Page 82
44 பிரயோகங்கள்
6. 12ஐ +4gg+g=20ற எனும் வளையியின் பரப்பளவைக் காண்க. 7. ༧ --༧- 1 எனும் வளையியின் பரப்பளவைக் காண்க.
8. 1302-4ag+g-272-90=0 எனும் வளையியின் பரப்பளவைக் காண்க.
7.3 ஒரு வரையறுத்த தொகையீடு ஒரு குறித்த கூட்டுத்தொகையின் எல்லையென 6.3 இற் கண்டோம் ; அதாவது
b 笃
f(t) de-st Σ f,δ, ,
-> or =
இங்கு, 6, என்பது பிரிபட்ட (6-a) யினது n பகுதிகளுள் யாதுமொன்றைக் குறிக்கின்றது ; f என்பது 6, இன் யாதோ ஒரு புள்ளியிலுள்ள f(a) இன் பெறுமானம். ஒரு பரப்பளவானது அத்தகைய கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாகக் குறிக்கப்படலாம் என்றும், அதுபற்றி ஒரு பரப்பளவு ஒரு வரையறுத்த தொகையீட்டாற் குறிக்கப்படலாம் என்றும் கண்டோம். எனினும், பரப்பளவுகளேயன்றி, கனவளவுகள், திணிவுகள், புவியீர்ப்பு மையங்களைக் காணுதற்கு வேண்டிய திருப்பங்கள், சடத்துவத் திருப்பங்கள் என்பனவும் அவ்வாறு கணிக்கப்படலாம் ; உண்மையில், இம்முறை பரு மனுள்ள யாதொன்றுக்கும் பிரயோகிக்கப்படலாம் ; அது அளக்கப்படத் தக்க ஒரு பெருந்தொகையான பகுதிகளாக வசதிபோல் மேலும் பிரிக்கப் LILG) ITth.
7.81 சுற்றற்றிண்மம் ஒன்றின் கனவளவு. சுற்றற்றிண்மமானது தனது அச்சிற்குச் செங்கோணங்களில் உள்ள தளத்தாலாகும் ஒவ்வொரு வெட்டும் வட்டமாயுள்ள ஒரு பொருள்.
HKK'H' என்பது அத்தகைத் திண் மத்தைக் குறிக்க ; அச்சு 0X ஐ அதன் அச்சாகக் கொள்க. அத்திண் மத்திற்குத் தளமுனைகள் உண் டெனக் கொள்வோம் ; அவை A, B என்னும் மையங்களையுடைய HH", KK என்னும் வட்டங்களாகுக ; இங்கு OA = a, OB= b.
அத்திண்மம் அச்சிற்குச் செங் கோணங்களில் வெட்டுகின்ற தளங்க ளால் வட்டச் சீவல்களாக வெட்டப்படலாம். PP'0'0 என்பது இச்சீவல்களுள் ஒன்றைக் குறிக்கும் ; M என்பது PP' எனும் வட்டத்தின் மையம் ; OM ஐ ல ஆலும், MP யை g ஆலும் அச்சீவலினது தடிப்பை 60 ஆலும் குறிக்கலாம். வட்ட வெட்டின் பரப்பளவு Ty? ; அச்சிவலின் கனவளவு போதிய செம்மையோடு Trg^6ல ஆற் குறிக்கப்படும் ; A, B என்பன
 

பிரயோகங்கள் 45
வற்றிற்கு இடையிலுள்ள சீவல்களினது தொகை வரையறையின்றிக் கூடுதலுறும்படி செய்யப்பட அத்திண்மத்தின் கனவளவு 2ாg^6ல என்
b னும் கூட்டுத் தொகையின் எல்லையாகும் ; எனினும், இது snyde.
மேலுஞ் செல்லுதற்கு, g யின் வடிவத்தை 20 இன் ஒரு சார்பாக அறிதல் வேண்டும் ; அதாவது, திண்மத்தினுடைய பரப்பின் நள்வான் வளையி எனப்படும் வளையி HK யின் சமன்பாட்டை அறிதல்.
அத்திண்மத்தின் பரப்பானது உருவத்தின் அச்சுப்பற்றி நள்வான் வளையி HK யைச் சுற்றுவதாற் பெறப்படும் என்பது தெளிவு.
7.811 கோளமொன்றின் கனவளவு. a என்பது ஆரையாகும். தாளினது
தளம் அக்கோளத்தை APA'P' எனும் ஒரு வட்டத்தில் வெட்டுக.ஒரு
விட்டம் 40A ஐ a - அச்சாகக் கொள்க. OX இற்குச் செங்கோணங்களில்
தளங்களால் வெட்டப்படும் வெட்டுகள் P வட்டங்களாகும். MP (=g) அத்தகை
வட்டத்தின் ஆரையாகுக ; இங்கு #ق إلى ;OM == ag. 6T60fl6 dT, ag2 -+-gy2 == a2
கோளத்தின் கனவளவு A. 六一ヌ・
Z yodac = r (ao - aco)da 一á ーの
Z - ]چهه = ma*.
7.312 உதாரணங்கள். ey நேராயிருக்க, 2=0 இலிருந்து 2 = a வரைக்குமுள்ள g2-4ac என்னும் வளையி y-அச்சுப் பற்றிச் சுற்றுகின்றது; வளைபரப்பாலும் ஒரு தள முனையாலும் அடக்கப்பட்ட கனவளவைக் காண்க. g -அச்சானது உருவத்தின் அச்சாயிருக் கின்றமையால், ஒரு வட்டவெட்டின் பரப்பளவு 7ானி ஆகும். ஒரு சீவலினது தடிப்பு ரே ஆகும். ஆகவே, கனவளவு= πατάν ,
0
O ---
மேலெல்லை a = a ஆகும்பொழுது g யின் பெறுமானமாகும்.
2a. y TT
—* - du = –"– X32a°= 2TTao. #y=ಾ X 32ಜ್= $7
ஆகவே, கனவளவு=ா

Page 83
46 பிரயோகங்கள்
7.313 பயிற்சி.
1. g = a சைன் ba) என்னும் வளையியின் ஒரு மடிவு a - அச்சைச் சுற்றும்பொழுது அடைக் கப்பட்ட கனவளவைக் காண்க.
2. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பை ஒரு சுற்றுத் திண்மமெனக் கொண்டு அதன் கனவளவைக் Ꮿ5tᎢ6ᏈTᏪᏐ . s
8. ஓர் உருவமானது ஒரு வட்டத்தின் காற்பகுதி வில்லாலும் அதன் முனைகளிலுள்ள தொடலிகளாலும் அமைக்கப்படுகின்றது. அவ்வுருவத்தைத் தொடலிகளுள் ஒன்றுபற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைக் காண்க.
4. ag2 -ஐ8 (a = 0 இலிருந்து a = a வரைக்கும்) எனும் வளையியை y- அச்சுப் பற்றிச் சுற்ற ஓர் இரட்டைக் கிண்ணம் ஆக்கப்படுகின்றது ; அதன் கனவளவைக் காண்க.
5. ஐ-அச்சிற்கும் g=(n-1)(3+2) எனும் பரவளைவிற்கும் இடையில் அடக்கப்படும் பரட்பளவை அவ்வச்சுப் பற்றிச் சுற்ற அமையுங் கனவளவைக் காண்க.
8. ஒரு வட்டத்தின் துண்டம் தனது நாண்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. ஆரை a, அவ்வட்டத் தின் மையத்தில் துண்டத்தின் வில் எதிரமைக்கின்றகோணம் 22 ஆகியவற்றின் உறுப்பாக அங்கு பிறப்பித்த கனவளவைக் காண்க.
7. y2 = 4(a) -3) என்னும் வளையியாலும், g - அச்சாலும், g = பு:4 என்னுங் கோடுகளாலும் வரைப்புற்ற உருவம் g - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது ; பிறப்பித்த கனவளவைக் காண்க.
8. a = 0 இலிருந்து a = 0 வரைக்குமுள்ள g = 0 அகோசை (a|e) என்னும் வளையி g - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றுகின்றது ; அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட கிண்ணத்தின் கனவளவைக் காண்க.
7.4 ஈர்ப்பு மையங்கள். m, m, n, . . . . எனுந் திணிவுகளையுடைய துணிக்கைகளின் ஒரு தொகுதி A1, A2, A3, . . . . எனும் ஒரு தளப் புள்ளிகளில் இருக்க, அப்புள்ளிகள் அத்தளத்து, யாதுமொரு நேர்க் கோட்டிலிருந்து a, a2, a3, . . . . என்னுந் தூரங்களில் இருந்தால், அத்தி ணிவுகளின் ஈர்ப்பு மையம் ஆெனது அதே நேர் கோட்டிலிருந்து தூரம்
- 7-1-+omo -+Mಣ್ರ + . . . . 2(M) (1)
Q2 二 h十7na十ns十...,* 2m,’
இல் இருக்குமென்பது நிலையியல் நூல்களிற் காட்டப்பட்டிருக்கின்றது. அன்றியும், A1, A2, A3, என்பன வ்ேறு வேறு பொருள்களின் ஈர்ப்பு மையங்களாயின், m, n, ms...என்னுந் திணிவுகளையுடைய ஒரு பொருட் தொடையின் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கும் அதே சூத்திரம் பொருந் தும். அன்றியும், A1, A2, A3, என்பன ஒரு தளப் புள்ளிகளில்லா விடினும், 0 என்பன ஒரு தளத்திலிருந்து அளந்த தூரங்களைக் குறிக்குமாயின், அதே சூத்திரம் பொருந்தும்.
அன்றியும், திணிவுகளைப் பற்றிய பிரச்சினையாகாது, பரப்புகள் அல்லது கன வளவுகள் போன்றனவற்றின் பிரச்சினையாயிருக்கும் போதும், . . . .m,m,ng என்பனவற்றிற்குப் பதிலாகத் தம் இடை மையங்கள் A, A2, A3,

பிரயோகங்கள் 47
... என்பனவற்றிலுள்ள பரப்பளவு மூலகங்களையாதல் கனவளவு மூல
கங்களையாதல் பிரதியிடுவோமாயின், அதே சூத்திரம் இடை மையத்தை,
அல்லது மையப்போலியைத் துணிதற்கு உதவும்.
இது பின்வரும் பிரிவில் எடுத்துக் காட்டப்படும்.
741 பரப்பளவின் மையப்போலி. பரப்பளவானது HK எனும் ஒரு வளையி யாலும் 2-அச்சினலும், AH, BK எனுமிரு நிலைக்கூறுகளாலும் வரைப் புறுகிறதென்க; இங்கு OA = a, OB= b ஆகுக ; g=f (2) என்பது அவ்வளை யியின் சமன்பாடென்க.
அப்பரப்பளவை OY யிற்குச் சமாந் தரமாக MPP'M' போன்ற ஒரு தொகை யான ஒடுங்கிய கீலங்களாக அப்பரப் பளவை நாம் பிரிக்க, OM-a) ஆயும் MM'=öa gyu/th, MP= y gyu |th இருந்தால், இக்கீலத்தின் பரப்பளவு o A MM’ B எம் நோக்கிற்குத் தகப் போதிய செம்மை - யோடு ஜூல ஆகும். M
இது ஒரு வகையுரியான பரப்பளவு மூலகம் ; இதனை  ைஇற்கு உரிய சூத்திரத்தின் “ m ’ ஆக நாம் வழங்கலாம். அக்கீலத்தினுடைய இடை மையத்தின் ஆள்கூறுகள் அண்ணளவாக a, g என்பன. எனின்,
AHKB என்னும் பரப்பளவினது மையப்போலியின் ஆள்கூறுகள்
o 22(ac-yôx) = 2(3y-gyðir) i *="్క్యూ • y="్క్యూ అల్లి,
இங்கு, AH, BK என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கீலத்தொகை
வரையறையின்றிக் கூடுதலுறும்பொழுது இக்கூட்டுத்தொகைகள் அணுகும் எல்லைப் பெறுமானங்களே நாம் எடுத்தோம்.
h sey de ay* dar ஆகவே, 2=4 - , g=4-
Jy de Jy de
房 V da i
7,411 உதாரணங்கள்.
(i) a-அச்சிற்கும், நேர்க் கால்வட்டத்திலுள்ள g? =4aa என்னும் வளையிக்கும் a = b இலுள்ள நிலைக்கூறுக்கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவினது மையப்போலியைக்காண்க

Page 84
48 பிரயோகங்கள்
இவ்வகையில், H h *。姜器 ү sy die يهيمها ಕಿ
。壹一 0له -س 0له - a= -=--- = -=n; |y da 2ada 醫為市
O O
h ኤ
l 2و1 sy ಹಿ:- dae a*h*
茄 h . . 3. y da 2a*aᎴ* daz Ꭶh* O 0.
unn
3a
h
품
y=
ஆகவே, அப்பரப்பளவு OAH எனின், மையப்போலி 0ேA, AH) என்னும் புள்ளியாகும்.
(i) ஒருசீரான அரைவட்டத் தகடொன்றின் புவியீர்ப்பு மையத்தைக் காண்க.
அரைவட்டம் 40B யின் மையம் 0 ஆகவும் a அதன் ஆரையாயும் இருக்க, அத்தகட்டை விட்டம் AOB யிற்குச் சமாந்தரமான P90'P' என்பது போன்ற ஒடுக்கமான கீலங்களாகப் பிரித்தோமாயின் அத்தகைய கீலங்கள் எல்லாம் ஆரை OC யால் AB யிற்குச் செங்கோணங்களில் இரு கூறிடப்படும்.
00, 0A என்பனவற்றை a -அச்சாயும் g - அச்சாயும் எடுக்க. ஆயின், P என்பது (a, g) என்னும் புள்ளியெனின், a2+g?= a* ; எல்லாக் கீலங்களி னுடைய ஈர்ப்பு மையங்களும் 0 இல் இருக் கும் ; கீலம் ஒன்றினது திணிவு அதன் பரப் பளவு 2g60 இற்கு விகிதசமமெனக் கொண் டால்,
dz |-2) ಡೊ. s 2aciV(ao-aco) da: O - 0له سسس محسنة 62
2y da அரைவட்டத்தின் பரபபளவு 0.
“لوہ ۔۔۔ وہ، 2 -- -م a2( a Tao 377
கி.தே. ,ெ ,ெ என்பன 040, 00B என்னும் இரண்டு கால்வட்டத் தகடுகளின் புவியீர்ப்பு மையங்களாயின், கோடு Gெசமச்சீரால் AB யிற்குச் சமாந்தரமாய் அம்முழுத் தகட்டின் ஈர்ப்பு மையமாகிய டெயினூடாகச் செல்ல வேண்டும். ஆகவே, OA யிலிருந்து ,ெ இனது தூரம் 4/3ா; சமச்சீரால், அது அக்கால்வட்டத்தின் மற்ற வரைப்புற்ற ஆரையாகிய 00 யிலிருந்து அதே தூரத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.
 

பிரயோகங்கள் 49
7.42 சுற்றற் கனவளவினது மையப்போலி. 7.31 இன் படத்தைப் பார்க்க, கனவளவின் வகையுரி மூலகம் தன் மையம் a -அச்சில் உற் பத்தியிலிருந்து 2 தூரத்தில் இருக்கின்ற ry60 என்னும் அளவுள்ள ஒரு வட்டச் சீவல் எனக் காண்கின்றேம் ; ஆயின்,
b b
trayo da f ayo da -- e el a
= . -- -- f ary da f yo da 7.421 உதாரணம். ஒருசீரான திண்ம அரைக்கோளம் ஒன்றின் புவியீர்ப்பு மையத் தைக் காண்க.
a - அச்சைத் தளவடிக்குச் செங்கோணங்களில் எடுத்து அடிக்குச் சமாந்தரமாய் சீவல்கள் எடுக்கப்பட அவற்றின் மையங்கள் அவ்வச்சிற் கிடக்கும். அவ்வரைக் கோளத்தின் ஆரை a யாயும், 0 விலிருந்து 3 தூரத்திலுள்ள வட்டவெட்டின் ஆரை g யாயும் இருந்தால் a2+g?= a* எனப் பெறுவோம். எனின்,
Tracy? dac f æ(a° –æ*)dæ
0 له سـ
O = -, -, -
ᎤᏔ mry? dar (a* -- a2)dag O O
a. - a
a -a.
0.
7.43 ஈர்ப்பு மையங்கள் பற்றிய மேலதிக உதாரணங்கள். பின்வரும் முடிபுகள் தொகையிடாமல் எளிதாகப் பெறப்படும் ; எனினும் ஒரு முறையின் உதாரணங்களாக அத்தேற்றங்களை வழங்குகின்றேம்.
(1) ஒருசீரான முக்கோணித் தகடு, OBO என்பது அத்தகட்டைக்குறிக்க. BCயிற்குச் செங்கோணங் களில் 0X என்னும் ஓர் அச்சை எடுக்க; அத்தகட்டை BC யிற்குச் சமாந்தரமான கோடு களாற் கீலங்களாகப் பிரிக்க.
BC = a UiTulp, h 6T6öTug O 965 ருந்து BC யினது தூரமாயும் இருந் தால், இயல்பொத்த முக்கோணிகளால் 0 விலிருந்து 3 தூரத்திலுள்ள ஒரு கீலத்தி
0.
னது நீளம் ; a ஆகும். 60 ஒரு கீலத்தின் அகலமாயும் aဝ်@ J2,9@ör

Page 85
150 ر- பிரயோகங்கள்
பரப்பளவாயும் எடுக்கின்றேம். இயல்பொத்த முக்கோணிகளாதலால், எல்லா ஒடுக்கமான கீலிங்களின் மையங்களும் 0 வினூடாகவும் (இடையம்) EC யின் மையத்திற் கூட்ாகவுஞ் செல்கின்ற ஒரு கோட்டிற் கிடக்குமென்பது எளிதாகக் காட்டப்படும். அன்றியும், ஒரு கீலத்தினது திணிவு அதன் பரப்பளவிற்கு விகித சமமாயிருத்தலால்,
ஆகவே, அவ்வீர்ப்பு மையம் ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர்ப்பக்கத்திற்குச் செல்கின்ற இடையத்தின் வழியே அதன் 3 பங்கு தூரமாகும்.
(i) ஒருசீரான திண்ம நான்முகி. 0ABC என்பது திண்ம நான்முகியாகுக; OX ஆனது AB0 இற்குச் செங் A கோணங்களிலுள்ள ஓர் அச்சாகுக. H என்பது ABC யின் மையப் போலியாயின், ABC யிற்குச் சமாந் தரமான யாதும் ஒரு தளவெட்டின் மையப்போலி OH இன்மீது கிடக்கு மென இயல்பொத்த முக்கோணிகளி லிருந்து காட்டலாம். எனின், ABC யிற்குச் சமாந்தரமாய் மெல்லிய சீவல்களை எடுப்பதால், அந் நான்முகி யின் ஈர்ப்பு மையம் OH இன்மீது கிடக்கும் என்பது பெறப்படும். -
இனி, பரப்பளவு ABC யை S உம் 0 விலிருந்து அதன் தூரத்தை h உம் குறித்தால், 0 விலிருந்து 20 தூரத்திலுள்ள ஒரு சமாந்தர வெட் டின் பரப்பளவு
A PQR : A ABC = PIR? : AC2
- OP2 : OA2- 2 : h,
என்பதாலே தரப்படும்.
2 ஆகவே, S என்பதை ஒரு சிவலின் பரப்பளவாயும் 60 என்பதை
அதனுடைய தடிப்பாயும் a;28a. என்பதை அதன் கனவளவாயும் நாம்
எடுக்கலாம்.
 

பிரயோகங்கள் 151
ஆகவே, அந்நான்முகியின் ஈர்ப்பு மையம் 0 விலிருந்து H இற்குச் செல்லும் வழியில் முக்காற் பங்கில் இருக்கும். ܖ
கி.தே. அதுபோல, ஒருசீரான திண்மக் கூம்பகத்தின் ஈர்ப்பு மையம் உச்சியிலிருந்து அடியினது மையப்போலிக்குச் செல்லும் வழியில் முக்காற் பங்கில் இருக்குமெனக் காட்ட்லாம். -
தளவடியையுடைய யாதும் ஒரு வடிவக் கூம்புக்கும் அதே முடிபு உண்மையாகும் ; அதற்குக் дѣтUоботіћу கூம்பானது வரையறையின்றிய பல ஒடுக்கமான முகங்களோடு கூடிய ஒரு கூம்பகத்தின் எல்லை வடிவ மெனக் கொள்ளப்படலாம் என்பதே.
7.44 சடத்துவத் திருப்பங்கள். m ஒரு பொருளின் ஒரு மூலகத் தினது திணிவாயும், r ஒர் அச்சிலிருந்து அம்மூலகத்தினது தூரமாயும் இருந்தால், அவ்வச்சுப்பற்றி அப்பொருளின் சடத்துவத் திருப்பம் 2 (mr?) என வரையறுக்கப்படும் ; அதாவது ஒவ்வொரு மூலகத்தினது திணிவையும் அவ்வச்சிலிருந்தான அதன் தூரத்தின் வர்க்கத்தாற் பெருக்க வருவன வற்றின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
M ஒரு பொருளின் முழுத் திணிவைக் குறிக்க, MR*, ஒரு குறித்த அச்சுப் பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பமாயிருந்தால், k என்பது அவ்வச்சுப்பற்றி அப்பொருளின் சுழிப்பாரை எனப்படும். இவ்வாறு ko= X (mro) | M.
அப்பொருள் தகடுபோன்ற தளப்பொருளாயின், அதன் கண்ணேயே யுள்ள ஒரு புள்ளிபற்றிய அதன் சடத்துவத் திருப்பம்பற்றி நாம் பேசலாம் ; அதன் கருத்து அத்தளத்திற்குச் செங்கோணங்களில் அப்புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் ஒர் அச்சுப்பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்பம் என்பதே.
7.441 உதாரணங்கள்.
(i) திணிவு M உம் ஆரை a யும் உள்ள ஒரு மெல்லிய வட்ட வளையத்தினது தளத்திற்குச் செங்கோணங்களில் அதன் மையத்திற்கூடாகச் செல்லும் ஓர் அச்சுப் பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்பமானது, ஒவ்வொரு திணிவு மூலகமும் மையத்திலிருந்து ஒரே - தூரம் a யில் இருப்பதாகக் கொண்டால், Ma* ஆகும்.

Page 86
152 பிரயோகங்கள்
(i) ஒருசீரான நேர்க்கோல் ஒன்றினது நீளத்திற்குச் செங்கோணத்தில் அதன் மையத்திற் கூடாகச் செல்லும் ஓர் அச்சுப் பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பம்.
M அதன் திணிவாயும், 20 அதன் நீளமாயும் இருக்க உற்பத்தியை அக்கோலினது மையத்திலும் a -அச்சை அக்கோலின் வழியேயும் எடுக்க.
0 விலிருந்து  ைதூரத்திலுள்ளதும் Sm நீளமுமான மூலகத்தின் திணிவு M ஆகும். எனின் சடத்துவத் திருப்பம் - a யிலிருந்து 4 வரைக்கும் 2 இன் பெறுமானங்களுக்குக் கூட்டப்பட 2 (M) ஆகும் ; அதாவது
M" M a .da;=^|工23 = 품 2 b ۔۔۔۔۔ 凯” |- Ma? ஆகும் சுழிப்பாரை 62= 2 என்பதாலே தரப்படும்.
(ii) ஒரு வட்டத் தட்டின் மையம்பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பம்.
M அத்தட்டினது திணிவும் a அதன் ஆரையும் ஆகுக'.
ஒருமைய வட்டங்கள் வரைவதால், அத்தட்டு ஒடுக் கமான வட்ட வளையங்கள் கொண்ட ஒரு தொடை யாகப் பிரிக்கப்படலாம். அத்தகைய வளையத்தின் ஆரை 7 ஆகவும், Sr அதன் அகலமாயும் இருந் தால்,அதன்பரப்பளவு 2ாாலி ஆகும்; அத்தட்டின் முழுப்பரப்பளவு 7ாa? ஆகும். ஆகவே, அவ்வளே
2 யத்தின் திணிவு M, அல்லது rðr
ஆகும் ; இவ் வளையத்தின் ஒவ்வொரு மூலகமும் மையம் 0 விலிருந்து ? தூரத்திலிருக்கும் ; ஆகவே அத்தட்டின் சடத்துவத் திருப்பமானது 0 விற்கும் a யிற்கும் இடையிலுள்ள 7 இன் பெறுமானங்களுக்குக் கூட்டப்பட 2 停 #01), அல்லது sy Ꮭ°dr=ᎭᎷᏍ ஆகும்.
O vே) ஒரு சுற்றற்றிண்மத்தின் அச்சுப்பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பம்
7.81 இன் படத்தை நோக்க, அத்திண்மம் PP'0'0 போன்ற வட்டத் தட்டுக்களின் ஓர் அடுக்கின் எல்லை வடிவமாகக் கொள்ளப்படலாம். இத் தட்டின் கனவளவு 7ாg^60 ஆகும் ; அதனுடைய திணிவு mாg°லில
 

பிரயோகங்கள் 153
ஆகும் , இங்கு, m, அத்திண்மத்தின் ஓரலகு கனவளவினது திணிவு. அன்றியும், சென்ற பயிற்சியால், அத்தட்டின் அச்சுப்பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பம்
έ ηπυδαμο = ε η πυδα. எனின், அச்சுப்பற்றி அம்முழுத் திண்மத்தின் சடத்துவத் திருப்பம்
b 4 ttm y“ da) ஆகும் ; இங்கு, நள்வான் வளையியின் சமன்பாட்டால்,
g என்பது a இன் உறுப்புகளால் தரப்படும்.
7.442 பயிற்சி.
1. பின்வருவனவற்றின் மையப்போலிகளினது ஆள்கூறுகளைக் காண்க :
(i) y = a ೧೮೧' ? எனும் வளையியின் ஒரு மடிவு ;
(ii) g = (a +1}(a -3) என்னும் வளையிக்கும் a - அச்சிற்கும் இடையில் அடைக்கப்பட்ட பரப்பளவு ;
(i) g=ag (0-1) எனும் வளையியாலும், a - அச்சாலும் அடைக்கப்பட்ட பரப்பளவு ;
(iv) g = a*(1-22) எனும் வளையியினது ஒரு தடத்தின் பரப்பளவு ;
(v) ஒரு சுற்றற் கனவளவாகக் கொள்ளப்பட்ட ஒரு நேர் வட்டக் கூம்பு :
(wi) a ஆரையையுடைய ஒரு கோளம் மையத்திலிருந்து e தூரத்திலுள்ள ஒரு தளத்தாற் பிரிக்கப்பட்ட துண்டங்கள் :
(vi) தன் முனைகள் a, b எனும், ஆரைகளையுடைய வட்டங்களாகவும் தன் அச்சு h நீளமுள்ளதாயும் இருக்கின்ற முண்டித்த நேர்வட்டக் கூம்பு ஒன்று ;
(vi) தன் முனைகள் 5, 1 என்னும் ஆரைகளையுடைய வட்டங்களாயும் தன் நள்வான் வளையி 4(g-1) =ax2 என்பதாயுமுள்ள a - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றிய ஒரு சுற்றற் கனவளவு.
2. பின்வருவனவற்றின் சடத்துவத் திருப்பங்களைக் காண்க :
(i) ஒருசீரான சதுரத் தகடு, அதன் பக்கங்களுள் ஒன்று பற்றி :
(i) ஒரு நேர்க்கோல் அதன் ஒரு முனைபற்றி, அக்கோலின் அடர்த்தி அம்முனையிலிருந்து உள்ள தூரத்தோடு மாறுகின்றபொழுது ;
(i) ஒருசீரான முக்கோணித் தகடு ஒன்று, அதன் பக்கங்களுள் ஒன்று பற்றி
(iv) ஒருசீரான வட்டத் தகடு ஒன்று, ஒரு விட்டம் பற்றி ; ,
(w) ஒருநேர் வட்டக் கூம்பு அதன் அச்சுப்பற்றி :
(wi) a - அச்சினலும், 3=h என்னுங் கோட்டினலும், g = V(ka) என்னும் வளை
யியாலும் உருவத்தை a - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுந் திண்மம், அவ்வுருவத்தின் அச்சுப் பற்றித் திருப்பம் எடுக்கப்படும்பொழுது :
(vi) தனது வரைப்பாடு aa2+g/6 = 1 ஆயுள்ள ஒருசீரானதகடு ஒன்று, முறையே a - அச்சுப்பற்றியும் y-அச்சுப் பற்றியும்.

Page 87
154 பிரயோகங்கள்
7.5 முனைவாள்கூறுகளிற் பரப்பளவுகள். தன் சமன்பாடு 7=f(6) ஆயுள்ள வளையி AB யாலும் 0A, OB எனுமிரு ஆரைக்காவிகளாலும் வரைப் புற்ற ஆரைச் சிறைப் பரப்பளவைக் காணல்,
AOX = x 6yth; BOX = B 6th gigas. O வினுடக அவ்வளையியின் ஆரைகளை வரைதலால், கோணம் AOB யை ஒரு தொகையான பகுதிகளாகப் பிரிக்க.
பின்னர் இவ்வாரைகளின் முனைகளுக் கூடாக வட்ட விற்கள் வரைதலால், வட்ட ஆரைச் சிறைகளின் இரு தொடைகளை அமைக்கின்ருேம். OPP போன்ற ஆரைச் சிறைத் தொடை ஒன்றின் கூட்டுத் தொகை யினது பரப்பளவு வேண்டிய பரப்பளவு 0AB யிலுஞ் சிறிது; 000' போன்ற மற்றைய ஆரைச்சிறைத் தொடையின் கூட்டுத்தொகையினது பரப்பளவு 0AB என்னும் பரப்பளவிலும் பெரிது. எனினும், ஆரைச்சிறைகளினுடைய தொகை கூடுதலுற, அவ்விருவகை ஆரைச் சிறைகளின் பரப்பளவுகள் சமத்தை அணுகுவதுடன் ; அவை கோணவகலத்திற் குறைதலுறும்.
இனி, புள்ளி P (7,9) ஆயும், புள்ளி, ,ெ (r+br, 9+69) ஆயுமிருந்தால், P00 எனுங் கோணம் 68 ஆகும் ; POP" எனும் வட்ட ஆரைச் சிறையின் பரப்பளவு ?69 ஆகும் (7.11 கி. தே.) எனின், சிறு பிரிவுகளினது தொகை முடிவிலியை அணுக, OAB எனும் பரப்பளவு ஆ2?60 வின் எல்லையாகும் ;
அதாவது பரப்பளவு 0AB- r2d6.
7.51 உதாரணங்கள்.
(1) மையத்தில் முனைவுள்ள ஒரு நீள்வளையத்தின் முனைவுச் சமன்பாடு
1 கோசை26 சைன்?0
2 2
பரப்பளவைக் காண்க. ஒவ்வொரு கால்வட்டத்திலும் உள்ள பரப்பளவு சமமாகும் ; ஆகவே,
de b2 கோசை6ே+ a2 சைன்9ே
2 )。 Κα 24 இக2006 =2 ستtag2b2 岚 தான்-( தான ') 黄T
o b?-- a 5.1667°0 ab b
= 2ab.ar == Tab, 7.12 இற்போல.
பரப்பளவு = ---- 2a,
O O
 

பிரயோகங்கள் 155
(ii) சி=a* கோசை 26 என்னும் வளையியினது ஒரு தடத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
இச்சமன்பாட்டிலிருந்து 9= - 4ா ஆகும்பொழுதும் 9= +4ா ஆகும் பொழுதும் r பூச்சியமாகும் என்றும், 6 வின் இடையான பெறுமானங் கள் 7 இற்கு யாதொன்றும் பூச்சியமல்லாத முடிவுள்ள பெறுமானங் களைத் தரும் என்றும், எனவே, இவையே ஒரு தடத்தின் பரப்பளவிற்கு எடுக்கப்பட வேண்டிய எல்லைகள் என்றும் நாம் காண்கின்றேம்.
எனின், பரப்பளவு= * a2 கோசை 29 d9 = a2 [၈zeir i. = a.
- 一社TC
7.52 ஆரைச்சிறைப் பரப்பளவுகளின் மையப்போலிகள். பரப்பளவின் ஒரு வகையுரி மூலகம் மிக்க அண்ணள வாக ஆr?69 என்னும் பரப்பளவுடைய OP0 என்னும் ஓர் ஒடுக்கமான ஆரைச் சிறையாகும்.
ஒரு முக்கோணியின் மையப்போலி ஒரு இடையத்தின் வழியே அதன் நீளத்தின் * பங்கில் இருத்தலால், OP0 என்னும் ஆரைச்சிறையின் அகலம் வரையறை யின்றிக் குறைதலுற, அதன் மையப்போலியின் ஆள்கூறுகள் rே கோசை9,
*rசைன் 9 என்பனவாகும்.
ஜrகோசை 9.ஆrd9 r8 கோசை 9d9
び
ஆகவே, a.
d69 *سو dՅ 2 في CX
ஆrசைன் 9.ஆr2 d9 raogait 6d.6 y= = 0
re d0 ነ% dፀ
7.521 உதாரணம். r=a (1+ கோசை 0) என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் மூடிய வளையியின் (இதயவுருவின்) மையப்போலியைக் காண்க.
9 வின் குறியை மாற்றுவதால் அச்சமன்பாடு மாருது ; ஆயின் அவ் வளையி a - அச்சுப் பற்றிச் சமச்சீராகும் ; சமச்சீரால் அதன் மையப்போலி OX இன் மீது கிடக்கும்.
அவ்வளையியின் மேற்பாதிக்கு 9 வின் எல்லைகள் 0 விலிருந்து 7 வரைக்கு Loft G5 p. -

Page 88
I56 பிரயோகங்கள்
ஆகவே,
a3(1+ கோசை6)8கோசை 9d6 0.
死=器
a2(1+கோசை9)?d6 O
(கோசை 9+3 கோசை29+3 கோசை99+ கோசை49)d9 O
2 3.
(1+2 கோசை6+ கோசை26)d9 O
இப்போது 6.6 ஐப் பயன்படுத்திக் கொண்டு, 0இலிருந்து 7 வரைக்குந் தொகையிட்டகோசை9 வின் ஓர் ஒற்றை வலு பூச்சிய முடிபைக்
கொடுக்குமென்பதையும் ஞாபகத்தில் வைத்துக் கொள்ள
Χ TT 1 7T 1 3
۔ .۔ . . . 2-+ ."" .6 མ 2 2 透す 2 24 ac = 350.' T 1. 2 . . . 7+2・露・歪 =&a
7.6 பப்பசின் தேற்றம்.
ஒரு தளப் பரப்பளவு தனது தளத்திலுள்ள ஓர் அச்சுப்பற்றி, அதனை வெட்டாது சுற்றினுற், பிறக்குங் கனவளவு அப்பரப்பளவை அதன் மையப்போலியினது பாதையின் நீளத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
அப்பரப்பளவு எந்த அச்சைப் பற்றிச்சுற்றுகிறதோ அந்த அச்சை a - அச்சாக எடுக்க, A பரப்பளவையும் SA என்பது OX இலிருந்து g தூரத்திலுள்ள அதன் சிறு மூலகம் ஒன்றையுங் குறிக்க. அவ் வுருவம் OX பற்றிச் சுற்ற, மூலகம் 64, psa, 2ாg என்னும் நீளத்தையும் 6A எனுங் குறுக்கு வெட்டையும், அதுபற்றி 2ாgSA என்னுங் கனவளவையும் உடைய ஒர் 2/ ஒடுக்கமான குழாயை வரையும். எனின், O பரப்பளவு Aயாற் பிறப்பிக்கப்படும் முழுக் X கனவளவும், பரப்பளவின் மூலகத் தொகை முடிவிலியை அணுக, 2ா2(g64) யின் எல்லையாகும். எனினும், ) என்பது OX இலிருந்து பரப்பளவு A யின் மையப்போலிக்குள்ள தூரமாயின்,

பிரயோகங்கள் 157
எனவே, வேண்டிய கனவளவு
=AXஅதன் மையப்போலியினது பாதையின் நீளம்.
7.81 உதாரணங்கள்.
() a ஆரையையுடைய ஒரு வட்டம் தன் மையத்திலிருந்து 0 (>a) தூரத்திலே தனது தளத்திலுள்ள ஓர் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது.
அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட திண்ம வளையத்தின் கனவளவு
ገra*X 2ገro = 2ገr%aዶo.
(ii) அடி a யாயும், உயரம் h ஆகவுமுள்ள ஒரு முக்கோணி தனது அடிபற்றிச் சுற்றுகிறது. பிறப்பிக்கப்பட்ட திண்மத்தின் கனவளவு என்ன ?
பரப்பளவு = ah ; மையப்போலி ,ெ ஃ ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தை வரையும்.
ஆகவே, கனவளவு = இahx 掌 h
==Trah. அத்திண்மம் Th? எனும் பரப்பளவையுடைய ஒரு பொது அடியையும்
a எனும் மொத்த உயரத்தையுங் கொண்ட இரு கூம்புகளாலாயது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகும்.
7.62 பயிற்சி. 1. பின்வரும் வளையிகளாலுங் கூறப்பட்ட ஆரைக் காவிகளாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவு களைக் காண்க :
(i) சுருளி r=a0, 9 = 0, 9=27; (ii) சுருளி r=aeஃ6, 6=0, 0 = 2r. 2. பின்வரும் வளையிகள் ஒவ்வொன்றினதும் ஒரு தடத்தின் பரப்பளவைக் காண்க :
(t) = a சைன் 29 ; (ii) r=a சைன் m9.

Page 89
58 பிரயே ாகங்கள்
3. 9=0, 6=க என்பனவற்றிற்கு இடையே r=a சீக99 எனும் வளையியினது
ஆரைச்சிறையின் பரப்பளவு
o (தான் $2+* தான்**a)
எனக் காட்டுக.
4. r=2+ கோசை 9 எனும் வளையியைப் பரும்படியாக வரைந்து அதன் பரப்பளவைக் sitcois.
5. r=a கோசை 20 என்னும் வளையியினது ஒரு தடத்தின் பரப்பளவினது மையப் போலியைக் காண்க : இவ்வளையத்தை g-அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைத் துணிக.
6. n = a + b கோசை 9 (a>b) என்னும் வளையியினது பரப்பளவின் மையப்போலியைக் காண்க.
* 9 = 0 இலிருந்து 0 - 7 வரைக்குமுள்ள ? = a (1-கோசை 9) என்னும் வளையியின் ஆரைச்சிறைப் பரப்பளவினது மையப்போலியைக் காண்க : இப்பரப்பளவை ஐ- அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவையும் உய்த்தறிக.
8. ஒரு திண்ம வளையத்தின் உட்பரப்பு, d ஆரையையும் h உயரத்தையுமுடைய ஒரு வட்டவுருளே ; அவ்வளையத்தின் குறுக்கு வெட்டு (h, பக்கத்தையுடைய) சமபக்க முக்கோணி. அவ்வளையத்தின் கனவளவு w/3ாh? (a +h/2V3) என நிறுவுக.
9. ஓர் உருவம், ஒரு வட்டத்தின் கால்வட்ட வில் ஒன்ருலும் அதன் முனைகளிலுள்ள ஆரை களாலும் வரைப்புறுகின்றது. அவ்வில்லின் முனைகளுள் ஒன்றிலுள்ள தொடலி பற்றி அவ் வுருவத்தைச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைக் காண்க.
10.  ைஆரையையுன்டய ஒரு வட்ட உருளையைச் சுற்றி ஒரு தவாளிப்பு வெட்டப்படுகின்றது, அத்தவாளிப்பின் குறுக்கு வெட்டு 6 என்னும் பக்கத்தையுடைய சமபக்க முக்கோணி யாயின், வெட்டப்பட்ட கனவளவைக் காண்க.
11. ஒர் அரைவட்டப்பரப்பளவினது மையப்போலியைத் துணிதற்குப் பப்பசினது தேற்றத் தையும் ஒரு கோளத்தினது கனவளவுக்குரிய கோவையையும் பயன்படுத்துக.
12. r=a கோசை 20 என்னும் வளையியின் தடம் ஒன்று r =ka என்னும் வட்டத்தாற் பிரிக்கப்படும் இரு பகுதிகளின் பரப்பளவுகளையுங் காண்க.
13. g=2 (சைன் 0++ சைன் 30) எனும் வளையிக்கும் ஐ- அச்சிற்கும் இடையே 0, T எனும் எல்லைகளுக்குட் கிடக்கின்ற பரப்பளவு 4, 20a/9 என்று காட்டுக ; இப்பரப்பளவை ஐ-அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுங் கனவளவு V, 47 = TaA என்பதாலே தரப்படும் என்றுங் காட்டுக.
14. ஐக்-0 இலிருந்து 2=a வரைக்குமுள்ள g=b சைன் (Tala) எனும் வளையியை ஐ-அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுங் கனவளவு தீரab* எனக் காட்டுக. சுற்றப்பட்ட பரப் பளவையுங் காண்க ; அதனுடைய மையப்போலியின் ஆள்கூறுகள் (4a, b) என உய்த் தறிக.
15. ஐ= 0, a = a என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag? = a* (a-a) எனும் வளையியின் பகுதி ஐ-அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறப்பிக்கப்பட்ட கனவளவு a விட்டத்தையுடைய ஒரு கோளத்தினது கனவளவின் அரைப்பங்கென நிறுவுக.
16. 0=0 இலிருந்து 9=47 வரைக்குமுள்ள r=a (1+ கோசை9) என்னும் வளையியின் ஆரைச்சிறை ஆரம்பக் கோடுபற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறப்பிக்கப்பட்ட கனவளவு 푸 Ta என நிறுவுக.
17. =a சைன் 39 என்னும் வளையிக்கு ஒவ்வொன்றும் Ta?/12 பரப்பளவு கொண்ட ஆறு வளையங்கள் உண்டு என்றும், உற்பத்தியிலிருந்து ஒரு வளையத்தினது மையப்போலியி னுடைய தூரம் 81V30/80 T என்றுங் காட்டுக.

அதிகாரம் VIII
பகுதி வகையிடல். சிறு மாற்றங்கள்
8.1 2=f(x, y, z) என்பது a, g, 2 என்னுஞ் சாரா மாறிகளின் ஒரு சார்பாகுக. இதன் பொருள், 20 இலாதல் g யிலாதல் 2 இலாதல் யாதும் ஒரு மாற்றம் 2 வில் மாற்றத்தைத் தரும் என்பதும்; 3 இல் ஒரு மாற்றமெனின் 2, g, 2 என்பன ஒன்றையொன்று சாராதிருக்கின்றமை யால் g யிலாதல் 2 இலாதல் ஒரு மாற்றத்தையுந் தராதென்பதுமே. y, z என்பன மாறதிருக்க a, bல என்னும் ஓர் ஏற்றத்தைப் பெறு
கின்றதெனக் கொள்க; ஆயின் ஒரு பின்னுறு வற்றம் 6 வைப் பெறும் ; ஆகவே
Öu_f(x+Öa. ッ。2)一f(x,y,2) ðar 60->0 ஆக, இவ்விகிதத்தின் எல்லை 器 என்பதாற் குறிக்கப்படும். இது
2 ஐக் குறித்த 2 வின் பகுதி வகையீட்டுக் குணகம், அல்லது லஐக் குறித்த 2 வின் பகுதிப் பெறுதி எனப்படும்.
அதுபோல, 14 வின் பகுதிப் பெறுதிகளை y யைக் குறித்தும் 2 ஐக் குறித்தும்
out atóf (a, y +8y, 2)-f(t, y, z)
ôy gy -> 0 òy du GTó) f(ac, y, 2 +82)-f(x, y, z) છે2 0ج-جہ 6
என்னுஞ் சூத்திரங்களால் நாம் வரையறுக்கலாம்.
இவ்வாறு, பகுதியாய் வகையிடும் செய்கை பல சாராமாறிகளின் சார்பொன்றிற்குப் பிரயோகிக்கப்படும் ஒரு செய்கையாகும் , அம்மாறிகளுள், ஒன்றை விட ஏனையவெல்லாம் வகையிடுதற் செய்கையின்போது மாறிலி களாகக் கொள்ளப்படும் ; மற்றைப்படி அச்செய்கை பொதுவான வகையி டுதலைப் போலச் செய்யப்படும்.
8.11 உதாரணங்கள்.
(i) u= 'y!,
鸞一 2ayz, 需一 3a2/24, == 4a2مy83چ.

Page 90
160 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
(ii) u= e9+*ع*.
ou 6u S ' = 2;'+', '= 2്യe'+', 孟=* gy ye
(iii) %= சைன் (aa+by).
ди 0u 琉下 2aa கோசை (aa2+bg2), ди 2byகோசை (aa2+bg).
ᏭᏪᏃ
8.12 குறிப்பீடு. f'(a) என்பது f(a) இன் பெறுதியைக் குறிப்பதுபோல ரீ. (0,g), f'(x, y) என்பன 2, g என்பனவற்றைக் குறித்த f(x, y) இன் பகுதிப் பெறுதிகளைக் குறிப்பனவாக வழங்கப்படும் ; சிலவேளை களிற் கீறு தவிர்க்கப்படும் ; ஆயின், f (x, y), f(x, y) என்பன அப்பகுதிப் பெறுதிகளையே குறித்தற்கு வழங்கப்படும்.
ди . 6ጓaዜ
எனபது 2 குறித்துப் பகுதியாக வகையிடப்பட்டால் முடிபு 6قو
2
என்பதாற் குறிக்கப்படும் ; அதுபோல, ଖୁଁ என்பதன் பொருள் y யைக்
குறித்த uெ/0ழ இன் பகுதிப் பெறுதி என்பதே.
2
என்பதன் பொருள் a குறித்த uெ/0g இன் பகுதிப் பெறுதி
2 என்பதே ; деи என்பதன் பொருள் g குறித்த oulda இன் பகுதிப்
ôyôas பெறுதி என்பதே. பெருந் தொகையான சார்புகளுக்கு வகையிடும் வரிசை பற்றி நியமம் யாதும் இல்லை என்பது உண்மை ; 95.76) д°и д°и
தாவது θαθυ --- მყმa:”
எனினும் இவ்விதிக்கு விலக்கு உண்டு.
8.2 முப்பரிமாண ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம், ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள OX, OY, OZ எனும் மூன்று அச்சுக்களை எடுக்க ; அதாவது O2 ஆனது XOY என்னுந் தளத்திற்கு செங் கோணங்களில் இருக்குமாறும் அவ்வாறே பிறவும் இருக்குமாறும் எடுக்க.
யாதும் ஒரு புள்ளி P யிலிருந்து தளம் XOY யிற்குச் செங்கோணங் களில் அதனை M இற் சந்திக்குமாறு, PM ஐ வரைய L என்பது 0X அச்சின்மீது M இன் எறியமாயின், OL, LM, MP என்பன Y02, 20X, XOY ஆகிய தளங்களிலிருந்து P யினது தூரங்களாகும் ; அவை P யின் ஆள்கூறுகளெனப்பட்டு a, y, z என்பனவற்ருற் குறிக்கப்படும்.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 16.
P யானது ஒரு பரப்பிற் கிடக்கின்றதெனக் கொள்க; ஆயின், அதன் 2 - ஆள்கூறு MP பொதுவாக XOY என்னுந் தளத்தில் M இனது நிலையைச் சார்ந்து இருக்கும் ; அதுபற்றி அது ,ை g என்பன வற்றின் ஒரு சார்பாகும் ; எனின், அப்பரப்பின் சமன்பாடு
== f(ac, y)
என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
இப்போது g மாருத புள்ளிகளில் எல்லாம் 20X இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்தில் இருக்கும் ; அத்தகைத் தளம் அப்பரப்பை PெH எனும் ஒரு வளையியில் வெட்டும்.
எனின், y மாருதிருக்க 2 ஐக் குறித்த 2 இன் பெறுதியாகிய 02/00 என்பது P யில் வளையி PெH இன் படித்திறனுகும் ; அல்லது, அது PெH என்னும் வளையிக்கு P யிலுள்ள தொடலி OX இற்குச் சமாந்தர மான ஒரு கோட்டோடு ஆக்குங் கோணத்தினது தான்சன் ஆகும்.
அதுபோல, P யினூடாக Y02 இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளம் அப்பரப்பை EPF என்னும் வளையியில் வெட்டும் ; 02/0ழ என்பது P யிலுள்ள இவ்வளையியின் படித்திறனுகும்.
F Ο R مجبر سست ہے ۔ سست۔ --۔ -- 4)к H//Y / بے گھP
------ N
% Z
; 次。 千ープ世--- -- S 比? E ሥ -- - ---ا۔۔ ۔۔۔۔ گل ------- ۔ل۔ ۔ ۔ ۔ عط
龙 T / /
/
O t X
இனி, Q என்பது a+bx, y+by, 2+62 என்னும் ஆள்கூறுகளை யுடைய அயற் புள்ளியாகுக. P யிற்கூடாக ஆள்கூற்றுத் தளங்களுக்குச் சமாந்தரமான தளங்களும், Q விற்கூடாக 20X, 207 என்பனவற்றிற் குச் சமாந்தரமான தளங்களும் வரைவதால், PW= 60 ஆயும் NR=Sy ஆயும் S2 = Sெ-PM= Rெ ஆயும் இருக்கும் PNRK என்னும் ஒரு செவ்வகத்தைப் படத்தில் பெறுகிறேம்

Page 91
162 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
62 என்பதை Sa, 6ழ என்பனவற்றில் உணர்த்த விரும்புகிறேம். அப்பரப்பில் P யிலிருந்து விெற்கு இரண்டு படிகளிற் செல்வோம். முதலாவதாக g மாருதிருக்கச் PH இன் வழியேயும் இரண்டாவதாக 2 மாருதிருக்கச் H0 வின் வழியேயுஞ் செல்வோம்.
y யானது PH இன் வழியே மாருதிருக்க, 3 ஆனது 60 என்னும் ஒரு தொகையாற் கூடுதலுறுகின்றமையின் 2, அல்லது f (x, y) இலுள்ள எற்றம்
f(a +8a, y)-f(x, y), g மாருதிருக்கின்றமையால், 3.2 ஆல் இது
{f'(æ, y) + E} ðæ (2) ÞGá GLOGð7.
இங்கு 60->0 ஆக, e என்பது பூச்சியத்தை அணுகும் ஒரு சிறு
கணியம்.
எனின், HT" - PM = {f'(ar, y) +- e}ða . . . . . . (1).
இனி, HQ வின் வழியே g யானது by எனும் ஒரு தொகையாற் கூடுதலுறுகின்றது; எனினும், a ஆனது H இலுள்ள பெறுமானம், அதாவது a+ba என்பதை வைத்திருக்கும் ; ஆகவே, 2 இல் எற்றம் QS – HT'= f(a+ Öar, y+ Öy) – f(a+öa, y). இங்கு, a +60 ஒரு மாறிலி எனக் கொள்ளப்பட வேண்டும் ; வலப்பக் கத்திலுள்ள இரண்டு சார்புகளுக்கும் இடையேயுள்ள ஒரேயொரு வித்தியா சமானது ஒன்று g + Sg இன் ஒரு சார்பாயிருக்க மற்றையது g யின் அதே சார்பாயிருத்தலே ; ஆகவே, 3.2 இற்போல இவ்வித்தியாசம்
= {f(a + 8a, y) + el}8y இங்கு, Sy->0 ஆக, e என்பது பூச்சியத்தை அணுகும் ஒரு சிறு கணியம். எனின், QS –HT= { f'(x+ δα, y)+ eì}ồy ...... (2).
(1) ஐயும் (2) ஐயுங் கூட்ட,
òz = QS — PIM = f'(ar, y)ồar -- f'(ac -- ðar, y)ồy -- eðar -- eồy. இங்போது f'(c+6a,y) என்பது H இல் HQ எனும் வளையியின் படித்திறன்; அது f (x, y) இலிருந்து அல்லது P யிலுள்ள PF எனும் வளையியின் படித்திறனிலிருந்து (பரப்பைப் பற்றி யாதோ ஒரு தனிச்சிறப்பு இருந் தாலன்றி) 60 உடன் ஒரு முடிவுள்ள விகிதத்தைக் கொள்ளும் ஒரு சிறு (e,60 ஆல் என்க) வித்தியாசப்படும்.
எனின், δα = f (α, μ) δα-- f (α, υ) 8y十刃 .................................... . (3) இங்குm என்பது SR, அல்லது Sழ யிலும் உயர்ந்த சிறுமை வரிசையுடைய
ஒரு கணியம்.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 163
இம்முடிபு பின்வருமாறும் எழுதப்படலாம்.
02 θα ο ဝ်း=;ဝ်# +;ဝ်/ + ၇ 0SS0 L SS S SS SLS SS0 SSLL SSS0 S0 S LSLS S L SLL SS SLSSL SLL SLL (4) m என்னுஞ் சிறு கணியத்தைப் புறக்கணிக்கும்போது அண்ணளவாக இது
02 მჯ öz = ရှိုဝ်းစာ -- ಶಿy. جُن = • • • • • • • • • • • = • e (5) என்றகும்.
83. பல மாறிகளின் சார்பொன்றினது பகுதி வகையீடுகளும் மொத்த வகையீடுகளும். 2=f(x, y) என்பது a, g என்னும் இரு சாரா மாறிகளின்
02 θα
படும் ; 2 இன் மொத்த வகையீடு அதன் பகுதி வகையீடுகளின் கூட்டுத் தொகையாகும் ; அதாவது
2 ஒரு சார்பாகுக: 2 இன் பகுதி வகையீடுகள் da, ду dy என வரையறுக்கப்
მჯ 62 2ே=-ே+ஒரே S SS SS SS S L L L L S S S S S S S S S SLS L L L L S SL S S S S S SSS S S S S S S SS S S S S S S (1)
இங்கு da, dg என்பன எதேச்சையாகத் தேரப்படுகின்றன ; எனின், இச்சூத்திரம் வகையீடு de ஐ வரையறுக்கின்றது.
3.2. இற்போல நாம் வகையீடுகளையும் எற்றங்களையும் வேறு பிரித்தறிய வேண்டும். மேலேயுள்ள சூத்திரம் (1), da இன் வரைவிலக்கணமாதலின், ஒரு செம்மையான தொடர்பாகும்; எனினும் வகையீடுகளுக்குப் பதிலாக ஏற்றங்களை வழங்கும்பொழுது a, g களிலான தந்த எற்றங்களுக்கு ஒத்த 2 இன் ஏற்றம், சென்ற பிரிவின் (4) ஆலே தரப்படும் என்றும், அப்பிரி வினது தொடர்பு (5) ஆனது ஓர் அண்ணளவான முடிபேயாகும் என்றும் நாம் ஞாபகத்தில் வைத்தல் வேண்டும்.
2 என்பது a, a2, a3.0 எனும் ஒரு தொகையான சாரா மாறிகளின் ஒரு சார்பாயிருக்கும்பொழுது, 2 இன் மொத்த வகையீடு
dz 02 მz *=藏°十磊°十...十磊* LSL SLL SLL S 0 S SSS SSLL S SS SS S SL S S LLLLL (2) என்னுந் தொடர்பால் வரையறுக்கப்படும் ; a, a2, ...2 எனும் எற்றங் களுக்கு ஒத்த 2 இன் எற்றம் 62 ஆனது
θα 02 0:
என்பதாலே தரப்படுமெனக் காட்டப்படலாம் ; இங்கு ဝ်zá. 6a6... وو نan என்பனவற்றிலும் உயர்ந்த சிறுமை வரிசையைக் கொண்ட ஒரு சிறு கணியமே m ஆகும்.

Page 92
164 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
8.4. 2 என்பது a, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாயும், a, g என்னும் இரண்டும் வேறெரு மாறி யின் சார்புகளாயும் இருக்க, அதுபற்றி 2 உம் b யின் ஒரு சார்பாயிருந்தால் da/dt யைக் காணல்.
t ஓர் எற்றம் S யைப் பெறுக ; Sa, bறு, 62 என்பன அதன் UUGo9ulu at, y, a என்பனவற்றில் வரும் ஏற்றங்களாகுக. எனின், 8.2 (4) இலிருந்து
02 მ2 ဝ်း=နှိုဝ်းတႆး; +yဝ်/ +၇,
ஆயின், S ஆல் பிரிக்க,
δα θα δα, θα δψ η 8t " ᎧaᎭ8i *agSTS. இனி, 6->0 ஆகுக'; எனின்,
எல்52_dz எல்6ல_dல எல்5ழ_dg ? بdہS 0ج06#d;?tچt ”ہT H ;06جسt m என்பது ba, அல்லது Sy, அல்லது S இலும் உயர்ந்த சிறுமை If b. "3-0 வரிசையுடையதாகையால, இ=0,
dz 6zda: 6z dy எனவே, a"ad T6ரd
இச்சூத்திரத்தில் t யே ஒரேயொரு தனிச் சாராமாறி என்றும் b யைக் குறித்த பெறுதிகள் பொதுப் பெறுதிகள் என்றும் எனைய பெறுதிகள் பகுதிப் பெறுதிகள் என்றும் அறிக.
கி. தே. 2 என்பது a, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாயிருக்க, g என்பது a இன் ஒரு சார்பாயின், இது மேற்கூறிய நியாயத்தில் t=0 எனப் பிரதியிடுவதை ஒக்கும், ; ஆயின் இவ்வகையில்.
de 0202 dy dayda இச்சூத்திரத்தில் da/da இற்கும் 02/00 இற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தை எடுத்துக் காட்டுதற்கு, g=f(a) ஆயுள்ள
z = aac? --2bacy -- cy*
L S SL S 0L SLLL LL LL S 0LS S SLL S L S YS L LLLS 0 S 0 S S0 S SL S SSLS S SL (1)
எனும் உதாரணத்தை ஆராய்க. இங்கு,
dz dy , 丽=2w十29,孟=f'();
2-2a+2)
基= aac -- 2by, ôy
dz

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 165
8.5 உள்ளார் சார்புகள், f (x,y)=0 எனுஞ் சமன்பாடு g யை 2 இன் ஒரு சார்பாக வரையறுப்பதாகக் கொள்ளப்படலாமெனின், அச்சமன்பாட் டைத் தீர்த்து g யை  ைபற்றி விளக்கமாக உணர்த்தக் கூடுமாயினும் உணர்த்தக் கூடாதாயினும், அத்தகைச் சமன்பாடு g யை 0 இன் ஒரு சார்பாக உள்ளார்ந்து வரையறுக்கின்ற தெனப்படும்.
f(x,y) = 0 எனுந் தொடர்பால் 2 இன் ஒரு சார்பாய் y யானது உள்ளார்பாக வரையறுக் கப்படுகின்றதெனக் கொண்டு dg/da) ஐக் காண்பதற்கு
z = f (a,y) எனப் பிரதியிடுக.
எனின், 8.4 கி. தே. இலிருந்து
dz af af dy ಹ:"ಕಿ:Tayà: இங்கு, 2=0 எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு f(a),g) = 0 என்பது
af af dy
O LL LLL LLLL LL LLL LLLL SLLLL SLLL LL LLL LLL LLLL LL LSLL SLS SLLL LS SLLL (1)
என்பதற்கு இட்டுச் செல்லும்.
யின் dց Թj |Թf ஆயின, αα Τ θα ον
உதாரணமாக :
aaco -- 2 havy -- by? -- 2 gav -- 2fy -- c = 0 ஆக, dgldல என்பதைக் காணல்.
af 影- (aart -- hy + g) guyuh 荡=° (ha+by+f) ஆயும் இருத்தலால்,
dy haar -- hy -- g da hac--by--fo மேலேயுள்ள தொடர்பு (1) ஐ
af af
வடிவத்திலும் வகையீடுகளின் சார்பாய் எடுத்துரைக்கப்படலாமென நாம் அறிகிருேம் ; சற்று முன்னர் தந்த உதாரணத்திற்கு இவ்வடிவத்தைப் பிரயோகித்தால் நாம்
2(aac -- hy -- g) dat -- 2(hae -- by -- f) dy = 0 என எழுதி, அதிலிருந்து dg/da ஐ வகையீடுகளின் விகிதமாகப் பெறு கின்றேம்,

Page 93
166 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
இது செய்கை முழுவதிலுஞ் சமச்சீரைப் பேணுகின்ற@ ; உண்மையாக, f இன் மொத்த வகையீடு =0, அல்லது f இன் பகுதி வகையீடுகளின் கூட்டுத்தொகை= 0 என்பதை (2) குறிக்கின்றது.
உதாரணமாக:
.)ac”y" = a”**** 24(g5b Ghuragg, dy/dac egis STGoorsi ۔ ۔ یونانی: ، ۔ இதனை
7m மட0+ 70 மடy= (n + 1) மடa என எழுதல் வசதியாகும். பின்னர், வகையீடுகளை எடுக்க,
எனவே *=一竺。
8.51 பயிற்சி.
1. (x, y) என்னும் புள்ளியிற் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்பட்ட வளேயிகளின் படித்திறன்களைக் காண்க : :
(i) ac? la -- y|b = 1 ; )ii) ac8 ۔+- y8 - 3 daggy =0 بیس ; (iii) (ac - a)? -- (y - b)* = co ; (iv) (acsa)i -- (y/b) = 1 ; (v) ac5 -+- qy° — 5 aac°gy° = 0 ; (vi) (ar? -- yo)? — ao(ae? — yo) = 0.
2. a= தான்- (gla) எனின்,
dz = (ædy — ydæ)/(æ* + y*) Grø07 fólgleys. 3. r = a-- y arofait,
rdir =, acdac + ydy 6760T fš)gpo)/45.
8.6 சிறு மாற்றங்கள். பின்வரும் விதமான பிரசினங்களுக்கு நுண் கணிதம் பிரயோகிக்கப்படலாம்.
ஒரு முடிபு, குறித்த அளவீடுகளிலிருந்து கணிக்கப்படுகின்றது; இவ்வளவீடுகளுள் ஒன்றே பலவோ தரப்பட்ட ஓரளவு வழுவுக்கு உட்படுமென்பது தெரிந்ததே. கணித்த முடிவில் அதன் பின்னுறும் வழுவைக் காணல்,
ஒன்றைத் தவிர்த்து மற்றத் தரவுகள் எல்லாம் வழுநீங்கி நிற்கும்போது, அவ்வளவீட்டை 2 ஆலும் அது உட்படும் வழுவை 60 ஆலும் நாம் குறிப்போம் ; எனின், கணிக்கப்படவேண்டிய முடிபு g ஆயின், ஏனைய வெல்லாம் நிலையாய் இருக்க பூ மாறி a இன் ஒரு சார்பாகும் ; g =f(a) என்க. எனின், a இல் 60 என்னும் ஓர் ஏற்றத்தால் g யில் விளையும் எற்றம் அண்ணளவாக (3.2) - e.
ӧy=f” (x) ӧx என்பதாலே தரப்படும் ; இதுவே வேண்டிய வழுவின் அளவாகும்.

பகுதிகள ாக வகையிடுதல் 167
8.61 உதாரணங்கள்.
(1) மட s = 1.609 எனத் தரப்படின், மட 5-02 இற்கு ஒர் அண்ணளவான பெறுமானங் காண்க.
дх
g= மட, 2 ஆகுக ; ஆயின், அண்ணளவாக Sy=',
எனின், அண்ணளவாக, மட, (a+ba)-g+6g= மட, 9 -- نه*.
02 - அல்லது மட, 5-02= மட 5+子
=1·609十·004
- 1613.
(i) ஒரு கோணம் தன் மட சைன் இலிருந்து காணப்பட வேண்டும். அக்கே.சம் 60°
இன் அயலில் இருக்கக், கணித்த மட சைன் இல் ‘0001 என்னும் வழுக்காரணமாக அக் கோணத்திலுள்ள வழுவைச் செக்கனிற் காண்க.
g = மடசைன் a= மடex மட,சைன் a= 4343 LOعا சைன் 0 ஆகுக. (4,421)
ஆகவே, 5ழ= 4343 கோதா 260. இவ்வகையில் Sy=0001 ; ஆயின்,
.000 6 CY CO سسðæ= தான்60° என்பது அக்கோணத்திலுள்ள வழுவை ஆரையன்
·4343 அளவையிலே தருகின்றது ; செக்கனில் அளக்க, வழு
180×60×60 TT 4343
= 82·2.
[Ꭲ6Ꮡr Ꮾ0Ꮙ
(i) ஒரு கோபுரம் பார்வையாளனின் கண் மட்டத்திற்கு மேலே 145அடி உயரத்திற்கு எழுகின்றது; அக்கோபுர நுனியின் ஏற்றக் கோணம் 15° என அளக்கப்படுகின்றது. இவ்வளவீடு + 10 வழுவிற்கு உட்படுமாயின், அக்கோபுரத்தின் கணிக்கப்பட்ட தூரத்தில் இவ்வழு எவ்விளைவைக் கொடுக்கும் ?
g தூரத்தையும் ல ஏற்றக் கோணத்தையுங் குறித்தால்,
g= 145 கோதா a ;
ஆயின், அண்ணளவாக Sy = -145 கோசிலை 6a, இங்கு, கோசிaே = கோசி2 15° ; Sa என்பது + 10 இன் ஆரையன் அளவு ;
TT அதாவது δα = -- 1080”
1457T O ஆயின், Sg= T 1080 கோசி?15° = T 63 அடி (வாய்பாடுகளை வழங்கு
தலால்).

Page 94
168 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
(iv) ஒரு தான்சன் கல்வனுேமானியில் ஒட்டமானது ஊசியினது திரும்பலின் தான் சனுக்கு விகிதசமமாய் இருக்கின்றது. பார்வையாளன் ஒருவன் அத்திரும்பலை அளவிடும்போது என்றும் ஒரே வழுவை விட்டாணுயின், அளவீடு 45° ஆயிருக்கும்போது, ஒட்டத்தில் சதவீத வழு மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக.
g = 0 தான் 20 ஆகுக.
இங்கு, 20 திரும்பலாயும், g ஓட்டமாயும், a ஒரு மாறிலியாயும் இருக்கின்றன. எனின், 60 திரும்பலில் உள்ள வழுவாயின், ஒட்டத்தில் 6/(Ք
6g= a இக* a Sa என்பதாலே தரப்படும். ஆகவே, ஓட்டத்திற் சதவீத வழு ܫ
100 δυ 100α βακαδα 100 Sac 2008ac
g T" a தான் ஐ "சைன்ஸ் கோசை "சைன் 2
6ல என்பது ஒரு மாறத் தொகையான வழுவாய் இருத்தலால், சைன் 20 மிகப் பெரிதாகும்போது, அதாவது 0 = 45° ஆகும்பொழுது முடிபு மிகச் சிறிதாகும்.
8.62 ஒரு முக்கோணியோடு தொடர்புள்ள சூத்திரங்கள்.
() ஒரு முக்கோணியின் பரப்பளவு சூத்திரம் S = ஆab சைன்எேன்பதாலே துணியப்படும். C யின் அளவீட்டில் 1 வழுவிலிருந்து என்ன வழு தோன்றும் ?
S = ab GOSFGÖT C ஆயும், a, b என்பன மாறிலிகளாயும் இருத்தலால்,
SS=ஆab கோசை C 60 ஆகும். இங்கு, 60-1 இன் ஆரையனளவு =ா/10800.
எனின், வேண்டிய வழு ಶರಾಗಿ ab (3a5ITG0D3F C .
(i) a, b, C என்பன தரப்பட்டால், C யின் அளவீட்டில் 17 வழுவிலிருந்து பக்கம் 0 யைத் துணியும்போது என்ன சதவீத வழு தோன்றும்.
இங்கு, c2 == a2 -+- b2 -- 2ab (85IT60)gr O ; இங்கு, a, b என்பன மாறிலிகள் ; ஆகவே,
2ο δο-2 αb σωσσότO δO ,
முன்போல, δO- π| 10800 και ஆகவே,
100 ồc at ab 60D3F6ởT C | mr ab சைன் C
c 108 c2 " 108 a2 + b2 - 2ab Gænsog G;
இது சதவீத வழுவை 0 யிலே தருகின்றது.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 169
8.63 பயிற்சி.
1. ஒரு கோளத்தின் ஆரையின் அளவீட்டில் n சதவீதச் சிறு வழு ஒன்று அதன் கனவள வில் அண்ணளவாக 370 சதவீத வழுவைப் உண்டாக்குமென நிறுவுக.
2. இயற்கைச் சைன் அட்டவணை ஒன்றில் 60° இற்கு அண்மையில் 1 இற்குரிய வித்தியாசம் *000145 என நிறுவுக.
3. மட கோசில இன் அட்டவணை ஒன்றில் 45° இற்கு அண்மையில் 1 இற்குரிய வித்தி யாசம் •000126 என நிறுவுக.
4. மாரு வெப்பநிலையில் ஒரு திணிவுள்ள வாயுவின் அமுக்கம் p யும் கனவளவு 0 யும் ற0 = மாறிலி எனுந் தொடர்பால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. கனவளவில் யாதும் ஒரு சிறு பின்ன இறக்கம், அமுக்கத்தில் அதற்குச் சமனன பின்ன எற்றத்தாலே தொடரப்படு மென நிறுவுக.
5. a = 64, b = 40, C = 60° என்னுந் தரவுகளிலிருந்து ஒரு முக்கோணி தீர்க்கப்படுகின்றது. C யின் அளவீட்டில் 1 வழுவிலிருந்து உண்டாகின்ற பரப்பளவு வழுவைக் காண்க. a யில் என்ன வழு பரப்பளவிற் சம வழுவை ஆக்கும் ?
6. a நீளமுள்ள ஒரு நாண் தந்த ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் 4 பாகை யுள்ள ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கின்றது. கோணம் A யானது + 5 என்னும் நிகழத் தக்க வழுவோடு கூடியவிடத்து 55° ஆயின், a யில் என்ன சதவீத வழு நிகழக்கூடும் ?
7. a=35, b =20, C : 60° என்னுந் தரவுகளிலிருந்து ஒரு முக்கோணியின் பக்கம் c கணிக்கப்படுகின்றது. C யில் 5' என்னும் வழுவிலிருந்து C யில் என்ன சதவீத வழு விளையலாம் ?
8. நீளமுள்ள ஓர் ஊசலின் ஆடற்காலம் r V(Ig) செக்கன் ; அடிகளில் நீளமும் ர புவியீர்ப்பாலாய ஆர்முடுகலும் ஆகும். நீளஞ் சிறிது வேறுபடுத்தப்பட்டால், காலத்தில் எற்படும் பின்ன மாறல், நீளத்தில் எற்படும் பின்ன மாறலின் அரைப்பங்கென்றும், செக்கனூசலினது நீளத்தில் ஒரு சதவீத வழு அண்ணளவாக மணிக்கு 18 செக்கன் வழுவை உண்டாக்கும் என்றும் நிறுவுக.
9. ஓர் ஆற்றுக்குக் குறுக்கேயுள்ள தூரம், 50 அடி உயரத்திலிருந்து எதிர்க்கரையின் இறக்கக் கோணம் 10° என நோக்குதலாற் கணிக்கப்படுகின்றது.
(i) இறக்கக் கோணத்தில் ஒரு கலை வழுவிலிருந்து,
(ii) கருவியின் உயரத்தில் ஒர் அங்குல வழுவிலிருந்து கணிக்கப்பட்ட தூரத்தில் என்ன வ விளையும் ?
10. மட தான்சன்களின் ஓர் அட்டவணையில் ஒரு கலைக்குரிய வித்தியாசம் 100025 கோசீ 23 எனக் காட்டுக.
11. ஒரு வட்டத்தின் நாணுென்று அவ்வட்ட மையத்தில் Q ஆரையனுள்ள ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கின்றது. அக்கோணத்தில் Sa என்னுமொரு மாற்றம், அந்நாணுல் வெட்டப்பட்ட சிறு துண்டின் பரப்பளவை PSQ ஆற் கூடுகின்றதெனக் காட்டுக ; இங்கு 2 என்பது அந்நாணினது நீளம். −
12. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் சாய் பரப்பின் பரப்பளவு rh? தான் x சீக q என்னுஞ் சூத்திரத்தாலே தரப்படும் ; இங்கு h அக்கூம்பின் உயரமாயும் 2x அதன் கோணமாயும் உள்ளன. Q வில் 60 என்னும் ஒரு சிற்றேற்றத்திற்கு பரப்பளவில் ஒத்த பின்ன எற்றம் (1+ சைன்?o) 6a | சைன் a கோசை a என நிறுவுக ; தந்த ஒரு 60 விற்கு சைன் a=1/V3 ஆகும்பொழுது இது மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக.

Page 95
170 பகுதிகளாக வகையிடுதல் 8.7 சிறு மாற்றங்கள்-தொடர்ச்சி. எல்லாஞ் சிறு மாற்றங்க்ள் அடையத் தக்க பல சாராமாறிகளின் சார்பு ஒன்றை நாம் ஆராயும்பொழுது, அச்சார்பை 2 வாற் குறித்து, a, g, 2 என்பனவற்றைச் சாராமாறி களெனக் கொண்டு
- sy u = f(a, y, 2) என எழுதுவோமாயின், 8.3 இன் சூத்திரம் (3) ஐ நாம் வழங்கிப் போதுமளவு கிட்டிய அண்ணளவாக
ôu. ди 0u 8u-8c+ 高y + 62 எனக் கொள்ளலாம். இச்சூத்திரத்தின் உட்பொருள் 20 வின் மொத்த மாற்றமானது மாறிகளுள் ஒவ்வொன்றும் மாற்றப்பட, ஏனைய மாறிகள் மாறதிருக்க் u அடையும் வேறு வேருண மாற்றங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதே.
8.71 உதாரணங்கள்.
(i) ஒரு முக்கோணியின் பக்கம் c,
c= a-- b-2ab Gassna O. எனும் சூத்திரத்தாலே துணியப்படுகின்றது. a, b, C என்பனவற்றின் அளவீடுகளில் ôa, 66, 60 என்னுஞ் சிறு வழுக்களிலிருந்து பிறக்கின்ற C யின் வழுவைக் துணிக.
(2=a2+b2-2ab கோசை 0 ஆயிருத்தலால்,
a(c2) მ(c2) a(c) 2\- 8(c) = 3n+8)+ 80 — 21 — )”მ(რ سي وو سـ (63)0ة இனி, =2" 26 கோசை C, 子高‘=° 2, கோசை C,
მ(c2)
= 2ab6Og6öi C, öc*= 2c 8c ;
O ஆகவே,
C60=(a-b கோசை C)ba + (b - a கோசை C)Sb + ab சைன் 060; இது பின்வருமாறும் எழுதப்படலாம் ;
60= கோசை B 6a + கோசை A bb + a சைன் B 60. (i) ஒரு முக்கோணியின் பரப்பளவு S, சூத்திரம் ; ab சைன் 0 என்பதாலே துணியப்
படும் ; a, b, O என்பனவற்றின் அளவீடுகளிற் சிறு வழுக்கள் காரணமாகக் கணிக்கப்பட்ட பரப்பளவில் உள்ள சதவீத வழுவைக் காணல். -
S= இab சைன் 0 எனப் பெறுவோம். இங்கு, வகையிடுதற்குமுன் மடக்கைகளை எடுப்பது வசதியாகும். எனின், மட S= மட + மட a + மட b + மட சைன் 0.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 17
பின்னர், இரு பக்கங்களிலுமுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பின் எற்றங்களை எடுக்க,
6S 8a 8b 斎=云+落 உதாரணமாக C=50° எனின், a, b என்பன -1 சதவீத வழு விற்கு உட்படும் ; C என்பது 10" வழுவிற்கு உட்படும்; அப்பரப்பளவிற் சதவீத வழு
+ கோதா C 60 ஆகும்.
1008S Tr = '+' + 100 x 18391xਕ = 1 -- 1--0041
.2041 -س--
(i) ஒரு கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 450 அடி தூரத்தில் அதன் நுனியின் ஏற்றக் கோணம் 37° 20'. அத்தூரம் 6 அங்குல வழுவிற்கும் அக்கோணம் 1 கலை வழுவிற்கும் உட் படுமாயின் கணிக்கப்பட்ட உயரத்தில் மிகப் பெரிய வழு என்ன?
2 அவ்வுயரத்தையும் 0 அத்தூரத்தையும் g அக்கோணத்தையுங் குறித்தால் 2 - லதான் y
32 02 G3 مس - شتت - ஆகவே,62 ဎွိနှိုဝ်းစာ -- ಶಿ! s
அல்லது 62=தான்று 60+ a சீக?g by
Ο Ο 77 - (தான் 37°20') x 5 + (450 சிக2 37°20') *五丽 = -3814+ -2070 = -5884 gig.
8.72 பயிற்சி.
1. அடிa யும் உயரம் h உம் ஆய ஒரு முக்கோணியின் பரப்பளவு S ஆயின்,
ဝဲ8_ဝဲ4 ၊ ဝဲ႔ என நிறுவுக
S α ή
2. 20, 26 அச்சுக்களையுடைய ஒரு நீள்வளையத்தின் பரப்பளவு S ஆயின்,
òS ဝဲ% ဝဲပံ நி 一二一一十一一 5了ö了 G.S.
AS α ό Ո}}6լ 8. சமபக்க முக்கோணி ஒன்றினது கோணங்களின் அளவீடுகள் 1" வழுவுக்கு உட்படு மாயின், அதன் பக்கங்களின் நீளங்களிற் சதவீத வழு "00042 என நிறுவுக.
4. ஒரு முக்கோணியின் பரப்பளவு 6=125 அடி, c=160 அடி, A=57° 35 என்னும் அளவீடுகளாலே துணியப்படுகின்றது. வேறேர் அளவீட்டுத் தொடை b - 1255 அடி, c = 181 அடி, A = 57° 25 என்பனவற்றைத் தருகின்றது. முதலாம் அளவீட்டிற்கும் இரண்டாம் அள வீட்டிற்கும் இடையேயுள்ள சதவீத வித்தியாசத்தைக் காண்க.

Page 96
172 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
5. ABC எனும் ஒரு முக்கோணியின் பக்கங்களில் ba, Sb, ce என்னுஞ் சிறுமாற்றங் கள் செய்யப்பட்டால்,
SA = a(Sa-Sb கோசை C-Se கோசை B)|2S.
எனக் காட்டுக; இங்கு S என்பது பரப்பளவு.
64+6B+60= 0 என்பதைச் சரிபார்க்க.
6. சென்ற பயிற்சியில் அப்பக்கங்களில் மாற்றங்கள் ஆகக்கூடிய அளவிற்கு +1 சதவீத மெனின் அதன் விளைவாக A யில் உளதாகும் மிகப் பெரிய மாற்றம் + na?/50be சைன் 4 எனக்காட்டுக.
7. ABC எனும் ஒரு முக்கோணி நிலையான ஒரு வட்டத்தில் உள்ளுருவமாக வரையப் பட்டிருக்கின்றது. பக்கம் a யானது நிலையாயிருக்க b யும் C யும் மாறினல், பின்வருவன வற்றை நிறுவுக.
(i) ᎼlᏴ -+-8Ꮯ = 0 ; (ii) gos B òb -- Goss C òc = 0 ; (iii) a òO = 60AF6ö7B òc -- 60D3F6ởTO òb.
8. ABC எனும் ஒரு முக்கோணி நிலைத்த ஒரு வட்டத்தில் உள்ளுருவமாக வரையப்பட அதன் பக்கங்கள் எல்லாம் மாறும்படி விடப்பட்டால்
சீக 46a + சிகB 6b+ சீக C 60= 0 என நிறுவுக.
9. ஒரு வட்டவுருளை h உயரத்தையும் r ஆரையையும் உடையது. அவ்வுருளையினது பரப்பின் முழுப்பரப்பளவும் அதன் கனவளவோடு கொள்ளும் விகிதம் மாரு திருக்குமாறு h, r என்பன சிறு மாற்றங்களை அடைந்தால்,
2 مg òr = Sh எனக் காட்டுக.
10. ஒரு நேர் வட்டக் கூம்பின் முழுப் பரப்பின் பரப்பளவு
rhதோன் (தான்ox+ சீகo)
எனுஞ் சூத்திரத்தாலே தரப்படுகின்றது; இங்கு h உயரமாயும் Q அரையுச்சிக் கோண மாயும் உள்ளன. O வானது ாே ஆயிருக்கும்பொழுது உயரத்தில் 1 சதவீத ஏற்றஞ் செய்யப் பட்டால், பரப்பளவில் யாதொரு மாற்றமும் ஏற்படாதிருக்க Q வில் என்ன மாற்றஞ் செய்யப்பட வேண்டும்.
11. தரையில் ஒரு கோபுரத்தின் அடியுடன் உள்ள ஒரு கோட்டில் ஒன்றுக்கொன்று 0 துரத்தில் இருக்கின்ற இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து அக்கோபுர நுனியின் எற்றக் கோணங் கள் a, 3 ஆகும். a, 3 என்பனவற்றில் Sa, 63 என்னுஞ் சிற்றேற்றங்கள் காரணமாக உயரத்திலுள்ள எற்றம்
a(சைன்?6a-சைன்ஸ்3)|சைன்(3-a) என நிறுவுக.
12. எறி புள்ளிக்கூடாக ஒரு கிடைத்தளத்தின் மீது, ஒரு எறிபொருளின் வீச்சுW? சைன் 2alg; இங்கு, W எறிவு வேகமாயும் Q, அதனுடைய திசையின் கோணவேற்றமாயும் இருக்
கின்றன. x = r ஆயிருக்கும்பொழுது 7 இல் ஒரு சின்ன எற்றத்திற்கு எண்ணளவிற் சமனனa வின் இறக்கம் அவ்வீச்சை மாருதிருக்கச் செய்யுமென நிறுவுக.

இலகுவான பயிற்சி
9.1 பெறுதிகளுந் தொகையீடுகளும்.
பின்வருங் கோவைகளினுடைய பெறுதிகளையுந் தொகையீடுகளையுங் காண்க.
1. aat°-+2ba + c. ጎ 2. (a - a).
垒 8 3. (-). 4. (*+器)
2 5. 2a-3a-36a-10. 6. (2a-- a-- 1) (2a-a-- 1). 7. (az - 2)°(a: -+- 1)* . 8. (a: - 1)*(a: -8)*. 9. a- 3a;--8a - 10. 10 -+1.
ერზ ეზ b ?? с. 11. 認十認十" 12. aa; + b + i. ۱ -- فیو) .14 قبہ 4 + 1+ { .13
. (قی + فنه) . ."4e + 1 + قرية . 15. 32 l l 16 2)ቑ O *ー石エ十志 ... (a -2).
nnnnnnnnn 2 Υ2 "7• e --መ)”· 18. " ac(at? - 1)?!. .2)1 - 4 ( a3 - 1(2. 20. a8)2نه .19
9.2. படித்திறன்கள், தொடலிகள், உயர்விழிவுகள்.
1. g=3a2-50+ 1 எனும் வளையியின் படித்திறனை (a", g') எனும் புள்ளியிற் காண்க. அவ்வளையியிற் படித்திறன் 7 ஆயுள்ள புள்ளியைத் துணிக. இப்புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு என்ன ?
2. g=a9-2a2+2+3 என்னும் வளையியின் படித்திறனையும் அவ் வளையியிற் படித்திறன் பூச்சியமாகும் புள்ளிகளையுங் காண்க. இப்புள்ளி களில் அவ்வளையிக்கு உயர்வு நிலைக்கூறுகளோ இழிவு நிலைக்கூறுகளோ உண்டு என்றுந் துணிக. அவ்வளையியை வரைக.
3. y = 2n+a2+2 எனும் வளையியின் படித்திறனை (1, 5) எனும் புள்ளியிற் காண்க. வேறு எந்தப் புள்ளியில் அவ்வளையிக்கு அதே படித்திறன் உண்டு ?
4. g=2+30+ 4a2+5a" எனும் வளையியினது தொடலியை (-1, -2) புள்ளியிற் காண்க. அவ்வளையியில் வேறு எந்தப் புள்ளியில் அதற்குச் சமாந்தரமான ஒரு தொடலி உண்டு ?

Page 97
174 படித்திறன்கள்
5. (a', y) புள்ளியில் y-5a9-6a2+50 எனும் வளையியின் படித் திறனைக் காண்க. அவ்வளையியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் படித்திறன் நேரென நிறுவுக. ܙ . ܝܟ
6. (0,1), (1,-3), (1, 0) எனும் புள்ளிகளில் g=49-6a2+32-1 எனும் வளையியின் படித்திறனைக் காண்க : இப்புள்ளிகளின் அயலில் அவ்வளையியை வரைக. ۔۔۔۔ ܟ
7. a ஆனது - OO இலிருந்து OO இக்குக் கூடுதலுற 3x3-5a+ 40+3 என்னுஞ் சார்பு உறுதியாகக் கூடுதலுறுமென நிறுவுக.
8. 2 இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு 4g=2a+5a?-40+1 எனும் வளையியின் படித்திறன் பூச்சியமாகும் ? இப்புள்ளிகளில் நிலைக்கூறு உயர்வோ இழிவோ எனத் துணிக, (-3, 1), (1, 1) என்னும் புள்ளி களுக்கிடையில் வளையியை வரைக.
9. 2g=208-4a?-7a + 5 எனும் வளையி g -அச்சை வெட்டும் புள்ளியில் அவ்வளையியினது தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க. அன்றி யும், அவ்வளையியில் எப்புள்ளிகளில் 2g +9a=0 எனுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகத் தொடலி உண்டெனக் காண்க.
10. g= (a -1)(30-7) என்னும் வளையியின் படித்திறன் பூச்சிய மாகும் புள்ளிகளைக் காண்க : இப்புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றிலும் g யின் பெறுமானம் உயர்வோ இழிவோ என்றுந் துணிக. அன்றியும் (0, 7), (இ, 0) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள படித்திறன்களையுங் காண்க ; அவ்வளை யியை வரைக.
11. (4a9-3a) எனுஞ் சார்பின் உயர்விழிவுப் பெறுமானங்கள்
உம் - உம் என நிறுவுக. அச்சார்பின் வரைபை 0 - - 14, 2-14
எனும் பெறுமானங்களுக்கிடையிற் பரும்படியாக வரைக ; இவ்வெல்லை
களுக்குள் அச்சார்பின் உயர்விழிவுப் பெறுமானங்கள் 3, - 3 எனக் காட்டுக.
12. புள்ளி, (-2, 0) இல் 2g= 40-a" எனும் வளையியினது தொடலி யின் சமன்பாட்டைக் காண்க : இத்தொடலி (4, -24) என்னும் இப்புள்ளி யில் அவ்வளையியை மறுபடியும் வெட்டுமெனக் காட்டுக. அன்றியும் g யின் உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களையுங் காண்க ; அவ்வளையியை
6.160) Jib.
13. a கூடுதலுற 2a9-3a2-360-4-10 எனுஞ் சார்பு 0 இன் எப் பெறுமான வீச்சிற்குள்ளே குறைதலுறுமெனக் காண்க : அன்றியும், ல கூடுதலுற அச்சார்பு எவ்வீச்சிற்குள்ளே கூடுதலுறும் என்றுங் காண்க.
3 === gF ag(60ؤإpي -- مa (كg)JLib @J%ITuى6ac2 -+- 36ac--27 6T60T -- 8ثن4a -- 4 نgy == a .14 எனும் புள்ளியிலே தொடுமென நிறுவுக. இப்புள்ளிகளிலுள்ள படித்தி றன்களையும் a -அச்சை அது வெட்டும் புள்ளிகளையுங் காண்க.

வேகமும் ஆர்முடுகலும் 175
15. g = (a -2)2(a+3)? எனும் வளையியில் யாதும் ஒரு புள்ளி யிலுள்ள படித்திறனைக் காண்க. g யின் உயர்வுப் பெறுமானத்தை யும் இழிவுப் பெறுமானத்தையுந் துணிக.
16. g = (a -2)? (a2+ 20-4-4) எனும் வளையியில் யாதுமொரு புள் ளியிலுள்ள படித்திறனைக் காண்க. அவ்வளையியின் எல்லாப் புள்ளிகளி லும் g நேரென்றுஞ் படித்திறன் ஒரு புள்ளியிலேயே பூச்சியமென்றும் நிறுவுக. இப்புள்ளி g யின் ஓர் உயர்வுப் பெறுமானத்தையா அன்றி ஓர் இழிவுப் பெறுமானத்தையா தரும் ?
17. 4g=a4-838 - 2222-240+9 என்னும் வளையிக்கு ஒர் உயர்வு நிலைக்கூறும் இரு இழிவு நிலைக்கூறும் உண்டு என நிறுவுக ; y ஒரு கூடுதலுறுஞ் சார்பாகும் 2 இன் பெறுமானங்களின் வீச்சுக்களையும், g ஒரு குறைதலுறுஞ் சார்பாகும் ஒத்த வீச்சுக்களையுந் துணிக.
18. (0,3), (2,9) என்னும் புள்ளிகள் y-a--ba + ca2+da" எனும் வளையியிற் இருக்க, இப்புள்ளிகளில் படித்திறன் பூச்சியமானல், a, b, c, d என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க. இப்புள்ளிகள் g யின் உயர்வுப் பெறுமானங்களையா அன்றி இழிவுப் பெறுமானங்களையா தரும் ?
19. a யாதல் b யாதல் 0 யாதல் பூச்சியமல்லாதிருக்கும் போது g = aa-+ ba2+ ca என்பது தன் படித்திறன் (2, 4) எனும் புள்ளியிலேயேயன்றி வேறேரிடத்தும் பூச்சியமாகாத ஒரு வளையியைக் குறித்தால், a, b, c என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.
20. (1, 1), (-2, -2) என்னும் புள்ளிகள் g= a + ba+ca2+dar எனும் வளையியிற் இருக்க இப்புள்ளிகளிலுள்ள படித்திறன்கள் முறையே 1, 3 ஆயின், a, b, c, d என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க. a இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், 3 அதிகரிக்குந் தொறும் 2 அதிகரிக் கின்றதெனக் காட்டு.
9.8 வேகமும் ஆர்முடுகலும்.
1. ஒரு துணிக்கை ஓய்விலிருந்து அசைந்து t செக்கனில் பெயர்ந்த தூரம் 15+152+58 ஆயின், வேகம் அடி செக்கன் அலகுகளில் 0 யும் ஆர்முடுகல் f உம் ?= 600 எனுந் தொடர்பால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என நிறுவுக.
2. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோடு வழியே அசைகின்றது ; t செக்கனின் முடிவில் நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து அடிகளில் அதனுடைய தூரம்
108#15 -#۔ s = 2t3 - 33t2 என்பதாலே தரப்படுகின்றது. t யின் எப்பெறுமானங்களுக்கு (i) வேகம், (i) ஆர்முடுகல் அற்றுப்போகுமெனக் காண்க.
அன்றியும், ஆர்முடுகல் பூச்சியமாகும்பொழுதுள்ள வேகத்தையும், வேகம் பூச்சியமாகும் பொழுதுள்ள ஆர்முடுகலின் இரு பெறுமானங் களையுங் காண்க. w
8-CP 943 (6/67)

Page 98
76 வேகமும் ஆர்முடுகலும்
3. ஒரு நேர்கோடு வழியே அசைகின்ற ஒரு புள்ளியினது நிலை 8-8-122+36 + 5 என்பதாலே தரப்படுகின்றது , இங்கு 8 இயங்கத் தொடங்கி 6 செக்கனுக்குப்பின் அக்கோட்டில் நிலைத்த புள்ளியொன்றி லிருந்து அடிகளில் எடுத்த தூரம் t = 4 ஆகும்பொழுது வேகத்தையும் ஆர்முடுகலையுங் காண்க : ஒரு வேக - நேர வளையி வரைக.
4. ஒரு புள்ளியானது ஒய்விலிருந்து t செக்கனில் அடையும் வேகஞ் செக்கனுக்கு (4t-t?) அடி ஆகுமாறு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது. நேரம் b யில் உள்ள ஆர்முடுகலையும் t செக்கனிற் செல்லுந் தூரத்தையுங் காண்க. அதன் இயக்கத்தின் முதல் 6 செக்கனையும் விவரிக்க.
5. ஒரு புள்ளியானது இயங்கத் தொடங்கி 6 செக்கனுக்குப் பின் ஒரு நேர்கோட்டில் நிலைத்த புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அடிகளிலே தனது தூரம் 8 = 72 -3? -28 ஆகுமாறு அக்கோட்டில் அசைகின்றது. அதன் வேகத்தையும் ஆர்முடுகலேயுங் காண்க. அப்புள்ளி ஒய் வடையுமுன் எவ்வளவு தூரம் அசையும் ? தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எத்தனை செக்கன் எடுக்கும் ? V
6. புள்ளியொன்று இயங்கத் தொடங்கி t செக்கனுக்குப் பின் உற்பத்தியிலிருந்து தனது தூரம் a=28+27-8 என்பதாலே தரப் படுமாறு a - அச்சின் வழியே அசைகின்றது; இங்கு 0 அடிகளில் அளக்கப்படுகின்றது. வேகத்தையும் ஆர்முடுகலையுங் காண்க. அதன் இயக் கத்திசை புறமாற்றப்படுமுன் அப்புள்ளி எவ்வளவு தூரம் அசையும்? அப்புள்ளி தான் புறப்பட்ட நிலைக்குத் திரும்பிவரும் வேகம் என்ன ?
7. ஒரு புள்ளியானது தான் புறப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து t செக்கனில் (2?-t) அடி செல்லுமாறு ஒரு நேர்கோடு வழியே அசைகின்றது. அதன் வேகத்தையும் ஆர்முடுகலையுங் காண்க. அன்றியும், வேக - நேர வளையியை
பும் வெளி - நேர வளையியையும் வரைக.
8. ஒரு புள்ளி ஒய்விலிருந்து புறப்பட்டு 6 செக்கனுக்குப் பின்னர் செக்கனுக்கு (7-8?) அடி பெறுமானமாகும் ஒரு வேகத்தோடு ஒரு நேர்கோடு வழியே அசைகின்றது. ஆர்முடுகல் அற்றுப்போகும்பொழுது அதன் வேகம் என்ன ? t=2 இலிருந்து t=5 வரைக்குமுள்ள இடையில் செல்லும் தூரம் யாது? எத்தனை செக்கனுக்குப் பின் அப்புள்ளிதான் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிச் செல்லும்? அப்போது அது சென்ற முழுத்தூரமும் என்ன ?
9. ஓய்விலிருந்து புறப்பட்டு ஒரு நேர்கோட்டில் அசையும் ஒரு புள்ளி யினது ஆர்முடுகல், இயங்கத் தொடங்கி செக்கனுக்குப் பின் அடி செக்கன் அலகுகளில் 3 - ஆகும். அப்புள்ளி ஒய்வடையுமுன் எவ் வளவு தூரம் அசையுமெனக் காண்க : புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எவ்வளவு நேரம் எடுக்கும் ? அப்போது அதன் வேகம் என்ன ?

வேகமும் ஆர்முடுகலும் 177
10. ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்ற ஒரு புள்ளியின் வேகம் இயக்கந் தொடங்கி t செக்கனுக்குப் பின் செக்கனுக்கு (5-32) அடி. t செக்கனிற் செல்லுந் தூரத்திற்கும் ஆர்முடுகலுக்கும் உரிய கோவைகளைக் காண்க. ஒரு வேக - நேர வளையி வரைக ; வேகத்தின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. அதன் வேகம் அற்றுப்போகு முன்னர் அப் புள்ளி எவ்வளவு தூரம் அசையும் ? ༣ །
11. ஒரு புள்ளி நேரம் 1-0 இல் உற்பத்தியிலிருந்து தொடங்கி செக்கனிற் செல்லுந் தூரம்
w=9游一6炉十姆
என்பதாலே தரப்படுமாறு a -அச்சு வழியே அசைகின்றது. அதன் வேகத்திற்கும் ஆர்முடுகலுக்குங் கோவைகள் காண்க. a இன் பெறுமா னங்களையும் t = 0, 1, 2, 3, 4 என்பனவற்றிற்கு வேகத்தையும் அட்ட வணைப்படுத்துக ; அதன் இயக்கத்தின் முதல் 4 செக்கனையும் விவரிக்க. 12. ஒரு புள்ளியானது நேரம் b யில் 6 (1+1) என அடி செக்கன் அலகுகளில் அளக்கப்பட்ட ஆர்முடுகலோடு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது. அப்புள்ளி தன் இயக்கத்தின் முதல் 3 செக்கனில் 243 அடி செல்லுமா யின், t=0 ஆகும்பொழுது அதன் வேகத்தைக் காண்க.
13. ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்ற ஒரு புள்ளியின் வேகம், அசையத் தொடங்கி t செக்கனுக்குப் பின், செக்கனுக்கு (18 - 3?) அடி. செக்கனில் அது செல்லுந் தூரத்தையும் ஆர்முடுகலையுங் காண்க. அதன் வேகத்திற்கு ஒர் உயர்வுப் பெறுமானம் உண்டு என்று காட்டி அதனைக் காண்க. அதன் இயக்கத் திசை புறமாற்றப்படுமுன் கழியும் நேரத்தையுஞ் செல்லுந் தூரத்தையும் காண்க. அன்றியும் அது புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எடுக்கும் நேரத்தையும் அந்நேர இடையில் அதன் வேகத்தின் மிகப் பெரிய எண்பெறுமானத்தையுங் காண்க.
14. ஒரு புள்ளி ஒய்விலிருந்து ஒரு நேர்கோடு வழியே அசைகின்றது ; செக்கனுக்குப் பின்னர் அதன் வேகஞ் செக்கனுக்கு (at-b?) அடி. அதன் இயக்கத்தின் முதல் இரண்டு செக்கன்களிலும் அது முறையே 12 அடி, 18 அடி தூரங்கள் செல்லுமாயின், a யையும் b யையும் உயர்வு வேகத்தையுங் காண்க.
15. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோட்டிலுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியிலிருந்து தனது தூரம் 8= a + b?-ct என்பதாலே தரப்படுமாறு ஒரு நேர் கோட்டில் அசைகின்றது , இங்கு, a, b, c என்பன நேரெண்கள் ; உற்பத் தியைக் கடந்து சென்றபின்னுள்ள நேரத்தைக் குறிக்கும் ஆரம்ப வேகம் 6 ஆகும் ; உயர்வு வேகம் 12 : ஆர்முடுகலின் மிகப் பெரிய பெறுமா னம் 12. a, b, c என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.

Page 99
178 பரப்பளவுகள்
16. ஒரு புள்ளியானது t = 0 என்னும் நேரத்தில் உற்பத்தியிலிருந்து தொடங்கி (6-4t) அடி செக்கனலகு ஆர்முடுகலோடு a - அச்சு வழியே அசைகின்றது. t செக்கனிற் சென்ற தூரத்தையும் வேகத்தையுங் காண்க அன்றியும், அதன் இயக்கத்திசை புறமாற்றப்படுமுன் அது எவ்வளவு தூரம் அசையுமென்றும், அது புறப்பட்ட புள்ளிக்கு எவ்வேகத்தோடு திரும்பி
வருமென்றுங் காண்க.
17. ஒரு புள்ளி உற்பத்தியிலிருந்து a - அச்சு வழியே நேரம் t=0 இற் செக்கனுக்கு 43 அடி வேகத்தோடு அசையத் தொடங்குகின்றது; அது புறப்பட்டு செக்கனுக்குப் பின் அதன் ஆர்முடுகல் அடி செக்கனலகுகளில் 4-t. 6 செக்கனில் அது செல்லுந் தூரங்களையும் அடைந்த வேகத்தையுங் காண்க. உயர்வு வேகம் யாது? அதுதான் மிகப்பெரிய வேகமா ? ஒரு வேக-நேர வளையி வரைக.
18. ஒரு புள்ளி நிலையான ஒரிடத்திலிருந்து செக்கனுக்கு 48 அடி வேகத்தோடு புறப்பட்டு t செக்கனுக்குப்பின் தன் வேகம் செக்கனுக்கு (48+t?-8) அடி ஆகுமாறு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது. ஆர்முடுகலை யும் வேகத்தின் உயர்வுப் பெறுமானத்தையுங் காண்க. அன்றியும், இயக்கத் திசை புறமாற்றப்படுமுன் செல்லுந் தூரத்தையுங் காண்க.
19. ஒரு புள்ளி நிலைத்த புள்ளி ஒன்றிலிருந்து புறப்பட்டுச் செக்கனுக்கு 18 அடி வேகத்தோடு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது; 6 செக்கனுக்குப் பின் அதன் ஆர்முடுகல் (8-t) அடி செக்கனலகுகள். அதன் இயக் கத்திசை புறமாற்றப்படுமுன் அப்புள்ளி எவ்வளவு தூரஞ் செல்லுமெனக் காண்க : புறப்பட்டு 28 செக்கனுக்குப் பின் அப்புள்ளி தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்கு அப்பாலுள்ள ஒரு நிலைக்குத் திரும்பிவருமெனக் காட்டுக.
20. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோட்டில் இயங்கத் தொடங்கி t செக்கனுக்குப் பின்னர் (a-bt) அடி செக்கனலகு ஆர்முடுகலோடு அசைகின்றது. ஆரம்ப வேகஞ் செக்கனுக்கு 8 அடி ஆயும், உயர்வு வேகஞ் செக்கனுக்கு 12-5 அடியாயும் t = 2: ஆகும்பொழுது இயக்கத் திசை புறமாற்றப்பட்டு இருந்
தால் a, b என்பனவற்றைக் காண்க.
9.4 பரப்பளவுகள்.
1. 30 - அச்சாலும் பின்வரும் வளையிகள் ஒவ்வொப்ருலும் உள்ளடைக் கப்படும் பரப்பளவைக் காண்க.
; 2 + 4ac-+- 3 ; (ii) у =- 2:c*— 5x -- غi ) gy = ac)
(iii) y = ato -- ac — 12 ; (iv) y = 3aco - a -2 ; ( v ) gy = at° — 3ac —4- 2 ; (vi) y= a(4-a).
2. g= a*-9a + 6 என்னும் வளையிக்கும், a - அச்சிற்கும் a = - 3, 2-3 எனும் நிலைக்கூறுகளுக்கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவைக் காண்க

பரப்பளவுகள் 179
3. பின்வரும் தொகையீடுகளின் பெறுமானங்களைக் கணித்து y- 40 -09 எனும் வளையியின் தொடர்பாக அவை குறிக்கும் பரப்பளவுகளைக் கூறுக.
(i) (4ac - aco) da: ; (ii) (4ac - aco) dae ; (iii) (4ac - aco) dav.
4. a-அச்சிற்கும் g= ca" எனும் வளையிக்கும் யாதுமொரு நியமித்த நிலைக்கூறிற்கும் இடையில் உள்ளடைக்கப்படும் பரப்பளவு அந்நியமித்த நிலைக்கூறையும் அதன் கிடைக்கூறையும் பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ் வகத்தினது பரப்பளவின் 1/(n+1) என்னும் பின்னமென நிறுவுக.
5. g" = ca" எனும் வளையியிலுள்ள யாதும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமாய்க் கோடுகள் வரைந்தால், அவ்வச்சுக்களோடு அவை ஆக்குஞ் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு, தம் பரப்பளவுகள் n ! ? என்னும் விகிதங் கொண்ட பகுதிகளாக, அவ்வளையியாற் பிரிக்கப்படு மென நிறுவுக.
6. g=a(a-1) (ல-2) எனும் வளையியை வரைக ; அவ்வளேயியா லும் a - அச்சாலும் வரைப்புற்ற உருவங்கள் இரண்டினுடைய பரப்பளவு களுஞ் சமமென நிறுவுக.
7. g - 5a9-30 என்னும் வளையியாலும் a - அச்சாலும் வரைப் புறும் சமபரப்பளவுகள் இரண்டு உளதெனக் காட்டி அவற்றைக் கணிக்க.
4 8. (a9-3a2-a+3) da என்னுந் தொகையீட்டின் பெறுமானத்
2 -ܝ
தைக் கணிக்க : y = a*-3a2-a +3 எனும் வளையி a -அச்சை மூன்று புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றதெனக் காட்டியும், (-2,-1), (-1, 1), (1, 3) (3, 4) எனும் a இன் எல்லைச் சோடிகளுக்கு இடையிற் குறிக்கப்பட்ட பரப்பளவுகளைக் கண்டும் முடிபை அத்தொகையீடு குறிக்கும் பரப்பளவு களினல் விளக்குக.
9. ஒரு வளையிக்கும், a - அச்சிற்கும், a = 0, a-h என்பனவற்றி லுள்ள நிலைக்கூறுகளுக்கும் இடையேயுள்ள பரப்பளவு ah + bh?+ ch? ஆயின், அவ்வளையியின் சமன்பாடு என்ன ?
10. g = 4-2 என்னும் வளையியாலும் a - அச்சாலும் வரைப்புற்ற
纥 பரப்பளவைக் காண்க. a யின் எப்பெறுமானத்திற்கு f (4 - aco) da
O
என்னுந் தொகையீடு அற்றுப் போகும் ?
11. g = 3 - 40+ a? எனும் வளையியை வரைக ; a - அச்சிலுள்ள 0, 1 ; 1, 3 ; 3, 4 எனும் புள்ளிகளுக்கு இடையே a - அச்சிற்கும் அவ் வளையிக்கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவுகள் எண்ணளவிற் சமமென நிறுவுக.

Page 100
180 கனவளவுகள்
12. g-3 - 40 -2a?--4a9 - a* எனும் வளையி a - அச்சை ஐ- 1 என்னும் புள்ளியிலே தொடுமெனக் காட்டுக ; அது a - அச்சை வெட்டும் எனைய புள்ளிகளையுங் காண்க. அவ்வளையியாலும் a - அச்சாலும் வரைப் புற்ற இரு பிரதேசங்களின் பரப்பளவுகளுஞ் சமமென நிறுவுக.
13. g= (a -2)? (a +3)? என்னும் வளையியாலும் a - அச்சாலும் . உள்ளடைக்கப்பட்ட பரப்பளவைக் காண்க.
14. g=a4-4a3-6a2+36a - 27 என்னும் வளையி ஐ-அச்சை ஐ=3 இலே தொட்டு a= 1, a = - 3 என்பனவற்றில் வெட்டுகின்றது. அவ்வளே யியை வரைந்து அதனலும் a - அச்சாலும் உள்ளடைக்கப்படும் இரு பரப்பளவுகளையுங் காண்க.
15. 8y - (a -2) (3 - 4)? என்னும் வளையி y- அச்சை A யிலும் a -அச்சை B யிலும் வெட்டி a -அச்சை C யிலே தொடுகின்றது. வில் AB யாலும் அச்சுக்களாலும் வரைப்புறும் பரப்பள்வு அவ்வளேயி யாலும் a - அச்சின் BC எனும் பகுதியாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவின் 17 மடங்கு என நிறுவுக.
16. g=20-2? என்னும் வளையிக்கும் y-a) என்னுங் கோட்டிற் கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவைக் காண்க. h
17. g - ல(4 -a) என்னும் வளையியாலும் g = 3 என்னுங் கோட் டாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவைக் காண்க.
18. g= a*-130 எனும் வளையி g= 12 எனுங் கோட்டினல் வெட்டப்படும் புள்ளிகளுள் ஒன்று (-1, 12) ஆகும். ஏனைய இரண்டு புள்ளிகளையுங் காண்க. அவ்வளையியாலும் g= 12 எனுங் கோட்டா லும் வரைப்புற்ற இரு பரப்பளவுகளின் விகிதம் 32 : 375 என நிறுவுக.
19. g - a?-7a + 6 என்னும் வளையியாலும் 2+3y= 6 எனுங் கோட்டாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவைக் காண்க.
20. g + 4-5a-a? எனும் வளையியாலும் 2g - a - 4 எனுங் கோட்டாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவைக் காண்க.
9.5 கனவளவுகள்.
1. g? = a?-a? எனும் வளையி a -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்பட்டால், அவ்வவளையியாலும், a - அச்சாலும், 0-2a யிலுள்ள நிலைக்கூருலும் வரைப்புற்ற பரப்பு 0. ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்திற்குச் சமனன ஒரு கனவளவைப் பிறப்பிக்குமென நிறுவுக.
2. ag? = a*(a? -a) எனும் வளையியின் தடம் a - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. உள்ளடைக்கப்படுங் கனவளவைக் காண்க.
3. a=0 இலிருந்து 2-2 வரைக்குமுள்ள g= 40-39 எனும் வளையி a - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. சுற்றற் பரப்பாலும் a =2 இலுள்ள தளமுனையாலும் வரைப்புறுங் கனவளவைக் காண்க.

கனவளவுகள் 18.
4. மூன்றங் கணக்கிலுள்ள வளையி 0-0 இலிருந்து 3-2 வரைக்கு முள்ள g2-a^2-a) என்னும் வளையியாயின், கனவளவு யாதாயிருக் கலாம் ?
5. ஒரு பூந்தொட்டியின் உயரம் உட்பக்கமாக அதன் அச்சினது நீளத் திற்கு அளக்கப்பட b ஆயும், அதன் அச்சிற்கூடாக ஒரு நிலைக்குத்தான வெட்டு ag?-a என்னும் வளையியாயும் இருந்தால், அத்தொட்டி கொள் ளுங் கனவளவு என்ன ? ,
6. ஒரு நாண் OP, ஒரு பரவளைவின் உச்சி 0 விற்கூடாக வரையப்ப டுகின்றது; OP யாலும் அவ்வளையியாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவு அப்பர வளைவின் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அக்கூம்பிற்கும் அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட பரவளைவுத் திண்மத்திற்கும் இடையிலுள்ள கனவளவு *ாON.PN2 என நிறுவுக , இங்கு PIN என்பது P யிலிருந்து அச் சிற்கு உள்ள நிலைக்கூறு.
7. y2 = (a - 2) (3-a) என்னும் வளையி a - அச்சை A, B எனும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. அவ்வளையியை AB எனுங் கோடுபற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைக் காண்க.
8. a பக்கத்தையுடைய ABCDEF எனும் ஒர் ஒழுங்கான அறு கோணி விட்டம் AD பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அவ்வாறு ஆக்கப்படுங் கனவளவு a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தினது கனவளவின் & என் நிறுவுக. -
9. சுற்றற் பரவளைவுரு ஒன்றின் கனவளவு ஒரே வட்ட அடியையும் ஒரே அச்சு நீளத்தையுங் கொண்ட செவ்வட்டவுருளையினது கனவளவின் அரைப்பங்கென நிறுவுக.
10. a=0, a = a என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag?= a*(a-a) என்னும் வளையியின் பகுதி 2 - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறப் பிக்கப்பட்ட கனவளவு a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தினது கனவள வின் 16 இல் 1 என நிறுவுக.
11. a-0, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag?-aஃ(a+a) என்னும் வளையியின் பகுதி 2 - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அவ் வாறு பெறப்பட்ட கனவளவு b ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கன வளவிற்குச் சமமாயின், 6-40 என நிறுவுக.
12. 4y=aரி-40 என்னும் வளையியை 0 - அச்சுப்பற்றி a - 0, 0-2 என்னும் எல்லைகளுக்கிடையிற் சுற்றுவதாற் பிறப்பிக்கப்படுங் கனவ ளவைக் காண்க.
13. g^=a(4-2)? எனும் வளையி a=0, a= 4 என்பனவற்றிற்கு இடையில் 0 -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படும்பொழுது பிறப்பிக்கப்படுங் கனவள வைக் காண்க.

Page 101
182 கனவளவுகள்
14. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பினடித்துண்டு ஒன்றிற்கு A, B என்னும் பரப்பளவுகளுள்ள தளவட்டமுனைகள் உள ; அவ்வடித்துண்டின் உயரம் h. அதன் கனவளவு h{A+, B+ V(AB)} என நிறுவுக.
15. (1, 3), (4, 5) என்னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு (i) 2-அச்சுப்பற்றியும் (ii) y-அச்சுப்பற்றியுஞ் சுற்றப்படுகின்றது. பெறப் படும் கூம்படித் துண்டுகளின் கனவளவுகளைக் காண்க.
16. g?-4aa என்னும் பரவளைவாலும் a=0 என்னுங் கோட்டாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவு g -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறந்த திண் மத்தின் கனவளவைக் காண்க.
17. a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் மையத்திலிருந்து C தூரத்தில் ஒரு தளத்தால் வெட்டப்பட்ட அக்கோளத்தின் துண்டங் களுட் சிறியதன் கனவளவைக் காண்க.
18. 0 ஆரையையுடைய ஒர் உருளை வடிவான துளை a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்திற்கூடாகத் துளைக்கப்படுகின்றது ; அவ்வுருளையின் அச்சு அக் கோளத்தின் மையத்திற் கூடாகச் செல்கின்றது. அக்கோளத்தில் என்ன கனவளவு மீந்திருக்கும் ?
19. a+g= a* எனும் சமன்பாடு தன் புள்ளிகள் அச்சுக்களி லுள்ள ஒரு நான்முனை உடு ஒன்றைக் குறிக்கின்றது. அவ்வுடுவை ஆள் கூற்றச்சுக்களுள் யாதுமொன்றைப் பற்றிச் சுற்றுதலாற் பெறப்படுங் கன வளவு a ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கனவளவின் சீ எனக் காட்டுக.
20. (h, 0) எனும் புள்ளியிலிருந்து a2+ y2 = a* என்னும் வட்டத் திற்குத் தொடலிகள் வரையப்படுகின்றன. அத்தொடலிகளாலும் அவ் வட்டம் பிரிக்கப்படும் பெருவில்லாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவு 0 -அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப்படப் பெறப்படுங் கனவளவைக் காண்க.
21. a-h எனுஞ் சமன்பாடுடைய ஒர் இரட்டை நிலைக்கூருல் வெட்டப்பட்ட g?= 400 எனும் ஒரு பரவளைவின் ஒரு துண்டம் அந் நிலைக்கூறுபற்றிச் சுற்றுகின்றது. பிறப்பிக்கப்படும் கனவளவு h ஆரையையும் இரட்டை நிலைக்கூறிற்குச் சமமான நீளத்தையுங் கொண்ட ஒர் உருளை
8
யினது கனவளவின் சீ என நிறுவுக.
22. ஒரு நிலைக்கூறு PN ஆல் வெட்டப்பட்ட g?= 4 aa என்னும் ஒரு பரவளைவின் பகுதி a - அச்சு பற்றிச் சுற்றுகின்றது. P யில் அப்பரவளை விற்கு வரைந்த தொடலி அவ்வச்சை T யிற் சந்தித்தால், பெறப்படும் பரவளைவுருவிற்குரிய கனவளவு T யை தன்னுச்சியாயும் அப்பரவளைவுரு வின் அடியைத் தன்னடியாயுமுள்ள நேர்வட்டக் கூம்பின் கனவளவினது முக்காற்பங்கென நிறுவுக.

மையப்போலிகள் 183
9.6 மையப்போலிகள்.
1. அச்சுக்களாலும் (i) 30+ 4g= 12 எனுங் கோட்டாலும் (ii) a = 4, y=20+ 5 எனுங் கோடுகளாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவினது மையப்போலியின் ஆள்கூறுகளை, தொகையிடுதலாற் காண்க.
2. 20+g= 4 எனுங் கோடு a -அச்சை A யில் வெட்டுகின்றது; 2+2g= 4 எனுங் கோடு y -அச்சை B யில் வெட்டுகின்றது ; அக்கோடுகள் ஒன்றையொன்று C யில் வெட்டுகின்றன. O உற்பத்தியெனின், 040B எனும் பரப்பளவினது மையப்போலியின் ஆள்கூறுகளை, தொகை யிடுதலாற் காண்க.
3. g = 20 - 4 எனுங் கோடு a -அச்சை A யில் வெட்டுகின்றது ; 2g= 3 + 4 என்னுங் கோடு g -அச்சை C யில் வெட்டுகின்றது ; அக் கோடுகள் B யில் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன. O உற்பத்தியாயின், 0ABC என்னும் பரப்பளவினது மையப்போலியின் ஆள்கூறுகளைக் SIT600 T3s.
4. y-அச்சிற்கும் g = 0 எனுங் கோட்டிற்கும் ag= a என்னும் வளையிக்கும் இடையில் உள்ளடைக்கப்பட்ட பரப்பளவினது திணிவு மையத் தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
5. a - அச்சிற்கும் ag?= a* எனும் வளையிக்கும் a = a யிலுள்ள நிலைக்கூறிற்கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவினது மையப்போலியின் ஆள்
கூறுகளைக் காண்க.
6. a - அச்சாலும் ag= c* என்னும் வளையியாலும் a = a, a = b எனுங் கோடுகளாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவினது மையப்போலியியைக் காண்க.
7. y -அச்சாலும், g"= ca" என்னும் வளையியாலும் g = k என்னுங் கோட்டாலும் வரைப்புற்ற பரப்பளவினது மையப்போலி (a, g) ஆயின்,
2(2m -- n)aesh = (m + 2n)ysk = m + n என நிறுவுக. இங்கு (h, k) என்பது வளையியிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும்.
8. a=0, a=2, g=0, y-2 எனுங் கோடுகளால் வரைப்புற்ற சதுரம் g?=20 என்னும் வளையியால் இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றது. ஒவ்வொரு பகுதியினதும் மையப்போலியைக் காண்க.
9. a - அச்சாலும் g = 1 -2? என்னும் வளையியாலும் வரைப்புற்ற பரப் பளவினது மையப்போலியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
10. ஒரு சுற்றற்றிண்மம் a = a யிலிருந்து 2=2a வரைக்குமுள்ள g?-a-d? எனும் வளையியை a -அச்சு பற்றிச் சுற்றுதலால் ஆக் கப்படுகின்றது. அத்திண்மத்தினது மையப்போலியின் தூரத்தை உற் பத்தியிலிருந்து காண்க.

Page 102
184 சிறு மாற்றங்கள்
11. a = 0, 0-3 என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள 3y2 = (3-a)? எனும் வளையியின் பகுதி a -அச்சு பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அச் சுற்றற் கனவளவினது மையப்போலியின் தூரத்தை உற்பத்தியிலிருந்து காண்க,
12. a ஆரையையுடைய ஒரு கோளம் மையத்திலிருந்து C தூரத்தி லுள்ள ஒரு தளத்தால் இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றது. அத் துண்டுகளினுடைய மையப்போலியின் தூரங்களை மையத்திலிருந்து காண்க.
13. ஒரு பரவளைவின் ஒரு பகுதியை அதன் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுதலாற் பெறப்படும் ஒரு பரவளைவுக் கிண்ணத்தின் கனவளவினது மையப்போலி அதன் அச்சை 2 : 1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்குமென நிறுவுக.
14. உற்பத்தியிலிருந்து (h, k) புள்ளிவரைக்குமுள்ள g?= 40a எனும் பரவளைவின் வில்லொன்று g -அச்சைச் சுற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. h ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட அடியோடு அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட வளேபரப்பு *ாh? என்னும் ஒரு கனவளவை உள்ளடைக்குமென்றும் இக்கனவளவி னது மையப்போலி உற்பத்தியிலிருந்து நீ தூரத்தில் இருக்குமென்றும் நிறுவுக.
15. உற்பத்தியிலிருந்து (h, k) புள்ளிவரைக்குமுள்ள y2 = 4aa என் னும் ஒரு பரவளைவின் வில்லொன்று (h, k) புள்ளியிலுள்ள நிலைக்கூறு பற்றிச் சுற்றுகின்றது; இவ்வாறு சுற்ற h ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட அடியோடு கூடிய ஒரு வளேபரப்பை ஆக்குகின்றது. உள்ளடைக்கப்பட்ட கனவளவு ஃாb* என்றும், அவ்வட்ட அடியின் மையத்திலிருந்து அக்கனவளவினது மையப்போலியின் தூரம் b என்றும் நிறுவுக.
16. a=0 இலிருந்து a = a வரைக்குமுள்ள ag?-a(a-a) எனும் வளையியை 0 -அச்சு பற்றிச் சுற்றுதலால் ஒரு சுற்றற்றிண்மம் ஆக்கப் படுகின்றது. அக்கனவளவினது மையப்போலியின் 3 ஆள்கூற்றைக்
5600 T5.
9.7 சிறு மாற்றங்கள்.
1. ஆரையையும் h உயரத்தையுங் கொண்ட ஒரு நேர்வட்ட உருளை யினது பரப்பின் பரப்பளவு 2ாrh ; அதன் கனவளவு 77% ஆகும். r, h என்னும் இரண்டின் அளவீடுகளும் 2 சதவீத வழுவிற்கு உட்படு மாயின், அதன் விளைவாகப் பரப்பளவீட்டிலுங் கனவளவீட்டிலும் என்ன சதவீத வழுக்கள் இருக்கும்?
2. அடி ஆரை 7 ஆயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் கனவளவு 4ாr%. அடியாரை 2 சதவீதத்தாற் குறைக்கப்படின், கனவளவை மாற்ருது விடுதற்கு உயரம் எவ்வளவு சத வீதத்தாற் கூட்டப்படவேண்டும்.

சிறு மாற்றங்கள் 185
3. ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் ஆரை நிகழ்தகு + 2 சதவீத வழு வோடு 15 சதம மீற்றரென அளக்கப்படுகின்றது ; அதன் நீளம் நிகழ்தகு +3 சதவீத வழுவோடு 42 சதம மீற்றரென அளக்கப்படுகின்றது. கணிக்கப் பட்ட கனவளவு எவ்வளவு சதவீதத்தால் வழுப்படலாம்?
4. ABO என்பது A யிற் செங்கோணமுள்ள ஒரு இரு சமபக்க முக்கோணி. AB, A0 என்பனவற்றில் முறையே 2, g சதவீதங்களில் சிறு வழுக்கள் விடப்படின், நீளம் B0 யில் விளையும் வழு (a+g) சதவீதம் எனக் காட்டுக.
5. ஒரு செவ்வகப் பெட்டியினுடைய அடியின் உள்ளளவீடுகள் a அங். நீளமும் ம் அங். அகலமுமாகும் ; தந்த அளவு நீர் அப்பெட்டியை h ஆழத்திற்கு நிரப்புகின்றது. a, b என்பனவற்றின் அளவீடுகளில் 1 சதவீத வழுவும் -2 சதவீத வழுவும் புணர்த்தப்பட்டால், h இன் அளவீட்டில் என்ன சதவீதத் திருத்தஞ் செய்யப்படவேண்டும்?
6. 7 ஆரையும் h உயரமுமுள்ள ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் வட்ட முனைகள் ஆரை R உடைய ஒரு நிலைத்த கோளத்திற் கிடக்கின்றன. இல் 1 சதவீதச் சிற்றேற்றஞ் செய்யப்படின், அதன் விளைவாக h இல் ஆகுஞ் சதவீத இறக்கம் ?/(h? -??) எனக் காட்டுக.
7. ஒரு குழிவான ஆடியின் பரப்பிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் 2 எனுந் தூரமும் அதன் விம்பத்தின் 3' எனுந் தூரமும்;+ =ஒரு மாறிலி எனுந் தொடர்பால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. அப்புள்ளி அதன் விம்பம் என்னும் இவற்றின் ஒத்த சிற்றிடப் பெயர்ச்சிகள் - (ala")? எனும் விகிதத்தில் இருக்குமென நிறுவுக.
8. W, W என்பன முறையே ஒரு பொருள் காற்றிலும், நீரிலும் இருக்கும் போதுள்ள நிறைகளைக் குறித்தால், அப்பொருளின் தன்னிர்ப்பு 8=W/(W-W) எனுஞ் சூத்திரத்தாலே துணியப்படும். நிறுக்கும்போது ஒவ்வொரு முறையும் 1 சதவீத வழு புணர்த்தப்படின், 8 தாக்கப்படாதெனக் காட்டுக ; W இல் 1 சதவீத வழுவும் W இல் 2 சதவீத வழுவும் புணர்த் தப்படின், 8 இல் W/(W-W) சதவீத வழு புணர்தப்படுமென்றுங் காட்டுக. 9. தந்த ஒரு திணிவுள்ள வாயுவின் நிலைமாற்றம் எதுவித வெப்ப நயநட் டங்களின்றி நடைபெறுமாயின், அமுக்கம் p யும் கனவளவு 0 யும் pdf=ஒரு மாறிலி எனும் ஒரு தொடர்பால் இணைக்கப்படும் ; இங்கு y என்பது ஒரு வரையறுத்த மாறிலி. கனவளவு ஒரு சிறு சதவீதம் 2 இனற் குறைக்கப்பட்டால், அமுக்கம் ya சதவீதத்தாற் கூட்டப்படும் என நிறுவுக. 10. உலோகக் கோல் ஒன்றின் குறுக்கு வெட்டு a2 பரப்பளவுள்ள ஒரு சதுரம் ; அதன் நீளம் . a சதவீதச் சிற்றளவால் அந்நீளம் விரிவாக்கப்படுகின்றது. உலோகத்தின் கனவளவில் யாதொரு மாற்றமும்

Page 103
186 சிறு மாற்றங்கள்
இல்லையெனக் கொண்டு a யிலுள்ள சதவீத இறக்கத்தைக் காண்க. அதே நிலைமையில், அக்கோலின் முழுப் பரப்பிலுஞ் சதவீத மாற்றம் யாது?
11. ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் செம்பக்கமும் வேருெரு பக்கமும் அளக்கப்பட, அவை முறையே 18 அங்குலமும் 10 அங்குலமுமெனக் காணப்பட்டன. ஒவ்வோர் அளவீடும் +3 சதவீத வழுவிற்கு உட்படு கின்றது. இவ்வளவீடுகளிலிருந்து கணிக்கப்பட்டபடி மீந்திருக்கும் பக்கத் தின் நீளம் எறத்தாள 6-7 சதவீத வழுவிற்கு உட்படுமென நிறுவுக.
12. ஒரு கூம்பகத்தின் கனவளவு அதன் அடியின் பரப்பளவை அதன் உயரத்தாற் பெருக்க வருவதன் மூன்றிலொரு பங்கு. ஒரு நான்முகியின் நான்கு முகங்களும் பக்கம் a யாயுள்ள சமபக்க முக்கோணிகளாயின் நீளம் a யில் 30 சதவீதச் சிற்றேற்றம் அந்நான்முகியின் கனவளவில் 30 சதவீத ஏற்றத்தையும் அதன் பரப்பின் பரப்பளவில் 20 சதவீத எற்றத்தையும் விளைவிக்குமெனக் காட்டுக.
13. தரப்பட்ட ஒர் உலோகக் கனவளவானது, வெளியாரை 2 அடியாயுந் தடிப்பு 3 அங்குலமாயுமுள்ள ஒரு பொட்கோளமாக ஆக்கப்படுகின்றது. ஆரையின் அளவீட்டில் +1 சதவீத வழு புணர்த்தப்படின், அதன் விளைவாகத் தடிப்பின் பெறுமானக் கணிப்பில் என்ன சதவீத வழு புணர்த்தப்படும்?
14. மெல்லிய ஒரு வில்லையின் தலைமைக் குவியங்களிலிருந்து ஒரு புள்ளியினது தூரம் 39 உம் அதன் விம்பத்தினது தூரம் a" உம் aa'= மாறிலி என்னுந் தொடர்பாலே இணைக்கப்படுகின்றன. a ஒரு சிற் றேற்றத்தைப் பெற, 2 சம சதவீதத்தாற் குறைக்கப்படுமெனக் காட்டுக.
15. தன் விளிம்புகள் a, b, c நீளங்களுள்ள ஒரு செவ்வகத் திண்மத் தின் மூலைகள் R ஆரையையுடைய ஒரு நிலைத்த கோளத்திற் கிடக்கின்றது. a, b விளிம்புகள் இரண்டும் 1 சதவீத ஏற்றங்களைப் பெற்றல், அதன் விளைவாகச் C யில் வருங் குறைவு (a2+b2)/c2 சதவீத மென்றும், அத்திண் மத்தின் கனவளவில் வரும் ஒத்த எற்றம் (3-4R/02) சதவீதமென்றும் நிறுவுக.
16. ஒரு திறந்த பெட்டியின் அடி, a பக்கச் சதுரமும் ஆழம் C யும் ஆகும். தடிப்புப் புறக்கணிக்கத்தக்கது ; எனினும் அப்பெட்டியை ஆக்கு தற்கு வழங்கிய செய்பொருளின் முழுப் பரப்பளவு தந்ததோர் அளவு கொண்டது. அளவீடு a யானது 20 சதவீதச் சிறுவழுவிற்கு உட்பட்டதாயின், c என்பது -0(1 + a/20) சதவீத வழுவிற்கு உட்படுமென நிறுவுக.
17. சிரான உலோகக் கோளம் ஒன்றின் வெப்பநிலை 3 பாகையால் உயர்த்தப்பட அதன் விட்டம் 30 சதவீதத்தாற் கூடுதலுறுகின்றதெனக் காணப்படுகின்றது. அக்கோளத்தின் கனவளவும் பரப்பும் ஒவ்வொரு பாகை வெப்பநிலை எற்றத்தாலும் எச்சதவீதங்களாற் கூடுதலுறும்?

சிறு மாற்றங்கள் - 187
18. தரப்பட்ட ஒர் உலோகக் கணியம் ஒரு முனையிலே திறந்துள்ள ஒரு வட்டவுருளேயாக ஆக்கப்படுகின்றது. வெளியளவீடுகள், உயரம் 12 அங்குலமும் அடியாரை 6 அங்குலமுமாகும் ; அவ்வுருளை 1 அங்குல சீரான தடிப்புள்ளது. அவ்வுருளேயின் உயரம் ஓர் அங்குலத்தின் எனும் ஒரு சிறு பின்னத்தாற் கூட்டப்பட, ஆரை மாறதிருந்தால், தடிப்பு 11a/135 அங்குலத்தாற் குறைக்கப்பட வேண்டுமென நிறுவுக.
19. செவ்வக உலோகக் கட்டி ஒன்றின் விளிம்புகள் பிழையாக a, b, c அங். என அளக்கப்பட்டுள்ளன ; அவ்வளவீடுகளில் முறையே 1, 2, 15 சதவீத வழுக்கள் புணர்த்தப்பட்டுள்ளன. அதன் கனவளவின் அள வீட்டில் என்ன சதவீத வழு உண்டு?
20. வெளி விளிம்பு 12 அங்குலமும் 2 அங்குலச் சீரான தடிப்புமுள்ள ஒரு கனவடிவப் பெட்டி தந்த ஒர் உலோகக் கனவளவிலிருந்து ஆக்கப்பட வேண்டும். அதன் விளிம்பினது நீளத்தில் 2 சத வீதச் சிறு வழு புணர்த்தப்படின், அதன் விளைவாகத் தடிப்பில் என்ன சதவீதவழு ஆக்கப்படும்?

Page 104
2.12.
2.33.
2.41.
2,521.
2.59.
2.61.
1.
(vii)
(iΧ)
(xi)
(xii)
(iii)
விடைகள்
-1, ; -1; 7. 2,0;器;2. (a?-- 3ab -- b) la(a+b); 4abs(a-b). 4. aP2. (i) 0 ; (ii) 2 ; (iii) oO. 2. (i) c/a.; (ii) a/c- - 3. 4. 7. 5. 2. 6. — 4. 7. (i) ; (ii) - 4. ğ. 9. . — l. 10. — 2. 11. oo.
3ai? -- 3acðac + (ðac)*; 8ac-y-4ðac ; 2. (ac - 1) -- ôac. — Isæ(a + ðæ) ; —(4æ+ 2ða')/a'(a +ða')* ; .
- 1/(ac - I) (ac + ôac - 1). 1--- — 2 (æ — 1) —ðar : a--
ac(ar + '&act)' (ac - 1)? (ac --&ac - 1)?” ac(c.--ôc).
4æ. (ii) — 1/(ar — l)o. (iii) 3ao + l. (iv) a.
- αI(αα -- ό)*. (vi) - 3|a. .4 - ; تا– ; =!-- : * ; م5a ;تي4 4必景”22器”a° 3a烃 (i) 6a+, 6a: ; (ii) 6a - 2 ; . (iii) 8(a;-2)° ;
9 4 - + -a; (v) - its; (vi) -s;
2 2aac -- b ; (*)一品一员达 : ب" - 1- الهx) na) : 3 – 3 – 3 + في 3 2 2ణీ 2ణీ 2ణీ an+1
. 一基 - 7 - ځله 4a 一款 *- * + 42TP :
ューエ十志十ェー乏十エ・ Q%意 22透 22露 22競 Qが5 2;章
6- 6a-27a. )ii) --20ag -+-27ac2 - 30a4م. 4a + 2ar. (iv) 6(--).
188

2.621. (i) (iii)
(v)
(vii)
(viii)
(ix)
2.633. (i) (ii)
(iii)
(iv)
(vi)
(vii)
(νiii)
2.64. 1.
(iii)
(iv)
விடைகள் 89
- 1/(2a+ 1), . )ii) ' -- (2ac4 --3ac2 - 43)/(a1 -+- 8ثن(F. 2 (ar? — 1) / (aco -- ar -- 1)?. (iv) (ad — bc)/(cac -- d)o.
— a | (aac-+- b)°. (vi) - 3al (a8-1)*. .2(c)/(aa2 -- 2bac -+-c --- ضم4b (aa -
.2(1 +۔ a? (a3 + 3a? -+2)](a2
2a (a;2-1) (a2-4-3) | (a+1).
20ac (2a:2 -↑- 1) Ꮞ ; l2 (Ꮞac - l) * ; 8Ꮾac* (8azᎸ -+- 2) 8.
- 2 - 6 - 10 (2-1). (2-1) (2-1) 3 (20-9) (5a-1) ; 5 (2a-1) (2a-1-3)3. -(1 + 2و11) (1 – هره) 4 (1 – 4,6n (a + 1)3 (7a9 + 1) : 2+ (a - (2ai* +-4ac -- 3) - - 2 (ac - l) (4ai? - 6ac - 1)
(-1) (221)4 -a (a - 2) (a + 1)*(2a-7)
(1) (2-1)
2a –-l . 2ai* -- ac (1 + 2;a + 4ھ)/vہ ” (1 + a + 2پھ)/2
- -l } (1 - قنبه) (1 + هدیه)/۹ شبه
(i) 12aro ; (ii) — 2æ/(ar? --1)? ; (iii) — 2a/(aa -- b)*.
,尘 3. V2 -- 2 5・ V3 (i) 2aac, 2a(ac -- 2), 4.aac(att* -- 3) ;
-2 - 2 - 4a: . ααβ’ α(α--2)3’ α(α2--3)3
- - 4 - 5 ” 6(2 -- 1) ”5( +- 1) ”2 (م -+1)
3a
3(تيه - 1) 2 " (عره - 1) * (2 - 1)2
(v) 6(2a;+1)"(32ー2)(5rーl)。(2a;+l)(32ー2)"(302+1); (vi) 6(2ac-+ l)°(a" — 3)/(3a: — 2)°, — 6(3a: — 2) (ae — 3)/(2ae-+- 1)ʻi; (vii) (2a--3)|2 v{(a + 1) (a + 2)}, 1/2-v{(a + 1)(a + 2)};

Page 105
190
3.424.
3.531.
3.65.
விடைகள்
(viii) 3aro — 12a -- 11 ; (ix) (ac?— 6ac -+— 7)/(ae — 3)° ;
(x) {(m+n) + na+mb}(x+a)" (a + b)"; (xi) {(m — m) ar — na + mb} (ac + a)”*/(a + b)”** ;
.1+"("a + "لمmm) + a"}/(a -1)"مa")"-1, {a + "مa)1-"مxii) mma)
2.
10.
12.
14.
15.
4.
(i) — 2 ; (ii) — 2a ; (iii) — l ; (iv) * 0.
4
உயர்வு 0, இழிவு - தீ.
உயர்வு a-2- இழிவு r=2+.
1; 1 ; இழிவு a=*இல். 7 -1 ஓர் இரட்டை மூலம்.
a = 4, 2-2 என்பன திரும்பற் புள்ளிகள் ; a = -1 என்பது
விபத்திப் புள்ளி.
a = 5 இலே தொடும் ; a - - 3 இல் வெட்டும்.
a=0 இல் உயர்வு, 2=2 இல் இழிவு.
உயர்வு 3-2V2, இழிவு 3+2V2. 2, 2, 2, 10/3 என்பன மூலங்கள்.
3, 0, செக்கனுக்கு-9 அடி, 2 அடியும் 4 அடியும் எதிர்த்
திசையில் ; - 6. 6(?-5t+6), 6(2-5). முதலிரண்டு செக்கனில் 28 அடி சென்று மூன்றஞ் செக்கனில் 1 அடி திரும்பி வந்து நாலாஞ் செக்கனில் 5 அடி முன் செல்கின்றது. ; செக்கனுக்கு - 1-5 அடி. 2(2 - 7t -Ꮠ- 8t*) ; - 207 -- ᏮᏓ) . செக்.? இற்கு 1 அடி ; செக்.? இற்கு - 18 அடி.
%=瑟,一3。 2. இழிவு a = -2 ; விபத்திப் புள்ளி
இழிவு a=0, உயர்வு a = + 1 ; விபத்திப் புள்ளி
a = - 11 V3. உயர்வு a=2, இழிவு 30-1, 3 ; விபத்திப் புள்ளி
a;=2土1/v/3.
உயர்வுல =0 இழிவு a - E 1 ; விபத்திப்புள்ளி a - +1/w/3;
+1/w/3 என்பனவற்றிற்கிடையில். .b = 9, C=I و 21 -- بسیاست a

10.
14.
15.
16.
(i)
19.
விடைகள்
உயர்வு 0 = 3, இழிவு a=2 : விபத்திப் புள்ளி a = -1,
(4 - V10)16. 1 விபத்திப் புள்ளி, 2 உயர்வு, 3 இழிவு. விபத்திப் புள்ளிகள். 墨,墨,瑟,一3,11· 13. a = 0, L v3. உயர்வு a - - 1+ V2, இழிவு 3-1 - V2 ; மூன்று. இழிவு =ை0, விபத்திப் புள்ளி a= +1/ V3. உயர்வு a=1, இழிவு 2= -1. 17. -1, 7.
3 3 器, 亥》 , - 2.
3 சைன்றே கோசைaே கோசை 20 சீகa) (சீகaே + தான்லே). 2 சைன் a|(1+ கோசைa)?.
m கோசை ma) கோசை map - m சைன் ma சைன் ma).
(ii) (iii) (ν) (v) (vi) (ix) (xi)
na" G05667 mac -- ma" GasT603 m.a.
(vii) m GSIT60)g 2 mar. (viii) GSIT60)g8x. (x) - 3 கோதா 30 கோசி 3ற.
4 சீகலேதான் ஐ. - 3 கோசீaே கோதா 0. சிகலே (1+2a தான் ல).
(xii)
(i) (iii) (ν) (νii) (ix)
(xi)
4.23.
(xiii) (хv)
(xvii)
(xix) 1/2-V{(a — ac) (a: — b)}. (xx)
4.36.
(iii)
.(2 3a + 8پi) e*(a)
.(پ5a + 5ھ - )
* தான் a (3 தான் a + 20 சீகaே).
— 1|-V(l — ac°).
- 1.
2/(l-4-a). - 3Val V (2-aco). 2a தான்"a+1. ஐ சிக”1 ஐ 1 به " (1- قبی)V lf-V(a-a'). - l /v/(2 aac - aco). (xvi) - 3/(2a-2a-1-5). (xviii)
(x)
(xii)
(Χίν)
(ii)
(iv)
(ii) (iv) (νi) (viii) 1/(1 -- aco).
- சைன் a|(1+ கோசைaே). .(2 - a)/(1 - شبa)/2 او
.(2 نa -+ 1)/2--
.(2;v/ (1--aہ -- ?2a (3 gSIT60) gra --
கோதா"10
"2نa-+-1 ab | (a?as?--b?). V(62-a^2)/(b + a கோசைa). -v(b-a)/(b -- a 605667 ar).
V(ac - b*)/(aac? + 2 bac-y-c).
1 4 )-( تقع
2ael.

Page 106
192
விடைகள்
(v) 2 ab eo/(a - beo)?. (wi) குதான்ல இகழே. (vii) e°6*"'*| V(1-a;*). (viii) e“ (a 60)F6ö7 bæ --b GæT605 bæ). (ix) e*(aகோசைba-bசைன்ba), (x) 28தான்? தான் ஐ சிக%. (xi) ge6002F6öt 2ac. (xii) gyó05667 2a. (xi) 4 அகோசை8ஐ. (xiv) g|Sais 2a.
(xy) அசீக ஐ. (xvi) - அசீக .
4.47. (i) 1+ மட 0. (i) 2 கோசி 22.
(i) 2 கோதா ஐ. )iv( لك إلى سمT6dT 0. (v) 1/(1 -+— ac°)g5fT6öT T"ac. (vi) — I/ac(ac —+— 1). (vii) - 2c/(1-a'). (Wi) மட அகோசை a + 0 அதான் 0.
. l 1. (ix) a v(l+oʻ°)` (x) 2(a- 1(/) 3 .)1 +م+م. (xi) 1 sac LoL ae. (xi)一4a"/(1一a*)亨(1十o*)亨。
» * - *- 2 +لم م s (xiii) 1 ہv/(a1--- 2پ( (xiv) a 't' (1-2 Lola) { = + (1 + n - (a2)} (1 + شبه) (x۷) "ل 1-+ 2 وه (xvi) (சைன்சோசை { கோசைaகோதாa - சைன் a மடசைன்: }. (xvii) 2a at LOL a. ܗܝ (xvil) (சைன்"12)^{மடசைன்"12 + a/சைன்" ஐV(1-a)}.
(xix) (தான்) சீக" சிக2{தான்றே மடதான்ற+ சிக%}. (xx) ஐதான்? {சிகளே மட2+ (தான் 2)/2}.
4.52. 1. 11 V(ac-- a). 2. al(a-a). 3. - al(ac-a').
s a- -12 * 4. (1) அகோசை "a + v/)1 - قرین( ; (ii) 20 அதான் 0. — а;
. 2 அசைன் "10 (iii) " ہv/(1+a2( (iv) - கோசில: (v). -- Glas ac ; (vi) சிகg;
சீக*(அகோசை"a) கோசை (அதான்"a)
(ix) i gFa5 ac ; (x) - loc.
5. அசீக .ை

விடைகள் I93
4.61,1。(i)盘; )i) 2 ma1 + "2)/1 - "ي( : (iii) 1/2(1 -- azo) ;
.)°v) 2a|-V(l — a°ac( ;(1 س- ac4)/2مiv) 2a) 2. - 4-V2/(1--a').
3. (62-a^2) கோசை aa அகோசை ba-2ab சைன் aa அசைன் ba.
14。3,瑟7。 21, 2a. 25. உயரம்= ஆரை, 26. 2 சைன்" . 27,盘(a十码°
w b 8 w b\፥ ‚... ό\ε
1 سے یہ . 3 1-سی و لا 1 - هي 28. (1) தான் α . (i) தான் () ; (ii) தான் (). 29. உயரம் = h. 80. \/2a.
31. செவ்வகவுயரம்= ஆரை=30/(ா + 4) அடி.
o 5.13. 1. I (i) ac4, ac, #ac', ac10, ac!01 ;
(ii) ー暑a下", ー器a 「", ー最a 「", ー暴2下", ー高の下";
. 2. 鱼 7 (i)务z“,器z",器a°,器a°,器a°;
虽 l 1. 8. (iv)4z“,器a",2z“,一3a °,器a”
; {a + لانه في + 2.3 + هيه في (i) .2
; * + شبه +قته# (iii) ; قبھ4- قبt + #a+چه - (ii)
3ეფ3 ". ერ (iv) aato -- baco— — cac ; (ν) -"-"+0.
3ეფ3 ერ
5. 223۰ ) ( . . 1 ii) 1 (9,- 1 \ . ~ !
(i) 景(c 1) s 2(-1); (ii) (2a: 1) 2 巫二了 (iii) ato — ar -- LOL (ac -- 1) ; له ساما - .(1 - (LDL (a 2 + 2 + فہمی + قیہہ (iv)
(v) at - LOL... (at -- 2) ; ac -- LOL (ac -- l). (vi) به - به 3 + 3 + ماههٔ - - 22 (vi) தான் a-a (vi) - கோசை a + கோசை 3a2.
(ix) 3 + 4 அசைன் 2n ; - நீல + 4 அசைன் 22, (x) a - அதான் 0.
5.34. (i) ; Lol {(a - 1)/(a +1)}. )ii) # LnLس )ac2 -- 1(.
(iii) : LDL- (ac* -+- 1). (iv) மட (a2+1) + தான்"a. (v) LOL {zー2)/(rー l) }. (vi) 器 Lo-{(x+3)"/(z+ l)}.

Page 107
194
(xii)
5.53. (i) (iii)
(v)
விடைகள்
器LoL{(3c十1)/(c十 1)}. (viii) at + LAL {(a - 1)/(a +1)}. (2"十2ー3)/(2+-l)ー3 Loー (p+1).
.)2 +-4ac-+-5(. (xi) ġBITGċi ” (ac-+- فنLDL- (a மட (a2+ 40+5)+3 தான்"(a+2).
LOL (a.-- 6a-25) - தான்",
ԼԸL- (c2-i-a) -- 1).
ュー122-ーl 1. 2 1ఉVT . * மட (ல ++1)+ தான 2/3 ’ औ 35 TGÖT " V3(ac -- 2). (xvii) ; LOL (3aco -- 12a -- I3).
LOL (3ac-12a-- °+寺 தான்" V3 (a+1). LOL (a*+ 6a + 10) – 3 576öTT'(a+3).
__ 2.0 + 1 * மட (4a2+ 40+3)- ட்= தான்"*"--
৪vg v v/(a* -- 1). (ii) v(atos - 2ar + 3). - 2-W(4 - ac - ac°). (iv) - V(l-ato). 2 சைன்" a - A/(1-22). (νi) சைன்-உ.ே
— V (— 5— 6ac — ac*). —4v (– 5—6.e-ae°) – 7 eozs57 - 1ʻg*.
* அசைன்"(30+1). அசைன்"(30+1)+V(9a2+ 62+2).
I அகோசை" ဖိုး 1.
-V3
«V(3ac°—+- 2ac — 1)+- அகோகை" 3a;-- l,
-v3
LOL (ac-1). )ii) : g5fT6dT 1۔ ag3. " * அசைன்" a.ே (iv)墨V(4a°十4°C十3),
24 (9a;2 -- 6a; +-2)4. )vi) + @Fair -1 aم.

(iii)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(xii)
(xiii)
(хv)
விடைகள் 195.
த் தான்றே. (viii) - LOL (a -- b GổESTGO)3F ac).
- கோசை ஐ-- கோசைறே - கோசைa.
சைன் a - சைன்aே +ஜ் சைன்லே - ச் சைன்?ல,
* சைன்* a - 4 சைன்* a. (xi) மட (a + சைன் 3).
1. = * அசைன்" (xiv) - அகோசை" α.
O 0.
* தான்" (3 சைன் 3). (xvi) V{ (l十a)/(lー2) 3. - சைன்"1 1/3 (2-2). (xviii) – gyG35íTGODSF1 3/(ac -- 1)-
I ------ ? 十-1 ?十l (Lρι α) +1. (Xx) LfÔL - LfDL— ac.
v/(a*+ a*) - a ଅତୀ:୫୩୮', (ii) α சைன்-- ہv/(a2 - a;2(.
3. V(ac°— a°). و )iv) { (a2 -- a2( *.
ac a ll డో சைன் + )233 + فaac - 2a)V(ao - aco).
3. 2 2 1 1 30 - من - ദ
@巴FGö了 +" )5a2 -- 2aہ (2پv/(a2 --a;2(.
a அசைன்"+ (5a?--2a:o) V(ao--ao).
ഷ - 2 شr -1 * -4a: (a 2 - 2aز * சைன ; - (a - 2a 2( ہv/(a2 ن۔a2(.
3. ac(2ai? - a*)*V(ai? -- a?) -- 3 a 4 அகோசை"
芷 - - 1 f :- l * Υ . 2+ தான் 3 ஐ த் தான்" தோன் 3). (xi) i LinoL- - - - -.
2- தான் 3 ஐ
3 rن 11 ست- چ cog cổng “” (தான் 3 2 தான் ல).
(a 7t KO 1 ع مخت தான 、2サ石 X .. X • • (xiw) தான்" (1 + தான் ல).
-2/(3+ தான் 3).

Page 108
96 விடைகள்
5.66 1.(i) ー墨e下"(2z+1); )ii) e”(ac4 -- 438 12 -+۔a2 - 2432 +-24( ;
(i) -நீல கோசை 20+ சைன் 2ல; (iv) இல? சைன் 30+ரே கோசை 30 - தீ சைன் 3a, ;
(v) 4(மட 如一悬); (wi) - 40 கோசை 2ல + 4 சைன் 2n ; (vii) a 605 Göta -- V(l-a'); (wi) ஐ தான்" ஐ- மட (1+a) ;
(ix) - a4 கோசை a + 4a* சைன் a + 12a2 கோசை a
- 240 சைன் a - 24 கோசை a ; : (120 + 120 - 602 + 2003 + 5a4 +- قلبه)ة - x) - e) (Xi) a தான் 3 - மட சீக 0. (xi) (அசைன் a கோசை a + அகோசை a சைன் a): (xi) (அகோசை a சைன் a - அசைன் a கோசை a). (xiv) a {(LOL a)-(LDL a)+};
(XW) (m சைன் ma சைன் ma + m கோசை m0 கோசை ma)/(m2-m2);
(xwi) (mகோசைmலசைன் ma- m சைன் maகோசைma)/(m2-m2).
5.71. 1. u12g. 2. ut -- I ati? — — i bț3. 3. 2.
4. α = 35, b = 16 5. 5. V (nu°—+- 4as — 2s°). 6, 84.
7. al-Vb, 2a1b. 8. a, 2a.
5.8. 1. -- سده ( : itaف -- aف -- ag --!- LnL - (ac - 1) ; a - a + 2 LOL- (a - - 1(
3 2(3ac-1)? 3. 2 ×
ac - 28 2)6 2. மட 器 ; : Lol{(a +3)(x-1)}; ra tal- s
3. மட(a+1) + தான்" a ; a - 2தான்"10; 2-3 மட(a2+1).
4, 2 V (a2-1); V (a + 1) + அசைன் "10;
-2 V (1-22) - சைன்" ஐ.
;(v/(1-a2ہ -+- ?r 1 aن 6:45fT60) g1 a; ; 60) gھ)#9 + (1 س- شv/(aہ .5
- சைன்" (1 - 2).
+1. தான்-1** (ac -+- 1)Ꮞ
. 분 2-3 2 1 ای حس Y མག་ཁ་ཡང་ཐང་གནམ་ས་གང་ལ་མཐས་ག ག་ད་མང་
6. மட(22+32+2) 2/7 “” A/7 * *“極エ
LOL (4a' -- 4a -- 3) + ॐ தான் -

விடைகள் 19
7. /(9a2+62+2)+ அசைன்" (30+1);
+ (29 + 1) V : بسام في .9
·°“一函王豆”
2a+l. /E「" 2V (a2 -20+2)+ அசைன்"(p-1).
3/{4a2+ 40 -1) + 2 அகோசை"
;unl- (a+b சைன் 2); # சீகல; (சைன்"a)?.
” (2پv/ (1 + a
菇(4°C一3)(L十a)“...
10. *தான்லே - மட சிகa; (30-2சைன் 20+ சைன் 4a);
சைன்ஸ்-சைன்றே.
11. sts ( தான்) தான் ஸ் - கோதா 0. 12. {agoggiro- )d2 - 2a,2( ہ/ )a2 ۔ a,2({;
皇 Jasoss – hæv(«" ۔-a2(; 1چ )a2 -+a2) (3a2 - 2 نd2(. 13. 2) மட(a கோசைலே-+b சைன்லே);
aat 2 V(a?-b*) α - ό 2 --- தான டந்தான2 .(1- L-acص3L) 3ثe” (a2 - 2ac -+- 2) ; aa .14 15. ஐ சிக"1a - அகோசை"10; {aசிேக"1a - V (a2-1)};
a தான் a -ஆ? - மட சீக 2. 16 in " - கோசை மட 30 17 2ן
.n +-1 * • т12pШن " " m * t if 18. -)k. . -(1- -kಣೆ 8. (e )|kovo 20 k :( g - ཚ)
614,1,6)鲁; (i) ஆவ8; (iii) 8 ;
、、(a+b)"サリーö"サ". & · Y R 1.92 • (iv) (n + 1)a (v) ğ ; (vi) 51-2; (vii) (e-); (viii) i ar ; (iX) και π ,
(x) LOL (I - V2); (xi)盘7; (xii) .
2,20景。 3。2,4。844。 5. cLDL (bla).

Page 109
98
6.54. (i) (ν)
(Vii) (ix)
(xi) (xiv)
{6.61. (i)
(v)
(ix)
(xiii)
6.8. 1. (i) (iv) (vii)
(x) (xiii) (Xνi) (xix)
2. (i) 4,器,
விடைகள்
(iii) εί π.
11a. (ii) i LDL-5= -2682.
7. (ν) και π. (vi) V2-l. மட, (3+2V2). (viii) LOL : = -2877. 盡LoL。影 一蔷7十蚤gnā一幕 (x) m|2ab (a -- b).
ara?. (xii) V3. (xiii) 7t-l. π-2. (хv) ӑ.
16 .. 3π. ... 8 w 8ገr 35 (ii) 16 (iii) I5 (iv) 6'
8 16 « ao w
15 (vi) 15 (vii) 0 (viii) 0
377 ... 4 •་ 4. (x) 0. (xi) 5 (xii)
2 TT 5 (xiv) 0. (хv) I6
LOL - (l —+— V2) ; (ii) ğ TT ; (iii) 2 Va ; Tl2ab; (ν) πα, (vi) TT ; ገr ; . (viii) nr/2 (a -- b) ; (ix) i LOL 2 = -3466 ; LOL (I -- V2) ; (xi) TT/2ab ; (xii) b1(a+b); T; (xiv) ğ TT (a — b)°; (xv) Tr(b — a) ; - επ , (xvi) 4ா - மட2; (XVi) a|சைன் ( ; 一器; (xx) r 一器 LDL-2. 3; (ii) 1 ; (iii) t; (iv) b (ể5 + 1)/(a+b*).
4. உயர்வு 2/3V3, இழிவு -2/3V3, கூறப்பட்ட எல்லைகளுக்கு இடையில் a - அச்சிற்கு மேலுள்ள பரப்பளவிற்கும் கீழுள்ள பரப்பளவிற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்.
eー1:
(i) 1 – 2e -1; (ii) 2e -1. 6. 4/15.
7. அவ்வளையிக்கும் அச்சுக்களுக்கும் இடையிலுள்ள பரப்பளவும், a - அச் சிற்கும் மேலுங் கீழும் வரைப்புற்ற பரப்பளவுகளின் வித்தியாசமும் ; அவையாவன 1712 உம் 4/3 உம். V−
8. 114,
114.

விடைகள் 199
9. a;=0。3/=ー2; y=0 2=l ; 器(Tーl).
10. a=த் யிலே தொடும் ; a = -3யிலே வெட்டும் , 50. 11. a= -1, 2=2 என்பனவற்றிலே தொடும் ; 8. 12. I0.
7.22, 1、977. 3. 8a,3. 4。4一瑟7。 5. (ா-2)/4உம் (3ா+2)/4 உம். 6. 257r14-V2. 7. 37.118. 8. 147tr|4.
7.313. 1. Tra?)2 b. 3. Ta:(10-37T)/6. 4. 6πα"|7.
5. 8lm /10. 6. 2ாa^{சைன் (1-சைன்லே)-aகோசை a}. 7. S0815. 8,器Tc"(e一4十5e丁°)。
7.442. 1. (i) επό, έπα , (ii) 1, - 1-Ꮾ ; (iii) š, — 35 ; " (iv) T, 0;
(v) உச்சியிலிருந்து உயரத்தின் ; (wi) மையத்திலிருந்து (a + c)?/(2a + c);
(vii)
(viii)
2.
(i) (ii) (iii) (iv) (ν) (vi)
7.62. 1.
2
5.
6.
7
9
12.
அச்சை 3a2+2ab+62 : a2+2ab+36? என்னும் விகிதத்திற்
பிரிக்கும் ;
அச்சை 51 : 155 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்கும். பின்வரும் விடைகளில் M பொருளினது திணிவைக் குறிக் கின்றது.
a சதுரத்தின் பக்கமாயின், Ma? ;
a கோலினது நீளமாயின், Ma? ;
h, பக்கத்திலிருந்து எதிருச்சியினது தூரமாயின், Mh? :
a ஆரையாயின், Ꮠ Ma* ;
a அடியின் ஆரையாயின், ஃ Ma? ;
* Mhk, (vii) . Mbo, Ma”.
(i) και π*α : (ii) a2(e4** -1)/4b.
(i) εί πα’, (ii) πα:/4η. 4。器T。 a = 128 V2 as 1057; 32 V2nra|105. a = b(4a2+b)|2(2a–b). c= - 5a16; y=16a9tr; Strao.
T (3T –4)a°. 10. 17rbo(2v3a-b).

Page 110
200
85.
8.63.
8.72.
9.
விடைகள்
1. (i) — boacļaoy ; )ii) -- (aن* -- qg)/(gy* -- qac( ;
(iii) — (ac — a)/(y — b) ; - (iw) - V(byfaat) :
(v) -- ac (ai* - 2ay?)/y(y* - 2aa;*) ; (vi) a(a-2a-2y)ly(a?--2a+ 2y).
5. 157 : 009. 6. 1018.
7 095. 9. 4823 அடி ; 4726 அடி.
4. -84 10 ரையனிறக்கம்
1. 2aac —+— b ; ğaac°—+— baç°—+- cac. 2. 3 (ac – a)°, ti (ac – a)*.
ΙΝ8 l\ . . 4、 4 I. 8, 4f a - T | ( 1 + T ) ; #3లో - స్టీలో+ t + T -T,
ეფ? a 38
v2 4. °+ (2-2) ; 2 +86. --
2 55
5. 6a- 6a-36 ; ac-aci - 18a;-- 10a.
.ag + قيد سبب قيمة : 60 + 1633 ,6 .
7. 2(ac - 2) (ac + 1) (2ac – 1) ; bac* - ac! - ai* + 2ai?+-4ac. .?ga2 - 27 a*8+- 303 - 4ئaتھ +- قابل1g - 6زa) - 1)(a) - 3)2(5a? -- 9);#a) .8 ,10ay-- 42 -+ گنa -- قن9ac2 -+- 8 ; a-- 433 .9
6 6 3 10.ー試十話;ー試十基十*
3α 2ύ α ο
11, --高: -5 - + "
mc aac**1 12. ' -- : - bzーー・ "-詳 エ + *ーエ
13. - 5,48. 孟十°十钴
- in -l

9.2.
9.3.
10.
12.
13.
14.
15。
16.
17.
18.
19.
10.
11.
13.
விடைகள் 201
.3(1 - 2 نa2 - 1) (5ac2 - 1); } (a) .8(1 - 3 مa) ; ; م8ac7 - 1034 -+-2a Ilalo- 14a:6 -- 3a; ; (a4-1)8.
6a' - 5, (2, 3), y = 7ac -ll. 30-40+1, உயர்வு a = 4, இழிவு a = 1.
器), 4. y - 10 + 8, ( 15a'2-12ac'--5. 6. 3,03. உயர்வு a = -2, இழிவு a = 4. 2y十72=5;(1,一2),(最,影). (1,0) விபத்திப் புள்ளி, (2,-1) இழிவு, -24, *. 40+g+8=0; உயர்வு 3 V3, இழிவு-நீV3. இறக்கம், -2

Page 111
202 விடைகள்
14. 33, 13:5; 20 அடி செக்கன். 15. α, θ, ο = 6, 6, 2. 16. 6-22; 32-48; 9 அடி; 134 அடி செக்கன்.
17,器十4涉一器#; 響+2"-e; 12 அடி செக்கன்.
18. 26-32; 48* அடி செக்கன்; 1494 அடி,
19. 648 அடி. 20. α = ό- 9.
9.4. 1. (i) 1붉; (i)l普; (iii) 57 ;
(v) 2g:; (v) ä ; (vi) 8s. 2. 36. 3。4,0,一2景。 7。克·
8. 0; 6, 4, 4, 6, 9. y = a+2br+ 3Ca, 10. I0; 2-V3. 12. -l, 3; 4.
13. 104. 14,179暑,6器。 16. 붉. 17,1器。 19,25體。 20。7菇。
95. 2. 7o. 3。马盖7, 4。崇7。
5. It h|4a. 7. ο π. 12. 7. 13 ಕ್ಕಿ*r 15. (i) 49 π., (ii) 14π. 16. Επα".
۰* (c2 س- Tr(a2 .18 .(8ؤوTT(2q3 - 3q2c -+- c؟
17
20. Ta?(a + h)?/3h.
96. 1. (i) (款 II), (ii) (器 *). 2. (器, ). 3. (器, 器).
4. (éa, ža). 5. (a, a)
2ab c4 d5- b5
6. ( ) , ( ) ( ) 9.(0,影). 10. 27a/16. 11. 9a/5. 12 還(a士c)"/(2a士c). 16. За/5.
9.7. 1. 4, 6. 2. 4. 3。士7. 5. .
10 器r, 2(Iーa)/(2l+a). 13。干245. 17. 20, 20.
19. 45, 20. 15a14.



Page 112



Page 113

翡
リ
:
| . 翻
拂
拂
蠶