Page 1

. " . . . . . . . . .1
| ||
| | Αν
η 。
: ကြီး `````
| ) :
:
S.

Page 2
University of Jaffna
123867 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII Library
 
 
 
 

AN ,
ELEMENTARY ALG EBRA.
BY . .DANIEL L. CARROLL ܥ ܠ
- リ。 ܢܠ
一<>令<>一 . . y C C 3 י வி . . g . ಆFé@TಶLD೦
+
உபாத்தியாயர்
* யாழ்ப்பாணம்) ə u LÓG வித்தியாசாலையில்
வைரவநாதர் குமாரர் விசுவ - ©೧೨ தாகுமாரா விசுவநாதராற
செய்யப்பட்டது.
از این فنی i
*, asia = மானிப்பாய்:
扈g2G六
அமரிக்கன் மிஷன் அச்சுக்கூடத்திற் பதிக்கம்பட்ட
*
காடுடு. 43上エら「*ー

Page 3
எண்ணென்பவேவனயெழுத்தென்பவில் வீரன் நீங் கன்னென்பவாழமுயிர்க் - ラ
T { مجھے "" + *===== " Ttoقات ت". . ". . . .g
قرقين قرنقة نة 45ة قناة**** *
- -
*Mê Li si erro.
 
 

** -- — ட--ா
PREFACE.
THE following summary of the Elements of Algebra is believed to be the first attempt of the kind in the Tamil inguage. In its preparation, various English and Sanscrit thor's have been consulted, and the arrangement of subacts in President Day's Algebra is chiefly followed. Algebraic signs which are universally employed by the Mathof Europe, are here adopted without alteration. The light of mathematical science as that of the natural sun, was first enjoyed by the nations of the East. Though its early history is involved in obscurity, it is not difficult to show, that mathematics have been cultivated in India from time immemorial. We are told, that “in early times Pythagorus and Democritus, who taught the Greeks Astronomy and Mathematics, learnt these sciences in India.
The invention of Algebra is, by some learned men, ascribed to Diophantus, a Grecian Mathematician of Alexandria. This is contrary to the express testimony of Bonpelli, who, in a treatise on Algebra published in 1579, informs us that he and a lecturer at Rome, whom he names. had translated part of Diophantus, and that “they had found that in the said work, the Indian authors are often cited; by which they learned that this science was known among the Indians, before the Arabians had it.” (Hutton's Dictionary.) Algebra was introduced into Europe about the beginning of the 13th century by the Arabians. There has been a difference of opinion among the learned, whether Arabic Algebra was of Grecian or of Hindu origin. “The learned Musselmans in India certainly consider the science as having originated among the Indians; and the Arithmetic, which in their treatises, always precedes Algebra, is undoubtedly Indian.' (See a learned article on the early history of Algebra by Edward Strachey, Esq., Asiatic Researches, Vol. 12.)
The most celebrated treatise on Algebra in the Sanscrit language, with which we are acquainted, is the Vija Ganita of Bhascara, a native of Bidur in Deccan. From a Persian translation of this work, Mr. Strachey has proved, “tha

Page 4
PREFACE.
the Hindus had made wonderful progress in some part of Algebra; that in the Indeterminate Analysis, they wer in possession of a degree of knowledge, which was in Eu rope, first communicated to the world by Bachet and Fei mat, in the 17th century, and Euler and De La Grange in the 18th century."
Notwithstanding the profound knowledge which was one possessed by the Hindu sages, their successors in these lat ter times, have become comparatively pigmies in intellect It was with Hindu science, as with the ancient empires tha rose by the prowess of a single hero, and passed away with him. A broad basis was not secured for it, by the general diffusion of information in the community at large, as in modern Europe.
Europe is now deservedly distinguished as the great depository of useful knowledge, and she enjoys the privil lege of imparting her superior advantages to the Asiatie tribes. In proportion as the Hindu mind is brought in contact with the light of European science, will be the dissemination of knowledge, and the return of the long forgotten prosperity and glory of India. One of the most effectual methods of accomplishing this end, is to remove the linguistic veil of separation, and to furnish to the young facilities for investigation, through the medium of their mother tongue. Mathematical science, as a branch of liberal education, is eminently useful, not only on account of the positive practical knowledge which may be acquired by the study of its multiplex subjects, but also on account of its influence in enlarging and disciplining the intellect. The latter object is entirely disregarded in the indigenous system of
education, nothing beyond the mnemonic cultivation of the
young being aimed at. To remedy in part this defect, and to contribute his mite, however insignificant, to the advancement of his country's improvement, is the sincere desire of THE AUTHOR.
BATTIcoTTA SEMINARY, January, 1855.

அான்முகம்.
* தொட்டனத்துறு மணற்கேணிமாந்தர்க்குக் கற்றனைத்துறுமறி . . . . . வு.
மாநுஷியத்துக்கலங்காரமாவது கல்வி கல்வியற்றமாந்த வனசரவேடரைப்போல மிருகத்தையொப்பார்கள். மாநு உதிய உசிதவல்லபம் யுத்தியாதலால் யுத்தியைத் தொழிற்பாற் படுத்து நூல்கவளக் கற்கைகன்ரும். அந்நூல்களுட் கணிதக் தவலமையது. பலசாகைகளான் விரிந்து பூவுலகின் மாந்தரு க்குப் பெரும்பய வன விவளவித்து அவர்களினது அநுபவசித்தி |க்கின்றியமையாத சிறப்பிவனயுடைய கணிதநூல் நுதலிய பொருண்மாட்சிமையாலன்றி, யுத்தியின் சாதனுசித்தியாலும் பெருமையுடையது. பரதவித்தையைப் பயிலுமொருவன் தா ன் கடிக்குக்தோறுங் தனது சரசரணுதிகளின் பேசிலக்கணங் கவளயுற்றுநோக்கல் நடனசித்திக்குத் தடையாவதுபோல, நி யாயிக்குந்தோறும் ஒருவன் யுத்தியிலக்கணங்கவளயுற்றுகோ க்கல் நியாயசித்திக்குத் தடையாம். ஆகையால் சுயம்பிரமா ணுதாரமாய் யதார்த்தபெரும்பொருள் கவள நியாயித்தறியுஞ் சா மர்த்தியத்தை யுத்தியிற் பிறப்பிக்கின்ற கணிதநூல் நியாயநூ லிலுஞ் சாதனுசித்திக்குச் சிரேஷடமுடையது. இவ்வியல்ப மைந்த கணிதநூலில் வீச கணிதம் முக்கியசாகை,
வீசகணிதபூருவோத்தரசங்கதியைப் புராதன சாதனங்க வளக்கொண்டு ஐயந்திரிபற நிச்சயித்தல் கூடாதாயினும் அது ஆதியில் பரதகண்டத்தே தோன்றியதெனத்துணிதல் வழுவா காது. கணிதபூருவ விற்பத்தி ஆரியருக்கே உரிமையென்பது கற்றனுசிரியர் முதலிய கவலஞரின் ஆராய்ச்சியால் வெளிப்ப டையாயிருக்கின்றது. சகாப்தம் (உஏ0) அளவில் அலேக்சந்தி ரியா நகரத்தே விளங்கிய வித்தியாலயத்திற் கற்ற தயோபந்தர் என்பவர் கிரேக்கபாஷையிலேழுதிய கணிதநூல்களயும், பாரசிய, அராபிய நூல்கவள யும் ஆதிநூலெனச் சாதித்தவர்களு டைய விபரீதமதங்கவள அக்கவலஞர்கள் திருட்டாந்த பூருவ மாக மறுத்தறுத்து ஆரியநூல்கவள இவ்விஷயத்தில் மிகப்பாரா ட்டியிருக்கின்றர்கள். கணிதநூவல ஆதியிற் கிரேக்கருக்கு உ பதேசித்த புதகோரரும் தமோகிருதரும் பரதகண்டத்தே அந் நூவல முன்பு கற்றனரென்பது, இதிகாசவாக்கென்பர். ப ரதகண்டத்தினின்று அராபியர் முன்படைந்த கணிதசோதிப் பிரதிபலனமே, ஐரோப்பையில் நெடுங்காலங் குடிகொண்டிரு ந்த அந்தகாரத்தை ஒழித்தற்குபயோகமானது. அராபியிலக்

Page 5
1 W நூன்முகம்.
க மென்ற நாமம் பூண்டு ஐரோப்பையில் வழங்குகின்ற, 1, 3, 4, 5, 6,7,8, 9, 0, என்ற பத்திலக்கங்களும் ஆதியில் வ மொழிக்குரியன. அவை காலவிகாரத்தாற் சில வேறுபாடு வள அடைந்திருக்கின்றன.
சகாப்தம் சeகல். பாடலிபுரத்தில் அவதரித்து ஆரியபட த்தாந்தத்தையியற்றிய ஆரியபடர் வடமொழித்தொல்லாசிரி ர்களுள் மிகு கீர்த்திமானேனக் கேள்வியுற்றும், அவர் செய்த னிதநூவலயாவது அவருக்குப் பின் பிரமகுப்தர் வரைக்குமிருந் மற்றேர்செய்த நூல்கவளயாவது யாங்கண்டதில்வல. பிரமகு தர் தாமியற்றிய பிரமஸ்புடசித்தாந்தத்தில், கஉம். அத்தியாய தாற் பாடீகணிதத்தையும், கஅம். அத்தியாயத்தால் வீசக தத்தையுமெடுத்துரைத்தனர். இவருக்குப்பின் நூல்செய்தa ர்கள் சிறீதரன், பத்மநாபன் முதலிய பலர். உரைசேய்தவ களும் அநேகர். இதற்குப் பின்பு சாலிவாகன சகாப்தம், ககo அளவில் தக்கணதேயத்தேயுள்ள விதூர்நகரத்தில் மகேஸ்வ ருக்குப் புத்திரராய் அவதரித்த பாஸ்கராசாரியரென்பவர் மு வனயோரியற்றிய நூல்கவளயும் உரைகவளயும் ஒருங்குனர் து யுத்திப்பிரவிருத்தியாற் கணிதமகாவிற்பத்திமானுகி, லே கோபகாரமாகவும் புலவர் மனமகிழவுஞ் சித்தாந்தசிரோமணி வீசகணிதம், லீலாவதி என்ற உசிதநூல்கவள அளித்தனர். இ வற்றுள் * லீலாவதியைச் சகாப்தம், கடுoo அளவில் இந்தி ப்பிரத்தமென்று சொல்லப்படுந் தில்லிமாநகரிலிருந்து இராசர் க்கஞ்செய்த வித்தியாபாலரான அக்பாரரசனின் அநுமதிப்படி பிசிபண்டிதர் பாரசபாஷையில் மொழிபெயர்த்தனர்.
சகாப்தம். கடுடுக. அளவில் வீசகணிதமும் பாரசபாஷை யில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது.
சென்றுபோன சுoo. வருஷங்களுள் அராபியர் வழியாய் : * மகஉேமுன்னிலையாயியற்றிய காரணத்தாற் காரிகையென்ருற்போல லீலாவதிஎண் த சிறப்புப்பெயர் இப்பாடீகேத்திர கணிதநூலுக்கிடப்பட்ட்து. பிசிபண்டிதர் வே! காரணமுல் கூறியிருக்கின்றனர். அது வருமாறு :
* பாஸ்கராசாரியருக்கு லீலாவதியென்ற நாமதேயத்தையுடைய ஒரு புத்திரியிருந்த ன். அவள் சென்மலக்கினதோஷத்தால் இல்லாச்சிரமதருமத்திலுட்பட்ப்ெ புத்திரப க்கியத்தைபடையாளென்று பிதா அறிந்தும், சுபமுகூர்த்தவேளேயொன்றை நிச்சயித்து அ தில் தனது கன்னிகையைப் பாணிக்கிரகணம்பண்ணுவித்தாற் புத்திரபாக்கியமுண்ட மென்று கருதி, முகூர்த்தவேளேக்கு முன் தனது புத்திரியையும் மணவாளப்பிள்ளையையு அழைத்துத் தன்னருகிருத்தி 5ாழிகை வட்டிலேத் தண்ணீரில் மிதக்கவிட அதனை அக்கன்ன கை எட்டிப்பார்த்தனன், பார்த்தபொழுது அவளுடைய முத்துமாலையிலிருந்து ஒரு மு துக் கழன்று நாழிகை வட்டிலில் விழுந்து அதில் சீரேருமற்றுவாரத்தை அடைக்க, நெ நேரம் வட்டில் தாழாததைக் கண்ட பிதா ஐயுற்று மனுேபதைபதைப்புக்கெரண்டு ந: கைவட்டிலேச சோதித்து அதின் துவாரத்தை அடைத்திருந்த முத்தைக் கண்டார். முக சித்தவேளே தப்பிப்போனதைக் கண்டபொழுது, பிதாப் புத்திரியைநோக்கி, மகனே! நற் ர்த்தியானது குல் வாழ்க்கையும் முத்திக்கு வித்துமாகையால், உன் பெயர் நிலைநிற்கும்படி ஒரு பிரபந்தஞ்செயகுவன் என்று சொல்லி, லீலாவதியென்ற நாமஞ்குட்டி இக்கனி, து?லயியற்றினர்.'

நூன்முகம். y
ாப்பையில் வந்த கணித அறிவு கன்னிலத்தில் விழந்த வி தபோல முவளத்து ஆச்சரியருபங்கொண்டு விரிர்து ஆரியநூ தளுக்கும் எட்டாமல் ஒங்கிவளர்ந்து உலகோர்களிக்க மா ரிய கனிகவளத் தந்தது. பாஸ்கரர், நியூற்றன், யூலர், லா ராஞர் முதலிய பெருங்கணித குரவர்கள் விவேகமடைதிற து வீசகணிதத்தை வளர்த்தனரென்றல் அதின் மகிமைப் ரதாபத்தை அறிதல் எளிதாமோ? சாஸ்திரத்துக்கு அணி ாகவும், மாநுஷியத்துக்கு மாட்சிமையாகவும் இவர்களியற் ய நூல்கள் அன்னியபாஷைகளிற் புதைந்துகிடக்கின்றபடி ால் பூமியின் வயிற்றில் மறைந்த ரத்தினம்போலத் தமிழ் மானுக்கருக்கு அநுபவப்படாவாம். ஆகையால் இவ்வீசகணி தநூவலத் தமிழ்ப்பாஷையிற் செய்யலாயினுேம். வடலங்கை பிலும், "வடவேங்கடங் தேன்குமரியாயிடைத்’ தமிழ் வழங் குநிலங்களிலும் பாடீகணிதப்பயிற்சியுண்டேனும் விசகணித ப்பயிற்சி அற்பமேனுமில்வல. தமிழில் முன்னுேராற் செய்ய ப்பட்ட வீசகணிதநூவல யாம் யாண்டுங் கண்டதில் வல. தமி ழ்ப்பாஷையின் இப்பெருங்குறை ஒருவாறு நிறைதற்குக் தமிழ் மானுக்கர் கணித அறிவில் வளர்தற்கும் உபயோகமாக டேயா சிரியர் முதலிய பலகணித விற்பத்திமான்கள் இங்கிலீஷில் சலி ஸ்தாரமாக இயற்றிய நூல்கவளயும் பாஸ்கராசாரியர் முதலி யோர் ஆரியத்திற்செய்த கணிதநூல்கவளயும் ஆதாரமாகக்கொ ண்டு இச்சங்கிரகத்தைச் செய்தேம்,
பூர்வீகராச்சியங்கள் புயபல பராக்கிரமவிரராற் றேன்றி, யவ ரோடுகின்றழிந்ததுபோலச் சில விவேகசிரோமணிகளாற்குே ன்றிய நூல்களும் அவர்காலத்தில் அவர் மானுக்கரிடத்தே பி ரவிருத்திப்பட்டுப் பின்பு ஒழிந்தன. இங்கிலீஷாரின் இராச்சி யமும் அவர்களுடைய நானுவித சாஸ்திரங்களுஞ் சனசமுதாய சாமர்த்தியத்தானின்று பிரகாசிக்கின்றபடியால், ஆயிரக்கா லால விருட்சம்போல கெடுகாணி வலநிற்றல் கூடும். அவரை ப்போலாதல் தமிழராகிய எமக்குந் தகுதியாமெனக் சருதிச் சா தாரண சனங்களுக்குப் புலப்பட வாக்கியருபமாக இந்நூாவலச் சமைத்தேம், ஆகையால் அறுசுவை அமுதருந்தித் தெகுட்டி ய புலவோர் கா இங்கு குறைகூறுவதென்னுே?
வை. வி.

Page 6
الفقه
* Q,
*○。
és 9 .
55,
குதக அதிகாரம், ககூஅ கரணகுதக அதிகா
-253 пЈОЈ623.–CONTENTS.
luatai
ஆரம்ப அதிகாரம், a 1 கூட்டதிகாரம், óとエ 2 கழிப்பதிகாரம், eo || 3 பெருக்கதிகாரம், உக 4 பிரிப்பதிகாரம், உஅ 5 பின்ன அதிகாரம், கச g வெள் வளச்சமீதுர s னை அதிகாரம், டுக 9 காதித அதிகாரம், எக O மேளலஅதிகாரம், அசு வர்க்க சமீகரன
அதிகாரம், s互于 அகேகாட்சரசமீக
ரண அதிகாரம், கநக 12.
அநுபாத அதிகாரம், கgo 13. அந்தரமாலிகை அ
திகாரம், aa, l4. சகரனமாலிகை
அதிகாரம், sala 15. - மகாபவர்த்த அதி 16 SF JD, l7. அகந்தமாலிகை அ -
திகாரம், ●●。 1S.
| 19.
JUD 20டு
அதிவர்க்க சமீகர
ண அதிகாரம், உ30 20
எண் அதிகாரம், உதுசு
Radical Quantities, . Quadratic Equations,
Fa!
R
. Introduction, . Addition, . Subtraction, . Multiplication, . Division, - Algebraic Fractions, Simple Equations,
2
as
g %م
Powers,
S
Equations which con.
tain two or more unknown quantities, 13
Proportion, 14 Arithmetical Pro
gression, 16
Geometrical Progres
sion, 17. Greatest Common
Measure, 17 Infinite Series, S.
lindeterminate Analy
sis, 19
Diophantine Analy
sis, 205
Composition and Resolution of the higher
Equations, 210 Properties of Numbers,
216
Miscellaneous Questions, 229
Glossary and Index,
있3)

விசகணிதம்.
மணிவான்ற டவுச்சிமாகணிதக்கோவி . . . . . ற் கணிவாயிலிதென்றறிஞர் . . . . . பணிநூலாம் வீசகணிதம்விளக்கவிறையோனடிக . . . . . @?r பூசனைசெய்கின்ரும்புகழ்ந் . . . . . . . . அ1.
க. ஆரம்ப அதிகாரம். Introduction.)
க. * பிரகரணம். எண், பொருள் அளவை அறிவிக்கின்ற து. அளவுகளெல்லாம் மூலஅளவு என்றும், விகாரஅளவு என்றும் இரண்டு வகைப்படும். இரண்டு ஸ்தானங்களுக்கி டையான தூரம் பதிவனந்து கோலெனில், இந்தப் பதிவனந்து கோவல விகாரஅளவென்றும், தூரத்தின் அளவை நிச்சயம்ப ண்ணிய கோவல மூல அளவேன்றுஞ் சொல்லலாம். இதில் மூல அளவின் திரிபே விகார அளவாதல்காண்க. மேலும், ஒரு பொற்கட்டியின் கனம் பத்துக்களஞ்சென்று நிச்சயிக்கு மிடத்து, அந்தப் பத்துக்களஞ்சை விகாரஅளவென்றும், பொ ற்கட்டியின் கனத்தை அறிவிக்கின்ற களஞ்சுப்படியை மூல அளவென்றுமறிக. ஆகையாற் போருள்களின் பெருமை சிறு மை முதலிய அளவுகவள அறிவிப்பதெது அது மூலஅளவென் றும், மூலஅளவுகளினல் அளந்தறியப்படுவதெது அது விகாரஅ ளவென்றுங் காணலாம். இந்த மூல அளவையே அலகென்பது.
மூல அளவுகளிற் சில இயற்கையாயும் வேறு சில செயற் கையாயும் வரையறைபெற்றிருக்கின்றன. இச்சங்கத்தவர் நூ ற்றெருவரென்றும், இத் தோட்டத்துமரம் இருநூறு என்றும் எ ண்ணுமிடத்து, இயற்கைக்குதாரணத்தைக் காண்க. ஆனல் முன்பு எடுத்துப் பேசின போற்கட்டியையுந் தூரத்தையும் அ ளந்தறியும்படி உலகம் ஒப்புக்கோண்ட களஞ்சுப்படியுங் கோலுஞ் செயற்கைக்குதாரணங்களாம். ஆகையால் இயற் கையான மூலஅளவுகளிற் சந்தேக விபரீதங்கள் சாரமாட் டா. செயற்கையான மூல அளவுகள் தேசா தேசத்துக்குத்
* StarCrath, Article.
1计

Page 7
2- வீசகணிதம்
தக்க பேதா பேதமாயிருக்கும். அவை அவ்வவ தேசத்துக்கிை ங்கப் பேரியோரால் வரையறுக்கப்பட்டுச் சனங்களால் ஏ மாய் அங்கீகரிக்கப்படாதிருந்தால் அவற்றின் பயன் குன்றும் இது காரணத்தினற்ருன் தற்காலத்திற் சில அரசர்கள் செயற் கையான மூல அளவுகவள வரையறைசெய்து சனங்கள் கை க்கொள்ளவேண்டிய நியாயப்பிரமாணங்களில் அமைத்திருச் கின்றர்கள். இந்த மூல அளவுகளிற் சந்தேகந் தவலப்பட்ட காலங்களில் அவற்றைச் சரியாய் நிச்சயஞ்சேய்யும்படி சில கல்வி வல்லோர் விதிமுறைகவளயுந் தந்திருக்கின்றர்கள்.
எண்கள் போருட்கவளச் சாராமல் எண்மாத்திரமாய் நின்று கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், பிரித்தல் என்ற கிர்த்தியங்க வள அடையும்போழுது, அவ்வெண்களுக்கு மூல அளவு யாது ஏன்று கேட்டால் அது ஏகத்துவத்தை விளக்குகின்ற ஒன்று, அல்லது ஒரலகாமென்க. பத்தும் இரண்டும் பன்னிரண்டெ ன்கின்றபொழுது ஒன்றின் விகாரமாகிய பத்தையும் இரண் டையுங் கூட்டினல், பன்னிரண்டலகு தொகையாய்வரும். எ னவே சகல எண்களும் ஒன்றின் விகாரமேன்ரும். இவ்வாறு இங்கெடுத்துக் காட்டிய அளவுகளவனத்தையும், எண்ணல், எடுத்தல், முகத்தல், நீட்டல் என்ற நான்கு அளவுகளாக வகு த்துரைப்பாருமுளர்.
3. பிர. மேலும் எண்ணுற் குறிக்கப்படுவனவென்றும், எண் ணுற் குறிக்கப்படாதனவென்றும், அளவுகள் இரண்டு பிரி வையடையும். ஒரு கிணற்றுவெட்டி எட்டு நாளில் வெட்டின கிணற்றை அவனுடைய மகன் பன்னிரண்டு நாளில் வேட்ட க்கூடுமானுல், தகப்பனும் மகனுங் கூடி எத்தவனநாளில் வெ ட்டுவார்கள் என்று வினவும்பொழுது, தகப்பனும் மகனுந் த னித்தனி வெட்டின நாட்கள், அ, கஉ, என்ற எண்களாற் குறி க்கப்பட்டன. இவர்கள் இருவருங் கூடி வெட்டி முடிக்குநாள் எண்ணுற் குறிக்கப்படவில்வல. வினுவிற்கு விடையை அறி யும் வரைக்கும் அதவன எண்ணுற் குறித்தல் ஏலாது.
எண்ணுற் குறிக்கப்படாத அளவுகவளப் போதுவேன்றும், சிறப்பேன்றும் இரண்டு கூருக்கலாம். மேனிறுத்திய வினுவுக் கு விடை அந்த விணுவுக்கு மாத்திரமே சிறந்தபடியால், அதவன ச் சிறப்பென்பர். ஆனல்,
கிணற்றுவேட்டிகளில், தகப்பன் (ஆ) தினத்திலும், மகன் (ஈ) தினத்திலும் வெட்டக்கூடுமானல், இருவருங் கூடி எத்த வன தினத்திற் கிணற்றை வெட்டி முடிப்பார்களென்ருல்,
இந்த வினவிற் கூறிய அளவுகளெல்லாம் வரையறைகடக் து பலவினுக்களுக்கும் பொதுமையவாய் நிற்கையால் அவை பொது அளவுகளென்பது தெளிவு. ஆகையால்,

ஆரம்ப அதிகாரம். r.
எண்களாற் குறிக்கப்பட்டும், எண்களாற் குறிக்கப்படாமலு ம், ஒரே வினவுக்குச் சிறப்பாயும், பல வினவுக்குப் பொதுவா யும் அளவுகள் வரும். இவற்றை இராசியென்பர்.
இராசியேன்பது எண்களாற் குறிக்கப்படக்கூடிய 96T6).
இது அலகுகளின் கூட்டமாகையால் இராசியென்ற காமம் இதற்கிடப்பட்டது.
ஈ. பிர. இராசிகளின் சம்பந்த விதிகவள உணர்த்துநூலே க னிதம். அது பாடீகணிதமென்றும், வீசகணிதமென்றும், கேத்திரகணிதமென்றும் மூன்று வகைத்து.
இவற்றுள், எண்களினுற் கணிக்கும் விதிகவள உணர்த்து நூ ல் பாடீகணிதமாம்.
எண்களாற் குறிக்கப்படாத இராசிகவள அட்சரங்கள் விள க்கும். மேலே தேரித்த உதாரணத்தில், தகப்பனும் மகனு ங் கூடிக் கிணற்றை வெட்டி முடிக்குநாள் இத்தவனயென்றறி யப்படாதிருந்தாலும் அதற்குப் பதிலாய் அட்சரத்தை வைக்கு மிடத்து அது கூட்டல், கவளதல், பெருக்கல், பிரித்தலாகிய க னித கிர்த்தியங்கவளயடையத் தகுந்ததாகும். ஆணுல் எண்க வளக்கொண்டு கணிப்பதுபோல அட்சரங்கவளக்கொண்டுங் க் னித்தல் ஏலாமைபற்றிக் கணிதகிர்த்தியங்கவளக் குறிக்கும்ப டி அடையாளங்கவள வழங்குவர். இந்த அடையாளங்கள் சின்னங்களென்னப்படும். ஆகையால்,
இராசிகளை அட்சரங்கள்கோண்டும், கணிதகிர்த்தி யங்களைச் சின்னங்கள்கொண்டும் உணர்த்துநூலேது அது விசகணிதமாம்.
அட்சரங்களினுற் கணிக்கின்றபடியால் இதவன அட்சரக னிதமேன்பாருமுளர்.
கேத்திரங்களின் சம்பந்த விதிகவள உணர்த்து நூலே கேத் திர கணிதம். கேத்திரமென்பது நீளத்தையாவது, நீளத்தையு மி அகலத்தையுமாவது, நீளத்தையும் அகலத்தையுங் கனத் தையுமாவது, போருந்திய அளவு.
ச. பிர. பாடீகணிதம், வீச கணிதம், கேத்திரகணிதமெ ன்ற மூன்று முக்கியமான உறுப்புகளோடுங் கூடி விளங்குகின்ற கணிதசாஸ்திரம் பிரயோசனமிகுதியினுல் எல்லாச் சாஸ்திர ங்களிலுந் தவலமைப்பாட்டையுடையது. பூமிசாஸ்திரம், வா னசாஸ்திரம், சலனசாஸ்திரம், நயணசாஸ்திரம், சத்தசாஸ்தி ரம், மாலுமிசாஸ்திரம், நிலஅளவைசாஸ்திரம், சிற்பசாஸ்தி ரம், முதலிய சாஸ்திரங்களும், வாணிபம், உலகோம்பல்,

Page 8
வீசகணிதம்
படைபயிற்றல், முதலிய தொழில்களுங் கணிதசாஸ்திரமின் ப்பயன்படாவாம். கணிதநூவலக் கற்ருேரேயன்றி மற்றேரு கப்பலோட்டு, சிற்பம், வாணிபம் முதலிய தோழில்களிற் ழைபடாதொழுகுகின்ருரேனும், அந்தத் தொழில்கவள அவ்வு றியற்றும்படி விதிகவளயும், முறைகவளயும் உண்டாக்கினவர் ள் கணிதவல்லோராம். கப்பலோடுகின்ற ஸ்தானங்களில் *அட்சதேசாந்தரங்கவள நிச்சயித்துப் பாதையற்ற சமுத்திர திற் பாதைபெற்றேடும்படி மாலுமிக்குப் பிரான சகாயமாயிரு கின்ற நூவலச் செய்தவர்கள் கணிதசாஸ்திரத்திலும், வான் சாஸ்திரத்திலும் முதிர்ந்த அறிஞராம். தொழில்கவள விை வாய்ச் சேய்துமுடிக்கின்ற சூத்திரங்கவளக் கையாட்சிபண்ண ப் பெரும்பயவனயடைகின்ற அவனவரும் அச்சூத்திரங்களுக் ஆதாரமான பிரமாணங்களின் சம்பந்த சார்புகவள முற்றும் றியாராயினும் அவற்றை முதன்முதல் நவமாய்த் தோற்றுவித் வர்கள் கணிதசாஸ்திரத்திலுஞ் சலனசாஸ்திரத்திலுஞ் சிறந் விற்பத்தியையுடையராயிருத்தல்வேண்டும். ஆகையாற் சம் ஸ்தசாஸ்திரங்களோடுந் தொழில்களோடுங் கூடி வியாபித்து அவையவையாய் நின்று பலன்கவளப் பிறப்பிக்கின்ற கணித் நூவல யாவருங் கற்கைநன்மும்,
ஆனல் இங்கே தேரித்த பிரயோசனங்களவனத்துங் கணித நூல் தருகின்ற புறப்பிரயோசனங்களாகையால், அவை, அர் நூவலக் கற்கையால் அகத்துக்கண் விவளகின்ற பிரயோசனங் களோடு உவமிக்கத் தகுந்தனவல்ல.
நீரொடு கலந்த பாவலப் பிரிக்கின்ற அன்னம்போலர்ஆபாக ங்களினின்று உண்மையைப் பிரித்தறியவும், உண்மையான நியாயங்கவளத் தகும் வகையேடுத்தாளவும், அநேக நியாயங்க ள் தொடர்ந்துவருங்காலத்தில் அவையவனத்திலுங் குற்றமுள் சந்தேகமுஞ் சாராமல் முடித்து, மெய்யையும் போய்யையும் அ துவது வாய் நிறுத்தவும் வல்லசாமர்த்தியத்தை யுத்தியிற் பிறப் பிக்கின்றபடியால்,
உரத்தின்வளம்பெருக்கியுள்ளியதீமை . . . . . ப் புரத்தின்வளமுருக்கிப்பொல்லா . . . . மரத்தின் கனக்கோட்டந்தீர்க்குநூலஃதேபோன்மாந்த ர் மனக்கோட்டந்தீர்க்குநூன்மாண் . . . . . . . ւ.
* slais, Terrestrial Latitude. Gariasis, Terrestrial Longitude
* ஆபாசம், போலிநியாயம்.
(இதன்பொருள்) உடம்பினுளிருக்கின்ற அறிவின் வளத்தை வளர்வித்து நினைக்கப்பட் ட அறியாமையின்வளத்தைக் கெத்ெதுப பொல்லாதமரத்தினது கனம்பொருந்திய கோண லே ஏற்றுநூல்ானது சீக்கும், அதுபோலவே மனிதரது மனதின் கோணலே சீக்குங் கல்வித லினது மாட்சிமையாம்.

ஆரம்ப அதிகாரம். டு என்று நன்னூலாசிரியரால் எல்லாநூற்குமாவதோர் போது இலக்கணமாகக் கூறப்பட்டது கணிதநூற்கே மிகச்சிறந்ததாம். கணிதநூலொடு பயில்வது மானுக்கனின் யுத்திசாதவனயை அதிகரிப்பிக்கின்றபடியால் அவனதன் உபகாரத்தினல் மற்றெ ந்தக் கவலஞானங்கவளயும் விரைவாய் உணர்ந்துகொள்வான். ஆகையால் இந்த நூலினிடத்தே மாணுக்கன் பிரயோசனத் தை விரும்பிக் கற்கிற் கசடறக் கற்கக்கடவன்.
டு. பிர. இராசிகள் தெரிநிவலயிராசியேன்றும், மறைநிவல
நிராசியென்றும் இரண்டுவகைப்படும்.
தெரிநிலை இராசியேன்பது வெளிப்படையாயாவ து, குறிப்பாயாவது கணிதவினு முதலியவற்றிற் போ ருள் கூறப்பெற்றதாம். பொருள் கூறப்பெருத இரா சி மறைநிலையிராசியாம்.
தெரிநிவலயிராசியை வியக்தம் என்றும், மறைநிவலயிராசி யை அவ்வியத்தம் என்றும் வடநூலார் கூறுவர்.
சு. பிர, தெரிநிவலயிராசிக்குப் பதிலாக நெடுங்கணக்கின் ஆ தி அட்சரங்கவளயும், மறைநிவலயிராசிக்குப் பதிலாக நெடுங்க னக்கின் ஈற்றட்சரங்கவளயும் வைப்பர்.
ஆதியட்சரமென்றது, அ, ஆ, இ, முதலியவையை. ஈற்ற ட்சரமென்றது, ன, ற, முதலியவையை. ஷ, ஸ, இவற்றை யும் ஈற்றட்சரத்தோடு கூட்டுக.
ஏ. பிர, வரையறைபேற்ற தெரிநிவலயிராசிக்குப் பதிலாக அட்சரங்கவளயன்றிச் சிறுபான்மை, க, உ, க, ச, முதலிய இ லக்கங்கவளயுங் தீட்டுவதுண்டு. இவற்றுள், அ, உ, எ, டு, ய, முதலியன இலக்கமாயன்றி அட்சரமாயும் நிற்கின்றபடியால் வ ரையறையற்ற இராசிக்குப்பதிலாகவும் இவற்றை வரையிற் போருள் மயங்குமென்றறிக.
அ. பிர, சின்னம் என்பது கணிதகிர்த்தியத்தைச் சொல்லால் விளக்காது, குறிப்புமாத்திரமாய் விளக் கும் அடையாளமாம்.
உ-ம். சு+சு. என்று வரையுமிடத்து (சு) க்கும் (கூ) க்கும்
இடையே நிற்பது சின்னம். (சு) ம் (கூ) ம் கூட்டற் கிர்த்திய
ம்பெறல்வேண்டுமென்பது இந்த (+) சின்னத்தின் பயன்.
க. பிர. (+) இது கூட்டறிகுறி. இச்சின்னத்திற்கு நாமம், சக. சக, என்ற சொற்பொருள், கூட, என்பது. உ-ம். ஒ+ஈ, என்று வரையுமிடத்து ஒ, ஈ, என்ற இரண்டு அட்சரங் கவளயுங் கூட்டல்வேண்டும், என்பது கருத்து. இதை ஒ சக ஈ, என்று வாசிப்பது.

Page 9
&r வீசகணிதம்
ய. பிர, (-) இது கழிப்பறிகுறி. இதற்கு காமம், சய. ச என்ற சொற்பொருள், கட்டம் அல்லது குறை. உ-ம். ஒஎன்று வரையுமிடத்து (ஈ) ஐ (ஒ) இற் கழித்தல் வேண்டுெ ன்பது கருத்து. இதை ஒ சய ஈ என்று வாசிப்பது.
யக. பிர, சகசின்னம் எந்த இராசிக்கு முன் வரையப்பட்ட ருக்கின்றதோ அந்த இராசியைத் தனராசியென்றும், சயசின் 6 ம் எந்த இராசிக்கு முன் வரையப்பட்டிருக்கின்றதோ அந்த இர சியை இருணராசியேன்றுஞ் சொல்லுவர்.
ய2. பிர. ஆதியில் வருந் தனராசிக்கு முன் பெரும்பாலுஞ் கசின்னங் தீட்டுவதில் வல. இருணராசி ஆதியில் வரின் அதில் முன் சயசின்னம் எப்போதுந் தீட்டல் வேண்டும். எந்த இராசி குமுன் சின்னமில்வலயோ அந்த இராசி தனராசியென்றும் அ6 விராசிக்குமுன் சகசின்னங் தொகைநிவலயாயிற்றென்றும் : ணர்க. உ-ம். ஒ+ஈ என்று வரையும்போது, ஒ, என்ற அட சரத்தின் முன் + தோக்கது. அது + ஒ+ஈ, என்பதற்குச் சரி uch, பிர. சிறுபான்மை சகசின்னமுஞ் சயசின்னமும் 6 ரே அட்சரத்தின் முன் - இவ்விதமாய்த் தீட்டப்படும். இந்த சின்னத்தை உபயார்த்த சின்னமென்பது. உ-ம். ஒ+ஈ, 6 ன்று வரையும்போது இந்த இராசிகள் சேர்ந்த கணிதத்தில் ஒ ரு புடை (ஈ) ஐக் கூட்டலும், ஒருபுடை (ஈ) ஐக் கழித்தலும் வேண்டுமென்பது கருத்து.
யச. பிர, இரண்டிராசியில் ஒன்றையொன்று கவளந்து வி த்தியாசமறியவேண்டில் அவற்றினிடையே - இப்படி வித்தி யாசமறிகுறியிடுவது. உ-ம். ஆ~ஒ, என்புழி இவ்விரண்டிரா சியில் எதை மற்றதிற் கவளதல் வேண்டுமென்பதைக் குறியா மல் அவற்றின் வித்தியாசத்தைமாத்திரமே விளக்குகின்றது. மேலும் சின்னங்களெல்லாஞ் சகசின்னமாய் அல்லது சய சின்னமாய் வரின் அவை சமானசின்னமென்றும், சில சகச் ன்னமாயும் சில சயசின்னமாயும் வரில் அவை வேற்றுச்சின் னமென்றுஞ் சொல்லப்படும்.
யடு. பிர, (-) இது சமமறிகுறி. இந்தச் சின்னத்தின் இ ண்டு பக்கத்திலும் நிற்கின்ற இராசிகள் ஒன்றற்கொன்று சரி யாயிருக்கும். உ-ம். ஒ--ஈ-ஊ, என்று வரையுமிடத்து (ஓ) (ஈ) என்ற அட்சரங்களின் தொகை (ஊ) வுக்குச் சமமென்ட 李 5cmág e十字=scmー字=éo十e=g十e十m=se。
யசு பிர. இரண்டிராசி ஒன்றற்கொன்று பேருத்துச் சிறுத் திருந்தால் அவ்விரண்டிற்குமிடையே > இப்படிச் சமமின்மை யை விளக்குகின்ற தாரதம்மிய சின்னத்தை வரைவர்.
இந்தச் சின்னத்தின் மூவலயைச் சார்ந்த இராசி சிறியதும் அ தின் வாய்ப்புறத்திராசி பேரியதுமென்றுகொள்க. உ-ம். ஆ>

ஆரம்ப அதிகாரம்.
ஒ. இதை (ஆ), (ஒ) இற் பேரியதென்று வாசிப்பது. ஆ<ஓ, இதை (ஆ), (ஒ) இற் சிறியதென்று வாசிப்பது.
யன. பிர. அட்சரத்தின் முன் வரையப்படும் இலக்கம் வர்ண மாம். அது தனக்குப் பின் வருகின்ற அட்சரத்தோடு பெருக்க உற்சம்பந்தங்கொண்டுநிற்கும். உ-ம். உஈ. இதன்கருத்து இர எண்டுதரம் ஈ, என்பது. கூஈ, இது ஒன்பதுதரம் ஈ. (ஈ) ஐ ஒ
ன்பதாற்பேருக்கிய பேறெனினுமாம்.
u)அ. பிர, வர்ணம் அபின்னமாயாவது பின்னமாயாவது வ
3. ரும். உ-ம். ஈ. இதில், ஈ. அபின்னவர்ணம். ஈ. இதில்,
으
பின்னவர்ணம் அட்சரத்தின் முன் வர்ணம் வரையாதவிட த்து (க) வர்ணமாம். உ-ம். ஓ, என்று வரையுமிடத்து ஒரு ஓ, அல்லது, க ைஎன்பது சருத்தாம்.
யக. பிர, வர்ணம் இலக்கமாயன்றி அட்சரமாயும் நிற்பது ண்டு. உ-ம். B ஆ என் புழி (கி) எத்தவனயோ அத்தவனயா ல், (ஆ) ஐப் பெருக்கவேண்டியபடியால் (ஆ) வுக்கு (நு) வர் ண்மென்று கொள்வது. (நு) (சு) க்குப் பதிலெனில் நுஆ, எ ன்பது (சுஆ) ஆம் நஆஓஞ. என்புழி (ஆலஞ) வுக்கு வர்ண ம் (E) என்றும், (ஒரூ) வுக்கு வர்ணம் (Bஆ) என்றும், (சூ} வுக்கு வர்ணம் (Bஆஓ) என்றுமறிக.
உய. பிர. ஒற்றையிராசியென்பது தனி எண்ணுயாவது, த னி அட்சரமாயாவது, சக (+) சu (-) சின்னங்களினுல் இ வணயாத அட்சரங்களாயாவது, எண்ணும் அட்சரமுமாயாவ து நிற்கும். உ-ம். சு. இது தனி எண். ஆ. இது தனி அட் சரம். ஆஓ, ஆஓஞ, இவை பல அட்சரம். சஓ, இது எண் ணும் அட்சரமும். இப்படி ஒற்றையிராசி வந்தவாறு காண்க. உக. பிர. சக (+) சய (-) சின்னங்களினுல் இவனந்த பலராசி வகுராசியென்ற பெயர்பெறும். உ-ம். ஆ+ஒ, B-சி, டி-B+கூண+ஷட. இவை வகுராசி. வகுராசியின் தனிக் கூறுகளான ஒற்றையிராசிக்கு உறுப்பென்று பெயர்.
உe, பிர, இரண்டுறுப்புக்கொண்ட வகுராசியை இரட்டையி ராசியேன்பர். உ-ம். ஆ+ல, ஆ-ஓ, இவை இரட்டையிராசி பாம். ஆ-ஓ, என்றிவ்வாறு சய சின்னத்தாலிவனந்து வருகி ன்ற இரட்டையிராசியை எச்சராசியென்று கூறுவர். இது ஒ ன்றிலோன்று கவளந்து எஞ்சினசேடமாகையால், இதற்கிந்த நாமமாம். இரட்டையிராசியைத் துவிராசியென்றும் எச்சரா சியைச் சேடராசியென்றுஞ் சொல்லினுமாம்.
உா. பிர. மூன்றுறுப்புக்கொண்ட வகுராசியைத் திரிராசியெ ன்றும், நான்குறுப்புக்கொண்ட வகுராசியைச் சதுரிராசியென்

Page 10
-2 வீசகணிதம்
றும், ஐந்துறுப்புக்கொண்ட வகுராசியைப் பஞ்சராசியென்றும் இப்படியே வகுராசிகளின் நாமங்கள் வருவனகாண்க.
உச. பிர, வகுராசியின் பல உறுப்புகள் ஒரேகிர்த்தியமடை ல்வேண்டில் அவற்றிற்கு விலங்குச்சின்னங் தீட்டுவது. அ இப்படி நேர்வரிவடிவாயும், ( ) இப்படிப் பிை வடிவாயுமிருக்கும். உ-ம். ஆ-ஒ+டி அல்லது ஆ-(ஒ+டி என்று வரையுமிடத்து, ஒ, டி, என்ற அட்சரங்களின் தொை யை, ஆ, இற் கவளதல்வேண்டுமேன்பது கருத்தாம். ஆ-ஓ- டி, என்று வரைந்தால், ஆ, இல், ஒ, ஐக் கவளந்து, டி, ஐக் கூட டல்வேண்டுமேன்பதாம்.
உடு. பிர. இராசிகள் தனித்தாவது, இணைந்தாலி து அட்சரசின்ன மாத்திரமாய் நிற்கில் அது வீசப ஷையாம்.
வீசவாக்கியமென்றும், வீசராசியென்றும், வீசருபGமன்றுஞ் சோல்லினுமாம். உ-ம். கூஆ என்பது, ஆ, எந்த எண்ணுக்குப் திலானதோ, அந்த எண்ணின் மும்மடங்கு என்று சொல்வதற் இது வீசபாஷை, கி+உ டி-ணி-தி. என்பது, கி, எந்த 6 ண்ணுக்குப் பதிலானதோ அந்த எண்ணுடன், டி, பதிலான எண்ணினிரட்டியைச் சேர்த்து, ணி, பதிலான எண்ணெக் வளந்து வருஞ் சேடம், தி, பதிலான எண்ணுக்குச் சரியென்று சொல்வதற்கு இது வீசபாஷை,
உசு. பிர. (X) இது பெருக்கறிகுறி. உ-ம். ஆX.ை (ஆ ஆல் (ஓ) ஐப் பெருக்கல் வேண்டுமென்பது கருத்து. இதை ஆத ம் ஓ, என வாசிப்பது. சுXh என்பது சுதரம் கூ, அல்லது அறுமூன்று. சிறுபான்மை பெருக்கற்சின்னமாகப் புள்ளியைத் திட்டுவர். உ-ம். ஆ. ஓ, என்று வரையினும், ஆXஓ, என்று வரையினும் இரண்டும் ஒக்கும்.
உள். பிர, பேரும்பாலும் ஒற்றையிராசியின் கூறுகளுக்கிடை யே பெருக்கற்சின்னங் தீட்டுவதில் வல. இந்தக் கூறுகளான அட்சரங்களிவணந்து சொல்லு வடிவாய் நிற்கும். உ-ம். ஆடி ஆ'டி, ஆXடி, இம்மூன்றும் ஒரு பொருளன. ஆசடத, என் பது ஆXசXடXத, என்பதற்குச் சரி.
உஅ. பிர. பெருக்கவேண்டிய இராசி வகுராசியானுல் அதற் விலங்குச்சின்னங் தீட்டியபின் பெருக்கறிகுறியிடல் வேண்டும் உ-ம். ஆ, ஒ, இவற்றின் தொகையை, கீ, கி. இவற்றின் தெ கையாற் பெருக்கவேண்டில், ஆ+ஒXசி+கீ, அல்லது (ஆ+ ஒ)x(கி+கீ) என்று வரைவது. (சு+உ)Xடு, என்பழி இது அXடு அல்லது (ச0) க்குச் சரி. சு+உXடு என்றல் இது கச க்குச் சரியாம்.

ஆரம்ப அதிகாரம். 52
ஆக, பிர, பிறைவடிவு விலங்குச்சின்னம் வழங்கும்போது பெருக்கற்சின்னம் பெரும்பாலுந் தொகைநிவலயாய்விடும். ஆடம். (ஷ+ஸ்) (ண+த) என்பது (ஷ+ல)X(ன+த) எ ன்பதற்குச் சரி.
கல. ஒன்ருேடோன்று பெருக்கப்படும் இராசிகள் குணுங்க மாம். உ-ம். ஆஓ, என்புழி, ஆ, ஒரு குணங்கம். ஓ, மற்ற க்குனங்கம். விx(ஆ+ம) என்புழி (வி) ஒரு குணங்கம் (ஆ+ம), மற்றக்குணங்கம். இதினல், வர்ணமெல்லாங் கு னங்கமென்றம். கஷ, என்புழி, ஈ, ஒருகுனங்கம், ஷ, ம ற்றக்குனங்கம்.
கூக, பிர, ஒரு இராசி தன் வனத் தன்னுலே ஒருமுறையாவ து பலமுறையாவது பெருக்கப்பெற்றபேறு காதிதமாம். உ-ம். ஆXஆ, இது ஆ, இன் இரண்டாங்காதிதம் அல்லது வர்க்கம். ஆXஆXஆ, இது, ஆ, இன் மூன்றங்காதிதம், அல்லது கனம். ஆXஆXஆXஆ. இது (ஆ) இன் நான்காங்காதிதம். ஆxஆ XஆXஆXஆ. இது (ஆ) இன் ஐந்தாங்காதிதம். இப்படிப் பெருக்கற்குறியிட்டாவது, ஆஆஆஆஆ. என்று பெருக்கற் குறியி பாதாவது காதிதந்தீட்டலாம். இதற்குப்பதிலாய் ஆகி என்று இ ப்படி அட்சரத்தின் வலப்புறத்தே சற்றுயர இலக்கம் வரைவ து வழமை. இந்த இலக்கத்தைக் காதிதகுசியென்க. காதித சூசி நிர்க்கண்டமென்ற பெயரையும் பெற்றுவரும். காதிதசூசி எத்தவனயோ அத்தவனதரம் அட்சரங் குணுங்கமாய் வருமென் றும் அந்தச் சூசியை வரையாதவிடத்து (க) தொக்கதென்றும றக.
கe. பிர, / இது மூலமறிகுறி. காதிதம்பிறத்தற்கு எந்த இராசி தன்வனத் தன்னுற் பெருக்கப்பேற்றதோ அந்த இரா சியே மூலமாம். உ-ம். ஆஉ இது (ஆ) இன் இரண்டாங்காதித
ம், அல்லது வர்க்கம். A/ஆ. இது, (ஆ) இன் இரண்டாம் மூலம், அல்லது வர்க்கமூலம். இதை AVஆ. என்று வ
ரைவது வழமை. Vஆ. இது (ஆ) இன் மூன்றும் மூலம்,
அல்லது கனமூலம். Vஆ. இது (ஆ) இன் நான்காம் மூ லம், பிறவுமன்ன.
கக. பிர. மூலமறிகுறிக்கு மேலே நிற்கின்ற இலக்கத்தை மூ லகுசியென்பர். (e) வர்க்கமூலத்திற்கும், (க) கனமூலத்தி ற்கும், (ச) நான்காம் மூலத்திற்கும், மூல சூசிகளாம். பிறவு மிப்படியே.
கச, பிர, பிரிப்பறிகுறி இரண்டுவகை. கவது. இரண்டு

Page 11
ti) வீசகணிதம்
புள்ளிகளினிடையே கிடக்கின்ற நேரிரேகைவடிவம். (+) ந்தச் சின்னத்தின் இடப்புறத்திற் பாச்சியம் அல்லது பிரிக்க படும் இராசியும் வலப்புறத்திற் பாககம் அல்லது பிரிக்கும்
ராசியும் நிற்கும். உ-ம். ஆ+ஒ. என்புழி (ஆ) ஐ (ஓ) ஆ பிரித்தல்வேண்டுமென்பது கருத்து. இதை ஆ அரண ஒ என். வாசிப்பது. உவது. பாச்சியம் போகமாகவும், பாககம் ஆ கமாகவும், பிரிப்புப் பின்னருபத்தில் விளங்கவரைவதுமுண்
Ք_-ԼՈ , ఇ என்புழி (ஆ) ஐ (ஒ) ஆற் பிரிப்பது என்றகருத்தா
கூடு பிர, இராசிகள் அநுபாதமாய் வரும்போது அநுபாத புள்ளிகளினுல் விளக்கப்படும். உ-ம். ஆ ஓ கீ என்று வரையுமிடத்து, (ஆ), (ஒ) இல் எத்தவனமடங்கு பெ தாய் அல்லது சிறிதாயிருக்கின்றதோ அத்தவனமடங்கு பெரித ய் அல்லது சிறிதாய் (கி) (சு) வுக்கு இருக்கின்றது என்பது கரு து. இதில் : என்பதை (கு) என்றும், என்பதை எப்படியே அப்படியேயென்றும் வாசிக்க. டு : சுo : அ : கசு என் ைேத ந்ேதுக்கு அறுபது எப்படியோ அப்படியே எட்டுக்குத் தெ ண்ணுற்றறு என்று வாசிப்பது.
சுசு, பிர. விசராசிகள் ஒரேகாதிதமுள்ள ஒரே அட்சரங் ளாய்வரில் அவற்றைச் சமானராசியென்றும், காதிதம்வே யாவது, அட்சரம் வேறயாவது வரில் வேற்றிராசியென்றுங் றுவர். கீசு, கூகிசு-கீசு-சுகிசு. இவை சமானராசி, ! ன்னங்களும், வர்ணங்களும் வேறுவேறய்வந்தும் அட்சரங் ளோன்றுய் நின்றபடியால், சமான மென்றது. க ஆ, ஈ, வு கூகிஸ், இவைகள் வேற்றிராசி. ஏனெனில, சின்னங்களும் வர்ணங்களும் வேற்றுமைப்படாதிருந்தும் அட்சரங்கள் வே! பட்டன. இன்னும், ஷ, ஷஷ, ஷஷஷ, இவை ஒரு அட்ச த்தின் வேறுவேறன காதிதமாகையால் வேற்றிராசியாம். ( வற்றை வழமையாய் ஷ, ஷஉ, ஷக, என்று வரைவர்.)
கூஎ. பிர. ஒன்றற்கொன்று வித்தியாசமான இராசியில் ன்று மற்றதைச் சேடமில்லாமலரிக்குமேனில், அரித்தரா, யை முற்றளவென்றும், அரிபட்டராசியை முற்றுப்பெருக்கெ ன்றுஞ் சோல்வர். உ-ம். (நடு) ஐ (டு) ஆல் அரிக்கிற் பல (எ) சேடம் இல்லை. இதில் (டு) (கூடு க்கு முற்றளவாம். (கூடு (டு) க்கு முற்றுப்பெருக்கமாம். (கடுஆ) ஐ (கூஆ) ஆற் பிரித்த ற் பலம் (டு) சேடம் இல்வல. இதில் (நஆ) முற்றளவு. (கடுஆ முற்றுப்பெருக்கம். முற்றளவை வடநூலாசிரியர் அபவர்த் GDö山茄。
வீசபாஷையாவது, வேறுபாஷையாவது எதற்குப் பதிலா

ஆரம்ப அதிகாரம். ல்க
ற்கிறதோ அதை அர்த்தமென்பது. உ-ம். எ+டு, என்புழி, 2. இதற்கு அர்த்தமாம். சXடு என்புழி (உ0) இதற்கு அர்த்
மாம். - என்புழி இதற்கு (அ) அர்த்தமாம்.
ஈஅ. பிர. (க) ஐ வைத்து அதற்கு ஆரகமாக ஒரு இராசியை த் தீட்டினல் இது அவ்விராசிக்கு விலோமராசியாம். உ-ம். (சு)
ら து விலோமராசி (கீ+சு) வுக்கு விலோமராசி F. (3)
க்கு விலோமராசி ஆ
ஈக. பிர. பின் வரும் வினுக்களுக்கு விடைவரைக. இவ ற்றில் ஆ, ஒ, கீ முதலிய அட்சரங்கள் இராசிப்பிரதிகளாம்.
க. வின. ஆ, ஒ, கி. இவற்றின் குணித்ததை (சு) இல் (ச) க் கவளந்த சேடத்துக்கீந்தால், (ஆ), (கீ) இன் தோகையை (நடு) தரம் (டீ) உக்குக் கூட்டியதற்குச் சரி. இதற்கு வீசபா ஷை யாது ?
కీ விடை. = ஆ+கீ--கடுடீ.
2. வின. (ஆ) இல் (ஈ) ஐக் கவளந்த சேடத்தை (ஆ) ஐயு ம் (ஷ) ஐயுங் கூட்டிய தொகையாற் பெருக்கினல், (கூஎ) தர ம் (டு) உடனே (சு) ஐயும், (ஒரு) ஐ யுங் கூட்டி (எ) க்கீந்ததற் குச் சரி. இதற்கு வீசபாஷை யாது?
ஈ. வினு, (ஆ) இனதும் (ஒ) இனதுங் தொகைக்குக் (கீ) ஐ. (ச) தரம் (கூ) உக்கீந்த பேறு எப்படியோ அப்பிடியே (ஆ) ஐ யும் (ஈ) ஐயும் பெருக்கிய குனிதம் (க2) தரம் (கீ) உக்கிருக்கு ம். இதற்கு வீசபாஷையாது?
ச. வினு. ஷ, ன, ஸ், இம்மூன்றின் தொகையை இவற்றி ன் குனிதத்திற் கீந்தால் அத்தொகையின் பதின்மடங்கில் (ன) ஐக் கவளந்ததற்குச் சரி. இதற்கு வீசப்ாஷை யாது?
டு. வின. ஆ, ஈ, ஒ, இவற்றின் தொகையை (சீ) க்குறைக் த சஎ, ஆற்ருக்கி (சு) உக்கீந்தால் வருவது, சீ, டீ, னி இவற்றி ன் தொகையை, சீ, ணு, ஆலரித்து (ஆ) ஐக்கூட்டினதற்குச்சரி. இதற்கு வீசபாஷையாது!
गन्म
சு. வின. *=ஆக-ைசுடி++ இந்த வீசபா ஷையை வழக்கப்பாஷையாகப் பெயர்த்தால், விடை, (ஆ) ஐயும் (ஈ) ஐயுங் கூட்டி (கி) வுக்கீந்தால், ஈவு (ஆ, ஈ, ஒ) இன் குணிதத்தில் (சு) தரம் (டீ) ஐக் கவளந்து அத்துடன் (ஆ)

Page 12
D2 வீசகணிதம்
ஐ (ஆ.கி) இன் தொகைக்கீந்த பலத்தைக் கூட்டினதற்குச் ச பின்வரும் வீசருபங்கவள வழக்கபாஷையாகப் பெயர்க்கு
கடி-கி எ. வின. ஆஈ+ a5ܗܶ+ܧܸ C சுஈ
- θiτις- - அ. வின. ஆ+எ (டி+ஷ)-ஐ 軍事=(+) =
ーóP
9. o கூ வினு. ஆ-ஈ ஆஓ: m×(ま十与十a)
ஆ-ஒ , டி-Fஆஈ_ஈஆடி+டீ) ஒ கo. வினு. .)۴-چ( } B.ID  ̈ စ္ဆဍ)  ̈ G;
சய. பிர, வீச கணித கிர்த்தியம் பூரணமானபின்பு அட்ச் ம்பதிலாய்நின்ற எண் எது அதை அட்சரத்தினிடத்தே வரு த்துத் தீட்டும்போது தொகைநிவலயான பெருக்கற்சின்னத்ை க்குணுங்கங்களினிடையே தப்பாமல் வரைக. உ-ம். (ஆ), (ா க்குப் பிரதியாயம், (ஈ),(ச) க்குப் பிரதியாகவும் நின்றல் (ஆ6 க்குப் பதில் (கூச) அல்ல. அது கூXச - (க2) ஆம்.
g-In. RFE3. 6-o. (co-air. 16-el. ii-ao., ன்று வைத்துக்கொண்டு பின்னே தீட்டிய வீசபாஷைக்கு அ த்தங்காண்க.
கக. வின. 譬 十芝十f庞,
கXசு விடை. 一、一十所十cm×50==十所十ec===
கe வினு. F十f彦 ਸ6+ +00 ಆXe+60
6RLO. IFO EXā 历、Xá . ہلکے
ஈ--ஆடீ Le XF6i5 ff. 6960). — Léo--+-FF obtî — –` – E, මී ඉ 芷 ଶ୍ରେତ 經呜
ஆஈ--கடீ_நஈ-ேடீஇ கச வின. ஈமீ++ -- hஒடீ
வி 5+ ہے + “ کے கடு. வின. ஆஈ 十高二エ十ー
ü一吓 * e"○ (勢十●)×(リーz)十五二。ー●
鲁×(°一甲_L。_(甲十*)(竺二° கஎ. வினு. நீ-டீ 十勢F●ー *
ՅA t 色一FF -a Y. கஅ. வின. 響 十ö一印F十 (சடீ- o(೬塾二°

ஆரம்ப அதிகாரம். ல்ா
சக. பிர. இராசிகவள அட்சரங்கள் கொண்டும் கணிதகிர்த் தியங்கவளச் சின்னங்கள்கொண்டும், உணர்த்துநூல் வீசகணி ஆமென்று முன்பு யாம் கூறினுேம். பாடீகணிதம்போல இல இதங்கவளக்கொண்டு கணிதம் இயற்ருமல் அட்சர சின்னங் தவளக்கோண்டு இயற்றவேண்டிய காரணமென்னவென்று வி குவினல் அதற்குத்தரம், பாடீகணிதம் எண்களின் சம்பந்த நிகவளத் தெரிவிக்கின்ற நூலாதலானும், சமஸ்த எண்களுஞ் சிறப்பிராசிகளாதலானும், அது (உ) ம் பிரகரணத்திற் காட்டி பொது இராசிகளின் விதிகவள அடக்கமாட்டாது. சிறப்பிரா சிகளாகிய எண்களுக்குப் பதிலாய் இலக்கங்கள் நிற்பதுபோல ப் பொது இராசிகளுக்குப் பதிலாய் அட்சரங்கள் வழங்கும். ஆகையால் அட்சரங்கவளக்கொண்டு கணிதமியற்றுகின்ற வீ சகணிதமே பொது இராசிகளின் விதிகளயுணர்த்தத் தகுந்த g|TGITLD.
ச2. பிர, இலக்கங்களுக்குப் பதிலாய் அட்சரங்கவள வழ ங்குவதினுற் கணிதநூலுக்கு அநேக பிரயோசனங்கள் உண்டு படுகின்றன. சுஎஅகூ0ச,அஎச ; டுச,அகா,உடுக; கசடுகள் அகoஉச; என்ற எண்களுக்குப் பதிலாய், ஆ, ஈ, ஒ, என்ற மூன்று அட்சரங்களும் நிற்குமேனில், அவற்றை ஒன்முய்ப் பேருக்கிய பேறு (ஆஈஒ) ஆம். இந்த மூன்று அட்சரங்களும் ஒரு சோல்லுவடிவாய் நிற்கும்படி வரைவதே அவற்றைப் பெ ருக்குவதாகையால் கணிதகிர்த்தியம் மிகச்சுருங்கினது. இந்த மூன்று எண்களயும் ஒன்குய்ப் பெருக்கும்போதும், மற்றும்பா டீகணித கிர்த்தியங்கவள இயற்றும்போதும் எண்கள் ஒன்றே டொன்று கலந்து மயங்குகின்றன. அட்சரங்கவளக்கொண்டு கணிக்கும்பொழுது ஒவ்வொருகிர்த்தியமும் மற்றவைகளுடனே மயங்காமலிருக்கின்றது. ஆகையாற் சுருக்கமுடைமையும் ம யக்கமின்மையுமாகிய இரண்டு அழகுகள் வீசகணிதத்தாற் க னிதநூலுக்குண்டாகின்றன.
சா. பிர, பாடீகணிதம் எண்களாகிய தெரிநிவலயிராசிக வளக் கொண்டு மாத்திரமே கணிதமியற்றுகின்றது. வீசகணி தராசிகள் அட்சரங்களாகையால் வீசகணிதம் மறைநிவலயி ராசிக வளயுங் கூடக் கணிதகிர்த்தியங்களில் அமைக்கின்றது. ஒரு மறைநிவலயிராசியின் அர்த்தம் வெளிப்படையாகாதவிட த்தும், அந்த மறைநிவலயிராசி மற்ற இராசிகளோடு இன்னின் ன சம்பந்தத்தைச் சார்ந்ததென்று அறிதல் கூடியதாகையால் அதற்குப் பதிலாக ஒரட்சரத்தை வைத்துக் கணிதகிர்த்தியத் தை அதனிடத்தியற்றலாம். இது வீசகணிதத்தாற் பெறப்படு ம் பிரயோசனங்களுள் முக்கியமானது.
சச. பிர, இப்பால் பாடீகணிதத்திற்கும் வீசகணிதத்திற்கு 2.

Page 13
)39 வீசகணிதம்
முள்ள ஒற்றுமை வேற்றுமைகவள இவ்வுதாரணங்களினல் நவாறறிக.
இரண்டு எண்களின் தொகை (சுஎ) வித்தியாசம் (கக) எ6 று வைத்துக்கொண்டால், அவ்விரண்டு எண்களும் யாவை இவ்வினுவிற்கு விடைகாணும்படி, அறியவேண்டிய இரண் எண்ணிற் சிறியதற்கு (ககூ) ஐக் கூட்டப் பெரியதுவரும் சி ப எண் (ஷ) என்று வைத்துக்கோண்டால் பெரியனண் (ஷ- 5கூ). இவ்விரண்டெண்ணின் தொகையும், ஷ--ஷ+3க அல்லது உஷ+கசு, என்றுவரும். ஆனல் இவ்விரண்டென் ணிைன்தொகையும் (சுஎ) க்குச் சமமாகையால்,
உஷ+ககூ-சுஎ, என்ற சமீகரணம் பிறக்கின்றது. இதில் (உஷ) வுக்கு (ககூ) ஐக் கூட்டினல் (சுஎ) ஆமெனவே, உஷசுஎ-கக, அல்லது உஷ-சஅ, என்றதாயிற்று. ஆகையால்
அPஅ கஷ-(ச அ) இற் பாதி, அல்லது *=エ千*
சிறிய எண் (உச) ஆகையாற், பேரிய எண் உச+ககசக, சக+உச-சுஎ, ஆகையாலும், சக-உச-ககூ, ஆை பாலும், சா, உச, என்ற இவ்விரண்டெண்ணுமே யாமறியவே ண்டிய எண்களாம்.
இந்தக் கிர்த்தியத்தை முற்றும் வீசபாஷை ரூபமாய் வை Fవ)
ਘਹੰਠ ఇ} பெரியண்ண், ஷ--கக. ஆகையால்,
உஷ+கக-சுஎ.
உஷ-சுஎ-கக. பின்வன
リr@Tー&cm
ーコg.gP。
G学二 Q笠十互ā二e于十巫ö二宁历 உச--சக-சுஎ சா-உச-ககூ என்று நிற்கும். இந்தக் கிர்த்தியத்தைச் சிறப்புக்கிர்த்தியமென்பர். சிறப்பு க்கிர்த்தியத்தில் வேறுெருவிதம்.
இரண்டெண்ணிற் பெரியதற்கு ஷ, பிரதியாய் நிற்குமேனில் (ஷ-ககூ) சின்ன எண்ணும், பின்வன, உஷ-கக-சுஎ. உவு
அ5 -சுஎ+ககூ-அசு. ஆகையால், *学=エ千* இது பொ ய எண். ஷ-கக-சh-ககூ-உச, இது சிறிய எண்.
இதினல், வழக்கபாஷையிற் பெருக்கமாய் வரைந்துகாட்ட

ஆரம்ப அதிகாரம். ஸ்டு
வேண்டிய கணிதகிர்த்தியங்கவளச் சுருக்கமாயும் விளக்கமா புஞ் சின்னப் பிரயோகத்தினுல் காட்டலாமென்றும், அறியப்ப டாத மறைநிவலயிராசிகளுக்குப்பிரதியாக அட்சரங்கவள வை த்துக் கணிதமியற்றலாமென்றுங் காண்க.
உ. பொதுக்கிர்த்தியம். வின. இரண்டு எண்களின் தொகை (ஆ) அவற்றின் வித்தி ாசம் (ஈ), என்றுகொண்டால், அவ்விரண்டு எண்களும் யா வை?
விடை. சிறிய எண் ஷ என்றல், (ஷ+ஈ) பெரிய எண். பின்வன உஷ--ஈ-ஆ. உஷ-ஆ-ஈ. ஆகையால் ஷ勢二"ー豊_" 。上ュー塾_"上ュー翌_" 。 e e. e. *十甲=童 二十*=意十二。 இதில் ஆ, ஈ, என்ற அட்சரங்கள் வரையறையற்ற எண்களுக்குப் பி ரீதியாய் நிற்கின்றபடியால் இந்தக் கிர்த்தியத்தைப் பொதுக்கிர் த்தியமேன்பர். இந்தக் கிர்த்தியமுடிவிற் பேற்ற விடை சாதா ரண விதிருபமாய் நிற்கின்றது. அவ்விதி வருமாறு:
இரண்டு எண்களின் தோகையையும் வித்தியாச த்தையும் அறிந்து, அவ்விரண்டேண்களும் யாவை யென நிச்சயித்தல்வேண்டில், வித்தியாசத்திற் பாதி யையுந் தோகையிற் பாதியையும் கூட்டிப் பெரிய எண்ணையும், தொகையிற் பாதியில் வித்தியாசப்பா தியைக் களைந்து சிறிய எண்ணையுமறி. உ-ம்.
2ங்கள் கூக தொகை, உான வித்தியாசம் கூக என்ருல், இ-+ g அல்
FIFAng GILíf உங்கள் கண்க . qSS SLL SS SS SS - - - - ) 65 인. Eகசுஅ, இது பெரிய எண். 으 e -92 FA) 6d
94ئے ہی;55f5
து, g -சுக. இது சிறிய எண்.
சடு, பிர. சமீகரணமும் அநுபாதமுமே வீசகணிதகிர்த்திய ங்கவளப் பரிபூரணமாக்குவன. இவ்விரண்டிவனயும் நன்குன ரவும், அவற்றை விரும்பியவாறெடுத்தாளவும், கூட்டல், கழித் தல், பெருக்கல், பிரித்தல் முதலிய கணிதகிர்த்தியங்களோடு பழகல்வேண்டும். ஆகையால், இந்தக் கிர்த்தியங்கவளக் கிர மமாக அறிவிப்பான்றெடங்கி, உம், அதிகாரத்தாற் சுட் டல் விதிகவள விளக்குவோம். இந்த விதிகவளக் கற்கின்ற
மானுக்கன் வீசகணிதகிர்த்தியங்களுக்கும் பாடீகணிதகிர்த்தி

Page 14
சுெ வீசகணிதம்
யங்களுக்குமுள்ள ஒற்றுமை வேற்றுமைகவள நன்முய் உய்த் 6ÖÖTTášas LaJ6öT.
உ. கூட்டதிகாரம். Addition.
சசு. பிர. சுந்தரன் (ஷ) மாதுளங்கனியை வைத்திருக் அவனுடைய பிதாவும் (கி) மாதுளங்கனியை அவனுக்கு கொடுத்தால், ஆகச் சுந்தரனிடத்திலுள்ள மாதுளங்கனி எ தவனயென்று வினுவுமிடத்து, தொகையறியும் படி (ஷ) ஐ ம் (கி) ஐயுங் கூட்டல்வேண்டும். ஆனுற் கட்டற்கிர்த்தியப் ரதி (+) சகசின்னம். ஆகையால், ஷ+கி, தொகையாம்.
இப்படியே (கஆ) ரூபாயையும் (க) ரூபாயையும் (சி) ருட யையுங் கூட்டிய தொகை யாது என்று வினவும்போது, வீ. கணிதமுறையாய், கஆ+கூ+சீ, ரூபாய் விடையென்றறியல
D
இவ்விரண்டு உதாரணத்திலும், ஷ--கி, மாதுளங்கனியெல் றும், கூஆ+கூ--சீ, ருபாடுயன்றுமறிந்ததேயன்றி, மாதுளங் னி இத்தவன, ரூபாய் இத்தவனயென்று நிச்சயமாய் யாமறிய6 ல்வலயேயேன்ருல், முற்கூறிய இரண்டு வினுக்களிலும், அட் ரங்கள் எண்பிரதியாய் நின்றும், தாங்கள் பிரதியாய் நிற்கின் அந்த எண்கள் இன்னின்னவென்று விளக்காமற் குறிமாத்தி மாய்ப் பயன்றந்தபடியால், விடையும் இத்தவனயென்று என் னளவால் விளக்கவில்வல. ஆகையால் வீசகணிதத்திற் ப6 இராசியை ஒன்ருய்க் கூட்டும்போது அர்த்தக் தோன்றதாயினு ம், தொகைப்பிரதியான வீசவாக்கியங் தோன்றும். இப்படி: தொகைப்பிரதியான வீசவாக்கியமறியுங் கிர்த்தியத்தைக் கூட டல் அல்லது சங்கலனம் என்பர். ஆகையால்,
பல இராசிகளை அவற்றின் சின்னங்களைக்கோண் டு ஒரு வீசவாக்கியமாகத் திரட்டுவதே சங்கலனட அல்லது கூட்டலாம்.
கூட்டல்விதி. சஎ. பிர. கூட்டவேண்டிய இராசிகளிற் சமான ராசிகளைச் சின்னம் வழுவாமல் ஒன்றின் கீழ் ஒன் தீட்டி வேற்றிராசிகளைச் சின்னம் வழுவாமல் வே:ெ தீட்டிப் பின்பு சமானராசிகளைச் சுருக்கி அவற்றே

கூட்டதிகாரம்.
2வற்றிராசிகளைச் சின்னந்தப்பாமலிணைத்தெழுது. உ-ம். hஆ?--சஆஈ-உஈஉ; டுஆஉ-ஈஉ+உஆஈ--கி; (நஆஈ-கூஒ-உஈஉ); என்ற இந்த மூன்று வகுராசிகவளயு
கூட்டவேண்டில்,
நஆஉ-சஆஈ-உஈஉ என்று இப்படி வரை டூஆஉ+உஆஈ-ஈஉ +கி ந்தபின் இவற்றைக் கூ
十所。FーeFe-一cm○ー ட்டும் வகையாவது. 욕을 十勢千ー@F* +-కీ-F62-- hஆ2 , டுஆஉ, என்ற இரண்டிராசியுஞ் சமான தனராசியான படியால், (கூ) ம் (டு) ம், அ. அஆ2, இவற்றின் தொகையாம். -சஆஈ. இது இருனராசி. இதற்குச் சமானமான தனரா சிகளின் தொகை +டுஆஈ. பெரியதிற் சிறியதைக் கவளய --ஆஈ, சேடமாம். தனராசியேபேரியராசியாகையாற் சேடசி ன்னஞ் சகசின்னமென்று காண்க.
-eஈஉ -ஈஉ -2ஈ2. இவையெல்லாம் இருன சமான ராசியானபடியால், இவற்றின் தோகை, (-டுஈ2) ஆம், இ வைகளுக்குப் பின்னே --கி-நஒஉ, என்ற வேற்றிராசிகவள புஞ் சின்னர் தப்பாமல் வரையத் தொகைவரும்.
சஏ. பிர, பலராசிகவள அவற்றின் சின்னங்கவளக்கொண்  ேஒரு வீசவாக்கியமாகத் திரட்டுவதே கூட்டலென்று முன்பு கூறிப், பின்பு கூட்டல்விதி கூறியவிடத்துச் சமானராசிகவளச் சுருக்கல்வேண்டுமென்றதுபொருந்தாதென்று கருதவேண்டாம். இராசிகவள இவனத்து ஒரு வீசவாக்கியருபமாக நிறுத்துவதுதா ன் கூட்டலுக்குச் சிறந்த தொழிலாம். முன்பு நிறுத்திய இரா சிகளின் தொகையறிய அவற்றைச் சின்னங்களினுற் பிவணத் 丢Tá,呜一于邻甲一eFe十@鸟一F十e粤F十母十呜吓 -கூஒஉ-உஈஉ என்றுவரும். இதுஇந்தஇராசிகளுக்குத்தோகை பாம். ஆனல், சமானராசிகளின் தோகையைச் சுருக்கக்கூடிய விடத்துச் சுருக்குவது பிரயோசனமிகுதியையுடையதென்று கரு தியே கூட்டல்விதியில் இந்தக் கிர்த்தியமும் அமைக்கப்பட்டது. சஅ. பிர. இனி, தொகைகவளச் சுருக்குவது எந்தெந்த இடங் களில் எந்தெந்தப் பிரகாரமென்ருல்,
க. இராசிகளுஞ் சின்னங்களுஞ் சமானமாய்வரு மிடத்து:
வர்ணங்கவளக் கூட்டிவந்த தொகையின் பின் பொது அட் சரங்கவளயும் அதன் முன் பொதுச்சின்னத்தையும் வரைவர். உ-ம்.

Page 15
DD, வீசகணிதம்
கூஆ, சஆ சுஆ, இவற்றின் தொகையைச் சுருக்கினல் கா. லிடையாம்.
-கஆ-சஆ-சுஆ, இவற்றின் தொகையைச் சுருக்கினுள் -ககூஆ. விடையாம்.
பின்வரும் வினுக்கவளக்கூட்டி இவ்விதமே விடைகாண்க
க. கஷஸ் உ. எஈ--ஷஸ் ஈ. கிஸ்+கஆஈசு
ଶ ର$60 அஈ--கஷஸ் கூகிஸ்+ஆஈக 26.6m) e.FF十ea浮en) சுகிஸ்+சஆஈசு
சுஈ+டுஷஸ் உகிஸ்+ஆஈசு ச. கிடிஸஷ+சமன டு -ஆஷ சு. -உஆஈ-மன
உகிடிஸ்ஷ+உமன -hஆஷ -சுஆஈ-உமன சுகிடிஸஷ--அமன -உஆஷ -கூஆஈ-சுமன ககிடிஸஷ--கூமன -♔ജൂഖ് -
உ. இராசிகள் சமானமாயுஞ் சின்னங்கள் வே! றுச்சின்னங்களாயும் வருமிடத்து:
தன வர்ணத்தைத் தன வர்ணத்தோடும் இருண வர்ணத்ை இருண வர்ணத்தோடுங் கூட்டிப் பெரியதிற் சிறியதைக் கவ6 ந்து சேடத்தின் பின் போது இராசியையும், சேடத்தின் முன் பெரியதொகையின் அடையாளத்தையும் வரைவர். உ-ம்.
கூ0ஆ-உஅஆ, உஆ-டுஆ, இந்த நான்கு ஒற்றையிராசி குந் தொகையறிய
கoஆ) தன்வர்ணங்கள் (ho) ம் (3) ம் ஆக (கூe -eஅஆUஇருண்வர்ணங்கள் (உஅ) ம் (டு) ம், ஆக ஈள் :தொகை தன் வர்ன بڑھئیے تضا -டுஆ ) தொகையிற் பேரியதானபடியால், (க3) : (கூக) இற் கவளயச் சேடம் (க). பெரியதொகை இருனராக பாகையால், (க) க்கு முன் சயசின்னக் தீட்டி அதற்குப்பின் (ஆ) என்ற பொது அட்சரத்தை வரைந்தால் (-கஆ) அல்ல து (-ஆ) என்ற விடைவரும். தனராசியிலும் இருணராசிய லுங் தனித்தனி ஒவ்வொன்று மாத்திரம் வந்தால் வர்ணங் வளக் கூட்டல்வேண்டியதில்வல உ-ம்.
கடுஈ ;-கூஈ, இவ்விரண்டிராசியையுங் கூட்டல்வேண்டில் (கடு) இல் (கூ) ஐக் கவளந்து சேடமாகிய (சு) ன் முன் சக ன்னத்தையும் பின் (ஈ) என்ற அட்சரத்தையுந் தீட்டி (+சுஈ அல்லது (சுஈ) விடையென்றறியலாம்.
அட்சரங்கள் வெவ்வேருய்வரில் தொகைகள் சுருங்கா:ெ ன்றறிக.

கூட்டதிகாரம். ல்க
பின் வருங் கூட்டல்லினுக்களுக்குத் தொகை காண்க
ஆஈ+அ, ஒட-ா, டுஆஈ-சமி+e. e為十リerpー-an) m-a。ーa十cm。 ஆஈமி-கஷ-ஈமி, en)ーa浮十G。 @a。ーリerD十cm。 கூஆமி+கூ-எவிஸ்-அ, கoஷஸ்-க+டுஆமி, (ஸ். சுஆகிஸ+எட-க--மிஷஸ்-ஆட, டுஆட+கி-எஷ எஆட-கி--அஷஸ்-ஆட-, டுஆட-கி-எஷஸ் கூஆஈ-உஆஸ்+ஷ, ஆஈ-ஆஸ+ஈஷ-கி. உஈஸ்-hஆஷ--உஆ, ஈஈஸ்-ஆஷ+ஆ.
●a。十Fan)ーa。60,ー●em十ea浮op十@尋s。 சகஒடஷ-கoஷஸ்-கஅஈ,எஷஸ+உசஈ--கடைவது 0க, ச-ஈஷ-களஷஸ்+க அஆ, சஆஷ-ருஈஷ+சுக @పవై -
யe. அஆஈ-சுஆஓ--சஓட-எஷஸ், களமிரி+கஅஷகி三芝9学·
யா, ச2ஆஈஒ+கஅஈட, டுoஆஈல--கடுஆஈ+டுஷஸ். Qチ・尋e学一en)十cmー-a。十字チ 字-a。一eo十m勢eみ十 எடுஸ்.
யடு. சடுஆ-கoஈ+சஓடஷ, அeஈ-சலடஷ+கoஆPFF.
D五 ée (●十Fr)十m(尋十F) e(●十*)一至o(茎十*) のs a浮en)(勢十F)十cme受erD(。十干) ea学er (●十ー)ー 于asaD(粤十F)
ape ●e、十斐。十a卒十sse、e。 チ●●十ea牟十李a e 2)# 6 A 62# -
20与 efo一ereen)十e、6m) es、e、十至oaperperp e字ase?十 an af)-9a2.63.
உய. ஆஆஆ+சஆஆஆ. க0ஆஆஆ-கசஆஆஆ+ஆஆஆ.
.5. ക്ലബ്ബിന്റെ-കoഖ്, ഖു, ലoഖ്, ഖു-9|ബബ്ബൺ--> ഖ്, ഖു-ണുബ്ബണു.
22. ச(ஷ-ஸ்)-காr(ஆ+ஈ)-கசு(ஷ-ஸ்)-எஆ+ஈ. உஈ. ஆ(ஷ+ஸ்)-சுஸ், ச0(ஆ-ஈ)+அஆ(ஷ+ஸ்)- ஆசு(ஆ-ஈ).
உச. க0 (ஆஷஸ்)+கஎஈஒட-ஆஷஸ், சுஆஷஸ்-கச FF&NOL --
உடு. -ஷ+ஸ்+சுஷ(ஆ-ஈ)-எஷ, கசுஷ-கருஷ{ஆ 一*)十e@a。
உசு-சஷ (ஷ+ஸ்)+கசுஷ(ஷ+ஸ), கடுஆஈஒ-க0 6 (es--and).
உஏ. டுஆஈஒ-சுஷஸ+மிரி, ஆ+சுஆஈஒ+கசஷஸ்

Page 16
gou) வீசகணிதம்
ஆக ஆ+சுமிரி+கடுஷஸ்-கன்ஆஈல-கடுஆ-ஆஈஒ+ஷல் -கமிரி+ஆஈஒ.
ee 塾(s。十erp)ーリF(s学十en)一ee (a学十efo)ーキ(a +c)-(ఐ-+-60) తొF(ఐ+-ఐు)+@g{Q}+cm)+@(ఐ}+ an)十cmF(a学十efo)
கூ. கழிப்பதிகாரம். Subtraction. சக பிர. கழித்தலேன்பது இரண்டிராசியின் வி த்தியாசத்தை அறிதலாம் ;
உ-ம். (கூ) இலே (ச) ஐக்கழித்தால் வருவது (டு). கழித் தவல வடநூலார் வியவகலனமென்பர். இதில் (க) சோதன யமென்றும் (ச) சோதகமேன்றும் (டு) சேட்மேன்றுஞ் செ ல்லப்படும்.
ஆ+ஈ, என்ற இராசியில் (ஈ) ஐ எடுத்தால் (ஆ) சேடமாம். ஆ-ஈ, என்ற இராசியில் (-ஈ) ஐ எடுத்தால் (ஆ) சேடமாம் ஆகையால், ஆ+ஈ, ஆ-ஈ, சோதfையமாம். --ஈ-ஈ சோதகமாம்.
வீசகணிதத்தில் தனராசியைக் கவளவது அந்தத் தனராசிக் குச் சமமான இருண்ராசியைக் கூட்டுவதற்கும், இருணராசியை க் கவளவது அதற்குச் சமமான தனராசியைக் கூட்டுவதற்குஞ் சரியாம். எப்படியெனில்,
ஆ+ஈ, என்ற இராசியிலே (ஈ) என்ற தனராசியைக் கவளர் தாலும், -ஈ, என்ற இருனராசியைக் கூட்டினுலும் பேறு (ஆ) ஆம். இவ்வகையே, ஆ-ஈ, என்ற இராசியில் -ஈ, என்ற இருண்ராசியைக் கவளந்தாலும் ஈ, என்ற தனராசியைக் கூட் டினுலும் பேறு (ஆ) ஆம் ஆகையால் வீசராசிகவளக் கழிக்
,ھو لا ظازی
ဓါဒွါ. சோதனிய இராசியின்கீழே சோதகராசியைத் த்
ட்டிச் சோதகராசியின் சின்னங்களைச் (சகசின்னஞ் சயசின்னமாகவும், சயசின்னஞ்சகசின்னமாகவும்) மாற்றிக் கூட்டன்முறைபோலக் கூட்டிச் சுருக்கிக் கோள். உ-ம்.
சோதனிையம், +உஅ 夺石FF é于9令厝
சோதகம், --கசு 59Rf
○字L-ö。 --as дРРК è°-李

கழிப்பதிகாரம். 2乐
சோதனியம், -eஅ ーócm FF 一é于9号 சோதகம், - கசு ー。E.FF 一á9鸣 சேடம். -e,9 ー&PFF -ڑھنے والمقشے
இந்த உதாரணங்களிற் சோதfையம் பெருத்துச் சோதகஞ் சி |றுத்திருக்கின்றபடியால் இவை பாடீகணித உதாரணங்களுக்கு சமானமாம். இப்பால் வரும் உதாரணங்கள் பாடீகணிதத் gav60մ) աn.
சோதணியம், --sசு
சோதகம், +eஅ 6gmFrs é于9号 چی و بوت --- " *ae --gra-. .فG gr-t
சோதனtயம், -டிசு ー5.E.FF 一á9麾
சோதகம், -உஅ 一éGFF -இசடிஆ GFLüb. چےe< 子阿F 우을
முந்தின உதாரணத்தின் இராசிகளே இந்த உதாரணத்திலும் வந்தாலும், சோதfையமுஞ் சோதகமும் அடிதவலமாறிநின்றப டியால், சேடசின்னங்களும் மாறிக்கொண்டன. இனி வேற் றுச்சின்னங்கவளயுடைய உதாரணங்கள் வருமாறு.
சோதனtயம், உஅ Eö菲下 சோதகம், -கசு , -கeஈ -சுடிஆ 十字字。 --ாஅஈ 十eog ● சோதனியம், -உஅ 一óáFF 一色*2 ● சோதகம், --கசு 一á9_FF 一ā9-曼 GFLüb. ۔ gسg ہے۔ ہم ہوا ہے۔ e oپڑھے چا
இந்த உதாரணங்களினுற் சேடஞ் சோதக சோதணியங்களி ற் பெருத்தும் வருமென்று காணலாம்.
டூய. பிர. இராசிகளின் சேடத்தைக் கண்டபின் அது சரி யோ பிழையோவென்றறியும்படி பாடீகணிதமுறைபோலச் சேடத்தையுஞ் சோதகத்தையுங் கூட்டுக. சேடஞ் சுத்தசே டமானுல், சோதகத்தையுஞ் சேடத்தையுங் கூட்டியதொகை சோதணியத்திற்குச் சரியாயிருக்கும். உ-ம்.
சோதfையம், உஷஸ்-க சோதகம், -ஷஸ்+எ Gg, Lb. கஷஸ்-அ இதைச் சோதகத்து டன் கூட்டிய தொகை. உஷஸ்-க. இது சோதணியத்திற் குச் சரியாதல் காண்க.

Page 17
22 வீசகணிதம்
சோதண்யத்திலாவது சோதகத்திலாவது சிலராசிசமான
யுஞ் சிலராசி வேற்றிராசியாயும் வரில் முன்போலக் கவளத
செய்தபின்பு சுருக்குகிர்த்தியம்பண்ணல்வேண்டும். உ-ம்.
சோதணியம், ஆஈ.
சோதகம், கூஆமி+ஆமி+எஆமி+உஆமி+சுஆப் முேடம், ஆஈநஆமி-ஆமி-எஆமி-உஆமி-சுஆ, இது சுருக்குகிர்த்தியத்தினுல், ஆஈ-ககூஆமி. என்று நிற்கும்.
சோதணியம், ஆ+ஈ ஆ+ஈ இந்த உதாரண சோதகம், 鸟一FF 登一座 களினல், ஆ, ஈ, சேடம். உஈ. தொகை. உஆ ன்ற இராசிகளில்
தொகையிலே அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கவளந்தாற்.ே டஞ் சிறிய இராசியின் இரட்டியென்றும், வித்தியாசத்தைக் ட்டினுற் தொகை பெரிய இராசியின் இரட்டியென்றும் அறி ஒாம் வீசகணிதகிர்த்தியங்களினுற் பொதுவிதி தோன்றுவ, ற்கு இது உதாரணமாம்.
இவ்வினுக்களுக்குச் சேட்மறிக. க. சு.ஆஈ+எஷஸ்+க அடகிசி என்பதிலிருந்து, mఐci+ ஆஈ+அடகிசி, என்பதைக் கவள.
* ஈடுஆஷ-உகஆஈ-கூஎஞ என்பதிலிருந்து, -foള -கடுஆஈ-கoஆஷ என்பதைக் கவள. -
* சஆஸ்+ககூஈஷ+உ2ஆஐ என்பதிலிருந்து, -82ஆ +கoஒ+கஉஆஸ்+கூகஆஐ-டுoஆஷ, என்பதைக் கவள.
ச. அஷஸ-80ஆஈ--சுஒ என்பதிலிருந்து, -கஉஆஈ+க ஒ+உசஷஸ், என்பதைக் கவள.
டு. எ.ஆ+சுஷ+ஒஊ+ஷஸ்ன என்பதிலிருந்து, கஷசஆ-கூஒஊ-கஎஷஸ், என்பதைக் கவள.
சுத9ஆஈ-ஷஸ+உeடிணி என்பதிலிருந்து, சகஷஸ்டிணி+ஆஈ, என்பதைக் கவள,
.ெ உகஆஷ+ஸ்+ஆஈ-ஆஸ என்பதிலிருந்து, சஆ-ஆஈ -ஸன-ஒஐ, என்பதைக் கவள.
அ. உகஷ-ச0ஷஸ்-கங்ஆ என்பதிலிருந்து, ச2--க9ஆ8 -டுஈஐ, என்பதைக் கவள.
க. டுஷஸ் என்பதிலிருந்து, உஆஈ--கூ0ஆஈ+ஆஈ-சஆஈ என்பதைக் கவள.
கO. டுஆஷ+கசுஆஸ் என்பதிலிருந்து, *翌e。一豊ero十m。 ஆஷ+சஆஸ், என்பதைக் கவள.
கக. ஆ+ஈ என்பதிலிருந்து, ーg十●一ee五十?--ekm+ ஷஸ், என்பதைக் கவள.

பேருக்கதிகாரம், 2. Fa
32. எஆஈ--கசுஷஸ்-எஆஒ என்பதிலிருந்து, -(சுஆஈ2ஷஸ+ஆஓ), என்பதைக் கவள.
3ா, சஷஉ+சுஈசு என்பதிலிருந்து, கஷஉ --சஈக என்ப ふあ季 5 ബ
23. உoஸஉ-உஸ்+கsஆக என்பதிலிருந்து, ஆகஸஉ-உஸ் உக2ஆ" , என்பதைக் கவள.
கடு. ஆ(ஆ+ஈ)--கசு(ஷ+ஸ்) என்பதிலிருந்து, உ(ஆ+ஈ) உசு(ஷ+ஸ்), என்பதைக் கவள. 嗣 ° சஆ+ஈ)--கசு(ஷ-ஸ்)என்பதிலிருந்து, கன்(ஆ+ஈ)
டாசு(ஷ-ஸ்), என்பதைக் கவள. o
ஆஎ. உஆ-ஆ?--ஈஆ என்பதிலிருந்து, ஆ-சஆஉ-சுஈஆ. ன்பதைக் கவள.
அ. ஷஉ +கூஷ-ஷ என்பதிலிருந்து, உஷ+கஷஉ+ 20ஷக , என்பதைக் கவள. +I 550. கஅ-உடுஆஈ--உ0ஷ+கூஸ் என்பதிலிருந்து, நஷي
ஈஸ்-உடுஆஈ--க, என்பதைக் கவள.
உ0. க(ஆ-ஸ்)-கள்(ஆ+ஸ்) என்பதிலிருந்து, க(ஆ+ஸ்) உஎ(ஆ-ஸ்), என்பதைக் கவள.
28. ஆஷ-ஷஸ்-டுஸ்-சு என்பதிலிருந்து, சுஆஷ-சு ஷஸ்-ஆஸ்--சசு-எஒஐ, என்பதைக் கவள. -
உ2. சுசுஆ-சஈ என்பதிலிருந்து, உoஆ-ஈ-கoஆ-க்சுஆ, -hஈ--டுஆ, என்பதைக் கவள.
ச. பேருக்கதிகாரம். Multiplication.) டுக. பிர, (சு) ஐ நாலு முறை (சு) ஒடே கட்டினுற் தொ 855 (ego)=5十五十5十an 身DL&G』(e学) g Engapapp (ஷ) ஒடே கூட்டினுற் தொகை (சஷ)-ஷ+ஷ+ஷ+ஷ. இவ்விதமாய் ஒருராசியை அதனுடனே பலமுறை கூட்டுவது பெருக்கல் அல்லது குண்னமாம். (ஷ) ஐ (ஷ) வடனே எத் தவன தரங் கூட்டல்வேண்டுமென்று காட்டுவது (ச). இதற்குக் குணகம் என்றும், (ஷ) வுக்குக் குண்னியமேன்றும் (சஷ) வக்குக் குணிதமேன்றும் பெயராம். குணகம் என்பது பெருக் குமெண், குணனியமென்பது பேருக்கப்படுமிராசி, குணித மென்பது பெருக்கிக்கண்ட பேறு. உ-ம்.
குணனியம், அ. Glas. குணகம். ö。 டு குணிதம். சஅ கூடுஷ. டூஉ. பிர, ஒரு இராசியை அதனுடனே பலமுறை கூட்டுவது

Page 18
2_字 வீசகணிதம்
பெருக்கல் எனவே அபின்னகுணகத்தில் எத்தவனயலகோ அ தவன முறை குணனியத்தைக் குணனியத்தோடே கூட்டிக் னிதமறிவதென்குயிற்று. இப்படிக் குணகம் அபின்னமாக ல், பின்னமாய்வரில் அந்தப் பின்னம் (a) இன் எத்தவனகள் அத்தவ்ன கூறுகவளக் குண்னியத்திற்கொண்டு கூட்டுவதே ே க்கலாமேன்க. எப்படியென்றல்,(க) ஆற் பெருக்குவது கு னியத்தை ஒருமுறை கொள்வதாம். உ-ம். ஆXக-ஆ. ( ஆற் பெருக்குவது குண்னியத்தை இரண்டுமுறை கோள்வதா
. *ーd ●×eニ塾十勢・ இவ்விதமே இ)ஆற் பெருக்குவ
குனனியத்தின் 儘) ஐ ஒருமுறை கொள்வதாம். உ-ம்.
る 。 그 - Xஒ=இஆ (இ) ஆற்பெருக்குவது குண்ணியத்திலே (
ஐ இரண்டுமுறை கொள்வதாம். உ-ம். తిX+=2; 出 வுமன்ன. ஆகையாற் குணகம் (க) ஆனுற் குணிதம் குனன் யத்துக்குச் சரி குணகம் (3) க்கு மேற்பட்டால், குணிதம் னணியத்துக்கு மேற்படும். குணகம் (இ) க்குக் குறைந்தா குனிதம் குணனியத்துக்குக் குறையும்.
டுரு. பிர குணனியமுங் குணகமும் அட்சரமாத்திரமாய் ரில், அவற்றினிடையிலே பெருக்கற்குறியிட்டாவது, இடா லாவது இவனத்துத்தீட்டினுற் குனிதமாம். உ-ம்.
ஆ, குணனியமும் ஆஈஒ குணனியமும் இ, குணகமுமானல் ஷஸனற, குகைமுமானுக் (ஆXஈ), அல்லது (ஆஈ), அ ஆஈஒஷஸ்னற, என்றது
ல்லது (ஆஈ), குனிதமாம். னிதமாம்.
இப்படிச் சொல்லுவடிவாகக் குணிதத்தைத் தீட்டும்போ, அட்சரங்கவள அகராதிமுறையாகத் தீட்டுவது உத்தமமாம். லக் கவர்ணங்கவளயுடைய இராசிகவளப் பெருக்கவேண்டி வர்ணங்கவளப் பெருக்கிக் கண்டபேற்றை அட்சரகுணிதத்தி முன் வரைக. உ-ம்.
கூஆXஉஈ-சுஆஈ. கஉகிஷXநஆஈ-கசுஆஈகிஷ. டுச. பிர, குணனியம் வகுராசியானல், அதினுறுப்புகளவு த்தையுந் தனித்தனி குணகத்தினுற் பெருக்குக. உ-ம்.
குணனியம். ஈ--ஒ+கி+ஷ குணகம். 苓·
குணிதம், ஆஈ+ஆஓ+ஆகி+ஆஷ.

பேருக்கதிகாரம். છે (ક્રિ
துண்ணியமுங் குணகமும் வகுராசியானுல் குணனியத்தின் ஒ ஆடுவாரு உறுப்பையுங் குணகத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுைம் இபருக்கவேண்டும். உ-ம். தண்ணியம், ஆ+ஈ. (ஆ+ஈ ஐ (ஊ) ஆற் பெருக்க வரு 蚤、sü,*士甲__tè彦(@°十呼空),(粤十所)熙 ஆஊ+ஈஊ (ஒ) ஆற பேருக்க வருவது (ஆஓ+ 十塾○士ー○ リ*?) ஆகையினுல், தணிதம், ஆஊ+ஈஊ+ஆஓ+ஈஓ இம்முறையே பேருக்கி இவனத்துத்தீடடும்போது குணிதத்திற்பல இராசிகள் சமான உறுப்புகளாய் வரில் அவற்றிற்குச் சுருக்குகிர் த்தியம்பண்ணுக. 2-lb.
குணனியம், ஆ+ஈ குணகம், 勢十-FF 。 குணிதம், ஆஆ--உஆஈ+ஈஈ. டூடு. பிர, குனங்கங்கள் தனமுந் தனமுமாயாவது, இருணமு ம் இருணமுமாயாவது, சமானசின்னம்பெற்று வரில், குணிதக் த னராசியாம். குணங்கங்கள் தனமும் இருணமுமாயாவது, இரு னமூக் தனமுமாயாவது வேற்றுச்சின்னம்பெற்றுவரில், குணித ம் இருணராசியாம். இவ்விடத்து, தனத்தையுந் தனத்தையும் பெருக்கினுல் பேறு தனமாடுமன்பது வெளிப்படை. இனி இரு | ண குணனியத்தைத் தன குணகத்தாற் பெருக்கும்போது இருன குணனியத்தை இருண்குணனியத்தோடு கூட்டல் வேண்டியப டியால், குனிதமும் இருண்மாய் வருமென்பதுந் தெளிவாம். *ーü・一尋×@ニー@● @夢 一尋ーリー●一勢ー● ● ன்ற ஐந்து (-ஆ) ஐயுங் கூட்டியதோகைக்குச் சரி.
குணனியம், உஆ-ஈ குணகம், 155-6s குணிதம், சு ஆகி-கஈகி+உஆஷ-ஈஷ. குணனியம், டு-கஷ--ச குணகம், o6. குணிதம், உடுஸ்-சுஷஸ்--அஸ். இப்படிக் குணகங் தனராசியாய் வரில் குணனியங் கூட்டப்ப டவேண்டியபடியால், குணனியசின்னங்கள் விகாரப்படவில் வல. ஆனற் குணகம் இருண்குணகமாய் வரில் சின்னங்கள் மாறிவரும். எப்படியென்ருல், முன்புபோலப் பெருக்கியபேற் றைக் கவளதல்வேண்டுமென்பது குணகசின்னத்தின் தாற்பரி யமாகையால், வியவகலன விதிப்படி (சகசின்னஞ் சயசின்ன மாயும் சயசின்னஞ் சகசின்னமாயும்) குணிதத்தில் மாறிவரும்,

Page 19
2. வீசகணிதம்
உ-ம். ஆX-ச--சஆ. இதில் (ஆ) ஐ (ச) ஆற் பெருக் யபேறு--சஆ. இந்தப் பேற்றைக் கவளயவேண்டியபடியால் சகசின்னத்தைச் சயசின்னமாகம்ாற்றி (-சஆ) என்று ரைந்தது. ஆகையால், ஒரு இராசியை அதனுடன் பலமுை கூட்டுவது குணனமாமென்று கூறியது குணகந் தனகுணகமா வரும்போதன்றி, இருணகுணகமாய்வரும்போதல்லவாம். குை கம் இருண்குணகமாய்வரில் குணனியத்தைக் கூட்டுதலல்ல கவளதலே குணனமாகும். உ-ம்.
石FF ஆ
-f, -9 cm十字
கஅஈ -கஅஈ சுஆ-சஆ --உஆ சு.ஆ+சஆ பின்வரும் வினுக்களுக்கு விடைகாண்க. es. } 2. IF,Gerd-l-áfagi--e. በቻo . } PF-6A Dの一FFeer リー午 டுசு. பிர. இனி இருணத்தையும் இருணத்தையும் பெருக்கு போது தனம்பிறக்குமென்றதெப்படியெனில், இருண்குணனி த்தைக் குணகத்தின் அலகு எத்தவனயோ அத்தவனமுறை ச ட்டினுல் இருணப்பேறுய் வருமன்றித் தனப்பேருய் வராது, ! ந்த இருணப்பேற்றைக் குணகம் இருணகுணகமாகையாற் கவள் தல்வேண்டும். கவளயவே பேறு தனப்பேரும். உ-ம்.
一敦 தரம்.
-9.
(ஆ) ஐ (+2) ஆற்பெருக்கினல், (-2ஆ --உஆ. குணிதமாம். ஆனுற் குணகம் (+2) ஆக
மல் (-2) ஆகவந்தபடியால், (-உஆ) ஐக் கவளயவே சய4
ன்னஞ் சகசின்னமாய்மாற (+உஆ) குனிதமாம்.
இவ்வினுக்களுக்கு விடைகாண்க.
a (勢ー字) 秀Tib (一mFー5) உ. (சடுஷ-கிற) தரம் (கூஆட-ஆகி-கிற) m. — (GPL——96.g. --Ifri) gigibi (e, áfand--muD—as)
டூன. பிர. பெருக்கியபேற்றிற் சமானராசிகள் தனமும் இருை முமாய்வரில், அவற்றைத் தள்ளிக் குணிதத்தைச் சுருக்கிக்கெ
ள்க. உ-ம். 十敦一甲 தரம் மம-ஸ்ஸ் 多gü.博锣十令F十円 தரம் 士致士型 అb+ana | হ্রস্তু-পি- 粤鸟一敦°
十垒可一呼呼。
š学”一**

பெருக்கதிகாரம். 26
வகுராசிகளுக்குப் பெருக்கற்கிர்த்தியத்தாற் குனிதங்காண்கு போது குனிதம் அவ்வகுராசிகளுக்கு விரிந்தருபமென்றும் பெ நக்கற்கிர்த்தியத்தை இயற்றமற் சின்னமாத்திரமாய் அந்தக்சி ர்த்தியத்தை விளக்கும்போது அது அந்த வகுராசிகளுக்கு விரி
ாருபமென்றுஞ் சொல்லுவர். உ-ம்.
(ஆ+ஈ--ஒ) X (கி+கு+சு) இது விரியாரூபம். 晏十污士6ä十gé十阿十65十勢á十市ó十@5,g து விரிந்தரூபம்.
டூஅ. பிர, எந்தராசிக்காவது சுன்குணுங்கமாய்வரில், குணித 朗 சூனியமாம். உ-ம். ‘。
2-2, Xoto. NA C E இவ்வாறெடுத்துக்காட்டிய நேறிகவள அமைத்துப் பெருக்கற் சிர்த்தியம்பண்ணுவதற்குச் சாதாரணவிதி கூறுகின்றுேம்.
பேருக்கற்சாதாரணவிதி. டுக. பிர. குணனியத்தின் ஒவ்வொரு அட்சரத் தையும் வர்ணத்தையுங் குணகத்தின் ஒவ்வொரு அ ட்சரத்தினுலும் வர்ணத்தினுலும் பேருக்கிக் குண னசின்னங்களுக்குக் கூறிய விதிப்படி குணிதஉறுப்
பொவ்வோன்றின் முன்னுஞ் சின்னமிடு.
இக்குணனவினுக்களுக்கு விடைகாண்க. ஆ+ஈஈ-e தரம் சஆ-சுஈ-ச சஆஈ XஷX2 தரம் கூடஸ்-க--ஐ (எஆஐ-ஸ்)ச தரம் சஷXகXடுXஒ (சுஆஈ-ஐஒ+க)X2 தரம் (ஆ+சஷ-க)Xஒ m勢ero十em)ー字十g多7b (?十a学)×(g十en)。 cma学ー(字gー●) 夢Tib (F十a)(g十a) எஆஸ்-க-ஐX(ஓ-ஷ) தரம் -(ணரி+h-சட) (尋十F)×(塾十F) 李gib ●十F (ஷ+ஸ்) (ஷ-ஸ் தரம் ஷ+ஸ் (ஆஆ+ஈஈ)(கிகி--ஒஒ) தரம் ஷஷ--ஸஸ் ஆஈகி-ஒகுட+ஸ்-எ--ஸ தரம் ஆ+ஈ ஷஸ்-ஸ்ஸ்+கO தரம் ஆஆ-கe கக. ச(ஷ--ஸ்) தரம் கூஆXசுஈXக கச. க(ஆ+ஈ+கி+ஓ) தரம் ஷஸ்னXட கடு. ஆ-ஈ-கி+ஓ தரம் ரு(கி+ஓ) சுே. ஷஷ+ஷஸ+லுஸ் தாம் ஷ-ஸ
| , 3 ö U
A.

Page 20
르-2 வீசகணிதம்
கஎ. ஆஆஆ-ஈஈஈ தரம் ஆஆஆ+ஈஈஈ கஅ.ஆஆ-ஆஷ+ஷஷ தரம் ஆ+ஷ கசு. ஸ்ஸஸ்-ஆஸ்ஸ+ஆஆஸ்-ஆஆஆதரம் ஸ்+ஈ
0. கடுஆ+உ0ஈஈ தரம் கூஆ-சஈஈ க. கூஆ(ஷ+ஸ்)Xச தரம் ஆ+கி 22. உகஷஸ்-க அஆ--உ-எகி தரம் க-ஷ உக். உஆஷ-ல தரம் -(ஈ--e)Xஷஸ்ன ee e@十cm装F×ー(ーen)十a学) ggibーe十Lー e@,鸟鸟十e邑F十FF55D(粤十F)(@十F)
டு பிரிப்பதிகாரம். Division சுய பிர. பெருக்கற்கிர்த்தியத்தினுற் குணனியம், குணச ! என்ற குணங்கங்கவளக்கொண்டு குனிதமறியும் விதியை விள தி இப்பால், குணிதத்தையுங் குணுங்கங்களிலொன்றையுங்கெ ண்டு மற்றக்குணுங்கமறியும் விதியைத் தெரிவிக்கின்றுேம். இப் டிக் குணுங்கமறியுங் கிர்த்தியத்தை, பிரித்தலென்றும், அரித் லென்றும், ஈதலென்றும், பாககாமென்றுஞ் சோல்லுவர். உசு, ச, என்ற குணுங்கங்களின் குணிதம், உச. (உச) ஐயு (ச) ஐயுங் கோண்டு (சு) ஐ அறிய, (உச) ஐ (ச) ஆற் பிரிப்பது இவ்வகையே பிரிக்கப்படும் இராசியைப் பாச்சியமேன்றும், பி க்கும் இராசியைப் பாககமென்றும், பிரித்துக் கண்டபலத்தை பாசிதம் என்றும், ஈவு என்றுஞ் சொல்லுவர். ஆகையால், பிரித்தல் என்பது பாச்சியத்தைப் பிறப்பிக்கும் டி பாககம் எந்த இராசியாற் பெருக்கப்படல்வேன் டுமோ அந்த இராசியாகிய பாசிதத்தை அறியுங் கிர் தியமாம்.
சுக. பிர, பாககத்தையும் பாசிதத்தையும் பேருக்கிக்கண் குணிதமே பாச்சியத்திற்குச் சமமானபடியால், பாச்சியத்தி பாககங் குணுங்கமாய்வரில் இந்தப் பாகக சமமான குனுங்க தைத் தள்ளி நிற்பது பாசிதமாம். உ-ம். ஈஒ, பாச்சிய ஒ. பாககம். பாச்சியமாகிய (ஈஒ) இல், பாககமாகிய (ஓ) ணுங்கமாய்வந்தபடியால், இந்த (ஒ) ஐத் தள்ள நிற்பது (ஈ இது பாசிதமாம். இந்தப் பாசிதத்தையும் பாககத்தையும் பே க்கப் பாச்சியமாம். ஒXஈ-ஈஒ, பாச்சியம். உ-ம்.
பாச்சியம், ஆஷி } -9, X62 155aG 5Xಖಿ Tas Stħ, ஆ ? சாட்சி -ஆஷ 王mLä二、
பாசிதம் 6 ශීඝ්‍ර

பிரிப்பதிகாரம். 2.
சுe, பிர, பாககசமமான குணுங்கத்தைத் தள்ளிப் பாசித ழ் அறிக எனவே பாககத்திற்குச் சமமாய்ப்பாச்சியத்தில் வரும் எல்லாக் குணுங்கங்கவள யுந் தள்ளல்வேண்டுமென்று கருதிய இல்ல. பாககத்திற்குச் சரியான அளவே தள்ளுவதாம். உ-ம்.
Ustasib, 9, ஆ) ஆகையால் மற்ற (ஆ) ஐத் தள்
பாச்சியம், ஆஆஈ ) பாதகத்திற்குச் சரியளவான இராசி பாசிதம், -{ ள ல் வேண்டியதில் வல.
る。
கீகீசீகூ. இதை (கீ) வுக்கீந்தால், கிசீசு பாசிதமாம்.
சுக பிர, பாச்சியத்தின் எந்தக் குணங்கத்தையாவது தள் ஒருவது அந்த இராசியினுல் அந்தப் பாச்சியத்தைப் பிரித்தற்கு ச் சரியாம். உ-ம். (ஷசி) என்ற பாச்சியத்தில் (ஷ)ஐத்தள்ளி ஒல் (சி வரும். இந்த (சி) (ஷசி) ஐ (ஷ) ஆற் பிரித்துப் பேற்ற பலமாம். ஆ(ஷ+ஸ்) என்ற பாச்சியத்தில் (ஆ) ஐத்தள்ள ஷ+ஸ்) ஆம். இது ஆ) ஆற் பாச்சியத்தை அரித்த பலமாம்.
சுச, பிர இலக்கவர்ணங்கள் வரில், பாச்சியவர்ணங்கவளப் பாககவர்ணங்களினுலரிப்பர். உ-ம்.
பாச்சியம், சுஆஈ உடுடினே கசுனனினு பாககம், 9. டிடுன Ꭶ=60Ꭲ$Ꭴy பாசிதம். hஆ eடு 0
சுடு பிர, வகுராசியான பாச்சியத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பி லும் பாககங் குணுங்கமாய் வரில், இந்த வகுராசியை அரிக்குமி டத்துப் பாககசமமான குனுங்கத்தை ஒவ்வொரு உறுப்பினின் றுக் தள்ளுவர். உ-ம். பாச்சியம், ஆஈ+ஆஊ ஒவ்வொரு உறுப்பினின்றுக் தள் ui, ஒருவது ஏனேன்றல், ஆX(ஈ+ஊ} பாசிதம். ஈ+ஊ yō?းအံ့၊ பாச்சியம் சமமாகையாலெ
ன்றறிக. இலக்கவர்னங்கள் வந்தால் ஒவ்வோரு உறுப்பின் வர்ணங் கவளயும் பிரித்தல் வேண்டும். உ-ம்.
பாச்சியம், சுஆஈ+க உஆஒ கoடிறஸ்+கசுடி
பாககம், க ஆ 9-12. பாசிதம். உஈ--சஓ )Eppen(-+-پوى
பிரிப்புச்சின்னம்.
சுசு, பிர, பிரிப்புச்சின்னங்களுக்குக் கூறப்படும் விதியுங் கு

Page 21
கல் வீசகணிதம் ணனசின்னங்களுக்குக் கூறப்பட்டவிதியும் ஒன்று. எப்ட யென்ருல்,
பாககமும் பாச்சியமுக்தனமுக்தனமுமாயாவ: இருணமும் இருணமுமாயாவது, சமானசின்ன பேற்றுவந்தாற் பாசிதந் தனமாய்வரும். பாககமு பாச்சியமும் வேற்றுச்சின்னம்பெற்றுவந்தாற் பாசி ம் இருணமாய்வரும்.
சுஎ. பிர, பாககத்தையும் பாசிதத்தையும் பெருக்கிக்கண் குணிதம் பாச்சியத்திற்குச் சமமாய் வரல் வேண்டியபடியாற்
னனசின்னவிதியும் பிரிப்புச்சின்னவிதியும் ஒன்ருமென்ற உ-ம்.
±懿±二士霆1 【士蟹童士蟹=十翡 工畿±二絮 ஆகையால் 榨二冀"二酉 -ஆX-ஈ-+ஆஈர் し十勢FーチーFニー。
சுஅ. பிர, பாககஅட்சரங்கள் பாச்சியத்தில் இல் வலயான பிரிப்புக்கிர்த்தியம்பண்ணும்படி, பாககத்தைப் பாச்சியத்தி கீழே பின்னருபமாய் வரைவர். உ-ம்.
l-e)
சுசு. பிர, பாககத்தின் சில அட்சரம் பாச்சியத்தின் ஒ வொரு உறுப்பிலுஞ் செறிந்திருந்தால், இந்தப் போது அட்சர தைத் தள்ளிப் பின்னருபமான பாச்சியத்தைச் சுருக்கலா
D-D.
6) జ60+2= )-6f0( -تھی ------ب==
ஆஈ_ஈ ஆடிணி-கூஆஷ_டினி-கஷ ஆஒ ஓ ஆஈ 下。F பாககசமமானராசி பாச்சியத்திற் சில உறுப்பில் மாத்தி உண்டானல், அந்த உறுப்பைமாத்திரம் அரித்து மற்ற உறுப் கவளப் பின்னருபமாக இவனத்து வரையலாம். உ-ம்.
*夢F十ー ェ. (。F-H-L-)-ボー』。二 宇ーリーニm十ー。
リF十Lールす。 サ。 e (FFLD十mero)+ーFーニ הם - רמיר
எu). பிர, பாககமும் பாச்சியமுஞ் சமமானுற் பாசிதம் ( ஆம். உ-ம்.
ஆரி 研苓 ●ーF十e江
S SS YYLSLYSTSS S SSSSYLLLSLLL S S S S S S S S
ஆF சஆ+உஆ” ஆ-ஈ+ஊ
எந்த இராசியைக்கொண்டாவது தன்வனத் தன்னலரித்தபசு
E3. 2,605 (UT

பிரிப்பதிகாரம். $கக் A) என்று காண்க. பாககத்திற் பாச்சியம் பெருத்தாற் பாசி நீ (a) இன் மேற்பட்டும், சிறுத்தால் (க) இன் கீழ்ப்பட்டும்வ ü,2一ü·
2டு _ உடு_க உடு
டு டுo உருF? எக. பிர. இனி வகுராசியான பாககங்கவளக்கோண்டு அரி க்கும்படி,
●十*)●●十汗●十塾-十F-(●十ー
ஆஓ--ஈஓ 举 举
●L-十FLー ஆட+ஈட 飞菲飞莓
இந்த உதாரணத்தில் (ஆ+ஈ) பாககம். பாககத்தைப் பா ச்சியத்தினிடப்புறத்திற் றீட்டிப்பாச்சியத்தின் முதலுறுப்பாகிய (ஆஓ) ஐப் பாககத்தின் முதலுறுப்பாகிய (ஆ) ஆலரிக்கப் பா சிதத்தின் முதலுறுப்பாகிய (ஓ) வரும். இந்த (ஒ) ஆல் பாகக முற்றையும் பேருக்க (ஆஓ+ஈஒ) பேரும். இந்தப்பேற்றைப் பாச்சியத்தின் முதலுறுப்புகளிலே கவளந்து எஞ்சிய உறுப்பு கவள இறக்கி அவற்றின் முதலுறுப்பை முன்போல அரித்தா ல் (ட) பலமாம். இது பாசிதத்தின் இரண்டாமுறுப்பு. இ தைக்கொண்டு முன்போலப் பாககத்தைப் பெருக்கிய பேறு (ஆட+ஈட). இதைக் கவளயச் சேடமில்வல. ஆகையால் (ஒ+ட) பாசிதமாம்.
இப்படிப் பிரிப்புக்கிர்த்தியம் பண்ணுவதற்குப் பிரமானமெ ன்னவென்ருல், பாககத்தைக்கொண்டு பாசித உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் பேருக்கினுற் குணிதம் பாச்சியத்திற்குச் ச மமாய் வருதலாம். மேலும் வகுராசியைக்கொண்டு பிரிப்புக்கிர் த்தியம்பண்ணுமுன், இராசிகவள வேண்டியகிரமமாய் நிறுத்த ல்வேண்டும். எப்படியென்றல், பாககத்தின் முதலுறுப்பிலிரு க்கும் அட்சரமே பாச்சியத்தின் முதலுறுப்பட்சரமாகவும் பாக கத்திலாவது பாச்சியத்திலாவது பாககபாச்சியம் இரண்டிலு மாவது இந்த அட்சரம் பலமுறை குணுங்கமாய்வரில் பெரிய குணுங்க உறுப்பை முதலுறுப்பாகவும் அதிற் சிறுத்ததை இர ண்டாமுறுப்பாகவும் இப்படியே கிரமங் கிரமமாக வரைக. உ-ம். 2ஆஆஈ+ஈஈஈ+உஆஈஈ+ஆஆஆ, என்ற பாச்சியத்தை, ஆஆ+ஈஈ+ஆஈ, என்ற பாககத்தாலரித்தல் வேண்டில், பா

Page 22
விசகணிதம் تسمیہ3
சுக முதலுறுப்பாக (ஆஆ) ஐ வைத்துக்கொண்டால், (ஆ அங்கமாக எத்தவனமுறை வருகிறதோ அத்தவனமுறைப் பாக்சிய உறுப்புகவள நிறுத்தல்வேண்டும். ஆஆ+ஆஈ+ஈஈ)ஆஆஆ+உஆஆஈ+உஆஈஈ+ஈஈஈ(ஆ+R ஆஆஆஆஆஈ+ஆஈஈ
共 ஆஆஈ+ஆஈஈ+ஈஈஈ
●●F十尋FF十FFF
举
பிரிப்புச்சாதாரணவிதி.
எ2. பிர, (க) பிரிப்புக்கிர்த்தியம்பண்ணும்ப பாச்சியத்தின்கீழ்ப் பாககத்தைப் பின்னருபமாக ரைவது எல்லாராசிக்கும் போதுவிதி.
(2) பாககமும் பாச்சியமும் ஒற்றையிராசியாய் பொதுக்குணுங்கம் போருந்திவரில், பாககவர்ணத் ற்ை பாச்சியவர்ணத்தை அரித்துப் பாககபாச்சிய களின் போதுக்குணங்க அட்சரங்களைத் தள்ளு.
(ஈ) பாககம் ஒற்றையிராசியும் பாச்சியம் வகு சியுமானுல் பாச்சியத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையு பாககத்துக்கீ.
(ச) பாககமும் பாச்சியமும் வகுராசியானுல், ன்பு கூறியவகையே கிரமங்கிரமமாக அவற்றைத் ட்டி, பின்பு பாககமுதலுறுப்பைக்கொண்டு பாச் யமுதலுறுப்பை அரித்துப் பலத்தைப் பாசித முத றுப்பாக் நிறுத்தி இந்தப் பலத்தினுற் பாககத்தை பேருக்கிக்கண்ட குணிதத்தைப் பாச்சியத்திற் களை து சேடத்துடனே அரிக்கப் போந்த இராசிகளைப் ட ச்சியத்திலிருந்திறக்கி முன்போல அரித்து இவ்வா பாச்சிய ராசிகள் முற்றும் ஒழியும்வரைக்கும் அரி.
(டு) இப்படி அரிக்கும்போது பாகக பாச்சியசி னங்கள் சமானசின்னங்களானுற் பாசிதந் தனமா ம் வேற்றுச்சின்னங்களானுற் பாசிதம் இருணமா ம் வருமேன்றறி.

பிரிப்பதிகாரம். fiha
பிரிப்புவினு, (க2ஆஈஸ்+சுஆஈஷ-eஅஈஈம+உசஈ)+சுஈ. (acm。一与e十eemo十字ーeo茎t-c学十tp)→ー字。 (夢一eer)×(mp十en)×e学一-(勢ーeer)×(mtp十en). (●eett-ーテ尋-十méempー●)+(eerL-ー字L一十mere
.(5 س-- (勢e。一ecmerの十勢ーー字uperoー与十勢)+ー勢・ (ஆமஸ்+கமஸ்-மஷஸ்--ஆம-ட}+டமஸ். (ஆனட-சுஆ+உன-ஊட+சு)--உஆனட. (5 ●●学ーター+es学en)十字ー5eeferD)→-5°尋e学er). (கசு ஆஈஐஷ-கஉஷஸ்ஆஈ--உசஆஈஷட-ாசு ஆ ஊ
தஈ)--சஆஈ. 80. (உகஆஆஈஸ்+சeஐடஷஆஆ+கசஆஆஆ-ஈடுஆஆஆ.
ஈ)+எஆஆ. ஆக, (க2ஆஈனஷஸ்-சுஊடஆஈஷஸ்+உசஷஸ்ஆஈம)+
fhgFF66). ஆஉ (hஆஷ-கசுஈஷ--ச2-எஉஜஷ--கoஆஷ)--கஷ am (ao●Fー字) (a学十en)十ae十ée(。十*)+eag)
一一卒。
4ச (ஆஈஷ்-ஐடஷ+அணிஷ+ஷ)+(ஆஈ-ஐட+அ
ଶ୪f-+6).
இடு. (உசனஷஸ்-ஈசுஐட-சஅஆஈஐட)+(கஉணஷஸ்
segp一e字尋FgLー). 55 (ー●Fー●L一十勢a学 (●十F)ー字e尋e学efo十リー) ஆஎ. (சுஆம-கoஆஉன--உ0-8உஐட--கஎஆ)+ -உமஆ. கஅ. (னஷஸ்+சுஷ+ஊ-க+உனஷஸ் (ஆ+ஈ))--சுன
೧೩ 6TD. aー (ーリgーéeFgーリFー&oーe*gg)+*
ஆஈ8. [F, உ0. (கஅஆஈஷஸ்--கசுஆஈஷ-உ0ஈஈஐம--உசஆஈ) -2 ea (acme。ーe字十尋勢十ego一eo●e学ー●)+ー字。 ee (a斧ーen).(m。十es)×F-i-(aリーen)×(m。十as) am (字色Lー×(字ー●)・(e学十en))→ー(字ー●)×宇aLー。 உச. (-சoஷஸ்--எஆஈஷ-நஆஊமஷ)-(-சoஸ்+ள
琴Fーリeerp). ஒடு. உo(ஆஈ--க)-சுo(ஆஈ+2)+டுo(ஆஈ--க) } +டு உசு. (சுஆஷ+உஷஸ்-கூஆஈ-ஈஸ்--நஆ8+ஸ்ஐ+ஊ)
--(கூஆ+ஸ்). es (●●*ー所・豊塾十e@Fーリー字F十ee)→-(Fーm)

Page 23
  

Page 24
*、 வீசகணிதம்
ஆட+ஆகி_சுஷஆ_ஆணஸ
*于亨于下 ட--கீ சுஷ னஸ் இt பாவுக்கும் அர்த்தம், (ஆ).
அய. பிர, பின்னத்தின் இடைவரியின் முன் சகசின் வரிற் பின்னுர்த்தக் தனம் என்றும், சயசின்னம் வரிற் பின் ர்த்தம் இருண்டுமன்றும் அறிக. உ-ம்.
dy
2, FF +富ー=+3.ーリ=ー● ep十リー="十み
PF
ہیے۔ mpج جسے ---گ- -- Tbع
エ="ー●
இந்த உதாரணங்களினுற், பின்னத்தின் முன் வரைந்த ச் னத்தை மாற்றுவது பின்னுர்த்தத்தைத் தனமிருணமாகவும் நனந் தனமாகவும் மாற்றுவதற்குச் சரியென்று காணலா
அக, பிர, மேலும் போகசின்னம் யாவையும் மாற்றுவது ன்னுர்த்த சின்னத்தை மாற்றுவதாம். உ-ம்.
. ~s9ኔFቸ 言ー=十● ජූෂිබ්, 下エ千一望。 மெலும், ஆஈ-ஈசி ー塾F十-Fa 千エー=尋一* ●●● 千一、一=ー●十リ
அ2. அப்படியே ஆரகத்தின் சின்னம் யாவையும் மாற்றுவி பின்னர்த்தத்தைத் தனம் இருணமாகவும் இருணங் தனமாக ம் மாற்றுவதாம். உ-ம்.
ஆF .、乌FF エ=十勢 g@6 *=ー3 ஆகையால, அா. பிர. பின்னத்தின் முன் வருஞ் சின்ன தையாவது, போகத்தின் சர்வசின்னங்களையாவது, ரகத்தின் சர்வசின்னங்களையாவது, மாற்றினுல் பி னந்தனம் இருணமாகவும் இருணங் தனமாகவ மாறிவிடும்.
அச. பிர, இந்தப் பிரகாரம் மாற்றுவதினுல், தனம் இரு மாயும் இருணங் தனமாயும் வருமெனவே, பின்னம், போக ஆரகம், என்ற இவற்றில் ஒன்றை ஒழித்து மற்றிரண்டுக்குழு ய சின்னங்கவள மாற்றினுல் இரண்டின் விகாரமும் ஒன்ை யொன்று சூன்யார்த்தப்படுத்துவதினுற் பின்னுர்த்தம் விகா டையாது; எப்படியென்றல்,

பின்ன அதிகாரம். 6
鼩FF - 警 - +ஆ. இதின் போகசின்னத்தை மாற்றினுல்--ஆ என்றிருணமாம். போகசின்னத்தையும் ஆரகசின்
을=+) என்று தனமாம். பி
எத்தையும் மாற்றினல்,
ன்னத்தின் சின்னத்தை மாற்றினல் a+ என்றது, ஸ்
警=的一● என்றும், போகசின்னத்தையும் இதினுேடு மா ற்றினல், @=ိ -ஸ்-ஆ என்று பழையபடி விகாரமின்றி யும் வரும். ஆனபடியினுலே,
அடு. பிர, போகம் ஆரகம் என்ற இவ்விரண்டின் சின்னங்களை ஒரேமுறை மாற்றினுலும், அவ்விரண் டிலோன்றினது சின்னத்தையும் முழுப்பின்னத்தின் முன் வரையப்பட்ட சின்னத்தையும் மாற்றினுலும் பின்னுர்த்தம் விகாரமடையாது. உ-ம்.
* ーéエ 一乐、 - G エ千ーeー下ーeー下 e E--க. மேலும், 해 一ā 石 ーéエ
YSJSYS LLLLLLLLSLS YJSYS SJS SYY -9 으 9. 9-سےD அபவர்த்தனம், அதாவது, பின்னங்களைச் சுருக்கு கிர்
த்தியம்.
அசு. பிர. இங்கே யாம் எடுத்துக்காட்டியவற்றை வழியாக க்கொண்டு பின்னங்கவளச் சுருக்குவதற்கு விதிகவளப் பிறப்பி க்கலாம். அவைபாடீகணித விதிகளுக்கொப்பானவையாம்.
பின்னங்களைச் சுருக்கும்படி, சேடமில்லாமல் போகத்தையும் ஆரகத்தையும் அரிக்கும் எந்த இரா சியாலும் போக ஆரகங்களை அரி. உ-ம்.
署 இந்தப் பின்னத்தின் போகத்தையும் ஆரகத்தையும் (ஈ)
ஆ ஆல் அரிக்கவருவது இப்படி அரிப்பதினுல் அர்த்தவிகார முண்டாகாதென்பதை (எஅ) ம் பிரகாணத்தாலறிக. மேலும்,
4廿

Page 25
வீசகணிதம் پ2 Fo}
Brig. D fra LD)
அஆடிஸ்-சஆஸ் ஆகவும், !
قPا6T எமற 下就 2,856/UD, சுருககலாம.
勃十F虫 또.
J
赢墓下高=画”毫°
அஎ. பிர. பின்னங்களை சீலகிஷ்டரூபமாக்கே ண்டில், போகத்தையும் ஆரகத்தையும் மகாப6 த்தத்தினுல் அரி.
அஅ. பிர, வேறுவேறன ஆரகங்களையுடைய ன்னங்களை ஒரே ஆரகத்தையுடைய பின்னங்கள கும்படி, ஒவ்வொரு போகத்தையும் அதின் அதி ஆரகமோழிந்த சர்வஆரகத்தாலும் பெருக்கி அந்தந்த பின்னபோகமாகத் தீட்டிச் சர்வ ஆரககுணிதத்ை எல்லாப்போகங்களுக்கும் போது ஆரகமாக வை 2-O.
墊,堅,*, -孟。,0。 ra r-- 1 VA2-S
ஒ ஓ 992 பின்னங்கவளப் போது ஆரகபின்ன களாக்கும்படி,
ஆXசீxஸ்-ஆசீஸ். முதற்போகம், ஒXஈXஸ்=ஒஈஸ். இரண்டாம்போகம், ஷXஈXசீEஈசீஷ. மூன்றும்போகம். ஈxசீxஸ்-ஈசீஸ். போதுஆரகம் ஆகையால்,
Saif.sori ஆசீஸ ஈஒஸ ஈசீஷ பொது ஆரகனனங்களாவன தி டிஓ ஒத்
இதில் அந்தந்தப் பின்னத்தின் போகத்தையும் ஆரகத்ை ம் மற்றெல்லாப் பின்ன ஆரகங்களாற் பெருக்கியபடியால் பி னுர்த்தம் விகாரியாதென்பது தெளிவு.
டற உசி சுணி)
* கம்' கி ஸ
உ ஆ ற+க { இவற்றைப் பொது ஆரக 9. -
6 L十虫 ଠୋ ଠୋTIE|& ୩,୩୫୬&. °_: __ An. 琴干斥” 虔一F J
மிகச்சிறுத்தது ஸ்கிஷ்டம்.

பின்ன அதிகாரம். جمہ
அபின்னமும் பின்னமுங் கூடிவரில், அபின்னத்துக்கு ஒன் ஒற (ச) ஆரகமாக வரைந்து முன்புபோலப் பொது ஆரக பின் ாங்களாக்குவர். உ-ம்.
FF ஆ ஈ 多, ဍp ’ இவற்றை ဍ) என்று வரைந்து முன்புபோல
FF பொது ஆரக பின்னங்களாக்கினல், 警 ஒ என்றுவரும்.
600 . . ཌི་ཚི 3 ”3.”
గఐ db. ఆ 의- ஆ டுஈ’ 2
©* * ಇಂಜಿ: 5 6ਹ 6) ஆ டு. அஆக - * لیئے
* G 60 g இவற்றைப் பொது ஆ
ரகபின்னங்களாக்கக. 출; ; 흐 巴
FF 一。吉
65 .. 8 á,FF,二列
6) go
fin 622. FF 6 OO0S S S S S S S S S S S
ஆ சஐ டு
ஸ். 8_ g Jيتى 3 *6?ag” oor i g . ہونگے۔
* * பிர, மிச்சிர பின்னத்தைத் தகாபின்னமா க்கும்படி, பின்ன ஆரகத்தைக்கொண்டு அபின்ன ராசியைப் பெருக்கிப் பின்னபோகத்தைக் கூட்டிக் Qame. ១_-h.
3+. என்ற மிச்சிரபின்னத்தைத் தகாபின்னமாக்கும்படி,
FFe
6637.2
(ஆ) ஐ (ஓ) ஆற் பெருக்கி (ஈ) ஐக் கூட்டி வரைவது. இது தகாபின்னம்.

Page 26
ச0 வீசகணிதம்
போகம் ஆரகத்திற் பெருத்தாவது அதற்குச் சமமாயாவதுவ ல் அந்தப் பின்னத்தைத் தகாபின்னம் என்பர். ஆரகக்தி போகஞ் சிறுத்தால், அப்பின்னத்தைத் தகுமின்னம் என்ப 芝_ーLD。 嵩 இது தகுமின்னம். அபின்னமும் பின்னமுஞ் சக, சய ன்னங்களினுலிவனந்துவரும்போது அதை மிச்சிர பின்னம் 65TUT.
கூல். பிர, தகாபின்னத்தை மிச்சிர பின்னமா கும்படி போகத்தை ஆரகத்தாலரி. உ-ம். 塾命十哑
ଜୂତ 粤十 என்ற மிச்சிரபின்னம் பிறக்கும். மேலும்
تحق ہے۔ چftے ح
품T என்ற தகாபின்னத்தை மிச்சிரபின்னமாக்கினு:
季
--- என்று வரும்.
என்ற தகாபின்னத்தின் போகத்தை ஆரகத்துக்கீ
++
இவற்றை மி. சிர பின்னமா
号 குக. னிற-டிணிகி-ஆணிஷ-ஸ்+ஷ
F. ဂျော့f] ` `' ̈j
கூக. பிர, பின்னபின்னம்வரில் அதைச் சுருக் த் தனிப்பின்னமாக்கும்படி, போகங்களையெல்லாப் ஒன்ருய்ப் பேருக்கிப் பெற்ற குணிதத்தை நவபே கமேன்றும், ஆரகங்களையேல்லாம் ஒன்ருய்ப்பெரு கிப் பேற்ற குணிதத்தை நவ ஆசகமென்றுக் தீட்டு
D-L).
P ஆம-ஆ+ஆடஸ்-னற
fE、 를 తిర్కే என்புழி இதைப் பின்னபின்னமேன்பர் மற்ை
யபின்னங்கள் அபின்னத்தின் கூறுகளாவதுபோலப் பின்னபி

茄
பின்ன அதிகாரம். &FF
} ன்னங்கள் பின்னத்தின் கூறுகளாம். எப்படியென்முல்
Fm . --&; (ஈ) இன் காற்பங்கு; (彎) இன் () என்பது (:) இன் முக் காற் பங்காம். இத்வனச் சுருக்கும் வகை.
ஆXஈ-ா.ஆ. ஆகையால், என்பது தனிப்பின்னமாம்.
*×FrニチF・
خ) میجی - انتخ> ( ()
இவற்றைத் த 의. ( F十g ) இன் () இன் () னிப்பின்ன மா
ーリーtp டு ዘHro க்குக.
受_、。。 愛、。。/?十e? ቪHስ , )وہی( இன் () இன் J பின்னங்களைக்கூட்டல்.
கe, பிர, அபின்னங்கவளக் கூட்டுவதுபோலவே பின்னங் கவளயுங் கூட்டலாம். சின்னந்தப்பாமல் அபின்னராசிகவள ப் பிவனத்து வரைவதுபோலவே சின்னந்தப்பாமற் கிரமங்கிர மமாய்ப் பின்னங்கவளயும் பிவணத்து வரைந்துங் கூட்டற்கிர்த் தியம்பண்ணலாம். ஆனல்,
சர்வபின்னத்தையும் ஒரேபின்னமாகத் திரட்டல் வேண்டில், பின்னங்களைப் பொது ஆரகபின்னங்க ளாக்கிப் பின்னத்தின் முன் நிற்கின்ற சின்னங்கள %னத்தையுஞ் சகசின்னமாகச்செய்து போகங்களை ஒ ன்ருய்க் கூட்டித் தொகையைப் போதுஆரகத்தின் மேற் போகமாக வரை. உ-ம்.
9 fFon . . . க. ஒ , என்ற பொது ஆரகபின்னங்கவளக் கூட்டல்வே
ண்டில், தொகை a என்பது தெளிவு. எப்படியென்றல்,
E. ó 。 ဆေး] ” E. LL ... E. I for
LSLS SSS S SSSY0GLL S SS SS SS SSLSSYSLS 63)5(UT6) -
37 基十基 2 g エすエす。 巻 二十。
35 : éb : 5b , 95 . டு =基十基+言十言十言=毒

Page 27
வீசகணிதம் دقتل
DS 宁·言” (ap " என்ற பின்னங்கவளக் கூட்டல்வேண்டி
அவற்றைப் பொதுஆரகபின்னங்களாக்க 蠶 需 2T று வரும். இவற்றின் போகங்கவளக் கூட்டி, ஆஓ+ஈஊ, ெ கையாம். இந்தத் தொகையின்கீழ்ப் பொது ஆரகத்தைத் தீட் 塾甲士阿* _。 பின்னக்கே
+ କନ୍ଦ என்று பின்னத்தொகைவரும்.
னி ஊ+றி
ஈ. ஜி' - : என்ற பின்னங்கவளக்கூட்டின
ணி ஊ+றி_கஷணி நிஊ+நிறி F கஷ கநிஷ கரிஷ
கநிஷ - தொகையாம். 岂 9- டிஸ்--hஆ ச. இவற்றைக் கூட்டினல், '+mണു G கையாம்.
,多__*。。上。.一、萱士臀 டு. 彦一吁 இவற்றைக் கூட்டினல், 勃勃一甲 தொகையாம்.
5,二垒。二"、 இவற்றின் தோகை யாது?
Eー。 Gahin. பின்னங்களின் முன் நிற்கின்ற சின்னங்கவள் சகசின்னமாக்கவேண்டுமெனவே, பின்னுர்த்தம் மாருமல், ப்படிச்செய்தல் வேண்டுமென்பது கருத்தாம். பின்னங்கள் ப் போது ஆரகபின்னங்களாக்காமல் அபின்னக்கூட்டல்பே கூட்டுவதற்கு உதாரணம்.
Э}; for 9. 曼 - ஆதி எனற பின்னங்களின் தொகை, q; Fyn ° ஸ்" ஆழி GT607 g.
கூச. பிர. அபின்னத்தையும் பின்னத்தையுங் கூட்டுவது ச்சிரபின்னத்தைத் தகாபின்னமாக்குவதற்குச் சரியென்றறி
Fन्म* ཌི་ ཚི: ,5 இவற்றின் தொகை யாது?
G up-and இவற்றின் தொகை யாது
2. சிட,

பின்ன அதிகாரம். Sh
. டுவதி, * F, இவற்றின் தொகை யாது?
+கஷ
பின்னங்களைக் கழித்தல்.
கடு. பிர, அபின்னங்களுக்குச் சொன்ன கவளதல்விதியே நின்னங்கவளக் கழித்தற்கும் விதியாம்.
சோதக பின்ன சின்னங்களைச் சகசின்னஞ் சயசி ன்னமாகவும், சயசின்னஞ் சகசின்னமாகவும் மாற் நிக் கூட்டன்முறைப்படி கூட்டிக்கோள். உ-ம்.
ரிை 3, 를 என்ற பின்னத்தில், ஒ என்ற பின்னத்தைக் க
னி வளயும்படி, சோதகபின்னமாகிய (P6 தொகைநிவலயா 生平 பக்கிடக்கின்ற சகசின்னத்தைச் சயசின்னமாக மாற்றினல்,
f て高 என்று வரும். இந்த இரண்டு பின்னங்கவளயும் பொ
R ஆலி ஈனி
து ஆரகபின்னங்களாக்க, ஓ-ஓ! என்றும், போகங்க விளக்கூட்ட, ஆலி-ஈனி, என்றும், இந்தத் தோகையின் கீழ்ப்
-Fಾಗಿ பொது ஆரகத்தை வரைய " ஓ- என்றும் வரும்.
e) 一FF 曼十 என்பதில், 륭 என்பதைக் கவளய
■塾"十""一"士"2。
--_{------ என்பது சேடமாம்.
றஸ்
HR - т. என்பதில், *、 என்பதைக் கவளய
ஆஸ்-மடி+ஈம LOall)
ü -6
SP. என்பதில்: என்பதைக் கவளந்தாற்
என்பது சேடமாம்.
சேடம் யாது ?
hஆ 。.、于 - .ே : என்பதில், ၅၈' என்பதைக் கவளந்தாற் சேட
ம்யாது?

Page 28
9、P வீசகணிதம்
அபின்னங்கவளக் கழித்தல்போலப் பின்னங்களயுங் க வதற்கு உதாரணம்,
空,_、、6sf十g -
என்பதில்,- என்பதைக் கவளயில், af
十 巽 என்பது சேடமாம்.
கசு, பிர, அபின்னத்தைப் பின்னத்திலாவது பின்னத் அபின்னத்திலாவது கவளவதுமிப்படியே. உ-ம்.
 ெ 6 (ஆ) இல் (蒿) *க கவளந்தால், ஆ- சேடமாம்.
FF FF () இல், (ஆ) ஐக் கவளந்தால், a Tä சேடமாம். இ
战阿Fஅபின்னங்களைப் பின்னகாரமாக்கிக் 5வளந்தால், 8FF :_。,FF一茎● 676ծ7ն) մ), ஆஒ என்றும் விடைவரும்.
F. . . ணி * சஆ+ஓ என்பதில், நஆ-ட் 676ර්"("J6නfloණි 5ඛ6
.என்பதில், . என்பதைக் கவள * في = +ة
一FF
க. ஆ+கணிட *、 என்பதில், கஆ-ணிபு என்பதைக் கவள.
塾一e学 」。。、 ? 十e" F. என்பதில், g என்பதைக் கவள.
塾十歴。。、愛一? _ டு. ©ಸಿ என்பதில், ஒT என்பதைக் கவள,
தி
சு. -- என்பதில், இ என்பதைக் கவள.
ஈட்டி என்பதில் ' +-ണു ' 莎
ஆ (hn (9. 57. SA-6s) என்பதில், ---ஸ் என்பதைக் கவள.
ko - -
டசி
9. ஷ+ஸ் என்பதில், *、 என்பதைக் கவள.
-6) 一吓
手。学 என்பதில், &-F என்பதைக் கவள.
ó0 a学十ep

பின்ன அதிகாரம். சடு
சஸ்-உசி _rraj-56 - so,G浮飞 9. লণ্ডTৈL57600, 飞高飞 -- 十号 oT 6RST
பின்னங்களைப் பேருக்கல்.
ஏ. பிர, பின்னகுணகம் (இ) இன் எத்தவன பங்காயி க்கின்றதோ அத்தவன பங்குகவளக் குணனியத்திற் கொ வதே பின்னப்பெருக்கலாமேன்று முன்புரைத்தோம். எப்
Пhr - டியென்றல், () ஐ இரண்டாற் பெருக்கும்போது இருமுக்கா
ஒன்றரை அல்லது (言) என்று போகத்தைப் பெருக்கி அ பலாம். அப்படியே முக்காவல அரையாற் பெருக்கவேண் ல், முக்காலில் அரைப்பங்கு காலே அரைக்கால் அதாவது என்று போகத்தையும் போகத்தையும், ஆரகத்தையும் ஆர த்தையும் பெருக்கி அறியலாம். ஆகையாற் பின்னத்தைப் ன்னத்தாற்பேருக்கும்படி,
ဓါé).
போகங்களை ஒன்ருய்ப் பேருக்கிப் பெற்ற குணி
ம் நவபோகமாகவும், ஆரகங்களை ஒன்ருய்ப் பே
நீக்கிப் பெற்ற குணிதம் கவஆரகமாகவுங் கொள்.
-ம்.
frn 9 ဤ5] க. சு" எனபதை தலி எனபதாற பெருக்கினுல்
டிxணி-ாடிணி 臀} கூடினி
xதலி-ஈதலி கவஆரகம். குனிதம். ஈதலி శ్రీ++ a__కొత్తిప+ల్ణ
KSMSYSY STT A AS S sTMAO K AAASA
(ஆ+ம)லி ச
Rn. ğ5ULD ஆ-நி எத்தவன்?
塾十* 。 *ー" 。。
* 高下、 ğ5ULD) சி+ஸ் G点弯GET°
- -ܓ -
C. 岛十历四 罗°言°夸莎°

Page 29
リr வீசகணிதம்
- UD
| FF 천교 தரம் ஒ எத்தவன! بع ہے۔ FFر ہوا-{y 66ofنیچے eے O. D X 6) X ё 9שLD قه--ر ଗré åରଣ୪ ! ,ے تھے _49 : é_ *?+**5. ہم
エ× エ 写" の十e Glgತ್ತಿ©5CT !
SKYSYYzS S A AAAS ASASASA S - ကေ‡ါဓာစ ^ ၂၄ +3 தரம எத்தவன :
கூஅ. பிர, போகத்திலும் ஆரகத்திலும் ஒன்றற்கொன்று மமான குணுங்கங்கள் வரில் அவற்றைத் தள்ளிக் கணித தியத்தைச் சுருக்கலாம். உ-ம்.
; , 프 என்ற பின்னங்கவளப் பெருக்குமிடத்து
போகத்திலும் ஆரகத்திலும் வந்தபடியால் அதவனத் த6
(لc
விடையாம். (ஆ) ஐத் தள்ளாமற் பெருக்கினல்
ஆசிதமாம். இது அபவர்த்தனத்தினற் சுருங்கி முன்போல
في الك6
றஸ் என்றுவரும்.
கக. பிர. அபின்னத்தாற் பின்னத்தைப் பே
கல்வேண்டில், பின்னபோகத்தை அபின்னத்த
பெருக்கியாவது, பின்ன ஆரகத்தை அபின்னத்த
ரித்தாவது குணிதமறி. உ-ம.
D 90 * ఎ X == குனிதமாம். 9. என்பதை (ஆ) வாற் பெருக்கும்படி, (ஆ) வ
c ஆரகத்தை அரிக்கக் குணிதம் ఐ என்று வரும். ಡಿಶ್
என்பதற்குச் சரி. ஆகையால்,
ா. பிர, ஆரகத்துக்காவது அதினேர் குணுங்கத்திற்காவது கை அபின்னஞ் சரியாய்வரில், இதற்குச் சரியான ஆரகத் அல்லது அதின் சமகுணுங்கத்தைத் தள்ளுவதே அந்த ன்னபின்னங்களின் பெருக்கலாம். உ-ம்.

பின்ன அதிகாரம்.
るエ
多 - கம் - * 言×"千*“エ X (-6s)) Print.D.
盖×*=霹
பின்னப்பெருக்கல்வினு. み。 를 警 இவற்றின் குணிதம் யாது?
770. ° இவற்றின் குணிதம் யாது?
F அ, இவற்றின் குணிதம் யாது? டு. 三、 டுஷ, இவற்றின் குணிதம் யாது?
* 를 இவற்றின் குணிதம் யாது ?
g:శ్రీp hఐ+6
இவற்றின் குணிதம் யாது? எ. கஷ+ஸ் ஆஈசிடி ற்றின் கு
Φυ -- - es) 2 塾二,一°_月 இவற்றின் குணிதம் யாது?
ಇಸಿ ಶಿ" 學、 * >"x* இவற்றின் குணிதம் யாது? ෆි () X 우 X X ற்றி 50 * *、 இவற்றின் குணிதம் யாது?
F fd リ・ 3, . சுஷ இவற்றின் குணிதம் யாது? Fie 鹭 கூஷஸ், இவற்றின் குணிதம் யாது?
கஷ அஆ
இன்னங்களைப் பிரித்தல். ாக பிர, பின்னத்தைப் பின்னத்தாலரிக்கும்ப டி, பாககமாய் வருகின்ற பின்னத்தின் போகத்தை ஆரகமாகவும் ஆரகத்தைப் போகமாகவும மாற்றிப் பாச்சியபின்னத்தைப் பெருக்கு உ-ம.

Page 30
வீசகணிதம் {2_كg
6)
를 என்பதை .ܣܰ என்பதற்கியவேண்டில் பாககமின்
926 தை மாற்றி, ஒ என்று நிறுத்தி, இதினுல் 를 என்ற ப
யபின்னத்தைப் பெருக்க Gp Χ FF T Fq । எனற பார் பிறக்கும்.
me. பிர. இவ்வாறு பின்னத்தைப் பின்னத்தாலரிக்கும் பாககபின்னத்தை அடிதவலமாற்றிப் பெருக்கல்வேண்டிய ன்னவென்று விணுவினுல் விடை வருமாறு.
எந்தப் பின்னத்தையுங் கீழ்மேலாகமாற்றி அந்தப் பின்
திலே பேருக்க வருவது (க) ஆம். உ-ம். என்ற பின்
FণF = தைக் கீழ்மேலாகமாற்ற ஆ என்று நிற்கும். இவை இரண்
F. யும் பெருக்க 碧 X -க, என்று வரும். இனி (க) ஆல்
ந்த இராசியைப் பெருக்கினுலும் அந்த இராசியே பேருய்வரு னல், முன்பு பாககமின்னத்தைக் கீழ்மேலாகமாற்றிப் பா யபின்னத்தைப் பெருக்கிப் பின்பு, பாககமின்னத்தாற் புெ க வருவது பாச்சியபின்னமே. பாச்சியத்தைப் பிறப்பிக்கு டி பாககம் எந்த இராசியாற் பெருக்கப்படல் வேண்டுமோ அ இராசியாகிய பாசிதத்தை அறியுங் கிர்த்தியமே, பிரித்தலா யால், இது பின்னங்கவளப் பிரித்தற்குச் சுத்தகிர்த்தியமென
EO. ர்ைக, 를 பாககமும் ஐ பாச்சியமுமானல், இந்தப் பு சியத்தைப் பாககத்தாலரிக்க வரும் பாசிதம் எப்படிப்ப தோவேன்முல், அப்பாசிதத்தைப் பாககத்தாற்றுக்கும்போ ழையபடி பாச்சியத்தைப் பிறப்பிக்கும், அப்படிப்பட்டத
r கையால் _ என்ற பாச்சியத்தை, என்
6 ற பாசசியததை ஆ 奥 乌9-莎
卫FF மாறி நிற்கின்ற பாககத்தாற் பெருக்க ဆေof ̧စ္ဆ၊ என்ற பாசி
EO பிறக்கும். ක්‍රිකෝණ දී ஆற் பெருக்கப் பழையபடி یof آن பாச்சியம் பிறக்கும்.
e. FF、。鸣 但》 y

பின்ன அதிகாரம். لgF8 تp
a逸十-- டுட
s p என்பதை என்பதாலரித்தால் பாசிதம்
罗 ك سعىF - சகிற லரித்தால் பாசிகம் LA S S S A S S L LLAL000TTY S S 0c c LLTTLcLGuTTYYTLTL S LTTTYSLSL * 6} 百 莎 mg?
hகர்!- 3 அகி - б с "-о": воео என்பதாலரித்தால் பாசிதம் ாது?
கி-மஸ் s序 - - - - 子· GT5TL 609 ஆ+க என்பதாலரித்தால் பாசி ம் யாது?
ாா. பிர, பின்னத்தை அபின்னத்தாலரிக்கும்ப ; பின்னபோகஞ் சேடமில்லாமலரிபடில், அப் பாகத்தை அபின்னத்தாலரித்தாவது, சேடம்வரில் ரகத்தை அபின்னத்தாற் பேருக்கியாவது பாசிதம
Զ---LԸ -
母。 響 என்பதை (ஓ) ஆலரித்தால் பாசிதமாம்.
என்பதை (கி) ஆலரிக்க ஓட்டு L
سوي مع sLD。
இனி அபின்னத்தைப் பின்னத்தாலரிக்கும்படி, அபின்னத்தையும் பின்னருபமாக்கிப் பின்னங்களை பிரித்தல்போற் பிரித்தற்கிர்த்தியம்பண்ணு. அல் து, அபின்னத்தைப் பின்னஆரகத்தாற் பெருக்கிப் ன்னபோகத்தாலரி. உ-ம்.
க. (ன) என்பதை என்பதாலரிக்கும்வகை.
ଶ୪୪f ஒXன ്. ♔ =5:് تم“ہے کہ تم“ہے کہ آج تم نبوی“ ୫ ବନ୍ଧ 6ס ஆ
奥一一FF 2. ஷஸ் என்பதை, '" என்பதாலரி.
th-9, ID
ஈ. ஆஈ+டிஷ என்பதை, ( } என்பதாலரி,
5
d59 (9.

Page 31
டுல் வீசகணிதம்
ாச பிர, ஒரலகை அதாவது (க) ஐ வைத்து அதற்கு மாக ஒரு இராசியைத் தீட்டினல், அது அவ்விராசிக்கு வி மராசி. ஆகையால் ஒரு பின்னத்தை அடிதவலமாற்றி ந்தால், அது அப்பின்னத்துக்கு விலோமராசியாம், எப்பட
ன்ருல், 를 என்பதற்கு விலோமராசி த டி 를 C X
গুণন
妾
FF LD--es) (西下) என்பதின் விலோமராசி ஆகையா ன்னபோகம் (க) ஆமெனின் ஆரகம் விலோமராசியாம். :
() என்பதின் விலோமராசி (ஆ).
பின்னப்பிரிப்புவின.
hஆஈ r - f சு. ஓ-ஸ் எனபதை (கூஆஈ) என்பதாலரித்த யாது?
:தோஷ 3, 9. sO-6) என்பதை (டுஆஷ) என் 50ff),
ffዥን° என்பதை (கஆ) ஆலரி.
獣十一生ーG。 3. என்பதை (டி) ஆலரி.
--
(offم ہوتے تھے سریبر کے டூ ஷ என்பதை ஆலா,
ബ éエ。 65 என்பதை (g--eit) ஆலரி.
hஆஈ 登十座。_。 _望_ எ. எனபதை 鸣一FF ஆலரி. Gሲ) FF 9. என்பதை () ஆலரி.
se- ଗfD 斐FF一e 6) தேட்சி என்பதை ஆட்சி
– ஆலரி 5
GT RF க.ே உக ஆஈசி என்பதை a ஆலரி.
mmmmmmmmmm───────

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். டுக
Ag. తి66) என்பதை కి ஆலரி.
அ. க.அஆஷ என்பதை 의을 F gសាfi. ஆரி என்பதை 우을 () (off. é于,e@十 என்பதை è十° ஆலரி.
எ. வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். Simple Equations.) ாடு. பிர, சமமறிகுறியின் இருபுடையும் ஒன்ற கொன்று சரியான இராசிகள் வீசபாஷையினது ஞ் மாய் வரில் அது சமீகரணமாம். உ-ம்.
ஷ-ஆ+ஈ, என்பது சமீகரணம். இதில் (-) என்ற சம றிகுறியின் இருபுடையும் நிற்கின்ற இராசிகளாகிய (ஷ) வும் +ஈ) உம் ஒன்றற்கொன்று சரி. இப்படிச் சரியாய்வரும் இராசிகவள அங்கங்களேன்றும், பாகமென்றும், இந்த அங்க களில் இடப்புறத்து அங்கத்தை வாமமென்றும், வலப்புறத்
அங்கத்தைத் தட்சினமென்றுஞ் சொல்வர். ாசு. பிர. கணிதவினுக்களில் வரும் மறைநிவலயிராசிகளி * அர்த்தத்தை நிச்சயம்பண்ணுதலே சமீகரணத்துக்குச் சிற ததொழிலாம். ஒரு மறைநிவலயிராசியோடு புணர்ந்து வருகி *ற சமீகரணம், ஏகாட்சரசமீகரணமென்றும், பலமறை வலயிராசிகளோடு புணர்ந்து வருகின்ற சமீகரணம் அகே வருண சமீகரணம் அல்லது அகேகாட்சரசமீகரணமென்றுஞ் மிகரணங்கள் இரண்டுவகைப்படும். மேலும், மறைநிவலயி ாசியின் காதிதகுசி, (க) ஆணுல், சமீகரனத்தை வேள்வளச் மீகரனமென்றும் (உ) ஆணுல் வர்க்க சமீகரணமென்றும் (ஈ) ஆணுல் கனசமீகரணமென்றும், இவ்வகையே சமீகரணத்தை றைநிவலயிராசியின் காதிதகுசிப்படி வீசகனிதர்கள் வகுத்து ரைப்பர்கள். உ-ம்.
ஆஷ--ஈ-ஊஷ+ஒ. இது வெள்வளச்சமீகரணம். உஷஉ -கஷ-டு-உஷஉ இது வர்க்க சமீகரணம். சஷ -டுஷஉ -கஷ+கக. இது கனசமீகரணம்.

Page 32
டுஉ வீசகணிதம்
இந்தச் சமீகரனங்களில் (ஷ) மறைநிவலயிராசிப்பி இவ்வகைப்பட்ட சமீகரணங்களில் இந்த அதிகாரத்தால் ள்வளச்சமீகரனத்தை விரித்துரைக்கின்றம்.
ாஎ. பிர, சமீகரணத்தில் தெரிநிலையிராசிகளு மறைநிலையிராசிகளுங் கலந்துவரில், அந்தந்த இ சியைச் சாதிசாதியாக நிற்கச்செய்தல் சாதிகர மாம்.
இப்புடிச் சாதிகரணஞ்செய்யவே மறைநிவலயிராசியின் ர்த்தம் வெளிப்படையாமாதலாற் சமீகரனகணிதத்திற்கு துவே முக்கியகிர்த்தியமாமேன்க.
ாஅ. பிர. சாதிகரணம்பண்ணும்போது வாம தட்சிண கங்களின் சமத்துவம் அழியாமற் பேணுவது அவசியம். நி: கோலின் தட்டுகளிரண்டுஞ் சமமாயிருக்கும்போது சமபார வள அந்தத் தட்டுக்களிலிட்டாலும், சமபாரங்கவளயெடுத் லும் அந்த நிறைகோல் இன்னுஞ் சமமாயிருக்கும்வாறுபே வாம தட்சிண அங்கங்களிரண்டையும், சமமாயேற்றினுஜ சமமாய்க்குறைத்தாலும் அவற்றின் சமத்துவஞ் சிதையாத ஆகையாற் சமீகரண அங்கங்களிரண்டிலும் க. சமராசியைக்கூட்டினுலும் ; உ. சமராசியைக் களைந்தாலும் ; அங்கங்களைச் ஈ. சமராசியாற் பெருக்கினுலும்; ச. சமராசியாலரித்தாலும்; அங்க சமத்துவஞ் சிதையாது. இந்த நான்கு பிரமான வளயும், சுயம்பிரமாணங்களென்பர்.
சுயம்பிரமானமென்பது பிறிதொரு சாட்சி ே ண்டாது தன்னிற்றனே உண்மை வெளிப்பை யாய்விளங்கும் வாக்கியமாம்.
இந்நான்கு பிரமாணங்களேயன்றிச் சுயம்பிரமானங்கள் ( றுமுள. அவற்றுட் சில வருமாறு.
டு. ஒரே இராசியை வேருேரு இராசியிற் கூட் க்களைந்தாலும்,
சு. ஒரே இராசியை வேருேரு இராசியாற் பே க்கியரித்தாலும், அர்த்தவிகாரமுண்டாகாது.

வெள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். (ਲੇ
எ. விஷமராசிகளுக்குச் சம ராசிகளைக்கூட்டினு இபரிய ராசியின் தொகை பேரியதாயும் ; அ. விஷமராசிகளிற் சமராசிகளைக் களைந்தாற் பே ராசியின் சேடம் பெரியதாயும் வரும்.
த. விஷமராசிகளைச் சமராசிகளினுற் பேருக்கி ற் பெரியதின் குணிதம் பெரியதாயும்; த0. விஷமராசிகளைச் சமராசிகளினுல் அரித்தாற் பரியதின்பாசிதம் பேரியதாயும் வரும்.
இக. ஒரே இராசிக்குத் தனித்தனி தத்தமிற் சம ான இராசிகளெல்லாம் ஒன்றற்கொன்றுஞ்சமமாம். கஉ. ஒரிராசியின் முழுமை அதன் ஒரேகூற்றிற் cபரிதாம்.
ாக, பிர, இந்தச் சுயம்பிரமாணம் ஆதாரமாய் இயற்றுஞ் சாதி ரணம், நிவலமாற்றென்றும், குனனமென்றும், பாககரமென் றும் மூன்றுவிதம். கூட்டல் கவளதலினுல் முடிக்குஞ் சாதிகர னம், நிவலமாற்றுச்சாதிகரணமாம். பேருக்கலினல் முடிக்குஞ் ராதிகரணம், குணனசாதிகரணமாம். அரித்தலினல் முடிக்
ஞ் சாதிகரணம் பாககரசாதிகரணமாம்.
நிலைமாற்றுச் சாதிகரணம்.
ஷ-எ-கூ என்ற வெள்வளச் சமீகரனத்தில் (ஷ) மறை நிவலயிராசிப்பிரதி. இது (-எ) என்ற இருரைாசியோடு கலங்
நிற்பதினுல் சாதிகரணஞ்செய்தல்வேண்டியது. சாதிகரணஞ்செய்யுமிடத்து, (எ), (ஷ) இற் கவளயப்பட்டி க்கிறபடியால் அங்கங்களிலிரண்டிலும் (எ) ஐக் கூட்ட,
ஷ-எ--எ-க+எ என்றுவரும். சமராசியைச் சமீகரன அங்கங்களிரண்டிலுங் கூட்டினுல் சமத்துவஞ் சிதையாதென்
சுயம்பிரமானப்படி (எ) ஐ இரண்டங்கங்களிலுங் கூட்டின் படியால் சமீகரன சமத்துவஞ் சிதையவில்வல. இந்தச் சமீக ரணத்தின் வாமபாகத்தில் (எ) இருணமாயந் தனமாயும் நிற்ப தால், அது சூனியார்த்தப்பட, ஷ-கூ--எ என்று மறைநிவல பிராசி தனியே ஒரங்கமாகவும் தேரிநிவலயிராசிகள் வேறே ம ற்றை அங்கமாகவும் வந்தன.
* அந்தந்தராசியைச் சாதிசாதியாக நிற்கச்செய்தலே சாதிக ரணம்.” ஆகையால் சமீகரனஞ் சாதிகரணமடைந்தது. அ டையவே, (ஷ) என்ற மறைநிவலயிராசிக்கு அர்த்தம் (கூ+எ) அல்லது (கசு) ஆம்

Page 33
டுச வீசகணிதம்
இப்படியே ஷ-ஈ-ஆ என்றதைச் சாதிகரிக்கும்படி ண்டு அங்கத்திலும் (ஈ) ஐக் கூட்ட, 蠶一璽贊 றும் (-ஈ--ஈ) ஐத் தள்ள ஷ-ஆ+ஈ என்றும் வரும். ஸ்+ஓ-கூ என்றதைச் சாதிகரிக்கும்படி ஸ், என்ற நிவலயிராசியோடு, ஒ என்ற தேரிநிவலயிராசி தனராசி வணந்து நிற்பதால் இந்த (ஒ) வை அங்கங்களிற் க ஸ்--ஓ-ஓ-க-ஓ என்று முன்பு நிறுத்திய பிரமானப் சமத்துவஞ் சிதையாமல் வரும். இதில் (+ஓ-ஓ) என்ற த்தள்ள, ஸ்-ஆ-ஓ என்று சாதிகரணமடைந்தது.
mய. பிர. தெரிநிவலயிராசி மறைநிவலயிராசியோடு சக சின்னங்களினுல் இவனந்துவரில், சமீகரணத்தைச் சாதி க்கும்படி,
அந்தத் தெரிநிலையிராசியை அது கலந்து நிற்கி அங்கத்தினின்றேடுத்துத் தனம் இருணமாகவும் ருணங் தனமாகவும் மாற்றி மற்ற அங்கத்தோடு ட்டு.
இப்படி நிவலமாற்றற் சாதிகரித்தவலச் சங்கலன வியவ ன சாதிகரணம் எனினுமாம். உ-ம்.
க. ஷ+கF-ம-ஓ-டி, என்ற சமீகரணத்தைச் சா ரிக்கவேண்டில், + கூஈ என்ற தனராசியை நிவலமாற்ற,
ஷ-ம-ஓ-டி-கூஈ என்றும், -ம, என்ற இருணராசி நிவலமாற்ற,
ஷ-ஓ-டி-கF--ம என்றும் வரும். ாயக. பிர, வாமபாகத்திலாவது, தடசிண்பாகத்திலாவது லசமான இராசிகள் வரிற் கூட்டதிகாரத்திற் சொன்ன விதி டி சுருக்கிக்கொள்க. உ-ம்.
உ. ஷ--டுஈ-சகி-எஈ, என்றதைச் சாதிகரிக்கும்படி, டுஈ-சகி, என்ற தன இருண இராசிகவள நிவலமாற்ற, ஷ எஈ-டுஈ--சகி என்று வரும்.
எஈ-டுஈ, என்றதை, உஈ, என்று சுருங்குமாகையால், -உஈ--சகி என்றும்.
ாய9. பிர. மறைகிவலயிராசி வலப்பாகத்திலும் இடப்ப த்திலும் வரில், நிவலமாற்றல் அவற்றை ஒருபாகத்தே வரு 56)Tib. 2 -b.
ா. உஷ+உகி-கி+டி-கஷ என்பது நிவலமாற்றல், -கி--டி-கஷ-உஷ என்றும் சுருக்குகிர்த்தியத்தால்,
கி+டி-ஷ என்றும் வரும்.

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். @টািঢ়
ரா. பிர, ஒரே இராசி சமானசின்னம்பெற்று வலப்பாக திலும் இடப்பாகத்திலும் எதிரேதிராய் நின்றல், அவற்றை இமாற்றமல், தள்ளிவிடுவர். உ-ம்.
ஷ--ககி+டி-ஈ+ககி+எடி, என்பதில் (கூகி) ஐத்த ா, ஷ+டி-ஈ--எடி என்றும் முன்புபோல நிவலமாற்ற 2ஈ--சுடி என்றும் வரும்.
றது. பிர. சமீகரணத்தின் சமத்துவஞ் சிதைவுருமல், அதி சகல உறுப்புகளும் நிவலமாற்றையடையும் ஆதலால் ச தரண சர்வசின்னங்கவளயுஞ் சமத்துவஞ்சிதையாமல் மாற் லாமென்பது வெளிப்படை. உ-ம். டூ ஷ-ஈ-டி-ஆ என்ற சமீகரணம் நிவலமாற்ருல், டடி--ஆ--ஷ--ஈ என்றும், வாமந் தட்சினமாகவும்,
சினம் வாமமாகவும் வரப்பண்ணினுல், உஷ+ஈ--டி+ஆ என்றுஞ் சமத்துவமழியாமல் நிற்கு
muடு. பிர. சமீகரணத்தின் ஒருபாகத்தே நிற்கும்படி சர்வ இ ாசிகவளயும் நிவலமாற்றினுல், வாமமுந் தட்சினமுந் தத்தமிற்
ór』、DTLD・ ●_ーLD・
சு. ஷ--ஈ-டி என்ற சமீகரணத்தின் தட்சினபாகத்தை
ஷ--ஈ-டி-0 என்று சூன்யசமத்துவம் பிறந்தவாறு 57cm5.
சாதிகரணவினு,
g ●十ee。一eニFー字十a学十● GöLeo海争amósf * en)十勢FーeccTLp=十勢十eeroー●所十ecop } 劉 5 cm十spo十Ga浮ニeーagエ十aa学十Frーリ. 墨 ao Facs十eaー字a差十a学=cme一ma学十cmー 용
GOTFE 65ÕT. áa @a浮十so十リニe@十字a学十ー。 ! a se @李十ee学十aeーリニa学十eo十@チ。 উত্ন, am 豊十-Fーme学ニeo十尋ー字a学十F。 as e学十mーee。一字ニm字十ma学ー字ー@a J *
குணனசாதிகரணம். mயசு, பிர. தெரிநிவலயிராசி மறைநிவலயிராசியோடு சக ச ய சின்னங்களினுல் இவணயாமற், பாககர சம்பந்தங்கொண் டு வருவதுமுண்டு. உ-ம்.
- ஈ. இப்படி வருஞ் சமீகரணத்தை நிவலமாற்ருற் சா

Page 34
டுசு வீசகணிதம்
திகரித்தல் ஏலாது. ஆயினும், அங்கங்களிரண்டையும் ஆற் பெருக்க, ஷ-ஆஈ என்று சமீகரணம் சாதிகரணம் பும். அதெவ்வாறெனில், பின்ன அதிகாரத்திற் கூறியபடி ரு பின்னத்தை அதின் ஆரகத்தாற் பேருக்கவேண்டில், ஆரகத்தைத் தள்ளுவதே பெருக்கலாம்.
ால்எ. பிர. மறைநிலையிராசி தெரிநிலையிராசி பிரிக்கப்பட்டுவரில், சமீகரணத்தைச் சாதிகரிக் படி, பிரிக்குங் கருவியான தெரிநிலையிராசியால் மதட்சிண அங்கங்களிரண்டையும் பேருக்கு.
இப்படிப் பேருக்கிச் சாதிகரிக்கும்போது சமீகரனசமத் ஞ் சிதையாதென்பதை (ஈ) ஞ் சுயம்பிரமாணத்தாற் கான் நிவலமாற்று வேண்டுமிடத்து, முன்பு போலச் செய்ய உ-ம்.
ཌི་ +ஆ=ஈ+டி என்ற சமீகரணத்தைச் சாதிக கும்படி, இரண்டு அங்கங்கவளயும் (ஓ) ஆற் பெருக்க,
ஷ+ஆஓ-ஒஈ+ஓடி குனிதமாம்.
நிவலமாற்றல், ஷ-ஒஈ--ஒடி-ஆஒ என்றுவரும். இ டியே,
9. Q笠一° 十-○ニeo.
st
இவற்றையுஞ் சாதிகரி,
FFm. 62;خ டி-கி.
@十F
ால் அ. பிர. மறைநிலையிராசி பின்னத்தின் ஆ மாயாவது, ஆரக உறுப்பாயாவது வரில் சாதிகரிக் ம்படி, இந்த ஆரகத்தால் முன்புபோல அங்கங்க ப் பெருக்கல்வேண்டும். உ-ம்.
டிடி+ எ-சி. இதை (80+ஷ) ஆற் பெரு சு+எ0+எஷ-அ0+அஷ என்றும் நிவலமாற்றல்,
ஷ--ச என்றும் வரும். ாயக. பிர. மறைநிவல இராசி பின்னஉறுப்பாக வராதவி தும், தெரிநிவலயிராசிகள் பின்னருபத்தோடு சமீகரணுங்க ளில் நிற்கில், அவற்றின் பின்னருபத்தை மாற்றுவது சிறுப
 
 
 
 
 
 
 

வெள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம் G&T
வேண்டிவரும். அப்படி வருமிடத்து மறைநிவலயிராசிக்கு ஒசால்லிய முறைப்படியே ஆரகங்கவளக்கொண்டு பெருக்கு 航,鱼一ü·
@ 冢=高T@ ° சமீகரனத்தை (ஆ) ஆற் பெ á。
剔9- ,凯 - a浮= 警十 என்றும் (ஈ) ஆற் பெருக்க,
ஈஆகி ஈஷ=ஆடி+ ஆ என்றும், (ஒ) ஆற் பெருக்க, ஈஒஷ ஆஓடி+ஆஈகி என்றும் வரும். ஆகையால்,
ாஉல், பிர, பின்னருபத்தை அபின்ன்ருபமாய்மா றும்படி சமீகரணுங்கங்களை ஆரகமேல்லாவற்ருலு பெருக்கவேண்டும். பின்னத்தின் போகம் முற் ப்பெருக்கமாகவும், அதின் ஆரகம் முற்றளவாகவு வரில், இப்படி ஆரகத்தாற் பெருக்காமற் போகத் த ஆரகத்துக்கீந்து அபின்னருபத்தைப் பிறப்பிப் து உசிதம். உ-ம்.
جی ہےیہصر بابر ہیم وق ___ Reef_ہفتم
TTE """ சமீகரணத்தை அபின்னருப ாக்குமிடத்து, டினிமஷ-ஆஈமணி+ஆஊடிம-ஆகிடிணி என்றுவரும். arupa F** என்புழி, போகம் முற்றுப்பெருக்கமும், ரகம் முற்றளவுமாகையால், போகத்தை ஆரகத்துக்கீய ஷ=ஈ என்று அபின்னருபம் பிறத்தல் காண்க.
&S 9. 9 air . 言=高十 எனற சமீகரனத்தை அபின்னருப
O
ாக்குக. mஉக. பிர, பின்னத்தை அபின்னருபமாக மாற்றுமிடத்துப் ன்னத்தின்முன் சயசின்னம்வரில், போகசின்னமவனத்தை ம் மாற்றினலன்றி அர்த்தவிகாரமுண்டாகுமென்றறிக.

Page 35
டு.அ வீசகணிதம்
குணனசாதி கரணவினு.
9-63, 万・Fーesupー。 Ab SLSALL LLSSS TT SS S S S
6i. 队 698 688 El 一丁二ó
Fm 59F 于Q浮 F,,FQ浮 ,9, ”エ=落十下エ十エ s లౌ ఐ} SO அ ༽ 子 - 二下エ -
*丁下@下千言高す@
ఇ__hఏ}_26__6__50 i @ 一s学十言十丁 于 儿
பாககரசாதிகரணம்.
ாஉஉ பிர. மறைநிலையிராசிக்குத் தெரிநிலையி சி குணுங்கமாய்வரில், சமீகரணத்தைச் சாதிக கும்படி, வாமதட்சிணுங்கங்களை இந்தக் குணு த்தாலரித்தல்வேண்டும்.
இப்படி அரிக்குமிடத்துச் சமீகான சமத்துவம் பிழையா ன்பதை (ச) ஞ் சுயம்பிரமானத்தாலறிக. உ-ம்.
க. ஆஷ--ஈ-நகி=டி என்ற சமீகரணத்தைச் சாதி த்தல்வேண்டில், நிவலமாற்றல்,
ஆஷ=டி+ககி-ஈ என்றும், பாககரத்தால்,
டி--நகி-ஈ ஆ
e ea学ニ 素ー露+* என்பதைச் சாதிகரி,
என்றும் வரும்.
ாஉா. மறைநிலையிராசி பல உறுப்பிலே தே லேயி ராசியோடு குணுங்கமாய்வரில், சமீகரணத்ை ச் சாதிகரிக்கும்படி, குணுங்கமான தெரிநிலையிர களேச் சின்னம்பிழையாமல் வகுராசிருபமாக நி தி இதினுற் சமீகரண அங்கங்களை அரிக்கல 2 -- LO.
ந. சுஷ-ஈஷ=ஆ-டி என்ற சமீகரணத்தைச் த்தல்வேண்டில், வாமபாகத்துறுப்பிரண்டிலும் (ஷ) எ

வெள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். டுக
ஆவியத்தங்குணுங்கமாய்வந்தபடியால், இதனேடிவனந்துநிற் ந (ஈ) ஐயும் (ஈ) ஐயும் வகுராசிருபமாக்க, (கூ-ஈ) என்று
呜一°
ரும். இதினுல் அங்கங்கவளப் பிரிக்க, ஷ= Frn
ଗ6&tu
விடையாம். ஒ. ஆஷ+ஷ-கி-ச என்பதைச் சாதிகரி.
டூ ஷ- g = "ந்" என்பதைச் சாதிகரி,
ாஉச. பிர. தெரிநிவலயிராசியாவது மறைநிவலயிராசியாவது சர்வ உறுப்போடுங் குணுங்கமாயிவனந்துவரில், இதினுற் சமீக ரணம் முற்றையும் அரிக்க, அல்லது அது சர்வ உறுப்புக்கும் ஆ ரகமாய்வரிற் சமீகரணம் முற்றையும் இதனுற் பெருக்க அக்கு ணுங்கமும் ஆரகமும் அழியும்; சமீகரணமுஞ் சுருங்கும். உ-ம். சு. ஆஷ--கூஆஈ=சு ஆடி-ஆ என்ற சமீகான உறுப்ப வனத்திலும் (ஆ) குணுங்கமாயிருப்பதால், இந்த (ஆ) ஆலரிக்க,
ஷ+கF=சுடி+க என்று சுருங்கும்.
a学十a F リー 。。。。。。。。。 67. 65 6, aş என்பதின் சர்வஉறுப்புக்கும் (ஷ) ஆரகமாய்வந்தபடியால், இதனுற் பெருக்க,
ஷ+க-ஈ-கி-டி என்று வரும். ஷ=கி-டி--ஈ-க. விடையாம். அ. ஷ (ஆ+ஈ)-ஆ-ஈ=டி(ஆ+ஈ) என்பதைச் சாதிகரி ாஉடு. பிர. அநுபாதத்தைச் சமீகரணமாக மாற் றல்வேண்டில், அந்தங்களின் குணிதத்தை ஒரங்க மாகவும், மத்தியங்களின் குணிதத்தை மற்ற அங்க மாகவும் வரை. உ-ம்.
கூ. ஆஷ ஈ : ஒகி: டி என்ற அநுபாதத்தைச் சமீகரன மாக்கும்படி அந்தங்களான (ஆஷ), (டி) என்பவற்றைப் பெ ருக்க (ஆடிஷ) குணிதமாம். மத்தியங்களான (ஈ), (ஒகி) என்பனவற்றைப் பெருக்க (ஈஒகி) குனிதமாம் : ஆகையால்,
ஆடிஷ=ஈஒகி. இது சமீகரணம். கo. ஆ+ஈ ஒ : கி-ம ஸ் என்ற அநுபாதத்தைச் சமீகரனமாக்கு.
ாeசு. பிர, சமீகரனத்தை அநுபாதமாக்கவேண்டில் சமீக ரணுங்கங்களில் ஒன்றை இரண்டு குணுங்கங்களாகப் பிரித்து மத்தியராசிகளாகவும், மற்றை அங்கத்தை இரண்டு குணுங்க ங்களாகப் பிரித்து அந்தங்களாகவுங் தீட்டலாம். உ-ம்.
இக ஆடிஷ=ஈஒகி என்ற சமீகரணத்தை அநுபாதமாக்

Page 36
சுல் வீசகணிதம்
கல் வேண்டில், முதல் அங்கத்தை (ஆஷ), (டி) என்ற டு குனங்கங்களாகவும், தட்சிணுங்கத்தை (ஒகி) (ஈ) { இரண்டு குனங்கங்களாகவும் பிரிவுசெய்யலாம். ஆகை
ஆஷ ஈ : ஒகி டி என்னும் அநுபாதம் பிறக்கு
கe, ஆஸ+ஈஸ=ஒகி-ஒம என்பதை அநுபாதம ற்று.
கா. கசுஷ+உ=ாகச என்பதை அநுபாதமாக மாற்று
ag ea学ー?十与=gra学十与十eam GrsöILaog 身g மாக மாற்று.
பிரதிகரணம்.
meஎ பிர, சமீகரனத்தைச் சாதிகரிக்குமிடத்தும் ம வீசகணிதகிர்த்தியங்களிலும், பெருத்த எண்ணுக்குப் பிர கவும், வீசருபத்துக்குப் பிரதியாகவுந் தனி அட்சரங்க வள ட்டிக் கணிதசுருக்கம்பண்ணுவதுமுண்டு.
இந்தக் கிர்த்தியத்துக்குப் பிரதிகரணமென்றும், உத்தாட என்றும் பெயர். பிரதிகரித்து விடையறிந்தபின், அட்சரர் பிரதியாய் நின்ற எண்கவளயும் வீசருபங்கவளயும் பழைய தீட்டுவர். உ-ம்.
-- = க என்பதின் பின்னருபைமாற்ற கள +கXஎடுo=கXஎடுoXகண்டு என்றும்
உஅஆஉடுo-eeடுo
a熱= கஎடு" E alga GT667g), 6)63)L(LLD 610
ஆனல் (எடுo) என்ற எண்ணுக்கு (ஆ) பிரதியாகவும், க்கு (ஈ) பிரதியாகவும், (கனடு) க்கு (ஓ) பிரதியாகவும் வி ந்தால், சமீகரணம்,
6) is
呜
FF -- କ, ୮ க என்றும், இதின் பின்னருபை மாற்ற,
●s学十●千=勢● Gö。
ஆF . *=°一亨 என்று விடையும் வரும். பழையபடி எண்கவளப் பிரதியட்சரங்களினிடத்தே வ
印@oX历 U. ai = GTGO- If ଗ@
= எசச என்று முன்.ே விடையாம்

வேள்ளைச்சமீகரண அதிகாரம், சாதிகரணவினு.
ዘr *+司=学+s இவற்றைச் சாதிகரி
2. 十●ニ - g + டி இவற்றைச் சாதிகரி. ச0-சுஷ-கசு-க20-கசஷ இவற்றைச் சாதிகரி దాసి =f ఏ é。ー●●
高干宇9ー என்பதைச் சாதி
ce. O - - - s *G蚤门。 க டு GTಶೌTLao:
-இ -ச=டு என்பதைச் சாதிகரி,
-+."* * * 6Tಷೆ: UG೮೨ ಕೆ. சாதிகரி. an as
Sہوئے ---------- a学十字 என்பதைச் சாதிகரி,
a逸十 ఇక్లి 十 o- கக என்பதைச் சாதிகரி.
9 ఇ*__S_6__a L f e T a to 677tdeoga சாதிகரி, a卒一@ 959
த + 5ഖs = டு ఇసి என்பதைச் சாதிகரி,
으. ö GSQ笠一s、 历e、十 *十リ = டு 36-76 என்பதைச்
டு 9. 压巾。
斩6、一于 89-9-ഖു حيم حيث
우= + e. எனபதைச சா
_Pa=da_అణ-త్రి తాe=26
@cm 9 2. என்ப தச் சாதிகரி
G卒ー5F @a熱十5g ュ TS S TMeJSAAASAAAS S S SKSSYS S S KYS என்பதை
GF Пhъ 石e

Page 37
エ三- வீசகணிதம்
எஷ+டு கசு--சஷ . me。十ー 。 55,子─子一—去─十函= 66ÕTU በKr டு 9. ச் சாதிகரி.
கஎ-கூஷ சஷ+2 எஷ+க so டு 一一=@一ās学十一、 என்பதைச் சாதி கரி.
56-Ia .eO-- 6ھ&F;6;&-- بیٹے = - - - ---س--------- --- 3.24. 63. டு 十字 9. ெ
5Pé)2。ーー ಆ" 들 என்பதைச் சாதிகரி.
se。十a Ga学ー卒m_ee学十チ Es5%A. 十二エ=一エー- g55Laog季
5 ae学十m திகரி,
芭P。é9)一 90. @、士型:萤*二臼 : எ ச. என்பதைச்
E. Ef.
வெள்ளைச்சமீகரணகிர்த்தியம். meஅ. பிர. எந்தச் சமீகரன வினவிற்கும் விடையறியும் செய்யவேண்டிய கிர்த்தியங்கள் இரண்டு, கவது. மொழி யர்ப்பு, உவது. சாதிகரணம். சாதிகரண நேறிகவள முன்பு ரித்துரைத்தோம். இனி மொழிபெயர்ப்பு யாதெனில், வழக் பாஷையிற் சொல்லிய வினுவை வீசபாஷையினது ரூபா மாற்றுவதாம். யாமறியவேண்டிய மறைநிவலயிராசியை அறிந்த இராசியாகப் பாவித்து (கூகூ} ம் பிரகாணத்தின்படி சபாஷ்ாருபமாக்கிக்கொள்க. வெள்விளச்சமீகரணங்கள "த்தையுஞ் சாதிகரிக்கும்படி,
GUTT 3BaSĝo. (க) வழக்கப்பாஷையில் வினவிய கணிதவி வைச் சமீகரணமாகும்படி வீசபாஷையாக மே பெயர்த்து; (பிர, hக.)
(உ) மின்னம்வரிற் சர்வ ஆரகங்களினுலுஞ் சமீ ணத்தைப் பெருக்கி அபின்னருபமாக்கி; (பிராe (ஈ) மறைநிலையிராசி ஒரு அங்கமாயும், தே லையிராசி மற்ற அங்கமாயும் வரும்படி நிலைமாற் சமானராசிகளை ஒன்ருய்த்திரட்டி ; (பிர.ால், ச. (ச) மறைநிலையிராசியோடு தெரிநிலையிராசிய

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம்
ணுங்கமிணைந்து நிற்கில், அந்தக் குணங்கத்தினுற் நிகரணமுற்றையும் அரி. (பிர. மாஉஉ.)
இடைச்சோதனை. மறைநிலையிராசியின் அர்தத் தை மறைநிலையிராசிப் பிரதியாகிய அட்சரத்தினி த்தே வைத்துவினுவிற்சோல்லிய கிர்த்தியங்களை ன்னு. இந்தக் கிர்த்தியங்களைப் பண்னுமிட து அவையனைத்தையும் அவ்விடைதழுவி முடியு மனில், அதுவே. சுத்தவிடையாமேன்றறி.
வெள்ளைச்சமீகரண விஞ.
வினு க. ஒரு மந்திரிகுமாரன் தோட்டத்திற் பூக்கொய்து வரு தைக் கண்ட இராசகுமாரன், * மந்திரிகுமாரா, நீ எத்தவன: க்கொய்தாயென்று கேட்க” இராசகுமாரனே, நான் கொய்த வை நாலாற்பெருக்கி வருவதில் எழுபதைக்கூட்டித் தொகை ல் ஐம்பதைக் கவளந்தால், சேடம் உஉ0 என்று மந்திரிகு ாரன் சொன்னன். மந்திரி குமாரன் கொய்த பூ எத்தவன : இந்த வினுவைச் சமீகான ஆகாரமாக மொழிபெயர்க்குமிட
மந்திரிகுமாரன் கொய்த பூ, ஷ, என்றும், இதை நாலாற் பெ க்கிவருவது, சஷ,என்றும், இந்த (சஷ) இல் (எ0) ஐக் கூட் சஷ+எo என்றும், இந்தத் தோகையில் (டுo) ஐக் கவள , சஷ--எ0-டுo என்றும், ஆகையால், சஷ+எ0-டுo = உo என்றும் வரும். இந்தச் சமீகரனத்தைச் சாதிகரிக்க,
- டுo என்று விடைவரும். வரவே, மந்திரிகுமாரன் கொ 莎是晃 (டுo) ஆமேன்க.
இதற்குச் சோதவன (டு) க்குப் பிரதியாக நின்ற (ஷ) வினி த்தே (டு) ஐ வைக்கச் சமீசரணம் சXடுo+எo-டுo = 20 என்றும், சின்னங்கள் குறிக்கின்ற கிர்த்தியத்தை முடிக்க 20 = உஉ0, என்றும் வாமதட்சின சமத்துவம் பிறந்தபடியா
விடையைப் பிழையின்றியடைந்தோமென்க. வினு 3. ஒரு எண்ணிற் பாதியை அவ்வெண்ணிரட்டியிற் வளயச் சேடம் (சு) என்றல், அந்த எண் யாது?
மறைநிவல எண்வன (ஷ) என்று வைத்துமுன் போல மொ திபேயர்க்க,
6S 2ஷ- = சு எனற சமீகரணம் பிறக்கும். இதைச்சா
夺 கரிக்க, ஷ = ச, விடையாம். கோதவன. உ+ச- 国=*

Page 38
&r母°, வீசகணிதம்
வினு ந. ஒரு பிதாத் தனது மூன்று குமாரருக்குக் யத்தைப் பங்கிட்டான். எப்படியென்றல், (கo00) வர் குறையப் பாதித்திரவியத்தை மூத்தகுமாரனுக்கும், (அ00) கன் குறைய மூன்றிலொருபங்குத் திரவியத்தை இரண்ட மாரனுக்கும், (சுoo)வராகன் குறையக் காற்பங்கு திரவிய இவளய குமாரனுக்குங் கொடுத்தான். அந்தப் பிதாவினி லிருந்த முழுத்திரவியமும் எத்தவனவராகன்?
முழத்திரவியம் ஷ என்று வைத்தால்,
PேFதகுமாரனுக்கு - க900 வாகன்.
இரண்டாங்குமாரனுக்கு, – ೨೦೦ ೩೮756೮.
6 இவளயகுமாரனுக் : - | 31 O-O 6 gi555.
இந்த மூன்றையும் ஒன்றுய்த்திரட்ட முழத்திரவியமும் வ ஆகையால்,
es 6. 63.
言一°士赢 ---- ہوتے OO---- சுoc= ஷ. இது சமீக
ம். இதைச் சாதிகரிக்க, ஷ =eஅஅ00. இது முழுத்திரவிய
92.lé9Hé9HOQ 999 OO
- a. ooo-- -aoo--
சோதவன.
2.அ.அOO
-- GT GO -- 999 OO. 5
வினு ச. ஒரு எண்ணுடனே (எஉo) ஐக் கூட்டித் ਸੁr யை (கeடு) க் கீந்து வந்தபலம் (எகக9) ஐ (சசுe) க்கீர்த த்திற்குச் சரி. அந்த எண் யாது ?
இந்த வினவிற்கு விடையறியும்படி, (meஎ) ம் டி எண் பிரதியாக அட்சரங்கவள வரைந்துங் கணிதகிர்த்தி தை முடிக்கலாம். எப்படியென்றல்,
மறைநிவல எண்ணெ, ஷ, என்றும் ; (எஉ0) ஐ, ஆ என்று (கஉடு) ஐ.ஈ என்றும் : (ஏாகe) ஐ, ஊ, என்றும்; (சச் ஐ, ஓ, என்றும், வைத்து, வினுவை மொழிபெயர்த்து,
26. *十塾 = என்ற சமீகரனத்தைப் பிறப்பித்துச் ச
न्म 6.
F9红一、 affi AG. a Q = என்றுவரும்,
இதில் அட்சரம் பிந்தியான எண்கவளப் பழையபடி ை ;2 (II bl چین

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். சுடு
(ஆஉடுXஎாகூைe-எஉ0Xசசு2)
5Pāe வினு டு. ஒரு செட்டியாருக்கு மிளகாய் வியாபாரத்தில், டு) ரூபாய் லாபம். புகையிவலவியாபாரத்தில் (சுo) ரூபாய் Lம். பாக்குவியாபாரத்தில் நயமடைந்தாரோ நட்டமடைந் ரோ தெரியவில்வல. ஆனல் இந்த மூன்று வியாபாரத்தினலும் இடைந்த நயகட்டத்தைத் திரட்டிப்பார்த்தபோது, செட்டியா ந்து (200) ரூபாய் லாபமானல், பாக்குவியாபாரத்தில் அடைக்
மாவது கட்டமாவது எத்தவன ரூபாய் ? இந்த வினவை வீசபாஷாரூபமாக மொழிபேயர்க்குமிடத் லாபத்தைத் தனராசியாகவும், கட்டத்தை இருணராசியாக
கொண்டு, ஷ--கூடுo-சுo-200, என்ற சமீகாணத்தைப் பிறப்பித்து தைச் சாதிகரிக்க,
- -கo, என்று வரும்-கூ0 இருனராசியாகையால், ாக்குவியாபாரத்தாற் செட்டியாருக்கு (கூ0) ரூபாய் கட்டமெ 硕奥 AETI 6CO2 SID TLD
வினு சு. ஒரு பிராமணன் விக்கிரகபுஷபாஞ்சலிபண்ணின பாது தனது கையிலிருந்த புஷபத்தில் மூன்றிலொருபங்கைச் சிவனுக்கும், ஐந்திலொருபங்கை விஷணுவுக்கும், நான்கிலொ பங்கைப் பார்வதிக்கும், ஆறிலொருபங்கைச் சுப்பிரமணியனு குடுமறிந்து சேஷமான ஆறுபுஷபத்தைத் தனது குடுமியிற் சூ டினன். அந்தப் பிராமணன் வைத்திருந்த புஷபமேத்தவன?
6ŜaO) L. a, goo. வினு எ. ஒரு தேன் கூட்டிலிருந்த தேனீயில் ஐந்திலொருபங் கு கடம்பப்புஷபத்துக்கும், மூன்றிலொருபங்கு சிலந்தரப்புஷப த்துக்கும் பறந்துபோக, இந்த இரண்டு புஷபத்துக்கும் போனதே னியின் எண்கவள ஒன்றிலோன்று கவளந்து பெற்றசேடத் தின் மும்மடங்கு ஒரு பூம்பந்தவலயடைந்தன. தனித்துக்கொ ண்ட ஒருதேனியோ, கேதகையும் மாலதியும் இருபுறத்துந் தத் தம்வாசவனயாற் கவர அவற்றினிடையே பறந்துகொண்டிருக் தது. அப்படியானுல் தேன்கூட்டிலிருந்த தேனியெத்தவன?
டை கடு.
வினு அ. (கசு) முழத்துக்கப்பாலே நின்ற ஒரு மாவன வே ட்டைநாய் கண்டு துரத்திக் கவலத்துக்கொண்டுபோனபோது மான் ஏழுமுழம் ஒட வேட்டைநாய் பத்துமுழமோடிக்கோண் டுபோனல், வேட்டைநாய் ஒடத்தொடங்கின இடத்தினின்று எத்தனை முழத்துக்கப்பால் அது மாவனப் பிடிக்கும்?
விடை க9 முழம்.
= கeஅ0 விடையாம்.

Page 39
"Ben வீசகணிதம்
வினு கூ. ஒருமுறை வெடிமருந்து சேர்த்தபோது, முழ ဓ၅)၊ குந்தின் மூன்றிலிரண்டுபங்குக்கு (கo) இருத்தல் அதிகமாயி து, அதிற் சேர்ந்த வேடியுப்பு. முழு வெடிமருந்தின் ஆறிலெ
S ங்குக்கு ச இருத்தல் குறைய இருந்தது கெந்தகம். வெடியு
ன் ஏழிலொருபங்கைப்பார்க்க (9) இறுத்தல் குறைய இரு து கரி. முழுவெடிமருந்தும் எத்தவன இருத்தல்!
65 gol ga. இருத்தல் வி ைகe (கசசு) படிகொள்ளத்தக்க ஒரு சாடியில் ே பெண்ணெய், தேங்காயெண்ணெய், இலுப்பையெண்ெ என்ற இந்த மூன்றெண்ணெயையும் விட்டு நிறைத்தபோது ப்பெண்ணெயைப்பார்க்க (கடு) படி அதிகப்பட்டிருந்தது ப்பையெண்ணெய். வேப்பெண்ணெயையும் இலுப்பை ண்ணெயையும் ஒன்ருய்ச் சேர்த்த தொகையளவிருர் தேங்காயெண்ணெய். அப்படியிருந்தால் ஒவ்வொரு எ னெயிலும் எத்தவனயெத்தவன படி சாடியில் விடப்பட்ட
வேப். உகூ. இலுப். சச. தேங். எ
. 1 - வினு கs (கக) ஐ, ஐந்துகூருக்குமிடத்து, முதற்கூறு இர டாவதைப்பார்க்க (ஈ) அதிகமாயும், மூன்றுவதைப்பார்க்க ( குறைந்தும்,நாலாவதைப்பார்க்க (க) அதிகமாயும், ஐந்த தைப்பார்க்க (கசு) குறைந்துமிருந்தது. அந்தக் கூறுக
്ബ ?
கன, கச, 2,ெ அ, hh வினு கஉ. ஒரு கமக்காரனிடத்திலே இருந்த இரண்டு பட்டி ற் சரி சரி தொகையான ஆடுகளிருந்தன. ஒரு பட்டியில் (க ஆட்டையும், மற்றப்பட்டியில் (கூக) ஆட்டையும் விற்றபின் ருைபட்டிக்கு மற்றப்பட்டியினது ஆட்டுத்தொகை இரட்டித் கொண்டது. கமக்காரனிடத்தில் நின்ற ஆடுகள் எத்தவன?
696OL. 3.gG. வினு கக.ஒரு பிராமணன் தனது ஆயுசின் கான்கிலெ பங்குகாலம் பிரமசாரியாயிருந்தான். ஏழிலொருபங்கை (டு) வருடத்தையும் இல்லாச்சிரமத்திற் கழித்தான். பின் அவனுக்கு ஒரு புத்திரன் பிறந்து பிதாவின் ஆயுசின் அரைவ காலம் வாழ்ந்திருந்து பிதாமரிக்க (ச) வருடத்துக்கு முன் க சூசென்றுவிட்டான். அப்படியானல் பிராமணன் எத்த வயதுக்கு உயிரோடிருந்தான்?
விடை அச, வினு அச.ஒரு சாடிநிறைய இருந்த எண்ணெயில் மூன்
 
 
 
 

வெள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். 6.
ஒாருபங்கு ஒழுகிச் சிதைந்துபோனது. (உக) படி எண்ணெய் ஒாக்குக்குச் செலவிடப்பட்டது. சேஷமான எண்ணெய் சா நிற் சரி அரைவாசியானற் சாடியிலேத்தவன படி எண்ணெ
g
cou eggn. வினு கடு. ஒரு சேனுபதி யுத்த்த்திற்றேற்றேடினபோது அவ ட்ைய சேவனயில் அரைவாசியும் (கசுoo) பெயருஞ் சேதமி தி அவனுடனே ஒடிப்போனர்கள். சேவனயில் எட்டிலொ ந்கும் (சுoo) பெயருங் காயப்பட்டு மூர்ச்சித்துக்கிடந்தார்கள். ஆசியவர்கள் சேவினயில் ஐந்திலொருபங்கு மாத்திரம். இவர் புத்தத்தில் மடிந்தவர்களும் சிறைபிடிக்கப்பட்டவர்களு ாம். சேவனயின் முழுத்தொகையுமென்ன?
6 yaol giglooo. வினு கசு. அஸ்தினுபரி, குருக்கேத்திரம்,அகரபுரி, மகரபுரி ன்ற நாலு நகரங்கள் ஒரே நேரிலிருக்கின்றன. இவற்றுள் அ தினபுரிக்கும் மகரபுரிக்குமிடையான தூரம் கச காதம். அஸ் குபுரிக்குங் குருக்கேத்திரத்துக்குமிடையான தூரம் அகரபுரிக் ந், மகரபுரிக்குமிடையான தூரத்துக்கு எப்படியிருக்கிறதோ வன்குல் (உ) (க) க்கு இருக்கின்ற-அப்படி மேலும் அஸ் னுபுரீக்கும் குருக்கேத்திரத்துக்கும் இடையான தூரத்திற் காற் நீகுடன் அகரபுரிக்கும் மகரபுரிக்குமிடையான தூரத்திற் பா யைக்கூட்டினுல், குருக்கேத்திரத்துக்கும் அகரபுரிக்குமிடை ான தூரத்தின் மும்மடங்காம். பின்வன இந்தப் புரங்களுக் ஒடயான தூரங்கள் யாவை !
விடை முறையே, கe, ச, கஅ. காதம். வினு கள். ஒரு மனுஷன் இரண்டு குடந் தயிர்வாங்கினபோ சிறுக்குடத்திலிருந்த தயிரில் மும்மடங்கு பெரிய குடத்திலிருந் து. அந்த இரண்டு குடத்திலும் நான்குபடி தயிரை எடுத்த பாதோ பெரியகுடத்திற் தயிர் மற்றதில் நாலுமடங்கானது. ந்த இரண்டு குடத்திலுமிருந்த தயிர் எத்தவனபடி?
சிறுக்குடம் கஉபடி பெரியகுடம் கசு படி, வினு கஅ. காலாக்கினியுங் காலநேமியுஞ் சரி சரியான முத போட்டு வியாபாரம்பண்ணினபோது முதல்வருடங்காலாக்கி ரிக்கு நாற்பது வராகன் லாபம். காலநேமிக்கு நாற்பது வராக கட்டம். இரண்டாம்வருடத்தில், காலாக்கினி முதல்வரு ாந்தத்தில் வைத்திருந்த வாகனில் மூன்றிலொருபங்கை ட்டமடைந்தான். காலகேமியோ காலாக்கினியடைந்த கட் திரட்டியில் (ச0) வராகன் குறைய லாபமடைந்தான். அப் பாழுது காலநேமியுடைய வராகன் காலாக்கினியுடையவரா

Page 40
配乌 வீசகணிதம் கனில் இரட்டியானது. இவ்விருவரும் வியாபார ஆரம்பத் போட்ட முதல் எத்தவன :
விடை கூஉ0 வினு கக. இரண்டு தேசாந்தரிகளில் ஒருவன் சகநாதபு திலிருந்து இராமேஸ்வரத்துக்கும்,மற்றவன் இராமேஸ்வரத்தி ந்து சகநாதபுரத்துக்கும் யாத்திரைபண்ணினர்கள். வரத்திலிருந்து போனவன் ஒருநாள் இரண்டு காதமும் சககள் ரத்திலிருந்துபோனவன் ஒருநாள் (டு) காதமும் நடந்தார்க ன்றும், சகநாதபுரத்துக்கும் இராமேஸ்வரத்துக்குமிடையான ரம் (ச2) காதமென்றும், வைத்துக்கொண்டால், இந்தத் சாந்தரிகள் ஒருவரையொருவர் சந்திக்கு முன் எத்தவனகா நடந்தார்கள்?
விடை இராமேஸ்வரத்திலிருந்துபோனவன் க2 காத சகநாதபுரத்திலிருந்து போனவன் கo காதமும் நடந்தார்கள் வினு உ0. ஒரு தடாகத்தின் மத்தியிலே காட்டியிருந்த ம்பத்தில் ஐந்திலொருபங்கு சேற்றிலும் ஏழின் மூன்றுபங்கு த்திலும், (கக) முழஞ் சலத்துக்கு மேலேயுமிருந்தால் &蜗 தம்பம் எத்தவனமுழ நீளங்கொண்டது?
விடை கூடு வினு உக, ஒரு தமையனுந் தம்பியும் உத்தியோகத்திே பட்டுச்சரிசரியான சம்பளம் வாங்கிவந்தார்கள். தமைய தன்னுடைய சம்பளம் முற்றையுஞ் செலவிட்டதுமன்றி வரு ந்தங் தனது சம்பளத்தின் ஏழிலொருபங்களவுக்குக் கடன்ப ன் செலவழித்துவந்தான். தம்பியானவன் தனது சம்பளத் ஐந்திலொருபங்கை வருடாந்தரஞ் சேமித்துவைத்தான். பு வருடஞ்சென்றபோதோ தம்பி தமையன்பட்ட கடவன கொடுத்துக் கையில் (கசுo) ரூபாயும் வைத்திருந்தான். விருவருடைய வருடாந்தரச் சம்பளம் யாது?
விடை உஅ வினு உஉ ஆருணுேதயத்தில் ஐந்தாம் ஆகும்மணி வேல் கிடையே ஒருவன் மணிக்கூட்டைப் பார்த்தபோது மணிக் பியும் நிமிஷக்கம்பியும் ஒன்றின்மேலொன்று நிற்கக்கண் ன். அப்பொழுது நேரமேன்ன!
விடை. டு மணி. ఇడా நிமிஷம்.
வினு உக, ஒரு தோட்டக்காரன் வேலியடைக்கும்படி
சு0 நிமிஷங்கொண்டது ஒரு மணி. உச மணித்தியாலங்கொண்டது ஒரு 2ணியென்பதும் ஒரையென்ப்தும் ஒரேயளவுகொண்ட காலப்பிரிவுகளாம்.

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். 58
கந்தடியை வாங்கி அரைமுழத்துக்கொருதடியாய் கட்டுவ 貂u哆 முழவேலிக்குங் கணக்காகப் போட இன்னும் (கடுo) வேண்டியதாயிருந்தது. மறுபடி அவன் அவைகவளப் பிே இசி ஒன்றரைமுழத்துக் கொருதடியாக கட்டுவந்தபோது (எ0) மிஞ்சிப்போனது. தோட்டக்காரன் வாங்கின முருக்கந்தடி
விடை கஅ0.
வினு உச வருஷமொன்றுக்கு (அ) ரூபாயும் ஒரு சோடு அங் வஸ்திரமுங் கொடுக்கப்பொருந்தி ஒரு செட்டியார் தனக்குச் இாக்கப்பையன் ஒருவவன வைத்திருந்தார். ஆணுல் ஏழாம்மா முடிவில் செட்டியாருக்குஞ் சோக்கப்பையனுக்கும் வாக்குவா 2ண்டானபடியினுல் சொக்கப்பையனுக்கு இரண்டரையே இரைக்கால் ரூபாயும் முன் வாக்குப்பண்ணியிருந்தபடி ஒரு :ாடு அங்கவஸ்திரமுங் கொடுத்துச் செட்டியார் சொக்கப்பை வனத் தள்ளிவிட்டார். இந்த அங்கவஸ்திரத்துக்கு விவஸ்
5. விடை ச ரூபாய்.
50
வினு உடு. சென்னபட்டணத்தில் ஒரு கடைக்காரன் ஒரு அணுவுக்கு மூன்ருகச் சில கொப்புறத்தேங்காயையும் அத்த வன யாழ்ப்பாணத்திற் தேங்காயை ஒரு அணுவுக்கு இரண்டாக வம் வாங்கி இந்த இரண்டுவகையான தேங்காயையுங் கலந்து இரண்டனவுக்கு ஐந்து தேங்காயாக முதலில் கட்டம்வராமல்வி ந்த நிவனத்து விற்றபோது அவனுக்கு காலு அணு கட்டமானது. அப்படியானுற் கடைக்காரன் ஒவ்வொருவகைத் தேங்காயி லும் எத்தவன வாங்கினன்?
6Si6O). Gelo. வினு உசு. ஒரு சாடியிலே இரண்டு துவாசமுண்டு. இந்த இ ண்டு துவாரத்தையுங்கொண்டு அந்தச் சாடியைத் தண்ணிரா ஸ் நிறைக்கும்படி (க3) நாழிகை செல்லும். துவாரங்களிற் சி றியதுவாரத்தை அடைத்தபோதோ அந்தக்காடியை நிறைக்க 20) நாழிகை சென்றது. சிறுத்துவாரத்தைத் திறந்து பெருக் துவாரத்தை அடைத்தாற் சாடியை நிறைக்க எத்தவன நாழி கைசெல்லும் ?
விடை கo ங்ாழிகை. வினு உஏ. ஒரு தட்டான் (கoo) ரூபாய் விவலகொண்ட ஒரு பூஷணத்தைக் கொடுத்து அந்தப் பூஷனநிறைகொண்டபோ ன்னும், (கூஎ) ரூபாயும் வாங்கினன். அவன் வேருேரு தருணத் நில் (se) கழஞ்சு நிறைகொண்ட பூஷணத்தைக் கோடுத்து

Page 41
எர்) வீசகணிதம்
(அ) கழஞ்சு நிறைகொண்ட பொன்னும் (உடு) ரூபாயும் சினன். அப்படியானல் தட்டான் முன்கொடுத்த பூஷ எத்தவன கழஞ்சு ? அந்தப்பூஷணத்தின் (க) கழஞ்சுக்கு யென்ன ?
விடை உடு கழஞ்சு. ஒருகழஞ்சுக்கு விவல ச ரூபா
வினு eஅ. யுத்தம் மிகுத்தகாலத்தில் ஒரு கூட்டம் வீரர் ஒரிடையனுடைய ஆட்டுப்பட்டியிற் புகுந்து அவனு ஆட்டில் காலிலொருபங்கையும் ஒரு ஆட்டின் நாலிலொ கையுங் கோள்வளகொண்டுபோக, வேருெருகூட்டம் இர ரர் புகுந்து சேஷமாய் நின்ற ஆட்டின் மூன்றிலொருபங்கை ஒரு ஆட்டின் மூன்றிலொருபங்கையும் எடுத்துப்போன சேஷமாய் நின்ற ஆட்டின் அரைவாசியையும் ஒரு ஆப் அரைவாசியையும் இன்னும் ஒரு கூட்டம் இரணவீரர் துப்போனுர்கள். கடைசியாய் இடையனிடத்தில் நின்ற ஆடு (உடு.) அப்படியானுல் இடையனுடைய பட்டி நின்ற ஆடு எவ்வளவு?
6Saol a on வின உக, ஒரு வர்த்தகன் மூன்றுவருடக்காலமாக வ மொன்றுக்கு(டுo) வராகன் தனது திரவியத்திலிருந்து எடுத் சேலவிட்டுவருவான். ஆகிலும் அவனிடத்திற் செலவழியா கிடந்த திரவியத்தின் மூன்றிலோருபங்களவுக்கு வருடாக் அவனுக்கு இலாபங்கிடைத்துவந்தபடியினலே மூன்ரும்வரு கடைசியில் அவனுடைய திரவியம் இரட்டித்துப்போனது. த்தகன் முதன்முதல் வைத்திருந்தவராகன் எத்தவன!
விடை எச வினு கூ0. ஒரு கப்பற் சண்டை நடந்தபோது சில கப் சமுத்திரத்தில் அமிழ்ந்திப்போயின. (கடு) கப்பல் ஒழித் தப்பிவிட்டன. அமிழ்ந்திப்போன கப்பவலப்பார்க்கச் சத் பிடித்துப்gோன கப்பல் (எ) அதிகமும், தகனிக்கப்பட்ட பல் (e) குறைவுமாயிருந்தன. சண்டைபண்ணின கப்ப ல்லாம் அமிழ்ந்தினகப்பலில் எண்மடங்கானல், சண்ை ண்ணின கப்படுலத்தவன?
660L me
வினு கல். ஒரு சதுரங்கசேவனயின் தொகை (டுசச இந்தச் சேவனயிலிருந்த கசத்திலிரட்டி ரதம். ரத்தத்தின் மடங்குதுரகம். துரகத்தின் நான்மடங்கு பதாதி. இங்கால்வ ச்சேவனயிலும் வகையோன்றுக்குத் தொகை யென்ன ?
விடை, கசம், கசுடு, ரதம், காஃ0. துரகம், ககo. பத G. Sa GTO

வேள்ளைச்சமீகரன அதிகாரம். 63;
வினு கூஉ. போதவாதித்தன், போதசந்திரன் என்ற இரண்டு ானுக்கர் பள்ளிக்கூடத்துக்குப் போகிறவழியில் அஸ்திரபரீட் 1ண்ணினர்கள். எப்படியென்றல், முதற் போதவாதித்த ய்த அஸ்திரம் விழந்த இடத்தில் நின்றேடுத்து அந்த நேர் வி மற் போதசந்திரன் எய்ய, போதசந்திரன் எய்த அஸ்திரம் g施列 இடத்தில் நின்று போதவாதித்தன் எய்ய, இப்படியே டு20) முழம்வரைக்கும் எய்தபோது, போதவாதித்தன் (அ) றையும், போதசந்திரன் (எ) முறையும் எய்ததாகக் கண்டார் சிலநாட்டுசன்றபின் இவர்கள் இருவரும் ஒரு நதியின் திர்க்கரைகளில் நின்று கதியின் அகலத்தைத் தாங்கள் முன் த அஸ்திரபரீட்சையைக்கொண்டு நிதானிக்க எண்ணி நள். அப்போது போதவாதித்தன் அஸ்திரபிரயோகம்பண் அஸ்திரம் போதசந்திரன் நின்ற கரைக்கிப்பால் (உசு) ழம் அளவில் விழந்தது. அந்த அஸ்திரம் விழுந்த இடத்தில் இன்றே போதசந்திரன் அஸ்திரபிரயோகஞ்செய்தபோது அது
巴P பாதவாதித்தன் நின்ற கரைக்கப்பால் (கஅ இ) முழம் அள
ல்விழந்தது. அப்படியானல் நதியின் அகலம் யாது?
6SaO) go oo.
வினு கா. முருகப்பசெட்டி, வேள்வளயன்செட்டி, உடை ப்பசெட்டி, திருமலச்செட்டி, என்ற நான்குசெட்டிகளும் ஒரு நியாபாரிக்குக் கடன்கொடுத்திருந்தகாலத்தில், வியாபாரிக்குப் பலவகையானாகட்டங்களும் நேரிட்டன. இதைக் கண்ட செட் கள்வியாபாரியுடைய ஆஸ்தியை நடுக்கட்டி,அதை (உகboo) பாய்க்கு விற்றர்கள். இந்தப் பணம் அவரவருடைய கடன் மற்றையும் நீக்கமாட்டாதபடியால் அவரவருடைய கடனுக்கு தக்கதாய்ப் பணத்தைப் பங்கிட்டார்கள். எப்படியென்றல் ருகப்பசெட்டிக்கும் வெள்வளயன்செட்டிக்கும் 2: h போல்; வள்வளயன்செட்டிக்கும் உடையப்பச்செட்டிக்கும் சு: டு பால்; உடையப்பசெட்டிக்கும் திருமலச்செட்டிக்கும் சு: எ போல், ஒவ்வொரு செட்டியும் பெற்றுக்கொண்ட ரூபாய் எத்
ରୋT ! டை முரு. கூஉ00; வெள். சஅ00; உடை. சு000; திரு. எ000. வினு கச. தஞ்சாவூரிராசாவினது ஒரு பத்திரசாரணன் செ னபட்டண்த்துக்குப் போகப்புறப்பட்டு (கo) நாழிகை சென் பின்வேGருருபத்திரசாரணன் அங்கிருந்து புறப்பட்டான மு தினவன் (டு) நாழிகைக்கு (கரு) மைல் நடந்தானென்றும்,
ந்தினவன (6) நாழிகைக்கு (உசு) மைல் நடந்தானெ

Page 42
5言三人 வீசகணிதம்
ன்றும், இவ்விருபத்திரசாரணரும் ஒருமார்க்கமே சென்கு ளேன்றும் வைத்துக்கொண்டால், முந்தின பத்திரசாரண ப் பிந்தின பத்திரசாரணன் என்ன தூரத்திலே எத்தவன : கையிலே பிடிப்பான் ?
விடை தூரம், கூக9, மைல், நாழிகை, கூ0
வினு கூடு. ஒரு ஒடக்காரன் ஆற்றுப்பாய்ச்சலின் சகா ੭ ( ) மணித்தியாலத்தில் (கஅ) மைல் தூரத்திற்கு
டத்தை நடத்தி, அங்கிருந்து மறுபடி ஆற்றுப்பாய்ச்சலினெத் தான் ஆரம்பித்த தானத்தை அடையவெண்ணி ஆற்றின்ம
f5m யமார்க்கவேகத்தில் குறைந்த கரைமார்க்க வேகத்
。庄 கேதிரே ஒடத்தை நடத்தி (2) மணித்தியாலத்திற் புே ச் சேர்ந்தான அப்படியானல், அதிவேகமாய் நீாேரடுகி மத்தியமார்க்கத்தில் நீரோட்டக் கதியாது?
விடை ஒருமணித்தியாலத்தில், உ 60LDఉు. வினு கசு. ஒரு வியாபாரி (சுக) ரூபாய்க்கு ஒரு புடை6 யை வாங்கி, அதில் (கக) முழத்தை விற்றுப்போட்டபின், இ குச் சரிவந்த வேறெரு புடைவையை (உக) ரூபாய்க்கு வா ன்ை.க) ரூபாய்க்கு வாங்கின புடைவையில் ஒரு முழ ட்டினல் இதின் நீளம் முன்பு சேஷமாயிருந்த புடைவைய நீளத்திற்கு 2 : h போல். பின்வன வாங்கின ஒவ்வொரு "டைவைக்கும் நீளம் யாது? அவற்றின் ஒரு முழத்துக்கு வி
எத்தவன ரூபாய்!
விடை முதல்வாங்கின புடைவை, உக. முழம். இரண் வதுவாங்கின புடைவை, எ முழம். ஒருமுழத்துக்கு விவல குபாய்.
வினு கூஎ. ஒரு மனிதனிடத்தில் நான்கு எண்ணெய்ச்சா ஒளிருந்தன. அவற்றின் முதற்சாடியிலிருந்தஎண்ணெயை இ.
P
உாஞ்சாடியில் விட்டபோது (。) அதிற் சேஷமாயிருந்தது.
ண்டாஞ்சாடியிலிருந்த எண்ணெயை மூன்றஞ்சாடியில் டபோது அதிற் காற்பங்கு சேஷமாயிருந்தது. மூன்றஞ்ச யிலிருந்த எண்ணெயை நான்காஞ்சாடியில் விட்டபோ

காதித அதிகாரம். 6The
ଗt து நாவதை நிரப்பும்படி இன்னும்: பங்கு வேண்டிய
நிருந்தது. ஆனல் முதற்சாடியில் எண்ணேயை முனருஞ் பிலும், நானகாஞ்சாடியிலும் விட்டால் (கடு) படி சேஷ .திருக்கும். அப்படியானுல் இந்த நானகுசாடிகளில் ஒவ்
ான்றும் எத்தவனபடி எண்ணெய்கொள்ளும் !
விடை முறையே, கச0 ; சுo; சடு ; அ0. ாதித மெளல ராசிகளின கணிதத்தை உணர்ந்தாலன்றி அ ஒரு வீசகணிதவினுக்களுக்கு விடையறிதல் கூடாதாகையால், நீதரணகணிதத்தை முடிவுசெய்யமுன காதிதகணிதத்தை ழ் மெளலகணிதத்தையும் விளக்குவோம்.
அ. காதித அதிகாரம். Powers. ாஉகூ. பிர, ஒரு இராசி தன்னைத் தன்னுலே ஒ ருதரமாவது பலதரமாவது பெருக்கப்பேற்ற குணித
6மது அது காதிதம். (நக. பிர) உ-ம்.
(ச) இன் வர்க்கம், அதாவது இரண்டாங்காதிதம் (கசு) -
ஒxது. (ச) இன் கனம், அதாவது மூன்றங்காதிதம் (சுச) -pxசXச. பிறவுமன்ன.
(ஆ) இன் வர்க்கம் (ஆஉ)
(ஆ) இன் கனம் (ஆக )
(ஆ) இன் நான்காங்காதிதம் (ஆச ). பிறவுமிப்படியே.
ஆஉ, ஆக , ஆ , என்ற காதிதங்களில், 2, h, ச என்ற எண்கள் காதிதசூசி. இதவன நிர்க்கண்டமெனினுமாம். சூசி (3) ஆணுல் அதவன வரையாதொழிதல் பேரும்பாலும் வழமை. எப்படியென்றல், (ஆக ,) என்று சூசிகொடுத்து வரையினும், (ஆ) என்று குசிகோடாதுவரையினும் இரண்டுமொக்கும்.
ாக). பிர. ஒரு இராசியின் இன்ன காதிதம் இத்துவனத்தெ |ன்று அறியாதகாலத்தும், அக்காதிதத்தை அறிந்தாற்போல அ தவனக் கணிதகிர்த்தியத்திலமைத்து நடத்துங்திறமை காதித சூசிப்பிரயோகத்தினுல் வரும் பயனென்றுகாண்க. எப்படியெ ன்றல், உஷ, என்று வரையுமிடத்து (2) இன் வர்க்கமோ, கன மோ, வெருெருகாதிதமோ என்று வரையறைசெய்துணர்த்தா திருந்தும், (உ) இன் யாதொரு காதிதமென்பதைக் குறிக்கின் றது. இப்படியே ஆஷ , ஓஷ, கீஷ், முதலியனவும்.
7:

Page 43
宅T亭P 6iਰਗ 65
மேலுஞ் சூசிகவள வழங்குவதினுல்,வகுராசிகள் சுருங் றன. உ-ம்.
(ஆ+ஈ+ஓ) அல்லது ஆ+ஈ+ஓ , அல்லது
ஆ+ஈ+ஓ என்பது (ஆ+ஈ+ஓ) என்ற வகுராசியின் மாம். இதவன வழக்கப்படிவரையில், (ஆ+ஈ+ஓ)X( ஈ-+ஓ)x(ஆ+ஈ+ஓ) என்று வரும்; விரிக்கில், ஆக 所十リー十リー●十リ十リ?*十*十リー --க ஒஉ--ஓசு என்று நிற்கும்.
ாகக. பிர. சுபாவகாதிதமென்றும், விலோமகாதிதமென் காதிதடுமல்லாம் இரண்டுவகைப்படும். இவற்றுள்,
சூசியைத் தனராசியாகப்பேற்ற காதிதமேது சுபாவகாதிதமாம். இது குணனகிர்த்தியத்தாற் க்கின்றது. உ-ம்.
--
6857 X650-caCro-. 6OOTX65TX.6807-6007* , ఇంTXఐTX607X600-607 లో .
சூசியை இருணமாகப்பெற்ற காதிதமெது அது லோமகாதிதமாம். இது சுபாவகாதிதத்தால் (க) அரிக்கப் பிறப்பதாம். உ-ம்.
5. ö F, .)óT* 6305 ன’ெ (கஅ. Уд * بدعته சுபாவகாதிதமாலிகையினின்று விலோமகாதித பிறப்பிக்கும்வகையெவ்வாறெனில், சுபாவகாதிதத்தை மூ ட்சரபரியந்தம் அதன் மூலத்துக்கு ஈந்தீந்துவந்தால், தன பெற்ற காதிதங்கள் பிறக்கும். சூசிகளோ ஒன்றுக்கொன் ஒவ்வொரலகு குறைந்து குறைந்து, மூலாட்சரத்தை மூலாட் ாத்துக்கீயும்போது, சூசி சூன்யமாகக் காதிதம் (க) ஆம், ! பால் (இ) ஐ முன்போல மூலாட்சரத்துக்கீந்து பேற்றையுமி டியே ஈந்திந்துவர விலோமகாதித மாலிகை வெளிப்படு 全_ーむ)。
ଉଦ୍ଦ]* 6সৈতে) === ᎾᏍᎼᎢ இதி: = 600+ ; - = 657 ; -= 600° -6 { (6೮೮ ° 王 。 H. 8 { ಅpón HHS 0ueL SAAAAAS SS S SYS cc JSLLLSJS S S YYaaS அச்  ை"* Fஒஉ3 ஒஉ 6তোষ্ট্ৰ / J
 
 
 
 
 

காதித அதிகாரம். প্রত্যািট’
இப்படிப் பின்னமாக வரையவேண்டிய விலோமகாதிதத் 鼩牟 சுபாவகாதிதத்தைப்போல வரைந்து நிர்க்கண்டத்தின்
2 சபசின்னங் தீட்டுவதுமுண்டு. உ-ம். a 85 安
ー二@T下e一・二 二エー* :
エa- 「 63OT 5 * エデ (ண்) இன் சுபாவகாதிதங்களும் விலோமகாதிதங்களும் வரு
.للل: p1 |
SBShSJSyTeL S kke KS OekeTe SzS Teu S S S e00YSYJS eOe00YS OT S
エて”。 பிறவுமன்ன, இதில் ன9 - க.
ா.உ. பிர, காதகரணமென்பது காதித்தல். அது ாந்தராசிக்காவது வேண்டிய காதிதத்தை அறியுங் கிங்
திமாம்.
=60Tತ್
காதகரணவிதி.
தாதிதசூசியில் எத்தனை யலகுண்டோ அத்தனைத ங் காதிக்கவேண்டிய இராகியைக் குணுங்கமாய்க்
காண்டுபேருக்கு.
ாாா. பிர. காதிக்கவேண்டிய இராசி தனியட்ச மாய்வரில், வேண்டிய காதிதத்தின் சூசியை அந்த நட்சரத்திற்றீட்டியாவது, நிர்க்கண்டத்திலே எத்த னயலகுண்டோ அத்தனைதரம் அட்சரத்தைக் குணு கமாகக்கொண்டாவது காதிக்கலாம். உ-ம்.
த, (ஆ) இன் நான்காங்காதிதம் (ஆச ) அல்லது ஆஆஆஆ. 2. (ఐస్) ఇచT @gశతా గౌస్తోత్తు (ఎస్ఈ ) 9 మఐుక్తి 666; ఐ;
路a俘·
ஈ. (ஸ்) இன் (ம) காதிதம் (ஸ்ய ) அல்லது ஸ்ஸஸ் . . . . ம) தரம்.
இந்த அட்சரத்தின் வர்ணம் எண்ணுணுல், அந்த எண்ணுக்கு வண்டிய காதிதம் பிறக்கும்படி பெருக்கவேண்டும். உ-ம்.
இ. (கூஷ) இன் மூன்றுங்காதிதம் eஎஷ5 2. (சஸ்) இன் நான்காங்காதிதம் உடுசுஸ் ச . ாா.ச. பிர. பல குணுங்கங்களைக்கோண்ட, இரா யைக் காதிக்கும்படி, குனுங்கங்களை ஒன்ருய்ப் பருக்கிப் பெற்ற குணிதத்தை வேண்டியகாதிதமா

Page 44
63 வீசகணிதம்
க்கலாம். அல்லது குணுங்கங்களைத் தனித்த தித்தபின் காதிதங்களை ஒன்ருய்ப்பெருக்க உ-ம்.
க. (ஆஷ) -ஆ? ஷஉ. எப்படியென்றல், மேவல கரணப்படி ஆஷ)- ஆஷXஆஷ-ஆஷஆஷ-ஆஆ. -ஆஉ ஷ? , என்று வருதலாலென்றறிக.
(ஈமஷ) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? . (ஆடஸ்) இன் (ன) காதிதம் யாது!
(கிடஸ்) இன் (ச) ங் காதிதம் யாது? (சஈ) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? (சுஆட) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? (கமXஉல) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? (ணனற) இன் (ண்) காதிதம் யாது? ாாடு. பிர. இராசிகளைக் காதிக்குமிடத்து, மூ தனமூலமானுல், காதிதக் தன காதிதமாய்வருமே றும், மூலம் இருணமூலமானுல் ஒற்றைக்காதி இருணகாதிதமாயும், இரட்டைக்காதிதந் P6शक" மாயும் வருமேன்றறி.
அறியவே, மூலசின்னமெப்படியோ அப்படியே ஒற்றித்த திதசின்னமிருக்குமென்பதும், மூலசின்னஞ் சகசின்னமாகு ஞ் சயசின்னமானுலும், இரட்டித்த காதிதசின்னம் 64GL துஞ் சகசின்னமாயிருக்குமென்பதும் வேளிப்படையாம், உ
十勢×十塾ニ十勢*ー; エリエー
十勢×十勢×十勢ニ十勢で;。ー●×ー●×一豊ニ
ாா.சு. பிர, சூசியைப் பேற்றிருக்கின்ற இர யைக் காதிக்கும்படி அந்தச் சூசியைத்தானே ( ண்டிய காதிதத்தின் சூசியினுலே பேருக்கு. க. (ஆஉ) இன் மூன்றங்காதிதம் அதாவது கணம் 于曼*· எப்படியேன்ருல், ●于=美湾... ஆகை 彎).g寶_* 姜X登勢X營=營爸爸= இது_ஆ) இன் ஆகுங்காதிதம்; அதாவது (ஆ' ) க்கு மூன் காதிதம்.
உ (ஆக ஈ உ) இன் நான்காங் காதிதம் யாது? ந. (சஆஉ ஷ) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? சு (eஆக X கூஷஉட) இன் நான்காங்காதிதம் யாது?

கர்தித அதிகாரம். '6t
ஒ (டி2 ண ) இன் (ன) காதிதம்யாது? (ாக்கிம) இன் மூன்றங்காதிதம் யாது? (ஆ Xஈஈ ) இன் இரண்டாங்காதிதம் யாது? ஏ. பிர, பின்னத்தைக் காதிக்கும்படி போகத்தையும் ஆரகத்தையும் தனித்தனி காதிக்கலாம். உ-ம்.
) இன் வர்க்கம், πο எப்படியென்றல், பின்ன
ー牙 a. (...
<5;) . . -2}} è气。 துனனவிதிப்படி नि *x 亨= = कe- * (கூஏ. பிர)
B (-) இன், 2 ம், கம், காதிதங்கள் யாவை ?
/hm. 〔) இன் கனம் யாது? శాgP. (...) இன் (ன்) காதிதம் யாது?
S-2 (-+©7) - - - - 2 டு. )چg-+ چی( * | இன் வர்க்கம் யாது
ா.அ. பிர சக்சய்சின்னங்களினுலிவனந்த வகுராசியைக்
நாதிக்கும்படி, அந்த வகுராசியினுறுப்புகவளப் பெருக்கதிகாரத் திற் சோல்லிய விதிப்படி பெருக்கிக்கொள். உ-ம். a (夢十Fーニ 勢十* g与eom砲57身多。
_登士哑_
ஆஉ+ஆஈ
十勢千十* 凯 (鸟十F)* صوتیے حس۔ +உஆஈ+ஈஉ இரண்டாங் காதிதம்
令十F
き*十e勢ーF十茎Fー
●ーF十e等Fe-十ー
(含十F)== "తి" FF十m尋F+十** cm砲smリ。
苓十FF -
* 十ア* F十リーF=十夢FFで
士曼·阿十呜**土呜*土阿”
(3十*)* =リー+リエ十エ十エ
நான்காங்காதிதம். பிறவுமன்ன.
2. (ஆ-ஈ) இன் வர்க்கம் யாது? கூ. (ஆ+க} இன் கனம் யாது?

Page 45
'6T 2. 6ਹੌਰ60
(ஆ+ஈ+டி) இன் வர்க்கம் யாது? ரு. (ஆ+உட+க இன் கனம் யாது? சு. (ஈ--உ) இன் நான்காங்காதிதம் யாது?
எ. (க-ஈ) இன் ஆறுங்காதிதம் யாது?
ாகக. பிர, இப்படி உறுப்புகவளப் பெருக்காமல் வகு ளின் காதிதங்கவளக் குசிமாத்திரமாயும் விளக்கலாம்.
(ஆ+ஈ) இன் வர்க்கம் ஆ+ஈ அல்லது (ஆ+ (ஒ+கி) இன் (ன) காதிதம் ஒ+கி" அல்லது (ஒ இந்தப்பிரகாரஞ் குசிமாத்திரமாய் வகுராசி காதிதத்தை க்கும்போது விலங்குச்சின்னம் வகுராசியுறுப்புகளவனத் மிவணக்கும்படி வரைதல் வேண்டும். ஆனல் மூலமான சியோடு இராசிகள் குணுங்கமாயிணைந்துநின்றல், இராசி களவனத்தையுமிவனக்கும்படி ஒரே விலங்குச்சின்னங் யாவது, தனித்தனிக்குணுங்கங்களுக்குத் தனித்தனிவில சின்னந்தீட்டியாவது காதிதத்தை விளக்கலாம். உ-ம். (ஆ+ஈ)X(ஒ+ன) இன் வர்க்கமென்பதை உணர் L.J., 2
(ஆ+ஈ) X(ஒ+ன) என்றவது, (ஆ+ஈ உ X(ஒ+ன)2 என்றுவது வரையலாம். mச0. பிர, வகுராசி காதிதங்களுள் இரட்டையிராசிக காதிதங்கள் வீச கணிதகிர்த்தியங்களுள் மிகப்பயனுடைய
இரட்டையிராசியை வர்க்கிக்கும்படி, அத6 ண்டுறுப்புகளுக் தனராசியாய்வந்தால், முதலுறு ன்வர்க்கத்தோடு இரண்டுறுப்புகளின் குணிதவி டியையும், இரண்டாமுறுப்பின் வர்க்கத்தை ఈ_LG.
எச்சராசியை வர்க்கிக்கும்படி, முதலுறுப்பின் ர்க்கத்தில் இரண்டுறுப்பின் குணிதவிரட்டியைச் 2ளந்து இரண்டாமுறுப்பின் வர்க்கத்தைக் கூட் 2.-O.
a 茎十F 芝一可
苓十环 蟹二*上 苓=十令可 晏=一茎FF
十勢不十Fー _二垒呼士円
多ー十e。所十* 용구 一鸾甲、
 
 
 
 
 
 

காதித அதிகாரம் of Sus
(உஆ+ஈ) இன் வர்க்கம்யாது ? (ண--க) இன் வர்க்கம்யாது ? (ஆஈ--கீடி) இன் வர்க்கம்யாது? (சுஸ்+h) இன் வர்க்கம்யாது (கன-ட) இன் வர்க்கம்யாது?
(ஆ-க) இன் வர்க்கம்யாது ! (ஆஷ-ஸ்) இன் வர்க்கம்யாது ?
துவிராசிவிதி.
ச3. பிர, இரட்டையிராசியின் பெரிய காதிதங்க வளக் கு ானகிர்த்தியத்தால் (டுசம்.) பிரகரணத்திற் காட்டியபடி கிர நிப்பது அருமையும் அலக்கணுமுடையதென்று கருதிப் பண்டி சிரோமணியாகிய நியுற்றணுசிரியர் இரட்டையிராசிகளின் சா நிதகரணமவனத்தையும் எளிதில் முடிக்கும்படி ஒருபோது விதி தந்தனர். அதற்குத் துவிராசிவிதியென்று நாமம். அவ்விதியை இளக்குமுன் (ஆ+ஈ) இனதும், (ஆ-ஈ) இனதும் வர்க்கம், னம், நான்காங்காதிதமென்பவைக வள இவ்விடத்து வரைக் వGULD
(ஆ+ஈ) இன் வர்க்கம் ஆஉ+உஆஈ+ஈஉ (ஆ+ஈ) இன் கனம் ஆ+நஆஉஈ+hஆஈஉ+ஈ* . (ஆ+ஈ) இன் காலாங்காதிதம் ஆச --சஆ* ஈ-சுஆ, ஈ.ே 十°F*十°·
(ஆ-ஈ) இன் வர்க்கம் ஆஉ-ஆஈ+ஈ2 . | (多ーF) @ór与5cm ●*ーリーF十戸・登*ー*・
(ஆ-ஈ) இன் நாலாங்காதிதம் ஆண் -சஆக ஈ+சுஆ? ஈஉ ーチ多** 十F° -
ாச2. பிர. இந்த உதாரணங்கவள மனதிலமைத்துய்த்துணரு நிடத்துத் துவிராசி காதிதசிர்த்தியத்திற்கெல்லாம் பொதுவான
ல இலக்கணங்கள் வெளிப்படையாம். அவையாவன : க. சூசி எத்தவனயலகையுடையதோ அத்தவன பலகில் (க) மற்பட்டது காதித உறுப்புகளின் தொகையாம். உம், (ச) ங் காதித உறுப்புகளின் Gதாகை, பிறவுமன்ன. 2. சின்னங்களின் இலக்கணம். துவிராசியின் இருகூறுகளு க் தனமேனில், காதித உறுப்பவனத்துந் தனமாம். துவிராசி சேடதுவிராசியெனில், காதிதத்தின் ஒற்றித்த உறுப்புகள் தன மம், இரட்டித்த உறுப்புகள் இருணமுமாம். (காதிதஉறுப்பை யெண்ணும்போது இடப்புறமுதலாயெண்ணுவது.) உ-ம்.
சேடதுவிராசியினது சம் காதிதத்தில், முதலாம், மூன்றும்,

Page 46
- ... 2|Ú வீசகணிதம்
ஐந்தாம், உறுப்புகள் (+). இரண்டாம், நான்காமுறுப்பு いール・
ந. சூசியிலக்கணம். துவிராசியுறுப்புகளின் முதலு அறியவேண்டிய காதிதசூசியோடு கூடி இடப்பக்கத்தே மு ப்பாக நின்று வலப்பாக்த்தை நோக்கி நடக்க உறுப்புக் சூசி ஒவ்வோரலகு குறிைந்து குறைந்து கடையுறுப்பிற் கு மாகும். உ-ம.
சம் காதிதத்தில் முதலுறுப்பாகிய (ஆ) இன் சூசிகளா சி, (h, 9, க.
துவிராசியின் மற்றையுறுப்பினது சூசி சாதிதத்திரண்ட ப்பில் (க) எனத்தோற்றி உறுப்புக்குறுப்பு ஒவ்வோரலகு ப்பட்டுக் கடையுறுப்பில் அறியவேண்டிய காதித நிர்க்க: மெத்தவனயோ அத்தவனயாகவே கிடக்கும். உ-ம்.
சம் காதிதத்தில் இரண்டாமுறுப்பாகிய (ஈ) இன் சூ 6.J661. 3., 9. shn, 3.
மேலுங் காதிதஉறுப்பு ஒவ்வொன்றிலும் வரும் சூசி தொகை ஒன்றிற்கொன்று சமமாயிருக்கும். உ-ம்.
சம் காதித உறுப்போவ்வொன்றிலும் சூசிததோகை ( ச. வர்ணஇலக்கணம். எந்தக் காதிதத்திலும் முதல் டைகாதித உறுப்புகளுக்கு வர்ணம் (க) ஆம். முதலயல் யயலான உறுப்புகளுக்கு வர்ணம் அறியவேண்டிய காதி 山fLD。三全_一LG。
கூம் கர்திதத்தில் முதலயலுறுப்புக்கு வர்ணம் (க) கன யலுறுப்புக்கு வர்ணம் (க). சம். காதிதத்தில் முதலயலு புக்கு வர்னம் (ச). கடையயலுறுப்புக்கு வர்ணம் (ச),
வர்ணங்கள் காதித உறுப்புகளின் முற்பாதிவரைக்கும் யேறிப் பிற்பாதியில் முன்னேறினகிரமமே இறங்கியிறங்கி றைந்துவரும். உ-ம்.
சம். காதிதவர்ணங்கள். க; ச ; சு; ச ; க. சும். காதிதவர்ணங்கள். க; சு; கடு; உ0; கடு; சு ஆதியந்த காதித உறுப்புகளுக்குச் சரிசரிதூரத்திற் கிட வர்ணங்கள் ஒன்றற்கோன்று சமமாம். உ-ம்.
சம் காதிதத்தில் முதலயலான இரண்டாமுறுப்பின் வ ம் (ச) கடையயலான நான்காமுறுப்பின் வர்ணம் (ச). சும். காதிதத்தில் முதலயலுறுப்பின் வர்ணம் (சு), கன யலுறுப் பின்வர்னம் (சு). முதற்குெட்டு மூன்றுமுறுப்பின்வ ம் (கடு), ஈறுதொட்டு மூன்றமுறுப்புவர்ணம் (கடு). மேலு தித உறுப்புகளவனத்தின் வர்ணங்கவளயுங் கூட்டியதொ அந்தக் காதிதம்பிறக்கும்படி (e) ஐக் காதித்துப் பெற்றபே 乏_ーLD。

காதித அதிகாரம். Qக
ந் நாதிதவர்ணங்களின் தொகை கசு=க+ச+சு+ச -p) இன் நான்காங்காதிதம் (sசு)-(உ)ச .
ம் காதிதவர்ணங்களின் தொகை (சுச)=க+சு+கடு ,0+கடு+சு+க = (2) இன் (சு) ம் காதிதம் - சுச=
இந்தப்பிரகாரமே எடுத்துக்காட்டிய உதாரணங்களில் அமை நிக்கின்ற இலக்கணங்கள் துவிராசியின் சர்வகாதிதங்க நக்கும் பொதுவாமாதலில் இவ்விலக்கணங்கவளத் தழுவி மு
ஜின்ற துவிராசிவிதியைக் கூறுவாம். ாதுங். பிர, துவிராசியைக் காதிக்குமிடத்து: (க) சின்னம். உறுப்புகளிரண்டுஞ் சகசின்னம் +) போருந்திவரின் காதிதஉறுப்பனைத்துஞ் சகசி ன்னம் (+) பொருந்துமென்றும், சேடதுவிராசியா ல்ை, இடப்பாகமுதல் ஒற்றித்த காதித உறுப்புகள் : (+) சின்னமும், இரட்டித்த காதித உறுப்புகள்
ய (-) சின்னமும் போருந்துமென்றும் ;
(2) சூசி. தவிராசியின் முதலுறுப்பு இடப்பாகத் தே நின்று வலப்பாகத்தை நோககியும், மற்றையுறு பு வலப்பாகத்தே நின்றிடப்பாகத்தை நோக்கியுங் கருதிய காதிதசூசியே ஆரம்பசூசியாகப் பூண்டு கா தித உறுப்புக்குறுப்பு ஒவ்வோரலகு குறைந்து சூன் பமாகும் பரியந்தம் நடைபெற்றுவருமேன்றும் ;
(ஈ) வர்ணம். முதல் கடைவர்ணம் (க)என்றும், முதலயல் கடையயல்வர்ணங் காதிதசூசியேன்றும், ாந்த வர்ணத்தையாவது அந்த வர்ணத்தைத் தரித்த முதலிராசியின் சூசியாற் பேருக்கிக் கடையிராசியி ன் சூசியோடோன்றைக்கூட்டி அரிக்கப் பிந்தியவ ர்ணம் பிறக்குமென்றும் ;
(ச) காதிதஉறுப்புகளின் தொகை காதித சூசியி ல் (க) அதிகப்பட்டதேன்றுமறி.
வீசபாஷாரூபமாக இவ்விதிவருமாறு.
6-5 rate @十甲)*=3°十匈×@一甲十印×干士于急
ஈஉ+முதலியன.

Page 47
விசகணிதம் 2ے [2۔
திவிராசியுறுப்புகளின் வர்ணமுஞ் சூசியும் (க) என்று இவ்விதிகூறப்பட்டதேனும், அவை வேறுனகாலத்திலும் கரணத்தால் அவற்றை இவ்விதியில் அமைத்துக்கே ՑՆfՐՄ.
உதாரணம். (க) (ஷ+ஸ்) இன் (சு) ங் காதிதமறியும்படி வர் ழிந்த காதிதஉறுப்புகள்,
ఇ5 , ఐతె ఇు, ఐరో 602-, ఐక్ ఐ , 6-6గశా , ఐద్ద on 5 .
வர்ணங்கள். "×@ a@×字 eo×m。 孕,石, 9. fro * ● ● ●●epg。
མ་ , ཀི ༣ ཚོ (ཏེ: E.o,བྱ(ཏྲེ་, cm @。
இந்த வர்ணங்க வரை @లియేT Q ଶ୍ରେଣୀ:୪୪୩ & $.
ఐ} = += ఐతె බ්‍රව-4-5@බඹුන් බවය. 十eoa学で ep* 十a@ పోలి" + ఐఐుa +C4 என்று காதிதம் பரிபூரணமடை
(e)(F+p)g。 (ன) காதிதம் Աո5 4
aP-- 6乙可一安 エー●ー விடை, ஈன+னXஈ to十á×
丁 吓
+ முதலியன.
(h) (ఐ 2. +கஸ் ) இன் ஐந்தாங் காதிதம் யாது ?
இவ்வினுவுக்கு விடையறியும்படி (ஷஉ) க்குப் பிரதி ( என்றும் (கூஸஉ ) க்குப் பிரதி (ஈ) என்றும் (meஎம்.) பிரகர ப்படி வைத்தபின் முன்போல,
勢e十@了兩十*麼「十*十@勢兩了十屆 என்று காதிதத்தைப் பிறப்பித்து (ஆ) (ஈ) என்ற இராசி டத்தே (ஷ) (ஈஸஉ) ஐ நிறுத்த (ஷஉ+ாஸிஸ்) = ஷி +5 (ఐపి-ఆ 6m)2-+అంబ= 2 +உஎoஷச ஸசு +சoடுவு ஸ்-அ +உசhஸ்ச0 என்றும் வரும்.
(ச) (கூஷ+உஸ்) இன் (சு) ங் காதிதம் யாது?
(டு) (ஆ-ஈ) இன் வர்க்கம் யாது ?
(சு) (டி+கி) இன் (டு) ங் காதிதம் யாது?
(எ) (ஆ-ஈ) இன் ம்ே, சம், டும், சுங் காதிதம் யாவை
(அ) (ஆ-ஈ) இன் (ன) காதிதம் யாது?
துவிராசியையன்றி மற்ற வகுராசிகவளயும் பிரதிகரணத்த ல் துவிராசிவிதியிலமைத்துக் காதிக்கலாம். எப்படியென் 劉 (勢十千十●) geop ਘ5 கனத்தை அறியும்படி
A
(ஈ+ஓ) என்றதற்கு (கி) ஐப் பிரதியாக நிறுத்தினல் முன் நீ
ரைந்த காதித உறுப்புகே
9.
 

காதித அதிகாரம். - OTFI
鲷山 திரிராசி துவிராசிருபமடைகின்றது. இதைத்துவிராசி
ஆப்டி காதிக்க, ( +hஆஉகி+hஆகி++கி என்ற கனம்பிறக்கும்.
畿 (கி) இனிடத்தே (ஈ+ஓ) ஐ வைக்க,
●十凡十甲)=鹦一*十呜*X(F十s)十呜《甲士 \+(ஈ+ஓ) என்று வரும். இதிற் கடையுறுப்புகளிரண் ஓம் (ஈ+ஓ) இன் காதிதங்களிருப்பதால் இவற்றைத் தனி தனி காதித்தல்வேண்டும்.
து. பிர. காதிதசூசி அபின்னதனராசியானல் காதிதமாலி வரையறைபெற்று முடிவுபெறும். எவ்வாறெனில், சூசி
றுப்புக்குறுப்பு ஒவ்வோரலகு குறைந்து குறைந்து வருகின்றப (ால் அது சூன்யமாகவே மாலிகையும் முடிவுபெறும், ஆன ாதிதசூசி இருணமாயாவது பின்னமாயாவது வரில் அதில் துவோரலகு குறைந்து குறைந்து வரினும் முடிவுபெருதாகை ல் காதிதமாலிகையும் முடிவுறது. அது அகந்த சோரூப ாகும். உ-ம்.
る 冢工高司 (ஆ+ஈ)-உ என்ற ரூபத்தை விரிக்குமிடத்து, 冢→一号令一*阿十呜二”所吃一呜一°甲十@@一*
முதலியன என்று வருமேயன்றி முடிவுபெறது. சடு, பிர, துவிராசி விதியைக்கொண்டு காதிதங்கவளமாத் மல்ல மூலங்கவளயும் அறிவதுண்டு. எப்படியென்றல், (ஆ+ஈ)ன என்ற ரூபத்தை விரிக்குமிடத்து (ன) என்ற சூசி நின்னமாயாவது பின்னமாயாவது வரலாம். பின்னமாய்வு ல், அதற்குத் துவிராசி காதிதத்தையறிவதே மூலங்கொள்ளு கிர்த்தியமாம். உ-ம்.
அ-உ என்புழி, இரண்டாங்காதிதமாகிய வர்க்கமும், 6T = என்புழி இரண்டாம்மூலமாகிய வர்க்கமூலமும் வ
邺,
ாது சு. பிர, சூசி பின்னமாய்வரில், துவிராசிருபத்தை விரிக் ம்போது உறுப்புகள் வரையறைபெற்று முடியாவாம்.
또, எப்படியென்றல் சூசி (±) ஆனல் இதில் ஒவ்வோரலகு த ளிவர,
8 உம், உறுப்பில் 言ーリ=ー茎 என்றும்,

Page 48
அச வீசகணிதம்
直岛。 F. Hr
கூம். அ_றுப்பில் - - - க - - - என்றும்
DUL) 6 으 P. Ան ն),
. . . Th டு . சம். உறுப்பில் -g -க =- என்றும,
டு of . . டும். உறுப்பில் - பூ - க -- g எனறும,
g - சும். உறுப்பில் - பூ - க = - பூ என்றும, @山u骑
அகந்தமாய்ப்பெருகும்.
காதிதவினு.
க. (ஷ்+ஸ்) இன் கனம் யாது? உ. (ஆ+ஈ) இன் வர்க்கம் யாது? ஈ. (ஆ-ஈ) இன் சும் காதிதம் யாது? (ஷ--ஸ்) இன் டும் காதிதம் யாது ? (ஷ-ஸ்) இன் உம் காதிதம் யாது? (ம--ன) இன் எம் காதிதம் யாது ? (ஆ-ஈ) இன் கூம் காதிதம் யாது? (ஷ--ஸ்) இன் க0 ம் காதிதம் யாது ? (ஷ-ஸ்) இன் ககம் காதிதம் யாது ? கo. (ஆ-ஈ) இன் அம் காதிதம் யாது ? கக. (ஆ+ஈ) இன் ககம் காதிதம் யாது? ஆஉ. (உ+ஷ) இன் டும் காதிதம் யாது ? கக. (ஆ-ஈஷ--சி) இன் கூம் காதிதம் யாது? கச. (ஆ+கFசி) இன் சம் காதிதம் யாது ? கடு. (கூஆஈ-ஷ) இன் டும் காதிதம் யாது ? கசு. (சஆஈ+டுசீe ) இன் உம் காதிதம் யாது? கள். (கஷ-சுஸ்) இன் கூம் காதிதம் யாது ? கஅ. (டுஆ+நடி) இன் கூம் காதிதம் யாது ?
Зѣ . V
58. يسهg அல்லது (க-ஆ}* என்ற குபத்தை6
20. (ஆ+ஈ) என்ற ரூபத்தைவிரி ?
காதிதசுட்டல்.
ாசஏ. பிர. (சஎம்.) பிரகரணத்திற் கூறிய கூட்டல்,
யை வழியாகக்கொண்டு காதிதங்கவளயுங் கூட்டித் தொ
பறியலாம். எப்படியென்முல்,

காதித அதிகாரம் அடு
(க) காதிதஞ் சமானராசியாய்வரில், அவற்றின் வர்ணங்களைக் கூட்டிப் போது அட்சரத்தையும் அ ன் கசியையும் அத்தோகையின் பின் வரையலாம். (2) காதிதம் வேற்றிராசியாய்வரில் இராசிகளைச் ஜின்னம்வழுவாமல், ஒன்றின் பின்னென்று தீட்டு வதே அவற்றைக் கூட்டுவதாம்.
காதிதக்கூட்டல்வினு, a @a。(●ーF)*。十cm(●一m)で十ea学 (芝一*)*。5os。 侈一甲)”, இவற்றின் தொகை யாது!
விடை கஅஷ (ஆ-ஈ)க . 2. ஈ(ஷ+ஸ) +டுஆச -ச(ஷ+ல)ச +க 0ஆஉ+சு (+ஸ்) , இவற்றின் தொகை யாது !
விடை. டு(ஷ+ஸ்)ச +டு ஆச --கoஆஉ .
所 **十a為で一e?”。●で*ー。ーen)”十勢”**。 இவற்றின் தோகை யாது?
டுஆஉ ஈசிசு +hஆஉ ஈசிசு +ஆஉஈசி +உஆ? ஈசி , இ வற்றின் தோகை யாது!
@ m勢で、十F* 十@勢* 十e所*十勢で +டுஈசிஉ + சுஆக +உஈசிஉ , இவற்றின் தொகை யாது ! )
சு. (ஷஸ-சிம) சு+சு (ஷஸ-சிம) சு-(ஷஸ -சிம்) சு+ (ஷஸ்-சிம)சு இவற்றின் தொகை யாது? காதிதக்களைதல்.
விதியிற் கூறியவகையே சோதகசின்னங்க2ளம்ாற்றி ய பின் காதிதக்கூட்டல் விதிப்படி கூட்டிக்கொள்.
ாச வ. பிர. காதிதங்களைக் களையும்படி கழித்தல்
க. (2ஆச ) இல் (-சு ஆச ) ஐக் கவளய (அஆச ) சேடமாம்.
காதிதக்களைதல்வினு. 2. (-கூஈன) இலே (சஈன ) ஐக்கவள. கூ (கனஉ ஈசு ) இலே, (சனஉ ஈசு ) ஐக் கவள. ச. (ஆக ஈன) இல் (ஆக ஈன) ஐக் கவள. டு, டு(ஆ-ன)சு , இல் உ (ஆ-ன)சு ஐக் கவள. சு. சுஆ (ஆ+ஈ)ச இல் ஆ (ஆ+ஈ) ஐக் கவள. எ. (கன்ஆ* ஷ* +டுஷஸஉ) இல் (க2ஆஉ ஷக
-சஷஸ்உ ) ஐக் கவள.
S.

Page 49
외 வீசகணிதம்
அ. நஆக (ஈஉ-ஆ) இல் ஆக (ஈஉ-ஆ)க ஐக் கவள తా. (ga-+F5 + ఐ* 60 లొ ) 9వు (స్త్రతో FF 5-62-6m) ஐக்கவள.
கo. டு(ஷக +ஸ்ச ) ஈ(ஆஉ ஈக )கி இல், -க(ஆஉ ஈஈ ) --ச (ஷக +ஸச ) க ஐக் கவள.
李a ea。(●ーF)* 十m(勢ーF)* @é a学(●ー所)*十 (ஆ-ஈ) ஐக் கவள.
a. ،, 5 , -1 ée,茎(s洽十q)十蒿(@十丽) @°,言(学十
盖 (ஆ+ஈ)உ , ஐக் கவள.
காதிதப் பெருக்கல். ாசக. பிர, காதிதங்களை மற்றெந்த இராசிை ம் போலவே பெருக்கறிகுறி யிட்டாவது, இடா வது ஒன்றின்பின் ஒன்ருக வரைவதுதான் கா ப்பேருக்கலாம். உ-ம்.
(ஆக ஐ, ஈஉ இனுற் பெருக்கினல் (ஆக ஈஉ) குணிதம (ஷக ) ஐ (ஆன ) இனுற்பெருக்க (ஷக ஆன) குணிதமாம். பேருக்கவேண்டிய காதிதங்களின் மூலாட்ச களாவது, இலக்கங்களாவது சமமாய்வரில் கு மறியும்படி சூசிகளின் தொகையை அந்த மூல த்துக்குச் சூசியாகவரையலாம். உ-ம்.
(ஆ) ஐ (ஆசு ) இனுற் பேருக்க (ஆக) குணிதமாம். இப்படியே (டின)X(டிம )- (டி ) குணிதமாம். கையால் காதிதங்கவளப் பெருக்கும்படி,
பொதுவிதி. க. ஒரே மூலருபத்தையுடைய காதிதங்க% பெருக்கும்படி அவற்றின் சூசிகளைக் கூட்டு.
உ. காதிதங்களுக்கு வர்ணமுண்டானுல் அவ் ணங்களை ஒன்முகப் பெருக்கிக் குணிதத்தை அ ரத்தின் முன் வரை.
ஈ. வேவ்வேருண மூலருபங்களையுடைய கா ங்களைப் பேருக்கவேண்டில், அந்தக் காதிதங்க?

காதித அதிகாரம். - DET
ஒபருக்கறிகுறியிட்டாவது, இடாமலாவது ஒன்றின் இன்னென்று வரை. உ-ம்.
| a 2*十尋*ニ尋 = 毁°·
5 -+- e +- چ | 2 a X6 - X ఐ}" = Q = 6} * *
ஈ. சஆன X2ஆன - அஆஉன.
go. IFr622 * X9 625 - சுஷஎ .
டு. ஷ +ஷஉ ஸ+ஷஸஉ +ஸ் என்றதை (ஷ-ஸ்) ஆ பெருக்கினுற் குணிதம யாது?
-2. - 一G சு. ஆ X ஆ '= இது விலோமகாதிதகுனனத் நிற்கு உதாரணம். இந்தக் குண்னமும் முந்தின விதியிலடங்கும்.
-at- -O ータ中 °__} ஸ் , ஸ , இவற்றின் குணிதம் யாது! அ, ஆ , ஆ , ஆ , இவற்றின் குணிதம் யாது?
ー空- 历 -டு க, ஆ , ஆ ,-ஆ , இவற்றின் குணிதம் யாது!
=F LO Cat é9·勃 , 号。一妾 இவற்றின் குணிதம் யாது? &a. ଗfD *。 බ`, -gro, බ ” இவற்றின் குணிதம் யாது?
க9 (ஆ+ஈ)2 , (ஆ+ஈ) உ இவற்றின் குணிதம் யாது? கா. (ஆ-ஸ்) , (ஆ+ஸ்) இவற்றின் குணிதம் யாது! கச. (ஆஉ-ஸஉ ), (ஆஉ+ஸஉ) இவற்றின் குணிதம் யாது? கடு (ஆச -ஸச ), (ஆச +ஸ் ) இவற்றின் குணிதம்யாது! கசு (ஆ+ஆச+ஆம்) (ஆஉ-க) இவற்றின் குணிதம் பாது :
୫ ଗt. நஆ(ஷஉ -6ր)* ) 으 (6우 --ஸ்க ) a இவற்றின் தணிதம் யாது !
또, 『|** 甚(●*十*)*。 (ஆஉ +ஈ5 )உ இவற்றின் கு
! gחש கக. (ஆக -ஈஉ), (ஆக +ஈஉ) இவற்றின் குணிதம் யாது! உ9 (ஷக +ஷஉஸ+ஷஸஉ+ஸ4 ),(ஷ+ஸ்)இவற்றின் தணிதம் யாது ?
(ஆச-உஆக ஈ+சஆஉஈஉ-அஆஈக +கசு ஈச ), (ஆ 2ஈ) இவற்றின் குணிதம் யாது? 22. (ஆஉ+ஈ), (ஆஉ-அ) இவற்றின் குணிதம் யாது?

Page 50
-2위와 வீசகணிதம்
காதிதப்பிரித்தல்.
ாடுய. பிர, காதிதங்கவள மற்றெந்த இராசிகவளயும் புே வே பிரிக்கலாம். எப்படியென்றல்,
(க) பாச்சியமும் பாககமும் ஒரே மூலருபங்க க்கொண்ட காதிதங்களானுற் பாகககுசியைப் பு சியசூசியிற் களைந்தும் ;
(உ) பாச்சிய பாககங்களில் வர்ணமுண்டாணு பாககவர்ணத்தாற் பாச்சியவர்ணத்தைப் பிரித்து
(ஈ) பாககபாச்சியங்கள் வகுராசியானுல், வகு சிகளைப் பிரிக்கும்படி சோன்ன விதிப்பிரகாரம் த்துங் காதிதங்களுக்குப் பிரித்தற்கிர்த்தியத்தை ற்று. (6T2 - LSU.)
உதாரணம்.
2. リーー2_ -- 5. 6f) -- 6f) c 6) — 6n) .
el LO 茎。-』ー』 LO c. 6) -- 6MD - EID - - 6Ո) .
." " (FF-+پی) بی
*(孪士*)于@士置=*二*十*
E E. پته - 历·ée(粤十F)”一历(@十吓)* 千高 (@十F,
gg --<9}} *三垒厂 இது බහිශබnے ہதிதங்கவளப் பிரித்தற்கு உதாரணம். இதுவும் முந்தினவி அடங்கிய வாறு காண்க.
57. (கி") ஐ (கி") ஆலரித்தாற் பாசிதம் யாது ?
G7. (சுஆ") ஐ (உஆ ) ஆலரித்தாற் பாசிதம் யாது ? அ. (ஈஆக ) ஐ (ஆ) ஆலரித்தாற் பாசிதம் யாது ? க. (ஈ5) ஐ (ஈடு) ஆலரித்தாற் பாசிதிம் யாது! கo. (ஆச ) ஐ (ஆஎ ) ஆலரித்தாற் பாசிதம் யாது? கக. (ஆக +ஸ் )ம ஐ (ஆக --ஸ்க் )எ ஆலரித்தாற் தம் யாது ?
கe. (ஈ--ஷ)ன ஐ (ஈ+ஷ) ஆலரித்தாற் பாசிதம் யா கா, (ஆக +ஷ" ) ஐ (ஆ+ஷ) ஆலரித்தாற் பாசிதம் கச, (ஆ+சஷச ) ஐ (ஆஉ-உஆஷ+ஷ)-ஆலரி சதம யாது :
கடு. (ஷசு -க) ஐ (ஷ-க) ஆலரித்தாற் பாசிதம் ய
 
 
 

மெளல அதிகாரம். புெக்
aá (勢”十字塾**十e●**十勢*)g(る*十●"
丽十多吨)* ஆலரி. " (ஈஅ -கசுசிஅ) ஐ (ஈஉ-உசிஉ ) ஆலரி.
து. (ஆக -ஆச ஷ-ஆஉ ஷ4 --உஷச ) ஐ (ஆச -ஷஈ )
QT· 'ஆசு. (ஆ" F十リーF*十字勢*十千*)g(勢十
*) 2,61)T. .P هي (eroـ وبه g (eع ( = (ويس مومية) هي "
ea (a学*ーm勢e学*十m勢"-e。一勢で)宅(a。一勢)勢eof
으의. (26m)" ーócmes)e- 十eaem)ー受a) 홍 (ஸ்-அ) ஆலரி.
en (ap*ーa)g(e学十a) ●sof.
( i + ) ( +) ஆலT.
「e@ (勢”十字勢ーF十mFア)g(●十eF) ●6of.
ea (e?”ー●* ap*十e勢* a学ー勃*)g(aA*ー勢a。
+ஆ2 ) ஆலரி.
ea (en)*ー●ー)g(en)ー●) ●eof. உஅ. (ஸ5 -ஆக ) ஐ (ஸ்-ஆ) ஆலரி. உசு. (ஸ்ச -ஆச) ஐ (ஸ்-ஆ) ஆலரி. கூ0. (ஸ்கி-ஆடு) ஐ (ஸ்-ஆ) ஆலரி.
க. மேளல அதிகாரம். Radical Quantities) ாடுக. பிர, காதிதம் பிறத்தற்கு எந்த இராசி தன்வனத் தன் னுற் பெருக்கப்பெற்றதோ அந்த இராசியே மூலமாம். (பிர. கூe.) 2.ーLD.
(ஈக ) என்ற காதிதம் பிறத்தற்கு (ஈ) தன் வனத் தன்னுற் பெருக்கப்பெற்றதால், (ஈ) ஐ (ஈக ) க்கு மூலமென்பர். (ஈ ) றக்கும்படி ஈXஈXஈ, என்று மூன்றுதரம் (ஈ) குணுங்கமா ம் நிற்கின்றபடியால்,
ஒரு இராசி பிறக்கும்படி பலமுறை எந்த இராசி குணுங்கமா ய்நின்றதோ அந்த இராசி மூலமெனினுமாம்.
காதிதமான இராசி பிறத்தற்கு மூலத்தை எத்தவனதரங் குணு ங்கமாகக்கொண்டதென்பதை மூலநாமம் விளக்கும். எப்ப டியென்றல்,
(உ) (கசு) இன் நான்காம் மூலம் என்னுமிடத்து, உXஉX x. என்று நான்குதரம் மூலங் குணுங்கமானது வெளிப்ப டையாம். அப்படியே (ஆக), (ஆசி) இன் வர்க்கமூலமே ன்புழி, ஆக Xஆக என்று மூலம் இரண்டுதாங் குணுங்கமா னதென்றறியலாம்.

Page 51
கூல் வீசகணிதம்
ாடுe, பிர, வீசகணிதர்கள் மூலத்தை இரண்டுவிதமா ளக்குவார்கள். இவ்விரண்டு விதங்களுள் மூலமறிகுறி விளக்கும் விதம் (க.உம்) பிரகரணத்திற் காட்டியபடி ; உ
(ஆ) இன் கனமூலத்தை விளக்கும்படி Vஆ என்று வ வர். மூலமறிகுறியின் மேற்கிடக்கின்ற (க) என்ற எண்வன தான் மூலகுசியென்பது. அது ஆ பிறத்தற்கு மூலத்தை தவன தரங் குணங்கமாய்க்கொள்ள வேண்டுமென்று காட் ன்றது.
மூலத்தை விளக்கும் மற்றவிதம் எப்படியென்றல், நிர் ண்டத்தைப் போகமாகவும் சூசியை ஆரகமாகவும் பின் த்தில் நிறுத்துவது. உ-ம். ஆ இன் கனமூலமேன்
விளக்க (ஆ) - என்று வரையலாம். (ஆ) இன் (ன) மூ
= Mg = (-g) a
ாடுக. பிர, காதிதத்தில் இருண நிர்க்கணடத்தை வ மாறுபோல மூலத்திலும் இருண குசியை வழங்குவது உ-ம்.
3 在 as
ஆ. இது ஆஉ என்பதற்குச்சரி. ஆ = ஆ . ஆன
ாடுச. பிர. இந்த உதாரணங்களில் சூசியைப் பின்ன க வரைந்தபோது போகங்கள் (க) ஆக நின்றன. இனி இற் பேருத்த போகங்கள் வருமாறு;
(ஈ) - = k/ஈஉ; டி ச -Vடி பிறவுமன்ன.
9
இவ்விடத்து * என்ற பின்னங்களின் போகக் நிர்க்கண்டமும், ஆரகஞ் சூசியுமாம். போகம் (க) ஆனல் க்கண்டமும் (க) ஆம்.
mடுடு. பிர. இந்தப் பின்னங்களினிடத்தே இவற்றுக்குச் மான வேறு பின்னங்கவள வரைவது வழுவாகாது. உ-ம்
க. ஆ =ஆ2 - ஆ ? - ஆன.
صوری
受.署.°干。學* =<邊*
இப்பின்னங்கவளத் தசமபின்னங்களாய் வரையினும் த வழவுண்டாகாது. உ-ம்.
 
 
 

மெளல அதிகாரம். 35
O.G., མ་ O.a.6
とコ ● ; 尋”コ 塾
நபின்னமாக வரையும்போது அந்தப் பின்னம் பெரும்பா வரையறைகடந்து அகந்தராசியாகும். உ-ம்.
A. 0,****
二级 முதலியன
மூலகிரகணம். டுசு. பிர, காதகரணமும் மூலகிரகணமும் ஒன்றற்கொன்
ரோதமான கிர்த்தியங்கள். தாதிதம் பிறத்தற்காய் எந்த இராசி தன்னைத் தன் மலே பேருக்கப் பெற்றதோ அந்த ராசியாகிய மூல தை அறியுங் கிர்த்தியம் மூலகிரகணமாம். அல்லது சமகுணுங்கங்களாய் இராசிகவளப் பிரிக்குங் கிர்த் :ம் மூலகிரகணமெனினுமாம். மூலகிரகணம், கழித்தல், Pத்தல் என்ற இம்மூன்றிற்கும் வித்தியாசம் யாதென்முல் : நித்தல் ஒரு இராசியை இரண்டு கூறுகளாகச் செய்தல், ரித்தல் ஒரு இராசியை இரண்டு குணங்கங்களாக்கல், மூல. ரத்னம் ஒரு இராசியைச் சமகுணுங்கங்களாக்கல், ஆகையா
இம்மூன்றும் வேறுவேருண கிர்த்தியங்களாம்.
ஒற்றையிரரசிக்கு மூலகிரகண விதி. க. எந்த மூலத்தைக் கொள்ளல்வேண்டுமோ அக் ;மூலத்தின் சூசியினுல் மூலமேடுபடவேண்டிய இ ராசியின் நிர்க்கண்டத்தை அரி, அல்லது கோள்ள வேண்டிய மூலத்தை மூலமறிகுறியினுல் விளங்கத் 器LG·
2. மூலங் கோள்ளல்வேண்டிய இராசிக்கு வர் ணமுண்டானுல் அவ்வர்ணத்திற்கு மூலமறிந்து இத ன முன்பறிந்த மூலத்தின் முன்னுக வரை. உ-ம். க. (டச) என்ற இராசிக்கு வர்க்கமூலங் கொள்ளும்படி, நிர்
கண்டமாகிய (ச) ஐச் சூசியாகிய (2) இனுலரித்தால் le.
(டஉ ) என்றும் ; (டசு ) என்ற இராசிக்குக்கனம் மூலங்கொள்
ம்படி, (சு), ஐ, கூ, க்கீய ட = = = _و ع என்றும் வரும். இங்
த மூலங்கவள Vடச , A/டசு என்றும் வரையலாம்.
2. (உஏஆசு) என்ற இராசியின் கனமூலத்தைக் கொள்ளும்

Page 52
82. வீசகணிதம்
季
படி முன்போல நிர்க்கண்டத்தை சூசிக்கீந்தால் ஆ -
என்றும், வர்ணத்திற்குக் கனமூலங்கொண்டால் Vஉஎ S என்றும் வர்ணமூலத்தை அட்சரமூலத்தின் முன் வை
ሮ÷ கூஆ" என்றும் வரும். இதவன A/உஎஆன் என்றும் h M என்றும் வரையினுமாம்.
வினு. ஈ. (ஆஈ) இன் ஐந்தாம் மூலம் யாது? ச. (ஆஉ ) இன், ன, மூலம் யாது ! டு. (e.டி-ஷ) இன், எம், மூலம் யாது? சு. (ஆ-ஈ)உ இன், டும், மூலம் யாது?
as
(ஆ 2 இன் கனமூலம் யாது? (ஆ-க) இன் சம் மூலம் யாது?
சு. (ஆ , ) இன் கனமுலம் யாது? கo, (ஷம ) இன் ன, மூலம் யாது? கக. (ஆன் ) இன் சு-ம, மூலம் யாது ? க2. ( ஷஅ ) இன் ச–ம , முலம் யாது ? கா. (ஷம ) இன் வர்க்கமூலம் யாது? 55 (Ꭶ } இன் (டும்) மூலம் யாது ? கடு. (ஆ ) இன் அம், மூலம் யாது? ாடுஎ. பிர, பல குணங்கங்களோடு கூடிநிற்கின்ற ஒரு சியின் மூலத்தைக் கிரகிக்கும்படி, அந்தந்தக் குனுங்கத்தி மூலத்தைத் தனித்தனி கிரகித்தபின்பு மூலங்கவள 6ని మౌg பேருக்கலாம். அல்லது குணங்கங்கவள ஒன்ருய்ப் °′′′
யபின்பு குணிதத்திற்கு மூலங்கொள்ளலாம். உ-ம்.
-- - G டு G Mo}FF = V2, X A/ஈ. A/hஸ் - A/கூ X A/6m).
Vஆஈன = کوبرہ xہ/or Χ Vண = ஆக ਸ . 65
ாடுஅ. பிர. பின்னத்துக்கு மூலங்கோள்ளும்ப போகமூலத்தை ஆரக மூலத்துக்கீ. உ-ம்.
ዕ ̆
- - ge#e = "-- ᏱᎭ
== * = - – - * Var 吓工 J菲 ۸/ به همت
 

மேளல அதிகாரம். 5e-Ah
டுக. பிர. இனி மூலகிரகணத்திலே சின்னங்கவள நிச்ச táあiLg ;
எந்த இராசியின் சின்னமும் அந்த இராசியி ஒற்றித்த மூலத்தின் சின்னமுஞ் சமமாம், என் D尧 2. தனராசியின் இரட்டைமூலம் உபயார்த்தமு டயதென்றும், . இருணராசியின் இரட்டைமு லங் கணிதாதீத ாமென்றும் அறி. உ-ம். (十敦) இன் வர்க்கம் --- ஆ2 . (-ஆ) இன் வர்க்கம் --- ஆ2 . (+ஆ) இன் கனம் --- ஆக . (ஆ) இன் கனம் --ஆக என்றிப்படி (ஆ) தனராசி ானபோதும் இருணராசியானபோதும், கம், கூம், காதிதங்களி சின்னம் அந்தந்த இராசிகளின் சின்னமெப்படி அப்படிநி இறபடியால், மூலங்கொள்ளும்போதும் அது அந்தப்படியே நிற் ம். எந்தப்படியென்றல், (+ஆக } இன் கனமூலம் ---ஆ. உஆக ) இன் கனமூலம் (-ஆ). இதில் ஒற்றித்தமூலமென் து கம். கூம். டும். மூலமுதலிய வற்றை. உம் சம், சும். மூல தலியன இரட்டைமூலமாம்.
தனராசியின் இரட்டைமூலம் உபயார்த்தமுடையதேன்ற து எவ்வாறென்றல், (ஆ2 ) இன் வர்க்கமூலத்தை (+ஆ) ஆக வும் (-ஆ) ஆகவுங் கோள்ளலாம். (-ஆ)2 = + ஆ ஆ படியே (+ஆ)உ--+ ஆஉ. இப்படித் தனராசியின் இரட் டைமூலந் தனமுமாய் இருணமுமாய் இரண்டு அர்த்தத்தை வி உளவித்து அவ்விரண்டு அர்த்தத்துக்கும் போதுமையவாய்க்கிட த்தல்பற்றித் தனராசியின் இரட்டைமூலம் உபயார்த்தமுடைய தேன்றது.
இருணராசியின் இரட்டைமூலங் கணிதாதீதம் என்றதெப்ப டியென்றல், இருணராசிக்கு இரட்டை மூலத்தைக்கொள்ளும் போது அந்த மூலங் தனமாய் நின்றுவது இருணமாய்நின்றுவது காதகரணமடைந்து அந்த இருணராசியைப் பிறப்பிக்கமாட்டா து. உ-ம். (-ஆ2 ) இன் வர்க்கமூலம் (-ஆ) என்றல் -ஆ X-ஆ{-ஆ2 ) ஆகாது. அது (+ஆஉ) ஆம். இனி (- ஆஉ) இன் வர்க்கமூலம் --ஆ, என்றல், +ஆX--ஆ- (- ஆ2 ) ஆகாது. அது (+ஆஉ) ஆம். ஆகையால் (-ஆ? ) இன் வர்க்கமூலங் கணிதகிர்த்தியத்தாற் கிரகிக்கப்படமாட்டா ததாம், எனவே இருணராசியின் இரட்டைமூலங் கணிதாதீத மென்பது வேளிப்படை,
历

Page 53
வீசகணிதம்
ாசுல். பிர, துவிராசிவர்க்கத்துக்கு வர்க்க கொள்ளல்வேண்டுமேயானுல், பூரணவர்க்க ய்க் கிடக்கின்ற இராசிகளின் மூலமே துவிரா உறுப்புகளேன்றறிந்து அவற்றை வர்க்கமல்ல ற்ற இராசியின் சின்னத்திகுற் பிணை. உ-ம்
ஆஉ+உஆஈ+ஈஉ என்ற துவிராசிவர்க்கத்திற் பூ க்கங்களாவன. ஆஉ , ஈ உ இவற்றின் வர்க்கமூலங்கள ஆ, ஈ, வர்க் கமல்லாத மற்ற இராசி உஆஈ. இதின் சி: +. இந்தச் சின்னத்தால் ஆ, ஈ, என்ற மூலங்கவள இ ஆ+ஈ, வர்க்கமூலமாம். அப்படியே ஆசி-2ஆஈ--ஈ- றதற்கு, ஆ-ஈ, வர்க்கமூலமாம். இந்தப் பிர்காரமே ம் வினுக்களுக்கு விடையறிக.
க. ஷஉ-உஷ--க என்றதின் வர்க்கமூலம் யாது? உ. ஷஉ+உஷஸ்+ஸ்உ என்றதின் வர்க்கமூலம் ய
F. 历·颚°十急十 引 என்றதின் வர்க்கமூலம் யாது?
EP F - . . 于·乌-十 高é十亭 என்றதின் வர்க்கமூலம் யா
F-2- டு. ஆஉ+ஆஈ-- | بى என்றதின் வர்க்கமூலம் ಲಗ್ನಣ?
e苓下,吓* . . . LLLLLL S AzYS SLL SS LL S eee G S SYSSJS S S SL T T YYSLSLSLLLLLSLS S SLSLS ஆ+ + ஆ என்றதின் வர்க்கமூலம் யா ாசுக. பிர. எல்லா இராசிகளுக்கும் வர்க்கமுலங்கொ
போதுவிதி.
க. வர்க்கமூலங் கொள்ளல்வேண்டிய இராச் றுப்புகளின் பேரிய காதித உறுப்பு முதலிலும், 3 வுறுப்பிற் குறைந்த காதிதங்கள் காதிதப் பெருவ சிறுமைப்படி வரிசையாகவும் நிற்கும்படி வரி: சேய்து, முதலுறுப்பினது வர்க்கமூலமே அறிய ன்டிய வர்க்கமூலத்திற்கு முதலுறுப்பாகும்படி : டி அம்மூலத்தினது வர்க்கத்தை முதலுறுப்பிற் க துே ;
உ. முதலுறுப்புக்கயலர்ன இரண்டுறுப்புக்க
 
 
 
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம், கடு
த்தி முன் கண்ட மூலத்திரட்டியால் அரித்துப் நிற ஈவை மூலத்தோடும் பாககத்தோடுமினயத் நடிப் பின்பு அந்த ஈவினுற் பாககமுற்றையுக்தா இக் குணிதத்தைப் பாச்சியத்திற் றள்ளி ;
. இன்னும் இருக்கின்ற இரண்டு மூன்றுறுப்பு முன்போலவேயிறக்கி முந்தின கிர்த்தியப்படி ற். உ-ம். ஆ+2ஆஈ+ஈஉ+உஆஓ+உஈஒ+ஓ என்ற வகுரா 封5 வர்க்கழலங் கொள்ளும் வகை.
●*十e勢歴十*十e@?十e*十●*(&十戸+●
수 முதற்சோதகம், 濒十F) * e勢F十**ー・ ※ーニ) உஆஈ--ஈஉ. இரண்டாஞ் சோதகம். 枋十e甲十甲) * * eస్త్రపు-+-2FF6-+-62-- (கம். ×●ニ ) உஆஓ--உஈஒ+ஒ? . கஞ். சோத
米 来
á aーチ。十字勢°-十esoー字豊efo十an)* Gróp参ór af கமூலம் யாது ? 2. ஆசு -உஆடு +hஆச -உஆக +ஆஉ என்றதின் வர்க்க நலம் யாது?
所 勢* 十字勃ーF十字Fーナー字リー一eー十字 Göp#e5 ர்க்கமூலம் யாது ?
ாசுஉ பிர, வகுராசியின் எந்த மூலத்தையும் அறிய,
போதுவிதி. க. மூலங்கோள்ளல்வேண்டிய வகுராசியட்சாங் Fளினேன்றைத் தெரிந்துகொண்டு அந்த அட்சரத்தி னது பெரிய காதித உறுப்பை முதலுறுப்பாகவும் ம bறை உறுப்புகள் அவ்வட்சரத்தின் காதிதப்பெரு ம சிறுமைப்படி வரிசையாக நிற்கவும் தீட்டியபி
உ. முதலுறுப்புக்கு மூலங்கொண்டு அதனை அறி வேண்டிய மூலத்தின் முதலுறுப்பாக வரைந்து, ஈ. இந்த மூலத்தின் காதிதத்தை வகுராசியிற் க ந்து நின்ற சேடத்தை அரிக்கும்படி, அறியவேண்

Page 54
リr வீசகணிதம்
டிய மூலகுசி எத்தனையோ அத்தனையிலோன் றைந்த காதிதமாகும்படி முன் தீட்டிய மூலத் காதித்து அக்காதிதத்தை மூலசூசியாற் பே பாககமாகக்கொண்டீந்து பெற்ற ஈவை முந்தி லத்தோடிணைய வரைந்து,
ச. முலமாக வரையப்பட்ட எல்லாராசிக3 காதித்துக் காதிதத்தை வகுராசியிற் களைந்து தை முந்தின பாககத்துக்கு முன்போலவேயிந்து தப் பிரகாரம்ே மூலகிரகணத்தை நடத்திக்கோ
உதாரணம். ஆக +நஆ-ெகூஆச -ககஆர் +சு ஆஉ +கeஆ-அ ற வகுராசிக்குக் கனமூலங் கொள்ளும்வகை.
●*十m宮?一m勢”ー&与勢*十リー十生e●ー●
[十●一e ஆ* முதற்சோதகம். கஆ ) கூஆ-ெஈஆச முதலியன முதற்சேடம்.
ஆசு +ஆடு+ா ஆச +ஆக இரண்டாஞ் சோ கூஆச )-சுஆச முதலியன இரண்டாஞ் சேடம்.
ஆசு --கூஆ-ெகஆச -ககஆக +சுஆஉ +க2ஆ-அ குஞ் சோதகம்.
க. ஆச +அஆ* +உசஆஉ +கூஉஆ+கசு என்றதின், மூலம் யாது ?
e 勢"十@尋* F十ao勢* FFで十ao●"-F*十@。 ஈகி , எனறதின், டும் மூலம் யாது ?
h. ஆ5 -சுஆஉ ஈ+க உஆஈ-அஈக என்றதின் கனகு யாது?
ச. சஆ2-32ஆஈ--கூஈஉ +கசு ஆண-உசஈன+ னஉ என்றதின் வர்க்கமூலம் யாது ?
ாசுக. பிர. எந்த மூலத்தினது அர்த்தம் எண்ணளவா யாய் விளக்கப்படக்கூடாததோ அந்த மூலங் கரணமாம்.
/e என்பது கரணம். எப்படியென்றல் (உ) இன் வர் லம் (a) என்றல்; ஒரோன்று ஒன்றும். (உ) என்றல் ஈரிர நான்காம். ஆகையால் (e) இன் வர்க்கமூலம் (க) க்கும் க்கு மிடையே சரிவர எண்ணளவாற் குறிக்கப்படமாட் தாய்க் கிடக்கின்றது. ஆகையால் இது கரணம். கான லாதஇராசிகள் எவை அவை விகரணமாம். ழலசின்ன
 
 
 
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம். 6t
நிற்கின்ற எந்த இராசிக்கும் மேளலமென்பது பொதுப்பெ ܘܐ 警 மெளலமல்லாத இராசிகள் அமெளலமாம்.
மேளலதிரிபு.
ாசுஉ. பிர. அமேளலத்தை மேளலமாக மாற்று ஆபடி அறியவேண்டிய மேளலத்தின் சூசி எத்தனை போ அத்தனையாங்காதிதம் பிறக்கும்படி அமேளல @೮ಗ#@U# காதித்துக் காதிதத்தை மூல சின்னத் தோடிணைக்கலாம்.
(ஆ) என்ற அமெளலத்தை (க) என்ற சூசியைப் பொருங் மெளலமாக்கும்படி, (ஆ) வுக்கு (E) காதிதம் பிறக்கும்ப காதித்தால், (ஆ" ) என்று வரும். இதற்கு மூலசின்னத்
த இவனத்து வரைய Vஆ என்று அர்த்த விகாரமுருமல் ஒளலருபத்தை அடையும். அர்த்தவிகாரமுருமல் என்றதே
В படியென்றல் Vஆச என்றது (ஆ) என்ற இராசிக்குச் சம
丐 __一 ཆ நாகையால் : Vஆச - ஆ - ஆ. (ச) க்குக் கனமூலருபம் யாது? உ. (நஆ) க்கு கான்காம் மூலருபம் யாது?
ら。
sin. ( ஆஈ) க்கு வர்க்கமூல ரூபம் யாது? ஐ. கX(ஆ-ஷி) க்குக் கனமூலருபம் யாது? டு. (ஆ2 ) க்கு கனமூலருபம் யாது ? சு (ஆக ஈச ) க்கு வர்க்கமூலருபம் யாது? ஏ. (ஆம ) க்கு (E) மூலருபம் யாது! ாசுரு. பிர. வெவ்வேறன சூசிகளைத் தரித்துநிற் ன்ற இராசிகளுக்குச் சமசூசிபுணர்த்தும்படி, க. நிர்க்கண்டமுஞ் சூசியுங் கூடிய பின்னங்க ப் போது ஆரகபின்னங்களாக்கி, உ. பொது ஆரகபின்னத்தின் போகம் எத்தனை யா அத்தனையாங்காதிதம் பிறக்கும்படி அந்தராசி யக் காதித்து, ஈ. போது ஆரகம் எத்தனை அத்தனையாம் மூலத் தக்கொள்ளு, உ-ம்.
9.
SLLS

Page 55
母–9日 வீசகணிதம்
عه ஆர் ஈ என்ற இராசிகளுக்குச் சமசூசி புணர்த்தும்ப
E.
என்ற ருபங்கவளப் பொது ஆரகபின்னங்களாக்க
.ኧ?ዚß) . Ll ܝ ܚ -■ )ULD (அஅ. பிரآ6T60 = 3ے جو இனி (ஆ) (ஈ) என்ற இராசிகவள முறையே மூன்றும் இர டாம் காதிதமாக்க, ஆக ; ஈஉ; என்று வரும். போது ஆர. (கe) ஆகையால் இந்தக் காதிதங்களுக்கு (க3) ம் மூலத்
க்கொள்ள ;
5
வை முறையே,
(ஆ5 ); (ஈஉ) விடையாம். இப்படிச் சமசூசி பிறப் குங்கிர்த்தியத்தினுல் அர்த்தவிகாரமுண்டாகாதென்றுணர்க
འོ་
臣
● ●"ー; FF
2. 6); ; 6f) ;
m ●十-Fe-;(a学一efo) இந்த இராசிகளுக்குச்
མ་ தி புணர்த்து.
ச. 2 ; fh ;
چى டு. ஆ ; ஈ ;
as م ع Git - 6 ; GS 3 J
ாசுச, பிர. எந்த இராசிக்கும் அர்த்தவிகாரஞ் ராமல் விரும்பிய சூசியைப் புணர்த்தும்படி;
அந்த இராசியின் சூசியை விரும்பிய சூசிக் கீ ஈவை இராசிக்குச் சூசியாக வரைந்து பெற்ற கு தோடு விரும்பிய சூசியைத் தீட்டு. உ-ம்.
 

மெளல அதிகாரம். 35
52 凸 (ஆ ) என்ற இராசிக்கு (e) என்ற சூசியைப் புணர்த்தும்
5 இராசியின் சூசியாகிய () என்றதை விரும்பிய சூசியா عالطا
母、。 F, 6 - 5 é (二) க்கீய, (), ஈவாம். எப்படியென்றல்; 酥下至
_E__5 千 エ x ==> (ாக பிர) இந்த ஈவை (ஆ) என்ற
இராசிக்குச் சூசியாக வரைய, ஆ என்றும் விரும்பிய சூசியாகிய
ふ 石
() ஐத்தீட்ட, (ஆ என்றும் விடையாம்.
55 க. ஆர் , ஷ என்ற இராசிகளுக்கு (:) என்ற சூசியைப் 山gf考勢・
2- 55 உ. ச , h , என்ற இராசிகளுக்கு (二) என்ற குசியைப் புணர்த்து.
岛 ஈ. ஷஉ , ஸ்ச என்ற இராசிகளுக்கு (g) என்ற குசியை ப்புணர்த்து.
. . : 3 ச. ஆ , F என்ற இராசிகளுக்கு (ஓ) என்ற சூசியைப் புணர்த்து.
ܐ டு. ஒ2 , ட என்ற இராசிகளுக்கு () என்ற குசியைப் புணர்த்து.
555 蕊。氹 F. சு. ஆ , ஈ என்ற இராசிகளுக்கு (:) என்ற சூசியை ப் புணர்த்து.

Page 56
st வீசகணிதம்
اع يص எ. ஆ , ஈ என்ற இராசிகளுக்கு () என்ற சூசி புணர்த்து.
ாசுடு, பிர, மேளலங்களின் சில குணுங்: ளை மூலசின்னத்தின் இடப்புறத்தே வருவித் ருக்கும்படி; மூலசின்னம் எத்தனையோ அத் யாங்காதிதத்தையுடைய குணுங்கம் பிறக்கும் மூலத்தைக் கூறுபடுத்தக்கூடுமானுல் அப்படிக் படுத்திக் காதிதமான குணுங்கத்தின் மூலத் இடப்புறத்தும் மற்றக்குனுங்கத்தை வலப்பு ம் நடுவே மூலசின்னத்தையும் வரை. உ-ம்.
A/அ , என்ற மெளலத்தை ச, உ, என்ற இரண்டு கு மாக்குமிடத்து, ச, என்ற குணுங்கம், உ, இன் வர்க்கமாய் கின்றபடியால் (ச) இன் வர்க்கமூலமாகிய (உ) ஐ இட தும், மற்றக் குணங்கமாகிய (e) ஐ வலப்புறத்தும், நடு லசின்னத்தையும் வரைய, உA/e , என்று சுருங்கிநிற்கும்
இப்படிச் சுருக்குகிர்த்தியம்பண்ணும்படி சொன்னவி தாரம் யாதென்ருல், இரண்டு குணுங்க குணிதத்தினது மூ ம் அந்த இரண்டு குணுங்க மூலத்தினது குணிதமும் ஒன் கோன்று சமமாம். எப்படியென்றல், A/அ = Vச Ve ; ஆனல் A/ச - 2, ஆகையால் (ச) என்பதற்கு லாக (e) ஐ வரையலாம், வரையவே அது உXA/உ , லது உA/உ என்றும் வரும்.
மெளலத்தைக் குணுங்கங்களாக்குமிடத்து அந்தக் கு ங்களிலோன்று மெளலத்திலடங்கிய எல்லாக்காதிதத் Gபரிதாக வரும்படி கூறுசெய்தல் வேண்டும். சரியான தம் மெளலத்திலில்லாவிட்டால் அதற்குச் சுருக்குகிர்த்தி LఉుQ6ు.
க. Vஆ2 ஷ என்றதைச் சுருக்கினல் Vஆ2 X Me ஆX Vஷ - ஆA/ஷ. விடையாம்.
ہتی تھ/۸ .e
இந்த மெளலங்களச் சுருக்கு க. A/சுசஈக ஒ
SLSSSSS
 
 
 
 
 
 
 
 

மேளல அதிகாரம். (YT 3
A/9
泽
夏
リ
(垒
s
ஆ
2.
序
)
(டு
s
Fa
it. A/a2-942- as
5
* A/認°、十*** リ。。、、...。
ாசுக் பிர். மெளலத்தின் வர்ணத்தை மூல சின் இத்தின் வலப்புறத்தே வருவிக்கும்படி;
Gமளலம் எத்தனையாம் மூலத்தையுடையதோ அ தனையாங்காதிதமாகும்படி வர்ணத்தைக் காதித்து லசின்னத்தின் வலப்புறத்தே குணுங்கமாகவ @項。 2-h.
* இந்த மெளலங்கவளச் சுருக்கு
ஆv/g ; என்ற இராசியின் வர்ணம் (ஆ). இதவன மூலசி ன்னத்தின் வலப்புறத்தே கொண்டுவரும்படி மெளலத்தின் மூலம் கனமூலமாகையால் (ஆ) வுக்கு ழன்றங்காதிதம் பிறப் க்க அது ஆ3 ஆம். இதவனக் குணுங்கமாக மூலசின்னத்
தின் வலப்புறத்தே வரைய, Vஆக X ஈ, விடையாம்.
莎
ஆ (ஷ+ஈ) ; என்ற இராசியின் வர்ணத்தை மூலசின்
னத்தின் வலப்புறத்தே வருவித்தால், (ஆ வு+ஆ4 ஈ) வி டையாம்.
இப்படியே பின் வருகின்ற இராசிகளின் வர்ணங்களுக்குஞ் 字ija;,
Fr. é Fra 5
空,9±实FF 2. RF V —-
(உஆஈ ) 粤气 十斥°

Page 57
T2- வீசகணிதம்
sp. eve டு. కాగా
மெளல திரிபுவினு. க wே/சு என்ற இராசி முழுவதையும் மெளலஞபமாக்
-. உ Vடுஆ என்ற இராசி முழுவதையும் மேளவி .555חtD
~ s S. - h , ரு ; an ; 3666չ) () என்ற குசியைப் Թաps üs,
ச. Vசு அ. இதைச் சுருக்கு டு w/உசா. இதைச் சுருக்கு
Er. vēs. இதைச் சுருக்கு .ெ எA/ அ0 இதைச் சுருக்கு.
அ. கூ/அக இதைச் 555 சி, Vஷஉ+ஆஷ2. இதைச் சுருக்கு க9 A/ககூஅஆ2 ஷ. இதைச் சுருக்கு. க்க. A/ஷ5 -ஆஉஷஉ. இதைச் சுருக்கு.
மெளலக்கூட்டல்,
mசுஎ. பிர, காதிதக்கூட்டல், காதிதக்கவளதல், காதிதப் ருக்கல், காதிதப்பிரித்தல், காதகரணம், காதிதமுலகிரகண என்ற இவற்றின் விதிகளும், மேளலக்கூட்டல், மெள கவளதல், மெளலப்பெருக்கல், மெளலப்பிரித்தல், மெள காதகரணம், மெளலமூலகிரண்ம், என்பனவற்றின் விதி ம், ஒருநெறிபற்றியொழுகுமாகையால், காதித விதிகவள நன் ணர்ந்தோர் மெளலவிதிகவளயெளிதில் உணரவல்லரான அந்த மேளல விதிகளுள் மெளலக்கூட்டல் விதிவருமாறு.
மெளலக்கூட்டல் விதி. க. மேளலங்கள் சமானராசிகளானுல் வர்ண ளைக் கூட்டித் தொகையைச் சமான மெளலங்க
னிடப்புறத்தே திட்டியும்;
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம். ffíffዥን
2. அவை வேற்றிராசிகளானுல், சின்னங்கள்மா நல், அந்தந்த இராசியை ஒன்றின்பின்னேன்ருக ஒரந்தங் தொகையறி.
ஒசின்னத்தைப்பெற்ற இராசிகளும் மூலசின்னங்களும் றேற்கொன்று சரியாய் வரப்பெற்ற மெளலங்கள் சமான ).கசு, பிர( למשחfää6T
உதாரணம்.
2/ஈ கூv/ஈ என்ற இராசிகளில் வர்க்கமூலசின்னம் ற்று அதின் வலப்புறத்தே நிற்கின்ற, (ஈ) (ஈ) என்ற இராசி ஒரேயிராசியாகையாலும் இராசிகளிரண்டிற்குஞ் சின்னம் *ந்தமூல சின்னமாகையாலும், இந்த இராசிகள் சமானமாம். தையால், அவற்றின் வர்ணங்கவளக் கூட்டித் தொகையறிய ாம். எப்படியேன்ருல்,
/ஈ + க/ஈ =டு/ஈ இந்தப் பிரகாரமே x/ஆஸ், Vo, என்ற இராசிகளக் கூட்டினுல், x/ஆஸ +
് - -
ஆஸ் = கூVஆஸ், தொகையாம். :அ. பிர, மெளலங்கள் வேற்றிராசியாய்வரினுஞ் சிறுபா மை மெளலதிரிபுக்குச் சொன்னவிதிகளினுல் அவற்றைச் ானராசிகளாக்கிச் சமானராசிகவளக் கூட்டற்குச் சொல்லி விதியில் அமைக்கலாம். உ-ம்.
Vsi: /டுo, என்ற இராசிகளின் மெளலசுறுகள் வேற்றி சிகளாயினும் (mசுடும்) பிரகரனப்படி, A/அ - உV2, கவும், Vடுo-டுA/2, ஆகவுக் திரியுமாகையால் அந் கறுகள் சமானகூறுகளாயினவென்றும், அவற்றின் தோ த எVe என்றுமறியலாம். இப்படியே,
/கசுஈ, Vசஈ, என்ற இராசிகள் சA/ஈ, உ/ஈ, என்று ரியுமாகையால், சுw/ஈ, அவற்றின் தொகையாம். இனி வேற்றிராசிகளான மேள லங்கவளக் கட்டும் வகை.
உVஈ; சA/ஆ, இந்த இராசிகவளக் கூட்டினுல் உ/ஈ.டி
PVஆ, தொகையாம். அப்படியே நA/ஆ. eA/وي என்ற 剑
சிகளெயுங் கூட்டினல் கூ/ஆ+ உVஆ, தொகையாம்.

Page 58
MTF வீசகணிதம்
மெளலக்கூட்டல் வின.
க. Veஎ; Vசஅ இவற்றின் தொகை யாது!
Vஎe; Vகஉஅ இவற்றின் தொகை யாது? Mகஅ0; A/சoடு இவற்றின் தொகை யாது?
9.
Fa
; A/காடு இவற்றின் தொகை யாது?
O
இவற்றின் தொகை யாது بوی A/gg=; (GAZa e@ சு. v/உசா, கov/rசுக இவற்றின் தொகை யாது */அகஆஈ; A/ச கூஆஈ இவற்றின் தொகை யாது
Vக ஆ9 டி : Vகசு ஆடி இவற்றின் தொகை யாது ఇveఆశా జీ: A/கசுனசு தி இவற்றின் தே
3. O. iF»aMgʻ* RF ; م كيميلييهF இவற்றின் தொகை யாது மெளலக்களைதல், ாசுக பிர, மெ6ாலங்களைக் களையுமிடத்துச் ே தகசின்னங்களை மாற்றுவதிலன்றி மேளலக்கூட ல்விதியும் மெளலக்களைதல்விதியும் வேறேவ்வை யினும் வேற்றுமைப்படாவாம். உ-ம்.
AVggaro, 67 657 Uĝi ĉio, கூ/ஆஸ், என்பதைக் கவளந்த -உVஆஸ் சேடமாம்.
*/ஆ, என்பதில், A/ஈ, என்பதைக் கவளய, A/ஆ V
○与L-ipmó。
மெளலக்களைதல் வினு.
as . エ என்பதில் கVஆ--ஷ, என்பதைக் க
s உ. கன , என்பதில் - டுண் என்பதைக் கவள
as
ero( என்பதில் for(eş-+ad) என்பதைسيوم)وهي
36T
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம். ៣ទ្រ
s -ஆ என்பதில் -2ஆ என்பதைக் கவள. Vடுo என்பதில் Vஅ என்பதைக் கவள.
三 5 ۔ Vஈச ஸ், என்பதில் Vஈஸ்ச என்பதைக் கவள.
年 一 டு _ Vஷ என்பதில் V ஷ என்பதைக் கவள. து. e Vடுo என்பதில் Vகஅ என்பதைக் கவள.
动
s * _ Vக20 என்பதில் Vச0 என்பதைக் கவள. டு V உ0 என்பதில் கVசடு என்பதைக் கவள. ஆ2 V அ0ஆச ஷ என்பதில் Vஉoஆ2 ஷ என்பதைக்க
மேளலப்பேருக்கல். அ) பிர, பெருக்கறிகுறியிட்டாவது இடாமலாவது இராசி ஒன்றின்பின்னென்றுக வரைந்து அமெளலங்கவளப்பெ க்கும் வறுபோலவே மெளலங்கவளயும் பெருக்கலாம். (டுரு. பிர.) - -
(Vஆ)ஐயும் (Vஈ) ஐயும் பேருக்கியபேறு VஆXVஈ, என்
துவதி VஆVஈ என்றுவது ஆ ஈ என்ருவது நிற்கும். அ
படியே ட ஸ என்ற மெளலங்களின் குணிதம்
5 ES sے . 12 . ° _ ஸ் என்றுவது, ட x ஸ் என்றுவது Vட X Vஸ்
s என்றுவது Vட Vஸ் என்றுவது நிற்கும்.
இப்படிப் பெருக்கற்கிர்த்தியத்தை அடையவேண்டிய குணு நிகங்களுக்குச் சமசூசிபுணர்த்தவேண்டில் (mசுகம்) பிரகா ணப்படி சமசூசியைப் பிறப்பித்துக்கொள்க, ஆகையால்,
ரஏக. பிர, சமசூசியைப்பெற்ற மெளலங்கவள அமெளலங் களப் பேருக்கும்வகையாய்ப் பெருக்கிப் பொதுவான மூலசி ன்னத்தோடிவனத்து a@s.* eー応。
கணிதத்தமாய் வருகின்ற இருண்மெளலம் இவ்விதியிலடங்காதென்றறிக. நாடுக. பி.

Page 59
TT வீசகணிதம்
Va, Vag என்ற இராசிகவளப் பெருக்கும்படி (mசு பிரகாணப்படி அவற்றிற்குச் சமசூசிபிறப்பித்தால், அல
s as
(ஷ* ) ; (ஸஉ ) என்று திரியும். அவற்றைப் பெருக்கி
as s
* এািড়(ஷா ) (ஸஉ) = Vஷக் ஸஉ என்று குணிதம்பிற ம் மேலும் Ve, Vகஅ, என்ற மெளலங்கவளப்பேருக்க என்ற அமெளலம் பிறக்கும். இப்படியே சிறுபான்மை ெ லகுனனத்தால் அமெளலம் பிறப்பதுமுண்டென்று காண்க
ாஎ2. பிர, பெருக்கவேண்டிய மெளலாட்சரங்களும் இ க்கங்களும் ஒன்றேயானுல் குனிதமறியும்படி ವಿಸಿ: 65up6 6-6. -
as as as 受飞
2- s 2ஆ , ஆ என்ற இராசிகளின் குணிதம் ஆ X 출 s as s el 3 五十素 。十ー -
F -9 -ஆ , பின்னரூபமான சூசிகவளக் ட்டும்போது அவற்றைப் போது ஆரக பின்னங்களாக்கிய யும், பொது ஆரகபின்னங்களாக்கிய பொது அர்த்த விகா ண்டாகாததையுங் கண்டுகொள்க. சூசிகவளக் கூட்டிப் ெ ற தொகையினது போகம் ஆரகத்தாற் சேடமில்லாமல் அ டிற் குணிதம், அமேளலமாம்.
ாளா. பிர, இந்த வகையாகப் பேருக்குமிடத்து, மெளல் கள் வர்ணங்களோடு கூடிவந்தால் அந்த வர்ணங்களின் கு தத்தை முன் சோன்ன பிரகாரங் கண்ட மெளலகுணிதத் து வர்ணமாகத் தீட்டல் வேண்டும். உ-ம்.
ஆ Vஈ, ஒVடி என்ற இராசிகவளப் பெருக்கும்போது ெ ல குணிதம் - Vஈடி அமெளலமான வர்ணகுணித ஆஒ. முழக்குனிதம் -ஆ ஒVஈடி.
Tஎச. பிர, அமெளலங்கள் வர்ணங்களாய் வராமற் ச ய சின்னங்களால் மெளலங்களோடிவணந்துவரில் (டுச பிரகரணத்திற் கூறியபிரகாரம், குணக உறுப்பொவ்வொன் லுங், குணனிய உறுப்பொவ்வொன்றையும் பேருக்கவேண்
g-VF என்ற வகுராசியை ஒ+Vடி என்ற வகுராசியாற் பெருக்கும்வகை,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

மேளல அதிகாரம். NT6T
V. V
●●十●Y" __
--을\/P + \/ ஆஓ+ஒVஈ + ஆ Vடி+ Vஈடி குணிதம்.
ஏது. பிர, ஆகையால் மெளலப்பேருக்கல் விதிவருமாறு.
GL066uGLਰੰਪੰਨੂੰ க. மெளலராசிகள் ஒரே அட்சரங்களாயாவது ஒ இலக்கங்களாயாவது வரில், அந்த இராசிகளின் பின்னரூபமான சூசிகளைக் கூட்டு. உ மூலசின்னம் ஒன்றேயானுல் அமெளலங்க பெருக்கும்வகையே பேருக்கிக் குணிதத்தைப் போதுவான மூலசின்னத்தின் வலப்புறத்தில் வரை. ஈ. மெளலங்கள் வகுராசியானுல் குணக உறுப் 叫 ஒவ்வொன்றிலுைங் குணனிய உறுப்பு ஒவ்வோ ன்றையும் வகுராசிப் பெருக்கம்போற் பேருக்கு.
மெளலப்பெருக்கல்வினு,
V2, ; VF; இவற்றின் குணிதம் யாது? 2. டு Vடு ; கVஅ; இவற்றின் குனிதம் யாது?
ó。
உVக; கVச ; இவற்றின் குணிதம் யாது?
Vடி; Vஆஈ; இவற்றின் குணிதம் u ?
牟娄FF 安、
; I : இவற்றின் குணிதம் யாது!
--
リー") "一"(*)。 இவற்றின் குனித யாது! - a. G V, 9 , Trn V (GE ; இவற்றின் குணிதம் யாது ?
அ, Vi, ਫ Vக; இவற்றின் குணிதம் யாது?
6. 를 Va2., GVeo 5. இவற்றின் குணிதம் யாது?

Page 60
AT. O. வீசகணிதம்
- - இ0, 3 Vஈ, காக Vடு , இவற்றின் குணிதம் யாது?
5. 으 크. 3 1 ܢ *。ー。 ఇ2 ဧဝေJခြီး J、 இவற்றின்கு
தம் யாது? - --
க3. ச+உV2, 2-Ve, இவற்றின் குணிதம் யாது!
- மெளலப்பிரித்தல். mஎடு, பிர, மெளலங்கவள அரிக்கும்படி, பாச்சியத்தின் ழே பாககத்தைப் பின்னருபமாக வரையலாம். مقا–ع
(\/g) 2. (VR) ஆலரிக்கும்படி 山m彦手upnä山 (vg) ப்போகமாகவும், பாககமாகிய (Vஈ) ஐ ஆரகமாகவும் வை
兰擎 பாசிதம், அதாவது ஈவாம். இப்படியே " V FqF
as
என்ற இராசியை (ஈ+ஷ) என்ற இராசியாலரிக்க,
(ஆ+ஈ)
பாசிதமாம்.
ம், ஆரகத்துக்குங் தனித்தனி மூலசின்னம் வரையப்பட்ட னும், போக மூலத்தை ஆரகமூலத்துக்கிந்து பெற்ற ஈவும்: கத்தை ஆரகத்துக்கிந்து பெற்ற ஈவின் மூலமும் ஒன்றற் ன்று சமமானபடியினுல் போகத்தினதும் ஆரகத்தினதும் மூ சின்னங்கவளச் சமசின்னங்களாக்கிய பின் பின்னம் முழு
கும் ஒரே மூலசின்னத்தையிடலாம். உ-ம்.
Viş Vọ - - கிஉ - ويV 35. - C - -
இ 娄· 우 - 」 19 _____2ۓ نقشے "
VFF RE Verif; V6 ფუfia |
mஎசு. பிர, சமமூல சின்னம்பெற்ற இராசிகவள அரிச் படி, அமேளலங்கவள அரிக்கும் வகையாக இராசிகவுள துப் பெற்ற ஈவுகளுக்குச் சமமூலசின்னத்தையிடுவர். உ-ம்
 
 

மேளல அதிகாரம். 霹T&
2. Vஆஈ, என்பதை Vஆ என்பதாலரிக்கும்படி, (ஆஈ) (ஆ) வுக்கீய, (ஈ) ஈவாம். இந்த ஈவுக்கு மூலசின்னத்தை ட A/ஈ விடையாம்.
نش
(ஷா ஸஉ) என்பதை (ஸ் ) என்பதாலரிக்கவேண் ல் அவற்றின் மூலசூசிகளச் சமசூசியாகத்திரித்தால், (ஷ4
as な
s 6 ஓ.) என்றும் (ஸஉ) என்றும் வரும். அவற்றை முன்போல
5+ சிக்க, (ஷா ) - ஷ , விடையாம்.
எஎ பிர, பாகக பாச்சிய இராசிகள் ஒரே அட்சரமாயாவது ஒரே இலக்கமாயாவது வரிற் பிரித்தற்கிர்த்தியத்தை இயற்றும்
டி, பாகககுசியைப் பாச்சியசூசியிறிகவளிவர். உ2 .ே
as as as 2. یہ ہے ۔ جے بےح 伊·勃 下颚 二马 =鸣 = 教·
s as s
g' 鑫
e,令 十° =乌。 ானஅ பிர, சமசூசி புணர்த்தப்பட்ட மெளலங்களினது வர் இரங்கள் அமேளலங்களானல், அந்த அமெளலவர்ணங்கவள வறேயரித்துப் பெற்ற ஈவை மெளலங்களினிவுக்கு முன்னே 二○af ューtb.
as
ཚ
2. ஆஈ(ஷஉஈ) + ஆ(ஷ) - ஆஈ(ஷஉஈ) +
,"(جبه) == (+) به == (وه)
மெளலப்பிரித்தல்விதி,
ாஎசு. பிர, க. மெளலராசிகள் ஒரேயட்சரமா
ாவது, ஒரேயிலக்கமாயாவது வரில், பாகககுசியை பாச்சியசூசியிற் களைந்து சேடத்தைப் போது
மளலராசிக்குச் சூசியாக வரை.
】0者

Page 61
வீசகணிதம்
உ. மெளலங்களுக்கு வர்ணங்களுண்டானுள் ச்சியவர்ணத்தைப் பாககவர்ணத்துக்கீந்து ஈ மூலசின்னத்தின் முன் வரை.
ஈ. மூலசின்னங்கள் சமசின்னங்களாய்வரில் ராசிகளை அமேளலங்களைப்போல, அரித்துப் புே ஈவைப் போதுவான மூலசின்னத்தோடினத்
6.
மெளலப்பிரித்தல்வினு,
இ, உv/ஈஒ. என்பதை vess என்பதற்கீந்தால் பாது ?
* _ உ கox/கoஅ என்பதை டுMச என்பதற்கிந்தால்
? - ந. கov/உஎ என்பதை உ/க என்பதற்கீந்தால் ஈ து ?
ச. அA/கoஅ என்பதை உVசு என்பதற்கிந்தால் Այոց ?
gے ܢ
ع
டு. (ஆஉஈ2 டிசு ) என்பதை என்பதற்கிந்தால்
աn 5 ?
ع (கசுஆக -க9ஆம் ஷ) என்பதை உஆ என்பர் தால் ஈவு யாது?
எ சுA/கக9 என்பதை உVசு என்பதற்கிந்த 6ւ աng 2
e/ہوتی ڑے (r LJ66ڑ616.g35e)/ہ ہوئے. ہنی
யாது?
೯॰ಿಗೆ تAZa
- சு. Vடு என்பதை
வு யாது?
as கC. A/எ என்பதை w/எ என்பதற்கிந்தால் ஈவு இக. சு/டுச என்பதை நx/e என்பதற்கீந்தால் யாது?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம். ឯe
, சw/எe என்பதை = بق ہو کرہ என்பதற்கீந்தால் ஈவு リ
மெளல காதகரணம். அல். பிர, மெளலங்களைக் காதிக்கும்படி மூல தியை அறியவேண்டிய காதித நிர்க்கண்டத்தாற்
பருக்கு உ-ம்.
(ஆ ) என்ற மெளலத்தின் வர்க்கத்தை அறியும்படி மூல
8
リräu (...) க்ே காதித நிர்க்கண்டமாகிய (2) ஆற் பெருக்
() பேரும். ஆகையால் (ஆ) இன் வர்க்கம்=(ஆ).
மூலசூசியும் அறியவேண்டிய காதித நிர்க்கண்ட மும் ஒரேகாமிகளானுல் மெளலத்தினது மூலசின்ன த்தைத் தள்ளுவதே காதகரணமாம். இந்த மேள ங்கள் அமெளலவர்ணங்களையுடையனவானுல் அ வர்ணங்களைப் பேருக்கற்கிர்த்தியத்தாற் காதிக்க வேண்டும். உ-ம்.
Vஆ+வு என்பதற்குக் கனம் (ஆ+ஷ) ஆம்
ஆVஷ என்பதற்கு (கம்.) காதிதம் (ஆக ஷ) ஆம்
T66 Go660.00 ਰL66 களினுலினைந்துவரில், சர்வ உறுப்புகளையும் பே நக்கிக் காதிதமறிதல் வேண்டும். (பிராா.வ) உ-ம். ஆ+V ஸ, ஆ-A/ஸ், என்றதுவிராசிகளின் வர்க்கம்
鹦十vá g-ven gg -- Vemd శ్రీ–4/6_ ஆஉ+ஆVஸ் ஆ?-ஆVஸ்
+ஆA/ஸ்-ஸ் -gA/6)+ctు
ர்க்கம் ஆஉ +உஆ/ஸ+ல. 基e-ーaぶ。A/aro--en)

Page 62
- ' '
প্লাuDae. வீசகணிதம்
மெளலமூலகிரகணம்.
ாஅக பிர, மெளல மூலகிரகண விதி அமெளலமூல ண விதிக்கொத்திருக்கும். எப்படியென்றல்,
க. அறியவேண்டிய மூல சூசியைக்கொள்
வரைந்தாவது மூலங்கோள்.
உ. மேளலங்களுக்கு அமேளலவர்ணமுண்ட ல் இந்த வர்ணங்களின் மூலங்களை அறிந்து 3 றை மேளல மூலத்தின் முன் வரை. உ-ம்.
க. ஆ என்ற மெளலத்துக்கு வர்க்கமூலங்கொள்ளு
இந்த மெளலத்தின் சூசியாகிய () ஐ அறியவேண்டிய
சூசியாகிய (2) க்கீய ーキー P コ ஆகையால்(ஆ)
வர்க்கமூலம் (ஆ
8. ஆ (ஷஸ்) , என்ற இராசிக்குக் கனமூலம் =
(ஷஸ்) ,
மெளலவின.
க. (அகஆ-2-) இன் நான்காம் மூலம் யாது ? 2. (2+FF) இன் சும் மூலம் யாது?
ந. (ஷ-ஸ்) இன் (கம்) மூலம் யாது? ச.V(-கஉடுஆ ஷசு ) இன் கனமூலம் யாது?
4ठ,625-=- ६f9= ) இன் வர்க்கமூலம் யாது?
 
 
 
 
 
 

மெளல அதிகாரம்.
4
22-్మతో ఐ" - 蚤· ) இன் டும் மூலம் யாது? äV(a浮*一öFa浮十矢所°)露á வர்க்கமூலம் யாது ?
6f)2- a. V(-93;°- 十多°十一) இன் வர்க்கமூலம் யாது ?
s (ஆஷe ) இது () என்ற குசிபெறச் செய்.
E. ao, V (-ihsn) இதி() என்ற சூசிபெறச்செய்.
as
நகV(ஆ+),(ஆ) இவை சமசூசிபெறச் செய்
(டு) இவை சமசூசி பெறச்செய்,
5
(
으
(g) ,
óቻ° 5 கா, (ஆ) ; (ஈ) இவை (து) என்ற சூசிபெறச்செய்.
5 கச Ve, Vச, இவை ஒ என்ற சூசிபெறச்செய்.
கடு. Vஉகச இதைச் சுருக்கு
蚤, V5 فيه ل -ஷஉ ஆ2 , இதைச் சுருக்கு. கன A/கசுஆஉஷி, A/சஆஉ ஷ, இவற்றின் தொகையுஞ் சடமும் யாவை ?
க9, Vககூ2, A/உச இவற்றின் தொகையுஞ் சேடமும் ങ്ങഖ ?
?இவற்றின் குணிதம் யாது تg/ہ@ و ہوی a/۸ انچ . چوق 20. (ச+உVe),(உ+Ve) இவற்றின் குணிதம் யாது!
s 3
-
2(3+V) (ஆ+Vசி) இவற்றின் குணிதம் Ug
으의.. (3+), (ஆ+ஈ) இவற்றின் குணிதம் யாது? நe சுA/டுச என்பதை கூA/2, எனபதற்கீந்தாலீவுயாது?

Page 63
mাtD39F வீசகணிதம்
* உ -- உச. சVஎe என்பதை உA/கஅ என்பதற்கீந்தாலிவுய
உடு, A/எ, என்பதை v எ என்பதற்கிந்தாலிவுயாது ?
DAG
உசு. அA/டுக9 என்பதை சVe, என்பதற்கீந்தாலிவுய உஎ கஎA/உக, என்பதின் கனம் யாது? உஅ. டு--A/2, என்பதின் வர்க்கம் யாது?
55 உக Vசு, என்பதின் சம் காதிதம் யாது?
கo, A/ஷ-A/ஈ என்பதின் கனம் யாது?
ú). 3) I fill 535 சமீகரண அதிகாரம் Quadratic Equations.) mஅe, பிர, காதிதங்களினதும் மெளலங்களினதுங் கை த்தை முன்பு உணர்ந்தாலன்றிச் சமீகரணத்தின் சர்வவிரு க்கும் விடையறியுஞ் சாமர்த்தியம் உண்டாகாதென்று ெ வளச்சமீகரன அதிகாரத்தினது ஈற்றிலுரைத்துப் பின் வ இரண்டு அதிகாரங்களாலுங் காதிதமேளல கணிதத்தைெ த்து விளக்கினுேம் இப்பால் காதிதமெளல கிர்த்தியங்க த் துவணயாகக்கொண்டு, சமீகரணங்கவளச் சாதிகரித்து டையறியும் விதங்கவளத் தெரிவிக்கின்ருேம்,
காதிதசாதிகரணம். x/ஷ-ஆ என்றிப்படிச் சமீகரணத்தினது மறைநிவ ராசி மூலசின்னம்பெற்றுவருங்காவல காதகரணத்தாற் சமீ னத்தைச் சாதிகரிக்கலாம்.
எப்படியெனில் இந்தச் சமீகரனத்தின் வாமதட்சிண அ ங்கவள வர்க்கிக்க,
ஷ-ஆஉ என்று ରା ଔ; ாஅஈ. பிர. ஆகையால் மறைநிலையிராசி மூ ன்னம்பேற்றற் சமீகரணத்தைச் சாதிகரிக்கும்ப நிலைமாற்று, குண்னம்,பாககரம்,என்றகிர்த்தியங்க ல் வேண்டியவாறே சாதிகரித்தபின் மூலசின்ன த்தனையாம் மூலத்தைக் குறிக்கிறதோ அத்தனைய காதிதம் பிறக்கும்படி வாமதட்சிண பாகங்க ਗਸੁੰ. --L
க. A/ஷ--ச-சு என்ற சமீகரணம் நிவலமாற்றல் V விக-ச=டு என்றும், காதகரணத்தால் ஷ-டு-
 
 

வர்க்க சமீகரன அதிகாரம். កាលិ, :ன்றும்வரும். இவ்விடத்தில் வாமதட்சிண அங்கங்கள் சமரா ாற் பெருக்கப்பட்டபடியால், கம். சுயம்பிரமாணப்படிசமீ னத்தின் சமத்துவஞ் சிதையாதென்றறிக.
色,鹦十 高 Me = it. என்ற சமீகரணம் நிவலமாற்றல்
is * 一 vs. -ஈ-ஆ என்றும் , குண்னத்தால் உA/ஷ-கF
- ." /ー FFFーリ . 。 உா.ஆ என்றும், பாக கரத்தால் A/ஷ- எனறு மகா
*ーリー勢、* . . 」。 கரணத்தால் ஷ=( , ) என்றும் வரும்.
. /ஷ+க = ச என்பதைச் சாதிகரி.
g 字十cmや/s学一守三十ー与十 , இதைச் சாதிகரி,
- 7-F_ m十ー。 ܗ V2 ---Meg. Var - vs. இதைச் சாதிகரி
டு
子
元 m十eA/s。 ਲੇ66ਯੰਤੀ,
エ = அ இதவனச் சாதிகரி
,a+) + ச-எ இதவனச் சாதிகரி( , ہوئے
சு. Vகe+ஷ = உ+Vஷ இதவனச் சாதிகரி,
- _ 5 _
| #0. Və?--24 = Məş — Av/29, 2gə Gorğ: FTğaşif,
கே. VடுXVஷ+2 = உ+Vடுஷ இதைச் சாதிகரி,
ఇన్-శ్రీ°నీ_Vఇపై இதைச் சாதிகரி.
V@,Ä, 6,? 石s, - Y学士° இதைச் சாதிகரி
Va受十字 Ve学十cm Ve --62. - _을 , இதைச் சாதிகரி + چه V .تag
V粤十s、
---을 수
கடு, \/ - e- = 一三千二aróILJGöみ字ェm a+\/ - +6 \/을 수 +5 수 蠶

Page 64
mাu03r வீசகணிதம்
ö安r, *十2=Vリー 十e、F*十a学e- என்பதைச்சாதி
ఉదా: V2+ఐ + Vఎ=
Ve十a学 ** Ve。一me = sa _ V Ez 260.g55f sFmgŞaf. *** VPఏ+56 = EVఐ + డా இதைச் சாதிகரி,
Vతో ఇ-e__gV ఈఐ-తా Vas。十字 「手Vエ+。
மூலகிரகண சாதிகரணம். ாஅச. பிற ஷஉ-கசு என்றிப்படிச் சமீகரனத்தில் வ ன்ற மறைநிவல இராசி காதிதமாய்வரில், மூலகிரகணத்தார் மீகானத்தைச் சாதிகரிக்கலாம். வாமதட்சினபாகதி: வர்க்கமூலங்கொள்ள, ஷ-ச என்று சாதிகரணமடையு
ஆகையால்மறைகிலையிராசி காதிதமானவிடத்து சமீகரணத்தைச் சாதிகரிக்கும்படி, மறைநிலையிா எத்தனையரங்காதிதத்தையுடையதோ அத்தனையா மூலததைக் கொள். உ-ம்.
a. air- a --9-3 என்ற சமீகரனம் நிவலமாற்குல் * Fஎ-சு+அ=க, என்றும் மூலகிரகணத்தால் SS +h என்றும் வரும்.
இதில் சமராசிகளுக்கு மூலங்கொண்டபடியால், அம்மூல கள் சமமென்றுகாண்க. (ாடுகம்) பிரகர்ணப்படி த 蠶
இ গঠন
இதச்ை சாதிகரி
இதைச் சாதிகரி
யின் இரட்டை மூலம் உபயார்த்தமுடையதாதலால் (சு) 2 வர்க்கமூலமாகிய (கூ) இன் முன் + என்ற உபயார்த்த சி ங் தீட்டியது.
உ. டுஷஉ-கூo-ஷஉ +கச, என்ற சமீகரணம் நி ற்குலுங், பாககரத்தாலும்; ஷஉ -கசு என்றும், மூலகிரகன தால், ஷ-ச, என்றும் வரும்.
சு. Vஷ? - ச, என்ற சமீகரணங்காதகரணத்தால் ஷ -சுச என்றும் மூலகிரகணத்தால் ஷ-+அ என்றும் வரும்
ச. Yஷம-ஆ-கி-டி இதனைச் சாதிகரி,
2. 6 (ஷ+ஆ=V: இதனைச் சாதிகரி
پڑھئے * (*ーョ)= V)ة چيه---a( இதனைச் சாதிகரி,
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமீகரன அதிகாரம்
6. Vஷஉ-கக் - டு இதவனச் சாதிகரி,
Vஷஉ-சஆஈ = ஆ-ஈ இதவனச் சாதிகரி. . கா+Vஉh+ஸ்2 - டு இதவனச் சாதிகரி. o (கூ+Vகஉக+ஷ2)e-கசச இதனைச் சாதிகரி.
சுத்தவர்க்க சமீகரண வினு. 2. ஒரு வித்தியார்த்தியை அவன் தோழன் நோக்கி நீ நிகண் இலத்தவன பாட்டுக் கற்றுயேன்று கேட்க, தோழா, கான் கத் ாட்டோடே பத்தைக் கூட்டித் தொகையினது வர்க்கமூல ல் இரண்டைக் கவளயச் சேடம் (சு) ஆமேன்று வித்தி ಙ್ಗವೇ ಅರ್ಪೆ; வித்தியார்த்தி நிகண்டிற் கற்ற பாட்டெ ಙ್ಗ வினுவை வீசபாஷையினது ரூபமாக மொழிபெயர்க்க Vஷ+கo-2-சு. என்ற சமீகரணம் பிறக்கும். இது நி மாற்றல்,Vஷ+50-சு+உ=அஎன்றும்,காதகரணத்தால் 、十59=* என்றும், நிவலமாற்றல் *=*ーや?三@チ。" ஆறும் வரும், விடைச்சோதவன (meஅம்பிர) Vடுச+கo
コcm。 E 2. இரண்டுபட்டணங்களுக் கிடையானதுரத்தைவர்க்கித்து கசு) ஐக் கவளயச் சேடம் (சஅ) ஆனல் அந்தத் தூரம் யாது ?
விடை கe.
சு ஒரெண்ணின் வர்க்கத்தினது மும்மடங்கை (ச) க் கிங் து ஈவில் (க2) ஐக் கவளயச் சேடம் (கஅ0) என்றல் அல் டுவண் யாது ? விடை கசு.
த (aஅ) ஐ இரண்டு கூறுகளாக்கினல் அவற்றின் வர்க்கங் :ள் ஒன்றற்கோன்று (உடு) க்கு (கசு) எப்படி அப்படியிருக்கு மெனில் அக்கூறுகள் யாவை ?
. بیٹے ";G O (جمع:ع0ئs டு (டு) (ச) க்கு எப்படியோ அப்படியேயிருக்கின்ற இரண் டெண்களின் கனத்தைக் கூட்டினல் (டுகoக) தோகையாம். அவ்விரண்டெண்களும் யாவை ?
விடை கடு; க2. சு. சித்த புரியிலிருந்து மகரபுரிக்குச் சூரியப்பட்டனும், மகர புரியிலிருந்து சித்தபுரிக்குச் சந்திரப்பட்டனும் ஒரேவேளையிற் பிரயாணப்பட்டுப் பிரயாணமார்க்கத்தில் ஒருவரையொருவர் ச ந்தித்தபோது சூரியப்பட்டன் சந்திரப்பட்டனில் (கஅ) காதவ ழி அதிகமாய் நடந்தானென்றும், சந்திரப்பட்டன் நடந்த தூரத்
Dhro ܗ தைச் சூரியப்பட்டன் கடு (...) நாளில் நடப்பானேன்றும், சூரி
யபட்டன நடந்த தூரத்தைச் சந்திரப்பட்டன் (உஅ) நாளில்

Page 65
Tീച്ച வீசகணிதம்
கடப்பானேன்றுங் கண்டார்கள். சித்தபுரிக்கும் மகரபுரிக் டையான தூரம் எத்தவன காதம் ?
விடை கஉசு காத எ. சில கள்வர் ஒரு தோட்டத்திற் புகுந்து கள்வர் எத்த பேயரோ அத்தவன குவலயாக்கை ஒவ்வொருவனும் பிடுங்கி ன். ஒவ்வொரு குவலயிலுமிருந்த பாக்குக் கள்வரின்தோை ன் நான்மடங்கு ஆகப் பிடுங்கின பாக்கின் தொகை(உக: அப்படியானுல் கள்வரின் தொகை யென்ன ?
○0coLܒܸ ܢ
அ. யுத்த களத்தை நோக்கிச் சென்ற ஒரு சேவன பி முன்னணியைப்பார்க்கப் பக்க அணியினின்றபடைச்சேவ ன் தோகை (டு) அதிகப்பட்டிருந்தது. சத்துரு நெருங்கிவ ற்தைக் கண்டபோது முன்னணியில் (அசடு) போர்ச்சேல் கூட நிறுத்தப்பட்டார்கள். அப்பொழுது அந்த யூகம் ஐந்து ரைகொண்ட யூகமானதென்றல், சேவனயிலிருந்த போர்க்ே
வகரின் தொகையாது?
6- சடு
க. நீலன், குமுதன் என்ற கம்மாளர் வேறுவேறன கல் 5 Guਘ60 66665ਪੇ ਨੁ ட்டார்கள். இவ்விரு கம்மாளரில் நீலன் நாலு நாளும், குழு ன் ஏழுநாளும் விவளயாட்டுப்பராக்கிற் செலவிட்டபடிய தவவுண முடிந்தபோது நீலன் (எடு) ரூபாயையும், குமுத (சஅ) ரூபாயையும் சம்பளமாகப்பெற்ருர்கள். ஆனல் விவ யாட்டுப்பராக்கில் குமுதன் நாலுகாவளயும், நீலன்ஏழுநாவள செலவிட்டால் இருவருடைய சம்பளமுஞ் சரிசரியாயிருக்கு அப்படியானுல் இவர்கள் வேவலடுசய்யும்படி ஏற்பட்ட தில் எத்தவன : ஒவ்வொரு கம்மாளனுக்குங் கிடைத்த நாள்வித சம்பளம் எத்தவனருபாய் ?
விடை தினம் இக நீலனுக்கு நாளொன்றுக்கு (டு) ருபா குமுதனுக்கு நாளொன்றுக்கு (ச) ரூபாய்.
இ0. ஒரு முயவல அதற்கு ஏழு முழத்திற்குப் பின்னே நின் ஒரு நாய் ஒரே நேராய் இருபது முழமளவுக்குத் துரத்திக்கொன் டு போனபோது முயல் தானேடின பாதைக்குச் சரிகுறுக்கா த் திரும்பி முன் போலவே ஒடிப்போனது. இதைக் கண் நாயோ தானும் ஒடின பாதையை விட்டுத் திரும்பி முயவ பிடிக்கத்தக்க சுருக்கமான பாதையிலோடிப்பிடித்தது. மு. ல் காலுமுழமோட காய் ஐந்துமுழமோடினது. நாயும் முய மோடின தூரம் எத்தவனமுழம் ?
விடை நாய் உடு, முயல் உ0 கs (உடுசு) படிகொள்ளத்தக்க ஒரு சாடி நிறையவிருந் சாராயத்தில் ஒருவன் சிலபடி சாராயத்தை மொண்டபின்
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமீகரன அதிகாரம். mຫຼືອ
அளவு தண்ணிர்விட்டுச் சாடியை நிறைத்து, இப்படி நான்கு இற மொண்டு மொண்டு சாடியைத் தண்ணிரால் நிறைத்த ாது (அக) படி சாராயஞ் சாடியிலிருந்தது. ஒவ்வொரு மு ரயிலும் அவன் மொண்ட சாராயம் எத்தவனபடி?
விடை சுச ; சஅ; கசு , உள படி 2. ஈரெண்ணில் பெரியதால் அவற்றின் வித்தியாசத்தை பெருக்க (ச0) ம், சிறியதால் அவ்வித்தியாசத்தைப் பெரு
(கடும் வருமெனில் அந்த ஈரென்னும் யாவை?
ésoL 十é,十历、 . இரண்டு எண்கவளத் தனித்தனி (உஏ) ஆற் பெருக்கி ல், பேரிய எண்ணின் குணிதம் சிறிய எண்ணின் வர்க்க ம்ெ, அவ்விரண்டெண்களயுந் தனித்தனி மூன்றற்பெருக் குற் பெரிய எண்ணின் குணிதம் சிறிய எண்ணின் குணிதத் கனமாயுமிருக்குமெனில், அந்த இரண்டெண்களும் r@a ? 8966).L' egoff. F.
து, ஒரு கமக்காரனுடைய இரண்டு தோட்டங்களில் ஒன் க்கு வடிவம் சாத்தியமுக்கோணம். மற்றதற்கு வடிவம் リ தீர்க்க சதுரத்தின் நீளம் முக்கோணத்தினதுர் க இனத்துக்கும், அதின் அகலம் முக்கோணத்தின் பெரியபக்கத் இரக்குஞ் சமம். இவ்விரண்டு தோட்டத்தையும் வேருெருவ லுக்குக் கொடுத்து இவற்றின பரப்புக்குச் சரியான ஒரு சதுர லத்தை மாற்றுக்கானியாக வாங்கினபோது, இந்தச் சதுரத் தின் ஒவ்வொரு புறமுஞ் சாத்திய முக்கோணத்தின் பெரும்பக் இத்திற்குச் சமமேன்றும், இந்தச் சதுரகிலத்தைச் சுற்றி வேலி டைப்பது மற்றிரண்டு தோட்டங்கவளயடைப்பதில் (கo) க் தாலளவுக்கு லாபமென்றுங் கண்டான். இந்த முக்கோனமுக் தீர்க்க சதுரமுமான தோட்டங்களின் பரப்பும் நீள அகல அள kmほgi Umso?
விடை முக்கோணத்தின் கன்னம் டு கோல் பக்கங்கள் ஈ. ச. தீர்க்க சதுரம் நீளம் டு கோல் அகலம் உ. முக்கோன த்தினது பரப்பு சு. குழி, தீர்க்க சதுரபரப்பு, கo, குழி,
ா அடு. பிர. சமீகர்ணங்களேல்லாம் சுத்தம் என் றும், சங்கரம் என்றும் இரண்டு வகைப்படும். ம றைநிலையிராசி காதிதமாய் ஒருறுப்பில் மாத்திர ம் வரிற் சமீகர்னஞ் சுத்தமாம். மறைநிலையிராசி பலகாதிதம்பேற்றுப் பல உறுப்பிற் கலந்துவரிற் சமீ கரணஞ் சங்கரமாம். உ-ம்.
ஷ2 = ட-ஈ. இது சுத்தவர்க்க சமீகரணம்.
area.gpa Garcsi, Right angled Triangle. * sarara, Hypother հԱՏՅ,

Page 66
市eü வீசகணிதம்
ஷஉ +ஈவs - ட. இது சங்கரவர்க்க சமீகரனம். ஷ, ஈ-ஒ. இது சுத்தகன சமீகரனம்.
ஷ" +ஆஷஉ+ஈன Eட. இது சங்கரகன சமீகரணம். வுமன்ன.
ாஅசு. பிர, இந்த அதிகாரத்தால் இதுவரைக்குஞ் சுத்த க சமீகரண நெறிகவளயேடுத்து விளக்கி, இப்பாற் சங்க க சமீகரனங்கவளச் சாதிகரித்து விடை அறியுங் கிர்த் கவள அறிவிக்கின்றுேம்.
சங்கரவர்க்க சமீகரணமென்பது மறைநிலை சியை ஒருறுப்பிலும், மறைநிலையிராசியின் வர் தை வேருேருறுப்பிலும் வரப்பேற்ற சமீகரணம ாஅஎ. பிர. மறைநிவலயிராசியோடிவணந்த சமீகரணு பரிபூரணவர்க்கமாய்வரில், சுத்தவர்க்க சமீகரணத்தை ரகணத்தாற் சாதிகரித்தவாறு போலச் சங்கரவர்க்க சமீ த்தையுஞ் சாதிகரிக்கலாம். உ-ம்.
ஷஉ+உஆஷ+ஆஉ-ஈ+ஓ, என்ற சங்கரவர்க்க னத்தின வாமபாகம், (ஷ+ஆ), எனற துவிராசியின் மாதலில் மூலகிரகணத்தால் ஷ+ஆ= Vஈ+ஓ என்று வலமாற்றல் ஷி = Vஈ--ஓ-ஆ என்றுஞ் சாதிகரணமை யும். ஆனுல், மறைநிவலயிராசியோடிவனந்த சமீகாணுங்க பரிபூரணவர்க்கமாய் வராமற் பெரும்பாலும் 聳 ய்வரும். உ-ம்.
ஷஉ+உஆஷ-ஈ. இந்தச் சங்கரவர்க்க சமீகரனத்தில் வாம்பாகம் வர்க்கபூர்த்தியில்லாததாயினும், அதனுறுப்பி க் துவிராசிவர்க்க உறுப்புகளென் றெளிதிலறியலாம். இந்த துவிராசி வர்க்க உறுப்புகளோடு இவனந்து வர்க்கபூர்த்தியுள் டாக்குகின்றதுமாய் இவ்விடத்தில் மறைந்து கிடக்கின்றதுமா இராசி யாதென்று கிரகித்தால் அதவனச் சமீகரணுங்கங்களே டு கூட்டி முன்போலவே சாதிகரிக்கலாம். துவிராசிவர்க்கம பும்படி இராசிகளின் தனித்தனி வர்க்கங்களோடு அவ்விரா ளின் குனித இரட்டியைக் கூட்டுவது விதியாமாதலானும், ஷஉ+உஆஷ, என்ற சமீகாணுங்கத்திற் துவிராசியுறு வின் குணிதவிரட்டி (2ஆஷ) ஆதலானும் மறைந்து நி இராசி (ஆஉ ) ஆம். இது மறைநிவலயிராசியான (ஷ) இ வர்ணத் தரையினது வர்க்கமாதல் காண்க.
ா அவ. பிர. ஆகையால் வர்க்கபூர்த்தியுண்ட ம்படி, முதலாங்காதிதமாய் நிற்கின்ற மறைநிலை ராசியினது வர்ணப்பாதியை வர்க்கித்து சமீகர கங்களிரண்டிலுங் கூட்டு. உ-ம்.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமீகர்ண அதிகாரம். få f2 #5
බ්‍ර” ±彎鶯方噴 என்ற சமீகரணத்தைச் சாதிகரித்து ந்த நிச்சயம்பண்ணும்படி முதலாங்காதிதமாய் நிற்கின்ற இந்நிவலயிராசியின் வர்ணம் (சுஆ). ஆகையால் அதிற் பா இாகிய (நஆ) ஐ வர்க்கித்து வர்க்கமான (கூஆஉ) ஐ இரண்
நீதங்களிலுங் கூட்ட ஆஉ +சுஆஷ+கூஆஉ-ஈ--கூஆ° என்று வர்க்கபூர்த்தி ண்டாம். இது மூலகிரகணத்தால் e。十m勢 ニ 世 Vஈ--கூஆஉ என்றும், நிவலமாற்றல் *学=ーリ塾士
幂平ége என்றுஞ் சாதிகரணமடையும். リ -அஈஷ-கி இதவனச் சாதிகரி.
ஆஉ+ஆவ$-ஈ--கி இதவனச் சாதிகரி ஆஉட்ஷ-கி-டி இதவனச் சாதிகரி. வடிஉ +கஷ=டி+சு இதவனச் சாதிகரி, ஒஉஆஈஷ=ஆஈ-சிடி இதவனச் சாதிகரி
ఐ2 十 - கி என்பதைச் சாதிகரி,
στ. 6 και ο - =எகி என்பதைச் சாதிகரி.
, பிர முதலாங் காதிதமான மறைநிவலயிராசி அநேக புகளோடிவணந்துவரும்போது கூட்டதிகாரத்திற் சொன் தத்துகிர்த்தியத்தால் அவற்றை ஒரே உறுப்பாகத் திரட்ட ழ், வர்னங்கள் அட்சரங்களாய்வரில் அட்சரங்கவளக் கூட் வருந்தொகையாகிய வகுராசியை மறைநிவலயிராசிக்கு வர் இனமாகத் தீட்டுவர். உம்:
ஆ2 +ாஷ--உஷ+ஷ=ட, என்ற சமீகரனத்தைச் சாதிகரிக்கும்படி (ஷ) வுடனிவணந்துநிற்கின்ற உறுப்புகவளத் திரட்ட, ஷஉ +சுஷ=ட என்று சுருங்கும். இனிவர்க்கபூர்த்தி செய்து மூலகிரகணத்தாலும் நிவலமாற்றலும் முன்போற் சாதி தரிக்க, ஷ-கூ+, Vசு+ட என்றுவரும்,
2. ஷஉ+ஆஷ+ஈஷ-ன என்ற சமீகரணத்தினது வர் ணங்கள் அட்சரங்களாய் வந்தபடியால் அவற்றைத் திரட்டும் போது (ஆ+ஈ) என்ற வகுராசியாம். ஆகவே சமீகரணமும்
ஷஉ+ (ஆ+ஈ) ஷ-ண என்று நிற்கும். இதை வர்க்க பூர்த்திசேய்து சாதிகரிக்க,
ဓ၄ = - + +ణా என்றுவரும்.
ாகய, பிர, வர்க்கபூர்த்திசெய்யமுன் நிவலமாற்றல் தெரிங்
வலயிராசியை ஒருபாகத்தும், மறைநிவலயிராசியை மற்றப்பா
கத்தும் நிறுத்தி, மறைநிலையிராசியின் வர்க்கத்தைத் தனராசி
می- || 2

Page 67
T2 ° வீசகணிதம்
யாக்கிக்கொள்க. இந்த வர்க்கத்தைச் சமீகரனத்தின் றுப்பாக்கிக்கொள்வது உசிதமாம். உ-ம்.
ஆ+டுஷ-நஈ-கஷ-ஷஉ என்ற சமீகரணம் நில குலுஞ் சுருக்குகிர்த்தியத்தாலும், ஷஉ --உஷ-hஈ-ஆ, ம், வர்க்கபூர்த்திசெய்து சாதிகரிக்க, ஷ = Vக+நஈ-ஆ என்றும்வரும்.
ாகூக, பிர, மறைநிவலயிராசியினது வர்க்கத்துக்கு tDոaյ5, 9 Մ5ԼDITճա5 கூடிவரில், பாககர குனனகிர்த்திய னல் அவற்றை ஒழிக்கலாம். (ாயன, mஉ2. பிர) e ஷஉ+உசஆ-சுண-கஉஷ-டுஷ G76ët p aftës சிவலமாற்றலுஞ் சுருக்குகிர்த்தியத்தாலும்,
சுஷஉ-கஉஷ-சுண-உசஆ, என்றும் பாககரத்தா ஷஉ-உஷ-ண-சஆ, என்றும், வர்க்கபூர்த்திசெய் ஷஉ-உஷ+க = ண-சஆ+க என்றும், மூலகிரக லும் நிவலமாற்றலும், ஷ=க+Vக+ண-சஆ என்றும்
வர்க்கபூர்த்திசேய்ய வேருேரு விதி. ாகe, பிர, வர்க்கமான மறைநிலையிராசியின வர்ணத்தை நான்கிற்றக்கிக் குணிதத்தாற் சமீக முற்றையும் பேருக்கி முதற்காதிதமாய் நிற்கின் றைநிலையிராசியினது வர்ணவர்க்கத்தை வாமதட் னபாகங்களிற் கூட்டு. உ-ம்.
ஆஷஉ+ஈஷ= ட, என்ற சமீகாணத்தில் (ஆ) வர்க்க ன மறைநிவலயிராசியினது வர்ணமாம். இதின் கான்ம (சஆ) ஆம். இந்த (சஆ) ஆற் சமீகரணமுற்றையும் பெரு சஆஉ ஷ2--சஆஈஷ E சஆட, என்றும் வர்க்கமல் (வs) இன் வர்ணம் (ஈ) ஆகையால் (ஈ) இன் வர்க்கத் சமிகரணுங்கங்களிற் கூட்ட, சஆஉ ஷஉ +சஆஈஷ+ஈ2 சஆட+ஈஉ என்றும், சமீகரணம் வர்க்கபூர்த்தியடைந் று காண்க.
முன்னே (ாஅஅ)ம் பிரகரணத்திற் கறியவிதி சர்வசங்கர கரணங்களுக்கும் வர்க்கபூர்த்தியடைவிக்கத் தகுந்த சாதார விதியாயிருக்க, இந்த விதியையும் அதனுடன் கூட்டிக் கூ ன் பயன் யாதெனில், முன்வணயவிதிப்படி வர்க்கபூர்த்தி டாக்கும்போது சிறுபான்மை பின்னருபங்கள் பிறக்கும். ஆன பின்வணயவிதிப்படி வர்க்கபூர்த்திசெய்தால் அப்பின்னருப ள் வெளிப்படமாட்டா. ஆகையால் இதுவும்
" பாஸ்கராசாரியர்செய்த வீசகணிதத்தில் இவ்விதியைக் காண்க.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமீகரன அதிகாரம். T2
இவ்விதிகவளத் தவிர வர்க்கபூர்த்திசெய்யும்படி வேறு ப திகளெயும் வீசகணிதர் எடுத்துரைப்பார்கள். அவற்றுட்
வருமாறு: ாகா. பிர, வர்க்கமான மறைநிலையிராசியினது ர்னத்தை (கசு) ஆற் பேருக்கிக் குணிதத்தாற் சமீ ரனமுற்றையும் பேருக்கி முதலாங் காதிதமான ஒறநிலையிராசியினது வர்ணவர்க்கத்தினது நான் உங்கை வாமதட்சிண பாகங்களிற் கூட்ட வர்க்க ர்த்தியுண்டாம். அல்லது பேரிய காதிதமான ம 2றநிலையிராசியினது வர்ணத்தை யாதாமோரு இ ஆட்ராசியினது வர்க்கத்தாற்ருக்கிப் பெற்ற குணி :த்தாற் சமீகரணமுற்றையும் பேருக்கி, இந்த இஷ் ராசியினது பாதியின் வர்க்கத்தையும் சிறிய காதி மான மறைநிலையிராசியினது வர்ணவர்க்கத்தையு ம் ஒன்றிலோன்று தாக்கி வந்த குணிதத்தை வாமத சிணபாகங்களிற் கூட்டினுற் சமீகரணம் வர்க்க பூர்த்தியடையும். உ-ம்.
2ஷஉ-கஷ=e என்ற சமீகரனத்தில் வர்க்கமான ம இறநிவலயிராசியினது வர்ணம் (உ). இதை (கசு) இற்றுக்க க3) குனிதமாம். (க2) ஆற் சமீகரணமுற்றையும் பேருக்க, ஐவுடிஉ-கசுஷEசுச என்றும், முதலாங் காதிதமான ம இறநிவலயிராசியினது வர்ணம் (க). (க) இன் வர்க்கம் (கூ) சு) இன் நான்மடங்கு (கசு), ஆகையால் (கசு) ஐ வாமத
சிணபாகங்களிற் கூட்ட சுசஷஉ-கூசுஷ+கசு = க00 என்றும், மூலகிரகணத் தாலும் நிவலமாற்றலும் பாககரத்தாலும், ஷ = 9 என்றுஞ் நாதிகரணமடையும். அல்லது,
ஆஷஉ+ஒஷ = ஈ என்ற சமீகரனத்தைச் சாதிகரிக்கு ம்ப்டி பெரிய காதிதமான (ஷஉ) இன் வர்ணம் (ஆ). இதை (ன2 ) என்ற இஷடராசி வர்க்கத்தாற் பெருக்க (ஆன2 ) கு னிதமாம். இதனுற் சமீகரனத்தைப் பெருக்க,
ன2 ஆ2 ஷஉ +ஒஆனஉ ஷ = ஆஈனஉ என்றுவரும். இ
6T னி இஷடராசியின் பாதியாகிய 僖) ஐ வர்க்கிக்க (-)
ଶ୍ରେତ ୧- 6öT°一
-) என்றும் வரும்.
ன்றும், இதை (ஒஉ) ஆற் பெருக்க, (

Page 68
25 வீசகணிதம் இதை வாம்தட்சிண பாகங்களிற் கூட்ட
ଦ୍ଦ୧- ଫୋt2 =
an 을 수 s平우 +56을ar수 a+ T - এগুণিত: ஒஉன?
- என்று வர்க்கபூர்த்தியடையும். இதின் வாம
印
5
6ԾT
-) என்ற துவிராசியின் வர்க் கடுமன்
ம் (னஆஷ+ :
ாகச. பிர, இதுவரைக்குஞ் சமீகரணத்தின் முதலுறுப் (ஷஉ) என்றே வைத்து உதாகரித்துவந்தோம். ද්‍රග්‍රිබ් බ් க் சமிகரணத்திலாவது மறைநிவலயிராசியோடிவணந்த இ டு உறுப்புகள் வர, அவ்விரண்டுறுப்பிலும் நிற்கின்ற UDරිගණ්. பிராசிகளின் காதிதங்களின் கிர்க்கண்டமாவது மெளல வின் சூசிகளாவது ஒன்றற்கொன்று இரட்டியாய் நிற்குெ இ) முன்சோன்ன விதிகவளக்கொண்டு வர்க்கபூர்த்திசெய்து மிகரணத்தைச் சாதிகரித்து விடையறியலாம். உ-ம்.
ஆஷ -ஷ* = ஈ-ஆ என்ற சமீகரணத்தை வர்க் ர்த்திசெய்ய,
5 5 a学*一e学宁 エ=*ー●十。 என்றும் மூலகிரக
தால்,
- 6 = يي-جا+= என்றும் நிவலமா
as . . ک - - ஆ+ ட் என்றும் மூலகிரகணத்தா జ* =+NF-తి+ 6.072 LD el -
5 ஷி = J. H Vஈ-ஆ+ 2 என்றும் வரும்.
- p
உ. ஷ--சVஷ = ல, என்ற சமீகரனத்தை வர்க்கபூ Շց մնա,
ஷ+சVஷ+ச = ச+ல, என்றும் மூலகிரகணத்தால் Vஷ+2 = +Vச+ல, என்றும் நிவலமாற்றல், Vஷி = -2+Vச+ல, என்றும் காதகரணத்தால், 6ş – (一e土Vエ* என்றும் வரும். mகடு. பிர. தனராசியினிரட்டைமூலம் உபயார்த்தமுை தாதலின் (mடுக. பிர) வர்க்க சமீகரனஞ் சுத்தமானலும் கரமானலும் இரண்டு விடையைப் பிறப்பிக்கும். எப்படி ன்றல்,
ஷஉ-சுச என்புழி, ஷ = + அ, என்றும் ஷி = அ. என்றும் வரும். இப்படியே சுத்தசமீகரனத்திற் சின்
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமிகரண அதிகாரம். MT2 GB
ஆதாரமேயன்றி எண் விகாரம் வராது. சங்கரசமீகரனத்தி ஒா சமீகரனுர்த்தத்தின் ஒரு கூறுமாத்திரமே மூலகிரகணம நின்றபடியால் எண்ணிலுஞ் சின்னத்திலும் விகாரம்வரும். ாகசு பிர. இருணராசியினிரட்டைமூலங் கணிதாதீதமாத ல் (ாடுக.பிர) சங்கரவர்க்க சமீகரணத்தைச் சாதிகரிக்கு நடத்துச் சமீகரனுர்த்தஞ் சிறுபான்மை கணிதாதீதமாவதுமு ஆண்டு. 2-LD.
ஆஉ -அஷ -- 20 என்புழி ஷி = ச + V-ச என்று வரும். இவ்விடத்து (-ச) :ன்ற இருணராசிக்கு மூலங் கணிதாதீதமாகையால் (ஷ) இன் ஆர்த்தத்தை நிச்சயித்தல் கூடாதாம்.
கணிதாதீதமான மூலஞ் சமீகரனத்தில் வரில், விடையறிய படிசொல்லப்பட்ட வினவுக்கு விடையில்வலயென்றும், வி ஒவம் பொருந்தாத பிழை வினவென்றும் நிச்சயித்துக்கொள் 多 2-ーtp。
(அ) ஐ இரண்டு கூருக்கிக் கூறுகவள ஒன்றிலொன்று தாக்கி ஒல் பேறு (20) ஆமெனில் அக்கூறுகள் யாவை என்றுெரு ഉള് வினுவினல்,
(ஷ) ஒரு கூறேன்றும், (அ-ஷ) மற்றக் கூறேன்றுங் கொ ண்டு வினுவைச் சமீகரனருபமாக மொழிபேயர்க்க,
(அ-ஷ) ஷ - உ0, என்றும்,சாதிகரிக்க, ஷ = 5-HV-g என்றும் வருமாதலால் இந்த வினுப் பொருந்தாதென்றுசொல்க, ாகஎ. பிர, வர்க்க சமீகரனம் ஒவ்வொன்றும் இவ்விரண்டு விடையைப் பிறப்பிக்கின்றதாயினும் அவ்விரண்டு விடையும் ஒரே வினவுக்கு விடையாதாமற் போவதுமுண்டு. ஏனெனில் மூலகிரகணத்தை அடைகின்ற இராசி தனராசியினின்றும் இரு 2ணராசியினின்றும் பிறக்கலாமாகையால், வினவுட்புகுந்த இ ராசி அவ்விரண்டினு நின்று தோன்றது, அவற்றேன்றினின்று மாத்திரமே தோன்றினதாயுமிருக்கலாம். உ-ம்.
(கூ0) ஐ இரண்டு கூறுகளாக்கினிற் கூறுகளின் குணிதம் சு றுகளின் அந்தரத்தினது எண்மடங்குக்குச் சமமாமெனில், அ க்கூறுகள் யாவையெனவினவினல்,
(ஷ) ஐச் சிறிய கூறென்றும், (கூ0-ஷ) ஐப் பெரிய கூறென் றுங்கொண்டு மொழிபெயர்க்க,
ஷ (கூ0-ஷ) - அ (கo-உஷ) என்றுஞ் சாதிகரிக்க, ஷ - 2 க + கன என்றும் வரும். இதில் (ஷ) இன் அர்த்த ம் (ச0) அல்லது (சு) ஆம் ஆணுல் (சo) (கo) இன் சுருகாதா தலால் சிறிய கூறு (சு) என்றும் பெரியகூறு (உச) என்றும் நிச் சயித்துக்கொள்க.
ாக அ. பிர, சர்வசங்கர வர்க்க சமீகரனத்தையுஞ் சாதிகரி க்கும்படி,

Page 69
打9 G、 வீசகணிதம்
போதுவிதி. க. மறைநிலையிராசி ஒரங்கமாகவும், தெரிநிலை ராசி மற்ற அங்கமாகவும் வரும்படி சமீகரணத்ள நிலைமாற்றி,
உ. வர்க்கமான மறைநிலையிராசி இருணமானு வாமதட்சிண பாகங்களின் சர்வசின்னங்களையு மாற்றித் தன வர்க்கமாக்கி அதைச் சமீகரணத்தி முதலுறுப்பாக நிறுத்தி,
ந. மறைநிலையிராசியினது வர்க்கத்தினது வர் த்துக்குத் தள்ளு கிர்த்தியம்பண்ணிப் பின் முத ங்காதிதமாய் நிற்கின்ற மறைநிலையிராசியினது ணப் பாதியை வர்க்கித்துச் சமீகரணுங்கங்களிற் ட்டியாவது, மறைநிலையிராசியின் வர்க்கத்தினது ர்ணத்தின் நான்மடங்காற் சமீகரணமுற்றையும் ( ருக்கி முதற்காதிதமாய் நிற்கின்ற மறைநிலையிராசி னது வர்ணவர்க்கத்தை வாமதட்சிணபாகங்களி கூட்டியாவது வர்க்கபூர்த்திசெய்து,
ச. வாமதட்சிணபாகங்களுக்குத் தனித்தனி வ க்கமூலங்கொண்டு மறைநிலையிராசியோடு கூடி நி கின்ற தெரிநிலையிராசியை நிலைமாற்றிச் சாதிகரித் 3, G3, fair.
சங்கரவர்க்க சமீகரனலினு.
க. கஷஉ-கஷ-ச - அo என்பதைச் சாதிகரி.
mā一G学 -
2. 36- ഖു " - சசு என்பதைச் சாதிகரி
a.goーa学 தி f fryn. 599 652 = - 39 GT60TLJ60) g5 5FT55 T.
*下でエ
கஷ-h 历G学一á - ச, டுஷ - يه--TRم = ea。十 2. இதைச்சாதிக
555 GOO-36 @。一二一 *** _ என்பதைச் சாதிகரி
62. சஷஉ エn○。ーgー 6。一e ュ*二ー 十ュ=a.oー என்பதைச் சாதிக
Q笠一° 9.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

வர்க்க சமிகரண அதிகாரம் TIDIGT
2。十g Gー తా ఏ+డా
- = --- இதைச் சாதிகரி ఐక్తి" -Boఎ-+తె_ توحیمِ ہےمیرے | * చాప్తి 2 -6 జ+5 si-sh இதைச் சாதிகரி
2. |* a。十字 ts. = கூ இதைச் சாதிகரி,
hத்ெ_ஷெ-_ ତାaxonale = ஷ-க இதைச் =" = -+-چچ :9غة
Q圣。,è,早 து. - + 5 = - இதைச் சாதிகரி,
9, 十意 莎 2. ஷச +ஆஷ2 = ஈ இதைச் சாதிகரி 6s gif 6. Srir - 6 - சு. :-;--இ இதைச் சாதிகரி
து. உஷ + கஷ = உ இதைச் சாதிகரி,
5 FEF - as E 92 T壬五门。 நடு = ஷ- Vவு 二8*考チチリ நா. உஷச - ஷஉ +கசு = கூக இதைச் சாதிகரி,
ESہ
எ. (கo+ஷ) - (கo+ஷ) = e இதைச் சாதிகரி,
59, finals -உஷ - அ இதைச் சாதிகரி
SS aá e(a十e。一aリー》ーVa十esーaュー=ー去。 @*
20. Vஷ" -ஆக = ஷ-ஈ இதைச் சாதிகரி
三.ー。 Ye + తా-A/a @
g-H Vaj. V 6Qş
중
22. ஷ + ஷ = எடுசு இதைச் சாதிகரி,
- 으.
27. Veas--a -- e. Vass = , =
a +-چچ Ve
G్మ+Gమె 230కొ* FIT
திகரி,
தைச் சாதிகரி
இதைச் சாதிகரி
= e Vai-e, -- F, Vess وع

Page 70
T2. O, வீசகணிதம்
e@。a差十5争一gVa。十字キ=aoーキVs。十aá @。 ச் சாதிகரி,
உசு Vஷஇ + Vஷா = சுN ஷ இதைச் சாதிகரி
తొఇ-@_"ఐ-తో " ఈ ఐ}+2
三.G7。 - இதைச்சா
6i. ma学十a காகவுத் 007g.)
Fyi *
- - 36.033 = TS
உக. (ஷ-டு) -ந(ஷ-டு) = ச0 இதைச் சாதி *o a。十-Va。十cm = e十mVa。十cm @sの多李 字7錦。
கூக, ஒரு கூறு பட்டாடையாகவும், மறுசுறு மயிர்ப்படா வும், நீளம் (ககo) முழமாகவுமிருந்த ஒரு புடைவையை வர்த்தகன் வைத்திருக்கக் கண்ட கோமட்டி, பட்டாடைக் மயிர்ப்படாத்துக்குந் தனித்தனி நீளம் யாதென வினுவப் டாடை நீளத்தினது வர்க்கத்தை மயிர்ப்படாம் நீளத்தின ண்பது மடங்கிற் கவளயச் சேடம் (ச00) ஆம் என்று வர்த் ன் சொன்னுற் பட்டாடைக்கும் மயிர்ப்படாத்துக்கும் জন্ম üö 需smümü?
இவ்வினுவுக்கு விடையறியும்படி, பட்டாடை நீளம் (a) ன்றும், மயிர்ப்படாம் நீளம் (ஆகo-ஷ) என்றுங் கொண்ட அ0 (ககo-ஷ)-ஷஉ= சoo என்ற சமீகரணம் பிறக் இதைச் சாதிகரிக்க,
ஷ= -ச0+ஆoo என்று விடைவரும். வரவே (ஷ)= என்றும், ஷ= -கச0, என்றும் இரண்டு விடைவருமாயினு பட்டாடைமுதலிய பொருட்களுக்கு இருணராசி பொருந் தாகையால் (ஷ)=சுo என்ற ஒன்றுமாத்திரமே விடைெ க்கொள்க. ஆகையாற் பட்டாடைக்கு நீளம் (சுo) முழ யிர்ப்படாத்துக்கு நீளம் (ககo-சுo)=டுo முழமாம்.
கூஉ இரண்டு சகோதரங்களின் வயதை ஒன்றுய்க்கூட் தோகை (சடு), பெருக்கக் குணிதம் (டுoo) எனில் அந்த கோதரங்களின் வயதென்னென்ன?
விடை உடு; 20
கா. ஒரு வியாபாரி (சுஎடு) ரூபாய்க்குச் சில புடை வாங்கி ஒவ்வொரு புடைவையை (சஅ) ரூபாய் விற்றே ரு புடைவையின் விவல அவனுக்கு லாபமானுல் அந்த வி பாரி வாங்கின படைவை எத்தவன?
விடை 駐。
 
 
 
 

வர்க்க சமீகரன அதிகாரம். fĪTS GED
து. சில செட்டிகள் சரிசரியாகப் பணம் போடப் பொருந் (ஆஎடு) ரூபாய்க்கு ஒரு கர்ப்பூரப்பெட்டியை வாங்க, அவர் 2ள் இருவர் பொருந்திக்கோண்டபடி பணம்போடாதபடியால் ற்றச் செட்டிகள் தாங்கள் போடவேண்டிய பணத்திலும் ப பூப்பத்து ரூபாய் அதிகமாய்ப்போட்டுப் பெட்டியை வாங்கினு கர்ப்பூரப்பெட்டியை வாங்கின செட்டிகள் எத்தவன பெயர்!
விடை எ.
நடு நவநீதச் செட்டியொருவன் வெண்ணெய் வாங்கி(கூகூ) ாதனுக விற்றபோது கொள்விவல இலாபத்துக்கெப்படியோ படியே (கoo) கொள்விவலக்கிருந்தது. சேட்டிக்குக் கொ லிவல எத்தவனவராகன் !
eSeoLー po.
சு. ஒரு இடையன் சில ஆட்டை (எe) ரூபாய்க்கு இராசா ஆன் தவலயாரிக்கு விற்றபோது தவலயாரி வாங்கின ஆட்டோ (சு) ஆட்டைக் கூட வலாற்காரமாகப் பிடித்துக்கொண்டு போய்விட்டான். இந்த ஆருட்டையுங் கூட்டி விவலபார்த்த போது ஆட்டுக் கொவ்வோரு ரூபாய் தவலயாரிக்கு லாபமான இதன்முல், அவன் வாங்கின ஆடெத்தவன? ஒவ்வொரு ஆட் இக்கும் விவலயேன்ன?
விடை ஆடு கஅ. விவல ச ரூபாய்.
ஈஎ. (கஅ) கோல்நீளம் (க2) கோல் அகலமான பத்ம த ாதமொன்றைச் சூழ்ந்திருந்த பித்திகை ஏகத்துக்கு ஒரே அக லமும், பத்மதடாகத்தின் பரப்பெத்தவனயோ அத்தவன பரப்பு இடயதுமாயிருந்ததெனில், பித்திகை எத்தவன கோல் அகல முடையது!
EŚCaO). IF.
IFré9. இந்திரபுரத்தரசன் மாத்தாண்ட புரத்தரசவனக் கா ணும்படி இரதாருடனய் நாளொன்றுக்கு ஏழுகாதஞ்சென்று சுe) காதம் போனபோது அவ்வரசன் வரவைக் கேள்வியுற் ற மாத்தாண்டேசன் அந்தக்ஷனமே தானும் இரதாருடனுய்ச்
s சேல்லவேண்டிய தூரத்தின் () தூரம் ஒவ்வொரு நாளுஞ் சென்று ஒரு நாளிற் சென்ற காதம் எத்தனையோ அத்தவன தினுந்தத்தில் அரசவனச் சந்தித்தானெனில் இந்திரபுரத்துக்கு ம் மாத்தாண்டபுரத்துக்குமிடையான தூரம் எத்தவனகாதம் ?
விடை கடுசு. அல்லது எசு.
சுக கிருஷணன், இராமன் என்ற இரண்டு செட்டிகள் கூடி

Page 71
fR) வீசகணிதம்
(சகசு) வராகன் முதல்கட்டி வியாபாரம்பண்ணினபோது ஷணன் தன் பணத்தை (கூ) மாதத்துக்கும், இராமன் தன் னைத்தை (சு) மாதத்துக்கும் வியாபாரத்தில் விட்டுப் பின் ரவு செலவுக் கணக்கைப் பார்த்தார்கள். அப்படியே பார் போது முதலும் இலாபமுமாகக் கிருஷணனுக்கு (உeஅ) வ ஒனும், இராமனுக்கு (உடுe) வராகனுங் கிடைத்ததேன்றல் வ்வொரு செட்டியும் போட்ட முதல் எத்தவனவராகன் !
விடை ககூ8, 우
ச0. ஒரு சதுரமண்டபத்தைச் சுற்றியிருந்த வீதியின் ஆறு டங்கில் (e) கோவலத் தள்ளினுல் மண்டபத்தின் ஒரு நீட் ரும். இந்த மண்டபத்தின் நான்குபுறத்தில் நீட்டையும் (க கோவலயுங் கூட்டினுல் வீதியிலடங்கிய குழிவரும். அப்படி னல் மண்டபம் எத்தவன குழிகோண்டது ?
விடை உடுக
சக. ஒருவன் சூதாடினபோது சூதாடும்படி அவன் கொண் போன ரூபாய் எத்தவனயோ அத்தவன ரூபாயை முதலாட் தில் வென்று பின்னுந் தன்வசப்பட்ட ரூபாயின் வர்க்கமூல தோடைந்து ரூபாயைக்கூட்டிய அளவு இரண்டாமாட்டத் வென்று மூன்றமாட்டத்திற் றன்வசப்பட்ட ரூபாய்த்தொன் ன் வர்க்கமளவாய் வென்றன். அப்பொழுது அவன் வச த ரூபாய் (உஉடுசு.) சூதாட அவன் கொண்டுபோன ரூபா எத்தவன ?
බෝග - අය්. ச2. * இரண்டெண்ணின் அந்தரம் (அ) ம் அவ்வென் ன் வர்க்காந்தரம் (சoo) மாமேனில் அந்த எண்கள் யாவை
விடை உக, உக சா. ஒரு தடாகத்திலிருந்த அன்னக்கூட்டத்தினது வர்க் மூலத்தரையினது ஏழுமடங்கு மெல்ல மெல்ல நடந்து தடா த்தை நீங்க அங்கோர்பேடையஞ் சேவலும் மாத்திரம் 麗 றையொன்று கொத்திக் கொத்தித் தண்ணீரில் விளய கொண்டிருந்தன. அந்தத் தடாகத்திலிருந்த அன்னப்பட்சி ளெத்தவன ?
விடை கசு சச. ஒரேண்ணின் வர்க்கமூலத்தோன்பது மடங்கை அ வேண்ணிற் கூட்டத் தோகை (க2ச0) ஆமெனில் அந்த crung ? -
விடை கக
* ச2-சஎம் வினுக்களேப் பாஸ்கராசாரியர் செய்த லீலாவதியிலும் வீசகணிதத்
£6 ±∞ සී.
 
 

அநேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம். 「II「Fの子
ஒடு. கார்முகில் வரக்கண்ட ஒரு ஒதிமக்கூட்டத்தினது வர் :முலத்தினது பதின்மடங்கு சிறையடித்தெழுந்து மானதவா g#Cలోమీణ) அக்கூட்டத்தின் எட்டிலொருகூறு வாவிக்கரை திருந்த தாமரைக்கூட்டத்திலொளித்துக்கோள்ள எஞ்சின இறுசோடோ தண்ணிரில் விவளயாடிக்கொண்டிருந்தன. படியானல் ஒதிமம் எத்தனை?
விடை கசச து. கோபாக்கினி அழலும் நெஞ்சனுன அருச்சுனன்போர் கன்னவன வதைக்கும்படி சில அஸ்திரங்கவளக் கை லெடுத்து அவற்றின் அரைவாசியாற் கன்னனுடைய அஸ்தி தளச் சின்னபின்னப்படுத்தி, அவற்றின் வர்க்கமூலத்தின நான்மடங்காற்றேரிற்கட்டிய குதிரைகவள வீட்டிச், சாரதி திய சல்லியவன ஆறு அஸ்திரங்களாற் சங்கரித்து, மூன்றஸ் குடையையும், கொடியையும், வில் வலயுஞ் சிதைத் ஒரு அஸ்திரத்தாற் கன்னனுடைய சிரத்தை அறுத்தான். படியானல் அருச்சுனன் கையிலெடுத்த அஸ்திரமெத்தவன!
6ŚSOL a OO. ஒன. ஒருகூட்டங் தேனீயின் அரைவாசியினது வர்க்கமூலமு அக்கூட்டத்தில் () ம் மல்லிகைப்புஷபத்தில் வீழ்ந்திருக் இராத்திரியிற் குவிந்த தாமரைமலருட் கிடந்த ஒரு ஆணியினி ரிய கீதத்தைச் சிரவணஞ்செய்த பேண்ணியோன்று தானும் தற்கிசையக் கானஞ் செய்துகொண்டிருந்தது. தேனியெ தவன!
660L-e.
விக. அநேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம். Equations which contain two or more unknown quantities.) ாகக. பிர, வெள்வளச் சமீகரனத்தாலும், வர்க்க சமீகரன த்தாலும் ஏகாட்சரசமீகரணங்கவள மாத்திரமே சாதிகரிக்க விதிகூறினுேம். ஆனல்,
மறைநிலையிராசி ஒன்றுக்கதிகப்பட்டு அநேகமாக வருங் காலை சமீகரணத்தை அநேகாட்சர சமீகரன மேன்பர்.
அநேகாட்சர சமீகரனத்தை அநேக வர்ண சமீகரனமென்
வடநூலார் கூறுவர். உ-ம்.

Page 72
TP2 வீசகணிதம்
க. ஷ+ஸ்-கச
e e学一an)=e இவ்விடத்து ஷ, ஸ், என்பன மறைநிவலயிராசிப் பிரதி ளாம். இந்தச்சமீகரனங்கள் நிவலமாற்றல்,
6. என்றும் இவற்றின் வாமபாகம்
உ ஷ-2+ஸ் 5 ஆகையால், (கக) ம் சுயம்பிரமான
L (g-
உ+ஸ்-கச-ஸ் என்றும், நிவலமாற்றல், ஸ்-சு என் ம் வரும். இதில் (ஸ்) வுக்குப் பெற்ற அர்த்தத்தை முதற் சமீ னத்திற் பிரதிகரிக்க,
ஷ--சு-கச, என்றும், ஷ-அ என்றும் வரும்.
உா. பிர. இந்தப் பிரகாரமே மறைநிலையிற களின் அர்த்தங்களைத் தனித்தனியே நிச்சயித்துப் தச்சமீகரணங்களை வருவித்துச்சாதிகரிக்குமுறைை விமோசனகரணமென்பர்.
விமோசனகரணத்தை க்வது சமானகரனம், ഖs. திகரணம், கவது சங்கலனவியவகலனம் என்ற மூன்று தியத்தால் முடிக்கலாம்.
உாக பிர. (க) இரண்டு மறைநிவலயிராசிகள் வரும்பே சமானகரனத்தால் விமோசனஞ் செய்யும்படி,
ဓါဒွါ. மறைநிலையிராசிகளிரண்டின் ஒன்றைத் தெரி கொண்டு சமீகரணங்களோவ்வொன்றிலுந் தெரிந் கொள்ளப்பட்ட மறைநிலையிராசியினது அர்த்தங் ளே நிச்சயித்து அவ்வர்த்தங்களை வாமதட்சிணபாக களாகப் பெறும் புதிய சமீகரணத்தைப் பிறப்பித் 3, G3, Teii. 2 -th.
e。十arcニcm e学一erDニae ஷ, ஸ், என்ற மறைநிவலயிராசிகளின் அர்த்தங்கவள நிச்சு க்கும்படி முதற் சமீகாணத்தில் (ஸ்) வையும், இரண்டாஞ்ச கரணத்தில் (ஸ்) வையும் நிவலமாற்ற,
a受ニ5cmーen) e。ニ与e十en) ட்சிணுங்கங்கவளப் புதுச்சமீகரனங்களாக்க,
கe--ஸ்=கசு-ஸ், என்றும் சாதிகரிக்க, ஸ்-கe, எ ம், (ஸ்) இன் அர்த்தமாகிய (se) ஐப் பிரதிகரிக்க,
I q. — c 2 sa TežkT muh seo. Elah
}ඉනෙකු அநேகாட்சர சமீகரனங்க
என்ற அநேகாட்சர சமீகரனங்களி
என்றும் (ஷ) வின் அர்த்தங்களாகிய
 
 

அநேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம். Tr.ே
வின. , 9. sh;6) cog - - ج........Y = ___ .م.م 岳 蠶} இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பண்ணு. glas-Hero=an, இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பன் டுஷ+உஸ-டுசு னு, 而·宁a学─eso=eb இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பன்
36A-H26m)-soo 9). 驴。 -*- இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பண்ணு. டூ டுஷ+அ=எஸ்
டூஸ+he-எஷ - உாe, பிர, (e) இரண்டு மறைநிவலயிராசிகள் வரும்போது
நிரதிகரணத்தால் விமோசனஞ்செய்யும்படி,
ဓါဒွါ. "
மறைநிலையிராசியின் அர்த்தத்தை ஒரு சமீகரன த்தில் நிச்சயித்து, அதனை மற்றச் சமீகரணத்திற் பிர திகரித்துக்கோள். உ-ம்.
ஷ+கஸ்-கடு
சஷ+டுஸ்-கe
முதற் சமீகரணத்தில் (ஈஸ்) ஐ நிவலமாற்ற ஷ-கடு-சு என்றும், (ஷ) இன் அர்த்தத்தை இரண்டாஞ்சமீகரனத்திற் நிரதிகரிக்க,
சுo-கஉஸ்+டுஸ்-he என்றும், சாதிகரணத்தால் ஸ்ஒ என்றும் வரும். ஆகையால் ஷ-கடு-க9-ா.
வினு.
* ee。十sm)=ae r ھے ہوئےg;f#{ھر جبراg=L++i; i + پرتیرے r چاہیے
உஷ+சஸ=eஅ இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பண்ணு. ... 9. 56m), e-rel is -
GT 麓二 இவற்றுக்கு அர்த்தரிச்சயம்பண்ணு
அ. கஷ--கூஸ்-எe இவற்றுக்கு அர்த்த நிச்சயம்ப
சஷ+டுஸ்-ககசு ண்ணு.
e卒十色ospニaage இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம் نه .
으 பண்ணு.
三
இவற்றுக்கு அர்த்தரிச்சயம்புண்ணு
என்புழி,
உஷ--கூஸ்-8உச s
உா. பிர. (க) இரண்டு மறைநிவலயிராசிகள் வரும்போது சங்கலன வியவகலன கிர்த்தியங்களால் விமோசனஞ்செய்யு ம்படி,
-

Page 73
「エー வீசகணிதம்
வினு, மறைநிலையிராசிகளினேன்றைத் தரித்திருக்கி ற உறுப்பு ஒரு சமிகரணத்திலேத்துணைத்தாயிரு றதோ அத்துணைத்தாய் மற்றச் சமீகரணத்திலும் ருக்கும்படி பெருக்கல், பிரித்தல் என்ற கிர்த்திய களால் இயற்றியபின், இந்த மறுைநிலையிராசிகளே டு கூடிநிற்கின்ற உறுப்புகள் சமான்சின்னமுடை னவானுல், சமீகரணங்களை ஒன்றிலொன்று களைக் ம், வேற்றுச்சின்னமுடையன்வானுல் அவற்றை ன்றயக் கூட்டியுங்கொள்க. உ-ம்.
gela -4-5F6MD-elo :- ) என்புழி, முதற் சமிகரணத்தை (e) ஆற்பெருக்க, சஷ+அஸ 61 537յplaud5ւն.
இதில் மறைநிவலயிராசியோடு கூடி நிற்கின்ற உறுப்பா (சஷ) இரண்டாஞ்சமீகரனத்தில் இருக்கின்ற (சஷ) ப்பட்டதினுலும் இவ்விரண்டுறுப்புகளுஞ் சகசின்னம்பே மானராசிகளானதினலுஞ் சமீகரணங்கவள ஒன்றிலொ ବିନୀ ଶt.
araş--e6m)=eo சஷ+டுஸ்-eஅ
கஸ்-கe என்றும்,
6f)og என்றும் வரும். (ஸ்) இன் அர்த்தத்தைப் பிரதிகரிக்க, ஷ-உ என் ශීubබූth,
ea学十eroニácm 蒿±蒿} என்புழி, இரண்டாஞ்சமீகரணத்தை (ஈ) ஆற்பிரிக்க, ஷஎன்றும்,
சமப்பட்ட உறுப்புகளாகிய (ஸ்) (-ஸ்) வேற்றுச்சி பெற்றவையானதால், சமீகரணங்கவளக்கூட்ட,
e-s浮十empニscm
63-6s) ce. Fr63–5 o %)-5kr enir :
G学三á என்றும் (ஷ) இன் அர்த்தத்ை நதிகரிக்க, ஸ-ச என்றும் வரும்.
- - ۔۔۔۔۔۔ع۔ ۔ ۔ , + O40ی۔ بے.re, , , + r? air firm 9 mill 2R
 
 
 
 
 
 

அநேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம். ராடு
அத்திலிருப்பதுபோலவே மற்றச் சமீகரணத்திலுமிருந்தால்
ருக்கவாவது, பிரிக்கவாவது வேண்டியதில் வல.
వో@. áo キa学十cmerDニ@o இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பண்
ma学ーmerDニcm éa cme。十een)ニme இவற்றுக்கு அர்த்தநிச்சயம்பன்
டுஷ--சஸ்-சுஅ னு. ée 宇a熱ー字Oニー&Pen) இவற்றுக்கு அர்த்தகிச்சயம்
*二臀 பண்ணு. நா. ஒரு நாயகி தனது பாங்கியை நோக்கி என் நாயகன் எ துணை மணம்புரிய (எ) வருடத்துக்கு முன் அவருடைய வயது ாது வயதின் மும்மடங்காயும், மணம் புரிந்து எழுவருடஞ்செ றபின் அவருடைய வயது எனது வயதினிரட்டியாயுமிருந்தா பாங்கியே நாங்கள் மணம்புரிந்தபோது, எங்களிருவருடை வயதுகளென்னென்னவென்று சொல்வாயாகவென்குள். ாறுதன் நாயகி இவர்களிருவருடைய வயதுகளும் யாவை !
விடை நாயகன் வயது சக. நாயகிவயது 5. து போர்முகத்திலெதிர்த்த இரண்டு சேவனயின் பதாதித் தொகை (உக,ககo) பெரிய சேவனயின் பதாதியை இரட்டித்து சிறிய சேவனப்பதாதியின் மும்மடங்கோடு கூட்ட (டுe,உஇசு) தொகையாம். இப்படியானற் பெரிய சேவனப்பதாதி எத்
விடை சுகக்கக. ஆடு, ஒரு தடாகமத்தியில் நிறுத்தியிருந்த தம்பத்தினது சல தின் கீழ்ப்பட்ட கூற்றின் மூன்றிலொருபங்கையுஞ் சலத்தின் மேற்பட்ட கூற்றின் ஆறிலொருபங்கையும் ஒன்ருய்க்கூட்டத் தொகை (உஅ) ம்; கீழ்க்கூற்றின் ஐந்து மடங்கில் மேற்கூற்றின் ஆறுமடங்கைத் தள்ளச் சேடம் (க3) மானுல், தம்பத்தின் நீ ளம் எத்தவன முழம் !
ఇ66L ఇంg.
சு ஒரு பின்னபோகத்துடன் (ச) ஐக் கூட்டப் பின்னுர்த்
至
E. - - - - - - - - gið (二) ஆகவும், ஆரகத்துடன் (எ) ஐக் கூட்டப் பின்னர்த்
ó 信) ஆகவும் வருமெனில் அப்பின்னம் யாது?
62C_ 豆
پ9 کے
கன இரண்டேண்ணின் தொகையையும் அந்தரத்தையும்

Page 74
窜下、5章 ਪੋਰ
பெருக்கக் குணிதம் (டு) ஆகவும், அவ்வெண்ணினது வர்க்க
களின் தோகையையும் அந்தரத்தையும் பெருக்கக் குணித
(சுடு) ஆகவும் வருமெனில் அந்த இரண்டெண்களும் யாவை
விடை 3, ஈ,
கஅ இரண்டெண்ணின் அந்தரமும், தொகையும்,குனித ம் முறையே (2,ா, டு) என்ற எண்கள் ஒன்றுக்கொன்று ப்படியோ அப்படியேயிருக்குமெனில், அவ்விரண்டெண்களும் UTഞഖ ' SSGG) aso, e
கசு, ஒரு சேட்டி (se) துலாங் கண்ட சுருக்கரையையும் (கூ0) துலாஞ் சருக்கரையையும், (க20) வராகனுக்கு விற் ன். பின்னேருவேவள யில் முன் விற்ற கிசயப்படியே (கூ0) லாங் கண்ட சருக்கரையும் (உடு) துலாஞ் சருக்கரையும் (கச வராகனுக்கு விற்றன். கெட்டி விற்ற கண்டசருக்கை சூ சருக்கரைக்குங்துலாமோவ்வோன்றிற்கு விவல எத்தவன
லிடை கூ, உ
20 பேடையுஞ் சேவலுஞ் சரிசரியாயிருந்த ஒரன்னக்க
த்திற் சில பேடை அன்னங்கள் ஒரு வேடன் வலயிற் பட்டி றந்துபோகச் சேடமாயிருந்த பேடையின் மும்மடங்கு, சேவல் னிரட்டிக்கு (கடு) ஐக் கூட்டினதற்குச் சரியாயிருந்தது. பில் லும் வெருெருவவலயில் (கடு பேடை அன்னம்பட்டி
(இ0) சேவல் அன்னக்கூட்டத்தோடு வந்து சேர்ந்தபோது, ( (கூ) க்கு எப்படி அதிகப்பபட்டிருக்கிறதோ, அப்படியே சே லின் தொகை பேட்டின் தொகையில் அதிகப்பட்டிருந்தது. ப்படியானுல், முதன்முதல் அன்னக்கூட்டத்திலிருந்த பேடை த் சேவலும் எத்தவன : முதன்முதல் வேடன்வவலயிற் பு
Jc੦L-3 !
කෝටෑතපු. ඇ9. පී.
உக. பறை ஒன்றுக்கு (எ) அணு விவலயான (உஅ) பை வரகோடே, பறையோன்றுக்கு (க) அணுவிவலயூான குரக் வினயும், பறையொன்றுக்கு (சe) அணு விவலயான கெல்வி யுங் கலந்து, கலந்த தானியத்தைப் பறையொன்றுக்கு (கo) முைடிய விற்கவேண்டுமேயானல் (கoo) பறை கலப்புத் எனியத்திற் குரக்கன் எத்தவன பறை நெல்லு எத்தவன பை இலக்கவேண்டும் ?
விடை குரக்கன், உ0 கெல் டு
உஉ ஒரு இடைச்சி பாவலயுந் தண்ணிரையுங் கலர் கலந்தபின் (சு) படிபாவலயும் (சு) படி தண்ணிரையுங் க் கலப்பாளேயாகில், ஏழேழபடிபாலுக்கு ஆருறுபடிதன் ம் (சு) படிபாவலயும் (சு) படி தண்ணிரையும் அதிலெ
 
 
 
 

அகேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம். ஈரான்
நாடுவாளேயாகில் ஆறுறுபடியாலுக்கு ஐவைந்துபடிதண்ணி rGD6, அவள் கலந்தபால் எத்தவனபடி தண்ணிர் எ gణ5rup * | r விடை பால் எஅ. தண்ணிர் சுசு.
2ாச. பிர. இதுவரைக்குங் கூறிய உதாரணங்களில் இரண் மறைநிஷலயிராசிகள் கலந்து வரப்பெற்ற சமீகரணங்களெ சாதிகரிக்குமுறையை விளக்கினுேமாயினும், h, ச, டு, முத பலம் பிேற நிவலயிராசிகள் விரவி வரப்பேற்ற சமீகரணங் :ளயும், முன்வணயவிதிகவளத் துவணயாகக்கொண்டு சாதிக தலாமென்றுணர்க பலமறை நிவலயிராசி வரும்போது ம நிவலயிராசிகளெத்தவனயோ அத்தவன தனிமைச் சமீகர ஆகளும் வந்தாலன்றி மறைநிவலயிராசிகளின் அர்த்தங்க வரையறைபெருவாம். 2ாடு. பிர. இவ்விடத்துத் தனிமைச்சமீகரனமேன்றது, ஒன்றிலொன்று பற்றின்றி வேவ்வேறு துறைகளை சார்ந்து பிறக்கின்ற சமீகரணங்களை. ஒரே துறையைப் பலருங்களில் விளக்குகின்ற ச நீகரணங்கள் பரிணும சமீகரணங்களாம். ஆகவே, ஒருபிரினுமசமீகரனம் வேருேரு பரிணும சமீகரணமாக ம மேன்றும், ஒரு தனிமைச்சமீகரணம் வேறெரு தனிமைச்ச நேரணமாக மாகுதென்று மறிக. உ-ம்.
Fーa亭ニer) இவ்விரண்டு-சமீகரணங்களும் (ஷ) ஐ ஈ-ஸ்+ஷ நிவலமாற்ற ஒன்றினின்றென்று பிறக்குமா தலால், பரிணுமசமீகரணங்களாம்.
F-6} = 6 இவை ஒன்றினின்றென்று பிறவா ஆ+ஷ-உஈஸ் மல் வேறுவேருன் துறைகளச் சார்க் து நிற்கின்றபடியால், தனிமைச்சமீகரன்ர்ங்களாம்.
சஷ-சுட்சஷே-சு. என்றிப்படி, வாமதட்சிண பாகங்களாவது பலசமீகரணங்க ாவது ஒரேருடத்தில் அமைந்துகிடக்கில் இவற்றை அத்துவைத சமீகரணம் அதாவது ஒருமைச் சமீகர ESOTG un 6ồT GOT GJITử.
உாசு. பிர. மூன்று மறைநிலையிராசிகள் மூன்று தனிமைச்சமீகரணங்களில் விரவிவருமாயினும், ப லமறை நிலையிராசிகள், எத்தனை மறைநிலையிராசிக ஞளவோ அத்தனை தனிமைச் சமீகரணங்களில் வி ரவிவருமாயினும் அவற்றைச் சாதிகரிக்கும்படி,
மறைநிலையிராசிகளை ஒவ்வொன்றுய் விமோசனி

Page 75
TIF, p. வீசகணிதம்
த்துச் சமீகரணங்களின் தொகையைச் சுருக்கி வ மறைநிலையிராசியை மாத்திரங் கலந்து நிற்கின்ற ரு சமீகரணத்தைப் பிறப்பித்து அர்த்தநிச்சயஞ்ெ @.--l.
க, ஷ+டுஸ்+சுன-டுக.
နိုုးနှီး=း{ என்புழி, a浮十ep十6or=ae 。 ஷ, ஸ, ன, என்ற மறைநிவலயிராசிகளுக்கு அர்த்தம் எ
50, இரண்டாஞ் சமீகரனத்தை முதற் சமீகரணத்திலிருந்தும் ன்குஞ் சமீகரனத்தை இரண்டாஞ் சமீகரணத்திலிருந்து ՋՏՈ Լյ,
ニsm)十cmeor=em உஸ்+உன~கஅ ! இவ்விரண்டு சமீகரணங்களிற் கீழ்ச்சமீகரனத்தை மே மீகரனத்திற் கவளய, ன-டு என்றும் வரும்.
கடைசியில் வந்த சமீகரனத்தில் (ன) ஐப் பிரதிகரித் சாதிகரிக்க,ஸ்-சை என்றும், “ மூன்றுஞ்சமீகாணத்தில் (ன)(ஸ்) என்பனவற்றைப் கரித்து நிவலமாற்ற, ஷ-h என்றும்வரும்.
என்றும்,
F. ཚོ་ è十阿十琶 D Fa e e sm)十e、十のニa என்புழி,
m Gro十a。十gorニae g er)十の十gorニao ஷ, ஸ, ன, ற, என்பனவற்றின் அர்த்தங்கள் யாவையேன
டு. முதற் சமீகரனத்தின் பின்னருபைக் குண்னகிர்த்திய தாலொழிக்க,
ஷ+உன+ற-கசு என்றும், சு. இரண்டாஞ் சமீகரணத்தை மூன்றஞ் சமீகரனத்திற் ՀՀ577 Ա,
ன-றEக என்றும், எ. நான்காஞ் சமீகரணத்தை மூன்றுஞ் சமீகரனத்திற் லிெய,
ஷ-ற-2 என்றும் மூன்று சமீகரனங்களா அ, ஐந்தாவதையும் ஆறுவதையுங் கூட்ட,
ஷ+கன-ககம் என்றும், சு. ஏழாவதை ஆறுவதிற் கவளய
-ஷ+ன-க என்றும், இரண்டு சமீகரனங்களாம்.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

அநேகாட்சர சமீகரன அதிகாரம், நாங்க
ஆறு. எட்டாவதையும் ஒன்பதாவதையுங் கூட்ட,
சனEஉ0 அல்லது ன-டு என்றும், த எட்டாவதுநிலைமாற்றல்,ஷ-ககூ-கன-ச என்றும், 32. மூன்றுவது நிவலமாற்ருல் ஸ்-க9-ஷ-ன-ா என்
நி1 ്. இரண்டாவது நிவலமாற்றல், ற-கூ-ஷ-ஸ்-9, எ 3றும், அந்தந்த மறைநிவலயிராசியின் அர்த்தம் நிச்சயப்பட்
as夢2575エ李・ (ான பிர, இவ்விரண்டு சமீகரனங்களும் மூன்றும் விமோ ன விதிப்படி சாதிகரணமடைந்தவாயினும், அவை மற்றிரு தியானுஞ் சாதிகரணமடையவும் பெறுமாதலால் முன்போன ற்றும் வினுக்களுக்கும் பலவாறு விடையறியலாமென்பது வெ சிற்படையாம். முன் எடுத்துக்காட்டின உதாரணங்களிற்றெ ந்ேதமுறைகளே அவ்வவ்வினுக்களுக்குச் சிறந்த சுருங்கிய மு இறகளென்றெண்ணவேண்டாம். விதிகவள உதாகரித்து வி ாக்குவதற்கேயன்றிச் சூட்சமான விதிகளை உணர்த்துவதற்கு ாந் கருதியதில்வல. இன்னின்னவிதியே தகுந்ததென்று வ ஒரயறைசெய்து கூறுவது ஏலாதாயினும், கணிதரின் விவேக ாதவனயால் அந்தந்த வினுக்களின சுருங்கிய சூட்சமான மு றைகளும், அவற்றின பற்பல துறைகளும் அறியப்படும். உ-ம்.
ஷ, ஸ, ன, ற, என்ற நான்கு எண்களில்,
முதன் மூன்றையுங் கூட்டியதொகை, O5. Fr. முதலிரண்டையும ஈற்றெண்ணையுங் கூட்டியதோகை-கள் முதவலயும் ஈற்றிரண்டையுங் கூட்டியதொகை, 53% بقیہ ஈற்றெண்மூன்றையுங் கூட்டியGதாகை, C9 g,
அந்த எண்கள் யாவையெனில், கான்கெண்ணின் தொகை க்கும் (ஆ) ஐப் பிரதியாக வைத்தால்,
@ーのニá戸。 @ー55『ニ与G @一erpニ生や
ரூ-ஷ-eக என்றும், சமீகரணங்களெல்லாவற்றையுங் கூட்ட,
チ5ー(○十5cr十en)十as)ニーチ。 அதாவது, சஞ--ரூ- சுசு என்றும்,
ரூ-eா என்றும் வரும். இதனைப் பிரதிகரிக்க,
emーのニam 。 (ற-கe என்றும்,
உh-ன-க எ , ன-சு என்றும்,
2h-)ெ-ஐ அ -ಲ್ಲGಣ 5UTC) என்றும்,
,ஷ=e என்றும் 11 ܧܸܧ-ܒܣ̣6-ܗ̄em
ճաժ510 -

Page 76
f母ü வீசகணிதம்
ஸ்2. அநபாத அதிகாரம்.
Proportion.)
உாஅ பிர, ஒன்றற்கொன்று சமமாயாவது பெரிதாய சிறிதாயாவது வருஞ் சில இராசிகளின் சம்பந்த சார்புகள் கொண்டு கருதிய இராசியைக் கிரகித்துணர்வதே கணிதகி யங்களினது முடிபாகையால், அம்முடிபை அடைவிக்கின் மீகரனத்தையும், அநுபாதத்தையும் நன்குணர்தல்வேன் சமீகரணத்தால் மறைநிவலயிராசிக்குக் தெரிநிவலயிராசிக்கு டையே சமத்துவம் பிறப்பித்து அர்த்த நிச்சயஞ்செய்தோம் னல் மறைநிவலயிராசிகளும் தெரிநிவலயிராசிகளும் ஒன் கொன்று சமமாய் வராமல் ஒன்றற்கொன்று ஏறிக்குறைந்து குமிடத்து மறைநிவலயிராசிகளின் அர்த்தத்தை நிச்சயஞ்ே ய்யும்படி அநுபாதவிதிகவள் அறிதல்வேண்டுமாதலில் இந் அதிகாரத்தால் அநுபாதத்தை விளக்குகின்றுேம்,
விகிதம். உாகூ பிர, இராசிகளோன்றற்கொன்றேறிக் s றைந்துவரும்போழுது அவ்வேற்றத்தாழ்ச்சி எத் ணைத்தேன்றுணர்த்துவதே துவோஅது விகிதமாம்
அந்தர விகிதமென்றும், அரனவிகிதமென்றும் விகிதம் 2 ண்டுவகைத்து. இவற்றுள்,
அந்தர விகிதமேன்பது இரண்டிராசியை ஒன் லோன்று களைந்த சேடமாம். உ-ம்.
டு h அல்லது, டு-ரு என்புழி (ஈ) ஐ (டு) இற் கள த சேடமாகிய (2) அந்தரவிகிதமாம். (டு) க்கும் (ஈ) க்கு இடையே ( . . ) இப்படி அல்லது (-) இப்படி நிற்கின்ற ன்னங் கழிப்பறிகுறி.
(டு) ஐயும் (ஈ) ஐயும் உறுப்புகளென்பர்.
அந்தரவிகித உறுப்பிரண்டையும் ஒரே இராசிய ற் பேருக்குவது, அல்லது ஒரே இராசியால் அரிப்பு து விகிதத்தை அவ்விராசியாற் பேருக்குவது அல்ல து அரிப்பதற்குச் சமமாம். உ-ம்.
ஆ-ஈ-ர என்புழி, (ண்) ஆற்பெருக்க, ஆன-ஈன=ரண என்றும் (ண்) ஆலரிக்க,
r ..........= "___.........:حمہ சிதையாதுவ تقالطۃ التقویصلى الله عليه وسلم LD-4 65 للزلے آ56 67 بجے تبدیجیے --- بنتیجے (கம், சம், சுயம்பி)
 
 
 
 

அநுபவித அதிகாரம்.
ால், பிர, ஒரு அந்தரவிகிதத்தின் உறுப்புகளெ வேருெரு அ ரவிகிதத்தின் உறுப்புகளோடுமுறையே கூட்டினலும்,அவற் ற முறையே கவனந்தாலும், அவற்றின் தொகையுஞ் சேடழ 'வ்விரண்டு விகிதத்தின் தொகைக்குஞ் சேடத்திற்குஞ் சம ாறிருக்கும். உ-ம். -
露二寛| என்பன இரண்டு விகிதங்களாமேனில் இவ 逐ー3 「リ_リー (勢十●)一(千十リ=リー*)十 际一雯 *、臀二@一蟹亡倭)= -ஈ)-(ஒ-ஐ) என்றுஞ் சமத்துவஞ் சிதையாதுவரும்.
2ாடுக. பிர, இரண்டிராசியில் ஒன்றை மற்றதற் ஐந்து பேற்ற பலத்தால் விளக்கப்படும் இராசிச்சம் ந்தமேது அது சகரணவிகிதமாம். உ-ம்.
2
அ, ச, என்ற இராசிகளில் (அ) ஐ (ச) ஆலரித்தபலம்(3). ஆதல ல் (அ) க்கும் (ச) க்குஞ் சகரணவிகிதம் (e) ஆம். இவ் றுவிகிதத்தைப் பிறப்பித்த உறுப்பிரண்டையுஞ் சோடு என் நம் தவிதயம் என்றும், தவிதயத்தின் முதலுறுப்பைப் பூருவம்
ன்றுங் கடையுறுப்பை அபரமென்றுஞ் சொல்லுவர்.
2002 பிர சகரனவிகிதத்தை வரிவடிவில் விளக்கும் வி தம் இரண்டு. பூருவத்தைப் போகமாகவும், அபரத்தை ஆரக ாகவுமுடைய பின்னருபம் ஒருவிதம். பூருவத்துக்கும் ஆபரத் துக்குமிடையே இரண்டுபுள்ளி நிற்கப் புேற்ற வடிவம் மற்றவி தம் --
ஆ வுக்கும் (ਜ) க்கும் உள்ள சகரனவிகிதம் 雲) ਪੋ6
তু, (গু : FF)
2ாயா. பிர, பூருவம், அபரம், விகிதம் என்றிம்மூன்றனுள் ாதேனு மிரண்டையறிந்தால், மூன்றவதையுமறியலாம். எ
- ப்படியென்ருல்,
பூபூருவமேன்றும்
ஆ, அபரமென்றும்
வி, விகிதமென்றுங்கொண்டால்
லி - என்ற சமீகரணம் பிறக்கும் பிறக்கவே பூருவ த்தை அபரத்துக்கீய விகிதமாம். இந்தச் சமீகரணங்குணனத்
=ஆவி என்றும், பாககரத்தால்
线
勢= 불 என்றும் வருமாதலால்

Page 77
『字三- வீசகணிதம்
அபரத்தை விகிதத்தாற் பேருக்கிப் பெற்ற பூருவமென்றும், பூருவத்தை விகிதத்தாலரித்து ற்றபலம் அபரமேன்றுங் காணலாம். ஆகைய
இரண்டு துவிதயத்திற் பூருவமும், பூருவமும், அபரமும், மும் முறையே சமமானுல் அவ்விருதுவியத்தினது விகித மொன்றற்கொன்று சமமாமென்பது வேளிப்படை,
2. அப்படியே இரண்டு துவிதயத்தின் விகிதங்கள் சம ருக்க, பூருவமும், பூருவமுஞ் சமமானுல், அவற்றின் அபு அபரமுஞ் சமமாமென்றும், அபரமும், அபரமுஞ் சமமானும் வமும், பூருவமுஞ் சமமாமென்றுங் காணலாம்.
2ாயச. பிர, பூநவமும் அபரமும் ஒன்றற்கொன்று சம ல் விகிதம் (3) ஆம். உ-ம். கXசு கஅ=க, இந்த த்தைச் சமவிகிதமென்பர். பூருவம் பெருத்து அபரஞ் ச ல் விகிதம் (க) க்கதிகப்படும். உ-ம். கஅ : சு-ந. விகிதத்தைப் பெரியதாரதம்மிய விகிதமென்பர். பூருவஞ் த்து அபரம்பெருத்தால் விகிதம் (க) இற் குறையும். உ
9. 2 க = இந்த விகிதத்தைச் சிறியதாரதம்மிய விகி ன்பர்.
உாயடு. பிர, இரண்டிராசியின் விலோமரூபங்கள் பூருவ அபரமுமாக வருமிடத்து விகிதம் விலோம விகிதமாம். உ
** 。 - இது (சு) க்கும் (சு) க்குமுள்ள விலோமவிகி موrr: پہیے DTō. 를 இது (ஆ) வுக்கும் (ஈ) க்குமுள்ள சுபாவவி பூருவத்தை அபரத்துக்கீந்தபலம் சுபாவ விகிதமென்று காண் iiiiS S S S S S S YSY age ஆ" ஈ. ஆ இது Para تھی. y 6D62قے بھی சிகளின் விலோமவிகிதமாம். ஆகையால் அபரத்தைப் பூ த்துக்கிந்தபலம் விலோமவிகிதமென்க. சுபாவவிதிதம் பி. னருபியானவிடத்து அந்தப் பின்னத்தைக் கீழ்மேலாக மாற்றி ம், அது புள்ளிகளினுலே விளக்கப்பட்டிருந்தால், பூருவ அபரமாகவம், அபரத்தைப் பூருவமாகவும் மாற்றியும் வின்ே விகிதம் பெறுவதென்றுகாண்க.
உmயசு பிர, இரண்டு துவிதயமாகுதல் இரன்டின் மேற் ட பல துவிதயமாகுதல் வருமிடத்து அந்தத் துவிதயங்களி ருவங்க வளப் பேருக்கி ஒரு ரூபமாகவும் அபரங்கவளப் பெ வேருெருருபமாகவும் வைத்தால், இந்தப் பூருவ அபரகுனி கள் ஒன்றற்கோன்று பொருந்திநிற்கும் விகிதத்தைக் குை விகிதமேன்பர். உ-ம்.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

அநுபாத அதிகாரம், 罹T子円
; g ニ ? இவை தனித்துவிதயங்கள்.
22
2 கe=சு. இது குணவிைகிதம். ஆயின. பிர, ஒரு விகிதமாலிகையில் ஒவ்வொரு துவிதயத்தி பரமும் முறையே அதற்குப் பிந்தின துவிதயத்தின் பூருவமா ரில், முதற்றுவிதயபூருவத்துக்தங் கடைத்துவிதய அபாத் குமுள்ள விகிதம் எல்லாத்துவிதயங்களின் குணனவிகிதத் 鲑5芭 சமமாம். உ-ம்.
FN ဓ၈ | என்ற விகிதமாலி . . . . - 剪 தமாலிகையில் ஆ த, எ ཧ་ ့် ငါးနှံ முதற்கடைவிகிதம்,
5晃
參河?g5:實@黑*愛 என்ற குணனவிகிதத்திற்குச் நம்ாம். எப்படியேனில், மேவலப்பிரகாணப்படி,
རྒྱ་མཚོའི་ என்பது குணனவிகிதமாகவே, அது 塾 என்று බහී(5ණි. * Dازق لیاقت
அ. பிர, ஒரு தனிவிகிதந் தன்னைத் தன்னுற் பெருக்க பெறின், வர்க்கமுதலியன பிறக்கும். எப்படியென்றல் ஆ
என்ற தனிவிகிதத்தை ஆ ஈ, என்ற தற்ைறுக்க ஆ.ே , என்ற வர்க்கவிகிதம் பிறக்கும். இம்முறையே இன்னும் இருக்க, ஆக ஈக , என்ற கனவிகிதமும், ஆச ஈ ச, என்ற ஆர்க்கவர்க்கவிகிதமும் பிறக்கும். பிறவுமன்ன. இந்த வகை ரே விகிதஉறுப்புகள் வர்க்கமூலம்பெற்றுவரில் அதவனத்துவி நிறுவிகிதமென்பர். உ-ம்.
/ஆ: Vஈ, கனமூலம்பெற்றுவரில், திரிதியமூலவிகிதமே 动uf,g_一ü。
/ஆ: k/ஈ. வர்க்க வர்க்கமூலம்பெற்றுவரில், சதுர்த்தமூ இலிகிதமீென்பர். உ-ம்.
/ஆ: டி/ஈ. பிறவுமன்ன.
உால்க, பிர, சகரணவிகிதங்கவளப் பின்னருபமாக வரை புமிடத்துப் பூருவம் போகமாயும் அபரம் ஆரகமாயும் நிற்குமாத லால், அப்பின்னர்த்தமே விகிதமேன்பது வெளிப்படை ஆ 605ਘTਕੇ -
ஒரேயி ராசியினலே பூருவத்தையும் அபரத்தைய ம் பெருக்கினலும் அரித்தாலும், விகிதம் விகாரமுரு

Page 78
፲፫5፦ë வீசகணிதம்
தென்றும், பூருவத்தைமாத்திரம் பெருக்குவது ல்லது அரிப்பது, விகிதத்தைப் பேருக்குவது 36। து அரிப்பதற்குச் சரியேன்றும், அபரத்தை Լճո5: ம் பெருக்குவது விகிதத்தை அரிப்பதற்கும், 3. தை மாத்திரம் அரிப்பது விகிதத்தைப் பெருக்கு ற்குஞ் சரியென்றுமறிக. (எஎ பிர)
உாஉல். பிர, ஒரே விகிதத்தையுடைய இல் துவிதயங்களின் பூருவத்தைப் பூருவத்தோடும், பரத்தை அபரத்தோடுங் கூட்டினுலும், பூருவத் பூருவத்தையும் அபரத்தில் அபரத்தையுங் களை லும், விகிதம் விகாரமுருது, உ-ம்.
苓 என்ற இரண்டு துவிதயத்தின் விகிதங் ஐ ஒ சி ஒன்றேயானல், பூருவங்களின் தொகைய (ஆ+ஐ) உக்கும், அபரங்களின் தொகையாகிய (ஈ+ஓ) கும் விகிதமும் அதுவேயாம். எப்படியெனில்,
를 =름 ஆகையால் சமீகரணத்தை (ஈ) ஆலும் () லும் பெருக்க,
ஆஒ=ஈஐ, என்றும், (ஐஓ) என்பதை வாமதட்சிண்பா ளிற்கூட்ட,
ஆஓ+ஐஒட்ஈ8+ஐஓ, என்றும் (ஓ) ஆலரிக்க,
。FF安十& 令十3= 6 என்றும், (ஈ--ஒ) ஆலரிக்க 器—亲 (= 를) என்றும் வரும். இவ்வாறே 蠶 என்ற சமதுவிதயங்களுக்கு,
를 என்ற அந்தர துவிதயஞ் சரியாமெனச் சித்த ஈ-ஒ8 தப்படுத்தலாம். இன்னும் ஒரு உதாரணம் வருமா கடு : டு என்ற விகிதம் = க என்புழி, கூட்டல், கவு
சு க என்ற விகிதம் = க தலினல். கடு+க = டு+க, என்ற விகிதம் = க கடு-க டு-ா, என்ற விகிதம் = எனவரும) இரண்டு துவிதய உறுப்புகவள முறையே கூட்டினுல், விக் விகாரம் வராதென்ருேமாயினும், அநேக துவிதயங்கள் வருமி த்து, அவற்றை இரண்டிரண்டு துவிதயங்களாகக் கொள்ள மாகையால், அவையும் இவ்விதியில் அடங்குமென்றறிக. எ படியென்முல்,
 

அங்பாத அதிகாரம். tடுக ாஉக. பிர, பல துவிதயங்கள் சமவிகிதமுடைய வாய்வரில் சர்வபூருவங்களின் தொகைக்குஞ், சர் அபரங்களின் தொகைக்குமுள்ள விகித மெதுவோ
리 : Fr = 의
13 - என்புழி, சு : h = 2 ) (ae十so十e十*):(cm十@十チ十cm)== 5cme5。
விகிதவினு. த, கக: க, என்ற விகிதமோ, சச கூடு, என்ற விகிதமோ
2. ஒரு துவிதயத்தின் பூருவம், (சுடு) விகிதம் (கஅ) என்று $, அபரம் யாது?
சு. ஒரு துவிதயத்தின் அபரம் (எ). விகிதம் (கஅ) என்றல்
வம் யாது? ஓ, க எ; உஆ : டுஈ; (எஷ+க) (ஈஸ்-2) என்பன ற்றின் குணனவிகிதம் யாது?
خ
டூ டுஷ+எ 2ஷ-கூ; ஷ+2 : ; ஷ+ா, என்பனவ ற்றின் குணனவிகிதம் பெரியதாாதம்மிய விகிதமோ சிறியதார் நம்மிய விகிதமோ ?
சு. ச கூ, என்பதின் வர்க்கவிகிதத்தையும், h = 2 என் பதின் கனவிகிதத்தையும், எ டு, என்ற தனிவிகிதத்தோடே பெருக்கினல், வருங் குண்னவிகிதம் யாது ? .
அநுபாதம்.
உாஉஉ பிர, அநுபாதமென்பது விகிதசமத்துவ மாம். -
அது அந்தராநுபாதமென்றும், சகரனுநூபாதமென்றும் இர ண்டுவகைத்து.
அந்தராங்பாதமேன்பது அந்தரவிகிதங்களின் ச மத்துவமாம். உ-ம்.
சு, ச, கo, அ, என்ற எண்களில் (சு) க்கும் (ச) க்குமுள்ள அந்தரமே (கo) க்கும் (அ) க்குமுள்ள அந்தரமாகையால் இ வை அந்தராநுபாதமாம்.
13 :

Page 79
証T子5) - வீசகணிதம்
சகரணுநபாதமென்பது சகரணவிகிதங்கள் மத்துவமாம். உ-ம்.
சு, 2, கa, ச, என்ற எண்களில (சு) ஐ (உ) க்கீந்த (க3) ஐ (ச) க்கீந்த பலத்திற்குச் சமமானதால் இவை ச நுபாதமாம்.
உாஉக. பிர, அநுபாதத்தை விளக்கும்படி துவிதயங்க டையே (=) இப்படிச் சமத்துவசின்னமேனும் ( ; ) டி காற்புள்ளிவடிவமேனும் வரைவர். உ-ம். அ : சு = ச 9, அல்லது, அ கள் : : : ஆ ஈ - ஐ ஒ, அல்லது, ஆ ஈ ஐ ஒ க9 : சு - அ : ச, அல்லது, க9 : சுப் : அ ச இவை ச
* ????? உாஉச. பிர, அநுபாதங்களின் முதல் கடையுறுப்புகவி ந்தங்களென்றும், நடு உறுப்புகவள, மத்தியங்கள் அல்ல டைகளேன்றும், பூருவத்தையும், பூருவத்தையும் அல்ல பரத்தையும், அபரத்தையும் ஏகதையுறுப்புகளென்றும் ெ விதய உறுப்புகளாகிய பூருவத்தையும் அபரத்தையும் துல் வுறுப்புகளென்றுஞ் சொல்வர். மத்தியங்களுக்குச் ச யென்றும் பெயர்.
உாeடு. பிர, அநுபாதம் விகிதசமத்துவமாகையால் ولای ங்கள் இடம் மாறிவரினும் பொருள் விகாரமுறது. உ-ம. ஆ
ஐ ஓ, என்பதும், ஐ ஒ : ஆ ஈ, என்பதும் ஒரு ெ ளூடையன. மேலும் ஒவ்வொரு துவிதயம் இவ்விரண் டையதாதலால், அநுபாதம்பிறத்தற்கு வேண்டிய உறுப்பு நான்கிற் குறையா. ஆனல் நான்குறுப்புகளில் இரண்டு ஒரே ராசியாகவரும்பொழுது, அநுபாதம் மூன்றுறுப்புக்கொண்டு முடி மென்பாருமுளர். உ-ம. அ ச : : ச உ. இதில் மத்திய ளாகிய (ச) ம் (ச) ம், ஒரே இராசியாகையால், அநுபாதத் மூனறுறுப்புக்கொண்ட அநுபாதமென்பது. மூன்றுறுப்பு ண்ட அநுபாதத்தின் நடு உறுப்பைச் சமாநுபாத்தியமென் கடையுறுப்பைத் திரிதீயாறுபாத்தியமேன்றுஞ் சொல்ல மேவல உதாரணத்தில் (ச) சமாநுபாத்தியம், (2) திரிதீயா த்தியம். அநுபாத்தியமென்பது அநுபாத உறுப்பு.
உாஉசு. பிர. சுபாவவிகிதம் விலோமவிகிதத்தி குச் சமமாய்வரில் அந்தச் சமத்துவத்தை ನೌean நுபாதமென்பர்.
விலோமாநுபாதத்திற்கு வியஸ்தாநுபாதமென்றும் பெயர் Ֆ--LD ,
于 9 > இத வனப் பின்னருபத்தில் வரையா
를
 
 
 
 
 
 

அது பாத அதிகாரம் 「g Gエ
2 : காசு. விலோமமாய்; என்றிப்படி வரைவதுமுண்டு. இப்படி வரையுமிடத்து, முதலிராசி இரண்டாமிராசிக் கெப்ப இப்படி நான்காமிராசி மூன்றுமிராசிக்கென்றதாயிற்று.
உஎ பிர, சமவிகிதங்கள் ஒன்றையொன்று தோ ந்து மாலிகையாகவரில் அதனைத் தோடரநபாத நன்பர். உ-ம்.
-அ-அ-சு-சு-ச-ச-உஇது அந்தரதோடிரநுபாதம். து க9 : : he : கசு : கசு : அ : அ ச. இது சகரன |ကြီးနှီးမ္ဟန္တီး
ாஉறு. பிர. நான்கிராசி அந்தராநபாதமாய்வரில், ந்தங்களின் தொகை மத்தியங்களின் தோகைக்கு சமமாம். உ-ம். 参:*: g: ? GóLg (●十●)=(*十g) ●sh; g
யேனகுல், ஆ-ஈ = ஐ-ஒ நிவலமாற்றல், ஆ+ஓ = ஐ+ஈ என்றுவரும். மூன்றிராசி அந்தராநுபாதமாய்வரில் அந்தங்களின் தாகை சமாநபாத்தியத்தினிரட்டிக்குச் சமமாம். .bاسۓ
ஆ ஈ ஈ ஓ, என்புழி ஆ-ஈ = ஈ-ஓ என்ற சமீகர ஓம் பிறக்கும்; இது நிவலமாற்றல், ஆ+ஓ = 2ஈ; என்றுவ 芯。
சகரணுருபாதம்.
உாஉக. பிர. நான்கிராசி சகரனுநபாதமாய்வரில் அந்தங்களின் குணிதம் மத்தியங்களின் குணிதத்தி
குச் சமமாம். உ-ம். ஆ ஈ : : ஐ : ஒ, என்புழி
를
, என்றுங், குனனத்தால்
를
ஆல = ஈஐ, என்றும்வரும். இப்படியே, க9 : அ : கடு : கo; என்புழி seXகo = கடுXஅ, என்றுவரும். உாால். பிர. இரண்டிராசியின் குணிதம் வேறிர ண்டிராசியின் குணிதத்திற்குக்கமமாய்வருமிடத்து,

Page 80
  

Page 81
ர்டு) வீசகணிதம்
ஆ: ஈ ஐ ஓ, என்புழி, க. முதலிரண்டுறுப்பையும் பெருக்க,
மஆ மஈ ஐ ஒ, ଟା ଶୈify td, 3. ஈற்றிரண்டுறுப்பையும் பெருக்க,
9 : F : : D83 : LD68, 67619 (C, ஈ. பூருவமிரண்டையும் பெருக்க,
மஆ ஈ மஐ ஒ, என்றும், ச. அபரமிரண்டையும் பெருக்க,
ஆ மF: ஐ மஓ, என்றும், டு முதலிரண்டுறுப்பையுமரிக்க,
鸣。阿 -
ஐ ஒ என்றுமி, Art. ஈற்றிரண்டுறுப்பையுமரிக்க,
. . . . . ୫ - ବିଧି ஆ ஈ என்றும்,
எ பூருவமிரண்டையுமரிக்க,
ஆ 3
ஈ ஒ என்றும, அ. அபரமிரண்டையுமரிக்க,
Fশন
ஒ ஆ 8 , என்றும,
விகிதசமத்துவஞ் சிதையாமல் வந்தவாறு காண்க. யால் எல்லா உறுப்புகவளயும் விகிதசமத்துவஞ்சிதைய ஒரே இராசியாற் பெருக்கலாம், அல்லது அரிக்கலாமெ
GQJ Gfü LUGO). -2-b.
மஆ மF : : மஐ மல 을 . 한 . . 화 . 후 up * up * * up * up *)
h. ஒப்புமை: உாகசு, பிர, அநுபாத உறுப்புகளின் கிரமமாற்றலுஞ் ச பெருக்கல் அரித்தலினலுமன்றி அவற்றின் ஒப்புமையாலு புது அநுபாதத்தைப்பிறப்பித்துக் கணிதகிர்த்தியமியற்றல் ே ண்டிவரும். எவ்வாறெனில்,
இரணடு விகிதங்களினுெவ்வொன்றும் வேருே மூன்றும் விகிதத்துக்குச் சமமானுல் அவ்விரண்டு
கிதங்களும் ஒன்றற்கொன்று சமம~ம்.
 
 

அநுபாத அதிகாரம். f্যাটে8
தகவது சுயம்பிரமானத்தைக் காண்க.) உ-ம். a,令 円 - ஆ ஈ ஐ ஓ, என்று
ஐ ல் : : ம ந என்புழி : 多。参 F ° 吁 ஆ ஈ ஐ. ஒ) என்
::: என்பழிதீ, அர்த்தாபத்தி,
: F : : LD : 5 و و وجو ஆ :ஈ>ஐ ஓ, என்றுவரு
ந> 3  ை என்பு : மென்பது வெளிப்படை. அான பிர, இந்த உதாரணங்களில் முதலிரண்டுறுப்புகளு கடையிரண்டுறுப்புகளுஞ் சமமாய்வந்தாலும், (விகிதசம துவஞ் சிதைவுருமல் அநுபாதஉறுப்புகவளப் பலவாறுமாற்ற :டியபடியால்)இவ்விதமே வருதல் விகித ஒப்புமைக்கின்றி மையாத இலட்சணங்களென்றெண்ணவேண்டாம். எப்ப Guసోత్రమ; த. ஒவ்வொரு அநுபாதத்தினிரண்டு பூருவங்களாவது இரண் அபரங்களாவது சமஉறுப்புக்களாய்வரலாம். உ-ம்.
D 茎, 历 @
என்புழி இடைமாற்றல்,
D g 币 吓 12: என்றும், ஆகையால் | ஆ | ஒ ஐ ஈ. என்றும் மேவலப்பிரகாணப்படி வந்தவா
காண்க, 2. ஒரு அநுபாத பூருவங்கள் மற்ற அநுபாத அபரங்களுக்த சமமாயும் வரலாம். உ-ம்.
* 敦 历 F リャィ」r.○ リrr」r JA・ふ」A・ふい 3 : {0 ։ ։ 6P : என்புழி கிரமமாற்ருல்,
* : ஆ ஈ D - 5 *rms o R ජු : ඛ : ; up : (5 ) 67657д0 tр, 39,60 5 штат), ஆ ஈ ஐ ஓ, என்றும் முன்போல வருவது காண்க. ஈ. ஒரு அநுபாதத்தின் ஏகதையுறுப்புகள் மற்ற அநுபாதத் தின் துல்லிய உறுப்புகளுக்குச் சமமாய் வரலாம். உ-ம்.
; : Up ? : শিল্প * B । C. گر مبيعرشN என்பழி, கிரமமாற்றல், 3. , " : Մ) : In என்றும், ஆகையால், முன்போல, se 6 : : LD : El சமு ஆ ஈ ஐ ,ை என்றும் வரும்:
2ாகஅ. பிர, அநேக அநுபாதங்கள் வருமிடத்து, asaj Gaut; அநுபாதத்தின் முதலிரண்டுறுப்பாவது, ஈற்றிரண்டுறுப்பாவது

Page 82
  

Page 83
ாடுg வீசகணிதம்
3. அர்த். ஆ ஈ ஐ ஒ என்புழி, ஆ+ம ஈ ஐ+ ம ஈ : ந p ஒ. என்றுவரும்.
உாசக. பிர, ஒரு அநுபாதத்தின் இரண்டு துல் ய உறுப்புகளையாவது, இரண்டு ஏகதை உறுப்புக: யாவது மற்ற உறுப்புகளிற் கூட்டினுலும், களைந்: லும், விகிதசமத்துவம் அழியாதென மேலப்பிர னத்தாற் காணலாம். உ-ம்.
ஆ ஈ, ஐ ஒ 謹リ என்புழி, க. ஈற்றிரண்டுறுப்புகவள முதலிரண்டுறுப்போடுகூட்ட, 数リ 苓十罗:FF十


Page 84
ாடுகள் வீசகணிதம்
உாசச. (உாச2) ம் பிரகாணப்படி ஏகநாம உறு புகளைப் பெருக்கின பிரகாரமே, இரண்டநுபாதங் ளின் ஏகநாம உறுப்புகளை அரித்தாலும் விகிதச துவம் அழியாது. உ-ம்.
kri in &; en) p : 60T 676সৈLqup ;یے پے د?6.ئشۃ... FF .ڑھے ఐ crు ற 6T என்றும், E의 : Fr : : 9 : F,
ā 9 : 1 என்புழி,
59. t 89 5.
.Ih 61 637 մ) Ա. Ջ15ԼՐ : : .2 : بيتو
உாசடு பிர. விகிதசமத்துவஞ் சிதைவுருமல் அநுபாத உறு புகவளப் பலவாறு விகாரப்படுத்தல் கூடுமாயினும், மேலே ெ த்துக்காட்டிய விகாரங்களே முக்கியமானவைகள். அவை வையெனில்,
க. உறுப்புகளின் ஸ்தான்க் கிரமத்தைமாற்றுதலினுல் (பி. eாாrச.)
உ. சமராசியின் பெருக்கல் பிரித்தலினுல் (பிர. உறஈடு) சு. சம்உறுப்புகவளயுடைய அநுபாதங்களின் ஒப்புமை னுல், (பிர, உாகசு.)
ச. சமவிகித உறுப்புகவளக் கூட்டிக் கவள்தலினல் (பி. உாகக, உாசய.)
டு. ஒரு அநுபாதத்தை வேருெரு அநுபாதத்தாற் பேருக்கு தினல் அல்லது அரிப்பதினுல், (பிர, உாசe, உாசச.)
சு. அநுபாத உறுப்புகளின் காதகரணத்தால் அல்லது கிரகணத்தால் (பிர. உாசக.) உண்டாகும் விகாரங்களாம்
உாசசு, பிர். நான்கிராசி அநபாத உறுப்புகளா வரும்போது முதலுறுப்பு இரண்டாமுறுப்பிற் பே த்தால் மூன்றமுறுப்பு நான்காமுறுப்பிற் பெருத்தும் சமமானுற் சமமாயும், குறைந்தாற் குறைவாயு
355 LO. 2.---LD.
ஆ ஈ 8 ஓ. என்புழி ஆ>ஈ எனில் ஐ>ஓ g-R* 罗=印
ஆ<ஈ " ஐ <ஓ
க. அர்த் முதலுறுப்பு மூன்றமுறுப்பிற் பெருத்தால் இரல் டாமுறுப்பு நான்காமுறுப்பிற் பெருத்தும், சமமானுற் சமம
-

அநபாத அதிகாரம். m@6া
○法5『あ குறைவாயுமிருக்கும். முந்தின அநுபாதத்தினதி .மாற்றி உதாகரித்துக்கொள்க لل (60س 2. அர்த். ஆ ம ஐ ன என்பழி, ஆ=ஈ. ஆமெனில்
ம ஈ ன ஒ ஐ=ஒ பிறவுமன்ன.
இது அநுபாதஓப்புமையாலாவது விகிதகுனனத்தாலாவது நூறப்படும்.
அர்த், : UD : : 5 - - 而,乌T芦 '! என்பழி, ஆ=ஈ, ஆமெனி ; ஐ-ஒ. பிறவுமன்ன. இது விகிதகுணனத்தாற் பெறப்ப நடது. (உருடு பிர)
2ாசஎ பிர, நான் கிராசி அநுபாத உறுப்புகளாய் வரும்பொ 罗 அவ்வுறுப்புகளின் விலோமராசிகளும் அநுபாதப்படும்.
ஆ ஈ ஐ ஒ. என் புழி. 5 F. 5 る > - என்று வரும். இவ்விரண்டநூபா 多 F ଶ୍ରେଳ திசுளயும் சமீகரனுகாரமாக்க, ஐஈ-ஐஒ என்று வருதல் grórg。
அர்த். விலோம உறுப்புகவளச் சுபாவ அநுபாத உறுப்புகளா வும் மாற்றலாமென்பது வெளிப்படையாம்.
தொடர் அநுபாதம். 2ாது அ. பிர, இராசிகள் தொடரதுபாதமாய் வரும்போது எ லாவிகிதங்களும் ஒன்றற்கொன்று சமமாம். உ-ம். ஆ ஈ ஈ 8 : ஐ ஒ ஒ ல, என்புழி, ଓଁ : 'F1: "F : ୫୫, ୫ : ଦ୍ଵିତ; କି? : ல; என்ற விகிதங்களெல்லாம் ஒன்றற்கொன்று சமமாம். இந்தராசிகளில் முதலுறுப்புக்குங் நடையுறுப்புக்குமுள்ள விகிதம் இடையில் வந்த எல்லாவிகித ந்களின் குணிதத்திற்குச் சமமாம். (பிர, உாலன்.) உ-ம். SP را تنهٔ را ۶۴ م قبیله ی شهر کسر جبر بحر . ஆ ல, என்ற விகிதத்திற்கு, FF గg X 6) குணிதஞ் சமம், ஆனல் இந்தக் குணிதத்தின் குணுங்கங்க ளாகிய விகிதங்களெல்லாம் ஒன்றற்கோன்று சமமாகையா ல் விகிதம் எத்தவனயோ அத்தவனயாங் காதிதம் பிறக்கும்படி இவ்விகிதங்களிலொன்றைப் பேருக்கலாம், உ-ம்.
多、、、。罗、 G_曼”
言×言×落*高千。
என்
ஆகையால், உாசக பிர. மூன்று இராசிகள் அநுபாத உறுப்
புகளாய் வரும்போது முதலுறுப்பு மூன்றமுறுப்புக்
கெப்படி -


Page 85
ாடு அ வீசகணிதம்
இரண்டாமுறுப்பின் வர்க்கத்துக்கும், அல்லது ண்டாமுறுப்பின் வர்க்கம் மூன்ரும் உறுப்பின் க்கத்துக்குமாம். உ-ம்.
ஆ ஈ ஈ ஐ, என்பழி, ஆ ஐ ஆஉ ஈஉ , என்றும் , ஆ ஐ ஈ? : ஐ? , என்றும்வரும். பலராசிகள் தொடரநுபாத உறுப்புகளாயிருக்கும்போது விராசிகளவனத்தையும் வாமந்தட்சினமாக அடிதவலமாற் லும், விகிதசமத்துவஞ் சிதையாது. உ-ம்.
சுச, கூஉ, கசு, அ, ச, என்ற எண்களுக்கு (2) பொது மாம். இவ்விராசிகவள அடிதவலயாக மாற்ற, ச, அ, கசு
சுச, என்று () ஐப் பொதுவிகிதமாகப் பொருந்திவரும்: வே,
எந்த அநுபாதத்தை அடிதலையாகமாற்றினலு வருகின்ற அநுபாத விகிதங்கள் மற்ற அநுபாத வி ங்களுக்கு விலோமமாய் வருமென்று காண்க.
சுதியநுபாதம்.
உாடும். பிர, மூன்று இராசிகொண்ட அநுபாதி திலாவது, நான்கிராசிகொண்ட : முதலுறுப்புக்குக் கடையுறுப் பெப்படியோ, அப்பு டியே முதலிரண்டுறுப்புகளின் அந்தரம், கடையி ண்டுறுப்புகளின் அந்தரத்துக்காம் என்று இராசி ள் வருமெனில், அவ்வநபாதத்தைச் சுதியநுபா Gமன்னலாம். உ-ம்.
ஆ, ஈ, ஐ, என்ற மூன்றிராசிகள் சுதியறுபாதமாய்வரில், ஆ : ஐ : : ஆ-ஈ ஈ-ஐ, என்று நிற்கும். ஆ, ஈ, ஐ, ஓ, என்ற நான்கிராசிகள் சுதியதுபாதமாய்வரி ஆ ஒ ஆ-ஈ ஐ-ஓ, என்று நிற்கும். இப்படியே, க9, அ, சு என்ற மூன்றிராசிகளும், உ0, கசு, க9, க0 என்ற நான்கிராசிகளும் சுதியதுபாதம தல்காண்க.
சுதியநுபாதமாய் வருகின்ற நான்குறுப்பில், மூன்றையும் அ ந்துகொண்டால் நான்காமுறுப்பை எளிதில் அறியலாம். 2-ம் ஆ : ஒ ஆ-ஈ ஐ-ஓ என்ற அநுபாதத்தைச் சமீ астрпанотур,
 
 
 
 
 
 

அநுபாத அதிகாரம், ாடுக
ஆஐ-ஆஓ-ஆஓ-ஈஒ என்று வருமாகையால், இதில் வே ரடிய உறுப்பைச் சாதிகரித்து அறிந்துகொள்ளலாம்.-ஆஓ, 트 그E -
ன்பதை நிவலமாற்றி, (ஆ) ஆலரிக்க, ஐ=
ஆறு சாதிகரணமடைதல்காண்க.
உாடுக. பிர. சுதியநபாதமான மும்மூன்றிராசி நள் தொடர்ந்து பிறக்கின்ற மாலிகையைச் சுதியநுபா
மாலிகையேன்பர். உ-ம். ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, ங், ச, ஞ, ட, ண, முதலியன சுதியநுபாதமா கையாகவரில், (ஆ, ஈ, ஐ), (ஈ, ஐ, ஒ,), (ஐ, ஒ, E), (ஒ, B, ரூ), என்றிப் டி மும்மூன்று சுதியதுபாதமாயிருத்தல்வேண்டும்.
உாடு2. பிர. மூன்றுறுப்புக்கொண்ட சுதியநுபாதத்தினது முதல் கடையுறுப்பினுல் சமாநுபாத்தியத்தை நிச்சயிக்கும்படி ஆல் கடையுறுப்புகவள (ஆ, ஈ) என்றும் சமாநுபாத்தியத் தை (ஷ) என்றும் வைத்தால்,
ஆ ஈ : : ஆ-ஷ ஷ-ஈ (பிர, உாடுய) என்ற சுதியது ாதம் பிறக்கும். இதவனச் சமீகரணமாக்கிச் சாதிகரிக்க,
2ஆஈ
ai என்று சமாநுபாத்தியம் வெளிப்படுகின்றது.
உாடுக. பிர, மூன்றுறுப்புக்கொண்ட சுதியநுபாதத்தின் மூ ன்கும் அநுபாத்தியத்தை அறியும்படி,
ஆ, ஈ, ஷ, அம்மூன்றுறுப்புகளாமென்று வைத்து, ஆ : ஷ ஆ-ஈ ஈ-ஷ என்ற அநுபாதத்தைப் பிறப்பி த்து, முன்போலச் சமீகரணமாக மாற்றிச் சாதிகரிக்க,
__垒码 ఏ$E e芭一FF மூன்றுறுப்புக்கொண்ட சுதியநுபாதத்தின் எந்த உறுப்பையும் நற்றிரண்டுறுப்பையுங்கொண்டு நிச்சயிக்கலாமென்பது வெ ரிப்படை,
உாடுக. பிர, இரண்டேண்களினிடையே வேறிரண்டு சுதி பநுபாத உறுப்புகவளப் புகுத்தும்படி,
ஆ, ஈ, அவ்விரண்டெண்களென்றும், அவற்றின் இடையே புகுத்தவேண்டிய எண்கள், ஷ, ஸ, என்றும் வைத்து,
ஆ: ஸ : : ஆ-ஷ ஷ-ஸ், என்றும், ஷ : ஈ : : ஷ-ஸ் : ஸ்-ஈ, என்றும் இரண்டு அநுபாதங்க ளெப் பிறப்பித்துச் சமீகரனங்களாக்க,
ஆ (ஷ-ஸ்) - (ஆ-ஷ) ஸ், என்றும், ஷ (ஸ்-ஈ) E ஈ (ஷ-ஸ் என்றும் வரும். இந்தச் சமீகரனங்களொவ்வொன்றிலும்,
என்று அர்த்தநிச்சயமாகும். ஆகையால்


Page 86
ாசுல் வீசகணிதம்
(ஸ்) இன் அர்த்தத்தை நிச்சயித்து அவ்வர்த்தங்களெக்டு ண்டு புதுச்சமீகரணத்தைப் பிறப்பிக்க,
26. – EFSS
e@一笠丁甲十学 ன்று வரும். இதவனச் சாதிகரிக்க,
به هم به அல்லது e金一s 下*十s. 。
L ஆேஈ (SN-5r SIA-A 6 = 粤十e所 என்றும் இதவன (ஸ்) இன் அர்த்தமா மீகரனத்திற் பிரதிகரிக்க,
நஆஈ est) - 牟娄十甲 6767g), LD6-5LD.
இப்படி இரண்டு சுதியநுபாத உறுப்புகவள நிச்சயித்து அவு றை இடையே புகுத்துவதுபோல, அநேக உறுப்புகவளயுமறி புகுத்தலாமென்று காண்க.
வினு.
2.
க. க, என்ற சுதியநுபாத உறுப்புகளுக்கு இடையே
கின்ற சமாதுபாத்தியம் யாது? (உாடுஉம்) பிரகாணப்பு
으 கண்ட சமீகரணத்தில், ஆ=க, ஈ = என்று வைத்தால்
9.
e-ভঙ্গুনি- _垒×莹X酉 - 雪=×
●十* 下 s十e T m ^ @
உ. சு, ச, என்ற எண்களுக்கு மூன்றஞ் சுதியநுபாத்திய யாது?
(உmடுகம்) பிரகாணப்படி, ஆசுை, ஈ-ச. ஆகையால்
ஆஈ er X5- 2g
6, E E - - - - i. 69aol.
e茎一吓 ée一于 é
ဓါဓoo,
- کجی - &S R டு
9. ந. க; என்ற எண்களுக்கிடையே நிற்கின்ற இரண்டு
தியநுப்ாத உறுப்புகள் யாவை?
9. (உmடுசம்) பிரகாணப்படி, ஆ=க, ஈ= ஆகையால்
7༡-སྤྱི་ཁང་། se ྾ཀོ་ཀོ་ - 2 e X ཆེཌི་ རྒྱ--འཁ ། "구 F =
 
 
 

அநபாத அதிகாரம். 官リ
இவ்விரண்டெண்களுஞ் சேர்ந்த சுதியதுபாதமாலிகையாவது
த ரி 2 ** 磊丁” تعیی * க"
கe, சு, என்ற உறுப்புகளுக்கிடையே நிற்கின்ற சமா பாத்தியம் யாது ? ܗ
6Ô'6ÖL- 9#. டு, ஈ, உ, என்ற உறுப்புகளுக்கு மூன்றுஞ் சுதிய நூபாத்திய 蹄山T季°
ΕΥΘΟ) L
த. அச, டுசு, என்ற எண்களுக்கிடையே நிற்கின்ற இரண்டு 考』g-T幸李uáテ*urese" . ܦ
ඛජ්' හිනL- ශත , පී; fron. அநபாதவினு. வினு (சக) ஐ இரண்டுகூறுக்கிப் பெரிய கூற்றில் (சு) ஜக் கூட்டிச் சிறியகூற்றில் (கக) ஐக் கவளந்தால் வருந்தொகை தச் சேடம் எப்படியோ அப்படியே (கூ) (உ) க்காமெனில் நந்தக்கூறுகள் யாவை ?
இவ்வினுவிற்கு விடையறியும்படி, பெரிய கூற்றுப்பிரதி (ஷ) ஏன்றுகொண்டால், சிறிய கூறு (சகூ-ஷ) ஆம் ஆகையால் --சு : ஈஅ-ஷ கூ e என்ற அநுபாதம் பிறக்கும். நவங்களை அபரங்களோடே கூட்ட, (emசக. பிர.)
ஷ+சு : சச : கூ! கக என்றும், அபரங்கவள அரிக்க, (உாாடு. பிர.) ஷ+சு ச கூ : க. என்றும் அந்தங்கவளயும், மத்தியங் ஒளயும் பெருக்கிச் சமீகரனமாக்க, ஷ+சு-கசு என்றும், ஷ-கூ0 என்றும் விடைவரும். 2. வினு. ஒரேண்ணுடன் க, டு, கா, என்ற மூன்றெண்க ஒளயும் வெவ்வேறே கட்டினுல், முதற்ருெகை இரண்டாக் தொ கைக்கெப்படியோ அப்படியே இரண்டாந்தொகை மூன்றும் தோகைக்காமெனில் அந்த எண்யாது? என்புழி,
அவ்வெண்பிரதி - ஷ. ஆகையால், ஷ+க ஷ+டு ஷ+டு ஷ+கசு என்றும், அபரங்க விற் பூருவங்கவளக் கவளய, (உmசக. பிர.)
ஷ+க ச ஷ+டு : அ என்றும், அபரங்கவள அரிக்க ஷ+க + க ஷ+டு : உ என்றும், கிரமமாற்றல், ஷ+க ஷ+டு க = 2 என்றும், அபரங்களிற் பூருவங் கவளக் கவளய,
ஷ+க ச : க = க என்றும், சமீகரனமாக்க, ஷ+க-ச, என்றும் நிவலமாற்றல்,
-ஈ என்றும் விடைவரும்.
SS


Page 87
*TG9、 வீசகணிதம்
கூ வின. (உ0) ஐ இரண்டுசுருக்கினல் அக்கூறுகளில் றுக்கு மற்றது எப்படியோ அப்படியே (க) இன் வர்க்கம் இன் வர்க்கத்துக்காமெனில், அவ்விருகூற்றுக்குஞ் சமாது தியம்யாது ?
பெரியகூற்றுப்பிரதி - ஷ, சிறியகூறு உ0-ஷ. ஆகே GÄ : 20-63 : ; 'Fre- : 89- : : de : 3. பூருவங்கவளயும் அபரங்கவளயுங் கூட்ட, ஷ உ0 : : கூ : கo என்றும் அபரங்கவள அரிக்க, ஷ 2 : : கூ க, என்றும், ஆகையால், ஷகைஅ, என்றும், உ0-ஷEe, என்றும் வரும். இக்கூறுகளுக்குச் சமாநுபாத்தியம் - VஉXகஅாசு, ச. வின. இரண்டெண்களின் குணிதம் (உச) என்றும் வற்றின் கனந்தரத்துச்கு அந்தரகனமெப்படியோ அப்படி (கக) (க) க்காமென்றும் வருமெனில், அவ்விரண்டெண் ம் யாவை? என்புழி,
ஷ, ஸ், இரண்டேண்களின் பிரதியெனக்கொண்டால் னலிற் கூறியபடி,
ఐen=2P ஷக -ஸ் (ஷ-ஸ்) : கசக் க" ଦT ଟି ୪୬)[0];
ഴ്ച ജെ, ബ്ലേ? --ബ് : ഖു* -ഖ- ബ++ഖ്,ബ്--ബ്ല கக க என்றும், ஆகையால் (உmசக பிர) கஷஉ ஸ் கஷஸ2 : (ஷ-ஸ்) :கஅ : க, என்றும், பூருவங்கவள அரி க, ஷஉஸ்-ஷஸ் : (ஷ-ஸ) : சு க என்றும் (ஷ-ல ஆலரிக்க, ஷஸ் (ஷ-ஸ்)2 : சு:க என்றும், ஷஸ்-உச கையால், (ஷஸ்) இனிடத்தே (உச) ஐப்பிரதிகரித்து, (சு) லரிக்க, ச (ஷ-ஸ்)2 : : க + க என்றும் வர்க்கமூலங்ெ ள்ள, உ ஷ-ஸ் : : க + க என்றும் சமீகரணமாக்க a= -ஸ் என்றும் இந்தச் சமீகரனத்தையும் முதலில்ை ஷஸ=உச, என்பதையுஞ் சாதிகரிக்க, ஷாசு, ஸ-ச, என் றும்வரும்.
டு. வின. இரண்டெண்களின் குணிதம் (ககூடு.) அந்த எண்களின் வர்க்காந்தரத்துக்கு அந்தரவர்க்கமேட் யோ அப்படியே, (ச) (க) க்காமெனில் அவ்விரண்டெ ஊரும் யாவை?
விடை, கடு, கூ
சு. வின. இரண்டெண்களின் அந்தரம், தொகை, குணித என்ற மூன்றுபேறுகளும் முறையே, உ, கூ, டு, என்ற எண் வளப்போலாமெனில், அவ்விரண்டெண்களும் யாவை?
65 coll, so, e.
 
 
 
 
 
 
 

அந்தரமாலிகை அதிகாரம். sG、
ஏ. வின. (உச) ஐ இரண்டுகூறுகளாகப் பகிர்ந்தால் அக்கூறுக ரின் குணிதத்துக்கு அவற்றின் வர்க்கங்களின்தோகை எப் டியோ அப்படியே (கூ) (கo) க்காமெனில் அவ்விரண்டு
ஆறுகளும் யாவை?
விடை க9. சு.
அ. வின. பாவலயந் தண்ணிரையுங் கலந்து ஒரு சாடியிற் பேய்தபோது பாலுக்குங் தண்ணிருக்குமுள்ள அந்தரத்துக்குத் ண்ணிரெப்படியிருந்ததோ அப்படியே, (கo0) பாலுக்காமெ துறும், முன்சொல்லப்பட்ட அந்தரத்துக்குப் பாலெப்படியோ தப்படியே, (ச) தண்ணிருக்காமென்றுமறியப்பட்டது. பாலிலு
தண்ணிரிலும் எவ்வளவு எவ்வளவு சாடியிற் பெய்தது.
விடை. பால், உடு, தண்ணிர், டு, க. வினு, இரண்டேண்களின் குணிதம், (க20.) அவ்வெண் :ளின் கனுந்தரம் அவற்றின் அந்தரகணத்திற்கேப்படியோ அ படியே, (சுக) (க) க்காமெனில் அவ்விரண்டேண்களும் ாவை ?
விடை உo, அசு.
0ர். அந்தரமாலிகை அதிகாரம். Arithmetical Progression.)
உாடுடு பிர, தொடரதுபாதம் அந்தரவிகிதத்தாலாவது சக ான விகிதத்தாலாவது பிறக்கின்றபடியால், அது அந்தர தோ பரநுபாதமென்றும், சகரனதொடரநபாதமென்றும் இரண்டு வகைப்படும்.-இவ்விரண்டுவகையில் அந்தரவிகிதத்தால் பிற கின்றதை, அந்தரமாலிகையென்றும், சகரண விகிதத்தாற் பிறக்கின்றதைச் சகரணமாலிகையேன்றும் வீசகணிதர் வகுத் துரைப்பார்கள். அவருரைத்த கிரமமேயாமும், கவது. அந்தர மாலிகையையும், உவது. சகாணமாலிகையையும் எடுத்து வி ளக்குவாம்.
அந்தரமாலிகை.
உாடுசு, பிர. அந்தரமாலிகையேன்பது அந்தர வி கீதத்தால் ஏறி ஏறி அல்லது இறங்கி இறங்கி வருங் தொடரநுபாதமாம் உ-ம்.
2, ச, சு, அ, கo, இவைமுதலியன, ஏறந்தரமாலிகை இ தவன ஆரோகணமென்னலாம்.
கa, கூ, சு, ஈ, இவைமுதலியன, இறங்கந்தரமாலிகை இதவன அவரோகனமேன்னலாம்.


Page 88
*T5、 வீசகணிதம்
இவ்விடத்து ஆரோகணத்தின் எந்த உறுப்புடனே அந்தரவி தத்தைக்கூட்டினுலும் அவரோகணத்தின் எந்த ఆgరక్షిణ ந்தரவிகிதத்தைக் கவளந்தாலும் அதற்கயலுறுப்பு வரும். s மெனவே முதலுறுப்பையும் அந்தர விகிதத்தையுங்கோண்டு ம லிகையைப் பிறப்பிக்கலாமென்பது வெளிப்படையாம். உமுதலுறுப்பு, (க) என்றும், அந்தரம், (e) என்றுங்கோஸ் டால், கூ, டு, எ, கூ, க9, கா, முதலியன, மாலிகையாம் முதலுறுப்பு, (ஆ) என்றும் அந்தரம், (ஓ) என்றுங்கொண்டால் ஆ.ஆ+ஒ. ஆ+உஒ, ஆ+hஒ, முதலியன மாலிகை முதலுறுபL, () ふ研多guD。 (尋。)。 புள்ளி, (பு), எனில், ஆ, உஆ, ஈ.ஆ, சஆ. . . . புஆ, மாலிகை இப்படி ஆரோகணங்கூட்டற் கிர்த்தியத்தாற் பிறந்தவா ண்க. கழித்தற்கிர்த்தியத்தால் அவரோகணம் இவ்வாறே பிற கும்.
இதிலே புள்ளி என்றது மாலிகையுறுப்பு இத்தவனனன்றுை ர்த்தும் எண்ணை. இதனை உறுப்பெண் என்றுஞ்சொல்லலாம் உாடுசு. பிர, நீண்டமாலிகைகளினுறுப்புகவள மேலேஉத கரித்த பிரகாரம் அறிவது பிரயாசமாகையால், அவற்றைச் லபமாகப் பிறப்பிக்கின்ற விதிக வளத் தெரிதல்வேண் (வி அந்தர விகிதமேன்றும், (ஆ) முதலுறுப்பேன்றும், ( ஈற்றுறப்பென்றும். (பு) புள்ளி என்றுங்கோண்டால், ஈற் ԱՐ Ց Ա
ன-ஆ+(பு-க) Xவி, என்று வரும். ஆகையால், ஆரோகணத்தின் ஈற்றுறுப்பையறியும்படி, க. உறுப் பெண்ணில், (க) ஐக் களைந்துபேற்ற தரத்தை விகிதத்தாற்பெருக்கிக் குணிதத்தை மு றுப்போடே கூட்டு. அவரோகணத்தின் ஈற்ற பையறியும்படி,
உ. முன்போலே கண்ட குணிதத்தை முதலு: பிற்களே.
உாடுஎ பிர. இவ்விதிப்பிரகாரம் ஈற்றுறுப்பை அறியலாெ வே மாலிகையினெவ்வொரு உறுப்பையும், ஈற்றுறுப்பர் கோண்டு வேண்டிய எந்த உறுப்பையும் இவ்விதிப்படி அறிய Gமன்பது வெளிப்படை, உ-ம்.
ஒரு ஆரோகணத்தில் முதலுறுப்பு (எ) என்றும், அந்தர தம் (ஈ) என்றும், புள்ளி (கூ) என்றும் கொண்டால், ஈ றுப்புயாதென வினுவியவழி,
6エニ勢十(山ー受)e、ニs+(与一a)×mニma F疎』 அவரோகணத்தின் முதலுறுப்பு (சுo) என்றும், அந்தர
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

அந்தரமாலிகை அதிகாரம். ாசுடு
தம் (டு) என்றும் புள்ளி (கe) என்றுங்கொண்டால் ஈற்று லுப்பு யாதென வினவியவழி,
ன=ஆ-(பு-க) வி-சுo-(க2-5) டூ-டு, ஈற்றுறுப்பு. உாடுஅ. பிர. அந்தரமாலிகையின் ஈற்றுறுப்பையறிவதேயன் நிச் சர்வஉறுப்புக்களின் தொகையையும் அறியவேண்டில், உறுப்புகள் எல்லாவற்றையும் ஒன்றுய்க் கூட்டாமலும் அத்தொ கையை நிச்சயிக்கலாம். எப்படியெனில்,
ா, டு, எ, கூ, கக, என்ற மாலிகையுறுப்புகளுடனே கக, சு, எ, டு, ந, என்று அடிதவலமாறி நிற்கின்ற
ág &g" a g gg" &gP மற்ற மாலிகையினுறுப்புகவள முறையே கூட்ட ஒவ்வொரு தொகையும் கச, கச என்றுவரும். இந்தப்படியே,
令,令十夺,é十鱼G,粤十吁印,令十午9 令十宁9,粤十吁9,粤十esp,毁十9,粤 என்றமாலிகை உறுப்புகளின் தொகையும்
a鉄十字● e尋十字● e尋十字● e勢十字●。e勢十字。 என்று ஒன்றற்கொன்று சமானமாய் வரும்.
ஆகையால், அந்தங்களின் தோகையும் அந்தங்களிலிருந்து சமதூரத்தேகிடக்கின்ற எந்த இரண்டிராசியின் தோகையும் ஒன்றற்கொன்று சமமென்றும், ஒருமாலிகையின் முழத்தொ கையை நிச்சயிக்கும்படி அந்தங்கவளக்கூட்டிப் புள்ளியினுற் பெருக்கி, அர்த்திக்கவேண்டுமென்றுங் காணலாம். காணவே, மாலிகைத்தொகை, (ஸ்) ஆனல் a= x பு, என்றுவரும்.
மாலிகைத்தொகையைச் சங்கலிதமேன்றும், கலிதமேன்
|றுஞ் சோல்வர். ஆகையால் அந்தரமாலிகைக்குச் சங்கலித
மறியும்படி,
65%) ქმ. உாடுக. பிர. அந்தங்களின் தொகைப்பாதியை ப் புள்ளியினுற் பெருக்கு. உ-ம்.
இ. வினு, க, உ, க, ச, டு, என்றிப்படியே (கooo) வரைக்கு ம் நீடித்திருக்கின்ற மாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது?
ஆ+ன తి+00ం
விடை, ஸ-- Xபு= -- Xa ooo
9. 9.
டூ00, டூ00, இதவன நற்சங்கலிதமென்பாருமுளர்
உmசுய. பிர, ன-ஆ+ (பு-க) வி cm=*土"×。 6.
2.
று மேலேதிட்டிய இரண்டு சமீகரனங்களில் (ஆ) என்ற முத


Page 89
T3rgir வீசகணிதம்
லுறுப்பும் (வி) என்ற அந்தர விகிதமும் (பு) என்ற புள்ளியு (ன) என்ற ஈற்றுறுப்பும் (ஸ்) என்ற சங்கலிதமுமாகிய பஞ் ராசிகள் கூடியிருக்கின்றன.
இப்பஞ்சராசிகளில் மூன்றிராசிகவள அறிந்தால் அவற்ை க்கொண்டு மற்றஇராசிகவள நிச்சயிக்க மேவலச்சமீகான களினின்று புதுச்சமீகரணங்கவளப் பிறப்பிக்கலாம். அவ றுட் சில முக்கியமான சமீகரணங்கள் அல்லது
வீசசூத்திரங்கள் வருமாறு. முதற்சமீகரனத்தில், (பு-க) வி, என்பதை நிவலமாற்ற (க) முதலுறுப்பாகிய, ஆ-ன+ (பு-க) வி, என்றுவ வரவே, ன, பு, வி, என்ற இராசிகவளக்கொண்டு (ஆ) ஐ, நிச் யித்தற்கு இது வீசசூத்திரமென்றறிக.
(ஆ) ஐ நிவலமாற்றி (பு-க) என்பதாலரிக்க,
6T
(உ) அந்தர விகிதமாகிய, விE
, என்றுவரும்.
ー●
நிவலமாற்றலும், பாககரத்தாலும்,
6T(க) புள்ளியாகிய (பு) = 후+a என்றுவரும்.
இனி இரண்டாஞ்சமீகரணமாகிய,
ef) or ਉ X பு என்பதில் (ன) வினது அர்த்தத்தை பிரதிகரிக்க,
鍋十-(Lーá)e。 。==“二*=×a a。(2)。
9. ச் சாதிகரிக்க,
உஸ்-லிபுஉ H- விபு
(ச) முதலுறுப்பாகிய, (ஆ) - 우니 றும் (வி) ஐச் சாதிகரிக்க,
(டு) அந்தரவிகிதமாகிய, = 부 என்றும் ( ஐச் சாதிகரிக்க, ----
(சு) புள்ளியாகிய, பு= V
என்றும் வரும். பிறவுமன்ன.
அந்தரமாலிகைவினு.
க. ஒரு ஆரோகனமாலிகைக்கு முதலுறுப்பு (க) அந்தரவி
தம், உ, புள்ளி 20, என்ருல் இந்தமாலிகைக்குச் சங்கலித யாது !
விடை சத0
 
 

அந்தரமாலிகை அதிகாரம். ስሸŠ..6T
2. முழத்துக்கோருகல்லாக ஒரே நேரில் அடுக்கியிருந்த நூ கல்வல, ஒவ்வொன்ருகவெடுத்து, முதற்கல்லுக்கோருமுழத் ரத்திலிருந்த ஒருகூடையிலே போடவேண்டுமானல், அப்ப எடுத்துப்போடும்படி ஒருவன் எத்தவனமுழம் நடப்பான்?
6SI6OO IHoaro. ஒரு அக்தரமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் (கசடுடு) முதலுறுப்பு இ) புள்ளி (ho) என்ருல் அந்தரவிகிதம் யாது?
6Saol I.
ஐ. சங்கலிதம் (டுகள்) முதலுறுப்பு (எ) அந்தாவிகிதம் (e) :ன்ருல் புள்ளியாது?
SS 65) pa.
டு. ஒரு வர்த்தகன், (சளி யாவனயைக் கிரயத்துக்கு வாங்கி ஏபோது, முதல்யாவனக்குப் பத்துவராசனும், இரண்டாம்யா தனக்கு (கூ0) வராகனும், மூன்ரும் யாவனக்கு (டு) வராகனு ாக, இவ்வாறே கிரமமாக விலைகொடுத்தால் அந்த வர்த்தக து கொடுத்தவராகன் எத்தவன !
விடை உe,oகo. சு. ஒரு மணிக்கூடு (எ) நாளில் எத்தவன தரம் அடிக்கும் ?
co- Ord. எ, ஒருவன் ஒரு தருமப்பெட்டியிலே வருடாரம்பத்தில் ஒரு காசும், மற்றநாள் இரண்டுகாசும், மூன்றுநாள் மூன்றுகாசு ாக இவ்வாறே வருடாந்தம் வரைக்கும் போட்டுவந்தால் அவ ன் (கசுடு) தினத்தில் எத்தவனபோடுவான்.
விடை சுசு,எகடு.
உாசுக பிர, க, கூ, டு, எ, க, என்றிவ்வாறு நடைபெறுகி ன்ற மாலிகைக்கு உறுப்பெண் (உடு) ஆமேனில், அதற்குச் ச ந்கிலிதமும் ஈற்றுறுப்பும் யாவை?
இந்த மாலிகையின் ஈற்றுறுப்பையறியும்படி புள் ளியை இரட்டித்து, அதில் ஒசலகைத் தள்ளல் வே ண்டும்.
எப்படியென்றல், ன-ஆ+(பு-க) வி, என்ற சமீகரனத்தில் ஆளாக, ஆகை பாலும், வி-2 ஆகையாலும்,
ன-த--(பு-க)X2Eஉபு-க, என்றுவரும். ஆகையால் ஈற்றுறுப்பு (சசு) என்று காண்க. இந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதமறியும்படி,
ஸ = (ஆ+ன) பு, என்ற சமீகரனத்தில்


Page 90
MIT3i - Dj வீசகணிதம்
(க) என்ற முதலுறுப்பையும் (உபு-க) என்ற ஈற்றுறுப் யும் பிரதிகரிக்க,
F. - 60 = (க+உபு-க) பு-பு , என்றுவருமாகையால் ள்ளியின் வர்க்கமாகிய (சு உடு) சங்கலிதமாம். ஆகையா
க, ஈ, டு, என்றிவ்வாறு நடைபெற்றுவருகின்ற லிகையினது உறுப்பெண்ணேது அதின் வர்க்க சங்கலிதமாம். உ-ம்.
a十mニ字 s十m十@ニ手。 இவை புள்ளியின் வர்க்கங்கள *十cm十g十cm=écm உாசுe, பிர இரண்டு அந்தரமாலிகைகளை ஒன் ன்கீழோன்று கிரமமாய் நிற்கத்திட்டித் தானம்வழுவ மற் கூட்டியாவது கழித்தாவது வருகின்ற பேறுகளு ம் அந்தரமாலிகைகளாம். உ-ம். ஈ, சு, க, க9, ஆடு, 8 அ, உக, 2, af, dir, 9, 60, 69., a g, டு, க0, கடு, 20, 2டு, he hடு.-தொகை. க, 2, க, ச, டு, சு, எ.-அந்தரம். இந்தத் தொகையும் வித்தியாசமும் அந்தரமாலிகையாய் ருதல் காண்க.
உாசுh, பிர. அந்தரமாலிகையின் ஒவ்வோரு பையும் ஒரேயிராசியாற் பேருக்கினுலும் அரித்தா ம் வருகின்ற பேறுகள் அந்தரமாலிகையாம். உசு, டு, எ, கூ, கே, முதலியன, என்ற இந்த மாலிகைை (ச) ற்பெருக்க க9, 20, 29, சுசு, சச, ) முதலியன, என்ற குணிதமும்
தவன (உ) ஆல் அரிக்க > EBO, ek gP, S, 94, 99., முதலியன், என்ற பாசிதமும் ந்தரமாலிகையாய்ப் பிறத்தல் காண்க.
உாசுச. பிர, அந்தரமாலிகைகளின் விலோமங்கள் சுதி நுபாதமாலிகைகளாம். உ-ம்.
க, சு, கூ, கe, கடு, முதலியன, அந்தரமாலிகையாய்வ
இதன் விலோமமாகிய
6155 USDT udmoseosa
Es E. . * asis” ago? . الف ق
를 தலியன, சுதியநுபாதமாலி
4یم
 
 
 
 
 
 
 

அந்தரமாலிகை அதிகாரம். TE-Es
多 李 F조 3 3 ー。
- - - - - - -
கூ Sit 5 அதாவது
母 3, 8 E.
ー: ー : : ー : 一ー。 SY
fr. " 5Éh aFt 539 அலலது
* : e
;T69للا 605 نتیجے 0 کہنے ہے:ہنچے 55 ہوتے ہی சு 2 : : h = க என்றுவரும். 2ாசுடு பிர, மேலே தெரித்த வினுக்களுக்கேயன்றி அந்தர லிகை விதிகவளத் துவணயாகக்கொண்டு வேறநேகவித லி ஒக்களுக்கும் விடையறியலாம். சொல்லியவினுக்கவள வீச வந்ாரூபமாக மொழிபெயர்த்துச் சமீகரனமாக்கிச் சாதிகரிக் விடைவரும். த. வின. அந்தரமாலிகையாய் நிற்கின்ற நான்கிராசியின் துர்கை (டுசு.) அந்த நான்கிராசியின் வர்க்கத்தொகை リ) அந்த நான்கிராசிகளும் யாவை?
நான்கிராசியினிரண்டாமுறுப்பு, ஷ என்றும், அந்தரவிகிதம்
என்றுங்கொண்டால், வூ-ஸ், ஷ, ஷ+ஸ், ஷ+உஸ், என்பன மாலிகையாம். 多ーリ (s。一se)+e。十(s。十cm)+(so十e")= த, என்றும ; (s。ーen)*十s。ー十(a。十e@)*十(a学十esp)*ニea字 ன்றும், சமீகரனங்கள் பிறக்கும். பிறக்கவே, キas十een)=@a キaか?-十キaserp十cmer)ーニeag。 =கe, ஸ-ச என்றும் வரும். ஆகையால், அ, கe, கசு, 20, என்ற இவையே மாலிகையு ரப்புகளாம்.
2. வினு, அந்தரமாலிகையாய் நிற்கின்ற மூன்றிராசியின் ச கலிதம் (க.) அந்த இராசிக்கனங்களின் தொகை (கடுக.) இந்த இராசிகள் யாவை ?
என்றும் சாதிகரிக்க,
விடை க, கூ, டு.
ஈ. வினு. அந்தர மாலிகையான நான்கிராசிகளின் முதலிர ண்டுறுப்புகளின் வர்க்கங்கவளக் கூட்டத் தோகை (கச) என் நுங் கடையுறுப்புகளின் வர்க்கங்கவளக் கூட்டத் தொகை நகo) என்றும் வருமெனில் அவ்விராசிகள் யாவை?
விடை ஈ, டு, எ, சு.
ச. வினு, ஒரு இலக்கத்துக்கு மூன்றுதானமுண்டு. இந்த மூ
*றுதானத்தெண்களும் அந்தரமாலிகையாய் நிற்கும். அம்மு
*றேண்களின் தொகையால் இலக்கத்தை அரிக்க, (உசு) ப
மாய்வரும். இலக்கத்தோடே (ககஅ) ஐக்கூட்ட, (கoo) ந்தா
15


Page 91
TST) ਪੰ62
னம், (க) ந்தானமாகவும், (க) ந்தானம், (கoo) ந்தானமா ம் அடிதவலமாறி வரும். அந்த இலக்கம்யாது ?
6ါa), L.-- Sir
டு. வினு. மீகாமன், வேடியரசன் என்ற இருவர் பூமியை பிரதட்சணம்பண்ணும்படி இலங்காபுரியிலிருந்து புறப்பட் ர்கள், மீகாமன் ಕ್ಷೌಅ@: முதல்நாள் (க) மைல், ண்டாநாள் (2) மைல், மூன்றுநாள் (க) மைல், இவ்வ யாத்திரைசெய்ய, வெடியரசன் மேற்குமுகமாக காளொல் க்கு (20) மைல்சென்றன். பூமியின் சுற்றளவு (உகசு மைல் என்றல், அவ்விருவரும் எத்தவன நாளில் என்னது தில் ஒருவரையொருவர் சந்திப்பார்கள் !
விடை. நாள். டிசு அ. மீகாமன். இகூஎ08 மைல். வெடி ரசன். ஈகசு0. மைல்,
சு. வினு, கோடிக்கரையான் தோனியோன்று புறப்பட் (டு) காட்சென்றபின்பு அதைப் பிடிக்கும்படி ஒரு சிங்களவு தனது குல்லாத் தோணிக்குப் பாய்துக்கி நாளொன்றுக்கு,(: காதமோடினன். கோடிக்கரையான் தோணி, (இ) ம்காளி ஒருகாதமும், (உ) ம்நாளில் இரண்டுகாதமும், (க) ம் நாளி மூன்றுகாதமுமாக இவ்வாறே ஒடினல், சிங்களவன் கோ ரையாவன எத்தவனநாளில் என்னதுாரத்திலே ဂြို့ကြီး
விடை நாள். ந. அல்லது, க0. தூரம், கசு, அல்ல 39. O.
எ. வினு, அந்தரமாலிகையாய் நிற்கின்ற நான் கெண் கு, (ச) விகிதம். கான்கெண் வணயுமொன்றுய்ப் பெருக் ற்றபேறு, (கசு அ0) அவ்வெண்கள் யாவை?
விடை 士é宁,士so、士ó 士e、
அ. வினு (52) படிகொள்ளத்தக்க ஒரு சாடியிற் 6 ஞ்ச வேப்பெண்ணெய் ஒரு எண்ணெய்வானிபன் விட்டே து அந்தச்சாடி நிறையவில்வல. தான்விட்டவேப்பெண்னெ ன் வர்க்கமூலத்தில், (2) குறையத் தேங்காயெண்ணே வேறுெருசாடியிலிருந்தெடுத்துவிட்டான். பின்னும் இவ்விர டைக் குறைத்துக் குறைத்து எடுத்துவிட்டுப் பார்த்தபோது ங்காயெண்ணெய்ச் சாடியிலெண்ணெய் இல்லாமற் பே வேப்பேண்ணெய்ச்சாடி நிறைந்தது. ஒருமுறை, (அ) படிே காயேண்ணெயை எடுத்துவிட்டபோது தேங்காயெண் ச்சாடியில், (க3) படியெண்ணெய் மிஞ்சியிருந்ததென் ண்டிருந்தான். அப்படியென்றல், வேப்பெண்ணெய் எத்த படி? அதிற் கலந்திருந்த தேங்காயேண்ணெய் எத்த
விடை, வேப்பெண் உருசு, தேங்காய், ருசு
 

|架列
சகரனமாலிகை அதிகாரம். T6TS
க. வினு. முத்துக்கறுப்பன், வீரப்பன் என்ற இரண்டுசெட் டிகள் சிலதொகையான பனங்கவளப்போட்டுக் கூட்டுவியா ாரம்பண்ணினர்கள். அவர்களில் முத்துக் கறுப்பனுக்கு வருட த்துக்கு வருடம் முப்பது முப்பது ரூபாய் அதிகப்பட்டலாபங்கிடை இதுவந்தது. அவனுக்குக் கடைசிவருடத்திற் கிடைத்த லாபம், (எ0) ரூபாய். அவனுக்குக்கிடைத்த முழலாபமும், (டூஎ0) பாய். வீரப்பனுக்கு முதல் காலுவருடத்திலுங் கிடைத்தலாப , (டு20) ரூபாய் முத்துக்கறுப்பன் போட்டமுதவலயும் வீரப்ப து இரண்டாம் வருடத்தில் ஆதாயம்பண்ணிய லாபத்தையுங் கட்டினுல், (ககo) ரூபாய் வரும். அப்படியானல் அவ்விருவரும் போட்ட முதலெத்தவனருபாய், அவர்கள் எத்தவனவருடம் வி
ாபாரம்பண்ணினர்கள்?
விடை, முத்துக்கறுப்பன். முப்பதுருபாய்
வீரப்பன், சுo. ரூபாய். வருடம், ö。
ல்ச. சகரணமாலிகை அதிகாரம். Geometrical Progression.)
உாசுசு, பிர, தொடர் அந்தராநுபாதத்தை அந்தரமாலிகையெ ன்பது போலவே, தொடர் சகரணு நுபாதத்தைச் சகரணமாலி 65G』sör山活. 2-ーtb.
சுச, கூஉ, கசு, அ, ச, 2, க, இவை தொடர்சகரணுதுபாதம் ாவது சகரனமாலிகையாம். இதில், (சுச) ஐ முதலுறுப் பென்றும், (க) ஐக் கடையுறுப்பென்றும், (2) ஐச் சகானவி
நிதமென்றும், (எ) ஐப்புள்ளி அதாவது உறுப்பேண்ணென்று
து கொள்க.
இந்தமாலிகையின் ஒவ்வோருறுப்பும் அதற்கு முந்தின உறு ப்பைச் சகரனவிகிதத்தாலரித்துப் பெற்ற ஈவாகையால், மா லிகையைச் சகரணமாலிகையென்பர். மாலிகையை அடித ஹயாகமாற்றினல் பாககமாய் நின்ற விகிதங் குணகமாக மாறி வரும். ஆகையால் இம்மாலிகையைச் சகுனமாலிகையெணி னுமாம். ஆகவே, - உாசுஎ. பிர. இராசிகள் ஒரேபாககத்தாற் குறைந்து
குறைந்தாவது, ஒரேகுணகத்தாற் கூடிக்கூடியாவது வரும்பொழுது அவற்றைச் சகரணமாலிகையேன்க.
குறைந்து குறைந்து வருகின்ற மாலிகைக்கு அவரோகண மாலிகையென்றும், கூடிக்கூடிவருகின்ற மாலிகைக்கு ஆரோ கணமாலிகையேன்றும் நாமமாம். ஆரோகணமாலிகையி னுெவ்வோருறுப்பையும் அறியும்படி அதற்கு முந்தின உறுப்பை
விகிதத்தாற் பெருக்கவேண்டும். இனி முதலுறுப்பு (ஆ) என் |றும் விகிதம் (லி) என்றுங் கொண்டால்,


Page 92
T6T2- வீசகணிதம்
ஆ, ஆவி, ஆவிஉ , ஆவி , ஆவி ஆவி,ெ ஆவின் முதலி னே மாலிகையாம். முதலுறுப்பும் விகிதமும் ஒரேஇராசியானுல் வி, விஉ , விக் , விச , விகி, விசு , முதலியன |##fiါ ဆေးကြီး இந்தமாலிகை (வி) இன் காதிதமாலிகையாய் வருதல் காண்டி இம்மட்டும் ஆரோகணமாலிகைக்கு உதாரணம்.
அவரோகனமாலிகைக்கு உதாரணம் வருமாறு. முதலுறு பு (ஆவிசு ) என்றும் விகிதம் (வி) என்றுங்கொண்டா ஆவிசு , ஆவிகி, ஆவிச , ஆவி ஆவிஉ , முதலியன மாலிை யாம். முதலுறுப்பு (ஆ) என்றும் விகிதம் (வி) என்றுங்ே ண்டால்,
ஆ, ஆவி , ஆவி , ஆவி , ஆவி , முதலியன ܕܬ கையாம். இந்தமாலிகைகளினெவ்வோருறுப்பிலும் விகித திதத்தின் சூசி எத்துவனத்தெனின் புள்ளியில் ஒரலகுகுை த அத்துவனத்தாம். ஆகையால்,
ஆ=முதலுறுப்பென்றும், ன=ஈற்றுறுப்பென்றும், வி=விகிதமேன்றும், பு-புள்ளியென்றும்வரில்
L-as ன=ஆவி என்றும். உmசுஅ. பிர. ஆகையால், சகரனமாலிகையின் ஈற்று பை அறியும்படி,
புள்ளியில் ஒரலகைக்குறைத்து, அத்தனையாம் கிதகாதிதத்தைப் பிறப்பித்து அதை முதலுறுப்பி லே பெருக்கு
ஆ, ன, வி, பு, என்ற நான்கிராசியுள், எந்த மூன்றிராசி க்கொண்டும், எஞ்சிய நான்காமிராசியை நிச்சயிக்கல உ-ம்.
க. மேலேகாட்டியபடி ஈற்றுறுப்பாகிய ன=ஆவி
-as
தை (வி ) என்பதாலரிக்க,
60T . . 。 LP (ஆ) ஆலரித்து மூலங்கொள்لتے آ66 67 وے لانے" == e = '

Page 93
T6T3 . வீசகணிதம்
E 표 5
-- YA -- ne ---- — - 高*莓 e,母9母。 கசுe.இதன் சங்கலிதத்துக்கு= -
ஈ. வினு, க, h, க, உள, என்றிப்படி (க2) புள்ளியையு ள மாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
விடை உசுடுஎ20. 69 문, 5 என்றிப்படி (கo) புள்ளியை وی بی نوشت .(نعلا6 ۰نطقه ள மாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
ஆஎச0எடு GógóL. 士一ー一
டுகூ0சக ஈற்றுறுப்பையுஞ் சங்கலிதத்தையும் அறியும்படிசொல்லிய விதிகளினின்று மற்றெல்லா இராசிதவளயுமறிய விதிகவளப் பி றப்பிக்கலாம்.
பிர, உான0. அந்தரமாலிகையைச்சார்ந்த சில வினுக்க குச் சமீகரண விதிகவளக்கொண்டு விடை நிச்சயித்த பிரகா மேசகரணமாலிகையைச்சார்ந்த சில வினுக்களுக்கும் விடை நிச்சயிக்கலாம்.
க. வின. சகரணமாலிகையான மூன்றிராசியின் சங்கலி ம், (கச) என்றும், அம்மூன்றிராசியின் வர்க்கங்களின் துெ கை, (அச) என்றும் கொண்டால், அந்த ရွှံ့ကျုံ့ခြီးမှူးကြီးခေါ် ကြီး
இவ்விடத்து மாலிகை உறுப்புகவள, ஷ, ஸ, ன, ଗଣ୍ଣg GAE(TačÖT LITổi),
ട്ടെ : ബി : ബ : ബ് அல்லது, ஷனE ஸஉ , என்றும் ஷ+ஸ்+ன=கச, என்றும், ஷஉ+ஸஉ +ன-அச, என்றுஞ் சமீகரனங்கள் பிறக்கு ம். இவற்றைச் சாதிகரிக்க -
-, EP, . விடையாம். 2. வின. சகரணமாலிகையான மூன்றிராசியின் குணிதம் (சுச) அவற்றின் கனங்களெக் கூட்டிய தொகை, (டுஅச) ம்மூன்றிராசிகளும் யாவை!
.. بعی و تs&]685) L.e, g ஈ. வின. சகரணமாலிகையான நான் கிராசியில் முதலி ண்டையுங் கூட்டிய தொகை, (கரு), ஈற்றிரண்டையுங் கூட்டி யதொகை, (சுo) என்ருல் அவ்வெண்கள் யாவை?
e966).L. G, ao, eo, go. ச. வி.ை சகரணமாலிகையான மூன்றிராசியுட் பெரிய சிறியராசியைப்பார்க்க, (கடு) அதிகப்பட்டது. பெரியதின்
SATAASS L SAAA S AS AeAq A SLS A A AA L ALALLLL LLLLL JL00 S S S S S S LLS SJ LJ LLeG 0
 
 

சகரனமாலிகை அதிகாரம். mা6া0ট
நளின் வர்க்கத்தொகைக்கெப்படியோ அப்படியே (டு)
() க்காம் அம்மூன்றிராசிகளும் யாவை!
விடை. டு, கo, உ0. டு வின. சகரணமாலிகையான நான்கிராசியில் இரண்டா றுப்பு நான்காமுறுப்பில்,(உச) குறைந்தது. மேலும் அந்தங்க :ன் தொகைமத்தியங்களின் தோகைக்கெப்படியோ அப்படி (a)(f) க்காம், அப்படியானுல் அவ்வெண்கள்யாவை ?
விடை, க, கூ, க, உன. த. வினு, சகரணமாலிகையான நான்கெண்ணில், முதலு ஒப்பிரண்டையுங் கூட்டினுல் (கடு),கடையுறுப்பிரண்டையுங் ட்டினல்(சு 0}தொகையாம். அந்தகான்கேண்களும்யாவை?
விடை டு, க0, 20, ச0.
எ. வினு நான்குறுப்புக்கொண்ட ஒரு சகரணமாலிகையி து விகிதத்துக்கு (க) ஐக்கூட்ட அம்மாலிகைக்குச் சங்கலித
B - ாம். மாலிகை முதலுறுப்பு () என்ருல் உறுப்புகள் ான்கும் யாவை?
* Ecm cmgP
660. - - - --.
66 5G 356 so அ. வினு, ஒரு இராசகுமாரன் தனது மூன்று தோழருக்கு 30) வராகவனச் சகரனமாலிகைப்படி பகிர்ந்துகொடுத்த பாது, மூன்றுவதாக நின்ற கனிஷடவனப்பார்க்க முதலாவ த நின்ற சிரேஷடதோழனுக்கு (கூo) வராகன் அதிகங்கிடை து. ஒவ்வொரு தோழனும் பேற்றுக்கொண்ட வராகன் எ :ജെ' * விடை கஉ0, சு,ே கூ0. க. வினு, சகரணமாலிகையான மூன்றுறுப்புக்குத் தொகை ஈடு) அம்மூன்றுறுப்புகளுள் மத்தியத்துக்குக் சடையறு புகளின் அந்தரம் எப்படி அப்படி (2), (n) க்காம், அந்த *றுறுப்புகளும் யாவை ?
விடை டு, க0, 20. 50. வின. * மூன்றிலக்கத்தைத் தண்டாகாரமாகப் பொரு ய ஒரெண்ணின், முதற்றனம் இரண்டாந்தானத்துக்கெப்பு அப்படி இரண்டாந்தானம் மூன்ருந்தானத்துக்காம். முழு எ மூன்று இலக்கங்களின் தொகைக்கெப்படி அப்படி (க்2ச) க்காம். முழுஎண்ணுக்கு (டுகச) ஐக்கூட்டினுல், இலக்க கள் அடிதவலமாறிவரும். அந்த எண் யாது?
விடை உசஅ.
l


Page 94
T6T3rt வீசகணிதம்
கக. வினு, கா, கூக, ககள், என்றிப்படி வருகின்ற ܇s மாலிகை உறுப்பேண் (எ) அதன் சங்கலிதம் யாது?
க3. வின. ஒரு சகரணமாலிகையினது இரண்டாம், மூை ம் உறுப்புகளின் தொகை (உச); சம், ம்ே உறுப்புக தொகை (உகசு.) முதலுறுப்பு யாது ?
ஸ்டு. மகாபவர்த்த அதிகாரம். Greatest Common Measure.) உாள்க. பிர, ஒன்றற்கொன்று வித்தியாசமா இரண்டிராசியையாவது பலராசியையாவது சேட
)ჩმს ܦ (' வேருேரு இராசி அரிக்குமேனில், அரிக் மிராசியை அபவர்த்தமென்பர். உ-ம். (கடு) க்கும் (உ) க்கும் (டு) அபவர்த்தம்.
சு ஆச ஷP, ஆ2 ஆசிஷ, என்பவைகளுக்கு (கூஆஉ) வர்த்தம்,
இராசிகளைச் சேடமில்லாமலரிக்கின்ற பேரி வர்த்தத்தை மகாபவர்த்தமேன்றுசோல்லுவர். உ
க3, கஅ, என்ற எண்களுக்கு, 2, ஈ, சு, என்பன அபு த்தங்களானுலும், அவையவனத்திலும் பெருத்த, (சு) ம வர்த்தமேன்னப்படும். மகாபவர்த்தத்திலும் மேற்பட்டது ர்த்தமில்வல,
உாஎ2. பிர. அபவர்த்தமில்லாத இராசிகளைப் நிலையிராசி, அதாவது பிறச்சுட்டுப்புகாநிலையிராக் 6ổT[ ]ĩ.
ச, கசு, என்ற எண்களிரண்டையும் (க) ஒழிந்த வே த இராசியாலும் அரிப்பதேலாமையால் அவ்வெண்கள் றையொன்று சுட்டிப் பகாநிவலயிராசிகளாம்.
அவை தனித்தனி வேறெண்களாலரிபடக்கூடுமாயினு வனந்து அரிபடமாட்டா,
(க) ஐயங் தன்வனயும் ஒழித்த வேறெந்த எண்களினுலு ரிபடமாட்டாத இராசிவரில், அது தற்சுட்டுப்பகாநிவலயி பாம். உ-ம்.
சு, டு, எ,கக, முதலியன்,
பிர, உாஎஈ. பகாநிலையிராசிகளின் பெருக்க ற்பிறப்பது பகுநிலையிராசியாம். உ-ம்.
உ, டு, என்ற தற்சுட்டுப்பகாநிவலஎண்களின் பெருக்க
ۂ1 مچاہیے چپہ چپے 1+Y^nے sے {ختrجر و + nحیدر 657 AS
 
 
 
 
 
 
 
 

மகாபவர்த்த அதிகாரம். T6T6
ஆ, ஷ, என்ற தற்சுட்டுப்பகாகிவல இராசிகளின் பெருக்கத் பிறக்கின்றபடியால் இது பகுநிவலயிராசியாம். பிற (6#ڑھیے) (آئی آٹھ இறன்ன.
பிர, உாஎச. இரண்டிராசிகளுக்கு மகாபவர்த்தங்காணும்படி
ခါ၊ ဒွါ.
பெரியகாதிதத்தோடு புணர்ந்தவருகின்ற இராசி ஒய மற்றராசிக்கீந்து, சேடத்துக்குப் பாதகத்தை ஈ து, சேடமில்லாமலரிபடும்வரைக்கும் முந்தின பா கத்தைப் பிந்தின சேடத்துக்கு முறைமுறையே ஈந் કૃf9; கடைசியிற் சேடமில்லாமலரித்த பாககமெது அது மகாபவர்த்தமாம்.
மகாபவர்த்தங்காணவேண்டிய இரண்டிராசிகளும் ஒற்றை ராசிகளானல் அவற்றின் மகாபவர்த்தத்தைக் கண்டவுட னே அறிந்துகொள்ளலாம். ஆகையால்மேனிறுத்தியவிதி அத தவசியமன்று. இரண்டு இராசிகளுக்கு மகாபவர்த்தங்காணு 衅一彦g,
ஒன்றைச் சேடமில்லாமலும் மற்றதைச் சேடத் தோடுமரிக்கின்ற வேருேரு இராசியுண்டானுல், சே மில்லாமலரிபடுகின்ற இராசியை இதனுலரித்துச் ருக்கிக்கொள்க.
பாச்சியத்தின் முதற்கண் வருகின்ற வர்ணம் பாக த்தாற் சேடமின்றி அரிபடமாட்டாததானுல், பாச் முழுதையும் ஒர் இஷ்டராசியினுற் பெருக்கிக்
Tiene) To. 2 ---in.
ஷக -ஸ்க; ஷ-ெஸ்2 ஷக , என்ற இரண்டுவகுராசிக க்கும் மகாபவர்த்தங் காணும்படி-இரண்டாம்வகுராசியை சேடமில்லாமலும் முதல்வகுராசியைச் சேடத்தோடும் (ஷா) ரிக்குமாகையால் இந்த (ஷக) ஆல், (ஷ-ெஸ்உ ஷ*) என் தை அரிக்க, அது (ஷஉ-ஸஉ) என்று சுருங்கும். இனி வி ப்பிரகாரம் இதினுல் முதலிராசியை அரிக்க, ఐ2-62-)ని 5 -6గ* (ఐ
62. --چ$enDeس
ബ്ബല-ബ5 ജൂ صص الخيل 06ة


Page 95
slf of O, வீசகணிதம்
இதில் (ஸ்2 ) ஐ முன்போலத் தள்ளிச் சுருக்கி மறுபடி விதிப்பிரகாரம் அரிக்க, ཚ
ఐ-6m)ఐ2-62-(ఐ+cmు
6우 -66m)
Ꮻ;.6YᎧ-6mᎧᏄఐ6)-6m)2-
என்று சேடமில்லாமல் அரிபடும். ஆகையால் கடை பாக்கமாகிய (ஷ-ஸ்) மகாபவர்த்தமாம்.
2. சு.ஆச-ஆஉ ஷஉ-aஉஷச ; கூஆ+ெகஉஆக ஷஉ. சுஆ வுடிக் -அஷடு; என்ற இரண்டிராசிகளுக்கும் மகாப த்தங்காணும்படி,
பெரியகாதிதத்தோடு புணர்ந்துவருகின்ற இரண்டாம் இ யைப் பாச்சியமாக்கி மற்றதைப் பாககமாக நிறுத்தி அரிக்கு டத்துப் பாச்சியத்தின் முதற்கண்ணே நிற்கிற வர்ணம் பாக தாற் சேடமின்றி அரிபடமாட்டாதாகையால் அதவன (9) ற் பெருக்கி அரித்தல்வேண்டும்.
ఈge+82శ్రీ జ--రోg" ఇక్లి* -తిQG
으
சுஆ - க9ஆடு+உசஆ ஷ-2ஆ ஷ 을 구 6-- (-கேஷ ெ " -a, e aÅ 7 f خوه إلي 1550 - - -ع فوهة في 15 - - قوي لك قة
உஎஆக ஷ2-கஉஆஉ ஷக +கசுஆஷச -கசுஷிெ அலலது ஷ? (உள்ஆக -க உஆஉ ஷ--கசுஆஷ-க்கவு இந்தச்சேடத்தில் (ஷஉ) ஐத்தள்ளி முந்தினபாககத் பாச்சியமாக்கி அரிக்கும்படி (கூ) ஆற் பெருக்கல்வேண்டு
சு ஆச 一邑° 6 బి- 一Gea浮”
Gen
உளஆக - ) டுசஆச --عنبیق ஷஉ-கoஅஷச (உஆ -
리 우 6-- டுசஆ" -2Pg్యన్ ఐ+6eg-ఐ- கசுஆஷஉ - -ലിജുബ്ബ"
àಆnes*
உசஷஆக -அகஆஉஷஉ+கஉஆஷ-கoஅஷ
உசஆ* ஷ-அகஆஉ ஷஉ+heஆஷ" -80அெ
5 உகசுஆக ஷ-எஉகூஆஉஷஉ+eஅஅஆஷக -கூள உகசுஆக ஷ-கூசுஆஉஷஉ+உஅஅஆஷக -கeஅ6
-சுருகஆஉ سیع ہوی - ہے جو مجgہے جو مت
*ー -。エ。 r』。」。二。。い
 
 
 
 
 
 
 

மகாடவர்த்த அதிகாரம். T6T.
g"--+ eஆெ* -க9ஆஉ ஷ+ கசுஆஷஉ - *తి-తాజ్య ఐ* இசுஷக
89ஆ |கசுஆஷஉ
ーáeーリー e学ーócme学* -82త్తి- ఇప్తి-తిలో ఐ*
ஆ°பாற் கடைசிப்பாககமாகிய (கூஆஉ + சஷஉ) என்ப G5 uDé5íTU6Quffğig LDTub.
முதற்கண் வருகிற வர்ணஞ் சேடமின்றி அரிபடும்படிக்கு இக் உதாரணத்தில் மூன்றுமுறை பேருக்கியவாறுகாண்க.
2ாண்டு பிர. மகாபவர்த்தங்காணும்படி மேலே தந்த விதிக் த ஆதாரப்பிரமாணங்கள் விருமாறு:- தன்னெத் தன்னுல் எந்த இராசியை அரித்தாலுஞ் சேட ܬܬܐ
ᎧᎧ6ᎯᏍᎩ . 2. இரண்டிராசி தனித்தனிசேடமில்லாமல் வேருெரு மூன் ரம் இராசியால் அரிபடிமெனில், அந்த மூன்றும் இராசியால் நற்றிரண்டிராசியின் தொகையும் அந்தரமுஞ் சேடமில்லாம ல் அரிபடும். உற்.
2க கe, என்ற இரண்டெண் கவளயுந் தனித்தனி சேடமில் ாமல் (5) ஆலரிக்கக்கூடுமாகையால் அவற்றின் தோகையா யே (கூக) ஐயும் அந்தரமாகிய (சு) ஐயுஞ் சிேட்மில்லாமல் அ ரிக்கலாம்.
ா. ஒரு இராசி வேறுெரு இராசியினுலே சேடமில்லாமல் قئے fபடுமெனில், சேடமில்லாமல் அரிபடுகின்ற இராசியின் பே நக்கங்களும் அப்படியே சேடமில்லாமல் அரிபடும். (F) ইিঞ্জ சேமில்லாமல் (ஆ) ஆலரிக்கக்கூடுமானல், உஈ, ஈ முத லியவற்றையும் (ஆ) ஆற் சேடமில்லாமல் அரிக்கலாம்.
இந்த ஆதாரப்பிரமாணங்கவளக்கோண்டு மகாபவர்த்தங்கா ணும்படி தந்தவிதிக்குத் திருட்டாந்தங்காட்டுமுன் மீ, கீ என்ற பேரிதுஞ்சிறிதுமான இரண்டிராசிை விதிப்பிரகாரம்அரித்தால்
கீ)மீ(ஈ
蔗)蕊(亭
庞季
湾)席(g தீடீ,
0 என்றுவரும். இவ்விடத்தி, ஈ, சீ டீ என்பன ஈவுகளென்றும், என்பன சேடங்களேன்றும் வைத்துக்கொள்க.
பாசிதத்தைப் பாககத்தாற் பேருக்கிச் சேடத்தைக் கூட்டப் பாச்சியத்துக்குச் சரியாகையால்


Page 96
്ചു வீசகணிதம்
மீ = கீஈ--நீ என்றும் கி = நீசி+தீ என்றும் வரும். இனிக் கடைசியாய் வந்தபாககமாகிய தீ, (நீ) ஐச்சேட ல்லாமல் அரித்தபடியினல், (உம் , கூம் ,) பிரமாணங்களி LUC- 房 என்பதையும்,
என்பதையுஞ் சேடமில்லாமல் அரிக்கும். ஆகையால் இந்த (தி), மீ, கீ என்கிற இரண்டிராசிகளுக் அபவர்த்தமாமென்க. இதுதானே இந்த இரண்டிராசிகளுக் மகாபவர்த்தமுமாம். எப்படியென்றல்,
மீ, கீ என்கிற இராசிகளின் அபவர்த்தங்களெல்ல (உம் , கூம் , ) பிரமாணங்களின்படி, மீ-ஈகி-நீ என்பதற் அபவர்த்தங்களாம்.
இவ்வாறே கீ. நீ என்ற இராசிகளின் அபவர்த்தங்களெல் ம், நீ-நீசீ,-தி, என்பதற்கும் அபவர்த்தங்களாம். ஆ6 தீ என்பதற்கு தீ, தானே மகாபவர்த்தம். ஆகையால் இ (தி) தானே மீ, கீ என்பனவுக்கும் மகாபவர்த்தங்களா
535.
உாஎசு. பிர. மகாபவர்த்தங் காணவேண்டிய இராசிகள் ாண்டுக்குமேற்பட்டுவரில், இரண்டிராசிகளுக்கும் மகாபவர் த்தைக் கண்டபின் இந்த மகாபவர்த்தத்தையும் ஒரு இராசி கப் பாவித்து இதற்கும் மூன்றும் இராசிக்கும் மகாபவர்த்தத்ை க்கண்டு இவ்வாறே முடிவுவரைக்குஞ் செய்தாற் கடைசியில் வருகின்ற மகாபவர்த்தம் எல்லா இராசிகளுக்கும் மகாபவர்த் தமாம். உ-ம்.
மீ, கீ, நீ, என்ற இராசிகளுக்கு மகாபவர்த்தங் காணவே டில், முதல் (மீ. கீ) என்ற இரண்டிராசிகளுக்கும் மேவல: ப்பிரகாரம் மகாபவர்த்தத்தை நிச்சயித்து இந்தமகாபவர்த்தம் (ஈ) ஆனுல் இந்த (ஈ) வுக்கும் (நீ) வுக்கும் விதிப்பிரகாரம் மகாபவர்த்தத்தையறிந்தால் இதுவே, (மீ, கீ, நீ) என்ற மூன் றிராசிகளுக்கும் மகாபவர்த்தமாம்.
உாஎன். பிர, இரண்டிராசியை அவற்றின் மகாபவர்த்தம் களினலே அரித்தால் ஈவுகள் பிறச்சுட்டுப் பகாநிவலயிர தளாம். உ-ம்.
கஉஷா , கூஷஉ ஆ என்ற இரண்டிராசிகவளயும் அவற் ன் மகாபவர்த்தமாகிய, (ஈஷஉ) என்பதால் அரித்தால் ஈ களாகிய, சஷ், கூஆ என்பன பிறச்சுட்டுப் பகாநிவலயிராசி ளாதல் காண்க.
உாளஅ. பிர. மகாபவர்த்தங் காணவேண்டிய @z၉:#@= சிகளுக்கும் பொதுக்குணுங்கமாய் வருகின்ற இராசியைத் தள் ளி ஈவுகளுக்கு மகாபவர்த்தங் கண்டால் இந்த மகாபவர்த்த தைமுன் தள்ளின குணுங்கத்தாற் பெருக்கிக்கொள்ளவேன்
வல்லாதிருந்தால் ஈவுகளுக்குக் கண்-மகாபவர்த்தம்
 
 
 
 
 
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். ாஅக
தின இரண்டிராசிகளுக்கும் மகாபவர்த்தமாயிருக்கமாட்டாது. ஆரஏக பிர. மகாபவர்த்தங் காணவேண்டிய இரண்டிராசி சில் ஒன்றைச்சுட்டிப் பகாநிவலயிராசியான ஒரெண்வனக் ாண்டு மற்றராசியைப் பெருக்கிப் பின்பு மகாபவர்த்தத்தை கொண்டால் இது முந்தின இரண்டிராசிகளின் மகாபவர்த் துக்குச் சரியாம். உ-ம். அக, கசு என்ற இரண்டிராசிகளின் மகாபவர்த்தம் = க னுல், (அக) ஐ, (சுசு) ஐச்சுட்டிப் பகா நிவலயிராசியான (டு) பேருக்க ச9டு, வரும். ஆகையால், சoடு, கூசு, என்ற இ ரடெண்களின் மகாபவர்த்தமும் அதுவேயாம். த ஷக - ஆஉஷி, ஷி - ஆக என்ற இராசிகளுக்கு மகா வர்த்தம்யாது? 2. ఐ5 - 62-6) ఐతి + అపpa + p* 61శp 9UTతీతి க்கு மகாபவர்த்தம்யாது? ஈ. சு.ஆக - சுஆ வு + உஆஷஉ-உஷா , கஉஆஉ-கரு ஆஷ+கஷஉ, என்ற இராசிகளுக்கு மகாபவர்த்தம்யாது?
ச, ஆசி- ஷஅ, ஆகசு - ஷகசு, என்ற இராசிகளுக்கு மகா வர்த்தம்யாது ? டு. ஆ?--டுஆஷ + తామ్కి 2- ஆ" -- ےgې6 -ے-H-ffn ږيgع فيه---- ஷ" , என்ற இராசிகளுக்கு மகாபவர்த்தம்யாது?
ஸ்சு. அந்ந்தமாலிகை அதிகாரம். Infinite Series.) உாஅய. பிர. அகந்தராசியென்றும் முற்றிராசியேன்றும், ச வராசிகவளயும் இரண்டு கூறுகளாகக் கணிதர்கள் வகுத்து ஒரப்பார்கள்.
இவ்விரண்டினுள், இதுவரைக்கும் முற்றிராசிக் கணிதத்தை ஜிரித்துரைத்தோம்.
அகந்தராசியேன்பது இதற்கிது எல்லையேன்ற வ ரையறை கடந்து விசாலிக்கின்ற இராசியாம். உ-ம். த, p, க,ச,டு, * (இ-தி) என்றிப்படி, எல்வலயிறந்து விரிகி ன்ற மாலிகையினது, அந்தம் இன்னதென்று குறிக்கலாகாது. ஆகையால், இதவன அகந்தராசியென்க.
உாஅக பிர. இப்படிவருகின்ற அகந்த ராசிகளில் ஒன்று மற் நதிற் பெரிது சிறிதெனக்கூறுவது அடாதென்று கருதவேண் டாம். எப்படியெனில்,
e, e, e, e, e, e, e, e, (3-) arairg,
” (இ-தி) என்பதை இத்யாதி (அதாவது இவைமுதலியன) என்று வாசிப்பது
1会· .1 ܘܚ


Page 97
T-2위의 வீசகணிதம்
ச, ச, ச, ச, ச, ச, ச, ச, (இ-தி) என்றும், வி மாலிகைகளின் ஒவ்வொன்றும் அகந்தமாலிகையாயினு ன்மாலிகையினிரட்டியே மற்றமாலிகையேன்பது தெள அப்படியே,
@,曼宁。芭二,令”。邑°,(@一苇) jTT3535,
கoஆ, கoஆஉ , கoஆக , க.ஆச கoஆகி (இ-தி) எ மாலிகை பதின்மடங்காம், ஆகையாற் கணிதார்த்தமாய் கின்ற அநந்தராசிகள் கூட்டல் கவளதல் அடையுமென்றுை
உாவுக. பிர, குறிக்கின்ற எந்தச் சிறுஇராசி ஞ் சிறிதாய்வருகின்றதே து அது தனிஷடராசிய
e-to
蚤 Gr ör፣
a, oo goo ” a, ooo oo aioooo oo (இ-தி) என்ற மாலிகை தமாய்ப் பெருகுமெனில் மாலிகை முடிவில்வருமிராசி சிறு யிற்சிறுமையாம். அதவனயே தனிஷடமேன்பது.
உாஅ2. பிர, ஒரு தனிஷடம் வேறெரு தனிஷடத்திற்
ரிதுசிறிதாய் வரலாம். 2-LD.
fFm 示 h
ao o 5oo ’ as OOo o asoooo முந்தின மாலிகையின் அரைவாசியாசையால் இதனது ஷடம் முந்தின மாலிகையின் தனிஷடத்தில் அரைவாசி
(@ーヂ) என்ற மாலி
ওচৰ্তা 28.
0, என்ற சின்னங் தனிஷடப்பிரதியாயம் OC என்ற னம் அநந்தராசிப்பிரதியாகவும் வழங்கும்.
உாஅக பிர, தனிஷடமானது கருதிய எந்தச் சிறு இர னுஞ் சிறிதாமெனவே கணித கிர்த்தியங்களில் அதவனச் யசமானமென்றெடுத்தாளப்பெறும். ஆணுல் தனிஷட னளவிற் பொருட்படாதாயினும் மற்றிராசிகளோடு கலக் போழுது அநேக பொருள்விகாரத்தைப் பிறப்பிக்கும். அ ராசியோடு முற்றிராசியைக் கூட்டினுலுங் கவளந்தாலும் ய குவிகாரமும் வராது.அதுபோலவே முற்றிராசியோடு தனிவு தைக் கூட்டினுலுங் கவளந்தாலும் அந்த முற்றிராசி நிருவி ரமாய் நிற்கும். ஆகையால் அநந்தராசியோடு சகசயசின் களினுலிவனந்த தனிஷடங்கவளக் கணித கிர்த்தியங்கள் ள்ளிவிடுவர்.
ஆனுல் அகந்தராசியை முற்றிராசியாற்பெருக்கும்போது ராசியையும்போலவே குகை மெத்துவனத்தோ அத்து டாடலுகந்தராசியைப்பெருகப்பண்ணும். உ-ம்.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். II o Fi:
2, 2, 9, 2, 2, இ-தி) என்ற அநந்தமாலிகையை (ச) ஆற்
இது, அ. அ. அ. அ. (இ-தி) என்றிப்படி முந்திய மாலிகையி
நான்மடங்காய் வரும்.
' அநந்தராசியை முற்றிராசியாலரிக்கும்போது மற்றுமிராசிகள்
சித்தற்கிர்த்தியத்தாலடையும் விகாரத்தையே இதுவுமடை
。 சு, சு, சு (இ-தி) என்ற அநர்தமாலிகையை (2) リafé生。 ', ஈ, க, சு, சு (இ-தி) என்றிப்படி முந்தினதினரைவாசி நகவரும்.
ஜாஅச. பிர முற்றிராசியைத் தனிஷடத்தாற் பெருக்கினற் : தனிஷடமாம். உ-ம்: 量|cm×o=o
முற்றிராசியைத் தனிஷடத்தாலரித்தால் வரும்பாசிதம் அந ராசியாம். உ-ம்.
Cো - a -= OC முற்றிராசியை அகந்தராசியாலரித்தால் வரும்பாசிதர் தனிஷ 。以0TLp. ?-ー。
ଶ୪t
6 - O ଶ୍ରେ: -
உாஅடு, பிர. எந்தமாலிகையினது உறுப்பெண் கந்தமாயெல்லையிறந்துவருகிறதோ அந்த மாலிகை நயயே அநந்தமாலிகையேன்பர்.
场
அகந்தமாலிகையின் சர்வ உறுபபையும் ஒன்ருய்த் திரட்டு நிடத்துத் தொகைமுற்றிராசியாய் வருவதுமுண்டு. ஆனல் மா திசையினது உறுப்பெண் அகந்தமாயே நிற்கும்.
அகந்தமாலிகைப் பிறப்பு.
eாஅசு. பிர. அகந்தமாலிகைகள் விவிதோற்பத்தியுடைய
அவற்றுட் சிலதோன்றுமாறு. க. பின்னபோகத்தை ஆரகத்துக்கிந்தபலமே பின்னுர்த்த ாகையாற் போகத்தை ஆரகத்திாலரிக்குமிடத்துப் பாசிதம் ெ |ந்தமாலிகையாகச் சிறுபான்மை வரும். உ-ம்.
5 என்ற பின்னத்தின் போகத்தை(எe) ம்பிாகரணப்படி 一致 அரித்தால்,


Page 98
ாஅச வீசகணிதம்
a一●)é(夺十粤十令十粤*(@一蓟)Lnégü。
éー●
苓一颚°
을 구 ஆ?-ஆ"
ஆ" (இ-தி) என்று வரும். இப்படிப்பிறக்கின்ற பாசிதம் அநந்தமாலிகையாதல் கா
கி. இம்மாலிகைகள் சமீபகGமன்றும், விதமமென்றும் இ. வேகைப்படும்.
மாலிகை உறுப்புகள் அதிகப்பட அதிகப்பட லிகை பின்னுர்த்தசமத்துவத்தை நேருங்கிநேருங் வருமேனில், அந்தமாலிகை சமீபகமாலிகையா மாலிகையுறுப்புகள் அதிகரிக்க அதிகரிக்க, மாலின பின்னுர்த்தசமத்துவத்தை விலகிவிலகிவரில் அ மாலிகை விகமமாலிகையாம்.
8 வகுராசியான கரணத்துக்கு மூலங்கொள்ளும்போது ம்மூலங்கள் அநந்தராசிகளாகத் தேர்ன்றுவதுமுண்டு 후
கரணத்துக்கு (ாசுகம்) பிரகரணவித் دو بلجیم61.RFa +عgg/ہ டி வர்க்கழ லங்கோள்ள,
堑。_乐” 序、 (இ-தி) என்ற அகந்தர 呜 உஆ அஆ" ...{? அப்படியே (இ) Vஆஉ-ஈஉ, என்ற கரணத்தினின்று
苓一 * - F - (இ-தி) என்ற அகக்
2ஆ சிஆ இசுஆகி 66) &պԼD,
E.
,g( கரணத்தினின்றுآنحجہ 67 , چ-AVa-i --- اجے /ہ (e)
또, ட்- (இ-தி) என்ற அநந்தமாலிகையும்.
*十量(g-勃 றை அங்கத
ఎత్తి ని
(ஈ) ^2 + و قومت என்ற கரணத்தினின்று, க + T,
* oo- (a-, as tereosa; o 十丁エー下。 இ-தி)என்ற அகந்தமாலகையும L குமாறுகாண்க.
க. இருன சூசிபெற்ற துவிராசிகவளத் துவிராசி விதிப் காரம், அநந்தமாலிகைகளாக விரிக்கலாம். இதற்கு
(mசசம்) பிரகாணத்திற்காண்க.
 
 
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம், հI Օլ@
து. * இஷடவர்ணத்தோடு கூடிய அகந்தமாலிகை ஒர்லிச சமமென்றுகொண்டு பின்பு ஒவ்வொரு இஷட்வர்ண தின் அர்த்தத்தையும் நிச்சயித்தால் அநந்தமாலிகை பிறக்கு
aーuc・
g+RFఇక్లి வேண்டில்,
号 - 謁=和十屆a十屆s*+同s*@一段)可函四 இஷடவர்ணத்தோடு கூடியமாலிகையை அதற்குச் சமமெ இறுகொண்டு ஆரகத்தாற் பெருக்கி, (ஆ)ஐநிவலமாற்றி(mயடு)
பிரகாணப்படி சூன்யசமத்துவம் பிறப்பித்தால், o=(ag─氢)士呼十回ée学士应十固g)s浮*十画甲 -E2) ஷ (இ-தி) என்றுவரும். இதில், வலப்பாகத்தே நிற் நின்ற மாலிகைத்தொகை சூன்யசமமாகையால் (回多一茎), தஈ+றிஐ), முதலியமாலிகைக்கூறுகளுங் தத்தமிற் சூன்யசம றாம். ஆகையால்,
என்ற வீசருபத்தை அநர்தமாலிகையாக விரிக்
முதலிய சமீகரணங்கவளச் சாதிகரித் நஈ+ங்ஐ = 0 து வர்னஅர்த்தத்தை நிச்சயஞ்செய்ய,
a = 출
(இ-தி) என்றிப்படி, லி, நீ, ந, மு FF தலிய வர்ணங்களினெவ்வொன்றும் முக் 萤 =丁酉甲( FF。 dք
শিক্ষণ- * திய வர்ணத்தை ( T) என்பதாற் リニー ဒွတ္တ 茄 பெருக்கிப் பெற்ற பேறுக்குச் சமமென்று
评 வரும். வரவே, "=ー歪* YS S SYSYTS SKS SAAAA SASKSS S S 经十Fa浮丁多 雾字 十 용하 6; 왔 Så
இ-தி) என்ற அகந்தமாலிகை தோன்றுமென்றுகாண்க.
இந்தப்பிரகாரமே பின்வருகின்ற வீசருபங்கவளயும் அகந்தமா லிகையாக விரி.
--ea - --- என்ற வீசவாக்கியத்திற்குச் சமமான அ P"*"“ پهeg-ويه -ے "* கந்தமாலிகையாது ?
* இநடவர்ண மென்பது-விரும்பியபடி கற்பித்துக்கொள்ளப்பட்ட வந்னமரம்


Page 99
ize: வீசகணிதம்
விடை க+கூஷ+சஷஉ+எஷ +ககஷச +రతినా +உகஷசு , (இ-தி)
- of - இதற்குச் சமமான அகந்தமாலிகையாது? FF一颚s俘 விடை. )ځانگ+ه +* * + -) A
FFP- ) {శి-
తె-ఐసి_ aーea熱一me学ー ug ?
விடை க+ஷ+டுஷி--காஷ" +சகஷ" +கஉகவு (இ-தி)
இதற்குச் சமமான அநந்தமாலி
Ko
6+ هغه س-قه-بيق
இதற்குச் சமமான அகர்த
੦UT? 6ósot- a十a学十es。ー・十es学*十cma浮*十mes?十ss 十字a。" (g一家.)
சங்கலிதம். உmஅஎ. பிர, அநந்தமாலிகையின் உறுப்பெண் அகந்தம னும் அதின் சங்கலிதத்தை நிச்சயித்தல் பெரும்பா அரிதல்ல. எப்படியென்ருல்,
5 #fff༡ ། ܘ ܤܡܘܗ ܝ so too adoo it GE OOOO (இ-தி) என்ற * மாலிகையிதுை உறுப்பெண் எல்வலயிறந்ததாயினும், எல்
F. உறுப்புகவளயுந் திரட்டிய தொகையாகிய சங்கலிதம் (広)
ம். ஆகையால் அகந்தமாலிகை அவரோகன சகரணம
கையாய்வரில் சகானமாலிகைக்குச் சொல்லியபடி சங்க
தமறியலாம். (eாசுக. பிர) எப்படியென்ருல்,
வின
en) o எனவே விகிதத்தாற் பெரிய உறு
=..
பேருக்கிச் சிறிய உறுப்பைக் கவளந்து ஒரலகு குறைந்த த்தாலரிக்கச் சங்கலிதமேன்றதாயிற்று. ஆனல் அவ இன அகந்தமாலிகையின் சிறிய உறுப்புத் த ஷடமாகைய அதவனச் சூன்யசமத்துவமெனக்கொள்ள,
696ði —o 6Ó6ði
6) c 2- اني eان -B of 60 galli, D. 2.--LD.
FYn fFr
十
shorn * 革。十革エすエ十丁エ (@一禹) গঙ্গা
ந்தமாலிகையின் சங்கலிதம் யாதெனில் பெரிய ஆறு
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். T-26
品 ) ஐ விகிதமாகிய கo ஆற்பெருக்கி ஒரலகு குறைந்தவிகித நாகிய (க) ஆலரிக்க,
dOX- SO
- --- என்று சங்கலிதம் பிறத்தல்கா
ந்
கo-இ க
ཡི་ AE匈夺...
Gb F. **十言十言十素十二十歳。(2ーリ)**
நந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
eXg, G) STOD 6D I - 9. -
E_ー。
མི་ འ་ e. - **十富十 富十エ十エ (இ-தி) என்ற அநந்த நாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
ఐఐరL -
O
- པའི་
உாஅஅ. பிர, சில அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் கழித்தற்
"ಆಕ್ಟಿಟ್ರೇಣಿಬಲಿಟ್ಟà.. எப்படியெனில்,
문_ , , 문 v
ఇt கதTசரு 十 டு.சு (இ-தி) என்ற அகந்தமா |ಙ್ತಿ சங்கலிதம் அறியும்படி ஆரகத்தின் வலப்புறத்தி
லுள்ள குனுங்கத்தை நீக்கி நின்ற மாலிகைச் சங்கலிதம், ஸ,
என்றுகொண்டால்,
Әѣ Э, *Б Зѣ 言十富十す。 十あ (இ-தி) என்றுவரும் مقبس = n9ج . لم முதலினிற்கின்ற பெரிய உறுப்பை நிவலமாற்ற,
855 G, ei - F. 園 "一エ千高十エ十cm (3-** リ 羧 லிகையை முந்தினமாலிகையிற் கவளய,
. . . . . . . . . . . . is a sist in a 莒丁邑、 十 ਉ -- டு-சு (இ-தி) என்றுஞ் ச
S. ங்கலிதம்வரும். வரவே அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் (-) என்றறியலாம்.
a ー。 子 -F.
* a e"○ エ十二エ十 露十エ十エ (@一菇}
என்ற அநந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது


Page 100
-의-의 வீசகணிதம்
இதினது ஆரகத்தின் வலப்புறத்துக் குணங்கத்தை நீக்கி ன்போலப் புதுமாலிகையைப் பிறப்பித்துச் சங்கலிதங்கால் பது எப்படியென்றல்,
s 8 -) - . =五十五十高十言 (இ-தி) என்றுங் ெ ண்டுகழிக்க,
* 9. 2. 2. 2. 2. SSSL SSLSSLLLLS SSLSSS டசி) : 2. - エサエサ露十 @ਫ (@ தி) ெ று அல்லது,
Fo 3 ,3ځ 言=富十二エ十エ+エ十cm (eーリ)。 று சங்கலிதம் பிறக்கும்.
● -----------흥. (8-) 2. லினு. ہے۔ سوویت -- a.a. 9 ai.e.do' என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
또. விடை. கe
8 8 8. : ஈ. வினு, 5.9.h H so-shing? -- சு.ச.டு. ச.டு.க.
(இ-தி) என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது?
விடை - உாஅக பிர, சில அகந்தமாலிகைகளுக்குச் వa வேருெருவிதம்.
(ஷ) என்ற மறைகிவலயிராசியின் காதிதங்களோடு கலக் வருகின்ற ஒரு அவரோகண அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலித (ஸ்) என்றுகொண்டு பின்பு, (ஷ) வும், யாதொரு *மாறு: புங் கூடின வகுராசியாற் சமீகரணங்கவளப் பெருக்கி வது சி சூன்யமாகும்படி இஷடமான அர்த்தத்தை (ஷ)வுக்குக்க பித்து மாலிகையின் முதலுறுப்புகளோன்றையாகுதல் ப வையாகுதல் நிவலமாற்றினுற் சங்கலிதம்பிறக்குமென்றறி *_ーLD 。
65 GS - 6. Q} తొ , 68 弘。6Y)二á - - - - - - -
+ + + 十蕊 十奮(3-*
ன்ற சமீகரணுங்கங்கவள (ஷ-க) ஆற்பெருக்க,
ல்லாத இராசியை மாறாாசி என்பது.
அர்த்தவிகா
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். ாடிக
G学,,Q浮°,9俘* ,G学* asDX(e。ー5)二ー - - - - - - - (e。一5) 5+ 富十 9". (টি è@
(இ-தி) என்றும் (ஷ-க) என்றுகொண்டால்,
இடப்பாகஞ் சூன்யார்த்தப்படுமாகையால் (-க) ஐ நிவல மாற்ற,
E. 5, み - - - - - - - - -- - 3-3) alsis " . T.T. +=志サ意エ (இ-தி) என்
றுவரும்.
65 62- 62 63,
• පූ. 6) - ----- ـــــــــــــ۔----LL-------ہ۔۔۔۔۔۔ (1092 -----ــــــــــST e e?ニé十 堂十 Гло + -- டு (இ-தி) என் அநந்தமாலிகையை (ஷஉ-க) ஆற்பெருக்கி (ஷ-க) என்
று பிரதிகரித்து நிவலமாற்ற,
፹¬ 9. e 으 9. - C - - - C. L. - - - - 6க-- 2. 으 5. Han 十 2.ச கூடு H GF, GT (爲 தி)
என்றுவரும். பிறவுமன்ன.
மடக்குமாலிகை,
உாகூ0. பிர, ஒரு அநந்தமாலிகையின் ஒருறுப்பாகுதல் பல உறுப்பாகுதல்சார்ந்த சம்பந்தத்தையே பின்வருமுறுப்புகளுஞ் சார்ந்துவருமெனில் அம்மாலிகையை மடக்குமாலிகை யென் பர். உ-ம்.
み十s 。十字a逸*十cia逸* +5年e。”十字ga、? 」(@一リ) என்றமாலிகையில் இரண்டாமுறுப்பின் பின்னே வருகின்ற ஒ ல்வோருறுப்பும் பிறக்கும்படி அதற்குமுந்திய அயலுறுப்பை, (ஷ) ஆற்பெருக்கி அதற்கு முந்திய அயலுறுப்பை, (ஷ2) ஆற் பெருக்கி ஒன்றுய்க்கூட்டவேண்டுமென்று காணலாம்.
a十es学十ma。ー十字s為で十@s為”十aes?(○一勢) 57cm
துறமாலிகையின் இரண்டாம் உறுப்பின் பின்னே வருகின்ற ஒவ் வோருறுப்பும் பிறக்கும்படி அதற்கு முந்திய அயலுறுப்பை,
(உஷ) ஆற்பேருக்கி, அதற்கு முந்தியஉறுப்பை, (ஷஉ)ஆற்பேரு க்கி இரண்டையும் ஒன்றுய்க்கூட்டலாம். இவ்விடத்து, (உஷ்) (-ஷ*) என்பனவின் வர்ணங்களாகிய, (+e-a) என்ப
தைச் சம்பந்த அளவையேன்பர்.
க+சஷ+சுஷஉ+ககஷக +உஅஷச (இ-தி)என்ற மாலி கையில் மூன்றுறுப்பிவணந்து சம்பந்தத்தை விளக்குகின்றன. இதில், (உ-க+h) என்பது சம்பந்த அளவையாம்.
இம்மாலிகைகளின் உறுப்புகளினுென்றை நிச்சயிக்கும்படி அதற்கு முந்திய உறுப்புக்குத் திரும்பிப்போகவேண்டியபடியால் இவற்றுக்கு மடக்குமாலிகையென்ற நாமமாம்.
emss "g E十成十廊+四十@十@ (@一家) göLg
£,


Page 101
ாகல் வீசகணிதம்
எந்த மடக்குமாலிகைச்கும் பிரதியென வைத்துக்கொண்டால் அதின் சம்பந்த அளவை இரண்டுறுப்பைச்சார்ந்ததெனில் 욕 தற்கும் பிரதி, (ம, ந) என்று கற்பிக்க
ரீ-Bமஷ--Eநஷஉ என்றும், 因二卤pa羟十虚庇s笠a ögt, இ-இமஷ+Bநஷஉ என்றும், இவைமுதலிய சடு கரணங்கள் பிறக்கும். சம்பந்த அளவை மூன்றுறுப்புளே னில் அவ்வுறுப்புகளை (ம, ந, ர) என்று கற்பிக்க
B-ங்மஷ+Bகஷஉ+ங்ரஷ" , என்றும், ஆ-Eமஷ+ங்கஷஉ --Bரஷசு என்றும், ரூ-நுமஷ+நகஷஉ +நீரஷா என்றும், ー。 னங்கள் பிறக்கும். சம்பந்த அளவை மூன்றுறுப்பின்மேற்ப ட பலவுறுப்புள்ளதாய் வரினும் இவ்வாறே சமீகரணங்கவளப் பிறப்பிக்கலாம்.
8ாக9. பிர, ஆகையால் எந்த மடக்குமாலிகையாயினுஞ் சம்பந்தஅளவை ஈருறுப்புடையதெனில், அவ்வீருறுப்புங் கல துவருகிற இரண்டு சமீகரணங்கவளயும், மூன்றுறுப்புடைய தேனில், அம்மூன்றுறுப்புங் கலந்துவருகிற மூன்று சமீகரணங் கவளயும், இவ்வாறு சம்பந்த அளவை எத்தனையுறுப்புடை தோ அத்தவன சமீகரணங்கவளயஞ் சாதிகரித்துச் சம்பந்தஅள வையினுறுப்புகளுக்கு அர்த்த நிச்சயஞ் செய்யலாம்.
மாலிகையில் வருகின்ற, (ஷ) வின் அர்த்தம் எத்துவனத்த யினுஞ் சம்பந்தஅளவையின் அர்த்தம் விகாரியாதாதலால் (ஷாக)என்று கற்பித்துச் சாதிகரிப்பதே உசிதம். உ-ம்.
முன்னிறுத்திய இரண்டு உதாரணங்களில் முதலுதாரணத் திேயமைக்த சம்பந்தஅளவையை நிச்சயிக்கும்படி, (ஷ-க) என்று கற்பிதஞ் செய்ய,
蠶三 என்று வரும். இவற்றைச் சாதிகரிக்க,
நங்-Bலு む 于霹二高高 a7 6Շ7ց մ):
_リーリ
* நீங்-BS என்றும்வரும். ஆதலால்,
威,高 因 粤· ఈ+/hఐ+@ఐ2-+67ఐ* +లో ఐరో {@-క్తి) 616 மாலிகையில், (ஷ-க) என்றுகொண்டால்,
。ー"×●一cm×●
ge, e7 6ồ7 m. டுஉ -நX எ e7607 gC, LC

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். [T岳、
(ཀྱི྾ ཡོག--༠༧-- - ந= ஒஉகX--க எனறும வரும ஆகையால், (உ-க) என்பதே சம்பந்தஅளவையாமென்க. 2ாகக. பிர. அவரோகண மடக்குமாலிகையின் சம்பந்த அளவையை அறிந்தால், அம்மாலிகைக்குச் சங்கலிதமுமறிய லாம். எப்படியென்றல்,
ஆ+ஈஷ+ஐஷஉ+ஒஷ" +லஷச (இ-தி) என்ப து மடக்குமாலிகையென்றும், (ம+க) சம்பந்த அளவையே ன்றுங்கோண்டால்,
நு=முதலுறுப்பாகவும், நி-இரண்டாமுறுப்பாகவும், நீ-கிxமஷ+ங்கஷஉ மூன்றமுறுப்பாகவும், E-BXமஷ+ங்கஷஉ , நான்காமுறுப்பாகவும் நு-EXமஷ+ங்கஷ2 , ஐந்தாமுறுப்பாகவும், இவ்வாறே வரும் -
இதில், (மஷ) முதல் கடையுறுப்புகவள யோழித்த சர்வஉறு ப்புகளுக்குங் குணுங்கமாய் வருதலானும், (நஷஉ) கடையி ரண்டுறுப்புகவளயொழித்த சர்வஉறுப்புகளுக்குங் குனுங்கமா வருதலானும், மாலிகை அகந்த அவரோகண மாலிகையா தலால் கடையுறுப்புகவள அர்த்தவிகாரமுருமல் நீக்கலாமா தலானும்,
(ஸ்) மாலிகைச் சங்கலிதமேன்று கற்பித்தால், ao=园十噬十ba浮×(画十虚十回十鸟)(@一禹)十历a?= நு--B+ங், (இ-தி) என்று வரும். இனி, | ap=E十成+産十四(@ーリ)●5の5umá sp一四ニ成十店
+ந (இ-தி) எனவே,
an)ニ回十成十tpa学×(en)ーE)+ ma為* ×69 Grsögsö ம். இதனைச் சாதிகரிக்க,
_堕士同一呜
6Y) --
á一LDG。ー所a亭* 5.
என்று சங்கலிதம் பிறத்தல்கா
ခါ@၅). * a十与aみ十sea。ー十字as*十aeoa。ア十 (@一琴)
என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
இம்மாலிகையின் சம்பந்த அளவை (க+சு) என்றறியவே,
5 sk 3 .என்று கானலாம் - خوجة 6-4- قة . مجسم B وتراكية وقد يعة 3
な一a系ーás学*


Page 102
前&色 வீசகணிதம்
2. తి+ఇ+త్తాణసి" + a +త్రాతిబ్రష్టిలో +తితి ఐతి -{@క్తి என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது?
ée学十e
نه وه-له-a
గా, B+Q}+ఫ్రాఇ2-+amఐ* +త్రాతి ఐతా -+828ఐతి (இ-தி) என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது?
_é士学上 a一eG学一me、
チ a十ee。十cme学*十字s学*十@e** (○一勢)aröゅ。 கந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது ?
5+2ఐ-2ఇ}_ B-2ఐ+62-T (తి-ఐ)
விடை
விடை
விடை
நீ நு 鸟 ஒரு D g+FFఐ+gఐశి-+-6ఐ • +6)ఐతా +6ఐతి +
என்ற அநந்தமாலிகையின் சம்பந்தஅளவை (ம+ந+ர) என்
றிப்படி ழன்றுறுப்புடையதெனில்,
E - மாலிகையின் முதலுறுப்பாம். ங் - மாலிகையின் இரண்டாமுறுப்பாம். நீ - மாலிகையின் மூன்றுமுறுப்பாம். s - BXமஷ--BXநஷஉ +Eரஷக , நான்காமுறுப்பாம் 座 = 四×pe。十cm×圧séー十産igaA* 愛海李mggaumó。 5=g×°a学十因呜* +நீரஷக ஆறுமுறுப்பாம். பிற
ഖു{Dഞ്ഞ്,
°=呜十呜十喷士°a烧、十间十粤(@一赵*士臀
×く(崎十高+5)(3ー号)}+ge* ×く尼十層十高(5-釧
என்றும், எனவே
6pニE十成+点十lpa。(s心ーEー成)十所g学ー×(mo一a)
+ரஷன் Xஸ் என்றும் வரும். இதவனச்சாதிகரிக்க,
回十成+成ー(回十店) pe。ーE歴e学*
é一De、一两e澳*一町e堡*
என்றுவரும்
வினு, (டு) ஆ+சஷ+சுஷஉ +ககஷ% +eஅஷச +சுகஷன் (இ-தி) என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம் யாது?
cm・a十a学十ea。ーナー+ea熱*十ma鈴*十me学?十字a学*+ சஷஎ (இ-தி) என்ற அகந்தமாலிகைக்குச் சங்கலிதம்யாது
விடை சம்பந்த அளவை-க--க-க
 
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். TTF
as aーa学ー。ー十a学* அந்தரகரணத்தாற் சங்கலிதமறியும்படி,
ஆாகூச. பிர, மாலிகைகள் ஆரோகண அகந்தமாலிகைக வரும்போழுது அவற்றின் முழச்சங்கலிதமும் அகந்தராசி ற். ஆகவே, அச்சங்கலிதத்தை நிச்சயித்தல் கூடாது. ஆ ஆரோகண அகந்தமாலிகையின் உறுப்பெண் வரையறை ற்ற முற்றிராசியாகப்பெறின், அவ்வரையறைபேற்ற உறுப்பு க்குச் சங்கலிதமும் நிச்சயஞ்செய்யலாம். இவ்வாறே மு 2சங்கலித நிச்சயஞ்செய்ய ஏலாத ஆரோகண அகந்தமாலி தக்கு உறுப்பெண்வண வரையறைபெற்றதெனக்கொண்டு துவெல்வலக்குட்பட்ட உறுப்புகளுக்குச் சங்கலிதம் அறிய ாம். வரையறைபெற்ற உறுப்பெண் வரும்பொழுது சங்கலி நிச்சயஞ் செய்வதற்கு அந்தரகரணவிதி முக்கியமுடையது.
தங்கலிதம் -
அந்தரகரணம் என்பது மாலிகை உறுப்புகளின் பற்பலநிரை அந்தரங்களைக் கிரகித்தலாம்.
மாலிகை உறுப்புகவள முறையே ஒன்றிலொன்று தள்ளிப் றுஞ்சேடங்கவள முதனிரை அந்தரமென்றும், முதனிரை நந்தர உறுப்புகவள ஒன்றிலொன்று தள்ளிப் பெறுஞ்சேடங்க இரண்டாநிரையந்தரமென்றும் இவ்வாறே அந்தரநிரைக க்கு காமங்களாம். உ-ம். க, அ, உள, சுச, கeடு, (இ-தி) என்றமாலிகையின் முன் லுறுப்பைப் பின்னுறுப்பிற்கவளய,
எ, கசு, கூஎ, சுக, (இ-தி) என்று முதனிரையந்தரமும், இ தன் முன்னுறுப்பைப் பின்னுறுப்பிற்க வளய, க9, க9, உச, இ-தி) என்று இரண்டாநிரையந்தரமும் இப்படியே அந்தரங் ரைகள் பிறத்தல்காண்க. இம்முறையே, ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, ன, கு, (இ-தி) என்றமாலிகையை அந்தரிக்க,
*ー● g一所。●一g sorー● @ーsor (@-参) gróg。 தனிரை அந்தரமும்,
gーeF十● ●ーeg十F 6mーe●十g, @一esor十●。 இ-தி) என்று இரண்டாநிரையந்தரமும்,
●ーmg十所Fー● 5Tーm●十cmgーF @一meor十m? -ஐ, (இ-தி) என்று மூன்றநிரையந்தரமும்.
エーチ●十cmgー字所十勢、@ー字gor十cmー字g十F(@-参) என்று நான்காநிரையந்தரமும்.
ன-டுன+கoஷ-கoஜ+டுஈ-ஆ (இ-தி) என்று ஐந்தாரி ரையந்தரமும் இம்முறையே பிறவும் வருதல்காண்க.
17.


Page 103
TTリ விசகணிதம்
@茨a Rー一尋。gーeF十● ●一mg十mー一尋 sor-s +சுஐ-சஈ+ஆ, என்ற அந்தரநிரை முதலுறுப்புகளான ராசிகளே சங்கலித நிச்சயத்திற்கு முக்கியமானவைகள், ! ந்த உறுப்புகளின் வர்ணங்கள் வருமாறு;-
இரண்டாநிரையில், க, 2, க,
மூன்றநிரையில், ёѣ, fРn, ГҺn» Эь, நான்காநிாையில், க, ச, சு, ச, க, ஐந்தாநிரையில், க, டு, க0, க0, டு, க்,
ஆகையால் இவை துவிராசியின்சாதித வர்ணங்கவளப்ே லாமென்க. எனவே, (ன) நிரையந்தரத்தில் முதலுறுப் ଈJoଶ୪୪tub.
67-5, 60T-8 6ᎼᎢ - ge. 3,601,66T X-- 60 X - Χع
으 9. (இ-தி) என்றுவரும்.
உாகூடு. பிர, ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, (இ-தி) என்றிப்படி வருகி றமாலிகையிற் கருதிய உறுப்பு இது என்றறியும்படி, த, தி, ! து, து, (இ-தி) அந்தர நிரைகளின் முதலுறுப்புகளாமெனில்
5-F-9, 参ニg一eF十勢 考ニ●一mg十mFrー。 து- ன-சஓ+சுஜ-சஈ+ஆ, என்றிவைமுதலிய சமீ னங்கள் பிறக்கும்; இவைகவளச் சாதிகரிக்க,
ஈ-ஆ--த, என்றுமாலிகையில் இரண்டாமுறுப்பும்,
-ஆ+உத+தி, என்று மூன்றமுறுப்பும், ஒ-ஆ--கூத--கதி+தீ, என்று நான்காமுறுப்பும், ன-ஆ+சத+சுதி+சதீ+து, என்று ஐந்தாமுறுப்பும் வரும் இதில், வர்ணங்கள் துவிராசிகளின் சாதிதவர்ணங்களுக் ஒப்பாய் வந்தன. இவற்றிற்குக் துவிராசி காதிதவர்ணங்களு குமுள்ள வித்தியாசமேன்னவெனில், மாலிகையினது யாதே ருறுப்புப்பேறுகின்றவர்ணங்கள்,துலிராசி காதிதத்தில், அவ்வு ப்புக்கு முந்திய அயல் உறுப்புப் பெறுகின்றவர்ணங்களாம். அதாவது மாலிகையினது, (ண்) உறுப்புப்பெறும் வர்ணமு துவிராசி காதிதத்தில், (ன-க) உறுப்புப் பெறும் வர்ணமு ஒக்கும், எப்படியென்றல்,
மாலிகையின் ஐந்தாமுறுப்புக்கு வர்ணங்களாகிய, க, சு, ச, க, என்பன நான்காங் காதிதத்துக்கு வர்ணங்கள் ஆகையால் துவிராசிச் சூத்திரத்தில், (mசந. பிர), (ன)வு பிரதியாக (ன-க) ஜ வைத்தால் அகந்தமாலிகையின் உறுப்பையுமறிதற்கான சூத்திரம் பிறக்கும்.
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம். ாகடு
அச்சூத்திரம் வருமாறு, அநந்தமாலிகையின் கருதிய உறுப்பு ன) எனில், அந்த (ன) உறுப்பு =ஆ+ (ன-க) த-+
6OT-9. 6-9 657-15 (ତ)
9. ×一考(2・リ)
翻十(匈一e)→
அந்தரநிரைகள் சில பிறந்தபின்பு வேறு நிரை அந்தர தள்பிறவாமற் சூன்யசமத்துவம்பிறக்குமெனில், அவ்வியல்ப மந்தமாலிகைகளிற் கருதிய உறுப்பை எளிதில் நிச்சயிக்க ாமென்றறிக. உ-ம். இ, ஈ, சு, க0, கடு, உக, (இ-தி) என்றமாலிகைக்கு (ன) உறுப்புயாது ?
இந்தமாலிகையை அந்தரிக்கும்வகை.
க. கூ, சு, கo, கடு, உக, (இ-தி) என்பதுமாலிகை. ஓ, கூ, ச, டு, சு, (இ-தி) இதுமுதனிரையந்தரம். க, க, க, க, (இ-தி) இது இரண்டாநிரையந்தரம். O, O, O, (இ-தி) இது மூன்றநிரையந்தரம். இனி, ஆ-க, த-e, தி-க, தீ=0 என்றுவருதலால்,
6T-9. ன) உறுப்பு=க+ (ன-8) உ + (ன-க) –ஐ ஆகையால் இந்தமாலிகைக்கு, (உo) ம், உறுப்புயாதெனில்,
இ+hஅ+கஎக-உகo, என்றும், (டுo)ம் உறுப்புயாதேனில் ந2எடு) என்றுமறிக. -
2. கசு , உக கூ , சக , டுக , சுக , (இ-தி) என்றமாலி கையின் (உ0) ம் உறுப்புயாது ?
闵一é)
6560 L. 9 ooo. ந. கஉ , உஉ , கூஉ , ச2 , டுஉ , என்ற மாலிகையின் கடு) ம் உறுப்புயாது? விடை. 2உடு.
உாகசு. பிர. அந்தரகரணத்தாற் சங்கலிதம்றியும் வகை LT63,
ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, ன, (இ-தி) என்றமாலிகையின் உறுப்புக வளயோன்றேடொன்று முறையேகூட்டி
0 ● ●十F。尋十F十g。尋十F十g十ep (@ーリ).creór நமாலிகையைப் பிறப்பித்து முன்போல இதவன அந்தரிக்க,
ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, (இ-தி) என்றமுதனிரையந்தரமும், *一塾,8一吓,甲一名, (இ-தி) என்ற இரண்டாநிரையந்த மும்,
ஐ-உஈ+ஆ, ஒ-உஐ+ஈ, (இ-தி) என்றமுன்றநிரையந்த மும்,
ஒ-கஜ+கF-ஆ, (இ-தி) என்ற நான்காநிரையந்தரமும் இவ்வாறே மற்ற அர்தரங்களும் முறைமுறையே தோன்றும்.


Page 104
7
Tort வீசகணிதம்
இவ்விடத்துச் சுன்முதலுறுப்பாகப்பேற்ற ႕ၾ2၇ဇ္ဇ်စေ ဒမ္ယ။ இரண்டாநிரையந்தரமும், முதன் மாலிகையின் (உாகூக, பி
முதனிரையந்தரமும், ஒன்றற்கொன்று சமானமாயும், புது லிகையின் மூன்றநிரையந்தரமும், முதன்மாலிகையின் இரல் டாநிரையந்தாமும், ஒன்றற்கொன்று சமானமாயும், இந்தப்டு காரமே பிறவும் வரும். ஆதலால் முதன்மாலிகையின், (ண்) றுப்புக்குப் புதுமாலிகையின், (ன+a) என்ற உறுப்புச்சம் ତlD6678, ଗtଶ୪tGରj,
6ö7ーá
ன--க என்ற உறுப்பு - 0+ன.ஆ+ன 으 李 +
65Tー。 65Tーg. 65Tーá 657-9 607 広ー×考十cm 一×一高 Х
öTーscm ー×考+(e-*)
o, ஆ, ஆ+ஈ, ஆ+ஈ+ஐ, (இ-தி) என்றமாலிகைக்கு இக் தஉறுப்பு (ன+க) என்ற உறுப்பாமெனவே, ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, (இ-தி) என்றமாலிகைக்கு இவ்வுறுப்பு, (ண்) உறுப்பாம் ஆ ல்ை, இந்தப் புதுமாலிகையின், (ன) உறுப்பு முதன்மாலிகை யினது, (ண்) உறுப்புகளுக்குக் கலிதமாகையால்,
ஆ, ஈ, (இ-தி) என்றுவருகிற எந்தமாலிகையினது, (ண்) உ றுப்புகளின் சங்கலிதமறியும்படி,
வீச சூத்திரம்வருமாறு.
657ー● st-a சங்கலிதம்-ன.ஆ+ன – 9. 彦十s 一言ー × SOT-9. 6T-5 E-g 65=fn
தி+ன و " X> በFo Χ 子 தி +
(இ-தி)
க, கூ, டு, எ, கூ, (இதி) என்றமாலிகைக்கு, (ண்) றுப்பெண் என்றல், சங்கலிதம்யாது?
க, h, டு, எ, க, (இ-தி) LDITeSaos. 2, 3. உ, உ, (இ-தி) முதனிரையந்தரம்.
0, 0, 0, (இ-தி) இரண்டாநிரையந்தரம், ஆாக. த-2. தி=0. ஆதலால்,
6öTー&
சங்கலிதம்-ன+ன x உடன2 ஆகையால், 2
9. றுப்பெண்ணின்வர்க்கமே சங்கலிதமேன்று காண்க.
9. 夺甲一。 의우 , F-우- , 母°-, டுஉ , (இ-தி) என்றமாலி க்க. (ன உறுப்பெண்ெைமனில் சங்கலிதம்யாது?
 
 
 
 
 

அகந்தமாலிகை அதிகாரம், Ten 6 இதில், ஆ~க, த-க, தி=e, தீ=0, ஆகையால் சங்க
5 நிதம் = এ নেিতা (ன+க) X (உன+க.)
உறுப்பெண், (உ0) ஆமெனில், சங்கலிதம் - உஅஎ0, இந்தச் சங்கலிதத்தை வர்க்க சங்கலிதமென்பர்.
é,9,m,于。 டு, 6, (இ-தி) என்ற மாலிகையினது
5 தலிதத்துக்கு- ன (ன+க)
இதவன (ஸ) வுக்குச் சமமென்றுகொண்டு மேலேவந்த வர்
8 ந்த சங்கலித சமீகரணத்திற் பிரதிகரித்தால், - ஸ் X உன+க) என்று வரும். ஆகையால் உறுப்பெண்ணை இரட்டி ந்து (க) ஐக்கூட்டி (ஈ) க்கீந்து கற்சங்கலிதத்திற்குக்க வர்க்க சங்கலிதம் வரும்.
சு க* உ , கூக ச5 , டு , (இ-தி) என்றமாலிகை ந்து (ன) உறுப்பெண்ணுனல், சங்கலிதம்யாது?
இதில், ஆ-க, த-எ, தி=க9, தீ=து, து-0. ஆகை
ால், சங்கலிதம் - 浣 ன (ன+க) இதவனக் கன
es 2ங்கலிதம் என்பர். முந்திய உதாரணத்தில், ஸ்- — গীতা
ன+க) என்றுகொண்டது போல இவ்வுதாரணத்திலுங்
கொள்ளக், கனசங்கலிதம்-ஸ்உ என்றுவரும்.
உறுப்பெண் (டுo) ஆனல் கனசங்கலிதம்-கசுஉடுசு உடு. ச, க, ஈ, சு, கo, கடு, (இ-தி) என்றமாலிகையின் உறு
ப்பெண் (ன) என்ருல் சங்கலிதம்யாது?
சங்கலிதம் = ன (ன+க) (ன--உ), இதவனச் சங்க
வித சங்கலிதமென்பர். சங்கலிதசங்கலிதத்துக்கு-ஸX
|ன--உ) எனினுமொக்கும்.
உறுப்பெண் (கூ) ஆனல், சங்கலிதசங்கலிதம், கசுடு, டு. கச உச , கச, சச , டுச, (இ-தி) என்ற மாலிகைக்கு (89) உறுப்பெண் என்றல், அதற்குச் சங்கலிதம்யாது?


Page 105
ாக.2 வீசகணிதம்
ல்எ. குதக அதிகாரம். Indeterminate Analysis.)
உாசு எ. பிர, சமீகரன விதிகவளக்கொண்டு மறைநிவலயி ராசிகளுக்கு அர்த்த நிச்சயஞ் செய்யுமிடத்து, மறைநிவலயிா சிகளெத்தவனயோ அத்தவன் தனிமைச் சமீகரணங்களும்வல் தாலன்றி அவ்வர்த்தம் வரைய்றைபேருதாமென்று முன்புரை த்தோம். (உmச. பிர.) ஆனுற் சிறுபான்மை வரையறைபெருத சமீகரன அர்த்தங்கவள நிச்சயிக்கவேண்டிவருகின்றது. உ-ம். eesa浮十á@
தகடு " - ஸ் என்ற சமிகரணத்தில் (ஷ, ஸ்) என்று ਧੁ6ਠੰ மறைநிவலயிராசிகள் வந்தாலும் இரண்டு தனிமைக் சமீகரனங்கள் வராதபடியால் சமீகரனுர்த்தங்கள் வரையறு க்கப்படமாட்டா. இவ்விடத்து (ஷ) என்ற மறைநிவலயிரா யைக் குதகமென்றும், (+ சுடு) ஐக் கேபமென்றுங்கூறுவர்.
உாக அ. பிர, இந்தச் சமீகரனத்தின் வாமபாகம் பின்னதபு டையதாதலானும், மகாபவர்த்தத்தால் எந்தப் பின்னத்தின் போகத்தையும் ஆரகத்தையும் அரித்தால் பின்னர்த்தம் விக ரியாதாதலானும் மகாபவர்த்தமாகிய (ககூ) ஆலரித்து வாமப
கத்தைச் சுருக்க,
4எஷ+டு
- - ஸ என்றுவரும
கடு இனி, எந்த எண்ணை (கள்) ஆற்பெருக்கி (டு) ஐக் கூட்டிய வது, க வளந்தாவது (கடு) ஆலரிக்கச் சேடமில்வலயென்று வி
ଗ ணுவினல் விடையறியும்படி, அதாவது,
கடு е є;+(5 என்பதும் அபின்னமாம். இதை (அ) ஆற்பெருக்க
Hz-H- "T" அபின்னமாகையால், (2) ஐத் தள்ளிகுல்
கடு
GbO తి ఈఐ+తాం. அதாவது, ஷ--உ-- s学士 என்பதும் அபின்ன
கடு கடு en - ஆ; என்று வைத்துக்கொண்டால் ஷ-கடு
கடு +கo என்றுவரும். இதில் (ஆ) என்ற அட்சரத்துக்கு 36; Li
ன அர்த்தத்தைப் பிரதிகரிக்க (ஷ) இன் அர்த்தம் வெளி
 
 
 
 

குதக அதிகாரம், 町ö岳、
ஆ=க, என்ருல் ஷ-டு, என்றும் ஸ் - சு, என்றும் வரும், ஆகையால் குதகவினுக்களுக்கு விடையறியும்படி முன்பு ராம அறியவேண்டிய மூலப்பிரமாணங்கள் நான்கு. அவை இவ்வுதாரணத்திற் காட்டியவைகளும் பிறவுமாம். அவை வ
மாறு :- - 质 க. அபின்னத்தோடு அபின்னத்தைக்கூட்டினலும், உ. அபின்னத்தில் அபின்னத்தைக் கவளந்தாலும், ஈ. அபின்னத்தை அபின்னத்தாற் பேருக்கினலும் பேறு அ பின்னமாய்வரும்.
உாககூ. பிர. இனி அபின்னத்தை அபின்னத்தாலரிக்குமி டத்து, ஈவு அபின்னமாய்வர, அப்படி அரிக்கின்ற பாககஅபின் னத்தாற் பாச்சிய அபின்னத்தின் ஒரு கூற்றை அரிக்குமிடத்து ம் ஈவு அபின்னமாயே வருமேனில், சேடமான மற்றைக்கூற் றைப் பாககஅபின்னத்தால் அரிக்குமிடத்தும் ஈவு அபின்னமா
666 யேவரும். முந்திய உதாரணத்தில் aܟܼ-+@ என்பது அபின்
கடு
9. 历 னமாகையால் இதில் (ஷ) ஐத் தள்ள, 뿔 என்பதும் அ
பின்னமாம். ஆகையால்,
ச. ஒரு அபின்னத்தை வேருேரு அபின்னஞ் சேடமில்லா மல் அரிக்குமெனில் சேடமில்லாமல் அரிபடுஞ் சில கூறுக வளத் தள்ளினுலும், எஞ்சிய மற்றைக்கூறுகள் சேடமில்லாமல ரிபடும். ஆதலாற் குதகவினுக்களுக்கு விடையறியும்படி,
Guss 3y6oß.
கூா. பிர, குதகருபத்தை மகாபவர்த்தத்தால் அரித்துச் சுருக்கவேண்டுமானுற் சுருக்கிப் பின்பு தள்ளக்கூடிய அபின் னங்களவனத்தையுந் தள்ளிக் குதகாட்சரம் (க) என்ற வர்ண மேயன்றி வேறுவர்ணங்கவளப் பொருந்தாமலிருக்கும் படி முற் கூறிய மூலப்பிரமாணங்களில், அமைந்த கிர்த்தியங்கவள இய ற்றி, ஈற்றில் வந்தபேற்றை ஒரிஷடாட்சரத்துக்குச் சமமென்று கொண்டு சமீகரனத்தைச் சாதிகரித்து இஷடாட்சரத்துக்குத் தகுந்த அர்த்தத்தைக் கற்பித்துக்கொள். உ-ம்.
கசஷ--கக
Gā
リ。 35 ā子 F.
5 ఏపై என்ற அபின்னத்திற் கவளய, ककe}, - |-
= ஸ, என்றல், விடையறியும்படி,


Page 106
'
그_T வீசகணிதம்
டுவத்-க்க - 20 * - _.- ܓܣ ܘఐ-త్తా = எனறும, (ச) ஆற் பெருக்க, " ge. T"
ன்றுகொள்ள, = ஆ என்ற சமீகரனம்பிறக்கு ஆகையால் ஷ = ககூஆ+சு. இதில் ஆ = 0 என்றுகெ ண்டால், ஷ = சு என்றும், ஸ் - டு என்றும்வரும். இ இந்த மறைநிவலயிராசிகளுக்கு லகிஷட அர்த்தங்களாம்; என வே இந்த மறைநிவலயிராசிகளின் அர்த்தத்துக்கோர் வரை றை இல் வலயென்று காண்க.
உடு-க , - ஸ். என்றல் குதகார்த்தம் யாதெனில்
É{吓一円 5-6 28-E = ae一a。十 ஆகையால் அபின்னங்க
リーe
வளத் தள்ளிநிற்கின்ற என்பதை (ஆ) வுக்குச் சம
5
= ஆ என்றும் .1 ஷ = உஆ அதாவது ஷ - க-உஆஎன்றும்வரும். இதில் ( வுக்குத் தனராசியாகிய விடைவேண்டுமேயானல் 0,-க, -ா,-ச, என்ற இலக்கங்கவள (ஆ) வுக்குப் பிரதிகரிக்கவே டும். ஆ = 0 என்றல் ஷ - க, என்றும் ஸ் = கக என்றும் வரு
9.
மென்று சமீகரனருபாக்க,
ஆ = - க என்றல் ஷ = கூ, ஸ் - அ என்றும் ஆ – - உ என்றல் ஷ = டு, ஸ = டு என்றும் > வரும் ஆ = - h என்ருல் ஷ - எ, ஸ் = 2 என்றும்
இந்நான்குவிடைகவளவிட மற்றெல்லாவிடைகளும் இருண ராசியாGமன்றுகாண்க.
குதகவர்ணமும் பாசிதமும் ஒரெண்ணுற் சேடமில்லாமல் அரிக்கப்படக் கேபமும், அப்படியே சேடமில்லாமல் அரிக்க படாதிருக்குமேயானல் அவ்வியல்பையுடைய விணுப் பொருள் தாதவினுவென்க, உ-ம்.
LD 6)
s学士 = ஸ என்புழி, இது மஷ-மனஸ = +ல என்
Ա) 6ծT றுவருமாகையால் இதை (ம) ஆலரிக்க ஷ-னஸ்
6) + , என்றுவரும். இப்படி அபின்னத்தை அபின்னத்திற் He is
 

குதக அதிகாரம். - em,
வளந்த சேடம் பின்னமாகையால் இது பொருந்தாத வினுவெல் றுகாண்க. இவ்வாறே நூற்றைம்பது அணுவை ரூபாயாகவும் இறையாலாகவும் கொடுக்கும்படி ஒருவன் கேட்டால் அது போருந்தாத கேள்வியென்றறியலாம். எப்படியேன்றல் கசுவு --கeஸ் = கடுo. ஆதலால் (கசு) ஐயும், (க2) ஐயும் (ச ஆற் சேடமில்லாமலரிப்பதுபோல (கடுo) ஐயும் (ச) ஆற் ே டமில்லாமலரித்தல்கடாதபடியாலென்க.
குதகவின. எந்த எண்வண (கoo) ஆற்பெருக்கி (கo) ஐக்கூட்டி (சுக) ஆ லரிக்கும்போது சேடம்வராது?
கooஷ+கூ0 கooxக அ+கூ0
ös, = 6) F Simsir உ. எந்த எண்வன (சுo) ஆற்பெருக்கி (கசு) ஐக்கவளந்து (கரு) ஆலரிக்கும்போது சேடம் வராது ?
an OXe-agi, 660):- - - gy,
விடை IFO
а. Пу. ஈ. (கரு) வருடத்தில் (கக) மண்டலபூரணஞ் சேய்கின்ற ஒ நகிரகத்துக்குப் புடம் எண்ணினபோது சில மண்டலம் (அதாவது பாகனமும்,) இராசியும், பாகையும், கவலயும், விக
○O வலயும் வந்து ஈற்றில் என்ற விகவலப்பின்னமும் வந்தா ல் இந்த விகவலப்பின்னத்தினின்று பாகனம், இராசி, பாகை கவல, விகவல, என்ற இவற்றை அறிவதெப்படி?
இந்த வினவிற்கு விடையறியும் வகை, க வலயில் எஞ்சியசே டத்தை (சுo) ஆற்பெருக்கி (கரு) ஆலரித்தபோது இந்த விக லாபின்னங் தோற்றியபடியால், கவலயிலெஞ்சியசேடத்தை (ஷ) என்றுகொள்ள ,
Fer விகவல, என்ற குதகசமீகரனம்பிறக்கும்.
ஆகையால் ஷ-கக, என்றும், ஸ்-டுo, என்றும் அறியலாம். இனிப் பாகையிலேஞ்சிய சேடத்தை ற என்றுகொள்ள, சுOற-கக - -
-ன கவல எனற சமீகரணம் பிறக்கும். ஆ கையால் ற-க என்றும், ன - கா. கவல, என்றுங் கான லாம்.
IF, Op-san இவ்வகையே F 6) UT GODE. -g, EODETSLUIT 6) 4p
e 6YD 2 GG LUTERSOAS


Page 107
2T2. வீசகணிதம்
- - லி இராசி. ஆகையால் ர - கூ. லி=
= மி மண்டலம். ஆகையால் ம =
மி - க மண்டலம். ஆதலாற் கிரகபுட எண்ணலிற் 8 ண்ட மண்டல முதலியன; மண்டலம், க, இராசி, அ; பு கை, கூ கவல, கா, விகவல, @၀ႏွစ္ထိ.
இப்படிக் குதககிர்த்தியத்தால் மண்டலம் இராசி முதலிய அறி யும் விதத்தைத் திரகுதகமென்பர்.
ச. ஐந்துவராகனுக்கு ஒவ்வொரு குதிரையும், முக்கால்வ கனுக்கு ஒவ்வொரு கழுதையும், கால்வராகனுக்கு ஒவ்வொ ஆடுமாக ஒருவன் நூறுவராகனுக்கு நூறு உரு வாங்கினுனெ முல், அவன வாங்கின குதிரையும், கழுதையும், ஆடும் வகை வி ன்றுக்கெத்தவன ?
விடை குதிரை, கச, கழுதை, கள். ஆடு, சுக. டு. ஆடவரும், ஸ்திரீகளும், குழந்தைகளும் கூடிக் கடை ற் பண்ணிகாரம் வாங்கினபோது ஆடவர்கள் ஆளுக்கு (ச) பு ண்ணிகாரமும், ஸ்திரீகள் ஆளுக்கு
ழந்தைகள் ஆளுக்குக் காற்பண்ணிகாரமுமாகப் பங்கிட்டார் ள். பண்ணிகாரமும் (உ0) ஆளும் (உ0) ஆமேனில் ஆடவ ஸ்திரீ, குழந்தையென்ற ஒவ்வொரு வகையாட்களில் எத்த வனGபயரிருந்தார்கள் ?
விடை ஆடவர், க. ஸ்திரீ, கடு. குழந்தை, உ. சு. மோறச்செட்டியார் வராகன்சேட்டியாருக்கு அரைகுப ய் கொடுக்கவேண்டிவந்தபோது மோருச்சேட்டியாரிடத்திே மோறுவும், வராகன்செட்டியாரிடத்திலே வராகனுமேயல்
மல் வேறு நாணயமிருக்கவில்வல. ஒரு மோரு () ரூபாே
さ。 ன்றும், ஒருவராகன் (ஈ) ரூபாயேன்றும் வைத்துக்கொண்ட
ல் மோறச்செட்டியார் கோடுத்த மோரு எத்தவன? வராகன் செட்டியார் கொடுத்த வராகன் எத்தவன ?
விடை, மோறு சு. வராகன், உா. சங்கிலிக்குதகம். சேடமில்லாமல் அரிக்கப்படுகின்ற எண்கள் யாவையெ6 றறியும்வகையைக் குதகவிதியினல் விளக்கினுேமாயினும் ன்னின்ன எண்களாலரிக்குமிடத்து இன்னின்ன சேடங்க A S TMML TT LtL LS LTYSuL LS LLLr eTTSuLLSYSTSLY S S TTSYSC LTTMLSrrLL
 

குதக அதிகாரம். 9_sF_
விடையுணரலாம். இவ்விதமான வினுக்களுக்கு விடையுண ர்த்துமுறையைச் சங்கிலிக்குதகமென்பர். அதற்கு உதாரண ம் வருமாறு.
க. (கன்) ஆலரிக்க (எ) ஐயும் (உசு) ஆலரிக்க (கா) ஐயுஞ் சேடமாய்த்தருகின்ற லகிஷடமான அபின்னம் யாது?
இந்தவினவிற் சேடம் வந்துஞ் சேடமான எண்வணப் பாச்சி எண்ணிற் கவளந்து பாககத்தாலரிக்கச் சேடம் வராது. عް&; தலால் முற்கூறிய விதிப்படி இதற்கும் விடையறியலாம். ஆன ல் இதிலிரண்டு குதகருபங்கள் வந்தபடியால் ஒரு ரூபத்திற் க ண்ட மறைநிவலயிராசியின் அர்த்தத்தை மற்றக்குதிகருபத்திற் பிரதிகரித்து முன்போற் செய்யவேண்டும். இனி விகுவித் : D'LJLJL9-,
受二o s学ーán 。
, , , என்ற ரூபங்கள் அபின்னங்களாம். இ
-G
வற்றுள் ولي – يجية என்றுகொள்ளில் ஷ = -ெ-கன்ஆ,
என்றுவரும். இந்த அர்த்தத்தை மற்றைக்குதகருபத்திலே பிரதி đTâ55,
கஎஆ+எ-கா) _ க்ஆெ-சு - -
ஆக " , 999 அபின்னம்வரும். 堑曼
으Fr
으EFr.) 色GW-勢ーリ 。身。--a。 璧_°二至_雪鲁士鱼 என்பதும் அபின்னமாம்.
95t E_Fr 色á
உஎஆ+கஅ ஆ+கஅ
富下千尋十
ஆ+க அ
951
பின்னம் வரும். இதை (ஈ) க்குச் சமமென்றுகொள்ள, ஆ--கஅ
s அபின்னமாகையால்,
இதை (க) ஆற்பெருக்க,
றும், (ஆ) என்ற அபின்னத்தைத்தள்ள என்றும் அ
:- = ஈ என்றும், ஆ = உசுஈ-கஅ என்றும் வரும்.
ஈ-க, எனக்கொள்ள, ஆ = அ, என்றும், ஷ - கசக, என் றும்வரும்.
ஆகையால் முற்கூறிய குதகவிதிப்பிரகாரமே சங்கிலிக்குதக வினுக்களுக்கும் விடையறியலாமென்க. ஆணுல் சங்கிலிக்குதக கிர்த்தியத்திற்கும் மற்றைக்குதககிர்த்தியத்திற்கும் உள்ள வித்தி யாசமென்னவென்றல் குதகவினுக்கள் மறைநிவலயிராசியின் அர்த்தத்தை ஒரு ரூபத்தில் மாத்திரமே விளக்கும். சங்கிலிக் குதகவினுக்களோ மறைநிலையிராசியைப் பலருபங்களில் வி


Page 108
ளக்கிநிற்கும். இப்படிப் பலருபங்களில் விளக்குமிடத்து ஒரு ரூபத்திற் கண்ட மறைநிவலயீராசியின் அர்த்தத்தை மற்றகுப் ங்களிற் பிரதிகரிப்பதுஞ்சங்கிலிக்குதகவிசேஷ மென்றுகாண்க உ. கக, கசு, உசு, என்ற எண்களால் ஒரிலக்கத்தை அரி க்க முறையே கூ, டு, கo, என்ற சேடங்கள் வருமெனில் அந்த இலக்கம் யாது ?
அவ்விலக்கம் (ஷ) எனில், 63-1, 63-6, 6.3-8.0
ਯਡ
. . a浮一m - வற்றுள = ஆ என்று கொண்டால் ஷ = ககஆ+
க3ஆ-3
35
鼻一e.
5E8 என்ற அபின்னம் வரும். இதை (e) ஆற்பெருக்க – X
9_TSP வீசகணிதம்
என்பன அபின்னங்களாம். இ
என்றுவரும். இதை இரண்டாம்ருபத்திற் பிரதிகரிக்க,
牟e荃一于 吁等一于 。。 . . .
- - என்றும, ஆ ஐததளள
35 =岛十 öcm Fè一于 。. hஆ-சி (
X cm ニ جھے ,என்றும், சு ஆற்பேருக்க ת858% கஅஆ-உச கஅஆ-டு
ஆக கக
கஅஆ-டு 。. Gé - C3-3 என்றும், என்ற அபின்னத்திற் கவள
- க, என்றும், க ஐத் தள்ள
gas கசன் ஆ 竺一@一垒士@一。 - - - - - கசு கக என்றும் அபின்னம்பிறக்கும் "" "وي இது (ஈ) க்குச் சமமென்றுகோள்ள, ஆ-ககஈ-டு என்றும் ஷ-20கF-டுe என்றும்வரும். இந்த (ஷ) இன் அர்த்தத் தை மூன்றுவது ருபத்திற் பிரதிகரிக்க,
E.OcmmFFーエE. cmFFー ).GFーe十 பூ என்றும (Gਜ-e - ٦ چی د " ன்ற அபின்னத்தைத் தள்ளி நின்ற அபின்னத்தை (டு) ஆற்
FFー● エ OFFーE.O P-9 O.
பெருக்க, 飞鸾下 Χ (6 - &e_8ური 二F十 des
ன்றும் (ஈ) ஐத்தள்ளிச் சேடமான அபின்னம் (ஜ) க்குச் ச மேன்றுகொள்ள, ஈ-உகஜ+உ0 என்றும்,
ஷ-20கF-டுe-உ0கX (உகூ8+உo) -டுe என்றும் (ஐ) - (o) என்றுகொள்ள,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

கரணகுதக அதிகாரம். 2 MT (GE
ஷ-20கXஉ0-டுe-சகஉஅ என்றுவரும். இதுவே வினு லிற்கு விடையாம்.
ஈ. ஒரு எண்வண (சு) ஆலரிக்கும்போது (உ) ம் (கா) ஆ லரிக்கும்போது (h) ஞ் சேடமாய் வரில் அந்த எண் யாது?
ச. க, 2, h, ச, டு, சு, எ, அ, கூ, என்ற ஒவ்வொரு இ லக்கத்தினுலுஞ் சேடமில்லாமல் அரிபடும் லகிஷட எண் யா
.விடை உடுஉ0 أنޓް
டு. ஒரு பந்தியிற் கட்டியிருந்த குதிரைகவள உ, கூ, ச, டு, சு, பந்திகளில் முறைமுறையே பிரித்துக்கட்டினபோது ஒவ் வொரு பந்தியிலுங் குதிரைகள் சரிசரியாக இருந்தன. இந்தக் குதிரைகளோடே இன்னும் இரண்டு குதிரை சேர்த்தால் அவை நவளப் பிரித்து ஏழபந்தியிற் சரிசரியாக நிற்கும்படி கட்டலா மெனில் குதிரைகளின் தொகையாது?
விடை கஅ0.
சு. ஒருத்தி சில எலுமிச்சம்பழங் கோண்டுவர அவற்றை ஒ து கள்வன் பறித்துக் கொண்டுபோய்விட்டான். அவள் இரா சாவுக்கு முறைப்பட்டாள். இராசா நீ எத்தவனபழங் கொண் டுவந்தாயென்றுகேட்க, அவள் நான் கொண்டுவந்த பழங்கவள இவ்விரண்டாகவும், மும்மூன்றுகவும், நாகான்காகவும், ஐவை ந்தாகவும், ஆறுமுகவும் எடுத்தேடுத்து வைத்தபோது முறை யே, க, உ, க, ச, டு, மிஞ்சின. ஏழேழாக வைத்தபோதோ மிச்சமில்வலயென்று சொன்னுள். அவள் கொண்டுபோன எலுமிச்சம்பழங்கள் எத்தவன ?
விடை ககக.
ல்அ. கரணகுதக அதிகாரம்.
[Diophantine Analysis.]
கூாக, பிர. அர்த்தவரையறை பெருத கரனருப சமீகரணங் களோடு புணர்ந்து வர்க்க கனராசிச் சம்பந்தியாய் வருகின்ற ம றைநிவலயிராசிக்குக் கரனகுதகமென்றுபெயர்.
கரணகுதகவினுக்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒவ்வோரு துறைபற் றி வருகையால் அவையவனத்தையுந் தழுவி முடிகின்ற ஒர் போதுவிதிதருதல் கூடாது. அல்லது இன்ன வினவுக்கு இன் னஇடத்தே இன்னகிர்த்தியமியற்றல் வேண்டுமென்று ஒவ்வொ ரு வினுவையுங் தப்பாமலெடுத்துத் தீட்டிக்காட்டலுங் கூடாது. ஆகையால் யாம் இவ்விடத்தில் எடுத்துச் சொல்லுகின்ற வினு YY sLMLLLLLL LLLL LL LLLLLL GGL zLT TeTSLLkTLT LSaS


Page 109
  


Page 110
27. O வீசகணிதம்
என்றும், ஈஉ= (ஸஷ-ஈ)- என்றும் இஷடருபங்கவளக் 至あE多多máo *十*=* 十*十のチsse-+eroe-e。ー -உஆறஷ-உஈஸஷ, என்றும், சுருக்கினல்,
ற2 ஷ+ஸ் ஷ=உஆற+உஈஸ ; அல்லது,
உஆற+உஈஸ் 6i. p6-+۔ عrpہے , என்றும் வரும். g©5Un೯ು:
ஆற2--உஈறஸ்-ஆஸ்2 ݂ ݂ ݂
厚)e熱ー●ニ ற2 +ဓnoခ- ``` , இது பெரியவர்க்க த்துக்குமூலம்.
೧)ಎ-F=
துக்குமூலம்.
ஈஸஉ+உஆறஸ்-ஈற2. のキー+er)*
உதாரணம். க, ச, என்ற இரண்டுவர்க்க எண்களின் தோகையை வுே
5-67 al R றிரண்டு வர்க்கங்களாகப் பிரித்தால், அவை (G), (志)
இது சிறியவர்க்கத்
என்று வருமென்று காண்க.
அ. இரண்டு எண்களின் தொகையும் அந்தரமும் வர்க்கமா னல், அவ்வெண்கள்யாவை ?
றஉ+ஸஉ, ஒரு எண் என்றும், உறஸ், மற்ற எண்என்றும் வைத்தால் அதுவே விடையாம்.
க. இரண்டு வர்க்கங்களின் அந்தரத்தைக்கொண்டு அவ் வர்க்கங்கவளயறியும்படி ;
வர்க்காந்தரத்தை இரண்டு சமமற்ற குணுங்கங்களாகப்பிரித் து அவ்விரண்டு குணுங்கத்தோகையின் பாதியை வர்க்கித்தா ல், பேரிய வர்க்கமும், குனங்கங்களினந்தரபாதியை வர்க்கி த்தால் சிறியவர்க்கமும் வரும். உ-ம்.
ஷ+க, ஷ-க, என்ற இரண்டுருபங்களும் வர்க்கமானுல், (ஷ) வுக்கு அர்த்தம்யாது?
இதில் வர்க்காந்தரம் உ. குனங்கங்கள் உ, க. குணுங்கத்
5 E% தோகை (க). இதிற்பாதி () இதின்வர்க்கம் ( ). குணுங்
Bb காந்தரம், (க). இதிற்பாதி (). இதின் வர்க்கம் () @စေ =
5 --
யால், பெரியவர்க்கம் سی ? என்றும், சிறியவர்க்கம் g என்றும்
அறிக. அறியவே ஷE 停) ஆம்.

கரணகுதக அதிகாரம். 2fT3s
க9 முன்று எண்ணெ இவ்விரண்டாகக் கூட்டினலும், மூன் றையும் ஒன்ருய்க்கூட்டினுலும் தொகைகள் வர்க்கமாய்வரி ல் அம்மூன்றேண்களும் யாவை?
முதலெண், சஷ, என்றும், இரண்டாமெண் ஷஉ-சஷ, எ ன்றும், மூன்றுமெண் உஷ+க என்றும் வைத்துக்கொண்டா +-خe e ) - (غه تی- معاغه) و عe-= ( به تبتی- مهره) + (خeت) رفته *)千*ー*十s;(字ez)+(s。ー字s学)+(es。十cm) -லி* Teஷ+க, என்ற இம்மூன்று தொகையும் வர்க்கமாம். ஆலியோல் (சஷ) +(உஷ+க)=சுஷ+க என்ற ஒன்றை மாத்திரமே வர்க்கமாக்கல் வேண்டியது. இது (ஆ) என்பதற் குச் சமமேன்றுவைத்துக்கொண்டால்,
ஆ?--க 6}= - , என்றுவரும், ஆகையால்,
리을 수 -e ”ーe。身。e-ー+-e@ ـ ہے+-e
fP hn டையாம்,
கே. மூன்றுவர்க்க எண்வன இவ்விரண்டாகக்கூட்டினுல், தொகைகளும் வர்க்கமாய் வரில் அம்மூன்று எண்களும் யா வை?
விடை, (சச)உ; (ககஎ)உ; (உச0)2. கe. (கoo) ஐ இரண்டு வர்க்கங்களாகப் பிரி.
விடை. கசு ; சுச: கா, ஷஉ +ஷ ; ஷஉ -ஷ; என்ற இரண்டு ரூபங்களும் வர்க்கமானல், (ஷ) வுக்கு அர்த்தம் யாது?
விடை, உடு
2. கச. இரண்டெண்ணின் குணிதத்தை அவ்வெண்களுக்கு முறையே கூட்டினுல் தொகைவர்க்கமாம், அவ்வெண்கள் யா cO)6)
9. விடை –, டு ffሕ ቪቻro கடு. மூன்று வர்க்க எண்கள் அந்தரமாலிகையாகவும் வர் க்கமாகவுமிருக்கில் அவையாவை?
விடை. க, உடு, சசு. கசு. அந்தரமாலிகையான மூன்று அபின்னங்கவள இரண் டிரண்டாகக்கூட்டினல் தொகை வரக்கமாம். அவ்வெண்க ബf (UTബ്
விடை. சஅe, காசுஉசுஉச2. கன. இரண்டெண்கவளத் தனித்தனிவர்க்கித்து அவ்வெண் களின் குணிதத்துக்குக்கூட்டினுல் தொகைகள் வர்க்கமாம்.
۔ ۔ ...CY
- - ۔ ہر ہے۔سر ہے۔ ۔ ۔ ۔ حسابی حیہ جیسی۔کیسر ۔ حسرحمحم + خدشہ arجم


Page 111
if வீசகணிதம்
கஅ. சகரணமாலிகையான மூன்றெண்ணின் ஒவ்வொன் ருேடேயும் (கக) ஐக் கூட்டினல் தொகை வர்க்கமாம். அவ் வெண்கள் யாவை?
டு உடு
于 öEöG。 கசு. மூன்றுவர்க்க எண்களில் இவ்விரண்டின் அந்தரமும் வர்க்கமாம். அவ்வேண்கள் யாவை ?
விடை. சஅடுஅoக, கச2உடு, உஈச0க
ஸ்க. அதிவர்க்கசமீகரண அதிகாரம். (Composition and Resolution of the higher Equations.) கூme. பிர, சமீகரணத்தில் வருகின்ற மறைநிவலயிராசி னது நிர்க்கண்டம் இரண்டின் மேற்படில் அந்தச் சமீகரனத் தை அதிவர்க்க சமீகரனமென்பர். ஆகையால் கனசமீக னம், வர்க்கவர்க்கசமீகரணம் முதலியனவெல்லாம் அதிவர்க் க சமீகரணமென்ற பொதுப்பெயரிலடங்குமென்க. இந்தக் சமீகரணங்கள் வெள்வளச்சமீகரணங்களினின்று குண்னகிர் த்தியத்தாற் பிறக்கும். எப்படியேன்முல்,
G。ーg ニ என்ற வெள்வளச்சமீகரனங்க வளப் $ெ-h = 0 பெருக்க,
ஷஉ-டுஷ+சு = 0 என்ற வர்க்க சமீகரணமும்,
a浮一s = 0 } என்றதாற்பெருக்க, ஷக -கஷ2--உசுஷ-செ = 0 என்ற கனசமீகரனமும் a;-(6 -0 என்றதாற்பெருக்க
ஷச -கசஷக +எகஷஉ-கடுசஷ-கஉo = 0 என்ற வர் க்கவர்க்க சமீகரனமும் இவ்வாறே பிறவுங்தோன்றும். இங் கே குணுங்கமாய் வந்த சமீகரணங்களுக்கு நிவலமாற்றல் கு ன்ய சமத்துவம் பிறப்பித்ததையும் ஒரே மறைநிவலயிராசிக்கு ப் பல அர்த்தங்கவளக் கற்பித்ததையுங் கண்டுகொள்க.
கூmஈ. பிர. இந்தச் சமீகரனங்களின் முதலுறுப்பினது நீர்க்கண்டஞ் சமீகரனநாமம் எப்படியோ அப்படியிருக்க, அத ற்குப் பிந்திய உறுப்புகளின் நிர்க்கண்டம் ஒவ்வோரலகு குறை ந்து குறைந்துவரும். உ-ம்.
வர்க்க சமீகரனத்தின் நிர்க்கண்டங்கள், உ, க. கனசமீகரனத்தின் நிர்க்கண்டங்கள், ஈ, உ, க. வர்க்கவர்க்க சமீகரனத்தின் நிர்க்கண்டங்கள், ச, ஈ, உ, க பிறவுமன்ன,
ர்ொக் டிமிாானங்களின் கடையறுப்பத் தெரிநிலையிாசி
 
 
 
 
 
 
 
 

அதிவர்க்க சமிகரண அதிகாரம். 3
ாகையால் சமீகரனஉறுப்பெண் பெரிய நிர்க்கண்டத்திலும் ஒரலகு பெருத்துவந்ததேன்றறிக.
கூாச. பிர. முன் பிறப்பித்த சமீகரணங்கள் வேறுவே று அர்த்தங்கவளயுடைய மறைநிவலயிராசிகளின் குனனத்தா ற் பெறப்பட்டபடியால் சமீகாணங்களுக்கு அர்த்தநிச்சயஞ் செய்யும்போதும் அம்மறைநிவலயிராசிகளுக்குப் பல அர்த்தம் பிறக்கும். எப்படியென்றல் வர்க்கசமீகரனத்தில் ஈ, உ, என் றும், கனசமீகரனத்தில், ச, ஈ, உ, என்றும், வர்க்கவர்க்கச மீகரனத்தில், டு, ச, ஈ, உ, என்றும், (ஷ) வுக்குப் பல அர் த்தங்கள் கற்பிக்கப்பட்டன.
ஆகையால் வர்க்க சமீகரணத்தில் இரண்டு அர்த்தங்களும், கனசமீகாணத்தில் மூன்று அர்த்தங்களும், வர்க்கவர்க்க சமீக ரணத்தில் நான்கு அர்த்தங்களும், இப்படியே பிறவும்வரும். இ ந்த அர்த்தங்கவளச் சமீகரணமூலமேன்பர்.
இந்த அர்த்தங்களில் எதை மறைநிவலயிராசியினிடத்தே பிரதிகரித்தாலும் சமத்துவஞ் சிதையாது. உ-ம்.
ஷ5 -கஷஉ +உசுஷ-உச = 0 என்ற சமீகரணத்தில், (ஷE9) என்றுகொண்டால்,
2* -3: X98---26: X2-23--co GTsög) b (aş=f*) 6767 றுகொண்டால், கூக் -கூXhஉ+உசுXh-உசEO என்றுத் சமத்துவஞ்சிதையாமல் வந்தவாறு காண்க. பிறவுமிப்படியே. இந்த அர்த்தங்களிற் சில கணிதாதீதமூலமாயும் வரும். கணி தாதீதமூலங் குணுங்கமாய் நின்று சமீகரனத்தைப் பிறப்பித் தால் அர்த்தழங் கணிதாதீதமுலமாயே வருமென்க.
கூாடு, பிர. இனி அதிவர்க்க சமீகரனங்கள் பிறக்குமிடத்து வர்ணங்கள் என்ன கிரமத்தைப்பற்றி நடைபெறுமென்று நிச் சயிக்கும்படி சூன்ய சமத்துவத்தையடைய,
e学ーリニo aみーFFニo e。一gニo e熱ー●=o GTeór s மீகரனங்கவள ஒன்ருய்ப்பெருக்கி ஒரேகாதிதவர்ணங்கவள ஒ ன்றின் கீழ் ஒன்றுகத்தீட்ட,
'-' இவற்றின் குணிதம்
* == -_a
*二露{e+e==a
என்ற வர்க்கசமீகரணமாயும் இதவன (ஷ-ஐ) ஆற் பெருக் கக் குணிதம்,
一妾 ---জুন ఐక -FX ఐ2-+gజ ఐ-gFP = 0
一g 十F筠
575ồTimo 56 OTTAFÉAR, TaCONTLIDITH, -


Page 112
2 TD2. வீசகணிதம்
இதவன (ஷ-ஒ) ஆற் பெருக்கக் குணிதம்,
+ஆஈ )
一垒 +ஆஐ -ஆஈஐ eqASiSS ke SYiey SYik i S AYSeikeiOkieie 二* ] 十Fg fa浮=一令ge OO
一印 十Fap 一吓8@量
。十86 S
என்ற வர்க்கவர்க்க சமீகரனமாயும் வரும். இதில் முதலுறு ப்புக்கு வர்ணம் (க) இரண்டாமுறுப்புக்கு வர்ணம் சமீகரனர் த்தங்களாகிய மூலங்களின் தொகை, இந்தத் தொகை தனம் இருணமாயும் இருனந் தனமாயும் மாறிவரும். உ-ம். வர்க்க சமீகரனமூலங்கள் ஆ, ஈ, இவை-ஆ-ஈ, என்றுவரும்.
சமீகரனமூலங்கவள இரண்டிரண்டாகப்பேருக்கிப் பெற்ற கு ணிைதங்களின் தொகை மூன்றமுறுப்புக்கு வர்ணமாம். உ-ம். கனசமீகரணமூலங்கள், ஆ, ஈ, ஐ, ஆகையால் மூன்றமுறுப்பு க்கு வர்ணங்கள், ஆஈ, ஆஐ, ஈஐ என்றுவரும். சமீகரணமூல ங்களின் சின்னங்கவள மாற்றி அவற்றை மும்மூன்றுகப் பெரு க்கிப் பெற்றகுணிதங்களின் தொகை நான்காமுறுப்புக்கு வர் னமாம். உ-ம். வர்க்கவர்க்க சமீகரனமூலங்கள், ஆ, ஈ, ஐ, ஒ, ஆகையால் கான்காமுறுப்புக்கு வர்ணம்,-ஆஈஐ-ஆஈஒ, -ஆஐஓ,-ஈஐஓ, என்றுவரும். சின்னங்கவளமாற்றி மூலங் களவனத்தையும் ஒன்றுய்ப்பெருக்கிப் பெற்றகுனிதஞ் சமீகர னத்தின் கடையுறுப்பாம். உ-ம். கனசமீகரனத்தின் கடை யுறுப்பு-ஆX-ஈX-ஐ=-ஆஈஐ வர்க்கவர்க்க சமீகர னத்தின் கடையறுப்பு-ஆX-ஈX-ஐX-ஒE+ஆஈ 8.ெ
கூாசு, பிர, இந்த உதாரணங்களிற் சமிகரணமூலங்கவளத் தனராசியாகக் கொண்டபடியால் அவை நிவலமாற்ருல் இருண ராசியாகிச் சேடதுவிராசி காதிதங்கள் போல முறைமுறையே இருணமுந் தனமுமான குணிதஉறுப்புகவளப் பிறப்பித்தன. மூலங்கள் இருணமானல், அவை நிவலமாற்ருல் தனமாகக் குணித உறுப்புகளவனத்துக் தனமாயேவரும். உ-ம். (ஷ) வுக் கு அர்த்தம்-ஆ-ஈ,-ஐ-ஓ, என்றுகொண்டால்,
a学十リニo a学十Fニo。e学十gニo a。十ー●ニo Grsöpー மீகாணங்களே குணுங்கங்களாய்நின்று அதிவர்க்க சமீகரன ங்கவளப்பிறப்பிக்கும். ஆகையால் அவற்றிற் சின்னவிகாரமே யன்றி வேறுவிகாரம் வராதென்றுகாண்க. வேறு சமீகரணங் கள் தனமுமிருணமுமான மூலங்களின் குனனத்தாலும் பிற 5.D.
கூmஎ. பிர. குண்னகிர்த்தியத்தாற்சமீகரனங்களொன்றிலெ
SAS Aq AA ATS A ASqqqqqq S LSAq qA SA SJ 0LLK ASL A LSL S AAA S SAAAASSLS LLS MA qAAA AA
 
 
 
 
 
 
 
 

அதிவர்க்க சமீகரண அதிகாரம். உால்
ன்றிலொன்று குறைந்துகுறைந்துவரும். உ-ம். (ஷ-ஆ) என் பதை (ஷ-ஈ) என்பதாற்பெருக்கப்பேறுவர்க்க சமீகரணமா யும் இப்பேற்றை (ஷ-ஐ) ஆற்பெருக்கக் கனசமீகரணமாகியும் (ஷிெ-ஒ) ஆற்பேருக்க வர்க்கவர்க்க சமீகரணமாகியும் வரு ன்றபடியால் வர்க்கவர்க்க சமீகரனத்தை (ஷ-ஒ) ஆல்அரி க்கக் கனசமீகரணமும், கனசமீகரனத்தை (ஷ-ஐ) ஆலரி க்க வர்க்க சமீகரனமும் பிறக்குமென்பது வெளிப்படை. ஆ கையால் சமீகரனமூலத்தோடிவணந்த (ஷ) ஆலரிக்கச் சமீ கரணங்கள் ஒவ்வொருபடியிறங்குமென்றறிக.
காஅ. பிர. அதிவர்க்க சமீகரனங்களுக்கு அர்த்தநிச்ச யம்பண்ணும்படி கணிதர்கள் பற்பலவிதிகவளக் கூறியிருக்கி ரூர்கள். அவற்றுட் சிலவிதிகள் எல்லாச் சமீகரணங்களுக் கும் பொருந்தாதனவாயும் வேறநேகம் மிகமவலவை விவளவி க்கின்றனவாயுமிருக்கும். ஆனுல் மூலங்கள் அடசரமாத்திரமா ய்வராமல் எண்மாத்திரமாய் நின்றுபுணர்ந்த சமீகரனங்கள்வரி ல் அவற்றின் அர்த்தங்கவள (காடு) ம் பிரசுரணத்திற்காட்டிய வர்ண இலக்கணப்படி ஒருவாறுநிச்சயிக்கலாம். எப்படியென் குல்,
அர்த்தங்களின் சின்னங்கவள மாற்றி ஒன்றுய்ப்பெருக்கிய பேறு சமீகரணத்தின் கடையறுப்பாகவும் ஒன்ருய்க்கூட்டிய தொகை இரண்டாமுறுப்பின் வர்ணமாகவும் வருகின்றபடியா ல், அவ்வர்த்தங்களின் னின்னவென்று ஒரளவுக்கு உத்தேசம் பண்ணியறிலாம். இப்படி உத்தேசமாத்திரமாயறிந்த அர்த்த ங்கவளச் சமீகரனத்திற் பிரதிகரித்துச் சோதவன பண்ணிப் பிசகுபட்டால் வேறு அர்த்தங்க வளப் பிரதிகரித்து இவ்வகையே சோதித்துச் சோதித்துச் சரியான அர்த்தத்தை நிச்சயித்துக் கொள்வது. உத்தேசித்த இரண்டு அர்த்தங்கவளக்கொண்டு சோ தவனபன்ன்னி அவ்வர்த்தங்களாலுண்டான பிழைகவள அறி ந்துகொண்டால் அவ்வர்த்தங்கவள விரைவாய்ச் சுத்தம்பண்
னும்படி,
விதி.
உத்தேசித்த அர்த்தங்களின் அந்தரத்தைச் சிறியபி ழையாற் பேருக்கிப் பிழைகளின் அந்தரத்துக்கீந்து வந்த ஈவைக்கோண்டு சிறிய பிழையைப் பிறப்பித்த அர்த்தத்தைச் சுத்தம்பண்ணு.
இவ்விதிப்படி ஒருமுறை சுத்தம்பண்ணிவருகின்ற அர்த்தம் சகுபட்டால் சுத்தம்பண்ணப்பட்ட அர்த்தத்தை மேலும்மே லும் விதிப்பிரகாரமே சுத்தம்பண்ணிச் சரியான அர்த்தத்தை அறியலாம். உ-ம்.


Page 113
重
உால்ச வீசகணிதம்
ஷ8 -அஷஉ +களஷ-கo=0 என்ற கனசமீகரனத்தில் (ஷ) இன் அர்த்தங்கவள நிச்சயிக்கும்படி, சமீகரன உறுப்புகள் முறைமுறையே ப்பதால் (காடு} ம் பிரகரணப்படி மூலங்களாகிய அர்த்தங் கள் தனராசியேன அறியலாம். அவற்றின்குணிதம்-கo. தோ கை-அ, ஆகையால், அர்த்தம், டுக, என்றும், டு, உ, என் றும் உத்தேசிக்கலாம். இனி உத்தேசித்த அர்த்தத்தைச் சமீ கரணத்திற் பிரதிகரித்தால், முதல் உத்தேசப்படி,
(@a)*ーé (@.a)ー十 aa (@a)ーecニ至.ega gö。 றும், இரண்டாமுத்தேசப்படி,
(டு.e)3 -அ (டு.e)உ +கள் (டு. உ)-கo-e.சுஅஅ என் றும்வரும். ஆகையால்,
86.9.37.85
92 . gin 9H9H
என்பனபிழைகளாம்.
6. 3PéE GT. இது பிழைகளின் அந்தரம். மேலே நிறுத்திய விதிப்படி
0.க, என்ற அர்த்தங்களின் அந்தரத்தை க.உஎ என்ற சிறியபிழையாற் பெருக்கி க.ச, என்ற பிழைகளின் அந்தரத்துக்கீய 0.0க, என்ற சுத்தம் பிறக்கும், இதை டு.க, என்ற அர்த்தத்திற்கவளய டு,0க, என்ற புதிய அர்த்தம்பிறக்கும்.
இன்னும் இந்தப் புது அர்த்தத்தைச் சுத்தம்பண்ணும்படி, ஷ = டு.03 அல்லது ஷ = டுoe என்று உத்தேசித்து மு ன்புபோலப் பிரதிகரிக்க,
O. 595
Q.9 P安 o.க உடு, பிழைகளின் அந்தரமாம். இனி விதிப்பிரகாரமே,
0.0க, என்ற புதிய அர்த்தங்களின் அந்தரத்தை, 0.8உக, என்ற சிறிய பிழையாற்பெருக்கி, 0.கeடு, என்ற பிழைகளின் அந்தரத்துக்கிய,
என்ற புதுப்பிழைகள் பிறக்கும். ஆகையால்,
o.oக, என்ற சுத்தம்பிறக்கும். இந்தச் சுத்தத்தைக்கோ ண்டு (டு,0க) என்ற அர்த்தத்தைச் சுத்தம்பண்ண,
வs = டு, என்று வரும். இது சோதவனக்குச்சரி. எப்படியெ ன்றல்,
@*ータ×@ー ×至a×@×至O=o. கனசமீகரணத்துக்குரிய மூன்று அர்த்தங்களில் ஒரே அர்த்
உட் உடமாக்கிாம் நிக் + மிக்கோமன்றி மற்றிரண்டு அர்க்கங்க
 
 
 
 
 

அதிவர்க்க சமீகரன அதிகாரம். உால்டு
ளெயும் இன்னும் நிச்சயிக்கவில்வல. அவற்றை அறியும்படி கனசமீகரணத்தை (ஷ-டு) என்பதாலரிக்க,
*ー@) aたでータa学* +与ge。ーao (eたリーma学十e =0 என்றவர்க்க சமீகரணம் (கான)ம் பிரகரணப்படி பிறக்கும். இதனெ வர்க்கசமீகரணவிதிப்படி சாதிகரித்து விடையறிய,
விசி- + 2 = 2; அல்லது=க, என்றுவரும். ஆகையா
ல், டு, உ, க என்ற மூன்று எண்களுமே கன சமீகரனத்தின் மூ ன்று அர்த்தங்களுமாம். இவற்றின் சின்னங்கவள மாற்றிக்கூட் டினல் இரண்டாம் உறுப்பின் வர்னமாகிய,-அ, என்ற எண் னும் பெருக்கினல் கடையுறுப்பாகிய (-கo) என்ற எண்ணு ம் வந்தவாறு காண்க.
ఐ@.
க. ஷ5 -கசுஷஉ +சுடுஷ-டுO=0 என்ற சமீகரனத் தின் அர்த்தங்கள் யாவை ?
விடை, க, டு, கo. e e学*ー身a。ー十字e学十cme=o Geörg 字tsgeエ参与 ன் அர்த்தங்கள் யாவை ?
விடை. -e, ச, சு. ஈ. ஷக +உஷ2-ககஷ = கூ0 என்ற சமீகரனத்தின் அர்த்தங்கள் யாவை ?
விடை. சு.-டு-க. ச. ஷக +கஷஉ +சஷ=அ0 என்ற சமீகரணத்தின் அ ர்த்தங்கள் யாவை ? .
டு. ஷ4 --ஷஉ --ஷ-கoo என்ற சமீகரனத்தின் அர்த் தங்கள் யாவை ?
கூாக. பிர எண்மாத்திரமாய் மூலங்கள் புணர்ந்துவருகின் ற சமீகரணங்களின் அர்த்தத்தை உத்தேசித்தறியும்படி நி யூற்றணுசிரியர் தந்த வேறுமோரு விதமுண்டு. அது பிரதிகரண த்தினுல் இயற்றப்படுகின்றது. அதின் விபரம் எப்படியென்ருல், உத்தேசித்துக்கோண்ட அர்த்தம் (ஈ) என்றும் (ஈ) க்குஞ் ச மீகரனத்தின் சரியான அர்த்தத்திற்குமுள்ள அந்தரம் (ண்) எ ன்றும் வைத்துக்கொண்டு,
(ஷ) இன் இடத்தே அதின்பிரதியாகிய (ஈ + ன) என்ப தைச் சமீகரனத்திற் பிரதிகரித்து (னை) வினது காதிதங்களோ டு புணர்ந்துவருகின்ற உறுப்புகவளத்தள்ள ஒரு வெள்வளச்சமீ கரணம் பிறக்கும். இந்த வெள்விளச்சமீகரனத்தைச் சாதிக ரித்து (ன) வினது அர்த்தத்தை நிச்சயித்தபின், சரியான அ ர்த்தத்தில் (ஈ) ஏறிக்குறைந்திருக்கின்றபடி அதில் (னை) வின் அர்த்தத்தைக்கவளதல் கூட்டுதல் செய்ய உத்தேசித்த அர்த்த
AS qSqSAS L AAA SAAAA S SAAA L Aq AAAA SA SA SLS T LS


Page 114
ലff9; வீசகணிதம்
இனிச்சுத்தம்பண்ணப்பட்ட அர்த்தத்தை (ஈ) ஆகப்பாவித் துப் பிரதிகரித்துப் பிரதிகரித்துச் சமீகரணத்தின் சரியான அர் த்தத்தை அறியலாம். உ-ம்.
க. ஷ4 -க சுஷ? --சுடுஷ-டுo, என்ற சமீகானத்தின் அர்த்தத்திலொன்றை நிச்சயிக்கும்படி,
ஷ=ஈ-ன, என்று உத்தேசித்தால், பிரதிகரணத்தினுல்
ஷ* Eஈ4 -hஈஉண+hஈன?--ணக =δο αι 一saa、e-=ーécm-十meFエーácm- エリ"
se -ܟ ன்றும, --சுடுஷ=சுடுஈ-சுடுண
ன2-ணசு , என்ற காதிதங்களோடு புணர்ந்து நிற்கின்ற உறுப்புகவளத்தள்ள,
F*ー与aFFa--+ーチ@Fーm* エ十me.FFacr一a@scrニ@o என்றுஞ், சாதிகரிக்க,
@oーFF* 十与aFP-ーá5F cr= —- —–
ーmFeー十me.FFーa@ கக, என்று உத்தேசித்துக்கொண்டால், அதைப் பிரதிகரிக்க
O 6RXXTOC =0. அ. ஆகையால்
Gr
என்றும்வரும். இதில் ஈ~
Eஈ-ன-கக-0.அ-கo.e. என்று வரும். இப்படிச் சு த்தம்பண்ணப்பட்ட (கo.e) என்பதை (ஈ) ஆகப்பாவித்து முன் போலப்பிரதிகரிக்க, ன-கஅஅ என்றும்,
ஷ-ஈ-ண-கo.9-0கஆஅ-க0.0க9, என்றும் வரும். மூ ன்றந்தரமும் ஈ-s0.0க2, என்றுபாவித்துப் பிரதிகரிக்க, ன E0கe, என்றும், ஷ-கo என்றும் வரும்.
உ. ஷக +கoஷஉ +டுஷ-உசுoo என்ற சமீகரனத்துக் கு அர்த்தம் யாது !
60)L, 635.006 GT. சு. ஷ* --உஷஉ-ககஷ-கe, என்றசமீகாணத்துக்கு அ ர்த்தங்கள் யாவை ?
ச. ஷச +சஷசு -எஷஉ -hசஷ=உச, என்ற சமீகர னத்தினது அர்த்தங்கள் யாவை ?
உல். எண் அதிகாரம். Properties of Numbers.) காய. பிர. முந்தின அதிகாரங்களுள் அமையாத சில சி றப்பிலக்கணங்கவள எண்களுக்குச் சொல்லுவாம். சகல எ ண்களும் ஒன்றின் விகாரமென (க) ம் பிரகரணத்திற் காட்
|- ali
 
 
 
 
 
 

எண் அதிகாரம். o sitti)6 எப்படியேன்றல், , க, க, க, க, க, க, க, க, (இ-தி) என்ற மாலிகையை மு றைமுறையே கூட்ட,
க, உ, ஈ, ச, டு, சு, எ, அ, கூ, (இ-தி) என்று எல்லா எண்க ாம் பிறக்கும். இந்தமாலிகைக்கு கற்சங்கலிதம்ாலிகையென் றுபெயர்.
கூாயக பிர நற் சங்கலிதமாலிகையை முறைமுறையே சுட்டச் சங்கலித சங்கலிதமாலிகை ; அதாவது திரிசங்கலித மாலிகை பிறக்கும். பிற மாலிகைகளும் இவ்வாறே தோன்று ம். உ-ம்:
க, 2, க, ச, டு, சு, (இ-தி) கற்சங்கலிதமாலிகை. க, கூ, சு, க0, கடு, உக,(இ-தி) சங்கலித சங்கலிதமாலிகை; அதாவது திரிசங்கலிதமாலிகை.
க, ச, கூ, கசு, உடு, கூசு, (இ-தி) வர்க்கசங்கலிதமாலிகை; அதாவது சதுரசங்கலிதமாலிகை.
க, டு, கஉ, உ9, ஈடு, டுக, (இ-தி) பஞ்சசங்கலிதமாலிகை இம்மாலிகைகளுக்குச் சங்கலிதமறிகின்றமுறையை(உாகசு) ம் பிரகானித்திற் காண்க.
நற்சங்கலிதமாலிகை.
ாாய2. பிர, சகல எண்களுக்கும் (க) மூல அளவாயிருத் தல்போல (கo) கற்சங்கலிதமாலிகைக்கு மூல அளவாயிருக் கின்றது. இம்மாலிகையுறுப்புகள் பத்துப்பத்தாய் முடிந்து முடி ந்து விரிவதாலே அதைக்காணலாம். ஆகையால், வரிவடிவி ற் சகல எண்களயும் விளக்குகின்ற இலக்கங்கள் ஆக (கo)"
పరవu:UTQU67,
0, க, உ, க, ச, டு, சு, எ, அ, கூ, கூாயக. பிர நற்சங்கலிதமாலிகைக்கு (கo) ஐ விட வே றெண்கவள் மூல அளவாகக்கோள்ளல் கூடாதோ என்றல், அதுவுங் கூடும்.
" () என்ற குறி பத்துக்கும், () என்ற குறி நூற்றுக்கும், (ஆ) என்ற குறி ஆயிரத்த க்கும் வழங்குவதுமுண்டு. இக்குறிகளும் மேலே கிறுத்திய மற்ற இலக்கங்களுத் தத்தம் பெயர்களின் முதலட்சரம்போலே, உ-ம்.
உ-உபயம, என்பதின் முதலட்சரம்.
க-திரி, என்ற வடமொழி முதலட்சரம்.
ச-சதுர், என்பதன் முதலட்சரம் மருவியது.
க-ஷஷ, என்ற வடமொழி முதலட்சரம் மருவியது.
எ-எழு, என்பதன் முதலடசாம்.
அ-அட்டம், என்பதன் முதலட்சரம்.
க.-ஈவம் என்ற வடமொழி முதலட்சரம் மருவியது.
ல-தசம் என்ற வடமொழி முதலடசாம்.
ா-சதம், என்ற வடமொழி மருவியது.
த-சகத்திரம், என்ற வடமொழி மருவியது.
0S S AAAAS AAAAA AAAA MSMqSAASS SS SS SSJA AAS Sq qSLSLSS


Page 115
ലസ്ഥ வீசகணிதம்
(உ) ஐ மூல அளவாய்க்கொண்டால், 0, க, இலக்கங்களாம். (ஈ) ஐ மூலஅளவாய்க்கொண்டால், o, க, உ, இலக்கங்களாம். (ச) ஐ மூல அளவாய்க்கொண்டால், 0, க, உ, கூ, இலக்கங் 35 57 TLD.
(டு) ஐ ழலஅளவாய்க்கொண்டால், 0, க, உ, க, ச, இலக் கங்களாம். பிறவுமன்ன.
ஆனல், (கo) ஐ முன்வனயோர் மூல அளவாக நிறுத்தியபடி யாலும் அம்முறை கணிதகிர்த்தியங்களில் மிகப்பயனுடைய தாகையாலும் அதவனயே யாமுங் தவலமேற்கொள்ளல் கடனு ம். இனி (கo) ஐ மூல அளவாகப் பொருந்தின எந்த எண்க ஒளுக்கும் வீசபாஷையாவது,
さ十soF十sonー●十so= E (@ー参) எந்த இராசியையாவது மூலஅளவாகப் பொருந்தின எண்ணு க்குச் சாதாரண வீசபாஷை யாவது;
ஆ+மூஈ+மூஉ ஒ+மூக ந (இ-தி) இதில் (ஆ) - முதலாங் தானவெண், ங் - இரண்டாந்தானவெண். ஓ - மூன்றந்தா னவெண். E = நாலாந்தானவெண். பிறவுமன்ன. மூ ~ மூலஅளவு. உ-ம்.
a@ag ニ 守十so×a十至o+ ×@十so* ×●。 கூாயச. பிர. (கo) ஐ மூலஅளவாகப் பொருந்திய ஒரெண் வன வேறிராசியை மூல அளவாகப் பொருந்தின மற்குேரே ணுக மாற்றும்படி,
விதி.
விரும்பிய மூலஅளவைக்கொண்டு சோல்லப்பட் ட எண்ணை முறைமுறையே அரித்துச் சேடங்களை த் தானம்வழுவாமற்றீட்டு. உ-ம்.
(கo) ஐ மூல அளவாகப்பொருந்திய (கூஉ0) ஐ (டு) ஐ மூல ளெவாகவுடைய மற்றுேரெண்ணுக மாற்றும்படி,
டு)கூஉ0
டு)சுச-0 டு)க2-ச டு > ஆகையால், உஉச0, விடையாம்.
@)eーe 」| @)o一e 。 )
2. (2) மூலஅளவென்றல் (கo00) எப்படி மாறிநிற்கும் ! 60 - 60000
" கேத்திரகணிதத்தில் மகாநிபுணராயிருந்த கிரேக்கர் பாடி, வீசகனிசன்களில் பர ண்டத்தவர்களாகிய எம்முன்னுேர்க்குக் குறைவுபடவந்த முக்கியகாரணம் (கO) ஐ மூ அளவாயக் கொண்ட வரிவடிவெண்களினது அறியாமைபோலே.
mu-L
 
 
 
 
 
 
 
 

எண் அதிகாரம். e_m5િ
(க) மூலஅளவென்றல் (கooo) எப்படி மாறிநிற்கும் ! 6Saol assoasoos.
(சு) மூல அளவென்றல் (கooo) எப்படி மாறிநிற்கும் !
SČS) GPs Fong GF.
ஈmயடு, பிர. (கo) ஐ மூல அளவாகவுடைய ஒரெண்வன (கூ) ஆலரிக்குமிடத்து எந்தச்சேடம் வருகின்றதோ அந்தச்சே டமே அவ்வெண்ணினது தானங்களின் தொகையை அரித் தாலும் வரும். உ-ம்.
(அடுஎஉ) ஐ (கூ) ஆலரித்தாற் சேடம் (ச), அப்படியே தா னங்களின் தொகையாகிய (அ+டு+எ+உ=உe) என்பதை (கூ) ஆலரித்தாலுஞ் சேடம் (ச) ஆம்.
(h) க்கும் இவ்விலக்கணம் பொருந்துமென்றறிக. (கO) ஐ மூல அளவாகப்பொருந்தின எந்த எண்ணுக்கும்,
●十生oF十soaー●十ao* E。(○ー参) cieFLmeos学umeog umé) @夢 aF十cmep十saaE.(@一葵)十勢十*十●十 ங், (இ-தி) என்று பிரிபடும். பிரிபடவே, இதனை (கூ) ஆல் அ ரித்தசேடம்.
ஆ+ஈ+ஒ+ங் (இ-தி) என்பதை, (கூ) ஆல் அரித்துப்பெ ற்றசேடத்துக்குச் சமமாமென்பது வெளிப்படை. ஆகையால்,
மூலஅளவில் (க) ஐத்தள்ளி அம்மூல அளவைப் பொருந்தின எந்த எண்ணப் பிரிப்பதும் அதன் தா னங்களின் தோகையைப் பிரிப்பதும் ஒரே சேட த்தைப் பிறப்பிக்குமென்றநமதித்துக்கோள்க.
மேலும் குணனபாககர கிர்த்தியங்கவள (கூ) ஐக்கொண்டு சோதவனசெய்வதற்கும் இது நியாயமாகின்றது. எப்படியேன் முல், ஷ, ஸ, என்ற எண்களில்,
குணனியம்-ஷ-கூற-Hன என்றும், குணகம்-ஸ்-கூல--ம. என்றும் வைத்துப்பெருக்க, குணிதம். அகலற-கூலன+கூமற+மன என்றும்வரும்இனிக் குணனியத்தை (கூ )ஆலரிக்க (ன) வும், குணகத்தை (கூ) ஆலரிக்க (ம) வுஞ் சேடமாம். குணிதத்தை (கூ) ஆலரி த்தால் (மன) சேடமாம். இது முந்தின இரண்டுசேடங்களின் குணிதத்துக்குச் சமம்.
கூாயசு, பிர. எப்படிப்பட்ட எண்ணிலாவது அதன் தான ங்களின் தொகையைத் தள்ளி (க) குறைந்த மூல அளவால் அரித்தாற் சேடம்வராது.
எப்படியென்றல், மூலஅளவு-மூ, என்றும், எண்-ஆ+ மூஈ+மூஉ ஒ+மூக நு (இ-தி) என்றுங்கொண்டால், தானங்க
SSASAAS LMLSAA AMeSqS q LSAAS SLLLLLSStt SS S S LSS S AAAAS S TS S AAAAS SASAA AAAAASAS


Page 116
ലTലt് வீசகணிதம்
ந்த சேடம்-ஈ (மூ-க) +ஒ (மூ-க) +ங் (மூக -க) + (இ-தி). இது (மூ-க) என்பதாற் சேடமில்லாமல் அரிபடு மென்பது வெளிப்படை. உ-ம்.
(கo) ஐ மூலஅளவாகப் பொருந்தின (சுசகe) என்ற எண் ணில் தானங்களின் தொகையாகிய (சு+ச+க+உ=கடு) ஐக் சவளந்தாற் சேடம் (க) ஆல் மிச்சமில்லாமல் அரிபடும்,
ఐ@. க. எந்த மூலஅளவையுடைய (கe) (கo) என்ற மூலஅள வையுடைய (கச) க்குச்சமம். இதற்கு விடையறியும்படி, அறி யவேண்டிய மூல அளவு=ஷ, என்றல், கூe=சுஷ+es கச, என்றும், ஷ=ச, என்றும் வரும்.
2. (உககC) என்ற எண் தனது மூல அளவின் (சடு) மடங் கென்றல் அம்மூலஅளவுயாது? மூலஅளவுகஷ, என்குல், உகூகo=2ஷி" +கஷஉ +ஷ+o=சடுஷ, என்றும், ஆ யால், உஷஉ +கஷ-சச, என்றும்,
ஷ-ச, என்றும் வரும். ஈ. ஒருசாஸ்திரியை வழியிலே கண்ட கோமட்டி அவவன கோக்கி, அகோ! சாஸ்திரியாரே, எனக்கு எத்தவன ஆண்பி ள்வளகள் ? எத்தவன பெண்பிள்வளகள் ? எத்தவன இறந்த பி ள்வளகள் என்று கொல்லும் என்னச் சாஸ்திரி கோமட்டி குப் பிரதியுத்தரங் கூறுகின்றன். கோமட்டியே, உனது ஆண்பிள்வளகளோடு உன்வனயும் உன்மவனவியையுங் கூட் டித் தொகையை இரட்டித்து (க) ஐக்கூட்டி (டு) ஆற்பெருக் பின்புபேண்பிள்வளகவுளயுங்கூட்டிப் பத்திற்றுக்கிச் செத்தபி ளெகளெயுங்கூட்டிப் பேற்ற தொகையைச் சோல்வாயா என்றன். அத்தொகை (எனக) என்று கோமட்டி சொன்னுன் சொல்லவே, உனக்கு ஆண்பிள்வளகள் (டு) பெண்பிள்வளர் ள் (2) செத்தபிள்வள (க) என்று சாஸ்திரி உத்தரங்
தான். சாஸ்திரியறிந்த வகையாது?
அறிந்த வகையாவது, (ஏஎe) இல் (உடுo) ஐக்கவளய வ து (டுஉக) இதில் நூறந்தானத்தில் நிற்கின்ற (டு) ஆண் வளயென்றும், பத்தாந்தானத்தினிற்கின்ற (உ) பெண்பிள் யென்றும், முதலாந்தானத்தினிற்கின்ற (க) செத்தபிள் யென்றுஞ் சொல்லுவது. எப்படியென்கு ல்,
ஆண்பிள்வளEஷ என்றும், பெண்பிள்வள-ஸ் என்றும், செத்தபிள்வள-ன என்றும் வைத்துக்கொண்டா (ஷ+உXஉ+க) டுXஸ் > XகO+ன=எஎக. அதா Soos -- eGo-H-a, o GMD-H-6INT-C6767a5. f6 GOLDMT při Úyếd, 30
உடலுடன=டுஉக, இதில் (ஷ) நூருந்தானத்தெண்ணெ
 
 
 

எண் அதிகாரம், 의LIT으
றும், (ஸ்) பத்தாந்தானத்தெண்ணென்றும், (ண்) முதலார் தானத்தேண்ணென்றுங் காண்க.
கால்எ. பிர. ஒரேண்ணைச் சேடமில்லாமலரிக் கத்தக்க பாககங்களின் தொகையறிய,
க. ஆம ஈடு ஒச B (இ-தி) என்பது எந்த எண்ணுக்கும் பொதுவான வீசபாஷை, இதில் ஆ, ஈ, ஒ, ங், முதலியன பகாங்வலயெண்கள். உ-ம்.
ஈசுO-உக கஉ. டு. இவ்விடத்து உ; க; டு, என்ற எண் தள் பகாநிவலயேண்கள். ஈ, உ, காதித சூசிகள். இனி,
ஆம ஈச ஒா நுல (இ-தி) என்ற எண்வணச் சேடமில்லாம லரிக்கத்தக்க எண்கள் எத்தவனயென்றறிய வீசசூத்திரம்(p十a)(所十a)(『十a)(se十受)(gー葵) eー。 கooo, என்ற எண்வனச் சேடமில்லாமலரிக்கத்தக்க எண் களெத்தவன? -
இதற்கு விடையறியும்படி, க000-25 டு . இதில் ம-ா, ஈ-சு. ஆகையால் (கூ--க) (h+க) -கசு. சேடமில்லாம லரிக்கின்ற எண்களாவன, க, 2, ச, டு, அ, கo, உ0, உடு, டூ0, க00, க9டு, 200, உடுo, டு00, க000, ஆகப்பதினு وفات | |று; இதில், க, க000, என்பனவும் பாகக எண்களாய் வருதல்
5爪QTG。
கூால் வ. பிர, சேடமில்லாமல் அரிக்கின்றபாககங் களின்தோகையைக்கோண்டு அப்பாககங்களாற்சே டமில்லாமலரிபடும் பாச்சியம் யாதென்றறியும்படி, சொல்லப்பட்ட பாககத்தொகை-த, என்று வைத்துக்கொ ண்டால் மேலே காட்டியபடி (ம--க) (ந+க) (இ-தி) ஆம் இதவன, ஷ, ஸ, ன, முதலிய குணுங்கங்களாக்கினல்,
a浮ニp十a en)ニ匠十-5 (○一写) Gre5』aöb. ஆகையால், ம-ஷ-க, ந=ஸ்-க. (இ-தி) என்று ம். இவற்றை,
ஆம் ஈஈ ஒா (இ-தி) என்ற ரூபத்திலே பிரதிகரித்து விடை பறியலாம்.
உ-ம். சேடமில்லாமல் (கூ0) எண்களாலரிபடுகிற எண் பாது ?
இதற்கு விடையறியும்படி கூ0 =3XஈXடு, இதில் ஷ=e, =ஈ, ன~டு ஆகையால் ம-க, ந=2, ர-ச, எனவே, ஆ.ஈஉ ஒச , என்பதே யாமறிய வேண்டிய எண். இதில் ஆ, , ஒ, என்ற பகாநிவலயெண்களுக்கு இஷடராசிகவளப் பிர கரிக்கலாம். உ-ம். ஆ=2, ஈ=h, ஒ=டு, என்று வைத்துக்கொண்டால், கூவ டுச = ககeடுo, விடையாம். ஆ=டு. ஈ=ரு.


Page 117
ހށް ހ.
m2.2. வீசகணிதம்
D-2 என்றுகொண்டால், டு.hஉ உச =எ20. விடையாம். பிறவுமிப்படியே.
ாால்க. பிர, சோல்லப்பட்ட ஒரேண்ணுக்குக் கீ ழ்ப்பட்ட பகாநிலை அபின்னங்கள் எத்தனையேன்றறி
LDU9,
விசசூத்திரம. 令一夺、。FF一王 、。

Page 118
Ta o வீசகணிதம்
இரண்டு வர்க்கங்களாற் பெருக்கினுல் பேறு நான்கு
ர்க்கங்களின் தொகையாம். உ-ம். as==mー十a"-ー+-aa-.
டு- உஉ +க உ . . ہتھی-+- سe-+-ae -+-eaہ9–ہ=GO கூாஉஎ பிர. நான்கு வர்க்கங்களின் தோகையை இரண்டுவர்க்கங்களின் தொகையாற் பெருக்கினுல், பறு நான்குவர்க்கங்களின் தொகையாம். உ-ம்.
கூ0 = சa --க9- 十e=十e=,
. -ع ق5-+- -e e = 6
e@o=saeー十字ー十m+十a*・ hாஉஅ பிர. நான்குவர்க்கங்களின் தொகையைகா ன்குவர்க்கங்களின் தொகையாற் பெருக்கினுல், பே வம் நான்குவர்க்கங்களின் தொகையாம். உ-ம்.
cmoニ*ー+-ma-十ee-十a*ー・
ஈ00-கடுஉ + arه@ +- ع--+-aع .
கூாஉக. பிர, வர்க்கங்கள் (டு) ஆலும், கனங்கள் (எ) ஆலும், ஐந்தாங் காதிதங்கள் (கக) ஆலும், ஆரு ங்காதிதங்கள் (கரி) ஆலும், எட்டாங் காதிதங்கள் (கள்) ஆலும், ஒன்பதாங் காதிதங்கள் (ககூ) ஆலும், பதினேராங் காதிதங்கள் (உஈ) ஆலும் சேடமில்லா மலரிபடும்; அரிபடாதவிடத்து (க) ஐக்கூட்டினுல் அல்லது களைந்தால் அப்படியே சேடமில்லாமல் அரி படும்.
hாால். பிர, ஒவ்வொரு அபின்னமுஞ் சங்கலி த சங்கலிதமாலிகையில், க, உ, அல்லது, ஈ, உ, றப்புகளின் தொகையாம். வர்க்கசங்கலிதமாலி கையில், க, உ, ஈ, அல்லது, ச, உறுப்புகளின் தொ கையாம். பஞ்சசங்கலிதமாலிகையில், க, உ, ஈ, ச, அல்லது டு, உறுப்புகளின் தோகையாம். இவ் வாறே சட்சங்கலிதமாலிகைமுதலியவற்றுக்குமாம்,

எண் அதிகாரம், 2 T2 (
புறனடை,
சதுர அறைகளில் இலக்கம் அடைக்கின்ற வகை.
க, 2, க, ச, டு, சு, எ, அ, கூ, என்ற இவ்வொன்பது கர் சங்கலித இலக்கங்கவளச் சதுரஅறைகளில் அடைத்தால் ஆ வை நிற்குமாறு.
aFUT av 1Éi?eJ. crufiev.
| உ |க | க | உ இவ்விரண்டு சதுரங்களிலு | || || || ೨೨॰॰॰॰॰! து. முதற் சதுர அறைகள6 -- -|, 1 | "ر எ (அசு |அ|க சு) இலக்கிங்கள் தத்தங் கிரமப்
டி நிற்கின்றன. ஆகையால் இந்நிவலக்குச் சுபாவநிவலயென் றுபெயர். மற்றச்சதுரத்தில் எந்த நிரையைக் கூட்டினுலு தொகை (கடு) என்றுவரும். ஆகையால் இலக்கங்களிக்கிவெ யில் நிற்கும்போது அது அவற்றிற்கு மாயநிவலயென்னப்படும் மாயநிவலயில் அடைபட்ட எண்களில் மூவலயோட்ட நிை களின் தொகைகளும், மற்ற நிரைகளின் தொகைகளும் ஒன் நற்கொன்று சரியென்று காண்க. சுபாவங்வலயில் இலக்கர் கள் வரையப்பேற்ற சதுரத்தைச் சபாவசதுரமேன்றும், மாய நிவலயில் அவை வரையப்பெற்ற சதுரத்தை மாயாசதுரமென் றுஞ்சொல்வர்.
க, உ, க, ச, டு, சு, எ, அ, கூ, (இ-தி) என்ற கற்சங்கலி தமாலிகையின் ஒற்றைவர்க்க இலக்கத்துக்கு மாயாசக்கரம் வரையும்படி,
வேண்டிய அறைகளாய் வகுக்கப்பட்ட சதுரத்தினது பை ய அறைக்கு அடுத்த கீழறை முதல் கீழ்கீழாக வலப்புறத்தை நோக்கி மூவலயோட்டத்திலே க, உ, க, முதலிய இலக்கங்கவள் க் கிரமங்கிரமமாக வரை.
மூவலயோட்டஞ் சதுரத்தினது அடியிலே வந்து முடிந்தால் அடுத்த மூவலயோட்ட அறை எந்த நிரையில் வருமென்று 8 ண்டு அந்த நிரையில் வெறுமையான உச்ச அறையில் அடுத் த இலக்கத்தை எழுதி முன்போல மூவலயோட்டத்திலே மற்ற இலக்கங்கவள நிறுத்து.
மூவலயோட்டம் வலப்பக்கத்திலே வந்துமுடிந்தால் அடுத்த மூவலயோட்ட அறை எந்த நிரையில் வருமென்று கண்டு அந்த நிரையில் வெறுமையான அதிதூர அறை முதலாகத்தீட்டு.
மூவலயோட்டத்திலே வரையுமிடத்து முன்பு வரையப்பட்ட இலக்கங்கள் நின்று தடுத்தால் அந்த இலக்கத்தினது அறைய னின்று இடப்புறத்தை நோக்கிக் கீழ்கீழாக மூவலயோட்டத்தி லே வேறுமையாயிருக்கின்ற அறையைக் கண்டு அதிலே தீட் டி மற்ற இலக்கங்கவள முன்சோன்ன கிரமத்திலே வை.


Page 119
2 T2.5, வீசகணிதம்
S) J JSUsJD).
க, உ, ஈ, ச, முதலிய சக, இலக்கங்கவள அடைக்கும்படி, கவது. மைய அறைக்கடுத்த கீழறைமுதலாக மூவலயோட்டத் தலே க, e, ஈ, என்ற இலக்கங்கவளத்தீட்டினல் (ச) க்கு இ டமில்வல. (ச) மூவலயோட்டத்திலேயடுத்த வலப்புறநிரையில் வரும். ஆசையால் அந்நி ரையினது உச்ச அறையி ****** fFr, GB | gEآ லே (ச) ஐத் தீட்டுவது. (ச) டு உருசஅகஎ னரின்று மூவலயோட்டம் வ |கo | ச |Sசமூக லப்பக்கத்தில் முடிகின்றப கா. ஈக டியால் அடுத்த கீழ் நிரையி " ல் இடப்புறத்தேயிருக்கின்ற "?
-- }-- F은 HH || e_Fs
- TFrsFr H. 오
நக எ |உடுசாகககள் ag lir-eil a le eitil ar 5 || eo | அதிதூரஅறையிலே (டு) ஐ உக கசு அ கா 3 உளசடு த் தீட்டுவது.இதினின்று மூ சசுகடு சoக கசசு 13அ வலயோட்டத்திலே இலக்க
|ங்கவள வரைந்துகொண்டுபோனல், (க) இன் அறை தடுக்கும். இவ்வறையினின்று இடப்புறத்தை நோக்கி மூவலயோட்டத்தி லே (அ) ஐ வரைவது (அ) னின்று முன்புபோல மூவலயோட் டத்திலே (க) வரையலாம். (கo) க்கிடமில்லாதபடியால் அ தை அடுத்த வலப்புறத்து நிரையினது உச்ச அறையிலே தீட்டு வது. இவ்வாறே மற்றவைகவளயுங் தீட்டுவதென்றறிக்.
இரட்டையிலக்கத்துக்கு மாயாசதுரம் வரையும்படி, உ-ம். க, 2, ஈ, முதலிய (கசு) இலக்கங்கவள அடைக்கும்படி, அவ ற்றைச் சுபாவங்வலயினிறுத்தினுல்,
48
இப்படி நிற்கும். இவற்றை மாயகி -------- வலயினிறுத்தினுல் ஒவ்வொரு நிரையு
G _____ (கச) க்குச் |க 20ஆக கe (a 37--5.) X2 கா, கசகடுத 3| LD. gGTC) நச F ------
ஆனற் சுபாவசதுரத்திற் கீழ்மேலான முதனிரைத்தொகைஉஅ = கூச-சு. கீழ்மேலான கடைநிரைத்தோகை சo = ஈச-சு. ஆகையால் முதனிரை (ருச) க்குக் குறைந்திரு க்கிற அளவே கடைநிரை (கசு) ற் கதித்திருக்கின்றது. இந்த ப்பிரகாரமே மேனிரையையுங் கீழ்நிரையையுங் கண்டுகோள் க. ஆகையால் மூவலயோட்டத்தினிற்கின்ற இலக்கங்கவள விட்டு மற்ற இலக்கங்களாகிய (2), (கடு) ; (ஈ), (); (டு) (க2); (க), (அ); என்பவைகவள நிவலமாற்றித் தீட்டினல்
-இலக்கங்கள் மாய் நிவலயில் வகம். அவை நிற்கமாறு.
 
 
 
 

6া গঠিা அதிகாரம். 2T2 st
ਤੇ 59। 5 |
ਜo [፭) மாயநிவலமாறுதபடி ಡೀತ್ತ್ರÂಕ್ಟಿವಾ? இன்னும் பலவிதமாய் மாற்றித் திட்ட - حي أي جي 1 1ه تقديم
------그 - 60TL2. 후-2).
| டு
LDmufaు. LDITufడిaు. so མ(ཀྱི| ༡ | ཀ་ آتی با تقیه || 3 دقیقه | di 5 Ge கா, 5858 g| er } e டு க0 | ஈ |கசுع چه | چه چه ܗ̄ܣ | ܤܸ | @
நற் சங்கலிதமாலிகையிலக்கங்களை மாயநிவலயில் நிறுத்து ம்வாறுபோலவே சகரனமாலிகை இலக்கங்கவளயும் மாயரி வலயில் நிறுத்தலாம். மாயநிவலயில் நிறுத்தவே ஒவ்வொரு நிரைக்குணிதங்களுஞ் சமமாம். உ-ம்.
க, உ, ச, அ, கசு, (இ-தி) என்றமாலிகைக்கு,
மாய நிலை. அ |உடுசு உ இதில் ஒவ்வொரு நிரைக்குணிதமு
●エさP ம் (ச0, கசு) என்றுவரும். இது மை *ட*"1"| ய இலக்கமாகிய (கசு) இன் கனமேன் கeஅ க | 8| றுகாண்க. *
" மாயரிலேயில் இலக்கங்களே அடைக்கின்ற விதங்கள் இன்னும் பலவுள. அவற்றுக் கிணங்கின அச்சஇல்லாமையால் இங்கே அவை விடுபட்டன. மராசக்கரசக்கரம் விடப்பட்டதும் இக்காரணத்தாலென்றறிக்
1. V,, இமய்கண்டதேவர் ஆதீனம் 5, புலவர் ولتز كتة Li fa ? Ki iu (I saw kies


Page 120
வீசகணிதம்
:2172. O,
母9)@ミssog羽羽10) loo|roso**éa *劑@@*5的「|ws T }琥輯群劑_國劑劑_圈劑 *劑劑_劑 唱劑 *Q劑劑。é劑劑「劑 *劑 的)的一動的一的이 읽히|的이一義的이455155叫ET6剧Tg)引叫 ****劑 |的家的|的圈圈的T험「험「획「劇劇的制 *的的家的家的|的家的家的家的|的T|劇이동휘|원비圈门圆圈圈 *劑的制的制的家的家的家的T혁 *劑鬥画即画即5) *劑劑「引劑 *劑「劑 圈圈*_劑圈圈唱5创| Go叫图町剧创6副|的「创9T o polovojo solowo |周日|are一sgsags es og さaa』gsgse) 剧可贞g叫T
ogısı (FEJm|Jūlijsful

பலவகைவினு, 2 (T25.
பலவகைவினு. [Miscellaneous Questions.]
க. வின. ஒரு இராசாவிடத்திற் செட்டியொருவன் மாணிக் சங்கொண்டுவந்தான். அதவன விவலமதிக்கும்படி இராசாக் தனது நாலு மந்திரிகளுக்குங் கற்பித்தான். முதன்மந்திரி தன் சம்பளத்திற் பாதியும் மற்ற மூன்றுபேர் சம்பளமும் பேறுமெ ன்றன். உம், மந்திரி தன் 蠶 மூன்றிலொன்றும் ம ற்ற மூன்றுபேர் சம்பளமும் பேறுமென்றன். கூம். மந்திரி தன் சம்பளத்தில் காலிலொன்றும் மற்றமூன்றுபேர் சம்பளம ம்பெறுமென்ருன் நாலு பேர் மதித்த விவலயுஞ் சரியேன்றல் மாணிக்கத்தின் விவலயேன்ன, மந்திரிகள் சம்பளம் என்ன ?
2. வினு, மையூரான்படையும் மதுரேசன்படையும் போரு
H. ö தபோழுது, மையூரான்படையில், மறவாகையாலும், க
5 டலிலும் இவனத்திலும் பூ யாவனக்காலால் அரைபட்டும்
3。
குறைத்தவலக்கவந்தமாயும் போகச் சமர்க்களத்தினின்று
பொருதவாகள் கூ000. ஆகப்போனபடையெத்தவன?
சு. வின. ஒருசெட்டிக்கு (கo)பிள்வளகளிருந்தார்கள். அவ ர்களில் மூத்தபிள்வளயைச் செட்டி அழைத்துக்கையிலே(கo) பனங்கொடுத்து இந்தப் பத்துப்பணத்துக்கும் மிளகுகொண்டு (க) க்கிரடடியாகவிற்று, (20) பனங்கொண்டுவரச்சொன்ன ன். இரண்டாம்பிள்வளயை அழைத்து (க) பனங் கொடுத் துத் தமையன் கொண்ட கடையிற்கொண்டு தமையன் விற்ற விவலக்கு விற்று (20) பனங்கோண்டுவரச்சோன்னன். மூன் ரும்பிள்வளக்கு (அ) பனங்கொடுத்து அவனுக்கும் அப்படியே சொன்னன். இந்தப்படி மற்றப்பிள்வளகளுக்குங் கோடுத்துக் கடைசிப்பிள்வளக்கும் (க) பணத்தைக் கொடுத்துத் தமைய ன் கொண்டபடிகொண்டு தமையன்விற்றபடி விற்று (உ0) பனங்கொண்டுவரச் சொன்னன். பிள்வளகள் எப்படிக் கொண்டு எப்படி விற்கவேண்டும்.
ச. வின. ஒருவர்க்க எண்வன (சுக) ஆற்பெருக்கி (க) ஐக் கட்டினுல் தொகையும் வர்க்கமாம். அவ்வர்க்க எண்யாது ?
டு. மூன்றெண்வன முறையே டு, எ, கூ, என்ற எண்களா ற் பெருச்சி (உo) க்கீந்தால் அந்த எண்ணின் ஈவுஞ் சேட மும் ஒன்றற்கொன்று சமமாம். ஆனல் முதற்சேடத்தில் இர ண்டாஞ் சேடம் (க) ஏறியும், இரண்டாஞ்சேடத்தில் மூன்று


Page 121
a_Trn 0 வீசகணிதம் ஞ்சேடம் (க) ஏறியுமிருக்குமெனில் அம்மூவெண்களும் யா െഖ ?
சு. வின. யாசகனெருவனுக்கு ஒர்பிரபு முதனுள் மூன்று பனமும் மற்றகாள் (டு) பணமும் இப்படியே நாளொன்றுக்
கு இவ்விரண்டுபணம் அதிகம் அதிகமாகக் கொடுத்துவர அக்தயாசகன் ஒர்கணக்கவன நோக்கி, ஐயா, எனக்கு இப்பெ
ழுதுள்ள பணத்தொகை மும்மடங்காவதற்கு எத்தவனநாட் செல்லுமென்று வினவினன் கணக்கன் சொல்லவேண்டி உத்தரமென்ன?
எ வின. முன்னுெருகாலத்திலே, ஈ. வியாபாரிகள் முறை யே சு, அ, க00, வராகன்கவளக்கொண்டு வர்த்தகத்திலாரம் பித்தார்கள். அவர்கள் மூவரும், க. கடையில் முத்துவாங் ஒருவிவலக்கு விற்றர்கள். அவர்களிடத்தில் மிஞ்சினமுத்து வள வேருெரு கடைக்குக்கொண்டுபோய் ஒவ்வொருமுத்தை ஐவைந்துவராகனுக்கு விற்றபோது மூன்றுவியாபாரிகளிடத்தி ஒஞ் சரிசரியான வராகன் இருந்தன. அவர்கள் முதற்கடை யிலென்ன விவலக்கு முத்து வாங்கினர்கள். என்னவிவலக்கு விற்றர்கள். அவர்களிடத்திலே மிஞ்சியிருந்த முத்துகளெத் தவன :
அ. வின. ஒருகிளிக்கூட்டம் ஒருதிவனத்தோட்டத்திற் புகுந்து உச. தினத்திலே அரைவாசியைத் தின்றபின் வேறு (கசு) கிளிகள் அந்தக்கூட்டத்தோடு வந்துசேர்ந்தன. இவையுங்கூடி மிஞ்சிய அரைவாசித்திவனயை (கசு) தினத்திலே தின்றுவிட் டன. அப்படியானுல் முதல்வந்த கிளிக்கூட்டத்தில் எத்தவன கிளி அக்கிளிகளில் ஒன்று ஒருநாளில் தின்றதிவணக்குவிவல
F, () ப்பனமென்ருல் எல்லாக்கிளிகளுங் தின்றதிவனக்கு வி
6660 கூ வின. ஒரு ரதம் (உச0) முழம் ஒடினபோது, அதின் மு ன் சில்லுப் பின்சில் வலப்பார்க்க (சு) முறை அதிகஞ் சுழ ன்றது. இந்தச் சில்லுகளின் சுற்றளவுக்கு (உ) முழத்தைக் கூட்டினுல் முன் சில்லு (ச) முறைமாத்திரம் அதிகஞ் ம். அப்படியானுல் சில்லுகளின் சுற்றளவென்ன ?
ஆo. வினு விக்கிரமாதித்தராசன் தனது சபையிலிருந்த புல வர்களுக்குச் சிலதிரவியங்கவளச் சரிவரப்பங்கிட்டுக் கொடுத் தான். அப்பொழுது, புலவர்களில் மூவரில் வலயானல் மற்ற வர்களில் ஒவ்வொருவரும் (டுoo) வராக வன அதிகப்படப்பெ
றுவார்கள். புலவர்களோடே (சு) பேரைக்கூட்டினல், ஒவ்
வொருவரும் (கeo)வராகன் குறையப்பெறுவார்கள். சபையிற் l ul-aha mT A: அவர்களுக்குக்கொடுத்த வராகன் எத்தவன !
 
 

பலவகைவினு. 23
கக. லினு. இரண்டுசேவனகள் தாங்களிருந்த இடத்தைவிட் டு (கூக) காதமளவிலிருந்த ஒருதுருக்கத்துக்குப் போய்ச்சேரு ற்படி சேனுபதி கற்பிக்க, ஒரு சேவன காற்கால் காதம் நாழிகை ஒன்றுக்கு அதிவிரைவாய் நடந்து, மற்றச் சேவன போய்ச்சேர (க) நாழிகைக்குமுன் துருக்கத்தைச் சேர்ந்தது. அப்படியா னற் சேவனகள் நாழிகையொன்றுக்கு எத்தவன காதம் நடந் தார்கள் ?
EB F
க2. வின. 富十雲 -- 9 of 9)5 (இ-தி) என்ற அஈந்தமாலிகைக்கு உறுப்பேண் (கoo) என்றல் சங்கலிதம் யாது?
ash. 6,960. (axe) -- (, Xs) -- (GXar) -- (at Xa) + (கூXகo)--இ-தி) என்றமாலிகைக்கு உறுப்பேண் (800) என்றல் சங்கலிதம்யாது ?
கச. வினு. ஷச -டு டுஷ-ே-ந0ஷ+டுoச-0, என்றவர் க்க வர்க்க சமீகரணத்தின் அர்த்தங்கள்யாவை?
கடு வின. ஷ +கஷஉ-சுஷ-அ, என்ற கனசமீகர னத்தின் அர்த்தங்கள் யாவை ?
கசு. வின. ஒருதோட்டத்திற்குவாசல்(டு). ஒருராசாவும் அவ ன்பரிசனங்களும் அந்தத் தோட்டத்துக்குவந்தபோது வாசலுக் கு வாசல் பரிசனங்களிற் பாதியை நிறுத்தி இராசாவுங் கடை சியாய் மிஞ்சின பாதிச்சனங்களுர் தோட்டத்திற் புகுந்து நற் சங்கலிதப்படி பழம்பறித்தார்கள். அப்பொழுது பறித்தபழமும் இராசாவுடைய பரிசனங்களின் தொகையுஞ்சரி. இராசாவு டனேபோன பரிசனங்களெத்தவன?
கஎ. வின. ஒருகணக்கவனப் பிராமணனுெருவன் கண்டு, கணக்கனே, உனக்கொரு அதிசயஞ்சொல்லுகிறேன் கேள். நான் சில பூக்கவள எடுத்து ஒரு குளத்திற்போட்டேன், அவை இரட்டித்தன. இரட்டித்த பூவில் எனது நியமப்படி எடு த்துக்கோவிலுக்குச் சாத்தி மிச்சத்தை இரண்டாங் குளத்திற் போட்டேன், அதிலும் அவை இரட்டித்தன. இரட்டித்த பூ வில் முன்போல எடுத்துக்கோவிலுக்குச் சாத்தி மூன்றங்குள த்திற்போட்டேன். இப்படியே (டு) குளத்திற்போட்டு இரட் டித்த பூவிற் சரிசரியாக எடுத்து (டு) கோவிலுக்குச் சாத்தி அருச்சித்தேன். மிச்சமில்வல. நான் முதலேடுத்த பூவெத் தவன சொல்வாயாகவேன்றன். இதற்குவிடையென்ன?
கஅ. வின. கழுதை காற்பணம், குதிரை முக்காற்பணம், யா
SSSLSLSLiLSLSLSLSL


Page 122
2 TF-2, வீசகணிதம்
வன (2) பனம், என்று விவலசொன்னுல் உருவும் பணமுஞ் ரிவர அறிவதெப்படி ?
கக. வினு, ஒருராசாவுக்கு வந்த மாம்பழப்பொதியொன்றில் இராசா (க) எடுத்துக்கொண்டு மவனவியர்கால்வருக்கும் அ ப்பினர். மவனவியர்க்கு நற்சங்கலிதப்படி பிள்வளகளிருந்த கள். ஒருபிள்வளயுடையாள் பிள்ளை யொரு பழத்தையெடுத் பின் நாலாகப்பகிர்ந்து, ஒருபங்கையெடுத்தாள். இவ்வித மற்றமூன்று மவனவியரும் பிள்வளகளுமேடுத்துக்கொண்டு மி ச்சத்தை இராசாவுக்கனுப்ப, இராசாத் தானெடுத்துவைத் ருந்த பழமொன்றையும் போட்டுச் சரிவர நாலாகப் பிரித்துக் கொடுத்தாரென்றல், மாம்பழப்பொதியிலிருந்த பழமேத்தவன :
உ0. வின. ஒரு இராசகுமாரத்தி அணிந்திருந்த (கசுo) வரா கன் விவலபெற்ற முத்துமாவல களவுபோய்விட்டதைக் கண் அரமவனக் காவலாளர் அவனவரும் முத்துமாவலயின் விவல யை இறுக்கும்படி இராசாக் கற்பித்தான். ஆனல் காவலாள ல் நால்வர் களவுபோன தினத்தில் அங்கில்லாததினுல் மற் றவர்கள் முழுதையும் இறுக்கவேண்டிவந்தது. அப்பொழுது அ வர்கள் நாற்பது நாற்பது வராகன் முன்வனயிலும் அதிகமாக இறுத்தார்கள். அப்படியானல் அரமவனக் காவலாளர் எத் தவன ?
உக. வின. ஒரு வேளாளன் (கசுo) ரூபாய்க்குச் சில எருத்து மாட்டை வாங்கி (கo) எருதைத் தனது கமத்துக்கு விட்டுக்கொ ண்டு மிச்சமான எருதுகவள (கசுe) ரூபாய்க்கு விற்குன், அ னுக்கு எருதொன்றுக்கு ஒரு ரூபாய் லாபம். அவன் கொண்ட எருது எத்தவன?
உe. வினு, வீரகேசரி, வையாபுரி என்ற இரண்டு பரதேசி கள் ஒரேமார்க்கத்தில் ஒரேநேராய்ப் பிரயாணம் பண்ணிஞர்க ள். இவர்களில் வையாபுரி (சு) நாழிகைக்கு முந்திப்புறப்பட அவனேடு கூடவிருந்த வீரகேசரி (சு) நாழிகைக்குப் பிந்திப்
றப்பட்டு (Ge) காதத்திலே வையாபுரியைப் பிடித்தான் இவர்களிருவரும் ஒவ்வொரு நாழிகையிலும் கடந்தகாதத்தி () க் காதங்குறைய நடப்பார்களானுல், வையாபுரியை, வீர
கேசரி (ஈ.சு) காதத்திலே பிடித்துவிடுவான். அப்படியானுல் இவர்களிருவரும் நாழிகையொன்றுக்கு எத்தவன காதஞ் சேன் றர்கள்?
உக. வின. சேட்டியொருவன் (உ00) க்குமேலே (கூoo) க்கு LLJL- முத்துவாங்கினன். அவன் அந்த முத்துகவள ஆறுகுக எ
 
 
 
 
 
 
 

பலவகைவினு. 9 Ts,
ஆரணிப்பார்த்தபோது (ச) மிஞ்சினது. எட்டெட்டாக எண்ணி ஏபோது (2) மிஞ்சினது. ஒன்பதொன்பதாக எண்ணினபோ து (எ) மிஞ்சினது. அவன் வாங்கின முத்துகளெத்தவன?
ஆது, லினு. இரண்டு யாத்திரைகாரரில் ஒருவன் நாளொன் றுக்கு (ஈ) காதம் நடந்துபோக, மற்றவன் முதனுள் (ச) காத
. . . . மும், இரண்டாம்நாள் (ਜ) க்காதமும், மூன்றும்நாள் (h) கா
தமும், இந்தப்பிரகாரமே குறையக்குறைய நடந்தானேயாகில் இவவன மும்மூன்று காதம் நடந்தவன் எத்தவனகாளிற் பிடிப் பான் ?
உடு. லினு. ஒருபிராமனன் வழியிலொருவவனநோக்கி நீ ன ன்னசமயி என்று கேட்க, ஒ! பிராமனுேத்தமரே, எனதுசமய முதலட்சரத்தோடு (2) ஐக்கூட்டி இரட்டித்து (5) ஐக்கூட்டி ஐமடங்காக்கியபின் இரண்டாமட்சரத்தைக் கூட்டிப் பதின் மட ங் காக்கி மூன்றும் அட்சரத்தையுங்கூட்டினுல் (க308) தொ கையாம். இதினுல் என் சமயத்தை அறிந்து கொள்ளுமென் முன் வழிப்போக்கன் என்ன சமயி?
உசு. வினு, கோபுரசிகரம்போல அடுக்கப்பட்ட இரண்டு பீர ங்கிக்குவியல்களில் ஒன்றின் அடி முக்கோணுகாரம். மற்றதின் அடி சதுராகாரம். இவ்விருகுவியல்களின் ஒவ்வொரு பக்கத்து க்கு முப்பது முப்பது பீரங்கி அடுக்கப்பட்டதேயானல், அவற்றின் பீரங்கித் தொகை யென்ன? சதுராகாரக்குவியலில் மற்றதை ப்பார்க்க எத்தவன பீரங்கி அதிகம் !
உஎ வினு, ஒரு பீரங்கிக்குவியலின் அடி சதுராகாரம், அதி ன் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் அடுக்கியிருந்த பீரங்கி (20). குவிய லுக்குச் சிகரமில்லாதபடியால் மேனிரையின் ஒவ்வொரு பக் கத்திலும் ஆறுமுறு பீரங்கியிருந்தன. அப்படியானுல் குவியலி ல் அடுக்கியிருந்த பீரங்கியேத்தவன :
உஅ. வின. ஒரு பிரபு (எ2) ரூபாயைச் சில பிராமணருக்குத் தானம்பண்ணும்படி கொண்டுவந்தான். அவன் தானம்பல் னத் தொடங்கின சமயத்திலே வேறுமிரண்டு பிராமனர் அங் கே வந்தபடியால் அவர்களிருவரையும் மற்றவர்களுடனே வைத்து யாவருக்குஞ் சரிவர ரூபாயைப் பங்கிட்டபோது, முன்பு வந்திருந்த பிராமணருக்கு அரையரை ரூபாய் குறைந்துபோன தென்றல், வந்த பிராமணரெத்தவன?
உகூ, வினு. மதுரைத் தமிழ்ச்சங்கப்புலவர் நாற்பத்தோன் மரும் பாண்டியன்பேரிலே நாற்பத்தொன்பது பிரபந்தம் பாடிக் கொண்டுபோக அவர்களுக்கு நற்சங்கலிதப்படி வராகன் தொ டுத்தானென்றல் அவன் க்ொடுத்த வராகனெத்தவன?


Page 123
அரும்பத அகராதி.
Glossary and Index.
பிரகாணம். பக்கம்
அங்கம், - Member (of an equation) so3-6s-s
Equations higher
அதிவர்க்க சமிகரணம், than the quadratic,
h೦a-e-50
அத்துவைத சமிகரணம், Identical equation உoடு-ககள் அருந்தமாலிகை, . Infinite series, . 2 sa G-asa si அநந்தராசி, , . Infinite quantity, 9-90-45-9 as அது பாதம், Proportion, . . 92 9-35 (Gip அது பாதவுறுப்பு, . Terms of a proportion அநுபாத்தியம், . Proportionals, உஉடு-கசக அநேகாட்சர சமீகர Equations that con
tain two or more un- $ 55 556-5 is, as known quantities, Extremes of a proportion,
ணம், . .
2_9_凸P-5、F晏、
அந்தம், . . .
-gy š5 Tá517607ub. . . Differential method, 2-53-555
Arithmetical proஅந்தரமாலிகை, р உடுசு-க சுக
gression, . . . அந்தரம், . . . Difference, . . .
ga iš 5 Ta665 h, . . Arithmetical ratio, 2 osa-Espo
9 is a Unglu (Taub, Arithmetical proportion, 2 ele--as 6a
Consequent of a fTLD , • • • - 2-ーさーーエー لا /2ڑے
proportion, j அபவர்த்தம், . . Common measure, 9 ot-5659, Sarath, . . . Integer, . . . . Quantities that do 2. GudaTa) ab, . . . , not appear under a* கசுக-சு எ
radical sign, j gyrator, . . . . Divided by, . . . . 5 F-4 o
Vala يمو عمر ځله هم په
 
 
 
 
 

GLoss
அர்த்தாபத்தி, .
அலகு, - - - அவரோகணமாலிகை, அவ்வியத்தம், . அவ்வியத்தராசி, . ஆரகம், ஆரோகணமாலிகை, இஷ்டராசி, . இஷ்டவர்ணம், இரட்டையிராசி, . இராசி, . . . . இருணம், . . . இருணராசி, . . . ஈதல், - - - - - - وله 55 ஈற்றுறுப்பு, , , , உபயார்த்த சின்னம், . உபயார்த்தம், . . உரூபம்,
உறுப்பு,
MrA t எசசராச, . . ଗt Göt',
@്തു് . . . .
உறுப்பெண்,
ஒப்புமை, f
ஒற்றையிராசி, கணிதசாஸ்திரம், கணிதம், . . . ) ఊ76TTLD . . . . கரணகுதகம், . . கழித்தல், . களைதல், . . . கனசங்கலிதம், }
ARY AND INDEX.
e_ff
LFrægsríð. -&z-
Corollary . . . A unit, - -
Descending series, e-@cm-scm
Unknown quantity, டு-டு
Denominator, . . . G7 mi-fi-3 Ascending series, உடுசு-கசு
Assumed quantity,
Assumed co-efficient,
Binomial quantity, 6 -- ܦ6- ܧܒ Quantity, . 2 - Negative, - - - - Negative quantity, . . . aTo divide, . . ae-O-2- Quotient, . . 安0一e_g Last term of a series, . Sign of ambiguity, @リーg Ambiguity, . . . . Formula, . . . உடு-அ Term, . . . . . 2 -á, -6 Number of terms -۔
2_(エリ*空エタ of a series, டுடு Residual quantity, . . 2 2-6 Number, . . . . Homologous, . 三_?- エーエぶP受 Comparison (of
В ( உகசு-கடு proportions,) Simple quantity, 2 O-3
Mathematics, ፲ኻ” - ሽ
Surd, 。。。。安G杯*、 Diophantine analysis, oo4-a_oÚ
To subtract,
Sum of the series,
○_エーエー空*ら
1, 8, 27, 64. &c.


Page 124
-mpā அரும்பத அகராதி.
LTS FØMTiib. ulášazi னமூலம், . . . Cube τοΟί, , , , ஃ2_-4 னம், . . . . Cube, கூக-க னவிகிதம், Triplicate ratio, ・ a-笠三27*至ー広。 ாதகரணம், Involution, . . . 李元e--s@ A535. . . . Index of a POWer,,五e_王一57元 ாதிதம், Power, . . . . so e-ar. ாதித்தல், T involve, . சிரமமாற்று, Inversion, . . 三ーリーーリ。 | 56307 5 ch. . . . Multiplier, . . . G 5-2 = தனனம், Multiplication, . . டுக-உரு, தணனவிகிதம், Compound ratio, . 255-5 pa தணனியம், Multiplicanti, . . டுக-உF 5ணுங்கம், Factor, . . . . 75, Cதணிதம், . . . Product, - டுக-உக
5தக கணிதம், lindeterminate analysis,
An unknown quant
历三至á,,, ity in an indetermin- 우주 可一卒无马
tate equation, .
、To add, . . . . 

Page 125
牟吓斗 அரும்பத அகராதி.
பிரகரணம். பக்கம். sié auth, . . . Analogous, . . . gâl a8ualgül 1, . . Analogous terms, 2-2-3P-54r.
g5 a5 LU ab, . . . Couplet, - - 2_க 5-5அPஆ glas Jit S, . . . Binomial, . . . 2_P_-ബ് s/a5 TT Gaia, . . Binomial theorem . a pag-aas GAE fé92a), . . . Known, - - - Gat if 52a using, . . Known quantity, . டு-டு G57&0 #, . . . . Sum, . . . . .
தொடரது பாதம், Continued proportion, 2 g 67-59-67
sNatural series of
- numbers, 1,2,3, &c. IF73EO-2 53T Eiö SF iš 5 aastih, . . Sum of the series, 1, 2, 3, 4, & c.
நற்சங்க விதமாலிகை,
ŝaffi AE arioTub, . . Exponent, 而5,59–é一ā,67阮 SF2E ou o Tibgp), . . . Transposition, . . Foat5-@ F, பகாநிலையெண், . Prime number, .. 2 672 -á, 673. L'@, ŝ726) Ĝuu 6žiT, . . Composite number, 2_67 F.-ĉi, 673; பரிணுமசமீகரணம், Dependent equation, 2 OG-d, far LU 75 45 lb, . . . . Divisor, . . . . so-a-ág
பாக கரம், . . . Division, . , , சுO-C.அ lu Ta, b, . . . . Side of an equation, a oG-6as பாசிதம், - . . . Quotient, . . . 5-o-2 sig! பாச்சியம், . . . Dividend, . . . so-2- பாடீகணிதம், . . Arithmetic, . . . /Б"/5 555 FT 30th, . . Substitution, . . as a 67-sto பிரதிகரித்தல், . . To substitute, . . பிரித்தல், · . . To divide, . . . ato-e a LS air 607 LS air 30th, . . Compound fraction, cmざー。FO LS air at b, . . . . Fraction, . . . 675-7. LS aire) is b, . . Value of a fraction, ○7cmーóg? புள்ளி, Number of terms of a series, 2 (6G-Fatar is 56 b, . . . . Antecedent, 三-空E エーé客ぶコー
GL fug 13 bLoua? ( Ratio of greater
கிதம், . . . : inequality, 2ーーーーーーa
GLI (15 iš 5 ấ), . . . To multiply, . . டூக-உரு, பேறு, . . . . Result, . . . .
@u 1757.gIT 5 b, . . Common denominator, -2-2-5-2 போகம், . . . . Numerator, , , , எக-கச
 
 

GLoss ARY AND INDEX. 2 TT sh
பிரகரணம். பக்க
Loa Tua iasi, Greatest common measure, o alas-sai,
Lollégild TaSao F, . Recurring series, உகூ0-க அ மத்தியம், Means, 2e2_3PىgFت - GFےgFت LDØYAN ś%DU, . . . Unknown, . . . LDØopD išlav SJ TSR, . Unknown quanțity, டு-( மாயாசதுரம், . . Magic square, . . 약리( மாலிகை, . . . Series, . . . . to TOP 5 TSR, . . . Constant quantity, LO TpoT TGF , . . . Variable quantity, . tó #67 í sér að b, . . Mixed fraction, அக-ச முதலுறுப்பு, . . First term, . . .
grfa) at a1, . . . Measure of a quantity, 5,67-a GPöJóT79, . . . Finite quantity,
முற்றுப்பெருக்கம், Multiple, , , . 7cmG7ーリ ep6-gyatay, Standard unit; scale of notation, 5, 2 as
மூலகிரகணம், , . Evolution, , . . கடுக-க மூலகுசி, . . . Index ofa root, 57, de G2 -46, 5 gp6) iš GC95 Tair GITổi, . To extract a root,
gp6IV ub, . . . . Root, கஉ, கடுக-க, அ Gudated b, . . . . Radical quantity, óó历“G{ ag Tn5, . . . . Compound quantity, 9_ö“1
2-リーエーさと亮l
- - Sum of the series, வர்க்க சங்கலிதம், :
1, 4, 9, 16, &c.
6. iš SF FLÁ35 TaØTuh, . Quadratic equation, Eoar-G 6. řas af giášś9Gs tilséiv, Tò complete a square, வர்க்கம், . . . . Square, , . . . リエー EJ řai 45 a) iš 5 Fuß’s IT GROT Lò, Biquadratic equation, 11, o2, -e á: 6 iể6ảoả), . . . To square,
வர்க்கமூலம், . . Square root, "-스_- C. iš Fadó 695 lb, . . Duplicate ratio, e-空三リー空er GJ ia F60th, . . Division of proportions, e fat-56 6. ie00T użi, . . . . . Co-efficient, 676) TLDU T5 tib, . Lefthand side of an equation, SE OGS-G ES = 7627 üb, . . . Rational quantity, リ エー。 eS? Sağ lib, . . . . Ratio, 2 - Oez
விகமமாலிகை, Diverging series,


Page 126
அரும்பத அகராதி.
Grasferrorf. Luis
Salóágã, . . . To diverge, . .
திமோசனகரணம், Elimination, = ت£ ۔_C{0 - 35 175,5ح SG lost facia sil, . To eliminate,
வியக்தம் - -
Known quantity, டு-டு வியக்தராசி,
Sua. FGA) 53T ili, . . Subtraction, . . . 29-ét - 2 O நிலங்குச்சின்னம், , Vinculum or parenthesis 2 SE-2, திலோ மகாதிதம், . Reciprocal power, , F , a -alar SG at Loti, . . . Inverse, . . . .
ਕ77 7 ਜੇ . . . Reciprocal of a quantity, 5-2-efa. Saša. Tunasas li, . Reciprocal ratio, உகடு-க ச2. Algebra, . . . . ፲rr-- 05
عه: சே கணிதம், .
tசசூத்திரம், .
· මිං" | | ffණනකy, Algebraic
ਓ . . . Expression, or
tசரூபம், Formula, - - - e_)5(ہے ۔ வீசவாக்கியம்,
3 Qefi &It ia Los u sot ti, Simple equation, கOசு-டுக
šasijo, Unlike quartities, . ቪFöö÷ ÷ ÷ ()
முற்றிற்று.
 

으T
பிழைதிருத்தல்,
山主亭二 au f8. . பிழை. - - திரூத்
F. } களஞ்சு கழஞ்சு
கoகசு முற்றளவை பலராசியின்முற்றளவை கஅ22 தன் རྣམ་མོ་
으E의 오 உசகா, கடுகுணனிய குணனிய 으국은 은 ー教 சுக 12, ஈ, ச|இவற்றை என்பதை சுக கூடு - Χ =十s@a?一éso叶十a@aš99 نہ 92 || CP ہوتے 6Yn) --9+ ബച്ച 34کے حe.1eہوئے 62 என்றும் ਨਾ 94 کے el92ہلوکے அாml டு ஆ"
(;; 'aଗ — . ཚེ་ཀ་ བ་མོ། རྒྱ--ཚ (粤十甲)*
- E. み 0 5GT ཆ * V 속 2- 苓 ع
கூசுகசு 枋敦 கூஆ"
Fr F པའི་ཆབ། ། F* Got ஆடு () 量。 கடு gب க உகாக 十 ,士 士·十 கஉடுஉசு தனரரசி 萝sm引 a宇olacm அரன * |字ら『@T கசசுகூ0 : |- கசஎ ச "aea ee a aキG 50 கeஅ 의리 み字Grみm, e O : ஒடுகக்கூ உறுப்புக்கள் உறுப்புகள் கடுச1உடு |aliga 1于LDT子 கசுகந0 உடுசு. பிர. தள்ளு கசுடுகசு 许命
5 zo||es= கான்கெண்வன mಫೈ©ಹಸನ್ ಎರಾ み○7「Fr &cm |茎e、中ー幸。 ஆலிபு -ஆ
S S


Page 127
-
_的T子2。 (
பக்கம். ലി
s
5.95i 36T
க அக உடு 5. ජිනසී | ද්‍රව ජිri
Fin5. F-F-
E. 의 E.
6 &n 9 F.
&cmg gr
55 Gen 9. || g()
孕ā于1王9
历品ā 9 ககூஅஉக 92O 92 | 75r
의 0의 5.
go.309. Fo
으5&PRoG 으Basle F. 22எக்சு
பிழைதிருத்தல்.
பிழை. - - கிருத்தல் س--
| ཆེ་ ॥৮ SbO ܕܐ 阿+成十á (a+呜十卤) |ன்ற எனற -(இதி) (@一彦) _a ఐసి +2 a-Hee; |5-ఐ-ఐ2- ta-ఐ-ఐ- ఉ+ఇ__6-6 |E-త్ర ఐ-గ్ఐతి-2ఐ-hఐ.
B B வு நு ஒரு DB ங் ங் B நு ஒரு 150া 9. FT--
F5r
9.5F | (a) (63.) to-fi ILD-p —e&#ii 62 ĝis +eఈవి -90 --a-o
○×ao @一母o o್ಣ றநூமித்து O சoகூசு

ܐ ܢ
விசபாஷையை வாசிக்கும் விதம்
32J 7UJ&pas
வசிக்கும் விதம். 苓十甲 ஆவன்னு சக ஈயன்ன ; அல்லது, ஆகார ச
FF王T町ü。 含一闲 ஆவன்ன சய ஈயன்ன; அல்லது, ஆகார ச4
FFásTTLD。
参十吓 ஆவன்னு சக சய ஈயன்னு ; அல்லது, ஆகா
- சக சய ஈகாரம்.
苓XFF ஆவன்ன தரம் ஈயன்னு; அல்லது, ஆகாரத
ம் ஈகாரம்,
ஆவனணு அரண ஈயன்னு ; அலலது, ஆகா
|- அரன ஈகாரம்,
,垒十甲=° ஆவன்னு சக ஈயன்னுவுக்குச் சமம் ஊ ெ எனு; அல்லது, ஆகார சக ஈகாரத்துக்குச் சமம் ஊகாரம் ஆவன்னு சக ஈயன்ன என்பதற்குச் சமம் ஊவன்ன ; அல்ல து, ஆகார சக ஈகாரம் என்பதற்குச் சமம் ஊகாரம், (垒十*)1 விலங்குறு ஆவன்னு சக ஈயன்னு; அல்லது
穹十F விலங்குறு ஆகார சக ஈகாரம், 苓:F::8 甲 ஆவன்னுவுக்கு ஈயன்னு எப்படியோ அப்படி யே ஐயன்னுவுக்கு ஒவன்னு ; அல்லது, ஆகாரத்துக்கு ஈகாரம் எப்படியோ அப்படியே ஐகாரத்துக்கு ஒகாரம்.
ஆவன்னுவின் ஆறுங்காதிதம் , அல்லது, ஆ 多”) காரத்தின் ஆறுங்காதிதம்.
*冯 ஆவன்னுவின் ஏழில் மூன்று காதிதம்; அல்ல ਮੁ) து, ஆகாரத்தின் ஏழில் மூன்று காதிதம்.
ஆவன்னவின் ஈயன்ன காதிதம்; அல்லது 参”算 ஆகாரத்தின் ஈகாரகாதிதம்.
நாலாம்மூல ஆவன்னு ; அல்லது, நாலாம் மூ ܩ5
苓 ல ஆகாரம்.


Page 128



Page 129
以、
: S.
 

న
*