Page 1


Page 2

க. பொ. த. உயர்தர மாணவர்களுக்குரியது
fİ jÉ 2D uîUI ÎI
வெக்டீர் P. வேலாயுதம் B. Sc.
S. பிரேம்நாத் B. Sc.
விலை

Page 3
அட்டை
ஆசிரியர்கள்
வெளியிடு:
அளவு .
பதிப்பு :
அட்டைப் பட்ம்:
அச்சுப் பதிவு:
விலை ரூபா :
** நீர் நிலையியல் ??
P. வேலாயுதம்
S
S ,பிரேம்நாத் B.
S. கணபதிப்பிள்ளை 230, நாவலர் வீதி,
ஆனைப்பந்தி,
யாழ்ப்பாணம்.
18 (21 6 சமீ x 13 5 சமீ)
ஒக்டோபர் 1988
தவம்
பஸ்ரியன் அச்சகம் பிரதான வீதி,
யாழ்ப்பாணம்.
30-0)

முன்னுரை
உயர்தர வகுப்பில் பிரயோக கணித பாடத்தை விரும்பிக் கற்க முயலும் மாணவர்கள் பலர். கற்றுக்கொண்டிருக்கும் போது ஏற்படும் மலைப்பினல் பாடத்தினைத் தொடர்ந்து சி ணிக்க முடியாமல் அல்லற்படுகிருர்கள். காரண காரியத் தொடர் போடு கற்பிக்கும் ஆசிரியர் சமுதாயம் இதனைப் பற்றிச் சிந்திக்க வேண்டிய கடமைப்பாட்டில் இருந்து விலகமுடியாது. கற்பித்தல் நிகழும்போது கணித பாட எடுகோள்களும் அவற்றின் அடி படைத் தத்துவங்களும் மாணவர்களுக்குப் புரியாத புதிராக அமைந்துவிடுவதே முக்கிய அடிப்படைக் காரணம் என்பதை நாம் நினைவிற் கொள்ளல் வேண்டும்.
கற்றலில் தேடல், பதித்தல், பிரயோகம் கண்டுபிடித்தல் என்ற அடிப்படைச் சிறப்பம்சங்கள் மாணவரின் கற்றல் முயற்சிக்கு வழிகாட்டிகளாக அமைய வேண்டுமென்பது கல்வி உளவியலற் ளரின் கருத்தாகும். இவற்றில் கண்டுபிடித்தல் என்ற அம்ச : உயர்தர வகுப்பு மாணவர்க்குக் கைவந்த கலையாகும் அளவுக்கு கற்பிச்கும் ஆசிரியர் வழிகாட்டியாகச் செயற்பட்டால், கணித பாடம் தெளிந்த நீராக மாணவர்க்குக் குளிர்மை ஊட்டும். இதனல் குறித்த நேரத்தில் குறித்த விடயத்தை மாணவர் விருப்பத்தோடு விளையாட்டாக மனமகிழ்ச்சியுடன் செய்து வேண்டிய தரத்தில் சித்தி காண்பார்கள்.
இந்நூல் கடந்தகாலப் பரீட்சை வினுக்களின் அமைவில் உருவாக்கப்பட்டது. பரீட்சையில் மாணவர் விடும் பிழைகளை பொது மையமாக வைத்துச் சிந்தித்தே அவற்றை நிவர்த்தி செய்யும் வழிமுறைகளை ஆதார பூர்வமாக விளக்கிச்செய்யப் பட்ட பயிற்சிகள் இந்நூலில் காட்டப்பட்டுள்ளன. இச்செயல் முறைகள் மாணவர்களின் சிந்தனையையும் விளக்கவாற்றலையும் உயர்த்தும் என்பது எனது நம்பிக்கை, கீழ் வகுப்புகளில் கணிதம் கற்பிக்கும் முறைகள் மாற்றமுற்று வரும் இக்காலத்திலே, கணி தச் செயற்பாடுகளே உயர்தர வகுப்பு மாணவர்கள் இலகுவான வழிமுறைகளைக் கையாண்டு நேரத்தை மீதப்படுத்தி நுட்பமாகச் செய்து சரியான விடை காண உற்சாகப்படுத்த வேண்டுமே யொழிய, சோர்வடைய விடுதல் தகாது. ஆசிரிய உலகுக் கு

Page 4
உகந்ததாக அமையாது, எந்த ஒரு கணக்குக்கும் செய்கை முறைவழிகள் பல இருக்கலாம். ஆனல் அடிப்படைத் தத்துவங் கள் ஒன்றுதான் என்பதில் தவறிருக்க முடியாது.
புள்ளி வழங்கும் திட்டத்தில் எல்லாச் செயல் முறைகளும் அவசியமில்லை என்பது எனது கருத்தாகும். சரியான தத்துவங் களை மாணவர்கள் பிரயோகித்து கணக்குகளைச் செய்திருந்தால் அதற்குரிய பூரண புள்ளிகளை வழங்க வேண்டியது புள்ளியிடு பவரின் கடமையென நான் கருதுகிறேன். ஏனெனில் ழானுவூர் களின் புதுவழிமுறைகளக் கொண்ட சரியான கெயற்பாடுகளைப் புறக்கணித்தால், மாணவரின் ‘கண்டுபிடித்தல்' என்று அறி. திறனைக் கூர்மைப்படுத்த வேண்டிய ஆசிரிய சமுதாயம்,அதுனேக் மழுங்கடித்து மாணவரின்ட இயல்பூகத்துக்கு அடை போட்டுத் தடுத்தது என்னும் பழி பாவத்துக்கு இலக்காகக் கூடாதென எண்ணுகிறேன். *புதியன புகுதல்ட் தவிர்க்க முடியாதது. கணித மேதைகள் எப்படித் தோன்றினர்கள் என்பது பற்றி ஆசிரிய யரும் முமுக்கச் சிந்திக்க வேண்டும்.
இந்நூலை உருவாக்க உதவி செய்து என்னேடு ஒத்துழைத்த எனது மாணவனும் வளர்ந்து வரும் ஆசிரியருமாகிய எனது நண்பர் திரு. S. பிரேம்நாத் அவர்களுக்கு நான் கடமைப்
பட்டுள்ளேன்.
உடுப்பிட்டி. வெக்டர் P வேலாயுதம்

a Sassigtse
1. அடர்த்தி
ஒரு பொருளின் திணிவு m கிராம் எனவும், அதன் கனவளவு v க. சமீ. எனவும் எடுத்துக்கொண்டால் அதன் அடர்த்தி d ஆனது
d=- என வரையறுக்கப்படும்.
W
v = 1 என எடுப்போமாயின் d = m ஆகும். இதிலிருந்து அடர்த் தியைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம் அதாவது ஒரு பதார்த்தத்தின் அடர்த்தி அப்பதார்த்தத்தின் ஒரு கனவளவலகின் திணிவாகும்.
ஒரு கன அடி நீரின் திணிவு 62.5 இருத்தல் எனக் கொள்ளப் படும். ஒரு கன சதம மீற்றரின் நீரின் திணிவு ஒரு கிராம் எனக் கொள்ளப்படும். ஆகவே ச. கி. செ. இல் நீரின் அடர்த்தி ஒன்ருகும் gas 6ir pave gm/cm OR gm cm 67ar 67 (p5Garrub. Lududnool (i. கள் ML" ஆகும்.
n = vd என இடலாம். இப்பொருளின் நிறை W வானது
W - mg எனக் கூறுவோம்.
= Vdg 265ub. இங்கு g ஆனது புவியீர்ப்பு ஆர்முடுகல். தன்னிர்ப்பு (சாரடர்த்தி) ஒரு பதார்த்தத்தின் கனவளவு V என
வும் அதன் நிறை W எனவும் எடுத்துக்கொள்வோம். V கனவளவுள்ள நீரின் நிறை W எனவும் எடுத்துக்கொள்வோம். ஆயின் அப்பார்த்
W தத்தின் தன்னிர்ப்பு S ஆனது S க wi என வரையறுக்கப்படும்.
இதை நாம் பின்வருமாறு கூறலாம். அதாவது ஒரு பொருளின்
தன்னிர்ப்பு டிாைது அப்பொருளின் நிறைக்கும, அதே கனவளவு கொண்ட நீரின் நிறைககு முளை விகிதமாகும்.
S இற்கு அலகு இல்லை (பரிமாணமின்றியது) இது ஒர் எண்ணு கும் என்பதைக் கவனததிற் கொள்ள வேண்டும் .
W Vdg d Vd ti தல்: LSLSS S SSS SMMS S SSAAAS SLS S S S SLLSS SSS S LSeASSSSSSS S YSASLS S SSSTSS உய்த்தறிதல்: S- == =

Page 5
سے 02 --
இங்கு d, d முறையே பொருளின் அடர்த்தியையும், நீரின்
அடர்த்தியையும் குறிக்கும், S = என இருப்பதால் தன்னீர்ப்பை
தொடர்படர்த்தி அல்லது சாரடர்த்தி என்றும் கூறப்படும்.
dg = w எனக் கொள்வோமாயின் w = VSw என இடலாம். இந் நிலையில் w ஐ ஒரு கனவளவின் நீரின் நிறை என அழைக்கப்படும்.
குறிப்பு: ச. கி. செ. முறையாயின் d = 1
ஃ S = dபருமனில்
இந்நிலையில் W=VSg என எழுத முடியும், இங்கு S இன் அலகு dஇன் அலகைக் கொண்டதாகும். மாணவர்கள் W=VSW என எடுத்துக் கொள்வது சிறந்ததாகும்.
W S ஐக் கணிப்பதற்கு (1) Wi ஐப் பின்பற்ற வேண்டிவரும் அல்லது
(2) ஐப் பின்பற்ற வேண்டிவரும். இதை மாணவர்கள் பெளதீ
d
கப் பாடத்திலும் அவதானித்துப் பார்க்கலாம்.
கலவைகளின் அடர்த்தி
(1) திண்மங்கள்
A, B எனும் இரு திண்மங்களைக்கொண்டு மூன்ருவது திண்மம்(C உருவாக் கப்படுகிறது என்று எடுத்துக்கொள்வோம். C ஐ நாம் கலவை எனக் கூறுவதும் வழக்கம். A ஐ எடுத்து நோக்கும்போது அதன் திணிவு MA, அதன் கனவளவு VA, அடர்த்தி dA என்பவற்றை முதலில் எடுத்து நோக்குதல் அவசியம். இவறறில் எவையேனும் இரண்டு மட் டும் தரப்பட்டால் போதுமானது என்பதையும் அறிந்து கொள்ளுதல் வேண்டும் இதற்குக் காரணம் MA வ VAdA என்ற சூத்திரத்தைக் கணித ரீதியாகப் பார்க்கும்போது
(a) VA, VB, dA, dB 5pri il "L-stas STG95géGastah Gorth. 4.4 Ga MC as MA + M.B alth VC = WA - WB alth egb.

حسی۔ J3) سے
வ+ம் த்தின்படி dc = 뿐 ஆகும்.
MA + MB T VA + VB
VAdA + VB dB T VA + VB
VA - VB usir dc = ' (dA + dB) ஆகும். இரண்டிற்கு மேற் பட்ட திண்மம்களைக் கலக்கும்போது கலவையின் அடர்த்தி d ஆனது
· Vid1 + Vd? ar Wd 3 . . . d is ல் பெறப்படும்:
V1 + V2 + W3 ... றப்படு
(b) MA, MB, dA dB தரப்படும் இடத்து
MA + M.B MA MB
do an
VA + VB Ma MB dA dB
2 MAs MB usir do = கீத்கும்.
da de
இரண்டிற்கு மேற்பட்ட திண்மங்கள் கலக்கப்படும்போது
...... + و M + و M , + M -- d is 1 + M 2 + M و + , ஆல் பெறப்படும்.
M M t M3 d α2 d و ow a
(2) திரவங்கள்
நிரவங்கள் கலக்கப்படும்போது asawawa Tasdo Dr Abprišiasdî”, Jibu டாது இருப்பின் மேல் நிறுவப்பட்ட இரு சூத்திரங்களும் இங்கும் உண்மையானவையாகும்.
திரவங்கள் கலக்கப்படும்போது கருங்கல் ஏற்படுமாயின் கலவை ia aavaara V Jesus V z V + V * V + ... ... ஆகும்:
gipaad V = k (V - Wat Vs . ) என எடுத்துக்கொள்ள லாம்.

Page 6
- 04 -
இங்கு 0 < k < 1 என்ற வீச்சில் ஒரு மெய் எண்ணுகும்.
இந்நிலையில்
d — V1d1 -- V 2 d2 th. . . . . .
k (V + V2 + ... ... )
என அமையும்.
கலவைகளின் தன்னிர்ப்பு
(a) திண்மங்கள்
Sc st VASA + VBSB : தன்னிர்ப்பும் VA + VB தரப்படுமிடத்து
WA - WB { நிறையும், தன்னிர்ப்பும் TWA س WB தரப்படுமிடத்து
Sa " se
இரண்டிற்கு மேற்பட்ட திண்மங்களை எடுத்துக்கொள்வோமாயின்
s V1S +V2S2
ങ്ങ எனவும்
V1 V2 ve ெ
ымыры» W + W.2 + ....... S =ws W எனவும் இடலாம்
S1 S. b » Ako 8 «M
(b) திரவங்கள்
கலவையில் சுருங்கல் ஏற்படாது இருப்பின் மேற்கூறப்பட்ட குத் திரங்கள் இன்னும் உண்மையாகும். சுருங்கல் ஏற்படுமாயின்
- V S + VS + ......
*
= எனவும
S) – L Wး * W2_:......... ...................... 弦 id k WW. ܗ ) எனவும்
எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.

- 0 -
குறிப்பு:- சூத்திரங்கள் கலவையின் அடர்த்திக்கும் தன்னிர்ப்புக்கும் ஒன்ருகும். d ஆனது S ஆக மாற்றப்படுகிறது. W நீக்கப்படும் விதம் மாணவர்கள் நன்கு அறிந்திருத்தல் வேண்டும் கல வையின் நிறை ஒருபோதும் மாற்றமடையாது.
உதாரணங்கள் 1. பதார்த்தமொன்றின் தன்னிர்ப்புக்கும் அடர்த்திக்கும் இடை யேயான வேறுபாட்டைக் காட்டுக
இரு திரவங்களின் சம கனவளவுகள் கலக்கப்படும் போது கல வையின் தன்னிர்ப்பு 4 ஆகவும், அதே திரவங்களின் சமநிறைகள் கலக்கப்படும்போது கலவையின் தன்னிக்ப்பு 3 ஆகவும் உள்ளது. திர வங்களின் தன்னீர்ப்புகளைக் காண்க.
A/L 1980 Nov
பதார்த்தமொன்றின் தன்னிர்பிட் (S) ஆனது அப்பதார்த்தத்தின் நிறைக்கும், அதே கனவளவு கொண்ட நீரின் நிறைக்குமுள்ள விகித மாகும். இதற்கு அலகு இல்லை. பருமன் மட்டும் உண்டு.
பதார்த்தமொன்றின் அடர்த்தி (d) ஆனது அப் பதார்த்தத்தின் ஒரு கனவளவலகின் திணிவாகும்.
இதற்கு அலகு உண்டு. இதை prið gm/cm' இல் கூறுவது வழக்கம், S, S திரவங்களின் தன்னிர்ப்புகள் எ ன் க. சம கனவளவுகள் கலக் கப்படுகையில் நிறைகளைச் சமப்படுத்தப் பெறுவது
VS w--VS w = 2 V4 w (1) )1( 8ܒܫS2 -ܬ݂ܐ S
இங்கு W நீரின் தன்நிறையாகும்.
சமநிறைகள் கலக்கப்படுகையில் கனவளவுகளைச் சமப்படுத்தப் பெறுவது
W W 2у cmー 十- エー ェ:ー
Sw S2 w 3W
2
1.
S s r-(e)
S -- S2 SS2
(2)
봉

Page 7
- 06 -
(1) & (2) se > 8- s,s,
SS = 12 (3)
S(8- S) = 12
S-8S + 2 is 0
(S - ) (S - 6) a 0
of S as 2.6 S2=61 ਏ
அதாவது தன்னிர்ப்புகள் 2உம் 6உம் ஆகும். குறிப்பு:- நேரடியாகச் சூத்திரங்கள் உபயோகித்தல் விரும்பத்தக்க தல்ல. சமன்பாடுகள் அமைக்க அடிப்படை விதிகளைப் பின் பற்றுதல் அவசியம். W : VSW எ ன த் தெரிந்திருத்தல் வேண்டும்.
(2) ஒரு கலவையானது 7 கன சதம மீற்றர் சல்பூரிக்கமிலத்தாலும் (த. ஈ = 1.843) 3 கன சதம மீற்றர் காய்ச்சி வடித்த நீராலும் ஆக் கப்படுகின்றது. குளிராயிருக்கும்போது அதனுடைய தன்னிர்ப்பு 1,615 எனக்காணப்படுகின்றது. நடைபெற்ற சுருங்கல் என்ன?
இறுதியாகக் கலவையின் கனவளவு V க. சதமமீற்றர் என்போம்
நிறைகளைச் சமப்படுத்த நாம் பெறுவது W .615w = 7 x 1.843 w 3 x 1 w
139.0 - 3
co MMMW
.6 5
15.90 == க. சமீ.
1.65
15.90
ஃ நடைவெ சுருங்கல் = 10 ை Maanse * * оо Д5 ற்ற சுரு 1.65
? (1890 -س H5 .16
夏.6巫5
易49
. -- 5

- 07 -
(3) நன்னீர்ப்பு p ஐயுடைய ஓர் திரவத்தால் நிரப்பப்பட்ட கனவளவு V யைக் கொண்ட ஒரு பாத்திரத்திற்குள்ளே 6 தன்னிர்ப்பு உடைய திரவமானது துளி துளியாக விடப்படுகின்றது. அது தேங்கி வழியுமாறு விடப்படின், W கனவளவு திரவம் உள்ளே ஊற்றப்பட்டவிடத்து அக்கரைசலின் தன்னிர்ப்பைக் காண்க.
V கனவளவு ஊற்றப்பட்டவிடத்து கரைசலின் தன்னிர்ப்பு S என் போம், (W* dv) ஊற்றபபட்டவிடத்து கரைசலின் தன்னிர்ப்பு (S + ds) என்போம். ஆயின் dV ஆனது ஒரு துளி திரவத்தின் கனவளவைக் குறிக்கும். சேர்க்கப்பட்ட துளி பாத்திரத்திற்குள் இருக்கும் எனக் கற் பனை செய்தால் அக்கலவையின் நிறையை அதன் அங்கங்களின் நிறை
களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமப்படுத்த நாம் பெறுவது
w: நீரின் தன்னிறை.
w (V + dv) (S +ds) = wodv + VSw
(V+ dv) (S + ds) = odv + Vs –(1)
Sdv + Vds + dsdv = ódv
Vds = (d — s) dv (ds dv) Lipša Gofašas.
d
Vy ds. dV ps * லின் o 王一。 இறுதியாகக் கரைசலின் தன்னீர்ப்பு
O
d5 ~ V ρ
s V log d -s = 1. V 9. S t " v
ρ O
- log | 3-, I + log| 3-p| = }
lo |*?| = Y.-
dó - S V
alama il d6 > p S Tasiv 0 untuh. d3 S ஆனது Cố > s>p என்ற வீச்சினுள்
lä (sub.
குறிப்பு: p -அ p ஆகும்.

Page 8
-- 08 T-س-
இவ்வகையில் 6-pao, d - s > o
& > 0 s -- ک
d-p v1 is log (E) = - -(e & س- ک s v ()
வகை 2 3
 s 
 o Cố = S
p V حست کی OÓ log (注芸)=翌 -(9) Cố - 3 V
V
«man V dí ይ es e GS - S
" p) e-ی) = s- که
V
அமூக்கம்:-
A பரப்பளவு கொண்ட ஒரு தளப்பரப்பில், அத் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக F என்னும் விசை பிரயோகிக்கப்படும் இடத்து அப்
F பரப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அ முக்கம் A arar a Munpresu
றுப்போம். விசை F ஆனது அப்பரப்பின் மீது உள்ள உதைப்பு என வும் கூறப்படும். அமுக்கம் p எனக் குறிப்போமாயின் F=Ap என

- 09 ܝ
Quartb. A=1 e a lair pF e gib 26685 ig அமுக்கத்தைப் air வருமாறு வரையறுப்போம். அதாவது அமுக்கமானது ஒரு சதுர அல குப் பரப்பில் அப்பரப்பளவிற்குச் செங்குத்தாகத் தாக்கும் விசை எனப் LuGSub.
குறிப்பு
எனும் புள்ளியில் அமுக்கம் Px எனக் குறிப்போமாயின்
எல்லை
Px TA-0
F () எனக் கணித ரீதியாக வரையறுப்போம் இங்கு A, X ஐச் சூழ்ந்திருக்கும் ஒரு சிறு பரப்பளவு ஆகும். தளத் திற்குச் செங்குத்து.
ஏகவினத்திரவம்
R Sin e R Rose
படத்தில் காட்டிய வண்ணம் தளப்பரப்பு A ஒரு திரவத்தினுள் முற்ருகக் கிடக்குமாறு பிடிக்கப்பட்டுள்ளது எனக் கற்ப னை செய் வோம். திரவத்தினுல் அத் தளப்பரப்பிற்கு R எனும் ஒரு உதைப்பு உண்டு. இவ் R ஆனது புள்ளி P இல் தாக்குவதாக எடுத்துக் கொள் வோம். தளப்பரப்பிற்குப் P யிலான செவ்வனுடன் R ஆ க்கு ம் கோணம் 9 எனக் குறிப்போமாயின் விசை R ஐ தளத்திற்குச் செங் குத்தாகவும், சமாந்தரமாகவும் R Cos9, R Sin 6 எனக் கூருக்க லாம். R Sin7= 0 ஆகக் காணப்படின் திரவம ஓர் ஏகவினத்திரவம் ான அழைககப்படும். இந் நிலயில் 9=O. அதாவது R ஆனது தளத் திற்குச் செங்குத் தாகவிருக்கும்.
ஆகவே ஒரு ஏகவினத்திரவத்தில் ஒரு தளப்பரப்பில் தாக் கும் உநைபபு அத் தளததிற்குச் செங்குத்தாய் இருக்கும்.
ஒரு திரவத்தின் ஒரு புள்ளியிலுள்ள அமுக்கம் P இற்கு
sr ssv / F P A C ) என நாம் வரையறுக்கலாம்.
A

Page 9
tha 10,ー
இங்கு F ஆனது, பரப்பளவு A யில் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும்
தளத்திற்குச் செங்குத்தான உதைப்பாகும். மேலும் upruamrafafr திசையளியைச் சாராதது.
p G66ir Jay6a)(eğ5 N Cm? . -g245ub. GQS56sir Lutf?uDmr6asasr dbasdlr MIL"Trr*
1. பாரமான ஒரு படித்தான திரவமொன்றின் அமுக்கம் ஒரே
கிடைத்தளத்தில் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் சமமாகும்.
سے ححصہ حصہ سم“ up a حسحه 6 a al e ര sp -b *NNE AF
w -- wo a gb She ano- a
re حـــــــ صحجمہ ۔ سے سجد — ഞ VM حہ حسنسس ۔ ܡ -- ,یسے حمح as F、 سے سیسے حسس " . یہ سسع- --سم “، ”ص* -- حیے ۔ سب سے F வக
ra- - B A. sa - - ܡ- ܚܒܝܢ *ܫܗ ܐ* - ܡܗܝ ܚ Wh a
حسیس ۔ صحے ' سے۔ حست ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ses a al ܐ-- -- --
wy — -- 2 م ܝ ܣܧܗ ܗܝ ܣܢ܅ ܚܢ = حصے سے : A ܚܕܝ
= " ாக a مسته ی w six س * حساسی -- ہمع
خبر سعسعس حي
படத்தில் காட்டிய வண்ணம் A, B என்பன ஒரே கிடைத்தளத் திலுள்ள எவையேனும் இரண்டு புள்ளிகளாகுக. A B ஐ அச்சாகக் கொண்ட ஒரு திரவ உருண் ஒன்றின் சம நிலையை எடுத்து நோக் கும்போது A, B இல் தாக்கும் உதைப்புகள் கிடையாயும் சமனும்
எதிருமாயிருத்தல் வேண்டும். இதற்குக் காரணம் மற்றைய விசைக ளெல்லாம் A B யிற்குச் செங்குத்தாதலால்.
FA = F ஆதலால்
PAகP ஆயிருத்தல் வேண்டும்
புவியீர்ப்பின் கீழ் ஒய்விலிருக்கும் ஏகவினத் திரவமொன்றில் h ஆழத்தில் இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் அமுக்கம் pளhdறு எனக் காட்டுவோம். வளிமண்டல அமுக்கம் புறக்கணிக்கப் படுகிறது.

- 11 -
படத்தில் காட்டிய வண்ணம் திரவ உருளையை எடுத்துக் Gasmrodbr டால்
F Ahdg - (2)
P. -hdg 46th
உய்த்தறிதல் (1) Poch என இடலாம்.
விதாவது பாதுமொரு புள்ளியில் அமுக்கம் அதன் ஆழத்திற்கு விகிதசமமானதாகும்.
(2) இரு புள்ளிகளில் உள்ள அமுக்கங்களின் வித்தியாசம் அவற்றின்
ஆழங்களின் வித்தியாசத்திற்கு விகிதசமமானதாகும்
ஓய்விலிருக்கின்ற ஒரு பாரமான திரவத்தின் Luprilă salural விருக்கும்.
3. தந்த ஒரு படித்தான இரு திரவங்கள் Lunt prontcov 6oo6auguint aquid ஒன்ருே டொன்று கலவாதனவாயும் இருக்கையில் கீழுள்ள திரவத்தில் யாதுமொரு புள்ளியில் அமுக்கம் காணல்.
ፕፕ = O
エ : حی J. -- - படத்தில் காட்டிய வண்ணம் - . خص=_۔ コ-ー F 'ーっ 。 திரவ உருளையின் சமநிலையை எடுத் てエーで、|を|ーチ 玄士 துக் கொண்டால் தளமுகம் 2இல்
. க்கும் உதைப்பு. திரவ ar /KA బాస్:
A

Page 10
% P
区
P
سی۔ 12 * سس۔
F. + F2 Ah d g+ Ah2 d2 g
= hidig+ had as ஆகும்
உய்த்தறிதல்: திரவங்களின் பொதுப்பரப்பு கிடைத் தளமாகும்.
உதாரணம்:-
1.
காட்டுக. தான் இங்கு தான் 9 க
ஆரை r ஆகவுள்ள மெல்லிய வட்டக் குழாயொன்று, அதன் தளம் நிலைக்குத்தாயிருக்குமாறு நிறுத்தப்பட்டுள்ளது. S,S என்னும் வெவ்வேறு தன்னிர்ப்புக்களை உடையனவும் ஒன்று டனென்று கலவாதனவும் ஒவ்வொன்றும் வட்டத்தின் மையத்தில் 0 எனும் ஒரே கோணத்தை எதிரமைக்கின்றன வுமான இரு திரவ நிரல்களை இவ் வட்டக்குழாய் கொண் டுள்ளது. இத் திரவங்கள் புவியீர்ப்பிலே சமநிலையில் இருக் கையில், அவற்றின் சந்திக்கு வரையப்படும் ஆரையானது நிலைக்குத்துடன் 9 எனுங்கோணத்தை ஆக்குகின்றதெனக்
S2-S Sh Si
தான் 0/2 ஆகும்.
(1979 April)
 

ܗ ܗܘ 13 ܚ
S > S என்போம். படத்தில் காட்டியவண்ணம் B இரு திரவங்களின் சந்தி என்போம். B, B கிடையாக இருப்ப பதால் இரு புள்ளிகளிலும் அமுக்கம் Fupon Teg tb.
வகை 1:
O-s Pe' = PB ——(1)
P = P + YZwS - (2) P: குழாயின் வெளியில் இருக்கும் காற்றின் அமுக்கம்.
уZ - r cos 9-r cos (oc. - e) w: fid. st. B6"д
PB = P + YPwS 一(3)
YP = r Cos e - r Cos (oC + 9)
1), (2), (3) -> YZS = YPS1 - (4)
fr Cos 60 - r Cos (oc - 0)] S2 = sr Coso-r Cos oc--01 Si
oc : /oC - 60 . OC OO ar Sin Sin ( 2 )s, = 2r Sin (e+) Si - S 1 - ء
s: o KSK sin (- ~ )s, = Sin ( - + 8)s,
e OC S, [sin- Cos69-Cos -- Sin ") حس 名 多
S1 sin Cos e + Cost Sin 이
s[m子 simu ta' | ܒ S tan + tan 0
S - S1 S+ S.
tan - - -(R)
tan 0 =
anana 2: Sa < S 6Targumub.

Page 11
- 14 -
இந்நிலையில்
tan 0 = - S.
1 ተ S2
oc tan69 ஆகும். -(R2)
படத்தில் B -அ B ஆகவும், B - ைB ஆகவும் இருக்கும்.
ஃ BO நிலக்குத்துடன் அமைக்கும் கோணம் 9 ஆயின்
S. - S1 S2 + S1
oc tan 69 = tn ஆகும்.
(tam 9>0 ஆதலால்)
குறிப்பு: (1) S - S = S-S = |s, -S.
(S DS) (S dS) (SS1) இதை மாணவர்கள் விளங்கியிருத்தல் வேண்டும்.
(2) படத்தைக்கொண்டு S, S தொடர்பைக் கூறுதல் வேண்டும்.
இங்கு படத்தில் S உடைய திரவம் கீழ்க்கிடப்பதால் 32 > ஆயிருக்கும். இனி S, S மெய்யும் நேரானவையுமாதலால் இவற்றிற்கிடையே நிலவவேண்டிய மாதிரிவெளி
ses, ஆகும். இத்தொடர்புகளுக்கு அமைய படத்தில் ஏற்
படப்போகும் மாற்றத்தைக்கூறி வரப்போகும் முடிபையும் செய்து பார்க்காது முதல் பெற்ற விடையிலிருந்து உய்த்தறிதல் வேண் டும். இதை மாணவர்கள் நன்கு விளங்ைெவத்துக் கொண்டால் விடைகளில் மட்டுப் பெறுமானம் வரும்போது மாதிரி வெளியைச் சிந்தித்து ஆராயத் தவறமாட்டார்கள்.
உய்த்தறிதல்: is a எனக் கொண்டால்
S --سه و S an 0 = 3** ஆகும். S. + S.
இவ்விடையைக் கொண்ட கணக்கு பயிற்சியில் உள.
உ+ம் 2, ஏகவினத் திரவமொன்று புவியீர்ப்பில் ஒய்விலுள்ளது. இத் திரவத்திலே இரு புள்ளிகளிலுள்ள அமுக்கங்களின் வித்தியாசமானது. அப்புள்ளிகளின் ஆழங்களின் வித்தி யாசத்துக்கு விகிதசமமானதெனக் காட்டுக.

--- 15 حس
சமபக்க முக்கோணியொன்றின் வடிவத்தி லான மூடிய ( ழாயொன்று, ஒன்றுடன் ஒன்று கல காத மூன்று திரவங்களைச் சமகனவளவுகளிற் கொண் டுள்ளது. அது அதன் மிகத் தாழ்ந்த பக்கம் கிடையா யிருக்குயாறு நிலைக்குத்தான ஒரு நி3லயிலே வைக்கப் பட்டுள்ளது. திரவங்களின் நன்னீர்ப்புகள் S, 2S, 3S எனில, திரவங்களின் வேருக்கற்பரப்புகள் முக்கோணி மன் பக்கங்களை முச்சமகூறிடும் புள்ளிகளிலே அமைந் தள்ளன எனக்காட்டுக. (1981, Aug.)
にTチo
படத்தில் காட்டிய வண்ணம் A, B இரு புள்ளிகள். A இன் ஆழம hA எனவும், B இன் ஆழம் b B எனவும் எடுத்துக் கொள் வோம். திரவத்தின் அடர்த்தி p எனவும், வளி மண்டல அமுக் கம் 7 எனவும், புவியீர்ப்பு ஆர்முடுகல் g எனவும் கொள்வோம்.
PA = -- 7 ஆகும்.
hAP
sh BPg 十 71) - ז( .

Page 12
- 16 -
.ʼ.PB = hBpg + 7 (2) ஆகும்.
di-gy PB -- PA oz. (hB - hA) araw l-avnrub.
இதிலிருந்து நாம் அறிவது அமுக்கவித்தியாசம் ஆழம்களின் வித் தியாசத்திற்கு விகித சமமானதாகும்.
திரவங்கள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் x, y, z என்போம். XB = x எனவும், A B = a எனவும் கொள்வோம்.
", AZகcy=x ஆகும். ( 3 திரவங்களின் கனவளவு சமமாதலால்) பகுதி 1 இன்படி
pZ -- py = (a - 2x) Sin 60, Swo ————-(o) px - pz = x Sin 60 3Sw -(2) px - py - (a-x) Sin 60. 25 w = -(3) w fficir sciiv fann o. (a - x) Sin 60. Sw + x Sin 60. 35wa (a- x) Sin 60 5 w legith. - a -- 2x - 3x eta 2a - 3x
and a/
 

- 17 -
குறிப்பு:- A யிலும், B யிலும் அமுக்கங்கள் சமமாதலால் AC
ஆலும் BC ஆலும் A யிலும், B யிலும் உண்டாகும் அமுக்கங்களைக் கணித்து x=a/ எனக்காட்டலாம்.
உdத்தறிதல்:- தன்னீர்ப்புகள் ஒரு கூட்டல் விருத்தியில் இருக்கும்
என எடுத்துக் கொண்டால் கa/ எனக்காட்ட லாம். தன்னிர்ப்புகளை நாம் (b-d), b, (b + d) என எடுத்துக்கொள்ளல் சுலபமானது இங்கு d பொது வித்தியாசம். இதை மாணவர் செய்து பார்த்தல் நன்று. இக் கணக்கு பயிற்சியில் இருப்பதைக் காண
).
பயிற்சி 1
சீரான துளையையுடைய ஒரு நுண்ணிய குழாய் ஒரு சதுர வடிவத்தில் வளைக்கப்பட்டு d, d, d (d>d >d என்னும் அடர்த்தியுடைய மூன்று பாரமான திரவங்களின் சம கனவ ளவுகளால நிபபப்படுகின்றது. அக் குழாய் ஒருபக்கம் நிலைக்
* குத்தாய் இருக்குமாறு வைக்கப்படின் d > (ds - d. 1)
அல்லது (d+2d) அல்லது
す(ad, + d 3) < d 2 >- )2d و + d) என்பதற்குத்தக, அச்சது
ரத்தின் ஒரு பக்கம் அத் திரவத்தின் முதலினக்தால் அல்லது மூன்ரும் இனத்தால் அல்லது இரண்டாமினத்தால் மாத்திரம் நிரப்பப்படுமெனக் காட்டுக.
ஒன்ருேடொன்று கலவாத வேறுவேருண அடர்த்திகளையுடைய மூன்று பாயிகளின் சம கனவளவுக ைஒரு நிலைக்குத்துத் தளத் தில் வைக்கப்பட்ட ஒரு வட்டக்குழாயை ஒருங்கே முற்ருய் நிரப்புகின்றன. அப்பாயிகளின் அடர்த்திகள் கூட்டல் விருத் தியில் இருந்தால், மிக இலேசான பாயி மிகப்பாரமான பாயி என்னும் இவற்றின் பொதுப்பரப்பு அவ்வட்டத்தின் ஒரு கிடைவிட்டத்தின் ஒரு முனையில் இருக்கு மென நிறுவுக.

Page 13
ஒரு U- குழாயின் இரண்டு புயங்களும் ஒருங்கே நெருக்க மாய் உள்ளன. ஒரு புயத்தில் நீரும் மற்றையதில் இரசமும் தம் பொதுப்பரப்பு மிகத் தாழ்ந்த புள்ளியில் இருக்குமாறு உள்ளன. அந் நீரின் காற்பங்கு வெளியால் எடுக்கப்பட்டு மற்றைப் புயத்திற்குள் இரசத்திற்கு மேல் ஊற்றப்படுகின் றது. புதிய சமநிலையாகிய நிலையில் மேற்பரப்புக்களின் உயர வித்தியாசம் முந்திய வித்தியாசத்தின் அரைப்பங்கென நிறு வுக.
சிறிய சீரான குழாயொன்று தளம் நிலைக்குத்தான வட்ட வடிவத்தில் வளைக்கப்படுகின்றது. தம்மடர்த்திகள் p, 3 (< p) ஆகவுள்ள பாயிகளுடைய சமவளவுகள் அக் குழாயின் அரைப் பங்கை நிரப்புகின்றன. பொதுப்பரப்பிற்கூடாகச் செல்கின்ற
o کp --- c ஆரை நிலைக்குத்தோடு தான் "' + که எனும் கோணத்தை
ρ + o, ஆக்குகின்றதெனக் காட்டுக
ஒரு நிலைக்குத்துத்தளத்திலுள்ள நுண்ணிய வட்டக்குழாய்
அதன் மையத்தில் ஒரு செங்கோணத்தை எதிரமைக்கின்ற p
அடர்த்தியையுடைய ஒரு திரவ நிரலையும், 0 எ ன் னு ன் கோணத்தை எதிரமைக்கின்ற 3 அடர்த்தியையுடைய ஒரு திரவ நிலையுங் கொள்ளுகின்றது. பொதுப்பரப்பிற்கூடாகச்
P - cố + Cố :)
செல்லும் ஆரை நிலைக்குத்தோடு தான்" (
என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றதெனக் காட்டுக.
சீரான வட்டக் குழாயொன்றின் கீழ்ப்பாதியில், ஒரு கால் வட் டம் 2p என்னும் அடர்த்தியையுடைய ஒரு திரவத்தாலும் மற்றையது தம்முட் கலவாத 3p, p என்னும் அடர்த்திகளை யுடைய இரு திரவங்களாலும் இடங்கொள்ளப்படுகின்றன. பின்னவையாகிய இரு திரவங்களுட் கீழ் தன் கனவளவு மற் றையதன் கனவளவின் இரு மடங்கெனக் காட்டுக.
தம் குறுக்குவெட்டு முகம் முறையே 1.0.1 சதுர சதம மீற்
றர் ஆகவுள்ள இரு நிலைக்குத்துக் குழாய்களின் கீழ் முனைகள் கள் ஒரு குழாயால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அக் குழாய்

0.
13.996 தன்னீர்ப்புள்ள இரசத்தைக் கொள்ளுகின்றது. சிறிய குழாயிலுள்ள மட்டத்தை 1 Cm ஆல் உயர்த்துதற்குப் பெரிய குழாய்க்குள் எவ்வளவு நீர் ஊற்றப்படவேண்டும்?
8. ஒரு கலப்புலோகம் 7, 8.9 என்பவற்றை முறையே தம் தன் னிர்ப்புக்களாகவுள்ள நாகம், செம்பு என்பனவற்ருலாயது. அக்கலப்பு உலோகத்தின் கனவளவு 452 கன சதம மீற்றரி ராயுந் திணிவு 3378 கிராமாயுமிருந்தால் அக்கலப்புலோகக் கூறுகள் ஒவ்வொன்றிற்குமுள்ள கனவளவுகள் 342 க. சமி
1 1.0 as, afıf) 6 Teorik asrı "C}a.
மூன்று சமபாத்திரங்கள் A, B, C என்பன முறையே p, p, p என்னும் அடர்த்திகளுடைய திரவங்களால் அரைப்பங்கிற்கு நிரப் பப்பட்டுள்ளன. B என்பது A யிலிருந்தும். பின்பு C என்பது B யிலிருந்தும் நிரப்பப்பட்டால் அத்திரவங்களானவை முற்ருய்க்
கலக்கின்றனவெனக்கொண்டு இப்போது C யிலுள்ள திரவத்தின்
அடர்த்தி 4 (p +p2 +p) எனக் காட்டுக.
சமபக்க முக்கோணி வடிவத்திலுள்ள ஒரு நுண்ணிய கண்ணுடிக் குழாய் கூட்டல் விருத்தியிலுள்ள அடர்த்திகளையுடைய ஒன்ருே
டொன்று கலவாத மூன்று திரவங்களின் சமகனவளவுகளால்
நிரப்பப்பட்டுள்ளது. அக்குழாய் ஒரு நிலைக்குத்துத்தளத்திற் பிடித்து வைக்கப்பட்டிருக்கின்றது. மிகப்பாரமான திரவத்தின் பங்கையும் மிக இலேசான திரவத்தின் பங்கையுங்கொண்ட பக்கம் நிலைக்குத் தோடு கோணம் 9 வை ஆக்குகின்றது, பிரிபரப்புக்கள் பக்கங்களை
GBas mrodF ( a- 69 ). Gasmana ( H e) என்னும் விகிதத்
திற் பிரிக்குமெனக் காட்டுக.
அதிகாரம் II
வளியமுக்கம் (T)
புவியின் மேற்பரப்புக்கு மேல் ஒரு குறித்த உயரம்வரை வளி
காணப்படுகிறது. வளித் துணிக்கைகளில் புவியீர்ப்பு காரணமாக அதள் நிறைகள் கீழ் நோக்கித் தாக்குகின்றது. இதனுல் புவியின் மேற்பரப் பில் ஓர் அமுக்கம் ஏற்படுகிறது. இவ்வமுக்கம் வளிமண்டல அமுக் கம் என அழைக்கப்படும் இதை நாம் 7 எனக் குறிப்போம்.

Page 14
سے 20 سے
ஒரு திரவம் புவியீர்ப்பில் ஓய்வில் இருக்கையில் அதன் சுயாதீனப் பரப்பில் அமுக்கம் பூச்சியம் எனக் கொண்டால் அதன் பொருள் வளியமுக்கம் புறக்கணிக்கப்படுகிறது என்பதாகும். வளி மண் ட ல அமுக்கம் ஒரு போதும் பூச்சியமாக இருக்கமாட்டாது. வளி மண்டல அமுக்கத்தைக் கவனத்திற்கு எடுத்துக் கொண்டால் ஒரு திரவத்தின் சுயாதீனப்பரப்பில் யாதுமொரு புள்ளியில் அமுக்கம் வளிமண்டல அமுக்கமாகும் இச் சந்தாப்பங்களில் ஒரு திரவத்தின் சுயாதீனப் பரப் பிலிருந்து h ஆழத்திலிருக்கும் ஒரு புள்ளியில் அமுக்கம் (7+hpg) ஆகும். இங்கு 7 uyub hpg loob ஒரே அலகுடையன.
வளியமுக்கம் கணித்தல்-;
பெளதிகத்துறையில் வளியமுக்கம் கணிப்பதற்குப் பல பரிசோத அனகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இங்கு அவ்வகையான பரிசோத 2ணகள் மேற்கொள்ளத்தேவையில்லை ஆனல் ஒரு கணிதத்துறை மாண வனுக்கு ஒரு பரிசோதனையில் வளியமுக்கம் பரிசோதனையைப் um gás இன்றதா? அவ்வாருயின் அவ்வமுக்கம் எவ்வகையில் பரிசோதனையில் பங்கு எடுக்கின்றது? அதை நேரடியாக்க் கணிக்கமுடியுமா? அல்லது சமன்பாடுகள் எழுதித்தான் கணிக்கவேண்டுமா என்று ஆராயும் திறன் இருத்தல் வேண்டும் சமன்பாடுகள் எழுதும்போது ஒரு விதியைப் பின் பற்றுவதுடன் மேலும் அவ் விதியை விளங்கி வைத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.
A படத்தில் காட்டிய வண்ணம் செய் யப்பட்ட பரிசோதனை ஒன்றை எடுத்து நோக்குவோம், இங்கு நாம் அதிகாரம் 1 இல் கற்றவற்றை முதல் எடுத்து
கொள்வோம.
தொட்டியிலும், குழாயிலும் ஒரு திர வம் இருப்பதால் X இலும் Y இலும் அமுக்கங்கள் சமமாகுமி இதற்குக் காரணம் X, Y ஒரே கிடை மட்டத்தில் கிடப்பதாகும். X இல் அழக்கம் இருப் பதற்குக் காரணம் மேலுள்ள வளி இவற்ருல் ஏற்படும் அமுக்கம வளிமண் டல அமுக்கம் என வரை புறத் தள் ளோம். Z சுயாதீனப்பரப்பில் இருப் பதால் இதில் அமுக்கப பூசசியம் எனக்
 

- 21 -
கொண்டால் Y இல் (h ஆழத்தில்) அமுக்கம் bpg ஆகும். இங்கு
திரவத்தின் அடர்த்தி
- p = bpgs7 - 65 t.
இதிலிருந்து நாம் அறிவது வளிமண்டல அமுக்கத்தைக் கணிக் காமல் நேரடியாக அளந்து கொள்ளலாம். இங்கு நாம் எடுத்த எடு கோளை மறத்தல் ஆகாது. அ-து Z கில் அமுக்கம் பூச்சியம் என்பது சாத்தியமானதா என்பதைச் சித்தித்தல் வேண்டும். A Z வெற்றிட மாகக் காணப்படின் எடுகோள் உண்மையானது. அதாவது Z இல் அமுக்கம் பூச்சியம் ஆகும்.
இனி நாம் A Z வெற்றிடமாக இருக்கும் வண்ணம் பரிசோத கணயை நிகழ்த்துவோமாயின் h ஐக் கொண்டு வளியமுக்கத்தைக் கணிக்கலாம். இதை நாம் எளிய பாரமானி என அழைப்போம்.
p வைக் கூட்ட b குறையும். திரவங்களுள் அடர்த்தி கூடிய திர வம் பாதரசம் ஆகும். ஆகவே இரசத்தைப் பயன்படுத்துதல் சிறந்தது இரசத்தைப் பயன்படுத்துகையில் h=76 Cm ஆகக் காணப்படும் இதை நாம் வளியமுக்கம் 76 cm இரசம் எனக் கூறுவோம்.
குறிப்பு:- Z இல் அமுக்கம் இருக்குமாயின் Y இல் அ மு க் கம் P = hpg ஆகும் ஆனல் Py = Px ஆகும் என்பதை மறத்தல் ஆகாது.
இனி Z இல் அமுக்கம் ஒன்று இருக்குமாயின் இதற்குக் காரணம் வெளி AZ இல் காற்று உட் புகுந்து கொண்டதாகும். இவ்வகையான பாரமானி பொய்யா ைபயரமானி எனவும், இதன் வாசிப்பு பொய்யான பாரமானியின் வாசிப்பு எனவும் அழைக்கப்படும். Z இல் அமுக்கம் P எனக் கொண்டால்
P-Pyh'pg+Pz ahpg -e.g5th. 9 is a 676 (Dunar Lurprudrétif யின் வாசிப்பு h எனவும், பொய்யான பாரமானியின் வாசிப்பு h என வும் கொள்ளப்படுகிறது. ட், P2 = (h - h)pg ஆகும்.
இதை நாம் உள்ளடக்கப்பட்ட காற்றின் அமுக்கம் எனக் கூறு வோம் இங்கு பயன்படுத்தப்பட்ட தத்துவத்தை விளங்கிவைத்துக் கொள்ளல்வேண்டும்.
போயிலின் விதி:-
மாறவெப்ப நிலையில் ஒரு குறித்த திணிவுள்ள வாயுவின் அமுக்
கம் அதன் கனவளவிற்கு நேர்மாறு விகுதசமமானதாகும், அதாவது படத்தில் காட்டியவாறு இரண்டு நிலைகளை எடுத்துக் கொண்ட

Page 15
ኣuና= PV ஆடும்
இதை நாம் pw ஊ மாறிலி எனவும் கூறலாம்:
குறிப்பு:- மாணவர்கள் சுலபமாக pw ஒரு மாறிலி எனக் கூறி விடுவார்கள். ஆனல் பரீட்சையில் இப் பகுதியைச் சரியாகச் செய்வ தில்லை. இதற்குக் காரணம் திணிவு (m) கவனத்திற்கு எடுத்துக் கொள் ளாததே இதன் பொருள் சமன்பாட்டில் n வரப்பண்ணுவதல்ல. ஆஞல் m ஐக் கவனத்தில் வைத்துக்கொண்டு ஒவ்வொரு கூறப்பட்ட நிலைகளிலும். கணிக்கப்பட்டது சரியா என்பதை உற்றுநோக்குதல் வேண்டும். இதை மாணவர்கள் செய்துகாட்டப்பட்ட உதாரணங்க ளில் இருந்து அவதானிக்கலாம்.
உ+ம் 1. வளிமண்டல அமுக்கத்தில் குழாயில் 1 cm அளவைக் கொள் ளக்கூடிய வளியைக் கொண்டு ஒரு பாரமானியின் குழாய், தாழியில் உள்ள இரசத்துக்கு மேல் 85 em க்கு எழுகிறது. பாரமாளிக்குரிய உண்மையான உயரம் 75 cm ஆக இருக்க வளியின் அமுக்கம் அதன் கனவளவுக்கு நேர்மாருக மாறினல், குழாயின் 15 cm அளவிற்கு வளி இருக்கிறது எனக்காடடுக. (Aug 1981
குழாயின் குறுக்கு முகப் பரப்பு a cm என்போம்
 
 

நிலை 1 இல் (m) திணிவுள்ள வளியின் கனவளவு (v ), (p)
முறையே Waை p க 75 pg இங்கு p அடர்த்தி, g புவியீர்ப்பு ஆர் முடுகல். நிலை II இல் (m) திணிவுள்ள வளியின் கனவளவு (v ) அமுக் *ld (p2) (ps) pGu v2 = xa, p2-pz-px – (85–x)pg
pW = மாறிலி ஆதலால் நாம் பெறுவது a75pg=xa (75 + x - 85)pg == > 75 es x(x - 1 0) - > 32- 10x-75 க0
= > (x - 15) (x + 5) is 0.
X, a 5 - 5
இங்கு K > 0 ஆதலால் .ஊ15 cm ஆகும்.
உ+ம் 2 உருளை வடிவ ஆழ்மணியொன்று அதன் உச்சியானது நீர்ப்பரப்புக்குக் கீழே h ஆழத்தில் இருக்கும் வரை தாழ்த்தப்படுகி றது. இப்பொழுது ஆழ் மணியானது நீரினல் அரைவாசி நிறைந்தி ருப்பின், நீரை முற்ருக வெளியேற்றும்வரை வளி உள்ளே பம்பப்பட் டால் மணியில் மீண்டும் அரைவாசிக்கு நீர் நிறைவதற்கு முன்னர் மணியானது மேலும் 2(2H - h) எனும் தூரத்துக்குத் தாழ்த்தப்பட வேண்டுமெனக் காட்டுக. இங்கு H என்பது நீர்ப்பாரமானியின் உயர மாகும்.

Page 16
- 24 -
T T ليم
// - I WZ%; 4%;
Y 4% b' | / 1 : 7 कि 次鹦/ /阙外
A / بلکھ%/
L' A2u
நிலை కొa 4 ನ್ನು ೫ಥ್ಥರು
2xo. Hpg
I XO. (H + h + x)pg
m 2XO. (H+ h + 2x)pg
II m XO. (H + B + y + X)ρg
a: உருளையின் குறுக்கு முகப்பரப்பு. 2x உருளையின் உயரம். m திணிவுள்ள வளிக்கு போயிலின் விதிப்படி 2xozHpg=xd (H+h +x) pg 95rag x=H - h 465th -I m” g) ibg 2xa (H+ h + 2x)pg= (H+ h + y+x)pg -II
2 (2 x + H+ h) = B+h +y+x
y= H +h + 3x=H+h+3(A-h) = 2 (2H-h) தாழ்த்தப்படவேண்டிய தூரம் 2 (2H-b) ஆகும்.

--سه 235 ست
உ+ம் 3 ஒரே வெப்ப நிலையிலுள்ள இரு வாயுக்களின் அமுக்கள் கள் p, p ஆகவும் அவற்றின் கனவளவுகள் முறையே V V2 ஆக வும் அமைந்துள்ளன. வெப்பநிலை மாரு:திருக்க இவவாயுக் கலவையின் கனவளவு v ஆகும்பொழுது அமுக்கமானது
P1 V1 P2+ p 2. У 2 ஆகுமெனக் காட்டுக.
வளிமண்டல வளியின் கனவளவுகள் V1 V2 முறையே கனவளவு aeir Vi, V2 Glasm sialt - 3)(' பாண்டங்களினுட் செலுத்தப்பட்டு இவ் விரு பாண்டங்களும் இடையே தொடர்பு ஏற்படுமாறு ஒரு வழியா னது ஏற்படுத்துகின்றது. வளிமண்டல அமுக்கத்தில் கனவளவு
|V1 v , — V2v 1 | கொண்ட வளித்திணிவு ஒன்று ஒரு பாண்
W 1 + V2 டத்திலிருந்து மற்றைய பாண்டத்திற்குச் செல்லுமெனக் காட்டுக.
VM (1975 April)
(m)
dau
p கலவையின் அமுக்கம் srav Countb நிலை i) இல் m திணிவுள்ள வளியின் கனவளவு w, n இன் கனவளவு v எனக் கொள்வோம். ஆயின் v + v 1 == v یہBفرنچ •
போயிலின் விதிப்படி (n) => Pv = py -(1)
(m) and pva ug paV2 ---- (2)

Page 17
- 26 ܚܘܘ
“"÷ሡ- p(T፡' + Vz') = P፡ V፡ + pzw።
al-S pv s p 1v1 + p. v.
% ps p1 W 1 b p2 v2
–(R)
V. V, t T
び3a) V2. | V
film p, "2" | (S) v 2. P حسه Wa نه[9 So
w Y جسد : V a7aw Ab Gasmreiras. VM V
2. )p ". (Sa ܨܳm
S . 3 کޙީ) if ) ( . % m
町、
So, S, S, S, நிலைகளைக் குறிக்கின்றது.
திணிவுகளைக் கவனத்திற்கு எடுத்துக்கொள்வதால் கணித்தல் இல குவாக அமைகிறது.
So ->S, Gumuộcổeir a^6}ửuuạ (m 1) => p, V1 = mv --(1) போயிலின் விதிப்படி (m) => p2V = TV2 -(2) S-S2 இற்கு பகுதி I இன் முடிவு (R) ஐப் பிரயோச்ெசுப்
V1 p + V2p2
-(3 V1 + V . (3)
பெறுவது p =
S-Sa Gumusdir asus (m) => vin Vp -(4) போயிலின் விதிப்படி (m) க> Tw=WP -(ச)

- 27 -
ገr (V ! + V2) sgwrswy
V r V2
(3) mo > p = (6)
(4) s > v i V1 p. se v,(yY; ) -a-(7)
r v1 + V,
v ~- v' = v -
V1 (v1 + v 2) ඝ v1 V2 -~ v 2V1 ,
V + V 2 V + V
V2 (v1 + v3) v2 V - wV
v u~ V2' sr va ~ xo
2 —~ v 2 ʼ t ` v, v, V +r V2
Ꮩ1Ꮩ2 3 Ꮩ2Ꮃ1 ᎭᏰu Ꮩ1 柔va ஆகும். அதாவது
ܐ V2 Q v 2'
|V1 v 2 — V2v 1 |
b. G சமமாகும். ஆகவே V + V2
மட்டுப்பெறு
Gorwerth
கொண்ட வளித்திணிவு
ஒரு பாண்டத்திலிருந்து மற்றைய பாண்டத்திற்குச் செல்லும்.
உ+ம் 4, ABCD என்னும் சீரான குழாயொன்று இரசப் பாத்திர மொன்றில் நிலைக்குத்தாக திக்கிறது. மூடப்பட்ட மேல் முனையில், வளி நிரம்பிய A B என்னும் வெளியும், பின் னர் ஒருபகுதி 8 C இரசத்தால் நிரப்பப்பட்டும், CD வளி யால் நிரப்பப்பட்டும் உள்ளது. D யிலிருந்து கீழ்முகமாக இரசம் உள்ளது. A யிலும், CD யிலும் உள்ள வளி யின் நிறைகள் சமன். அவற்றின் கனவளவுகளின் வித்தி யாசம் Cே யின் அரைப்பங்கு ஆகும். தரப்பட்ட நிறை யுடைய வளியின் அமுக்கம், அதன் கனவளவுக்கு நேரி மாறு விகிதசமமாக மாறுகிறது எனக்கொண்டு வெளியே யுள்ள வளியமுக்கம், 8 C யின் நீளத்தின் அரைப்பங்கி ஞல் அமிழ்த்தப்படாத குழாயின் பகுதியிலும் குறைந்த நீளமுடைய இரசநிரலிற்குச் சமமாகும் எனக்காட்டுக.

Page 18
- 28 -
குறிப்பு:- (1) B இல் அமுக்கம், D இல் அமுக்
கததிலும் குறைவு. ஆகவே AB>CD
A gehiegui. BC= 2 x Agusiar AB-CD=ex
(m) ፵ቀ” ஆகும் CDாy எ ன க் கொண்டால்
AB =у + x.
போட்டு யோசித்துக் கொண்டு எடு கோளை எப்படி எடுத்துக் கொண்டால் கணித்தல் சுலபமாக அமையுமெனப் பார்த்தல் வேண்டும். இங்கு BC = 2.x என எடுத்தால் பங்கு X ஆகும். 少印 இதன் பின்னர் படத்தை விடைத்தா 多 பருமட்டாக அமைத்தல் வேண்
(m)
F
ع
இவற்றை மாணவர்கள் ஒரு படம்
P=hpg (வளியமுக்கம்) Grair Guruh
IP
PD a (h - z) pgs=Pc PesPo - 2xpga (h - Z - 2x)pg
pv= மாறிலி ஆதலால் (சமமான வளித்திணிவுகளுக்கு
(1) இங்கு a குழாயின் குறுக்கு
(y + x)a.PB=Fya PDo முகப்பரப்பு. (y+x)(h-zー2x)=w (hーz)ーI y(h-z) – 2xy+x (h-z - 3x) =y(h-z)
..“. 2y =h - z - 2x ". x=/=o ... h - z + 2x + 2y -II
இனி AE = =2+2y + 3x ஆகும் படத்திலிருந்து
l-x sh w
அதாவது AE - BC=h. இதை நாம் வெளியேயுள்ள வளியின் அமுக்கம் BCயின் நீளத்தின் அரைப்பங்கினல் அமிழ்த்தப்படாத குழாயின் பகுதியிலும் குறைந்த நீளமுடைய இரச நிரலிற்குச் சம மாகும். m

- 29 -
a he to 5 உண்மையான வாசிப்புக்கள் முறையே 72 cm 76 cm ஆக இருக்கும்போது சிறிதளவு வளியைக் கொண்ட பொய்ப் பாரமானியொன்றின் வாசிப்புகள் முறையே 71 cm, 74 cாடி இரசம் ஆகும். தரப்பட்ட அளவு வளியின் அமுக்கம் அதன் கனவளவிற்கு நேர்மாரு க மாறுகிறது எனக் கொண்டு பொய்ப் பாரமாணி 72 cm இரசத்தைக் காட்டும்போது உண்மையான வாசிப்பைக் காண்க.
8 ضيفانوفيها6
உள்ளடக்கப்பட்ட வளியின் a sur an en ay ாக (l-h)a இங்கு குறுக்கு முகப்பரப்பு W அமுக்கம் pா (h - h) p, p திரவத்தின் / ul-stabs.
h; உண்மையான வாசிப்பு. 劃 h; பொய்யான பாரமானியின் வாசிப்பு.
h h1 | lーh1 |-
(1) 72 7. l- 7
(2) 76 74 l-74 2
o h 72 - 72 h-72
p W= மாறிலி ஆதலால் (l-71) a.pg = (l-74) a2.pg = (l-72) a (h -7s) pg அதாவது (-71) = (1-74) 2= (1-72) (h-72) l-71 sel- 148
ძზ lთ77.
6 s 5(h-72)
8 h = 72 + 1.2 = 73.2 ஃ உண்மையான வாசிப்பு 73.2 ஆகும்,
(1)

Page 19
→কেৰ 30 -
குறிப்பு- படம் பொது நிலக்குப் போட்டுக் கொண்டு வாசிப் புக்களே அட்டவணைப்படுத்துவது சிறந்தது. இவ்வழி பெளதீகப் பரிசோதனைகளில் வாசிப்புக்ககாக் குறிப்ப தைப் போன்றது.
உ+ம்:- 6 சீரான நுண்துவாரமுள்ள ஓர் அடைத்த நேர்குழாய் நடுவில் இரசமும் ஒவ்வொரு மூனையிலும் வளியுங் கொள்ளும். குழாய் நிலைக்குத்தாகுமிடத்து வளி இடங் கொள்ளும் பாகங்கள் முறையே a, b என்னும் நீளங் களுடையன. குழாய் கவிழ்க்கப்படுமாயின் இந் நீளங் கள் a, b ஆகும். குழாய் கிடையாயின் இந்திளங்கள்
aa' (b + b') ხb! (a + a!) ab ቀ a"b" 9 ab + ab
ஆகுமென நிறுவுக.
m in p "a
(x -)
b. qa' tn
قل

- 31 -
-ープ s நில திணிவு(m) கனவளவு w அமுக்கம் (p)
In 1 ad 19ይፀ
m 1 ao GAPB
na 1 a”'óኒ Ao
五2 ba (p + X)ዐዩ
tim2 blo (q-x) pg
II m2 V bካ'∂. የ ፀፀ3
2 குறுக்கு முகப்பரப்பு நிலை 1 இல் X இல் அமுக்கம் rpg எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
, II , • X , 9 GᏰ0g d
, , III ,, k ! s rpg *
போயிலின் விதிப்படி (m) இற்கு நாம் பெறுவது
aa.ppg=a'aq pgma'arpg
sygsnrenug apima'q = a'r ---(1)
இதேபோல் (m2) இற்கு நாம் பெறுவது . b(p + x)=b'(q — x) u rb"———(2)
குழாயின் நீளம் எல்லா நிலைகளிலும் sototh -BSownrd
a • b = al « blamaa" + bol- – (3)
(1) உம், (2) உம் பின்வருமாறு எழுதலாம்
1 - P* Գ
- οι - + - 2. 岔 &
其
(4)
를

Page 20
un s P__2 - 그곳 - _ pt q (5)
b b, bn b + b
1. آa"b“ b_(4) (6) - ՞ bii :
a * ai
- all bዛ1 a bill 33 . . . . . 豆エー
". ● al 盆 al b ` bዛ፥
a -b +)+(+)
s mura ... - (*) (i + '') O l
(+)+(+) (a H b)(b'+ b) a b ai i biYT a - b طه ی --سس۔ -ل۔ --س۔ ا! bb"( ab -- 음)
a + bدbهb) .. a غ") هة =
ab -- ab
இதேபோல்
bb (a + a) ----سس----- == * b a”b” - ab ஆகும்.
a C a C குறிப்பு: bd bid பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரே அலகு
கொண்ட கணியங்கள் பகுதியிலும் தொகுதியிலும் இருத்தல் வேண்

-33 -
டும். இதைச் சமன்பாடு (4) (8) இல் 'அவதானிக்கலாம். மாணவர்கள் வேறு வழிகளால் செய்துபார்க்கும்போது தான் இதன் முறையைப் பின்பற்றத் தெண்டிப்பார்கள். தூயகணிதம் ஒரு பாடமாகப் படித் துக்கொண்டு இவ்வழி கடினம் என்று கூறுவது கணிதத்துறைக்கு ஓர் இழுக்காகும். மனிதனல் செய்யமுடியாதது என்று ஒன்றுமிலல. கடின உழைப்புத்தான் வேண்டும்.
ஆக்கிமிடீசின் கோட்பாடு:
ஒரு திண்மம ஒய்விலிருக்கும் ஒரு பாயியில் முழுமையாகவோ அல் துை பகுதியாகவோ அமிழ்த்தப்பட்டிருந்தால் அத் திண்மத்தின் மீது அப்பாயியின் விளையுளுதைப்பானது, அத்திண்மத்தால் இடம் பெயர்க் கப்பட்ட பாயியின் நிறைக்குச் சமனும் எதிருமாகி அவ்விடம் பெயர்க் கப்பட்ட பாயியின் புவியீர்ப்பு மையத்திறக்கூடாகச் செல்லும் நிலைக் குத்துக்கோட்டின் திசையிலே தாக்கும்,
நிறுவல்:
படம் 1 இல் காட்டியவண்ண'
வளைபரபிப்ல் தாக்கும் உதைப்பு திண்மத்தின் அடர்த்தியால் பாதிக் கப்படுவதில்லை. ஆகவே படம் 11 இல் காட்டியவண்ணம் இடம் பெயர்க்கப்பட்ட திரவத்தின் சம நிலையை அத்திரவத்தினுள் எடுத்து நோக்கலாம. இத்திரவம் சூழ்ந்துள்ள திரவத்தால் சமநிலையில் இருப் பதால் கிடையாக விளையுள் உதைப்பு பூச்சியமாக வேண்டும். நிலைக் குத்து உதைப்பானது இடம்பெயர்க்கப்பட்ட திரவத்தின் நிறைக்குச் சமஞய் இதன் புவி யீர்ப்பு மையத்தினூடாய்ச் செல்லவேண்டும். [இரண்டு விசைகளின் கீழ் சம நிலையை எடுத்து நோக்குக1 ப ட ம்

Page 21
ཕཞང་ཡས་མ-34 - མ་
1 இலும் படம் 11 இலும் வளைபரப்பிலான் உதைப்புகள் சமமாகும். ஆகவே திண்மம் (x) இலுள்ள விளையுள் உதைப்பானது இடம் பெயர்க் கப்பட்ட திரவத்தின் நிறைக்குச் சமனும் எதிருமாகி அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தினுாடாக மேல்நோக்கித் தாக்கும்.
குறிப்பு:- (1) இவ்விளையுள் உதைப்பு மீயூந்தல் விசை ( P ) என அழைக்கப்படும். இடம் பெயர்க்கப்பட்ட பாயியின் புவியீர்ப்பு மையம் மீயூந்தல் மையம் (H) எனப்படும்.
(2) கணக்குசள் செய்யும்போதும், விசைகள் குறிக்கும்போதும் பொருளின் அமிழ்த்த பாகத்தின் புவியீர்ப்பு மையத்தில் குறித்துக் காட்டலாம். அமிழ்த்த பாகத்தை ஒரு சீரான திண்மமாகக் கருதிக் கொள்ளல் வேண்டும். பொருள் முழுமையாசத் திரவத்தினுள் இருக் கும்போது GகH ஆக இருக் வேண்டியதில்லை இதற்குக் காரணம் பொருள் சீரான அடர்த்தியுடையதாக இருக்கவேண்டியதில்லை.பொருள் சீரானதாக இருப்பின் இது உண்மையானதாகும்.
8. திண்மத்தின் சமநிலை எடுத்துக்கொள்ளப்படவில்லை என்பதை மாணவர்கள் மறந்து விடல் ஆகாது.
4. திண்மம் திரவத்தினுள் இருவகைகளில் இருக்கும்வண்ணம் செய்யப்படலாம்.
1) அதன் ஒரு புள்ளியில் கட்டித் தொங்கவிடுதல். 2) திரவத்தில் தன்னிச்சையாக மிதக்கவிடுதல்
(இவ்விருவகைகளையும் நாம் தனித்தனியாக ஆராய்வோம்.) 1) ஒரு பொருளின் யாதுமொரு புள்ளியுடன் இணைக்கப்பெற்றுள்ள ஓர்
இழையினுல் அதன் ஒரு பகுதி ஒரு திரவத்திற்குள் அமிழ்த்தப்பட்டு மிதப்பதற்கான சமநிலை நிபந்தனைகள்:
படத்தில் காட்டிய வண்ணம் G பொருளின் புவியீர்ப்பு  ைம ய ம், H இடம் பெயர்க்கப்பட்ட திரவத் தின் புவியீர்ப்பு மையம் என்போம். பொருளின் க ன வ ளவு V எனவும், அமிழ்ந்த பாகத்தின் கனவளவு w என வும் க்ொள்வோம். பொருளின் அடர்த்தி 3 என வும், திரவத்தின் p எனவும் எடுத்துக்கொள்வோம்.
 

- 35 -
WaVog, Pas vpg ஆகும். பொருள் சமநிலையில் இருப்பதால்
P -- Tsw -- ( )
O /Py =W*--(2) ஆயிருத்தல் வேண்டும். (நிலையியலில் சமாந்தர விசைகளின் சமநிலையை எடுத்து நோக்குக)
குறிப்பு. T நிலைக்குத்தாக விருப்பதற்குக் காரணம் W உ! P உப
நிலைக்குத்தாகவிருப்பதால.
உய்த்தறிதல்- T-0 ஆயின் W=P.y = x ஆயிருத்தல் வேண்ம்ை இவற்றை நாம் ஒரு திரவத்துள் சுயாதீனமாய் மிதக்குமொரு பொருளின் சமநிலை நிபந்தனைகள் எனக் கறுவோம்.
உ+ம் . ஒரு சீர்ச் சதுரத்தட்டானது மூலையொன்றினூ என ஒரு கிடை அச்சைப்பற்றி சுயாதீனமாய்த் திரும் பக்கூடியது. இவ் வச்சு, தட்டினது தளத்திற்குச் செங்குத்தானது. இவ்வச்சானது ஒரு நீர்த்தாங்கியின் பரப்பிலிருப்பதோடு, தட்டினது பாதியிலும் குறைவான பகுதி அமிழ்ந்துமிருப்பின் தட்டின் தண்ணீர்ப்பு
தான்9ே + 2தான் 9
311 + தான் 9) எனக் காட்டுக. இங்கு 9 அச்சினூடாக
வுள்ள அமிழ்ந்த பக்கம் கிடையுடன் ஆக்கும் கோணம்.

Page 22
சதுரத்தட்டின் நிறைW=43?tsw ஆகும். இது G யினூடாக நிலக் குத்தாகத்தாக்கும். இங்கு AB=2a, தடிப்பு t, தன்னிர்ப்பு 8, நீரின்தன் நிறை w. திரவத்தின் விளையுள் நிலைக்குத்துதைப்பு A B E எனும் நீரின் நிறையாகும். இது அதன் புவியீர்ப்பு மையத்தினூடு நிலைக்குத் தாக மேல்நோக்கித்தாக்கும்.
..”. Pau, 2a. 2 a tan 69 t A
s2a* tv tatlı 6
H இல் தாக்கும் இவ் உதைப்பு P ஆனது A, B, B என்னும்
ஒவ்வொரு கோணப்புள்ளியிலும் தாக்குகின்ற என்ப தறி குச்
சமன் ஆகும். (திணிவு மையத்தில் இவற்றை திரும்பிப்பார்க்கவும்)
A பற்றித் திருப்பம் எடுக்கப் பெறுவது
м P P
A 4Y W AG Cos(45 - 69) ms 2a Cos 69 ~ a Sec 8 m o -
P WVea (Cos 45 Cos69 + Sin 45 Sin0] = g Ba ( Coa 6 + Sec 9)
W ( + Sec69 )
P 3V Cose + Sin0
4atsw 2 ( Cos? 69 -- ) SSMMSSSSSSS SSLS S L SSSS S S SSSSSSS S SSSSS SSSSSS 2a2tw tan0 3 V Cos69 + Sin69/ Cos69
S tan69 芜器)
3 (守盖
tan 69 + 2 tan 69
+- tan 69
-
உ+ம் 2. ஒரு சீரான சடப்பொருளிளுலாய சிறிய சீரான தடிப் பையுடைய ஓர் அரைவட்ட அடரின் விட்டத்தின் முனை கள் A, B ஆகும். A B இன் நடுப்புள்ளி நீரின் மேற்பரப் பிலிருக்கவும், அடரின் பாதியிலும் கூடிய பகுதி நீரில் உள்ளாழ்ந்தும் இருக்க, நீரின் மேற்பரப்புக்கு மேலுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியில் A அழுத்தமாகப் பிணைக்கப்பட்டு

سسه 37 -س-
அடர் சமநிலையிலுள்ளது. நீரின் மேற்பரப்புடன் A B இன் சாய்வு 9 ஆரையன் ( 0 < ή) ஆயின் தன்னிர்ப்பு
{s(71 - 0 - 2 tane}
d 37 - 4 tan6 srevrátasnya,
AB as sa srdrGB untuh. BoDa= to a 7 - 0
4. 50% * 4 = OH ,كك -oG
57T
(புவியீர்ப்பு மையத்தில் பார்க்கவும்
2 Psa?o t w , Wim tsர இங்கு S தன்னிர்ப்பு.
அடரின் சமநிலைக்கு A யில் திருப்பம் எடுக்கப் பெறுவது
Y
A / P (Cos e - OH Cos oc ) - W (a Cos e - OG Sin 0) -- 0ཡས་མ (1)
Siin 2oC ገra” 4a . 'ctw(a Cose - - a ) ??tsw(a Cos 69 - -- Sin )
23 OC 8ገፐ
4 -. oC. Cos 69 - Sin la - s(я Сов в