கவனிக்க: இந்த மின்னூலைத் தனிப்பட்ட வாசிப்பு, உசாத்துணைத் தேவைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தலாம். வேறு பயன்பாடுகளுக்கு ஆசிரியரின்/பதிப்புரிமையாளரின் அனுமதி பெறப்பட வேண்டும்.
இது கூகிள் எழுத்துணரியால் தானியக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட கோப்பு. இந்த மின்னூல் மெய்ப்புப் பார்க்கப்படவில்லை.
இந்தப் படைப்பின் நூலகப் பக்கத்தினை பார்வையிட பின்வரும் இணைப்புக்குச் செல்லவும்: தூயகணித மூலகங்கள்

Page 1

sae
%

Page 2


Page 3

தூயகணித மூலகங்கள்
நூலாக்கம் இலங்கைப் பல்கலைக்கழகத்துக் கணிதவுபபேராசிரியர் சி. நடராசர், M.A., B.Sc.
தமிழாக்கம் கலாநிதி வ. பொன்னையா, Ph.D.
1959
இலங்கை அரசகரும மொழித்திணைக்கள வெளியீட்டுப் பிரிவு
இலங்கை அரசாங்க அச்சகத்திற் பதிப்பிக்கப்பட்டது

Page 4

தோற்றுவாய்
1. இந்நூல், முக்கியமாகச் சாதாரண நிலை, உயர்நிலைக் கல்விப்பொதுத் தராதரபத்திர பரீட்சைகளுக்கும் இலங்கைப் பல்கலைக் கழகத்தொடக்கப் பரீட்சைக்கும் பயிலும் மாணவர்களுக்குப் பயன்படுமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது. இம்மாணவருக்கெனத் தூய கணிதத்தில் வேருண நூலொன்று இருக்க வேண்டுமென்பது நெடுங்காலமாக உணரப்பட்டுள்ளது. இந்நூலானது அத்தேவையைத் தீர்க்குமென எதிர்பார்க்கப்படுகின்றது.
2. இதனைப் படிப்பவருக்குத் தொடக்கத் தூய கணிதத்தில், பொதுத் தராதரப்பரீட்சையின் சாதாரண நிலையளவிற்கு அறிவு இருக்குமென எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. அவர், திரிகோண கணிதம், வகுத்தற் கேத்திர கணிதம், நுண்கணிதம், அல்லது திண்ம கேத்திரகணிதம் ஆகியவற்றை அறிந்திருக்க வேண்டுமென எதிர்பார்க்கப்படவில்லை. இப்பாடங்கள் முதற் றத்துவங்களிலிருந்தே விரித்தெழுதப்பட்டனவாதலின், கற்கத் தொடங்கு பவருக்கு இம்முறையை விளங்குவதில் கடினம் யாதுமிராது.
3. தூய கணிதத்தின் சாரம் தருக்கமுறைப் பகுத்தறிவாராய்ச்சியாகும். அடிப்படையான எடுகோள்கள் தெளிவாகக் கூறப்படல் வேண்டும். இவ் வெடுகோள்களையும் தருக்கவியலின் சாதாரண விதிகளையும் பயன்படுத்தி, உள்ளுணர்வைச் சிறிதுங் கோராது இக்கொள்கையானது விருத்தியாக்கப்படல் வேண்டும். இந்தப் பாடத்தைத் தொடங்குபவர்களுக்குப் புதிதாக அறி வைப் புகுத்துதலில் முற்றிலும் சித்திபெறுவது கடினமாயிருப்பினும் அந்த எண்ணத்தைக் கடைப்பிடிப்பதற்குத் தீவிரமான முயற்சி எடுக்கப் பட்டுள்ளது.
4. நுண்கணிதத்திலுள்ள அனேகமான மூலாதார நூல்கள் இப்பாடத் தைக் கேத்திர கணிதமுறையில் புகுத்துகின்றன. வகையீட்டுக் குணகத்தின் வரைவிலக்கணம் ஒரு வளைகோட்டினது தொடு கோட்டினல் வரையறுக்கப் பட்டுள்ளது. உயர் விழிவுக் கொள்கையும் கேத்திர கணிதக் கருத்துக்களி லிருந்து தோன்றிற்று. இது போதியவளவு திருத்திகரமானதல்ல. இது ஒரு வரைவிலக்கணம், அல்லது விளக்கம் தெரிந்த கருத்து என்பனவற்றி லிருந்து கொடுக்கப்படல் வேண்டும். நுண்கணிதத்தைப் படிக்கத் தொடங் கும் ஒருவருக்கு வட்டமொன்றிற்குரிய தொடுகோட்டைப்பற்றிச் சிறிதளவு தெரிந்திருந்த போதிலும் வளைகோடொன்றின் தொடுகோட்டைப் பற்றி ஒன்றும் தெரியாது. மேலும், நுண்கணிதத்தின் அத்திவாரம் முற்றிலும் எண்கணிதத்திற்குரியவைகளாகும். நுண்கணிதத்தின் அமைப்பு முற் றிலும் எண்களினது தொடக்கப்பண்புகளையே அடிப்படையாகக் கொண்டது.
2—J. N. B 86342 (6/57).

Page 5
இது எல்லா விஞ்ஞானக் கிளைகளிலும் எடுத்தாளப்படுகின்றது போல கேத்திரகணிதத்திற் பிரயோகிக்கப்பட்ட போதிலும் இக்கொள்கை கேத்திர கணிதத்தின் எக்கருத்திலும் தங்கியிருக்கவில்லை. நுண்கணிதத் தேற்றங் களை எடுத்துக்காட்டுவதற்கு கேத்திர கணிதக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்த லாம் ; ஆனல் அவற்றை நிறுவுவதற்கு இக்கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவ தில்லை.
5. இந்த நூலின் கையெழுத்துப்பிரதி ஆங்கிலத்தில் எழுதப்பட்டுப்
பின்பு தமிழில் மொழி பெயர்க்கப்பட்டது. ஆக்கியோனல், அல்லது மொழி பெயர்ப்பாளனல் விடப்பட்டிருக்கக்கூடிய பிழைகளும் அச்சுப் பிழைகளும் இருக்கக்கூடும். இவ்வாருன பிழைகளிருப்பின் அவற்றை எடுத்துக்காட்டுவோருக்கு நூலாசிரியர் மிகவும் நன்றியுள்ளவராவார்.
சி. நடராசர்.
iv

அத்தியாயம் அத்தியாயம் அத்தியாயம் அத்தியாயம்
அத்தியாயம்
அத்தியாயம்
அத்தியாயம் 1 அத்தியாயம் 2 அத்தியாயம் 3 அத்தியாயம் 4 அத்தியாயம் 5 அத்தியாயம் ே
அத்தியாயம்
அத்தியாயம் 1 அத்தியாயம் 2 அத்தியாயம் 3 அத்தியாயம் 4 அத்தியாயம் 6
அத்தியாயம்
அத்தியாயம் 2
அத்தியாயம் 3
அத்தியாயம் 4
அத்தியாயம் 1
விடைகள்
தூயகணித மூலகங்கள்
t. Iakasih
திரிகோணகணிதம்
17
22
3.
53
64
78
ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
99
O
22
14.
66
15
82
நுண்கணிதம்
22
239
260
XA MA 277
அட்சரகணிதம்
316
33
4 di 8 343
திண்மக் கேத்திரகணிதம்
- KO a 33
» : 409

Page 6

தூயகணித மூலகங்கள்
முன்னுரை
கணிதத்தின் அடிப்படையெண்ணக்கரு எண்ணுகும். தொடக்க வெண்கள் வளக்கின் படி தொடர் வரிசையிற் பெயரிடப்பட்டு எழுதப்பட்ட 1,2,3,4 . . . . என்னு நேர் முழுவெண்களாகும். அத்தொடரில் 1 அல்லாத யாதேனும் பிறவெண் அதற்கு முன்னதாகவுள்ள எவ்வெண்ணிலும் பெரிதெனப் படும். இவ்வெண்கள் எண்ணுதற்கு வழங்கப்படும். ஒரு குறித்த கூட்டத் திலுள்ள பொருள்களை நாம் எண்ண விரும்பினல், அப்பொருள்களுக்குந் திருத்தமான வரிசையிலே தேரப்பட்ட நேர் முழு வெண்களைக் குறிக்குங் குறியீடுகளுக்கும் இடையே ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பு என்பதை நிலைநிறுத்து கின்ருேம். ஒரு பொருளை 1 என்னும் முதலாம் முழுவெண்ணுேடும், ஒரு பொருளை 2 என்னு முழுவெண்ணுேடும், ஒரு பொருளை 3 என்னு முழு வெண்ணுேடும் இவ்வாறு எல்லாப் பொருள்களையும் ஒழிக்கும் வரைக்கும் இணைக்கின்றேம். தேரப்பட்ட ஈற்று முழுவெண் அக்கூட்டத்தி லுள்ள பொருள்களினுடைய தொகையைக் குறிக்கின்றதெனப்படும்.
கூட்டல்.-இரு முழுவெண்களின் கூட்டலானது அவ்விரு முழுவெண் களேக் குறிக்கின்ற பொருள்களுடைய இரு கூட்டங்கள் பற்றி வரைவிலக் கணங் கூறப்படுகின்றது. அவ்விரு கூட்டங்களும் ஒரு கூட்டமாகும்படி சேர்க்கப்படுகின்றன; அப்புதிய கூட்டத்தாற் குறிக்கப்படும் முழு வெண் வேறுவேருன அவ்விரு கூட்டங்களாற் குறிக்கப்படும் முழு வெண்களின் கூட்டுத்தொகை எனப்படும். m, n என்னும் இரு முழு வெண்களின் கூட்டுத் தொகை m + n என்பதனற் குறிக்கப்படும் ; வரை விலக்கணத் தின்படி m + 7 = n + m என்பது தெளிவு.
பெருக்கல்- பெருக்கல் என்பது தொடர்ந்த கூட்டல் என வரைவிலக் கணங் கூறப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொன்றும் m என்னு முழுவெண்ணைக் குறிக்கின்ற n பொருட் கூட்டங்களை ஒரு கூட்டமாகும்படி ஒருங்குவைத் தால், அப்புதிய கூட்டத்தாற் குறிக்கப்படும் முழு வெண் n, m என்பனவற்றின் பெருக்கம் எனப்படும் ; அது 70 x m அல்லது m என எழுதப்படும்.
SL S LS SS SSL S SLSL SLSS SS SSL SSL SS S SS S SS LSSL S L SLSSSS S LLLL S S L0L S LL S SSSSLS SS0S SL S S SLLLSLS SS 0S S LLLL S
is . . . s is . . . . . . . . a a 0 a a
m பொருள்களுடைய 10 கூட்டங்கள் 7 கிடை கோடுகளுள் ஒவ்வொன் றின்மீதும் m குத்துக்களாற் குறிக்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க : ஆயின், ஒவ்வொன்றும் 70 குத்துக்களைக் கொள்ளுகின்ற m நிலைக்குத்

Page 7
2 தூயகணித மூலகங்கள்
துக்கோடுகளையும் பெறுகின்றேம். எனின், m பொருள்களுடைய 7% கூட்டங்களானவை m பொருள்களுடைய m கூட்டங்கள் குறிக்கும் முழு வெண்ணையே குறிக்கும்.
ஆகவே, நாம் பெறுவது m x 7 = 7 x m
m, n, p என்பன நேர்முழுவெண்களாயின், மேற்காணு மூன்று விதிகளுங் கூட்டல் பெருக்கல்களினுடைய வரைவிலக்கணங்களிலிருந்து நேரே பெறப்படும்.
(1) தொகுப்புவிதி.
(m十n)十p=(n+p)十m=(p+m)十n
(2) பங்கீட்டு விதி.
т(т —+— р) = тт. -- тр
(3) மாற்றுவிதி. y
т х (т x p) = m x (р ж т) = р x (т x т) p > q எனின், mற> mg என்பதும் பெறப்படும்.
வகுத்தல்.-m, n என்பன நேர் முழு வெண்களாயிருக்க m = 7 x p ஆகும்படி p என்னும் வேறெரு முழு வெண் காணப்படின், m ஆனது 1 ஆல் வகுபடுமென்றும், அவ்வாறு வகுக்க வரும் ஈவு p ஆகுமென்றுங் கூறுவோம். m என்பது n இன் முழுவெண் மடங்கு என்றும் 16 என்பது m இன் காரணிகளுள் ஒன்று என்றுங் கூறப்படும்.
m என்பதை m ஆல் வகுத்தல் m பொருள்களின் ஒரு கூட்டத்தை ஒவ்வொன்றும் m பொருள்கள் கொள்ளும் ஒரு தொகை கூட்டங்களாகப் பிரித்தலாற் குறிக்கப்படக்கூடும்.
பின்னவெண்கள்.
m, n என்பன முழு வெண்களாயிருக்க m = 7 x p என்னுந் தொடர்பைத் தீர்க்கத்தக்க ற என்னும் முழு வெண் யாதொன்றுங் காணப்படாவாயின் m என்பது m ஆல் வகுபடாதெனக் கூறுகிருேம். செய்முறைப் பிரயோகங்களில் இத்தகைய நிலைமைகளிலும் யாதுமொரு வகுத்தலினத்தைப்ப்ற்றி நாம் சிந்திக்கவேண்டும். 9 அப்பிட் பழங்களை 8 பிள்ளைகளுக்குச் சம பங்குகளாகப் பிரித்துக் கொடுக்க விரும்புகின் ருேம் எனக் கொள்க. ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் ஒவ்வொரு முழுப் பழத்தைக் கொடுத்து விட்டு, மீதியாயுள்ள ஒரு பழத்தை 8 சம பங்கு களாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் ஒரு பங்கைக் கொடுக்கலாம்.

முன்னுரை 3
ஒரு முழுப்பழம் 1 என்னும் எண்ணைக் குறித்தால், ஒவ்வொரு பங்கும் * என்னும் பின்னவெண்ணைக் குறிக்கின்றதெனக் கூறுகின்ருேம். ஆயின், ஒவ்வொரு பிள்ளையும் 1 பழமும் * பழமும் பெறும். ஒவ் வொரு பழத்தையும் 8 பங்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் 9 பங்குகளைக் கொடுப்பதாலும் பங்கீடு செய்யப்படலாம். இவ்வண்ணம் நாம் பெறுவது 1 + 4 = 9 x * ; இது 14 = 3 என எழுதப்படும்.
இது பின்னவெண்ணின் வரைவிலக்கணத்திற்கு வழிகாட்டுகின்றது. m, n என்பன இரு நேர்முழு வெண்களாகும். ஒவ்வொன்றும் 1 என்னு முழுவெண்ணைக் குறிக்கும் ஒத்த பொருட் கூட்டமொன்றை வைத்திருக்கின்றேமெனக் கொள்க. ஒவ்வொரு பொருளும் 70 சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அத்தகைப் பங்குகளுள் m என்பன ஒருங்கு எடுக்கப்பட என்னும் பின்ன வெண்ணைக் குறிக்குமெனப்படும். இனி, p என்பது யாதுமொரு நேர்முழு வெண்ணுகுக ; ஒவ்வொரு பொருளும் mp பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படுக ; அவற்றுள் mற பங்கு கள் எடுக்கப்படுக. ஆயின், இந்த mp பங்குகள் ஒருங்கு சேர்ந்து முன் சிந்திக்கப்பட்ட m பங்குகளுக்குச் சமமாகும். ஆகவே, நாம் பெறு
வது m mp. :
пр
m என்பது n இன் யாதுமொரு மடங்காயின் (m = bm என்க; இங்கு k என்பது ஒரு முழு வெண்), முன் சிந்திக்கப்பட்ட m பங்கு
களின் கூட்டம் b முழுப் பொருள்களுக்குச் சமமாகும் ; ஆகவே, என்னும் பின்னம் இந்நிலைமையில் ஒரு முழு வெண்ணுகும். சிறப்பு வகையில், =n
m என்பது n இன் மடங்கல்லாததாய் 74 இலும் பெரிதாய் இருந் தால், நாம் பெறுவது m = n + 8 , இங்கு, 7, 8 என்பன நேர் முழு வெண்கள்; 8 < 0 , n, பங்குகளின் கூட்டம் , என்னும் எண்ணைக் குறிக்கும் பங்குக் கூட்டத்தோடு r முழுப் பொருள்களுக்குச் சமமாகும்.
ሃገኔ +`8 ___
8 .. = r +~ --- .
?ጌ, ገ0
m-gm ஆயும் o- "ஆயும் இருக்கின்றமையால்,
gт
70 g. g

Page 8
4 துயகணித மூலகங்கள்
gm = pm ஆயினுற்றன், . என்னும் இரு பின்னங்கள் சமமாகும். அன்றியும் mg>pm ஆயின், >3.
ra pه و mg 

Page 10
8. துரியகணித மூலகங்கள்
இவ்வரைவிலக்கணங்களிலிருந்து பின்வருஞ் சமனிலைகளைப் பெறுகின் (3ცm}up :—-
() a, b என்பன a >6 ஆகவுள்ள இருநேரெண்களாயின், -வ<-b. (i) a, b என்பன a > b ஆகவுள்ள இரு நேரெண்களாய் அல்லது எதிரெண்களாயிருக்க, k என்பது யாதுமொரு நேரெண்ணுயின், ka>kம், அன்றி b என்பது எதிரெண்ணுயின், ba 60. (iv) a, b, c, d, என்பன a>ம் ஆயும் 0>d ஆயுமுள்ள நேரெண்களாய்
அல்லது எதிரெண்களாய் இருந்தால், a + c> b + d, (w) a, b, c, d என்பன a > ம் ஆயும் C b – d.
பூச்சியம் என்னும் எண்
O
ஒரு பெட்டிக்குள் 5 ஒத்த பொருள்கள் இருக்கின்றன என்றும் அந்த 5 பொருள்களையும் அப்பெட்டியிலிருந்து யாராயினும் ஒருவர் நீக்குகிருர் என்றுங் கொள்க. ஆயின், அப்பெட்டியிலே மீந்துள்ள பொருள்களி னுடைய தொகை பூச்சியம் எனக் கூறுவதும் 5-5=0 என எழுதுவதும் இசைவாகும். இப்பொழுது நான்கு பொருள்கள் அப்பெட்டியிற்குள் இடப்படின், அப்பெட்டியிற்குள்ளே உள்ள பொருள்களுடயை தொகை 4 ஆகும் ; ஆயின், 0+4 = 4 என நாம் எழுதலாம். இனி, 3 வெறும் பெட்டிகள் எங்களிடம் உண்டெனின், அம்மூன்று பெட்டிகளுக்கும் உள்ளே கிடக்கும் பொருள்களுடைய தொகை பூச்சியமாகும் ; ஆயின், நாம் பெறுவது 3X0=0 என்பது. இவ்வண்ணமாகப் பூச்சியம் என்னும் எண்ணுக்குரிய பின்வருஞ் செய்கை விதிகளைத் தருகின்ருேம்.
a என்பது நேரெணெதிரெண்களுள் ஒன்றயும் முழு வெண் பின்ன வெண்களுக்குள் ஒன்றயுமுள்ள யாதும் ஒரெண்ணுயின்,
(i) aーa = o, (ii) a -- o = a, (iii) a X o = o.
a, b என்பன a x b = 0 ஆயுள்ள இரண்டு எண்களாயின், அவற் றுள் ஒன்ருயினும் பூச்சியமாதல் வேண்டும் என்பது இதிலிருந்து நேரே பெறப்படும்.

முன்னுரை 9
மேலே தந்த (ii) விதியோடு இசைவாய் என்பதற்குக் கருத்துக்
கொடுத்தல் இயலாதாகையால், பூச்சியத்தால் வகுத்தல் இங்கு சிந்திக்கப்
படவில்லை.
இதுவரைக்குஞ் சிந்திக்கப்பட்ட எண்கள் விகிதமுறுமெண்கள் எனப்
படும். அவற்றை m உம் 10 உம் முழுவெண்களாயும் ? அதனேடு
நேரெண்ணுயுமுள்ள என்னும் வடிவத்திற் கூறலாம். முழு வெண் m இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்களுக்கு நேரெண்களும் எதிர்ப்பெறு மானங்களுக்கு எதிரெண்களும் பெறப்படும். n என்னும் எண் எதி
ராயும் -p என்பதற்குச் சமமாயும் இருந்தால், p என்பது அவ்வெண் ணின் எண் பெறுமானம் என்றதல், தனிப்பெறுமானம் என்ருதல்,
குணகம் என்ருதல் கூறப்படும். அதனே=p என எழுதுகின்றேம்.
m இன் பூச்சியப் பெறுமானமுஞ் சிந்திக்கப்படுகின்றது. m = 0 ஆகும்
பொழுது m என்னும் எண் பூச்சியமாகும். n = 0 ஆகும்பொழுது
70, Y^-
m இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் என்பது பொருளின்றி
நிற்கும்.
விகிதமுறவெண்கள்.--செய்முறை நோக்கங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் விகிதமுறும் எண்கள் போதியவையாகும். ஒரு செங்கோண முக்கோ ணத்தின் செம்பக்கத்துச் சதுரம் ஏனைய பக்கச் சதுரங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன் என்னுங் கேத்திரகணிதத் தேற்ற விவரணத்தைப் பைதகரசு என்பவர் தரும் வரைக்குங் கணிதத்தில் வேறு பிற வெண் கள் அறியப்படவில்லை. எண்களின் சிறந்த ஒரு பிரயோகம் நீளங்களை அளத்தலில் உள்ளது. இத்தேற்றம் வெளியாக்கப்படுமுன் யாதுமொரு நீளத்தை ஒரு விகித முறுமெண்பற்றி அளக்கலாம் என்பது கற்பிக்கப் பட்டுள்ளது. பைதபகரசு என்பவர் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமல்லாத எனைய இரு பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஓரலகு நீள முடையதாயின், செம்பக்க நீளம் ஒரு விகித முறும் எண்பற்றி உணர்த் தல் இயலாதெனக் காட்டியுள்ளார். அத்தகையெண் a என்பது ஒன்று உண்டெனின், அது a = 2 என்னுந் தொடர்பைத் தீர்க்கவேண்டும். அத்தகைய விகித முறுமெண் யாதுமில்லை என்பது எளிதிற் புலணுகும். ஒரு விகித முறுமெண் முழுவெண்ணுகாது விடின், அதன் வர்க்கமும் முழு வெண்ணுகாது; ஒரு விகித முறுமெண் 2 இலும் பெரிதாய் அல்லது அதற்குச் சமனயிருந்தால், அதன் வர்க்கம், 2 இலும் பெரி

Page 11
0 தூயகணித மூலகங்கள்
தாகும் ; ஒரு விகித முறுமெண்ணுனது நேரெண்ணுயும் 1 இலுஞ் சிறிதாயுமிருந்தால், அதன் வர்க்கமும் 1 இலுஞ் சிறிதாயிருக்கும். எனின், தன் வர்க்கம் 2 ஆயுள்ள விகித முறுமெண் யாதுமில்லை எனலாம். ஆகவே, விகித முருவெண்களை ஏற்படுத்த வேண்டிய நிலைமை உண்டா கின்றது. ஒவ்வொன்றும் ஒரலகு நீளமுடைய இரு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்க நீளத்தைக் குறிக்கின்ற ஒரெண் உண்டெனக் கற்பனை செய்கின்ருேம். அதனை V2 எனக்குறித்து விகித முரு; வெண்ணெனப்பெயரிடுகின்றேம். ஒவ்வொரு பக்கமும் 2 அலகு நீளமுள்ள ஒரு சதுரத்தை வரைந்தால், அச்சதுரத்தின் பரப்பளவு 2 சதுர வலகுகளாகும். வேறு நேர் விகிதமுறவெண்கள் எவைக்கும் பைதகரசினது தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் கேத்திரகணிதமுறைபற்றி வரைவிலக்கணங்கள் கூறலாம். 0 அலகு நீளமுள்ள AB என்னு நேர்கோட்டை 0 இற்கு BO இனது நீளம் y ஆக நீட்டினல், AC இனது நீளம் a+y என வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. அடுத்துள பக்கங்கள் இரண்டு 2 அலகுநீளமும் g அலகுநீளமுமாயுள்ள ஒரு செவ்வகம் வரையப்பட்டால், அதன் பரப்பளவு 2g சதுரவலகென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. பின்னர், கழித்தல் வகுத்தல்க ளானவை முறையே கூட்டல் பெருக்கல்களினுடைய நேர்மாறன செய்கை களென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. அதன்பின் எதிர் விகித முருவெண்கள் ஆரம்பிக்கப்படுகின்றன ; விகித முறுமெண்களுக்குரிய செய்கை விதிகள் விகித முறுவெண்களுக்கும் பொருந்தும்படி விரிக்கப் படுகின்றன.
மெய்யெண்கள்.- விகித முறுவனவு முருதனவுமாகிய எண்களெல் லாம் மெய்யெண்களினுடைய தொடரகத்தை ஆக்குகின்றன எனப்படும். எவையேனும் இரு மெய்யெண்களுக்கிடையே நாம் விரும்புகின்ற தொகை யளவு விகித முறும் எண்களையும் விகிதமுருவெண்களையுங் காணலா மெனக் கற்பிக்கின்றேம். விகித முரு வெண்களைக்கொண்ட செய்முறைக் கணிப்புக்களில், அண்ணளவுப் பெறுமானங்களே வேண்டிய விடத்து, நாம் வேண்டிய செம்மைப் படிக்குத்தக்கவாறு ஒரு விகித முருவெண் ணுக்குப் பதிலாகத் தக்கவொரு விகித முறுமெண்ணைப் பிரதியிடுகின் ாேம். உதாரணமாக, V2 என்பதை முதலாந் தசமதானத்திற்குச் செம்மைப்படுத்த வேண்டின், 14 ஆலும் மூன்றந் தசமதானத்திற்குச் செம்மைப் படுத்தவேண்டின், 1414 ஆலும் இடம் பெயர்த்துவைக்கலாம்.
m, n என்பன முழுவெண்களாயின், என்னும் விகிதமுறுமெண்
ணுனது 700 -m = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலமாகும். இச்சமன் பாடு 2 இன் முதலாம்படியிலுள்ளது. ; n, m என்னு முழு வெண்களைக் குணகங்களாகக் கொண்டது. V2 என்னும் விகித முருவெண் 1,- 2

முன்னுரை 1.
என்னு முழு வெண் குணகங்களோடு 2 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள a?-2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கின்றது. 3 -V2 என்னும் விகிதமுருவெண் 1, - 6, 7 என்று முழு வெண்குணகங்களோடு aர இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள (a-3)2 = 2 அல்லது 22-60+ 7 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கின்றது. இவ்விதமான பண்புள்ள எண் கள் அட்சர கணித வெண்கள் எனப்படும். ஒரட்சர கணித வெண்ணுனது aa" + aa" + aa"2 + . . . . + a=0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரட்சர கணிதச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும். இங்கு 70 என்பது ஒரு நேர்முழு வெண்ணகவும் 0ே, a1, a2, . . . . . . . . . . a என்பன நேர் அல்லது எதிர் முழுவெண்களாகவும் உள்ளன. விகிதமுறும் எல்லாவெண்களும் அட்சர கணித வெண்களாகும். அட்சர கணித வெண்களாகிய விகித முரு வெண்களையும் நாம் விரும்புந் தொகையளவு காணலாம். அட்சரகணித வெண்களாகா விகித முருவெண்களையும் நாம் விரும்புந் தொகையளவு . காணலாம். ஒரு மூலவுதாரணம் 7ா என்னும் எண்ணுகும். அதன் அண்ணளவுப் பெறுமானம் ஆகும். அதனுடைய திருத்தமான பெறு மானம் முழுவெண்குணகங்களோடு கூடிய யாதுமோரட்சரகணிதச் சமன் பாட்டின் மூலமாகாது. இவ்விதமான எண்கள் கடந்தவெண்கள் எனப் படும்.
குறிகாட்டி விதி.-0 என்பது ஒரு மெய்யெண்ணுயும் m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும் இருந்தால், a" என்பது n காரணிகளுக்குத் தொடர்ந்த a Xa Xa . . . . என்னுந் தொடர் பெருக்கத்தைக் குறிக்கும். இவ்வரை விலக்கணத்திலிருந்து குறிகாட்டி விதி மூன்றும் நேரே பெறப்படும்.
m, m என்பன நேர்முழுவெண்களாயும், a, b என்பன மெய் யெண்களாயும் இருந்தால்,
(i) a”x a' = a "+",
(ii) (a")"-a",
(iii) (ab)"=a”b”.
m என்பது ஒர் எதிர் முழுவெண்ணுயும் a என்பது பூச்சியமல்லா தாயும் இருந்தால், பின்வருமாறு a" இற்கு வரைவிலக்கணங் கொடுக்
பின்றேம். ; a"=
m, n என்பன நேர்முழுவெண்களாயிருந்தாலும் அன்றி எதிர்முழு வெண்களாயிருந்தாலும் மேற்கூறிய மூன்று விதிகளும் உண்மையாகு மென மெய்மைப் படுத்தலாம்.

Page 12
12 தூயகணித மூலகங்கள்
இனி, விகிதமுறு குறிகாட்டியின் வரைவிலக்கணத்தைக் கொடுப்போம். a என்பது ஒரு நேரெண்ணுயும் ற என்பது யாதுமொரு முழுவெண்ணு யும் இருந்தால், a" என்பது நேரெண்ணுகும். g என்பது ஒரு நேர் முழு வெண்ணுயிருந்தால், 6?= a" அதாவது b என்பது a" இன் q ஆம் மூலமாகும்படி b என்னும் ஒரு நேர் முழுவெண் உண்டு எனக் கற்பிக்கப்படுகின்றது. q என்பது இரட்டையெண்ணுயின், (-b)* என்ப தும் a இற்குச் சமன். g என்பது இரட்டையெண்ணுயிருந்தாலும், அன்றி ஒற்றையெண்ணுயிருந்தாலும் 0° இனது நேர் g ஆம் மூலம்
p p a4 ஆலும், எதிர் மூலம் ஒன்று உண்டெனின் அது - ஆலுங் குறிக்கப்படும். a என்பது எதிராயிருக்க ற இரட்டையாயின், a" என்பது
р 3.
நேரெண்ணுயும் ா? என்பது a? இன் நேர் 4 ஆம் மூலத்தைக் குறிக்கும் ஒன்றயும் இருக்கும். 0 என்பது எதிராயும் p என்பது ஒற்றையாயும் இருந்தால், 0° என்பது எதிராகும் ; அதனேடு q இரட்டை யாயின், 0° = a* ஆகுமாறு b இற்கு யாதுமொரு பெறுமானமுமில்லை. a என்பது எதிராயும் p, q என்னும் இரண்டும் ஒற்றை யெண்களாயும் இருந்தால் b = a* ஆகுமாறு b இற்கு ஒரெதிர்ப் பெறுமானமே உண்டு ;
p P இவ்வெதிர்ப் பெறுமானம் a" என்பதனற் குறிக்கப்படும். இவ்வாறு a? என்பதற்கு வரைவிலக்கணங்கொடுத்தால், எல்லாவககைளிலும் நாம்
பெறுவது
p\4 .عa ="(تمه)
இப்பொழுது, முழு வெண் குறிகாட்டிகளுக்கு உண்மையாகு மூன்று விதிகளும் பின்னக் குறிகாட்டிகளுக்கும் உண்மையாகும்படி விரிந்து நிற்கும் எனக் காட்டுவோம்.
(i) p, g, r, 8 என்பன முழு வெண்களாயிருக்க, அவற்றுள் g, 8 என்பன நேராயின்,
* - á — „á* α . Χ αι. = αι
p r. a4 x a - b ஆகுக.
p r\ሞ° V4s \gs ஆயின், :بر )...(- (فه × ث )- مه ) ( மூன்றம் முழுவெண் குறிகாட்டி விதியால்,

முன்னுரை 3.
இனி, இரண்டாங் குறிகாட்டி விதியால்,
as \sq ;()}x "{"()}=مk
0.
= (a") X (a)? வரைவிலக்கணத்தால்
= a* x a*=a*** முதலாங் குறிகாட்டி விதியால்.
P*土z 2+
P * b = a * ='
(i) p, q, 7, 8 என்பன முழுவெண்களாயிருக்க, அவற்றுள் 4, 8 என்பன நேராயின்,
p\ pr cogs ;(شی)
Ρ\r. k = (...) ஆகுக'.
pV r ஆயின், k = வரைவிலக்கணத்தால்
. -- ()'=(()) = (a P) = a".
pr k፡ = aሞ.
(i) p, q என்பன முழு வெண்களாயிருக்க, அவற்றுள் g என்பது நேராயின்,
p. pp. (ab)a = aa b7.
P. p. b=ad be ஆகுக.
P\q / P\ፍ ஆயின், k = () () = aP bP = (ab)?
P ... κ = (αό)α .

Page 13
4 தூயகணித மூலகங்கள்
09 இன் கருத்து.
a என்பது ஒரு மெய் யெண்ணுகுக ; a" என்பது ஒரு மெய்யெண்ணுய் இருக்கும்படி m என்பது ஒரு விகிதமுறும் எண்ணுகுக. ஆயின், முத லாம் விதிப்படி,
a" × aー”=a"ー"=a0.
ஆனல் "ே = சு,
ஆகவே, a” x a"=1
பூச்சியமல்லாத a இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 1 است. da0

திரிகோண கணிதம்

Page 14

அத்தியாயம் 1
கோணங்களின் அளவீடு-ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கின்ற இரு நேர்கோடுகள் ஒரு கோணத்தை வரையறுக்ககின்றன. ஒரு கோணத்தின் பருமனை அளப்பதற்குரிய அலகு சட்டிமமுறையிற் பாகையாகும். 0 என்பது A, B என்பனவற்றிற்கு இடையே 40B என்பது ஒரு நேர் கோடாகுமாறு, ஒரு கோணத்தை ஆக்கும் 04, OB என்பன இருந்தால், அக்கோணத் தின் பருமன் 180 பாகை என வரையறுக்கப்படுகின்றது. மேலும், ஒரு பாகை 60 கலையாகவும் ஒரு கலை 60 விகலையாகவும் பிரிக்கப்படுகின்றன.
வட்டமுறையளவுக்குரிய அலகு ஆரையன் எனப்படும்.
Ꮺ
0 என்னும் ஒரேமையத்தையும், r, r
என்னும் ஆரைகளையுமுடைய இருவட்டங்களை நினைக்க.
0 இனூடாக மூன்று நேர்கோடுகள் வரைக. அவை அவ்வட்டத்தை (A, A"), (B, B), (0,0) என்பனவற்றிற் சந்திக்க.
வடிவொத்த முக்கோணங்களிலிருந்து நாம் பெறுவது
AB BC r Ав во у AB + BC _r A'B' - B"O
0 இனுடாக ஒரு பெருந் தொகை நேர்கோடுகள் வரையப்பட்டனவாகவும் அவை அவ்வட்டங்களுடைய பரிதிகளை ஒரு பெருந்தொகையான சிறுவிற் களாகப் பிரிக்கின்றனவாகவுங்கொள்க. அப்பரிதிகளைப் பிரிக்கும் புள்ளி களைத் தம்முச்சிகளாகக் கொண்ட அவ்விருவட்டங்களினுடைய உட் பல்கோணச் சுற்றளவுகள் p, p என்பனவாயின்,
up a Tr ہے ...ے P-س۔ r, Pھ (صد ہے وہ ہے کہ
p' י", "ר அல்லது ፖ r” என்பது பெறப்படும்.

Page 15
8 தூயகணித மூலகங்கள்
சிறுவில் ஒவ்வொன்றினுடைய நீளமும் வரையறையின்றிச் சிறிதாகும் வண்ணம் பிரிவுத் தொகைகளை வரையறையின்றிக் கூட்டினல், p என்பது 7 என்னும் ஆரையையுடைய வட்டத்தின் பரிதிநீளத்தையும், p என்பது ?' என்னும் ஆரையையுடைய வட்டத்தின் பரிதிநீளத்தையும் அணுகும். ஆகவே, யாதும் ஒரு வட்டத்தில் அதன் பரிதிநீளத்திற்கும் ஆரைக்குமுள்ள விகிதம் ஒரே எண்ணெனக் கொள்கின்றேம். இவ்விகிதம் 2ா என்பத ஞற் குறிக்கப்படுகின்றது ; 7 இன் பெறுமானம் அண்ணளவாக 辈 இற்குச் சமமெனக் காணப்பட்டுள்ளது.
இதனைப்போன்ற நியாயம் ஒன்றல், மேற்காட்டிய உருவத்தில்,
வில் AB_வில் A'B' -----------س .. வில் A B = r ஆயின், வில் A B - r'. .. யாதும் ஒரு வட்டத்தில் அதன் ஆரைக்குச் சமமான நீளமுள்ள வில்லால் அதன் மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் ஒரேயளவின தாகும். இக்கோணம் அளவீட்டலகு எனக் கொள்ளப்பட்டு ஒர் ஆரையன் எனக் கூறப்படும்.
AB என்பது ? என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தின் ஒரு வில்லாகுக ; அவ்வில் 9 ஆரையனுக்குச் சமனன ஒரு கோணத்தை மையத்தில் எதிரமைக்க ஒரு வட்டத்தின் வில்லொன்றல் அதன்மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் அவ்வில்லினிளத்திற்கு விகிதசமமாகையால், AB என்னும் வில்லினிளம் 79 என்பது பெறப்படும். முழுபரிதியி னிளம் 2ாr ஆகையாலும், அது மையத்தில் 360 பாகையை எதி ரமைக்கின்றமையாலும், நாம் பெறுவது
360° - 2ா ஆரையன்கள்.
என்பதும் பெறப்படுகின்றது.
ஒரு வட்டத்தின் ஆரைச்சிறையின் பரப்பு.
AB என்பது 0 என்பதை மையமாகவுள்ள ஒரு வட்ட வில்லாகுக. வில் AB ஆலும் ஆரைகள் OA, OB என்பனவற்றலும் எல்லையிடப்பட்ட உருவம் அவ்வட்டத்தின் ஆரைச்சிறை எனப்படும். AOB என்னுங் கோணத்தின் பருமன் 9 ஆரை யணுகுக ; அவ்வட்டத்தின் ஆரை 7 ஆகுக'. P, Q, R, . . . . . . என்னும் பிரிவுப்புள்ளிகளே ஏற்படுத்தி அவ்வில்லை ஒரு பெருந் தொகையான சம விற்களாகப் பிரிக்க, AP, P0, 0R. . . . . . . . என்னு நாண்களைத் தொடுக்க.
A B p என்பது AP, P9, Rெ . . . . . . என்னுஞ் சம நாண்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் 0 இலிருந்து வரைந்த செங்குத்தாகுக.
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 1 19
முக்கோணம் OAP இன் பரப்பு = p. AP. முக்கோணம் OPQ இன்பரப்பு = {p, P9. இவ்வாறே எனைமுக்கோணங்களுக்குங் காணலாம். எல்லா முக்கோணங்களுடைய பரப்புக் கூட்டுத் தொகை = p (AP --PQ - - QR -- . . . . . . . . . . ) பிரிப்புத் தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்பட, p என்பது அவ் வட்டத்தின் ஆரையையும் அடைப்புகளுக்குள்ளேயுள்ள தொகையானது வில் AB இனது நீளத்தையும் அணுகும். எனின், ஆரைச்சிறை 40B இன் பரப்பு - r6 = r^6 எனக் கொள்கின்றேம்.
ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு கோணத்தின் குறி 04, OB என்பன ஒரு தளத்திலுள்ள இரு நேர் கோடுகளாகுக. திசை OB என்பது திசை OA ஒடு கோணம் AOB என்பதை ஆக்கு கின்றது. OA இற்கு எதிர்ப்பக்கத்திற் கிடக்கும் ஒரு கோடு OA ஒடு அதே கோணத்தை உண்டாக்கல் இயலும். இவ்விரு வகைகளையும் வேறு பிரித்தறிய வேண்டுமாகையால், ஒரு கோணத்தின் குறிக்கு ஒரு வழக்கை ஆளுவோம். OB ஆனது OA ஒடு ஆக்குங் கோணம், OA இலிருந்து 0B இற்குச் சுழலும் போக்கு இடஞ்சுழியாயின், நேரென்றும், வலஞ் சுழியாயின் எதிரென்றுங் கொள்ளப்படும்.
0B ஆனது OA ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; இங்கு 9 ஆனது நேர் அல்லது எதிர். ஒரு கோடு OA ஒடு பொருந்தி நின்று புறப்பட்டு 9 என்னுங் கோணத்திற் கூடாகச் சுழன்ருல், அது OE என்னு நிலையை அடையும். அது இன்னும் 2ா ஆரையன் அல்லது -2ா ஆரையனுக் கூடாகச் சுழன்றல், அது இன்னும் ஒருமுறை OB என்னும் நிலையை அடையும். பொதுவாக, அது OB என்னு நிலையி லிருந்து 2nா என்னும் ஒரு கோணத்திற் கூடாகச் சுழன்றல், அது மறுபடியும் 0B என்னு நிலையை அடையும் ; இங்கு 0 என்பது யாதும் ஒரு முழு வெண். எனின், m என்பது யாதுமொரு முழு வெண் அல்லது பூச்சியமாயிருந்தால், 0B ஆல் OA ஒடு ஆக்கப்படுங் கோணம் 2nா + 9 எனக் கொள்ளலாம்.
0B ஆனது OA ஒடு ஆக்குங்கோணம் OA ஆனது OB ஒடு ஆக்கும் அதே கோணமாகாது என்பது அறியப்படவேண்டும். OB ஆனது OA ஒடு ஆக்குங்கோணம் இடஞ்சுழிப் போக்கில் இருந்தால், OA ஆனது OB ஒடு ஆக்குங் கோணம் வலஞ்சுழிப் போக்கில் இருக்கும். OB ஆனது OA ஓடு ஆக்குங்கோணம் வலஞ்சுழிப் போக்கில் இருந்தால், OA ஆனது OB ஓடு ஆக்குங்கோணம் இடஞ்சுழிப் போக்கில் இருக்கும். எனின் OB ஆனது OA ஒடு ஆக்குங்கோணம் 9 ஆயிருந்தால் 0A ஆனது 0B ஒடு ஆக்குங் கோணம் - 8 ஆகும்.

Page 16
20 தூயகணித மூலகங்கள்
செங்குத்தெறியம்
OA, P2 என்பன இரு நேர்கோடுகளாகுக. M, N என்பன P, Q என்பனவற்றிலிருந்து OA இன்மீது வரைந்த செங்குத்துக்களினுடைய அடிகளாயின், MN என்பது OA இன்மீதிலுள்ள P0 இன் செங்குத் தெறியம் எனப்படும். M, N என்பன OA இன்மீது அல்லது நீட்டிய AO இன்மீது கிடக்கலாம். MN என்பது OA ஒடு ஒரு போக்காயிருந்தால் அவ்வெறியம் நேரென்றும், அன்றெனின் எதிரென்றுங் கொள்ளப்படும். அவ்வெறியத்தின் பருமன் MN இன் உண்மையான நீளமாகும்.
g
N.
அவ்வெறியம் உரு. 1 இலே நேராயும் உரு. II இலே எதிராயும் உள்ளது. MW இன் உண்மையான நீளம் உரு. I இல் 5 அலகாயின், அவ்வெறியம் -5 ஆகும்.
குறிபற்றிய இவ்வழக்கிலிருந்து OA இன்மீதுள்ள P9, 2P என்பன வற்றினுடைய எறியங்களின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் என்பது பெறப்படும்.
P, C, R என்பன எவையேனு மூன்று புள்ளிகளாகுக. M, N, L என்பன OA இன்மீது P, C, R என்பனவற்றிலிருந்து வரைந்த செங் குத்துக்களினுடைய அடிகளாகுக.
6
ー+ーlー+一
حمسس سلسس سلســـــــــــــــــــــــسسســــــــــــــــــ
O
M
N
d
፵
O
M
A
L- N
a CD. I atGUES. I
PQ இன் எறியம்+0R இன் எறியம்=MN+NL. உரு. 1 இல் MN, WL என்னும் இரண்டும் நேர்; அன்றியும் MNA-NL =ML. உரு. 11 இல் MN நேராயும் NL எதிராயுமுள்ளன ; ஆகவே, MIN —+- NIL = MIL.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 1 2
PR இன் எறியம் ML ஆகும். .. எல்லா வகைகளிலும் நாம் பெறுவது. PQ இன் எறியம் + Rெ இன் எறியம் = PR இன் எறியம்.
இம்முடிபு எத்தொகையான நீளங்களுக்கும் பொருந்தும்படி விரியும் என்பது தெளிவு.
,P என்பன ? புள்ளிகளாயின் , . . . . . . . . وP2 وP
PP இன் எறியம் + PP இன் எறியம் + . . . . . . +P.P. இன் எறியம் = PP இன் எறியம்.

Page 17
அத்தியாயம் 2 ஒரு கோணத்தினுடைய திரிகோணகணித விகிதங்கள்
04, 0B என்பன ஒரு தளத்திலுள்ள இரு நேர் கோடுகளாகுக ; 0B ஆனது 0A ஒடு ஆக்குங்கோணம் 6 ஆகுக ; இங்கு 9 இற்கு எக்குறியும் எப்பருமனும் இருக்கலாம்.
ON என்பது OA இன்மீதுள்ள OB இன் செங்குத்தெறியமாகுக. C N என்பது OA இன்மீது கிட ந்தால் இவ்வெறியம் நேராயும் நீட்டிய 40 இன்மீது கிடந்தால் எதிராயும் இருக் கும். OW இற்கும் 0B இனது நீளத்
's, 6 தினுடைய தனிப் பெறுமானத்திற்கு முள்ள விகிதம் 9 என்னுங் கோணத்தின் مد
N O A கோசைன் எனப்படும் ; அது கோசை 9
в
ܗ ܗ
M
ON என எழுதப்படும்; அதாவது, கோசை9=; இங்குON இற்குப்பருமனுங் குறியுமுண்டு ஆனல் 0B இற்குப் பருமன் மாத்திரமுண்டு.
B என்பது OB இன்மீதுள்ள வேறெரு புள்ளியாயும், ON என்பது 04 இன்மீதுள்ள OB என்பதன் செங்குத்தெறியமாயும் இருந்தால், வடிவொத்த முக்கோணங்களுடைய பண்புகளால், நாம் பெறுவது
ON ON, OB OB, .. எடுத்துக்கொண்ட OB என்னுங் கோட்டின்மீது B இனுடைய
N எல்லா நிலைகளுக்கும் 笼 என்பது ஒரே பெறுமானத்தை அடையும். இன்னும், 0B ஆனது OA ஒடு ஆக்குங்கோணம் 9 என்பது ஒரேயளவின தாயிருக்கும் வரைக்கும் 0A, OB என்பனவற்றினுடைய திசைகளு நிலை களும் எவையாய் இருந்தாலும் இவ்விகிதம் ஒரே பெறுமானத்தைப் பெறும்.
.. கோசை 9 ஆனது கோணம் 9 ஐச் சார்ந்து நிற்கும்.
OC 6TGÖTLuigi OA FPG g ஆரையன் என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங்
கோடாகுக. 0M என்பது 00 இன்மீதுள்ள OB இன் செங்குத்தெறிய மாயின், OM இற்கும் 0B இனது நீளத்தினுடைய தனிப் பெறுமானத் திற்குமுள்ள விகிதம் 9 என்னுங் கோணத்தின் சைன் எனப்படும் ;
OM - ܫ . அது சைன் 6 என எழுதப்படும் ; அதாவது, சைன் 6=法; இங்கு
22

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 2 23
0M இற்குப் பருமனுங் குறியும் உண்டு ; ஆனல், OB இற்குப் பருமன் மாத்திரம் உண்டு. கோசைன் போலச் சைனும் கோணம் 6 என்பதையே சார்ந்து நிற்கின்றமை எளிதிற் புலனுகும்.
சைனுக்குங் கோசைனுக்குமுள்ள விகிதமானது கோணம் 9 இனது தாஞ் சன் எனப்படும் ; அது தான் 9 என எழுதப்படும். கோசை 9 இனது தலை கீழானது கோணம் 9 இன் சிக்கன் எனக் கூறப்பட்டு சீக 9 என எழுதப்படும் ; சைன் 9 இனது தலைகீழானது 9 இன் கோசேக்கன் எனக் கூறப்பட்டு கோசே 9 என எழுதப்படும் ; தான் 9 இனது தலை கீழானது 9 இன் கோதாஞ்சன் எனக் கூறப்பட்டு கோதா சி என் எழுதப்படும்.
சைன் 9 I п6йт 9 = , இக 6 - ட , கோசே 9 = -- த கோசை 9 கோசை 9 ó爪6、 605GöT 6
_கோசை 9 1
கோகா சி=T' = டட த சைன் 9 தான் 9
9 என்பது நேராயும் இலுஞ் சிறிதாயும் இருந்தால், OB என்பது OA ஒடு 00 ஆக்குங் கோணத்தினுட் கிடக்கும்.
OA இன் மீதுள்ள 0B இன் எறியம் OA C ஒடு ஒரு போக்காகும். OC இன் மீதுள்ள 0B இன் எறியம் 00 ஓடு ஒரு போக்காகும். M
கோசை 9, சைன் 6 என்னும் இரண்டும் நேராகும்.
OM NB OB "OB o O
Ο கோசை 9 = OB o சைன் 6 -
ஒரு கோணம் 9 இற்குச் சமனயுள்ள ஒரு செங்கோணமுக்கோணம் வரையப்பட்டால், சைன் 6 ஆனது 9 என்னுங்கோணத்தின் எதிர்ப் பக்கத்திற்குஞ் செம்பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதமாகும் ; கோசை 9 ஆனது என்னுங் கோணத்தின் அடுத்துள பக்கத்திற்குஞ் செம்பக்கத்திற்கு முள்ள விகிதம்.
QR
R 600Ꮺ-ᏊᏡᎢ Ꮜ --= PR s கோசை 6 PR 9.
QR v PR தான் 6 = சீக 9=
PR - =கோசே6= கோதா9 6 تھے۔
3—--~-J. N. B 66842 (6/57)

Page 18
24 தூயணித மூலகங்கள்
திரிகோணகணித விகிதங்களுடைய மாறல்கள் 00 என்பது OA ஒடு + என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; 0B என்பது
OA ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 9 = 0 ஆகும்பொழுது, OB என்பது OA இனது நீளத்திற்குக் கிடக்கும் ; ஆகவே, OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் நேராயும் OB இற்குச் சமனயும் இருக்கும்; அப்பொழுது, (00 இன் மீதுள்ள 0B இன் எறியம் பூச்சியமாகும்.
C.
.. கோசை 9-1, சைன் 6 - 0. O < θ<. ஆகும்பொழுது, 04, 00 என்பவற்றின்மீதுள்ள 0B
இனுடைய எறியங்கள் இரண்டும் நேராகும் ; அதுபற்றி, கோசை 9, சைன் 9 என்னும் இரண்டும் நேராகும். 0B என்பது OA இலிருந்து 00 இற்குச் சுழல, OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் குறையும் ; அப் பொழுது, 00 இன்மீதுள்ள OB இன் எறியங் கூடும்.
.. 6 என்பது O இலிருந்து இற்குக்கூட, கோசை 9 என்பது
குறையும் ; அப்பொழுது சைன் 8 என்பது கூடும்.
6=ஆகும்பொழுது, 0B என்பது 00 இனது நீளத்திற்குக் கிடக்கும் ; ஆகவே, OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் பூச்சியமாகும்; அப்பொழுது OC இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் நேராயும் OB இற்குச் சமனயும் இருக்கும்.
. . . . . . .". கோசை = 0, சைன் =
9 <ா ஆகும்பொழுது, OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம்
எதிராகும் ; அப்பொழுது 00 இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் நேராகும்.
.. 3ோசை 9 எதிராயும் சைன் 6 நேராயும் இருக்கும்.
6 =ா ஆகும்பொழுது, OB என்பது நீட்டப்பட்ட 40 இனது நீளத்திற்குக் கிடக்கும் ; ஆகவே, OA இன்மீதுள்ள OB இன் ஏறியம் எதிராகும்;
அதனுடைய தனிப் பெறுமானம் 0B இற்குச் சமனகும் , 00 இன் மீதுள்ள அதன் எறியம் பூச்சியமாகும். ஆகவே, கோசை r = -1, சைன் 7 = 0.
 
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 2 25
8T 2 இனுடைய எறியங்கள் இரண்டும் எதிராகும் ; ஆகவே, கோசை 9, சைன் 9 என்னும் இரண்டும் எதிராகும்.
ா<9< ஆகும்பொழுது, 04, 00 என்பவற்றின்மீதுள்ள 0B
9=ா ஆகும்பொழுது 0B என்பது C
நீட்டிய CO இனது நீளத்திற்குக் கிடக்கும்; ஆகவே, OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் பூச்சியமாகும் ; அ! பொழுது 00 இன்மீதுள்ள அதன் எறியம் எதிராகும்; அதனுடைய தனிப்பெறுமானம் 0B இற்குச் சமனகும்.
.. கோசை -0 சைன் 擎 = - 1.
擎 < 0 <2ா ஆகும்பொழுது OA இன்மீதுள்ள OB இன் எறியம் நேராயும், 00 இன்மீதுள்ள அதன் எறியம் எதிராயும் இருக்கும் ஆகவே, கோசை 9 நேராயும் சைன் 6 எதிராயும் இருக்கும்.
9 = 2ா ஆகும்பொழுது கோசை 9, ଉ)୬ ଗf 8 என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் 9 = 0 ஆகும்பொழுதுள்ள பெறுமானங்களாகும்.
". கோசை 27 - 1, சைன் 27r = 0.
02 9 <2ா ஆயின், 9= 0 அல்லது 7 ஆகும்பொழுதே சைன் 9 பூச்சிய ԼՈTպւք, 9=அல்லது ஆகும்பொழுதே கோசை 9 பூச்சியமாயும் இருக்கும்.
6Ꮘ0ᏪᎭ6ᏑᎢ 0 தான் 9 = கோசை 9 ஆகையால், 6 = 0, 1ா அல்லது 2ா ஆகும்பொழுது
தான் 6 = 0. O< 9 < என்பதில், சைன் 9, கோசை 9 என்னும்
ليكم
இரண்டும் நேராயிருப்பதாலும், இவ்வீச்சுக்குள்ளே சைன் 9 உறுதியாகக்
ገr கூடுதலாலும் கோசை 6 உறுதியாகக் குறைதலாலும், 9 என்பது 0.

Page 19
26 தூயகணித மூலகங்கள்
என்பனவற்றிற்கிடையே கூட, தான் 6 என்பது உறுதியாகக் கூடும். 9 =
ஆகும்பொழுது, கோசை 9=0. ஆகவே தான் 9 இற்குப் பொருள் இல்லை.
O < 0 < ஆகும்பொழுது, தான் 9 நேராகும்; 2 < 0<ா ஆகும்பொழுது, தான் 9 எதிராகும் ;
পুrr < 6 < ஆகும்பொழுது, தான் 9 நேராகும்.
~ g ஆகும்பொழுது, தான் 9 இற்குப் பொருளில்லை.
- 9<2ா ஆகும்பொழுது, தான் 8 எதிராகும்.
9 = 0, r அல்லது 2ா ஆகும்பொழுது கோசே 9, கோதா 6 என்பன வற்றிற்குப் பொருளில்லை. Y
6 = அல்லது g ஆகும்பொழுது சீக 6 இற்குப் பொருளில்லை.
9 இனுடைய பிற பெறுமானங்களுக்கு கோசே 9, கோதா 9, சீக 9 என்பனவற்றினுடைய குறிகள் சைன் 0, கோசை 9 என்பனவற்றினுடைய குறிகளை ஆராய்வதாற் பெறலாம்.
சைன் 9, கோசை 9 என்பன அடிப்படையான விகிதங்கள். அவை தேரப்படப் பூச்சியமல்லாதவையாய் இருந்தால், மற்றை விகிதங்களுடைய பெறுமானங்கள் அறியப்படும்.
சைன் 6 இற்கும் கோசை 9 இற்கும் உள்ள தொடர்பு.
OB என்பது OA ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; 00 என்பது OA ஒடு + என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. ON, OM 6T 6ötuaBOT OA, OO என்பனவற்றின்மீதுள்ள 0B இனுடைய செங்குத் தெறியங்களாயின்,
பைதகரசினது தேற்றத்தினுல் ON? + OM? = 0B9 என்பது பெறப்படும்.
... / ΟN \, ( OM \ , . ... (...) +(徽)-
N . 8 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் கோசை? 9+ சைன்? 9=1.
Α
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 2 27
கோசை 9 ஆனது பூச்சியமன்றெனின், கோசை? 9 ஆல் வகுக்க, நாம் பெறுவது,
1 + தான்? 9 = இக? 9.
சைன் 8 ஆனது பூச்சியமன்றெனின், சைன் 9 ஆல் வகுக்க, நாம் பெறுவது
கோதா? 9 + 1 = கோசே2 9.
கோசை2 9 + சைன் 6 = 1 ஆகையால், கோசை? 8, ஆதல் சைன் 9
ஆதல் பெறக்கூடிய மிகப்பெரிய பெறுமானம் 1 ஆகும்.
... 6 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், கோசை 9, அல்லது சைன் 9 எம்பது -1 இற்கும் 1 இற்கும், இடையிலே கிடக்க வேண்டும்
அதாவது 9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
-1 < கோசை0 $ 1, -1 S சைன் 9 $ 1.
V - கோசை29 என்பது 1 - கோசை29 இனது நேர்வர்க்க மூலத்தைக்
குறிக்கின்றமையால், சைன்9= V(1 - கோசை?6) என்பது உண்மை
யாகாது; ஆனல், சைன் 0 என்பது நேராய் அல்லது எதிராய் இருக்கலாம்.
கோசை 9 தரப்பட்டால், சைன் 9 இற்கு + v(1 -கோசை6) என்னும் இரு பெறுமானங்களுள் ஒன்று இருக்கலாம்.
.. சைன்9= +V(1 - கோசை?6).
அதுபோல, கோசை9= 土 «V (1 — 60)5F6ör°69).
a, b என்பன a + b = 1 ஆகும்படியுள்ள இரண்டு எண்களாயின்,
026<2ா என்னும் வீச்சில், கோசை9= a ஆயும், சைன் 8 = b ஆயும் இருக்கும்படி 9 இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு.

Page 20
28 தூயகணித மூலகங்கள்
OY ஆனது OX ஒடு (+2) என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு X'OX, YOY என்னும் இரு செவ்வகவச் சுக்களை எடுக்க. OX, OY என்பன குறித்து (a, b) என்னும் ஆள்கூறு களையுடைய P என்னுந் தனிப்புள்ளி X யைக் குறிக்க. ஆயின், OX, 07 (α,β) என்பனவற்றின்மீதுள்ள OP இனு pN? டைய செங்குத்தெறியங்கள் a, b
என்பனவாகும் ;OP2- a2+b2 - 1,
6 என்பது OP ஆல் OX ஒடு இடஞ்சுழிப்போக்கில் ஆக்கப்பட்ட
கோண மாயின்,
கோசை9 = a ஆயும், சைன்9= b ஆயும் இருக்கும்.
மேலுள்ள உருவமானது a நேராயும் b எதிராயுமுள்ள வகைக்குப்
பொருந்தும். a, b என்பன தரப்பட்டபொழுது 049<2ா ஆகும்படி 9 இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு என்பது தெளிவு.
a, b என்பன இரண்டும் நேராயின் 9 என்பது 0, என்பனவற்றிற்
கிடையே கிடக்கும் ; a எதிராயும் b நேராயுமிருந்தால் 6 என்பது
ா என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும் ; a, b என்பன இரண்டும் எதிரா யிருந்தால், 9 என்பது r, 擎 என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும் ; a
நேராயும் b எதிராயுமிருந்தால், 9 என்பது 堂, 2ா என்பனவற்றிற் கிடையே கிடக்கும்.
b = 0 ஆயின், a என்பது நேராய் அல்லது எதிராய் இருப்பதற்கேற்ப 0= 0 அல்லது 7 ஆகும் ; a=0 ஆயின், b என்பது நேராய் அல்லது
37ア
எதிராய் இருப்பதற்கேற்ப 8 = அல்லது ஆகும்.
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 2 29.
பயிற்சி 1. சைன்9= -* ஆயின், கோசை6, தான் 9 என்பன அடையத்தக்க பெறுமானங்களைக் கண்டு, அவற்றுள் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கூட்டங் களாக அமைக்க.
や/3 ஆயின், சைன் 9, கோசை9 என்பன அடையத்தக்க
பெறுமானங்களைக்கண்டு, அவற்றுள் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கூட்டங் களாக அமைக்க.
3. 2சைன்? 9-5கோசைடி-4 = 0 ஆயின், சைன் 9, கோசை 9 என்பன வற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
4. 8 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
கோசை89-சைன்99 - (கோசை 9-சைன் 6) (1 + கோசை 6 சைன் 9) எனக் காட்டுக.
5. கோசை49-சைன்?9 + 1 = 0 ஆயின், சைன் 9 அடையத்தக்க பெறு மானங்களைக் காண்க.
6. 9 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்,
கோச்ைபி-சைன்6ே - 1 -2சைன்?9=2கோசை29-1 எனக் காட்டுக.
7. கோ9ை40+ சைன்சீ9 - 1 -2சைன்?9 கோசை29 எனக் காட்டுக. 8. கோசை0ே+ சைன்9ே = 1 -3சைன்?9 கோசை29 எனக் காட்டுக.
9. சீக 9+ தான் 9 = 2 ஆயின், சைன் 9, கோசை 9 என்பனவற் றைக் காண்க.
10. கோசே9-கோதா 6 = 4 ஆயின், கோசை 9 ஐக் காண்க. 11. சி.9-தான்9ே=1 +3தான்?0+3தான்49 எனக் காட்டுக. 12. சீக?9+3தான்9+ 1 = 0 ஆயின், சைன்9 பெறத்தக்க பெறு
மானங்களைக் காண்க.
18. கோதா?0-2கோசே9-2=0 ஆயின், கோசை9 பெறத்தக்க பெறு
மானங்களைக் காண்க.
14. n = 2கோசை 9+3சைன் 9 ஆயும் b = 3கோசை9+2சைன் 9 ஆயு மிருந்தால், a இற்கும் b இற்கும் 9 ஐச் சாராது நிற்குந் தொடர்பைக் காண்க.

Page 21
30 தூயகணித மூலகங்கள்
15. a = 2தான் 9+ சீக9, 6 = தான் 9+2சிக 6 என்னுஞ் சமன்பாடு களுக்கிடையே 9 ஐ நீக்குக.
16. a = தான் 9 + கோதா6, 6 = சீக*9+ கோசே?9 என்னுஞ் சமன் பாடுகளுக்கிடையே 9 ஐ நீக்குக.
17. a - 1 + சைன்9+ கோசை 9, b = 2 - சைன் 6 கோசை 9 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கிடையே 9 ஐ நீக்குக.
18. a = கோசை 9-சைன் 9, b = 1 -சைன் 6 கோசை 9 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கிடையே 9 ஐ நீக்குக.
19, 9 ஆனது 0, " என்னும் இரண்டும் உட்பட அவற்றிற்கு இடையே ஆ 2 னு றறறகு இ
சைன் 9
1 + கோசை9 யும் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தையுங் காண்க.
கிடக்கும்பொழுது என்பதன் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தை
20. 9 ஆனது 0, 4.
என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும்பொழுது கோசை9 - சைன்9 என்பதன் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையும் மிகச் கோசை9+ சைன்9
சிறிய பெறுமானத்தையும் காண்க. (star'- 1 எனக் கொள்க)

அத்தியாயம் 3
- 8,9 என்பவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
OB என்பது OA ஒடு யாதுமொரு பருமனையுங் குறியையுங்கொண்ட 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; 0B என்பது OA ஒடு - 6 என்னுங் கோணத்தை C ஆக்குக ; ஆயின், 0B, OB' என்பன 0A ஐ இற்கு எதிர்ப்பக்கங்களில் OA ஒடு ஒரே பருமனைக் கொண்ட கோணங்களை ஆக்கிக் கொண்டு கிடக்கின்றன. OB= 0B ஆகக் கொள்க. மேலுள்ள உருவத்தில், 9 என்பது நேர் எனக் கொள்ளப்பட்டது. 6 என்பது எதிராயின், B, B என்பன ஒன்றேடொன்று மாற்றப்பட வேண்டும். OB, OB என்பவற் றினுடைய சார்நிலைகள் எவையாயிருந்தாலும் பின் வரு நியாயங்கள் உண்மையாகும்.
N
в
a ro
» aam»
ل
ኵጥ'
OA இன்மீதுள்ள 0B இன்செங்குத்தெறியம் OA இன்மீதுள்ள 0B இன் செங்குத்தெறியத்துக்குச் சமன்.
OA இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்
OB - ,
OA இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம் OB"
கோசை9 =
கோசை(-8) =
". 9 இனுடைய எல்லாப்பெறுமானங்களுக்கும், கோசை (-6) = கோசை 9.
OC ஆனது OA ஒடு + என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல்,
OC இன் மீதுள்ள OB, OB என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் எதிர்குறிகளையும் ஒரே பருமனையுங் கொள்ளும்.
_00 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்
OBo
00 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்
OB s
9 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
சைன் (-8)
600éᏠ6Ꮡ↑ 6 ே
சைன்(-8) = - சைன் 9.
3.

Page 22
32 தூயகணித மூலகங்கள்
_ சைன் (-8) -சைன் 9 - தான்(- கோசை(-6) "கோசை 9" - தான் 9
சீக (-6) கோசை (-9) - đgneg 9 = oa 0.
l '. கோசே ( ー6) சைன்(-6) سیستم- T சைன் 0" -கோசே 9.
. கோதா (-8)=தான்-6--தாண்டு--கோதா6.
ா + 9, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
OB என்பது OA ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 0B என்பது ா என்னுங் கோணத்திற்கூடாக நேர்ப் போக்கிற் சுழன்றல், அது OA ஒடு 7ா + 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற 0B என்னு நிலையை அடையும். ஆயின், OA இன் மீதுள்ள OB, OB' என்டன வற்றி னுடைய எறியங்கள் ஒரேபருமனையும் எதிர் க்குறிகளையும் கொள்ளும்
.. 9இன் எல்லாப்பெறுமானங்களுக்கும், கோசை (ா + 6) = - கோசை 9.
00 என்பது OA ஒடு +. என்னுங்
கோணத்தை ஆக்குங் கோடாயின், OC இன் மீதுள்ள OB, OB' என்பவற்றி னுடைய எறியங்கள் ஒரேபருமனையும் எதிர்க்குறிகளையுங் கொள்ளும்.
. 9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், சைன் (ா +9)= -சைன் 9.
சைன் (π + θ) - சைன் 6
*+吻一斋酱壬激一壬菇一*
. சீக (7+9)=r+6=-சீகபி.
.. கோசே (ா + 6) = - - கோசே 9.
சைன் (ா + 9)
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 33
T -9, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், கோசை (ா + 9) = -கோசை 9.
6 என்பதை - 9ஆல் இடம் பெயர்க்க, நாம் பெறுவது,
9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் கோசை (π -6) = - கோசை{-6)
- - கோசை 9.
சைன் (ா + 9) = -சைன் 9 ஆகையால், நாம் பெறுவது
9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்
சைன் (ா - 9) = -சைன் (-6) = சைன் 6.
தான் (ா-6) = -தான் 0. சிக (ா - 6) - - சிக 6. கோசே (ா - 9) = கோசே 9.
S+ 9, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
OC GT637 Ligi OA FI@ +, என்னுங்
கோணத்தை ஆக்குக ; OB என்பது 00 ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. ஆயின்
0B என்பது OA ஒடு S+0 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும். A/ Ο A
0B ஆனது 00 ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
00 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்
கோசை 9 = OB
A0 என்பது A இற்கு நீட்டப்பட்டால், 04' என்பது 00 ஒடு +என்னுங்
கோணத்தை ஆக்கும்,
04 இன் மீதுள்ள 0B இன் எறியம்
. Ο Β 04 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம் OB
.. சைன் 9 =

Page 23
34 தூயகணித மூலகங்கள்
OB என்பது OA ஒடு + 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
கோசை(+ 0-丝 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்
2 OB
ass(+9)=? இன் மீதுள்ள 0B இன் எறியம்
2丁*/ OB
.. :) (.01 எல்லாப்பெறுமானங்களுக்கும் சைன் (赛 -- ) = கோசை 9,
Tr கோசை ( -- 9) = -சைன் 9
ဧze:"(?:+ /) கோசை 9 .. தான்(+ ) مجھ\ =ے . Z= ””"“”9 = - கோதா 69
கோசை(+ 9) - சைன் 9 '. கோதா (+)- -தான் 9 ; *. இக (3+2)=-கோசே6;
", கோசே ( -- 0)- இக 6.
-9, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
மேலுள்ள முடிபுகளில் 9 என்பதை -6 ஆல் இடம் பெயர்க்க நாம் பெறுவன
၈ဖစေး(? 9) = கோசை( - 9) - கோசை 9,
கோசை(- )- - சைன்(- 9) - சைன் 9,
27စေး (? -) = - கோதா (-8) = கோதா9,
சோதா(:-)= தான் 9,
இக (-)-canoeb,
கோசே (-0) = ge 6,

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 35
響+9 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
(+ o) = ass(t+ 十 9) === -- ᎧᏡ0Ꮺj6ᏡᎢ (, -- 9) = - கோசை 9, கோசைே -- o) == கோசை(? -- -- 9) ബ= − கோசை (, 十 )=சைன் ፀ,
6Ꮘ.ᏪᎶᎼᎢ (圣 -- 9) கோ(ை -- o)
கோதாரே+ ) ய -தான் 9.
தான்(+ 0)- --கோதா 8.
இக (; + e) = கோசே 9. கோசே (g -- ) - - சிக9.
இரு கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கோணம் பற்றி அவற்றுள் ஒரு கோட்டின்
மீதுள்ள மற்றைக் கோட்டின் எறியம். OB என்னும் ஒரு கோடு OA என்னும் ஒரு கோட்டோடு (யாதுமொரு பருமனையுங் குறியையுங் கொண்ட) 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல்,
OAஇன் மீதுள்ள OB இன் எறியம் OB 04 இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம்=0B கோசை 9.
கோசை 9
حس P0 என்பது PC இன்போக்கு
\6{ -جلام. OB இன்போக்கோடு ஒன்ற C கும்படி 0B இற்குச் சமாந்தர Ρ 3. மாயும் நீளத்தாற்சமனயுமுள்ள هر^; f
வேறெரு கோடாயின், OA இன் மீதுள்ள P0, 0B என்பன ۔۔ن۔۔۔۔۔۔۔لُ... ?لاکھ வற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரு பருமனையுங் குறியையும் கொள் ளும் ; OA ஒடு PQ ஆல் ஆக்கப்படும் கோணமும் 9 ஆகும்.
. PQ என்னும் யாதுமொரு கோடு OA ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OA இன் மீதுள்ள PQ இன் எறியம் PQ கோசை 9 ஆகும்.

Page 24
துயகணித மூலகங்கள்
SS -----------تچg|----
TT 00 என்பது 04 ஓடு + ' என்னும் கோணத்தை ஆக்குங் கோடாயின்
00 இன் மீதுள்ள (B இன் எறியம் " ( = - f
.. ( இன் மீதுளள 0.1 இன் எறியம் = 0B சைன் 0.
;لیE# 0ெ இன் மீதுள்ள ', 08 என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரே பருமனேயுங் குறியையும் சிொள்ளும்.
. P என்னும் யாதுமொரு கோடு 0.4 ஒடு பி என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினுள், 04 ஓடு 十赛 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் கோட்டின்
மீதுள்ள P) இன் எறியம் P. சைன் 的 ஆகும்.
LL SSS TTSS SSSS LL LLLLLL TTTTTTTS L0Y S SLAS SS TTKTTS SLLLLL0SSSS L TTTS LS LLLLLLLLS SS SLSLLLS uT LL L C SLuSuuuS tmTT M 0 YLTT LLLS TTTTT CGS என்னும் குப்பின்ஃளயுடையனவா முள்ள Şჯლს நாற் கோனம்.
AA0ே இன் பருமன் றி ஆயின், --
2 சைன் a -சைன் (a +8)
ஐரேக் காட்டுக. 1 -2 கோரை u--ாேசை(a+8)
தான்றி =
BAgaig,ig BC' இற்கு அளக்கப்படுங் கோண இடஞ்சுழிப்போக்காயும்
"
", அதுபற்றி நோாயுமிருத்தலால், ேே ,ெ என்பது Aே ஒடு ஆக்குங் கோனம் W, , ', தி ஆகும். AI) என்பது Aே ஒடு y ". ஆக்குங் கேனம் 1 - 1 ஆகும். '', 100 என்பது நீட்டிய AB என்பதைச் சந்திக்கும்படி நீட்டப்பட்டால், BA
இலிருந்து 10 இற்கு அளக்கப்படுங்
கோனம் வலஞ்சுழிப்போக்கையும்
a十8 என்னும் பருமனேயுங் கொண் டிருக்குமெனக் காணப்படும்; அதற்குக்
1ாரணம் ஒரு முக்கோணத்தின் புறக்
கோணம் இரண்டு அகக் கோணத்தின் மொத்தம் என்பதே. எனின் Aே ஒடு 10 ஆல் ஆக்கப்படும் கோணம் - (α 十8) ஆகும். யாதுமொரு கோட்டின் மீதுள்ள 0ே இன் எறியம் அக்கோட்டின் மீதுள்ள BA, AI), 100 என்பனவற்றினுடைய எறியங் களின் மொத்தத்திற்குச் சமன்.
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 ፵7
Aே இன் மீதுள்ள எறியங்களே எடுக்க, நாம்பெறுவது, BO (GaG rTG77),f qf = BA -- AD (3a5IT&7*73T (TT — a.) —+- D0 @a5"TG27:# ( — cI. —B)
= 0 -20 கோசை n + 1 கோனா (1+8), BA 20 十絮 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் கோட்டின் மீது எறியங் களே எடுக்க, நாம் பெறுவது,
BG 67.5 h = 0+ AD 6345 (T – q) + a G5 (I – a – B)
=24சைன் (1-4சைன் (a+8) ரி என்பது 0, 1ா என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கவேண்டும்.
1-2 கோசைய+ கோசை(a +B) = 0 ஆயின், சோசை நி=0 :
T ஆகவே, தி = 1-2 கோசை a + கோசை (a + 吕) என்பது பூச்சியமான்றெனின்,
னோன் . - சைன் (1+ B) 1-2கோசைக+ கோரை (a +8)
தான்றி
இக்கோவை நோய் அல்லது எதிராய் இருப்பதற்கேற்பி, தி என்பது கூர்ங்கோணமாய் அல்லது விரிகோனமாய் இருக்கும்.
பயிற்சி. என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்க,
1. ர, ழ என்பன 0,
- சைன் a > கோசை y ஆயின், 2 + ... என நிறுவுக.
التعد
т 2. ர, ழ என்பன ,ெ என்பனவற்றிற்கு இடையேகிடக்க,
{ - -- : TT - 1 -
கோரையே + கோசை y < 1. ஆன் 2 十W> என் நிறுவுக.
3, 2, g என்பன 0, T என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்க, கோசை r+ கோசை மு 20 ஆயின் E + y * T என நிறுவுக.
TT - . , || || || என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்க,
தான் 22 கோதார ஆயின், க + y >驾 என நிறுகே.

Page 25
38 தூயகணித மூலகங்கள்
3 3 5. π< α < . ஆயும் ?0 ஆயும் இருந்தால், 3 + g> 3ா என நிறுவுக.
6, 9 என்பது யாதுமொரு கோணமாயின்,
கோசை 9+ கோசை (e -- 繁) + கோசை (0+ 繁)- 0 என்றும்
சைன் 9+ சைன் (e -H 繁)+ 65F6T (e -- 鄂) 三{) என்றுங் காட்டுக. (தக்க கோடுகளின் மீது சமபக்க முக்கோணம் ஒன்றி னுடைய பக்கங்களுடைய எறியங்களை ஆராய்க.)
ஒரே கோசைன் கோணங்கள். OB என்பது OA ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 0B ஆனது இந்நிலையிலிருந்து தொடங்கி +2ா அல்லது -2ா என்னுங் கோணத்திற் கூடாகச் சுழன்றல், அது பின்னும் அதே நிலையை அடையும்.
". எல்லா 9 இற்கும், கோசை(2ா + 9) = கோசை9 = கோசை( -2ா+ 9);
.. கோசை(4ா+6)=கோசை(2ா+2ா+6) = கோசை(2ா+6) = கோசை 9. கோசை( -4ா+6)=கோசை (-2ா+6-2ா) = கோசை (9-2ா) = கோசை 9. பொதுவாக, m என்பது யாதுமொரு நேர்முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்ணுயின், எல்லா 9 இற்கும் கோசை(2nா + 9) = கோசை 9 என்பது பெறப்படும்.
OB, OB' என்பன O இனுடாகச் செல்லும் சமநீளக்கோடுகளாயின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந்தும் பொழுதாயினும் அல்லது OA ஐக் குறித்துச் சமச்சீராயிருக்கும் பொழுதாயினும் OA இன்மீதுள்ள OB, OB' என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரேயளவினவாகும் , வேருெருவகையிலும் அவை அவ்வாறகா. OB, OB' என்பன OA ஒடு முறையே 6, -9 என்னும் கோணங்களை ஆக்கினல், அவை OA ஐக் குறித்துச் சமச்சீராகும்.
ஆகவே, 0B, OB' என்பன OA ஐக்குறித்துச் சமச்சீராயிருக்க OB என்பது OA ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OB' என்பது OA ஒடு 2nா - 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ; இங்கு m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்ணு
யிருந்தால், 9 ஓடு ஒரு கோசைனுள்ள எக்கோணமும் 2nா + 9 அல்லது 2mா - 6 என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.
.. m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்ணு மிருந்தால், 9 ஓடு ஒரு கோசைனுள்ள கோணங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு பொதுக் கோவை 2nா + 9 என்பதாகும்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 39
ஒரே சைன் கோணங்கள்.
9 என்பது யாதுமொரு கோணமாயின், m என்பது யாதுமொரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது கோசைனிற் போல நாம் பெறுவது
சைன்(2mா + 6) - சைன்9.
0B, OB' என்பன O இனூடாகச் செல்லுஞ் சமநீளக் கோடுக ளாயின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந்தும் பொழுதாயினும் அல்லது (OA SFG +. என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற) 00 ஐக்குறித்து சமச் சீராயிருக்கும் பொழுதாயினும் 00 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள அவற்றி னுடைய எறியங்கள் ஒரேயளவினவாகும் ; வேறெருவகையிலும் அவை அவ்வாருகா, OB, OB' என்பன OA ஒடு முறையே 9, 7 - 9 என்னுங் கோணங்களை ஆக்கினல்,அவை 00 ஐக்குறித்துச் சமச்சீராகும். ஆகவே OB, OB' என்பன 00 ஐக்குறித்து சமச்சீராயிருக்க, அவற்றுள் OB என்பது OA ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OB' என்பது OA ஒடு (2n + 1)ா - 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ; இங்கு n என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.
ஆகவே, n என்பது ஒரு நேர்முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்ணு யிருந்தால், 6 ஓடு ஒரு சைனுள்ள எக்கோணமும் 2mா + 9 அல்லது (2n+1)ா - 6 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும்.
ஆகவே, m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண் அல்லது எதிர் முழுவெண்ணு யிருந்தால், 9 ஓடு ஒரு சைனுள்ள கோணங்கள் எல்லாம் 07ா + (-1)"9 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும்; அதற்குக் காரணம் n ஒற்றை யெண்ணுயின் (-1)" என்பது -1 ஆயும் அன்றி இரட்டையெண்ணுயின், அது + 1 ஆயும் இருக்கும் என்பதே.
ஒரே தாஞ்சன் கோணங்கள்
எல்லா 9 இற்கும் தான் (ா +9) = தான் 6 என்று இதற்குமுன்னே
நிறுவப்பட்டது.
.. தான் (2ா + 6) - தான் (ா +ா + 6) = தான்(ா + 6) = தான் 9, தான் (3ா + 6) = தான் (ா + 2ா + 6) = தான் (2ா + 6) = தான் 9
பொதுவாக, n என்பது ஒருநேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது,
தான் (mா + 6) = தான் சி. இனி, தான் (-ா + 6) = தான் (ா + 9-ா) = தான் 6.

Page 26
40 தூயகணித மூலகங்கள்
பொதுவாக, 10 என்பது ஒரெதிர் முழு வெண்ணுயிருக்கும்பொழுது,
தான் (mா + 6) = தான் 9.
.. m என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண் அல்லது எதிர்முழுவெண்ணு யிருக்கும்ாெபழுது, எல்லா 8 இற்கும்,
தான் (mா + 6) = தான் 6.
அதாவது n என்பது ஒரு முழு வெண்ணுயிருக்கும்பொழுது (nா + 6) என்னும் வடிவத்திலுள்ள எக்கோணமும் 9 ஓடு ஒரு தாஞ்சன் உடையது.
வேறெரு கோணமும் 9 ஓடு ஒரு தாஞ்சன் உடையதாகாதென்பது எளி திற் காணலாம்.
9 என்பது தந்த ஒரு கோணமாயின், நாம் (நேர் அல்லது எதிர் அல்லது பூச்சியமாயுள்ள) ஒரு தனி முழுவெண் p என்பதை, pா + சி ஆனது 0,ா என்பனவற்றிற்கிடையே 7 அன்றி 0 உட்பட (அதாவது 02றா + 9<ா ஆகும்படி) காணலாம். pா + 9 என்னுங் கோணம் 9 ஒடு ஒரே தாஞ்சன் உடையது. தி, என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும் ஒரு மாறுங் கோணமாயின், தி ஆனது இவ்வீச்சிற்குள்ளே கூட, தான் தி ஆனது நேர்க்குறியுள்ளதாய் உறுதியாகக் கூடும். தி என்பது
. ா என்பனவற்றிற்கு இேைடய கிடந்தால், b ஆனது T-0 என்னும்
வடிவத்தைக் கொள்ளும் , இங்கு a என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு
இடையே கிடக்கும் ; தான் தி=தான் (ா -d) = -தான் a, b ஆனது 氯 ா என்பனவற்றிற்கிடையே கூடுதலுற, a ஆனது 0 என்பன
வற்றிற்கு இடையே குறைதலுறும் ; ஆயின், தான் a என்பது நேர்க் குறியோடு உறுதியாகக் குறைதலுறும். ஆகவே, தி ஆனது ή, π.
என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற, தான் தி ஆனது எதிர்க் குறி யோடு உறுதியாகக் கூடுதலுறும். ஆகவே, 0, 1ா என்பனவற்றிற்கு இடையே (ா அன்றி, 0 உட்பட) ஒரே தாஞ்சனுள்ள இருகோணங்கள் இல்லை என்பது பெறப்படும்.
ஆகவே, n என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்க, 9 என்பது தந்த ஒரு கோணமாயின், 8 ஒடு ஒரேதாஞ்சனுள்ள கோணங்கள் எல்லாம் mா + சி என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 4.
ஆவர்த்தனம்
மாறுங் கணியம் பெறுமானம்பற்றி வேறெரு மாறுங்கணியம் ஐச்சார்ந்தால், அது 0 இன் சார்பு எனப்பட்டு f (2) என்பதனற், குறிக்கப்படும். k என்பது (பூச்சியமல்லாத) මෙ மாறக்கணிமாயிருக்க அச்சார்பில் 2 என்னு மாறி b + 2 என்பதால் இடம் பெயர்க்கப்படும் பொழுது அச்சார்பின் பெறுமானம் மாறவில்லை எனக் காணப்பட்டால், அச்சார்பு ஆவர்த்தனமுள்ளதெனப்படும் ; அதாவது, k என்பது ஒரு நிலையான மாறிலியாயிருக்க, எல்லா 2 இற்கும் f (2) + k ) =f(a) ஆயின், f (2) என்பது ஆவர்த்தன முள்ளது ; எல்லா 20 இற்கும் f (a + k) =f(a) ஆயின், f (2 + 2k) = 2(a + b + c) =f(a + c) =f(a) ; பொதுவாக, n என்பது ஒருநேர் முழுவெண் அல்லது எதிர்முழுவெண்ணுயிருக்கும் பொழுது, f(a + mk) =f(a).
f(a + c) = f(a) ஆகுமாறு உள்ள k இன் மிகச் சிறிய நேர்ப்பெறு
மானம் f(a) இன் காலம் எனப்படும். :
இவ்வரைவிலக்கணத்திலிருந்து சைன் a, கோசை a என்பன 2ா ஐத் தங்காலமாகவுள்ள 30 இனுடைய ஆவர்த்தனச் சார்புகள் என்பதும் தான் a என்பது 7 ஐத் தன்காலமாகவுள்ள ஓர் ஆவர்த்தனச் சார்பு என்பதும் பெறப்படும்.
திரிகோண கணிதச் சார்புகளுடைய வரைப்படங்கள்.
g = சைன் 0.
a என்பது ஆரையனில் அளக்கப்படுங் கோணமாகயிருக்க, y = சைன் 30 ஆகுக. a=0 ஆகும்பொழுது y=0, "= ஆகும்பொழுது 3/=1.
2 என்பது 0 இலிருந்து இற்குக் கூடுதலும்), g என்பது 0 இலிருந்து
1 இற்கு உறுதியாகக் கூடுதலுறும்.

Page 27
42 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, a=0, 2= என்பனவற்றிற்கு இடையே 2 இற்கு எதிரான g இன் வரைப்பிடம் (0, 0) என்னும் புள்ளியிலிருந்து (, .) என்னும் புள்ளிக்கு உறுதியாக எறும் ஒருவளைகோடாகும்.
y
--
ܢܣܦܚܝ
一观
百
قد
订
一赛
瑟
万
획
X
2
γν
g - சைன் 0.
9 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்,
சைன் (; - 9) =கோசை 6 = சைன் (3+ 8):
ஆகவே, y= சைன் z. என்னும் வரைப்படத்தில் - 0, + 6 என்பன வற்றைத் தங்கிடைத் தூரங்களாகவுள்ள புள்ளிகளுக்குச் சமநிலைத்தூரங்கள் உண்டு. ஆகவே, அவ்வரைப்படம் 可” 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக மு அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய்ச் செல்லுங் கோடு பற்றிச்சமச்சீராதல் வேண்
டும்.
ஆகவே, *ー署 2 =ா என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள வரைப்படப்பகுதி யானது a = 0, 3 = 1ா என்பனவற்றிற்கு இேைடயயுள்ள முழுவரைப் படமும்  ை= என்னுங் கோடுபற்றிச் சமச்சீராகும்படி (3. .) என்னும் புள்ளியிலிருந்து (ா, 0) என்னும் புள்ளிக்கு உறுதியாக இறங்கும்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 43
இனி, எல்லா 9 இற்கும் சைன் (ா - 9) = சைன் 9, சைன் (ா + 8) = - சைன் 8. ஆகவே, g = சைன் 2 என்னும் வரைப்படத்தில் ா - 9, 1ா + 9 என்பனவற்றைத் தங்கிடைத்தூரங்களாகவுள்ள புள்ளி களுக்குப் பருமனிற் சமமுங் குறியில் எதிருமாயுள்ள நிலைத்தூரங்கள் உண்டு. எனின், a = r, a = 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள வரைப்படப் பகுதி  ைஅச்சிற்குக் கீழே a = 0, 3=ா என்பனவற்றிற்கு
இடையேயுள்ள பகுதியின் வடிவையுடையதாய்க்கிடக்கும். Ꭷ00ᏧᏠᎧᏡᎢ Ꮖ; என்பது ஆவர்த்தனமுடையதாயும் 2ா என்பதைத் தன்காலமாய்க் கொண்டதாயும் இருக்கின்றமையால், a=0, 20-2ா என்பனவற்றிற்கு இடையே பெறும் வளைகோடு a = 2ா, a = 4ா என்பனவற்றிற்கு இடை யிலும், 2 = 47, 2 = 6ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இவ்வாறே பிற பெறுமானங்களுக்கும், இன்னும் 2= -2ா, a=0 என்பனவற் றிற்கு இடையிலும், 3 = - 4ா, a = -2ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இவ்வாறே பிறபெறுமானங்களுக்குந் திரும்பச் செய்யப்படும்.
a ஆனது 0 இலிருந்து இற்குக்கூட, சைன் 2 ஆனது உறுதியாகக்
o 7了 37 ۔۔۔۔۔۔T / ہSشہر شہ கூடியும், பின் 2 ஆனது இலிருந்து இற்குக் கூட அது உறுதி
யாகக் குறைந்தும், அதன்பின் 2 ஆனது இலிருந்து 27 இற்குக்
கூட அது உறுதியாகக் கூடியும் நிற்கும்.
g = கோசை 20 ஆகுக.
9 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், கோசை 9 = சைன் ( 6-- 5): ஆகவே, g = சைன் 2, g= கோசை  ைஎன்னும் இரண்டு வரைப்
படங்களையும் ஆராய்ந்தால், 30 = 6-- என்பதற்கு ஒத்த சைன்வரைப்பட.
நிலைத்தூரம் a=0 என்பதற்கு ஒத்த கோசைன் வரைப்பட நிலைத் தூரத்திற்குச் சமன்.

Page 28
44 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, சைன் வரைப்படமானது முழுவதுமாக 3 அச்சின் எதிர்த் திசையில் என்னுந் தூரத்தினூடாக இடம் பெயர்க்கப்பட்டால், அது கோசைன் வரைப்படத் தோடு பொருந்தும்.
Y
N /TN / AAA
g = கோசை 0.
ஆனது 0 இலிருந்து 1ா இற்குக்கூட கோசை 20 ஆனது உறுதி யாகக் குறைந்தும், பின் 3 ஆனது 7ா இலிருந்து 2ா இற்குக்கூட அது உறுதியாகக் கூடியும், நிற்கும்.
g = தான் 30 ஆகுக.
சைன் 20 受5T50T 2= エー கோசை 0
சைன் a=0 ஆகும்பொழுது, தான் ல = 0.
.. 2=0, 3=2ா என்பனவற்றிற்கு இடையே 2 = 0, 1ா அல்லது 27 ஆகும் பொழுது தான் a = 0.
கோசை a = 0 ஆகும்பொழுது தான் 2 இருப்பதில்லை. ஆகவே,
Tr 2 வரையறுக்கப்படுகின்றதில்லை.
(0, 2r) என்பதில் 0 = அல்லது ஆகும்பொழுது தான் ல என்பது
0 < a. < என்பதில், தான் 2 என்பது நேர்க்குறியுள்ளதாயும் 2
கூடுதலுறத்தானும் உறுதியாகக் கூடுதலுறும் ஒன்றயும் இருக்கும் ;
2 என்பது என்னும் பெறுமானத்தை அணுக, சைன் 3 ஆனது

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 45
1 என்னும் டெறுமானத்தை அணுகும் ; அப்போது, கோசை 20 ஆண்க மிகச் சிறிதாயும் நேர்க்குறியுள்ளதாயும் இருக்கும் ; ஆகவே, தான் 3 ஆனது மிகப் பெரிதாகும். ஆகவே, a = 0, "= என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள y = தான் 3 என்னும் வரைப்படத்தின் பகுதி உற்பத்தி யிலிருந்து தொடங்கி a = என்னுங் கோட்டை வெட்டாது அதனை உறுதியாக அணுகிக்கொண்டு எறும் ஒருவளேகோடாகும். அவ்வளே கோடு முடிவுள்ளதன்று ; g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயும் 3= என் னுங் கோட்டிற்கு மிக அணித்தாயுமுள்ள ஒரு கோடு அவ்வளைகோட்டை 3 அச்சிற்கு மிகப் டெரிய தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்.
அவ்வளைகோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி அவ்வளைகோட்டினது நீளத திற்கு 0 அச்சிலிருந்து மிகப் பெரிய தூரத்திற்கு இயங்க, =ை என்னுங் கோட்டிலிருந்து அப்புள்ளியினது தூரம் பூச்சியத்தை அணுகும். 2=என்னுங் கோடு அம்முடிவில் வளைகோட்டிற்கு ஒர் அணுகு
கோடு என்று கூறப்படும்.
Υή
-- .حساس x f - 9 褒 " :3, Z 2 ” g
:
I
g = தான் a.

Page 29
46 தூயகணித மூலகங்கள்
0 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும், தான் (+8) = - கோதா9 என்றும் தான்(; -9) =கோதா 9 என்றும் அறிவோம். ஆகவே, g = தான் 3 என்னும் வரைப்படத்திலே தங்கிடைத்தூரங்கள் 黎一 6, + 9என்பனவாகவுள்ள புள்ளிகளுக்குப் பருமனிற் சமனுங் குறி யில் எதிருமாயுள்ள நிலைத்தூரங்கள் இருக்கும். ஆகவே, a= , 2=ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள அவ்வரைப்படத்தின் பகுதி 3 அச்சிற்குக் கீழே கிடக்கும் ; அதன் வடிவு *=蟹,*=0 என்பன வற்றிற்கு இடையிலுள்ள பகுதியினதாகும். தான் 2 இன்காலம் 7 ஆயிருக்கின்றமையால், 3=0, 3=ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள வளைகோடு 0 = r, C=2ா என்பனவற்றிற்கு இடையே மீண்டுஞ் செய்யப் படும் ; பொதுவாக, n என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயின், ல = mா, a = (n+1)ா என்பனவற்றிற்கு இடையே அது மீண்டுஞ் செய்யப்படும். a ஆனது - C என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற, தான் 3 ஆனது உறுதியாகக் கூடும். K என்பது யாதுமொரு பெரிய நேர்க்கணியமாயின் தான் 2 ஆனது இவ்வீச்சிற்குள் 2 இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கே K என்னும் பெறுமானத்தைக் கொள்ளும் ; 2 இன் இப்பெறுமானம் 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும் ; தான் 3 ஆனது இவ்வீச்சிற் குள் a இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கே - K என்னும் பெறுமானத்தைக் கொள்ளும் ; இப்பெறுமானம் - 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்
கும்.
y = கோசே 2 ஆகுக.
2=0 ஆகும்பொழுது, சைன் 30 = 0. ஆகவே, கோசே 2 என்பது இருப்பதில்லை.  ைஆனது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற கோசே 2 ஆனது நேர்க்குறியுள்ளதாய் உறுதியாகக் குறையும். ஆனது ,ா என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற, கோசே 2 ஆனது உறுதி

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 47
யாகக் கூடும். 3 ஆனது நேர்க்குறியுள்ளதாயும் பூச்சியத்திற்கு மிகவணித்தாயுமிருந்தால், கோசே 2 ஆனது நேர்க்குறியுள்ளதாயும் மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும். 3 ஆனது 7 இற்கு மிகவணித்தாய் ஆனல் அதனிலுஞ் சிறிதாய் இருந்தால், கோசே 2 ஆனது நேர்க் குறியுள்ளதாயும் மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும்.
a = 0, a = r என்பன y = கோசே a என்னும் வரைப்படத்தினுடைய அணுகுகோடுகள்.
YA
T
T
X
g = கோசே a
Cara(; vn a) - கோசே ( 十 a) ஆயிருத்தலால், வரைப்படம் ை =
என்னுங் கோடுபற்றிச் சமச்சீராகும். கோசே (ா + 2) = -கோசே (ா -2) ஆயிருத்தலால், 2 = 7, 2 = 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள வரைப்படப் பகுதி 0 = 0 0 = 7ா, என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள பகுதியின் வடிவினதாகும் ; ஆனல், அது 2 அச்சிற்குக் கீழே கிடக்கும்.
g = சீக 20 ஆகுக.
கோசே (, -- a) = சீக 20 ஆயிருத்தலால், y = சீக 2 என்னும் வரைப்படம் y = கோசே 2 என்னும் வரைப்படத்தை என்னுந்
தூரத்திற்கூடாக 2 அச்சின் எதிர்த்திசையிற் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.

Page 30
தூயகணித மூலகங்கள்
48
丑N
亚皇.身→ =纣=x安息息=----->==~=--广身
O
g = சீக 30
g = கோதால ஆகுக.
g = கோதான
கோசை ை
ஆயிருத்தலால்,
என்னும்
y = கோதா?
கோதா ை
தான் a என்பதிற்போல உடன் பெறப்படும்.
சைன் 3
வரைப்படத்தின் வடிவம் y
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 49
* 3=0, 3 = 1ா என்னுங் கோடுகள் அணுகு கோடுகளாகும்.
T 4. இனுடைய விகிதங்கள்.
OAB என்பது OA = AB ஆகவுள்ள ஒரு செங்கோணமுக்கோண மாகுக. ஆயின், z B0A = gy,60TLJaij7.
4.
சைன்"=4 கோசை7=24
4 TOB 4 OB B OA = 1 guSM6ổT, AB = 1, OB = V2.
s சைன்"= - கோசை" கான் "=1
4 「ャ/2 தான = 1.
கோணம் பாகையில் அளக்கப்படின்,
O A
சைன் 45° - கோசை 45° = / 2 தான் 45° = 1.
TT
3 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
ABC GT6ötL5 AB = BC = CA = 1 2656)|676IT FLOLJéés (pé கோணமாகுக. BW என்பது AC இற்கு வரைந்த செங்குத்தாகுக.
gyw5) aö7 AIN = 3, BN = Y, Z BAC=;.
Z. A BN = ஆயிருக்கின்றமையால்,
. ܘ ܟ ܘ . 1 AB 2 605667 30°.
கோசை مسیح -سحس- مسیح w8 - கோசை 30°,

Page 31
50 தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணங்கள்
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் a இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் பொதுவுரை தருக.
3 (i) சைன்? a - 4. (ii) கோசை a = 2 (i) சைன் a + கோசைa = 0,
(1) சைன்? a - . ஆயின், சைன் 30 = + Mف
7T T ୧୩୫ ଗଠୀ, ୪ = ୧୩୫ ଗର୍ଭା ଓ ରାଣ୍ଡ ၈zell ( -)
2=ா+(-1)" அல்லது nா+(-1)" ( -)
அதாவது, a = n t +: இங்கு 70 என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.
l (ii) கோசை0 - - - - கோசை " = கோசை (ா -" 2 3 3
т
2T .. 2 - - e. 2 一云一熹
707r士 (t 森 ገ0ገr =+ 3
இங்கு ? என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.
(ii) சைன் 2 + கோசை 2 = 0 ஆயின், கோசை 2 என்பது பூச்சியமா காது ; அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : கோசை 20 = 0 ஆயின், சைன் 30
என்பது + 1 ஆகும் ; ஆகவே, சைன் a + கோசை 20 என்பது பூச்சிய மாகாது.
ஆகவே, நாம் கோசை 2 ஆல் வகுத்து அச்சமன்பாட்டை தான் a + 1 = 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதலாம்.
.. தான் a = -1 = -தான்"= தான் ー空)
4 4. -. z= nzt + (—T)= nt —T.,
இங்கு n என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 3 51.
பயிற்சி
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(1) கோசை a - கோசை?0 = 0. (2) சைன் a + 2 சைன்? a = 0.
(3) தான் a + கோதா 0 = 2. (4) 2 சீக a - சிக2a = 0.
(5) சைன் 2a + கோசை a = 0. (6) கோசை3a + கோசை 5a = 0.
(1) சைன் 2a + சைன் 30-0. (8) தான் 20 + தான் 30 = 0.
(9) கோதா a + கோதா 20 = 0. (10) தான்? 0 = தான்?2ல. (11) தான் 3a + கோதா 2a = 0. (12) கோசே a - சிக 5a - 0.
(13) சைன்? a + (A/3 + 1) சைன் லகோசை 2 + v3 கோசை2 a = 0.
(14) கோசை? a + சைன் a கோசை a + 2 சைன்? a = 1.
நேர்மாறுசார்புகள்
சைன் g = 0 ஆயின், g = சைன்" a என எழுதுகின்றேம். ஒரு கோணத் தின் சைன்ஆனது -1 இலுஞ் சிறிதாய் அல்லது 1 இலும் பெரிதாய் இருக்க முடியாதாகையால், -1 Sa *1 ஆயிருக்கும்பொழுதே சைன்" 0 இற்குப் பொருள் உண்டு. இவ்வீச்சிற்குள் a இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் சைன்" 20 இற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். a என்பது அதனுடைய பெறுமானங்களுள் ஒன்ருயின் m என்பது யாது மொரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது mா + (-1)" a என்பதும் ஒரு பெறுமானமாகும். நாம் சைன் "ல என்பதன் பெறுமானத்தை - 2 என்பனவற்றிற்கிடையே (அவையிரண்டையும் உட்படுத்திக்) கிடக்கும்படி கட்டுப்படுத்தினல், -1, + 1 என்பவற்றை உட்படுத்தி அவற்றிடையிற் கிடக்கும் 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் ஒத்ததாய் சைன்"a இற்கு ஒரு பெறுமானமே இருக்கும். அது சைன் "a" இனுடைய தலைமைப் பெறுமானம் எனப்படும. 30 = 0 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் பூச்சிய
மாகும் ; a=1 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் T ஆகும் ; a = - 1 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் - ஆகும். 0

Page 32
52. தூயகணித மூலகங்கள்
கோசை y = 0 ஆயின், g = கோசை" 0 என எழுதுகின்றேம். ஆயின், - 1 Sa < 1 ஆகும்பொழுதே கோசை'a என்பது உண்டு. இவ்வீச் சிற்குள் 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் கோசை"a இற்கு எத்தொகை யான பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். அப்பெறுமானங்களுள் a என்பது ஒரு பெறுமானமாயின், 70 என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது 2nா + a என்பதும் ஒரு பெறுமானமாகும். கோன ச'ல என்பது 0, ா என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும்படி கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், மேலுள்ள வீச்சில் 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் கோசை'ல இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு. இது கோசை'ல இனது தலைமைப் பெறுமானம் எனப்படும்.
2 = தான் g ஆயின், y = தான்'a என எழுதுகின்றேம். மேலுள்ள இரு நேர்மாறு சார்புகளைப்போலன்றி தான்" a ஆனது 3 இன் ஒவ் வொரு பெறுமானத்திற்கும் உண்டு. 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் தான்"a என்பதற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். அப்பெறுமானங்களுள் 0 என்பது ஒரு பெறுமானமாயின், n என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது 1ா + 0 என்பதும் ஒரு பெறுமான
மாகும். தான்'a என்பது - π என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்
2
படி கட்டுப்படுத்தப்பட்டால்,  ைஇன் எப்பெறுமானத்திற்கும் ஒத்ததாய் தான் "10 இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு. இப்பெறுமானம் தான்." 2 இனது தலைமைப் பெறுமானம் எனப்படும். 0 - 0 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் பூச்சியமாகும் ; a > 0 ஆயின், தலைமைப்பெறுமானம் 0, T என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் ; a < 0 ஆயின், தலைமைப் பெறு
LOIT607th - 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்.

அத்தியாயம் 4
கூட்டற்சூத்திரங்கள்
OP என்பது OA ஒடு d என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; OB என்பது OP ஒடு 8 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; ஆயின், OB என்பது 04 ஓடு a + 8 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும். OA இன்மீது 0B இன் எறியம் OB கோசை (a + 8) ஆகும். OM என்பது OP இன் மீதுள்ள OB இன்எறியமாகுக. ஆயின், OP இனது திசையில் ஒரு நீளமாகக் கொள்ளப்படும் OM ஆனது OBகோசை 8
-G5 un ; OP ஒடு+ என்னுங்
கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் ஒரு நீளமாகக் கொள்ளப்படும்
MB ஆனது OB சைன் 8 ஆகும். OP ஒடு +. என்னுங் கோணத்தை
ஆக்குந் திசை OA ஒடு T + a என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்.
OA இன் மீதுள்ள OB இன் எறியம் = OA இன்மீதுள்ள OM இன்
எறியம் + OA இன் மீதுள்ள MB இன் எறியம். *. OB கோசை (α -- B) = OM கோசை a + MB கோசை (a +2)
= 0Bகோசை a கோசை8-0Bசைன் 8சைன் a. .. கோசை (a +8) = கோசைa கோசை8-சைன் a சைன் 8. OA gợGB -- என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங் கோட்டின்மீது எறியங்களை எடுக்க, நாய் பெறுவது
OBகைன் (a +8) = 0Bகோசை8சைன் a + OB சைன் 8சைன் (a 十 ..) . சைன் (a +8) = சைன் a கோசை8+ கோசைa சைன் 8. இச் சூத்திரங்கள் எப்பருமனையுங் குறியையுங் கொண்ட கோணங் களுக்கும் உண்மையாகும்.
8 என்பதை - 8 ஆக மாற்ற, நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம் -
கோசை (a-8) = கோ8ை a கோசை (-8) - சைன் a சைன் (-8)
= கோசை a கோசை8+ சைன் a சைன் 8; சைன் (a-8) = சைன் a கோசை (-8) + கோசைa சைன் (-8).
= சைன் a கோசை8-கோசைa சைன் 8.
53

Page 33
54 தூயகணித மூலகங்கள்
கோசை (a +8) 40 ஆயின்,
சைன் (a + 8) _ சைன் a கோசை8+ கோசை a சைன் 8 கோசை (a +8) கோசை a கோசை8 - சைன் a சைன் 8
தான் (a + 8) =
கோசை a, கோசை 8 என்பன பூச்சியமல்லாதனவாயின், தொகுதியை
யும் பகுதியையும் நாம் கோசை a கோசை8 ஆல் வகுக்கலாம்.
தான் a + தான் 8 1 - தான் a தான்3
i. தான் (a +8) =
B என்பதை ( -B) ஆக மாற்ற,
தான் a - தான் 8
தான் (a
சைன் (a +8) + சைன் (a-8) = 2 சைன் a கோசை8.
(oa. — சைன் (a +8) - சைன் (a-8) = 2 கோசைa சைன் 8. கோசை (a +8) + கோசை(a-8) = 2 கோசை a கோசை8.
கோசை (a +8) - கோசை (a-8) = -2 சைன் a சைன் 8.
ஃ a + 8 = 9 ஆயும் a -8= தி ஆயுமிருந்தால், நாம் பெறுவன,
சைன் 0+ கைன் தி = 2.೧೮ನ'?Garagoo,
சைன் 9 - சைன் தி = 2கோசை?ேன்ை??
2.
கோசை 9 + கோசை தி = 2 கோசை கோசை 9t.
கோசை 6 - கோசைதி - - 2 சைன் o* சைன் (9 ,
.0-#-qq-- 0 = 2 சைன் "சைன்
ତtତର୍ଦtuତ୪t.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 4 55
பயிற்சி 1. சைன் (a + g) சைன் (a-g) - சைன்?ல - சைன்?g என்றும்,
கோசை (a+g) கோசை (a-g) = கோசை22 - சைன்?g என்றுங் காட்டுக.
2. r, a என்பன 2 ஐச்சாராவாயின் 3 சைன் 3 + 4 கோசை a என்பது rகோசை (a-a) என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாமெனக் காட்டுக ; 2 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் 3 சைன் a + 4 கோசை 2 என் பதற்கு - 5 என்னும் இழிவுப் பெறுமானமும் 5 என்னும் உயர்வுப் பெறுமானமும் உண்டெனக் காட்டுக. இழிவுப் பெறுமானம் பெறப்பட்ட 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு பொதுக்கோவை தருக.
3. கோசை0 + கோசைg = 1 ஆயின், சைன் a + சைன்று என்பது - V3, + V8 என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்படக்) கிடக்க வேண்டுமெனக் காட்டுக.
4. கோசை a + கோசை g + கோசை 2 = 0 ஆயும்
சைன் a + சைன் g + சைன் 2 = 0 ஆயுமிருந்தால், கோசை (0 -g) = கோசை (g -2) = கோசை (Z -2) = - எனக் காட்டுக.
5. தான் (a + g) = தான் a + தான் g ஆயின், 2, g, a + g என்பன வற்றுள் ஒன்ருதல் 7 இன் (பூச்சியம் உட்பட) மடங்காதல் வேண்டுமெனக். காட்டுக.
6, 2 + y = r -ன ஆயிருக்க, 0, y, z என்பன இனுடைய ஒற்றை
மடங்குகளல்லனவாயின், தான் a + தான் g + தான் 2 = தான்  ைதான்று தான் 2 எனக் காட்டுக.
7. சைன் a + சைன் 20 + சைன் 30 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க; m என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்கும் பொழுது உமது தீர்வையை
2 .掌 அல்லது 2mா L "; என்னும் வடிவத்திற் பெறுக ܘܒܢܒ 42
TT T. 豆”互 தான் 2 -தான்று > சைன் (a-g) எனக் காட்டுக.
8. a, g என்பன - என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால்,
9. தான் (, 十 2) = 4 தான் (, ܚ a) என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க,
4———J. N. IB 66342(6157)

Page 34
56. "தூயகணCத மூலகங்கள்
10. சைன் a + சைன் g + சைன் (a + y) = 0 ஆயின், 3+று என்பது ரா இன் இரட்டைமடங்காகும் அல்லது 2, g என்பனவற்றுள் ஒன்றதல்ா இன் ஒற்றை மடங்காகுமெனக் காட்டுக.
11. கோசை a+கோசை g = 1 ஆயும், சைன் a + சைன் மு = 1 ஆயுமிருக்க, n என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயின், 3 + g = (2n + 1)ா எனக் காட்டுக. 20 ஆதல் g ஆதல் 2ா இன் ஒரு மடங்காக வேண்டுமெனக் காட்டுக.
12. a, 8 என்பன தந்த கோணங்களாயின்,
கோசை a கோசை (9+8) + சைன் a கோசை (9-8) என்பதனுடைய உயர்விழிவுப்பெறுமானங்களை 9 இனுடைய எல்லாப்
a TT . 7. பெறுமானங்களுக்குங் காண்க : 8, a - 5166TU66) இனுடைய ஒற்றை மடங்குகளல்லனவாயிருக்கும்போது, பெற்ற உயர்வுப் பெறுமானத்திற்குரிய 9 இன் பெறுமானம் தான் 6 = தான் 8 தான் (-1) என்னுகு சமன் பாட்டைத் தீர்க்குமெனக்காட்டுக.
13, 20 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்
2 சைன் 2+ கோசை 2< v (1+x) எனக் காட்டுக.
14, 3 அல்லது g என்பது ரா இன் ஒற்றை மடங்குகளுள் ஒன்றெனக் காட்டிக் கொண்டு,
கோசை a + கோசை g + 4 - 0
v3
2 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
சைன் 3 + சைன் g +
மடங்குக் கோணங்களுடைய விகிதங்கள்
a, g என்பன இரு கோணங்களாயின், சைன் (x + y) = சைன் x கோசைy + கோசைx சைன் y, கோசை (x + y) = கோசை x கோசை y - சைன் X சைன் y; g = 0 எனப்பிரதியிட, நாம் பெறுவன சைன் 2x - 2சைன் X கோசை X,
கோசை2x - கோசை2x - சைன்?x என்பன.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 4 57
கோசைலே = 1 - சைன்லே ஆயும் சைன்லே = 1 - கோசைன ஆயும் இருத் தலால், நாம் பெறுவன,
கோசை?x= 4 (1+ கோசை 2x), சைன்?x= (1 - கோசை2x) என்பன. கோசை 2x40 ஆயின், தான் 2x = 635 sst 2x
கோசை2x _2 சைன் x கோசைx
கோசை?x-சைன்?x கோசை 2 உம் பூச்சியம் அன்றெனின், கோசைa ஆலே தொகுதி பகுதிகளை வகுக்க நாம் பெறுவன,
தான் 2x- 2தான் x
1 -த ແທ້ຈິs கோசைa ஆனது பூச்சியமன்றெனின், சைன்2, கோசை20 என்பன வும் தான்ற இற் பின்வருமாறு உணர்த்தப்படலாம் ;
சைன் 2x= 2 சைன் X கோசைx = 2 சைன் x கோசைxசைன் X கோசை x கோசை?x + சைன்?x
2 தான் X
1+ தான்?x கோசை?x - சைன்?x 1 - தான்?x
கோசைxே + சைன்xே 1+தான்?x
கோசை2X
: என்பதை s ஆல் இடம்பெயர்க்க, கோசை40 ஆகும் பொழுது நாம் பெறுவன,
x X 2தான் சைன் X-2 சைன் ட் கோசை ட்- - ,
2 1 + தான்?
2
X 1. -தான் கோசைx= கோசை*-சைன்" = - s
2 1 +தான்?
2
X 2 rதான
தான்x= என்பன.
1 - கான்?'ட் 占 2

Page 35
58 தூயகணித மூலகங்கள்
சைன் 3x = சைன் (2x+x) - சைன் 2x கோச்ைx+ கோசை 2x சைன் X
-2 சைன் X கோசை X. கோசைx+ சைன் X (1-2 சைன்?x) =2 சைன் X (1 - சைன்?x) + சைன் X(1-2 சைன்?x)
=3 சைன் X-4 சைன்3 X.
கோசை 8x= கோசை (2x+x) = கோசை2x கோசைx - சைன் 2x சைன் X = கோசை X (2 கோசை?x-1) - சைன் X. 2 சைன் X கோசை X =2 கோசை8x-கோசை X-2 கோசைx (1 - கோ8ை2x)
= 4 கோசை8X-3 கோசை X.
கோசை 3040 ஆயின்,
கோசை a என்பதும் பூச்சியமன்றெனின், கோசைனே ஆலே தொகுதி யையும் பகுதியையும் வகுக்க நாம் பெறுவது,
3தான் x சிக2x-4 தான்9x
m6öI 3x= 莎 4 -39s x
_3தான்x (1+ தான்?x) -4 தான்?
4-3 (1 + தான்?x)
_3தான் x-தான்?x
1 -35T six
20 என்பதை 3 என்பதால் இடம் பெயர்க்க, நாம் பெறுவன,
r Χ Χ சைன் X - 3 சைன் - 4 சைன்°,
3 3
X கோசை x- 4 கோசை8 -8 கோசை 3.
X X 3தான் -- தான் தான் X = --- என்பன.
1 - 3 தான்

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 4 59
உதாரணங்கள் : -
(1) சைன்னே, கோசைல என்பனவற்றை கோசை 20, கோசை 40
என்பனவற்றில் உணர்த்துக.
6)
சைன்லே - (சைன்aே)2= ( - கோசை }
= (1.2கோசை20+ கோசை?2a)
1 -- ဖျertz)
2
-- கோசை 20+ கோசை 40.
1 + கோசை
- ( -2கோசை20+
2 = {1 + 2 கோசை 20+ கோசை2ேa)
-(1+2 கோசை % + I +Gၾမr4-)
கோசை4a = (கோசைலே)2= (
2 = 3 + 4 கோசை 2a + கோசை 40.
(2) の十y十z=7 -認cmaö7,
சைன்ஸ் + சைன்று + சைன்2= 4கோசை கோசைசோசை
சைன்ன+ சைன்g = 2சைன் 2 2கோசை
=2சைன்" -f கோசை"!
2 2 2
=2கோசைகோசை e-y
2 2
.. சைன் a + சைன் g + சைன் 2 - 2 கோசைகோசை2+
2 z 2 行′(劲
சைன கோசை
= 2 கோசை (---- -- சைன் نهٔ 基)
2
2ー+ー3/ 2
= 2 கோசை (கோசை + கோசை
=4 கோசை கோசை கோசை

Page 36
60 தூயகணித மூலகங்கள்
(3) 3 + g + 2 -ா ஆயின்,
கோசை 2 + கோசை g + கோசை 2<.
கோசை"4 --
கோசை a + கோசை g + கோசை 2 - 2 கோசை 2
2-+-3/ 2
2.
1 - 2சைன்?"
சைன"
=1-2(சைன்?? - சைன்கோ ly
2 * 2 2
...................................................... 2 \ n وہ = 1 - 2 (၈#@န္ဒီ கோசை) -- கோசை'
a -- கோசை" *
இங்கு சமன்படுதல் சைன் =கோசை"! ஆகும் பொழுதே உண்
2 2 மையாகும்.
கோசை2 o! S1 ஆயிருப்பதால்,
3 கோசை 2 + கோசை g + கோசை 2 < 2
20,g,2 என்பன எல்லாம் நேராயின், அவை T ஐ அதிகரிக்க இயலா மையின் 2 = y ஆகும் பொழுதே
கோசை'= 1.
2 مسسم ع F60Tہ(6
22 ஆயிருக்கும் போது
கோசை 2+ கோசை g + கோசை 2 =
z TT T அதாவது = அல்லது *=3
2 6 2,g,2 என்பன ஒரு முக்கோணத்தினுடைய கோணங்களாயின்
கோசை a + கோசை g + கோசை 2 S.
இங்கு 3 = y = 2 = ஆகும் பொழுதே சமன்படுதல் உண்மையாகும். அதாவது, அம்முக்கோணம் சமகோணமுக்கோணம் ஆகும் பொழுதே
கோசை a + கோசைg + கோசை 2 என்பதன் உயர்வுப் பெறுமானம் பெறப்படும். -

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 4 6.
சைன் 18°, கோசை 36° என்பனவற் டைய பெறுமானங்கள்.
றறனு ()
18° - ". ஆரையன்கள்
O
7ァ T ' = 52 ,யின் ---- ہے۔
TT
• 2a -به می نسبت ب3a
2
கோசை 30 = சைன் 20.
4 கோசைலே - 3 கோசை a = 2 சைன் a கோசை 0.
VMM கோசைற40 ஆயிருக்கின்றமையால், கோசை 9 ஆலே இருபக்கமும் வகுக்கலாம். 3
4 கோசைலே-3 = 2 சைன் 2
4 (1-சைன்றே)-3-2 சைன் a 4 சைன்0ே + 2 சைன் 2-1 = 0.
= சைன் 3 எனப்பிரதியிட நாம் பெறுவது
4沪十2f一1=0
-2-E V4 + 16-1 + v5 母 缘 8 4
a என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தலால், சைன் 2
என்பது நேராகும்.
-v5-1.
4.
சைன் 2 =
60.568T 18 = vil
፭ - 1 Yጳ கோசை 36° - 1 -2சைன்?18 = 1 - (v. у
8-(5 + 1-2-v5)2+2V5 V5 + 1
8 8 4

Page 37
62 . தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி 1 2+ y+z=7 塾ujaö7,
,名 ` @O)ტF6&T - G T6OTტ5
கோசை a + கோசை g + கோசை 2 = 1 + 4 சைன் சைன் 2 2
&ու (B5.
2 2十y+z=27 -塾cmaör,
22 ... / 、2 சைன் a + சைன் g + சைன் 2 = 4 சைன் சைன் சைன் என்றும்,
2 2 2 கோசை a + கோசைg + கோசை 2 + 1 = - 4 கோசை கோசை கோசை என்றுங் காட்டுக.
3. கோசை20+ கோசை2g + கோசை22-2 கோசைaகோசைgகோசை21 = 0 ஆயின்,
கோசை z= கோசை (a +g) அல்லது கோசை( -g) எனக் காட்டுக.
4. கோசை a -சைன் 40 = கோசை 20 எனக் காட்டுக.
5. a என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால்,
கோசை 0+ சைன் a = V (1 + சைன் 2a) என்றும்,
0< a. < எனின், கோசை a - சைன் a= V (1 -சைன் 2a) என்றும்,
<2< எனின், அது = - V (1 - சைன் 22) என்றுங் காட்டுக.
6, 8 (கோசைaே + சைன்aே) = 5 + 3 கோசை 42 என நிறுவுக.
7. சைன் 20+ கோசை 0+ சைன் a=1 ஆயின், கோசை 2 -- சைன் 20 = 1 எனக் காட்டுக.
8. 2 கோசைலே + 4 கோசை a சைன் 0-சைன்? a என்பதனை
r கோசை (20 + d) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்துதலால், 20 இனு டைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் அக்கோவையினுடைய உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க.
9. சைன் a + சைன் g = a ஆயும் கோசை 20 + கோசை g = b ஆயும்
2 ab b2 - a இருந்தால், சைன் (2+ y) = புது எனறும கோசை (a + g) = a 2- be
என்றுங் காட்டுக.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 4 63
10. கோசை 2 + 2 சைன் 0 = 1 ஆயின்
தான் =0 அல்லது 2 எனக் காட்டுக.
11. சைன் 22 + கோசை 2 -சைன் 3 = 1 ஆயின்,
கோசை a - சைன் 0 = 0 அல்லது 1 எனக் காட்டுக.
12. சைன் 63 -- சைன் 20 + 2 கோசை22 0 = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டைத்
தீர்க்க.
13. 3தான் 20 + 2 தான் a=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
14. a என்பது 4, 3 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், ரா இன் மடங்கல்லாத 3 இன் யாதொருபெறுமானத்திற்கும் தான்33 என்பது a தான் 3 இற்குச் சமனகாதெனக் காட்டுக.
15. தான் = V2 -1 எனக் காட்டுக.
16, 3 + g + 2 = 7 ஆயின் கோசை 2 கோசை g கோசை 2S என்றும்
2
@gー@了 2 6ᏑᎠᏍF6ᏡᎢ 2. ୩୫ ଗଠୀ ଓ S என்றுங் காட்டுக.
17. சைன் லே + சைன்?g = சைன்? (a+g) ஆயின், 3 + g என்பது
இன் ஒற்றைமடங்காகும் அல்லது 2, g என்பனவற்றுள் ஒன்றயினும்
ா இன் மடங்காகும்.
18. கோசை 0ே+ சைன் aே = கோசை 20 ஆயின், தான் a = -1 ஆகும்
அல்லது கோசை a - சைன் a=1 ஆகும்.
19, 16 (சைன் 86 + கோசை 9ே) - 7 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 20. தான் 39 + 5 தான் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
21. a(தான் 9 + கோதா9) = 2 ஆயும் b (தான் 29 + கோதா 28) = 2 ஆயுமிருந்தால், 62 - 402 (1 -a) எனக் காட்டுக.
அன்றியும், தான்49= 1 - 2aق என்றுங் காட்டுக.
22, 9, தி என்பன 2ா இன் மடங்கால் வேற்றுமைப்படாத இரு கோணங்களாகி,
கோசை29-கோசை2தி = கோசை 9-கோசை தி, சைன் 26-சைன் 2தி = சைன் 6-சைன் தி, என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குமாயின்,
கோசை 9 = கோசை தி = 4 எனக் காட்டுக.

Page 38
அத்தியாயம் 5
a கோசை 9 + b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு.
a, b, c என்பன தந்த மாறிலிகளாயிருக்க, a, b என்பன பூச்சிய மல்லாததாயிருக்கும்பொழுது,
aகோசை 9 + b சைன் 9 = c
என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய பெறுமானங்களைக் (எவையேனுமிருந்தால்) காணும் முறைகளை இப்போது ஆராய்வோம். gdjjF6FD67îT UITGB
b C
/(டிருகோசை 9+/(புருசைன் 9=/(+டு படலாம். இங்கு, V (a + b) என்பது (a + b*) என்பதனுடைய நேர்வர்க்க. மூலத்தைக் குறிக்கின்றது.
என எழுதப்
o 2 b 2 R {ஏதே'+ (1)-1 ஆகின்றமையால் ஏதே
b =கோசை 0 ஆகுமாறும் V (a2 + b2)T ତ08Fତ07 a ஆகுமாறும O என்னும ஒரு கோணத்தை நாம் காணலாம். அப்போது சமன்பாடு,
கோசை 9 கோசை a + சைன் 6 சைன் a =v(.+?) ஆகும்.
அதாவது, கோசை (6-d) = viी+b)
9, a என்பனவற்றினுடைய எப்பெறுமானங்களுக்கும் கோசை? (9-a)
2
S1 ஆயிருத்தலால், S 1 அல்லது c? Sa? + b* ஆயினற்றன்
a -- b? அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய பெறுமானங்கள் இருக்கும்.
w o - - C இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்பட்டால், கோசை B um V (ao -- bo)-+- b*) ஆகும்படி 0, 1ா என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்பட) 8 என்னும் ஒரு கோணம் காணப்படலாம்.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இன் பொதுப் பெறுமானம்,
என்பது ஒரு முழுவெண்ணுய் அல்லது பூச்சியமாயிருந்தால்,
θ- α = 2η π -- β, அல்லது 9 = 2mா + a +8
64

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 65
என்பதாலே தரப்படும்.
c?

Page 39
66 • தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, 9 இற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்கள் இருந்தாலும், கோசை 9, சைன் 8 என்னும் ஒவ்வொன்றிற்கும் இரு பெறுமானங்களே இருக்கும்.
0° = a + b* என்னும் வகை.
c” = a”-- b” ggas.
C a P
マエ=" ; ஆயின், B=0 ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத்தீர்க்கும் 9 இன் பொதுப் பெறுமானம்
0 என்பது நேராயின்,
2mா + a என்பதாலே தரப்படும்.
ஆகவே அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்கள் 2ா இன் மடங்கொன்றல் வேற்றுமைப்படும்.
۰ 1- سه سس است. : 0 என்பது எதிராயின், V(ao-- bo) 1; ஆயின், B 7. ஆகவே, 9 இன் பொதுப் பெறுமானம் 2mா + a +ா என்பதாலே தரப்படும்.
2mா + a+ா என்பதற்கும் 2mா + a -ா என்பதற்கும் இடையே யுள்ள வித்தியாசம் 2ா இன் ஒரு மடங்காகிய 2 (n-m) 7ா + 2ா ஆகும். ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்களுக்கு இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 2ா இன் மடங் காகும். ஆகவே, 0.39 <2ா என்னும் வீச்சில், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இன் ஒரு பெறுமானமேயுண்டு ; வேறு யாதுந்தீர்வு இப்பெறு மானத்திற்கு 2ா இன் மடங்கொன்றைக் கூட்டுதலாற் பெறப்படும்.
9 இற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்கள் இருந்தாலும், கோசை 9, சைன் 8 என்னும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு பெறுமானமே இருக்கும்.
உதாரணம், 4 கோசை 9-3 சைன் 6 = 3 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத்தீர்க்க. அச்சமன்பாடு
- *- G3 6 3 it 0 = 3 )32)32 -+ 42(dST6) TV (4-- 32) 60-60 E V )32 +- ش4)/vہ என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.
4 அதாவது, ; கோசை9-; சைன் 9 =
3 a என்பது கோசைa ஆகுமாறும் சைன் 0 = 5 ஆகுமாறும்
Tr
0, 2 என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கோணமாயின்,

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 67
கோசை (-a) = ஆயும் சைன் (-a) = -
ஆயுமிருக்கும். ஆகவே,
அச்சமன்பாடு,
கோசை (9+ c) = - கோசை ( a) ஆகும்.
0+a =2n +(-)
அதாவது, 0=2nt + -2a. அல்லது 2nt
வேருெருவழி
aகோசை 9+bசைன் 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு -தான்: 2தான்
2 கோசை 9= -" , சைன் 0= ' 1 -H ༼ཀྱ769)བྷོ་ 1+தான்?
என்னுந் தொடர்புகளை வழங்குவதாலும் தீர்க்கப்படலாம்.
=57 ஆயின், அச்சமன்பாடு
a(1 - ti?) -- 2bt = c (1 -- to) அதாவது (a + c)? -2b + c - a=0 என்பதாகும்.
இது t இலுள்ள இருபடிச் சமன்பாடு : 62-(a + c)(c-d) > 0, அதாவது ?ே

Page 40
68 தூயகணித மூலகங்கள்
α β
3' என்பன - s என்பவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்படி a,8 என்ப . வற்றினுடைய தனிப்பெறுமானங்களை எடுத்தல் இசைவாகும்.
தான் =தான் a அல்லது தான் β 2 2 2
6 O. B 0. A 66) حهx• •
2 *T十灵 அல்லது *T十寮
அதாவது, 9= 2mா + a அல்லது 2nt +B. இவ்வண்ணம் இரு தீர்வுத் தொகுதிகளைப் பெறுகின்றேம்.
B
2 என்பவற்றின் வித்தியாசத்தின் எண்ணளவுப் பெறுமானம் ா இலுஞ் சிறியதாகையால், முதலாந் தொகுதியின்யாது மொரு கோணத் திற்கும் இரண்டாந் தொகுதியின் யாதுமொரு கோணத்திற்கும் இடையே யுள்ள வித்தியாசம் 2ா இன் மடங்காகாது.
ஃ= a*+b? ஆயின், t இலுள்ள இரு படிச்சமன்பாடு பொருந்து மூலங்களைத் தரும் ; ஆயின், a=8.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்கள் 2ா இன் மடங்கொன்ருல் வேற்றுமைப்படும். 4 கோசை9-3 சைன் 6= 3 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க, நாம் பெறுவது
4(1一*)一6t=3(1十*)。 அதாவது, 72 + 6 - 1 = 0 ・ (7tー1)(t+1)=0
.. t = -1 அல்லது 十帝· .6 7 . 9/60ے ۔۔۔ --س سست ۔۔۔@( " தான அலலது 0.
arge . இங்கு a என்பது தான் a = ஆகுமாறு 0, T என்பனவற்றிற்கு இடையே யுள்ள கோணம்.
т .O -- 07 6060 [9 ۔ ۔ ۔ 707 ==- .".
2 π - 4 து --
... 0-2nt - அல்லது 2nா+ 2a.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 69
பிழையானவழி
a கோசை 0+ b சைன் 0=0 என்னுஞ் சமன்பாடு பின்வரும் வழியாலே தீர்க்கப்படலர்மென இக்கணிதத்தைக் கற்கத் தொடங்குவோருக்குத் தோற்ற லாம் :- s
aகோசை 9-0- bசைன் 6. ..(aகோசை 9-c)2 = 6*சைன்26 = b2 (1 - கோசை29).
..(a2+b2) கோசை29-2acகோசை 9 + c2-62-0.
இது கோசை9 இலுள்ள இரு படிச் சமன்பாடு.
acid (a+b)(c-b), அல்லது 0 > - a262 + b2c2-64, அல்லது 623a2+b2 ஆயின்,
கோசை 9 இற்கு, அது இரு மெய்ப்பெறுமானங்களைத் தரும்.
கோசை 9 இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்கள் பெறப்பட அவற்றின் எண் பெறுமானங்கள் 1 ஐ அதிகரிக்காவாயின் 2 9 இன் பொதுப்பெறு மானம் பெறப்படலாம்.
இவ்வண்ணம் பெறப்படும் 6 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாம் ஆரம்பச் சமன்பாட்டைத்தீரா என்பதே இவ்வழியிலுள்ள குறை.
a கோசை 9-bசைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு நாம் தொடங்கி னேமாயினும் கோசைனிலுள்ள அதே இரு படிச்சமன்பாட்டையே பெறு: வோம் ; ஆயின், இச்சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகளும் கோசை 9 இலுள்ள இரு படிச்சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகளுக்குள் அமைக்கப்படும்.
a கோசை 9+6 சைன் 9=e என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தீர்வும் கோசை 9இலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும் , அன்றியும்,
a கோசை 9-6 சைன்9= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தீர்வும் கோசை 9 இலுள்ள அதே இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும். இவ்வழியை வழங்கி கோசை 9இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிடைத் தீர்க்கும் 9 இன் பொதுப் பெறுமானத்தைப் பெற்ருேமாயின், a கோசை 9 + b சைன் 6 = 0 என்னுந் தந்த சமன்பாட்டை9 இனுடைய பெறுமானங்களுள் எது தீர்க்கு மென்று உண்மையான பிரதியீட்டாலே துணிய நாம் முற்பட வேண்டும். யாதுமொரு சமன்பாட்டைத் தீர்த்தற்கண் P2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு P= Q என்பதைக் கட்டாயமாகக் குறிக்கும் என்பதில்லை என ஞாபகத்தில் வைத்தல் பிரத்ானமானது.

Page 41
70 தூயகணித மூலகங்கள்
a கோசை 9 + b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய பெறுமானங்களைக் காண்பதற்கு இவ்வழியை வழங்கல் ஆகள் தெனினும், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு ஒத்த கோசை 9 இனுடைய வேறு வேறு பெறுமானங்களைக் காண்பதற்கு அவ்வழி வழங்கப்படலாம். c? 0 ஆயிருக்கும்பொழுது, a கோசை 9 + b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டைத் தீர்த்தற்கு, a + g?= 0° என்னும் வட்டத்தையும் aa + by - 0 என்னு நேர்கோட்டையும் ஆராய்வோம். ஒரு புள்ளி அவ்வட்டத்தின் மீது கிடந்தால், அதனுடைய ஆள்கூறுகள் (0 கோசை 9, c சைன் 8) என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். இப்புள்ளி அந்நேர் கோட்டி லுங் கிடந்தால், நாம் பெறவேண்டியது a0 கோசை 9+ bc சைன் 9= c? அல்லது a கோசை 6 + b சைன் 6 = c ஆகும் ; மறுதலையாக,
a கோசை 9 + b சைன் 9 = c ஆகும்படி 9 இற்கு ஒரு பெறுமானம் உண்டெ னக் கொள்க. ஆயின், acகோசை9 + bcசைன் 9 = c?; அதாவது, (0 கோசை 9, C சைன் 8) என்பனவற்றைத்தன்னுடைய ஆள்கூறுகளாகவுள்ள புள்ளி aa + bg - c2 என்னு நேர் கோட்டின் மீது கிடக்கும். ஆனல், (0 கோனச 9, c சைன் 8) என்னும் புள்ளி a + y2 = c* என்னும் வட்டத்தின்மீது கிடக் கின்றது. ஆகவே, அவ்வட்டத்திற்கும் அந்நேர்கோட்டிற்கும் பொதுவாய் ஒரு புள்ளி இருக்கும்.
aa + by = c* என்னுங் கோட்டிற்கும் a + y2 = c* என்னும் வட்டத் திற்கும் ஒரு புள்ளியாயினும் பொதுவாயிருந்தாற்றன், V
a கோசை 9+ b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனு டைய பெறுமானங்கள் இருக்கும். அக்கோட்டிலிருந்து அவ்வட்டமையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்வட்டத்தின் ஆரையிலுஞ் சிறியதாயிருந்தால், அந் நேர் கோட்டிற்கும் அவ்வட்டத்திற்கும் இரண்டு வேறன புள்ளிகள் பொதுவாயிருக்கும். அச்செங்குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமனயின் அவற் றிற்கு ஒரு புள்ளியே பொதுவாயிருக்கும். அச் செங்குத்துத்தூரம் ஆரையிலும் பெரிதாயின், ஒரு புள்ளியும் பொதுவாய் இராது. அக் கோட்டிலிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரத்தின் வருக்கம் 04/(a2+b2) ஆகும். ஆகவே, 04/(a + b*) < 0 அல்லது c?< a + b* ஆயின்,
0 S9< 2ா என்னும் வீச்சிற்குள் a கோசை 9 + b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இனுடைய இரு பெறுமானங்கள் இருக்கும். c2 = a2+b2 ஆயின், 0 < 9<2ா என்னும் வீச்சிற்குள் அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இன் ஒரு பெறுமானமே இருக்கும்.
"ே> a + b* ஆயின், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இன் ஒரு பெறு மானமும் இராது.

Page 42
72 தூயகணித மூலகங்கள்
?ேேய? + b* ஆயின், அவ்வட்டமுங் கோடும் ஒன்றையொன்றுவெட்டா; அச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வும் இராது.
உதாரணம், 2 கோசை 9 + 3 சைன் 6 - - 2 என்னுஞ்சமன்பாட்டை வரைப்படமுறையாலே தீர்க்க.
அச்சமன்பாடு முதலாவதாக -2 கோசை 9-3 சைன் 6 = 2 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படும்.
22 + g2 - 4 என்னும் வட்டத்தையும் - 2a-39 = 4 என்னும்
நேர்கோட்டையும் வரைக.
ү
sta 1-x \
6
அவை P, 0 என்னும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும். OX ஒடு OP ஆக்குங் கோணம் r ஆகும் , OX ஒடு OQ ஆக்குங் கோணம் r + a ஆகும் , இங்கு a என்பது ஆரையனில் POQ என்னுங் கோணத்தின் பருமன்.
ஆகவே, பொதுத் தீர்வு 9= 2nா+ா அல்லது 2nா +ா + a என்ப தாலே தரப்படும்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 73
பயிற்சி
1. 5 கோசை 9 + 12 சைன் 6 = 65 என்னுஞ் சமன்பாட்டை வகுத்தன் முறையாலே தீர்க்க ; உமது முடிபை வரைப்பட முறையால் வாய்ப்புப் பார்க்க.
2. a, 8 என்பன 2ா இன் மடங்கொன்றல் வேறுபடாத 9 இனுடைய இரு பெறுமானங்களாய் a கோசை 9 + b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டைத் தீர்ப்பனவாயின், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக -
(i) 4:5:0=கோசை?? சைன் 48. கோசை22;
(ii) தான்+தான்= 2b c -- a + 0 எனின் ; 2 2 s s
cー+ーの -а . В ста l-r • (iii) தான சூதான = பு 0 + a + 0 எனின் ;
2ac (iv) கோசை a + கோசை8=
(ν) சைன் a சைன் 8= பு
3. 62-c240 ஆயின், a கோசை 9 + b சைன் 9 = c என்னுஞ் சமன் பாட்டாலே தரப்படும் தான் 9 இனுடைய பெறுமானங்களாலே தீர்க்கப் படும் இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுக.
அதுகொண்டு, a, 8 என்பன 2ா இன் மடங்கொன்றல் வேறுபடாத 9 இனுடைய பெறுமானங்களாய் அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் பெறுமானங் களாயின்,
2ab
2 - c.2 தான் a + தான் B=あエ என்றும் தான் a தான் 8=
b2 - c.
என்றுங் காட்டுக.
4. 2 கோசை 9 + சைன் 6 = கோசை 29-2 சைன் 29 என்னுஞ் சமன் பாட்டைத் தீர்க்க.
அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
கோசை 9 - 0 அல்லது கோசை 39 = : எனக் காட்டுக.
5
5. a என்பது தரப்பட 2abசைன் 2a > 02-02-6? ஆயினற்றன்,
a சைன் (9+ a) + b கோசை (8-d) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்
8 என்பது காணப்படலாமெனக் காட்டுக.

Page 43
74 தூயகணித மூலகங்கள்
6. 20 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
(2 + கோசை a)/(2 + சைன் a) என்பதனுடைய உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க.
7. a கோசை a + b சைன் 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு கோசை a இற்கு இரண்டு பெறுமானங்களைத் தருமென்றும் இந்த இரண்டு பெறு மானங்களும் a கோசை 3-ம் சைன் a = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினலே தரப் படும் கோசை 20 இனுடைய இரு பெறுமானங்களுக்குஞ் சமமென்றுங் காட்டுக.
கோசை 20 + 2 சைன் a + 1 8. T--T--C என்பது 1, 2
கோசை 20 + சைன் 30 தி என்னும் இவற்றிற்கு இடை யிற் கிடக்கும் ஒரு பெறுமானத்தையுங் கொள்ளாதெனக் காட்டுக.
9. 6 கோசை? a + 8 சைன் 20 கோசை a = 8 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
10, 4 ( கோசை8 a - சைன்32) + 3 (சைன் 3 - கோசைa) = 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
குறித்த தொடர்கள்சிலவற்றின் கூட்டல்கள்
(உ-ம்) 1. சைன் சி + சைன் (9 + d) + சைன் (9 + 2a) + ... + சைன் (9+ n-1a) என்னுந் தொடருடைய n உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை யைக் காண்க. இங்கு உறுப்புக்களிலுள்ள கோணங்கள் a என்னும் பொது வித்தியாசத்தோடு ஒரு கூட்டல் விருத்தியிற் கூடுகின்றன.
a என்பது 2ா இன் ஒரு மடங்கன்றெனின், ୧୩୫ ଗର୍ଜୀ', 7- 0. T, என்பது அத்தொடரின் 7 ஆம் உறுப்பாகுக.
.. 2T,சைன் - 2 சைன் (6 + r -1a) சைன்
- கோசை ( + " - ) -கோசைடு +r-)
r = 1, 2, ... , n எனப் பிரதியிட, 2T சைன் =கோசை (e ) - கோசை (0+ ').
2 T,சைன் - கோசை (0+ ) - கோசை (0+ 警) ... O 3ot 5а 27.சைன் = கோசை 6-- 2 - கோசை | 9-4- 2 o
SSSSSSSSS CLS S LLLLLSSSSSSLSSSSSLS LL L L L S L L LLLLLLLLSSSL 0L L LLL0LLLSLL0LLLSS SL0LLLLLLLLCCC L0 L L L L L 0 LL CLLLLLCLLL0C 000 CCC C L0L C C C SSS S SSSSS SSSS

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 75.
O. 3 2Tசைன் 3= கோசை (e 十7)一 2 a) - கோசை (e -- in T2 c). ஒருங்கு கூட்ட நாம் பெறுவது,
2சைன்:T+1, +7,+...+T)=கோசைடு-)
-கோசைடு +1. - a)
= 2 சைன் (+司鬍)。警
- - O 220 ensis (0 + n -ī ) .. வேண்டிய கூட்டுத்தொகை =
0. 605-60 -
2
(உ-ம்) 2. கோசை 9 + கோசை (9 + d) + கோசை (9 - 2a) + .. ۔۔۔۔ + கோசை (9+ n-1a) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்
தொகையைக் காண்க.
a என்பது 2ா இன் ஒரு மடங்காயின், ஒவ்வோருறுப்பும் கோசை a ஆகும் ; ஆயின் அத்தொடரின் மொத்தம் 10 கோசை d ஆகும்.
a என்பது 2ா இன் ஒரு மடங்கன்றயிருக்க T என்பது r ஆம்
உறுப்பெனின், 2T, சைன் = 2 கோசை (6 + 7 -1a) ၈၈#@rဒ္ဒိ၊
=(+r-)-09) (6+r-)
.. 2 ၈၈#ခေါ်r ဒွိ (7"; +7, + ... + T) = சைன் ( + - )-9 (e-)
= 2 கோசை (e -- n-l ဎ)-၈ဖer na 2 2
- ገ0 – l 72O. கோசை (6+ ஒ–0) சைன 2 .. வேண்டிய கூட்டுத்தொகை =
... O @g@了ー 2

Page 44
76 தூயகணித மூலகங்கள்
விசேடமாக, a=26 ஆயின், நாம் பெறுவது,
கோசை 9 + கோசை39 + கோசை59 + ... + கோசை(2n -1) 9
_கோசை m6 சைன் m6 சைன் 2m9
சைன் 9 2 சைன் 9 .. GOFGÖT 2n6 s 370 6+ கோசை30|+.+ Osnes 2-10
2 சைன் 9
இங்கு |a| என்பது a இன் எண் பெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது. * m இன் யாதுமொரு நேர் முழுவெண் பெறுமானத்திற்கு
சைன் 2m9
a 2n. சைன் 9
அதாவது, m என்பது யாதும் ஒர் இரட்டை நேர் முழுவெண்ணுயின்,
soroit m b
சைன் 9
605667 (n + 1) 0605667 m 6 கோசை 9 + கோசை m9.
சைன் 9 சைன் 9
m என்பது இரட்டையாயின்,
சைன் (m + 1) 9 s சைன் m9 கோசை 91 + கோசைm9
சைன் 9 சைன் 9
sm -- l.
அதாவது, p என்பது ஒர் ஒற்றை முழுவெண்ணுயின்,
Ε sp. சைன் 6
.. 0 என்பது T இன் ஒரு மடங்கன்றெனின் m என்பது யாதுமொரு முழு
வெண்ணுயின், 605667 n6
< 70. சைன் 9
(உ-ம்) 3. தலைமைப் பெறுமானம் நேர்மாறு சார்புக்குக் கொடுபட்டிருக்க, »Կ 1- مادہ ہو۔,, . 1– 1 - -. 1 -- جہد 1– 1 - من தான ஒ+ தான் 22 + 5767 ஒஒ+ . + தான் --
2.፲ዉ።

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 77
என்னுந் தொடரினுடைய 70 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
- l T=தான் '2ಸೆ'
I 2r -l 2r-|-l ع இப்பொழுது 11 – مرو
サ頭エ・エ
- - 1 – 1 1 ـ 1 – رة • r a=தான்'ட் ஆயும், 8=தான்' ஆயுமிருந்தால்,
தான்(a-B)=: =ーリニュー。
+தான் a தான் 3 l --
2r - 1 2r-l
T 22
ποό τις 5 = 5 π6ό7 τ. தான்"
·点 =లి 2r-l 2r.--
11- 1 حے ۔ .. T= தான்" 1 - தான் 3
11- 1 -- مع T= தான்" -தான் 5
- T=தான் 2-- தான 2n + 1
. வேண்டிய கூட்டுத்தொகை = தான்" -தான்"

Page 45
அத்தியாயம் 6
முக்கோணப் பண்புகள்.
ABC என்பது ஒரு முக்கோணமாகுக ; A, B, C என்பனவற்றிலுள்ள கோணங்களுடைய பருமன்கள் A, B, C என்பனவற்றற் குறிக்கப்படுக ; இக்கோணங்களுக்கு எதிராயுள்ள பக்கங்கள் a, b, c என்பனவற்றற் குறிக்கப்படுக.
IBC SPGB BA gebšGg5 iš கோணம் B ஆகும் ; BO 90 OA gydigji கோணம் r -0 ஆகும்.
ஆகவே, BC ஒடு (+ ..) என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங் கோட்டின் மீது BA, CA என்பனவற்றின் எறியங்கள் 0 சைன் B, b சைன் (ா -C) ஆகும். அதே கோட்டின்மீது BC இன் எறியம் பூச்சியம்.
BA இன் எறியம் = BC இன் எறியம் + CA இன் எறியம்.
c சைன் B= b சைன் (T-c) = b சைன் 0.
O b -- * சைன் BTசைன் 0'
ხ ᎤᎭ
Լ}IT6ւ) r அதுே 604E667 B 605 GöTA
a. b c
சைன் A - சைன் B -- சைன் Ο 0 S L0L SLSL SSLL SS SSL SSL SSLL SSSSLS SS SLL SSSSLSL SS SLS SSLL S LS
(1).
இனி, BC இன்மீது BA இன் எறியம் c கோசை B,
BC இன்மீது CA இன் எறியம் 6 கோசை (r-c), B0 இன்மீது BC இன் எறியம் a. BA இன் எறியம் = BC இன் எறியம் + CA இன் எறியம்.
", c கோசை B= a + b கோசை (ா - c) = a -b கோசை C.
.. 2=b கோசை C+ c கோசை B. அதுபோல, b = c கோசை 4 + a கோசை C, > . . . . . (2).
c = a கோசை B+ b கோசை A.
78
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 5 79
இன்னும், 02 = c2 கோசை2 B + c2 சைன்?B
= (a-b கோசை C)2+b2 சைன்? C
= a2-2ab கோசை C+62 h அதுபோல, b?=c?–2ac (35fT60)5 B-- a?, 3) . . . . . چ(.
.a2 = b2 --2bc (85TI60)gF A -+- c2.
2 m கோசை A = -- c - a
2 be
2 2-2 2 Gates = 1 + கோசை A = 2 be + b* + c2 - aم
2 2 ხტ
(b+c) - a (b+c+ a) (b + c - a) - 2 ხc, , 2 ܚ ხc
a + b + c = 28 ஆகுக. ஆயின், b + c-a = 28 - 20.
A 2s (8 - a) ", 2 கோசைட்ே = ட்ட்டட்
G5fT6Ö.d}- 2 ხc
0< < ஆகையால், கோசை4 > 0.
2 2
.. கோசை A. حت w s(s-a)
2 be அதுபோல, கோசை B .مست /* '),
2 CO,
Ο 8(S - c) ons := */ ab .
a- (b - c) (a + b - c)(a - b + c)
2エ 下 2 bc
இனி, 2 சைன்? =1 - கோசை A =
-2 (sーc)(sーb)
ხc சைன் 4 = /s--9} 2 be அதுபோல, சைன் B - /oco-o}
2 CO
சைன்?= x/"-":
2 ab

Page 46
80 தூயகணித மூலகங்கள்
. A
A சைன /
தான் SLSS سمس سیبسمت -
2 A S(S-a)
G
569 2
. Ο (sーa)(sーb) தான S(S-C)
(s-c)(8 - a)
sーc)(s -a)
s(s-b) 9
தான 2 :سیس
? --— சைன் A-2 சைன் န္တီးဧ+T၈အန္တီး =ုနှီ Ws(s-a)(s-b)(s-c).
2
B _2./ーエーエー
○ö)g@öT T ca. vs(s-a)(s-b)(s-c),
2 SS சைன் C vs(s-a) (s-b)(s-c).
முக்கோணப் பரப்பு
p என்பது உச்சி A இலிருந்து பக்கம் B0 இற்கு வரைந்த செங்குத் தினுடைய நீளமாயின், அம்முக் கோணத்தின் பரப்பு aற ஆகும் BA என்பது BC ஒடு B என்னுங். கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
P
-
BO 90) -- என்னுங் கோணத்தை
ஆக்குங் கோட்டின்மீது BA இன்
எறியம் 0 சைன் B ஆகும் ; அது ******קי
p இற்குஞ் சமனகும்.
ஆகவே, முக்கோணத்தின் பரப்பு : 60 சைன் B ஆகும்.
? ------- ஆனல், சைன் B= Vs(s-a)(s-b)(s-c).
.". பரப்பு = vs(s-a)(s ーb)(sーc). இப்பரப்பை A என்பதாற் குறிக்கின்றுேம்.
..'. A = vs(s-a)(s-b)(s-c).
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 8
ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியினுடைய நீளம்
கோணம் A இன் உள்ளிரு சமவெட்டியானது BC என்பதை D இற் சந் திக்க, AB0 என்னு முக்கோணத்தின் பரப்பு ABD, ADC என்னு முக்கோணங்களுடைய பரப்புக்களின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமன்.
bc. 605667 A = cAD ဧ၈ze၆-ဒ္ဒါ --
b AD 606
2 bტ Gossir Garrea = AD (c + b) 695 Göt
சைன் 40 ஆயிருத்தலால்,
2 bc கோசை = AD (b+c)
6 2bc கோசை4
4Pー。 2
அதுபோல, B,C என்பனவற்றின் உள்ளிரு சமவெட்டிகள் AO, AB என்பன வற்றை E,F என்பனவற்றிற் சந்தித்தால்,
BE = 2 cα கோசை 蟹。
C+ዉ 2
OF- Ε கோசை
046 ஆயின், c>b அல்லது  ம் ஆகுக ; அச்சம s வெட்டி நீட்டிய BC ஐ D'
༽ཟེ་ இற் சந்திக்க. C 7 حمد - A
D GasT 6007 b CAD =

Page 47
82 தூயகணித மூலகங்கள்
கோணம் BAD = A +7.1 _T十4
一ー云一→y
2 LJuüL ABC = UTüL BAD'-LuJüL! CAID"
... . bc. 605667 A = C.AD' sous-(:+?)-1) AD @ဖာခေါ်၊ (?-မ္ဘီ)
2 2 2 2 = (c-b) AD' கோசை,
2 ხc சைன்சி 2
c-b
சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை
உரு, 1 ഉന്ദ്ര, 2
R என்பது ABC என்னுமுக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டவாரையாகுக. அம்முக்கோணத்தினுடைய எல்லாக் கோணங்களுங் கூர்ங்கோணங்களாயின், அதன் மையம் 0 என்பது அம்முக்கோணத்திற்குள்ளே கிடக்கும் ; அக் கோணங்களுள் ஒன்று விரிகோணமாயின், மையம் அம்முக்கோணத்திற்கு வெளியே கிடக்கும். உரு 1 இல் எல்லாக் கோணங்களுங் கூர்ங்கோணங் கள் ; உரு 11 இல் கோணம் A என்பது விரிகோணம். A BOC இன் கோணம் BOC உரு 1 இல் 24, உரு II இல் 2ள் -2A. O இலிருந்து B0 இற்கு வரைந்த செங்குத்து பக்கம் B0 ஐயுங் கோணம் B00 ஐயும் இரு சமக்கூறிடுகின்றது.
'. =R சைன் A உரு 1 இல்
=R சைன் (T-A) உரு II இல். .. ;= R சைன் A இரு வகைகளிலும்.
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 83
அதுபோல, = R 605667 B, = R சைன் 0
b C T2 சைன் AT2 சைன் BT2 சைன் 0
2 A = b0 சைன் A அல்லது சைன் 4 = ஆகையால்
R = abc 4A
உள்வட்டத்தின் ஆரை
I என்பது உள்வட்டத்தின் மையமாகுக ; D,E,F என்பன அம் முக்கோணப் பக்கங்களினு டைய தொடு புள்ளிகளாகுக; r என்பது அவ் வட்டவாரை
шп(55.
LuJuʼjL| ABO == L JJJLʼiL| BIC+ பரப்பு CIA + பரப்பு AIB.
* A=豊ar+豊br十塁cr"
=es
A
* r=言... (1)
இனி, BD, BF என்பன வெளிப்புள்ளி B இலருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடு கோடுகளாதலால், BD = BF.
Jolg/GUITG}), CD= CB, AE = AIF.
... 2 AE + 2 CD + 2 BD =2s.
AE = s - (BD -- DC) = s - a.
=தான் ZIAE = sits.
. A r = (s-a) 2, 165T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Page 48
84 தூயகணித மூலகங்கள்
அதுபோல, r = (s-b) தான்=(s-c) தான்?
2 BD B CD C இனி, =கோதா 及” =கோதா 夜”
a = BD+DC= (7,57+375)
ገ‛ ( சைன் கோசை i -- கோசை? ozဓမ္ဘီ)
2 21, 6ᏡᏧ6ᎼᎢ *சைன் α 2 2 Ꮘ ᎶᏈ0Ꮺ-ᎶᏑᎢ B-- O ጥ ೧೯( -翁) 7 கோசை A. vn 2 2 2/ 2 -- - - Ο
சைன் சிகோசை C சைன் சைன் Ο சைன் உசைன்
2 2 2 2 2 2.
சைன் ၈၈အဂါးဒ္ဒိ 2 R 6Sn3F6ör A சைன் 659F6öT -
2
=سسسس شمس-=
கோசை* கோசைக் 2 2 as 4R சைன்க் சைன் 60hysif - .
2 2 2
முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்கள்
1 என்பது BC என்பதை D g@h pỂU qu u AB, AC GTGÖTLUGOT வற்றை F, B என்பனவற்றிலுந் தொடு கின்ற வட்டத்தி ன் மையமாகுக. 7 என்பது அதன் ஆரையாகுக.
LJUL'IL ABC = LUUÜL AIB -- LuUUL || AIO-LuUJ || BIO
.",A=器r1C十瑟/1b一瑟r10
==(c + b-a) = rs (8 -a).
=수 ... (1)
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 85.
Q6fl, AE = AF, BD = BF, CD = CE.
AE -- AF = AB -- BD -- AC. -- CD = 2s.
..'. AB = 8.
=தான் Z EA1, =5Ts.
.. r = s தான் - w SLS S S S S S S L S S S S S S S S S SL S S S S S S S S S S L S S L L . . . . . . . . . . . (2)
gadî, a = BD + DCi = r Gas T5 IT I, BD + r, GBÆTAST ICD
== r (சாதார "+ கோதா" ")
se ான் + nਫ = r (தான +தான =
7 சைன் В с. "கோசை கோசை Β கோசை? கோசை Β கோசை α 2 2 2 2
2Rசைன் A கோசை ဧstr၈ဒဒ္ဒိ -- r=
கோசைக் 2
. А B AR೧೮ರ್ಕ கோசை கோசை 2 . . . . . . . . . . (3)
அதுபோல, r என்பது CA ஐயும் நீட்டிய BA, BC என்பனவற்றையுந் தொடுகின்ற வட்டத்தின் ஆரையாயும், r என்பது AB ஐயும் நீட்டிய CA, CB என்பனவற்றையுந் தொடுகின்ற வட்டத்தின் ஆரையாயும்
5 576), = = sa=4RGama assi G இருந்தால், re=g二i =s5m"z= ಹTಣ ಆ.೧೯೫೫ (557678
A C A в ... с ==s தான் = 4Rகோசைகோசைசைன்;

Page 49
86 தூயகணித மூலகங்கள்
உண்மையத்திற்குஞ் சுற்றுமையத்திற்கும் இடையிலுள்ள தூரம்
I என்பது A ABC இன் உள்வட்டமையமாயும் 0 என்பது அதன் சுற்றுவட்டமையமாயும் இருக்க.
முக்கோணத்தினுடைய கோணங்களுள் А இரண்டாயினுங் கூர்ங்கோணங் களாதல் வேண்டும். 0 என்பது கூர்ங்கோண மெனக் கொள்க. ஆயின், A AOB இன் 2. / AOB என்பது 20 இற்குச் சமன். O என்பது முக்கோணத்திற்குள்ளே கிடந்தாலும் அன்றி வெளியே கிடந்
C தாலும் இதுஉண்மையாகும்.
B
ஆகவே, 04= 0B ஆயிருக்கின்றமையால், A BAO= - C.
A. ZBAT = .
2
. A at T •
>-0 அல்லது <-C என்பதற்கேற்ப,
r. 4ر ک / TT TT- A. ZoAr=#-(-C) அல்லது -O"-
எவ்வகையிலும், கோசை / 0A = கோசைே -س-O -凯
2 கோ(ை4++9 -C-2)
2 2
- கோசை - O
B - O OI? = AI? -- AO2-2AI. AO (351T60)g. 2
- - - - A B . Ο 40 இலிருந்து1இன் செங்குத்துத் தூரம் r = 4R 69769769༧༦9799༧༠97
- 4 r = —’ : = 4 f: ၈၈ze:# “ီဇ0#e8#့် KO S A. awn சைன சைன 2
6ᏈᏰéᏠ6ᏈᎢ -- 2

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 87
..". OI 2=16R2 ၈#@$;*န္တီးစ၈#e8/*ဒ္ဓိ -- R2-8 R2 @izeဇံရွှီး၈zoခိဒ္ဓိ கோசை B ےO
AV ന് a R2-8R 603.667 ဒွိဇ၈zelf (கோசை ве -2 சைன் ರಾ೯ಣ!
- R2-8 R2 600ggot கீசைன் α [3#7e0# சிகோசை α - சைன் *சைன் 鲷
2 2 2 2 2 2
B -- C
= R2 - 8 R2 சைன்சைன்கோசை
- R2-8 R2 @oze?r ဒွိဇ၈#ffir ைேசன் 4
2 2
= R2 - 2 Rr.
செங்குத்துமையம்
ABC என்பது கோணங்கள் எல்லாங் கூர்ங்கோணமாயுள்ள ஒரு முக்கோண மாகுக. உச்சிகளிலிருந்து எதிர்ப்பக்கங்க ளுக்கு வரையப்படுஞ் செங்குத்துக்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் பொதுப்புள்ளி யாகிய அம்முக்கோணத்தின் செங்குத்து மையம் அம்முக்கோணத்திற்குள்ளே கிடக் (35 h. AD, BE, CF GTGÖTLUGOT அச்செங் குத்துக்களாகுக, H என்பது அச்செங்குத் துமையமாகுக.
AE= ABகோசை A = c கோசை 4
AE cகோசைA
T --கோசை A G35IT605- Z CAD 7 சைன் 0
கோசை 2T C
AH
= 2RGs song. A
gog5IG3LuiT@)), BH = 2R G3asrT6ona# B, CH= 2R கோசை C,
DEF என்னு முக்கோணம் பாதமுக்கோணம் எனப்படும்.
B,C,E,F என்பன ஒரு வட்டப்புள்ளிகளாதலால், ABF, ABO என்னு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை.
FEBC = AEIAB.
5———J. N. IB 66342 (6 |57)

Page 50
88 தூயகணித மூலகங்கள்
gGO)6), AE/AB = G3a5fTGODSF A.
- FE - BC G3-5 1609; A = a Gd5ft 60éF 4. அதுபோல, DF - b கோசை B, DE-0 கோசை 0.
B,D,E,F என்பன ஒரு வட்டப்புள்ளிகளாதலால்,
ZFIDH = Z FBE=(-4. அதுபோல, Z HDE = -A.
. Z FIDE = -A.
HD என்பது z FDE என்பதை இரு சமக்கூறிடுகின்றது. அதுபோல, FH என்பது / BFD என்பதை இருசமக்கூறிடுகின்றது
H என்பது A DEFஇன் உண்மையம்.
DEFஇன் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை 260).5; GöT 4/PDB
a கோசை 4 a கோசை A
2aodao (r-2A) 2 gosair 2A 4 சைன் A
செங்குத்துமையத்திற்கும் சுற்றுமையத்திற்கும் இடையிலுள்ள தூரம்
ABC என்பது ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணமாகுக.
O என்பது சுற்றுமையமாயின், Z OAB=-C, 4 BAH ='-B. ஆக
வே, B என்பது 0 இலும் பெரிது அல்லது சிறிதா தற்கேற்ப,
Z OAHI = B - C gdy6)Gdgi C - B. C எவ்வகையிலும்,
கோசை ZOAH = கோசை (B-C). OH? = AH? -- OA? — 2OA. AH (BEAT60).g. (B - C)
= 4R2 கோசை2A + E2 - 4R2 கோசை A கோசை (B - C) = R2 + 4R2 கோசை A (கோசைA -கோசை(B-C) - R2 - 4R2 கோசை A (கோசை B+, C+ கோசை B - C) = R2 - SR2 கோசைA கோசைB கோசை C.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 2 89
பயிற்சி 1. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தில், a2+ b + c?-260 கோசை 4 -2ca கோசை B-2aம் கோசை C = 0 என நிறுவுக.
2 ABC என்பது ஒரு கூர்ங்கோணமுக்கோணம், BC, CA, AB என்பனவற்றின்மீது அம்முக்கோணத்திற்கு வெளியே BD = D0 ஆகு LOT, pin CE = EA -2(5LOT opyLb AF=FB gy(5LOT spJLň BDC, ABC AFB என்னுஞ் செங்கோணமுக்கோணங்கள் வரையப்பட்டுள்ளன.FAB, FBD, DOE என்னு முக்கோணங்களின் பரப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை
(a2+b2 + c) எனக் காட்டுக.
3. ABCD 31667Ug AB = a gugih ZDAC= a gub, Z DBC = 8 -> a. ஆயுமுள்ள ஒர் இணைகரம்; அவ்விணைகரத்தின் பரப்பு
2a" (கோதா a + கோதா 8)
4 +(கோதாa-கோதா8)? எனக் காட்டுக.
4. D GT66TUg BD : DC = n : n g(5ubLiq. AABC 96015 Udia, Lh BC -
9.936761 915 Loi76ñ. ZADC = 6 gobulb, ZBAD = a gub, ZDAC =8ஆயுமிருந்தால், (m +m) கோதா 9= m கோதா 0-0 கோதா 8
= m கோதா B-m கோதா C எனக் காட்டுக.
5. D என்பது ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கம் B0 இன் மையமாயும், A BAD= a ஆயும், 40AD=8 ஆயுமிருந்தால்,
O. -B bーc A.
ைேசன் a = bசைன் 8 என்றும் தான் 2 bic
தான் 2 என்றுங்
காட்டுக,
6. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டம் B0, 0A, AB என்பனவற்றை D, E, F என்பனவற்றிலே தொடுகின்றது. D இற் கூடாகவும் அவ்வட்ட மையத்திற் கூடாகவுஞ் செல்கின்ற கோடு BP என்பதை G இற்சந்தித்தால், AG என்பது ABC என்னு முக்கோணத் தின் ஒரு மையக் கோட்டினது நீளத்திற்குக் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
A. 7. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தில், தான்கு 2v{s(s-a)} எனக் காட்டுக.
A. B O R அதிலிருந்து தான் ஓ தான் ஓ தான் 5 ஏ, என்பதைப் பெறுக.
B 8. r = s. தான் த தான் தான் த எனக் காட்டுக.

Page 51
90 தூயகணித மூலகங்கள்
9. H என்பது ABC என்னும் ஒரு கூர்ங்கோணமுக்கோணத்தின் செங்குத்துமையமாயின், AHB, BHC, CHA என்பனவற்றினுடைய சுற்று வட்டங்களுக்குச் சமவாரைகள் உண்டெனக் காட்டுக. அதனைத்துணைக் கொண்டு இவ்வட்டமையங்களால் ஆக்கப்படு முக்கோணம் ABC என்னு முக்கோணத்திற்குச் சர்வசமனெனக் காட்டுக.
10. 1 என்பது உண்மையமாயும், 1, 1, 1 என்பன A, B, Ο என்பனவற்றிற்கு எதிராயுள்ள வெளிமையங்களாயுமிருந்தால், I., = 4R6579 ers gib 1119 இன் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை 28 என்றுங் காட்டுக.
11. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தில்
( + 367 -( +.) கோசை ஆயின்,
A, B என்னுங் கோணங்கள் சமனிலிகளாகா வெனக் காட்டுக. இதனைத்துணைக்கொண்டு, ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்க ளின் இரு சமவெட்டிகள் சமமாயின், அம்முக்கோணம் இரு சமபக்கமுக் கோண மாகுமென்பதைப் பெறுக.
12. ABC என்பது B> 0 ஆயுள்ள ஒரு முக்கோணமாயின், A, உண்மையம், சுற்றுமையம் என்பனவற்றைத் தன்னுடைய உச்சிகளாக
2 வுள்ள ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு {சைன் (B-0) - சைன் B+சைன் 0}
எனக் காட்டுக.
13. D,E,F என்பன ABC என்னும் ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணத் தின் உச்சிகளிலிருந்து எதிர்ப்பக்கங்களுக்கு வரைந்த செங்குத்துக்களின் அடிகளாயின், DEF என்னு முக்கோணத்தின் பரப்பு
-R2 (சைன் 4A+ சைன் 4B+ சைன்40) எனக் காட்டுக. 14. ஒரு முக்கோணத்தினுடைய சுற்றுவட்ட வாரையும் ஒரு கூர்ங் கோணத்தின் எதிர்ப்பக்க நீளமுந் தரப்பட்டால், அம்முக்கோணத்தின் பரப்பும் உள்வட்ட வாரையும், எனையிரண்டு பக்கங்களுஞ் சமமாகும் பொழுது, மிகப்பெரியன வாகுமெனக் காட்டுக.
15. DEF என்னும் ஒரு முக்கோணம் ABC என்னும் ஒரு கூர்ங் கோண முக்கோணத்திற்கு EE, FD, DB என்பன A, B, C என்பன வற்றிற்கூடாகச் செல்லுமாறு சுற்றுருவமாக வரையப்பட்டது; ZECA = Z EAC = ZABO ; Z FAB = / FIBA = / ACB. IR GT6ổTug A ABC இன் சுற்றரையாயின், BD0, 0BA, AFB என்னு முக்கோணங் களின் செங்குத்து மையங்களால் ஆக்கப்படு முக்கோணம் ABC என்னு முக்கோணத்திற்குச் சர்வசமனென்றும் 0 இற்கும் ARB என்னுமுக்கோணத்தின் செங்குத்துமையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத் தின் வருக்கம் ?+2யம் கோசை C என்றும் நிறுவுக.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 91.
முக்கோணத் தீர்வுகள்
ஒரு முக்கோணத்திற்கு அதனேடு கூடியனவாய் ஆறு மூலகங்கள் உண்டு ; அவை அதனுடைய மூன்று பக்கங்களும் மூன்று கோணங்களு மாகும். இவற்றுட் குறித்த சில மூலகங்களானவை தரப்பட்டால், ஏனைய வற்றைக் காணுமுறை அம்முக்கோணத்தினது தீர்வு எனப்படும்.
இரு பக்கங்களும் அமைகோணமுந் தரப்பட்ட வகை
b, c, A என்பன தரப்பட்டனவெனக் கொள்க
b சைன் B
,லால் ==صصت ـ C C కేశీ T
B-- C . B - C b -0 _ சைன் B- சைன் c. * கோசை 605-607 2 b -- c. 605667 B-60) fair C 2 சைன் B -- O கோசிை°
B - O - B - O = G3 -------
காதா 2 தான 2
= கோகா π A 7cm”ー2 =கோதா (-) தான-- =தான்* па B-9
தான் B-C b-c கோதா А.
2 b -- e 2
B - C Tr TT Α -- எனபது-ஒத என்பனவற்றிற்கிடையே கிடப்பதால், அது தனி
யாகத் துணியப்படும். அன்றியும் B -- C = TT - A.
ஆகவே, B, C என்பன தனித்தனி துணியப்படும்.
ஆயின், பக்கம் a என்பது
- - - - சைன் AT சைன் B இவ்வண்ணம், ஒரு முக்கோணத்தினுடைய இரு பக்கங்களும் அவற்றின் அமைகோணமுந் தரப்பட்டால், மீதிப் பக்கமுங் கோணங்களுந் தனித்தனி துணியப்படும்.
என்னுந் தொடர்பிலிருந்து துணியப்படும்.

Page 52
92 தூயகணித மூலகங்கள்
(உ- ம்). 6-10 ச. மீ., C-21 ச.மீ., A = 59° 15 ஆயின், a, B, C
என்பனவற்றைக்காண்க.
தான B-C b-c கோதா4 2 b + c 2 தான C-Bc-b கோதா4 2 c + b 2
2-10 d / = 3. Io ĉai T#57 29 37
l Ꮺ 3. கோதா 29° 374
log 5 T657 ch- log 11 - log 31 - log (35 ng IT 29° 37g"
= 10414-1 4914 - 7548
s=l7952.
O- B Ox 구子=31 58.
O - Bar 63°56'.
C + B— 180° - 59°15 = 120°45’ O- 92°20'
B-28°25'
0. O
சைன் 59°15' சைன் 28°25' log a = log 10--log 60J 637 59°15'-log 605667 28°25'
= 1 --9342-16775 = 2567.
." . at = 18-0Ꮾ.
மூன்று பக்கமுந் தரப்பட்ட வகை.
a, b, c என்பன தரப்பட்டனவெனக்கொள்க.
ஆயின், م++ ه=ه என்பது துணியப்படும்.
A /(s-b)(s-c) தான 2 Mr. s(s-a)
<ஆகையால், A என்பது தனியாகத் துணியப்படும். அதுபோல
B, C என்பனவுந் தனித்தனி துணியப்படும்.

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 93
(pl. - D). = 10, b = 21, c = 15 ஆயின் A, B, C என்பனவற்றைக் காண்க,
-PHP-P-23
2
ge A (23–21)(23-15) 40 தான --س- :E -----
2 23 (23-10)
A 1 .. 0g தான் 2 2 (log 2 -- log 8 - log 23 - log 13)
=器(3110十9031一13617一11139)。 = .3642. 4 = 13° 01' 2
.. A --= 2ᏮᏉ Ꭴ2?
அதுபோல B, C என்பனவற்றையுங் காணலாம்.
இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுள் ஒன்றிற்கு எதிர்க்கோணமுந் தரப்பட்டவகை
b, c, B என்பன தரப்பட்டனவெனக் கொள்க.
அம்முக்கோணத்தின் கேத்திரகணித வமைப்பை ஆராய்க.
யாதுமொரு கோடு BX என்பதை வரைக ; பின் BX ஒடு B என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற BA என்னுங் கோட்டை c இற்குச் சமனக (i) வரைக. A என்னும் மையத்தையும் b என்னும் ஆரையையுமுடைய ஒரு வட்டம் வரைக. இவ்வட்டம் BX இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி யில் BX என்பதை வெட்டிற்ைறன், தந்த தரவுகளுடன் ஒரு முக்கோணம் வரையப்படலாம். ஆரையானது BX இலிருந்து A இனுடைய செங்குத்துத் தூரத்திலுஞ் சிறிதாயினல், அதாவது b < 0 சைன் B ஆயினல், அவ் வட்டம் BX என்பதை அல்லது நீட்டிய XB என்பதை வெட்டாது. ஆகவே < 0 சைன்b ஆயின், ஒரு தீர்வும் இராது. ஆகவே, ஒரு தீர்வு இருத்தற்கு வேண்டிய ஒரு நிபந்தனை b> 0 சைன் B ஆகும். --

Page 53
94 தூயகணித மூலகங்கள்
இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்பட்டுள்ளதெனக் கொள்க. B என்னுந் தந்த கோணம் கூர்ங்கோணமாயுள்ள வகையை முதலாவதாக ஆராய்வோம். N என்பது A இலிருந்து BX இற்கு வரைந்த செங்குத்தின் அடியாகுக. A என்னும் மையத்தையும் b என்னும் ஆரையையுமுடைய வட்டம், b= 0 சைன் B ஆயின், BX என்பதை N இலே தொடும் ;
b> 0 சைன் Bஆயின், அது N இலிருந்து சமதூரமான இரு புள்ளிகளில் BX என்பதை வெட்டும். படம் (i) ஐக் கவனிக்க முதலாம் வகையில், AWB என்பதே வேண்டிய முக்கோணமாகும்; அத்தகை முக்கோணம் ஒன்றகவே இருக்கும். இரண்டாம் வகையில், N என்பது C, B என்பவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்படி அவ்வட்டமும் BX உம் வெட்டும்புள்ளி 0 இற்கு ஒத்ததாய், என்றும் ஒரு தீர்வு இருக்கும். C என்னும் மற்றை வெட்டுப்புள்ளியானது B, N என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், இப்புள்ளியும் ஒரு தீர்வைத் தரும். ABO, AB0 என்னும் இரு முக்கோணங்களுந் தந்த நிபந்தனை களைத் தீர்க்கும். 400 என்னும் முக்கோணம் இருசமபக்கமுக்கோண மாகும். ஆயின் / 400 என்பது கூர்ங்கோணமாகும். ஆகவே, z ACB என்பது விரிகோணமாகும். ஆதலால், அது z ABC இலும் பெரிதாகும்.
A
”. AB > AC2, g2 g5 IT@Jġ.
c > b.
: ஆகவே, இரு தீர்வுகள்
வரக்கூடியனவாயின்,
ら丁 fN C X c> b > 0 சைன் B.
(ii) C, என்னும் வெட்டும் புள்ளி B, N என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்காதுவிடின், ABC என்னு முக்கோணத்திற்கு B என்னுந் தந்த கூர்ங்கோணம் இல்லை என்பதால், ஒரு தீர்வே வரக்கூடும். ABC, என்னும் முக்கோணத்தில், / ABC என்பது விரிகோணம். ஆகவே, AC,> AB ; அதாவது b> 0, b = 0 ஆயின், 0 என்பது B ஒடு பொருந்தும்.
ஆகவே, B என்பது கூர்ங்கோணமாயிருக்கும்பொழுது 0 > b> 0 சைன் B ஆயின், இரு தீர்வுகளும் e * b அல்லது b = 0 சைன் 8 ஆயின், ஒரு தீர்வுமே இருக்கும்.
இப்பொழுது, B என்னுந் தந்த கோணம் ஒரு செங்கோணமெனக் கொள்க. ஆயின், N என்பது B ஒடு பொருந்தும் ; b> 0 ஆகும் பொழுதே ஒரு தீர்வு இருக்கக்கூடும். A என்பதை மையமாகவும் b
 

திரிகோணகணிதம் அத்தியாயம் 6 95
என்பதை ஆரையாகவுங்கொண்ட வட்டம் BX என்பதை B இனுடைய ஏதிர்ப்பக்கங்கங்களில் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் ; இவ்விரு புள்ளிகளுக் கும் ஒத்த முக்கோணங்கள் ஒன்ருகுமென்பது தெளிவு.
B என்னுங் கோணம் விரிகோணமாயின், b>C ஆகும்பொழுதே ஒரு தீர்வு இருக்கும். A என்பதை மையமாகவும் b என்பதை ஆரையாகவும் உடைய வட்டம் BX என்பதை B இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் வெட்டும் ; அவ்வெட்டும் புள்ளிகளில் ஒன்றே அனுமதிக்கப்படத்தக்கது.
0 என்னுங் கோணம் சைன் 0 = Parguj; தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும்.
cசைன் B a a எனபது சைன d = b ஆகும்படியுள்ள நேர்க்கூர்ங்கோண
மாயின் B என்பது கூர்ங்கோணமாயும் c>b>C சைன் B ஆயுமிருக்கும் பொழுது பெறப்பட்ட C இனுடைய இரு பெறுமானங்களும் a, r - a என்பனவாகும். A இனுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் A =ா -(B+C) என்னுந் தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும் ; a இனுடைய ஒத்த பெறு
b சைன் A மானங்கள் a = ட் என்னுந் தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும்.
சைன் B
பயிற்சி
1. b, c, B என்பன தரப்பட்ட பொழுது இரு முக்கோணங்கள் பெறப் பட்டாற் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
(1) அம்முக்கோணங்களினுடைய சுற்றளவுகளின் வித்தியாசம் 2d என் பது 24/62-02 சைன்?B.
(i) அம்முக்கோணங்களினுடைய சுற்று மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் d கோசேB.
(i) அம்முக்கோணங்களினுடைய உண்மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள
B தூரம் d சீகத்
(iv) அம்முக்கோணங்களினுடைய செங்குத்து மையங்களுக்கு இடையே யுள்ள தூரம் 2ம் கோதா B.
2. பின்வரும் நிபந்தனைகளில் A ABC ஐத் தீர்க்க :- (i) a = 10, b = 6-5, A = 31°. (ii) α = 8, ο = 6, ο = 5. (iii) a = 12, b = 10, A = 35°. (vi) a = 9, b = 10, A = 28. (v) a = 14, b = 11, A = 148.

Page 54

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்

Page 55

அத்தியாயம் 1
ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
தெக்காட்டேயின் ஆள்கூறுகள்.
XOX, YOY என்பன ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளி 0 இல் ஒன்றை ஒன்று வெட்டுகின்ற இரண்டு நிலையான நேர்க்கோடுகளாகுக. P என்பது அத்தளத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக ; PL என்பது XX
ன்ன்பதை L இற் சந்திக்குமாறு YOY’ இற்குச் சமாந்தரமாய்
வரையப்படுக ; PM என்பது Y7 Y என்பதை M இற் சந்திக்குமாறு ΧOX இற்குச்சமாந்தரமாய் G) u60GJALI MI ---------፣ P ப்படுக,
P இனது நிலை தரப்பட்டால, * Ο L X
OL, 0M என்னும் ஒத்த நீளங்கள் அறியப்படும். இந்நீளங்கள் XOX', YOY என்னும் அச்சுக்களைக் குறி
த்து P என்னும் புள்ளியின் ஆள் Y கூறுகள் எனப்படும்; 0 என்பது உற் பத்தித்தானம் எனப்படும். OL=2 ஆயும், OM =g ஆயுமிருந்தால், P இன் ஆள்கூறுகள் (a, g) எனப்படும் ; a என்பது இடைத்தூரம் என்றும், g என்பது நிலைத்தூரம் என்றும் கூறப்படும். OL, OM என்னும் நீளங்களானவை தரப்பட்டால், 0 இலிருந்து XX இனது நீளத்திற்கு OL என்னும் ஒரு நீளத்தையும் Y1 இனது நீளத்திற்கு OM என்னும் ஒரு நீளத்தையும் அளந்து, L, M என்பனவற்றிற்கூடாக முறையே "X, XX என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய்க் கோடுகள் வரைதலால், P இன் ஒத்தநிலை பெறப்படும். OL என்னு நீளம் OX அல்லது OX இனது நீளத்திற்குக் குறிக்கப்படலாம் என்பதாலும், OM என்னு நீளம் OY அல்லது 07 இனது நீளத்திற்குக் குறிக்கப் படலாம் என்பதாலும், அத்தகைப் புள்ளி நான்கு பெறப்படலாமென எளிதிற் காணப்படும். அத்தளத்திலே தந்த ஒரு சோடி ஆள்கூறுகளுக்கு ஒத்ததாய் ஒரு புள்ளியே உண்டு எனச் சொல் லத்தக்கதாய் எம்மாள் கூறுகளே வரையறுத்தல் இசைவாகும். தந்த ஒரு கோட்டினது நீளத்
99

Page 56
100 தூயகணித மூலகங்கள்
திற்கு அதன்மீது தந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்து அளக்கப்படும் ஒரு நீளத்தின்
குறிபற்றி ஒரு வழக்கை மேற்கொள்ளுவதால் இது செய்யப்படும். 0
இலிருந்து OX இனது நீளத்திற்கு அளக்கப்படுநீளங்களை நேர் என்றும் OX இனது நீளத்திற்கு அளக்கப்படுவனவற்றை எதிர் என்றுங் கொள்ள
லாம் ; அதுபோல 0 இலிருந்து OY இனது நீளத்திற்கு அளக்கப்படுவன
வற்றை நேர் என்றும் OY இனது நீளத்திற்கு அளக்கப்படுவனவற்றை
எதிர் என்றுங் கொள்ளலாம். இவ்வழக்கைக்கொள்ள ஒரு புள்ளியின் ಪ್ರೋಗ್ಡೆ கூறுகளானவை நேர் அல்லது எதிராகலாம். 2, g என்னும் இரண்டும்
நேராயின், அப்புள்ளி X0 Y என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும் ; ஸ்
நேராயும் g எதிராயுமிருந்தால் அப்புள்ளி X0 Y1 என்னுங் கோணத்தி
னுட் கிடக்கும் ; 2 எதிராயும் g நேராயுமிருந்தால் அப்புள்ளி YOX1
என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும் ; a g, என்னும் இரண்டும் எதிரா
யிருந்தால், அப்புள்ளி X'OY என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும்.
உற்பத்தித்தானம் 0 இற்கு (0, 0) என்னும் ஆள்கூறுகள் உண்டு. XOX
இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு அல்லது 3 அச்சிற்குப் பூச்சியம்
என்னு நிலைத்தூரம் உண்டு : Y0 Y இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி
க்கு அல்லது y அச்சிற்குப் பூச்சியம் என்னுங் கிடைத்துரம் உண்டு.
OX என்பது 3 அச்சினது நேர்த்திசை என்றும் OY என்பது g
அச்சினது நேர்த்திசை என்றுங் கூறப்படும்.
ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் அச்சுக்கள் பற்றி இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a, g) என்பன அப் புள்ளியினுடைய தெக்காட்டேயின் ஆள்கூறுகள் எனப்படும் ; ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளி யினது நிலையைத் துணியும் இம் முறையை முதன்முதலாகத் தெக்காட்டே என்னும் புகழ்பெற்ற பிரான்சு தேயத்துக் கணிதவறிஎன் வழங்கியமை யால், இம்முறை அவர் பெயராற் கூறப்படுகின்றது. OX, O Y என்னும் அச்சுக்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று செங்குத்தாயின், அவ்வச்சுக்கள் செவ்வக வச்சுக்கள் எனப்படும்; அவ்வாறில்லையெனின், அவை சரிவானவை எனப் படும். நாம் எம்மைச் செவ்வகவச்சுக்களுக்கே கட்டுப்படுத்துவோம். அத் தகையச்சுக்கள்பற்றி, P என்னும் ஒரு புள்ளியின் கிடைத்தூரம் OX இன்மீது OP இன் செங்குத்தெறியமாகும் , அதனுடைய நிலைத்தூரம் 0Y இன்மீது OP இன் செங்குத்தெறியமாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 101.
முனைவாள்கூறுகள்
ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளியினது நிலை வேருெரு விதத்தாலுந் துணியப்
படலாம்.
ஒரு தளத்தில் 0 என்பது நிலையான ஒரு புள்ளியாயும், OA என்பது நிலையான ஒரு கோடாயுமிருக்க அத்தளத்தில், P என்பது ஒரு மாறும் புள்ளியாயிருக்க, OA ஒடு OP ஆக்குங் காணமும் 0 இலிருந்து P இனது ரமும் அறியப்பட்டால், P இனது நிலை றியப்படும். OP = r ஆயும், OA ஒடு 2P ஆக்குங் கோணம் 9 ஆயுமிருந்தால், என்பது முனைவாயும் OA என்பது ரம்பக் கோடாயுமிருக்க, இவை பற்றிப் பள்ளி P இற்கு (r, 9) என்னு முனைவாள்கூறுகள் இருக்கின்றன என்று கூறப்படும். OP என்பது ஆரைக்காவி என்றும், 9 என்பது காவிக் கோம்ை என்றுங் கூறப்படும். OA இலிருந்து OP இற்குள்ள சுழற்சிப் போக்கு இடஞ் சுழி அல்லது வலஞ் சுழியாயிருத்தற்கேற்ப, 9 என்பது நேர் அல்லது எதிர் எனக்கொள்ளப்படும். r என்பது நேரெனக்கொள்ளப் பட, 0 - 9 < 2ா (அல்லது -ா <947) ஆயின், வேறன இரு புள்ளி களுக்கு ஒரே முனைவாள் கூற்றுத் தொகுதி (", 9) இராது; ஒரே புள்ளிக்கு இரண்டு ஆள்கூற்றுத் தொகுதிகள் இருத்தல் முடியாது. ஆனல், சில வேளை களிற் குறித்த நோக்கங்களுக்காக " இன் குறிபற்றியும் ஒரு வழக்கை மேற் கொள்ளுதல் இசைவாகும். r> 0 ஆயிருக்கும்பொழுது, P என்பது (7, 6) என்னும் புள்ளி யாயிருக்க, PO என்பது OP =r ஆகும் வண்ணம் P இற்கு நீட்டப்படின், P என்னும் புள்ளிக்கு (-r, 8) என்னும் " مصمم P ஆள்கூறுகள் உண்டென்று
கூறப்படும். ஆனல், இரு வேறு. வேறன ஆள் கூற்றுத் தொகுதிகள் ஒரே புள்ளிக்கு ஒத்தனவாகு மென்பதுபற்றி இவ்வழக்கில் ஒரு நட்டம் உண்டு ; (-1,0) என்னும் புள்ளியும் (r,ா + d) என்னும் புள்ளியும் இவ்வழக்குப்பற்றி ஒன்றதல் கண்கூடு.

Page 57
102 தூயகணித மூலகங்கள்
செவ்வகத்தெக்காட்டேயின் ஆள் கூறுகளுக்கும் முனைவாள்கூறுகளுக் கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகள்.
0 என்பது முனைவாயும் OA என்பது ஆரம்பக் கோடாயுமிருக்க, அவைபற்றி P என்னும் புள்ளிக்கு (7,9) என்னு முனைவாள்கூறுகள் இருக்க. ஆயின், OA இன்மீது OP இன் செங்குத்தெறியம் 7 கோசை 9 ஆகும் , OA ஒடு + 홍 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் OB என்னுங் கோட்டின்மீது OP இன் :P தெறியம் r சைன் 6 ஆகும்.
A ஆகவே, OA, OB என்பன :
a, g என்பனவற்றின் அச்சுக் களா எடுக்கப்பட, P என்னும் புள்ளிக்கு இவ்வச்சுக்கள் பற்றி (0,g) என்னு ஆள் கூறுகள் இருந்தால்,"
2=rகோசை9 ஆயும் y = rசைன்சி ஆயுமிருக்கும்.
அச்சுமாற்றம் OX, O Y என்பன இரு செவ்வக வச்சுக்களாகுக ; இவ்வச்சுக்கள் பற்றி O' என்னும் ஒரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகள் (a,b) ஆகுக ; இவ்வச்சுக் கள்பற்றி P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகள் (a),g) gGg55. PM, PN 6TGöTLUGOT , OX, f OY என்பனவற்றை M, N என்பன Y வற்றிற் சந்திக்குமாறு முறையே Y0, M Pd XO என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர NT”1” மாய் வரைந்தால், OM = 20 ஆயும்,
ON = y guy Écijdigin. O'M', O'N' Y என்பனவற்றை Y O, X0 என்பன - - - x' வற்றிற்குச் சமாந்தரமாய்வரைந்தால் Ν OM = a ஆயும் ON = b ஆயுமி 6
gth. O' X', O Y ருககும எனபன ሶ4ሃ ዞብ X
OX, OY என்பனவற்றிற்குச் சமாந் தரமாய் வரையப்படுக. 0'X', 0' Y என்னும் அச்சுக்கள்பற்றி P இன் ஆள்கூறுகள் (a', ') ஆகுக'. ஆயின், உருவத்திலிருந்து 0 = 3 + a என்பதும் g = g + b என்பதும் எளிதிற் காணப்படும். ல,g, a, b என்பன எல்லாம் நேராகும்படி அவ்வுருவம் வரையப்பட்டபோதிலும் 2, g, a, b, 3', g' என்பனவற்றின் குறிகள் எவையாயிருப்பினும் மேலுள்ள தொடர்புகள் என்றும் உண்மை எனக் காண்டல் அரிதன்று.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 103
இரு புள்ளிகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரம்
P, P என்பன ஒரு தளத்தில் OX, OY என்னும் இரு செவ்வக வச்சுக்கள்பற்றி (a, g); (22, y) என்னும் ஆள்கூறுகளையுடைய இரு புள்ளிகளாகுக.
OP இன் எறியம் = OP இன் எறியம் + PP இன் எறியம் அதாவது, PP இன் எறியம் = OP இன் எறியம் -OP இன் எறியம்
.. 0X இன்மீது PP இன் எறியம் = 2-0
0 Y இன்மீது, PP இன் எறியம் = g -g
”. P. P? = (ac - ac)* -- (y -- y)*
விசேடமாக, P = (a,g) ஆயின், OP2 = (a -o)2 + (y-o)? = a2+ g2.
ஒரு நீளத்தைத் துண்டுகளாகப் பிரித்தல்
)ெ என்பது P. P என்னும் இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. Q என்பது P. P என் பதை P ,ெ Pெ என்னும் இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கின்றதெனப்படும். Q என்பது P. P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், P ,ெ Pெ என்னு நீளங்கள் ஒரு போக்கில் இருக்கும் ; ஆனல், Q என்பது நீட்டிய PP அல்லது நீட்டிய PP இல் இருந்தால், P9, Pெ என்பன ஒரே போக்கில் இரா.
தந்த ஒரு நேர் கோட்டினது நீளத்திற்கு அளக்கப்பட்ட நீளங்களின் குறிகளுக்கு வழக்கமான வழக்கைப் பின்பற்றிக்கொண்டு, )ெ என்பது P, P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்போது PQ/Pெ என்னும் விகிதத்தை நேர் என்றும் னென்பது PP என்பனவற்றிற்கு இடையில் கிடவாதிருக்கும்போது, அவ்விகிதத்தை எதிர் என்றுங் கொள்ளுகின்றேம். PP என்பன நிலையா யிருக்க, ணென்பது P இலிருந்து P இற்கு
PP என்னுங் கோட்டினது நீள த்திற்கு இயங்கும்பொழுது 煞 2

Page 58
104 தூயகணித மூலகங்கள்
என்னும் விகிதம் எல்லா நேர்ப் பெறுமானங்களையும் எடுக்கும். Q என்பது நீட்டிய PP என்பதனுடைய
நீளத்திற்கு இயங்கும்பொ P. ழுது, அவ்விகிதம் -1, 0 என்பனவற்றிற்கு இடையில் எல்லா வெதிர்ப் பெறுமா னங்களையும் எடுக்கும். () Z என்பது நீட்டிய PP என்பத னுடைய நீளத்திற்கு இயங் (P கும் பொழுது, அவ்விகிதம், - 1 இலுஞ் சிறிய எல்லா வெதிர்ப்பெறுமானங்களையும் எடுக்கும். Q என்பது P ஒடு பொருந்தினல், அவ்விகிதம் பூச்சியமாகும்; ஆனல், எென்பது P, ஒடு பொருந்தினல், PQIQP என்னும் விகிதத்திற்குப் பொருளில்லை. Q இனது யாதுமொரு நிலைக்கும் அவ்விகிதம் -1 என்னும் பெறுமானத்தை எடாது ; அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : Q என்பது PP இற்கு வெளியாற் கிடக்கும்போது PQ இன் பருமன் Pெ இன்பருமனுக்குச் சமனகாது. இவ்வண்ண மாக, P9/Pெ= k ஆயின், k இனது -1 இற்குச் சமனுகாத யாது மொரு தந்த பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய், P. P என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது னென்னும் ஒரு புள்ளியே இருக்கும் அக்கோட்டின்மீது P என்னும் புள்ளியைத் தவிர்ந்த ஒவ்வொரு புள்ளி யும் -1 இற்குச் சமனகாத k இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் இருக்கும்.
m, m என்பன இரண்டு நேர் மெய்யெண்களாய் அல்லது எதிர் மெய்
யெண்களாயிருக்க, P,Q QP = ஆகுக'.
2
P, P, Q என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகள் (a, g); (2ை g), )ே ஆகுக. யாதுமொரு கோட்டை p, p2 g என்பனவற்றிற் சந்தி க்கு மாறு, P, P, டெ என்பனவற்றிற்கூடாக சமாந்தரமான கோடுகள் வரையப்
. -, 1914 - P:Չ զp2 QP2 கேத்திரகணிதத்தினின்று பெறப்படும்.
என்பது துரிய
 
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 05
PP, என்பது 3 அச்சிற்குச் செங்குத்தன்றெனின், அவ்வச்சின்மீது செங்குத்தாக எறிவோமானல்,
PQ இன் எறியம்_P_ெm
(P, இன் எறியம். QP m
00 இன் எறியம் -OP இன் எறியம்_m OP இன் எறியம்-00 இன் எறியம் Tm
c - a.m.1
002 ー2。 ??02
砂(ma十m2)=maza十mza
1 و 770 - || - 7701
砂=
ገገ01 + ገn2
PP என்பது 3 அச்சிற்குச் செங்குத்தெனின், 20 = 2 = a ; சூத் திரம் தெளிவாய் உண்மையாகும்.
அதுபோல், mg2+mg
?ገ01 + ገገ02
2001
2 தென்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும் ; ஆயின், m+m=0 என்னும் வகை
0 இன் யாதுமொரு நிலைக்கும் என்பது -1 இற்குச் சமனகா
உண்டாகாது.
 ெஎன்பது PP, இன் முச்சமக் கூறிட்ட புள்ளிகளுள் P இற்கு அண்மையிலுள்ளதாயின், m = 1 என்றும், m=2 என்றும் நாங் கொள்ளலாம் ; ஆயின், )ெ இன் ஆள்கூறுகள்
(. 十2r ya十 *)
3 ༡ ཡ-────མ-ཁ-ང་། ཁཡང་ཁ་
P என்பது PQ இன் மையமாகும்படி னென்பது நீட்டிய PP, இன்மீதுள்ள புள்ளியாயின், m=2, m= -1 அல்லது m= -2, m= 1 என்று நாங் கொள்ளலாம் ; ஆயின் 9 இன் ஆள்கூறுகள்
.5Ln@زل2y 2 --- $/i) 

Page 59
106 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி
1. (1, 1), (-2, -3), (-3, 4) என்னும் உச்சிகளையுடைய முக் கோணஞ் செங்கோணமுள்ளதெனக் காட்டுக.
2. (a, g); (22, y), (a, gs) என்பன ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சி களாயின், அதன் மையக் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகள்
* +a2+* sa十ya十y。
3 y 3
3. ABO என்னும் ஒரு முக்கோணத்தில், CP= BC, A2=0A, BR= AB ஆகும்படி BC, CA, AB என்பன முறையே P, 0, R, என் பனவற்றிற்கு நீட்டப்பட்டுள்ளன. ABC என்னு முக்கோணத்தின் மையக் கோட்டுச் சந்தி PQR என்னு முக்கோணத்தின் மையக் கோட்டுச் சந்தி யோடு ஒன்ருகுமெனக் காட்டுக.
என்பனவெனக் காட்டுக.
4. (a, g); (32, g); (33, gs), (04, g) என்பன ஒரொழுங்கில் எடுத்த ஒர் இணைகரத்தின் உச்சிகளின் ஆள்கூறுகளாயின், 2, +2 = 3 + a என்றும் g + g= g + g என்றுங் காட்டுக.
5. A=(1, 2) ஆயும், BE( -3, -1) ஆயும், 0=(-4, 14) ஆயுமிருந்தால், AB, A0 என்பனவற்றினுடைய நீளங்களையும் A ABC இன் கோணம் A இனுடைய உள்ளிரு சமவெட்டியும் வெளியிரு சமவெட்டி யும் B0 ஐச் சந்திக்கும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளையுங் காண்க.
6. A e ( - 1, 1), BE (1, 2), PE (ac, y).
(i) AP2-BP2-5 ஆயின் g + 2 = 4 என்றும், (ii) AP =2BP gu5lai 3a”-3y”-10ac-14y + 18= 0 என்றுங்
காட்டுக.
7. A=(1, 0) ஆயும், B= (-1, 0), ஆயுமிருக்க, P என்பது AP+ BP= 4 ஆகும்படியுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், P இன் ஆள் கூறுகள்
, 2 و 2
+=1 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் காட்டுக.
8. A = (4, 0), ஆயும், B= (-4, 0) ஆயுமிருக்க, P என்பது AP-BP= 4 ஆகும்படியுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், P இன் ஆள் கூறு
a: y
=l
கள் 4 12 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக்காட்டுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 IO7
முக்கோணப்பரப்பு -
P, P என்பன 0 என்னும் உற்பத்தித்தானமானது P. P என்பனவற் றிற் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது கிடவாதவாறும், OPP என்னு முக் கோணத்தின் OPPO ү என்னுஞ் சுற்றின் வரை தற் போக்கு இடஞ் சுழி 历 யா யிருக்குமாறுமுள்ள
இரு புள்ளிகளாகுக.
P=(a, g) ஆகுக ;
P2=(2ை, g2) ஆகுக'.
O என்பை %ਠ
O 岛 (A
வாகவும் OX என்பதை ஆரம்பக் கோடாகவுங்
கொள்ள, P இன் முனைவாள்கூறுகள் (r, 6) ஆகுக ; இங்கு 7> 0. a என்பது அம்முக்கோணத்தின் கோணம் POP இன் பருமனயின், P இன் முனைவாள்கூறுகள், 7>0 ஆயும் 6= 9+ a ஆயுமிருக்கும் பொழுது, (1, 0,) எனக் கொள்ளலாம்.
OPP என்னு முக்கோணத்தின் பரப்பு
= } OP). OP, 6056öt POP,
= 17, சைன் 0 = 17, சைன் (6-6)
rr, (சைன் 6, கோசை 9 -கோசை 9, சைன் 8)
r, கோசை 9, 7, சைன் 6-7. கோசை 9, "சைன் 9)
ai/ -89).
( (
حتی
0

Page 60
108 தூயகணித மூலகங்கள்
P, P, O என்பன ஒரே நேர்கோட்டில் இருந்தால், a = 0 அல்லது ா ஆகும் ; ஆயின் TT சைன் (6。ー6.) =0 ; அதாவது gே-2y=0,
P (t ,y) என்பது PPP இன் போக்கு இடஞ் சுழியாகும்படி
Y PP என்பவற்றேடு ஒரு கோட்டில்
அமையாத வேறெரு புள்ளி யாகுக.
P இற்கூடாக OX, OY என்பன வற்றிற்குச் சமாந்தரமான அச்சுக்களை எடுக்க. இவ்வச்சுக்கள் பற்றி P. P என்பனவற்றினுடைய ஆள்கூறுகள்
(a -as, yi-ys), (a - as Ja-ys Օ X என்பனவாகும். ஆகவே, PPP என்னு முக்கோணத்தின் பரப்பு
{(git-ga) (203 - وar:1- 33) (ga - 4/3) -- (ac)} { =تے =墨(riyaーraya十aayaーzasa十ayaー*iss) PPP இன் போக்கு வலஞ் சுழியாயின், PPP இன்போக்கு இடஞ் சுழியாகும் ;
அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு r {(a - as) (y1-ya) - (a - aa) (3/2-ya)} =ー墨(ay2ー2aya十aayaーraya十aayaーriya) ஆகவே, இரு வகைகளிலும், அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு
* (ag2-3g + ags-ag2+ag-2gs) என்பதன் எண்பெறுமான மாகும். --ܐ
இன்னும் age-ay+ags-ag2+ag-ags என்னுங் கோவை நேராய் அல்லது எதிராய் இருத்தலுக்கேற்ப PPP இன்போக்கு இடஞ் சுழியாய் அல்லது ? வலஞ் சுழியாய் இருக்கும்.
P, P. P என்பன ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால்,
gை2-23 + agg -லg2+லg-ags=0 인 ?れ
ஒரு நாற்கோணத்தின் பரப்பு அதனை இரு
முக்கோணங்களாகப் பிரித்தலாற் பெறப்படலாம்.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 109
P(2, 3), P(ல, g), P(a, gs), P(34,g) என்பன ஒரொழுங்கில் எடுத்த உச்சிகளாயின், நாற்கோணத்தின் பரப்பு
(acyl - acayı + acys - acay2 -- arayı - wys)
十盘(°4一%98十azy1一°194十°C193一way)
= } (acı3/2-3°23/ı +22'ya -3'33/a + 3.33/4 -2°43/a + 24,yı -3’ı3/4)
என்பதன் எண்பெறுமானமாகும்.

Page 61
அத்தியாயம் 2
f(a),g) என்பது 2, g என்பனவற்றின் சார்பு அல்லது அவற்றுள் ஒன்றின் சார்பாயிருக்க, ஒரு மாறும் புள்ளி P என்பது தன்னுடைய ஆள் கூறுகள் f(x0, y) = 0 என்னும் ஒரு குறித்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாறு (a, g) தளத்திலே இயங்கினல், P இன் ஒழுக்கின் சமன்பாடு f(a), g) = 0 எனப்படும்.
உதாரணமாக, P என்பது a அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் இயங்கினல் அதனுடைய நிலைத்தூரம் என்றும் ஒரேயளவினதாகும்.
k என்பது (பூச்சியமல்லாத) ஒரு மாறிலியாயின், g = k என்னுஞ் சமன்பாடு 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோடாகும்.
அதுபோல, a = b என்னுஞ் சமன்பாடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
g = 0, a=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் 0 அச்சையும் y அச்சையும் முறையே குறிக்கும்.
ஒரு புள்ளியானது உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து a என்னும் ஒரே தூரத்திலிருக்கும்படி இயங்கினல், அப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் 2? + g^ = a* என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
உற்பத்தித் தானத்திலே மையமும் a இற்குச் சமனன ஆரையுமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு a2+ y2 = a* ஆகும்.
y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத ஒருநேர்கோட்டின் சாய்வுவிகிதம்.
y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத P0 என்னும் ஒரு கோடு 0 அச்சினது நேர்த்திசையோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், அக்கோட்டின் சாய்வு விகிதம் தான் 9 என வரையறுக்கப்படும். P0 என்பது OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், QP என்பது OX ஒடு 6+ா என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ; ஆயின், Pெ இன் சாய்வு விகிதம் =தான் (ா + 6) = தான் சி. ஆகவே, ஒரு கோட்டின் சாய்வு விகிதம் அதனுடைய திசை எடுக்கப்படும் போக்கைச் சாராது. அக்கோடு 2 அச் சிற்குச் சமாந்தரமாகும்பொழுது, அதன் சாய்வு விகிதம் பூச்சியமாகும். அக்கோடு y- அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நிலையை அணுகும்பொழுது அதன் சாய்வு விகிதத்தின் எண் பெறுமானம் வரையரையின்றிப் பெரி தாக முயலும் ; அக்கோடு உண்மையாக g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் பொழுது, சாய்வு விகிதம் இருப்பதில்லை.
10

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 l
ஒரே சாய்வு விகிதமுள்ள இரு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரம் ; y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத இரு சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு ஒரே சாய்வு விகிதம் உண்டு.
P (a, gi), P (a, g) என்பன 2 உம் 2 உஞ் சமனகாதவண்ண முள்ள இருபுள்ளிகளாயின், P. P. இன் சாய்வு விகிதம்
_OY இன்மீது PP இன் எறியம் y-g
TOX இன்மீது P. P. இன் எறியம்' -2,
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு
a அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டின்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு மாரு நிலைத்தூரம் இருக்கும் ; ஆயின், b, c என்பன பூச்சியமல்லாத மாறிலிகளெனின், அக்கோட்டின் சமன்பாடு by + 0 = 0 என்னும் வடிவத்தைக் கொள்ளும். C=0 ஆகும்பொழுது, அச்சமன் பாடு 2 அச்சையே குறிக்கும்.
a, c என்பன பூச்சியமல்லாத மாறிலிகளெனின், g அச்சிற்குச் சமாந் தரமான யாதுமொரு கோடு a2+ 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டாலே தரப்படும். C = 0 ஆயின், அச்சமன்பாடு p அச்சைக் குறிக்கும்.
இப்பொழுது, aa +by+ 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன் பாட்டை எடுக்க : இங்கு, a, b என்பன பூச்சிய மல்லாதவை எனக் கொள்க. (a, g), (a, g) என்பன அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களின் இரு தொகுதிகளாகுக.
ஆயின், a21十bya十c=0 aza十bya十C=0; .". a (ata - 2ı) + b (ya - yı) = 0.
b என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருக்கின்றமையால், g-g என்பது பூச்சிய மாயினற்றன், 2-2 என்பது பூச்சியமாதல் கூடும். ஆகவே, 2, gr என்பனவற்றின் பெறுமானத் தொகுதிகள் இரண்டும் வேறுவேருயாயின்,
92 - 912 22 - 21 b
ஆகவே, P. P என்பன aa+by+c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாற். குறிக்கப்படும் ஒழுக்கின்மீதுள்ள எவையேனும் இரு வேறன புள்ளிகளா யின், P. P என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சாய்வு விகிதம் என்றும் ஒரேயளவினதாய் - இற்குச் சமனகும்.

Page 62
2 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, இவ்வொழுக்கு - என்பதைச் சாய்வு விகிதமாயுள்ள ஒரு நேர் கோடாதல் வேண்டும்.
ஆகவே, a2+by+c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு என்றும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.
a, b என்னு மாறிலிகளின் பெறுமானங்கள் எவையாயிருப்பினும், C = 0 ஆயின், அச்சமன்பாடு a=0, y=0 என்பனவற்ருலே தீர்க்கப்படும்.
ஆகவே, aa + by=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுங்கோடு உற்பத்தித் தானத்திற் கூடாகச் செல்லும்.
a = 0 ஆயின், அக்கோடு, 0 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதனேடு பொருந்தும்.
b = 0 ஆயின், அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதனேடு பொருந்தும்.
640 எனின், அக்கோட்டின் சாய்வு விகிதம் - ஆகும்.
மறுதலையாக, யாதுமொரு நேர் கோடு aa +by+c = 0 என்னும் வடிவத்தி லுள்ளஒரு சமன்பாட்டாற் குறிக்கப்படும். அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதற்குச் சமாந்தரமா காது. அது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயின், அதன் சமன்பாடு aa + 0 =0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். அது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமன் றெனின், m என்பது அதன் சாய்வு விகிதமாயும், (a, g) என்பன அதன்மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியின் ஆள் கூறுகளாயும் இருக்க. (2, y) என்பது அக்கோட்டின் மீதுள்ளவேறு யாதும் புள்ளியாயின், 9-91 2 - 2
அல்லது, y - mac - y- mac = 0.
இதுவே அக்கோட்டின் சமன்பாடாகும். அது aa+by+ 0 = 0 என்னும் வடிவத்தில் உள்ளது ; இங்கு, a = -m, b = 1, c = -g+ma,
a = a, b = bb, c = ck என்பன உண்மையாகுமாறு k என்னும் பூச்சிய மல்லாத ஒரு மாறிலி காணப்படலாமாயினுற்றன், aa+by+c = 0, a'a + b 4 + 6 = 0 என்னும் இரு சமன்பாடுகள் ஒரே நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 13
தந்தவொரு சாய்வு விகிதத்தோடு தந்தவொரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங்
கோடு.
இதற்குமுன் மேலே காட்டியபடி, m என்னுஞ் சாய்வு விகிதத்தோடு (a, g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாடு
ց - 3յ1 - = g 2ー21 அல்லது g -g= m (20-3) ஆகும்.
அது y அச்சின்மீது 0 என்னும் வெட்டுத்துண்டை ஆக்கினல், (0, 0) என்னும் புள்ளி அதன்மீது கிடக்கும் ஆகவே, அக்கோட்டின் சமன்பாடு
y - c = m.ac, அல்லது g = ma + 0 ஆகும்.
இவ்வண்ணம், y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத எக்கோடும் y = ma + c என்னும் வடிவச் சமன்பாடொன்றலே தரப்படும். ஆனல், y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு இவ்வடிவத்தில் இடப்பட (1Բւ Գաո Ֆl.
தந்த விருபுள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோடு
P (a, g), P (,ை g) என்பன தந்த விருபுள்ளிகளாகுக. 2 = 3 ஆயின், P. P என்னுங் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; k என்பது a, a என்பனவற்றின் பொதுப் பெறுமானமாயின், அதன் சமன்பாடு a= ஆகும்.
24 a எனின், அக்கோட்டின் ச்ாய்வு விகிதம் |- ஆகும். (3, 2)
2 ` - ሣ1 என்பன அக்கோட்டின் மீதுள்ள வேறு யாதும் புள்ளியாயின், அக்கோட்டின்
, ց - 91 . சாய்வு விகிதம் எனபதறகுஞ சமனகும.
سامة ----
u - 2/1 – 2/2 - 3/1, "al - وتali a --مa "
.'. (y-yı) (*2 -acı) = (c-acı) (y2 -yı).
அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a,y) என்பன இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாதலான், அக்கோடு இச்சமன்பாட்டாற் குறிக்கப்படும்.

Page 63
14 தூயகணித மூலகங்கள்
2= 3 ஆகும்பொழுதும் இக்கூற்று உண்மையாகும். அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : a = a ஆகும்பொழுது, அச்சமன்பாடு (3-2) (g-g) = 0 ஆகும். P. P என்பன இரண்டு வேருண புள்ளி களாயிருத்தலால், g -g என்பது பூச்சியமன்று ; ஆயின், அச் சமன் பாடு 20 - 3=0 ஆகும்.
(p-b) (–2,0), (-1, 2) என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுங்கோட்டின் ՑւՈ6ծTւմՈ(6
y 2 is 1663. 2. g + 4 = 0 ஆகும்.
ஒரு கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளின் gTJ NT
மாறி வகைக்குறிப்பு.
AB என்பது OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு திசைக் கோடாகுக : P என்பது A இலிருந்து r என்னுந் தூரத்தில் அக்கோட்டி லுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக ; AP என்பது AB ஓடு ஒரு போக்காகுக. 0X, OY என்பனவற்றின்மீது AP இன் எறியங்கள் rகோசை6, 7 சைன் 9 என்பனவாகும்.
A = (a, g) ஆயும் P = (2,g) ஆயுமிருந் தால், நாம் பெறுவன 2-a = r கோசை 9, g -g = 7 சைன் 9,
அல்லது 2 = 2 + rகோசை9, g = g + rசைன்9 என்பன.
P என்பது A இலிருந்து 1 என்னும் ஒரே தூரத்தில் இருக்க, AP என்பது AB இற்கு எதிர்ப் போக்கில் இருந்தால், OX, OY என்பன வற்றின் மீது PA இனுடைய எறியங்கள் 7 கோசை9, r சைன்9 என்பனவாகும்.
.. a-a = r கோசை9, g -g=rசைன்9, அல்லது a = a-rகோசை9, g=g-r சைன்9.
நாம் வழக்கமான வழக்கை மேற்கொண்டு A இலிருந்து AB என்னுந் திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை நேர் என்றும் BA என்னுந் திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை எதிரென்றுங்கொண்டால்,4இலிருந்து(நேர் அல்லது எதிரான) + என்னுந் தூரத்தில் அக்கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி Pஇனுடைய ஆள்கூறுகள் a +rகோசை 9, g + rசைன் 8 என்பனவாதல் பெறப்படும். r இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும், அக்கோட்டின்மீது
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 115
ஒரு புள்ளியே உண்டு ; அக்கோட்டின்மீதுள்ள எப்புள்ளிக்கும் ஒத்ததாய் r இற்கு ஒரு பெறுமானமே இருக்கும். r இன் ஒரு நேர்ப் பெறுமானத் திற்கு ஒத்த புள்ளிPஎன்பது OXஒடுAP ஆனது 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படி இருக்கும். r இன் ஓர் எதிர்ப் பெறுமானத்திற்கு ஒத்த புள்ளி P என்பது OX ஒடு AP ஆனது 7 + 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படி இருக்கும். 2,g, உம் 6 என்பதும் நிலையாயும் r என்பது மாறியாயுமிருக்க, அக்கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி P இனுடைய ஆள் கூறுகள் இவ்வண்ணம் a+rகோசை6, g + rசைன் 9 என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படும் பொழுது, அவ்வாள்கூறுகள் r என்னு மாறுஞ் சாராமாறியில் உணர்த்தப்பட்டன எனப்படும்.
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு a2+by+ 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலே தரப்படுகின்றதெனக் கொள்க. அக்கோட்டின்மீது (ag) என்னு நிலை யான ஒரு புள்ளியை எடுக்க.
ஆயின், a2+by+c=0 ஆகவே, அக்கோட்டின் சமன்பாடு
a (3 -2) + b (y -g) = 0 என எழுதப்படலாம். அக்கோடு OX இற்கு அல்லது OY இற்குச் சமாந்தரமன்றெனின்,
a,b என்பன பூச்சியமாகா.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டை நாம்
1991
ー(Z
ό என எழுதலாம்.
அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a, g)
2ー21 2) - 8/1
ତିtତ୪tuତ୪t Φ ι Ο உஞ் சமனகும்படி இருக்கும்.
O
அவற்றின் பொதுப் பெறுமானத்தை t என்பதாற் குறிப்போமாயின், நாம் பெறுவன,
oto - W Wı b a
அல்லது a = a + b, g=g - at என்பன.
அக்கோட்டின் மீது புள்ளி (0,g) இனது நிலைமாற, t இன் பெறு மானமும் மாறும் என்பது தெளிவு. அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு ஒத்ததாய் t இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு ; t இன் யாது மொரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் அக்கோட்டின் மீது ஒரு புள்ளியே இருக்கும்.

Page 64
16 தூயகணித மூலகங்கள்
இவ்வண்ணம், a = a + b, g=g - at என்னுஞ் சமன்பாடுகள் அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் (a, g) என்பனவற்றின் சாராமாறி வகைக் குறிப்பை t என்னுஞ் சாராமாறிபற்றித் தரும்.
அக்கோடு ஆள் கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றுக்குச் சமாந்தரமாயிருக்கும் பொழுதும் இச்சாராமாறிவகைக் குறிப்பு உண்மையாகும் என்பது இப் பொழுது எளிதிற் காணப்படும். அக்கோடு 0 அச்சிற்குச் சமாந்தரம் எனக் கொள்க. ஆயின், a=0 ; அக்கோட்டின் சமன்பாடு g=g என எழுதப்படலாம். சாராமாறிச் சமன்பாடுகள் ' a = a + b, g = g, என்பனவாகும் ; t இனுடைய வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு இச்சமன் பாடுகள் g=g என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளிகளின் ஆள்கூறு களைத் தெளிவாய்த் தரும்.
அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயிருக்கும் பொழுது ஒத்த நியாயங் கள் உண்மையாகும்.
ஆகவே, ax+by+ 0 = 0 என்பது யாதுமொரு தந்த கோட்டின் சமன் பாடாயிருக்க, (0,g) என்பது அதன்மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளி யாயின், அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a = a + b, g=g - at என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும்.; இங்கு t என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறி.
(உ-ம்) 22 + 3g +2 = 0 என்னும் கோடும் - எனனுஞ் சாய்வு விகிதத்தோடு (1,-1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரைந்த கோடும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.
(2,g) என்பது இரண்டாங் கோட்டிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயின்,
y -- 1
- 2ーl
C-C = C = 1 (என்க)
ac = 1 -- 4t, y = -1 - 3t.
இவ்வண்ணம் அக்கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள் கூறு கள் t என்னு மாறுஞ் சாராமாறிபற்றி உணர்த்தப்படும்.
T என்பது அவ்விரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கு ஒத்த t இன் பெறுமானமாயின்,
2 = 1+4T, y= -1 -3T ஆகும்பொழுது 20+3g + 2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
... 2(1-4T) -- 3( - 1 - 3T) -- 2 = 0
.". T = 1.
ஆகவே, அக்கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகள் (1 + 4) -1-3) அல்லது (5, -4) என்பனவாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 117
நியம வடிவம்.
AB என்பது தந்தவொரு கோடாகுக ; W என்பது உற்பத்தித் தானம் 0 இலிருந்து அக்கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்தின் அடி ஆகுக'; ON இன் நீளத்தின் பருமன் p x ஆகுக. ON இனது திசை 0X ஒடு d என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. அக்கோட்டின்மீது யாதுமொரு புள்ளி P(a),g) W என்பதை எடுக்க ; PM என் Y பதை OX இற்குச் செங்குத் தாய் வரைக ; அது OX என்பதை M இற் சந்திக்க. ஆயின், O இலிருந்து OX இனது திசையில் அளக்கப்படும் OM என்பது ம இற்குச் சமன் ; M இலிருந்து OY இற்குச் சமாந்தரமான திசையில் அளக்கப்படும் MP என்பது g இற்குச் சமன்.
ON இன்மீதுள்ள OP இன் எறியம் =ON இன்மீதுள்ள OM இன் எறியம் +ON இன்மீதுள்ள MP இன் எறியம்.
ON ஆனது OX ஒடு ஆக்குங் கோணம் d ஆகும் ; ஆகவே, OX ஆனது ON ஒடு ஆக்குங் கோணம் - d ஆகும்.
ON ஆனது OY ஒடு ஆக்குங் கோணம் a - ஆகும் ; ஆகவே
OY ஆனது ON ஓடு ஆக்குங் கோணம் -a ஆகும்.
ON இன்மீதுள்ள OP இன் எறியம்
= a கோசை (-a) + g கோசை (-) ஆனல்,
ON இன்மீதுள்ள OP இன் எறியம் p இற்குச் சமன்.
20 கோசை a + g சைன் a =ற.
இச்சமன்பாடு அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகளால் தீர்க்கப்படுமாகையால் அக்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.
a என்னுங் கோணத்தின் பருமன் அல்லது குறி எதுவாயிருந்தாலும் இந்நியாயங்கள் பொருந்தும்.
N இனுடைய ஆள் கூறுகள் p கோசை a, p சைன் a என்பன.

Page 65
18 தூயகணித மூலகங்கள்
நியம வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்.
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு aa + bg + 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலே தரப்பட்டபொழுது, அச்சமன்பாட்டை
O2 by
v/ (a 2 + 2(', Oہ
C (قv/ (a + b2) TV/ (aa + b
என்னும் வடிவத்தில் எழுதுவதாலே நியம வடிவத்திற்கு மாற்றலாம். இங்கு V (a + b*) என்பது a2+b2 என்பதனுடைய நேர் வர்க்க மூலத்தைக் குறிக்கின்றது.
>ே 0 ஆயின்,
- Oil, -b Vv Ww C என எழுதுகின்ாே?ம் va2 + b2)*t V (a? --ba)" y(a + b2) ழுதுகனருேம.
- 0 S a <2ா என்னும் வீச்சிற்குள் கோசை a = v/ (a2 + b 2) -ՉֆավԼՈ
-b சைன் a= / புரு ஆயுமிருக்கும்படி a இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு.
ஆயின், அச்சமன்பாடு
C 20 கோசை a + y சைன் a = p ஆகும் , இங்கு o V (ao - bo)
C < 0 ஆயின்,
by -- -C கின்(ேmப் V (a? + b°)F V (a? + b°)TV (a2 + b?) என எழுதுகின்ருேம்.
0. b கோசை a = v/ (a? ۔+ b2( ஆயும, சைன 0 = AV ( a* -+- Ꮣ*) ஆயும் p =
-C
V/(a2 +- b2) ஆயுமிருந்தால், இச்சமன்பாடு
2 கோசை a + g சைன் a = p என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். அக்கோட்டிலிருந்து உற்பத்தித் தானத்தின் செங்குத்துத் தூரம்
C முதலாம் வகையில் / )a3 3 ہ-۔( ՔչավԼԸ
C இரண்டாம் வகையில் v/(a3 + 62) ஆயும் இருக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 19
|0| என்பது C இன் எண் பெறுமானத்தைக் குறித்தால், அக் கோட்டிலிருந்து உற்பத்தித் தானத்தின் செங்குத்துத் தூரம் என்றும்
c
(b2 ~+۔ v/ (a2ہ
(உ- ம்) 33 + 4று + 15 = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து உற்பத்தித் தானத்தின் செங்குத்துத் தூரத்தைக் காண்க ; அக்கோட்டின்மீது உற் பத்தித் தானத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்தால் OX ஒடு ஆக்கப் பட்ட கோணத்தையுங் காண்க.
என்பதனலேயே தரப்படும்.
அக்கோட்டின் சமன்பாடு
- நீல-* y = 3 ஆகும்.
கோசை 9 = ஆயும், சைன் 9=*ஆயுமிருக்கும்படி, 9 என்பது நேர்க் கூர்ங் கோணமாயின், நாம் பெறுவன
கோசை (9+ா)= -t, சைன் (9+ா) = -8 என்பன. ஆகவே, இக்கோட்டின் சமன்பாடு
2 கோசை (8+ா) + y சைன் (9 + 1ா) = 3 ஆகும்.
N என்பது அக்கோட்டின்மீது 0 என்னும் உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து
வரைந்த செங்குத்தின் அடியாயின், ON இனது நீளம் = 3; OX ஒடு ON ஆல் ஆக்கப்படுங் கோணம் 9 + r ஆகும்.
N இன் ஆள் கூறுகள் ON கோசை (6 +ா), ONogait (0 + n)
அதாவது (-,ே -*) என்பனவாகும்.
பயிற்சி 1. (i) OX ஒடு T என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு (1,-1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின்
(i) (2,3), (-1, -2) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்கின்ற
கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுக.
2. (a கோசை a, b சைன் a), (a கோசை 8, 6 சைன் 8) , என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின் சமன்பாடு
கோசை ( -- β) + 4 சைன் ( -- β) sese கோ(ை) எனக் காட்டுக.
2 b 2
6—~—J. N. B 66342 (7/59)

Page 66
120 தூயகணித மூலகங்கள்
8. A என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயின், (a, y) (2 g) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகள் A a + (1 -A)2, A g + (1 -A) g என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாமெனக் காட்டுக.
அது துணையாக (-1,2), (2,3) என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோடு 3 + g = 0 என்னுங் கோட்டாற் பிரிக்கப்படும் விகிதத்தைக் காண்க.
(4. ஒரொழுங்கில் எடுத்த தன்னுடைய உச்சிகள் (1,2), (-1,3), (2,4) (2, -6) என்பனவாயுள்ள நாற்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க; மூலை விட், டங்கள் இரண்டும் உற்பத்தித் தானத்தில் ஒன்றையொன்று வெட்டு கின்றன என்றுங் காட்டுக.
5. a என்பது ஒரு நிலையான நேர்க் கணியமாயும் 9 என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயுமிருந்தால், ஒரு மாறுங்கோடு லகோசை 9 + g சைன் 9 = a என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது. அக் கோடு என்றும் ஒரு நிலையான வட்டத்தைத் தொடுகின்றதெனக் காட்டுக ; a இலுஞ் சாராமாறி 9 இலும் அத்தொடுபுள்ளியின் ஆள் கூறுகளைக் காண்க.
6. a கோசை a + gசைன் a = a, a சைன் a -g கோசை a = b என்னும் இரு நேர் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க ; அவை a + g = a2+ b* என்னுஞ் சமன் பாட்டைத் தீர்க்குமென்றுங் காட்டுக.
7. A =(1,-1) ஆயும், B= (-2,3) ஆயுமிருக்க, P என்னும் ஒரு புள்ளி (a, g) தளத்தில் AAPB என்பதன் பரப்பு 10 சதுர வலகுகளுக்குச் சமனுகும்படி இயங்கினல், P இன் ஒழுக்கு இரு நேர் கோடுகளால் அமையுமெனக் காட்டுக ; அவ்விரு கோடுகளினுடைய சமன் பாடுகளைத் தனித்தனி காண்க.
8. ஒரு கோடு 1 என்னுஞ் சாய்வு விகிதத்தோடு A(3,4) என்னும் புள்ளிக் கூடாக வரையப்படுகின்றது. அது a + g^= 16 என்னும் ஒழுக்கை P,0 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டினல், AP, A0 என்பன ΟΧ βρΦ என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமென்றும் AP+ AQ= 7 V2 என்றுங் காட்டுக.
9. A (1,1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரைந்த ஒரு கோடு 2a + 3y? = 6 என்னும் ஒழுக்கை P,9 என்னும் இரு புள்ளிகளில் A ஆனது P9
இன் மையமாகும்படி வெட்டுகின்றது. அக்கோட்டின் சாய்வு விகிதம்
- எனக் காட்டுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 12
10. A (0,1) என்னும் புள்ளியிலிருந்து 3 அச்சை P இற் சந்திக்கு மாறு ஒரு நேர்கோடு OX ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தில் வரையப் படுகின்றது. AP, A0 = 4 ஆக, AP ஆனது 0 இற்கு நீட்டப்படுகின்றது. 8 இல் Q இன் ஆள் கூறுகளைக் காண்க ; அது துணைகொண்டு 9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் 9 இன் ஒழுக்கு a + (y + 1)2= 4 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுமென்றுங் காட்டுக.
11. a > 0 ஆயும் 0 

Page 67
அத்தியாயம் 3
சமாந்தரமான கோடுகள்
சமாந்தரமான இரு கோடுகளினுடைய சமன்பாடுகள் a + by+c=0 ைே+by+c= 0 என்பன எனக் கொள்க.
,ே b என்பன பூச்சியமல்லவெனின், அவற்றினுடைய சாய்வு விகி
தங்கள் - 器, - என்பனவாகும். அக்கோடுகள் ஒரே போக்கில் எடுக்கப் படும் பொழுது, அவை OX ஒடு சமகோணங்களை ஆக்கும்.
.0=அல்லது a,b -கம் %2 س- - 21--
ხa ხ,
b=0 எனின், முதலாங்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும். ஆயின், மற்றைக் கோடு g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாதல் வேண்டும். ஆகவே, b என்பதும் பூச்சியமாகும். ஆகவே, இவ்வகையிலும் a,b - a,b = 0. அதுபோல, b= 0 எனின், b=0 ஆயும் a,b -db=0 ஆயும் இருக்கும். ஆகவே, ax+by+c = 0, a +by+c=0 என்னும் எவை யேனும் இரு கோடுகள் சமாந்தரமாயின், a,b - ம்ே = 0.
மறுதலையாக, ab-ab=0 ஆயின், a2+by+c = 0, 00+ by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் சமாந்தரமாகும். இது பின்வருமாறு நிறுவப்படும் :-
b= 0 எனின், a=0 அல்லது b = 0. a, b, என்னும் இரண்டும் பூச்சியமாகும்பொழுது 40+by+c=0 என்னுஞ் சமன்பாடு பொருள் படாதாகையால், a=0 என்னும் வகை ஆராயப்படத் தேவையில்லை. ஆகவே, b = 0 ஆயின், b=0; அதுபோல b=0 ஆயிருந்தால், b= 0 ; அதாவது, அக்கோடுகளுள் ஒன்று g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடும் அதே அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆகவே, அக் கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
6 என்பது பூச்சியமன்றெனின், b என்பது பூச்சியமாகாது ; ஆயின், நாம் பெறுவது
و 68 - 0i - bib,
22

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 123
ஆகவே, அக்கோடுகளினுடைய சாய்வு விகிதங்கள் சமமாகும் ; எனவே அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
a'a + by+c = 0 என்னுங் கோடு aa+by+c=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகுக.
எனின், ம்ே'-0"b=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
a, b என்பனவற்றுள் ஒன்ருயினும் பூச்சியமன்று. a' என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்க. ஆயின், a என்பதும்
α' A. பூச்சியமாகாது. = அல்லது a = ab ஆகுக.
(1) இற் பிரதியிட, ab -kab = 0.
.b8% سمحت * t .*.
ஆகவே, c என்பது பூச்சியமாகாமையால், a'a+by+c = 0 என்னுஞ்
சமன்பாடு 00+by+ = 0 என எழுதப்படலாம்.
ஆகவே, aல +by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான எக் கோடும் a2+by+A=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் : இங்கு A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒரு சாராமாறி.
(உ- ம்) 30-4y+ 6 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் (1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒன்ருயின், அச்சமன்பாடு 30-4g+A=0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அக்கோடு (1, -2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால், 3 -- 8 -- XA = 0 .". A = -ll
ஆகவே, அச்சமன்பாடு 30-4று-11 = 0 ஆகும்.
செங்குத்துக் கோடுகள்
a2+ b y+ca = 0, 0ே+by+c=0 - என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனக் கொள்க.
ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.

Page 68
124 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றையதும் பூச்சியமாகும் ; a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றை யதும் பூச்சியமாகும்.
ஆகவே, அக்கோடுகளுள் ஒன்று ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், நாம் பெறுவது
01.02 -- ხ4ხ2 0.
அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்ருதல் ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தர மன்றெனின், ஒவ்வொரு கோட்டிற்குஞ் சாய்வு விகிதம் உண்டு ; அது பூச்சியமாகாது. 9 என்பது OX ஒடு a2+by+c = 0 என்னுங் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகுக.
ஆயின், 8+, என்பது OX ஒடு மற்றைக் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகும்.
தான் 6 = - 煞 தான் (+)- 一煞
.. ?= தான்9x தான் (6+1)=தான் 0(-கோதா6)= -1.
ხuხa 2 rー
.. CHd -- ხ„ხ2 0 حصحح.
ஆகவே, a2+by+c=0, aa +by+ =ே0 என்னும் எவையே னும் இரு கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனின்
თuთ2 –H ხ„ხ2 = 0.
மறுதலையாக, aa+bb= 0 எனின், da + by+ 0 = 0, a2+by+ =ே 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்து. அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு :- a=0 ஆயின், b = 0 ஆகும்; b=0 ஆயின் a=0 ஆகும் ; அன்றியும் a=0 ஆயின், b = 0 ஆகும்; b=0 ஆயின், a=0 ஆகும். ஆகவே, ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமபந்தரமாகும் ; ஆயின், அக்கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகும். V
a, a, b, b என்பன பூச்சியம்ல்லாவெனின், நாம் பெறுவது
0.
ba 成=+志

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 25
ஆகவே, 9 6, என்பன அவ்விரு நேர் கோடுகளால் OX ஒடு ஆக்கப்பட்ட கோணங்களாயின்,
தான் 9= -கோதா 9, அல்லது கோசை 9கோசை 9,+ சைன் 6,சைன் 6, =0, அல்லது கோசை (6-9) = 0.
ஆகவே, 6, 0, என்பன இன் ஒற்றை மடங்கொன்ருல் வேற்றுமைப் பட்டால், அவ்விரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
இரு கோடுகளுக்கு m, m என்னுஞ் சாய்வு விகிதங்கள் இருந்தால், அவ்விரு நேர் கோடுகளும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை mm= -1 என்பதே.
a'a + b'g + 0 = 0, aa + by + 0 = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகுக. ஆயின், aa + bb = 0. a', 6" என்பன வற்றுள் ஒன்ருதல் பூச்சியமல்லாததாகும். a என்பது பூச்சியமென்றெனக் கொள்க. ஆயின், a, b என்பனவற்றுள் ஒன்றதல் பூச்சியமாகாதென்
a' At பதால் b என்பது பூச்சியமன்று. 高= k அல்லது a = bb ஆகுக'. ஆகவே, aa + bb = 0 ஆயிருக்கின்றமையால், நாம் பெறுவது,
abik -- bb'' = 0 ... b' = - ak ஆகவே, a'a + by+ 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு 60-ag 十嘉一 0 என எழுதப்படலாம். ஆகவே, A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராவெனின், a2+by+c=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான எக்கோடும் bac - ay + A = 0
என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.
(உ- ம்) 33 + 4g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய்
(-2, 3) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்
IT-60L5 d5(16015.
அச்சமன்பாடு
40-3g + A= 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். அக்கோடு (-2, 3) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
–8–9+À = 0. ... A=17. ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு 40-3g + 17=0

Page 69
26 தூயகணித மூலகங்கள்
இருகோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்
aல + by+ c = 0, a + by+ =ே 0 என்பன ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமல்லாதனவாயுஞ் செங்குத்தல்லாதனவாயுமுள்ள இரு கோடு களின் சமன்பாடுகளாகுக.
அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்றதல் y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத போதுள்ள வகையை முதலாவதாக ஆராய்வோம். OX ஓடு 0, 7ா என்பன வற்றிற்கிடையில் (ா அன்றி 0 உட்பட) கிடக்கின்ற கோணங்களை ஆக்குங் கோடுகளினுடைய திசைகளேத் தேர்ந்தெடுக்க,
8, 9, என்பன அவ்விரு கோடுகளால் ஆக்கப்படும் கோணங்களாகுக. நாம் ஒரு கோணத்தின் குறியையன்றி அதன்பருமனேயே காரியமெனக் கொள்ளும் பொழுது, அக்கோடுகளுக்கிடையில் ஒன்று கூர்ங்கோணமாயும் ஒன்று விரிகோணமாயுமுள்ள இரு கோணங்களிருக்கும் ; இக்கோணங் களின் கூட்டுத்தொகை 7 ஆகும். தான் (ா -d) = -தான் a ஆயிருக்கின்ற மையால், a, 8 என்பன அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள இருகோணங் களாயின், தான் a= -தான் 8 என்பது பெறப்படும். 6>9, அல்லது < 0 என்பதற்கேற்ப, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று 9-8 அல்லது 9-8 ஆகும்.
தான் (6-9) = -தான்(9-6) ஆயிருக்கின்றமையால், எல்லாவகைகளிலும் அக்கோடுகளுக்கு இடை யிலுள்ள கோணமொன்றின் தான்சன் தான் (6-9) ஆகுமென்பது பெறப்படும்.
ir 9. - - -“1 ir (9. = l-“e தான் 9= ხ,” தான் 9, b.
ağı -- (a தான்(0,-6)=தான் தோன், டடே ; 1 + தான் தோன் Tே 112
--
ხ1 ხ2 b1 - dubaأو0b -
dւa2 + bւba ஆகவே, d என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
தான் 0 = abi - atba aaa. -- biba dgba - aba இது "ட". இன் எண் பெறுமானத்தைக் காட்டுகின்றது.
aaa. -- baba
இப்பொழுது, a + b,g + 0 = 0 என்னுங் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தா மெனக் கொள்க.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 27
ax+by+c= 0 என்னுங் கோடு OX ஒடு ,ே என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால், OY ஒடு அது ஆக்குங் கோணத்தின்பருமன்
6,> அல்லது < என்பதற்கேற்ப 6,- அல்லது –0, ஆகும்.
ஆகவே, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றினது
தான்சன், தான்( -- 8) =கோதா சி= bو
(2
ஆகவே, a என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
b
தான் a =
(2
முன்னர் ஆராய்ந்த வகையில், தான் 0 இற்கு அக்கோவையில் b = 0 என இட, நாம் பெறுவது,
.a என்பது பூச்சியமாகாமையால் == اوd,b -- (a102 02
− duba - أو d ஆகவே, b = 0 ஆகும் பொழுதும் தான் 0 = | | என்னுஞ் குத்
(*1672–H-ხ,ხ2
திரம் உண்மையாகும். அதுபோல, b2=0 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மை யாகும்.
m, m என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயாதல், சமாந்தர மாயாதல் இல்லாத இருகோடுகளின் சாய்வு விகிதங்களாயின், அக் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணம் a என்பது
т — та
l十7mm2 என்பதாலே தரப்படும்.
தான் a=
(உடம்) 22 + 3y=0, 23 -g = 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் T இலும் பெரிதெனக் காட்டுக.
6 -- 2
a என்பது கூர்ங்கோணமாயின், தான் a= 器 8 ܩܝܘܚܩ.
.. தான் a > தான்
o ገr
O. a >

Page 70
128 தூயகணித மூலகங்கள்
இரு கோடுகள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங்
கோடுகள்.
ax+by+c=0, aa + by+c= 0 என்பன இரு நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக. அக்கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டினல், அவ்வெட் டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களாகும்.
a,b,-a,b என்பது பூச்சியமன்றெனின், அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்த்தற்கு a, g என்பனவற்றின் ஒரு தனிப் பெறுமானத் தொகுதி காணப்படலாம். a,b - a,b, என்பது பூச்சியமெனின்,
a, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்கள் அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையும் ஒருங்குதீர்த்தல் காணப்படாது ; அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருக்க,
aa+by+c+A(a2+by+c) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க.
அது a, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு; ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
தந்த இரு கோடுகளுஞ் சமாந்தரமல்ல எனக்கொள்க. ஆயின், அவை (a, g) என்னும் புள்ளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். இப்புள்ளி அக்கோடுகள் இரண்டிலுங் கிடக்கின்றமையால்,
ac -- by -- c = 0, agar -- bay -- c2 = 0
. X இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
alo, +by1 + c1+À (ago, + b2yi + C2)=0.
ஆகவே, (a, g) என்னும் புள்ளி,
(ao +by+c)+À (age +by+c)=0
என்னுங்கோட்டிற் கிடக்கும். .. A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் ax+by+c+A(a2+by+c)=0 என்னுஞ் சமன்பாடு
a2+b.y十cl=0 agr十bay十ca=0 என்னுங் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 129
00+by+c = 0, 00+by+ =ே 0 என்னுங் கோடுகள் சமாந்தரம் எனக் கொள்க.
ஆயின், ab-ab= 0. . A இன் எப்பெறுமான்த்திற்கும்,
a(b + À b») — b, (a + Àa) = À (ab – a,b) = 0 . (a1十Aaa)c十(bュ+Aba)y+(ca十Aca)=0 என்னுங் கோடானது A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும் 0ே+by+ =ே 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
.. A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும்,
ax+by+c+A (a2+by+c) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு
a2+by+c = 0, 00+by+c-0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோடுகளுக் குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும்.
(உ-ம்) ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகள் 30+g +1=0 a + 2y + 1 = 0, 23 + g + 1 = 0 என்பன. அம்முக்கோணத்தின் செங்குத்து மையத்தின் ஆள் கூறுகளையும் அம்முக்கோணத்தின் மூன்றம் பக்கத்தை இரு சமக் கூறிடும் மையக் கோட்டின் சமன்பாட்டையுங் காண்க.
α -- / -+- 1 -- λ (α’ -+- 2υ + 1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு A இற் கூடாகச்செல் லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு B0 இற்குச் செங்குத் தெனின்,
2(1-1-X) + (1 + 2) = 0
3 ... À= -1.
ஆகவே, A இலிருந்து B0 இற்கு வரையுஞ் செங்குத்து
3 *+y+1-1(x+2y+1)=0
அல்லது a -2g + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். 2+2ழ +1-X(20+ g + 1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு 0 இற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு AB இற்குச் செங் குத்தெனின்,
(1 -- 2À) +- 2 -- XA = 0.
... A = -1.

Page 71
130 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, C இலிருந்து AB இற்கு வரையுஞ் செங்குத்து
a 十-2ッ十-lー(2a 十3/十1)=0, அல்லது - 2 + y = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். ஆகவே, செங்குத்து மையமானது a -2று +1=0, y-a = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியாகும். ஆகவே, அதனுடைய ஆள் கூறுகள் (1, 1) ஒரு மையக் கோட்டின்சமன்பாடும் A, B, C என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகளைத் துணியாமற் பெறலாம்.
CD, BD என்பன முறையே AB, AO என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர மாய் வரையப்பட்டால், AD என்பது பக்கம் B0 என்பதை இரு சமக் கூறிடும். CD இன் சமன்பாடு 0+2று +1 + X(20+ g +1) = 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அது AB இற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
(1 + 2)-(2--X) = 0. ". À = 1. ஆகவே, CD ஆனது 30+ 3g +2 = 0 என்னுஞ்சமன்பாட்டாலே தரப்படும். BD இன் சமன்பாடு 3 + g +1 +A(20+ g + 1) = 0 என்னும் வடிவத் தில் இருக்கும். அது 40 இற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
2 (1 + 2X) - (1 --A) = 0.
... À= -3 ஆகவே, BD இன் சமன்பாடு
*十y+1一5(2°十y十1)=0, அல்லது 20+2g +2 = 0 ஆகும். ஆகவே, 30+&y+2+A(a+2y+2) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு D இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும். A இனுடைய ஆள்கூறுகள் 30+ y = -1, 3+2g= -1 என்னுஞ் சமன் பாடுகளைத் தீர்க்கின்றன.
ஆகவே, A என்பது D இற்கூடாகச் செல்லு மேற்றந்த கோட்டிற் கிடந் தால்,
-3-2-1-A(-1 + 2)=0 ... λ = 1 .. AD இன் சமன்பாடு 3ac -- 3y -- 2 + (ac + 2y -- 2) = 0,
•ნბl6)6)ტl 4x + бу-{-4 = 0.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 3.
பயிற்சி
1. (l, A) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 2 + 2g - 1 = 0 எனனுங் கோட்டோடு தான்" என்னும் ஒரே கோணத்தை ஆக்கும் இரு கோடு களின் &fᎢᎶᎹᎢᏯᎦ .
2. ஒருச்சி (1, 2) இலும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி (3, -1) இலுமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பக்கங்களுடைய சமன்பாடுகளையும் உச்சி களுடைய ஆள் கூறுகளையுங் காண்க.
3. P என்பது y= 0 என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள புள்ளி ; Q என்பது g = 0 என்னுங் கோட்டிற்கு P9 செங்குத்தாகும்படி g = 30 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. PQ இன்மையம் 3g = 50 என்னுங் கோட்டின் மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
4. ஓர் இணைகரத்திற்கு இரண்டு எதிருச்சிகள் (1, 1), (2, -3) என்னும் புள்ளிகளில் உண்டு ; ஒரு பக்கம் 2g +30 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயும் வேறெருபக்கம் g -20 = 0 என்னுங்கோட் டிற்குச் செங்குத்தாயும் இருக்கின்றன. அவ்விணைகரத்தின் பரப்பைக்
ST600Ts.
5. ஒரு சாய்சதுரத்திற்கு இரண்டு அடுத்துள உச்சிகள் (3, 4), (-1, 2) என்பன வற்றில் இருக்கின்றன ; (3, 4) இற்கூடாகச் செல்லு மூலைவிட்டம் 2g+a=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரம். மற்றையிரண்டு உச்சிகளின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
6. P என்பது aa+by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளி; Q என்பது aa + by+d= 0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோட்
PR டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. RQ = X ஆகுமாறு R என்பது P0 இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், R என்பது aa +by+c + A(aa +by+ d) =0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
அது துணைகொண்டு தந்த கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாய் அவற்றிற்கு நடுவிற் கிடக்குங் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுக.
7. (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரையும் ஒரு மாறுங்கோடு a, g அச்சுக்களை முறையே p, q என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது.
P, 0 என்பனவற்றிற்கூடாக முறையே OY, OX என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைந்த கோடுகள் R இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ag-a-y=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றதெனக் காட்டுக.

Page 72
132 தூயகணித மூலகங்கள்
8. ஓரிணைகரத்தினுடைய பக்கங்கள் aa + by+c = 0, a'a + b'f+ c'=0, aa+by+d= 0, 0'a + by + d = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படு கின்றன. அதனுடைய மூலைவிட்டங்கள்,
(c' - d') (a ac --- by -- c) – (c - d) (a'ac' + b'y -- c') = 0, (c' — d') (aar -- by -- c)--(c — d) (a'ar -- b'y -- d') = 0
என்பன வெனக்காட்டுக.
9. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கம் AC இன்மீது B இலிருந்து வரைந்த செங்குத்து g + 23 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது : C இலிருந்து AB இன்மீது வரைந்த செங்குத்து g =ட் 20 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது. B0 என்னும் பக்கம் (1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்றல், A இனுடைய ஆள்கூறுகள்
22 - 4g2 + 30 - 6g = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் 65TL@5.
10. A (1, 2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து 20+ 3று + 5 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது வரைந்த செங்குத்து அக்கோட்டை M இற் சந்திக்கின்றது. AM என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு சாராமாறிபற்றி உணர்த்துக; M என்னும் புள்ளிக்கு ஒத்த அச்சாராமாறி யின் பெறுமானத்தைக் காண்க. AM ஆனது MN = AM ஆகுமாறு N இற்கு நீட்டப்பட்டால், N இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. B= (2, 3) எனின், P ஆனது தந்த கோட்டின்மீது AP, BP என்பன அக்கோட்டிற்குச் சமசாய்விலிருக்கும்படியுள்ள புள்ளியாயிருக்கும்பொழுது P இன் ஆள் கூறுகளைக் காண்க.
11. P என்பது a + g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி. PM என்பது 20+3று + 5 = 0 என்னுங் கோட்டை M இற் சந்திக்கு மாறு அதற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது; MN = PM ஆகுமாறு PM என்பது N இற்கு நீட்டப்பட்டுள்ளது. N இன் ஒழுக்கு
13(a + g +1) -10 (2a + 3g + 5) = 0 எனக் காட்டுக.
12. ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாயில்லாது ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடுகள் இரண்டு aa + bறு + c = 0, a'a + by + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. P என்பது (a, g) என்னும் புள்ளி ; P இலிருந்து முதலாங் கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்து அவ்விருகோடு க2ளயும் முறையே M, N என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது. PMN இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள் கூறுகளை ஒருசாராமாறிபற்றி உணர்த் துக ; M, N என்பனவற்றிற்கு ஒத்த அச்சாராமாறியினுடைய பெறு மானங்களைக் காண்க. அது துணைகொண்டு
(αα -- ο ό) (αα -- όψα -- C) (α'αι -- όψι + α ́)

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 133
என்பது ச்சியத்திலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதா தற்கேற்ப, P என்பது தந்த இரு கோடுகளுக் கிடையேயுள்ள கூர்ங் கோணத்திற்குள்ளே அல்லது விரி கோணத்திற்குள்ளே கிடக்கின்ற தெனக் காட்டுக.
13. AB0 என்னும் ஒரு முக்கோணத்தினுடைய பக்கங்கள்
111 = d:130 –|- ხ1ყ —!– C1 == 0, 2 = ax + bx + c = 0, ua=a33 十say十ca=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன.
அம்முக்கோணத்தினுடைய மையக் கோடுகள்
(aba - asba) u = (ab – alba) u2, (agb - bேs) 22 = (a,b) - a,b) us, (aō - alb) a = (albs - aslba) என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
அம்மூன்று மையக்கோடுகளும் ஒருங்கு சந்திக்குமென வகுத்தறி முறை யாற் காட்டுக.
ஒரு கோட்டைக்குறித்து ஒரு புள்ளியினது நிலை
என்னும் ஒரு கோடு (a + by + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுக ; P, P என்பன (0, 0) தளத்தில் (a, g), (32 g) என்னும் ஆள்கூறுகளே உடையனவாய் இன்மீது கிடவாத இரு புள்ளிகளாகுக. P. P என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமன் றெனின், அவ்விரு கோடுகளும் எென்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். P. P என்டன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் இருந்தால், எென்னும் புள்ளி P. P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் : P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கத்தில் இருந்தால்,
P அது P. P என்னுந் துண்டிற்கு வெளியே கிடக்கும்.=ேbஆகு.:
2 ஆயின், P. P என்பன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் அல்லது ஒரே பக்கத் தில் இருப்பதற்கேற்ப, k என்பது நேர் அல்லது எதிராகும்.
Qヨ ( + ka, g + kg TVI - - i. ஆகவே, 9 என்பது இன்மீது கிடக்கின்றமையால், நாம் பெறுவது,
a(ra十 kra)十b(y1十 kya)十c(1十k)=0. °k = -021-H-09: 士 به aza十bya十c

Page 73
34. தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, a2+by+ c, da+by+c என்பனவற்றிற்கு ஒரேகுறி அல் லது எதிர்க்குறிகள் இருப்பதற்கேற்ப P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கம் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும். -
P. P என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமெனின், P, P என்னும் புள்ளிகள் இன் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும்.
P (a, g) என்பது இன் எதிர்ப்பக்கத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. ஆயின், a2+by+ c, da+by+c என்பனவற்றிற்கு எதிர்க்குறிகள் இருக்கும் ; லே +by+ c, da+by+c என்பனவற்றிற்கும் எதிர்க்குறி கள் இருக்கும்.
ஆகவே, a2+by+ c, a2+by+c என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும்.
ஆயின், P. P என்பன இன்மீது கிடவாத எவையேனும் இரு புள்ளிகளாயின், da + by+ c, a2+by+ c என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க்குறி ஸ் இருத்தற்கேற்ப, அவை இனுடைய ஒரே டக்கத் தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும்.
ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்
என்னும் ஒரு கோடு aa + by+ 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் , P(a,y) என்பது இன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளியாகுக. இற்குச் செங்குத் தாய் P இற்கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின் சமன்பாடு
a(y -g) -(2-3) = 0 என்பதாகும். . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (l) a, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
1991 -
b என நாம் எழுதலாம்.
ஆகவே P இனூடாகச் செல்லுஞ் செங்குத்தின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள், t என்பது ஒரு சாராமாறியாயின், a = a,+a, மு=g + b என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம். 0 அல்லது b பூச்சியமாயிருக்கும்பொழுதும் இச்சாராமாறிவசைக் குறிப்பு உண்மையாகு மென்று சமன்பாடு (1) இலே தேரே பிரதியிடல் காட்டுகின்றது.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 35
N என்பது P இலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடி ஆகவே, k என்பது N இற்கு ஒத்த t என்னுஞ் சாராமாறியின்
யாகுக. பெறுமான்மாயின், N இனுடைய ஆள்கூறுகள் 3 + ak, g + bk of 631L. Jact என்பது இன்மீது கிடத்தலால், நாம் பெறுவது
la(a + ak) + b(y + bk) + c = 0.
k:- - aa, --bց: -- C
a? -- b.
附一丝其驾士°
a -- b?
இங்கு, |b| என்பது k இன் எண் பெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது.
P= (acı, yı), N = (acı +ak, yı + bk). h PN? = (a +- ak — av)? -- (y -- bk - y)o = (a? -- bo)ko.
ஆகவே, இலிருந்து P இன் செங்குத்துத் தூரம்.
by + c k 2-lb) = ααι + k | Ꮩ (a* + b*) V/(a° —{— b°) அதாவது 0 +by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து (0,g) என்னும் புள்ளியின் செங்குத்துத்துரம்,
3. “ಬ್ಡಿ! என்பதன் எண் பெறுமானமாகும். (உ-ம்) 1. (a + by+ 0 = 0, 00+by+ d=0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
முதலாங் கோட்டில் யாதுமொரு புள்ளி (0, y) என்பதை எடுக்க. மற்றக் கோட்டிலிருந்து இப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்விரு சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் துரமாகும்.
". அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரம்
aa' + by + d -ت
v/(a + b)
(2,y) என்பது 0ே +by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற் கிடத்தலால், நாம் பெறுவது
aar -- by -- c = 0, அல்லது aa + by = - 0.

Page 74
136 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, aa +by+ 0 = 0, 00+by+ d=0 என்னுங் கோதிகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரம்
|i-이
(உ- ம்) 2. ஒரு முக்கோணத்தினுடைய உச்சிகள் A, B, C என்பன வற்றினுடைய ஆள்கூறுகள் (1, 1), (-2, -3), (- 3, 4) என்பன. ABC என்னு முக்கோணத்திற்கு வெளியே, A'B', 'B'0', 0'A' என்பன முறையே AB, BO, CA என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் அவற்றிலிருந்து ஓரலகு தூரமுமாயிருக்கும்படி A B 0 என்னும் ஒரு முக்கோணம் வரையப்படுகின்றது. A B 0' என்னும் முக்கோணத்தினு டைய பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
ஆகும்.
AB இன் சமன்பாடு g - 1 = (a -1), அல்லது 4 20-3g - 1 = 0 என்பது. (a, g) என்பது A'B இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி. AB இலிருந்து அப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்
4a, -3y, -1 5 | - 1-1.
5
(a,g),(- 3,4) என்பன AB இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடத்தலால், 42,-3g -1 என்பதற்கு 4(-8) - 3(4) - 1 என்பதன் குறியின் எதிர்க்குறி இருக்கும்.
.. 40-3g -1 என்பது நேர்க்குறியுள்ளது.
40% - విy - I _ - 5 - .. 42% — 3ყ1 - 6 = 0
1.
(x,y) என்பது AB இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயிருத் தலால், AB இன் சமன்பாடு 40-3g-6 = 0 என்பது.
AO இன் சமன்பாடு g -1 = -* (0-1),
அல்லது 3a +4y-7 ਸ0
(acı, 3/ı) 676öTLIது AO இன் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியெனின்,
13:+ಙ್ಗ-1 = 1
Y

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 37
&r +ty-T என்பதற்கு 3 (- 2) + 4 (-8) -7 என்பதன் எதிர்க்குறி இருக்கும்
ಶಿಶ್ನ!!--. அல்லது 30+4g-12=0
. A'0' இன் சமன்பாடு 30+ 4g-12=0.
அதுபோல, B'0' இன் சமன்பாட்டையுங் காணலாம்.
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுடைய இரு சமவெட்டிகள்.
a2+by+c = 0, 00+by+ 0 = 0 என்பன ஒன்றுக் கொன்று சமாந்தரமல்லாத இரு நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
(a, g) என்பது அவ்விரு கோடுகளிலிருந்துஞ் சமதூரமான ஒரு புள்ளியாயின்,
aa' + by + c ெ a1a' + by + c, V(ao -- bo) 1/(a፤” + bu”)
P,0 என்னும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒரே எண் பெறுமானம் உண் டெனின், P,)ெ என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க்குறிகள் இருத்தற்கேற்ப P= Q அல்லது - .ெ
aac -- by -- C 11 ba3/1十ca )b2( V(ao+ bo -+۔ v/(a2ہ
(11+ b191 + c, w/(a° —#- ხ1*) ஆகவே, அவ்விரு கோடுகளிலுமிருந்து சமதூரமான யாதுமொரு புள்ளி
a ac + by + c, a ac + by + c, a (1130 –|- ხ19ყ–+ c1 AMS S S S S S SSAS SJ MMS SS S SS S S000ALSLaL SSqSSAASS SS SS SSASS V(ao+ bo) V (ao + bo) * "/2+o) என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்றைத் தீர்த்தல் வேண்டும்.
அல்லது -
யின் ஆள் கூறுகள்
ஆனல், தந்த இரு கோடுகளிலிருந்து சமதுரமான ஒரு புள்ளி அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றின் இரு சமவெட்டி யின் மீது கிடத்தல் வேண்டுமென்று நாம் அறிவோம்.
ஆகவே, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள இரு கோணங்களுடைய இரு சமவெட்டிகள்
°十by十g_gw十by十á V (ao + bo) w/ (q,1° + ხ1*) @十*y十g_ a1a' + by + c, V (ao + bo) V(ao + bo)
என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும்.

Page 75
138 தூயகணித மூலகங்கள்
(a_-ủo) 4={i, i), B = ( - 2, - 3), C = ( - 3, 4) 616ờ1L160Tỗi Tu46ìTGIT ABC என்னும் முக்கோணத்தின் கோணம் A இன் உள்ளிரு சம
வெட்டியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
AB, A0 என்பனவற்றினுடைய சமன்பாடுகள் 40 -3g -1=0, 3a + 4g -7 - 0 என்பன.
ஆகவே, கோணம் A இன் உள்ளிரு சமவெட்டி
4a - 3 - 1 8a; -- 4u - T 44-39 - 3 + 4y
5 5
என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்
ருலே தரப்படும் ; மற்றச் சமன்பாடு வெளியிரு சமவெட்டியைத் தரும். எச்சமன்பாடு உள்ளிரு சமவெட்டியைத் தருமென்பதைத் துணிதற்கு B, C என்பன உள்ளிரு சமவெட்டியின் எதிர்ப்பக்கங்களிலும் வெளியிரு சமவெட்டியின் ஒரே பக்கத்திலும் இருக்கின்றன என்னும் பண்பைப் பயன் படுத்துகின்றேம்.
4a -3y-l 3a -- 4y - 7
- - - - -,
அல்லது 0 -7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க.
2-7g + 6 என்பதில் B, C என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகளைப் பிரதி யிடும் பொழுது எதிர்க் குறிகளையுடைய - 2 + 21 + 6, -3 - 28 + 6 என்பன வற்றைப் பெறுகின்ருேம்.
ஆகவே, 0-7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு கோணம் A இன் உள்ளிரு சமவெட்டியைத் தருகின்றது.
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தின் இரு சமவெட்டி,
a ac + by + c, = 0, a ac + by + c, = 0 ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தல்லாத இரண்டு வெட்டுங் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று கூர்ங் கோண மாயும் மற்றையது விரிகோணமாயுமிருக்கும். 9 என்பது அக்கூர்ங்கோண மாகுக ; ஆயின், O < θ<ή, ή < π- θ< π. என்பது அக்கூர்ங் கோணத்தின் இரு சமவெட்டியைக் குறிக்க ; என்பது அவ்விரி கோணத்தின் இரு சமவெட்டியாகுக. ஆயின், A இற்குந் தந்த கோடு களுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் ; இற்கும்
இக்கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் t > T.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 3 139
ஆகவே, இற்கும் அக்கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தினது தான்சன் 1 இலுஞ் சிறிது ; இற்கும் அக் கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தினது தான்சன் 1 இலும் பெரிது. இரு சமவெட்டிகள் இரண்டினுள் எது கூர்ங் கோணத்தை இரு சமக் கூறிடும் எனத் துணிதற்கு இப்பண்பு எங்களுக்கு உதவும்.
உதாரணமாக, 0+g -1 = 0, 0-7g +2 = 0 என்னுஞ் சமன் பாடுகளாலே தரப்பட்ட கோடுகள் இரண்டையும் ஆராய்க.
அவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணங்களின் இரு சமவெட்டிகளின் சமன் பாடுகள்
2十岁一l_上%一7y十2。 ーエー -- 5v/2 எனபன.
இருசம வெட்டிகளுள் ஒன்று
5(a;--3/ーl)=2ー73y十-2, அல்லது 40 + 12g-7 = 0 என்பதாலே தரப்படும்.
இக்கோட்டின் சாய்வு விகிதம் T3 தந்த முதலாங் கோட்டின் சாய்வு விகிதம் -1. இக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தினது தான்சன்
- I --
= i < 1. 1 -- கூர்ங் கோணத்தின் இரு சமவெட்டி
40 + 12g -7-0 என்பது.
பயிற்சி
1. 520 + 12g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் அக் கோட்டிற்கு (-5, -1) என்னும் புள்ளி இருக்கும் அதே பக்கத்தில் அக்கோட்டிலிருந்து 2 அலகு தூரத்திலுள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் éᎦᏡᎢᎶᏡᏡᎢéᏐ, .
2. ac + 2y + 1 = 0, 2ac + 11 y + 1 = 0, 11 ac - 2y + 1 = 0 61 637 622 165 சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் பக்கங்களையுடைய முக்கோணத்தின் உள் வட்ட மையத்தின் ஆள் கூறுகளைக் காண்க.
அம்முக்கோணத்தின் வெளி வட்டங்களுள் ஒன்றின் மையத்தினுடைய ஆள் கூறுகளையுங் காண்க.
3. 3a +4g + 1 = 0, 30+ 4g - 3 = 0, 4a+3g -1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொடும் இரு வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள் கூறு களைக் காண்க.

Page 76
40 தூயகணித மூலகங்கள்
4. ABC GT6ðir ug A = (0, — 1), B = ( — 2, -3), C = (1, 1) agus GİTGMT ஒரு முக்கோணம். B0 என்பதைத் தன்னுடைய பக்கங்களுள் ஒன்ருய் A AB0 இற்கு வெளியாற் கிடக்குஞ் சதுரத்தினுடைய எனையுச்சிகளைக் கTண்க.
5. 50 + 12ழ +1 = 0, 30 - 4று +1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொட்டுக் கொண்டு அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்திற்குட் கிடக்கும் ஓரலகு ஆரையுடைய வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள் கூறுகளைக் &$(tତ୪୪T85,
6. cd> 0 அல்லது <0 அதற் கேற்ப, aa + bறு + c = 0, ba + ag + d=0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையில் உற்பத்தித் தானத்தைக் கொள்கின்ற கேணாத்தின் இரு சமவெட்டியின் சமன்பாடு
(а — b) (х — у) —|- (с — d) = 0,
அல்லது (a + b) (a + y) + (c+ d) = 0 ஆகுமெனக் காட்டுக.
7. A = (0,2), B = (2,0) ; 0 என்பது உற்பத்தித் தானம். OPA, OPB என்பனவற்றிற்கு ஒரே பருமன் இருக்குமாறு P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளி இயங்குகின்றது. P என்பது g -2 = 0, g +a=2, a2+ g? -20 -2g= 0 என்னும் ஒழுக்குக்களுள் ஒன்றின் மீதாயினுங் கிடத்தல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
8. (a, g) என்னுந் தளத்திலே A (0,0), B(-a,0) என்னு நிலை யான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும் படியும் அக்கோட்டிலிருந்து அந்நிலையான புள்ளிகளினுடைய தூரங்களின் பெருக்கம் ஒரு மாறிலியாய் 30° இற்குச் சமனுகும்படியும் அம்மாறுங் கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாதுமொன்றிலிருந்து அக்கோட்டின்மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி a +g?= 4a? என்னும் வட்டத்தின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. (a கோசைa +று சைன்o-p=0 என்னும் வடிவத்தில் அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை எடுக்க).
9. A(20,0), B(-20,0) என்னு நிலையான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்குமாறும் அக்கோட்டிலிருந்து அப்புள்ளி களினுடைய தூரங்களின் பெருக்கம் 0° என்பதற்குச் சமனகுமாறும் அம்மாறுங் கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாது மொன்றிலிருந்து அக்கோட்டின் மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி 22 + y2 = 3a2 என்னும் வட்டத்தின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
10. இரண்டு சமாந்தரமான கோடுகள் pa + g + r = 0, pa + g + 8 - 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. (pa+ g + r) (7-8) >0 எனின், (a,y) என்னும் புள்ளி அந்நேர் கோடுகளுக்குஇடையிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 4
வட்டம்.
ஒரு தளத்தில் A என்பது ஒரு நிலையான புள்ளியாயும் P என்பது ஒரு மாறும் புள்ளியாயும் இருக்க, A, P என்பனவற்றிற்கு இடையி லுள்ள தூரம் மாறதிருக்கும்படி P ஆனது இயங்கினல், P இன் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகும். அத்தளத்தில் செவ்வகவச்சுக்கள்பற்றி A, P என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகள் (a, b), (3, g) என்பனவாகுக ; அம்மாருத் தூரம் r ஆகுக'. ஆயின், (a-a)? + (y -6)?= ?,
ஆகவே, இது, மையம் (a, b) ஆயும் ஆரை ஆயுமுள்ள ஒரு
வட்டத்தின் சமன்பாடாகும்.
அச்சமன்பாடு a2+g2-200 -2bg + a2+ b?-?-0 என எழுதப்படலாம். இது a2+g2+2ga+2fy + 0 = 0 என்னும் வடிவத்தில் உள்ளது ; இங்கு g, f, 0 என்பன மாறிலிகள்.
மறுதலையாக, g2+f?-c என்பது நேராயிருக்கும்பொழுது, a2+g2+ 2ga + 2fg + 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள எச்சமன்பாடும் ஒரு வட்டத்தைக்குறிக்கும் , அச்சமன்பாடு (a+g)?+ (y+f)?=g2+f2 - 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்பதே அதற்குக் காரணம்.
தன்மையம் (-g, -f) ஆயும் தன்னுரை V(g2+f?-c) ஆயுமுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடே இது. (உ- ம்) (1, 0), (-1,-1), (2, 1) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
அச்சமன்பாடு ? --g?-+2ga+2fy + c - 0 ஆகுக. அம்மூன்று புள்ளிகளும் அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால்,
1 - 2g -- c = 0, V
1--1-2g -2f-- c = 0,
4+1+47+2f+c=0.
KD = - 6, 17=, = -물. .. அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு *+ g^ +52-9று -6-0 என்பது.
4.

Page 77
42 தூயகணித மூலகங்கள்
தந்த ஒரு விட்டமுள்ள வட்டம்
A = (2, y) ஆயும், B = {a, g) ஆயுமிருக்க. P(a, g) என்பது AB என்பதை ஒரு விட்டமாக வுள்ள ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. ஆயின் AP, BP என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
a4 a எனின், AP இன் சாய்வுவிகிதம் ='.
ac - ac
a A a, எனின், BP இன் சாய்வுவிகிதம்= 72.
- :్క
9-91. 992 2 - {C & – 2 (ac — ac) (ac - aca) --- (y — yı) (y - y) = 0 a = a ஆயின், AP ஆனது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்
BP ஆனது 0 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும். 3/=3/2・ ஆகவே, மேலுள்ள சமன்பாடு இவ்வகையிலுந் தீர்க்கப்படும். அதுபோல, 0 = 3 ஆகும் பொழுதும் அது தீர்க்கப்படும்.
AB என்பதை விட்டமாகவுளஸ் வட்டத்தின் சமன்பாடு (x-x) (X-X2) --(y-yı) (y-y2) = 0 676öTug".
ஒருவட்டம் பற்றிக்காணும் ஒரு புள்ளியினது நிலை
a2+ g2+2ga+2fy+ 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாகுக. (a, g) என்பன அத்தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள் கூறுகளாகுக. 08+g?+2ga+2fg + 0 = 0 எனின், அப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின் பரிதியின் மீது கிடக்கும். அன்றெனின், அவ்வட்டமையத் திலிருந்து அதனுடைய தூரம் அவ்வட்டவாரையிலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதாதற் கேற்ப அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்குள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.
அவ்வட்டத்தின் மையம் ( -g, -f) ; அதனுரை V(g+f?-6) -2&Gal (a+g)"+(ya十f)"李g"+f"-e,
அதாவது, 2, +9:+2g2+2fg+030 ஆதற்கேற்ப
அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 143
தந்த ஒரு புள்ளியில் ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடு கோடு (3, g) என்பது a2+ g^ + 2ga+2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. (a, g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற அவ்வட்டத்தின் ஆரை (a, g), (-ர, -f) என்னும் புள்ளி களைத் தொடுக்கும் கோடாகும்.
.". அதன் சமன்பாடு,
(yーya)(21十g)=(2ーa)(ya十f)
)y) இலுள்ள தெ ாடுகோடு இவ்வாரைக்குச் செங்குத்தாய் (a, g و 31) இற்கூடாகச் செல்லுங் கோடாகும்.
.. அத்தொடு கோட்டின் சமன்பாடு,
(ac — a*) (at -+— g) —+— (gy — gy) (gy —+-f) = 0,
-9/606Pgl arx + yy+ gar +fy – a°–y°–gar – fy = 0 ( g) என்பது அவ்வட்டத்திற் கிடத்தலால், a* + y*- 2ga + 2fy + c = 0. (3, g) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு, 221十9y1十g(2 + 2a)十f(y十3/a)+C=0.
அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
2.0 + g.g + g(3+2)+f(y+g) + 0 = 0 என எழுதப்பட்டால், (a, g) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு ஒவ்வோருறுப்பிலுள்ள ஒரு 2 ஐ 3 என்பதாலும் ஒரு g ஐ g என்பதாலும் இடம் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.
உதாரணமாக, 29 + g^ + 23 + 6g -15 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு (2, 1) இலுள்ள தொடுகோடு
2ac + y + (ac +- 2) -- 3(y + 1) - 15 = 0,
அல்லது 30 + 4g -10 = 0.
(a-a)?+ (y -b)* = r என்னும் வட்டத்திற்கு (0, y) இலுள்ள தொடுகோடு (2-a) (a-a) + (y -b) (g-6) = r என்பது.

Page 78
144 துயகணித மூலகங்கள்
தொடுகோடாதற்றன்மைக்குரிய நிபந்தனை
ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடெனின், அக்கோட்டி லிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமன் ஆகும். மறுதலையாக, ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் செங் குத்துத்துரம் ஆரைக்குச் சமனயின், அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடு கோடாகும். வேறெரு வகையாகச் சொல்லப்புகின், ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை அக் கோட்டிலிருந்து அவ்வட்டமையத்தின் செங்குத்துத்தூரம் அவ்வட்டத்தின் ஆரைக்குச் சமன் என்பதே.
அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு ஃ+ g^ +2g0 + 2fy+ 0 = 0 ஆகுக ; அக் கோட்டின் சமன்பாடு 20+mg + 7 = 0 ஆகுக. அவ்வட்டத்தின் மையம் (-ர, -f) ; அதன் ஆரை W/(g?-+f?-c).
அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாதற்கு வேண்டிய போதிய
- la - நிபந்தனை Looko =w('+'-)
-260Gog (ーlgーmf十c)"=("+m")(g"十f*ーc).
சிறப்பாக, a + mg + n = 0 என்னுங் கோடு a2+ y2 = a என்னும் வட்டத்தைத் தொடுதறகு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை,
a(1-- m) = n. ;
இம்முடிவைப் பின்வருமாறும் பெறலாம் :-
(a, y) என்பது தொடு புள்ளியாகுக. (a, g) இல் அவ்வட்டத்திற் குத் தொடுகோடு 30+ g -a2=0.
ஆகவே, இச்சமன்பாடு a +my + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு ஒன்றகும்.
L ገn 72,
* ფ?! - an
• Œ፤ = – ~ ~ , 9/1 =
.. (a, g) என்பது அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால் நாம் பெறுவது,
(-)+(")-a.
72, 72,
... (lo+ mo)ao= no.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4. 145
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து ஒருவட்டத்திற்குத் தொடுகோடு
(3, y) என்பது a2+ g2+2ga+2fy + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக.
(3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமின்றிச் செல்லும் எக் கோடும் ۔۔۔بر
y-ma-g+ma=0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன் பாட்டால் தரப்படும்.
{ 二f十ns-ya十"。 ~V (l —+— m°) gjổDGDg5 {m(ac -- g) — y —f}* = (1 + mo) (go-fo — c) GT GÖf6ÖT இக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொடு கோடாகும்.
}-fift-c.
இது m இல் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. (a, g) இலிருந்து பு அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் ஒரு தொடு கோடாயினும் இருத்தல் வேண்டுமென்று நாம் அறிவதால், இச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இருத்தல் வேண்டும். m இற்கு மெய்மூலங்கள் இருத்தல் அவ்விரு படிச் சமன்பாட்டினது தன்மை காட்டியை ஆராய்வதால் வாய்ப்புப் பார்க்கப்பட லாம். அச்சமன்பாடு m இற்கு இரு மூலங்களைத் (m, n2 என்க) தருமா யின் (3, y) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்குத் தொடுகோடுகள்
y - y = m. (ac - ac),
g -g = m(30-2) என்பன.
அச்சமன்பாடு m இற்கு ஒரு பெறுமானத்தையே தருமாயின், (அச்சமன் பாட்டில் m? இன் குணகம் பூச்சியத்திற்கு ஒடுங்கும்போது இது நிகழும்), (3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய ஒரு தொடு கோடே இருக்கும்.
மற்றைத் தொடுகோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின் அதன் சமன்பாடு 20 -20 = 0.
அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டினது தன்மை காட்டியை ஆராய்வதால், (2,g) என்னும் புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு வெளியாய் இருந்தால், அதாவது a2+g2+2ga+2fy+c>0 எனின், அச்சமன்பாடு பொருந்தும் மூலங்களைத் தரமாட்டாதென எளிதில் வாய்ப்புப் பார்க்கலாம்.

Page 79
146 தூயகணித மூலகங்கள்
(உ-ம்) (0, 6) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+g? -20 + 2g -23=0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
அவ்வட்டத்தின் மையம் (1, -1) ; அதன் ஆரை 5. y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் (0, 6) இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோடு g -6 = ma என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். – l – 6 – ገm V (l +- m°) அல்லது (m +7)?=25(1 + m2),
அல்லது 12m?-7m -12-0 எனின்,
=土5,
அதாவது m = அல்லது -* எனின், இக்கோடு அவ்வட்டத்தைத் தொடும்.
.. அவ்விரு தொடுகோடுகளுடைய சமன்பாடுகள்
3g -40 - 18 = 0, 4g + 33 -24-0 என்பன.
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் ஒரு தொடு கோட்டினது நீளம்
0 என்பது மையமாயும், T என்பது P இலிருந்து வட்டத்திற்கு வரைந்த 8}(Iნ தொடுகோட்டினது தொடுபுள்ளியாயு முள்ள a2+g2+2g2+2g + 0 =0 என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியே P (3, y) என்பது கிடந்தால்,
F(பு αι)
PT = CP - CTo= (r + g) + (y +f) - (go+fo-c)
= a-Hy--2ga --2fy -- c. ஆகவே, (x, y) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடுகோட்டினது ளத்தின் வாக்கம் நீளத்தின் வரு
ac--y--2ga -- 2fly -- c.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 47
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடுகோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள
கோணம் PT, PT" என்பன மையம் C ஆயுள்ள ஒரு வட்டத்திற்கு P
என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடுகோடுகளாயின்,
r ST Z OPAT" = t ; 60p5FGör Z O CP
இங்கு r என்பது அவ்வட்டத்தின் ஆரை.
ஆகவே, 29 என்பது (a, g) இலிருந்து a + g^ + 2ga + 2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணமாயின்,
2 - f2சைன்9- "ட (21十g)"十(y1十f)*
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடு கோடுகளினுடைய
தொடுநாண் T, T என்பன (a, g) இலிருந்து a + g2+2ga+2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடு கோடுகளினுடைய தொடு புள்ளிகளாகுக. W
அவ்வட்டத்தின் TT" என்னு நாண் (2, y) என்னும் புள்ளியைக் குறித்துத் தொடுநாண் எனப்படும். t
(3, y), (a, g) என்பன T, T" என்பனவற்றின் ஆள்கூறு களாகுக.
T, T என்பனவற்றிலுள்ள தொடுகோடுகளினுடைய சமன்பாடுகள்
ara十9y。十9(c十a)十f(y十%)十c=0, cra十yya十g (c十as)十f(y十ya)+c=0 grgörL67.

Page 80
48 தூயகணித மூலகங்கள்
இத்தொடுகோடுகள் (a, g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றமை யால், நாம் பெறுவன
21%十ya3/a十g(x1十2a)十f(y1十3/a)十C=0, V− a23十3/aya十g(21十aa)十f(y1十3/s)十c=0 grgöLaT. ஆகவே, (x, y), (0, y) என்னும் புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும்
acac + yy -+ g' (ac + ac) + f(y + y) -- c = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
ஆகவே, இது தொடுநாணின் சமன்பாடாகும்.
இவ்வண்ணம், (a, g) என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியைக் குறித்து எடுக்கப்படும் தொடுநாணின் சமன்பாடு (a, g) என்னும் புள்ளி அவ்
வட்டத்திற் கிடக்கும்பொழுது அப்புள்ளியில் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டோடு ஒரே வடிவினதாகும்.
(உ- ம்) (1,2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+ g^ + 2 + g -1 = 0 என் னும் வட்டத்தை P, 9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுமாறு ஒரு மாறுங் கோடு வரையப்படுகின்றது ; P, 9 என்பனவற்றிலுள்ள தொடுகோடுகள் R இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ஒரு நேர் கோடெனக் காட்டுக.
அம்மாறுங் கோட்டின் யாதுமொரு நிலைக்கு R இனுடைய ஆள்கூறுகள் 3yı) ஆகுக'. W و201)
ஆயின், P9 இன் சமன்பாடு
2a十yya十墨(2十2a)十墨(y十3/a)ーl=0.
இக்கோடு (1, 2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால், நாம் பெறுவது
21十2/1十ー墨(1十ai)十ー墨(2十3/1)ーl=0, அல்லது 30+5g+ 1 = 0.
.. R இனுடைய ஆள்கூறுகள் என்றும் 30+5ழ+1=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
ஃ. R இன் ஒழுக்கு,
32+5g + 1 = 0 என்னு நேர்கோடாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 149
ஒரு வட்டத்திற்குச் சாராமாறி வகைக் குறிப்பு
a + y2 = ? என்னும் வட்டத்தை ஆராய்க. OP ஆனது OX ஒடு 9என்னுங்
கோணத்தை ஆக்கும்படியாக P என்பது y பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், P இனுடைய ஆள் கூறுகள் p
a = r கோசை 9, -
= r சைன் 9 8 2) O X
என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும். இச்சமன் பாடுகள் அவ்வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை 6 என்னுஞ் சாராமாறிபற்றி ஒரு சாரா மாறிவகைக் குறிப்பைத்தரும்.
P இலுள்ள தொடுகோடு OP இற்குச் செங்குத்தாதலால், அத்தொடு கோட்டின் சமன்பாடு லகோசை 9+g சைன் 9= r.
ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு
(c-d)^ + (y -b)* = ? என்னும் வடிவத்திலிருந்தால், பரிதியி லுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகள்
a = a + rகோசை 9, y = a + 7 சைன் 9 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் : இங்கு 6 என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறி.
(a + rகோசை 9, a + rசைன் 8) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடு கோட்டின் சமன்பாடு w
(c-d) கோசை 9+ (y -b) சைன் 6 = r.
பயிற்சி
1. ஒவ்வொன்றும் 2 அலகு ஆரையுடையதாய் ஆள் கூற்றச்சுக்களைத் தொடும் நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுதுக.
2. (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 23 + g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டை (-2, -1) என்னும் புள்ளியிலே தொடும் வட்டத்தின் சமன் பாட்டைப் பெறுக.
3. ( -5, -7) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 33 + 4 g -1=0 என்னுங் கோட்டைத் தொடும் 5 அலகு ஆரையுடைய வட்டங்களுள் ஒன்றன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

Page 81
150 தூயகணித மூலகங்கள்
4. A ( -1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாக OX ஒடு என்னுங்
கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு கோடு வரையப்படுகின்றது. இக்கோடு OX, OY என்பனவற்றை முறையே P,9 என்பனவற்றில் வெட்டினல், P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்திற்கு A இலிருந்து வரைந்த தொடுகோடுகளினது தொடு நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
5. (1,0),(-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்ற எல்லா வட்டங்களின் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. A என்பது y அச்சிற் கிடவாத ஒரு புள்ளியாயும், 0 இற்கு வெளியே 4 கிடக்குமாறு 0 என்பது அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டமாயுமிருந்தால், 0 என்னும் வட்டத்திற்கு A இலிருந்து வரைந்த தொடுகோடுகளினது தொடு நாண் என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுமென்று காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள் கூறுகளை A இன் ஆள்கூறுகள் பற்றிக் காண்க.
6. 30+ 4g = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான a + g^ + 20-4று -4-0 என்னும் வட்டத்தினுடைய தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க; அவற்றின் தொடு புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளே யுங் காண்க.
7. a அச்சை உற்பத்தித் தானத்திலே தொடுகின்ற ஒரு வட்டத்திற்கு (2,1) என்னும் புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடு கோட்டினது நீளம் 2 அலகு ஆயின், அவ்வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
8. லகோசை 9+ gசைன் 9-3 என்னுங் கோடு a2+ g^-40-2g + 4 = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொடுமாறு கோசை 9, சைன் 6 என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க.
அது துணைகொண்டு இவ்வட்டத்திற்கும் a + g^= 9 என்னும் வட்டத் திற்கும் பொதுவாயுள்ள தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளைப் பெறுக.
9. P என்பது 3 + g = 4 என்னும் வட்டத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி ; A என்பது (1, 1) என்னும் புள்ளி, AP இன் மையம் (3-4) + (y -4) = 1 என்னும் வட்டத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
10. ஒரு கோடு a +mg + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலும், ஒரு வட்டம் a + y2 = a* என்னும் சமன்பாட்டாலுந் தரப்படுகின்றன. A என்னும் ஒரு தனிப் புள்ளியானது தனக்கூடாக அவ்வட்டத்தை P, 0 என்பனவற்றில் வெட்டும்படி ஒரு மாறுங்கோடு வரையப் படும்பொழுது, P, Q என்பனவற்றிற்கூடாக அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடு கோடுகள் தந்த கோட்டிற் சந்திக்குமாறு உண்டென்று காட்டுக. புள்ளி A இன் ஆள்கூறுகளை ,m,m,n என்பனவற்றிற் காண்க.

ஆளகூற்றுக கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 151
ஒரு வட்டமும் ஒரு நேர்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்
aço -- yo -- 2ga: -- 2fy -- c = 0 GTGöTLJ 62Gb வட்டத்தின் & է Ո6ծT பாடாயும் a + img + 1 = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயும் இருக்க m 4 0 எனின், அக்கோட்டின் சமன்பாடு
la -- n.
y = - GT607 எழுதப்படலாம்.
272,
அவ்வட்டத்திற்கும் அக்கோட்டிற்கும் பொதுவான புள்ளிகள் உண் டெனின், அவற்றின் ஆள்கூறுகள் அவ்விரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்த்தல் வேண்டும். இச்சமன்பாடுகளில் g ஐ நீக்கினல், நாம் பெறுவது
.0 = 2z-2f“土“ -- c +"(" ")+مه
22, 12,
2? இன் குணகம் பூச்சியமல்லாததால், இது 3 இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு ; அதற்கு வேறு வேறன இரு மெய் மூலங்கள் அல்லது பொருந்து மெய்மூலங்கள் இருக்கலாம் அல்லது ஒரு மூலமும் இல்லாதிருக்கலாம்.
அதற்கு வேறு வேறன இரு மூலங்கள் இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் வெட்டும் ; அவ்விரு மூலங்களும் அவ்வெட்டுப் புள்ளிகளின் கிடைத் தூரங்களைத் தரும். S SS SS SS lac + n : . - அவற்றினுடைய நிலைத்தூரங்கள் g = --- எனனுஞ சமனபாடடிற பிரதியிடுதலாற் பெறப்படும்.
2 இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்குப் பொருந்து மூலங்கள் இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளி களில் வெட்டும் ; அதாவது, அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொடு கோடாகும் ; அப்பொருந்து மூலங்களின் பெறுமானந் தொடுபுள்ளியின் கிடைத் தூரத்தைத் தரும்.
2 இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலம் யாதும் இல்லை யெனின், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டா.
m = 0 எனின், என்பது பூச்சியமாகாது.
அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை a = - என்னும் வடிவத்தில் எழுதி
முன்போல நாம் வாதிக்கலாம்.
7—J. N. IB 66342 (6/57)

Page 82
52 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒரு வட்டத்தின் ஆரையை ஒரு கோட்டிலிருந்து அவ்வட்ட மையத்தின செங்குத்துத் தூரத்துடன் ஒப்பிடுதலால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒனறை யொன்று வெட்டும் பிரச்சினை மிக எளிதாகத் தீர்க்கப்படலாம். ஆரை V (g?+f?-c) ஆகும் ; அக்கோட்டிலிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத s5II ՄԼԸ
|-lg – mf+n -V/ (l? —+- m°) .. – lg – mf+ n , 2 "" ,/ ( 3 + mn 3) என்பது V (g^ +f?-0) என்பதிலுஞ் சிறிது அல்லது
பெரிதாதற் கேற்ப, அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒருபோதும் வெட்டா.
-lg-mf+ n, (g°十f° AW » » | L" ட' = / (g? --f?-c) எனின், அக்கோடு அவ்வட்ட
V/ (l* —+- m°) V f தி தைத் தொடும்.
உதாரணமாக, a + g^ + 23 + 6y - 1 = 0 என்னும் வட்டத்தையும் 2a + 3y + 1 = 0 என்னுங் கோட்டையும் எடுக்க,
ஆரையின் வருக்கம் = 1 +32 + 1 = 11. அக்கோட்டிலிருந்து மையம் (-1,-3) இனது தூரத்தின் வருக்கம்
(-2-9 + 1) 100
< 11. 13 I3 <
ஆகவே, அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் வெட்டும்.
ஒரு வட்டமும் ஒரு கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டங்கள்
S = 0, u = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடுமாகுக ; இங்கு S என்பது a" + y2 + 2ga + 2fg + c என்பதையும் u என்பது a + mg + n என் பதையுங் குறிக்கின்றன.
S+xt = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க : இங்கு X என்பது 20, g என்பனவற்றைச் சாராது.
இச்சமன்பாடு a2+ g^ + 2g'a + 2fg + 0 = 0 என்னும் வடிவினது ஆகையால் அது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 153
தந்த அவ்வட்டத்திற்கும் அந்நேர் கோட்டிற்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, u = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருப்பினும், அவை S + Xu = 0 என்பதைத் தீர்க்கும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், S+ Au= 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0 என்னும் வட்டமும் 2 = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
(உ- ம்) P,9 என்பன a2+ g^ + 20 - 8 = 0 என்னும் வட்டமும் a + g -1 = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளாயின், P9 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
X இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் a + g^ + 20-8 + A(a + g -1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு P, Q என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு
வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (-1-4-)ஆகும்.
PQ என்பது இவ்வட்டத்தின் ஒரு விட்டமாயின், அதன் மையம் PQ இன் மீது கிடத்தல் வேண்டும்.
X X - - - - -l=
2 2 O
À = —2.
ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு
ac* -+- g2 -+-2ac -- 8 --2(a-H- gy -- 1) == 0, அல்லது a + g^-2g - 6 = 0 ஆகும்.
u = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொட்டால், S = 0, u = 0 என்னும் சமன்பாடுகளிலிருந்து 2 அல்லது g இற்குத் தீர்வு காணும்பொழுது நாம் இரண்டு பொருந்து மூலங்களைப் பெறு கின்ருேம். ஆனல், இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகள் S+A a=0, 2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகளேயாகும்.
ஆகவே, S+ Au = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு, S = 0 என்னும் வட்டத்தை u = 0 என்னுங் கோடு தொடும் புள்ளியில் அவ்வட்டத்தைத் தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.

Page 83
154 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் பொது நாண்
S = 0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக ; இங்கு,
SE ac* -- y* + 2gac -- fy + c, S' = x* + y* - 2ga + 2fy + c.
அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள்
S - S = 0, அல்லது 2(g -g) 0+2 (f-f) g + c-c" - 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இச்சமன்பாடு 20,g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியைக் கொண்டது ; ஆகவே, அது அவ்விரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டைக் குறிக்கும்.
அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S-S = 0 என்னுங் கோடு அவற்றினது தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும். இக்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறு யாதும் புள்ளியில் வெட்டினல், அப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S-S = 0 என்பனவற்றைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்பதையுந் தீர்க்கும் ; அதாவது, அப்புள்ளி அவ்விரு வட்டங்களின் ஒரு பொதுப் புள்ளியாதல் வேண்டும். அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான தனிப்புள்ளி அவற்றினது தொடுபுள்ளி யாதலால், இது இயலாது. ஆகவே, S-S = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறேரிடத்திலும் வெட்டாது.
ஆகவே, அக்கோடானது S = 0, S = 0 என்னும் இரு வட்டங் களுக்கும் பொதுத் தொடு கோடாகும்.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதற்குரிய நிபந்தனே a, g என்பனவற்றின் குணகங்கள் 1 இற்குச் சமனகவுள்ள S=0, S = 0 என்பன இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக.
ஆயின், S-S = 0 என்பது முதலாம்படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடாகி ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும். இந்நேர்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டினல், அவ்வெட்டும் புள்ளி ஒன்றின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S-S" - 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும் ; அதாவது, அவ்விரு வட்டங்களும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். அக்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டாதா யின், S = 0, S = 0 என்னும் இரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்க்கும் புள்ளி யாதும் இல்லை.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 155
ஆகவே, S-S = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து S = 0 என்னும் வட்டத்தின் மையத்தினது தூரம் S = 0 என்னும் வட்டத்தின் ஆரையிலுஞ் சிறிது அல்லது அதற்குச் சமன் அல்லது அதிலும் பெரிதாதற்கேற்ப, அவ்விரு வட்டங்களும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒன்றையொன்று தொடும் அல்லது ஒன்றையொன்று வெட்டா.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் அல்லது வெட்டா என்பது அவ்விரு வட்டங்களின் ஆரைகளையும் அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையி லுள்ள துரத்தையுங் கணித்தலாலே துணியப்படலாம். 7, 7 என்பன ஆரைகளாயும், d என்பது அம்மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயு மிருந்தால், 7, 7, d என்னு நீளப் பக்கங்களுடைய ஒரு முக் கோணம் வரையக்கூடியதாயிருக்குமாயின், அவ்விரு வட்டங்களும் இரு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். ஒரு முக்கோணத் தின் யாதுமொரு பக்கம் ஏனை யிருபக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையின் சிறி தாயும் அவற்றின் வித்தியாசத்திலும் பெரிதாயுமிருத்தலால், |71-72|{d<7+7, ஆயினுற்றன் இது முடியும்.
|r-ri=d எனின், அவ்வட்டங்கள் உள்ளால் ஒன்றையொன்று தொடும் ; 7+1= d எனின், அவை வெளியால் ஒன்றையொன்று தொடும்.
1 + rd எனின், அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டா ; சிறு வட்டம் பெருவட்டத்திற்குட் கிடக்கும்.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும்
வட்டங்கள்
a*, மு? என்னும் ஒவ்வொன்றின் குணகம் 1 இற்குச் சமனயுள்ள S=0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடு களாகுக.
X என்பது -1 இற்குச் சமனகாது 2, g என்பனவற்றைச் சாராதுள்ள S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது இரண்டாம் படி யிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு ; முழுவதையும் 1 +A வகுத்தபின் a2+ g^ + 2ற0+2gg + r = 0 என்னும் வடிவத்திலே நாம் அதனை எழுதலாம் ; இங்கு ற, g, r என்பன 2, g என்பனவற்றைச் சாாாதிருக்கின்றன. ஆகவே, அச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். S = 0, S = 0 என் னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள் A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.

Page 84
156 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு -1 இற்குச் சமனகாத A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
X = -1 ஆகும்பொழுது, அச் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் பொதுநாணைக் குறிக்கும்.
S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு இரு வட்டங்களை அவற்றின் பொதுத் தொடு புள்ளியிலே தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்
P என்பது இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுள் ஒன்ருகுக ; PA, P PB என்பன அவ்வட்டங்க ፳፰ ளுக்குP இலுள்ள தொடுகோடு களாகுக. அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணை அமைக்கின்ற PA, PB என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் அவ்வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம் எனப்படும். 6 என்பது இக்கோணமாயும், C, C, என்பன அவ்வட்டங்களின் மையங்களாயுமிருந்தால், ZCPC=ா-9 என்பது எளிதிற் புலப்படும்.
r, r என்பன அவ்வட்டங்களின் ஆரைகளாயும், d என்பது அவற் றின் மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயுமிருந்தால்,
r--r-d 2γη, d2 - r2 - r"2
அல்லது கோசை 9=-
2Ꮫ1Ꮘ2
கோசை (ா-9)=
செங்குத்துவெட்டு
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்
ஆயின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுகின்றன எனப்படும். முன் னுருவத்திலுள்ள வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டினல், ZOPC) ஒரு செங்கோணமாகும் ; ஆயின், d?= ?? -- ?. மறுதலையாக, d?=1,2+r எனின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 157
அவ்வட்டங்களின் சமன்பாடுகள்
ac* + y' + 2gac+ 2f y + c = 0, a + g^ + 2ga + 2fg + c = 0 என்பனவாகுக. மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தின் வர்க்கம் (ர-g)? + (f-f) ஆகும். ஆகவே, அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை
(gaーga)"+(f 一f)"=ga"十f"ーc1十g."十f"ーca அல்லது 2gg2+2ff= +ே 2ே ஆகும்.
ஒரு வட்டத்தைக் குறித்து ஒரு புள்ளியின் வலு P(n, y) என்பது 22+g?+2ga+2fg+ 0 = 0 என்னும் வட்டத்தினது தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0X ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு கோடு P இற்கூடாக வரையப்படுக. r என்பது P இலி ருந்து OX ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் அளக்கப்பட்ட அப்புள்ளியினது தூரமாயின், இக்கோட்டின்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a + 7 கோசை 9, g + r சைன் 6 என்பன வாகும். இப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின்மீது கிடந்தால், நாம் பெறுவது,
(a + 7 கோசை6)?+ (g + rசைன் 8)2 + 2g (a + r கோசை 9)
—+ 2f(y + r GOGGÖT 6) + c = 0 *+2 (2 கோசை 9+ g, சைன் 9+g கோசை 9+f சைன் 8)
-- a-- y -- 2ga -- 2fy -- c = 0, இது r இலுள்ள ஒர் இருபடிச் சமன்பாடு. அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வெறன புள்ளிகள் ,ெ R என்பனவற்றில் வெட்டினல், இந்த இருபடிச் சமன்பாடு (தஞ்செவ்விய குறிகளோடு கூடிய) P9, PR என்னுந் துரங்களாகிய இரண்டு வேறு வேறன மெய்ப்பெறுமானங்களை 7 இற்குக் கொடுக்கின்றது. 7 இற்குரிய இரு மூலங்களின் பெருக்கம்
ac? -- y* -- 2gac + 2 fy + c, ... PQ.P.R = co--g/ -- 2ga -- 2fy -- c. ஆகவே, அவ்வட்டத்தை ,ெ R என்னும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டுதற்கு P இற்கூடாக யாதுமொரு கோடு வரையப்பட்டால், P9. PR என்னும் பெருக்கத்திற்கு 2,2 + g^ + 2ga + 2fg + 0 என்னும் ஒரு மாறப் பெறுமானம் உண்டு. அவ்வட்டத்தையும் P என்னும் புள்ளியினது நிலையையுமே சார்ந்த இம்மாறப் பெறுமானம் அவ்வட்டத்தைக் குறித்து

Page 85
158 தூயகணித மூலகங்கள்
P இன் வலு எனப்படும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்கு வெளியா இருந்தால், P9, PR என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும் , ஆயின் வலு நேராகும். ,ெ R என்பன பொருந்தும்போது P இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோடு எல்லையுறுமாதலால், P இன் வலு P இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோட்டினது நீளத்தின் வர்க்கமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்தின் மீதே கிடந்தால், 9, 8 என்னும் புள்ளிகளுள் ஒன்று P ஒடு பொருந்தும் ; ஆயின், வலு பூச்சியமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்குட கிடந்தால், P9, PR என்பனவற்றிற்கு முரண்குறிகள் இருக்கும் ; ஆயின், P இன் வலு எதிராகும்.
a*+ y2 + 2ர0 + 2fy + 0 என்பது எதிர் அல்லது நேர் ஆதற் கேற்ப, (a, g) என்னும் புள்ளி ac-- y -- 2ga -- 2fy + c = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்குமென முன்னர்க் கண்டுள்ளோம்.
இரு வட்டங்களின் சமத்தொடுகோட்டச்சு
S=Eaco -- yo -- 2gar —— 2fy -- c = 0, Sʼ =E ac* —+- gy* -+ - 2gʼac —+— 2 fʼgy —+- cʼ = 0 என்பன இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. (0, y) என்பது அவ்விரு வட்டங்களேயுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியாயின்,
a* + y* + 2ga -- 2fy + c = a* + y* + 2ga + 2fy + c
2(g-g')2 -- 2(f-f)y -- c - c' = 0 அவ்விரு வட்டங்களையுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியின் ஆள் கூறுகள்
2(g - g') ac -|- 2(f-f") y -- c. - c' = 0, என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இது a, g என்பனவற்றிலே முதலாம்படியிலுள்ள சமன்பாடாய் ஒ( நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
ஆகவே, S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்களைக் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஒழுக்கு S- S = 0 என்னும் நேர்கோடாகும். இக்கோடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடு கோட்டச்சு எனப்படும். அவ்வட்டங்கள் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டில்ை, சமத்தொடு கோட்டச்சு அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணுகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், கமத்தொடு கோட்டச்சு அவற்றின் பொது, தொடுகோடாகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாவாயின், சம, தொடு கோட்டச்சு அவ்விரு வட்டங்களுள் ஒன்றையாதல் வெட்டாத ஒரு. கோடாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 159
ாதுவச்சு வட்டங்கள்
S=a2+ g2+2g0+2fg + 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன் பாடாயும் u =la +mg+ n = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயு மிருக்க. X என்பது a, g என்பனவற்றைச் சராதிருக்கும் S+Au=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. இவ்வட்டத்தைக் குறித்து (a, g) என்னும் ஒரு புள்ளியின் வலு
aco + y* +2ga’ – 2fy1 + c +À (la, +my +n) 265b.
ஆகவே, (a, g) என்னும் புள்ளி a=0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடந்தால், S+ Xu = 0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அப்புள்ளியின் வலு S =0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலுவோடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S+Au=0 என்னுஞ் சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்; இவ்வட்டம், S = 0 என்னும் வட்டம் என்னும் இரண்டின் சமத்தொடு கோட்டச்சு 2=0 என்னுங் கோடாகும். X இன் வேறு பெறுமானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் a=0 என்னும் சமத்தொடுகோட்டச்சோடு கூடிய ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்கு மெனப்படும்.
SEas? -- y*+ 2gac --2f y + c, = 0, S"Eac*+ y?+ 2g'ac-y-2f'y -- c' = 0 . என்பன இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. X = -1 ஆயின், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடு கோட்டச்சைக் குறிக்கும். a என்பது S-S" என்பதைக் குறிக்க ; ஆயின், a = 0 என்பது சமத்தொடுகோட்டச்சின் சமன்பாடாகும்.
À 74 — 1 GTGOfGÖT, S -- ÀS" = S-+-À (S — u) = (1 +M(s- ...) ஆகவே, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S-A=0 என்பதனேடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, -1 இற்குச் சமனகாத X இன் வேறு வேறு பெறுமானங்களு க்கு, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொது வச்சுத்தொகுதியைக் குறிக்கும்.
ஒன்றையொன்று வெட்டும்பொது வச்சுத்தொகுதியும் அவ்வாறு வெட்டாப்
பொதுவச்சுத்தொகுதியும் ஒரு பொது வச்சுத் தொகுதியின் சமத்தொடுகோட்டச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை P என்னும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினல், அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து P இன் வலு பூச்சியமாகும். ஆகவே, அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டமும் P இற் கூடாகச் செல்ல வேண்டும்.

Page 86
160 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே பொதுச் சமத்தொடுகோட்டச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A, B என்னும் இரண்டு வேறு வேருண புள்ளிகளில் வெட்டினல், அத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு பிற வட்டமும் A, B என்னும் இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்ல வேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடுகோட்டச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A என்னும் ஒரு புள்ளியிலே தொட்டால், அது அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்தையும் ஒரே புள்ளி 4 இலே தொடவேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடு கோட்டச்சு அத் தொகுதியின் ஒரு குறித்த வட்டத்தை வெட்டாதாயின், அது அத் தொகுதியின் யாது மொரு வட்டத்தையும் வெட்ட முடியாது. ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் பொது வெட்டுப் புள்ளிகள் A, B என்பன இருக்கும் பொழுது, எல்லா வட்டங்களின் மையங்கள் AB இன் இரு சம வெட்டிச் செங்குத்தாகிய ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடக்குமென தூய கேத்திர கணிதத்திலிருந்து பெறப்படும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று ஒரே புள்ளியிலே தொட்டால், அவ்வட்டங்களின் மையங்கள் சமத்தொடு கோட் டச்சிற்குச் செங்குத்தாகிய பொதுத் தொடு புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோட்டின் மீது கிடக்கும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டாத பொழுதும், அவற்றின் மையங்கள் அவற்றின் பொதுச்சமத் தொடுகோட்டச் சிற்குச் செங்குத்தான ஒரே நேர் கோட்டின் மீது கிடக்குமென எளிதாக நிறுவப்படலாம்.
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எவையேனும் இரு வட்டங்கள்
co-- yo -- 2ga: -- 2fy -- c = 0,
ac2 -+- g2 -+- 2g'ac +-2f’gy -+- c” == 0
என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுக.
அவற்றின் மையங்களைத் தொடுக்கு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு
(y +-f) (g - g') - (ac +-g) (f-f') == 0.
சமத்தொடு கோட்டச்சின் சமன்பாடு
2a(g-g") + 2y(f-f') -- c -c'= 0.
இந்த இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
ஆகவே, ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எல்லா வட்டங்களின் மையங் களும் அவற்றின் பொதுச் சமத்தொடு கோட்டச்சிற்குச் செங்குத்தான ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடத்தல் வேண்டும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 61
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியினது நியமச் சமன்பாடு
யாதுமொரு பொது வச்சுத் தொகுதியை எடுக்க. பொதுச் சமத்தொடு கோட்டச்சும் மையமிணைகோடும் இரண்டு செங்குத்துக் கோடுகளாகும். 2 அச்சாக மையமிணை கோட்டையும் g அச்சாகப்பொதுச் சமத் தொடு கோட்டச்சையும் எடுக்கின்றேமெனக்கொள்க. அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் ஆள்கூறுகள் (X, 0) ஆகும் ; இங்கு, A என்பது அவ்வட்டத் தோடு மாறும்.
ஆகவே, அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
;gyLihن)c == 0 gg -+- مac2 -+- g2 - 2Aa
இங்கு C என்பது a, g என்பனவற்சைச் சாராது A என்பதைச்
சார்ந்து மிருக்கலாஞ் சாராதுமிருக்கலாம்.
உற்பத்தித்தானஞ் சமத்தொடு கோட்டச்சின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதலின், அத்தொகுதியின் யாவுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலு ஒன்றயிருத்தல் வேண்டும்.
ஆகவே, c என்பது X ஐச்சாராது வட்டங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
ஒன்றகும். ஆகவே, பொதுவச்சுத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் பொதுச் 9шаббти шпт(E
و طارئ)ربي 0 == 2Ar + c س ac2 + y2
இங்கு A என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயும் 0 என்பது ஒரு மாறிலியாயும் இருக்கும்.
பொதுத்தொடு கோட்டச்சு 0 = 0 எனுங் கோடாகும் ; ஆகவே, g? + 0 = 0 என்னுஞ்சமன்பாடு g இற்கு மெய்மூலங்களைத்தந் தாற்றன், பொதுத்தொடுகோட்டச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை வெட்டும்.
ஆகவே, C< 0 எனின், அவ்வட்ட்ங்களுக்கு இரண்டு பொதுவெட்டுப்
புள்ளிகள் இருக்கும் ; c = 0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று தொடும் ; c>0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று வெட்டா.

Page 87
162 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொது வச்சுத் தொகுதியின்எல்லைப் புள்ளிகள்
A என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயும் 0 என்பது ஒரு நேர் மாறிலியாயுமுள்ள a2+ y2 - 2Xa + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்ட ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்களை ஆராய்க.
அச்சமன்பாடு
(3-A)?+ g^=X2-0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். X?< 0 எனின், இச்சமன்பாடு பொருள்படாது.
ஆகவே, A*> 0 ஆகுமாறு A இன் பெறுமானங்களுக்கே, அத் தொகுதியின் வட்டங்கள் பெறப்படலாம். X2 > 0 எனின், V (A*-C) என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தை நாம் பெறுவோம். X = ே எனின், பூச்சிய வாரையையுடைய ஒரு வட்டத்தை அல்லது (A, 0) என்னும் புள்ளியில் ஒரு புள்ளி வட்டத்தைப் பெறுவோம். X = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு A இற்கு இரு பெறுமானங்களைக் கொடுத்தலால், அத்தொகுதியின் இரண்டு புள்ளிவட்டங்களை (Vic, o), (-VC, 0) என்னும் புள்ளிகளிற் பெறுவோம். இப்புள்ளிகள் அப்பொது வச்சுத் தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் எனப்படும். அவை பொதுத்தொடு கோட்டச்சிற்குச் சமச் சீராய் நிலை கொள்ளும்.
Ο
sN. /ܢܠ
L, L என்பன எல்லைப் புள்ளிகளாயின், அப்பொது வச்சுத் தொகுதி யின் ஒரு வட்டத்திற்கும் அதன் மையம் L, L என்பனவற்றிற்கு இடையில் இராது.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 163、
L = (Vc, 0) எனின், அச்சமத்தொடுகோட்டச்சின் L இருக்கும் அதே பக்கத்திற் கிடக்கின்ற வட்டங்கள் A (>VC) இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்களாலே தரப்படும். a2+g?-2Aa + c = 0 என்பது அத்தகை வட்டமொன்றின் சமன்பாடாகுக. a2+g?-2Aa + c என்பதில், a - + / C, g = 0 என நாம் பிரதியிட்டால், எதிர்க்குறியோடு கூடிய 2Ve (VC-X) என்பதைப் பெறுவோம்.
ஆகவே, L என்பது அத்தகை வட்டம் ஒவ்வொன்றிற்குள்ளுங் கிடக்கும். அதுபோல, அச்சமத்தொடு கோட்டச்சின் L ஐப் போல அதே பக்கத்திற் கிடக்கின்ற அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்திற்குள்ளும் L' கிடக்கும்.
அப்பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், அத்தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் பொதுத் தொடு புள்ளியோடு பொருந்தும்.
அத்தொகுதியின் வட்டங்கள் இரண்டு வேறுவேறன புள்ளிகளில் வெட் டினல், அத்தொகுதிக்கு எல்லைப் புள்ளிகள் இல்லை.
(உ-ம்.) A, B என்பன ஒரு தளத்தில் இரண்டு நிலையான புள்ளி
PA களாயும் P என்பது PBT (மாறிலி) ஆகவுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாயும்
இருந்தால், P இன் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகுமென்றும் b இன் வேறு வேறு பெறு மானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் A, B என்பனவற்றில் எல்லைப் புள்ளிகளுள்ள ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்குமென்றும் காட்டுக.
அத்தளத்தில் எவையேனுஞ் செவ்வக வச்சுக்களை எடுக்க , (a, b), (c, d) என்பன இவ்வச்சுக்கள் பற்றி எடுத்த A, B என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகளாகுக. (20, g) என்பன P என்னும் மாறும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகளாயின்,
PA (c-a) + (y-b) PB2 (ac - c)2 +- (gy -- d) 2 .0 ==[2(ac-a)2 -+- (gy -- b)2 -- k2[(ac-c)3 +- (gy --d) اD/6)60bق
a2, g2 என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகள் சமனதலாலும், 2g இல் ஒருறுப்பும் இல்லாததனலும், இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
S = (ac - a)*+- (y - b)* gylu y tro S" = (ac - c)? -- (y - d)? ஆயுமிருந்தால், அச்சமன்பாடு S-ஃS = 0 என்பதாகும்.
S = 0, S = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் இரண்டு புள்ளி வட்டங்களைக் குறிக்கும். ஆகவே, k இன் வேறு வேறன பெறுமானங்களுக்கு S-k2S = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரண்டு புள்ளி வட்டங்களும் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்கும். ஆகவே, அத்தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன வாயிருக்கும் ; அதன் எல்லைப் புள்ளிகள் A,B என்பனவற்றில் இருக்கும்.

Page 88
64 தூயகணித மூலகங்கள்
செங்குத்துப் பொதுவச்சுத் தொகுதி
X என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயுள்ள a2+ g?-2Xa + c = 0 என் னும் பொதுச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியை -gl, IITtil 5.
C (0, p) என்பது அவ்வட்டங்களுக்கு வெளியே சமத்தொடு கோட்டச்சின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0 இலிருந்து அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்திற்கு வரைந்த ஒரு தொடு கோட்டினது நீளத்தின் வர்க்கம் p?+ c ஆகும்.
ஆகவே, மையம் 0 ஆகவும் ஆரை V(p?+ c) ஆகவுமுள்ள வட்டம் அப்பொது வச்சுத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்தையுஞ் செங்குத்தாக வெட்டும்.
இவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
ac2 -+- (gy --p)* == p2 -+- c, அல்லது ato -- yo - 2py — c = 0 67 GÖTUg.
p இன் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு, g அச்சை மையமிணை கோடாயும் 3 அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடு கோட்டச்சாயுமுள்ள ஒரு பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியை இச்சமன்பாடு தரும்.
ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையன வாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங்களை யுடையனவாகும் ; ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங் களையுடையனவாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையனவாகும். ஆரம்பத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று தொடுமாயின், செங்குத்துத் தொகுதியின் வட்டங்களும் ஒன்றை யொன்று தொடும்.
பயிற்சி
1. a2+ g2= 4, 202+2g?-30+ g -3 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை
யொன்று வெட்டுமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் பொது நாணின் சமன்பாட் டையுங் காண்க.
2. a2+ y2 = 4, 2a2+2g?-30 +g-3 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் சென்று a + g^ +2a -1=0 என்னும் வட்டத்தைச் செங்குத்தாக வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 4 1654
3. a2+g= 4 என்னும் வட்டமும் a + g -1 = 0 என்னுங்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு மாறும் வட்டஞ் சென்று a2+g?-20 -1 = 0 என்னும் வட்டத்தை P,9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. PQ ஆனது என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக் கூடாகச் செல்கின்றதெனக் காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள்கூறு களைக் காண்க.
4. ஒரு மாறும் வட்டம் A, B என்னும் இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக் கூடாகச் சென்று வேருெரு நிலையான வட்டத்தை வெட்டுகின்றது ; அவ் விரு வட்டங்களின் பொது நாண் A,B என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது கிடக்கின்ற ஒரு நிலையான புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் அல்லது AB இற்குச் சமாந்தரமாயிருக்குமெனக் காட்டுக.
5. மூன்று வட்டங்களின் மையங்கள் ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லை யாயின், அவ்வட்டங்களின் சமத்தொடு கோட்டச்சுக்கள் சோடி சோடியாக எடுக்கப்பட ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கும்.
6. a2+g2+2A (a + g -3) -4 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு X இன் வேறு வேறு பெறுமானங்களுக்கு ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்குமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் எல்லைப் புள்ளிகளின் ஆள் கூறுகளையும் காண்க.
7. ஒரு வட்டத்தின் மையம் y அச்சின்மீது இருக்கின்றது. அவ்வட்டத்தைக் குறித்து 3 அச்சின் மீதுள்ள P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளியினது தொடு நாண் 3 அச்சை )ெ இற் சந்திக்கின்றது. P0 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் y அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடு கோட்டச்சாகவுள்ள ஒரு நிலையான பொது வச்சுத் தொகுதியின் ஒர் உறுப்பாகுமெனக் காட்டுக. ஆரம்பவட்டம் 3 அச்சை வெட்டுகின்றது அல் லது வெட்டுகிறதில்லை என்பதற்கேற்ப அப்பொது வச்சுத் தொகுதி ஒன்றை யொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன அல்லது வெட்டுகின்ற வட்டங் களுடையன என்றுங் காட்டுக.
8. a-- y =1, ac-- y- a -3 = 0, a-- y-y-4 = 0 6tairaglia மூன்று வட்டங்களுள் ஒவ்வொன்றையும் செங்குத்தாக வெட்டும் வட்டத் தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
9. (1,1), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டம் a2+g?= 4 என்னும் வட்டத்தை P, 9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. P, )ெ என்பனவற்றில் இரண்டாம் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோடுகள் ' R இல் ஒன்றையொன்று வெட்டினுல், k என்பது 50+3g -4 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. 10. ஆள் கூற்றச்சுக்கள் இரண்டையுந் தொடும் வட்டங்கள் நான்கு 2(a2+g) + 0 - 4g= 2 என்னும் வட்டத்திற்குச் செங்குத்தாகுமென்று நிறுவுக ; அவற்றின் சமன்பாடுகளையுங் காண்க.

Page 89
அத்தியாயம் 5
பரவளைவு வரைவிலக்கணம்
என்பது ஒரு தளத்திலேயுள்ள ஒரு நிலையான கோடாகுக ; S என்பது அத்தளத்தில் இன்மீது கிடவாத ஒரு நிலையான புள்ளியாகுக. P என்பது அத்தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக ; M என்பது P இலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடியாகுக. P என்பது 荔寸 ஆகுமாறு இயங்கினல், P இன் ஒழுக்கு ஒரு பரவளைவு என வரையறுக்கப்படுகின்றது.
SA என்பதை இற்குச் செங்கு த்தாக ஐ A இற் சந்திக்கும்படி வரைக. 0 என்பது SA இன் மையமாகுக. 08 என்பதை a அச்சினது நேர்த் திசையாகவும் இற்குச் சமாந்தரமாய் 0 இற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டை Ahg அச்சாகவும் எடுக்க. 0S= a ஆகுக'.
P=(a, g) எனின்,
SP2 = (ac – a)? -- y?.
Y
し PᎷᎸ = (3: + a)Ꮈ . ...". (ac + a)? = (ac - a)? + y?.
... yo = 4aaac.
இது OX, OY என்பனவற்றை ,ை g என்னும் அச்சுக்களாகக் குறித்து வரைந்த பரவளைவின் சமன்பாடாகும். S என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவின் குவியம் என்றும் அக்கோடு செலுத்தி என்றுங் கூறப்படும். அவ்வளே கோடு முழுவதும் y அச்சினது நேர்ப்பக்கத்திற் கிடக்கும் ; அது உற் பத்தித் தானத்திற்கூடாகச் செல்லும். அது OX பற்றிச் சமச்சீரா யிருக்கும்; OX இற்கு மேலுங் கீழுமுள்ள அதனுடைய கிளைகள் g = 2 V(aa),
= -2 V (aa) என்பனவற்றலே தரப்படும். OX என்பது அப் பரவளைவின் அச்சு என்றும் 0 என்பது அதன் உச்சி என்றுங் கூறப்படும்.
S இற்கூடாக OX இற்குச் செங்குத்தாயுள்ள அப்பரவளைவினது நாண் செவ்வகலம் எனப்படும். w
a என்பது மிகப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது, g? என்பதும் மிகப் பெரி தாகும் ; ஆயின், அவ்வளைகோடு முடிவில்லாததாகும். அதற்கு இரண்டு முடிவில் கிளைகள் இருக்கும்.
166
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 5 167
ஒரு நாணின் சமன்பாடு
(3, g), (a, g) என்பன g= 400 என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக.
3/yaー2a(2十2a)十yyaー2a(2+2a)ー3/13/a十2a(21十22)=0 GT557@s@ சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது 20, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு. ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். g?-4a2=0 ஆதலால், =ை 2, g=g ஆகும்பொழுது அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
2 = 2, g=g ஆகும்பொழுதும் அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும். ஆகவே அச்சமன்பாடு (a, g), (a, g) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணைக் குறிக்கும். {2, g) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
(3, g) என்னும் புள்ளியானது அப்பரவளைவின்மீது நிலையாயிருக்க (3, g) என்னும் புள்ளியானது (a, g) என்னும் புள்ளியோடு பொருந்தும்படி அப்பரவளைவினது நீளத்திற்கு இயங்குகின்றதெனக் கொண்டால், அவ்விரு புள்ளிகளையுந் தொடுக்குநாணின் சமன்பாடு
yy — 2a (aC -+- ae) -+- yy. — 2a(ac -+- a*) -• y*-+- 4a,0*= 0, அல்லது g -20(3+2) = 0 என்னும் வடிவத்தை அணுகும். (a, g) என்பது (0, y) ஒடு பொருந்தும்போது எல்லைநிலை யிலுள்ள நாண் அப்பரவளைவிற்கு (a, g) இலுள்ள தொடுகோடாகும்.
ஆகவே, அப்பரவளைவிற்கு (3, g) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு g -2a(a + c) = 0 ஆகும். அவ்வளைகோட்டின் சமன்பாடு gg=20(3+2) என எழுதப்படின், (a, g) இலுள்ள தொடுகோட் டின் சமன்பாடு g என்பதிலொன்றை g ஆலும் 30 என்பதிலொன்றை 2 ஆலும் இடம் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.
சாராமாறி வகைக்குறிப்பு
a = a2, g -2at எனின், g?-4aa = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்குந் தீர்க்கப்படும். ஆகவே, t என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயின், அப்பரவளைவின்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a2, 2a) என உணர்த்தப்படலாம். t=0 ஆகும்பொழுது அப்பரவளைவின் உச்சி பெறப்படும். t இன் நேர்ப்பெறு மானங்களுக்கு 3 அச்சிற்கு மேலேயுள்ள கிளையின்மீதுள்ள புள்ளிகளை யும் அதன் எதிர்ப்பெறுமானங்களுக்கு 3 அச்சிற்குக் கீழேயுள்ள கிளை யின் மீதுள்ள புள்ளிகளையும் பெறுவோம்.

Page 90
68 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒரு நாணின் சமன்பாடு
t, t என்பன அப்பரவளைவின்மீதுள்ள P. P என்னும் இரு புள்ளிகளின் சாராமாறிகளாகுக. P. P, என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சமன்பாடு
(y - 2at) (at? -- at”) = (ac – at*) (2ait – 2at). t-t என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருத்தலால், அச்சமன்பாடு
(y - 2att)a (ta + t) = (ac - at”)2a, அல்லது (-t)g = 23+2att என எழுதப்படலாம்.
(at2, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடு
t என்பது t என்பதை அணுக, அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்குநாணின் சமன்பாடு 2ty = 20 + 2at? என்னும் வடிவத்தை அணுகும்.
ஆகவே, அப்பரவளைவிற்கு (al?, 2at) இலுள்ள தொடுகோட்டின் FLO6ÖTL un GB ty = ac -- ato.
ஆகவே, (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடு ty = 3 + a2. t=0 எனப் பிரதியிட, உச்சியிலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை a = 0 என்னும் வடிவத்திற் பெறுகின்றேம்.
ஆகவே, y அச்சே உச்சியிலுள்ள தொடுகோடாகும்.
இருதொடுகோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்
* t”, “ t” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடுகோடுகள் ஒன்றை யொன்று (, ) என்னும் புள்ளியில் வெட்டுக.
ஆயின், tg = 3 + at;
ty = C + Gł?. . (t-t') = a(t-t')
.. t-t என்பது பூச்சியமல்லாததால்,
3s=a(t1十ta) *... ac = at (ta + t2) - at”= atta. ஆகவே, அத்தொடுகோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி
[at ta' a(til -H- t2). அவ்விரு தொடுகோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின், it= -1. ஆகவே, இரு செங்குத்துத் தொடுகோடுகள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு a = -0 என்னுங் கோடாகும் ; இது அப்பரவளைவின் செலுத்தியாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 5 169
தொடுநாண்
(3, g) என்பது g = 400 என்னும் பரவளைவினது தளத்திலேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அப்பரவளைவிற்கு (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடு (a, g) இற்கூடாகச் சென்றல், நாம் பெறுவது tg=a+a?. புள்ளி (a, y) என்பது தரப்படும்பொழுது, இது b இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடாகி t இற்கு இரு பெறுமானங்களுக்கு மேலே தராது. ge>4a, எனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் வேறுவேறயும் மெய்யாயுமிருக் கும் ; g8= 4aa எனின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந்தும்; g?<400 எனின் மெய்மூலங்களில்லே. ஆகவே, (a, g) என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவிற்கு வெளியாற் கிடந்தால், இரண்டு வேறு வேருண தொடுகோடுகள் இப்புள்ளியிலிருந்து வரையப்படலாம் ; அது அப்பரவளைவிற்குட் கிடந்தால் ஒரு தொடுகோடும் கீறல் இயலாது. அப்பர வளைவு (a, g) என்னுந் தளத்தை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ; அப்பர வளைவின் அச்சைக் கொள்ளுகின்ற பகுதி அப்பரவளைவிற்குள்ளே கிடக்கின்ற தென்றும் மற்றைப் பகுதி அதற்கு வெளியே கிடக்கின்றதென்றுங் கூறப் படும். (a),g) என்பது அப்பரவளைவிற்கு வெளியே கிடக்க, t, t என்பன (a, g) இலிருந்து வரைந்த இரு தொடுகோடுகளினுடைய தொடு புள்ளி களின் சாராமாறிகளாயிருந்தால், t, t என்பன
atë - ty. -- at = 0
என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.
* tu十ta=yasa, 女k=器
இம்முடிபுகள் வேறு வழியால் இதற்கு முன்னே பெறப்பட்டன. *t', 't' என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்குநாணின்சமன்பாடு
(t1十ta)y=22十2asa。
அல்லது tly = 2a: -- 2a1.
ஆகவே, (0, y) இலிருந்து வரையுந் தொடுகோடுகளினுடைய தொடு நாணின் சமன்பாடு gg=2a(a + ல),
இம்முடிவு ஒரு வட்டத்திற்கு வழங்கிய வழியாலும் பெறப்படலாம்.

Page 91
170 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒரு புள்ளியிலுள்ள செங்கோடு.
ஒரு பரவளைவின் P என்னும் ஒரு புள்ளிக்கூடாக அப்புள்ளியிலுள்ள தொடுகோட்டிற்குச் செங்குத்தாயுள்ள கோடு P இலுள்ள செங்கோடு எனப்படும்.
P= (at2, 2a) எனின், P இலுள்ள தொடுகோடு
ty = a + atë
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
ஆகவே, P இலுள்ள செங்கோடு
y -- ta = 2at -- at
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
பரவளைவினுடைய சில பண்புகள்
1. குவியத்திலிருந்து பரவளைவின் ஒரு தொடு கோட்டிற்கு வரையுஞ்செங் குத்தின் அடி உச்சியிலுள்ள தொடுகோட்டின்மீது கிடக்கும்.
ஒரு தொடுகோட்டின் சமன்பாடு ty = 3 + a?. . . . . . . . . . . . (1). குவியமானது (0, 0) என்னும் புள்ளி. ஆகவே, (0, 0) இலிருந்து அத்தொடுகோட்டிற்கு வரையுஞ் செங் செங்குத்தின் சமன்பாடு 3/十tr=at ・・・・・・・・・・・・・・・・ (2)
ஐ=0, y=ut ஆகும்பொழுது (1), (2) என்னுஞ் சமன்பாடுகளானவை தீர்க்கப்படும். ஆகவே, குவியத்திலிருந்து அத்தொடு கோட்டின்மீது வரை யப்படுஞ் செங்குத்தின் அடிக்கு (0, 0) என்னும் ஆள்கூறுகள் உண்டு.
ஆகவே, அது உச்சியிலுள்ள தொடுகோடாகிய g அச்சின்மீது கிடக்கும்.
2. ஒரு பரவளைவின் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடு செலுத்தியை M இற் சந்தித்தால், S என்பது அப்பரவளைவின் குவியமா யிருக்கும்பொழுது SM, SP என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும். புள்ளி (at?, 2a) இலுள்ள தொடுகோடு g = a + at2.
a (t–1)
-.
a = - 4 ஆகும்பொழுது, g =
漫 м-{ o 象 - uv, t
t? - 1
", SM இன் சாய்வு விகிதம் = " -2 س#

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 5 17
2t
t? - 1
'. 24 1 எனின் SIM என்பது SP இற்குச் செங்குத்து.
t = 1 at 60fait, P = (a, 2a), M = ( - a, 0).
241 எனின், SP இன் சாய்வு விகிதம் =
ஆகவே, SP என்பது y அச்சிற்கும் SM என்பது 3 அச்சிற்குஞ் சமாந்தரம்.
ஆகவே, SP என்பது SM இற்குச் செங்குத்து. சமச்சீரால், t = -1 ஆகும்பொழுதும் இம்முடிபு உண்மையாகும்.
3. இரண்டு செங்குத்துத் தொடுகோடுகள் செலுத்தியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும் ; அவற்றினுடைய தொடு புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோடு குவியத் திற்கூடாகச் செல்லும்.
புள்ளி (a2, 2a) இலுள்ள தொடுகோடு g = 3 + at?.
t இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் இச்சமன்பாடு y= மாறிலி என்னும் வடிவத்திற்கு ஒடுங்காது. ஆகவே, பரவளைவிற்கு 0 அச்சிற் குச் சமாந்தரமான ஒரு தொடுகோடும் இருத்தல் இயலாது. ஆகவே, இரண்டு தொடுகோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின், அத்தொடு கோடுகளுள் ஒன்றயினும் g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகாது.
அச்செங்குத்துத் தொடுகோடுகள் ty = a + at?,
tg = 3 + a* என்பனவாகுக.
காய்வு விகிதங்களின் பெருக்கம் = -1.
1 ሦ2
அத்தொடுகோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
at t, d(t+t) என்பனவாகும்.
ஆகவே, அவ்வெட்டும் புள்ளி செலுத்தியாகிய a = - a என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
PF என்னு நாணின் சமன்பாடு
y(t -- t) = 2ar +- 2at, te அல்லது y(t--t) = 2a-2a.
a = a, g=0 ஆகும்பொழுது இது தீர்க்கப்படும்.
ஆகவே, P. P என்னு நாண் குவியத்தினூடாகச் செல்லும்.

Page 92
72 தூயகணித மூலகங்கள்
4. ஒரு பரவளைவின் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செங்கோடு அப்பரவளைவின் அச்சை இெல் சந்தித்தால், SG=SP.
N P= (ato, 2at) ?(gões. P இலுள்ள செங்கோடு g +ta = 2a + at8.
g = 0 ஆகும்பொழுது, 3=2a + a*.
". G= (2a. -- ato, 0).
...". SG = a + at*. SPo= (ato-a)* + (2at)?=(a + ato)?
... SG = SP.
5. ற என்பது ஒரு பரவளைவில் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடு கோட்டிலிருந்து குவியத்தின் செங்குத்துத் தூரமாயிருக்க, r என்பது S இலிருந்து P இனது தூரமாயின், p?= ar.
P= (a?, 2a) ஆகுக.
ബ= α(I +ί2) -- 2 p V(1 -- to) a V(l + t?). ஆனல், r = SP= a(1 -- to)
... p = ar.
6. குவியத்தை முனைவாயும் அச்சை ஆரம்பக் கோடாயுங் குறித்து எடுத்த ஒரு பரவளைவின் முனைவுச் சமன்பாடு |r = 1 -கோசை 9.
இங்கு என்பது அரைச் செவ்வகலம்.
அப்பரவளைவின் அச்சு செலுத்தியை A இற் சந்திக்க. S என்பது குவியமாகுக. P என்பது அப்பரவளைவின் M மீது SP= r ஆயும் நீட்டிய AS ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குவதாயு முள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. PM என்பது செலுத்திக்கு வரைந்த செங்குத்தாயின், A SP = PM = r.
t
L என்பது செவ்வகலத்தின் ஒரு முனையாகுக ; LN என்பது செலுத் திக்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக.
ஆயின், LAW = LS = I.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 5 173
PK என்பது AS இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப் பட்டமையால், AS என்னுந் திசையில் அளக்கப்படும் SK இனது நீளம் கோசை.ே
AIK = AS -- SK = NL -- r Gasmī60.g. 69.
r = 1+ r கோசை 9 ;
l .. ァ= 1 - கோசை 9.
9 என்பது SA ஒடு SP, ஆல் ஆக்கப்பட்ட கோணமாயின், நாம் பெறுவது
=1 -கோசை (ா - 9) =1 + கோசை 9.
பயிற்சி
1. A'B'0' என்பது ஒரு பரவளைவின் A, B, C என்னும் புள்ளி களிலுள்ள தொடு கோடுகளால் ஆக்கப்பட்ட முக்கோணமாயும், ,ெ 'ெ என்பன முறையே ABC, ABC என்னு முக்கோணங்களின் மையக் கோட்டுச் சந்தியாயும் இருந்தால், ேெ' என்பது அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக.
H என்பது Gெ இன்மீது Hெ= 2 H'ெ ஆகுமாறுள்ள ஒரு புள்ளி யாயின், H என்பது அப்பரவளைவின் மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
2. ஒரு பரவளைவினது நாண் அதன் உச்சிக் கூடாக வரையப் பட்டால் அதன் மையம் ஒரு நிலையான பரவளைவிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
3. ஒரு பரவளைவினுடைய நாண்கள் ஒரு நிலையான திசையில் வரையப் பட்டால், அவற்றின் மையங்கள் அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சாமாந்தரமான ஒரு நேர் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
4. y* = 4 aæ Gr6ö189JLn L176);åsN6Šødt Låg|Gi767 (at", 2at), (at, 2at) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்குநாண் (a, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செங்கோடாயின், 12 + b + 2 = 0 எனக் காட்டுக.
அது துணைகொண்டு, 80 இற் பெரிதான கிடைத்தூரமுள்ள அப்பர வளைவின் எப்புள்ளியும் அப்பரவளைவின் வேறிரு புள்ளிகளிலுள்ள செங் கோடுகளின் வெட்டுப் புள்ளியாகுமெனக் காட்டுக.

Page 93
174 தூயகணித மூலகங்கள்
5. g? = 4aa என்னும் பரவளைவின் இரு புள்ளிகளிலுள்ள தொடு கோடுகள் (a, g) என்னும் புள்ளியிற் சந்திக்க, அப்புள்ளிகளிலுள்ள செங்கோடுகள் (a, g) இற் சந்தித்தால், day=202+/-aa என்றும் aறு + 3g = 0 என்றுங் காட்டுக.
6. g? = 4aa என்னும் பரவளைவின் குவிய நாணுென்றினுடைய முனைகளிலுள்ள செங்கோடுகளின் வெட்டுப் புள்ளி y2 = a (a -30) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
7. g?= 4 aa என்னும் பரவளைவின்மீது (at?, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செங்கோடு (h,k) என்னும் ஒரு நிலையான புள்ளிக் கூடாகச் சென்றல், t இனலே தீர்க்கப்படுஞ் சமன்பாட்டை எழுதுக. தந்த ஒரு புள்ளிக் கூடாக மூன்றின் மேற்பட்ட செங்கோடுகள் செல்லா என்றும், “t”, “t,”, “1” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள செங் கோடுகள் ஒரே புள்ளிக் கூடாகச் சென்ருல், t + b + 1 = 0 என்றும் உய்த்தறிக.
8. நிலையான இரு நேர்கோடுகள் 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றை யொன்று செங்கோணங்களில் வெட்டுகின்றன. ஒரு மாறுங்கோடு P,0 என்பனவற்றில் OP = 002 ஆகும்படி அந்நிலையான கோடுகளை வெட்டு மாறு வரையப்படுகின்றது. அம்மாறுங் கோடு ஒரு நிலையான பரவளைவை என்றுந் தொடுமெனக் காட்டுக.
9. P,0 என்பன g2 - 4 a என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் ; அவற்றைத் தொடுக்கும் நேர் கோடு (2,0) என்னும் புள்ளிக் கூடாகச் செல்கின்றது. அப்பரவளைவிற்கு P,9 என்பனவற்றி லுள்ள செங்கோடுகள் g? - 4(a) -4) என்னும் பரவளைவின்மீது ஒன்றை யொன்று வெட்டுமென நிறுவுக.
10. PQ என்பது ஒரு பரவளைவின் குவியத்திற் கூடாகச் செல்லுமாறு P,9 என்பன அப்பரவளைவின் மீதுள்ள இரு மாறும் புள்ளிகள். P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் அப்பரவளைவை மீண்டும் L,M என்னும் புள்ளிகளிற் சந்தித்தால், LM என்பது அப்பரவளைவின் அச்சின் மீது நிலையான ஒரு புள்ளிக் கூடாகச் செல்லுமெனக் காட்டுக.
11. A,B,P,0 என்பன g2-4aa என்னும் பரவளைவின்மீது A இலுள்ள தொடு கோட்டிற்கு BP ஆனது சமாந்தரமாகும் படியும் B இலுள்ள தொடு கோட்டிற்கு AQ ஆனது சமாந்தரமாகும் படியுமுள்ள புள்ளிகள். AB என்பது அப்பரவளைவின் குவியத்திற் கூடாகச் சென்றல், P9 இன் மையம் 5g2 - 2a(a-9a) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 6
நீள்வளையம்
வரைவிலக்கணம்.
ஆனது ஒரு தளத்திலுள்ள நிலைத்தவொரு கோடும், S ஆனது இல் இராத, அத்தளத்திலுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P ஆனது அத்தளத்தில், இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலிருக்கும் ஒரு மாறும் புள்ளியும், M ஆனது P இலிருந்து இற்குள செங்குத்தின் அடியுமாகுக. P ஆனது, 1 இலும் குறைந்தவொரு மாறிலி e ஆக, SP PM நீள்வளையமெனப்படும். S அதன் குவியம் எனவும், செலுத்தி என வும், 2 மையவகற்சித்திறன் எனவும் கூறப்படும்.
= e எனும் வண்ணம் அசையுமாயின், P இன் ஒழுக்கு ஒரு
இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதை 2 இல் சந்திக்கும் படியாகவும் SZ ஐ வரைக. SA SA" AZ A’Z SZ இலும் நீட்டித்த ZS இலும் எடுத்துக் கொள்க. எனவே A,4" என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 ஆனது AA இன் நடுப்புள்ளியும் 2ய அதன் நீளமுமாகுக. ஆகவே, SA-SA a + OS - (a. -- OS) OS =س 62
AZAZ 2
..”. OS = ae.
SA" -- SA 2a. τα
2oo789,Jo o Azz. Az (a - OZ) (Oza), Oz
= e ஆகும் வண்ணம் A, A' எனும் புள்ளிகளை முறையே
O፯ OZ - - -
e

Page 94
176 தூயகணித மூலகங்கள்
a அச்சின் நேர்திசைக்கு OZ ஐயும் O ஊடு செல்கின்ற செங்குத்துக் கோட்டை y அச்சாகவும் எடுத்துக் கொள்க. P(a),g) ஆனது நீள் வளையத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன்னும் PM ஆனது
இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்படுவதாகுக. எனவே,
SP2 - e2PM2. PE (ac,y), S = (ae,0) gig,65667
SP2 == (ac -- ae)2 +-g2.
ஆனது a = எனுங் கோடாதலின்
e
2 PM - (-)
2
6, 2 (z - ae* + y* = e(- )
62 (e2) -+ g3 = a2(1 --e2 - 1)2مa x ya
--- ---- 1. ao tio இங்கு b2 = a*{1-e?) எனவும், b நேர் எனவும் கொள்ளப்படும். இதுவே நீள்வளையத்தின் சமன்பாடாகும். a ஆனது -20 இனலோ, அல்லது g ஆனது -g இனலோ மாற்றீடு செய்யப்படின், சமன்பாடு மாற்றமடையாதிருக்கும்.
.. (a),g) வளைகோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், (-a),g), (3, -g) (-a, -g) என்பனவும் அதிலுள்ள புள்ளிகளாகும்.
அவ்வளைகோடானது இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியும் சமச் சீருடையதாகும்.
g நேரெனின் g=bw/1-32|a2. .. 20 ஆனது 0 இலிருந்து 0 வரையும் அதிகரிக்கும்போது, y ஒழுங்காக 6 இலிருந்து 0 இற்குக் குறைந்து வருகின்றது. நேர்காற் பகுதியிலுள்ள வளைகோட்டின் பாகமானது பின்னர் பெறப்படும். முழுமையான வளைகோடு வரிப்படத்திற் காட்டிய வடிவத்தையுடையது. உருவத்தின் சமச்சீரிலிருந்து நீள்வளையமானது S என்னும் இரண்டாங் குவிய மொன்றையும் ' என்னும் அதனெக்கு செலுத்தியொன்றையு முடையது. P ஆனது நீள்வளையமொன்றின் யாக மொரு புள்ளியும், PM' ஆனது ' இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுமிருப்பின்
SP PM T

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 6 177
நீள்வளையமானது y அச்சின் நேர்பாகத்தை B இலும் எதிர்ப்பாகத்தை B இலும் வெட்டுமாயின், BB இன் நீளம் 26 ஆயும் B= (0,b), B = (0, -b) ஆயும் இருக்கும்.
0 இற்கூடாகச் செல்லும் ஒவ்வொரு நாணும் 0 இல் இருசமக் கூறிடப்படும். எனவே 0 ஆனது நீள்வளையத்தின் மத்திய புள்ளி எனப் படும்.
AA', BB என்பன நீள்வளையத்தினது தலைமையச்சுக்கள் எனப்படும் ; AA ஆனது பேரச்சு எனவும் BB ஆனது சிற்றச்சு எனவுங் கூறப்படும்.
பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாகக் குவியமொன்றினூடு செல்லும் நாண் செவ்
வகலம் எனப்படும்.
P ஆனது நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு புள்ளியாயின் SP = e PM S'P = e PM”
... SIP --- S'P = e(PM -H- PM') = e.ZZ'
= 2e.OZ = 2a:
ஆகவே நீள்வளையத்தினது புள்ளியொன்றின் குவியற்றுரக் கூட்டுத் தொகை மாறததாயும் பேரச்சின் நீளத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கும்.
ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
(a,g), (a,g) நீள்வளையத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக. ஆகவே
a y a و a/2 - 1 === مـسـ. F - - qጻ " bጻ qኒሜ " bጳ
பின்வரும் சமன்பாட்டினைச் சிந்திக்க.
10/2/: 12 - 2/t/ || 2واژهٔ ای /al || d/tن 宗十紫十烹十警=芋十学十1
இது 2,g இலுள்ள முதலாம் படிச்சமன்பாடானமையின் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றதாகும். a = a g = g ஆனபோது சமன் பாடானது தீர்க்கப்படும். இன்னும் a = ax, y = y ஆனபோதும் இது தீர்க்கப்படும்.
இச்சமன்பாடு அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் கோட்டைக் குறிக்கும்,

Page 95
178 தூயகணித மூலகங்கள்
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
(ay), (a,று) ஆகிய இரு புள்ளிகளும் ஒன்றையொன்று நோக் கிச் சென்று, இறுதியில் ஒன்றுபடும்போது, அந்நாணுனது ஒன்றும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடு கோடாகும்.
.. நீள்வளையத்தில் (ag) எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடானது 32 = 2, g = g என மேற்கூறிய சமன்பாட்டிற் போடப்படுவதனற் பெறப்படும்.
அதாவது (a,y) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடானது
2 2 (急+繁)-窯 + + 1 = 2
O bዩ
2 be
aca1 2/2/1 அல்லது a -- bo T 1.
சாராமாறிக் கூறியீட்டு விளக்கம்
a = aகோசை9, g = bசைன்9 ஆக இருக்கும்போது, 6 என்ன வாயிருப்பினும், 器+祭=1 ஆகிய சமன்பாடானது தீர்க்கப்படும்.
(a கோசை 9, b சைன் 6) ஆகிய புள்ளி 9 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் நீள்வளையத்திலுளது.
9 = 0 ஆகும்போது, புள்ளியானது A ஐக் குறிப்பதாகும். 9 ஆனது 0 இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க, புள்ளியானது நேர் காற்பகுதியிலுள்ள
நீள்வளையத்தினது வில்லை வரையும். 9 ஆனது இலிருந்து ா இற்கு
அதிகரிக்க, இரண்டாவது காற்பகுதியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும்.
3 9 ஆனது 7 இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க மூன்றம் காற்பகுதியிலுள்ள
வில்லானது வரையப்படும். இன்னும் 9 ஆனது 擎 இலிருந்து 2ா இற்கு அதிகரிக்க நாலாம் காற்பகுதியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும். 9 ஆனது 0 இலிருந்து 2ா இற்கு அதிகரிக்க, முழுவளைகோடும் A இற் தொடங்கி இடஞ்சுழியாக ஒரு முறை வரையப்படும்.
வளைகோட்டிலுள்ள எப்புள்ளியும் (a கோசை 9, 6 சைன் 6) எனும் ஆள்கூறுகளை யுடையதாகும். இங்கு 0 < 9 S2ா. 9 ஆனது அப்புள்ளிக்கொத்த மையவகற்சிக் கோணமெனப்படும். A எனும் புள்ளி 0 ஐ அல்லது 2ா இனை மையவகற்சிக் கோணமாகவுடையதெனக் கருதப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 6 79
நாணின் சமன்பாடு
6,9, என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளின் மையவகற்சிக் கோணங்களாகுக. ஆகவே அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சமன்பாடு
(g-6 சைன் 6) (a கோசை 9-0 கோசை 9)
= (a - a கோசை 9) (b சைன் 6-6 சைன் 6,)
அ-து - (g -b சைன் 9) a சைன் 6, 0.
= (a - a கோசை 9)rb கோசை 4+0
அ-து * கோசை á十á 4. ᎧᏡ0Ꮿj-ᎶᏡᎢ 9十á
2 b 2
= கோசை 0, — 0, o
2
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
* 9, ” எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 9. ஒடு ,ே ஒன்றுபட மேற்கூறப்பட்டுள்ள நாணின் எல்லை வடிவமாகும். . “ 0 ° ஆகிய புள்ளியிலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
a. கோசை 9+4 சைன் 9 - 1
b
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
* 9 ’ எனும் புள்ளியிலுள்ள செங்கோடானது
(a-aகோசை 9) ဧ၈:း 6 - (g-b சைன் 8) கோசை 9 = 0 ஆகிய
w 0.
சமன்பாட்டினுற் கொடுக்கப்படும். அ-து. * ଉ୦୫est 9-2கோசை 6 = ( 2) கோசை 6 சைன் 9
b 0. ό α
கோசை 6 உம் சைன் 6 உம் பூச்சியமில்லாதனவாயின், இது
aa சீக 9-bறு கோசே 9 = a*-6? என எழுதப்படலாம்.

Page 96
180 தூயகணித மூலகங்கள்
அப்பியாசங்கள்
1. 20,2b என்பன தனது பேரச்சினதும் சிற்றச்சினதும் நீளங்களாக
2 வுள்ள நீள்வளையமொன்றினது செவ்வகலத்தின் நீளம் 25 எனக்
O Est (Bat5.
2. நீள்வளையமொன்றிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் மையவகற்சிக்கோணம் 9 எனின், அந்நீள்வளையத்தின் குவியங்களிலிருந்து அப்புள்ளியின் துரங் கள் a(1 + e கோசை 9), a, (1-8 கோசை 9) என நிறுவுக. இங்கே 2a ஆனது பேரச்சின் நீளமாகும்.
3. நீள்வளையமொன்றில் P எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடானது செலுத்தியை T இற் சந்தித்தால், S ஆனது ஒத்த குவியமுமாயின், SP இற்கு ST செங்குத்தென நிறுவுக.
4. நீள்வளையமொன்றினது குவியமொன்றிலிருந்து அந்நீள்வளையத் தின் யாதுமொரு தொடுகோட்டிற்குள செங்குத்தின் அடியானது அந்நீள் வளையத்தின் பேரச்சை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்திற் கிடக்கு மெனக் காட்டுக.
இவ்வட்டமானது துணைவட்டமெனக் கூறப்படும்)
5. நீள்வளையமொன்றில் P யாதுமோர் புள்ளி ; துணைவட்டத்தை 0 இற் சந்திக்க PQ ஆனது பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுளது. P இனது மையவகற்சிக் கோணம் பேரச்சின் நேர்திசையுடன் 00 ஆக்குங் கோணமெனக் காட்டுக. இங்கு O நீள்வளையத்தின் மையம்.
6. நீள்வளையமொன்றின் இரு குவியங்களிலுமிருந்து அந்நீள்வளையத் தின் யாதுமொரு தொடுகோட்டிற்குள் செங்குத்துக்களின் நீளங்களினது பெருக்குத் தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6° இற்குச் சமமெனவும் நிறுவுக. இங்கு 2ம் ஆனது சிற்றச்சின் நீளமாகும்.
7. நீள்வளையமொன்றினது தொடுகோடொன்று இரு குவியங்களையும் தொடு புள்ளிக்குத் தொடுக்குங் கோடுகளுடன் சமசரிவுடையதென நிறுவுக.
8. a + mg + n = 0 எனுங்கோடு -- . =1 ஆகிய நீள்வளையத்திற்குத் தொடுகோடாயின் a^2 + bmே?= n2 எனக் காட்டுக. a கோசை 9+ y சைன் 9- p, g கோசை 9-a சைன் 9= g ஆகிய சமன்பாடுகள் a + g?-p?+? என்பதைத் தருகின்றன வெனும் உண்மையைக் கொண்டு அந்நீள்வளையத்தின் எவையேனும் இரு செங் குத்தான தொடுகோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி
a + g?= a + b* எனும் வட்டத்திற் கிடக்குமென நிறுவுக.
இவ்வட்டமானது செலுத்திவட்டமென்று கூறப்படும்)

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 6 18
9. நீள்வளையமொன்றின் ஒரு புள்ளி P இலுள்ள செங்கோடானது
பேரச்சை இெற்சந்திப்பின் SG- e.SP எனக்காட்டுக. இங்கு S ஆனது நீள்வளையத்தின் ஒரு குவியமும், 8 அதன் மையவகற்சித் திறனுமாகும்.
2 2 10. +=1 எனும் நீள்வளையத்தின் ஒரு மாறு நாண் g= m2
0. Z w
எனும் ஒரு தரப்பட்ட கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயுளதாயின் அந்நாணின் மத்திய புள்ளி y = ma எனும் நிலைக்கோட்டிலிருக்குமெனக் காட்டுக.
2
b * 7 NA * இங்கு m = - a' (y=ma, g= ma ஆகிய கோடுகள் நீள்வளையத்தின் ஒரு சோடி இணைவிட்டங்களெனப்படும்.)
2 2 11. (0, y) ஆகிய புள்ளியில் இருசம கூறிடப்பட்ட+ = 1 ஆகிய
2
நீள்வளையத்தின் நாணினது சமன்பாடு * + 4 = ' + ' எனக்
Ot
காட்டுக. (2 அச்சின் நேர் திசையுடன் நாணுனது கோணம் 6 ஐ ஆக்குக. அந்நாணிலுள்ள புள்ளியானது {(a + 7 கோசை6), (g+ 7 சைன் 9} எனும் வடிவத்தையுடைய ஆள் கூறுகளையுடையதாகும். இப்புள்ளியானது நீள்வளையத்திலுள்ளதாயின்,
(a+rகோசை9)? -- (g + rசைன் 8)?_ ao b2 ۔۔۔۔۔۔ـ۔
இச்சமன்பாடானது நீள்வளையமும் நாணும் ஒன்றையொன்று வெட்டு கின்றதாகிய இரு புள்ளிகளுக்கும் ஒத்த 7 இன் இரு பெறுமானங்களையும் கொடுக்கின்றது. எனவே இச்சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்பட்ட 7 இன் இரு பெறுமானங்களும் பருமனிற் சமமாயும் குறியில் எதிரானவையாயும் இருக்கும். . 7 இன் குணகம் பூச்சியமாகும்.)
12. தன் ஒரு குவியத்தை முனைவாகவும் பேரச்சை தொடக்கக் கோடாகவுங் கொண்ட ஒரு நீள்வளையத்தின் முனைவுச் சமன்பாடானது
:= 1 +e கோசை 9 என நிறுவுக.
இங்கு 2 ஆனது செவ்வகலத்தின் நீளமும் 8 மைய வகற்சித் திறனுமாகும்.

Page 97
அத்தியாயம் 7
அதிபரவளைவு
வரைவிலக்கணம்
ஆனது தளமொன்றிலுள்ள ஒரு கோடும் S ஆனது இல் இராது அத்தளத்திலிருக்கின்றவொரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P ஆனது அத் தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள புள்ளியும், இன்னும் P இலிருந்து இன் மீதுள்ள செங்குத்தின் அடி M உம்
SP
ஆகுக. 8 ஆனது 1 இலிலும் கூடிய ஒரு மாறிலியாகருவிருக்க, pite
எனும் வகையில் P ஆனது இயங்குமாயின், P இன் ஒழுக்கு ஒரு அதிபரவளைவெனப்படும். S அதிபரவளைவின் குவியம் எனவும், செலுத்தி எனவும், 8 மையவகற்சித்திறன் எனவுங் கூறப்படும்.
Ne: " |
4B
S2 ஐ இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதனை 2 இற்சந்திக்கவும வரைக
SA SA"
AZ A'Z S2 இலும் நீடித்த S2 இலும் எடுத்துக்கொள்க. ஆகவே A, A', என்பவை அதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 ஆனது AA இன் மத்திய புள்ளியும் 20 ஆனது AA இன் நீளமுமாகுக.
SA " + SA OS + a + OS - a OS AʼZ -+ AZ T 2, T r T ,
OS = ae.
SA" - SA 2a.
ᎤᏓ 29' AZAZOZ-1, Oz, Oz
= e எனும் வகையில் A, A ஆகிய புள்ளிகளை முறையே
62
OZ = -
e
82
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 7 183
20 ஐ, X அச்சின் நேர்ப்பக்கமெனவும் 0 இற்கூடாகவுள்ள அதன் செங்குத்தை Y அச்செனவம் கருதுக.
P(a),g) ஆனது அதிபரவளைவிலுள்ளயாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன் னும் இற்குச் செங்குத்தாக PM ஆனது வரையப்படுக. எனவே SP2 e2. PM2.
S = ( — ae,O) ..“. SP2 = (ac -- ae)o-+-yo
ஆனது *=-器 என்னுங் கோடாதலின்
PM2- (+)
(a + aero + y* = e (r +) (1 - e2 -- 1) -g/2 = a2(e2)?مa xo =1 intra ha - a 3 (o? b b நேெ a% bጓ  ̊” இங்கு b = a* (e?-1) எனவும் b நேரெனவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.
இதுவே அதிபரவளைவின் சமன்பாடாகும். வளைகோடானது இரு ஆள் கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியுந் சமச்சீருடையது. •
g = 0 ஆகும்போது 0 = +a எனவே, A = ( - a,0), A = (a,0) a = 0 ஆகும்போது, g இற்குப்பெறுமானம் இல்லை. ஆகவே வளைகோடானது g ஆச்சை வெட்டமாட்டாது.
g நேராயிருக்கும்போது
agቖ
வளைகோட்டிலுள்ள புள்ளிகளுக்கு a > a? a இலிருந்து 2 ஆனது அதிகரிக்க, g ஆனது உறுதியாகப் பூச்சியத்தினின்று அதிகரிக்கின்றது
ac —> OxO g}&5, y -> CxO
நேர் காற்பகுதியில் முடிவில்லாத கிளையொன்று A இற்றொடங்கி வரையப்படுகின்றது.
நிறைவான வளைகோடும் வரிப்படத்திற் காட்டிய உருவத்தை உடையது. அது ஒவ்வோர் கிளையும் முடிவில்லாத பகுதிகளையுடைய இரு தெளிவான கிளைகளைக்கொண்டதாகும். அதிபரவளைவானது S எனும் இரண்டாங்குவியமொன்றையும் ' எனும் ஒத்த செலுத்தி ஒன்றையும் உடையதெனச் சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படுகின்றது. P ஆனது அதிபரவளை விலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியும்,
ʼ 8——J. N. IB 66342 (6|57)

Page 98
184 தூயகணித மூலகங்கள்
SP இற்குச் செங்குத்தாய் PM ஆனது வரைந்துளதுமாயின், pM
ஆகும். 0 இற்கூடாகச் செல்லும் அதிபரவளைவின ஒவ்வொரு நாணும் 0 இல் இரு சமக்கூறக்கப்படுகின்றது. எனவே O ஆனது அதிபரவளை வின் மையப்புள்ளியெனப்படும். 0 இற்கூடாகச்செல்லும் நாணுென் றிற்கு ஒரு முனையானது அதிபரவளைவின் ஒரு கிளையிலும் மற்றை முனையானது அதன் மற்றைய கிளையிலும் இருக்கும்.
AA ஆனது அதிபரவளைவின் குறுக்கச்செனப்படும்.
y அச்சில் B,B என்பன 0 இலிருந்து b என்னும் ஒரே தூரத்திலும் அதற்கு எதிர்ப்பக்கங்களிலும் எடுக்கப்படுவனவாயின், BB ஆனது அதிபர வளைவின் இணையச்செனக் கூறப்படும்.
குறுக்கச்சிற்குச் செங்குத்தாக குவியமொன்றிற்கூடாகச் செல்லும் அதிபர வளைவின் நாணுென்று ஒரு செவ்வகலமென்று சொல்லப்படும்.
P ஆனது அதிபரவளைவிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயின்
SP - e P.M. S'P = e PMI”
எண் பெறுமானத்தில் SP - SP - e ZZ"
= 2e'OZ
= 2a:
.. அதிபரவளைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் குவியற்றுரங்களின் வித்தி
யாசம் ஒரு மாறிலியாகும். இன்னும் அது குறுக்கச்சின் நீளத்திற்குச் சமமாகும்.
நாணுென்றின் சமன்பாடு.
2 நீள்வளையத்துக்குள்ளது போல -器 =1 என்னும் அதிபரவளைவிலுள்ள (,ை g), (a, g) ஆகியபுள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
21//1 : 2 // __1 /1/2 a ' bጓ -- Ο Αν --
محــــــــــ ۔۔۔ ۔ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــہ ۔ ۔۔۔
ዉ2 b% 2 b2
(2, று) இலுள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
22 //
尝 = 1 என்பதாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 7 8.
சாராமாறிக் குறியீடு
l l - (t -- , g - (t - 1 எனின் 22 (+): y ( @ I'6ზFiგზT y 2م
ā丁丽飞 1 ஆகிய சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் தீர்க் 85th IGBLh.
1V . ~ . . .. { (+), 2 (-): எனும் வடிவத்தில் t எனும் ஒரு சாராமாறி மூலம் தம் ஆள்கூறுகள் கொடுக்கப்படுகின்றபள்ளியானது அவ் அதிபர வளைவிற் கிடக்கும்.
அதிபரவளைவிற்கு “e” எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடுகோடானது
*{(+)-+(-)=1 அல்லது (+)-(-)-1
ஆகிய சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்படும்.
அணுகுகோடுகள்.
அதிபரவளைவின் சமன்பாடு
a: y \, ( a 2/ a Tb) a -- 历川= 1 என எழுதப்படலாம்.
. --0 எனுங் கோட்டில் அல்லது +=0 எனுங் கோட்டி லுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் முன் கூறியுள்ள சமன் பாட்டினைத் தீர்க்கமாட்டா.
= 0 ஆகிய நேர்கோடும்
;
ve
0.
十 ; = 0 ஆகிய நேர்கோடும்
அதிபரவளைவை எவ்விடத்தும் வெட்டமாட்டா.
நேர் காற்பகுதியிலுள்ள அதிபரவளைவின் முடிவிலாப் பாகத்திலுள்ள P (a, g) எனும் ஒரு புள்ளியைக் கருதுக. அதிபரவளைவில் P ஆனது உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து முடிவிலாத் தூரத்திற்கு அசைய, 2 உம்

Page 99
186 தூயகணித மூலகங்கள்
9 உம் இரண்டும் முடிவிலியை அணுகும். . P ஆனது முடிவிலியை நோக்கிச் செல்ல
0ج||- a 2/1 +
. 1.91 0حچ۔.
τα ύ αι. μ.
a 'b
器一激=0 எனுங் கோட்டிலிருந்து P இனது தூரம்
at 91 a b at ','
-9-0 எனுங் கோட்டிலிருந்துள P இன் தூரம், P ஆனது நேர்
' α ό காற் பகுதியிலுள்ள கிளைவழியே முடிவிலியை அணுக, பூச்சியத்தை அணுகும்.
மூன்றம் காற்பகுதியிலுள்ள முடிவில்லாத கிளையில் P இருக்கும் போது இதே பெறுபேறு அமையுமென்பது சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படும். இன்னும் சமச்சீரிலிருந்து, 器+激=0 எனுங் கோடும் இரண்டாம் நான் காங் காற்பகுதிகளிலுள்ள முடிவில்லாக் கிளைகளும் பற்றி அதே பண்பு அமையும்.
.. 高一嵩=0, 蒿十嵩=0 ஆகிய இரு கோடுகளும் உறுதியாய் அதிபரவளை வின் பொருத்தமான முடிவிலாக்கிளைகளை, அவைகளை ஒரிடத்தும் வெட் டாது, அணுகும். இக்கோடுகள் அதிபரவளைவின் அணுகு கோடுகளெனக் கூறப்படும். .
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 7 87
அப்பியாசங்கள்
? LSLS S rLLSS SLL SSSLL SSSSSSS C 2b: 1. a a 1 எனும் அதிபரவளைவின் செவ்வகலத்தினது நீளம் a
எனக் காட்டுக.
2. அதிபரவளைவொன்றில் குவியமொன்றிலிருந்து தொடுகோடொன்றிற் குள செங்குத்தின் அடியானது குறுக்கச்சைத் தன் விட்டமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்திலிருக்கின்ற தெனக் காட்டுக.
(துணைவட்டம்)
3. அதிபரவளைவொன்றில் அதன் குவியங்கள் இரண்டிலுமிருந்து யாது மொரு தொடுகோட்டிற்குள செங்குத்துக்கள் இரண்டின் நீளங்களினது பெருக்குத்தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6° இற்குச் சமனெனவும் நிறுவுக.
4. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடு
கோடு செலுத்தியொன்றை T இற் சந்தித்தால் அதன் ஒத்த குவியம் S ஆயின், ST ஆனது SP இற்குச் செங்குத்தெனக் காட்டுக.
5. அதிபரவளைவொன்றின் தொடுகோடு இரு குவியங்களையும் அத்தொடு புள்ளியையும் இணைக்குங் கோடுகளுக்குச் சமசாய்வுடைய தெனக் காட்டுக.
a? y? ፴2 b2 - 1 ஆகிய அதிபரவளைவின் எவ்விரு செங்குத்தான தொடு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று a + g^= a*-b* எனும் வட்டத்தில் வெட்டு கின்றனவெனக் காட்டுக.
(செலுத்திவட்டம்)
7. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செங்கோடு குறுக்கச்சை இெற் சந்தித்தால், SG= 8.SP எனக் காட்டுக. இங்கு S ஆனது ஒரு குவியமாகும்.
, ό2 w 8. mm = a? ஆயிருக்க y = m3 ஆகிய கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாக வுள்ள அதிபரவளைவின் எந்த நாணின் நடுப்புள்ளியும் y = m' எனுங் கோட்டிலிருக்கின்றதெனக் காட்டுக.

Page 100
188. தூயகணித மூலகங்கள்
ერ? y 9. (2, g) எனும் புள்ளியில் இரு சமக்கூறிடப்பட்ட ق 一添=1 எனும்
அதிபரவளைவின் நாணின் சமன்பாடு
2 2%次 Ꮖ .Wı எனக் காட்டுக 9/9/10 بـ 3000
bጓ 2 ፀጻ
10. தனது குவியமொன்று முனைவாகவும் குறுக்கச்சு தொடக்கக் கோடா கவும் உள்ள அதிபரவளைவொன்றின் முனைவுச் சமன்பாடு
=1+6 கோசை 9 என நிறுவுக. இங்கு 2 ஆனது ፃ”
செவ்வகலமாகும்.

நுண்கணிதம்

Page 101

அத்தியாயம் 1 52(5 மாறியின் சார்பு
2 என்பது குறித்த மெய்ப் பெறுமானங்களுக் கூடாக மாறும் ஒரு கணியத்தைக் குறிக்க. g என்பது 2 இனுடைய பெறுமானங்களுட் சிலவற்றிற்கு அல்லது எல்லாவற்றிற்கும் ஒத்த தன்னுடைய பெறு மானங்கள், யாதோ ஒரு விதி பற்றித் தீர்மானிக்கப்பட்ட வேறெரு மாறுங் கணியமாயின், g என்பது a இன் சார்பெனப்படும் ; அதனை g = f(a) என எழுதுகின்ருேம்.
2 இன் யாதுமொரு தந்த பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் g இற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் இல்லையெனின், g என்பது a இன் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பெனப்படும். 2 இன் யாதுமொரு பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g இற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் உண்டெனின், g என்பது a இன் பல் பெறுமானச் சார்பெண்ப்படும். உதாரணமாக, g, a என்பனவற்றிற்கிடையேயுள்ள தொடர்பு g = Va (2) இனது நேர் வர்க்கமூலம்) என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்டால், g என்பது பூச்சியத்தினிலு மேற்பட்ட, அல்லது அதற்குச் சமனன எல்லா 3 இற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது 3 இன் ஒற்றைப் பெறு மானச் சார்பாகும். ஆனல், அத்தொடர்பு g = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டாலே தரப்பட்டால், y என்பது a இன் இரட்டைப் பெறுமானச் சார்பாகும் ; அதற்குக் காரணம் a இன் யாதுமொரு நேர்ப் பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g இற்கு இரு பெறுமானங்கள் உண்டு என்பதே. அத்தொடர்பு சைன் y = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப் பட்டால், 20 ஆனது -1, + 1 என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்படக்) கிடக்கும்போதே g என்பது வரையறுக்கப்படும் ; இவ்வீச்சிற்குள் a இன் யாதுமோர் ஒற்றைப் பெறுமானத்திற்கு g இற்கு எத்தொகைப் பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். அப்போது g என்பது முடிவின்றிய பல் பெறுமானச் சார்பெனப்படும்.
g என்பது a இன் சார்பாயின், a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத் திற்கும் g ஆனது வரையறுக்கப்படும் என்பது இன்றியமையாத ஒன்றன்று என்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும். இன்னும், நாம் ஆராய்ந்த உதாரணங் களிற் போல, a பற்றி g வரையறுக்கப்படும் விதியானது g ஐயும் 2 ஐயுந் தொடுக்கும் ஒரு சமன்பாடாயிருக்க வேண்டியதில்லை. உதாரண மாக, g என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணுக்குச் சமன் என்னும் பண்பால் g என்பது a இன் சார்பாக உரைக்கப்படலாம். g ஆனது a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப் படு மென்பதும் அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளுமென்பதும் எளிதிற் புலனுகும். 0,1 என்பனவற்றிற்கிடையே (0 உட்பட) a இன் யாதுமொரு
19

Page 102
192 துயகணித மூலகங்கள்
பெறுமானத்திற்கு, g = 0, 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையே (1 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = 1, -1, 0 என்பன வற்றிற்கிடையே (-1 உட்பட) 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = -1 -2, -1 என்பனவற்றிற்கிடையே (-2 உட்பட) 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = -2. இவ்வாறே பிறவும்.
பல்லுறுப்புச் சார்பு
? என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க a, a, , . . . . . . . . . . . 0. என்பன % மெய்யெண்களாயின், ax + aaf-1 + . . . . . . . . . . 十0, என்பது n என்னும் படியுள்ள 30 இன் பல்லுறுப்புச் சார்பெனப்படும். அது 2 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளும்.
விகிதமுறுஞ் சார்பு
P,0 என்பன ஒரே படியுள்ளனவாயிருத்தல் வேண்டும் என்று நியதி
யில்லாத 3 இனுடைய இரண்டு பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயின், என்பது
P Q 10 இன் விகிதமுறுஞ் சார்பெனப்படும். அது ஒற்றைப் பெறுமானமுடை யது ; ஆனல், எென்பது பூச்சியமாகின்ற 30 இனுடைய பெறுமானங் களுக்கு (எவையேனும் அவ்வாறிருந்தால்) அது வரையறுக்கப் படுவ
s தில்லை. உதாரணமாக என்பது 30 = 1 ஆகும்பொழுது வரை
யறுக்கப்படாத ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பு ; ஆனல், அது 3 இனுடைய எனைப் பெறுமானங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற் றைப் பெறுமானமுடையது. P,Q என்பனவற்றினுடைய பொதுக் காரணி கள் (எவையேனு மிருந்தால்) அகற்றப் படும்பொழுது வருஞ் சார்பு
ერ? —
என்றும் ஆரம்பச் சார்போடு ஒன்ருகாது. ac - ll என்னும் விகிதமுறுஞ்
சார்பு a + 1 என்பதனேடு ஒன்ருகாது. a = 1 ஆகும்பொழுது a 十1 என்பதற்கு 2 என்னும் வரையறுக்கப்பட்ட பெறுமானம் இருக்க, 0 = 1
ვუ2 - 1
என்பது ஆய்மாறிப் பொருளற்றிருக்கு மென்பதே
ஆகும்பொழுது 2 அதற்குக் காரணம்.
a = 1 ஆதலால், 0 என்னும் ஒரு மாறிலியானது 3 இல் 0
படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பாகக் கொள்ளப்படலாம் ; அதற்குக் காரணம் c = cco aTsöTLIG5.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 193
 ெஎன்பது பூச்சியப்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயின், 3 என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பு ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். இவ்வண்ணம், ஒரு விகிதமுறும் எண்ணின் பகுதியிலுள்ள முழுவெண் 1 ஆயிருக்கும் போது அம்முழுவெண் அவ்விகிதமுறும் எண்ணின் ஒரு சிறப்பு வகை யாயிருத்தல் போல, அப்பல்லுறுப்புச் சார்பும் அவ்விகிதமுறுஞ் சார்பின் ஒரு சிறுப்பு வகையாகும்.
அட்சரகணிதச் சார்பு
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், P. P. r P என்பன 3 இனுடைய பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயுமிருக்க, g என்பது
Poy"--Py"+ ............ -- P = 0
என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாயின், என்பது a இன் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பெனப்படும்.
y= ஆயின், gெ -P=0. இது 9, - P என்னுங்குணகங்களோடு g இலே முதலாம் படியிலுள்ள ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு ; ஆகவே, ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பும் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும். ஆனல், அட்சர கணிதச் சார்பு ஒவ்வொன்றும் விகிதமுறுஞ் சார்பாகாது. உதாரணமாக, விகிதமுறுஞ் சார்பாகாத g= 3 + V(a+5) என்பதை எடுக்க. (g-2) = a + 5 அல்லது g?-2ag+a?-3-5 = 0. இது a இனுடைய பல்லு றுப்புச் சார்புகளாகிய 1, -2a, a?-a-5, என்னும் குணகங்களோடு g இல் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு. ஆகவே, 2+ V(a+5) என்பது a இன் ஒர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும்.
ஒர் அட்சரகணிதச் சார்பு 3 இல் விளக்கமாகத் தரப்பட்டால், அது விளக்க வட்சரகணிதச் சார்பெனப்படும். அவ்வட்சரகணிதச் சார்பு ஒரு சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டால், அது மறைவட்சரகணிதச் சார்பெனப் படும். g = 3 + V(a +5) எனின், g என்பது ஒரு விளக்கச் சார்பாகும் ; ஆனல், g என்பது g?-2ag+a?-3-5 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டால், அது ஒரு மறைவுச் சார்பெனப்படும்.
கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சார்பு
அட்சரக்ணிதச் சார்பல்லாத எச்சார்புங் கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சார்பு எனப்படும். திரிகோணகணிதச் சார்புகள் எல்லாங் கடந்தவை. g என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப் பெரிய முழுவெண் என்னும் பண்பில்ை, g ஆனது வன்ரயறுக்கப்பட்டால், g என்பது ஒரு கடந்த சார்பாகும். உயர் கணிதத்திலுள்ள பல் சார்புகள் கடந்த சார்புகளாகும்.

Page 103
194 துரியகணித மூலகங்கள்
K என்பது முடிவிலிக்கு அணுக, f(x) இன் எல்லை.
f(a) என்பது 3 இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட 20 இன் ஒர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
நாம் பின்வரும் வரைவிலக்கணத்தைத் தருகின்ருேம். e என்னும் யாதுமொரு சிறு நேர்க் கணியந் தரப்பட்டால், 2 ஆனது a என்னும் ஒரு மெய்யெண்ணிலும் பெரிதான யாதுமொரு பெறு மானத்தை எடுக்கும்போது f(a), என்பனவற்றின் வித்தியாசத்தின் எண்பெறுமானம் e இலுஞ் சிறிதாகு மாறு a ஐக் 8ாண்போமாயின், * ஆனது முடிவிலிக்கு அணுக, f (3) ஆனது இற்கு அணுகும்.
இது பின்வருங் குறுகிய வடிவத்தில் எழுதப்படும். e தரப்பட, 30^ ஆயின், f (2) -> ஆகும்.
உதாரணமாக, f(a) = என்பதை எடுக்க.
ஆயின், f(a) ஆனது பூச்சியத்திற்குச் சமணல்லாத 3 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும். 3->CO எனின், f(a) -> 0 என்பது மேலுள்ள வரைவிலக்கணத்திலிருந்து எளிதிற் 5T600TL II (BLh.
அதற்குக் காரணம் f(x)-0 = ஆயிருந்தால்.
வேறேர் உதாரணமாக, f(x)=" என்பதை எடுக்க. ஆயின், 20 இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் f(a) என்பது வரையறுக்கப்படும்.
எல்லா 2 இற்கும் சைன் ல | S 1 ஆயிருத்தலால்
၈၃၄ * V. ல்லா 2>0 ஆயிருந்தால்.
இனி, ۹/aب < e, @T60GDT2 > >ق ஆயிருந்தால்.
* =g எனின், e என்பது தரப்பட எல்லா 3 > 2 ஆயிருக்க 3 என்பது
|f(x)-0|CO எனின், 0جے.

நுணகணிதம் அத்தியாயம் 1 195
30->CO ஆகும்பொழுது f(x) -> எனின், 20 இனுடைய யாது மொரு பெறுமானத்திற்கு அல்லது சில பெறுமானங்களுக்கு f(a) ஆனது ' என்னும் பெறுமானத்தை எடுக்குமென்பது வரைவிலக்கணத் திலிருந்து பெறப்படாது. f(x) இற்கும் இற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தின் எண் பெறுமானம் ஒரு குறித்த பெறுமானத்திற்கு அப்பாற்பட்ட 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் நாம்
விரும்பும் வண்ணஞ் சிறிதாக்கப்படலாம் என்பதே அதன் கருத்து.
3->CO ஆகும்பொழுது, -0 ج என்பதை அறிவோம் ; ஆனல், a. என்பது
a இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியம் என்னும் பெறுமானத்தை ஒரு போதும் எடுக்காது.
a ஆனது முடிவிலியை அணுக ஒா எல்லைக்கு அணுகாத ஒரு சார்பிற்கு உதாரணமாக, சைன் a என்பதை நாம் எடுக்கலாம். a ஆனது வரையறையின்றிக் கூடுதலுற, இச்சார்பு -1, +1 என்பனவற்றிற்கு இடையே உள்ள ஒவ்வொரு பெறு மானத்தையும் எடுத்துக் கொண்டு அலையும். ஆகவே, 2 ஆனது வரை யறையின்றிக் கூடுதலுற, சைன் 2 ஆனது வரையறுக்கப்பட்ட யாதுமொரு பெறுமானத்தை அணுகாது. a -> OO ஆயிருக்க, சைன் 3 ஆனது ஓர் எல்லையை அணுகாது.
நாம் முடிவிலி என்னுஞ் சொல்லையும் OQ என்னுங் குறியீட்டையும் வழங்குகின்றேமாயினும், முடிவிலி என்னும் யாதும் ஒரெண்ணுண் டென்று நாம் கொள்ளவில்லை என்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும். நாம் * a முடிவிலிக்கு அணுக’ என்னுஞ் சொற்றெடரையே வரையறுக் கின்ருேம் : “ முடிவிலி” என்னுஞ் சொல்லிற்கு அதனளவில் யாது மொரு பொருளுங் கொடுக்கப்படவில்லை.
வரைவிலக்கணம். f (2) இல் 2 ஆனது -2 ஆல் இடம் பெயர்க்கப் படும்பொழுது பெறப்பட்ட சார்பை f(-a) என்பது குறிக்க, a ->CO ஆயிருக்க, f(-1) -> ஆயிருந்தால், 2-> - co ஆயிருக்க f (3) -> ! ஆகும்.

Page 104
196 தூயகணித மூலகங்கள்
எல்லைகளைப்பற்றி வரைவிலக்கணத்திலிருந்து நிறுவக்கூடிய பின் வருந் தேற்றங்களை உண்மையெனக் கொள்வோம்.
(1) k என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்க f (2) -> ஆயின், kf(a)->k
ஆகும். (2) f(a) -> ஆயும், f(a) என்பது எல்லா 2 இற்கும் நேராயும்
இருந்தால், Vf(a) -> VI ஆகும். (3) f (3) -> ஆயும், தி (2) -> ஆயுமிருந்தால், f (2) + தீ (3) ->+'
ஆகும். (4) f (3) -> ஆயும், தி (2) -> ஆயுமிருந்தால், f(2) தி (2) ->W
ஆகும். (5) f (2) -> ஆயும், தி (2) -> 40 ஆயுமிருந்தால்,
if (o)-4 մի gb (ac) l 35(g) P
(உ-ம்) 3 ->CO ஆயிருக்க, V(x + 2-1) -2 இன் எல்லைப் பெறுமா னத்தைக் கணிக்க.
1 —+— a + 1( – 23 ac + 2م) 2 l) - ac = - \ - MC به ل (عليويلهو) = قيل (عليه القوة = 2 - (1 + 2 + **)V
/( +է+)+1
->3, 20->CO ஆகும் பொழுது. வரைவிலக்கணம்
K என்னும் யாதுமொரு பெரிய நேர்க்கணியந் தரப்பட 30 இலும் பெரிதாகிய எல்லா 30 இற்கும் f(a) > K ஆகுமாறு a என்பதை நாம் காண்போமாயின், 20 -> OO ஆயிருக்க f(x) -> co என நாம் கூறுவோம்.
acs -- 1
ஓர் எடுத்துக் காட்டாக, a > 0 ஆகும்பொழுது f (2) =- 2 என்பதை
எடுக்க : f(a) = 2^ + > a.
K என்பது யாதுமொரு நேர்க்கணிய மாயின், எல்லா 2 > A/K ஆயிருந்தால், a > K.
. a= VK எனின், எல்லா a > 30 ஆயிருந்தால், f(a) > K.
ac--
°. a ->CO ஆக, -- Co.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 197
3->CO ஆக, f (2) -> CO ஆயின், 20 -> OO ஆக, f(0 ஆகும்.
அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : e என்பது யாதுமொரு சிறு நேர்க் கணியமாயின், எல்லா p > சில 3
سر ہ{- f() is -- - 0 < e g (5th.
f(a)
ஆயிருக்க, f(a) >ஆகும். ஆகவே எல்லா ல>20 ஆயிருக்க
ஆகும். அதாவது எல்லா ல>30 ஆயிருக்க
மறுதலையாக, 0->CO ஆக, f(x) ->0 ஆயின், 3->CO ஆக |+oం
ஆகும்.
அதற்குக் காரணம், K என்பது யாதுமொரு பெரிய நேர்க் கணியமாயிருந்
f (ac)
தால், எல்லா ல> சில 30 ஆயிருக்க, < ஆகும். .". எல்லா ல> 20
ஆயிருக்க
壳|>* ஆகும்.
2->CO ஆக, -f(a)->CO ஆகுமாறு, f (3) என்னும் ஒரு சார்பு இருந்தால், 2->CO ஆக, f(x)-> - OO என்று நாங்கூறுவோம்.
முடிவில் தொடரின் ஒருங்கல்
ზ41, ზtფ» ზ0ვ • • · · · · · · · · · · · · *04) • • • • • • • • • • • • • • என்னும் ஒரு முடிவி லுறுப்புத் தொடரை ஆராய்க. இங்கு 70 ஆம் உறுப்பு 70 என்றும் நேர் முழுவெண் மாறியின் சார்பாகும்.
S, என்பது அத்தொடரின் முதல் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யாகுக. 7 ->CO ஆக, S-> (ஒரு முடிவுள்ள எல்லை) ஆயின், அதாவது e என்னும் யாதுமொரு நேர்க்கணியந் தரப்பட்டால், 70, இலும் பெரி தாகிய n இன் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் S, -lke ஆகுமாறு m, என்னும் ஒரெண்ணை நாங்காண்போமாயின், u +2)+2+ a a P. 6 V o + a,+ . . . . . . . என்னும் முடிவில் தொடர் ஒருங்கு தொடர் எனப்படும் ; என்பது அத்தொடரின் முடிவிலி வரைக்கும் உள்ள கூட்டுத்தொகையாகும்.
%->co ஆக, S என்பது ஒரு முடிவுள்ள எல்லைக்கு அணுகாதாயின் அத்தொடர் விரிதொடர் எனப்படும்.

Page 105
98. தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணமாக,
正十g5+3エ十・・・・・・・・・・・・・・ -- 十············
n (n -- 1) என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
T, எனபது 1 ஆம் உறுப்பைக் குறித்தால்,
Tr = r(i)-, -, -- 1
l l T 2
I l T2 2 T3
l l T n n +1
S, = 1 - 1 -1 ,1 ج->Oం ఎలైట్
.. அத்தொடர் ஒருங்குவதொன்றகும் ; அதன் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். இனி, 1 + 2 + 3 + . . . . . . . . . . . . . .··十7?十············ என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
n->OO glds, S = ( ) ->CO ஆகும்.
.". அத்தொடர் விரிவதொன்றகும்.
பெருக்கற்றெடர்
பொதுவிகிதத்தின் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு ஒரு பெருக்கற் ருெடரின் ஒருங்கு தன்மையை இப்போது ஆராய்வோம்.
r என்பது மாறத ஓர் எண்ணுயிருக்க, n என்பது நேர்முழுவெண்
பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுத்தால், m->CO ஆக, " இன் எல்லையை முதல் ஆராய்வோம். :

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 199
r என்பது பூச்சியமாகாது -1, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கின்ற தெனக் கொள்க; அதாவது 0 0.
||" (1 -- a)".
m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருத்தலால், (1 + a)" என்பது ஈருறுப்புத் தேற்றத்தால் விரிக்கப்படலாம் ; அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக் கள் எல்லாம் நேராகும்.
அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக்களுள் ஒன்று 700 ஆகும்.
(l -- a)”> na. . 1۔ کسر ہ{۔۔۔ (1 -- a)
I .. "=""<  ஆயிருந்தால், அதாவது திால்ல்ா
AO αε ஆயிருந்தால்.
|r< 1 எனின், n -> co ஆக, "->0 ஆகும்.
r = 1 எனின், எல்லா m இற்கும் r = 1.
y = -1 எனின், " = (-1)"= 1, 10 என்பது இரட்டையெண்ணுயின், = -1, n என்பது ஒற்றையெண்ணயின்,
|r|> 1 எனின், iri = 1 + a. இங்கு a > 0
K n > ஆயிருந்தால், |r"| > na > K.
.d5, |r|”-> coيې OO جـ m
இப்போது, a + a + ar? + . . . . . . . . . . . . -- ar" + . . . . . . . . . . . . .
என்னும் பெருக்கற்றெடரை எடுக்க.
S, என்பது அத்தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையாயின்,
S = ma, r = 1 எனின்,
a(1 — "r")
, 4 1 எனின்.

Page 106
200 « தூயகணித மூலகங்கள்
", 7 = 1 எனின், a = 0 என்னும் பயனற்ற வகையை நாம் விலக்கும் பொழுது n->CO ஆக, S என்பது ஒருமுடிவுள்ள எல்லையை அணுகாது.
", r = 1 எனின், அத்தொடர் ஒருங்காது.
.0جس-"co gg,5, r ج- 78 ,r < 1 6T6of}6dT > 1--
. -- جس مS 广五二,
.. அத்தொடர் ஒருங்கும் ; முடிவிலிவரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
م, -- 1
r = -1 எனின், S = 0, n என்பது இரட்டையெண்ணுயின்;
.ft, m என்பது ஒற்றையெண்ணுயின் ܒܚܩ .. 10->CO ஆக, S என்பது ஒரெல்லைக்கு ஒருங்காது. .. அத்தொடர் ஒருங்காது. n கூடுதலுற, S என்பது 0, 0 என்னும்
பெறுமானங்களுக்கிடையே அலைதலால், அத்தொடர் அலைதொடர் எனப் படும்.
|r| > 1 எனின், 70 ->CO ஆக, |r"|->ంం.
.. S என்பது முடிவுள்ள ஒரெல்லையை அணுகாது.
.. அத்தொடர் விரிதொடர் ஆகும்.
l + 1十a \2 I -- ac Y8 - D. 1+蒜+(蒜)+(蒜)+ LSS SSS S SL S SS S LS S S S S S S S SL S SS S SSY S L S L S L
என்னுந் தொடர் ஒருங்கத்தக்கதாய் 2 இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க.
1 -! - ac
2 - 3a. <1 எனின்,
(1 -- a) அதாவது(2+3) < 1 எனின்,
அதாவது (1 + a)2-(2+3a)?< 0 எனின், அதாவது (3 + 4a) (-1-2a) < 0 எனின், அதாவது (a + 4) (a + 4) > 0 எனின், அத்தொடர் ஒருங்கும்.
.. a என்பது - என்பதிலும் பெரிதாய் அல்லது 4 என்பதிலுஞ் சிறிதாய் இருத்தல் வேண்டும்.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 20.
மடங்குதசமம்
மடங்குதசமமானது ஒருங்குபெருக்கற்றெடரின் ஓர் எடுத்துக் காட்டாகும்.
உதாரணமாக 3 என்பது *2 -- :02 -- *002 -- :0002 -- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2 2 அல்லது + Ioal lush 10 h SL S S L S L SSL SSL SS SL S L SLSL SL S SLSL S 0L S S0S S S S S SL S 0 S 0 S SL S S S S 0 S 0 S 0L SS
என்னுந் தொடரின் முடிவிலிவரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகையாகும். இது
ஃ என்பதைப் பொதுவிகிதமாயுள்ள ஒரு தொடர் ; ஆகவே அது ஒருங்கும்.
O 一星一 2 *2 = - ~ 1 - 9
2 2 இனி 12=正十 10a | lost LS SLS S SLLL SLLLS SLSL SLSL SSLL S SLS SLSLS SS SS SSL SSL SSL SS SLS S S L0L S0 SS S0 S L0 S LL S0S S SSS SLL0L S LL
முதலாம் உறுப்பை விலக்கினேமாயின், மீதி ஃ என்பதைப் பொது விகிதமாயுள்ள ஒரு பெருக்கற்றெடராகும்.
S என்பது அம்முழுத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையாகுக.
2 2 2
8-10+10+10+10. . . . . . . . . . 0S SS S SS SS SS SSL SSS 0C S C S S C S S LL S0S SSSCS SLS SCL S SLLL S S00 S SS SS SSL SSLSL SLL L (1)
2 2 2 10 S-1 + + o- or . . . . . . . . 2( ܀ ܫ ܘ ܕ ܘ ܗ ܕ ܗ ܘ ܗ ܘ ܘ ܘ ܘ ܘ ܗ . ܘ ܗ ܀ ܘ ܗ ܘ܂)
2 2 2
l (1) (265.c5,55), S -o- or + lost 10 + . . . . . . . .
லிார் 10 S-1 22 2 2. (2) இலிருந்து, 10 Ios Iost 10 o e o s p s o os o e a a
2 S-= 10 S-1 -o
12-l S = 0=0
இது ஒரு மடங்கு தசமத்தை ஒரு பின்னமாக மாற்றுதற்குரிய வழக்கமான விதியை வாய்ப்புக் காட்டுகின்றது.

Page 107
202 துயகணித மூலகங்கள்
2-> a ஆக, f(a) இன் எல்லை.
a என்பது ஒரு மெய்யெண்ணுகுக ; f(a) என்பது a இற்கு அண்மை யிலுள்ள (ஆனல் a இல் இருத்தல் வேண்டுமென்பது இன்றிய) 0 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட 2 இன் ஒரு சார்பு ஆகுக'.
யாதுமொரு சிறுநேர்க்கணியம் e என்பது தரப்பட a < 0  a + 0 ஆக, f(x) -> என எழுதுகிறேம்.
a > a ஆயுள்ள பெறுமானங்களை மாத்திரம் ஆராய்கின்ருேம் என்ப தைக் காட்டுதற்கே “ a + 0 ’ என எழுதுகிருேம்.
e என்பது தரப்பட 6-6<ல  என எழுதுகிறேம்.
இங்கு, லa + 0 ஆயும், ல->0 -0 ஆயும் இருக்க f(a)-> ஆயிருந்தால், * a -0 ’ ‘a + 0’ என்பனற்றை வகையறுக்க வேண்டியதில்லையாதலால், ல->a ஆக, f(x) -> என எழுதுகின்றேம்.
a->a ஆக, f(x)-> எனின், a = a இல் f(a) இன் பெறுமானம் பற்றி யாதுங் குறிக்கப்படவில்லை. இப்பெறுமானத்திற்கு இருப்பு இருக்கலாம் அல்லது இல்லாதுவிடலாம். அது இருப்பு உள்ளதாயிருந்தாலும் எல்லைக்குச் சமனகாதிருக்கலாம். a->0 ஆக, நாம் எல்லையைப்பற்றிப் பேசும்போது, a = a இல் என்ன நிகழ்கின்றதென்பதைப்பற்றி நாம் அவாவுதலில்லை ; a இற்கு அண்மையிலுள்ள 20 இனுடைய பெறுமானங்களையே நாம் அவாவுகின்றேம். உதாரணமாக
- ?
if(a) =
零一份颜 என்பதை எடுக்க.
ஆயின் 2 = a ஆகும்பொழுது f(a) என்பது வரையறுக்கப்படுவதில்லை. a * a ஆகும்பொழுது f(a) = 3 + a ; இது 30->0 ஆக 6 (இலும் பெரிய பெறுமானங்களுக்கூடாக அல்லது சிறிய பெறுமானங்களுக்கூடாக) 2a என்பதை அணுகும் என்பது தெளிவு.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 203
7-ஆ0 + 0 ஆக, f(a) என்பது என்னும் எல்லையையும் a -> a - 0 ஆக, f(a) என்பது ' என்னும் வேறேர் எல்லையையும் அணுகு வதுமான வகையை ஆரம்பச் சார்புகள் விளக்குவதில்லை. இந் நோக்கத்திற்குச் சிறப்புவகைச் சார்பொன்றை நாம் எடுக்கவேண்டும். f(a) என்பது 2 இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணென வரை யறுக்கப்படுக. 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையில் 2 இன் எப்பெறுமானத்திற் கும் f(a) = 1 ; ஆயின், f(2) -1 என்பது 1,2 என்பனவற்றிற் கிடையிலுள்ள எல்லா 2 இற்கும் யாதுமொரு நேர்க்கணியத்திலுஞ் சிறி தாகும்.
... ac->2-0 gaf, f(a) --> 1.
2, 3 என்பனவற்றிற்கிடையிலுள்ள 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் if (ac) = 2.
..". ac --> 2-4-0 i gy&5, if (ac) -->2
இவ்வண்ணம் 2->2-0 ஆகவுள்ள எல்லை 3->2 + 0 ஆகவுள்ள எல்லையோடு ஒன்ருகாது.
சில ஆரம்பச் சார்புகளும் 2 இன் ஒரு குறித்த பெறுமானத்தினுடைய பக்கங்கள் இரண்டினுள் எதன்கண்ணும் 30 இன் ஒரு சார்பினது நடத்தை வித்தியாசத்தை வேறெருமுறையிற் காட்டும்.
உதாரணமாக f(a) என்பதை எடுக்க.
a = 1 ஆகும்பொழுது அது வரையறுக்கப்படுவதில்லை.
a > 1 ஆகும்பொழுது, 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் 2 இருக்க, f(a) என்பது நேராயும் மிகப்பெரிதாயுமிருக்கும். 0 என்பதை போதிய அளவு 1 இற்கு அண்மையில் எடுத்தலால், நாம் விரும்பும் வண்ணம் அதனைப் பெரிதாக்கலாம். ஆகவே, 30->1 + 0 ஆக, f (3) ->CO என எழுது கின்றேம். w
a < 1 ஆகும்பொழுது 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் 2 இருக்க, ac - 1 என்பது எதிர்க்குறியோடு பொருந்தும் ; அதற்கு மிகப்பெரிய எண் பெறு மானம் இருக்கும் , 20 என்பதை 1 இற்கு போதிய அளவு அண்மையாக எடுப்பதால் அப்பெறுமானத்தை நாம் விரும்பும் வண்ணம் பெரிதாக்க லாம்.
2->1 - 0 ஆக, f(x) -> - co என எழுதுகின்றேம்.

Page 108
204 தூயகணித மூலகங்கள்
தான் 0 என்னுஞ் சார்பிற்கும் "= இற்கு அண்மையில், இதனே டொத்த பண்புண்டு.
2;ー> -0 ஆக, தான் 30->CO ;
2->+0 ஆக, தான் 2 -> -- CXCO.
--- ந்தோமாயின் f() - 1) என எடுத்தோமாயின்,
a->1 + 0 ஆகவும், 2->1-0 ஆகவும்,
if(ac) -> oo. இங்கு, “ 1-0 ”, “ 1 + 0 ° என்பனவற்றை வகையறுக்கவேண்டியதில்லை யாதலால், 2->1 ஆக, f(a)->CO என எழுதுகின்றேம்.
7. a
X->3 ஆக -
என்பதன் எல்லை X-3
n என்பது ஒரு விகிதமுறுமெண்ணுயும் a என்பது பூச்சியமல்லாததாயும்
a* -- **
இருக்க, 3-> 0 ஆக, ->ma" எனக் காட்டுவோம்.
22ーQ 。
வகை 1.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுகுக.
ஆயின், a"-d" என்பது m என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும் ; a = a ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
.. மீதித் தேற்றத்தால், a-a என்பது a"-0" என்பதன் ஒரு
காரணியாகும். a"-a" என்பது 20 -0 என்பதால் வகுக்கப்படப் பெறும் ஈவு.
a" + aa"* + . . . . + a" என்பதாகும்.
- of ஃ ல# 6 ஆகும்பொழுது, 22ー(。 = r-1 + aa"2 + . . . . -- a -1
இது 2 இன் n-1 என்னும்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை; இதற்கு n உறுப்புக்கள் உண்டு ; 2 -> a ஆக, ஒவ்வோர் உறுப்பும்; a" என்பதை அணுகும்.
-
a -> a gas, --> g""1
- 0

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 205
6n 6ons II
m என்பது -m இற்குச் சமஞன ஓர் எதிர் முழுவெண்ணுகுக ஆயின், m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகும்.
l. 1 a” l-a” - ar” a" , - نه” - a" په . 2ーの裏 97'ogr۴۹ – - وفق –- موسيقية
73"og -- 170م முதலாம் வகையால், "ட்டட் ->ma"
22ー(寛 a -am та” - 1 .. 30-90 ஆக, 32ー(。 mam* anam அல்லது ma"
|""ma جسد "بـ " و تa 24,d ج- بa ...
ஆக, 22ー(Z
6nu 6ONE, III p, q என்பன முழுவெண்களாயும், அவற்றுள் g என்பது நேராயுமிருக்க, m என்பது ρ இற்குச் சமனன ஒரு பின்னமாகுக.
g 1. 3° = X ஆயும் 0° = A ஆயுமிருக்க.
р p
ஆயின், ar* = XP, ao = AP
a"-a" XP-AP XP-AP X - A
-axa Agy A * Xa-44
X = A என்னும் வகையை நாம் அவாவாமையால்.
p, q என்பன முழுவெண்களாயிருத்தலால், X-> A ஆக, அதாவது 3->0 ஆக
P -- AP α. 2 جس۔pAP-1 ,
a A4 1-*gAج- 4 =&
1 - 4Pهرم " a - الره .", 20 -> 0 ஆக, a - a qAq -1
και φΑ' ρ Α’ τα ρ ή -1 απει ஆளுல்ை, A -1 - 17 ܝܶܒMA .. m என்பது யாதுமொரு விகிதமுறும் எண்ணுகும்பொழுது 2->a ஆக,
2"-a" --> ma” - 1.
Q2ーむ嘉

Page 109
206 தூயகணித மூலகங்கள்
ach. --8 ac —> 64 act* – 4
4 எனின் في 64 – لأنه - 8 - لأنه 84 - يو ك = س فيه و 6760f66 64 عالي 30
(உ-ம்) எல் என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
ac* - 64* , ac - 64 في 64 – فيه. * 64 - ه - = 1 - 3(64) في بـ 1- اف (64) في حسـ =தீ (64) = 3, a->64 ஆகும் பொழுது.
நைன் a
.இன் எல்லை این راac --> 0 pl
a என்பது ஆரையனில் 0, என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஒரு
கோணத்தின் அளவாகுக.
O என்பதை மையமாகவும்? என்பதை ஆரையாகவுமுள்ள ஒரு வட்டம் வரைக. AB என்பது மையத்தில் 0 ஆரையன் என்னும் ஒருகோணத்தை எதிரமைக்கும் வட்டவில்லாகுக. A இல் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடுகோடு நீட்டிய OB என்பதை 0 இற் சந்திக்க.
ஆயின் AC = 7 தான் ஐ.
A A0B இன் பரப்பு < ஆரைச்சிறை 0AB இன் பரப்பு < A 400 {926öT L. UzüL 4.
.. ?? சைன் a < r?a  0 ஆதலால், முழுவதையும் r? சைன் 0 ஆலே நாம் வகுக்கலாம்.
சைன் a C கோசை a
1 <
", கணியங்கள் எல்லாம் நேராதலால்
6Ꮌ0ᏧᏠᏊᏡᎢ at;
ld > கோசை .ை
ஆனல், கோசை a = 1 - 2 ഞഃ',
0, என்பனவற்றிற்கு இடையே எல்லா 2
இற்கும்,
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 1 207
சைன் a < 0 என்று நாம் இதற்குமுன் அறிந்துள்ளோம்.
泰 O. O. ೧೮6ಂr < 2 .. ഞെ8:'<'
2 4
a;2 .. 1 - 2 சைன்? > 1 -ட்,
6ტ)ტF6óf 2 2
ଦ08Fତ୪t 0; a;2 > I T2
O 0
ეჯ2 ܚܖ .1 ج-- 1 و 5 رpi 0 جac
�0)୬Föö} ଯ୪
.1 ج- ,ஆக 0 +- ج- ?a .".
20 = -b ஆகும்பொழுது, ၈၇ံ * - 6056f k) R ၈ၾ။ k
சைன் a
இது 3 = k ஆகும்பொழுது, C பெறும் பெறுமானத்தோடு
ஒன்றகும்.
6ᏡᏧ6Ꮱi a;
'. 20-> - 0 ஆக, இனது நடத்தை 2->+ 0 ஆகும் பொழுதுள்ள
அதன் நடத்தையோடு ஒன்றகும்.
சைன் X
.1 ج ۔۔۔ х
و 35چ 0 <-X .".
கவனிக்க : 2 என்னுங்கோணம் ஆரையனில் அளக்கப்படும்போதே இம் முடிபு உண்மையாகுமென்றும் அக்கோணம் பாகையில் அளக்கப்படும் போது அது உண்மையாகாதென்றுஞ் ஞாபகத்தில் வைத்திருப்பது நன்று.
(உ-ம்) 1. | 6T60چ - بھ தானa) இன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
தான் 0_சைன் a
2 a கோசை :
т a - - < r < 2 ஆன எல்லா 2 இற்கும் 0 <1 -கோசை2
* = 2 சைன் 2 2 0 ஆக, 1 -கோசை ஐ->0:

Page 110
208 தூயகணித மூலகங்கள்
அதாவது | a0 جن ஆக, கோசைa->1.
.. 0->0 ஆக, கோசை.”*
,_3 தான و 6 {p 0 حدس a ...".
(உ-ம்) 2. நேர்மாறுசார்பு தன்றலைமைப் பெறுமானத்தைப் பெறு கின்றதெனின்,
1 كـ حيع .ဓz: “ဧ இன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க 0چ تا T6 6 y = சைன்"a அல்லது a = சைன் g எனப் பிரதியிடுக. O < y < எனின், 0 < சைன் y  + 0 ஆக, சைன் g ->0. சைன் ( -g) = -சைன் g ஆதலால் g ->0 ஆக, சைன் g ->0 என்பது பெறப்படும்.
". ac —> 0 ge,d5, gy -> 0.
1
2*೧೮೫೧ಕTT 0 جسم gy ஆக, சைன்று
! -1 ,_3“ சைன و 5} {g2ے 0ج- ;a.*
a என்பது ஆரையனில் யாதுமொரு கோணத்தின் அளவாயின் 240
ஆகும்பொழுது, சைன் 0 ܐ> a !. 00 ஆக, ერ?
(i) 0-9.0 ஆக, தான2
6ტ)ტf6ზT ე.)
(iii) جـ ھ T s 1 - சைன் 0 ۰- 2 - 42 - شمال 2
(iv) a -> ஆகி 1 - சைன் 0 2 கோதா? ஐ
ገr கோசை52 - சைன் a (v) at -> g5, - - -.
4 கோசை 20
始 т. 1 - சைன் 20 (Vi) 2 →ー -愛妙g。えー・
4 கோசை a - சைன் 3
சைன் 30+ சைன் 0-2 சைன் 22
8 O (vii) ac -> 0 g ஐ சைன்?ல

Page 111
210 தூயகணித மூலகங்கள்
தொடர்சார்புகள்
3 -> a ஆக, f (2) என்னும் ஒரு சார்பின் எல்லையின் a gigold a = a இல் f(p) இன் பெறுமானத்தைப்பற்றி யாதுங் குறியாதென்று இதற்கு முன் அறிந்துள்ளோம்.
20 -> 0 ஆக, சார்பு ->1; ஆனல் a = 0 ஆகும்பொழுது அதற்கு
-س- 2 ஒரு பெறுமானமும் இல்லை ; 3->1 ஆக, சார்பு? ->2; ஆனல், 3=1
2;ー ஆகும்பொழுது அதற்கு ஒரு பெறுமானமும் இல்லை.
2 5 ஆனல், 2->2 ஆக, சார்பு 芋 ->}; a = 2 என்பதிலும் அச்சார்பின்
ᏘᏆ
5
பெறுமானம் 3.
இவ்வண்ணம் பின்வரும் தொடர்சார்பின் வரைவிலக்கணத்திற்கு நடத்தப்படுகின்றேம் :-
3 > 0 ஆக f(x) -> ஒரு முடிவுள்ள எல்லை ஆயும், f(a) = ஆயுமிருந் தால், f(a) என்பது a = 0 இலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனப்படும் , இங்கு f(a) என்பது a = a இல் f(a) இன் பெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது ; அதாவது 3 -> 0 ஆக, f (3) ->f(a), அல்லது h->0 ஆக, f(c+h)-f(a).
a = a இல் f(a) ஆனது தொடர்ச்சியுள்ளதெனின், a ஆனது a என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து ஒரு மிகச் சிறிய கணியத்தாற் கூடுதலுற் றல் அல்லது குறைதலுற்றல், f(a) என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து f (2) இன் மாற்றத்தின் எண்பெறுமானமும் மிகச் சிறிதாகும் என்பது இவ்வரைவிலக்கணத்திலிருந்து பெறப்படும்.
p, q என்னும் எண்களுக்கிடையே (இரண்டும் உட்பட) 20 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் f(a) என்பது தொடர்ச்சி உள்ளதெனின், p என்பது g இலுஞ் சிறிதாயிருக்க, f (2) என்பது p Sa Sg என்னு மூடிய இடைக்குள்ளே தொடர்ச்சியுள்ளதெனப்படும். f(a) ஆனது 0 = p இலும் a = g இலுந் தொடர்ச்சியின்றி p, q என்பவற்றிற்கிடையே எல்லா a இற்குத் தொடர்ச்சியுள்ளதாயின் f(a) என்பது p 

Page 112
அத்தியாயம் 2
வகையீடு,
f(a) என்பது 30 = 0 ஆகும்பொழுதும், 0 என்பது a இலுஞ்சிறிய அல்லது பெரிய பெறுமானங்களை a இற்கு அண்மையில் எடுக்கும் பொழுதும் வரையப்பட்ட 2 இன் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக. h என்பது மிகச் சிறிய எண்பெறுமானமுள்ள ஒரு நேர்க்கணியம் அல்லது எதிர்க்கணியமாயிருக்க, a ஆனது a இலிருந்து a + h இற்கு மாறுகின்றதெனக் கொள்க. குறைதலை எதிர்க்கூடுதலெனக் கொண்டு 2 ஆனது G இலிருந்து a + b இற்குக் கூடுகின்றதெனப் பொதுக் கருத்திற் கூறுகின்றேம். h என்பது 2 இலுள்ள எற்றம் எனப்படும். அவ்வேற்றம் நேராயின், a ஆனது உண்மையாய்க் கூடும் ; அவ்வேற்றம் எதிராயின், a ஆனது உண்மையாய்க் குறையும். 20 - 6 ஆகும்பொழுது, அச்சார்பின் பெறுமானம் f(a) ஆகும் ; a = a + h ஆகும்பொழுது, அச்சார்பின் பெறுமானம் f(a+b) ஆகும். 2 இல் எற்றம் h இற்கு ஒத்த f(a) இன் ஏற்றம் f(a +h)-f(a) ஆகும்.
if (a -- h) -f (a)
h
என்னும் விகிதம் எற்ற விகிதம் எனப்படும்.
இவ்விகிதம் h என்னு மாறியின் ஒரு சார்பாகும். h = 0 ஆகும் பொழுது அவ்விகிதம் ஆக மாறிப் பொருளற்றிருக்கும். h = 0 என்
பதில் அது பொருளற்றிருந்தாலும், h->0 ஆக, அது ஒரு முடிவுள்ள எல்லையை அணுகலாம்.
if (a -- h) - f(a) h என்பதில், f(a) ஆனது a ஐக் குறித்து வகையிடப்படத்தக்கதெனப் படும் என்னும் எல்லை a = a என்பதில் a ஐக் குறித்த f(a) இன் வகையீட்டுக் குணகம் அல்லது பெறுதி எனப்படும். அது f(a) என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
h->0 ஆக, -> ஒரு முடிவுள்ள எல்லை எனின், 2 = ை
உதாரணமாக, f(a) = a* என்பதை எடுக்க,
h = 0 என்னும் வகையை நாம் அவாவாமையால், a = a என் பதில் எற்ற விகிதம்
(a --h)o-ao 3aoh --3aho--ho
瓦一= h .. h -> 0 ஆக, எற்ற விகிதம் 3 ج۔dش
= 3a2+3ah + k ஆகும்.
.. f'(c) என்பது உண்டு ; அது 30° இற்குச் சமன்.
22

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 2 213
இப்பொழுது, f(a) = a என்பதை எடுக்க.
a = 0 என்பதில், எற்ற விகிதம்
j(h)-f(0) h* 1
h 京*顽>
h->0 ஆக, இது ஒரு முடிவுள்ள எல்லையை அணுகாது.
", a என்பது a = 0 என்பதில் வகையிடத்தக்கதன்று.
f(a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதாயின்,
f(a) என்பது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது.
f(a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதாகுக.
f(a +h)-f(a)
ஆயின், h->0 ஆக, h
---f(α).
.0 f” (a) X جس مh) --jf (d( f (a + h)-f(a) x h -+۔ f(a و5زgg 0جس ,h .".
h
அதாவது, h ->0 gyas, f(a + h)-f(a) -> 0. அல்லது, hو 5 العه 0 ج f (a + h( جم f(a(.
. f() ஆனது 2=0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது.
இதன் மறுதலை உண்மையன்று ; அதாவது f(a) என்பது 3 = க என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனின், f (a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதென்பது பெறப்படாது.
f(a) = a என எடுப்பதால் இது விளக்கப்படும். இச்சார்பு 2 = 0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது ; ஆனல் இது a = 0 என்னும் புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதன்றென இதற்குமுன் கண்டுள்ளோம்.
பொதுநிலை 10 இல் வகையீடு.
f(a) என்பது குறித்த ஒரிடையில்  ைஇனுடைய பெறுமானங்கள்
எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
அவ்விடைக்குள் “ஐ’ என்னும் ஒரு நிலையில் ஏற்ற விகிதம்.
J (a +h)-f(a). k -

Page 113
214 தூயகணித மூலகங்கள்
30 என்பதை நிலையாக வைத்து h என்னும் ஏற்றத்தை மாறும்படி செய்தால், ஏற்ற விகிதம் h என்னு மாறியின் ஒரு சார்பாகும். h -> 0 ஆக, அவ்விகிதம் முடிவுள்ள ஓர் எல்லையை அணுகினல், f(a) என்பது “ஸ்” என்னு நிலையில் வகையிடத்தக்கதெனப்படும் ; அவ்வெல்லையானது 0 ஐக் குறித்த f(a) இன் வகையீட்டுக் குணகம்
அல்லது பெறுமதி எனப்படும். அது f(a) அல்லது i. f(a) 21606)gy
D என்பன வகையிடுஞ் ᏘᏬ m
Df(a) என்பதாற் குறிக்கப்படும்; இங்கு, செய்கையைக் காட்டுங் குறியீடுகள்.
ஆரம்பத்திலுள்ளதன் மாறி ஆயிருக்க, அச்சார்பு தி () என எழுதப்பட்டால், t ஐக் குறித்த வகையீட்டுக் குணகம் தி" () அல்லது
th () என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
f(a) என்பதற்கு ஒரு குறித்த இடையில் எல்லா 2 இற்கும் ஒரு மாருப் பெறுமானம் உண்டெனின், அவ்விடையில் யாதுமொரு புள்ளி a இல் எற்ற விகிதம் பூச்சியமாகும் ; ஆகவே, இவ்விடையில் எல்லா a இற்கும் f'(x) = 0 ஆகும்.
a" இன் வகையீட்டுக் குணகம்,
n என்பது மாருத ஒரு விகிதமுறும் எண்ணுக ; a" என்பது 1ெ!ை யறுக்கப்பட்ட யாதுமொரு (பூச்சியமல்லாத) 0 என்பதை எடுக்க.
نمبر ۔ ? * a என்பதில் ஏற்ற நிலை 브- ஆகும்.
a + b = X அல்லது h = X-a) எனப் பிரதியிடுக.
ம்ாருதிருக்க, X->2 ஆக் h-0جب. ". X-> 2 ஆக, அதாவது h ->0 ஆக,
"نه ـ "X بـ "نه ـ " (a + b) - , X- ο
", a" என்பது தான் வரையறுக்கப்பட்ட “ஸ’ என்னும் பூச்சிய
1 - ۶ بر حسب
மல்லாத யாதுமொரு நிலையில் வகையிடத்தக்கது. i. a90م == na1 - **م.
n < 0 ஆக, a = 0 ஆகும் பொழுது a" வரையறுக்கப்படவில்லை.
n > 0 எனின், a = 0 ஆகும்பொழுது a"= 0.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 279.
ஆனல் n ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருப்பதால் f(n) = e"
1 f(m) = = e =e" எனவே 2 நோானதோ அல்லது எதிரானதோ ஆகவுள்ள எவ்
முழு எண்ணுயினும்
if(a) = e*
ஆனது, 76 ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகவும் ற நேரோ அல்லது எதிரோ ஆன முழுவெண்ணுகவுமுள்ள ஓர் பின்னமாகுக.
f(ae) X.f(ae) X........ × f(za)=f(ra十2a十... +a) எனுந்தொடர்பில்
1 - a F ............ = a =? என எடுத்துக் கொள்க. ஆகவே
72,
ጎኔ [/(2)]"—J(p)
72,
ஆனல் ற ஒரு முழுவெண்ணுனமையின் f(p)=e"
“. If () ஆனது e? இன் 10 ஆவது மூலங்களுள் ஒன்று.
р V
அ-து f() =士e
p
இங்கே e" ஆனது e? இன் 7 ஆவது நேர் மூலத்தைக் குறிக்கும். a > 0 ஆகவிருக்கும்போது f(a) இனது தொடரிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் நேராகும்.
, 30 > 0 எனும்பொழுது f(a) > 0. இன்னும்
f(ac) X f( - ac) = f(ac - ac) = f(0) = 1 ", a > 0 ஆகும்பொழுது f(-a) >0
t நேரோ எதிரோ, f(t) >0
p p O ጎጌ, O f() e. எனவே a யாதுமோர் விகிதமுறு எண்ணுயிருக்கும்போது, ஆரம்ப அட்சரகணிதத்தில் விகிதமுறு குறிகாட்டியின் வரைவிலக்கணத்தின்படி
f(a) = e
11——J. N. B 66342 (6/57)

Page 114
280 தூயகணித மூலகங்கள்
விகிதமுறக் குறிகாட்டிக்கு ஆரம்ப அட்சரகணிதத்தில் வரைவிலக்கணங் கூறப்படவில்லை. ஆகவே a விகிதமுருப்போது e” இற்கு நாம் ஒரு விளக்கமுங் கொடுக்க முடியாது. ஆனல், கருதப்பட்ட முடிவில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையான f(a) ஆனது, a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற் கும், விகிதமுறுவனவோ, விகிதமுருதனவோ திட்டமான கருத்தொன்று டையாதாகும்.
.. 2 விகிதமுருதபோது
8*=f(a) என வரைவிலக்கணங்கூறுகின்றேம்.
f(a) Xf(a) = f(a + a) எனுந் தொடர்பிலிருந்து, 2, 3 விகித முருதபோதும்
a. 2 m్మ+?
e" x 6"= e' எனப் பெறுகின்றேம். அவ்வாறக 2 யாதுமொரு
உண்மை எண்ணுயின்
*一 ...十冠十 .......... + + + 1 = عe
e" ஆனது a இன் அடுக்குக் குறிச் சார்பென்று சொல்லப்படும்.
a > 0 ஆயின், தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நேரானதாகும்.
. a > 0 ஆயின் e">1.
,ை a என்பன a > 0 ஆயுள்ள இரு உண்மை எண்களாகுக.
ஆயின் a = a + b இங்கு had 0
... 8 = 6 = e Xe
h > 0 காரணமாக e"> 1 ;
21 இன்னும் e * >0
・ g">g" a ஆனது சகல உண்மைப் பெறுமானங்களூடாகவும் அதிகரித்துக் கொண்டு போக 8* ஆனது ஒழுங்காக அதிகரித்துக் கொண்டுபோகும்.
a > 0 ஆயின், e">3 .'.. ac —> co-gju5l6ö7, e* --> cxo
1 سے °e سے * a * x a
.. 3->COஆயின், e-*=志→0
அதாவது 2-> - co ஆயின், e*->0

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 28.
y = e" இன் வரைப்படம்.
2 இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் g> 0.
.. வரைக்கோடு முழுவதும் a அச்சின்மேலே உள்ளதாகும்.
a அதிகரிக்க g அதிகரிக்கும். ", வளைகோடானது a அச்சின் நேர்திசையில ஒழுங்காக எறிக்கொண்டு
செல்லும். 3-> - coஆயின், g->0
a அச்சின் எதிர்ப்பாகமானது வளைகோட்டிற்கு ஓர் அணுகுகோடாகும்.
a->COஆயின், g-> co
.. வளைகோடானது எல்லையில்லாது எறிக்கொண்டு போகும்.
வகையீட்டுக் குணகம்
f(a) = e* ஆயின்
1 - "e.چه=*f(a +h)-f(ae) =_e"""-e
h - - - - - -
elo - 1 Th h
瓦干=赢L击十玩十.........
1h , 1hᎸ , hᎸ =1十新十新十聶十...
= 1 -- h gis (h)

Page 115
282
தூயகணித மூலகங்கள்
1 h. ha ர்ெ P - - - - . . . . . . . . . . இங்கே தி(h) 五十5す石十・・・
1 h h2 |A| < agusir, 1 h (ð)| < + G + R
1++ a y 8 a Q y 0 a +5+5+ ܓܵ>ܐ
ー五コー2 " |b| < ஆயின் |i)(i)|<2l|
0 ج- (h b (h|| 667 (کلاله 0 ج- h .
", h ->0 ஆயின்,
h
1 جن
a இன் யாதுமோர் நிலைத்த பெறுமானத்திற்கு h ->0 ஆயின்
و .(2) h) - J-||||||- مه)J
h
", a இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் e* வகையிடக் கூடியதாகும். இன்னும் அது தானே தனது வகையீட்டுக் குணகமாகும் தனிப்பண்பை
யுடையதாகும்.
எனவே
نام سن ۲۱ مه ، d G ܝ̈ܣ { ”GB) -ܝܒ 孟°
உதாரணம் :
6Ꮱ0ᏧᎧᏈr
2 ஐக்குறித்து 8 " ஐ வகையிடுக.
ഞ56്f
u = சைன் a எனவும் g = e எனவும் இடுக.
d ஆயின் g = e", 学=e
s
dи
d d d
999. 0:_678672 கோசை a
dat du ` dae

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 283
மடக்கைச் சார்பு. வரைவிலக்கணம்.
a = e' ஆயின் g = logo அடுக்குக் குறிச் சார்புப் பண்புகளிலிருந்து, நாம் காண்பது:- (i) a > 0 ஆயிருக்கும்பொழுது மட்டுமே og 2 ஆனது வரை யறையுடைத்தாகும். அது ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பு
(i) 3 நேர் பெறுமானத்தைக் கொண்டு அதிகரிக்க 0ர  ைஒழுங்காக அதிகரிக்கின்றது.
(iii) ac —> + 0 gyw50aöt, log ac -->-- co (iv) ac -> oxo ஆயின், log a -> co (v) log 1 = 0, 0 < ac < 1 gyw526ö7 log ac <0, ac > 1. --gu576öt log ac > 0
X, X என்பன நேராயின், log XX= log X +log X
y = log a எனவும் g = log 2 எனவுமாகுக.
ஆயின் = والأع = 2 والأع
-- * مخ"1مخe = ہینہ ...
". log (acc) = y + y = log ac + log ac
p ஆனது ஒரு விகிதமுறு எண்ணுயின், X> 0 ஆயிருக்கும்போது
log (x)=p log X.
n ஒரு முழு நேரெண்ணுகுக. இன்னும் 2,2, . . . . . . . . . . . . a என்பன m நேரெண்களாகுக. ኦ ←፡
ஆயின் log (acata . . . . . . . . an.)
s= log *十 log (ages . . . . . . a)
= log a" -+- log ac3 -+ log (a*3a'a . . , . . . ar)
LSLLL LL0L LLLLLL 0L L 0L L 0LL LSL LSL LLLLL LLLL SSLL LLLL LLLL LSL LSL 0LL L S LSL LSL LLLL LLLL LL LL LLL LLLL LSL SLL LSSLL LSL S SLL 0L LLLLLLLLSLL LLLL LL LLL LLL LLLL LSLLLSL LSL
N= log ar -- log ara -- log ara -- . . . . . . -- log ar

Page 116
284 துtயகணித மூலகங்கள்
.Ea == 3a • • • • • • =a = 0 என வைத்துக்கொள்க == 9ة
ஆயின் log (a") = n log a
m ஆனது -70 இற்குச் சமானமான ஒரு முழு எதிரெண்ணுகுக. ஆயின் ஐ" x a = 1
... log (a")-- log (a") = 0
... log (a)" = -log (a")
ஆனல் 70 முழு நேரெண்ணுனமையின் 0ர (a") = 0. log a
... log (at") = - n log ac = m log at.
Άρ =ஆகுக. இங்கே m, n என்பன, 7 நேராகவுள்ள, இரு
முழு எண்களாகுக.
.sزgy = a P = a"/"* g(g
ஆயின் g =ar
log (y) = log (ac")
... m. log y = m. log at.
log g=log a:= p. log a.
.". log (at") = p. log at.
p விகிதமுருத போதும் a > 0 ஆனபோதும் 2? இன் விளக்கம்
ற விகிதமுறுபோதும் ல>0 ஆனபோதும்,
log (ac*”) = p. log ac
... a? – eplog e" ஆனது p விகிதமுறதபோதும் கருத்துடையது.
.. p விகிதமுறதபோது a?=e?" என வரை விலக்கணங் கூறு கின்றேம். விகிதமுறு குறிகாட்டுகளுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகளும் விகிதமுறக் குறிகாட்டிகளுக்கும் பொருந்துவனவாகும்.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 285
p யாதுமொரு எண்ணுயின், விகிதமுறு எண்ணுயினென்ன விகிதமுற எண்ணுயினென்ன,
به آP = e0 loo
.". log at” = p log at.
あ?×ag=6?sogz×eglogz
)1( ......p +qہے= p +%t) log x) ہے۔ (?)-e (log a P)
-ep a log at
)2( ...... . . . . . . . . . . . . . " نه =
(ac g)P== eP log (ty)-ep (log a+logy)
log jy القوي لا نام p logے
= acoXyo...... . . . . . . . . (3)
வகையீட்டுக்குணகம்
y = log a gyg55.
இங்கே a > 0
ஆயின் a=e’
dat
- - മ’ -
高ー* 42 ܡܣܒܗ
dy 1
dat ac
அதாவது a > 0 ஆகவிருக்கும்போது,
3<0 ஆகுக, ஆயின்
d I dae (loga) = ... (A)
log (-ac) உளதாகும்.
g = log (-2) உம் u = -20 உம் ஆகுக'. ஆயின் g = 0ர 2., a > 0
dy l du u. dy dy, du diuda T 2
a < 0 ஆயிருக்கையில்
"(-)- LS S SLLLLSS S S LLS SLLS SLLS SYS S SLS SLS ... (B)

Page 117
286 தூயகணித மூலகங்கள்க
(4) இலும் (B) இலும் இருந்து, ல#0 ஆயிருக்க
αι
உதாரணம் : (1)
2 ஐக்குறித்து
g = log (a + தான்?a) ஐ வகையிடுக. y = log (a + தான்?a) எனவும் u = a + தான்* a எனவும் ஆகுக.
фуušl6ӧї y= log и.
dy_dy du
= (2a + 2 தான் a சிக*a)
_2+2தான் 2 சீக 2 2+தான்? 2 ‘
உதாரணம் : (2).
p ஆனது a இற் சாராததும் விகிதமுறததுமான ஒரு எண்ணுயின்
a ஐக் குறித்து ? ஐ வகையிடுக.
a?- e? log x.
d (P) = epilog * x.
da.
Άρ =a;"×キー= p.a”丁1 27x p.a.
உதாரணம் : (3)
a > 0 ஆயிருக்க 2 ஐக் குறித்து 2” ஐ வகையிடுக.
همهٔ قlo = نه
d 2;
a log at. da: (+log )
= α" (1--ιοg α)

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 287
யாதேனும் அடிக்குரிய மடக்க்ை.
g = log a என எழுதும்போது, பொதுவாக அம்மடக்கையானது 8 எனும் அடியையே கொண்டது எனக் கருதப்படும்.
d இன்னும் d (log எனும் பெறுபேறு அப்படிப்பட்டவகைகளில் மட்டுமே பொருந்துவதாகும்.
மடக்கைகள் யாதும் அடிகளைக் குறித்து வரைவிலக்கணங் கூறப்படுதல் கூடும்.
2 உம் d உம் a = a* எனவாகவுள்ள இரு நேரெண்களாகுக. ஆயின்
p = loga log,r இற்கும் log,a இற்குமிடையேயுள்ள ஒரு எளிய தொடர்பானது பின்வருமாறு சுலபமாகப் பெறப்படும் :-
log, ac = log, (a°) = p loq,a
| log at log a
அதாவது loga =
குறிப்பாக og03 = CE
Ο
". அடி 8 ஆகவுள்ள மடக்கைகள் தெரியுமானல், அடி 10 ஆகவுள்ள மடக்கைகள் கணிக்கப்படலாம்.
தொகையிடுதல்.
a ஆனது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்
d eሜ፰ Զ: ಫಿ( ) 三B
ax x O O. J dz = +0

Page 118
288 தூயகணித மூலகங்கள்
a ஒரு மாறிலியாயின் 3 + a 40 ஆயிருக்கும்போது
d de (logi+ a =
dae
= log + a -- O
f(a) ஆனது பூச்சியமல்லாது, 20 இன் வகையிடக்கூடிய ஒரு சார்பாயின்
d 益alfe)|一元高f("
.lo O = پJ"(2).aa] .. *J雳器* gf(a) +
உதாரணம் :-
2 2a | d= | dz,
=ήιου (α'+1)+0
6ᏡᏯj6ör 2:
|57812.d2 = Tகோசை :
= -log |கோசைa |+0
கோதா.க் =[:de
ᎧᏡᏯᏠ6Ꮱr Ꮖ .
= log 605667 a -- O
உதாரணம் :-
சைன் a + கோசை a என்னுந் தொகையீட்டைக்
2 கோசை 2 + 3 சைன் a கணிக்க
d (2 கோசை a + 3 சைன் a) da
= -2 சைன் a + 3 கோசை a சைன் a + கோசை a = p (2 கோசை 2 + 3 சைன் a)
+ g (-2 சைன் 2 + 3 கோசைa)

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 289
எனவாயிருக்கக்கூடியதாக நாம் p, q எனும் மாறிலிகளைத் தேர்தல்
கூடும்.
சைன் 2 இனதும் கோசை  ைஇனதுங் குணகங்களை வெவ்வேருகச் சமன் படுத்த
l=2p -- 3g
. . . 1 p is P=正。 913.
சைன் a + கோசை ை
ட்J 2 கோச ைa + 3 சைன் 0
-瑞+ 1. ಗಾ॰o}ಟೆ?
13 2 கோசை 2 + 3 சைன் 0
da
=2+log|2 கோசை2+3 சைன் |+0
பகுதிகளாய்த் தொகையிடுதல்.
a, ) என்பன 2 இன் வகையிடக்கூடிய சார்புகளாயின்
d dy dи
(0) =“赢十”菇
dy du Ju. dx=uy sv dx.
பகுதிகளாய்த் தொகையிடும் முறைக்கு இதுவே சூத்திரமாகும்.
உதாரணம் :-
(1)
f a கோசை a da என்னுந் தொகையீட்டைக்கணிக்க
% = 3 எனவும், 器 = கோசைல எனவும். இடுக.

Page 119
290 தூயகணித மூலகங்கள்
9= சைன் a என எடுத்துக்கொள்வோம்.
ஆயின்
[:"Generg : dat = at 600&F6ôr ac - sensist z dz
= a சைன் a + கோசை a + 0.
(2) e"சைன் a da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க
α αυ .. 2 = e", -- = சைன் a அல்லது
dac
g = - கோச்ை a எனவும் எடுத்துக்கொள்க.
எனவே 6095F667 ar dat
.)e Genef * +[^ கோசை a da. . . . . . . . . . . . (l - است.
இப்போது e கோசை a da இற்கு சூத்திரத்தைப் பாவிக்க.
e G825 sto03.a. dat 一J*岩 (605-6öt ac) dat
2
= e? சைன் a 一円 60)5F6ö7 ac dat: (2).
.. (1) இலும் (2) இலுமிருந்து.
சைன் a da = - e* கோசை a+& சைன் a
-Je 600éᎨᎶᏡᎢ g: d4" . .. 2.je சைன் a da = e" (சைன் a - கோசைa)
2 ・ f eo 606ôr a da =(சைன் 2-கோகை at).

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 291
மாறி மாற்றப்படல்.
f(a) = தி' (a) ஆயின், (f (α) αα = φ (α)
2 ஐ நாம் வேறெரு மாறி t இன் வகையிடத்தக்க சார்பாகக் கூறுவோ மாயின், தி (2) உம் f(x) உம் t இன் சார்புகளாகக் கூறப்படல் கூடும்.
dq_dgba da - da 蓋=蓋×蓋=f(x)#
da - φω)=rω) : dι
இவ்விடத்தில்
...f - () ஐ இன் பேரில் கூறியதன்பின் ஐக் குறித்துத் தொகை
யிடல் செய்யப்படும்.
.. ίωdo = τω) ಕೈತು.
உதாரணம் (1)
a -- 1 v(a + 1) V(a + 1) = h அல்லது 3 + 1 = ? எனும் பிரதியீட்டை தெரிந்து கொள்க.
da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க
da ஆயின், 瓦= 2.
... (t) d = je- + 2t di.
V(ac ---) t
一j°一°+°á
t5 23 = 2 - - - - -2t
(-警+)
_ら「(z+1)封_2(x+1)。 =2|| 5 20 + 2 (+1)+0.

Page 120
292 தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணம் (2)
a ஒரு நேர் மாறிலியாகவிருக்க.
.da இனது பெறுமானத்தைக் கணிக்க قچ - va2|
a = a சைன் t என இடுக இங்கே மாறி ஆனது - இற்கும் இற்கும் இடையேயுளதாயிருக்
கும் வண்ணம் வரையறை செய்யப்பட்டுளது. எனவே a ஆனது -a இற்கும் a இற்குமிடையே மாறுகின்றது. 2 இன் மறு பெறு மானங்களைப் பற்றிய பிரச்சனை நமக்கு இப்போது தேவையில்லை.
Va2-02 நேராயிருப்பதாலும் t ஆனது - இற்கும் இற்குமிடையிலி ருக்கும்போது கோசை t நேராயிருப்பதாலும், Va2-a2= a கோசை b.
- d .. јvao - a da = fa கோசை d
= கோசை?t d
2 = (1 + கோசை 2) de
2 சைன் 2t - (+ 2 )+0
2
= (+ சைன் கோசை)+0
02 ീ ? -- = 6056r"+vā-2 + C
அப்பியாசங்கள்.
1. p யாதுமொரு மாறிலியாக, مه ج. له ஆயின ?e"->0 எனக் காட்டுக.
தரப்பட, ற இலும் கூடியதாகவுள்ள 7 எனும் ஒரு முழு நேரெண்ணை நாம் துணிதல் கூடும்.
霹 20> 0 ஆயிருக்க, లో>
7,
man n * 0 < acP e *<若]

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 293
2. 3-> + 0 ஆயின் 20ரa->0 எனக் காட்டுக. (அப். (1) இலிருந்து உய்த்தறிக)
3. (1-2)? e" ஒரு உயர்வையும் ஒரு இழிவையும் உடையதெனக் காட்டுக. a இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் சார்பின் மாற்றமுறுதல்களை வரைக.
4. 30 ஐக் குறித்து e" சைன் 3 இனது n ஆவது பெறுதி
2*12 ஜூசைன் (z + P) எனக் காட்டுக.
5. p ஒரு நேர் மாறிலியாயின், குறித்ததோர் எல்லைக்கு மேல் 2 அதிகரிக்க (loga)/a? ஆனது குறையுமெனக் காட்டுக.
6. A, B என்பன 2 இன் தொடர்பில்லாதனவாக,
33 A. B 22 + 3 + i 2+ i + 1
எனும் உருவத்திற் குறிப்பிடு முறையாக, 2 ஐக் குறித்து 21 - 3 + قيم இனது தொகையீட்டைக் காண்க.
7. பின்வரும் சார்புகளை a ஐக் குறித்து தொகையிடுக
. e۶ مb) tam - 1 ag (c) a) تa) logy a)
8. மாறிகளை இசைவான முறையில் மாற்றியமைப்பிடு முறையால் பின்வரும் சார்புகளைத் தொகையிடுக.
கோசை a iter (a) (2+ சைன் 2) (b) e "'ga'a (c) (loga)la.
9. t = தான் எனும் பிரதியீட்டால் கோசே 2 ஐயும் சீக 2 ஐயும் a ஐக்
குறித்துத் தொகையீடு செய்க.
10. 5--4 கோசை 0 8ցավԼԸ 4 + 5 கோசை ை g3 அதே பிரதியீட்டைப் பிரயோகிக்க.
யும் தொகையீடுசெய்ய
11. t = சைன் a எனும் பிரதியீட்டால் கோசை90 ஐயும்
=தான்  ைஎனும் பிரதியீட்டால் சீக 2 ஐயும் தொகையிடுக.

Page 121

அட்சர கணிதம்

Page 122

அத்தியாயம் 1
பல்லுறுப்புச் சார்பு. 10 என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், a c , a . . a, என்பன மாரு மெய்யெண்களாயும், a என்பது மாறும் ஒரெண்ணுயும் இருந்தால், a,a"+ aa"+ . . --C, என்பது m என்னும்படியுள்ள 2 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பு எனப்படும். a,0) + a என்னும் வடிவான முதலாம்படியிலுள்ள பல்லுறுப்புச் சார்பு 2 இன் ஒரு படிச் சார்பு எனப்படும். n ஒரு படிச் சார்புகளின் பெருக்கம் m என்னும்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அவ் 70 ஒரு படிச்சார்புகள் ஒவ்வொன்றும் இப் பல்லுறுப்புச் சார்பின் ஒரு காரணியாகும். f(a) என்பது a இனது தந்த ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயும் 2-0 என்பது a இனது தந்த ஓர் ஒருபடிச்சார்பாயும் இருந்தால், 2-0 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாய் இருக்கலாம் அன்றி ஆகாதுவிடலாம். எவ்வகையிலும், 30 ஐச் சார்ாத ஒரு மீதியைப் பெறும்வரைக்கும் f(a) என்பதை 3-0 என்பதாலே நாம் வகுக்கலாம். 3-0 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி அல்லது ஒரு காரணி யன்று என்பதற்கேற்ப மீதி பூச்சியமாகும் அல்லது பூச்சியமன்றகும்.
மீதித்தேற்றம். 2 என்னு மாறியின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பு f(a) என்பது 0 - a என்பதால் 2 ஐச் சாராத மீதி ஒன்று பெறப்படும்வரைக்கும் வகுக்கப்பட்டால், இம்மீதி f(a) என்பதற்குச் . சமன் , இங்கு f(a) என்பது f(a) இல் a=0 எனப் பிரதியிடப்பெறப்படும் பெறுமானத்தைக் குறிக்கும்.
பெறப்படும் ஈவு 2 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அதனை தி (a) என்பதாற் குறிக்க ; B என்பது அம்மீதியாகுக. ஆயின்,
f(a) = (ac — a) qb(æ) -- R.
அவ்விரு கோவைகளுஞ் சர்வசமன். a = 0 எனப் பிரதியிட நாம் பெறுவது
f(a) = 0Xqb (a) + R = R.
a-a என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாயின், f(a) = 0 ; மறுதலையாக, f(a) = 0 எனின், (c-d) என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி யாகும்.
297

Page 123
298 தூயகணித மூலகங்கள்
(உ-ம்). a - ?-2 + 1 என்பதன் காரணிகளைக் காண்க. அச்சார்பு 20 இன் மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அதனை f(a) என்பதனற் குறிச்க.
.. j (1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0. .. 2-1 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி. .f( - 1) = -1 - 1 -- 1 -- 1 = 0
.. 3 + 1 என்பதும் f(a) இன் ஒரு காரணி.
". (0-1) (a + 1) என்பது ஒரு காரணி. இக்காரணி இரண்டாம் படியில் உள்ளது. ஆகவே, அச்சார்பிற்கு 3 இன் முதலாம் படியிலுள்ள வேருெரு காரணியும் இருத்தல் வேண்டும். a, b என்பது 2 ஐச் சாராவாயின், அது aa + b என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
if (at) == (ac - 1) (ac + 1) (aac + b). 2 ஐச் சாராத உறுப்பு இடப்பக்கத்தில் + 1 ஆயும், வலப் பக்கத்தில் -ம் ஆயும் இருக்கின்றது.
... b = -1. இரு பக்கங்களிலும் 0° இன் குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது a = 1 என்பது.
...". ac* - ac* - ac + 1 = (ac - 1)* (ac + 1).
பல மாறிகளினுடைய பல்லுறுப்புச் சார்புகள்.
p, q என்பன நேர்முழு வெண்களாய் அன்றிப் பூச்சியமாய் இருக்க, a என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருந்தால், aa g என்னும் வடிவிலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை a, g என்னு மாறிகளின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். உதாரணமாக, 2ay-5ag + g -20 என்பது a, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார் பாகும். a, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்புச்சார்பில் யாதுமோர் உறுப்பிலுள்ள 2, g என்பனவற்றின்படிகளின் கூட்டுத் தொகை ஒரே யளவினதாய் 10 இற்குச் சமனய் இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புச் சார்பு ஓரினமான தென்றும் m என்னும் படியுள்ள தென்றுங் கூறப்படும். உதாரணமாக, ag-3ag?-5g" என்பது 2, g என்பனவற்றில் 3 ஆம் படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புச் சார்பெனப்படும்.
a, ழ என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பானது 20, y என்பன ஒன்றுக் கொன்றக மாற்றப்படும்பொழுது மாறதிருந்தால், அது சமச் சீரானது எனப்படும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 299
ag + ag2+ 2 + 2று என்பது a, g என்பனவற்றிற் சமச்சீரானது ; அதற்குக் காரணம் 2 என்பதை g ஆலும் g என்பதை a ஆலும் இடம் பெயர்க்க முந்திய சார்போடு ஒன்ருகிய g + ga + 2g + 23 என்னுஞ் சார்பேபெறப்படும் என்பது.
அதுபோல, மூன்று மாறிகளையாதல், மூன்றின் மேற்பட்ட மாறிகளை யாதல் கொண்ட ஓரினச் சார்புகள் வரையறுக்கப்படலாம்.
p + g + r என்பது மாறது n இற்குச் சமனுகுமாறு, p, g, r என்பன நேர்முழு வெண்களாயாதல் பூச்சியமாயாதல் இருந்தால், aa?g"2" என்னும் வடிவத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை 2, g, 2 என்பனவற்றில் m என்னும் படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புச்சார்பெனப்படும்.
a என்பது g ஐயும், g என்பது 2 ஐயும், 2 என்பது 0 ஐயும் இடம் பெயர்க்கும்பொழுது மாறது, 2, g, 2 என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல் லுறுப்புச்சார்பு 2, g, 2 என்பனவற்றில் வட்டச் சமச்சீரில் இருக்கின்ற தெனப்படும்.
உதாரணங்கள் 1. ஃ(g-2) + g^(2-a) + 2(a-g) என்பதன் பல்லு றுப்புக்காரணிகளைக் காண்க.
3 = y ஆகும்பொழுது, அக்கோவை பூச்சியமாகும்.
அக்கோவை 2 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயிருத்தலால், a-g
என்பது அதன் காரணிகளுள் ஒன்று என்பது மீதித்தேற்றத்தாற் பெறப் படும். s
அதுபோல 2-2 என்பதும் ஒரு காரணியாகும்.
.. (a-g) (0-2) என்பது ஒரு காரணி.
இக்காரணி 2 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை; தந்த கோவையும் 2 இல் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை. ஆகவே, வேறு யாதும் காரணி 2 ஐச் சாராதிருத்தல் வேண்டும். தந்த கோவையில் ஃ இன் குணகம் g -2 ; (a-g) (2-2) இல் a இன் குணகம் 1.
.. a"(yー2)+3"(zー2)十2"(2ー3y)=(yー2)(rー3y)(2ーz)
、 =ー(rーy)(y一2)(zーr)

Page 124
300 தூயகணித மூலகங்கள்
2. 0° (g-2) + g^3 (2-2) + 2° (0 -g) என்பதன் பல்லுறுப்புக் காரணி களைக் காண்க.
அக்கோவையை 2 இலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை எனக்கொண்டு முன்போல் (a-g) (0-2) என்பது ஒரு காரணி எனப் பெறுகின்ருேம். தந்த கோவை 30 இலே மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை ; a* இன் குணகம் y-Z ஆகும். -
ஆகவே, p என்பது y, z என்பனவற்றைச் சார்ந்தோ சாராமலோ இருந்து 2 ஐச் சாராதாயின், அக்கோவைக்கு (y -2) (a + p) என்னும் வடிவிலுள்ள வேறெரு காரணி இருத்தல் வேண்டும்.
.. தந்த கோவை = (a-g) (y - 2) (2-2) (3+p):
தந்தகோவை, a, y, z என்பனவற்றிலே நாலாம்படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புக் கோவையாய் 2, g, 2 என்பனவற்றில் வட்டச்சமச்சீரில் உள்ளது.
அன்றியும், (0-g) (y - 2) (0-2) என்பது a, y, z என்பனவற்றில் வட்டச் சமச்சீரில் உள்ளது. V
(a + p) என்னுங் காரணியும் 2, y, z என்பனவற்றிலே சமச்சீரில் இருத்தல் வேண்டும். p = g + 2 ஆயினுற்றன், இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்படும்.
a"(yー2ルー+ y"(zーa)十2"(2ー3)
三ー(cーy)(yー2)(zーz)(2ー+3/ー+2).
8. a + g + 28-3ayz என்பதன் பல்லுறுப்புக் காரணிகளைக்காண்க.
a = - (g + 2) எனின், அக்கோவை
— (y + z)* + y* + z* +- 3yz (y + 2) = 0 gay(5Lh. .. 3 + g + 2 என்பது ஒரு காரணி. தந்த கோவை 2, y, z என்பனவற்றிலே மூன்றம் படியிலுள்ள ஓரின வட்டச் சமச்சீர்ப்பல்லுறுப்புக் கோவை.
a + g + 2 என்னுங் காரணியும் a, y, z என்பனவற்றிலே முதலாம்படி யிலுள்ள ஓரின வட்டச் சமச்சீர்ப்பல்லுறுப்புக் கோவை.
ஆகவே, a, g, 2 என்பனவற்றில் ஓரின வட்டச் சமச்சீர்க்காரணி வேறென்று இருத்தல் வேண்டும்; இக்காரணி இரண்டாம் படியில் இருத்தல் வேண்டும். ஆகவே, அது ܝ ܀
A (a” –y*+ z*) + B (ry + yz + zz)

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 30
என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். .". ato -- yo -- zo - 3axyz = (ac -- y -- z) A (ato -- yo -- zoo)-1-B (acy -- yz -- zac)].
a* இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
A = 1. எனவும் *g இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
4 + B= 0 எனவும் பெறப்படும்.
... B = -1. *... ai*+ y*+2* -3ay2 = (ac + y + z) (ac*+- y*+ 2* - acy - y2 - 2ac). A,B என்பனவற்றைத் துணிதற்கு ஒத்த குணகங்களைச் சமன்படுத்தற்குப் பதிலாக, பின்வருமாறுஞ் செய்யலாம்.
2, y, z என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அவ் விருகோவைகளுஞ் சமனுகும்.
2= 1, y = 1, 2 = 0 என்றுபிரதியிட நாம் பெறுவது 2 = 2 [2A -- B) 95 TGA ugi 2A -- B = 1. a = 1, g = 0, 2 = 0 எனப்பிரதியிட 1 = A.
... B = - 1
a + y + z?-ary –yz-zac = ((a - y) + (y-z)* + (z-a)) ஒவ்வொரு வர்க்கமும் பூச்சியமாயினுற்றன் மூன்று வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாகலாம். -
.. 0= y = 2 ஆயினுற்ருன், ?-- g + a*-3g -g2 -20 என்பது பூச்சிய மாகும் ; வேறு நிபந்தனைகளில் அது நேராகும்.
..". ag +- y +- z > 0 6T6of}60jT, ac8 -+- g8 -+- 28 > 3agg2. a + g + 2 < 0 எனின், a* + g + 28 <3ag2.
பயிற்சி 1. பின்வருவனவற்றினுடைய காரணிகளைக் காண்க- :
.4 -+- 5a2 -+- 8ag -+- 3 نi) a) (ii) (ac -+- gy —+— z)* — at* — gy°— 2*. (iii) (ac -- y) (y -- 2) (z -- ac) -- acy2. (iv) (ac - y)o-- (y — z)*--(z - ac)o.
.9(ac --y) 28 -+- 3 رgy -- 2)3 +-g/8 (2 -- ac) 3 مv) a) .(2/a2 -g) 28 -+ (* مg/3 - 22) -+ g3(22 -- a) 8 مvi) a)

Page 125
302 தூயகணித மூலகங்கள்
2. f(a) என்பது இரண்டாம் படியிலாதல் அதன் மேற்பட்ட படியி லாதல் உள்ள 2 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயிருக்க, a, b என்பன சமனில்லாத எண்களாயின், f(a) என்பது (2-a)(a-b) என்பதால் வகுக்கப்படும்போது பெறப்படுமீதி
ac-b 22ー仇 f(a) --f(b) - எனபது எனக்காட்டுக.
முழுவெண்கள் 9 ஆலாதல் 11 ஆலாதல் வகுபடுதன்மை.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணெனின், a"-a" என்பது 2 இல் n என்னும்படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும் ; a= ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
a - a என்பது a"-a" இன் ஒரு காரணியாகும். அதாவது, (a-a) தி(a)=a"-0" ஆகுமாறு n-1 என்னும்படியிலுள்ள தி (a) என்னும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உண்டு.
a" என்பது எளிதாக + . . . . . . -+۔ 8- "مa2 a + 2- "مaa + 1- "مb(a) == a வாய்ப்புப் பார்க்கப்படலாம்.
a=1 எனக்கொள்க.
" - 1 = ( - 1) (' + '"' + . . . . + 1),
2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் இது உணமையாகும்
2=10 எனப் பிரதியிட, n இனுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10-1 என்பது 10-1 அாதவது 9 ஆல் என்றும் வகுபடும் எனக் காண்கின்ருேம்.
இனி, m என்பது ஒர் ஒற்றை நேர்முழு வெண்ணுயின், a= -0 ஆகும் பொழுது a"+ a" என்பது பூச்சியமாகும்.
.Ꮙ. Ꮨ2 -Ꮠ- Ꮊ என்பது " + " என்பதன் ஒரு காரணியாகும்;
மற்றைக்காரணி a"1-aa"2+ a2a"78+...+a" என்பது.
a = 1, a = 10 என எடுக்க, 10' + 1 என்னு முழுவெண் n 969)60Lu ஒற்றை நேர் முழு வெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்றேம்.

அட்ச்ரகணிதம் அத்தியாயம் 1 303
m என்பது ஓர் இரட்டை நேர் முழு வெண்ணெனின், =ை -d ஆகும் பொழுது a"-a" என்பது பூச்சியமாகும்.
, 30+ a என்பது a"-a" என்பதன் ஒரு காரணியாகும். ; மற்றைக் дѣтл600ћ х”"1 — ах”"?-+- . . . . . . -a" என்பது.
a = 1, 2= 10 என எடுக்க 10"-1 என்னு முழுவெண் n இனுடைய இரட்டை நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+ அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்றேம்.
ஒரு நேர்முழு வெண்ணினுடைய இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 9 ஆல் வகுபடு மெனின், அவ்வெண் 9 ஆல் வகுபடும்.
அலகின் இடத்திலிருந்து ஒழுங்காக எடுக்கப்பட்ட அம்முழுவெண்ணி னுடைய இலக்கங்கள், a, b, c, d, . . . . . . என்பன ஆகுக.
N என்பது அம்முழுவெண்ணுயின்,
7Ꮃ= Ꮊ -+- 10b -+- 10*Ꮄ -Ꮋ- 10*d -+- ..... S என்பது அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாயின்,
As = a -- b -- c --d-- O ... N-S = (10-1)b -- (10-1) c-- (108-1) d--... .. N-S என்பது 10-1 ஆல் அதாவது 9 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின், S என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும் ; S என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின் N என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும். வேறு வகையாகச் சொல்லப்புகின், N என்பது 9 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனையானது S என்பது 9 ஆல் வகுபட வேண்டும் என்பதே.
ஒரு நேர் முழுவெண்ணில், ஒற்றையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கும் இரட்டையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குமுள்ள வித்தியாசம் 11 ஆல் வகுபடுமெனின், அவ்வெண் 11 ஆல் வகுபடும்.
முன்போல, N = a + 10b +10°c + 103d-+ . D என்பது மேற்கூடிய வித்தியாசமாயின்
D = a -b-c-d-- ... g(g)5. gyu.565, N-D = (10+ 1) b -- (10-1) c -- (108--1) d--... .. N-D என்பது 10 + 1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 11 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை D ஆனது 11 ஆல் வகுபடவேண்டும் என்பதே.

Page 126
304 தூயகணித மூலகங்கள்
30 இல் m என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை வேறுவேறன a இனுடைய n பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
அப்பல்லுறுப்புக்கோவை
a, a + a a" + ... + a ஆகுக'. இங்கு a, 40.
 ைஇனுடைய a, a2, .a, என்னும் வேறு வேறன 10 பெறுமானங் களுக்கு அது பூச்சியமாகின்றதெனக் கொள்க.
ஆயின், (0-a), (0-a). (3-0) என்பன அப்பல்லுறுப்புக் கோவையினுடைய காரணிகளாகும்.
". அவற்றின் பெருக்கம் (c-d) (3 - a) ... (a-a) என்பது ஒரு காரணி யாகும். இப்பெருக்கமே 2 இல் 70 என்னும்படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப் புக் கோவையாயிருத்தலால், ஆரம்பத்திலே தந்த பல்லுறுப் புக்கோவையின் வேறு யாதுங் காரணி 2 ஐச்சாராது இருத்தல் வேண்டும்.
2" இனுடைய குணகங்களை ஒப்பிட நாம்பெறுவது
a, ac" + a ac"* + ... + a = a... (ac — a') (ac - ac)... (ac - an). a, 40 ஆயிருத்தலால், வலப்பக்கத்திலுள்ள கோவை a, a2, . an என்பனவல்லாத a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாது. a, a"+ aa" + ... + a, என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவை வேறு
வேருண a இனுடைய n பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியாமாகாது.
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை a இன்யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாதிருக்கலாம். அது 2 இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்கு பூச்சியமாகுமெனின், 20 இனுடைய அத்தகைப் பெறுமானங்களி னுடைய தொகை அப்பல்லுறுப்புக் கோவையின் படியைக் குறிக்குமுழு வெண்ணை அதிகரிக்காதென்றே நிறுவியுள்ளோம்.
2 இல் m என்னும்படியுள்ள இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் a இனு டைய வேறுவேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேலாக ஒன்றுக்கொன்று சமணுயின், அக் கோவைகள் சர்வசமணுதல் வேண்டும்.
அவ்விரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
αο α" -+-αι α" Γ + ... + αι., b, a + b, a" + ... + b என்பன ஆகுக. (T* -+- ...-+ (an-bn"مa-ba) a) + "مif (a) = (a, -- b,)a

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 305
என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவையை ஆராய்க.
a,-6, 7ம் 0 எனின், இப்பல்லுறுப்புக்கோவை 2 இனுடைய வேறு வேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
ஆகவே, தந்த இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளும் 2 இனுடைய வேறு வேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்கு ஒன்றுக்கொன்று சமனயின், a-b= 0.
ஆயின், f(a) என்பது (a-b) a" + ... (a,-b) என்பதாக ஒடுங்கும். 4-ம் 40 எனின் இப்பல்லுறுப்புக் கோவை 2 இனுடைய வேறு வேருன (n-1) பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப்பூச்சியமாகாது.
.". а. — bi = 0
அதுபோல, a-b= 0; இவ்வாறே பிறவும்.
ஈற்றில் a-b = 0.
.. தந்த இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் ஒன்றுக் கொன்று சர்வசமன்
(உ. ம்). a, b, c என்பன சமனிலிகளாயின்,
a' (a - b) (a - c) b” (a - c) (a - a) c (a - a) (c-b)
(a-b) (a - c) (b - c) (b — а) (c. - a) (c-b) -
6T60Tai SriLGBs.
வலப்பக்கத்தில் உள்ள கோவை  ைஇல் 2 ஆம்படியையுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ; அவ்வாறே இடப்பக்கத்திலுள்ள கோவையும்,
a = a ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், 0° இற்கு ஒடுங்கும் ; a = b ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், 6° இற்கு ஒடுங்கும் ; a = c ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும் 0° இற்கு ஒடுங்கும். அதாவது, அப்பல்லுறுப்புக் கோவைகள் 2 இனுடைய வேறுவேருன இரு பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குச் சமன்.
". அவை சர்வசமணதல் வேண்டும்.

Page 127
306 தூயகணித மூலகங்கள். - - - - - ܐ ܕ -- --ܫ ܗܝ - ܫ- ܢ . ۔۔۔ ۔۔۔۔۔۔ ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ - • இருபடிச் சமன்பாடு
a 40 ஆக, aa + bx + c என்பது a இல் இரண்டாம் படியையுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகுக.
இப்பல்லுறுப்புக் கோவை 2 இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்குப் பூச்சியமாகலாம், அன்றிப் பூச்சியமாகாது விடலாம். அப்பல்லுறுப் புக் கோவை பூச்சியமாகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானம் யாதேனும் உண்டெனில் அது aa + bx +c = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் எனப்படும். இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2 இனுடைய பெறு மானங்கள் உண்டெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய் யானவை எனக் கூறுவோம். அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2 இன்பெறு மானம் யாதொன்றும் இல்லையெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் கற்பனையானவை எனக் கூறுவோம். s ή
அச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் உண்டோ எனத் துணிதற்கு நிறை
வர்க்கமாக்கல் என்னு முறையை வழங்குவோம்.
aato -- bac -- e =[aaهږ + abat + ca]
BY" b - 4ac =(r+) T 4
あ\2 2(a +) =2 ಥೂ. ஆகும்பொழுது azo+bx + c = 0.
வகை 1. 62-4ac> 0 ஆகுக. V(62-4ac) என்பது 62-4ac என்பத னுடைய நேர்வர்க்கமூலத்தைக் குறித்தால், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் a இனுடைய பெறுமானங்கள் உண்டு ; அவை
ᎺᏘ: -+- =士 v0-4)4ae), அதாவது, 2=一午——一— b+ y(b°—4ao),
2a. என்பதாலே தரப்படும்.
இவ்வண்ணம் b?-4ac> 0 ஆகும்பொழுது,
— b —+= V/(b°— 4ac) — b — V(b°— 4ac) . .
2a. 2a
என்னும் இரண்டு மெய் மூலங்கள் உண்டு.
சிறப்பாக, a, c என்பனவற்றிற்கு இரு முரண் குறிகள் இருந்தால் அச்சமன்பாட்டிற்கு இரு மெய் மூலங்கள் உண்டு.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 307
வகை I. b?-4ac = 0 ஆகுக.
ஆயின், அச்சமன்பாடு,
b\2 (ar -- = 0,
2 அதாவது (+鐵) = 0 என்பதாகும்.
இச்சமன்பாடு
(+2)(+)-0.
Gö T60 எழுதப்படலாமாதலின், அச்சமன்பாட்டிற்கு ஒவ்வொன்றும் 丁丞
இற்குச் சமனன இரு பொருந்து மூலங்கள் உண்டு எனப்படும்.
SausnæG III. b?-4ac < 0 ஆகுக.
ஆயின், ஒர் எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்க் குறியோடு பொருந்தாதாகலான்,
b\2 h2(a +3) = * என்னுஞ் சமன்பாடு 2 இன் யாதும் ஒரு பெறு
மானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
ஆகவே, b?-400 < 0 ஆகும்பொழுது அவ்விருபடிச்சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் யாதுமில்லை.
அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களினது தன்மையைப்பற்றி வேறு பிரித்து அறிதற்குத் துணைசெய்யும் 6-400 என்னுங் கணியம் தன்மைகாட்டி எனப்படும்.
மூலங்களுக்குங் குணகங்களுக்குமுள்ள தொடர்புகள்.
aa + bx + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருண அல்லது பொருந்துகின்ற a, 8 என்னு மெய் மூலங்கள் இருக்க.
a = a ஆகும்பொழுதும் a = 8 ஆகும்பொழுதும் aa + bx + c என்னும் பல்லுறுப்புக்கோவை பூச்சியமாகும்.
.. (a-a) (-8) என்பது அப்பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு காரணி யாகும்.
・ aa"+ bz十c=a(zーa)(zー6).

Page 128
308 தூயகணித மூலகங்கள்
இருகோவைகளிலுங் 2 இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது
b = a ( - a -8).
மாருத உறுப்புக்களைச் சமன்படுத்த,
c = aaß.
a+8=---இன்குலகம்.
aT 2 இன்குணகம்
aß -- மாருவுறுப்பு
4 ல? இன்குணகம்
உதாரணங்கள்
(1). o, 8 என்பன aa2+ ba + c = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டினுடைய மூலங்களாயின், a,b,c என்பனவற்றில்,
(i) a + B,
(i) a + 8 ஐக் காண்க.
b C a+B=一説 αβ =
". 83+قه = )a +8)3-2a8 = -%.
0.
(82+ Qg -- قQ8 + 83 = (d+ 8)(o
= (a +B) [(a + 8)*-3a8]
ο Γο 3ο =-部器-器
(2) a, 8 என்பன aa2+bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயிருக்க, a + 1, 8+1 என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
1. , b என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச்சமன்பாட்டைக்

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 309
வேண்டிய சமன்பாடு ? +ற0 + g = 0 ஆயின்,
s -P=aェ五十戸 ՔֆԱվԼԸ,
1= +18+1 ஆயுமிருக்கும்
b - + --- °十日十°_= 一蒿十2 a + 1 B+1 ab+a+B+ 1 (b. a Taf -b+2a c - b -- a
石下了石下丐下高下古下瓦下五下二百下石” .. வேண்டிய சமன்பாடு,
(c-b + d) ஃ-- (b -2a) a + a = 0 என்பது.
வேறெருவழி பின்வருமாறு :-
a என்பதை மாறியாக வழங்குதற்குப் பதிலாக, அம்மாறியைக் குறிப்பதற்கு வேறுயாதும் எழுத்தை நாம் வழங்கலாம். 3 = 0 ஆகும் பொழுதும் a = 8 ஆகும்பொழுதும் aa + bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படுமாயின், g = a ஆகும்பொழுதும் g = 8 ஆகும் பொழுதும் ag2 + bg + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
எனப் பிரத்தியிடுகின்ருேமெனக் கொள்க:
y=2 --l
l . o ၿဖုlf, 2=0 ஆகும்பொழுது, g= ェ五; *ー 8 ஆகும்பொழுது y-B - i.
2 bg + c = a)-1( + b (-1)+c + منa
_物”(一ó十9)十9(b二°士°
y
ஃ. a = a ஆதல் 8 ஆதலாயிருக்கும்பொழுது aa + ba + 0 என்பது பூச்சியமாகுமெனின், g = - - ஆதல் B - 1 ஆதலாயிருக்கும் பொழுது
α -- 1 g'(c-b + d) + g (b -20) + a என்பது பூச்சியமாகும். g என்பது மாறி
o ❖፡ uTuSaöt, α + 1 β + 1 என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச் சமன்பாடு
y (c-b-a)+y (b-2a) + a = 0 என்பது.
莎

Page 129
310 தூயகணித மூலகங்கள்
(3) a, b, ம், , m, ', m' என்பன 2, g என்பனவற்றைச் சாராமலி (15&šas ho > ab GT60f6ÖT, aato -- 2hary -- bylo 6T6ð7 g (la -- my) (l'at -- m'y) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படலாம் எனக் காட்டுக.
2hag + by = g(2ha + bg) ஆதலால், a என்பது பூச்சியமெனின் முடிபு வெளிப்படை.
a என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
aa' + 2bay – by*= (aoxo+ 2ahay+ aby)
(aa -- hy)*-- (h* - ab) yo)
[(aa -- hy)*—poyo), Q9QĚJGg5 p = v/(h* - ab)
= (ax + hy + py) (ar + hy -py)
= (lac -- my) (lac -- m'y).
பயிற்சி 1. a, b, c என்பன தரப்பட்ட எண்களாயின்,
(a-b)(2-0) + (n-c) (a-a) + (a-a)(a-b) = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் உண்டெனக் காட்டுக ; a, b, c என்னும் எண்களுள் இரண்டாயினுஞ் சமனிலிகளாயின், அம்மூலங்கள் வேறு வேருனவை என்றுங் காட்டுக. S.
2. இைன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும் a + இ என்பது - 2,2
என்பனவற்றிற்கு இடையில் யாதும் ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்கா தெனக் காட்டுக.
3. a,8 என்பன aa2+bx+c= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயின், a2,82 என்பனவற்றை மூலங்களாகவுள்ள இரு படிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
4. a-ba + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் இருக்க C+1>b>2 ஆயின், ஒவ்வொரு மூலமும் 1 இலும். பெரிதாகமெனக் காட்டுக.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 逻垒7
உயர்வுப் பெறுமானமும் இழிவுப் பெறுமானமும்.
f(a) ஆனது a இன் ஓர் ஒற்றைப்பெறுமானச் சார்பாகுக. a-b, a + 6 என்பனவற்றிற்கு இடையில் a அல்லாத 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் f(a)f(a) ஆகுமாறு, 6 என்பதைக் காண்போமாயின், a = a என்பதில் f(a) ஆனது இழிவுப் பெறுமா னத்தை அடையுமெனப்படும்.
அல்லது, a என்னும் பெறுமானத்தை உள்ளடக்கிய 3 இனுடைய பெறுமானங்களின் ஓர் இடையை அவ்விடைக்குள்ளேயுள்ள ᏘᏋ இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில் f(a) ஆனது தன் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தை அடையுமாறு காண்போமாயின், f(a) ஆனது a = 0 என்பதில் இழிவுப்பெறுமானம் உள்ளது.
உயர்வு, இழிவு என்பனவற்றைப் பற்றிய இவ்வரைவிலக்கணங்களால், ஒரு சார்பிற்கு ஒன்றின்மேற்பட்ட உயர்வும் ஒன்றின்மேற்பட்ட இழிவும் இருக்கலாமென்பது தெளிவு. அதற்கு உயர்வாதல் இழிவாதல் எங்காயி னும் இல்லாதும் விடலாம். உதாரணமாக, 0 என்பது மெய்ப்பெறுமானங் கள் எல்லாவற்றிற்குமூடாகக்கூட, உறுதியாகக் கூடும் ஒரு சார்பிற்கு உயர்வாதல், இழிவாதல் இல்லை.
f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வு இருந்தால், 2 இனு டைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில் f (3) ஆனது தன் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தை அடையுமென்பது பெறப்படாது. f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் இழிவு இருந்தால், 20 இனுடைய பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில், f(a) ஆனது தன் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தை அடையுமென்பது பெறப்படாது. f(a) இன் ஓர் உயர்வுப்பெறுமானம் a இனுடைய பெறுமானங்களின் வரைவுபடுத்தப் பட்ட ஒர் வீச்சிற்குள்ளே மாத்திரமுள்ள f(a) இன் மிகப்பெரிய பெறு மானம் ; f(a) இன் ஒர் இழிவுப் பெறுமானம் a இனுடைய பெறுமா னங்களின் வரைவுபடுத்தப்பட்ட ஒர் வீச்சிற்குள்ளே மாத்திரமுள்ள f (3) இன் மிகச் சிறிய பெறுமானம்.
10—-J. N. IB 66342 (6157)

Page 130
248 தூயகணித மூலகங்கள்
f'(a) என்பது உண்டெனின், a = a என்பதில் உயர்வாதல் இழிவாதல்
இருத்தற்குத் தேவையான நிபந்தனை f'(c) = 0 என்பதே.
அதாவது, f'() என்பதற்கு இருப்பு இருக்க, f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் இருந்தால், f'(a) = 0.
f'(a) > 0 எனக் கொள்க.
ஆயின், h இன் எண்பெறுமானம் போதிய சிறு நேர்க்கணியம் ஒன்றி லுந் சிறியதாயிருக்கும்போது,
h > 0 எனின், f(a + b) >f(a), h < 0 6T60faii, f(a -- h) < f(a).
f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வு இருந்தால், முதலாந் சமனிலி உண்மையாகாது ; f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் இழிவு இருந்தால், இரண்டாஞ்சமனிலி உண்மையாகாது.
ஆகவே, f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வாதல் இழிவாதல் உண்டெனின், f'(a) என்பது நேராகாது. அதுபோல, அது எதிராகாது. ஆகவே, அதற்கு இருப்பு உண்டெனின், அது பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
f'(a) என்பதற்கு இருப்பு இருந்தாற்றன் அது பூச்சியமாகும் என்பது நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும். f'(a) என்பதற்கு இருப்பு இல்லாத போதிலும் a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் இருக்கலாம். உதாரணமாக, f(a) = a = (a)? என்பதை எடுக்க.
a 40 ஆகும்பொழுது, f(a) > 0, f(0) = 0.
ஆகவே, -6, 6 என்பனவற்றிற்கு இடையில் இைனுடைய பெறுமானங்களின் * யாதுமொரு வீச்சில், f(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதிலே மிகச் சிறிய பெறு மானம் உண்டு. ஆகவே, a = 0 என்பதில் f(a) என்பது இழிவு ; ஆனல், * ஆனது a = 0 என்பதில் வகையிடத்தகாதது என இதற்கு முன் கண் டுள்ளோம். f(a) என்பது - a என எடுக்கப்பட்டால், f'(0) என்பதற்கு இருப்பு இல்லையெனினும், f(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதில் ஒர் உயர்வு உண்டு. எனின், * a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் இருத்தற்குத் தேவையான நிபந்தனை f'(a) = 0 என்னுங் கூற்று உண்மையன்று. f'(a) என்பதற்கு இருப்பு இருந்தாற்றன் அது உண்மையாகும்.
இனி, 2 = a என்பதில் ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் இருத்தற்கு இந் நிபந்தனை போதியதன்று. அதாவது, f'(a) = 0 எனின், a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் உண்டு என்பது பெறப்படாது.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 249
உதாரணமாக, f(a) = (a-a)* என்பதை எடுக்க.
a = a ஆகும்பொழுது, f(a) = 0. a < 0 ஆகும்பொழுது, f(a) <0. a > 0 ஆகும்பொழுது, f(a) > 0.
ஆகவே, a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஓர் உயர்வாதல், இழிவாதல் இல்லை.
ஆனல், a = a ஆகும்பொழுது f'(a) = 3 (c-d) = 0. .. f'(c) = 0 எனின், a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வாதல், இழிவாதல் உண்டென்று கூறல் இயலாது.
உயர்விழிவுகள் இருத்தற்குப் போதிய நிபந்தனைகள்.
f'(a) இற்கு ஒரு புள்ளியில் இருப்பு இல்லாதபோதிலும் f(a) இற்கு அப்புள்ளியில் ஒர் உயர்வாதல் இழிவாதல் இருக்கலாமென்று கண்டுள் ளோம். இப்போது, a இற்கு அண்மையிலுள்ள 20 இனுடைய பெறுமா னங்களுக்கு f (2) இனது நடத்தையில், a = a என்பதில் f(a) ஆனது அடையும் ஒர் உயர்வுக்காதல் இழிவுக்காதல் போதிய நிபந்தனைகளைக் கொடுப்போம்.
f(a) ஆதனது 2 - a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாக, a -6  0 ஆகவும், a  0 ஆகவும்,
இருக்குமாறு 6 என்னும் ஒரு நேர்க் கணியத்தைக்காண முடியு மாயின், f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஓர் உயர்வு உண்டு.
a ஆனது (a-b, a) என்னும் வீச்சிற்கூட, f(a) என்பது உறுதி யாகக் கூடிப் பின்னர் 2 ஆனது (a, a + S) என்னும் வீச்சிற்கூட, அது உறுதியாகக் குறையும் என்பதே அதற்குக் காரணம்.
எனவே, 0-6, a + b என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு f(a) இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் 0 = க என்பதிற்பெறப்படும்.
f(a) ஆனது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாக, G-6 0 -ạgö6ìịủh

Page 131
250 "தூயகணித மூலகங்கள்
இருக்குமாறு 0 இலும் பெரிதாய் 6 ஐக் காண முடியுமாயின், f(a) என்பதற்கு 3 = a என்பதில் ஒர் இழிவு உண்டு.
 ைஆனது (0 - 6, 0) என்பதிற்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக்
குறைந்து, பின்னர் 2 ஆனது (a, a + b) என்பதிற் கூட, அது உறுதியாகக் கூடும் என்பதே அதற்குக் காரணம்.
எனவே, 0-6, a + b என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனுடைய பெறு மானங்களுக்கு f(x) இன் மிகச் சிறிய பெறுமானம் 0 = a என்பதிற் பெறப்படும். -
f'(2) இற்கு a - 6 0
. a < 1 ஆகும்பொழுது, f'(x) > 0
l < a. < ஆகும்பொழுது, f'()ை > 0,
6 ll < 2 < 2 ஆகும்பொழுது, f'()ை <0,
>ை2 ஆகும்பொழுது, f'(2) > 0.
.. 3 = 1 ஆகும்பொழுது f(a) என்பது ஒர் உயர்வாகவாதல் ஒர் இழிவாகவாதல் இராது.
16 a = ஆகும்பொழுது, f(a) என்பது உயர்வாகும்.
2 = 2 ஆகும்பொழுது, f(a) என்பது இழிவாகும்.
a ஆனது யாதுமோர் எதிர்ப்பெறுமானத்திலிருந்து இற்குக்கூட,
ஆனது இலிருந்து 2 இற்குக்கூட, -
f(a) ஆனது உறுதியாகக் குறையும் ; 2 ஆனது 2 இலிருந்துகூட
if (a) ஆனது உறுதியாகக் கூடும்.

Page 132
252 தூயகணித மூலகங்கள்
V5 2 3 ஆனது பூச்சியமல்லாததாயிருக்கும்போதுf(a) = 21 ( 2) ( -- ()་
V 5 2\6 a இன் எண்பெறுமானம் மிகப் பெரிதாயிருக்கும்போது, ( -) ( -)
ஆனது 1 இற்கு மிக்க அண்ணளவாகச் சமனகும்.
... a –> OO 2yé5, f(a) → Oo;
a->– oo 2yéb, f(a) → – Co.
j (1) = 0 = j (2), f(0) = -2 பின்னர் g =f(a) இன் வரைப்படத்தின் வடிவு பெறப்படுகின்றது ;
அவ்வளைகோட்டிற்கு, ஒன்று முதலாங் கால்வட்டத்திலும் மற்றையது மூன்றங் கால்வட்டத்திலுமாக இரண்டு முடிவில் கிளைகள் உண்டு.
2
f'(a) ஆனது “ a என்னும்
Y புள்ளியிலுள்ள அவ்வளைகோட்டின் Α சாய்வு விகிதத்தைத் தருகின்
16 றமையால், 20=1, III” 2 என்பன வற்றிலுள்ள அவ்வளைகோட்டி னுடைய தொடுகோடுகள் எல்லாம் Ο x 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரம். a=1,
2 என்பனவற்றில் 3 அச்சே தொடுகோடாகும் a = 1 என்பதில், அவ்வளைகோட்டிற்கு விசேடமான
ஒரு பண்புண்டு. அது தொடு புள்ளியிலே தொடுகோட்டைக் குறுக்காகக் கடந்து தொடு
கோட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றைப் பக்கத்திற்குச் செல்லும். ஒரு வளைகோட்டின் மீதுள்ள அத்தகைப் புள்ளி அவ்வளைகோட்டின் மீதுள்ள வளைவு மாற்றப்புள்ளி எனப்படும்.
(உ-ம்) 2. 2 இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
| -- என்னுஞ் சார்பினது நடத்தையைத் தொடர்ந்து காண்க.
:
al if(a) = l -- a ஆகுக'.
a = -1 ஆகும்பொழுது f(a) என்பதற்கு இருப்பில்லை. 20 இனுடைய மற்றைப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அது தொடர்ச்சியுள்ளது ;
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 253
ஆஞல், அது =ை 0 என்பதில் வகையிடத்தக்கதன்று. 3 இனுடைய மற்றைப் பெறுமானங்களுக்கு f (2) என்பதற்கு இருப்புண்டு.
-2 3- (2 鲁 ??"ה .f'(x) = ಕ್ಲಿಯಾ"* 2 (ll. -- ac) -3ac
(2 + 1) بھ23 (ar +- 1) تھ3:(ہم + 1) می + 1 f'(a) இன்குறி அல்லது என்பதன் குறியோடு ஒன்றகும்
.. 0 0 0, -1 என்பனவற்றைத் தவிர 2 இனுடைய பிறபெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் f'(a) <0.
அதாவது a <-1 எனின், f'(a) <0,
- 1  0, a > 2 எனின், f'(a) <0. .. f(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதில் ஓர் இழிவும் 2 = 2 என்பதில்
ஒர் உயர்வும் இருக்கும். '. 20 ஆனது -1 இலுஞ் சிறிய எதிர்ப்பெறுமானங்களுக்கூடாகக்
கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையும். .co ج|(f'(a | وق العه 1 - ج - به
ac -> — 1 — O gbɛ, f(at) -> - oxo. 20 ஆனது -1, 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையும்.
", 3-1 + 0 ஆக, f(x)->CO. a ஆனது 0 இலிருந்து 2 இற்குச் கூட f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடும். a ஆனது 2 இற்கு அப்பாற் கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையும். 240 ஆகும்பொழுது, |2|->ంం శ్రీట్, அதாவது 30->CO ஆக, அல்லது 3-> - COஆக, l --- մ(c) = -a0 جــد فن.
+1

Page 133
254 தூயகணித மூலகங்கள்
பின்னர் g =f (a) என்னும் வரைப்படத்தின் வடிவு பெறப்படுகின்றது.
அவ்வளைகோட்டிற்கு 2 = 2 என்பதில் 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான தொடுகோடு உண்டு.
ar --> - 0 ga, f' (ac) -> - oxo, .oxo حس- (ge};&5, f’ (a 0 -+- ج- ag
ஆகவே, ஒவ்வொரு கிளை யும் உற்பத்தித்தானத்தில் g அச்சைத்தொடுகின்ற இரு கிளைகள் அவ்வளைகோட்டிற்கு உண்டு. -1 இலும் பெரிய 2 இன்பெறுமானங்களுக்கு, f(a) என்பதற்கு 2 = 2 என் பதில் ஒர் உயர்வு இருந்த போதிலும், அதற்கு மிகப் பெரிய பெறுமானம் இல்லை. 0 இலும் பெரிய 2 இன் பெறுமானங் களுக்கு 3 = 2 ஆகும்பொழுது மிகப்பெரியபெறுமானம் பெறப்படும்.
t Y
ہ2ءfiںٹا سے
X
O
2.
(உ-ம்) 3. 0, 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனுடைய பெறு
AO * 6Ꮱ0ᏪᎭ6ᏑᎢ Ꮖ . . . மானங்களுக்கு -C-- இனது நடத்தையைத் தொடர்ந்து காண்க.
* : 2 + கோசைன
f () = என்பதற்கு இருப்பு உண்டு; அது 2 இனுடைய
பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வகையிடப்படத்தக்கது.
f'(a) = கோசை a (2 + கோசை a) - சைன் 0(-சைன் 3)
(2+ கோசை a)?
_1 + 2 கோசை a
(2+ கோசை2)?
2T 47t கோசை a = -5ஆகும்பொழுது, அதாவது, 2 = ஏ, ஓ ஆகும பொழுது
f'(a) = 0.
 

ger
நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 255
கோசை 0 என்பது 3 ஆனது 0 இலிருந்து 7 இற்கு கூட உறுதியாகக் குறைந்து பின்னர் 2 ஆனது 7 இலிருந்து 2ா இற்குக்கூட உறுதியாகக்
கூடும்.
2ገr − sa A * ・ 0 < a  0;
;0< )3( ff; என்பதில் f> => ;ޑް
等<<27 என்பதில் f'(c) > 0.
". f(x) என்பதற்கு 2 = ལྷོ་ என்பதில் ஒர் உயர்வும் a = என்பதில் ஓர் இழிவும் உண்டு.
2 a. f(a) என்பது a ஆனது 0 இலிருந்து இற்கு கூட உறுதியாகக்
27r . 4ገr ፖs . கூடிப் பின்னர் 2 ஆனது TT இலிருந்து 3. இற்கு கூட உறுதியாகக்
4 குறைந்து அதன்பின்னர் 2 ஆனது 掌 இலிருந்து 2ா இற்கு கூட உறுதி யாகக் கூடும்.
if (0) = 0 = f (r) = f (2n); f(a)=3, = -f(a).
60)3FGöf O.
a = r + a ஆகும்பொழுது, f (3) = - - 2 - கோசை a
a - nGouT s a) - ?' " எ-a ஆகும ழுது, f(a) 2-கோசை a
ஆகவே, a = 0, 30 =ா Y என்பனவற்றிற்கு இடையே g = f(a) என்னும் வரைப்ப 2ں حhپہ டத்தின் பகுதி 0 = 7, 20 = 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையேயு O 丛亚 而 豆 エ ×
3
ள்ள பகுதியின் வடிவின - தாகும் ; ஆனல் அவ்விரு સ્પ્રિીમ பகுதிகளும் 2 அச்சி னுடைய
எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும்.

Page 134
256 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி 1. 2(a + 1) என்பதன் உயர் விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க. 2 = -1, a = 1 என்பனவற்றிற்கு இடையில் அச்சார்பின் மிகப் பெரிய பெறுமானத்தைக் காண்க.
a 2. (? - 1) என்னுஞ் சார்பிற்கு ஒர் உயர்வும் ஓர் இழிவும் உண்டு எனக் காட்டுக ; 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உயர்வுப் பெறுமானம் அச்சார்பின் மிகப் பெரிய பெறுமானமென்றும் இழிவுப் பெறுமானம் அதன் மிகச் சிறிய பெறுமானமென்றுங் காட்டுக.
3 (1 - a)2)2 என்னுஞ் சார்பிற்கு ஒர் உயர்வு உண்டென்றும் இழிவுயாதும்
இல்லையென்றுங் காட்டுக ; அன்றியும், அச்சார்பு 20 இனுடைய மூன்று வேறு
வேருண பெறுமானங்களுக்கு - இலுங் குறைந்த ஒவ்வொரு பெறு
மானத்தையும், 2 இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கு மாத்திரம் -芋 இலுங்
கூடிய ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் எடுக்கு மென்றுங் காட்டுக.
4. என்னுஞ் சார்பு 2 ஆனது -1 இலிருந்து1 இற்குக்கூடும்பொழுது கூடி அதன் பின்னர் வேறு யாதும் வீச்சில் 2 கூடக் குறையுமென்று காட்டுக அச்சார்பின் உயர் விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க. அதன் வரைப் படத்தையும் வரைக.
5. 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் என்பத
acனுடைய நடத்தையைத் துணிக. அச்சார்பிற்கு ஒர் உயர்வும் ஒர் இழிவும் உண்டென்றும், இழிவுப் பெறுமானம் உயர்வுப் பெறுமானத்திலும் பெரி தென்றுங் காட்டுக. அன்றியும், அச்சார்பானது 2 இனது ஒரு பெறு மானத்திற்கு மாத்திரம் உயர் விழிவுப் பெறுமானங்களுக்கு இடையே யுள்ள ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் எடுக்குமென்றும், இழிவுப் பெறு மானத்திலும் பெரிய அல்லது உயர்வுப் பெறுமானத்திலுஞ் சிறிய யாது மொரு பெறுமானம் அச்சார்பினல் 2 இனுடைய வேறு வேறன மூன்று பெறுமானங்களுக்கு அடையப்படுமென்றுங் காட்டுக.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 257
6. 0, 1ா என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 ஆனது கூட சைன் ல கோசை83 என்பது உறுதியாகக் குறைகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க. 3 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அச்சார்பு
3 - 3 - T 16 V3, 16 w/3 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
7. கோசை 2 V(சைன் 2a) என்பதற்கு a = 0, 0 = T என்பனவற்றிற்கு இடையில் ஓர் உயர்வு உண்டென்று காட்டுக ; இவ்வீச்சிற்குள் அச்சார் பினுடைய மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையும் மிகச்சிறிய பெறுமானத் தையுங் காண்க.
8. இரு சமபக்கமுக்கோணமொன்று தந்த ஒரு வட்டத்திற்கு உள்ளுருவமாக வரையப்பட்டுள்ளது. அம்முக்கோணஞ் சமபக்க முக்கோண மாகும்பொழுது, அம்முக்கோணத்தின் சுற்றளவு மிகப் பெரிதாகுமென் றும் அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு மிகப் பெரிதாகுமென்றுங் காட்டுக.
9. இரு சமபக்க முக்கோணமொன்று r என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்திற்குச் சுற்றுருவமாக வரையப்பட்டுள்ளது. சமபக்கங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணம் 29 எனின், 2 = சைன் 8 ஆக, சுற்றளவின்
4r) (1 + ar) ac? (l - ac)
முக்கோணமாகும் பொழுது சுற்றளவு மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக.
வருக்கம் எனக் காட்டுக. இதிலிருந்து அம்முக்கோணஞ் சமபக்க
10. OX OY, என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள இரண்டு நிலையான கோல்கள். P0 என்பது OY என்பதை வெட்டாது OX என்பதற்குச் சமாந்தரமாய் OY இலிருந்து தன்முனை P ஓரலகுத் தூரத்திலிருக்குமாறு (XOY என்னுங் கோணத்திலுள்ள) வேருெரு கோல். 8 அலகு நீளமுள்ள AB என்னும் இயங்கத்தக்க ஒரு கோலானது 07 இன் மீது முனை A உம், OX, P2 என்பனவற்றிற்கு இடையிலே முனை B உம் இருக் கத்தொடக்கத்தில் APBஎன்னு நிலையில் உள்ளது. அது Y0என்பதனுடைய நீளத்திற்கு A ஆனது வழுக்குமாறும் அக்கோலின் யாதுமொரு புள்ளி P ஐத் தொட்டுக்கொண்டிருக்குமாறும் இயக்கப்படுகின்றது. P9, OX என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள தூரம் 3V 3 இலும் பெரிதாயின், B என்னுமுனை 0X என்பதை ஒரு பருவத்திலும் தொடாதெனக் காட்டுக.
11, 8 அடி அகலமான ஒரு தெருவிலிருந்து அதனைச் செங்கோணங்களிற் சந்திக்கும் வேறெரு தெருவிற்கு 27 அடி நீளமான ஒரு சட்டங் கிடை நிலையிற் கொண்டு செல்லப்பட வேண்டியதாயிற்று. இரண்டாந் தெருவின் அகலம் 5V5 அடியிலுங் கூடினுலன்றி இது முடியாது எனக் காட்டுக.

Page 135
258 தூயகணித மூலகங்கள்
12. ஒரு நேர்வட்ட வுருளை இலும் பெரிதான 9 என்னும் அரை
யுச்சிக்கோணமுடைய ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பிற்குள்ளே அவ்வுருளையினது தளமுனைகளுள் ஒன்று அக்கூம்பின் அடியைத் தொடுமாறும், மற்றைத் தளமுனையின் பரிதி அக்கூம்பின் வளே மேற்பரப்பைத் தொடுமாறும் உள்ளுருவமாக வரையப்பட்டுள்ளது. அவ்வுருளேயின் கனவளவு அக்கூம்
4. பின் கனவளவின் 9 88 அதிகரிக்காதென்று காட்டுக.
முதலிரு வரிசைகளின் வகையீட்டுக்குணகங்களில் உயர் விழிவுகளுக்குப்
போதிய நிபந்தனைகள்
வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பினுடைய உயர்விழிவுப் பெறுமானங்கள் அச் சார்பின் முதலாம் வகையீட்டுக் குணகத்தின் குறிமாற்றத்தை ஆராய் வதால் எவ்வாறு பெறப்படலாமெனக் கண்டுள்ளோம். 2 ஆனது a என்னும் ஒரு பெறுமானத்திற்கூடாக f'(a) = 0 ஆகும்படி செல்ல f (2) இன் குறிமாற்றம், f'(a) என்பது பூச்சியமன்றெனின், f'(c) இன் குறியை ஆராய்வதாலே துணியப்படக்கூடும்.
f'(a) = 0 என்றும் f'(a) > 0 என்றுங் கொள்க. தி (2) =f(a) எனப் பிரதியிடுக; ஆயின், が”(x)=f”(a)。 (b (a) = 0, b (a) > 0. தி (0) > 0 ஆயிருத்தலால், a -  நி() ஆகுமாறும், k என்னும் ஒரு நேரெண்ணை நாம் காணல் கூடும், அதாவது a -b  0. .. f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் இழிவு உண்டு.
f'(a) = 0 ஆயும், f'(a) > 0 ஆயுமிருந்தால், f(a) இற்கு z = a என்பதில் ஓர் இழிவு உண்டு.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 3 259
அதுபோல f'(a) = 0 ஆயும் f'(c) < 0 ஆயுமிருந்தால் f(p) இற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வு உண்டு.
இச்சோதனைகள் அறிமுறை நோக்கத்தையே பற்றியன. செய்முறையில் அவை மிக்க இசைவானவையல்ல. அவை இருமுறை வகையிடுதலைக் கொண்டுள்ளன ; இன்னும், இரண்டாம் வகையீட்டுக் குணகமும் ஆராயப் படும் புள்ளியிற் பூச்சியமாயின், அவை யாதொன்றையுந் , துண்சியா, f'(c) = 0 ஆயும், f'(c) = 0 ஆயுமிருந்தால், 2 = 0 என்பதில் f(a) இனது நடத்தையைப்பற்றி யாதொன்றுங் கூறமுடியாது. அது ஒர் உயர்வாயிருக்கலாம் அன்றி ஓர் இழிவாய் இருக்கலாம், அன்றி. உயர் விழிவுகளின்றியுமிருக்கலாம்.

Page 136
அத்தியாயம் 4
தொகையிடல்
குறித்த ஒரு வீச்சில் எல்லா 2 இற்கும் தி'(a) =f(a) ஆகுமாறு தி (a)
என்பது 2 இன் ஒரு சார்பாயின், அவ்வீச்சில் தி(a) என்பதை f(a) இன் தொகையீடு எனக் கூறுகின்றேம் ; அதனை
φ(α) = jf(a) da என எழுதுகின்றேம்.
f(a) என்பது தரப்பட்டால் தி(a) என்பதைக் காணுஞ் செய்கை தொகை
யிடல் எனப்படும் ; f(a) என்பது தொகையிடப்படுஞ் சார்பு எனப்படும்.
f(a) என்பது a 

Page 137
262 தூயகணித மூலகங்கள்
2. எல்லா 2 இற்கும் (சைன் a) = கோசை .ை
|கோசை x dx= 60.56ö X -- C. பொதுவாக, a என்பது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்,
|கோசை ax dx= ၈:#;ax -- C.
3. எல்லா 2 இற்கும் (-கோசை a) = சைன்.ை
|சைன் x dx = - Gisitsons x -- C. பொதுவாக, a என்பது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்,
கோசை ax
|சைன் ax dx= — -- C.
4. a என்பது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது,
de (தான் a)=சிகளே.
இன் ஒற்றை மடங்கு உட்படாத  ைஇனுடைய பெறுமானங் களுள் யாதுமொரு வீச்சில்,
sਝ dx=5 TGöTX -- C.
5. 2 என்பது n இன் மடங்கல்லாபொழுது,
d (3 கோசே2 da (-கோதா c) = கோசே22.
. T இன் மடங்கு உட்படாத 2 இனுடைய பெறுமானங்களுள் யாதுமொரு வீச்சில்,
jG++GJ* x dx = - GasTg5T x - C.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4 263.
6, ac என்பது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது,
d dat (சீக 0) - சீகa தான் 2.
. இன் ஒற்றை மடங்குட்படாத  ைஇன் யாதுமொரு வீச்சில்,
jအ+x grait x dx= gas x -- C
7. 2 என்பது r இன் மடங்கல்லாதபோது,
d dar (-கோசேa) = கோசே a கோதா .ை
ா இன் மடங்கு உட்படாத 3 இன் யாதுமொரு வீச்சில்,
jGarG= x GasIg5T xdx= - GasTG3 x- C.
8. -1

Page 138
264 தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணங்கள்.
(1) N604F6ö7°a da = i (1 - கோசை 2a)da)
La_சைன் 2a: -- O
2 4
2 3. 1. -l J. Va.
5. 皇 l =器a“十错a°十2°十C
(3) தான்றே da = - 1) dac
== g5 TGöt ac - ac + C. (4) 60)öF6öTat 603F6ö72a da = i (கோசை a - கோசை3a) da)
=瑟 (၈zeir# gong @ဖူး ܀( -- O.
வரையறுத்த தொகையீடு.
f(a) என்பது a 

Page 139
266 தூயகணித மூலகங்கள்
பரப்புகளுக்குப் பிரயோகம்.
f(a) என்பது a  0 ஆக, оның Ровко, .. h -> 0 ஆக, F(z+h)-f(e)
ーre)+学→f()
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4 267
ஆகவே, " (a) என்பது உண்டு ; அது f(a) இற்குச் சமன்.
P0 என்னும் வில் P இலிருந்து இெற்கு உறுதியாக எருத பொழுதினும் இம்முடிபு முன்போல நிறுவப்படலாம்.
ஆகவே, F (a) என்பது f(a) இன் ஒரு தொகையீடு.
P, P என்பன a, a (a> 2) என்னுங் கிடைத்தூரங்களுடைய அவ்வளைகோட்டின் மீதுள்ள இரண்டு புள்ளிகளாயின், P. P என்னும் வில்லாலும் P. P என்பனவற்றிலுள்ள நிலைத்தூரங்களாலும், 2 அச்சா லும் அமைக்கப்படும் பரப்பு F (2) - (a) ஆகும்.
ஆகவே, அவ்வளைகோட்டாலும் a = a, a = b என்னு நிலைத்துரங்
களாலும் a அச்சாலும் அமைக்கப்படும் பரப்பு
b F(b)-F(a)=f'(z) dr.
. . .
இனி, AB என்னும் வளைகோடு a = a, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையில் a அச்சிற்குக் கீழே முழுவதும் حر கிடக்கின்றதெனக் கொள்க. ஆயின், Y 8 a = a, a = b என்பனவற்றிக்கு இடையிலுள்ள g= -f(a) என்னும் வளைகோடு 2 அச்சின்மீது முன்னைய தாகிய வளைகோட்டினது திருத்தமா கிய பிம்பம் 4'B' ஆகும்.
AB என்னும் வில்லாலும் 2=0, 2= 6 என்னுங் கோடுகளாலும் a அச்சாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்பு A B' என்னும் வில்லாலும் a = a, a = b என்னுங் கோடுகளாலும் a அச்சாலுஞ் சிறையாக்கப் படும் . பரப்பிற்குச் சமன்.
". பரப்பு= J. -f(ac) dar = αα.

Page 140
268
தூயகணித மூலகங்கள்
இனி, c என்பது a, b என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஓர் எணணு
Y.
A
N
C 与ー× Ο K
;>< =
B
யிருக்க அவ்வளைகோடு 0 = 3,
Զ7 = Շ என்பனவற்றிற்கு இடையில் 20 அச்சிற்கு மேலேயும் 3 = 0, a = b என்பனவற்றி
ற்கு இடையில் 2 அச்சிற்குக்
கீழேயுங் கிடப்பதாகக் கொள்க. AK, BL என்பன ஈற்றிலு
ள்ள நிலைத்தூரங்களாயின்,
LTÜL AOK = f(a) dat,
பரப்பு CBL = - f(a) dac.
b .. பரப்பு ACK+ பரப்பு CBD = f(a)de f(a) da.
C
C b இது J. if (at) dar -- f(a) da என்பதற்குச் சமனன
b
f(a) da என்பதனேடு ஒன்ருகாது.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருவளைகோடுகளாற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பு
g = f(a), g=f(a) என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வளைகோடுகளினுடைய சமன்பாடுகளாகுக. a = b என்பன இரண்டு அடுத்துவரும் வெட்டுப்புள்ளிகளாகுக.
என்னும் வளைகோடு g=f(a) என்னும் வளைகோட்டிற்கு மேலே இவ்விரு புள்ளிகளுக்கு இடையிற்கிடக்க. இவ்விரு புள்ளிகளுக்கிடையிலுள்ள வளைகோடுகள் a அச்சிற்கு மேலே முழுவதுங் கிடக்கவில்லை யெனின், உற்பத்தித்தா னத்தை g அச்சின் எதிர்ப்பகு தியிலுள்ள 0' என்னும் புள்ளிக்கு இடம் பெயர்த் தலால், 0'X' என்பது 0X இற்குச் சமாந்தரமாயிருக்க, 0'X', 0'X என்னும் புதிய
இரண்டு a = 0,
3y=f (r)
b> 0 ஆயிருக்க,
Y και εί (χ)
O X
அச்சுக்கள் பற்றி அவ்விரு வளைகோடுகளும் 0'X' என்னும் அச்சிற்கு மேலே முழுவதுங் கிடக்கு மாறு செய்யலாம்.
 
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4 269
00 என்னு நீளம் = b எனின், புதிய அச்சுக்கள்பற்றி அவ்வளை கோடுகளினுடைய சமன்பாடுகள் g=f(a) + b, g=f(a) + k என்பன. ஆகவே, a = a, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையில் அவ்வளைகோடு களாற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பு
b s{f(a) + P} dz - f(z) + b}dz =[h)-f(r)d,
k என்னுங் கணியம் மறைந்தமையால், இப்போது புதிய அச்சுக்களைப் பற்றியுள்ளனவற்றை நாம் மறக்கலாம்.
பயிற்சி
1. பின்வருவனவற்றை 2 ஐக் குறித்துத் தொகையிடுக :-
(1) சைன்லே , (i) (சைன் a + கோசை a)?;
(2+1)*. ,: - 1 - . ---- (i) - (") () F).
2. பின்வருவனவற்றை ஐக்குறித்துத் தொகையிடுக :-
YA 2
. XO XO X 8 (i) (ei+ (ii) t(2t -- 1)*; (iii) 1 — Gastroos to
(iv) (vi) ;
1+ கோசைச் (") 4+988 v/(4ー9")”
s (t-1)-- 1 v/{4ー(tー1)*}"
3, 2 = -2, 2 =1 என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடையில் g = a*+ a +1 என்னும் வளைகோட்டின் வில்லாலும் இப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கு நாணுலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்பைக் காண்க.
(vii) (viii)
4, 2 = -1, a=1 என்னும் புள்ளிகளுக்கிடையில் g - 2?-a+1 என்னும் வளைகோட்டாலும் இப்புள்ளிகளிலுள்ள தொடுகோடுகளாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்பைக் காண்க.
5. a என்பது ஒரு நேர்மாறிலியாயிருக்க, g = 4ac, aஃ= 4ag என்னும் வளைகோடுகளால் அவை ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி களுக்கு இடையிற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பைக் காண்க.
6. 2* + g^= 40? என்னும் வட்டத்தாலும் y = 3aa என்னும் பர வளைவாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்புக்களுட் சிறியது (4ா + V3)a? எனக் காட்டுக.

Page 141
270 தூயகணித மூலகங்கள்
வரையறுத்த தொகையீடு ஒரு கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாகக்கொள்ளப்
படும் b>a ஆயிருக்க f(a) என்பது a = a, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனது தொடர்ச்சியான ஒரு நேர்ச்சார்பாகுக : AB என்பது g =f(a) என்னும் வளைகோட்டின் ஒத்த வில்லாகுக. AK, BH отoливот A, B என்பனவற்றிலுள்ள நிலைத்தூரங்களாயின்,
b L/Uւնւկ AKHB-f f(a) dat
C
AB என்னும் வில்லை ஒரு தொகையான சிறு விற்களாகப் பிரித்து அப் பிரிக்கும் புள்ளிகளுக்கூடாக நிலைத்தூரங்களை வரைக. P, Q என்பன முறையே 2, a + 62 என்னும் இடைத்தூரங்க ளுள்ள இரண்டு அடுத்து வரும் பிரிபுள்ளிகளாகுக ; 6a என்பது நேராகுக ; MP, N0 என்பன அப்புள்ளிக ளிலுள்ள நிலைத்தூரங்க ளாகுக. PR என்பது N0 என்பதை R இற் சந்திக் கும்படி 3 அச்சிற்குச் O K ኮባ N X சமாந்தரமாய் வரையப் பட்டால், MPEN என்னுஞ் செவ்வகத்தின் பரப்பு = PM.MN =f(a)Sa. MN என்னும் வடிவின்
ү B
P
ملے
A
சிற்றிடை ஒவ்வொன்றினது நீளமும் பூச்சியமாகுமாறு பிரிபுள்ளிகளினது தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்பட, MPEN என்னும் வடிவுடைய செவ்வகங்கள் எல்லாவற்றினுடைய கூட்டுத்தொகையின் எல்லை AB என்னும் வில்லாலும் A, B என்பன வற்றிலுள்ள நிலைத்தூரங்களாலும்  ைஅச்சாலும்
சிறையாக்கப்படும் பரப்பாகும்.
60 இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் -> 0 ஆக
2/(«)3 2 -- f(x)dx
என எழுதுகின்றேம்.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4 27
உதாரணங்கள். உயரம் h ஆயும் வட்ட அடியின் ஆரை 7 ஆயுமுள்ள நேர்வட்டக்கூம்பின் கனவளவைக் காண்க.
0 என்பது அக்கூம்பின் உச்சியாகுக ; C என்பது வட்டவடியின்மையமாகுக. A OAB என்பது அக்கூம்பின் அச்சு 00 இனூடாகச் செல்லும் ஒரு தளத்தால் ஆக்கப்படும் அக்கூம்பின் ஒரு பிரிவாகுக ! AC = CB = r, OC = h. OAC GTGỞIGOJ முக்கோணம் நாலு செங்கோணங்களுக் கூடாக 00 பற்றிச் சுழற்றப்பட்டால்,
அம்முழுக்கூம்பும் பிறக்கும். P
என்பது OC இன்மீது 0 இலிருந்து 2 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒருபுள்ளி யாகுக. Q என்பது OC இன்மீது இலிருந்து 2 + Sa என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஓர் அயற்புள்ளியாகுக ; 62 என்பது நேராகுக. PM, QN என்பன M, N என்பனவற்றில் 04 என்பதைச் சந்திக்கும்படி 00 இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டால், PQNM என்னுஞ் சரிவகம் 00 பற்றிச் சுழற்றப்படும்போது அக்கூம்பின் அடித்துண்டைப் பிறப்பிக்கும்.
MR என்பது QN இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டால், RெMP என்னுஞ் செவ்வகம் ஒரு நேர்வட்டவுருளையைப் பிறப்பிக்கும் ; 9 என்பது அக்கூம்பின் அரையுச்சிக்கோணமாயுள்ள A00 என்னுங் கோணமாயின் அவ்வுருளையின் கனவளவு r PM2.P0 =ாa? தான்?9 Sa.
2=无 .. அக்கூம்பின் கனவளவு = எல் 2 ாதான்?9262
δα-> 0 α = ο
i. .f mrg, T63720 ac?dac ܚܝ̈ܚ
O
-ா தான்?9h3
.TIP2h- ܓ - ܫܒܗ
Th

Page 142
272 தூயகணித மூலகங்கள்
கோளத்தின் கனவளவு.
ACB என்பது மையம் 0 ஆயும் ஆரை r ஆயுமுள்ள ஓர் அரை வட்டமாகுக. அவ்வரைவட்டம் AB என்னும் விட்டம்பற்றி 4 செங் கோணங்களுக்கூடாகச் சுழற்றப்பட்டால், 7 என்னும் ‘ஆரையுடைய ஒருகோளம் உண்டாகும். OA இனது நீளத்திற்குள்ள தூரங்களை நேராகவும் OB நீளத்திற் குள்ளனவற்றை எதிராவுங்கொண்டு, P என்பது OA இன்மீது 0 இலிருந்து a என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி என்க. Q என்பது OA இன்மீது 0 இலிருந்து a + 6 a என்னுந் தூரத்தி இலுள்ள ஓர் அயற்புள்ளியாகுக. PM என்பது அவ்வரை வட்டத்தை M இற் சந்திக்கும்படி OA இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக. MN, QN என்பன N இற் சந்திக்குமாறு முறையே P0, PM என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரையப்படுக. P0NM என்னுஞ் செவ்வகம் AB பற்றிச் சுழற்றப்படும் பொழுது, அது ஒரு நேர்வட்டவுருளையைப் பிறப்பிக்கும்; அவ்வுருளையின் م8a(2مIGIT@H IT PM2. Pg == Tr (r2 -- aه56OTے
எல்
፰ === ፃ” T8 at--0 2{ Tr(r2 - a6(2مac
2;コ ー ?
.. அக்கோளத்தின் கனவளவு
R ؟m)هم - a) dz
_[(-پما)] = 一(-需)-(-r+需)
rr8.
நேர்வட்டக்கூம்பின் வளைமேற்பரப்பின் பரப்பு
f என்பது ஒரு நேர்வட்டக்கூம்பின் அடியின் ஆரையாகுக. அவ்வட்ட வடியின் பரிதியின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியை உச்சியொடு தொடுக்குங்கோடு அக்கூம்பின் மேற்பரப்பின் ஒரு பிறப்பாக்கி எனப்படும். அத்தகைக் கோட்டினது நீளம் அக்கூம் பின் சாயுயரம் எனப்படும். இச்சாயுயரம் ஆகுக'. அக்கூம்பின் மேற்பரப்பு ஒரு பிறப்பாக்கியினது நீளத்திற்குப் பிளக்கப்பட்டு அதன்பின் விரிக்கப்பட்டு ஒரு மேசையின்மீது தட்டையாகக் கிடத்தப்படுகின்ற
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4
273
தெனக்கொள்க. ஆயின் அக்கூம்பின் மேற்பரப்பு என்னும் ஆரையையுடைய ஒருவட்டத்தின் ஆரைச்சிறையை ஆக்கும்; அவ்வாரைச் சிறையின் Αύ
வரையறுக்கும் வில்லினது நீளம் 27ா?. 2,
அவ்வில்லாலே மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங்
கோணம் 2 Tr. ஆகவே, அவ்வாரைச்சிறையின்
l 277ー
பரப்பு = ? 罕一刃
அதாவது அக்கூம்பின் மேற்பரப்பின் பரப்பு rrl.
நேர்வட்டக்கூம்பின் அடித்துண்டின் பரப்பு
ஒரு கூம்பானது தனது அடிக்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்தால் வெட்டப்பட, உச்சியுள்ள பகுதி நீக்கப்பட்டால், மீதிப்பகுதி அக்கூம்பின்
அடித்துண்டு எனப்படும்.
ABDC என்பது OAB என்னு நேர்வட்
7, 7 என்பன அதனுடைய முனைகளின் ஆரைகளாகுக. l,
O டக்கூம்பின் ஓர் அடித்துண்டைக் குறிக்க :
இரு
la
C என்பன முறையே 00, OA என்னு
பரப்பு வித்தியாசமாகும். A Yá 6
நீளங்களாகுக. அவ்வடித்துண்டின் மேற்பரப்பின் பரப்பு OAB, OCD என்னுங் கூம்புகளினுடைய மேற்பரப்புக்களின்
ஆகவே, r>r, எனின், அவ்வடிக்
கூம்பின் மேற்பரப்பின் பரப்பு=772-77.
r வடிவொத்த முக்கோணங்களிலிருந்து நாம் பெறுவது =
2 AC=1 எனின், '== --
.. அவ்வடிக்கூம்பின் மேற்பரப்பின் பரப்பு
lr
== ገrፃ ̇8 — atr
r2ーr1 raーri
== 7rl (r —+— r)

Page 143
274 தூயகணித மூலகங்கள்
கோளத்தின் மேற்பரப்பின் பரப்பு
40B என்பது மையம் 0 ஆகவும் ஆரை 7 ஆகவுமுள்ள ஓர் அசை வட்டமாகுக. 00 என்பது AB என்னும் விட்டத்திற்குச் செங்குத்தாக வுள்ள ஆரையாகுக. P என்பது பரிதியின்மீது 00 ஒடு OP ஆனது 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு உள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அக் கோணத் தின் குறிக்கு யாதுமொரு வழக்கு மேற்கொள்ளப்படலாம். )ெ என்பது அவ்வரை வட்டத்தின்மீது 00 ஒடு 00 ஆனது 9 + 69 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு P இற்கு அண்மையிலுள்ள
ஒரு புள்ளியாகுக. PQ என்னு நாண்
AB பற்றிச் சுழற்றப்படும்பொழுது அது ஒரு கூம்பின் அடித்துண்டின் மேற்பரப்பைப் பிறப்பிக்கும் ; அக் கூம்பின் சாயுயரம் P9; M, N என்பன P, 0 என்பனவற்றிலிருந்து AB இன்மீது வரையப்படுஞ் செங்குத்துக்களினுடைய அடிகளாயின், அக் கூம்பினுடைய முனைகளினுடைய ஆரைகள் PM, 2N என்பனவாகும். இவ்வடிக்கூம்பின் மேற்பரப்பின் பரப்பு 7 (PM + 0N). P0.
B Ο M. N.
நாண் P0 2༡༠9ཚ༠9r ལྟ་
வில் P0 T789
60)3FGöT - = - S6 2
.ed 0 ج 60 و I جس
PM_r கோசை 9
QNT கோசை (8+66)" تتوزي 0ج– 669ة .
அன்றியும்,
ஆகவே, அவ்வரைவட்டம் AB பற்றிச் சுழலும்போது அதனுற் பிறப் பிக்கப்படுங் கோளத்தின் மேற்பரப்பின் பரப்பு
6 = n/2
မှီ႔-0 Σ 72 r கோசை 9. r 66
Tl2 - شبست
 

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 4
275
π|2 = ா? கோசை 969
- T12
୧୩୫ ଗାଁ ଓ] T مTr 2]
=27r"-(-27r")
= 4Tr.
நேர்வட்டவுருளையின் வளைமேற்பரப்பின் பரப்பு
ABCD என்னும் ஒரு செவ்வகம் பக்கம் AB பற்றிச் சுழன்றல் அச்
செவ்வகமானது வட்டவடியின் ஆரை AD ஆயும் உயரம்
ஒரு நேர்வட்டவுருளையைப் பிறப்பிக்கும். AD - r -gyuth DO = h guilh 9G5dids. E
D0 ஆயுமுள்ள
அவ்வுருளையின் அச்சு AB இற்குச் சமாந் தரமான அவ்வுருளையின் வளைமேற்பரப்பி ன்மீதுள்ள ஒரு கோடு அவ்வுருளையின் ஒரு பிறப்பாக்கி எனப்படும். அவ்வுருளையின் வளைமேற்பரப்பானது ஒரு பிறப்பாக்கியினது நீளத்திற்கு வெட்டப்பட்டு ஒரு மேசையின் மீது தட்டையாகக் கிடத்தப்பட்டால், அது
பக்கங்கள் 2 Tr, h என்பனவாயுள்ள ஒரு F
B C
செவ்வகத்தை ஆக்கும்.
ஆகவே, அவ்வுருளையின் வளைமேற்பரப்பின்
பரப்பு = 2rh. அவ்
வுருளையின் கனவளவானது அடியின் பரப்பை உயரத்தாற் பெருக்கவரும்
பெருக்கத்திற்குச் சமன் எனக்கொள்ளப்படுகின்றது.
.. கனவளவு - rrh.

Page 144
276 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி
1. இரண்டு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையில் அமைக்கப்பட்ட " என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் பகுதியின் கனவளவு $ IT (b --a)(3r2 -- b2 -- a2 -- ab) 6T60Té EEITL"_(Ba5.
இங்கு a, b என்பன அத்தளங்களிலிருந்து அக்கோள மையத்தி னுடைய தூரங்கள் ; b>a ; அத்தளங்கள் அக்கோள மையத்தின் ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களில் இருத்தற்கேற்ப, a, b என்பன வற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க்குறிகள் உண்டு.
2. d என்பது இரு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூர மாயின், அவ்விரு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையில் அமைக்கப்படும் r என்னும் ஆரையுள்ள ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்புப் பகுதியின் பரப்பு 2rd எனக் காட்டுக.
3. முனைகளினுடைய ஆரைகள் r, r என்பனவாயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு கூம்பின் அடித்துண்டின் கனவளவு
*ாh (r2 + r,r+7,*) எனக் காட்டுக.
4. A என்பது ஆரை ஆயும் மையம் 0 ஆயுமுள்ள ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. A இல் உச்சியும் AO இனது நீளத் திற்கு அச்சும் கோதா”3 இற்குச் சமனன அரையுச்சிக்கோணமும் உள்ள நேர்வட்டக் கூம்பிற்குள் அமைக்கப்படும் அக்கோளத்தின் பகுதி அகழ்ந் தெடுக்கப்படுகின்றது. மீதிப்பகுதியின் கனவளவு தீக்ா? எனக் காட்டுக.
5. a, b என்னும் ஆரைகளுள்ள இரு கோளங்கள் ஒன்றையொன்று வெளியாலே தொடுகின்றன ; மையமிணைகோட்டினது நீளத்திற்குத் தன் னச்சையுடைய ஒரு நேர்வட்டக்கூம்பு அவையிரண்டையும் உள்ளடக்கி அவற் றைத் தொடுகின்றது. அக்கோளத்தோடு அக்கூம்பினுட்ைய தொடுவட் டங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோளப்பகுதிகளின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பு 4ாaம் என நிறுவுக.

அத்தியாயம் 5
அடுக்குக் குறிச்சார்பு
g , aકે 1 +高++ ............ + +··········· s ஆகிய முடிவில் தொடரானது a இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் ஒருங்குமென நிறுவலாம்.
தொடரின் கூட்டுத் தொகை f(a) இனற் குறிக்கப்படுமாயின், f(a) xf(y) =f(c+g) எனவும் நிறுவல் கூடும்.
அதாவது
ac i ati? الي y , yo y" (+高++ & ++...)(+I, +3+...++...)
2 =1+**+ "量"+....+"十"+......
2
இப்பெறுபேறுகள் முடிவில் தொடரிலுள்ள சில தேற்றங்களைக் கொண்டு திட்டமாக நிறுவப்படல் கூடும். எங்கள் தேவைகளுக்கு இப்பெறு பேறுகளை எடுகோட்களாகக் கருதுவோம்.
f(1) ஆனது 8 இனற் கருதப்படுவதாகுக.
அ-து : =1+규+ + XX KX KY O NO 0 十高十 w is a A
எல்லா உறுப்புக்களும் நேராயும், முன் இரு உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 2 ஆயுமிருப்பதனல்
இன்னும் = <
3 2.3 22
4 2.3.4 23
<+ + ++ + a w a s as :
ஆனல் 1 + + + + • • • - ஆனது தன் முதல் உறுப்பு
1 எனவும் பொது விகிதம் 3 எனவுங் கொண்ட பெருக்கற் றெடரின் முடிவிலிக் கூட்டுத் தொகையாகும்.
1 -- - - - = 3 e < 1
277

Page 145
278 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே e ஆனது 2 இற்கும் 3 இற்கும் இடையேயுள்ள ஓர் எண்ணுகும். இதன் துல்லியமான (சரியான) பெறுமானமானது p, q என்பன முழுவெண்களாகவுள்ள எனும் வடிவத்தில் கூறப்பட முடியாது; ா எனும் எண்ணைப் போல இது விகிதமுரு ஒர் எண்ணுகும்.
எங்கள் எடுகோளிலிருந்து
if (ar) X-f(a)=f(a + r.)
இங்கு a, a என்பன யாதும் உண்மை எண்களாகும்.
a ஆனது பிறிதொரு எண்ணுயின்.
f(a) X f(a) X f(a) = f(ac-- a) X f(a)
=f(a十2a十2a)
10 ஓர் நேர் முழு எண்ணுகவும், 3, 22, 23, . . . . . . . . . . . . a என்பன உண்மையான m எண்களாகவுமிருப்பின், மேலே குறிப்பிட்ட காரணத் தைத் திரும்பத் திரும்பப் பிரயோகிக்கு முறையால்
f(ae) X f(c) X f(aes) X............ X f(a)
=f(cı 十- 2 -- - - - - - - - 十a%)
எனப் பெறலாம்.
t = t = t = ... = a = 1 என வைத்துக் கொள்க. எனவே
f(1)-f(n)
-9|-ΦI f(n) = e"
இங்கு 70 ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகும். m ஆனது -70 இற்குச் சமனன ஓர் எதிர்முழுவெண்ணுகுக ; எனவே m ஒர் நேரெண்ணுகும். ஆகவே
f(m) x f(n) = f(m. -- n) = f(o)
f(a) இற்கான தொடரில் a=0 என இடுவோமாயின், முதலுறுப்புத் தவிர மற்றைய உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் பூச்சியமாகின்றது. எனவே
f(0) = 1

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 279
ஆனல் n ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருப்பதால் if(m) = e*
f(m) = r = e =e"
எனவே 2 நோானதோ அல்லது எதிரானதோ ஆகவுள்ள எவ் முழு எண்ணுயினும்
if(a) = e* ஆனது, 76 ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகவும் ற நேரோ அல்லது எதிரோ ஆன முழுவெண்ணுகவுமுள்ள ஓர் பின்னமாகுக.
f(a) Xf(a)x........ Xf(a)=f(a+2+...+a) எனுந்தொடர்பில்
2==ே . = 3,= என எடுத்துக் கொள்க. ஆகவே
7. 7(?)-f(p) ஆனல் p ஒரு முழுவெண்ணுனமையின் f(p)=e"
". f() ஆனது 8? இன் 7 ஆவது மூலங்களுள் ஒன்று.
அ-து f() =士e
፮p
இங்கே e" ஆனது e? இன் 7 ஆவது நேர் மூலத்தைக் குறிக்கும். a > 0 ஆகவிருக்கும்போது f(a) இனது தொடரிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் நேராகும்.
", a > 0 எனும்பொழுது f(a) > 0. இன்னும்
f(a) xf(-a) = f(a - ac) = f(0) = 1 a > 0 ஆகும்பொழுது f(-a) >0 .. t நேரோ எதிரோ, f(t) >0
fp р O f() E 62 எனவே  ையாதுமோர் விகிதமுறு எண்ணுயிருக்கும்போது, ஆரம்ப அட்சரகணிதத்தில் விகிதமுறு குறிகாட்டியின் வரைவிலக்கணத்தின்படி
if (at) = e^
11—-J. N. B 66342 (8/57)

Page 146
280 தூயகணித மூலகங்கள்
விகிதமுருக் குறிகாட்டிக்கு ஆரம்ப அட்சரகணிதத்தில் வரைவிலக்கணங் கூறப்படவில்லை. ஆகவே 0 விகிதமுறப்போது 6° இற்கு நாம் ஒரு விளக்கமுங் கொடுக்க முடியாது. ஆனல், கருதப்பட்ட முடிவில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையான f(a) ஆனது, a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற் கும், விகிதமுறுவனவோ, விகிதமுறதனவோ திட்டமான கருத்தொன்று டையாதாகும். -
'. 2 விகிதமுருதபோது
e"=f(a) என வரைவிலக்கணங்கூறுகின்றேம். f(a)xf(a) =f(a+2) எனுந் தொடர்பிலிருந்து, 2, 3, விகித முருதபோதும் -
ب: ! نامهٔ نهٔ نوهٔ β Χ β : = β. எனப் பெறுகின்றேம். அவ்வாறக a யாதுமொரு உண்மை எண்ணுயின்
n
: - ac i ac? e = 1 +++ . . . . . . . . . . 十ー十・・・・・・・・・・
e ஆனது a இன் அடுக்குக் குறிச் சார்பென்று சொல்லப்படும். a > 0 ஆயின், தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நேரானதாகும்.
a > 0 ஆயின் e' > 1. ல, a என்பன 2>2 ஆயுள்ள இரு உண்மை எண்களாகுக.
ஆயின் a=0+h இங்கு h >0
h نهٔ | 6 = 6 = 8 Xe
h > 0 காரணமாக 8*> 1 ;
انهٔ இன்னும் e * >0
ae ..... g">g"
a ஆனது சகல உண்மைப் பெறுமானங்களூடாகவும் அதிகரித்துக் கொண்டு போக 8* ஆனது ஒழுங்காக அதிகரித்துக் கொண்டுபோகும்.
a > 0 ஆயின், e">3 .. 0->CO ஆயின், e"->CO
eX e = e = 1
.. 0->COஆயின், e-* = 0 ج-چ
0 <- * e و 661 {uارco pi س- ج - a0 ازTong|| 5 ||9ی

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 281
y = e" இன் வரைப்படம்.
2 இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் g> 0.
வரைக்கோடு முழுவதும் 3 அச்சின்மேலே உள்ளதாகும்.
a அதிகரிக்க g அதிகரிக்கும்.
O
வளைகோடானது a அச்சின் நேர்திசையில ஒழுங்காக எறிக்கொண்டு
செல்லும். 2->-CO ஆயின், g->0
", 3 அச்சின் எதிர்ப்பாகமானது வளைகோட்டிற்கு ஒர் அணுகுகோடாகும்.
2->CO ஆயின், g -> co
வளைகோடானது எல்லையில்லாது எறிக்கொண்டு போகும்.
வகையீட்டுக் குணகம்
f(a) = 6* ஆயின் if(c + h)-f(ae) ex-h-e
= e* e'-1 h - - - - , elo- 1 1 h ho
, 五十玩十 0 0 & 0 & 0 0 (6 v.
1h , h2 , h8 = 1 - - - - - - - - - - - --!- . . . . . . . . . .
十蚤十証十丕十
= 1 + h qþ (h)

Page 147
282 தூயகணித மூலகங்கள்
1 h ho இங்கே *0=姦十霸十霜十 O. O. P. a 0 e o O.
h, h;2 |x| < ஆயின், தி()<++
1++ < 1十五十五十・・・・・・・・・・ ----2 T1 - T " |b| < ஆயின்
|i)(i)|<2% 0 >-)h db (h| و60 (كاري 0، جـ h ."
e-1
", h ->0 ஆயின், 1 بچے
2 இன் யாதுமோர் நிலைத்த பெறுமானத்திற்கு h ->0 ஆயின்
به ع- .(2)f(2 +)-f
°. a இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் e* வகையிடக் கூடியதாகும். இன்னும் அது தானே தனது வகையீட்டுக் குணகமாகும் தனிப்பண்பை யுடையதாகும்.
எனவே
盖° Ee
உதாரணம் :
ᎧᏈ0ᏪᎭ6Ꮘr Ꮺ
2 ஐக்குறித்து 8 ஐ வகையிடுக.
சைன் u = சைன் 0 எனவும் g = 8 எனவும் இடுக.
d ஆயின் g = e", 器—叫
du dy &ಣಕ್ರ್ಠ 2 கோசை a

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 283
மடக்கைச் சார்பு. வரைவிலக்கணம்.
a = e' ஆயின் g = logo அடுக்குக் குறிச் சார்புப் பண்புகளிலிருந்து, நாம் காண்பது:- (i) a > 0 ஆயிருக்கும்பொழுது மட்டுமே log a ஆனது வரை யறையுடைத்தாகும். அது ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பு
(i) 3 நேர் பெறுமானத்தைக் கொண்டு அதிகரிக்க 0ர 2 ஒழுங்காக அதிகரிக்கின்றது. 岑 沙
(iii) ac —> —+- 0 2yu5?aö7, log ac —> — oxo (iv) a->cం వgu6రr, log a->cం (v) log 1 = 0, 0  l gyw526ô7 log ac > 0
X, X என்பன நேராயின், log XX = log x+log X
g = log a எனவும் மூ=0ர  ைஎனவுமாகுக. ஆயின் ప = والأع = eola
十 92 "e1 = ومنه ..
". log (car) = y -- ya = log ar -- log ac
p ஆனது ஒரு விகிதமுறு எண்ணுயின், X> 0 ஆயிருக்கும்போது
log (x)=p log X.
n ஒரு முழு நேரெண்ணுகுக. இன்னும் 21, 2, . . . . . . . . . . .a என்பன n நேரெண்களாகுக. J
ஆயின் log (aera . . . . . . . . a")
(همهٔ . . . . . . 3 جونlog at -+- log (a == = log ar -- log ara -- log (araca . . . . . . aa)
LLLLLLLL00LLLLL LLL LLLL C LLL LL0 LL00LL LLL LLL0YLLLLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLSL0 0 LL 0 LLLLL LLLL LL LL000
~= log at: -+- log ar-- log ara -- . . . . . . -+- kog 3r, ,

Page 148
284 துரியகணித மூலகங்கள்
= ۶ = تست • • • • • • =a = 0 என வைத்துக்கொள்க.
ஆயின் log (a") = n log a
m ஆனது –ገኔ இற்குச் சமானமான ஒரு முழு எதிரெண்ணுகுக. ஆயின் ஐ" x a = 1
... log (at") + log (at") = 0
... log (a)"= -log (at")
ஆனல் m முழு நேரெண்ணுனமையின் log (a") = 72. log a
*... log (ac") = - n log ac = m. log ac.
p = e(55. இங்கே m, n என்பன, 7 நேராகவுள்ள, இரு
முழு எண்களாகுக.
g=?=a" ஆகுக'.
ஆயின் g"=a"
log (y) = log (a")
n log y = m. log at.
log y = log a = p. log at.
... log (at”) = p. log at.
ற விகிதமுருத போதும் a > 0 ஆனபோதும் ? இன் விளக்கம்
ற விகிதமுறுபோதும் ல> 0 ஆனபோதும்,
log (ao) = sp. log ac
2? se? log at
ep log a ஆனது p விகிதமுறதபோதும் கருத்துடையது.
", p விகிதமுறதபோது 2?=e?? என வரை விலக்கணங் கூறு
0 p.
கின்றேம். விகிதமுறு குறிகாட்டுகளுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகளும் விகிதமுருக் குறிகாட்டிகளுக்கும் பொருந்துவனவாகும்.

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 285
p யாதுமொரு எண்ணுயின், விகிதமுறு எண்ணுயினென்ன விகிதமுற எண்ணுயினென்ன,
ap = ep log
O
.ʼ. log ac°= p log ac.
4 Plo& 4 x ed logے= 0x7ی
)1( ......p +qے= e(p +gl) log xے (ap)? —e.9 (log * p)
e0% log at سے
= ac'. . . . . . . . e a e o a s so a (2)
(a y)= eplog (ry)-ep (log a+logy)
= ep loga 60 كلا logy
)3( . . . . . . . . . . . . . . dy>لاقی =
வகையீட்டுக்குணகம்
g = log 20 ஆகுக'.
இங்கே a > 0
ஆயின் a= e’
da -- ”لام --سس- ------ *
高="=
dց - 1
dac i ac
அதாவது a > 0 ஆகவிருக்கும்போது,
3<0 ஆகுக, ஆயின்
? (laga)=! (A) da r............... -
oர (-a) உளதாகும்.
g = log (-a) உம் 2 = -2 உம் ஆகுக.
gyuSao y = log u.., u > 0
dy l
du
dy dy, du 1.
.. a < 0 ஆயிருக்கையில்
log (- ") = LL SL S S S L SLS SLSLS SL SLSS SLSL S S0LL (B)

Page 149
286 தூயகணித மூலகங்கள்
(4) இலும் (B) இலும் இருந்து, 340 ஆயிருக்க
αι
உதாரணம் : (1) 2 ஐக்குறித்து g =log (a + தான்*a) ஐ வகையிடுக. g = log (a + தான்*a) எனவும் u = x + தான்* a எனவும் ஆகுக.
ஆயின் g = log u.
dy_dy du
=g (2n+2 தான் a சிக*a)
_2 + 2 தான் 2 சீக 2
ac* -l-gi, T6ör” ac
உதாரணம் : (2).
p ஆனது 30 இற் சாராததும் விகிதமுருததுமான ஒரு எண்ணுயின்
2 ஐக் குறித்து a ஐ வகையிடுக.
.log x آی سیست ولی
d 10 نمبر p log4ص -pYومہ / “ da: (azᏈ) = e X
ρ =2;"×キー= p.2”下1 *×毒=pz
உதாரணம் : (3)
a > 0 ஆயிருக்க 2 ஐக் குறித்து 7 ஐ வகையிடுக.
.g log at == مهم
d 2;
a log at. da (α") = e ( -- log 2)
= a(1-- loga)

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 287
யாதேனும் அடிக்குரிய மடக்கை.
g=loர 2 என எழுதும்போது, பொதுவாக அம்மடக்கையானது எனும் அடியையே கொண்டது எனக் கருதப்படும்.
d l כ
இன்னும் de (log a)=基 எனும் பெறுபேறு அப்படிப்பட்டவகைக்ள்ரில் மட்டுமே பொருந்துவதாகும்.
மடக்கைகள் யாதும் அடிகளைக் குறித்து வரைவிலக்கணங் கூறப்படுதல் கூடும். y..
20 உம் d உம்
a = a* எனவாகவுள்ள இரு நேரெண்களாகுக. ஆயின்
p = log,
log2 இற்கும் log,a இற்குமிடையேயுள்ள ஒரு எளிய தொடர்பானது
பின்வருமாறு சுலபமாகப் பெறப்படும் :-
log, a = log (a’) = p loga
بنی log | log a
log at
அதாவது **ー属 び移
&
குறிப்பாக logło 2 =
.. அடி 8 ஆகவுள்ள மடக்கைகள் தெரியுமானல், அடி 10 ஆகவுள்ள மடக்கைகள் கணிக்கப்படலாம்.
தொகையிடுதல்
a ஆனது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்
d .. . . تئوری - || - || - | f() g"__
6 dr= +

Page 150
288 தூயகணித மூலகங்கள்
a ஒரு மாறிலியாயின் 3 + a 40 ஆயிருக்கும்போது
d
(log|r十a) "" aت -+- a
-in+m -- O
.. 2ー+-d
f(a) ஆனது பூச்சியமல்லாது, 20 இன் வகையிடக்கூடிய ஒரு சார்பாயின்
d ---
. ( f(α) a ... da = log f(a) -- C. f (a) f(a) உதாரணம் :-
2 1 s. 2æ
古.ir= 2 + I do,
=slog (a+1)+C தான்.d= |- ... dat
d56)5F = -log |கோசைa | + 0 = log gas a + C கோதாa.dல =Ε .de
சைன் 0 =log|சைன் a |+0
உதாரணம் :-
சைன் a + கோசை a என்னுந் தொகையீட்டைக் - Υ -- Υ Ύ Υ- άα 2 கோசை a + 3 சைன் a கணிக்க
d (2 கோசை a+3 சைன் a) da
= -2 சைன் a + 3 கோசை ஐ சைன் a + கோசை 2 =ற (2 கோசை 2 + 3 சைன் 3)
+g (-2 சைன் 2+3 கோசை2)

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 289
எனவாயிருக்கக்கூடியதாக நாம் p, q எனும் மாறிலிகளைத் தேர்தல் &#F0B9L fo.
சைன் 2 இனதும் கோசை 2 இனதுங் குணகங்களே வெவ்வேறகச் சமன் படுத்த
l=2p -- 3g
1 -- پہ P --مہ .
ρ : 13’
சைன் a + கோசை a 'J 2 கோச ை2 + 3 சைன் 2
da
5 , 1 (-2 சைன் a + 3 கோசை a)
- + ... -- da. 13 ' 13 2 கோசை a+3 சைன் 0
5 =頭・*十歪w |2 கோசை 2 + 3 சைன் a |+0
பகுதிகளாய்த் தொகையிடுதல்.
u, ) என்பன 2 இன் வகையிடக்கூடிய சார்புகளாயின்
d (u o) = vʻ* 瓦\““”下“动
O doy du - s to f (e 霹+啤)*="
s dy - du Q Q su: dx = uv sv dx.
பகுதிகளாய்த் தொகையிடும் முறைக்கு இதுவே சூத்திரமாகும்.
dи 十 'd:
உதாரணம் :-
(1) -
ar கோசை a da என்னுந் தொகையீட்டைக்கணிக்க
= a எனவும், 器 - கோசை a எனவும். இடுக.

Page 151
290 தூயகணித மூலகங்கள்
9 = சைன் a என எடுத்துக்கொள்வோம்.
ஆயின்
[': csres : de = * ଉest :- [೧೮ct 2 da
= a சைன் a + கோசை a + 0.
(2) f e" சைன் a da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க
dy u - e", ட - சைன் 2 அல்லது
da
g = - கோச்ை a எனவும் எடுத்துக்கொள்க.
எனவே Je சைன் a da
== -- 6 Gene୩୫e +[f கோசை a dல. . . . . . . . . . . . (1).
இப்போது - e கோசை a da இற்கு சூத்திரத்தைப் பாவிக்க.
f e” (356sto03Fae. dat - e. d (605-667 at) dat
dar
= e* சைன் a 一円 6056öra: da: (2).
.. (1) இலும் (2) இலுமிருந்து.
e சைன் a da = -e° கோசை a + e" சைன்ற
-Je 60λθεσότα αία.
.. 2. சைன் a da = e" (சைன் 3-கோசைa)
必 . f e° 60er6óra, dat =(சைன் 2-கோகை 22).

நுண்கணிதம் அத்தியாயம் 5 291
மாறி மாற்றப்படல்.
f(e)= f'(a) east, f(a) de – d. ()
3 ஐ நாம் வேறெரு மாறி t இன் வகையிடத்தக்க சார்பாகக் கூறுவோ மாயின், தி (2) உம் f(x) உம் t இன் சார்புகளாகக் கூறப்படல் கூடும்.
體一體x需一re需 . (e)=s(f(e) di
இவ்விடத்தில் w
...f -(:)? ஐ t இன் பேரில் கூறியதன்பின் t ஐக் குறித்துத் தொகை
யிடல் செய்யப்படும்.
.. f (e) do = τω) ಕ್ಲಿà:
உதாரணம் (1)
a -- 1 V(ac + 1) V(a + 1) = h அல்லது 3 + 1 = t எனும் பிரதியீட்டை தெரிந்து கொள்க.
da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க
யின் 2 = ؟; ஆயின் dit
f (a-- 1) dat = је- у н 2t dit * J V(ac + 1)
一J2“一°+°叶
5 23 -(-書+2)
_。[(z土1)鳍_2(v十1)萎 - 0+(1 + ب) 2 + (طيق)ة.

Page 152
292 தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணம் (2)
a ஒரு நேர் மாறிலியாகவிருக்க.
svar -ஃ da இனது பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
a = a சைன் t என இடுக இங்கே மாறி ஆனது - இற்கும் இற்கும் இடையேயுளதாயிருக் கும் வண்ணம் வரையறை செய்யப்பட்டுளது. எனவே a ஆனது -a இற்கும் a இற்குமிடையே மாறுகின்றது. 2 இன் மறு பெறு மானங்களைப் பற்றிய பிரச்சனை நமக்கு இப்போது தேவையில்லை.
V02-02 நேராயிருப்பதாலும் b ஆனது - இற்கும் இற்குமிடையிலி ருக்கும்போது கோசை ! நேராயிருப்பதாலும், Va2-02 = a கோசை t.
.. svaa - a da = fa கோசை t 冠 dit
. Garte09 it dit مه|=
2 -紫s + கோசை 2b) de
சைன் 2 =(+ 2 )+c
2 = (+சைன் கோசை)+0
2 C + قیه - Core i7 - 1 + Va3 =
அப்பியாசங்கள்.
1. ற யாதுமொரு மாறிலியாக, 2->ంం ஆயின ?e"?->0 எனக் காட்டுக.
e தரப்பட, p இலும் கூடியதாகவுள்ள % எனும் ஒரு முழு நேரெண்ணை நாம் துணிதல் கூடும்.
然 > 0 ஆயிருக்க, சி'>
??
0 + 0 ஆயின் 20ரa->0 எனக் காட்டுக. (அப். (1) இலிருந்து உய்த்தறிக) m
3. M -3)? e" ஒரு உயர்வையும் ஒரு இழிவையும் உடையதெனக் காட்டுக. 3 இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் சார்பின் மாற்றமுறுதல்களை வரைக.
4. ac బిత குறித்து 6 சைன் 2 இனது n ஆவது பெறுதி
23 e60goir (e 十 ') 6T60Tai dBITL (95.
5. p ஒரு நேர் மாறிலியாயின், குறித்ததோர் எல்லைக்கு மேல் a அதிகரிக்க (loga)/a? ஆனது குறையுமெனக் காட்டுக.
6. A, B என்பன ஐ இன் தொடர்பில்லாதனவாக,
83 A. B 2a- 3a -- 1 2a -- iす高エi
~ எனும் உருவத்திற் குறிப்பிடு முறையாக, 3 ஐக் குறித்து 21 + 33 +- قی இனது தொகையீட்டைக் காண்க. ۶ ۔
7. பின்வரும் சார்புகளை a ஐக் குறித்து தொகையிடுக
(a) log at (b) tana (c) a? eo.
8. மாறிகளை இசைவான முறையில் மாற்றியனமப்பிடு முறையால் பின்வரும் சார்புகளைத் தொகையிடுக.
(3 ntif (a) (b) e* * இக22 (c) (loga)/a.
9. t = தான் எனும் பிரதியீட்டால் கோசே 2 ஐயும் சீக 2 ஐயும் a ஐக்
குறித்துத் தொகையீடு செய்க.
I 10. 5--4 கோசை a ஐயும + 5 கோசை ஐ @ அதே பிரதியீட்டைப் பிரயோகிக்க.
யும் தொகையீடுசெய்ய
11. t = சைன் a எனும் பிரதியீட்டால் கோசை92 ஐயும்
=தான் a எனும் பிரதியீட்டால் சீக9 2 ஐயும் தொகையிடுக.

Page 153

அட்சர கணிதம்

Page 154

அத்தியாயம் 1
பல்லுறுப்புச் சார்பு 1 என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், a , a , . a என்பன மாரு மெய்யெண்களாயும், 3 என்பது மாறும் ஒரெண்ணுயும் இருந்தால், a.x" + aa"+ . . +a, என்பது m என்னும்படியுள்ள வ இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பு எனப்படும். aல+ a என்னும் வடிவான முதலாம்படியிலுள்ள பல்லுறுப்புச் சார்பு 2 இன் ஒரு படிச் சார்பு எனப்படும். m ஒரு படிச் சார்புகளின் பெருக்கம் m என்னும்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அவ் 70 ஒரு படிச்சார்புகள் ஒவ்வொன்றும் இப் பல்லுறுப்புச் சார்பின் ஒரு காரணியாகும். f(a) என்பது a இனது தந்த ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயும் 3-0 என்பது ல இனது தந்த ஒர் ஒருபடிச்சார்பாயும் இருந்தால், 3-0 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாய் இருக்கலாம் அன்றி ஆகாதுவிடலாம். எவ்வகையிலும், 2 ஐச் சாராத ஒரு மீதியைப் பெறும்வரைக்கும் f(a) என்பதை 3-0 என்பதாலே நாம் வகுக்கலாம். 3-0 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி அல்லது ஒரு காரணி யன்று என்பதற்கேற்ப மீதி பூச்சியமாகும் அல்லது பூச்சியமன்ருகும்.
மீதித்தேற்றம். 2 என்னு மாறியின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பு f(a) என்பது 3-0 என்பதால் 2 ஐச் சாராத மீதி ஒன்று பெறப்படும்வரைக்கும் வகுக்கப்பட்டால், இம்மீதி f(a) என்பதற்குச் சமன் , இங்கு f(a) என்பது f(a) இல் ல =a எனப் பிரதியிடப்பெறப்படும் பெறுமானத்தைக் குறிக்கும்.
பெறப்படும் ஈவு 3 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அதனை தி(a) என்பதாற் குறிக்க ; B என்பது அம்மீதியாகுக. ஆயின்,
f(x)三(rーa) か(a) + R.
அவ்விரு கோவைகளுஞ் சர்வசமன். a = a எனப் பிரதியிட நாம் பெறுவது
f(a) = 0Xqb (a) + R = R.
. 3-0 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாயின், f(a) = 0 ; மறுதலையாக, f(a) = 0 எனின், (-a) என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி யாகும்.
29

Page 155
298 தூயகணித மூலகங்கள்
(உ-ம்). 28-3-2 + 1 என்பதன் காரணிகளைக் காண்க. அச்சார்பு 2 இன் மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். அதனை f(a) என்பதனுற் குறிச்க.
..”. If (1) = 1 - 1 - 1 -- 1 = 0. .. 3-1 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி. f( - 1) = - 1 - 1 -- 1 + 1 = 0
", a + 1 என்பதும் f(a) இன் ஒரு காரணி. ". (0-1) (3 + 1) என்பது ஒரு காரணி. இக்காரணி இரண்டாம் படியில் உள்ளது. ஆகவே, அச்சார்பிற்கு 20 இன் முதலாம் படியிலுள்ள வேருெரு காரணியும் இருத்தல் வேண்டும். a, b என்பது 2 ஐச் சாராவாயின், அது 43 + b என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
if (ac) = (ac - 1) (ac + 1) (aac + b). 2 ஐச் சாராத உறுப்பு இடப்பக்கத்தில் + 1 ஆயும், வலப் பக்கத்தில் -ம் ஆயும் இருக்கின்றது.
... b = -l. இரு பக்கங்களிலும் ஃ இன் குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது a = 1 என்பது.
*... ai* - ac* - ac -- 1 = (ac - l)? (ac + 1).
பல மாறிகளினுடைய பல்லுறுப்புச் சார்புகள்.
p, q என்பன நேர்முழு வெண்களாய் அன்றிப் பூச்சியமாய் இருக்க, a என்பது 2, g என்பனவற்றைச் சாராதிருந்தால், aa g என்னும் வடிவிலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை ,ை g என்னு மாறிகளின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். உதாரணமாக, 2ag-5ag + g -20 என்பது a, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார் பாகும். 2, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்புச்சார்பில் யாதுமோர் உறுப்பிலுள்ள a, g என்பனவற்றின்படிகளின் கூட்டுத் தொகை ஒரே யளவினதாய் 70 இற்குச் சமனய் இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புச் சார்பு ஓரினமான தென்றும் m என்னும் படியுள்ள தென்றுங் கூறப்படும். உதாரணமாக, ag-3ag?-5g" என்பது a, g என்பனவற்றில் 3 ஆம் படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புச் சார்பெனப்படும்.
a, ழ என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பானது 2, g என்பன ஒன்றுக் கொன்ருக மாற்றப்படும்பொழுது மாறதிருந்தால், அது சமச் சீரானது எனப்படும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 299
ag + ag2+ 2 + 2g என்பது a, g என்பனவற்றிற் சமச்சீரானது ; அதற்குக் காரணம் a என்பதை g ஆலும் g என்பதை 3 ஆலும் இடம் பெயர்க்க முந்திய சார்போடு ஒன்ருகிய gசில + ga? + 2g + 23 என்னுஞ் சார்பேபெறப்படும் என்பது.
அதுபோல, மூன்று மாறிகளையாதல், மூன்றின் மேற்பட்ட மாறிகளை யாதல் கொண்ட ஓரினச் சார்புகள் வரையறுக்கப்படலாம்.
p + g + r என்பது மாருது 70 இற்குச் சமனகுமாறு, p, q, r என்பன நேர்முழு வெண்களாயாதல் பூச்சியமாயாதல் இருந்தால், aa g"2" என்னும் வடிவத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை 30, y, z என்பனவற்றில் m என்னும் படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புச்சார்பெனப்படும்.
a என்பது y ஐயும், g என்பது 2 ஐயும், 2 என்பது 0 ஐயும் இடம் பெயர்க்கும்பொழுது மாறது, 2, g, 2 என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல் லுறுப்புச்சார்பு 2, g, 2 என்பனவற்றில் வட்டச் சமச்சீரில் இருக்கின்ற தெனப்படும்.
உதாரணங்கள் 1, a?(g-2) + g^(2-2) + 2(a-g) என்பதன் பல்லு றுப்புக்காரணிகளைக் காண்க.
3 = g ஆகும்பொழுது, அக்கோவை பூச்சியமாகும்.
அக்கோவை 20 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயிருத்தலால், a -g
என்பது அதன் காரணிகளுள் ஒன்று என்பது மீதித்தேற்றத்தாற் பெறப் படும்.
அதுபோல 3-2 என்பதும் ஒரு காரணியாகும்.
". (0 -g) (3 -2) என்பது ஒரு காரணி.
இக்காரணி 2 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை; தந்த கோவையும் 2 இல் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை. ஆகவே, வேறு யாதும் காரணி 2 ஐச் சாராதிருத்தல் வேண்டும். தந்த கோவையில் a* இன் குணகம் g -2 ; (a-g) (2-2) இல் a* இன் குணகம் 1.
.. a"(yーz)+ y"(zー2)十2"(2ー3y)=(yー2)(rー3y)(rー2)
=ー(rーy)(yー2)(zー2)

Page 156
300 தூயகணித மூலகங்கள்
2. a" (y -2) + g^ (Z-a) + 2° (0 -g) என்பதன் பல்லுறுப்புக் காரணி களைக் காண்க.
அக்கோவையை 0 இலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை எனக்கொண்டு முன்போல் (a-g) (0-2) என்பது ஒரு காரணி எனப் பெறுகின்ருேம். தந்த கோவை 30 இலே மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை ; ஃ இன் குணகம் y-Z ஆகும். -
ஆகவே, p என்பது y, z என்பனவற்றைச் சார்ந்தோ சாராமலோ இருந்து 2 ஐச் சாராதாயின், அக்கோவைக்கு (g-2) (a + p) என்னும் வடிவிலுள்ள வேறெரு காரணி இருத்தல் வேண்டும்.
.. தந்த கோவை = (a-g) (y - 2) (3 - 2) (a + p). தந்தகோவை, a, y, z என்பனவற்றிலே நாலாம்படியிலுள்ள ஓரினப் பல்லுறுப்புக் கோவையாய் 30, y, z என்பனவற்றில் வட்டச்சமச்சீரில் உள்ளது.
அன்றியும், )aم -g( (g-2) (- 2) என்பது a, y, z என்பனவற்றில் வட்டச் சமச்சீரில் உள்ளது.
.. (a + p) என்னுங் காரணியும் 2, g, 2 என்பனவற்றிலே சமச்சீரில் இருத்தல் வேண்டும். p = 3 + 2 ஆயினற்றன், இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்படும்.
(ac---g) 8ع -+- (y8 (2 --- ac -+- رے -- ac3 (gy .*
。三ー(cー3y)(yー2)(zー2)(z十3/十2).
8. 3 + g^ + 28-3ag2 என்பதன் பல்லுறுப்புக் க்ாரணிகளேக்காண்க.
a = -(g + 2) எனின், அக்கோவை
-(y + 2) + y + 2 + 3y2 (y -- z) = 0 g.Gg5 h. ", a + g + 2 என்பது ஒரு காரணி. தந்த கோவை 2, g, 2 என்பனவற்றிலே மூன்றம் படியிலுள்ள ஓரின வட்டச் சமச்சீர்ப்பல்லுறுப்புக் கோவை.
3 + g + 2 என்னுங் காரணியும் 2, g, 2 என்பனவற்றிலே முதலாம்படி யிலுள்ள ஓரின வட்டச் சமச் சீர்ப்பல்லுறுப்புக் கோவை.
ஆகவே, a, g, 2 என்பனவற்றில் ஓரின வட்டச் சமச்சீர்க்காரணி வேறென்று இருத்தல் வேண்டும் ; இக்காரணி இரண்டாம் படியில் இருத்தல் வேண்டும். ஆகவே, அது
A (ac*+ y*+ z*) + B (acy -- y2 + 2ae)

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 30
என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். ..". ac* -- y* -- z* -3ayz = (ar + y + z)[A (ac*+ y*+ 2*) + 'B' (acy + yz + zac)).
* இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
A = 1. எனவும் *g இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
4 + B= 0 எனவும் பெறப்படும்.
"... B = -1. .' a"十3y"+2*ー3ryz=(x + y+2)(r"+ y"+2*ー2yー3yzー22).
A,B என்பனவற்றைத் துணிதற்கு ஒத்த குணகங்களைச் சமன்படுத்தற்குப் பதிலாக, பின்வருமாறுஞ் செய்யலாம்.
a, g, 2 என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அவ் விருகோவைகளுஞ் சமனகும்.
2=1, g = 1, 2 = 0 என்றுபிரதியிட நாம் பெறுவது 2 = 2 [2A -- B) Jg5 (TG) ugi 2A -- B = 1. a = 1, g = 0, 2 = 0 எனப்பிரதியிட 1 = A.
. B = - 1
a+ y+ zo-ay –yz - zat = (a - y)o + (y - 2)o + (z - a) ஒவ்வொரு வர்க்கமும் பூச்சியமாயினுற்றன் மூன்று வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாகலாம்.
. a= y = 2 ஆயினற்றன், a + g^ + 2-2g-g2-2 என்பது பூச்சிய மாகும் ; வேறு நிபந்தனைகளில் அது நேராகும்.
ac + y + 2 > 0 6 Tacofnoôr, ac* -- y* + z* > 3ayz. ac + y + z < 0 67 6ofaör, at* -- y* -- 2* <3ayz. . .
பயிற்சி 1. பின்வருவனவற்றினுடைய காரணிகளைக் காண்க- :
(i) ac'--5a--8a -- 4. (ii) (ar + y +- 2)* - at* - y* - 2*. (iii) (ac -- y) (y -- 2) (z -- ac) -- ayz. (iv) (ac - y)o-- (y — 2)o-- (z - ad)o.
(v) aco (y-z)o-Hyo(z-ajo+ zo (a -y)o. .(2/gــــ ظa,2) + 28 (a ہے۔ 22)g8 +- (2 - 2 /) 8پvi) a)

Page 157
302 தூயகணித மூலகங்கள்
2. f(a) என்பது இரண்டாம் படியிலாதல் அதன் மேற்பட்ட படியி லாதல் உள்ள 2 இன் ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயிருக்க, a, b என்பன சமனில்லாத எண்களாயின், f(a) என்பது (2-a)(s-b) என்பதால் வகுக்கப்படும்போது பெறப்படுமீதி
2一ö 霊2ー(。 R • j (a) a -b --f(b) - என்பது எனக்காட்டுக.
முழுவெண்கள் 9 ஆலாதல் 11 ஆலாதல் வகுபடுதன்மை:
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணெனின், a"-a" என்பது a இல் n என்னும்படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும் ; a= ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
a - a என்பது a"-a" இன் ஒரு காரணியாகும். அதாவது, (a-a)(b(x)=a"-a" ஆகுமாறு n-1 என்னும்படியிலுள்ள தி (a) என்னும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உண்டு.
φ(α)= α" - 1 + αα" - 2 + α2α"-3 + ...... 十a”一平 என்பது எளிதாக வாய்ப்புப் பார்க்கப்படலாம்.
a = 1 எனக்கொள்க்.
ac" - 1 = (ac - 1) (ac"T* -- ac"T*+ . . . . -- 1); 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் இது உணமையாகும் 2=10 எனப் பிரதியிட, n இனுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10"-1 என்பது 10-1 அாதவது 9 ஆல் என்றும் வகுபடும் எனக் காண்கின்றேம்.
இனி, m என்பது ஒர் ஒற்றை நேர்முழு வெண்ணுயின், a = -0 ஆகும் பொழுது a"+ a" என்பது பூச்சியமாகும்.
. 2+a என்பது "+a" என்பதன் ஒரு காரணியாகும் ; மற்றைக்காரணி ஐ"1-aa"?+ a*a"2+...+a" என்பது. a = 1, a = 10 என எடுக்க, 10"+1 என்னு முழுவெண் η இனுடைய ஒற்றை நேர் முழு வெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்றேம்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 303
m என்பது ஒர் இரட்டை நேர் முழு வெண்ணெனின், a= -0 ஆகும் பொழுது "-a" என்பது பூச்சியமாகும்.
.. 0+ a என்பது a"-a" என்பதன் ஒரு காரணியாகும். ; மற்றைக் காரணி 277 - aa"2+ . . . . . . -a" என்பது.
a = 1, a=10 என எடுக்க 10"-1 என்னு முழுவெண் n இனுடைய இரட்டை நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்றேம்.
ஒரு நேர்முழு வெண்ணினுடைய இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 9 ஆல் வகுபடு மெனின், அவ்வெண் 9 ஆல் வகுபடும்.
அலகின் இடத்திலிருந்து ஒழுங்காக எடுக்கப்பட்ட அம்முழுவெண்ணி னுடைய இலக்கங்கள், a, b, c, d, . . . . . . என்பன ஆகுக.
N என்பது அம்முழுவெண்ணுயின்,
N = a -- 10b -- 10c -- 10d.--.....
S என்பது அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாயின்,
S= a十bー+ o十 d十・・・ ... N-S = (10-1)b -- (10-1) c -- (108-1) d -- ... .. W- S என்பது 10-1 ஆல் அதாவது 9 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின், S என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும் ;
S என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின் N என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும்.
வேறு வகையாகச் சொல்லப்புகின், N என்பது 9 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனையானது S என்பது 9 ஆல் வகுபட வேண்டும் என்பதே.
ஒரு நேர் முழுவெண்ணில், ஒற்றையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கும் இரட்டையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்குமுள்ள வித்தியாசம் 11 ஆல் வகுபடுமெனின், அவ்வெண் 11 ஆல் வகுபடும்.
முன்போல, N = a + 10b +10°c +10°d+ . D என்பது மேற்கூடிய வித்தியாசமாயின்
D= 0 - b + c-d+ .. ஆகுக. ஆயின், N -D= (10+ 1) b + (102-1) c + (108+1) d+ . .. N -D என்பது 10 + 1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 11 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை D ஆனது 11 ஆல் வகுபடவேண்டும் என்பதே.

Page 158
304 தூயகணித மூலகங்கள்
2 இல் 70 என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை வேறுவேறன 2 இனுடைய 7ம் பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
அப்பல்லுறுப்புக்கோவை
a, a"+ a a" + ... + a, ஆகுக'. இங்கு a, 40.
20 இனுடைய a, a2, .a என்னும் வேறு வேறன m பெறுமானங் களுக்கு அது பூச்சியமாகின்றதெனக் கொள்க.
ஆயின், (a - C), (-a) . , (0 - 0,) என்பன அப்பல்லுறுப்புக் கோவையினுடைய காரணிகளாகும்.
". அவற்றின் பெருக்கம் (c-d) (a-a) . (0-a) என்பது ஒரு காரணி யாகும். இப்பெருக்கமே 2 இல் m என்னும்படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப் புக் கோவையாயிருத்தலால், ஆரம்பத்திலே தந்த பல்லுறுப் புக்கோவையின் வேறு யாதுங் காரணி 2 ஐச்சாராது இருத்தல் வேண்டும்.
2" இனுடைய குணகங்களை ஒப்பிட நாம்பெறுவது
ao at" -- ai ar”* -- ... + a = a (ar - a) (at — a.) ... (at — a,). a, 40 ஆயிருத்தலால், வலப்பக்கத்திலுள்ள கோவை or:1و d وو ... On என்பனவல்லாத a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாது. a, a" + aa" + ... + a என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவை வேறு
வேருண a இனுடைய n பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியாமாகாது.
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை  ைஇன்யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாதிருக்கலாம். அது 2 இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்கு பூச்சியமாகுமெனின், ல இனுடைய அத்தகைப் பெறுமானங்களி னுடைய தொகை அப்பல்லுறுப்புக் கோவையின் படியைக் குறிக்குமுழு வெண்ணை அதிகரிக்காதென்றே நிறுவியுள்ளோம்.
a இல் m என்னும்படியுள்ள இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் 0 இனு டைய வேறுவேறன 70 பெறுமானங்களுக்கு மேலாக ஒன்றுக்கொன்று சமணுயின், அக் கோவைகள் சர்வசமணுதல் வேண்டும்.
அவ்விரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
αο α" --αι α" + ... -- αη, b, a + b, a" + ... + b, என்பன ஆகுக. f(x)=(a。ーb.)a"+(aaーbJa"「"+ ...十(a,ーb.)

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 305
என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவையை ஆராய்க.
a,-b,40 எனின், இப்பல்லுறுப்புக்கோவை 2 இனுடைய வேறு வேருண 7 பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
ஆகவே, தந்த இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளும் 2 இனுடைய வேறு வேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்கு ஒன்றுக்கொன்று சமனயின், d-b,= 0.
ஆயின், f(x) என்பது (a-b) a" + ... (a,-b) என்பதாக ஒடுங்கும். 0-640 எனின் இப்பல்லுறுப்புக் கோவை 2 இனுடைய வேறு வேறன (n-1) பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப்பூச்சியமாகாது.
.‛. ዉ፤ – bu == 0
அதுபோல, a-b= 0; இவ்வாறே பிறவும்.
ஈற்றில் a-b= 0.
. தந்த இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் ஒன்றுக் கொன்று சர்வசமன்
(உ. ம்). a, b, c என்பன சமனிலிகளாயின்,
a (a - b) (a - c) b” (a - c) (a - a) c (a - a) (a-b) (a-b) (a-c) (b-c) (b-a) " (c-a) (c-b)
எனக் காட்டுக.
வலப்பக்கத்தில் உள்ள கோவை 2 இல் 2 ஆம்படியையுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ; அவ்வாறே இடப்பக்கத்திலுள்ள கோவையும்,
a = a ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், 0° இற்கு ஒடுங்கும் ;
ஐ -b ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், 6° இற்கு ஒடுங்கும் ; a = c ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும் 0° இற்கு ஒடுங்கும். அதாவது, அப்பல்லுறுப்புக் கோவைகள் 2 இனுடைய வேறுவேருன இரு பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குச் சமன்.
". அவை சர்வசமணதல் வேண்டும்.

Page 159
306 தூயகணித மூலகங்கள்
இருபடிச் சமன்பாடு
a + 0 ஆக, a2+bx+c என்பது a இல் இரண்டாம் படியையுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகுக.
இப்பல்லுறுப்புக் கோவை 2 இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்குப் பூச்சியமாகலாம், அன்றிப் பூச்சியமாகாது விடலாம். அப்பல்லுறுப் புக் கோவை பூச்சியமாகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானம் யாதேனும் உண்டெனில் அது aa + bx +c = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் எனப்படும். இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2 இனுடைய பெறு மானங்கள் உண்டெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய் யானவை எனக் கூறுவோம். அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் a இன்பெறு மானம் யாதொன்றும் இல்லையெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் கற்பனையானவை எனக் கூறுவோம்.
அச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் உண்டோ எனத் துணிதற்கு நிறை
வர்க்கமாக்கல் என்னு முறையை வழங்குவோம்.
aat* —— bat -- c = ]aهېږم —+ аbх +– са]
b\2 b - 4ac =[(2 + ) - 4.
B\ጳ 2. (a +3) = عملهمة ஆகும்பொழுது ax + bx + c = 0.
வகை 1. 6?-4ac> 0 ஆகுக. V(6?-4ac) என்பது b?-4ac என்பத னுடைய நேர்வர்க்கமூலத்தைக் குறித்தால், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் a இனுடைய பெறுமானங்கள் உண்டு ; அவை
b V(bo-4ac) *+5=土ーす三
- 2அதாவது, x="+"பி,
என்பதாலே தரப்படும்.
இவ்வண்ணம் b*-4ac > 0 ஆகும்பொழுது,
— b —+- V/(b°— 4ac) — b — «V(b*— 4ac) 2a 2a
என்னும் இரண்டு மெய் மூலங்கள் உண்டு.
சிறப்பாக, a, c என்பனவற்றிற்கு இரு முரண் குறிகள் இருந்தால் அச்சமன்பாட்டிற்கு இரு மெய் மூலங்கள் உண்டு.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 307.
mu6ONG II. 6?-4ac = 0 ஆகுக.
ஆயின், அச்சமன்பாடு,
(or -- E) = 0,
2 அதாவது, (+鐵) = 0 என்பதாகும்.
இச்சமன்பாடு
... b (+懿)(+鐵)-9
என எழுதப்படலாமாதலின், அச்சமன்பாட்டிற்கு ஒவ்வொன்றும் -
இற்குச் சமனன இரு பொருந்து மூலங்கள் உண்டு எனப்படும்.
6n 6ong III. b°- 4ac < 0 g(55.
ஆயின், ஓர் எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்க் குறியோடு பொருந்தாதாகலான்,
0\ጻ h2 - (a +3) =* என்னுஞ் சமன்பாடு 2 இன் யாதும் ஒரு பெறு
மானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
ஆகவே, 6?-400 < 0 ஆகும்பொழுது அவ்விருபடிச்சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் யாதுமில்லை.
அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களினது தன்மையைப்பற்றி வேறு பிரித்து அறிதற்குத் துணைசெய்யும் 6-4ac என்னுங் கணியம் தன்மைகாட்டி எனப்படும்.
மூலங்களுக்குங் குணகங்களுக்குமுள்ள தொடர்புகள்.
aa + ba + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருண அல்லது பொருந்துகின்ற a, 8 என்னு மெய் மூலங்கள் இருக்க.
2 = a ஆகும்பொழுதும் a = 8 ஆகும்பொழுதும் a + bx + c என்னும் பல்லுறுப்புக்கோவை பூச்சியமாகும்.
.. (a-a) (-8) என்பது அப்பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு காரணி யாகும்.
". aac*–+- ba: —+ c = a (ae — a) (ac —8).

Page 160
308 தூயகணித மூலகங்கள்
இருகோவைகளிலுங் 2 இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது
b=a(ーaー6).
மாறத உறுப்புக்களைச் சமன்படுத்த,
c = aaß.
b 20 இன்குணகம் 0.
* a + 8=ー;=
22 இன்குணகம்
8-3-மருவுறுப்பு.
a a? இன்குணகம்
உதாரணங்கள்
(1). a, 8 என்பன aa + ba + c = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டினுடைய
மூலங்களாயின், a,b,c என்பனவற்றில்,
(i) a + 8, (i) a +89 ஐக் காண்க.
a+8=-器 aß=
bጳ 2 .. ao+8 = (a +8)-2a8=-.
(82 +-Q8 -- قo8 + 83 = (d+ 8)(o
= (a, -- 8) (a + 8)-3al6
bb 3c 气丁砷及丁及
(2) a, 8 என்பன aa + ba + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயிருக்க, a + 1, B -+ 1 என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
a -- I B+ 1
காண்க.
என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச்சமன்பாட்டைக்

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 309 .
வேண்டிய சமன்பாடு a + p2 + g = 0 ஆயின்,
I . -P=aェュ+所ェ五 انچLILf( و
2=பு:18+1 ஆயுமிருக்கும்
2+2 الق- دي في 18 كيـكيلي + يا α . Η 1 B+1 ab+a+B+ 1 ;- + 1 -b-i-2a C – Ö ÷ ዉ
-
石下五百下可下西丁古下瓦丁五下二瓦下á .. வேண்டிய சமன்பாடு,
(c - b + a) ac?+ (b– 2a) ac +- a == 0 i 67 6ötLiga.
வேறெருவழி பின்வருமாறு:-
a என்பதை மாறியாக வழங்குதற்குப் பதிலாக, அம்மாறியைக் குறிப்பதற்கு வேறுயாதும் எழுத்தை நாம் வழங்கலாம். 0 = 0 ஆகும் பொழுதும் 0 = B ஆகும்பொழுதும் a + ba + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படுமாயின், g = a ஆகும்பொழுதும் g = 8 ஆகும் பொழுதும் ag^ + bg + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
y=石 எனப் பிரத்தியிடுகின்றேமெனக் கொள்க. မ္လဟိုး"r, a = 0 ஆகும்பொழுது, g = ;エ五; *ー 8 ஆகும்பொழுது y-g -- 1
2 +)-( + (1-)by + c = a + ميa
y (c-b-a) + y (b - 2a) -- a y 3 = 0. ஆதல் 8 ஆதலாயிருக்கும்பொழுது aa + bx + 0 என்பது
பூச்சியமாகுமெனின், g = ஆதல் B ஆதலாயிருக்கும் பொழுது
g'(c-b + d) + g (b -2a) + a என்பது பூச்சியமாகும். g என்பது மாறி
α + 1 β + 1
d-Lo65TL TG
யாயின், என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச்
y (c-b -- a) -- y (b - 2a) -- a = 0 GT667Lugil.

Page 161
310 தூயகணித மூலகங்கள்
(3) a, h, b, , m, ', m" என்பன a, g என்பனவற்றைச் சாராமலி (T5ćšais ho > ab 6T6Iof6ÖT, aato -- 2hary -- bylo 6TGð7 g (lat -- my) (l'at -- m’y) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படலாம் எனக் காட்டுக.
2hag + bg=g(2ha + bg) ஆதலால், a என்பது பூச்சியமெனின் முடிபு வெளிப்படை.
a என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
aar? -- 2bazy -- by* = α (a°a" + 2ahay -- aby*)
[(aa -- hy)*-- (h* - ab) yo)
E
[(aa -- hy)* - poyo), 9ĚJGg5 p = v/(ho— ab)
==
i
(a + hy + py) (ax + hy -py)
= (lat -- my) (l'aw -- m’y).
பயிற்சி 1. a, b, c என்பன தரப்பட்ட எண்களாயின்,
(a-b)(2-0) + (a-c) (a-a) + (x-a)(a-b) = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் உண்டெனக் காட்டுக ; a, b, c என்னும் எண்களுள் இரண்டாயினுஞ் சமனிலிகளாயின், அம்மூலங்கள் வேறு வேருனவை என்றுங் காட்டுக.
2. 2இன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும் 30+ என்பது - 2, 2
என்பனவற்றிற்கு இடையில் யாதும் ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்கா தெனக் காட்டுக.
3. a,8 என்பன aa2+bx+c=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயின், a2,82 என்பனவற்றை மூலங்களாகவுள்ள இரு படிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
4. 32-ba + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் இருக்க 0 + 1>b>2 ஆயின், ஒவ்வொரு மூலமும் 1 இலும் பெரிதாகமெனக் காட்டுக.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 3.
5, 04ற ஆக, a2+2aa + b = 0,
a + 2p2 + g= 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது மூலம் உண்டெனின், அதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(g-b)*= 4 (p-a)(ag-bp) என்றுங் காட்டுக.
6. Ga+b2) + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் இருந்தால்,
(i) இரு மூலங்களும் நேராகுமாறு, (i) இரு மூலங்களும் எதிராகுமாறு, (ii) ஒரு மூலநேராயும் மற்றையது எதிராயுமிருக்குமாறு, (iv) ஒரு மூலம் பூச்சியமாயும் மற்றையது பூச்சியமல்லாதாயுமிருக்கு
10ாறு, (v) இரு மூலங்களும் பூச்சியமாகுமாறு, மட்டாகப் போதுமான நிபந்தனைகளைக் காண்க 7. ஃ+ aa + b = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்றை யதன் வர்க்க மெனின்,
a3-3ab + b + b2 - 0 எனக் காட்டுக.
8, ' + ;=t எனப் பிரதியிடுதலால், a4+228-6a2+2+1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
9. a,b,h என்பன பூச்சியமல்லாதனவாயும் h-ab>0 ஆயும்
இருந்தால், aa2+ 2 hag+by?= 0 என்னுஞ் சமன்பாடு ,ே g/
என்பனவற்றின் பூச்சியமல்லாத பெறுமானத்தாலே தீர்க்கப்படும் எனக்
காட்டுக. h?-ab>0 ஆயும், (a,g), (a, g) என்பன ga-ga என்பது
பூச்சியமாகாதவாறு அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் a,g என்பனவற்றின்
பெறுமானங்களின் இரு தொகுதிகளாயும் இருந்தால்,
b(agg +32g) = -2haa என்றும், byg= aaa என்றுங் காட்டுக.
10. aa2+ bx + c = 0, aa2+ ca + b = 0 என்னும் இருபடிச்சமன் பாடுகள் சர்வசமனில்லாதிருக்க அவற்றிற்கு ஒரு பொதுமூலம் உண்டெனின் a + b + c-0 எனக் காட்டுக.
அவ்விரு சமன்பாடுகளின் ஏனைமூலங்களாலே தீர்க்கப்படும் இரு படிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
12—J. N. B 66342 (6/57)

Page 162
32 தூயகணித மூலகங்கள்
11, 0, 8 என்பன aa2+ba + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயிருக்க S =a +87 எனின்,
a S + b S. + cS.-0 எனக் காட்டுக.
a + 84 என்பதன் பெறுமானத்தை a,b,c என்பனவற்றிற் கணிக்க.
குறித்த ஒருங்கமை சமன்பாடுகளினுடைய தீர்வுகள்
1. ,m,m,a,b,c,h,fg என்பன தந்த எண்களாயிருக்க
lac -- my -- n = 0,
aa*+ 2 hay+ by? + 2 ga+2 fy + c = 0
என்னுஞ் சமன்பாடுகளை ஆராய்க. இச்சமன்பாடுகள் இரண்டையும் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காணல் இயலக்கூடியதாகலாம் அல்லது இயலாததாகலாம். m என்பது பூச்சியமன்றெனின், முதலாம் ğFL06öTLURT(B,
_iz+n
என எழுதப்படலாம்.
இரண்டாஞ் சமன்பாட்டிற் பிரதியிட நாம் பெறுவது
aa- 2i:(:)+ b(ko+n)"+2 z-“サ"+e=0. 772, ገm* . ጎገ0
பொதுவாக, இது 2 இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. இச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இல்லையெனின், அந்தந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல் இயலாது.
20 இலுள்ள அவ்விரு சமன்பாட்டிற்கு a, a என்னுமெய் மூலங்கள்
உண்டெனின், g இனுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் y = - *十” என்பதிற்
ፃበቤ
பிரதியிடுதலாற் பெறப்படும்.
a, a என்னும் அம்மூலங்கள் பொருந்தாவாயின், அந்தந்த ஒருங்கமை
சமன்பாடுகளுக்கு இரு தீர்வுத் தொகுதிகளைப் பெறுவோம். a, a என்பன பொருந்துமாயின், ஒரு தீர்வுத் தொகுதியையே நாம்பெறுவோம்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 1 313
2 இலுள்ள மேற்றந்த இருபடிச்சமன்பாட்டில், a* இன் குணகம் (am?-2hm+b2) ஆகும். am?-2htm+b2=0 ஆயின், அச்சமன்பாடு இருபடிச்சமன்பாடன்று; 2 இன் குணகம் பூச்சியமன்றெனின் இச்சமன்பாடு, 20 இற்கு ஒரு பெறுமானத்தைக் கொடுக்கும் ; கொடுக்க தந்த ஒருங் கமை சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு தீர்வுத் தொகுதியே இருக்கும். 20 இன்குணகமும் பூச்சியமெனின் தந்த சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு யாதும் இராது. ,
m என்பது பூச்சியமெனின், என்பது பூச்சியயமாகும் வகையை நாம் ஆராய்தல் இயலாது. என்பது பூச்சியம் அன்றெனின், முதலாஞ் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 என்பதை g இல் உணர்த்தி அதற்கு ஒத்த ஒரு வழியாலே நாம் ஆராயப்புகலாம்.
(sgl-no). I. ac --- 2y -- 5 = 0,
at* -- y* - 2ac - 4y = 0,
என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
ac = 5 - 2y.
(5ー2y)"十y"ー2(5ー2y)ー4/=0, y - 49 -- 3 = 0, g = 1 அல்லது 3, a = 3 அல்லது -1.
.. நாம் பின்வரும் இருதீர்வுத் தொகுதிகளைப் பெறுவோம் (i) a = 3, y = 1. (ii) r=ー1, y=3.
11. a,b,b,c, d',h',b',0' என்பன தந்த எண்களாக,
aar? -- 2 hary -- bylo = c, a'ao. -- 2 hay --by = c,
என்னுஞ் சமன்பாடுகளை ஆராய்க. அவ்விரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்து நாம் பெறுவது
c'(ao-2 hay+bgo) = c(a'ao+2hay+ b'yo);
og Tog5 Alaco-+2Hay + Byo=0;
gršGg5 A = ac' — a'c, H = hc' — h’’c, B = bc' — b"c.
H2> AB எனின், இச்சமன்பாடு, (a+mg) (10+m'g) = 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்

Page 163
34 தூயகணித மூலகங்கள்
a +my=0, 'a+my=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் யாது மொன்றைத்தீர்க்கும் a, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களால் இச் சமன்பாடு தீர்க்கப்படலாம்.
f இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும் a= m ஆயும், g= - ஆயும் இருக்கும்பொழுது a +mg= 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும் தந்த இரு சமன்பாடுகளுள் யாதுமொன்றிலே நாம் பிரதியிட்டால், ! இனுடைய இருபெறுமானங்களைப் பெறுவோம்.
'a+m'g= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுத்தலால் இவ்வண்ணந் தந்த சமன்பாடுகளுக்கு இரு தீர்வுத் தொகுதிகள் பெறப்படலாம்.
H2

Page 164
அத்தியாயம் 2
இருபடிச் சார்பின் மாறல்
a,b,c, என்பன தந்த மாறிலிகளாக இருக்கும்பொழுது அவற்றுள்
a என்பது பூச்சியமன்றெனின், aa2+b2 + c என்பது 2 என்னு மாறியின் ஓர் இருபடிச்சார்பு எனப்படும்.
2 -h aat? -- bat -- c = a [(z+ () +岑°
2a. 4ዉ”
b \ጻ 2 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் (z+ 皺 > 0; .
இங்கு =ை -, ஆகும்பொழுது சமனகு தன்மை உண்மையாகும்.
6-4ac <0 ஆகுக.
b \o 4ac-bo ஆயின், எல்லா 2 இற்கும் (+) +-- > 0.
. a2+bx+c என்பது ஒருபோதும் பூச்சியமாகாது ; அதன் குறி வ இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a இன் குறியோடு ஒன் ருகும்.
b*-4ac = 0 ஆகுக.
ஆயின், میه +bx+c = a(a+(
Ec - ஆகும்பொழுது, ax+bx+c என்பது பூச்சியமாகும்; அதன் குறி 2 இனுடைய பிற பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a இன் குறியோடு ஒன்றகும்.
68-4ac> 0 ஆகுக. guSait, aa’--ba -- c = a(X-p) = a(X-p)(X--p),
இங்கு X = 2+ : p = V/{(b° — 4ac)/4a*}
. a,8 என்பன a,b,c என்பனவற்றைச் சார்ந்த வேறுவேறன எண் களாயின், aa2+b2+c என்பது a (c-d) (-8) என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம்.
316

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 317
2 இற்கு a,8 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கின்ற யாதுமொரு
பெறுமானம் இருந்தால், a - a, a -8 என்னுங் காரணிகளுள் ஒன்று நேராயும் மற்றையது எதிராயும் இருக்கும்.
2 என்பது a இற்கும் 8 இற்கும் இடையிற் கிடந்தால், aaفن + b3 + c என்பதற்கு a இன்குறியோடு முரணிய குறி இருக்கும்.
a என்பது a, 8 என்னும் இரண்டிலுஞ் சிறிதாயின், அவ்வாறன்றி அவை இரண்டிலும் பெரிதாயின்,
3-0,0-8 என்னுங் காரணிகளிக்கு ஒரே குறி இருக்கும்.
.2 என்பது 0.8 என்னும் இரண்டிலுஞ் சிறிதாயிருந்தாலும், அன்றி அவை இரண்டிலும் பெரிதாயிருந்தாலும், aa+ba + c என்பதற்கு a இன் குறியோடு ஒன்றகிய குறியே இருக்கும்.
a = a அல்லது 8 ஆயின், aa2+bx+c=0.
இவ்வண்ணம், 62-4ac>0 ஆயினுற்றன், 2 மாற aa2+bx + c என்னுஞ் சார்பு தன் குறியை மாற்றக்கூடும் எனக் காண்கின்றேம். '
இருபடிச் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களின் நிலையைக் குறித்தல்
b*-4ac>0 ஆயினுற்றன், a2+b2) + 0 = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன இரண்டு மெய் மூலங்கள் இருக்கும். b -4ac>0 ஆயினுற்றன், a மாற aa2+bx+c என்னுஞ் சார்பு தன் குறியை மாற்றும் என்றுங் கண்டுள்ளோம். ஆகவே, aa2+bx+c என்னுஞ் சார்பிற்கு 2 இன் யாதோ ஒரு பெறு மானத்திற்கு ( p என்க) ஒரு நேர்ப் பெறுமானமும், a இன் யாதோ ஒரு பெறுமானத்திற்கு ( g என்க ) ஒர் எதிர்ப்பெறுமானமும் இருந்தால் aa2+bx+ 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேறன இரு மெய் மூலங்கள் இருக்கும். 0.8 என்பன இம் மூலங்களாயின், aa2+bx+c என்பது a(a-a) (0-8) என்பத னேடு சர்வசமனகும். a இற்கும் 8 இற்கும் இடையிலுள்ள 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு, aa2+bx+c என்பதற்கு ஒரே குறி இருக்கும் ; a, 8 என்னும் இரண்டிலும் பெரிதாகிய அல்லது அவை இரண்டிலும் சிறிதாகிய 20 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு aa+bx+c என்பதற்கு எதிர்க்குறி இருக்கும். ஆகவே, d, என்னும் எண்களுள் ஒன்று மாத்திரம் p, q என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும். 's

Page 165
318 தூயகணித மூலகங்கள்
(உதாரணம்)1. a, b, c என்பன எல்லாம் வேறுவேருயின், (a-a) (a-b)
+(a-b)(2-0) + (x-c)(3 -d) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேறன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக ; a, b, c என்பனபற்றி இம்மூலங்களினுடைய நிலைகளைத் துணிக.
f(x)=(zーa)(a;ーb)十(2ーb)(2ーc)十(2ーc)(2ーa) 愛」(59.
f(a) என்பது a இன் ஓர் இருபடிச் சார்பு.
a,b,c என்னும் எண்களுள் a என்பது மிகப்பெரிதாயும் c என்பது மிகச்சிறியதாயுமிருக்க.
f(c) = (c-a)(c-b) > 0.
if (b) = (b - c)(b - a) < 0.
ஆகவே, f(a) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் வேறுவேறன மெய்மூலங்களாகும் ; இம்மூலங்களுள் ஒன்றே ,ே b என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
இனி, f(a) = (a-b)(a-c)>0.
ஆகவே, மற்றைமூலம் a இற்கும் 6 இற்கும் இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
(உதாரணம்) 2. a,b,p,g என்பன தரப்பட்ட எண்களாக ற என்பது 4
இற்குச் சமனில்லை எனின்,
雪 b።
+ * - 1 – =یو என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன மெய்
மூலங்கள் இருக்கும் எனக் காட்டுக.
அச்சமன்பாடு aஃ(g-2) + b*(p -a)--(p-a)(g-a) = 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.
f(a) என்பது இடப்பக்கத்திலுள்ள 2 இன் இருபடிச்சார்பைக் குறிக்க.
J(p)=の"(gーp).
if(q) = bo(p — q).
f(p), f(g) என்பனவற்றிற்கு எதிர்க்குறிகள் உண்டு.
ஆகவே, f(a) = 0 என்னுஞ்சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன மெய்மூலங்கள் உண்டு ; அவற்றுள் ஒன்றே p இற்கும் g இற்கும் இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 319
மற்றை மூலத்தினது நிலையைத் துணிதற்கு f(a) என்பது ?+Aa+B என்னும் வடிவத்தில் இருப்பதைக் காண்கின்ருேம். 2 என்பது பூச்சிய
2 இன் எண்பெறுமானம் மிக்ப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது
1 -- 4. + என்பது மிக்க அண்ணளவாக, 1 ஆகும். ஆகவே, a இன்
எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாயிருக்கும் பொழுது,
சி+ Aa + B என்பது நேராயு மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும்.
p > g எனக் கொள்க.
ஆயின், s(p)=a"(qーp)<0.
K என்பது ஒரு மிகப்பெரிய நேர்க் கணியமெனின்,
f(K) > 0.
.. மற்றை மூலம் p இலும் பெரிது.
பயிற்சி
1. a, b, c என்பன தந்த எண்களாக, அவற்றுள் C> 1 எனின் a + 2 + 1-0 (a-a) (a-b) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறு, வேருன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்குமென்றும், a, b என்பன இம் மூலங்களுக்கு இடையிற்கிடக்கும் என்றுங் காட்டுக.
2. a > b> 0 ஆக, p, g, r என்பன பூச்சியமல்லாத மூன்று எண்களா யிருக்க அவற்றுள் g என்பதற்கு p, r என்பனவற்றுள் ஒன்றிற்காயினும் உள்ள அதே குறியிருக்க, a + b + c என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
p(rーb)(a;ーc)十g(rーc)(rーa)十r(2ーa)(rーb)=0
என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன இரண்டு மெய்மூலங்கள் உண்டென்று காட்டுக.
p, q என்பன நேராயிருக்க, r என்பது எதிராயின், ஒரு மூலம் a, b என்பனவற்றிற்கு இடையிற்கிடக்குமென்றும், p + g + r என்பது பூச்சியத்திலும் பெரிது அல்லது சிறிது என்பதற்கேற்ப மற்றை மூலம் c இலுஞ் சிறிது அல்லது G இலும் பெரிது எனக் காட்டுக.

Page 166
320, தூயகணித மூலகங்கள்
8, a + aa + b = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு a, 8 என்னும் வேறு வேருன மெய்மூலங்களும், a + pa + g = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு, y, 6 என்னும் வேறுவேறன மெய்மூலங்களும் இருக்க a >y>8>6 எனின் 23 + (a + p)2 + b + g=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன மெய்மூலங்கள் இருக்கும் என்றும், அவற்றுள் ஒன்று a, y என்பன வற்றிற்கு இடையிலும் மற்றையது 8, 6 என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இருக்குமென்றும் காட்டுக.
4, p என்பது நிலையான இரண்டு எண்களுக்கு இடையிற் கிடக்க வில்லை என்றற்றன், p?-2 (3p + 1) + 2p - 1 = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டிற்கு 30 பற்றி மெய்மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக.
5. p இன் பெறுமானம் பூச்சியமல்லாமல் யாதாயிருந்தாலும் p?-22-(p + 1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு 2 பற்றி வேறுவேருன இரு மெய்மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக.
6. p என்பது 4, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், k இன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும் (a -1) (2-2) k + pa-1 - 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டிற்கு 2) பற்றி வேறுவேறன. மெய்மூலங்கள் இருக்குமெனக்காட்டுக.
7. (22-62-7) (a + 2 + 1) (a-8) என்னுங் கோவை நேராயிருக் கின்ற a இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சுக்களைக் காண்க.
8. 0 0 எனின், a (e -- என்பது நேர் அல்லது பூச்சியமாகும்.
O
", a > 0 ஆகும்பொழுது a இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் aato -- bac -- c 4ac - b.
என்பதன் மிகச்சிறிய பெறுமானம் 4 : இற்கு மிகப்பெரிய பெறு
2 மானம் எடுப்பதால் (+懿) என்பது நாம் விரும்பும் வண்ணம் பெரிதாக்
C, 

Page 167
322 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, y இனது தந்த ஒரு பெறுமானத்திற்கு 3 இன் ஒத்த
பெறுமானம் யாதும் இருந்தால் அது ஒர் இருபடிச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். 6-4a (c-g) > 0, அல்லது 4ag> 400-8? ஆயினுற்றன் இவ்விருபடிச் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும்.
4ac - b.
4a s
4ac - b.
4a
.. a > 0 எனின், 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் g அடையும் மிக
4ac - b.
40
a < 0 எனின், 20 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் y அடையும் மிகப்பெரிய
4ac-b
.. மெய்யான a இற்கு, a > 0 எனின், g>
a < 0 6T60fait, ys
சிறிய பெறுமானம்
பெறுமானம்
4ag> 400-ம் ஆகும்பொழுது, 20 இலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்கும்.
.. d> 0 எனின், 20 இனுடைய வேறுவேறன இரண்டு பெறுமானங்
4ac - b.
0.
களுக்கு aa + bx + c என்பது என்பதிலும் பெரிதான எப்பெறு
மானத்தையும் எடுக்கும்.
a < 0 எனின்,  ைஇனுடைய வேறுவேறன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு
4ac - b.
aa + bx + c என்பது என்பதிலுஞ் சிறிதான எப்பெறுமானத்
தையும் எடுக்கும்.
இருபடிச்சார்பின் வரைப்படம்.
y = aa+ bac + c
b. W. 4c - b. -"(+懿) 十三五一 ஆகுக'.
b Հo b KO
ஃ =ை-+ ஆயும் a = -- ஆயும் இருக்கும்பொழுது தந்த யாதுமொரு t இற்கு g இற்கு ஒரே பெறுமானம் இருக்கும்.
ஆகவே, அதன் வரைப்படம், E = -i. என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே
தரப்படும் y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான கோடுபற்றிச் சமச்சீராதல் வேண்டும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 323
- ha a > 0 எனின், g என்பதற்கு 4ab என்னு மிகச்சிறிய பெறுமானம் இருக்கும்.
4ac - b. ஆகவே, அவ்வரைப்படம் g =
40
Y
என்னுங் கோட்டிற்கு மேலே முழுவதும் கிடத்தல் வேண்டும்.
ᏎaᏓᏟ - b*
4a எப்பெறுமானத்திற்கும் 2 இற்கு
இலும் பெரிதான இன்
i
இரு பெறுமானங்கள் இருக்கும். 2 0
ஆகவே, 2 அச்சிற்குச் சமாந் மாய் =*" என்னுங் தர w=一エ இறு -ܣܠ கோட்டிற்கு மேலே கிடக்கும் x = a 4. எக்கோடும் அவ்வரைப்படத்தை
- ha வேறுவேறன இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும். y=“ b என்பதற்கு
4ac - ஒத்த C இனுடைய பெறு மானங்கள் பொருந்துமாதலின், g = 40
என்னுங்கோடு 0 = -, என்பதாலே தரப்படும் இரண்டு பொருந்தும் புள்ளிகளில் அவ்வரைப் படத்தை வெட்டும்.
இக்கோடு 2 = -, என்னும் புள்ளியிலுள்ள அவ்வளைகோட்டினது
தொடுகோடு எனப்படும்.
3. y (z + () என்பது மிகப்பெரி
2α
தாகும்பொழுது g என்பது நேராய் மிகப் பெரிதாகும்.
அவ்வரைப்படத்தின் பொது வடிவம் மேலுள்ள படத்திற் காட்டியவாறு இருக்கும்.
h2-4ac > 0 எனின், அவ்வரை ப்படம் 2 அச்சை வேறுவேருன இரண்டு புள்ளிகளில் அல்லது இரண்டுபொருந்தும் புள்ளிகளில் வெட்டும்; 6-4ac < 0 எனின், அவ்வரைப் படம் a அச்சை வெட்டாது.
ܣܦ
X

Page 168
324 2 :ேதூயகணித மூலகங்கள்
a < 0 எனின், மேலுள்ளனவற்றிற்கு ஒத்த நியாயங்கள் பொருந்தும். அவ்வரைப்படமும் முன்போன்ற அதே வடிவினதாகும்; அவ்வளேகோடு தலைகீழாயிருக்குமென்பதே அதன்வேறுபாடு.
ax-- bX -- c. px* -- qX -- r a, b, c, p, q, r என்பன தந்த எண்களாயும் a, p என்பனவற்றுள் ஒன்ருதல் பூச்சியமல்லாததாயும் இருக்க, aa + ba + c, p2 + g + r என்னுஞ் சார்புகளுக்கு a என்பதை அகப்படுத்தும் ஒருபொதுக்காரணியும் இல்லையெனின், −
aato + b + c qa0 -+- r -+- 2نpa - aao + ba + c r + مp32 + ga /*
... av? (py - a) -- ar (gy - b) - ry - c = 0. pa + ga + r என்பதைப் பூச்சியமாக்காத ஒரு பெறுமானத்தை 2 என்பது எடுக்கும்பொழுது g இற்கு ஒரு தனிப் பெறுமானம் இருக்கும்.
a, g என்பனவற்றினுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் மேலேயுள்ள சமன்பாட்டாலே இணைக்கப்பட்டுள்ளன. -
என்பதனுடைய நடத்தை.
என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பை ஆராய்க.
ஆகுக'.
p என்பது பூச்சியமல்லாதாயும் y = ஆயும் இருந்தால் 3 இன்
i
ஒத்த பெறுமானம்.
a (; ) + r ; c = 0
Άρ p
என்னும் ஒருபடிச்சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
.. என்பது பூச்சியமன்றெனின், 30 இற்கு ஒரு பெறுமானத்தை
மாத்திரம் பெறுவோம்.
-b என்பது பூச்சியமெனின், g=alp என்பதற்கு ஒத்ததாய 2
இற்கு ஒரு பெறுமானமும் இல்லை. (a + bx + c)/(pa + g + r) என்பது alp + (-ralp) / (pa^ + g + r) என்பதற்கு ஒடுங்குகின்றமையின், இவ்வகை இங்கு ஆராயப்படவேண்டியதில்லை.
, pl/ - α. என்பது பூச்சியமன்றெனின், a இன் ஒத்தபெறுமானம்
ato (py - a) -- ac (gy — b) -- ry - c = 0 ,

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 325
என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
(ay-b)*-4 (py-a) (ry-e) >o esile9josi, இச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும். அதாவது, , A = ?-4றr ஆயும், B = -bq+2ar+2cற ஆயும்
C = 6*-4ac ஆயும் இருந்தால்,
Ay-|- 2 By -- Ceo.
g= ஆகும்பொழுது இந்நிபந்தனை தெளிவாய்த் தீர்க்கப்படும்.
i
ஆகவே, Ag?+2Bழ+ C> 0 என்னும் நிபந்தனையைத் தீர்க்கும் g இன் எப்பெறுமானமும் a இன் யாதும் ஒரு பெறுமானத்திற்கு (aa + ba 十c) (pa + g + r) என்பதன் ஒரு பெறுமானமாதல் வேண்டும்; இச்சார்பு வேறெரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காது. د ، "
வகை 1. A =0 ஆகுக ; அதாவது g-4pr = 0. அதாவது, p2 + g + r என்பது p (e +翡) என்னும் வடிவினது. அந்நிபந்தனை 2Bழ்+020 ஆகும். B என்பது பூச்சியமெனின், aa +bx + c என்பதற்கு a+ 荔 என்னும் ஒரு காரணி இருத்தல் வேண்டுமென்பது தெளிவாய்க் − காணப்படும், &a2+ba + c, pa^ + g + r என்பனவற்றிற்கு ஒரு பொதுக்காரணி உள்ள வகையை நாம் ஆராயவில்லை. B என்பது பூச்சியமல்லாததாகும் s
B'>0 ஆக 92-ஃ ஆயினுலும்,
ο ο B < 0 gas y s. T2B ஆயினலும், . மேலுள்ள நிபந்தனை தீர்க்கப்படும். '. 2 இன்பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் B> 0 எனின்
aac -- bat -- c. pac* -+- qac —+— r
காது ; அன்றி B < 0 எனின், T2B இலும் பெரிய எப்பெறுமானத்தை
என்பது ਨੂੰ இலுஞ்சிறிய எப்பெறுமானத்தையும் எடுக்
պւճ, Ք13Ջ எடுக்காது. s:

Page 169
326 தூயகணித மூலகங்கள்
இன்னும், 2Bழ+ 0> 0 ஆகும்பொழுது 2 இலுள்ள அவ்விருபடிச்
சம்ன்பாட்டினது தன்மைகாட்டி நேராயிருப்பதால், என்பன
Ο α T2B' p வல்லாத g எடுக்கும் எப்பெறுமானமும் 2 இனுடைய வேறுவேறன இருபெறுமானங்களுக்கு அடையப்படும் என்பது பெறப்படும்.
sau6onas II. A > 0 g( )5ھ زنی.
g இனுடைய வேறுவேறன பெறுமானங்களுக்கு Ag? -- 2By + 0 என்பதன் குறியை நாம் ஆராய்தல்வேண்டும்.
இது g இன் ஓர் இருபடிச் சார்பு.
.. B?-AO< 0 எனின், g இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் Ag^ + 2By + 0 என்பதற்கு A இனது குறியே யிருக்கும்.
B?-AC = 0 எனின், Ag? + 2By + 0 என்பது g இன் ஒரு குறித்த பெறுமானத்திற்குப் பூச்சியமாகி g இனுடைய பிறபெறுமானங்கள் எல் லாவற்றிற்கும் A இன்குறியையே எடுக்கும்.
B2 - 4ACS 0 எனின், g இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் Ag^ + 2By + 0 > 0, ஆகவே, g இன் எப்பெறுமானததிற்கும் a இலுள்ள இருபடிச்சமன்பாடு 0 இற்கு மெய்ப்பெறுமானங்களைத் aat° -- ba - c pati -- qac -- r என்னுஞ் சார்பு தந்தயாதும் பெறுமானத்தை எடுக்கும். g இற்குத் தந்த பெறுமானம் py-a = 0, Ag^ + 2B) + 0 = 0 என்னுஞ் சமன் பாடுகளுள் யாதொன்றையுந் தீர்க்காதாயின், அச்சார்பு 2 இன் வேறு வேருன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு அப்பெறுமானத்தை அடையும்.
தரும்; அதாவது, 30 இனுடைய தக்க பெறுமானங்களுக்கு g =
B?-AC> 0 எனின், Ag^ + 2Eg + 0 என்னும் இருபடிச்சார்பு A (y-a) (g-8) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படலாம். இங்கு, a, 8 என்பன வேறுவேறன இருமெய்யெண்கள்.
". y என்பது a, 8 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கவில்லையெனிற் O36ör, Ay--2By -- C20.
aa-ba -- c pa?-- gat + r என்பனவற்றிற்கு இடையிற்கிடக்கும் ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காது.
என்னுஞ் சார்பு 2 இன் எப் பெறுமானத்திற்கும் a, 8

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 327
வகை I, A < 0 ஆகுக ; ஆயின் p என்பது பூச்சியமாகாது.
..”. Bo - AC = ( - bq -- 2ar +- 2pc)* - (qo - 4pr) (bo - 4ac)
2 -(-ha-2ar+2pe+") + (pr-r) (-)
?-4றr என்பது எதிராயிருத்தலால் b-uglp = 0 என்பது புறக்கணிக் கப்பட்டமையால், B?-40 என்பது நேராகும்.
..'. A <0, B* - AC > 0. a, 8 என்பன வேறுவேருன இருமெய்யெண்களாயின், Ag"+2By+ 0 என்பது A (g-a)(g-8) என்னும் வடிவில் உணர்த் தப்படலாம்.
ஃ g என்பது 0.8 என்பனவற்றிற்கு இடையில், (இரண்டும் உட்படக்) Gl 55tpg6r Ay”--2By-C > 0.
aato -- bac -- c . pac* –+ qac + r 0.8 என்பவற்றிற்கு இடையில் (இரண்டும் உட்பட) உள்ள பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுக்கும்.
என்னுஞ் சார்பு 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
(உ-ம்). 1. T இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
ac-- (α - 1)* அதனை ஒரு வரைப்படத்தால் விளக்குக.
a +1 (at-lt .0 = 1 - 9 + 2ag - (1 - 0) لأنه
g= 1 ஆகும்பொழுது 2=0.
g இன் வேறுயாதும் பெறுமானத்திற்கு 2 என்பது ஓர் இருபடிச் சமன் பாட்டாலே தரப்படும்.
,6T6ofl6dT 0چ<*(1 -- g2 -- (gy
என்னுஞ் சார்பினது நடத்தையைத் தொடர்ந்து காண்க :
ஆகுக'.
அதாவது 2g -1>0 எனின்,
அதாவது g2; எனின்,
அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும்.

Page 170
328 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, 2 இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்களுக்கு g எடுக்கும் எப்பெறுமானமும் இலுஞ் சிறிதாகாது.
* இலும் பெரிதான g இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் ஒத்தனவாய் g = 1 அல்லாதபோது a இற்கு இருபெறுமானங்கள் இருக்கும். y= ஆயிருக்கும்பொழுது 0 இற்கு -இல?-2 - = 0 அல்லது (a + 1)=0 என்பதாலே தரப்படும் இரண்டு பொருந்துமூலங்கள் இருக்கும்.
ஆகவே, அச்சார்பின் வரைப்படம், y = 4 என்னுங் கோட்டிற்கு மேலே முழுவதுங் கிடக்குமாறு இருத்தல் வேண்டும். இக்கோடு (-1, ) என்னும் புள்ளியிலுள்ள அவ்வரைப்படத்தின் ஒரு தொடுகோடாகும்.
g=1 என்னுங்கோடு அவ்வரைப்படத்தை (0,1) என்னும் ஒரு புள்ளி யிலே வெட்டும். 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் y= x என்னுங் கோட்டிற்கு மேலேயுள்ள வேறுயாதுங்கோடு அவ்வரைப்படத்தை வேறு வேருன இரண்டுபுள்ளிகளில் வெட்டும்.
g என்பது a= 1 அல்லாத 20 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப்படும். ஆகவே, a=1 என்னுங்கோடு அவ்வரைப்படத்தை ஒரிடத்திலும் வெட்டாது. a என்பது 1 இலும் பெரிதாய் அல்லது 1 இலுஞ் சிறிதாய் 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும்பொழுது, ஃ-- 1 என்பது மிக்க அண்ணளவாக 2 ஆகும் ; அப்போது (2-1)? “ என் பது மிகச்சிறிய ஒரு நேர்கணியமாகும். ஆகவே, g என்பது நேராய் மிகப்பெரிதாகும். ஆகவே, a=1 என்னுங் கோட்டை உறுதியாக அணுகிக்கொண்டு அதனுடைய இருபக்கங்களிலும் 30 அச்சிற்குமேலே அவ்வரைப்படத்திற்கு முடிவில்லாத இருகிளைகள் இருக்கும்.
Υ
܀ ܗ - - -- -- - ܗܝ ܗܤ - - ܝܬ - -- - ܗ - - -- ܗ - ܕ - ܗ - - -- - - ܝܐ - -
L ۔حہ
; : 3.
> X
2= 1 என்னுங்கோடு அவ்வளைகோட்டின் அணுகுகோடு எனப்படும்.
 
 
 

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 329
1十蕊 2 என்பது பூச்சியமல்லாதபோது, g = (-)
2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாகும்பொழுது, இது மிக்க அண்ணள வாக 1 இற்குச்சமன். ஆகவே, 2 என்பது நேராய் மிகப்பெரிதாயிருக்கும் பொழுதும், அது எதிராய் மிகப்பெரிய எண்பெறுமானத்தை உடைய தாயிருக்கும்பொழுதும், அவ்வளைகோடு y=1 என்னுங்கோட்டிற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும். ஆகவே, அதற்கு g=1 என்னுங் கோட்டை அணுகிக்கொண்டு முடிவில்லாத இரண்டு கிளைகள் ஒன்று y அச்சினது நேர்ப்பக்கத்திலும் மற்றையது எதிர்ப்பக்கத்திலுமாக இருக்கம். y=1 என்னுங்கோடும் அவ்வளைகோட்டிற்கு ஓர் அணுகுகோடாகும்.
(உ-ம்) 2. 2 இனுடைய வேறுவேறுபெறுமானங்களுக்கு
4-3 (2) என்பதனுடைய நடத்தையை ஆராய்க.
4-3a -ہیبسہ ــــــــــــــــــــــ ー エ *
atoy -- 3ac(y — 1) -- 2y - 4 = 0,
g = 0 ஆகும்பொழுது 3=* ;
மற்றைப்படி 9(g-1)?-4g(2y-4) 20 ஆயினுற்ருன் 2 என்பது மெய் t1յոesւo.
அதாவது, g?-2g + 920.
ஆனல், எல்லா று இற்கும் g -2y+ 9 = (g-1)?--8> 0.
g இன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும், 20 இற்கு வேறு வேறன இரண்டு மெய்ப்பெறுமானங்கள் இருக்கும்; அதாவது, 2 இனுடைய வேறுவேருன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு அந்தந்த சார்பு பூச்சியமல்லாத யாதுந் தந்த ஒரு பெறுமானத்தை எடுக்கும். ஆகவே, அச்சார்பின் வரைப்படம் 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான எக்கோடும் அதனை வேறு வேறன இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுமாறு இருக்கும்; அப்போது 2 அச்சே அவ்வரைப்படத்தை ஒரு புள்ளியிலேயே வெட்டும். 3 = 1 அல்லது ஐ= 2 ஆகும்பொழுது அச்சார்பு வரையறுக்கப்படுவதில்லை. 2=1, 2 = 2 என்னுங்கோடுகள் இரண்டும் அவ்வரைப்படத்தை ஓரிடத் திலும் வெட்டா. -

Page 171
330 தூயகணித மூலகங்கள்
2 என்பது 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும் பொழுது, 4-30
என்பது மிக்க அண்மையாக 1 இற்குச் சமனகும் ; அப்போது 20-2
என்பது மிக்க அண்மையாக -1 இற்குச் சமனகும் ; ஆனல், 1 இலும் பெரிதாய் 2 இருக்கும்போது 2-1 என்பது நேராய் மிகச்சிறிதாயும் 1 இலுஞ்சிறிதாய் 2 இருக்கும்போது எதிராய் சிறிற்றெண்பெறுமானம் முள்ளதாயும் இருக்கும். ஆகவே, 2 என்பது 1 இலும் மட்டாகப் பெரிதா யிருக்கும்பொழுது g என்பது எதிராய் மிகப்பெரிய எண்பெறுமானத்தை உடையதாய் இருக்கும். 20 என்பது 1 இலும் மட்டாய்ச் சிறிதாயிருக்கும் பொழுது g என்பதுநோரய் மிகப்பெரிய பெறுமானம் உடையதாயிருக்கும்.
a=1 என்னுங்கோடு அவ்வளைகோட்டிற்கு ஓர் அணுகுகோடாகும். இனி, 2 என்பது 2 இலும் மட்டாய் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது g என்பது எதிராய் மிகப்பெரிய எண்பெறுமானமுடையதாய் இருக்கும். a என்பது 2 இலும் மட்டாய்ச் சிறிதாயிருக்கும்பொழுது g என்பது நேராய் மிகப் பெரிய பெறுமானம் உடையதாயிருக்கும்.
2= 2 என்னுங்கோடும் ஓர் அணுகுகோடாகும்.
w Y1 脑
 ைஎன்பது பூச்சியமல்லாத பொழுது,
4 3
2;
"(-)(-)
ஆகவே, 20 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாயிருக்கும்பொழுது, g இன் எண்பெறுமானம் மிக்க அண்ணளவிற்குப் பூச்சியமாகும். ஆகவே, y=0 என்னுங்கோடும் ஒரு அணுகுகோடாகும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 33.
(உ-ம்) 3. 3 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
இனது நடத்தையை ஆராய்க.
ac-ac - l
9-1ਉਣ
." a"(yー1)十2(y十1)十3/ーl=0.
y = 1 ஆகும்பொழுது 3= 0.
மற்றைப்படி, (g+1)?-4(g-1)?20 ஆயினுற்ருன்,
அதாவது, (3g -1)(3-g) 20 ஆயினுற்றன்,
அதாவது, (g-க்)(g-3)50 ஆயினற்றன், ல என்பது மெய்யாகும்.
ஆகவே, 20 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் y என்பது 4, 3 என்பன வற்றிற்கு இடையில், (இரண்டும் உட்படக்) கிடத்தல் வேண்டும்.
2 4 2 g=3 ஆகும்பொழுது, -(-) 十2。 3 一函=0;
அதாவது (ac - 1)*= 0.
g = 3 ஆகும்பொழுது, 2ஃ+ 40 + 2 = 0 ;
அதாவது (a + 1) = 0.
ஆகவே, g = 4, g = 3 என்னுங் கோடுகளானவை முறையே (1, ) (-1, 3) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள அச்சார்பின் வரைப்படத்தினுடைய தொடு
கோடுகளாகும்.
g = 1 என்னுங்கோடு அவ்வரைப்படத்தை (0, 1) என்னும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும். y = க், y = 3 என்பனவற்றிற்கு இடையில் இக்

Page 172
332 தூயகணித மூலகங்கள்
கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாயுள்ள பிறகோடு ஒவ்வொன்றும் அவ்வரைப் படத்தை வேறுவேறன இரண்டுபுள்ளிகளில் வெட்டும்.
у
O x
1ーよ十之 a என்பது பூச்சியமல்லாததாய் இருக்கும்போது, y=ーTーr
十高すみ
2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாய் இருக்கும்போது இது மிக்க. அண்ணளவாய் 1 இற்குச்சமனகும்.
ஆகவே, y=1 என்னுங்கோடு அவ்வளைகோட்டிற்கு ஓர் அணுகுகோடாகும்.
பயிற்சி 1. 2 இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்களுக்கு (-)-9) என்னுஞ்
22ー சார்பு எம் மெய்ப்பெறுமானத்தையும் எடுக்குமெனக் காட்டுக.
2. ஐ இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் 62-4ac < 0 எனின் aac? -- bac -- c - % (ତ) (a - 1) (a, -2) என்பது நிலையான இருபெறுமானங்களுக்கு இடையிற் கிடக் கின்ற ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காதெனக் காட்டுக.
8. a, b என்பன முரணுன குறிகளே உடையனவாயிருக்க, a + b என்பது பூச்சியமன்றெனின், ல இனுடைய வேறுவேறன இருபெறு
ab س+ ac2 மானங்களுக்கு (
== என்னுஞ் சார்பு தந்த யாதுமொரு பெறுமா னத்தை எடுக்குமெனக், காட்டுக.
 

அட்சர கணிதம் அத்தியாயம் 2 333
2 4. என்பது a இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்கள் எல்லா
வற்றிற்கும் ஒரு மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையும் ஒரு மிகச் சிறிய பெறு
மானத்தையும் உடையதெனக் காட்டுக.
4 -- م5a + 2 مa
5. (-1)2 என்பது 20 இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்களுக்கு 8PCD
மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையன்றி ஒரு மிகச்சிறிய பெறுமானத்தையே உடையதாகும் எனக் காட்டுக.
2ーp 2ac -+-p--- 8 نa
3 னங்களையும் அடையக்கூடியது எனக் காட்டுக. p = 1 ஆகும்பொழுது, அதன்
6, 0

1 எனின், 20 இனுடைய வேறுவேறன பெறுமானங்களுக்கு aac? -- 2ac -- 1 ac? -- 2a -- a யிற் கிடக்கும் பெறுமானங்களே மாத்திரம் எடுக்குமெனக் காட்டுக. என்னுங்கோவை நிலையான இருபெறுமானங்களுக்கு இடை 0


Page 173
334 தூயகணித மூலகங்கள்
பொதுவட்சர கணிதச் சமன்பாடு.
7 என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும் a0, d, . a என்பன m எண்களாயுமிருக்க அவற்றுள் a என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
என்னுஞ் சமன்பாடு 20 இல் m என்னும் படியையுள்ள ஓர் அட்சரகணித BFL06ÖTJITGB 6760TLTUGBush.
a இல் n என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை 3 இனுடைய வேறுவேறன n பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாதாகையால், m என்னும் படியுள்ள ஒர் அட்சரகணித சமன் பாட்டிற்கு வேறுவேறன m மூலங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகை இராதென்பது பெறப்படும்.
மேலுள்ள சமன்பாட்டிற்கு a, a. Q என்னும் மெய் மூலங்கள் உண்டு எனக் கொள்க.
ஆயின், aga" + aa" + ... + a என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவை a(a-a) (3-a). (2-0) என்பதனேடு ஒன்றகும்.
அவ்விரு கோவைகளிலும் a" இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது
a = alo ( - a - a2 - ... - a).
0. ". அம்மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை = a + 0+ ..+ 0 = -
O a** இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது,
.(... -+ ot1 O3 -+- Ol2O3 -+- وd2 = do(dol .. நேரத்திற்கு இரண்டாக எடுத்த அம்மூலங்களினுடைய பெருக்கங் களின் கூட்டுத்தொகை -2.
Clo a" ? இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த நாம் பெறுவது நேரத் திற்கு மூன்றக எடுத்த அம்மூலங்களுடைய பெருக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை = is என்பதாகும் ; இவ்வாறே பிறவும்.
o n = 2 என்னும் வகை இதற்கு முன் ஆராயப்பட்டுள்ளது. n = 3 எனின், a என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருக்க, சமன்பாடு
aa + ba*+ ca + d = 0, என்னும் வடிவத்திலிருக்கும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 2 335
அச்சமன்பாட்டிற்கு a, 8, y என்னு மூன்று மெய்மூலங்கள் இருந்தால், நாம் பெறுவன,
b a -- B-- y = a'
C аB+ Bу+ ya =ž
αβγ = - 6T6öTL 60T. (உதாரணம்). z十3/十2=6,
a2 +-g2 + 2 == 14 a8+ y -- 28 = 36
என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
முதன்முதல் 2g + y2 + 20, 2g2 என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங் களைப் பெறுவோம்.
2acy + 2y2 + 22ac = (ar + y + 2)* - (ac*+ y* + 2*)
= 36 - 14 = 22. ... acy--y2 - 2a = ll.
இனி, ac8 -H-gy8 -+- 28 -- 3acg2 == (ac -+- gy -+- 2) (ac* +-gy* -+- 22 -- acgy --g2 -- eac)
... 36-3ay2 = 6 (14-11) = 18.
... acy2 = 6.
* + b + ct + d=0 என்னும் வடிவத்தில் t இலுள்ள ஒரு முப்படிச் சமன்பாட்டை ஆராய்க.
இச்சமன்பாட்டிற்கு t = 0, i = g, l = 2 என்னு மூலங்கள் இருந்தால்,
b=ー(c十y+z)=-6. C = acy -- y2 - 2a = ll, d = -acy2 = - 6. .. அம்முப்படிச் சமன்பாடு 8-6? + 11t - 6 = 0 என்பதாகும். இச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் 1,2,3 என்பனவாகும் என்பது எளிதிற் காணப்படும்.
y, z என்பனவற்றிலே தந்த சமன்பாடுகளுக்கு ஆறுதீர்வுகள் وتa .". இருக்கும். அவை பின்வருமாறு :- -
(i) ac = 1, y = 2, 2 = 3. (iv) ac = 2, y = 3, z = 1. (ii) ac = 1 , y = 3, 2 = 2. (ν) α = 3, ψ = 1, 2 = 2. (iii) ac = 2, y = l, z = 3. (vi) ac = 3, y = 2, 2 = 1.

Page 174
336 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி 1. ஃ-2a + ba-c= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மூன்று மெய் மூலங்கள் இருக்க அவற்றுள் ஒன்று எனைய இரண்டின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமனயின், b = c+1 எனக் காட்டுக.
2. 29-aa2+ba-c= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் பெருக்கல் விருத்தியில் இருந்தால், b =ca எனக் காட்டுக.
bac -+- c === 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு -+- ظac8 -+- da .3 பொருந்துமூலங்கள் இருந்தால், (9c -- ab)2 =4(b2 - 3ac)(a3 - 3b) GT6OT&# d5ft LGB85.
4. a2+g2+2ga+2fy+c=0, y?-4aa என்னுஞ் சமன்பாடுகள் a இற்கு 4 இற்கு மேற்பட்ட வேறுவேறு பெறுமானங்களைத்தரா எனக் காட்டுக. 20 இற்கு 4 பெறுமானங்கள் இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகுமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 3
முதல் m நேர் முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகை
S=1十2十3十············ +% ஆகுக'.
ஆயின், S= n+ (n-1) + (m - 2) + . . . . . . . . . . . . . . --l.
.‛. 2§== (ገ0 +1) + (ገዉ ÷l) -+ (ገ0 + l)÷...... ÷(ገ0 +1).
=n(n 十1). . c. e S=(n+1)
முதல் n முழுவெண்களினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை.
1-2-3--........ + w2=م)a+1}{2n+1( எனக் காட்டுவோம்.
A,B,C என்பன ஐச் சாராமலிருக்க f(r)= Ar'--Br”--Cr gagas gu66ö7, f(r - 1) = A(r - 1)* -- B(r - 1)? -- C(r - 1) .". f(r) —f(r - 1) = A (3r* - 3r -- 1) -- B(2r - 1) -- C. 34=1 ஆயும், -34+2B=0 ஆயும், A-B+0=0 ஆயும் இருந்தால், அதாவது A=* ஆயும், B= ஆயும், 0 = ஆயும் இருந்தால், இது * இற்குச் சமனகும்.
م و 2 و 3 شو .". f(r) = をサ秀サ6 எனின், f(r) - f(۶۶ - 1) = 2. தொடர்ச்சியாக r=1,2, . . . . . . . . , n எனப் பிரதியிட நாம் பெறுவன
f(1)-f(0) = 1, f(2)-f(1) = 2,
SL S0S S LLS L S L S SSL S S SS SSC S SS0S S LSL S L S 0 SS0 SSSSSLS S SS SS SSL S S0S S SL S L S SSSSLSL SSSL S S S
f(n)-f(n-1)= n. )0(n = f(n)-f -- . . . . . . . . . . -+- 22 -#۔ 18 .“
n . . . n. =落+競+議-0 = (2n3-3n+ n) =(n+1) (2n+1).
337

Page 175
338 தூயகணித மூலகங்கள்
முதல் n முழுவெண்களினுடைய கணங்களின் கூட்டுத்தொகை.
18-- 28-38... +r-[] என நிறுவுவோம்.
f(r) = Ar--Bro.--Cro.-- Dr. 2(gas. guSaif f(r-1)=A(r-1)-- B(r-1)3-- O(r-1)-- D(r-1)
... f(r) — f(r - 1) = A (4r3 — 6ro-+-4r - 1)-+-B(3ro — 3r -- 1) -- C (2r - 1) -- D. 4A-1 ஆயும், - 64+3B=0 ஆயும், 44-3B+20 = 0 ஆயும் -4+ B-0+D=0 ஆயுமிருந்தால், அதாவது A = ஆயும், B ஆயும், C = ஆயும், D=0 ஆயுமிருந்தால், இது ? இற்குச்
சமசூகுைம்.
.قم4r8 -+- 4r2 6T6of}6dT, f(r) --Jf(r -- 1) = r -+- 4مif(r) = 4r .". ... f(1)-f(0) = 13. f(2)-f(1) = 28. (2) = 38.
f(n) - f(n - 1) = mio.
... 1-28 -- 38-- . . . . . . . . -- m3 = f(n)-f(0)
4 3 2 千五す歪す子 - η" (n+1)
4
உதாரணம் (1)
1.3 +2.4+3.5 + . . . . . . . + n(n+2) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க. 7 ஆம் உறுப்பு = r(r+2) = ?+2. 7 உறுப்புக்கள் வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
=1-2-- . . . . . . --n--2(1-2- . . . . . . 十7)
- 브 十7》(m十1)
η (η + 1) (2η + 7).

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 3 339
உதாரணம் (2)
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின், 1°-28+38 - 48+ . -(2m)8 என்னுந் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக்
காண்க,
கூட்டுத்தொகை
= 1 + 28-|-38 -- 48--...--(2n)-223--4--...-- (2n) R [೭(+1)-m 1o -- 2o -- ... -- no - [×(%+]'-'' = -- η (4η -- 3)
கணிதத் தொகுப்பு
தொகுப்புமுறை என்பது மாறு நேர் முழுவெண்ணுேடு தொடர்புள்ள முடிபுகளை நிறுவுதற்கு வழங்கப்படும். n என்னும் மாறு நேர் முழு வெண்ணை அகப்படுத்தும் ஒரு குறித்த முடிவு குறித்த ஒரு பெறு மானத்திற்கு அப்பால் n இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகுமெனக் காட்டுதற்கு, ஆராய்ந்த n இன் முதற் பெறு மானத்திற்கு அம்முடிபை வாய்ப்புப் பார்த்து அதன்பின் அம்முடிபு 70 இனது தந்த யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு உண்மையெனின், அடுத்த பெறுமானத்திற்கும் அது உண்மையாதல் வேண்டும் எனக் காட்டல் போதியதாகும்.
அம்முறை பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்கப்படும் ; உதாரணம் (1)
n இனுடைய நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லா
n(n --I) (2n + 1) 6
1 (1 + 1) (2-1) 6
எனக் காட்டுக.
வற்றிற்கும் 12+2+...+ n =
n =1 ஆகும்பொழுது முடிபு 1*=
இது உண்மை.
ஆகும்.
". அம்முடிபு 7 இன் ஆராயப்பட்ட முதற் பெறுமானத்திற்கு உண்மை யாகும்.
ழ என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க.

Page 176
340 தூயகணித மூலகங்கள்
அம்முடிபு m =ற ஆகும்பொழுது உண்மை எனக் கொள்க. ஆயின் நாம் பெறுவது,
1+2+...+p = p + 1) (2p + 1).
இருபக்கங்களுக்கும் (p + 1)* என்பதைக் கூட்ட,
1+2+...+ p + (p + 1)=(p + 1) (2p + 1) + (p + 1)
-(p(2p + 1) + 6 (p + 1))
-2 (p + 2)(2p +3)
l- Kaa午器半G干1+1)(2エ+1)
", 10 = p + 1 ஆகும்பொழுதும் அம்முடிபு உண்மையாகும். அதாவது, V அம்முடிபு n=p ஆகும்பொழுது உண்மையாகுமெனின்,
10 = p + 1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும். ஆனல், n = 1 ஆகும்பொழுது அது உண்மை எனக் கண்டுள்ளோம்.
". 70 = 2 ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகும். ". n = 3 ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகும். இவ்வாறே பிறவும்.
n இனுடையநேர் முழுவெண்பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அது உண்மையாகும்.
உதாரணம் (2)
70 என்பது ஒரு நேர் முழு வெண்ணுயிருக்கும்பொழுது 2-1 என்பது ? -1 என்பதன் ஒரு காரணி யெனக் காட்டுக.
n = 1 ஆகும்பொழுது அம்முடிபு தெளிவாக உண்மை. 70 = p ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகுமெனக் கொள்க.
ac?** - 1 = ac (as? - 1) + (ac - 1)
a -1 என்பது வலப்பக்கக் கோவையின் ஒரு காரணி,
. 2-1 என்பது (?-1) என்பதற்கு ஒரு காரணியாயின், அது (***-1) என்பதற்கும் ஒரு காரணியாகும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 3 34
அதாவது, அம்முடிபானது n =ற ஆகும்பொழுது உண்மையாயின்,
* =p+1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும். 16 = 1 ஆகும்பொழுது அது உண்1ை0.
". n = 2, 3, .. ஆகும்பொழுது அது உண்மை.
உதாரணம் (3)
n இனுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 2?+1 > n (n-1) எனக் காட்டுக.
n = p ஆகும்பொழுது அது உண்மை எனக் கொள்க. அதாவது, 2">p(p-1)
இருபக்கங்களையும் 2 ஆற் பெருக்குக.
ஆயின், **>2p(pー1). இனி, p>3 ബിങ്, 2p - 22 p -- 1. .. p > 3 எனின், 2?**> (p + 1).ற
3 இலும் பெரிது அல்லது அதற்குச் சமனன ற இன் யாதொரு பெறு மானத்திற்கும் அம்முடிபு உண்மை எனின், p இன் அடுத்த பெறு மானத்திற்கும் அது உண்மையாகும்.
n = 1 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 2*> 0 என்பதாகும் ;
இது உண்மை.
8 = 2 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 2>2.1 என்பதாகும். :
இது உண்மை.
%= 3 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 24> 3.2 என்பதாகும் ;
இதுவும் உண்மை.
% = 3 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு உண்மையாகுமாதலால்,
10 = 4, 5, 6, .. ஆகும் பொழுதும் அது உண்மையாகும்.
n இனுடைய நேர்முழுவெண்பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அம்முடிபு உண்மையாகும்.

Page 177
342 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி 1. 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 +.. + n (n + 1) (n + 2) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்கள் வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
n (n + 1) (n + 2) (n +3) எனக் காட்டுக.
2. S என்பது முதல் n நேர்முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறித்தால்,
&+S +&+・+S =議n(n+1) (n + 2) எனக் காட்டுக. 3. n என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயின்,
1.7 - 2. (n -l) -- 3. (n - 2) -- . . . . . . . +”一部p+Do+°
எனக் காட்டுக.
7. n (n + 1)n - 1 5. a, b என்பன நேரெண்களாக அவற்றுள் b>0 எனின்,
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும் பொழுது, 6">ma" (6-a) எனக் காட்டுக.
L * 正五十五3十3五十...十 Tைனக் காட்டுக.
6. n என்பது 1 இலும் பெரிதான ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
~Vl —— «V2 —+— V/3 —+— ... —+- w<”V(号) எனக் காட்டுக.
7. n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
(14-24) -- (34-44) -- (5-6) -- ... --(2n - 1)-(2n)} என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
8. n என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயின்,
l.8.4 ÷ 2.4.5 + 8.5.6 –+ ... + ጎ0 (ገ0 -+ 2) (ገ0 –+ 8) என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
9. 24, 22, 2, ... , . என்னு நேரெண்களின் முடிவுறத தொட ரொன்று எல்லா m இற்கும் 22 = u + 1 என்னுந் தொடர்பைத் தீர்க்கின்றது.
a < 1 எனின் எல்லா m இற்கும் a < 1 எனக் காட்டுக. 10. 21, a2, a3, ..., u, . என்னும் எண்களின் முடிவுருத தொட ரொன்று 24, 24 டி, 2.டி2 என்னும் எவையேனு மூன்று அடுத்துள எண்கள் 24-524 + 6 = 0 ஆகும்படி இருக்கின்றது. 24 = 5, u - 13 ஆயின், எல்லா m இற்கும் 24=2^ + 8" எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 4
வரிசைமாற்றமுஞ் சேர்மானமும். வரிசை மாற்றம்.
a, b, c, d என்னு நான்கு எழுத்துக்கள் எங்களுக்கு உண்டென்றும் அவற்றுள் எவையேனு மூன்றை எடுத்து அம்மூன்று எழுத்துக்களையும் ஒரு நேர் கோட்டில் ஒழுங்காக வைக்கவேண்டுமெனக் கொள்க. இது பல வழிகளாற் செய்யக் கூடியது. a, b, c என்னும் எழுத்துக்களை நாம் எடுத்தோமாயின், பின்வரும் ஆறு ஒழுங்குகளுள் யாதுமொன்றை நாம் எடுத்தல் கூடும்’-
abс, аch, bac, bса, саb, cha.
a, b, d என்னும் எழுத்துக்களை எடுத்தோமாயின் வேறு வேறன ஆறு ஒழுங்குகளைப்பெறுவோம். a, c, d என்னும் எழுத்துக்களை எடுத் தோமாயின், வேறு ஆறு ஒழுங்குகளைப் பெறுவோம் ; இறுதியாக b, c, d என்னும் எழுத்துக்களை எடுத்தோமாயின், வேறு ஆறு ஒழுங்குகளைப் பெறுவோம். ஆகவே, a, b, c, d என்னு நான்கு எழுத்துக்களுள்ளே நேரத்திற்கு மூன்று ஆக எடுக்கப்படும் வேறுவேருன ஒழுங்குகளின் மொத்தம் 24.
அதாவது, முறைக்கு 3 ஆக எடுக்கப்படும் 4 வேறுவேறன பொருள் களின் வரிசைமாற்றத்தொகை 24.
முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் 70 வேறுவேறன பொருட்களின் வரிசை மாற்றத்தொகையானது அந்த m பொருள்களுள் r பொருள்களை எடுத்து ஒரு வரிசையில் ஒழுங்காக வைத்தலால் ஆகக் கூடிய வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகையாகும். m, 7 என்பன நேர் முழுவெண்களா யிருக்க அவற்றுள் m என்பது r இலுஞ்சிறிதன்றெனின், அவ்வரிசை மாற்றத்தொகை "P, ஆற்குறிக்கப்படும்.
AP = 24 எனக் கண்டுள்ளோம்.
இப்பொழுது, n, r என்பனவற்றினுடைய தந்த பெறுமானங்களுக்கு "P, என்பதைக் கணிக்கத் துணைசெய்யும் ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.
"P, இற்குச் சூத்திரம்.
எம்மிடம் ? வேறுவேறன பொருள் உண்டு ; அவற்றுள் r பொருள் களே யாதும் ஒரு விதத்திலே தேர்ந்தெடுத்து அவற்றை ஒரு நேர் கோட்டில் யாதும் ஒரு விதத்தில் ஒழுங்காக வைத்தல் வேண்டும். ஒரு நேர் கோட்டில் அந்த r பொருள்களும் வைக்கப்படவேண்டிய 7 வெறுமையான இடங்களைச் சிந்திக்க. வெறுமையான ஒவ்வேர் இடமும் ஒரு பொருளாலே நிரப்பப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையை நாந்துணிய
343 13——J. N. B 66342 (6/57)

Page 178
344 துயகணித மூலகங்கள்
வேண்டும். ஒரு முனையிலிருந்து தொடங்கி ஒவ்வொன்றக அவ்விடங்களே நிரப்பத் தொடங்குகின்ருேம் எனக்கொள்க. n பொருள்களுள் யாதும் ஒன்று தேரப்படலாமாதலின், முதலாம் இடம் n வழிகள் பற்றி நிரப்பப் படலாம். இந்த n வழிகளுள் யாதும் ஒன்றுபற்றி நிரப்புகின்றேம் எனக் கொள்க. ஆயின், எம்மிடம் நிரப்புதற்கு (n-1) பொருள்கள் விடப்பட்டுள்ளன. இப்பொழுது மீந்திருக்கின்ற (n-1) பொருள்களுள் யாதும் ஒன்று தேரப்படலாமாதலின், இரண்டாம் இடம் (n-1) வழிகள் பற்றி நிரப்பப்படலாம். ஆகவே, முதலாம் இடம் நிரப்பப்படும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்க, இரண்டாம் இடம் நிரப்பப்படுதற்கு (n-1) வழிகள் உண்டு. ஆகவே, முதல் இரண்டு இடங்களும்நிரப்பப்படக்கூடிய வேறு வேறன வழிகளின் மொத்தம் m (n-1). இவ்வீர் இடங்களும் இந்த m (n-1) வழிகளுள் யாதும் ஒன்றுபற்றி நிரப்பப்பட்ட பொழுது மீதியாக (n-2) பொருள்கள் இருக்கும். முதல் இரண்டு இடங்களை நிரப்பும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்க, மூன்றம் இடத்தை நிரப்பும் (n-2) வழிகள் இருக்கும். ஆகவே, முதன் மூன்று இடங்களும் m (n-1)(n-2) வழிகள்பற்றி நிரப்பப்படலாம். இவ்வாறு தொடர்ந்து சென்றுயாதும் ஒரு நிலைமையிற் காரணிகளினது தொகை நிரப்பப்படும் இடங்களினது தொகைக்குச் சமன் எனக் கவனித்தால், r வெறுமை யான இடங்களை நிரப்பும் வேறு வேரு ன வழிகளினது தொகை m (n-1) (n-2) (n-3) . காரணிகள் வரைக்கும்
= n(n-2) (n-2) .(n-r+1) எனக் காண்போம்.
.' "P = n(nーl)(nー2).(nーr十1).
வேருெரு வழி.
அந்த m வேறுவேறன பொருள்கள் a, a2, ..., a என்னும் எழுத்துக் களாற் குறிக்கப் படுக. v
முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் இந்த m எழுத்துக்களின் வரிசை மாற்றத் தொகை "P, இவ்வரிசை மாற்றங்களுள் ஒரு குறித்த தொகை யில் a என்னும் எழுத்து முதலாம் இடத்தில் உள்ளதாகும். a, என்னும் இவ்வெழுத்தைத் தவிர்த்து முறைக்கு r -1 ஆக எடுக்கப்படும் மீதி (n-1) எழுத்துக்களைக் கொண்டு செய்யக்கூடிய வரிசை மாற்றங்கள் எல்லாவற்றையும் ஆக்கி, அதன்பின் ஒவ்வோர் ஒழுங்கிலும் முதலிடத்தில் al என்னும் எழுத்தை வைத்தால், முறைக்கு r ஆக எடுக்கும் அந்த m எழுத்துக்களின் வரிசை மாற்றங்கள் எல்லாவற்றுள்ளும் a

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 345
முதலாகவுள்ளனவற்றைப் பெறுவோம். ஆகவே, a முதலாகவுள்ள ஒழுங்குகளினது தொகை "P. அதுபோல, யாதும் ஒரு குறித்த எழுத்து முதலாகவுள்ள ஒழுங்குகளினது தொகை "P..
m எழுத்துக்கள் இருக்கின்றமையால் ஒழுங்குகளின் மொத்தம் m."P.
... "P = n." P.
m 21 ஆக, இது 70, r என்பனவற்றினுடைய நேர் முழுவெண் பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகும்.
m ஐ m -1 இற்கும் " ஐ 7 -1 இற்கும் மாற்ற,
"  ̈ "P„-፤ = (n -- I).” ̈*P„-8.
7 ஐ m -2 இற்கும் r ஐ 7-2 இற்கும் மாற்ற,
**P = (n-2). *-*P. இவ்வாறே பிறவும்.
இறுதியாக, n ஐ m-(r-2) இற்கும் 1 ஐ 7-(r-2) இற்கும் மாற்ற,
*ーr+"P。=(n-r+2)."ー"+"P.
ஆனல், "+"P என்பது m - + 1 இற்குச் சமன் என்பது தெளிவு.
.". "P = n(n - 1) . . . . . . . . . . . . ..... (n - r -- 1).
காரணியக் குறியீடு முறைக்கு எல்லாம் எடுக்கப்படும் m வேறுவேறன பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகை "P=10(n-1) (n-2) . . . . . . . . . . . . . . l.
இது முதல் n நேரெண்களின் பெருக்கம்ாகும். இப்ப்ெருக்கங் " காரணிய m” என்றதல் “ சினையக 70 ’ என்ருதல் கூறப்படும். இது
n என்ருதல் n ! என்ருதல் குறிக்கப்படும்.
r

Page 179
346 தூயகணித மூலகங்கள்
உதாரணம் (1) குறிக்கப்பட்ட இரண்டு புத்தகங்கள் ஒருங்கு வைக்கப்படல் ஆகாதாயின், ஒரு தட்டின்மீது 10 புத்தகங்கள் ஒழுங்காக வைக்கப்படத் தக்க வேறுவேறன வழிகளினது தொகைய்ைக் காண்க.
கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி அப்புத்தகங்களை ஒழுங்காக வைக்கும வழி களினது தொகை 10 !
குறிக்கப்பட்ட இரண்டு புத்தகங்கள் ஒருங்கு வைக்கப்படுமாறு ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகையைப் பின்காணுகின்றேம். இவ்விரு புத்த கங்களும் ஒரு புத்தகம் ஆகுமாறு கட்டப்பட்டனவாகக் கற்பனை செய்தல் கூடும். அப்பொழுது எம்மிடம் 9 புத்தகம் இருக்கும் : அவை 9 1 வழி களில் ஒழுங்காக வைக்கப்படலாம். இவ்வொழுங்குகள் ஒவ்வொன்றிலுங் குறிக்கப்பட்ட அப்புத்தகங்கள் இரண்டும் அவற்றல் ஆக்கப்பட்ட கட்டில் இரு வழிகள்பற்றி ஒழுங்காக வைக்கப்படலாம். ஆகவே, குறிக்கப்பட்ட அவ்விரு புத்தகங்களும் ஒருங்கு இருக்கும்படி அப்புத்தகங்களை ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகை 2X91. ஆகவே, குறிக்கப்பட்ட அப்புத்த கங்கள் இரண்டு ஒருங்குவராதவாறு ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகை 10 1 -2.9 ! - 8 X 91
=8×9×8×7×6×5×4×3×2 =2903040 உதாரணம் (2) ஒரு வரிசையில் 10 ஆசனங்கள உண்டெனின், எவையே னும்இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகாதவாறு 8 மனிதர் இருக்கக்கூடிய வழிகளினது. தொகையைக் காண்க.
முதலாவதாகக் கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி அம்மனிதரை இருத்தக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்போம். நாம் 8 ஆசனங்களேத் தேர்ந்து அதன்பின் இந்த 8 ஆசனங்களில் அந்த 8 மனிதர்களையும் ஒழுங்காக இருத்தல் வேண்டும். இது செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை முறைக்கு 8 ஆக எடுக்கும் 10 வேறு வேறன பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகைக்குச் சமனுகும். இது 19P ஆகும். பின்னர் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகும்படி அந்த 8 மனிதர்களையும் இருத்தும் வழிகளினது தொகையைக் காண்கின்ருேம். 10 ஆசனங்களுள் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் 9 வழிகளிலே தேரப்படல் கூடும். இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் யாதும் ஒரு வழியிலே தேரப்பட்டபொழுது மீதி யாயுள்ள 8 ஆசனங்களிலும் 8 மனிதர் 8 1 வழிகளில் ஒழுங்காக இருத்தப் படலாம். ஆகவே, இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகு மாறு அந்த 8 மனிதர்களையும் இருத்தும் வேறு வேறன வழிகளின் மொத்தம் 9 x 81. ஆகவே, எவையேனும் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங் கள் வெறுமையாகாதவாறு அம்மனிதரை இருத்தும் வழிகளினது தொகை 19P-9 x 81.
=10×9×8×7×6×5×4×3ー9×8×7×6×5×4×3×2 = 145520.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 34
பயிற்சி
1. 4 ஆண் பிள்ளைகளுள்ளும் 4 பெண்பிள்ளைகளுள்ளும் எவரேனும் இரு பெண்பிள்ளைகள் ஒருங்கு நிற்காதவாறு அப்பிள்ளைகளை ஒரு வரிசை யிலே நிற்கச்செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை 2880 எனக் காட்டுக.
2. வேறு வேறு வயதுடைய ஏழு மனிதர் ஒரு படக்காட்சிக்குப் பிர
வேசச் சீட்டு வாங்குவதற்காக ஒரு தொடர் நிரையிலே நிற்க வேண்டியவர் ஆகின்றர். அவருள் இளையவன் மூத்தவனுக்கு நேரே முன்னுக நிற்காத வாறு அவர் தம்மை ஒழுங்காக்கும் வழிகளினது தொகை 2520 எனக் காட்டுக. -
3. A, B, என்னும் இரு பட்டினங்களைத் தொடுத்துக்கொண்டு 5 தெருக்கள் இருக்கின்றன. மூன்று பேர் A இலிருந்து B இற்குச் சென்று பின் B இலிருந்து A இற்குத் திரும்பி வரவேண்டியவராய் இருக்கின்றனர். அவ்வாறு செய்கையில், Y
ஒருவராதல் ஒரே தெருவைச் செல்லுதலுக்கும் திரும்பி வருதலுக்கும்
வழங்கல் ஆகாது, அவருள் எவரேனும் இருவர் ஒரே தெருவைச் செல்வதற்கு வழங்கல்
ஆகிாது, அவருள் எவரேனும் இருவர் ஒரே தெருவைத் திரும்பிவருதற்கு வழங்கல் ஆகாது. ஆயின், அவர் பிரயாணஞ் செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை 1440 எனக்காட்டுக.
4. 1,000, 10,000 என்பனவற்றிற்கு இடையில் வேறு வேறன இலக்கங்களேயுட்ைய எத்தனை முழுவெண்கள் உண்டு.
5. n புத்தகங்களுள் 3 தமிழிலுள்ளன எனைய சிங்களத்திலுள்ளன : தமிழ்ப் புத்தகங்களுள் (3 உம் அன்றி) 2 ஒருங்கு இருக்குமாறு ஒரு தட்டின்மீது அவை ஒழுங்காக வைக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகை 6 (m -3) X (m -2)! எனக்காட்டுக. h−
6. n ஆண்களும் n பெண்களும் ஒரு வரிசையிலே நிற்கும்பொழுது அவருள் எவரேனும் இரு பெண்கள் ஒருங்கு நிற்காதவாறு ஒழுங்கு படுத்தக் கூடிய வழிகளினது தொகை 7, 1 (m+1) ! எனக்காட்டுக.
7. ஒவ்வொரு கோலும் வேறென்றுக்கு நேர் எதிராக இருக்குமாறு 2m கோல்கள் ஒரு வட்ட வயலின் பரிதியில் வேறு வேறு புள்ளிகளிலே நாட்டப்பட்டுள்ளன. அவ்வயலுக்குள்ளே உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு மனிதன் ஒடத் தொடங்கித் தம்முள் எவையேனும் 2 ஒன்றுக்கொன்று நேர் எதிராயில்லாத m கோல்களைத் தொட்டபின் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவருகின்றன். அவன் அவ்வாறு செய்யக் கூடிய வேறு வேறு வழி களினது தொகை 27% எனக்காட்டுக.

Page 180
348. தூயகணித மூலகங்கள்
8. (வேறு வேறனவையாய் இருத்தல் வேண்டும் என்பதின்றிய) % இலக்கங்கள் கொண்ட நேர் முழு வெண்களினது தொகை 10-10" எனக்காட்டுக.
9. 10 வேறு வேறன கொடிகள் எம்மிடம் இருக்கும்பொழுது ஒன்றன் பின் ஒன்றக நான்கு கொடிகளை உயர்த்தலாற் கொடுக்கக்கூடிய வேறு வேருண குறிப்புக்களினது தொகையைக் காண்க.
10. 3 பரிசுகளைப் பெற 12 போட்டியிடுவோர் இருக்கின்றனர். ஒரு வனுக்கும் ஒன்றின்மேற்பட்ட பரிசு பெறத் தகுதி இல்லையெனின், அப் பரிசுகள் வழங்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
வட்ட வொழுங்குகள்.
ஒரு நேர் கோட்டில் n வேறு வேறன பொருள்களினுடைய ஒழுங்கு களினது தொகை n! நாம் ஒரு வட்டத்திலுள்ள ஒழுங்குகளை ஆராய்ந் தால், இது உண்மையன்று. 0- அவ்விரு வகைகளிலும் உள்ள வேற்றுமை பின் வருமாறு விளக்கப்பட
O 2. t 2- லாம்.
5}ტIb நேர் கோட்டில் a,b,c, என்னு மூன்று எழுத்துக்களின் ஒழுங்கையும் ஒரு வட்டத்தில் ஒத்த ஒழுங்கையும் ஆராய்க. a ஆனது b ஐயும், ம் ஆனது 0 ஐயும், C ஆனது a ஐயும் இடம்பெயர் க்கின்றன எனக் கொள்க.
அந் நேர் கோட்டில் ஒழுங்கு மாறியது ; ஆனல், அவ்வெழுத்துக்கள் அவ்வட்டத்தின்மீது வேறு வேறு நிலைகளில் இருக்கின்றபோதிலும் அவ் வட்டத்தில் ஒழுங்கு மாறது முன்போலவே இருக்கும். யாதும் ஒர் எழுத்தின் е а. е. உண்மையான நிலையை
C
2. நாம் அவாவவில்லை ;
அவ்வெழுத்துக்கள் புலன
கின்ற வரிசையை மாத்திரம்
அவாவுகின்றேம். ஆகவே, ஒரு வட்டத் தில் வேறு வேறன ஒழுங்குகளினது தொகை ஒரு நேர் கோட்டில் ஒழுங்கு களினது தொகையிலுஞ் சிறிது.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 349
ஒரு வட்டத்தில் m வேறு வேருண எழுத்துக்களை நாம் ஒழுங்காக வைக்கவேண்டும் எனக் கொள்க. அவ்வட்டத்தின்மீது ஒர் எழுத்தின் உண்மையான நிலை பொருளாகாதாதலால், அவ்வெழுத்துக்களுள் ஒன்றை அவ்வட்டத்தின்மீது நிலையாக்கி அதன்பின் மீதி (n-1) எழுத் துக்களையுந் தம்முள் ஒழுங்காக இருக்கும்படி செய்யலாம். இது (n-1) ! வழிகளிற் செய்தல் கூடும்.
ஆகவே, ஒரு வட்டத்தில் m வேறு வேருண பொருள்களின் வரிசை 10ாற்றத் தொகை (n-1) !
ஒரு வட்டத்தின்மீது ஒரு பொருளின் உண்மையான நிலையும் ஆராய் வுக்கு எடுக்கப்பட்டால், ஒழுங்குத் தொகை நேர் கோட்டொழுங்குகளின் போல m 1 ஆகும். உதாரணமாக 7 ஆள்கள் ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி இருத்தப்பட வேண்டியவராயிருக்க, அவ்வாசனங்களுக் கிடையில் வேறு 1ாடு இருந்தால், ஒழுங்குத் தொகை 7, 1 ஆகும்.
இனி, 7. பொருள்கள் ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கப்பட வேண்டி யிருக்க, ஒழுங்கின் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் வேறுபாடு காணப்பட்டால், வேறு வேறன ஒழுங்குகளினது தொகை (m-1) 1 ஆகும். உதாரணமாக, வேற்றுமைப்பட்ட நிறங்களையுடைய 7. மணிகள் ஒரு கழுத்துமாலை ஆகுமாறு தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன எனக் கொள்க. அம்மணிகளின் ஒழுங்குகளில் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடையே வேற்றுமை யாதுமில்லை என்பது தெளிவு. ஆகவே, ஒரு கழுத்துமாலை ஆக்கப்படக்கூடிய வேறு வேறன வழிகளினது தொகை 4 x (n-1) !
பயிற்சி
1. 90 ஆண்குல மக்களும் 70 பெண்குல மக்களும் ஒரு வட்டமேசையி னிடத்து அவருள் எவையேனும் இரு பெண்குலமக்கள் ஒருங்கு இருக்காத வாறு இருத்தப்பட வேண்டியவர் ஆகின்றனர் ; குறிக்கப்பட்ட குலமகள் ஒருத்தியும் குலமகன் ஒருவனும் ஒருங்கு இருக்கமாட்டார் ; ஆசனங்கள் பற்றி வேற்றுமை யாதும் இன்று. அவர்களை ஒழுங்காக்கக் கூடிய வழிகளி னது தொகை (n-2){{n-1)!}? எனக் காட்டுக.
2. ஐந்து ஆண்குல மக்களும் நாலு பெண்குல மக்களும் ஒரு வட்டமேசை யினிடத்து இருக்கின்றனர். ஆசனங்கள்பற்றியும் ஒழுங்கின் வலஞ்சுழியிடஞ் சுழிப் போக்குகள்பற்றியும் வேற்றுமை யாதுங் காணப்படாதாயின், இரண் டின் மேற்பட்ட மனிதர் ஒருங்கு இருக்காதவாறு அவர்கள் இருத்தப்படக் கூடிய வேறு வேறு வழிகளினது தொகை 1440 எனக் காட்டுக.

Page 181
350 துரியகணித மூலகங்கள்
எல்லாம் வேறு வேருகாத பொருள்களின் ஒழுங்கு.
இப்பொழுது ஒரு நேர் கோட்டில் ஒழுங்கு எடுக்கப்படும் 70 பொருள்களி னுடைய ஒழுங்குகளை அவை எல்லாம் வேற்றுமைப்படாதபொழுது ஆராய் வோம். வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகை n 1 இலுஞ்சிறிது என்பது எளிதிற் புலனுகும். a, b, c, d. என்னும் எழுத்துக்களின் ஓர் ஒழுங்கு எம்மிடம் இருந்தால், இரண்டு எழுத்துக்களை ஒன்றேடு ஒன்று மாற்றுகை இவ்வீர் எழுத்துக்களும் வேற்றுமைப்பட்டால் ஒரு புதிய ஒழுங்கையும், அன்றி அவை ஒற்றுமைப்பட்டால் அதே ஒழுங்கையுந் தரும்.
எம்மிடம் m பொருள்கள் உண்டு என்றும் அவற்றுள் p பொருள்கள் ஒற்றுமைப்பட எனைய எல்லாம் வேற்றுமைப்பட்டு இருக்கின்றன என்றுங் கொள்க. a என்பது அவை எல்லாவற்றையும் ஒருங்கு எடுக்கும்போது ஆக்கப்படக்கூடிய வேறுவேறன ஒழுங்குகளின் மொத்தமாகுக. இந்த ஒழுங்குகளுள் ஒன்றை ஆராய்க. அந்த p ஒற்றுமைப்பட்ட பொருள்களும் எனையவற்றிலும் வேறன p வேற்றுமைப்பட்ட பொருள்களால் இடம் பெயர்க்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க. இந்த p வேற்றுமைப்பட்ட பொருள் களானவை தம்முள் p! வேறுவேறன வழிகளில் ஒழுங்காக்கப்படக் கூடியவை. ஆகவே அந்த 20 ஒழுங்குகளுள் ஒவ்வொன்றும் p ! வேறு வேறன ஒழுங்குகளைத் தரும். ஆகவே, எல்லா 20 ஒழுங்குகளும் 3.p! ஒழுங்குகளைத் தரும். இது எல்லாம் ஒருங்கு எடுக்கப்படும் m வேறு வேறன பொருள்களின் ஒழுங்குத்தொகையாகும் என்பது தெளிவு.
... αρ = η
“。2=一...
ρ :
.. m பொருள்களுள் p பொருள்கள் ஒற்றுமையாகவும் எனையவெல்லாம் வேற்றுமையாகவும் இருக்கும்பொழுது அந்த 10 பொருள்களின் வேறு
வேறன ஒழுங்குகளினது தொகை
அதுபோல, p பொருள்கள் ஒரினத்தனவாயும் g பொருள்கள் வேறேர் இனத்தனவாயுமிருக்க எனையவெல்லாம் வேற்றுமைப்பட்டால், ஒழுங்கு
களினது தொகை p! g’

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 35
(உதாரணம்.) “Commander’ என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள உயிரெழுத்துக் களின் வரிசை பேணப்படின், அச்சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் வேறு வேருன ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
அச்சொல்லில், 0, d, e என்னும் வரிசையிலே மூன்று உயிரெழுத் துக்கள் உண்டு. இவ்வரிசை பேணப்படவேண்டும். தந்த யாதும் ஒர் ஒழுங்கிலிருந்து மெய்யெழுத்துக்களினுடைய நிலைகளை மாற்றது உயி ரெழுத்துக்களை மாத்திரம் ஒன்றேடொன்று மாற்றுவதாற் புதிய ஒழுங்கு களை நாம் ஆக்கல் இயலாது என்பதே இதன் கருத்து. இது அம்மூன்று உயிரெழுத்துக்களும் மூன்று ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களாதற்கு ஒப்பாகும். எல்லாமாக 9 எழுத்துக்கள் உண்டு ; அவற்றுள் m என்னும் 2 எழுத்துக் கள் ஒற்றுமைப்பட்டுள்ளன. ஆகவே வேண்டிய ஒழுங்குத் தொகை 9 பொருள்களுள் 2 ஓரினத்தனவும் 3 வேறேரினத்தனவுமாக அந்த 9 பொருள்களின் ஒழுங்குத் தொகைக்குச் சமனகும்.
9! _9×8×7×6×5×4×3×2 2 3 2 X 3 x 2
= 30240.
.. ஒழுங்குத் தொகை
பயிற்சி
1. “Alliteration” என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களினுடைய வேறுவேருன ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
2. “Prevarication” என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களுள் (a) என் னும் ஈரெழுத்துக்களும் ஒருங்கு வராதவாறும் (b)* என்னும் ஒர் எழுத்தும் என்னும் ஒர் எழுத்தும் ஒருங்குவருமாறும் உள்ள அச்சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் ஒழுங்குத் தொகையைக் காண்க.
3. ஆசிய நாட்டு ஆலோசனைச் சபை ஒன்றிற்கு இலங்கையிலிருந்து 2 பிரதிநிதிகளும், இந்தியாவிலிருந்து 4 பேரும், பாக்கித்தானிலிருந்து 3 பேரும், பேமாவிலிருந்து 3 பேரும் வந்திருக்கின்றனர். இப்பிரதிநிதிகள் கூட்டவொளிப் படம் ஒன்றிற்கு இருக்க, ஒரே நாட்டுப் பிரதிநிதிகளுக் கிடையே வேற்றுமை யாதுங் காணப்படாவாயின், அவர்களை இருத்தக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
ஒரே நாட்டுப் பிரதிநிதிகள் ஒருங்கு இருந்தால், அவர்களை இருத்தக் கூடிய வழிகளினது தொகையையுங் காண்க.
4. 2, 3, 4 என்னும் இலக்கம் மூன்றையும் ஒருங்கு வழங்கி 5 இலக்கங் களைக்கொண்ட எத்தனை முழுவெண்களை ஆக்கலாம் ?

Page 182
352 தூயகணித மூலகங்கள்
5. பூச்சியமல்லாத இலக்கங்கள் எல்லாவற்றையும் வழங்கிக் கட்டுப்படுத் தாத நிலைகளையுடைய 2, 4 என்னும் இலக்கங்களுக்கு இடையில் யாதும், ஓரிடத்தில் 3 என்னும் இலக்கம் வருமாறு வேறுவேறன இலக்கங்களை யுடைய எத்தனை முழுவெண்கள் ஆக்கக்கூடும் ?
6. n மாக்கற்களுள் p ஒரு நிறமும் எனைய வேறு வேறு நிறமுள்ளன வாயிருக்க அவற்றை ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கும்பொழுது வலஞ் சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் வேறுபாடு காணப்படுமாயின்
(n-1) அவை வைக்கப்படக்கூடிய ஒழுங்குகளினது தொகை oT6OTS 5ITLGBS.
சேர்மானம்
a, b, c, d என்னும் நான்கு வேறுவேறன எழுத்துக்களை ஆராய்க. இந்நான்கு எழுத்துக்களைக் கொண்டு ஆக்கக்கூடிய வேறுவேறன மூன்று எழுத்துக் கூட்டங்களுள் யாதுமொரு கூட்டத்திலுள்ள எழுத்தொழுங்கைக் கவனிக்காதவிடத்து அக்கூட்டங்கள் abc, abd, acd, bcd என்பனவாகும். அங்கு 4 கூட்டங்களே உண்டு ; அதாவது, முறைக்கு 3 ஆக எடுக்கப்படும் 4 வேறுவேறு பொருள்களின் சேர்மானத்தொகை 4 ஆகும்.
முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் m வேறுவேறு பொருள்களின் சேர் மானத் தொகை n பொருள்களைக்கொண்டு ஆக்கக்கூடிய r பொருள்களி னுடைய வேறுவேறன கூட்டங்களினது தொகையாகும். அது 70, 7, என்பன முழுவெண்களாக அவற்றுள் m என்பது r இலுஞ் சிறிதாகாத போது "0, ஆற் குறிக்கப்படும்.
40 = 4 எனக்கண்டோம்.
இப்பொழுது m, r என்பனவற்றினுடைய தந்த பெறுமானங்களுக்கு
"C, என்பதைக் கணிக்க உதவுஞ் சூத்திரம் ஒன்றைப் பெறுவோம்.
"C இற்குச் சூத்திரம் முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் 70 வேறு வேறு பொருள்களினுடைய வேறுவேறு வரிசை மாற்றமானவை r பொருள்களினுடைய இயலத்தக்க கூட்டங்கள் எல்லாவற்றையும் ஆக்கி அதன்பின் ஒவ்வொரு கூட்டத்திலும் உள்ள பொருள்களே இயலத்தக்க வழிகள் எல்லாவற்றையும்பற்றி ஒழுங்கு படுத்தலாற் பெறப்படும். r வேறுவேறு பொருள்களானவை தம்முள் ஒழுங்காக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகை ?!
*C × ۳ ! = "P
пO n(n - 1)(n -2)...(n - r -- 1)
SSAAASASASSqSSMSSSMSqSqMSeLeLeSALeLSLSLS ነ”! n
r! (nーr)!"

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 353
வேருெரு வழி.
அந்த 7 வேறுவேருண பொருள்கள் a, a. . . . . . . . a என்னும் m வேறுவேருண எழுத்துக்களாற் குறிக்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க. ஒவ்வொன்றும் r எழுத்துக்களுள்ள "C, கூட்டங்கள் எல்லாங் கடதாசித் தாளில் எழுதப்பட்டால் எழுதப்பட்ட எழுததுக்களின் மொத்தம் r X "C, ஆகும். இப்போது இவ்வெண்ணை வேருெரு வழியாற் கணிப்போம். யாதும் ஒர் எழுத்து (a என்க) எழுதப்படும் முறைத்தொகை இவ் வெழுத்து இருக்குங் கூட்டங்களினது தொகைக்குச் சமனகும். a என் னும் எழுத்தைத் தவிர்த்து மீதி (n-1) எழுத்துக்களிலிருந்து இயலத் தக்க (r-1) எழுத்துக்கூட்டங்கள் எல்லாவற்றையும் நாம் ஆக்கி, அதன் பின் ஒவ்வொரு கூட்டத்திலும் a என்னும் எழுத்தை அமைத்தோ மாயின், முறைக்கு 7 ஆக எடுக்கப்படும் m ஆரம்ப எழுத்துக்களின் சேர் மானங்கள் எல்லாவற்றுள்ளும் a என்னும் எழுத்தைக் கொண்டனவற் றைப் பெறுவோம். ஆகவே, a என்னும் எழுத்து "0, முறை எழுதப்படும். அதேபோலப் பிறவெழுத்துக்கள் ஒவ்வொன்றிற்குஞ் செய்ய லாம். ஆகவே, எழுதப்பட்ட எழுத்துக்களின் மொத்தம் m x **0. என்பதற்குஞ் சமன்.
r×"C,=m×"ー"C,-1
нс, = X * - C,
n > ஆக, இது m," என்பனவற்றினுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகும்.
- I o η - 1α = 2 - 18 ميلاO e. የ – 1 r1-- م ሃ‛ – 2
- 2 п — 2 и -3 霄 r - 2 *** ×n C-3
ጎ0 – ሃ‛ -+– 2 **C.--- n-r+10
அன்றியும் "+"C என்பது தெளிவாய் n-r + 1 இற்குச் சமன்.
_n(nー1)(nー2)・・・・(nーr+1) m- ነr(r –l) (ነ ̇ –2)......
ኀጌ(n – 1). . . . (ኬ – የ+1) = - --
... *C.
r

Page 183
354 துயகணித மூலகங்கள்
சிறப்பாக "C = 1.
மேலுள்ள சூததிரத்தால் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படக்கூடிய பின்வரும் முடிபுகளானவை நேராய் நிறுவப்படக்கூடியவை.
"C = "C - ................ (l). "O, - " - C -- "C,..... . (2).
n பொருள்களிலிருந்து நாம் எடுக்கும் r பொருட்கூட்டம் ஒவ்வொன்றிற் கும் (n-1) பொருட்கூட்டம் ஒன்றை விடுகின்றேமென்பதை நாம் நினைவு கூர்ந்தால் (1) எளிதிற் புலஞகும்.
(2) ஐ நிறுவுதற்கு ஒரெழுத்து d ஆயுள்ள 7% வேறுவேருன எழுத்துக்கள் எம்மிடம் உண்டெனக் கொள்க. இந்த % எழுத்துக்களி லிருந்து வேறுவேறன r எழுத்துக் கூட்டங்களை நாம் ஆக்கினல் a என்பது இருக்குங் கூட்டங்களினது தொகை "C.. அதற்குக் கார ணம் இது முறைக்கு (r-1) எழுத்துக்களாக எடுக்கப்படும் மீதி (n-1) எழுத்துக்களினுடைய கூட்டங்களினது தொகைக்குச் சமன் என்பதே. a என்னும் எழுத்து இல்லாத கூட்டங்களானவை f எழுத்துக்களை மீதி (n-1) எழுத்துக்களிலிருந்து தேர்தலால் ஆக்கப்படும். ஆகவே, a என்னும் எழுத்து இல்லாத கூட்டங்களினது தொகை **0,
.. C = - 10 - - - - 1 C.
உதாரணம் (1) ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள 10 பேர்கள் 4 பேர்கொண்டு வேறுவேறு கூட்டங்களாக வேறுவேறு நாள்களில் ஒரு நாடகசாலைக்குச் செல்லத் துணிகின்றனர். அவர்கள் எத்தனை நாட்களுக்குச் செல்வார்கள்? ஒவ்வொருவரும் எத்தனை காட்சி காணக்கூடும் ?
அவர்கள் செல்லுமுறைத் தொகை முறைக்கு 4 ஆக எடுக்கப்படும் 10 வேறுவேறு பொருள்களின் சேர்மானத் தொகைக்குச் சமன்.
- 10×9×8×7
.210 == ' ک2 ° کہ ”ک92"=.10O == இது “下丁マエ
.”. ஒவ்வொருவருஞ் செல்லுமுறைத் தொகை
es
0 = 스스= 8 3 x 2 x 1 (உதாரணம்) 2. 9 ஆண்குலமக்களிலிருந்தும் 5 பெண்குலமக்களிலி ருந்தும் 7 பேர்கொண்ட ஒர் அலுவற்குழு தேரப்படவேண்டும்.
(a) 4 ஆண்குலமக்களும் 3 பெண்குலமக்களும் தேரப்பட்டால் (b) குலமகள் ஒருத்தியாயினுந் தேரப்பட்டால் அவ்வலுவற்குழு

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 355
ஆக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
(d) 9 ஆண்குலமக்களிருந்தும் 4 பேரைத் தேரும் வழிகளினது
9×8 × 7 ×6 4 ×3×2
= 126.
தொகை9 C=
5 பெண்குலமக்களிருந்தும் 3 பேரைத் தேரும் வழிகளினது
5×4 × 3 3×2×1
= 10.
தொகை 50=
ஆண்களைத் தேரும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்கப் பெண்களைத் தேருதற்கு 10 வழிகள் உண்டு.
ஆகவே 4 ஆண்களையும் 3 பெண்களேயும் தேரும் வேறுவேறு வழிகளி னது தொகை 126 x 10 - 1260.
(6) எல்லாமாக 14 பேர் உண்டு. அவருள் ஒரு பெண்ணுயினும் உட்பட 7 பேரைத் தேர்தல் வேண்டும். கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி 7 பேர் தேரப் படக்கூடிய வழிகளினது தொகை
_14×13×12×11×10×9×8
7 × 6×5×4 ×3×2×1
ce 3432.
இது ஒரு பெண்ணுயினும் எடுக்கப்படாத வழிகளினது தொகையை உட் படுத்தும். பெண்ணெருத்தியும் எடுக்கப்படாது விட்டால் 7 பேர்க்கூட்ட முழுவதும் 9 ஆண்களிலிருந்து தேரப்படல் வேண்டும். ஆகவே, பெண் ணெருத்தியையும் உட்படுத்தாதவாறு அவ்வலுவற்குழுவை ஆக்கும் வழி களினது தொகை 90,= 90,
9 x 8
= 36. 2
ஆகவே, பெண்ணெருத்தியையாயினும் உட்படுத்துமாறு அவ்வலுவற் குழுவை ஆக்கும் வழிகளினது தொகை = 3432-36 = 3396,

Page 184
356 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி
1. ஒரு தளத்தில் 15 புள்ளிகள் உண்டு; அவற்றுள் 6, எனைய 9 புள்ளி களுள் யாதொன்றிற்குமூடாகச் செல்லாத ஒரே நேர் கோட்டில் உள்ளன ; இந்த 9 புள்ளிகளுள் எவையேனும் மூன்று ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லை. இப்புள்ளிகளைத் தொடுத்தலால் 91 வேறுவேறு நேர்கோடுகள் ஆக்கப்படலா மென்றும், தம்முச்சிகள் இந்த 15 புள்ளிகளுக்குள் இருக்கின்ற முக் கோணங்கள் 435 ஆகுமென்றுங் காட்டுக.
2. 10 வேறுவேறு புத்தகங்களானவை 4 புத்தகங்கொண்ட கட்டாயும் 6 புத்தகங்கொண்ட கட்டாயும் ஆக்கப்படும் வழிகளினது தொகை 210 எனக் காட்டுக. அவை ஒவ்வொன்றும் 5 புத்தகங்கொண்ட இரு கட்டுக்களாக 126 வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடுமெனக் காட்டுக.
3. 8 ஆண் குலமக்களிலிருந்தும் 4 பெண்குலமக்களிலிருந்தும் 5 பேருள்ள ஓர் அலுவற்குழுவை ஆக்குமிடத்து அக்குழுவிற் குலமகள் ஒருத்தியும் இல்லாதபொழுது குறிக்கப்பட்ட குலமகன் ஒருவன் சேவை செய்ய மறுத்தால் எத்தனை வழிகளாக அக்குழு ஆக்கப்படலாம் எனக் காண்க. (விடை 757)
4. ஒரு ன்பயிற்குள் 6 வெண்மாக்கற்களும் 5 செம்மர்க்கற்களும் உண்டு. அப்பையிலிருந்து 4 மாக்கற்களை ஒரு மனிதன் எடுக்கக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க. 2 வெண்மாக்கற்களையும் 2 செம்மாக்கற்களையும் அவன் எடுக்கக்கூடிய வழிகளினது தொகையையுங் காண்க.
ஆயின் அம்மனிதன் மாக்கற்களுள் ஒன்றையும் பாராது அவற்றுள் 4 ஐ எடுக்கும்போது 2 வெண்மையாயும் மற்றை இரண்டு செம்மையாயும் இருக் குஞ் சம்பாவிதம் 11 இல் 5 எனக் காட்டுக.
5. ஒரு நகரசபையிலே தலைவர் பதவித் தேர்வொன்றில் 2 அபேட்சகரும் 12 தேர்வோரும் இருந்தனர். அனுகூலப்பட்ட அபேட்சகனுக்கு 2 வாக் குரிமை கூடுதலாகக் கிடைத்தன. அவ்வாக்குரிமை 792 வேறுவேருன வழி களுள் யாதுமொன்றல் வழங்கப்பட்டிருக்கலாமெனக் காட்டுக. vn
6. 10 மக்களினுடைய வயதுகள் 10 அடுத்துவரு முழுவெண்களாற் குறிக்கப்படுகின்றன. அவருள் 5 பேருள்ள ஒரு கூட்டத்தில் எவரேனும் இருவருடைய வயது வித்தியாசம் 8 இற்குச் சமனகாதவாறு அக்கூட்டத்தை ஆக்கும் வழிகளினதுதொகை 146 எனக்காட்டுக.
7. 9 இல்லங்களுக்குச் சொந்தக்காரன் ஒருவன் பிள்ளை ஒன்றுக்கு மூன்ருகத் தன்னுடைய மூன்று பிள்ளைகளுக்கும் அவற்றை நன்கொடை யாக வழங்க விரும்புகிருன். அந்நன்கொடை வழங்கப்படக்கூடிய வேறு வேறு வழிகளினது தொகை 1680 எனக் காட்டுக. யாதொரு பங்கிற்குஞ் சொந்தம் பற்றி வேறுபாடு யாதுஞ் செய்யப்படவில்லையெனின் அந்நன் கொடை வழங்கப்படும் வழிகளினது தொகை 280 எனக் காட்டுக.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 357
8. m, n என்பன 3 இலுஞ் சிறியனவாகாத நேர்முழுவெண் களாயிருக்கும்போது யாதொரு சூத்திரத்தையும் மேற்கொள்ளாது
"*"C="C+"O, O,-- "CC-C,
எனக் காட்டுக.
9. 10 ஆண்மக்களிலிருந்தும் 10 பெண்மக்களிலிருந்துங் கலந்த இரட்டைத் தெனிசு விளையாட்டொன்றிற்கு விளையாடுவோர் தேரப்படவேண் டியவராய் இருக்கின்றனர். அவ்விரண்டு எதிர்ப்பக்கங்களும் ஆக்கப்படத் தக்க வேறுவேறு வழிகளினது தொகையைக் காண்க. (விடை 4050)
10. 10 ஆண் மக்களும் 10 பெண்மக்களும் ஒரு வியாபாரத் தாபனத்தி லுள்ள ஆறு வேலைகளுக்கு மனுக்கொடுக்கின்றர்கள். அவ்வேலைகள் 3 இற்குக் குறையாமல் ஆண்மக்களாலே நிரப்பப்பட் வேண்டுமெனின், அந்த 6 வேலைகளுங் கொடுக்கக்கூடிய வேறுவேறு வழிகளினது தொகை யைக் காண்க.
எல்லாம் வேறுபடாத பொருள்களினுடைய வரிசை மாற்றங்களுஞ்
சேர்மானங்களும்.
முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் n பொருள்களினுடைய வரிசைமாற்றச் சேர்மானத் தொகைகளாகிய
n(n-1)・(n-r+1)“二"#二“
n பொருள்கள் எல்லாம் வேறு வேருகும்பொழுதே உண்மையாகும். எல்லாப் பொருள்களும் வேறு வேறகாதபொழுது முறைக்கு r ஆக எடுக்கப் படும் n பொருள்களினுடைய ஒழுங்குத் தொகைக்காதல் கூட்டத் தொகைக் காதல் யாதும் எளிய கோவை கொடுத்தல் இயலாது.
என்னுங் கோவைகள் அந்த
சில எண்ணுதாரணங்களை மாத்திரம் நாம் ஆராய்வோம்.
(உ-ம்). Association " என்னுஞ் சொல்லினுடைய எழுத்துக்களே முறைக்கு நாலாக எடுக்கவரும் வேறு வேறன கூட்டத் தொகையையும் வேறுவேறன ஒழுங்குத் தொகையையுங் காண்க.
இதன் கண் 2 எழுத்துக்கள் a ஆயும் 2 எழுத்துக்கள் 8 ஆயும் 2 எழுத்துக்கள் 0 ஆயும் 2 எழுத்துக்கள் க் ஆயும் 3 வேறு வேறன எழுத்துக்களாயும் இருக்கின்றன.

Page 185
358 தூயகணித மூலகங்கள்
அவற்றிலிருந்து ஆக்கப்படும் 4 எழுத்துக் கூட்டமொன்றில் இருக்கக் கூடியவை :
(a) ஓரினத்தில் 2 எழுத்துக்களும் வேறேர் இனத்தில் 2 எழுத்துக்
களும், (b) 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் வேறு 2 வேற்றுமைப்பட்ட
எழுத்துக்களும், () எல்லாம் வேற்றுமைப்பட்ட 4 எழுத்துக்கள்.
2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் வேறு 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் உள்ள ஒரு கூட்டத்தை ஆக்குதற்கு 4 தொகுதிகளிலிருநது ஒற்றுமைப் பட்ட எழுத்துக்களினுடைய 2 தொகுதிகளை நாம் தேர்தல் வேண்டும். ஆகவே, இவ்வினத்துக் கூட்டங்களினது தொகை 40, அதாவது 6.
2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் உள்ள ஒரு கூட்டத்தை ஆக்குதற்கு ஒற்றுமைப்பட்ட் எழுத்துக்களினது தொகுதியை நாம் 4 வழிகளிலே தேரலாம். ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக் களின் ஒரு தொகுதி இந்த வழிகளுள் யாதும் ஒன்றலே தேரப்பட்ட பொழுது, தேர்தற்பொருட்டு 6 வேறு வேறன இனங்கள் எம்மிடம் உண்டு ; ஆயின், 2 வேறுவேறன எழுத்துக்கள் 90 அதாவது 15 வழிகளிலே தேரப்படலாம். ஆகவே, 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களையும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களையும் உடைய கூட்டங்களினது தொகை 4 x 15 அதாவது 60.
4 வேறு வேறன எழுத்துக்களின் கூட்டம் ஒன்றை ஆக்குதற்கு தேர்தற் பொருட்டு 7 வேறு வேறன இனங்கள் எம்மிடம் உண்டு ; ஆயின், அக் கூட்டம் 70 அதாவது 35 வழிகளில் ஆக்கப்படலாம்.
ஆகவே, தந்த சொல்லினுடைய எழுத்துக்களிலிருந்து ஆக்கப்படக்கூடிய வேறு வேறன 4 எழுத்துக் கூட்டங்களினது தொகை 6 + 60+ 35 அதாவது 10.
ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்பதற்கு வேறு வேறன மூன்று அக்கூட்டவினங்களுந் தனித்தனி ஆராயப்படும்.
ஓரினத்தின் 2 எழுத்துக்களும் வேறேரினத்தின் 2 எழுத்துக்களுமுள்ள
凑
ஒவ்வொரு கூட்டமும் 22 ஒழுங்குகளைத் தரும்.
ஆகவே, கூட்டங்கள் 6 இலுமிருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குத் தொகை
6×4×3×2
-- =36.
2 x 2

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 359
2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும்
4 உள்ள ஒவ்வொரு கூட்டமும் 2 ஒழுங்குகளைத் தரும்.
ஆகவே, அந்த 60 கூட்டங்களிலும் இருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குகளினது
60 x 4 x 8 x 220.
2
4 வேறு வேருன எழுத்துக்களின் ஒவ்வொரு கூட்டமும் 41 ஒழுங்குகளைத் தரும்.
ஆகவே, அந்த 35 கூட்டங்களிலுமிருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குகளின் தொகை 35 x 4 x 3 x 2 = 840.
தொகை
ஆகவே, தந்த சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் முறைக்கு 4 ஆக எடுக்க வரும் ஒழுங்குகளினது மொத்தம் 36 + 720 +840
= 1,596.
பயிற்சி
1. “Maladministration” என்னுஞ் சொல்லினுடைய எழுத்துக்களை முறைக்கு 4 ஆக எடுக்க வரும் வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
2. 4 வெண் மாக்கற்களும் 4 செம்மாக்கற்களும் உள்ள கூட்டம் ஒன்றிலிருந்து 5 மாக்கற்களே எடுத்து ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கக் கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
ஈருறுப்புத் தேற்றம்
70 என்பது ஒரு நேர் முழு வெண்ணுயிருக்கும்பொழுது a, b, என்பன
எவையேனும் இரண்டு மெய் யெண்களைக் குறிக்க, ஒவ்வொன்று (a + b)
ஆகிய 7 காரணிகளின் பெருக்கத்தை ஆராய்க,
அதாவது (a + b)(a + b)(a + b). . . . . n காரணிகள் வரைக்கும்,
அதாவது (a + b)".
அப்பெருக்கத்திலுள்ள உறுப்புக்கள் அந்த m காரணிகள் ஒவ்வொன்றி லுமிருந்து a, b என்னும் எழுத்துக்களுள் ஒன்றை எடுத்து அவற்றை ஒருங்கு பெருக்குதலாற் பெறப்படும். அந்த n காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலு மிருந்து ஒர் எழுத்தைத் தேரும் பல வழிகளுக்கு அப்பலவாகிய உறுப்புக் கள் ஒத்தனவாயிருக்கும். 7. காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து நாம் a என்னும் எழுத்தை எடுக்கின்றேம் எனக்கொள்க. இது ஒரு வழி

Page 186
360 தூயகணித மூலகங்கள்
யாலேயே செய்யப்படக் கூடும் ; ஆயின், அப்பெருக்கத்தில் 1 ஐக் குணக மாகவுள்ள a" என்னும் ஒர் உறுப்பு இருக்கும். a என்பதை (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் b என்பதை மீதிக் காரணியிலிருந்தும் நாம் எடுக் கின்றேமெனக் கொள்க. b என்பதை முதலாங் காரணியிலிருந்தும் a என்பதை எனை (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் நாம் எடுக்கலாம். அன்றி b என்பதை இரண்டாங் காரணியிலிருந்தும் a என்பதை மீதி (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் இவ்வாறே பிறவற்றையும் நாம் எடுக்கலாம். நாந் தேர்தற்கு m காரணிகள் இருத்தலால் b என்னும் எழுத்து "0 வழிகளிலே தேரப்படலாம். ஆகவே, a'b என்னும் உறுப்பு அப்பெருக்கத்தில் 70 முறை நிகழும் ; அதாவது, அப்பெருக்கத்தில் a'b என்பதன் குணகம் "0 ஆகும்.
b என்பதை இரண்டு காரணிகளிலிருந்தும் a என்பதை மீதி (n-2) காரணிகளிலிருந்தும் நாம் எடுக்கின்ருேம் எனக் கொள்க. இது "0 வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடும். ஆகவே, அப்பெருக்கத்தில் ("*b என் னும் உறுப்பு "0 முறை நிகழும் ; அதாவது, அப்பெருக்கத்தில் a"*ம் என்பதன் குணகம் "0" ஆகும்.
பொதுவாக, b என்னும் எழுத்தை 7 காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலு மிருந்து a என்னும் எழுத்தை மீதி (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் நாம் எடுக்கின்ருேமெனக் கொள்க. இது "0, வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடும். ஆகவே, அப்பெருக்கத்தில் ("b" என்பதன் குணகம் "0, ஆகும். இறுதியாக, b என்பதை m காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து நாம் எடுத்தோமாயின், 1 என்னுங் குணகத்தோடு 6" என்னும் உறுப்பைப் டெறுவோம்.
.. அப்பெருக்கம், a۰ -- Ca- 1 b +- Ca-2 b3 +... . . . . -- Ca-b -- . . . . + b
என்பதற்குச் சமன்.
இவ்வண்ணம், m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்போது, (a + b)" = a + 'Ca"b --.... -- "Carb--.... +b". அப்பெருக்கத்தின் விரிவிலுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும்
"Ca"b" என்னும் வடிவினது.
இங்கு r என்பது பூச்சியமாகும் அல்லது n இலுஞ் சிறிதாயாதல் அன்றிச் சமனயாதலுள்ள ஒரு நேர் முழுவெண்ணுகும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 36.
"C என்பது 1 ஆக எடுக்கப்பட்டால், முதலாம் உறுப்பு r = 0 என்பதற்கு ஒத்ததாகும். இரண்டாம் உறுப்பு 7 = 1 என்பதற்கும் இவ்வாறே பிறவும் ஒத்தனவாகும். ஈற்றுறுப்பு Y = n என்பதற்கு ஒதததாகும். அவ்விரிவில் (n + 1) உறுப்புக்கள் இருக்கும் ; (r + 1) ஆம் உறுப்பு "0,0"0" ஆகும்.
2 என்னுங் குறியீடு தொடர்க் கூட்டலைக் குறிக்குமாயின்,
*=27, (α -- t)” : Σ Cat-ry
ጎ” = 0 என எழுதுகின்றேம்.
இந்த முடிபு a, b என்னும் இரு மூலங்களைக் குறிக்கின்றமையால் ஈருறுப்புத் தேற்றமெனப்படும்.
இப்போது அத்தேற்றத்தை தொகுப்பு முறையாலே நாம் நிறுவுவோம். (a + b)“ = a“ + “Ca” -b + ... ... +"Ca" ''b'' + ... ... + b”. வலப்பக்கத்தில் (n+1) உறுப்புக்கள் இருக்கின்றன. n = 1 ஆகும் பொழுது இரண்டாம் உறுப்பு ஈற்றுறுப்பாக, அங்கு இரண்டு உறுப்புக்கள் இருக்கும். ஆகவே, n = 1 ஆகும்பொழுது, முடிபு (a + b) = a + b என்பதாகும். இது உண்மை. V
இனி, 70 = p ஆகும்பொழுது அம்முடிபு உண்மையாகுமெனக் கொள்க gu5657 (a + b)o = a” +°Caloob --.... + oCao"b"-H.... + bo. இருபக்கங்களையும் a, b என்பனவற்ருலே தொடர்ச்சியாகப் பெருக்க
நாம் பெறுவன, a(a -- b) = a + POab --.... + Cat b --.... + ab?, b(a -- b) = a’b --.... --°Ca’’’ b" --........ +bo+* என்பன.
இங்கு ஒத்த உறுப்புக்களை ஒன்றின்கீழ் ஒன்றக எழுதியுள்ளோம். ஒருங்குகூட்ட நாம் பெறுவது
(a +b) (a+b) = a-- (PC-I)a?b --.... -- (PC--PC, )at- 'b- .... +bot!.
இதற்குமுன் "0,="0.+"0, எனக்கண்டுள்ளோம்.
・ "+"C,="C.-1+"C. "... (a+b)? + 1 = a?+ 1 + P+Ca”b+ . . . ... +?+ 'Ca?+ ' 'b' + .... + b?+1.
அதாவது n =p + 1 ஆகும்பொழுது அத்தேற்றம் உண்மையாகும்.

Page 187
362 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, n =p ஆகும்பொழுது அத்தேற்றம் உண்மையானல், n =p+1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும். n = 1 ஆகும்பொழுது அது உண்மை. .. n = 2 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மை. . n என்பது யாதும் ஒரு நேர் முழு வெண்பெறுமான முடையதா யிருக்கும்பொழுது இவ்வாறே செய்யலாம். உதாரணம் 1.
(2-3a) என்பதன் விரிவைக் காண்க. (2-3a)5 = 25--5C,24(-3a)--5C,28(-3a)--5C2°(-3a)
--5C2(-3a) -- (- 3a) = 32-240a; -- 7.20a-1080a:3+ 810a-243a.
உதாரணம் 2.
3Y10 ள் விரிவில் 2-8 இன் (2+) இன் விரிவில் 2" இன் குணகத்தைக் காண்க.
r என்பது ஒரு நேர் முழு வெண்ணுயாதல் பூச்சியமாயாதல் இருந்தால் அவ்விரிவிலுள்ள யாதும் ஓர் உறுப்பு
3 )- 100,210-73.10-ar
10α.(2α) 10 -( என்னும் வடிவினதாகும். 2" என்பதை அகப்படுத்தும் உறுப்பு 10-47 = - 6, அதாவது r = 4 ஆகும்பொழுதே பெறப்படும். ஐ" என்பதன் குணகம் 100.23.34
_10×9×8×7 下エ
= 210 × 26 ×34。
26.34
உதாரணம் 3.
(2 + v/3)* என்பதன் முழுவெண் பகுதியைக் காண்க. .4 (3/) + 3 (3/vہ)v/3-+ 4O.22(v/3)2 -+- 4O2ہ 23 4O -+۔ 24 == 4(3/vہ -+-2) .4(3/v/3-+ 4O22 (V/3)2 - 4O2(V/3) 3 +- (Vہ 4O28 ہے۔ 24 = سے 4(3/vہ --2)
. . (2 + ۹/3) 4 + (2 - ۹/3) ۹ = (+ * 89.3 -- 3)
= 194.
(2. . V3) என்பது 1 இலுஞ் சிறியதாய் நேராகும். .. (2 - V3)* என்பது 1 இலுஞ் சிறிதாய் நேராகும். .. (2 + v/3)* என்பதன் முழுவெண்பகுதி -193.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 363
a > 0 ஆகும்பொழுது, (1 + a)" இன் மிகப்பெரிய உறுப்பு.
n என்பது ஒரு நேர் முழு வெண்ணுயின்,
1 -- ac)”= 1 -- "Cat -- "Cato--. . . . --"Car" --. . . . --at”. a > 0 ஆயின், எல்லா உறுப்புக்களும் நேராகும். T, என்பது அவ்விரிவிலுள்ள 7 ஆம் உறுப்பாகுக. T="Ca", T="Ca".
・ "リトz="ー") ("二"十"× (r-1)(r - 2).... 1
T, r(r-l). . . . 1 * n(nーl)・・・・(nーr+2)
="二s+'z ገ‛ .. *-ttle 1 எனின், Tடி>T, *二”サ'z<1 எனின், T.< T.
r
ገ0 – ነ‛ –+- l
r
a=1 எனின், Tடி=T,
ப்பொழுது, (n + 1)a> r(a + 1) எனின், அ ாவது, 

Page 188
364 தூயகணித மூலகங்கள்
(ገዉ + 1) ac l十a;
ஒரு முழு வெண்ணுகக் கொள்ளப்படும்).
(m + 1) ae
五丁莎丁”
(ገይ +- l) a; I - a
p என்பது என்பதன் முழுவெண் பகுதியாகுக. (பூச்சியமும்
* Sp எனின், r <
ச> ற எனின், r>
". r Sp ஆயுள்ள 1 இன் யாதும் ஒரு முழு வெண் பெறுமானத்திற்கு
Tr + 1 > T.
r>ற ஆயுள்ள f இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
1 + i < T.
p=m எனின், r < n ஆயுள்ள எல்லா r இற்கும் T.>T, அவ்விரிவில் (n + 1) உறுப்புக்களே இருக்கின்றமையால், அவ்விரிவிலே முதலாம் உறுப்புக்குப் பின்னுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்புந் தனக்குமுன்னுள்ள உறுப் பிலும் பெரிதாகும் ; அதாவது, அவ்வுறுப்புக்கள் உறுதியாக முதலி லிருந்து இறுதிவரைக்குங் கூடும் ; ஆயின் ஈற்றுறுப்பு மிகப் பெரிதாகும்.
என்பது 0, 1 என்பனவற்றிற்கு, இடையிற் கிடந்தால், T.டி>T, என்னுந் தொடர்பு f இன் யாதும் ஓர் முழுவெண் பெறுமானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
". எல்லா 7 இற்கும் Tடி < T.
p = 0 எனின், அதாவது
அதாவது, அவ்வுறுப்புக்கள் உறுதியாக முதலிலிருந்து இறுதிவரைக்குங் குறையும் ; ஆயின், முதலாம் உறுப்பு மிகப் பெரிதாகும்.
இப்பொழுது, 0 <ற < n எனக்கொள்க. ஆயின், 1 இலிருந்து p வரைக்குமுள்ள 7 இனுடைய பெறுமானங்
களுக்கு Tடி>T ; p இலும் பெரிய f இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு 1+1 < 4,.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 365
ஆகவே, அவ்வுறுப்புக்களானவை முதலாம் உறுப்பிலிருந்து (p +1) ஆம் உறுப்பு வரைக்கும் உறுதியாகக் கூடி அதன்பின் உறுதியாகக் குறையும். ஆயின், (p + 1) ஆம் உறுப்பே அவ்விரிவில் மிகப் பெரிதாகும்.
(n. -- 1) ac ac -- I guSlair, lag sn.
r = q எனின், T, = T. r< q எனின், Tடி> T, r> q எனின், Tடி < 1.
என்பது ஒரு முழு வெண்ணெனக் கொள்க. அது g ஆகுக.
g = 0 எனின் அவ்விரிவிலுள்ள ஈற்றுறுப்புக்கள் இரண்டுஞ் சமனகும் ; ஆக, அவ்வுறுப்புக்கள் உறுதியாக முதலாம் உறுப்பிலிருந்து 10 ஆம் உறுப்புவரைக்குங் கூடும்.
g = 1 எனின், முதலிரண்டு உறுப்புக்களுஞ் சமனகும் ; ஆக, அவ் வுறுப்புக்கள் உறுதியாக இரண்டாம் உறுப்பிலிருந்து ஈற்றுறுப்புவரைக்குங் குறையும்.
1 1 எனின், அதாவது < 5 எனின், அதாவது
r < 2 எனின், T. >T, r> 2 எனின், T, 

Page 189
366 துயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, அவ்வுறுப்புக்களானவை முதலாம் உறுப்பிலிருந்து மூன்றம் உறுப்பு வரைக்கும் உறுதியாகக் கூடி அதன்பின் உறுதியாகக் குறை கின்றன.
ஆகவே, அவ்விரிவிலே மூன்ரும் உறுப்பே மிகப் பெரிது,
\2 45 goigs oC 10.() அதாவது . 10 இற்குச் சமன்.
(1 + a)" என்பதிலுள்ள மிகப்பெரிய குணகம்.
a இன் ஏறடுக்குக்களில் அவ்விரிவிலுள்ள குணகங்கள்
"C, "0, "C, ."C என்பன.
"C _nーr+1 "C-1 -. ... * tt> 1 STG:sflest, "C, > "C,-.
r அதாவது, ·< எனின், "C,>"C.. r = ତtଟ୪fiତ୪t, “C,= "C, --
ገ0 –†- l 78 عام nC r>一g一 எனின், C, < 一”rー1"
m என்பது ஒர் இரட்டை முழுவெண்ணெனக் கொள்க.
ஆயின், r=" | என்னுந் தொடர்பு f இன் யாதும் ஒரு முழுவெண் பெறுமானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
ゲ ك; எனின், "0,>"0.
2, "> எனின், "C,<"C.
.. "C, என்பது, 0 இலிருந்து வரைக்கும் r ஆனது கூட, உறுதியாகக்
= இற்கு அப்பால் r ஆனது கூட உறுதியாகக் குறையும். ஆயின், r وكالة 5 ஆகும் பொழுது "C இன் மிகப் பெரிய பெறுமானம் பெறப்படும்.

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 367
70 என்பது ஒர் ஒற்றை முழுவெண்ணெனக் கொள்க.
ஆயின், என்பது ஒரு முழுவெண்ணுகும்.
... - எனின், "C-"C-: r< 부 எனின், "C,>"C. r>"공 எனின. "C <"C.ー1・
-l .". " ஆனது 0 இலிருந்து 등 இற்குக் கூட "C என்பது உறுதியாகக்
~ ፩ --l கூடும். "C+ ="C. 7 ஆனது" இற்கு அப்பாற்கூட "0, என்பது
2 2
m -1 m -- 1 உறுதியாகக் குறையும் ; ஆயின், r = - அல்லது 3 ஆகும்பொழுது
C இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் பெறப்படும்.
(1 + a)" என்பதன் விரிவிலுள்ள குணகங்களினுடைய தொடர்புகள்.
"C என்பதை C, ஆற்குறிக்க நாம் பெறுவது
(1 -- ac)” = C -- Car -- Caco -- ... -- Cat”.
"C="0. ஆயிருத்தலால், C.= 0, 0 = 0., C = 0.
என்பன பெறப்படும்.
இருபக்கங்களிலும் a=1 எனப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
.C, என்பது +... + و C, + C + C = "2
30 = -1 எனப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது, 0= 0-0 + 0-0 + ... என்பது
ஒருங்குகூட்ட நாம் பெறுவது
2"= 2(C+ 0 + 0 + ...) என்பது.
கழிக்க, நாம் பெறுவது
2” = 2 (C -- C -- C -- ...) 6TGÖT Ugi
·C%十Ce十C:十...=C(十C。十C。十...=2”一°。

Page 190
368 தூயகணித மூலகங்கள்
(உதாரணம்) 1. C* + 02 + ... + 02= 器 எனக் காட்டுக,
."نO, a -+ ... -+- *نac)” = C, -+- Cac-+- Oa a -+ 1) அன்றியும், (a +1)" = Ca"+ Ca" + Ca"*+ ... + C, வலப்பக்கத்திலுள்ள விரிவுகளின் பெருக்கத்தில் 2" இன் குணகம்
- Co+ Co-H... + Co. (1 + a)" (a + 1)" அதாவது (1 + a)* இல் a" இன் குணகம்
(2n) "C.= ஆகும்.
2n) . C+ Co+.+c=:
\n அல்லது, 1+ =C.+2、基+2、試+...+2、試
*. C*+ C,*+ ... + C* = (1 + ac)" ( 十 !) இல் 2 ஐச் சாராதஉறுப்பு
= (1 + a)* இல் a" இன் குணகம்.
(உதாரணம்) 2. ++. + - "-" бГ60Taš asтL.(5a).
C. I n r -- 1 - 1 * r (n - r)!
m (r + 1) !(n — r)!
(ገ0 + l) !
"(r十1)!(nーr)!
η -H- 1
1. n + .**C.
... --
re:
1. Co O C ++····+
--l tic, + *+1O, +- +"C.
(1+2)”** இன் விரிவிற் குணகங்களை ஆராய்க நாம் பெறுவது
n+10+1+c+...+"+C = 2*.
Co C. C I ( ) ."、一学十~キ十・・・・ = 2-1 .
サ魂 -- ጎኔ + l

அட்சரகணிதம் அத்தியாயம் 4 369
பயிற்சி 9 1. )5- مه( என்பதன் விரிவில் 2 ஐச் சாராத உறுப்பைக் காண்க.
NA 5 2. )22ک+'( என்பதன் விரிவில் a என்பதன் குணகத்தைக்காண்க.
3. (a) 9994, (b) (A/2+1) என்பதன் முழுவெண்பகுதி என்னும் இவற்றைக் காண்பதற்கு ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன் படுத்துக.
\9 4. 30 = ஆகும்பொழுது (e. -- Ε) என்பதனுடைய விரிவிலுள்ள மிகப்பெரிய உறுப்பைக் காண்க.
5. ஐ= ஆகும்பொழுது (1+2a) என்பதன் விரிவிலுள்ள மிகப் பெரிய உறுப்புக்களைக் காண்க.
6. 8 <2<* a இனுடைய ஏறடுக்குக்களில் (3+2)8 இன் விரிவி லுள்ள 5 ஆம் உறுப்பு ஆயின் மிகப்பெரிதாகுமெனக் காட்டுக.
7. n என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுக 1 به که > * T ஆயின்
ገ0 (1+2)* என்பதிலுள்ள மிகப்பெரிய உறுப்பிற்கு மிகப்பெரிய குணகம் இருக்குமெனக் காட்டுக.
8. (l -- ac)" = Co -- Cat -- Cato -- . . . . . . . . . . . . . . ـ+ Cr" GTGof6dT
(i) n ஒற்றையாகும்பொழுது C-C+C?- . . . . - C=0 என்றும்,
Ο ཆ་ ہوتO1 , C سر \ ::
-- " - s. - 1)* -` Պ- = - Ր - (i) Cl- + +(-)" = 1
(iii) C -- 2C -- 3C -- . . . . . . ..+m,C=7.2” என்றுங் காட்டுக.
என்றும்,
9. r என்பது m இலும் பெரிதாயில்லாதபோது ܗܝ
CoC,+ C.C.-1+. . . . . . . . +0.0 என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க; r=% ஆகும்பொழுது அப்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாகுமெனக் காட்டுக.
10. m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருக்க a=1 ஆகும்பொழுது (1+22)" என்பதன் விரிவிலுள்ள மிகப்பெரிய உறுப்பை ஆராய்வதால்,
(3n -- 1) (
SS 鄂) எனக் காட்டுக.
4

Page 191
370 தூயகணித மூலகங்கள்
11. ( +2+3a)0 என்பதன் விரிவிலுள்ள 38 இன் குணகத்தைக் காண்க.
V6 12. (1+x+.) இன் விரிவில் a* இன் குணகத்தைக் காண்க.
272 13. a என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயின், (r + 2) இன் விரிவில் a**, a* என்பனவற்றினுடைய குணகங்களை எழுதுக.
P, என்பது இக்குணகங்களின் பெருக்கத்தைக் குறித்தால், P, : P - 1 என்னும் விகிதத்தை எழுதுக. அன்றியும், P என்பது மிகபெரிதாய் யுள்ள f இன் பெறுமானத்தையுங் காண்க.
14. n என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருக்க,
,எனின் " قهوه.. + كنهرa + . . . . + فرنو a 0 + a + a = "(فa + a + 1)
笃 (1+a2+a")", ( l -- ) என்பனவற்றினுடைய விரிவுகளின் பெருக்கத்
at at
தில் 2 ஐச் சாராத உறுப்பை ஆராய்வதால், a?-a^ + 0°-யஃ+ . . --"ே = a எனக் காட்டுக.

திண்மக் கேத்திரகணிதம்

Page 192

அத்தியாயம் 1
வெளிப்படையுண்மை 1. வெளியில் இருபுள்ளிகளுக்கூடாக ஒருநேர்கோடு மாத்திரம் உண்டு. வரைவிலக்கணம். ஒருதளம் என்பது தன்மீதுள்ள எவேையனும் இரு புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோடு முழுவதுந் தன்மீது கிடக்கும் ஒரு மேற்பரப்பு. வெளிப்படையுண்மை 2.
ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு தளம் மாத்திரம் உண்டு. உய்த்தறிவு. 1. ஒருநேர்கோடிற் கூடாகவும் அதன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளிக்கூடாகவும் ஒரு தளம் மாத்திரம் வரைதல்கூடும்.
என்பது அக்கோடாகுக ; P என்பது அப்புள்ளியாகுக. இன்மீது A, B என்னும் இரு புள்ளிகளை எடுக்க. ஆயின், A,B,P என்பன ஒரு தனித்தளத்தை வரையறுக்கும். A,B என்பன இத்தளத்தின் மீது கிடத்தலால், என்னும் கோட்டின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இத்தளத்தின் மீது கிடக்கும். ஆகவே, C,D என்பன இன்மீதுள்ள எவையேனுமிரு புள்ளிகளாயின், APB என்னுந் தளத்தில் C,D,P என்னு மூன்று புள்ளிகளும் இருக்கும்; அதாவது, CDP என்னுந் தளம் APB என்னுந் தளத்தோடு ஒன்ருகும்.
ஆகவே, என்னுங் கோட்டிற்கூடாகவும், P என்னும் புள்ளிக் கூடாகவும் ஒரு தளம் மாத்திரம் உண்டு.
உய்த்தறிவு 2. ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருநேர்கோடுகள் ஒரு தனித் தளத்தை வரையறுக்கும்.
l,m என்பன ஒன்றையொன்று A இல் வெட்டும் இரு கோடுகளாகுக. P என்பது m இன்மீதுள்ள வேறுயாதும் புள்ளியாகுக. ஆயின், P, என்பன ஒரு தனித்தளத்தை வரையறுக்கும். A என்பது இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதலின், இத்தளம் A இற்கூடாகச் செல்லும். இனி, m என்பது P, A என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோடாதலால், இத்தளம் m இன்மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கூடாகவுஞ் செல்லும். ஆகவே, அத்தளம் ,m என்னும் இரண்டிற்குமூடாகச் செல்லும். ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் ஒரு தனித்தளத்தை வரையறுக்குமாதலால், ,n என்பனவற்றுறிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் தனியானது.
373

Page 193
374 தூயகணித மூலகங்கள்
உய்த்தறிவு 3. தந்த ஒருநேர் கோட்டிற்கூடாக எத்தொகைத்தளங்களும் வரையப்படுதல் கூடும்.
என்பது அந்நேர்கோடாகுக. P என்பது இன்மீது கிடவாத யாதுமொரு புள்ளியாயின், 1,P என்பனவற்றிற்கூடாக ஒரு தனித் தளம் வரைதல் கூடும். இத்தளத்தில் கிடவா () என்னும் ஒரு புள்ளியை யெடுக்க. ஆயின், 7,0 என்பன 1,P என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் தளத்தோடு ஒன்ருகாத ஒரு தளத்தை வரையறுக்கும். P, என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுந் தளத்திற்கு வெளியால் எத்தொகைப் புள்ளிகளும் எடுக்கப்படலாமாதலால் இற்கூடாக எத்தொகைத்தளங்களும் வரை யப்படலாம் என்பது பெறப்படும்.
வரைவிலக்கணங்கள். ஒரே தளத்திற் கிடக்கின்ற இரு நேர்கோடுகள் ஒருதளத்தன. ஒரேதளத்தில் கிடவாத இரு நேர் கோடுகள், சமச் சிரில்லாதவை. இரு நேர் கோடுகள் ஒரு தளத்தனவாய் ஒன்றை ஒன்று வெட்டாவாயின், அவை சமாந்தரம் எனப்படும்.
வெளிப்படையுண்மை 3. தந்த ஒரு நேர்கோட்டிற்கிடவாத ஒரு புள்ளிக் கூடாகத் தந்த அக்கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் ஒரு நேர்கோடே வரையப் படலாம்.
வரைவிலக்கணம். ஒரு நேர்கோட்டிற்கும் ஒரு தளத்திற்கும் ஒரு பொதுப் புள்ளி இல்லையெனின், அந்நேர்கோடு அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரம் எனப் படும்.
வெளிப்படையுண்மை 4. இருதளங்களுக்கு ஒரு புள்ளிபொதுவாயிருந் தால், அவற்றிற்கு வேறெரு புள்ளியும் பொதுவாகும்.
உய்த்தறிவு 4. ஒரு பொதுப்புள்ளியையுடைய இருதளங்கள் ஒரு கோட்டி னது நீளத்திற்கு ஒன்றையொன்று வெட்டும்.
A என்பது ஒரு பொதுப்புள்ளியாகுக. ஆயின், B என்னும் வேறெரு புள்ளியும் பொதுவாயிருக்கும். ஆகவே, AB என்னுங் கோடு அத் தளங்கள் இரண்டிற்கும் பொதுவாகும். AB இன்மீதுகிடவாத P என்னும் ஒரு பொதுப்புள்ளி இருந்தால், அத்தளங்கள் இரண்டும் PAB என்னுந் தளத்தோடு ஒன்றகும். ஆகவே, அத்தளங்கள் இரண்டும் வேறுவேறன வையாயின், AB இன்மீது கிடவாத ஒரு பொதுப்புள்ளி அவற்றிற்கு இராது ; அதாவது, A, B என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் கோட்டினது நீளத்திற்கு அவை ஒன்றையொன்று வெட்டும்.
வரைவிலக்கணம். யாதொரு புள்ளியும் பொதுவாயில்லாத இருதளங் கள் சமாந்தரம் எனப்படும்.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 2 375
தேற்றம் 1. என்னும் ஒருநேர்கோடு a என்னுந் தளத்திலே கிடக் கின்ற m என்னும் ஒரு நேர் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயின், என்பது a இற் கிடக்கும், அன்றெனின் a இற்குச் சமாந்தரமாகும்.
, m என்பன சமாந்தரமாதலின், அவை ஒரு தளத்திலே (8 என்க) கிடக்கும். 8 என்பது a ஒடு ஒன்றயின், என்பது a இற் கிடக்கும். 8 என்பது a ஓடு ஒன்றன்றயின், ) என்பது a இற்குச் சமாந்தரமில்லை எனக் கொள்க. ஆயின், என்பது a என்பதை A என்னும் யாதோ ஒரு புள்ளியிற் சந்தித்தல் வேண்டும். A என்னும் இப்புள்ளி 0, 8 என்னுந் தளங்களுக்குப் பொது. ஆகவே, a, β என்பன ஒன்றை யொன்று வெட்டுங்கோடு A இனுடாகச் செல்லவேண்டும். ஆனல், இவ் வெட்டுக்கோடு m ஆகும். ஆகவே, A என்பது , m என்னும் இரண்டிற் கும் பொதுவாதல் வேண்டும். இது ஒர் எதிர்மறுப்பைத் தரும். ஆகவே 8 என்பது a ஓடு ஒன்றன்றெனின், என்பது a இற்குச் சமாந்தரம்.
கி, தே. என்பது a என்னுந் தளத்திலுள்ள ஒரு நேர்கோடாயும் A என்பது a இலுள்ள ஒரு புள்ளியாயும் இருந்தால், A இனுடாக
இற்குச் சமாந்தரமாய்ச் செல்லுந் தனிக்கோடு a இற் கிடக்கும்.
தேற்றம் 2. a என்னும் ஒரு தளத்திலுள்ள என்னும் ஒரு கோடு 8 என்னும் ஒரு தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயின், d என்பது 8 இற்குச் சமாந் தரமாகும், அன்றெனின் என்பது a, 8 என்பனவற்றின் வெட்டுக் கோட் டிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
a, 8 என்பன சமாந்தரமல்லவெனின், அவை m என்னுங் கோட்டினது நீளத்திற்கு ஒன்றையொன்று வெட்டுக. , m என்பன ஒரு தளத் தனவாதலின், அவை ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமாதல் வேண்டும், அன்றெனின் ஒன்றையொன்று வெட்டல் வேண்டும். அவை யாதோ ஒரு புள்ளி A இல் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன எனக்கொள்க. m என்பது 8 இல் இருக்கின்றமையால், A என்னும் புள்ளி 8 இல் இருக்கும். ஆகவே, என்னுங்கோடு 8 என்னுந் தளத்தை A இல் வெட்டும். என்பது 0 இற்குச் சமாந்தரமாதலால், இது ஒர் எதிர் மறுப்பைத் தரும். ஆகவே, , m என்பன சமாந்தரமாதல் வேண்டும்.
அதாவது, a, 8 என்பன ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமல்லவெனின், என்பது அவற்றின் வெட்டுக்கோட்டிற்குச் சமாந்தரம்.
14——J. N. B 66342 (6|57)

Page 194
376 தூயகணித மூலகங்கள்
தேற்றம் 3. ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருதளங்களுள் ஒவ்வொன்றிற் குஞ் சமாந்தரமான ஒரு நேர் கோடு அத்தளங்களிள் வெட்டுக் கோட்டிற்குச் சமாந்தரம்
என்பது அக்கோடாயும், 0, B என்பன m என்னும் ஒருகோட்டினது நீளத்திற்கு ஒன்றையொன்று வெட்டிடும் இருதளங்களாயும் இருக்க. A என்பது m இன்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. A, என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுந் தளம் A இற்கூடாகச் செல்லும் ற என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு a என்பதை வெட்டும். என்பது a இற்குச் சமாந்தரமாதலின், மேற்றந்த தேற்றத்தால், ற என்பது இற்குச் சமாந்தரம். அதுபோல, A, என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் A இனுரடாகச் செல்லும் g என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத் திற்கு 8 என்பதை வெட்டும். இவ்வண்ணம், p, q என்பன A இனூடாக இற்குச் சமாந்தரமாகச் செல்லும் இருகோடுகள். ஆகவே, அவை ஒரேகோடுகளாகும். p என்பது a இலும், q என்பது 8 இலுங் கிடக்கின்றமையால், அவை m ஒடு பொருந்தல் வேண்டும் ; அதாவது,
என்பது m இற்குச் சமாந்தரம்.
தேற்றம் 4. இரு நேர் கோடுகளானவை மூன்றம் நேர் கோடொன்றிற் குச் சமாந்தரமாயின், அவை தம்முட் சமாந்தரம்.
l, m என்னுங்கோடுகள் p என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகுக.
அம்மூன்றுகோடுகளும் ஒரே தளத்தில் இருக்கின்றன எனக் கொள்க. l, m என்பன சமாந்தரமல்லவெனின், அவையொன்றையொன்று யாதோ ஒரு புள்ளி A இற் சந்தித்தல் வேண்டும்.
ஆயின், A என்னும் புள்ளிக்கூடாக p என்னுங்கோட்டிற்குச் சமாந்தர மாய் , m என்னும் இருகோடுகள் இருக்கும்.
இது வெளிப்படையுண்மை 3 ஐ எதிர் மறுக்கின்றது. ஆகவே, , m
என்பன சமாந்தரம்.
அக்கோடுகள் எல்லாம் ஒரே தளத்தில் இல்லே எனக் கொள்க.
A என்பது m இன்மீது p, என்பனவுள்ள தளத்தில் இல்லாத ஒரு புள்ளியாகுக. m என்பது இற்குச் சமாந்தரமன்றெனின், q என்பது A இற்கூடாக இற்குச் சமாந்தரமான கோடாகுக. ஆயின், g, ! என்பன ஒருதளத்தன. p என்பது இற்குச் சமாந்தரமாதலால், p என்பது g, l என்பன இருக்குந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். p என்பது m இற்குச் சமாந்தரமாதலால், p என்பது g, m என்பன இருக்குந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். ஆகவே, p என்பது இந்த இரண்டு தளங்

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 377
களினுடைய வெட்டுக்கோடாகிய g இற்குச் சமாந்தரம். ஆகவே, 4 இனூடாக p இற்குச் சமாந்தரமாய் g, m என்னும் இருகோடுகள் இருக்கும். இது ஒர் எதிர்மறுப்பைத் தரும்.
ஆகவே, 1, m என்பன சமாந்தரம்.
தேற்றம் 5. இரு சமாந்தரமான தளங்களை வெட்டும் ஒருதளம் அவற்றைச் சமாந்தரமான கோடுகளில் வெட்டும்.
0, 8 என்னும் இரு சமாந்தரமான தளங்களை முறையே 1, m என்னுங் கோடுகளினது நீளத்திற்கு ஒரு தளஞ் சந்திக்க. I, m என்பன சமாந்தர மல்லவெனின், அவை ஒரே தளத்தில் இருக்கின்றமையால் யாதோ ஒரு புள்ளி A இற் சந்தித்தல் வேண்டும். ஆயின், A என்னும் புள்ளி a, 8 என்னுந் தளங்களுக்குப் பொதுவாகும். இது ஒர் எதிர் மறுப்பை தரும். ஆகவே, , m என்பன சமாந்தரம். -
தேற்றம் 6. ஒருதளம் 0 இற்குவெளியால் ஒரு புள்ளி P இற்கூடாக ஒருதளம் மாத்திரம் a இற்குச் சமாந்தரமாய் வரைதல் கூடும்.
l, m என்பன a என்னுந் தளத்தில் ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருகோடுகளாகுக ; ', m என்பன P இற்கூடாக முறையே , m என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமான கோடுகளாகுக. m' என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லும் தளம் 8 என்பதை ஆராய்க. இது a இற்குச் சமாந்தரமென்றெனின், அது a என்பதை p என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு வெட்ட வேண்டும். ' என்பது d என்னுந் தளத்திலுள்ள இற்குச் சமாந்தரமாதலால், W என்பது a இற்குச் சமாந்தரம். ற என்பது a இற்கிடத்தலால், ! என்பது p என்பதை வெட்டல் இயலாது. ஆகவே, W என்பது p இற்குச் சமாந்தரம். அவை ஒருதளத்தில் இருக்கின்றமையே அதற்குக் காரணம். அதுபோல, m என்பது p இற்குச் சமாந்தரம். ', m' என்பன P இல் ஒன்றையொன்று வெட்டு கின்றமையால், இது ஓர் எதிர் மறுப்பைத் தரும். ஆகவே, 8 என்னுந் தளம் a என்னுந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். ஆகவே, P இற்கூடாக a இற்குச் சமாந்தரமாய் ஒருதளம் இருக்கும்.
P இற்கூடாக a இற்குச் சமாந்தரமாய் வேருெருதளம் y என்பது இருக்கின்றதெனக் கொள்க. 8, y என்பன t என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு ஒன்றையொன்று வெட்டுக. 0 இல் A என்னும் ஒரு புள்ளியை எடுத்து A இற்கூடாக 0 இற்கிடக்கின்ற ய என்னும் யாதுமொரு கோட்டை வரைக. ஆயின், u என்பது 8, y என்னுந் தளங்கள் இரண்டிற்குச் சமாந்தரமாகும். ஆகவே, ய என்பது t இற்குச் சமாந்தரம்.
ஆகவே, d இல் A இற்குகூடாகச் செல்லும் எக்கோடும் t இற்குச் சமாந்தரம். இது ஒர் எதிர்மறுப்பைத் தரும். ஆகவே, P இற்கூடாக a இற்குச்சமாந்தரமாய் ஒரு தளம் மாத்திரம் இருக்கும்.

Page 195
378 தூயகணித மூலகங்கள்
தேற்றம் 7. இருதளங்களானவை மூன்றந் தளமொன்றிற்குச் சமாந் தரமாயின் அவை தம்முட்சமாந்தரம்.
a, 8 என்னுந் தளங்கள் y என்னும் ஒரு தளத்திற்குச் சமாந்தர மாகுக. 0, 8 என்பன சமாந்தரமல்லவெனின், அவை ஒருகோட்டினது நீளத்திற்குச் சந்தித்தல் வேண்டும். P என்பது இக்கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாயின் P இற்கூடாக y இற்குச்சமாந்தரமாய் இருதளங்கள் a, 8 என்பன இருக்கும. இது ஒர் எதிர்மறுப்பைத் தரும். ஆகவே 0, 8 என்பன சமாந்தரமாதல் வேண்டும்.
பயிற்சி
1. எல்லாம் ஒரே தளத்தில் இல்லாத மூன்று கோடுகள்இவ்விரண்டாக ஒன்றையொன்று வெட்டினல், அவை ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்குமெனக் காட்டுக.
2. மூன்று தளங்கள் இவ்விரண்டாக ஒன்றையொன்று வெட்டினல், அம்மூன்று வெட்டுக்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திப்பனவாகவோ, சமாந்தரமானவையாகவோ, பொருந்துவனவாகவோ இருக்கும்.
3. ABC, DBC என்பன வேறுவேறு தளங்களில் BC என்பதைப் பொதுப் பக்கமாயும் AB - 40 ஆயும், DB= D0 ஆயுமுள்ள இரு முக்கோணங்கள். ABC, ACB என்னுங் கோணங்களினுடைய இரு சமவெட்டிகள் AO, AB என்பனவற்றை முறையே F, B என்பன வற்றிற் சந்திக்கின்றன ; DBC, DCB என்னுங் கோணங்களினுடைய இரு சமவெட்டிகள் DC, DB என்பனவற்றை முறையே H, G என்பன வற்றிற் சந்திக்கின்றன. EG, AD, FH என்னுங் கோடுகள் ஒரு புள்ளியிற் சந்திப்பனவாகவோ, சமாந்தரமானவையாகவோ இருக்குமெனக் காட்டுக.
4. ஒரு தளத்தனவாதல் அல்லனவாதல் உள்ள இரு கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாய்த் தந்த ஒரு புள்ளிக்கூடாக ஒரு தனித்தளம் வரைதல், கூடுமெனக் காட்டுக.
5. சமச்சீரில்லாதனவெனத் தந்த இரு கோடுகளை வெட்டத் தந்த ஒரு புள்ளிக்கூடாக ஒரு தனி நேர்கோடே பொதுவாக வரைதல் கூடுமெனக் காட்டுக.
6. சமச்சீரில்லாதனவெனத் தந்த இரு கோடுகளை வெட்டத் தந்த ஒரு கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் ஒரு தனி நேர்கோடே பொதுவாக வரைதல் கூடுமெனக் காட்டுக.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 379
7. 04, OB, 00, OD என்பன தம்முள் எவையேனு மூன்று ஒரு தளத்தனவல்லாதனவாயுள்ள நான்கு கோடுகள். 0AB, OB0, 00D, ODA என்னுந் தளங்களை ஒரிணைகரத்தினுடைய பக்கங்களினது நீளத்திற்கு வெட்டும்படி ஒரு தளம் வரைதல் கூடுமெனக் காட்டுக.
(OAB, OOD என்னுந் தளங்களும் OBC, ODA என்னுந் தளங்களும் வெட்டுங் கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்தை ஆராய்க.)
8. A, B, C என்பன ஒரு தளத்திலுள்ள மூன்று புள்ளிகள் , D, E, F என்பன AB ஆனது DE ஐயும், BC ஆனது EP ஐயும், CA ஆனது FD ஐயுஞ் சந்திக்குமாறு வேறெரு தளத்திலுள்ள மூன்று புள்ளிகள். AD என்பது BCE என்னுந் தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயின், BB என்பது PC இற்குச் சமாந்தரமென நிறுவுக.
தேற்றம் 8. எவையேனும் இரு நேர் கோடுகள் 3 சமாந்தரமான தளங் களால் வெட்டப்பட்டால், வெட்டுத்துண்டுகள் விகிதசமம்.
0. 8, y என்னுந் தளங்கள் இரண்டு நேர் கோடுகளே P, 0, 8 என்னும் புள்ளிகளிலும் A, B, C என்னும் புள்ளிகளிலுஞ் சந்திக்க.
PQQR = AB|BC @丁@öT நிறுவவேண்டும்.
AR ஐத்தொடுக்க ; அது 8 என்னுந் தளத்தை D இல் வெட்டுக.
QD, BD, AP, CR 616öTL 607 வற்றைத் தொடுக்க.
APR என்னுந் தளம் a, 8 என்பனவற்றை முறையே AP,0D என்பனவற்றினுடைய நீளத்திற்கு வெட்டுகின்றது.
... AP | QD. ..". PQ/QR = ADIDR.
gag:Gusta), BD || CR.
gyu.56óT, ADIDR = ABIBO.
.". PQ/QR = AB JBC.

Page 196
380 தூயகணித மூலகங்கள்
தேற்றம் 9. ஒரு தளத்தில் ஒன்றையொன்றுவெட்டும் 04,OB என்னும் இரு நேர் கோடுகளானவை முறையே வேறெருதளத்திலுள்ள O'A', O'B' என்னுங் கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாயின், Z40B= Z4'0'B'
OA இன்மீது 0 என்னும் ஒரு புள்ளியையும் OB இன்மீது D என்னும் ஒரு புள்ளியையும் எடுக்க. O'A' இன் மீது 0 ஐயும், 0'B இன்மீது 8) D' guilh, O'C' = OO g(g) LOTOIth O'D - OD ஆகுமாறும் எடுக்க. 00 ஆனது O'0' இற்குச் சமனயுஞ் சமாந் தர மாயும் இருக் கின்ற மையால், 00 ஆனது 00 இற்குச் சமனயுஞ் சமாந்தரமாயும் இருக்கும். அதுபோல, 00 ஆனது DD' இற்குச் சமனயுஞ் சமாந்தர மாயும் இருக்கும்.
ஃ CC ஆனது DD இற்குச் சமனயுஞ் சமாந்தரமாயும் இருக்கும்.
... DO - D'O'.
. ZCOD = O'O'D'.
ZCOD = Z. O'O'D'.
சமச்சீரில்லாத இரண்டுகோடுகளுக்கிடையில் உள்ள கோணம்.
வரைவிலக்கணம். சமச் சீரில்லாத இரு கோடுகளுக்கிடையில் உள்ள கோணம் அவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடு களுக்கு இடையில் உள்ள கோணம்.
1, 1 என்பன சமச் சீரில்லாத கோடுகளாயும் 0 என்பது வெளி யிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயுமிருக்க, OA, OB என்பன முறையே I, ! என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரையப்பட்டால், கோணம் AOB என்பது , ! என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணமாகும்.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருதளங்களுக்கிடையில் உள்ளகோணம்
a, 8 என்பன என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு ஒன்றை யொன்று வெட்டும் இரு தளங்களாகுக. இன்மீது யாதுமொரு புள்ளி 0 என்பதை எடுக்க ; a என்னுந் தளத்தில் 0 இற்கு ஊடாக ! இற்குச் செங்குத்தாய் ! என்னுங் கோட்டையும், 8 என்னும் 0 இற்கு ஊடாக தளத்தில் இற்குச் செங்குத்தாய் , என்னுங் கோட்டையும் G 605.
 

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 381
9 ஆந் தேற்றத்திலிருந்து, , ) என்பனவற்றிற்கு இடையில் உள்ள கோணம் இன்மீது 0 இனது நிலையைச் சாராது என்பது பெறப்படும். இக்கோணம் a, 8 என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணமென வரை யறுக்கப்படும். அது இருமுகக் கோணம் எனப்படும்.
அத்தளங்களுக்கிடையில் உள்ள கோணம் ஒரு செங்கோணமாயின், அத்தளங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தெனப்படும்.
தேற்றம் 10, p என்னும் ஒரு நேர்கோடு ஒன்றையொன்று வெட்டும் 04, OB என்னு நேர்கோடுகள் ஒவ்வொன்றிற்குஞ் செங்குத்தெனின், p என்பது 408 என்னுந்தளத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டிற்குஞ் செங்குத்து.
0 இனூடாக p இற்குச் சமாந்தரமாய் OP என்பதை வரைக. ஆயின், OP என்பது 04, OB என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்து. O இனூடாக 408 என்னுந் தளத்திலுள்ள யாதுமொரு தந்த கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் OC என்னுங் கோட்டை வரைக. OA, OB, OO என்பன P வற்றை முறையே X, Y, 2 என்பன ‚ፖ‛ ደv வற்றில் வெட்டும்படி யாதுமொரு - கோட்டை வரைக. OQ = PO ', ஆகுமாறு PO என்பதை இெற்கு : , '' fB (Bas. PX, PY, PZ, QX, QY, Zெ என்பனவற்றைத் தொடுக்க. OX என்பது P00 இற்குச் செங்குத்து ஆதலாலும், PO=09 ஆதலாலும், PX = QX.
OY என்பது P00இற்குச் செங்குத் தாதலால், PY = 07.
.. PXY, 0XY என்னு முக்கோணங்கள் சர்வசமன். ... Δ. ΡΧΥ = Δ. ΩΧ Υ. .. PXZ, 0XZ என்னு முக்கோணங்கள் சர்வசமன். ... PZ = QZ.
. POZ, 002 என்னு முக்கோணங்கள் சர்வசமன். .. / POZ = / 00Z = ஒரு செங்கோணம். அதாவது, OP என்பது 00 இற்குச் செங்குத்து.
.. OP என்பது AOB என்னுந் தளத்திலுள்ள எக்கோட்டிற்குஞ் செங்குத்து. * ܝܝ
.. p என்பது 408 என்னுந் தளத்திலுள்ள எக்கோட்டிற்குஞ் செங்குத்து.

Page 197
382 தூயகணித மூலகங்கள்
ஒரு தளத்திற்குச் செங்கோடு
p என்னும் ஒரு கோடு d என்னும் ஒரு தளத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டிற்குஞ் செங்குத்தெனின், p என்பது a என்னும் அத்தளத்திற்கு ஒரு செங்கோடு எனப்படும்.
தேற்றம் 11. ஒரு தளத்திலே தந்த ஒரு புள்ளிக்கூடாக ஒரு செங்கோடு மாத்திரம் அத்தளத்திற்கு வரைதல் கூடும்.
O என்பது a என்னும் ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அத்தளத் தில் OA என்னும் ஒரு கோட்டை வரைக ; அதன்பின் அத்தளத்தில் 0B என்னுங் கோட்டை Z AOB= ஒரு செங்கோணமாகுமாறு வரைக. OA இற் கூடாக வேறெரு தளத்தை வரைந்து, இத்தளத்தில் 00 என்னுங் கோட்டை / A00= ஒரு செங்கோணமாகுமாறு வரைக. ஆயின், 10 ஆந தேற்றத்தால் OA என்பது B00 என்னுந் தளத்திற்குச் செங்கோடாகும். B00 என்னுந் தளத்தில் / BOD = ஒரு செங்கோணமாகுமாறு OD என் னுங்கோட்டை வரைக. ஆயின், OD என்பது OA, OB என்னும் இரண் டிற்குஞ் செங்குத்தாகும் ; ஆகவே, அது 0 என்னுந் தளத்திற்கு ஒரு செங்கோடாகும்.
OB என்பது a என்னுந் தளத்திற்கு 0 இலுள்ள வேருெரு செங்கோடெனக் கொள்க. OF என்பது a என்னுந் தளமும் DOE என்னுந் தளமும் ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடாகுக. OF என்பது a இன்மீது கிடத்தலால், அது OD, OB என்னும் இரண்டிற்குஞ் செங்குத்து. அம்மூன்று கோடுகளும் ஒரே தளத்தில் இருக்கின்றமையால் இது முடியாது. ஆகவே, 0 இற்கூடாக 0 என்னுந் தளத்திற்கு வேறு யாதுஞ் செங்கோடு இருத்தல் இயலாது.
ஆகவே, 0 இற்கூடாக d என்னுந் தளத்திற்கு ஒரு செங்கோடு மாத்திரம் இருக்கும்.
தேற்றம் 12. ஒரு நேர்கோடு இரு தளங்களுக்குச் செங்கோடாயின், அத்தளங்கள் சமாந்தரம்.
p என்னுங் கோடு a, 8 என்னுந் தளங்களுக்குச் செங்கோடாகுக ; A, B என்பன அக்கோடு முறையே 0, 8 என்பனவற்றைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளாகுக. a என்னுந் தளத்தில் 40, AD என்னும் இரு கோடு கள் வரைக. ற, AC என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லும் தளம் 8 என்னுந் தளத்தை BB என்னுங் கோட்டினது நீளத்திற்கு வெட்டுக ; p, AD என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுந் தளம் 8 என்பதை BF என்னுங் கோட்டினது நீளத்திற்கு வெட்டுக. BB என்பது 8 என்னுந்

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 383
தளத்தில் இருக்கின்றமையால், அது p இற்குச் செங்குத்து. 40 என்பது a என்னுந் தளத்தில் இருத்தலால், அது p இற்குச் செங்குத்து. அதாவது p என்பது ACBB என்னுந் தளத்திற் கிடந்து அத்தளத்தி லுள்ள AC, BB என்னுங் கோடுகள் இரண்டிற்குஞ் செங்குத்தாகும்.
ஆகவே, AO, BB என்பன சமாந்தரம்.
அதுபோல, AD, B என்பன சமாந்தரம். ஆகவே, ACD என்னுந் தளம் BEF என்னுந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம்.
... α β.
கி. தே. கொடுக்கப்பட்ட AB, BO, CD என்னுங் கோடுகள் ஒவ்வொன்றும் p என்னும் ஒரு நேர் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாயின், அத்தொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் எல்லாம் ஒரே தளத்திற் கிடக்கும்.
ற என்னுங் கோடு AB0 என்னுந் தளத்திற்கும் BOD என்னுந் தளத்திற்குஞ் செங்குத்து. ஆகவே, இத்தளங்கள் இரண்டும் ஒரே தள மல்லவெனின், அவை சமாந்தரமாதல் வேண்டும். அவற்றிற்கு B என் னும் ஒரு பொதுப்புள்ளி இருத்தலால், இது முடியாது.
ஆகவே, அத்தளங்கள் இரண்டும் ஒரே தளமாகும்.
தேற்றம் 13. ஒரே தளத்திற்குச் செங்கோடான இருகோடுகள் சமாந்தரம்.
p, q என்னுங் கோடுகள் a என்னுந் தளத்திற்குச் செங்கோடுகளாகுக. A, B என்பன முறையே அவை அத்தளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி களாகுக. A இனூடாக q என்னுங் கோட்டை g இற்குச் சமாந்தரமாக வரைக. ஆயின், டி' என்பது a என்னுந் தளத்திற்கு A இற் செங்கோடாகும். ஆகவே, g' என்பது p ஒடு ஒன்றதல் வேண்டும்.
கி. தே. வெளியில் யாதுமொரு தந்த புள்ளிக்கூடாகத் தந்த ஒரு தளத்திற்கு ஒரு செங்கோடு மாத்திரஞ் செல்லும்.
தேற்றம் 14. ற என்னும் ஒரு கோடு d என்னும் ஒரு தளத்திற்குச் செங்கோடாயின், p இற்குச் சமாந்தரமான g என்னும் யாதுமொரு கோடும் a இற்குச் செங்கோடு.
g இன்மீது A என்னும் ஒரு புள்ளியை எடுத்து அந்த A இலிருந்து a இற்குச் செங்கோடு வரைக. இச்செங்கோடு p இற்குச் சமாந்தரமாகும். ஆகவே, அது டி ஒடு ஒன்றதல் வேண்டும். அதாவது, g என்பது a இற்குச் செங்கோடு.

Page 198
384
தூயகணித மூலகங்கள்
(உ-ம்). OA, OB, OO என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று கோடுகள். அவை முறையே a, b, c என்னு நீளங்களுடையன. ABO,
C
OAB என்னுந் தளங்களுக்கு இடையி லுள்ள கோணத்தையும் 0 இலிருந்து ABO என்னுந் தளத்திற்கு வரையுஞ் செங்குத்தினது நீளத்தையுங் காண்க.
ON என்பது ABC என்னுந்தளத்தை N இற்சந்திக்குமாறு அதற்குச் செங்குத் தாய் வரையப்படுக.
AB என்பதை D இற்சந்திக்கும்படி CN என்பதை நீட்டுக.
8 00 என்பது OA, OB என்பனவற்றி
ற்குச் செங்குத்து.
00 என்பது AB இற்குச் செங்குத்து. ON என்பது ABC என்னுந் தளத்திற்குச் செங்குத்து. .. 0N என்பது AB இற்குச் செங்குத்து. அதாவது, AB என்பது ON, 00 என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்து.
AB என்பது OD,0D என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்து.
ZODO என்பது OAB, ABC என்னுந் தளங்களுக்கு இடையி
லுள்ள கோணம்.
அது 6 ஆகுக. 00 என்பது OD இற்குச் செங்குத்தாதலால்,
Ποότ θ = OC; தான0=கு AB = Va2+b2. OA. OB = A AOB g6ổTug'il q = AB. OD
OA. OB ab زقهم)/ = –OD = AB D - Oca + OD = c + CD9 = OC” + OD”= c + i
-- あ3c2 -- 25? - - - - 4 OC.OD = A OCD (2,661 LITICIL = } ON.CD
OC. OD cab ON = CD V(acbcat)
(c /(a-!-b را به தான் 9= - -

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 385
தேற்றம் 15. ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருதளங்களுக்கு இடையி லுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று அவற்றினுடைய செங்கோடுகளுக்கு இடையி லுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றிற்குச் சமன்.
0 என்பது a, 8 என்னும் இரு தளங்களினுடைய வெட்டுக்கோடு இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக.
04, OB என்பன முறையே 0, 8 என்னுந் தளங்களில் இற்குச் செங்குத் தாயுள்ள கோடுகளாகுக.
ஆயின், AOB என்பது a, 8 என்னுந் தளங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று; மற்றைக்கோணம் OA இற்கும் நீட்டிய B0 இற்கும் இடையிலுள்ள கோணமாகும்.
OP, 00 என்பன முறையே a, 8 என்பனவற்றிற்குச் செங்கோடு களாகுக.
OA, OB, OP, OQ GT6ởTu6OT 6 TổDGIDITro
G
இற்குச் செங்குத்துக்களா தலால், அவை ஒரே தளத்தில் இருக்கும். OP என்பது OA இற்குச் செங்குத்து , OQ என்பது OB இற்குச் செங்குத்து.
ஆகவே, 04,OB என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து ஆயின், OP, 00 என்பனவும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
ZAOB = Z POQ.
04, 0B என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தல்லவெனின், OA, OB என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணம் OP, 00 என்பன வற்றிற்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்திற்குச் சமனுகும்.

Page 199
386 தூயகணித மூலகங்கள்
தேற்றம் 16. ஒரு நேர்கோடு d என்னும் ஒரு தளத்திற்குச்செங்கோடா யின், அக்கோட்டிற்கூடாகச் செல்லும் ஒவ்வொரு தளமும் a இற்குச் செங்குத்தாகும்.
w . 04 என்பது a என்னும் ஒரு தளத் A திற்குச் செங்கோடாகுக ;
1 0 என்பது அச்செங்கோடு அத்தளத்
தைச் சந்திக்கும் புள்ளியாகுக.
8 என்னும் யாதுமொரு தளத்தை OA இற் கூடாக எடுக்க, B அது d என்பதை என்னுங் கோட்டினது
நீளத்திற்கு வெட்டுக.
O இனூடாக d என்னுந் தளத்தில் இற்குச் செங்குத்தாக OB என்னுங்
கோட்டை வரைக.
0A என்பது a இற்குச் செங்கோடாதலால், அது இற்கும் 0B இற்குஞ் செங்குத்து.
ஆகவே, Z40B என்பது a, 8 என்னுந் தளங்களுக்கிடையில் உள்ள கோணமாகும் ; அது ஒரு செங்கோணத்திற்குச் சமனகும்.
தேற்றம் 17, d என்னும் ஒரு தளத்திற்குச் சேங்கோடல்லாத என்னும் யாதுமொரு கோட்டிற்கூடாக a இற்குச் செங்குத்தாய் ஒரு தளம் மாத்திரம் வரைதல் கூடும்.
என்பது a இலே முழுவதுங் கிடக்கவில்லை எனக் கொள்க. P என்பது இன்மீது 0 இற்குப் பொதுவாயில்லாத ஒரு புள்ளியாகுக. PM என்பதை a இற்குச் செங்கோடாய் வரைக ; அது a என்பதை M இற் சந்திக்க. ஆயின் , PM என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் 8 என்பது a இற்குச் செங்குத்தாகும்.
இற்கூடாக 0 இற்குச் செங்குத்தாய் 6 என்னும் வேறெரு தளம் இருக் M கின்றதெனக் கொள்க. ' என்பது 6, a என்பனவற்றினுடைய
 
 

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 387
வெட்டுக்கோடாகுக. 6 என்பது 8 இலும் வேருனதெனின், ' என்பது M இற்கூடாகச் செல்லாது. MN என்பதை ' இற்குச் செங்குத்தாய் வரைக. அது ' என்பதை N இற் சந்திக்க ; PN என்பதைத் தொடுக்க. PM என்பது a இற்குச் செங்கோடாதலால், ! என்பது PM இற்குச் செங்குத்து. ஆகவே, என்பது PN இற்குச் செங்குத்து. ஆகவே, a, b என்னுந் தளங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணம் PNM gG35Lib. gd:Go), ZPNM = ஒரு செங்கோணம். APMN = 1 செங்கோணமாதலால், இது ஓர் எதிர் மறுப்பைத் தரும். ஆகவே, இற்கூடாக 8 இற்கு வேறன யாதொரு தளமும் a இற்குச் செங்குத்தாகாது.
ஆகவே, என்பது முழுவதும் a இற்கிடவாதாயின், இற்கூடாக 0. இற்குச் செங்குத்தாய் ஒரு தளம் மாத்திரம் இருக்கும்.
என்பது முழுவதும் a இற்கிடக்கின்றதெனக் கொள்க.
இன்மீது P என்னும் ஒரு புள்ளியை எடுக்க ; a என்னுந் தளத் திற்கு P இனுடாக PM என்னுஞ் செங்கோட்டை வரைக.
ஆயின், , PM என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் 8 ஆனது a. இற்குச் செங்குத்தாகும். t இற்கூடாக a இற்குத்ச் செங்குத்தாய் வேறெரு தளம் 6 என்பது இருக்கின்றதெனக் கொள்க. 6 இல் இற்குச் செங்குத்தாய் PM' என்பதையும் a இல் இற்குச் செங்
குத்தாய் PN என்பதையும் வரைக.
ஆயின், ட் M"PN - ஒரு செங்கோணம்.
.. PM" என்பது PM இற்குச் செங்குத்து.
அதாவது, PM" என்பது P இற்கூடாக a இற்குச் செங்கோடு.
. PM" என்பது PM ஒடு ஒன்றகும் ; 6 என்னுந் தளமும் 8 என்னுந் தளத்தோடு ஒன்றகும்.

Page 200
388 தூயகணித மூலகங்கள்
பயிற்சி
1. a, 8 என்பன என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு ஒன்றை யொன்று வெட்டும் இரு தளங்கள் : P என்பது 8 இல் இன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளி. M என்பது P இலிருந்து d என்னுந் தளத்திற்கு வரைந்த செங்கோட்டின் அடியாக இருக்க, MN என்பது என்பதை N இற் சந்திக்குமாறு இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டதெனின், PN என்பது இற்குச் செங்குத்தெனக் காட்டுக.
(மூன்று செங்குத்துகளினது தேற்றம்} 2. a என்னும் ஒரு தளத்திற்கு வெளியாலுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து PL என்பது 1 என்னும் ஒரு கோட்டை L இற் சந்திக்கு மாறு a இலுள்ள இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது ; LM என்பது a இல் இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது ; PN என்பது LM இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது. PN என்பது a இற்குச் செங்கோடெனக் காட்டுக.
3. , n என்பன u என்னும் ஒரு தளத்தில் ஒன்றையொன்று வெட்டும் இருகோடுகள். a இற்கு வெளியாலுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து PL, PM என்பன முறையே , m என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளன ; அவை அவற்றை L, M என்பனவற்றில் முறையே சந்திக்கின்றன. I, M என்பனவற்றிற்கூடாக a என்னுந் தளத் தில் ,m என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்துக்கள் வரையப்பட்டுள்ளன. இச் செங் குத்துக்கள் N இற் சந்தித்தால், PN என்பது a இற்குச் செங்கோடெனக் காட்டுக.
4. ஒன்றையொன்று வெட்டுந் தளங்கள் இரண்டனுள் ஒவ்வொன்றும் மூன்ருந்தளம் ஒன்றிற்குச் செங்குத்தாயின், அவ் விருதளங்களின் வெட்டுக் கோடு மூன்றந் தளத்திற்குச் செங்கோடெனக் காட்டுக.
5. A, B, C, D என்பன எல்லாம் ஒரே தளத்தில் இல்லாத நான்கு புள்ளிகள் ; BC என்பது AB, CD என்னும் இரண்டிற்குஞ் செங்குத்து. B, F என்பன முறையே AC, BD என்பனவற்றினுடைய மையங்களா யின், BB என்பது B0 இற்குச் செங்குத்தென நிறுவுக.
6. ABCD, PB0D என்பன BD என்பதைப் பொது மூலை விட்ட மாகக்கொண்டு வேறு வேறு தளங்களிற் கிடக்கின்ற இரண்டு சமனில் சாய்சதுரங்கள். AP என்பது BD இற்குச் செங்குத்தென்று நிறுவுக.
செங்குத்தெறியம்
வரைவிலக்கணம். Q என்பது a என்னுந் தளத்திற்கு வெளியாலுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அத்தளத்திற்கு வரைந்த செங் கோட்டின் அடியாயின், னென்பது a இன்மீது P இன் செங்குத்தெறியம்
எனப்படும்.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 389
தேற்றம் 18. ஒரு தளத்தின் மீது ஒரு நேர்கோட்டின் செங்குத்தெறியம் ஒரு புள்ளியாயாதல் ஒரு நேர் கோடாயாதல் இருக்கும்.
ஒரு தளத்தின் மீது ஒரு நேர் கோட்டுப்புள்ளிகள் எல்லாவற்றினுடைய செங்குத்தெறியங்கள் பொருந்துவனவாதல் ஒரு நேர் கோட்டிலுள்ளன வாதல் இருக்குமென நிறுவல் வேண்டும்.
AB என்பது அக்கோடாயும் a என்பது அத்தளமாயும் இருக்க. AB என்பது a இற்குச் செங்கோடாயின், AB இன்மீது ஒவ்வொரு புள்ளி யின் எறியமும் AB, O என்பனவற்றின் வெட்டுப்புள்ளியாகும்.
AB என்பது a இற்குச் செங்கோடன்றெ னின், A', 'B' என்பன d இன்மீது A, B என்பனவற்றினுடைய எறியங்களாகுக. AA', BB என்பன சமாந்தரமாதலால், அவை ஒரே தளத்தில் இருக்கும். AB இன்மீது யாதுமொரு புள்ளி P என்பதை எடுக்க : AA இற்குச் சமாந்தரமாய் A'B' என்பதை P இற் சந்திக்குமாறு PP' என்பதை வரைக. ஆயின், PP' என்பது a என்னுந்தளத்திற்குச் செங்கோடு. ஆகவே, P என்பது a இன்மீது P இன் எறியமாகும்.
一一”
A"
--
8'
ஆகவே, d என்னுந் தளத்தின்மீது AB இன் யாதுமொரு புள்ளியின் எறியம் AB இன்மீது கிடக்கும்.
அதாவது, A'B' என்பது a இன்மீது AB இன் எறியம்.
A'B' என்பது a இற்குச் செங்குத்தாய் AB இற்கூடாகச் செல்லுந்தளமும் a உம் ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடாகும்.
வரைவிலக்கணம். என்னும் ஒரு கோடு d என்னும் ஒரு தளத்திற் குச் செங்கோடன்றெனின், , a என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் இற்கும் a இன்மீது அதன் செங்குத்தெறியத்திற்கும் இடையி லுள்ள கோணம் என வரையறுக்கப்படும்.
என்பது a இற்குச் செங்கோடெனின், 7, d என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் 90° என வரையறுக்கப்படும். என்பது a இற்குச் சமாந்தரமெனின், கோணம் பூச்சியமாகும். என்பது செங் கோடாயாதல் சமாந்தரமாயாதல் இல்லையெனின், அக்கோணம் 0° இற்கும் 90° இற்கும் இடையிற் கிடக்கும்.

Page 201
390 தூயகணித மூலகங்கள்
தேற்றம் 19. நீளம் k ஆயுள்ள ஒரு கோடு ஒரு தளத்தோடு 90° இலுஞ் சிறிதாயாதல் சமனுயாதலுள்ள 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினுல், அத் தளத்தின்மீது அக்கோட்டின் செங்குத்தெறியத்தினது நீளம் k கோசை 9.
அக்கோடு அத்தளத்திற்குச் செங்கோடாயின், அத்தேற்றம் வெளிப்படை. அக்கோடு அத்தளத்திற்குச் செங்கோடன்று எனக் கொள்க.
AB என்பது அக்கோடாகுக ; A'B' என்பது அதன் எறியமாகுக. A இற்கூடாக, BB என்பதை 0 இற் சந்திக்கும்படி AB C என்பதற்குச் சமாந்தரமாய் 40 என்பதை
Ꭷ !6Ꮘ0ᏘᏯ5 . V ஆயின், ACB'A' என்பது ஒரு செவ்வ A. b' கமாகும்.
• A’ B' AO-AB Gg T605 0= k (35T605 i
AB என்பது அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயின், B என்பது C ஒடு பொருந்தும் ; A'B' = AB.
தேற்றம் 20, 0, 8 என்னும் இருதளங்கள் என்னும் ஒரு கோட்டினது நீளத்திற்கு வெட்ட, AB என்பது a இல் இற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோடாயின், 8 என்னுந் தள்த்தின்மீது AB இன் செங்குத்தெறியமாகிய A'B' என்பது AB இற்குச்சமன்.
AB என்னுங் கோடு a இல் உண்டு ; A'B' என்பது 8 என்னுந் தளத் தின்மீது அதன் எறியம். AC, BD என்பனவற்றை இற்குச் செங்குத் தாய் வரைக. அவை என்பதை 0, D என்பனவற்றிற் சந்திக்க ABCD என்பது ஒரு செவ்வகம்.
..”. AB = CD, AC = BD.
AC, BD என்பனவற்றைத் தொடுக்க.
என்பது 40, AA' என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்தாதலால், என்பது AC என்ப தற்குஞ் செங்குத்து. அதுபோல என்பது BD இற்குச் செங்குத்து. 9 என்பது a, 8 என்னுந் தளங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணமாயின், AA - AC சைன் 6, BB'=BD
சைன் 9.
. AA" = BB". AA, BB' 6T6öTLJ60T FLOT fig, Jib.
 

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 39.
ஆகவே A'B', AB என்பன சமனயுஞ் சமாந்தரமாயும் இருக்கும்.
9 = 90 ஆகுஞ் சிறப்புவகையில், A', 'B' என்பன முறையே C, D என்பனவற்றேடு பொருந்தும்.
தேற்றம் 21, 0, 8 என்னும் இருதளங்கள் என்னும் ஒரு கோட்டி னது நீளத்திற்கு சி என்னும் ஒரு கூர்ங்கோணத்தில் வெட்ட, AB என்பது இற்குச் செங்குத்தாய் a இலுள்ள ஒரு கோடாயின், 8 இன்மீது AB இன் செங்குத்தெறியமாகிய 4'E' என்பது AB கோசை 9 இற்குச் சமன்.
நீட்டி BA என்பது என்பதை 0 இற் சந்திக்க.
ஆனது AA', AC என்பனவ ற்றிற்குச் செங்குத்தாதலால், ! என்பது Α' Ο இற்குஞ் செங்குத்து.
A.
E^
அதுபோல என்பது BC இற்குச் செங்குத்து.
", O, A, B என்பன ஒரே நேர் கோட்டில் இருக்கும்.
C4’ = (34 (34IT60)g 9, . CB' = CB கோசை 9.
... A''B'' = (CB - CA) GESITGIO)5F 69 = AB G3a51T6O)3F 69.
A'B' என்பதும் இற்குச் செங்குத்து.
தேற்றம் 22, a, 8 என்பன 9 என்னும் ஒரு கூர்ங்கோணத்தில் வெட் டும் இருதளங்களாயிருக்க, 8 என்னுந் தளத்தின்மீது a என்னுந் தளத் திற் கிடக்கும் ABO என்னு முக்கோணத்தின் செங்குத்தெறியம் A'B'0' ஆயின், A'B'0' என்னு முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு ABC என்னு முக் கோணத்தின் பரப்பின் விகிதம் கோசை9.
என்பது a, 8 என்பனவற்றின் வெட்டுக் கோடாகுக. 15—J. N. B 66342 (6/57).

Page 202
392 தூயகணித மூலகங்கள்
a இற் கிடக்கும் ABC என்னு முக்கோணத்திற்கு ஒரு பக்கமும்
இற்குச் சமாந்தரமாய் இல்லை A யெனின், அம்முக்கோணத்தை இரு
முக்கோணங்களாகப் பிரித்தற்கு இற்குச் சமாந் தரமாய் அதனுடைய உச்சிகளுள் ஒன்றிற்கூடாக ஒரு கோடு வரைக.
AD 6TGöTLJg5! A 98b97 LTa5 l இற்குச் சமாந்தரமாய் BC என்பதை D இற் சந்திக்கும்படி வரைக. BB, OF என்பன AD இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக.
ABD 6T6ör69)u (updÉGèa5fT600Tğ5,95)6öf LulJtʼiLH = } AD.BB. ACD என்னு முக்கோணத்தின் LigÚL = 1 AD.CF.
A, B, C, D, E, F என்பன 8 என்னுந் தளத்தின்மீது
A, B, C, D, E, F என்பனவற்றினுடைய செங்குத்தெறியங்களாகுக.
A'D' என்பது இற்குச் சமாந்தரமாகும்.
B'B' என்பது இற்குச் செங்குத்தாகும்.
. A A'B'D' 96ir Ligul = A'D' x B'E'
- 4 AD x BB கோசை 9. அதுபோல, A A'C'ID' இன் பரப்பு = AD x CE கோசை 9.
... A'B'C' g}6ör ugül = k (A.D. BE-AD.CF) G3a, T603 6
= (A ABC இன் பரப்பு) x கோசை 9
முக்கோணம் ABC இன் ஒரு பக்கம் இற்குச் சமாந்தரமாயின், அமைப்பு வேண்டியதில்லை ; தேற்றம் உடனே பெறப்படும்.
யாதுமொரு மூடிய பல்கோணம் ஒரு தொகை முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படுதல் கூடுமாதலின், 8 என்னுந் தளத்தின்மீது a என்னுந் தளத்திற் கிடக்கும் S என்னும் பரப்புடைய ஒரு மூடிய பல்கோணத்தின் செங்குத்தெறியத்தின் பரப்பு S என்பது S = S கோசை 9 என்னுந் தொடர்பாலே தரப்படும் என்பது பெறப்படும்.
 

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 393
ஒரு கோட்டின்மீது ஒரு கோட்டின் எறியம்
வரைவிலக்கணம்.
A', 'B' என்பன A,B என்னும் இரு புள்ளிகளிலிருந்து என்னும் ஒரு கோட்டின்மீது வரையுஞ் செங்குத்துக்களினுடைய அடிகளாயின், A'B' என்பது என்னுங் கோட்டின்மீது அக்கோட்டின் செங்குத் தெறிய மாகும்.
தேற்றம் 23, AB, என்னுங் கோடுகளுக்கிடையில் 90° இற்கு மேற் படாதுள்ள கோணம் 9 ஆயின், இன்மீது AB இன் செங்குத்தெறியம் ABகோசை 9 ஆகும். m
AB, என்பன ஒரே தளத்தில் இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் கோசைனின் வரைவிலக்கணத்திலிருந்து தேற்றம் பெறப்படும். AB, ! என்பன ஒரு தளத்தளவல்ல எனக் கொள்க.
A இற்கூடாக AC என்பதை இற்குச் சமாந்தரமாய் வரைக.
B
W
ஆயின், ABAC என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் 9 ஆகும். BN என்பதை 40 இற்குச் செங்கு த்தாய் வரைக. BW என்பதைத் ۹ گ - ---------is " Cதொடுக்க, BB என்பது இற்குச் செங்குத்தாகும் ; BW என்பதும் W இற்குச் செங்குத்தாகும். 言 ർ
.. BN என்பது இற்குச் செங்குத்து.
BN என்பது A'A என்பதற்குச் சமாந்தரம் ; அவை ஒரே தளத்திலுள்ளனவாய் ஒரே கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் இருத்தலே அதற் குக் காரணம்.
“.. A''B'' = AN = AB G3a5f7 600SF 69.
AB, என்னுங் கோடுகள் செங்குத்தெனின், A,B என்பன பொருந் தும்; ஆயின், இன்மீது AB இன் எறியம் பூச்சியமாகும்.

Page 203
394 தூயகணித மூலகங்கள்
வரைவிலக்கணங்கள்.
நிலைக்குத்துக் கோடென்பது ஒரு முனையிற் கட்டின்றித் தூங்கும் ஒரு நிறையையுடையதாய் மற்றைமுனையிற் பிடிக்கப்பட்டுள்ளதாய ஒரு குண்டு நூலுக்குச் சமாந்தரமான கோடாகும்.
ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் நிலைக்குத்துத் தளம் எனப்படும்.
ஒரு நிலைக்குத்துக் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாயுள்ள தளங் கிடைத்தளம் எனப்படும்.
ஒரு கிடைத்தளத்திலுள்ள ஒரு கோடு கிடைக்கோடு எனப்படும். யாது மொரு கிடைக்கோடு ஒரு நிலைக்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகும் என்பது பெறப்படும்.
கிடையாயாதல் நிலையாயாதல் இல்லாத ஒரு தளஞ் சாய்தளம் எனப்படும்.
ஒரு சாய்தளத்திற் கிடக்குங் கிடைக்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமாந் தரம்.
ஒரு சாய்தளத்திலுள்ள ஒரு கிடைக்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் அத் தளத்திலுள்ள ஒரு கோடு அச்சாய்தளத்தின் மிகப்பெரிய சாய்வுக்கோடு எனப்படும்.
ஒரு கிடைத்தளத்தோடு ஒரு சாய்தளம் ஆக்குங்கோணம் அத்தளத்தின் சாய்வுக்கோணம் எனப்படும்.
தேற்றம் 24. சமச்சீரில்லாதனவெனத் தந்த இருகோடுகளுள் ஒவ்வொன் றையுஞ் செங்கோணங்களில் வெட்ட ஒரு நேர்கோடு மாத்திரம் வரைதல் கூடும்.
1, ! என்பன் சமச்சீரில்லாத Р இருகோடுகளாகுக. ' இன்மீதுள்ள யாதுமொருபுள்ளிக்கூடாக இற்குச் ム。つ了 சமாந்தரமாய் ற என்னும் ஒரு : , கோட்டை நாம் வரைந்தால், p, ! r என்பனவற்றைக்கொண்டa என்னுந் i、 தளமானது ' இற்கூடாக இற்குச் .சமாந்தரமான தனித்தளமாகும் .' ' : ” حصہ ہے ۔
என்பது இற்குச் சமாந்தரம
ன்றதலால், ' இற்குகூடாக இற்குச் சமாந்தரமாய் வேறு யாதொருதளமும் இருத்தல் இயலாது.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 395·
a என்னுந்தளத்தின்மீது இன் செங்குத்தெறியம் m என்னுங் கோடாகுக ; அது ' என்பதை M இல்வெட்டுக. m என்பது 6 இற்குச் சமாந்தரம். M இற்கூடாக 0 என்னுந் தளத்திற்குச் செங்கோடு வரைக. இச்செங்கோடு என்னுங் கோட்டை N என்னும் புள்ளியிற் சந்திக்கும் ; இதற்கு M என்பது a இன்மீதுள்ள எறியமாகும். ஆகவே, MN என்னுங் கோடு , என்னுங்கோடுகள் ஒவ்வொன்றையுங் செங்
கோணங்களில் வெட்டும்.
, என்னும் ஒவ்வொன்றையும் செங்கோணங்களில் வெட்டும் வேறெருகோடு P0 உண்டு எனக்கொள்க. ஆயின், P2 ஆனது 'm என்பனவற்றிற்குச் செங்குத்தாகும் ; அதாவது அது 0 என்னுந் தளத் திற்குச் செங்கோடாகும். ஆகவே, P2 என்பது NM இற்குச் சமாந்தர மாகும். , என்பன ஒரேதளத்தில் இல்லாமையால், இது முடியாது. ஆகவே, , என்னும் ஒவ்வொன்றையுஞ் செங்கோணங்களில் வெட்டுதற்கு MN என்னும் ஒரு கோடு மாத்திரம் உண்டு. MN என்பது , என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள மிகச்சிறிய தூரம் என்பதும் பெறப்படும். , என்பனவற்றை முறையே P,9 என்பன வற்றில் வெட்டும் வேறுயாதுங்கோடு P0 என்பதை எடுக்க.
PK என்பதை m என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் வரைக.
ஆயின், PK என்பது a என்னுந் தளத்திற்குச் செங்கோடு.
ஆகவே, PK என்பது K0 இற்குச் செங்குத்து.
PK0 என்னுஞ் சேங்கோண முக்கோணத்தில், P0>PK.
MN=PK vgjg5G)Tổ), PQ > MN.
ஆகவே, இன்மீதுள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் இன்மீதுள்ள ஒரு புள் ளிக்கும் இடையிலுள்ளதுரம் MN இலுஞ் சிறிதாதல் இயலாது.
திண்மவுருவங்கள்
பன்முகத்திண்மம் என்பது நேர்கோட்டுத் தளவுருவங்களால் வரையறுக் கப்படும் ஒரு திண்மமாகும். நாம் சில சிறப்புவகைகளை ஆராய்வோம் .

Page 204
396
தூயகணித மூலகங்கள்
கூம்பகம்
ABCDE என்பது ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு நேர்கோட்டுருவமாகுக ;
ひ
0 என்பது அத்தளத்திற் கிடவாத ஒரு புள்ளியாகுக. 0 என்பது அந்நேர்கோட்டு ருவத்தினுடைய உச்சிகளுக்கு நேர்கோடுகளாலே தொடுக்கப்பட்டால் அந்நேர்கோட்டுருவத்தாலும்
OAB, OBC, OCD,ADE, OEA GT6õ769 (pãC3ast ணங்களாலும் வரையறுக்கப்படுந் திண்மங் கூம்பகம் எனப்படும்.
அந்நேர்கோட்டுருவத்திற்கு எத்தொகையான பக்கங்களும் இருக்கலாம். 0 என்பது அக்கூ ம்பகத்தின் உச்சி எனப்படும்; அந்நேர்கோட் டுருவம் அதன் அடி எனப்படும். உச்சியி லிருந்து அடிக்கு வரையுஞ் செங்குத்தினது நீளம் அக்கூம்பகத்தின் உயரம் எனப்படும்.
அதனடியும் ஒரு முக்கோணமாயின் அக்கூம்பகம் நான்முகத்திண்மம்
எனப்படும்.
0.A,B,C என்பன ஒரே தளத்திலில்லாத நான்கு புள்ளிகளாயின் OABC என்னுந் திண்மவுருவம் நான்முகத் திண்மம் எனப்படும். அந்நான்கு புள்ளிகளும் O அந்நான்முகத்திண்மத்தினுடைய உச்சிகள்
எனப்படும். அந்நான்
முகத்திண்மத்திற்கு
ABC, OAB, OAC, OBC 676ô76), BTGörg (pašGổasíTGODOT (pastĚIESG5 h (OA, BC), (OB,CA), (00,AB) என்னும் ஆறு விளிம்புகளும் உண்டு. ஒன்றையொன்று வெட்டாத இருவிளிம்புகள் எதிர் விளிம்புகள் எனப்படும். அந்நான்முகத்
திண்மத்திற்கு மூன்று சோடி எதிர் விளிம்பு A.
கள் உண்டு.
இணைகரத்திண்மம்.
ஒவ்வொன்றும் ஓரிணைகரமான மூன்று சோடிச் சமாந்தரமான முகங் களால் வரையப்படுந் திண்மவுருவம் இணைகரத்திண்மம் எனப்படும்.
மேலுள்ள உருவத்திற் சமாந்தரமுகச்சோடிகள் (ADD'A', BOC'B'), (ABCD, A'B'C'D') argötlugot.
(ABB'A', DCCD),

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 397
D'
ஒவ்வோர் இணைகரமுஞ் செவ்வகமாயின், இணைகரத்திண்மஞ் செவ்
வகமான தெனப்படும். ஒவ்வோர் இணைகரமுஞ் சதுரமாயின், இணை
கரத்திண்மஞ் சதுரத்திண்மம் எனப்படும்.
ஒரு செவ்வக வினைகரத்திண்மங் கனவுரு எனப்படும்.
நான்முகத்திண்மத்தினுடைய பண்புகள்
1. ஒரு நான்முகத்திண்மத்தின் ஒவ்வோர் உச்சியையும் எதிர்முகமையக் கோட்டுச் சந்திக்குத் தொடுப்பதால் ஆகும் நான்குகோடுகளும் ஒரு புள்ளி யிற் சந்திக்கும்.
ABCD என்பது ஒரு நான்முகத் 66ỞOTLANTGUES ; E, F 6t6öfu6OT AC, BC என்பனவற்றினுடைய மையங்க ளாகுக. முக்கோணம் ADC இன் மையக் கோட்டுச் சந்தியானது.அதன் 60) puÈGes7G DE 36ò DL = 2 LE ஆகுமாறுஉள்ள L என்னும் புள்ளி. A BDCஇன் மையக்கோட்டுச் gßGuff60Tg DF Q6o DM = 2MF ஆகுமாறு உள்ள M என்னும் புள்ளி. E f
* .. LM என்பது E இற்குச்
சமாந்தரம். C
ஆனல், B என்பது AB இற்குச் சமாந்தரம். LM என்பது AB இற்குச் சமாந்தரம். AM, BL என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும். டெளன்பது அவ்வெட்டும் புள்ளியாகுக.

Page 205
398 தூயகணித மூலகங்கள்
DLM, DER என்னும் வடிவொத்த l M முக்கோணங்களிலிருந்து,
LIM = 3 EF'. gafn, EIF = }; AB. ... L M = l AB. .. LGM, BGA என்னும் வடிவொத்த முக்கோணங்களிலிருந்து, A B Mg LG LM |
GA GB AB .. ஒரு நான்முகத்திண்மத்தின் V என்னும் ஒர் உச்சியானது எதிர் முகத்தின் மையக்கோட்டுச்சந்தி K இற்குத்தொடுக்கப்பட, எென்பது VK இன்மீது K=ெ 4 Wெ ஆகும்படியுள்ள புள்ளியாயின், அந்நான்முகத் திண்மத்தின் வேறுயாதும் உச்சியை எதிர்முகத்தின் மையக்கோட்டுச்சந் திக்குத் தொடுக்குங்கோடும் இெனுடாகச் சென்று 3 - 1 என்னும் அதே விகிதத்தில் இெற் பிரிக்கப்படும்.
ஒர் உச்சியை எதிர்முகத்தின் மையக்கோட்டுச்சந்திக்குத் தொடுக்குங் கோடு அந்நான்முகத்திண்மத்தின் ஒரு மையக்கோடு எனப்படும். அம் மையக்கோடுகளின் சந்திப்புப் புள்ளி அந்நான்முகத்திண்மத்தின் மையக் கோட்டுச் சந்தி எனப்படும்.
11. ஒரு நான்முகத்திண்மத்தினுடைய யாதுமோர் எதிர்விளிம்புச் சோடி யின் மையங்களைத் தொடுக்கும் நேர்கோடுஅந்நான்முகத்திண்மத்தின் மையக் கோட்டுச்சந்திக் கூடாகச் சென்று இப்புள்ளியில் இரு சமக் கூறிடப்படும்.
அத்தகைக் கோடுகள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும் என்பது எளி தாக நிறுவப்படும். E,F என்பன AD, B0 என்பனவற்றினுடைய மையங்களாகுக ; G, HI, GT6ÖTLUGO) AC, BD என்பனவற்றினுடைய மையங்களாகுக.
A ADC இல், EG என்பது D0 இற்குச் சமாந்தரமாயும் D0 இற்குச் சமனயும் இருக்கின்றது.
ABDC gốd, HF GTGÖTUği DC gfög&# சமாந்தரமாயும் D0 இற்குச் சமனயும் இருக்கிறது.
B,ெ HF என்பன சமாந்தரசமனும்.
EF,G,H என்பன ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும்.
 

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 399
ஆகவே, மற்றைச் சோடி எதிர்விளிம்புகளின் மையங்களைத் தொடுக்கும் கோடும் அதேபுள்ளியில் இருசமக்கூறிடப்படும். O என்பது அப்புள்ளி Այո (Ֆւb.
A DAF of 6ôTL J60)g5 gylu Tuila15.
AO என்பது DF என்பதை M (2s) érjö6áæ. E (269ffLTæ AM இற்குச் சமாந்தரமான கோடு DF என்பதை L இற் சந்திக்க.
DE=E4 sgb36ùmổ), DL=LM. EO=O F' gg5G)T@o, LM= MF". '. MF = FD. .. M என்பது ADBC இன்செங் கோட்டு மையம்.
Qaaf, OM = EL = 4AM.
0 என்பது அந்நான்முகத்திண்மத்தின் செங்கோட்டு மையம்.
TI. ஒரு நான்முகத்திண்மத்தின் இரண்டு எதிர் விளிம்புகள் செங் D குத்தாயிருக்க வேறு இரண்டு எதிர்விளிம் புகளுஞ் செங்குத்தாயிருந்தால் மீதியிரண்டு எதிர் விளிம்புகளுஞ் செங்குத்தாகும்.
AB என்பது CD இற்குச் செங்குத்தாயி ருக்க : AC என்பது BD இற்குச் செங்கு த்தாகுக. DH என்பதை ABC என்னுந் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக்குக. ஆயின், AB என்பது CD, DH என்பனவற்றிற்குச் A செங்குத்தாகும். .. AB என்பது CH இற்குச் செங்குத்தாகும். அதுபோல, A0 என்பது BH இற்குச் செங்குத்தாகும்.
.. H என்பது A ABO இன் செங்குத்துமையம். '. AH என்பது B0 இற்குச் செங்குத்து. DH என்பதும் B0 இற்குச் செங்குத்து.
ஃ BC என்பது AD இற்குச் செங்குத்து.

Page 206
400 தூயகணித மூலகங்கள்
இந்த நான்முகத்திண்மத்தின் உச்சி ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து எதிர் முக் கோண முகத்திற்கு வரையுஞ் செங்கோடு அம்முக்கோணத்தின் செங் குத்து மையத்திற் கூடாகச் செல்லும் என்பதும் பெறப்படும்.
இந்நான்கு செங்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்குமென நிறுவல் கூடும்.
AB என்னுங்கோடு DCH என்னுந் தளத்திற்குச் செங்கோடு. K என்பது ABD என்னுந் தளத்தின் மீது 0 இலிருந்து வரைந்த செங் கோட்டின் அடியாயின், AB என்னும்கோடு DKO என்னுந் தளத் திற்குஞ் செங்கோடாகும்.
.. 0K என்பது DHC என்னுந் தளத்திற் கிடக்கும்.
CK, DH என்பன சமாந்தரமல்ல என்பது தெளிவாதலின் அவை யொன்றையொன்று வெட்டல் வேண்டும். அதுபோல, BL என்பது B இலிருந்து ADC என்னுந் தளத்திற்கு வரையுஞ் செங்கோடெனின் BL என்பது 0K, DH என்னும் ஒவ்வொன்றையும் வெட்டும். அம்மூன்று கோடுகள் CK, DH, BL என்பன எல்லாம் ஒரே தளத்தில் இல்லை.
அவை இவ்விரண்டாக ஒன்றையொன்று வெட்டுதலால், அவை எல்லாம் ஒரே புள்ளிக்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
அதுபோல, A இலிருந்து BOD என்னுந் தளத்திற்கு வரையுஞ் செங்குத்தும் இப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும்.
இப்பண்புகளையுடைய நான்முகத்திண்மம் செங்குத்துமையமானதெனப் படும். உச்சிகளிலிருந்து எதிர்முகங்களுக்கு வரையுஞ் செங்கோடுகளின் பொது வெட்டுப்புள்ளி அந்நான் முகத்திண்மத்தின் செங்குத்துமையிம் எனப்படும்.
பயிற்சி
1. ஒரு நான்முகத்திண்மஞ் செங்குத்துமையமானதெனின், எதிர் விளிம்புகளினுடைய மையங்களைத் தொடுக்குங் கோடுகளினுடைய நீளங்கள் சமன்.
2. ஒரு நான்முகத்திண்மத்தினுடைய எதிர்விளிம்புகள் சமனயின், இரண்டு எதிர்விளம்புகளுக்கு இடையிலுள்ள மிகச்சிறிய தூரம் அவற்றின் மையங்களைத் தொடுக்குங் கோட்டினது நீளமாகும்.
3. ABCD என்பது AB, OD என்னும் இரண்டிற்கும் BC ஆனது செங்குத்தாயுள்ள ஒரு நான்முகத்திண்மம். B, F என்பன முறையே AC, BD என்பனவற்றினுடைய மையங்களாயின், EE என்பது BC இற்குச் செங்குத்தென நிறுவுக.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 40
4. 04, OB, OO என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று கோடுகள்; 04, OB என்பனவற்றினுடைய நீளங்கள் சமன். D என் பது 40 இன்மையமாயின், 00, BD என்பன வற்றினுடைய பொதுச் செங்குத்து BD என்பதை 4: 1 என்னும் விகிதத்திற் பிரிக்குமெனக் காட்டுக.
5. 04,OB என்பன இரண்டு செங்குத்துக் கோடுகள் ; AOB என்னுங் தளத்திற்கிடவாத 00 என்னும் ஒரு கோடு 400, B00 என்னுங் கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் 0 இற்குச் சமனகும்படி உள்ளது. y என்பது 400, B00 என்னுந் தளங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோண மாயும், 6 என்பது OA இற்கும் B00 என்னுந் தளத்திற்கும் இடையிலுள்ள கோணமாயுமிருந்தால்,
V2 சைன் a சைன் y = 1 என்றும் சைன் 9 = V2 கோசை y என்றும் நிறுவுக.
இணைகரத்திண்மப் பண்புகள்
T. ஓர் இணைகரத்திண்மத்தினுடைய நான்கு மூலை விட்டங்களும் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும்.
B A
அந்நான்கு மூலைவிட்டங்களும் AO, BD, CA', DB என்பன. AB, D'0' என்பன சமனயுஞ் சமாந்தரமாயும் இருக்கின்றமையால், ABO'D' என்பது ஒர் இணைகரம். ஆகவே, அதன் மூலைவிட்டங்கள் 40', BD' என்பன ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும்.
இனி, AB'0'D என்பது ஒர் இணைகரம். .. AC", BD என்பன ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். AA'0'0 என்பது ஒர் இணைகரமாதலால், AO", 40 என்பன ஒன்றை யொன்று இருசமக் கூறிடும்.
.. நான்கு மூலைவிட்டங்களும் ஒவ்வொரு மூலைவிட்டத்தின் மையமாகிய ஒரு பொதுப் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும்,

Page 207
402 தூயகணித மூலகங்கள்
II. தந்த ஒரு சோடி யெதிருச்சிகளுள் யாதும் ஒன்றிற்கூடாகச் ද් லாத ஓர் இணைகரத்திண்மத்தினுடைய விளிம்புகளின் மையங்கள் ஒரே தளத்திற் கிடக்கும்.
d C
T> H محتر۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ′′′ވށ B حه عصر A كسير عنقیب
C محم سے ہے. مصر G ۔۔۔۔۔۔برسE
F
A B
B, D' என்னும் எதிர் உச்சிகளை எடுக்க,
E, F, G, H, I, J என்பன B ஊடாதல் D ஊடாதல் செல்லாத விளிம்புகளினுடைய மையங்களாகுக.
EE என்பது A'D இற்குச் சமாந்தரமாய் அதன் அரைப்பங்காகும்.
IH என்பது B'0 இற்குச் சமாந்தரமாய் அதன் அரைப்பங்காகும். ", B என்பது IH இற்குச் சமனயுஞ் சமாந்தரமாயும் இருக்கும்.
அதுபோல, PG என்பது JI இற்குச் சமனயும் சமாந்தரமாயும் இருக்கும்
", EFG என்னுந் தளம் HIJ என்னுந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். A'J என்பது DG இற்குச் சமனயுஞ் சமாந்தரமாயுமிருத்தலால், Jெ என்பது AD இற்குச் சமாந்தரம்.
JG என்பது BE இற்குச் சமாந்தரம். ". J என்பது EPG என்னுந் தளத்திற் கிடக்கும். ", EFG, HIJ என்னுந் தளங்கள் ஒரே தளமாகும்.
அரியம்.
ABCDE என்பது ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு மூடிய பல்கோணமாகுக. A B 0 D' B' என்பது அவ்விரண்டு பல்கோணங்களினுடைய
ஒத்தபக்கங்கள் சமாந்தரமாகுமாறு ஒரு சமாந்தரமானதளத்திலே திட்டமாய்ச் சமனயுள்ள ஒரு பல்கோணமாகுக.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1
403
\ ஆயின், ஒத்த உச்சிகளைத் தொடுக்குங் காடுகள் சமாந்தரம். ABCDE 'B'0'ID'E' என்னுஞ் சமாந்தரமான |ளங்களாலும் ABB'A“, BCC"B" (up,560fTu இணைகரங்களாலும் வரையறுக்கப்படுந் திண்மவுருவம் அரியம் எனப்படும்.
AA", BB” . . . . . . . . என்னுஞ் சமாந்தரக் கோடுகள் ABC என்னுந் தளத்திற்குச் செங்குத்தெனின், அவ்வரியம் நேரரியம் எனப்படும். AA' என்பது ABC என்னுந் தளத்திற்குச் செங்குத்தன்றெனின், அவ்வ ரியம் சரிவான தெனப்படும்.
இணைகரத்திண்மம் அரியத்தின் சிறப்பு வகைகளுள் ஒன்றகும்.
உருளை.
0 என்பது ஒரு தளத்திற் கிடக்கும் ஒரு மூடிய வளை கோடாகுக.
C
0" என்பது ஒரு 5 மாந்தரமான தளத்திலே அவ்வளே
கோட்டிலுள்ள ஒத்த புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோடுகள் சமாந்தரமாகுமாறு கிடக்குந் திருத்தமான சமவளைகோடு
ஒன்ருகுக. இச்சமாந்தரமான கோடுகளாற் பிறப்பிக்கப்படும்
மேற்பரப்பினலும் 0, 0' என்பனவற்றினுடைய தளங்
களினலும் வரையறுக்கப்படுந் உருளை எனப்படும்.
C உருளையானது பின்வருமாறும் வரையறுக்கப்படலாம்.
C என்பது ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு மூடிய வளைகோடாகுக. அவ்வளை கோட்டின்மீதுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளிக்கூடாக 0 இனது தளத்திற் இடவாத ஒரு தந்த நீளத்தையுடைய PQ என்னும் ஒரு கோடு வரைக.
அக்கோடானது தனக்குச் சமாந்தரமாக P என்னு முனை அவ்வளை கோட்டை வடையுமாறு இயக்கப் பட்டால், அக்கோடு ஒரு மேற்பரப்பைப் பிறப்பிக்கும் ; அப்பொழுது எென்னு முனை ஒரு சமாந்தரமான தளத்தில் 0 என்னும் ஒரு வளைகோட்டை வரையும். அம்மேற்பரப்பாலும் 0, 0' என்பனவற்றினுடைய தளங்களாலும் வரையறுக்கப்படுந் திண்மம் உருளையாகும். P0 என்னுங் கோடு யாதுமொரு நிலையில் அவ்வுருளையின் மேற்பரப்பின் பிறப்பாக்கி எனப்படும். PQ இனது திசை 0 இனது தளத்திற்குச் செங்குத்தாயின், அவ்வுருளை நேருருளை எனப்படும்.
9

Page 208
404 தூயகணித மூலகங்கள்
C என்னும் வளைகோடு ஒரு வட்டமாயின், அவ்வுருளை வட்டவுரு? எனப்படும். C என்பது ஒரு வட்டமாயிருக்க, P9 இனது திசை இனது தளத்திற்குச் செங்குத்தாயின், அவ்வுருளை நேர்வட்டவுருளை எனிப் படும்.
கூம்பு.
0 என்பது மூடிய ஒரு தள வளைகோடாகுக ; 0 என்பது அதனுடைய
P என்னும் ஒரு புள்ளி 0 இன்மீது இயங்கினல்,
PO என்னுங் கோடுஒரு மேற்பரப்பைப் பிறப்பிக்கும்.
இம்மேற்பரப்பாலும் 0 இனது தளத்தாலும் வரைய றுக்கப்படுந் திண்மங் கூம்பு எனப்படும்.
0 என்பது ஒரு வட்டமாயின், அக்கூம்பு வட்டக்கூம்பு
P எனப்படும். 0 என்பது ஒரு வட்டமாயிருக்க, 0
என்பதை C இன் மையத்திற்குத் தொடுக்குங் கோடு
C 0 இனதுதளத்திற்குச் 5ெங்குத்தெனின், அக்கூம்பு
நேர்வட்டக்கூம்பு எனப்படும்.
கனவளவு.
ஒரு திண்மவுருவால் அமைக்கப்படும் இடம் அதன் கனவளவு எனப்படும்.
ஒரு பல்கோணவடியின்மீது நிற்கும் ஒரு நேரரியத்திற்காதல், யாதும் ஓர் அடியின்மீது நிற்கும் ஒரு நேருருளைக்காதல், கனவளவானது அடியின் பரப்பை உயரத்தாற் பெருக்க வரும் பெருக்கமாகும் என வரையறுக் கின்றேம். இவ்வரைவிலக்கணத்தால், அடி r என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டமாயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு நேர்வட்டவுருளையின் கனவளவு Tr”h gigsh.
இப்பொழுது A என்னும் பரப்பையுடைய ஒருபல்கோணவடியின் மீது நிற்கும் ஒரு சரிவரியத்தை ஆராய்க. சமாந்தரமான பல்கோண முகங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரம் h ஆகுக. 60 என்பதுகிறிதாயின், அதனடியி லிருந்து a, a + Sa என்னுந் தூரங்களில் இரு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையில் அமைக்கப்படும் அவ்வரியப் பகுதியை ஆராய்க.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 405
A என்னும் பரப்புடைய ஒர் அடியின் மீது நிற்கும் Sb என்னும் உயரமான ஒரு நேரரியத்திற்கு இப் பகுதி மிக்க அண்ணளவாகச் சமஞகும். அம்முழு வரியமும் மிகப் பெரிய தொகையான சிற்றரியங் கரோகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதென நாங்கற்பனை செய் தfல், அம்முழுவரியததின் கனவளவானது பிரிப்புகளினது தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்படச் சிற்றரியம் ஒவ்வொன்றினது தடிப்பும் பூச்சியத்தை அணுக அச்சிற்றரியங்களினுடைய கனவளவுகளின் கூட்டுத் தொகையின் எல்லையாகும்.
.. அம்முழுவரியத்தின் கனவளவு
எல் ==k ;A 8a .2 0 <- مa 6 " "
4 =
= A doc = Ah.
அதாவது, அரியத்தின் கனவளவு = அடியின்பரப்பு x உயரம். இச்சூத் திரும் சரிவுருளைக்கும் பொருந்தும்.
இப்பொழுது, A என்னும் பரப்புடைய ஒரு பல்கோண வடியின்மீது நிற்கும் ஒரு கூம்பகத்தை ஆராய்க.
0 என்பது அக்கூம்பகத்தின் உச்சியாயும் BODB என்பது அதன் அடியாயும் இருக்க : h என்பது 0 இலிருந்து BOD என்னுந் தளத்திற்கு வரைந்த செங்குத்தினது நீளமாகுக. BCD Qff)g5&# சமாந்தரமான සංගණ தளம் அக்கூம்பகத்தினுடைய விளிம்புகளை B, C, D', 'B' என்பனவற்றில் வெட்டுக; இத்தளத்திலிருந்து 0 இன் செங்குத்துத் தூரம் 3 ஆகுக'.
ஆயின், B'0'D'E' என்னும் பல்கோணம் BCDE என்னும் பல்கோணத்திற்கு வடிவொத்ததாகும்;
இரண்டு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் i ஆகும். B"C"D'E" Øsö, LøLjL) – af
* BCDE இன் பரப்புTh*
Aa2
அதாவது glit BCD'E' = a

Page 209
தூயகணித மூலகங்கள்
இனி, O இலிருந்து 2 +60 என்னுந் தூரத்திலுள்ள வேறெ தளத்தை எடுக்க. இச் சமாந்தரமான தளங்களுக்கிடையில் அமையு கூம்பகப்பகுதி 紫 என்பதைத் தன்னடியாயும் 60 என்பதைத் த* னுயரமாயும் உள்ள ஒரு நேரரியமாகக் கொள்ளப்படலாம். அம்முழுக் கூம்பகத்தையும் மிகப்பெரிய தொகையான அத்தகைச் சிற்றரியங்களாகப் பிரித்து அவற்றினுடைய கணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் எல்லையை எடுக்க நாம் பெறுவது,
Aac? h2
h அக் கூம்பகத்தின் கனவளவு = da:
O
A. - h& - -
b =A.h
l 3
+ 4 / Y • ". கூம்பகத்தின் கனவளவு = அடிப்பரப்பு x உயரம். இச்சூத்திரம் ஒரு கூம்புக்கும் பொருந்தும்.
கோளம்,
r என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டம் ஒரு விட்டம்பற்றி நான்கு செங்கோணங்களுக்கூடாகச் சுழற்றப்பட்டால், அவ்வட்டத்தின் பரிதி ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பைப் பிறப்பிக்கும். இம்மேற்பரப்பின் மீதுள்ள எப்புள்ளியும் அவ்வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 7 என்னுந் துரத்தில் இருக்கும். அவ்வட்டத்தின் மையம் அக்கோளத்தின் மையமாகும் ; அவ் வட்டத்தின் ஆரை அக்கோளத்தின் ஆரையாகும்.
ஒரு கோளமும் ஒரு தளமும் ஒன்றையொன்று வெட்டல்
0இலே மையத்தையும் r இற்குச்சமனக ஆரையையும் உடைய ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பை ஒரு தளம வெட்டுக. P என்பது ஒரு வெட்டுப்புள்ளியாயும் N என்பது 0 இலிருந்து அத்தளத்திற்கு வரையுஞ் செங்குத்தின் அடியாயும் இருக்க ; அத்தளத்திலிருந்து 0 இனது தூரம் ற ஆகுக. ON என்பது NP இற்குச் செங்குத்தாதலால், நாம் பெறுவது, . .
NP2 = OP2 - ON = r2 - p.
ஆகவே, அக்கோளமும் அத்தளமும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி
ஒவ்வொன்றும் N இலே மையத்தையும் V(?-p) இற்குச் சமனக் ஆரையையுமுடைய அத்தளத்து வட்டத்தின் மீது கிடக்கும்.

திண்மக் கேத்திரகணிதம் அத்தியாயம் 1 40?
த்தளம் அக்கோளத்தின் மையத்தினூடாக சென்ருல், p = 0 ; வெட்டு வடிடத்தின் ஆரை அக்கோளத்தின் ஆரைக்குச் சமன். அத்தகைய வட்டம் அக்கோளத்தின் மீதுள்ள ஒரு பெரும் வட்டம் எனப்படும். அத்தளம் அக்கோளத்தின் மையத்திற்கூடாகச் செல்லாதாயின், வெட்டு வட்டம் அக்கோளத்தின் மீதுள்ள ஒரு சிறு வட்டம் எனப்படும்.
இரு கோளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டல்
A,B என்பனவற்றை மையங்களாகவும் a, b என்பனவற்றை முறையே
ஆரைகளாகவும் கொண்ட இருகோளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டு கின்றனவெனக்
கொள்க.
0. β. P என்பது ஒரு வெட்டுப் புள்ளியாகுக. PN என்பது AB என்னும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக. 8
AP= a, BP = b.
AP2 - BP2 - AN2 BN
= (AN -- BIN)(AIN —BN) = AB(AN —BN).
a = b எனின், N என்பது AB இன்மையம். a என்பது b இற்குச் சமனில்லையெனின், a >ம் ஆகுக'. gyu51667, AN>NB. O என்பது AB இன்மையமாயின்,
AN -- NB=AO --ON - (OB - ON)
இது P இனது நிலையைச் சாராது.
ஆகவே, அவ்விருகோளங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளிகள் எல்லாம் AB என்னுங்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் N என்னு நிலையான புள்ளிக் கூடாகச் செல்லும் தளத்தின்மீது கிடக்கும். ஆகவே, அவ்விருகோளங் களுந் தம்முள் யாதுமொன்றை இத்தளம் வெட்டும் வட்டத்தினது நீளத் திற்கு ஒன்றையொன்று வெட்டும்.

Page 210
408 தூயகணித மூலகங்கள்
தொடுந் தளம்.
P என்பது 0 இலே மையமுள்ள ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0,P என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல் யாதுமொரு தளம் p என்பது அக்கோளத்தை ஒரு பெரும் வட்டத்தி நீளத்திற்கு வெட்டும். p என்னுந் தளத்தில் அவ்வட்டத்திற்கு இலுள்ள தொடுகோடு அவ்வட்டத்தை வேறேரிடத்திலும் வெட்டாது.
இத்தொடுகோடு அக்கோளத்தின் மேற்பரப்பை வேறேரிடத்திலும் வெட்டல் இயலாது.
அது அக்கோளத்திற்கு P இலுள்ள ஒரு தொடுகோடு எனப்படும். P இலுள்ள ஒவ்வொரு தொடுகோடும் OP இற்குச் செங்குத்தாகும். .. P இலுள்ள தொடுகோடுகள் எல்லாம் OP இற்குச் செங்குத்தாய் P இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு தளத்திற் கிடக்கும். இத்தளம் P இலுள்ள தொடுதளம் எனப்படும்.
ஒரு புறப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடுகூம்பு
0 என்பது r என்னும் ஆரையை யுடைய ஒரு கோளத்திற்குப் புறத்தி லுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0 இற்கும் அக்கோளத்தின் மையம் 0 இற்குமூடாகச் செல்லும் எத்த ளமும் அத்தளத்தை ஒரு பெரும் வட்டத் தினது நீளத்திற்கு வெ ட்டும். CP என்பது C இலிருந்து இவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடு
கோடாகுக. PN என்பது 00 இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டால், நாம் பெறுவது,
OO.ON == OP2 = ?2.
2م و بیپی = OAV
OC
இது P இனது நிலையைச் சாராது.
Pஎன்பது 00இற்குச் செங்குத்தான ஒரு நிலையானதளத்திற்கிடக்கும். .. அத்தளத்திற்கு 0 இலிருந்து வரையப்படுந் தொடுகோடுகள் எல்லா வற்றினுடைய தொடுபுள்ளிகள் 00 இற்குச் செங்குத்தான தளத்தை யுடைய ஒரு வட்டத்தின்மீது கிடக்கும்.
அத்தொடுகோடுகள் உச்சி C இலும் அச்சு 00 இனது நீளத்திலு முள்ள ஒரு நேர் வட்டக்கூம்பின் மேற்பரப்பை பிறப்பிக்கும். இக்கூம்பு O என்னும் புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடுகூம்பு எனப்படும்.
ஒரு கோளத்தினுடைய கனவளவும் மேற்பரப்பின் பரப்பும் நுண் கணிதத்தின் ஈற்றதிகாரத்தில் ஆராயப்பட்டுள்ளன.
 

விடைகள்

Page 211

13.
14.
15.
16.
17.
18.
19,
20,
கோசை 9=*, தான் 9= -*, அல்லது கோசை 9= -*, தான் 9=4.
சைன் 9=, கோசை 9 = ye, அல்லது சைன் சி= - 4
கோசை 9= - y கோசை 9= - 4, சைன் 9= - Ya, அல்லது சைன் 9= + 1, அல்ல. -1. கோசை 9= நீ, சைன் 9-3. கோசை 9=44. சைன் 9= I 2. ல்ல
AW -v2 v/2" -V5’ گی} து கோசை 6 = 0, 2-v2 ல்லது - 2y2. (3a – 2b) -- (3b - 2a) = 25. (2b - a) - (2a–b) = 9.
= b,
(a - 1) = 5-2b. a = 2h - I.
O.
1,0.
அத்தியாயம் 3.
திரிகோணகணிதம்
அத்தியாயம் 2.
(பக்கம் 29)
(பக்கம் 51)
-v3 2
徽 m என்பது ஒரு முழுவெண், அல்லது பூச்சியமாயின்,
ac = (2m + 1)
ac = m.7T - ( - 1)
ገr چ جحت ܫܒܩܗ %
mm+蓋
5’
7T
云”罗
அல்லது
அல்லது
2nt.
ገ0ገT.
41

Page 212
412 தூயகணித மூலகங்கள்
... ac = 2 π. 4, ገ0ገr -|- 3
5. *+塞=2w土° 6 ба? -- т = 2тт+ За. 7. 2at = m7Ꭲ - ( -- 1)Ꮙ 8az. 8. 2a = n7T – 3a.
9. ac = n77 - 2ac.
10。22=72T士2。
11. 3ac= n7T-- + 2a.
12. - ac = 2m.7T - 5ac.
18. ፰ = ገ0ገr – அல்லது 707 - .
Tr 14. a - mா, அல்லது 707 - 4.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 55) 2. a= (2n+1)ா + சைன் "1. 9. a= mா + தான்"13, அல்லது mா + தான்"14. 12. உயர்வுப் பெறுமானம் V(1+ சைன் 2a கோசை 28),
இழிவுப் பெறுமானம் - V(1+ சைன் 2aகோசை28).
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 82) 8. உயர்வுப் பெறுமானம் 3, இழிவுப் பெறுமானம் -2. 12. ac = (2n. -- 1)T, அல்லது 4a + = 2nt + 2. 13. a= mா, mா + தான்"12, அல்லது mா-தான்"2"
ገ0ገr , ገr 19 6 =ーム -- 実.
6 2 士 6 20, 9=mா, அல்லது mா+ *(菇) அல்லது 707 - *(、)
点 V தி 点 W2

10,
10.
13.
விடைகள் திரிகோணகணிதம் 413
அத்தியாயம் 5. (பக்கம் 73)
t= தான் 6 ஆயின், (a + b)2 = c? (1+ t?).
a -stoir- ஆயின், -a + 26 = 2n TT - (69 — a).
' (4 (4 VM
l 14 - من *=”十获 தான "ஓ
2nt
2m7T s TT 3 = --, அல்லது -- H" 3 அல்லது 3. --
6
ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
அத்தியாயம் 1. (பக்கம் 106)
- 59 19 83 --- 19 سے AB = 5, AC = 13, ( 18 勒 ( 8
6 (1) இற்கு விடை g + 20 = 4.
அத்தியாயம் 2. (பக்கம் 119)
(i)3/十- 1=a;ー1. (іі) бx — 3y — 1 = 0.
வெளியாக 1 : 5 என்னும் விகிதத்தில்,
15
ஒ சதுரவலகுகள்.
(a கோசை 9, a சைன் 8).
3y -- 4a – 21 = 0, 3y -- 4a -- 19 = 0,
(-2 சைன் 26, -1 + 2 கோசை 26).
6 y -- 3ac - 4 = 0, 3y - a -2 = 0;
; சதுர வலகுகள்.

Page 213
44
தூயகணித மூலகங்கள்
அத்தியாயம் 3. (பக்கம் 131)
y -- 2a-3 = 0, 11y-2a-9 = 0. (0, -3), (5, - 4), (6, 1); 5х — у — 3 = 0, x -- бу-11 = 0, ба - у - 29 = 0, a -- бу - - 15 = 0.
சதுர வலகுகள்.
4.
9 32\ /ll 42 5° 5' 5' 5.)
2 (
aa 十 by)十-c十d=0.
28 - 33 (-3, - 4), (-器 寻)
அத்தியாயம் 3. (பக்கம் 139)
5a -- 12y -- 27 = 0.
39 - 27 \ / 1923 T 140' 40) T20 20)
9 5 (-1, 1), (, -).
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 149)
a"十y"士4c士4y十4=0. 8 (ao --yo) -- 6a. -- 3y - 25 = 0. a + g^ + 40+ gே - 12= 0. (அத்தகை வட்டம் ஒன்றே உண்டு.)
a + y + 1 = 0.
2 A = (h, k) ஆயின், (* -).
YA

விடைகள் திரிகோணகணிதம் 415
10.
8-1-90-0, 3-, 4-10-0 (2.2). (-, -
a 十 y - "2 و حمیمہ ۔۔۔ー+ー 3/ー+ー -- 5 '5 و ر s 一百,丁5川
ac-y-y= 0.
4 3. சைன் 6=誘;
கோசை 9= 1, சைன் 9= 0, அல்லது கோசை 9= 5
c = 8, &ar += 4y = 1,
? ? ):
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 164)
32ーyー5=0.
8 (х? + y*) — 15x + 5у — 7 = 0. (一)
2 2. '
(1, 1), (2, 2).
ao -- yo -- 4ac -- 6y -- 1 = 0.
g = 4, அல்லது - 2 ஆயின், a + g^ + 2g0 + 2gg+g?= 0 4f=5+ V41, 966)gi 5 – V41 gyu56öT, a*-+y*--2fc–2fy+f*=0.
அத்தியாயம் 5. (பக்கம் 173)
k -- th= 2a -- ato
OP, 00 என்பன அச்சுக்களாக எடுக்கப்பட்டால், அப்பரவளைவின் சமன்பாடு g?-+ 40 - 0.
நுண்கணிதம்
அத்தியாயம் 1. (பக்கம் 209)
, (ii) 0, (iii) 0, (iv) , (v) ; V5, (vi) 0, (vii) – 2.

Page 214
416
தூயகணித மூலகங்கள்
4.
5.
அத்தியாயம் 2. (பக்கம் 228) 2ac - 6 ー(32十5) ! - "(エ )2 (ق)aہ 3(1 - پ/)a+1(? (iii) (2 - 1)"
... 2 . . " an- a -2 (i) vi சைன் V கோசை V , (ii) (சைன்-கோசை)ல் (iii) 4 கோசை b + கோசை?t + 1
2 (2+ கோசை)
(iv) கோசை2(3 கோசை 5-கோசைt),
சைன் 2 கோசை 5 + 15 சைன் 5 சைன்? கோசை45f (i) தான்று சீகg (2 சீகg + தான்?g), (ii) 2தான்று சீக?g 飘 சிகழ+ சிகழ+ சிகg A/(தான்?g + சிக?g) (1 -- 2 goats y)i d ဒိ ဗုဒ္ဓ"#[ }
تقوی ہے) + (قہو - 1)L کس قi) = H)
(ν)
(iii)
0. (ii) (+1)/தான்" ۹/ه (iii) 2
அத்தியாயம் 2. (பக்கம் 238)
笃 2 \η + 1 1 \η + 1 -r叫(、)“-(+)"}
அத்தியாயம் 3. (பக்கம் 256)
2-இல் உயர்வு =0 இல் இழிவு: 8.
*一菇 இல் உயர்வு, a = 一寺 இல் இழிவு.
2 = -1 இல் இழிவு, a = 1 இல் உயர்வு. 2 = - V8 இல் உயர்வு, a = V8 இல் இழிவு.
π 5 6' 6")
z = இல் உயர்வு ; (...)
, 0.

விடைகள் திரிகோணகணிதம் 417
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 269)
3 1. (i) i கோசை వి:- கோசைன, (ii) х T3 கோசை 20,
... l l l (")ーzー2ー3エ (iv) v(2e+ 3),
(ν) (a;+1)器ー2v/(r十1).
0隸。+4-號
... 3 3 4. (i)頭(2+1)。一高(2+1)*
(vi) န္ဒီစေzeir-*မ္ဘီ၊ (vi) atas (-i), (vi) asr','.
2 6 8. *动 சதுரவலகுகள். 4. ஒ சதுரவலகுகள். 5. (*.
அத்தியாயம் 5. (பக்கம் 293)
8. உயர்வு a = -1 இல், இழிவு 3=1 இல். 5. a > 0, ஆயிருக்கும்போது குறைகின்றது.
G35 loa ac = - " இங்கே log =
6. log|2α + 1 - log|a + 1.
7. (α) α: log α -α (ο) αι 5 πόδι τα - είοg (1 + α").
(c) are*-2ce*+2e',
தான் ை
2+ சைன்: (b) e ; (c) (loga).
8. (α) -
1 + தான் -log|1 - தான்
9. log தான்; log
- log
10. தான்" ( தான் ) {log 3-76 11. சைன் a - சைன் a + சைன் a -*சைன்?a + சைன்92;
தான்று + தாer a + தான்"a + தான்?ல.
3 汀_ + ༼ཀྱ7༦97

Page 215
48 தூயகணித மூலகங்கள்
அட்சரகணிதம்
அத்தியாயம் 1. (பக்கம் 301) 1 (i)(a + 1)(a 十-2)", (ii)3(r十3y)(yー+2)(z十2)。
(ii) (ac-- y-z) (ary-- yz -i-zat), (iv)3(rーy)(yー2)(2ー2)。 (v) -3acy2 (y - 2) (x - ac) (ac - y), (vi) -(a-y) (y-z) (2 -a) (ay--yz -i-zat).
அத்தியாயம் 1. (பக்கம் 310) .0 == b2 - 2ac)ag +- c2) -- 2مq2a .3
g-b 2(aーp)
6. (1) a, c என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறியும் b இற்கு முரண்குறியும் உண்டு,
(ii) a, b, c என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி உண்டு, (ii) a, c என்பனவற்றிற்கு முரண் குறிகள் உண்டு,
5.
(iv) 0=0, a, b என்பன பூச்சியமல்ல, (V) b, c என்னும் இரண்டும் பூச்சியம், a என்பது பூச்சியமன்று. 8. a=1, 1, -2+ V3, அல்லது -2-V3. 10, aa - a (b. -- c) a -- bc = 0.
4. 2 2 11. 器-警
அத்தியாயம் 1. (பக்கம் 315)
1. ac = 1, y = 0; ac = - 1, y = 0; ac = 1, y = - 1 ; a = -1, y = 1. 2. ac = y = 0; ac = y = - 5 ; ac = – 2, y = 1 ; ac = 1, y = -2. 3. a =5 y=ー3; 2=ー7 y=5; r=墨 y=0; 2=ー2場 y=2. 4. ac = y = – â ; ac = y = 1 5. a" = 2y = l ; a" = gy = — } ;
-- V69, -80 V65); -- liv65,
32 32 32
8(1-v65)

விடைகள் திரிகோணகணிதம் 419
11.
13.
l gol
லது
அத்தியாயம் 3. (பக்கம் 342) .(1 - 2 8m -+۔ 873)m- 's(n + 2) (n + 3) (n -- 4) (3n -l) -- 2.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 347)
4536. 9 5040. 10, 1320.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 351)
2993.7600. 2. (a) 658627200, (b) 11 x 11 277200, 24. 4. 150. 5. 120960.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 356)
757. 4. 330, 150. 9, 4050.
26.580.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 359)
7332. 2. 6.
அத்தியாயம் 4. (பக்கம் 369) எழாம் உறுப்பு (90 x 28). 2, 32. (a) 1012 - 4.109 -||||||||- 6۰ 106 - 4.103 + 1, (b) 1153. ஆரும் உறுப்பு. 5. ஐந்தாம் ஆரும் உறுப்புக்கள் 1500. 12, 195. m என்பது இரட்டையெண்ணுயின், r = ஆகும்பொழுது P என்
மிகப்பெரிது ; n என்பது ஒற்றையெண்ணுயின், r="흥부, அல்
n-1 ஆகும்பொழுது P என்பது மிகப்பெரிது.
2

Page 216


Page 217


Page 218

s. |