Page 1


Page 2
AFFNASCIENCE ASSOCATION EXECUTIVECOMMITTEE 2000/2001
President: Prof. K. Balasubramanium
General Secretary: Dr.S.Srisatkunarajah
President Elect: Dr.N.Sivarajah
Past President: Prof. P. Balasundarampila
Treasurer: Mr.V. Easwaran
Asst. General Secretary: Mr. G. Mikunthan
Asst. Treasurer: Dr. Mrs. S. Ramesh
Chief Editor: Mr. K.K.Aruvel
Chairman: Section A: Pure Science Mr.A. Panchalingam
Chairman: Section B. Applied Science and
Technology Prof.A.Navaratnarajah
Chairman: Section C. Medical Science Dr.K.Sivanesan
Chairman Section D: Socia ScienCe Mr.V.P.Sivanathan

ജ
(C) JAFFNASCIENCE ASSOCATION
2OOO
Printed at STP Computer World Jaffna.

Page 3
அட்சர
க.அருள் பொ.மகேஸ்வி
யாழ்ப்பாண

கணிதம் தொடர் இல-1
கணிதம்-1
ானந்தம், க.கமலநாதன் வரன், சு.வே.மகேந்திரன்
EDITED BY MrPMakinan, MrGMikunthan & DrSSrisatkunarajah
விஞ்ஞான சங்கம்
2000

Page 4
திரு.க.அரு சிரேஸ்ட கணித பரீட்சகள், க.பொ
(Chapter 3 - S
gÉl(5.3b.36LD சிரேஸ்ட கணித பரீட்சகர், க.பொ
(Chapter 2-Q
திரு.சு.வே.ம சிரேஸ்ட ஆசிரிய பரீட்சகள், க.பொ
(Chapter 1-F,
g(b.QUIT.LD(
பிரதி அதிபர், ய பிரதம பரீட்சகள்,
(Chapter 4 - Co
 

ஆசிரியர்களைப் J3o......
6TT60Tbg5LD B.Sc, Dip. in Ed.
ஆசிரியர், ஹாட்லிக் கல்லூரி.
.த உயர்தரம்-கணிதம்
eries)
லநாதன் B.Sc (Hons), Dip. in Ed. ஆசிரியர், விக்னேஸ்வராக் கல்லூரி. ா.த உயர்தரம்-கணிதம் uadratic Equations & Functions)
)(355gJ6 B.Sc, Dip. in Ed. பர், கொக்குவில் இந்துக் கல்லூரி, .த உயர்தரம்-கணிதம் actorisation)
856sb6).J6 BSc(Hons) Dip. in Ed. ாழ்ப்பாணம் இந்துக் கல்லூரி, க.பொ.த உயர்தரம்-கணிதம் unting Methods)

Page 5
பொரு
முகவுரை பதிப்பாசிரியர் குறிப்பு அத்தியாயம் 1
காரணிப்படுத்தல்
தொகுப்புமுறை வகுத்தல்
மீதித் தேற்றம்
மீள் காரணிகள்
பல்லுறுப்பிச் சார்புகளைக் காரணிப்
அத்தியாயம் 2
இருபடிச்சமன்பாடுகள், சார்புகள் .
இருபடிச்சமன்பாடுகளும் தீர்வுகளும்
மூலங்களின் தன்மை
இருபடிச் சார்புகள்
விகிதமுறு சார்புகள்
அத்தியாயம் 3
தொடர்
தொடரின் கூட்டுத்தொகை
தொடரின் கூட்டுத்தொகை கண்டு பி
வித்தியாச முறை
தொடரின் கூட்டுத்தொகை காண்பத
விசேட முறைகள்
அத்தியாயம் 4
எண்ணும் முறைகள்
வரிசை மாற்றம்
சேர்மானம்
எல்லாம் வேறுபடாத பொருள்களின்
வரிசைமாற்றமும்
பயிற்சிகளுக்கான விடைகள்

நளடக்கம்
படுத்தல்
டிப்பதற்குரிய
ற்கான
சேர்மானமும்
O3
O6
12
16
26
36
49
65
75
102
124
145
164
174
178

Page 6
(pdf
க.பொ.த உயர்தர கல்வியின் (Knowledge Base
இருபதாம் நூற்றாண்டுகளில் ஆரம்பத்தில் மனித வளத்திலும் 1 தங்கியிருந்த காலம் போய் தற்சம அறிவிலும், தொழில்நுட்ப வளர்ச்சியி இதன்மூலம் ஒரு நாட்டினது அ தொழில்நுட்பமும் வெவ்வேறாக
திருப்பதனைக் காணலாம்.
அபிவிருத்தியடைந்துவரும் கலாச்சாரங்கள் ஆழ வேர்விட்டு முதியோர்வரை அவதானிக்கலாம். இ தொழில்நுட்ப கலாச்சார ஆளுை அபிவிருத்திக்கு ஏற்பட்ட பின்னடைவாகு
“ஐந்தில் வளையாதது ஐம் கிணங்க விஞ்ஞான, தொழில்நுட் சிறுவயதிலிருந்தே கட்டியெழுப்பப்படே க.பொ.த உயர்தர கல்வியின் அடிப்பன Project - G.C.E.A/L) 6T6óris 6T6095 பொதுத் தராதரப்பத்திர உயர்தரப் பிரிவுகளிலுள்ள மாணவர்களினதும், தூண்டும் விதத்தில் அத்தியாயங்க விதானத்தினை அடிப்படையாயக் ஆசிரியர்களால் எழுதப்படுகின்றன. இ ஒவ்வொரு பாடத்திற்கும் வெளியிட ே சங்கத்தின் இனிவரும் ஆண்டுகளுக்குர்

வுரை
அடிப்படை அறிவு வளர்த்தல் Project - G.C. E. AJL)
உலக நாடுகளின் அபிவிருத்தியானது பின்னர் கைத்தொழில் மயமாக்கலிலும் யம் அந்நாட்டு மக்களின் விஞ்ஞான லும் முழுமையாக தங்கியிருக்கின்றது. அடிப்படை அறிவான விஞ்ஞானமும் பிரிக்கப்பட முடியாமல் ஒன்றிணைந்
நாடுகளில் 5ങ്ങബ, FLOL சமூக வளர்ந்திருப்பதை குழந்தையிலிருந்து நிருப்பினும் இந் நாடுகளில் விஞ்ஞான ம நலிவடைந்துள்ளமை அவற்றின்
தம்.
பதில் வளையுமா?” என்ற பழமொழிக்
. கைத்தொழில் கலாச்சாரமானது வண்டும் என்பதனை மையக்கருவாக்கி L eó6), 616Tig5g56ò (Knowledge Base
பணியினை ஆரம்பித்துள்ளோம். கல்விப்
பரீட்சைக்குரிய பாடங்களில் சில
ஆசிரியர்களினதும் அறிவாற்றலைத்
ளாகவோ, உபபிரிவுகளாகவோ UTL
கொண்ட நூல்கள் 91g.) 6)l(p60)Lu }வ்வகையான அறிவுசார் கையேடுகளை வண்டும் என்பது யாழ்ப்பாண விஞ்ஞான
ய முக்கிய கருத்திட்டமாகும்.

Page 7
பாடசாலை மாணவர்களுக்கு மாணவரின் அடிப்படை அறிவை வள அதன்மூலம் இத்திட்டம் பல்கலை தொழில்நுட்ப வளர்ச்சிக்கு உதவி, ந மேம்படுத்தும் கைங்கரியமுமாகும்.
“எண்ணும் எழுத்தும் கண்ணெ விஞ்ஞான சங்கத்தின் முதல் வெளியீட அலகான அட்சரகணிதம்-1 எனும் முழுமையான வழிகாட்டலுக்கு இத முன்னின்று அரும்பணியாற்றியமை கு நலன் கருதி "வெளியிடப்படும் முத அத்தியாயங்களை எழுதிய நூலாசி மக்களினதும் மாணவர்களினதும் பா உரியவர்களாவர்.
ந
பேராசிரியர் க.பாலசுப்பிரமணியம்
தலைவர், w
யாழ்ப்பாண விஞ்ஞான சங்கம்.

மட்டுமல்லாது பல்கலைக் கழக ாச்சி செய்யவும் இந்நூல் அமைவதுடன் க் கழக மாணவரின் விஞ்ஞான,
ாட்டு மக்களின் வளத்தை மேன்மேலும்
|னத் தகும்” என்பதற்கிணங்க யாழ்ப்பாண ாக கணித பாடத் தொடரில் முதலாவது
இந்நூல் அமைகிறது. இந்நூலின் னை உருவாக்கிய ஆசிரியர் குழு குறிப்பிடத்தக்கது. தமிழ் மாணவர்களின் 5ல் நூலான அட்சரகணிதம்-1 இனது ரியர்களும், பதிப்பாசிரியர்களும் எமது ராட்டுக்கும், மதிப்புக்கும் என்றென்றும்
ன்றி.

Page 8
LugĈILITraff If
Edito
கல்விப் பொது தராதர கணிதப் பாடவ வெளியிட விரும்பி யாழ்ப்பாண வி இப்பணியை ஒரு இன்றியமையாத ே உடனடியாக திருவாளர்கள் பொ.மகி க.கமலநாதன், பொ.மகேஸ்வரன், இ.ப
ஆகியோர் கொண்ட ஒரு ஆசிரியர் குழு
அட்சரகணிதம்-1 (கணிதம் தொடர் இல1
கொண்டதாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது.
அத்தியாயம் 1. காரணிப்படுத்தல்
இருபடிச்சமன்பாடுகளும், சார்புகளும் தொடர்
2.
எண்ணும் முறைகள்
இந்நூல் இணைந்த கணிதம், உயர்கணி
முறையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.
மேலும், அட்சரகணிதம்-2 (கணிதம் தெ சமனிலிகள், சிக்கல் எண்கள், சார்புகளு
உள்ளடக்கியதாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது.
குறுகிய காலத்தில் சிறப்பான பணியினை
கணனி தட்டச்சு ஆக்கம் செய்து உ
ந.வனிதா, செல்வன் ப.விமலநாதன் ஆகிே
அத்துடன் எமக்கு ஊக்கம் அளித் தலைவருக்கும் செயற்குழு உறுப்பினர்களு
“எல்லாப் புகழுட
திரு.பொ.மகினன். கலாநிதி.சி.யூரீசற்குணராக கணித புள்ளிவிபரவியற்துறை
யாழ்ப்பாணப் பல்கலைக்கழகம்

களின் குறிப்பு
rs Note.
1தானத்திற்குரிய நூல்களை ஒரு தொடராக ந்ஞான சங்கம் எம்மை அணுகியபோது தவையாகக் கருதி ஏற்றுக் கொண்டோம். னன், சு.வே.மகேந்திரன், க.அருளானந்தம், லசுப்பிரமணியம், கலாநிதி.சி.ழரீசற்குணராசா இப்பணியை முன்னெடுக்க ஏற்படுத்தப்பட்டது.
) எனும் இந்நூல் நான்கு அத்தியாயங்கள்
ஆசிரியர்கள் - திரு.சு.வே.மகேந்திரன் - திரு.க.கமலநாதன் - திரு.க.அருளானந்தம் - திரு.பொ.மகேஸ்வரன்
தம் பயிலும் இரு சாராருக்கும் பயன்படும்
ாடர் இல2) எனும் நூல் ஈருறுப்பு விரிவு, ம் வரைபுகளும் எனும் அத்தியாயங்களை
எ மேற்கொண்ட ஆசிரியர் குழுவினர்களும், B65u S.T.P Computer World, Gay 606
யார்களும் பாராட்டப்பட வேண்டியவர்கள்.
த யாழ்ப்பாண விஞ்ஞான சங்கத்தின் நக்கும் எமது நன்றிகள்.
) இறைவனுக்கே”
FII

Page 9
அத்திய
1. காரணிப்படுத்தல் (Fa
அறிமுகம்
இடைநிலை வகுப்புக
கணித பாடத்தில் எளிய சமண
பெறுமதிகளைக் காண்பதில் திறன்
தீர்வுகளைக் காண வேண்டிய தே
கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தும்
உதவும். இவ்வறிவைப் பெற்ற ம
வகுப்பில் இரண்டாம் படிக்கு மேலான
காரணிப்படுத்த வேண்டிய தேவை 6
செய்வதற்கு மீதித்தேற்றம் பெரிது
அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பதாக ப
இயல்புகள் என்பன சுருங்கக் கூ
வகுப்பில் இணைந்த கணிதம் கற்கும் மூன்றாம் படியிலான பல்லுறுப்பிக
தொடர்பான பயிற்சிகளும் போதுமான
கற்கும் மாணவர்களுக்குரியது.

Tub 1
ctorisation)
ளில் கல்வி பயிலும் மாணவர்கள்
Tபாடுகளைத் தீர்த்து மாறிகளின்
பெற்ற பின்னர் இருபடிச்சமன்பாட்டின்
வைக்குட்படுவர். இதற்கு இருபடிக்
திறன்கள் அவர்களிற்குப் பெரிதும்
ாணவர்களுக்கு க.பொ.த உயர்தர
படிகளையுடைய பல்லுறுப்பிகளைக்
ாழுகின்றது. இத்தேவையை நிறைவு
Iம் பயன்படும். மீதித்தேற்றத்தை
ல்லுறுப்பிகள், அவற்றின் வகைகள்,
றுப்படுகின்றது. க.பொ.த உயர்தர
மாணவர்களுக்கு ஒரு மாறியிலான
ளைக் காரணிப்படுத்தலும் அது
வை. ஏனையவை உயர் கணிதம்

Page 10
2
L6ügg (Polynomial)
மறையற்ற முழு மாறிகளினதும் பூச்சியமற்ற ம கொண்ட கோவை பல்லுறுப்பி என S-F b : (1) ax"+ ax"+ a,
இது ஒரு மாறியைக் (2) 2xy + xy g
(3) xyz - 2xy -
ஏகபரிமாண பல்லுறுப்பி
ஒரு பல்லுறுப்பியி படியிலுள்ள ஒரு மாறி அல்லது பல்லுறுப்பி எனப்படும்.
உ+ம் : (1) x + 2y (ii)
ஏகவினப் பல்லுறுப்பி
ஒரு பல்லுறுப்பியி மாறிகளின் படிகளின் கூட்டுத்தொ: பல்லுறுப்பி எனப்படும்.
9 + tb : (1) xy + x”
(2) xy + xyz
(3) ab(c — a) + bc(a —

எண்களைச் சுட்டிகளாகக் கொண்ட ாறிலி ஒன்றினதும் பெருக்கங்களைக்
ப்படும்.
c" +................... - O
p
கொண்ட பல்லுறுப்பி ஆகும்.
இவை பல மாறிகளிலான
பல்லுறுப்பிகளாகும்.
ன் ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் முதலாம் மாறிலி இருப்பின் அது ஏகபரிமாண
x + y + z (iii) 2x + y + z
ன் ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் உள்ள கை சமமாக இருப்பின் அது ஏகவினப்
- c) + ca(b-c)

Page 11
பல்லுறுப்பிகளின் வகுத்தல்
உ+ம் : (1) (3x' + 2x - xشم -
3x +
χ - 2 3x' + 2x -
3x' - 6x
8x -
8x -
... F6 = 3x + 8x'
மீதி = 70
இப்பிரித்தல் முை வகுப்புகளில் கற்றிருப்பினும் தொகு
பார்ப்பதற்கு இங்கு காட்டப்பட்டுள்ளது
1.2 தொகுப்பு முறை வகுத்
இம்முறையில் தரப்ப
இன் அடுக்குகளின் இறங்கு வரிசை
எழுதப்படும்.

- 10x - 10) + (x -2)
8x” + 15x + 40
10 - x2 + 10x ۔
x'
- 16χε
15xo + 10x
15 x' - 30x
40x - 10
40X - 80
70
+ 15χ + 40
|360Ա ! மாணவர்கள் இடைநிலை
5ப்பு முறை வகுத்தலுடன் ஒப்பிட்டுப்
5l.
56i (Synthetic Division)
ட்ட பல்லுறுப்பியின் குணகங்கள் x
சப்படியான ஒழுங்கில் ஒரு நிரையில்

Page 12
பின் வகுக்கும் சே பெறுமதியால் முதலாம் குணகத்ை கீழ் இரண்டாம் வரிசையில் எழுதிக் மீண்டும் X இன் பெறுமதியால்
எழுதிக் கூட்டல் வேண்டும். இவ் நிரைகளை உருவாக்கலாம். இங்கு இறக்கப்படும். மூன்றாம் வரிசையில்
எண்கள் வரிசையில் ஈவின் குணகங்
மேலுள்ள உதாரணம் : தொகுப்பு மு
x - 2 = 0 => x =
X Χ.
3 2
·> 6 x2
3 8
ܥܠ2܀
3 8
3 8
3 8
3x 8x’

ாவையைப் பூச்சியமாக்கும் x இன் தப் பெருக்கி அடுத்த குணகத்திற்குக் கூட்டல் வேண்டும். பெற்ற விடையை பெருக்கி அடுத்த குணகத்தின் கீழ் வாறு தொடர்ந்து செய்து 2ம், 3ம் முதலாம் எண் நேராக 3ம் நிரைக்கு b இறுதி எண் ஈவாகவும், ஏனைய
களையும் தரும்.
pறையில் செய்தல்
2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
XV, Χ
-1 10 -10
-1 10 -10
16
15 10 -10
྾ 2 །ར། 30 15 40 -10 9 ܥܠ2܀
15 40 70
5x 40 மீதி

Page 13
. ஈவு = 3* + 8x'
மீதி = 70
2 + b : (ii) ( 4xo — 4xo + 5x
பல்லுறுப்பிகளின் வகுத்தல்
2x' - x
2x -1 4x' - 4x'
4x. - 2x
- 2x
- 2x
. ஈவு = 2r - x +
மீதி = 9
தொகுப்பு முறையால் வகுத்த6
பிரிக்கும் எண்ணைப் பூச்சியமr
Χ Χ
4. -4
2 ×% ×% X
محصے 4 -2
-2x

+- 15χ + 40
+ 7)+(2x-1)
+ 2
+ 5.χ + 7
+ 5χ
十 X
4x + 7
4x - 2
9
2
ல்
卡
க்கும் x இன் பெறுமானம் %

Page 14
6
7. + 4x " – 4x2 + 5x وتنظي
'. ஈவு = 2r - 2
மீதி = 9
5 + * iii) (x‘ + 2x) : ض+_ه
Χ X
1 O
x 2 - 2
x2 x 2
3 2x’
'x + 2x = إR6 ."
மீதி = 46
1.3 fg55(35gbgob (Remain
事 f(x) என்பது x
Q என்பது ஒரு மாறிலியாக f(
மீதி வரும் வரை வகுப்பின் மீதி

f
9+)4 + 4x * - 2x)(4ڑ - x
(2x - 1) (2x' - x + 2) + 9
+ 2
c + 12 ) + (x -2)
.Χ 2م
2 5 12
4 12 34 入 هرو’ X
மீதி 6x 17
+ 6.χ + 17
der Theorem)
இலான பல்லுறுப்பிச் சார்பாக இருக்க
1) ஐ (x - O) ஆல் X ஐச் சாராத
f(0) ஆகும்.

Page 15
Saansd : f(x) g (x - O ) ;
எனவும் மீதி R எனவும் செ
f(x) = (x - (
x = o. --> f(0):
... R =
.. ιδΕ f(C
குறிப்பு :
(1) வகுக்கும் கோவை ax
(i) வகுக்கும் கோவை ακ (i) வகுக்கும் கோவை ar
lxo + mx + n 676ro
உ+ம் : (1) 3x - 2 + 3 என்பன
மீதி யாது?
3x - 2x + 3
2x + 1
=> 3x* - 2x + 3 =
قيع – = 2
---
3

7
ஆல் வகுக்கும் போது ஈவு (b(x)
5ாள்க.
x) (þ(x) + R
= 0. db (o) + R
f(oi)
1) ஆகும்.
+ b எனின் மீதி R.
+ bx + c எனின் மீதி px + q
” + bxo + cx + d 6T6úñ6ör Lógiá
வடிவில் அமையும்.
த 23 + 1 ஆல் வகுக்கும் போது
ф (x) + .
(2x + 1) þ(x) + R
) + 3 = 0 + R
R

Page 16
8
a -- b : (2) x' + 4x - 18x +
ஆல் வகுக்கும் போது
f(x) = x' + 4x -
f(x) = () (
x - 3x + 2
コッ f(x) = (x - 2)(x - f(1) = a + b = 1 +
f(2) = 2a + b = 16 -
α = 4
b = -7
... tổgì = 4x -
உ+ ம் : (3) (x + 1) ஆல்
வகுக்கும் போது (-
வுள்ள நாலாம் படிக்
f(x) = (x* + 1) (lx
(x - 1) (x + 1) வகுக்கும்
கிடைப்பதால் f(x) = (x - 1) (x + 1)(
... (xo + 1)(lxo + mx + n) =
x = 1 => 2 (1 + m + 1
-> 1 + m + n
x = -1 ゴ> 1 - m + n

15x - 5 66ãTU65 x - 3x + 2
மீதியைக் காண்க.
18x + 15x - 5 616örs.
ax + b xo - 3x + 2
1)ф(x) + ах + b
4 - 1 - 18 . 1 + 15 - 1 - 5 = -3
32 - 72 + 30 - 5 = 1
X) +
வகுபடுவதும் (x - 1) (x + 1) ஆல்
0x + 6) g மீதியாகத் தருவதுமாக
கோவையைக் காண்க.
o + mx + n)
போது மீதி (-10x + 6)
ax + b) - 10x + 6
(x - 1) (x + 1)(ax + b) - 10x + 6
-CD

Page 17
ச்ர்வ சமன்பாட்டை இரு பக்கமும்
எனப் பிரதியிட
(x’ -- 1) (2 lx -- m) 十 2x (lxo --
d
dx
x = 1 => 2 (2l + m )
コ> 3l + 2 m + ,
)ே - )ே -> n = -5
3 = l + n چ= (2) ,'.
G) => 31 + n =
-ΕΣ l = 1,
.. f(x) = (x + 1)
குறிப்பு :
சர்வ சமன்பாடு ()
சமப்படுத்துவதன் மூலம் ஏ
வகையீடு அவசியம் இல்லை
35TJ60fjöGgbibgob (Factor The
f(x) ஒரு பல்லுறு
f(x) = 0 96ór (5 ep6)LDTuc(5 L

9
X ஐக் குறித்து வகையிட்டு x = 1
mx + n) (x-1)*(x + 1)(ax+b)- 10
+ 2 (l + m + n) = -10
η = -5 -- (3)
5
sc 2
(x - 5x + 2)
இல் X இன் குணகங்களைச்
னைய சமன்பாடுகள் பெறப்படலாம்.
Ն).
orem)
துப்பிச் சார்பாக இருக்க Q என்பது
பின் (x - Q) என்பது f(x) இன்

Page 18
10
நிறுவல் : f(x) ஐ (x - C) அ
உம் என்க.
மீதித்தேற்றத்தின் படி
R
ஆனால் Q என்பது f(x) =
... f(α) = 0
: R = (
... / (χ) = (χ - α)
... / (χ) = (χ - α)
(x - O) என்பது
காரணித்தேற்றத்தின் மறுத
(x - Q) என்பது
காரணியாயின் Q என்பது f(x) =
நிறுவல் : (x - Q) என்பது f()
7 (χ) = (χ - α)
மீதித்தேற்றத்தின் படி
CD SQ6ÖT LIọ R = C
... f(a) = 0
.. Q என்பது f(x) = 0

பூல் வகுக்க ஈவு ற் (x) உம் மீதி R
f(α)
0 இன் மூலம்
)
þ(x) + R (26ö R = 0
φ (χ)
f(x) இன் ஒரு காரணி ஆகும்.
6O6)
f(x) என்ற பல்லுறுப்பியின்
= 0 இன் ஒரு மூலம் ஆகும்.
() இன் ஒரு காரணியாதலால்
φ(χ) + 0 - Φ
R = f(a)
)
இன் ஒரு மூலம் ஆகும்.

Page 19
உதாரணம் :
' + f(x) = x* -- 3xر
f(1) = 1 - 3 + 2
= 0
'. (x - 1) ஓர் காரணி
f(2) = 4 - 3x2 +
= 0 . .. (x - 2) காரணி அ
-» f(χ) = (χ - 1) (υ
வினா 2x" - 3x + ax - 6 என
வகுக்கும் போது a யின் ெ
2x“ — 3xo + ax —
x + 2
p = 0
=> 2x“ — 3xo + ax —
x = 2 ஆக
2 (-2)' - 3 (–2) +
32 + 3 x 8 -
2a =
α = 2
* (x + 2) காரணியாதலால்
' => f(-2) = 2(-2) - 3 (.
32 + 3 x 8 -
α = 2

11
2 ஐக் கருதுக.
ஆகும்.
c - 2)
பதை (x + 2) ஆல் மீதியின்றி
பெறுமானம் யாது?
5
= f(x) + - A இங்கு
x + 2
5 = (x + 2) f(x) + p
a (–2) - 6 = 0 + 0
2a - 6 = 0
50
5
f(-2) = 0 ஆகும்.
–2) + a (-2) - 6 = 0
2a - 6 = 0
5

Page 20
12
1.4 மீள் காரணிகள்
f(x) என்ற பல்லு
எனின் f'(x) இற்கு (x - Q) எ
நிறுவல்:
/ (χ) = (χ - α) φ(χ)
I/(이= (. - α)
=> f(α) = (χ - α)
= (χ - α)
'. (x - C) ஆனது f
குறிப்பு :
(x - Q)" என்ற வடிவிலு மீதியைக் காண்பதற்கு மே
உதாரணம் :
x'-2x+7x -12x+5 g (x -
யாது?
f(x) = x' -2x -
7 (χ) = (χ - 1)
x = 1 -> f(1) = 0 + 1
... p + q =

றுப்பிக்கு (x - 0) ஒரு மீள்காரணி
ன்ற காரணி உண்டு.
என எழுதலாம்.
r > 1 ஆகுமாறு நேர்முழு எண் φ(x)
f'(x) + () (x) r(x - a)
'(x - a) p'(x) + r () (x) (x) இன் காரணி
லுள்ள கோவைகளால் வகுக்கும் போது
லுள்ள முறை பயன்படும்.
1) ஆல் வகுக்கும் போது மீதி
7x'-12x+5 என்க.
* p(x) + px+q என எழுதலாம்.
+ q
- 1 - GD

Page 21
f'(x) = (x - 1)
χ = 1 => f '(1) = 0 + 0
ஆனால் f'(x) = 4x'-6x
x = 1 => f'(1) = 0
. p = 0
... (D=> q = -1
'. மீதி -1 ஆகும்.
பயிற்சி 1.a :
ن616 5 + 4x“ -- 2x + 2x - x .1
போது மீதியைக் காண்க. 2. ax“ — 2xo + bxo — 6x — 9 6Te
வகுபடின் a, b இன் பெறுமா6
لx* + ax + b 616dIL - ق2x" + x .3
மீதி 2x +3 ஆகும். a, b ஐ
4. x'+2x'+ax+bx + c 3d.(
வகுக்கப்படும். ஆனால் (x --
-8 ஆகும். a, b, c இன் ெ
5. 7x* - 5 x3 + ax * + 5x -3 g
வகுபடும் போது மீதி 0 ஆயி: 6. 4xo-(3p+2)xo-(po-1)x-
வகுக்கின்றது. இங்கு p
இப்பெறுமானத்திற்கு கோலை
பெறப்படும் மீதியைக் காண்க.

g'(x) + p (x)2(x-1) + p
+p
+14x -12
பதை 2x’-3x+1 ஆல் வகுக்கும்
ன்பது x* -2x-3 ஆல் மீதியின்றி
னங்களைக் காண்க.
தை x-1 ஆல் வகுக்கும் போது
க் காண்க.
கோவை செப்பமாக x’ +x-2 ஆல் 1) ஆல் வகுக்கப்படும் போது மீதி
பறுமானங்களைக் காண்க.
இக்கோவையானது x-1 ஆல்
ன் a இன் பெறுமானம் யாது?
-3 한g x — р திருத்தமாக
ஒரு முழு எண் ஆகும். p இன்
X-1 ஆல் வகுபடும் போது

Page 22
14
10.
11.
ax'+ 4 x -18x’ + bx-5 61
வகுபடும் போது பெறப்படும் ஆகியவற்றைக் காண்க.
f(x) 6T6öTLJ605 (x a)(x-b
px + 4 ஆகும். a + b ,
f(a
a f(
x’ +1 ஆல் வகுபடக்கூடிய
வகுபடும் போது (-10x +6)
இலுள்ள 4ம் படி மெய்ப்பல் முறையாக மட்டும் காண்க.
f(x) என்பது x இலுள்ள
f(-1) = b, f(0) = c (5tb
வகுபடும் போது மீதி 影 (a -
f(x) yogi X-x &
V%Ca+b-2c)x + 4 (a-b)x
f(x)=x" + lxo + mx+ n 616
என்பதாலும் வகுக்கப்படும் டே
x + 2 உம் ஆகும். , m, n
12, x’ +3px+ g இன் காரணி ஒ
இருப்பின் g +4p = 0 எனக்

ன்பது x -3x+2 என்பதனாலே
மீதி 4x-7 என்பதாகும். a , b
என்பதால் வகுக்கும் போது மீதி
)-f(b) a -b
b)-b f(a) எனக் காட்டுக.
a -b
sysOToi) (x-1)*(x+1) s.6)
ஐ மீதியாக இருக்கக்கூடிய X
லுறுப்பி ஒன்றை அட்சர கணித
ா ஒரு பல்லுறுப்பி. f(1) = a,
f(x) ஆனது x-1 ஆல் - b)x+y4(a + b) எனக் காட்டுக.
பூல் வகுபடும் போது மீதி
+ c எனக் காட்டுக.
பது x+1 என்பதாலும் x-x ாது மீதிகள் முறையே 3 உம்
என்பவற்றைக் காண்க. ன்று (x-a) எனும் ഖറ്റൂഖിന്റെ
காட்டுக.

Page 23
13.
14.
15.
16.
x+ax+bx + c 666TLug5 (x
வகுபடும் போது மீதிகள் முை
x +1 ஆல் வகுக்கும் போது
முப்படிக் கோவையின்
ax+bx+cx+d என்ற பல் என்பவற்றால் வகுக்கப்படும் ே
11(x-1) எனின் a, b, c எ(
| B]]ئ616 2 -- شx“ -2x“ + x
வகுக்கும் போது மீதி 12x+10 x-ax+b என்பதை x -3.
எனின் a, b யைக் காண்க.

15
-1), (x -2), (x +2) என்பவற்றால்
றயே 2, -1, 15 ஆகும். கோவையை
மீதியைக் காண்க.
சினைகளைக் காண்க.
}லுறுப்பிச் சார்பு (r-1), (x-4)
போது மீதிகள் முறையே (5x-2),
ன்பவற்றைக் காண்க.
பல்லுறுப்பியை x-x-2 ஆல்
) எனக் காட்டுக.
x + 2 ஆல் வகுக்க மீதி 4x-1

Page 24
16
1.5 பல்லுறுப்பிச் சார்புகளை (Factorisation of Polynomiall
சமச்சீர் பல்லுறுப்பிச் சார்பு (Symmetric Polynomial Function)
இரண்டு அல்லது இ கொண்டிருக்கும் பல்லுறுப்பிச் சார்புகளி தமக்குள் மாற்றும் போது சார்பு ம
எனப்படும்.
உ+ம் : 1. x + y
2. x“ + xy + y“
3. x + y + z
4. x + y + z + xy +
சமச்சீர் முரண் சார்பு ( ஓராய
(Skew Symmetric Polynomial Fun
இரண்டு அல்லது இ கொண்டிருக்கும் சார்பில் இரு மாறிக சார்பானது குறியை மட்டும் மாற்றின்
எனப்படும்.
உ+ம் : 1. x-y
2 (xーy)(yーz)(zーx)

ாக் காரணிப்படுத்தல் Function)
ரண்டிற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் ரில் எவையேனும் இரு மாறிகளைத் ாறாதிருப்பின் அது சமச்சீர் சார்பு
yz + zx
láj dFID3Fdfid dFTiL )
ction)
ரண்டிற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக்
5ளைத் தமக்குள் மாற்றும் போது எால் அது சமச்சீர் முரண் சார்பு

Page 25
வட்டப் பல்லுறுப்பிச் சார்பு
ی (W و (V و M و 2 و (V و X
FITsilhof)
х —» у z ج– y
Z -->
ΆΑ - Σ λ
V -> M/
MV –S X. 66
இருப்பின் அது வட்டப் பல்லுறுப்பிச் ச
குறிப்பு :
1. இரு சமச்சீர் சார்புகளை
போதும் பெறப்படும் சார்புக
2. இரண்டு சமச்சீர் முரண்
வகுக்கும் போதும் பெறட்
ஆகும்.
3. ஒரு சமச்சீர் சார்பையும்
பெருக்கும் போதும் வகு
ஆனது சமச்சீர் முரண் சார்
மீதித் தேற்றத்தின் மூலம் பல் காரணிப்படுத்தல்
s --- b : 1) f(x, y, z) = xy(x -y) +
இது வட்டச் சமச்சீர் மு
χ - у ஆக
f(y, y, z) = yy(yーy)

7
(Cyclic Polynomial Fuction)
ஆகிய மாறிகளைக் கொண்ட
ன மாற்றும் போது சார்பு மாறாது
ார்பு எனப்படும்.
ப் பெருக்கும் போதும் வகுக்கும் ள் சமச்சீர் சார்புகள் ஆகும்.
சார்புகளைப் பெருக்கும் போதும்
படும் சார்புகள் சமச்சீர் சார்புகள்
ஒரு சமச்சீர் முரண் சார்பையும் க்கும் போதும் பெறப்படும் சார்பு
"பு ஆகும்.
bலுறுப்பிச் சார்புகளைக்
z(y — z)+zx(z - x)
]ரண் சார்பு ஆகும்.
+ yz(y – z)+ zy(z–y)

Page 26
18
= 0 +
= 0
". (x -y) ஓர் க இவ்வாறே (y-Z), (2-
V(x, y, 2) εί6διΦι χ, y .
... f(x, y, z) = A(x -y)
முறை 1 : x*y இன் குணகத்ை
- A = 1
A = -1
... f(x, y, z) = -(x - y
முறை I : x = 0, y=1, 2 =
-1(2) = A(0-1)
- 2 = 2A
A = -1
குறிப்பு :
i) x, y, z இல் 1ம் படியில் உ சார்பின் பொது வடிவம் A.( i) x, y, z இல் 2ம் படியில் உ சார்பின் பொது வடிவம் A ( i) x, y, z இலான ஏன
முதலாம் படிக் காரணிகள் (a) x = 0 67GOT gL f(x,y,
(b) x = y 61601 S.L. f(x,y,

yz(y-z)-yz(y-z)
ாரணி
c) ஆகியன காரணிகளாகும்.
ல் மூன்றாம் படிச் சார்பாகும்.
(y -2)(2-x) என எழுதலாம்.
தச் சமப்படுத்த
)(yーz)(zーx)
-1 ஆக
(1+1)(-1-0)
உள்ள ஏகவினமான வட்ட சமச்சீர்
c + y + z) ஆகும்.
உள்ள ஏகவினமான வட்ட சமச்சீர்
2 +y +z) -- a(xy+yz+z) ஆகும். வினச் சார்பைக் காரணிப்படுத்துவதற்கு
காணும் முறைகள் 2) = 0 எனின் x ஒரு காரணி
2) = 0 எனின் x-y ஒரு காரணி

Page 27
(c) x = -y 6T601 S.L. f(x,y,z
(d) x = y + z 6T60T 3L f(x, y,
காரணி
(e) x = -y-Z GT60T &L f(x,
காரணி
2 -- (b: 2) f(x, y, z) = x(y-z)+.
இது வட்ட சமச்சீர் மு
x = y g!8ѣ
f(y, y, z) = y(y — z) +
= y(y — z)” —
= 0
.. (x -y) ஒர் காரணி இவ்வாறே (y-Z), (2-3)
f(x,y,z) 4ub UL9 6Ja
(x — y)(y — z)(z — x) 3ub Utç
g|TांL
எனவே குறிப்பு (2) ன்
f(x, y, z) = (x - y)(y - z)(
g|Big5 A (x + y + z)
சார்பின் பொது வடிவம்.
xy" இன் குணகத்தைச் சமப்
1 = M.
=> f(x, y, z) = (x - y)(y -

19
) = 0 எனின் x + y ஒரு காரணி
2) = 0 எனின் x-y-2 ஒரு
y,2) = 0 எனின் x + y + 2 ஒரு
y(z–x) + z(x - y)'
ரண் சார்பு ஆகும்.
w(zーy)"+z(yーy)"
y(у — z)*
ஆகும்.
ஆகியன காரணிகளாகும்.
கவின வட்ட சமச்சீர் முரண் சார்பு
ஏகவின வட்ட சமச்சீர் முரண்
f L J1ç2.
z - x) A (x + y +2) என எழுதலாம்.
1ம் படி ஏகவின வட்ட சமச்சீர்
படுத்த
z)(zーx)(x+y+2)

Page 28
20
s_+ ib: 3) f(x,y,z) = x + y' +
இது வட்ட சமச்சீர்
x = -y-2 என இட
f(一yーz,y,z) R (一yーz)
= — (y + z)
= --(y +3
= 0
.. (x + y+z) ஓர்
f(x,y,z) SAGOTöll x, y, z 6ò e
அத்துடன் (x + y+z) (P5t
எனவே குறிப்பு (2)
... f(x, y, z) = (x + y+z) (,
6T60T 6T(p56)TLD.
இங்கு λ(α' +y" +z")+a
வட்டச் சமச்சீர் சார்பின் பொது வ
* இன் குணகத்தைச் சமட்
1 = 4
y2 இன் குணகத்தைச் சம
—3 = 3ди
= -1
= f(x,y,z)=(k+y+z)(

zo-3xyz
சார்பு ஆகும்.
+y+z-3(-y-z)yz
+y+ z +3(y+z)yz
)*z + 3yz* + z°) + y3 + z3 + 3y * z + 3yz*
காரணி ஆகும்.
ழன்றாம் படி ஏகவின வட்டச் சமச்சீர்
லாம் படி ஏகவின வட்டச் சமச்சீர்
ன் படி 2(x + y + z') + u(xy + yz + Zx))
(xy + yz + Zx) இரண்டாம் படி ஏகவின டிவம்.
படுத்த
ப்படுத்த
(x+y+z)-(xy + yz + Zx))

Page 29
s + b : 4) (a+b+c)-a-b-
f(a,b,c) = (a+b+.
a = - b என இட
f(-b, b, c) = co-(-
' (a+b) ஓர் காரணி
f(a, b, c) g|Déff Fil
(b+c), (c + a)
f(a,b,c) ep6örpfb L
f(a,b,c) = 4(a+b)
ab இன் குணகத்தை
4 = 3 ஆகு
... f(a,b,c) = 3 (a +
LIufjzðf 1.b :
காரணிப்படுத்துக.
1) f(a,b,c) = (a + b - c)(b + c - a)(
2) f(a,b, c) = a”(b-c)+bo(c-a) +
3) f(a,b,c) = a(b-c) + b (c-a)-
4) f(x,y,z) = x*(yo —z*) + yo (zo -
5) f(a,b,c) = be(b-c) + ca(c-a)+
6) f(x,y,z) = (x + y' + z)* —xo — yo
7) f(a,b,c) = a (b+c) + b (c +a)-
8) f(a,b,c) = be(b+c) + ca(c+ a)+

21
* ஐக் காரணிப்படுத்துக.
)-a-b-c' 616órds.
) -b-c = 0
l.
ர்பாதலால்
என்பவையும் காரணிகள் ஆகும்.
டிச் சார்பாதலால்
(b+c)(c+a) என எழுதலாம்.
தச் சமன் செய்ய
D.
-b)(b+c)(c + a)
c + a-b)+8abc
H co(a-b)
co(a-b)
- x3) + z* (x3 - y 3)
αύ(α- b)
-c' (a+b)+3abc
- ab(a + b) + 2abc

Page 30
22
9) f(a,b) = (a + b)” -ao-bo
10) f(x,y,z) = (x + y+z)" – (y+
11) f(a, b, c) = (bc + ca + ab)*—b 12) f(a,b,c)-(a-b) +(b-c). 13) f(x,y,z) = (x+y)(z-y)+(
14) f(a,b, c) = a +8bo+27co-1
15) f(x, y, z) = (x + y)(y+z)(z+.
16) f(a,x) = (a -x) + (x-1)-(
LIufjöF 1.c :
1) (i) (x -y) 6T6örugs) f(x,y
என்பதன் காரணி எt முற்றாகக் காரணிப்படுத்
x , y , 2 மெய்க்க
(305ÜLil6öT f(x, y, z) = 0 (ii) ax'+bx +c soug x'
கொண்டதெனின் a’-c
ax' + bx+c 9 lub c. காரணிய்ைக் கொண்டெ 2) f(x), g(x) 6T6öru601 x 36
3x’ +x-2 இனாலும் g(x)
மீதிகள் முறையே 2x+1 , )
இன் ஏகபரிமாணக் காரணி
ஏகபரிமாணக் காரணிகளால்
காட்டுக.

2)" --(z + x)" --(x + y)‘ + x* + y* + z*
c-ca-ab
-(c- a)
y +z)'(y-z)+(z+ x)(z-x)
8abc
c) + xyz
መ –1)”
,z)=x"(yーz)+y"(zーx)+z"(xーy) னக்காட்டி, இதிலிருந்து கோவையை
து5.
ணியங்களாகவும் சமனற்றவையாகவும் ஆக முடியாது என்பதை உய்த்தறிக.
+px+1 என்பதை ஒரு காரணியாகக்
= ab எனக் காட்டுக. (+bx+a உம் பொது இருபடிக் நன உய்த்தறிக. Uான பல்லுறுப்பிகளாகும். f(x) ஐ
ஐ x-1 இனாலும் வகுக்கும் போது
+2 ஆகும். பல்லுறுப்பி f(x) + g(x)
ஒன்றைக் கண்டு f(x)-g(x) ஐ இவ்
வகுக்கும் போது மீதி -1 எனக்

Page 31
3)
4)
5)
6)
x-k GiGirugs 2x'+(3k
-3k-6)x + 6 இன் ஒரு கார
பெறுமானத்தைக் காண்க.
k இன் ஒவ்வொரு பெறும
எஞ்சிய காரணிகளைக் காண்க. f(x) = x' - 4x'+10x-12x+ ஒரு காரணி ஆகும் எனக் காட்( f(x) g (x - a)' (x + b.
இங்கு a, b, c ஒருமைகள்.
x இன் எல்லா மெய்ப்பெ உய்த்தறிக.
f(x) = px“ + qxo + rxo + s.x + t Lôg) (s — qa)x + pa? — ra + t 6
OZ, -- OM என்பன f(x) =
ps’-grs+q'r = 0 எனக் காட் x’ +px+1 என்பது ax + (a-c)(a-c’ + be) = ab’
செய்யப்பட்டால் x +px+1
காரணியாகும் எனக் காட்டுக.
f(x) = x“ — bxo — 11x* + 4(b + .
ஆகும். f(x) இருபடிக்கோை
f(x) இன் ஒரு காரணி x +
காண்க.

23
4)x + (2k -5k-5)x+(2k -2k
ணியாக இருக்கத்தக்கதாக k இன்
ானத்தையும் நேர் ஒத்த f(x) இன்
5 எனின் x-1 ஆனது f(x) இன்
டுக.
C+ c) எனும் வடிவத்தில் தருக.
றுமானத்திற்கும் f(x) > 0 என்பதை
என்பது x+a ஆல் வகுபட்டால்
னக் காட்டுக. : 0 என்பதன் மூலங்களெனின்
டுக.
x’ +c என்பதன் காரணி எனின்
என நிறுவுக. இந்நிபந்தனை திருப்தி
என்பதும் cx+bx+a என்பதன்
)x + a இங்கு a , b மாறிலிகள்
வ ஒன்றின் நிறைவர்க்கம் எனவும்
2 எனவும் தரப்படின் a , b ஐக்

Page 32
24
8) x +3px +3qx + r ஆ
வகுபடக்கூடியது. (x + B, C 3 a' +2pa + q = 0 எனவும்
O. E. τις Ρα
20p - q)
9) x* + y* + z3 - 3xجري இன் 8
அல்லது வேறுவிதமாக a, b, !
66 ஒ
x , y , 2 என்பவற்றின் சா
C+ y என்பவற்றினால் = 2މިޓީ இருந்தால் - இருந்தால் DITË காட்டுக. 10) (b-c)+(c-a)+(a-b) = 3
x+y+z=0 ܗܝ
ax + by-+cz=0
r +y+z =3(b-c)(c
வண்ணம் x , y, z ஆகியன ெ க்கு a * b * c என அமையின்
у Z
b-cc-a a-b 11) f(x,b,c) = x'+b+c'-2b'c'
மாறிலிகள். f(x,b,c) ஐக் காரல் இதிலிருந்து f(x,b,c)=0 எ காண்க. இங்கு x ஓர் மாறி ஆகு

l (x -o)*(x - f2) ஆல் [q مجھ?p ,0
pa’ +2ga+r = 0 எனவும் காட்டி
ய்த்தறிக.
ாரணிகளைக் காண்க. இதிலிருந்து
எனும் சமனில்லாத மூன்று எண்கள் و y* = b + zx و l6to x* = a + yzت
தரப்படின் ax+by+c2 = 0 ஆக திரம் x + y + 2 = 0 ஆகும் எனக்
(b-c)(c-a)(a-b) எனக் காட்டுக.
- a)(a-b) 66 அமையும் மய்மாறிகள் எனின், மெய் a, b, c
எனக் காட்டுக.
-2x'c' - 2x'b' இங்கு b , c னிப்படுத்துக.
னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக்
b.

Page 33
அத்திய
இருபடிச் சமன்பாடுகள்
விகிதறு
அறிமுகம்:
கணிதத்தில் சமன்பாடு முக்கிய இடத்தை வகிக்கின்றன. எளி இருபடிச் சமன்பாடு, வகையீட்டுச்
சமன்பாடுகளை நாம் எப்போதும் எதிர்
எனவே இவ்வத்தியாய
அதன் மூலங்கள், தன்மைகள் என் அத்துடன் இருபடிச் சார்புகள், அவற்றின் பருமட்டான வரைபு என்பன
இருபடிச் சார்புகளும், டொன்று பிரிக்கமுடியாத இரு பகுதிக
இவ்வத்தியாயத்தின் சார்புகள், அவற்றின் வீச்சம்,
நோக்கப்பட்டுள்ளது.
இருபடிச் சார்புகளின் வி காணமுடியும். ஆனால் விகிதமுறு காணமுடியாது. இவற்றின் வரைபுக6ை ஒழுங்கான முறையில் நாம் மேற்செ
இங்கு எடுத்துக் காட்டப்பட்டுள்ளன.

25
Tuîd 2
ர், இருபடிச் சார்புகள், சார்புகள்
அமைத்தலும் அதனைத் தீர்த்தலும் iய சமன்பாடு, ஒருங்கமை சமன்பாடு,
சமன்பாடு எனப் பலவகையான
கொள்கின்றோம்.
த்தில் இருபடிச் சமன்பாடுகள்
பன விரிவாக நோக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் இயல்புகள், உடமைகள்,
பற்றி விளக்கப்படுகின்றன.
இருபடிச் சமன்பாடுகளும் ஒன்றோ
ளாகும்.
இறுதிப்பகுதியில் விகிதமுறு
வரைபு என்பன பற்றி எடுத்து
வரைபுகளை இலகுவில் நாம் இனங் சார்புகளின் வரைபுகளை இனங் ா வரைவதற்கு சில படிமுறைகளை
காள்ள வேண்டும். அப்படிமுறைகள்

Page 34
26
2.1 இருபடிச் சமன்பாடுகளு
a, b, c e 9t, a 70
வடிவில் அமைந்த சமன்பாடு இரு
இச்சமன்பாட்டை திரு இவ்விருபடிச்சமன்பாட்டின் மூலங்க
இவ்விருபடிச்சமன்பாட் எனவும், அவை மெய் மூலங்கள
இருக்கலாம் எனவும் கீழ்வரும் பகுதி
2.1.1 இருபடிச் சமன்பாட்டி
தேற்றம் 1
ax’ + bx + c = 061g0lb gld6öTUTI
-b - Wb - 4ac
b. 2a 5@گ
p536.6t): ax+bx + c = 0, a 7
b c => x + x + = 0
2 a.
=()-()
b Y’ b?-, ={+器)-

ரூம் தீர்வுகளும்
Ruilobias ax + bx + c = 0 616örgotb
படிச் சமன்பாடு எனப்படும்.
ப்தி செய்யும் X இன் பெறுமானங்கள் ள் எனப்படும்.
டிற்கு எப்போதும் மூலங்கள் இருக்கும் ாகவோ, சிக்கலெண் மூலங்களாகவோ
திகளில் காண்போம்
டின் மூலகங்கள்
-b+ Vb - 4ac
-டின் மூலங்கள் --,
2a

Page 35
2a 2a
b wb’ - 4ac Ξ» X -H-- --+-
2 2a
---------س------ = 6T60](86DJ X
2a -- b \b
2a . . . -b-b .. மூலங்கள
குறிப்பு: A=b* -4ac < 0 எனின் மே
அமைகின்றன. அல்லாதவிட
இருக்கும்.
2.1.2 மூலங்களின் எண்ணி தேற்றம் :2
ax+bx + c = 06ir poorlies6ft O, B,
இருப்பின் 8 = y ஆகும்.
p53616): O, B, Y 616tuor ax + bx + ... ao+bo + c = 0 .
aß°+bß+ c = 0... ay’+ by + c = 0.............

27
- 4ac *
அலலது 2a
- 4ac
2a
-4ac -b+ Wb” -4ac
,-- ஆகும.
2a
ற்படி மூலங்கள் சிக்கல் எண்களாக
த்து மெய் மூலங்கள் மட்டும்
க்கை
Y ஆகவும் 0.4 B, O 4 y ஆகவும்
c=0 இன் மூலங்கள்
LLLLLLL LL 0L LL LLLLGLLLLLLLLLLLLLLLSLLLLLLLLLLL LLLLLLL (1)
Ad Old ...(2)
LLLLLLL LL LLL LLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLL LLLLLLLLL (3)

Page 36
28
(1) - (2) = a(a-B) + b(o, - B)=
a(o + ß) + b=0 ('.' o FÉ ß (1) - (3)= a(o-Y)+bso - y) = 0
...a(o + Y) + b = 0 ('.' o FÉ: '
(4)–(5) => a(B-Y) = 0
... B - Y = 0 (".."a
... B = y
எனவே இருபடிச் சமன்பாடு ஒ இருக்கும்.
2.1.3 மூலகங்களின் கூட்டு
தேற்றம் 3
ax+bx + c = 0 (36ir epGorilas Git a
நிறுவல்
ax+bx + c = 0 (96ir ep6)risoit
-b+ Vb - 4ac -b- Wb’ - 4ac
2a 2a
O コ -b+ Vb - 4ac
2a
-b-wb B = - 2a
b α + β = 72a என்பது உடனடியாக
2

). (4)
γ). (5)
z 0)
ன்றிற்கு இரு மூலகங்கள் மட்டுமே
குத்தொகை, பெருக்குத்தொகை
,B எனின் c +B = -c B = ggib,
2 2.
என முன்னர் பார்த்தோம்.
- 4ac
என்க. அப்போது
ப் பெறப்படும்.

Page 37
மேலும் هg =[-bag-عه[]
2a
-bo-(o-4ac) e
4a O
. n+-구. } = " al al
குறிப்பு
1. மேற்படி முடிவு 2.1.3 ஐப் பய
நிறுவல்
ax+bx + c = 0861 epGori,
o,B மூலங்கள் என்பதால் O + 6 = -
l a,y மூலங்கள் என்பதால் 0 + y = --
(1)-(2)コ> Bーy=0
..B = Y
'. இரு மூலங்கள் மட்டுமே இருக்கும்.
2. தரப்பட்ட பெறுமானங்கள்
உடைய சமன்பாடு
இச்சமன்பாடு உடனடியாக (
அதாவது O, B ஐ மூலங்களாக உடை
எனப் பெறப்படும்.

29
2a
– b - Vbo 국
ன்படுத்தி 2.1.2 இற்கான இன்னொரு
கள் 0,8,y என்க.
"... . (1)
al
"... . (2) al
ή α,β மூலங்களாக
X-0)(x-B) = 0 என எழுதப்படலாம்.
-ய சமன்பாடு x-(a + B)x+ oß = 0

Page 38
30
எனவே தரப்பட்ட பெறு கூட்டுத்தொகை, பெருக்குத்தொகை
மூலங்களாக உடைய இருபடிச்சமன்
2.1.4 இரு இருபடிச்சமன்ப கொண்டிருக்க நிபந்த
தேற்றம் 4
ax+bx+c=0, px + qx + r=061
b டிருப்பின் = q R ஆக இருக்கு
р
நிறுவல்
ax+bx+c=0, px + qx+ r=06
கொண்டுள்ளன என்க.
o, B 616öTUGot ax + bx + c = 0 36ir
... a+b=- o o e o e a o o o o o o (1)
C oß= * ... (2)
al
as3 676öru60I px + qx+r = 0 366 e
".. a+b=-.................. (3)
р
r
αβ = . . (4)
р

மானங்கள் O, B இற்கு அவற்றின்
5 என்பன அறியப்படின் அவற்றை
பாடு உடனடியாக அறியப்படும்.
ாடுகள் ஒரே மூலங்களைக்
6})6] [[
ன்பன ஒரே மூலங்களைக் கொண்
நம்.
ான்பன ஒரே மூலங்கள் 0,B ஐக்
மூலங்கள்
pலங்கள்

Page 39
(1)& (3)=>
2. அதாவது - =
р
(2) & (4) => =
al
இந்நிபந்தனை ஒரு போதிய நிபர்
b а C எனின் இருபடிச்சமன்பாடு
p q r 9-5 ax +bx+c=0 «» px + qx
உதாரணங்கள் 2.1.a 2.1 2x-3X-2 = 0 676igib FLD6
ax+bx + c = 086ir (p6)risei
எனவே தரப்பட்ட சமன்பாட்டின்
2(2) 3t 25 -3ts
4 4

31
ந்தனையாகவும் அமையும் ஏனெனில்
களும் ஒத்ததாகின்றன.
+1 = 0 ஆகும்.
ாபாட்டின் மூலங்களைக் காண்க.
-bit Wb” -4ac 2a
மூலங்கள்
ஆல் தரப்படும்

Page 40
32 .
2. ax + bx + c = 0 (36' epouilds6it
உடைய சமன்பாட்டைப் பெறுக.
ax+bx + c = 0 (36 ypg)5.56it O.
o α + β = -b, oB = 3 al a.
oB 83 ep6lorblab6|TIT85 S 60)Lu & LD60TLJ) O.
இன் பெறுமானங்கள் காண வேண்டும்.
1.1 B+ о. α β αβ
b - -_로 - 그
O c c "
2
보. 보____보으보 o B op c c'
2
1 oB 28 (p65856TE 2-60Lu &LD60TUT O.
2 1 1 1 o x-(-+ )x+--=0 என எழுதப்படலாம்
α β' αβ
'. (1), (2) -> வேண்டிய சமன்பாடு
x-(-b/c)x+a/c=0
9-3 cx'+bX+a=0,945b.

O., f 6166t ஐ மூலங்களாக
s
f
1.
O.
, 8 ஆகும்.
ாட்டைப் பெறுவதற்கு
f
i
d 8 (1)
0 t e i s a (2)
ஆகும்.

Page 41
குறிப்பு:
ax’ + bx + c = 0 எனும் சமன்பாட்டில்
11 α β Cx’ + bx +a=0 உய்த்தறியப்படல
செய்வதன் மூலம் இனை
3. ax + bx + c = 0 (36' ep605156
உடைய சமன்பாட்டைப் பெறுக.
ax“ + bx + c = 096ôr op6UÉlé
". o + B ==b, cب .B =ك * a al
இனி a +8,o-B ஐக் க
o + B = (o + B) - 2o.B 6
". o2پ + B?=(B(? -29
2.
a.
2 = b; – 2
al 2
ബ b’-2ac
ao
.. வேண்டிய சமன்பாடு
x” – (o” + 3”)x + o” - B -
* - 2ac c
b eigl x-( ao x +
".. a'x' - (b’-2ac)x + c =

33
1. x இற்குப் பதிலாக - ஐ பிரதியீடு
Χ
மூலங்களாக உடைய சமன்பாடு
fTb.
ள் o,p எனின் o’,8’ மூலங்களாக
5ள் 0, 8 ஆகும்.
ாண்போம்.
60 எழுதலாம்.
= 0 ஆகும்.
= 0 ஆகும்.
0 ஆகும்.

Page 42
34
4. ax + bx + c = 0363 pourisGir
மூலங்களாக உடைய சமன்பாட்டை
ax’ + bx + c = 036, மூலங்
எனவே “+8=-° α . β =
2
இனி (中)-부(n+
- α + β
1 (a +B) - ( + B) α + β
b+1 = a
-(b)
al
R (b’ + a
ab
1 m (+B). = 1
. வேண்டிய சமன்பாடு
1
x -((o. + B)+ X + (o.
α + β
2 2 x+b -- a + 1 = 0 g [55-{29ک
ab
".. abx + (a + bi)x + ab =

O., f 676tfair or + B,
α + β
டப் பெறுக.
பகள் O, B
C
g(95LD. al
游 B). என்பவற்றைக் காண்போம்.
Ο Η
)
1
α + β
十队·一=0
ஆகும்.
0 ஆகும்.

Page 43
s. 4x-30x + k = 061g0lb FD66
வித்தியாசப்படுபவையாக அமை6
காண்க.
4x'-30x + k = 0 (86ör epGorilesgir C
30 k '. O + 3 = –-, Oß = -
= a=
(a - B)=(o. + B)- 4of 6T60T 6T(pg
- to - Ry2 = (0,-k ... (α - β) G) 4
-900
16
225 _{,
4
ஆனால் 0 - 3 = 5 எனத் தரப்பட்டுள்
.. --2
225-4k=100
... 4ks 125
125 4.
6. x’ + ax + 8 =0 இன் ஒரு மூலம்
a இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
x’ + ax + 8 =0 இன் மூலங்கள் 0, 8
. O+B = -a, of = 8
ஒரு மூலம் மற்றையதன் வர்க்கம்

35
பாட்டின் மூலங்கள் 5 ஆல்
வதற்கு k இன் பெறுமானத்தைக்
, B என்க.
தப்படலாம்.
1ளது.
மற்றையதன் வர்க்கமாக இருப்பதற்கு
என்க.

Page 44
36
அது a = 6*(என்க)
αβ = 8 =» ββ = 8
. ßo = 8
B = 2
... O = 4
. α + β = -a = 4 + 2
a F-6
2.2 மூலங்களின் தன்மை 2.2.1 தன்மை காட்டி
தேற்றம் 5
சமன்பாடு ax + bx + c = 0 ஐ கருதுக.
1. A>0 ஆயின் சமன்பாட்டிற்கு இரு பெ
2. A=0 ஆயின் சமன்பாட்டிற்கு பொருந்
உண்டு. 3. A*0 ஆயின் சமன்பாட்டிற்கு ol
உண்டு
நிறுவல்: ax'+ bx + c = 036ir மூலங்கள்
--bit wb 二*。
2a
னப்
1. A=b’- 4ac>0 GIGilgir wb’ - 4ac QLDL

A=b'- 4ac Gigitas.
)ய்மூலங்கள் உண்டு.
தும் இரு சமமான மெய்மூலங்கள்
புணரிச் சிக்கலெண் மூலங்கள்
பார்த்தோம்.
பப் பெறுமானம் ஆகும்.

Page 45
–b + Vb*–4
சமன்பாட்டிற்கு, 2
al
மெய்த்தீர்வுகள் உண்டு.
2. Δ=0
.. b?. 4ac = 0
-bit 0-b 2a 2a
எனவே சமன்பாட்டிற்கு இற்கு SFL
al
உண்டு.
3. A= b - 4ac <0.
... Wb’ -4ac கற்பனையானது.
-b+wb’ - 4ac -
AA - -
சிக்கலெண்களாகும்.
'மூலங்கள் உடன்புணரிச் சிக்கலெண்க
குறிப்பு:
1. A = b - 4ac, &LD6tuTG ax+bx + c
அழைக்கப்படும்.
2. A=0 ஆயின் சமன்பாடு ax+bx+c
-> (x+P) = 0 ஆகும்.
2a
அப்போது x = 三地三地 எனப் பொ
2a 2a
உண்டு எனக் கருதப்படும்.

37
–b – Vb°–4ac O ---எனும் இரு
ac
Dமான இரு பொருந்தும் மூலங்கள்
-b-b? - 4ac · A · - - to உடன்புணரிச்
5ளாக இருக்கும்.
=0 இன் தன்மைகாட்டி என
ருந்தும் இரு சமனான மூலங்கள்

Page 46
38
3. A>0 ஆயின் மெய்மூலங்கள் இருக் அது b-4ac>0 ஆயின் மூலங்கள்
தரப்பட்ட சமன்பாட்டில் a, C என்பன
b எப்பெறுமானத்தைக் கொண்டிந்தா
எனவே a, C என்பன முரண்குறிக
எப்போதும் மெய்யாக இருக்கும்.
4. A= b - 4ac என்பது மூலங்களி
காட்டுவதால் அது இருபடிச்சமன தன்மை காட்டி எனவும் அழைக்கப்
2.2.2 மூலங்கள் இரண்டும் நேர தேற்றம் 6
ax’ + bx + c =0 இன் மூலகங்கள் இர
i) b-4ac>0 ஆயிருக்க வேண்டும். அத்
ii) a>0, c>0, b<0 SG5 SÐ6d6og5
a<0, C<0, b>0 ஆக இருக்க வேண்டு
நிறுவல்: மூலங்கள் இரண்டும் நேராக i) மூலங்கள் மெய்யாக இரு
b'- 4ac-0.............. (I)
i) மூலங்களின் கூட்டுத்தொன
9-5 – b > 0 e s s s e o s e s s a a
al
அத்துடன் மூலங்களின் ெ
C ........... 0 >- [5-}29ک
2

கும் எனக் கண்டோம்.
மெய்யானவை.
முரண்குறிகளைச் கொண்டிருப்பின் லும் b-4ac>0 ஆகும்.
ளைக் கொண்டிருப்பின் மூலங்கள்
ரின் தன்மையை வேறு பிரித்துக் பாட்டில் பிரித்துக்காட்டி எனவும் படும்.
ாக இருப்பதற்கு நிபந்கனை
"ண்டும் நேராக இருப்பதற்கு
துடன்
இருப்பதற்கு
க்க வேண்டும். எனவே
(II)
பருக்குத்தொகை

Page 47
(II), (III) =>
a உம் C உம் ஒரே
குறியையும் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
எனவே a>0, c>0 அத்துடன் b*0 அt இருக்க வேண்டும்.
2.2.3 மூலங்கள் இரண்டு
நிபந்தனை தேற்றம் 7 w
+ bx + c = 0 இன் மூலங்கள் இர6 (i) b’- 4ac-0 அத்துடன் (ii) a>0, b>0, c>0 SD16ÖGog a<0, b<0, ೨'ಖ a,b,c என்பன மூன்றும் ஒரே குறி
நிறுவல்: மூலங்கள் இரண்டும் மறை (1) மூலங்கள் மெய்யாக இருக்க வேண எனவே 6-4ac>0 . (I) மேலும் (2) மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை
அ-து -bao SLL L S L L L L L 0S 0S LL LLLL S S00 00 S LL S LLL 0L SY
al
அத்துடன் மூலங்களின் பெருக்குத்ெ
S LLLL LLL SL LSL L SL SL LSL 0LL LL SL 0LL 0S SLL SLSL 0L LL S 0LL S 0LL LL S L S 0SL S 0LL L 0 > * ل35-{929
2
(II), (III) -> a, b, c yp6örguib 6908J (5ße
... al-O, b0, c096b6og)
a-0, b(0,c-0 guiqbd535 (36.606 (6Li

39
குறியையும் b அவற்றின் முரண்
)6oġbu a<0, c<0 eġħġbjL6öT b>0 e5
ம் மறையாக இருப்பதற்கு
ண்டும் மறையாக இருப்பதற்கு
c<0 ஆயிருக்க வேண்டும்
யுடையனவாக இருக்க வேண்டும்.
யாக இருப்பதற்கு
iT(6lb.
o (II)
தாகை
YS SLLL LS S0SS SS LLL SLLS S SLS SL SLL SL SLLLL LLLL SLLL SLLLL LLL 0 (III)
ளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்

Page 48
40
2.2.4 மூலங்களுள் ஒன்று (
இருக்க நிபந்தனை
தேற்றம் 8
ax’ + bx + c = 0366 ep605.356it (LPS
a, C என்பன முரண்குறிகளைக் கொன
நிறுவல் : மூலங்களுள் ஒன்று நேராகவும் மற்ற (i) மூலங்கள் மெய்யாக இருக்க வேை
зэны b”-4ас >0
அத்துடன் (i) மூலங்களின் பெருக்கம்
( ,ஆக வேண்டும் எனவே a 0 > یا al
கொண்டிருக்க வேண்டும் எனவே ac<0 ஆக இருக்கும் ஆகவே b’-4ac>0 ஆக இருக்கும் எனவே இவ்வகையில் ac*0 ஆயிரு
அ-து a, C என்பன முரண்குறிகளை
போதுமானது.
உதாரணங்கள்
1. x-px+ (p+3) = 0 என்னும் சமன்
(1) பொருந்தும் மூலங்களை
(i) மெய் மூலங்களைக் கொண்டிரு
வீச்சுக்களைக் காண்க.

நராயும் மற்றயது மறையாகவும்
ண்குறிகளைக் கொண்டிருப்பதற்கு
டிருக்க வேண்டும்.
து மறையாகவும் இருப்பதற்கு
ir(6Lib
> என்பன முரண்குறிகளைக்
த்தல் மட்டும் போதுமானது
b கொண்டிருத்தல் மட்டும்
LUMTOB
ப்பதற்கு p இன் பெறுமான

Page 49
(1) மூலங்கள் பொருந்துபவையாக
Δ=0
p’- 4(p +3) = 0
po-4p-12=0
(p-6)(p + 2) = 0
'. p = 6 அல்லது p = -2
(i) மூலங்கள் மெய்யாக இருப்பத
Δ>0
... A= po-4(p+3)
= (p-6)(p + 2) >0 ... p56, p<-2
ஃ. p>6 அல்லது pK-2 ஆயின் கொண்டிருக்கும்
2. x+ax+a=0 இன் மூலங்களின்
A=b'- 4ac
=a- 4a
= -3a'<0
'. இதன் மூலங்கள் உடன்புணரிச்
3. 3x'+(k-1)x -2 = 0 86ir psoria
உடையவையாயும் இருப்பதற்கு
மூலங்கள் o,p என்க
இவை சமனாயும் முரண்குறிகளை உ
α = -β

41
இருப்பதற்கு
நற்கு
சமன்பாடு மெய் மூலங்களைக்
தன்மையைத் துணிக. இங்கு a * 0.
சிக்கல் எண்களாகும்.
5ள் சமனாயும் முரண்குறிகள்
K இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
உடையனவாயும் இருப்பதற்கு

Page 50
42
... α + β = 0
ஆனால் c + B= -
- 부-0
"... k = 1
4. x+ (a - 3)x + a = 0 என்னும் சம
குறியை உடையவையாக இரு
அல்லது பெறுமான வீச்சைக் கான
மூலங்கள் இரண்டும் நேராக இருக்
இருக்கலாம்
(1) மூலங்கள் இரண்டும் நேராக இருப்பு
(i) (a-3)-4 a 20
(ii) a - 3 <0, a>0
..(i) a-10a +920
(a - 9)(a - 1) > 0
... as 1, a29
(ii) а —3 < 0, a>0
... a <3 a>0
'. a= 1 ஆகும்.
(i) மூலங்கள் இரண்டும் மறையாக இ
(i) а — 3>0, a>0
... a>3

ன்பாட்டின் மூலங்கள் இரண்டும் ஒரே
ப்பதற்கு a இன் பெறுமானங்களை
ண்க.
கலாம் அல்லது இரண்டும் மறையாக
பதற்கு
ருப்பதற்கு

Page 51
a -3)- 4a20 a > 9, a 31
", a29 ஆகும்.
よ x+kx - 6k = 0, x- 2x-k = 0 gy
பொது மூலம் உண்டெனில் k இன்
பொது மூலம் 0 என்க.
". Cao+ kO - 6k = 0.................. ( o'-2a-k=0,.............. ... (
(1)-(2) (k + 2) ou - 5k = 0.
(1) x 2 + (2)x k
(k + 2) oro-12k - ko = 0
2 12k + ko O =
...(4)
(), ()= 12k+k
k+2
k+2
25k k+2
25k = (12 + k)(k+2)
k’. 11k+24 = 0 ... (k-3) (k-8) = 0
... k = 3, 8
12+k

43
கிய இரு சமன்பாடுகளுக்கும் ஒரு
பெறுமானங்களைக் காண்க.
1)
2)

Page 52
44
6. ax'+ bx + c = 0 இன்'மூலகங்க யானவையாயும் இருப்பின் cx --
களும் மெய்யானவை நேரானவை
ax'+ bx + c = 0 இன் மூலகங்கள் மெ ... b- 4ac>0 & a, C என்பன ஒே ... b°-2ac >2ac & a, c ஒரே குறி
a, c ஒரே குறியாகையால்
2acd-0
.b*-2ac>0 эны 2ac -bo<0 c, a என்பன எப்போதும் நேர் '. FLD6ILITG c'x' + (2ac-b*)x +x* = { @య c>0, a*>0, 2ac-b*<0 .. மூலகங்கள் நேரானவை இனி இதன் தன்மை காட்டி
A = (2ac-b')- 4a’c’
= 4ac* - 4b^ac + b* - 4a = b“- 4b°ac = b(b’- 4ac) >0
'. மூலங்கள் மெய்யானவை
Lutjbgf 2.a
1ax + bx + c = 0 இன் மூலங்கள்
பூச்சியமற்றவை ஆயும் இருப்பி
உடைய இருபடிச் சமன்பாடு (C -
காட்டுக.

ள் மெய்யானவையாயும் நேரானவை. (2ac - b')x + a = 0 இன் மூலகங்
எனக் காட்டுக.
ப்யானவை நேரானவை
ர குறி
, B ஆயும் 0 + 1, 3 + 1 என்பன
-- 8 மூலங்களாக
o, +1 B+1
b - a)xo + (b-2a)x + a = 0 660Tds

Page 53
2.x” + ax + b = 0 @6ÖT GỢC5 CU a+3ab + b + b = 0 எனக் காட்டு:
3.O, B என்பன ax'+ bx + c = 0 (96ör e
(at 小凯 bo (a +c
O B
4.x'+ 2bx + c = 036, ep6)stil856i O,
i) o + 3 = 2b(3c - 4b”) 6160Iă,5T (6 ii) о Ва மூலங்களாக உடைய
βα
5. (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) +
மெய்யானவை என நிறுவுக. 6. k இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு х
சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வித்திய 7. ax + bx + c = 0 Q6ó eu axo - 2(a + b)x + (a + 2b + 4c) = (
சிக்கலானவை எனக்காட்டுக. 8. x + (x + r -3 = 0 என்னும்
இருப்பதற்கு t இன் எல்லைகளைக் 9. x - 2ax + b = 0 இன் மூலங்கள்
மூலங்கள் p, q ஆகும். Op + pே. இருபடிச் சமன்பாடு x-4acx+ 4
இதன் மூலங்கள் சமமாக இருப்பத 10. ax + bx + c = 0, bx - cx
மூலங்களின் வித்தியாசங்கள் சமன்
காட்டுக. 11. xo — ax + b = 0, xo — cx + d = 0 61e
மூலம் உண்டெனின் அவற்றின் மற்

45
லம் மற்றையதன் வர்க்கம் எனின்
5.
முலங்களாகும்.
2ac(c. c) - - எனக்காட்டுக.
C
B எனின்
ls.
சமன்பாட்டை எழுதுக.
(x - a)(x - b) = 0 இன் தீர்வுகள்
* - 3 + k(2x + 3) = 0 676örgolub
பாசம் 2 ஆகும்.
)லங்கள் சிக்கல் எண்கள் எனின்
) என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களும்
சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய்யாக
காண்க.
o, 6 ஆகும். x- 2ex + d=0 இன்
0q + bp ஐ மூலங்களாக உடைய a”d° + b°c? - b°d”) = 0 61601ä, öITI lọ
ற்கு a = + b, a = t d எனக் காட்டுக.
+ a = 0 என்னும் சமன்பாடுகளின்
Tu56 b'-a'c' = 4ab(bc- a) எனக்
ன்னும் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது
ற்றைய மூலங்கள்

Page 54
46
(bc – ad)x* - (b*-do)X+bd(a - செய்யும் எனக் காட்டுக. 12. ax+bx + c = 0 இன் மூலங்கள் acxo - b(c + a) x + (c + a)”= 0 6 இல் தருக. 13.xo-3x + a”-9= 0 என்னும் SF D4
இடையே இருப்பின் - 5 sa
காட்டுக. 14. ax + bx + c = 0 GIGörgotb Sc
ஆகும். X என்பது யாதாயினும்
என்பவற்றை மூலங்களாக உடை
இதிலிருந்து
எண்கள் ஒன்றிக்கொன்று எதிர் ( இரண்டும் மெய்யானவை கற்பனையானவை எனவும் காட்டு
a 15. ab > 0, c 7: 0 gạ!uìq555 - 7X -- C
சமமான மூலங்களைக் கொண்டி
2 k1, k2 6T6óî6ör kk (a ) 6
இருக்கும்போதுள்ள X இன் எனக்காட்டுக.
16. p, q என்பன xo + 2kx + k + 2
களாகும். இங்கு k ஒர் மாறிலி காட்டுக. இதிலிருந்து மூலங்கள்
சமன்பாடுகளை மேற்தரப்பட்ட வட

) = 0 என்னும் சமன்பாட்டைத் திருப்தி
O, B எனின்
ன்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களை 0.8
ண்பாட்டின் மூலங்கள் -2 க்கும் 4 க்கும்
S-5 அல்லது 5 

Page 55
2 2 F-ஐயும் 3-ஐயும் மூலங்க
C p
2
அமைக்குக. 1+ P ஐயும் 1+
C
சமன்பாட்டையும் எழுதுக. ax’ + bx + c = 0 GT6örg)lib 5F以
2 x + 2 + x என்னும் 3LD6órist
உணர்த்துக. 18. O, B 6166tugot ax’ + bx + c = 0 g
ஆயும் இருப்பின் aA +bA. நேர் முழு எண். 19. ax + bx + c = 0 S6ör epoolis இருப்பின் p + q = q + p. ஆக இ இல் தருக. 20. axo + bx + c = 0 g)6öT (5 epGOtb எனின் a + c+ abc = 0 எனக்காட்டு
21. (x -a )(X - b) + (x - b)(x - c) + (x ஆயின் p+q, pq ஐ a, b, c இல் விருத்தியில் இருப்பின் c, b, q ஒ
எனவும் c, b, a ஒரு பெருக்கல்
பெருக்கல் விருத்தியில் இருக்குமெ 22. a, b என்பன சமமற்ற இரு மெய்
S(5. It air (a - b)x' - 2(a’ + bi)x
மூலங்கள் a, b என்பன ஒரே

47
ாக கொண்டுள்ள சமன்பாட்டை
2 3-ஐயும் மூலங்களாக உடைய
Dன்பாட்டின் மூலங்கள் O, B எனின்
ட்டின் மூலங்களை O, B சார்பில்
}ன் மூலங்கள் ஆயும் O" + 8" = A
+ CA = 0 எனக் காட்டுக. இங்கு n
ள் p, q என்பன சமனற்றவை ஆக
ருப்பதற்குரிய நிபந்தனையை a, b, c
மற்றையதன் வர்க்கத்தின் நேர்மாறு
S85.
- C)(x - a) = 0 இன் மூலங்கள் p, q ) காண்க. p, b, q ஒரு கூட்டல் ரு கூட்டல் விருத்தியில் இருக்கும்
1 1 1 p”ხ”q
விருத்தியில் இருப்பின் 69(5
னவும் காட்டுக.
ாண்கள் ஆகவும் a + b + 0 ஆகவும் H a - b = 0 என்னும் சமன்பாட்டின்
குறி, எதிர்க்குறி என்பதற்கேற்ப


Page 56
48
மெய்யானவை அல்லது கற்பனைய
வித்தியாசம் 2(a + b)Vab-- {| lab
al am
23. O, B 616tugot ax + bx + c = 0 &
ஆகவும் இருப்பின் M/ub’= (k+ய
24. x' +2ax+b=0,y= x + sofist
Χ
எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து x + 2
எனின் {...凯 *凯 4a
O. B

ானவை எனக்காட்டுக. மூலங்களின்
(685.
* மூலங்கள் ஆகவும் 0.8 = Mu
ca 616ords காட்டுக.
byo + 2a(1 + b)y + (1 - b)” + 4a = 0
ax + b = 0 இன் மூலங்கள் O, B
+b)-2b-b').
எனக்காட்டுக.
b?


Page 57
2.3 இருபடிச்சார்புகள்
a, b, c மெய் எண்களாகவும் ஆகவும் f(x) = ax'+bx +c என்பது X என்னும் ம
எனப்படும்.
2.3.1 இருபடிச் சார்பு ஒரு
நிபந்தனை
தேற்றம் 9
f(x) = ax + bx + c sysOrg f(x)= a
எனின் மட்டும் b*-4ac=0
நிறுவல்
f(x) = ax + bx +c
2 b c Fa X“ -- -- X -- --
a a
2 எனவே f(x)= {x +န္တီး] எனின் மட்

49
a + 0 ஆகவும் இருக்க
ாறியிலான இருபடிச்சார்பு
நிறை வர்க்கமாக அமைய
v. w * என்னும் வடிவில் அமையும்
3.


Page 58
50.
2.3.2 இருபடிச்சார்பின் சமச்சீ
தேற்றம் 10
f(x) = ax + bx + c 676árgolib grillisit 6).
பற்றி சமச்சீராக இருக்கும். அது -
Z
நிறுவல்
b Yo (b” — 4ac f(x) = a x + - - -
(x) ( ( 4a }
( - = a| X十一 一
2a 4a
b x = -- +h எனப்பிரதியிட
2a
2 4 f -b+h =ah” - b
2a 4a
b -h எனப் பிரதியிட سس- X
2a
(붉---) -
=ah” - b - 4ac
4a

b ரைபானது x=ー五。 என்னும் கோடு
C2
비---)n al 2a


Page 59
h இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் இது
x=- பற்றி f(x) ஆனது சமச்சீரா
a
2.3.3 இருபடிச்சார்பின் உய
பெறுமானங்கள்
தேற்றம் 11
f(x) = ax + bx + c Gigids
(i) a<06T666, FITfL f(x); x=-
a
4ac-boo
4a
ஐ எடுக்கும்.
(ii) a>0 6T6óî6ÖT FITfL f(x) ; x=-
a
4ac-bo
4a
ஐ எடுக்கும்
நிறுவல் :
1. a<0 எனின்
f(x) = ax + bx + c 6166tug,
4ac-b*
4a
6T601
f(x) = a(x + b)? 十
2a
4ac-bo
இங்கு என்பது ஓர் மாறி
2 x + - என்பது X உடன் மாறு:
2a
பெறுமானங்களுக்கும்

51
உண்மையாக இருப்பதனால் கோடு
க இருக்கும்
பர்வு இழிவுப்
இல் உயர்வுப் பெறுமானம்
- இல் இழிவுப் பெறுமானம்
எழுதலாம் எனப் பார்த்தோம்
லி ஆகும்.
கின்றது. X இன் எல்லாப்


Page 60
52
2 (x 十ー 붉 20ஆக இருப்பதால் as
al
b அத்துடன் x=ー五* போது
S. 2
எனவே {...器川 னது x=-
2a 2 ويقيa
பூச்சியம் எடுக்கும் இதிலிருந்து
b Yo (4ac-bo f(x) = WM
(X) ix + 4a s
2
பெறுமானம் பெறும் என அ
4a
(i) a>0 எனின்
b Yo எப்போதும் ax -- 20 ஆகும்
а /
எனவே a X + - ஆனது x = --இ
2a 2a
எடுக்கும்.
a
இதிலிருந்து f (x) R {x 十ー 盐 --
4ac-b*
4a
இழிவுப் பெறுமானம் பெறும்

இல் உயர்வுப் பெறுமானம்
b . e னது x=一五○。 9-UJFf6)y_j
al
அறியப்படும்
இல் இழிவுப் பெறுமானம் பூச்சியம்
b - . ஆனது X - --இல் 4a


Page 61
2.3.4 b’-4ac <0 ஆயிருக்கும்
தேற்றம் 12
f(x)= ax + bx + c, eligiLoir A= b - 4a
(i) a>0 61666, f(x) >0, WX
(ii) a<0 6T6óî6ÖT f(x) <0, VX
நிறுவல் :
– „J(b)_(bo–4ac fo- ( ) 4a }
b Yo (4ac-bio fo- ( ) 4a }
A = b - 4ac-0 X -
w ( 4ac-bo ... X -- - || -- > 0 2a 4a
... a>0 guigiT f(x)>09.g5tb.
ag0 guilair f(x)<0905b.
23.5 b-4ac= 0 ஆகும்போது
தேற்றம் 13
f(x) = ax + bx + c 9155L6ór A= b - 4:
(i) x = b 6T66661 f(x)=0
2a
(ii) **一器 எனின் f(x)இன் குறி a இ
al

)போது சார்பின் குறி
C<0 என்க
எனப் பார்த்தோம்
சார்பின் குறி
c என்க.
ன் குறியை ஒத்திருக்கும்


Page 62
54
நிறுவல் : f(x) = ax+bx +c
m ( ) b’ - 4ac Fa|| || X -- - || -
2a 4a
2 ={x s b’- 4ac = 0
2a
(i) X = b 6T666, f(x) = 0
2a
(ii) X 7é b என்க.
2a
2 (x 붉 > 0
2a
".. a>0 6T66661 f(x)>0
a<0 6666 f(x)<0
அது f(x)இன் குறி a இன் குறியை
2.3.6 b-4ac>0 எனின் சார்பின் (
தேற்றம் 14
f(x) = ax + bx + c 9155L6ör ax'bx +
(1) X ஆனது O, B இரண்டிலும் பெர்
இருப்பின் f(x) இன் குறியும் a இன்
(i) X ஆனது O, B இரண்டிற்குமிடை
குறிக்கு முரணாகும். (iii)x = o. SÐ6d6Mogb X = ß 6T6óî6ÖT f(x,

v x z — i. 2a
ஒத்திருக்கும்
தறி
c = 0 இன் மூலகங்கள் . B என்க.
தாக அல்லது இரண்ட ம் சிறிதாக
குறியும் ஒன்றாகும்
பில் இருப்பின் f(x) இரு குறி a இன்
=0 ஆகும்


Page 63
566 : bo- 4ac>0
f(x) = ax'+ bx + c 676tu605
wb - 4ac b
f(x) = a x+b+ −−−− 2a 2a
2a
முன்னர் பார்த்தோம்.
-b+ wb’ - 4ac – b – wb -
2a f 2a ܫܒ 01
f(x) = ax - Ox-Blago, எழுதலாம்.
(1) X என்பது O, B இரண்டிலும் பெரி:
(x - C) (x - B) >0905b. ஃ. f(x) இன் குறி a இன் குறியை ஒத்
(i) X என்பது O, B இரண்டிற்கும் இன
ஆகும். . f(x)இன் குறி a இன் குறிக்கு
(iii) x=o. SÐ6d6Mogol B 6T6óî6őT f(x) =0 ,
2.3.7 இருபடிச்சார்புகளின் 6
66O)35 a>0
இவ்வகையில் சார்பின் இயல்புகள்
இங்கு சுருக்கமாகப் பார்ப்போம். (1) சார்பு x=- என்னும் கோடு பற்
a
(ii) சார்பிற்கு உயர்வுப் பெறுமானம் இ
a -b o (iii) x = - இல் &IIITL இழ
2a
கொண்டிருக்கும்

55
Vb - 4ac
--- என எழுதலாம் என
al
4ac எனின்
நாக அல்லது சிறிதாக இருப்பின்
திருக்கும்
டையில் இருப்பின் (x - o) (x - 6) <0
முரணாகும்.
ஆகும்.
வரைபுகள்
பற்றி நாம் முன்னர் கற்றவற்றை
றிச் சமச்சீரானது
இல்லை
4ac-bo lவுப் பெறுமானம் 4a ஐக
al


Page 64
56
(iv)a) bo - 4ac<0 GIGóî6ör f(x) > 0, v
b) bo-4ac=0 616ñ65 f(x) > 0, V c) bo- 4ac>0 616ñ6r
x < 0, x > f gigsb(8LITg5, f(x) > 0,
ஆகவே சார்பின் வரைபு மூன்று வகை
a) b-4ac-0
4ac-boo
4a
 
 

... < x < B geu góT f(x) < 0.
sயிலும் பின்வருமாறு அமையும்.
b) b-4ac=0 y


Page 65
aloes a-0
இவ்வகையில் சார்பின் இயல்புகள்
இங்கு சுருக்கமாகப் பார்ப்போம்
b- ܟܕ *
(1) काL *=玄エ எனும் கோடு பற் al
ii) *=すエ இல் சார்பு உயர்வுப் பெ
al
4ac-b’
4a
ஜக் கொண்டிருக்கும்
(ii) சார்பிற்கு இழிவுப் பெறுமானம் இ (iv) a) bo- 4ac < 0 GIGóîGör f(x) < 0 b) b”-4ac = 0 616ñ6r f(x) < 0 c) b- 4ac > 0 GIGilgit
x < ou, x > ß 6T6óî6ör
o, < x < B 6166661
ஆகவே சார்பின் வரைபு மூன்று வகை
a) b'-4ac<0
4ac-bo
4a
 

57
பற்றி நாம் முன்பு பார்த்தவற்றை
நி சமச்சீரானது
றுமானம்
ல்லை
\7X
Wx
f(x) < 0
f(x) > 0
5களிலும் பின்வருமாறு அமையும்.
b) b°-4ac=0


Page 66
58
c) b°-4ac-0
4ac-bo
4a
உதாரணங்கள்
1. f(x)=3x*+6x+2061golub orritu :
நேரானது எனக் காட்டுக. அதன் f(x) = 3x'+ 6x + 20
= 3x + 2x + 對
= 3(x +1)-1+)
= 3(x + 1) +17
f(x)>0. VX
இதன் சமச்சீர் அச்சு x = -1
இழிவுப் பெறுமானம் = 17
', ഖങ്ങjL] -->
 

x இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்
வரைபை பருமட்டாக வரைக.


Page 67
2. у = 2x'-3x+k என்னும் சார்பு
i) x அச்சைத் தொடுவதற்கு
i) x அச்சை வெட்டுவதற்கு
k இன் பெறுமானங்களைக்
(1) y = 2x-3x+k
. . . . . 3 x அச்சைத் தொடுவதற்கு x = 4. ஆகுL
8k-9 - 2 Y = 0 ஆக y-22)
8k-9 = 0
(i) x அச்சை வெட்டுவதற்கு வெட்டும்
போது சார்பின் குறி மாற வேண்டு மாத்திரமே நிகழும் bo- 4ac=9-4x2xk>0
9 - 8k >0->k< ஆயிருக்க வேை
3. a, b, x என்பன மெய்யானவை எனி
என்னும் சார்பு ஒரு போதும் மன
எனக் காட்டுக.

59
காண்க.
ம் போது y = 0 ஆக வேண்டும்.
புள்ளிகளுக்கூடாக X அதிகரிக்கும்
ம். இது 6-4ac> 0 ஆகும் போது
*டும்.
öt f(x) = x'- (a + b)x + a”- ab + b”
றப் பெறுமானத்தைக் கொள்ளாது


Page 68
60
f(x) = xo-(a+b)x + ao- ab + bo
A = (a + b)”- 4(ao- ab + bo)
= (a?+2ab + b*) — 4(a” — ab + b*)
-3a + 6ab-3b
-3(a*-2ab + b)
-3(a-b)<0
234 இன்படி fix)>0 ஆக இருக்கும்
----
జా
4. f(x) = x+2(a-k)x+ ag6rg X
நேரானது எனின் 0

Page 69
–2(x-2y-1)+(y-4y = 2(x - 2y - 1)+3(y-2)
f(x, y) >0 v x, y f(x, y) = 0 ஆக இருப்பதற்கு (y-2)=
... y = 2
x = 5
2.3.8 n படியிலுள்ள பொது
n என்பது ஒரு நேர்மு( இருப்பின் ax"+ a.x" +.
படியையுடைய ஓர் அட்சரகணிதச் சட
2.3.9 m படியிலுள்ள சம குணகங்க-ளுக்குமிை
1
anX" + an-1X"......................... a0
O, O2,.... On-1 On 6166785.
எனின்

61
0, (x - 2y - 1) = 0
| அட்சரகணிதச் சமன்பாடு
ழ எண்ணாகவும் a * 0 ஆகவும்
8 8 alx + ao = 0 676ôTUgl x 26o no
மன்பாடு எனப்படும்.
ன்பாட்டின் மூலங்களுக்கும் டயிலுள்ள தொடர்பு
= 0 இன் மெய்மூலங்கள்
n-1


Page 70
62
பொதுவாக 3" படியிலுள்ள சமன்பாட் axo+bxo+ cx + d = 0
இதன் மெய்மூலங்கள் O, B, Y எனின்
α + β + γ --b al
o«B + Bʻy+ yo. = S 2
d αβγ --- ஆகும்.
a.
பயிற்சி 2.b
1. f(x) = x + 3px + p 616örglub 85l
பெறுமான வீச்சைக் காண்க. 2. f(x) = x - 2x - 3, g(x) = 16 - x
இருப்பதற்குரிய X இன் பெறுமான 3. f(x) = x - k(x + 1) 6T6tug. x நேராயின் k இன் பெறுமான வீச்ை 4. f(x)= 4x + 4px - (3p' + 4p -
பெறுமானங்களுக்கும் நேராக இ
காண்க.
5. X இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக் f(x)=xo- (a+b +c)x+ a”+ bo+
நேரானது எனக் காட்டுக. இங்கு
6. x,a,b என்பன மெய்யானவை எனி:
என்னும் சார்பு நேரானது எனக்
ஆகும் எனவும் காட்டுக.
... x+ 20a - h)x + a’ என்னும் சார்பு
7
நேராயின் 0

Page 71
8. x = 2 ஆகும்போது f(x) = 0 ஆகு
10.
11.
12.
13.
ஆகுமாறும் f(x) இன் இழி இருக்கக்கூடியதாக f(x) = x -
அமைக்க. 3xo + 2xy + yo + 2hx + 2y + 3 = சர்வ சமன்பாட்டைத் திருப்
பெறுமானத்தை a, b, c இல் கான இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக் a > 0, b*< ac a > 0 ஆகவும் b -4ac < 0 ஆக கோவை x இன் எல்லாப் டெ காட்டுக. (x - x - 2) (x + x + இருக்கும் X இன் பெறுமான வீச்சு
x, y என்னும் இருமாறிகள் x
தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளன. X 9
- 5)< y & 161601 Soj65.
இற்கு நான்கு வேறுவேறான
t  2 ஆகும்போது f(x) > 0
வுப் பெறுமானம் -9 ஆகுமாறும்
ax + b 6T6örgolib 6IL966) f(x) g
(x + y + 1)+ ax+2bx + c என்னும்
தி செய்யக்கூடியவாறு h இன் ன்க. இதிலிருந்து -i 0 ஆகுமாறு k இன் வீச்சைக்


Page 72
64
14.
15.
16.
17.
18.
19.
u, V என்பன u + v மாறிலியாகும
எனின் uV இன் உயர்வுப் பெறுமா
எனக் காட்டுக.
u,v என்பன uXV மாறிலியாக இரு
என்க. எனின் u + v இன் இ
இருக்கும்போது பெறப்படும் எனக்
x இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு (2x
நேராக இருக்கும் எனக் காண்க.
a, X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களு
கோவை -1 இலும் சிறிதாக இருக்
i) a என்பது நேர்மாறிலி எனின்
இருக்குமாறுள்ள X இன் பெறும
இச்சார்பின் இழிவுப் பெறுமணம் -
பெறுமானத்தைப் பெறுக.
i) x = 1 இல் சார்பின் பெறுமான
பெறுமானம் 10 ஆகுமாறும்
கொண்டிருக்குமாறும் இரு சார்புகள் f(x) = 9 + 2(k+ 4)x + 2kx', (k
பெறுமானங்களுக்கும் நேராக
பெறுமானங்களின் தொடையைத் த

று மாறும் இரு கணியங்கள் என்க.
னம் u = V ஆகும் போது பெறப்படும்
$கும்போது மாறும் இரு கணியங்கள்
இழிவுப் பெறுமானம் u = v ஆக காட்டுக.
- 7 - 5x)(x+5x +6)(x + 1) 66tugs
க்கு (a” + 1)x' - 2ax + a-1 என்றும்
க முடியாது எனக் காட்டுக.
a(x' + 2x - 8) என்பது மறையாக
ானங்களின் தொடையைக் காண்க.
27 ஆக இருக்கக்கூடியவாறு a இன்
ம் 0 ஆகுமாறும் x = 0 இல் சார்பின் உயர்வுப் பெறுமானம் 18 ஐக்
T f(x), g(x) agdis Ess60ördb.
* 0) என்னும் சார்பு X இன் எல்லாப்
இருக்குமாறு உள்ள k இன்
5ருக.


Page 73
2.4 665(ypBI JFITfL356
f(x), (p(x) என்பன இரு பல்லுறப்பிச்
என்னும் வடிவிலமைந்த சார்புகள் வி
விகிதமுறு சார்புகளுக்கு சில உதார
x + 1
1) v = * - ) у X-1
(x-1)(x-2) 3) yi.iv.15
x + 4x + 2x +1 5) y=ニー字一斉ー
x + 4
f(x), p(x) என்பன இருபடிச் சார்ட
சார்புகளின் தன்மை. அவற்றின் வை
விளக்கப்பட்டுள்ளன.
உதாரணங்கள்
- 3x + 10x +7
x + 2x+2
3x + 10x +7 x + 2x+2
1. y இன் சார்பை ப
y (xo + 2x + 2) = 3xo + 10x + 7 (y-3)x'+(2y - 10)x + (2y-7) = 0.
x இன் மெய்ப்பெறுமானத்திற்கு (2y-10-4(y -3)(2y-7) > 0 - 4y'+ 12y+ 16> 0

65
சார்புகள் என்க. எனின் '(x)
Χ
கிதமுறு சார்புகள் எனப்படும்.
ணங்கள்:
2x+3x +1 x +5x +5
4) y = x(x+1)
(x-1)(x + 2)
2) у
புகளாக அமையும் போது விகிதமுறு
ரபுகள் பற்றி உதாரணங்கள் மூலம்
(5LD LITB 660)85.


Page 74
66
y’-3y - 4s. 0
(y - 4)(y + 1) < 0
-1 < y <4
'. வரைபு y = -1, y = 4 ஆகிய கோடு
y = -1 ஆகும்போது I => -4x°-12x-9 = 0
4x'+12x + 9 = 0 (2x+3) = 0 3۔ =x..
y-4 ஆகும்போது I => x. 2x + 1 = 0
(x-1) = 0
X = 1
', (1,4) உயர்வுப் புள்ளி ஆகும்.
(-) இழிவுப் புள்ளி ஆகும்
7 2 y = 0.5 - 3x'+ 10x +7 = 0
(3x +7)(x + 1) = 0
X = -1, -7/3
X = 0 gY85 y =
3x + 10x +7 x + 2x + 2
107
X x?
2 2 1+エ+エ
X X
3 +

}களுக்கு இடையில் கிடக்கும்


Page 75
х —» Оo geѣ у —» 3
X --> --OO ஆக y -> 3
-- -1
3.
2. y - (x : X3) எனின் y இன்
(x-1)
சமச்சீரானது எனக்காட்டி அதன் வி
y - (x + 1)(x-3)
(x-1) x =1+6 எனப் பிரதியிட y=(2+Xع
6-4 82
x = 1-6 எனப் பிரதியிட y = (2-ồ)(
(-

67
வரைபு, x = 1 என்னும் கோடு பற்றி
1ரைபைப் பருமட்டாக வரைக.


Page 76
68
இரு வகையிலும் y இன் பெறுமானங்
வரைபு x = 1 என்னும் கோடு பற்றி ச1
(x +1)(x
(x-1 (x-2x + 1) (y-1)x-2x
X இன் மெய்பெறுமானத்திற்கு
4(y – 1) - 4
... (y - 1)(y
-4(y -1) > 0
y - 1 < 0
y a 1
y = 1 ஆக 1 இலிருந்து X இற்கு ( சார்புக்கு உயர்வு இழிவு இல்லை.
(x+1)(x (x-1
XF-1, 3 eb y = 0
x = 0 gAE5 y = -3
1-2-3 - x -2x -3 == -2ک xo +1-2 1 - 2 – 2 : لا
- - ,
X X

+ 2
)
கள் சமனாக இருப்பதனால் சார்பின்
மச்சீராக இருக்கும்
(–3)
)
y = x'-2x-3
(y-1) + y + 3 = 0..............I
y -1)(y +3)20
- 1) - (y +3) > 0
பெறுமானம் ஏதும் இல்லை. எனவே
-3) )


Page 77
x-> co ஆக y -> 1
x→-co &5 y → 1
X–» -1 g2,85 y-» -Qo
ஆகவே சார்பின் வரைபு
y/N
********** Wiwa «avvwovo*8aam vo»»»»»»»»»*******wa«*»»»*** M***ll.
V T
-3
3. 0 0

69
னும் சார்பு எல்லா மெய்ப் பெறுமானத்
க. p =% ஆகும்போது அதன் வரைபை


Page 78
70
ஆக இருத்தல் வேண்டும்.
A-(2y+1)- 4y(y + 1)p
=4y’+ 4y + 1 - 4y'p - 4yp =4y'(1-p)+4y(1-p) + 1
= (1-p) *古旧
1— р
= (1- Pey ») -1 +
一p
= (1-p) (2y+1)+-P- (l y+1) 吉
0< p <1 s605uJIT6) 1- p.< 0
. --->0
1— р
... Δ>0
'. y எல்லாப் பெறுமானத்தையும் எடுக்
x3 p = 4.5 y = -4. x - 2x
--- 4x-8x
4x - (2x-3)(
3 a 0< p = s 1 ஆகையர்ல் சார்பு எல்லா
3 X = - gE y = 0 4 gab y
x = 0 elas y = -1

கும்
-3
2x -1)
西 (6


Page 79
x-ས་སྐྱེ་ ஆகும்போது y இன் பெறுமா
இருவழிகளில் அணுகலாம்.
3 (1) -00 இலிருந்து அதிகரித்து ... 8
3 . (2) 00 இலிருந்து குறைந்து ஐ அ
இவ்விரு வகைக்கும் y இன் வேண்டியதில்லை. இதனைக் காண்ப
பின்பற்றுவோம்.
(1) x = 를 -6 எனப் பிரதியிட
4x-3 (2x-3)(2x-1)
8->0 ஆக X->3/2 ஆகும்.
... 8 -> 0 gab y-> -oo s05tb.

71
e · · AA · 3 ாத்தைப் பார்ப்போம். X ஆனது 28
அணுகுதல்
ணுகுதல்
பெறுமானம் சமனாக இருக்க
நற்கு நாம் பின்வரும் வழிமுறையைப்


Page 80
72
இதேபோல x = ※ + 6 எனப்பிரதியிட
ဒိ+ ဝ် y = i is (+6)(1+8)
6->0 ஆக y-> + co ஆகும்.
இதேபோல x-> i ஆக y-> + co என
y N
t
Luliaf 2.c
1. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு
எல்லாப் பெறுமானங்களையும் எடு
பருமட்டாக வரைக.
2. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு
காண்க. அதன் வரைபை பருமட்ட
3. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு
y=一ー இன் வரைபை
x + 2x+2

க் காணலாம்.
-一“ユー என்னும் சார் 9-(-) எனனும சாபு
}க்கும் எனக்காட்டி அதன் வரைபை
12x
f(x)= - T5 f(x) x +2x + 4
இன் வீச்சைக்
ாக வரைக.
4
0<- <4 எனக்காட்டுக.
x + 2x + 2
பருமட்டாக வரைக.


Page 81
4. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு
எல்லாப் பெறுமானங்களையும் எடு
OWA (x+1)(x-6)
(x-3)(x-2)+3)(x-2) இன் வரைை
5. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களு
எல்லாப் பெறுமானங்களையும்
வீச்சைக் காண்க. k = 9 எனின் f
6.x என்பது மெய்யானது எனின்
க்கும் 9 w இற்கும் இடையே
5
எனக்காட்டி அதன் வரைபை பரு
2 X -- a 7. y = (s). எனின் y நேர
- a х” + x +1
4
(a-a+1) க்கும் இடையே இ
என்பன மெய்யானவை
8. X இன் மெய்ப் பெறுமானங்களுக்
க்கும் 3 க்கும் வெளியே இருக்க
பருமட்டாக வரைக.
二笼 9. k இன் எப்பெறுமானத்திற்கு X
பெறுமானம் 3 எனக் காண்க. k
வரைபை வரைக.

73
f(x)= (x+1)(x-6)
T(x +3)(x-2)
டுக்கும் எனக்காட்டி
என்பது
ப பருமட்டாக வரைக.
x -k
Χ - 2
க்கு f(x) = என்னும் சார்பு
எடுக்கும் எனின் k இன் பெறுமான
x) இன் வரைபை வரைக.
y = 2xtδΧ. என்னும் சார் 1. x +3x - 4 5
எப்பெறுமானத்தையும் எடுக்காது
DLLITB 6,6085.
ானது எனவும் y ஆனது 0 க்கும்
இருக்கும் எனவும் காட்டுக. இங்கு X,a,
6X +5
S SiMMMSMMSCCCSCCCSCCCSCCSSMMSS ன - 1.5 (5 y 3x+4x + 2 ஆனது
5ாது எனக் காட்டி அதன் வரைபை
1 + 2X س
2
k என்னும் சார்பின் உயர்வுப் X s
இன் இழிவுப் பெறுமானத்திற்கு இதன்


Page 82
74
அத்திய
தொடர்
அறிமுகம்
தொடர்கள் பற்றிய இவ்வத்தியாயத்தி தொடரின் பகுதிக்கூட்டுத்தொகை, ஒரு
2, 2, 2” காண்பதற்கான வழிமு:
(3.2) பகுதியில் வித்தியாச செய்கை
(i) f(r) — f(r — 1) (ii) f( (iii) f(r) — f(r + 1) (iv) f( கூறப்பட்டுள்ளது.
(3.3) பகுதியில் கணிதத்தொகுத்த
விவாதிக்கப்பட்டுளது.
(3,4) பகுதியில் U6) பகுதிக
வழங்கப்பட்டுள்ளது.
கணக்குகள் செய்யும்போது பொதுவ
முடிவுகளைப் பிரயோகிக்கலாம்.
* * ” அடையாளமிடப்பட்டுள்ள பயி
தவிர்ந்த மற்றைய பயிற்சிகள் “இன
களுக்கு போதுமானவையாகும்.

Tud 3
(Series)
ல் (3.1) பகுதியில் தொடரி, தொடர், நங்கல் பற்றி வரைவிலக்கணங்களும்,
றைகளும் கூறப்பட்டுள்ளது.
முறைகள்
r) — f(r — 2)
r) — f(r + 2)
தறிவு முறை, பகுதிப்பின்னமுறை
ளையும் கொண்ட பயிற்சிகள்
பாக x, x, x’ என்னும்
ற்சிகள் சற்று கடினமானவை. இவை
)ணந்த கணிதம்” கற்கும் மாணவர்


Page 83
3.1 தொடரின் கூட்டுத்தொன
முதலாவதாக தொடர், தொடரின் விளங்கப்படும் என்பது பற்றி கூறுே
N 6166tab.
அதாவது N = {1, 2, 3, SSLLSS SSS SS SSLSLSS SS SS SS SSLSS 1
3.1.1 தொடரி (Sequence)
வரைவிலக்கணம்
ஒவ்வொரு இயற்கைஎண் n இற்கும் என்க. அப்போது (UI, U2, U3, - - - - அமைந்த எண்களின் ஒழுங்கை, மெய்
U ஆனது இத்தொடரியின் n ஆவது
உதாரணம்: முடிவற்ற தொடரிச (i) {3, 5, 7, 9, 11, - - - - - - - - - - - - - (ii) { 1, 4, 9, 16, - - - - - - - - - - - - - - - (111) { 1, 2, 8, 16, 32, - - - - - - - - - - - - மேற்குறிப்பிட்ட தொடரிகள் முடிவற்ற கொண்டுள்ளதால் முடிவற்ற தொடரிக
உதாரணம்: முடிவுள்ள தொடரி
(i) {1, 2, 3, LSSS SS SSLSLSS S SSS S SSS S S SLLSS SSSSLS SSS SSS SSS S SSSSS S S LSLS S S SLLSS 9 100
ஒரு தொடரி. (ii) {13, 2, 3, -- - - - - - - ----, 10
ஒரு தொடரி.

75
கூட்டுத்தொகை என்பதால் யாது
JTLö. இயற்கை எண்களின் தொடை
, - -- -- -- --
ஒரு மெய்யெண் U அறியப்படும் - - -, Un, - - - - - } என்னும் வடிவில் பயெண்களின் ஒரு தொடரி என்போம்.
உறுப்பு எனப்படும்.
எண்ணிக்கையுள்ள உறுப்புகளைக்
T (Infinite Sequence) 6T60T LIGub.
56i (Finite Sequence)
ஆனது 100 உறுப்புகள் உடைய
ஆனது 10 உறுப்புகள் உடைய


Page 84
76
3.1.2 தொடரியின் எல்லை (L
{U1, U2, U3, - - - - - - -, Un, - - - - - }
இத்தொடரியின் எல்லை ? எனின்,
எழுதப்படும்.
தொடரியொன்றின் எல்லை ! எ
எழுதப்படும்.
3.1.3 தொடரின் பகுதிக் கூட்டு {U1, U2, U3, - - - - - - - , Un, - - - இத்தொடரியினால் பிறப்பிக்கப்படும் ெ இனது பகுதிக்கூட்டுத் தொகைகளின் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும்.
S = U1
S2 = U + U2
LSLS SSS SSS S SSS S LLSS SSS SS SS SS SSLS SSSS SSS LLS SSS SLSSS SSS LLS SSS LSS S SSS SSS S LSSLSS S LSS S SSSS LS
Sn - U1+- U2 + - - - - - -- - -- - + Un குறியீட்டுமுறையால்
S = ΣU. என எழுதப்படும்.
r=1
S = >U ஆனது தொடர் U1 +
f = 1
n உறுப்புகளின் பகுதிக்கூட்டுத்ெ

mit of a Sequence)
ஒரு தொடரி என்க.
“ n -> oo ஆக Սn -» 2 ” 66
ரின் எல்லை U = 2 என
-) CO
g5Qg56036 (Partial Sums) - - } ஒரு தரப்பட்ட தொடரி என்க. ՖIւf Ս1 + Ս2 + Ս3 + --- + Սո+ - ,
தொடரி {S, S2, S3, - - - - - - Sn, - -},
U3 + - - - - - + U+ - - - - இனது -+ 2ܐ
தாகை ஆகும்.


Page 85
3.14 தொடரின் கூட்டுத்தொை
எனின் தொடர் U1 + U2 + U2 + - . @(bsIGU5 Gg5 Lff (Convergent Ser உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை S ஆ
தொடரானது ஒருங்கு தொடர் அல்6
(Divergent Series) 6T60TJUGLb.
இதுவரை நாம் தொடர் சம்பந்தமான வரையறுத்துள்ளோம். இனிமேல் க. தொடர் சம்பந்தமான முக்கியவிடயங்க
தரப்பட்ட தொடர் > U ; (U1 + U2 + பகுதிக்கூட்டுத்தொகை S = Σ
முக்கியமான விடயமாகும்.
இதற்குரிய விடை இலகுவானதல்ல.
>k ΣU, ஐ காண்பதற்கு பொதுவா
r = 1
சில சிறப்புத்தொடர்கள் >U
துணியப்படலாம் என்பது பற்றிய இனிவரும் பகுதிகளாகும்.

77
க, ஒருங்கல்
ஒரு முடிவுள்ள பெறுமானம் S
- - - + Un + - - - - ஆனது ஒரு es) எனப்படும். அத்துடன் முடிவிலி
கும்.
ான எழுதப்படும்.
லாவிடின் அத்தொடர் விரிதொடர்
பதங்களை பொதுவான முறையில் பொ.த உயர்தர மாணவர்கட்குரிய
ளைக் கவனிப்போம்.
- U3 - - - - - - + U + - - -) (S66,
U எவ்வாறு காண்பது? என்பதே
ன முறை என்று ஒன்று இல்லை.
இற்கு, Συ, எவ்வாறு
ܡܶܗܝ̈: 1
விடயங்களே இவ்வத்தியாயத்தின்


Page 86
78
3.1.5 Jim L6ò Gg5 Lff (Arith
XU = a + (a +d) + (a +2d) + - எனும் தொடர் கூட்டல் தொடர் இங்கு a, முதலாம் உறுப்பு எனவும்
d, பொதுவித்தியாசம் எனவும்
தேற்றம் 1
U = a + (r-1
Sη = ΣU = r = 1
நிறுவல்:
S = a + (a + d) + (a
Sm = a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + [
(1) + (2) =>
2 S = [2a + (n - 1)d] + [2a + (n . 2 S = n [2a + (n - 1)d]
S = }{2a+(n-1)d}
S = 몽(a + a + (n-1)d}
S = }{a + Ս} இங்

netric Series)
- - - + a + (n - 1)d) + - - - - - - -
ானப்படும்.
அழைக்கப்படும்.
)d எனின்
2a +(n-1)d}
뭉{a+ U}.
+ 2d) + --- + [a + (n-1)d] (1) a + (n-3)d + - - - - + a (2
1)d) + - - - - - - + 2a+(n-1)d
5 Un = a + (n - 1)d


Page 87
உதாரணம் 1
2 + 5 + 8 + 1 1 + - - - - - - - என்
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்பவ
தீர்வு:
a = 2, d = 3
Un = a + (n - 1)d
U15 = 2 + (15-1)3
U15 F 44.
உதாரணம் 2
- ܗ - - - - - - - + 19 + 15.5 -+ 12 + 8.5
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
தீர்வு:
Սn = 103 = a + (n-1) d = 103
=> 8.5 + (n-1)3.5 = 103
-x n = 28.
S= է{a + Ս}
S = 禁85 + 103}
S28 - 1561.

79
ற தொடரில் 15" உறுப்பு, முதல் 8
ற்றைக் காண்க.
s= }{2a+(n-1)d}
s= {2(2) + (8-1)3}
S8 = 100.
- - -- 103 என்ற கூட்டற்தொடரின்


Page 88
80
உதாரணம் 3
கூட்டல் விருத்தியொன்றின் 10°
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 1 பொதுவித்தியாசம் என்பவற்றின் பெ S ஐக் காண்க. S= 0 ஆகுமாறு இதிலிருந்து S<0 ஆகுமாறு n இன்
தீர்வு:
a + 9d = 3
6/2:2a + (6 - 1)d} = 76.5
2a + 5d = 25.5
(1),(2)=> -
a F 16.5, d = -1.5. Sn T n/2 {2(16.5) + (n - 1)(-1.5) }
n/2 {34.5 - 1.5 n}.
Sn = 0 ஆக
n/2 (34.5 - 1.5 n} = 0.
-> n = 0 அல்லது n = 23.
-> n = 0 பொருந்தாது.
... n = 23.
S < 0 ஆயின் 1/2 {34.5-1.5
=> 34.5 — 1.5n
இழி

உறுப்பு 3 ஆகும். முதல் ஆறு 6.5 ஆகும். முதலாம் உறுப்பு, றுமானங்களைக் காண்க. இதிலிருந்து n இன் நேர்முழு எண்ணைக் காண்க.
இழிவுப் பெறுமானத்தைத் துணிக.
(1)
(2)
in} < 0
< 0 I'... n > 0)


Page 89
3.1.6 பெருக்கல் தொடர் (Geome
Un = a" , இங்கு a, r ஒருமைகள் உறுப்பு இருப்பின் XU = a + a + ar தொடர் பெருக்கல் தொடர் எனப்படும். இங்கு a - தொடரின் முதலாம் உறுப்பு
r - பொதுவிகிதம் எனவும் அழை
தேற்றம் 2
Uk F ar'*' 616in
நிறுவல்:
வகை 1 ; r 4 1 என்போம் Sn = a + ar + ar° + ar° + - - - - + r Sn = ar + aro + aro + - - - - -
(1) — (2) =» (1 — r) S = a — ar"
l- r
= S <-ב
வகை 2 : r = 1 என்போம்
,十a - - - - - - ܚ - - - + Sn = a + a
=> Sn = na.
1—r" S = Συ. – ) r # 1

81
tric Series)
ஆகும். இவ்வடிவில் n ஆவது
a"+ --- எனும் + - - - ܝ - -- -+-
எனவும்
க்கப்படும்.
ar" (1)
ar'' -- ar" (2)
r # 1 -
(n தடவைகள்)


Page 90
82
தேற்றம் 3
தொடர் xa" ஒருங்கும் எனின் எ
இன்னொரு வகையாகக் கூறின் -1 <
r> 1 அல்லது r<-1 எனின் X &
நிறுவல்:
U = a*' என்க. அத்துடன் S
r = 1 666it Sn = na.
. எல்லை Sn இற்கு ஒரு முடிவுள்
—> oO
எனவே r=1 எனின் xa" எனு
a(1—r")
r + 1 எனின் S. =
1 - r
xa" ஒருங்கும்
ఆ యు S 9(5 (LP
எல்லை a(1-")
Ko n —> oo 1-r 69(5 (p
1 - r n o OO 1 - r
ல்லை 3 KI> ဖူလစ္ 1 — r 9(b) (LP
-
<> ဗူလ၉၅၇) " 9(5 (P.

னின் மட்டும் I r | < 1 ஆகும். r < 1 எனின் x a" ஒருங்கும். " விரியும்.
ள பெறுமானம் இல்லை.
ம் தொடர் விரியும். (1)
ஆகும்.
டிவுள்ள பெறுமானம் எடுக்கும்.
டிவுள்ள பெறுமானம் எடுக்கும்.
டிவுள்ள பெறுமானம் எடுக்கும்.
டிவுள்ள பெறுமானம் எடுக்கும்.
டிவுள்ள பெறுமானம் எடுக்கும்.


Page 91
ぐ二> -1 < r < 1,
KO> |r|| < 1.
SY. 始 6b60D6h( لمهn (ஏனெனில் r> 1 எனின் ဗူလစ္ r
r<-1 எனின் எல்லை " 6
n --» oO
முடிவுள்ள பெறுமானம் அன்று.)
(1), (2) -> -1  oO k = 1
= எல்லை Sn
n -> oO
k
二
l
எல்லை a(1-r") - مسلم – من جـ n –
2 6T6)6O)6) al n -> oo - س=
1 - r OWA
= ' [' -1  co ஆக r" = 0.)


Page 92
84
மேற்படி இரு தேற்றங்களையும் தொகு
-1 (1-r)S = a + (dr + dr” + - - - - +
n-l )"rd(1-r + ہ لگ1 - r (1-r)
S =

த்து பின்வருமாறு கூறலாம்.
al இன் கூட்டுத்தொகை 1 — r இற்கு
ரின் தொடர் 2a" ஒரு முடிவுள்ள
து விரியும்.
d ஒருமைகள், எனும் வடிவில் n | + (a + d)r + (a + 2d)ro + - - - - - -
ாடர் எனப்படும்.
a an a ஒரு கூட்டற் தொடரும், 1
பருக்கற் தொடரும் ஆகும்.
ன்
1-r") - 1 — r)” 1 - r
(a + (n-1)d)r"*" (1)
a + (n-2)d)r"' + (a+(n-1)d)r" (2)
dr" - a + (n-1)dr" [...]
1 - r


Page 93
உய்த்தறிதல்:
2 &85, Q5Tlf a +2ar +3ar' + - - - - - -
- جلسه
a -H ar(1—r") |al 1 - r (1-r)
n
a(1—r") nar ܒ
(1-r)o 1 — r
|r| < 1 Syuqub n -> O Surb é
a. S ->
(1-r)
| r | < 1 Sa5 இருக்கையில் ஒருங்கு
உதாரணம் 1
() 1+ர்ே)+ர்ே + -
X + 10 x + 10
3X-9 3X-9 @1+俘制+〔+...
பெருக்கற் தொடர்கள் (1) உம் (i பொதுவான வீச்சைக்காண்க. S1.
தொடர் (ii) என்பவற்றிற்கான முடி எனின் 2S = 13S) ஆகுமாறு x {
உண்டு எனக்காட்டுக.
தீர்வு: a + ar + aro + - - - - - எனும்
நிபந்தனை | r | < 1 ஆகும்.

35
s M o ag nar" '
ser
1 - r
.0 «د- "ILl6di r ازل)
தொடராகும்.
) உம் ஒருங்குவதற்கான X இன்
S) என்பன முறையே தொடர் (1),
விலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
இற்கு ஒரேயொரு பெறுமானம் மட்டும்
பெருக்கற் தொடர் ஒருங்குவதற்கான


Page 94
Χ
< 1 எனின் மேற்படி தெ
3X -- 2 < 1
=> (3x + 2)- (x + 10) < 0
=> (x +3)(x - 4) < 0
.. x இன் வீச்சு -3 < x < 4.
3X-9 俘颅 ema m m m em 1+〔}+ 器) --
3X-9 X + 1
سیس= r
3X-9 s 警芒 < 1 எனின் மேற்படி தெ
- QY2
(3x -9)%
(x+1)2
=> (3x -9)- (x + 1) < 0
=> (x -2)(x-5) < 0
x இன் வீச்சு 2 < X < 5 ஆகும்.
. இரண்டு தொடர்களும் ஒருங்குவதற்க
2 < x < 4 ஆகும். தொடர் ஒன்றின் முடிவிலி உறுப்புகளின்
a. .ஆகும் .1 ܡܗS .
-
-- 1 = x + 10 s 3X + 2 8-2X &

- எனும் தொடரைக் கருதின்
ாடர் ஒருங்கும்.
எனும் தொடரைக் கருதின்
ாடர் ஒருங்கும்.
ான X இன் பொதுவான வீச்சு
கூட்டுத்தொகை
S = 1 - X + 1
2 3X-9 10-2x


Page 95
தரவின் படி 2S = 13S
X + 0. -X. = 2 = 13s.6
=> 1 lx°- 49x + 48 = 0 - (x-3)(11x-6) = 0
x = 3 அல்லது Χ
2 <
X *4 என்பதால் x = 3 ஆ
உதாரணம் 2
5 + 55 + 555 +5555 ------- என்ற காண்க. இதிலிருந்து முதல் n 2-g
காண்க.
தீர்வு:
U = 5
Ս2 = 5 x 10 + S
U - (5 x 10) + (5 x 10) + 5
(5 x 10') + (5 x 10-?) + .
U
--
= 5[1 + 10 + 102 + -------
- 1 - 1 sh =5H、
)1-10[ س
二 Συ, = Σ5 (10 -1)

87
2x
= 6/11
கும். = 6/11 பொருந்தாது.
தொடரின் r ஆவது உறுப்பை
புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக்


Page 96
88
S Σ|10 -1
r !
ܡܡ
5
1
O
(
1.
1.
O
)
n
(10(10" - 1) - 9n)
5.
10"* - 10 - 9n)
a
8
உதாரணம் 3 1 + 2.3 + 3.3 + 4.3+ - - - - - - - 6T6
எழுதுக. முதல் n உறுப்புக்களின் கூட்(
எனக் காட்டுக.
தீர்வு: Un = ( a + (n — 1)d ] r"" இங்கு
இது கூட்டல் பெருக்கல் தொடராகும்.
Sm = 1 + 2.3 + 3.3* + 4.3* + - - - - - - . 3S = 1.3 +2.3+3.3+----- +
(1) - (2) =>
-2S = 1 + 3 +3+3+.
11 -3n -2s, = is - n 3
S = (3" (2n - 1) -

iற தொடரின் n ஆவது உறுப்பை
டுத்தொகை (3" (2n-1) + 1)
a = 1, d = 1, r = 3 ஆகும்.
... + n.3" (1) (n-1).3" + n.3" (2)
se se a +3" - n.3"


Page 97
உதாரணம் 4
முதலாம் உறுப்பு a, பொதுவிகிதம் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டு பின்வருவனவற்றை நிறுவுக. (i) Sn (San — S2n) = (S2n — Sn)
S - S
8 aa -- (ii) m-n =བུ་རི་བུ་ཁ་Pe s
n+p
தீர்வு: ك = بيl S"=الك = S
- 2n
oves (1)
2 (3) - (2) ニメ S, S. = 뿐뉴[r
(2)-(1) => n S. - 뿐뉴[r'
( S - ܨS (S
2 - - a (S. S.) (1
(5), (6) =» Sn (S3n ° S2) = (S;
S), - S, = 뿐뉴[r"- m+p
S., - S, = 뿐누[r" n + p
S - S
(7) m+ p_m - r"ll
(8) S - S rn (1 -
n+p
rm

89
r ஆகவுடைய பெருக்கல் தொடரின்
த்தொகையை S குறிக்கின்றது.
1- r2n S a 1-r3n 1 - r 3n l - r
--- (2) ---- (3) " — ron'] = r°(1 — r") (4)
-r2n Earl area r'n]
2 r2n n 12 - ஆ — r"] (5)
2 2n in 12
( - ". (6)
2n S.)
(7)
(8)
rP) rP)


Page 98
90
3.1.8 Σr, Στ’
r = 1 r = 2
கூட்டுத்தொகைகளைக் காண்போம், !
முறைகள் உண்டு.
Σr காணல் r=1
முறை 1
1.
2
O
2
حت
2
r
Σ
r
Sa
(
十
1 + 2 + 3 + - - - - - - - - - - - -
Σr
9 (n+1). ''' rallé
 

s Σ r3 என்பவற்றின்
r = 3
இவற்றைக் காண்பதற்கு பல்வேறு
2 E 2r o 1
E 2.1 Ally 1
= 2.2 a. 1
E 2.3 1
* = 20n-1) - 1.
2 S 2n 1.
a
1)
a no ea as a 十 1


Page 99
> ஐக் காணல்
r 285 d5 6006). r = 1
முறை 1 (2r+1)-(2r-i) = 24 r'+2 G.
 

91
னும் சர்வசமன்பாட்டை கருதுக.
= 24.1 + 2
= 24.2” + 2 = 24.3' + 2
-1)o - lo - 2n
+1) (2n+1)
f(t)- f(t - 1) = ro ஆகும்.
12 ܚܲܒܝܼ
22


Page 100
f(n) - f(0) =
r :
2
r = Il 2” -
- Il
6
3 Σ r இன் பெறுமானத்
டி) .
எனும் சர்வசமன்பாட்டைக் கருதுக.
 

) = (n-1) ) = n
r?
= 1
+ n + n - -- 2 -- 6 O
(n+1) (2n+1)
தைக் காணல்
円 = r


Page 101

93 .
LSLSS S SLSS S LSS SLSeLSS SSS S SLSLS S SLSS S S SSS SSS LSLS S SSS SLSSS SSSLSSS SSS SS SS SLSLSS LSLS SSS SLS
2 (n 2ற w (n -2)
2 ഋ) (n-1)
Ա 1) - ո:
r
1
4r + 1 ஐக் கருதுக.
Lo + 6.1° + 4.1 + 1
2 + 6.2 + 4.2 +1
3 + 6.3' + 4.3 + 1
-1)+ 6-(n-1)+4.(n - 1) + 1
o + 6no + 4n + 1
r2 + 4 Σr -
1


Page 102
94
4XCr' = (n+4n+6n’+4n) -
= n + 2n + no = n(n+1) Σ 3 [...] -- کسح -- | - = r 1 2
Σ
r = } (n +
2 رہی۔ r“ = - (n + r=1 6
Σι - πος
r = 1
உதாரணம் 1
XC r(r+3) = (n+1)(n+5)
r = 1
மேலும் Xr(r+3) ஒரு விரிதெ
தீர்வு:
Στίr +3) Στο -H r=1 r = 1
(n+1)(2r = (n+1) (2
இத்தொடரின் S = (n+1)(n-
.ʻ. n -> OO ga,35 Sn -> oo sq4œ5tb.
.. முடிவில்லாத பெறுமானத்தை எடு

n (n+1) (2n+1) - 2n(n+1)-n
எனக்காட்டுக.
ாடர் எனவும் காட்டுக.
+ 1) + 3.9 (n+1)
n+1) + 9
-5)
பதால் விரிதொடராகும்.


Page 103
Σr2 ஐக் காண்க. ஒரு தொடரின்
U = 1 + 2 + 3 + - - - - - - - - + r2
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொக Sh ஐக்
n -> OO g85 器→克 எனக்காட்
Σr2 = ஐ(n+1)(2n+1) என
U U = 1 + 2
r ? .
S
س
Σ
1.
ܒܚܣ
. U = ; (r + 1)(2r+1) ஆகும்.
Σε (t+1)(2r+1)
r = 1
S
=س
(2r +3r” + r)
S.
1. 6台
-
3 1. 2 r -- 万 Στ 十
r = 1
n2(n+1)2 十 n(n+1)(. 12 12
n(n+1) ar 12
i
S.
r
n (n+1) + (2n
n(n + 1)(n2+3n+2)
n(n+1)*(n+2) aa 12

95
" உறுப்பு U ஆனது
ஆகும். இத்தொடரின் முதல் n
காண்க.
-டுக.
முன்பு காட்டியுள்ளோம்.


Page 104
எல்லை (S 6T6)6O6) ( n-> oo ( no n —» oo | 12 ʻʼ
66)6O6) | ( n -> oo || 12
-- 立× 1 x 1 x
- I - 12
உதாரணம் 3 1 + 3 + 5’ + 7+ - - - - - - - என்ற
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
தீர்வு:
" உறுப்பு U.
6
2n(n+1)(2n + 1 -
(4n + 4n. + 3

தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின்
- 2 n (n + 1) + n


Page 105
1Iufjáf
கூட்டல் தொடர் ஒன்றின் p
உறுப்புக்கள் முறையே P, Q, R
p(Q — R) + q(R—P) + r(P— Q)
கூட்டல் விருத்தி ஒன்றின்
பொதுவித்தியாசம் 3 ஆகும். முத
S ஐக் காண்க. S = 610 ஆ
காண்க.
S > 1000 ஆகுமாறு n இன் இழி
பெருக்கல் தொடர் ஒன்றின் p
உறுப்புக்கள் முறையே P, Q, R
(q - r) log P + (r-p) log Q + (p
முதலாம் உறுப்பு a ஆகவும் ெ
பெருக்கல் தொடர் ஒன்றின் முதல்
S எனின் பின்வருவனவற்றை நிறு
S - S. 2n
d 3n == (i) S r
(ii) r = 붉 எனத்தரப்படின்
எனக்காட்டுக.
- -- -- - - ܚ - -+ 4444 -+ 444 + 44 + 4
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.

97
3.a
ஆவது, 9 ஆவது, r ஆவது,
எனின்
= 0 எனக்காட்டுக.
முதலாம் உறுப்பு 2 ஆகும்.
ல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
பூகுமாறு n இன் பெறுமானத்தைக்
வுெப் பெறுமானத்தைக் காண்க.
ஆவது, d ஆவது, 1 ஆவது,
எனின்
-q)log R = 0 எனக்காட்டுக.
பாதுவிகிதம் r ஆகவும் உடைய n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை
வுக
என்ற தொடரின் n உறுப்புக்களின்


Page 106
98
6.
10.
1.1 + 2.3 + 3.5 + - - - - - -
கூட்டுத்தொகை n/6(n + 1)(4n
1.(2n - 1) + 2.(2n - 3) + - - -
தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் க
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(ii)
1+3+5+-------- +
எனக்காட்டுக. S.
1.2.3 + 2.3.4 + 34.5 -- - - .
பெறுமானத்தைக் காண்க.
1.2.4 + 2.3.5 + 3.4.6 -- - -
காண்க
Σ(t + 1)(2r+1) இன் r = 1
Στ’ ஐப் பிரயோகித்து
분_2
- Ill Y Σ (r + 1) = (n+1)
ஒரு தொடரின் "உறுப்பு U
- ܚ - ܚ - + Sn = U1 +- U2 +- U3
Sn = n/6 (n + 1)(n + 2) 61
1.n + 2.(n - 1) + 3.(n - 2
இத்தொடர் விரிதொடர் எனக் (1'-2') + (3-4) +----
என்ற தொடரின் U ஐ எழுது

- + n.(2n - 1) என்ற தொடரின்
- 1) எனக்காட்டுக. இதிலிருந்து
- - - - + n2n - (2n - 1) 6T6örg
ாண்க.
(2n - 1) = n/3 (2n - 1)(2n + 1)
LSSS S LSSLS S SSS S LSS S LSS S LSS + n(n + 1)(n + 2) g661
to ree என்ற தொடரின் S ஐக்
பெறுமானத்தைக் காண்க.
(n+2)(3n+1) எனக்காட்டுக.
= 1+2+3 + - - - + r ஆகும்.
- - + Un SQG5 D.
னக்காட்டுக.
.n.1 ஐக் காண்க + -- -- -- - - - -- ܐ
காட்டுக.
| {(2n-1)-(2n)} + - - - -
நுக. இதிலிருந்து S ஐக் காண்க.


Page 107
11. (i)
(ii)
12. (i)
(ii)
13. (i)
(ii)
14. (i)
(ii)
1.3.4 + 2.4.5 + 35.6+ - - - இத்தொடர் விரிதொடர் எனக் 1'-2' + 3’- 4 + - - - -
பெறுமானத்தைக் காண்க.
1 + 2.2+3.2 + 42 +---
ஐ எழுதுக. இதிலிருந்து S கூட்டல் விருத்தியொன்றின்
கூட்டுத்தொகை P ஆகு
கூட்டுத்தொகை Q
Pn, (n, - 1) - Qin (r
nn (n - n)
- - - ܚ - - + 72 -+ 33 + 12 -+ 3 An” + Bn” + Cn 61961,56 g(560)LD56it A, B, C 966, Gl Sn = n/4 (n + 1)(no + n + 4)
1, 2, 3, - - - - - - - இருவித்தியாசமான எண்க
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க
1, 3, 5, - - - - - - - -, (2n - இரு எண்களினதும். கூட்டுத்தொகையைக் காண்க 1-3 + 5-7 + - - - - -
உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொ நேர்முழுவெண்.

99
- என்ற தொடரின் S ஜக் காண்க
காட்டுக.
- - - - (2n) + (2n+1) gait
- என்ற தொடரின் ظام உறுப்பு U
ஐக் காண்க.
முதல் n உறுப்புக்களின் ம். முதல் n உறுப்புக்களின்
ஆகும். முதலாம் உறுப்பு l- 1)
எனக்காட்டுக.
- - - என்ற தொடரின் no உறுப்பு தை உடையது. இங்கு A, B, C பறுமானத்தைக் காண்க.
எனக்காட்டுக.
, n என்னும் எண்களில் எல்லா
ளினதும் பெருக்குத்தொகையின்
) என்னும் எண்களில் எல்லா பெருக்குத் தொகையின்
- - - என்ற தொடரின் முதல் 2n
கையைக் காண்க. இங்கு n


Page 108
100
15.
16.
17.
18.
(i) (r + 1)o - ro = 3r? +
분_2 பிரயோகித்து Σr ஐக்
r = 1
(ii) 2.5 + 3.6 + 4.7 + - - - - -
உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொன
S = a + (a + d)r + (a + 2d)ro + (a
(1 - r) S = - w
1 - r
இதிலிருந்து 1+22+32 + 423
n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை:
1 + x + x + - - - - - - - - - -
கூட்டுத்தொகையை காண்க. இா
x குறித்து வகையிடுவதால் 1 + 2x + 3x + - - - - - - - - - -
கூட்டுத்தொகையை காண்க.
இதிலிருந்து 12 + 22 + 3.2 + பெறுமானத்தை 2 + (n-1)2'
a' + (a +d)+(a+2d)+------
– 1/6 (n-
எனக்காட்டுக. இதிலிருந்து (i) 2+ 4 + 6’ +------+ e' = a
(ii) 12 + 32 + 52 + - - - - - -+ e? = e
என உய்த்தறிக.

3r + 1 எனும் சர்வசமன்பாட்டைப்
காண்க.
- - - - என்ற தொடரின் முதல் n
கையைக் காண்க.
+3d)ro+---+a+ (n-1)dr
(a + (n-1)d)" எனக்காட்டுக.
என்ற தொடரின் முதல் - - - - -- ܗ -+
யைக் காண்க.
- - - - + x" என்ற தொடரின்
50 XZ 1.
--- + nx" எனும் தொடரின்
- - - - - - - - - - - - + n.2" g6t
என உய்த்தறிக.
6(n + 1)(2n + 1) எனக்காட்டுக.
-- + (a + nd) - 1)(6a(a+nd) + dn(2n+1)
46(4+1)(+2) (இரட்டை)
/6(4+1)(4+2) (4 ஒற்றை)


Page 109
19.
20.
1 Στ’ == [...] , n e Z
2n Σ r3 ஐ கருதுவதன் மூலம்
1
/nਨ3 T = Σ (2r) என்பவ
r =
எல்லை(S
* | ஐக் காண்க. n —» oo VT,
l (f ܗ ܗ ܣ ܣ ܗ - -- - ܘܗ -- - 1 + + (安川+
என்ற தொடரின் முதல் n உறுப்
முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்ெ
25LDITF In இனது மிகச்சிறிய

101
என நிறுவுக.
και S = Σ(2r-1)
r = 1
ற்றைக் காண்க.
۔۔۔۔۔۔۔+ '"({) + ۔۔۔
புகளின் கூட்டுத்தொகை S ஆகும்.
தாகை S ஆகும். S - S <--
103
பெறுமானத்தைக் காண்க.


Page 110
102
3.2 தொடரின் கூட்டுத்ெ பிடிப்பதற்குரிய வித்
3.2.1 முறை 1
U = f(r) - f(r-1) அல்லது வடிவத்தில் அமைதல்
தேற்றம் 1
(i) U = f(r)-f(r-1),
S, = Συ, = f(n)-
r = 1
(ii) U = f(r + 1) — f(r),
S = Συ, = f(n+
நிறுவல்:
(i) U = f(r) - f(r-1
r = 1, Ս1 = f()
r = 2, U2 R ད། f629 །
r = 3, U3 = f(3)
SLSLS SLS S S S S S SLSLS S S S S S S LSLS SS SSLSLSS SSLS MSSL S SLSLS SS SSSSSLSSSSS SSSS

தாகையை கண்டு
தியாச செய்கை முறை.
U = f(r-1) - f(r) 61g0lb
I > 1 எனின்
f(0) ஆகும்.
r > 1 எனின்
1)-f(1) ஆகும்.
) r > 1 எனின்
f(0)
~പ്പ
= f(n) - f(0).


Page 111
U:
ܒ
(ii) f(r + 1) — f(
qSS S qqSS S SS SS SS SS SS SS SS SSSSS S SS S SS S SSS SSS qqSSSS SSS SSSLS S SLS LS S
இதேபோல் - U = f(r) — f(r — 2) SÐ6d6 ogb
U = f(r + 2)-f(r) 659) b 1966)
பெறலாம்.
தேற்றம் 2
(i) U = f(r)– f{r_2), r> |
Συ, = f(n) + f(n-l r = }
(ii) U = f(r + 2) — T(r), r > 1
S = XEU = f(n+2) + f(
r = 1

103
f(n+1) - f(1).
உணர்த்தப்பட்டு S ஐ இலகுவாகப்
எனின்
) - f(0) - f(-1). ஆகும்.
எனின்
n+1) - f(1) - f(2). ஆகும்


Page 112
104
3.2.2 f(r) இனைக் காண்பதற்
வழமையான உபாயங்கள் பின்வரு
பயிற்சிகள் மூலமாகவும் விளக்கப்படவி (i) U ஆனது r இன் (1"
இருக்கும் போது
உதாரணம் 1
- - -- ܗ - - - ܚ - + 5.7.9 -+ 13.5.7 -+ 1.3.5
Ur g f(r) — f(r + 1) 6ņ6î6d 6T(up
தீர்வு:
U = (2r - 1) (2r + 1) (2r +3)
(2r-3) (2r-1) (2r + 1) (2r +
- 4 x 2
f(r)-f(r + 1) = U, ஆகும்.
.()1-2n( 15 – זז לא – S. re Συ, = 8 --
f(r) =
குறிப்பு: காரணி அதிகரிப்பும், r geş)
எழுதும் போது U இன் மு
(- காரணிகளின் எண்ணிக்
வகுக்க.
உதாரணம் 2
6 - - - - - - - - ن+ 5.7.9 -+ 357 -+ 13.5
g f(r) - f(r - 1) 2,05LDITOB, f(r) &
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை Sn 원g
எனக்காட்டுக.

கான உபாயங்கள்
நம் உதாரணங்கள் மூலமாகவும் |ள்ளன.
படி) காரணிகளின் பெருக்கமாக
- என்ற தொடரின் U ஐ எழுதுக.
தி S ஐக் காண்க.
3) e
666.
2n + 1)(2n +3)(2n+5)
8
ன் குணகமும் சமனாகும். f(r) ஐ
ன்னுள்ள காரணியை எழுதி, அதை
கை X வித்தியாசம்) என்பதால்
ன்ற தொடரின் U ஐ எழுதுக. U
ஐ எழுதுக. இதிலிருந்து முதல் n
க் காண்க. இத்தொடர் விரிதொடர்


Page 113
தீர்வு:
U = (2r - 1) (2r + 1) (2r +3)
2r -1)(2r + 1)(2r +3)(2r +5 f(r) = (2r-1)( 器 )(2r +5)
... U = f(r)-f(r-1) ஆகும்.
S = f(n) — f(0) S = (2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+
8
n —9> oO ge,ä5 Sn —> oO gq,@5tib.
முடிவற்ற பெறுமானம் கிடைப்பதால் வி
உதாரணம் 3 1.3.5 +24.6+35.7+------- என்ற
U = f(r) - for - 2) seg5LDITOB, f(1
இத்தொடர் ஒருங்குமா? விரியுமா?
தீர்வு:
U = r(r+2) (r+4)
f(r) = r(r + 2)(r + 4)(r -
T காரணிகளின் எண்ணிக்கை
f(r) = r(r + 瑩 +6)
f(r)-f(r-2) = U sigib.
S = n(n + 2)(n + 4)(n + 6) 十 (n-1)
8
n —> oO ge,é5 Sn -> 15/g; ga4,@5üb.
முடிவுள்ள பெறுமானம் கிடைப்பதால் ஒ

105
என்க.
5) 1
+ .
ரிதொடராகும்.
தொடரின் U ஐ எழுதுக.
) ஐ எழுதுக. Sn ஐக் காண்க.
')- x வித்தியாசம்
(n + 1)(n +3)(n+5) -- 15 8 8
ருங்கு தொடராகும்.


Page 114
106
உதாரணம் 4
உதாரணம் 3 96ö U = f(r) – f
காண்க.
தர்வு:
U = r(r + 2) (r+4)
(r - 2) r(r+2)(r + 4) f(r) - 4x2
U = f(r)-f(r. 2) sagib.
S = f(1) + f(2) — f(n + 1) — f(n -
S, = + 8
குறிப்பு: இங்கு r இன் குணகம் 6
இரண்டு ஆகும்.
(i) U ஆனது r இன் 1"
இருக்கும் போது
உதாரணம் 1
1. 1 1 17 t 4.7.10 + 7.16.13
U = f(r) - f(r - 1) ஆகுமாறு
எண்ணிக்கையான உறுப்புக்களின் கூ
தொடர் ஒருங்கு தொடரா? உமது விடை
தீர்வு:
VM 1 Ս. = (3r-2) (3r+1)(3r + 4)

(r + 2) வடிவில் எழுதி S ஐக்
H2)
-5) 十 n(n+2)(n+4)(n+6)
8 ܫ
ஒன்று, காரணிகளின் வித்தியாசம்
படிக்காரணிகளின் நேர்மாறாக
-- - - - என்ற தொடரின் U ஐயும்
f(r) ஐயும் எழுதி முதல் n
ட்டுத்தொகையைக் காண்க. இத்
யை மெய்ப்பிக்க.


Page 115
1 '" (3+1)(344)^காரணிகளி
- - - - - - f)“ (3 + 1)3 +4)* 23 U = f(r)-f(r-1) ஆகும். Sn = f(n) — f(0)
-1 1
in 6(3n+1)(3n+4) 24
n —9> oO  !/24 &!(œ5l
முடிவுள்ள பெறுமானம் கிடைப்பதால்
உதாரணம் 2
உதாரணம் 1 இல் U ஐ f(r) - 1
காண்க.
தீர்வு:
U = 1
r (3r - 2)(3r + 1) (3r + 4)
-- 1 f(r) = (3r-2)(3r+1) *காரணிகளில்
- 1 1
f(t) = (3-2)31)*23
U, = f(r)-f(r + 1) S = f(1) — f(n + 1)
S = 1 1
n 24 6(3n+1)(3n+4)
குறிப்பு: r இன் குணகம் = கா

107
-1 எண்ணிக்கை X வித்தியாசம்
ன்க
D.
ஒருங்கு தொடராகும்.
f(r + 1) வடிவில் எழுதி S ஐக்
1 எண்ணிக்கை X வித்தியாசம்
என்க
ஆகும்.
ணிகளின் வித்தியாசம்.


Page 116
108
உதாரணம் 3
1 1. 1. 1.3.5 + 2.4.6 t 35.7 + -----
U g 6T(pg|35. U = f(r) - f(r + 2 இத்தொடர் ஒருங்கு தொடரா என வாய்
தீர்வு:
- 1 . Ս. = r (r + 2)(r + 4)
ー一ー if(r) = r (r + 2) х காரணிகளின் எண்6
f(r) = cl, as
4r (r + 2)
U F f(r)-f(r + 2) setb.
f(1) + f2)-f(n+1)-f(n + 2)
S
= 1 + - - - - Sn 12 * 32 4(n + 1)(n +3)
n —> OO sq,ä5 Sn —9> 1 /%6 ஆகும்.
முடிவுள்ள பெறுமானம் கிடைப்பதால் ஒ
உதாரணம் 4 உதாரணம் 3 இல் U = f(r) - f காண்க.
தீர்வு:
1 U = r(r+2)(r + 4)
au- 1. "(+2)+4)^காரணிகளின் எ

LS S S S LS S LSS S LS S LSLS என்ற தொடரின்
வடிவில் எழுதி Sn ஐக் காண்க.
ப்புப்பார்க்க.
-) - ணிக்கை X வித்தியாசம்
1 | 4(n + 2) (n + 4)
ருங்கும்.
r - 2) வடிவில் எழுதி S ஐக்
-1 ண்ணிக்கை X வித்தியாசம்


Page 117
f(r) = -1
4 (r + 2)(r + 4)
U = f(r)-f(r-2) ஆகும். S = - f(0) - f(-1) + f(n - 1) + f S = - + - 1
n 32 * 12 4(n+1)(n-3)
(ii) சில விசேட தொடர்களுக்கு
பயன்படுத்தல்.
உதாரணம் 1
8 10 12- - ---- ਨੌਂ । ਨ4 + 5
6I(pglas. U = f(r) - f(r- 1) egE ஐக் காண்க. ஒருங்கு தொடரா? விரிதெ
தீர்வு:
2r+6 U, = r (r + 1)(r + 2)
λ r + s o f(r) = என்க. இங்கு
U, = f(r)-f(r-1)
2r + 6 = — Д. Г+ И — - r (r + 1)(r + 2) (r + 1)(r + 2)
2r + 6 = (Mr + u)r — [ 2 (r — 1) + pu r இன் குணகத்தை சமப்படுத்த 2 = pu - (pu - Л.) - 2Л.
Х = -2

109
n)
1 4(n + 2) (n + 4)
வித்தியாச செய்கை முறையை
----- என்ற தொடரின் U ஐ
f(r) ஐ எழுதுக. இதிலிருந்து S நாடரா? எனக்காண்க.
M , ய ஒருமைகள்.
λ (r -1) + μ r(r + 1)
| (r + 2)


Page 118
110
69(560)LD60)u 8LDILIG55
6 = -2(μ-λ)
6 = -2 - 4
H = -5
- (2r +5) f(t) - (1)(2)
S. = f(n) = f(0) = p)2.
n —9> oO ga,35 Sn —> 5/2 eq,Č5lb.
முடிவுள்ள பெறுமானம் கிடைப்பதால் ஒரு
உதாரணம் 2
கொடரின் " உறுப் 69(5 (olg5 Bill L- ro (r + 1)
U = f(r)-f(r- 1) ag5LDTD f(r) ஐக் காண்க. இத்தொடர் ஒருங்கு தொடர
தீர்வு:
М. f ே
" " (r+1)*(r'2)? (r+3)?
U = f(r) – f(r–1) 25
(2r +3) r” (r + 1)* (r + 2)” (r +3)*
W (r + 1)” (r + 2 2r + 3 = A[ro — (r + 3)”
=> 2r +3 = (-6r-9)
۸ = -1/43.

--
நங்கும்.
(2r +3)
2 (1-2)2(13)2 ale"
ஐ எழுதுக. இதிலிருந்து Sn
I?
Seb.
- Х. t o (r +3)” ro (r + 1)” (r + 2)?


Page 119
Sn
f(n)-f(0)
1 - س
3(n+1)*(n+2) (n +3) -
n -> o0 ée4,35 Sn —> 1/108 . say@5
" தொடர் ஒருங்கும்.
உதாரணம் 3
1 - 1.4 - 1.4.7 - 1.4.7.
+ + +
உறுப்பு U ஆகும். U فلم
f(r) - f(r - 1) = U. ஆகவு!
இருக்கத்தக்கதாக f(r) என்பது 1
A, B ஐக் காண்க.
தீர்வு:
1. 4.7.10.- - - - - - (3rU, = 25.81 ------ (3r
3r + 1 U. 黑彗厄,
U = f(r)-f(r-1)
(H2)(Art-B)U, - A(r - 1) +
(3r + 1) (Ar + B) — [A(r — 1) + B)
r இன் குணகத்தை சமப்படுத்த
3B + A-2A-3(B - A) = 3
A = 34.

111
유 + ---------- என்ற தொடரின்
- 1 원g U இல் எடுத்துரைக்க.
b f(r) = (Ar + B) U. sys6tb
இல் ஒரு சார்பு ஆகும். மாறிலிகள்
- (3n+1) 1 8 8 - (3n - 1) எனக்காட்டுக.
2)
1)
BIU, = U,
(3r+2) = 3r + 2


Page 120
112
B-2B -- 2A = 2
-B = 2-3
B = 1.
• - - - ܀ 10. 7. 4 ܀ 1 f(r) = (공) 2.5.8.11. ----
1. 4.7. S. f(n) f(0) - 5. 8. s = -
n 22. 5. 8. - - - - - - - - - - (
உதாரணம் 4
3 4 5
12.32.52 -- 32.52.72 -- 52.72.
U: 83 6TC9glés. Ur سمت f(r) u- f(r -- 2
காண்க.
தீர்வு: ל-2דU = -- F r ro. (r + 2)”. (r + 4)*
W fr) = - A --
(r) ro. (r + 2)” 6T6055
f(r) - frt 2) = U sis.
੭ (2) ro. (r + 2)” (r + 2)”. (r + 4)” 2. [(r + 4)”—r”)
λ (8r + 16)
Л.

-- (3r+2)
S SLLSS SSS SS LSS SSS SLSSS SS SSLSLSS SLLSS (3n+1)- L SSS S SSSL S SSS S SSSSS SSSSS SLSSSS S S LSSS (3n - 1) 2
n+1) 1.
Bn - 1)
LSS SSS LSS SLSS SS0 LLSLS SS SSS LLLLLS என்ற தொடரின்
) ஆக f(r) எழுதுக. S ஐக்
— Г + 2 — ro. (r+2)”.(r + 4)”
= r +- 2
== r +- 2
V8.


Page 121
1
t) =
S = f(1) + f(2) — f(n + 1) — f(n + 2)
4.
8 - حیلے۔ + چیلے۔ = S
n 72 512 (n+1)?..(n +3
உதாரணம் 5
- - 1 u SS இன் பெறுமானத் Σ r (r + 2)(r +3
CO
1 Σ (+2+3) ஒருங்கும எனகக
தீர்வு:
U. - r ( ; 2), 3) = r(t +
= ਦਨਦਨ + -
(r + 1)(r + 2)(r +3) r(r + 1
= { -1 -1
2(r + 2)(r +3) 2(r + 1)(r -
3(+1) (2) +3 - 3
2+243) 3 + 1)
2( + + 2) 3

113
款
2 (n+2)?...(n +4)?
0 - 0.
ருங்கு தொடராகும்.
தைக் காண்க.
ாட்டுக.
r + 1 1)(r + 2)(r +3)
)(r 2)(r +3)
-2)}
-1 } r(r+ 1)(r + 2)
2)(r +3)}
2) }


Page 122
114
U = f(r) - f(r-1).
w vnns -1 3i), f(t) = 2(425-43) *
f(n) - f(0)
Sn
-1 2(n+2(n+3)
1- l +立 + 意
1.
2
n-> OO gas S. =造+责 = .
உதாரணம் 6
2 Sin60 Cos2r0 = Sin(2r+ 1) 9 - Sin(
இதிலிருந்து Sin 0 Σ COS 2r0 = S
r = 1
100 மேலும் Σcos (ή) = 50
தீர்வு:
2 Sin6 Cos2r0 = Sin(2r+1)0 - Sin
f(r) = Sin(2r+1)0 என்க
f(r) = Sin(2r-1)0 ஆகும்.
f(r) — f(r — 1) = 2 Sin60 Cos2r0
Sin0 Cos20 + Sin0 Cos40 + - - - - -
Qg5 TLsfai U = Sin6 Cos2re
2 Συ, = f(n) - f(0).
r = 1

3(r + D(र्भ 2)(r +3)
3(n+1)IX 2)(n +3)
斋 9 தொடர் ஒருங்கும்.
2r-1) 9 எனக்காட்டுக.
Sin (n9) Cos (n+1)9 எனக்காட்டுக.
எனவும் காட்டுக.
(2r-1)Ꮎ.
- + Sine Cos2n0 - - - - - - - - என்ற
ஆகும்.


Page 123
^۔ 2XCos 2resin0 = Sin (2n + 1)0
r = 1
Sin θΣ Cos 2r0 = Sin (n0) Cos (n +
r = 1
烂.2 o ገl ITY - ·-· ΣCos (斋) Σ41+Cos("
O
1 -
O 100
ΣC r = 1
Cos (100 = 50 + 봉
붕
1. 2.
s
50 '." Sir
உதாரணம் 7
Cos 269 + Cos 49 + Cos 669 + - - - - - - -
என்ற தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின்
தீர்வு:
U = Cos 2r69
Cos 2r0 Sin 9 = Sin (2r+1)0 - Sin (2r-1 Sin (2r+1)0 Sin (2 Sin Sin Sin (2r+1)0 Sin)
Sin (2r-1)0 SinG
Cos 2r0 =
f(r)
f(r - 1) =

115
Sin 60
)ls
s()
+1) . SinT, X 100
100 100
Sin - T – 100
1 π = 0).
+ Cos 2r69 + - - - - - - -
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.


Page 124
U
Sn
f(r) — f(r —1)
f(n)-f(0)
ΣU, Sin() - 1. r = 1 ine
உதாரணம் 8
Sin 20 + Sin40 + Sin 60 +------
என்ற தொடரின் முதல் n உறுப்புகளி
தீர்வு:
U = Sin 2r0
Sin2r0 Sin 0 = Cos (2r-1)0 - Co
Cos (2r-1)69 () =
Cos (2r+1)0 Sin0
f
(r
十
1
)
===
. U = f(r)-f(r + 1)
Sn = f(1) — f(n + 1)
Συ - Cos 9 Cos (2n+1)0 r Sin 0 Sin0

+ Sin 2r0 +- - - - - - - - - - - - -
ன் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
s (2r--1)0
என்க.
ஆகும்.
ஆகும்.
ஆகும்.


Page 125
.உறுப்பு U ஐ எழுதுக. U فلم
ஐக் காண்க.
S = 1 - ( எனக்காட்டு
--
இத்தொடர் ஒருங்கு தொடரா?
鲨1
XCr(r+1) = (n+1)(n+2)
r = 1
1 O À(2r- 1)(2r + 1) ஐக காணக.
2n 1 ܫܝY இதிலிருந்து Σπίτ+2)" 1)
ોિ O XO ஒரு தொடரின் r உறுப்பு r (r +
இம்முடிவை உபயோகித்து ( +
r = 1

117
3.b.
+1) +1)
= f(r) — f(r + 1) SIGLDITg f(r)
என்ற தொடரின் ܚ - -- -- -- -- -- -+-
85.
எனக்காட்டுக.
ஐ உய்த்தறிக.
N ஆகும். Sn ஐக் காண்க.
1)
D() ( +32)(43) ஐக் காண்க.


Page 126
118
4. முடிவில் தொடர் ஒன்றின் " !
U = f(r)-f(rh 1)A sig5LDIT,
காண்க. இதிலிருந்து S ஐக் முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொ
5. --ਨ - -
1+(x+1) 1 + x2 1. Χ Σ 0 ஆக tan' (x + 1) .
எனக்காட்டுக. இதிலிருந்து S,
ஐக் காண்க. T = XCot”
r = 1
ஆக Sh, Th ஐக் காண்க.
6. 14.6 + 2.5.7 + 3.6.8 + - - - - உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகைை தொடரா?.
*7 () + 부 + 부흥 -
1.2 1.2.3
முடிவிலி உறுப்புக்களின் கூட்டு
::۱ - - - - - + -7 - - - - - - - - - (i) 4
G5ITLsfai U g f(r)-f(r
(-1) S。=1+嵩可

U = 2(r + 4) -3- r r (r + 1)(r + 2) ”
று மாறிலி A ஐயும் சார்பு f(r) ஐயும் காண்க. ஒருங்கு தொடர் எனக்காட்டி,
கையைக் காண்க.
(1+2x) -(1+x+x) (5LD.
tan" (x) = cot -(1 十X十 x)
1 + 2 , =》一부수
11 + (1 + r + r2)2
(1 + r + r*) gä5 a6T60őTa5. n -> oo
- - - - என்ற தொடரின் முதல் n பக் காண்க. இத்தொடர் ஒருங்கு
부-우- + -------- o
23.4 * இன்.
த்தொகையைக் காண்க.
n-l (2n+1) + ()" is எனற
- 1) இல் எழுதி
5காட்டுக.


Page 127
10.
11.
3 no = (n+1) - (n+1) +
n(n+1) n(n-1) - - - - -
பிரயோகித்து Σ r 9 Σ (.
r = 1
r = 1
se
காண்க.
1 + 2 +3 2 + 3 + 4 3 + 4.
중수 + +
U. g. 6TQg515. U g f(r) - f(r- தருக. இத்தொடர் விரிதொடரா? அ6
:۱ - - + -2 3 (i) 13 * 1.5 + 1.357
உறுப்பு U ஐ எழுதுக. இதி (ii) 12 - 2* + 32 - 42 + - - - - - -
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
Sk = 1* + 2 * + 3* + - - - - - - - -
n(n+1)(n + 2) 3
n(n + 1)(n. 4
S + S =
S. + 3S, + 2S, =
இதிலிருந்து S3 ஐக் காண்க.

119
8 V 2
no எனும் சர்வசமன்பாடுகளை
1) - r3 இன் பெறுமானங்களைக்
+ - - - - - - - - - - என்ற தொடரின்
- 1) இல் தருக. இதிலிருந்து S ஐத் ல்லது ஒருங்கு தொடரா?
" என்ற தொடரின் - ܚܘ ܗ - = - ܗ -- -- -- -+-
லிருந்து Sn ஐக் காண்க.
o ar w0 a என்ற தொடரின் முதல் n
(-1) n-l ! (n+1) எனக்காட்டுக.
எனவும்
H2)(n +3) எனவும் நிறுவுக.


Page 128
120
1 r(1)(2) 8 ft) -f
b
பின்வரும் உறுப்புகளை " உ
13.
14.
15.
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக்
0. 1. 8 (6) r(r+ 1)(r + 2) (i
(i) 2.3.4 + 3.5.7 + 4.7.10 + -- .
- - - - - ܚ - - + 6.10 + 4.7 + 2.4 (ii)
Lb
ஒரு தொடரின் " உறுப்பு
MSX λ r + 如)=高蔷动 *
ஒருமைகள் M, ய ஐக்காண்க. X r =
OO
U எனும் தொடர் ஒருங்குமெ
r = 1
3 - 4 - 5
1.2.4 2.3.5 3.4.6
எழுதுக. U.-f)-f(-1) ஆத
காண்க. இத்தொடர் ஒருங்குமா? உ

1 + 1) வடிவில் தருக. இதிலிருந்து
டறுப்புகளாகக் கொண்ட முதல் n
காண்க.
) 2r-3
r (r + 1)(r + 2)(r +3)
S S L S L S S LS SL SS SL SSSY SSSSSSS என்ற தொடரின் U ஐ
ஐக் காண்க.
என்ற தொடரின் S யாது?
2r + 1
U, = (2) ਲb.
T U = f(r) - f(r - 1) 2كe!BB
U U ஐப் பெறுமானம் காண்க.
= 1
னக்காட்டி பெறுமானத்தைக் காண்க.
+ -------- என்ற தொடரின் U ஐ
மாறு f(t) ஐக் கண்டு Σ U ஐக்
r = 1
உமது விடையை நியாயப்படுத்துக.


Page 129
16.* ஒரு தொடரின் " உறுப்பு U ஆ
Sn ஐக் காண்க.
17. SCr(r+ 1)(r + 2) = Pont ID
r = |
இதிலிருந்து l. 2.3 + 2.3.
ஐ " உறுப்பாக உடைய தெ
2 - - 9 3 (n + 1)(n-
s 3 -2 + --fll + --fll + . 8. 嵩(勃+盖(默 +吉(默 --
உறுப்பு U எழுதுக. U ஐ f(r -
Yn U, = - a é - 1 ' 4 4 (2n + 1)
காரணம் தருக.
19ட்டுத்தொகை
3 5 7 .
" ரப்பு U ஐ எழுதுக. U, = f(
1 - 1 = U - نقiن باسمهٔ i و
)1+Σ r (n نقiریکی
CO
U. உண்டு என உய்த்தறிக. r =

U = r' + r + 1
எது 4 طارنوليك .
n+2)(n +3) SS எனக்காட்டுக.
4
!十-------- + r. (r + 1). (r + 2)
ாடரின் முதல் n உறுப்புகளின்
எனக்காட்டுக.
-2) (n +3)
S SS S rSSS SSSS S LLSSSSS SSS S S LLSS SSLSS என்ற தொடரின்
1) - f(r) வடிவில் எடுத்துரைக்க.
காட்டுக. இத் தொடர் ஒருங்குமா?
SSLLSSS SSLLSSS SS SSLSLSS SSS SLSSS SS SS SS என்ற தொடரின்
) – f(r + 1) SAGöUDITg3 f(r) g
எனக்காட்டுக.


Page 130
122
20.* ஒரு தொடரின் " உறுப்புU =
U = f(r) - f(r-1) تتكوك
காண்க. இத்தொடர் ஒருங்கு தெ
21.ằK Sin2A Cosec(r+1)A Cosec ( எனக்காட்டுக. இதிலிருந்து Cosec A Cosec 3A + Cosec3A SSS SS SS SSLS S S S S S SSS SSS SSSSSS + CoSec (2n-1). கூட்டுத்தொகை
Cot A + Cot 2A-Cot 2nA-C
22. Tan 69 Sec 20 = Tan 20 - T
Tan 9 Sec 0 + Tan 9 Sec .
2 4
தொடரின் முதல் n உறுப்புகளில்
23. tan '(r + 1) - tan '(r) ை cott'(
இதிலிருந்து Cot (3) + Cott'(7) + Cott'(13
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.

2r +3
(2r + 1) (2r +3) (2rt5) ஆகும்.
f(r) ஐக் காண்க. ΣU, ஐக்
r = 1
ாடரா? காரணம் தருக.
r-1)A = Cot(r-1)A - Cot(r+1)A
CoSec 5A + CoSec 5A CoSec 7A + - -
A Cosec (2n+1)A 6Ig)IIò Qg5IILfì6öt
ot (2n+1)A]Cosec 2A 6T6OTä5a5|Tito (6a5.
an 0 எனக்காட்டுக. இதிலிருந்து 봉 -- Tan See + --- என்ற
ன் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
| + r + r”) எனக்காட்டுக.
) +------+Cot '(1 + n +n) 9si


Page 131
26.
tan' (n+1) - tan' (n) tan'G
இதிலிருந்து
2--tan'' - l + 12-ا۔ 1 + 1 + 1 1 + 2 + 2
தொடரை முதல் n உறுப்புக்கள் வை
tam
tan (n+1)0 - tan n0 = tan 0 (1 + ta
இதிலிருந்து xtan 19tan(+1)9 இ
1 = r ح
(i) Cos 9 Sin 20 + Cos 20 Sin 36 தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின்
(ii) Coso 9 = (1 + Cos 29) ஐப்
Coso 0 + Coso 20 + Coso 30
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை

23
二丞 எனக்காட்டுக. 十11十11
tan' و این + --- என்ற
1 +3+3
கூட்டுக.
In n0 tan (n+1)0] 6TGOT gÉpj6jcb.
ன் பெறுமானத்தைத் துணிக.
| + Cos 30 Sin 40 + - - - - 6TGörg
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
பயன்படுத்தி
என்ற தொடரின் n - ܚ - -- - ܂ܗ -+
க் காண்க.


Page 132
124
3.3 தொடரின் கூட்டுத்தொ விசேடமுறைகள்.
3.3.1 கணிதத் தொகுத்தறிவு ( கூட்டுத்தொகை காணல்
கணிதத் தொகுத்தறிவு முறை (Mathematical Induction Method)
கணித தொகுத்தறிவு முறை நேர்நிை பயன்படுத்தப்படும். n = 1 ஆக முடிபு உ p ஆனது நேர்நிறைவெண்ணாக இருக்க
என எடுத்துக்கொண்டு n = p + 1
வேண்டும்.
உதாரணம் 1 n ஒரு நேர்நிறையெண்ணாக 3**-81
வகுபடும் எனக்காட்டுக.
தீர்வு: f(n) = 3?"' – 8n – 9 GTGóris. n = 1 eas f(1) = 3'-8 -
. f(1) ஐ 64 பிரிக்கும்.
. n = 1 இற்கு முடிபு உண்மை.
n = p ஆக முடிபு உண்மை என் f(p) = 64k, இங்கு k ஒரு முழு

கை காண்பதற்கான
முறை மூலம் தொடரின்
ற எண்களுக்கு நிறுவும் போது உண்மை என நிறுவுதல் வேண்டும்.
5 n = p இற்கு முடிபு உண்மை
இற்கு உண்மை என நிறுவுதல்
1-9, ஆனது 64 ஆல் மீதியின்றி
போம்
வெண்


Page 133
n = p + 1 ஆக f(p + 1) = 3'P' - 8(p + 1) -
= 32.32p*2 - 8p - 17 = 9(3’’-8p-9) +64(g
=9f(p) + 64 (p + 1)
ஆனால் 64 ஆனது f(p)
64 ஆனது 64 (p + 1)
" 64 ஆனது f(p + 1)
n = p ஆகும் போது முடிவு உன்
2.60660), Duist (5b. n = 1 gig
தொகுத்தறிவு கோட்பாட்டினால்
பெறுமானங்கட்கும் முடிவு உண்மை
உதாரணம் 2
U1, U2, LCLSSSLS LSSLSS LSS S SLLLLSS S SSS S SSSS LSqSLSS S LSS Un 905
U = 1, U 2ಠ್ಯ
r + 1
கணிதத் தொகுத்தறிவு முறையால்
எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
n = 1 ஆக U = 3(2/3)
= 2 - 1
= 1
... n F 1 இற்கு முடிபு உண்
n = p ஆக முடிபு உண்ை .Up = 3(2/3)" - 1

125
+ 1)
ஐ பிரிக்கும்.
ஐ பிரிக்கும்.
ஐ பிரிக்கும்.
ன்மை எனின் n = p + 1 ஆக முடிவு
முடிவு உண்மை. எனவே கணித
n இன் எல்லா நேர்முழுவெண்
யாகும்.
தொடரியாகும்.
ஆகும்.
OLD 9(5th.
ம என்போம்


Page 134
126
WW 2U, - n = p + 1 ஆக Up: va 3
23(2/
= 3(2/3)
. n = p + 1 ஆக முடிவு உண்டை
உண்மை எனின் n = p + 1 ஆக முடி
முடிவு உண்மை. எனவே கணித தொ
இன் எல்லா நேர்முழுவெண் பெறுமானங்க
உதாரணம் 3
12 18 24- +------- 1 . ਜ਼ਿੱਡ । 6
= 17 - - 1 1 4
6 n +1 n + 2 n +3 6
எண் பெறுமானங்கட்கும் கணித தொகுத்
தீர்வு:
n - p ஆக முடிவு உண்மை என்போப்
Σ 6(r+1) - = 17 — — 1 — r(r+2)(r +3) 6 p+1
r := 1
n = p + 1 ஆக
p+1 L.H.S = Sy)
4 r(r+2)(r +3)
Σ 6(r + 1) -- 4 r(r+2)(r +3) (p + 1
4- -- ہے 1- --1- – 17 = 6 p + 1 p + 2 p +

- 1
ஆகும்.
3)? - 1-1
3
p* 1 - 1
மயாகும். n = p இற்கு முடிவு
டிவு உண்மையாகும். n = 1 ஆக
ாகுத்தறிவு கோட்பாட்டினால் n
5ட்கும் முடிவு உண்மையாகும்.
6(n+1) n(n+2)(n+3)
என n இன் எல்லா நேர்முழு
தறிவு முறையால் காட்டுக.
1 4
p + 2 p +3 என்போம்.
6(p + 2)
)(p +3)(p + 4)
| 4-1۔ --ط۔ 3- ل۔ 1-] سل۔ – 3 | |p1 pਸੰ3 4


Page 135
= R.H.S.
.12 - ܒܚܒ n = 1 ஆக L.H.S T 1.3.4
- 17 - R.H.S = 4
L.H.S = R.H.
n = p இற்கு முடிவு உண்மை
S. 60560)LDuJIT(5b. n F 1 ஆக
தொகுத்தறிவு கோட்பாட்டினால் 1
பெறுமானங்கட்கும் முடிவு உண்மைய
3.3.2 பகுதிப்பின்ன முறை g
காணல்
உதாரணம் 1
ஒரு தொடரின் " உறுப்பு U =
- A B - Ο U - 2 . 3 + 4 e!
காண்க. இதிலிருந்து Συ,
E
என உய்த்தறிந்து முடிவிலி வரைக்கு

127
எனின் n = p + 1 ஆக முடிவு
முடிவு உண்மை. எனவே கணித
இன் எல்லா நேர்முழுவெண்
ாகும்.
முலம் கூட்ருத்தொகை
2r + 1 O (+2) +4) se(55ld.
குமாறு மாறிலிகள் A, B, C ஐக்
ஐக் காண்க. இத்தொடர் ஒருங்கும்
மான கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.


Page 136
128
தீர்வு:
2r +1 = -Aچي + (r + 2)(r + 3)(r + 4) r + 2
2r + 1 - 影 - (r + 2)(r + 3)(r + 4) r + 2
3 - r = 1, 3.4.5 -
-S- - r = 2, .5.6
an -7- - r = 3, 5.6.7 ー/
2n-1 r = n - 1, (n+1) ਹੈ।(n+3) 「/
2n+1 r = n, (+2)å(n+4) =/
- 3.
8 தொட
குறிப்பு: மாறிலிகள் A+ B+ C : பொருத்தமானது.

r + 3 r + 4
22 + چي 5 r + 3 r --
-3 -7
2 5 74
12 n3 + n 4
7 5 7
(n+3) ni3 2(n+4)
ர் ஒருங்கும். S = i
* 0 ஆயின் மட்டும் இம்முறை


Page 137
விரிதொடராகும்.

129
னக்காட்டுக.
1 + 1 - + - - - + - -۱ + - - - +(端+古+ +) +


Page 138
130
பிரபல்யமான தொடர்
2 3 X - 2ل۔ ک2 ل۔ --ک2 + نک- - - e = 1 - 1. -- 方+ 3. 十
pro- χ* Χ. Χό Cos x = 1 - + – ,
xo xo x Sin X = X – 3. "57 "
2 3 4. ln(1 + x) = x-뜻+--
(1+x) = 1 - x + x - x + - - - - -
(1+x) = 1 - 2x+3x’- 4x'+---
(1-x) = 1 + x+x+x+-----

356i (Popular Series)
+ +------- WX
r X" - - - w7 - کا سا H - - - + (-1) VX
2r r-1 X - + (-1) 赤エサー・ VX
- - - + ( 1) - X -+- و - ܚ - -- -- ܗ
-1 < x < 1.
- + (-1) X-------
2r-1 9


Page 139
பயிற்சி
கணித தொகுத்தறிவு முறையா6 இற்கு
1 - --
l 1. l 2 3 a *
- 1 1 1
எனக்காட்டுக.
கணித தொகுத்தறிவு முறையால் 1.2.3.4.5 + 2.3.45.6 + 3.45.6.7
Sn ஆனது (n + 1)(n + 2)(n +3
ஒரு தொடரின் " உறுப்பு U.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால் இற்கும்
1. 1 man anna | 2(2) - 2
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால் இற்கும்
XCr(r+ 1)” (r + 2) = , (n+1)
r=1
எனக்காட்டுக.

3
3.c
யாதுமொரு நேர்நிறையெண் n
நேர்நிறையெண் n இற்கு
+- -- -- -- -- -- -- - என்ற தொடரின்
)(n + 4)(n + 5) எனக்காட்டுக.
r (r+ 1)(r+2)(r+3) &S"
எல்லா நேர்முழுவெண் n
3 n +3)
எனக்காட்டுக.
எல்லா நேர்முழுவெண் n
n+2) (n +3) (2n+3)


Page 140
132
யாதுமொரு நேர்நிறையெண்
முறையால்
Un = 1n + 2.(n - 1) + 3.(n - 2)
எனக்காட்டுக.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
பெறுமானங்கட்கும்
1 - 2 + 3 - 4 + (
எனக்காட்டுக.
1 1 = 1 + 쓰- + + --------- f(r) س+ے ۔۔۔ -+ـ ۔۔ -+ـ
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
S(2r +1)f(t) = (n+1) fin) r = 1
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
இற்கு 1 , 11 + 2 , 21 + 3, 31
எனக்காட்டுக.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
Xro = (n+1)(2n+1) 6. r = 6
பெறுமானங்கட்கும் நிறுவுக.
51 XC(98 + 2r)? = 1191700 r =

இற்கும் கணிதத்தொகுத்தறிவு
) +--- + n.1 = %(n + 1)(n + 2)
n இன் எல்லா நேர்முழுவெண்
(-1)* 'n? : (-1)* A(n + 1)
LLLLLLLLSS SLLSL LLSLS SLLMLSS LSSS CCSSSS SLLSS SLSS SLSS + 1 எனின்
r
எல்லா நேர்முழுவெண் n இற்கு
n(n+1) 2
எனக்காட்டுக.
) யாதுமொரு நேர்நிறையெண் n + - - - - + n . n = (n + 1)! - 1
ன எல்லா நேர்முழுவெண்
என உய்த்தறிக.


Page 141
10.
11.
12.
13.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையா (t) 2"* + 3* ஆனது
(ii) no - n ஆனது (iii) 9" - 1 ஆனது
காட்டுக.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையா (1) 7 - 5.7 - 2 என்பது (ii) f(r) = ln(1 + 4) 6T6óî6ÖT
எனக்காட்டுக.
எல்லா நேர்முழுவெண் n இற்கு (i) XC(r-1) r (r + 2) = (n-
r = 2
(ii) XCr2"*" = 1 + (n — 1
r = 1
(iii) 2. 1! + 5 . 2! + 10. 3! + - .
எனவும் காட்டுக.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறைய இற்கும்
(i) 1+2+3+------ -- n
எனக்காட்டுக.
1 2 (ii) Σ' ت [...]

133
ல் எல்லா நேர்முழுவெண் n இற்கும்
7 ஆல் பிரிபடும் எனவும்
6 ஆல் பிரிபடும் எனவும் 8 ஆல் பிரிபடும் எனவும்
ல் எல்லா நேர்நிறையெண் n இற்கும்
6 ஆல் வகுபடும் எனக்காட்டுக.
f(1) + f(2) + - - - - + f(n) = f(A)
ம் கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
1)n (n+1)(3n+10) O - ഞഖഥ
)2" எனவும்
. -- + (no+1). n = n. (n + 1)!
T6) 6T6)6)IT நேர்முழுவெண்
= n/2 (n+1) (2n+2n-1)
எனக்காட்டுக.


Page 142
134
14.
15.
16.
17.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால் இற்கும்
1- + بlی۔+ چلے۔+ 1
() .
என நிறுவுக.
* Yr un o -- rm(ii) Àr (r + 1)(r +2) 4 (r
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால் இற்கும்
(i) 1 + 3 +5+ - as a a win + (2
(ii) Σ(2: + 1)(r - 2) = (4n
எனக்காட்டுக.
எல்லா நேர்முழுவெண் n இற்கும்
1Σap س= o! p") எனக்காட г. - 1 - р
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
(i) 1.2.3 + 2.3.5 + 3.4.7 + --
எனக்காட்டுக.
(ii) Σr (t+3) ܒ A (n+1)(n
r = 1

b எல்லா நேர்நிறையெண்
+------- = - n-- "n.(n+1) n+1
n (n +3) & 8
+ 1)(n + 2)1) (n+2) எனக்காட்டுக.
b எல்லா நேர்நிறையெண்
n-1) = % (2n - 1)(2n+1)
- 3n - 19)
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
ட்டுக.
எல்லா நேர்நிறையெண் n இற்கும்
- . ! ! « » smr + n.(n + 1).(2n + 1)
e se 2
Y (n+1) (n + 2)
+5) எனக்காட்டுக.


Page 143
18.* கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால்
:\ 1 + 1.3 + 1.3.5 +- () 중 + + +
1.3.5 T 2.4
எனக்காட்டுக.
19. ஒரு தொடரின் " உறுப்பு U,
- A B U, () ()
A, B, C ஐக் காண்க. இதில்
l 1. Συ, 4 2(n+2)
இத்தொடர் ஒருங்குமெனக்க
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
20 3r-1 ஐப் பகு
(r-1) r (r + 1)
S`—3r + 1 — = 5 4- (r-1) r (r + 1) 2
இத்தொடர் ஒருங்குமெனக்கா
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.

135
ஸ் எல்லா நேர்நிறையெண் n இற்கும்
1.3.5- - - - - . (2n+1) )2n( . ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ 246 T" ۔۔۔‘‘
-----. (2n+1) - 1 6 - - - - - (2n)
r
– (r+ 1)(f. 2)(f + 3) BSíð.
C (r +3) ஆகுமாறு ஒருமைகள்
மிருந்து
- - - எனக்காட்டுக 2 (n +3) KO
5ாட்டி முடிவிலி வரைக்கும்
திப்பின்னங்களாக்குக. இதிலிருந்து
2. எனக்காட்டுக.
n+1
ட்டி, முடிவிலி உறுப்புக்களின்


Page 144
136
21.
22.
ஒரு தொடரின் ظل Э –00|ШЦ
ஆகும். பகுதிப்பின்னங்களாக் உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை
ہبی قب4Hیبی۔ --1 = ,S " 2 2 (2n+1) (2n+3) ஒருங்குமெனக்காட்டி முடிவிலி
காண்க.
பின்வரும் தொடர்களின் r ஆ பகுதிப்பின்னமாக்குவதன் ep6) கூட்டுத்தொகை S ஐக் கண்டு விரிதொடரா? எனத்தீர்மானிக்க.
(i) 2.3.5 t 3.6 t
ہیلی۔ +
ii^ — 1 — (ii) 48; * 6.0 * 8.
--
O -l (i) 55 サ 在iz * 5。

=ബ 4r U, = (2r -1) (2r + 1) (2r +3)
வதன் மூலம் முதல்
ஐ மேலேயுள்ள தொடருக்கு
எனக்காட்டுக. இத்தொடர்
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக்
வது உறுப்பை எழுதி அதை முதல் n உறுப்புகளின் அத்தொடர் ஒருங்கு தொடரா?
3 4- +------ 落アサ 5エサ
- + ---------- * 10.14
1.


Page 145
பலவினப் பt
1 +-2- + -ܗܝ یقی+- -- -- --
2.3.4 34.5 4.5.6
முடிவிலி உறுப்புக்களின் கூட்(
1.
உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை
ஆகுமாறு n இன் மிகச்சிறிய
B به +
x + 11x+5 - A
X X
x (x + 1) A, B, C, D ஒருமைகளைக் கா s = Si r* #11r+5
2 2 r“ (r + 1)
வரைக்குமான கூட்டுத்தொகைை
3 - 3.7 - 3.7.11 -------- 3米者十着茵+者麾盖+
தொடரின் முதல் n எண்ணிக்
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
4. f(r) = Aro + Bro+ Cr 3,56||
இருப்பின் A, B, C 6 1 + 3 +5+ 7+---------
எண்ணிக்கையான உறுப்புகளின்

137
பிற்சிகள் 3.d
SSLSS S LSLS SSSSSSSS SSS S LSL SLSSL LLLLSS S SSS S SS என்ற தொடரின்
}த்தொகை S ஆகும். முதல் n Sn gay@5Lb. | Sn - S | < 102
பெறுமானத்தைக் காண்க.
D
-- -- Ρ --
(x+1)*
ஆகுமாறு + بC- X + 1
ாண்க. இதிலிருந்து
காண்க. இத் தொடரின் முடிவிலி
பக் காண்க.
கையான உறுப்புக்களின்
ɔ f(r) — f(r — 1) = (2r — 1)“ 456Ịub
ஒருமைகளைக் காண்க. இதிலிருந்து
w wimu m es ao என்ற தொடரின் முதல் n
கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.


Page 146
138
5. n(n + 1) = (n - 1)(n - 2)
இதிலிருந்து n > 3 ஆக 器
எனக்காட்டுக.
இதிலிருந்து 1.2+2.3 十ー・
1.
என்ற தொடரின் முடிவிலி உறுப்பு
2 6% ,ே +4, + + n - n + 1.
2 3 n
உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையை
5 7 2n + 1 7*3+希 + 3 + u e m a + شروود
முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தெ
8.* ஒரு தொடரியின் n ஆவது உ
U = An' + Bn + C
n
Ս1 = 4, U2 = 13, U3 = 26, U
பெறுமானங்கள் யாவை?
4 13 , 26 43 苗サ放所サラ請サ着
தொடரின் முடிவிலி உறுப்புகளின்
ஆகும்.
a nu -

4(n - 1) + 2 எனக்காட்டுக.
+1) 1 4 2 1) (n3)" (n.2)" (n-1)
.4 ----, n(n+1) ž* * * * * * * (? - Di
களின் கூட்டுத்தொகை யாது?
என்ற தொடரின் முடிவிலி ܗ - ܗ - ܗ -
பக் காண்க.
十ーーーーー என்ற தொடரின்
ாகையைக் காண்க.
றுப்பு Un எனின்
4 F 43 suigi A, B, C 366,
An* + Bn + C
கூட்டுத்தொகை யாது?.


Page 147
9. பின்வரும் முடிவிலித் தொடரின்
2 22r +1 22r + 2
U = 今ーーーチー
– 2 ” (டி1) எனு
12' 3.2 (2r
-4 - 4 -----4 མལ་
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை
10.* ஒரு தொடரின் " உறுப்பு U
ஆகும். பகுதிப்பின்னமாக்குவத6
காண்க. SS+ = 1 எனக்க
11. கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையால் (i) 1...(2n-1) + 2.(2n-3) + - - - +
எனக்காட்டுக.
(ii) 3 . 52n + 1 -- 23n+ 1
எனக்காட்டுக.
12. எல்லா n > 1 இற்கும் S, d -
அமையும் வண்ணம் S, S2,
எண்களின் தொடரி ஆகும்.
கணிதத்தொகுத்தறிவு முறையா
S>N3 எனக்காட்டுக. மேலும்

139
1 ஆவது உறுப்பு U ஆனது
) வடிவில் எழுதலாம் எனக்காட்டுக.
)2 + +1)
க் காண்க.
முடிவிலி ܒܘ ܗ -- -- - ܚ+
(-1)''' (2r +1) ஆனது U = r (r + 1)
ன் மூலம் S =>U, ஐக்
I =1
ாட்டுக. இங்கு n ஒற்றை எண்.
) எல்லா நேர்நிறையெண் n இற்கு n2n - (2n-1) = (n+1)(2n+1)/6
ஆனது 17 இனால் வகுபடும்
3 (1 + S,) 6, S. =ss என
s e a mi e o -, S என்பது நேர்
2ܖ *n+1
- 3 என்பதை S இல் தருக.
ால் எல்லா நிறையெண் n இற்கும்
Sடி < S என உய்த்தறிக.


Page 148
140
13.
14.
15.
16.
tan (*/2) = cot (K/2) - 2
இதிலிருந்து > an* =
k=1
அடுத்து வரும் நான்கு நிை
வகுபடும் எனக்காட்டுக.
n > 2 எனின் கணிதத்தெ n-5n+ 60n-56n تکa,60Tنق
4 is 1.5 s. 12 \2 *都是川盖G
தொடரின் முதல் n உறு
கணிதத்தொகுத்தறிவுக் கோட்
இற்கும் S, = 1 -1
(n+1)
1 5 11 19
3 4 5 6
U = A ஆவது உறுபட n T n.
தொடர்பை திருப்த்தி செய்கிற
A, B, C ஐக் காண்க. n = 4
1-(n+1) Συ, Ι= 2 (n + 2)
காரணம் தருக.

COt X ( 0 < x < t ) 6TGoldsassri (65.
cot* - CotX 6160Ti55T (65.
என்பதை உய்த்தறிக.
றையெண்களின் பெருக்கம் 24 ஆல்
ாகுத்தறிவு முறையைப் பயன்படுத்தி
120 ஆல் வகுபடும் எனக்காட்டுக.
) -- - - - - - - - - - - ----- என்ற
றுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை S எனின்
பாட்டினால் எல்லா நேர்முழு எண் n
- எனக்காட்டுக.
շո
SS S SSS S SSS SSSSS SLSSS SS என்னும் தொடரியின் n
B C
- --
(n+1)! (n + 2) 6Tg)|LD
}து. n = 1, 2, 3 எனப்பிரதியிட்டு
இற்கு வாய்ப்புப்பார்க்க இதிலிருந்து
ானக்காட்டுக. Σ U. ஒருங்குமா?
r = 1


Page 149
17. கணிதத்தொகுத்தறிவு கோட்ட
நேர்முழு எண் பெறுமானங்கட் (i) 2" " - 9n + 3n
எனக்காட்டுக.
(ii) 2*"'*' - 6n - 2 46015
18.* எந்த ஒரு மறையில்லா நிறை
19.
20.
21.
இனால் வகுபடும் என க
காண்க. மறையான நிறையெ
எந்த ஒற்றை நிறையெண் n
என உய்த்தறிக.
(1) n நேர் நிறையெண் ஆ
இனால் வகுபடும் போ தொகுத்தறிவு முறையினா6 (i) n நேர் நிறையெண்ணாக 22n + 2 十 32n ஆனது 1
எனக்காட்டுக. s
6 –H 66 –H 666 –H 6666 + - - - -
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைை
岱
Σr = (n+1) (2n+1)
r = 1
2n (i) Σr" ஐக் காண்க.
r = 1
(i) முதல் n எண்ணிக்கையா6 கூட்டுத்தொகையைக் காண (i) இதிலிருந்து 1 + 3 +
பெறுமானத்தைக் காண்க.

141
ாட்டைப்பயன்படுத்தி n இன் எல்லா நம்
- 2 என்பது 54 இன் மடங்காகும்
18 ஆல் வகுபடும் எனக்காடுக.
யெண் n இற்கும் n' - n ஆனது 7 ணிதத்தொகுத்தறிவை பயன்படுத்திக் ண்களுக்கு இம்முடிபை உய்த்தறிக. - n என்பது 168 ஆல் வகுபடும்
பூயின் 4.6" + 5"" ஆனது 20 து மீதி 9 ஆகுமென கணிதத் ல் காட்டுக.
5 கணிதத்தொகுத்திறிவு முறையால் 20 ஆல் வகுபட மீதி 25 ஆகும்
என்ற தொடரின் முதல் n
யக் காண்க.
ான எடுத்து
ா இரட்டை எண்களின் வர்க்கங்களின்
óS。
5* + - - - - - - + (2n - 1)' 36ör


Page 150
142
22.2k 1 +3(%) +5(%)+-------
23.
24.
25.
தொடரின் கூட்டுத்தொகை 6 -
2n +3
இங்கு R co 2n-1 el(3
Rn + 1 s 13
R 2
n- 4 R < 景(器) எனக்கா
எனக்காட்டுக.
(i) X(x - 2x - 2) Gigol
r = 0
வீச்சங்களைக் காண்க.
(ii) U, = (2r — 1)3' 6T6öñ6ör
f(r) = Aro + Bro + Cro + D f(r) VO f(r 1) E ro ஆகுமா
காண்க. இதிலிருந்து
1° + 2° + 3°+ - - - - + n° = nʼ
1.2.3 十3.4.5十5.6.7 十一一一
பெறுமானத்தைக் காண்க.
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைை கூட்டுத்தொகை S ஐக்
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை வித்தியாசம் 10-3 இலும் குை

- - - + (2n-1) (%)". Gigip
R எனக்காட்டுக.
ம். n > 4 எனின்
இதிலிருந்து n 24 எனின்
ட்டுக.
ம் தொடர் ஒருங்குவதற்கான X இன்
.ஐக் காண்க کہلاXE
r = *7
r எனக்கொண்டு
று A, B, C, D எனும் ஒருமைகளைக்
(n+1)/4 எனக்காட்டுக.
- - + (2n - 1) 2n (2n + 1) gir
--- என்ற தொடரின் முதல் n
யக் காண்க. முடிவிலி உறுப்புகளின் காண்க. இத்தொடரில் எத்தனை
5கும் S இற்கும் இடையேயான
றவாக இருக்குமெனக்காட்டுக.


Page 151
26. ஒரு தொடரின் r ஆவது உ
27.
28.
29.
30米2+2.2+23。 十
1
(i) ; 22.2)
(2r-1)(2r+1)
n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொ
(ii)
ஒரு பொருத்தமான V இற்கு
Σ 2r+1
SLSLSLMLSSSMSkSSSLSSSkSSSLLLLLLSTT
r(r+ 1)(r+2) ஐக க
XCr(3r+ 5) ஐக் காண்க. இத்
r=
4 + r ܒ * r (r + 1)(r + 2)
எனின்
ஒருமை k ஐக் காண்க. இங்கு
in U
f s 2s +1 ஐக காணக.
3 3.6 3.6.9
எழுதுக. U+ 1 ஐ U சார்பில் :
f(r) = (Ar + B)U sis6
இருக்குமாறு மாறிலிகள் A, B
ஐக் காண்க.

43
றுப்பு U ஆகும்.
ஆன இரு தொடர்களினதும் முதல்
கையைக் காண்க.
4(4r +1)
r(r+1) என எடுத்து
ாண்க.
தொடர் விரிதொடர் எனக்காட்டுக.
U = 2V. - V, - 1 ஆகுமாறு
- k 0. V, = (1) &öid இதிலிருந்து
என்ற தொடரின் " உறுப்பு U ஐ
எடுத்துரைக்க.
b U = f(r) - for - 1) sys6b
ஐக் காண்க. இதிலிருந்து ΣU,
r el


Page 152
144
-- A B - ( 31* () () ()
D என்னும் ஒருமைகளைக் க
3, 3, 3, 4 1° + 2 + + +--- எனற
கூட்டுத்தொகை 15 e எனக்காட்(
32.* ஒரு தொடரி X,= 0, x,-1, n e
it x) இனால்
Xn+2 % (x,
in e N 9sib(5 Xn - 2 - X
அதோடு n e N இற்கு
கணிதத்தொகுத்தறிவின் மூலம்
தொடர் ஒன்றின் n உறு
எழுதப்படலாம் என உய்த்தறிக
33 2Cosec20 cot20 + 4cosec40 (
என்ற தொடரின் முதல் n உ
cosec“9 - 2" cosec” (2"9) 6
34. cos0 sec0 + cos20 sec“0 + cos.
என்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை
35. sec0 sec20 + sec20 sec30 + -
உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
2cosec20 sin(n0) sec(n + 1)0

D 2) * (r-1):
ஆகுமாறு A, B, C,
ாண்க. இதிலிருந்து
தொடரின் முடிவிலி உறுப்புகளின்
நிக.
: N gsig5
ஸ் தரப்படுகின்றது.
- 1 = % (x - x) எனக்காட்டுக.
--( - Ꮴ4Yn - 1 k - x -( - %) 6T6
காட்டி X, ஆனது பெருக்கல்
ப்புக்களுக்கான கூட்டுத்தொகையாக
ot40 + 8cosec80 cot80 + - - -
றுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
ானக் காட்டுக.
30 seco0 + - - - - + cos(n0)sec"0
sin(n+1)0 - 1 எனக்காட்டுக. sin0 cos"0
LLSLS SS SSSSS S SSLLS S LS LS S LSS S SLLLLSS SLLSS S SSS S LSL என்ற தொடரின்
எனக் காட்டுக.


Page 153
எனினும் முறைகள்
அறிமுகம்
எண்ணும் விடயங்கள் பல்வேறு முடிவுகளை எடுக்க வேண்டி முடிவுகள் நல்ல திட்டமிடப்பட்ட நிகழ்வுகளையும் நிரைப்படுத்தி என வரிசைமாற்றம், சேர்மானம் எனும் அடிப்படை முறைகளும் வழங்கப்படுகின்றன. .
6 foodf|DIgbgbb (Permutatio
a , b , c எனும்
ஒழுங்குபடுத்தும் வழிகளைப் பார்ப்பே
a b c
а c b b c a
b a c
c a b
с b a
வேறுவேறான வழிகளி
ஒவ்வொரு ஒழுங்கும் ஒரு வரிசை
வேறுவேறான எழுத்துக்களைக்
மாற்றங்கள் 6 ஆகும்.

145
fir (Counting Methods)
தொடர்பாக நம் அன்றாட வாழ்வில் }யவர்களாக உள்ளோம். அப்படியான முறையில், பொருத்தமான எல்லா ண்ணுவதன் மூலம் அறியப்படலாம். தலைப்புகளின் கீழ் பலவிதமான யிற்சிகளும் இவ்வத்தியாயத்தில்
n)
3 எழுத்துக்களை ஒரு வரிசையில்
Lb.
ன் எண்ணிக்கை 6 ஆகும். இதில்
மாற்றம் எனப்படும். எனவே 3
கொண்டு செய்யத்தக்க வரிசை


Page 154
146
а , b , с , d 6І
தடவைக்கு 3 ஆக எடுத்து ெ பார்ப்போம்.
a, b, c யைக் கொன a, b , d யைக் கொன
a , c, d யைக் கொன
b, c, d யைக் கொன
மொத்தமாக 24 வரிை
குறியீடு :
n வேறுவேறான ெ
எடுத்துச் செய்யப்படும் வரிசை மா
குறிக்கப்படும்.
மேலே தரப்பட்ட
எனவும் "P =24 எனவும் காணலா
"P இற்குச் சூத்திரம் காண்ே
a1, a2, a3, .............
எழுத்துக்களில் தடவைக்கு r
ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய வழிகளின் என
1 2 : D
படத்தில் உள்ளது போல்
85([ნტ5l8ნ.

றும் 4 வேறுவேறான எழுத்துகளில்
Fய்யத்தக்க வரிசை மாற்றங்களைப்
டு 6 வரிசை மாற்றங்கள்
ன்டு 6 வரிசை மாற்றங்கள்
ண்டு 6 வரிசை மாற்றங்கள்
ன்டு 6 வரிசை மாற்றங்கள்
சை மாற்றங்கள் உண்டு.
பொருள்களில் தடவைக்கு r ஆக
ற்றங்களின் எண்ணிக்கை "P ஆல்
உதாரணங்களில் இருந்து P = 6
b.
D.
a , a என்னும் n வேறுவேறான
ஆக எடுத்து ஒரு வரிசையில்
ன்ணிக்கையைக் காணவேண்டும்.
------- لـ
r வெறுமையான கூடுகளைக்


Page 155
முதலாவது கூட்டில்
அதாவது முதலாவது கூடு n வழிகள்
நிரப்பப்பட்ட பின் இரண்டாவது கூடு
முதல் இரண்டு கூடுகளும் நிரப்பப் வழிகளில் நிரப்பப்படலாம். இவ்வாறே
நிரப்பப்படலாம்.
"P = n(n-1)(n-2).........
(n
n (n-r)!
எல்லா n எழுத்துக்களையும்
மாற்றத் தொகை
"P = n(n-1)(n-2).
= n
n 8 " (n — r)! இல் r
"P =
Ot
எனவே 01 = 1 என வரையறு

147
எந்த எழுத்தும் இடம் பெறலாம்
ரில் நிரப்பப்படலாம். முதலாவது கூடு
n-1 வழிகளில் நிரப்பப்படலாம்.
பட்ட பின் மூன்றாவது கூடு n-2
இறுதிக்கூடு n-(r-1) வழிகளில்
O O o O (n - r + 1)
O 40 (n —r + 1)(n-r)..........2x1 - r).......... 2×1
) கொண்டு செய்யக்கூடிய வரிசை
to be upo e o e o e s s a s so 2x1
(3UTub.


Page 156
148
உதாரணக் கணக்குகள்
1. 4 பிள்ளைகள் ஒரு வரிசையில்
2. 5 வேறுவேறான எழுத்துக்கள்
செய்யப்படும் வரிசை மாற்றத் ெ
3. ஒரு ஒட்டப் போட்டியில் 6
இடங்களுக்கு பரிசுகள் வழங்க
வழிகளின் எண்ணிக்கை
4. ஒரு விளையாட்டுப் பயிற்சியின்
வேண்டி உள்ளனர்.
i) அவர்கள் நிற்கக்கூடிய
6,60L
i) அவர்களில் குறித்த
இற்கு அடுத்து B நிற்
விை

நிற்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை
= 4
ல் தடவைக்கு 3 ஆக எடுத்துச்
தாகை
= P,
5
2
60
F
பேர் பங்குபற்றுகின்றனர். முதல் 3
ப்படுமாயின் அவை வழங்கப்படக்கூடிய
,P“ ܣܒ
6 3.
= 120
போது 7 பேர் ஒரு வரிசையில் நிற்க
வழிகளின் எண்ணிக்கை என்ன?
= 7
, B என்னும் இருவர், எப்போதும் A தம் வழிகளின் எண்ணிக்கை என்ன?
= 6


Page 157
i) A , B இருவரும் அருகருே
என்ன?
விடை = 61 x 2
iv) A , B (56)(bub SÐICC5
நிற்கக்கூடிய வழிகளின் என
660L
5. 1000 , 10000 என்பவற்றுக்கிடை
உடைய எத்தனை எண்கள் உண்(
விடை :
or so so so , 9 என்னும் ..........و2 و 1 و0
தடவைக்கு 4 இலக்கங்களை எடு:
வேண்டும்.
இவ்வாறு செய்யக்கூடிய வழிகளின்
இவற்றுள் 0514 போன்ற எண்களுப்
இவை உண்மையில் 3 இலக்க எ6
இவ்வாறான எண்களின் என
.. வேண்டிய எண்களின் எண்ண
வேறு முறை :
1. 2
படத்தில் உள்ளது போல் 4 ெ
1 ஆவது கூடு 9 வழிகளில் நி

149
க நிற்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை
கருகே நிற்க மறுத்தால் அவர்கள்
ன்ணிக்கை என்ன?
= 7 - 6 x 2
= 3600
யில் வெவ்வேறான இலக்கங்களை S?
10 இலக்கங்களில் இருந்து
த்து ஒரு வரிசையில் ஒழுங்குபடுத்த
எண்ணிக்கை = "P.
) உண்டு.
ண்களாகும்.
ாணிக்கை = P,
ரிக்கை = "P- 'P,
= 4536
3 4.
வறுமையான கூடுகளைக் கருதுக.
ாப்பப்படலாம் (0 வராது )


Page 158
150
6.
2 ஆவது கூடு 9 வழிகளில்
3 ஆவது கூடு 8 வழிகளில்
4 ஆவது கூடு 7 வழிகளில்
.. வேண்டிய எண்களின் தெ
0,1,2,3,4,5,6,7 எனும்
i) 5 இலக்கங்களை உடைய
ii)
(ஒர் இலக்கத்தை எத்தனை
660L = 7x8x8x8x8
= 26872
5 வெவ்வேறான இலக்கங்
ஆக்கப்படலாம்?
6їl6оц— = 7 х7х 6 х 5х4
= 5880
i) இவற்றுள் ஒற்றை எண்
]]
5வது கூடு 4 வழிகளில்
பின் 1, 2, 3, 4 ஆவது கூடு
நிரப்பப்படலாம்.
.. வேண்டிய எண்க
V) இவற்றுள் இரட்டை என
விடை

நிரப்பப்படலாம்
நிரப்பப்படலாம்
நிரப்பப்படலாம்.
IT605 = 9x9x8x7
= 4536
இலக்கங்களில் இருந்து
எத்தனை எண்கள் ஆக்கப்படலாம்?
முறையும் பயன்படுத்தலாம்.)
களை உடைய எத்தனை எண்கள்
கள் எத்தனை?
3 4 5
ல் நிரப்பப்படலாம்.
கள் முறையே 6, 6, 5, 4 வழிகளில்
ளின் தொகை = 6x 6x5x4x4
2880
ன்கள் எத்தனை?
= 5880 - 2880
3000


Page 159
. வெவ்வேறான 10 புத்தகங்கள் (
ஒன்றில் ஒழுங்குபடுத்தி வைக்கட் ஒவ்வொன்றிலும், புத்தகங்களைத்
வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கா
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
நிறமும் ஒழுங்கும் புறக்கணிக்
விடை = 10, !
ஒரே நிறமுடைய புத்தகங்க ஒழுங்கிலும் வைக்கப்படும் டே
விடை :
ஒரே நிறமுடை கட்டுக்குள் புத்
.. வேண்டிய 6
ஒரே நிறமுடைய புத்தகங்கள் போது
விடை :
கட்டுகளுக்குள்
.. வேண்டிய 6
பச்சை நிறமுடைய புத்தகங் ஒழுங்கிலும் ஆனால் சிவப்பு பிரித்தும் வைக்கப்படும் போது
விடை : 4 பச்சை நிறமுடைய புத்த வேண்டும்.
மொத்தம் 7 புத்தகங் எவ்வாறாயினும் இருக்கும் வழி 2 சிவப்பு நிறப் புத்தகங்களு
எண்ணிக்கை
.. வேண்டிய வழிகளின் எண்

151
4 பச்சை, 4 நீலம், 2 சிவப்பு) தட்டு
பட்டுள்ளன. பின்வரும் சந்தர்ப்பங்கள்
தட்டில் ஒழுங்குபடுத்தி வைக்கும்
5005.
கப்படும் போது
5ள் எப்போதும் ஒருமிக்கவும் ஒரே
ITg5l
ய புத்தகங்களை ஒன்றாகக் கட்டுக. தகங்களின் ஒழுங்கு மாறாது.
Iண்ணிக்கை = 3 !
எப்போதும் ஒருமிக்க வைக்கப்படும்
புத்தகங்கள் மாறலாம்.
Iண்ணிக்கை = 31x41x4x2!
கள் எப்போதும் ஒருமிக்கவும் ஒரே நிறமுடைய புத்தகங்கள் எப்போதும்
கங்களை ஒரு புத்தகமாகக் கருத
5ளில் சிவப்பு நிறப் புத்தகங்கள்
கெளின் எண்ணிக்கை = 7 !
ம் அருகருகே இருக்கும் வழிகளின்
= 6 x 2
ாணிக்கை = 3600
= 7 - 6 x 2


Page 160
152
LIUB
ஓர் அலுமாரியில் 5 வெவ்வேறான ஒழுங்குபடுத்தலாம்?
ஒருவருக்கு 6905 பரிசு மட்டு
பரிசுகளை 10 பிள்ளைகளு
வழங்கலாம்?
KO U SHAN என்னும் ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணிக்ை இவற்றுள் எத்தனை ஒழுங்க பிரிந்திருக்கும்?
ஓர் இலக்கம் ஒரு முறை மட்டும்
7 , 9 எனும் இலக்கங்களைக்
எத்தனை எண்கள் ஆக்கப்படலாம்
0, 1,3,4,6, 8,9 எனும் இல இலக்கங்கள் உடைய எத்தனை (
இவற்றுள் இரட்டை எண்கள் எத்த
ஓர் அலுமாரியில் வெவ்வேறு வை
இவற்றுள் 2 அட்சர கணித நூல் கேத்திர கணித நூல்களும் ஏனை ஆகும்.
i) இந்நூல்களை எத்தனை i) இவற்றுள் எத்தனை ஒ பற்றிய நூல்கள் ஒருமிக்

6
புத்தகங்களை எத்தனை வழிகளில்
) கிடைக்கக் கூடியதாக 3 வேறு
க்கிடையே எத்தனை வழிகளில்
சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் கயைக் காண்க?
மைப்புக்களில் O, A என்பன
Lju66TLIG55 LIL6)TLDITuloit 1, 3, 5,
கொண்டு 4000 இலும் பெரிதான
க்கங்களைக் கொண்டு 5 வெவ்வேறு எண்கள் ஆக்கப்படலாம்?
னை?
கயான 16 பாடநூல்கள் உள்ளன.
களும் 3 நுண்கணித நூல்களும் 5 யவை திரிகோண கணித நூல்களும்
வழிகளில் ஒழுங்குபடுத்தலாம்? ழங்குகளில் ஒவ்வொரு பாடத்துறை 5 இருக்கும்?


Page 161
7.
n பெட்டிகள் ஒரு நேர்கோட்டில் ஒ
வரை இலக்கமிடப்பட்டுள்ளன.
i) குறிக்கப்பட்ட பொருள் A. ஆன் ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் ஒ வேறுவேறு பொருள்களை
எண்ணிக்கையைக் காண்க.
660)L : (n-
i) A ஆனது பெட்டி 1 அல்லது
பெட்டி 2 இல் இல்லாதவாறு
எத்தனை வழிகளில் ஒழுங்குபடு
660) : (n-
i) A ஆனது பெட்டி 1 இல் இ
இல் இல்லாதவாறும் பொ
வழிகளின் எண்ணிக்கையை உ
656OL : (n-
75000 இலும் பெரிதான எத்த நிபந்தனைகள் இரண்டையும் திருப்தி
(a) நிறைணெண்ணின் இலக்கங்க
(b) 0, 1 ஆகிய இலக்கங்கள்
தோன்றுவதில்லை.
0 , 1 , 2 , 4 , 7 , 8 என்னும்
ஒவ்வொன்றும் 6000 இலும் கூடிய
கொண்டிராதனவுமாகிய எத்தை
உருவாக்கலாம்?

ழுங்குபடுத்தப்பட்டு 1 தொடக்கம் n
து பெட்டி 2 இனுள் இருக்குமாறும்
ரு பொருள் இருக்குமாறும் n ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய வழிகளின்
1)!
2 இல் இல்லாதவாறும் B ஆனது
றும் n வேறுவேறு பொருள்களை }த்தலாம்?
2) (n-2)
ல்லாதவாறும் B ஆனது பெட்டி 2
ாருள்களை ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய ய்த்தறிக.
-3n+3) (n-2)
5னை நிறைவெண்கள் பின்வரும் தி செய்யும்?
5ள் யாவும் வெறு வேறானவை.
T அவ்வெண்ணிலே
இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி
பனவும் மறிதந்த இலக்கங்களைக்
60 வெவ்வேறு எண்களை


Page 162
10.
1.
154
CHEMISTRY என்னும் ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணிக் இவற்றுள் எத்தனை ஒழுங்க!ை இருக்கும்?
எல்லாம் வேறுவேறான
n எழுத்துக்கள்
மாதிரியானவை எனவும் எல்லா செய்யக்கூடிய வரிசை மாற்றத் தெ
இவ்வரிசை மாற்
வேறுவேறானவையாயின் அவை p
... X. X
மேலும் n எழுத்
அவற்றுள் p எண்ணிக்கையானை
எண்ணிக்கையானவை வேறு ஒரே
வரிசை மாற்றத் தெ
உதாரணக் கணக்குகள்
S CHO OL என்னும்
ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணி

GSFIT6)65g)60)Luu எழுத்துக்களின்
கையைக் காண்க?
>ப்புக்களில் S, R என்பன அருகருகே
பொருள்களின் ஒழுங்கு
ரில் p எண்ணிக்கையானவை ஒரே
n எழுத்துக்களையும் கொண்டு
ாகை X எனவும் கொள்வோம்.
றங்களுள் ஒன்றில் p எழுத்துக்களும்
! வழிகளில் தமக்குள் மாறும்.
( p = n
n . X E -
p
3துக்களை ஒழுங்குபடுத்தும் போது, வ ஒரே மாதிரியானவையாகவும் q மாதிரியானவையாகவும் இருப்பின்,
n
p!d
சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின்
6
2
360
க்கை R


Page 163
2.
PARAILLEL என்னும் ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணிக்ை
மொத்தம் - 8
L - 3
A - 2
8
3 2
= 3360
660)L =
OBSIQVIOUSNESS 616tgol இருக்கும் ஒழுங்குகளின் எண்ணிக்
(1) எழுத்துக்களின் ஒழுங்குகளி:
போது காண்க?
மொத்தம் - 14
O - 2
S - 4
I - 2 விடை ー五。
(i) Q என்னும் எழுத்தை எப்போ:
விடை :
(QU) 60D6) 6908
வேண்டிய ஒழுங்கு

155
சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின்
கயைக் காண்க.
ம் சொல்லின் எல்லா எழுத்துக்களும்
560560U
ல் எவ்வித கட்டுப்பாடும் இல்லாத
2
தும் U தொடரும் போது காண்க?
எழுத்தாகக் கருத வேண்டும்
13
களின் எண்ணிக்கை = -- 2 4 2.


Page 164
156
ADDING என்னும் G
ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணிக்
பிரிந்திருக்கும் போது காண்க. கட்டுப்பாடு இல்லாத போது ஒழுங்
360 = 6 ܡܒ=
2
இரண்டு D களும் ஒருமித்து இ
எண்ணிக்கை
= 5 = 120
இரண்டு D களும் பிரிந்திரு
எண்ணிக்கை
= 360 - 120
= 240
சைகையாளர் ஒருவரிடம் 6 கொ
2 வெள்ளை ஏனையவை கறுப்பு
ஒன்றிலே கொடிகளை உயர்த்தி கொடிகள் அமைந்திருக்கும் வரி அனுப்பப்படுகின்றன.
1) எல்லா 6 கொடிகளையும்
ii) சரியாக 5 கொடிகளையு
அனுப்பத்தக்க வெவ்வே
காண்க?
விடை :
(i) மொத்தம் - 6
வெள்ளை - 2,
அனுப்பத்தக்க செய்தி

effT6065g)60)Luu எழுத்துக்களின்
sகையை இரண்டு D களும்
கமைப்புக்களின் எண்ணிக்கை
ருக்கும் போது ஒழுங்கமைப்புக்களின்
க்கும் போது ஒழுங்கமைப்புக்களின்
டிகள் உள்ளன. அவற்றில் 1 நீலம், நிறமானவை. அவர் கொடிக்கம்பம்
செய்திகளை அனுப்புகிறார். இங்கு சைக்கிரமத்தின் மூலம் செய்திகள்
) பயன்படுத்தி
ம் பயன்படுத்தி
று செய்திகளின் எண்ணிக்கையைக்
கறுப்பு - 3
6
2 3
60
களின் எண்ணிக்கை


Page 165
(i)'5 கொடிகள் செய்திகளி
1B, 2W, 2R
1B, 1W, 3R
2W, 3R
மொத்தம்
பயிற்
STATISTICS 6TGövgpb GeFIT
மாற்றங்களைக் காண்க?
COMMUNITY 61669 b C
வரிசை பேணப்படின், அச்சொல்
மாற்றங்களைக் காண்க?
CHAVAKACHCHIERI 6T6öI
ஒழுங்கமைப்பைக் காண்க?
i) இவற்றுள் எத்தனைகளி:
i) இவற்றுள் எத்தனைகளி:
i) இவற்றுள் எத்தனைகளி
யும் E யும் பிரிந்தும் இரு

157
= 30 2 2
2 = 20 3.
2 3
= 30 + 20 + 10
= 60
சிகள்
ஸ்லினுடைய எழுத்துக்களின் வரிசை
சொல்லிலுள்ள உயிரெழுத்துக்களின் லினுடைய எழுத்துக்களின் வரிசை
னும் சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களின்
ல் 3A களும் ஒருமித்து இருக்கும்? ல் Vயும் E யும் பிரிந்திருக்கும்?
ல் 3A கள் ஒருமித்தும் ஆனால் V
நக்கும்?


Page 166
4.
7.
158
ENGINE E RING 616160b Ge
பயன்படுத்திச் செய்யத்தக்க வரிை
காண்க?
i) அவற்றுள் எத்தனைகளில்
i) அவை எத்தனை வழிகளி
RELATIVISTIC 616örgOjib
ஒழுங்கமைப்புக்களின் எண்ணிக்கை
i) அவற்றுள் எத்தனைகளில்
i) அவற்றுள் எத்தனைகளில்
மூன்றாவது அவற்றை அ(
நிலைக்குத்தான கம்பம் ஒன்றிலே
மூலம் “8 - கொடிச்சைகை” ஒன்று
8 கொடிகளையும் ஒழுங்குபடுத்
துணியப்படுகின்றது.
i) எல்லாம் வெவ்வேறான 8
i) எல்லாம் வெவ்வேறான 9
i) 4 சர்வசமச் செங்கொடிக
சர்வசம பச்சைக் ெ
ஒன்றிலிருந்தொன்று
கொடிச்சைகைகளை’ உ
நிறைவெண் ஒன்றில் இலக்கங்கள்
இருக்கலாம். அத்துடன் அவற் அத்தகைய நிறைவெண்கள் எத்தை

Fால்லின் எல்லா எழுத்துக்களையும்
ச மாற்றங்களின் எண்ணிக்கையைக்
3E களும் ஒருமிக்க இருக்கும்?
ல் முதலில் இருக்கும்?
சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின்
யைக் காண்க?
31 கள் ஒருமிக்க இருக்கும்?
) 31 களுள் இரண்டு ஒருமித்தும்
டுத்து வராமலும் இருக்கும்?
8 கொடிகளைப் பறக்கவிடுவதன்
று ஆக்கப்படுகிறது. கம்பத்தின் மீது
தும் விதத்தின் மூலம் சைகை
கொடிகளின் மூலம்
கொடிகளின் மூலம்
ள், 2 சர்வசம நீலக் கொடிகள், 2
காடிகள் ஆகியவற்றின் மூலம்
வேறுபட்ட எத்தனை “8-
ண்டாக்கலாம்?
1 அல்லது 2 ஆக மாத்திரமே
றின் கூட்டுத்தொகை பத்தாகும்.
னை உள்ளன?


Page 167
10.
11.
HOMO GENEOUS என்னு
(முறைக்கு எல்லாவற்றையும் எடு
படுத்தப்படலாமெனக் காட்டுக. இவற்றுள் எத்தனை மெய்யெழுத்
முடிகின்றன? (மெய்யெழுத்து என
வேறெந்த எழுத்துமாகும்)
IRRO TATIONAL 6T6öm3 GGFIT
வித்தியாசமான முறைகளில் ஒழு
1) இவற்றில் எத்தனை
அடுத்தடுத்து வருகின்றன
ii) மெய்யெழுத்துகள் எல்லி
எண்ணிக்கையைக் காண்
நேர்கோடொன்றில் p சிவப்பு நிற ஒரே மாதிரியான வெள்ளை நிற முறைகளில் ஒழுங்குபடுத்தலாம்?
p > 2 எனின்
மாபிள்கள் சிவப்பாக இருப்பத
p (p- (p + q) (p
நிறைவெண் ஒன்றின் இலக்கங்க
இருக்கலாம். அத்துடன் அவற்
அத்தகைய நிறைவெண்கள் எத்த

1.59
|b சொல்லின் எழுத்துக்களை
த்து) 3326400 வழிகளில் ஒழுங்கு
துக்களுடன் ஆரம்பித்து அவற்றுடன்
TLugs A, E, I, O, U 56)ibb
ல்லிலுள்ள எழுத்துக்களை எத்தனை
ங்குபடுத்தலாம்?
ஒழுங்குகளில் இரண்டு T களும்
I?
Uாம் ஒருங்கே வரும் ஒழுங்குகளின்
ாக?
ஒரே மாதிரியான மாபிள்களையும் q
மாபிள்களையும் எத்தனை வெவ்வேறு
இரு அந்தங்களில் உள்ள
ற்கான நிகழ்தகவு
-1) + q-1)
எனக் காட்டுக.
市1 அல்லது 2 ஆக மாத்திரமே
ற்றின் கூட்டுத்தொகை பத்தாகும்.
னை உள்ளன?


Page 168
160
வட்ட ஒ(
ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி 5
என்று பார்ப்போம்.
இங்கு ஒருவர் 1 ஆம் இருக்கிறார் என்று கொள்ள முடியா இல்லாவிடின், ஒருவர் மற்றவருக்கு என்பதைத்தான் கருத்தில் கொள்ள (
ஆசனங்களுக்கு 1 , 2
அவை முறையே 5, 4, 3, 2, 1 வழி
ењ(36ы 5 х 4 х 3 х
ஆனால் இவை கீழே உள்ள
O A p 다 B p( D C C
C
B
A OE
ა». இங்கு 5 பேரும்
ஒருவருக்கு இடது புறத்திலும் வ
உள்ளனர். வட்ட மேசையைப் பொ
ஒரு ஒழுங்காகவே கணிக்கப்படும்.

ழுங்குகள்
பேர் எத்தனை வழிகளில் அமரலாம்
இடத்தில் அல்லது இறுதி இடத்தில் து. ஆசனங்களுக்கிடையில் வேறுபாடு ச் சார்பாக எங்கு அமர்ந்துள்ளார் வேண்டும்.
, 3 , 4 , 5 என இலக்கமிட்டால்,
களில் நிரப்பப்படலாம். 2*1 = 51 ஒழுங்குகள் உண்டு. ஒழுங்குகளையும் கொண்டுள்ளன.
E D
A C E
B B A
B
D A C
EO D
வலஞ்சுழியாக மாறிய போதும்
1லது புறத்திலும் அதே ஆள்கள்
றுத்தளவில் இந்த 5 ஒழுங்குகளும்


Page 169
ஆகவே இலக்கமிடப்பு
வட்ட மேசை ஒழுங்குகளின் 5 மடங்
.. வேண்டிய வழிகளிe
இம் முடிபைப் பொதுமையா
மேசையைச் சுற்றி அமரக்கூடி
குறிப்பு: ஒருவர் நிலையாக இருக்க மற்ற கருதலாம். ஆகவே ஒருவர் நிலைய
தமக்குள் மாறும் வழிகளின் எண்ணிக்
வெவ்வேறு நிறமுடைய 5 மணிகள் ஆக்கலாம்?
உதாரணம் 1 இல் உள்ள
ஒழுங்குகளும் உள்ளன.
முதலாவது மாலையானது Lîle
மாலையைப் போல் தோன்றும்.

161
Iட்ட ஆசனங்களின் ஒழுங்குகளானது
5ாகும்.
5 ன் எண்ணிக்கை 5
= 4
க்கினால், n ஆள்கள் ஒரு வட்ட
LSS SSS S LSLSL SLS n ய வழிகளின் எண்ணிக்கை = -
= (n-1)!
றவர்கள் தமக்குள் மாறுவதாகவும் ாக இருக்க மிகுதி n-1 ஆள்கள்
கை = (n-1)!
ளைக் கொண்டு எத்தனை மாலைகள்
41 ஒழுங்குகளில் கீழே உள்ள
ன்புறமிருந்து பார்க்கும் போது மற்ற


Page 170
162
வேறு வழியில் சொன்னால் அச்சுப்பற்றி 180° யினுாடு சுழற்றின ஆகவே இந்த இரு ஒழுங்குக
.. வேண்டிய மாலைகளின் எ
n வெவ்வேறு நிற மன
மாலைகளின் எண்ணிக்கை
8 வெவ்வேறு நிற மணிகளில்
எத்தனை மாலைகள் ஆக்கலாம்'
660L
1. ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி
எண்ணிக்கையைக் காண்க?
2. வெவ்வேறு நிறமுடைய 10 ம6 எடுத்து எத்தனை மாலைகள் ஆ
3. எந்த இரு பெண்பிள்ளைகளும் g]3[ ஆண்பிள்ளைகளையும்گ
வட்டமொன்று வழியே எத்தனை

முதலாவது மாலையை A ஊடான ல் மற்றைய மாலை பெறப்படும். ளும் ஒரே மாலையாகும்.
4.
2
ரிகளைக் கொண்டு ஆக்கக்கூடிய
( -1)!
ண்ணிக்கை =
இருந்து தடவைக்கு 5 ஆக எடுத்து
P.
s
x7x6x5x4
- -
சிகள்
10 பேர் அமரக்கூடிய வழிகளின்
ரிகளில் இருந்து தடவைக்கு 6 ஆக
க்கலாம்?
ஒருவரை ஒருவர் அடுத்து இராதவாறு நான்கு பெண்பிள்ளைகளையும்
வழிகளில் ஒழுங்குபடுத்தலாம்?


Page 171
4. n ஆண்களும் n பெண்களு இருத்தப்பட வேண்டியவர் ஆகின் பெண் ஒருத்தியும் ஒருங்கு பெண்கள் ஒருங்கு இருக்காதவாறு எண்ணிக்கை
(n-2)(n-1)!)
5. 8 பிள்ளைகள் ஒரு வட்டத்தில் எத்தனை விதமாக அமரலாம்? கெளசிகன் என்னும் பிள்ளை அ
ஆரூரனிற்கும் இடையில் இருக்க

163
ம் ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி
றனர். குறிக்கப்பட்ட ஆண் ஒருவனும் இருக்காதவாறும், எவரேனும் இரு தும் அவர்கள் அமரக்கூடிய வழிகளின்
ானக் காட்டுக?
ஸ் உட்புறமாக நோக்கிய வண்ணம்
புவனின் சகோதரர்களான லவனிற்கும்
எத்தனை விதங்கள் உண்டு?


Page 172
164
சேர்மானம் (
a , b , C , d என்னும் 4 எழுத்து
ஆகும்.
a, b, c, d என்னும் 4 எழுத்
வெவ்வேறான 3 எழுத்துக்களைக் கெ
விடை 4 ஆகும்.
இங்கு ஒவ்வொரு கூட்டமும் ஒ
குறியீடு :
n வேறுவேறான பொரு எடுத்து ஆக்கப்படும் சேர்மானத் தெ
"C, ஆல் குறிக்கப்படும்.
மேலே தரப்பட்ட உ
எனவும் 'C, = 4 எனவும் காணலாம்.

Combination)
க்களையும் கொண்ட கூட்டங்கள் 1
)
துக்களையும் கொண்டு ஆக்கக்கூடிய
ாண்ட கூட்டங்களைக் காண்போம்.
ரு சேர்மானம் எனப்படும்.
ள்களில் இருந்து தடவைக்கு r ஆக
ாகை (கூட்டங்களின் எண்ணிக்கை)
தாரணங்களில் இருந்து 'C = 1


Page 173
"C இற்குச் சூத்திரம் கா6
n வேறுவேறான பொருள்க
எடுத்துச் செய்யப்படும் வரிசைமாற்றத்
இனி இவ் வரிசை மாற்றங்களை வே
"C. கூட்டங்களில், ஒவ்வொ
கொண்டு r ! வரிசை மாற்றங்கள் செ
"C. கூட்டங்களைக் கொ செய்யலாம்.
. "C x r!
nC
Tr
உதாரணக் கணக்குகள்
1. 10 வெவ்வேறான எழுத்துக்க
கூட்டங்களின் எண்ணிக்கை எ
விடை : "C =
2. 12 ஆள்களில் இருந்து 4 ே
வேண்டும்.
i) எத்தனை வேறு வேறான
விடை : 'C =

165
ண்போம்
ளில் இருந்து தடவைக்கு r ஆக
ந் தொகை "P என அறிவோம்.
று முறையில் காண்போம்.
ரு கூட்டத்திலுள்ள r பொருள்களைக்
ய்யலாம்.
ண்டு "C, X r! வரிசை மாற்றங்கள்
s "P
n re- (nーr)!r!
ளில் 4 எழுத்துக்களைக் கொண்ட
6ਗ?
10
二 = 210
4
பர் கொண்ட குழுக்கள் தெரியப்பட
குழுக்கள் தெரியப்படலாம்?
- = 495
4


Page 174
166
3.
குறிப்பிட்ட ஒருவர் எத்தன
விடை :
குறிப்பிட்ட ஒரு
வேண்டும். அந்த 3 பே
தெரியப்பட வேண்டும்.
'. வேண்டிய கு
10 ஆண்களில் இருந்தும் 7
கொண்ட அலுவற்குழு தெரியப்
i)
vi)
எத்தனை குழுக்கள் தெரி
விடை = '
தனியே ஆண்களைக் கெ
விடை -
தனியே பெண்களைக் கெ
விடை = 'C
இருபாலாரையும் கொண்ட
660L = "(
3 ஆண்களையும் 2 ெ
எத்தனை?
விடை = "
குறிப்பிட்ட ஆணும் குறி இடம்பெறும் குழுக்களின்
660L = (

Dன குழுக்களில் இடம் பெறுவார்?
வருடன் இன்னும் 3 பேர் சேர
ரும் மிகுதி 11 பேர்களில் இருந்து
ழுக்களின் எண்ணிக்கை = 'C,
1
6
5
பெண்களில் இருந்தும் 5 பேர்
LJL (36)1605(Bib.
யப்படலாம்?
5 اسب
ாண்ட குழுக்கள் எத்தனை?
وت
காண்ட குழுக்கள் எத்தனை?
75
குழுக்கள் எத்தனை? C - 1C, - 'C,
பண்களையும் கொண்ட குழுக்கள்
, x 'C, = 2520
ப்பிட்ட பெண்ணும் ஒரே குழுவில்
எண்ணிக்கை என்ன?
ry
イ3


Page 175
wi) குறிப்பிட்ட ஆணும் கு இடம்பெற மறுத்தா எண்ணிக்கை என்ன?
விடை
Vi) சரியாக ஒரு பெண்
எத்தனை?
விடை R
ix) குறைந்தது ஒரு பெ
எத்தனை?
விடை =
. A, B, C, D, E, F, G, H
உள்ளன. B, C, D என்பவற்றை
ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லை. E ,
எந்த 4 புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்
இந்த 8 புள்ளிகளையும் கொண்டு
i) எத்தனை நேர்கோடுகள் அை
660L :
எந்த 3 புள்ளிகளும்
அமைக்கக்கூடிய நேர்கோடுக
= *C, = 28
B, C, D என்பவற்றைக் கொன
எண்ணிக்கை
= C, = 3
ஆனால் B, C, D என்பவற்று
வேண்டிய
= 28 - 3 +

167
றிப்பிட்ட பெண்ணும் ஒரே குழுவில் ஆக்கக்கூடிய குழுக்களின்
'C, - 1°C,
குழுவில் இடம்பெறும் குழுக்கள்
'C, Χ 19C,
ண்ணாவது இடம்பெறும் குழுக்கள்
'C, -- 1C,
என்னும் 8 புள்ளிகள் ஒரு தளத்தில் 3த் தவிர வேறு எந்த 3 புள்ளிகளும்
F, G, H என்பவற்றைத் தவிர வேறு
தில் இல்லை.
மக்கலாம்?
ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாவிடின்,
ளின் எண்ணிக்கை
ண்டு அமைக்கக்கூடிய நேர்கோடுகளின்
|க்கூடாக ஒரு நேர்கோடு மட்டும் உண்டு.
நேர்கோடுகளின் எண்ணிக்கை
= 26


Page 176
168
i) எத்தனை வட்டங்கள் அ
3 புள்ளிகளுக்கூடாக
. வேண்டிய வட்டங்க
0. 15 துடுப்பாட்டக்காரர்களைக்
துடுப்படிப்போரையும் (Batsman (Bowlers) 2 விக்கற் காவலர்கை 11 ஆட்டக்காரர்களைக் கொண்ட துடுப்படிப்போரும் 4 பந்து எ
இருத்தல் வேண்டும்.
i) துடுப்படிப்பவன் ஒருவனு
காயமடைந்தனரெனின் குழுக்களின் எண்ணிக்கை
விடை :
Batsman
6
பின்வரும் வகைகளில்
(i) 6
(ii) 5
வகை (i) இல் தெரியப்ட

மைக்கலாம்?
ஒரே ஒரு வட்டம் உண்டு.
ளின் எண்ணிக்கை
= C, - 'C, + 1
= 53
கொண்ட ஊர் சுற்றும் குழு, 7 ) 6 பந்து எறிவோர்களையும் 6Tub (Wicket Keepers) Glass60öTLg).
ஒவ்வொரு குழுவிலும் குறைந்தது 5 றிவோரும் 1 விக்கற் காவலனும்
ம் விக்கற் காவலன் ஒருவனும் தெரியப்படக்கூடிய வேறுபட்ட
யைக் காண்க?
Bowlers W.Keepers
6 1
11 பேர் இருக்கலாம்.
4 1.
5 1
டக்கூடிய குழுக்களின் எண்ணிக்கை
.1 6 6 --س = c6 X c4 х сі
= 15


Page 177
வகை (i) இல் தெரியப்ப
மொத்தம் = 15 + 36
) எல்லா ஆட்டக்காரரும் உ
குழுக்கள் தெரியப்படலாம்
விடை :
கிடைக் Batsman
7
11 பேர் இருக்கக்கூடிய
(i) 6
(ii) 5
(iii) 5
". வேண்டிய குழுக்களின் எ

169
டக்கூடிய குழுக்களின் எண்ணிக்கை
6 6
сs X сs X с.
= 36
= 51
உள்ளனரெனின் எத்தனை வேறுபட்ட
கும்
Bowlers W.Keepers
6 2
வகைகள்
4 1.
5 1
4 2
Iண்ணிக்கை
С, х °C, X *C፧ -- 'C, X °C, °C,
6 صيد
-- 'C, X °C, X °C,
0 - 252 + 315
77


Page 178
4.
170
Luj
20 மாணவர்கள் உள்ள ஒரு
அனுப்புவதற்கு 4 மாணவர் வேண்டும். : :
i) எத்தனை வேறு வேறா?
i) ஒரு குறிப்பிட்ட மாண6
உண்டு?
10 வெவ்வேறு வகையான பழங்
பின்வருமாறு எத்தனை வழிகளில்
1) 3 உம் வெவ்வேறு வை
i) ஒரே வகையில் 2, வே
10 மாணவர்களைக் கொண்ட
பேர் பெண்கள்
1) வகுப்பில் இருந்து 4 மாண
தெரிவு செய்யக்கூடிய வெ
காண்க?
i) அவற்றுள் எத்தனை குழுக்
இடம் பெறுவாள்?
ii) எத்தனை குழுக்களில் சரியா
iv) குறிப்பிட்ட ஒரு ஆணும் குறி இடம்பெற மறுத்தால் எத்த6
7 ஆண்களில் இருந்தும் 5
கொண்ட குழுவொன்றை இரு முகமாக, ஆனால் ஒரு குறி பெண்ணையும் ஒரே குழுவில் முறைகளில் தெரிவு செய்யலாம்'

சிகள்
வகுப்பில் இருந்து ஒரு போட்டிக்கு
கொண்ட குழு ஒன்று தெரியப்பட
ன குழுக்கள் தெரியப்படலாம்?
வன் இடம்பெறும் குழுக்கள் எத்தனை
களில் இருந்து ஒருவர் 3 பழங்களைப் ஸ் தெரியலாம்?
பறு வகையில் 1
வகுப்பு ஒன்றில் 7 பேர் ஆண்கள், 3
வர்களைக் கொண்ட ஒரு குழுவைத்
வ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கையைக்
களில் குறைந்தது ஒரு பெண்ணாவது
க ஒரு பெண் இடம் பெறுவாள்?
ப்பிட்ட ஒரு பெண்ணும் ஒரே குழுவில்
னை குழுக்கள் தெரியப்படலாம்?
பெண்களில் இருந்தும் 5 பேரைக்
நபாலாரையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துப்பிட்ட ஆணையும் ஒரு குறிப்பிட்ட வைத்திருக்காதவண்ணம் எத்தனை


Page 179
பை ஒன்றில் வெவ்வேறு வகை
செப்பு நாணயங்களும் உள்ள தெரிவுகளின் எண்ணிக்கையைக் இவற்றில் எத்தனை தெரிவுகளி நாணயமேனும் இருக்கும்?
ஒரு வினாத்தாள் 10 வினாக்
சந்தர்ப்பங்களில் 6905 பரீட்: முறைகளில் வினாக்களைத் தெரி 1) ஏதாவது 7 வினாக்களுக்
i) முதல் 3 வினாக்க விடையளிக்க வேண்டிய ii) முதல் 4 வினாக்கள்
வினாக்களுக்கு விடைய
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , என்னும் தடவைக்கு மூன்று நிறைவெண்க: வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்ை இவ் வரிசை மாற்றங்களில் எத்தை i) நிறைவெண் 2 ஐக் கொ
i) 1, 4 என்னும் நிறைவெ
i) 3, 5 என்னும் நிறைவெ
முதலாம் பையில் செப்பமாக தக்கதாக வெவ்வேறான 10 ப விதங்களில் இடலாம்? குறித்த வகுப்பு ஒன்றிலே 7 பிள்ளைகளும் இருக்கின்றனர். ஒ6 3 ஆண் பிள்ளைகளேனும் இரு
கொண்ட குழுவை எத்தனை வழி

171
பான 8 வெள்ளி நாணயங்களும் 4 ன. 7 நாணயங்களின் வெவ்வேறு காண்க?
ல் குறைந்த பட்சம் ஒரு செப்பு
களைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் ார்த்தி வெவ்வேறான எத்தனை வு செய்யலாம் எனக் காண்க? 5கு விடையளிக்க வேண்டியவிடத்து ள் உட்பட 7 வினாக்களுக்கு விடத்து
ரில் குறைந்தது 3 உட்பட 7 ளிக்க வேண்டியவிடத்து
ஏழு நிறைவெண்களில் இருந்து ஒரு ளை எடுப்பதன் மூலம் செய்யத்தக்க கயைக் காண்க.
S60
ண்டிருக்கும்?
1ண்களைக் கொண்டிருக்கும்?
Iண்களைக் கொண்டிருப்பதில்லை?
8 பந்துகளைக் கொண்டிருக்கத்
3துகளை 5 பைகளிலே எத்தனை
ஆண் பிள்ளைகளும் 6 பெண் வொரு குழுவிலும் குறைந்த பட்சம் $குமாறு செப்பமாக 5 பேர்களைக்
5ளில் அமைக்கலாம்?


Page 180
10.
11.
12.
172
பல்தேர்வு வினா ஒவ்வொன்றும் ஒ
பிழையான விடைகளையும் கொன
புள்ளியும் பிழையான விடைக்கு
இவ்வாறான நான்கு வினாக்களுக்கு
(i) 0 (ii) 1
என்பவற்றை எத்தனை வழிகளி
விஞ்ஞான மாநாடு ஒன்றிலே
பற்றுகின்றன. ஒவ்வொரு பல்க ஒருவரையும் இரசாயன அறிஞர்
பெளதிகர் ஒருவரையும் 24تک உறுப்பினர்களைக் கொண்ட ஒவ்:ெ 1) ஒவ்வொரு பாடத்துறையிலு
i) குழுவின் ஒவ்வொரு உ கழகத்திலிருந்து வருமா இருவர் வீதமும்
ii) மூன்று பல்கலைக்கழக வேறொரு பல்கலைக்கழக
இருக்குமாறு கு அமைத்துக் கொள்ளலாம்?
8 வெள்ளைப் பந்துகளையும் 6
கொண்டிருக்க 6 வெள்ளைப்
பந்துகளையும் பை B ରଥ6|
சந்தர்ப்பத்திலும் 4 வெள்ளை
பந்துகளையும் கொண்டிருக்குமாறு தொடைகள் தெரிவு செய்யப்படலா
1) 6 பந்துகளும் ஒரே பைய

ஒரு சரியான விடையையும் நான்கு ண்டுள்ளது. சரியான விடைக்கு ஒரு ப் பூச்சியமும் வழங்கப்படுகிறது. விடையளிக்கும் ஒருவர் புள்ளிகள்
(iii) 2 (ν) 3
ல் பெற்றுக் கொள்ளலாம்?
20 பல்கலைக்கழகங்கள் பங்கு கலைக்கழகமும் தாவரவியலறிஞர் ஒருவரையும் கணிதர் ஒருவரையும்
தரித்து அனுப்புகின்றது. 10 வாரு குழுவிலும்
லும் இருவர் வீதமும்
றுப்பினரும் வெவ்வேறு பல்கலைக் று ஒவ்வொரு பாடத்துறையிலும்
ங்களிலுமிருந்து மூவர் வீதமும் த்திலிருந்து ஒருவர் வீதமும் நழுக்களை எத்தனை விதங்களில்
கறுப்புப் பந்துகளையும் பை A
பந்துகளையும் 3 கறுப்புப்
ாண்டுள்ளது. பின்வரும் ஒவ்வொரு
ப் பந்துகளையும் 2 கறுப்புப்
6 பந்துகள் உள்ள எத்தனை
b)
பிலிருந்து எடுக்கப்படும் போது


Page 181
13.
14.
15.
i) கறுப்புப் பந்துகள்
ஒன்றிலிருந்தும் வெள்ை எடுக்கப்படும் போது
i) பந்துகள் எடுக்கப்படும்
நிபந்தனையும் இல்லாத
வேறு வேறான 10 வெள்ளி 5 செப்பு நாணயங்களையும் 8 நாணயங்களைக் கொண்டு எண்ணிக்கையை
i) தெரிவுகளில் எவ்விதம
போது i) தெரிவு செய்யப்படும் நா செப்பு நாணயங்களேனும்
காண்க.
32 அட்டைகளைக் கொண்ட ( அட்டைகளும் 8 சிவப்பு நிற அட் 8 பச்சை நிற அட்டைகளும் உ அட்டைகள் யாவும் வித்தியாசமான
i) தொகுதியில் இருந்து
தெரிந்தெடுக்கப்படக்கூடிய காண்க.
ii) SÐGg5T(B (i) இல்
எண்ணிக்கையில் அட்( நிறத்தைக் கொண்டிருக்க
ஆறு வெவ்வேறு பரிசுகளை ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் ஒரு எத்தனை வழிகளில் பிரிக்கலாமெ6

173
இரண்டு பைகளில் ஏதாவது ாப் பந்துகள் மற்றப் பையிலிருந்தும்
பைகள் தொடர்பாக எந்தவொரு போது
நாணயங்களையும் வேறு வேறான கொண்டுள்ள பை ஒன்றிலிருந்து
செய்யத்தக்க சேர்மானங்களின்
“ன கட்டுப்பாடும் இல்லாதிருக்கும்
ணயங்களில் குறைந்த பட்சம் இரு
இருக்க வேண்டிய போது
தொகுதி ஒன்றில் 8 கறுப்பு நிற டைகளும் 8 நீல நிற அட்டைகளும் ள்ளன. ஒரே நிறத்தைக் கொண்ட
506).
3 அட்டைகள் எழுமாற்றாகத்
வழிகளின் எண்ணிக்கையைக்
உள்ள தெரிவுகளில் எந்த டகள் யாவும் வித்தியாசமான
TÜLT
மூன்று பிள்ளைகளுக்கிடையே, பரிசாவது கிடைக்கக்கூடியதாக
5 காண்க.


Page 182
174
எல்லாம் வேறுபடாத சேர்மானமும் வரிசை
1. MATHEMATICS GTGigib
இருந்து முறைக்கு 4 ஆக எடுத்து என்று காண்போம்.
எழுத்துக்கள்
M
4 எழுத்துக் கூட்டமொன்
இருக்கக் கூடியவை
i) 2 ஓரினம், 2 வேறு ஓர் இ
i) 2 ஓரினம், 2 வெவ்வேறு
i) 4 உம் வெவ்வேறு இனம்
.. வேண்டிய சேர்மானங்களின்

பொருள்களின் மாற்றமும்
சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களில்
து எத்தனை சேர்மானம் ஆக்கலாம்
எண்ணிக்கை
2
2
2
1
1
1.
1
ாறில்
சேர்மானம்
}னம் C, = 3
இனம் C, x C = 63
*C, = 70
எண்ணிக்கை
= 3 + 63 + 70
= 136


Page 183
2.
parallel என்னும் சொல்லிலுள்ள
5 ஆக எடுத்து எத்தனை வரிசை
எழுத்துக்கள்
l
2.
р
r
е
கூட்டமொன்றில்
இருக்கக் கூடியவை
(1) 3 ஓரினம், 2 வேறு ஓர்
இனம்
(i) 3 ஓரினம், 2 வெவ்வேறு
c
இனம்
(i) 2 ஓரினம், 2 வேறு ஓர் ,
இனம், வேறு !
(iv) 2 ஓரினம், 3 வெவ்வேறு 2(
இனம் (v) 5 உம் வெவ்வேறு
இனம்
'. மொத்த வரிசை மாற்றங்களின் எண்

175
எழுத்துக்களில் இருந்து முறைக்கு
மாற்றங்கள் ஆக்கலாம்?
எண்ணிக்கை
3.
2.
1.
1
1.
சேர்மானம் வரிசை மாற்றம்
1 __ = 10
3 2.
'C, = 6 6 x = 120
3.
, C = 3 3 x , = 90
2 2.
5 4 - - "ר
, x C = 63 8 x = 480
2
1 5 i = 120
ாணிக்கை
= 10 - 120 + 90 - 480 + 120
= 820


Page 184
176
பயிற்சி
COEFFICIENT 66örgolub Gym
செய்யத்தக்க 4 எழுத்துக்களி
எண்ணிக்கையைக் காண்க.
KANAKARAYAN KULAM
எழுத்துக்கள் (A உம் U உம்) கொண்டு தடவைக்கு நான்கு
செய்யத்தக்க சேர்மானங்களின் எண்
TISSAMAHARAMA 6T6örgDJub
முறைக்கு 4 ஆக எடுத்து எத்தனை
NARRAGGANSETT 616ö160|tb
இருந்து முறைக்கு நான்கு எழுத்து வெவ்வேறான வரிசை மாற்றங்கள் ெ
CHUMANAN 6T6öīgoDjib QaFT6d65
தடவைக்கு நான்கு எழுத்துக்க6ை சேர்மானங்களின் எண்ணிக்கையைக்
1 ஐந்து ரூபா நாணயத்தையும் 2
ஒரு ரூபா நாணயங்களையும் 4 ஐ பை கொண்டுள்ளது. வெவ்வேறா
எத்தனை வழிகளில் தெரிவு செய்ய

ல்லின் 11 எழுத்துக்களிலிருந்தும் ன் வேறுவேறான தேர்வுகளின்
என்னும் சொல்லின் உயிர்
தவிர்ந்த ஏனைய எழுத்துக்களைக் எழுத்துக்களை எடுக்கும் போது
"ணிக்கை 41 எனக் காட்டுக.
சொல்லில் உள்ள எழுத்துக்களில்
வரிசை மாற்றங்கள் செய்யலாம்?
சொல்லில் உள்ள எழுத்துக்களில் க்களைத் தேர்ந்தெடுத்து எத்தனை செய்யலாம் என்பதை ஆராய்க.
ல் உள்ள எழுத்துக்களில் இருந்து ா எடுக்கும் போது செய்யத்தக்க
காண்க.
இரண்டு ரூபா நாணயங்களையும் 3
ம்பது சத நாணயங்களையும் ஒரு
ன வகையான 3 நாணயங்கள்
ப்படலாம்?


Page 185
10.
பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் 0 , 1
எத்தனை நான்கு இலக்க எண எண்கள் கருதப்படாதவிடத்து ) ஆ
(i) இலக்கங்கள் மீளவருவது
(i) இலக்கங்கள் இரு மு அனுமதிக்கப்படா விட்டா6
G ONA PINU WALA 6T6őTGDJub
இருந்து முறைக்கு 5 ஆக எடுத்
செய்யலாம்?
KAN KESANTURAI 6T6örgub
இருந்து முறைக்கு ஐந்து 6 செய்யத்தக்க சேர்மானங்களின் என
KAHATAGAS DIGI LIYA
எழுத்துக்களில் இருந்து முறைக்கு மாற்றங்கள் செய்யலாம் என்பதைக்

177
, 4 , 5, 6 , 7 ஆகியவற்றிலிருந்து
ாகள் (பூச்சியத்துடன் தொடங்கும்
க்கப்படலாம்?
அனுமதிக்கப்பட்டால்
ழறைக்கு மேல் மீள வருவது
)
சொல்லில் உள்ள எழுத்துக்களில்
ந்து எத்தனை வரிசை மாற்றங்கள்
சொல்லில் உள்ள எழுத்துக்களில் எழுத்துக்களை எடுக்கும் போது
ன்ணிக்கையைக் காண்க?
என்னும் சொல்லில் உள்ள
மூன்றாக எடுத்து எத்தனை வரிசை
காண்க?


Page 186
178
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
விடை
பயிற்சி
6x –H 2 (7) a = 1, b = 0 a = 1, b = 2 (13) a = 3, b = 2, c = -8 (14)
a F-4 (16)
மீதி = 8
uufjáF
(a + b + c)-(a + b + c2) + 2(a
-(a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c)
-(a-b)(b-c)(c- a)
(xy + yz + Zx)(x-y)(y-z)(z-
-(a-b)(b - c)(c - a) 5(x + y)(y+z)(z+x)(xo+yo+;
(a + b + c)(ab + bc + ca) (a+b)(b+c)(c + a) 5ab(a + b)(a” + ab + b”)
12xyz(x + y +z)
3abc(a+b)(b+c)(c + a)
3(a-b)(b - c)(c- a)
-2(x - y)(y – z)(z-x)(x + y+z) (a + 2b +3c)(a+4b'+9c'-2a
(x + y +z)(xy +yz+Zx)
3(x - a)(x-1)(a - 1)

கள்
1.a
(i) a = 1, b = 15
(ii) ( = 1, m = -1, n = 2 Lóg ušćub, (x+1)(х“+x-1) a F 2, b=-3, c = 3, d = 1
a = 3, b = 5
1.b
b + bc + ca)
X)
z’+xy +yz+ Zx)
b - 6bc-3ac


Page 187
(1)
(2)
(7)
(11)
(4)
(6)
(8)
(12)
(16)
(17)
(19)
1:uTi -(x - y)(y – z)(z- x)(x + y k = 2, -3/2, k = 2 SPæ (x - 2)(2x + k = -3/2 485 (xo + 3/2(2xoa F36, b = 2 f(x, b, c) = -(b + c - x)(c + x மூலங்கள்: b + c, b - c, d - b
பயிற்:
2 2 - 2b(3c - 4b) -
C
k = 1, 2
-2 

Page 188
180
(1)
(2)
(3)
(4)
(8)
(10)
(12)
(13)
(18)
(19)
(2)
(5)
(6)
(7)
(8)
(10)
(12)
(13)
பயிற்சி
0< p < 4/9
-4 ax <-1, 3 & x < 4
-43 k < 0
-3/2 < p < 1/2 xo - 10x + 16, x + 2x -8
-13
k = 7
k<-5-2 W10, k > -5+2 W10,
(i) Gg5ITGOL = {x /-4 < x < 2. (ii) f(x) = -50xo + 40x + 10, g
2 < k < 8
Lufjödf
Sn =F n/2(1 + 3n), n = 20, n g
4/81 (10"-9n-10)
n/6(n + 1)(2n + 1)
(ii) n/4,(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(i) n/12(n+1)(3n+19n+2(
(ii) n/6(4n + 15n + 17)
(i) n/6(n + 1)(n + 2)
(ii) U, = (2r — 1)“ — 2r* , S.n =
(i) U, = r.2ʻ', Sn = (n — 1)
(ii) n/24(n + 1)(n - 1(3n+2)

2.b
, a = 3 (x) = -2x'-8x + 10
3.a
இன் இழிவுப்பெறுமானம் = 26
5)
: n-8n (n+1)
2 + 1


Page 189
(14) (i) n/6(3n-4n+1) (ii) 32n(' - 1)-26n (15) (i) n/6(n + 1)(2n + 1)
(ii) n/3(no+9n + 20)
(16) Sin = (n — 1)2 + 1
2. 1-x" - (n+1)x"( (17) (i) 1-x (1
(19) S = n(2n-1), T = 2n(n
(20) n = 11
Lud (1) U =-2rtl , f(r) = , 6
ro (r + 1)? r
s (2) () 뉴
(ii) 2 t 紫a + 1)(n + 2)
(3) () 1-- I -
n + 1
::ν 1 1. (ii) 6T (n+2)(n +3) (4) A = 2, f(t) = i,
l- 1 - (5) 2 1+(n+1)? tan'(n + 1)
(6) n/6(n+1)(3n+35n + 106)

18
56 3.b.
ஒருங்கும்.
π/4, 4, π/4


Page 190
182
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Зe/2
as n(n+1) () Στ (i) Σ(-)"r = +(-1)"
r=1
3(2 + 3) s 9"=五高エ・" =着
U = r
1.3.5.7- - - - - - - - - - - (2r +
1 붕 G۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔1.35.7 - ژ = .S
n(n+1) 2 s-閏
e - 1 -l. (i) f(r) = 2r)+( د S. =
P - 1 -l- (ii) f(t)-2, S. =
(i) U = (r + 1)(2r + 1)(3r+ s (n+1)(n +2)(n +3)
勤 4.
(ii) S, = 2n(n + 1)°
W = -2, u = -5/2, Συ, = -
r=1
- = )f(r ,-ایس 522-=U
“ r(r+ 1)(r + 3) 6(
호 -
6(n + 1)(n+2)(n +3)

(n+%)-(n+%)
3(2n +3)
-------, ஒருங்குதொடர். 2. ஒருங்குதொடர்
1)
9
n+1)
1 20n+1)(n + 2)
1 (n + 1)(n +3)
1)
п +4)—6
(2n+%) CO - 5 (n + 1)(n+2) Συ, 4
-6r'+27r--29 : + 1)(r + 2)(r + 3)
29 s 29
36 9 == 36 , ஒருங்கும.


Page 191
(16)
(18)
19) U_=一エーエす。 ( ro (r + 1)?
(20)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(19)
(20)
(21)
f(r)
2r十1
1
f(r) = - -,
○一言
-1
8(2r +3)(2r +5)
1.
1800 8(2n +3) (2n+5
S. tan 0-3, tan0
Sn = tanʼ'(n+1)-Tt/4
Sn = tan”'(n+1)-Tt/4
S
(i)
(ii)
1/4
5/2
1/2
tan(n+1)0
tan69
(n+1)
n/2sine + 1/2 sin(n+2)0
n-1 1 ----
2
2
(
sin(2n +
sin 9
பயிற்சி

183
(r + 1)
(), S = 1/4, ங்கும். 崭( ஒருங்கு
S = 1
S = 1/1800, ஒருங்கும்
sin(n6) cosec0


Page 192
(1)
(2)
(3)
(4) (5) (6) (7) (8) (9)
(10)
(16) (20)
(21)
(i) U r
1 2 S =ーーー|ー 十一十
n+2 n +3
(ii) U = , S
r 2r(2r + 4) ? "
(iii) U = -I,
r(r+2)(r + 4)
S = 11/96
பலவினப்
1 (2n +3) : n 4.2(n+2(n+3)
A = 1, B = 5, C = -1, D = -
S
3+4n( -- -- -- -- -- - ܚ - - .7.11.15
4.8.12. - - - - - - - - - - - - - - A = 16/5, B = -8/3, C = 7/
S = 7e S = 2e - 2 S = 3e -1 A = 2, B = 3, C-F-1, S=2(1 + e )
n-- S -1+(DT. 独 n+1
a = 1, b = -2, c = 1, 6/8(10"' - 9n - 10)
(i) n/s (2n + 1)(4n+1) (ii) 2n/3 (n + 1)(2n + 1) (iii) n/3 (2n + 1)(2n - 1)

5 (2n +3) 48 8(n+1)(n+2)
s = 부부
o 812 n(n+2)(n-1)
S = 5/48
Luffaf 3.d
!-1
l 5, S = 16/5 no-3/8 no + 7/5 n
S = 6e + 1
S =%, ஒருங்குதொடர்


Page 193
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(i) -1 < x < 1-2, 1+ (ii) 3 + (n — 1)3"*" S = n(n + 1)(2n“ + 2n — 1)
l 1 1 S = -- - - - +
" 4 20n+1) 2(n+2)
(i) 4n+1
d. 1. (ii) 2n + 1 (iii) = n(onito) - (2n+1)(4n+1) λ = 4 , S. 5 (4n+. " 4 20n+1)(n n(n + 1)(n + 3), S -> oo, 6 k = 1, S =l-
4 2" (n+1
U =U A = B
r-+-l 3r-3
5.8.11.----------. " 3.6.9.- - - - - - - - - - -
A = 1, B = 6, C = 7, D = 1
Lu
120 (
720
40320, 30240 (
192 (
2160, 1200 (
16, 24883200

185
2

Page 194
186
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
(2)
(3)
(5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
50400
360
403603200
(i) 13305600
(ii) 345945600
(iii) 11088000
277200, 15120
39916800, 1814400,
8164800
362880
12600
43200
5040, 240
(i) 4845
(ii) 969
120, 90
(i) 210
(ii) 175
(iii) 105
(iv) 182 650
792, 792
பயிற்சி
(6
(8
(9
uufjzðf
பயிற்சி

4.b
(i) 40320
(ii) 362880
(iii) 420
(iv) 1260
89
756000
14968800, 2494.800, 113400
4.c
4.d
(6) (i) 120
(ii) 35
(iii) 80
(7) 210
(i) 90
(ii) 30
(iii) 60
(8) 720
(9) 756


Page 195
(10) (i) 256
(ii) 256
(iii) 96
(iv) 16 (11) (i) 190
(ii) 20C, X 18C, Χ 1C, 14 (iii) (°C) (°C)? (17C (12) (i) 1095
(ii) 435
(iii) 36036
(13) (i) 6435
(ii) 5790
(14) (i) 4960
(ii) 2912
(15) 540
Uffb
(1) 101
(3) 1423
(4) 1824
(5) 36
(6) 15
(7) (i) 1080
(ii) 975
(8) 10524
(9) 345
(10) 803

187
C. x'C, ) (C)
if 4.e


Page 196