Page 1
2.
ப்பத்திரங்க
விஞ
|
シ。
. : |, | |--·|-
|- |-- _
 
 
 
 

sae. aaaaaaaaaaaaaaaRa-Rex
சர கணிதம்
குப்புக்குரியது)
ா, த. தூய கணிதம் 1 யும் கொண்டுள்ளது)
ac. காவிந்த பிள்ே
媛
gag:ఖ్యఖ్యఖ్య

Page 2

இலகு அட்சர கணிதம்
(உயர்தர வகுப்புக்குரியது)
(1965-1973 க. பொ. த. தூய கணிதம் 1 வினுப்பத்திரங்களையும் கொண்டுள்ளது)
ஆக்கியோர் : ஈப்பென் & கோவிந்த sfrt
மீட்டற் கணித நூலைத் தழுவி KURTAS J. KADAVAN, M. SC. 96A fa56TT6ö விரித்து எழுதப்பட்டது.
அன்ஸாரி
பதிப்புரிமை பிரசுரிப்பாளருக்கே உரியது வில ரூ. 8-59

Page 3
முதலாம் பதிப்பு-1966 இரண்டாம் பதிப்பு-1967 மூன்ரும் பதிப்பு-1968 நான்காம் பதிப்பு-1970 ஐந்தாம் பதிப்பு-1972 ஆரும் பதிப்பு-1974
Printed at the Rex Trading Printing section

முன்னுரை
இலகு அட்சர கணிதம் எனும் இந்நூலானது உயர்தர வகுப்பு களின் தேவையைப் பூர்த்தி செய்யும் முகமாக திருவாளர்கள் ஈப்பென் , கோ விந் த பிள் ளை அவர்களால் ஆக்கப்பட்டுள்ள ** மீட்டற் கணிதம்?? எனும் நூலைத் தழுவி கூடியளவு விரிவாக எழுதப்பட்டுள்ளது. இந்நூலில் பல புதிய அத்தியாயங்களையும் மேலதிகமான பலதரப்பட்ட பயிற்சிகளையுஞ் சேர்த்துத் திறம்படத் தொகுத்துள்ளேன்.
முந்திய வகுப்புகளிற்குரிய பகுதிகளிற் தேர்ச்சியளிக்கும் பொருட்டுத் திருப்புதற் பயிற்சிகள் இந்நூலின் முதலாம் அத்தி யாயத்தில் இடம் பெற்றுள்ளன. இந்நூலின் விசேட அம்சங்களாவன :
1. பல உதாரணங்கள் சிறந்த முறைப்படி செய்து காட்டப்
பட்டு, அவற்றிலிருந்தே விதிகள் பெறப்பட்டுள்ளன. - ( 1946ஆம் வருடம் முதல் 1962ஆம் வருடம் வரையுமுள்ள க. பொ: த. தூய கணிதம் 1 வினப் பத்திரங்களிலிருந்து வினுக்கள் யாவும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, நன்கு தரப் படுத்திப்பட்டுப் பொருத்தமான பயிற்சிகளிற் புகுத்தப் பட்டுள்ளன. அவ்வினுக்களுக்கெதிரே பெ ரும் பாலும் பரீட்சை ஆண்டும் தரப்பட்டுள்ளது. 11. உயர்தர வகுப்புகளுக்குரியமுக்கியப் பகுதிகளாகிய இருபடிச் சமன்பாடுகள், கூட்டல் விருத்தி, பெருக்கல் விருத்தி, மடக்கை முதலியன விரிவாகவும் தெளிவாகவும் எடுத்தாளப் பட்டுள்ளன. முக்கியமான அத்தியாயங்களில் ஒரே வகையான இரு பயிற்சிகள் இடம் பெறுகின்றன. முதலாவது பயிற்சி வகுப்பு வேலைக்குகந்ததாயும், இரண்டாவது பலவினப் பயிற்சியாயும் அமைந்துள்ளது. 4. IV. பயிற்சிகள் யாவும் பல வகைப்பட்டனவாயும், நன்கு தரப்
படுத்தப்பட்டனவாயும் அமைந்துள்ளன. V. மாணவர் தங்களைப் பரீட்சைக்கு ஆயத்தப்படுத்திக் கொள்ளக் கடந்த வருடங்களின் வினப் பத்திரங்களுக்கு விடை யிறுத்துப் பயிலுவதே சிறந்த முறையாகும். எனக்கருதி 1964ஆம் வருடம் தொடக்கம் 1970ஆம் வருடம் வரையுமுள்ள க. பொ. த. பரீட்சை தூய கணிதம் 1 வினப் பத்திரங்கள் இந்நூலின் இறுதியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
எர்ணுகுளம் K. J. K.

Page 4
பொருளடக்கம்
அத்தியாயம்
1.
13.
15. 16. 17. 18. 19. 20.
குறியீட்டுக் கோவை - கூட்டலும் கழித்தலும்,
பிரதியீடு, அடுக்குகள், அடைப்பு நீக்கம், பெருக்கல், வகுத்தல், இலகுவான பின்னங்கள் எளிய சமன்பாடுகள் எளிய சமன்பாட்டு உத்திக் கணக்குகள் பொதுவுரை எண் கணிதம், சூத்திரங்கள். சூத்திரங்களின் எழுவாய் மாற்றம், எழுத்துச் சமன்பாடுகள், இலகுவானவை & பிரதானமான சூத்திரங்கள் அல்லது வாய்பாடுகள் . dF.2bOTs6ir பொ. சி. பெ, பொ. ம. சி.
பின்னங்கள் J
ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் ஒருங்கமை சமன்பாடுகளில் உத்திக் கணக்குக இருபடிச் சமன்பாடுகள் 够竣 影 இருபடிச் சமன்பாடுகளில் உத்திக் கணக்குகள் ஒருங்கமை இருபடிச் சமன்பாடுகள் குத்திரங்களின் அல்லது வாய்பாடுகளின் எழுவாய் மாற்றம் எழுத்துச் சமன்பாடுகள் தொடர்ச்சி சார்புகள், மாறிகள் மீதித் தேற்றம் கூட்டல் விருத்தி
பெருக்கல் விருத்தி குறிகாட்டிகளின் அறிமுறை è மடக்கைகள் வர்க்க சமன்பாடுகளை வரைப்பட மூலம் தீர்த்தல் கடந்தகாலப் பரீட்சை, தூய கணிதம்-1 விஞப் பாத்திரங்கள் 1965-1973
விடைகள்
மடக்கை வாய்பாடுகள்
16
26 38 46 72 82 100 111 136 15 166
73 179 193 202 223
232 251
273 308 338

S
2.
3.
(es sufi'Gá, Gd, 160 Gil (Symbolical Expression)
n முட்டைகளின் விலை x ததமாயின் m முட்டைகளின்" விலை என்ன ?
f வருடங்களின் முன் கோபாலின் வயது 5 வருடங்களா {யின், (1) தற்போது அவனுடைய வயது என்ன? (2)இன் ணும் m வருடங்களின் பின் அவனது வயது என்ன ? ஒரு குழாய் ஒரு தொட்டியை ஒரு மணித்தியாலத்தில் நிரப்பக் கூடுமாயின் b நிமிடங்களில் அதன் என்ன பங்கு நிரம்பும் ? ஒரு கம்பியின் நீளம் x அடி y அங்குலம். அதிலிருந்து 2 அங்குலம் வெட்டப்பட்டால் மீந்திருப்பது எத்தனை அங் குலம் ? ஒரு புத்தகத்தின் விலை x சதமாயின் y ரூபாவுக்கு எத் தனை வாங்கலாம்? ஒரு பஸ் வண்டியின் பிரயாணிகளில் x பேர் ஆளுக்கு 25 சதப்படியும், y பேர் ஆளுக்கு 30 சதப்படியும், 22 பேர் ஆளுக்கு 15 சதப்படியும் கட்டணம் செலுத்தினர் பிரயாணிகள் கொடுத்த மொத்தப் பணம் எவ்வளவு ? * யார் y அடி 2 அங்குலத்தை அங்குலமாக்குக. ஓர் எண்ணின் பத்தின் இடத்திலக்கம் p , ஒன்றினிடத்
நிலக்கம் 4 ஆயின் அவ்வெண் என்ன ? 4 ஐ எவ்வளவாற் ப்ெருக்கினல் 6k ஆகும் ? எந்த எண்ணை m ஆல் வகுத்தால் ஈவாகவும், m மீதியர் கவும் வரும் ? 2x - 1 ஐ நடு எண்ணுகக் கொண்டு, அடுத்துவருகின்ற 5 து ஒற்றையெண்களையும் எழுதுக. x அடி நீளம் 2y அடி அகலமான ஓர் அறையின் தளத்துக் குப் பதிக்க, ஒவ்வொன்றும் X அங்குல நீளம் y அங்குல அகலமான எத்தனை கற்கள் தேவை ? 3 பையன்களின் நிறைகள் முறையே (2x+3y) இருத்தல், (x+7y) இருத்தல், (3x+5y) இருத்தல் ஆகும், அவுர் களின் சராசரி நிறை என்ன ?

Page 5
2
14. தற்போது ஒரு மனிதனதும் அவனது மகனதும் வயது
5.
முறையே (y+3x), 2x வருடங்களாகும். மகன் பிறந்த பொழுது தகப்பனின் வயது என்ன ?
ஒரு புகைவண்டி 1 மணித் தியாலயத்தில் m மைலைச் செல் கிறது. அவ்வண்டி p மைலைச் செல்ல எத்தனை நிமிடம் எடுக்கும்?
கூட்டலும் கழித்தலும்
பின்வரும் கோவைகளைச் சுருக்கி அவற்றின உறுப்புகன் இறங்கு வரிசைப்படி எழுதுக
.
2.
3.
4.
5.
9.
x * + "x" + x 4 س- 1-+ 2x8-۔ “2x * +5x * --3-+5x
'3k0 - 5k س- k" +-3k*-+-3k6 +-2k" --k4-س-2k4
பின் வருவனவற்றை x இன் ஏறு வரிசைபபடி எழுதுக , xy-3xy--y-2xy--x" aஇன் ஏறு வரிசைப் படி எழுதுக - 2ab°-5b--ab-3-2ab 3a+2b-c ; a-3b+4c என்பவற்றின் கூடடுத்தொகையி லிருந்து 2a-3b+6c ஐக் கழிக்குக 1-2y+3y; y+3-2y என்பவற்றின் கூட்டுத்தொகையை 2)^-3y+4 இலிருந்து கழிக்குக. ன்பவற்றின் கூட்டு ه مح2x-- 528-س-3y2 و3x* --5y*-+-2z8 தொகையுடன் எவ்வளவைக் கூட்டினல் 32"+5x'- 2y ஆகும் ?
x-x+4; x+x" என்பவற்றின் கூட்டுத் தொகையை
x2 +2 என்பவற்றின் கூட்டுத்ر -۔ 3برس ۔ 5 --- 2x“ -- 2x8 + x தொகையிலிருந்து கழிக்குக
l=2x+3yー4zお m=xー2y+zs = X-)-62 ஆயின் பின் வருவனவற்றின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(1) lーm十n (2) l-m-n

3
III பிரதியீடு (Substitution)
1. x=2, y=3, 2=0 ஆயின் பின்வருவனவற்றின் விலையைக் காண்க :
y (3) 4x-2xy 2- تدب3x (2) " ف7x 1) (4) 4z (5) 6xy’z* (6) xy
2. x=2, y- -3 ஆயின் பின்வருவனவற்றின் விலையைக்
காண்க :
xر (4) و + چلا (3) دy--م2xy+y* (2) x-هند (1)
3. a=1, b=2, c= -3 ஆயின் a+b+c-3abc இன் பெறு
மானத்தைக் காண்க 划
4. p = 2, q = -1 6T6of6ör. இன் விலையைக் காண்க.
5. a=4, b=-3 எனக்கொண்டு பின்வரும் கோவைகளின்
பெறுமானத்தைக் காண்க. *b+مab+قه (3) dيّ (2) (a+b)(3a+b) (1) .. 6, x=2, y=1 ஆயின் x-xy+xy?-y" எனும் கோவையின்
பெறுமானம் என்ன ?
7. a=2, h -3 ஆயின் (a+b)(a-ab+b) இன் விலயைக்
5r6ciors. ܟ
8, a = -- எனும் சமன்பாட்டில் m=3, n=4. ஆயின்
a இன் விலையைக் காண்க. 9. w=-3 ஆயின் 3ܙ2-4[0ܐ எனும் கோவையின் விலையைக் காண்க,
10. x=-2, y =* ஆயின் பின்வருவனவற்றின் விலையைக்
காண்க.
- ہنر (2) ,(1-x*(y (1)

Page 6
1.
விலையை, p, q என்னும் உறுப்புகளிற் காண்க
(i) (2x-5y)-:-6 (ii) (4y-2x) + 10
(iii) (2x+y)--3 2. E, என்பது மாறிலி எனின் a=5 ஆணுல், b =20, ஆனல்
a= -6 ஆக"இருக்கும்பொழுது b யின் பெறுமானம் என்ன?
IV
அடுக்குகள் (powers)
சுருக்குக !
l. ao Xiao 2. 2x°X5x2 X x 3 -س-b" 2)لاb3**
4. xP x xማ 5. — boco X (—2boco) 6. (a*)* 7. (b) 8. (5') 9. (2y)3 10... (3x") 11. (x,y) X (#x2y) x (- xoyo) 12. (m*n?)* Ꭵ3. ᏣéᏢ)Ꮈ 14. ( --- c ) 2 15. (-a2b) 16. (-x)4 17. in 5-in
8. n-n 19. 16x9-4x8 20. 25k1 ፕ ÷ 10k°`
6p 10 , 23• a°b%÷(-መb“)፡ ہبہ ac 22. 9p5 -ئی۔ ab .!2
5ر10x8 سبب هر3x 5 x 2x ، 25 10 رة3x بـ 15 ر6x10 سم . .24
.x:2y * a* 26. xy 27. ്
28. (3a)2X3a 29. பின்வருவனவற்றின் வர்க்கத்தைக் காண்க :
- 2a
3. 2( سے x2 Y.
(1) a (2) (3) 3b2 30. பின் வருவனவற்றின் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க,
8 qకి 254
4.
x=4p-34, y=-2p+6q ஆயின் பின் வருவனவற்றின்"

5
31. பின்வருவனவற்றின் கனத்தைக் காண்க :
al (1) 2a Ꭴ2) -3b2 (3) 「2房丁
32. கனமூலத்தைக் காண்க :
(1) ré (2) 27al 2 (3) 8a°b9ገ
சுருக்குக :
a8 , , 3b2 9mn° 4p5 وہ ، ”طS 33. ` ფb X 2a 34. 16nopo *于茄。 35. a « g
b 3a. 6a 36, c? -- 石 37. 5رx 2 * 10x 2
38. 6a 2 - 3a 39. 2nn. x 3nn-nnn
„40. 2p oq x 3pq* -- 6pg* 41. (3abo)o-(abo) o
/ 81xo a 3aoboe.5bocoa. Sabo 42. 器 マ Toy2 43. 4bc2 6ca s 7C°aጓb
a=2, b= -2, C=1 ஆக இருக்கும்பொழுது உமது விடையின் பெறுமானத்தைக் காண்க.
44. 2"=256 ஆணுல் 2”** இனதும் 27-? இனதும் பெறு
மானங்களைக் காண்க
ب 43 (1) (*)"=a? ஆனல் (i) = ஆனல் mஇன்
பெறுமானத்தைக் காண்க,
V
96)L(, si jo (Removal of brackets)
சுருக்குக :
1. aー(bーc)ー[aーbーcー(bーc) T 2 a (bーc)十b(cーa)+a(a-b) 3・ xーDyー2{xー(y+x)+2y}+2x}

Page 7
5.
7.
0.
1.
12.
13.
4.
5.
i6.
6
ー1ー[ー1ー{ー1-(ーlーy)}} (l--5m)-(1-3m)- 2m+1-3n-2}
5f * --[3 - t {t-(3t-2)--5}} g-(a-p+q-a-(a-p-q)}
3m — 5 {2т—3 (2 т — 1)}
5c?-2c-c c-(3c-4)-5
10p2-3p-3 (p?-4)-2p?
1ー[ーxー } – x 2 – (x3 - x 1 - x رة{{ + x2 + x3 -- x
[5-- {2 ع-(1+a--[b--3{b--3 (a-b
{{ ? (1 - x}3س۔ x2 }حب۔ 2 (5- 5x2 -7(x - 2x2-8) - 2[(2x Lp-(p-p-a)--a-(a-a-p)
a9 -5a(a+1)-1 உடன் எவ்வளவைக் கூட்டினுல் a +5a (a+1}+1 ஆகும்?
V
oubidi (Multiplication)
முதலாவது கோவையை இரண்டாவது கோவையால் பெருக்.
e55
.
2.
3.
4.
விடையைத் தவருது சரி பார்க்குக.
p"ーp"十pーl; p+1、
3+2m-m?: 1-2m. m=1 எனப் பிரதியீடுசெய்து சரி பார்க்க.
به 2--- x2 ژ4 + 2x -- به x
4x-6xy-4-9y2; 2x-3y.

7
5・ 2x+3y十-552x+-3y+5. む・ 1ーy十y" ; l十y十y" 3-+ 2x و9 س+4x2 --6x ه .7
8. (x+2)(2x-1)(x-1) என்பவற்றின் பெருக்கத்தைக் காண்க: x = 2 எனப் பிரதியீடு செய்து சரி பார்க்க.
9 x=p+a十r y=pーaーr cmussir xy @ar ca&oapué காண்க.
10. x இன் குணகத்தைக் காண்க: (x-3) (2x?-x+6)
11. ஒரு பொருள் x2+6x-3 ரூபா வீதம் 2x-3 பொருட்களின்
வில்யைக் காண்க.
12. ஒரு கோவையை x?-3x ஆல் வகுக்க வரும் ஈவு 2x2+x-5 ஆகவும, மீதி 2x-3 ஆகவும் இருப்பின் அக் கோவையைக் காண்க.
VII
uGhhhs (Division)
முதலாவது கோவையை இரணடாவது கோவையால் வகுக்குக: விடையைத் தவறது சரி பார்க்க.
to ba->a2-3a+2; 2a-1. 4=1 எனப் பிரதியீடு செய்து
&Ffl Lufti.
2・ p"十p" qー3pg?十a"お pーq
y=1 எனக்கொண்டு و 2-سیت= y, xز - 2x از 3 2x3--3x2 Jy + 3xy 2 -- y به 3
eff Uriř.
4a3-16a2b-13ab 2--5b3; 2a-5b. x'+3x2 -4; x2-X, Xஇன் என்ன விலைக்கு மீதி 0 ஆகும்?
6a 4-4a3-2a2--8a-20; 3a2-2a--5.
6x4-4x3-5x2--10x-25 ; 2x2-5.

Page 8
8
8 x3.x2-8x+12 எனும் கோவை x-2 ஆல் மிச்சமின்றி
வகுபடக் கூடியது எனக் காட்டுக.
9. 14a3-6a2+9a-8 எனும் கோவையை 72-4 ஆல் வகுத
தால் மீதி என்ன ?
10. 2x3-30x2+51x-20; 3x3-14x2-4-2, 6T 63ruguppair
கூட்டுத் தொகையை 3x-3 ஆல் வகுக்குக.
11. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு (x3+8y) சதுர அடி . அதன் நீளம் (x+2y) அடி, அச் செவ்வகத்தின் ( ) அகலம் என்ன ? (2) சுற்றளவு என்ன ?
12. ஒரு புக்ைவண்டி 2a-3 மணித் தியாலங்களில் 4a3-12a2+ 19a - 15 மைல் தூரத்தைச் செல்கிறது. அதன் மணிக்கதி என்ன ?
13. 4y3-4y2+11y+k என்பது 2y-1 ஆல் திருத்தமாக வகுபடுமானல், k இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. W
VIII
இலகுவான பின்னங்கள்
சுருக்குக :
(1) 1- (2) 못+ (3) -
(7) * + 붓 (8) x + . (9) ioశ్ "ఫీస్ (10) a- 21 (11) + - (12) + - (13) 1--
3x+22x- 1.4x -9 (14) ---- 千五一+“可ー

பிரதியீடு பலவினம்
4x 4-3y 2 + 2 عد معxy + هر 1. X =3y ஆஞல், (f) (ii) -- o erérus
2-y x2-سj*" வற்றின் பெறுமானங் காண்க, ጎ s x + . 亭 2 - =2ஆஞ்றல், (i) - (i) -ட் என்பவற்றின் பெறு
у * t 次ーy
GTGCTRE & Torress
8x--19 3. 3y = - 2x ஆனல், --- இன் பெறுமானத்தைக் 5у— бx காண்க. x 3 2x -- y ,6är பெறுமானத்தைக் காண்க? حمسسیسس ون06نچ)gے ہے۔ == حس۔ ط4ھ ۔
y 5 2x-y - - - yسہ 4x S. = 2 எனில் (1) x : y என்ற விகிதத்தையும்
x十y Y
3x-2y (ii) என்பதையும் காண்க,
yس-2x xーy 2
6. -- = - ஆனல் க்கும் y க்கும் உன்ன விகிதத்தைக்
x十y 5 காண்க,
p十a
3p-2g
தைக் காண்க,
قيoتعx-p)3 - (x - q)3 ag p,q, r, creir) ولأ96ع)P + 4 + '?g= * *۰8
உறுப்புகளிற் கூறுக.
*十2a
2 =お ஆனல், p இற்கும் g இற்கும் உள்ள விகிதத்
=4 ஆயின் x இனது பெறுமதியை த இனது - ν உறுப்புகளிற் காண்க. பின்னர், 2x -- 3a x--a (a) (b)
3x -- a 3-2a களைக் காண்க
என்பவற்றின் பெறுமதி

Page 9
10
அத்தியாயம் 2 எளிய சமன்பாடுகள் சமன்பாடாவது இரு அட்சர கணிதக் கோவைகளின் சமத்து வத்தைக் காட்டும் கூற்று ஆகும். * கோவைக் குறியீடுகளின் குறித்த ஒரு பெறுமானம் அல்லது பெறுமானங்களுக்கு மாத்திரமே அக்கோவைகள் சமன்பாடு டையனவாகும். அதாவது 4x+1, 9 எனும் கோவைகளின் சமத்துவத்தை வெளிப்படுத்தும் கூற்று 4x+1=9 எனும் சமன்பாடு ஆகும். Xஇன் பெறுமானம் 2 எனின் மாத்திரமே மேற்படி கூற்று உண்மையானதாகும். சர்வசமன்:- இரு அட்சர கணிதக் கோவைகள், அவற்றின் குறியீடுகளின் எப்பெறுமானத்திற்கும் சமமாயின் அவை சர்வ சமன் எனப்படும். உ-ம். x (x+1) =x2+x. சர்வசமன் என்ப தைக் குறிக்க " = " எனும் குறியீட்டை உபயோகிப்பதும் உண்டு. தெரியாதன:- யாதேனும் ஒரு சமன்பாட்டில், பெறுமானம் காணப்படவேண்டிய குறியீடானது தெரியாக் கணியம் எனப்படும். ஒரு சமன்பாட்டின் தெறியாவுறுப்பின் பெறுமானத்தைக் காணும் செய்முறை, தீர்த்தல் எனப்படும். தெரியாவுறுப்பின் பெறுமானத்தைச் சமன்ப்ாட்டின் மூலம் அறிவது தீர்வு என்கிருேம். s எளிய சமன்பாடு:- ஒரேயொரு தெரியாக் கணியத்தைக் கொண்டுள்ள ஒருபடிச் சமன்பாடே எளிய சமன்பாடு எனப்படும். ஓர் எளிய சமன்ப்ாட்டைத் தீர்க்க உதவும் அடிப்படை உண்மைகள்:- (1) ஒரு சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்துடனும் ஒரே கண்
யத்தைக் கூட்டலாம். அதாவது 2x=y எனின் 20+3=y+3 ஆகும். (ii) ஒரு சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலிருந்தும் ஒரே கணி
யத்தைக் கழிக்கலாம். அதாவது 2x=y எனின் 2x-2-y-2. ஆகும். {i) ஒரு சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ஒரே கணியத் தால் பெருக்கலாம். அதாவது 2x=y எனின் 4x2x = 4xy ஆகும். (iv) ஒரு சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ஒரே
கணியத்தால் பிரிக்கலாம். அதாவது 2x = y எனின்
2x * = 4 ஆகும்.

11
ஓர் எளிய சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்பொழுது மாணவர் மனதிற் கொள்ளவேண்டிய சில முக்கிய குறிப்புகள் பின்வருவனவாம்;. (i) சமன்பாட்டில் பின்னங்கள உளவாயின் முதலில் அவற்றை விடு வித்தல் வேண்டும். ஆனல் அடைப்புகளுள் பின்னங்கள் உள வாயின் அடைப்புகளை முதலில் நீக்குதல் முறையாகும். (i) தெரியாவுறுப்புகள் யாவையும் இடப்பக்கத்திற்கும் ஏனைய வற்றை வலப்பக்கத்திற்குமாக இடமாற்றஞ் செய்தல் அடுத்த படி யாகும். (i) இரு பக்கங்களையும் சுருக்கி எழுதுக. (w) இரு பக்கங்களையும் தெரியாவுறுப்பின் கணியத்தால் பிரித்துத்
தெரியாவுறுப்பின் பெறுமானத்தைக் காண்க
இடமாற்றம :-
ஒரு சமன்பாடடைத தீர்த்தலில் இடமாற்றம் செய்தல் ஒரு முக்கிய செய்முறை ஆகும். தெரியாவுறுப்புகளை ஒரு பக்க மாகவும், தெரிந்த உறுப்புகளை மறுபக்கமாகவும் ஒழுங்கு செய் தலே இடமாற்றமாகும். ஒரு சமன்பாட்டின் ஒரு பக்க உறுப்பை இடமாற்றம் செய்யவேண்டின், அவ்வுறுப்பின் குறியை மாற்றி மறுபக்கத்தில எழுதுக உ-ம். 1. தீர்க்க 8x-6-3x+4
-6 ஐ வலப்பக்கத்திற்கும், 3x ஐ இடப்பக்கத்திற்கும் இடமாற்றம் செய்க.
8x3x=4+6 ... 5x is 10
pf
x=2
உ-ம். 2. தீர்க்க: 2 (3x-7) - 3x+5 = 3(x+2) ー(4xー5)
அடைப்புகளை நீக்குக.
6x - 14 - 3 x +5 = 3 x 4-6-4-x-5 ... 6x -3.x-3X -- 4x = 6 --5-14 - 5
... 4x=20
.. 5 ܚܒ

Page 10
12
உ-ம். 3. தீர்க்க :
(x+1) (2x-1)(x-3) (2x+1) = 2 (2x+3) (x-5) அடைப்புகளை நீக்குக.
2x2+x-1+2x2-5x-3 =2 (2x2+13x+15) 2x2+ x -1+2x2-5x-3 =4x2-4-26x-30 3+ 1 +-30 == 26x------۔ 5x --- 4x2 ســ2x2-+ x -+-2x2
... - 30x = 34.
مجھ1- = منقسے x ・ *ーコ0ー「“重5
姿 3 4. - தீர்க்க *ーエ7= 3x5 。4 ه f0 حیحتر ،
குறுக்கே பெருக்குக.
3(3x--5)=4(2x+7) 。。9x十15=8x十28 ... 9x-8x-28-15
x = 13. குறிப்பு: ஒரு பின்னம்மாத்திரம் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் இருந்தால் மட்டுமே குறுக்குப் பெருக்கல் முறையை உபயோகிக்க գՔւգ-պւՈ- M உ-ம். 5. தீர்க்க: 号(+凯 -- 號(-隸) =를
அடைப்புகளை நீக்குக. 芳+品+亲一器一器 இரு பக்கங்களையும் பகுதிகளின் பொ. ம. சி. ஆகிய 84 ஆல் பெருக்குக. w
12x-6-21x-14=91
2x--21x=91-6-14
33x=99
.、x=3
쯔二空_ 그 4. 5
உ-ம். 6. தீர்க்க : =x十-1

13
பொ. ம. சி. ஆகிய 20 ஆல் பெருக்குக, 5(3xー2)ー4(xー3) = 20(x+1) r. 15x — 10—4x -- 12 = 20x + 20 ... 15r-4x-20x = 20--1U-12
... -9x = 8
2% = 一エー= - 2
உ-ம் 7 தீர்க்க : 을 - =
பொ. ம. சி. ஆகிய (x-2) (x+2) (x+4) ஆல் பெருக்குக 5 (x-1-2) (x+4)-3 (x-2) (x+4)=2(3-1-2) (x-2) g ... 5 (x2-6x+8)-3 (x2-2x-8) se 2 (x2-4)
... 5x2-30x--40-3x2-6x--24 = 2x2-8 ... 5x2+30x-3x2-6x2x2 = -8-40-24
, 24x = -72
Maram 72 مسـ ... x = - 4 - = 3
uubi 2
. 0x-5s 8x --7
2. 6x-4 = 5x -- . 3・4yー3+y+2=6ー8y-1+2yー7+12 | 4 5x---2+ 3x + 7-4x - 2 - 6x == 1 5 15x - 27 = 3 ۰8x-- 19 - 2x - 6 6. 5 (2x-4) = 203x-8) 7, 4 (x+2) = 3(x-3)

Page 11
10.
1.
12.
13.
理车。
S.
6.
7.
20,
22.
24, 9
25.
26.
27.
28.
29, 30.
3.
14.
8-- 4x عیت 5 -- (1 سیس2} 3 و + (3-- x) 7ے (x-1)-3(x+1)=4 ( 1 - x) 2
3x--6-2(1-x)=2(x-1)-(x-2) 4+(1-2x+1)-3(x)5 = (1-سx+2)+4(3x)12+2
(x--4) (x-3) = x (x--5)--7
(x+1)2 +5 = (x-7) (x-1-2)-1 5x(x+2)-(2x+1)(x-2) s x (2x-7)+x2-8 0 = x)--x2-1----3) (1 س-2x +-1) (x ---2)-+-{x) (x-5) (x,-4)--(x+2)(x-3) = 20x-3)(x-1-2)-8 (x+1) {2x-1) +(x-3) (2x+1} = (2x +3)2 (gడి• 49)
5 4 5 双干3下下エ 19, 下 7x
3 4(3 2 4۔X二1)_4(2X二1) 3 x - 1 2 T (3 سx)2
홍
شمس
2 = 2 نہنگ س& き+計=9 23 秀ー2=露+
(x+1)(x-3)- = (x+2) (x+5) 2(x-3) - 3 (x-3) six--
2x十器一3(x十盘)十器=
基 (4ーx)ー尋 (5-x)+器(6-x)=1
(6x-5)- (2x-1) s 2x-3
4(xー霧)+2x =3(2x+翻)ー(x+甚)
(2x-1) - (x+3) = (8x-3)

32
33.
24,
36.
38.
40.
42.
48.
50. ,
52,
조_. 2」. 쯔士 - 보 5ーす+一翁ー=委
Χ
2
3
2쯔士 3士)
2x 一rー==ず一+寺。
5x--6. 3x-4 . (9-d=2(kکك+ "ifک2
%十2上女一6_ 辻秀サ気エ = 2
2x土7_ 3x-3 -- ལ་ཁ་ ཡ་
s 4.
24 - 15 - 9 x - 12 x-3T x-7
35.
37.
39.
41.
43.
45.
47.
49.
5.
S3.
쯔士보_. 쯔- ?-
3 4 T 18
έ+ 2x-33x+2. x 4. 6 9 2
x--5 x+1 x-3 - 4 - - - 9 - "ר - 6
전土_포世 쪼土_쯔士_
4 5 6 7
-se s-vo el res
2(x-2)__
x+2 S
: -- != 2[ao"52]
ぶー4 x十-4

Page 12
16
அத்தியாயம் 3 எளிய சமன்பாட்டு உத்திக் கணக்குகள்
சில உத்திக் கணக்குகளைச் சமன்பாட்டு முறையாக இலகுவில் விடுவிக்கலாம்.
இவ் வத்தியாயத்தில் எளிய சமன்பாடு அமைத்துத் தீர்க்க வேண்டிய உத்திக் கணக்குகளைப் பற்றி ஆராய்வோம். கணக்கு களில் தரப்பட்ட நிபந்தனைகளுக்கு அமையச் சமன்பாட்ட்ை அமைத்தலேமுக்கியமான செய்முறையாகும். தெரியாக் கணி யத்தைக் குறிக்க ஒரு குறியீட்டை உபயோகித்து, இரு சமமான கோவைகளை அமைத்து அவற்றைச் சமன்படுத்தி எ முது தல் வேண்டும். உதாரணமாக, “ஓர் எண்ணிலிருந்து 8ஐக் கழிக்க வரும் விடை 11 ஆகும்” எனும் கூற்றுக்கு அமையும் இரு சமமான கோவைகள் x-8; 11 என்பனவாம். ஆகவே x-8=11 என்பதே தேவையான சமன்பாடாகும்.
சமன்பாட்டைச் சரிவர அமைத்து விட்டோமாயின், <°印点 நமக்குத் தெரிந்த எம்முறையா லேனும் தீர்த்து விடையைக்
காணலாம் உம் 1. இரு எண்களின் வித்தியாசம் 7. சிறிய எண்ணின் * பங் கிலும் பார்க்கப் பெரிய எண்ணின் * பங்கு 5 ஆல்கூட அவ் வெண்களைக் காண்க.
பெரிய எண் x எனக் கொள்க.
. சிறிய எண் x-7 ஆகும்.
3x
பெரிய எண்ணின் ஜ் பங்கு = す
சிறிய எண்ணின் பங்கு = + (x-)
警一一 号-(x-7)= 5 இரு பக்கங்களையும் பொ. ம. சி. 35 ஆல் பெருக்க, 21xー20(x-7)=175 21x-20x -- 140 = 175
... 21x-20x = 175-140
... x s 35
. எண்கள் 35, 28 என்பனவாம்,

7
உ-ம் 2. A இற்கு 8 இன் இருமடங்கு வயதாகும். இன்னும் 6 வருடங்களின் பின் A யின் வயதானது, 8இன் 3 வருடங் களுக்கு முந்திய வயதின் மும்மடங்காகும். அவர்களது தற்போதைய வயது என்ன? 8 இன் வயது x வருடங்கள் எனக்கொள்க். * A இன் வயது 2x வருடங்கள் ஆகும்.
6 வருடங்களின் பின் Aஇன் வயது - (2x+6) வருடங்கள் . 3 வருடங்களின் முன் Bஇன் வயது = x- 3) வருடங்கள்.
2x十6=3(xー3)
... 2x--6=3x -9
... 2x- 3x = -9-6
。一x=一15
.., x = 5
", B இன் வயது 15 வருடங்கள். Aஇன் வயது 30 வருடங்:
கள் ஆகும். உ-ம் 3. இரு இலக்கங்களைக்கொண்ட ஒர் எண்ணின் இலக்கங் ቌ களின் கூட்டுத்தொகை 11 ஆகும். ஆணுல் இலக்கங்கள் முன்பின்னுக்கப்பட்டால் புதிய எண் முந்திய எண்ணின் இரு மடங்கிலும் 7ஆல் கூடியதாகும். எண்ணைக்காண்க
பத்தினிடத் திலக்கம் x எனக் கொள்க. .. ஒன்றிடத் திலக்கம் l lーx
", எண் 10x + 1 -x ஆகும். முன்பின்னகிய எண் 10 (11-x) +x
10(11-x)+xー2(10x+11ーx)=7 a. 0-10x+x-20x-22+2x = 7
... - 10x-- x -20x+2x = 7-1 10+22
... - 27χ = - 8 1
. . . ......8 = ・ x=・27 =
ஃ பத்தினிடத் திலக்கம் 3. ஒன்றினிடத் திலக்கம் 8 ஆகும்,
\,. எண் 38 ஆகும்,
அ-2 2

Page 13
18
உ-ம் 4. ஒரு மனிதன் தனது வீட்டிலிருந்து கந்தோருக்கு;
மணிக்கு 3 மைல் கதியில் நடந்து சென்றபோது . 4 நிமிடங்கள் பிந்தினுன். மறுநாள், மணிக்கதியை 3. மைலால் அதிகரித்து நடந்தபோது 2 நிமிடங்கள் பிந்தினன். அவனது வீட்டிலிருந்து கந்தோசின் தூரத்தைக் காண்க. (49 டிசெம்)
தூரம் x மைல் எனக் கொள்க.
3 மைல் வேகத்தில் x மைலைச் செல்ல நேரம்
- 2.. ہے۔.X ーす மணி = 7 மணி
32 மைல் வேகத்தில் x மைலைச் செல்ல நேரம்
= ஃ-மணி = 4x மணி - 5 is
2X - 4x l 7 5 T 30
(நேர வித்தியாசம் 2 நிமிடம் அல்லது மணி.)
பொ.ம.சி. ஆகிய 210 ஆல் பெருக்கிப் பின்னத்தை விடுவிக்க,
60x-56x=7
4x=7
O x = 1
. வீட்டிலிருந்து கந்தோரின் தூரம் 12 மைல் ஆகும்.
உ-ம் 5. நான் 4,400 ரூபாவின் ஒரு பகுதியை 44% தனி வட்டி வீதம் 24 வருடங்களுக்கும், மீதியை 3% தனி வட்டி வீதம் 3 வருடங்களுக்கும் கொடுத்தேன். 43% வட்டி 3% வட்டியிலும் ரூபா 9 அதிகமாயின் ஒவ்வொரு வீத வட்டியிலும் கொடுத்த தொகையைக் காண்க.
4% வட் டிக்குக் கொடுத்த தொகை ரூபா x .எனக் கொள்க,

19
. 3% இல் கொடுத்த தொகை= ரூபா 4,400-ரூபா x
x x 2 x 4
00
ரூபரிx இற்கு 44% படி 2 வரு. வட்டி = ரூபா
, 쓰
80 ரூபா (4,400-x) இற்கு 3% படி 3 வரு. வட்டி
= el T
حجم
(4.400-x) x 3 X 3
00
- 9 (4,400ーx)
00
9x 9 (4,400-x) -
30 9 = محکس کتا .. 45x-36 (4,400-x) = 3,600 (400 ஆல் பெருக்க) ... 45x-1,58,400-4-36x = 3,600
. 45x4-36x = 3,600-1,58,400
..”. 8 lx == 1 , 62,000 ... x = 2,000
*, 44% வட்டிக்குக் கொடுத்த தொகை= ரூபா 2,000 3% வட்டிக்குக் கொடுத்த தொகை = ரூபா 2,400
(உ-ம் 6, 220 மைல் நீளமான AB எனும் ஒரு புகையிரதப் பாதை
யில், P, Q, R, எனும் மூன்று புகையிரதங்கள் மணிக்கு முறையே 25, 20, 30 மைல் கதியில் செல்கின்றன. P.Q எனும் புகையிரதங்கள் A இலிருந்து முறையே முற்பகல் 7 மணிக்கும் 8.15 இற்கும் புறப்படுகின்றன. R எனும் புகையிரதம் B இலிருந்து மு.ப. 10-30இற்குப் புறப்படு கிறது. P எனும் புகையிரதம் எப்போது, எங்கே, Q, R என்பவற்றிலிருந்து சமதூரத்திலிருக்கும்?
Q Р R
A. B
P எனும் வண்டி Q, R இலிருந்து சம தூரத்திலிருக்கும் போது A இலிருந்து P இன் தூரம் y மைல் என்க

Page 14
20
4}. 参 ᏏᏔ Χ x மைலைச் செல்ல P எடுக்கும் நேரம் = フ5 மணி
Q. 1 uDawf 5 sus o 19 gšálů புறப்படுகின்றமையால்
VM d Χ குறித்த இடத்தை அடைய நேரம் = ( 15
st 5 * ( 一亲一 po 1)மணியில் Q செல்லும் தூரம் =20(-)மைல்
34 மணி பிந்தி R புறப்படுவதால் அது
எடுக்கும் நேரம் = (盖一珪) மனுரி:
( --3 ਨੂੰ ) மணியில் R செல்லும் தூரம்
o 7 V s -30 ( 亨 - ) மைல்:
AP = x 60puO 6äö
Q சென்ற தூரம் AQ=20 ( ༣
25
R 6ìơ sở, p &Tưủồ BR= 30 (盖一
P Q = P R
B P=(220-x) அதாவது AP —AQ= BP–BR
Ke 22 - ۱ - کدn - - - -2- - - کد )۹۱ م ... x -20 (-)- 20 Χ 30( 25 ;)
s 20x 100 20x20 X 芳十 4 WW 220--x-ے۔g + 2
பொ.ம.சி.ஆகிய 100 ஆல் பெருக்க,
... 100x-80x--2,500 = 22,000 - 100x - 120x + 10 SOG. ... 100x-80x + 100x-- 120x = 22,000-10,500-2500
... 240x = 30 000

21 ... x = 125 . A இலிருந்து P 125 மைல் தூரத்திலிருக்கும் போது Q, R இலிருந்து சமதூரத்தில் இருக்கும்.
25 மைலேச் செல்ல P எடுக்கும் நேரம்= -மணி =5 06fi
-ஃ கேட்கப்பட்ட நேரம் દે. எமு,ப. 7+5 மணி
* = 12 மணி நடுப்பகல் uuijf 3 (a) Y. மூன்று அடுத்துவரும் இயற்கையான எண்களின் கூட்டுத் தொகை 42 ஆகும். அவற்றைக் காண்க,
2. கூட்டுத் தொகை 66 ஆகவுள்ள மூன்று அடுத்து வரும் இரட்டை எண்களைக் காண்க.
v3. மூன்று அடுத்துவரும் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகை 99 ஆகும். அவற்றைக் காண்க,
4. ஒரு எண்ணினதும், அதன் அரைப் பங்கினதும், அதன் * பங்கினதும் கூட்டுத் தொகை 33 ஆகும். எண்ணைக் காண்க
/5. பெரிய பங்கின் மூன்று மடங்கு சிறிய பங்கின் 6 மடங் கிலும் 15 குறைய இருக்கத்தக்கதாக 40 ஐ இரு பங்குகளாகப் பகிர்.
6. ஒரு எண்ணுடன் 18ஐக் கூட்டவரும்பெறுபேறு, அவ்வெண் ணின் 14 மடங்கிலும் 12 குறைந்தது எண் என்ன?
W. 3RC5 இரு சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு அடிக் கோணமும், உச்சிக்கோணத்தை விட 15° கூடியது கோணங் களைக் காண்க.
V8. ஒரு முழு எண்ணின் அரை, அடுத்த முழு எண்ணின் மூன்றில் ஒன்றிலும் 2 கூடியது, முழு எண்ணைக் காண்க.
9. ஓர் ஏழு பக்கங்களைக் கொண்ட பல்கோணத்தின் 6 கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் x° அளவினதாகும். ஏழாவது கோணம் (x+25)° ஆயின் x இன் விலையைக் காண்க
10. ஒரு வியாபாரி 2x பொருள்க&ள ஒன்று 7 ரூபா வீதம் வாங்கி, \ பொருள்களை ஒன்று 12 ரூபா வீதமும், 20 பொருள்களே ஒன்று 10 ரூபா வீதமும், மிகுதிப் பொருள்களை ஒன்று 6 ரூபா வீதமும் விற்கிறன்,

Page 15
22
(a) 6 ரூபா வீதம் விற்ற பொருள்கள் எத்தனை? (b) எல்லாப் பொருள்களையும் விற்றவிலை என்ன? (c) மொத்தம் இலாபம் எவ்வளவு? (d) அவனுடைய இலாபம் 320 ரூபாவானுல், x இன்
பெறுமானம் யாது? . 11) 600 பிள்ளைகள் உள்ள கலவன் பாடசாலையில் பெண்பிள்ளை களின் தொகை X.
40 ஆண் பிள்ளைகள் பாடசாலையிலிருந்து நீக்கப்பட்டு 70 பெண் பிள்ளைகள் சேர்க்கப்பட்டால்
(i) பெண் பிள்ளைகளின் தொகை என்ன? (i) ஆண் பிள்ளைகளின் தொகை என்ன?
(ii) அப்பொழுது ஆண் பிள்ளேகளின் தொகை பெண் பிள்ளைகளின் தொகையின் இரண்டு மடங்காயின் x இன் பெறுமானத்தைக் காண்க. -
12 ஒருவன் 72 மைல் பிரயாணத்தின் ஒரு பகுதியை மணிக்கு 8 மைல் வீதம் துவிச் சக்கர வண்டியிலும், மீதியை மணிக்கு 24மைல் வீதம் மோட்டார் வண்டியிலும் சென்றன். அவன் முழுப் பிரயாணத் துக்கும் எடுத்த நேரம் 5 மணித்தியாலம். அவன் துவிச் சக்கர வண்டியில் 1 மணித்தியாலம் பிரயாணம் செய்தால் (1) மோட்டார் வண்டியில் எவ்வளவு நேரம் சென்ருன் ? (2) துவிச்சக்கர வண்டியில் எவ்வளவு தூரம் சென்றன்? (3) ஒரு சமன்பாடமைத்து 1 இன் விலேயைக் காண்க
13 ஒரு மனிதன் மோட்டார் வண்டி மூலம் மணிக்கு 24 மைல் வேகத்தில் p மணித்தியாலங்களிலும், மணிக்கு 3 மைல் வீதம் நடந்து (2-p) மணித்தியாலங்களிலும் 34 மைல் பிரயாணஞ் செய் தான் p இன் விலையைக் காண்க
14, ஒரு மனிதன் 15 மைல்தூரத்திலுள்ள ஒரு பட்டினத்துக்குத் துவிச்சக்கரவண்டியில் மணிக்குப் 10 மைல் வேகத்திற் செல்வது வழக்கம், ஒரு நாள் வழக்கமான வேகத்தில் A மைலைச் சென்றபின் துவிச்சக்கர வண்டி பழுதானதால் அவன் 10 நிமிடங்கள் தாமதிக்க நேரிட்டது, பட்டினத்தை வழக்கமான நேரத்தில் அடைய அவன் மீதித் தூரத்தை மணிக்கு 12 மைல் வேகத்திற் செல்ல வேண்டி, யிருந்தது ஒரு சமன்பாடு அமைத்து x இன் விலையைக் 45s 6T6

23
Ms. இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகை 22 ஆகும். பெரிய எண்ணின் ஆறு மடங்கு சிறிய எண்ணின் ஏழு மடங்கைவிட 2 குறைந்தது எண்களைக் காண்க
6. பெரிய பங்கின் மூன்று மடங்கு, 100ஐ விட எவ்வளவு கூடியதோ அவ்வளவால் சிறிய தின் ஐந்து மடங்கு 80 இலும் குறைந்ததாக இருக்கும் வண்ணம்-50 ஐ இரு பங்குகளாகப் பகிர்
17. A இன் பங்கு B இன் பங்கின் இரு மடங்கிலும் ரூ 50 கூடவும், C இன் பங்கு A இன் பங்கின் இரு மடங்கிலும் ரூ. 150 குறையவும், இருக்கத்தக்கதாக ரூ. 2,100 A, B, C என்னும் மூவருக்கிடையில் பங்கிடப்பட்டது ஒவ்வொருவரின் பங்கையும் க்ாண்க
V18. எனது தற்போதைய வயதின் இரு மடங்கிலிருந்து, 6 வருடங்களுக்கு முந்திய எனது வயதின் மூன்று மடங்கைக் கழித்தால் எனது தற்போதைய வயது பெறப்படும். எனது தற்போதைய வயது என்ன?
19. ஒரு மனிதன் தனது மகனிலும் 36 வருடங்கள் மூத்தவன், 3 வருடங்களின் பின்னர், தகப்பன் மகனைப்போல் மூன்று மடங்கு வயதுடையவனுக இருப்பான். அவர்களது தற்போதைய வயது கனக் காண்க.
V29 A என்பவன் B என்பவனைப்போல் இரு மடங்கு வயதுடை யவன். 4 வருடங்களின் முன்னர் A யின் வயது B யின் வயதின் ஏழு மடங்கிலும் 4 கூடியதாக இருந்தது. அவர்களின் வயதுகளைக் காண்க
21. A யின் வயது B யின் வயதின் 8 ஆகும். 6 வருடங்களின் பின்னர் A யின் வயது B யின் வயதின் 3 ஆகும். அவர்களின் தற் போதைய வயதுகளைக் காண்க.
2. ஒரு பையன் தனது தாயைப்போல் + மடங்கும்; சகோ தரியைப்போல் மூன்று மடங்கும் வயதுடையவன். 14 வருடங்: களின் பின்னர், பிள்ளைகள் இருவரின் வயதுகளும் சேர்ந்து தாயின் வயதிற்குச் சமமாகும். மகனின் தற்போதைய வயதைக்
56045.
23. A என்பவன் B என்பவனுக்குச் சொல்கிருன், 'நான் உனது வயதை உடையவனுக இருந்தபொழுது, உனது வயதைப் போல் இருமடங்கு வயதுடை யவனக இருக்கிறேன்." அவர்களின் தற்போதைய வயதுகளின் கூட்டுத்தொகை 63 ஆகும். அவர் களின் வயதுகளைக் காண்க.

Page 16
24
uuji 3 (b) 1. ஒரு எண் இரு இலக்கங்களைக் கொண்டது. பத்தி னிடத்திலக்கம் ஒன்றினிடத்திலக்கத்திலும் 2 கூடியது. அத் துடன் எண்ணுனது இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையைப்போல் ஏழு மடங்காகும். எண்ணைக் காண்க.
2. இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின் இலக்கங் களின் கூட்டுத் தொகை 8 ஆகும். இலக்கங்களை முன் பின்னுக மாற்றுவதால் உண்டாகும் எண், முந்திய எண்ணைவிட 36 குறைந்ததெனின், எண்ணைக் காண்க.
3. இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின் பத்தி னிடத் திலக்கம் மற்றதிலும் 5 கூடியது. இலக்கங்களை முன் பின்னக மாற்றும் பொழுது உண்டாகும் எண், முத்திய எண்ணின் ஜ் ஆகிறது. எண்ணைக் காண்க
4. மூன்று வருடங்களின் பின்னர் Aயின் வயது, 5 வருடங் களின் முன்னர் Bயின் வயதைப் போல் மும்மடங்காகும். தற் பொழுது Aயின் வயதின் 8, Bயின் வயதின் 3 ஐவிட 2 வருடங்கள் கூடியது. அவர்களின் தற்போதைய வயதுகளைக் காண்க.
5. இருத்தல் ரூ. 2-25 விலையுள்ள எத்தனை இருத்தல் தேயிலையை, இருத்தல் ரூ. 2-50 விலையுள்ள 30 இருத்தல் தேயிலை யுடன் கலந்தால், கலவையில் ஒரு இறத்தலின் விலை ரூ. 2.40 ஆகும் ?
6. ஒரு மோட்டார் சாரதி 137 மைல் பிரயாணத்தை 8 மணித்தியாலங்களில் முடிக்கிருன். அவன் பிரயாணத்தின் ஒரு பகுதியை 16 மைல் மணி வேகத்துடனும் மிகுதியை 18 மைல் மணி வேகத்துடனும் ஒட்டினல், ஒவ்வொரு வேகத்திலும் ஒட்டிய தூரம் என்ன ?
7 வேலை செய்யும் ஒவ்வொரு நாளுக்கும் ரூ. 3-50 பெறுவா னென்றும் வேலைக்கு வராத ஒவ்வொரு நாளுக்கும் ரூ. 0.75 அபராதம் விதிக்கப்படுமென்றும் நிபந்தனை விதிக்கப்பட்டு ஒரு கூலியாள் 30 நாட்களுக்கு வேலைக்கமர்த்தப்படுகிறன். அவன் மொத்தமாக ரூ. 70 பெற்றன். அவன் வேலைக்கு வராத நாட்கள் எத்தனை ?
8. 50 சத நாணயங்களாகவும், 25 சத நாணயங்களாகவும் ஒரு உண்டியலுக்கு ரூ. 30-75 கொடுக்கப்பட்டது. நாணயங்களின் தொகை 80 எனின், 25 சத நாணயங்கள் எத்தனை ?
9. ஒருவன் சில மேசைகளையும் கதிரைகளையும் வாங்கு கிருன். மேசைகளின் எண்ணிக்கை, கதிரைகளின் எண்ணிக்கை

25
யின் இருமடங்கிலும் 3 குறைந்ததாகும் ஒரு கதிரையின் வில் ரூ.8 உம் ஒரு மேசையின் வில் ரூ 25-உம் ஆகும். அவன் முழுவதற் கும் ரூ. 969 கொடுத்தால் அவன் வாங்கிய கதிரைகள் எத்தனை?
10. நான் ரூ. 5000-இன் ஒரு பகுதியை 5% தனி வட்டிக்கும் மிகுதியை 6% தனி வட்டிக்கும் விட்டேன். 24 வருட முடிவில், நான் மொத்த வட்டியாக ரூ. 700 பெற்றல், 6% வட்டிக்கு விடப் பட்ட முதலேக் காண்க.
11. Aயும் Bயும் சேர்ந்து ரூ. 6800 ஐ ஒரு வட்டிக் கடைக் காரனிடம் பெற்றர்கள். A 4% தனி வட்டிப்படி 2 வருடங்களுக்கும், 85% தனி வட்டிப்படி 13 வருடங்களுக்கும் பெற்றர்கள் A கொடுத்த வட்டி, B கொடுத்த வட்டியிலும் 48 ரூபா கூடியதாயின், ஒவ் வொருவரும் கடனுக வாங்கிய முதல் என்ன?
12. ஒரு வியாபாரி ஒரு வானெலிப் பெட்டியையும், 605 (5tq. காரத்தையும் வாங்கினன். வானெலிப் பெட்டி, கடிகாரத்தைவிட ரூ. 70 விலை கூடியது. அவன் வானெலிப் பெட்டியை 10% நயத்திற் கும் கடிகாரத்தை 124% நயத்திற்கும் விற்று மொத்தத்தில் ரூ. 47 நயம் அடைந்தான் ஒவ்வொன்றினதும் வில்யைக் காண்க.
13. கடுகதிப் புகையிரதம் ஒன்று பிறிஸ்ரலிலிருந்து பி. ப 3 மணிக்குப் புறப்பட்டு இலண்டனை பி. ப. 6 மணிக்குச் சேருகிறது. சாதாரண புகையிரதம் ஒன்று இலண்டனிலிருந்து பி. ப. 1-30க்குப் புறப்பட்டு பிறிஸ்ரலை பி ப. 6 மணிக்குச் சேருகிறது. இரு புகை யிரதங்களும் மாரு வேகத்தில் பிரயாணஞ் செய்தால் அவை எப் பொழுது சந்திக்கும் எனக் காண்க.
14 ஒரு பின்னத்தின் பகுதி எண், தொகுதி எண்ணை விட 5 கூடியது. தொகுதி எண்ணுடன் 3ஐக் கூட்டினல், பின்னம் ஆகிறது. பின்னத்தைக் காண்க,
15. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி எண், தொகுதி எகிண்ணின்
இரண்டு மடங்கைவிட 2 கூடியது. தொகுதி எண்ணை 4 ஆல் அதி
கரித்து பகுதி எண்ணே 3 ஆல் பெருக்கினல், பின்னம் : ஆகிறது, பின்னத்தைக் காண்க.
16. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி எண், தொகுதி எண்ணின் இரு மடங்கைவிட 1 கூடியது. தொகுதி எண்ணின் மும்மடங்குடன் 3 ஐக்கூட்டி பகுதி எண்ணின் மும்மடங்கிலிருந்து 3 ஐக் கழிக்க, பின்னம் ர் ஆகிறது. பின்னத்தைக் காண்க,

Page 17
26
17. ஒரு யாத்திரிகர் கோஷ்டி, ஒரு விடுதியை அடைந்தது. ஒவ்வொருவருக்கும் ஒவ்வொரு படுக்கை அறையைப் பெற்றுக் கொள்வதற்கு a படுக்கை அறைகள் குறைய இருப்பதாக அறிந் தனர். அவர்கள் ஒரு அறையில் இவ்விரண்டு பேராகப் படுத்துக் கொண்டால், b காலியான அறைகள் இருக்கும் எனவும் அறிந் தன்ர். ஒரு அறையில் மும்மூன்று பேராகப் படுத்தால் எத்தனை அறைகள் காலியாக இருக்கும் என்பதைக் காண்க.
18. ஒரு அறையின் நீளம், அகலத்தைவிட 8 அடி கூடியது. நீளத்தை 2 அடியாற் குறைத்து, அகலத்தை 3 அடியாற் கூட்டி னல், பரப்பு 28 சதுர அடிகளாற் கூடுகிறது. அறையின் நீளத் தையும் அகலத்தையும் காண்க. " -
19. P என்னும் ஒரு இடத்திலிருந்து Q என்னும் இன்னேர் இடத்துக்குத் தூரம் 33 மைல்களாகும். A, B என்னும் இருவர் Qவைச் சேரும் நோக்கத்துடன் P இலிருந்து புறப்படுகின்றனர். முந்தியவன் வண்டி மூலம் மணிக்கு 6 மைல் வேகத்துடனும், பிந் தியவன் நடந்து மணிக்கு 3 மைல் வேகத்துடனும் செல்கின்றனர்: A என்பவன் 0 வில் 15 நிமிடங்கள் தாமதித்து, மீண்டும் வண்டி மூலம் Pக்குத் திரும்பி வருகிருன், அவன் எங்கே Bயைச் சந்திப் பான் என்பதைக் காண்க.
அத்தியாயம் 4 பொதுவுரை எண்கணிதழ், ஆத்திரங்கள், சூத்திரங்களின் எழுவாய் மாறறம, எழுததுச சமன்பாடுகள் முதலியன (இலகுவானவை). போதுவுரை எண் கணிதம் :
இப்பயிற்சிகளில், புதிய விதியொன்றும் உட்படுத்தப்படவில்லே, எண் கணித உத்திக் கணக்குகளில் உள்ள எண்களுக்குப் பதிலாக எழுத்துக்கள் உபயோகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எண் கணித உத்திக் கணக்குகளைச் செய்யும் முறைகளைப் பின்பற்றியே, இவையுஞ் செய்யப்படுகின்றன. ஆனல் விடைகள் பொதுவான வையாகும்
பயிற்சி 4 (a) (வாய்க்கணக்குகள்) (விடைகளை மாத்திரம் எழுதுக. படிகள் வேண்டப்படா) 1. ஒரு பென்சிலின் விலை 5.x சதம் ஆகும். x இடசின் பென் சில்களின் விலே எத்தனை ரூபாய்?

27
2. ரூபாவுக்கு 4a தோடம்பழங்கள் வீதம் , b ரூபாவுக்கு
எத்தனே தோடம்பழங்கள் வாங்கலாம்? . .
3. ஒரு கம்பியின் நீளம் 12x யார் ஆகும். ஒவ்வொன்றும் 2y
அடி நீளமான எத்தனை துண்டுகளை அதிலிருந்து வெட்டலாம்?
4. ஒரு மோட்டார் வண்டி மணித் தியாலத்தில் m மைல்களே ஓடுகிறது. அது n நிமிடங்களில் எத்தனை மைல் ஓடும் ? அது k மைல்களை ஒட எத்தனை நிமிடங்கள் எடுக்கும் ?
5. 5 r ரூபா x சதம் எத்தனை சதம் ? 6. சதுர அடி 1 சதுர அங்குலத்தைச் சதுர அங்குலமாக்குக.
7. அந்தர்களாக மாற்றுக : (i) x தொன் டி அந். (ii) c அந் d குவா
8, யாரிற் கூறுக () x அடி y அங். (i) 2x அடி 3x அங்.
9. ஒரு அறையின் நீளம் \ யார் y அடி ஆகும். அதன் அகலம் y யாராகும். அதன் பரப்பு எத்தனை சதுர அடியாகும்?
10. x, y என்னும் இலக்கங்களைக் கொண்டு இரு எண்களை ஆக்குக
11 w முட்டைகளை , ஒன்று x சதவீதம் வாங்கி முழுவதையும் 3 ரூபாவிற்கு விற்றல், இலாபம் எத்தனை ரூபாய் ?
12. ஒரு பையன் துவிச் சக்கர வண்டி மூலம் a மைல்கஜ்ள b மணித்தியாலயங்களில் பிரயாணஞ் செய்கிறன் அவன் 12 நிமிடங்களில் செல்லும் தூரம் என்ன ?
13. ஒரு பையன் 1 நிமிடத்தில் n சொற்களை எழுதுவானஞல், 30m சொற்களை அவன் எழுத எடுக்கும் நேரம் எத்தனை மணி ?
14. ஒரு தொட்டியை நிரப்புவதற்கு ஒரு குழாய் m நிமிடங் க3ளயும் இன்னுெரு குழாய் அதை வெறுமையாக்க n நிமிடங் க3ளயும் எடுக்கின்றன. இரு குழாய்களையும் ஒரே நேரத்தில் திறந்துவிட்டால், தொட்டி எத்தனை நிமிடங்களில் நிரம்பும்? m=20 ஆனல், n=30 ஆனல் விடையைக் காண்க.
15. A யின் வயது n வருடங்கள் ஆகும். b மூன்று வருடங்கள் இளையவன். 5 வருடங்களின் பின்னர், அவர்களின் வயதுகளின் கூட்டுத்தொகை என்ன வாயிருக்கும்?

Page 18
28
16. நான் 10 ரூபாவிற்கு P இடசின் பென்சில்களே வாங்கு கிறேன். ஒவ்வொரு பென்சிலினது விலையும் எத்தனை சதமாகும்? 17. 3 (d+f) அடி நீளமான ஒரு கம்பு ஒரு குளத்தினுள் நிலைக் குத்தாக நாட்டப்பட்டுள்ளது. d அடி சேற்றிலும் 2fஅடி நீரினுள் ளும் மறைந்திருந்தால், நீருக்கு வெளியே உள்ள பாகத்தின் நீளம் என்ன ?
பயிற்சி 4 (6) 1. (1) 40 இன் y% எவ்வளவு? (ii) 9x இன் y% எவ்வளவு ? 2. p அந்தர் தேயிலேயிலிருந்து ஒவ்வொன்றும் 2y இரு. நிறை யுள்ள 5x கட்டுகள் எடுக்கப்பட்ட பின் மீந்திருப்பது எத்தனை இருத்தல் ?
3. a, b, c, என்ற ஒழுங்கின் படி, இவற்றை இலக்கங்களாய் உடைய எண்ண்ை எழுதுக. இலக்கங்களை முன் பின்னக மாற்று வதினுல் கிடைக்கப்பெறும் எண் என்ன ? A
4. ஒரு மனிதன் x ஸ்கோர் தோடம்பழங்களை இடசின் y ரூபா வாக வாங்குகிருன். 2 தோடம்பழங்களின் விலையை சதத்திற் காண்க,
5. எண்ணின் x% a ஆகும். எண்ணைக் காண்க. 6. ஒரு மாதத்திற்கு ரூபாவிற்கு a சதம் வட்டியானல் V ரூபா விற்கு 2 வருட வட்டியைக் காண்க.
7. P ரூபாவிற்கு வருடத்திற்கு r% ஆக\2 வருட தணிவட்டி யைக் காண்க.
8. ஒரு பொருள் ரூ. C ஆக வாங்கப்பட்டு ரூ. S ஆக விற்கப் பட்டது. இலாப நூற்று வீதம் என்ன ?
9, a ரூபாவாக வாங்கப்ப்ட்ட ஒரு பொருள் b ரூபாவாக விற்கப் பட்டது. இலாபம் c சதமாயின், a, b, c என்பவற்றுக்கிடையே உள்ள ஒரு தொடர்பைக் காண்க.
10. ஒருகலவன் பாடசாலையில் x பிள்ளைகள் உளர். அவர்களில் y% ஆனுேர் பெண் பிள்ளைகளாவர். அப் பாடசாலேயில் எத்தனை பையன்கள் உளர் ? x = 30 ஆணுல் y = 40 ஆணுல் விடையைக் காண்க.
11. c ரூபாவாக வாங்கப்பட்ட ஒரு பொருள் d% நயத்திற்கு விற்கப்பட்டது. விற்ற விலை என்ன ?
12. V ரூபாவாக வாங்கப்பட்ட ஒரு பொருள் 2% நட்டத்திற்கு விற்கப்பட்டது. விற்றவிலே யைக் காண்க.

29
3. ஒரு பொருளை ரூபாவிற்கு விற்று p% நட்ட்ம் அடைத் தால், கொள் விலை என்ன ? W
14 ஒரு வியாபாரி n தோடம்பழங்கள் கொண்ட ஒரு பெட்டி யை x ரூபாவிற்கு வாங்கினன். விற்பனைக்கு r பழங்கள் உதவா எனக் கண்ட அவன், மிகுதியை ஒன்று c சதவீதம் விற்ருன். வியாபாரி அடைந்த இலாப நூற்று வீதத்தைக் குறிக்கும் ஒரு கோவையைப் பெறுக.
15. ஒரு வியாபாரி 1 அந்தர் சீனியை x ரூபாவாக வாங்கி. இருத்* தல் 3 சதமாக விற்றன். அவனது நய நூற்று வீதத்தைக் காண்க.
16. ஒரு வியாபாரி சீனியை அந்தர் ர ரூபாவாக வாங்கி, இருத்தல் 6 சதமாக விற்றன். அவ்விதம் விற்றதினல் p% நயம் அடைந்தான். p யை a, b என்பவற்றிற் காண்க
17 ஒரு மோட்டார் வண்டி ஒரு கிழமைக்கு m மைல்களை a மைலுக்கு g கலன் பெற்றேலை உபயோகித்து ஒட்டப்படுகிறது. பெற்றேலின் விலை கலனுக்கு x ரூபாவாகும். பெற்ருேலின் கிழமைச் செலவைக் குறிக்கும் ஒரு கோவையைக் காண்க.
18, ஒருவன் 2x+3 பழங்களை ஒன்று y சதவீதம் வாங்கினுன். அதில் x +4 பழங்களை ஒன்று 2y சதமாயும் மிகுதியை ஒன்று y சதமாயும் விற்ருல் இலாபமென்ன?
19 ஒருவன் 3a இருத்தல் கோப்பியை இருத்தல் b ரூபா வித மாகவும், (2a+b) இராத்தல் சீனியை (a-2b) ரூபா வீதமாகவும் வாங்க எவ்வளவு பணம் தேவை? அவன் இவற்றை வாங்குவதற்கு 10 ரூபா நோட்டைக் கொடுத்தால் மிச்சமாக எவ்வளவு ப்ெறுவான்?
20. ஒரு வியாபாரி இருத்தல் x ரூபா விலையுள்ள m இருத்தல்' கோப்பியையும் இருத்தல் y ரூபா விலையுள்ள m இருத்தல் குறைந்த இனக் கோப்பியையும் கலந்தால், கலவையில் ஒரு இருத்தல் என்ன" விலையாகும் ?
, 21 ஒரு புகையிரதம் மணிக்கு ர மைல்கள் வீதம் r மணித் தியாலங்களுக்கும். பின் 4 மணித்தியாலங்களுக்கு டிமைல் மணி வேகத் துடனும் ஒடுகிறது. திரும்பி வரும்பொழுது முழுத் தூரத்தையும் y மைல் மணி வேகத்துடன் ஒடுகிறது. திரும்பி வர அது எடுக்கும்" நேரத்தைக் காண்க;

Page 19
30
7 2. ஒருவன் ஒரு வருடத்தின் முதல் மூன்று மாதங்களில் மாதம் ரூ. a செலவு செய்கிருன். அடுத்த நான்கு மாதங்களில் மாதம் ஒன் றிற்கு ரூ. b செலவு செய்கிருரன். மிகுதி மாதங்களுக்கு மாதம் ஒன் றிற்கு c ரூப்ா வீதம் செலவு செய்கிறன். அவன் அவ்வருடத்தில் ஒவ் வொரு மாதமும் சராசரி எவ்வளவு ரூபாய் செலவு செய்தான் ? அவ னுக்கு ரூ. 2 மாத வரும்படியானல் அவ்வருடத்தில் அவன் சேமித்த ரூபாய் எவ்வளவு ?
23. x மனிதர் ஒரு வேலையை y நாட்களிற் செய்யக்கூடுமாயின் 2 நாட்களில் அதை எத்தனை மனிதர் செய்து முடிப்பர் ?
24, 20 அங். பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு சதுரத் திண்ம வடிவு மான மூடியுள்ள பெட்டியின் () கனவளவையும் (ii) மொத்த மேற்
பரப்பையும் காண்க.
25. கரி, கெந்தகம், நைற்றர் என்பன முறையே p , q : rள்ன்ற விகிதப்படி கலந்து வெடி மருந்து செய்யப்படுகிறது.x இருத்தல் வெடி மருந்தில் எத்தனை அவு. கெந்தகம் உள்ளது ?
26. A, B என்பவர்கள் முறையே ரூ. x, ரூ. y முதலிட்டு ஒரு வியாபாரத்தை ஆரம்பிக்கின்றனர். வருட முடிவிற் கிடைத்த நயம் 2 ரூபாவானல், ஒவ்வொருவர் பெற்ற இலாபத்தைக் காண்க."
27. ஒரு அறையின் நீளம் x யார், அகலம் y யார். சுற்றி வர 2அடி அகலமான இடைவெளி விட்டு அதன் மத்தியில் ஒரு கம்பளம் விரிக்கப்பட்டுள்ளது
(1) கம்பளத்தின் பரப்பைச் சதுர அடியிற் காண்க. (i) இடைவெளிக்கு மை பூசச் சதுர அடிக்கு 10 சதவீதமாகச்
செலவென்ன ?
28. ஒரு சுவரின் நீளம் (a + 25) அடியும், உயரம் (a - b) அடியும் ஆகும். (a - 26) அடி உயரமும் அ டி அ கல மு ங்
கொண்ட ஒரு கதவும், a அடி நீளமும் - அ டி அ கல மு ங் கொண்ட 2 ஜன்னல்களும் நீங்கலாக சுவரின் மி as குதிப் பாகத்திற்கு ۵ مجھ --- من تہہ و ہے جسم ، வெள்ளை அடிக்க () வேண்டிய பகுதியின் பரப்பையும் (i) 10 அடி கிசதுரத்திற்கு x ரூபா வீதம் செலவையும் காண்க. ヘ

3.
29. 100 மைல் பிரயாணத்தில் ஒரு பகுதியை y மைல் மணி வேகத்துடன் நடந்தும் மிகுதியை 8 y நைல் மணி வேகத்துடன் மோட்டார் வண்டி மூலமும் முடித்தேன். நடந்த தூரத்திற்கும், மோட்டார் வண்டியிற் சென்ற தூரத்திற்கும் உள்ள விகிதம் 3 2 ஆஞல், முழுப் பிரயான நேரத்தையும் காண்க.
முழுப் பிரயாண நேரம் 26 மணி எனின் மோட்டார். வண்டியின் மணி வேகம் என்ன ?
30. உருளை வடிவமான மூடியில்லாத ஒரு தொட்டியின் உள்" ஆரை" அடியும் உள் உயரம் b அடியும் ஆகும்.
(i) தொட்டியின் உட்புறத்திற்கு மை பூச சதுர அடிக்கு சத விதம் எத்தனை ரூபாய் செலவாகும். என்பதையும், () , கன அடி நீரின் நிறை இருத்தல்களாயின், தொட்டி கொள்ளத்தக்க நீரின் நிறையை அந்தரிலும் காண்க
31. ஒரு வியாபாரி x தோடம்பழங்களை நூறு y ரூபா வீதம் வாங்குகின்றன். அத்தோ டம்பழங்களுள் p யை நூற்றுக்கு 2 ரூபா நட்டத்திலும், மீதியை நூற்றுககு 22 ரூபா இலாபத்திலும் விற்கிருன். அவனுடைய மொத்த இலாபத்தையுமீ முதலீட்டில் நூற்று வீத இலாபத்தையும் காண்க, 9. 60)
32. ஒரு நீள் சதுர தீதின் பெரிய பக்கம் 2 அடியும் சிறிய பக்கம் b அடியுமாகும். பெரிய் பக்கம் c% குறைக்கப்பட்டுச் சிறிய பக்கம் c% கூட்டப்பட்டால் புதிய பரப்பையும், பரப்பு எவ்வளவு நூற்று விதம் குற்ைந்ததென்பதையுங் காண்க, c = 3 ஆனல் இங் நூற்று வீதக் குறைவின் பெறுமானம் யாது? (ஆக 61)
33. ஒரு மனிதன் ஒரு வாரத்தில் x பேணுக்களே ஒன்று y ரூபா வீதம் விற்கிருன், அவன் ஒரு பேனவின் விலையை 5% வீதம் குறைத்த படி யால், அடுத்த வாரத்தில் لام (قےJ({لکھا ہے (را பேணு வியாபாரம் 5% விதத்தால் அதிகரித்தது. விற்பனையிலிருந்து அவன் பெறும் பணம் கூடியதா அல்லது குறைந்ததா? அக்கூடுதலை அல்லது குறைதலை நூற்று வீதத்திற் காண்க: (9- d. 62.)
34. ஒரு நீள்சதுர அறை 3 அடி நீளமும் 2 அடி அகலமுமாகும். அதன் நீளம் 2 x சத வீதத்தாலும், அதன் அகலம் 3 x சத விதத் தாலும் அதிகரிக்கப்பட்டால் அதன் சுற்றளவு எவ்வளவு சத வீதத்

Page 20
32
தால் அதிகரிக்கப்படுகின்றது எனக் காண்க. அறைப் பரப்பின் அதிகரிப்பையும் காண்க. (ஆக 62.)
35. ஒரு நீள் சதுர அறையின் நீளம் a யாரும், அகலம் b யார் ( அடியாகும். அதன் பரப்பை சதுர யாரில் தருக. ஒரு சதுர அடிக்கு தளவோடு பதிக்க p சதம் செலவானல் முழுச் செலவையும் ரூபாவில் காண்க. (விடையைச் சுருக்கித் தருக.) (டிச. 62.
36. ஒரு விசுக்கோத்துப் பெட்டியினது நிறை x இருத்தலாகும். வெற்றுப் பெட்டியினதும் சுற்றப்பட்ட கடுதாசிகளினதும் நிறை 3 2 அவுன்சுகள் ஆயின் இத்தகைய 12 விசுக்கோத்துப் பெட்டிகளில் இருக்கும் விசுக்கோத்தின் நிறையை இருத்தலிற் காண்க. விசுக் கோத்தை உற்பத்தி செய்ய ஒரு அவுன்சுக்கு ( சதம் செலவாயின் இப் பன்னிரண்டு பெட்டிகளிலும் இருக்கும் விசுக்கோத்தை உற்பத்தி செய்வதற்குரிய முழுச் செலவை ரூபாக்களிற் தருக.
(ஆக. 63.)
37. ஒரு மனிதனது சுவடு x அடி 12y அங் ஆகும்.
(t) அவன் ஒரு நிமிடத்துக்கு p கவடுகள் எடுத்தால் அவ னது கதி மணித்தியாலத்துக்கு எத்தனை மைல்களாகும்?
(i) x மைல் 8y பெர்லாங் தூரம் செல்ல அவன் எத்தனை கவடுகள் வைப்பான்? (உமது விடைகளைச் சுருக்குக.)
(டிச. 63)
38. ஓர் அறை 20 அடி நீளமும் 24 அடி அகலமும் ஆனது. இவ் வறைக்குள், சுற்றிவர 3x அங். அகலமுடைய ஒரு கரை இருக்கத், தக்கதாக விரிப்பதற்குத் தேவையான கம்பளத்தின் பரப்பைச் சதுர அடியிற் (குறுகிய உருவிற்) காண்க. ஒரு சதுர அடிக் கம்பளத்தின் விலை 4p.சதமாயின் கம்பளத்தின் விலையை ரூபாவிற் காண்க, ( ஆகஸ்ட் 64.)
வாய்பாடுகள் அமைத்தலும், எழுவாய் மாற்றமும் -
ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பானது அதன் நீளத்தையும் அகலத்தை, யும் சார்ந்துள்ளது. ஆகவே, பரப்பானது நீளம், அகலம் என் பவற்றின் சார்பு (Function) ஆகும். அதேபோல் ஒரு செவ்வகத் திண்மத்தின் கனவளவு அதன் நீளம், அகலம், உயரம் ஆகியவற் றைச் சார்ந்துள்ளது. ஆகவே, கனவளவானது நீளம், அகலம், உயரம் ஆகியவற்றின் சார்பாகும். ஒரு வட்டத்தின் பரப்பு அதன் ஆரையின் சார்பு. வட்டியானது முதல், காலம், வட்டிவீதம் ஆகியவற் றின் சார்பாகும்.

33
ஒரு மாறியின் (Variable) விலையை, ஒன்று அல்லது பல மாறி களின் சார்பு ஆகத்தருதலே வாய்பாடு அல்லது சூத்திரம் எனப்படும்,
ஒரு செல்வகத்தின் நீளம், அகலம், பரப்பு முறையே 1, b, A ஆயின் A = b என்பது ஒரு வாய்பாடாகும். A யின் விலை , b, யைச் சார்ந்துள்ளது. "A" என்பது வாய்பாட்டின் எழுவாய் எனப்படும். ஆகவே, எண் கணித விதிகளை அட்சர கணிதச் குறியீடுகள் மூலம் விளக்கும் ஒரு சமன்பாடே வாய்பாடாகும்.
விற்ற விலையானது கொள்விலை, இலாபம் என்பவற்றின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன் எனும் விதியை விளக்கும் வாய்பாடு S க C+p என்பதாகும்.
வாய்பாடுகளின் உபயோகம் அதீதியாவசியமானதாகும்; பின்வரும் வாய்பாட்ன் ட ஆராய்வோம் :
ஆரையம், h உயரமுமுள்ள ஓர் உருளையின் கனவளவு / - fr rh.
மேற்படி வாய்பாட்டை உபயோகித்து 14 அங்குல ஆரையும்
20 அங்குல உயரமுமுள்ள ஓர் உருளையின் கனவளவைக் காண்போம்.
V = 22 x 4 x 14 x 20 க. அங். - 12,320 க. அங். (ா - ?),
ஒரு வாய்பர்ட்டின் எழுவாயின் விலையைக் காணவேண்டிய
விடத்துக் குறியீடுகளின் தரப்பட்ட விலைகளைப் பிரதியீடு செய்து
சுருக்கியுள்ளோம். தெரியாவுறுப்புத் (Unknown term) தனியாக
இல்லாதவிடத்து அதன் விலையைக்காண இரு முறைகள் உள.
முறை 1. முதலாவதாகப் பிரதியீடு செய்து, பின்னர் வாய்
பாட்டை நிலை மாற்றஞ் செய்து விலையைக் காணல்.
முறை 11. வாய்பாட்டை முதலில் நிலைமாற்றஞ் செய்து தெரியாவுறுப்பைத் தனியாக்கி, பின்னர் பிரதியீடு செயது விலையைக் காணல்
உ.ம். A = b எனும் வாய்பாட்டில் A = 240 = 20 ஆயின் யிேன்
விலையைக் காண்க)
A = lb qዖጫይD I- பிரதியீடு செய்தல் 240-20b நிலைமாற்றம் செய்தல் 20b-240
.b = 12
3--بویے

Page 21
34
Alb
முறை I- நிலைமாற்றஞ் செய்தல் b =
பிரதியீடு செய்தல் b = ஆ „*. b — 12
Uuijft 4 (c)
1. D-RT எனும் வாய்பாட்டில் R-8. T=5 ஆயின் D யின் விலையைக் காண்க.
2. 8=ut+* fi? எனும் வாய்பாட்டில் - 10, f = 6, t = 4 ஆயின் S ஐக் காண்க.
3. விற்ற விலை S. கொள் விலை C, நயம் g எனக் கொண்டு -C யை S, g யிற் காண்க.
4. ஒரு செவ்வகத் திண்மத்தின் கன அளவு W. நீள அகல உயரம் முறையே, , b, h ஆயின் V க்கு 1, b, h இல் வாய்பாட மைக்குக.
5. 4 = 2h ( + b) எனும் வாய்பாட்டில் (i) h = 8, 1 = 24, b - 16 ஆயின் A யைக் காண்க. (ii) A = 420. h = 6, l = 20 ஆயின் b யைக் காண்க.
б. — — — = — இவ்வாய்பாட்டில் (i) v = — 30,- u = 15,
ν μ f ஆயின் f ஐக் காண்க, (i) y = 20, f= 60 ஆயின் u ஐக் காண்க 1. 1 1. 8 W 7. ☆= 一元+ R இவ்வாய்பாட்டில் R-12, R2 = 3 ஆயின்
Rஐக் காண்க.
8. S as in 1) 2n + 1) எனும் வாய்பாட்டில் n-11 ஆயின் S ஐக் காண்க.
9. = Nh?+” எனும் வாய்பாட்டில் )ே h=24, 7 = 7 ஆயின் ஐக் காண்க. (t) =13, r=5 ஆயின் hஐக் காண்க.
አ፲ wmw. 8 10. S = ਨੂੰ (2a + n-l.d) GTg1lb வாயபாட்டில் (t) = 10, d= -2, 1=12 ஆயின் S இன் விலையைக் காண்க
(ii) S= 195, n= 10, d = 3 2u37Gðir agj காண்க. 11. 1 தொடக்கம் n வரையுமுள்ள எண்களின் கூட்டுத் தொகையைப் பின்வரும் வாய்பாடு குறிக்கிறது. S = n (n-- 1).
(i) 1 முதல் 30 வரையுமுள்ள எண்களின் கூட்டுத்
தொகையைக் காண்க. (i) 31 முதல் 影 50 வரையுமுள்ள எண்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க. (இரு எண்களும் 1-2 سے -(

35
12. அடுத்துள்ள n ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை n? ஆகும். 23 இலிருந்து 49 வரையுள்ள (இரு எண்களும் ضا بهLسا ل( எல்லா ஒற்றை எண்களினது கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
ஒரு வாய்பாட்டின் உருமாற்றம் அல்லது எழுவாய் மாற்றம் ஒரு கூம்பின் கனவளவைக் குறிக்கும் வாய்பாடு V = { 1ா r ?h ஆகும். உயரத்தை astu அளவைகளில் காணவேண்டிய
s 3My அவசியம் ஏற்படின் h = என உருவததை மாற்றி எழுது
கிருேம். அதாவது வாய்பாட்டை உருவமாற்றம் செய்துள்ளோம்.
தற்போது வாய்பாட்டின் எழுவாய் h ஆகும். ஒரு வாய்பாட் டின் உருவமாற்றம் என்பது அதன் எழுவாயை மாற்றுதலாம். உதாரணமாக : N=5D எனும் வாய்பாட்டில் Dஐ எழுவாயாக
மாற்றினல், D = ஆகும்.
ஒரு வாய்பாட்டின் உருவத்தை மாற்றும் பொழுது பின்வரும் விதிகளை உபயோகித்தல் இலகுவான முறையாகும்.
1. பெருக்கல் குறியீட்டை நீக்க இருபக்கங்களையும் பிரித்தல்
வேண்டும்.
N - 6.3n எனும் வாய்பாடு =n ஆகும்)
2. பிரித்தலை நீக்கப் பிரிக்கும் எண்ணுல் பெருக்கவேண்டும்;
K c -- எனும் வாய்பாடு 3 K - L ஆகிறது;
3. கூட்டலை நீக்கக் கழிக்க வேண்டும்:
A - P + T எனும் வாய்பாடு A-P=T ஆகிறது. 4. கழித்தலை நீக்கக் கூட்டல் வேண்டும்.
ஐ- S- P எனும் வாய்பாடு g+P= S ஆகிறது. உ-ம். 1. f = ir dh எனும் வாய்பாட்டில்
12 - و . . . سه سه
(1) dஐ எழுவாயாக மாற்றுக. (2) hஐ எழுவாயாக மாற்றுக
dih (i) f = }
இடமாற்றம் செய்க.
ጥr dh°
- = /
ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் 12ஆல் பெருக்குக,
•rr dh° ' = 12/‛

Page 22
36
ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் 1ா h? ஆல் வகுக்குக+
d = 2f
7h"
(2) ridh - 12f
ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் 1ாd ஆல் வகுக்குக.
f 2ے حس- 3 hኳ = ττα
3/12f ክ = ح۔ }.,
Td
s = 2 (a + 1) எனும் வாய்பாட்டில் aஐ எழுவாயாசு .2 .ف• 2ے
மாற்றுக
இடமாற்றம் செய்து a உள்ள கோவையை இடது பக்கம் கொணர்க.
g (a + 1) = s 2 ஆல் பெருக்குக: n(a + 1) = 2s
2ς יאו n ஆல் வகுக்குக ! a + 1 = n
ஐக் கழிக்குக ! α = T - - 1
Uu9jöA 4 (d)
பின்வரும் வாய்பாடுகளில் எதிரே அடைப்புகளில் தரப்பட்ட அட்சரங்களை, அவ்வாய்பாட்டின் எழுவாயாக மாற்றுக,
1. y = lbh (b) 2. χ. σε (y)
PRN s - ܝܚ 3. 2x -- b c (x) 4,A 三 100 (R)
5. 2h (l -- b) (l)
T
1 ʻ v - = () vs. A.
7, w = u + f எனும் வாய்பாட்டின் எழுவாயாகிய y யை fஆக மாற்றுக.
8. ax + by = c எனும் வாய்பாட்டில் yஐ ஏனையவற்றிற் காண்க.

37
9. ஓர் உருளைத் திண்மத்தின் கனவளவு வாய்பாடு : = 7rPh. இதில் r என்பது அடியின் ஆரை, h உயரமாகும். rஐ மற்றைய எழுத்துக்களிற் தருக. V = 352, h = 7,7 = 等 ஆயின் rஇன்
விலையைக் காண்க.
10. F = 20 + 32 ஆயின் Cஐ Fஇன் சார்பிற் தருக.
11. = a + (n-1)d எனும் வாய்பாட்டில் n ஐ எழுவாயாக்கி உருவ மாற்றுக.
v^2 x = s ஆயின் "ஐ N, இல் காண்க
13. ஓ க 12, 3 - 62 எனக் கொண்டு Sஐ y, யின் சார்பிற் காண்க. 3 - 294 ஆயின் yயின் விலையைக் காண்க.
(n - t2)
14: JH = y =* 550) இவ்வாய்பாட்டில் yஐ எழுவாயாக மாற்றுக,
1 1 چ . - * - - -- . * - A 15. 高千了下富 இவ்வாய்பாட்டில் uஐf, y இல் காண்க.
16. A = h(1+b) ஆயின் (t)h, (i)bஐ எழுவாயாக மாற்றுக. VM 17. p = n( ) ஆயின் () (i) yஐ ஏனைய எழுத்துக்களில்
காண்க.
Y18. 3h = p (i- y) என்ற வாய்பாட்டின் எழுவாயை xஆக
மாற்றுக.
y2 = u2+2gs என்ற வாய்பாட்டில் sஐ v, g, என்ற .19سمبر உறுப்புக்களிற் காண்க. -
20. y = a(x -2)(x + 3) என்பதில், x = -1 ஆயிருக்கும் போது, y = - 12 ஆயின், x = 3 ஆயிருக்கும் போது yஇனது பெறுமதியைக் காண்க. (ஆக. 64)
grapigi FLDau05si (Literal Equations) சில சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வுகாணும்போது, தெரியாவுறுப் பின் பெறுமானத்தை அச்சமன்பாட்டிலுள்ள வேறு எழுத்துக் களில் காண்கிருேம். அவ்வித சமன்பாடுகள் எழுத்துச் சமன் பாடுகள் எனப்படும். இவ்வகைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையானது வாய்பாடுகளின் எழுவாய் மாற்றமுறையைப் போன்றதாகும்.

Page 23
38
2-ch. தீர்த்து n இன் விலை காண்க;
p (n - 2) = 5n-(p + q) அடைப்புகளை நீக்குக. pn-2p = 5n-p-g n இடப்பக்கததுக்கு வர இடமாற்றஞ் செய்க. pnー5n = 2pーpーq
pn-5n = p-q n (pー5) = pーq。 , = 24 p-5
பயிற்சி 4 (e) பின்வரும் சமன்பாடுகளை x க்கு ஆகத் தீர்க்க. 1. 2xー3c = 0 2. a (x-b) = c
~ 9. f'en- " 27 - 4 = 5-- ک 3. cx -+ d = 4c-d 4. 2 3
ズ , x 5. 5+愛 = 2 — х 6 m(xーp) = n(x一a)
7. ax + 2b? = bx + 2a* ஆனல், xஐ a, b என்பவற்றில் சுருக்க ரூபத்திற் காண்க,
t ஆயின் x இன் விலையை m, n இல் காண்க. 9. 2ம் (2b-x) = a (a-x) என்னும் சமன்பாட்டிலிருந்து x ஐப் பெறுக,
سی۔ مv? 10. Jy = என்பதில் x இதற்குத் தீர்க்க.
11, y sc 窑 என்பதில் a இதற்குத் தீர்க்க.
அத்தியாயம் 5 பிரதான சூத்திரங்கள் அல்லது வாய்பாடுகள்
குறியீடுகளிற் கூறப்படும் ஒரு பொதுவான பெறுபேறு ஒரு சூத்திரம் அல்லது வாய்பாடு எனப்படும். அக்கூற்ருனது, அதி லுள்ள குறியீடுகளின் குறித்த எப்பெறுமானங்களுக்கும் உண்மை யாக இருக்கும். அட்சரகணிதச் செய்கைகளை இலகுவாகவும் விரைவாகவும் முடிப்பதற்கு மாணவர்க்குச் சூத்திரங்களைப் பற்றிய அறிவு மிகவும் உதவியாக இருக்கும் பிரதானமான சூத்திரங்களும் சில கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

39
சூத்திரம் 1. (a + b)' = a -- 2ab + b 2
(a 十 bり" =(a+b)(a十b) = a (a + b) + b (a十b)。
= a“ -- ab -- ab -- b2 = a2 -- 2ab + b2. மேலே காட்டிய சூத்திரத்தை, சொற்களிலும் கூறலாம். இருகணியங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம், அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை சக அவற்றின் பெருக்கத்தின் இருமடங்குக்குச் சமமாகும்: உதாரணம் 1 ? x + 2y இன் வர்க்கத்தைக் காண்க.
(a -- b. 2 = d2. -- 2ab -- b. ஃ (x + 2y)2 = xஇன் வர்க்கம் + x, 2y என்பவற்றின்
பெருக்கத்தின் இருமடங்கு + 2y இன் வர்க்கம் = x2 + 2 x x 2y + (2y2 = x2 + 4xy + 4y2. உதாரணம் 2 : 1082 இன் பெறுமானங் காண்க.
108 ஐ வசதியான இரு எண்களின் கூட்டுத்
தொகையாகக் கூறுக. 108 - 100 + 8 82 + 8 عن 100 × 2 + 1002 = د(8 + 100) = 1083 % = 10,000 + 1,600 - 64 = 11,664.
uu9jbá 5 வர்க்கங்களைக் காண்க:
(4) al-- bm (5) x + 2 (6) x2--a
+ x + (9) a )8( في + x2 (7) (10) + 3 (11) x+x (12) {x+y. பெறுமானங் காண்க.
(13) (106)? (14) (78)* (15) (803)? சுருக்குக
(16) (x+a)?-(xo.--ao) (17) (3x-1-4)-(2x+7) (18) (2a–b)-(a + 2b) சூத்திரம் 11 (a-b)? - a?-2ab+b2
(a-b) = (a-b) (a-b)= a(a-b)-b(a-b)
= ao-ab-ab-i-bo=ao-2ab-i-bo சொற்களில் 3 இரு கணியங்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கம், அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை சய அவற்றின் பெருக். கத்தின் இரு மடங்குக்குச் சமமாகும்.

Page 24
40
உதாரணம் 1 : 2a-3b இன் வர்க்கத்தைக் காண்க
غ2 a 2 - 2ab-+ b مست 2 (bحس-a) .. (2a-3b)? - 2a இன் வர்க்கம், -2a இனதும் 3b இனதும்
பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு + 3b இன் வர்க்கம்
(2a)2 + 2(2a) (— 3b) + (-3b)2 2 ! 9 + ab 2 1 ~ست 2 4a உதாரணம் 2: 882 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க
88ஐ வசதியான இரு எண்களின் வித்தியாசமாக கூறுக3
88s (90-2). அவற்றின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கத்தைக் காண்க
22 + 2.90.2 - 902 = 2 (2 -- 90 ) سید=882..
. 7,744 جج= 4 + 360--8100 =
பயிற்சி 5 (a) வர்க்கத்தை எழுதுக 2
(1) 3yー2 (2) 2xーy (3) xy-z (4) ax- by )5( 3x6( ر4 س) x2-2 (7) x- (8) - (*)xー益
1 (10) x-y )11( x212( -سچ ہ) 器xー盗y
(18) 4ற2+9 எனும் கோவையை நிறைவர்க்கமாக்குவதற்கு அத்துடன் கூட்டப்படவேண்டிய p உறுப்பு யாதெனக் காண்க3
(62 டிச)
(14) (48-92 (15) (99)2 (16) (15)2 சுருக்குக !
(17) (x+y)2+(xーy)2 )18( )x +رنy)2 --- .(x----y(ع
(19) (2x-3)2-(x-5) (20) (3x +2y)-(2x-3y)?
பெறுமானங் காண்க :
(21) x+y=7 ஆனல் xy=12 ஆனல் x2 +y2 இன். (22) x+y=9 ஆனல் xy-20 ஆஞல் x2+ y2 இனதும் xc4 +yع :
இனதும்.
EsåŠSpriò III. (a+b)(a-b) = a2ーb2
(a+b)(aーb) = a(aーb)+b(aーb)
= a-ab--ab-b2
b3-قه =

41
சொற்களிற் கூறினல் :- இரு கணியங்களின் கூட்டுத்தொகை யினதும் வித்தியாசத்தினதும் பெருக்கம், அவற்றின் வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்துக்குச் சமமாகும். «r,
உதாரணம் 1 : விரித்தெழுதுக (x+5) (x-5)
(a十b)(aーb) = a2ーb"
.. (x+5)(x-5)= x இன் வர்க்கம் -5 இன் வர்க்கம்
25-- x2 سب= 5- x2 === உதாரணம் 2 : (2x + y)ஐ (2x-y) ஆற் பெருக்குக.
2x + y) (2x-y) = (2x)2-(y) = 4x -y
உதாரணம் 3; 122 x 98 இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(பெரிய எண்ணை, இரு எண்களின் கூட்டுத் தொகையாகவும் சிறியதை அதே இரு எண்களின் வித்தியாசமாகவும் கூறுக. இங்கே எண்கள் 110 உம் 12 உம் ஆகும்.)
122 x 98 = (110 - 12) (110-12) = 1102 - 122
= 11,956.
உதாரணம் 4 : (a + 2b) (a - 2b) (22 + 4b?) என்பதன் தொடர்
பெருக்கத்தைக் காண்க. (a + 2b) (a - 2b) = a-(2b)2 = a -4b2 ... (a --2b) (a-2b) (a” + 4bo) = (ao - 4bo) (ao + 4bo)
V ، == (a2)2--(4b2)2 == a * -- 16b4 உதாரணம் 5 : பெருக்குக. (x+y+2) (x+y-2)
(இவ்வுதாரணத்தில் x+y ஐ ஒரு கணியமாகவும் 2ஐ மற்றக் கணியமாகவும் கொள்க. அப்பொழுது (x+y, z என்பனவற்றின் கூட்டுத் தொகையையும் வித்தியாசத்தையும் நாம் பெறுகிருேம்.
." (x+y+z)(x十y-ーz)= [(x+y)+z][(x+y)ーz)]
(x+y)2–z? = x2+2xy+y2-z”
பயிற்சி 5 (b) பெருக்கத்தை எழுதுக :-
(1) (x +8) (x-8) (2) (5+x) (5-x) (3) (3x + 1) (3x-1) (4) (2x--9) (2x-9) (5) (xy+z) (xy–z) (6) (x -2y) (x + 2y)
- (7) (x--) (x-) (8) (x 十 Ε) (x- (9) (x十墨)(xー墨) (0) (x2-3) (x-3)
،(11) (x2 + y2)(x2--y2) (2 (3a2+5) (3a-5)

Page 25
42
(13) (a+b) (a-b) (14) (a+3} (aー3)(a2+9) (15) (2x-y) (2x-y) (4x2+y2) (16) (3x--2y) (3x-2y) (9x2-4-4y2) (17) (x--) (x-1)(x2--1)(x-1) (18) (4m+5п) (4m — 5п) (16m2 + 25п?) (19) (2a--b--c) (2a-b-c) (20) (a+2b-c) (a-2b--c)
பெறுமானங் காண்க :
(21) 45×35 (22)106×94 (23), 24x 16.
gặgúo IV. (x+a) (x-+-6)= x2+(a+b)x+ab
(x+a)(x十b)=x(x十a)十b(x十a)
= x?!--ax-{-bx+ab = x2 + (a--b)x+ab.
இரண்டாம் உறுப்புக்களில் மாத்திரம் வித்தியாசப்படும் இரு ஈருறுப்புக்களின் பெருக்கம், முதல் உறுப்பின் வர்க்கம் சக இரண் டாம் உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையினதும் முதல் உறுப் பினதும் பெருக்கம் சக இரண்டாம் உறுப்புக்களின் பெருக்கம் ஆகும்.
உதாரணம் 11 பெருக்குக : (x+3) (x+7)
(x十a)(a+b)=x?十(a十b)x十ab . (x+3)(x+7)=x2+(3+7)x+3×7
= x2--10x--21.
உதாரணம் 2: (x-11) இனதும் (x+8) இனதும் பெருக்கத்தைக்
காண்க,
(x - 1 1) (x + 8) = x + (-11+8)x+(-11) (--8)
.88 ----- 3x - 2 مY. سست

43
பயிற்சி 5 (C)
பெருக்கத்தைக் காண்க :-
(1) (x + 3) (x +4) (2) (x +9) (x+8) (3) (x + 3) (x-1)
(4) (x+13)(x-6) (5) (x+7) (x-9) (6) (x-1) (+4) (7)(x+2y)(x+y) 。(8)(xー9y)(x+3y)
சுருக்குக :
(9) ((κ + 4) (χ - 2)-(κ + 3} (x + 1) (10, (x + 3) (x + 2)-(x - 4) (x - 2)
(a+b)3 sea--3ab-i- 3ab -- b.
(a+b)3 = (a+b)*(a+b)=(a?+2ab+b2)(a+by
ea(a2+2ab-i-b?)--b(a+2ab-I-b?) eas--2a2b--ab2--ab-i-2ab?--b =a+3a*b +3ab +h
ஆத்திரம் V.
உதாரணம் 1 : x+4இன் கனத்தைக் காண்க.
(a-b) = a-- 3a2b--3ab2-- b3 43 + 4.x 3 +3(x)2.4+3.x سے 3 (4 + x)
sex3-12x2-1-48x --64.
உதாரணம் 2 : விரித்தெழுதுக: (x + 2y)
خx) 2 2y + 3 x. (2y) 2 + (2y) s).3-ہ۔ x + 2y) 8 ==x3)
= x3-3. x?. 2y+3.x.4y--8y 3 xy 2 -+8y 12 ست۔ yقx3 -+ bx==
ஆத்திரம் WI: )ab(3 چرچ a3 3 ہےa2b + 3ab2 نس۔b3
(a汁マbい" = (a-b)(a+b)=(a-2ab+b)(a-b)
= a(a2-2ab +b)-b(a-2ab-i-b) a3-2a*b --abo- a2b + 2ab” — bio
sa-3ab-3ab?-b.

Page 26
44
உதர் ரணம் : விரிக்க : (2x -3y),
(a-b) = a-3ab --3ab'-b3.
... (2x-3y) = (2x)3-3(2x)(3y) + 3 2 x.(3)-(3)
8x3-3.4x2.3y+3. 2x 9:2-27 y? =8x3-36x2y--54x2-27.
uuijb5A 5 (d)
பின்வருவனவற்றின் கனங்களை எழுதுக
(1) x +1 (2) x - 1 (3) x --5 (4) xー6 (5) 2x+7 (6) 2x-3 (7) 2x-3y (8) 3x +2y (9) 3aーb (10) x+a (11) x'-3 (12) ax+by (13) ax-2y (14) ax + by (15) px2-q2
ஆத்திரம் W11. (a + b) (a’-ab + b') = a+b3.
(a + b) (a2-ab-+-bo) = a(a”-ab-i-bo) -- b(a? — ab-- b*)
= a.--aob - abo--a2b-ab2 --bo - a 3-1-b3.
மேலே காட்டிய சூத்திரத்தின் இடது கைப்பக்கம் இரு சினைகளைக் கொண்டது, ஒரு சினையானது இரு கணியங்களினதும் கூட்டுத்தொகையாகும். மற்றது இரு கணியங்களின் வர்க்கங் களின் கூட்டுத் தொகை சய அவற்றின் பெருக்கமாகும். வலது கைப்பக்கம் அவற்றின் கனங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
உதாரணம் : பெருக்கத்தைக் காண்க :
(3a-2b) (9a-6ab + 4b) (a+b) (ao-ab+bo)=ao+bo. ... (3a + 2b) (9a-6ab--4b)
= (3a-2b) (3a)-3ax2b--(2b)) = (3.a) -- (2b) - 27 as -- 8b.

45
sig i VIII. (a-b) (a? + ab + b? ) = ao- bo
(2 a(a2 + ab +b2)-b(a2 + ab +b == (هb) (a2 + ab +b-سيfa
b8-سے a 2 b - ab2 منت= a3-+a2b + ab2جسے
இடது கைப் பக்கத்திலுள்ள இரு சினைகளுள் , ஒன்று இரு கணியங்களினது வித்தியாசமாகவும், மற்றது அவற்றின் வர்க்கங் களின் கூட்டுத் தொகையும் அவற்றின் பெருக்கமும் சேர்ந்ததாகவும் இருக்கின்றன. வலது கைப் பக்கத்தில் அவற்றின் கனங் கனின் வித்தியாசம் இருக்கின்றது.
உதாரணம் : பெருக்கத்தைக் காண்க.
(x-2y) இனதும் (x?+2xy+4y?) இனதும் ., (X-2y) (x?--2 xy + 4 y) = (X-2y) {(x)?--x.2y+ (2y))
= x3- (2y) = x8-8y
FGg ứô IX. (a+b+c) o = ao + bo + co-+2ab+2ac + 2bc. (a+b+e)"=(a+b十cリ(a+b十cル
= a(a+b十cリ十b (a+b十cり十c(a+b十cル = a?--ab -- ac -- ab -- b? -- bc -- ac -- bc -- c2 =a+b+c?--2ab+2ac-1-2bc.
சொற்களில் : மூன்று அல்லது மேற்பட்ட கணியங்களைக் கொண்ட கோவையின் வர்க்கம் எல்லா உறுப்புக்களின் வர்க்கங் களின் கூட்டுத் தொகை சக ஒரே முறையில் இவ் விரண்டாக, எடுக்கப்பட்ட உறுப்புக்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்குக்குச் சமமாகும்.
உதாரணம் : (x+2y-Z) இன் வர்க்கத்தைக் காண்க.
(a+b+c)o= ao+bo+co.+2ab+2ac+2bc. ... (x+2y-z)*= x*+(2y)'+(–z)'+2.x.2y+2x(-z)+2.2y(-z)
=x"+4y"+z2+4xy-2xzー4yz,

Page 27
46
Luuîhâ 5 (e)
பெருக்கத்தைக் காண்க:-
1. (y--2) (2-2'--4) 2. (xーl)(x2+x+ 1)
3. (x +5) (x2-5x--25) 4. (x-6) (x2-4-6x + 36)
5. (x2+2) (x - 2x2 + 4) 64 (a2-3) (a'+3a2--9)
7. (2x+3) (4x2-6 x +9) 8. (2x-3y) (4x2+6xy--9y2)
9. (3p-2g) (9p2+ 6pq-i-4g?) 10. (ab + c) (a2b2 — abc -- c2)
l,
(2xyー2)(4xPy2+2xyz+2°) 12 (a2+b?)(a*ーaPb2ーb")
வர்க்கத்தைக் காண்க :
13. (a + 2b-2c) 14. (x2-y2-z2) 15 (xーyー2) 16. (2x+3y +5) 17,(/一m十n)
அத்தியாயம் 6
சினைகள்
ஒரு அட்சர கணிதக் கோவையானது, இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட கோவைகளின் பெருக்கமாக இருக்கும் பொழுது, இந்தப் பிந்திய கோவை ஒவ்வொன்றும், முந்தியதின் ஒரு சினை என வழங்கப்படும். கோவையைச் சினைகளாகப் பிரிக்கும் முறை சினை காணல் எனப்படும். இரண்டு அல்லது கூடிய கோவைகளின் பெருக்கமாயுள்ள எந்த ஒரு கோவை யினதும் சினைகளைக் காணமுடியும் ஆனல் பெருக்கமாயில்லாத ஒரு கோவையின் சினைகளைக் காண முடியாது. கோவைகளின் சினைகளைக் கெதியாகவும் சரியாகவும் காண்பதற்கு மாணவர் அவற்றின் அமைப்பு மாதிரிகளைக் கற்க வேண்டும்.
மாதிரி 1 : ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் பொதுவான ஒரு சினையை உடைய கோவைகள். அச் சினை ஓருறுப்புச் சினை யாகவோ அல்லது பல்லுறுப்புச் சிஃ:பாகவோ இருக்கலாம்.
உதாரணம் 1 : சினை காண்க. aத்*2-bexy,
இரண்டு உறுப்புகட்கும் bx பொது. கோவையைப் bxஆல்
பிரிப்பதால் மற்றச் சினையைப் பெறலாம்.
... toppé (far (abx2-bcxy) -- bx sax - cy ... abx2 - bc.xy= bx (ax-cy)

உதாரணம் 2 :
இங்கே (x+y) என்பது ஒரு பொதுச் சினையாகும்.
உதாரணம் 3. 320T e T si di : 3a(x-y)–2b(x-v)+ 4c(y-x).
முதல் இரு உறுப்புகளினதும் பொதுச் சினை (x-y) ஆகும். ஒருசினை (x-y) ஆக இருந்தால் மாத்திரம், இக்கோவையின் சினைகளைக் காணலாம். ஆணுல் y-x= -(x-) என்பது எங்கட்குத் தெரியும்.
மூன்ரும் உறுப்பினதும்
47
சினை காண்க : x"(x+y)+xp(x十y)十y"(x十y)
சினை x"+xy+y2 ஆகும்.
... x*(x+y)4-xy(x+y)+y'(x+y)
ー(x十y)(x2+xy十y?)
பட்ட கோவை பின்வருமாறு அமையும்.
3a(x-y)-2b(x -y)-4c(x-y) 3a(xーy)-2b(xーy)ー4c(xーy)=(xール)(3aー2bー4e)
uwiji 6 (a)
சினை காண்க:
ه 1
4.
7.
9. 11.
12.
3.
14.
魏5。
16.
7.
2x--5x 2. ax3--bx2-cx 3 - 4xy -- 5 2رزو a2b-ab2. 5. 11x-22x4+33x3 6s arr2-mrh x2yz+xy“z+xyz“ 8、2a(a+b)+3b(a+b) 2x(x-5)--3x(2x+10) 10. .)x-42 سهر)x-4( 2x2(y十2)ー5xP(z十y)+z*(y+z) 15p(p?--1)--7p(p + 1)+2(p"--1) a(1+m+n)-b(1+m+b)+c(t+m+n)
2l(a-b)-3m(a-b)+4n(b- a)
6x4 (x-1)-2x3(1-x)--4-x(x-1) ab(xo - 2) - bc (2-2= x ?) -+-cd(xo — 2)
4ጨ{a= b) (b-c)-3b (bーc)(bーa)+5c(cーb)(bーa)
மற்றச்
எனவே தரப்

Page 28
48
மாதிரி1 உறுப்புக்களைச் சிறு தொகுதிகளாக ஒழுங்குபடுத்த வேண்டிய கோவைகள். m
உதாரணம் 1, ‘சினை காண்க :
ab-ay-bx-xy
இதில் எல்லா உறுப்புகட்கும் பொதுவான சினையொன்றும் இல்லை. ஆனல் நாம் இக்கோவையை (ab+ay), (- bx-Ay). என்னும் இரு தொகுதிகளாக நோக்கின், ஒவ்வொரு தொகுதிக் கும் பொதுவான ஒரு சினை ஒன்று உள்ள தென்பதை அவதானிக்
❖56ኪ9ff tf} •
.. ab+ay-bxーxy=a(b+y)一x(b+y)
=(あ+y)(a十x)
உதாரணம் 2. சினை காண்க :
a"十a*+a+a"b+ab+b (யூலே’51);
að--a? + a -H a ob + ab + b = a(ao + a -- 1)-- b(ao + a +- i)
=(a"+a十1)(a+b)
உதாரணம் 3 சினே காண்க :
6 -- ab — 2a -1. 3b. (யூலை?53): 6 -- ab- a -3b= ab -- 2a - 3b -6
« مس - a (b -- 2) - ... 3 (t تبت s: (h-2) (a-. 3)
உதாரணம் 4. சினை காண்க : (bx-ray)-(ax-by) {१. F.*50);
(bX- a)-(ax-by)= bxーay-ax十by F bX-ax--by-ay = x(b一a)十y(bーa) =(b-a) (x+y) உதாரணம் 5. சினை காண்க : ab(x2-y2) — xv(a2 — b2) (பூல்'52) ab(x2–y?) –xy(a?– b?) – aby? – aby2– axy--bvy = ab A* + boxy— aby2-a2xy = bX(ax+by)-ay(by+ax) =(の +by)(bx-ay) w

49
சினை காண்க :
1.
3.
7.
.
13.
5.
7. 19.
20.
21.
22.
23.
பயிற்சி 6 (b)
3.x--4x2--3x--4 2・ p十a十aa十ap a''+ab-ac-bc 4. *y+x+xy+
ax"+b+ay"+bx2+a+by"
2abxy-- 6ab -- 4ax-3by
2ax?--2ay2-3bx-2az?--3bz2-3by?
تc 2 y2 + b ? x2-+a2y 2 - c 2 x2 + b 2y۔۔ 2 a2x
ab — pq- a-- bpq . 10. 2a?-2bc -- 4ac - ab
a?- ln-am-l-all l2. ac -- bd - bc-ad
ac-3ad-6bd--2bc 14・ axー2ay+bxー2by
axo -3x -- 2ax - 6 16. 2ax-y-x--2ay 6x-y-3x+2xy 18. ax-+-cy—2by-~- ay- cxo--2bxr みyー15ー3x+5y (டிச 53) j ax一ay+byーbx (யூலை 54)
2px--3gx-6pq-x (டிச. 58)
а”-+-рq— ар—aq = (டிச, 59)
xoy-+-py-xyo-px (g ab 53) a(1-b')-b(1-a') (டிச.49) pal°+m')+ln(p'+a")
(ax+by)--(bx-ay) (ஆக. 58)
(3x-1)*--5(x-1)(3x -- 1) (tq-óም. 53)
(a+2b) (c-2d)+(3a--b)(2d-c) (டிச. 60)
(a-I-3b)(x-2y)+(3a--b)(4y-2x) (ஆக. 60)
(a+2b)(3c-6b)+(2a-3b)(2d-c) (tq-óቻ • 59)ኡ
அ -4

Page 29
50 31 (x -2a) (y-2b)-1-(2x-a)(2b-y) (ug. 58) 32. (9a-6b)(x-2y)+(4y-2x)(3a-2b) (qaf. 56)
uDrga: III a”--2ab-b' sy66ogi a”-2ab-b” (f9app
வர்க்கங்கள்) என்பன போன்றவை.
இம்மாதிரியான கோவைகளை இருகணியங்களின் கூட்டுத் தொகையின் அல்லது வித்தியாசத்தின் வர்க்கங்களாகக் கூறலாம் (a+b)* = a* + 2ab +b* என்பதும் (a-b)*=a°2ab+ b* என்பதும் தாங்கள் அறிந்துகொண்டவையாகும். ஒவ்வொன்றிலும் பெருக்கத் தொகையானது ஒரு மூவுறுப்புக் கோவையாகும். விரிவில் உள்ள மூன்று உறுப்புகளில், இரண்டு a யினதும் b யினதும் வர்க்கங் களாகும். மூன்ருவது (நடுஉறுப்பு) a யினதும் b யினதும் பெருக் கத்தின் இருமடங்காகும். மேற்காட்டிய மாதிரியில் அமைந்துள்ள எந்த ஒரு மூவுறுப்புக் கோவையையும் அஃது நிறைவர்க்க மூவுறுப்புக் கோவையை இரு கணியங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகவோ அல்லது வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகவோ கூறலாம். பெருக்குத் தொகையின் இரு மடங்கின் குறி+வாக அல்லது-வாக இருப்பதற்கேற்பவே தரப்பட்ட மூவுறுப்புக் கோவையும், கூட்டுத் தொகையின் வர்க்கமாகவோ அல்லது வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகவோ இருக்கும்.
குறிப்பு : ஒரு மூவுறுப்புக் கோவையின் இரண்டு உறுப்புக்கள் + குறியைக் கொண்டுள்ள வர்க்கங்களாகவும் மூன்ரும் உறுப்பு, இரண்டு வர்க்கங்களினதும் வர்க்க மூலங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்காகவும் இருப்பின், அம்மூவுறுப்புக் கோவை ஒரு நிறைவர்க்க மூவுறுப்புக் கோவையாகும்.
உதாரணம் 1. சினை காண்க : 4x?+12x+9
4x?,9 என்பன இரு நிறைவர்க்கங்களாகும். அவற்றின் வர்க்க மூலங்களின் பெருக்கத்தின் இருமடங்கு 12x ஆகும். பெருக்கத்தின் இரு மடங்கின் குறி + .. தரப்பட்ட மூவுறுப்பியானது 2x இனதும் 3 இனதும்
கூட்டுத் தொகையின் வர்க்கமாகும்.
4x?--12x--9(2x-3)*
so gry 5RT to 2. x*-8x--F6
x-8x-16 = (x)'-2(x) (4)--(4)
=(x-4)? (","நடு உறுப்பு-குறி)

51
உதாரணம் 3. சினே காண்க : 9 (x ーy)*ー12(xーy)十4
f9 (xーy)"J என்பதும் 4 உம் வர்க்கங்களாகும். 12(xーy) என்பது அவற்றின் வர்க்க மூலங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங் காகும். நடு உறுப்பு-குறியானபடியால், மூவுறுப்பியானது 3 (x-) இனதும் 2 இனதும் வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகும்.
[2 (2)+2.(y') + 4 ==[3(x-y)2 -2.3 (x-yسل- x-y)2 - 12(x) 9۔ =s3(xーy)ー27"=(3xー3yー2)*
சில சமயங்களில் வாய்பாட்டைப் பிரயோகிக்கு முன்னரே பொதுச் சினையொன்றை வெளியே எடுக்கவேண்டிய அவசியம் ஏற்படுகின்றது
உதாரணம் 4. சினை goprior3 : قa 2b 2 24-سabc-+- 48C*
3a2b2-24.abc-1-48c = 3(a2b2-8abc-16c)
=3| (ab)?—2xabx4c + (4c)o) =3 (ab-4c)? (. B0 o-gll-(5ff)
usjá) 6 (c)
சினை காண்க :
1. az+4a十4 2 x2 6حx-+9 س
3. 4x2-20x--25 4, 9x2-36x-36 . 5, x2 + 4xy - 4y۶ 6. 25p°–30pg+943
7 x 4--2x-l 8, x-8x8 -- 6
y* -+-4y4رx2 10. x4 + 4x2ر +-a :b 2 +-2abx •9 11. 4x2-12xy--9y 12. a 4x4 - 2a 2b 2 x2y2 + b“ع2رر
-قه - 4x .۷14 به 2+ x .13

Page 30
52 49+(1-+x)28-سس- 2(1-+-x)4 .15 16. 25(x-2y)?--30 (x-2y)--9 17. 16(2x-3y)?-32 (2x-3y) -- 16 18. 5x-50x-125 19 . 32x* -+-16xy -+2y* 20. a3x*-2a*bxy+ab*y? /21. 2x3-8x2y+8xy?
22, 4p?+9 உடன் எதைக்கூட்ட கோவை ஒரு நிறைவர்க்க மாகுமென்பதை pயிற் காண்க (ሤ-óF. 60)።
23, 9ர்-12a+1 என்னும் கோவையை நிறைவர்க்க மாக்குவதற்கு எண் உறுப்புடன் யாது கூட்டப்படுதல் வேண்டும். (tዓ-óF. 61)
மாதிரி IV: *+px+ 4 என்பது போன்ற கோவைகள் (முதலாம்: உறுப்பின் குணகம் மாறிகளின் அடுக்குகளே இறங்கு நிரைப்படி ஒழுங்குபடுத்தும் பொழுது ஒன்ருக உள்ளவை.) முந்திய அத்தியாயத்தில், நாம் (x+a) யினதும் (x+b) இனதும் பெருக்கம்x?-+x(a+b)+ab ஆகும் எனப் படித்துள்ளோம். பெருக்கம் ஒரு மூவுறுப்பியாகவும், முதலாம் உறுப்பின் குணகம் ஒன்றகவும் அமைந்துள்ளது. எனவே மேலே காட்டி யது போன்ற மூவுறுப்பிக்கு (x+a) (x+b) போன்ற அண்மப்புள்ள இரு ஈருறுப்புச் சினைகள் உள.
x?+px+q என்னும் மூவுறுப்பின் சினைகள் (x+a)யும் (x+b)யும் எனக்கொள்வோம். எனவேx?+px+q=(x+a)(x + b)
... xo-+px+q=xo+x(a+b) + ab
இந்த இரு கோவைகளும், ஒரே கோவையானபடியினல் p=a+bயும், q=ab யும் ஆகும். எனவே x*+px +qவின் சினைகளைக் காண்பதற்கு, a,b என்னும் இரு கணியங்களை அவற்றின் பெருக் கம் 4 ஆகவும் கூட்டுத்தொகை p ஆகவும் இருக்கும் வண்ணம் காணவேண்டும்.
உதாரணம் 1. சினை காண்க : s'--8x -- 15
பெருக்கம்+15 ஆகவும் கூட்டுத்தொகை+8 ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள்+5உம்+3உம் ஆகும்,
... x*--8x+15= (x +5) (x-3)

53 அல்லது நடு உறுப்பாகிய+8xஐ, +5x ஆகவும்+3% ஆகவும்” பிரித்து எழுதியபின்
x --8x-- 15sex--5x--3x-- 15
= x(x-1-5) + 3 (x-5) = (x +5) (x-3)
உதாரணம் 2 சினை காண்க : x?-8x+15
பெருக்கம்+15 ஆகவும் கூட்டுத்தொகை-8 ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள்-5உம்-3உம் ஆகும்.
அல்லது-8xஐ.-5xஆகவும்-3xஆகவும் பிரித்து எழுதியபின்
15-+- x - 3x 5--س۔ x2 ==5{ ۔+- 8x-س۔ نظx
= x(x-5)-30-x-5) = (x-5) (x-3)
... x'-8x--15s (x-5)(x-3)
உதாரணம் 3: சினை காண்க : x2+2x-15
பெருக்கம்-15ஆகவும் கூட்டுத் தொகை +2 ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள் +5உம்-3உம் ஆகும்.
அல்லது+2xஐ. +5xஆகவும்-3xஆகவும் பிரித்து எழுதியபின்
x+2x-15 = x* +5x-3X-15
= x(x-5)-30x--5) = (x-5) (x-3)
(3 ۔۔ بx + 5)(x) ہٹ۔ 15 --- x2 + 2x .".
உதாரணம் 4 : சினை காண்க: x?-2x-15
கூட்டுத் தொகை -2 ஆகவும், பெருக்கம்-15 ஆகவும், உள்ள இரு எண்கள் -5உம் +3உம் ஆகும்.
அல்லது-2xஐ-5x ஆகவும் +33 ஆகவம் பிரித்து எழுதியபின்னர்
x'-2x-15=xt-5x+3x-15
=x(xー5)+3(xー3)=(xー5)(x+3)

Page 31
54
உதாரணம் 5: சினை காண்க : x2-3xy-102
மூன்றம் உறுப்பு yஐக் கொண்டுள்ளபடியால், தரப் பட்டுள்ள முவுறுப்பின் சினைகள் (x+ay) யும் (x+by) யும் எனக் கொள்வோம்.
... x2-3xy-10y?=(x+ay (x+by)
=x2+(a+b) xy+aby? ... a -- b = — 3 and ab = — 10 கூட்டுத் தொகை-3 ஆயும், பெருக்கம்-10 ஆயும் உள்ள இரு எண்கள்-5உம்+2உம் ஆகும்.
... x2-3xy-10y2=(x-Sy) (x+2)
உதாரணம் 6: சினை காண்க: (x-3y)2-2 (x-3y)- 15
(x-3y)க்கு aயை ஈடு செய்க. எனவே கோவை இப்பொழுது 2-2a-15 ஆகின்றது. கூட்டுத் தொகை-2ஆகவும், பெருக்கம் க-15 ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள்-5உம்--3உம் ஆகும்.
." a?ー aー15=(a-5)(a+3) aக்குப் பதிலாக (x-3) ஐ ஈடு செய்யும் பொழுது
(x+3y)*ー2(xー3y)ー15=(xー3yー5)(xー3y+3)
பயிற்சி 6 (d)
R&T a fratras -
14x1-3 2 x2-6x--8 3 x2+7x士12 4. x+9x+14 5. x+8x+15 6. x2-9x + 18
7. x2-10x -- 16 8. x2-13x-40 9. x2- 0x + 2.
10 -il x-{- 24 ll. x2-3.x -- شx 10
12. x2--5x-14 3ه x - 3x-18 -سن
20-45.4x2+x 12 -س-xر 4-+- x2 4 1

6.
8.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
32.
34。
36.
38.
40.
42.
44.
46.
47.
51.
S2.
55
24-x -2x .17 6حس-xر س- 2 x
x2-4x-32 19. x2-7x-30
x2-3x-28 21. x*十xー42
56-y?-- 15y .23 48هـ-2x-س-x2
p?-14p-45 25. 12 -+-14 l-72 س
32-25x-84 27. x2-10x--56
a 2-20ab--96b 29, x2-15xy-50y?
x2-3xy-2y 31, x2-3ax- 4a
x2-12xy-35y' 33. x2 +-5xy-ر36-سy 2
a2+6ab-91b. 35 ۔. x2-2xy-63y
x2-11xy-80y 37. (x-2)”+5(x—2)+6
(xーy)*ー8(xーy)+12 39. (x + 5)2 -+ (x + 5) --- 72 -
(α--2b)2-3(α+2b)-40 41. X(x + 13)+42
(x+6)(xー6)十16x 43.ره x 4 + 3x2 --10
x4-9x2-2. 45- 04 3 سa 2 54 سم (aー2b)"+9 (a-2b) (2a+b)+18(2a+b)*
x-10x-24x
. (2x-y)+6 (2x-y) (x-2)-27 (x-2y)
x?ーxー(aー1)(aー2)
x --2x-(2a-3) (2a-1)
x-6x-(y--4) (y-2)
a"+-3aー(3bー1)(3b+2)

Page 32
56 மாதிரி V px2+qx+ர என்பது போன்ற கோவைகள் (மாதி
களின் அடுக்குகளை இறங்கு நிரைப்படி ஒழுங்கு பண்ணும் பொழுது முதலாம் உறுப்பின் குணகம் ஒன்றல்லாத மூவுறுப்பிகள்.)
x2 இன் குணகம் ஒன்றல்லாதபடியால், px2 + qx +-ir 2) air இரண்டு ஈருறுப்புச் சினைகளில் ஒன்றில் xஇன் குணகம் ஒருமை யாக இருக்க முடியாது. மற்றச் சினையில் Xஇன் குணகம் ஒன்ருக வோ, ஒன்றல்லாததாகவோ இருக்கலாம். px2+qx+r என்னும் மூவுறுப்பியின் சினைகள் (ax+b)யும் (cx+d)யும் எனக்கொள்வோம்,
6T6Iow G360 px2-+-qx -- r=(ax --b) (cx--d)
... px2+qx+r=acx2+(ad+bc)x+bd இருகோவைகளும் ஒரே கோவையானபடியினுல்
peac:a = ad+bc and r=bd.
„”, pr = ac Xbd= abcd = (ad) (bc) எனவே ad+bc (xஇன் குணகம்) பெருக்கம் prஇன் சினைகளான ad be என்பவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே px2+gx+r இன் சினைகளைக் காண்பதற்கு, ad, bc என்னும் இருகணியங்களை, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை (ad+bc), நடு உறுப்பின் குணகமாகிய டிவிற்குச் சமமாக இருக்கும் வண்ணமும், அவற்றின் பெருக்குத் தொகை (abcd), X2 இன்குணகத்தினதும் கடைசி உறுப்பினதும் பெருக்கம் prக்குச் சமமாக இருக்கும் வண்ணமும் காணவேண்டும்
உதாரணம் 1: சினை காண்க : 4x2+11x+6
இங்கு நாம், பெருக்கம் (+4)x(+6) அதாவது +24 ஆகவும் கூட்டுத்தொவக +11 ஆகவும் உள்ள இரு எண்களைக் காண வேண்டும்.
எண்களாவன+8உம்+3உம் ஆகும்
+11xஐ,+8xஆகவும்+3xஆகவும் பிரித்து எழுதிய பின்னர் 4x2+11x+6=4x2+8x +3x+6
= 4x(x+2)--3(x-1-2) (3 + x -4-2\{4x ) =ت

57
உதாரணம் 2 : சினே காண்க : 8x2-14x+3
பெருக்கம் (+8) (+3) அதாவது +24உம், கூட்டுத்தொகை க14உம் ஆக உள்ள இரு எண்கள்-12உம்-2உம் ஆகும்.
-14xஐ,-12xஆகவும்-2xஆகவும் பிரித்து எழுதிய பின்னர்
8x2-14x-3 = 8x2-12.x-2x--3
- = 4x(2x-3)-1 (2x-3) = (2x-3) (4x-1)
உதாரணம் 3 : சினை காண்க : 2x2+x-1 , (நொ47) பெருக்கம் (+2) (-1) அதாவது-2ஆகவும் கூட்டுத்தொகை +1ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள் +2உம்-1உம் ஆகும். நடு உறுப் பாகிய+xஐ, +2x ஆகவும் -x ஆகவும் பிரித்து எழுதிய பின்னர்
2x2--X-1 = 2x2--2x-x-l
=2x(x-1-1)-1 (x+1) (1 س- x + 1) (2x) ہیسیت
உதாரணம் 4 : சினை காண்க : 6x2-x-15 (யூலை 49) பெருக்கம் (+6) (-15) அதாவது-90 ஆகவும்,கூட்டுத்தொகை -1ஆகவும் (xஇன் குணகம்) உள்ள இரு எண்கள்-10உம்+9உம் ஆகும். -
-xஐ,-10xஆகவும்+9x ஆகவும் பிரித்து எழுதிய பின்
6x2-x - lS= 6x2-10--9x-15
= 2x(3x-5)--3(3x-5) =(3xー5)(2x+3)
உதாரணம் 5 சினை காண்க : 5x2+14xy-3y2 (gb&o 47) பெருக்கம் (+5) (-3) அதாவது-15 ஆகவும்,கூட்டுத்தொகை -+ 14ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள் +15உம்-1உம் ஆகும்.
+14xyஐ,+15xyஆகவும் -xyஆகவும் பிரித்து எழுதிய பின்னர்
5x2+14xy–3y?=5x + 15xy-xy–3y?
=5x(x-3))-y(x-3) = (x-1-3y) (5x-y)

Page 33
58
உதாரணம் 6 : சினை காண்க :
12(a+2b)2ー5(a+2b)(2aーb)ー3(2aーb)* a+2b=Xஎனவும் 2a-b-yஎனவும் கொண்டால் கோவைச 12x?-5xy-3y2 ஆகிறது.
பெருக்கம் (+12) (-3)அதாவது-36 ஆகவும் கூட்டுத்தொகை -5 ஆகவும் உள்ள இரு எண்கள் -9உம்+4உம் ஆகும்.
... 12x2-5xy-3y2 = 12x?-9xy-4xy-3y'
=3x(4xー3y)十y(4xー3y)
=(4xー3y)(3x+y)
பின்பு x-a--2b எனவும் y =24-b எனவும் கொண்டால்
Górapa=f4(a+2b)ー3(2a-b)][3(a+2b)+(2aーb)]
= (4a--8b-6a-1-3b) (3a.-- 6b-i-2a-b) = (1 lb - 2a) (5a --+-5b) *=5(11bー2a)(a+b)
பயிற்சி 6 (e)
சினே காண்க:-
1. 2x+3x-- 2. 2x +5x+2 3. 6x'-- 13x-- 6 4. 5x?--8x--3 5. 6x?--23x--20 ve. 5x”-+-34x-+-247. 3x*-4x+1 8. 2:X2-ز7-سx6 .9 3-+-مx?-11x-1-3,
710. 4x2-9x+2 1l. 4x°-19x--21 12. 5x +4x-1
13. 61 +111-10 14. 12x2-31x+20 /15. 3x-- 0x-8, 16. 3x2+2x-5 17. 5x?--3x-1 18. 6l* -+-131-5 19. 3x'+5x-12 20. 7x-6x-2 2. 3x?-4x-15. 22. 12x?-7x- 10 23. 23--هورy-5 24 8رxر26 -- شx---7 /25. 12x2+23x-24 26. 6x?-x-15 /27. 10x9-13x-9 28. 12x?-16x-3 29. 3x2-30x-72 30. 28x?-x-15.

59
فر
uј 6 (f)
33 காண்க :
li l-2x-24 x? 2. 1-t-12t 3. 3-4t -7t
4. 2X* +5xy -+2y* 5 3x2 --1 1 xy --64 6۰ 2 برx -- 3xyسy *
7. 5x-7xy-6y 8. 7x--33ry -10y 9.5x2-3xy - 14ys 10. 14x'+143xy-42y 11, 2a"--13a* +15 12.3x°-14x'-24x 13. 6x'+4x'-10 14.62x+4ax-2x 15.35x" +66x +27
63ب-82x سستهٔ xر 65 18 39 سxز 140 -- ۵ xر 11 17 45 س+ x 67 سے قb64 24x
72س-xc 11 سس- xc2ر6 ,19
20, 2a2-- 7a - 4
21سس18x2 +-13X ه 21 .
v22. 15a-1-38a -11
23, 18x°-33x-216
24 سے ل49x-+۔ 40x2,y3۔ •24
25, 6x-55x-126
26. 32x-36xy--35y
27, 3x -10xy-3y
28. 24a'-17a3b-20ab
29. 6a-ab-10ab
30. 18a-3ab-10ab
x 3. (2x-3)+3 (2x-3)(x-6)
W32. (a-2b)-5 (a-2b)+6
ン332(x+y)"+7(x+y)(2x+y)+6(2x十y)* v34. 10 (a+2b) +21 (a+2b) (2a-b) - 10 (2a-b)
(ஆக.
(q_于。
(டிச.
(டிச.
(q-3F。
(tq-óቻ:
(ஆக.
(ஆக.
(யூலை.
(ஆக.
(யூலை.
(i. ܗܟ݂»
(ஆக.
61)-
55).
54).
56) -
62):
54).
61),
62).
54).
59)
56).
60)
57).
59):

Page 34
60
மாதிரி: V1, a2-b? போன்ற கோவைகள் (இரு வர்க்கங் களின் வித்தியாசம்)
(a + b) (a-b) = a2-b2 என்பதையும் மறுதலையாக a 2 سد - b2 = (a+b) (a-b) என்பதையும் நாம் படித்துள்ளோம். எனவே இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தைக் காட்டும் எந்த ஒரு கோவை யையும். இரு வர்க்கங்களினது வர்க்க மூலங்களின் கூட்டுத் தொகையினதும் வித்தியாசத்தினதும் பெருக்கமாகக் கூறலாம். உதாரணம் 1 : சினை காண்க: 9x?-16
9x2, 16 என்பன வர்க்கங்களாகும். அவற்றின் வர்க்க மூலங்கள் முறையே 3xஉம் 4உம் ஆகும். எனவே தரப்பட்ட கோவையானது 3x+4 (3x இனதும் 4 இனதும் கூட்டுத் தொகை),
3x-4 (3x இனதும் 4 இனதும் வித்தியாசம்) என்பவற்றின் பெருக்கமாகும்.
... 9x2-16=(3x)2-(4)?
s (3x + 4) (3x -4)
உதாரணம் 2 சினை காண்க : (a- 2b)?-962
(a-2b)2-9b2 = (a-2b)-(3b)
= (a-2b)+3b (a-2b)-3b) =(aー2b+3b)(aー2bー3b) =(a+b)(aー5b)
உதாரணம் 3 : சினை காண்க : (2x+3)?-(x-4)"
(2x+3)2- (x - 4) = (2x +3)-1-(x - 4) (2x--3)-(x-4)
= (2x十3十xー4)(2y+3ーx+4) = (3xーl) (x+7)
உதாரணம் 4 : சினை காண்க : x4-16y4
(x-16y') = (x2)?-(4y2)? . =(x?-- 4y2) (x2-4y2) =(x?--4y?) (x)?-(2y)?) =(x'+4y) (x + 2y) (x-2) சில சமயங்களில், விதியைப் பிரயோகிக்கு முன்னர் பொதுச் சினையை வெளியே எடுக்கவேண்டியது அவசியமாகின்றது.

61
உதாரணம் 5. சினை காண்க: 12ab-3aம்"
Ho
12a'b-3ab'=3ab C4a-b)
=3ab (2a)?-(b)? =3ab (2a+b) (2a-b) மேற்காட்டிய முறையைக் கொண்டு இரு எண்களின் வர்க்க வித்தியாசத்தை மிக இலகுவாகவும் கெதியாகவும் காணலாம் "
உதாரணம் 6. பெறுமானங்கணிக்க: 4752-1252
475?-1252 = (475-125) (475-125)
= 600×350 = 2。10,000.
uliმj]f 6 (g)
சினே காண்க :
, X?-- 49 2. y?-12 3. χ 2-- 196 4, 25-a? 5 4x2 -9 .6 1 سx2 س-y 2 في مسقy 2 8. 642-12 b 2 9 a bر25-س-16x2 .7 10. 4xy2-92 1 1. 25x'y'-16z' 2. a- COb2 13. x'-4y' 14. 9a 4-25b' 15. aoqo-co 16. xo-(a--b)o 17. (x+a)o-bo 18. (a-+b)* -4c** 19. 9R2-4 (R+2r)? | 20. 1--(x-1) 2 21・ (a+b)”ー(aー2b)* 22 (a+2b)*ー(2a+b)* ?2a-b)?-9c( .24 1622 -س-2 (x-+-2y) .23 25. p*ー4(a十r)* 26. 49l2 -- (m-ب-n(2 27. (a--3b)?-(3a--b)? 28. (2xーy)*ー(xー2y)* 29, 27x2-12 30. ax? —9ay? 31. x2y-a2b?y 32. 4a3-36a 33. 9a2b-25bC2 34. 4 ha2-9.hb2 35. (3x +5)? - (x + 4) 36 )2x-- 3(2 - )5 ر حتx( 37. (21+ m)? - (1-2m)? 38. (x?--y?)? - 4x' 256a-۔ a5 40 (1950 . 35 ہے ) * a ـــــ“x . 39
பெறுமானங் கணிக்க :
4.1. 852 - 52 42. 782 682 --س۔ 43. 2462 - 2432 44 6۰22 -- 3۰ 82
45. 2382 - 7.622

Page 35
62
மாதிரி VII: a-b" அல்லது a3+b3 போன்ற கோவைகள் (a+b)(a?-ab+b?)- a3+b3 என்பது எங்கட்குத் தெரியும். இதை மறுதலையாக எழுதினுல் a3+b3:(a+b) (a?-ab+b2) என்பதுபெறப்படும்.
இதே போன்று a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2) என்பதையும் நாம் எழுதலாம்.
இரு கணியங்களின் கனங்களின் கூட்டுத் தொகை அல்லது வித்தியாசம் இரு சினைகளை உடையது என்பது மேலே காட்டப் பட்டவற்றிலிருந்து தெளிவாகின்றது. அவற்றுள் ஒன்று ஈருறுப்பி யும் மற்றது மூவுறுப்பியும் ஆகும். a3--b3 என்பதில் ஈறுருப்பியானது இரு கணியங்களினது (aயும் bயும்) கூட்டுத் தொகையாகும்: மூவுறுப்பியானது, இரு கணியங்களின் வர்க்கங்களினது கூட்டுத் தொகை சய அவற்றின் பெருக்கம் ஆகும். a3-b3 என்பதில் ஈருறுப்பியானது, இரு கணியங்களினதும் (aயும் bயும்) வித்தியாசம் ஆகும். மூவுறுப்பியானது, அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை சக அவற்றின் பெருக்கம் ஆகும்.
குறிப்பு : a3+b3 இனதும் a3-b3 இனதும் சினைகள் வடிவத்தில் சர்வ சமனனவை. அவை குறியீடுகளில் மாத்திரம் வித்தி ய சப்படுகின்றன. a+b2, a3-b* என்பன இரண்டிலும் ஈருறுப்பியின் குறியீடு, இரு கனங்களையும் இணைக்கும் குறி யீடாகும். மூவுறுப்பியிலுள்ள பெருக்கத்தின் (ab) குறியீடு ஈருறுப்பியின் குறியீட்டிற்கு எதிரானதாகும்.
உதாரணம் 1 : சினை காண்க: &a3+r
8.a3 = (2a)3; 1 = (1)3 { 2(t) ش+ (1) 2a)2 --2a) ] س-(1-+-8a3 + 1 - (2d)3-||- (1)3== (2a .
= (2a十1) (4a-2a+1)
உதாரணம் 2 : சினை காண்க : (54x3+16y?
பொதுச் சினையாகிய 2ஐ வெளியே எடுத்தால், எஞ்சிய கோவை இரு கணங்களின் கூட்டுத் தொகையாகின்றது.
54x2-4-16y3 =2 (27x3-1-8y)
=2 (3x) 3-1-(2y)3 ) =2 (3x--2y) (3x)?-(3x)(2v)--(2y)? is 2 (3x--2v) (9x9-6xy+44)

63
உதாரணம் 3: சினை காண்க : a963-6403
a*b* என்பது abயின் கனமாகும். 64c* என்பது 42யின் கனம் ஆகும்.
3(ab)3--(4c)=ے 64c3--ةa * b .".
= (ab-4c) s(ab)?--+ (ab) (4c) + (4c)o) = (ab- 4e) * a 26o -- 4abc -- 15c*).
உதாரனம் 4 : சினை காண்க, xy+xy"
பொதுச் சிஜனயாகிய xy வெளியே எடுக்கப்பட்ட பின்னர் எஞ்சுங் கோவை, இரு கணங்களின் கூட்டுத்தொகையாகின்றது
... x' y+xy".= xy(x+y)
=== xy[Ꮸx*)° -+Ꭴ2 )° ]
xyᏨé* +y* ) [ᏨᏑ° )Ꮙ-( x*) Ꭴ*)+Ꭴ°)° ] ( y 2 + yز x y (x + y ) ( x - x =
-
uuba 6 (h)
羽初r&Ts如$:
yز س-1 .4 8-- قx * +-1 2 p : - 8 3. xز .1 5. 64-x 6. 8a9 27 + 1 .7 1-س۔x:38, 27 , + 8 216 + xy .11 1 س- *6°a .0{ 125 س64x 9 12. 1000g - 27 13., 1 + x*yoz* 14. xoyo —512zo 15. 8xo-x(ubov 52) 16. x'y-xy* 17. 2x"+16y' 18. xo--8 . 19. x"y * -- 1 20• x°-27سس .4B9ے حس۔ 3 y 9 22. 32a3b+۔ ”x •21
மாதிரி VII: a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc என்பதை நாங்கள்
அறிந்திருக்கின்ருேம். எனவே, மூன்று கணியங்களின் வர்க்கங்
களையும், ஒரு முறையில் இரண்டாக எடுத்துள்ள கணியங்களின்
பெருக்கத்தின் இரு மடங்கையும் கொண்டுள்ள எந்த ஒரு
கோவையையும், தரப்பட்ட கோவையிலுள்ள சதுரங்களின்
வர்க்க மூலங்களின் கூட்டுத் தொகையின் வர்க்கமாகக் கூறலாம்,

Page 36
64
உதாரணம் 1 : சினை காண்க : 4x2+y2+22+4xy+4x2+2y2
தரப்பட்ட கோவையானது 2x , y, z என்பவற்றின் வர்க்கங்களேக் கொண்டுள்ளது. ஆகவே, தரப்பட்ட கோவையானது 2x, y, z என்பவற்றை ஒரு முறையில் இரண்டாக எடுத்துக் காணும் பெருக்கங்களின் இருமடங்கைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது 2X2xxy, 2X2XX2, 2xyx2) அக்கோவையை, 2x, y, z என் பவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகக் கூறலாம்.
தரப்பட்ட கோவையானது 4xy, 4x2, 2yz என்பவற்றைக் கொண்டுள்ளது. கோவையின் எல்லா உறுப்புக்களும்+குறியை A2620 L tu 60T
... 4x2-y?--z--4xy-- 4xz--2yz= (2x+y+z)*
உதாரணம் 2 @om 3, 6T is 4a2--9b2-c2-12ab-4ac-- 6bc
தரப்பட்ட கோவையானது, 2a, 3b, c என்பவற்றின் வர்க்கங் களையும் 2a, 3b; 2a, c; 3b, c என்பவற்றின் பெருக்கங்களின் இரு மடங்கையும் கொண்டுள்ளது. எனவே அது 2a, 3b, c என் னும் உறுப்புக்களைக் கொண்ட கோவையின் வர்க்கமாகும். 12abயும் 4acயும்-குறியை உடையனவானபடியால் 3bயும் cயும்-குறி யாக் இருக்கவேண்டும்.
... 4a2+9b–-c?-12ab-4ac-i-6bc = (2a-3h-c)?
பயிற்சி 6 (1)
வினை காண்க : s
1. a'+bt+c+2a2b2+2a?c?--2b?c?
2. 9xo--4yo+ zo-12xy-+6xz-4yz
4a2-12ab-I-9b2- -30bc.--25c2-20ac ۔۔۔۔۔2x2y 2 -----2x2 +-2y2-س۔ 1 + * X* + y x2+4y2-1-932-4xy--6xz-12yz 16a2+-4b2-12b-9-24a.-- 6ab 4a2x2+ b??--c2c2+4abxy-4acxz-2bcyz

65
பலவினமான சினேகள்
உதாரணம் 1. சினை காண்க : x?-y2+x+y
x-y +x+y=(x'-y)+(x+y)
・=(x+y)(xーy)十(x十y)
=(x十y)(xーy十1)
உதாரணம் 2. சினை காண்க : x4+x?-y-y (டிச51)
(y 4) + (x?-y2معہ 4 x) ح - 2 yہ۔ 4 x4 + x2 - y
=(x+y?) (x2-y2)+(x?-y?) =(x-y?) (x2 +y+1) =(x+y)(xーyリ(x"十y?+1).
உதாரணம் 3. சினை காண்க : a(a-c)-b(b- )ே (யூலே 47) a(a-c)-b(b-c) = a -ac-b?--bic
= (a? —b?) — ac -- bc
=(a十bり(aーb)ーc(aーb)
=(aーb)(a+b-c)
உதாரணம் 4 சினை காண்க : 1-(a2+b")+2ab (டிச49) 1-(a-b)+2ab = 1-a-b2+2ab = 1 -(a2+-b2-2ab)
= (1)2 -(a-b)?
=[1+(aーb)} [1-(aー b)] =(1十aーb)(1-a+b)
உதாரணம் 5. சினை காண்க : 3x2+5xy-2y** 2x + 4y
(ις σ. 51)
3x?--5xy-2y2-2x + 4 y = (3x2-4-5xy-2y2)--(2x +4y)
- (3x?--6x}-xy-2y?)-1-(2x + 4y)
S = 13x(x+2))ーリ(x+2y)]+2(x十2y) 

Page 37
66
=(x-1-2) (3x-y)--2(x + 2y) = (x + 2y) (3 x-y--2)
உதாரணம் 6. சினை காண்க : l-3cy?-9by-27be
(qaf. 52
(9b2(y+3c س-(3cy2-9b 2y-27b 2c = y 2(y+3c +ةyد
= (y--3c) (y-9b) = (y--3c) f(y)-(3b)? =(y+3c)(y+3b)(yー3b)
உதாரணம் 7. சினை காண்க : (a?--b2-c?)?-4a2b
(a? +b°-c?)?-4ab? = (a2+ b?-c?)2-(2ab)?
(2ab -یا۔ c2-س 2 a2 -+b2 - c --- 2ab) (a + b) =- -(a2+-b2+2ab-c2) (a+b°-2ab-c?) (c2س۔ ? (b-س-c 2] [(a سے 2 (a+b)]سی =(a+b+c)(a+bーc)(a-b+c)(a-b-e)
உதாரணம் 8. சினை காண்க : x'-(15x--54)
۶ (54 -- x2) ? --(15x) = 2 (54 -- 15)-سه
=(x?--15x-1-54) )x 2 15 سے x --- 54( (x?--9x-6x--54) (x2-18x-3X-54) நடு உறுப்பைப் பிரித்து எழுத = x(x+9)--6(x--9) x(x-18) --3(x-18)] =(x+9)(x+6)(xー18)(x+3)
உதாரணம் 9. சினை காண்க : x+x?y2+y*
شوکچه ش g * زرx2) ۶ نرy = x + x y 2 + y 4 + x y 2 - x2 + 2 نر x + x கழிக்க)
x4-2x2? ۔+ y 4 -xy?

67
2(رية) سم2 (2 + x2) عنه = (x+y24-xy) (xiii-xy)
உதாரணம் 10. சினை காண்க : a + 26ab3-2769
- 2Gab- 27b 0 میت )a3)2+26a3b3--27(b2 (ڈ
நடு உறுப்பைப் பிரித்து எழுத
2 (a3b3 --27(b3۔جس a3) 3 + 27a3b3) ==
= a(a3+27b3)-b3(a+27b)
(b3سم-27b3) (a3۔+-a3) سے =f(a)+Gの aーが] = (a+3b) [ao-3ab + (3b)?] [(a-b)(a2+ab+bo)) = (a+3b) (a?-3ab +9bo) (a-b) (ao +ab+ bo)
உதாரணம் 11. சினே காண்க : x8-729y8
2)729y 6-- (x3)2-(27 y3ے۔ x6
(3 27y-س-x3 +27y 3)(x3) ہے v(a?— b°) என்னும் சர்வ சமன்பாட்டை உபயோகித்து
= (x -(3y)) ((x)-(3y)ol = (x+3y) xo-xx3y--(3y)ol (x-3y) X
[x+x×3y十(3y)"] (a+b), (a-b) என்னும் சர்வ சமன்பாடுகளை உபயோகித்து
= (x+3y) (x-3xy+9y?) (x-3)(x +3xy +9y)
அல்லது
6.7299 =(x2)3-(9y”)3 கனங்களின் வித்தியாசமாகப்
பாவிக்க
21 (92) + 9y2لا 2 x 2) 2 + x)] (2روس 2) ـ
(*y * -- 81y علاy 2) (x4 + 9x 9 ہے۔ 2 x) ہے


Page 38
68
'[2 9x2yح- 2 yر9x2 ن+ y4ر81-+ 9y2) [x4 4-9x2y2-س-x3) = (9x?y?ஐக் கூட்டிக் கழிக்க)
=(x2-9y?) (x + 18x2y2.4-81 y' -9x°y?) [?(3xy) ---- ثبر 3y) 2][(x?-+ 9 y2) ہے۔ ? (x)] =
{(3x,y سس۔ 9y2۔+ x-+3,y) (x ---3y) (x 2 - 9 y2 + 3x,y) (x2) سست உதாரணம் 12. சினை காண்க : x3--y:3+x(3x=+xy-4y2) x3-y3+-x(3x ?--xy—4y?) = x3 -- yo -- x(3x? -- 4xy- 3xy-4y"), (+xy என்னும் நடு உறுப்பைப் பிரித்து எழுத) .
r x3-y--xx(3x--4-yl)-y(3x -i-4)
= x3-y3--x(3x-,-4)(x-y)
= (x-v) (x?--xy--y?)--x(3x-1-4) (x -y)
(x3-yஎன்பதன் சினைகளைக் காண்பதால்)
=(x-y) |xo --xy--y2-- x(3x -- 4y))
=(x -y) (x-xy--y2+3x?--4vy)
2- (x -y) (4x?--4-xy-xy--y?)
=(xーy) [4x(x十y)十y(x+y)]
=(xーy)(x+y)(4x+y)
Ljudjá 6 (j)
சினை காண்க :
و ـسـ 3 ــ قة b - فة 9 كم2 2(ab -- 1)-س-2 (b-س--a) ه 1
3 x2-y-4x-4y 416 هa * ----9--4a -3-س
(y 2 + 3(2x + yز -- ۶ 2y ۰ 6۰ 4x + بر س- ۶ 4y - ثبX .5
7・ x(x+1)一y(y+1) (யூலை 47)
8. a(a-l-1)-b(b-- 1) (யூலை 49)

9 a (a-1)-b (b-1) 10 x (x+a)ーy sy十a)
11s a (a+b)ーc(cーb)
12 m (m+3)-n(n +3)
13s x2--xーa2ーa
14. 16a'--8a2-b'-252
15. a2--b2-C2-2ab
* 16. a2 -+ 4b 2-4c2................ 4ab
17. x2-4xy--y2-22
8, 4a2--b2-x2-- 4ab
y 9. x2-2ax--a2-b2
20. 1-(x-1-4y)-1-4xy
18 سے 2x2 .21 ء
27xے3X .22
9r. 36p2 23. 16 6
• 24• 4(a-b)°+(b+ግn)
27 سے 246x2 25.
18ستےx2 7 سے 4 x 26.
2yz + 2چتر سے ظyسے x2 .27 * *
28. x2-y2-- 4y2-- 4xy
22 سے 4y2 ۔ 2 4y س+- x2 = 29 |
30 1-(ao-i-bo)--2ab
ab2 سے a*b) سے b3+۔ a3 .31 32. p'-pg-16+44
“5 + ab3 ص سے a3bے a4 \ہ 33ہ
69
(நொவ. 47) c (யூலை 51)
(ஆக.50)
(யூலே53)
(51 • rی -q)
(η σ. 50)
(யூலை 55)
(4dF 53)
(ஆக.60)
(ዓ-óም 62)
(ሠዓ-óም • 58)
(qor. 55)
(Iፃ-óF. 57)
(யூலை. 54)
(e.g. 53)
(q_తా. 58)
(ஆக. 59)
(யூலை 55) (41.55)


Page 39
1.
a 3.
«/5.
W8.
10.
1/1 1.
12.
13.
•14"لي
15.
6d
7.
l8.
19.
20.
21.
22.
23.
• 24.
70
utriji 6 (k)
b'-16a2+ c2-2bc «ر 4x + 2-9:ر4 + x2 a°-4-b2— c°— d2-+-2ab 2ed
4a -- 4b2-9c.--Sah
a°-4bo+A(x-2a)
8aP+-4aPA-2ab2ーb2x
(4y + 22 32 مس- 4x - س 3 x
4c ۔ 2 ,{4 سے * jy +-cy
x"十xyー2y"+ xーy
2a2-3ab-2b-1-4a-2b
3x2--13xy-10y-2x-10y
ر6 + 6x2 +- 11 x y +-3y 2 - 4x
;)52 3x +-9y (யூலே مس- *15y سيج x2 +-2xy
63,02 .ағ( 84-س xر88-+سه 32x28
).63 .c2a W (q&f - 1 --۔ c3-سمجa
c2)2 ---- 4a 2c2-+م 2 4b --ست *a) 2 (2 4y + 2 ہے۔ 2 16x2y 2 ----- (x
a'--4b.
4a* +1 la2b2 + 9b*
'x3y ----xy 3--y-{-مx
x-9b?-- 4a2-4ax (g) 56)
4x2 . --1---- 9 y 2 - 6y (്. 54)
4pg+4a2-p-4q {ur. 61).
a°十a°十1 (<ഴ്ച 5 , 58)

25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
. 37.
a 38.
39.
71
).59 .ஆக( 9 + 222-ب۔ 4ے 4c'--3c d'--d )62۰ • 35 زبچہ( ).b* (3). SS-۔ b2محa * --a )63 .ஆக( ه به 12x3 y-سرزانه x - هی6 )63 .ஆக( • * 9-}۔ 23 ,{} * 13a۔ بھ4
(4 م+-i) (a-س-a)-سx24--5X b--2 سے b3-ب۔ 83
*Xس- y -۔ yشx-1 ).64 .4-35xy” (ஆக۔ محل y - -13 x2 y 3 ہ12x a2 (2xー4y)*ーh"(2yーx)* (ஆக. 64)
تعد " وسم 2 2abسسعة 2 4G س = 8a8
* أر8 -- فوزه عروس.5 x
64x-729y" 81x°-33" (tᎸ- Ꭶ . 54•Ꭰ ac-27X. ܗܝ (ughు 54.)
சிஜனக3ளப் பற்றிய உமது அறிவிை உபயோகித்து, பின்
வருவனவற்றின் பெறுமானங்களேக் காண்க.
40.
p 41.
42.
43.
44.
45.
• 46.
器×46°一苦×237° (is f. 59-)
7 7 - (15.2x3.7 (6.8% 4.8)+(4.8 x 15.2) -(3.7x68)
(tą. F. 59.) 392 -38 - 320 (tą F. 61).
140x1484-16-இன் நாலாம் மூலத்தைக் காண்க. (ஆக. 62.)
103×97 L-5F. 60.)
;)-64 ,X 1? (్వత 13-س- 58ه 12"
மிகக் குறுகிய முறையிற் சுருக்குக : 5a (a-2c)-3c (4c-2a) விடையைச் சினே உருவிற் திருக. (ldf. 63),


Page 40
72
அத்தியாயம் 7
பொதுச்சினைகளுட் பெரியதும், பொதுமடங்குகளுட் சிறியதும். GJIT. j. GLJ.
இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட அட்சர கணிதக் கோவைகனை மிச்சமின்றி வகுக்கும் ள்ந்த ஒரு கணியமும், அந்தக் கோவைகளின் ஒரு பொதுச் சினையாகும். அவ்விதமாக a(a-b), (?-b2, (a-b)2 என்பவைகளின் பொதுச்சினை (a-b) ஆகும் ஏனெனில், மேலே தரப்பட்ட கோவைகள் ஒவ்வொன்றையும் a-b என்பதால் மிச்சமின்றி வகுக்கலாம்"
பொதுச் சினைகளுட் பெரியது அல்லது பொ. சி. பெ. இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட அட்சர கணிதக் கோவைகள் ஒவ்வொன்றையும் மிச்சமின்றி வகுக்கும் அதிபெரிய படிக்கோவை, தரப்பட்ட கோவைகளின் பொதுச் சினைகளுட் பெரியதாகும்:
சினை காணல் முறைமூலமாக அல்லது எண்கணிதத்தில் உள்ள "வகுத்தல் முறை" மூலமாக, கோவைகளின் பொ.சி.பெ. பைக் க்ாணலாம்.
இவற்றுள் சினைகாணல் முறையே இலகுவானது. இம்முறை யில், நாம் ஒவ்வொரு கோவையினதும் சினைகளைக் கண்டு, தரப் பட்ட கோவைகளிற்குப் பொதுவாக உள்ள சினைகளின் பெருக்கத் தைக் காண்கிருேம்.
தரப்பட்ட கோவைகளின் சினைகளைக் காண்பது கடினமாக இருந்தால், மற்ற முறை (பொதுவான முறை) கையாளப் படலாம்?
உதாரணம் 1. பொ. சி. பெ. காண்க, 3x23, 5x32, 6x42 கோவைகளிற்குப் பொதுவான x இன் அதிபெரிய அடுக்கு x? ஆகும். கோவைகளிற்குப் பொதுவான வேறுசினைகள் இல்லை
.. பொ.சி.பெ. x2 ஆகும்.
உதாரணம் 2. பொ.சி.பெ. காண்க : 2a(a+b); 4ab (a2-6)
Sabc(a-b)2
4ab(a2-b2) = 4ab(a+b) (a-b)
மூன்று கோவைகளுக்கும் பொதுவான ஒரு சினை 24(a+b) ஆகும். வேறு பொதுச் சினைகள் இல்லை.
ஃ. பொ.சி.பெ. 2a(a+b) ஆகும்,

73
உதாரணம் 3. பொ. சி. பெ. காண்க. 3 س- 2x2 - 5 c و3 + 4x2-!-8x و 1 -س مxز -- 2x2 22-x-1=2x2-2x+x-1 (நடு உறுப்பைப் பிரித்து எழுதுவ
தால்)
=2x(x-1)-1-1(x-1)
=(x-1) (2x+1) 4x2--8x-3 = 4x2-4-6x +2x-1-3
- 2χ(2.χ +3) --1(2χ-+-3)
=(2x+3) (2x+1) 3 – 2x 2 --6x + x = 3 سيم5x-سي-*2x
= 2x(x-3)-1(x-3)
= (x-3) (2x-1-1)
2x+1 தான் தரப்பட்ட கோவைகளின் பொதுச்சினையாகும்.
6.u IT. f. 6 u. 2x--l
உதாரணம் 4. வகுத்தல் முறைப்படி பொ.சி.பெ. காண்க
x'--3x3-3x'--3x-1-2; x -2x3-1-2x'+2x--l
3 x--2x3-4-2x2-4-2x--l “ + 3x3 + 3x2 + 3x +2 1 س+- 2x3 + 2x2 +-2x {-۔ x2-+-x x4 ن+۔ x3-+۔ x4
x3 - x2 -- x -- 1 x3--x?--x--
1-+- xز -+- x3 -4- x2
... Guit. d.6u. x*-i-x 4 + x --l
இரண்டு கோவைகளிலும் x இன் அடுக்குகளை இறங்கு நிறைப் படிஒழுங்கு பண்ணிய பின்னர், கூடிய படியை உடையது வகுபடு மெண்ணுகவும் மற்றது வகுக்குமெண்ணுகவும் எடுக்கப்படுகின்றன? (இரு கோவைகளும் ஒரே படியாக இருந்தால், கூடிய படியில் சிறிய குணகத்தை உடைய கோவை வகுக்கு மெண்ணுக எடுக் கப்படுகின்றது). பெறப்பட்ட மீதி வகுக்குமெண்ணுகவும் மற்றக் கோவை வகுபடுமெண்ணுகவும் ஆக்கப்படுகின்றன. மீதி பூச்சியம் ஆகும்வரை 9 வகுத்தல் தொடரப்படுகிறது. கடைசி வகுக்கு மெண்ணே, கோவ்ைகளின் பொ.சி பெ. ஆகும். ”


Page 41
74
குறிப்பு: மேலே காட்டிய முறைப்படி மூன்று அல்லது மேற் பட்ட கோவைகளின் பொ. சி. பெ. யைக் காண்பதற்கு, முதலா" வதாக ஏதாவது இரு கோவைகளின் பொ. சி. பெ. யைக் காண்க; பின்னர் இப் பொ. சி. பெ. யினதும் மூன்ரும் கோவையினதும் பொ. சி. பெ யைக் காண்க. இவ்விதமே தொடர்ந்து செய்க. ஈற்றில் காணப்பட்ட பொ. சி. பெ. தான் வேண்டிய பொ: சி. பெ. யாகும். வகுத்துக்கொண்டு போகும்பொழுது. சில சந்தர்ப்பங்களில் பின்னக் குணகங்களேத் தவிர்ப்பதற்காக வகுக்கு மிெண்ணே அல்லது வகுபடுமெண்ணை, யாதேனுமொரு கணியத் தால் பெருக்கவோ அல்லது வகுக்கவோ வேண்டிய அவசிய மேற். படுகின்றது.
குறிப்பு இரண்டு அல்லது மேற்பட்ட கோவைகளின் பொ.சி. பெ. யானது, வகுத்துக்கொண்டுபோகும்போது, எந்த ஒரு. படியிலும், வகுக்கு மெண்ணேயோ அல்லது வகுபடு மெண்ணையோ ஒரு கணியத்தால் பெருக்கும்போது அல்லது வகுக்கும்போது. மாற்றமடையாது.
உதாரணம் 5. பொ. சி. பெ. காண்க:
2x3-15x3-31x-1-12; 2x3--7x2-4-7x + 2
2x3-7x2 +7x + 2 2x3.+- 15رx2 -+31-س x -+- 12 r 4 2.x 3 +- 7رx2 .+- 7 x +- 2
8x -- 28x2 + 28x -- 8 8x -- 24x -- 10 2. 8x3 + 24 \ 2 - 10 & ჯ * —- 36y –H- 16
2.χ. 4.Xر18 سنه، ٹx -+-8 -6) - 12x- 6 4x2-1-2x 2x -- l 8 6x -- 8 6x -- 8 ഇബത്തില
.hق و یا 1 + J. 2xا اG . ۹ئی . ITلا 6 ...
பின்னங்களைச் சுருக்குவதில் பொ. சி. பெ. பெரிதும் உபயோக. Op.60 - tugs.
7 - 4x2 - 4.v ={- 3 ג
O : : -ܚ -ܝܫܝܚܗ ܕܚܝܚ ܚ - ----- -- - . .. . . - தாரணம் 6 சுருக்குக لم .. في آخر )Y +2: س !

75
முறை தொகுதி எண்ணினதும் பகுதி எண்ணினதும். பொ. சி. பெ. யைக் காண்க. அதன் பின், தொகுதி எண்ணையும்: பகுதி எண்ணையும் பொ. சி பெ. ஆல் வகுத்து மறு சினைகளைக் காண்க .
7 -16x+21 x -- 4x?-- 4x- اة X܂ x 8 --3x3 -7x 16 - 3ةX --21
28-3xa -9x --21 44x 4-12X- 3-سست۔ 下xa丁-下3x二丁7 21-x2 -9xز3--
பொ. சி. பெ. x2+3x-7 ஆகும்.
1-+-X) 7مس- x -+- 4x 8----- 4x (7-۔ x2 + 3x 7x-۔ x * -+ 3x3 س۔
- x--3x-7 7-س-x2 -+- 3xز
3-x * - + - 3x - 7) x ۶ -16x. --21 (xر
二3°二9x士型
1-+ 4x--7 - (x2 -+-3x-7) (x + 1) x-سن-x* + 4x2 3-3x - -7)(x ---3) "x +۔ لة 16x + 21 " (x--- کا مرک
utilisa 7 (a)
பொ. சி. பெ. காண்க :
1. 4ab"c", 8ahc, 6a 2 heca zه رزه x 15 و 3 ج 5x2 هرز* 2x .2
(x+y) (y--z), (x+z) (x -y) 4. (x + y), x-y - 5. oxo-y*, (x-y) 6. a*b-ab, ab --b ;
7. c-25, (x +5) (x-5)? 8• a? -- 1, a 1 سے, a1سے ش
9. x--2x-48, x-7 x -i-6 10. x'--ax'-x-a, x-ax-2at


Page 42
76
2 - 2x2 + 9 x + 4, 2x2 3x .12 2 -۔ 5x2 + 4 x2 + x -۔ x4 .11 13. 2x2 - 13 x + 12, x2 + 2 x - 15 l4. 2x2 +7x -4, 3x2 + 14x + 8 15. 4x2+21 x +5. 3 x2 + 1 3x - 10 !6. 6x2 11 +۔ x ---4 --7 ,7 ہx - 3 x2 17. x?-81, x2-8x -9, 3x2 + 29x + 18
18. x8-8, x2-4-2x -- 4 19. 8) x2 + x - 12(4 وx 3 -- 108 20. x* +2x?-x -2, x + x2 - 4 x -4 21. x3-4x?-- 5x -2, x - 7x--6 3 +۔ x 3-- 25x2ر6 ,4 ---- x 11 س-3x2 .22 0 x 3 -- 5x - 2x - l و 5 || -- بر 2-- . x3 -H - 6xر .23 24. x3-3x -2, x3-4x?--6x-4 M x2 --2a 4 xرx2 -}-3a*x-+-6a 4, ax4 + 3a 2 x3 +-a3ر2 4a-س- x4 .25"
26. 4x4 -+- 12x3y-س x 2y 2 -- 3xy3, 4x4 - 4.x3y -+3 ہx2y 2 -+- xy 2ر-سy ه 27. 2x5-9x3-4-3x9-1-7x-3, 2x +4x3-7x2-1 lix --6
சுருக்குக !
9a 4-3a?-- 2x3-x?-- x - 3 * 0.5-1331342-1 29' 43-17x2
... x-4x-6x-4 31 x + x3 +4x'+3x+1 O x3-3x-2 x3 + 5x2-7x3 32 x3-3x + x-3 33 x+x+x+1
x +6x-5 x3--3x2-3x-- 34. 4رx3-12 -سx ---8
12 - 30x +۔ ة 6x3 - 24x
பொ. ம. சி.
பொதுமடங்குகளுட் சிறியது அல்லது பொ. ம. சி. இரண்டு அல்லது மேற்பட்ட கோவைகளின் பொது மடங்குகளுட் சிறிய தாவது, தரப்பட்ட ஒவ்வொரு கோவையாலும் மிச்சமின்றி வகுபடத் தக்கதான குறைந்த படியிலுள்ள கோவையாகும்.
கோவைகளின் பொ. ம. சி யை, அவற்றின் சினைகளைக் காண் பதன் மூலம் அறியலாம். வேண்டிய பொ. ம. சியானது, எண்

77
குணகங்களினதும் (ஏதும் இருப்பின்) பொ ம.சியினதும் தொடக்கச் சினைகளின் அதி கூடிய அடுக்குகளினதும் பெருக்கமாகும்.
இலகுவாகச் சினை காணமுடியாத இரு கோவைகளின் பொ. ம. சி. யைக் காண்பதற்கு, அவற்றின் பெருக்கத்தை அவற்றின்" பொ. சி. பெ. யால் வகுத்துக் காணலாம். மேலே காட்டிய முறைப்படி மூன்று அல்லது மேற்பட்ட கோவைகளின் பொ. ம.சி. யைப் பெறுவதற்கு, முதல் இரு கோவைகளினதும் பொ. ம. சி யைக் காண்க. பின்னர் இப் பொ. ம. சி. யினதும் மூன்றம் கோவை யினதும் பொ. ம. சி. யைக் காண்க. இவ்விதமே தொடர்க. ஈற்றில் பெறப்பட்ட பொ. ம. சி. யே வேண்டிய பொ. ம. சி ஆகும்.
உதராணம் 1. பொ. ம. சி. காண்க: 4abேc, 6ab2c, 9abc?
4, 6, 9 என்பவற்றின் பொ. ம. சி. 36 ஆகும். தரப்பட்ட கோவைகளின் பொ.ம.சி. ஆனது a, a2, a என்பவற்ருல் வகுபட
வேண்டும். எனவே பொ. ம. சி. யின் ஒரு சினை a3 ஆக இருக்க வேண்டும். இதேபோல் b? c? என்பனவும் சினைகளாக வேண்டும்.
. வேண்டிய பொ. ம. சி. 36a b2 c ஆகும்.
உதாரணம் 2. பொ. ம. சி. காண்க:
X8---x--6, x * -- x ---12, x a --6x + 8 2 + x--3) (x) = 6--26 سبـ 6 X. (3س x + 4) (x) = 12سمx2 + x x -6x +8=(x +4) (x+2)
ஃ பொ.ம.சி. = (x-3) (x+2) (x +4)
உதாரணம் 3. பொ. ம. சி. காண்க.
x + 2x?y–xy? – 21?, x3–2xoy–xy? +2y; x 3 - x?y-4xy°-4yo 3 y -- 2yر ۶ xy ۶ -- 2y = x3 - x y 2 + 2x. س- x 3 -- 2x 2 y
(2 y -۔ ?y?') + 2y (xر--x( x2 = -- ( x° - y* ) (x + 2y) = (x + iy) (x -y) (x + 2y) 3بر2 + g2 --2x2yرy -- x y2 -+ 2y3 == x3 -- fرx3 - 2x2


Page 43
78
و ورز - قx(x-y)--2y(x =
(2y-س-y 2) (xس *x) ==
=(x+y)(x一y)(x-2y) (+) در4--(x (x + y == * بر4 -- ۶ از 4 س-x y + - * است.
(2 4y۔--9 x+y) (x) ===
= (x+y) (x+2y) (x-2y) ... 6 run.d. = (x + iy) (x -y) (x + 2y) (x-2y)
= (x2-y2) (x2-4y2)
-உதாரணம் 4, 2x'-x3-9x2+4x+4, x3+2x2-x-2 என்பவற்றின்
பொ.ம.சி. காண்க .
பொ.சி பெ. யைக் காண்க. ஒரு கோவையைப் பொ.சி.பெ. ஆல் வகுக்க, பெறப்படும் ஈவை மற்றக் கோவையாற் பெருக்க வருவதுதான் பொ.ம.சி ஆகும். w
x --2 2x -x3-9x'--4x - 4 2x - م x3-+- 2x2
r 2x4 - 4x3-2x2 - 4xبر2-س-x2ز مx3-f
х2-4-x —2 - 5x3-7x2 + 8x--4 ー5
1 10-+ 5x-{-۔ 10x2-۔ x3ر5 منٹ۔
3x2-3x-6 1. 2- X* -+ xܠ x - x -2
பொ.சி.பெ. x2+x-2 ஆகும்,
x24-x-2Y 2x'-x-9x2 + 4 x + 4 (2x3-3x-),
2ھر 4ھ ۔ 223حہ۔ 4 2x
-3x3-3x-6x
في سلس كم2 س2 2x-- يُ م+ 2xم حق2 ـ

79
(2 سم۔ x --۔ 2x 2 - 3x - 2) (x3 + 2x2) -یہ • بھی unr.un 60 .".
உதாரணம் 5. இரு கோவைகளின் பொ. சி. பெ; பொ. ம. சி. sTsi uapa (pop3u x”+x+5, x'+2x'+4x”+ 3x- 10 என்பன வாகும். கோவைகளைக் காண்க.
இரு கோவைகளினதும் பெருக்கம்
=பொ.சி.பெ. * பொ.ம. சி.
= (x+x+5) (x'+2x3 + 4x2 +3x -10): இரு கோவைகள்னதும் ஒரு சிஜன (x2+x+5) பொ. சி. பெ. ஆகும். எனவே கோவைகளின் பெருக்கத்தில் அவ்விதமான இரண்டு சினைகள் உள.
x2 + x +5) x' --2x3--4x 4-3.x-0 (x2 + x-2
--x3 + 5x?
x3-x--3x x2 +5x +۔ x3
-2x 2 سـx 10 -عب
10 - 2x حسس 2x --
வகுப்பதின் மூலம் நாம் x++2x3 + 4x2 + 3x-10
=(x2 + x -2) (x + x +5) 6T6ar அறிகின்ருேம், . இரு கோவைகளினதும் பெருக்கம்.
=(x2 + x+5) (x + 2x3 +4x2 + 3x-10) = (x+x+5) (x+x+5) (x + x-2)
இரு கோவைகளும் மூன்ரும்படிக் கோவைகளாக இருப்பதால், அவை x2+x+5ஐ x2 +x-2இன் ஒவ்வொரு ஈருறுப்புச் சினையினுற் பெருக்குவதாற் பெறப்படும்.
(1-سی- x2 + x - 2 == ( x +2)(x எனவே ஒரு கோவை (x? +x+5) (x+2) = x3 +3x +7x - 10
மற்ற கோவை (x? +x+5) (x-)= x3+4x-5


Page 44
80
u Sabefa 7 (b)
பொ. ம. சி. காண்க:-
ls
2.
3.
4.
5.
17,
18
9.
20.
21
22.
23.
3x*y*, 9x” yo, 6x oy2 z
6pq, 24qr, 36rp 2 8a (a+b), 6b (b+c), 12c (c-a)
lim (m*-n*), m* ---min
ズ(x十y) x*ーy"
x“-4, x“ --9x-22, x“ +13x +22 1十a I一a"。1ー2a十a" *;2+a *--ab ,* {4-ه ه,*2ab+b+ده
تهیه4س- وز4 + * y-- 2 پx"--4aX +-4a", x(x-y)--2a (2a--y), x ab - bo-ca -- bc, d. c-co-ab -- ca
(x+y) (y+z), (x-y) (y+z), (x*–y") (y-z) 6-سموح* 2x ,12 م+ 2x * +-11 x و8-س-X* -+-2X
* p*ー4pー21 p"十6p+8
x* --6x ----9, 2x-6x-8x:3 و12 -4-x?----7 x 2-س10x-}-8, 2x2--3xسہ ”3X
2 - xر 3 + 3x* + /x+2, 2x2 ,1 سن-6x *---x 41-41-35, 21-1-21, 1+21-3 9 + x ۰--6x و 1 - 27x + 6x و 1 + 9x. --28x * + 3.27x * -- 12x x-ax' +ar-ax+ax+ax+a".x" ۔-ax“ ےax-g" b” a * ----b4-سـ*b* a-سے *a
6- 6x3 

Page 45
82
அத்தியாயம் 8
பின்னங்கள்
எண் கணிதத்தில் பின்னங்கள் பற்றிய விதிகள் அட்சர கணிதத்திலும் பொருந்தும். அட்சர கணிதத்தில் பின்னங்களைச் சுருக்குவது எண் கணிதத்தில் பின்னங்களைச் சுருக்குவதைப் போன்றதே. எனவே, பின்னக் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் வகுத்தல் என்பன எண் கணிதத்தில் செய்வதைப் போலவே செய்யப்படும்.
தொகுதி எண்ணைப் பகுதி எண்ணல் வகுப்பதாற் பெறப்படும் சவு அட்சரகணிதப் பின்னம் எனப்படும்
ஒரு பின்னத்தின் பெறுமானம், தொகுதி எண்ணையும் பகுதி எண்ணையும் ஒரே கணியத்தாற் பெருக்கினலும் அல்லது வகுத்தா லும், மாற்றமடையாது.
தொகுதி எண்ணினதும் பகுதி எண்ணினதும் குறிகளை ஒரே நேரத்தில் மாற்றினலும், பின்னத்தின் பெறுமானம் மாற்றமடை Ամմ3 :
ஈவின் குறி தொகுதி எண்ணும் பகுதி எண்ணும் ஒரே குறியை உடையனவாக இருந்தால், ஒரு கணியத்தை இன்னுெரு கணியத் தால் வகுக்கும்போது ஈவு சகக்குறியை உடையதாகவும் அவை எதிரான குறிகளை உடையனவாக இருந்தால் ஈவு சயூக் குறிய்ை உடையதாகவும் இருக்கும்.
±= , α 2 =* + = يست. 一字= エーサァ三=+ァ・コー一ァ・ァー--
பின்னங்களின் கூட்டல் கழித்தல் என்பன
பின்னங்களைக் கூட்டுவதற்கு அல்லது கழிப்பதற்கு அவற்றை அவற்றின் பொது மடங்குகளுட் சிறியதற்குச் சுருக்குக. (பகுதி எண்களின் பொ.ம.சி) புதிய தொகுதி எண்களின் அட்சரக் கணிதக் கூட்டுத் தொகையைப் பொதுப் பகுதி எண்ணுல் வகுக்க
பின்னங்களின் பெருக்கல் : இரண்டு அல்லது மேற்பட்ட பின்னங்களின் பெருக்கம், எல்லாத் தொகுதி எண்களின் பெருக் கத்தைத் தொகுதி எண்ணுகவும், எல்லாப் பகுதி எண்களின் பெருக்கத்தைப் பகுதி எண்ணுகவு முடைய இன்னுெரு பின்ன மாகும். புதிய பின்னத்தில் தொகுதி எண்ணிற்கும் பொதுவாக உள்ள சினைகளை (ஏதும் இருப்பின்) வெட்டிவிட வேண்டும்.

83
ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்: ஒரு பின்னத்தால் வகுப்பதற்கு அதன் தலை கீழாற் பெருக்கவேண்டும்.
பின்னங்களைச் சுருக்குதல் : பொ.சி.பெ. ஆல் தொகுதி எண் ணையும் பகுதி எண்ணையும் வகுத்தால் பின்னத்தின் பெறுமானம் மாற்றமடையாது. ஆகவே ஒரு பின்னத்தைச் சுருக்குவதற்கு அதன் பகுதியெண்ணையும் தொகுதி எண்ணையும் பொ.சி.பெ. ஆல் வகுக்கவேண்டும், பொ.சி.பெ. ஆல் வகுப்பது, பொதுச் சினையை வெட்டுதல் எனப்படும்.
x3y قررة لا
உதாரணம் : சுருக்குக:
பகுதி எண்ணினதும் தொகுதி எண்ணினதும் பொ.சி.பெ. x22 ஆகும்.
x3y2 xy--x2y2. 포 ;x22 - yب 3ز2yھ ۔ x23 • • பொதுவாக நாம் பின்னங்களைச் சுருக்குவதற்கு தொகுதி எண்ணையும் பகுதி எண்ணையும் வகுப்பதில்லை. அதற்குப் பதிலாக நாம் இரண்டினது சினைகளையும் எழுதி, கீழே காட்டியவாறு பொதுச் சினைகளை வெட்டுகின்ருேம்.
xy x x.x.y.y x
-
பின்னக் கோவைகளைச் சுருக்குதல்:
1. எல்லாக் கோவைகளையும் அவற்றின் பொதுத் தொகுதி
எண்ணிற்குச் சுருக்குக.
2. தொகுதி எண்ணையும் பகுதி எண்ணையும் சுருக்குக.
3. தொகுதி எண்ணினதும் பகுதி எண்ணினதும் பொதுச்
சினைகளை (ஏதுமிருப்பின்) வெட்டி விடுக.
உதாரணம் 1. சுருக்குக:
x?--2x-3 3x--6 X
3 * (1 --پ) * 2x + 2 په ... . .
— (x+3) (x— 1) x3(x+2)xx
x(x十2)(xーl)"×3
x +3 x-l


Page 46
84
உதாரணம் 2. சுருக்குக :-
... x-3x + 2. x?-
' (x-3) 2x-6x
x -3x-1-2. x?-1 x'-3x +22x-6x. 1 - 2 6x" T (x --3( x-س- 2 x-3) : 2x)
(x-2)(x-1). 2x (x-3)(x-2) (1) x 2x(x3) (x-3) (x + 1)(x-1)T (x-3)(x-1)(x-1)
2x (-2) T x--1
உதாரணம் 3. சுருக்குக:
حظ- ہے۔ سکا xーy x+y
y x(x + y)-y(x-y)
x-y x + y (x-y), (x+y)
2 x'*' + y- *رو+ x2 -+-xy-xy -
ةy) (x-+y " x2 --yش-x)"
உதாரணம் 4. சுருக்குக :-
-- 2 十 1 . .)49 4x --3--x2 ' x2 - 3x +2 (யூலை ' 6 س+-x2--5x
2 1. -56 4x --3-xق م "t" x -3.x--2
αιώνων l -- 2 -- (2 + 3x-ب۔ 4x +3)' (x2 ہے۔ ظx)-س۔ "(6 + 5x--۔ 2 ,x) "
1. 2 1.
(x-3)(x-3)(x-3)(x-1)(x-2)(x-1).

85
(xーl)ー2(xー2)+(xー3)
(x-3)(x-2) (x-1)
_xー1-2x+4+x一3 T (x-3)(x-2) (x-1)
= ------= 0
(x-3)(x-2)(x-1) '
உதாரனம் 5 சுருக்குக
1. x-3X-2 x - - - - - - - - - (η σ. 49)
x'-3x-2 - - x*--3 رx---2 * 1 lixo -- ooo xorio-l1-T =*† x-~I - Cx+ 1) cx-t».
(. 1-X = -(x-1)
x(x+1)(x-1)土(x+1)-(x"ー3x二2)
(x-1)(x-1)
= x"ー*十x+1二x"+3x+2 __3x+3_
(x+1) (x-1) T (x-1)(x-1)
3 (x-1) --
(x + ) (x - 15 x-1
உதாரணம் 6 : சுருக்குக
x +27 2 k +3 -- 9 6xx-15 " 8x-3-4x' 5-7s 6x'
.27 . +!? - : 6-تبر 7 - 5 " x + x - 15 || 8x - 3 - 4x a 6
(6x'+ v-15) " -(4x'-3x +3) -(6-i-5.


Page 47
86
Jr -- 27 2x十-3 みc十19
千否エコI5 ー 4亭コエ3 - 6エコ5
x+27 2x +3 x --19
SS SS SS SSSSSSMSSSLSSSSSSAAAAASAS AAAqSASALSASqqS qSSSqSq S − −-
6x3+ iox-9-15T 4x76x2x. 3 T 6x10x3x -5
- ------ 2 +3.
2x (3x--5)-3 (3x--5)2x (2x-3)-1(2x-3)
hp x--19
2x (3x -5) - 1 (3x--5)
--بی۔ سلطiک---- یـہ --------- ق**2- یـہ ----- آشt گیی۔ سے
(3x +5) (2x-3)(2x-3) (2x-1)T(3x-5) (2-1)
(x +27) (2x-1)-(2x+3) (3x-5)-(c--19) (2x-3) y (3x+5)(2x-3)(2xー1)
(2x'-x-54 Y-27)-(6x' - 10x +9 r--15)-(2x'-3 c--38x-57). (3x--5) (2x-3) (2-1)
2x-x--54 r-27-6x'-10c-9x-15-2x 3 +۔x ---38 57-+۔ sar (3xー5)(2xー3)(2xー1)
eam -6-سx*-- x-+-15 ബണ -(6x+x-15) T(3x --5) (2 x-3) (2 x-1) T (3 x 4-5) (2 c-3) (2x-1)
-(3x--5) (2x -3) -1 1.
(3x-5) (2-3) (2-1) 2x- 1-2.
r"-2xy-lyx'+3xy+2y x* +-2xy + 'yaر " x2--3xy +y۹
உதாரணம் 7. சுருக்குக:-
- نر2 + 2xy + y - x + 3xyس-x x-3xy --2y2 x' --2xy--2y
___(x士y)"__ー x"十2xy土xy+2y"。 "x+yル( بر 2 + x ۶ -- 2xy - xy .
_ _(x一y)"_ _ x(x士2y)土 2(x十2y)。 Tx(x-2y)-y (x-2v) (x+y)*

87
wーy) ___(x士2y)(x+y) (x-2y)(x-y) (x+y) wa 一x二y-ー(x+2り (X-2y) (x十})
(x-y) (x -y)-(x-1-2) (x-2y) (x-2y) (x -y)
(x-y?)-(x2-4y2) (x-2y) (x-y)
x2-H- 4y2 3y2-س 2-س *x ܡܚܫ 「 (x一2y)(x十yル (xー2y) x十y)
உதாரணம் 8. சுருக்குக:-
a+b a -b, 4a abab ab (யூல்ே 49)
at-b 空ニ盤土 _°_。“土丝一 나 ۔۔۔۔۔۔۔علاقہ“۔۔۔۔۔۔۔ a-Ba-ba?-b? a-5Ta-b (a-b) (a-b)
(a土b)?二(a二b)?十4a"
(a十b)(a-b)
స్తో
(a+2ab+h)-(a-2ab+b)+4a (a+b)(a-b)
a+2ab-i-b' a' +2abb-4a (a十b)(aーbル
4ab-I-4a 「 (a+b)(a-b)
4a(a+b) 4a 「 (a+b)(a-b) 「 aーb
உதாரணம் 9, x இன் பெறுமானத்தைக் காண்க
1. 2. ६५+छुx+2* x'--S-2 =0 (abo SO)


Page 48
88
i +3x+2ixax2
i.e. ماسه--.----- 十 - - ܝܚ- ܚ- ܗܝ-- l ن) عیت صحيث ستجسس. -۔ ۔ ۔ ۔ سہ--عہ مسست۔۔۔y
(x + 1) (x-1) (x+2)(x+1) ' (x+2)(xー1)
X--2-1-x, -1 - A -l
(x+1) (x-1)(x +2)
، =
s. (...
0
)2+தொகுதியாகிய (3x( .0 -سس 3St2---- ܫܚ ܗܝ ܚܫܝܢ
வின் பெறுமானம் 0 ஆக இருக்கும்போதுதான் பின்னத்தின் பேறு மானம் 0 ஆகும்.
3c2 =0 . 3x 2 س-سیبی is acre
ஃ x=- 3 ஆக இருக்கும்போது கொடுக்கப்பட்ட பின்னத் தின் பெறுமானம் 0 ஆகும்.
உதாரணம் 10 சுருக்குக:-
'- -H 一二、十ーz二ー (a) (a-c) (b-c) (b-a) (c-a) (c-b)
Ibーa=ー(a-b) cーa=ー(a-c) cーb=ー(bーc)
(c-a) (c-b)={-(a-c)} x }--)bسc({ = )س-هo()حسن(
+ , 1- _س (a-b) (a-c) (bーc)(bーa) -- (c-sa) (c-b)
T(a-b) (a-c) T (b-c)(a-b) " (a-c). (-e)
_(b二e)ー(a-c)+(2-") (a-b) (a-c (5-c)
b Oسسa-+-c--aےcسb (a-b)(a-c)(-) (a-b)(a-en (bc)
= 0.

89
/x十a上*二a\_f x土g_*二空 உதாரணம் 11. சுரூக்குக ! (:;"' + r)= )
سr " س-xر
ぶ十g」 xーa\ . / x十a , xーa (若+ 莞)、 (器+ 毛)
(ه –عد) سنة ( x + a) سنة (هس x) * (هسية) -
(x--a)(x-a) (x-a)(x- a)
(x+a)+(x-a)' , (x+a)(r-a)
(x--a)(x-a) (x+a)*ー(xーa)"
(x -i-a)--(x-a) (x--ah(x,a) 「(x十a)(xーa)[(x+a)”ー(xーa)"I
ー(登土g)"土(x二a)"。 2-- **)وےےax-i-a)--(x'-2ax--a T(x+a)-(x-a)" (x*-i-2ax+x)-(x" - 2ax-ha)
x"+2ax+a"土x*ー2ax土a"_2x" +2a
4 - ق - x? -4-2ax--۔ * 2x + a-+ لاc
2x a") x--a T4 2a:
h i a YA* s (2+ 荔)一4 உதாரணம் 12. "కోత"(_
b M
(+ φ) - (E) -
4.
B 6 VA * . . *Yb*ao YR (一宗) ()',
(bota")” (bo+a")-4aoso
` መኝb° awa ab **-** *(*-*-+4,
" az" - - -
,9-4a*b* ahر *Cb* + a
መ”b° గ(b-a)*+4**


Page 49
90
(b? + a)2-4a2b)a?b? (ab? (b2-a2)2 + 4a2b
(b+a?)- 4a2b2 b'--2a2b?--a 4-4a2b `` (b” --a”)ኝ +4aጓb2 b4 –2aዓb2 +a፥ + 4azb2
- bo-2aobo.+a" (bo-ao) o
b+2a2b3+ a (b2+a)
2 - 3) 2} 参= உதாரனம் 13. = 3 எனின் இன் பெறுமானத்தைக்
காண்க.
х-+-у
= 3 + y=3(-)
இருபக்கங்களையும் வர்க்கிக்க (x+y)2=9 (x-y)?
... x +2xy--y=9(x?-2xy+y)? ... x?--2xy--y? --9x2-18xy--9y?
x y -- 2 xy 18 س- == x2 9 --سنہ y 2 - 9x2#۔ x2 ."
(x2+y?) இன் பெறுமானத்தைக் காணr
இடம் மாற்றுவதால்)
... -8x?-8y = - 20xy
... x+y? ངའི་ལྷ་ (-8 ஆற் பிரிக்க).
5xy - **+*— — 2— — —5ху — 5 xy xy 2xx - 2
x-y s அல்லது --جم ارز
... x+y=3 (x-y)= 3x-3y
... x-3X c. -3y-y (xஇன் பெறுமானத்தை y இன் சார்பிற்கான
- - 2x - 4y ·x=2y

91
x-y (2y)-1-yl 4y-ty. Sy's Xy (2y)y 2y* , " 2y* - 2 உதாரணம் 14, x=t+t? உம் y = -? உம் எனின், 3 இற்கும் y இற்கும் இடையே சாராத ஒரு தொடர்பைக் as radors. (q-dr. 50).
t-+ーt"=x tーt"=y
Jan.* 2t = x -- y “。f= 불
盟 x=1 +*-* - (**') (1 இன் பெறுமானத்தை ஈடு செய்ய)
.. - 쯔"」. 2 ہستند+ سمی- == x ہو۔
* 4x=2(x+y)十1(x+y)* (பொ.ம.சி. 4 ஆல் முழுவதும் பெருக்குவதால்)
* 4x=(x十y)(2+-x十y)丁
1十y 、、、.ー 1+2z
உதாரணம் 15. *ー2戸"-" "=正二。 எனின் 2ஐ y சாராத Xஇன் சார்பிற் கூறுக. (q-df. 49).
1十y 岑 h _ ہے وہ 22 + 1 ہے۔ y= எனபதை *一万三者 இல் ஈடு செய்வதால் நாம்
1+22 1ー2--1-+-2z 1+ "1" ' 源 X三 2C1 +2z) -ஓ-ருஎன்பதைப்பெறுகிகுேம்.
1ーz 「 1ー2
1ー2十1十2z z --2 1-2 1ーz 2+42-1--z5:--
1ー2 1ー2
=?+2×。1二を=。字土2 下1二z^5エ下5z+1
2-- ہے ۔ مہ . + 5 == که «نه


Page 50
92
x (5z+1)=z+2
5xz十ーx =z十2
5x2-2 =2-x (2 இன் பெறுமானம் காண)
2(5xー1)=2ーx
_、2ーx * ̄ 4x-1
(x= 1 இல் yயைக் கண்டு, அந்தப் பெறு
மரணத்தை மற்றதில் ஈடு செய்க.
உதாரணம் 16 : x-a(t+ !). y- (r + எனின்
27 இற்கும் y இற்கும் ! சாராத ஒரு தொடர்பைக் காண்க: (டிச. 51)
X-Fél (t 十 4)என்பதிலிருந்து 1°十 声 இன்
பெறுமானத்தைக் காண்க.
அப்பெறுமானத்தை y-a(t" t +) என்பதில் ஈடு செய்க,
( : )-1,1-a(t + ') என்பதை மாற்றி எழுதுவதால்
s+テ=
a ஆற் பிரிக்க)
X 2 a (+) =G) (இருபக்கங்களையும் வர்க்கிக்க
62 A
xo 十 ==が
a 2-2 X 1 x

1 2 م P+2+☆=試
e 1 x2 2 سد- %t2 -4- `፡2  ̈ `a، تي
- ་ என்பதை y=(+ 是) என்பதில் ஈடு செய்வதால்”
4. Χ 2 ta':À' l- 2 مرد 2a என்பதைப் ب - ملی۔ : 2a ملت تول = ) 2 - 器( =. ע מ5FLת
x - 2a2 8 as )பொதுப் பகுதி எண்ணிற்குச் சுருக்கும் பொழுது( سنت سے '==y
. ay=x?-2a? (இரு பக்கங்களையும் a ஆற் பெருக்க)
பயிற்சி 8 (a)
சுருக்குக:
翌二lー× a+21 2 5x2 x 19. (x-2)2 a 2-2a 3a2-7a-2 * 2 سم 4 +۔^x3 5^سمx2--2U:
3 x?--1 ... x-4 A. 2x-4x-6x9-3x
(x-1)2 x+x-2 x2-3x-4 x+2
3 9 1 5. x+3 -9 6. | 2 2 + - - 4 سبب
, 2x ست۔ 2 x - 2 سينسش .x.ن. "ν | o f سے حی- ~نسسک 7. x -i-3y 3y 8, x-2「xー3 ベマエ
9 x2-1 س x3 + 8 x + x
قa --2^ x 4 + 4x2 + 16 + 3 + 2x + 2 از
10 ے_P1 ہتے ہلط+p
}55 5p-+-6 * 4----p2 (gồầò-س- 2 p مم
1. (x2-9) (x-1-2)
{エ25(x*ーxー6) )60 که یه)


Page 51
94
2. ( 志一号) (ਫ਼ "క్కా ) ( ァー #) (ஆக 62)
له ضة ، للاس- ب -2 تا ۱ -Y
14。 1 - 4a
- (q-f. 58) 4ー4aーー
سببی(4-X-8) (X) .
(x-16)(x?--2x--4)
1 x -- 1
6. 2x2 みc* + xー2
3 4. 6.
17·云工一 2エ下4エ
2 3.x:
κ. Š XC 3 x
. (யூலை 53)
3 4. 5
20 ਨੂੰ 33 4-4
2 s 4y /ም Herminn گشتاسپکت-سسسسس- -سسه سسسس 2 . 4 6
メー3. xー5 16 22. x5 窓士試+ x2-8x-lS
23. x2-5x--6 -- x2-3x-t2
2 4 26 6 (q-F 50)

26.
27.
28.
29.
30.
3.
.32
33.
34.
35
36.
: 37
38.
95
6 7,
- - (abás. 6)
1. 1 م -----ਗੰ- (ਡ6)
3 2
(457)
2 8 4. 3x?-14-8 i3x-6x2-62x2-11x+12 (ஆக.58)
1. - - vm )59 .q-F( --- - 2-+۔ xc --3px
6 ਨਾ + ਨੁ- (q-of 51) :
7 8 (ର r 愛エコ二cm + エ (qGaf. 63)
3 2 - - - - )gbá51 ده( •
3 2
so 24 - 9-6, 8 + x's
l +1 نے خ ート t (x-2)(x-3) ' (x-3)(x-1): ' (x-1)(x-2)
3 2 .)49 .H * 5x6 (ty F- 3سنة 2+ =ة – - 2=+ 2ة
1. '2 ܕܫܫܚx ap 1 2x-l 4x'-1 2'-3x-T (ஆக. 50)
f
2x 1 x - x-2X-3 -- X-1 -- x3-4x 3 (ty-d. 52)
3x -- 4 6 )47 யூலை( س2 - است 1 T قز-F-2-3


Page 52
39.
40.
4.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
حسنی .48
49.
50.
5.
96
3 , - - - - - (148 l l l
ਨੁ = (4)
2 3 4.
x-5x-6 十 6- -- کپتاسې (a f. 53)'s 20-2 (no. 57)
十 (ஆக. 59.
古+元半丁 (ஆக. 59).
(lat. 6)
+ - 1 (டிச. 60)
b一2 2十始 b°十4
b22,-4 (gడి 57).
fニエー+ァ三T + a • (t-af. 59)
- — arī - Gārī tī (ሠዓ-dF • 56) .
ba bc ev " -- (-) -a)-( 35)
)62 .bc---ab + ad (iq-ef- 2ق "ab---ae +Mc it س- 2 a
பயிற்சி 8 (b) x இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
*ー=0. ఒు 51) 5x- + x + xe=0. (Los)

97
2. ( இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
,)50 . Ժ 0 = ۔ --طیسی ------ سیاسی۔سی۔+ سے کسیس۔ x2 + x2" 2x2-3x-2 2x2-3x +1 (q-
சுருக்குக
5 12 3. 13
6xt --5xy-62 6x2 - 3xy-- by? 9x2-4y?
1. -4。 (x - X
S. +2 4ר)x5 3-ךx+2( (a-ra. 47y
6. 3 (a) -- 1 2
آسیقی -- - - - 1 - 2-سال- .
a -+-v3رx3v---xv-ب- 주구 (63ea.)
(64 ஆக.)
ab a十 b
7 ) (2),
x-ax-b- (a-b)?
8. x-b X- - 2 (x- a) (x-b)
*x"__x-gュg土x (டிச. 52)
X- a' X -- a a sex
10. 2x+x-3-2 (2x-5x 3) 3-2x*ーX 1 -- 2 به °" *
x у 2xy 11. . x- y 十 忘エy" y - x2.
a-2x at-2x 8ax
- 2a-2xt 243
26 - За 3 محہ۔ .13
a°–-ab" ab + b2 Tab(a-b)
14. 1 + - b a? 2a"
7万下でエ「エ*す a2-b2
5. x -2 2(x-1) X-3——— -) (-) ਤ) + ) .7 - ܧܼܿܢ


Page 53
6
17,
18.
19.
20,
2.
22.
23.
24.
26.
27.
x -- 4 1 X十1
- .
7 1-1 8 (x-53 - 2 (x-1)* - 4 (x-t)f - 8 (r - 15
a-ba a 2 - b.
-- 2
「"二y受ーを二y|ュ「x土どー "土y" قنوس قة - - رسمی || - و+ a - رودقیق
ά C (a-b) (a-c) -- (t-c) (b-a) 十 (c-a) (c-b)
a ዕ። cጻ (a-b)(a-c) t (2-c) (b-a) (c-acc
X-y x-y X X-ry 十 قة +y" ぶ十y 8 +3 روس اچ ۳ برسد. 3 (ز J
சினை பற்றிய அறிவைக் கொண்டு பின் வருவதைக் கூடியூ அளவுக்கு சுருக்குக:
(a-2) (a-3) (a-4)-(2-a) (a-3)-1-(a-2)
(aー2)(aー3)(aー2)十2
X=Q一 யும் y=bー t யும் ஆக இருப்பின் ஐ aயின
(4-3. 61)
தும் bயினதும் சார்பில் மிகச் சுருக்கமான முறையிற் தருக.
(η σ. 58).
2x +5 ки-+- } 】三 3 எனின் ஐ x, y என்பவற்றின் சார்பிற்
253 (ager. 57)
lーt س-1 وy2 y = 1 எனில் 1 +yi ஐ யின் சார்பிற் தருக. (iq-af. 61)
1 x+去= 3 ஆனல (a) x-- ; (b) *+என்பனவற்றின்
பெறுமானத்தைக் கணிக்க.

99
a う с 28 as ax -- bx -- xio - Сх-- х*
எனக் காட்டுக + میل۔ --ل۔ --3 = 一寸 X十a 忘エ*「エ
சுருக்குக !
3. 2x 29·三、 -
德 ۱ || سیستم 30. X )ژx --!(
(1-x) پر ۔ 15 ک2x - 1) + (2x)(1 -----بو)
. 8. 31. x= + -யும் y=1- யும ஆணுல x இற்கும் y யிற்கும் இடையே உள்ள ஒரு தொடர்பைக் காண்க. (யூலை 48)
3.x + 4y a
32. a == 3X-4-y "a-+1
இனது பெறுமதியைக் காண்க.
(63 idf.)
1 . 33. y=x+ま -m==yーマ யும் ஆணுல் 2ஐ இன் சார்பில்
கூடிய அளவு சுருக்க வடிவிற் காண்க
. . 34. x=1–్యతి అకు, y = 1 -- ず半○e r=マー 1 என்பதை நிறுவுக, W W (ądf. 59)
35. x (+1} =3 ஆணுல், y=1+2 ஆஞல் x இற்கும் y இற்கும்
இடையே உள்ள t சாராத ஒரு தொடர்பைக் காண்க.
(!$ 5 1)
- 1 Eα 4-1 - ܙܖ ܖ܀ X-y
தைக் காண்க
37. 2+3 = ஜி.ஆஞல்,#=:ஆஞல் 2ஐயும் டிவையும்
& as zb፥ a,b என்பவற்றின் சார்பிற் கண்டு pq= என்பதை நிறுவுக


Page 54
OO
t 38. ax+hy=労e@6ox+ー#= ஆனல் xஐ a, b என்பது
வற்றின் சார்பிற் கண்டு உமது விடையைக் கூடிய அளவு
சுருக்குக.
2 39. x=岩 ஆனல்) = ஆஞ்ல் yஐ x இன் சார்பில்" தருக. (நொவ. 47).
40. 1=1+ 9. b - 1 -- ஆனல், a + b + c ag cu sir. சார்பில் தருக. உமது விடையைச் சுருக்கமான வடிவில் தருக :
அத்தியாயம் 9
ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்
எளிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளை நாம் படித்துள் ளோம். (தெரியாதது ஒன்றைக் கொண்டுள்ள ஒரு படிச் சமன்" பாடு) ஒரு சமன்பாட்டில் இரண்டு அல்லது மேற்பட்ட தெரியாக் கணியங்கள் இருந்தால், சமன்பாட்டைத் திருப்திபடுத்த இத் தெரியாக் கணியங்களின் சோடிப் பெறுமானங்கள் பலவற்றை நாம் காணலாம். x-y=5 என்: இரண்டு தெரியாக் கணியங் களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாகும். X = 1 ஆக இருக்கும் பொழுது y= - 4 ஆகும். X = 2 ஆக இருக்கும் பொழுது y= -3- ஆகும். x=3 ஆக இருக்கும் பொழுது } = -2 ஆகும்; x= 5 ஆக இருக்கும் பொழுது y=0 ஆகும். எனவே X இனதும் y இனதும் சரியான பெறுமானங்களை மேலே காட்டப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டி. லிருந்து நாம் பெறமுடியாது.
கூடுதலாக 2x+y-4 என்னும் இன்னெரு சமன்பாடு தரப்படு மானுல், இரு சமன்பாடுகளையும் திருப்திபண்ணுவதற்கு ஒரே ஒரு சோடிப் பெறுமானங்கள் மாத்திரம் இருக்கும்.
2x+y = 4 என்னும் சமன்பாட்டை x = 1, y-2; -2, y=0, x=3, y= -2; x = 4, y = -4 முதலிய பெறுமானங்கள் திருப்தி படுத்துகின்றன. இருந்தும் x=3, y = -2 என்னும் ஒரே ஒரு. சோடிப் பெறுமா னங்க ள் மாத்திரம் x-y-5 என்பதையும் 2x + y = 4 என்பதையும் ஒரே நேரத்தில் திருப்திப்படுத்துகின்றன.

101
எனவே, இரண்டு தெரியாக் கணியங்களைக் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகள், தெரியாக் கணியங்களின் ஒரே சோடிப் பெறு மானங்களுக்கு மாத்திரம் ஒருங்கமையாக உண்மையாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது.
ஆகவே இரு தேராக் கணியங்களின் ஒரு தொடைப் பெறு மானங்களேக் காண்பதற்கு, அவற்றைக் கொண்டுள்ள இரண்டு சமன்பாடுகள் வேண்டப்படும்.
x=3, y = - 2 என்னும் பெறுமானங்கள், அதே நேரத்தில் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் திருப்தி பண்ணுகின்றன. ஆகவே இப் பெறுமானங்கள் தான் தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும்.
தெரியாக் கணியங்களின் அதே பெறுமானங்களுக்கு இரண்டு அல்லது மேற்பட்ட சமன்பாடுகள் உண்மையாக இருக்குமானல், இச் சமன்பாடுகள் ஒருங்கமை சமன்பாடுகளாகும்.
இவ்வத்தியாயத்தில் நாம் முதலாம்பகுதியிலுள்ள இரண்டு தெரியாக் கணியங்களேக் கொண்ட் ஒருங்கமை சகன்பாடுகளைப் பற்றி ஆராய்வோம்.
ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் முக்கியமானபடி, ஒரு தெரியாக் கணியத்தை நீக்கி, மற்றதைக் கொண்டுள்ள ஒரு படிச் சமன்பாடு ஒன்றை அமைத்தலேயாகும். இந்த நீக்குதல் பின்வருமாறு செய்யப்படலாம், (i) இரண்டு சமன்பாடுகளிலு மிருந்து ஒரு தெரியாக் கணியத்தின் பேறுமானங்களை மற்றதின் சார்பிற் கண்டு இரண்டு சமன்பாடுகளே!பும் சமப்படுத்தல், (i) ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து ஒன்றன் பெறுமானத்தை மற்றதன் சார்பிற் கண்டு அப் பெறுமானத்தை மற்றச் சமன்பாட்டில் ஈடு செய்தல், (ii) ஒரு தெரியாக் கணியத்தின் குணகத்தை இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் அல்லது ஒன்றில் பொருத்தமான எண்களினுற் பெருக்கிச் சமப்படுத்தி, பின்னர் இரு சமன்பாடு க&ளயுங் கூட்டல் அல்லது கழித்தல்.
நீக்கல் முறை ஒவ்வொன்றும், ஒருங்கமை சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கு ஒவ்வொரு முறையை எங்கட்கு உதவுகின்றது.
முறை 1: ஒரு தெரியாக் கணியத்தின் பெறுமானங்களேச் சமப் படுத்தல்.
உதாரணம் 1: தீர்க்க : 3x+23 ر s (l) (2) = 6 yر3-4x


Page 55
102
(இரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்து x இன் பெறுமானத்தைக் கண்டு சமன்படுத்துக.)
3-2y.
1-ம் சமன்பாட்டிலிருந்து x = 3 (3)
2-ம் சமன்பாட்டிலிருந்து x = (4)
ஃ 12 = (x இன் இரு பெறும்ானங்களும் சமமானபடியால்)
<') 3(6+3) 4(13-2y) (குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம்)
ע52-8 =: {9+-18 .. 9y+8y = 52-18 (இடம் மாற்றுவதால்)
... 17 ya:34
'. y = 2
(3) இல் y = 2 என்பதை ஈடு செய்யும் பொழுது
13-4
3
ふx=一す一=3
." x=3 y=2
உதாரணம் 2
சமன்பாட்டைத் தீர்க்க
2 3
х у (1 ------- (2) λ, у 2 (ஆக. 50).
2 够 t ' |+இன் பெறுமானத்தை இரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்து காண்க)
(1) இல் இருந்து-=1 -4 (3)

A 2 MwA 5. 8 ܝ * = 4-2 (2-ஆல் வகுக்கும் பொழுது)
- ---( இன் பெறுமானங்கள் சமமானபடி UT 6ão)
* 9-12-5)=18 (பொ. ம. சி. 4y ஆற் பெருக்கும்
பொழுது)
12 -#۔ 18 - جیب= 4y ----5y .".
-y - - 6 அல்லது y= 6.
p= 6 என்பதை (3) இல் ஈடு செய்யும் பொழுது
2 = 1-3 - 2 - 1 文 「 6 . . x - 2
... x = 4 (குறுக்குப் பெருக்கல்)
... x - 4. J'=6。
முறை 1: தெரியாக்கணியத்தின் பெறுமானத்தை, ஒரு சமன்பாட்டில் மற்றதின் சார்பிற் கண்டு, அப்பெறுமானத்தை மற்றச் சமன்பாட்டில் ஈடு செய்தல்,
2-5 760 o 1. தீர்க்க 2x+y=5 (1)
ー-*=*ーキ
(1) இல் இருந்து y=5-2x a . . (3) (2) இல் y இன் பெறுமானத்தை ஈடு செய்க
3_}之土竺二2x _۔ (2x-س-5) + 3__م ءَ * -구으=으용 -
-xts-2x - --
X 2 2 3 ר


Page 56
104
9--(x + 5-2X) == 2(x+-20-8x)3 سے 63 :۔
(பொ.ம.சி. 6 ஆற் பெருக்க)
9-س--16X-س-40-+-6x==2X-+-15-س-3x-س-6x ,'
اللافn Tا فاساي) 15 سبت 9 س 40 == 2x + 16xـ6x-3x + 6x .
வதால்) ... 23.x= 46 .”. ҳ=2 3=2 என்பதை (3) இல் ஈடு செய்ய .", y==5-1 ==4-س
* x=2 y=1・
முறை 11 : தெரியாக் கணியம் ஒன்றின் குணகங்களே இருசமன்பாடுகளிலும் கூட்டி அல்லது கழித்துச் சமப்படுத்தல்,
உதாரணம் 1 :
தீர்க்க S 2xー3y=13 ·· (1) 5x--2y= 4 (2)
(1) ஐ2ஆலும் (2) ஐ 3 ஆலும் பெருக்கிக் கூட்டுக. y நீக்கப் படுகின்றது.
(1) x 2 4xー6y=26 ov. (3)
dal 19x 二5&
..., x= 2 x=2ஐ (2) இல் ஈடு செய்க . 10+2y=4
・ 2y=4ー10=ー6 ... y = -3
雾= 2, y=-3
குறிப்பு: xஐ நீக்குவதற்கு இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் x இன் குணகங்களை, பொருத்தமான எண்களினுற் பெருக்கிச் சமப்படுத்துக. குணகங்களைச் சமப்படுத்தியபின், x உறுப்புகள் அதே குறியை உடையனவாயின் ஒன்றை மற்றதிலிருந்து கழிக்க. எதிரான குறியை உடையனவாயின் இரண்டு சமன்பாடுகளையுங் கூட்டுக. பெறப்படும் புதிய சமன்பாடானது X ஐச் சாராததாய் இருக்கும். yஐ நீக்குவத்ற்கு இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் y இன் குணகங்களைச் சமப்படுத்தி, y உறுப்புக்களின் குறி ஒத்ததாகவோ அல்லது ஒவ்வாததாகவோ இருப்பதற்கேற்ப கழிக்கவோ அல்லது கூட்டவோ வேண்டும்.

105
உதாரணம் 2 3a+26-8-0 ஆனல், 56-4a+26=0, ஆனல் ா?+b? இன் பெறுமானங் காண். (யூலை 52)
(aயினதும் b யினதும் பெறுமானங்களைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப் பதனற் காண்க. அப்பெறுமானங்களை a2+b2 இல் ஈடு செய்க.)
3a+2b-8=0
3a十-2b=8 g, (1)
5bー4a十26=0 .”。ー4aー+ー5bニー26 ... (2) )ே ஐ 4 ஆலும் (2) ஐ 3 ஆலும் பெருக்கிக் கூட்டுக.
(1) x 4 12a+ 8b = 32 ... (3) (2) x 3 ー12a--15b=ー78 ... (4) கூட்ட 23b =ー46
b=ー勢器=ー2 b - -2 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்க.
3a-4 = 8 .''. 3a = 12 ... a = 4 a2+ b2 - (4)? -- (-2) = 16-4
a2 + b2 -- 20
உதாரணம் 3:
தீர்க்க : x- 우 =3. ... (1)
4 _쯔士) 3 سمع ● 司 经 (2)
3 (1)ஐ 7ஆலும் (2)ஐ 3 ஆலும் பெருக்கிப் பின்னத்தை நீக்குக.
(1) x 7 7x-(y-2)=35
7x-y+2-35
な 7xーy=33 a 8 (3),
(2) x 3 12yー(x+10)=9
." 12yーxー10 = 9
)4( ... 19 == x + l2yحسی۔ .


Page 57
106
(4)ஐ 7 ஆற் பெருக்க நாம் பெறுவது
-7 x + 84 y = 133 ... (5) 7- у ---- 33 b ) ¥ (3) கூட்ட 83 - 166
166 d s-- * * * - 83 - 2. y = 2 என்பதை (4)இல் ஈடு செய்ய, 一x十24 = 19
5 - .Χ ... 5 م === 24--س- 19 == x س-- .؟ .. x=5, y=2。
உதாரனம் 4 : தீர்க்க:
器(7x一y)ー暑(3x+4y) =2x十y as (1). : (5x. -- 4y) -- (x-y) 二 8. Ap (2)
(1) ஐ 30 ஆலும்
நீக்குக.
(1)×30
உதாரணம் 5.
(2) ஐ 12 ஆலும் பெருக்கி பின்னத்தை,
18(7x一y)ー5(3x+4y)=60x+30y 126x-1-18y-15x-20y - 60x-1-30y 126x-18y-15x-20y-69x-30y=0 51 x-68y=0 3x-4y-0 . (3) (17 ஆற் பிரிக்கும்பொழுது).
2 3(5x +4)+8(x-) = 2012
15x + 12y+8x-8y=104
23x十4y=104 s (4
3xー4y=0 (Ge (3)*
Maradiumumunuma 26x = 104.
x - 4.
என்பதை (3) இல் ஈடு செய்ய 12-4y=0 ー4y=ー12 y=3 Χ -- 4 και γ == 3 தீர்க்க. 품+-7 • • • (l) (gau) 5)
2 サテ= (2)

107
4இரண்டாம் சமன்பாட்டில் பெறுவதற்கு (2) ஐ 2 ஆர்
பெருக்குக.
2, 4, (2) X 2 숫++ 8 (3)
2 3 き+ーキー7 . (1) 3 4 (3)-(1), - +
二世 1.
y
1. ー= 1・ = у y
y=1 என்பதை (2) இல் ஈடு செய்வதால்
2 9 - سن- مس- Al حسمس ( تیم す+ 下ー 4. 2 4 = سره نه二2
2x=1 (குறுக்குப் பெருக்கல்) .. x=4.
=瑟, y 三 1.
அல்லது 붉-a = என்பதை ஈடு செய்க.
புதிய சமன்பாடுகளாவன, 2a + 3b = 7 ... (1) a - 2b = 4 ses ... (2) (2) ஐ 2 ஆற் பெருக்க . (2) x 2, 2a -- 4b = 8 ... , (3) )1( ... 7 سنيب 3b. - 2 (3)-(1) b = 1
b = 1 என்பதை (2) இல் ஈடு செய்வதால் &a+2=4. .. a=2+
பாவனைக் கொள்கையால் a= ab= என்பனவாகும்.
ہ1
二
i. 2 .'s 2x E is ... X F
붉
●
, y = 1
ニ
;
ܒܒܚ
Ο
ട


Page 58
108
உதாரணம் 6. தீர்க்க :- 52x--63y=219 ... (1)
63x -- 52y 241 6ao (2)
கூட்ட 115x + 1 15جمه 460 == (ر 115 ஆற்பிரிக்க x+ y- 4 - (3) 52x+63y= 219 ... (1)
(2) همه ی 1 24 = 63x-}- 52 y (2)ஐ (1) இல் இருந்து கழிக்க -11x+11y = -22
11 ஆற் பிரிக்க ーx+y=ー2 به) همه( x十y= 4 • (3) (3)+(4)下エ2
y = y=1 என்பதை (3) இல் ஈடு செய்ய , x+1=4 : x=3
* ." x=3。 y=1.
குறிப்பு : x ஐயும் y ஐயுங் கொண்டுள்ள இரண்டு சமன்பாடு களில் முதலாவதில் உள்ள x இன் குணகம் இரண்டாவதிலுள்ள ஓ யின் குணகமாயும் முதல்ாவதில் உள்ள y யின் குணகம் இரண்டா வதில் உள்ள x இன் குணகமாகயும் இருப்பின், அவ்விரு சமன்பாடு களின் கூட்டுத் தொகையையும் வித்தியாசத்தையுங் காண்க பொதுச்சினை ஏதும் இருப்பின் அதால் அவற்றை வகுக்கவும். அவ் விதம் நாம் இரு புதிய சமன்பாடுகளைப் பெறுகின் ருேம். இச் சமன் பாடுகளைக் கூட்டியோ, கழித்தோ தெரியாக் கணியத்தின் ஒரு பெறுமானத்தைக் காணலாம்.
இம்மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நாம், ஒரு தெரியாக் கணியத்தின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த வேண்டிய தில்லை. தெரியாக் கணியங்களின் குணகங்கள் பெரிய எண்களாக இருந்தால், இம்முறை விசேடமானது.
Iuîjbî 9 பின் வரும் சமுன்பாடுகளைத் தீர்க்க 1) 2x+y=5 2) x+7y=13
3x+4y=10 4x-3y = -10 3) 3x--5y = 20 4) 2x+5y= 1 r.
ズー3y=2 x-7y=10

5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
19)
22)
24)
26)
28)
30)
32)
109
5yーxニ25 6) xー2y=1 x十2y=17 2x--5y - 11
6x十y=5 8) 5aー4b=7 xー2y=3 3a十-b=9
2xーy=6 10) 3xーy=9 5x+4y=28 x--3y-4-7 = 0
لم تسد (ر11 -سه 5x يد 29 سـX (12 0 جسد 8 سبي- 3y -- 26 5xー6y-2=0
3y-4-2x = -5 14) 3x-4-7 y = 19 5xー2y=16 7x十8y=11 (q-‹ም »51)*
4x-2y=5 16) 3x = 27-4y 2z+3y=ー5 3y =5x-16
6x-6)-- 1 = 0 18) 6x十5y=27 9x--4y = 18 7x +4y=26
8x-5y = 7 20) 7x-2' = 3x-7 y = 43 7xー6y=11 21) 14xー8y=2x十y=4
9x十8y=58 23) 14x--5y=23 8x十6y=61 3x–7 y = 13
16xー9y=ー24 25) 12x-9y = 45 3x+7y=65 8x + 15y = -75 15x十-12y=8 27) 5x+2 - 3 - 4 5エ7丁 3 =سد:2lx - 16y x+y+3_.4 ニュ= -- マエーす 环十2下飞 x+5y_ 5 29) 18xー24y=17 0=x - - 3 10x+15y سرر 7
24xー35y=212 31) 63x-40y - 206 18x-- 15y +6= 0 35x + 48 y = -26
(x-1)(2y+ 1)=(2x-1)(y-I)
4x+1=3yー墨


Page 59
110
33 (-2) (2y-3) = (2 + 1)(x-1) + 1
2xー5y=ー16
34. (x-r2) (y-3) as (x-3) (y-5)=xy-7
.35。教x十撃y=7 36。器x十羅y=6表。 料xー器y=1器 器xー号y=一塁
-1 3ھ سه نه - 쯔보 L. _
37 与。 +ーエー= 38 2 نے ممنوعہ --- کتنی تھے وہ
2 == (5 س- y) 3-س-x
2a-b 2a -b-3 X--5ے لڑX +6سے گڑ
39. 3 40. 一ァー •თო-ო-თი: 3 x2سبي
За 5 - 8 4 T 3
41. 그 = 2 = P
3 2 8 arear- 3
42. 豊(5a+3b+7)=基 (4a+56+6)= (3a+7b+9)
2 3 2
43o 女一 y 44. 下X ー芳ー1.ر
5 6 3 - 5 - x y 25= , + 48 ܘܝܗܝ
2 1 S. 5 .. 4
45 幸サァーで 46. キ+ ;ー3
- = 10 3 1 玄ーァー5 х у 2
8 2 - , Λ 2. S
. 47 늪 + = 1 48. (一義) - 4 14 5 : 3 4\ . ܡܨ=ܡܸܕ݂ ܒܡܲܨܝܸܒ݂ ses 6 تح ح* سے حتـــــــــسس۔ Х ,y హ్యా (63 Ig- зғ.) s (, +洲
-49. 25x-23y=67 50, 48-53 =255 23X-25y=77 S3x-48y=250

111.
5i al-2b = 16 52., 3x - 22 = 16
b --2c=26 2xー3y=ー5 c十2a=18 2)+ 2=1 (65 ஆக
33 x十2y十32=ー4 54 2xー4y+5z=21 3 = 32-8x -i-2y-i 9 سنة 42 صلب (ر ش2x 3.x. --22 = 3 3x-3y-2z = 13.
(68 tq-ge) அத்தியாயம் 10
ஒருங்கமை சமன்பாடுகளில் உத்திக் கணக்குகள்
உதாரணம் 1 : ஒன்று மற்றதிலும் 2 அடி நீளம் கூடியது என்பதை அறிந்த ஒரு பையன் அவ்விரு கம்புகளினதும் நீளங் க3ள அறிய விரும்புகிருன். ஒரு குறித்த நீளமுள்ள நாடாவான @尸 பெரிய கம்பின் 6 மடங்கெனவும், சிறிய கம்பின் 7 மடங்கிலும் 1 அடி குறைவானது எனவும் காண்கிருன். சிறிய கம்பினது நீளத்தையும் நாடாவினது நீளத்தையுங் காண்க,
சிறிய கம்பின் நீளத்தை x அடியெனவும், நாடழிவின் நீளத்தை y அடி எனவும் கொள்க.
ஃ பெரிய கம்பின் நீளம் = (x+2) அடி
கேள்வியின்படி, y = 6(x+2)
J = 7x
... 6(x+2) = 7x-1
Hجس-xر 7 === 6x-+-t2 *"ه 1-12-=6x-7x ܀
-X=- 3
... x=13
1-سی-13 y == 7 X
み y=90
ஃ சிறிய கம்பின் நீளம்=13 அடியும் நாடாவின் நீளம்க90 அடியும் ஆகும்.


Page 60
112.
உதாரணம் 2 : ஒரு வியாபாரி இரு. ரூ. 145 விலையான” ஓரினத் தேயிலையும் இரு. ரூ. 162 விலையான இன்ஞேரினத். தேயிலையையும் வாங்கிக் கலந்து, கலவையை இரு ரூ. 1.71 ஆக விற்று 12% நயமடைகிருன், இரண்டு இனத் தேயிலையையும் என்ன விகிதமாகக் கலக்கிறன். (gడి 49);
இரு. ரூ. 1.45 விலையான X இரு தேயிலையை மற்றதில் ர இருத்தல்களுடன் கலக்கிறன் எனக் கொள்க.
x இரு. தேயிலையின் விலை - ரூ. 1.45x
y இரு. தேயிலையின் விலை = ரூ. 162y
மொத்தக் கொள் விலை = e5 (1 45 x -- i. 62y) கலவையின் மொத்த 662bPp =x: (x -+-y) ĝiaCO3. (x+) இரு விற்ற வில = ரூ. 171 (x+)
- மொத்தக் கொள்வி3லயின் 112%
(* இலாபம் 12%)
O . (x + y) இரு இன் கொ. வி. = ரூ. x 171 (x -y).
= e. 152 (x + y)
ஆளுல் கொ. வி. = ety (i. 45x-162v)
1・45x十1・62y = 1.52x -- 1.52y r. 1 - 45x - 1 • 52.It == 1 ،52y---1 62هy
۰07x = . 10y مس - ه г, 7x = 10y (--100 egò Lukas).
... x : у = 10:7
ஃ. தேயிலையை அவன் கலக்கும் விதிதம் 10: 7
உதாரணம் 3 : நாலு வருடங்களின் முன்னர் தகப்பனின் வயது மகனின் வயதைப்போல் எட்டு மடங்காயிருந்தது. ஐந்து வருடங்களின் பின்னர், அவன் வயதின் இரு மடங்கு மகனின் வயதைப்போல் ஏழு மடங்காயிருக்கும். அவர்களின் தற்போ தைய வயதுகளைக் காண்க

113
தகப்பனின் தற்போதைய வயதை x வருடங்களெனவும் மகனின் தற்போதைய வயதை y வருடங்களெனவுங் கொள்க.
நர்லு வருடங்களின் முன்னர் தகப்பனின் வயது (x-4) வருடங்கள் நாலு வருடங்களின் முன்னர் மகனின் வயது (y-4) வருடங்கள்
வினவால், x-4=8 (y-4)
." x-4=8yー32
." xー8y=ー28 ce. (1)
ஐந்து வருடங்களுக்குப் பின்னர் தகப்பனின்
வயது -(x+5) வருடங்கள் ஐந்து வருடங்களின் பின்னர்
மகனின் வயது - (y+5) வருடங்கள் வினவால், 2(x+ 5) = 7 (y+5)
2x-10 = 7 y --35
..., 2χ- 7 ν = 25 s~“ - vala (2)
(1) x (2) 2xー16y=ー56 eza o (3). (2) - (3) 9 y = 81
... y = 9
= 9 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்யும் பொழுது
28-- == 72-س-x
... x = 44
.ே தகப்பனின் வயது 44 வருட்ங்கள்
மகனின் வயது 9 வருடங்கள்.
உதாரணம் 4 : ஒரு குறித்த பின்னத்தின் தொகுதி எண்ணை 1 ஆலும் பகுதி எண்ணை 3 ஆலும் அதிகரித்தால் பின்னம் ஆக்குச் சமமாகும். தொகுதி எண்ணை 2 ஆல் அதிகரித்துப் பகுதி எண்ணை ஒன்றற் குறைத்தால் பின்னம் 2க்குச் சமமாகும் பின்னத்தைக் essors
அ*8


Page 61
114
பின்னத்தை எனக் கொள்க. தொகுதி எண்ணையும் பகுதி எண்ணையும் முறையே 1 ஆலும் 3 ஆலும் அதிகரிக்கும் பொழுது பின்னம் ஆகும்
வினுவால், x --
காம்க -
y -- 3 . 2(x+1) = y+3 (குறுக்குப்
பெருக்கல் மூலம்)
2x - 2 = y -- 3
2x — Jy =al 1)•مه(
தொகுதி எண்ணுடன் 2ஐக் கூட்டி, பகுதி எண்ணிலிருந்து
1 ஐக் குறைத்தால், பின்னம் ஆகிறது.
வினவின்படி = 3
4(x十-2)= 3(y-1) (குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம்)
4x十8=3yー3
4x-3y= -11 . . . so (2)
(1) x 2. 4x + 2y = 2 - a peso (3) (2)ー(3) 下ーy=ー13
... y = 13 y=13 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்யும்பொழுது, 2x-13-1
... 2x = 1 + 13
... x = 7
, பின்னம் ஆகும்.
உதாரணம் 5 : இரு இலக்கங்கள் கொண்ட ஓர் எண்ணின் இரு இலக்கங்களினதும் கூட்டுத்தொகை 10 ஆகும். இலக்கங்களை முன் பின்னுக்குதலால் ஆகும் எண் முந்திய எண்ணிலும் பார்க்க 36 ஆல் குறைவு எண் என்ன? シ

115
ஒன்றினிடத்திலக்கத்தை x எனவும், பத்தினிடித்திலக்கத்தை y என வுங் கொள்க.
.". எண் 10y+x ஆகும். இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = y + x
விஞ்றவால், y + x - 10 ©©ടെ(1)
எண்ணிலிருந்து 36 ஐக் கழிக்க, நாம் பெறுவது 10y+x-36 ஆகும். இலக்கங்களை முன்பின்னக்குதலால் ஆம் எண் =10x+y ஆகும். عور
விணுவின்படி, 10y+x-10x-y-36
.". 10yーy十vー10x=36
... 93-9x=36 * yーx =4...(2)g9。6 வகுப்பதால்)
y-rx =10 tA tA . . . . . . . ... as Cl) 'sk(1) -- (2) 2y = 14 .. y = 7 y=7 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்யும்பொழுது,
。”。7十本=10 ... x = 3 எண் 73
உதாரணம் 6 : செவ்வகக் காணித் துண்டொன்றைச் சுற்றி * யார் அகலத்திற்குப் போடப்பட்டிருக்கும் பாதையின் பரப்பு 156 சதுர யார்களாகும். இக்காணித் துண்டின் நீளத்தையும் அகலத்தின் அரைப் பங்கையும் கொண்ட இன்னேர் காணித் துண்டைச் சுற்றி அமைக்கப்பட்டிருக்கும் 1 யார் அகலமான பாதையின் பரப்பு 120 சதுர யார்களாகும். முதலாம் காணித் துண்டின் நீளத்தையும் அகலத்தையுங் காண்க.
நீளத்தை x யார்களெனவும், அகலத்தை y யார்களெனவுங் கொள்க.
у 十 முதலாந் துண்டின் பரப்பு xy சதுர யார் X2 ܠܐ காணித்துண்டு+பாதையின் நீளம்
(x-4-2) wuri. x十2
காணித்துண்டு+பாதையின் அகலம் (y+2) பார்


Page 62
116.
காணித்துண்டு+ பாதைப் பரபடr = (x+2) (y+2) ச. யார்
.. பாதையின் பரப்பு = (x+2)(y--2)-xy) ar. tu Tip
= 2x + 2y + 4 + 3 uur is
விஞவின்படி, 2x+2y+4 - 156
2x+2} = 152 ger eG Dr )x + y = 76 (1) ஐ (2 ஆல் வகுப்பதால்ر .". இரண்டாம் காணித் துண்டின் நீளம் x யார்
இரண்டாம் காணித் துண்டின் அகலம் 子 uro
காணித் துண்டின் பரப்பு = نشہ F. uut
இரண்டாந்துண்டு + பாதையின் நீளம்=(x+2) யாரி
இரண்டாந்துண்டு+பாதையின் அகலம்=( 十 2) u rrif
..இரண்டாந்துண்டு+பாதையின் பரப்பு = (x+2) (号+2 )சயார், :
Χ. γ’ * =す -- 2x + y -- 4 Fd uuriř -
. இரண்டாம் பாதையின் பரப்பு - (+2x+y+4 一学)
= 2x + y + 4 F, u frá
வினவின்படி, 2x+y+4 = 120
2x十y = 116 (2)
X十y= 76* (2) a-() 40 دسته لا αν

117
x-40 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்யும் பொழுது
40+ y = 76.
o)
•እ © )"= 6.
3. நீளம் 40 யார்; அகலம் 36 யார்
உதாரணம் 7: ஒரு மனிதனும் ஒரு பையனும் ஒரு வேலையை 15 நாட்களிலும், 7 மனிதரும் 9 பையன்களும் அவ்வேலையை 2 நாட் களிலும் செய்வர். ஒரு மனிதன் அல்லது ஒரு பையன் அல் வேஃலயை எத்தனை நாட்களிற் செய்வர்
ஒரு மனிதன் x நாட்களிலும் ஒரு பையன் y நாட்களிலுமீ செய்வர் எனக் கொள்க.
ஒரு மனிதன் ஒரு நாளில் வேலையைச் செய்கிருன்ெ
ஒரு பையன் ஒரு நாளில் வேலையைச் செய்கிறன்,
. ஒரு மனிதனும் ஒரு பையனும் ஒரு நாளில் முடிப்பது,
1
p& وہ 3 ل۔+ l۔
х у
d 1 l விஞவின்படி, さ+す=ms . . . . . ()
“7 மனிதர் ஒரு நாளில் முடிப்பது ま× ; அதாவது ഖ
9 பையன்கள் ஒரு நாளில் முடிப்பது X 9; அதாவது (363)
.. 7 மனிதரும் 9 பையன்களும் ஒரு நாளில் முடிப்பது
2 + 2 வேலை
Χ у
ஆனல் 7 மனிதரும் 9 பையன்களும் ஒரு நாளில் முடிப்பது + வ்ேல்


Page 63
118
7 マ+ hwn % (j (2)
* 7,7 7 (1) x 7 + ァー s e V e (3):
15 + 14 مست 71 9 + 7 (2)-(3) ァー=ー百サァ=一河
1. ه- ش - ، as y - 30
y - 60 (குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம்) y = 60 என்பதை (1) இல் ஈடு செய்யும்பொழுது
* -------- . ।
・ ュー=+ー+="= ・・ マーーT5ーで5ーで5
3- = سال۔ مء * x 60
20 تسبت K ". 60 تصيب عر3 *
ஃ ஒரு மனிதன் அவ்வேலையை 20 நாட்களிலும்
ஒரு பையன் அவ்வேலையை 60 நாட்களிலும் செய்வர்.
உதாரணம் 8 : ஒருவன் ஒரு குறித்த தூரத்தை ஆற்றேடு" மணி 40 நிமிடங்களிலும், அதே தூரத்தை ஆற்றுக்கெதிரே 2 மணி 20 நிமிடங்களிலும் தண்டு வலிக்கிருன். அதை நிலையான நீரில் மணிக்கு 8 மைல் வேகத்துடன் தண்டுவலிக்க முடியு டிெனின், ஆற்றின் வேகத்தைக் காண்க.
(ஆறு மாற வேகமெனக் கொள்க) (யூலே 47) (ஆற்றேடு வேகம் - நிலையான நீரில் வேகம் + ஆற்றின்வேகம்
ஆற்றுக் கெதிரே வேகம்=நிலையான நீரில் வேகம்-ஆற்றின்
வேகம் ஆற்றின் வேகத்தை x மைல் மணி வேகமெனவும் தூரத்தை y மைல்களேனவுங் கொள்க. ஆற்ருேடு வேகம் - (8+x) மைல் மணி வேகம் ஆற்றுக்கெதிரே வேகம் (= (8-x) மைல் மணி வேகம்

119
.. y மைல் ஆற்றேடு செல்ல எடுத்த நேரம் மணி
o 5.
. 3y=5x + 40
q 0
O 3y-5x= 40 g, W. P. O, a g a (1)
ஆற்றுக்கெதிரே y மைல்களைச் செல்ல எடுத்த நேரம் 2. լn6օofծ
o 7 வினவின்படி, 8*x =す
(xز س-8) 7 == 3y .".
..'. 3y = 56-7x .. 3y +7x= 56 · · ·Tao or 9 so (2)
3y-5x = 40 o se s p n e - - .(1) (2)-(1) 12x = 16 “ነ
.. χ = 1: .. ஆற்றின் வேகம் 1 மைல் மணி வேகம். உதாரணம் 9: Aயிலிருந்து Bக்கு ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு புகையிரதம், Aயிலிருந்து 50 மைல்களுக்கப்பால் ஒரு விபத்துக் குள்ளாகிறது. அதன் பின் அது தனது முந்திய வேகத்தின் பங்கு வேகத்துடன் ஓடி Bயை 3 மணித்தியாலங்கள் பிந்தி அடை கிறது. விபத்து இன்னும் 50 மைல்களுக்கப்பால் நிகழ்ந்திருக்குழே யாஞல், அது 2 மணித்தியாலங்கள் மாத்திரம் பிந்தியிருக்கும். 4யிலிருந்து Bயின் தூரத்தையும் புகையிரதத்தின் முந்திய வேகத் தையுங் காண்க.
தூரத்தை x மைல்களெனவும், முந்திய வேகத்தை ர மைல் மணிக்கு எனவுங் கொள்க.
y மைல் மணி வேகத்துடன் 50 மைல்கன் ஒட எடுக்கும்
நேரம் - D6ofis


Page 64
120
மிகுதித்துளசத்தை"அதாவது (x-50 மைல்கன், முந்திய வேகத் தின் $ பங்கு வேகத்துடன் x50 ш06xf).
ஒட எடுக்கும் நேரம் T 용
5(x-50) Logoof _ ーエー AX
பிரயாணத்திற்கு உண்மையாக எடுத்த
O 50 5(x-50) நேரம் - ー--
ᎯᎬᏘ ( y 3y
) toগঙ্গেী
y மைல் மணி வேகத்துடன் எடுக்கப்பட்டிருக்கும்
நேரம் = - மணி.
புகையிரதம் 3 மணித் தியாலங்கள் பிந்தியபடியினுல்
w -2 + 3x-50)- K - 3
Ꭹ 3y у
0.
.. 150+5 (x-50)-3x = 9y (3yஆற் பெருக்குவதால்)
3x = 9 yحہ 250 = 5x+۔ 150 .
150 سے 250 == 9yے م3x س5x .
... 2x-9y= 100 (1)
விபத்து இன்னும் 50 மைல்களுக்கப்பால் நிகழ்த்திருக்குமே
யானுல், முந்திய வேகத்துடன் 100 மைல்கள் ஓடப்பட்டிருக்கும். y மைல் மணி வேகத்துடன் 100 மைல்களை ஒட எடுக்கும்
நேரம் = 1. மணி.
மிகுதி (x-100) மைல்களையும் 광 மைல் மணி வேகத்
துடன் ஒட எடுக்கும் நேரம்= x - 100 R 2 மணி
3. S

12.
வேண்டிய முழுநேரம்=[டி+39)மணி
அது 2 மணித் தியாலங்கள் பிந்தியபடியினல்,
보9" 9_쯔
у 3y 2
..300+5(x-100-3x = 6y (3y ஆற் பெருக்குவதால்)
... 300-5x-500-3x = 6y
500-300 = 3x - 6y سی5x.",
... 2x-6v = 200 0-) (2)
2x -9y = 100 uso o (13
(2)-(1) 3y = 100 ." y=33器
y =33 என்பதை (2) இல் ஈடு செய்யும் பொழுது
2xー6×33を=200
..2x-200-200
... 2x= 400
... x=200
.. தூரம் 200 மைல்கள் முந்தியவேகம் மணிக்கு 33 மைல்கள்.
உதாரணம் 10: A என்னும் நிலையத்தைவிட்டுச் செல்லும் ஒரு புகையிரதம், அடுத்த நிலையமாகிய் Bயை ஒரு குறித்த நேரத்தில் அடையவேண்டும். சராசரி வேகம் மணிக்கு 25 மைல்களானல் புகையிரதம் 34 நிமிடங்கள் பிந்தும். ஆனல் வேகம் மணிக்கு 28 மைல்க்ளானல், அது 2 நிமிடங்கள் மாத்திரம் பிந்தும் நில் -யங்களிற்கிடையே உள்ள தூரத்தையும் குறித்த நேரத்திற்கு Bயை அடையச் செய்யத்தக்க சராசரி மணி வேகத்தையுங் காண்க.
தூரத்தை x மைல்களெனவும் சராசரி வேகத்தை மணிக்கு மைல்களெனவுங் கொள்க:


Page 65
122
* பிரயாணத்திற்கு விடப்பட்ட நேரம் 중 ജി
மணிக்கு 25 மைல்கள் வீதம் x மைல்களை ஒட எடுக்கும் நேரம்
= ஃ மணி = *மணி, = 25 5
புகையிரதம் இப்பொழுது 3. நிமிடங்கள் பிந்துகிறபடியால்
2_조_. 3 5 yT 60
γε 2κ. 쯔__Z_ Ws s 51一ァ= 120 a (1).
மணிக்கு 28 மைல்கள் வீதம் 2 மைல்களே ஓட எடுக்கும் நேரம்
2X
இந்த வேகத்தில் ஓடினுல் புகையிரதம் 2 நிமிடங்கள் பிந்துகின்ற
2X x L
படியால் 57一式ー30 0Ni* oo (2)
2x or 7 5-120 more (1)
2x 2x 7
(2)-(1)
இரண்டு பக்கங்களையும் சுருக்கும் பொழுது,
。二38x土34x_一7十4 9 a. 969 120
(51 இனதும் 57 இனதும் பொ.ம.சி. 969 ஆகும்)
... 4x=3 969 -120

123
- 120x4x = - 3 x 969 (குறுக்குப்பெருக்கலால்}
ー3×969 969 9
- * 0x4 go -160
ஃ தூரம் 6 மைல்கள் - 6 மைல் 99 யார்
or
என்பதை (2) இல் ஈடு செய்யும்பொழுது,
2×962–上@一 $7x180 160 ” 30
ܢܘܚ hwnnw
சுருககுவதால் ( ”80 — 160y ** 30 ·
9. -51--9698-س
160y 240
二969_一4弘 160, 240
240 xلا 969-- =43x 160|y -سه :
69 33 سے 29 کلا%9-- ہے سر :۔ ・・ "=二石マエ0=33マ5
, சராசரி மணி வேகம் 33 மைல்களாகும்.
உதாரணம் 11: ஒரு லெள்ளம் ஆற்றுடன் 25 மைல்களையும் ஆற்றிற்கெதிரே 27 மைல்களையும் 7 மணித்தியாலங்களிற் செல் கின்றது. மேலும் அது ஆற்றுடன் 30 மைல்களையும் ஆற்றிற் கெதிரே 45 மைல்களே களையும் 10 மணித்தியாலங்களிலும் செல் லும், ஆற்றின் வேகத்தையும் வெள்ளத்தின் வேகத்தையுங்
காண்க
ஆற்றின் வேகத்தை மணிக்கு & மைல்களெனவும், வெள்ளத்
தின் வேகத்தை மணிக்கு y மைல்களெனவுங் கொள்க
ஆற்றுடன் வேகம் (+) மைல்கள் மணி வேகம்.


Page 66
124
ஆற்றிற்கெதிரே வேகம் (y-x) மைல்கள் மணி வேகம்.
ஆற்றுடன் 25 மைல்களேயும் ஆற்றிற்கு எதிரே 27 மைல்களையும்
பிரயாண்ஞ் செய்ய எடுக்கும் நேரம் = (..+ மணி.
? = 7 . (1).
嫁 25 விஞவின்படி, -ட்ட + .'. GED g- J”十* 十 )ーx
ஆற்றுடன் 30 மைல்களேயும், ஆற்றிற்கெதிரே 45 மைல்களையும்
பிரயாணஞ் செய்ய எடுக்கும் நேரம் = ( 30. 48 மணி.
y十x " yーx 30 45 விணுவின்படி, -- + ட் - 10 east 2
1. 感 (ጫእ „ና s y - x இதற்கு 4ஐயும் yーx இற்கு bஜயும் பிரதியீடு செய்க
25a —27h = 7 bg (3)
30a十45b =10赛 (4)
(3) x 6 50a-62ba- 42 (5) (4) x 5 150a-|-225h = 52 osa (6)
(5)ー(6) -63b = -10 p
-10 1 =二宗) =
= என்பதை (3) இல் பிரதியீடு செய்வதால், 25a+27x4ஆ7
. 25a十4器=7。 ஃ 25a=7-4;
;2:25a ."ه
2 25 T 10
aயினதும் க்யினதும் பெறுமானங்களைத் திருப்பிப் பிரதியீடு செய்வதால்
アエ = 10 * y+x=10

125
小 - A● سالہ ہے۔ 刃ーx 丁「6 ." yーx= 6
y十x=10
yーx= 6
கூட்டுவதால் 2y=16 .". ܂y 8 ܒܗ
8十x=10 ... x = 10-8 = 2
.. ஆற்றின் வேகம் மணிக்கு 2 மைல்கள்
வெள்ளத்தின் வேகம் மணிக்கு 9 மைல்கள்
அல்லது
(1) ஆம் (2)ஆம் சமன்பாடுகளை அமைத்த பின்னர், அல்லது
æär குணகங்களைச் சமப்படுத்தி அவற்றைத் தீர்க்கலாம்.
25 27
y+x *y-x is 4 - ( l)Ꭸ
+= 10 s (2 (i)x6 黑+恶=° as (3)
(2)×5 黑+ 芦 = 52 . . . (4)- {10- = l62چھ نہ2 = (4) ۔ (3)
నీగా 10+ (yశాడా?)=- 63 *。J'→x= 三菇=6
y-கX6ை என்பதை (1) இல் பிரதியீடு செய்வதால்
2S 27 25 冕。一十子一= o 2 === {4ین۔ 7 سے e y+x 6 7 · =7 -4墨=2器


Page 67
126
... 25 S. . - 50 =)y十x(5 ۰۰ "ن" " بد + راز ۰ -
.". y十x=10
yーx= 6
கூட்டுவதால் 2y = 16
..”. Jy = 8
多十x=十10 ... x - 10-8 = 2 ... x = 2 ஃ ஆற்றின் வேகம் மணிக்கு 2 மைல்கள்
வெள்ளத்தின் வேகம் மணிக்கு 8 மைல்கள்.
உதாரணம் 12. ஒரு சரக்கு வண்டியின் சராசரி வேகத்தை ஒரு குறித்த தூரப் பிரயாணத்தில் மணிக்கு 2 மைலால் கூட்டினல் அது அன் டய வேண்டிய நிலையத்தை 30-நிமிடங்கள் முந்தி அடை கின்றது. ஆனல் அதன் வேகத்தை மணிக்கு 2 மைலாற் குறைத்
த ல் அது அடையவேண்டிய நிலையத்தை 36 நியிடங்கள் பிந்தி அடைகின்றது. பிரயாண தூரத்தைக் காண்க.
பிரயாண தூரத்தை x மைல்களெனவும், முந்திய சராசரி வேகத்தை மணிக்கு y மைல்களெனவுங் கொள்க.
முந்திய பிரயாண நேரம் 품 மணி
2 யைலால் கூட்டியபொழுது மணி வேகம் -(y+2) மைல்கள்
மணிக்கு (y+2) மைல்கள் வீதம் பிரயாண நேரம் மணி
x - 30 வினுவின்படி, 60 ־ 2 + עד ע
x(y+2)-xy =影
4 O y(y+2)
. = . . . (1)

127
2 மைலால் குறைத்தபொழுது மணி வேகம் = (y-2) மைல்கள் மணிக்கு (y-2) மைல்கள் வீதம் பிரயாண நேரம் = 卢 மணி
. ன் skap 쯔. ை 36 s வினவின்படி, அ- = 3
y(y-2 y^ عــ - عد2 .. y(y-2) ー5 (2) (இரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்து ஐக் கண்டு சமப்படுத்துக)
(1)இல் இருந்து x = (2), (2)இல் இருந்து = ೨yಣ್ಣ?
(p+2). 320-2) 4. ar O
2C2) (இரு பக்கங்களையும் ஆல் வகுப்பதால்)
. 10y+2) = 12(y-2) (குறுக்குப் பெருக்கலரல்) 24 سے 12y ستتب= 20-+۔ 10y ۔ ... 10y 1-12y = -24-20
... -2 = -44 ... y =22 y=22 என்பதை x = ಶಿಙ್ಗ-2) என்பதில் பிரதியீடு செய்வதால்
22x24ے۔ .
4. 4 జ=132
ஃ பிரயான தூரம் 132 மைல்களாகும்.
பயிற்சி 10 (a)
இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகை 30 ஆகும் சிறியதின் ஐம் மடங்கு, பெரியதின் மும்மடங்கிலும் 6 கூடியது. அவற்றைக் (5 Feiras,
2. பெரியதின் மும்மடங்கு சிறியதின் ஐம்மடங்கிலும் 3 கூடிய தாகவும், சிறியதின் மூன்றில் இரண்டு சக பெரியதின் ஏழில் ஒன்று சமன் 11 ஆகவும் இருக்கும் இரு எண்களைக் காண்க,


Page 68
7。
0.
128
சிறியதின் நாலில் ஒன்று பெரியதின் ஐந்திலொன்றுக்குச் சமமாகவும் பெரியதின் ஏழில் மூன்று சிறியதின் அரைப் பங்கிலும் 1 கூடியதாகவும் உள்ள இரு எண்களைக் காண்க. இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகை 17 ஆகும். முதலாம் எண்ணுடன் 7 ஐக் கூட்டி வருவதை 5 ஆல் வகுக்க வரு வதை இரண்டாம் எண்ணுடன் 59ஐக் கூட்டி வருவதை 6 ஆல் வகுக்க வருவதுடன் கூட்ட வருவது 13 ஆகும்" எண்களைக் காண்க. இரு எண்களின் வித்தியாசம் 72 ஆகும். பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணுல் வகுக்க ஈவு 6 உம் மீதம் 2 உம் ஆகும். எண்களைக் காண்க . இரண்டு எண்களின் பெருக்கம் பெரிய எண்ணின் எட்டு மடங்கைவிட 9 குறைவாகும். பெரிய எண்ணின் தலை கீழானதின் எட்டு மடங்கு சிறிய எண்ணினதும் ஒன்றின தும் கூட்டுத் தொகையின் ஒன்பதில் ஒரு பங்காகும். எண்களைக் காண்க, (14-ағ., 60) ஒரு எண் இரண்டு சினைகளாலானது. இவற்றுள் ஒரு சினையை 3 ஆலும் மற்றதை 2 ஆலும் குறைத்துவசரூம் இப் புதிய சினைகளைக் கொண்டு ஆக்கப்பட்ட எண்ணுனது முந்திய எண்ணவிட 44 குறைவாகும் முந்திய எண்ணின் சினைகளொவ்வொன்றையும் 2 ஆற் குறைத்து, குறைக்கப் பட்ட இச் சினைகளைக்கொண்டு ஆக்கப்பட்ட எண்ணுனது முந்திய எண்ணைவிட 50 கூடியதாகும். முந்திய எண்ணைக் காண்க, (lqaf. 58) ஒருவனின் வயது அவனது இரு பிள்ளைகளினது வயது களின் கூட்டுத் தொகையின் மும்மடங்காகும். இன்னும் நான்கு வருடங்களில் அது கூட்டுத் தொகையின் இரு மடங்காகும், மனிதனின் வயது என்ன? ஐந்து வருடங்களின் முன் விக்கினேஸ்வரனின் வயது, மூன்று வருடங்களின் முன் இலங்கரத்தினவிற்கிருந்த வயதிலும் மும்மடங்காகும், தற்பொழுது விக்னேஸ் வரனின் வயதின் காற்பங்கு இலங்கரத்தினவின் வயதின் அரைப்பங்கிலும் இரண்டு வருடங்கள் கூடியது, அவர் களின் தற்போதைய வயதுகளைக் காண்க, பதினைந்து வருடங்களின் முன்னர் ஒரு தகப்பன், மகனைப் போல் ஜம்மடங்கு வயதினதனுக இருந்தான். பதினைந்து வருடங்களின் பின்னர் அவன் வயதின் ஐந்தில் மூன்று பங்கு, மகனின் வயதிற்குச் சமமாக இருக்கும் அவர், களின் தற்போதைய வயதுகள் என்ன?

.
2.
鲁盛。
5.
16
霸7、
Sis
129
தற்பொழுது ஒரு தகப்பனின் வயது அவன் மகனின் வயதின் நாலு மடங்கிலும் 1 வருடம் கூடியது. 11 வருடங் களின் பின்னர் அவர்களின் வயதுகள் 12 5 ஆக இருக்கும் தகப்பனின் தற்போதைய வயதைக் காண்க.
இரு எண்கள் 4:3 என்னும் விகித்தில் உள்ளன. பெரியதுடன் 2 ஐக்கூட்டி சிறியதிலிருந்து 6 ஐக் கழித்தால், அவற்றின் விகிதம் 7:4 ஆகும். எண்களைக் காண்க. ஒரு செவ்வகத்தின் நீளமும் அகலமும் 32 என்னும் விகிதத் தில் உள்ளன. நீளத்தை 6 அடிகளாற் குறைத்து, அகலத்தை அதே தொகையாற் கூட்டினல், அது ஒரு சற்சதுரமாகும். நீளத்தையும் அகலத்தையுங் காண்க.
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின் பத்தின் இடத்து இலக்கம், ஒன்றின் இடத்து இலக்கத்திலும் 4 கூடியது? எண்ணினதும்,எண்ணை முன்பின்னக மாற்றுவதால் அமையும் எண்ணினதும் கூட்டுத் தொகை 110 ஆகும். எண் என்ன?
அதே இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட இரு எண்களின் கூட்டுத்
தொகை 132 ஆகும். இலக்கங்களின் வித்தியாசம் 6 ஆகும். எண்களைக் காண்க.
100 இற்குக் குறைவான ஒரு எண்ணின் பத்தினிலக்கம் மற்றதைப் போல் மும் மடங்காகும், இலக்கங்களை முன் பின்னுக மாற்றினுல் எண் 54 ஆற் குறைக்கப்படுகின்றது. எண்ணைக் காண்க,
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின் ஒன்றின் இலக்கம் பத்தின் இலக்கத்திலும் 4 கூடியது. எண்ணின் மும் மடங்கானது எண்ணினதும் எண்ணின் இலக்கங்கண் முன் பின்னக மாற்றுவதால் அமையும் எண்ணினதும் கூட்டுத் தொகையிலும் ஒன்றுகூடியது. எண்ணைக் காண்க
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணை இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுத்தால் ஈவு 7உம் மிகுதி 3உம் ஆகும். இலக்கங்களை முன் பின்னக மாற்றினுல் எண் 18ஆற் குறையும். எண்ணைக் காண்க, இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணை இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுத்தால் 4 ஈவாகிறது. இலக்கங் களின் தலைகீழ்களின் கூட்டுத்தொகையானது,இலக்கங்களின்
9 م وعن


Page 69
ア0・
2l.
22.
23.
130
தஜலகீழ்களின் பெருக்குத் தொகையின் ஒன்பதுமடங்கிற்குச் சமனகும். எண்ணைக் காண்க,
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணுனது, இலக்கங் களின் கூட்டுத் தொகையின் ஏழு மடங்கிற்குச் சமமாகும். எண்ணுடன் பத்தின் இடத்து இலக்கத்தின் மும்மடங்கை க் கூட்ட வருவது 108 ஆகும். எண்ணைக் காண்க. (ஆக,60) இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணனது, இலக்கங் களின் கூட்டுத் தொகையின் நாலு மடங்கிலும் 6 கூடியது எண்ணுடன் 14 ஐக் கூட்ட வரும் எண்ணுனது முந்திய எண்ணின் ஒன்றின் இடத்து இலக்கத்தைப் போல் 9 மடங் காகும். எண்களைக் காண்க. (ஆக 58)
ஒரு எண் இரு இலக்கங்களைக் கொண்டது. ஒரு இலக்கம் மற்ற இலக்கத்திலும் 4 கூடியது. இந்த எண்ணுடன் இலக் கங்களே முன் பின்னுக மாற்றுவதால் உண்டாகும் எண்ணைக் கூட்டவரும் கூட்டுத்தொகை 110 ஆகும். இலக்கங்கள் எவை? (ஆ. க. யூலை 54) ஒரு எண்ணின் இரு இலக்கங்களுள் ஒன்று மற்றதின் மும் மடங்காகும். இலக்கங்களை முன் பின்னக மாற்றுவதால் அமையும் எண் முந்திய எண்ணிலும் 54 கூடியது. முந்திய எண்ணைக் காண்க. (ஆ. க. ஆக,
24. இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின் ஒரு இலக்கம்
25.
26.
மற்றதின் இரு மடங்காகும். இந்த எண்ணினதும், இலக் கங்களை முன் பின்னக மாற்றுவதால் அமையும் எண்ணின் தும் வித்தியாசம் 27 ஆகும். எண்ணைக் காண்க. (டிச. 55)
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணுனது, இலக்கங் களின் கூட்டுத்தொகையின் நாலு மடங்கிலும் 3 குறை வுடையது. எண்ணுடன் 12ஐக் கூட்டினல், அதன் இரு இலக்கங்களும் கூடுவதுடன், புதிய எண்ணின் ஒன்றினிடத்து இலக்கம், முந்திய எண்ணின் பத்தின் இடத்து இலக்கத் திலும் 5உம் கூடுகின்றது. எண்ணைக் காண்க. (ሠዓ-óም. 56)
இரு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணின், முதலாம் இலக்கத்தின் வர்க்கத்தின் 4 மடங்கானது இரண்டாம் இலக் கத்தின் வர்க்கத்தின் 160 கூடியதாகும். எ ண் ணு ன து முதலாம் இலக்கத்தின் எண் மடங்கிலும் 20 கூடியதாகும் எண்ணைக் காண்க, (q-‹ዎ 57)

.7ל
28.
30.
3.
131
இரண்டு இலக்கங்களாலான ஒரு எண் உள்ளது. இதன் பத்தாம் தானத்தின் தலைகீழின் மூன்று தடவையுடன் ஒன்ரும் தான்த்தின் தலைகீழின் நான்கு தடவையைச் சேர்த் தால் 2 ஆகும். ஒன்ரும் தானத்தின் தலைகீழின் மூன்று தடவையை பத்தாம் தானத்தின் தலைகீழின் நான்கு தடவை யிலிருந்து கழித்தால் பெறுபேறு ஆகும். எண்ணைக் காண்க . (ஆக. 62)
ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி எண்ணுடனும் பகுதி எண்ணுட னும் 3 ஐக் கூட்ட அது ஃ ஆகிறது. ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து ஐக் கழிக்க அது ஆகிறது. பின்னத்தைக் காண்க.
தொகுதி எண்ணுடன் 1ஐக் கூட்ட 3 ஆகவும் தொகுதி எண்ணிலிருந்து 1ஐக் கழித்து பகுதி எண்ணுடன் 4ஐக்கூட்ட
ஆகவும் ஆகும், பின்னத்தைக் காண்க.
ஒரு பின்னத்தின் பகுதி எண்ணுனது தொகுதி எண்ணிலும் 3 கூடியது. பகுதி எண்ணுடன் 2ஐக்கூட்டி, தொகுதி எண்ணிலிருந்து 1ஐக் கழிக்க, பின்னம் * ஆகக் குறைகிறது. பின்னத்தைக் காண்க, A, B என்னும் இருவரின் மாத வருமானங்கள் 5; 7 விகிதத் திலும் அவர்களின் செலவு 8: 11 விகிதத்திலும் இருந்தது, A என்பவர் 40/- ரூபாவையும் B என்பவர் 70/- ரூபாவையும் சேமிக்கின்றனர். ஒவ்வொருவரின் மாத வருமானம் யாது? \
(61 to F) A, B என்பவர்கள் ஒரு களியாட்ட விழாவிற்குச் சென்றன்ர் , அவர்கள் வைத்திருந்த பணத்தின் விகிதம் முறையே 8:7 ஆகும். விழாவில் ஒவ்வொருவரும் தனித்தனி ரூ 18 செலவு செய்தபின்னர், தம்மிடம் எஞ்சியிருக்கும் பணத்தின் விகிதம் முறையே 5 : 4 எனக் கண்டனர். ஒவ்வொருவரும் ஆாம் பத்தில் வைத்திருந்த பணம் எவ்வளவு? (யூலை 57)
பயிற்சி 10 (6)
7 இரு. கோப்பியினதும் 3 இரு தேயிலையினதும் விலை ரூ. 31 ஆகும். 9 இரு கோப்பியினதும் 5 இற. தேயிலையினதும் வில் ரு. 43 ஆகும், ஒரு இரு. கோப்பியினதும் ஒரு இரு. தேயிலை யினதும் விலையைக் காண்க.
இரண்டும் சேர்ந்து 9 சி. 10. பெ. விலையுள்ள இரு தேயி3ல் யையும் ஒரு இரு.கோப்பியையும் வாங்குவதற்கு ஒரு பையன்


Page 70
32
அனுப்பப்பட்டான் தவறுதலாக அவன் 9 சி. 2 பென்சிற்கு இரு. தேயிலையையும் 4 இரு. கோப்பியையும் வாங்கினன், இவ்வுண்மைகளை இரு சமன்பாடுகளிற்காட்டி, அவற்றி லிருத்து இரு தேயிலையினதும் 1 இரு கோப்பியினதும் விலைகளைக் காண்க.
3. இரு ரூ 2-65 விலையுள்ள ஒருவகைத் தேயிலையுடன் இரு.
ரூ. 2.84 விலையுள்ள இன்னெரு வ ைகத்தேயிலேயைக் கலந்து கலவையை இரு. ரூ. 3.0 ஆக விற்று 10% நயமடைய இரு வகைத் தேயிலைகளையும் என்ன விதமாகக் கலக்க வேண்டும்?
4. ஒரு வியாபாரி இரு 40 சதம் விலையுள்ள ஒரின வெங்காயத் துடன் இரு. 64 சதம் விலையுள்ள இன்னேரின வெங்காயத்தை கலந்து , கலவையை இரு 60 சதவீதம் விற்று 25% ஆதாயம் அடைகிருன். இரண்டுவித வெங்காயங்களும் கலக்கப்பட்ட விகிதம் என்ன?
5. 2 மனிதரும் 3 பையன்-களும் 2 நாட்களில் 19 ரூபாயை உழைக் கின்றனர். 5 மனிதரும் 4 பையன்களும் 3 நாட்களில் ரூ. 55-50 சதத்தை உழைக்கின்றன்ர் எனின் ஒரு மனிதனதும் ஒரு பையனதும் நாட் கூலியைக் காண்க.
6. ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 78 அடியாகும். நீளம் 3 அடி களாற் குறைக்கப்பட்டு அகலம் 2 அடிகளாற் கூட்டப்பட்டால் பரப்பு 3 சதுர அடிகளாற் குறையும். செவ்வகத்தின் நீளத்தையும் அகலத்தையுங் காண்க.
7. ஒரு மனிதன் ரூ.10,000 இன் ஒரு பகுதியை 5% தனி வட்டிக் கும், மிகுதியை 5% தனி வட்டிக்கும் விட்டான் 5% முதலிடா னது 6% முதலீட்டிலும் பார்க்க வருடம் ஒன்றிற்கு ரூ 16 கூடிய வருமானத்தை அளிக்கின்றது. ஒவ்வொரு வீதத்திலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகையைக் காண்க.
8. ஒரு மனிதன் 2,500 ரூபாவின் ஒரு பகுதியை 2 வருடங்களுக்கு 3% தனி வட்டிக்கும் மிகுதியை 1 வருடத்துக்கு 4% தனி வட்டிக்கும் விட்டான், அவன் பெற்ற முழுவட்டியும் 142 ரூபா வானல், ஒவ்வொரு வீதத்திலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகையைக் காண்க.
9 A, B, C என்பவர்களுக்கிடையே ஒரு தொகைப் பணம்
பங்கிடப்படுகிறது. Aயின் பங்கானது Bயும் C யும் சேர்ந்து

0.
".
2.
13.
4.
133
பெறுவதின் அரைப் பங்குக்குச் சமமாகும். B யின் பங்கானது Aயும் Cயும் சேர்ந்து பெறுவதின் அரைப் பங்கிலும் ரூ 24கூடியதாகும். A யும் Bயும் சேர்ந்து ரூ. 152-பெற்றல், ஒவ் வொருவரும் தனித்தனி பெறுவதைக் காண்க. (ஆக. 60)
ஒரு செவ்வக அட்டையின் நீளம் அகலத்திலும் 10 அங். கூடியது. நீளத்தை 5 அங்குலங்களாற் குறைத்து அகலத்தை 4 அங்குலங்களாற் கூட்டினுல், பரப்பு 1 சதுர அங்குலத்தால் கூடும். அட்டையின் நீளத்தையும் அகலத்தையுங் காண்க
ஒரு மனிதன் ஒரு குறித்த தூரத்தின் ஒரு பகுதியை மணிக்கு 5 மைல் வேகத்துடனும் மிகுதியை மணிக்கு 4 மைல் வேகத் துடனும் நடக்கிறன் ; முழுப் பிரயாண நேரம் 11 மணி ஆகும். இரு பகுதிகளினதும் வேகங்களை முன் பின்னக மாற்றினுல் அவன் மேலும் மணி கூட எடுத்திருப்பான். பிரயாண தூரத்தைக் காண்க.
70 மைல் இடைத் தூரத்திலுள்ள இருவர் எதிர்த்திசையாகப் பிரயாணஞ்செய்து, 3 மணித்தியாலங்களிற் சந்திக்கின் றனர். ஆனல் அவர்களுள் ஒருவன் தனது வேகத்தை முந்திய வேகத்திலும் 14 மடங்கிற்குக் கூட்டினுல், அவர் கள் 2 மணி 55 நிமிடங்களிற் சந்திப்பர் . அவர்களின் தனித் தனி வேகங்களைக் காண்க.
வேகங் கூடிய ஒரு கார் X பட்டினத்திலிருந்து y பட்டினத் திற்கும், வேகங் குறைந்த இன்னெரு கார் y பட்டினத்திலி ருந்து X பட்டினத்திற்கும் , ஒரே நேரத்திற் புறப்பட்டு மாரு வேகங்களில் ஒடி,புறப்பட்டநேரத்திலிருந்து 45 நிமிடங்களின் பின்னர் சந்திக்கின்றன. சந்தித்த நேரத்திலிருந்து 30 நிமி டங்களின் பின்னர் வேகங் கூடிய கார் yஐ அடைகிறது. அதே நேரத்தில் வேகங் குறைந்த கார் x இலிருந்து 20
மைல்களுக்கப்பால் நிற்கிறது, x இற்கும் y இற்கும் இடையே
உள்ள தூரத்தைக் காண்க . . (யூலே-56)
15 மைல்கள் இடைத்தூரம் உள்ள இரு பட்டினங்களிலிருந்து A, B என்னும் இருவர் அதே நேரத்திற் புறப்பட்டு (i) எதிர்த் திசையாகப் பிரயாணஞ் செய்யும் பொழுது 18 நிமிடங் களிலும் (ii) அதே திசையாகப் பிரயாணம் செய்யும் பொழுது 78 மணித்தியாலங்களிலும் சந்திக்கின்றனர். அவர்களின் வேகங்களைக் காண்க,


Page 71
tS.
134
இரண்டு இலக்கங்களாலாகிய ஒரு எண்ணுடன் அவ்வெண் ணின் இலக்கங்களை முன் பின்னக மாற்றுவதால் அமையும் எண்ணின் இரு மடங்கைச் சேர்க்கப் பெறு பேறு 81 ஆகும். இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையின் எண் மடங்கிலும், எண்ணுனது 3 கூடியது. எண்ணைக் காண்க
ஒருமனிதனின் நடை வேகமும் , துவிச் சக்கர வண்டி வேக. மும் மாருதவை. அவன் 6 மணித்தியாலங்கிட்கு நடந்தும் 3 மணித் தியாலங்கட்குத் துவிச் சக்கர வண்டி மூலமும் சென்ருல் 72 மைல்களேச் சென்றிருப்பான். அவன் தனது நடை வேகத்தை மணிக்கு 4 மைல் வீதம் குறைத்து துவிச் சக்கர வண்டி வேகத்தை மணிக்கு 1 மைல் வீதம் கூட்டினல் அவன் 1 மைலே நடக்கும் நேரத்தில் 5 மைல்களைத் துவிச் சக்கர வண்டி மூலம் செல்லக்கூடும். அவனது நடை வேகத்தையும் துவிச் சக்கர வண்டியின் வேகத்தையும் மணிக்கு எத்தனை மைல்களெனக் காண்க
Y7 ., A, B என்னும் இருவர் சேர்ந்து 12 நாட்களுக்கு வேலை செய்
9.
20
கின்றனர். பின்னர் A தனித்து மேலும் 3 நாட்களுக்கு வேலை செய்து, அவ்வேலையை முடிக்கிருன். A, 3 நாட்களிற் செய் வதை B, 4 நாட்களிற் செய்யக் கூடுமானல், ஒவ்வொருவரும் தனித்து அவ்வேலையை எத்தனை நாட்களில் செய்யக்கூடும் எனக் காண்க.
ஒரு மனிதன் ஒரு தூரத்தை ஆற்றிற் கெதிரே 4 மணி 12 நிமி டங்களிலும், அதே தூரத்தை ஆற்றுடன் 2 மணி 20 நிமிடங். களிலும் துடுப்பு வலித்துச் செல்கிறன். அவன் நிலையான நீரில் மணிக்கு 7 மைல் வீதம் துடுப்பு வலிப்பானுகில் ஆற்றின் வேகத்தைக் (மாரு வேகமெனக் கொண்டு) காண்க.
ஒரு வெள்ளமானது ஆற்றுடன் 36 மைல்களை 3 மணித் தியா லங்களிலும் அதே தூரத்தை ஆற்றுக் கெதிரே 6 மணித்தியா லங்களிலும் ஒடுகின்றது. வெள்ளத்தின் வேகத்தையும் ஆற்றின் வேகத்தையும் காண்க,
மாரு வேகத்துடன் ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு புகையிரதம் கொழும்பிலிருந்து அனுராதபுரத்தை அடைய 4 மணித்தி யாலங்கள் எடுக்கின்றது. வேகத்தின் அதிகரிப்பு LD 600flá6. 6 மைல்கவாக இருந்தால் பிரயாண நேரம் 40 நிமிடங்கள்

135
குறையும். மாரு வேகத்தையும், இரு பட்டினங்களுக்கிடைத் துரத்தையுங் காண்க.
21. ஒரு மனிதன் குறித்த தூரத்தை மாரு வேகத்துடன் 4 மணித் தியாலங்களில் நடக்கிறன். தூரம் 1 மைல் குறைந்தும் மணி வேகம் 4 மைல் குறைந்தும் இருந்தால். அவன் இன்னும் 20 நிமிடங்கள் மேலதிகமாக எடுத்திருப்பான். அவனது வேகத்தைக் காண்க.
* ஒரு ஒடக்காரன் 8 மணித்தியாலங்களில் ஆற்றுக் கெதிரே 13 மைல்கஜளத் துடுப்பு வலித்துச் சென்று பின் திரும்பி வருகிருன். அவன் ஆற்றுடன் 11 மைல்கஜௗத் துடுப்பு வலிக்க எடுக்கும் நேரத்தில் ஆற்றுக்கெதிரே25 மைல்கஜா வலிப்பாணுகில், ஆற்றின் வேத்தைக் காண்க. ۔سی
23 ஒரு எந்திரப் படகானது 7 மணித்தியாலங்களில் ஆற்று டன் 27 மைல்களேயும் ஆற்றுக்கெதிரே 20 மைல்களையும் செல்கின்றது மேலும் அது 9 மணித்தியாலங்களில் ஆற்று டன் 36 மைல்களேயும் ஆற்றுக்கெதிரே 25 மைல்கஜளயும் செல்கின்றதெனின், படகினதும் ஆற்றினதும் வேகங்கஜக் காண்க.
* ஒரு குறித்த தூரத்தை ஒடும் ஒரு புகையிரதத்தின் சராசரி வேகத்தை மணிக்கு 6 மைலால் அதிகரித்தால், பிரயாண நேரம் 40 நிமிடங்களாற் குறையும். சராசரி வேகத்தை மணிக்கு 5 மைலாற் குறைத்தால் பிரயாண நேரம் 48 நிமிடங் களால் அதிகரிக்கும். பிரயாண தூரத்தையும் சராசரி வேகத்தையுங் காண்க.
ors மாறிகள் x =ay-by என்ற தொடர்பினல்شته y 6T dirp or و x مک2 இணைக்கப்படுகிறது. W=5 ஆக இருக்கும் பொழுது x-70 ஆகுல், y=8 ஆக இருக்கும் பொழுது x-16 ஆனல், a, b. என்பவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க. எனவே, y- 12
ஆக இருக்கும்பொழுது x ன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(tዓ-óዎ •59).
26, 3, 2 என்ற இரண்டு மாறிகள் c = 1 --at-bra என்ற தொடர்பினுல் இணைக்கப்படுகிறது. யுேம் ம்யும் மாருத குணகங்களாகும். =s ஆக இருக்கும் பொழுது x=6 ஆகுல், =10 ஆக இருக்கும் பொழுது x=11 ♔ബ്രൺ r=20 ஆக இருக்கும் பொழுது x இன் பெறுமானம் என்னவாக இருக்குழ் எனக் காண்க. (யூலை 55)


Page 72
136
அத்தியாயம் 11
இருபடிச் சமன்பாடுகள்
சமன்பாடுகளில், தெரியாக் கணியத்தின் அதி கூடிய அடுக் கானது வர்க்கமாக இருந்தால், அவ்வித சமன்பாடுகள் இருபடிச் சமன்பாடுகள் எனப்படும்.
ஆகவே x-9=0, 2x2+5x+2-0 என்பன இருபடிச் சமன்பாடு களாகும். முதலாவதில் x இன் உறுப்பு இல்லை. இரண்டாவதில் *இன் உறுப்பு ஒன்று உண்டு.
தெரியாததின் வர்க்கத்தை மாத்திரம் கொண்டுள்ள சமன்பாடு தூய இருபடி எனப்படும், (Pure Quadratic).
தெரியாததின் முதலாம் இரண்டாம் அடுக்குகள் இரண்டை யும் கொண்டுள்ள சமன்பாடு (adfected quadratic) எனப்படும்.
தூய இருபடிகள் ஒரு தூய இருபடியில், தெரியாததின் வர்க்கத்தை இடம் மாற்றிச் சுருக்குவதனுல், அதன் பெறுமானத்தைத் தெரிந்து கொள்ளலாம். பின்னர் அப்பெறுமானத்தின் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டால், குறிகளில் வேறுபடும் இரண்டு சமமான மூலங்களைப் பெறுகின்ருேம்.
உதாரணம் 1 : தீர்க்க. 2x'-32=0
16== 2x3 == 32 * x2 " 0 == 32-ب*xر2
- . x = */l6 = *
* சமன்பாட்டின் மூலங்கள்+4உம்-4ம் ஆகும்.
p
X 2x2- . 2 உதாரணம் 2 : தீர்க்க =
2x-1, x+3 2 3
.. 3 (2x2-1)- 2(x2+3) (குறுக்குப் பெருக்கலால்).
. 6x2-3= 2x2 +6
to
3 - - 6 تست * 6x" -- 2x "

137
'. X = + அல்லது -
பயிற்சி 11 (a)
தீர்க்க
x2se 9 3. 12-7x2 = 2x2-4 .2 0 == 4 مبہم۔x2 1 )3+ x2-4) =3(x2(4 .15 42 ۔ 9-8-پے 12x2 .4 9 - x2 - 10 ۔۔ x2 - 5) = 2(x2 + 7( 7. 5x2)3 .6ص
8. 2(x2--x-1) = x +7-x(2x-1) x2) + 1 + 2x2س-2)7 س= (1 س-x2)3 .9:
신. 은= 부 11. =
12, --쓰- 13, + 능-2
4. 공 3 - - 13 을 + +1=0 16. (x-1-2) = 1 17. (2x-1)=. 1 8 32 سس رx0شتست
(62 <ᎸᏏ •)
தெரியாக் கணியத்தின் முதலாம் இரண்டாம் அடுக்குகளைக் கொண்டுள்ள சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்.
மேலே கூறிய வகையைச் சார்ந்த சமன்பாடுகளைக் கீழே காட்டப்பட்டிருக்கும் முறைகளுள் ஒன்றின் மூலம் தீர்க்கலாம்,
1. சினைகாணும் முறை : பெருக்கம் ab = 0 ஆணுல் x = 9 அல்லது b = 0 ஆக இருக்கவேண்டும் என்னும் விதியை அடிப்
படையாகக் கொண்டது இம்முறை,


Page 73
  


Page 74
140
*தாரணம் 4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்க:
. 1 + r-2 xג 1-سی-X 2-3x + 6 x 4 +3 2-3x-2 (தொவ46)
سپس PI که - - - بستک t : -سسg ra-5-6 x0-ر4 سx-+3 س T T x8--3-2
-- X - 2.سس-x 1ـــــــتkذ (x-3)(x-2) (x-3)(x-1)(x-2 (-15
(x - 1) * --(x-2) = (x + 1) (3-3) (இரண்டு பக்கங்
sakrujih(x-1)(x-2)(x-3) gbsb பெருக்குவதால்
... x2-2x+1-(x3-4x+4)= x2-3x+x-3
... x2-2x--1-x'+4x-4-x2 + 3x-r-j-3=0 (இடம் மாற்றுவதால் .."。ーx2+4x=0 ... x-4x = 0 (-1 s6) பெருக்குவதால்)
... , χίχ-4) = 0 ஃ x=0 அல்லது x-4-0 அதாவது x-4) .., xs O அல்லது 4.
ህn}ዕቇ 11 (b) சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
1. 3x(x-7)-0 2- x2 - 2x = 0 3, 2x2 + 2 x = 9 4 x2-7x-- 10=0 5. 128-17-7-0
6. x2-7xe44 7。5x2+x=6 W8.5x+8x=4 9- (x+1) (x-2)=0 (63 -a.
10. x(3x-5) = 2 ッ11 (x-6)(x+2)=9
12. (x-3)(x-5)=3 3. (2x-1) (2x--9)-24 14. (3x-5) (2x+1)=S(x+1)(x-1)
ے
15, (x+1) (2x+3) = 4x2-22
.35 + x = (5 ه.) ,17 0 = گx -5) (2-x) + I) .16

141
x- 1 x2 3 ܝܚ x
8. يميل سسسس عمه فيه تسميت سسسسست -- كسجنسمة
2 "xー4丁。 9. x+3+ .3 است 4. S
20. annaw qapa کتیت تهه عيســــــــاحه د ته t
x - ८+कु = 36 2. 3೫ • 2x +3 3
6 2 3 2 - 1 .. 3
* マニ5ーマー5 =マ三T 23 ☆士Tーマ宝3サェ二2=o
12 x + 125
24 -ܘ 24. r 十三+35=0 S 25,
x - 2 x -3 7
26. 5 -7 ।
11. வர்க்க பூர்த்தியாகும் முறை எந்த ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு உறுதியான முறையாகும். x ஐக் கொண்டுள்ள உறுப்புக்கள் இடது பக்கத்தில் இருக்கும்படி சமன்பாட்டின் உறுப்புக்கள் ஒழுங்கு படுத்தப்படுகின்றன. இரண்டு பக்கங்களுக்கும் பொருத்தமான கணியத்த்ைக் கூட்டுவதால் இடது கைப்பக்கம் ஒரு நிறை வர்க்கமாக்கப்படுகிறது. இரண்டு பக்கங்களினதும் வர்க்க மூலங்கள், சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ஆகும்.
பின்வரும் உதாரணங்கள் எடுத்துக்காட்டிற்குரியவையாகும்.
குறிப்பு :-இடது கைப்பக்கத்தை ஒரு நிறை வர்க்கமாக்க, முழுவதையும் x?இன் குணகத்தால் (ஏதும் இருப்பின்) வகுத்து xஇன் குணகத்தின் அரையின் வர்க்கத்தைக் கூட்டுக
உதாரணம் 1: வர்க்க பூர்த்தியாக்கி, 3x2 + 4x - 15-0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் காண்க.
3x2+4x = 1S (-15ஐ இடம் மாற்றுவதால்)
.. x + x= =s (இன் குணகத்தை 3ஆல் வகுப்பதால்) x இன் குணகம் 4 ஆகும். அதன் அரைப்பங்கு 4 x 4 னஜ் ஆகும். - * இரண்டு பக்கங்கட்கும் (*)ஐக் கூட்டுவதால்,
4 2. Υ* 2 \? 4. x + x + (-)- 5 + (号) 5 + 玄="す


Page 75
3 3 3
X = -- அதாவது x= 13. அல்லது
7-سی 2-سن2 = --அதாவது X3 سے یی
ஃ 3=13 அல்லது-3
உதாரணம் 2. இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்களன வாய்பாட்டை உபயோகியாது, 3x3-5x+ = 0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களே இரு தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க. staf. 49) 0 == 4-1۔ x 5-سے x 3
'. 3x2-5x=-1
", ஃ- x=- (**இன் குணகமாகிய 3ஆல் வகுப்பதால்). xஇன் குணகத்தின் ப் பங்கின் வர்க்கத்தை அதாவது (x )?ஐ இரண்டு பக்கங்களுக்கும் கூட்டுவதால்
x"一器x+(器)"=ー尋+露護
-2+25 13
--- --- జ=as == گا۔ (x一"=ー、デー露
.v13 3-4 یہ سیسے Y --سی(x-) AVS; 6
. x — i + y 13 =5-d- V!3 ==5=3ʻ605
6 6 6
6

143
அல்லது x = 5-05 அதாவது x = 23
.. x = 143 அல்லது 23
உதாரணம் 3. சூத்திரம் ஏதும் உபயோகியாது 5(x?-2)=2*
என்னும் சமன் பாட்டைத் தீர்க்க. (gકર્ટ). 54)
5 (x2-2) = 2x
2x = 10 سس۔ x2 5
... Sx2-2x= 10 (இடம் மாற்றுவதால்)
x°一影x=2 (x? இன் குணகம் 5ஆல் வகுப்பதால்)
^یب *இன் குணகத்தின் பங்கின் வர்க்கத்தைக் கூட்டுவதால் அதாவது ( x )ஐ
چي2=2(4) + 2 == *(1)-+ yسپ-x2
է 151 - 1 / * 51 - 1 + 7 141 KQ) » ー宮 5 5 ma- 5
漫 --7 هlچه d 1 +714 அதாவது x - 163 அல்லது x = 느보
அதாவது 次ニー1・23
. x- 163 அல்லது - 123 (ஒவ்வொரு விடையும் இரண்டு தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாக)
始 Χ Χ 够 8. 4. &
-t ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ۔۔۔۔۔۔۔۔ உதாரணம் 4 x十ーl 1 என்னும் சமன்பாட்டைத
தீர்க்க உமது விடையை 3 தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகத்
5.Qb6s (gడీ S)
گ- - - کس۔
xー1 x+ ]


Page 76
144
X(X + l) — x(x — 1) = (-x + 1) (x — 1)
(x+1) (x - 1)ஆல் பெருக்குவதால் 1 --x2ر جت= x2 + xر -سن- xر + t2ر
... - x -- 2x = -
, x?-2x = 1 (x2 ஐ சகக் குறியாக்க - ஆல் பெருக்குவதால்). இன் குணகத்தின் ப் பங்கின் வர்க்கத்தை (x 2)? கூட்டுவதால்.
• التي تتجه
X-2x + i = 1 + 1
... (x-1) = 2 ... x - l = t /2 ... x = 1 t / 2 = 1 - 1414
ஃ. X = 1+1414 அதாவது x - 2414 அல்லது
x = 1-1414 அதாவது x = - 414
མ་ཟ 2414 அல்லது -414(3 தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாக)
பயிற்சி 11 ()
வர்க்க பூர்த்தியர்க்கிப் பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
1. x -- 6x +8 = 0 2. x2 - 7x + 12 - 0 3' x -2x-15 = 0 4 x - 9x-22=0 5. 2x2 +7x + 3 = 0 . 6, 3x2-14x-- 8 = 0 7. 5x2 +9x- 2-0 8. 2x2- 5x- 3= 0 9. (x+a) +x = Sa? 10 6x°十x=5
* சி பின்வருவனவற்றின் விடைகளை 2 தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகத் தருக.
0 = 4 + 6 - هند .12 - 0 = 10 -+ 12x - * بد .11 13. x - 6x - 5 = 0 |14= 0 ? ----3 x + 1 0ے 15. x 2 - 5x + 5 = 4 16・ x*ー10x+11=0 17ο α 2 - 7 χ = 20 18. 2-3 = 7 (ዛዱ¢. 48)
0 = 7 - - + 2x2 ,20 (47 همهٔ طلا) 5 = 2x * - +- 7x .19 1 1 sܒ 7-2 4x --8 ==0. )63 ths.). 22. 3 x س- 3x2 ه{2

145
23. 3x2 =2x+7 24, 2x +9-0 25, 5x”-+-8x-4–1 = 0 26 3x(x + 4) - 7
2x -+-3 28- 9x* + 1 ↑ xc + 4 --Ꭴر6 7x* == t • 26
0 حجد 5 + 20 -+ـ 2 xز9 229
(x-2) (2x - )(x-5), 7 x -l -- م۔م۔
30. 2 3 2
1. தத்திரத்தை உபயோகித்துத் திர்த்தல் :
பொதுவான இரண்டாம் படிச் சமன்பாடாகிய ax2+bx + c =0
என்பதை வர்க்க பூர்த்தியாக்கித் தீர்ப்பதன் மூலம் இருபடிச் சமன் பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்.
ax?-- bx + c = 0
ax'+bx = -c (t ஐ வகை ப இற்கு இடம் மாற்றுவதால்
gy ίο s e O 8 Ꮉ )x2-+- ァx=ーr (x? இன் குணகத்தால் வகுப்பதால் به
2 b b 2. ( AP VA 2 ****+ (*)--4+ (4) இன் குணகத்தின் அரைப் பங்கின் வர்க்கத்தைக் கூட்டுவதால்)
F+告 * = - - -- b2 = 224006
Cl
2a 4a 2 4a2
+ = 二士 24c 4 - 2 ܫܒ ܗܒ.gc.
2o 4a 一元一
“ х = -2 : Nb–4ac – –b + / b2 – da
A d. 2a 2a 2a
ஃ X இன் இரண்டு பெறுமானங்களும்
- b-- */b* - 4ac 够 حمایت b تعہ - / b 2 4 ۔۔d p
8Ꭷ6ay -- அலலது ۔ 9قا5ظت نسس۔
O حسسه تکیه


Page 77
-b+ 42-4என்பதில் و قه b و c 6Tهdruقومهbaعلاقir பெறுமானல்
சிறீதர் ஆச்சாரியின் (p 6o Ao : -
のx"+bx +c=0
dx* -+-br == --e கிே இடம் மாற்றுவதால்)
4ax'+4abr=-4ac, (x? இன் குணகத்தின் நாலு மடங்
கால் அதாவது 4 ஆல் பெருக்குவதால்)
ax+4abx +52=b2-4 (இரண்டு பக்கங்களுக்கும்,
b* gg கூட்டுவதால்)
' (2ax+ b)2 b-4ac
'. 2ax + b 4 - 52/ہجہ= جنتaم”
- 2αχ. -= -b Հs */b2-4ն,
-bit V b?-4a,
2a
se
உதாரணம், 1. தீர்க் 6x?--11x+3=0. இங்கே. a=6. ந= 1. =ே 3 ஆகும்.
x = 2i Vb-ae / Il ? - 4x6 x 3
2a 2×6
= 구부를 5_ - 17
지 = ---슈 ארלו - = - 12ר ר * . - 1 -- 7 - I - 7
fee as 12-அதாவது x F~ச்; அல்லது x = 2
அதாவது x = - டி - x = - ச் அல்லது - 1.

147
உதாரணம் 2 3x?-5x = 1 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங் கண் இரு தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க
3x2-5x-1-0 (இடம் மாற்றுவதால்)
இப்பொழுது a=3, b * a.5, 0.8 கி.
-b + 15*-4ac--(-5) + /(-5)? — 4 x 3( - 1 ) .
。X二 2a 2×3
. St J25 2-5 it as 375 - 6 082 ... F 6 6 O
-”、X =5:02 அதாவது x = 1847, அல்லது
5-608).
6 M .. x = 1:85 அல்லது -18 (இரண்டு தசம இடங்களுக்குத்
திருத்தமாக)
அதாவது x : - 180
uusjà 11 (d) பின்வரும் சமன்பாடுகளைச் சூத்திரத்தினுல் தீர்க்க:-
3x -+-20 2) x2-9x4-20s.O س+-x2 (1 3) x--x-56-0 4) x2--X-72 = 0 5) x(x-2) = 15 6) 4x?--5x -1 - 0 7) 3x - 11x--60 8( 2x2 -+- x-0 == 6-س 9) 3x2-2x-8-0 10) x(2x + 3) = 27
2x x 3x--5
--
- x - I ޖީންސް+ (11
பின்வரும் சமன்பாடுகளின் மலங் bb 烧,8 மூலங்களை இரண்டு களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க : 6 serun இடங்
W. 12) x2 + 2 x - 1 = 0 13) x2 - 5x + 2 = 0
14) 2x-6x - 9 15( 5x(x-2 = (2-س 16) (2x+5)=2(x2 + 4x-7)


Page 78
148
2 - x + 5 x - 2 . سه 17) xーキ=。 18) 辻テ=迂エ
1 1 . . . . 1 -—ം " 39) + = 玄二エ 20 x --3 -
இருபடிச் சமன்பாடுகளை அமைத்தல்:
நாம், இருபடிச் சமன்பாடுகளைச் சிண்காண்பதன் மூலம் தீர்ப் பது பற்றி அறிந்துள்ளோம். இம்முறையில், ஒவ்வொரு ஒருபடிக் குரிய சினையையும் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்தி மூலங்கள் பெறப் படுகின்றன.
உதாரணமாக X-3x+2-0 அதாவது (x-2)(x-1)=0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள், (x-2), (-1) என்னும் சினைகளேப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்திப் பெறப்படுகின்றன* ாக2 என்னும் சினை 2ஐப் பெறுமானமாகவும் X-1 என்னுஞ் சினை 1ஐப் பெறுமானமாகவும் தருகின்றன. எனவே ஒவ்வொரு சினைக்கும் ஒத்த ஒரு மூலம் உண்டு.
ஆகவே மறுதலையாக, ஒவ்வொரு முலத்திற்கும் ஒத்த ஒரு சினை உண்டு.
x இன் பெறுமானமாகிய 2 இற்கு ஒத்த சினை x-2 ஆகும். xஇன் பெறுமானமாகிய 1இதற்கு ஒத்த சினே x-1 ஆகும். அவ் வண்ணம், பொதுவாக ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் aயும் bயும் ஆணுல் இருபடிக் கோவையினதும் (x-a)x(x-b):0 என்னும்,சமன்பாட்டினதும் சினைகள்(x-a)யும் (x-b)யும் ஆகும்
உதாரணம் :- 2, 3 என்பன மூலங்களாக உள்ள சமன் பாட்டை அமைக்குக
பெறுமானம்-2இற்கு ஒத்த சினோ-(-2)=x+2 ஆகும். பெறுமானம் 3 இற்கு ஒத்த சினை x-3 ஆகும். ஃ வேண்டிய சமன்பாடு (x+2) (x-3)=0 ஆகும். அதாவது x2.x-6-0 உதாரணம் 2. -*, 4 என்பன மூலங்களாக உள்ள சமன் பாட்டை அமைக்க.
-4 இற்கு ஒத்த சினை = x-(-8)=x+8 4 இற்கு ஒத்த சினை = x-*ஆகும்

149 ஃ சமன்பாடு (***) (x-x)=0 ஆகும்s
w ヴr 2x ? அதாவது xدپه چم- ه བe ཕམ། --o
0جی2حمح0Xاf په3xهنتختx2کا له وايي .
(20 - x 7 جھfr 62Jg |5x2ڑھ9y
uijff 1 1 (e)
Siđњ:
1• 2x* -- 242 -- 0 2$ 3.x2 74 جیت سہ 3. 20c - 3( 2 4)3 بیتx + 9( 2) هھهx +- 5{2 ست t6 5. 5x(x +7) + i = 18x(x+1)+ 7 (x-3)
2 LT + 5 = }
;0یت 15 سے #32x۔ x + 27 9. 7x2 6 جنت x2 5 = 8 0 == فيه 8x 2-21x ۔x3 - 1)+5x=0 1t)6 .10.
2. 6x2-23x -- 15 O. h3- )7-س x)(19----x( --64 == 0
8.- (x + 4) (2x-5)+ 6-0 7.
;0 --16 س+ x2 7 سے 2H0== 0 15 • x4 --س-fl4 = x2 ---- x"}
6. ix -- ፥←= 13# 17. 零+--- l을 18. + = 22, 19. + 20. --
உமது விடைகளை இரு தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகத் தருக :
21, x-6x-28s. 0. (i.e. 61.) , 22. 5x'+11x-2=0 (4-зғ.59) 23。3x°十8x一13=0 (4 ཙ- 59-)
)55.3x2-- 3x - 1==0 | (lef ,24۔


Page 79
150
25, 3 8 - سدهٔxلی24-سf( (ஆக 60)
À , 26. (x-1)(x--2)3 〈母9·56》
4+-3x 3-؟، *2 a -- . 62 27 X-r2 Tax- )62 ه ق(
X تنه "rwa ஃ ി. 55 28 1: سلسله みr十1 )55 طي)
.2 3-X سست . °亲诺+龛 ー幸-0
2 - 3(x-1) 30, x-2: "" 3 سسx-3 (64ஆக.)
சூத்திரத்தை உபயோகியாது தீர்க்க:
31. x=3x--270 32. دY* -3-س lX-0 ==630 س ഴഖ്ബ ഉത്ര தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகக் காண்க :
33. **-r-1 = 0 34 . 1-۔ یہ پیر tx0=ے 8-- م
35. 5X8 7 ・36 6== 2 - 9 سنةx*ーえー4=0
2 ہے۔ ج ک + پانچ ,38 0=2-- 10x3 + 12x ,37
x--2 x-3 (57 دab) 0غیی 4- 2x -- **3 39 )54 யூலை( پست= (2 - * x )5 ، 40
41. 0, என்பவற்றை மூலங்களாக x இலுள்ள சமன்" 4ாட்டை எழுதுக, இச்சமன்பாட்டை a** + bx + c=0, srgire உருவில் தந்து, பின்னர் , b, c என்பவற்றின் பெறுமானங்கண் எழுதுக, (ஆக. 63).
42, ఫీ - =5 என்னும் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து
2கமது விடையை மூன்று தசம இடங்களுக்குத் திருத்தமாகத்
திருக (யூலை 55) .2x = 0 எனும் *மன்பாட்டைத் திருப்தி செய்யும் سے 4 ش3 • 43 *இன் பெறுமானங்கஆள எழுதுக. (யூலை 62)
44. செய்கை வழி ஏதும் இன்றி (x-234 (2-x)= 0 எனும் சிடின்பாட்டின் ஒரு மூலத்தை எழுதுக

151
பின்வருவன மூலங்களாக உள்ள சமன்பாடுகண் அமைக்குக:-
45. 2, 3 46, - . , 5. 47, -- 23-س- و
43. 3
. . . . 49 , , 50. ..»
அத்தியாயம் 12
இருபடிச் சமன்பாடுகளில் உத்திக் கணக்குகள்.
இருபடிச் சமன்பாடுகளை அமைத்து உத்திக் கணக்குகளைத் தீர்க்கும் முறைகளைப் பின்வரும் உதாரணங்கள் எடுத்துக் காட்டு கின்றன.
உதாரணம் : இரு எண்களின் கூட்டுத் தொகை 21 ஆகும் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 221 ஆகும். அவ் வெண்கள் எவை?
ஒரு எண்ணை x எனவும் மற்றதை 21-x என வுங் கொள்க அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை = x2+ (21-x)? விணுவின்படி, x2 + (21 - x)2 221 =یی 221 مئی 42x + x2 ہے۔ 441 + x2
() یا 221 ۔۔۔ 441 -ہ۔ م2x2 --- 442.X
..'. 2x - 42x - 220 三 0
... x - 21 x + 10 ா 0 (2ஆல் வகுத்தால்)
(χ -- )) } x 10 ---۔) ... O
x - அல்லது 10
* = 11 ஆணுல் மற்ற எண் 10 ஆகும். X = 10 ஆணுல் மற்ற எண் 11 ஆகும்.
x இன் இரண்டு பெறுமானங்களையும் எடுத்துக் கொள்வதால் அதே இரு எண்கள்தான் பெறப்படுகின்றன.
.. எண்கள் 11ம் 10ம் ஆகும். உதாரணம் 2 இரு எண்களின் பெருக்கம் 12 ஆகும். அவற்றின் வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் 32 ஆகும். எண்களைக் காண்க.


Page 80
152 ஒரு எண்ணை x எனக் கொள்க.
Tr ... i2. 4م" மற்ற எண் ஆகும்.
'ʻ. ʻ vy::ʼ0 . Ys 4 . . M . x hr 2 W. அவற்றின் வ்ர்க்கங்களின் வித்திவர்சம்:x?- (导)
44 = x2 -(-g
;44 ༤ விவிைன் 2 -- 三3
குவினபடி, X - 2
... x - 144 2 و32 ميني (x? ஆற் பெறுக்குவதால்) 0 = 144 سف. 2 32x نس هاية ". 0 == (4 + * 2)(36-سس۔x2} .". *+4 என்பதில் இரண்டு உறுப்புகளும் வர்க்கங்களான :படியால் அது பூச்சியத்திற்குச் சமம் ஆகாது.
.. x2-36 - 0 . 2-36 x = ±6
x = 6 ஆயிருக்கும்பொழுது மற்ற எண--அதாவது+2 ஆகும்.
x = -6 ஆயிருக்கும் பொழுதுமற்ற எண் த் அதாவது-2ஆகும்.
.. எண்கள் 6. 2 அல்லது-6, --2 س ஆகும்.
உதாரணம் 3. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு 320 சதுர யார்களா கும். அதன் சுற்றளவு 72 யார்களாகும். இருபடிச் சமன்பாடு ஒன்றைத் தீர்ப்பதால், அதன் நீளத்தையும் அகலத்தையும் காண்க.
நீளத்தை x யார்களெனக் கொள்க,
நீளம் + அகலம்= சுற்றளவின் அரைப் பங்கு - 4 x 72 யார் = 36 (auri
", அகலம் - (36-x) யார்.
ஃ பரப்பு =3 (36-x) சது. பார்.

153
வினுவின்படி κ(36- κ) =320,
-- 36x-ز سسx2 0 = 320 سه .. * - 36x+320 = 0 (-1 ஆல் பெருக்குவதால்
|- (x-20) (x-16) = 0 ஃ x = 20 அல்லது 16 .. நீளம் 20 யார் அகலம் 16 யார்.
(x = 16 என்னும் பெறுமானத்தை எடுத்தால் நீளம் 16 யார் களாகும். அகலம் (36 - 16) யார்களாகும். அதாவது 20 யார்கள். எனவே பக்கங்கள் 20 யார். 16 யார். என்னும் அதே அளவுகளை உடையனவாயிருக்கும்).
உதாரணம் 4 : ஒரு புகையிரதக் கம்பெனி தனது ஊழியர்கட் கிடையே 100,000 பவுஜனக் கிழமைச் சம்பளமாகப் பங்கிடுகிறது. யுத்தங் காரணமாக 2000 ஊழியர் விலக, எஞ்சியோரின் கிழமைச் சம்பளம் ஆளுக்கு 10 சிலின் வீதம் கூட்டப்படுகிறது. அதனல் கிழமைச் சம்பளமாகப் பங்கிடப்படும் தொகை 120,000 பவுன் களாக அதிகரிக்கிறது. யுத்தத்தின் முன்னர் வேலைக்கமர்த்தப் பட்ட ஊழியரின் தொகையையும், அவர்களின் சராசரி சம்பளத் தையுங் காண்க,
ஊழியரின் சராசரிச் சம்பளத்தைக் கிழமைக்கு 2 பவுன் -எனக் கொள்க.
ஃ யுத்தத்தின் முன்னர் வேலைக்கமர்த்தப்பட்டோரின் :எண்ணிக்கை, く
100,000
-------
கிழமைக்கு 10 சிலின் அதிகரித்தபின், ஊழியரின் சராசரிக்
கிழமைச் சம்பளம்
(3.
= x + பவுன் சம்பளம் அதிகரிப்பின் பின் வேலேயிலிருந்த ஊழியர் தொகை
- 120 000 a.
x十器 இப்பொழுது 2000 பேர் குறைந்துள்ளபடியால்
120,000 - 000و100
st-= 2,000


Page 81
154
'. 100,000 ( x + i ) - 120,000 z = 2000 x ( x + )
... 100 ( x -- ) - 120x s: 2.x (x + . )
11000 ஆல் வகுப்பதால் 100 x + 50 - 120 x e 2x2 + x
o -20°-21x + 50 = 0 (இடம் மாற்றுவதால்)
'' 2x + 21x - 50 - 0 (-1 ஆல் பெருக்குவதால்)
2x+25x-4 - 50 = 0 (21 xg + 25x -4x
எனப்பிரித்து எழுவதால் ) 0 ی= { 25 + مو2) 2---(25 -4- x(2x ."• -. )2x + 25( )0 جن ز2 . بر .. x = 2 அல்லது - - 12
". சராசரி கிழமைச் சம்பளம் -2 பவுன் ஃ யுத்தத்தின் முன்னர் வேலையிலமர்த்தப்பட்டோர்
100,000
*= 50,000 பேர்.
உதாரணம் 5: செவ்வகம் ABCD யில், AB யானது AD யிலும் 4 அங். கூடியது. Bயிலிருந்து 2 அங். தூரத்தில், AB யில் P ஒரு புள்ளியாகும். மயிலிருந்து 3 அங். தூரத்தில், ADயில் 2 ஒரு புள்ளியாகும். முக்கோணம் PAQ வின் பரப்பு, செவ்வகத்
தின் பரப்பின் 4 பங்கானல் ABயையும் ADயையும் காண்க.
(ஆக. 58)
D C ADயின் நீளத்தை x அங். எனக் கொள்க х-+- 4 ஃ ABயின் நீளம் - (x+4) அங்.
3
AP = AB -- PB = (x + 4) syfál. -- 2 sy tân. O X
*er) ா (x+2) அங். 、
40 = AD - OD = x. Sål. –3 gå.
r=
C
>C
al
3)
s
× A9 (x-2) (x-3)
APAgவின் பரப்பு = Af 2 சது. அங்.

155
ஆனல் APA2வின் பரப்பு = செவ்வகத்தின் வாப்பு + பங்கு
ዶ s =