7 வரிசையுடைய ஒரு பூச்சியத்தை உடையதெனக் கொள்க. ஆயின் f'(z) if (2)
f(2) இற்கு a இல் 70 வரிசையுடைய ஒரு பூச்சியம் உண்டெனின், a வில் ஒன்றேடொன்று பொருந்தும் 7. பூச்சியங்கள் உண்டு.
0 யின் உட்பக்கத்துத் தனிச்சிறப்புக்களில் 帶 இன் எச்சங்களின் கூட்டுதொகை C யின் உட்பக்கத்தில் பூச்சியங்களின் மொத்தத் தொகைக்குச் ՑւՈւb.
இற்கு a வில் எச்சம் m ஒடு கூடிய ஓர் எளிய முனைவு உண்டு.
. Nنس « س م. ق. (۶)J oj(2) dz = 2mri N ; இங்கு, N ஆனது 0 யின் உட்பக்கத்தில் f(2) இன் பூச்சியங்களின் மொத்தத் தொகையாகும்.
". 2ாக் N=[மடf(2) = 2 ஆனது C யை முற்ருய்ச் சுற்றி ஒரு முறை இடஞ்சுழிப் போக்கிற் போக ஆகும் மட f(2) இன் மாற்றம்.
2mi N=[LDL |f(z) + if(2) இன் வீச்சம்.). (LOL |f(z) a ஆனது பூச்சியம் என்பது வெளிப்படை,
.". [6$ở f(z)) = 2mr N. 0 மீது தி(2) | < 1 f(2) ஆதலால், f(2) + தி(2) என்பதற்கு 0 மீது ஒரு பூச்சியம் இருத்தல் முடியாது.
.. N ஆனது 0 யின் உட்பக்கத்தில் f(2) + தீ(2) இன் பூச்சியத் தொகையெனின், வீச் {f(2) + தீ (2)}) = 2ாN
.. 2t (N-N) = Gšģ: {j(z)-- ģ(z)} - 6šēj(z)o
, , , φ(2) = வீச் {1 + ! o { f(α) C
2 2 ஆனது 0 மீது இருக்குமிடத்து, ஆகன்ட் படத்தில் 1+帶 என்னுஞ் சிக்கலெண்ணைக் குறிக்கும் புள்ளி P யானது 1 என்னும் எண்ணைக் குறிக்கும் புள்ளியில் மையத்தையுடைய அலகு வட்டத்தின் உட்பக்கத்திற் கிடக்கும். 2 ஆனது C யை ஒரு முறை வரையுமிடத்து புள்ளி P யானது அவ்வலகு வட்டத்தின் உட்பக்கத்தில் ஒரு மூடிய வளையியை வரைந்து
Page 394
"60 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
தொடங்கியநிலையைத் திரும்பிச் சென்றடையும். ஆகவே, உற்பத்தியானது P யினல் வரையப்படும் வளையிக்கு வெளிப்பக்கத்தில் இருக்கின்றமையால், அச்சிக்கலெண்ணின் வீச்சத்தில் மாற்றம் யாதும் இராது.
.. N=N,
نے 器 அலகு வட்டம் 裔 恩
C ?ニ
மெய் அச்சு
அட்சரகணித அடிப்படைத் தேற்றம்.
7) படியுடைய ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாட்டுக்கு n மூலங்கள் உண்டு. spidey LOGöTL in G,
2"--a2"' -- az" -- . . . . -- as o gigas. f(x) = 2" என்றும், நீ(2) = a*1 + a**+ ... + a என்றும் எடுக்க. ஆயின், f(x), தி(2) என்பன எங்கும் பகுப்புக்குரியன. |al=R ஆயிருக்குமிடத்து, R->CO ஆக,
f(z)| tt |a| R”* + |a|R"* + ... ... + |an|| 7(༧)|ངེ R* -> O.
db (z |al = R0 ஆயிருக்குமிடத்து, < 1 ஆகுமாறு R ஐக்
காணலாம்.
0 யானது உற்பத்தியில் மையத்தையும் R இற்குச் சமனன ஆரை யையுங் கொண்ட வட்டமாகுக.
அட்சரகணித அடிப்படைத் தேற்றம் 76
ஆயின், றுஷேயின் தேற்றத்தால், f(2) இற்கும் f(2) + தி(2) இற்கும் 0 யின் உட்பக்கத்தில் ஒரே தொகையான பூச்சியங்கள் உண்டு. ஆனல், f(2) இற்கு உற்பத்தியில் n பூச்சியங்கள் உண்டு, வேறிடத்தில் பூச்சியம் யாதும் இல்லை.
f(z) + தி(2) இற்கு C யின் உட்பக்கத்தில் m பூச்சியங்கள் உண்டு. அவ்வட்சரகணிதச் சமன்பாட்டுக்கு m மூலங்கள் உண்டு. இத்தேற்றம் லியுவியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதலாலும் நிறு 6) JLil JL6), Th.
z” –H- az”** -- . . . . -- a, ஆகுக. 2"+ a,2" + . . . + a, என்பதற்கு 2 தளத்தில் யாதோரிடத்திலும் பூச்சியங்கள் இல்லையெனின், R(2) ஆனது 2 தளத்தில் எல்லாப் புள்ளி களிலும் பகுப்புக்குரியது.
F(z) =
|2"+a"ー"+ +a』|>|2"|ー|az"ー"+・・・・+a。
> | z |”- (|a| |z|"1 + . . . . + |a|). |z|->-oo 5
.0 ح– (ليه + ..... + 1 = معلوم) - مع > | (ع)F
. IF(2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் வரைப்புறும்.
", F(2) ஆனது எல்லா 2 இற்கும் மாறிலி.
இது உண்மையன்றென்பது தெளிவு. .. 2"+ de" + . . . . + a என்பதற்கு குறைந்தது ஒரு பூச்சியமாதல் இருத்தல் வேண்டும். r
2 வானது அப்பூச்சியமாகுக. ஆயின், மீதித் தேற்றத்தால், தி(2) ஆனது 2 இல் ? -1 படியுடைய ஒரு பல்லுறுப்பியாயிருக்க,
2"十 a12"T"十・・・・十an=(zーd)の(z) முந்திய நியாயத்தால், தி(2) இற்குக் குறைந்தது ஒரு பூச்சியமாதல் உண்டு. இதுபோலத் தொடர 2"+ az" + . . . . + a என்பதற்கு n பூச்சியங்கள் உண்டு என்பதைப் பெறுவோம்.
உதாரணம். 2 + 2 + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் நான்கும் z = 8 என்னும் வட்டத்தின் உள்ளே கிடக்கும் எனக் காட்டுக.
fz) = 24 ஆயும், தி(2) = 2 + 1 ஆயும் இருக்க,
3V8 8 அவ்வட்டத்தின்மீது யாதுமொரு 2 இற்கு, lf(2) = () 16
φ(2) if(2)
2, 24 + 2 + 1 என்பனவற்றிற்கு அவ்வட்டத்தின் உள்ளே ஒரே தொகைப் பூச்சியங்கள் g-60703.
b()|<||+ =
<
.. x + 2 + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் நான்கும் அவ்வட்டத்தின் உள்ளே கிடக்கும்.
Page 395
762 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
வரையறையான தொகையீடுகளின் பெறுமானக் கணிப்பு.
f(கோசை 9, சைன் 8) என்பது கோசை 9, சைன் 9 என்பனவற்றின் ஒரு
சார்பாயிருக்குமிடத்து,
f f(கோசை 9, சைன் 8) d9
என்னும் வரையறையான தொகையீட்டை எடுத்து நோக்குக.
e?0 十ー e-i6
2
ei6-e6
ஆயின், கோசை 6 = ஆயும் சைன் 6} = 2. ஆயும் 0فe == په
இருக்கும்.
C யானது 2 தளத்தில் உற்பத்தியில் மையத்தையுடைய அலகு வட்டமெனின்,
f(கோசை 9, சைன் 9) d9= 扈( 十 .) 龄 2)}
=జా .)ع( dz.
. ரி(2) ஆனது அலகுவட்டத்தின் உட்பக்கத்தில் ஒரு முடிவுள்ள தொகை தனிச்சிறப்புக்கள் தவிர்ந்த அவ்வலகு வட்டத்தின்மீதும் அதற்கு உட்பக் கத்திலிலும் பகுப்புக்குரியதெனின், அத்தொகையீடு 2ாக்x (C யின்
உட்பக்கத்தில் தி(2) இன் எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகை) என்பதற்குச் சமன்.
aç
கோசை 9 உதாரணம் 1 % ஆனது ஒரு நேர்முழுவெண்ணென்றல்
3 + கோசை 9 என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
፵ገር (கோசை 6 + i சைன் 9)
SSSMSSSMSSSLSSSLSLS d * மெய்ட் o 3 + கோசை 9 9 என்பதன் மெய்ப்பகுதி
தொகையீடானது
,e0 எனின் ==ھ
2寓 (கோசை 9 + சைன் 09 22 ~~~~ ای o 3 + கோசை 9 「Jo {3 + 器(z+数)} z o i(z+ 6z + 1) தொகையுறு 2 = -3 + V8 என்னும் இரண்டு தனிச் சிறப்புக்களையுடையது; இவை இரண்டும் எளிய முனைவுகள். இவற்றுள் a = - 3 + V8 என்னும் ஒன்று மாத்திரம் C யின் உட்பக்கத்திற் கிடக்கும் ; மற்றையது C யின் வெளிப்பக்கத்திற் கிடக்கும்.
2 = -3 + V8 இல் எச்சம்
22
। 2s -3+ V8 2(ー3 + v/8)" 2(-3 + -V8)
Ti(20-3 vs)+ 6. T2iys *கோசை 9 + * சைன் 09 2
----d = -( - 3 п. s 8-) = 0ة تتمتعليمية + V8(
* கோசை 9 2.
."(l0 = (-8 + V8ه مهoة
என்பதன் பெறுமானக் கணிப்பு 763
co f f(ac) dac
உதாரணம் 2. m ஆனது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருக்குமிடத்து
2. f ஃ"கோசை (m9-சைன் 0) d0 என்பதன் பெறுமானத்தைக்
கணிக்க,
27t தொகையீடு f கோசை 0-- (n-6 - 60363T 6) d6 இன் மெய்ப்பகுதி.
O .2 எளின், கோசை 6+(n6 - சைன் 0) _ க் 0نی ہی۔ یہ
w
C iz αι தொகையுறு 2 - 0 இல் ஒரு தனிச்சிறப்பையுடையதாய் வேறெங்கும் பகுப்புக்குரியது.
1. 2 + 0 ஆயிருக்குமிடத்து, e = 1+ - + . . . . . . 十一な
之
ጎኔ! z”ዔ . . . . . .
", 2 : 0 இல், தொகையுறுவின் எச்சம்
??I?
O கோசை 9-(m9 - சைன் 0) d6 = 2r n!'
st . f கோசை கோசை (m9 - சைன் 9) 6 - 2ཎ་
J. f(a) da என்பதன் பெறுமானக் கணிப்பு.
f(z) ஆனது மெய்யச்சின்மீது பகுப்புக்குரியதாகுக, அது மெய்யச்சுக்கு மேலே ஒரு முடிவுள்ள தொகைத் தனிச்சிறப்புக்களையுடையதாகுக. T என்பது உற்பத்தியில் மையத்தையும் R என்னும் ஆரையையும் உடைய பெரிய அரைவட்டமாகுக ; அது உட்பக்கத்தில் f(2) இன் தனிச் சிறப்புக்கள் எல்லாவற்றையுங்கொண்டு மெய்யச்சுக்குமேலே கிடக்க,
-R R
Page 396
764 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
Mடி ஆனது 1 மீது f(x) இன் மிகப்பெரிய பெறுமானமாகுக. T என்பதாலும் மெய்யச்சின் வழியே அதன் விட்டத்தாலும் ஆக்கப்படும் மூடிய வளையியை எடுத்து நோக்க,
R. f(e) dz + f(a) da =2ாக் x (மெய்யச்சுக்கு மேலே f(2) இன் எச்சங்
- R
களின் கூட்டுத்தொகை).
S MmrR
Jr/(e) dz
.". R -> co gas, RMR -> o 676cf6ö7, R-> oo 45 Jrs) dz -> o.
R ", எல் f(a) da = 2r X (எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகை).
R-> oo J - ER
o .. f f(a) da என்பது உண்டெனின்,
as go
அது 2r X (மெய்யச்சுக்கு மேலே எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதற் குச் சமன்.
குறிப்பாக, f(a) ஆனது 2 இன் ஓர் இரட்டைச் சார்பெனின், அதாவது எல்லா 2 இற்கும் f(a) =f(-a) எனின்,
sf() dat = 2 dat.
.. f f(a) da உண்டு ; அது r X (எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகை)
0.
என்பதற்குச் சமன்.
உதாரணம். n > 0, a > 0 ஆயிருக்குமிடத்து
ox
Gasmsns macdac f கோசைmaa என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
co --
einz
,என்னுஞ் சார்பை எடுக்க قوa + ی
அதற்கு 2 - 4 a என்னும் இரண்டு தனிச்சிறப்புக்கள் மாத்திரம் உண்டு; அவற்றுள் a = aர் என்னும் ஒன்று மெய்யச்சுக்கு மேலே கிடக்கும் மற்றையது மெய்யச்சுக்குக்
e - na
ேேழ கிடக்கும். ஒவ்வொன்றும் ஓர் எளிய முனைவு ; 2 = a யில் எச்சம் e
eins
e -- ገመህ > 0 ஆமிருக்குமி a + a g2 0 ஆமிருக்குமிடத்து,
s کا قوه - 3]ع R - azo
|2 = R > 0 ஆயிருக்குமிடத்து,
R R -> o 0 حق و عه
என்பதன் பெறுமானக் கணிப்பு 765
oo சைன்
f(ac) ಇಂಡೋ ~- OO கோசை
Fia) R, eima e - та Tre – ገmዉ '. ——- dr = 2к і х ;ー =
R -> o J-R at -- a” 2aИ α.
மெய்ப்பகுதிகளைக் சமன்படுத்த
எல் * கோசை m2 tre - 771a a3 α + 2 مo J-Raه ح- R
" தொகையுறு 2 இன் ஓர் இரட்டைச் சார்பாயிருத்தலால்,
ஒrல் G8517602g mac d'ac orce Toro
.-- = *oo J ac* + a ج- R
* கோசை ma d ண்டு re-tra யிற்கச்
- – da 66ăit 5 g. ; அது - யிற் Fo6. q* Ցl து -- மறகு م+ o ac2
oo சைன்
f(α) } mada என்பதன் பெறுமானக் கணிப்பு, m> 0. - Čx)
f(z) ஆனது மெய்யச்சின்மீது பகுப்புக்குரியதாகுக ; அதற்கு, மெய் யச்சுக்கு மேலே ஒரு முடிவுள்ள தொகைத் தனிச்சிறப்புக்கள் இருக்க. முன்போல T என்பது R என்னும் ஆரையையுடைய ஒர் அரைவட்ட மாகுக ; Mடி ஆனது T மீது f(x) இன் மிகப்பெரிய பெறுமானமாகுக. மெய்யச்சுக்கு மேலே தன் தனிச்சிறப்புக்களில் f(2) e* இன் எச்சங்களின்
R கூட்டுத்தொகை S ஆகுக'. ஆயின், Jr ,f(z) eቆ” dz+ f(a)eodas = 2ari S.
- R,
Јг f(z) e***** dz
-- ፲f(Reዓ) ஆinR(கோசை6++ சைன் 0) R0 9
0.
O
ገç S (x,-18ள்ை 6Rd0= 2 ፫M••-mo=“ዓRaፀ
O o
சைன் 6
- வானது 0 < 6 < வில் 9 இன் ஒரு குறைதலுறுஞ் சார்பு.
சைன் 9
-- ஆனது இவ்விடையில் 9 = ஆயிருக்குமிடத்து மிகச் சிறிய பெறுமானத்தையுடையதாகும்.
சைன் 92 下g下*ァ
т .. o < 0 < . இல்,
Page 397
766 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
6.
.. o < 0 < இல், சைன் 9>
". MR e mR 60F657 6 Rdፀ S RMe - 2 mR 611t dፀ.
O
mars π' - , - т.К.
M (l e )
". R-> OO ஆக, M->0 எனின்,
R-900 ஆக, |M, •-7R 6,6Rd.6-o.
.oجی-OO g,5, JrJ(e) e7*۶ d2 جسIR ."
R எல் f(a) e” dat = 2Tri S. R -> oo -B,
மெய்ப்பகுதிகளையுங் கற்பனைப்பகுதிகளையும் வேறுவேறய்ச் சமன்படுத்த
R
எல் f(a) கோசை m a da = 2ார் S இன் மெய்ப்பகுதி ; R, oms- o -1 -سR,
R, எல் f(a) சைன் ma da =2ார் S இன் கற்பனைப்பகுதி. R -> o -R,
உதாரணம். a > 0 ஆயிருக்குமிடத்து
f. as a என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
عget
மெய்யச்சுக்கு மேலேயும் பகுப்புக்குரியது; இப்புள்ளியில் அதற்கு ஓர் எளிய முனைவு 2.co/08 ; 6 réféFlib
என்பதனை எடுத்து நோக்குக. அது 2 = a* யிற்றவிர மெய்யச்சின்மீதும்
oie a e a
辺エー=すも●"
2. = R e3u9654té5âL-55, R -> o ஆக, Ra - a 0 جس.
a -- as
பயிற்சி 767
ER, d
e - a شملہ sfe) ------------------- dau == 27ci--------- = Tcite *. R-> oo, J - R ato -- ao 2.
எல் ፰ 6∂ቓ6õ† á}
ー da = Tre 「". R-> oo, J - R ato -- a*
எல் * ஐ சைன் ஐ te - a 2"" " " = o ac3 -+ a2ل ooج-R "
* ஐ சைன் ை te T a
- da என்பது உண்டு, அது இற்குச் சமன். o ac* + a* 2
பயிற்சி
Bộ 3
——— dx = — எனக் காட்டுக. 9 (1-†-aኃ°)° r *
2. m ஒரு நேர் முழுவெண்ணெனின்,
co
da ,T
f –l = – - 676076 &SfTL-086.
o 1 -- ae*** 2n, 60) SF687 (T./2n)
* ஐ சைன் a da re-க 3. a > 0 எனின், ー = ー GT67ó & TL@s.
(ac -- a) 4a
4. உற்பத்தியில் மையத்தையும் முறையே 6, R ஆரைகளையும் உடைய இரண்டு அரைவட்டங்களையும், அவற்றிற்கிடையில் உள்ளமைக்கப்படும் மெய்யச்சுப் பகுதிகளையும்
LoL 2 dz
3 a + 3ج முறையே பூச்சியம் முடிவிலி என்பனவற்றை நாடச் செய்தலால், ஒa > 0ருஆயிகுமிடத்து
கொண்ட உருவரையின் வழியே f என்பதை எடுத்து நோக்கி 8, R என்பனவற்றை
*o ou a 冗
- da = ட் மட a எனக் காட்டுக. ac-- a
Cð dat 1 4 3 (-1)
som o no - som "m - , - στοστά ές πιβε. (a + r) அகோசை ை 2 Tt no-o (272 -+- 1)2 -- 4 n ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருக்குமிடத்து, n ஆரையைக் கொண்ட ஒர் அரைவட்ட உருவரையை எடுத்து நோக்கி 7->00 ஆக, எல்லையை எடுக்க.
6, 24 + 2 + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டுக்கு 2 தளத்தின் ஒவ்வொரு காற்பகுதியிலும் ஒரு மூலம் உண்டெனக் காட்டுக. k + k < 1 ஆகுமாறு, b ஆனது ஒரு நேரெண்ணெனின் அதன் மூலங்கள் நான்கும் a = b என்னும் வட்டத்தின் வெளிப்பக்கத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
Page 398
768 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ஒருருவான உருமாற்றம்,
20 வானது 2 இன் ஒரு சார்பெனின், 2 இன் வேறுவேறு பெறு மானங்கள் 10 விற்கு ஒத்த பெறுமானங்களைத் தரும். இவை முறையே 2 தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளாலும் 10 தளத்திலுள்ள புள்ளிகளாலுங் குறிக்கப்படுக. 0=f(z) ஆனது 2 தளத்தில் ஒர் எளிய மூடிய வளை யியினல் வரைப்புறும் ஒர் ஆட்சி D யில் பகுப்புக்குரியதாய் D யில் ஒரு முறைக்கு மேற்பட ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காதெனின், D யின் புள்ளிகளுக்கும் 0 தளத்திலுள்ள ஓர் ட்சி A இலுள்ள
புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபு உண்டு.
20 ஆனது D யிலுள்ள ஒரு புள்ளி ஆகுக ! C யானது 20 இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு தொடர்ச்சியான வளையியாகுக ; அது இப்புள்ளியில் ஒரு வரையறுத்த தொடலியை உடையதாகுக. T ஆனது 20 தளத்தில் C இன் விம்பமாகுக, 200 ஆனது 20 இன் விம்பமாகுக. 2 ஆனது 2 இலிருந்து தூரம் 7 இல் 20 இற்கு அண்மையில் 0 மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 10 ஆனது 20 இலிருந்து தூரம் 6 இல் T மீதுள்ள ஒத்த புள்ளியாகுக. ஆயின், 2->20 ஆக w - wo f(z)-f(zo)
2ー20 2ー20
-> f'(zo).
f'(2) + 0 எனக் கொள்க.
ир — шо
- f'(zo)
g
2ー20
2ー
வீச் )=(-بھی ہ f(zo) z→zo *
0
8 . . . '. ->| f'(z)|,
வீச் (0-10) - வீச் (2-20)-> வீச் f'(Z), 2->20 ஆக. 2->20 ஆக, 20, 2 என்பனவற்றைத் தொடுக்கும் நேர்கோடு புள்ளி z இல் வளையி C இற்குத் தொடலியாதலை நாடும். 2 வானது 20 இலிருந்து 2 இற்குள்ள திசையில் வரையப்படும் இத்தொடலியால் மெய்யச்சோடு ஆக்கப்படுங் கோணமாகுக.
* z→20 -愛歩5 6法 (zー2a)→の .. 10->0 ஆக, வீச் (20 -20)-> a + வீச் f'(2).
. 200 இலிருந்து 0 விற்கு உள்ள திசையில் 0 இல் வளையி T இற்கு வரையப்படுந் தொடலி 20 தளத்தில் மெய்யச்சோடு a + வீச் f'(2) என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்.
ஒருருவான உருமாற்றம் 769
அவ்விரு தளங்களிலும் மெய்யசசுக்கள சமாந்தரமெனின், 20 இல் C யிற்கு வரையப்படுந் தொடலிக்கும் 200 இல் T இற்கு வரையப்படுந் தொடலிக்கும் இடையிலுள்ள கோணம் வீச் f'(2) இற்குச் சமம். 2தளத்தில் 20 இற்கூடாக வரையப்படும் யாதுமொரு வளையி C யிற்கு இது உண்மையாகும்.
ஆகவே 20 இற்கூடாகச் செல்லும் எவையேனும் இரு வளையிகள் C, C, என்பனவற்றிற்கு 2 இல் வரையப்படுந் தொடலிகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணமானது 20 தளத்தில் அவற்றின் விம்பங்கள் T, T என்பனவற்றிற்கு 20 இல் வரையப்படுந் தொடலிகளுக்கிடையிலுள்ள கோணத்திற்குச்சமம்.
D யில் யாதுமோரிடத்திலும் f'(2) 4 o எனின், 2 தளத்தில் ஆட்சி D யில் எவையேனும் இருவளையிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுங்கோணம் 10 தளத்தில் ஒத்த ஆட்சி A வில் அவற்றின் விம்பங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோணத்திற்குச் சமம். இக்கோணக் காப்புடைமைபற்றி 0 =f(2) என்னும் உருமாற்றம் ஒருருவானது எனிப்படும்.
இனி, f'(2)=0 ஆயிருக்குமிடத்துள்ள வகையை எடுத்து நோக்குக. ஆயின், f (2) இற்கு 2=20 இல் ஒரு பூச்சியம் உண்டு.
அப் பூச்சியம் n வரிசையுடையதெனக் கொள்க, ஆயின் f(2) இன் முதல் 7 பெறுதிகளும் 2:20 இல் மறையும்.
9ьш56йт, и) — иго - f(z)-f(zo)
మా- )20 - چ(*+*f*** (zo)
................................. க்கள், (n + 1) + (2-2) இன் உயர் வலுக்க
2→20 -愛歩5。
и) — ио -f""*(zo)
十l)奥?( " - 1 + مي - يا
S f(zo) a+i. ” (n+1)”
鶏十i வீச் (0-10) - (n+1) வீச் (2-20)->
2→20 マ歩5.
.. 20 இலிருந்து 2 இற்கு உள்ள திசையில் 20 இல் C யிற்கு வரை யப்படுந் தொடலி 2 தளத்தில் மெய்யச்சோடு கோணம் a வை ஆக்கினல், 0 இலிருந்து 20 விற்கு உள்ள திசையில் 0 இல் T இற்கு வரையப்படுந் தொடலி 20 தளத்தில் மெய்யச்சோடு (n+1)2+ வீச் f*** (2) என்னுன் கோணத்தை ஆக்கும்.
Page 399
770 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
6 வானது 20 இற்கூடாகச் செல்லும் எவையேனும் இரண்டு வளையி கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோணமெனின், 20 இற்கூடாக அவற் றின் விம்பங்களின் வெட்டுக்கோணம் (n+1) 9 வாகும்.
உதாரணம்.
(1) ய=மட 2 என்னும் உருமாற்றத்தை AM
க்க நோக்கக. எடுத்து நோக்குக <३ クd
r>0, - TT <6) S7T, uv= u -- iv guljašG5 ap 須 மிடத்து
z-r (கோசை 0+ர் சைன் 0) எனின்
ஆக மட r, p=0, எனப் பெறுவோம்.
மட 2 ஆனது உற்பத்தியிலே தவிர 2 தளத் தில் எங்கும் பகுப்புக்குரியது. உற்பத்தியில் மையங்களையும் முறையே ச, r என்பன வற்றிற்குச் சமமான ஆரைகளையுங் கொண்ட இரண்டு வட்டங்களை எடுக்க. Q, 6T6örlueT
- r, r என்பனவற்றிற்கிடையிற் கிடந்தால், அவ்விரண்டு வட்டங்களாலும் 6=0, 6=3 என்னுங் கோடுகளாலும் வரைப்புறும் ஆட்சி wக மடr u= மடr 0= 0, 0= 3 என்னுங் கோடுகளால் ய தளத்தில் வரைப்புறுஞ் செவ்வகமாக உருவொத்து உருமாறும்.
ஆ0 தளம்
須
s
மெய் 93FGF ܥܠ
r
04:0, 6=T என எடுத்து, 0ج, ச900 ஆக ஆக்க, 2 தளத்தின் மேலரை ர:0, g=% என்னுங் கோடுகளுக்குகிடையிலுள்ள முடிவில் லேமாக உருமாறுவதைக் காண்போம்.
பயிற்சி 77
(2) = To 6ršs.
*+iり=(p十*y)* ..”. u=ao - yo, vans= 2awy. யூ= மாறிலி, ஐ= மாறிலி என்னும் ய தளத்திலுள்ள நேர்கோடுகள் முறையே -ைg= மாறிலி, ag= மாறிலி என்னுஞ் செங்கோண அதிபரவளைவுகளுக்கு ஒத்தனவாகும்.
Z g56Th
2/-/6
wa w
y ܠܓ
2/-/3,
N Glniju Jajg,
W5GTih
4, 2, 6, 3, என்பன நேரெண்களெனின், ல?-g=0, 29 -g=0, 2g=3, 2g=3 என்னும் அதிபரவளைவுகளால் வரைப்புற்று 2 தளத்தில் முதற்காலியிலுள்ள ஆட்சி 4=0, z=0, y=0, 0=3 என்னுங் கோடுகளால் வரைப்புறுஞ் செவ்வகத்திற்கு உரு வொத்ததாய் உருமாறும். இவ்வதிபரவளைவுகளால் வரைப்புற்று மூன்றங் காலியிற் கிடக்கும் ஆட்சியும் e தளத்தில் அதே செவ்வகமாக உருமாறும். இச் செவ்வகத்தின் புள்ளிகளுக்கும் 2 தளத்தில் ஒத்த ஆட்சிகளுள் யாதுமொன்றின் புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக் கொன்றன ஒத்தியைபு உண்டு.
Page 400
772 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ά 2=0 ஆயிருக்குமிடத்து மாத்திரம் 器-0
芝
. உருவொப்பாகிய உடைமை உற்பத்தியிற்றவிர எங்கும் உண்மையாகும்.
ச, p என்பன நேரெண்களாயிருக்குமிடத்து, ة= r0قه, w=pe எனப் பிரதியிடுவோமா .þ=20 என்பனவற்றைப் பெறுவோம் وه6ir p = r لكن
.. & தளத்தில் உற்பத்தியில் மையத்தையும் r, r என்னும் ஆரைகளையுங் கொண்ட வட்டங்கள் 20 தளத்தில் உற்பத்தியில் மையத்தையும் r, r என்னும் ஆரைகளையுங் கொண்ட வட்டங்களுக்கு ஒத்தனவாகும். மெய்யச்சோடு 6, 0, என்னுங் கோணங்களை ஆக்கிக்கொண்டு 2 தளத்தில் உற்பத்திக்கூடாகச் செல்லும் நேர்கோடுகள் மெய்யச்சோடு 26, 26 என்னுங் கோணங்களை ஆக்கிககொண்டு 20 தளத்தில் உற்பத்திக்கூடாகச் செல்லும் நேர்கேடுகளுக்கு ஒத்தனவாகும். 9=0,0= r, r->0, 7->00 என எடுக்க, 2 தளத்தின் மேலரை முழு 20 தளமாக உருமாறுவதைக் காண்போம். 2 தளத்தில் மெய்யச்சில் உளள புள்ளிகள் 20 தளத்தில் மெய்யச்சின் நேர்ப்பங்'லுள்ள புள்ளிகளுக்கு ஒத்தனவாகும். 2 தளத்தில் மெயயச்சுக்கு மேலே கிடக்கும் புள்ளிகளையும் 20 தளத்தில் மெய்யச்சின் நேர்ப் பங்கினமிது கிடவாத புள்ளிகளையும் மாத்திரம் எடுத்து நோக்குவோமெனின், ஒன்றுக்கொன்றன ஒத்தியைபு உண்டு.
ஈரேகபரிமாண அல்லது ஒவ்வரைபுடை உருமாற்றம்.
ad-be + o ஆகுமாறு a, b, c, d என்பன மாறிலிகளாயிருக்குமிடத்து
i_+"
Tcz--d ஆகுக'.
ஆயின், =ை C எனப் பெறுவோம்.
锣一{荔
.. c# o எனின், 2= - ஐத் தவிர 2 தளத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியும்
20 தளத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு மாத்திரம் ஒத்தாகும். 20= s ஐத் தவிர ய
தளத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் 2 தளத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு மாத்திரம் ஒத்திருக்கும்.
C=O எனின், முழு 2 தளத்தின் புள்ளிகளுக்கும் முழு 20 தளத்தின் புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றுக்கொன்றன" ஒத்தியைபு உண்டு. 20 விற்கும் 2 இற் கும் மேற்றந்த தொடர்பினல் வரையறுக்கப்படும் உருமாற்றம் ஈரேகபரி மாண அல்லது ஒவ்வரைபுடை உருமாற்றம் எனப்படும். 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு, 器 ஆனது ஒரு மாறலியாதலால், ad - bc=o என்னும் வகை எடுத்து நோக்கப்படவில்லை.
இனி, ஒரு தளத்திலுள்ள யாதுமொரு வட்டம் மற்றைத் தளத்தில் ஒரு வட்டமாகவோ ஒரு நேர்கோடாகவோ உருமாற்றப்படுமென்றும், ஒரு தளத் திலுள்ள ஒரு நேர்கோடு மற்றைத் தளத்தில் ஒரு நேர்கோடாகவோ ஒரு வட்டமாகவோ உருமாற்றப்படுமென்றும் காட்டுவோம்.
ஈரேகபரிமாண அல்லது ஒவ்வரைபுடை உருமாற்றம் 773
ஒரு வட்டத்தை நோக்கி நேர்மாருயிருக்கும் ஒரு சோடிப்புள்ளிகள் பற்றிய அவ்வட்டத்தின் உடைமை ஒன்றைப் பயன்படுத்துவோம்.
0 வை மையமாகவும் 7 ஐ ஆரையாகவுங் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் தளத்திலேயுள்ள A,B என்னும் இருபுள்ளிகளானவை, 0, A,B, என்பன ஒரே நேர்கோட்டிலிருக்க, அவற்றுள் A,B என்பன O வின் ஒரே பக்கத் திற் கிடக்க 0A.0B=? எனின், அவ்வட்டத்தை நோக்கி நேர்மாறனவை எனப்படும். அப்புள்ளிகளுள் ஒன்று அவ்வட்டத்தின்மீது கிடந்தால் மற்றைய தும் வட்டத்திற் கிடக்கும். மற்றைப்படி, அப்புள்ளிகளுள் ஒன்று அவ்வட்டத் தின் உட்பக்கத்திலும் மற்றையது அவ்வட்டத்தின் வெளிப்பக்கத்திலுங் கிடக் கும். A,B என்பன தந்த ஒரு சோடி நேர்மாறு புள்ளிகளாகுக ! P யானது அவ்வட்டத்தின்மீது ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக.
P
B
OA. OB= r2= OP.
OA OP OP OB " . OAP, OPB என்னும் முக்கோணிகள் இயல்பொத்தவை.
AP OP r രി p = op=og= மாறிலி.
P யானது தந்த ஒரு வட்டத்தின்மீது இயங்க, A,B என்பன அவ்
PA வட்டம்பற்றி நேர்மாறு புள்ளிகளெனின், யானது என்றும் மாறிலி யாய்க் கிடக்கும். A,B என்பன அவ்வட்டத்தின்மீது கிடக்கவில்லையெனின், PA
HH H. l. PB
0 S S S S S S SLSLSL SSSS SS SS SSL S S S LSSSL S S , IPA A யானது அவ்வட்டத்தின் உட்பக்கத்திற் கிடந்தால், pB*
Page 401
774 பல்கலைக்கழகத் தூய கணிதம்
ஒழுக்கு A,B என்பனவற்றை நேர்மாறு புள்ளிகளாகவுள்ள ஒரு வட்ட மாகும். PA 1 எனின், P யின் ஒழுக்கு செங்கோணங்களில் AB என்
PB னுங் கோட்டை இருகூருக்கும் நேர்கோடாகும்.
இனி, 20 = 器 என்னும் உருமாற்றத்தை எடுத்து நோக்குக. ஒரு
வட்டமாதல் ஒரு நேர்கோடாதல் 2 தளத்தில் தரப்பட்டுள்ளதெனக் கொள்க. p யானது யாதுமொரு சிக்கலெண்ணுயிருக்க, அதன் ஒத்த புள்ளி தந்த ஒழுக்கின்மீது கிடக்கவில்லையெனக் கொள்க. ஆயின், அவ்வொழுக்கின்மீது யாதுமொரு புள்ளி a ஆனது
*二?|= லி E= (மாறிலி) என்னுந் தொடர்பைத் திருத்தியாக்குமாறு ஓர் ஒத்த சிக்கலெண் g உண்டு. #ேo எனின், p யாதல் g வாதல்- யிற்குச் சமனகாதவாறு ற யைத்
தோல் கூடும். 2 தளத்தில் -- என்னும் ஒழுக்கின் 20 தளத்து
விம்பம்
என்பதாலே தரப்படும்.
- (d-- ep)w -- b -- ap °|一话士斋士孟士斋十一*(
b-+-ар حسم (90
5十Cp_|_z d十cg அதாவது b-+ag 一*恺器
ly as
d-cg
", 20 தளத்திலுள்ள விம்பம் ஒரு வட்டமாயாதல் ஒரு நேர்கோடாயாதல் இருக்கும்.
040 எனின், 2 தளத்திலுளள ஒரு வட்டம் 20 தளத்தில் ஒரு வட்டமா கவோ ஒரு நேர்கோடாகவோ உருமாறும் : z தளத்திலுள்ள ஒரு நேர் கோடு 20 தளத்தில் ஒரு நேர்கோடாகவோ ஒரு வட்டமாகவோ உருமாறும்.
C=O எனின், ad-b04o ஆதலால், d#o.
ஈரேகபரிமாண அல்லது ஒவ்வரைபுடை உருமாற்றம் 775
ஆயின், விம்பம்
to
b
αι "-ー。
என்பதாலே தரப்படும்.
2 தளத்திலுள்ள ஒரு வட்டம் 20 தளத்திலுள்ள ஒரு வட்டமாக உரு மாறும் ; 2 தளத்திலுள்ள ஒரு நேர்கோடு 20 தளத்திலுள்ள ஒரு நேர் கோடாக உருமாறும்.
02十b
040 ஆயிருக்குமிடத்து, 20= 2 +d என்பதை எடுத்து நோக்குக.
gais, |w|——> OO * - جسج s
α இனி, |جس-----|یم OO 0-,5یوتھp == حــسـمـة
d C
с -l- z
.. புள்ளி- யிற்கூடாகச் செல்லாத ஒரு வட்டமோ ஒரு நேர்கோடோ
40 தளத்தில் ஒரு வட்டமாக உருமாறும். இப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் வட்டமோ நேர் கோடோ ஒரு நேர் கோடாக மாறும்.
ap+b
2 தளத்திலுள்ள புள்ளி p யின் 20 தளத்திலுள்ள விம்பம் cp十d
= b என்னும் வட்டத்தின் விம்பம்
-2p+b
"土g|=& cq--d αα-+- ό cp十d ہست 0A09
cq--d
என்பதாலே தரப்படும்.
2 தளத்திலுள்ள ஒரு வட்டம் C யானது 20 தளத்தில் ஒரு வட்டம் T ஆக உருமாறினல், C பற்றி நேர்மாருன 2 தளத்துப் புள்ளி கள் T பற்றி நேர்மாறன 20 தளத்துப் புள்ளிகளாக உருமாறும்.
வட்டம் ஒரு நேர்கோடாக உருமாறினல், அவ்வட்டம் பற்றிய நேர்மாறு புள்ளிகள் அக்கோடுபற்றிச் சமச்சீர்ப் புள்ளிகளாக உருமாறும்,
Page 402
776 பல்கலைக்கழகத் நூய கணிதம்
பயிற்சி
名一球 1. ம = - எனின், 12 = 1, 12 | = 2 என்னும் இரண்டு வட்டங்களுக்கிடையில்
மெய்யச்சுக்கு மேலே கிடக்கும் 2 தளத்திலுள்ள ஆட்சியின் விம்பமாகிய ய தளத்திலுள்ள ஆட்சியைக் காண்க.
iz --- 2 to十電 2 z十6 எனின், : من عصمت zー+4。 tp十26 32--2i
2 = க், 2 = 2 என்பனவற்றில் எல்லையுறும் புள்ளிகளையுடைய 2 தளத்திலுள்ள பொது அச்சு வட்டத்தொகுதியொன்று 10 = 4, 10 - 2 என்பனவற்றில் எல்லையுறும் புள்ளிகளை யுடைய 20 தளத்திலுள்ள பொது அச்சு வட்டத்தொகுதியொன்ருய் உருமாறுமெனக்
distillGs.
2. ut see:
எனக் காட்டுக.
3, 2 தளமும் 20 தளமும் ஒன்ருேடொன்று பொருந்தி ஒரே அச்சுத் தொடையை
உடையன, 2, 10 என்பனவற்றின் தொடர்பு 0 = -.
2
O வானது பொது உற்பத்தியாயும் P யானது 2 ஐக் குறிக்கும் புள்ளியாயும் இருந்தால், 20 வைக் குறிக்கும் புள்ளி பின்வருமாறு பெறப்படும்.
மையம் 0 விலுள்ள அலகு வட்டம்பற்றி P யின் நேர்மாருகிய புள்ளி P ஐ எடுக்க:
OP பின்னர் மெய்யச்சின்மீது P இன் தெறிப்பாகிய புள்ளி P ஐ எடுக்க. இனி, o al
3 ஆகுமாறு OP இன் மீது புள்ளி P ஐ எடுக்க ; அதன்பின் a யின் வீச்சத்திற்குச் சமனன கோணத்திற்கூடாக 0 பற்றி 0P ஐச் சுழற்றுக, P இன் ஈற்றுநிலை 0 வைக் குறிக்கும் புள்ளியாகும்.
4. (3, g), ) (3, g) என்பன ,ை g என்பனவற்றின் மெய்ச்சார்புகளாயிருக்குமிடத்து, f(z) ஆனது ஒரு பகுபடுஞ் சார்பாய் u (x,y) +க்ஸ் (2,g) யிற்குச் சமனெனின், (ay) தளத் திலுள்ள டி-மாறிலி p-மாறிலி என்னும் வளையிகள் செங்கோணங்களில் ஒன்றை யொன்று வெட்டுமெனக் காட்டுக.
(ஆள்கூற்றச்சுக்கள் செங்கோணங்களில் உள்ளவை என்பது எடுத்துக் கொள்ளப்படும்)
5. 0=2+3 எனின், 741 ஆயிருக்குமிடத்து, 2 தளத்திலுள்ள 12 = r என்னும்
2
வட்டம் தளத்தில் ஒரு நீள்வளையமாக உருமாறுமெனக் காட்டுக. 12 = என்னும் வட்டமும் அதே நீள்வளையமாக உருமாறுமெனக் காட்டுக.
(#1) இன் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்குப் பெறப்படும் நீள்வளையங்கள் பொதுக் குவியத்தை உடையன என்றும் அவற்றின் பொதுக் குவியங்களைத் தொடுக்குங் கோடு (எதிர்த் திசைகளில் இருமுறை வரைந்த) |2 =1 என்னும் வட்டத்தின் லிம்பமென்றுங் காட்டுக.
சுடடி
அச்சுக்களின் மாற்றம் 159 அடம்சின் தேற்றம் 30 அடிப்படைத் தேற்றங்கள் 512 அடுக்குக்குறித் தொடர் 354 அட்சரகணித அடிப்படைத் தேற்றம் 296, 760 அட்சரகணிதச் சமன்பாடுகள் 260 அட்சரகணிதத் தள வளையியில் இரட்டைப் புள்
ஒளிகள் 580 அட்சரகணித வளையிகளின் அணுகு கோடுகள்
594 அண்ணளவாக்கம் 681
, வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கு 681 , வறையறுத்த தொகையீடுகளுக்கு 688 அதிபரவளைவின் அணுகுகோடு 59 அதிபரவளைவு 17, 19, 38, 95
, உடன்புணரி 99 , செங்கோன 100 , புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் 220 அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 359, 361
, வகையிடுதல் 438 அதிபரவளைவுப் பரவளைவுரு 207 , பிறப்பாக்கிகள் 220 அதிபரவளைவுரு, இருமடி 191
, ஒருமடி 189 அரைவீச்சுத் தொடர் 888 அறவொருங்கல் 348
ஆகன் வரிப்படம் 297
இசை உடன்புணரிகள் 70, 71 இசையுடைமை 11 இசைப்பிரிவு 11 இடைச்செருகல் 392
, கிரகரி-நியூற்றன் சூத்திரம் 392 , லெகிராஞ்சியின் சூத்திரம் 393 இடைத்துரம், இரண்டு புள்ளிகள் 116, 136 இடைவெட்டு. சமன்பாடுகள் 164 இடைவெட்டு, மூன்று தளங்களின் 151 இயல்காட்சி 14 இரட்டைத் தொகையீடு, பெறுமானக் கணிப்பு
695
, யாதுமோர் ஆட்சிமீது 897 இரண்டு மாறிகளின் சார்புகள் 484
இரு கூறிடப்படும் நாண்களின் ஒழுக்கு 198 இரு கோடுகள். இடையிலுள்ள கோணம் 139 இருபடிக் கூம்பு 203 இருபடிச் சமன்பாட்டின் சிக்கல் மூலங்கள் 294 இருபடிப் பரப்பைத் தளம் வெட்டுதல் 161 இருபடிப் பொதுச் சமன்பாடு 52 இருமைச் செவ்வன் 230
ஈருறுப்புத் தேற்றம் 376 ஈருறுப்புத் தொடர் 377 ஈருறுப்புப் பரம்பல் 399 ஈரேகபரிமாண உருமாற்றம் 771
உடன்புணரி விட்டங்கள் 72, 88, 97, 200 உடன்புணரி விட்டத் தளங்கள் 200 உயர்வுகளும் இழிவுகளும் 478 உருளையாள்கூறுகள் 134 உள்ளீட்டாள் கூறுகள் 553 உற்பத்தி மாற்றம் 135
எச்ச நுண்கணிதம் 754 எண்ணில் பெருக்கல் 409 எல்லே 723 எல்லைகள். தேற்றங்கள் 329 எறிதகவு 9 எறியல் வீச்சுக்கள் 12 எளிய முனைவு 752
ஏகபரிமாண உருமாற்றங்கள் 433 ஏகவின ஆள்கூறுகள் 121 ஏகவினச் சார்புகள், ஒயிலரின் தேற்றம் 474 எகவினமல்லா ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் 428
ஒடுக்கற் சூத்திரங்கள் 498, 520 ஒப்பீட்டுச் சோதனைகள் 336 ஒயிலரின் சமன்பாடு 606 ஒயிலரின் தேற்றம் 246 ஒரு சோடி நேர் கோடுகள் 17, 46 ஒருங்கலாரை 738 ஒருங்கல் வட்டம் 738 ஒரு தளக் கோடுகள் 167 ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதி 428
777
Page 403
778
ஒவ்வரைபுடை உருமாற்றம் 771 ஒவ்வரைபுடை வீச்சுக்கள் 13
ஓராயக் கோடுகள். இடைவெட்டுங் கோடு 168
, குறுகிய தூரம் 170 . சமன்பாடுகள் 172
ஓரியல்புச் சார்புகள் 330
ஒருருவான உருமாற்றம் 787
கணித வெதிர்வு 398
காரணிப்படுத்தல் 311
காவிகள் 223, 442
, இருபடி வடிவங்கள் 432 , ஒரு தளக் 226 , காவிப் பெருக்கம் 223 , கூட்டுத்தொகை 223 , கேத்திரகணித விளக்கம் 224 , செவ்வன் 241 , தலைமைச் செவ்வன் 228, 230 , தானக் 227 , பரிமாணம் 424 , lot GS 223 , மும்மைப் பெருக்கம் 223
வகையிடுதல் 225
கிளேருேவின் வடிவம் 634 கிறீனின் தேற்றம் 718
குழம்பற் பண்பு 346, 358 குறிப்பிட்ட தீர்வு 614 குறிப்பிட்ட தொகையீடு 814 குறுக்கு விகிதப் பண்புகள் 23 குறுக்கு விகிதம் 7
கூடுதலுறுஞ் சார்புகள், தேற்றங்கள் 330
கூட்டலிடை 257
கூட்டற் சூத்திரங்கள் 360
கூம்புவளைவு, இரட்டைத் தொகையீட்டுக் 124
, ஒற்றைத் தொகையீடுக் 125 , சுற்றுருவக் 120 , செவ்வன் 68, 84, 107 , தொடலி 67, 69, 105, 120 , தொடலிகளின் வெட்டுப்புள்ளி 73, 108 , தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 118 , தொடு நாண் 68, 106 , நாணினது சமன்பாடு 105 , நாணினது நடுப்புள்ளியின் ஒழுக்கு 71 , நாண் 67, 71
சுட்டி
கூம்புவளைவு, நாலு தொடுகை 128
, நான்கு புள்ளியூடு 122 , பண்புகள் 29 , பொதுக் 67 , பொதுக்குவியக் 110 , பொதுச்சமன்பாடு 73 , மூற்றைத் தொடுகை 128 , மையக் 52 , மையமில்லாத 52
கூம்புவளைவுரு 188
, தொடலிகளின் தொடுதளம் 193 , 60) fou udiš 187 , மையக், செல்வன் 197
கூம்பு வெட்டுக்கள் 17
கொஞ்சு, கோளம் 237
, தளம் 230 , வட்டம் 236
கோசை m9 காரணிகள் 316 கோசை m0 சைன் 79 விரிகள் 316 கோசை 10 இற்குரிய கோவை 320 கோடிட்ட பரப்பு 210 கோடு பிறப்பாக்கியாதற்கு நிபந்தனை 215 கோட்டைப் பிரித்தல் 187 கோளப்பாத்து 249
, சுற்றற்பரப்பிலுள்ள 251 , மையக்கூம்பு வளைவுருவிலுள்ள 262 , வகையீட்டுச் சமன்பாடு 250 கோள முனைவாள்கூறுகள் 185 கோளம் 177
, ஒன்றையொன்று வெட்டல் 179 , தளத்தால் வெட்டும் முகம் 179 , தொடலிகளின் தொடுகைத்தளம் 179 , தொடலித்தளம் 178 , பற்றி புள்ளியின் நிலை 177 , பற்றிப் புள்ளியின் வலு 180 கோள வளைவு 237 கோளவுரு 189 கோஷியின் சமனிலி 746
, சூத்திரம் 447 , சோதனை 337, 349 கோஷியின் தேற்றம் 728
, மடங்கு உருவரைகளுக்கு 733 கோஷியின் தொகையீடு 734
சமன்பாடுகள், இரண்டாம் வரிசை 658
, ஏகபரிமாணச் 621 , எகலினச் 618
கட்டி
சமன்பாடுகள், ஒயிலரின் எகவினச் 653
, ஒழுங்கமை 855 , செப்பமான 615
பகுதிவகையீட்டுச் 671 , பேணுயியின் 622 , மாறிகள் வேருக்கப்படத்தக்க 818 , முதல்வரிசையும் முதற்படியுமுடைய 615 முதற்படியையுடையவையல்லாத முதல்
Quflagoj: 631 முனைவுச் 626 சமாந்தரக் கோடுகள் 118 சமாந்தரத் தளங்கள் 148 சமாந்தரத் தொடலிக் கோடுகள் 194 சமாந்தர நாண்கள். நடுப்புள்ளிகளின் ஒழு
க்கு 199
சாரா நிகழ்ச்சிகள் 397
சிக்கலெண் மடக்கை 372 சிக்கல் எண்கள் 292
, பெருக்கம் 300
வகுத்தல் 301 சிக்கற் சார்பின் எல்லை 329 சிக்கற்ருெகையிடல் 725 சிக்கன்மாறியின் சார்புகள் 722 சிம்சனின் நெறி 685
வழுவின் மதிப்பீடு 886 சிறப்பியல்புப் புள்ளிகள் 586 சிறு வழுக்கள் 476
சீராக்குந் தளம் 231
if 235 சுற்றற் பரப்பின் தலைமை ஆரைகள் 248 சுற்றற் பரப்பு 143 சுற்றற்பரப்பு-கனவளவும் பரப்பளவும் 557
குணியத்தாயம் 408
செங்குத்தான கோடுகள் 139 செங்குத்துத் தளங்கள் 148 GFugis-D 640
செயலிகள் 389 சேலுத்திக் கோளம் 194 செவ்வன் வெட்டின் வளைவு 241 செறே-பிரனே குத்திரங்கள் 231 சேர்த்திச் சார்புகள் 471 6ógra76 சைன் 9 சைன் 0 இற்குரிய கோவை 321
srr6õõr 31.8
779
டலம்பேட்டின் சோதனை 338, 349
தம்முள் புறநீக்கமில்லா நிகழ்ச்சிகள் 396,
397
புறநீக்கும் நிகழ்ச்சிகள் 396 தலைமை வளைவுகள் 242, 245
flostunt GB 246 தள உருமாற்றம் 703 தளமும் நேர்கோடும் 166 தளம் 148
, இடைக் கோணத்தின் இருகூருக்கிகள் 150 , இடைக்கோணம் 150 , இடைவெட்டுக்கூடான 151 , Frostř7. urtG 146 முனைவுத் 196 மூன்றுபுள்ளிகளுக்கூடாக 164 , பற்றி இரு புள்ளிகளின் நிலை 148
புள்ளியின் தூரம் 149 பொதுச் சமன்பாடு 147 தளவளையிகளின் அணுகு கோடுகள் 393 தளவளையிகளின் குழி 585 தளவளையிகளின் தொடுகை 457 தனிச்சிறப்புத் தீர்வு 614, 861
, கேத்திரகணிதமுறை விளக்கம் 638 தனிச்சிறப்புப் புள்ளிகள் 584
தாய உடன்மூட்டு 413 தாயங்கள் 407
, ஆரம்ப 415
ஒருருவாகத்தக்க 410 , கழித்தல் 409 , 8#ʻld) 409
பெருக்கல் 409 , வகுதி 417, 426 வகுத்தல் 415 தாயம், தனிச் சிறப்புத் 414
, நிரை வெளியும் நிரல் வெளியும் 424 , நேர்மாறு 413, 414, 417, 420 தான் 10 இற்குரிய கோவை 319
திசைக் கோசைன்கள் 137 , தொடர்பு 138
தொடுகோட்டின் 138 திமோலியரின், கேத்திரகணித முறை விளக்
கம் 314 திமோவியரின் தேற்றம் 305 திரிகோண கணிதச் சார்புகள் 388
Page 404
780
துணி கோவைகள் 273
, இணைக்காரணி 278 உறுப்புக்கள் 275 , சிறி 278 , தலைமையுறுப்பு 275 , பிரயோகங்கள் 285 , பிரயோகங்கள், சந்திக்கும் கோடுகள் 286 , பிரயோகங்கள், சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள்
286
, பிரயோகங்கள், பரப்பு 285 , மூலங்கள் 275
தெக்காட்டாள்கூறுகள் 132 தெயிலரின் தேற்றம் 454, 744
தேர்பிலாத வடிவங்கள் 448
தொகுப்பு விதி 412 தொகையிடல், தேற்றங்கள் 508
, நியமசூத்திரங்கள் 489 , பகுதிகளாக 497, 520 , மாறிமாற்றம் 494, 516 தொகையீடுகள், தேற்றங்கள் 731
, பரப்புத் 715 , மும்மைத் 712 , வரையறையான 781 , வளைகோட்டுத் 700 தொகையீட்டுக் காரணி 817 தொகையீட்டுச் சோதனை 340 தொடரிலே தீர்வு 661 தொடர்ச்சி 123 தொடலிகளின் தொடுதளம் 193 தொடலித்தளம் 192 தொடுகைப் பண்பு 58 தொடுதகவுக்கு நிபந்தனை 193
நாற்படிச் சமன்பாடு 325 நான்முகியின் கனவளவு 154 நிகழ்தகவுக் கொள்கை 394 நிபந்தனையில் ஒருங்கல் 349 நிமிர்கோணக் கடவைகள் 625 நியூற்றணின் சூத்திரங்கள் 262, 570 நிரப்பு நிகழ்தகவு 395 நீள்வளையப் பரவளைவுரு 207 நீள்வளையம் 17, 35, 83
, ஒருபரிதிப்புள்ளிகள் 90 , செவ்வன் 84 நீள்வளையவுரு 188
கட்டி
நேரெண்ணின் மடக்கை 358 நேர்கோடு 161
, Fuo6ö7um (Basair 161, 63 நேர்மாறு. அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 36
, நேர்கோட்டின் 3 , புள்ளிகள் 1, 4 , வளையிகள் 1 , வேருெரு வட்டம் பற்றி 4 நேர்மாற்றம் 1, 5 நேர்முழுவெண் வலுக்கள் 42
பகுதிச் சார்பு 725 பகுதிப் பின்னங்கள் 265 , துணிக்க விதி 286 பகுதி வகையிடல் 465
, குணகம் 465 பப்பசின் தேற்றம் 559 , LS2ig (Bulu Tasub 561 பரப்பளவு 534
, முனைவாள்கூறுகளில் 543 , மூடிய வளையியின் 536 பரப்பாள் கூறுகள் 115 until 238 டJமான வளையிகள் 238 பரம்பல் விதி 413 பரவளைவு 17, 21, 32, 78 பரவளைவுருக்கள் 207
, பிறப்பாக்கிகள் 210 பல்லுறுப்பி, காரணியங்களாற் குறித்தல் 3 பல்லுறுப்பிச் சார்பு 295 பல்லுறுப்பின் வித்தியாசங்கள் 390 பஸ்காலின் தேற்றம் 25
பிரதான தனிச்சிறப்பு 753
பிரையங்கனின் தேற்றம் 27
பிறப்பாக்கிகள், ஆள்கூற்றுத்தளங்கள்மீது
நிமிர்கோன டஎறியங்கள் 217 ருபு ள்ளிக்கூாக 216 சங்குத்தான 218
புவசோன் பரம்பல் 402 புள்ளி விபர நிகழ்தகவு 403 புறமாற்று விதி 412, 444
பூச்சியங்கள் 753 பூரியே தொடர் 687
, யாதுமொரு வீச்சில் 690
arly
பெருக்கலிடை 257 பெருக்கற் பண்பு 346, 362 பொது அச்சுக் கோளங்கள் 182
மக்ளோரினின் தேற்றம் 455 மடக்கைத் தொடர் 357 மடங்குத் தொகையீடுகள் 695 மடங்குப் புள்ளிகள் 584
ሀû@)ñ) 577 மறை முழுவெண் வலுக்கள் 414
மாட்டேற்று முக்கோணி 120, 122 மாறல் நுண்கணிதம் 604 மாறிகளின் மாற்றம் 707
மியூனியரின் தேற்றம் 242
முக்கோணிகள் பரப்பளவு 117 முடிவில் தொகையீடுகள் 522 முடிவில் தொடரின், ஒருங்கல் 332
ஆரம்பப் பண்புகள் 332 முடிவுள்ள வித்தியாசங்கள் 389 முப்படிச் சமன்பாடு 325 முழுவெண் சுட்டிகள் 295 முறுக்கலாரை 231 முறுக்கல் 231 முற்றிய மூலி 814 முனைவாள்கூறுகளில் நீளம் 550 முனைவுக் கோடுகள் 198 முனைவு 752 முனைவும் முனைவழும் 70, 88, 120 முனைவும், முனைவுத் தளமும் 196, 198
மூலிகத் தளம் 181
மையக் கூம்புவளைவுருக்கள் 187
, ουορμμια 187 , விட்டத் தளம் 187 , விட்டம் 187
மொத்த மாறல் 468 மொறேற வின் தேற்றம் 737
ரைமான் தொகையீடு 505
லியூவியின் தேற்றம் 746
லெகிராஞ்சியின், தேர்பிலாப் பெருக்கங்கள்
48 , வடிவம் 464 லெபினிற்சின் தேற்றம் 441
78
லோறென்வRன் தேற்றம் 747
வகையிடற்றகவு 470, 723 வகையிடுதல், அதிபரவளைவுச் சார்கள் 438
, மறிதந்த 439 வகையீட்டுச் சம8ல்:ாடுகள் 612 வட்டச் சார்புகள் 368 வட்டம் 17
, கொஞ்சு 236
, செலுத்தி 37, 41, 73, 87
, வளைவு 566 வன்டமொண்டேயின் தேற்றம் 376 வலுத்தொடர் 737
உடைமைகள் 738 வஃளயிகளின் இராக்கம் 547 வளைவாரை 230, 565, 566 வளைவுக் கோடு 244 வ8ளவு, மையம் 237, 245, 568, 676 வளைவு வட்டம் 236, 560 வரையருத தொகையீடு 612
விகிதச் சமன்பாடு 68, 191
விகிதமுறுஞ் சுட்டி 297 வித்தியாச அட்டவணை 389 வித்தியாசச் சமன்பாடுகள் 383 விபத்திப் புள்ளி 459
விசல் 298
வெளியில் ஒழுக்குகளின் சமன்பாடுகள் 14
றுஷேயின் தேற்றம் 758 ருேலேயின் தேற்றம் 444
றைமானின் சூத்திரம் 701
ஸ்ற்றேக்சின் தேற்றம் 717
ஹொப்பிற்றலின் விதிகள், 449
- 1 இன் n ஆம் மூலகங்கள் 308
C - பிரித்துக்காட்டி 590
. Z" இன் பெறுமானங்கள் 306
Page 405