Page 86
158 பிரயோகங்கள்
தால், அத்திணிவுகளின் புவியீர்ப்பு மையம் ஆெனது அதே நேர் கோட்டிலிருந்து தூரம்
- m2 + m్మr్క + m్యర్మ + . . . . 2(m3) (1)
22 = 7m1十7na十7m3十······ T Xm என்பதில் இருக்குமென்பது நிலையியல் நூல்களிற் காட்டப்பட்டிருக்கின்றது. Je|6ôTAĎu|Lh, 4:1, 42 43 · · · · · · · · என்பன வேறு வேறு பொருள்களின் புவியீர்ப்பு மையங்களாயின், m, n, mg. . . . . . . . என்னுந் திணிவுகளை யுடைய பொருள்களின் ஒரு தொகுதியின் புவியீர்ப்பு மையத்திற்கும் அதே சூத்திரம் பொருந்தும். அன்றியும், A1, A2, A3. . . . . . . . என்பன்
ஒரு தளப் புள்ளிகளல்ல எனினும், 2 என்பன ஒரு தளத்திலிருந்து அளந்த தூரங்களைக் குறிக்குமாயின், அதே சூத்திரம் பொருந்தும்.
அன்றியும், திணிவுப் பிரச்சினையாகாது பரப்புக்கள், அல்லது கன வளவுகள் போன்றனவற்றின் பிரச்சினையாயிருக்கும் போதும், m, m, m என்பனவற்றிற்குப் பதிலாகத் தம் இடையான மையங்கள் A, A2, A 0 0 0 0 0 0 0 0. என்பனவற்றிலுள்ள பரப்பு மூலகங்களையாதல் கனவளவு மூலகங் களையாதல் பிரதியிடுவோமாயின், அதே சூத்திரம் இடை மையத்தை, அல்லது திணிவு மையத்தைத் துணிதற்கு உதவும்.
இது பின்வரும் பிரிவில் எடுத்துக்காட்டப்படும்.
7.41. பரப்புத் திணிவுமையம். ஒரு பரப்பு HK என்னும் ஒரு வளை கோட்டாலும் a - அச்சினலும், AH, BK என்னும் இரு நிலைத் துரங்களாலும் எல்லையுறுக ; இங்கு OA = a, OB = b (35ais ; y=f(a) என்பது அவ்வளைகோட்டின் சமன் பாடாகுக.
அப்பரப்பை OY இற்குச் சமாந்தர மான MPPM போன்ற ஒரு தொகையான ஒடுக்கக் கீலங்களாக அப்பரப்பை நாம் பிரிக்க, OM = 3 ஆயும் MM"= Sa ஆயும், MP=g O A MM B ஆயும் இருந்தால், இக்கீலத்தின் பரப்பு எம் நோக்கிற்குத் தகப் போதிய செம்மையோடு மூலி ைஆகும்.
இது ஒரு மாதிரியுருவான பரப்பு மூலகம் ; இதனை ல் இற்கு உரிய சூத்திரத்தின் “ m ’ ஆக நாம் வழங்கலாம். அக்கீலத்தின் இடை
மையத்தின் ஆள் கூறுகள் அண்ணளவாக 2,4y என்பன. எனின்,
 

பிரயோகங்கள் 159
AHKB என்னும் பரப்பினது திணிவு மையத்தின் ஆள் கூறுகள்
- Σ(α ψδ 24v. w8 2(yӧx) Σμδα இங்கு, AH, BK என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கீலத்தொகை வரையறையின்றிக் கூடுதலுறும்பொழுது இக்கூட்டுத் தொகைகள் அணுகும். எல்லைப் பெறுமானங்களை நாம் எடுத்தல் வேண்டும்.
b b. , ,
aryda iy°da:
b , 列= -. f 2yda” f ydac
ஆகவே, a=
7,411. உதாரணங்கள்.
(i) a - அச்சிற்கும், நேர்க்கால் வட்டத்திலுள்ள g=4aa என்னும்
வளைகோட்டிற்கும் 3=h இலுள்ள நிலைத் தூரத்திற்கும் இடையிலுள்ள
பரப்பினது திணிவுமையத்தைக் காண்க,
இவ்வகையில்,
h h f wydał 2a*a*dae ץי H - J 0 O a;=下a一ーで高 盟
f ydac f 2ዉ*az°da;
0. O 2.hi s", =影h;
O A X 3
ஆகவே, 0AH என்பது அப்பரப்பெனின் திணிவுமையம் (80A, AH) என்னும் புள்ளியாகும்.
(i) ஒருசீரான அரைவட்டத் தகடு ஒன்றின் புவியீர்ப்புமையத்தைக் காண்க.
0 என்பது அரைவட்டம் ACB இன் மையமாயும் A என்பது அதன் ஆரையாயும் இருக்க. அத்தகட்டை விட்டம் AOB இற்குச் சமாந்தரமான

Page 87
160 பிரயோகங்கள்
P00'P' என்பது போன்ற ஒடுக்கக் கீலங்களாகப் பிரித்தோமாயின் அத்தகைய கீலங்கள் எல்லாம் ஆரை 00 ஆல் AB இற்குச் செங்கோணங் களில் இரு சமக் கூறிடப்படும். a.
00, OA என்பனவற்றை 2 - அச்சாயும் y-அச்சாயும் எடுக்க. ஆயின், P என்பது (a, g) என்னும் புள்ளியெனின், ac-- y = a ; எல்லாக் கீலங்களினுடைய புவியீர்ப்பு மையங் களும் 0 இற் கிடக்கும் ; அத்தகட்டுக்கீலம் ஒன்றினது திணிவு அதன் பரப்பு 2g60 இற்கு விகித சமமெனக் கொண்டால், நாம் பெறு வது
f ac.2yda f 2a:V(a - a)da
0. 0 له ــ
=
J. 2yda அரைவட்டப்பரப்பு
O
-ca'-a').
о 4 а a 3,
கி.தே. ,ெ ,ெ என்பன OA0, 00B என்னும் இரண்டு கால்வட்டத் தகடுகளின் புவியீர்ப்பு மையங்களாயின், GG என்னுங் கோடு சமச்சீரால் AB இற்குச் சமாந்தரமாய் அம்முழுத் தகட்டின் புவியீர்ப்பு மையமாகிய G இனுடாகச் செல்ல வேண்டும். ஆகவே, OA இலிருந்து  ெஇனது தூரம் 4a/3ா ; சமச்சீரால், அது அக்கால் வட்டத்தின் மற்றை எல்லையாரையாகிய 00 இலிருநது அதே தூரத்தில் இருத்தல் வேண்டும். 7.42 சுற்றுக் கனவளவினது திணிவுமையம். 7.31 இன் உருவத்தைப் பார்க்க, கனவளவின் மாதிரி மூலகம் தன் மையம் உற்பத்தியிலிருந்து 2- அச்சில் a என்னுந் தூரத்தில் இருக்கின்ற Trg^60 என்னும் அளவுள்ள ஒரு வட்டச் சீவல் எனக் காண்கின்றேம் ; ஆயின்,
b b
Tay'de sey’de
7.421. உதாரணம். ஒருசீரான திண்ம அரைக்கோளம் ஒன்றின் புவியீர்ப்பு
மையத்தைக் காண்க.
- அச்சைத் தளவடிக்குச் செங்கோணங்களில் எடுத்துத் தம் மையங்
கிள் அவ்வச்சில் இருக்கின்ற சீவல்கள் அடிக்குச் சமாந்தரமாய் எடுக்கப்
 

பிரயோகங்கள் 16
படுகின்றன. a என்பது அவ்வரைக் கோளத்தின் ஆரையாயும், ழ என்பது 0 இலிருந்து 2 என்னுந் தூரத்திலுள்ள
வட்டவெட்டு முகத்தின் ஆரையாயும் இருந்தால் நாம் பெறுவது a + y = a*. எனின்
f Tracyda f α(α" - ατάτ z = O - 0 W
7ry*dar (a* - ac*)daz V X 0 O - "그"-a.
ao -ao
7.43. புவியீர்ப்பு மையங்கள் பற்றிய மேலதிகமான உதாரணங்கள். பின் வரும் முடிபுகள் தொகையிடாமல் எளிதாகப் பெறப்படும் ; எனினும், ஒரு முறையின் உதாரணங்களாக அத்தேற்றங்களை வழங்குகின்றேம்.
(1) ஒருசீரான முக்கோணத் தகடு. OB0 என்பது அத்தகட்டைக் குறிக்க. B0 இற்குச் செங்கோணங்களில் OX என் னும் ஒர் அச்சை எடுக்க ; அத்தகட்டை B0 இற்குச் சமாந்தரமான கோடுகளாற் கீலங்களாகப் பிரிக்க.
BC = a ஆயும் h என்பது 0 இலி
ருந்து BC இனது தூரமாயும் இருந் தால், வடிவொத்த முக்கோணங்களால் O
இலிருந்து 2 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு கீலத்தினது நீளம்: ஆகும். 60 என்பதை
ஒரு கீலத்தின் அகலமாயும் နှိုးဝ်း என்பதை அதன் பரப்பாயும்
எடுக்கின்றேம். வடிவொத்த முக்கோணங்களால், எல்லா ஒடுக்கக் கீலங் களின் மையங்களும் 0 இனூடாகவும் (மையக்கோடு) B0 இன் மையத்திற் கூடாகவுஞ் செல்கின்ற ஒரு கோட்டிற் கிடக்குமென்பது எளிதாகக் காட்டப் படும். அன்றியும், ஒரு கீலத்தினது திணிவு அதன் பரப்பிற்கு விகிச சமமாயிருத்தலால்,
ή α
arde h' 2
Jízde Ꮠh* ' 8" '
- acdae oh

Page 88
阻62 பிரயோகங்கள்
ஆகவே, அப்புவியீர்ப்பு மையம் ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர்ப்பக்கத்திற்குச் செல்கின்ற மையக் கோட்டினது நீளத்திற்கு அதன் பங்கு தூரமாகும்.
(i) ஒரு சீர்த்திண்ம நான்முகத்திண்மம். OABC என்பது ஒரு சீர்த்திண்ம நான்முகத் திண்மம் ஒன்ருகுக ; OX ஆனது AB0 இற்குச் செங்கோணங்களிலுள்ள ஓர் அச்சா குக. வடிவொத்த முக்கோணங்க ளால் H என்பது ABC இன் திணிவு மையமாயின், ABC இற்குச் சமாந் தரமான யாதும் ஒரு தளவெட்டு முகத்தினது திணிவு மையம் OH இன்மீது கிடக்குமெனக் காட்டலாம். எனின், AB0 இற்குச் சமாந்தரமாய் மெல்லிய சீவல்களை எடுப்பதால், அந் நான்முகத் திண்ம மையத்தின் புவியீர்ப்புமையம் OH இன் மீது கிடக்கும் என்பது பெறப்படும்.
இனி, S என்பது பரப்பு ABC ஐயும் h என்பது 0 இலிருந்து அதன் தூரத்தையுங் குறித்தால், 0 இலிருந்து 2 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு சமாந்தரமான வெட்டுமுகத்தின் பரப்பு
A PQR : A ABC = PR: A.O.
- OP2 : OA - at: என்பதாலே தரப்படும்.
2 ஆகவே, S என்பதை ஒரு சீவலின் பரப்பாயும் 62 என்பதை
அதனுடைய தடிப்பாயும் a* Sa என்பதை அதன் கனவளவாயும்
நாம் எடுக்கலாம்.
h S
- ?
-- h (S 3
| **dz
ஆகவே, அந்நான்முகத்திண்மத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் 0 இலிருந்து H இற்குச் செல்லும் வழியில் முக்காற் பங்கில் இருக்கும்.
எனின், =
கி.தே. அதுபோல, ஒரு சீர்த்திண்மக் கூம்பகத்தின் புவியீர்ப்பு மையம் உச்சியிலிருந்து அடியினது திணிவு மையத்திற்குச் செல்லும் வழியில் முக்காற் பங்கில் இருக்குமெனக் காட்டலாம்.
 

பிரயோகங்கள் 163
தளவடியையுடைய யாதும் ஒரு வடிவத்தைக் கொண்ட ஒருகூம்புக்கும் அதே முடிபு உண்மையாகும் ; அதற்குக் காரணங் கூம்பானது வரை யறையின்றிய பல ஒடுக்க முகங்களோடு கூடிய ஒரு கூம்பகத்தின் எல்லை யுறு வடிவமெனக் கொள்ளப்படலாம் என்பதே.
7.44. சடத்துவத் திருப்புதிறன்கள். m என்பது ஒரு பொருளின் ஒரு மூலகத்தினது திணிவாயும் r என்பது ஒர் அச்சிலிருந்து அம்மூலகத்தினது திணிவாயும் இருந்தால், அவ்வச்சுப்பற்றி அப்பொருளின் சடத்துவத் திருப்புதிறன் 2(mr) என வரையறுக்கப்படும் ; அதாவது ஒவ்வொரு மூலகத்தினது திணிவையும் அவ்வச்சிலிருந்து அதன் தூரத்தின் வர்க்கத் தாற் பெருக்க வருவனவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
M என்பது ஒரு பொருளின் முழுத் திணிவையுங் குறிக்க, Mk? என்பது ஒரு குறித்த அச்சுப் பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பு திறனயிருந்தால், b என்பது அவ்வச்சுப்பற்றி அப்பொருளின் சுழியாரை எனப்படும். Q66) Tip ko = 2 (mr)/M.
அப்பொருள் தகடுபோன்ற தளப்பொருளாயின், அதன் கண்ணேயே யுள்ள ஒரு புள்ளியைப்பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திறனைப்பற்றி நாம் பேசலாம் ; அதன் கருத்து அத்தளத்திற்குச் சேங்கோணங்களில் அப்புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் ஓர் அச்சுப்பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்புதிறன் என்பதே.
7.441, உதாரணங்கள்.
(i) திணிவு M உம் ஆரை a உம் உள்ள ஒரு மெல்லிய வட்ட வளையத்தினது தளத்திற்குச் செங்கோணங்களில் அதன் மையத்திற் கூடா
கச் செல்லும் ஓர் அச்சுப் பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்புதிறனனது,
ஒவ்வொரு திணிவு மூலகமும் மையத்திலிருந்து ஒரே தூரம் a இல் இருப்பதாகக் கொண்டால், Ma* ஆகும்.
(i) ஒருசீர் நேர்க்கோல் ஒன்றினது நீளத்திற்குச் செங்கோணங்களில் அதன் மையத்திற் கூடாகச் செல்லும் ஒர் அச்சுப் பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்புதிறன்.
s X
M என்பது அதன் திணிவாயும் 20 என்பது அதன் நீளமாயும் இருக்க உற்பத்தியை அக்கோலினது மையத்திலும் 2 - அச்சை அக் கோலினது நீளத்திற்கும் எடுக்க.

Page 89
164 பிரயோகங்கள்
0 இலிருந்து 2 என்னுந் தூரத்திலுள்ள 6a என்னும் ஒரு நீள
மூலகத்தினது திணிவு M ஆகும். எனின், சடத்துவத் திருப்புதிறன்
-0 இலிருந்து 0 வரைக்கும் 2 இன் பெறுமானங்களுக்குக் Ħin IL LJLJL L- (體) ஆகும் ; அதாவது
s
M a M 1 “
.Ma3 b 4 == [ 3مo -- سہ مرہ 27 懿「。 血一凱器。 9 Ma° ஆகும் சுழியாரை k = a* என்பதாலே தரப்படும்.
(ii) ஒரு வட்டத் தட்டின் மையம்பற்றியுள்ள அதன் சடத்துவத் திருப்புதிறன்.
M என்பது அத்தட்டினது திணிவாயும் a என்பது அதன் ஆரையாயும் இருக்க.
ஒரு மைய வட்டங்கள் வரைவதால், அத்தட்டு ஒடுக்க வட்ட வளையங்களின் ஒரு தொகுதியாகப் பிரிக்கப்படலாம். r என்பது அத்தகை வளையத்தின் ஆரையாயும், Sr என்பது அதன் அகலமாயும் இருந்தால், அதன் பரப்பு 2ாrOr ஆகும்; அத்தட்டின் முழுப்பரப்பும் Ta:
2πγδη.
T2 இவ் வளையத்தின் ஒவ்வொரு மூலகமும் மையம் 0 இலிருந்து r என்னுந் தூரத்திலிருக்கும் ; ஆகவே, அத்தட்டின் சடத்துவத் திருப்பு திறனனது 0 இற்கும் a இற்கும் இடையிலுள்ள 7 இன் பெறுமானங்களுக்குக்
2 கூட்டப் பட்ட 2( ਰੇ) , அல்லது ox f rdேr = Ma2 ஆகும்.
O
ஆகும். ஆகவே, அவ்வளையத்தினது திணிவு , அல்லது 767 ஆகும்;
2
(iv) ஒரு சுற்றுத் திண்மத்தின் அச்சுப்பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்பு திறன்.
7.31 இன் உருவத்தை நோக்க, அத்திண்மம் PP'0'0 போன்ற வட்டத் தட்டுக்களின் ஒர் அடுக்கின் எல்லையுறும் வடிவமாகக் கொள்ளப்படலாம். இத்தட்டின் கனவளவு ry60 ஆகும் ; அதனுடைய திணிவு mாg^67 ஆகும் ; இங்கு, m என்பது அத்திண்மத்தின் ஓரலகு கனவளவினது திணிவு. அன்றியும், சென்ற பயிற்சியால், அத்தட்டின் அச்சுப்பற்றி அதன் சடத்துவத் திருப்புதிறன்
mTy8a.y= imary'8a.

பிரயோகங்கள் 165
எனின், அச்சுப்பற்றி அம்முழுத் திண்மத்தின் சடத்துவத் திருப்புதிறன்
b
m ஐல் ஆகும் , இங்கு, நெடுங்கோட்டு வளைகோட்டின் சமன்பாட்
டால், g என்பது a பற்றித் தரப்படும்.
7.442, பயிற்சிகள்.
1. பின்வருவனவற்றின் திணிவு மையங்களின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க: (i) y=dGಾಠ6ಠ? என்னும் வளைகோட்டின் ஒரு மடிப்பு ;
(i) g = (a + 1)(2-3) என்னும் வளைகோட்டிற்கும் ன - அச்சிற்கும் இடையில் அடைக்கப்பட்ட பரப்பு ;
(i) g = 3*(a -1) என்னும் வளைகோட்டாலும், a - அச்சாலும் அடைக்கப் IJI I LJULTL ;
(iv) g = a*(1-22) என்னும் வளைகோட்டின் ஒரு வளையத்தின்பரப்பு ; (v) ஒரு சுற்றின் கனவளவாகக் கொள்ளப்பட்ட ஒரு நேர் வட்டக்கூம்பு; (Wi) a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளம் மையத்திலிருந்து e என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு தளத்தாற் பிரிக்கப்பட்ட துண்டுகள்; ” (vi) தன் முனைகள் a, b என்னும் ஆரைகளையுடைய வட்டங் களாகவும் தன் அச்சு h என்னும் நீளமுள்ளதாயும் இருக்கின்ற நுனியில் நேர்வட்டக் கூம்பு ஒன்று ;
(vi) தன் முனைகள் 5, 1 என்னும் ஆரைகளையுடைய வட்டங்களாயும் தன் நெடுங்கோட்டு வளைகோடு 4(g - 1) = a* என்பதாயுமுள்ள 2 - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றிய ஒரு சுற்றின் கனவளவு.
2. பின்வருவனவற்றின் சடத்துவத் திருப்புதிறன்களைக் காண்க: (1) ஒருசீர்ச் சதுரத் தகடு அதன் பக்கங்களுள் ஒன்று பற்றி , (i) ஒரு நேர்க்கோல் அதன் ஒரு முனைபற்றி, அக்கோலின் அடர்த்தி அம்முனையிலிருந்து உள்ள தூரத்தோடு மாறுகின்றபொழுது,
(i) ஒருசீர் முக்கோணத் தகடு ஒன்று அதன் பக்கங்களுள் ஒன்று பற்றி ;
(iv) ஒருசீர் வட்டத் தகடு ஒன்று ஒரு விட்டம் பற்றி : (V) ஒருநேர் வட்டக் கூம்பு அதன் அச்சுப்பற்றி , (vi) a - அச்சினலும், 20 = h என்னுங் கோட்டினலும், y = V(ka) என்னும் வளைகோட்டாலும் உருவத்தை 3 -அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுந் திண்மம், அவ்வுருவத்தின் அச்சுப்பற்றித் திருப்புதிறன் எடுக் கப்படும்பொழுது ;

Page 90
166 பிரயோகங்கள்
(vi) தனது எல்லை a/a^ + g/6 = 1 ஆயுள்ள ஒரு சீர்த்தகடு ஒன்று, முறையே 2 - அச்சுப்பற்றியும் y-அச்சுப் பற்றியும்.
7.5. முனைவாள் கூறுகளிற் பரப்புக்கள். தன் சமன்பாடு r =f(6) ஆயுள்ள வளைகோடு AB ஆலும் இரண்டு ஆரைக் காவிகள் OA, OB øT6ởTUGOT வற்ருலும் எல்லையுற்ற ஆரைச் சிறைப் பரப்பைக் காணல்.
AOX= Q ஆகுக ; BOX = 8 ஆகுக'. O இனூடக அவ்வளைகோட்டின் ஆரை களை வரைதலால், கோணம் AOB ஐ Ο X ஒரு தொகையான பகுதிகளாகப் பிரிக்க.
பின்னர் இவ்வாரைகளின் முனைகளுக்கூடாக வட்ட விற்கள் வரைதலால், வட்டவாரைச் சிறைகளின் இரு தொகுதிகளை அமைக்கின்ருேம். OPP என்பது மாதிரியுருவான ஆரைச்சிறைகளின் ஒரு தொகுதியின் கூட்டுத் தொகைக்குரிய பரப்பு வேண்டிய பரப்பு 0AB இலுஞ் சிறிது ; 000” என்பது மாதிரியுருவான ஆரைச்சிறைகளின் மற்றைத் தொகுதியின் கூட்டுத்தொகைக்குரிய பரப்பு 0AB என்னும் பரப்பிலும் பெரிது. எனினும், ஆரைச்சிறைகளினுடைய தொகை கூடுதலுற, அவ்வீர் ஆரைச் சிறைகளின் பரப்புக்கள் சமத்தை அணுகும் ; அவை கோணவகலத்திற் குறைதலுறும்.
இனி, P என்பது புள்ளி (r,6) ஆயும், எென்பது புள்ளி (r+Sr 9 + 66) ஆயுமிருந்தால், POQ என்னுங் கோணம் 69 ஆகும் ; POP" என்னும் வட்ட ஆரைச் சிறையின் பரப்பு ஆr?69 ஆகும் (7.11 கி.தே.). எனின், சிறு பிரிவுகளினது தொகை முடிவிலியை அணுக, OAB என்னும் பரப்பு 4 269 இன் எல்லையாகும் ;
அதாவது பரப்பு OAB = #|*49.
Q
7.51. உதாரணங்கள்.
(1) மையத்தில் முனைவுள்ள ஒரு நீள்வளையத்தின் முனைவுச் சமன்பாடு
1 கோசை0ே சைன்9 1T a | ba
பரப்பைக் காண்க.
 

பிரயோகங்கள் 67
ஒவ்வொரு கால்வட்டத்திலும் உள்ள பரப்புச் சமன் ஆகவே,
աUւյւկ = es የጓdፀ = %;%|” ਨਜ O bேேகாசை29 + aைேசன்99 - 22 It gas?6d6
"168,20 وتركه + 63
1 L-, /a தான் 9\T&T 一*[獻 தான் "1 ( b )
=2ab.ar = arab, 7.12 இற்போல.
(i) = a* கோசை 26என்னும் வளைகோட்டின் ஒரு வளையத்தின்
பரப்பைக் காண்க,
இச்சமன்பாட்டிலிருந்து 9= -4ா ஆகும்பொழுதும் 9=+4ா ஆகும்
பொழுதும் r பூச்சியமாகும் என்றும், 6 இன் இடையான பெறுமானங் கள் r இற்கு யாதொன்றும் பூச்சியமல்லாத முடிவுள்ள பெறுமானங் களைத் தரும் என்றும், அதுபற்றி இவையே ஒரு வளையத்தின் பரப்பிற்கு எடுக்கப்பட வேண்டிய எல்லைகள் என்றும் நாம் காண்கின்ருேம்.
எனின், பரப்பு= f a2 கோசை29d9
- it
=ao [၈ဖာeir 26 景T
一盘T
=a.
7.52 ஆரைச்சிறைப் பரப்புக்களின் திணிவுமையங்கள். பரப்பின் மாதிரி யுரு மூலகம் மிக்க அண்ணளவாக $769 என்னும் பரப்புடைய OP0 என்னும் ஓர் ஒடுக்கமான ஆரைச்சிறை. Y
ஒரு முக்கோணத்தின் திணிவுமையம் ஒரு மையக்கோட்டினது நீளத்திற்கு அந்நீளத்தின் 4 பங்கில் இருத்தலால், OPQ என்னும் ஆரைச் சிறையின் அக லம் வரையறையின்றிக் குறைதலுற, அதன் திணிவுமையத்தின் ஆள் கூறுகள் &rகோசை9, 3rசைன்9 என்பன வாகும்.

Page 91
168 பிரயோகங்கள்
鹰 ஜrகோசை9த்dே9 |ီ*3+ Isroopéd6
ஆகவே, a = =影 :
[^39 f *ав f stressorde 2 firessible rd6 - 3 o49 است.
7.521, உதாரணங்கள். r = a(1+கோசை6)
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்ட மூடிய வளைகோட்டின் (இருதய வுருவின்) திணிவு மையத்தைக் காண்க.
9 இன் குறியை மாற்றுவதால் அச்சமன்பாடு மாருது ; ஆயின் அவ்வளே கோடு a - அச்சுப் பற்றிச் சமச்சீராகும்; சமச்சீரால் அதன் திணிவு மையம் OX இன் மீது கிடக்கும்.
அவ்வளைகோட்டின் மேற்பாதிக்கு 9 இன் எல்லைகள் 0 இலிருந்து 7 வரைக்குமாகும்.
ஆகவே, ހަރީ\ w s a3(1+கோசை6)ேேகாசை6d9 X
0.
ó=籌
a*{1 + கோசை9)?d9 0.
(கோசை9+3கோசை29 + 3கோசை89+ கோசை46)d9
- O = a
(1 + 2கோசைடு + கோசை26)d6
O
இப்போது 6.6 ஐப் பயன்படுத்திக் கொண்டு, 0 இலிருந்து n வரைக்குந் தொகையிட்ட கோசை9 இன் ஓர் ஒற்றை அடுக்கு பூச்சிய முடிபைக்

பிரயோகங்கள் 69
7.6. பப்பசினது தேற்றம்.
ஒரு தளப்பரப்பு தனது தளத்திலுள்ள ஒர் அச்சுப்பற்றி அதனை வெட்டாது சுற்றினுற், பிறக்குங் கன வளவு அப்பரப்பை அதன் திணிவு Y மையத்தின் வழியினது நீளத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன்.
அப்பரப்புச் சுற்றறும் அச்சை τy 3- அச்சாக எடுக்க. A என்பது பரப் பையும் 6A என்பது OX இலிருந்து Y O X என்னுந் தூரத்திலுள்ள அதன் சிறு மூலகம் ஒன்றையுங் குறிக்க. அவ்வுருவம் OX பற்றிச் சுற்ற, மூலகம் SA என்பது 2ாறு என்னும் நீளத்தையும் 6A என்னுங்குறுக்குவெட்டு முகத்தையும் அதுபற்றி 2työA 6656)Jši கனவளவையும் உடைய ஓர் ஒடுக்கமான குழாயை வரையும். எனின், பரப்பு A ஆற்பிறப்பிக்கப்படும் முழுக் கனவளவும், பரப்பு மூலகத் தொகை முடிவிலியை அணுக, 2πΣ(ψδΑ) Θσότ எல்லையாகும். எனினும், g என்பது OX இலிருந்து பரப்பு A இன் திணிவு மையத்திற்குள்ள தூரமாயின், நாம் பெறுவது
yA = GTổd&a2(yðA). எனின், வேண்டிய கனவளவு
= 2aryA = A X அதன் திணிவு மையத்தின் வழியினது நீளம். 761. பயிற்சிகள் &
(1) a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டம் தன் மையத்திலிருந்து C(>0) என்னுந் தூரத்திலே தனது தளத்திலுள்ள ஓர் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது.
அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட திண்ம வளையத்தின் கனவளவு
πα. Χ 2πο = 2παιο.

Page 92
170 பிரயோகங்கள்
(ii) அடி 0 ஆயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு முக்கோணம் தனது அடிபற்றிச் சுற்றுகிறது. பிறக்குந் திண்மத்தின் கனவளவு என்ன ?
பரப்பு= ah ; திணிவு மையம் ஆெனது h என்னும் ஆரையை யுடைய ஒரு வட்டத்தை வரையும்.
ஆகவே, கனவளவு
2ገr = 4 ah X I hi και αλ Χ και
= και παίί.
அத்திண்மம் Th? என்னும் பரப்பையுடைய ஒரு பொது வடிவையும்
a என்னும் மொத்த உயரத்தையுங் கொண்ட இரு கூம்புகளாலாயது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகும்.
7.62. பயிற்சிகள்.
1. பின்வரும் வளைகோடுகளாலுங் கூறப்பட்ட ஆரைக் காவிகளாலும் எல்லையுற்ற பரப்புக்களைக் காண்க:
(1) சுருளி † = a ፀ, ፀ=0, ፀ= 2ገr ; (ii) சுருளி r=aek0, 9=0, 9=2ா.
2. பின்வரும் வளைகோடுகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு வளையத்தின் பரப்பைக் காண்க:
(i) r=aசைன்26; (ii) r = a60D5F6ởTin69.
3. சி= 0, 9 = 0 என்பனவற்றிற்கு இடைய்ே r - a சிக* 9 என்னும் வளைகோட்டின் ஆரைச்சிறையின் பரப்பு
a*(தான் a + தான்* c)
676075 45|T_(645.
4. r = 2 + கோசை9 என்னும் வளைகோட்டைப் பரும்படியாக வரைந்து அதன் பரப்பைக் காண்க.
5. r = aகோசை29 என்னும் வளைகோட்டின் ஒரு வளையத்தின் பரப்பினது திணிவுமையத்தைக் காண்க : இவ்வளையத்தை y- அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைத் துணிக.

பிரயோகங்கள் 17
6. r = a + bகோசை9 (a >6) என்னும் வளைகோட்டுப் பரப்பினது திணிவு மையத்தைக் காண்க.
7. 6 = 0 இலிருந்து 6 - 7 வரைக்குமுள்ள r = a (1 - கோசை6) என்னும் வளைகோட்டின் ஆரைச்சிறைப் பரப்பினது திணிவுமையத்தைக் காண்க : இப்பரப்பை 2 - அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவை உய்த்தறிக.
8. ஒரு திண்ம வளையத்தின் உண்மேற்பரப்பு a என்னும் ஆரையையும் * என்னும் உயரத்தையுமுடைய ஒரு வட்டவுருளே, அவ்வளையத்தின் குறுக்கு வெட்டுமுகம் (h என்னும் பக்கத்தையுடைய) சமபக்க முக் கோணம். அவ்வளையத்தின் கனவளவு V3ாh(a + h/2V3) என நிறுவுக.
9. ஓர் உருவம் ஒரு வட்டத்தின் கால்வட்ட வில் ஒன்ருலும் அதன் முனைகளிலுள்ள ஆரைகளாலும் எல்லையுறுகின்றது. அவ்வில்லின் முனை களுள் ஒன்றிலுள்ள தொடுகோடு பற்றி அவ்வுருவத்தைச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைக் காண்க.
10. a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட வுருளையைச் சுற்றி ஒரு தவாளிப்பு வெட்டப்படுகின்றது. அத்தவாளிப்பின் குறுக்கு வெட்டுமுகம் ம் என்னும் பக்கத்தையுடைய சமபக்க முக்கோணமாயின், வெட்டப்பட்ட கனவளவைக் காண்க.
11. ஓர் அரைவட்டத்தின் பரப்பினது திணிவு மையத்தைத் துணிதற்குப் பப்பசினது தேற்றத்தையும் கோளக் கனவளவுக்குரிய கோவையையும் பயன்படுத்துக.
12. = aகோசை29 என்னும் வளைகோட்டின் வளையம் ஒன்று r = 0 என்னும் வட்டத்தாற் பிரிக்கப்படும் இரு பகுதிகளின் பரப்புக் களையுங் காண்க.
13. y = a(சைன்ன+சைன்32) என்னும் வளைகோட்டிற்கும் a - அச்சிற் கும் இடையே 0, 1ா என்னும் எல்லைகளுக்குட் கிடக்கின்ற பரப்பு A என்பது 20 a/9 என்று காட்டுக ; இப்பரப்பை a - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுங் கனவளவு W என்பது 47=ாaேA என்பதாலே தரப்படும் என்றுங் காட்டுக.
14. 2 = 0 இலிருந்து a = 0 வரைக்குமுள்ள g - bசைன்(ா 2/a) என்னும் வளைகோட்டை 2 - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப் பெறப்படுங் கனவளவு *ாab? எனக் காட்டுக. சுற்றப்பட்ட பரப்பையுங் காண்க ; அதனுடைய திணிவு மையத்தின் ஆள்கூறுகள் (a,b) என உய்த்தறிக.

Page 93
172 பிரயோகங்கள்
15. a=0, z= a என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag=a(a -2) என்னும் வளைகோட்டின் பகுதி 2 - அச்சுப் பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறப்பிக்கப்பட்ட கனவளவு a என்னும் விட்டத்தையுடைய ஒரு கோளத் தின் கனவளவின் அரைப்பங்கென நிறுவுக.
16, 9 = 0 இலிருந்து 6=ா வரைக்குமுள்ள r = a(1 + கோசை6) என்னும் வளைகோட்டின் ஆரைச்சிறை ஆரம்பக் கோடுபற்றிச் சுற்றப் படுகின்றது. பிறப்பிக்கப்பட்ட கனவளவு ஃாa" என நிறுவுக.
17. r - aசைன்39 என்னும் வளைகோட்டிற்கு ஒவ்வொன்றும் ra*/12 என்னும் பரப்புக்கொண்ட ஆறு வளையங்கள் உண்டு என்றும், உற்பத்தி யிலிருந்து ஒரு வளையத்தினது திணிவு மையத்தினுடைய தூரம் 81/V3a/80 m என்றுங் காட்டுக.

அத்தியாயம் WI பகுதிகளாக வகையிடுதல். சிறு மாற்றங்கள் 8.1, 2=f(x, y, z) என்பது 2, g, 2 என்னுஞ் சாராமாறிகளின் ஒரு சார்பாகுக. இதன் பொருள் 2 இலாதல் g இலாதல் 2 இலாதல் யாதும் ஒரு மாற்றம் 2 இல் ஒரு மாற்றத்தைத் தரும் என்பதும் 2 இல் ஒரு மாற்றமோவெனின் 2, g, 2 என்பன ஒன்றையொன்று சாரா திருக்கின்றமையால் y இலாதல் 2 இலாதல் ஒரு மாற்றத்தையுந் தரா தென்பதுமே.
y, z என்பன மாருதிருக்க 2 ஆனது 60 என்னும் ஓர் ஏற்றத்தைப் பெறுகின்றதெனக் கொள்க; ஆயின் ய என்பது ஒரு விளைவேற்றம் ди என்பதைப் பெறும் ; ஆகவே
δυ ܒܚܒ if (ar +- ðæ,y,z) -f (a,y,2) δα છેa;
** 6 1 . . . 62->0 ஆக, இவ்விகிதத்தின் எல்லை என்பதாற் குறிக்கப்படும். இது 2 ஐக் குறித்த 2 இன் பகுதி வகையீட்டுக் குணகம், அல்லது 2 ஐக் குறித்த இன் பகுதிப் பெறுதி எனப்படும். அதுபோல, 2 இன் பகுதிப் பெறுதிகளை g ஐக் குறிததும் 2 ஐக் குறித்தும்
θα L if(c, y -- ồy, 2)-f(t, y, z) მყ 8y-> 0 ồy 2u L. f(2, y, z+ öz)-f(x, y, z) ôz 82-0 <ہ δα
என்னுஞ் சூத்திரங்களால் நாம் வரையறுக்கலாம்.
இவ்வாறு, பகுதிகளாக வகையிடுதல் என்னுஞ் செய்கை பல சாரா மாறிகளின் ஒரு சார்பிற்குப் பிரயோகிக்கப்படும் ஒரு செய்கையாகும் ; அம்மாறிகளுள் ஒன்றை விட ஏனைய வெல்லாம் வகையிடுதற் செய்கை நடைபெறும்பொழுது மாறிலிகளாகக் கொள்ளப்படும் ; மற்றைப்படி அச் செய்கை பொதுவான வகையிடுதலைப் போலச் செய்யப்படும். 8.11. பயிற்சிகள்.
(i) u = a y 24.
მnz Gu.
ди. YSAS 0StSAASS SYYS ASAS 0cLL0SYSqS 0AAuaAES
αψε მყ acy dz ayPچ

Page 94
14 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
(ii) qu = e?e"+-y".
მი“ == 2aceaن* + y*, ди 2e2 + y: ,
ôby
dae
(iii) u = 605667 (aa"+ byo).
ди, Gu 2
2aa கோசை (aa2+bg), 2by (35/7606 (aat* + by*).
8.12. குறியீடு. f(a) என்பது f(a) இன் பெறுதியைக் குறிப்பதுபோல f', (a, g), f (x, y) என்பன a, ழ என்பனவற்றைக் குறித்த f (x, y) இன் பகுதிப் பெறுதிகளைக் குறிப்பனவாக வழங்கப்படும் ; சிலவேளை களிற் கீறு தவிர்க்கப்படும் ; ஆயின், f (2, g), f(a),g) என்பன அப்பகுதிப் பெறுதிகளையே குறித்தற்கு வழங்கப்படும்.
என்பது a ஐக் குறித்துப் பகுதியாக வகையிடப்பட்டால்
2 02, முடிபு ட் என்பதாற் குறிக்கப்படும் ; அதுபோல, ட் என்பதன்
3a aya பொருள் g ஐக் குறித்த uெ/0ழ இன் பகுதிப் பெறுதி என்பதே.
2 ஃ என்பதன் பொருள் 2 ஐக் குறித்த uெ/0ழ இன் பகுதிப்
acdgy
2 ܫ பெறுதி என்பதே ; ஃ என்பதன் பொருள் g ஐக் குறித்த uெ/09
இன் பகுதிப் பெறுதி என்பதே. பெருந் தொகையான சார்புகளுக்கு
வகையிடும் வரிசைபற்றி நியமம் யாதும் இல்லை என்பது உண்மை ;
0. 62.
ôzôy ôyồa:
அதாவது
எனினும் இவ்விதிக்கு விலக்கு உண்டு.
8.2. முப்பரிமாண ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம். ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள OX, OY, OZ என்னும் மூன்று அச்சுக்களை எடுக்க ; அதாவது 0Z ஆனது XOY என்னுந் தளத்திற்குச் செங் கோணங்களில் இருக்குமாறும் அவ்வாறே பிறவும் இருக்குமாறும்.
யாதும் ஒரு புள்ளி P இலிருந்து தளம் XOY இற்குச் செங்கோணங்
களில் அதனை M இற் சந்திக்குமாறு PM என்பதை வரைய L என்பது OX என்னும் அச்சின்மீது M இன் எறியமாயின், OL, LM, MP

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 175
என்பன YOZ, ZOX, XOY என்னுந் தளங்களிலிருந்து P இனது தூரங்களாகும் ; அவை P இன் ஆள்கூறுகளெனப்பட்டு 20, y, z என்பன வற்ருற் குறிக்கப்படும்.
P ஆனது ஒரு மேற்பரப்பிற் கிடக்கின்றதெனக் கொள்க; ஆயின், அதன் 2-ஆள் கூறு MP என்பது பொதுவாக XOY என்னுந் தளத்தில் M இனது நிலையைச் சார்ந்து நிற்கும்; அதுபற்றி அது 2, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாகும் ; எனின், அம்மேற்பரப்பின் GF DGöTIT9
2 = f(a, y)
என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்,
இப்போது g மாருத புள்ளிகள் எல்லாம் Z02 இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்திற் கிடக்கும் ; அத்தகைத் தளம் அம்மேற்பரப்பை PெH என்னும் ஒரு வளைகோட்டில் வெட்டும்.
எனின், y மாரு திருக்க 2 ஐக் குறித்த 2 இன் பெறுதியாகிய 02/0a என்பது P இல் வளைகோடு PெH இன் சாய்வுவிகிதமாகும் ; அல்லது, அது PெH என்னும் வளைகோட்டிற்கு P இலுள்ள தொடுகோடு 0X இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டோடு ஆக்குங் கோணத்தினது தான்சன் ஆகும்.
அதுபோல, P இனூடாக Y02 இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளம் அம் மேற்பரப்பை BPF என்னும் வளைகோட்டில் வெட்டும்; 02/0று என்பது P இலுள்ள இவ்வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதமாகும்.

Page 95
176 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
இனி, Q என்பது 2 + Sa, g + 6ழ, 2 + Sz என்னும் ஆள்கூறுகளை யுடைய அயற்புள்ளியாகுக. P இற்கூடாக ஆள்கூற்றுத் தளங்களுக்குச் சமாந்தரமான தளங்களும் 0 இற்கூடாக ZOX, 207 என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமான தளங்களும் வரைவதால், 62 = Sெ-PM= QR ஆயிருக்க, PN = Sa ஆயும் NR=Sy ஆயும் இருக்கும் உருவத்தில் PNRK என்னும் ஒரு செவ்வகத்தைப் பெறுகிறேம்.
64 என்பதை Sa,bறு என்பனபற்றி உணர்த்த விரும்புகிறேம். அம்மேற்பரப்பில் P இலிருந்து இெற்கு இரண்டு படிகளிற் செல்வோம். முதலாவதாக g ஐ மாருதிருக்கச் செய்து PH இனது நீளத்திற்கும் இரண்டாவதாக 2 ஐ மாறதிருக்கச் செய்து HQ இனது நீளத்திற்குஞ் செல்வோம்.
g ஆனது PH இனது நீளத்திற்கு மாருதிருக்க, 2 ஆனது 6ர என்னும் ஒரு தொகையாற் கூடுதலுறுகின்றமையின் 2, அல்லது f (2, g) இலுள்ள ஏற்றம்
f(a -- 8a, y)-f(a, y). y ஆனது மாருதிருக்கின்றமையால், 3.2 ஆல், இதற்குச் சமன்
{f' (a, y) -- e 8a.
இங்கு 60->0 ஆக, e என்பது பூச்சியத்தை அணுகும் ஒரு சிறு கணியம், 6TGóflaỞT, HT" — PM = {f'(x, y) + e} ðæ . . . . . . . . .............. (1). இனி, HQ இனது நீளத்திற்கு g ஆனது 6ழ என்னும் ஒரு தொகையாற் கூடுதலுறுகின்றது; எனினும், 2 ஆனது H இலுள்ள பெறுமானம், அதாவது 2 + Sa என்பதை வைத்திருக்கும் ; ஆகவே, 2 இல் எற்றம்
QS-HT = f(a + 8a, y --8y)-f(a + 8a, y). இங்கு, a + 60 என்பது ஒரு மாறிலி எனக் கொள்ளப்பட வேண்டும்; வலப்பக்கத்திலுள்ள இரண்டு சார்புகளுக்கும் இடையேயுள்ள தனி வித்தி யாசம் யாதோவெனின் ஒன்று g + Sg இன் ஒரு சார்பாயிருக்க மற்றை யது g இன் அதே சார்பாயிருக்கின்றது என்பதே ; ஆகவே, 3.2 இற் போல இவ்வித்தியாசம்
={f'(a + ðæ, y) +- e} ôy.
இங்கு, Sg->0 ஆக, e என்பது பூச்சியத்தை அணுகும் ஒரு சிறுகணியம். 676ofloöt, QS– HT={f(x+8x, y)+E}8y . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) (1) ஐயும் (2) ஐயுங் கூட்ட நாம் பெறுவது
öz = QS - PM =f'(x, y) ðæ+f,'(a + 8x, y)ðy +eða + eðy.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 177
இப்போது f'(c+6a, g) என்பது H இல் H2 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதம்; அது f'(x, y) இலிருந்து அல்லது P இலுள்ள PF என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்திலிருந்து (மேற்பரப்பைப் பற்றி யாதோ ஒரு தனிப் பண்பாடு இருந்தாலன்றி) 60 ஓடு ஒரு முடிவுள்ள விகிதத்தைக் கொள்ளும் ஒரு சிறு கணியத்தால் (e 60 ஆல் என்க) வித்தியாசப்படும்.
எனின், 62 =な(。 y)ôa-f,'(a,y)8y-m . . . . (3)
இங்கு m என்பது 62, அல்லது 6ழ இலும் உயர்ந்த சிறுமை வரிசையுடைய ஒரு கணியம்.
இம்முடிபு பின்வருமாறும் எழுதப்படலாம்.
Gz dz δα = Ύδα -- Ύδ . . . . s4
烹+高y+7 (4) m என்னுஞ் சிறு கணியத்தைப் புறக்கணிக்க அண்ணளவாக இது &z= *82 -- 28ழ (5)
da ôby
என்பதாகும்.
8.3. பல மாறிகளின் சார்பொன்றின் பகுதி வகையீடுகளும் மொத்த வகையீடுகளும், 2 =f(a),g) என்பது a, g என்னும் இரு சாராமாறிகளின் ஒரு சார்பாகுக ; 2 இன் பகுதி வகையீடுகள் ಕ್ಲಿ; dy என்பன என
ܗܝ வரையறுக்கப்படும் ; 2 இன் மொத்த வகையீடு அதன் பகுதி வகை யீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் ; அதாவது
dz = 'd+' ty 8 d 8 8 (1).
da · მყ
இங்கு da, dg என்பன எழுந்தமானமாகத் தேரப்படுகின்றன ; எனின், அச்சூத்திரம் வகையீடு da என்பதை வரையறுக்கின்றது.
3.2 இற்போல நாம் வகையீடுகளையும் எற்றங்களையும் வேறு பிரித்தறிய வேண்டும். மேலேயுள்ள சூத்திரம் (1) dz இன் வரைவிலக்கண மாதலின், ஒரு செம்மையான தொடர்பாகும் ; எனினும், வகையீடுகளுக் குப் பதிலாக எற்றங்களை வழங்கும்பொழுது 2, g என்பனவற்றிற்குத் தந்த ஏற்றங்களுக்கு ஒத்த 2 இன் எற்றஞ் சென்ற பிரிவின் (4) ஆலே தரப்படும் என்றும் அப்பிரிவினது தொடர்பு (5) ஆனது ஒர் அண்ணளவான முடிபேயாகும் என்றும் நாம் ஞாபகத்தில் வைத்தல் வேண்டும்

Page 96
8 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
2 என்பது 31, 22, 29 . . . . . . a என்னும் ஒரு தொகையான சாராமாறிகளின் ஒரு சார்பாயிருக்கும்பொழுது, 2 இன் மொத்த வகை யீடு
dz = * die + "گ dra + e se e + * dz,
дх 03 da',
என்னுந் தொடர்பால் வரையறுக்கப்படும் ; 2, 3, . . . . . . என்னும் எற்றங்களுக்கு ஒத்த 2 இன் ஏற்றம் 62 ஆனது
82 = ** a+孚如+ . عة öza十m ・・・ (3)
லெ მეt, T- ರಿಯಾ
என்பதாலே தரப்படுமெனக் காட்டப்படலாம் ; இங்கு m என்பது
b, b, . . . . . . 60 என்பனவற்றிலும் உயர்ந்த சிறுமை வரிசை யைக் கொண்ட ஒரு சிறு கணியம்.
8.4, 2 என்பது 2, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாயும், a, g என்னும் இரண்டும் வேருெரு மாறி t இன்சார்புகளாயும் இருக்க, அதுபற்றி 2 உம் t இன் ஒரு சார்பாயிருந்தால் dz/d என்பதைக் காணல்.
என்பது ஒர் ஏற்றம் St என்பதைப் பெறுக ; 62, 6g, 62 என்பன அதுபற்றி 20, y, z என்பனவற்றில் வரும் எற்றங்களாகுக. எனின், 8.2 (4) இலிருந்து நாம் பெறுவது
62 02 S 兰8 - نیست છે2 0a *十斋 岁十7
ஆயின், S ஆல் வகுக்க w
öz – az öa - 3 8y 1 m και δε θα δι " ου δι δι இனி, 6->0 ஆகுக'; எனின்,
ôz dz L Öa dat L &y dy ?o 847 dج– 84 ’t dۃ o 8; d’ 8->oجسtۃ m என்பது Sa, அல்லது Sg, அல்லது S இலும் உயர்ந்த சிறுமை
l = otج-6t dz azdat i az dy
வரிசையுடையதாகையால், s
எனின், (l)

பகுதிகளாக வகையிடுதல் '79
இச்சூத்திரத்தில் t என்பது ஒரு தனிச் சாராமாறி என்றும் t ஐக் குறித்த பெறுதிகள் பொதுப் பெறுதிகள் என்றும் ஏனைய பெறுதிகள் பகுதிப் பெறுதிகள் என்றும் அறிக. கி. தே. 2 என்பது 2, g என்பனவற்றின் ஒரு சார்பாயிருக்க, g என்பது 2 இன் ஒரு சார்பாயின், இது மேற்கூறிய நியாயத்தில் t = a எனப் பிரதியிடுதற்கு ஒக்கும் ; ஆயின், இவ்வகையில்
dz 6 ----حz 6z dy dat ày da w இச்சூத்திரத்தில் dz/dல இற்கும் 62/00 இற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தை எடுத்துக் காட்டுதற்கு, g=f(a) ஆயுள்ள
z = aa"+ 2 bay-- cy* என்னும் பயிற்சியை ஆராய்க. இங்கு,
dz 02 dy
= 2aac 2 2 == -- وbat 2c و -- === #F7 მერ -- 2by მყ -- 2cy 孟=f6);
*霹一2{“+如+(如+9)r (a) } .
ეr*
8.5. மறைவுச்சார்புகள் சமன்பாடு f(a),g) = 0 என்பது g ஐ a இன் ஒரு சார்பாக வரையறுப்பதாகக் கொள்ளப்படலாமெனின், அச்சமன்பாட் டைத் தீர்த்து g ஐ விளக்கமாக 30 பற்றி உணர்த்தக் கூடுமாயினும் உணர்த்தக் கூடாதாயினும், அத்தகைச் சமன்பாடு மறைவாக g ஐ a இன் ஒரு சார்பாக வரையறுக்கின்ற தெனப்படும்.
dg/da என்பதைக் காண்பதற்கு f(a),g) = 0 என்னுந் தொடர்பால் a இன் ஒரு சார்பாக g ஆனது மறைவாக வரையறுக்கப்படுகின்றதெனக் கொண்டு
2 = f(a,zy) எனப் பிரதியிடுக. எனின், 8.4 கி.தே. இலிருந்து நாம் பெறுவது
dz af af dy da aar ' ay dar இங்கு, z=0 எனப் பிரதியிட சமன்பாடு f(a),g) = 0 என்பது
მf_1 მ/ძ9 — გ. . . . (1)
dac dy dat என்பதற்கு உய்க்குமென்பது பெறப்படும்.
8- B8844 (1160)

Page 97
80 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
i dy af 1 af Mlair, = - / . ఆ V dat მეz / მყ
உதாரணமாக,
aa°+ 2 hary + by? + 2 ga: + 2 by + c = 0
ஆக, dg/da) என்பதைக் காணல்.
=2 (a + hy+9) eyayib 霧 = 2 (ha + by +f) ஆயும் இருத்தலால், dy - (ac + hy + g . da har —— by -- f
மேலேயுள்ள தொடர்பு (1) பின்வரும் வடிவத்திலும் வகையீடுகள் பற்றி உணர்த்தப்படலாமென நாம் அறிகிறேம் ;
მეz მყ
சற்று முன்னர் தந்த உதாரணத்திற்கு இவ்வடிவத்தைப் பிரயோகித்தால் நாம்
2 (aac + hy --g) dx + 2 (hac + by --f) dy = 0
என எழுதி அதிலிருந்து dg|da என்பதை வகையீடுகளின் விகிதமாகப் பெறுகின்றேம்.
இது செய்கை முழுவதிலுஞ் சமச்சீரைக் காக்கின்றது; உண்மையாக, f இன் மொத்த வகையீடு =0 என்று, அல்லது f இன் பகுதி வகை யீடுகளின் கூட்டுத்தொகை =0 என்று (2) குறிக்கின்றது.
உதாரணமாக: a"g"=a" ஆகும்பொழுது dg/da ஐக் காணல். இதனை
mog2+mogg= (m+m) loga என எழுதுதல் இசைவாகும். பின்னர், வகையீடுகளை எடுக்க
dac dy mァ+nず=0 s
dy my ஆயின், d' ' ' '

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 18.
8.51. பயிற்சிகள்.
1. (a),g) என்னும் புள்ளியிற் பின்வருஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்பட்ட வளைகோடுகளின் சாய்வுவிகிதங்களைக் காண்க :
;0 = a3 -+- g2/b2 = 1; (ii) ac8 -+-g8 --3aay/2مi) a) (iii) (ac — a)°—+- (gy — b)*= c°; (iv) (ac/a)* –{— (y/b)* = 1 ; (v) at°-+- gy° — 5 aac°ay° = 0 ; (vi) (a + y?)- a (a -y) = 0.
2. 2=தான்"(g|a) எனின்,
dz = (acdy-yda)/(co--yo) 67607 Épojas.
و a 3 --!-gy 2 are of GT = ۶۶ .3
rdir = asidac + ydy 67 607 153g) 0) {&5.
8.6. சிறு மாற்றங்கள். பின்வரும் விதமான உத்திக் கணக்குக்களுக்கு நுண்கணிதம் பிரயோகிக்கப்படலாம்.
ஒரு முடிபு நியதியான அளவீடுகளிலிருந்து கணிக்கப்படுகின்றது ; இவ் வளவீடுகளுள் ஒன்றே பலவோ தந்த ஒரு தொகை வழுவுக்கு உட்படு மென்பது அறியப்படுகின்றது : கணித்த முடிவில் அதன் விளைவான வழு வைக் காணல்.
ஒன்றெழிந்த தரவுகள் எல்லாம் வழுநீங்கி நிற்கும்போது, அவ் வளவீட்டை 2 ஆலும் அது உட்படும் வழுவை 60 ஆலும் நாம் குறிப்போம் ; எனின், g என்பது கணிக்கப் படவேண்டிய முடிபாயின், எனையவெல்லாம் நிலையாய் இருக்க g என்பது மாறி 2 இன் ஒரு சார்பாகும் , g =f(a) என்க. எனின், a இல் 60 என்னும் ஓர் எற்றத்தால் g இல் விளையும் எற்றம் அண்ணளவாக (3.2)
δψ = f(α) δα
என்பதாலே தரப்படும் ; இதுவே வேண்டிய வழுவின் அளவாகும்.
8.61 உதாரணங்கள்.
(8) log, 5 = 1609 எனத் தரப்படின், log,502 இற்கு ஒர் அண்ணள வான பெறுமானங் காண்க.
y = log ஆகுக ; ஆயின், Sg = ồa அண்ணளவாக,
22
எனின், டி.டீ +6)=g+8ழ=log2+ அண்ணளவாக,

Page 98
182 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
ayó)ang log, 502 = log, 5 -- ံး
- 1609 -- 004
= 1 - 61.8.
(i) ஒரு கோணம் தன் log சைன் இலிருந்து காணப்பட வேண்டும். அக்கோணம் 60° இன் அயலில் இருக்கக் கணித்த logசைன் இல் ‘0001 என்னும் வழுக்காரணமாக அக்கோணத்திலுள்ள வழுவைச் செக்கனிற் காண்க.
g=loர சைன்ஸ்=logex log, சைன்ஸ="4343 oர,சைன்ற ஆகுக (4.421)
ஆகவே, Sy - 4343கோதா abல. இவ்வகையில் 6g = 10001 ; ஆயின்,
δα = தான்60° என்பது அக்கோணத்திலுள்ள வழுவை
ஆரையன் அளவையிலே தருகின்றது; செக்கனில் அளக்க, வழு
180×60×60._aい。 = ஆ தான 60
=82·2。
(ii) ஒரு கோபுரம் நோக்குவோன் கண்ணின் மட்டத்திற்கு மேலே
145 அடி உயரத்தில் இருகின்றது ; அக்கோபுர நுனியின் ஏற்றக்கோணம் 15° என அளக்கப்படுகின்றது. இவ்வளவீடு +10 என்னும் வழுவிற்கு உட்படுமாயின், அக்கோபுரத்தின் கணிக்கப்பட்ட தூரத்தில் இவ்வழு எவ் விளைவைக் கொடுக்கும் ?
y என்பது தூரத்தையும் a என்பது எற்றக் கோணத்தையுங் குறித்தால்,
g = 145கோதாa ;
ஆயின், Sg = -145 கோசேலேSa அண்ணளவாக ; இங்கு, கோசேலே - கோசே215° ; Sa என்பது + 10 இன் ஆரையன் அளவு ;
2; அதாவது Sa = + 1080
1457T O
-gyuốloöĩ, ồy = + 1080 கோசே1ே5° = + 63 அடி (அட்டவணைகளை வழங்கு
தலால்). -

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 183
(iv) ஒரு தான்சன் கல்வனுேமானியில் ஒட்டம் ஊசியானது திரும் பலின் தான்சனுக்கு விகிதசமமாய் இருக்கின்றது. நோக்குவோன் ஒருவன் அத்திரும்பலை அளவிடுதற்கண் என்றும் ஒரே வழுவைப் புணர்த்தி விட்டாணுயின், அளவீடு 45° ஆயிருக்கும்போது, சதவீத வழு மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக.
g = 0 தான் ைஆகுக'.
இங்கு, 2 என்பது திரும்பலாயும், y என்பது ஒட்டமாயும், a என்பது ஒரு மாறிலியாயும் இருக்கின்றன. எனின், 60 என்பது திரும்பலில் உள்ள வழுவாயின், ஒட்டத்தில் வழு
6g = a சீக 2362 என்பதாலே தரப்படும். ஆகவே, ஓட்டத்திற் சதவீத வழு
100 δυ 100α βακαδα 100 Sac 200δα
ty aதான்ற சைன்ஸ்கோசை a சைன் 20
62 என்பது ஒரு நிலையான வழுத்தொகையாயிருத்தலால், சைன்2% ஆனது மிகப் பெரிதாகும்போது, அதாவது a = 45° ஆகும்பொழுது முடிபு மிகச் சிறிதாகும்.
8.62. முக்கோணத் தொடர்புள்ள சூத்திரங்கள்.
(1) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு சூத்திரம் S = இabசைன்0 என்பதாலே துணியப்படும். C இன் அளவீட்டில் 1 வழுவிலிருந்து என்ன வழு தோன்றும் ?
S-இabசைன்C ஆயும், a, b என்பன மாறிலிகளாயும் இருத்தலால்,
SS=ஆabகோசை06C ஆகும்.
இங்கு, SC=1' இன் ஆரையனளவு =ா/10800.
எனின், வேண்டிய வழு ab கோசை 0.
2600
(i) a, b, 0 என்பன தரப்பட்டால், C இன் அளவீட்டில் 1 வழுவி லிருந்து பக்கம் 0 ஐத் துணிதற்கண் என்ன சதவீத வழு தோன்றும் இங்கு, நாம் பெறுவது c?= a*+b?-2abகோசை0; இங்கு, a, b என்பன மாறிலிகள்; ஆகவே,
2cöc = 2 abó05607C8C; முன்போல, 60=ா/10800 ;

Page 99
184 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
ஆகவே,
100 δο παό 60 σσότ. Ο π ab 60D3FGöT O
0. 108 )108 3و a2+ b3-26 கோசை 0’ இது சதவீத வழுவை 0 இலே தருகின்றது.
8.63, பயிற்சிகள்.
1. ஒரு கோளத்தின் ஆரையின் அளவீட்டில் n சதவீதச் சிறுவழு ஒன்று அதன் கனவளவில் அண்ணளவாக 37 சதவீத வழுவைப் புணர்த்துமென நிறுவுக.
2. இயற்கைச் சைன் அட்டவணை ஒன்றில் 60° இற்கு அண்மையில் 1 இற்குரிய வித்தியாசம் 1000145 என நிறுவுக.
3. Iogகோசே0 இன் அட்டவணை ஒன்றில் 45° இற்கு அண்மையில் 1' இற்குரிய வித்தியாசம் 1000126 என நிறுவுக.
4. மாரு வெப்பநிலையில் வாயுத்திணிவொன்றின் அமுக்கம் p உம் கனவளவு 0 உம் ற0 = மாறிலி என்னுந் தொடர்பால் இணைக்கப் பட்டிருக்கின்றது. கனவளவில் யாதும் ஒரு சிறு பின்ன விறக்கம் அமுக் கத்தில் அதற்குச் சமனன பின்ன வேற்றத்தாலே தொடரப்படுமென நிறுவுக.
5. a=54, 6 - 40, C = 60° என்னுந் தரவுகளிலிருந்து ஒரு முக் கோணந் தீர்க்கப்படுகின்றது. O இன் அளவீட்டில் 1 வழுவிலிருந்து உண்டாகின்ற பரப்பு வழுவைக் காண்க. a இல் என்னவழு பரப்பிற் சம வழுவை ஆக்கும் ?
6. நீளம் a உள்ள ஒரு நாண் தந்த ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் A பாகை என்னும் ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கின்றது. கோணம் A ஆனது + 5' என்னும் நிகழத்தக்க வழுவோடு கூடிய விடத்து 55° ஆயின், a இல் என்ன சதவீத வழு நிகழக்கூடும் ?
7. a=35, b =20, 0 = 60° என்னுந் தரவுகளிலிருந்து ஒரு முக் கோணத்தின் பக்கிம் 0 ஆனது கணிக்கப்படுகின்றது. C இல் 5' என்னும் வழுவிலிருந்து C இல் என்ன சதவீத வழு விளையலாம் ?
8. நீளமுள்ள ஒர் ஊசலின் ஆடற்காலம் r V(Ig) செக்கன் ; என்பது அடிகளில் நீளமாயும் ர என்பது புவியீர்ப்புக் காரணமாயுள்ள வேகவளர்ச்சியாயும் இருக்கின்றன. நீளஞ் சிறிது வேறுபடுத்தப்பட்டால், காலத்திற்பின்ன மாறல் நீளத்திற் பின்னமாறலின் அரைப்பங்கென்றும், செக்கனூசலினது நீளத்தில் ஒரு சதவீத வழு அண்ணளவாக மணிக்கு 18 செக்கன் வழுவைப் புணர்த்தும் என்றும் நிறுவுக.

பகுதிகளாக வகையிடுதல், 185
9. ஓர் ஆற்றுக்குக் குறுக்கேயுள்ள தூரம், 50 அடி உயரத்திலிருந்து நோக்கப்பட்ட எதிர்க்கரையின் இறக்கக் கோணம் 10° என நோக்குதலாற். கணிக்கப்படுகின்றது.
(i) இறக்கக் கோணத்தில் ஒரு கலை வழுவிலிருந்து, (ii) கருவியின் உயரத்தில் ஒர் அங்குல வழுவிலிருந்து கணிக்கப்பட்ட தூரத்தில் என்ன வழு விளையும் ?
10. logதான்சன்களின் ஓர் அட்டவணையில் ஒரு கலைக்குரிய வித்தி யாசம் •00025கோசே2a எனக் காட்டுக. . 11. ஒரு வட்டத்தின் நாணென்று அவ்வட்ட மையத்தில் 0 ஆரையன் என்னும் ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கின்றது. அக்கோணத்தில் 6a என்னும் ஒரு மாற்றம் அந்நாணல் வெட்டப்பட்ட சிறு துண்டின் பரப்பை *6a ஆற் கூட்டுகின்றதெனக் காட்டுக; இங்கு, 2 என்பது அந்நாணி னது நீளம்.
12. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் சாய் மேற்பரப்பின் பரப்பு Th? தான்oசீக% என்னுஞ் சூத்திரத்தால்ே தரப்படும் ; இங்கு, h என்பது அக்கூம்பின் உயரமாயும் 20 என்பது அதன் கோணமாயும் உள்ளன. C இல் &cz என்னும் ஒரு சிற்றேற்றத்திற்கு ஒத்த பரப்பின் பின்ன வேற்றம் (1+சைன்°a)6/ சைன்oகோசைa என நிறுவுக ; தந்த ஒரு 60 இற்கு சைன்o = 1/V3 ஆகும்பொழுது இது மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக.
8.7. சிறு மாற்றங்கள்-தொடர்ச்சி. எல்லாஞ் சிறு மாற்றங்கள் அடையத் தக்க பல சாராமாறிகளின் சார்பு ஒன்றை நாம் ஆராயும்பொழுது, அச்சார்பை 2 ஆற் குறித்து, 2, g, 2 என்பனவற்றைச் சாராமாறி களெனக் கொண்டு
tu = f(at, y, z) என எழுதுவோமாயின், 8.3 இன் சூத்திரம் (3) ஐ நாம் வழங்கிக் கூடிய போதிய அண்ணளவாக
Ou θειο θα διμ -- "δα -- δυ -- "δα
da ôy y -- 02 எனக் கொள்ளலாம். இச்சூத்திரத்தின் உட்பொருள் 2 இன் மொத்த மாற்றமானது மாறிகளுள் ஒவ்வொன்றும் மாற்றப்பட ஏனைமாறிகள் மாருதிருக்க ய அடையும் வேறு வேறன மாற்றங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதே.
871, உதாரணங்கள். ------
(i) ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கம் 8 ஆனது சூத்திரம்
0:gهa* -+- b2 -- 2ab (g5IT68 =س= e2

Page 100
186: பகுதிகளாக வகையிடுதல்
என்பதாலே துணியப்படுகின்றது. a, b, c என்பனவற்றின் அளவீடு களில் ba, 6ம், 60 என்னுஞ் சிறு வழுக்களிலிருந்து பிறக்கின்ற ே இன் வழுவைத் துணிக.
02 = a2+b2-2abகோசை0 ஆயிருத்தலால்,
2) — მ(°“) ჯ. - 1- მ(e”) გb -|- მ(°“) 8(c) ôa a + Gh ಶಿರಿ +"ಶಿC.
a(c)
2 a(c) b - 2b -20 கோசை C,
இனி, ட்!=2a -26 கோசை0,
ôa,
2 მ(c*) 2 ہے۔ab60)g 6ئT O, Sc2 = 2050;
O
ஆகவே,
cSc = (a-bகோசைC)Sa + (b -aகோசை0)Sb + ab சைன் 060; இது பின்வருமாறும் எழுதப்படலாம் ;
S = கோசைBS+ கோசைAbb+0 சைன்மீ00
(i) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு S ஆனது சூத்திரம் abசைன் 0 என்பதாலே துணியப்படும் ; a, b, 0 என்பனவற்றின் அளவீடுகளிற் சிறு வழுக்கள் காரணமாகக் கணிக்கப்பட்ட பரப்பில் உள்ள சதவீத வழுவைக் காணல்.
நாம் பெறுவது S = {abசைன்.ெ
இங்கு, வகையிடுதற்குமுன் மடக்கைகளை எடுப்பது இசைவாகும். நாம் பெறுவது
log S = log -- log a -- log b -- log 605667 O. பின்னர், இரு பக்கங்களிலுமுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பின் எற்றங்களை எடுக்க நாம் பெறுவது
δ8 δα δό
S 0. +++கோதா OSOS.
உதாரணமாக C=50° எனின், a, b என்பன. 1 சதவீத வழு விற்கு உட்படும் ; 0 என்பது 10" வழுவிற்கு உட்படும்; அப்பரப்பிற் சதவீத வழு 싼=1+1+100×8391×--
S 180×60×6
*1 -- *1 -- :0041
204.

பகுதிகளாக வகையிடுதல் 187
(i) ஒரு கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 450 அடி தூரத்தில் அதன் நுனியின் ஏற்றக்கோணம் 37° 20'. அத்துரம் 6 அங்குல வழுவிற்கும் அக்கோணம் 1 கலை வழுவிற்கும் உட்படுமாயின் கணிக்கப்பட்ட உயரத்தில் மிகப் பெரிய வழு என்ன ?
2 என்பது அவ்வுயரத்தையும் 2 என்பது அத்தூரத்தையும் g என்பது அக்கோணத்தையுங் குறித்தால் 2 = 2தான்று
ஆகவே, S2 = *ပ်++်°ပ်y
0lat ду ሎ
அல்லது 62 =தான்g60 + 2 சீக?g6ழ
- * 37°20') x 5 + (450 இக237°20') x
(தான் ) -- ( ) 0800
= 3814 + 2070 - 5884 அடி.
8.72. பயிற்சிகள்.
1. S என்பது, அடி a உம் உயரம் h உம் ஆய ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பாயின்,
δS δα δή 烹=斋十 என நிறுவுக.
2. 2a, 26 என்னும் அச்சுக்களையுடைய ஒரு நீள்வளையத்தின் பரப்பு S ஆயின்,
δS δα δο
エサ流 என நிறுவுக.
3. சமபக்க முக்கோணம் ஒன்றின் கோணங்களின் அளவீடுகள் 1" வழுவுக்கு உட்படுமாயின், அதன் பக்கங்களின் நீளங்களிற் சதவீத வழு *00042 என நிறுவுக.
4. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு b = 125 அடி, c=160 அடி, A =57° 35' என்னும் அளவீடுகளாலே துணியப்படுகின்றது. வேறேர் அளவீட்டுத் தொகுதி b = 1255 அடி, c = 161 அடி, A =57° 25' என்பனவற்றைத் தருகின்றது. முதலாம் அளவீட்டிற்கும் இரண்டாம் அள வீட்டிற்கும் இடையேயுள்ள சதவீத வித்தியாசத்தைக் காண்க.
5. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் Sa, 6ம், 68 என்னுஞ் சிறுமாற்றங்கள் செய்யப்பட்டால்,
SA= a(Sa-66கோசை0-ScகோசைB)| 2S எனக் காட்டுக ; இங்கு S என்பது பரப்பு.
84+SB+60= 0 என வாய்ப்புப் பார்க்க.

Page 101
88 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
6. சென்ற பயிற்சியில் அப்பக்கங்களில் மாற்றங்கள் கூடியவளவிற்கு +% சதவீதமெனின், அதன் விளைவாக A இல் உளதாகும் மிகப் பெரிய மாற்றம் + na/50bcசைன் A எனக் காட்டுக.
7. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணம் நிலையான ஒரு வட்டத்தில் உள்ளுருவமாக வரையப்பட்டிருக்கின்றது. பக்கம் a ஆனது நிலையாயிருக்க b உம் C உம் மாறினல், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i)8B十8C=O; (ii) சீக BSb + சிக CSc= 0; (iii) a60 - சைன் E60 - சைன்06b. 8. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணம் நிலையான ஒரு வட்டத்தில் உள்ளுருவமாக வரையப்பட அதன் பக்கங்கள் எல்லாம் மாறும்படி விடப்பட்டால்
சீக ASa + சிகBSb + சிகCSe=O என நிறுவுக. 9. ஒரு வட்டவுருளே h என்னும் உயரத்தையும் r என்னும் ஆரையை யும் உடையது. அவ்வுருளையின் மேற்பரப்பின் முழுப்பரப்பும் அதன் கனவளவோடு கொள்ளும் விகிதம் மாருதிருக்குமாறு h, r என்பன சிறு மாற்றங்களை அடைந்தால்,
2 Sr = - Sh எனக் காட்டுக.
10. ஒரு நேர் வட்டக் கூம்பின் முழு மேற்பரப்பின் பரப்பு
Thதோன்ன (தான்c + சீகo) என்னுஞ் சூத்திரத்தாலே தரப்படுகின்றது; இங்கு h என்பது உயரமாயும் a என்பது அரையுச்சிக் கோணமாயும் உள்ளன. Q ஆனது 4ா ஆயிருக்கும்பொழுது உயரத்தில் 1 சதவீதவேற்றஞ் செய்யப்பட்டால், பரப்பில் யாதொரு மாற்றமுஞ் செய்யப்படாதவாறு a இல் என்ன மாற்றஞ் செய்யப்பட வேண்டும்.
11. தரையில் ஒரு கோபுரத்தின் அடியோடு ஒரு கோட்டில் ஒன்றுக் கொன்று a என்னுந் தூரத்தில் இருக்கின்ற இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து அக்கோபுர நுனியின் எற்றக் கோணங்கள் a, 8 என்பனவாகும். 2, 8 என்பனவற்றில் 60, 68 என்னுஞ் சிற்றேற்றங்கள் காரண்மாக உயரத்திலுள்ள ஏற்றம்
a(சைன்?86a -சைன்?a68)/சைன்(8-c) என நிறுவுக. 12. எறி புள்ளிக்கூடாக ஒரு கிடைத்தளத்தின்மீது ஒர் எறிபொருளின் வீச்சு W?சைன்2/g; இங்கு, W என்பது எறியும் வேகமாயும் a என்பது அதனுடைய திசையின் கோணவேற்றமாயும் இருக்கின்றன. a= {ா ஆயிருக்கும்பொழுது 7 இல் ஒரு சின்ன வேற்றத்திற்கு எண்ணளவிற் சமனன Q இன் இறக்கம் அவ்வீச்சை மாருதிருக்கச் செய்யுமென நிறுவுக.

எளிய பயிற்சிகள்
9.1. பெறுதிகளுந் தொகையீடுகளும். பின்வருங் கோவைகளினுடைய பெறுதிகளையுந் தொகையீடுகளையுங் காண்க:
.)2bar + c. 2. (a - a-+- قمaa .1
- \4 3 W3 3. (r - Ε) 0. 4. (*+器) 5. 2a3-3ac-36a-10. 6. (2ai* -- ac + 1) (2ai* - ac + 1). 7. (az - 2)*(ac -l- 1)*. 8. (a -1)(a -3).
2 3 9. a.4 - 3a;--8a - 10. 10. 3 T أ. هيه - l.
ხ C − 笃 1. 石十エ十* 12. ах 十り十』・ 13 l 1 -- 4a 14 )2 هنه\
قيه -أ T -- 4a ة يو 4 15. 32・2 l l 16 23 *ー巫十石 . (a -2).
17. (a- a) 18. ag (a2(1-- قم. .2 (1 - 4 بac3 - 1(2. 20. a3 (a) 2مa .19
92. சாய்வுவிகிதங்கள், தொடுகோடுகள், உயர்விழிவுகள்.
1. g = 3a2-5a + 1 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்தை (a',g) என்னும் புள்ளியிற் காண்க. அவ்வளைகோட்டிற் சாய்வுவிகிதம் 7 ஆகிய புள்ளியைத் துணிக. இப்புள்ளியிலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன் பாடு என்ன ?
2. g = a* -20 + 2 + 3 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்தை யும் அவ்வளைகோட்டிற் சாய்வுவிகிதம் பூச்சியமாகும் புள்ளிகளையுங் காண்க. இப்புள்ளிகளில் அவ்வளைகோட்டிற்கு உயர்வு நிலைத்தூரங்களோ இழிவு நிலைத் தூரங்களோ உண்டு என்றுந் துணிக. அவ்வளைகோட்டை
6ዃ16Ö)፱ቇ5.
3. g=29 + 2 + 2 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்தை
(1, 5) என்னும் புள்ளியிற் காண்க. வேறு எந்தப் புள்ளியில் அவ்வளை
கோட்டிற்கு அதே சாய்வுவிகிதம் உண்டு ?

Page 102
190 பகுதிகளாக வகையிடுதல்
4. g = 2 + 3a + 4a + 5a" என்னும் வளைகோட்டினது தொடுகோட்டை {-1, -2) என்னும் புள்ளியிற் காண்க. அவ்வளைகோட்டில் வேறு எந்தப் புள்ளியில் அதற்குச் சமாந்தரமான தொடுகோடு ஒன்று உண்டு ?
5. (a', g') என்னும் புள்ளியில் g - 50 - 6a2+50 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்தைக் காண்க. அவ்வளைகோட்டின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் சாய்வுவிகிதம் நேரென நிறுவுக.
6. (0,1), (, -4), (1, 0) என்னும் புள்ளிகளில் g - 43 - 6a2+32-1 என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதத்தைக் காண்க : இப்புள்ளி களின் அயலில் அவ்வளைகோட்டை வரைக.
7. a ஆனது - O0 இலிருந்து O0 இற்குக் கூடுதலுற 33 - 5a+42 + 3 என்னுஞ் சார்பு உறுதியாகக் கூடுதலுறுமென நிறுவுக.
8. a இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு
4y = 2a:--5a- 4ac-l
என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதம் பூச்சியமாகும் ? இப்புள்ளிகளில் நிலைத்துரம் உயர்வோ இழிவோ எனத் துணிக, (-3, 1), (1, 1) என்னும் புள்ளிகளுக்கிடையில் வளைகோட்டை வரைக. −
9. 2y = 2a:- 4a:-7a -- 5 என்னும் வளைகோடு y-அச்சை வெட்டும் புள்ளியில் அவ்வளைகோட்டினது தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. அன்றியும், 2g +90-0 என் னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான தொடுகோடு அவ்வளைகோட்டில் எப் புள்ளிகளில் உண்டு என்றுங் காண்க.
10. y = (ac - 1)*(3ac -7) என்னும் வளைகோட்டின் சாய்வுவிகிதம் பூச்சியமாகும் புள்ளிகளைக் காண்க : இப்புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றிலும் g இன் பெறுமானம் உயர்வோ இழிவோ என்றுந் துணிக. அன்றியும் (0, 7), (4, 0) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள சாய்வுவிகிதங்களையுங் காண்க ; அவ்வளைகோட்டை வரைக.
11. (40-32) என்னுஞ் சார்பின் உயர்விழிவுகளாகிய பெறு மானங்கள் 4 உம் - 4 உம் என நிறுவுக. அச்சார்பின் வரைப்படத்தை a = -14, 2-1 என்னும் பெறுமானங்களுக் கிடையிற் பரும்படியாக வரைக ; இவ்வெல்லைகளுக்குள் அச்சார்பின் உயர்விழிகளாகிய பெறுமானங் கள் 3, - 3 என்பன எனக் காட்டுக.

சாய்வு விகிதங்கள் м 19
12. (- 2,0) என்னும் புள்ளியில் 2g= 4a-a" என்னும் வளை கோட்டினது தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க : இத்தொடுகோடு (4, -24) என்னும் இப்புள்ளியில் அவ்வளைகோட்டை மறுபடியும் வெட்டு மெனக் காட்டுக. அன்றியும், g இன் உயர்விழிவுகளாகிய பெறுமானங் களையுங் காண்க ; அவ்வளைகோட்டை வரைக.
13. a ஆனது கூடுதலுற 2a?-3a2-36a +10 என்னுஞ் சார்பு 3 இன் எப்பெறுமான வீச்சிற்குள்ளே குறைதலுறுமெனக் காண்க ; அன்றி யும், 3 ஆனது கூடுதலுற அச்சார்பு எவ்வீச்சிற்குள்ளே கூடுதலுறும்
என்றுங் காண்க.
14. y = 24-4aஃ-6a2+36a-27 என்னும் வளைகோடு a - அச்சை a = 3 என்னும் புள்ளியிலே தொடுமென நிறுவுக. இப்புள்ளிகளிலுள்ள சாய்வுவிகிதங்களையும் a - அச்சை அது வெட்டும் புள்ளிகளையுங் காண்க.
15. g = (a - 2)2(a+3)? என்னும் வளைகோட்டில் யாதும் ஒரு புள்ளி யிலுள்ள சாய்வுவிகிதத்தைக் காண்க. g இன் உயர்வுப் பெறுமானத்தை யும் இழிவுப் பெறுமானத்தையுந் துணிக.
16. y = (ac - 2) *(ac*+ 2ac + 4) என்னும் வளைகோட்டில் யாதுமொரு புள்ளியிலுள்ள சாய்வுவிகிதத்தைக் காண்க. அவ்வளைகோட்டின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் g ஆனது நேரென் றுஞ் சாய்வுவிகிதம் ஒரு புள்ளியிலேயே பூச்சியமென்றும் நிறுவுக. இப்புள்ளி g இன் ஓர் உயர்வுப் பெறுமானத்தையா அன்றி ஓர் இழிவுப் பெறுமானத்தையா தரும் ?
17. 4gy = at“ — 8at* -+- 22ac° — 24ac —+— 9 6T6ö769)yLb வளைகோட்டிற்கு ஓர் உயர்வு நிலைத்தூரமும் ஈர் இழிவு நிலைத்துரமும் உண்டு என நிறுவுக; g ஆனது ஒரு கூடுதலுறுஞ் சார்பாகும் 2 இன் பெறுமானங்களின் வீச்சுக்களையும் g ஆனது ஒரு குறைதலுறுஞ் சார்பாகும் ஒத்த வீச்சுக் களையுந் துணிக.
18. (0,3), (2,9) என்னும் புள்ளிகள் g= a+ba+ca2+da" என்னும் வளைகோட்டிற் கிடக்க, இப்புள்ளிகளிற் சாய்வுவிகிதம் பூச்சியமானல், a, b, c, d என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க. இப்புள்ளிகள் g இன் உயர்வுப் பெறுமானங்களையா அன்றி இழிவுப் பெறுமானங்களையா தரும்?
19. a ஆதல் ம் ஆதல் 0 ஆதல் பூச்சியமல்லாதிருக்கும்போது g = aa + ba2+ ca என்பது தன் சாய்வுவிகிதம் (2,4) என்னும் புள்ளியிலேயேயன்றி வேறேரிடத்தும் பூச்சியமாகாத ஒரு வளைகோட்டைக் குறித்தால், a, b, c என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.

Page 103
92 வேகமும் வேகவளர்ச்சியும்
20. (1, 1), (-2, -2) என்னும் புள்ளிகள் g = a + ba + ca2+da என்னும் வளைகோட்டிற் கிடக்க இப்புள்ளிகளிலுள்ள சாய்வு விகிதங்கள் முறையே 1, 3 என்பனவாயின், a, b, c, d என்பனவற்றின் பெறு மானங்களைக் காண்க.
93. வேகமும் வேகவளர்ச்சியும்.
1. ஒரு துணிக்கையானது ஒய்விலிருந்து அசைந்து 4 செக்கனில் வரைந்த தூரம் 15t+152+58 ஆயின், வேகம் 0 உம் வேக வளர்ச்சி f உம் அடி செக்கன் அலகுகளில் f?= 600 என்னுந் தொடர்பால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என நிறுவுக.
2. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோட்டினது நீளத்திற்கு அசைகின்றது : 4 செக்கன் முடிவில் நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து அடிகளில் அதனுடைய தூரம்
s = 2t* - 88t* -+- 108t - 15
என்பதாலே தரப்படுகின்றது. t இன் எப்பெறுமானங்களுக்கு () வேகம், (*) வேகவளர்ச்சி பூச்சியமாகுமெனக் காண்க.
அன்றியும், வேகவளர்ச்சி பூச்சியமாகும்பொழுதுள்ள வேகத்தையும், வேகம் பூச்சியமாகும் பொழுதுள்ள வேகவளர்ச்சியின் இரு பெறுமானங் களையுங் காண்க.
3. ஒரு நேர்கோட்டினது நீளத்திற்கு அசைகின்ற ஒரு புள்ளியினது நிலை 8 = 8-122+36 + 5 என்பதாலே தரப்படுகின்றது; இங்கு 8 என்பது இயக்கந் தொடங்கி 6 செக்கனுக்குப்பின் அக்கோட்டில் நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து அடிகளில் எடுத்த தூரம். t = 4 ஆகும்பொழுது வேகத்தையும் வேகவளர்ச்சியையுங் காண்க : ஒரு வேகநேர வளைகோடு 6) I605.
4. ஒரு புள்ளியானது தான் ஒய்விலிருந்து t செக்கனில் அடையும் வேகஞ் செக்கனுக்கு (4t - 2) அடி ஆகுமாறு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது. நேரம் t இல் உள்ள வேகவளர்ச்சியையும் t செக்கனிற் செல்லுந் தூரத்தையுங் காண்க. அதன் இயக்கத்தின் முதல் 6 செக்கனை யும் விவரிக்க.
5. ஒரு புள்ளியானது இயக்கந் தொடங்கி 6 செக்கனுக்குப் பின் ஒரு நேர்கோட்டில் நிலையான புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அடிகளிலே தனது தூரம் 8 = 72 - 3? - 28 ஆகுமாறு அக்கோட்டில் அசைகின்றது. அதன் வேகத்தையும் வேகவளர்ச்சியையுங் காண்க. அப்புள்ளி ஓய் வடையுமுன் எவ்வளவு தூரம் அசையும்? தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எத்தனை செக்கன் எடுக்கும் ?

வேகமும் வேகவளர்ச்சியும் 193
6. ஒரு புள்ளியானது இயக்கத் தொடங்கி செக்கனுக்குப் பின் உற்பத்தியிலிருந்து தனது தூரம் a = 28+ 27 - 8 என்பதாலே தரப் படுமாறு 2 - அச்சினது நீளத்திற்கு அசைகின்றது ; இங்கு a என்பது அடிகளில் அளக்கப்படுகின்றது. வேகத்தையும் வேகவளர்ச்சியையுங் காண்க. அதன் இயக்கத்திசை நேர்மாறக்கப்படுமுன் அப்புள்ளி எவ்வளவு தூரம் அசையும் ? அப்புள்ளி தான் புறப்பட்ட நிலைக்குத் திரும்பிவரும் வேகம் என்ன ?
7. ஒரு புள்ளியானது தான் புறப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து t செக்கனில் (2? - t) அடி செல்லுமாறு ஒரு நேர்கோட்டினது நீளத்திற்கு அசை கின்றது. அதன் வேகத்தையும் வேகவளர்ச்சியையுங் காண்க. அன்றியும், வேகநேர வளைகோட்டையும் இடநேர வளைகோட்டையும் வரைக.
8. ஒரு புள்ளி ஒய்விலிருந்து புறப்பட்டு t செக்கனுக்குப் பின்னர் செக்கனுக்கு (7t - ?) அடியே தன் பெறுமானமாகும் ஒரு வேகத்தோடு ஒரு நேர்கோட்டினது நீளத்திற்கு அசைகின்றது. வேகவளர்ச்சி பூச்சிய மாகும்பொழுது அதன் வேகம் என்ன ? -2 இலிருந்து t=5 வரைக்குமுள்ள இடையில் எத்தூரஞ் செல்லப்படும் ? எத்தனை செக்கனுக் குப் பின் அப்புள்ளி தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிச் செல்லும் ? அப்போது அது செல்லும் முழுத்தூரமும் என்ன ?
9. ஒய்விலிருந்து புறப்பட்டு ஒரு நேர்கோட்டில் அசையும் ஒரு புள்ளி யினது வேகவளர்ச்சி இயக்கந் தொடங்கி செக்கனுக்குப் பின் அடி செக்கன் அலகுகளில் 3 - t ஆகும். அப்புள்ளி ஒய்வடையுமுன் எவ் வளவு தூரம் அசையுமெனக் காட்டுக ; தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எவ்வளவு நேரம் எடுக்கும் ? அப்போது அதன் வேகம் என்ன ?
10. ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்ற ஒரு புள்ளியின் வேகம் இயக்கந் தொடங்கி செக்கனுக்குப் பின் செக்கனுக்கு (5t -32) அடி. செக்கனிற் செல்லுந் தூரத்திற்கும் வேகவுளர்ச்சிக்கும் உரிய கோவை களைக் காண்க. ஒரு வேகநேர வளைகோடு வரைக ; வேகத்தின் உயர்வுப் பெறுமானத்தைக் காண்க. அதன் வேகம் பூச்சியமாகு முன்னர் அப் புள்ளி எவ்வளவு தூரம் அசையும் ?
11. ஒரு புள்ளி நேரம் t = 0 இல் உற்பத்தியிலிருந்து தொடங்கி செக்கனிற் செல்லுந் தூரம்
z=9tー62+ーt8 என்பதாலே தரப்படுமாறு a - அச்சினது நீளத்திற்கு அசைகின்றது. அதன் வேகத்திற்கும் வேகவளர்ச்சிக்குங் கோவைகள் காண்க. a இன் பெறுமானங்களையும் t = 0, 1, 2, 3, 4 என்பனவற்றிற்கு வேகத்தையும் அட்டவணைப்படுத்துக; அதன் இயக்கத்தின் முதல் 4 செக்கனையும் விவரிக்க.

Page 104
194 வேகமும் வேகவளர்ச்சியும்
12. ஒரு புள்ளியானது நேரம் t இல் 6 (1+t) என்பதால் அடி செக்கன் அலகுகளில் அளக்கப்பட்ட வேகவளர்ச்சியோடு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது. அப்புள்ளி 243 அடியை தன் இயக்கத்தின் முதல் 3 செக்கனிற் செல்லுமாயின், t = 0 ஆகும்பொழுது அதன் வேகத்தைக்
BIT60075.
13. ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்ற ஒரு புள்ளியின் வேகம், அசையத் தொடங்கி t செக்கனுக்குப் பின், செக்கனுக்கு (18-8?) அடி. செக்கனில் அது செல்லுந் தூரத்தையும் வேகவளர்ச்சியையுங் காண்க. அதன் வேகத்திற்கு ஒர் உயர்வுப் பெறுமானம் உண்டு என்று காட்டி அதனைக் காண்க. அதன் இயக்கத் திசைபற்றி நேர்மாறக்கப்படுமுன் கழியும் நேரத்தையுஞ் செல்லுந் தூரத்தையும் காண்க. அன்றியும் அது புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவர எடுக்கும் நேரத்தையும் அந்நேயூ விடையில் அதன் வேகத்தின் மிகப் பெரிய எண் பெறுமானத்தையுங்
5T65075.
14. ஒரு புள்ளி ஓய்விலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டினது நீளத்திற்கு அசை கின்றது ; செக்கனுக்குப் பின்னர் அதன் வேகஞ் செக்கனுக்கு (at-b?) அடி. அதன் இயக்கத்தின் முதல் இரண்டு செக்கன்களிலும் அது முறையே 12 அடி, 18 அடி என்னுந் தூரங்கள் செல்லுமாயின், a ஐயும் b ஐயும் உயர்வுப் பெறுமானத்தையுங் காண்க.
15. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோட்டிலுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து தனது தூரம் 8= a+bt?-ct8 என்பதாலே தரப்படுமாறு ஒரு நேர் கோட்டில் அசைகின்றது; இங்கு, a, b, c என்பன நேரெண்கள் ; t என்பது உற்பத்தியைக் கடந்து சென்றபின்னுள்ள நேரத்தைக் குறிப் பது. ஆரம்பவேகம் 6 ஆகும் ; உயர்வு வேகம் 12; வேகவளர்ச்சியின் மிகப் பெரிய பெறுமானம் 12. a, b, c என்பனவற்றின் பெறுமானங் களைக் காண்க.
16. ஒரு புள்ளியானது t = 0 என்னும் நேரத்தில் உற்பத்தியிலிருந்து தொடங்கி (6-4) அடி செக்கனலகு வேகவளர்ச்சியோடு 2 - அச்சினது நீளத்திற்கு அசைகின்றது. t செக்கனிற் சென்ற தூரத்தையும் வேகத் தையுங் காண்க. அன்றியும், அதன் இயக்கத் திசை நேர்மாறகுமுன் அது எவ்வளவு தூரம் அசையுமென்றும், அது தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்கு எவ்வேகத்தோடு திரும்பி வருமென்றுங் காண்க.
17. ஒரு புள்ளி உற்பத்தியிலிருந்து a - அச்சினது நீளத்திற்கு நேரம் t=0 இற் செக்கனுக்கு 4 அடி வேகத்தோடு அசையத் தொடங்குகின்றது ; அது புறப்பட்டு 6 செக்கனுக்குப் பின் அதன் வேகவளர்ச்சி அடி செக்கனலகுகளில் 4-t. செக்கனில் அது செல்லுந் தூரங்களையும் அடைந்த வேகத்தையுங் காண்க. உயர்வு வேகம் யாது? அதுதான் மிகப்பெரிய வேகமா ? ஒரு வேகநேர வளைகோடு வரைக.

பரப்புக்கள் 195
18. ஒரு புள்ளி நிலையான ஒரிடத்திலிருந்து செக்கனுக்கு 48 அடி வேகத்தோடு புறப்பட்டு t செக்கனுக்குப்பின் தன் வேகம் செக்கனுக்கு (48+?-t? ) அடி ஆகுமாறு ஒரு நேர் கோட்டில் அசைகின்றது. வேகவளர்ச்சியையும் வேகத்தின் உயர்வுப் பெறுமானத்தையுங் காண்க. அன்றியும், இயக்கத்திசை நேர்மாருகு முன்னர் செல்லுந் தூரத்தையுங்
5675.
19. ஒரு புள்ளி நிலையான ஒரு புள்ளியிலிருந்து புறப்பட்டுச் செக்கனுக்கு 18 அடி வேகத்தோடு ஒரு நேர்கோட்டில் அசைகின்றது ; t செக்கனுக்குப் பின் அதன் வேகவளர்ச்சி 8 - அடி செக்கனலகுகள். அதன் இயக்கத்தினது நேர்மாறகுமுன் அப்புள்ளி எவ்வளவு தூரஞ் செல்லு மெனக் காண்க; புறப்பட்டு 28 செக்கனுக்குப் பின் அப்புள்ளி தான் புறப்பட்ட புள்ளிக்கு அப்பாலுள்ள ஒரு நிலைக்குத் திரும்பிவருமெனக்
காட்டுக.
20. ஒரு புள்ளி ஒரு நேர்கோட்டில் இயக்கந் தொடங்கி செக்கனுக்குப் பின்னர் (a-bt) அடி செக்கனலகு வேகவளர்ச்சியோடு அசைகின்றது. ஆரம்பவேகஞ் செக்கனுக்கு 8 அடி ஆயும், உயர்வு வேகஞ் செக்கனுக்கு 125 அடியாயும் t = 23 ஆகும்பொழுது இயக்கத் திசை நேர்மாறயும் இருந்தால் a, b என்பனவற்றைக் காண்க.
94. பரப்புக்கள்.
1. 3 அச்சாலும் பின்வரும் வளைகோடுகள் ஒவ்வொன்றலும் அடைக் கப்படும் பரப்பைக் காண்க :
( ٤ ) gy = ac2 -- 4ac-+- 3 ; (й) у= 2x? — 5x + 2 ; (iii) y = a-- a -12; (io) y == 3ar2 -- ac -- 2; .)gy = ac2 -- 3ac -+- 2 ; (pi) g == ac2(4 -- ac2 ( رہ )
2. g = a*-9a + 6 என்னும் வளைகோட்டிற்கும் 3 அச்சிற்கும் =ை -3, 2=3 என்னும் நிலைத்துரங்களுக்கும் இடையிலுள்ள பரப்பைக் காண்க.
3. பின்வருந் தொகையீடுகளின் பெறுமானங்களைக் கணித்து g=4a-a" என்னும் வளைகோட்டை நோக்க அவை குறிக்கும் பரப்புக் களைக் கூறுக : s
2 2 - 8 (i) )4ac-aقم( daم ; )ii( s (4ac - ato) dat ; (iii) f (4ac l- ac*) dac.
o -2 O 4. 2 அச்சிற்கும g=ca" என்னும் வளைகோட்டிற்கும் யாதுமொரு
நியமித்த நிலைத்தூரத்திற்கும் இடையில் உள்ளமைக்கப்படும் பரப்பு அந் 9-B 8844 (1160)

Page 105
196 பரப்புக்கள்
நியமித்த நிலைத்தூரத்தையும் அதன் கிடைத்தூரத்தையும் பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பின் 1/(n+1) என்னும் பின்னமென நிறுவுக.
5. g"= ca" என்னும் வளைகோட்டிலுள்ள யாதும் ஒரு புள்ளி யிலிருந்து அச்சுக்களுக்குச் சமாந்தரமாய்க் கோடுகள் வரைந்தால், அவ் வச்சுக்களோடு அவை ஆக்குஞ் செவ்வகத்தின் பரப்பு, தம் பரப்புக்கள் m: n என்னும் விகிதங் கொண்ட பகுதிகளாக, அவ்வளைகோட்டாற் பிரிக்கப் படுமென நிறுவுக.
6. y = ac (ac - 1)(ac - 2) என்னும் வளைகோட்டை வரைக ; அவ்வளை கோட்டாலும் 2 - அச்சாலும் எல்லையுற்ற உருவங்கள் இரண்டினுடைய பரப்புக்களுஞ் சமமென நிறுவுக.
7. g=50°-32 என்னும் வளைகோட்டாலும் a - அச்சாலும் எல்லை யுறும் இரண்டு சமபரப்புக்கள் உள எனக்காட்டி அவற்றைக் கணிக்க.
4. ۔۔۔۔ 8. f (a9-33-3+3)da என்னுந் தொகையீட்டின் பெறுமானத்
-2
தைக் கணிக்க ; g=a*-3a - 2 + 3 என்னும் வளைகோடு a - அச்சை மூன்று புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றதெனக் காட்டியும், (-2, -1), (-1,1), (1,3), (3,4) என்னும் aஇன் எல்லைச் சோடிகளுக்கு இடையிற் குறிக்கப்பட்ட பரப்புக்களைக் கண்டும் முடிபை அத்தொகையீடு குறிக்கும் பரப்புக்கள் பற்றி விளக்குக.
9. ஒரு வளைகோட்டிற்கும், ன - அச்சிற்கும், a=0, 2 = h என்பன வற்றிலுள்ள நிலைத்தூரங்களுக்கும் இடையேயுள்ள பரப்பு ah+bh?+ch" ஆயின், அவ்வளைகோட்டின் சமன்பாடு என்ன ?
10. y = 4-2 என்னும் வளைகோட்டாலும் a - அச்சாலும் எல்லை
யுற்ற பரப்பைக் காண்க. O இன் எப்பெறுமானத்திற்கு (4-as) dat
w . Ο
என்னுந் தொகையீடு பூச்சியமாகும் ?
11. g = 3 - 40+ a என்னும் வளைகோட்டை வரைக; a - அச்சிலுள்ள 0,1; 1,3; 3,4 என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடையே 2 -அச்சிற்கும் அவ்வளை கோட்டிற்கும் இடையிலுள்ள பரப்புக்கள் எண்ணளவிற் சமமென நிறுவுக.
என்னும் வளைகோடு E - அச்சை 4 - 408 + 232 - 430 يجب 8 تس= y . .12 2=1 என்னும் புள்ளியிலே தொடுமெனக் காட்டுக ; அது 2-அச்சை வெட்டும் ஏனைய புள்ளிகளையுங் காண்க. அவ்வளைகோட்டாலும் 2- அச்சாலும் எல்லையுற்ற இரு பிரதேசங்களின் பரப்புக்களுஞ் சமமென நிறுவுக

கனவளவுகள் 197
13. y = (a-2)2(a+3) என்னும் வளைகோட்டாலும் க-அச்சாலும் அடைக்கப்பட்ட பரப்பைக் காண்க.
14. y-a4-4a3-6a2+36a-27 என்னும் வளைகோடு a -அச்சை 2-3 இலே தொட்டு a=1, a= -3 என்பனவற்றில் வெட்டுகின்றது. அவ்வளை கோட்டை வரைந்து அதனலும் -ைஅச்சாலும் அடைக்கப்படும் இரு பரப்புக்களையுங் காண்க.
15. 8g=(a-2) (3-4) என்னும் வளைகோடு y -அச்சை A இலும் 2- அச்சை B இலும் வெட்டி 3 அச்சை 0 இலே தொடுகின்றது. வில் AB ஆலும் அச்சுக்களாலும் எல்லையுறும் பரப்பு அவ்வளைகோட் டாலும் 2-அச்சின் BC என்னும் பகுதியாலும் எல்லையுறும் பரப்பின் 17 மடங்கு என நிறுவுக.
16. y-2a-a என்னும் வளைகோட்டிற்கும் g = a என்னுங் கோட் டிற்கும் இடையிலுள்ள பரப்பைக் காண்க.
17. y=a(4-2) என்னும் வளைகோட்டாலும் g=3 என்னுங் கோட் டாலும் எல்லையுறும் பரப்பைக் காண்க.
18. y = a*-133 என்னும் வளைகோடு g -12 என்னுங் கோட்டி ஞல் வெட்டப்படும் புள்ளிகளுள் ஒன்று (-1,12) என்பது. ஏனைய இரண்டு புள்ளிகளையுங் காண்க. அவ்வளைகோட்டாலும் g=12 என்னுங் கோட்டாலும் எல்லையுறும் இரு பரப்புக்களின் விகிதம் 32 : 375 என நிறுவுக.
19. y = a*-7a + 6 என்னும் வளைகோட்டாலும் a+3g = 6 என்னுங் கோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பைக் காண்க.
20. g + 4 = 5a-a என்னும் வளைகோட்டாலும் 2g = 3-4 என்னுங் கோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பைக் காண்க.
95. கனவளவுகள். W 1. g2=22-a என்னும் வளைகோடு 2 அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப் பட்டால், அவ்வளைகோட்டாலும், 2 அச்சாலும், =ை2a என்னும் நிலையத் தூரத்தாலும் எல்லையுற்ற பரப்பு a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்திற்குச் சமனன ஒரு கனவளவைப் பிறப்பிக்குமென நிறுவுக. 2. age = a*(a2-a) என்னும் வளைகோட்டின் வளையம் a அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. அடைக்கப்படுங் கனவளவைக் காண்க.
3. a=0 இலிருந்து 2=2 வரைக்குமுள்ள வளைகோடு g-4ac -o என்பது 2 அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. சுற்று மேற்பரப்பாலும், 2=2 இலுள்ள தளமுனையாலும் எல்லையுறுங் கனடிஷஒலுக் காண்க.

Page 106
198 க்ண்வளவுகள்
4. மூன்ருங் கணக்கிலுள்ள வளைகோடு a=0 இலிருந்து a = 2 வரைக்குமுள்ள g?= a*(2-a) என்னும் வளைகோடாயின், க்னவளவு யாதாயிருக்கலாம் ?
5. ஒரு பூந்தொட்டியின் உயரம் உட்பக்கமாக அதன் அச்சினது நீளத் திற்கு அளக்கப்பட h ஆயும் அதன் அச்சிற்கூடாக ஒரு நிலைக்குத்தான பிரிவு ag= a* என்னும் வளைகோடாயும் இருந்தால், அத்தொட்டி கொள்ளுங் கனவளவு என்ன ?
6. OP என்னும் ஒரு நாண் ஒரு பரவளைவின் உச்சி 0 இற்கூடாக வரையப்படுகின்றது ; OP ஆலும் அவ்வளைகோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பு அப்பரவளைவின் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அக்கூம்பிற்கும் அவ் வாறு ஆக்கப்பட்ட பரவளைவுத் திண்மத்திற்கும் இடையிலுள்ள கனவளவு TT ON. PIN * GTGOT ÉgpJGyats ; gršGg5 PIN GTGÖTugs P 9QGÚBlög a - அச்சிற்கு உள்ள நிலைத்தூரம்.
7. g2=(a-2)(3-2) என்னும் வளைகோடு 2 அச்சை A, B என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. அவ்வளைகோட்டை AB என்னுங் கோடுபற்றிச் சுற்றப் பிறக்குங் கனவளவைக் காண்க.
8. a என்னும் பக்கத்தையுடைய ABCDEF என்னும் ஒர் ஒழுங்கான அறுகோணம் விட்டம் AD பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அவ்வாறு ஆக்கப் படுங் கனவளவு a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோணத்தின் கனவளவின் 4 என நிறுவுக.
9. சுற்றுப் பரவளைவுத் திண்மம் ஒன்றின் கனவளவு சமவட்டவடிவை யும் சமவச்சு நீளத்தையுங் கொண்ட நேர்வட்டவுருளையின் கனவளவின் அரைப்பங்கென நிறுவுக.
10. a=0, a = a என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag2= a2(a-a) என்னும் வளைகோட்டின் பகுதி 2 -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறப்பிக்கப்பட்ட கனவளவு a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோணத்தின் கனவளவின் 16 இல் 1 என நிறுவுக.
11. a=0, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள ag?-a(a+a) என்னும் வளைகோட்டின் பகுதி 2 -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அவ்வாறு பெறப்பட்ட கனவளவு b என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கனவளவிற்குச் சமமாயின், b = 4a என நிறுவுக.
12. 4g=aஃ-42 என்னும் வளைகோட்டை 2 அச்சுப்பற்றி a = 0, 2 - 2 என்னும் எல்லைகளுக்கிடையிற் சுற்றுவதாற் பிறப்பிக்கப்படுங் கன வளவைக் காண்க.

கனவளவுகள் 199
13. g=a(4-a) என்னும் வளைகோடு a = 0, a = 4 என்பன வற்றிற்கு இடையில் 2 -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படும்பொழுது பிறப்பிக்கப்
படுங் கனவளவைக் காண்க.
14. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பினது நுனியில்லாத் துண்டம் ஒன்றிற்கு A, B என்னும் பரப்புக்களுள்ள தளவட்டமுனைகள் உள ; அத்துண்டத் தின் உயரம் h. அதன் கனவளவு h{A+, B+, V(AB)} என நிறுவுக.
15. (1, 3), (4, 5) என்னும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு (i) 20- அச்சுப்பற்றியும் (ii) y அச்சுப் பற்றியுஞ் சுற்றப்படுகின்றது. பெறப்படும் கூம்புத் துண்டங்களின் கனவளவுகளைக் காண்க.
16. g?= 400 என்னும் பரவளைவாலும் a = a என்னுங் கோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பு g -அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. பிறந்த திண்
மத்தின் கனவளவைக் காண்க.
17. a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் மையத்திலிருந்து e என்னுந் தூரத்தில் ஒரு தளத்தால் வெட்டப்பட்ட அக்கோளத்தின் துண்டுகளுட் சிறியதன் கனவளவைக் காண்க.
18. c. என்னும் ஆரையையுடைய ஓர் உருளை வடிவான துளை ே என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்திற்கூடாகத் துளைக்கப்படுகின்றது ; அவ்வுருளையின் அச்சு அக்கோளத்தின் மையத்திற் கூடாகச் செல்கின்றது. அக்கோளத்தில் என்ன கனவளவு மீந்திருக்கும் ?
s 2 2 19. '+ g° = a* என்னுஞ் சமன்பாடு தன் புள்ளிகள் அச்சுக்களி லுள்ள ஒரு நான்முனை உரு ஒன்றைக் குறிக்கின்றது. அவ்வுருவத்தை ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் யாதுமொன்றைப் பற்றிச் சுற்றுதலாற் பெறப்படுங் கனவளவு a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் கனவளவின் # எனக் காட்டுக.
20. (h, 0) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+g?= a* என்னும் வட்டத்திற்குத் தொடுகோடுகள் வரையப்படுகின்றன. அத்தொடுகோடுகளா லும் அவ்வட்டம் பிரிக்கப்படும் பெருவில்லாலும் எல்லையுற்ற பரப்பு 2 அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படப் பெறப்படுங் கனவளவைக் காண்க.
21. a=h என்னுஞ் சமன்பாடுடைய ஒர் இரட்டை நிலைத்தூரத்தால்
வெட்டப்பட்ட g= 4 (M என்னும் ஒரு பரவளைவின் ஒரு துண்டு அந் நிலைத்தூரம்பற்றிச் சுற்றுகின்றது. பிறந்த கனவளவு h என்னும் ஆரையையும் இரட்டை நிலைத்தூரத்திற்குச் சமமான நீளத்தையுங்கொண்ட ஓர் உருளையின் கனவளவின் ஃ என நிறுவுக.

Page 107
200 திணிவு மையங்கள்
22. ஒரு நிலைத்தூரம் PN ஆல் வெட்டப்பட்ட g= 4 aa என்னும் ஒரு பரவளைவின் பகுதி -ைஅச்சுப் பற்றிச் சுற்றுகின்றது. P இல் அப்பரவளைவிற்கு வரைந்த தொடுகோடு அவ்வச்சை T இற் சந்தித்தால், பெறப்படும் பரவளைவுத்திண்மக் கனவளவு T ஐத் தன்னுச்சியாயும் அப்பரவளைவுத்திண்ம வடியைத் தன்னடியாயுமுள்ள நேர்வட்டக் கூம் பின் கனவளவின் முக்காற்பங்கென நிறுவுக.
9.6. திணிவு மையங்கள்.
1. அச்சுக்களாலும் (i) 3a+4g = 12 என்னுங் கோட்டாலும் (ii) a = 4, g - 20+ 5 என்னுங் கோடுகளாலும் எல்லையுற்ற பரப்பினது திணிவு மையத்சின் ஆள்கூறுகளைத் தொகையிடுதலாற் காண்க.
2. 2a +g - 4 என்னுங் கோடு 2 அச்சை 4 இல் வெட்டுகின்றது; 2+2g = 4 என்னுங் கோடு y அச்சை B இல் வெட்டுகின்றது; அக்கோடுகள் ஒன்றையொன்று C இல் வெட்டுகின்றன. O என்பது உற்பத்தியெனின், OACB என்னும் பரப்பினது திணிவு மையத்தின் ஆள்கூறுகளைத் தொகையிடுதலாற் காண்க.
3. g=23-4 என்னுங் கோடு 2 அச்சை A இல் வெட்டுகின்றது; 2g = 3 + 4 என்னுங் கோடு y அச்சை C இல் வெட்டுகின்றது ; அக் கோடுகள் B இல் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன. O என்பது உற்பத்தி யாயின், OABC என்னும் பரப்பினது திணிவு மையத்தின் ஆள் கூறு களைக் காண்க.
4. y அச்சிற்கும் g = 0 என்னுங் கோட்டிற்கும் ag= a என்னும் வளைகோட்டிற்கும் இடையில் உள்ளமைக்கப்பட்ட பரப்பினது திணிவு மையத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
5. 3 அச்சிற்கும் ag?= a* என்னும் வளைகோட்டிற்கும் a = a இலுள்ள நிலைத் தூரத்திற்கும் இடையிலுள்ள பரப்பினது திணிவு மையத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
8. 3 அச்சாலும் ag= c* என்னும் வளைகோட்டாலும் a=0, 2=b என்னுங் கோடுகளாலும் எல்லையுற்ற பரப்பினது திணிவு மையத் தைக் காண்க.
7. y அச்சாலும், g"= car என்னும் வளைகோட்டாலும் (h, k) என்பது அவ்வளைகோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியாயிருக்க g = k என்னுங் கோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பினது திணிவு மையம் (a, g) ஆயின்,
2(2m -+- η)α/h = (m -+ 2η)ψ/Ε = η -- η என நிறுவுக.

திணிவு மையங்கள் 20
8. a=0, z=2, y=0, y= 2 என்னுங் கோடுகளால் எல்லையுற்ற சதுரம் g=2a என்னும் வளைகோட்டால் இருபகுதிகளாகப் பிரிக்கப் படுகின்றது. ஒவ்வொரு பகுதியினது திணிவு மையத்தையுங் காண்க.
9. த அச்சாலும் g = 1 - 2 என்னும் வளைகோட்டாலும் எல்லையுற்ற பரப்பினது திணிவுமையத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
10. ஒரு சுற்றுத் திண்மம் 2 = a இலிருந்து 2=20 வரைக்குமுள்ள g= a*-a என்னும் வளைகோட்டை : அச்சுப் பற்றிச் சுற்றுதலால் ஆக்கப்படுகின்றது. அத்திண்மத்தினது திணிவுமையத்தின் தூரத்தை உற்பத்தியிலிருந்து காண்க.
11. a=0, 2-3 என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள 3g= (3-2)? என்னும் வளைகோட்டின் பகுதி 2 அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. அச்சுற்றுக்கனவளவினது திணிவுமையத்தினது தூரத்தை உற்பத்தி யிலிருந்து காண்க.
12. a என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளம் மையத்திலிருந்து 6 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு தளத்தால் இருதுண்டுகளாகப் பிரிக்கப் படுகின்றது. அத்துண்டுகளினுடைய திணிவு மையங்களின் தூரங்களை மையத்திலிருந்து காண்க.
13. ஒரு பரவளைவின் ஒரு பகுதியை அதன் அச்சுப்பற்றிச் சுற்றுதலாற் பெறப்படும் ஒரு பரவளைவுக் கிண்ணத்தின் கனவளவினது திணிவு மையம் அதன் அச்சை 2 : 1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்குமென நிறுவுக.
14. உற்பத்தியிலிருந்து (h, k) என்னும் புள்ளிவரைக்குமுள்ள g= 4aa என்னும் பரவளைவின் வில்லொன்று y அச்சுப்பற்றிச் சுற்றப்படுகின்றது. h என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட வடியோடு அவ்வாறு ஆக்கப்பட்ட வளைமேற்பரப்பு *ாh% என்னும் ஒரு கனவளவை அடைக்குமென்றும் இக்கனவளவினது திணிவுமையம் உற்பத்தியிலிருந்து *ம் என்னுந் தூரத்தில் இருக்குமென்றும் நிறுவுக.
15. உற்பத்தியிலிருந்து (h, k) என்னும் புள்ளிவரைக்குமுள்ள g= 400 என்னும் ஒரு பரவளைவின் வில்லொன்று (h, k) என்னும் புள்ளியிலுள்ள நிலைத்தூரம்பற்றிச் சுற்றுகின்றது; இவ்வாறு சுற்ற h என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்ட வடியோடு கூடிய ஒரு வளை மேற்பரப்பை ஆக்குகின்றது. அடைக்கப்பட்ட கனவளவு ஃாh% என்றும், அவ்வட்ட வடிவின் மையத்திலிருந்து அக்கனவளவினது திணிவு மையத் தினுடைய தூரம் ஃ என்றும் நிறுவுக.
16. a=0 இலிருந்து 2 = a வரைக்குமுள்ள ag=a(a-a) என்னும் வளைகோட்டை  ைஅச்சுப்பற்றிச் சுற்றுதலால் ஒரு சுற்றுத் திண்ம

Page 108
202 சிறு மாற்றங்கள்
ஆக்கப்படுகின்றது. அக்கனவளவினது திணிவு மையத்தின் த ஆள்கூற் றைக் காண்க.
9.7, சிறு மாற்றங்கள்.
1. r என்னும் ஆரையையும் h என்னும் உயரத்தையுங் கொண்ட ஒரு நேர்வட்டவுருளையின் மேற்பரப்பின் பரப்பு 2rh ; அதன் கனவளவு ாr% ஆகும். r, h என்னும் இரண்டின் அளவீடுகளும் 2 சதவீத வழுவிற்கு உட்படுமாயின், அதன் விளைவாகப் பரப்பளவீட்டிலுங் கனவள வீட்டிலும் என்ன சதவீத வழுக்கள் இருக்கும் ?
2. அடியின் ஆரை r ஆயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் கனவளவு ாேPh. அடியின் ஆரை 2 சதவீதத்தாற் குறைக் கப்படின், கனவளவை மாற்ருது விடுதற்கு உயரம் எவ்வளவு சத வீதத்தாற் கூட்டப்படவேண்டும் ?
3. ஒரு நேர்வட்டவுருளையின் ஆரை நிகழத்தக்க + 2 சதவீத வழு வோடு 15 சதம மீற்றராக அளக்கப்படுகின்றது ; அதனிளம் நிகழத்தக்க +3 சதவீத வழுவோடு 42 சதம மீற்றராக அளக்கப்படுகின்றது. கணிக்கப் பட்ட கனவளவு எவ்வளவு சதவீதத்தால் வழுப்படலாம் ?
4. ABC என்பது A இற் செங்கோணமுள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணம். AB, AC என்பனவற்றில் 2 சதவீதம் y சதவீதம் என்னுஞ் சிறு வழுக்கள் விடப்படின், B0 என்னும் நீளத்தில் விளையும் வழு
(a +g) சதவீதம் எனக் காட்டுக.
5. ஒரு செவ்வகப் பெட்டியடியின் உள்ளளவீடுகள் a அங். நீளமும் ம் அங். அகலமுமாகும் ; தந்த அளவு நீர் அப்பெட்டியை h என்னும் ஆழத்திற்கு நிரப்புகின்றது. a, b என்பனவற்றின் அளவீடுகளில் 1 சதவீத வழுவும் -2 சதவீத வழுவும் புணர்த்தப்பட்டால், h இன் அளவீட்டில் என்ன சதவீதத் திருத்தஞ் செய்யப்படவேண்டும் ?
8. ஆரை 7 ஆயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு நேர்வட்டவுருளையின், வட்ட முனைகள் ஆரை R ஆகவுள்ள ஒரு நிலையான கோளத்திற் கிடக்கின்றன. 7 இல் 1 சதவீதச் சிற்றேற்றஞ் செய்யப்படின், அதன் விளைவாக h இல் ஆகுஞ் சதவீத விறக்கம் ?/(R?-r) எனக் காட்டுக.
7. ஒரு குழிவான ஆடியின் மேற்பரப்பிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் a என்னுந் தூரமும் அதன் விம்பத்தின் 3' என்னுந் தூரமும்
l み=5○ மாறிலி என்னுந் தொடர்பால் இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. அப்புள்ளி அதன் விம்பம் என்னும் இவற்றின் ஒத்த சிற்றிடப் பெயர்ச்சிகள் -(ala") என்னும் விகிதத்தில் இருக்குமென நிறுவுக.

சிறு மாற்றங்கள் 203
8. W, W என்பன முறையே ஒரு பொருள் காற்றிலிருக்கும் போதுள்ள நிறையையும் அப்பொருள் நீரிலிருக்கும் போதுள்ள நிறையை யுங் குறித்தால், அப்பொருளின் தற்புவியீர்ப்பு 8= W/(W- W) என்னுஞ் சூத்திரத்தாலே துணியப்படும். நிறுக்கும்போது ஒவ்வொரு முறையும் 1 சதவீத வழு புணர்த்தப்படின், 8 என்பது தாக்கப்படாதெனக் காட்டுக ; W இல் 1 சதவீத வழுவும் W இல் 2 சதவீத வழுவும் புணர்த்தப் படின், 8 இற் சதவீத வழு W/(W- W) புணர்த்தப்படுமென்றுங் காட்டுக.
9. தந்த ஒரு வாயுத்திணிவின் நிலைமாற்றம் வெப்ப நயநட்டங்களின்றி நடைபெறுமாயின், அமுக்கம் p உம் கனவளவு 0 உம் p0"= ஒரு மாறிலி என்றும் ஒரு தொடர்பால் இணைக்கப்படும் ; இங்கு y என்பது ஒரு வரையறுத்த மாறிலி. கனவளவு ஒரு சிறு சதவீதம் 2 இனற் குறைக்கப்பட்டால், அமுக்கம் y0 சதவீதத்தாற் கூட்டப்படும் என நிறுவுக.
10. உலோகக் கோல் ஒன்றின் குறுக்கு வெட்டுமுகம் a என்னும் பரப்புள்ள ஒரு சதுரம் ; அதன் நீளம் . அந்நீளம் 3 சதவீதம் என்னும் ஒரு சிற்றளவால் விரிக்கப்படுகின்றது. உலோகத்தின் கனவள வில் யாதொரு மாற்றமும் இல்லையெனக் கொண்டு a இலுள்ள சதவீத விறக்கத்தைக் காண்க. அதே நிலைமையில், அக்கோலின் முழு மேற் பரப்பிலுஞ் சதவீத மாற்றம் யாது ?
11. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமும் வேறெரு பக்கமும் அளக்கப்பட, அவை முறையே 18 அங்குலமும் 10 அங்குலமுமெனக் காணப்பட்டன. ஒவ்வோர் அளவீடும் +3 சதவீத வழுவிற்கு உட்படு கின்றது. இவ்வளவீடுகளிலிருந்து கணிக்கப்பட்டபடி மீந்திருக்கும் பக்கத் தின் நீளம் ஏறத்தாழ 57 சதவீத வழுவிற்கு உட்படுமென நிறுவுக.
12. ஒரு கூம்பகத்தின் கனவளவு அதன் அடியின் பரப்பை அதன் உயரத்தாற் பெருக்க வருவதன் மூன்றிலொரு பங்கு. ஒரு நான்முகியின் நான்கு முகங்களும் பக்கம் a ஆயுள்ள சமபக்க முக்கோணங்களாயின் நீளம் a இல் 2 சதவீதம் என்னும் ஒரு சிற்றேற்றம் அந்நான்முகியின் கனவளவில் 30 சதவீதம் என்னும் ஓர் ஏற்றத்தையும் அதன் மேற் பரப்பின் பரப்பில் 20 சதவீதம் என்னும் ஓர் ஏற்றத்தையும் விளைவிக்கு மெனக் காட்டுக.
13. ஓர் உலோகத்தினது தந்த ஒரு கனவளவு வெளியாரை 2 அடி யாயுந் தடிப்பு 3 அங்குலமாயுமுள்ள ஒரு குழிக்கோளமாக ஆக்கப் படுகின்றது. ஆரையின் அளவீட்டில் + 1 சதவீத வழு புணர்த்தப் படின், அதன் விளைவாகத் தடிப்பின் பெறுமானக் கணிப்பில் என்ன சதவீத வழு புணர்த்தப்படும் ?

Page 109
204 சிறு மாற்றங்கள்
14. மெல்லிய ஒரு வில்லையின் தலைமைக் குவியங்களிலிருந்து ஒரு புள்ளியினது தூரம் 2 உம் அதன் பிம்பத்தினது தூரம் r உம் 20 = மாறிலி என்னுந் தொடர்பாலே இணைக்கப்படுகின்றன. 2 ஆனது ஒரு சிற்றேற்றத்தைப் பெற, 2 ஆனது சம சதவீதத்தாற் குறைக்கப் படுமெனக் காட்டுக.
15. தன் விளிம்புகள் a, b, c என்னும் நீளங்களுள்ள ஒரு செவ்வகத திண்மத்தின் மூலைகள் R என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு நிலையான கோளத்திற் கிடக்கின்றது. விளிம்புகள் a, b என்னும் இரண்டும் 1 சதவீத ஏற்றங்களைப் பெற்றல், அதன் விளைவாகச் 0 இல் வருங் குறைவு (a2+b2)/02 சதவீத மென்றும், அத்திண்மத்தின் கனவளவில் வரும் ஒத்த வற்றம் (3-48?/c) சதவீதமென்றும் நிறுவுக.
16. ஒரு திறந்த பெட்டியின் அடிப் பக்கம் d உம் ஆழம் C உம் உள்ள ஒரு சதுரம். தடுப்புப் புறக்கணிக்கத்தக்கது; எனினும் அப்பெட் டியை ஆக்குதற்கு வழங்கிய திரவியத்தின் முழுப் பரப்பும் ஒரு தந்த அளவு கொண்டது. அளவீடு a ஆனது 2 சதவீதச் சிறுவழுவிற்கு உட்பட்டதாயின், c என்பது -0(1 + a/20) சதவீத வழுவிற்கு உட்பட்ட தாகுமென நிறுவுக.
17. ஒருசீர் உலோகக் கோளம் ஒன்றின் வெப்பநிலை 3 பாகையால் உயர்த்தப்பட அதன் விட்டம் 20 சதவீதத்தாற் கூடுதலுறுகின்றதென்பது காணப்படுகின்றது. அக்கோளத்தின் கனவளவும் மேற்பரப்பும் ஒவ்வொரு பாகை வெப்பநிலை எற்றத்தாலும் எச்சதவீதங்களாற் கூடுதலுறும் ?
18. ஓர் உலோகத்தின் தந்த ஒர் அளவு ஒரு முனையிலே திறந்த தாயுள்ள ஒரு வட்டவுருளையாக ஆக்கப்படுகின்றது. வெளியளவீடுக்ள் உயரம் 12 அங்குலமும் அடியாரை 6 அங்குலமுமாகும் ; அவ்வுருளை 1 அங்குல ஒரு சீர்த்தடிப்புள்ளது. அவ்வுருளையின் உயரம் ஓர் அங்குலத் தின் 2 என்னும் ஒரு சிறு பின்னத்தாற் கூட்டப்பட ஆரை மாருதிருந்தால் ஒடிப்பு 110/135 அங்குலத்தாற் குறைக்கப்பட வேண்டுமென நிறுவுக.
19. செவ்வகவுலோகக்கட்டி ஒன்றின் விளிம்புகள் பிழையாக a, b, c அங். என அளக்கப்பட்டுள்ளன ; அவ்வளவீடுகளில் 1, 2, 15 என்னுஞ் சதவீத வழுக்கள் புணர்த்தப்பட்டுள்ளன. அதன் கனவளவின் அள வீட்டில் என்ன சதவீத வழு உண்டு ?
20. வெளி விளிம்பு 12 அங்குலமும் ஒரு சீர்த்தடிப்பு 2 அங்குலமும் உள்ள ஒரு கனவடிவப் பெட்டி தந்த ஒர் உலோகக் கனவளவிலிருந்து ஆக்கப்பட வேண்டும். அதன் விளிம்பினது நீளத்தில் 2 சத வீதச் சிறு வழு புணர்த்தப்படின், அதன் விள்ைவாகத் தடிப்பில் என்ன சதவீத வழு ஆக்கப்படும்?

2.12
233
2.4
252
2.59
2.61
2.621
(i)
(ν)
1.
9 (v) - エ+
(vii) 2aa-b; (viii) ---,
(xi) 4ac” -
(xii)
(ix) ao
விடைகள்
- 1, ; - l ; 7. 2. 0; ; ; 2. (a+3ab +b) la (a+b); 4abs(a-b). 4. q°bኳ.
(i) 0 ; (ii) 2 ; (iii) oo. 2. (i) cla; (ii) asc. — i. 4. »*f. 5. 2. 8. — 4. 7. (i) f5; (ii) —4.
နွံ. 9. – 1. 10. –2. 14. ထ.
3a;+ 3ac8a -- (6a) ; 8a -- 48a; ; 2 (a -1)--8a. - 1 Ια (α-+-δα) ; - (4α -+- 2 δα, το (α’ -+-δα) ,
– l/(az – 1)(a፧+ öa} – l). 1 : - 2(ar - 1) - ઈa . b
- αία +δα) . (α - 1)2(α-+δα - 1): ' ' αία + δα)
42 (ii) - 1/(ar — l)?. (iii) 3ac2 -+- 1۰ (1ν)
- a/(aa -- b)?. (vi) - 3/ato.
3. l. 2. 4
(i) 6a+, 6a; (ii) 6х — 2; (iii) 8(am -2)" ;
4 ... I 志ーエ ()ーエサa-a; ("ー石;
at 3 tbaa 3。墨,3。_3__8
-* , wH- ... ****-- " Χ naa"ー"-ー辛一。: -- 2. 2å 23' ( ) az* +J "
(i) , Ꮾ -- Ꮾac - 27az* . (ii) - 20ac +- 27ap۶ - 30ar4.
(iii) 4ato -- 2ac. )iv) 6 (ac5 -+- a2م(.
(i) -- 11(2az -+- 1)* , (ii) -- (2ac4 -- 3a3 -4ac)/(ac8 -+- 1).
(iii) 2 (a? — 1) / (ato + a + 1)”. (iv) (ad — bc)/(cz+d)*.

Page 110
206
(v)
(νii)
விடைகள்
— a/ (aa -- b) *. )vi) - 3a2م/)a2(1 - 3 م. -4b(aao-c)/(aao-2ba --c)°.
(viii) z (aro + 3a + 2)/(ao + 1)”.
(ix)
2a (a -1)(a + 3) | (a + 1).
.8;(2 +۔ i) 20a(2a 2 + 1) 4; 12 (41)2; 36a;2 (3a3) 2.633
- 2 - 6 - 10
(2a+1)2 (2-1) (2 - 1)
(iii) 8 (202: - Ꮽ) (5a: -#- 1)* ; 5 (2az - 1) (2at -+- 8)*. .(1 -+- ac4 - 1)4 (ac2 - 1) (11ac2) م2a ; (1 -+- 3 مiv) ۰ 6ag (ac8 -+-1) 8 (7a)
- (2ac*+-4ac +- 3) - 2 (ac - 1) (4ai* - 6 ac - 1)
(vi)
4(1 -+ـ 3 م2a) 4 (1 - ب)
– a.. (az –2). (az + l)*(2፰ – T)
(νii)
(viii)
(1 - قبه) (1 + قیه)/ فیه
(a - 1)4 (2a-1)
2a – 1 - 2a: -- a
24V(a)*+ ac + 1) V(1 + 2 + 1) ”
- 1 - 1
2.64 1. (i) 12a: ; (ii) = -2ac/(ac2 + 1)2;
(iii)
— 2a/(aa -- b) *.
ヤ/2+ l 下v5丁 2αα, 2α(α -+-2), 4αα (α’ -+-3) και
- 2 -2 - 4a ααδ αία Η-2), α(α’ + 3)
- 1 - 4 - ། (1十a)°”(1十a)°”(1十a)°”
3 ac* · ” صلى الله عليه وسلم (قیہ –1)2 ’لج (2ھ - 1) ’3 (2 - 1)2 6(2z十1)"(3rー2)(5zー1)。(2z+1)(3zー2)*(30z+1); 6(2a -- 1) (a - 3)/(3a - 2),
-6(84 - 2) (4 — 3)/(2໕ +1)*;

விடிைகள் 20
(vii) (2-3)|2 V{(a --l) (a -- 2)}, i
112-V (a+1)(a + 2)}; (viii) 3a? — 12a -- 11 ; , , , (ix) i (ar? — 6a -- 7)/(ac - 3)* ;
(x) {(m + n)at -- ma -- mb} (ac-+-a)“ (ar -- b)”; (xi) {(m - n)ac — ma -- mb} (ac + a)”1/(ac + b)”*1; (xii) mna" - (a" + a“)"-1,
{a"(1-mn)+a"3/(a"+a")"+1.
3.11
2. (i) - 2 ; (ii) — 2a ; (iii) — Il (iv) 0.
3.424
1. உயர்வு0, இழிவு - தீ. 2. உயர்வு a=2 -va இழிவு 3=2 + 5. 1; 1 ; இழிவு a =*இல், 7. - ஓர் இரட்டைமூலம். 8. a=, a=2என்பன திரும்பற்புள்ளிகள் ; a = -1 என்பது
வளைவு மாற்றப் புள்ளி. 10. ஐ="5இலேதொடும்; a = -3இல்வெட்டும். 12. a=0இல் உயர்வு,  ை=2 இல் இழிவு.
14. உயர்வு 3 -2V2, இழிவு 3+2V2. 15. 2,2,2,10/3 என்பன மூலங்கள்.
3.531
1. 3,0, செக்கனுக்கு -9 அடி, 2 -೫o-Lu) 4 அடியும்
எதிர்த்திசையில் ; - 6. 2, 6 (?-5t+ 6), 6(2-5). முதலிரண்டு செக்கனில் 28 அடி சென்று மூன்றஞ் செக்கனில் 1 அடி திரும்பி வந்து நாலாஞ் செக்கனில் 5 அடி முன்செல்கின்றது. செக்கனுக்கு -15 அடி.
8. 2(2 - 7t + 8Ꮡ*) ; - 2(Ꭲ -- Ꮾt). 4. செக்.2இற்கு 1 அடி ; செக்.2-18அடி.
3.65
1. 2=4, -3. 2. இழிவு=ை -2; வளைவுமாற்றப்
புள்ளி a = +1. 3. இழிவுன= 0, உயர்வு 2 = +1 ; வளைவுமாற்றப் புள்ளி
メ ac = -4-1/-V3. :

Page 111
208
விடைகள்
உயர்வு 2=2, இழிவு a=1,3 ; வளைவுமாற்றப் புள்ளி
z=2土1/V3。
. உயர்வு =ை0 இழிவு = + 1 ; வளைவுமாற்றப் புள்ளி =ை +1/V3;
+1/V8 என்பனவற்றிற்கிடையில்
6. a=ー21, b=9 c=1. 7. உயர்வு 2 = 3, இழிவு a = 2; வளைவுமாற்றப் புள்ளி a = -1,
(4 V10)/6. 8. 1 வளைவுமாற்றப் புள்ளி, 2 உயர்வு, 3 இழிவு. 9. வளைவுமாற்றப் புள்ளிகள். 10。最,器,器,一3. 11。器,器,器,一2。 18. 2 = Ꭴ, +- Ꮙ8. 14. உயர்வு a = -1 + V2, இழிவு 2 = -1 - V2; மூன்று.
15.
16.
4.15.
இழிவு 2 = 0, வளைவுமாற்றப்புள்ளி a = +1/V3. உயர்வு a=1, இழிவு a = -1. 17. -1, 7. (i) 3 சைன்லேகோசைaேகோசை22. (ii) சீகa (Gகல-+தான்லே). (i) 2 சைன் a|(1 + கோசைa). (iv) m கோசை maகோசை ma-m சைன் mைைசன் 72.
(v) ma"-1 சைன் ma+ma" கோசைma. (vi) 4 Goa;org TGö7 a. (vii) m Gasff60F 2 ma. (viii) Gasff60)goa. (ix) - 3 கோசே aேகோதா 0. (x) - 3 (3.5/15 IT 32 கோசே 32. (xi) gasPac (1 + 2ac g5T6ör ac). (xi) a* தான்(ை3 தான் a+2a சிக )ே.
4.23. (i) - 1/-V (1 - ac*). (ii) - சைன் a|(1+ கோசைaே).
(iii) — 1. )iv) 2/(acہ (1 - قv/(ac2 -2 س(.
(v) 2/ (1 —+- ac*). (vi) - 2 (1 -- aco). .(V/ (2 - a8). (viii) 1/(1 -+-a2ہ/Va2ہ 3-- (vii)
(ix) 2a g5sTGÖT 1a -- 1. (x) - 2a Gangosa - V (1-3). (xi) 若 -- : (xi) கோதா”a- ਸੰ (xiii) 1|V(a - co). (xiv) abf(aPr?--b?).
.(V/(b2 - a*)/(b-+-a GasIT60)gr acہ (xv) -1/۷/(2 da0-ac2). (Xvi)
(xvii) -3/(2a-2a. -- 5). (xviii) V(b-a)/(b+a 60-gait ar)

விடைகள் 209
(xix) 1/2v{(a -æ)(a - b)} (xx) v(ac-b*)/(aæ'+2 bæ+ c).
4.36. (i) e”(a +33’). (ii) eo (i. -) (iii) 点 -- a5 -+- قنac4(. (iv) 2.ee***** (v) 2 ab eo/(a — be*)?. (v) e* ஒக2.
(vii) e°'/V(1-*) (vii) e" (a cos b + b Ganese ba).
(ix) e*(aகோசைba-bசைன்ba), (x) 2e * m67 a தான் a கே 2. (xi) geeODSF6ö7 2ac. (xii) 960,96öt 2 a. (xi) 4 அகோசைறே. (xiv) g/6°5 2a.
(XV) அசீக .ை (xwi) - அசீக 2. 4.47. (i) 1+log 2. (ii) 2 Gasri@s 2æ. (ii) 2 கேர்தா .ை (iv) - அதான் .ை (v) 1/(1+2)தான் "12. (vi) - 11a(a + 1). (vii) - 2 al(1 - ac'). (wi) மர அகோசை 2 + 3 அதான் 2.
(iΧ) 2T/(1+z) (x) 2(a -1)/(a -- a-- 1). (xi) l/at log at. )xii( - 4 هیچ + 1) * (ایچ-1)/3یه(*. (xiii) 1 v-1) (xiv) z *'t'(1 + 2 log a).
零 2 a. (xv) (ac2 +- 1) {log (+1)+ )
கோசை
(xvi) (60D3F6ö7at) {கோசை2 கோதாa-சைன் a log சைன்:}.
(xvii) 2a, a loga. (xviii) (சைன்"12)" {log சைன்"12+a|சைன்"12 V(1-)}.
கேது -
(xix) (5 T667a) 'சிக3 {தான்றே oர தான் a + சிக22}.
(xx) தான்? {சிகமே log2+(57612) le}. 4.52. 1. 1//(a + a). . 2. a/(a-a). 3. - al(a - a)
t - 1 --۔* a •. - عة 1 - من 4. (i) அகோசை"12+ /)1 م فيه(" (ii) 2ய அதான் 高十°