கவனிக்க: இந்த மின்னூலைத் தனிப்பட்ட வாசிப்பு, உசாத்துணைத் தேவைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தலாம். வேறு பயன்பாடுகளுக்கு ஆசிரியரின்/பதிப்புரிமையாளரின் அனுமதி பெறப்பட வேண்டும்.
இது கூகிள் எழுத்துணரியால் தானியக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட கோப்பு. இந்த மின்னூல் மெய்ப்புப் பார்க்கப்படவில்லை.
இந்தப் படைப்பின் நூலகப் பக்கத்தினை பார்வையிட பின்வரும் இணைப்புக்குச் செல்லவும்: வணிகப்புள்ளிவிபரவியல் மாதிரி எடுப்பும் புள்ளிவிபர அனுமானமும்

Page 1
ཀྱང་། ༤༽
ஆக் Q၉ (Ś) 175 பொண்ணுத்து
D4 er
 

எடுப்பும் lனுமானமும்
ரிவிபரவியல்
உயர்தரம்
கம்: ரை ஐங்கரன்

Page 2

Sampling and Statistical Inference
BUSINESS STATISTICS
G.C. E. (AIL)
Ponnuthurai Ainkaran Lecturer Department of Mathematics and Statistics University of Jaffna

Page 3
dFIDiúLJamorib
“என்னை இந்நிலைக்கு உருவாக்கிய தாய், தந்தைக்கும். சிரத்தையுடன் எனத்கு கல்விபுகட்டிய ஆசிரியர்களுக்கும்’

முன்னுரை
வணிகப்புள்ளவிபரவியலை ஒரு பாடமாக கற்கும் க. பொ. த. உயர்தர வர்த்தகப்பிரிவு மாணவர்களுக்குரிய பாட விதானத்திற்கு அமைய மாதிரி எடுத்தலும் புள்ளிவிபர அனுமானமும் என்ற பகுதியை உள்ளடக்கி இந்நூல் அமைகிறது. ஆயினும் இந்நூல் மாதிரிஎடுத்தல், புள்ளிவிரமதிப்பீடு, கருதுகோள்ச்சோதனை கைவர்க்கசோதனை, மாறற்திறன் பகுப்பாய்வு சம்பந்தமான ஆரம்ப அறிவை பெறவிரும்புவர்களுக்கு உகந்ததாக அமையும் என்பதில் சந்தேகமில்லை.
இந்நூலுக்கான அணிந்துரையை வழங்கிய எனது விரிவுரையாளரும், யாழ். பல்கலைக்கழக கணித புள்ளிவிபரவியல் துறை சிரேஸ்ட விரிவுரையாளருமான திரு. எஸ். யோகராஜா அவர்களுக்கு எனது மனமார்ந்த நன்றியை தெரிவித்துக்கொள்கிறேன்.
இந்நூல் ஆக்கத்திற்கு சகலவழிகளிலும் பூரண ஒத்துழைப்பை நல்கிய வெள்ளவத்தை இந்து மகளிர் கல்லூரி ஆசிரியை செல்வி கேமாவதி செல்வத்துரை அவர்களுக்கும் எனது நன்றியை தெரிவித்துக்கொள்கிறேன். மேலும் இந்நூல் ஆக்கத்திற்கு உதவிய பம்பலப்பிட்டி இந்துக்கல்லூரி ஆசிரியர் திரு. க. ரமனேஷ், இரத்மலானை இந்துக்கல்லூரி ஆசிரியர் திரு. சிவசோதி, புள்ளிவிபர ஆய்வாளர் திரு. ச. யக்கோப்பிள்ளை ஆகியோரிற்கும் இந்நூலை அச்சிட்டு வெளியிட்ட "dmiral Graphics" நிறுவனத்திற்கும் எனது நன்றியினை தெரிவித்துக்கொள்வதோடு, இந்நூலில் செய்யவேண்டிய திருத்தங்கள் பற்றி ஆசிரியர்கள், இத்துறை சார்ந்த விற்பனர்கள் எனக்கு ஆலோசனை வழங்க வேண்டும் என எதிர்பார்க்கின்றேன்.
நன்றி
பொன்னுத்துரை ஐங்கரன் இணுவில் தெற்கு விரிவுரையாளர் இணுவில் கணித புள்ளிவிபரவியல்துறை 28.02.98
யாழ். பல்கலைக்கழகம் யாழ்ப்பாணம்.

Page 4
அணிந்துரை
கல்விச் சீர் திருத்தத்தில் ஓர் அம்சமாக புதிய பாடத் திட்டத்தில் வணிகப்புள்ளிவிபரவியல் க. பொ.த உயர்தர வர்த்தகப் பிரிவு மாணவர்களுக்கு ஒரு பாடமாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இப்புதிய வணிகப்புள்ளிவிபரவியல் பாடத்தின் மாதிரி எடுப்பும் புள்ளி விரவியல் அனுமானங்களும் என்னும் பகுதியில், மாதிரி எடுத்தல் முறை. அதன் நன்மை தீமைகள், புள்ளிவிபர மதிப்பீடு, கருதுகோள் சோதனை, கைவர்க்கச் சோதனை, மற்றும் மாறற்றிறன் பகுப்பாய்வு ஆகிய பகுதிகளை உயர்தர மாணவர்கள் புரிந்து கொள்ளக்கூடிய இலகு தமிழில் தந்திருக்கிறார் இந்நூலாசிரியர். இந்நூலின் சிறப்பம்சமாக பல உதாரணங்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளமை, குறிப்பிடத்தக்கது.
மாணவர் சமூகத்தின் தேவையறிந்து ஆசிரியர் தனது ஈடுபாட்டினை வெளிப்படுத்தும் இம்முயற்சி தொடர வாழ்த்துகிறேன். ,
ச. யோகராசா, சிரேஷ்ட விரிவுரையாளர், கணித புள்ளிவிபரவியல்துறை யாழ் பல்கழைக்கழகம், யாழ்ப்பாணம்.
5, 1998.

LDTBlf GTGüly (Sampling)
வளர்ந்து வரும் உலகில் மானிட செயற்பாட்டின் வேறுபட்ட துறைகளில் தீர்மானங்கள் எடுக்கவேண்டி ஏற்படுகிறது. இதற்காக பொருத்தமான தரவுகளை ஆய்வுக்குட்படுத்தியே தீர்மானம் எடுக்க வேண்டும். அதற்காக புள்ளிவிபர முறையில் ஆய்வுகள் செய்யப்பட்டு தீர்மானங்கள் எடுக்கப்படும்.
புள்ளிவிபர ஆய்வில், ஆய்வு செய்யப்படும் தொகுதியின் எல்லா அலகுகளையும் கொண்ட தொகுதி குரத்தொகை Population) (1631 LIGif, அல்லது ஆய்வு செய்யப்படும் வகையில் சாத்தியமான எல்லா அவதானிப்புகளின் முழுத்தொடை குடித்தொகை எனக் கூறலாம், இக் துடித்தொகையிலிருந்து குடியைப் பற்றிய ஆய்வுக்காக தெரிவு செய்யப்படும் ஒரு பகுதியே மாதிரி (Suple) எனப்படும் மாதிரிகள் தெரிவு செய்யப்படும் செயல் ஒழுங்கே மாதிரிண்டுப்/ s; ping) ஆகும். எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் முலம் பெறப்பட்ட புள்ளிவிபர முடிவுகளுக்கு வருதல் புள்ளிவிபர -92MyfWrofesorů (Star is fica Inference y si T'ILJOĞLih,
உற்பத்தி விற்பனை தொடர்பான முடிவுகள் எடுக்கப்படும் போது தொழிற்சாலை, நிறுவனங்களிலுள்ள முழு அலகுகளையும் ஆய்வுக் குட்படுத்தாது ஒரு தொகுதியினை ஆய்வுக்குட்படுத்தி அதன்மூலம் அனுமானங்கள் பெறப்படும். இதன் மூலம் உற்பத்தி, விற்பனை தொடர்பாக மாற்று நடவடிக்கைகள் எடுப்பதன் மூலம் வர்த்தக அபிவிருத்தியினை ஏற்படுத்த முடியும்.
உம் 1; பிரதியீட்டுப் பொருட்களின் நுகர்வு சம்பந்தமான ஆய்வு செய்தல் i, "Wicks" இற்கு பதிலாக "சித்தாலெப" அறிமுகம் செய்யப் பட்டதும் அதன் நுகர்வு சம்பந்தமாக ஆய்வுக்காக எல்லா நுகர்வோரையும் ஆய்வு செய்தல் கடினம் என்பதால் ஒவ்வொரு பிரதேசத்திலும் ஒவ்வொரு பகுதி நுகர்வோரை எடுத்து ஆய்வுக்குட்படுத்தி "சித்தாலெட" விற்கான சந்தைக் கேள்வியை அறிவதன் மூலம், உற்பத்தி, விநியோகம் ($பpply) என்பவற்றை அதிகரிக்கச் செய்யலாம்.
2. தரக்கட்டுப்பாடு செய்யப்படும் போது மாதிரி எடுத்தே செய்யப்படும் ie, மின்தமிழ்களின் ஆயுட்காலம் அளத்தல் சம்பந்தமான ஆய்வில் ஒன்னொரு மின்தமிழாக ஆயுட்காலம் அளத்தல் சாத்தியப்படாத

Page 5
விடயமாகும். அதனால் ஒரு தொகுதி மின்குமிழ்களின் ஆயுட்காலத்தை எடுத்து அதன் மூலம் குறிப்பிட்ட நிறுவனம் உற்பத்தி செய்யும் மின்குமிழின் ஆயுட்காலம் சம்பந்தமான முடிவுக்கு வரமுடியும்.
3. வியாபாரம் ஒன்றை ஆரம்பிக்கும் போது அப்பிரதேசத்தில்
சாத்தியமானதா என்பதனை ஆராய்தல்.
1. குளிர்பான வியாபாரம் ஆரம்பிக்கும் போது காலநிலை, மக்கள் பொருளாதாரநிலை என்பவற்றை அறிதல் வேண்டும். மக்கள் பொருளாதாரநிலையை அறிவதற்காக மாதிரி எடுத்தல் மூலம் அப்பிரதேசத்தின் நிலையை அறிய முடியும்.
மாதிரி எடுத்தலின் நன்மைகள்
(i) நேரம் சிக்கனப்படுத்தப்படும்.
(i) செலவு குறைக்கப்படும்.
(i) கூடிய நம்பிக்கையான முடிவுகள் பெறமுடியும்.
(iv} கூடிய தகவல் சேகரிக்க முடியும்.
{v} சில சந்தர்ப்பங்களில் குடியின் முழு அலகிற்குரிய தகவலும் பெறமுடியாமல் இருப்பதால், பாதிரி எடுத்தல்தான் ஒரே வழியாக இருக்கும்.
h) நிர்வாக செளகரியம்
ஒரு தெளிவான தீர்மானங்களை எடுப்பதற்கு, மாதிரியானது பின்வரும் முக்கியத்துவங்களைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும்.
(1) குடியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தக் கூடியதாக குடித்தொகைக்குரிய
அதே பண்புகளைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும். டி. மாதிரியானது குடியின் ஒரு பிரதிநிதியாக இருத்தல் வேண்டும்.
(i) ஏகவினமானதாக இருத்தல் வேண்டும். ie குடியுடன் ஒப்பிடும் போது வேறுபாடு இஸ்லாமல் அதே நிலைமையில்
இருத்தல் வேண்டும்.
(ii) போதுமானதாக இருத்தல் வேண்டும் ic கடிய நம்பிக்கையான முடிவுகளை எடுப்பதற்கு போதுமான அளவு
அலகுகள் மாதிரியில் சேர்க்கப்பட்டிருத்தல் வேண்டும்.

(iv) உத்தமமானதாக இருத்தல் வேண்டும்.
ie, குறைந்த செலவில் கூடிய பலன் பெறக்கூடியதாக தேவையான அளவு மாதிரியைக் கொண்டு உயர் முடிவை பெறக்கூடிய முயற்சியாக இருத்தல் வேண்டும்,
uptajai at I (plafist gliag Tenas (Finite Infinite Population) ஆய்வுக்குட்படுத்த வேண்டிய குடியின் அளவு அதாவது குடியிலுள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை திட்டவட்டமானதும் எண்ணத்தக்கதுமாக இருப்பின் 1915 (Ulq6|sitali Jig (Finite Population) slall Gli,
உ-ம்: வெள்ளவத்தை இந்து மகளிர் கல்லூரியில் உயர்தர வர்த்தக பிரிவில் கற்கும் மாணவிகளின் புள்ளிவிபரவியல் பாடம் பற்றிய ஆய்வில் அக் கல்லூரியில் உயர்தர வர்த்தக பிரிவில் புள்ளிவிபரவியல் பாடம் கற்கும் எல்லா மாணவிகளாலும் இக்குடி உருவாக்கப்படுகிறது. அவர்களின் எண்ணிக்கை முடிவுள்ளது. அதாவது எல்லா அங்கத்தவர்களையும் எண்ணக்கூடிய அத்தொடை முடிவுள்ளதாகும்
ருடியிலுள்ள அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை எண்களில் அளவிட முடியாததாக இருப்பின் அது முடிவில்லாத குடி (Infinite Population). எனப்படும்.
உ+ம் : 1. T.V. பார்க்கும் மக்களின் எண்ணிக்கை
2. வானத்திலுள்ள நட்சத்திரங்களின் எண்ணிக்கை
LJLIDITGESTúlio (Parameter) ஒரு குடி தொடர்பான புள்ளிவிபர மாறிலிகள் பரமானங்கள் எனப்படும் குடி ஒன்றின் இடை மாறற்றிறன் - விகிதம் I போன்றவை பரமானங்களுக்கு
உதாரனமாகும்.
it failuyi (Statistic) ரூடி ஒன்றின் பரமானங்களை தீர்மானிப்பதற்காக அல்லது மதிப்பீடு செய்வதற்காக எடுக்கப்பட்ட பாதிரியின் பெறுமானங்களின் அல்லது அவதானிப்புகளின் எந்த ஒரு சார்பும் (தொடர்பும்) புள்ளிவிபரம் எனப்படும். மாதிரி ஒன்றின் இடை . மாறற்றிறன் S. விகிதம் p போன்றவை புள்ளிவிபரத்திற்கு உதாரணங்களாகும்.

Page 6
Note: பரமானம் மாறிலியாகும். ஆனால் புள்ளிவிபரம் எழுமாற்று மாறியாகும்
அது எடுக்கும் பெறுமானம் மாறிக்கொண்டிருக்கும்.
உதாரணமாக குடியிடை 1 (பரமானம்) ஒரு நிலையான பெறுமானமாகும். ஆனால் மாதிரி இடை x (புள்ளிவிபரம்) ஒரு எழுமாற்றுமாறி ஆகும். இங்கு
쯔L 2-쪼고' எடுக்கும் பெறுமானம் மாறிக்கொண்டிருக்கும்.
n
தொகை மதிப்பு (Census) ஒரு குடியிலுள்ள ஒவ்வொரு அலகுகளினதும் தகவல் க்ளையும் பகுப்பாய்வுக்கு ஏற்ற வகையில் பெறுதல் தொகை மதிப்பு எனப்படும். குடியிலுள்ள ஒரு மாதிரி தெரிவு செய்யப்பட்டு மாதிரியிலுள்ள ஒவ்வொரு அலகினதும் தகவல்களையும் பகுப்பாய்வுக்கு ஏற்றவகையில் பெறுதல் மாதிரி தொகைமதிப்பு (Sample census) எனப்படும்.
LDT.gif at (6flu (ypopasch (Methods of Sampling) மாதிரி எடுத்தல் பல முறைகளில் செய்யலாம். முறையின் தெரிவானது மாதிரி எடுப்பின் நோக்கத்தால் தீர்மானிக்கப்படும். இம்முறைகள் இரண்டு பிரிவாக கீழே தரப்படுகிறது.
1. JólabjÞ556. LDT gŚf6TGjö356ð (Probability Sampling)
(i) 616sful 6T(LQLDTi503 LDTg5f 616EL (Simple random Sampling) (ii) U60)L(Up60.13 LDT5f 67(Bill (Stratified Sampling) (iii) (oldsfig5g) LDT35f 676. L (Cluster Sampling) (iv) (yp6ODB60OLDULUT 601 LDTgólf 61BÜL (Systematic Sampling)
2. 5d.jpg5356 gib 13 LDT.gif 67(6L (Non-Probability Sampling)
(i) . Usió56ig) LDT;5f 67(6(IL4 (Quota Sampling) (ii) 5TCIL LDTg5f 676 Il (Judgement Sampling/Purposive Sampling) (iii) 361)(3) LDig5f 616CL (Convenience Sampling)

1.
6355356 LIDTsSfGTG656ö (Probability Sampling)
நிகழ்தகவு மாதிரி எடுத்தில் என்பதை எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பு (Random Sampling) என்றும் கூறலாம். இங்கு குடியிலுள்ள ஒவ்வொரு அலகையும் மாதிரிக்கு சேர்த்துக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு சமனாகும். அதாவது நிகழ்தகவு விதிகளுக்கேற்ப மாதிரி ஒன்றைத் தெரிவுசெய்தல் ஆகும்.
(i) GTGifu aligudribp LDT.gif GT6 (Simple random sampling)
எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தல் என்பதை வரையறைக்குட்படாத (Unrestricted) எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பு எனவும் கூறமுடியும். குடியிலுள்ள ஒவ்வொரு அலகையும் மாதிரிக்கு சேர்த்துக் கொள்வதற்கான சந்தர்ப்பம் சமனாகவும், சாராதவையாகவும் இருப்பின் அது எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பு எனப்படும். இந்த மாதிரிகளை தெரிவு செய்வதற்கு சில முறைகள் பயன்படுத்தப்படும். 960)6] T6) 60T: (i) (olouTg5gbf (Ipo013 (Lottery Method) (i) எழுமாற்று இலக்க அட்டவணை முறை (Table of Random
umbers Method) (iii) ësőOT60Óî (yp6ODB (Computer Method)
இம் முறைகளை இரண்டு வகையாக கருதமுடியும்.
(i) folT 60615;560 (With replacement)
குடியிலிருந்து தெரிவு செய்யப்பட்ட அலகு ஆய்வுக்குட்படுத்தப் பட்ட பின்னர் மீண்டும் குடியில் சேர்க்கப்பட்டு அடுத்த அலகைத் தெரிவு செய்தல் மீளவைத்தல் முறையாகும்.
(ii) foll 6061535Tg5 6L6) (Without Replacement)
குடியிலிருந்து தெரிவு செய்யப்பட்ட அலகு மீண்டும்குடியில் சேர்க்கப்படாது அடுத்த அலகைத் தெரிவு செய்தல் மீளவைப்பு அற்ற முறையாகும்.
() லொத்தர் முறை (Lottery Method)
இது மிகவும் இலகுவான முறையாகும். இம் முறையில் குடியின் ஒவ்வொரு அலகுகளும் இலக்கமிடப்பட்டு பின்னர் அளவு, வடிவம், நிறம் என்பன ஒரேமாதிரியான சிறு கடதாசி துண்டுகளில் குடி அலகுகளுக்கு இடப்பட்ட இலக்கத்தை எழுதி அவற்றை

Page 7
(ii)
(i)
(ii)
ஒரே மாதிரி மடித்து நன்றாக குலுக்கிய பின்னர் மாதிரி
எடுப்பதற்கு தீர்மானித்திருந்த அளவு துண்டுகளை எடுத்து
அவற்றுக்குரிய இலக்கம் கொண்ட குடியிலுள்ள அலகுகள் தெரிவுசெய்யப்படும். இது லொத்தள் முறையில் எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பு முறையாகும்.
எழுமாற்று இலக்க அட்டவணை முறை Table of Random Number Method குடித்தொகை மிகப்பெரிதாகும் போது (முடிவில் குடித்தொகை) லொத்தர் முறை பாவிக்க முடியாது இருக்கும். அதற்குப் பதிலாக இம் முறை பயன்படுத்தப்படலாம். இம்முறையிலும் லொத்தர் முறைபோல குடியின் ஒவ்வொரு அலகும் இலக்கமிடப்படும். பின்னர் எழுமாற்று இலக்க அட்டவணை மூலம் மாதிரிக்கான அலகுகள் தெரிவுசெய்யப்படும்.
எழுமாற்று இலக்க அட்டவணை பாவிக்கும் முறை உதாரணமாக குடித்தொகை 1000 ஆக உள்ள குடியிலிருந்து 10 அலகுகளை மாதிரியாக தெரிவு செய்ய வேண்டி இருப்பின், அட்டவணையில் இடமிருந்து வலமாக அல்லது மேலிருந்து கீழாக நான்கு இலக்கங்களாக (4digits) 10 தெரிவு செய்யப்படும். (1000 என்பது நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்டது).
பின் இணைப்பிலுள்ள எழுமாற்று அட்டவணையில் இடமிருந்து வலமாக கருதின் 8596, 7731, 5214, 5118, 5285, 3600, 9958, 9236, 9626.7835. இவையாவும் 1000 இலும் கூடுதலானவை. ஆகவே இவற்றை 1000 இனால் வகுத்து மீதியைக் கருதுக. 596, 731, 214, 118, 285, 600, 958, 236, 626, 835. இந்த இலக்கங்களால் குறிக்கப்படும் அலகுகள் மாதிரியாக கருதப்படும். மேலும்,
பிரதிவைப்பு முறை எனக் கருதப்படின் ஒரு இலக்கம் ஒருமுறைக்குமேல் ஏற்றுக்கொள்ளப்படும். மீண்டும் மீண்டும் தோன்றுவது ஏற்றுக்கொள்ளப்படும். பிரதிவைப்பு அற்றமுறை எனக் கருதப்படின் ஒரு இலக்கம் ஒருமுறை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்ளப்படும். மீண்டும் மீண்டும்

தோன்றும் சந்தர்ப்பத்தில் ஒரு முறை கருத்திற் கொள்ளப்பட்டு மீண்டும் அட்டவணையைப் பாவித்து தொடர்ந்து மிகுதி எண்கள் எடுக்கப்படும். r
Note; மேலுள்ள உதாரணத்தில் 1000 மடங்கு தோன்றின் 1000 ஆவது
அலகு மாதிரிக்குள் சேர்த்துக் கொள்ளப்படும். (உ-ம்: 6000 தோன்றின்)
எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தலின் நன்மைகள்
() தனிப்பட்ட வழுவுக்கான சந்தர்ப்பம் குறைவாக இருக்கும்.
(i) மாதிரியின் அளவை அதிகரித்துச் செல்லும் போது
குடித்தொகையை பிரதிநிதித்துவப் படுத்தும்.
(ii) சிக்கனமான முறை, அதாவது நேரம், பணம், மனிதவழு
சிக்கனப் படுத்தப்படும்
எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தலின் தீமைகள் t) குடியின் முழுப்பட்டியலும் தேவைப்படும். (i) மாதிரி அளவு சிறிதாக இருக்கும் போது அதுகுடியை } பிரதிநிதித்துவப்படுத்த மாட்டாது.
(i) அலகுகளுக்கிடையான பரம்பல் மிகவும் பெரிதாக இருக்கும்
போது இந்த முறை பாவிக்க முடியாது.
(ii) u60L(p6op LDIslf GIGI (Stratified Sampling)
பல்லினமானதாக அல்லது வேறுபட்ட பிரிவுகளைக் கொண்ட குடிக்கு படைமுறை மாதிரி எடுப்பு சிறந்தது. முதலில் குடியானது படைகளாக (Strata) அல்லது உபதொடைகளாகப் பிரிக்கப்படும். ஒவ்வொரு படையும் ஓரினமானதாக இருக்கும். ஒவ்வொரு படையிலிருந்தும் எழிய எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தல் மூலம் ஒவ்வொரு மாதிரி எடுக்கப்படும். இதுவே படைமுறை மாதிரி எடுத்தலாகும்.
S = S, US, US, US US, US,
என்பது படை மாதிரி. இங்கு s என்பன ஒவ்வொரு . . . . . . . . . . ܕܕS ܕ | S
படையிலிருந்தும் தெரிவு செய்யப்படும் எளிய எழுமாற்று மாதிரிகளாகும்.

Page 8
இது இரண்டு வகையாகும். (i) 6sid55 3LD6OTT601gbI (Propotional) (ii) 6aÉg5 GFLD60TİBBgb (Non-Propotional)
விகிதசமனான மாதிரி எடுத்தலில் சமவிகித பிரதிநிதித்துவம் படைகளுக்கு வழங்கப்படுகிறது. விகித சமனற்ற மாதிரி எடுத்தலில் குடியிலிருக்கும் மிகுதியை கருத்தில்கொள்ளாது சமபிரதிநிதித்துவம் எல்லா உபபடைகளுக்கும் வழங்கப்பட்டு மாதிரி எடுத்தல் செய்யப்படும்.
உ-ம் பாடசாலை மாணவர்கள் பற்றிய ஆய்வில், எழிய எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தல் பயன்படுத்தும் போது பாடசாலைகளின் நிலைகளுக்கு ஏற்ப (மாணவர்தரம், அளவு) மாதிரி தெரிவு செய்யப்படுவதில்லை. ஆனால் படைமுறையில் குடியானது பாடசாலை நிலைகளுக்கேற்ப படைகளாக பிரிக்கப்பட்டு ஒவ்வொரு படையிலிருந்தும் எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பு முறைமூலம் மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்டு சேர்க்கப்படும். மேலும் ஒவ்வொரு படையிலும் உள்ள அளவுக்கேற்ப விகிதசம முறை மூலம் மாதிரி எடுக்கவும் முடியும். இல்லாத சந்தர்ப்பத்தில் விகிதசமனற்ற முறைமூலம் அதாவது உப படைகளுக்கு சம சந்தர்ப்பம் வழங்கப்படாது மாதிரிகள் தெரிவு செய்யப்படும்.
நன்மைகள்:
(i) குடியை நன்றாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது. (i) திருத்தமான முடிவுகளை உறுதிப்படுத்துகிறது. (1) படைகளாகப் பிரித்துள்ளதால் நிர்வகிப்பது, கையாள்வது சுலபம். (iv) (UbiQu JT6013] QUATU ILDT Gb இருப்பினும் மிகவும் பொருத்தமானது. (y) ஓரினமற்ற குடியாக இருப்பினும் மிகவும் நம்பிக்கையான
முடிவுகளையே தருகிறது.
தீமைகள்:
() படைகளாகப் பிரிக்கப்படுவதால் பணம், நேரம் விரயம். (ii) சரியான முறையில் படைகள் பிரிக்கப்படாமையால் வழு ஏற்படும்.

iii)
உ-ம் :
6h355g DITaif G (6fL (Cluster Sampling)
இது பல நிலைகளில் செய்யப்படும் மாதிரி எடுப்பு முறையாகும். அதனால் இதை பன்நிலை மாதிரி எடுப்பு (Multistage Sampling) என்றும் கூறப்படும். முழுக்குடியானது மாதிரி அலகுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு பிரிக்கப்பட்ட அலகுகளில் எழுமாற்றாக எடுக்கப்படும் அலகுகள் மீண்டும் உப அலகுகளாக பிரிக்கப்படும். இந்த செய்முறையானது ஒரு தேவைப்படும் அலகுவரை தொடர்ந்து செய்யப்பட்டு மாதிரிகள் தெரிவு செய்யப்படும். இம்முறையே கொத்து மாதிரி எடுத்தல் எனப்படும்.
s
(519
god i 195(Q
S = SUSU. US, என்பது கொத்துமாதிரி ஆகும் எமது நாட்டிலுள்ள மக்களின் பொருளாதார நிலைபற்றி ஆராய்வதற்கு முதலில் குடியானது மாகாணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு அதிலிருந்து எழுமாற்றாக எடுக்கப்படும் மாகாணங்கள் மாவட்டங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு அதிலிருந்து எழுமாற்றாக எடுக்கப்பட்ட மாவட்டங்கள் உதவி அரசாங்க அதிபர் பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டு மீண்டும் எழுமாற்றாக எடுக்கப்படுகின்ற உதவி அரசாங்க அதிபர் பிரிவுகள் கிராம சேவை பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு எழுமாற்றாக எடுக்கப்படுகின்ற கிராமங்களில் உள்ள எல்லா மக்களினதும் பொருளாதார நிலை பற்றி ஆராய்வதன் மூலம் எமது நாட்டில் பொருளாதார நிலை பற்றி கூறமுடியும். இவ்வகை மாதிரி எடுத்தல் கொத்து மாதிரி எடுத்தல் ஆகும்.
பல்கலைக்கழக மாணவர் பற்றிய ஆய்வில் நாட்டில் உள்ள பல்கலைக்கழகங்களில் எழுமாற்றாக தெரிவு செய்யப்படும் பல்கலைக்கழகங்களை பீடங்கள் ரீதியாக பிரிக்கப்பட்டு மீண்டும் அவற்றிலிருந்து எழுமாறாக எடுக்கப்படும் பீடங்களிலுள்ள

Page 9
மாணவர்களை பூரணமாக ஆய்வுக்குட்படுத்தி பல்கலைக்கழக மாணவர் பற்றி முடிவுக்கு வருதல். இந்த வகையில் மாதிரி எடுத்தல் கொத்து மாதிரி எடுத்தல் ஆகும்.
நன்மைகள்:
(1) மாதிரி எடுப்பு முறைகளில் நெகிழ்வுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. (i) மிகவும் பெரிய அளவைக் கொண்ட குடிக்கு பொருத்தமானது. (i) சில தரவுகள் சில பகுதிகளில் எடுக்கமுடியாத சந்தர்ப்பத்தில்
3g). GUTObjs.g5LDIT601g). (Missing Data) (ty) வளர்ச்சியுறாத நாடுகளுக்குப் பொருத்தமானது.
தீமைகள்:
() மற்றைய முறைகளை விட மிகவும் திருத்தம் குறைந்தது.
(iv) (ypGOip6OLDuuTGOT LDT 6f GTIG6ůų (Systematic Sampling)
முழுக்குடித்தொகையும் தெரிந்திருக்கும் சந்தர்ப்பத்தில் இது பாவிக்கப்படுகிறது. இங்கு குடித்தொகையானது எண் ஒழுங்கில் அல்லது எழுத்து ஒழுங்கில் அல்லது வேறு ஏதாவது ஒழுங்கில் ஒழுங்கு செய்யப்படும். முதல் K அலகுகளில் முதலாவது அலகு தெரிவு செய்யப்படும். அதிலிருந்து ஒவ்வொரு K ஆவது அலகும் எடுக்கப்பட்டு மாதிரி உருவாக்கப்படும். இது முறையான மாதிரி எடுப்பு எனப்படும்.
குடித்தொகை N, மாதிரித்தொகை n எனின் K=N என்பது மாதிரி
gayuil6DL (Sample interval) 616ItiLJGib.
Ս, U U U
O 8- -- OwK K K <--- m - - < ܝ ܚ -- -- ܐ <------
۔ حضس------>
K S = {U. U, U. .............. U
என்பது முறைமையானமாதிரி ஆகும்
உ-ம் 20 அலகுகளைக் கொண்ட குடியிலிருந்து மாதிரி அளவு 7 ஆகக்கொண்ட மாதிரி தெரிவு செய்யப்பட வேண்டுமெனின் அலகுகள்
20 ஐயும் ஒழுங்கு செய்து X,X.X என பெயரிட்டு மாதிரி
ஆயிடை = *= з{xpx,x} மூன்றிலிருந்தும் ஏதாவது ஒன்று
1s

எழுமாற்றாக தெரிவு செய்யப்படும் முதலில் x தெரிவு செய்யப்படின் தொடர்ந்து தெரிவு செய்தல் வருமாறு:
3
3.
2
{X. Xs. Xş. X. X,14. X,17. Xo3 என்பது முறையான மாதிரியாகும். இதேபோல் x இல் தொடங்கும் போது வேறு ஒரு மாதிரி தெரிவுசெய்யலாம். இப்படி மூன்று வகை மாதிரிகள் தெரிவு செய்யப்படலாம்.
நன்மைகள்:
() எளிய எழுமாற்று மாதிரி எடுப்பிலும் பார்க்க மிகவும் இலகுவானதும்
செளகரியமானதும் ஆகும். (i) வேலையும் நேரமும் மிகவும் குறைக்கப்படுகிறது. (i) ஒரு திருப்திகரமான முடிவாக இருப்பதோடு, முடிவற்ற குடிக்கும்
இம் முறை பயன்படுத்தப்படலாம்.
தீமைகள்:
(1) குடி முழுவதையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவில்லை. (i) ஆய்வு செய்பவரின் தனிப்பட்ட வழு உண்டு.
2. நிகழ்தகவற்ற மாதிரி எடுப்பு (Non . Probability Sampling)
நிகழ்தகவு விதிகள் பற்றி கருத்தில் கொள்ளாமல் மாதிரி எடுத்தல் நிகழ்தகவற்ற மாதிரி எடுப்பாகும். நிகழ்தகவு மாதிரி எடுத்தல் கடினமான சந்தர்ப்பத்தில் அல்லது விர்ைவாக மாதிரி ஒன்று தெரிவு செய்யப்படும் சந்தர்ப்பத்தில் இம்முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிகழ்தகவற்ற மாதிரி எடுத்தல் பின்வரும் முறைகளில் வகைக்குறிக்கலாம்.
11

Page 10
(i) LIrigola, IDT.gif G (6tu (Quota Sampling)
இது படைமுறை மாதிரி எடுத்தல் போன்ற மாதிரி எடுத்தல் முறையாகும். குடியானது சில பண்புகளைக் கொண்டு (வயது, தொழில், வருமானம், கல்வித்தரம்) பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு ஒவ்வொரு பிரிவுகளிலும் குறித்த பகுதிகளை, குறிப்பிட்ட தொகையினருக்கு அவர்களுடைய பங்குகளாக (Quota) விமர்சனத்திற்கு வழங்கப்படும். பின்னர் அவர்களுடைய தனிப்பட்ட தீர்ப்பின் மூலம் மாதிரி அலகுகள் தெரிவு செய்யப்படும். இம் முறையானது பங்குவீத மாதிரி எடுப்பு எனப்படும்.
உ-ம்: புதிதாக உற்பத்தி செய்யப்படும் குளிர்பானம் ஒன்றின் சந்தைநிலை பற்றி ஆராய்வதற்காக அளவீட்டிற்கு உட்படுத்தப்படும் ஒவ்வொரு 100 பேரில் 25 பேர் அரசதொழில் செய்பவர்கள், 20 பேர் தனியார் தொழில் செய்பவர்கள், 20 பேர் வேலையற்ற குடும்பப் பெண்கள், 10 பேர் வேலையற்றோர் என உள்ளடக்கப்பட வேண்டும் எனக் கருதின் விமர்சகர்களால் தேவையான எண்ணிக்கைக் கேற்ப ஒவ்வொரு வகையில் இருந்தும் தமது தனிப்பட்ட தீர்ப்பின் மூலம் வேண்டிய நபர்களின் எண்ணிக்கை தெரிவு செய்யப்படும். இம் முறையானது பங்குவீத மாதிரி எடுப்பு எனப்படும்.
நன்மை
1. பணம், நேரம் சேமிக்க முடியும். 2. பயிற்றப்பட்ட ஆய்வாளர்கள் மூலம் இந்த மாதிரி தெரிவு செய்யப்படின் மிகவும் நம்பத்தகுந்த விடைகளைக் கொண்ட மாதிரியைத் தரும்.
தீமை
1. தனிப்பட்ட தீர்ப்பும், தனிப்பட்ட வழுவும் இருக்கும்.
BrüL DTaf GTGåsød (Judgement Sampling) ஆய்வு ஒன்றின் அலகுகளை தெரிவு செய்யும் அல்லது நிராகரிக்கும் அதிகாரம் ஆய்வாளரே கொண்டிருப்பார். ஆய்வாளரின் தீர்ப்பில் மாதிரி அலகுகள் தெரிவு செய்தல் தங்கியிருக்கும். அதாவது, ஆய்வாளரின் தீர்ப்பின் மூலம் மாதிரி தெரிவு செய்யப்படல் தீர்ப்பு மாதிரி எடுத்தல் எனப்படும்.
12

உ-ம்: ஒரு கிராமத்தில் புகைப்பழக்கம் பற்றிய ஆய்வில் 50 பேரைத் தெரிவு செய்ய வேண்டுமெனின் ஆய்வாளர் தனது கருத்துப்படி அக்கிராமத்திலுள்ள 50 பேரை தெரிவு செய்தல் ஆகும். இம்முறையே தீர்ப்பு மாதிரி எடுத்தல் ஆகும்.
நன்மைகள்:
(i) இலகுவான முறை (1) நன்கு பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் மாதிரியை பெறுவதற்காக
பயன்படுகிறது. (i) பொதுமக்களின் கொள்கைகள், தீர்மானங்கள் பற்றிய ஆய்விற்கு
மிகவும் பயன்படும்.
தீமைகள்:
() தனிப்பட்ட வழு காரணமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் ஒன்றாக
இருக்கமுடியாது. (ii) சரியான மாதிரி வழுவைப் பெறுவது கஷ்டம். (i) மதிப்பீடுகள் மிகவும் சரியானதாக இருக்காது. (iv) முடிவை மற்றைய மாதிரி எடுப்புகளுடன் ஒப்பிட முடியாது.
6aog, LDrugf GTG (Convenience Sampling) செளகரியமான குடி அலகுகளை மாதிரிக்கு சேர்த்துக்கொள்ளுதல் இலகு மாதிரி எடுப்பு எனப்படும்.
(i) குடியானது தெளிவாக வரையறுக்கப்படாது இருத்தல். 6) மாதிரி அலகுகள் தெளிவற்றதாக இருத்தல். (i) மாதிரி எடுக்கப்படும் மூலத்தின் (Source) முழுவிபரம் கிடைக்காமல்
இருத்தல். போன்ற சந்தர்ப்பத்தில் இம்முறை பொருத்தமானதாக இருக்கும். ஆனால் இம்முறைமூலம்
6) குடியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் தீர்வுகளைக் கூறமுடியாது. (i) வழுகொண்டதாகவும், திருப்தியற்றதாகவும் இருக்கும்.
நிகழ்தகவு, நிகழ்தகவற்ற மாதிரி எடுத்தலை ஒப்பிடல்
நிகழ்தகவு மாதிரி எடுத்தலுடன் ஒப்பிடும்போது நிகழ்தகவற்ற மாதிரி எடுத்தலில் நேரம், பணச்செலவு, வேலைப்பழு என்பன குறைவாக இருக்கும். ஆனால் இம் முறையில் கோடல் (Bias) அதிகமாக இருக்கும். அதனால் நிகழ்தகவற்ற
13

Page 11
மாதிரி எடுத்தலானது நிகழ்தகவு மாதிரி எடுத்தலுடன் ஒப்பிடும் போது எதிர்பார்த்தளவு திருத்தமாக இருக்காது.
uøst afsluJ IDTSlf GTGösødsår ogsæsøst (Statistical Errors in Sampling) குடிபற்றி ஆராயும் போது குடியை முற்றுமுழுதாக அல்லது மாதிரியை (ஒரு பகுதியை) ஆராய்வதன் மூலம் குடிபற்றி முடிவுக்கு வரமுடியும். இப்படியான செய்கைகளின் போது வழுக்கள் ஏற்படும். இவைகள் புள்ளிவிபர மாதிரி எடுத்தலின் வழுக்கள் எனப்படும். இவை
6) மாதிரி எடுப்பு வழு (i) மாதிரி எடுப்பற்ற வழு என இரண்டு வகைப்படும்.
LDT.gif GTGL alg (Sampling Errors) குடி ஒன்றிலிருந்து மாதிரி எடுத்தலினால் ஏற்படும் வழுக்கள் மாதிரி எடுப்பு வழு எனப்படும். இது
() கோடலான வழு
(ii) கோடாத வழு என இரண்டு வகைப்படும்.
(i) GassTL alsT601 Gig (Biased Errors) இது மாதிரியானது தெரிவு செய்தல் வழு, மதிப்பீடுசெய்தல் வழு போன்றவற்றால் ஏற்படுகின்றது.
உ-ம்: குடி ஒன்றிலிருந்து எழுமாற்று மாதிரி எடுத்தலில் மாதிரி அலகுகள் தெரிவு செய்யப்படும் போதும், மேலும் கணிப்புகளின் போதும் ஏற்படும் வழுக்களாகும்.
(ii) Ga5TLITS5 Galy (Unbiased Error) இது குடியிலிருந்து மாதிரிக்கு சேர்க்கப்படும் அலகு சேர்க்கபடாமல் விடல் போன்ற சந்தர்ப்பத்தில் ஏற்படுகின்றது.
உ-ம்: மாணவர்கள் பெற்ற புள்ளிகள் பற்றிய ஆய்வில் குடியின் இடை 60 ஆகவும், மாதிரி ஒன்று எடுக்கப்படும் போது 72, 54, 48 என கருதப்படின் மாதிரி இடை 58 என அமைகிறது. மேலும் 54 என்ற அலகுக்குப் பதிலாக குடியிலிருந்து 59 என்ற அலகு தெரிவு செய்யப்பட்டிருப்பின் மாதிரி இடை 59.67 எனப்பெறப்படும். இந்த இடையானது முன்னையதைவிட குடி இடைக்கு நெருங்கியதாக
14

இருக்கிறது. அதனால் வழு குறைக்கப்படுகின்றது. இந்த முறையில்
ஏற்படும் வழு கோடாத வழு ஆகும். எது எவ்வாறு இருப்பினும் இந்த இரண்டு வகை வழுக்களும் மாதிரி எடுப்பு வழு எனப்படும்.
DIISif GTGüLufbo alup (Non-Sampling Errors) ஆய்வு செய்தலின் சாதாரண காரணங்களாலான அல்லது பகுதியை சேர்த்துக்கொள்ளும் சந்தர்ப்பங்களாலான எடுக்கப்பட்ட தரவுகளைப் பிரதிபண்ணுதல், கணிப்பீடு செய்தல், அளத்தலின் போது கருவியிலுள்ள வழு போன்றவற்றால் ஏற்படும் வழு மாதிரி எடுப்பற்ற வழு எனப்படும்.
உ-ம்: (1) 37 இற்கு பதிலாக 73 என பிரதியிடல் அல்லது 3 எனப்
பிரதியிடல். (1) கணித்துப் பெறவேண்டிய மாதிரி இடை 5756 இற்குபதிலாக கணித்தலில் உள்ள வழு காரணமாக 52.47 எனபெறப்படுதல். (i) உயரத்தை அளக்கும் போது 0 இலிருந்து அளப்பதற்குப் பதிலாக 1 இலிருந்து அளப்பதால் சாதாரண உயரத்தைவிட ஒரு அடி கூட சேர்க்கப்பட்டிருக்கும் அல்லது kg படிகளில் தேய்வின் காரணமாக ஏற்படும் நிறைக்குறைவு போன்றவை மாதிரி எடுப்பற்ற வழுக்களாகும்.
LDTŚf GI (6öaJ5ib LILJDLI6D (sampling Distribution) ஒரு குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் புள்ளிவிபரத்தின் பெறுமானங்கள் ஒரே அளவான வெவ்வேறு மாதிரிகளுக்கு மாறுபடுகின்றது. இப் பெறுமானங்களாலான பரம்பல் அப்புள்ளி விபரத்தின் மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் எனப்படும்.
உ-ம்: ஐந்து விதமான பொருட்களை விற்பனை செய்யும் நிறுவனத்தினை கருதுக. ஐந்துவித பொருட்களினதும் விலை 3000, 3500, 4000, 5000, 5500 ரூபாய்கள் எனின் குடிபற்றி ஆராய்வதற்காக இரண்டு அலகுகளை கொண்ட மாதிரியை கொண்டு ஆராயப்படுகிறது எனின் இக்குடியிலிருந்து 5e = 10 வழிகளில் இரண்டு அலகுகளைக் கொண்ட மாதிரி எடுக்கமுடியும். A. ie, (3000,3500), (3500, 4000), (4000,5000), (5000.5500), (3000.4000), (3000,5000), (3000,5500), (3500,5000), (3500,5500), (4000,5500) என அமையும்.
15

Page 12
மாதிரிகள் மாதிரி இடை (*)
3000 - 3500 (3000,3500) 3250 = - -
3500-4000 (3500.4000) 3750 = — —
(4000,5000) 4500 (5000,5500) 52.50 (3000,4000) 3500 (3000,5000) 4000 (3000,5500) 4250 (3500,5000) , 4250 (3500,5500) 4500 (4000,5500) 475 () 42OOO
x இன் பரம்பலானது புள்ளிவிபரத்தின் மாதிரிப் பரம்பலாகும்.
x மாதிரி இடைகளின் இடை u -Σ
42000 T 10
= 4200
3000+3500+4000+5000+5500 குடியின் இடை 1 =- 5
21000
T 5
= 4200
1 =
ie, மாதிரி இடைகளின் இடையானது குடிகளின் இடைக்கு சமனாகும்.
16

Result செவ்வன் குடி ஒன்றின் மாதிரி இடைகளின் மாதிரிப் பரம்பலின்
Note:
இடை (!!) குடிப்பரம்பலின் இடை 1 க்கு சமனாகும். முடிவுள்ள செவ்வன் குடி ஒன்றின் மாதிரி இடைகளின் மாதிரிப்
Ν 芋
N-) ஆகும
பரம்பலின் மாறற்றிறன் σ -
இங்கு குடியின் மாறற்றிறன் 02, குடியின் அளவு N, மாதிரியின் அளவு n(

Page 13
குடியின் மாறற்றிறன் = Σ(x-μ)" இங்கு u = 4200
三
(3000 - 4200) + (3500- 4200) + (4000-4200)+(5000-4200)+(5500-4200))
! 440000 + 490000+ 40000+ 640000+ 1690000
~xt
5
r 860 000
N=5; n=2, o = 860000
(¬--¥ರು ʻʻ \ N — 1 / n \ 5 — 1 J 2
3860000 4 2
= 322500
3
o = N - in σ' * N - ஆகும
Note குடித்தொகை N ஆனது மிகவும் பெரிதாக இருப்பின் மாதிரி
O இடையின் மாறற்றிறன் o = ஆகும்.
ஏனெனில் N மிக பெரிதாகும்போது N - n = N
18

Theorem; இடை u ஆகவும், மாறற்றிறன் O2 ஆகவும் கொண்ட செவ்வன் குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரி இடைகளின் மாதிரிப் பரம்பலானது இடை u உம் மாறற்றிறன் Qं உம் கொண்ட
செவ்வன் பரம்பலில் அமையும்.
Note: (1) செவ்வன் குடியின் அளவு N, இடை ய, மாறற்றிறன் 02, எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் அளவு n ஆகவும் இருப்பின் மாதிரியின்
-- N - n Yo ളഞ്ഞL X ~ NI !, N-Jn ஆகும்.
(i) பெரிய செவ்வன் குடியின் இடை u மாறற்றிறன் 02,
'எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் அளவு n ஆகவும் இருப்பின் மாதிரியின்
o?
இடை ྾ག་N u, ) ஆகும்.
6OLDu6halcioals (sibioti (Central Limit Theorem) ஏதேனும் ஒரு குடியிலிருந்து பெறப்பட்ட மாதிரியின் அளவு பெரிதாயின் மாதிரி இடைகளின் மாதிரிப்பரம்பல் அண்ணளவாக செவ்வன் பரம்பலில் அமையும். ie, இடை 1 உம், மாறற்றிறன் 32 உம் கொண்ட ஏதேனும் ஒரு
Χη ତୀର୍ଘାବାଁ,
குடியிலிருந்து பெறப்பட்ட எழுமாற்று மாதிரி X X பெரிதாக (n>30) இருக்கும் போது மாதிரி இடை x இன் பரம்பலானது இடை 11 உம், மாறற்றிறன் o உம் கொண்ட செவ்வன் பரம்பலில் Ֆ|60)ԼՕսկլD.
Note () செவ்வன் அல்லாத குடிக்கு இது பொருத்தமானது. இங்கு
n>30 -
σε (i) குடி பெரிதாக இருக்கும்போது σε =エ ஆகும்.
19


Page 14
St. - N(0,1)
(iii) //n/wn
(ty) குடியானது செவ்வனாக இருப்பினும் இது பொருத்தமானது.
உ-ம்: சராசரி உயரம் 67.39 அங்குலமும் மாறற்றிறன் 169 உம் கொண்ட மாணவர்களைக் கொண்ட குடியொன்றிலிருந்து 400 பேர் கொண்ட மாதிரி தெரிவு செய்யப்படுகிறது.
(i)
மாதிரி இடையின் பரம்பல் யாது?
(i) இந்த மாதிரியில் சராசரி உயரம் 67.5 அங்குலத்திலும் கூடிய
விடை: (1)
(ii)
மாணவர் எத்தனை பேர்?
பெரிய குடியின் இடை u = 6739
மாறற்றிறன் C2 = 1.69 மாதிரியின் அளவு = 400 (பெரியது)
மையவெல்லைத் தேற்றப்படி மாதிரி இடையின் மாதிரிப் பரம்பல் செவ்வனாக அமையும். மேலும் பரம்பலின் இடை
Ll = 67.39
o o
மாறற்றிறன் o r-m-
1.69 400
ie, x ~ N(67.39.0.0042)
= 0.0042 ஆகவும் அமையும்.
x ஆனது 67.5 இலும் கூடவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(x > 67.5)= *器 67.5 -س 器°
V0.0042 Ճ/0.0042
= P(Z > 1.69); EA É (g5 Z ~ N(0, 1) = 0.0455
2.

சராசரி உயரம் 67.5 அங்குலத்திலும் கூடவாக இருக்கும் வீதம்
= 0.0455 x 100
4.55 ܤܒ
g5 6.a3a5b (Population Proportion) ஒரு குடியின் சிறப்பியல்பொன்றைக் கொண்ட பகுதியின் பருமனுக்கும் குடியின் பருமனுக்கும் உள்ள விகிதம் குடிவிகிதம் எனப்படும்.
te, குடிப்பருமன் N ஆகவும் அதில் உள்ள சிறப்பியல்பு ஒன்றைக் கொண்ட
D குடியின் பருமன் D ஆகவும் இருப்பின் குடிவிகிதம் F=下 ஆகும்.
உ-ம்: (1) 200,000 ஆணிகள் தயாரிக்கும் இயந்திரத்தின் உற்பத்தியில் 40 ஆணிகள் பழுதடைந்தவை எனின், பழுதடைந்த
D 40 ;、7Cコーコー _ ஆணிகளுக்கான குடிவிகிதம் N 2,00,000 OOOO2
(2) இலங்கையில் கல்வி கற்பிக்கும் 100,000 தமிழ் ஆசிரியர்களில் 30,000 பேர் விஞ்ஞானப் பட்டதாரிகள் எனின், விஞ்ஞானப் பட்டதாரி ஆசிரியர்களின் குடிவிகிதம்,
D 30000
NT100000
3و0 ثانية
DrugSrf ossib (Sample Proportion) குடி ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்ட மாதிரியில் உள்ள சிறப்பியல்பு ஒன்றினைக் கொண்ட பகுதியின் பருமனுக்கும், மாதிரியின் பருமனுக்கும் உள்ள விகிதம் ஆகும்.
ie, மாதிரிஅளவு n ஆகவும் அதிலுள்ள சிறப்பியல்பு ஒன்றினைக் கொண்ட
பகுதியின் அளவு d ஆகவும் இருப்பின்
d மாதிரி விகிதம் P=高 ஆகும்.
21


Page 15
உ-ம்: (1) பேனாக்கள் உற்பத்திசெய்யும் நிறுவனத்தின் குறித்த ஒருநாள் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பேனாக்களில் 1000ஐ சோதித்த போது அதில் 30 பழுதடைந்தவையாக காணப்பட்டது. n = 1000, d = 30
பழுதடைந்ததிற்கான மாதிரி விகிதம் p =
30 T1000
= 0.03
மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் Sampling Distribution of Sample Proportion குறித்த ஒரு குடியிலிருந்து பெறக்கூடிய சமபருமனுடைய மாதிரிகளின் மாதிரி விகிதங்களின் பரம்பல் மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் எனப்படும்.
மாதிரி, விகிதம் p எனின்
மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் இடை 山p=T
2 (¬)
மாறற்றிறன் 33 = R F' ஆகும்.
Note: (1) குடி பெரிதாக அமையும் போது, மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற்
Tr(1 — 1)
(2) மாதிரியின் பருமன் பெரிதாகும் போது (n>30) இப்பரம்பல்
பரம்பல் மாறற்றிறன் σ =
மையவெல்லைத் தேற்றத்திற்கு அமைய இடை 4. யுைம்,
மாறற்றிறன் σ ஐயும் கொண்ட செவ்வன் பரம்பலில் அமையும்
உ-ம்: ஒரு பெரிய அன்னாசிப்பழத் தொகுதியில் 2.5% ஆனவை பழுதடைந்தவை. அத்தொகுதியிலிருந்து 500 பழங்களைக் கொண்ட மாதிரி ஒன்று எழுமாற்றாக எடுக்கப்படுகின்றது. அம் மாதிரியில்
22

() பழுதடைந்த பழங்கள் 20 இற்கு குறையாமல் இருப்பதற்கான (i) 4.5% இற்கு குறைந்த பழுதடைந்த பழங்கள் இருப்பதற்கான
நிகழ்தகவைக் காண்க.
விடை: x - மாதிரியிலுள்ள பழுதடைந்த பழங்களின் விகிதம் என்க.
மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் இடை u = 1 = 0.025
2 π( - π) மாறற்றிறன் C-- ச்
0.025(1-0.025) 500
0.025 x 0.975
500
= 0.000049
Ор -్వ 0.007 மாதிரி விகித மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் x - N(0.025,0.007)
(1) எடுக்கப்பட்ட மாதிரியில் பழுதடைந்த பழங்கள் 20 இற்கு குறையாமல்
இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
O
f.4 P(x > 20 ) = P x - 0.025 > 0.04 - 0.025
500 0.007 0.007
0.015 P(Z > - ங் Z ~ N(0,1
( o007) இங்கு (0,1)
= P (Z > 2. 14) = 0.062
'23


Page 16
(i) எடுக்கப்பட்ட மாதிரியில் பழுதடைந்த பழங்கள் 4.5% இற்கு குறைவாக
இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு .
x - 0.025 0.045 - 0.025 P(x < 0.045) P -- <----
---- 0.007 0.007
= P((z < 2.86) @ () (g5 Z ~ N(0,1)
= 0.99 79
0.997 9
O
so
இரண்டு மாதிரி இடைகளின் வித்தியாசத்தின் மாதிரி எடுத்தற் பரம்பல் Sampling Distribution of Difference of Two Sample Means
முறையே இடைகள் !!!) உம், மாறற்றிறன் σι, σ. 2 ib கொண்ட இரண்டு குடியிலிருந்து n, n, LKBILDGði கொண்ட மாதிரிகள் எடுக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் இடைகள் முறையே xix. எனின் х) — х இன் பரம்பலானது இரண்டு மாதிரி இடைகளின் வித்தியாசத்தின் மாதிரி எடுத்தற் பரம்பலாகும். பரம்பலின் இடை H_0 = 4 - 11 ܗܝ
மாறற்றிறன் 0’ - = 0) + 0’ ஆகும்.
22؟ + – 1 92 =
n }ገ2 ஆகும்.
Note () இரண்டு குடிகளும் செவ்வன் பரம்பலில் அமைந்தால் x-x,
2 2 وO و O
ஆனது இடை u -u, உம் மாறற்றிறன் -- Ո
உம் கொண்ட
செவ்வன் பரம்பலில் அமையும்.
24

s -b:
() குடியின் பரம்பல் செவ்வனாக அமையாதபோது மாதிரிகளின் பருமன் பெரிதாயின் (n >30, n>30) மையவெல்லைத்
தேற்றப்படி: x-x. ஆனது அண்ணளவாக இடை 14, l
2 2
o i o 2 உம் மாறற்றிறன் n, - உம் கொண்ட செவ்வன்
3.
பரம்பலாக (அண்ணளவாக) அமையும்.
iே) 11:12, 0, 0, போன்றவற்றில் ஏதாவது ஒரு கணியம்
தெரியாத போது மேற்குறிப்பிட்ட முடிபுகளில் ஏற்படும் மாற்றம் பற்றி புள்ளிவிபர மதிப்பீட்டிற்கு பின்னர் ஆராயப்படும்.
கைக்கடிகாரங்கள் உற்பத்தி செய்யும் CITIZEN நிறுவனத்தின் ஒரு வகை கைக்கடிகாரத்தின் சராசரி ஆயுட்காலம் 3600 நாட்கள் ஆகவும் மாறற்றிறன் 100 நாட்களாகவும் காணப்பட்டது. MOND1A நிறுவனத்தினரால் உற்பத்தி செய்யப்படும் அதேவகைக் கைக்கடிகாரத்தின் சராசரி ஆயுட்காலம் 3400 நாட்களாகவும் மாறற்றிறன் 125 நாட்களாகவும் காணப்பட்டது. இரண்டு நிறுவனத் தயாரிப்பிலிருந்தும் முறையே பருமன் 100, 125 கொண்ட மாதிரிகள் இரண்டு எடுக்கப்பட்டு பரிசோதனைக்குட்படுத்தப்படின் CITIZEN நிறுவனத்தினால் உற்பத்தி செய்யப்படும கைக்கடிகாரத்தின் ஆயுட்காலமானது MONDIA நிறுவனத்தினரால் உற்பத்தி செய்யப்படும் கைக்கடிகாரத்தின் ஆயுட்காலத்திலும் 220 நாட்களிலும் அதிகரிப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
x. CTZEN நிறுவன உற்பத்தியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் 960)L x,- MONDIA நிறுவன உற்பத்தியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் இடை என்க. எடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவுகள் பெரிதாக இருப்பதால் மையவெல்லைத் தேற்றப்படி,
25


Page 17
2- ܝܚܫܚܚܫܚ X — X ~ Nu, o )
X-X, X-X
ولا - 1 ل = - لما
= 3600 - 3400 - 200 நாட்கள் σκι-Χ, Ξ15
ie, x, — x 2 ~ N(200.15°)
冈 rw x.)- Hエ、220-200 Oss, > 15
-X
P(x,-x, >220)=P
= P (Z > 1.33); Z ~ N(0, 1) = 0.09 8
1.33
இரண்டு மாதிரி விகிதங்களின் வித்தியாசத்தின் மாதிரிப் பரம்பல் Sampling Distribution of Difference of Two Sample Proportion
முறையே குடிவிகிதம் T.T) கொண்ட இரண்டு குடியிலிருந்து m, n, பருமன் கொண்ட இரண்டு மாதிரிகள் எழுமாற்றாக எடுக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் மாதிரி விகிதங்கள் முறையே p, p, எனின் p - p இன் பரம்பலானது இரண்டு மாதிரி விகிதங்களின் வித்தியாசத்தின் மாதிரிப் பரம்பலாகும்.
பரம்பலின் 960)L طp - بط =HP - Alp,
=T1一T。
2 2 மாறற்றிறன் O P-P, = о"P + oTP,
TE, (I – TTL), Tt, ( - TC) D MMRSw n h s),(U5LD.
26
 

Note:
2 - D:
மாதிரிகளின் பருமன் பெரிதாக அமையும் போது (n>30, n>30)
மையவெல்லைத் தேற்றத்திற்கு அமைய இடை p-P, 9 lub
f மாறற்றிறன் О”p,p, உம் கொண்ட செவ்வன் பரம்பலில் அமையும்.
கூரைத்தகடுகள் உற்பத்தி செய்யும் நிறுவனம் (Asbestos Cement
Industries Ltd.) தனது உற்பத்திக்கான மூலப்பொருட்களை இரண்டு வழங்குனர்களிடமிருந்து கொள்வனவு செய்தது. இரு வழங்குனர்களும் வழங்கிய மூலப்பொருட்களில் 0.09, 007 விகிதமும் நிராகரிக்கப்பட்டது. குறித்த ஒரு நாள் உற்பத்திக்காக வழங்குனர்களிடம் பெற்ற மூலப் பொருட்களில் முறையே 400, 550 பக்கற்றுகள் பாவிக்கப்பட்டது. முதலாவது வழங்குனரிடம் நிராகரிக்கப்பட்ட விகிதத்திலும், இரண்டாவது வழங்குனரிடம் நிராகரிக்கப்பட்ட விகிதம் 0.008 இலும் குறைவாக இருப்பதற்கான
நிகழ்தகவு என்ன?
T=009 πι- 0,07
n = 400 n = 550 மாதிரிகளின் அளவு பெரிதாக இருப்பதால் மையவெல்லைத் தேற்றப்படி மாதிரி விகிதங்களின் வித்தியாசம் p , p, ஆனது செவ்வன் பரம்பலில் அமையும்.
பரம்பலின் இடை டி = 1 -T)
= 0.09 - 0.07
0.02 ہے۔ πι ( - πι) πς ( -πς) மாறற்றிறன் 0', = simu,+ sa ma'
2
0.09x 0.910.07x 0.93 400 550
= 0.00033
Op. p = 0.018
P-P - N(0.02,0.018)
27


Page 18
(P」ーP2)ー出p-p。 0.008-0.02
0.018
P(P-P, <0.008)=P
pp.
= P(Z< -0.67); Që (5 Z ~ N(0,1)
= 0.25 14
28
 

LGrafoul Daulis (Statistical Estimation) குடியின் பரமானங்களை மாதிரியின் தரவுகளிலிருந்து மதிப்பீடு செய்யும் முறை புள்ளிவிபர மதிப்பீடு எனப்படும். ie, குடியின் பரமானங்களான இடை u மாறற்றிறன் கு? போன்றவைகளை
மதிப்பீடு செய்வதற்கு புள்ளிவிபர மதிப்பீடு உதவுகின்றது. மேலும் குடிப்பரமானங்களை அளப்பதற்கு குடி முழுவதையும் ஆய்வுக்குட்படுத்த வேண்டும். இந்த முறையில் பணம், நேரம் போன்றன விரையமாவதோடு குடியின் முழுஅலகையும் ஆராயும் சந்தர்ப்பம் இல்லாமல் போகலாம். அதன்காரணமாக குடியிலிருந்து மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்டு அவற்றின் தகவல்களின் அடிப்படையில் குடிப்பரமானங்கள் பற்றிய முடிவுக்கு வரவேண்டியுள்ளது.
DELIT6 (Estimator) குடிப்பரமானத்தை ஆக்குவதற்காக எடுக்கப்பட்ட மாதிரியிலிருந்து பரமானத்தைக் கணிக்கக்கூடிய மாதிரி உறுப்புக்களின் சார்புகள் அப்பரமானத்தின் மதிப்பான் ஆகும்.
τ ΣX,
உதாரணமாக, மாதிரி இடை X =
, அதன் குடியின்இடை 11 இற்கான
மதிப்பான் ஆகும்.
மதிப்பீடு (Estimation) ஒரு குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட எழுமாற்று மாதிரிகள் மூலம் கணிக்கப்படும் புள்ளிவிபரப் பெறுமானம் அக்குடிக்குரிய பரமானத்தின் மதிப்பீடு ஆகும்.
உ-ம்: மாதிரி இடை எடுக்கும் பெறுமானம் 425 எனின் ய இன் மதிப்பீடு
4.25 ஆகும்.
குடியின் பரமானங்களை மதிப்பீடு செய்யும்போது கீழ்வரும் இரண்டு வகை மதிப்பீடுகள் சாத்தியமாகிறது.
(i) L16ilof LD5 tiB (Point Estimation) (ii) Syu'î60DL LDŠŮLİG (Interval Estimation)
29


Page 19
(i) Loi Gf LDabiliG (Point Estimation)
ஒரு தெரியாத குடியின் பரமானத்தை அண்ணளவாக்குவதற்கு புள்ளிவிபரத்தில் ஒரு தனிப் பெறுமானத்தால் மதிப்பீடு செய்யப்படும். இந்த மதிப்பீடு புள்ளி மதிப்பீடு எனப்படும்.
ie: மாதிரி இடையானது குடியின் இடையின் மதிப்பீட்டுக்காக
பாவிக்கப்படும் ஒரு புள்ளி மதிப்பான் ஆகும்.
(ii) ebufGOL LDg6ů îG6 (Interval Estimation)
இரண்டு இலக்கங்களுக்கிடையில் கருதப்படும் பரமானமானது அமையுமானால் இது ஆயிடை மதிப்பீடு எனப்படும்.
ie, குறிப்பிட்ட பிரதேசத்திலுள்ள தோட்டங்களில் வேலை செய்யும் தொழிலாளர்களின் நாட்கூலி பற்றி அறிவதற்கு ஒரு மாதிரி எடுக்கப்பட்டு, அதன்மூலம் அப்பிரதேச தோட்டங்களில் வேலைசெய்யும் தொழிலாளர்களின் நாட்கூலிகளின் சராசரி 100 ரூபா என மதிப்பீடு செய்யப்பட்டது. இது புள்ளி மதிப்பான் ஆகும். அதே வேளை ஒரு மாதிரியை ஆராய்வதன்மூலம் நாட்கூலியின் சராசரி 70 ரூபாவிற்கும் 110 ரூபாவிற்கும் இடையில் அமையும் என மதிப்பீடு செய்யப்பட்டது. இது ஆயிடை மதிப்பான் ஆகும்.
இரண்டு மதிப்பீட்டு முறையிலும் நன்மைகளும் தீமைகளும் உள்ளன. ஆனால் புள்ளிவிபரவியலில் பரமானத்தின் சரியான பெறுமானம் தேவைப்படுவதில்லை. அதேபோல் பொதுவாக பயிற்சிகளின்போது ஆயிடை மதிப்பான் சேர்த்துக் கொள்ளப்படுகிறது. ஒரு பரமானத்தின் பெறுமானத்தைக் கொண்ட ஒரு மதிப்பான் சிறந்த மதிப்பான் (Good Estimator) ஆகும். அது பின்வரும் உடமைகளைக் கொண்டிருத்தல் வேண்டும்.
(a) கோடாமை (Un biase dness) (b) இசைவு (Consistency) (c) 6,60601.55poil (Efficiency) (d) போதுமை (Sufficiency)
3 ' -—

(a) GasTLITGOLD (Unbiasedness)
ஒரு மதிப்பானின் பெறுமானம் பரமானத்தின் பெறுமானத்திற்கு சமனாக இருந்தால் அந்த மதிப்பான் கோடாத மதிப்பானாக (Umbiased Estimator) இருக்கும் என எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. பொதுவாக மாதிரியின் பருமன் போதுமானளவு பெரிதாக இருக்கும்போது கோடலால் ஏற்படும் வழு புறக்கணிக்கப்படக்கூடிய அளவு மிகவும் சிறிய பெறுமானமாக குறைக்கப்படுகிறது.
புள்ளிவிபரம் T என்பது பரமானம் 9 இன் கோடாதமதிப்பான் எனின்
E(T) - 9 ஆகும். மறுதலையும் உண்மை ஆகும்.
Note:
2 - D:
Note:
ET) என்பது T இன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட பெறுமானம் (Expected Value) 94.5lb.
(1) மாதிரி இடைxகுடியின் இடை t இற்கான கோடாத மதிப்பான்
ஆகும்.
ie, E[X] = Lu.
(i) மாதிரி மாறற்றிறன் S என்பது குடியின் மாறற்றிறனின் கோடாத
1 - மதிப்பான் ஆகும். இங்கு S = n-1 Σ(X -X) ஆகும்.
ie, E[So]= o*
(i) மாதிரி விகிதம் p குடிவிகிதம் 1 இற்கான கோடாத மதிப்பான்
(Gölf).
ie, E[p] = Tt
கோடலினால் ஏற்படும் வழு B(T) = ET)-9 என வரையறுக்கப்படும்.
3 1


Page 20
(b) 6605 a (Consistency)
மாதிரியின் பருமன் அதிகரிக்கும்போது மாதிரிப் புள்ளிவிபரத்திற்கும் குடியரமானத்திற்கும் இடையிலான வித்தியாசம் குறைந்துசெல்கிறது. அதாவது மாதிரிப்புள்ளிவிபரத்தின் பெறுமானம் பரமானத்தின் பெறுமானத்திற்கு அண்ணளவாக சமனாக அமைகின்றது. இவ்வ்ாறான மதிப்பான் இசைவான மதிப்பான் (Consistent Estimator) எனப்படும்.
ie, மாதிரியின் பருமன் n மிகவும் பெரிதாகும்போது (முடிவிலியை அணுகும்போது) E(T-9)”) ஆனது பூச்சியத்தை அணுகினால்
T ஆனது 9 இன் இசைவு மதிப்பான் ஆகும்.
Note: EI(T-0) = V(T)+B(T) 6T60135TL6)Tib.
உ-ம்: மாதிரி இடை x ஆனது குடிப்பரமானம் H இன் இசைவு மதிப்பான்
ஆகும்.
ie, E[(X — Įu)”] = V(x) + B(x)
ஆனால் x ஆனது 1 இன் கோடாத மதிப்பான் ஆகும். Erx)=u கோடலினால் ஏற்படும் வழு B(x) = Ex- u = 0
மாறற்றிறன் v(K)*
E (-)-lo
Ο
3 2 ----

ie,
2 Ο n அதிகரித்து முடிவிலியை அணுகும்போது ஆனது குறைந்து
0 ஐ அணுகுகிறது.
x ஆனது 1 இன் இசைவு மதிப்பான் ஆகும்.
n —>OC SA435 E(x-y) = 0
(c) afogoliasiddu (Efficiency)
ஒரு பரமானத்திற்கு பல கோடாத மதிப்பான்கள் உண்டு. அவற்றின் மாறற்றிறன்களில் மிகவும் குறைந்த மாறற்றிறன் (Minimum variance) கொண்ட மதிப்பான் வினைத்திறன் கொண்ட மதிப்பான் (Efficient Estimator) 6T60TL 106(f).
9) --D:
ie,
மாதிரியின் இடை x, மாதிரியில் ஏதாவது ஒரு மாறி x இரண்டும் பரமானம் 1 இற்கான கோடாத மதிப்பான்கள் ஆகும்.
Ex) = u & EX, ) = u
மாறற்றிறன் v(x)=
v(x,)=o°
குறைந்த மாறற்றிறனைக் கொண்ட x ஆனது x இலும் பார்க்க இடை 11 இற்கான வினைத்திறனுடைய மதிப்பான் ஆகும்.
(d) (SuTapjeoLD (Sufficiency)
பரமானம் சம்பந்தமான எல்லாத்தகவல்களையும் கொண்ட மதிப்பான் (3UTg)|LDT60T LD5ILIT66 (Sufficient Estimator) 6T60Till (6lb.
3 3


Page 21
9) --D:
N O te:
(i) ΣX, என்பது 11 இற்கான போதுமான மதிப்பான் ஆகும்.
(n) >X, XX என்பன O2 இற்கான போதுமான மதிப்பான்
ஆகும்.
() x ஆனது 14 இற்கான ஒரு மதிப்பான் ஆகும். X- Σx, இங்கு n ஒரு மாறிலி. ΣX, இன் பெறுமானம் தெரிந்தால் u இன் பெறுமானம் காணமுடியும். ஆகவே ΣΧ. என்பது l
இற்கான போதுமான மதிப்பான் ஆகும்.
1. nnn (i) மாதிரி மாறற்றிறன் S2 = உடY (x-x)2
η : Σ( x)
- Σκι Σ»)
இங்கு n ஒரு மாறிலி. ΣX, ΣΧ, இரண்டினதும் பெறுமானங்கள் தெரிந்தால் S இன்
பெறுமானம் காணலாம். அத்துடன் S ஆனது O2 இற்கான ஒரு மதிப்பான் ஆகும். ΣX, ΣΧ, என்பன O2 இற்கான போதுமான மதிப்பான் ஆகும்
ஆயிடை மதிப்பீட்டிற்கான முறை தரப்பட்ட நிகழ்தகவு மட்டமொன்றுக்கு அமைய பரமானம் ஒன்றிற்கான ஆயிடையை மாதிரியில் பெற்ற தகவல்களின் அடிப்படையில் காண்பதாகும். இந்த நிகழ்தகவு மட்டம் நம்பிக்கை மட்டம் (level of confidence) எனவும், இவ் ஆயிடை நம்பிக்கை (or பொருளுள்ள) ஆயிடை (Confidence Interval) எனவும் கூறப்படும். இவ்வாயிடையில் இரண்டு எல்லைகளாவன மேல்பொருளுள்ள எல்லை (Upper Confidence limit), கீழ்பொருளுள்ள olobo0)on (Lower Confidence limit) 9.5lb.
3 4

() மாறற்றிறன் தெரிந்த செவ்வன் பரம்பல் ஒன்றின் இடைக்கான
பொருளுள்ள ஆயிடை குடியானது இடை 1 உம் மாறற்றிறன் O2 உம் கொண்ட செவ்வன்
2
s - Ο பரம்பலில் அமையும்போது மாதிரியின் இடை སྣག་ N། u, ) ஆகும்.
.N(0,1) ஆகும் ~ ܝܶܒ Z
நம்பிக்கைமட்டம் 1-0 எனக் கொண்டால்
{ CA
2
îz, 0 个。
-
2
- 1 - X-H سه . ر. - ) P %% = 1 -α Vn
o - O P|| — Z: , * — = < x — Lu < * - - = 1 -
74 Wn X-L 74 憲) O
PI x –z *-?- K} < x +z *-을|=1-0 “%了雷**“% 席厂
H இன் பொருளுள்ள ஆயிடை
- O - O
米 水 X–z "- < u < x +z.
Vn : Vn
3 5


Page 22
Note:
2 - D.
தீர்வு:
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை
x +z *--
O b.
/ ஆகு
மேற் பொருளுள்ள எல்லை =
பொருளுள்ள மட்டம் மாறும்போது O இன் பெறுமானம் மாறுகிறது.
நியமசெவ்வன் அட்டவணையை பாவித்து 7. இன் பெறுமானம்
பெறப்படும்.
ஒரு நிறுவனத்தினால் உற்பத்தி செய்யப்படும் தீப்பெட்டியிலுள்ள குச்சிகளின் எண்ணிக்கைக்கான நியமவிலகல் 2 ஆகும். குச்சிகளின்
பொருளுள்ள எல்லைகளைக் காண்பதற்காக 10 தீப்பெட்டிகள்
எடுக்கப்பட்டு சோதிக்கப்பட்ட போது குச்சிகளின் எண்ணிக்கைகள் முறையே 48, 50, 51, 49, 48, 47, 50, 52, 51, 53 என காணப்பட்டது. உற்பத்தி செய்யப்படும் தீப்பெட்டியிலுள்ள குச்சிகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கான பொருளுள்ள எல்லைகளை, 95% பொருளுள்ள மட்டத்தில் காண்க?
O = 2
三
ΣΧ. 10
மாதியின் இடை
499 ممبر ۔“ x இன்பெறுமதி ニ 10
= 49.9
x ~ N(u.2) x — Lu
~ N(0,1 fil-N(01)
3.. 6

Zoo25 s 0.95 = ܐ
0.025 ്.~ 0.025 RINNܓܳ`ܗܐ
P-19s-, -19s =0.95
L இன் பொருளுள்ள எல்லை
49.9-1.96*2 30)
n பெரிதாக இருக்கையில் மாதிரி மாறற்றிறன் S2 ஆனது O2 இன்
சிறந்த மதிப்பான் ஆகும். ஆகவே கு? இற்குபதிலாக S3 ஐ பிரதியிடுவதன்மூலம் மேலுள்ள முறையிலேயே ஆயிடை கணிக்கப்படும்.
3 7


Page 23
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை
Χ
--
Z
※
மேற் பொருளுள்ள எல்லை
x–z *- - < | < x +z + fa $"'יי זי ie * "* fa
(b) மாதிரி பருமன் சிறிதாக இருப்பின் (m <30)
n சிறிதாக இருக்கையில் மாதிரி மாறற்றிறன் S ஆனது O2 இன் சிறந்த மதிப்பானாக கருதுமுடியாது.
செல்வன் பரம்பலுக்குப் பதிலாக அதேபோன்ற சமச்சீரான ஆனால் செவ்வன் பரம்பலிலும் கூடிய மாறற்றிறன் உடைய t - பரம்பல் பயன்படுத்தப்படும்.
* ΓΗ - ι % S n-1.%
in
*ーマい 1 ہ- 2 مي | S = Σ(X X)
Note: "n-1%4 என்பது t - பரம்பல் அட்டவணையில் n-1 சுயாதீனப்படியும்
புள்ளிவிபரம் t =
இங்கு
O 2. பரப்பும் கொண்டுள்ள பெறுமானம் ஆகும். இங்கு 1-0
t பரம்பல்
o (i. 2 ィ○。
个,0 个
էn-Lo/շ էn-lo/2
3 8

gD -D:
தீர்வு:
பொருளுள்ள மட்டம்.
x-1, - p(-t-4 ܐ < {n-1%) = 1 - Οι
«/n
S S x - t / *-- < u < x +t *—=) = 1 — o, p( n-l.% n l X n-1% 烹)
L இன் பொருளுள்ள எல்லை
S ra- S X - t *- i < u < x + t 米一 n-1,% Vn l n-l.% in
S
X - it ck கீழ் பொருளுள்ள எல்லை = n-1% Vn
S மேற் பொருளுள்ள எல்லை = X + t n-1 پر وہ ". ஆகும்.
குறித்த பாடசாலையிலுள்ள ஆசிரியர்களின் மாதாந்த சம்பளம் பற்றிய ஆய்வு ஒன்றில் 20 ஆசிரியர்களைக் கொண்ட மாதிரி ஒன்றை எடுத்து ஆய்வுக்குட்படுத்தியபோது அவர்களின் மாதாந்த சம்பளத்தின் சராசரி 7400/= ஆகவும் மாறற்றிறன் 1000000/= ஆகவும் காணப்பட்டது. அப் பாடசாலையிலுள்ள ஆசிரியர்களின் மாதாந்த சம்பளத்திற்கான 96% பொருளுள்ள எல்லையை காண்க.
குடியின் மாறற்றிறன் தெரியாது மாதிரி பருமன் (n = 20) சிறிதாகும். S2 ஆனது O2 இன் சிறந்த மதிப்பானாக கொள்ளமுடியாது.
x-It
,aه -م.t "'
3 9


Page 24
o S
Χ - ί 米
n-1.% «/n
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை
W S மேற் பொருளுள்ள எல்லை = Х+Ч-94 n ஆகுமாறு கணிக்கப்படும்.
இங்கு Χ = 7400
So = 1000000
n = 20
1 - α = 0.96
ゴ> S = 1000
우 = 002
2
t - பரம்பல் அட்டவணைப் பெறுமானம் 'n-1% = 2.539 = 002 و1اً
1000
J20 = 6832.26
. 1000 மேற் பொருளுள்ள எல்லை - 7400+2.539XTட் = 796774
ற oபாருளு /20
7400ー2.539×
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை
அப் பாடசாலை ஆசிரியர்களின் சம்பளம் ரூபா 6832.26 ற்கும் ரூபா 796774 ற்கும் இடையில் காணப்படும் என 96% நம்பிக்கை மட்டத்தில் கூறமுடியும்.
(i) மாறற்றிறன் தெரிந்த செவ்வன் அல்லாத குடியின் இடைக்கான
பொருளுள்ள ஆயிடை
மாதிரி பருமன் பெரிதாக இருப்பின் (n>30) மையளல்லைத் தேற்றப்படி,
z = * * ~ N(0,1)
5 in
4

s- O . Ο P X – Z., *–– < u < *1 =| ہے۔--
(x 74 | > r < x > 2 بر 憲) O
u இன் பொருளுள்ள எல்லை
X–z, "-" < | < x+z, *-
O Ot. : Vn Vn
一 O கீம் பொருளுள்ள எல்லை = ***
P (50ôlb n
x +z :: O (8LDm @LIT ள்ள எல்லை - b. மற பொருளு པཱ་ sn ஆகு
(ty) மாறற்றிறன் தெரியாத செவ்வன் அல்லாத குடியின் இடைக்கான
பொருளுள்ள ஆயிடை மாதிரி பருமன் பெரிதாக இருப்பின் (n > 30) SP ஆனது O2 இன் சிறந்த மதிப்பானாக கொள்ளப்பட்டு மையளல்லைத் தேற்றப்படி,
X-u
ze - N(0,1)
! இன் பொருளுள்ள எல்லை
x-2, *- – < | < x +z *
" / " ... ' / ஆகும.
τα
2 2
v — 7 * — ° கீழ் பொருளுள்ள எல்லை = * 7. Vn
மேற் பொருளுள்ள எல்லை = x +z. * - ஆகும்.
: Vn
A 1


Page 25
தீர்வு:
Kandos நிறுவனம் உற்பத்தி செய்யும் 10/= பெறுமதியான
Chocolate 36ô 519 Li SyU6 (olefilógi355 100 Chocolate கள் எடுக்கப்பட்டு அவற்றின் தடிப்பு அளக்கப்பட்ட போது அதன் சராசரி 0.5 cm ஆகவும் மாறற்றிறன் 0.05 cm ஆகவும் காணப்பட்டது. Kandos நிறுவனம் உற்பத்தி செய்யும் 10/= பெறுமதியான Chocolate இன் தடிப்புக்கான எல்லையை 99% நம்பிக்கை மட்டத்தில் காண்க.
இங்கு x = 0.5
S = 0.05 n = 100 1 - O. = 0.99
C> S = 0.224
=0005 2
z = 2.57
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை
c
2
Vn
0.224
V100
0.5 - 2.57X
S (3D 6 = X + Z 半一 D. மற பொருளுளள எலலை ஆகும
0.5 + 2.57x 0.224 Al100
= 0.558
மேற்குறிப்பிட்ட Chocolate இன் தடிப்பு 0.443 cm ற்கும் 0.558 cm ற்கும் இடையில் அமையும் என 99% நம்பிக்கையுடன் கூறமுடியும்.
A 2

(v) குடிவிகிதத்திற்கான பொருளுள்ள ஆயிடை
(a) குடிவிகிதம் T தெரிந்தால்
குடிவிகிதம் T ஐ கொண்ட குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் பருமன் n உம் மாதிரி விகிதம் p உம் எனின், n பெரிதாக அமையும் போது
тt(1 — т. P~N(1959) ஆகும்
Z et PTT N(0,1)
π(1- π)
1-0 பொருளுள்ள மட்டத்தில்
--

Page 26
(b) குடிவிகிதம் T தெரியாதபோது
Note:
2 - D:
மாதிரியின் பருமன் பெரிது ஆகையால் p ஆனது T இன் சிறந்த மதிப்பான் ஆகும்.
)0,1(N یہ ہے “PT____
P(1-P)
|- < r < P+ Z, P1 - P --a ஆகும்.
2.
P(1-P)
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை = p— Z,4 --
P(1-P) மேற் பொருளுள்ள எல்லை = p+Z. -- ஆகும்.
6) மாதிரியின் பருமன் சிறிதாக உள்ள சந்தர்ப்பத்தில் p யின்
பரம்பலானது ஈருறுப்புப்பரம்பலாக இருக்கும்.
(i) மாதிரியின் பருமன் பெரிதாகும்போது p யின் பரம்பலானது
அண்ணளவாக செவ்வன் பரம்பலில் அமைகிறது.
தொலைக்காட்சிப் பெட்டிகளை இறக்குமதி செய்து விநியோகிக்கும் நிறுவனம் ஒன்று இறக்குமதி செய்யப்பட்ட ஒரு தொகுதியிலுள்ள பழுதடைந்த தொலைக்காட்சிப் பெட்டிகள்பற்றி அறிவதற்காக தொகுதியிலிருந்து எழுமாறாக எடுக்கப்பட்ட 64 பெட்டிகளை பரிசீலித்தபோது 7 பழுதடைந்து காணப்பட்டது. தொகுதியிலுள்ள பழுதடைந்த தொலைக்காட்சிப் பெட்டிகளின் விகிதத்திற்கான 95% பொளுள்ள எல்லையைக் காண்க.
4 4.

தீர்வு:
இங்கு n = 64
7 = -- = 0.109 p 64
1- Ꭴt = 0.95
=0025 2
Z = 1.96
2.
கீம் பொருளள்ள எல் |P(1-P)
ழ் பொருளுள்ள எல்லை = P %
+ in - 0.109-1960.109'0891
64
= 0.033
மேற் ெ d -- Z P(1-P)
மற் பொருளுள்ள எல்லை = P '%
109 * 0.891 : 0.109 - 1.96 0.109* 0.891
64
= 0.185
іе, 0.033 < л < 0.185
ie, பழுதடைந்த தொலைக்காட்சிப் பெட்டிகளின் விகிதம் 0.033
ற்கும் 0.185 ற்கும் இடைப்பட்டதாக இருக்கும் என 95% நம்பிக்கையுடன் கூறமுடியும்.
A 5


Page 27
(v) மாறற்றிறன் தெரிந்த இரு குடிகளின் இடைகளின் வித்தியாசத்திற்கான பொருளுள்ள ஆயிடை u, u, இடைகளையும் σι, σ. மாறற்றிறன்களையும் கொண்ட இரண்டு குடிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட, n, n, பருமன் கொண்ட மாதிரிகள் இரண்டின் இடைகள் முறையே х.х. எனின், n, in பெரிதாக இருப்பின் (n >30, n>30)
х,—х, N l, or
- x - 4. 2. ஆகும்.
2
புள்ளிவிபரம் Z = (x,-)-(4,-4) MMV N(0,1)
2 2
2 u -u, இன் பொருளுள்ள ஆயிடை
2 2
σε σ, SSSS σ σο ܚܝ ܢܚ■ X — X, J— z, | —t— + —*— < u — Lu < X — X J+ Z, | —— + —*—
V in n 2. W ni in 2
2 2 கீழ் ெ (x x2) Z σ 요으
Ꭷu) XI - X 2 J SSSSS ருளுளள எலலை %V n, ' n,
2 2 - vuvu- o, Ο , w மேற் பொருளுள்ள எல்லை - (X) -x)+z, --+-- ஆகும்.
2 -ر
2
4 6
 

ஒரு பல்கலைக்கழகத்திற்கான புதுமுக மாணவர்கள் 60 பேரின் சராசரி உயரம் 68.60 அங்குலங்கள் ஆகவும், சிரேஸ்ட மாணவர்கள் 50 பேரின் சராசரி உயரம் 69.51 அங்குலங்கள் ஆகவும் காணப்பட்டது. உயரத்தின் நியமவிலகல் 2.48 அங்குலங்கள் எனக்கொண்டு இரண்டு வகை மாணவர்களினதும் சராசரி உயரத்தின் வித்தியாசத்திற்கான 98% நம்பிக்கை மட்டத்திலான ஆயிடையைக்
65T6005. .
o, = o, = 2.48
n = 50 1-c = 0.98 n = 60 % =0.01
x = 69.51 Z = 2.33
x2 = 68.60
u - சிரேஸ்ட மாணவர்களின் சராசரி உயரம் u, - புதுமுக மாணவர்களின் சராசரி உயரம், என்க.
u -u, இற்கான 98% பொருளுள்ள ஆயிடை .
-- - O O
- 十 2 (X X2)+z, ո, -- n
1 1 a (69.51-686)土2.33×2.48 + -- 60 50 و
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை - 0.91 - 11 1 = - 0.20
மேற் பொருளுள்ள எல்லை = 0.91 + 1.11 = 2.02
A 7


Page 28
(vii)
Note:
ie, - 0.20 < 2.02 < 2 - - لما
மாறற்றிறன் தெரியாத இருகுடி இடைகளின் வித்தியாசத்திற்கான பொருளுள்ள ஆயிடை
u,u, இடைகளைக் கொண்ட இரண்டு குடிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட
முறையே n, n, பருமன் கொண்ட மாதிரிகளின் இடைகள் х.х.
உம் மாறற்றிறன்கள் s,s உம் எனின், n,n, பெரிதாக இருப்பின் (n>30 & n>30)
u -ய, இன் பொருளுள்ள ஆயிடை
2 2 2 S - S, S (x - x2) — Z/s — + 2 — 

Page 29
ie, இரண்டு வருடத்தினதும் சராசரி நெல் விளைச்சலின் வித்தியாசமானது 113.54 kg. இற்கும: 18646 kg இற்கும் இடையில் இருக்கும் என்பதை 95% நம்பிக்கையுடன் கூறமுடியும்.
(v) மாறற்றிறன் தெரியாத இரண்டு செவ்வன்குடி இடைகளின்
வித்தியாசத்திற்கான பொருளுள்ள ஆயிடை
u,u, இடைகளையும் ஒரே மாறற்றிறன்கள் O2 ஐயும் கொண்ட
இரண்டு செவ்வன் குடிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட m, n, பருமன்
கொண்ட மாதிரிகளின் இடைகள் முறையே x1,x2 எனின்,
n+n-2,0/2
(t - பரம்பல், n+ n - 2 சுயாதீனப்படி)
so = (n-1)s, +(n-1)s.
n + n - 2
2 1 ( - W) S - X(x-x.
ni — 1
இங்கு
1 ר
S = Σ(x, -x.) ஆகும்.
n - 1
Χ1 Χ2 -(u, -11.)
p| - 'n+,-2.g/2 K
u -u, இன் பொருளுள்ள எல்லைகள்
 

冈一、片中 S +
2 /* "n +ոչ-2.o/2 ** in n2 Note: n, அல்லது n சிறிதாக இருக்கும்சந்தர்ப்பத்தில் இம்முறை
பாவிக்கப்படுகின்றது.
உ-ம்: தன்னிச்சையாக சீமெந்து பக்கற் செய்யும் இரண்டு இயந்திரங்கள் 25 நாட்களில் உற்பத்திசெய்த பக்கற்றுக்களின் எண்ணிக்கைகளைக் கொண்டு ஒரு நாளில் செய்யும் பக்கற்றுக்களின் சராசரி எண்ணிக்கைகள் முறையே 1600, 1500 எனக் கணிக்கப்பட்டது. அவற்றின் நியம விலகல்கள் முறையே 25, 30 எனக் காணப்பட்டது எனில் இரண்டு இயந்திரங்களின் உற்பத்தியின் இடைகளின் வித்தியாசத்திற்கு 95% பொருளுள்ள ஆயிடையைக் காண்க.
தீர்வு: n = n = 25
x = 1600 s, = 25 Χ2 = 1500 s = 30
1 - O = 0.95
% མ་ལ་ཡང་ 0.025 'nin, -2.0/2 - tag,002
= 2.4
2 2 so (n-1s +(n-1)s.
n + n -2
24×625+24×900 = — - = 762.5
S = 27.61
u -u, இன் 95% பொருளுள்ள எல்லை
5-F), XI - X2 է էn, rn, -2,a/2 S -- - -
n n2
5 1


Page 30
| SLLLS0SLS0SS0 S 00LS0LLSS S lէ: ( ) 25 25
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை = 100 - 1882 = 81.18
மேற் பொருளுள்ள எல்லை = 100+ 1882 - 118.82
ic, 81, 18 < էլ — 112 < S.E.
(x) குடிவிகிதங்கள் இரண்டின் வித்தியாசத்திற்க்ான பொருளுள்ள ஆயிடை மாதிரிகளின் பருமன் பெரிதாயின் மாதிரிவிகிதங்களின் வித்தியாசம் p, p ஆனது இடை 1, -1 உம் மாறற்றிறன்
TE, (1-771), Tt, (1 - T ,)
l n
உம் கொண்ட அண்ணளவான செவ்வன்
||Jlsllsslit L}öð)||1||f).
இங்கு T,ா, என்பன இரண்டு குடிகளினதும் விகிதங்களாகும்,
一D,1一1T1一兀、 -T-Pl-ー - 72 ) । N(0,1)
F(I-II), II(Il-F)
n Il
T -ா, இன் பொருளுள்ள எல்லை
一兀)
п (1 — п) ,
l l
ஆகும்.
ா,ா, தெரியாதபோது n,n, பெரிதாக இருப்பதால் p,p, ஆன 1,ா, இன் சிறந்த மதிப்பான்களாகும்.
ா, -ா, இன் பொருளுள்ள எல்லை
1-p) p. (1-p, (p. – p2) + Zayو Po-Pl H= يكتيك I p.) ஆகும்.
5
 
 

-i.
தீர்வு
"Rexona","Lux" சவர்க்காரங்களின் நுகர்வு பற்றிய ஆய்வில் 400 பேர் தெரிவுசெய்யப்பட்டு "Rexan" வின் நுகர்வு பற்றி கேட்டபோது 250 பேர் சாதகமாகவும், 300 பேர் தெரிவுசெய்யப்பட்டு "Lux" இன் நுகர்வுபற்றிக் கேட்டபோது 200 பேர் சாதகமாகவும் பதிலளித்தனள், இள் விருசவர்க் காரங்களினதும் நுகர்வு விகிதத்தின் வித்தியாசத்திற்கான 95% பொருளுள்ள ஆயிடையைக் காண்க
200 = = 0.667 - - P 300 - C = 0.95
p = 250 = 0.625 z = 1.96
* 4(OO) سمي!
п, — л, 86іі பொருளுள்ள எல்லை
п (1 — л.) - п. (1 — л . ) (P - P.) tz, l ஆகும்.
-
0.667 x 0.333 十 (),625x ().375 3O) 4OO
(0667-0625)土1 96.
கீழ் பொருளுள்ள எல்லை = 0.042 - 0.071 = 0.029
மேற் பொருளுள்ள எல்லை = 0.042 + 0.071 = 0, 13
குடிவிகிதங்களின் வித்தியாசம் -0.029 இற்கும் (1,113 இற்கும் இடையில் அமையும்,
5 3


Page 31
abbajIGa5TGil GafT356060T (Testing Hypothesis) ஒரு மாதிரியை ஆராய்ந்து படிமுறை மூலம் சில முடிவுகள் எடுக்கப்படும். இந்த முடிவுகள் குடித்தொகையில் எடுக்கப்படும் சில முடிவுகளாக இருக்கின்றன. ஆனால் இப்படியான முடிவுகள் சில அடிப்படை உறுதியின்மை காரணமாக பிழையான முடிவாக அமையும்.
கருதுகோள் குடித்தொகைப் பரமானம் (Population Parameter) பற்றிய உண்மையாக இருக்கக்கூடிய அல்லது இருக்கமுடியாத ஒரு எடுகோள் கருதுகோள் எனப்படும்.
மாதிரி எடுத்தலின் மூலம் எடுகோளை சரிபார்ப்பதற்கு
1. தரவுகள் சேகரிப்பதன் மூலம் குடித்தொகைப் பரமானத்திற்குரிய மாதிரிப் புள்ளிவிபரத்தின் (Sample Statistic) பெறுமானங்களைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பொதுவாக இரண்டு கருதுகோள்கள் வரையறுக்கப்படும், ஒன்று
ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்போது, மற்றையது நிராகரிக்கப்படும்.
2.
(g6ofuudisabbąG835 TG (Null Hypothesis) (Ho) கருதுகோள் சோதனையில், குறித்த சோதனையை நடத்தக்கூடியவாறு குடித்தொகை தொடர்பாக மேற்கொள்ளப்படும் எடுகோள் சூனியக் கருதுகோள் எனப்படும்.
Note; சாதாரணமாக கருதுகோள் சோதனையின் போது Ho o) 605760)LD என்று ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டு சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.
உ-ம்: 1. உயர்தர வகுப்பு மாணவர்களின் சராசரி உயரம் 155cm
ie. Ho : pu = 155 ஒரு நிறுவனத்தில் நாளாந்த தேறியவருமானம் Rs. 15,000/= ie. Ho : u = 15,000 3. இரண்டு பாடசாலைகள் A, B இலுள்ள உயர்தர மாணவர்களின்
புள்ளிவிபரப்பாட புள்ளிகளின் சராசரி நிலை சமனானது.
ie. Ho : uA = B
2
54

LDTibpdisastop (as Toir (Alternative Hypothesis) (H,) சூனியக்கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படும் சந்தர்ப்பத்தில், சூனியக்கருது கோளுக்கு எதிரான கருதுகோள் ஒன்று ஏற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டிய சந்தர்ப்பம் ஏற்படும். அவ்வெதிரான கருதுகோள் மாற்றுக்கருதுகோள் எனப்படும்.
மேலுள்ள உதாரணத்தில்
சூனியக்கருதுகோள் Ho: u = 155
மாற்றுக்கருதுகோள் H, : Luz 155
ie. | > 155 அல்லது u (155 அமைக்கப்பட்ட இந்த இரண்டு கருதுகோள்களில் (Ho, H) சூனியக்கருது கோளானது மாதிரியை அடிப்படையாகக் கொண்டு ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
அல்லது நிராகரிக்கப்படும். இது சில சந்தர்பங்களில் இரண்டு பிழையான முடிவுகளுக்கு இட்டுச் செல்லலாம்.
அதாவது,
(i) HO உண்மையாக உள்ளபோது Hoஐ நிராகரித்தல். (i) HO பொய்யாக உள்ளபோது Hoஐ ஏற்றுக்கொள்ளல்.
மாதிரியிலிருந்து எடுக்கும் முடிவு
Ho ஏற்றுக்கொள்ளல் Ho நிராகரித்தல் HO உண்மை | சரியான முடிவு பிழையான முடிவு - (1ம் வகை வழு)
Ho (olUTu பிழையான முடிவு சரியான முடிவு (H, உண்மை) I (2ம் வகை வழு)
அட்டவணைப்படி நான்கு முடிவுகளுக்கு சந்தர்ப்பங்கள் உண்டு.
அதாவது
(1) Hoஉண்மையாக உள்ளபோது அது ஏற்றுக்கொள்ளப்படல். (சரியான
முடிவு) (i) Ho பொய்யாக உள்ளபோது அது நிராகரிக்கப்படல். (சரியான முடிவு) (i) HO உண்மையாக உள்ளபோது அது நிராகரிக்கப்படல். (பிழையான
(pl.96))
55


Page 32
(iv) HO பொய்யாக உள்ளபோது அது ஏற்றுக்கொள்ளப்படல். (பிழையான
(pq6))
கருதுகோட் சோதனையின் மூலம் முடிவு எடுக்கப்படும்போது வழுக்கள் ஏற்படலாம். அதாவது சரியான எடுகோள்கள் நிராகரிக்கப்படுதலும், பொய்யான எடுகோள்கள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுதலும் ஆகும். இவ்வாறான வழுக்கள் இருவகைப்படும்.
1. முதலாம் வகை வழு (Type Error) இது சூனியக்கருதுகோள் HO உண்மையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பத்தில் அதை நிராகரித்தலாகும். இந்நிகழ்ச்சிக்கான நிகழ்தகவு பொதுவாக c என குறிக்கப்படும்.
ie, o = P (Ho É]]|TaBifig556ð/ Ho 9 - 600I60)LD)
2. இரண்டாம் வகை வழு (Type Error) இது சூனியக்கருதுகோள் Ho பொய்யாக உள்ள சந்தர்ப்பத்தில் அதை ஏற்றுக்கொள்ளுதல் ஆகும். இந்நிகழ்ச்சிக்கான நிகழ்தகவு பொதுவாக 6 என குறிக்கப்படும்.
ie, B=P (Ho ஏற்றுக்கொள்ளல்/Ho பொய்) iê, (3 = P (H, நிராகரித்தல்/H உண்மை) எனவும் கூறலாம்.
Note இவ் வழுக்களைக் குறைப்பதற்கு மாதிரிப்பருமனை (Sample Size
- m) அதிகரித்தல் வேண்டும்.
6LITUpoiréOLD LD'Lib (Level of Significant) (O.) ஒரு கருதுகோட் சோதனையில் ஏற்படும் முதலாம் வகை வழுவிற்கான நிகழ்தகவு 0 இன் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அளவு பொருண்மை மட்டம் எனப்படும். இது ஒரு சோதனையின் பருமன் (Size of a Test) எனவும் கூறப்படும். இதன் மிகுதி (1-c) ஆனது சோதனையை ஏற்றுக் கொள்வதற்கான நம்பிக்கை மட்டம் (Level of Confidence) எனப்படும். பொதுவாக புள்ளிவிபர சோதனையில் 0 = 0.05 அல்லது 5% எனக்கொள்ளப்படும். அதாவது நம்பிக்கைமட்டம் 1-0 = 0.95 அல்லது 100 - c = 95% எனக்கொள்ளப்படும்.
56

elolgil Gabob (Critical Region) மாறலின் வீச்சானது இரண்டு பிரதேசங்களாக இருக்கின்றது. அதாவது, ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம் (Acceptance Region), அவதிப்பிரதேசம் அல்லது நிராகரித்தல் பிரதேசம் (Rejection Region) என இரண்டு பிரதேசங்களாகும். மாதிரிப் புள்ளிவிபரமானது அவதிப்பிரதேசத்தில் இருக்குமாயின் சூனியக்கருதுகோளானது பிழையான முடிவுக்கு இட்டுச்செல்வதாக அதை நிராகரித்தல் வேண்டும். மறுதலையும் உண்மையாகும். ie, கணிக்கப்பட்ட மாதிரிப்புள்ளிவிபரத்தின் பெறுமானம் நிராகரிக்கப்படும் பிரதேசத்தில் இருக்குமாயின், H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும், மறுதலையும் உண்மையாகும். Note அவதிப்பிரதேசமானது முதலாம் வகை வழு 0 இன் மாறாப் பெறுமானத்தில் அமையுமாறு தீர்மானிக்கப்படும். மேலும் இது மாதிரிப்புள்ளிவிபரங்களில் ( போன்றவை) தங்கியிருக்கும்.
ஒரு செவ்வன் பரம்பலில், d = 0.05
அவதிப்பிரதேசம்
KE- 0.05
அவதிப்புள்ளி
ஒரு செவ்வன் பரம்பலின் கீழ் மேற்குறிப்பிட்டது போல, அவதிப்பிரதேசத்தை இரண்டுவகையாக பிரிக்கலாம்.
(i) SJ60ö(6 Ludb35lb (Two Sided) globgog, SJ6081G 6JT6) (Two Tailed)
களாக வளையியின் கீழ் அமைத்தல்.
அவதிப்புள்ளி
57


Page 33
(ii) 9(builib (One Sided) globag (5 org) (One Tailed) as
வளையியின் கீழ் அமைத்தல்.
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம்
அவதிப்புள்ளி
66 g6)|T6b (Right Tail)
SL-glo).TG) (Left Tail)
இவைபற்றி பின்னர் மேலும் விளக்கமாக பார்க்கப்படும்.
கருதுகோள் சோதனையின் வலிமை (Power of a Test) ஒரு கருதுகோள் சோதனையில் சூனியக்கருதுகோள் பொய்யாக இருக்கையில் அதை நிராகரிப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
ie, Power = P (Ho É]]|Tabifi556ð/Ho (6LITuti)
=P (H, ஏற்றுக்கொள்ளல்/H, உண்மை) = 1-P(Hநிராகரித்தல்/H, உண்மை)
= 1- 3 இங்கு B இரண்டாம் வகை வழு ஆகும்.
ie, H, உண்மையாக இருக்கையில் H நிராகரிக்கப்படுவதற்கான
நிகழ்தகவு ஆகும்.
58
 
 
 
 

Note:
Result:
இரண்டு சோதனைகளை ஒப்பிடும்போது, ஒரே பொருண்மை மட்டம் o இல் கூடியவலிமை (உயர் 1 - 3) கொண்ட சோதனையானது dBb5 (3d Tg560)60TuT35 (Most Powerful Test) 35(55 U(Bib.
இடை வும் மாறற்றிறன் O2 உம் கொண்டு செவ்வனாக
பரம்பும் குடியிலிருந்து n அளவுகொண்ட எழுமாற்றுமாதிரி
எடுக்கப்படும்போது அதன் மாதிரி இடை x ஆனது இடை u
2
உம் மாறற்றிறன் - உம் கொண்ட செவ்வன் பரம்பலில்
அமையும்.
)Xn ~ N(a,c و ....... XX2
2 X + X +...+ X -> x ~ N "% 6 if x = - سنن ستسه
இங்கு குடியின் இடை Il தெரியாத சந்தர்ப்பத்தில் H: u= u , ( 1 - தெரிந்த பெறுமானம் ) எனும் சூனியக்கருதுகோள் சோதிக்கப்பட வேண்டும்.
திரிப்புள்ளிவிபரம் z = Z ~ N(0,1) LDT35 TILL 6Т6Т6]LJULD
5.
z = * Ho. ~ N(0,1) . H, உண்மையாகும் போது % 3(35l D.
Wn
X -- lo
Z = ஆகவே மாதிரிப்புள்ளிவிபரம் ஆனது குறிப்பிட்ட
சோதனைக்குரிய சோதனைப்புள்ளிவிபரம் (Test Statistic) ஆகும்.
59


Page 34
H : u = u என்னும் சூனியக்கருதுகோளுக்கான மாற்றுக்கருது கோளானது கீழ்வரும் ஏதாவது ஒரு வடிவில் வரையறுக்கப்படலாம்
(i) H.L. 7 lo
(ii) H : Lu >pulo
(iii) H : Ļu <Ļuo
Note: H இன் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்திற்கேற்ப அவதிப்பிரதேசம்
(1)
Note:
ie,
மாறுபடும்.
H : u = u எதிர் H : u >}, எனும் சோதனை (6)lougj6) Tib (33. Tg560601 /Right tail test) அவதிப்பிரதேசமானது x> k எனும் வடிவில் அமையும்.
Z = x - 44oy k Plo =k
O O %, ’s
இங்கு k ஒரு மாறிலி ஆகும். இதன் பெறுமதி பொருண்மைமட்டம்
o இற்கு அமைய தீர்மானிக்கப்படும்.
(என்க)
Z> k என்பதிலிருந்து, புள்ளிவிபரம் Z ன் பெறுமதியானது k இலும் பெரிதாக அமையும் சந்தர்ப்பங்களில் Ho நிராகரிக்கப்படும். இங்கு k என்பது அவதிப் பெறுமானம் ஆகும். இது செவ்வன் வளையியின் வலது வாலில் அமைவதால் இதை வலதுவாற் சோதனை என்போம்.
ஏற்றுக்கொள்
பிரதேசம் அவதிப்பிரதேசம்
(வலதுவாற்சோதனை) CX ニ p(Z)k') என அமையும், இங்கு Z ~ N(0,1)
6.
 

(2)
Note:
(3)
Ho ; H = H எதிர் Hu k's1601 EĐỊGOLDUD, SAŠK35 k

Page 35
Note:
உ-ம்
(b(dista = علی < یا ۵ =z
o O Vn Vn
'. Z b உம் ஆகும்.
இங்கு a, b (a b என்பதிலிருந்து, புள்ளிவிபரம் z ன் பெறுமானம் a இலும் சிறிதாக அல்லது b இலும் பெரிதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் Ho நிராகரிக்கப்படும். இங்கு a, b என்பன அவதிப்பெறுமானங்களாகும். இவை செவ்வன் வளையியின் இரண்டு வாற்பகுதியிலும் அமைவதிால் இதை இரட்டை வாற்சோதனை என்போம். S.
அவதிப்பிரதேசம் அவதிப்பிரதேசம்
个。个
(இரட்டைங்ாற் சோதன்ை)
மின்குமிழ்களை உற்பத்திசெய்யும் நிறுவனமொன்றில் உற்பத்தி செய்யப்படும் மின்குமிழ்களின் ஆயுட்காலத்தின் சராசரி 1600 hrs ஆகவும், நியமவிலகல் 120 hrs ஆகவும் காணப்பட்டது. மின்குமிழ்களின் ஆயுட்காலத்தை அதிகரிக்கச் செய்யும் முகமாக உற்பத்திச் செயன்முறையில் சில மாற்றங்கள் கொண்டு வரப்பட்டது. புதிய உற்பத்தியின் மாதிரியாக 100 மின்குமிழ்கள் எடுக்கப்பட்டு சோதிக்கப்பட்டபோது அதன் ஆயுட்காலத்தின் சராசரி 1630 hrs ஆக காணப்பட்டது. செயன்முறை மாற்றம் பலனளித்துள்ளதா என c = 0.05 பொருண்மைமட்டத்தில் சோதிக்க.
62
 

தீர்வு:
உ-ம் 2:
கருதுகோள் H : u=1600 எதிர் Hu>1600
(வலதுவாற்சோதனை)
x - 1630, o = 120, ulo = 1600, n = 100
X -- Llo Φ سنت۔ ست==Z , சோதனைப்புள்ளிவிபரம் O/ Vn இன் பெறுமானம்
2.5 = 19,160 ت V100
O
0.05 இல் அவதிப்பெறுமானம் Z = 1.645
அவதிப்பிரதேசம்
1645 2.5 O 0.05 மட்டத்தில் கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 2.5 > அவதிப் பெறுமானம் 1645.
Ho நிராகரிக்கப்படும். H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ie, மின்குமிழ்களின் ஆயுட்காலம் 1600hrs இலும் அதிகரித்துள்ளது. ie, உற்பத்தி செயன்முறை மாற்றம் பலனளித்துள்ளது.
ஒரு நிறுவனத்தின் சுருக்கெழுத்தாளர் பதவிக்கான விளம்பரத்தில் நிமிடத்திற்கு சராசரி 120 சொற்களுடன் 15 சொற்கள் நியமவிலகலாக இருக்குமாறு கோரப்பட்டது. அந்த வெற்றிடத்திற்கு தெரிவுசெய்யப்பட்டவர் 100 தடவைகள்
சோதிக்கப்பட்டபோது நிமிடத்திற்கு சராசரி 116 சொற்கள் என காணப்பட்டது. இதிலிருந்து அந்த சுருக்கெழுத்தாளர் சராசரி எழுத்து வீதம் 120 இலும் குறைவானதா என 5% பொருண்மை மட்டத்தில் சோதிக்க.
63


Page 36
ie,
கருதுகோள் H : u= 120 எதிர் Hu<120
(இடது வாற்சோதனை) |ųo = 120, x = 116, O = 15, n = 100
X — Įu சோதனைப்புள்ளிவிபரம் Z" / இன் பெறுமானம்
1620-267
5% மட்டத்தில் அவதிப்பெறுமானம் Z = -1.64
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம் (95%)
5%
அவதிப்பிரதேசம்
个
26ി 1.64 அவதிப்புள்ளி
5% பொருண்மை மட்டத்தில் கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் (-267) < அவதிப் பெறுமானம் (-164)
Ho நிராகரிக்கப்படும். H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
தெரிவு செய்யப்பட்ட சுருக்கெழுத்தாளரின் சராசரி எழுத்துவீதம் நிமிடத்திற்கு 120 இலும் குறைவானது ஆகும்.
Coca-Cola நிறுவனத்தில் உற்பத்தி செய்யப்படும் மென்பானங்கள் நாளுக்கு 15000 போத்தல்கள் எனக் கூறப்படுகிறது. இதன் நியமவிலகல் 800 போத்தல்கள் ஆகும். 36 நாட்களைக்கொண்ட ஒரு மாதிரியை சோதித்தபோது நாளுக்கு அடைக்கப்படும் போத்தல்களின் சராசரி எண்ணிக்கை 14800 என காணப்பட்டது. நிறுவனத்தின் கூற்றின் உண்மையை o = 0.05 பொருண்மை மட்டத்தில் சோதிக்க.
64
 
 
 
 
 

தீர்வு:
- ie,
சோதனை, H, u =15000 எதிர் Hu#15000
(QU'60DL, வாற்சோதனை)
x = 14800, L = 15000, n =36, O = 800
x - l சோதனைப்புள்ளிவிபரம் ZF இன் பெறுமானம்
14800-15000
800 -
%36
o = 0.05 மட்டத்தில் அவதிப்பெறுமானம் Z% = 1.96
- 1.5
அவதிப்பிரதேசம் Třtí
个人15 个
- .96 1.96
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் அவதிப் பெறுமானங்களுக்கு இடையில் அமைவதால்
அவதிப்பிரதேசம்
ie, -1.96 < -15 < 196
HO ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
Coca-Cola நிறுவனத்தில் நாளொன்றுக்கு சராசரியாக 15000 போத்தல்கள் மென்பானம் நிரப்பப்படுகிறது.
மேற்குறிப்பிட்ட உதாரணங்களில் குடித்தொகை மாறற்றிறன் ?
தெரிந்திருந்தது. இது தெரியாத சந்தர்ப்பத்தில் மேற்குறிப்பிட்ட சோதனைகளைச் செய்வதற்கு இரண்டுவகையாக நோக்க வேண்டும்.
65


Page 37
1. எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் பருமன் பெரிதாக இருத்தல் (n > 30)
இந்த வகையில், O2 அறியப்படாத சந்தர்ப்பத்தில், கு? இன் சிறந்த மதிப்பானாக (Best Estimator) மாதிரியின் மாறற்றிறன் S? பாவிக்கப்படும்
Xs b Z = ---- سہ N)0,1( சோதனைப்புள்ளிவிபரம் S n
இப்புள்ளிவிபரத்தைக்கொண்டு
H0:H=H0 எதிர் H : 7 Llo
அல்லது H, ! < 4 அல்லது H: > u
எனும் சோதனையை மேலே விபரிக்கப்பட்டது போன்று செய்யமுடியும்.
2. எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் பருமன் சிறிதாக இருத்தல (n <30) மாதிரியின் பருமன் சிறிதாக இருக்கையில், மேற்குறிப்பிட்ட
சோதனைப்புள்ளிவிபரம 嵩 ~ t_ ஆகும்
«/n
ie, t - பரம்பலில் n - 1 சுயாதீனப்படியை (Degrees of Freedom)
கொண்டிருக்கும்.
உ-ம் 4: ஒரு தன்னிச்சையாக தேயிலை பக்கற்பண்ணும் இயந்திரம் சரியாக 2.0kg பக்கற்றுகள் தயாரிக்குமாறு சரிசெய்யப் பட்டிருந்தது. இந்த இயந்திரத்தினால் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பக்கற்றுகளில் 100 பக்கற்றுகள் மாதிரி எடுக்கப்பட்டு அவற்றின் நிறைகளின் சராசரி, நியமவிலகல் கணிக்கப்பட்டபோது முறையே 199kg, 0.10kg ஆக காணப்பட்டது. இயந்திரம் சரியாக வேலை
செய்கிறதா என்பதை சோதிக்க. (o = 0.05)
66

தீர்வு:
உ-ம் 5:
சோதனை H : u=2.0 எதிர் Hu42.0
(இரட்டை வாற்சோதனை)
pio = 2.0, x=1.99, s = 0.10, n = 100
மாதிரியின் பருமன் பெரிதாக உள்ளதால்
X - lo - z = - - ~ N(0,1 சோதனைப்புள்ளிவிபரம் z: S n ( )
199-2. '. Z இன் பெறுமானம் = 0
0.10
%V100
o = 0.05 இல் அவதிப்பெறுமானம் 74 - 196
(இரட்டை வாற்சோதனை)
:"\ 0.025
(0.95)
个 J个个
-1.96 1.96
அவதிப்பிரதேசம் அவதிப்பிரதேசம்
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் ஏற்றுக்கொள் பிரதேசத்திற்குள் அமைவதால் ie, - 1.96 < -1 < 1.96
Ho ஏற்றுக்கொள்ளப்படும் . இயந்திரம் சரியாக வேலைசெய்கிறது.
உதாரணம் 4 இல் எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் அளவு 16 என அமையும் எனின் இயந்திரம் சரியான நிறையுடைய பக்கற் தயாரிக்கிறதா என்பதை சோதிக்க.
67


Page 38
தீர்வு:
சோதனை H : u=2.0 எதிர் Hu42.0 up = 2.0, x = 1.99, s = 0.10, n = 16 மாதிரியின் அளவு சிறிதாக உள்ளதால்
x- Plo (8 ப்புள்ளிவிபரம் ( = / H ~ (n-
சாதனைபபுள LIJI D s/ (n-1)
(t - பரம்பல், n - 1 சுயாதீனப்படி)
1.99 - 2.0
o = 0.05 இல் பரம்பல் பெறுமானம் (அவதிப்பெறுமானம்)
. t இன் பெறுமானம் = 0.4
"16-1.94 = 2.602 இரட்டை வாற்சோதனை)
t பரம்பல்
0.025
அவதிப்பிரதேசம் II அவதிப்பிரதேசம்
个
个 -2.602 0.4 2.602
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் அவதிப்பெறுமானத்திற்கு இடையில் அமைவதால்
ie, -2.602 < -0.4 < 2.602
Ho ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ie, இயந்திரம் சரியானமுறையில் செயற்படுகிறது.
68
 
 
 

குடித்தொகை விகிதத்திற்கான சோதனை (Test of population proportion) குடித்தொகை விகிதம் 1 ஆகக் கொண்ட குடித்தொகையிலிருந்து எழுமாற்றாக n பருமனுடைய மாதிரி எடுக்கப்படும் போது மாதிரி விகிதம் (Sample Proportion) p 53, SCB Ligór, மாதிரிப் பருமன் பெரிதாக இருக்கும்போது (n>30),
πί - π)) P - N(r, எனக்கொள்ளலாம்.
P- ~ N(0,1) ஆகும்
π{1 - π
எனவே HT=ா எதிர் H:T子兀6
அல்லது H, 1ா>ா
அல்லது H, 1ா <ா, என சோதிப்பதற்கு
P一T6
சோதனைப் புள்ளிவிபரம் Z = என கொள்ளப்படும்
TU-T )
Note இங்கு கருதப்படும் மாதிரி அளவு பெரிதாக இருத்தல் வேண்டும். (n > 30). அப்படி இல்லாத சந்தர்ப்பத்தில் p இன் பரம்பல் செவ்வன் என கொள்ள முடியாது. மேலும் n சிறிதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பத்தில் ஈருறுப்பு பரம்பலில் p இருப்பதாக கொள்ளப்பட்டு சோதிக்கப்பட வேண்டும்.
S_-lib 6. அப்பிள் விற்பனை செய்யும் ஒரு மொத்த வியாபாரி, அவர் விற்பனை செய்யும் அப் பிள்களில் 4% ஆனவை பழுதடைந்திருக்கும் என கூறுகின்றார். எழுமாறாக எடுக்கப்பட்ட 600 அப்பிள்களைக்கொண்ட மாதிரியில் 36 பழுதடைந்திருந்தன. மொத்த வியாபாரியின் கூற்றை சோதிக்க, c = 0.05
69


Page 39
தீர்வு: கருதுகோள்: Ho:T = 0.04
H : πΣ 0.04 (வலது வாற்சோதனை)
TL = 0.04, n = 600
36 v P = - - = 0.06 மாதிரி விகிதம் 600
P- L. சோதனைப் புள்ளிவிபரம் Z = O
T0U一T0
0.06-0.04 0.04×0.96
இன் பெறுமானம் - 2.5
அவதிப்பிரதேசம்
1.65 2.5 கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 2.5> அவதிப்பெறுமானம் 165 .. Ho நிராகரிக்கப்படும் ie, வியாபாரியின் கூற்று பிழையானது. ie, விற்பனையின் போது பழுதடைந்த அப்பிள்கள் 4% இலும் கூடவாக
இருக்கும்.
s) -- 7: ஒரு நாணயம் 400 தடவைகள் சுண்டப்பட்டபோது 216
தடவைகள் தலைவிழுகின்றது. அந்த நாணயம் கோடாததா (Unbiased) என்பதை சோதிக்க. (o = 0.05)
7
 

தீர்வு:
நாணயம் கோடாதது எனின் P(H) = P (T) — %
சோதனை H0 ;n=% ଗଞir Hi! 江产%
(இரட்டை வாற்சோதனை)
πο = ※, n = 400,
216 மாதிரி விகிதம் - = 0.54
400
P - to சோதனைப்புள்ளிவிபரம் Z--ட்டிட்!--
. V
இன் பெறுமானம் - 0.54 - 0.5 = 1.6
0.5 x 0.5 T. V 400
o = 0.05 இல் அவதிப்பெறுமானம் Z1.96 = او
(இரட்டை வாற்சோதனை)
0.025
அவதிப்பிரதேசம் அவதிப்பிரதேசம்
1.
- 1.96 f 1.96
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் அவதிப்பெறுமானத்திற்கிடையில்
அமைவதால்
ie, -1.96 < 1.6 < 1.96
'. Ho ஏற்றுக்கொள்ளப்படும் ie, நாணயம் கோடாதது


Page 40
குடித்தொகை இரண்டின் இடைகளுக்கிடையிலான வித்தியாசத்தைச் Gafngsjäggi (Test of the difference between two means)
(1) m, n, பருமனுடைய இரண்டு எழுமாற்று LDT.gifa,6i (Random
Note:
Sample) u இடையும், O2 மாறற்றிறனும் கொண்ட ஒரே குடியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. இரண்டு மாதிரிகளினதும் இடைகள் முறையே xx. ஆகுமெனின்
X-X
lo*(+)
ni n2
~ N(0,1)
என்பது சோதனைப் புள்ளிவிபரமாக இருக்கும.
இங்கு இரண்டு மாதிகளுக்கிடையிலான நிலைமாறுதல் (Fluctuation) சோதிக்கப்படும்.
(i) m, n, பருமனுடைய இரண்டு எழுமாற்று மாதிரிகள் முறையே
σ.σ. மாறறறிறன்களைக் கொண்ட இரண்டு வேறுபட்ட குடியிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டு குடியினதும் இடைகள்
u,u, உம் மாதிரிகளின் இடைகள் முறையே x,x, உம்
 
 

இங்கு இரண்டு குடித்தொகைகளின் இடைகளின் சமமின்மைகளை சோதிக்கலாம்.
கருதுகோள் Ho: 1 = 1, 6157 Hi: 4, 7
Note: (1) (2)
(3)
(4)
அல்லது H, : li su,
அல்லது H, u >u ஆகும்.
இங்கு m,n,பெரிதாக இருத்தல் வேண்டும். ie, n>30, n>30 இரண்டு மாதிரிகளும் சாரா (Independent) மாதிரிகளாக இருத்தல் வேண்டும். மாறற்றிறன்கள் தெரிந்த செவ்வன் குடிக்கு, எல்லா மாதிரி அளவுகளுக்கும் மேற்குறிப்பிட்ட சோதனைகள் வலிதானவை. மேற்குறிப்பிட்ட சோதனையில் σι, σ. தெரிந்திருத்தல் வேண்டும். இவை தெரியாத சந்தர்ப்பங்களில் m, n, இரண்டும் பெரிதாக அமைந்தால் σι, σ. என்பன அவற்றின் மதிப்பான்களான மாதிரி மாறற்றிறன்கள் S.S, இனால் பிரதியிடப்படும்.
73


Page 41
(i) n, அல்லது n, சிறிதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பத்தில் uu)
Note:
இடையாகவும், ஆனால் ஒரே மாறற்றிறன் O2 உம் கொண்ட இரண்டு செவ்வன் குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு m, n, பருமன் கொண்ட மாதிரிகளின் இடைகள் முறையே X,X2 ஆகவும் இருப்பின்
i=1
மாதிரிமாறற்றிறன் s = Σίκι, -x)
将=高 − Σ(xi, -X.) ஆகும்
so (n-1)Si + (na-DS
என்க
இங்கு S என்பது ஒன்று சேர்ந்த மாறற்றிறன் (Pooled Variance) எனப்படும்.
சோதனைப்புள்ளிவிபரம 一毛
-(-)-(1,-1)-
s | V ու ոչ )
(t - பரம்பல், n,+n,-2 சுயாதீனப்படி)
n + n -2
2
மேற்குறிப்பிட்ட சோதனைப்புள்ளி விபரத்தைக் கொண்டு கருதுகோள் Ho: -2 61g5i H: # u2
அல்லது H, u 30) அமையும்போது செவ்வன் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி அவதிப்பெறுமானம் கணிக்கலாம்.
ஒரேவகை ஆணிகளின் மாதிரிகள் இரண்டு 1000, 2000 அளவு எடுக்கப்பட்டு அவற்றின் நீளங்களின் இடை முறையே 67.5em, 67.8cm ஆக கணிக்கப்பட்டது. இரண்டு மாதிரிகளும் 4.5cm நியம விலகலைக் கொண்ட ஒரே குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாக இருக்கமுடியுமா? (o = 0.05)
LDTgSf I n = 1 000
x = 67.5cm
மாதிரி I n = 2000
x = 67.8cm
மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்ட குடியின் இடைகள் uu) என்க.
O = 4.5cm . சோதனை HO : u = u எதிர் H, u + u,
(இரு வாற்சோதனை)
சோதனைபுள்ளிவிபரம் Z=-ே2 - E)-N(0,1)
σ.
. V V n1 n 2
67.5 - 67.8
Zஇன் பெறுமானம் = -ட்டட்== -1.72
1 4.5---------
1000 2000
Z = 1.96
O = 0.05 (S6) அவதிப்பெறுமானம் 2
(இரு வாற்சோதனை)
75


Page 42
2 - D.
அவதிப்பிரதேசம்
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் அவதிப்பெறுமானத்திற்கிடையில் அமைவதால் ie, -1.96 <-1.72< 196
Ho ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
இரண்டு மாதிரிகளும் நியமவிலகல் 4.5 cm கொண்ட ஒரே குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது.
ஆயுட்காலத்தில் நியமவிலகல் 125hrs, 128hrs கொண்ட இரண்டு வகை மின்குமிழ்களைத் தயாரிக்கும் நிறுவனங்களிலிருந்து முறையே 60, 80 மின்குமிழ் மாதிரிகளை எடுத்து சோதித்தபோது ஆயுட்காலத்தின் சராசரிகள் முறையே 1282hrs, 1208hrS ஆக காணப்பட்டது. ஒருவர் மின்குமிழ் வாங்கும்போது எந்த நிறுவன் உற்பத்தியை தெரிவுசெய்வார் (1000 =5).
σ = 125 σ = 128
n = 60 n = 80 Χ - 1282 : X = 1208
சோதனை Hu = u எதிர் Hu>u,
(வலது வாற்சோதனை)
சோதனைப்புள்ளிவிபரம் Z = (XII - x 2)-(plu - l-12) ~ N(0,1)
76
 
 

Z இன் பெறுமானம் - 1282-1208 = 3.43
அவதிப்பிரதேசம்
கணிக்கப்பட்டபெறுமானம் 3.43> அவதிப்பெறுமானம்
H, நிராகரிக்கப்படும்
ie, H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ஆயுட்காலம் 125hrS நியமவிலகலாகக் கொண்ட நிறுவனஉற்பத்தி மின்குமிழ்களை தெரிவுசெய்வார்.
உ-ம். மேல்மாகாணம், மத்தியமாகாணம் ஆகியவற்றில் உள்ள தொழிலாளர்களின் நாளாந்த சம்பளம்பற்றிய ஆய்வு ஒன்றில் இரண்டு மாகாணத்திலிருந்தும் முறையே 1000, 1500 தொழிலாளர்கள் தெரிவு செய்யப்பட்டு அவர்களின் நாளாந்த சம்பளத்தின் சராசரியும் நியம விலகலும் முறையே Rs.85/-, Rs.3/- உம் Rs. 80/-, Rs.4/- உம் ஆக கணிக்கப்பட்டது. இரண்டு மாகாணத் தொழிலாளர்களின் சம்பளம்பற்றி சோதிக்க. (o=5%)
தீர்வு சோதனை H : u = u எதிர் H : u, >ய,
(வலது வாற்சோதனை)
sw = 3 x -85 n = 1000 s = 4 x =80 n = 1500
n &n என்பன பெரிய பெறுமானம்
77


Page 43
தீர்வு:
சோதனைப்புள்ளிவிபரம் z= (xx-x)-(–P) ~ N(0,1)
2 S S _W_+ : C"י
V n„ n.
85 - 80 z இன் பெறுமானம் = - == = 35.65
32 42 - - - - - - -- - - - --- 000 1500
o = 5% மட்டத்தில் அவதிப்பெறுமானம் Z = 1.64
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம் (95%)
5%
அவதிப்பிரதேசம்
35.65
1.
1.64
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 35.65 > அவதிப்பெறுமானம் 1.64 . H நிராகரிக்கப்படும்
மேல்மாகாணத்திலுள்ள தொழிலாளர் சம்பளம் மத்தியமாகாணத் திலுள்ள தொழிலாளர் சம்பளத்திலும் உயர்வானது.
இரண்டு பாடசாலை மாணவர்களின் புள்ளிவிபரவியல் LJHLфgБ0600LD6ou (33 ПgБILIgbija) LITLJIT6060 A ulobobibgh 15 மாணவர்களையும் பாடசாலை B யிலிருந்து 22 மாணவர்களையும் எடுத்து சோதித்தபோது அவர்கள் பெற்ற பெறுபேறுகளின் சராசரி முறையே 65, 68 ஆகவும் நியமவிலகல் முறையே 3.5, 4 ஆகவும் காணப்பட்டது. பாடசாலைத்தரத்தை சோதிக்க. (o = 0.05)
nx = 15 nB = 22 xa = 65 xi = 68 S = 3.5 S = 4
சோதனை H : u = u எதிர் Hu 

Page 44
குடித்தொகை விகிதங்கள் இரண்டின் வித்தியாசத்திற்கான (offseo60 (Test for the Difference of Population Propotion) இரண்டு குடித்தொகை விகிதங்கள் 1, 1 ஆகக் கொண்ட குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு பெரிய மாதிரிகளின் அளவுகள் n(>30), n,(>30) உம் அவற்றின் விகிதங்கள் முறையே P, P, உம் எனின் மாதிரி விகிதங்களின் வித்தியாசம் P. P. இன் இடை π, -ா, உம்
a r 8 TT, ( - TE,), Tt, ( - T.)
மாறற்றிறன் 9D LLD SCGbLD.
2
*
P - P - N(r, -).......) என கொள்ளலாம்.
f
கருதுகோள் Ho :T =ா, எதிர் H:T,关T。
அல்லது Η πι < π2
அல்லது Η πι > π2 என்பது சோதிக்கப்படும்.
Note: T,ா, அறியப்படாத சந்தர்ப்பத்தில் P, P.ஐ மதிப்பான்களாகக்
கருதலாம்.
P = PPTPSP2 எனின்
n + n,
 

Note:
2) --f:
தீர்வு:
(P, -P) - (π, –7)
P(1- "
n n2
கொள்ளப்படும். கருதுகோள் HT =ா, ஏற்றுக்கொண்டே
என்பது சோதனைப்புள்ளிவிபரமாகக்
சோதனை செய்யப்படுவதால்
P-P
l 1 என்பது சோதனைப்புள்ளிவிபரமாகும். P(1-P)( - + --)
in n மேற்குறிப்பிட்ட சோதனையானது பெரிய மாதிரிஅளவுகளுக்கு மாத்திரம் வலிதானதாகும். ஏனெனில் பெரிய மாதிரிஅளவுகளுக்கு ஈருறுப்பு பரம்பலானது செவ்வன் பரம்பலை அணுகுகிறது. சிறிய மாதிரி அளவுகளுக்கு ஈருறுப்பு பரம்பல் பாவிக்கப்படும்.
கணனிகளை உற்பத்தி செய்யும் தொழிற்சாலை ஒன்றில் 1000 கணனிகளை சோதித்தபோது 3% குறைபாடு உள்ளவையாக இருந்தன. கணனிகளை உற்பத்தி செய்யும் இன்னொரு தொழிற்சாலையில் 1500 கணனிகளை சோதித்தபோது 2% குறைபாடு உள்ளவையாக இருந்தன. முதலாவது தொழிற்சாலை உற்பத்தித்தரம் இரண்டாவதிலும் தாழ்வானது என்று கூறுவது பொருத்தமானதா? (o = 0.05)
சோதனை H:ா =ா, எதிர் H:ா,>ா,
- (வலது வாற்சோதனை) முதலாம் தொழிற்சாலையின் மாதிரியில் உள்ள குறைபாடுடைய
கணனிகள் - --x1000 - 30 100
இரண்டாம் தொழிற்சாலையின் மாதிரியில் உள்ள (U560),3UTCB60) lul
கணனிகள் - 孟* - 30
8


Page 45
மாதிரி விகிதங்கள் P = ਨ। 0.03
P, = 30 0.02
1500
_1000x 0.03+1500x 0.02
- 1000 - 1500
s: 0.024
P-P, PG-P).
in n
0.03–0.02 0.02:0.97c, so 1000 1500
0.01 0.06
o = 0.05 மட்டத்தில் அவதிப்பெறுமானம் Z = 1.96
சோதனைப்புள்ளிவிபரம்
இன் பெறுமானம்
= 1.60
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம்
0.05
அவதிப்பிரதேசம்
160 .96 கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 160 < அவதிப்பெறுமானம் 196 ... He ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ie இரண்டு தொழிற்சாலையிலும் உற்பத்தித்தரம் சமனானது.
(சமஅளவான குறைபாடுள்ள கணனிகளையே உற்பத்தி செய்கின்றன.)
82
 
 
 
 
 
 
 

“கை” வர்க்க சோதனை (Chi. square Test) புள்ளிவிபரவியலில் கை-வர்க்க சோதனையானது அவதானிக்கப்பட்ட (Observed) தரவுகளின் பரம்பலுடன் கொள்கைரீதியில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பரம்பல் மாறுபடுதலின், பொருந்துகைக்கான தன்மையை சோதிப்பதற்கு பயன்படுகின்றது. ஆகவே இது எதிர்பார்க்கப்பட்ட (Expected) உண்மையான (Actual) மீடிறன்களுக்கான விலகலை அறிவதற்கான ஒரு அளவு ஆகும்.
Note. இச்சோதனையில் பின்வருவன எடுகோள்களாக கொள்ளப்படும்.
(a) ஒவ்வொரு அவதானிப்புகளும் சாராதவையாக (Independent)
இருத்தல் வேண்டும். (b) ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியும் தம்முள் புறநீங்கலானவையாக
(Mutually Exclusive) 9(bgsgbol) (36)1606 (6th. (c) அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் பெரிதானதாக
இருத்தல் வேண்டும். (d) ஒப்பீட்டுத் தேவைக்காக, தரவுகள் எடுக்கப்பட்ட மூல
அலகிலேயே (Original Units) இருத்தல் வேண்டும்.
உ-ம்: நாணயம் ஒன்று 100 தடவைகள் சுண்டப்படும் போது 65 தடவைகள் தலையும், 35 தடவைகள் பூவும் விழுவதாக அவதானிக் கப்படுகிறது. இது அவதானிகப்பட்ட மீடிறன்கள் (Observed Frequency) 94(3)lf. நாணயம் கோடாதது எனும் எடுகோளின் கீழ் எதிர்பார்க்கக்கூடிய தலைகளின், பூக்கலின் எண்ணிக்கைகள் முறையே 50, 50 ஆகும். இது எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன்கள் (Expected Frequency) ஆகும். இதிலிருந்து நாணயம் கோடாததா, இல்லையா என்பதை சோதிப்பதற்கு இவ்விரண்டு மீடிறன்களுக்குமிடையிலான
வேறுபாடுகளை வைத்து x - புள்ளிவிபரத்தின் மூலம் x
சோதனை செய்யப்படும்.
83


Page 46
x2 - Loiresfahujib (x - statistic)
Kidsp6,35615535T60T 96.135T6idsdbill L fig13661356it (Observed Frequency) O, O, .o, எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன்கள் (Expected Frequency) E, E, .E என்க. இரு மீடிறன்களினதும் உடன்பாட்டை அளப்பதற்கு
(O, - E) (O, - E) -- (O, - E) என்பது புள்ளிவிபரமாக
E. E.
Lju J6öTL IG6LD. ie, X == E
Biurasaor ULg (Degree of freedom) x’ , புள்ளிவிபரத்தில் k மீடிறன்கள் கருதப்படுகின்றது எனின் சுயாதீனப்படி (k-1) ஆகும்.
O-E) Note: (i) Σ(ΟΗΕ). எனும் புள்ளிவிபரம்
k-1 சுயாதீனப் படியாகக்கொண்ட x* பரம்பலில் உள்ளது
என றிறுவலாம்.
(ii) χε - பரம்பலானது ஒரு நேர் ஓராயப்பரம்பலாகும்
ஏற்றுக்கொள் O அவதிப்பிரதேசம்
பிரதேசம் 7
Mmmm 0
1,
iே) x* -புள்ளிவிபரம் எடுக்கும் பெறுமானத்தைக் கணித்து x* .
பரம்பலின் அட்டவணைப் பெறுமானத்தையும் காண்பதன் மூலம் இரண்டையும் ஒப்பிட்டு மீடிறன்கள் உடன்படுகிறதா என்னும் கருதுகோளை ஏற்றல் அல்லது நிராகரித்தல் ஆகும்.
8A
 
 
 

(iv) உண்மையான, எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன்களுக்கிடையில்
2) -lib 1:
வித்தியாசம் இல்லை எனின் x2 =0 ஆகும்.
2500 மாணவர்களைக் கொண்ட குறித்த பாடசாலையில் ஒரு மாதகாலமாகச் செய்த ஆய்வில் பாடசாலைக்கு வராத மாணவர்கள் பற்றிய விரபங்கள் பின்வருமாறு:-
நாட்கள் மாணவர்கள் எண்ணிக்கை திங்கள் 100 செவ்வாய் 180
புதன் 120 வியாழன் 70
ിഖണ്ണി 30
ஐந்து நாட்களும் பாடசாலைக்கு மாணவர்களின் வருகை சமஅளவில்
உள்ளது என்பதை c = 0.05 மட்டத்தில் சோதிக்க.
தீர்வு: கருதுகோள்
H ஐந்து நாட்களும் மாணவர்களின்
வருகை சமஅளவு.
H: ஐந்து நாட்களும் மாணவர்களின் வருகை சமனற்றது.
நாட்கள் UITLð 150GWh 615 fluids). I'll O-E (O-E) (O - E)
சமுகமளிக்கும் Iỉlọj16}ĩ (E) E மாணவர்களின் * , எண்ணிக்கை (O)
திங்கள் 2400 2380 20 400 0.17 செவ்வாய் 2320 238O -60 3600 151 புதன் 238O 2380 || 0 O O வியாழன் 2430 2380 50 2500 05 ിഖണ്ണി, 2370 2380 . - 10 100 0.04 1900 2.77
எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் = 1900 - 2380
5
85


Page 47
(O - E) x -புள்ளிவிபரம், y'(0). எடுக்கும் பெறுமானம் = 2.77
diu TigaOTILJQ (d.f) = k-1 - 5 - 1 = 4
அட்டவணைப் பெறுமானம் vs.- 9.488
ie, 0.05 மட்டத்தில் அவதிப்பெறுமானம் = 9488
个
2.77 9.488
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் (2.77) < அட்டவணைப் பெறுமானம் (9,488) '. Ho ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ie, ஐந்து நாட்களிலும் மாணவர்களின் வருகை சமனானது.
gð -lb.
நான்கு ஒரேமாதிரியான நாணயங்கள் 160 தடவைகள் சுண்டப்பட்டு
பெறப்பட்ட தரவுகள் வருமாறு:
தலைகளின் எண்ணிக்கை O 1 2 3 4 அவதானிக்கப்பட்ட மீடிறன் 7 52 54 31 6
இத்தரவுகளைக் கொண்டு நாணயங்கள் கோடாதவை என்பதை சோதிக்க.
Note: Slaspád. A uig, P(A) = 器 -> n(A) = P(A)x n(E)
H: நாணயங்கள் கோடாதவை. H. நாணயங்களில் ஒன்றாவது கோடலானது.
4 - 卒 4 - x எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் - C. () -() x 160,
X = 0, 1, 2, 3, 4
8,
 

தலைகள் அவதானிக்கப்பட்ட எதிர்பார்க்கப்பட்ட (O-E) (O-E) (O-E)/E
të Qpsi (O) fig psi (E) O 17 4c (4)' x 160 = 10 7 49 49
l 52 4c. (%)" x 160 = 40 12 144 3.6
2. 54 4cل) وZ1(' x 160 = 60 -6 36 0.6 3 : 31 4c,(4)'x160 = 40-9 81 2.025 4 6 4c4(%)'x 160 = 10||||||||||| 1.6 6 4۔ 12.725
GuJFToOTÜLJọ (d.f) = 5 - 1 = 4
O - Ε) y - புள்ளிவிபரம், CE! இன் பெறுமானம் = 12,725
அட்டவணைப் பெறுமானம் y = 9488
ஏற்றுக்கொள் OOS
பிரதேசம்
அவதிப்பிரதேசம் O
9488 2.725
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் (12.725) > அட்டவணைப் பெறுமானம்(9.488)
ie,
2 - D:
HO நிராகரிக்கப்படுகிறது. நாணயங்களில் ஏதேனும் ஒன்றாவது கோடலானதாக இருக்கும்.
ஒரு அறுமுகித்தாயக்கட்டை 120 தடவைகள் சுண்டப்படும்போது பெறப்பட்ட அவதானிப்புகள் வருமாறு:-
முகப்பு இலக்கம் 2 3 4 5 6
எண்ணிக்கை 30-25 - 18 O 22 15 o = 5% மட்டத்தில் சுண்டப்பட்ட தாயக்கட்டை கோடாதது
என்பதை சோதிக்க. (x - 11.07)
-- 87


Page 48
அறிமுறைப் பரம்பல் ஒன்றின் பொருத்துகை (Fit of a Theoritical Distribution) குடித்தொகைப் பரம்பல் பற்றிய கருத்து உள்ளபோது அக் குடித்தொகை யிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரி ஒன்றுக்கு பொருத்தமான அறிமுறைப் பரம்பல் ஒன்றைப் பொருத்தமுடியும். இந்த பொருந்துகைக்கான வாய்ப்புப்பற்றி x’ சோதனைமூலம் சோதிக்க முடியும்.
உ-ம்: மேலே உள்ள உ-ம்-2 இல் தரவுக்கான ஈருறுப்புப்பரம்பலின்
பொருந்துகைக்கான வாய்ப்புபற்றி சோதிக்க.
தீர்வு H, எடுக்கப்பட்ட மாதிரியானது ஈருறுப்புப்பரம்பல் குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது. (or இந்த தரவுகள் ஈருறுப்புப் பரம்பலுக்கு கீழ்படிகிறது). H, ஈருறுப்புப்பரம்பல் குடியிலிருந்து எடுக்கப்படவில்லை.
x : தலைகளின் எண்ணிக்கை
P(H) = P 616613, P(T) = -P(H) = 1-p = q 66135; p + q = }
x இன் நிகழ்தகவுப் பரம்பல்
P(x)="Cp*q : x = 0, 1,2,3,4
அவதானிக்கப்பட்ட
х மீடிறன் () (fx) O 17 0 52 52 2 54 108 3 31 93 4 6 24
; 160 277
88

ΣfΧ 277
அவதானிக்கப்பட்ட மீடிறன் பரம்பலின் இடை = Σf 160
= 1.73 ஈருறுப்பரம்பலின் இடை = mP = 4P
4P = 1,731 P = 0.433
பொருத்தப்பட்ட ஈருறுப்புப்பரம்பல் P(x) = 4c (0.433) (0.567), x = 0, 1, 2, 3, 4 எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் (B) = P(x) X 160 = 160x4c (0.433) (0.567), x = 0, 1, 2, 3, 4
X O E O-E (O-E)2 (ope)"
0 17 | 160x4c (0.433)"(0.567) = 17 O O 0.0 | 52 160x4c (0.433)' (0.567) =51 1 0.02 2 54 160x4c,(0.433) (0.567) = 58 -4 16 0.28 3 | 3 | | 160x4c,(0.433) (0.567)' = 30 0.03 4 || 6 | 160x4c,(0.433) (0.567)' = 6 0 O 0.00 0.33
y - புள்ளிவிபரம், Σ(ΟΗ): இன் பெறுமானம் = 0.33
சுயாதீனப்படி = 5 - 1 = 4
o = 0.05 மட்டத்தில் மாறுநிலைப் பெறுமானம் y =9488
அவதிப்பிரதேசம்
89


Page 49
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 0.33< மாறுநிலைப் பெறுமானம் 9.488 '. H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
ie, இத்தரவுகள் ஈருறுப்புப்பரம்பலுக்கு கீழ்ப்படிகின்றது.
2 சாராமையை சோதிப்பதற்கான X - சோதனை
( χε test for test of Independence) ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட காரணக்குறிகள் (Attributes) சம்பந்தப்பட்டுள்ளதா இல்லையா என்பதை கண்டறிவதற்கு இந்த சோதனை பாவிக்கப்படுகிறது. ۔
இந்த காரணக்குறிகள் தம்முள் தொடர்புள்ளவையா (சார்புடையவையா) அல்லது தொடர்பற்றவையா (சாராதவையா) என்பதைக் கண்டறிய முடியும். காரணக்குறிகள் சாராதவை என்ற கருதுகோளை எடுத்து மேலே
விபரிக்கப்பட்ட முறைமூலம் x - புள்ளிவிபரம் சோதிக்கப்படும்.
Gibfray eit Lalgoor (Contingency table)
புகைப்பழக்கம் உண்டு இல்லை | மொத்தம்
ജ്യങ്ങ് 18 12 30 LJT6)
பெண் 9 20
மொத்தம் 27 23 50 2 Χ 2
இது இரண்டு மாறிகளை (புகைப்பழக்கம், பால்) இவ்விரண்டு நிலைகளில் (உண்டு. இல்லை) (ஆண், பெண்), கொண்ட நேர்வு அட்டவணை ஆகும்.
இந்த அட்டவணையைப் பாவித்து பால், புகைப்பழக்கம் என்பன ஒன்றில் ஒன்று சார்ந்ததா, சாராதவையா என்பதை சோதிக்க முடியும்.
9.

Note: (1) நிரைகளையும், c நிரல்களையும் கொண்ட ஒரு நேர்வு
அட்டவணையின் சுயாதீனப்படி (r - 1) x (c. 1) .
அவதானிக்கப்பட்ட மீடிறன்கள் தரப்படுமிடத்து எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன்கள் கணித்தல் முறை.
B b மொத்தம் A , . Οι Οις TA
a. O O T, மொத்தம் T T T
அவதானிக்கப்பட்ட மீடிறன் (தரப்பட்டது)
B b மொத்தம்
A E. E. T
al E. E. T. மொத்தம் T Τ
எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன். (கணிக்கப்பட வேண்டியவை)
இங்கு இரண்டு மாறிகளும் சாராதவை என்பதை சோதிக்கவேண்டும். ஆகவே இரண்டும் சாராதவை என்பதை ஏற்றுக்கொண்டு எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் கணிக்கப்பட்டு சோதனை செய்யப்படும். ,
میم
A எனும் நிகழ்சிக்கான நிகழ்தகவு
B எனும் நிகழ்சிக்கான நிகழ்தகவு
A, B & ITU Tg560)6)
TA TB
- تث- X - شکس
(AB) இரண்டும் நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு =P(A), P(B)= *
(AB) எனும்நிகழ்சியின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட எண்ணிக்கை = P(A,B)x I
91


Page 50
Tمبر TB بر TA
T
TA
-A-XT
----
உரியநிரையின் கூட் டுத் தொகை ieஎதிர்பார்க்கப்பட்டமீடிறன்= x உரியநிரலின் கூட்டுத் தொகை
s மொத்த புள்
T T E = A-XT E = A-XT,
T T
Τ T. E = I, E = T,
உ-ம்: 50 பேரைக் கொண்ட மாதிரி ஒன்றின் புகைப்பழக்கத்தை பால்ரீதியாக ஆராயப்பட்டு பெறப்பட்ட நேர்வு அட்டவணை வருமாறு:
புகைப்பழக்கம
உண்டு இல்லை மொத்தம் ஆண் 2O 10 30 பால்
பெண் 5 15 20
மொத்தம் 25 25 50
புகைப்பழக்கம் பால்ரீதியாக தங்கியுள்ளதா என்பதை சோதிக்க.
தீர்வு: கருதுகோள்
H, புகைப்பழக்கம் பாலில் தங்கவில்லை.
H, புகைப்பழக்கம் பாலில் தங்கியுள்ளது.
எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் (E)
92

x - புள்ளிவிபரம், Σ
நேர்வு அட்டவணை 2 நிரல்களையும் 2 நிரைகளையும் (2 x 2)
கொண்டது.
Ε
இன் பெறுமானம்
'. சுயாதீனப்படி (df) = (2 - 1) x (2 - 1) = 1
x2 - அட்டவணை பெறுமானம் x = 3.84
(அவதிப் பெறுமானம்)
93
புகைப்பழக்கம்
உண்டு இல்லை மொத்தம்
30 30
50 50
ι Τ6υ = 15 = 15 30
20 20 பெண் x 25 -س------X25
50 50
= 10 = 10 20 மொத்தம் 25 25 50
- m (O-E) அவதானித்த எதிர்பார்த்த (O-E) (O-E) E
மீடிறன் (o) மீடிறன் (E)
20 5 5 25 1.67 10 15 -5 25 1.67 5 10 -5 25 2.5 15 10 5 25 2.5
8.34
(O - E)
8.34


Page 51
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம்
அவதிப்பிரதேசம்
个 个
3.84 834
O
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 8.34> அவதிப் பெறுமானம் 384
H நிராகரிக்கப்படும் புகைப்பழக்கம் பாலில் தங்கியுள்ளது.
94.

LDITDsbroad Lug ILITio (Analysis of Variance) (ANOVA) இரண்டு செவ்வன் குடித்தொகைகளின் இடை சமம்பற்றி சோதிப்பதற்காக கருதுகோள் சோதனை பயன்படுகிறது. இரண்டுக்கு மேற்பட்ட குடித்தொகைகள் உள்ளபோது குடித்தொகை இடைகள் சமம் என்பதை ஒரேதடவையில் சோதிப்பதற்காக பயன்படும் புள்ளிவிபர முறை மாறற்றிறன் பகுப்பாய்வு ஆகும்.
ஒருவழி மாறற்றிறன் பகுப்பாய்வு (One-way ANOVA) வேறுபட்ட k குடித்தொகையிலிருந்து பெறப்பட்ட n பருமனுடைய மாதிரிகளை
கருதுக. அவற்றின் மாதிரி இடைகள் x, x2.x உம் மாதிரி
மாறற்றிறன்கள் S.S్న a - - -s உம் கணிக்கப்படும்.
கருதுகோள்: H0:山=H2=... k
H ஏதாவது இரண்டு இடை சமனற்றது. ie, li 7 li (i 关 j)
என வரையறுக்கப்பட்டு, இதை சோதிப்பதற்காக, மாதிரி இடைகளின்
மாறற்றிறன் s உம் மாறற்றிறன்களின் இடை 1 உம் கணிக்கப்படும்.
மாதிரிகளுக்கு இடையிலான மாறற்றிறன் (ns. )
X
மாதிரிகளுக்குள்ளான மாறற்றிறன் (u )
எனும் புள்ளிவிபரமானது F - பரம்பலில் உள்ளது எனக் காட்டலாம்.
F - பரம்பலுக்கான சுயாதீனப்படி k மாதிரிகள் இருப்பதனால் மாதிரிகளுக்கிடையிலான மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி k - 1 உம் k மாதிரிகளுக்குள்ளும் n அவதானிப்புகள் இருப்பதனால் மாதிரிகளுக்குள்ளான மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி k(n-1) உம் ஆகும்.
F பரம்பலின் சுயாதீனப்படி k - 1, k(n-1) ஆகும்.
F-1, kin-1}, ... 6T6 குறிக்கப்படும்.
95


Page 52
9 -b:
தீர்வு :
ns* சோதனைப்புள்ளிவிபரம் us
s
F-பரம்பல் அட்டவணையின் பெறுமானத்துடன் Ε ஒப்பிடுவதன்மூலம் H,சோதிக்கப்படும்.
இன் பெறுமானம் கணிக்கப்பட்டு
k-1, kn-i), ،مرو(
புதிதாக ஆரம்பிக்கப்பட்ட மின்குமிழ் உற்பத்தி செய்யும் நிறுவனம் மூன்றுவகையான மின்குமிழ்களை உற்பத்தி செய்கிறது. ஒவ்வொருவகையிலும் 5 மின்குமிழ்கள் வீதம் தெரிவு செய்து அவற்றின் ஆயுட்காலம் (நாட்களில்) சோதிக்கப்பட்டது. அவை ஒவ்வொருவகைக்குமான உற்பத்திச்செலவு சமன் எனின், வாடிக்கையாளரின் நன்மைகருதி எந்த வகை மின்குமிழ்களை தெரிவு செய்து நிறுவனத்தினர் சந்தைப்படுத்துவார்கள்.
x 6hᎫ6ᏡéᏏ y ഖങ്ങിക Ꮓ 6hl6ᏡéᏏ
26.0 29.0 300
28.5 28.8 26.3
27.3 27.6 29.2
25.9 28.1 27.
28.2 27.0 29.8
Χ Υ z (x –x)” (y –y) (z–z)
26.0 29.0 30.0 | 1.39 0.81 2.31 28.5 28.8 26.3 74 0.49 4.75
27.3 27.6 29.2 0.01 0.25 0.52 25.9 28. 27.1 1.64 OOO 1.90 28.2 270 29.8 104 1.21 1.74
135.9 140.5 142.4 5.82 2.76 1122
96

135.9 140.5 142.4
5 == 5 5
= 27.18 = 28.10 = 28.48
n -1 n-1
--Σ (ν - 28,10) ---Σ (ν - 28,10) 5 - 1 5 - 1 -
1 ー -×5.82 276 - x 28.48
= 1.46 = 0.69 2.81 سبي
H011 = u = 1, எதிர் H ஏதாவது இரண்டு இடைகள் சமனற்றவை
மாதிரி இடைகள் 27.18, 28.10, 2848 இன் 27.18-28.10 + 28.48
இடை = ட்ட் = 2792
3 மாறற்றிறன்
1 so = -(27.18-2792) + (28.10-2792)+(2848-27.92)
3-l
= 0.45
மாதிரி மாறற்றிறன்கள் 146, 0.69, 281 இன்
1.46+ 0.69+2.81
இடை 1 = = 165
n = 5, k = 3
97


Page 53
Note:
2 S- − சோதனைப்புள்ளிவிபரம் இன் பெறுமானம்
s2
F- பரம்பல் அட்டவணையின் பெறுமானம் -
s F.200s
= 38853 (அவதிப்பெறுமானம்)
1.36 ssss
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 1.36 < அவதிப்பெறுமானம் 3.8853 H ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
மூன்றுவகையான மின்குமிழ்களும் சம ஆயுட்காலம் உள்ளவை. ஆயுட்காலத்தை பொறுத்தமட்டில் மூன்றுவகையான மின்குமிழ் களையும் சந்தைப்படுத்த முடியும். ஆனால் விலை குறைந்த மின்குமிழ்களை சந்தைப்படுத்துவதே வாடிக்கையாளருக்கு
b6ö60LD1_Julőb(35lD.
ஒவ்வொரு மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையும் சமனாக அமையத்தேவையில்லை. இந்நிலையில் சுயாதீனப்படி k(n-1) என்பது N-k 61601 960). Dub.
இங்கு N என்பது மொத்த அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஆகும்.
98
 

மாறற்றிறன் பகுப்பு அட்டவணை முலம் சுருக்கமுறை (Short method using A NOVA Table)
1. சமனான மாதிரிப் பருமன் கொண்ட மாதிரிகளுக்கு ANOVA அட்டவணை
தயாரிக்கும்முறை
n மாதிரிப்பருமன் கொண்ட k மாதிரிகளைக் கருதுக.
சோதிக்க வேண்டிய கருதுகோள்கள்
எதிர்
Step 1:
Step 2:
Step 3:
Step 4:
Step 5:
Ho: l = 1 = ........ =uk
H : u; # u (ஏதாவது இரண்டின் இடை சமனற்றது)
அனைத்து தரவுகளினதும் மொத்தம் (Total)
Τ=ΣX +ΣX + +ΣΧι
g5 (55955860fullb (Correction factor)
1.
C.F. N 9äJ(5 N = nk
எல்லாத் தரவுகளினதும் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை. ΣX +ΣX +...+ΣΧ.
oldT55 6) Fré585 Jihl (65og5T60)85. (Total sum of squares)
SST =ΣX +ΣX +...+Σ.Χ. - CF
மாதிரிகளுக்கிடையிலான வர்க்க கூட்டுத்தொகை. (Between sum of squares)
SSB=2^) +(ΣΧ.) +...+(ΣΧ.) - C.F n
99


Page 54
மாதிரியினுள் வர்க்க கூட்டுத்தொகை
Step 6:
(வழு வர்க்க கூட்டுத்தொகை). (within sum of squares or Error sum of squares) SSW (or SSE) = SST - SSB
Step 7: A NOVA SÐÜL6l60D600T
மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி வர்க்கங்களின் இடைவர்க்க P. விகிதம் Variance degree of in L(650bls)h கூட்டுத்தொகை
freedom sum of ea Sl F - ratio
Squares of squares மாதிரிகளுக் கிடையில்
SSB MSB (Between k - SSB MSB = -
ー MSW Samples)
மாதிரிகளுக்குள்
SSW (within k(n - 1) || SSW MSW = samples) (or SSE) (or MSE) மொத்தம் Total kn - 1 SST
F - பரம்பல் அட்டவணைப் பெறுமானம் F-11-% என்பது F-விகிதம்,
MSEB
= ) இன் பெறுமதியுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் சோதனைக்கான
MSW
(H, vs H.) தீர்மானம் எடுக்கப்படும்.
Note:
F- விகிதத்தில் பங்குபற்றுவது MSB. MSW ஆகியன ஆகும் F.
விகிதத்துடன் ஒப்பிடும் F , அட்டவணைப் பெறுமானம் பார்க்கும் போது அதற்கான சுயாதீனப்படி MSB. MSW இற்கு தொடர்புடைய
சுயாதீனப் படிகள் k-1 k(n-1) ஆகும்.
13

9 - D:
மேலுள்ள உதாரணத்தை கருதுவோமாயின்
Ho : Աx Lly ང་གང་ lz
H1:山、チ山。 or +4, 7 +4, or +4, 7 +4, மொத்தம் Τ= ΣX + Σy + ΣΖ
= 1359 -- 140.5 + 1 42.4
418.8
திருத்தக்கணியம் CF = TAK
(418.8) 15 175393.44
15
= 1 1692.896
எல்லாத்தரவுகளினதும் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை
Σx +Σy. Σε
3699.59 + 3950.81 + 4066.78
1 717.18
மொத்தவர்க்க கூட்டுத்தொகை
2 2 2 SST=Xx° +Xy° +Xz°— C.F = 11717.18 - 11692. 896
24.284
11


Page 55
மாதிரிகளுக்கிடையிலான வர்க்க கூட்டுத்தொகை
2 2 2 sSB = (2*) .Σ.) .Σ.) - C.F
2 2 2 (135.9) (1405) (1424)
== -1 1692.896
5 5
= 1 1697.364 - 1 1692.896
= 4.468
மாதிரியினுள் வர்க்க கூட்டுத்தொகை SSW (or SSE) = SST - SSB
= 24.284 - 4.468 = 19.81 6
A NOVA Table
மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி வர்க்க இடைவர்க்க F - விகிதம்
கூட்டுத்தொகை கூட்டுத்தொகை
மாதிரிகளுக்
4.68 2.34 8 = } "ت R S R MSB = — * - , - கிடையில் 3- 1 = 2 SSB = 4.68 2 F-16s
= 2.34 = 1.417
மாதிரி
19.816 களுககுள 1 5-3 = 1 2 || SSE = 1 9 8 1 6 MSE = e =,
- 1651
மொத்தம் 15-1 = 14 SST = 24,284
F- விகிதம் = 1,417
F - பரம்பல் அட்டவணைப் பெறுமானம் F1200 = 3.88
12

ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம்
O 4.17 8 அவதிப்பெறுமானம்
F- 6d,5lb < F1200s (அவதிப்பெறுமானம்) H, ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்
மின்குமிழ்களின் ஆயுட்காலத்தில் வேறுபாடுகள் இல்லை.
2. சமனற்ற மாதிரிப்பருமன் கொண்ட மாதிரிகளுக்கு ANOVA
அட்டவணை தயாரிக்கும் படிமுறைகள்:
n, n.s.........n, மாதிரிப்பருமன்களாகக் கொண்ட k மாதிரிகளைக் கருதுக.
சோதிக்கவேண்டிய சூனியக்கருதுகோள்
H0 : 2 = . Fl
எதிர் H : Lu, 7t 11 (ஏதாவது இரண்டு சமனற்றது)
Step 1: அனைத்து தரவுகளினதும் மொத்தம் (Total)
Τ= ΣX +ΣX +...+ΣΧι
Step 2: g5(b55535600fujib (Correction factor)
2 CF. = N இங்கு N = n+n+...+n,
k
Step 3: எல்லாத் தரவுகளினதும் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை.
ΣX +ΣΧ, +...+ΣΧ.
13


Page 56
Step 4: GLDT;55 offix) Jat (656.5T605. (Total sum of squares)
i 2 2 2 SST = XC x +X, Cx, +.......+Xx“ — C.F Step 5: மாதிரிகளுக்கிடையிலான வர்க்க கூட்டுத்தொகை.
(Between sum of Squares)
2 2 2 ΣΧ. | ΣX ΣX SSB (x) (x),.... (X)er n n2 k
Step 6: மாதிரியினுள் வர்க்க கூட்டுத்தொகை
(or வழு வர்க்க கூட்டுத்தொகை). (within sum of squares or Error sum of squares)
SSW (or SSE ) = SST - SSB
Step 7: ANOVA OJI L6)1606001
மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி வர்க்கங்களின் இடைவர்க்க F - விகிதம் Variance degree of கூட்டுத்தொகை கூட்டுத்தொகை -
ヘ free donn Sum of Cal S ll li F - Ratio
SC la SS of Squares
மாதிரிக ளுக்கிடையில்
MSB SSB (Between k - SSB MSB C MSW
sam ples)
மாதிரிகளுக்குள்
SSW (within N-k SSW MSW = . ——— N - k
samples) (or SSE) (or MSE)
மொத்தம் メ
Total N- 1 SST
1A

N O te:
9> ... -LD:
F - பரம்பல் அட்டவணைப் பெறுமானம் F-N.1% என்பது
MSB Fவிகிதம், " MSE இன் பெறுமதியுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம்
சோதனைக்கான (H, vs H) தீர்மானம் எடுக்கப்படும்.
1 F - விகிதம், F , அட்டவணைப் பெறுமானத்துடன் ஒப்பிடப்படும். F - விகிதத்தில் MSB, MSW என்பன சம்பந்தப்படுகிறது. அதற்கு தொடர்புடைய சுயாதீனப்படிகள் K-1 N.K என்பன F - அட்டவணைப் பெறுமானத்திற்கான சுயாதீனப் படிகளாக இருக்கும்.
2. ANOVA அட்டவணைக்குள் வரும் எல்லாப் பெறுமானங்களும்
நேர் பெறுமானங்களாக இருக்கும்.
ஒரே மாதிரியான நான்கு வியாபாரஸ்தாபனங்களின் வியாபாரம் பற்றிய ஆய்வுக்காக நாளாந்த மொத்த வியாபாரத்தின் அளவு ரூபாவில் தரப்பட்டுள்ளது. தரவுகள் 00000 இல் தரப்பட்டுள்ளது.
நிறுவனம் A நிறுவனம் B நிறுவனம் C நிறுவனம் D
15 19 22 16 17 18 18 19 19 20 2 17 16 7 23 18 14 4 20 22 18 - 19 2
15 VNM - 16
16
தீர்வு:
நான்கு நிறுவனங்களினதும் வியாபாரத்தின் சமம்பற்றி சோதிக்க,
Ho HA=以B=le=HD எதிர் H, ஏதாவது இரண்டு சமனற்றதாக இருத்தல் (u, z Hر(.
15


Page 57
A B C D
15 19 22 16 17 18 18 19 19 20 21 17 16 17 23 18 14 14 20 22 18 9 21 15 6
16 -
130 88 123 129
மாதிரி எண்ணிக்கை n = 8 n = 5 n = 6 n = 7 கூட்டுத்தொகை T = 30 T = 88 T = 123 T = 29 வர்க்கங்களின் ΣΧ. - 2132 ΣX = 1570 ΣΧ. – 2539 ΣX, - 241 கூட்டுத்தொகை
மொத்தம் T = T + T + T + T,
= 30 + 88 + l23 + 129 = 470
N = n + n + n + n,
= 8 - 5 - 6 - 7
= 26
a Ο Ε Τε திருத்தக்கணியம் CF= VK
470
26
= 8496.15
16

மொத்த வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை
SST =XX,°+XCXg° +XCX,° + XCX,° — C.F
جیمس
156
2132 + 1570+. 2539 + 241 1 - 8496.15
8652 - 8496
மாதிரிகளுக்கிடையிலான வர்க்க கூட்டுத்தொகை
2 - SSB = ΤΑ μTB Il A l B
வழு வர்க்கத்தின் கூட்டுத்தொகை SST - SSB
56 - 63.94
SSE
2
130° 88° 123° 1292 二 -- 十 --
2,
T T + S-+ P-- no in D
CF
-8496.15
8 5
6
= 2112.5 + 1548.8 + 2521.5 + 2377.29 - 8496.15 = 8560.09 - 8496.15
= 63.94
-
= 92.06
A NOVA 69'L GIGO)6OOT
மாறற்றிறன் சுயாதீனப்படி வர்க்கங்களின் இடைவர்க்க F-விகிதம்
கூட்டுத்தொகை |கூட்டுத்தொகை
மாதிரிகளு
231 க்கிடையில் 4-1 =3 63.94 21.3 ----5.09 = س
4.18
வழு 22 92.06 . . . . 4.18 மொத்தம் 126-1=25 156
17


Page 58
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் - 5.09
அவதிப்பெறுமானம் = F3s.
- 305
ஏற்றுக்கொள் பிரதேசம்
அவதிப்பிரதேசம் " 个。个
305 "5.09
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் 5.09 > அவதிப்பெறுமானம் 3.05 H நிராகரிக்கப்படும்.
நான்கு நிறுவனங்களினதும் வியாபாரம் சமமற்றது.
18

மாதிரி
2) --lib 1:
தீர்வு:
வின்ாவிடை ጎ
ஐந்து அலகுகளைக் கொண்ட குடி ஒன்றின் அவதானிப்புகள் 7, 6, 8, 10, 4 ஆகும். பிரதிவைப்பின்றி மூன்று அலகுகளைக் கொண்ட எழுமாற்று மாதிரிகள் எடுக்கப்படுகின்றன. 6) சாத்தியமான மாதிரிகள் எத்தனை? அவற்றை எழுதுக. (i) அவற்றின் இடை, மாறற்றிறன்களை காண்க. (i) மாதிரி இடைகளின் இடை 14, ஐயும், மாறற்றிறன்களின்
இடை H2 ஐயும் காண்க. (iv) மேற்கணிப்புகளிலிருந்து
(a) மாதிரி இடையானது குடிஇடையின் கோடாத மதிப்பான்
(b) மாதிரி மாறற்றிறன் குடி மாறற்றிறனின் கோடாத
மதிப்பான் என்னும் கூற்றுக்களை சரிபார்க்க.
சாத்தியமான மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை = 5c,
= 10
மாதிரி இடை(x) மாறற்றிறன் S?
(7, 6, 8) 7
(7, 6, 10). 2% 1%
(7, 6, 4) 174
(7, 8, 10) 2%
7A
74 o84)| % % 9
%
%
(7, 10, 4) 7 (6, 8, 10) 8
(6, 8, 4) 6 (6. 10, 4) 2% 28
(8, 10, 4) 2% 28
19


Page 59
மாறற்றிறன் கணிக்கும் முறை
)ே மாதிரி (7, 6, 8) இன் --- 3-1 (i) மாதிரி (7, 6, 10) இன்
1. 23 Yo 23 Yo 23 Yo S."=一ー||7ーニ'| +|6ーニー | +|10ー午||=13
2 it, ( ( 兴
23 17 25 19 20 7+ + i + T
S (7-7) + (6-7)+(8–7) = 1
'...\ 1 - = - + - + 7+ 8 + 6 -- T - + T (i) != / . / 3 3
210 - 30 - 7 (++ 4 + 4 +9+ + + + + 1) = در با
10 ༽333་3 3 3
50 10
= 5 (iv) குடியின் இடை
a = (7+6+8+10+4)
11

குடியின் மாறற்றிறன்
s = (7-1) +(6-7) +(8-7) +(0-7) (4–7)
1 = si = -1,
கூற்றுக்கள் (a), (b) என்பன உண்மையாகும்.
ஒரு குறிப்பிட்ட வகுப்பு மக்களிலிருந்து எழுமாறாக தெரிவுசெய்யப்பட்டு அவர்களின் வருட மொத்த வருமானம் ஆயிரம் ரூபாக்களில் கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
6.5 10.5 12.7 13.8 13.2 11.4 5.5 8.0 9.6 9.1 9.0 8.5 48 7.3 8.4 8.7 7.3 7.4 5.6 6.8 6.9 6.8 6. 6.5 4.0 6.4 6.4 8.0 6.6 6.2 4.7 7.4 8.0 8.3 7.6 6.7
மாதிரித் தரவுகளைக்கொண்டு இந்த வகுப்பிலுள்ள ஒருவரின் சராசரி வருமானம் வருடத்திற்கு 10000/- வாக இருக்கும் என்ற முடிவுக்கு வரமுடியுமா?
Ho: 1 = 10 6157 H, : u = 10 மாதிரி பருமன் n = 36
280
மாதிரி இடை x = as = 7.80
111


Page 60
* to ~N(0,i)
; Z = சோதனைப் புள்ளி விபரம் S/ nn
S = Σ(x-x)
180.07
35
S = 2.27
(7.80-10)
Z இன் பெறுமதி = 227/ა/ვ6 TT*
o = 0.05 இல் Zy = 1.96
0.025 0.025
t அவதிப்பிரதேசம் 11 பிரதேசம் h அவதிப்பிரதேசம்
个个 个 -581 - 1.96 96
கணிக்கப்பட்ட பெறுமானம் (-581) < அவதிப் பெறுமானம் (-196)
H, நிராகரிக்கப்படும்.
ie, வருட சராசரி வருமானம் 10,000/- இற்குச் சமனாகாது.
S) --D 3:
1998ம் ஆண்டு நமது நாட்டு மக்களின் சராசரி வயது வருடங்கள் 60 என எதிர்பார்க்கப்பட்டது. இதை சோதிப்பதற்காக 11 பிரதேசங்களில் ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டு பெறப்பட்ட தரவுகள் வருமாறு. இத் தரவு எமது எதிர்பார்ப்பை உறுதிசெய்கின்றதா?
64.2, 60.4, 54.2, 59.7, 65.4, 67.0, 68.2, 66.6, 71.9, 57.5, 53.4.
112

தீர்வு: Ho : u = 60 H. : u z 60
(இருவாற்சோதனை)
மாதிரி அளவு n = 18 (சிறியது)
t= ~ t
s/n n-1.5%
x -688-62.29
11
1 So = -(358.29
o )
= 35.81
S = 5.98
இன் பெறுமானம்=922-9 5.98/W11
= 1.27
t = 2.718
10, 0.025
-2.718 < 1.27 < 2.718
H ஏற்றுக் கொள்ளப்படும். உம் 4: இரண்டு மாதிரிகள், இரண்டு செவ்வன்குடிகள் Na,0)
இலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றது. குடும்பம் ஒன்றின் (قند وG و )N மாதாந்த செலவு ரூபாயில் அமைய எடுக்கப்பட்ட மாதிரி சம்பந்தமான தகவல்கள் வருமாறு.
icts f l n = 42, x = 744.85, S = 15816.43 மாதிரி 2 n =32.x =516.78.S=26413.61
113


Page 61
சராசரி குடும்ப மாதாந்த செலவு சமமம்பற்றி சோதிக்க. (α E 0.05)
தீர்வு: H : u = u எதிர் H : u + 1)
z=-= ~ N(0,1)
744.85-516.78
158165.4326413.61
42 32
Z இன் பெறுமதி ட
=3.36.
C = 0.05 => Z = 1.96
3.36 D 1.96
H நிராகரிக்கப்படும்.
2 - D 5: ஒரு பழைய நகரத்திலிருந்து 400 பேரைக் கொண்ட எழுமாற்றுமாதிரி ஒன்றும் புதிய குடியேற்றங்களிலிருந்து 500 பேரைக்கொண்ட எழுமாற்று மாதிரி ஒன்றும் தெரிவு செய்யப்பட்டு TV களைக் கொண்டுள்ள வீடுகளைப் பற்றி ஆய்வுக்குட்படுத்தப் பட்டது. 400 பேரைத் தெரிவு செய்த பழைய நகரத்தில் 48 பேரும் 500 பேரைத் தெரிவு செய்த புதிய குடியேற்றங்களில் 120 பேரும் TV வைத்திருப்பவர்களாக காணப்பட்டனர். பழைய நகரத்தில் TV வைத்திருப்பவர்கள் விகிதமும், புதிய குடியேற்றங்களில் TV வைத்திருப்பவர்கள் விகிதமும் சமம் என்பதை சோதிக்க (ou = 0.05)
11
 
 
 

தீர்வு:
P
Hο πι = π2
H1 : Tt # Tc2
48 400
A=罢=024
500
400P+500P, 168 14 P= ----- == --=0.19 400-500 900 75
Z = p, - P.
|P(1-P) +)
= 0.12
~ N(0,1)
0.12-0.24
2 இன் பெறுமானம் 0.19081(1+
400
R ... 4.8 a = 0.05=> Z = 1.96
- 4.8<-1.96 H. நிராகரிக்கப்படும்.
115
...)
500


Page 62
உ-ம் 6: பெண்கள் திருமணம் செய்யும் வயது பற்றிய ஒரு ஆய்வின்
தகவல்கள் கீழ் தரப்படுகின்றன.
வயது வகுப்பு பெண்களின் எண்ணிக்கை
15-19 03 19-23 43 23-27 62
27-31 38 31-35 24 35-39 14 39-43 11
43-47 05
47-51 O2
மேற்படித்தரவு செவ்வன் பரம்பலில் இருந்து எடுக்கப்பட்டதா என்பதை சோதிக்க.
தீர்வு:
வயது வகுப்பு பெண்களின் நடுப்பெறுமானம் (x) எண்ணிக்கை (f)
7 03
21 43
25 62 29 38
33 24
37 14
41 11
45 05
49 02
202
116

மாறற்றிறன்
H, தரவின்
பரம்பல் செவ்வன் N(28.17,667)
15- 28.17 Z 'ನ್ತಿ॥
risk-to-r 6.67 6.67
= P (-1.98 < Z < —138) = P (Z < - 1.38) - P(Z<- 1.98) = 0.0838-0.0250 = 0.0588.
வகுப்பு 15-19 இன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் = 0.0588 x 202
= 1 1.88
= 12.
இதேபோல் எல்லா வகுப்பினதும் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் (E) கணிக்கப்படும் ஆனால் மொத்த எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் 202 என அமைதல் வேண்டும். மேலும் அவதானிக்கப்பட்ட மீடிறன் (0) தரப்பட்டுள்ளது.
117


Page 63
N O te:
O- E) சோதனைப் புள்ளிவிபரம் χ = (¬! praw X51,00)
இதன் மூலம் H சோதிக்கப்படும்.
ஏதாவது வகுப்பின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மீடிறன் 5 இலும் சிறிதாக அமையும் எனின் அந்த வகுப்பு மேல் அல்லது கீழ் வகுப்புடன்
சேர்த்துக் கொள்ளப்படும்.
9 --D.
வகுப்பு எதிர்பார்க்கப்பட்ட அவதானிக்கப்ட்ட a - மீடிறன் (E) மீடிறன் (O) pg 5 2 2 3
10-15 8 6
15-20 6 8
என அமையும் எனில் திருத்திய அமைப்பு கணிப்புக்கு பயன்படும்.
வகுப்பு எதிர்பார்க்கப்பட்ட அவதானிக்கப்பட்ட
மீடிறன் (E) மீடிறன் (O)
OO-10 7 5
O-5 8 6
15-20 6 8
என அமையும்.
ஒரே வயதும் ஒரே உயரமும் உயையவர்களின் உடல் நிறையை அதிகரிக்கச் செய்வதற்காக 4 வகையான பயிற்சிகள் அளிக்கப்படுகின்றன. பயிற்சியின் பின்னர் அவர்களின் நிறைகள் பின்வருமாறு. நான்கு வகைப் பயிற்சிகளும் சமபலன்
அளிக்கின்றதா என சோதிக்க.
118

T | T T T
67.3 74.2 63.1 48.7 36.9 42.2 32.9 49.0 63.2 58.6 59.2 62.0 26.8 36.6 42.4 38.8 54.8 54.6 34.0 48.2
64.2 81.8 65.6 -
8.4 ы»
மொத்தம் 394.6 348.0 297.2 246.7
e
தீர்வு: H, A=At =A=A
n, - 7, n = 6, n = 6, n, - 5
- N = n+n+n,+n,
= 24.
மொத்தம் T = 1286.5
T/N
1286.5 / 24
= 68.961.76
-
திருத்தக் கணியம் CF
جے
மொத்த வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை SST = ΣΧί +ΣX: +Σχ: +Σχή -- CF
= 74.35757 - 68.961.76.
= 5395.81
119


Page 64
SSB
மாதிரிகளுக்கிடையிலான வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை.
2 2 2 2 Tř13 15:13 — CF
7 6 6 5
(394.6) 十ー (348.0) -H (297.2) 十 (246.7)
68961.76 س
ie,
= , 6 6
= 359.89
வழு வர்கங்களின் கூட்டுத்தொகை.
SSE = 5395.81 - 359.89
= 5035.92
ANOVA 9|| || 6,160)600.
மாறற்றிறன் | df S.S m.s F விகிதம்
119.96 பயிற்சிகள் 3 359.89 119.96 =0.48|
Ills 251.79
வழு 20 5035.92 251.79
மொத்தம் 23 5395.81
F - அட்டவணை பெறுமானம் F 3.10
3, 20, 0.05
அட்டவணைப் பெறுமானம் கணிக்கப்பட்ட பெறுமானத்திலும் பெரிது
Ho
ஏற்றுக்கொள்ளப்படும்.
பயிற்சிகள் சமபலனே அளிக்கின்றன.
12

மாதிரி வினாக்கள்
(1)
(2)
(3)
(4)
ஒரு பண்பு x இன் பெறுமானங்கள் 7, 2, 3, 4, 1 எனும் ஐந்து அலகுகள் உடைய ஒரு குடி ஆகும். பிரதிவைப்பற்ற முறையில் மாதிரி அளவு 2 ஆகவுடைய எல்லா மாதிரிகளையும் எடுத்து, குடி இடையானது மாதிரி இடைகளின் இடைக்கு சமம் என்பதை சரிபார்க்க
1, 2, 3, 4, 5, 6 பெறுமானமுடைய 6 அலகுகளைக் கொண்ட குடியைக் கருதுக. பிரதிவைப்பு அற்றமுறையில் 2 பருமன் கொண்ட சாத்தியமான எல்லா மாதிரிகளையும் எழுதி, (1) மாதிரி இடையானது குடி இடையின் ஒரு கோடாத மதிப்பான்
என்பதை வாய்ப்புப் பார்க்க. (i) மாதிரி எடுப்புக்கான மாறற்றிறனைக் கணித்து அது மாதிரி இடையின்
மாறற்றிறனுக்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதை சோதிக்க. (i) இந்த மாறற்றிறனானது பிரதிவைப்பு முறை மூலம் மாதிரி எடுத்தலினால் பெறப்படும் மாறற்றிறனிலும் சிறிது எனக் காட்டுக.
6) c = 0.05 இல் 9, = 5, 9, =10 எனின்
(a) Fae, a
(b) Fo
". -0 ஆகியவற்றின் பொறுமானங்களைக் காண்க.
(ii) (a) t18.001
(b) tis,005
(c) 1000 ஆகியவற்றின் பொறுமானங்களைக் காண்க.
() U ஆனது சுயாதீனப்படி 20 ஐ கொண்ட t - பரம்பலில் இருப்பின்
P(U>2.086) இன் பெறுமானத்தை காண்க
(i) V ஆனது சுயாதீனப்படி 16 ஐ கொண்ட t - பரம்பலில் அமையும் எனின் P(-2.583 < V < 2583) இன் பெறுமதியைக் காண்க.
(i) w ஆனது சுயாதீனப்படிகள் 7, 21 ஐ கொண்ட P - பரம்பலில் ஒழுகுகின்ற மாறி எனின் P(w < 3.66) இன் பெறுமதியைக் காண்க
121


Page 65
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
400 ஆண் மாணவர்களைக் கொண்ட மாதிரியின் சராசரி உயரம் 17138 cm ஆக காணப்பட்டது. இந்த மாதிரியானது 171.17 cm சராசரி உயரமும் 3.30 cm நியமவிலகலும் கொண்ட அளவுள்ள
குடியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாக இருக்கமுடியுமா? (o = 0.05)
400 பொருள்களைக் கொண்ட மாதிரியானது இடை 4 உம் மாறற்றிறன் 4 உம் கொண்ட செவ்வன் குடியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. மாதிரி இடை 4.45 எனின் இது ஒரு எழுமாற்று மாதிரியாக இருக்க முடியுமா?
1,00,000 டென்னிஸ் பந்துகளைக் கொண்ட தொகுதியிலிருந்து எழுமாற்றாக 400 தெரிவுசெய்யப்பட்டு பரீட்சிக்கப்பட்டது. அவற்றில் 20 பழுதானவையாகக் காணப்பட்டது. முழுத் தொகுதியிலும் உள்ள பழுதான பந்துகளின் எதிர்பாக்கப்பட்ட அளவின் 95% நம்பிக்கை மட்டத்திலான எல்லையை காண்க.
ஒரு குறித்த நகரில் 1000 குடும்பப்பெண்களை எடுத்து மாதிரி ஆய்வுக்குட்படுத்திய போது 23% ஆனவர்கள் குறித்த ஒரு வகை அமுக்க அடுப்பை (Pressure Cooker) ஐ விரும்புகிறார்கள். அந்த நகரிலுள்ள எல்லாக் குடும்ப பெண்களிலும் குறித்தவகை அமுக்க அடுப்பை விரும்புகின்ற விகிதத்திற்கான 99% பொருளுள்ள எல்லையை 8ᏏᎥᎢ6ᏛᏈᏂ8Ꮟ .
500 பேரைக் கொண்டமாதிரி ஒன்று கொழும்பில் எடுக்கப்பட்ட போது, அவர்களில் 200 பேர் நல்லெண்ணை பாவிப்பதாகக் காணப்பட்டனர். மேலும் இன்னொரு 400 பேரை கொண்ட மாதிரி கண்டியில் எடுக்கப்பட்ட போது, அவர்களில் 200 பேர் நல்லெண்ணை பாவிப்பவர்களாகக் காணப்பட்டனர். நல்லெண்ணை பாவிப்பவர்களின் விகிதத்தில் இரண்டு நகரங்களுக்கும் இடையே வித்தியாசம் இல்லை என்பதை சோதிக்க.
(O = 0.05)
(10) அறுவைச் சிகிச்சை மூலம் மகப்பேற்றை மேற்கொண்ட 11 தாய்மாரின்
இருதய துடிப்பிற்கான சுட்டி அறுவைச் சிகிச்சைக்கு முன்னும் பின்னும் அளக்கப்பட்டது.
122

நோயாளி இல அறுவைச் அறுவைச்
சிகிச்சைக்கு முன் சிகிச்சைக்கு பின்
O45 0.60 2 0.54 0.65 3 0.48 0.63 4 0.62 0.78 5 0.48 0.63 6 0.60 0.80 7 0.45 0.69 8 0.46 0.62 9 0.35 0.68 O 0.40 0.50 11 0.44 0.57
அறுவைச் சிகிச்சைக்கு முன்னுள்ள சராசரி இருதய துடிப்பிற்கான சுட்டி, அறுவைச் சிகிச்சைக்கு பின்னுள்ள சராசரி இருதய துடிப்பிற்கான சுட்டியுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு பொருண்மை அதிகரிப்பை கொண்டுள்ளதா இல்லையா என்பதை சோதிக்க. ( 0 - 0.05)
(11) 500 பக்கங்களைக் கொண்ட புத்தகமொன்று மேலோட்டமாக பரீட்சிக்கப்பட்ட போது, பக்கம் ஒன்றிற்கான வழுக்களின் எண்ணிக்கைகள் பின்வருமாறு காணப்பட்டது.
வழுக்களின் எண்ணிக்கை O 1 2 3 4 5
பக்கங்களின் எண்ணிக்கை 275 138 75 7 || 4 || 1
yச் சோதனையைப் பாவித்து வழுக்களின் எண்ணிக்கை ஒரு புவசோன் பரம்பலில் உள்ளது எனும் சூனியக்கருதுகோளைச் சோதிக்க.
(O = 0.05)
(12) ஒரு பெரிய உற்பத்தி ஸ்தாபனத்தில் நான்கு வகையான தொழிலாளர்கள் வேலை செய்கிறார்கள். அவர்களுக்கு மூன்று வகையான மேலதிக கொடுப்பனவுகள் வழங்கப்படுகின்றது. கொடுப்பனவு திட்டம் பற்றி தொழிலாளர் கருத்தின் அடிப்படையில் கீழேயுள்ள அட்டவணை தரப்படுகிறது.
123


Page 66
மேலதிக கொடுப்பனவுத் திட்டம்
தொழிலாளர் வகை 1 Lfb 2D 3D மொத்தம்
660) 66)5 660)
கூலியாட்கள் 190 243 197 630 எழுதுவினைஞர் 82 44 44 70 தொழில்நுட்பவியலாளர் 23 78 34 135 அதிகாரிகள் 5 12 8 25 மொத்தம் 300 377 283 960
மேலதிக கொடுப்பனவுத்திட்டம் பற்றிய கருத்து தொழிலாளர் வகையில் சார்ந்துள்ளதா என்பதை 5% பொருண்மைமட்டத்தில் சோதிக்க.
(13) 450 பேரைக்கொண்ட மாதிரி ஒன்றில் ஒவ்வொருவரது வயதும் நிறையும்
அளக்கப்பட்டது.
வயது (ஆண்டு)
20க்கு 20க்கு கூட 4 Oish fn 60க்கு கூட மொத்தம் குறைவு | 40க்கு குறைவு 60க்கு குறைவு (<20) (20 -< 40) (40 -< 60) | (>60)
50க்கு குறைவு 52 15 5 8 90 (<50) 50இற்கு ĝin . Li 60இற்கு _ குறைவு 35 ، 30 25 25 45 م ž (50-sé0) 丁苯 حمایی 8. 60இற்கு 剑 din l சி|70இற்கு V
குறைவு 23 25 52 35 35 (60-<70) 70இற்கு
đm-L-
(>70) | 10 20 33 32 95 மொத்தம் 120 05 125 110 450
124

நிறை வயதில் தங்கியுள்ளதா என்பதை 5% மட்டத்தில் சோதிக்க.
(14) சம மாறற்றிறன் கொண்ட மூன்று செவ்வன்குடிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட
மாதிரிகள் பின்வருமாறு:-
மாதிரி
II , || II
10 9 14
12 7
9 2 15
16 11 14
13 1 6
குடிகளின் இடைகளின் சமம்பற்றி சோதிக்க. ( 0 = 0.05)
(15) மூன்று வகையான வித்துகள் பெறப்பட்டு ஒவ்வொருவகை வித்துகளும் 5 பாத்திகள் வீதம் நடப்பட்டதன் பின்னர் பெறப்பட்ட விளைச்சல் அளவு கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
660)
A B C
20 18 25
21 2O 28
23 17 22
16 15 28
2O 25 32
1OO 95 135
வித்துக்களின் வகைகளின் விளைச்சலில் வேறுபாடு இல்லை என்பதை 5% மட்டத்தில் சோதிக்க.
(16) குதிரையின் உணவுக்காக அறிமுகம்செய்யப்பட்ட ஒருவகை பச்சைப்புல்லு நான்கு வெவ்வேறு பிரதேசங்களில் (A,B,C,D) பயிரிடப்பட்டு பெறப்பட்ட விளைச்சல் (தொன்/ஏக்கள்) பின்வருமாறு.
125


Page 67
பிரதேசங்கள்
A B C D
1.1 18.3 17.3 1.7
15.2 21.8 22.5 21.4
17.8 24.8 26.7 25.2 19.9 27.3 29.5 22.6 21.3 29.3 31.1 27.4 21.5 30.8 3.3 29.6
20.5 32.4 30.3 25.7- 18.6 32.5 24.4 31.4
15 38 - 33.1
9 - 17.6 12.5 - I - ve
நான்கு பிரதேசங்களிலும் மேற்குறிப்பிட்ட புல்லின் விளைச்சல்கள் சமம்பற்றி 0.01 மட்டத்தில் சோதிக்க.
126

எழுமாற்று அட்டவணை
85967 73 152 1451 1 | 85285 | 36009 | 95892 36962 67835 63314 50162 O7483 51453 | 11649 | 86348 | 76431 | 81594 95848 36738 25014 15460 96.283 O1898 61414 83525 04231 13604 75339 11730 85,423 60698 4.9174 12074 98.551 37895 93547 24769 O9404 76548 O5393 96770 97.366 39.941 21225 | 93829 19574 | 了1565 334.13 56087 40875 13351
90474 4.1469 16812 | 81542 | 81652 | 45554 27931 | 93994 22375 OO953 28599 64 109 O9497 76235 41383 3 1555 12639 || 006 19 22909 29563 2525.4 16210 897.17 65997 82667 74624 363.48 a 4.018 64732 935.89 28785 02760 24359 994 10 77319 73408 58993 61098 O4393 || 48245 84725 86576 86944 93296 - 10081 824.54 76810 52975 10324 15457
41059 66456 47679 6680 - 15941 84.602. 14493 65515 1925 41642 67434 41045 82830 47617 - 36932 46728 71183 36345 4.1404 811 O 72766 88816 37643 19959 57550 49620 98.480 25640 67257 | 18671 92O79 46784 66 125 94.932 64.451 29275 57669 66658 30818 58353 291.87 40.350 62533 73603 34075 | 16451 || 42885 O3448 37390 96328
74220 17612 65522 80607 19184 64164 66962 8230 18163 63495 03786 024O7 06.098 92.917 40434 60602 821.75 O4470 78754 90.775 75085 55558 15520 27038 25471 76107 90832 10819 - 56797 33751 09 161 33015 19155 | 11715 00551 | 24909 3 1894 37774 37953 78837
75707 48992 64998 87080 39333.00767 45637 12538 67439 94.914
21333 4.8660 31288 OOO86 79889 75532 28704 62844 92.337 99.695 65626 50061 42539 14812 48895 11196 34335 60492 70650 | 51108 84380 of 389 87891 76255 89604 || 41372 10837 66992 93.183 56920 46479 32O72 80O83 63868 70930 89654 O5359 47.196 12452 38234 5.9847 971.97 55147 76639 76971 55928 36441. 95141 42333 | 67483
3.1416 11231 27904 57383 31852 69137 966.67 14315 10007 || 3 1929 82066 83436 67914 21465 99605 | 831 14 97885 74.440 99622 87912 O 1850 42782 3922 18582 4624 99.228 79541 78298 75404 | 63648 32135 89276 89582 87.138. 16165 15984 21466 63830 30475 74729 59388 42703 551.98 80380 67067 97155 341 60 850.9 O3527 78140
58089 27632 50987 | 91373 | 07736 | 20436 961.30 73483 85332 24384 61705 57 285 .30392 23660 75841 21931 O4295 O0875 O914 32101 18914 98.982 60199 99275 41967 35208 30357 76772 92656 .62318 1 1965 94089 348O3 48941 6979 16784 44.642 89761 66864 | 628Q3 85251 48111 80936 81781 93.248 67877 16498 3924 51315 79.921
66121 96.986 84844 93873 46352 92.183 51152 85878 3O490 15974 53972 96642 - 24199 58080 35490 03482 66953 49524 | 63719 | 57165 14509 16594 78883 43222 23093 586.45 60257 892.50 63266 90858 37700 OF688 65533. 72126 23611 93.993 O 1848 O3910 38552 17472 85466 59392 72722 15473 73295 497.59 56157 60477 - 83284 56367
52969 55863 - 42312 67842 05673 91.878 82738 36563 795.40 61935 42744 68315 17514 02878 97.291 74851 42725 57894 81434 62041 28140 13336 67726 61876 2.9971 99294 96664 52817. 90039 53211 95589 56319 14563 24071 06916 59555 18195 32280 79357 04224 39113 13217 5.9999 49952 83201 47709 53105 19295 88318 . 4.1626
41392 17622 18994 98.283 07249 52289 24209 91139 30715 O6604 54684 53645. 79246 70183 87731 19185 08541 33519 O7223 97413 894.42 61001 - 36658 57444 95.388 366.82 38052 46719 O9428 940 12 36751 16778 54888 15357 68003 43564 90976 58904 40512 0/72 98159 O2564 21416 74944 53049 88749 02865 25772 89853 887 14
127 − LMMMSMSMSSSLSSSLLLLSSSLSLSSSSLLLLLLSSMSLTkS SMSMMMS


Page 68
நியம செவ்வன் பரம்பல் அட்டவணை
0.05 (பரப்பு)
0
Z = 1.65
Z .00 01 02 O3 O4 05 06 07 08 09
0.0 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761. 4721 4681 4641 0, 1 || 4602 4562 .4522 4.483 .4443 4403 4364 4325 .4286 4247. 0.2 42O7 4168 4129 4O90 4052 4O13 3974 3936 3897 3859 0.3 3821 3783 3745 3707 3669 3632 .3594 3557 3520 .3485 0.4 3446 3409 .3372 3336 33OO 3264 3228 3212 .3176 3141 0.5 3085 3050 3015 .2981 2946 2912 2877 2843 .281 O .2776
0.6 2743 2709 .2676 2643 .2611 2578 2546 2514 2483 2451 0.7 2420 2389 2358 2327 2296 . .2266 , 2236 2206 2177 2148 0.8 2119 2090 2061 2033 2005 1977 1949 1922 1894 1867 0.9 1841 1814 1788 1762 1736 1711 .1685 1660 1635 | 1611 10 1587 1562 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 1379
11 1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 1170 12 151 1131 11 12 1093 1075 1056 1028 0 1 0 0993 O975
۹ مے 1.3 O968 O951 0934 .0918. 0901 0885 0859 0843 0828 0.813 14 0808 O793 0778 O764 0749 0735 0721 O708 0694 0681 15 0668 S0000S S S0000 S S0000 S0000S S0000 S SS 0000 S SS S S0000 S S0000S SS0000
1.6 .0548 O537 0526 0516 0505.0495 0485 0475,0465.0455 17 ,0446 .0436 0427 0418 0409 0401 .0392 || 0384 0375 0367 18 O359 SS000S S S0000 S S S S0000 S S0000 SS S000 SS S0000 S SS SS SS0000S S S0000 S S0000 19 0287 S0000 SS S0000 S0000 S S0000 S0000S SS SS0000 SS0000 S SS SS 0000 SS S0000 2.0 0228 .0222 0217 0212 0207 .0202 0.197 0192 0188 0183
2.1 0179 O174 O 170 0166 O162 O158 O154 0.150 0146 O143 2.2 0 139 O136 0132 0129 .0125 .0122 0119 0116 O 113 0110 23 01 07 0 104 0102 O099 0096 O094 O091 .0089 0087 O084 24 O082 O080 0078 .0075 OO73 0071 O069 O068 OO66 0.064 25 .0062 S00000 S SL0000 S S SS0000S S SL000S S S0000 S S 0000 SS S000S S S S0000 S S S0000
26 OO47 S0000 S0000 S S0000 S S S 00000 S S0000 S SS SS0000 S S SS0000 S S SS0000S S S0000 27 0035 S0000 SS S0000 S S0000 S S0000S S S0000 S S S SS0000 SS S0000S S S0000 S SL000 28 0026 .0025 .0024 .0023 0023 .0022 0021 0021 .0020 .0019 29 OO19 S0000S SS SS 0000 S0000S S0000S S S0000 S SS SS0000S S S0000 SS0000SS S SS0000 30 0013 .0013 0012 .0011 0011 0010 0010 0010 .0009 .0009
128

பரம்பல் அட்டவணை
0.05 (பரப்பு)
O
f, = 2.262
வால்களிலுள்ளபரப்பு சுயாதீனப்படி
10 05 02 O1
1 6.314 12.706 31,821 63.657 2. 2.920 4.303 6965 9,925 3 2.353 3.182 4,541 5.841 4. 2.132 2776 3.747 4.604 5 2015 2571 3.365 4.032 6 1943 2.447 3.143 3.707 7 1895 2.365 2.998. 3.499 8 1860 2306 2.896 3.355 9 1833 2.262 2.821 3.250 10 1812 2.228 2,764 3.169 ". 11 1796 2,201 2.718 3.106 12 1782 2, 179 2.681 3.055 13 1771 2,160 2.650 3,012 14 1761 2.145 2.624 2.977 15 1753 2,131 2.602 2.947 16 1746 2120 2.583 2.921 17 1740 2110 2,567 2.898 18 1734 2.101 2.552 2.878 19 1729 2093 2.539 2.861 20 1725 2O86 2,528 2.845 21 1.721 2080 2.518 2.831 22 1717 2074 is 2508 2.819 23 1.714 2.069 2500 2807 24 1711 2.064 2,492 2.797 25 1708 2060 2.485 2.787 26 17O6 2056 2479 2.779 27 1703 2.052 2.473 2.771 28 1.701 2.048 2,467 2.763 29 1699 2.045 2,452 2.756 30 1697 2.042 2.457 2750 40 1684 2,021 2.423 2.704 60 1.671 2.000 2,390 2,660 120 1658 1980 2.358 2.617 Normal Distribution 1.645 1960 2326 2.576
129


Page 69
χ2 பரம்பல் அட்டவணை
0.05 (பரப்பு)
O 个 2
x = 16.919
9 (சுயாதீனப்படி 9)
வலதுவாலின்பரப்பு
சுயாதீனப்படி 20 10 05 O25 O1
1 1642 2.706 3.841 5.024 6.635 2 3,219 4,605 5,991 7378 9.210 3 4.642 6.251 7.815 9.348 11345 4. 5.989 7.779 9488 11143 13.277 5 7.289 9.236 1 1070 12.833 15.086 6 8.558 10.645 12,592 14,449 16.812 7 9.803 12,017 14067 16013 18475 8 11030 13.362 15,507 17.535 20090 9 12.242 14,684 16.919 19023 21,666 10 13,442 15987 " 18307 20.483 23.209 11 14.631 17275 19,675 21.920 24.725 12 15812 18,549 21,026 23.337 26.217 13 16.985 19,812 22.362 24.736 27.688 14 18.151 21,064 23.685 26.119 29.141 15 19.311 22.397 24,996 27.488 30,578 16 20.465 23,542 26,296 28.845 32.000 17 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 18 22.760 25,989 28.869 31.526 34.805 19 23.900 27.204 30.144 32.852 36.191 20 25.038 28,412 31.410 34.170 37.566 21 26, 171 29.615 32.671 35.479 38.932 22 27.301 30.813 33,924 36,781 40.289 23 28,429 32007 35,172 . 38.076 41.638 24 29,553 33, 196 36,415 39.364 42.980 25 30.675 34.382 37,652 40.647 44,314 26 31.795 35.563 38885 4.1923 45.642 27 32.912 36.741 40. 113 43.194 46.963 28 34,027 37,916 41.337 44,461 48.278 29 35. 139 39,087 42.557 45.722 49.588 30 36.250 40.256 43.773 46.979 50.892
13.

χ2 பரம்பல் அட்டவணை
0.95 (பரப்பு)
0 1 a
x=3.325 (3ium got up 9).
வலதுவாலின்பரப்பு
சுயாதீனப்படி 99 975 95 90 800
1 OOO16 00098 OO398 O158 0642 2 0201 O506 .103 211 446 3 115 216 352 584 1005 4. 297 484 711 1064 1649 5 554 831 1145 1610 2,343 6 872 1237 1635 2,204 3,070 7 1239 1690 2167 2.833 3,822 8 1646 2, 180 2.733 3.490 4.594 9 2,088 2,700 3.325 4,168 5,380 10 2558 3.247 3.940 486.5 6179 11 3.053 3.816 4.575 5.578 6.989 12 3.571 4.404 5.226 6,304 7807 13 4,107 5009 5,892 7,042 8.634 14 4,660 5629 6571 7790 9,467 15 5.229 6,262 7.261 8,547 10.307 16 5812 6,908 7,962 9.312 11152 17 6,408 7,564 8,672 10,085 12002 18 7015 8231 9.390 10,865 12.857 19 7.633 8,907 10.117 11651 13.716 20 8260 9.591 10,851 12,443 14.578 21 8.897 10.283 11.591 13:240 15.445 22 9.542 10.982 12.338 14041 16,314 23 10, 196 11689 13.091 14848 17187 24 10,856 12.401 13848 15658 18.062 25 11524 13,120 14611 16473 18.940 26 12, 198 13.844 15.379 17,292 1982O 27 12879 14573 16151 18 114 20,703 28 13.565 15.308 16,928 18939 21,588 29 14.256 16.047 17.708 19.768 22.475 30 14.953 16791 18493 20599 23,364
131


Page 70
O O O r r F L JUIDL61) அட்டவணை
(வாலின்பரப்பு 0.05)
0.05 (பரப்பு)
F = 477
(சுயாதீனப்படி 9, =9,0, =5)
தொகுதியின் சுயாதீனப்படி (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 15 20 24 30 40
60 120
1 161200 216 225 230 234 237 239 241 242 244, 246 248 249 250 251 218.519.019.2 19.2 19.319.3 19.4 19.419,419,419.419,419,419.519.519.5 3 10.19,559,289.129,018.94 8.898.858.818798.748.70 8,668.648.628.59 4 7,716.946,59 6.39, 6.26 6.16 609 6046,005.965,915.865.805775.755.72 5; 6,615.79 541, 5.19 505. 495 4.88 482 477 4.74 4.684.624.56.4534,504.46
252 19.5 857 569 4.43
253 19.5 855 566 440
254
853 563 437
65.995.144.76 453. 439 428 421 4.154.10 406400 3.943,873843,813.77 75,594.74 435 412 3.973.87 3.79 3.733.683.643573.513,443.413,383.34 85.324.46 4.07 384 3.69 3.58 350 3443.39. 3.35. 3283.223,153,123,083.04. 95.12 A.263.86 3.63 3.483.37 3,293.233.18 3,143,073,012.942.902,862.83 0.496 4.103.71 348 3,333.22 3.143,073,022.98 2.912.85 2772.742.702.66
3.74 3.30 3.01 2.79 262
3.70 3.27 2.97 2.75 2.58
3.67 3.23 2.93 2.71 2.54
114,843.98359 336 3.20309 301 295 2.90 285 2792.72 2.652.61257253 124.753,893.49 3.26 3.13.00 2.91 2.852,802.752,692.62 2.542,512.47243 13467 3.813.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.772712.67 2,602.532.462.422,382.34 14. 460 3.74 334 3.11 2.96 2.85 2.76 2.702652602,532.46 2.392,352.3227 15 4.543.683.29 3.06 2.902.79 271 2.64 2.59 2.542,482.40 2.332.292.252.20
2.49 2.38 2.30 222 216
2.45 2.34 2.25 2.18 2.11
240 2.30 2.21
207
16449 3,633.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 249.242 2.35 2.28 2.242,192.15 17 4453.593.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2312,232,192.152.10 18||441|355|316|| 293|| 277266|| 258 || 251||246||241||234|227||219215|211206 19 4383,523.13 2.90 2.742.63 2.54 2.482.42 2382312.232.16 2.11207,203 20 435 3.493.10 287 2712.60 2.51 2452,392,352.28 220 2.122,082,041.99
2.11 2O6 2.02 1.98 195
2.06 2.01 1.97 193 1.90
2.01 1.96 192 188 184
قی
214.323.47 3.07 2.84 2.682.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2252,182.102.052011.96 224.303443.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40.234 230 2.232.152.07 2.03.1981.94 234,283,423.03 2.80 2,642.53 2.44 2372,322.27 220 2.132052011.96.191 244,263.403.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.112031.981941.89 25 4.243.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2011.961.921.87
1.92 1.89 186 184 182
187 1.84 181 179 177
181 1.78 1.76 173 171
30 4.173.322.92 2.69 253242 2.33 2.27 2.212,162,092.01 1931,891.84179 40 408; 3.232.84 2.61 245 2.34 2.25 2.182.122,082.00 1921.84 1791.741.69 60 400 3.152.76 2.53 2.372.25 2.17 2.10 204 1991.92 1841,751.701,651.59 '120 3.92 3.07 2.68 245 2.29 2.18 2.09 2.02 1961.91 1.83 175 1661611.55 150
384 300|260 2.37 2212.10 201 | 194188 1831.75 1671.57 152146139
174 164 153 143
1.32
1.68 1.58 147 135
122
162 151
125
100
132

ܓܡܝ2ܧܘܢ
F பரம்பல் அட்டவணை
(வாலின்பரப்பு 0.01)
0.01 (பரப்பு)
O 个
F = 10.2 (சுயாதீனப்படி 0, =9,0, = 5)
தொகுதியின் சுயாதீனப்படி (9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 -
14052 5000 5043,5625 5764 58595928 5982 6023 60566.06 6157 6109 6235. 62616287 631363396366 298.5 99.0992 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5995 3|| 341|| 308|| 295| 28.7 28.2| 279 || 277|| 275 273|| 27.2| 271|| 269|| 267 || 26.6|| 265| 264|| 263|| 26.2| 26.1
4|| 212 180|| 167|| 160|| 155| 152| 150|| 148|| 147|| 145| 144|| 142| 140|| 139|| 138|| 137|| 137|| 136|| 135|
5| 163|| 133|| 121|| 114|| 11.0|| 107 || 105| 103 10.2 10.1|| 989|| 972| 955 || 947 938|| 929|| 920|| 9.11|| 902
6, 13.7 10.9 978 915 8.75 847 826 8.10 798 787 7.72 7.56 740 731. 723 7.147.06 6.97 6,88
7|| 122| 955| 845| 785| 746|| 719 || 699|| 684 672| 662| 647|| 631|| 616 607|| 599|| 591 || 582| 574|| 565
8 11.3 865 759 701 663 637 618 603 591 581 567 552 536 528 520 5.12 5.03 495 4.86
9|| 106|| 802| 699|| 642| 606 580 || 561|| 547|| 535| 526|| 5.11|| 496|| 481 || 473|| 465| 457|| 448 440|| 431
10 100 7.56 6.55 5.99 564 5.39 520 506 494 4.85 4.71 4.56 441. 433 4.25 4.17 408 400 3.91
1965 721 6.22 567 532 507 489 474 4.63 454 440 4.25 4.10 402 394 3.86 3.78 369 360 12|| 9,33| 693 | 5.95|| 541| 5.06|| 482 | 464! 450| 4,39 | 430| 416| 401| 3,86 | 378|| 3.70| 362 | 3.54| 3.45 | 3.36 13 907 670|| 574 521|| 486|| 462| 444|| 430 419|| 410|| 396|| 382| 366|| 359|| 351|| 343|| 334|| 325| 317 14886 6.51 5.56 5.04 4.70 4.46428 4.14 403 3.94 3.80 3.66 3.51, 343 3.35 3.27 3.18, 309 300 158.68, 6.36 5 42. 489 4.56 4.32 E 414 400 3.89 380 3.67 352 3.37 329 321 3.13 305 296 2.87
168.53 6.23 5.29 477 444 420 403 389 3.78 3.69 3.55 341 3.26 3.18. 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75 17840. 6.115.194.67 4.34 4.1O 393 379 3.68 359 3.46. 331 316 3.08 300 2.92. 283 2.75 2.65 18829 6.01 509 458 4.25 4.01 384 371 360 3.5 337 3.23. 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57 19819, 5.93 501 450 417 3.94 377 363. 352 343 3.30 3.15 300 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49 2O 8.105.85 4.94 443 410 3,873.70 356 3.46 3.37 3.23 3.09. 2.94 2.86 2.78 2.69; 261 2.52 2.42
21802 578 4.87 4.37 404 3,813.64 3.51 340 331 317 303 2.88 2.80 2.72 2.64. 255 2.46 2.36 22 7.95 572 482 431 399 3.76 359 345 335 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31 23 788 566 4.76 426 3.94: 3,713.54 3.41 3.30.321 3.07 293 2.78 270 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 782 5.61 472 4.22 390 367 350 336 3.26 3.17 303 2.89 274 2.66 2.58 249 2.40 2.31 221 25 777 5.57 468 418, 3.86 3.633.46. 332 3.223.13 2.99 2.85 270 2.62 2.53 2.45 2.36 2.27 2.17
3 756|| 539|| 451|| 402| 37이 347|| 330|| 317|| 307|| 298|| 284|| 27이 255| 247|| 239|| 230|| 221|| 211|| 201 40 7.31 5.18 431 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 280 2.66 2.52 237 2.29 220 2. 1 2.02 1921.80 6O 708 498 413 365 3.34 312 295 2.82 2.722.63 250 235 2.20 212 2.03 194 184 1.73 160 120|| 6.85| 479|| 395| 348|| 317|| 296 || 279|| 266|| 256|| 247|| 234|| 219|| 203 || 195| 186|| 176, 166|| 153|| 138 663 461 3.78 3.32. 302 2.80 2.64 2.51 241 - 232 2.18 2.04 288 2.79 1.70 1.59 147 132 1.00
133


Page 71
e^ இன் பெறுமானங்கள் (புவசோன் நிகழ்தகவு கணிப்பிற்காக)
-
À &ش
O1 O90484 0.2 0.81873 0.3 0.74082 0.4 0.67032 0.5 0.6Ꭴ653 0.6 0.54881 0.7 0.49659 0.8 0.44933 O.9 0.40657 10 0.36788 , 11 0.33287 1.2 0.301 19 13 0.27253 14 0.24660 15 0.223 13 16 0.2O190 17 0.18268 18 0.16530 19 O 14957 20 0.13534 21 0.12246 2.2 0 1 1 080 23 O 1 0026 2.4 O09072 2.5 OO8208 26 0.07427 2.7 0.06721 2.8 0.06081 2.9 0.05502 3.0 0.04979 31 0.04505 3.2 0.04O76 3.3 0.03688 3.4 0.03337 35 0.03020 36 0.02732 3.7 0.024.72 3.8 0.02237 3.9 0.02024 4.0 0.01832 4.1 0.01657 4.2 OO 1500 4.3 0.05357 4.4 0.01228 4.5 0.01111 46 0.01005 47 0.00910 4.8 OOO823 49 OOO745 50 OOO674
- A
5.1 OOO610 5.2 0.00552 5.3 0.00499 5.4 000452 5.5 0.004.09 56 OOO370 5.7 OOO335 5.8 OOO303 5.9 OOO274 6. 0.00248 6.1 0.00224 6.2 0.00203 63 OOO 184 6.4 OOO 166 6.5 OOO 150 6.6 0.001.36 6.7 OOO 123 6.8 0.00111 6.9 . 0.00101 7.0 OOOO91 7.1 0.00083 7.2 0.00075 7.3 0.00068 74 0.00061 7.5 OOOO55 7.6 OOOO50 7.7 0.00045 78 OOOO41 7.9 0.00037 8.0 OOOO34 8.1 0.00030 82 0.00027 83 0.00025 '84 0.00022 8.5 0.00020 8.6 0.00018 8.7 0.00017 8.8 OOOO15 8.9 OOOO 14 9.0 0.00012 9.1 0.00011. 92 0.000 10 9.3 000009 9.4 0.00008 9.5 OOOOO7 9.6 OO Ö007 9.7 OOOOO6 9.8 OOOOO6 9.9 000005 10.0 000005
134

References :
10.
11.
12.
Statistics
W. M. Harper
Statistics
R. S. N. Pillai & V. Bagavathi
Mathematical Statistics
J. N. Kapur & H. C. Saxena
Statistical Inference S. D. Silvey
Experimental Design
Walter T. Federer
Sampling Theory and Methods
M. N. Murthy
w Sampling Techniques
William G. Cochran
Statistics for Applied Economics and Business
Richard L. Mills
Basic Statistics
B. L. Agarwal
Business Statistics and Statistical Method
G. L. Thirkettle
Business Statistics and Operations Research
Dr. S. P. Gupta, Dr. P. K. Gupta & Dr. Manmohan
வணிகப்புள்ளிவிபரவியல் II
வணிகக்கல்வித்துறை, தேசிய கல்வி நிறுவனம்


Page 72



Page 73
Typesetting Aldimirol | 403 1/1, Galle Rio - Telephone: 59
 
 
 

ខែ Printing iraphics ad. Colombo - 6. 3765, 5967.66