Page 1
கேத்திர
இரண்டாம்
BOOK
இப் புத்த இலங்கை வித்தியாபகுதிய சபையினரால் இலங்:ை லும், கல்லூரிகளிலும் உட தென 30-7-53இல் அங்கீ
தம்பரப்பிள்ளை,
 
 
 

புத்தகம்
Ν TAMΙΙ,
LLLG G SASMMMSSMM SSS AAASS AASASASAAAA
பின் வித்தியாபிரசுர கப் பாடசாலைகளி பயோகிக்கத் தகுந்த கரிக்கப்பட்டுள்ளது:
B. A., B.Sc. (LoND)
விலை : ரூ. 2-30 =

Page 2


Page 3

கேத்திர கணிதம்
. --searwawaaA AMaa. --
(இரண்டாம் புத்தகம்)
ஆக்கியோன் : J. gig, LDL JULILSoir abiT, B. A., B.Sc. (Lond.)
(பரமேஸ்வரக் கல்லூரி)
சுன்னுகம் : வட- இலங்கைத் தமிழ்நூற் பதிப்பகம்
1954

Page 4
முதற் பதிப்பு - 1954
திருமகள் அழுத்தகம், சுன்னுகம்
f Copyright Reserved

பொருளடக்கம்
மூன்ரும் பாகம் - முறையான கேத்திர கணிதம்
அதிகாரம் 39.
40.
41,
42.
43.
44.
45。
46
47.
(ii) LI jr uñ 1 1
பரப்பு - குத் 15, 18, 47
அப்பியாசம் 48 (i) - வரைதல் அப்பியாசம் 48 (ii) - நிறுவுதல் பிதாகரரின் குத்திரம் - சூத் 18, 19 அப்பியாசம் 47 (i) - கணித்தல் அப்பியாசம் 47 (ii) -நிறுவுதல் பிதாகரரின் குத்திர விரிவுகள் -
குத். 20, 21, 23 அப்பியாசம் 48 (i) - கணித்தல் அப்பியாசம் 48 (ii) - நிறுவுதல் நீள்சதுரங்களும் சற்சதுரங்களும் JayÜ Gaunts fib 49 a ß°ulöÄo 9jiʼu9`u uT dg-É) gS6ír (XII — XV) (iii) வட்டங்கள் 15ாண்கள் - குத். 23, 24
அப்பியாசம் 50 (i) - வரைதல் அப்பியாசம் 50 (ii) - கணித்தல் அப்பியாசம் 50 (iii) - நிறுவுதல் காண்கள் (தொடர்ச்சி) - குத். 25 அப்பியாசம் 51 (i) - வரைதல் அப்பியாசம் 51 (ii) - கணித்தல் அப்பியாசம் 51 (iii) - கிறுவுதல் வில்லேந்தும் கோணங்கள் -
குத், 28, 27 அப்பியாசம் 52 (1) - வரைதல் அப்பியாசம் 52 (ii) - கணித்தல் அப்பியாசம் 52 (iii) - நிறுவுதல் வட்டகாற்புயங்கள் - சூத், 28, 29
அப்பியாசம் 53 (4) - கணித்தல் அப்பியாசம் 58 (ii) - நிறுவுதல் தொடுவரைகள் - குத், 30, 31 . அப்பியாசம் 54 (1) - வரைதல் அப்பியாசம் 54 (ii) - கணித்தல் அப்பியாசம் 54 (iii) - சிறுவுதல்
பக்கம் 359 ኃ68 322 276 880 282
285 290 290 292 294 295
301 310 312 314 3.18 3, 1 322 ፵፰4
82? 336 837 389 843 347 350 354 364 365 867

Page 5
48.
49.
50.
51,
52.
53。
54.
55.,
56.
1W தொடுவரைகளும் வெட்டுவரைகளும் பக்கம்
-குத், 32 . 369 அப்பியாசம் 55 (1) - வரைதல் 3?3 அப்பியாசம் 55 (ii) - கணித்தல் 374 அப்பியாசம் 55 (iii) - நிறுவுதல் 8ሯ'5 உள்வட்டங்களும் வெளி வட்டங்களும் 377 அப்பியாசம் 58 (i) - வரைதல் 383 அப்பியாசம் 58 (ii) - சிறுவுதல் 884 . பொதுத் தொடுவரைகள் O ( 386 அப்பியாசம் 57 (1) - வரைதல் 391 அப்பியாசம் 57 (ii) - கணித்தல் 392 அப்பியாசம் 57 (iii) - நிறுவுதல் 394
தொடுவட்டங்கள் - சூத், 33 . 395 அப்பியாசம் 58 (i) - வரைதல் 398 அப்பியாசம் 58 (ii) - சிறுவுதல் 400 அயற்கண்டங்கள் - குத் 34 . 402 அப்பியாசம் 59 (i) - வரைதம் 406
அப்பியாசம் 59 ti) - கணித்தல் 407 அப்பியாசம் 59 (iii) - நிறுவுதல் 408 éLäo 9° 315 Élassi (XVII-XXIII) 418
(iv) வடிவொத்த முக்கோணிகள் வீதமும் வீதப் பொருத்தமும் . 421 அப்பியாசம் 0ே (i) - கணித்தல் 424 அப்பியாசம் 60 ii) - நிறுவுதல் 425 முக்கோணிகளில் வீதப்பொருத்தமுள்ள
பகுதிகள் - குத், 35, 88 427 அப்பியாசம் 1ே (i) - வரைதல் 435 அப்பியாசம் 81 ti) - நிறுவுதல் 437 வடிவொத்த முக்கோணிகள் -
குத், 37, 38, 39 441 அப்பியாசம் 82 (i) - வரைதல் 450 அப்பியாசம் 62 (ii - கணித்தல் 451 அப்பியாசம் 62 (iii) - நிறுவுதல் 453 வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பு -
சூத். 40 .. 457 அப்பியாசம் 68 (1) - கணித்தல் 458 அப்பியாசம் 8ே (ii) - நிறுவுதல் 459 மீட்டல் அப்பியாசங்கள் (XXIV-XXVII) 480
kawasaysa

முகவுரை
திமிழிலே கேத்திர கணிதத்தைக் கற்றுக்கொள்ள ஏற்ற பாடப் புக்ககம் இல்லாமையை வித்தியா பகுதியார் உணர்ந்து அக்குறையை நிவர்த்தி செய்ய எடுத்த முயற்சியின் விளேவே இந்நூலாகும். இது கேத்திர கணித பாடத்தை ஆரம்பத்திலிருந்து சிரேஷ்ட பாடசாலை வகுப்புகள் ஈருகப் படித்தற்கு ஏற்றதாக இயற்றப்பட்டிருக்கிறது.
இக் நூல் மூன்று பெரும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப் பட்டுள்ளது. கேத்திர கணித விஷயங்களைச் செவ் வனே விளங்கிக்கொள்வதற்கு அடிப்படையாகச் சில கருத்துக்கள் தேவை. கோணங்களைப்பற்றிய உண்மை களைப் படிப்பதற்கு முன். கோணத்தின் தன் மையை மனதிற் கிரகித்துக்கொள்ளுதல் வேண்டும். சமாந்தர வரைகள், செங்குத்து வரைகள், படுக்கை முதலியனவும் இவ்வாறே. இத்தகைய ஆதாரமான கருத்துக்களைப் பெறச் செய்வதே இக்நூலின் முதற் பாகத்தின் நோக்கமாகும்.
இரண்டாம் பாகத்திலே இலகுவான சில கேத்திர கணித உண்மைகள் செய்கை முறையாக அறிவுறுத் தப்படுகின்றன. ஒரு முக்கோணியின் மூன்று கோணங் களும் சேர்ந்து இரு செங்கோணங்களுக்குச் சம மென்பது பல முக்கோணங்களைக் கீறிக் கோணங்களை அளந்து அறியப்படுகிறது. முக்கோணிகளின் சமத் துவம் துவிசமடிய முக்கோணிகளின் பண்புகள் முதலி யனவும் இவ்வாறே செய்கை முறையில் ஆராயப்படு கின்றன.

Page 6
vi
கேத்திரகணித ரீதியிலே விஷயங்களே முறையாக ஆராய்வது மூன்றும் பாகமாகும், சூத்திரங்களும், உள்ளுறைகளும், குத்திரங்களேத் தழுவிய ஆக்கங் களும் இப்பாகத்திற் படிமுறையாக வரும்.
முதல் ஆண்டில் முதற்பாகத்தோடு இரண்டாம் பாகத்தில் ஒரு பகுதியும், இரண்டாம் ஆண்டில் இரண்டாம் பாகத்தில் எஞ்சிய பகுதிகளும், முன்ரும் பாகத்திலிருந்து இலகுவான சில குத்திரங்களும் எடுத்துக்கொள்ளக் கூடியன. மூன்ரும், காலாம், ஐந்தாம் ஆண்டுகளில் முறையான கேத்திர கணிதப் படிப்பைப் பூர்த்தியாக்கலாம். இதற்கிணங்கவே இக் நூல் இரு புத்தகங்களாக வெளியிடப்படுகிறது. ஏறக்குறைய முதலிரண்டு ஆண்டுகளிலும் முடிக்கக் கூடிய விஷயங்கள் முதற் புத்தகமாகவும் எஞ்சியன இரண்டாம் புத்தகமாகவும் வெளியிடப்படுகின்றன.
இந் நூலில் ஆங்காங்கு போதியளவு அப்பி யாசங்கள் பயிற்சிக்காகக் கொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன. விசேஷமாக மூன்ரும் பாகத்திலே வரும் அப்பியாசங் கள் கணித்தல், வரைதல், சிறுவுதல் எனப் பிரிக்கப் பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு பிரிவிலுமுள்ளவை மேலும் மூன்று பிரிவுகளாக்கப்பட்டுள்ளன. முதல் வருவன வெகு இலகுவானவை அடுத்துவரும் ஒரு கட்சத் நிர (*) அடையாள முடையன சற்றே கடினமானவை: இறுதியாக வரும் இரு கட்சத்திர (**) அடையாள முடையன கூடிய கடினமானவை. இதை ஆசிரியரும் மாணவரும் பயன்படுத்திக் கொள்ளுதல் வேண்டும்.
கேத்திர கணித நூலொன்றை முதன் முதலாகத் தமிழில் எழுதும்போது ஏற்ற பரிபாஷைச் சொற்க ஆளத் தொகுத்துக்கொள்வது இலகுவான காரியமன்று

vii
ஓரளவு சொற்கள் தமிழ் வழக்கில் இருக்கின்றன. ஆயினும் அவை யாவும் அப்படியே உபயோகிக்கக் கூடியனவாகக் காணப்படவில்லை. உதாரணமாக, தாட்டாந்தம் என வழங்கும் சொல் குறிக்கும் பொருளுக்கு சூத்திரம் ? என்பதே ஏற்ற சொல் லெனக் கொள்ளப்படுகிறது. மூன்று கோணங்களை யுடைய வடிவத்துக்கு "முக்கோணம்' என்பதிலும் பார்க்க முக்கோணி என்பதே பொருத்தமானது. எனவே, கூடியமட்டும் வழக்கிலுள்ள சொற்களேயே உபயோகித்து, அவசியமெனக் காணப்பட்ட சிற் சில இடங்களிலே அவை தமிழ் மரபுக்கும் கருத்து அமைவுக்கும் ஏற்பத் திரித்தும் புதுப்பித்தும் அமைக் கப்பட்டிருக்கின்றன. சில இடங்களில் வழக்கிலில்லாத புதிய சொற்கள் தேவைப்பட்டன. அவ்விடங்களிற் கலைச்சொற்கள் ' என்னும் தென்னிந்திய வெளி யீட்டிலிருந்து பொருத்தமான சில எடுக்கப்பட்டன. வேறு சில, உள்ளுறை, படுக்கை முதலியன புதி தாகவே உபயோகிக்கப்படுகின்றன. இம் மாற்றங் களேயும் ஆக்கங்களையும் தமிழுலகு அங்கீகரிக்கும் என கம்பப்படுகிறது.
நெடுநாள் கேத்திர கணிதம் படிப்பித்து அநுப வம் வாய்ந்தவர்களும் எனது நண்பர்களுமாகிய அள வெட்டி ஆங்கில வித்தியாசாலைத் தலைமை ஆசிரியர் திரு. ச. சிதம்பரப்பிள்ளை அவர்களும், பரமேஸ்வரக் கல்லூரி ஆசிரியர் திரு. தி. செல்வத்துரை அவர்களும் தாங்கள் தேடிக் கிரமப்படுத்தி வைத்திருந்த அப்பி யாசங்கள் அனைத்தையும் எனக்குக் கொடுத்துதவிய பெரு நன்றிக்கு கான் மிகவும் கடமைப்பட்டுள்ளேன். இந்நூலே எழுதும்போது ஏற்பட்ட பாஷைக் கஷ்டங்க ள இனத்துக்கும் அருந்துணேயாக இருந்த பண்டிதர் இ. காசிநாதர் அவர்களுடைய நன்றி மறக்கற்பால

Page 7
Viii
தன்று. இந்நூலைச் சிறப்பாக அச்சேற்றிய திருமகள்
அச்சு நிலையத்து அதிபர் அவர்களுக்கும் எனது நன்றி உரியது.
நூஆல உபயோகிப்போர் அதிம் பிழைகளெனக் காண்பனவற்றை எடுத்துக் காட்டின் பெரிதும் பாராட்டப்படும்.
யாழ்ப்பாணம்
பரமேஸ்வரக் கல்லூரி
ச. சிதம்பரப்பிள்ளை &一&一49,
滋 露 تھ

மூன்ரும் பாகம்
முறையான கேத்திர கணிதம்
(ii) Lu ru'i u!
7

Page 8

39. பரப்பு
மீள் சதுரமொன்றின் பரப்பு = நீளம் X அக லம் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். இனி, பிறவடிவங்களின் பரப்புகள் ஆராயப்படும். முதலில் சமாந்தர சதுர்ப்புயங்களின் பரப்பு.
இவை, ஒரே பீடத்தி லுள்ள சமாந்தர
சதுர்ப்புயங்கள்.
இவை, ஒரே
ச மா க் த ர வரை களுக் கிடையிலுள்
of 60
இவை ஒரே பீடத் திலும் ஒரே சமாங் தர வரைகளுக் கிடையிலு முள்
ଗt ଘt.
அடுத்த சூத்திரம் ஒரே பீடத்திலும் ஒரே சமாந்தர வரைகளுக் கிடையிலுமுள்ள சமாக் தர சதுர்ப்புயங்களேப் பற்றியது.

Page 9
260 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 15 S2. பொதுவிலக்கணம் - ஒரே பீடத்திலும் ஒரே சமாந்தர வரைகளுக் கிடையிலுமுள்ள சமாந்தர சதுர்ப்புயங்கள் பரப்பில் சம மாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு ABCD, ABEF இரண்
ம் ஒரே பீடத்திலும் (AB) ஒரே சமாந்தர
வரைகளுக் கிடையிலும் (AB, FC) உள்ள இரு ட் ஸ்.
 
 

பரப்பு 461
(3G6ir auf -/L7A B C D = ZL7A BEF su u tudio)
என்பது. fd6 1630th – A Gir ADF, BCE gìg sót lạ-9)ử
AF = BE (ABEF A 7) {Á့့်် (ABCDA 7)
L FAID = L EBC ( AF || BE; AD 1 BC) , A 677 ë இனி, வடிவம் ABCF முழுவதிலுமிருந்து A ADF ar(Bull 67 (d5 favy A7 ABCD: A BCE , M7 ABIEF
Z7 ABCD = Z7ABEF
எனறவாறு . . S3. உள்ளுறை - (1) ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புய மும், அதன் பீடத்தில் அதன் சமாந்தர வரை களுக் கிடையிலுள்ள மீள் சதுரமும் பரப்பிற்
சமமாகும்.
P * 一与一ーー ^7ABCD =t 156it
of Spy lub ABEF
= AB X BE = பீடம் x உயரம்.
A. - B
ti) சம நீளமுள்ள பீடங்களிலே சம உயரமுள்ள சமாந்தர சதுர்ப்புயங்கள் பரப்பில் சமமானவை. S4. இச் குத்திரத்தின் மறுதலே, அதாவது ஒரே பீடத்திலுள்ள இரு சமாாதர சதுாபபுயங்கள பரப்பிற் சமமாயின் அவையிரண்டும் ஒரே சமாந்தர வரைகளுக் குட்பட்டனவாகும் என்
பதும் உண்மையே. இதை நிரூபியுங்கள்.

Page 10
262 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 16 S5
பொதுவிலக்கணம் - ஒரே பீடத்திலும் ஒரே N/ சாமாந்தர வரைகளுக்கிடையிலுமுள்ள முக்கோணிகள் பரப்பிற் சமமாதல்
வேண்டும்.
A Ꭰ ཇང་ལྔ་ AAAS S qqqqSqS S MqeqMS S S qAA AAMqMqMAMSMMMMAeMMSLLLLLL SLMSMqSqSqiLSMSMMMqSCMSMSTS LL SMS S qqSSCSSLS SS SSLSLS SLS 7Y
~
/ א S
- S.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC, DBC இரண்டு
Aoir. AD BC. ← Gös 6ir af? - A ABC = ADBC (Lurd'hu 9)
என்பது.
19}bh stí - Z -ZACBXag rith 47DBCYouth
கீறுக. *
| ht 600 - A ACB = ; //ACBX(ABA&valvator) A DBC=3/7DBCY(DC , ) sg69đồ, Z_ZACBX = Z_ZDBCY
(ஒரே பீடம் , ஒரே உயரம்) '. A ACB = A DBC
என்றவாறு. S6. (1) ஒரு முக்கோணி அதே பீடத்தில் அதே சமாக் தர வரைகளுக்கிடையிலுள்ள சமாந்தர சதுர்ப் புயத்தில் (நீள்சதுரத்திலும்) பாதியாகும்.
 

பரப்பு 263
AABC = fair Flp Li BCYX = 3 x பீடம் x உயரம்.
B
star Gay, A ABCuoir Lip Lyce X BC x AD. (ii) சமபீடங்களிலே சமஉயரமுள்ள முக்கோணி
கள் பரப்பில் சமமாகும், உதாரணமாக -
ABC FOU À . AX b (B96A163DT. A Gir ABX, ACX இரண்டிலும் Li BX = L 97u tib CX. உயரம் ADபொது
. A ABX = A ACX. S7 அடுத்த சூத்திரம் டிெ சூத்திரத்தின் மறுதல்,

Page 11
264 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 17 பொதுவிலக்கணம் - ஒரே பீடத்தில் ஒரே பக் கத்திலுள்ள இரு முக்கோணிகள் பரப் பிற் சமமாயின் அவற்றின் உச்சிகளைத் தொடுக்கும் நேர்வரை பீடத்துக்குச் சமாந்தரமாதல் வேண்டும்.
spüia)š43) ib - 5goj - ABC, DBC 205 Asi.
A ABC = ADBC. (3ssir sá - AD | BC er 6ðrL1 S. 55th - AD, BC gu Giróth சமாந்தரமில்லை யாயின் BCக்குச் சமாந்தரமாக AEயைக் கீறுக. அது BDயை Eயில் வெட்டட்டும். CEஇணைக் கப்படட்டும். Basualit - a ABC = a DBC (su ay)
A ABC = A EBC (AE || BC) '. A DBC = A BBC முழுவதும் ஒரு பகுதிக்குச் சமமாதல் பொருக் தாது.
. E, D இரண்டும் ஒன்ருதல் வேண்டும். as raig, AD 1 BC.
என்றவாறு,
 

S8.
S 9,
(i)
பரப்பு 265
இச்சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்ட முறையைப் பாருங்கள். AD, BC இரண்டும் சமாந்தர மெனக் காட்டுவதற்கு அவை சமாந்தர மல்லா திருத்தல் பொருந்தா தென்பது காட்டப்படு கிறது. இவ்வாறு ஒன்றை நேரே நிரூபிப்ப தற்குப் பதிலாக, அது ஒழிந்தன (சேடம்) பொருந்தாமை காட்டி அதன் உண்மை நிலை நாட்டப்படும் முறை பாரிசேட நியாயம் எனப்படும். x+y என்பதும், x{y என்பதும் காட்டப்பட் டால் r>y என்பது பாரிசேடத்தால் பெறப் படும். இம்முறை பெரும்பாலும் சூத்திரங்களின் மறு தலைகளே கிலேகாட்டுவதற்குப் பயன்படும்.
மூன்றுக்கு மேற்பட்ட புயங்கக்ாயுடைய வடிவங்களேச் சமபரப்புள்ள முக்கோணிக ளாக மாற்றிப் பரப்பை அறியலாம். முதலில் ஒரு நாற்புயவடிவத்தை எடுப்போம். ABCD 825 f5 Tb புய வடிவம்.
இதைச் சமபரப் புள்ள ஒரு முக் 35. זו נr 600h uח $, $) மாற்ற வேண் டும்.
ஒரு முக்கோணியைச் சமபரப்புள்ள வேருெரு முக்கோணியாக மாற்றுதல் கூடும்.

Page 12
266
முறையான கேத்திர கணிதம்
நாற்புய வடிவத்துக்குச் சமமான ஒரு முக் கோணி வரைவதெப்படி ?
நாற்புய வடிவத்தை முக்கோணிகளாகப் பிரிக் கலாம். மூலைவரை யொன்றைக் கீற இரு முக் கோணிகள் வரும். இவை இரண்டும் சேர்ந்து காற்புய வடிவமாகின்றன. இவற்றுள் ஒன்றிற் குப் பதிலாக இன்னென்றை மற்றையதனேடு சேர்க்க முக்கோணி வருமா என்பதைப் பார்ப் போம். A ADCயை எவ்வாறு மாற்றினல் அது A ABCயுடன் சேர்க் து முழுவதும் முக் கோணியாகும்? A ADCயின் உச்சியாகிய Dயை BCEயில் விழச்செய்தால் இது கைகூடும். அதாவது, அம் முக்கோணி ACX ஆயின்,
A ABC + A ACX = A ABX-gg5b. Qairar v Gotinu ph(Burs Asir ADC, AXC இரண்டையும் சமமாகச் செய்தல் வேண்டும். g)(@snug- ? DX || AC. ஆகவே, மூலேவரை கீறவரும் இரு முக்கோணி களுள் ஒன்றைச் சமபரப்புள்ளதாகவும், மற் றையதனேடு சேர்க்க முக்கோணி வரக்கூடிய தாகவும் மாற்றவேண்டும்.
 

பரப்பு 267
(ii) ஐம்புய வடிவமாயின், முன்போல முதல் அதை நாற்புய வடிவமாக்கிப் பின் முக்கோணியாக்க லாம். இதைப் பின்வரும் படத்திலிருந்து விளங்கிக்கொள்க. ABCDE ஐம்புயவடிவம்; DXY சமபரப்புள்ள முக்கோணி.
$10. முக்கோணி யல்லாத வடிவங்களை முக்கோணிக
ளாகப் பிரித்தும் பரப்பைக் கணிக்கலாம்.
(i) ABCD = A ABD-+-
A BDC = 2 x BDX AY -+- 2 X BD X CX == BD (AY--CX)
然 В
(ii) ஒரு நாற்புய வடிவத்திலே ஒரு சோடி புயங்கள் சமமாயின் பரப்புக் காண்பதற்குச் சிறப்பான
ஒரு வழி உண்டு.

Page 13
268
முறையான கேத்திர கணிதம்
ABCD குறித்த வடிவமாயின் அதேயளவான வேருெரு வடிவத்தைத் தலைகீழாகப் பக்கத்தே வைத்தால் ஒருசமாந்தர சதுர்ப்புயம் பிறக்கும். சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் பரப்பு = (a+b)
X 2 ty. . ABCDயின் பரப்பு - (a+b) x உயரம். அதாவது, (சமாந்தரவரைகளின் கூட்டுத் தொகையிற் பாதி) x (சமாந்தரவரைகளின் இடைத்தூரம்.)
அப்பியாசம் - 46 (i) வரைதல்
சமாந்தர சதுர்ப்புயங்கள்
. ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். AB = 37
BC -ன2"; /B=50°. வடிவத்தை வரைக்து அதன்
பரப்பைக் காண்க.
2. இரண்டு புயங்கள் முறையே 257, 3.57
நீளமுள்ளதும் ஒரு கோணம் 140" உள்ளது மான ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம் கீறி அதன் பரப்பைக் காண்க.
3. சமபுயங்களேயுடைய ஒரு சமாந்தச சதுர்ப்புயத்
தின் ஒரு புயம் 80 அடி. அதன் மூலைவரை யொன்று 30 அடி வடிவத்தைக் கீறி அதன் பரப்பை அறிக.
 

* 5.
* 7,
*8。
*9。
பரப்பு 269
. ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் மூலைவரைகள்
முறையே 37, 4. மூலைவரைகளுக்கு இடைப் பட்ட கோணமொன்று 55°. வடிவத்தை வரைந்து அதன் பரப்பை அறிக.
8 தூரத்திலுள்ள இரு சமாக்தர வரைகள் 2" தூரத்திலுள்ள வேறிரு சமாந்தரவரைகளே வெட்டுகின்றன. ஒரு கோணம் 50° நாலு வரைகளாலும் ஆக்கப்படும் வடிவத்தின் பரப்பைக் காண்க. ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் பரப்பு=? ச.அங், பீடம் - 35 அங். ; ஒருமூலைவரை = 28" சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தைக் கீறி அதன் மற் றைய மூலைவரையின் நீளத்தை அறிக.
இரண்டு புயங்கள் முறையே 2த்", 137 மீள முள்ளதும், ஒரு கோணம் இன்னெரு கோணத் திலும் மூன்றி லிரண்டுபங்குள்ளதுமான ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம் கீறி, அதே பரப்புள் ளதும் இரண்டு புயங்கள் முறையே 2" 37 நீளமுள்ளதுமான ஒரு முக்கோணி கீறுக.
இரண்டு புயங்கள் முறையே 27, 4" நீள முள்ளதும், சிறிய புயத்திலுள்ள சற்சதுரத் தின் பரப்புக்குச் சமமானதுமான ஒரு சமார் தர சதுர்ப்புயம் கீறுக. சமார்தர சதுர்ப்புயத் தின் கர்ங்கோணம் எத்தனே பாகை ?
ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் பீடம்=2"; பரப்பு = 9 ச. அங். உயர மென்ன? ஒரு கோணம் 50° உடையதாக வடிவத்தைக் கீறுக. அதே பீடத்தில் அதே பரப்புள்ள ஒரு சாய் சதுரம் கீறி அதன் கூர்ங்கோணத்தை அறிக.

Page 14
270
10.
11.
13.
13.
14.
முறையான கேத்திர கணிதம்
8 ச. அங். பரப்புடையதும் புயங்கள் ஒவ் வொன்றும் 32" நீளமுள்ளதுமான ஒரு சாய்சதுரம் கிறி அதன் நீண்ட மூலைவரையின் நீளத்தை அறிக.
முக்கோணிகள் ABC Fe gyp i G3s TGOofii. AB = 3", BC = 36”, CA= 29". உச்சியிலிருந்து பீடத்துக்குச்
செங்குத்து வரைக. முக்கோணியின் பரப் பென்ன ? முந்திய முக்கோணியைக் கீறுக. பீடத்தின் ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர்ப்புயத்துக்குச் செங் குத்துக் கீறுக. முக்கோணியின் பரப்பென்ன ? 2' மீளமுள்ள பீடத்திலே பீடகோணமொன்று 68° உடைய துவிசம புய முக்கோணி யொன்று கீறுக. அதே பீடத்தில் இருமடங்கு பரப்புள்ள வேருெரு துவிசமயுய முக்கோணி கீறுக. அதன் பீடகோணங்கள் எத்தனை பாகை ?
இரண்டு புயங்கள் முறையே 6 செ. மீ, 5 செ. மீ. நீளமுள்ளதும் இடைக்கோணம்,
100° உடையதுமான ஒரு முக்கோணி கீறுக.
15.
அதே பீடத்தில் அதே பரப்புடையதும் பீட கோணமொன்று 0ே° உடையதுமான முக் கோணி யொன்று கீறுக. முக்கோணியின் குறு கிய புயத்தின் நீளமென்ன?
2)" நீளமுள்ள பீடத்திலே சமபுயங்கள் 3' நீளமுள்ள துவிசமயுய முக்கோணி யொன்று
கீறுக. அதே பீடத்தில் பீடகோணமொன்று
60° உடையதும் பரப்பு மும்மடங்கானதுமான சமாந்தர சதுர்ப்புயம் கீறுக. மூலைவரைகளின் நீள மென்ன?

16.
17.
18.
19.
30.
31.
23.
ւ Մւնւց 27.
ஒரு முக்கோணியின் பரப்பு = 35 ச. அங் இரண்டு புயங்கள் முறையே 25", 45" முக்கோணியைக் கீறி அதன் மிகப் பெரிய கோணத்தை அளவுங்கள்.
பல்கோணிகள்
ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம் AB=2-2", BC = 1.5', AD = 1'. LA = 100', LB = 64, காற்புய வடிவத்துக்குச் சமமான பரப்புள்ள முக்கோணி கீறி அதன் பரப்பைக் காண்க.
ABCD ஒரு காற்புய வடிவம். BD = 3:5** LADB=65, LDBA = 40", LCBD=30e, LBDC=80°. சமபரப்புள்ள முக்கோணி கீறி காற்புய வடிவத்தின் பரப்பைக் காண்க,
ABCD 65 GJ/uudão. AB = 348 uurir ; BC = 200 unti; CD = 190 unti; LB = 92; LC = 110° வயலின் பட்மொன்று கீறி அதன் பரப்பை (ஏக்கரில்) காண்க.
3" புயங்களேயுடைய ஒழுங்கான பல்கோணி யொன்று கிறி அதைச் சமபரப்புள்ள முக் கோணியாக மாற்றுக.
பிற
புயங்கள் ஒவ்வொன்றும் .89' மீளமுள்ள தும் ஒருகோணம் 60° உடையதுமான ஒரு சாய் சதுரம் கீறி அதன் பரப்பைக் காண்க.
ABCD ஒரு காற்புய வடிவம். AB || DC. AB = 4*8“, DC = 3“, AD = BC = 2-6“ autų வத்தைக் கீறி அதன் பரப்பை அறிக.

Page 15
272
3. ABC, DBC g)prost Gub
8. ABC ஒரு துவிசம
1. ABC so a BC
முறையான கேத்திர கணிதம்
அப்பியாசம்-48 (ii) நிறுவுதல்
குச் சமாந்தரமான ஒரு கேர் வரை ABயை Xஇலும் AC60)uLu Yu96ytib வெட்டுகிறது. A ன் XBC, YBC gor Gior டும் சமபரப்புடை யனஎனக்காட்டுக. A sir ABY, ACX (3) 6oor(5i சமபரப்புடை பன எனவும் காட்டுக.
3.
ஒரே பாதத்தின் எதிர்ப் பக்கங்களிலுள்ள சம பரப்புடைய இரு முக் Gd5 roofs air. AD. BC இரண்டும் Eயில் வெட் g-G9ä, AE = EID Grør i
காட்டுக.
ւյսյ முக்கோணி. AB ac AC, BD LAC; CEL AB. ED | BC
எனக் காட்டுக.
4 ABC ஒரு A. AD நடு வரை. P அந் நடு
வரையிலுள்ள ஏதுமொரு புள்ளி. Aள் APR
 
 
 

0 7.
翻 8.
பரப்பு 273
APC இரண்டும் சமபரப்புடையன எனக் காட்டுக. ABCD ஒரு சற்சதுரம், மூலைவரை BDயில் E @(b q6ir Giff ; BE = BD. A AEB = 3, A CED ar607di 5 etu-GDé5.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். மூலேவரை ACயில் X ஒரு புள்ளி. அப் புள்ளிக் கூடாக ABக்கும் ADக்கும் சமாந்தரவரைகள் இறப் ul Gair 6T607. A 7EXMD = A7LXFB Grard
காட்டுக.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். BCயின் (5G E. AE, DC QT 6ör Güh fair (D FD) giš6á66rp607. A DEF = 3 Z 7ABCD stará காட்டுக.
ABC ஒரு A, BCக்குச் சமாந்தரமான ரேகை யொன்றை AB, AC இரண்டும் நீண்டு Dயிலும் Eugh fis gai86itpat. A ACD = A ABE எனக் காட்டுக. ABCD ஒரு சாய்சதுரம். AC, BD அதன் மூலை வரைகள். AC, BD இரண்டும் ஆக்கும் நீள் சதுரம் குறித்த சாய்சதுரத்திலும் இரு மடங்காகும் எனக் காட்டுக.
8

Page 16
274
* 10,
*11,
8 12,
* 18.,
is 14.
**15。
முறையான கேத்திர கணிதம்
ČAQ X R
PQR ஒரு A . QR இல் Xஒரு புள்ளி. QR இன் 15G D, DY i XP. காற்புயவடிவம் XYPR F A POR 67 ords asir Gs. தரப்பட்ட முக்கோணியொன்றுக்குச் சமமான சாய்சதுர மொன்றை எப்படி வரையலாம் ?
ABCD ஒரு 4-7. மூலைவரை ACயில் Eஒரு t yait6i. A ABE= a ADE sta di asrlGas.
ABCD ஒரு சமாக்தர சதுர்ப்புயம். Aக் கூடா கச் செல்லும் நேர்வரை யொன்று BCயை Qவிலும், DCயை (பேட்டியபின்) Puyuh சக்திக்கிறது. A BPQ =: A DCQ Greờrẻ காட்டுக. ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். அதில் BC ffilů uBÉGADS ERIGÐg uyuò ; CE=BC. AB, CD இரண்டும் வெட்டுமிடம் F. A ABF = 2 A CFE GT Gow iš stru "Qas. ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களின் நடுப் புள்ளிகளையும் இணைக்கவரும் முக்கோணி தாய் முக்கோணியிலும் பார்க்க காலிலொன் றெனக் காட்டுக.
 

米米 16,
** 17,
繫拳 18.
**19.
米料 20.
பரப்பு 275
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். AB மீட் t’u uG96GAo Oa uGDruyvid. BO = AB. AD, OC இரண்டும் மீண்டு Pயில் சக்திக்கின்றன. A PCD = A ACB GT6BW iš 5 ft G945.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம், AB, AD நீட்டப்பட வரும் வெளிக்கோணங்களின் சம வெட்டிகள் Cக்கூடாக BDக்குச் சமாந்தர மாகச் செல்லும் நேர்வரையை Eயிலும் Fஇ லும் சக்திக்கின்றன. BDFE சமாந்தர சதுர்ப் புயமெனக் காட்டி அதன் பரப்பு ABCDயின் பரப்புக்குச் சமமெனக் காட்டுக.
ABC ஒரு முக்கோணி, முக்கோணிக்குள் P ஒரு புள்ளி. A PAB+A PBC ஒரேயளவாய் இருப்பின் Pயின் படுக்கை யாது?
ABC ஒரு A. முக்கோணியின் நடுவரைகள் if is gaies L6-Lib I. A IAB = A IBC = A IAC எனக் காட்டுக. ஒரு முக்கோணியை ஒரு புயத்திலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் நேர்வரைகளால் மூன்று சமபங்குகளாகப் பிரிப்ப தெப்படி?

Page 17
40. பிதாகரரின் சூத்திரம்
சூத்திரம் 18 S1
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு செங்கோண முக் கோணியிலே கன்னத்திலுள்ள சற்சது ரம் மற்றைய இரு புயங்களிலுமுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாதல் வேண்டும்.
 

பிதாகரரின் குத்திரம் 277
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC ஒரு செங்கோண a ; AC s Gör GT is. ACPQ, BCL, M, ABXY புயங்களிலுள்ள சற்சதுரங்கள். Gasoir afi - ACPQ = BCL.M+ ABXY–
என்பது.
ஆக்கம் - செங்கோணத்திலிருந்து கன்னத்துக்குச் செங்குத்துக் கீறுக. அது ACயை Eயிலும், PQ60) aj F99yúb Gall". Llo-Gub. YC, B9 இணைக்கப்படட்டும்.
நிரூபணம் - Aள் BAQ, YAC இரண்டிலும்
* BA = YA (SF bFU Ü Lyuu iš 5 6ir) {နှံစို့ နှိုင် ( ) LBAQ= LVAC (6.6iQair6rpii) = QFrä(331600r b+ | BAC)
. A Gir = .
06. A BA9 = fair f surth AEFQ (ஒரே பீடம் AQ: ஒரே | வரைகள் AQ, EE)
A YAC = 3 சற்சதுரம் YABX (ஒரே பீடம் AY; 50Cr II algo)irs air AY, CX)
.r. AEFQ = ABXY. gai haur Gero, CEFP = BCLM. ACPQ=ABXY--BCLM و-لا-ماخانه
என்றவாறு.
$2. நேர்வரை ABயிலுள்ள சற்சதுரம் AB, AB அல்லது AB2 எனக் குறிக்கப்படுவதுண்டு. Graf Gaj, 0, 635597 b AB* +BC*= AC* என வரும்.

Page 18
278 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 19 S3.
பிதாகரரின் சூத்திரமறுதலை
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு முக்கோணியிலே இரு புயங்களிலுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட் டுத்தொகை மூன்ரும் புயத்திலுள்ள சற்சதுரத்துக்குச் சமமாயின், முதலிரு புயங்களுக்கு மிடையிலுள்ள கோணம் செங்கோணமாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - Apo ஒரு A , அதில்
AIB? --BC2 =ra AC2.
கேள்வி- LB=செங்கோணம்
என்பது. - ?), ji 3,ůb - BD 1 AB ; BD = Bc. AD இணைக்கப்
படட்டும். நிரூபணம் - ABD செங்கோண A. (ஆக்கம்)
... AB? -- BID o = ADo (L95 aras ir ii ) savoir aouyah, ABo -- Bc2 = Ac 2 (ra)
 

š4。
பிதாகரரின் குத்திரம் 279
-ase96ö, BID = BC (-g45ié6 iß)
*... AD = AC
G9Q6oñ, A6ñr ABD, ABC g?QjJ Gööruq-63y tib, AB பொது. {့်ဖုံးနှီငုံ (ஆக்கம்)
A D= AC {fé65 955 LI L-S)
', A GJ :
[ AFBID = L ABC ஆனல், LABD=செங்கோணம் (ஆக்கம்)
:::. LABC = GSF Viši (35 tr6OOT við
என்றவர்று. (i) ஒரு துவிசமயுய செங்கோண முக்கோணி யிலே, புயங்களின் நீளங்கள் 1: 1 : v2 என் னும் விகிதத்தில் இருப்பதை அவதானித்துக் கொள்க.
(11) 60° 30° உடைய செங்கோண முக்கோணியிலே
புயங்கள் 1 : 2 : V 3 என்னும் விகிதத்தில் இருப்பதை அவதானித்துக் கொள்க.

Page 19
280
முறையான கேத்திர கணிதம்
(குறித்த முக்கோணி ஒரு சமபுய முக்கோணி யின் பாதி)
அப்பியாசம்-47 (i) கணித்தல்
15 அடி நீளம் 8 அடி அகலமுள்ள அறை யொன்றின் மூலைவரையினது மீளமென்ன?
ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களும் முறையே 8', 15", 17". அம் முக்கோணி செங்கோண முடையதெனக் காட்டுக. 13=22+32 என்னும் சமீகரணத்தை உப யோகித்து 13 அங்குல நீளமுள்ள கேர்வரை யொன்று கீறுக. 7=42-32 என்பதை உபயோகித்து v 7 அங் குல நீளமுள்ள நேர்வரை யொன்று கீறுக.
6 அடியும் 11 அடியும் உயரமுள்ள இரு கம்பு கள் 12 அடி தூரத்திலே காட்டப்பட்டுள் ளன. அக் கம்புகளின் அந்தங்களே இணைக்கும் கயிற்றின் மீள மென்ன?
A ஒரு வெளிச்சவீடு, B, C இரு கப்பல்கள். Bவெளிச்சவீட்டுக்குத் தெற்கிலும், C வெளிச்ச வீட்டுக்குத் தென் மேற்கிலும் உண்டு.
 

10.
Í 1.
13.
18.
14.
பிதாகரரின் குத்திரம் 281
கப்பல்கள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று கிழக்கு மேற்காக 7 மைல் தூரத்தில் உளவாயின், வெளிச்சவீட்டிலிருந்து ஒவ்வொரு கப்பலின் தூரத்தையும் அறிக. ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலைவரைகள் 3 அங்குல மும் 16 அங்குலமுமாயின் சாய்சதுரப் புயங்க ளின் மீள மென்ன ?
ABC Fogg (pš 3 as ir 600h. AB = 7", BC = 8",
CA = 9'. நடுவரை ADயின் மீளமென்ன ? ஒரு செங்கட்டியின் மீளம் ஊ95", அகலம்= 4'4', உயரம் - 33', 56' விட்டமுள்ள
குழாயொன்றுக்குள் இச் செங்கட்டியை வைத் தல் கூடுமா ?
செங்குத்தான ஒரு சுவரோடு 16 அடி தூரத்தி லிருந்து ஒரு ஏணி சார்த்தப்படும்போது 30 அடி உயரத்திற் பொருந்துமாயின், 10 அடி தூரத்திலிருந்து சார்த்தப்படும்போது எவ்வுய ரத்தில் ஏணி பொருந்தும் ? ஒருவன் 3 மைல் கிழக்காகச் சென்று பின் 27 மைல் வடக்காகவும், 48 மைல் மேற்காக வும், 83 மைல் தெற்காகவும் கடந்தால், புறப்பட்ட இடத்திலிருந்து எத் தூரத்தில் நிற்கிருன்? 65", 65", 5' மீளமுள்ள புயங்களையுடைய முக்கோணியின் பரப்பென்ன ? ஒரு துவிசமபுய செங்கோண முக்கோணியின் சுற்றளவு 2a அங். அதன் பரப்பென்ன ? 4 அங்குலப் புயத்தையுடைய சமபுய முக் கோணியின் பரப்பென்ன?

Page 20
282 முறையான கேத்திர கணிதம
* 15, 30 அடி நீளம், 20 அடி அகலம், 12 ust 2 til 1 if முள்ள அறையொன்றிலே ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர் மூலக்குள்ள தூர மென்ன?
** 16. ஒழுங்கான ஒரு கூம்பின் உயரம் 6" வட்ட மான அதன் பீடத்தின் விட்டம் 5". சரிவான பக்கத்தின் மீள மென்ன ?
அப்பியாசம்-47 (ii) நிறுவுதல்
1. ஒரு சற்சதுரத்தின் மூலவரையிற் இறப்படும் சற்சதுரம் அச்சற்சதுரத்திலும் பார்க்க இரு மடங்கு எனக் காட்டுக.
2. ABC FOU A . AB > AC. ADL BC.
AB”–AC*= BD" – DC? тGori gru"(94.
3. ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் கூர்ங்கோ ணங்களிலிருந்து கீறப்படும் இரு நடுவரைகளிலு முள்ள சற்சதுரங்களின் கான்மடங்கு கன் னத்திலுள்ள சற்சதுரத்தின் ஐம்மடங்குக்குச் சமமெனக் காட்டுக.
4. இரண்டு சற்சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்
குச் சமமான சற்சதுரமொன்று 16 offs தெப்படி?
5. இரண்டு சற்சதுரங்களின் வித்தியாசத்துக்குச் சமமான சற்சதுரமொன்று வரைவ தெப்படி ? 8. ஒரு நாற்புய வடிவத்தின் மூலைவரைகள் ஒன் றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைந்தால், ஒரு சோடி எதிர்ப்புயங்களிலுள்ள சற்சதுரங் களின் கூட்டுத்தொகை மற்றைய சோடி எதிர்ப்புயங்களிலுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட் டுத் தொகைக்குச் சமமெனக் காட்டுக

பிதாகரரின் சூத்திரம் 283
7. ABC 305 Fuolu (pé Gas Taoi. ADL BC,
AD2-3BD? எனக் காட்டுக.
* 8. ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி. B செங்
கோணம் BC யில் ஒரு புள்ளி X. AX2 + BC o = AC2 + BX? Gt GDI iš asmt Gas.
* 9. A B, AC, AD, AE fasir Görg Guasoras sir.
AB = BC = CD = DE. L- ABC = L- ACID = IL A DE = Gg li G35T Gewwa b. AE-2AB எனக் காட்டுக,
* 10. ABC, DBC இரு சமபுய முக்கோணிகள்.
அவை பொதுவான பீடத்துக்கு இரு புறத்திலு முள்ளன. AD2 = 3AC? எனக் காட்டுக.
** 11. ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி A செங் கோணம். BC, CA, AB மூன்றின் தடுப்புள்ளி களும் முறையே P, C, R, CR2 + BQ o ame5 QR? GTGOT iš SS rü.G5.

Page 21
41. பிதாகரரின் சூத்திர விரிவுகள் S.
ஒரு செங்கோண முக்கோணியிலே மூன்று புயங்கள் மீதுள்ள சற்சதுரங்களும் எவ்வாறு சம்பந்தப்பட்டிருக்கின்றன என்பது (பிதாகர ரின் குத்திரம்) முன் விளக்கப்பட்டது. இனி, பிற முக்கோணிகள் ஆராயப்படும்.
I
C
A
- 5
ஒரு கேர்வரையின் இரு அந்தங்களிலு மிருந்து வேருெரு நேர்வரைக்குச் செங்குத்துவரைகள் கீறப்பட்டால், இரண்டாவது வரையிலே செங்
குத்து வரைகளுக்கு இடைப்பட்டபகுதி செம்

பிதாகரரின் குத்திர விரிவுகள் 285
பாதம் எனப்படும். இப் படங்கள் மூன்றிலும் xyBது AB வீழ்த்தும் செம்பாதம் CP ஆகும்.
ABC (5 A. AD L. BC BCமீது BA வீழ்த்தும் செம்பாதம் BDஆகும். BCßig C A CD3 (5th

Page 22
286 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 20 S2. × பொதுவிலக்கணம் - ஒரு விரிகோண முக் கோணியிலே விரிகோணத்தின் எதிர்ப் புயத்திலுள்ள சற்சதுரம், விரிகோணப் புயங்கள் மீதுள்ள இரு சற்சதுரங்களி அலும் பார்க்க, விரிகோணப் புயமொன் ஆறும் அதன்மீது மற்றையது வீழ்த்தும் செம்பாதமும் ஆக்கும் நீள்சதுரத்தின் இரு மடங்கு மேலதிகமாதல் வேண்டும்.
/ހ
«da Aks aka
8
சிறப்பிலக்கணம் " திரவு - ABC ஒரு விரிகோன A
ZC aa fi G3as Tqaxxrib. BCGODL u tsu G95. ADL BC. G3s Girará? - AB o = BC2 + AC2 + 2BC . CD
எனபது நிரூபணம் - A ABD செங்கோணமுடையது.
..”. AB 2 = B D 2 -- AD 2 = (BC+CD)?-- AD 2 = BC2 + CD 2 + 2BC . CID -- AD 2 a BC (CD2+ AD) + 2BC. CD. =BC2 + CA+2BC. CD.
என்றவாறு.

பிதாகரரின் சூத்திர விரிவுகள் 287
சூத்திரம் 21
S 3.
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு முக்கோணியிலே கூர்ங் கோண மொன்றின் எதிர்ப் புயத்திலுள்ள சற்சதுரம், அக் கூர்ங்கோணத்தை up6.PLul இரு புயங்களிலுள்ள சற் சதுரங்களிலும் பார்க்க, அக் கூர்ங்கோ ணத்தையுடைய புயமொன்றும் அதன் மீது மற்றையது வீழ்த்தும் செம் பாதமும் ஆக்கும் நீள்சதுரத்தின் இருமடங்கு குறைதல் வேண்டும்.
A.
4- س۔--A كمير
g &
சிறப்பிலக்கணம் -தரவு - ABC ஒரு A. LC
irri Gas roori. ADL BC.
(தேவையாயின் நீட்டி) G8g56;iraf7 - AB ? = AC ?—+BC ?—-2BC ... CD.
என்பது.
நிரூபணம் - AABD செங்கோணமுடையது.
... AB = AD 2 - BD.
=AD* +(BC cv CD}2 =AD2 BC 2-CD-3BC, CD,

Page 23
288
முறையான கேத்திர கணிதம்
= (AD * + CID?)--BC 2-2BC, CD, = AC -- BC 2-2BC, CD,
என்றவாறு.
குறிப்பு :-
S4.
Gyps di Nuuqauš636 BC > CID ; .. BD = BC —CD. Losñadopu6au BC < CD '. BD = CD-BC.
ஆகவே, இரண்டு வடிவங்களிலும் BD என் பது BC, CD இரண்டுக்குமுள்ள வித்தியாசம். {2).g, BD = BC cv CD ar6ôt un GTQpé5ûLUGub.
ைெடி குத்திரங்கள் இரண்டையும் சேர்க்க முக் கியமான பிறிதோர் உண்மை பிறக்கும். அது அடுத்த சூத்திரம்.

பிதாகரரின் சூத்திர விரிவுகள் 289
சூத்திரம் 22 பொதுவிலக்கணம் - ஒரு முக்கோணியிலே இரு புயங்களிலுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட் டுத் தொகை மூன்ரும் புயத்தின் பாதியி லுள்ள சற் சதுரத்தின் இருமடங்கின தும் அப்புயத்தின் நடுவரையிலுள்ள சற்சதுரத்தின் இருமடங்கினதும் கூட் டுத்தொகைக்குச் சமமாதல் வேண்டும்.
A
B ܓܰ சிறப்பிலக்கணம்- தரவு - ABC ஒரு A. AD ஒரு
5டுவரை, (3seira? - AB?--ACo=2BDo+2AD2
என்பது.
நிரூபணம் - (1) Lள் ADC, ADB இரண்டும் சம
Drujer L ADC = LADB = GeFuGás rastur. ..”. AB= AC. ... AB?+AC? = (BD? + AD2) + (CD? + AD2)
= 2BD2-2AD 2. (ii) / 6 ADC, ADB gy Goor GBib Fou6adavuruger,
ஒன்று விரிகோணமாதல் வேண்டும்.
LADC afriG3ás rar Gu06ras.
AE, IL BC.
19

Page 24
290
S5.
*2,
举 3。
*4。
முறையான கேத்திர கணிதம்
A ABDue, AB = BD - AD-2BD. ED. A ACDu 96), AC2 = CD? -- AD --2CD . ED. .". AB 2 -- ACo = 3BD? --2AD 2 (BD se CD)
என்றவாறு. இச் சூத்திரம் அபாலினியர் சூத்திரம் எனப்படும். அபாவினியர் (கி. மு. 260-கி. மு. 200) ஒரு எகிப்திய கணித வல்லுநர்.
அப்பியாசம்-48 (i) கணித்தல்
ABC 6p 5 Gupi05mt Goof. AB = ?“, BC = 8", CA=9". நடுவரை ADயின் நீள மென்ன?
ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் இரு புயங்க ளின் நீளங்கள் முறையே 13", 19". ஒரு மூலை வரையின் நீளம் 34" ஆயின், மற்றைய மூலை வரையின் நீள மென்ன ?
5", 6, 7" மீளமுள்ள புயங்களையுடைய முக்கோணியின் மூன்று நடுவரைகளிலுமுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
ABC ஒரு A, நடுவரைகள் சக்திக்குமிடம் G. AB = 6", BC = 11 *“, QA = ?". A9 agair நீள மென்ன ?
அப்பியாசம்-48 (ii) நிறுவுதல்
ABC ஒரு துவிசமயுய முக்கோணி ; Z C விரி
கோணம். BCயை நீட்டி அதற்குச் செங்குத் தாக AD கீறப்படுகிறது.
AB is 3BC. BD at at St.G.s,

பிதாகரரின் சூத்திர விரிவுகள் 291
2. ABC 8@g gaÁFuDuquu (pišG345 mrG0ofi. AB = AC.
CD நடு வரை. BC2 = 2CD2 - 2BD2 எனக் காட்டுக, 8. ABC ஒரு துவிசமயுய முக்கோணி. பீடம் BC skul-dil IOédog, D Hj60Jujub : CD = BC. AD2 - AC2 + 2BC2 எனக் காட்டுக. * 4. ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் புயங்களி லுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மூலைவரைகளிலுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமெனக் காட்டுக. * 5. ABCD ஒரு நீள் சதுரம். O அதற்குள் ஒரு
புள்ளி. OA2 + OC2 =OB2 + OD? எனக் காட்டுக. 2 6, ஒரு முக்கோணியின் புயங்களிலுள்ள சற் சதுரங்களின் மும்மடங்கு ஈடுவரைகளிலுள்ள சற்சதுரங்களின் நான்மடங்குக்குச் சமமெனக் காட்டுக. * 7. ABC ஒரு முக்கோணி. நடு வரைகள் வெட்டு
மிடம் O. AB 2 + BC 2 -- CA* = 3 (OA? -- OB * + OC” எனக் காட்டுக. 8. ABCD ஒ நாற்புய வடிவம். ACயின் நடுப்
புள்ளி L; Dயின் நடுப்புள்ளி M. AB 2 + BC + CD + DAo = AC2 + BD + 4LM2 எனக் காட்டுக. * 9. ஒரு நாற்புய வடிவத்தின் புயங்களிலுள்ள சற் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மூலைவரைகளி லுள்ள சற்சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாயின் நாற்புயம் சமாந்த 7 சதுர்ப்புய மாகும் எனக் காட்டுக.

Page 25
S.
S2.
42. நீள்சதுரங்களும்
சற்சதுரங்களும்
ஒரு நேர்வரை பல பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட் டிருப்பின் அப்பகுதிகள் ஒவ்வொன் ருேடும் வேருேர் கேர்வரை தனித்தனி ஆக்கும் நீள் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை இருவரைகளும் சேர்ந்து ஆக்கும் மீள்சதுரத்துக்குச் சமமாகும்.
as b c
p& pხ pc.
-په C به b به ح
Ε ܡ P Get b + c - d.)
~yAsr6Q/Ag. pa-+ pb-+ pc-+-pd + = p(a-+-b-+ c-+-d)
ஒரு கேர்வரை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப் படின், இரு பகுதிகளிலுமுள்ள இரு சற்சது ரங்களும் இரு பகுதிகளும் ஆக்கும் நீள்சதுரத் தின் இருமடங்கும் சேர்ந்து முழுவரையிலுள்ள சற்சதுரத்துக்குச் சமமாகும்.

நீள்சதுரங்களும் சற்சதுரங்களும்
293
a b a rb
& ○ તેb
- O cat by + ־־ד «ό
b ბახ ba
as rai, a -b-h-3ab = (a+b) S3. ஒரு கேர்வரையிலே ஒரு பகுதி ஒழிந்த மிகுதியி
லுள்ள
சற்சதுரமும;
(A(9
நேர்வரையும்
கழிக்கப்பட்ட் பகுதியும் ஆக்கும் மீள்சதுரத் தின் இருமடங்கும் சேர்ந்து முழு நேர்வரையி லும் கழிக்கப்பட்ட பகுதியிலும் உள்ள இரு சற்சதுரங்களுக்கும் சமமாகும்,
b ... b مع نج
-b) . Ca-b) &b |°
b
طح
wprowwe *
b س

Page 26
294
$4。
முறையான கேத்திர கணிதம்
ustra/5, (a - b) +2abs a 2-lb 2 அல்லது, (a-b)2 = a2+b2-2ab. இரு நேர்வரைகள் சேர்ந்த நீளமும், அவற்றின் வித்தியாசமும் ஆக்கும் நீள்சதுரம், அங் கேர் வரைகளிலுள்ள இரு சற்சதுரங்களின் வித்தி யாசத்துக்குச் சமமாகும்.
bا- ح
dà
quo
ene
ܛ.
1.
2.
eobo
---
Jy s Taug, a o-bo= (a+b) (a-b)
அப்பியாசம்-49
x (x+y) = x2+xy என்பதை விளக்கும் படங் கள் கிறுக
(a+b)2 = a (a+b) +b (a+b) என்பதை விளக் கும் படங்கள் கீறுக.
(x+y)2 = (x-y)2 + 4xy என்பதை விளக்கும் படங்கள் கீறுக.
(a+b +c)*= a”+bo+ co+?ab+2bc+2ca orir பதை விளக்கும் படங்கள் கீறுக.
嫩 5. ஒடு செங்கோண முக்கோணியின் கன்னத்தி
இதுள்ள சற்சதுரம், மற்றைய இரு புயங்களின்

*6。
名。
மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 295
மொத்த நீளத்திலுள்ள சற்சதுரத்திலும் பார்க்க முக்கோணிப் பரப்பின் நாலு மடங்கு குறைவானதெனக் காட்டுக.
ABC 315 Gisirajador. ABusair (53t lair 6th D. AC * = BC * + 2AB , CD GT Gär LuGBoasů u Liao விளக்குக.
AB ஒரு நேர்வரை, C அதில் ஒரு புள்ளி. ACuoir 56 M; BCu96ir 5 N.
AN? + 3BN 2 = 3AM 2 -- BM? GTGörl uGids'ü uluh கீறி விளக்குக. :
மீட்டல் அப்பியாசங்கள்
XIII
. ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம், அதில் B செங்
Gæsrærtb. AB=3", CD=1". BCu9á E SG geir of ; BE = Bc. (Aš 35 rGasfla5 6ir ABE, CDE இரண்டும் பரப்பிற் சமமானவை எனக் காட்டுக.
ABCD 25 Fibos ti. AB, BC, CD, DA நான்கிலும் E, F, G, H நான்கும் நாலு Lojrafisar, AE = BF = CG=DH, EFGH 5pg சற்சதுரமெனக் காட்டுக
. ABCD ஒரு காற்புய வடிவம். JPSGaia AD ||BC.
CDயின் நடுப்புள்ளி E. முக்கோணி ABB காற்புயவடிவம் ABCDயின் பாதி எனக் காட்டுக.

Page 27
296
முறையான கேத்திர கணிதம்
ABC ஒரு முக்கோணி. அதற்குள் O ஒரு
yait Golf?. OD BC ; OEL CA ; OF L AB• BID?--CE2 -- AF 2 = DC2 -- AE2 -- F B 2 Grør i
காட்டுக.
ΧΙΙΙ
ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம். அதில் AB -3', , BC = 2, AC = 36", ZA = 104°, BD = 4". IsrÂ5
புய வடிவத்தை வரைந்து அதன் பரப்பைக் காண்க.
. ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம். அதன் மூலை
வரைகள் சந்திக்குமிடம் B. CA நீட்டப்படு &R sps Pala) Tulb. AP = CE.
A BDP = ABCD (Luri 96) Grooraš arG)s.
a = 17", b = 28", x = 2" எனக்கொண்டு
{a+b)x= ax+bx என்பதன் உண்மையைப் படம் கிரிக் காட்டுக.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். ABeட்டப்
படுகிறது P வரையும். Aக்கூடாக CPக்குச் சமாந்தரமாகச் செல்லும் வரையை CB மீண்டு
Qவிற் சக்திக்கிறது. சமாந்தர சதுர்ப்புயம்
PBOR பூரணமாக்கப்படுகிறது.
A7PBQR = 4/7 ABCD (Lu průL96ão) GTGT i காட்டுக.
XIV
. ACD, BCD இரண்டும் ஒரே பீடத்தின் ஒரே
பக்கத்தில் உள்ள இரு முக்கோணிகள். ABயின் AG. F.

மீட்டல் அப்பியாசங்கள 297
A ACD-+- ABCD = 2 AFCD (Lu po uuu ?eño) GT6z8rdi
காட்டுக.
. ஒரே பீடத்திலும் எதிர்ப் பக்கங்களிலும்
2-ar GT 9ay (ypáGösgr600fl:56it ACD, BCD Fuo பரப்புடையனவாயின், CD (தேவையாயின் நீண்டு) ABயை இரு சம கூருகப் பிரிக்கிற தெனக் காட்டுக.
A, B, C, D நான்கும் நேர்வரை யொன்றி
லுள்ள நாலு புள்ளிகள். AB = BC.
AD • CD + BC 2 = BD* GTsir u695 67arãesû படம் கீறுக.
ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தின் காலு புயங் களும் ஒரு மூலைவரையும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாயின், மூலைவரைகள் இரண்டும் 1 : \ 3 என்னும் விகிதத்தில் உள்ளன எனக் காட்டுக.
XV
நேரான பாதையொன்றிலே 20 யார் இடைத் துரரமுள்ள இரு புள்ளிகள் உண்டு. ஒரு மரம் இப் புள்ளிகளிலிருந்து முறையே 40 யார், 20 யார் தூரத்தில் உள்ளது. பாதையிலிருக்து மரத்தின் தூர மென்ன.
. ABCD 69 (U5 ar barg Irib. ADu9ói) IP 6pg Llair Gil.
CP, BA இரண்டும் நீண்டு Qவிற் சர்திக்கின் றன. DO இணைக்கப்படுகிறது.
дOPD = a APB (பரப்பில்) எனக் காட்டுக,

Page 28
298 முறையான கேத்திர கணிதம்
3. ABCDE ஒரு ஐம்புய வடிவம். அதில் AB=5 Qaf. LS., BC = 4 Qaf. L., CD = 36 Gaf. மீ, DE=75 (af. L., EA = 45 (ag. L6., LABC= 105°, LEAB=140. வடிவத்தைக் கீறி அதற் குச் சமமான முக்கோணி DFGவரைக. (FAGB ஒரு கேர்வரையாகட்டும்).
4. PQR ஒரு முக்கோணி. அதில் QR-10 செ. மீ. LQ= LR =45. முக்கோணியை வரைந்து சமபரப்புள்ளதும் X)=10 செ. மீ. நீளமுள் ளதுமான ஒரு முக்கோணி XOR கீறுக.

(i) வட்டங்கள்

Page 29

S.
43. நாண்கள்
ஒரு வட்டத்தின் சுற்றுவரையிலுள்ள இரு புள்ளிகளே இணைக்கும் நேர்வரை நாண் எனப் படும்.
ஒரு வட்டத்தில் எண் ணிறந்த காண்களே ஆக் கலாம். அவற்றுளெல் லாம். பிரதானமானது
விட்டமே. மையத்துக் 32 கூடாகச் செல்லும் Kè காணுகையால், ஒவ்
வொரு விட்டமும் வட் டத்தைச் சமசீருடைய இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். இந்த ஒரு உண்மையிலிருந்தே மேல் வரும் பல குத்திர உண்மைகள் (உதாரணமாக அடுத்த சூத்திரம்) அநுமானிக்கப்படலாம். எனினும், அவற்றுக்குரிய முறையான நிரூ பணங்கள் அதனதன்கீழ்க் கொடுக்கப்படும்.

Page 30
302 முறையான கேத்திர கணிதம்
S 2. சூத்திரம் 23
பொதுவிலக்கணம் -(1) ஒரு வட்டத்தின் மையத்தி விருந்து (விட்டமல்லாத) நாணுென் றின் நடுவுக்கூடாகச் செல்லும் நேர் வரை அந் நாணுக்குச் செங்குத்தாதல் வேண்டும். (ii) மறுதலையாக, ஒரு வட்டத்தின் மையத்தி லிருந்து நாணுென்றுக்குச் செங்குத்தா கச் செல்லும் நேர்வரை அந் நாணை இரு சம கூருகப் பிரித்தல் வேண்டும்.
(i)
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O ஒரு வட்டத்தின்
மையம், AB காண். M நாணின் நடு,
(3356lir af? - OM AB ST Görlus. ஆக்கம் - OA, OB gåOOTšistu u Guib.
ObtJINIứ - A Gir OAM, OBM @ ir air ug-yü,
Y AM = BM (M f5fr6oofsár 5G)
OA is OB ( - g ši 5 sir) OM பொதுவானது
 

காண்கள் 303
Asr = m ". LOMA = LOMB. இவை அயற் கோணங்கள்
. OM J. AB என்றவாறு.
(ii) (மறுதலை)
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O ஒரு வட்டத்தின்
60DuDuLulub. AB SPOLU S ft Gör. ON L AB. Gs6ir síi — AN=BN Grøörug.
ஆக்கம் - OA, OB இணைக்கப்படட்டும்.
நிரூபணம் - A ன் OAN, OBN இரண்டிலும்,
OA= OB (- v fiii 35 6in ) ON பொதுவானது
L ONA = LONIB (ONL AB)
'. A air as
... AN = BN, என்றவாறு. S 3. உள்ளுறை: (1) ஒரு வட்டத்திலே சமார்
தரமான நாண் களது நடுப்புள்ளிகளின்
படுக்கை அக் காண்களுக்குச் செங்குத்தான விட்டமாகும்.

Page 31
304
முறையான கேத்திர கணிதம்
(ii) ஒரு நாணின் நடுச் செங்குத்துவரை வட்ட
S 4.
மையத்துக் கூடாகச் செல்லும்,
முக்கோணி யொன்றைச் சுற்றி வட்டம் வரை தற்கு டிெ சூத்திரம் வழி காட்டும். முக் கோணியின் மூன்று புயங்களும் வட்டத்தின் மூன்று காண்களாகும். எனவே, மூன்று புயங்களினது நடுச்செங்குத்து வரைகளும் தனித்தனி வட்டமையத்துக்கூடாகச் செல்லு தல் வேண்டும், மையத்தைப் பெறுவதற்கு ஏதுமிரண்டை எடுத்தாற்போதும். இவ் வட் டம் சுற்றுவட்டம் எனப்படும்.
கூர்ங்கோண முக்கோணியில் மையம் முக் கோணிக்குள் அமைவதையும், விரிகோண
 

நாண்கள் 305
முக்கோணியில் மையம் முக்கோணிக்கு வெளி யில் அமைவதையும், செங்கோண முக்கோணி யில் மையம் ஒரு புயத்தில் (எதில் ?) அமை வதையும் அவதானித்துக் கொள்க.
(ஒரே நேரிலில்லாத) மூன்று புள்ளிகளுக்கூடா கச் செல்லும் வட்டத்தை வரைதலும் இதைப் போன்றதே, ஏனெனில், குறித்த மூன்று புள் ளிகளில் ஏதுமிரண்டை இணைக்கும் நேர்வரை அவ்வட்டத்தின் காணுகும். ஒரே கேரிலில்லாத மூன்று புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரே ஒரு வட்டமே வரையலாம் என்பதையும், மூன்று புள்ளிக ளும் ஒரே நேருக்கு உளவாயின் வட்டம் வரைய முடியா தென்பதையும் விளங்கிக் கொள்க.
$5. நாண் களின் நீளங்கள் சம்பந்தமான கணித் தல்கள் பெரும்பாலும் டிெ சூத்திரத்தையே ஆதாரமாக உடையன.
ஒரு உதாரணம் :-
18 ஆரமுள்ள ஒரு வட்டத்திலே மையத்துக்கு இரு புறத்திலும் இரு சமாந்தரமான காண்கள் உண்டு. அவற்றின் நீளம் முறையே 24', 10" ஆகும். நாண்களின் இடைத்தூரம் யாது ?
20

Page 32
306
S
முறையான கேத்திர கணிதம்
பக்கத்திலுள்ள வடிவத்திலிருந்து 1582 سے 332 I ~+۔ x2
என்பதையும் y 2-1-52 - 132
என்பதையும் அறிந்து கொள்ள லாம். எனவே, x = 5, y = 13e Grör
பன பெறப்படும். ஆகவே, இடைத்தூரம்
ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களி னது நடுச் செங்குத்து வரைகளும் ஒன்றுகூடும் என்பது முக்கியமானது:
கிரூபணம் (சுருக்கமாக) பின்வருமாறு:-
B O - C OX, OY 93 Lyurä safar sai செங்குத்து வரைகள், 2 மூன்ருவது புயத்தின் கடுப் புள்ளி. சிரூபிக்கவேண்டியது OZAB என்பது.
 
 

msraeirasair
807
A air BX O, CXO gair Gaer GSth ==
BO = CO. Jayavay ft Gasp, CO = AO. BO = AO. crer C3a, A sr BZO, AZO (3).J Gior (Buh = இவற்றை விரித்தெழுதி மிகுதியை கிரப்புக.
$7. ஒரு புள்ளியிலிருந்து நேர்வரை யொன்றின்
தாரம் என்பது அப் புள்ளியிலிருந்து அவ் வரைக்குச் செங்குத்தாகச் செல்லும் தூரத் தையே குறிக்கும் என்பது ஞாபகமிருக்கட்டும்.

Page 33
308 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 24 பொதுவிலக்கணம் - () ஒரு வட்டத்திலே சம நீள முள்ள நாண்கள் மையத்திலிருந்து சம தூரத்தில் இருத்தல் வேண்டும். (i) மறுதலையாக, மையத்திலிருந்து சம தூரத்திலுள்ள நாண்கள் சம நீள முள்ளனவாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - AB, cற சமநீளமுள்ள இரு காண்கள். O வட்டத்தின் மையம்.
OIML AB; ON IL CD
கேள்வி - OM=ON என்பது.
ஆக்கம் . OA, OC இணைக்கப்படட்டும். கிரூபனம் - OMIL AB
.”. AIM = AB
ON CD . CN = CD
ஆனல் AB = CD (spray)
... AM = CN.
 

நாண்கள் 309
geofi, A Gir AMO, CNO gig Grim guió
OA= OC (-T nii 85 Gir) AM = CN (špajůulu-5) Z OMA = Z ONC
(செங்கோணங்கள்)
A Gir = ". OM = ON என்றவாறு,
(i) மறுதலை (அதே வடிவம்)
சிறப்பிலக்கணம்- தரவு - AB, CD இரு காண்
கன். O வட்டத்தின் மையம். OM IL AB ; ON IL CD. OM = ON. G*6ira - AB - CD arcărug.
ஆக்கம் - OA, OC இணைக்கப்படட்டும், föll 200l li - aeir OAM, OCN Qir cór 1.9yih
S OA = OC (sur riša s Git ) {%、 ON (spray) ZOMA = LONC
(செங்கோணங்கள்)
Δείτ =
... AMs CN, ஆளுல், AM = AB ; CNCD.
..'. AB = C D என்றவாறு
S 8. உள்ளுறை.
(i) ஒரே அளவான வட்டங் களில் சம நீளமான நாண்கள் சம தூரத்தி லும் சம தூரத்திலுள்ள நாண்கள் சம நீள மாயும் அமையும், ܖ

Page 34
310 முறையான கேத்திர கணிதம்
(ti) ஒரு வட்டத்திலே சம மீளமுள்ள நாண்களி னது நடுப்புள்ளிகளின் படுக்கை ஏகமைய வட்ட மொன்ருகும்.
(iii) மையத்துக்கு அண்மையிலுள்ள காண் சேய்
மையிலுள்ள நாணிலும் பார்க்க நீளமானது.
(iv) விட்டமே காண்களெல்லாவற்றிலும்
LOT 607g).
அப்பியாசம்-50 (i) வரைதல்
1. விரிகோண முக்கோணி யொன்று கீறி அதைச்
சுற்றி வட்டம் வரைக.
2. கூர்ங்கோண முக்கோணியொன்று கிறி அதைச்
சுற்றி வட்டம் வரைக.
3. செங்கோண முக்கோணியொன்று கிறி அதைச்
சுற்றி வட்டம் வரைக.
4. ஒரு கேரில்லாத மூன்று புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றுக் கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தை 6AVGJORT dS
5. முக்கோணி வடிவமான ஒரு தோட்டத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளங்களும் முறையே 270, 310, 380’ ஆகும் தோட்டத்தின் மூன்று மூலைகளிலுமிருந்து சமதூரத்தில் ஒரு மரம் நடவேண்டும். தோட்டப் படத்தை வரைந்து மூலயொன்றிலிருக்து மரத்தின் துாரத்தை அறிக. 8. முக்கோணி வடிவமான ஒரு பூஞ்சோலையில் மூன்று மூலைகளிலும் மூன்று குடிசைகளுண்டு. அம் மூன்று குடிசைகளிலுமிருக்து சமதூரத் தில் காலாவதோர் குடிசை அமைக்கப்படுகிறது.

* ?.
* 9。
நாண்கள் 31
சோலேயின் மூன்று பக்கங்களும் முறையே 450, 600, 900 யாராயின், நாலாவது குடிசை, சோலைக்குள் இடம்பெருது என்பதைப் பட மூலம் காட்டுக. அதன் தூரம் எவ்வளவு? ஏறக்குறைய ஒரு நேருக்கு மூன்று புள்ளி களைக் குறித்து அவற்றுக் கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தை வரைக.
ABC ஒரு சமபுய முக்கோணி. ஒரு புயம் = 2.
முக்கோணிக்கு வெளியாக BCDE என ஒரு சதுரம் வரைந்து A, B, E மூன்றுக் கூடாக வும் செல்லும் வட்டத்தை வரைக.
4" நீளமுள்ள நேர்வரை யொன்று (AB) வரைக. இவ் வரையிலிருந்து 2" தூரத்திலும் Bயிலிருக்து 8" தூரத்திலும் ஒரு புள்ளி (C} காண்க. A, B, C மூன்றுக் கூடாகவும் செல் லும் வட்டத்தை வரைக.
* 10. ABC 625 péš (Basar Goffi. AB = 324”; BC = 3'8" ;
藝彝 Í 1.
12.
CA = 3'3". A PL BC ; BQL CA ; CRL AB. P, Q, R மூன்றுக் கூடாகவும் செல்லும் வட் டத்தை வரைக. 23" ஆரமுள்ள வட்டத்துக்குள் மையத்தி லிருந்து 13° தூரத்தில் ஒரு புள்ளி (P) இடுக. Pயை நடுவாக உடைய காணுென்று வரைந்து அதன் நீளத்தை அறிக.
2" ஆரமுள்ள வட்டத்துள் மையத்திலிருந்து 1" தூரத்திலுள்ள புள்ளியொன்றுக் கூடாகச் செல்லும் நீளம் மிகக் குறைந்த நாணையும் நீளம் மிகக் கூடிய கானையும் வரைக. நாண் களின் நீளங்களே அளந்தறிக.

Page 35
312
13.
**14。
முறையான கேத்திர கணிதம்
ஒரு வட்டத்திலே 13' தூரத்திலுள்ள இரு சமாந்தரமான நாண்களின் நீளங்கள் முறையே
5", 8"ஆகும். வட்டத்தின் ஆரத்தைவரைந்தறிக.
ஏதுமொரு முக்கோணி (ABC) கீறுக. AB, AC இரண்டிலும் வேண்டுமானுல் நீட்டலாம்) சம நீளமுள்ள காண்களே வெட்டும்படியும், B, C இரண்டுக் கூடாகச் செல்லும்படியும்’ வட்டமொன்று வரைக.
அப்பியாசம்-50 (ii) கணித்தல்
. 34" விட்டமுள்ள வட்டமொன்றிலே 30' மீள
முள்ள காணுென்று உண்டு. மையத்திலிருக்து காணின் தூரம் எவ்வளவு ?
. 18" விட்டமுள்ள வட்டமொன்றிலே மையத்தி
லிருந்து 2" தாரத்திலே ஒரு காண் உண்டு. நாணின் நீளம் எவ்வளவு ?
. ஒரு வட்டத்திலே மையத்திலிருந்து 12" தூரத்
திலே 32 மீளமுள்ள காணுென்றுண்டு. வட் டத்தின் ஆரம் எவ்வளவு ?
. 25" ஆரமுள்ள வட்டமொன்றிலே 40", 30"
நீளமுள்ள இரு நாண்கள் மையத்தின் ஒரு பக்கத்திலே சமார்தரமாக வரையப்பட்டுள. அவை ஒவ்வொன்றும் மையத்திலிருந்து எவ் வளவு தூரத்தில் உள்ளன என்பதைக் கணித்து நாண்கனின் இடைத் தூரத்தையும் அறிக.
, 30 ஆரமுள்ள வட்டத்திலே 50, 20 மீள
முள்ள இரு சமாந்தரமரன நாண்கள் மையத் துக்கு எதிர்ப்பக்கங்களில் உண்டு. அவற்றின் இடைத்தூரம் எவ்வளவு?

#6,
* ?.
*9。
*10,
崇ff,
#棒 12.
•ቁ 18.
காண்கள் 313
5' ஆரமுள்ள வட்டத்திலே (மையம் O) "ே நீளமுள்ள காணுென்று (AB) உண்டு. ABO முக்கோணியின் பரப்பு எவ்வளவு? 50" விட்டமுள்ள வட்டமொன்றிலே இரு சமாந்தரமான காண்கள் 30" இடைத்தாரத் தில் உண்டு. அவற்றுள் ஒன்றின் நீளம் 25". மற்றையதன் நீளம் எவ்வளவு?
, 3' ஆரமுள்ள வட்டத்தில் 8" நீளமுள்ள
நாண்க ளது நடுப்புள்ளிகளின் படுக்கை யாது? ஒரு வட்டத்தின் கண்டம் 10" ளேமுள்ள நானே உடையது. கண்டத்தின் உயரம் 19". வட்டத்தின் ஆரம் எவ்வளவு? 13' ஆரமுள்ள வட்டத்திலே 187 மீளமுள்ள நாணை உடைய கண்டத்தின் உயரம் எவ்வளவு? (இரு விடைகள்) "ே ஆரமுள்ள வட்டத்திலே சமநீளமுள்ள இரு காண்கள் சமாந்தரமாக உண்டு. அவற் றின் இடைத் தூரம் 2. நாண்களின் நீளம் எவ்வளவு?
18" விட்டமுள்ள வட்டமொன்றிலே முறையே 16", 14 நீளமுள்ள இரு காண்கள் செங்குத் தாக வெட்டுகின்றன. வெட்டுப்புள்ளி வட்ட மையத்திலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் உள்ளது? பூமியின் மேற் பரப்பிலே 200 மைல் இடைத் தூரம் உள்ள இரு இடங்கண் நேரான ஒரு சுரங்கப்பாதை இணைக்குமாயின், அப்பாதை யின் நடு பூமியின் மேற்பரப்பிலிருந்து எவ்வளவு ஆழத்தில் உண்டு? (பூமியை 4000 மைல் s‰ኔቻ முள்ள ஓர் உருண்டையாகக் கொள்க.)

Page 36
314 முறையான கேத்திர கணிதம்
14. ஒரு உருளேயின் நீளம் 5. அதன் இரு முகப்பு களும் 75" ஆரமுள்ள வட்டங்கள். ஒரு முகப்பிலே 9' மீளமுள்ள f5Tr (PGg) 3årigo (AB) வரையப்படுகிறது. எதிர் முகப்பிலே அதே நீளமுள்ள இரு நாண்கள் (CD, EF) ABக்குச் சமாக்தரமாக வரையப்படுகின்றன.
AC, AD, AB, AF ஆகியவற்றின் நீளங்ககள அறிக.
அப்பியாசம்-50 (ii) நிறுவுதல்
1. இரண்டு ஏ கமைய வட்டங்களே ஒரு கேர்வரை
Gaull@áFADs. AB = CD srør சிறுவுக.
3. ஒரு வட்டத்திலே சமநீளமுள்ள இரு காண்களின் நடுப் புள்ளிகளும் வட்ட மையமும் சேர்ந்து வரும் முக்கோணி ( OMN) si G7 Fuo புய முக்கோணி ஒான நிறுவுக.
 
 

棒8,
* 9.
.10 ܐ
நாண்கள் 315
ஒரு வட்டத்திலே AB, AC சம நீளமுள்ள இரு காண்கள். அவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே M, N g(5Lb. ZAMN = LANIM 57 607 fâsplay5. O வட்டமொன்றின் மையம். P வட்டத்துக்கு வெளியாக உள்ளதோர் புள்ளி. POவுடன் சமகோணங்களை ஆக்கும் இரு கேர்வரைகள் PAB, PCD வட்டத்தை வெட்டுகின்றன. காண் கள் AB, CD சம மீளமுள்ளன என நிறுவுக.
. ஒரு வட்டத்துக்கு வெளியிலுள்ள ஒரு புள்ளியி
லிருந்து இரு நேர் வரைகள் PAB, PCD வட் டத்தை வெட்டுகின்றன. நாண்கள் AB, CD
FuDupfruer, PA = PC ST ar fáspy anys. ஒரு வட்டத்திலே AB, AC சம நீளமுள்ள இரு நாண்கள், O வட்டத்தின் மையம்.
L BAO = L CAO Fr60v š.p. aj45.
. ஒரு வட்டத்தின் AB, AC இரு காண்கள் ;
AD விட்டம், BC, AD இரண்டும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாயின் AB= AC என சிறுவுக. ஒரு வட்டத்திலே இரு சமநீளமுள்ள காண்கள் (AB, CD 63őT GOD„p@ulu ft Gör go Pudio Gaul (9686ör றன. AP, PB இரண்டில் ஒரு துண்டு CPக்குச் சமமென நிறுவுக. ஒரு வட்டத்திலே AB ஒரு விட்டம் : CD ஒரு காண். விட்டத்தின் இரு அந்தங்களிலுமிருந்து நானுக்கு (வேண்டுமாயின் மீட்டலாம்) செங் s šis frs AE, BF impůLu (9636örmpGOT. CE = DF? என நிறுவுக,
சமாந்தர காண்களினது நடுப்புள்ளிகளின் படுக்கை செங்குத்தான விட்டமென நிறுவுக.

Page 37
316
* 11.
12.
*13,
* 14.
15.
முறையான கேத்திர கணிதம்
இரு வட்டங்கள் X, Yயில் வெட்டுகின்றன. XYக்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர் வரை ஒரு வட்டத்தை A யிலும் Bயிலும், மறுவட்டத்தை Cu89yub Du79)ub Gail G8,(DS. AC = BD என நிறுவுக.
ஒரு வட்டத்திலே AB, AC சம நீளமுள்ள இரு காண்கள் ; O வட்டமையம், AOL BC என கிறுவுக.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுள் A ஒன்று. B, C வட்ட மையங் கள். BCயின் நடுப்புள்ளி D. Adšal-Tés ADக்குச் செங்குத்தாக உள்ள நேர்வரை வட் டங்களை மீண்டும் E, F இல் வெட்டுகிறது. AE = AF GTGr fágyayas.
ஒன்றையொன்று வெட்டாத இரு சமமான வட்டங்களின் மையங்கள் A, B ஆகும். ABயின் கடுப்புள்ளியாகிய Cக் கூடாகச் செல்லும் ஒரு கேர்வரை ஒரு வட்டத்தை Pயிலும் Qவிலும், மறுவட்டத்தை R இலும் S இலும் வெட்டும். PQ = RS GrGor é proyas.
ஒரு நாணின் நடுச் செங்குத்துவரை வட்ட மையத்துக் கூடாகச் செல்லுமென நிறுவுக.
* 18 இரு வட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியொன்றுக்
கூடாக வட்ட மையங்களே இணைக்கும் நேர் வரைக்குச் சமாந்தரமாக வட்டங்களை மீண்டும் சந்திக்குமளவும் கீறப்படும் நேர்வரை வட்ட மையங்களே இணைக்கும் நேர்வரையிலும் இரு மடங்கானது என நிறுவுக.

5ாண்கள் 317
* 17. ஒரு அரைவட்டத்தின் விட்டத்திலே மையத்தி லிருந்து சம தூரத்திலுள்ள A, B என்னும் இரு புள்ளிகளுக் கூடாகக் கீறிய சமாந்தர நேர் வரைகள் சுற்று வரையை முறையே Cயிலும் Dயிலும் சக்திக்கின்றன CD இணைக்கப்பட் டால் LC - LD= 90° என நிறுவுக.
* 18. ஒரு வட்டத்திலே AB, CD என இரு நாண்கள் வட்டத்துக்குள் செங்குத்தாக Pயில் வெட்டு கின்றன. வட்டமையம் O எனின்,
AB 2 + CD 2 + 4 OP ? = 8 OA 2 GT GIBT ris pays.
* 19. இரு வட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி யொன்றுக் கூடாக வட்டங்களே மீண்டும் சந்திக்குமளவும் கீறப்படும் கேர்வரைகளுள் வட்டமையங்களை இணைக்கும் நேர்வரைக்குச் சமாந்தரமாகக் கீறப்படுவதே நீளத்தாற்கூடியது என நிறுவுக.
* 20. ஒரு நாற்புயத்தின் மூலவரைகளைத் தொடுக் கப் பிறக்கும் நாலு முக்கோணிகளின் சுற்று வட்ட மையங்கள் ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத் தின் மூலைகள் என கிறுவுக,

Page 38
44. நாண்கள் (தொடர்ச்சி)
சூத்திரம் 25 89. பொதுவிலக்கணம் - ஒரு வட்டத்தில் இரு காண்கள் வெட்டும்போது ஒன்றினது இரு கூறுகளும் ஆக்கும நீள்சதுரம், மற்றையதன் இரு கூறுகளும் ஆக்கும் நீள்சதுரத்துக்குப் பரப்பில் சமமாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O ஒரு வட்டத்தின் Gaduouluub. AB, CD இரு நாண்கள் P காண் கள் வெட்டுமிடம் (assiras? - AP . PB = cP . PD என்பது.
2556th - oM 1AB oA, op இக்னக்கப்படட்டும்.
நீருபணம் -
AP . PEB (AM--MP) (MB-MP)
(AM+MP) (AM-MP)
AM --MP2
(ΟΑ2 -OM2)-(OP2-OM2)
OA -OP 2 (பிதாகரர்)
:
 

காண்கள் 319
இவ்வாறே,
CP . PD = OC 2 --OP 2
sos,
S 0.
S 11.
OA?—OP 2 = OC 2 — OP 2 OA = OC)
AP . PB = CP . PD
என்றவாறு.
ாாண்க ளிரண்டும் வட்ட த் துக் கு வெளியிலே சர் திக்குமாயினும்
AP . PR = CP . PD (suid. நிரூபணம் சரியாக முக்தியதைப் போன்றதே. அதை விரிவாக எழுதுவது நல்ல பயிற்சியாகும். டிெ குத்திரத்தின் மறுதலையும் உண்மையா மாறு காட்டுதும் :
தரவு - AP . PB = CP . PD கேள்வி- A, C. B, D நான்கும் ஒரே வட் டத்திலுள்ளன என்பது.
C மூன்று புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு வட்டம் றே முடியுமாகையால் A, C, B மூன்றுக் கூடாக வும் ஒரு வட்டம் கீறுக. அவ்வட்டம் Dக் கூடாகச் செல்லாவிட்டால், அது C, Dயை Rயில் வெட்டட்டும்.

Page 39
320 முறையான கேத்திர கணிதம்
AP . PB = CP . PD (s T Gay) AP . PB = CP . PE (ACBE au "lih)
மிகுதியை உய்த் துணர்ந்து கொள்க.
S1 2.
AP . PB = CP . PD ஆயின், A, B, D, C 5ான்கும் ஒரே வட் டத்தில் உள்ளன என்பதையும் முன் போலப் பாரிசேட கியாயத்தால் விரு பித்துக் கொள்க.
ஒரு விட்டத்துக்குச் செங்குத்தாக ஒரு காண் அமைந்திருப் பதைக் கவனியுங்கள். AP . PIB sa CP , PID
as CP2
(CP = PD) அதாவது, ஒரு நீள் FSu tö (AP . PB)
ஒரு சற்சதுரத்துக்குச் (CP2) சமமாகிறது. எனவே, ஒரு மீள்சதுரத்துக்குச் சமமான சற்சதுரம் கீறுவதற்கு வழியாகிறது.
ܝܠ ܐ
APXYதரப்பட்ட நீள் சதுரம். AP நீட்டப் Lu@96ADI. PB PX ABயைவிட்டமாக வட் டம். (அரை வட்டம் போதும்) XP நீட்டப் படட்டும்.
 
 

காண்கள் 321
அப்பியாசம்-51 () வரைதல்
3' ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. வட்ட மையத்திலிருந்து 15" தூரத்தில் ஒரு புள்ளி (P) இடுக. அப் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் GJ guió sist Gör (ég 15 Tacés 56ör AB, CD, EF, G H 6.gu 5. AP, PB, CP, PD, yps56ứuuaufbaớ6öy (fot isába gyen ig. A P PD, CP PD, EP, PF, GPPH என்பவற்றின் விலைகளைக் காண்க. வரையறையான மறுமொழி என்னவாதல் வேண்டும் ? 3' ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. வட்ட மையத்திலிருந்து 4" தூரத்தில் ஒரு புள்ளி (P)இடுக. அப்புள்ளிக்கூடாகச்செல்லும் ஏதும் 5mt Görg f5fr Gor 5 air AB, CD, EF, G H G sgp is. PA, PB, PC, PI) முதலியவற்றின் நீளங்களே gyar iš PA · PB, PC • PID, PE * PF, PG - PH என்பவற்றின் விலைகளேக் காண்க. வரையறையான மறுமொழி என்ன வாதல்
வேண்டும் ?
25" நீளமும் 15" அகலமுமுடைய மீள் சதுர மொன்று கீறி அதற்குச் சமமான சற்சது ரத்தை வரைக. சற்சதுரத்தின் ஒரு பக்க மீளத்தை அளவுங்கள்.
மூன்று புயங்களும் முறையே 267, 18', '5" நீளமுள்ள முக்கோணி யொன்று கீறி அதற்குச்
சமமான சற்சதுரத்தை வரைக. ஒரு பக்க
நீளத்தை அளவுங்கள்.
ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம். AB = 3",
IL ABC - 105°, LABD = 40°, IL BAC = 30°,
21

Page 40
322
முறையான கேத்திர கணிதம்
LBAD = 80". காற்புயத்தை வரைந்து, அதற் குச் சமமான சற்சதுரத்தை வரைக.
AB = 4", AC = 3" L B = 35° 22. GODLulu ga
- வேறு முக்கோணிகள் கீறி அவற்றின் பரப்பு
களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமான சற் சதுரத்தை வரைக. 3' மீளமுள்ள கேர் வரை யொன்றிற் சற்சதுரம் கீறுக. சமபரப்புள்ளதும் நீளம் 3*2” உள்ளது மான நீள்சதுரமொன்று வரைக.
அப்பியாசம்-51 (i) கணித்தல்
இரு நேர் வரைகள் AB, CD ஒன்றை யொன்று இரு சரி கூருக வெட்டுகின்றன. AB - 12", CD = 34”. A, B, C ap Gör gp di sin v 5 Gyti GSF 6io லும் வட்டம் CDயை எங்கே வெட்டும்? A KB, XKZ, AGUS G35i GNJ GODT 65 Gir. A K = 4 Jyuq, KB = 5 -yq, KX = 1’5 Jiyuq, KZ = 30 eguq. A, X, B மூன்றுக்கூடாகவும் செல்லும் வட்டம் RZஐYயில் வெட்டுகிறது. ZYயின் மீள மென்ன? ஒரு வட்டத்தில் AB ஒரு காண். AB - 5'. AB மீட்டப்படுகிறது, Cவரையும். BC-3', Cயிலிருந்து கீறப்படும் கேர்வரை யொன்று வட்டத்தை Dயிலும் Eயிலும் வெட்டுகிறது. CD = 4”... f5 nr 6ör OEu? 6ör før Guo Siðr 6:or ? Cயிலிருந்து வட்டமையம் 7" துர ரத்திலுள்ள தாயின் வட்டத்தின் ஆரமென்ன ? OAB, OCD (5 GB5ir au Godpras6ir. OA =5“. A B = 3", OC= 4", A, B, C p6ör go distrs Gyub செல்லும் வட்டம் OCDயை எவ்விடத்தில் வெட்டும்?

5.
*?,
* 10.
*11。
5ாண்கள் 323
O ஒரு வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் = 8. P ஒரு புள்ளி. OP=53". Pக் கூடாக ஒரு நாண் AB கீறப்படுகிறது. BP= 3AP. கானின் நீளமென்ன ?
ஒரு வட்டத்திலே AKC, BKD ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு நாண் கள், AK= 10" KC = 18", AB = 12“. K B, KD, gur tid, p6ðir றின் நீளங்களையும் அறிக.
ACB வட்டமொன்றின் சுற்றுவரையில் ஒரு பகுதி (வில்). C நடுப்புள்ளி. நாண் ABயின்
நீளம் = 3*27, நாண் ACயின் நீளம் ~21. வட் டத்தின் ஆரமென்ன?
ஒரு வட்டத்தின் மையம் O, ACB ஒரு நாண் . AC=?"; BO 3' ; CO=2" வட்டத்தின் ஆரமென்ன ? மறுமொழியைக்கொண்டு Oவின், கிலேயத்தைப்பற்றி என்ன கூறமுடியும் ?
O ஒரு வட்டத்தின் மையம், ஆரம்= 51. AOKB ஒரு விட்டம், AK=7". Kக்கூடாகக் குறித்த விட்டத்துக்குச் செங்குத்தான வரை வட் டத்தை Cயிலும் Dயிலும் வெட்டுகிறது.KCயின் நீளமென்ன ? -
5' ஆரமுள்ள வட்டமொன்றிலே 96" நீள முள்ள காண் AB உண்டு. அக் காணுக்குச் செங்குத்தான விட்டம் வட்டத்தை Cயிலும் Du? gyd G2-GT.D.g. AC, AD 62)g 6örug-6ö7 நீளங்களையும் அறிக.
ஒரு வட்டத்துக்குள்ளே P ஒரு புள்ளி. Pக் கூடாகச் செல்லும் மிகக் குறுகிய காணின் நீளம் "ே, Pயிலிருந்து சுற்றுவரைக்குள்ள

Page 41
12.
. இரு வட்டங்கள்
முறையான கேத்திர கணிதம்
மிகக் குறுகிய தூரம் 1" வட்டத்தின் விட்ட மென்ன ? く
ABC ஒரு வட்டச் சுற்று வரையின் ஒரு பகுதி (வில்). ABCயின் நடு B. நாண் ACயின் கடு M. AM=X; BM=y. வட்டத்தின் ஆரத்தை அறி யக்கூடிய வாய்பாடொன்று ஆக்குக.
அப்பியாசம்-51 (i) நிறுவுதல்
ஒன்றையொன்று ベ வெட்டுகின்றன. பொதுகாண் XY கீ ட் ட ப் ப டு கிறது. அதில் ஏ து  ெம |ா ரு புள்ளி Fuፃ விருக்தூ இரு கேர் வரைகள் முறையே இரு வட்டங்களை யும் வெட்டுகின்றன. PA · PB = PC " PD Grør i காட்டுக.
ஒரு வட்டத்தில் AB ஒரு காண். M நாணின் நடு. CMD வேருெரு நாண், CDயை விட்ட மாக உடைய அரை வட்டம் கீறப்படுகிறது Mஉக்கூடாக CDக்குச்செங்குத்தானவரை அரை வட்டத்தை Eயில் SF iš gš6BDs. A M = EM எனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்களின் பொது காண் Oவுக்கு மீட்
டப்படுகிறது. இரு நேர்வரைகள் OPQ, ORS முறையே ஒரு வட்டத்தை Pயிலும் 2விலும்,
 

நாண்கள் 3.25
இரண்டாம் வட்டத்தை R இலும் S இலும் வெட்டுகின்றன. P, Q, R, S நான்கும் ஒரே வட்டத்தில் அமையும் எனக் காட்டுக.
ABC Fogh (ypi G35 ir 600ih. BCufî Gör (5G) D. AD முக்கோணியின் சுற்று வட்டத்தை Eயில் சர் adi G.Ds. AB”--AC 2=3AD AE Grardi காட்டுக.
மூன்று வட்டங்களுள் ஒவ்வொன்றும் மற்றைய இரண்டையும் தனித்தனி வெட்டுகின்றன. மூன்று பொது காண்களும் ஒன்று கூடுமெனக் காட்டுக.
(பாரிசேட நியாயத்தை உபயோகிக்கலாம்.)
A நிலையான ஒரு புள்ளி. XY நிலையான ஒரு நேர்வரை. XYயில் P ஏதுமொரு புள்ளி. APயில் () ஒரு புள்ளி. P எங்கிருப்பினும் AO AP ஒரேயளவாகும். Oவின் படுக்கை ஒரு வட்டமெனக் காட்டுக.
ஒரு வட்டத்திலே AB, CD இரு காண்கள். AB, CD இரண்டும் முறையே E, F ஆகிய புள்ளிகளுக்கு நீட்டப்படுகின்றன, AE* BE: CF DF வட்ட மையத்திலிருந்து E, F, இரண்டும் ஒரே தூரத்திலுள்ளன எனக் காட்டுக.
இரு காண்கள் வட்டத்துக்குள் சக்திக்கின்றன. நாண் களிலுள்ள சற்சதுரங்களினது வித்தியாச மும், அவற்றின் கூறுகளது வித்தியாசத்தி லுள்ள சற் சதுரங்களின் வித்தியாசமும் சம மானவை எனக் காட்டுக,

Page 42
326
**9
8 * 10.
முறையான கேத்திர கணிகம்
P, Q, R, S நேர்வரை யொன்றிலுள்ள நான்கு q 6r Giffl, Gär. O P " OQ = OR “ OS GT GOT GAuguhluqஅதே கேர்வரையில் Oவின் நிலையத்தை அறிக.
ABC 6ò35 (up ẩ(ở4, tr600fì. X, Y, Z மூன்றும் முறையே AB, BC, CA மூன்றிலுமுள்ள புள்ளி as air. AX XB = BY "YC = CZ * Z.A. (psi கோணிகள் ABC, XYZ இரண்டின் சுற்றுவட் டங்களும் ஒரே மையத்தை யுடையன எனக் காட்டுக.

45. வில்லேந்தும் கோணங்கள்
S 1. வட்டச் சுற்றுவரையில் ஏதுமோர் பகுதி வில் எனப்படும். அப் பகுதி அரை வட்டத்திலும் நெடியதாயின் நெடுவில் என்றும், அரை வட் டத்திற் குறைவாயின் குறுவில் என்றும் கூறப்படும்.
/ ష్ట్ర Ν
岛 S)
y
ஒரு வட்டத்திலே ஆரமொன்று ஒருதரம் முற்ருகச் சுழன்றுவர (அன்றி, சுற்று வரையி லுள்ள புள்ளியொன்று ஒருதரம் சுற்றிவர எனினும் ஒக்கும்) 360°ஆகும். எனவே, சுற்று வரை முழுவதும் மையத்திலே 360 ஏக்தி கிற் கும். அரைவட்டம் 180 பாகையையும், கால்வட் Lம் 90 பாகையையும் எந்துவது இனிது பெறப் படும். அதாவது; வில்லின் நீளத்துக்குத்தக்க தாகக் கோணம் அமையும். எனவே, வில்லை அதன் நீளத்தாலும் குறிக்கலாம் : அது மையத்தில் ஏந்தும் கோணத்தாலும் குறிக் கலாம். உதாரணமாக 30°வில் என்பது மையத் திலே 30 பாகையை ஆக்கும் இரு ஆரங் களுக்கு இடைப்பட்ட சுற்றுவரை ப் பகுதி
யாகும்.

Page 43
328
ஒரே வட்டத்திலா
முறையான கேத்திர கணிதம்
யினும் சரி, சம மான வேறு வட் டங்களிலாயினும் சரி மையத்திலே சமமானகோணங் களை ஏந்தும் விற் கள் சமமானமை
யாதல் வேண்டும்; மறுதலையாக, சமமான விற்கள் மையத்திலே சமகோணங்களை ஏந்தும் என்பதும் உண்மை.
வில்லொன்று வட்டத்தின் மையத்திலே ஏக் தும் கோணத்திலும் பார்க்கச் சுற்றுவரையில் ஒரு புள்ளியில் ஏந்தும் கோணமே முக்கிய மானது. ஒரே வில் மையத்திலும் சுற்றுவரை யில் ஒரு புள்ளியிலும் தனித்தனி ஏந்தும் கோணங்களுக் கிடையேயுள்ள தொடர்பை மேல்வரும் குத்திரம் விளக்கும்.
சூத்திரம் 26
$2. பொதுவிலக்கணம் - வில்லொன்று வட்
டத்தின் மையத்தில் ஏந்தும் கோணம் சுற்றுவரையில் ஏதுமோர் புள்ளியில் ஏந்தும் கோணத்திலும் பார்க்க இரு மடங்காதல் வேண்டும்.
 

சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O ஒரு வட்டத்தின் மையம். AB ஒரு வில், C சுற்றுவரை யிலே AB ஒழிந்தபகு தியில் ஒரு புள்ளி.
கேள்வி - L A OB = 3 L ACB Gräst Lus.
ஆக்கம் - CO இணைக்கப்பட்டுச் சிறிது (D வரை
யும்) நீட்டப்படட்டும்,
A
நிருபணம் - A OAC யில்
Gadjarfi L AOD = LCAO + LACO
Gp6ão, LCAO = L. ACO (OA = OC) | . L AOD=2 LACO
(மூன்ரும் வடிவத்துக்கு நிரூபணம் இவ்வளவு தான்).
gpaiau'r G, D, Li BOD =2 LBCO.

Page 44
330
S 3.
S 4.
முறையான கேத்திர கணிதம்
எனவே, (முதல் வடிவத்திற் கூட்டவும், இரண்டாம் வடிவத்திற் கழிக்கவும்)
LAOB = 2 / ACB 6r67 parp).
உள்ளுறை - () ஒரு வில் மிகுதிச் சுற்று வரையிலே ஏந்தும் கோணங்கள் யாவும் சம
07' 60" 605)64
(i) பாதிச் சுற்றுவரை மிகுதிச் சுற்றுவரை யில் ஏந்தும்கோணம் செங்கோணமாகும்,
ஒரு வட்டத்திலே ஒரு காணத் தொடுத்தால் அவ் வட்டம் இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படும். ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒவ்வொரு கண்டம் எனப்படும். அதாவது, ஒரு வில்லேயும் ஒரு நா8ணயும் எல்லையாக உடைய பகுதி கண்டம் எனப்படும்.
ஒரு கண்டத் தைக் குறிப்ப தற்குக் குறைக் தபட்சம் மூன்று அ ட் ச ரங்கள் ( வே ண் டு ம் நாணின் ஒரு
பமாகி மறுநுனி ray யில் முடியும் ஒழுங்கில் அட்சரங்களை அமைத் தல் வேண்டும். எத்ரேயுள்ள நிறம் தீட்டாத கண்டம் ACB, அல்லது BCA எனப்படும். அட் சரங்களே வேறு ஒழுங்கில் அமைத்துப் பெயரிடு வது பிழையாகும்,
 

வில்லேந்தும் கோணங்கள 33
ஒரு கண்டத்தின் நாண், வில்லில் உள் ள ஒரு புள்ளியில் ஏந்தும் கோணம் அக் கண்டத்திலுள் ள கோணம் எனப் படும். எதிரேயுள்ள படத்தில் LC, LD முதலியன அக் கண் டத்திலுள்ள Gafr607
ங்களாகும்.
VŠYýV VVVVM/ 3 &XSS
எதிரேயுள்ள படத் ge. LP676itus ACB ஆகிய கண்டத்துக் குள் இருப்பினும், அதுகேத்திரகணிதத் திலே க ண் டத் தி \ லுள்ள G3 as ir 600v ib a எனப்படாது.
பெ ரும் பாலும் நா னை க் காட்டா மலே கண்டத்தி லுள்ள கோணங் கள் குறிப்பிடப் படும்.எதிரேயுள்ள படத்தில் கோணங்
5 Gir ACB, ADB A K
Gulu6Or ACDB ஆகிய கண்ட லுள்ளன.

Page 45
முறையான கேத்திர கணிதம்
டிெ குத்திரத்தின் கீழே தரப்பட்ட உள்ளுறை இரண்டையும் வேறு விதமாகவும் சுருக்கமாக வும் கூறலாம்.
() ஒரே கண்டத்திலுள்ள கோணங்கள்
FA)) T606).
(i) அரை வட்டத்திலுள்ள கோணம் செங்
கோணம்,
இவை வெகு முக்கியமான உண்மைகள்,
$5.
இனி, இவற்றின் மறுதலை களே ஆராய்வாம். முதலில், “ ஒரே கண்டத்திலுள்ள கோணங் கள் சமமானவை" என்பதன் மறுதலையை எடுப்போம்.
ABC GroT 605
கோணத்தைச்
ச வ் வு த் தா
ளில் வரை க.
புயங்கள் BA, Pー一e BC 6], nó g
tէ 6ir չf, T ձ
இருக்கட்டும்.
பி ன் ன ர் A
ச ரி த ர ர ன வெண்தாளொன்றில் DE என ஒரு கேர் வரை கீறுக. இனி, வெண்தாளின் மேல் சவ்வுத்தாளை வைத்து D க்கு ஊடாக BA செல்லும்படியும், Eக்கு ஊடாக BC செல்லும்படியும் பொருத் துக, சவ்வுத்தாளிலுள்ள Bக்கு ஊடாக வெண் தாளிலே ஒரு ஊசியாற் குற்றுக. இவ்வாருகப் பலதடவை பொருத்திப் பல குற்றுகளைப் பெறுக. வெண்தாளிலுள்ள குற்றுகளின் படுக்கை எவ்வியல்பினதாகத் தெரிகிறது?

விஸ்லேந்தும் கோணங்கள் 333
சூத்திரம் 27
86. பொதுவிலக்கணம் இருபுள்ளிகளை இணைக் கும் நேர்வரை ஒரே பக்கத்திலுள்ள வேறு இரு புள்ளிகளில் ஒரே அளவான இரு கோணங்களை ஏந்துமாயின், அந் நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்தில் அமைதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - AB ஒரு நேர்வரை.
| ACB = [ ADE.
கேள்வி - புள்ளிகள் A, B, C, D, நான்கும்
ஒரே வட்டத்தில் அமையும் என்பது.
ஆக்கம் - புள்ளிகள் A, B, C மூன்றுக்கூடாகவும் ஒரு வட்டம் வரையப்படட்டும். இவ் வட்டத் தில் D அமையாவிட்டால் அவ் வட்டம் BD என்னும் வரையை Eயில் வெட்டட்டும். AE இணைக்கப்படட்டும்.

Page 46
334 முறையான கேத்திர கணிதம்
85u6.076 - Z ACB = zADB தரவு)
L ACB = Z AEB (ஒரே கண்டத்தி லுள்ளன)
", 4 ADB = Z AEB
அதாவது, A ADE யில் வெளிக்கோணம் உட் கோணத்துக்குச் சமமாகிறது. இது பொருந்தாது. ஃ D, E இரண்டும் ஒன்ருதல் வேண் டும். * புள்ளிகள் A, B, C, D நான்கும் ஒரே வட்டத் தில் அமையும், என்றவாறு, 87. உள்ளுறை. ஒரு நேர்வரை ஒரே பக்கத்தில் ஒரே அளவான பல கோணங்களே எந்து மாயின், அக்கோணப் புள்ளிகளின் படுக்கை ஒரு வட்டத்தின் வில்லாதல் வேண்டும். $8. தரப்பட்ட கேர்வரையொன்றின்மீது தரப் பட்ட கோணமொன்றைக் கொண்ட வட்டத் கண்டத்தை ஆக்குவதற்கு டிெ குத்திரம் வழி காட்டும். உதாரணமாக தரப்பட்ட ர்ே வரை A1} எனவும், தரப்பட்டகோணம் 509 எனவும் கொள்க வில் (அல்லது முழு வட்ட மும்) வரையப்பட்ட தாக வைத்துக் கொள் வோம். O மையம் 6r6är:35. ZACB = 50o. 67 63r Ga), L.AOB = 100 e. OM AB ஆயின், ZA OM = 500. Gr Gor Gay, அஆசை” ZOAM = 40. இப்பொழுது வழி தெரிகிற தல்லவா?
 

S9.
வில்லேந்தும் கோணங்கள் 335
→57 Qg, AB யின் ஒரு நுனி uG 40° (= 90° - 50) கோணம் வரைந்து, AB யின் நடுச் செங் குத்து வரையும் கீறுக. O வட் A டத்தின் (அல்லது தேவைப் பட்ட கண்டத்தின்) மையமாகும்.
தரப்பட்ட கோணம் கூர்ங்கோணமாயின் மை யம் கண்டத்துக்குள் வரும். அன்றி அது விரி கோணமாயின் மையம் கண்டத்துக்கு வெளியே வரும். இதை, தரப்பட்டகோணம் 180° எனக் கொண்டு செய்தறிக. எதைச் செய்தாலும், முதலிற் பெரும்படியாக ஒரு வடிவம் கிறி அதிற் கோணங்களைக் குறித்து அவ் வடிவத் தைத் துணையாகக்கொண்டு வரையத் தொடங் குவதே புத்தியானது.
இனி, அரை வட்டத்திலுள்ளது செங் கோணம்' என்பதன் மறுதலையை எடுப்போம். அது. " ஒரு செங்கோண முக்கோணத் திலே செங்கோணத்தின் எதிர்ப்புயத் தை விட்டமாகக்கொண்டு வரையப் படும் வட்டம் செங்கோணப் புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் என்பதாகும். இது வும், முற் சூத்திரத்தைப்போலவே turf, G3sFL. கியாயத்தால் ரூேபிக்கலாம்

Page 47
336
முறையான கேத்திர கணிதம்
D
ZACB, Z ADB e இர ண் டு ம் த னித்தனி செங் கோண ங் களா user, A, B, C, D lă r ar g lb. A 3. ஒரே அரை வட்டத்திலுள்ளன.
அப்பியாசம்-52 () வரைதல்
3' ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. அதில் AB
* ஒரு காண் அமைத்து வட்டத்ை இரு கண்டங்களாகப் பிரி ட ஒரு கண்டம் 70° கோணமுடையதாதல் வேண்டும். 5ானின் ளேம் எவ்வளவு ?
5 செ. மீ. ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறி, 1500 கோணமுள்ள கண்டமொன்று பிறக்கும்படி அவ் வட்டத்துள் ஒரு நாண் வரை க. நானiன் ளேம் எவ்வளவு? மறு கண்டத்திலுள்ள கோணம் எவ்வளவு? 23' மீளமுள்ள நேர்வரை யொன்று கீறி அதை காணுகவைத்து 50° கோணமுள்ள ஒரு கண் டம் வரைக.
7 செ. மீ. நீளமுள்ள நேர்வரை யொன்றின் மீது 140° கோணத்தைஉடைய கண்டமொன்று வரைக. m
பீடம் 8 செ. மீ, உயரம் 32 செ. மீ., உச்சிக் கோணம் 55 கொண்ட ஒரு முக்கோணி வரை க.
மற்றைய இரு புயங்களுள் நெடிய புயத்தின் நீளம் எவ்வளவு?

a 6.
o 7.
**10。
வில்லேந்தும் கோணங்கள் 337
பாதம் 10 செ. மீ., பரப்பு 17 ச. செ. மீ, உச் சிக்கோணம் 100° உடைய முக்கோணியொன்று வரைந்து எஞ்சிய இரு கோணங்களேயும் அளக் தறிக. ABC 8?(B5 (pii (345 IT GROOT GJuuổi). AB = 930 uurit ;- BC = 770uLuft i ; CA = 1490uuri (pi G3&sir Gofflieg வெளியாக P என்னும் இடத்திலிருந்து பார்க் கும்பொழுது AB ஏந்தும் கோணம் 48 என வும், BC ஏந்தும் கோணம் 46" எனவும் தெரி கிறது.C P எவ்வளவுதூரம் என வரைந்தறிக. OA (= 3"), OB(=2") என ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு நேர்வரைகள் கீறுக. LOPA = 180°, L OPB = 80° Quoj gjasgtas Pயின் நிலையத்தை வரைந்தறிக. OP எவ்வளவு
8ør ubi ? - 10, 11, 13 செ. மீ. நீளமுள்ள புயங்களே யுடைய முக்கோணிக்குள்ளே மூன்று புயங்க ளும் சமகோணங்களை ஏந்தி நிற்கும் புள்ளி யின் நிலையத்தை வரைந்தறிக. மூலைகளிலிருந்து புள்ளியின் தூரம் எவ்வளவு? ஒரு கோணம் 85 பாகையாகவும், மூலவரை கள் முறையே 3', 3' மீளமுள்ளனவாகவும் ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம் வரைக. புயங்களின் நீளம் எவ்வளவு?
அப்பியாசம்-52 (i) கணித்தல் APB, CPD ஒரு வட்டத்திலேயுள்ள இரு காண் கள். (அவை வெட்டுமிடம் P). IPAC-30° ; | PCA=40°. Z PBD, ZPDB GTś38 urg)4 கள் ? O வட்டத்தின் மையமாயின் /AOD எத்தனை பாகை ?
22

Page 48
338
* ?。
* 8.
முறையான கேத்திர கணிதம்
8?GU5 Guu. L-iSGBay AB, BC என இரு சமமான விற்கள் உண்டு. (இரண்டுமாக அரைவட் டத்திற் குறைவு). வட்ட மையம் O. ZAOC= 100o. Z ACB 6Tá55ázar lurrapas ? APB, CPD ஒரு வட்டத்திலுள்ள இரு காண் கள். (அவை வெட்டுமிடம் P). Z APC = ?0°; LADP=80°. வட்டத்தின் மையம் O ஆயின் ZBOD எத்தனை பாகை ? O ஒரு வட்டத்தின் மையம், A, B, C சுற்று வரையிலே மூன்று புள்ளிகள் LAOB=40°; LOAC=20°. A, B, C மூன்றும் அரை வட் டத்துக்குள் அமைந்தால், AO | BC எனக் காட்டுக. ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் சுற்று வட்டத் Sair adudulb O. ZABC = 80. ZOAC GT isar பாகை ?
O ஒரு வட்டத்தின் மையம், ABCD வட்டத் தில் அமைந்த ஒரு காற்புயம். E காற்புயத்தின் மூல வரைகள் வெட்டுமிடம், LDAC-300; Z AED = 100o ; Z BDC = 40o. ZACB, Z ACD, Z AOD எத்தனை பாகை ? ABCD வட்டத்தில் அமைந்த ஒரு காற்புயம். / CAD =80°; I ABID = 25°; 1! ADB = 4O°. Ismtaö புயத்தின் நான்கு கோணங்களையும் அறிக. 6 விட்டமுள்ள வட்டத்திலே ABCD ஒரு நாற்புயம். AB=BC=8". / ADB எத்தனை பாகை ? AB, DC வட்டத்துக்கு வெளியே Pயில் சந்திக்கின்றன. IPCB=80° ஆயின், காற்புயத்தின் மூலவரைகளுக் கிடையேயுள்ள கோணங்களே அறிக.

8 9.
* 10。
வில்லேந்தும் கோணங்கள் 339
ஒரு வட்டத்திலே O மையம் , AOC ஒரு விட் டம் : ABCD ஒரு நாற்புயம். 7 BAC-30° ; A! DAC= 50°; BO, DO Gg2Qai Aö60),/D GQèz0orği. வடிவத்தில் எஞ்சியுள்ள கோணங்கள் எல்லா வற்றையும் அறிக.
ABC வட்டத்தில் அமைந்த முக்கோணி Gur6örp. Z A = 50°, Z B = 60°, Z C = 70°. மூன்றுகோணச் சமவெட்டிகளும் வட்டத்தை முறையே D, E, F என்னும் புள்ளிகளில் சங் திக்கின்றன. DEF முக்கோணியின் மூன்று கோணங்களேயும் அறிக.
அப்பியாசம்-52 (i) நிறுவுதல்
AB, CD 8@ab GNu L - š69 லுள்ள இரு நாண் கள் . AD, BC åbOor disulu Eயில்வெட்டுகின்றன. முக் G3s fr6CBois Git ABE, C D E இரண்டும் சமகோணங் களே யுடையன எனக் காட்டுக.
AB, CD 825. GAIL டத்திலுள்ள இரு 5ான கள. அவை வட் ட த் து க்கு வெளியே Huisv வெட் டு கின்றன. மு க் கே ர னிகள் ADE, CBE, gur Gor டும் சமகோணங்களை யுடையன எனக் காட்டுக

Page 49
340
10.
முறையான கேத்திர கணிதம்
A, B இரு வட்டங்கள் வெட்டுமிடங்கள், Aக் கூடாகச் செல்லும் இரு நேர்வரைகள் ஒரு வட் டத்தை Cயிலும் Eயிலும், மற்றைய வட்டத்தை Dயிலும் Fஇலும் வெட்டுகின்றன. / CBE = A DBF எனக் காட்டுக
AB, CD ஒரு வட்டத்திலுள்ள இரு சமாந்தர
15 IT 6oT 56jr. AD, BC வட்டத்துக்குள் Eயில் Gaul (88git par. A BE துவிசமயுய முக்கோணி எனக் காட்டுக.
ABC 8@QU5 pés கோணி. Z B விரி கோணம், A B = BC. AB6Bu
15ாளுகை வுடைய வட்ட மொன்று AC60DU Du?6yün ட்ேடிய CBயை Eugyi Gall (88pg). DE=DC Grat க்காட்டுக.
ABC 5?05 (Upi G35 IT GOofii. BDL AC. CEL AB. B, E, D, C நான்கும் ஒரு வட்டத்தில் அமையும் என கிறுவுக. P92R 8d5 (Up iš CBST GOofi. QL, LPR. RM LPQ. ZMRL = LM9L, GT GTä StuGs. A, B இரு வட்டங்கள் வெட்டுமிடங்கள். AC, AD 305 all-isoir. B, C, D மூன்றும் ஒரு நேரில் உள்ளன எனக் காட்டுக.
ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி. கன்னம் ACu9607 5(8 D. AD = BD = CD எனக்காட்டுக. ABC ஒரு சமபுயமுக்கோணி. 0 சுற்றுவட்ட மையம். BCக்குச் செங்குத்தான ஆரம் OD.
 

米11。
*i3.
米fö,
* 14.
a 15.
*16,
e81?.
வில்லேங்தும் கோணங்கள் 341
OBD, OCD இரண்டும் சமபுய முக்கோணிகள் எனக் காட்டுக.
XYZ ஒரு முக்கோணி. XY, XZ இரண்டையும் விட்டங்களாக உள்ள வட்டங்கள் BCயில் ஓரிடத்திற் சந்திக்குமெனக் காட்டுக.
ABC FQ5 g. 67 GFLD, quLu Qypë (345 T 60Offi. AB = AC. சமபுயங்களிரண்டையும் விட்டங்களாகவுடைய வட்டங்கள் பீடத்தின் கடுவில் சக்திக்குமென சிறுவுக.
ர்ேமட்டமான தரையிலே ஒரு ஏணியின் அடியை வைத்து கிறு திட்டமான சுவரிலே அது சார்த்தப்பட்டிருக்கிறது. ஏணி வழுக்கி விழும் போது அதன் நடுப்புள்ளியின் படுக்கை ஒரு வட்டமெனக் காட்டுக.
ஒரு அரை வட்டத்தின் ஆரம் AB ; மையம் O. சுற்றுவரையில் P ஏதுமொரு புள்ளி. AP மீட் டப்படுகிறது, T வரையும். PT = - Ur th. Z POT = LTOB 6r68r i astru (F4.
ABC F(ab (piš (35mt 60Offi. AD IL BC. BEL AC. AD, BE இரண்டும் Rஇற் சந்திக்கின்றன. AD மீண்டு சுற்றுவட்டத்தை Gயில் சந்திக்கி pga. Z G BD = Z D BIF GTGOT @yuh, GD = DF எனவும் காட்டுக. XY ஒரு வட்டத்தின் விட்டம். O மையம். XRP, YRO go is stair soir. 4 OOP Qafi, கோணமாயின் OX= QR எனக் காட்டுக. இரு வட்டங்கள் வெட்டுமிடங்கள் X, Y, ஒரு வட்டத்திலுள்ள ஏதுமொரு புள்ளி Pக்கூடாக

Page 50
342
* 18.
米*19。
来米30。
*杂21,
22.
முறையான கேத்திர கணிதம்
இரு நேர்வரைகள் PXA, PYB மற்றைய வட் டத்தை Aயிலும் Bயிலும் வெட்டுகின்றன.
5ர னை AB எப்பொழுதும் ஒரே அளவினது
எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு வட்டத்திலுள்ள ஏதுமொரு நாம் புய வடிவம். கோணங்கள் A, C இரண்டின் சமவெட்டிகளும் வட்டத்தை முறையே Xஇலும் Yயிலும் சக்திக்கின்றன. XY வட்டத்தின் விட்டமெனக் காட்டுக.
AB, CD ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு நாண்கள். அவை வெட்டுமிடம் R. RF 1. AC. FR மீட்டப்பட்டால் அது BDயின் நடுவுக் கூடாகச் செல்லும் எனக் காட்டுக.
OP, OQ, OR ஒரு வட்டத்தின் மூன்று ஆரங் கள். O, P, Q மூன்றுக்கூடாகவும் செல்லும் வட்டம் PRஐ Sஇல் சந்திக்கிறது. OS கோணம் QORஇன் சமவெட்டி எனக் காட்டுக.
AB PQ, AIBRS Dg5 au-fils Gir. QASIL AB. OB, SB isir G) al --i săbir (paopGu R, P இரண்டிலும் சந்திக்கின்றன. BA கோணம் RAPயின் சமவெட்டி எனக் காட்டுக.
ABC ஒரு முக்கோணி. கோணங்கள் 8, C இரண்டின் சமவெட்டிகளும் சுற்றுவட்டத்தை முறையே Dயிலும் Rயிலும் சக்திக்கின்றன. BE || CD guar, Z A = 60° GT GOT & Asrull@s.

46. வட்ட நாற்புயங்கள் $1. ஒரு நாற்புயத்தின் நான்கு மூலைகளும் ஒரே வட்
டச் சுற்றுவரையி லுள்ளனவாயின் அக் காற் புயம் வட்ட நாற்புயம் எனப்படும்.
சூத்திரம் 28
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு வட்ட காற்புயத்திலே எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத் தொகை 180 பாகையாதல் வேண்டும்.
ཁམཁས་མ་ཡ།།
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABCD ஒரு வட்ட காற்
புயம். O வட்ட மையம்,
G3SG6ir ní — ( i ) L A -- L C = 180°;
(ii) Z B -- Z D = 180° at Görlus. 3bd3lh - BO, DO 3)aardiscuul Gub.
835u 650) ab - Li BOD = 2 LA (மையத்திலுள்ள கோணம்
சுற்று வரையிலுள்ளதிலும் இருமடங்கு.)

Page 51
344
$2。
S3.
முறையான கேத்திர கணிதம்
பிற்கோணம் / BOD=2 (c (அதே சியசயம்) <939)ŵ, Li BOD + 1 93ŵr / BOD = 360°. (i)_-_.-... --س--------------- ?180 == LA + LC ,". காற்புயத்தின் நான்கு கோணங்களும் சேர்ந்து 360.
.". L B -- Z D = 180° -------------۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ... ... ۔ ۔ --س )ii(
என்றவாறு,
ஒரு வட்ட காற்புயத்தில் ஏதுமொரு புயத்தை மீட்டப் பிறக்கும் வெளிக் கோணம் எதிராக உள்ள உட்கோணத்துக்குச் சம மென்பது முக்கியமான தோர் உண்மை
LADC-- LB = 180° LADC + LCDE= 180° .". LCDE = LB.
சமமான இக் கோணங்களைப் படத்திலே குறித்
துக் கொள்க.
இனி, டிெ சூத்திரத்தின் மறுதலையை எடுத் துக்கொள்வோம்.
சூத்திரம் 29
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு நாற்புயத்தின் எதிர்க்
கோணங்கள் சேர்ந்து 1800 ஆயின் நாலு மூல தளும் ஒரே வட்டத்தில் அமைதல் வேண்டும்.
 

வட்ட நாற்புயங்கள் 345
dfgpŬ ĵa)ä3,600 h - 5JG - ABCD ஒரு நாற்புயம்.
Z A -- A C = 180°. கேள்வி - A, B, C, D ஆகிய நான்கு புள்ளி களும் ஒரே வட்டத்தில் அமையும் என்பது.
ஆக்கம் - A, B, C மூன்றுக்கூடாகவும் ஒரு வட்டம் வரைக. அவ் வட்டத்தில் D அமையாவிட்டால் வட்டம் ADயை Eயில் வெட்டட்டும், CE இணைக்கப்படட்டும். Éobu60]if - ZA+Z BCD= 180° (su al)
Z A-Z BCE= 180° (ABCE au.
நாற்புயம்) ', 4 BCD = L BCE, g)gj Gurgiast.g. . CD, CE இரண்டும் ஒன்ருதல்
வேண்டும். அதாவது, A, B, C மூன்றுக் கூடாகவும் செல்லும் வட்டம் Dக் கூடாகவும் செல்கிறது, என்றவாறு

Page 52
346
S 4,
S5.
முறையான கேத்திர கணிதம்
ஒரு நாற்புயத்தின் வெளிக்கோன மொன்று எதிராகவுள்ள உட்கோணத்துக்குச் சமமாயின் அக் நாற்புயம் வட்ட நாற்புயமாதல்வேண்டும். இது $2 இல் கூறியதன் மறுதலையாதல் காண்க. ஒரு முக்கோணியின் மூலைகளிலிருந்து எதிர்ப் புயங்களுக்குச் செல்லும் செங் குத்துவரைகள் ஒன்று கூடும் என்பது முக்கியமானது. இதற்கு நிரூபணம் (சுருக்க மாக) பின்வருமாறு.
ހަ4 s n C
BL. L. AC. CML AB... £20q5 Gaf fineg, äig a'u 670au 65 ளும் சக்திக்குமிடத்தை O என்க. AO இணைக் கப்பட்டு BC வரைக்கும் நீட்டப்படட்டும். AN1BC எனக் காட்டவேண்டும். BCLM வட்ட நாற்புயம். (ஏன் ?) ... Z. CBL = ZCML AMOL வட்ட நாற்புயம். (ஏன் ?) ..'. ZOAL = Z OML Cy 5 tras, ZCML) „°, L OAL = 4 CBL (sya ZOBN)
 

வட்ட கா ற்புயங்கள் 347
H6Offi, A Gir OBN, O AL Qur Grisw (9th Fuo கோணங்களை உடையன. (ஏன் ?)
... L ONB = L OLA=@ 5Fišï (345 ArgOJT uń,
மூன்று செங்குத்து வரைகளும் ஒன்று கூடும் புள்ளி செங்கோட்டுச்சந்தி எனப்படும்.
அப்பியாசம்-53 (1) கணித்தல்
. ABCD gag வட்ட காற்புயம். AB, CD இர ண்டு ம் நீட்டப் பட்டுள் ளன. வெளிக்கோ ணம் IDs 100°. வெளிக் கோணம் B எத்தனை பாகை?
ABCD ஒரு வட்ட காற்புயம்; O வட்ட மையம். Z BOD=140°. வெளிக்கோணம் A எத்தனை பாகை ?
. ஒரு வட்டத் GOlav AB, CD என இரு நாண்கள் வட் டத்துக்கு வெ ளியே E இல் சர் தி க் கி ன் ApGOT. AC, BD இணைக்கப்படுகின்றன. / A=80; /E=30. வடிவத்தில் எஞ்சிய கோணங்களே அறிக.
مسس سے ۔۔۔۔

Page 53
348
.ه
முறையான கேத்திர கணிதம்
இரு வட்டங் གཅན་ 《།། ལས་ལ་མཁས་པ་ཆེ།།
ά σίτ ஒன்றை A ༄། ༧  ெயா ன் *一。 வெட்டு கி ன் () عور
J մD607, Qaչյլ - டுப் புள்ளிக ༤N། _ンsこブ ளுக்கூடாக ”ܢ APB, CQD Groor இரு வரைகள் மீண்டும் வட்டங்களைச் சக்திக்கின்றன, 4 ACQ sa 85°. ZBDO Grigār throps, P
மூன்று வட் டங்கள் படத் திற் காட்டிய வாறு வெட்டு a s p 。 *こ六二オこブ。 ABCD, LMNO இரண்டும் வெட்டுப் Laraif. களுக் கூடாகச் செல்லும் நேர் வரைகள் L-BAL = 95°. LDON எத்தனே பாகை ?
ABCD 505 all (57 by Luth. CB = cD,
- A = 70 LCBD எத்தனே பாகை ?
ABCD 25 Gull நாற்புயம் : O வட்ட
ooptou /h. Z OAC = 25ə. 4 D, Z B afésar liff GGDES ?
. ஒரு வட்டத்திலே ABC ஒரு குறு வில்; O
வட்ட மையம். LAOC=10°. 1. ABC Gris திகின பாகை ?
 

*10。
* 11.
*12。
* 13.
வட்ட நாற்புயங்கள் 349
ABCD 605 all L 15tf புயம் : O வட்ட மையம், Z A = 80°; L ODA = 20°; Z DBC = 10. 15riljuj தின் நான்கு கோணங்க ளே யும் அறிக.
ABCDE வட்டத்தில் அமைந்த ஒரு ஐம்புயவடி QJub. BA = BC ; Z BAC = 309 ; Z CAD=35, LDAE= 40°. ஐம்புய வடிவத் தி ன் ஐந்து கோணங்களையும் அறிக.
ABCDEF வட்டத்தில் அமைந்த ஒரு அறு Լվu l வடிவம். ZA = 1530° A. C-100°; A. E எத்தனை பாகை ?
பக்கத்திலுள்ள வ டி வ த் தி ல் Ι. Ο π- 140° και Z OBD = 10° ; கோண ங் கள் ADB, DAB, C, OAD என்ப வற்றைத் தனித் தனி அறிக.
ABC ஒரு வட்டத்திலுள்ள முக்கோணி. Z A = 50° ; Z B = 60°; Z C = 70°. முக்கோ ணிக்கு வெளியாகவுள்ள மூன்று கண்டங்க ளிலு முள்ள கோணங்களின் மொத்தம் எவ் வளவு ?

Page 54
350
1.
முறையான கேத்திர கணிதம்
அப்பியாசம்-53 (1) நிறுவுதல்
ABCD ஒரு வட்ட நாற்புயம். ւ Այ ճ։ Ֆ or AB, DC Mr Gičar Gith வட்டத்துக்கு வெளியே Eu ñ sigificipar. A cir AEC, BED இரண்டும் சமகோணமுடையன என நிறுவுக.
APQC, BPQD gir air Gh ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்கள் ; P, Q வெட்டுப் t-/6ir 67ĥa56ir... APB, COD Gaullo G9 புள்ளிக ளுக்கூடாகச் செல்லும் இரு நேர்வரைகள். ABl CD என நிறுவுக,
ABML, BCNM, CDON மூன்று வட்டங் 56r. ABCD, LIMINO GAILLIš 5&T வெட்டும் இரு கேர்வரைகள். A DOL 62(5 ailt ... - காற்புயமென கிறுவுக,
一 \4ރ ستS_ރGމސ......ت Cd
ABCDEF வட்டத்தில் அமைந்த எதுமொரு -Ց մ) էվԱl வடிவம். 4 A+ LC+/ Ess60° GT6r சிறுவுக. ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயத்தைச் சுற்றி வட் டம் மே முடியுமாயின் அது நீள் SFAW ofr யிருத்தல் வேண்டும் என நிறுவுக. ஒரு வட்டத்தில் அமைந்த முக்கோணிக்கு வெளியான மூன்று கண்டங்களிலுமுள்ள கோணங்களின் மொத்தம் 360° என கிறுவுக.
 

a 9.
10.
11.
12.
* 13.
வட்ட காற்புயங்கள் 351
ஒரு வட்டத்திலே AB, CD இரு சமாந்தர காண்கள். AC, BD இரண்டையும் இணைத்து நீட்ட அவை வெளியே Eயில் சக்திக்கின்றன. EC = ED ar ar fio.py Gall 3.
. ABCD, A BEF BFGör Gosp Guust Görp Gaul GuÁ95
வட்டங்கள் ; DAF, CBE இரண்டும் சமாங் தரமான இரு நேர்வரைகள். DFEC சமாந்தர சதுர்ப்புயம் என நிறுவுக,
ABCD 6da GAuu - f5 T buqu.uib. IL BAC = LADC - LACB 67607 répl 65.
ABCD go all L- (sir is pub. AD, BC gu air டும் மீண்டு வட்டத்துக்கு வெளியே Eயில் சங் š6G6ör spøT. EA = EB -3u6ör, AB || DC என நிறுவுக.
ABCD ஒரு வட்ட காற்புயம். AE என்னும் வரை Aயிலுள்ள கோணத்தை இரு சமகூருக்கி வட்டத்தை Eயில் சக்திக்கிறது. CE இணைக்கப் பட்டால் அது Cயிலுள்ள வெளிக்கோணத்தை இரு சமகூருக்கும் என நிறுவுக.
ABCD ஒரு வட்ட காற்புயம், AB, DC இரண் டும் வட்டத்துக்கு வெளியே Eயிலும், BC, AD இரண்டும் வெளியே Fஇலும் சக்திக்கின்றன. வட்டங்கள் BCE, DCF இரண்டும் மீண்டும் Gயில் வெட்டுகின்றன. E, F, G மூன்றும் ஒரு நேர்வரையிலுள்ளன என நிறுவுக.
இரு வட்டங்கள் A, B என்னுமிடங்களில் வெட்டுகின்றன. C வட்டங்களுக்கு வெளியான தோர் புள்ளி. கேர்வரைகள் CA, CB ஒரு வட்

Page 55
352.
14.
f 15.
tek 16.
**17.
**18。
முறையான கேத்திர கணிதம்
டத்தை D, E இரண்டிலும், மறு வட்டத்தை F, G இரண்டிலும் வெட்டுகின்றன. DE | FG என நிறுவுக.
ABCD ஒரு வட்ட நாற்புயம். DE என்னும் நேர்வரை IDயிலுள்ள வெளிக் கோணத்தை இரு சமகூருக்கி வட்டத்தை Rயில் சந்திக்கின் றது. AB இணைக்கப்பட்டால் அது Aயிலுள்ள வெளிக்கோரை த்தை இரு சம கூருக்குமென கிறுவுக.
ABC ஒரு முக்கோணி. BCயில் ஏதுமோர் புள்ளியை D என்க. BPE என ஒரு வட்டம் ABயை F இலும், CPE என ஒரு வட்டம் ACGÐuu Gg)62 fó, Gauu (9637 sp6GOT. A, E, F, G என்னும் புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தில் அமைவன என நிறுவுக.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்யுயம். மூலைவரை ACu96), E 69 (U5 Ly Gir Gaill. Gul i litir3, air AEB, DEC இரண்டும் எஞ்சிய மூலைவரையை ஓரிடத் தில் வெட்டுமென நிறுவுக.
ஒரு வட்ட நாற்புயத்தின் ஒரு கோணத்தை யும், எதிராக உள்ள வெளிக் கோணத்தை யும் இரு சம கூருகப் பிரிக்கும் நேர் வரைகள் வட்டத்தில் ஓரிடத்தில் வெட்டு மென நிறுவுக.
ABC ஒரு முக்கோணி. D, E, F என் பன முறையே BC, CA, AB என்பவற்றிலுள்ள ஏதும் மூன்று புள்ளிகன். வட்டங்கள் AEF, BDF, CDE மூன்றும் ஓரிடத்தில் வெட்டு மென நிறுவுக:

** 19.
**20。
21.
ቆ*82.
* 23.
வட்ட நாற்புயங்கள் 353
A, B இரு வட்டங்களின் மையங்கள் : C, D அவை வெட்டுமிடங்கள். ACயை இணைத்து நீட்ட மறு வட்டத்தை Eயிலும், BCயை இணைத்து கீட்ட மறுவட்டத்தை F இலும் வெட்டும். A, B, D, E, F என்பன ஒரு வட் டத்தில் அமைவன என நிறுவுக.
ABCD gogl5 aul-L - 15 It jôl y Luth. AC Li BD. AIDயின் மையம் M. MEயை இணை த் து நீட்ட BCக்குச் செங்குத்தாகுமென நிறுவுக.
ஏதுமொரு நாற்புய வடிவத்தின் கோண ச்
சமவெட்டிகள் நான்கும் சேர்ந்து ஆக்கும்
நாற்புயம், வட்ட காற்புயமென நிறுவுக.
ABC ஒரு கூர்ங்கோண மு க் கே ர னி.
AD IL BC ; BEL AC ; C F L AB. O (o Friu கோட்டுச் சந்தி. LODE= Z ODF என நிறுவுக. ABC 6 (pišG35 IT GOf?. AD LBC ; BELAC : CFL AB, O QFrši G3smtu G9j SF iš G. D, E, F என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் வட் L-tih AO, BO, CO GT Gðr6gJuli AJ60) ir 45 Gaffløör 1509' புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுஇழனுல கிறுவுக.
23

Page 56
47. தொடுவரைகள்
$1. ஒரு வட்டத்தை நேர்வரையொன்று வெட்டும் போது, வட்டத்துக்குள் அடங்கிய பகுதி நாண் எனப்படுமல்லவா? அவ் வெட்டுவரை வட் டத்தை வெட்டுமிடங்கள் (புள்ளிகள்) இரண் டும் கிட்ட வர வர நாணும் குறுகிக் குறுகி வரும். இறுதியில், வெட்டுப் புள்ளிகளிரண்டும் ஒன்றுபடும்போது காண் சூன்யமாகும். இதற்கு மேல் அவ்வரை வட்டத்துக்கு வெளியாகிவிடும்.
2O)(2) ملک۔ -طحک
வெட்டுப் புள்ளிகள் இரண்டும் ஒன்றுபட் டிருக்கும் நிலையில் அந் நேர்வரை வட்டத்தின் தொடுவரை எனப்படும். அதாவது, வெட்டு
வரையின் இறுதிநிலை தொடுவரை աT(35ւb.
வட்டமல்லாத வேறு வடிவங்களிலே தொடு வரைகள் அவ் வடிவத்தை வேறிடங்களில் வெட்டுதலும் கூடும்;
○○下ン

S2.
தொடுவரைகள் 355
வட்டத்துக்கும் தொடுவரைக்கும் பொதுவான புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும். தொடு வரையும் தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் ஆரமும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தானவை யென்பது அடுத்த சூத்திரத்தால் விளக்கப்படும்.
சூத்திரம் 30
பொதுவிலக்கணம் - (1) ஒரு வட்டத்தின் தொடுவரை யொன்றும் தொடுபுள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஆரமும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத் தாதல் வேண்டும். i மறுதலையாக, வட்டச் சுற்றுவரையிலுள்ள ஒரு புள்ளிக்கூடாக ஆரத் துக்குச் செங்குத்தாயுள்ள நேர்வரை தொடு வரையாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - OT ஒரு வட்டத்தின்
ஆரம். TA தொடுவரை. (3assire - LOTA = Gori G35r6orib என்பது.
ஆக்கம் - OT செங்குத் தல்லவாயின், TAigid
செங்குத்தாக OPயைக் கீறுக.
f(5ualii - OP LTA (-sist)

Page 57
356 முறையான கேத்திர கணிதம்
. 0விலிருந்து TAக்கு மிகக் கிட்டிய தூரம் OPஆகும்.
Jey 35st 601 gij, O P < OT. ஆனல், TA தொடுவரை ; T தொடுபுள்ளி. ஃ TAயில் T ஒழிந்த புள்ளிகள் யாவும் வட்டத் துக்கு வெளியானவை.
அதாவது, OT < OP. -26 (36), OP < OT; OT < OP ar Görlij627 இரண்டும் பொருந்தா. அதாவது, P. T இரண்டும் ஒன்ருதல்வேண்டும்.
அதாவது, A OTA-செங்கோணம்
என்றவாறு.
(i) மறுதலை
a -x ܕܱ - சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O வட்ட மையம், OA
gur tibi. AT LOA. கேள்வி - AT தொடுவரை என்பது.
ஆக்கம் - AT தொடுவரை யல்லவாயின் அது வட் டத்தைப் பின்னும் X இல் வெட்டட்டும், OX இணைக்கப்படட்டும்.
நிரூபணம் - OA=OX (ஆரங்கன்).

S3.
(i)
(ii
(iii)
தொடுவரைகள் 357
... I. Ο ΑX = I OXA -g(God) ZOAX = Gg ћGg trago ih (4 raj).
. /OXA = செங்கோணம்.
இது பொருக்தாது. ஆகவே, A, X இரண்டும் ஒன் ருதல் வேண்டும்.
அதாவது, AT தொடுவரையாகும்.
ைெடி குத்திரத்திலிருந்து பின்வருவன இலகுவிற் பெறப்படுதல் காண்க.
வட்டச் சுற்று வரையிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி யிலும் ஒவ்வொரு தொடுவரை மாத்திரமே கீறலாம்.
தொடுபுள்ளிக்கூடாகத் தொடுவரைக்குச் செங் குத்தாகக் கீறப்படும் நேர்வரை வட்ட மையத் துக்கூடாகச் செல்லும்,
குறித்த கேர்வரை யொன்றைக் குறித்த புள்ளி யொன்றில் தொடும் வட்டங்களின் மையங்க ளது படுக்கை அப் புள்ளிக்கூடாக அவ்வரைக் குச் செங்குத்தாகச் செல்லும் நேர்வரை யாகும்.
இரு சமாந்தரமான வரைகளைத் தொடும் வட் டங்களின் மையங்களது படுக்கை அவ் வரை களுக்குச் சரி நடுவாகச் செல்லும் சமாந்தர வரையாகும்.
குறித்த நேர்வரை யொன்றைத் தொடும் குறித்த ஆரமுள்ள வட்டங்களின் மையங்க ளது படுக்கை குறித்த வரையின் இருபக்கத்தி லும் குறித்த ஆர தாரத்திலுள்ள இரு கேர் வரைகளாகும.

Page 58
358
S 4.
(i)
(ii)
முறையான கேத்திர கணிதம்
டிெ சூத்திரம் வட்டத்துக்குத் தொடுவரை யைக் கீறும் வழியைக் காட்டுகிறது. வட்டச் சுற்று வரையிலுள்ள புள்ளி யொன் றில் (T) வட் - த் துக் குத் தொ டு வ ைர கீற வேண்டும். OʻT g2Q&zoordi; கப்படட்டும்.
ʻTA OT.
வெளியாகவுள்ள
புள்ளி யொன்றி
லிருந்து (T) வட் ノブ考 டத்துக்குத் தொ
டுவரை கீறவேண் 3
டும்,
TO இணைக்கப்படட்டும்.
TO விட்டமாக உடைய வட்டம். TA, TB தொடுவரைகள்.
(LOAT = அரை வட்டத்திலுள்ள கோணம்=
செங்கோணம்).
இரு தொடுவரைகள் உண்டென்பதை அவ
தானித்துக்கொள்க.
பூமியின் மேற்பரப்பிலிருந்து எவ்வளவுக்கு உயரப்போகிருேமோ அவ்வளவுக்கு அதிக
 

தொடுவரைகள் 859
தூரம் (பூமியின் பரப்பிலே) எமது கண்ணுக் குப் புலப்படும். வட்டம் பூமியையும் P கண் ணேயும் குறிக்கட்டும். பார் வைக்குட்பட்ட மிக எட்டிய இடம் T ஆகும். அதாவது, PT தொடுவரை
araor (3a PT LOT.
x"+r"=(a十r)。
= a + r +2ar . xo = a.--2ar
பூமியின் ஆரத்தோடு (4000 மைல்) ஒப்பிடும் போது a மிக மிக அற்பமானதாகும் ; இம யத்தின் உச்சியும் அற்பமானதே.
எனவே, x=2ar (கிட்டத்தட்ட) “,X = v2ar ( y ) உதாரணம் - 6 அடி உயரமுள்ள ஒருவர் கடல் மட்டத்திலிருந்து 30 அடி உயரமான ஒரு இடத் தில் நின்று பார்க்கும்பொழுது அடிவானத்தின் தூரம் என்ன ?
V2ar
36 8 3=86 அடி = 5280 6069
ாக 4000 மைல்
86 مرب دو / = بی۔... '. Σκ Y2×数刃* 4000 மைல்
-74 மைல் (கிட்டத்தட்ட)

Page 59
360
S6.
முறையான கேத்திர கணிதம்
வட்டத்துக்குள் ஒழுங்கான பல புயவடிவங் களே அமைப்பது முன் எடுத்துக் காட்டப்பட் டது. இப்பொழுது வட்டத்தைச் சுற்றி ஒழுங் கான பல புயவடிவங்களை அமைக்கும் முறையை அறியும் நிலைக்கு வந்துவிட்டோம். ஒரு உதா ரணமூலம் முறையை விளக்குவாம்.
ஒழுங்கான எண் புய வடிவமாயின் எட்டுப் புயங்களும் எட்டுத் தொடுவரைகளாகும். தொடுபுள்ளிகள் எட் டுக்கூடாகவும் செல் லும் ஆரங்கள், வட்ட மையத்திலுள்ள 360 பாகைகளேயும் சமமா கப் பிரிக்கும். 380+8=45°. எனவே, 45 பாகைகளில் ஆரங்களைக் கீறி, ஆர நுனிகளிற் தொடுவரைகளைக் கீறி, வடிவத்தைப் பெறலாம்.
எல்லா ஆரங்களையும் அவற்றுக்குரிய தொடு வரைகளே யும் கீருது இரு ஆரங்களையும் அவற் றுக்குரிய இரு தொ یہ \"" "حصص سے > டுவரைகளையும் மா \ த்திரம் கீறிஞற் \ போதும். ஏனெ னில்,அவ்வளவோடு எமது எண் புய வடி வத்தை உள்ளடக் கும் வட்டத்தைக் கிறிக்கொள்ளலாம் இனி, இவ் வட்டத்
كسص
 
 
 
 
 

தொடுவரைகள் 36.
துக்குள் எண் புய வடிவத்தின் எஞ்சிய பகுதியை அமைப்பது இலகுவானது. வட்ட மிடு கருவியினுல் மூலைகளின் நிலையங்களைக் குறித்துக்கொள்ளலாம். ஆரம்பத்திற் கீறப்படும் இரு ஆரங்களும் இரு தொடுவரைகளும் வெகு அவதானமாகக் கீறப் படல் வேண்டும். அல்லாவிட்டால், தொடு வரைகள் தொடர் வரைகளாகவும் கூடும். வட்டத்துக்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியி லிருந்து வட்டத்துக்கு இரு தொடுவரைகள் கீறலாமென்பது முன் காட்டப்பட்டது. அவ் விரு தொடுவரைகளை ப்பற்றிய குத்திரம் பின்
Gl(5Leip).
சூத்திரம் 31
பொதுவிலக்கணம் - ஒரு வட்டத்துக்கு வெளியே
யுள்ள புள்ளியொன்றிலிருந்து அவ் வட்டத் துக்குக் கீறப்படும் இரு தொடுவரைகளும் சம நீளமுள்ளனவாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - 0 ஒரு வட்டத்தின்
மையம். TA, TB தொடுவரைகள். Gø, 6ir áí? - TA = TB என்பது.
bšsüÎ - oA, o B, oT இணக்கப்படிட்டும்,

Page 60
362 முறையான கேத்திர கணிதம்
நிருபணம் - செங்கோண Aள் OAT, OBT
இரண்டிலும்
OA = OB (gir fărS Gr. ) கன்னம் OT பொது
. Δ 6ίτ =
.. 'TA s= ʼB என்றவாறு.
88. டிை குத்திரத்திலிருந்து
(i) I ATO = Z. BTO at si Lugih
(i) LAOT = / BOT என்பதும் பெறப்படும். அதாவது, மையத்தையும் வெளிப்புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்வரை தொடுவரைகளுக்கிடையி லுள்ள கோணத்தையும் ஆரங்களுக் கிடையி லுள்ள கோணத்தையும் இரு சமகூருகப் பிரிக் கிறது. இது முக்கியமானது. Jy 6ár „mouqub, LAOB -- LATB = 180 Graiirusuh அவதானிக்கத்தக்கது.
S9. தொடுவரைகளுக் கிடைப்பட்ட கோணமும் ஆரங்களுக் கிடைப்பட்ட கோணமும் சேர்ந்து இருசெங்கோணங்களாதல் பின்வரும் ஆக்கத் திற் பயன்படுவதைக் காண்க,
 

S. O.
தொடுவரைகள் 368
ABC ஒரு முக்கோணி. ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றி ஒத்த கோணமுள்ள வேருேர் முக்கோணி கீற
வேண்டும்.
இறப்படவேண்டிய முக்கோணி XYZ ஆயின்
L. A = L X L. B = LY IL C = L Z L ROP = 180°– ZY= Z 180°–Z B.
எனவே, வட்ட மையத்திலுள்ள மூன்று கோணங்களையும் ஆக்கிக்கொள்ளலாம். முக் கோணிப் புயங்கள் ஆரங்களின் நுனியிலுள்ள தொடுவரைகளாகும். வட்டத்துக்குள் அமையும் நாற்புயத்தைப் பற்றிய பிரதானமான உண்மையொன்று முன் எடுத்துக் கூறப்பட்டது (சூத். 28). வட் டத்தைச் சுற்றியுள்ள காற்புயத்தைப்பற்றிய பண்பொன்று பின்வருமாறு :
a = hl
b is c
e is d f = g
c ... (a-b) + (e-f) is (h-g)
+ (c-l-d)
gesgradu, AB -- CD = AD-+-BC அதாவது, எதிர்ப்புய மீளங்களின் கூட்டுத் தொகைகள் சமமானவை,

Page 61
364
முறையான கேத்திர கணிதம்
அப்பியாசம்-54 (1) வரைதல்
. 1" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. வட்டச்
சுற்றுவரையில் 1" இடைத் தூரத்தில் இரு புள்ளிகள் A, B இடுக. அப் புள்ளிகள் இரண் டிலும் இரு தொடுவரைகள் கீறுக. தொடுவரைகளுக் கிடையிலுள்ள கோணம் எத்தனை பாகை ? ی 13' ஆரமுள்ள வட்டம் கீறுக. இடைக் கோணம் 80° உடைய இரு தொடுவரைகள் அவ் வட்டத்துக்குக் கீறுக. 13' ஆரமுள்ள வட்டமொன்றைச் சுற்றி ஒரு சமபுய முக்கோணி கிறுக,
1" ஆரமுள்ள வட்டத்தைச் சுற்றி ஒரு சற் சதுரம் கீறுக.
15' ஆரமுள்ள வட்டமொன்றுகீறுக, மையத்தி லிருந்து 3' தூரத்திலுள்ள புள்ளியொன்றுP. Pக்கூடாக இரு தொடுவரைகள் கீறுக.
1" ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 25' தூரத்தில் உள்ள புள்ளியொன்று P. Pக் கூடாக ஒரு தொடுவரை கீறி அத் தொடு வரைக்குச் சமாந்தரமான வேருெரு தொடு வரை கீறுக.
11" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் றிே அதைச் சுற்றி ஒழுங்கான அறுகோணியொன்று இறுக. ABC ஒரு முக்கோணி. AB=2, Bo=2.ஐ. CA = 26". Acaput தொடும்படியும் Bக் கூடாகச் செல்லும்படியும் 1" ஆரமுள்ள வட்ட மொன்று கீறுக.

10.
a 1 1.
*12,
*13。
14.
தொடுவரைகள் 365
ABC ஒரு துவிசமபுய முக்கோணி. பீடம் BC = 2", AB = AC = 3“. AB6ðDulu Au96 தொடும்படியும் Cக்கூடாகச் செல்லும்படியும் ஒரு வட்டம் கீறுக.
AB ஒரு நேர்வரை AB=25'. Aயை மைய மாக உடையதும் Bயிலிருந்து தொடுவரையின் நீளம் 15" உடையதுமான ஒரு வட்டம் கீறுக. ABC ?QB5 (piš (335 IT GODifi. AB = 3“, BC3"6", Z B = 65°. Luis Gir AB, AC (9).J. 6oorgo-ulub
தொடும்படியும் Cக் கூடாகச் செல்லும்படியும்
ஒரு வட்டம் கீறுக.
இரு நேர்வரைகளுக்கு இடையிலுள்ள ஒரு கோணம் 105”. அவ்விரு வரைகளையும் தொடும் படி 1" ஆரமுள்ள வட்டங்கள் கான்கு கீறுக. இரு சமாந்தர வரைகளின் இடைத்தூரம் 2". ஒரு வரையிலிருந்து 0.8" தூரத்திலுள்ள புள்ளி யொன்று P. இரு வரைகளையும் தொட்டு Pக் கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டம் கீறுக.
2" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. மையத்தி லிருந்து 32" தூரத்திலுள்ள புள்ளியொன்று P. Pக் கூடாக ஒரு வெட்டுவரை PAB கிறுக - AB 1" நீளமுடையதாதல் வேண்டும்.
அப்பியாசம் -54 (i) கணித்தல்
O ஒரு வட்டத்தின் மையம், TA, TB இரு
தொடுவரைகள். LATB-70. ZAOB,
LAOT ஒவ்வொன்றும் எத்தனை பாகை ?
gpigu ang aligao Z AOB = 70°. LATB
LATO ஒவ்வொன்றும் எத்தனை பாகை ?

Page 62
366
3.
8.
முறையான கேத்திர கணிதம்
முந்திய வடிவத்தில் OA -3', OT-5'. தொடு வரையின் நீளமென்ன ?
'ே ஆரமுள்ள வட்டத்துக்கு மையத்திலிருந்து 10" தூரமுள்ள புள்ளியிலிருந்து செல்லும் தொடுவரையின் நீள மென்ன?
ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து d'தூரத்தி லுள்ள புள்ளியிலிருந்து தொடுவரையின் நீளம் ". வட்டத்தின் ஆரத்தை அறியும் வாய்பாட்டைக் காண்க.
ஓர் உருளை யின் மீது 15 அ டி நீள முள்ள மர محسن۔۔ T Dyئ6 mr 6 ) சார்த்தப் பட்டிருக்கிறது. மரமும் உருகளயும் நிலத்திற் பொருந்து மிடங்களுக்குட்பட்ட அாரம் 9 அடி உருளைக்குமேல் ண்ேடிருக்கும் (தடியின்) பகுதி எக்ளேமுடையது?
. ஒரு குதிரை வண்டியின் சில்லுகளின் விட்டங்
கள் முறையே 38', 23. அவை நிலத்தில் முட் டும் இடங்களுக்கு இடைத்தூரம் 80". சில்லு களின் மையங்களுக்கு இடைப்பட்ட ஆதாரத்தை அறிக.
ஒரு முக்கோணியின் மூன்று கோணங்களும் முறையே 50, 60°, ?0°. ஒரு வட்டம் மூன்று புயங்களையும் தொடுகிறது. தொடுமிடங்கள் P, Q, R. முக்கோணி PQRஇன் கோணங் களே அறிக.
 

* 9,
தொடுவரைகள் 367
காலு திசையும் 50 மைல் தூரம் பார்க்கவேண்டு மாயின் எவ்வளவு உயரத்துக்குச் செல்ல வேண்டும்.
(பூமியின் விட்டம் = 8000 மைல்).
J9ŮLuj T3 tit—54 (iii) ßpaghaid
கான்கு ஏக மைய வட்டங் களுக்கு ஒரு Lysir Griff PuS லி ரு க் து கான்கு தொடு 660)prasair PA. PB, PC, PD -'" ו נI L", ש, 68 டி ரு க் கி ன் றன. A, B, C, D நான்கும் ஒரு வட்டத்தில் உள்ளன எனக் காட்டுக.
/-
ஒரு வட்டத் sâG95ʻTA, TB இரு தொடு
வ  ைரி க வr . ZT A B = A TBA Gravi காட்டுக.
ஒகு வட்டத் Asdi(5T`A,TB g)Q5 G5IrGauaraseir. TCLAT. OB foir (o TCFDu Cao Fišá59&š6Gaog. OC= TC Gravaš காட்டுக.

Page 63
368.
( * 0.
0 1 1.
*来12。
முறையான கேத்திர கணிதம்
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருநேர்வரைகளைத் தொடும் வட்டமையங்களின் படுக்கை யாது?
. TA, TB இரு தொடுவரைகள். C வட்டமையம்.
ABயின் நடுச்செங்குத்துவரை TC எனக் காட்டுக.
O ஒரு வட்டத்தின் மையம். AB, CD சமாந்தர மான இரு தொடுவரை கள். தொடுபுள்ளிகள் A,C * BD po Gör (g? ayGags ir G5 ir Gay GODT. Z BOD
செங்கோணமெனக் காட்டுக.
ஒரு வட்டத்தைச்சுற்றி ஒரு சமாந்தர சதுர்ப் புயம் கீறப்பட்டால் அதன் கான்கு புயங்களும் சமநீளமுடையன எனக் காட்டுக.
ABCD ? f5 IT shquLulub. AB - CD = AD + BC ஆயின், நான்கு புயங்களையும் தொடும்படி ஒரு வட்டம் கீறலாமெனக் காட்டுக. இரண்டு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டு கின்றன. AB, CD இரண்டுக்கும் பொதுவான இரு தொடுவரைகள் AC i BD எனக் காட்டுக. ஒரு வட்டத்துக்கு TA ஒரு தொடுவரை ; TBC ஒரு வெட்டுவரை. O வட்டமையம். OML BC. Z AOT = Z AMT ST6orsk stru (Sg5.
ஒரு வட்டத்துக்குள்ளேயிருக்கும் புள்ளியொன் றுக்கூடாகக் குறித்த நீளமுள்ள நானென்று கீறுவதெங்கனம் ?
TA, TB இரு தொடுவரைகள். மூன்ருவதொரு தொடுவரை இவற்றை Xஇலும் Yயிலும் வெட்டுகிறது. மூன்ருவது தொடுவரை எங் கிருப்பினும் முக்கோணி TXYயின் சுற்றளவு ஒரேயளவினதாகும் எனக் காட்டுக.

48. தொடுவரைகளும் வெட்டுவரைகளும்
சூத்திரம் 32 S1. பொதுவிலக்கணம் - ஒரு வ ட் ட த் தி ன் காணுென்றும் தொடுவரை யொன்றும் சக்திக் கும்போது நாணின் இரு கூறுகளும் ஆக்கும் மீள்சதுரம், தொடுவரையிலுள்ள சற்சதுரத் தின் பரப்புக்குச் சமமாதல் வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - O ஒரு வட்டத்தின் மையம். AB ஒரு காண் TP ஒரு தொடுவரை, அவை சக்திக்குமிடம் P. (3sata - PA'PB= PT Gtatus. gbóólf - OMILAB. OB, OP, OT gazordig
படட்டும். நிரூபணம் -
PAPB=( PM -- MA) (PM— MB) = ( PM + MB) (PM-MB)
- PM2--MB*
=(PO2–OM*) – (OB*–OM")
(பிதாகரம்)
- PO2- OB
το PO2- ΟΤ2 OB = OT)
- PT2 என்றவாறு.
24

Page 64
370 முறையான கேத்திர கணிதம்
$2. டிை சூத்திரம் 25ஆம் சூத்திரத்திலிருந்தும் Gupůu3ub. PAPB = PCPID GT6örus ež திரம். PCD சுழன்று தொடுவரையாகும்போது C,Dg)r 6oor B ኦ டும் ஒன்ரு குமி. அ5 கி லை யி ல் P
PD \_/e s PT. وی: من *
ar 67 Gow (3au, PA' PB = PCPD
- PT PT
- PT2
S3. டிெ சூத்திரத்தின் மறுதலையும் முக்கியமான தோர் உண்மை. அதாவது, PAPB= PT? ஆயின், A, B, T மூன்றுக்கூடாகவும் செல்லும் வட்டத்துக்கு PT தொடுவரையாகும். இது பாரிசேட நியாயத்தால் நிறுவப்படலாம்.
a
-B PT தொடுவரையில்லா
んつ விடில் அது வட்டத்தை
۹ حیص
மீண்டும் Cயில் வெட் .டட்டும் 7- کسے ہء
PA: PB = PT2 (ara) PAPC = PTPC (ABTC all Lub) மிகுதியை உய்த்துணர்க. $4. இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும்படியும் ஒரு கேர்வரையைத் தொடும்படியும் வட்டம் கீறு தற்கு இச் சூத்திரம் வழிகாட்டும்.

தொடுவரைகளும் வெட்டுவரைகளும் 371
தரவு - A, B இரு حد حجیمی ዖ N புள்ளிகள்.
CD ஒருநேர்வரை,
கேள்வி - வட்டம்.
விளக்கம் - கீற வேண்டிய வட்டத் துக்கு AB கான
○ T FP egth; CD @s Tr@ வரையாகும். தொடுபுள்ளியின் கிலேயத்தை அறிவதெப்படி? காணும் தொடுவரையும் சந்திக்குமிடம் P ஆயின்,
PAʼPB — PʻTY 2 PTயின் நீளம் அறிவதெப்படி? A, B இரண்டுக்கூடாகவும் ஏதுமொரு வட் டம் கீறி அதற்கு Pயிலிருந்து தொடுவரை PX கீறிஞல்,
PA*PB s– PX 2
PT = PX ஆகவே வழி பின்வருமாறு :-
(i) A, B இரண்டுக்கூடாகவும் ஏதுமொரு வட்டம்
கீறுக.
(ii) AB, CD இரண்டும் சந்திக்குமிடத்திலிருந்து (P) வட்டததுக்குத் தொடுவரை PX கீறுக.
(iii) CDயில் தொடுபுள்ளியைப் பெறுக. PT-PX.
வேண்டிய வட்டம் ABT ஆகும். Pயின் இரு பக்கத்திலும் T வரலாமாகையால், இருவட்டங்கள் கீறலாம் என்பதை அவதானித் துக்கொள்க.

Page 65
372 முறையான கேத்திர கணிதம்
"ހ /ރ
سمیر
کس
一r Р 一于
$5. இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும்படியும் வேருெரு வட்டத்தைத் தொடும்படியும் ஒரு வட்டம் கீறுவதற்கும் இச் சூத்திரம் வழி காட்டும்.
தரப்பட்ட புள்ளி s Gir A, B. தரப்பட்ட வட்டம் Ooa @85)A l/ A0 fT” é55
2.68 -tlt. (i) A, B இரண்டுக் கூடாகவும் வட் டத்தை வெட்டு ம்படிஏதுமொரு வட்டம் கீறுக. (i) நாண் ABயும் பொது காணும் Pயில் சக்திக்
கட்டும்.
(ii) Pயிலிருந்து தரப்பட்ட வட்டத்துக்குத் தொடு
வரை PT கீறுக. வேண்டிய வட்டம் ABT ஆகும்.
 
 

தொடுவரைகளும் வெட்டுவரைகளும் 373
Pயிலிருந்து இரு தொடுவரைகள் கீறலாமாகை யால் இரு வட்டங்கள் கீறலாமென்பதை அவ தானித்துக்கொள்க.
р S6. பார்வைக்கெட்டிய அடிவானத் அாரம் இச் சூத்திர முறைப்படி யும் கணிக்கலாம். PT 2 = PA: PB
= PA(PA-- AB) =PA(IPA -- 2r )[r=4: T lb) ==PA+2r PA. '. PT2 = 2 1 · PA (g ar ?) அப்பியாசம்-55 (1) வரைதல் 1. 3' ஆரமுள்ள வட்டமொன்று கீறுக. மையத்தி லிருந்து 8" தூரத்தில் ஒரு புள்ளி P இடுக. தொடுவரை PT, வெட்டுவரைகள் PAB, PCD, PEF 68 apys. GaduGrčaruņuu ffair išv sår egy Gir iš si PT 2, PA“ PIB, PC*, PD, PE PF GTGär Lu வற்றின் விலைகளை அறிக. சரியான மறுமொழி என்னவாதல் வேண்டும் ?
(
ܪܰ
O
میسسه Ws
2. XY ஒரு நேர்வரை. நேர்வரையிலிருந்து 15' தூரத்தில் இரு புள்ளிகள் A, B இடுக. AB=1". இரு புள்ளிகளுக்கூடாக கேர்வரை யைத் தொடும்படி ஒரு வட்டம் கீறுக.
3, XY ஒரு நேர்வரை, XY = 35", A, B இரண்டும் XYயின் ஒரே பக்கத்திலுள்ள இரு புள்ளி 4seir. XA = 1.ʻ4ʻ'ʻ, YA = 1•?ʼʻʼʻ, XIB = 2°ʻ, YB= 07". இரு புள்ளிகளுக் கூடாகச்சென்று நேர்வரையைத் தொடக்கூடிய சிறிய வட்டத் தைக் கீறுக,

Page 66
374
முறையான கேத்திர கணிதம்
முந்திய கேள்விப்படி பெரிய வட்டத்தைக் கீறுக.
ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம். AB -2",
BC = "6", CD - 1", DAs 12, BD = 2". வடிவத்தைக்கீறி, D, C இரண்டுக்கூடாகச் சென்று A Bயைத் தொடும் இரு வட்டங்களை யும் கீறுக. 13' ஆரமுள்ள வட்டமொன்று கீறுக. OA, OBஎன இரு ஆரங்கள் கிறுக ; L AOB=80°. OA , OB இரண்டும் முறையே C, D வரையும் மீட்டப்படுகிறது : OC -2', OD=25", C, D இரண்டுக் கூடாகச் சென்று வட்டத்தைத் தொடும் சிறிய வட்டத்தைக் கீறுக. முக்திய கேள்விப்படி பெரிய வட்டத்தைக் கீறுக.
ஒரு நேர்வரையும் அதன் ஒரு பகுதியும் ஆக்கும் நீள்சதுரம் குறித்த ஒரு சற்சதுரத்துக்குப் பரப்பிற் சமமாகும்படி அங் நேர்வரையை இரு கூறுகளாக எப்படிப் பிரிப்பது ?
அப்பியாசம்-55 (i) கணித்தல்
நேர்வரை யொன்று ABC ஒரு வட்டத்தை Bயிலும் Cயிலும் வெட்டுகிறது. AB=4', BC = 5'. Aயிலிருந்து வட்டத்துக்குக் கீறப் படும் தொடுவரையின் நீள மென்ன ?
OAB, OC 295 (35i au6Oors Gir. OA = 32", A B = 25", OC = 3“. A, B, C p6ởTaip iš sa Lars வும் செல்லும் வட்டம் OCயை Cயில் தொடு மெனக் காட்டுக,

*5。
2.
தொடுவரைகளும் வெட்டுவரைகளும் 375
3' ஆரமுள்ள வட்டமொன்றுக்கு ஒரு புள்ளி Pயிலிருந்துசெல்லும்தொடுவரையின் நீளம் -47, Pயிலிருந்து வட்டத்தின் மிகக் கிட்டிய தூர மென்ன ? ஆகாயவிமானி ஒருவன் 5000 அடி உயரத்தில் இருக்கும்போது அடிவானத்தின் துளரமென்ன? ஒரு சில்லை உருளாமற்பண்ணுவதற்காக 27 உயரமுள்ள மரக்குற்றியொன்று உபயோகிக் கப்படுகிறது. சில்லும் நிலமும் சக்திக்குமிடத்தி லிருந்து 4" தூர த்தி ல் மரக் குற்றி யிருந்தால் சில் லின் விட்ட மென்ன ?
BC-2' AB = 4“.
ل
அப்பியாசம்-55 (i) நிறுவுதல்
இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. AB மீட்டப்படுகிறது C வரையும். CP, CQ இரண்டும் Cயிலிருந்து இரு வட்டங் களுக்கும் கீறப்படும் தொடுவரைகள், CP=CO எனக் காட்டுக. இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. இரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான தொடுவரையொன்று, ஒரு வட்டத்தை Cயிலும் மற்றைய வட்டத்தை Dயிலும் சக்திக்கிறது AB நீண்டு CDயைச் சக்திக்குமிடம் CDயின் நடுப்புள்ளி யெனக் காட்டுக.

Page 67
376
8.
முறையான கேத்திர கணிதம்
ABC FG5 GB5ř@JGD Jr. AB = 4“; BC 2= 5“. B, C இரண்டுக் கூடாகவும் செல்லும் வட்டங் களுக்கு Aயிலிருந்து தொடுவரைகள் கீறப் பட்டாற் தொடுபுள்ளிகளின் படுக்கை யாது?
இரு வட்டங்கள் Aயிலும் யிேலும் வெட்டு கின்றன. AB நீட்டப்படுகிறது Cவரையும். CX, CY தொடுவரைகள், Bயிலுள்ள இரு தொடுவரைகளும் CX, CY இரண்டையும் முறையே Dயிலும் Eயிலும் சக்திக்கின்றன. A 6ir BCD, BCE g) U GioT Lq Gir Irib mo6Taya, Guib
சமமானவை எனக் கர்ட்டுக.

§ l.
49. உள்வட்டங்களும் வெளிவட்டங்களும்
முக்கோணிகசீனச் சுற்றி வட்டம் கீற அறிக் திருக்கிறீர்கள். அச் சுற்று வட்டத்துக்கு முக் கோணிப் புயங்கள் நாண்களாகும். இனி, முக்கோணிகளுக்குள்ளே வட்டங்கள் அமைக்கும் முறையை ஆராய்வாம். இவ் வட் டங்களுக்கு முக்கோணிப் புயங்கள் தொடு வரைகளாகும்.
புயங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒவ்வொரு தொடு வரையாக அமையும் வட்டம் உள்வட்டம் எனப்படும்,
இவை உள்வட்டங்கள்.
இவை உள்வட்டங்களாகா.

Page 68
378
முறையான கேத்திர கணிதம்
முக்கோணியல்லாத வடிவங்களிலே சிறு பான்மைபாகவே உள்வட்டங்கள் கீற முடியும்.
முக்கோணியின் மூன்று புயங்களும் உள்வட் டத்தின் தொடுவரைகளாகையால் முக்கோணி யின் ஒவ்வொரு கோணச் சமவெட்டியிலும் வட்ட மையம் இருத்தல் வேண்டும். எனவே, மையம் நிச்சயிக்கப்படுகிறது. மையத்திலிருந்து புயமொன்றுக்குச் செல்லும் செங்குத்துவரை ஆரமாகும்.
$2.
முக்கோணியொன்றின் கோணச் சமவெட்டி கள் மூன்றும் ஒன்று கூடும் என்பது முக்கிய மானது. அதை நிரூபிக்கும் முறை சுருக்க மாகப் பின்வருமாறு :
a
BI, CI gur Gor G9uh 95
கோணச் சமவெட்டிகள். " IA இணைக்கப்படட்டும்.
 
 
 

S3.
உள்வட்டங்களும் வெளிவட்டங்களும் 879
a sir BIN, BII, gur Gior Guib = . .". IN se IL. A Gir CII, CTM gij Gior (9th = . . . IL = IM.
'. IN = IM.
..". A air AIN, AIM g) is air (Blis : E .
. A1 கோணச் சமவெட்டி, ஆகவே, முக்கோணி யொன்றின் உள்வட்ட மையத்தைக் காண்பதற்கு இரண்டு கோணங் களே மாத்திரம் இருசமகூருகப் பிரித்தல் போதும். ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களையும் முக் கோணிக்கு வெளியாகத் தொடும் வட்டம் வெளிவட்டம் எனப்படும். அதாவது, ஒரு புயத்தையும் மற்றைய இரு புயங்களின் மீட் டப்பட்ட பகுதிகளையும் தொடும் வட்டம் வெளிவட்டமாகும். ஒரு முக்கோணிக்கு மூன்று வெளிவட்டங்களுண்டு. வெளிவட்டமொன்றைக் கீறுவதற்கு அதற் குரிய வெளிக்கோணங்கள் இரண்டினதும் சமவெட்டிகளைக் கீறவேண்டும், ஒரு வெளிக் கோணத்தின் சமவெட்டியை மீட்டினல் s எதிராயுள்ள வெளிக்கோணத்தையும் (எதிர் உச்சிக்கோணம்) இரு சமகூருக்கும். அதாவது PCQ, QAR, RBP (3rsiradu GouT 35 GMT ir Lib. Is Gav, மூன்று வெளிவட்டங்களையும் கீறுவதற்கு மூன்று வெளிக் கோணங்களைச் சம கருக்கு தல் போதும்.
Aயிலுள்ள உட்கோணத்தின் சமவெட்டி Pக் கூடாகச் செல்லும், அதாவது, AP உட்கோணச்

Page 69
380 முறையான கேத்திர கணிதம்
சமவெட்டியுமாம். இது, முக்கோணிகள் API, APM இரண்டும் க என்பதிலிருந்து பெறப் படும்.
S4. ஏதும் மூன்று நேர்வரைகளேத் தொடும் வட்டம் கீறுவதாஞலும் இடைப்பட்ட இருகோணங்க ளின் சமவெட்டிகளைக் கீறுவதே வழியாகும். நேர்வரைகள் அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குக்குத் தக்கதாக வட்டங்களின் தொகை கூடிக் குறையும்
 

உள்வட்டங்களும் வெளிவட்டங்களும் 381
\,
༄། ހ" .__
வட்டமில்லை வட்டமில்லே
இரு வட்டங்கள்
காலு வட்டங்கள்

Page 70
382
S5.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
முறையான கேத்திர கணிதம்
ஒரு முக்கோணியிற் பலவகையாக வரைகள் ஒன்று கூடுவதை அறிந்திருக்கிறீர்கள். அவற் றின் சுருக்கம் பின்வருமாறு : புயங்களின் நடுப்புள்ளிகளை எதிர்மூலைகளுக் குத் தொடுக்கும் வரைகள் (நடுவரைகள்) மூன்றும் ஒன்று கூடும். (அதி. 98, $5 பார்) ஒன்று கூடும் புள்ளி கவர்ச்சி மையம் எனப் படும். மூன்று வரைகளும் ஒன்றையொன்று மூன்றிலொன்ரும்படி வெட்டும். புயங்களின் நடுச் செங்குத்து வரைகள் ஒன்று கூடும் (அதி. 43, $6 பார்). ஒன்று கூடும் புள்ளி சுற்றுவட்ட மையம் எனப்படும். சுற்றுவட்டமையம் மூன்று மூலேகளிலுமிருந்து ஒரே தூரத்திலுள்ளது,
மூலைகளிலிருந்து எதிர்ப்புயங்களுக்குச்செல்லும் செங்குத்துவரைகள் ஒன்று கூடும் (அதி. 46, $5 பார்). ஒன்று கூடும் புள்ளி செங்கோட் டுச்சந்தி எனப்படும். கோணச் சமவெட்டிகள் ஒன்று கூடும். (அதி. 49, $2 பார்). ஒன்று கூடும் புள்ளி உள்வட்டமையம் எனப்படும். உள்வட்ட மையம் மூன்று புயங்களிலுமிருந்து ஒரே அாரத்திலுள்ளது. (சமபுய முக்கோணியில் இக் 15ான்கு புள்ளிக ளும் ஒன்ருகும்.) ஒன்று கூடும் நான்கு வகைகளையும் கிரூபிக்கும் வழிகள் ஒரேமாதிரியானவை. ஏதுமிரண்டு வரைகளே எடுத்து அவை சந்திக்கும் புள்ளியை உரிய வேமுெரு புள்ளியோடு இணைக்கும் கேர் வரை, அவ் விருவரைகளையும் ஒத்ததெனக்

8.
உள்வட்டங்களும் வெளிவட்டங்களும் 388
காட்டுவதே அந்த நிரூபணங்களின் பொது வியல்பாகும்.
அப்பியாசம்-56 () வரைதல் ஏதுமொரு முக்கோணி கீறி அதில் உள் வட் டத்தைக் கீறுக. புயங்கள் 27, 23", 3" உடைய முக்கோணி கீறி அதில் உள்வட்டம் கீறுக. ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் கன்னம் =38', ஒருபுயம் = 18". முக்கோணியைக் கீறி உள்வட்டத்தைக் கீறுக. முக்கோணி வடிவமான ஒரு தகட்டின் மூன்று புயங்களும் முறையே 6 செ. மீ., 7 செ. மீ. 8 செ. மீ. அத் தகட்டிலிருந்து வெட்டியெடுக் கக்கூடிய மிகப் பெரிய வட்டத்தின் ஆரத்தை வரைந்தறிக. 3' ஆரமுள்ள ஒரு கால் வட்டம் கீறி அதில் ஒரு உள்வட்டம் கீறுக. ஏதுமொரு முக்கோணி கீறி அதற்குரிய ஒரு வெளிவட்டம் கீறுக. 3", 8", 1' மீளப் புயங்களையுடைய முக்கோணி கீறி, அதன் குறுகிய புயத்தை வெளிப்புற மாகத் தொடும் வெளி வட்டத்தைக் கீறுக. எதுமொரு முக்கோணி கீறி அதற்குரிய மூன்று வெளி வட்டங்களையும் கீறுக. ஒரு முக்கோணியின் பீடம் 2"; பீடகோணங் கள் 73°, 55°. முக்கோணியை வரைந்து மூன்று வெளி வட்டங்களையும் கீறுக.

Page 71
384
* 10.
* 11.
**12。
is 18.
to 14.
முறையான கேத்திர கணிதம்
3" ளே முள்ள பீடத்தில் இரு பக்கங்களிலும் உச்சிக்கோணக்கள் 100, 70° உடைய இரு துவிசமயுய முக்கோணிகள் கீறுக. பெறப்படும் நாற்புயவடிவத்தில் ஒரு உள்வட்டம் கீறுக. ABCD ஒரு நாற்புய வடிவம். AB=3", BC= 1", CD = 1", DA = 1", LA = 60°. காற்புயவடிவத்துள் உள்வட்டம் கீறமுடியுமா? ஏன் ? உள்வட்டம் கீறி ஆரத்தை அளவுங்கள். ஒரு முக்கோணி ABCயின் மூன்று வெளிவட்ட மையங்களையும் உச்சிகளாகவுடைய முக் கோணியின் புயங்கள் முறையே 5, 8, 7 செ. மீ. முக்கோணி ABCயைக் கீறி அதன் புயங்களை அளவுங்கள். ஒரு முக்கோணியின் உள்வட்ட மையமும் இரு வெளிவட்டங்களின் மையங்களும் தெரிந்தால் முக்கோணியை எவ்வாறு வரையலாம் ? ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களிலு மிருந்து சமநீளமுள்ள பகுதிகளை வெட்டக் கூடிய வட்டமொன்று கீறுவதெப்படி?
அப்பியாசம்-56 (i) நிறுவுதல்
ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் உள்வட்டம்
ABயை Dயிலும் ACயை Eயிலும் தொடுகிறது. BC = BD -- CE GT GOT iš 45 IT (Bs.
ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் உள் வட்டம் AB, AC இரண்டையும் முறையே L, P இரண் டிடங்களிலும் தொடுகிறது. Aக்கு எதிரான வெளிவட்டம் AB, AC இரண்டையும் (நீட்டிய பின்) முறையே M, Q ஆகிய இரண்டிடங்களி லும் தொடுகிறது. LM=PO எனக் காட்டுக.

来来 9.
உள்வட்டங்களும் வெளிவட்டங்களும் 385
ABC ஒரு முக்கோணி, வெளி வட்டங்களின்
மையங்கள் P, Q, R, முக்கோணி PQR இல்,
Aக்கு எதிராக Pஇருந்தால் LP= LB+LC
எனக் காட்டுக.
ஏதுமொரு காற்புய வடிவத்தின் நான்கு வெளி
வட்டங்களின் மையங்களும் ஒரு வட்ட் நாற்
புயத்தின் மூலைகளாகும் எனக் காட்டுக.
ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் உள் வட்டம்
ABயைத் தொடுமிடம் M , Aக்கு எதிரான வெளிவட்டம் ABயை (மீட்டிய பின்) தொடு மிடம் N. MN = BC எனக் காட்டுக, ஒரு முக்கோணி ABCயின் உள் வட்டமும் ஒரு வெளி வட்டமும் BCயை (நீட்டாமலே) Pயிலும் Qவிலும் தொடுகின்றன. B0= CP எனவும், BP=CQ எனவும் காட்டுக. ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் உள் வட்டம் புயங்களைத் தொடுமிடங்கள் P, Q, R. முக் கோணி PQR உடைய கோணங்கள் 50°, 60°, 700 ஆயின், முக்கோணி ABCயின் கோணங் களே அறிக. ,'
ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் கன்னமும் உள் வட்டத்தின் விட்டமும் சேர்ந்து முக் கோணியின் மற்றைய இரு புயங்களின் கூட் டுத்தொகைக்குச் சமமெனக் காட்டுக. ABC goa5 (up i 35 T60of. அதன் உள் வட்ட மையம் 1. Aக்கு எதிரான வெளி வட்ட மையம் E. முக்கோணியின் சுற்றுவட்டத்தை AI Iffi GioTG Dua av SF iš Gieg LoftuG63T DB = DIE = DI
எனக் காட்டுக.
2

Page 72
50. பொதுத் தொடுவரைகள்
S .
இரு வட்டங்களுக்குப் பொதுவாக உள்ள தொடுவரை பொதுத் தொடுவரை எனப் படும். வட்டங்களிரண்டும் அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குக்குத் தக்கதாகப் பொதுத் தொடுவரை களின் தொகை கூடிக் குறையும்.
 
 

(yھے )
(ஆ)
(இ)
$2.
பொதுத் தொடுவரைகள், 387
Ν
(v )
பொதுத் தொடுவரைகள் மூன்றுவகைப்படும் :-
வட்டங்களிரண்டும் தொடும் புள்ளியிலுள்ள பொதுத் தொடுவரை (படம் (ii), (iv) பார்.) நேர்ப் பொதுத் தொடுவரை (படம் (iii), (iv), (v) u rrit.) மாறு பொதுத் தொடுவரை (படம் (V) பார். இவற்றுள் வட்டங்கள் தொடும் புள்ளியி லுள்ள பொதுத் தொடுவரைகள் கீறுவது இலகுவானது. நேர்ப் பொதுத் தொடுவரைக ளும் மாறு பொதுத் தொடுவரைகளும் கீறும் முறையே ஈண்டு எடுத்தாராயப்படும். அவை யிரண்டும் ஐந்தாம் படத்தில் உண்டாகையால், ஒன்றுக்கொன்று வெளியாகவுள்ள இரு வட் டங்களை மாத்திரம் அவதானிப்போம். முதலாவதாக கேர்ப் பொதுத் தொடுவரைகள். எவ்வகையான ஆக்கத்திலும் ஆக்கம் முடிந்த தாகக் கருதிப் பின்னிருக்த முன்னுக நியாயித் தாற் பெரும்பாலும் ஆக்கத்துக்குரிய வழியைப் பெறுதல்கூடும்.

Page 73
388
முறையான கேத்திர கணிதம்
DE கேர்ப்பொதுத் தொடுவரை என்க. எனவே, AD, BE இரண்டும் தொடுவரைக்குச் செங்குத்தாகும்.
BE யிலும் AD பெரிதென்க, BC ED.
IL ACB = GSF iš CBS frøowth ;
AC = AD--BE.
எனவே, Cயின் நிலையத்தை அறிந்தால் D, E
இரண்டின் நிலையங்களும் பெறப்படும். Z ACB = 90; AC = -air iš 5 Gaf Gös asoš suurFuh
 
 

(i)
(ii)
(iii)
(ίν)
S3.
பொதுத் தோடுவரைகள் 389
ஆகவே, மையங்களே இணைக்கும் கேர்வரையை விட்ட மாக ஒரு அரை வட்டம் கீறுக. பெரிய வட்டத்தின் மையத்தை மையமாகவும், ஆரங்களின் வித்தியாசத்தை ஆரமாகவும் கொண்டு அரைவட்டத்தை வெட்டும்படி ஒரு வில் கீற C பிறக்கும். AC இணைக்கப்பட்டு நீட்டப்பட D பிறக்கும்.
BE || AD. i E (9/Déi(ğ5ui. D, E இரண்டும் இணைக்கப்பட நேர்ப்பொதுத் தொடுவரையாகும். ஆக்க வழியை அறிவதற்கு நேர்வரை BC உதவியதேயன்றி, தொடுவரையைக் கீறுவதற்கு அது தேவையில்லை-கீறவேண்டியதில்லை. அரை வட்டத்துக்குப் பதிலாக முழுவட்டத் தைக் கீறினல் இரு கேர்ப்பொதுத் தொடுவரை களையும் பெறலாம். இனி, மாறு பொதுத் தொடுவரைகள்.
முன்போல நியாயித்து ஆக்கவழியைப் பெற் றுக்கொள்ளலாம்.

Page 74
390 முறையான கேத்திர கணிதம்
DE தொடுவரை என்க. ..'. AD, DE; BE DE. ADயை மீட்டி BCயைத் தொடுவரைக்குச் சமாந்தரமாகக் கீறினல்,
4C = 90°; AC = AD+BE. எனவே ஆக்கவழி பின்வருமாறு:-
(t) AB யை விட்டமாக அரை வட்டம்.
ti) ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகை கொண்டு
அரைவட்டத்தை வெட்ட ஒரு வில் (C.)
(iii) AC GODLJ Dða00ršas D auguh.
(vi) BE H CA.
கேர்ப்பொதுத் தொடுவரையாயினும்சரி, மாறு பொதுத் தொடுவரையாயினும் சரி, இரண்டுக் கும் ஆக்கவழி ஏறக்குறைய ஒரு மாதிரி யானதே. ஒரு வித்தியாசம் மாத்திரம் உண்டு. நேர்ப்பொதுத் தொடுவரையாயின் ஆரங் களின் வித்தியாசம், மாறு பொதுத் தொடுவரையாயின் ஆரங்களின் கூட் டுத்தொகை,
 

S4.
S5.
(i)
(ii)
பொதுத் தொடுவரைகள் 391
மாறு பொதுத் தொடுவரைகளிரண்டும் மைய வரையும் ஒன்றுகூடும். அவ்வாறே, நேர்ப் பொதுத் தொடுவரைகள் இரண்டும் (நீண்டு) மையவரையும் (நீண்டு) ஒன்று கூடும். வடிவம் சமச்சீருடையதாகையால் இவ்வுண்மை கள் இனிது பெறப்படும். அன்றி, வேறுவகை யாகவும் நிரூபிக்கலாம்.
பொதுத் தொடுவரைகளின் நீளங்களைப் பிதா கரரின் குத்திரப்படி இலேசாகக் கணித்துக் கொள்ளலாம்.
கேர்ப் பொதுத் தொடுவரை ($2 பார்.) DE = BC = V AB2-AC = V (மையவரை)?-(ஆரவித்தியாசம்)2 மாறு பொதுத் தொடுவரை (S3 பார்.) DE = BC = WAB — AC 2
= V(மையவரை)2-(ஆரக் கூட்டுத்தொகை)2
இவற்றை வாய்பாடாகக்கொள்ளாது, ஒவ் வொரு முறையும் பெரும்படியான படம் றிே அதைக்கொண்டு கணித்துக்கொள்க.
அப்பியாசம்-57 (1) வரைதல்
. இரு வட்டங்களின் ஆரங்களும் அவற்றின்
மையங்களது இடைத்தூரமும் முறையே 2", 15", 25". வட்டங்களைக் கீறி அவற்றுக்கு நேர்ப் பொதுத் தொடுவரையொன்று கீறுக. அதன் மீள மென்ன?
இரு வட்டங்களின் ஆரங்களும் அவற்றின் மையங்களது இடைத்தூரமும் முறையே 15",

Page 75
392
**6.
முறையான கேத்திர கணிதம்
O'9", 25 வட்டங்களே க் கீறி அவற்றுக்கு மாறு பொதுத் தொடுவரையொன்று கீறுக. அதன் நீள மென்ன ?
மையங்கள் 8" தூரத்திலுள்ள இரு சமமான வட்டங்கள் (ஆரம் = 1 1") கீறி அவற்றுக்குப் பொதுத் தொடுவரைகள் கீறுக. இரு வட்டங்களின் ஆரங்களும் அவற்றின் மையங்களது இடைத்தூரமும் முறையே 18", 0.8", 2?". வட்டங்களைக் கீறி அவற்றின் பொதுத் தொடுவரைகள் எல்லாவற்றையும் கீறுக, A, B இரண்டும் 28" தூரத்திலுள்ள இரு புள்ளிகள். அவற்றிலிருந்து செங்குத்தான தூரங்கள் முறையே ("S", 12” உள்ள நேர் வரையொன்று கீறுக. எத்தனை நேர் வரைகள் கீறலாம்? ஒரு A ABCயின் உள்வட்டத்தின் ஆரம் - 07. BCயைத் தொடும் வெளிவட்டத்தின் ஆரம்= 15". இரு வட்டங்களின் மையங்களும் 25' தூரத்திலுள்ளனவாயின், முககோணி ABCயை 6/63) J d5
அப்பியாசம்-57 (i) கணித்தல்
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெளிப்புற மாகத் தொடுகின்றன. அவற்றின் ஆரங்கள் முறையே 8", 2". வட்டங்களின் Gր5մլն பொதுத் தொடுவரை யொன்றின் நீள மென்ன ?
. இரு வட்டங்களின் ஆரங்களும் அவற்றின்
மையங்களது இடைத்தூரமும் முறையே ?", 47, 8". அவற்றின் நேர்ப் பொதுத் தொடு வரை யொன்றின் நீள மென்ன ?

** 8,
*料9
பொதுத் தெடுவரைகள் 393
3", 4" ஆரமுள்ள இரு வட்டங்களின் மையங் கள் 8" தூரத்திலுள்ளன. வட்டங்களின் மாறு பொதுத் தொடுவரை யொன்றின் நீள மென்ன?
08, 12" ஆரமுள்ள இரு வட்டங்களின் மையங்கள் 28" தூரத்திலுள்ளன. வட்டங் களின் பொதுத் தொடுவரைகளது மீளங்களை அறிக. ஒரு சைக்கிள் வண்டியிலே யுள்ள சங்கிலி இறுக்கமாக இருந்தால், சங்கிலியில் நேரா யுள்ள பகுதியின் நீள மென்ன? சிறியசில்லின் விட்டம்=28" பெரியசில்லின் விட்டம்=6.8". இரு சில்லுகளின் மையங்களும் 208 தூரத்தி லுள்ளன.
. ஒரு யந்திரத்திலே இரு உருளேகளைச் சுற்றி ஒரு
வார் 8" என்ற இலக்கத்தைப்போலப் பூட்டப் பட்டிருக்கிறது. உருளைகளின் ஆரங்கள் முறையே a, b, உருளே களது மையங்களின் இடைத்தூரம் C. உருளைகளில் முட்டாத வாரின் நீளத்தை அறிக.
இரு சமமான வட்டங்கள் (ஆரம் = 37) ஒன்றை யொன்று தொடுகின்றன. அவையிரண்டையும் சுற்றி இணைக்கும் கயிற்றின் நீள மென்ன?
2", 3' ஆரமுள்ள இரு வட்டங்களின் மையங்
கள் 6 தூரத்திலுள்ளன. அவற்றைச் சுற்றி
இணைக்கும் கயிற்றின் நீளமென்ன ?
3", 4" ஆரமுள்ள இரு வட்டங்களின் மையங் கள் 8" தூரத்திலுள்ளன. அவ்வட்டங்களை 8 என்ற இலக்கத்தைப்போலச் சுற்றிவரும் கயிற்றின் நீள மென்ன?

Page 76
394
1.
2.
3.
முறையான கேத்திர கணிதம்
அப்பியாசம்-5 (i) நிறுவுதல் இரு வட்டங்களின் கேர்ப் பொதுத் தொடுவரை கள் சமசீளமுள்ளன எனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்களின் மாறு பொதுத் தொடுவரை கள் சமநீளமுள்ளன வெனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்களின் நேர்ப் பொதுத்தொடுவரை, மையங்களை இணைக்கும் வரையிலும் பார்க்க மீளத்திற் கூடாதெனக் காட்டுக.
. இரு வட்டங்களின் மாறு பொதுத் தொடுவரை
மையங்களே இணைக்கும் வரையிலும் பார்க்க மீளத்திற் கூடாதெனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடுகின் றன, தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் பொதுத் தொடுவரை நேர்ப் பொதுத் தொடு வரையை இரு சமகூருகப் பிரிக்கும் எனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடும் போது, தொடுபுள்ளியிலே கேர்ப் பொதுத் தொடுவரை யொன்று ஏந்துவது செங்கோண மெனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டுகின் றன. CD அவ் வட்டங்களுக்கு ஒரு பொதுத் தொடுவரை. Aயிலும் Bயிலும் CD எந்தும் கோணங்கள் சேர்ந்து 180° எனக் காட்டுக.

51. தொடு வட்டங்கள்
S1. இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் போது வெட்டுப் புள்ளிகள் இரண்டுண்டு. அவ் வெட்டுப் புள்ளிகள் இரண்டும் ஒன்று கூடு மாயின் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடும். இவ்வாறு இரு வட்டங்கள் தொடும்போது அவை வெளிப்புறமாகவும் தொடலாம், உட் புறமாகவும் தொடலாம்.
"عمبع ہے۔۔۔۔۔۔۔۔ہ~~T
இரு வட்டங்கள் (எவ்வகையாகவேனும்) தொடும்போது தொடுபுள்ளியில் இரு வட்டங் களுக்கும் பொதுவான தொடுவரை ஒன்றுண்டு என்பது வெளிப்படை.

Page 77
396 முறையான கேத்திர கணிதம்
சூத்திரம் 33 $2. பொதுவிலக்கணம் - இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடும்போது வட்ட மையங்
களும் தொடு புள்ளியும் ஒரு நேரில் இருத்தல் வேண்டும்.
سمصنسیستہ ہ--۔ ~~~T
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - A, B இரண்டும் இரு
தொடு வட்டங்களின் மையங்கள்.
P தொடுபுள்ளி. منبر கேள்வி - A, B, P மூன்றும் ஒரே நேரில் உள்ளன என்பது. ஆக்கம் - தொடு புள்ளியில் பொதுத் தொடுவரை
PT கீறப்படட்டும். AP, BP gQ2007is படட்டும்.
 
 
 
 

தொடுவட்டங்கள் 397
நிரூபணம் - ஒரு வட்டத்தில் AP ஆரம்; PT
S3.
தொடுவரை.
...'. APPT
இவ்வாறே, BPLPT, அதாவது, A P, BP gur Gior (Sub GFG3 ur
வரைக்கு (PT) ஒரேயிடத்திற் (P) செங்குத் தாக உள்ளன.
. AP, BP இரண்டும் ஒரு நேர் வரையில் இருத்தல் வேண்டும். அதாவது, A, B, P மூன்றும் ஒரு நேரில்
உள்ளன என்றவாறு.
ைெடி சூத்திரத்திலிருந்து பின்வருவன இலகுவிம் பெறப்படும்.
(அ) இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடும்
(<岛)
(இ)
(fr)
போது, மையங்களின் இடைத்தூரம் = ஆரங் களின் கூட்டுத்தொகை.
இரு வட்டங்கள் உட்புறமாகத் தொடும்போது மையங்களின் இடைத்தூரம் = ஆரங்களின் வித்தியாசம்.
ஒரு வட்டத்தை (மையம் O) ஓரிடத்தில் (P) தொடும் வட்டங்கள் எல்லாவற்றினது மையங் களும் O, P இரண்டுக் கூடாகவும் செல்லும் நேர்வரையிலுள்ளன.
ஒரு வட்டத்தை (மையம் O, ஆரம் R) வெளிப் புறமாகத் தொடும் ஒரே யளவான ஆரமுள்ள (1) பல வட்ட மையங்களின் படுக்கை R+r ஆரமாகவுள்ள ஏக மைய (O) வட்டமாகும்.

Page 78
398
முறையான கேத்திர கணிதம்
(உ) ஒரு வட்டத்தை மையம் O, ஆசம் R) உட்புற
மாகத் தொடும் ஒரேயளவான ஆரமுள்ள (r) பல வட்ட மையங்களின் படுக்கை R - r ஆர மாகவுள்ள ஏக மைய (0) வட்டமாகும்.
இவை, பலவகையாக வட்டங்களை அமைப்பதிற்
பயன்படும்.
அப்பியாசம் - 58 () வரைதல்
33" தூரத்தில் இரண்டு Lydir Gis air A, B
குறித்து, Aயை மையமாக 1, 14 -ՅԱՄGւp68)ւ-եւ 1 வட்ட மொன்று கீறுக. இவ் வட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொடும்படியும் Bக் கூடா கச் செல்லும்படியும் 18" ஆரமுள்ள வட்ட மொன்று கீறுக. எத்தனை வட்டங்கள் கீற முடியும்?
2"அாரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் AB குறித்து, Aயை மையமாக 1" ஆரமுடைய வட்ட மொன்று கீறுக. இவ் வட்டத்தை உட்புற மாகத் தொடும்படியும் Bக் கூடாகச் செல் லும்படியும் 1?" ஆரமுள்ள வட்டமொன்று கீறுக. எத்தனே வட்டங்கள் கீறமுடியும்? இரண்டு வட்டங்களது மையங்களின் இடைத் அாரம் 2 3 வட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே 13", 0.8". இவ் விரு வட்டங்களையும் கீறி அவற்றை வெளிப்புறமாகத் தொடும்படி 17 ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. எத்தனை வட்டங்கள் கீறலாம்?
இரண்டு வட்டங்களது மையங்களின் இடைத் அாரம் 18" வட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே 12", 0.9". இவ் விரு வட்டங்களையும் கீறி அவற்றை உட்புறமாகத் தொடும்படி 2-84

*8。
9.
தொடுவட்டங்கள் 399
ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறுக. எத்தனை வட் டங்கள் கீறலாம் ?
இரண்டு வட்டங்களது மையங்களின் இடைத் தூரம் = 25"; வட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே 1", 0.8". இவ் வட்டங்களைக் கீறி, இவற்றுட் பெரிய வட்டத்தை வெளிப்புற மாகவும் சிறிய வட்டத்தை உட் புறமாகவும் தொடும்படி 15" ஆரமுள்ள வட்டமொன்று கீறுக. எத்தனை கீறலாம் ?
1"3" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறி அதற்கு ஒரு தொடுவரை கீறுக. அவ் வட்டத்தையும் தொடுவரையையும் தொடும்படி 0.8" ஆர முள்ள வட்டமொன்று கீறுக. எத்தனே கீற லாம் ?
. இரண்டு வட்டங்களது மையங்களின் இடைத்
தூரம் 24"; வட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே 06', 0.8". இவ் வட்டங்களைக் கீறி அவற் றைத் தொடக்கூடிய 13' ஆரமுள்ள வட் டங்கள் எல்லாவற்றையும் கீறுக.
1" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டத்திலே ஒரு விட் டம் கீறி மீட்டுக. வட்டத்தையும் விட்டத் தையும் தொடக்கூடிய 0?" ஆரமுள்ள வட் டங்கள் எல்லாவற்றையும் கீறுக.
ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி. LB= GsFri G3&spraworth. AB = 3“, BC = 3". AGBoulu மையமாக 1" ஆரமுள்ள வட்ட மொன்று கீறுக. இவ் வட்டத்தைத் தொடும்படியும் BCயை Cயில் தொடும்படியும் இரு வட்டங் கள் கீறுக. வட்டங்களின் ஆரமென்ன ?

Page 79
400
秦# 10.
முறையான கேத்திர கணிதம்
குறித்த ஒரு வட்டத்தையும், குறித்த ஒரு நேர்வரையிற் குறித்த ஒரு இடத்தையும் தொடும்படி எவ்வாறு ஒரு வட்டம் கீறலாம்?
அப்பியாசம்-58 (i) நிறுவுதல் இரு வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெளிப் புறமாகத் தொடுகின்றன. தொடு புள்ளிக்
கூடாகச் செல்லும்
வட்டங்களை Aயி
நேர்வரை யொன்று ۔۔۔۔۔
லும் Bயிலும் வெட் reடுகின்றது. A, B \~) இரண்டுக் கூடாக வும் செல்லும் விட் டங்கள் சமாந்தரமானவை எனக் காட்டுக. இரு வட்டங்கள் உட்புறமாகத் தொடுகின் றன. தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் நேர் வரை யொன்று ஒரு வட்டத்தை Aயிலும் மற்றைய வட்டத்தை Bயிலும் சக்திக்கின்றது. A, B இரண்டுக்கூடாகவும் செல்லும் விட்டங் கள் சமாந்தரமானவை எனக் காட்டுக. இரு-வட்டங்கள் வெளிப்புறமாக Aயிற் தொடு கின்றன. BC ஒரு பொதுத் தொடு வரை - தொடுபுள்ளிகள் Bயும் Cயும். Z8AC செங் கோணமெனக் காட்டுக. இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாக Aயிற் தொடு கின்றன வட்டங்களின் மையங்கள் X, Y, ஒரு பொதுத் தொடுவரை முதல் வட்டத்தை Bயிலும் இரண்டாம் வட்டத்தை Cயிலும் தொடுகின்றது. இப் பொதுத் தொடுவரையும் Aயிலுள்ள பொதுத் தொடுவரையும் Dயில்
 

தொடுவட்டங்கள் 401
சந்திக்கின்றன. LXDY செங்கோணமெனக் காட்டுக.
. இரு வட்டங்கள் உட்புறமாக Aயிற் தொடு
கின்றன. ஒன்றின் விட்டம் மற்றையதன் விட்டத்திலும் இரு மடங்கு. Aக் கூடாகச் செல்லும் நாணுென்று வட்டங்களை Bயிலும் Cயிலும் சந்திக்கிறது. AB = BC எனக் காட் டுக.
* .ே வெளிப்புறமாகத் தொடும் இரு வட்டங்கள்,
ஒவ்வொன்றும் வேருெரு வட்டத்தை உட் புறமாகத் தொடுகின்றன. மூன்று மையங் களேயும் இணைக்கப் பிறக்கும் முக்கோணியின் சுற்றளவு பெரிய வட்டத்தின் விட்டத்துக்குச் சமமெனக் காட்டுக.
26

Page 80
S.
52. அயற் கண்டங்கள்
வட்டத்தின் காணென்று அவ் வட்டத்தை இரு கண்டங்களாகப் பிரிக்கும். நாணின் ஒரு நுனியிற் தொடுவரை யொன்று கீறினல் இரண்டு கோணங்கள் பிறக்கும். ஆகவே, காணின் ஒரு பக் Y-water
கத்தில் ஒரு கண் டமும் ஒரு கோ
ண மும், மற் றைப் பக்கத் தில் இர ண்
டாம் கண்டமும் இரண்டாம் கோ ணமும் வரும். ஒரு பக்கத்தி * a d லுள்ள கோணமும் மற்றைப் பக்கத்திலுள்ள கண்டமும் மிக நெருங்கிய தொடர்புடையன. ஆகையால் அவை தொடர்புபடுத்தி அழைக் கப்படும்.
கண்டம் AEB கோணம் BADயின் அயற் கண்டம் எனப்படும்.
கண்டம் AFB கோணம் BACயின் அயற் கண்டம் எனப்படும்.
தொடுவரைக்கும், தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் காணுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் அயற்கண்டத்திலுள்ள கோணத்துக்குச் சம மாகும் என்பது அடுத்த சூத்திரம்,
sao trQuáỹ, (i) 1 BAD < 1 AEB (ii) L. BAC = LAFB
 

$2.
அயற் கண்டங்கள் 403
இவ்வுண்மையை இலகுவில் உணரக்கூடிய வழியொன்றுண்டு. வட்ட நாற்புயமொன்றின் வெளிக்கோணம், எதிராக உள்ள உட்கோணத் துக்குச் சமமென்பது உங்களுக்குத் தெரி யும். அதா --ళకవ
Qug, LCDE = LA புள்ளி கள் A, Dஇரண் டும் ஒன்ருகும் போது 15 ர ற் புயம் முக்கோ ணி யா கவும், ஒரு புயம் ܘܬܳܐ தொடுவரையாகவும் மாறும்.
அதாவது
LCAE = L. B. இங்கு, AE தொடு வரை : AC (5 T Goô7.
விதமாக நிரூ பிக்கப்படும்.
சூத்திரம் 34 பொதுவிலக்கணம் - ஒரு வட்டத்திலே ஒரு தொடுவரைக்கும், தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் காணுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் அயற்கண்டத்திலுள்ள கோணத்துக்குச் சம மாதல் வேண்டும்.

Page 81
404 முறையான கேத்திர கணிதம்
a w A சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - AEBF ஒரு வட்டம்.
CAD ஒரு தொடுவரை, AB ஒரு காண். (356irebiño - (i) L BAID = Z AEB
(ii) L BAC = Z AFB Brazirugy. ஆக்கம் - விட்டம் AM கீறப்பட்டு, MB இணைக்
கப்படட்டும். ResuGoth - L DAB + / BAM sa 90° (MA 1 AD) LBMA + LBAM = 90° (A BIMA செங்கோணமுடையது) LDAB = LBMA. -agpa), L. BMA = / BEA (ஒரேகண்டத்தி
லுள்ளன)
L DAB = Z BEA. - - - (i) LDAB + L BAC = 180° (அயற்கோ
ணங்கள LAMB + L AFB = 180° (AMBF Gyull - இவற்றில் காற்புயம்) Z DAB = LAMB (ráde 9dšsůLuu-gi) ". Z BAC = ZAFB — — - — ( ii )
என்றவாறு.
 

அயற் கண்டங்கள் 405
S4. குறித்த ஒரு நேர்வரையின் மீது குறித்த ஒரு கோணத்தை உடைய கண்டத்தை ஆக்கும் முறை முன் விளக்கப்பட்டது. (அதி. 45, S 8 unti).
ஈண்டு வேருெருவழி விளக் கப்படும்.
தேவைப்பட்ட கண்டம் ACB என்க. இது ஒரு வட் டப் பகுதி யாகையால் இதை வரை தற்கு வட்டத் தின் மையமும் ஆரமும் அறியவேண்டும்.
கண்ட த்திலுள்ள கோணம் காணுக் கும் தொடுவரைக்கு மி டை யி லு ள் ள கோணத்துக்குச் சம மாகும். ஆகவே தொடுவரை தெரிந்த வாறுகண்டுகொள்க
~ெேதாடு வரை யின் செங்குத்தில் மைய முண்டு.
N இனி, நாணின் நடுச் S. செங்குத்து வரையி 米 லும் மையம் இருத்
தல் வேண்டும்,
எனவே, ஆக்கவழி பின் வருமாறு :-

Page 82
406
(i)
(ii)
(iii)
முறையான கேத்திர கணிதம்
ABயின் ஒரு நுனியிற் குறித்த கோணத்தை வரைக. (IBAC). ACக்கு Aயிற் செங்குத்துக் கீறுக. ABułgór 594 செங்குத்து வரையைக் கீறுக. வட்ட மையம் O; ஆரம் OA.
அப்பியாசம் - 59 () வரைதல்
3' ஆரமுள்ள வட்டமொன்று திே அதில் 70?
கோணமுள்ள ஒரு கண்டம் பிறக்கும்படி ஒரு நாண் வரைக. நாணின் நீளமென்ன?
33' ஆரமுள்ள வட்டமொன்று கிறி அதில் 130° கோணமுள்ள ஒரு கண்டம் பிறக்கும் படி ஒரு காண் வரைக. நாணின் ளே மென்ன ?
35" மீளமுள்ள நேர்வரை யொன்று கிறி
அதை காணுக உடையதும் 500 கோணமுடை யதுமான ஒரு கண்டம் கீறுக.
பீடம் 8 செ.மீ. உயரம் 8 செ.மீ. உச்சிக்
கோணம் 55° கொன் முக்கோணி யொன்று வரைக. முக்கோணியின் மிகப் பெரிய கோணம் எத்தனே பாகை ?
OA. ( = 3"), OB (=2") இரண்டும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தான இரு கேர்வரைகள். OA 130o கோணத்தையும், OB 80° கோணத்தையும் ஏந்தும் புள்ளி (P) யின் நிலையத்தை அறிக. OP யின் ளே மென்ன ?
10, 11, 12 Qg. 16. நீளமுள்ள புயங்களே முக்கோணிக்குள்ளே மூன்று ւյան ֆ الاسبسي (نة 44

發繼 ?
. TA, TB go 5 g/l.Lö
அயற் கண்டங்கள் 407
ளும் சமகோணங்களை ஏந்தி நிற்கும் புள்ளி யின் நிலையத்தை வரைந்தறிக.
ஒரு கோணம் 85 பாகையாகவும் மூலைவரைகள் முறையே 3", 2" நீளமுள்ளனவாகவும் ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம் வரைக. புயங்களின் ளேத்தை அளந்தறிக.
அப்பியாசம் - 59 (ii) கணித்தல்
துக்குள்ள இரு தொடு வரைகள். AC g?q5 sir Gior ; AC || TB. L. To = 44. A ABCuSir G3ssir ணங்களை அறிக.
ABC (5 A. Z.A=50, 1 B = 60, ZC = 70°. முக்கோணியின் சுற்று வட்டத்திக்கு A,B,C மு ன் றி டங்க ளிலும் தொடுவரைகள் கீறப் பிறக்கும் பெரிய முக் கோணியின் மூன்றுகோணங்களையும் அறிக.
1.
ஒரு வட்டத்திலே TA, TB இரு தொடு வரைகள். ZATB=20. வட்டத்தில் T க்கு எதிரான பக்கத்திலே P ஒரு புள்ளி. ZAPB எத்தனை பாகை ?
. ABC 625 A. XAY 9ù al-6Ga Aயிலுள்ள தொடுவரை. LCAYயின் சம
வெட்டி வட்டத்தை Kயில் சக்திக்கிறது

Page 83
408
முறையான கேத்திர கணிதம்
Z CAY = 70°. AC, BK இரண்டும் 80 பாகை யில் வெட்டுகின்றன. ZCAB, Z CBK, ZAKB ஒவ்வொன்றும் எத்தனை பாகை ?
ஒரு வட்டத்திலே AB ஒரு நாண், AT ஒடு தொடுவரை. LBAT=80°. நாணின் மீள்ம் 4' ஆயின் வட்டத்தின் ஆரம் எவ்வளவு ?
• ፵9፴ வட்டத்தைச்சுற்றி PQRS 6TGor 625
காற்புயவடிவமுண்டு. Juliaseir PQ, QR, RS, SP வட்டத்தைத் தொடுமிடங்கள் முறையே A, B, C, D - guió. L P = 100°; Z R = 120°. AB, DC Mr Gior@ub 1837 @ EuS 6ò சக்திக்கு மாயின் /E எத்தனே பாகை ?
. ABCDE வட்டமொன்றில் அமைந்த ஒழுங்
கான ஐம்புய வடிவம். Aயிலுள்ள தொடு வரையும் CBயும் F இல் சந்திக்குமாயின் AF-BC Grati strugs.
அப்பியாசம் - 59 (i) நிறுவுதல்
. ABC 65 A. சுற்றுவட்டத்துக்கு Cயிலுள்ள
தொடுவரை AB க்குச் சமாந்தரமாயின் AC = BC எனக் காட்டுக.
ஒரு வட்டத்திலே, AB ஒரு நாண் ; C சுற்று வரையில் ஒரு புள்ளி. C யிலுள்ள தொடு
வரையும் AB யும் சமாந்தரமாயின், வில்
AC = வில் BC எனக் காட்டுக.
ABC SU5 A ; AB = BC. A i கூடாகவும், BC யை B யில் தொடும்படியும் செல்லும் வட் டத்தை CA, (தேவையாயின் நீண்டு) D யில் சக்திக்கிறது. BD = BC எனக் காட்டுக.

அயற் கண்டங்கள் 409
. ஒரு வட்டத்திலே TC ஒரு தொடுவரை ; TAB 605 Gail (Basavu. Z BCT = LCAT எனக் காட்டுக. ஒரு வட்டத்திலே BC ஒரு நாண் ; BA ஒரு தொடுவரை, கோணம் ABC யின் சமவெட்டி வட்டத்தை D யில் சக்தித்தால், CD=DB எனக் காட்டுக.
. இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெளிப் புறமாக A யிற் தொடுகின்றன. A க் கூடா கச் செல்லும் இரு நேர்வரைகள் ஒரு வட் டத்தை P. R ஆகிய இரண்டிடங்களிலும் மறு வட்டத்தை இ, S ஆகிய இரண்டிடங்களிலும் சந்திக்கின்றன. PR | QS எனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெளிப் புறமாக A யிற் தொடுகின்றன. A க் கூடா கச் செல்லும் ஒரு கேர்வரை வட்டங்களை P யிலும் Q விலும் சந்திக்கின்றன. PM, QM ஆகிய இரு நேர்வரைகள் வட்டங்களே முறையே Xஇலும் V யிலும் சக்திக்கிறன. M, X, A, Y நான்கும் ஒரே வட்டத்தில் அமைவன எனக் காட்டுக. . இரு வட்டங்கள் உட்புறமாக A யிற் தொடு கின்றன. ஒரு நேர்வரை பெரிய வட்டத்தை P யிலும் Q விலும், சிறிய வட்டத்தை R இலும் S ) @y Lið Fjö 39 iš Goðrapágy. IL PAR = ZQAS எனக் காட்டுக. 9. ஒரு வட்டத்திலே TA ஒரு தொடுவரை ; TBC ஒரு வெட்டுவரை, கோணம் BACயின் சம வெட்டி BCயை Qவில் சக்திக்கிறது. TA=TQ எனக் காட்டுக,

Page 84
410
முறையான கேத்திர கணிதம்
*10. O ஒரு வட்டத்தின் மையம் ; AOB ஒரு விட்டம்.
*11。
( 12.
a 13.
*14,
*f5。
ቁ 16.
வட்டத்திலே C ஒரு புள்ளி. CN தொடுவரை, ANIL CIN... Z NAC = / BAC 6TGOT dii 45 IrL "L(B) 35.
இரு வட்டங்கள் உட்புறமாக Aயிற் தொடு கின்றன. பெரிய வட்டத்தின் நாண் (BC) ஒன்று சிறிய வட்டத்துக்குத் தொடுவரையாகி றது (Dயில்). Z BAD=A CAD எனக்காட்டுக. இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. PQ பொதுத் தொடுவரை. /PAO+ LPBQ = 180° Groori Sr. G3.
இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. Aக்கூடாகச் செல்லும் நேர்வரை யொன்று ஒரு வட்டத்தை Pயிலும் மறு வட் டத்தை gவிலும் சக்திக்கிறது. P. Q இரண்டிலு முள்ள தொடுவரைகள் Tயில் சக்திக்கின்றன. T, P, B, O நான்கும் ஒரே வட்டத்திலுள்ளன எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு வட்ட நாற்புயம். மூலை வரைகள் Eயில் சக்திக்கின்றன. A ABBயின் சுற்று வட்டத்துக்கு Eயிலுள்ள தொடுவரை CDக்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. P ஒரு வட்டத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி. PA, PB இரண்டும் மீண்டு மறு வட்டத்தை முறையே Cயிலும் Dயிலும் சக்திக்கின்றன. Pயிலுள்ள தொடுவரையும் CDயும் சமாந்தர மெனக் காட்டுக.
ஒரு வட்டத்திலே PQ ஒரு தொடுவரை ; PAB ஒரு விட்டம். PABயை Bயில் தொடும்படி Qவுக் கூடாகச் செல்லும் வட்டம் PQவை

a 17.
**18,
来来19。
*料30。
来来21。
422.
அயற் கண்டங்கள் 411
udair Glb Rg)ai ri 5 j66ër pg). BR AQ இரண்டும் சமாந்தர மெனக் காட்டுக. ஒரு வட்டத்திலே AB, AC இரு நாண்கள். Aயிலுள்ள தொடுவரைக்குச் சமாந்தரமாகக் கீறப்படும் நேர் வரையொன்று ABயை Xஇலும், ACயை Yயிலும் சந்திக்கின்றது. B, C, X, Y நான்கும் ஒரே வட்டத்திலுள்ளன எனக் காட்டுக. ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். மூலைவரை கள் Eயில் சக்திக்கின்றன. முக்கோணிகள் ABB, CDE இரண்டின் சுற்றுவட்டங்களும் Xஇல் தொடுவன எனக் காட்டுக. ABC 3pQ5 A ; O 2 6T al - 60)D (Lib. AB, AC இரண்டும் உள்வட்டத்தை முறையே Dயிலும் Eயிலும் தொடுகின்றன. AO உள்வட்டத்தை Iயில் சந்திக்கிறது. A ADEயின் உள்வட்ட மையம் 1 எனக் காட்டுக.
ஒரு வட்ட காற்புயத்தில் ஒரு வட்டம் அமைக் கக் கூடுமாயின் எதிரான தொடு புள்ளிகளே இணைக்கும் நேர்வரைகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக, ABC ஒரு A, TAS முக்கோணியின் சுற்று வட்டத்துக்குத் தொடுவரை. கோணங்கள் T AB, SAC grait uglóir FLDGaul Lyls (alth Cu லுள்ள உட்கோண வெளிக்கோணச் சமவெட் டிகளும் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டமொன்றின் அந்தங்களிலே" சந்தித்தல் வேண்டும் எனக் காட்டுக. TA, TB ஒரு வட்டத்தில் இரு தொடுவரைகள். AC ஒருவிட்டம், AT = 24 CABளனக்காட்டுக,

Page 85
412
*#33,
முறையான கேத்திர கணிதம்
இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாக Aயிற் தொடு கின்றன. ஒரு வட்டத்தின் காணுென்று (PQ) மீண்டு மறு வட்டத்துக்குத் தொடுவரையாகி றது (Rஇல்). Tயிலுள்ள வெளிக்கோணத்தை RTஇரு சமகூருக்குகிறதெனக் காட்டுக.
மீட்டல் அப்பியாசங்கள் XVII
இரு வட்டங்கள் ABP, ABO ஒன்றையொன்று Aயிலும் Bயிலும் வெட்டுகின்றன. C வட்ட மையங்களுக்கு நடுவிலுள்ள புள்ளி. CBக்குச் செங்குத்தாக PBO கீறப்பட்டால் PB=BO எனக்காட்டுக.
. ABC ஒரு முக்கோணி. BC =6 செ. மீ., AC=
42 செ. மீ, AB -54 செ. மீ. முக்கோணியைக் கீறி A, B, C மூன்றிலுமிருந்து எதிர்ப் புயங் களுக்குச் செங்குத்துகள் கீறுக. செங்குத்து கள் ஒவ்வொன்றையும் அவ்வளவு மீட்டுக. முறையே X, Y, Z வரையும். வட்டங்கள் ABZ, BCX, CAY y6öTaSoir Gou uusisån ujib கண்டு அவற்றின் இடைத்தூரங்களை அளர் தறிக. ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் சுற்று வட்டத் துக்கு BTஒரு தொடுவரை ADER இரண்டாவ தொரு வட்டம் ; இது முதல் வட்டத்தை உட் புறமாக Aயிலும், நாண் BCயை Dயிலும் தொடுவதோடு, AB, AC g)JT Gior Gouyuh முறையே Eயிலும் Fஇலும் வெட்டுகிறது. DE, DF இணைக்கப்படுகின்றன,
Z CBT = Z EDB +4 FDC Gtará situlo-G945.

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 413
(வட்டம் AEDFஉம் புள்ளி Tயும் BCயின் எதிர்ப்பக்கங்களில் உள்ளன.7 . ஒரு முக்கோணி ABCயின் சுற்றுவட்டத்துக்கு Bயிலும் Cயிலுமுள்ள தொடுவரைகள் Oவில் சக்திக்கின்றன. O மையமாகவும் OB அல்லது OC ஆரமாகவுமுடைய வட்டம் ACயை (மீட் டியபின்) Qவில் சந்திக்கிறது. OO இணைக்கப் பட அது ABயை Rஇல் சந்திக்கிறது. புள்ளி R வட்டம் BCQவிலுள்ளதெனக் காட்டுக. 15"ஆரமுள்ள ஒருவட்டம் கீறி அதன் மையத்தி லிருந்து 3' தூரத்தில் ஒரு நேர்வரை கீறுக. இவ் வட்டத்தையும் நேர்வரையையும் தொடும் படி 1" ஆரமுள்ள வட்டமொன்று வரைக.
XVIII . ஒரு வட்டத்துக்கு வெளியாகவுள்ள புள்ளி யொன்றிலிருந்து இரு நேர்வரைகள் OAB, OCD கீறப்படுகின்றன. அவை வட்டத்தை வெட்டு மிடங்கள் A, B, C, D ஆகும். Z OAD = z OCB GT Gordă. Es w LG95.
. இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டுகின் றன. பொதுவான காண் ABயிலுள்ள ஏது மொரு புள்ளிக்கூடாக இரு நேர்வரைகள் கீறப் படுகின்றன. ஒன்று முதல் வட்டத்தை Pயிலும் Qவிலும் மற்றையது இரண்டாம் வட்டத்தை Rஇலும் S இலும் வெட்டுகிறது. PQR ஆகிய வட்டத்தில் S உள்ளதெனக் காட்டுக.
. 4 செ. மீ. ஆரமுள்ள வட்டமொன்றுகீறி அதற் குள் ஒழுங்கான அறுகோணியொன்று வரைக. இந்த அறுகோணியின் ஆறு மூலைகளும் A, B,

Page 86
414
முறையான கேத்திர கணிதம்
C, D, E, F ஆகட்டும். AD, BF இரண்டும் வெட்டுமிடம் O. அறுகோணியின் பரப்பு= FB, OD GT Gow di astru "Q945.
. ABC ஒரு முக்கோணி. BCயில் ID ஒரு புள்ளி.
முக்கோணிக்குள் O ஒரு புள்ளி. ODB ஆகிய வட்டம் ABயை வெட்டுமிடம் 1 : ODC ஆகிய வட்டம் ACயை வெட்டுமிடம் M. A, L, O, M ஒரு வட்டத்திலுள்ளனவெனக் காட்டுக,
4" ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8" தூரத்திலுள்ள புள்ளி யொன்று T. இப் புள்ளியிலிருக்து வட்டத்துக்குக் கீறப்படும் தொடுவரைகள் TA, TB ஆகும். ABusair நீளத்தைக் கணித்தறிக.
XIX
ஒரு வட்டத்தில் APB ஒரு பரு வில் : AB ஒரு காண். இவ் வட்டத்தின் மையத்துக் கூடாக வேருெரு வட்டத்தின் வில் AOB செல்கிறது. AQBயிலுள்ள ஏதுமொரு புள்ளியில் AB ஏக் தும் கோணம் APBயிலுள்ள ஏதுமொரு புள்ளி யில் AB ஏந்தும் கோணத்திலும் இருமடங் கெனக் காட்டுக. 78 செ.மீ., 9-6 செ. மீ, 11°செ. மீ., மீளப் புயங்களையுடைய முக்கோணி யொன்று கீறுக. அதன் உள்வட்ட மையத்தை வரைக்தறிக. முக்கோணியின் ஒவ்வொருபுயத்திலும் 4 செ.மீ. நீளமுள்ள நாணை வெட்டக்கூடிய ஒரு வட்டம் வரைக. அவ் வட்டத்தின் ஆரமென்ன?
36 செ. மீ. ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கிறுக வட்ட மையத்திலிருந்து 6 செ. மீ. தூரத்தி

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 415
லுள்ள ஒரு புள்ளி Pயிலிருந்து ஒரு தொடு வரை கீறுக. தொடுவரையின் நீளத்தைக் கணித்தறிக.
, 30° அளவுள்ள கோணமொன்று AOB கீறுக. OAயில் இரு புள்ளிகள் P, Q குறிக்கவேண்டும். OP= 4 Gaf. Lâ., OÇ) =9 GgF. L6. P, Q g)'u gö7 டுக் கூடாக, OBயைத் தொடும்படி வட்டம் வரைக. அவ் வட்டம் OBயை Tயில் தொடு மாயின், முக்கோணிகள் OPT, OTO இரண் டும் சமகோணங்களேயுடையன எனக் காட்டுக.
ABC ஒரு முக்கோணி. அதன் சுற்று வட்ட 60)uouub O. A Cu367 (5GüL/6it 6fl E; ABu96or (5QB'yair Gati F. EO, FO @DT Gior Guió AB, AC இரண்டையும் சந்திக்குமிடங்கள் முறையே X, Y ஆகும். B, C, X, Y கான்கும் ஒரே வட் டத்திலுள்ளன எனக் காட்டுக.
XX ஒன்றுக்கொன்று சமமில்லாத இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடுகின்றன. ஒரு நேர் வரை ஒரு வட்டத்தை Aயிலும் மற்றையதை Bயிலும் தொடுகிறது. இரு வட்டங்களும் தொடுமிடத்திலுள்ள பொதுத் தொடுவரை ABயை இரு சமகூறுகப் பிரிக்கின்ற தெனக் காட்டுக. . AB ஒரு வட்டத்தின் விட்டம். Aயிலிருந்து செல்லும் இரு நேர்வரைகள் ACD, AEF வட் டத்தை Cயிலும் Eயிலும், Bயிலுள்ள தொடு வரை யை Dயிலும் Fஇலும் வெட்டுகின்றன. C, D, R, E நான்கும் ஒரே வட்டத்திலுள்ளன எனக் காட்டுக.

Page 87
416
முறையான கேத்திர கணிதம்
ABC 55 (pišGastrGoofi. AB = 3”, BC = 25“, CA= 18". முக்கோணியை வரைக. அடிமட்டத்தையும் வட்டமிடு கருவியையும் மாத்திரம் உபயோகித்து பின்வரும் அளவுகளுக் கிணங்க ஒரு முக்கோணி ABD வரைக ;- /ABD= / BAC ; ! BAD=/ABC ; D, C இரண்டும் ABயின் ஒரே பக்கத்திலிருத்தல் வேண்டும். ஆக்கம் சரியென்பதற்கு நியாயம் காட்டுக. முக்கோணி ABCயின் சுற்று வட்டத்தையும் கீறுக.
. ABC ஒரு வட்டத்திலுள்ள முக்கோணி. Aயி
லுள்ள வெளிக்கோணச் சமவெட்டி வட்டத்தை Lß6oot Gub Du9 au gFf5 396 (3 Lost u96or, DB = DC எனக் காட்டுக. OAB, OCD (g) G35668).Jacir; இடைக் Garoo Lh 60°. OA = 4 GF. Lß. AB = 5 GF. Lß. CDயில் AB 35° கோணத்தை ஏந்தக்கூடிய புள்ளிகளை அறிக.
XXI
ABCD ஒரு வட்டத்தில் அமைந்த நாற்புயம். முக்கோணிகள் ABC, ABD இரண்டும் பரப் பில் சமமாயின், அவை சர்வசமமெனக் காட்டுக.
. ABC வட்டமொன்றிலுள்ள சமபுயமுக்கோணி,
O வட்ட மையம். முக்கோணி OBCயின் சுற்று வட்டமும் முதல் வட்டமும் சமமானவை யெனக் காட்டுக.
ABC 605 airiC35 root (updi G35n aoli. A, B இரண்டிலு மிருந்து எதிர்ப் புயங்களுக்குச்

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 4.17
செல்லும் செங்குத்து வரைகள் சந்திக்குமிடம் H ஆயின், A AHB, Z C இரண்டும் நீட்டுங் கோணங்கள் எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு ஸ்ே சதுரம். ABயில் X எதுமொரு புள்ளி. DAக்குச் செங்குத்தாக DY கீறப்பட, அதை BC நீண்டு Yயில் சந்திக்கிறது. XYயின் கடுப்புள்ளி Vஆயின், VB-VD எனக் காட்டுக. ABயிலுள்ள புள்ளியின் நிலையம் மாற, Vயின்
படுக்கை எதுவாகும் ?
AB ஒரு நேர்வரை ; நீளம் 10 செ. மீ. வேருெரு நேர் வரை க்கு Aயிலிருந்து செங்குத்துவரை 8 செ. மீ. நீளமும் Bயிலிருந்து செங்குத்துவரை 4 செ. மீ. மீளமுமாயின், அக் கேர்வரையைக் கீறுக.
XXII
ஒரு வட்டத்தின் மையம் A. வட்டத்துக்குள் P ஒரு புள்ளி. Pக்கூடாகச் செல்லும் காண்கள் எல்லாவற்றினது கடுப்புள்ளிகளின் படுக்கை APயை விட்டமாகவுடைய வட்டமெனக் காட்டுக.
35° அளவுள்ள கோணமொன்று AOB கீறுக. ! Julb OAu9a OX= 2 G5. L8., OY= 7 Ga. L8. ளேங்களே வெட்டுக, OBu96) ΧΥ β0ο கோணத்தை ஏந்தும் புள்ளிகளைப் பெறுக.
இரு வட்டங்கள் ABC, ADE உட்புறமாக Aயில் தொடுகின்றன. Aக் கூடாக இரு கேர் வரைகள் ABID, ACE கீறப்படுகின்றன. அவை வட்டங்களைச் சந்திக்குமிடங்கள் B, D, C, E s365Lb. BC || DE GT Gordi és Irl-G45.
27

Page 88
418
முறையான கேத்திர கணிதம்
4. ABC ஒரு முக்கோணி. ABயை Bயில் தொடும்
வட்டமொன்று BCயை Xஇலும் முக்கோணி
யின் சுற்றுவட்டத்தை Pயிலும் வெட்டுகிறது:
C, X, P மூன்றுக் கூடாகச் செல்லும் வட்டம் ACயை Cயில் தொடுமெனக் காட்டுக. X ஒரு வட்டத்தின் மையம்; A, B சுற்றுவரையி லுள்ள இரு புள்ளிகள். Aக்கூடாகச் செல்லும் நேர்வரை யொன்று மீண்டும் அவ் வட்டத்தை Pயிலும், A, X, B மூன்றுக் கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தை Qவிலும் சந்திக்கிறது. OB=OP எனக் காட்டுக.
XXIII
ABC ஒரு முக்கோணி. அதில் AB=6 செ. மீ., BC=7 செ. மீ., AA=55°. முக்கோணியைக் கீறி அதன் சுற்றுவட்டத்தையும் கீறுக. வட்ட விட்டத்தின் நீளமென்ன ? ஒன்றின் மையம் மற்றையதின் சுற்றுவரையி லுள்ளதாக இரு வட்டங்கள் அமைந்துள்ளன. இரு மையங்களையும் இணைக்கும் கேர்வரை வட்டங்களே மீண்டும் சந்திக்குமிடங்கள் A, B ஆகும். வட்டங்கள் வெட்டுமிடங்கள் C, D ஆகும். நாற்புய வடிவம் ABCDயி லுள்ள கோணங்களைக் கணித்தறிக. இரு வட்டங்கள் Aயிலும் Bயிலும் வெட்டு கின்றன. ஒரு வட்டத்தில் ஏதுமொரு புள்ளி Pயிலுள்ள தொடுவரையை AB மீண்டு Oவில் சந்திக்கிறது. Oவிலிருந்து செல்லும் ஏதுமொரு நேர்வரை மற்றைய வட்டத்தை இவிலும் R இலும் வெட்டுகிறது. வட்டம் PQR கேர் வரை OPயை Pயில் தொடுகிறதெனக் காட்டுக.

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 419
4. ABCD ஒரு வட்ட நாற்புயம். CD டேட்டப் படுகிறது Eவரையும். கோணங்கள் ABC, ADR இரண்டின் சமவெட்டிகளும் வட்டத்தை ஓரிடத்திற் சந்திக்குமெனக் காட்டுக.
5. ஒன்றுக்கொன்று முற்றிலும் வெளியான இரு வட்டங்களின் மையங்கள் A, B ஆகும். அவற் நின் ஆரங்கள் a, b ஆகும். ABயில் N ஒரு
y Gir Ffi. NPL AB. AN*-NB* = a *-bo gufaðir, Pulau iš QU5 வட்டங்களுக்கும் கீறப்படும் தொடுவரைகள் சமநீளமுள்ளன எனக் காட்டுக.

Page 89
நான்காம் பாகம்
வடிவொத்த முக்கோணிகள்

53.
S 1.
S2.
வீதமும் வீதப்பொருத்தமும்
இரு பொருள்களை காம் சாதாரணமாக ஒன்ருே டொன்று ஒப்பிடுதல் வழக்கம். ஒன்று இன் னென்றிலும் பார்க்க இரு மடங்கு பெரி தென்றே ஒன்றின் விலை வேருென்றின் விலையி லும் மும்மடங்கென்ருே வேறுவிதமாகவோ கூறப்படுவதுண்டு. இவ்வாறு ஒப்பிடப்படுவன ஒரே இனப் பொருள்களேயாம். ஒரு பொருளின் பருப்பத்தை இன்னென்றின் விலையோடு ஒப் பிடுவாரில்லை, ஒப்பிடவும் முடியாது.
ஒரே இனமான இரு அளவுகள் ஒப்பிடப்படும் போது வருங் தொடர்பு விகிதம் எனப்படும்? a, b ஆகிய இரு அளவுகளுக்கிடையிலுள்ள விகிதம் a = b என்றே என்ருே குறிக்கப்படும்.
a = b என்னும் விகிதத்திலே a, விகித முற்கூறு எனப்படும். b, பிற்கூறு எனப்படும். a? ; b? என்பது ல் : b என்பதன் வர்க்க விகிதமாகும் ; a9 : b* என்பது கனவிகிதமாகும்.
இரு பொருள்களுக்கிடையிலே உள்ள விகிதம் வேறிரு பொருள்களுக்கிடையேயுள்ள விகி தத்துக்குச் சமமாதல் கூடும். உதாரணமாக 8 அடி : 4 அடி = 10 ரூபா : கி ரூபா இவ்வாறு இரு விகிதங்கள் சமமாயின் அங் கான்கு அளவைகளுக்கு மிடையில் வீதப் பொருத்தமு முண்டு எனப்படும். அது a * b = c d அல்லது = என எழுதப்படும். a : b : ; c. : d என எழுதுவது வழக்காற்றில் அருகி வரு கிறது. d (சுருக்கமாக) பொருத்த நான்காம்

Page 90
422
S3.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
கூறு எனப்படும். வீதப்பொருத்தம் a * b = b * c என வரின், அதாவது மூன்று அளவுகள் வீதப் பொருத்தத்தில் வரின், மூன்றுவது அளவு (e) பொருத்த மூன்றம் கூறு எனப்படும். பொருத்த இடை எனப்படும்.
காலுக்கு மேற்பட்ட (ஆல்ை இரட்டையான) அளவுகளும் வீதப்பொருத்தத்தில் இருத்தல் கூடும். உதாரணமாக:
х: у : z = p : q : r а : b : c : d = e f: g : h.
a, b, c, d நான்கும் வீதப் பொருத்தத்தில் உள வாயின் பின்வருவன ஒவ்வொன்றும் உண்மை யாதல் காண்க : .
= அல்லது a : b ܚܘܗ݈ܝ c : d
R i அல்லது b = a =d: c (கவிழ் பொருத்தம்) = அல்லது a : c=bd (மாறு பொருத்தம்)
a - b -- с -l-d
b d அல்லது (a+b) * b = (c-d) ; d. (கூட்டுப் பொருத்தம்)
*8= ? அல்லது (a-b) : b = (c-d); d
b d (கழிவுப் பொருத்தம்) a-Hb c +d
a-b c-d us easy (a+b): (a-b) = (c-d)
(?-4) (கூட்டுக் கழிவுப் பொருத்தம்)

வீதமும் வீதப்பொருத்தமும் 423
с
级
- c
a.
C
?。
C.
8.
&
d
84. இனி, கேத்திரகணிதத்திலுள்ள முக்கியமான
சில வீதப்பொருத்தங்களே ஆராய்வாம்,
A P
C G S R
A ABCusair up L = BCAD A PQR , = QR-PS
இரு முக்கோணிகளின் உயரங்களும் (AD, PS)
A ABC BC
APOR *áma QRo e 5 fall, FAD உயரங்களையுடைய முக்கோணிகளின் பரப்புகளும் பீடங்களும் வீதப்பொருத் தத்திலுள்ளன. அதேபோல பீடங்கள் சமமாயுள்ள முக்கோணிகளின் பரப் புகளும் அவற்றின் உயரங்களும் வீதப் பொருத்தமுடையன. உதாரணமாக,
зишти?су,
༼N༽།། A LMİN – MIN VN A LNO NO
\ 〉།།
(உயரங்கள் சம Z \ ܓܠ மாகையால்)

Page 91
424
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
A ABC - CX O Za ABD - DYW (பீடங்கள் சமமாகையால்)
அப்பியாசம் - 60 (1) கணித்தல் பின்வரும் வீதப் பொருத்தங்களில் விடப்பட்ட எண்களை அறிக :- (அ) 3 7 = 15 : - (ஆ) 35 : - = 10 : 2 (2) ) - : ac* = bc : bc* (ஈ) 4 : x = x : 9 96" நீளமுள்ள நேர் வரை யொன்று 5 : ? என் னும் விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கப் பட்டால் ஒவ்வொரு பகுதியின் நீளமுமென்ன ? 45" நீளமுள்ள நேர்வரையொன்று 11 : 8 என் னும் விகிதத்தில் வெளிப்புறமாகப் பிரிக்கப்பட் டால் ஒவ்வொரு பகுதியின் நீளமுமென்ன ?
. а : b = x : у ; b : c = y : z. а : с 67 бӧтgрушѣ
விகிதத்தின் விலையை அறிக.
. ஒரே உயரமுள்ள இரு முக்கோணிகளின்
பீடங்கள் முறையே 6'3", 54". முதலாவதின் பரப்பு 12 சதுர அங்குலமாயின், இரண்டா வதின் பரப்பென்ன ?
 

வீதமும் வீதப்பொருத்தமும் 425
.ே AB, CD இரு நேர்வரைகள், அவை முறையே
Xஇலும் Yயிலும் உட்புறமாக ஒரே விகிதத் திற் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) AB : XB = CD : YD Graorayuñ (ii) A B : AX = CD : CY ar GOT Gayun smru (9 s.
* 7. ABC ஒரு A. புயங்கள் AB, AC இரண்டிலும்
முறையே D, E இரு புள்ளிகள். AD : DB - AE : E C.
AD : AB - AE AC எனக் காட்டுக.
“ 8. ABC 6PQ5 A ... BCuggio X 6Qlib u qasir orfi, AX 3Qaib
端将 9.
1.
Y ஒரு புள்ளி, BX : XC = 2 : 3 XY : YA = 3: 4.
AYBX ... AYBC ... AYBX () vA () AB (i) ÄBC
. . A YBC AYBC · sa iv , v ஐ என்பனவற்றின விலையை அறிக
ABC ஒரு A. AX ஒரு நடுவரை. AXஇல் P 325 yair Gaffi. AB = 8“, BC = 1?", CA = 15“, AP = 15". A APCu?ar LuJugoL -63 .
9üîulu TJ b — 60 (ii) ßphò
ABC 6@QU5 A. ACu96 X 625 ly Gir Gufi ; AX = AC. ABu îles Y 65 y Giraf ; BY = AB. A, ABX = ACBY G7 6JT is still (95.
3. ABC FQD A . BCu? Issy 5@ X. ABu dör 159 Y.
A BXY= A ABC எனக் காட்டுக,

Page 92
426
种6,
* 2.
* •ፀ.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
ABCD 605 J. påsav6a/GBDJ BDu Gao X ஒரு ty6irai. BX : XD = 2 ; 3. A ABXs A CBX எனக் காட்டுக.
BX, Cy இரண்டும் வெட்டுமிடம் Z ஆயின், ABZY = д СZX எனவும் காட்டுக.
ABC 6205 A. BX, CY (935 5Gagorassr அவை வெட்டுமிடம் Z காற்புயம் AXZY = A BZC (Lurcül gediş) 67 Gor & காட்டுக.
ABC 5pqg A . BCu? ãö X ஒரு புள்ளி - Bx : XC = 2 : 8. ABusi dü Yaş (U5 fair own — AY : YB == 3 : 5. A AXY = , A ABC GTGOT Iš காட்டுக.
ஒரு முக்கோணியின் மூன்று ஈடுவரைகளும் அம் முக்கோணியைச் சமபரப்புள்ள ஆறு முக் கோணிகளாகப் பிரிக்குமெனக் காட்டுக. ABCD ஒரு காற்புயவடிவம், AB | CD. BCu9a) Xஒரு புள்ளி - BC = .cx ADயில் Y ஒரு their si - AD = n. Dy. XY || AB arari காட்டுக,
ABC 6225 A.. O முக்கோணிக்குள் ஒரு புள்ளி, A AOB = A, AOC s-gufaðir, AOGAIDau 6 72ܦܢܐ BCயின் நடுவுக்கூடாகச் செல்லும் எனக் காட்டுக.
ABC 605 A. D, E, F: மூன்றும் முறையே BC, CA, AB மூன்றிலுமுள்ள புள்ளிகள், AD, BE, CF மூன்றும் ஒன்றுகூடுமாயின்,
PD PE A PF – ADBE -- CF 1 எனக் காட்டுக, Pஒன்று
கூடும் புள்ளி,

54. முக்கோணிகளில் வீதப் பொருத்தமுள்ள பகுதிகள் S. சூத்திரம் 35
பொதுவிலக்கணம் - (i) முக்கோணியொன்றில் ஒரு புயத்திற்குச் சமசக்தரமாக உள்ள நேர்வரை எஞ்சிய இரு புயங்களில் வெட்டும் பகுதிகள் வீதப்பொருத்தமுடையன வாதல் வேண்டும். (ii) மறுதலையாக, ஒரு கேர்வரை முக்கோணி யொன்றினது இரு புயங்களே வீதப் பொருத் தத்தில் வெட்டுமாயின் அங்கேர்வரை மூன்ரு வது புயத்திற்குச் சமாந்தரமாதல் வேண்டும்.

Page 93
428 வடிவொத்த முக் கோணரிகள்
i சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC ஒரு A. DE||BC
(356ir Síî — AD : DB = AE: EC 3Tirus. ஆக்கம் - BB, CD இணைக்கப்படட்டும். Sebu60Tuh - AD: DB = A ADE : a DBE (ஒரே உயரம்) AE : EC = a. ADE : A CDE (52G 7 உயரம்) og Oslo, A DBE = A CDE (ஒரே பீடம் ஒரே உயரம்) A ADE : a DBE = A ADE: A CDE ". AD : D B = AE : EC என்றவாறு, ii மறுதலே (அதே வடிவம்) சிறப்பிலக்கணம் -
bJG - ABC 6@g5 A. AD : DB = AE : EC. Gas 6iro - DE 1 BC என்பது. ஆக்கம் - BE, CD இணைக்கப்படட்டும். Sabug)Ith - A ADE : A DBE = AD: DB
(ஒரே உயரம்) A ADE : A CDE s AE : EC ( 第舞 ) 

Page 94
430 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
C.
f
கேர்வரை AB வெளிப்புறமாப் பிரிக்கப்பட வேண்டிய விகிதம் a * b.
AC a CD == b. DB @ðaorðs, CF | DB. AF : FB = AC : CD = a : b. 83. தரப்பட்ட மூன்று நீளங்களுக்குப் பொருத்த நான்காம் கூற்றைப் பெறுவதற்கு இதேமாதிரி யான ஆக்கம் உதவும்.
----------------------------------سم... --س----------س 61
2་མཁས་པས་ཡབ་ཁས་མ་ཡས་ལ་ཁམས་མཁས་མཁས་བ་
மூன்று நீளங்களையும் a, b, c என்க. OX, OY என இரு நேர்வரைகள் கீறுக.
 
 
 

S 4.
S5.
முக்கோணிகளில் வீதப் . பகுதிகள் 431
ஒன்றிலிருந்து OA = a, AB = b வெட்டுக. மற்றதிலிருந்து OC - c வெட்டுக. AC இணைக்கப்பட்டு BD சமாந்தரமாகக் கீறப் பட்டால் CD கான்காம் பொருத்தக் கூருகும். தரப்பட்ட மூன்று நீளங்களும் பெரிதாயின் இவ்வாறு வரையும்பொழுது வடிவம் மிகப் பெரிதாக அதிக இடத்தை வேண்டி கிற்கும். நீளங்கள் எல்லாவற்றையும் Oவிலிருந்து அளக் தால் வடிவத்தை அடக்கமாகக் குறைந்த இடத் துக்குள் வரைந்துவிடலாம்.
OA = a, OB = b, OC = c. AC இணைக்கப்பட்டு BD சமாந்தரமாக வரை யப்பட்டால் OD நான்காம் பொருத்தக்கூருகும் மூன்ரும் பொருத்தக் கூற்றை அறிவது நான் காம் பொருத்தக் கூற்றை அறிவதுபோன்றதே. ஏனென்றல் இரண்டாவது நீளம் இருமுறை agilb. a : brb. c.
சூத்திரம் 38 பொதுவிலக்கணம் - (1) ஒரு முக்கோணியில்
ஒரு உட்கோணத்தின் சமவெட்டி, எதிர்ப் புயத்தை எஞ்சிய இரு புயங்களின் விகிதத்தில்


Page 95
432 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
உட்புறமாக்ப் பிரித்தல்வேண்டும். (ii) வெளிக் கோணச் சமவெட்டியும் அவ்வாறே வெளிப்புற மாகப் பிரித்தல்வேண்டும்.
சிறப்பிலக்கணம் - தசவு - ABc A. Ab .
கோணச் சமவெட்டி,
BD : DC = AB : AC GT Görlus.
கேள்வி - ஆக்கம் - CE ( DA, CE, BA இரண்டும் Eயில்
சந்திக்கட்டும்.
Åð 1600iii - Z BAD = Z E (cE I DA / DAC = / ACE ( , ) Z DAC ( sur Gay )
A E
s:06, A BAD
... Z. ACE
.". AC = AE.
A BECu9ev,
DA | CE (sgia, b) .". BD : DC = BA : AE .". BD : IDC = BA : AC Sir Gär spaumrapy.
-

முக்கோணிகளில் வீதப்.பகுதிகள் 433
(ii)
சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC A. AD வெளிக்
கோணச் சமவெட்டி,
G3s6it saíd — BD : IDC = BA : AC GT Görluss.
Absú - CE | DA. CE, BA g), sér Gí Eusé
சந்திக்கட்டும். நிரூபணம் - A ABDயில், EC I AD (தரவு) .ʼ. BID : IDC = BA : AE. gaoi, 1 XAD = / AEC (AD EC) Z DAC = / ACE ( , ) - (6)6. Z XAD = 4DAC ( spray )
..", Z AEC = Z. ACE
AE = AC, ', BD : IDC = BA : AC GT där spaury, $6. இச் சூத்திரத்தின் மறுதலையும் உண்மை யானதே. அதை, பாரிசேட நியாயத்தால் நிரூ பிக்கலாம் : அல்லது, டிெ சூத்திரத்துக்குரிய முறைபோல, ஆளுல் பின்னிருந்து முன்னுக, கிரூபிக்கலாம். S7. குறித்த பீடமொன்றிலே, மற்றைய இரு புயங்களும் குறித்த விகிதத்திலுள்ளதொரு முக்கோணியை ஆக்குதற்கு வழி பின்வருமாறு. 28


Page 96
434 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
_<\/ހ
- / ༄།།
C كلا
A ABC (பீடம் BC) ஆக்கப்பட்டதாக வைத்து ஆக்கும் வழியை ஆராய்வாம்.
AX உட்கோணச் சமவெட்டியாயின்,
AB : AC = Bx : CX.
AV வெளிக் கோணச் சமவெட்டியாயின்
AB : AC = BY : CY.
ZXAY=செங்கோணம்.
ஆகவே, XYயை விட்டமாகவுள்ள வட்டத் திலே முக்கோணியின் உச்சி A உண்டு.
எனவே, தரப்பட்ட பீடத்தை (8C)க் குறித்த விகிதத்தில் உட்புறமாகவும் வெளிப்புறமாக வும் பிரித்தல் வேண்டும்.
XY விட்டமாகவுள்ள வட்டம் (அரை வட்டம்) A யின் படுக்கையாகும்.

3.
3.
முக்கோணிகளில் வீத்ப். பகுதிகள் 435
எனவே பல முக்கோணிகளை அமைத்தல்கூடும் முக்கோணியின் உயரம், அல்லது உச்சிக்
கோணம், அல்லது வேருென்று தரப்படு மாயின், முக்கோணியை நிச்சயித்தல் கூடும்.
3. Y Y
9úLiturgú - 61 (i) வரைதல்
3-6' மீளமுள்ள a நேர்வரையொன்று / கீறி அதை a : b - ra-ra--- ہین۔
என்னும் விகிதத் ളj, fuji4 ന്റെ . --
4" நீளமுள்ள கேர்வரை யொன்று இறி a b : என்னும் விகிதத்திற் பிரியுங்கள், a, b, c மூன்றினதும் நான்காம் பொருத்தக் கூற்றை வரைந்தறிக.
4. b,c இரண்டினதும் இடைப்பொருத்தக்கூற்றை
5.
6.
வரைக்தறிக. 29' மீளமுள்ள நேர்வரை யொன்று கிறி அதை மூன்று சமகூறுகளாகப் பிரியுங்கள். 3' மீளமுள்ள நேர்வரை கீறி அதை 8 : 2 என் னும் விகிதத்தில் உட்புறமாகவும் வெளிப்புற மாகவும் பிரியுங்கள்.


Page 97
436
?.
8.
8 p.
* 10。
is 11.
*f2。
* 13.
攀隸 14.
** 15,
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
BC = 3'5", AB : AC = 3 : 2, 59a uaor AX
= 14" உடைய முக்கோணி ABC வரைக.
BC = 3“, 3 AB = 3 AC, u průy = 1 Figur அங்குலம் உடைய முக்கோணி ABC வரைக.
சுற்றளவு 6'8", புயங்கள் 3; 4; 5 என்னும் விகிதமுடைய முக்கோணி வரைக.
3・3×5・ o 舜 47 அங்குலம எவவளவு எனபதை வரைா
தறிக.
(35)*
அங்குலம எ வவளவு எனபதை வரைக
தறிக.
நீளம் = 3*2", அகலம் - 33" உடைய நீள்சது ரம் கீறி அதற்குச் சமமானதும் 3' மீள முடையதுமான வேருெரு நீள்சதுரம் கீறுக.
22 அங்குலக் சற் சதுரத்துக்குச் சமமானதும் 28" நீளமுள்ளதுமான நீள்சதுர மொன்று
திரை கி. ○
BC = 8·3", A B : AC = 5 : 4, L A = 60o உடைய முக்கோணி ABC வரைக.
புயங்கள் 8", 2" உடையதும் மூலைவரைகள் 1 : 3 என்னும் விகிதமுடையதுமான சமாந்தர சதுர்ப்புயம் கீறுக.

1.
முக்கோணிகளில் வீதப். பகுதிகள் 437
அப்பியாசம் - 61 (ii) நிறுவுதல்
AB, CD, EF \ه 3 சமாந்தர வரை
as air. ACE, BDF C. இரு வெட்டு வ ரைகள். AC : | CE = BD : DF E.
எனக் காட்டுக. f l \
ABCD ஒரு காற்புய வடி Quib... BDu576ù P ஒரு புள்ளி. PXIBA; PY BC. XYII AC எனக் காட்
டுக.
ABCD 8pg 15 ri ,ju வடிவம். ADயில் E ஒரு புள்ளி. AR, ED இரண்டும் சம விகிதத்திற் பிரிக்கப் படுகின்றன ; அதா Gugl, AP : PE = DS: SE BE, CE இணைக்கப் படுகின் P : s །༽ per. PQ|AB SRDC. QRBC sraerá காட்டுக.


Page 98
438
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
ABC 6 (15 A. AX is Galapur. AX இன் நடு Y BY இணைக்கப்பட்டு மீட்டப்பட்டால் AC eu p6ôr Arŷ லொன்ரு க வெட்டப்ப டு மெனக் காட் டு  ை.
அ தா வது AZ = #AC எனக்காட் 8
டுக.
ABC 605 A. BCuggir Is(9 D. ACudi E. 8?S L /air @ifi -- CIFE == 3 EA. ADaoul BE இரு சம கூருக வெட்டுமெனக் காட்டுக.
.R
PQRS ஒரு நாற்புய வடிவம். கோணங்கள் P, R இரண்டின் சம வெட்டிகளும் SQ வை Kயில் சக்திக்கின்றன. PQ ; PS = R Q : RS
எனக் காட்டுக
s
の GSR
ABC ஒரு A. AD கோணச் சமவெட்டி,
கோணங்கள் ADB, ADC இரண்டின் சம வெட்டிகளும் AB, AC இரண்டையும் முறையே E, F இரண்டிடங்களிலும் சக்திக்கின்றன. EF || BC GT GOT iš 5 T (9 as.
, ABC ஒரு A, CF கோணச் சமவெட்டி,
கோணம் Bயின் சமவெட்டி CF ஐ சந்திக்கு -tih I. AF : AC = F : IS TGT iš s rus,
 
 
 
 

9.
as 10,
* 11.
*12。
e 13.
米 14。
a 15.
முக்கோணிகளில் வீதப்.பகுதிகள் 439
PQRS ஒரு 4-7. மூலைவரைகள் வெட்டு uó) - tid O. G3&srGJo iš s Git POQ, POS MU Sðar டின் சமவெட்டிகளும் PQ, PS இரண்டை யும் முறையே X, Y இரண்டிலும் சந்திக்கின் றன. XYIQS எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு நாற்புயவடிவம். அதில் AB - CD = AC ' BID. G3a5ft6oo iš assir ABD, ACD இரண்டின் சமவெட்டிகளும் ADயை ஓரிடத் திற் சந்திக்குமெனக் காட்டுக.
ABCD 6?QU5 A 7. påava 13Dpr BDiS5ë FLD # iš தரமாகக் கீறப்படும் நேர்வரை PQ ஒன்று, AB, AD இரண்டையும் (தேவையானல் மீட்டி)
முறையே P யிலும் Q விலும் சந்திக்கிறது.
V\ BCP = Д. CDO стог i a, rt (54.
PQR, SQR gas Asir. QR set X 605 Lygir 6th. X க் கூடாக QP, OS இரண்டுக்கும் சமாக் தரமாகக் கீறப்படும் நேர்வரைகள் PR, SR இரண்டையும் முறையே Yயிலும் 2 இலும் சந்திக்கின்றன, YZ | PS எனக் காட்டுக.
ஒரு முக்கோணியின் பீடமும் மற்றைய இரு புயங்களின் விகிதமும் தரப்பட்டால் உச்சியின் படுக்கை யாது?
ABC go(5 A. I Blair QILL 60)Louib. AI நீண்டு BC யை P யில் சந்திக்கிறது. A1 : IP = ( AB + AC) : BC GTGT i 5 TG915.
ABC 62C15 A. BCu96ör 15(5) D. BCu9ot Grág மொரு புள்ளி Pக் கூடாக AC, AB இரண்டுக் தம் சமாந்தரமாகக் கீறப்படும் வரைகள்


Page 99
440
蚌辩16,
at 17.
**18、
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
ADயை முறையே X,Y இரண்டிலும் சக்திக் கின்றன. XYயின் நடு D எனக் காட்டுக.
ABC g@{25 A. L9ʻul-lub BCagʻ9aöb P QT.gs@uD fr(Zy புள்ளி. Pக் கூடாக மற்றைய இரு புயங்க ளுக்கும் சமாந்தரங்கள் கீறப் பிறக்கும் சமாக் தர சதுர்ப்புயத்தின் மூலைவரைகள் வெட்டு மிடத்தின் படுக்கையை அறிக.
PQRS ஒரு நாற்புயவடிவம். கோணங்கள் P, R இரண்டின் சமவெட்டிகளும் மூலவரை QSஐ ஓரிடத்திற் சக்திக்குமாயின், கோணங் கள் Q, S இரண்டின் சமவெட்டிகளும் மூலை வரை PRஐ ஓரிடத்திற் சக்திக்குமெனக் காட் டுக.
ABC ஒரு A. AD கோணச் சமவெட்டி, A BADயின் சுற்று வட்டம் CAயை மீண்டும் Eயில் சந்திக்கிறது : A CADயின் சுற்று வட் டம் BAயை மீண்டும் F இல் சந்திக்கிறது. BF = CE GrGir iš EST (9s.

55. வடிவொத்த முக்கோணிகள்
S1.
வட்டங்கள் யாவும் ஒரே வடிவமானவை. ஒரு வட்டம் சிறியதாகலாம், வேருென்று பெரிய தாகலாம். ஆனல் அவை ஒத்த வடிவமுடையன. கேர்வரைகளால் ஆக்கப்பட்ட வடிவங்கள்
• LILJц u 160T дру.
C.
B P حصہ GNQ
இவ் வடிவங்கள் ஒவ்வொன்றும் நான்கு புயங்
களால் ஆக்கப்பட்டன வாயினும் அவையாவும் ஒரேமாதிரியானவை யன்று. இவற்றுள் முத லிரண்டும் மாத்திரம் வடிவத்தில் ஒத்தன. முதலாவது பெரிது, இரண்டாவது சிறிதாக இருப்பினும் அவை ஒரேமாதிரியானவை. இவ் வாறு இரு வடிவங்கள் ஒத்த வடிவுள்ளனவாய் அமைதற்கு அவையிரண்டிலும்
(i) ஒரே கிலேயான கோணங்கள் சமமாதல்
வேண்டும்.
(ii) ஒரேரிகிலயான புயங்கள் ஒரே விகிதத்தில்
இருத்தல் வேண்டும்.


Page 100
442
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
முதலிரு வடிவங்களிலும் :
(i) LA = LP; LB = 19) ; LC= LR;
L D = L S.
(ii) AB : PQ = BC : QR = CD: RS
= DA : SP.
முதல் வடிவத்திலும் மூன்ரும் வடிவத்திலும் ஒரேநிலையான கோணங்கள் சமமானவையாயி னும் ஒரே கிலேயான புயங்கள் வீதப் பொருத்த மற்றன.
முதல் வடிவத்திலும் கான்காம் வடிவத்திலும் ஒரே நிலையான புயங்கள் வீதப் பொருத்த முடையனவாயினும் ஒரேநிலையான கோணங் கள் சமமற்றன.
ஆகவே, இரு பல் கோணிகளில் ஒரே நிலையான கோணங்கள் சமமாகவும், ஒரே நிலையான புயங்கள் வீதப் பொருத்த முடையனவாகவும் அமைந் தால் அவை வடிவொத்த பல்கோணி கள் எனப்படும்,
முக்கோணிகள் வடிவொத்திருப்பதற்கு இவை யிரண்டில் ஒன்று போதுமானது. அதாவது, ஒன்று மற்றையதில் அடங்கும். அடுத்து வரும் மூன்று குத்திரங்களும் இதைப்பற்றி யன. வடிவொத்தன ’ என்பது I " என் னும் குறியீட்டாம் குறிக்கப்படும்,

வடிவொத்த முக்கோணிகள்
சூத்திரம் 37
பொதுவிலக்கணம் - இரு முக்கோணிகள் சம
கோணமுடையனவாயின் அவற்றின் புயங் கள் வீதப் பொருத்தமுடையனவாதல் வேண் டும்.
443
S2.
C
Y
ܢܠ
乐 区の சிறப்பிலக்கணம் - தரவு ABC, DEF இரு Aள்
LA I LD; LB = LE LC = LF. Gssiros - AB : DE = BC: EF = CA : FD என்பது.
böti - BAu9a i BX (= EID),
BC , BY (= EF) Gaul-L -- it'u llXY இணைக்கப்படட்டும். (டும்.
நிரூபணம் - Aள் XBY, DER இரண்டிலும் { BX = ED (ஆக்கம்)
BY = EF (ஆக்கம்)
‘。A6f 三 ... LBXY = ZD ஆனல் LD = LA (தரவு)
::::. L. BXY = ZA
“.. XY || AC
„“, AB : BX = BC : BY


Page 101
444
S5.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
26), XB = DE ; BY = EF
.. AB : DE = BC : EF gajat (3 so, BC : EF = CA: FD எனவும் கிறுவலாம். <23 Ga., AB : DE = BC: EF - CA; FD
என்றவாறு
உள்ளுறை - சமகோண முக்கோணிகள் வடி
- வொக்தன.
S4.
A ABC 8235 A. PQ |
BCegu? oôr, AP : AB
-- AQ : AC GT Gör Luv
e, முக்திய அதிகாரத் ܡܐ
தில்ங்றுவப்பட்டது.
S < (சூத். 35 பார்)
இப்பொழுது AP : AB - P2 : BC என்பது
பெறப்படுகிறது. ( A 35 Gir APQ, ABC @J Gior
டும் சமகோண முடையனவாகையால்). இது முக்கியமானது.
イ
ADC 665 Garfil
கோண A. LDசெங்கோணம். A - is d BD || AC.
மூன்று முக்கோணிகள் உண்டல்லவா? பெரிது ஒன்று (ADC); சிறியன Dp6ö7 O (ABD, DBC) இவை மூன்றும் சமகோண A ள்.
(i) A air ABD, DBC இரண்டும் (சிறிய
இரண்டும்) I, ༤

(ii)
வடிவொத்த முக்கோணிகள் 445
o AB ܝܺܚܺܝܒ DB
DB BC (Jy 5 mrau gy. AB o BC
= BD2)
ஆகவே AB, BC இரண்டின் பொருத்த நடுக் கூறு BD ஆகும். எனவே இரு கேர்வரைகளின் பொருத்த 5டுக்கூற்றை அறிவதற்கு வழியா கிறது.
AB, BC as prů N பட்ட இரு கேர் ,
Y
Ν
V
B
~പ്പെ
عمر M A. f
|
a
வரைகள் (ஒரு
GBrs flaid ) . AC வி ட் டமாக அரை வட்டம் BID L AC.
C
BA, BC G2Q g aööruql6ör G@umtq5ğa5 /5GB)âi 55. gp/ BD ஆகும்.
நீள்சதுர மொன்றுக்குச் சமமான சற்சதுரம் ஒன்றை ஆக்குவதற்கும் இதுவே வழியாகிறது.
A ன் ADC, ABD இரண்டும் (பெரியதும் சிறி யது ஒன்றும்) 1.
... AC - AD P 2 " AD I AB (அதாவது AC AB-AD ) அதாவது, AC, AB இரண்டின் பொருத்த நடுக் கூறு AD ஆகும்.
எனவே, இரு நேர்வரைகளின் பொருத்த நடுக் கூற்றை அறிவதற்கு வேருெருவழி ஆகிறது.


Page 102
446 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
P AB , AC sur Ü ~ ~--سے سب سے N பட்ட இரு நேர் محصي N سمبر M y வரைகள் (ஒரு A سمیری V நேரில்).AB(பெரி f ރ) \ யது) விட்டமாக ഗ് அரைவட்டம் A c B C D L AB.
AB, AC இரண்டின் பொருத்த நடுக்கூறு AD ஆகும்.
தரப்பட்ட வரைகள் கெடியனவாயின் இம் முறை வசதி ஆனது, அடக்கமானதாகையால்.
(iii) Aer ADC, ABD 9y Gir(9ó (Guifiugub 6fió
யது ஒன்றும்) ) .
o AD AC 2
• AB - Ap Masffals, AD* = AB... AC,
Aகள் ADC, DBC இரண்டும் (பெரியதும் மற் றைச் சிறியதும்) I .
CD CA 2 - Yo A o cB o cp y otros, CD 2 = CA CB.
y ~പു ܓܠ ܐ
Bکیسمس سرحد ۹
Na TY
PA • PB = PC • PID
محمدرس.
 

வடிவொத்த முக்கோணிகள் 447
ܐ/ ܢܣܒܒ ܝܢܡ`ܐyܠ¬-ܡܚܝܒܝܢ PA • PB = PC 2 A ன் APC, BPD இரண்டும் H என்பதிலிருந்து இவ்வுண்மைகள் இலகுவிற் பெறப்படுதல் காண்க.
S7. சூத்திரம் 38
பொதுவிலக்கணம் - இரு முக்கோணிகளின் புயங்கள் வீதப்பொருத்த முடையனவாயின், முக்கோணி கள் சமகோண முடையனவாதல் வேண்டும்.
dipfitabilt, GDIth - 5 Ja) - ABC, DEF gas a soir.
AB : DE: s= BC : EF? = CA : FPD.


Page 103
448 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
356i sí - Z A = Z D, 4. B = A. H. ; Z C = Z F.
фћšli - L. свP - L. E
L BCP = LF முக்கோணிக்கு வெளியா அமைக்கப்படட்டும். 65u6001 tii - a air PBc, DEF; இரண்டிலும்
4B = / H (ஆக்கம்) Z C = Z F ( , )
.". Z P = Z DO . Aள் சமகோணமுடையன. .°. PB : IDFE - BC : EEE? -G96 AB : DE = BC : EF (தரவு)
..”. PB = AB
Maii aut G3gp PC = AC 676r Go! a Sir PBC, ABC Q75 Qh = *&898) ^ cir PBC, DEF (a); or Qỏ grư. கோணமுடையன (நிறுவப்பட்டது) .”. A Gir ABC, DIEF? இரண்டும் சமகோண
(A63-til 160r,
o°/o, LA = L D; ZB = LE; ) c. 4F என்றவாறு.
S8. உள்ளுறை . வீகப் பொருத்கமுள்ள 1 յղյել
களையுடைய முக்கோணிகள் வடிவொத்தன.

வடிவொத்த முக்கோணிகள் 449
S9. சூத்திரம் 39
பொதுவிலக்கணம் - இரு முக்கோணிகளிலே ஒன்றி லுள்ள ஒரு கோணம் மற்றையதிலுள்ள ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாகவும், இச் சமகோணங் களே அடக்கும் புயங்கள் வீதப் பொருத்த முடையனவாகவும் இருந்தால் முக்கோணிகள் வடிவொத்தனவாதல் வேண்டும்.
C E t சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC, DEFஇரு Aள்.
Z A = Z D. AB : AC = DE: DF. (3356ira? - A Gir ABC, DEF gp GirGüà augவொத்தன என்பது, − Phổ 3 tf - A Bu SaSat iš 5 AX (= DE), AcuSaổabišs AY ( = DF) வெட்டப்பட்டு, XY இணைக்கப் படட்டும். fe) L107th - A air AXY, DEF gu gait Gib =
(இரு புயங்களும் இடைப்பட்ட கோணமும்) Q6ofi, AB : AC = DE: DF (spre)
DE = AX; DF = AY (disti) “. AB : AC = AX : AY ... XY | BC. 29


Page 104
450
*8,
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
". L B De LAXY = AE ; A C = I AYX =le IF
Jusy 25 Araugs, A Gir ABC, DEF DU Grčs (9uò i Fuo கோண முடையன. எனவே, Aள் வடிவொத்தன, என்றவாறு.
அப்பியாசம் - 62 () வரைதல் 38", 19" ஆகிய இரு நீளங்களின் பொருத்த கடுக்கூற்றை வரைக. ۔۔۔۔۔ 38", 35" ஆகிய இரு நீளங்களின் பொருத்த நடுக்கூற்றை வரைக. 38', 42" ஆகிய இரு நீளங்களின் பொருத்த நடுக்கூற்றை வரைக. *' ; 32 - 43" : x" என்பதில் x இன் விலையை வரைந்தறிக.
, w/10 என்பதன் விலையை வரைந்தறிக. . கிட்டாத தூரத்தில் மையத்தையுடையதும் மிக
நீண்ட ஆரத்தையுடையதுமான ஒரு வட்டத் தின் வில்லொன்றுக்கு, வட்டத்துக்கு வெளி யாகவுள்ள புள்ளியொன்றிலிருந்து தொடு வரை கீறுவதெப்படி ? தரப்பட்ட இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் படியும், தரப்பட்ட நேர்வரை யொன்றைத் தொடும்படியும் ஒரு வட்டம் கீறுவதெப்படி? தரப்பட்ட புள்ளியொன்று (P)க் கூடாகச் செல்லும்படியும், தரப்பட்ட இரு நேர்வரை களே (AP, AC)த் தொடும்படியும் ஒரு வட் டம் கீறுவதெப்படி?

1.
வடிவொத்த முக்கோணிகள் 451.
அப்பியாசம் - 62 (ii) கணித்தல்
ABC sag A. PQ 1 BC.
(i) AB = 25" 众
AC - 2.0" AP = 1*5°'; AQ 67 av far மென்ன?
Р
(ii) AB = 3.5", e 一。
AC = 81“, AQ = 1-2”; A Pu9där for Gup6st Gay ?
(iii) AB = 4 4”. AP = 36'', AQ = 64', Ac,
QCயின் நீளங்களென்ன ?
(iv) BC = 7·5“, PQ = 5-7", AP = 4:5“; AB
2.
3.
4.
யின் மீள மென்ன ?
முக்கோணி வடிவமான வயலொன்றின் மூன்று பக்கங்களும் முறையே 900 யார், 0ே0 யார், 500 யார் நீளமுடையன. அவ் வயலின் பட மொன்றிலே மிக நீண்ட புயத்தின் நீளம்=54". மற்றைய புயங்களின் மீளங்களென்ன ?
ஆறு அடி உயரமுள்ள மனிதனின் நிழல் 10 3' மீளமுடையதாயின், 40 மீளமுள்ள நிழலைத் தரும் மரத்தின் உயர மென்ன ?
ஒரு மரத்தின் உயரத்தை அறியும்பொருட்டு ஒரு பையன் அம் மரத்திலிருந்து 25", தூரத் தில் 12 உயரமுள்ள ஒரு தடியை நிறுத்துகிருன். 4 தூரம் மேலும் கடந்தபின், மரநுனியும் தடி நுணியும் கண்ணும் ஒரு நேருக்கிருக்கக் காண்


Page 105
452
* z,
8.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
கிருன். பையனின் (கண்ணின்) உயரம் 5 ஆயின், மரத்தின் உயர மென்ன? ABC 6.Pg5 A. LC GgFä(346 fraoor Lb. PQ || AC. AC = 1", BC = 3“, PQ = "; BQ, BP, AP மூன்றின் நீளங்களையும் அறிக.
. ABCD @(U5 f5friðsuuauuņ6Nuth. AB HI DC ;
AB = DC. BD = 18“: CD = 35“. Späa வரைகள் வெட்டுமிடம் O வாயின் OBயின் நீளமென்ன ?
ABC SP(B a ; ZC GéFäGesrsord. CD 1 AB. CD = 3", AB = 10”. BD, DA Gr strug-6r நீளங்களையும் அறிக.
ABC 605 a ; LA Gaffida Tort. ADL BC.
(i) AB = 6', AC = 8o; BD, DC, DA p6r
றின் நீளங்கனேயுமறிக.
(ii) BD = 9", DC = 4" ; AD, AB, Ac yp6ör
றின் நீளங்களையு மறிக.
(iii) AD = 8", AB = 1?" ; AC, BC preciw
*来9。
to 10.
டின் நீளங்களையுமறிக.
ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலவரைகள் சந்திக்கு மிடத்திலிருந்து ஒரு புயத்துக்குக் கீறப்படும் செங்குத்து வரை அப்புயத்தை முறையே 1", 4' மீளமுள்ள இரு துண்டுகளாகப் பிரிக் கிறது. சாய்சதுரத்தின் பரப்பென்ன?
ஒரு புள்ளி 0விலிருந்து ஒரு வட்டத்துக்குக் கீறப்படும் தொடுவரை OT ஆகும். வட்டத் தின் ஆரம் = 3' ; OT - 4". வட்டமையம் P. TML OP. TMg)ar ster-Gupéraar ?

வடிவொத்த முக்கோணிகள் 453
அப்பியாசம் - 62 (ii) நிறுவுதல் ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி ; LB QgiG4 torb. BDLAC A si ABD, DBC, ABC மூன்றும் சமகோணங்களையுடையன எனக் காட்டுக.
ஒரு வட்டத்திலே இரு நாண்கள் AB, CD வட்டத்துக்குள் Eயில் வெட்டுகின்றன. AE · EB = CE · ED GT6orá sa l (6945, ஒரு வட்டத்திலே இரு காண்கள் AB, CD வட்டத்துக்கு வெளியாக Eயில் வெட்டுகின் spaw. AE * EB = CE “ EID GrGoT iš saru (9s.
ஒரு வட்டத்திலே TA ஒரு தொடுவரை ; TBC apag Gail Galau. TB ' TC - TA” GTarai
காட்டுக.
ABCD (5 காற்புயவடிவம்: AB || C.D. påla வரைகள் வெட்டுமிடம் O. OA : OC = OB : OD எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு வட்ட காற்புயம். BA, CD இரண் டும் Tயில் சக்திக்கின்றன. Aள் TAD, TBc இரண்டும் வடிவொத்தன எனக் காட்டுக.
ABCD ஒருசமாக்தர சதுர்ப்புயம் ADயின் நடு E. EB, AC at air GSi Kuga) சக்திக்கின்றன. AK = AC Girari smru (G9s.
ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி ; L AGerš Gas T600Tub. AD. BC.
(i) BD DC = AD* Grarayi,
(ii) BID '' BC = AB o GT GOf Gayuh s ru"Q95.


Page 106
454 வடிவொத்த முக்கோணிகள்
9. ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணி; LA (GFiš (3 sgrava b. AD IL BC ; DEL AC DFL AB. (i) AD AE = IDE DB GT GOTayub (ii) AC * AE = AB " AF GTGCT @yub smru (9&s. * 10. AB ஒரு வட்டத்தின் விட்டம், Aக் கூடாகச் செல்லும் நேர்வரையொன்று வட்டத்தை C யிலும், Bயிலுள்ள தொடுவரையை Dயிலும் சக்திக்கிறது. (i) A Gir CAB, BAD gur Gör 3|Lib 11) Gracardi asar"
டுக. (ii) AC, AB, AD மூன்றும் வீதப் பொருத்த
முடையனவெனக் காட்டுக. (iii) AC AD எப்பொழுதும் ஒரேயளவினதெனக்
காட்டுக. 11. AB, CD இரு சமாக்தர வரைகள். CDயின் நடு B. AC, BE இரண்டும் இல் சந்திக் கின்றன ; AB, BD இரண்டும் Gயில் சந்திக் கின்றன. FG|AB எனக் காட்டுக. * 12. AB ஒரு வட்டத்தின் விட்டம். Cவட்டச் சுற்றுவரையில் ஒரு புள்ளி. Bயிலுள்ள தொடு வரைக்கு Cயிலிருந்து செங்குத்துவரை CD கீறப்படுகிறது. CD, CB இரண்டுக்கும் விட் டம், பொருத்த மூன்ரும் கூறு எனக் காட்டுக.
* 13. ஒரு வட்டத்திலே PQ, PR சமமீளமுள்ள இரு காண்கள், S, வில் PRஇல் ஒரு புள்ளி. PS, QR இரண்டும் நீண்டு Tயில் சர்திக் @air upg0r. A sir STR, SQP Dr GirG9b Qug வொத்தன வெனக் காட்டுக.

*14。
* 15.
16.
**17。
18.
**19.
வடிவொத்த முக்கோணிகள் 455
PQ ஒரு வட்டத்தின் விட்டம், XY விட்டத் துக்குச் செங்குத்தான 5ாண். Pக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நாண் PR, காண் XYயை Sஇல் சந்திக்கிறது. PS PR - PY? எனக் காட்டுக. ABCD 65 fair f.sp b : AB : 2BC. CB fairG Ea13) ruli Gafssairpg CE a 2AB. AC, DE இரண்டும் Xஇல் சக்திக்கின்றன. (i) / AXD செங்கோண மெனவும், (ii) DX - XE எனவும் காட்டுக.
குறித்த இரு நேர்வரைகளிலிருந்து ஒரு புள்ளி யின் தூரங்கள் குறித்த ஒரு விகிதத்தில் இருக்குமாயின் அப் புள்ளியின் படுக்கை யாது? ABC 65 A . BCu? är 5G9uluu qasir Gaf? Medi கூடாகச் செல்லும் நேர்வரையொன்று AB, AC இரண்டையும் முறையே Dயிலும் Eயிலும், Aக்கூடாக BCக்குச் சமாந்தரமாகவுள்ள கேர் வரையை Fஇலும் சக்திக்கிறது. MD : ME = FD : FE GT got is as it l'iGs.
A, B, C, D கேர்வரை யொன்றிலுள்ள காலு Git Gaffia, Gir. AXD 6? A. BY, CY U Grčar டும் முறையே 10X, AX இரண்டுக்கும் சமாக் தரமாகக் கீறப்பட்டுள்ளன. XY இணைக்கப் பட்டு ADயை 0வில் சந்திக்கிறது. OA OB = OC * OD எனக் காட்டுக.
A, B, C, D கேர்வரை யொன்றிலுள்ள காலு புள்ளிகள். ACX ஒரு A. BY, DY இரண்டும் முறையே AX, CX இரண்டுக்கும் சமாக்தர மாகக் கீறப்பட்டுள்ளன. XY இணைக்கப்பட்டு ADயை Oவில் சர்திக்கிறது. OA e OB = OC : OD arearš astru (B)&s.


Page 107
a 21.
k*22.
* *8
*米34,
#5
ቁ*26.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
ABC ஒரு துவிசமயுய செங்கோண முக்கோணி: / A செங்கோணம். BDEC முக்கோணியின் கன்னத்தில் முக்கோணிக்கு வெளியாகக் கீறப் பட்டுள்ள நீள்சதுரம் ; BC = 2BD. ABயின் நடு F. ZDFC செங்கோணமெனக் காட்டுக.
ஒரு காற்புயவடிவத்தில் ஒரு சோடி புயங்கள் சமாந்தரமானவை. மூலைவரைகளின் நடுப்புள் ளிகளை இணைக்கும் நேர்வரை சமாந்தரவரைக ளின் வித்தியாசத்திற் பாதி எனக் காட்டுக.
ABC 6?C5 A. BCu96ir 53 D. ACudi E 305 yair Gifî ; AE = AC. AD, BE MIT Gordih Fஇல் சக்திக்குமாயின், BF = 4BE எனக்
காட்டுக.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெளிப் புறமாக Aயிற் தொடுகின்றன. பொதுத் தொடுவரை யொன்ருகிய PQ மையங்களே இணைக்கும் வரையை Sஇல் சக்திக்கிறது. SA? == SP " SQ GT GOT iš astu "Gods.”
AB ஒரு அரை வட்டத்தின் விட்டம். AP, AQ g)5 5 Ir Gaior s6ir ... PM L AB ; QNL AB. AM:AN = A Po: A9o GTGordi st G95.
ABC 62(5 A ; ADL BC, BD, CD GJ Gër டுக்கும் பொருத்த நடுக்கறு ADயாயின் A BAC செங்கோண மெனக் காட்டுக.
OAB, OCD sug-Gauris இரு A 6ir. AC : BD = OA : OB ST GOT di 45 w G935. AC, BD இரண்டுக்குமிடையிலுள்ள கோணம் = I AOB எனவும் காட்டுக.

56. வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பு
S. சூத்திரம் 40
பொதுவிலக்கணம் - வடிவொத்த இரு முக்கோணி களின் பரப்பும், அவற்றிலே இனமான புயங் களிலுள்ள சற்சதுரங்களும் வீதப் பொருத்த முடையனவாதல் வேண்டும்.
گر
Yk . S. n. 名 சிறப்பிலக்கணம் - தரவு - ABC, DER 6νις .
வொத்த இரு Aள். (356irs? - a ABC : A DEF = ABo: DEo. 255 5th - Axl Be; Dy i Er.
Lamii – a ABC = 3BC’AX நிரூ A DEF EF • DY
BC. AX ER DY t BC A B ஆளுலை, HR == DE )ر په ل5م(
မှီငို’’ 一盡 (A sir ABx, DEF
இரண்டும் :) )


Page 108
458
S2.
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
" bE2 என்றவாறு,
இச் சூத்திரம் வடிவொத்த பல்கோணிகளுக் கும் பொருந்துமாறு காண்க. எவ்வாறெனில், அவற்றை வடிவொத்த பல முக்கோணிளாகப் பிரித்தல் கூடுமல்லவா ?
அப்பியாசம் - 63 () கணித்தல்
இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணிகளிலே பொருத்தமான இரு புயங்களின் நீளங்கள் முறையே 12", 18". முதல் முக்கோணியின் பரப்பு 32 சதுர அங். இரண்டாம் முக்கோணி யின் பரப்பென்ன ?
வடிவொத்த இரு முக்கோணிகளின் பரப்புகள்
முறையே 130 ச. அங், 270 ச. அங். முதல் முக்கோணியின் ஒரு புயம் 32" மற்றைய முக் கோணியிற் பொருத்தமான புயத்தின் நீள மென்ன ?
ஒரு முக்கோணியின் மூன்று புயங்களும் முறையே 2, 3", 4". பரப்பிற் பதினறுமடங்கு பெரிய வடிவொத்த முக்கோணி யொன்றின் மூன்று புயங்களின் நீளங்களையும் அறிக. ABC 605 A. XY || BC, AX: XB = 5:3. A ABCயின் பரப்பு = 20 ச. அங்குலமாயின் A AXYயின் பரப்பென்ன ?
ABC 905 A; 4. Baccarios rarlb. BDI. AC. AID=4DC. AB : AC GT 6örGreî6Fas@udar அறிக

வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பு 459
அப்பியாசம் - 63 (t) நிறுவுதல்
ABC 65 A. ABuýaðir 159 D ; AC er
I5(B E. BCED = 3AADE at 607 is a TL Gas,
ABC 635 a ; Z B Qafë G34 ta5jr ib. BDL AC. 3AD=5DC. 3 AB2=5BC o a Gordi srl (5) s. வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பும், அவற் றின் பொருத்தமான உயரங்களிலுள்ள சம் சதுரங்களின் பரப்பும் ஒரே விகிதத்தில் உள் ளன எனக் காட்டுக. வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பும், அவற் றின் பொருத்தமான நடுவரைகளிலுள்ள சற் சதுரங்களின் பரப்பும் ஒரே விகிதத்தில் உள் ளன எனக் காட்டுக. ABC 3C5 A.BCusair (5G D. BCu96 F (3a/Qorq புள்ளி ; CD, CB இரண்டின் பொருத்த நடுக் கூறு CF. Fஉக் கூடாக BAக்குச் சமாந்தர மாகச் செல்லும் நேர்வரை முக்கோணியை இரு சம கூருக்கும் எனக் காட்டுக.
. ஒரு வட்டத்திலே TA, TB இரு தொடுவரை
கள். O வட்டத்தின் மையம். A ATB : AOAB
=AT2 : AO GT60T is 51t. Gas.
ABC 5F5 A. BEL AC ; CFL AB. BCEF : A AEF = BE 2 : AE 2 GT Gor i smru "QG95.
. ABCD 62Q5 afÀb3Figu Lb. A Du96T 5G X; CD
யின் கடு Y. CX, DYஇரண்டும் 2இல் சந்திக் கின்றன. ACYZ, சற்சதுரத்தின் என்ன பகுதி என அறிக.
வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பும், அவற் வின் உள்வட்ட ஆரங்களிலுள்ள சற்சதுரங்


Page 109
460
is 10.
at 11.
**12。
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
களின் பரப்பும் ஒரே விகிதத்தில் உள்ளன எனக் காட்டுக. வடிவொத்த முக்கோணிகளின் பரப்பும், அவற் றின் சுற்றுவட்ட ஆரங்களிலுள்ள சற்சதுரங் களின் பரப்பும் ஒரே விகிதத்தில் உள்ளன எனக் காட்டுக.
ABC SÐU5 A . . LA @Fiši G3 s TGVoor ti. BXC, CYA AZB மூன்று சமபுய முக்கோணிகள், AD. BC. A CYA = A CDX எனவும், A AZB = A BDX at 607 ay b as at Gas. இதிலிருந்து, சமபுய முக்கோணிகள் இரண்டி னது பரப்புக்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சம மான பரப்பையுடைய சமபுய முக்கோணி யொன்றை ஆக்கும் வழியைப் பெறுக. ABC 9g A• ABDE, CAFG sSp Gäst Gub qpá கோணிக்கு வெளியாக உள்ள சற்சதுரங்கள், A ADF= A AEG GTori st"(Ba.
** 13. ABC SUB A. AB då DSPg tysir 6th ; DB = AD.
DE | BC, D,E இரண்டுக்கூடாகவும் முறையே AC, AB இரண்டுக்கும் சமாந்தரமாகக் கீறப் படும் நேர்வரைகள் BCயை Fஇலும் Gu?gyth சந்திக்கின்றன. AABC - DFGE என்ன விகி தம் என்பதை அறிக.
மீட்டல் அப்பியாசங்கள்
XXIV
ஒரு புயம் 5 செ. மீ. நீளமுள்ள சமபுய முக் கோணியொன்று கிறி சம பரப்புள்ள GS சற்சதுரம் வரைக.

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 461
சற்சதுரப் புயமொன்றின் நீளத்தை அளந்து 100 சதுர செ. மீ. பரப்புள்ள சமபுய முக் கோணி யொன்றின் புய மீளத்தைக் கணித் தறிக. . ABCD 625 f54r sib y Lu Aug. Gutih. O Jays bei Gir ஒரு புள்ளி. Oவுக் கூடாக CB, CI) இரண்டுக் கும் சமாந்தரமாகக் கீறப்படும் கேர் வரைகள் AB, AD இரண்டையும் முறையே X இலும், Y யிலும் சக்திக்கின்றன. XYIBD ஆயின், புள்ளி O மூலவரை AC யிலுள்ள தெனக் காட்டுக. ܫ . AOB, COD go GusiraJGODT 45 Gör. AO = 5 OB ; CO = 5 O.D. psi.C3.B5r Goffisar AOD, BOC இரண்டும் சம பரப்புடையன எனக் காட்டுக. . ABCD $òQ5 f5fròLịu 1 QJug_6.Jtổ ; -96aử AB|CD. AC, BD இரண்டும் O விற் சக்திக்கின்றனர் AB யின் நடுப்புள்ளியை O வுக்கினேக்கும் கேர் வரை CDயை இரு சம கூருகப் பிரிக்கிற தெனக் காட்டுக. . ABC ஒரு முக்கோணி. அதில் BC = 10 செ. u. ; AB: AC = 3: 2. Glas Iranorth A = 60°. முக்கோணியைக் கீறி அதன் பரப்பைக் காண்க. ஒத்த வடிவுடையதும் 20 சதுர செ. மீ. பரப் புடையதுமான முக்கோணி யொன்று A 3' C" ஆயின், B'C' ஆகிய புயத்தின் மீளத்தைக் கணித்தறிக.
XXV . ஒரு வட்டத்தில் TA, TC இரு தொடுவரை கள் ; TBD ஒரு வெட்டுவரை நாற்புய வடி வம் ABCD யின் கோணங்கள் A, C இரண்டின்


Page 110
462
வடிவொத்த முக்கோணிகள்
சம வெட்டிகளும் மூலவரை BD யில் ஓரிடத் தில் சந்திக்குமெனக் காட்டுக. PQR 605 (paiGas Toof. y Say PNL 9R. PN: PQ = PR: QR guar, ZQPR Gat it கோணமெனக் காட்டுக.
. ABCD ஒரு காற்புய வடிவம். அதில் AB =
7 Ggf. Lß., BC = 6 (SF. Lß., CD = 4 GF. Lß., AD = 5 செ. மீ., AB - 70°. நாற்புய வடி வத்தை வரைக. மிக நீண்ட புயம் 4" நீளமுடைய வடிவொத்த காற்புய மொன்று வரைக. செய்கையை விளக்குக.
(i) AB ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் ; C சுற்று வரையிலுள்ள ஒரு புள்ளி. C யிலுள்ள தொடு வரைக்கு B யிலிருந்து கீறப்படும் செங்குத்து BF -gguh. (upaiG3 st6xias 6it BFC, BCA இரண்டும் வடிவொத்தன எனக் காட்டுக. (ii) ஒரு வட்ட காற்புயத்தின் மூலைவரைகள்
AC, BD 9T Gör G9uh Fiš9äsuáului O. AB AO OB எனக் காட்டுக.
ABC 3pg Qpi365 Goof. A di a Lirds BCigé. சமாந்தரமாகவுள்ள நேர்வரையில் இரு புள்ளி கள் Y, 2 குறிக்கப்படுகின்றன. / AYB க I AZC = / BAC suðr
YA : AZ = AB * : AC? GT GOT i siru (95,
XXVII
1. ABC ஒரு முக்கோணி அதில் BC = 10 செ. மீ,
AB=50, 4 C = 70°. முக்கோணியை வரைக.

மீட்டல் அப்பியாசங்கள் 463
BCயின் நடுப்புள்ளி (X)க்கூடாக CAயை Yயி லும், ABயின் கீட்டிய பகுதியை Zஇலும் YX : XZ = 3 7 ஆகும்படி வெட்டக்கூடிய நேர்வரை யொன்று கீறுக. ZYயின் நீளத்தை அளந்தறிக.
* ABC 62(15 QpáGastrGoff. BCu9657 5G D. ADu9a. O 52(15 l/6ir Gtfi. BO, CO GgQJJ 6öör CBuib fé6öörG9 AC, AB இரண்டையும் முறையே Eயிலும் Fஇலும் சந்திக்கின்றன. AD டேட்டப்படுகிறது Xவரை யும்; XOவின் நடுப்புள்ளி D,
AO: AX = AF : AB ar GMT ayuh, EF || BC Groot apti sirl G4.
ABC ஒருமுக்கோணி அதில் BC = 10 செ. மீ., / A = 67°, AB : AC = 5 : 6.. (ap diG335 tr 600flapulu வரைந்து கோணம் Cயை அளந்தறிக.
. ABCD 805 நீள்சதுரம் அதில் BC = 2BA. CD நீட்டப்படுகிறது E வரையும்; CE=2BC, AC L BE at6rdi stul (65.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம், மூலவரை ACயில் ஏதுமொரு புள்ளி Eக்கூடாக BCக்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்வரை ABயை Hஇலும், CDயை Kயிலும் வெட்டுகிறது. அதே புள்ளிக் கூடாக BAக்குச் சமாந்தரமாகக் கீறப்படும் நேர்வரை BCயை M இலும், ADயை Nஇலும் வெட்டுகிறது. --
NE : EM = HE : EK Garayi, NH || KM GT63Taqub 4 a L.G.5.


Page 111
464
வடிவொத்த முக்கோணிகள
XXVII 2" ஆரமுள்ள ஒரு வட்டம் கீறி அதற்குள் BC : CA : AB = 5 ; 6 7 ஆகும்படி ஒரு முக் கோணி ABC வரைக. ABC ஒரு முக்கோணி. Aயிலிருந்து ஒரு கேர் au GODT AP ( = AB) genys — Z PAB = 45°. Pயிலிருந்து ABக்குச் செங்குத்து PQ கீறுக. Qவிலிருந்து BCக்குச் சமாந்தரமான வரை ACயை Rஇல் சந்திக்கட்டும்.
A AQR = A ABC (பரப்பில்) எனக் காட்டுக.
ABCD ஒரு சமாந்தர சதுர்ப்புயம். ADயின் (5@ůLyGiraf M. BM இணைக்கப்பட்டு ACapu R இலும், CDயின் நீட்டிய பகுதியை Qவிலும் சந்திக்கிறது. QR = 2RB எனக் காட்டுக. ABC ஒரு முக்கோணி ; அதில் BC = 10 செ. மீ., L A = 90°, AB -- AC = 13 Gigf. L8. Cypdi கோணியை வரைக.
ABC ஒரு முக்கோணி. BCயில் X ஒரு புள்ளி. Xக்கூடாக BA, CA இரண்டுக்கும் சமாந்தர மாகவுள்ள வரைகள் CA, BA இரண்டையும் முறையே M, N ஆகிய இரண்டிடங்களிலும் சந்திக்கின்றன. BC நீண்டு MNஐ Tயில் சங் திக்கிறது. TX2 = TB TC எனக் காட்டுக,



Page 112



Page 113
ஆக்கி
திரு.ச. சிதம்பரப்பிள்
의 6고 ܪ
இந் நூல்கள் மற்றைய தனிச் சிறப்புடையன. 6 ஒவ்வொரு (6ஆம், 7ஆ வர்க்கும் தகுந்ததாக, L பரீட்சை வினு அப்பியாச ஆயின் ஒரே நூலில் - அமைக்கப்பு
விஷய விளக்கமுறை, ஆ களுக்கும் விஷயங்களே
செய்யக்கூடிய விதம்
6డి : () 2-75. ( (தபாற்செ
வித்தியா பிரசுர சபையின
IrậDGDIČI järt?
North - Ceylon Tamil W , CHUN printed at the Thirum
 
 
 
 
 
 
 

حضحصہ حصہ
ம் வகுப்புகளுக்குரிய கணிதம்
கணிதம் ர கணிதம்
(BLJ JIT 66r 26T, B.A., B.Sc. (Lond.)
का, 6 ====== رين
கணித நூல்களிலில்லாத விஷய விளக்கங்களின்பின் ம், 8ஆம்) வகுப்பு மாண பயிற்சி அப்பியாசங்களும், ங்களும், வேறு வேறுக
வகுப்புக்கேற்ற விதமாக
பட்டுள்ளன.
எனும் சிரியர்களுக்கும், மாணவர் விளக்குதற்குப் பேருதவி ாக அமைந்துள்ளது. 2) 300 (8) 300 ഖു (്ഖഇ1) ;
ரால் அங்கீகரிக்கப்பட்டவை
லகளிலும் கிடைக்கும்
Works Publishing House NAKAMA
akal Press, Chunnakam