கவனிக்க: இந்த மின்னூலைத் தனிப்பட்ட வாசிப்பு, உசாத்துணைத் தேவைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தலாம். வேறு பயன்பாடுகளுக்கு ஆசிரியரின்/பதிப்புரிமையாளரின் அனுமதி பெறப்பட வேண்டும்.
இது கூகிள் எழுத்துணரியால் தானியக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட கோப்பு. இந்த மின்னூல் மெய்ப்புப் பார்க்கப்படவில்லை.
இந்தப் படைப்பின் நூலகப் பக்கத்தினை பார்வையிட பின்வரும் இணைப்புக்குச் செல்லவும்: ஆரம்ப தூய கணிதம்

Page 1


Page 2

ஆரம்ப தூய கணிதம்
நூலாக்கம் :
Gà. 5 LymrFi, M.A., B.Sc. (முன்னைநாட் கணித உபபேராசிரியர், இலங்கைப் பல்கலைக்கழகம்)
கல்வி வெளியீட்டுத் திணைக்களத்துக்காக இலங்கை அரசாங்க அச்சகத்திற் பதிப்பிக்கப்பட்டது.

Page 3
முதற் பதிப்பு: 1959. ,
இரண்டாம் பதிப்பு: 1968.
ELEMENTS OF PURE MATBIEMATICS
by S, NADARASAR, M.A., B.Sc.
TRANSLATED AND PuBLISHED IN CEYLON
by TBE EDUCATIONAL PUBLICATIONS DEPARTMENT
உரிமைகள் அரசினர்க்கே

நூன்முகம்
'Eloments of Pure Mathematics' 6T6ö769) in grip/TaSaô7 605(ou(pa துப் பியதி ஆங்கிலத்தில், இலங்கைப் பல்கலைக்கழக முன்னைநாள் உப பேரா சிரியர் சி. நடராசர் அவர்களால் எழுதப்பட்டுப் பின்பு தமிழில் மொழி பெயர்க்கப்பட்டது.
இந்நூல், முக்கியமாகச் சாதாரண நிலை, உயர் நிலைக் கல்விப் பொதுத் தராதப் பத்திப் பரீட்சைகளுக்கும் இலங்கைப் பல்கலைக்கழகத் தொடக் கப் பரீட்சைக்கும் பயிலும் மாணவர்களுக்குப் பயன்படுமாறு எழுதப்பட்டது. கணித அடிப்படைகளைக் கசடற நன்கு மாணவர் புரிந்து கொள்ளுமாறு உதவ, எண்கொண்ட கணக்களுக்குத் தீர்வுகள் தரப்பட்டுள.
இந்நூலின் தமிழ் மொழிபெயர்ப்பின் முதலாம் பதிப்பு 1959 இற் பிர சுரிக்கப்பட்டது. இவ்விரண்டாம் பதிப்பு புதுக்கிய கணிதக் கலைச் சொற்க ளைப் புகுத்தி, முற்றகத் திருத்திப் பதிப்பிக்கப்பட்டுள்ளது.
எம். ஏ. பெரேரா, ஆணையாளர் கல்வி வெளியீட்டுத் திணைக்களம்,
* சிறீமதிபாயா' 58, சேர் எனெஸ்ற் டி சில்வா மாவத்தை, கொழும்பு 3.

Page 4
සංඥාපනය
oë Geors ees. 25)é)c5oes 882 c552) Elements of Pure Mathematics ග්‍රන්ථයේ ඉංග්‍රීසි මුල් අත් පිටපතේ දෙමළ පරිවර්තනය යි.
මෙය අ. පො. ස. (සාමානාප), අ. පො. ස. (උසස්) පෙළත් විශේව විද්‍යාලය පුවේශ පන්තිවලත් ඉගෙනීම ලබන සිසුන් ගේ අවශාසත්‍යව සපුරා-ලන පරිදි ලියා ඇත. යෙදී ඇති මූලධර්ම පිළිබඳ සම්පූර්ණ අවබෝධයක් සිසුනට ලබාගැනීමට උපකාරයක් වශයෙන් සංඛායාත්මක නිදසුන්වල විසඳුම් ද සපයා ඇත.
දෙමළ අනුවාදයේ පළමු වැනි මුද්‍රණය පළ කෙරුණේ 1959 දී ය. ඉන් ඉක්බිති පිළියෙළ කරනු ලැබූ ඇතැම් ගණිතමය පද ඇතුළු කර මේ මුද්‍රණය සම්පූර්ණයෙන් ම සංශෝධනය කරන ලදී.
ඇම්. ඒ. පෙරේරා,
කොමසාරිස්.
කොළඹ 3, ශ්‍රීමත් අර්නස්ට් ද සිල්වා මාවතේ, 58හි අධායාපන ප්‍රකාශන දෙපාර්තමේන්තුවේ දී ය.

தோற்றுவாய்
1. இந்நூல், முக்கியமாகச் சாதாரண நிலை, உயர்நிலைக் கல்விப்பொதுத் தராதரப்பத்திர பரீட்சைகளுக்கும் இலங்கைப் பல்கலைக் கழகத் தொடக்கப் பரீட்சைக்கும் பயிலும் மாணவர்களுக்குப் பயன்படுமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது. இம்மாணவருக்கெனத் தூய கணிதத்தில் வேருண நூலொன்று இருக்க வேண்டுமென்பது நெடுங்காலமாக உணரப்பட்டுள்ளது. இந்நூலானது அத்தேவையைத் தீர்க்குமென எதிர்பார்க்கப்படுகின்றது.
2. இதனைப் படிப்பவருக்குத் தொடக்கத் தூய கணிதத்தில், பொதுத் தராதரப் பரீட்சையின் சாதாரண நிலையளவிற்கு அறிவு இருக்குமென எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. அவர், திரிகோண கணிதம், பகுப்புக் கேத்திர கணிதம், நுண்கணிதம், அல்லது திண்மக் கேத்திரகணிதம் ஆகியவற்றை அறிந்திருக்க வேண்டுமென எதிர்பார்க்கப்படவில்லை. இப்பாடங்கள் முதற் றத்துவங்களிலிருந்தே விரித்தெழுதப்பட்டனவாதலின், கற்கத் தொடங்கு பவருக்கு இம்முறையை விளங்குவதில் கடினம் யாதுமிராது.
3. தூய கணிதத்தின் சாரம் தருக்கமுறைப் பகுத்தறிவாராய்ச்சியாகும். அடிப்படையான எடுகோள்கள் தெளிவாகக் கூறப்படல் வேண்டும். இவ் ைெடுகோள்களையும் தருக்கவியலின் சாதாரண விதிகளையும் பயன்படுத்தி உள்ளுணர்வைச் சிறிதுங் கோராது இக்கொள்கையானது விருத்தியாக்கப் படல் வேண்டும். இந்தப் பாடத்தைத் தொடங்குபவர்களுக்குப் புதிதாக அறிவைப் புகுத்துதலில் முற்றிலும் சித்திபெறுவது கடினமாயிருப்பினும் அந்த எண்ணத்தைக் கடைப்பிடிப்பதற்குத் தீவிரமான முயற்சி எடுக்கப் பட்டுள்ளது.
4. நுண்கணிதத்திலுள்ள அனேகமான மூலாதார நூல்கள் இப்பாடத் தைக் கேத்திய கணிதமுறையில் புகுத்துகின்றன. வகையீட்டுக் குணகத்தின் வரைவிலக்கணம் ஒரு வளையியது தொடலியினல் வரையறுக்கப் பட்டுள்ளது. உயர் விழிவுக் கொள்கையும் கேத்திர கணிதக் கருத்துக்களி மயிருந்து தோன்றிற்று. இது போதியவளவு திருப்திகரமானதல்ல. இது ஒரு வரைவிலக்கணம், அல்லது விளக்கம் தெரிந்த கருத்து என்பனவற்றி லிருந்து கொடுக்கப்படல் வேண்டும். நுண்கணிதத்தைப் படிக்கத் தொடங் கும் ஒருவருக்கு வட்டமொன்றிற்குரிய தொடலியைப் பற்றிச் சிறிதளவு தெரிந்திருந்த போதிலும் வளையியொன்றின் தொடலியைப் பற்றி ஒன்றும் தெரியாது. மேலும், நுண்கணிதத்தின் அத்திவாரம் முற்றிலும் எண்கணிதத்திற்குரியவைகளாகும். நுண்கணிதத்தின் அமைப்பு முற் றிலும் எண்களினது தொடக்கப் பண்புகளையே அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது எல்லா விஞ்ஞானக் கிளைகளிலும் எடுத்தாளப்படுகின்றது போல

Page 5
viii
கேத்திரகணிதத்திற் பிரயோகிக்கப்பட்ட போதிலும் இக்கொள்கை கேத்திர கணிதத்தின் எக்கருத்திலும் தங்கியிருக்கவில்லை. நுண்கணிதத் தேற்றங் களை எடுத்துக்காட்டுவதற்கு கேத்திர கணிதக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்த லாம் ; ஆனல் அவற்றை நிறுவுவதற்கு இக்கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவ தில்லை.
5. இந்த நூலின் கையெழுத்துப் பிரதி ஆங்கிலத்தில் எழுதப்பட்டுப் பின்பு தமிழில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. ஆக்கியோனல், அல்லது மொழி பெயர்ப்பாளனல் விடப்பட்டிருக்கக்கூடிய பிழைகளும் அச்சுப் பிழைகளும் இருக்கக்கூடும். இவ்வாறன பிழைகளிருப்பின் அவற்றை எடுத்துக்காட்டுவோருக்கு நூலாசிரியர் மிகவும் நன்றியுள்ளவராவார்.
சி. நடராசர்.

அந்நியாயம் 1 அந்தியாயம் Jawa sEutiruluh 8 அத்தியாயம் 4 Jawa si untuuli
NAGurrub o
அக்தியாயம் 1 ew, FunTuah 2 Jolф5)итинth 8 அகதியாயம் 4 அத்தியாயம் 5 Jigh Suistuib 6 அத்தியாயம் 7
அத்தியாயம் 1 A5)utub அத்தியாயம் 8 அத்தியாயம் 4 அத்தியாயம்
அத்தியாயம் 1 அத்தியாயம் 2 அக்தியாயம் 3 அத்தியாயம் 4
அதிதியாயம் 1 விடைகள்
ஆரம்ப தூய கணிதம்
திரிகோணகணிதம்
& 8 8 p.
நுண்கணிதம்
அட்சரகணிதம்
திண்மக் கேத்திரகணிதம்
ixk
Lldssub
22
30
50
60
73
93
09
13
s
s
63
O
79
99
223
24珪
257
275
. تی... 291
309
315
S43
377

Page 6

தூயகணித மூலகங்கள்
முன்னுரை
கணிதத்தின் அடிப்படையெண்ணக்கரு எண்ணுகும். தொடக்க வெண்கள் வழக்கின் படி தொடர் வரிசையிற் பெயரிடப்பட்டு எழுதப்பட்ட 1,2,3,4,.. . . என்னும் நேர் முழுவெண்களாகும். அத்தொடரில் 1 அல்லாத யாதேனும் பிறவெண் அதற்கு முன்னதாகவுள்ள எவ்வெண்ணிலும் பெரிதெனப் படும். இவ்வெண்கள் எண்ணுதற்கு வழங்கப்படும். ஒரு குறித்த தொகுதி யிலுள்ள பொருள்களை எண்ண விரும்பினுல், அப்பொருள்களுக்குந் திருத்தபl60 வரிசையிலே தேரப்பட்ட நேர் முழு வெண்களைக் குறிக்குங் குறியீடுகளுக்கும் இடையே ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பு என்பதை நிலைநிறுத்து இன்ருேம். ஒரு பொருளை 1 என்னும் முதலாம் முழுவெண்ணுேடும், ஒரு பொருஃா 2 என்னும் முழுவெண்ணுேடும், ஒரு பொருளை 3 என்னும் முழுவெண்ஞேடும் இவ்வாறு எல்லாப் பொருள்களையும் ஒழிக்கும் வரைக் கும் இணைக்கின்றேம். தேரப்பட்ட ஈற்று முழுவெண் அத்தொகுதியிலுள்ள பொருள்களினுடைய தொகையைக் குறிக்கின்றதெனப்படும்.
கூட்டல், இரு முழுவெண்களின் கூட்டலானது அவ்விரு முழுவெண் கஃாக் குறிக்கின்ற பொருள்களுடைய இரு கூட்டங்கள் பற்றியதென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. அவ்விரு கூட்டங்களும் ஒரு தொகுதி யாகும்படி சேர்க்கப்படுகின்றன ; அப்புதிய கூட்டத்தாற் குறிக்கப்படும் முழு வெண் வேறுவேருண அவ்விரு தொகுதிகளாற் குறிக்கப்படும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை எனப்படும். m, n என்னும் இரு முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகை n+m என்பதஞற் குறிக்கப்படும் ; வரைவிலக்கணத் தின்படி m+n = n+m என்பது தெளிவு.
பெருக்கல். பெருக்கல் என்பது தொடர்ந்த கூட்டல் என வரைவிலக் கணங் கூறப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொன்றும் m என்னும் முழுவெண்ணைக் குறிக்கின்ற n பொருட்கூட்டங்களை ஒரு கூட்டமாகும்படி ஒருங்குவைத் தால், அப்புதிய கூட்டத்தாற் குறிக்கப்படும் முழுவெண் 7, m என்பன வற்றின் பெருக்கம் எனப்படும் ; அது 7Xm அல்லது mm என எழுதப் படும்.
m பொருள்களுடைய 7ம் கூட்டங்கள் 70 கிடைக் கோடுகளுள் ஒவ்வொன்
றின் மீதும் m குத்துகளாற் குறிக்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க;
ஆயின், ஒவ்வொன்றும் 70 குத்துக்களைக் கொள்ளுகின்ற n நிலைக்குத்

Page 7
2 ஆரம்ப தூய கணிதம்
துக்கோடுகளையும் பெறுகின்றேம். எனின், m பொருள்களுடைய n கூட்டங்களானவை m பொருள்களுடைய m கூட்டங்கள் குறிக்கும் முழு வெண்ணையே குறிக்கும்.
ஆகவே, ገገ0 X ጎ0 = ገ0 X ገገዓ
176, 0, p என்பன நேர் முழுவெண்களாயின், மேற்காணும் மூன்று விதிகளுங் கூட்டல் பெருக்கல்களினுடைய வரைவிலக்கணங்களிலிருந்து நேரே பெறப்படும்.
(1) தொகுப்பு விதி.
(m十n)十p=(n十p)十m=(p+m)+n (2) பரம்பல் விதி.
m(n-p) = mn--imp
(3) மாற்று விதி.
m×(m×2)= n×(p× n2)=p×(m×n) p > g எனின், mp>mடி என்பதும் பெறப்படும்.
வகுத்தல். m, 70 என்பன நேர் முழுவெண்களாயிருக்க m = mxp ஆகும்படி p என்னும் வேறெரு முழுவெண் காணப்படின், m ஆனது 70 ஆல் வகுபடுமென்றும், அவ்வாறு வகுக்க வரும் ஈவு p யாகுமென்றுங் கூறுவோம். m என்பது n இன் முழுவெண் மடங்கு என்றும் 10 என்பது m இன் காரணிகளுள் ஒன்று அல்லது சினைகளுள் ஒன்று என்றுங் கூறப்படும்.
14 ஐ 10 ஆல் வகுத்தல் 1m பொருள்களின் ஒரு கூட்டத்தை ஒவ் வொன்றும் 70 பொருள்கள் கொள்ளும் ஒரு தொகை கூட்டங்களாகப் பிரித்தலாற் குறிக்கப்படக்கூடும்.
பின்னவெண்கள்.
m, 70 என்பன முழுவெண்களாயிருக்க m = mxp என்னுந் தொடர் பைத் தீர்க்கத்தக்க p என்னும் முழுவெண் யாதொன்றுங் காணப் படாதாயின் m என்பது m ஆல் வகுபடாதெனக் கூறுகிறேம். செய்முறைப் பிரயோகங்களில் இத்தகைய நிலைமைகளிலும் யாதுமொரு வகுத்தலி னத்தைப்பற்றி சிந்திக்க வேண்டும். 9 அப்பிட் பழங்களை 8 பிள்ளைகளுக் குச் சம பங்குகளாகப் பிரித்துக் கொடுக்க விரும்புகின்றேம் எனக் கொள்க. ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் ஒவ்வொரு முழுப்பழத்தைக் கொடுத்து விட்டு, மீதியாயுள்ள ஒரு பழத்தை 8 சம பங்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் ஒரு பங்கைக் கொடுக்கலாம். ஒரு முழுப்பழம்

முன்னுரை 3
1 என்னும் எண்ணைக் குறித்தால், ஒவ்வொரு பங்கும் 4 என்னும் பின்னவெண்ணைக் குறிக்கின்றதெனக் கூறுகின்றேம். ஆயின், ஒவ்வொரு பிள்ளையும் 1 பழமும் * பழமும் பெறும். ஒவ்வொரு பழத்தையும் 8 பங்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு பிள்ளைக்கும் 9 பங்குகளைக் கொடுப் பதாலும் பங்கீடு செய்யப்படலாம். இவ்வண்ணம் 1+ = 9x* ; இது 14 = 8 என எழுதப்படும்.
இது பின்னவெண்ணின் வரைவிலக்கணத்திற்கு வழிகாட்டுகின்றது. m, n என்பன இரு நேர் முழுவெண்களாகுக. ஒவ்வொரு பொருளும் 1 என்னும் முழுவெண்ணைக் குறிக்கும் ஒத்த பொருட்கூட்டமொன்றை வைத்திருக்கின்றேமெனக் கொள்க. ஒவ்வொரு பொருளும் n சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அத்தகைய பங்குகளுள் m என்பன ஒருங்கு எடுக்கப்பட என்னும் பின்னவெண்ணைக் குறிக்குமெனப்படும். இனி, p என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண்ணுகுக ; ஒவ்வொரு பொரு ளும் 70 பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படுக ; அவற்றுள் mற பங்குகள் எடுக்கப் 1.டுக. ஆயின், இந்த mற பங்குகள் ஒருங்கு சேர்ந்து முன் சிந்திக்கப்பட்ட * பங்குகளுக்குச் சமமாகும். ஆகவே,
т, тр
т, тр
m என்பது m இன் யாதுமொரு மடங்காயின் (m = 0 என்க: இங்கு k என்பது ஒரு முழுவெண்), முன் சிந்திக்கப்பட்ட 14 பங்கு களின் கூட்டம் k முழுப் பொருள்களுக்குச் சமமாகும் ; ஆகவே என்னும் பின்னம் இந்நிலைமையில் ஒரு முழுவெண்ணுகும். சிறப்பு
772.
= 7.
வகையில்,
7m என்பது n இன் மடங்கல்லாததாய் m இலும் பெரிதாய் இருந் தால், m = rm + 8 , இங்கு, 7, 8 என்பன நேர் முழுவெண்கள் ; 8

Page 8
4. ஆரம்ப தூய கணிதம்
- . m. p.
gn=pm ஆயினுற்றன், , g என்னும் இரு பின்னங்கள் சமமாகும்.
அன்றியும் mg>pm ஆயின்,
mg  b ஆயின், ac>bc.
р r m. - a = ஆயும் b = ஆயும் c = ஆயும் இருக்க
இங்கு p, g, r, 8, m, n என்பன நேர்முழுவெண்கள்
pm ፃ‛ፃገ0 ஆயின், 《荔移二 an 62 =8 ==سn.

முன்னுரை
pm87>gmm ஆயின், அதாவது p8> gr ஆயின், வ0>bc. a > b guŚ6ö7, p8 > gr.
“.., aс > bc.
வகுத்தல். a, b என்பன இரு பின்னவெண்களாயிருக்க, be = a ஆயின், c = என எழுதுகின்றேம்.
p r p, g, r, 8 என்பன நேர் முழுவெண்களாயிருக்க, a - g ஆயும் b = ஆயும் இருக்க.
ஆயின், o t o
... rc = .
.:. c == 4* .
,r
P அதாவது q_p3 r qr 8
α Κα a, b, c என்பன மூன்று பின்னவெண்களாயின், bkb என்பது
பெறப்படும். a, b, c, d என்பன நான்கு பின்னவெண்களாயிருக்க
а с ad= b0 ஆயின், b d’
(262 ad>b0 ஆயின், あ> 阪・
ad 

Page 9
6 ஆரம்ப தூய கணிதம்
m பொருள்கள் கொண்ட ஒரு கூட்டத்திலிருந்து n பொருள்களை எடுத்தோமாயின், மீதிக் கூட்டம் m - n என்னும் எண்ணைக் குறிக்கும். r பொருள்கள் கொண்ட வேறெரு கூட்டம் இருக்கின்றதென்றும் அவற் றுள் 8 பொருள்களை எடுக்கின்றேம் என்றும் நினைக்க : இங்கு 8 6 ஆயின், b+c = a ஆகும் வண்ணம் c என்னும் ஒரு பின்னங் காணப்படலாம் ; அதனை c = a - b என எழுதுகின்றேம்.
a, b, p, q என்பன நான்கு பின்னங்களாயிருக்க a > ம் ஆயும் p > g ஆயும் இருந்தால்,
(aー b)十(pーg)=(a十p)ー(b十q)=a十pーあーq
என்பது பெறப்படும்.
மறையெண்கள். m, n என்பன நேர் முழுவெண்களாய் அல்லது பின்னங்களாய் இருக்க, n < 70 ஆயின், p+m = m ஆகுமாறு யாதுமொரு நேரெண் p இல்லை எனினும், இந்நிலைமையிலும் m - n என்பதற்கு ஒரு கருத்துக் கொடுத்தல் வசதியாகும்.
உதாரணமாக ஒரு மனிதன் 100 ரூபா முதலோடு வியாபாரஞ் செய்யத் தொடங்குகிறனெனக் கொள்க. அவன் 125 ரூபா நயமடைந்தானுயின், அவனுடைய பெறுமதி (100+125) ரூபா ஆகும். அவன் 50 ரூபா நட்ட மடைந்தானயின், அவனுடைய பெறுமதி (100-50) ரூபா ஆகும். அவன் 125 ரூபா நட்டமடைந்தானயின் அவனுடைய பெறுமதி (100-125) ரூபா எனப்படலாம். உண்மையாக, அவன் யாராயினும் ஒருவரிடமிருந்து 25 ரூபா கடன் வாங்கியிருக்கலாம் ; தன்னிடமுள்ள 100 ரூபாவோடு இப்பணத்தையும் இழந்தவனவன். இப்போது தனக்குக் கடன்கொடுத் தவனுக்கு 25 ரூபா கொடுக்க வேண்டியவனகிருன். அவனுடைய பெறு மதி -25 ரூபா என்று கூறலாம். அதற்குக் காரணம் அவன் யாது மொரு வருமானம் பெற்றவுடன் அவனுடைய கடனைத் தீர்ப்பதற்கு அதி லிருந்து 25 ரூபா கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதே.

முன்னுரை 7
இரு மனிதர் சம முதல் கொண்டு வியாபாரஞ்செய்யத் தொடங்கினர் எனக் கொள்க. ஒரு மனிதன் 50 ரூபா நயமும் மற்றையவன் 20 ரூபா நயமும் பெற்றல், அவர்களுடைய நயங்களின் வித்தியாசம் (50-20) ரூபா ஆகும். இவ்வித்தியாசம் இரண்டாம் மனிதனின் உடைமைப் பொருளி லும் முதலாம் மனிதனின் உடைமைப் பொருளின் மிகுதியைத் தருகின்றது. முதலாம் மனிதன் 50 ரூபா நயமடைய இரண்டாம் மனிதன் 20 ரூபா நட்டமடைந்தானுயின், முதலாம் மனிதன் மற்றையவனிலும் (50+20) ரூபா கூடுதலாக வைத்திருப்பான். 20 ரூபா நட்டம் என்பதை -20 ரூபா நயம் எனக் கொண்டால் அவர்களுடைய நயங்களின் வித்தியாசம் {50-(-20)} ரூபா என்பதாற் குறிக்கப்படலாம். எளிய அடைப்புக்களை நீக்கி சயக் குறிகள் இரண்டிற்கும் பதிலாக ஒரு சகக் குறியைப் பிரதி யிட்டால், இது உண்மையான செய்தியோடு பொருந்தும். அம்மனிதன் முன் 50 ரூபா நயமடைந்து பின் 20 ரூபா நட்டமடைந்தானயின், அவனது ஈற்று நயம் (50-20) ரூபா ஆகும். அந்நட்டம் மறை நயமாகக் கொள்ளப்படின், அவனது ஈற்று நயம் {50+ (-20)} ரூபா ஆகும் ; எளிய அடைப்புக்களை நீக்கி சக சயக் குறிகளுக்குப் பதிலாக ஒரு சயக் குறியைப் பிரதியிட்டால் இது உண்மையான செய்தியோடு பொருந்தும். ஆகவே, இரண்டு அடுத்துள சயக் குறிகள் ஒரு சகக்குறிக்குச் சமமென் றும் ஒரு சகக்குறியும் ஒரு அடுத்துள சயக்குறியும் ஒரு சயக்குறிக்குச் சம மென்றுங் கொள்ள வேண்டும்.
இச்சிந்தனைகள் மறையெண்களின் வரைவிலக்கணத்தைக் காண்பதற்கும் அவற்றின்மீது செய்தற்குரிய செய்கை விதிகளை ஆக்குதற்கும் வழிகாட்டு விமன்ற001. n, m என்பன m < 70 ஆகவுள்ள நேர் முழுவெண்களாய் அல்லது நேர்ப் பின்னவெண்களாயிருந்தால், m-m என்பது மறையெண் எனப்படும். p என்பது m -m இற்குச் சமமான நேரெண்ணுயின் m -m = -p என எழுதுகின்றேம்.
கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்பனவற்றிற்குப் பின்வரும் விதிகளைக் கொடுக்கின்ருேம் :-
(i)ーp十(ーq)=ー(p十g)=ーpーq. (i)ーpー(-a)=-p+q=ー(p-7)
(iii) ( — р)х ( — q) = pq, (— р) Хq =— (4q).
(ίν) - , , --(E)--.
- g g g -g

Page 10
8 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இவ்வரைவிலக்கணங்களிலிருந்து பின்வருஞ் சமனிலிகளைப் பெறுகின் ருேம் :-
(i) a, b என்பன a > b யாகவுள்ள இரு நேரெண்களாயின், - a <-ம்
(i) a, b என்பன a >b யாகவுள்ள இரு நேரெண்களாய் அல்லது மறையெண்களாயிருக்க, k என்பது யாதுமொரு நேரெண்ணு யின், ka>kb, அன்றி b என்பது மறையெண்ணுயின், ka < ம்ே.
(i) a, c என்பன எவையேனும் இரு நேரெண்களாய் அல்லது மறையெண்களாய் இருக்க, b, d என்பன 競→器 ஆகவுள்ள இரு நேரெண்களாய் இருந்தால், ad> 60.
(iv) a, b, c, d என்பன a > b யாயும் c>d ஆயுமுள்ள நேரெண்
களாய் அல்லது மறையெண்களாய் இருந்தால், a+c>b+d.
(v) a, b, c, d என்பன a > b ஆயும் C b - d.
பூச்சியம் என்னும் எண்.
ஒரு பெட்டிக்குள் 5 ஒத்த பொருள்கள் இருக்கின்றன என்றும் அந்த 5 பொருள்களையும் அப்பெட்டியிலிருந்து யாராயினும் ஒருவர் நீக்குகிறர் என்றுங் கொள்க. ஆயின், அப்பெட்டியிலே மீந்துள்ள பொருள்களி னுடைய தொகை பூச்சியம் எனக் கூறுவதும் 5 - 5 = 0 என எழுதுவதும் வசதியாகும். இப்பொழுது நான்கு பொருள்கள் அப்பெட்டியிற்குள் இடப் படின், அப்பெட்டியிற்குள்ளே உள்ள பொருள்களுடைய தொகை 4 ஆகும் ; ஆயின், 0+4 = 4 என எழுதலாம். இனி, 3 வெறும் பெட்டி கள் எங்களிடம் உண்டெனின், அம்மூன்று பெட்டிகளுக்கும் உள்ளே கிடக்கும் பொருள்களுடைய தொகை பூச்சியமாகும் ; ஆயின், 3X0= 0 என்பது. இவ்வண்ணமாகப் பூச்சியம் என்னும் எண்ணுக்குரிய பின்வருஞ் செய்கை விதிகளைத் தருகின்றேம்.
a என்பது நேரெண் மறையெண்களுள் ஒன்றயும் முழுவெண் பின்னவெண்களுள் ஒன்ருயுமுள்ள யாதும் ஒரெண்ணுயின்,
(i) α - α πο,
(ii) a--o = a,
(iii) a X o = o.
a, b என்பன axb = 0 ஆயுள்ள இரண்டு எண்களாயின், அவற்றுள் ஒன்ருயினும் பூச்சியமாதல் வேண்டும் என்பது இதிலிருந்து பெறப் படும்.

முன்னுரை 9
மேலே தந்த (ii) விதியோடு இசைவாய் என்பதற்குக் கருத்துக்
கொடுத்தல் இயலாதாகையால், பூச்சியத்தால் வகுத்தல் இங்கு சிந்திக்க
படவில்லை.
இதுவரைக்குஞ் சிந்திக்கப்பட்ட எண்கள் விகிதமுறுமெண்கள் எனப்
படும். அவற்றை m உம் 7 உம் முழுவெண்களாயும் அதனேடு n
நேரெண்ணுயுமுள்ள t என்னும் வடிவத்திற் கூறலாம். முழுவெண் m இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்களுக்கு நேரெண்களும் மறைப் பெறு மானங்களுக்கு மறையெண்களும் பெறப்படும். என்னும் எண் மறை
யாயும் - p யிற்குச் சமமாயும் இருந்தால், p என்பது அவ்வெண் ணின் எண் பெறுமானம் என்ருதல், தனிப் பெறுமானம் என்ருதல்,
மட்டு என்ருதல் கூறப்படும். அதனை | - ற என எழுதுகின்றேம். m இன் பூச்சியப் பெறுமானமுஞ் சிந்திக்கப்படுகின்றது. n = 0 ஆகும் பொழுது என்னும் எண் பூச்சியமாகும். n = 0 ஆகும்பொழுது
m இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் என்பது பொருளின்றி நிற்கும்.
விதமுறவெண்கள். செய்முறை நோக்கங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் லிவிதமுறும் பண்கள் போதியவையாகும். ஒரு செங்கோண முக்கோணி யின் செய்பக்கத்துச் சதுரம் எனைய பக்கச் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக் குச் சமன் என்னுங் கேத்திரகணிதத் தேற்ற விவரணத்தைப் பைதகரஸ் என்பவர் தரும் வரைக்குங் கணிதத்தில் வேறு பிறவெண்கள் அறியப்பட வில்லை. எண்களின் சிறந்த ஒரு பிரயோகம் நீளங்களை அளத்தலில் உள்ளது. இத்தேற்றம் வெளியாக்கப்படுமுன் யாதுமொரு நீளத்தை ஒரு விகிதமுறுமெண்பற்றி அளக்கலாம் என்பது கற்பிக்கப்பட்டுள்ளது. பைத கரஸ் என்பவர் ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் செம்பக்கமல்லாத வனைய இரு பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஓரலகு நீளமுடையதாயின் செம்பக்க நீளத்தை ஒரு விகிதமுறும் எண் பற்றி உணர்த்தல் இயலாதெனக் காட்டியுள்ளார். அத்தகையெண் a என்பது ஒன்று உண்டெனின் அது a = 2 என்னுந் தொடர்பைத் தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய, விகிதமுறு மெண் யாதுமில்லை என்பது எளிதிற் புலணுகும். ஒரு விகிதமுறுமெண் முழுவெண்ணுகாது விடின், அதன் வர்க்கமும் முழுவெண்ணுகாது ; ஒரு விகிதமுறுமெண் 2 இலும் பெரிதாய் அல்லது அதற்குச் சமனயிருந் தால், அதன் வர்க்கம் 2 இலும் பெரிதாகும் ; ஒரு விகிதமுறுமெண்ணு

Page 11
10 ஆரம்ப தூய கணிதம்
னது நேரெண்ணுயும் 1 இலுஞ் சிறிதாயுமிருந்தால், அதன் வர்க்கமும் 1 இலுஞ் சிறிதாயிருக்கும். எனின், தன் வர்க்கம் 2 ஆயுள்ள விகிதமுறு மெண் யாதுமில்லை எனலாம். ஆகவே, விகிதமுருவெண்களே ஏற்படுத்த வேண்டிய நிலைமை உண்டாகின்றது. ஒவ்வொன்றும் ஓரலகு நீளமுடைய இரு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் செம்பக்க நீளத்தைக் குறிக்கின்ற ஒரெண் உண்டெனக் கற்பனை செய்கின்றேம். அதனை A/2 எனக் குறித்து விகிதமுரு எண்ணெனப் பெயரிடுகின்றேம். ஒவ்வொரு பக்கமும் 2 அலகு நீளமுள்ள ஒரு சதுரத்தை வரைந்தால், அச்சதுரத்தின் பரப்பளவு 2 சதுரவலகுகளாகும். வேறு நேர் விகிதமுற வெண்கள் எவைக்கும் பைதகரசினது தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் கேத் திரகணித முறைபற்றி வரைவிலக்கணங்கள் கூறலாம். 0 அலகு நீள முள்ள AB என்னும் நேர்கோட்டை C யிற்கு BC யினது நீளம் g யாக நீட்டினல், AC யினது நீளம் 20+று என வரைவிலக்கணங் கூறப் படுகின்றது. அடுத்துள இரண்டு பக்கங்கள் 2 அலகு நீளமும் g அலகு நீளமுமாயுள்ள ஒரு செவ்வகம் வரையப்பட்டால், அதன் பரப்பளவு ay சதுரவலகென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. பின்னர், கழித்தல் வகுத்தல்களானவை முறையே கூட்டல் பெருக்கல்களினுடைய நேர்மாறன செய்கைகளென வரைவிலக்கணங் கூறப்படுகின்றது. அதன்பின் மறை விகிதமுருவெண்கள் ஆரம்பிக்கப்படுகின்றன ; விகிதமுறுமெண்களுக்குரிய செய்கை விதிகள் விகிதமுறவெண்களுக்கும் பொருந்தும்படி விரிக்கப் படுகின்றன.
மெய்யெண்கள்-விகிதமுறுவனவும் உருதனவுமாகிய எண்களெல்லாம் மெய்யெண்களினுடைய தொடரகத்தை ஆக்குகின்றன எனப்படும். எவையேனும் இரு மெய்யெண்களுக்கிடையே விரும்புகின்ற தொகை யளவு விகிதமுறும் எண்களையும் விகிதமுறவெண்களையும் காணலாமெனக் கற்பிக்கின்றேம். விகிதமுருவெண்களைக் கொண்ட செய்முறைக் கணிப்புக் களில், அண்ணளவுப் பெறுமானங்களே வேண்டிய விடத்து, வேண் டிய செம்மைப் படிக்குத் தக்கவாறு ஒரு விகிதமுருவெண்ணுக்குப் பதி லாகத் தக்கவொரு விகிதமுறுமெண்ணைப் பிரதியிடுகின்றேம். உதாரண மாக, V2 என்பதை முதலாந் தசமதானத்திற்குச் செம்மைப்படுத்த வேண்டின், 14 ஆலும், மூன்றந் தசமதானத்திற்குச் செம்மைப்படுத்த வேண்டின், 1414 ஆலும் பதிலிடலாம்.
m, n என்பன முழுவெண்களாயின், என்னும் விகிதமுறுமெண்
ணுனது 700 - m = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலமாகும். இச்சமன் பாடு 3 இன் முதலாம் படியிலுள்ளது ; 7, 17 என்னும் முழுவெண்களைக் குணகங்களாகக் கொண்டது. V2 என்னும் விகிதமுருவெண் 1, -2

முன்னுரை
என்னும் முழுவெண் குணகங்களோடு 20 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள *-2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கின்றது. 3 -V2 என்னும் விகிதமுறவெண் 1, - 6, 7 என்னும் முழுவெண் குணகங்களோடு 2 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள (n-3)2 = 2 அல்லது ?- 60+7 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கின்றது. இவ்விதமான பண்புள்ள எண் கள் அட்சரகணிதவெண்கள் எனப்படும். ஒரட்சரகணிதவெண்ணுனது ax"+a"--tr"+...+a= 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரட்சர கணிதச் சtoன்பாட்டைத் தீர்க்கும். இங்கு n என்பது ஒரு நேர் முழு லெண்ணுகவும்) (, , , . . . . . . a என்பன நேர் அல்லது மறை முழுவெண்களாகவும் உள்ளன. விகிதமுறும் எல்லாவெண்களும் அட்சர கணிதலெண்களாகும். அட்சரகணிதவெண்களாகிய விகிதமுருவெண் ஃlயும் விரும்புhந்த தொகையளவு காணலாம். அட்சர கணிதவெண் கனகா விதமுருலெண்ஃlயும் விரும்புந் தொகையளவு காணலாம். ஓர் ந.கந்த உதாரணம் 7ா என்னும் எண்ணுகும். அதன் அண்ணளவுப் பெறுமானம் Y ஆகும். அதனுடைய திருத்தமான பெறுமானம் முழு வெண் குணகங்களோடு கூடிய யாதுமோரட்சரகணிதச் சமன்பாட்டின் மூல மாகாது. இவ்விதமான எண்கள் கடந்தவெண்கள் எனப்படும்.
சுட்டி விதி.- a என்பது ஒரு மெய்யெண்ணுயும் m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும் இருந்தால், a" என்பது 10 காரணிகளுக்குத் தொடர்ந்த axaxa.. என்னுந் தொடர்ந்த பெருக்கத்தைக் குறிக்கும். இவ்வரைவிலக்கணத்திலிருந்து சுட்டி விதி மூன்றும் நேரே பெறப் LI(6ւb,
m, n என்பன நேர் முழுவெண்களாயும், a, b என்பன மெய் யெண்களாயும் இருந்தால், (i) መ” X a" - an+", (ii) (a”)” = a””,
(iii) (ab)” = a”b”.
w
n என்பது ஒரு மறை முழுவெண்ணுயும் a என்பது பூச்சியமல்லாத தாயும் இருந்தால், பின்வருமாறு a இற்கு வரைவிலக்கணங் கொடுக்
1
கின்றேம் ; "=み三石=;×。 x . . . . (-7) காரணிகளுக்கு.
7, 70 என்பன நேர் முழுவெண்களாயிருந்தாலும் அன்றி மறை முழு வெண்களாயிருந்தாலும் மேற்கூறிய மூன்று விதிகளும் உண்மையாகு மென மெய்மைப்படுத்தலாம்.

Page 12
2 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இனி, விகிதமுறு சுட்டியின் வரைவிலக்கணத்தைக் கொடுப்போம். a என்பது ஒரு நேரெண்ணுயும் p என்பது யாதுமொரு முழுவெண்ணு யும் இருந்தால், வி? என்பது நேரெண்ணுகும். q என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருந்தால், 68 = a? அதாவது b என்பது a இன் 4 ஆம் மூலமாகும்படி b என்னும் ஒரு நேர் முழுவெண் உண்டு எனக கற்பிக்கப்படுகின்றது. q என்பது இரட்டையெண்ணுயின், (-b)* என்பதும் 0° இற்குச் சமன். g என்பது இரட்டையெண்ணுயிருந்தாலும், அன்றி ஒற்றை எண்ணுயிருந்தாலும் 0° இனது g ஆம் நேர் மூலம
p a ஆலும், மறை மூலம் ஒன்று உண்டெனின் அது - ஆலுங் குறிக்கப் படும். a என்பது மறையாயிருக்க p இரட்டையாயின், 0° என்பது
Άρ
நேரெண்ணுயும் a என்பது ? இன் 4 ஆம் நேர் மூலத்தைக் குறிக்கும் ஒன்றயும் இருக்கும். a என்பது மறையாயும் p என்பது ஒற்றையாயும் இருந்தால், a என்பது மறையாகும் , அதனேடு டி இரட்டை யாயின், 6 = a* ஆகுமாறு b யிற்கு யாதுமொரு பெறுமானமுமில்லை. a என்பது மறையாயும் p, q என்னும் இரண்டும் ஒற்றையெண்களாயும் இருந்தால் b = a* ஆகுமாறு b யிற்கு ஒரு மறைப் பெறுமானமே உண்டு ;
p p
இம்மறைப் பெறுமானம் வி என்பதனற் குறிக்கப்படும். இவ்வாறு ா என் பதற்கு வரைவிலக்கணங் கொடுத்தால், எல்லா வகைகளிலும்
ρYα ao ] = aዏ.
இப்பொழுது, முழுவெண் சுட்டிகளுக்கு உண்மையாகும் மூன்று விதி களும் பின்னச் சுட்டிகளுக்கும் உண்மையாகும்படி விரிந்து நிற்கும் எனக் காட்டுவோம்.
(i) p, q, 7, 8 என்பன முழு எண்களாயிருக்க அவற்றுள் 4, 8 என்பன நேராயின்,
Το r 2 al Xao = ao. o
p r a?Xa = b ஆகுக'.
p r \gs p\gs rYα8 ஆயின், 648- )نه بره( - ( X () (மூன்ரும் முழுவெண் சுட்டி விதியால்,)

முன்னுரை 13 இனி, இரண்டாஞ் சுட்டி விதியால்,
፲p\q ] 8 ፶\8 ] q {(x{(i"{'(*.)} = مk
(a?)'x(a) வரைவிலக்க ணத்தால் = መጮ“›« መሞ” = oዎo+q” முதலாஞ் சுட்டி விதியால்.
P።+qr P+Y. * B: === og 928 == oz9I" *
(i) p, g, r, 8 என்பன முழு எண்களாயிருக்க, அவற்றுள் a, ச என்
பன நேராயின்,
PN με (5) == ao
(تو)=ظ
1φYν ஆயின் { =5( س) வரைவிலக்கணத்தால்,
{(i)} - ۳()=۳ م.ن.
(a) = a”.
s2G958.
pr ... k = a.
(ii) p, q என்பன முழு எண்களாயிருக்க, அவற்றுள் g என்பது நேராயின்,
р 2 р .هa2b == گ(ab)
р р k= aobo gigas.
2Yα / ΡΝα ஆயின் k's ( 高) s () = ao bo = (ab)”
2 ... k = (ab)".

Page 13
14 ஆரம்ப தூய கணிதம்
லி இன் கருத்து.
a என்பது ஒரு மெய் எண்ணுகுக ; a" என்பது ஒரு மெய் எண்ணுய்
இருக்கும்படி m என்பது ஒரு விகிதமுறும் எண்ணுகுக. ஆயின், முதலாம் விதிப்படி,
a"×aー"= 0”一*= do.
ஆளுல்ை مقه=""ه
ஆகவே, a"×aー"=1.
பூச்சியமல்லாத a யினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் og(0 == 1

திரிகோணகணிதம்

Page 14

அத்தியாயம் 1
கோணங்களின் அளவீடு-ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கின்ற இரு நேர்கோடு கள் ஒரு கோணத்தை வரையறுக்கின்றன. ஒரு கோணத்தின் பருமனை அளப்பதற்குரிய அலகு சட்டிமமுறையிற் பாகையாகும். 0 வென்பது A, B என்பனவற்றிற்கு இடையே AOB என்பது ஒரு நேர்கோடாகுமாறு கிடந்தால் OA, OB என்பன ஆக்கும் கோணத்தின் பருமன் 180 பாகை என வரையறுக்கப்படுகின்றது. மேலும், ஒரு பாகை 60 கலையாகவும் ஒரு கலை 60 விகலையாகவும் பிரிக்கப்படுகின்றன.
வட்டமுறையளவுக்குரிய அலகு ஆரையன் எனப்படும். 0 என்னும் ஒரே மையத்தையும், r, r' என்னும் ஆரைகளையும் உடைய இரு வட்டங்களை நினைக்க.
O வினூடாக மூன்று நேர்கோடுகள் வரைக. அவை அவ்வட்டத்தை (A, A), (B, B), (0, 0') என்பனவற்றிற் சந்திக்க.
இயல்பொத்த முக்கோணிகளிலிருந்து,
AB BO r AB BO-7 AB+BC r 4'B'B'Coro
O வினூடாக ஒரு பெருந்தொகை நேர்கோடுகள் வரையப்பட்டனவாகவும் அவை அவ்வட்டங்களுடைய பரிதிகளை ஒரு பெருந்தொகையான சிறுவிற் களாகப் பிரிக்கின்றனவாகவுங் கொள்க. அப் பரிதிகளைப் பிரிக்கும் புள்ளி களைத் தம்முச்சிகளாகக் கொண்ட அவ்விரு வட்டங்களினுடைய உட்பல் கோணிச் சுற்றளவுகள் p, p என்பனவாயின்,
Άρ η p p o
列「F அல்லது = என்பது பெறப்படும்.

Page 15
8 ஆரம்ப தூய கணிதம்
சிறுவில் ஒவ்வொன்றினுடைய நீளமும் வரையறையின்றிச் சிறிதாகும் வண்ணம் பிரிவுத் தொகைகளை வரையறையின்றிக் கூட்டினல், p என்பது 7 என்னும் ஆரையையுடைய வட்டத்தின் பரிதிநீளத்தையும், p என்பது " என்னும் ஆரையையுடைய வட்டத்தின் பரிதிநீளத்தையும் அணுகும். ஆகவே, யாதும் ஒரு வட்டத்தில் அதன் பரிதி நீளத்திற்கும் ஆரைக்கு முள்ள விகிதம் ஒரே எண்ணெனக் கொள்கின்றேம். இவ்விகிதம் 2ா என்பதனுற் குறிக்கப்படுகின்றது ; T இன் பெறுமானம் அண்ணளவாக * இற்குச் சமமெனக் காணப்பட்டுள்ளது.
இதனைப் போன்ற நியாயம் ஒன்றல், மேற்காட்டிய படத்தில்,
6ÍMổD AB GÓMổ) A'B'
- - - -
என்பதும் பெறப்படுகின்றது.
..”. Gólóổð AB = r gu66ÖT, 6ổ) A''B'' = r'.
'. யாதும் ஒரு வட்டத்தில் அதன் ஆரைக்குச் சமமான நீளமுள்ள? வில்லால் அதன் மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் ஒரேயளவின தாகும். இக்கோணம் அளவீட்டலகு எனக் கொள்ளப்பட்டு ஒர் ஆரையன் எனக் கூறப்படும்.
AB என்பது r என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தின் ஒரு வில்லாகுக ; அவ்வில் 9 ஆரையனுக்குச் சமனன ஒரு கோணத்தை மையத்தில் எதிரமைக்க ஒரு வட்டத்தின் வில்லொன்றல் அதன் மையத் தில் எதிரமைக்கப்படுங் கோணம் அவ்வில்லின் நீளத்திற்கு விகிதசமமாகை யால், AB என்னும் வில்லின் நீளம் 76 என்பது பெறப்படும். பரிதி யின் முழுநீளம் 2ாr ஆகையாலும், அது மையத்தில் 360 பாகையை எதி ரமைக்கின்றமையாலும்,
360° = 2ா ஆரையன்கள்.
ஒரு வட்டத்தின் ஆரைச்சிறையின் பரப்பளவு
AB என்பது 0 வென்பதை மையமாகவுள்ள ஒரு வட்ட வில்லாகுக. வில் AB யாலும் ஆரைகள் 04, 0B என்பனவற்றலும் வரைப்புற்ற படம். அவ்வட்டத்தின் ஆரைச்சிறை எனப்படும். AOB என்னுங் கோணத்தின் பருமன் 9 ஆரை யனகுக ; அவ்வட்டத்தின் ஆரை ஆகுக'. P, 0, R, . . . என்னும் பிரிவுப் புள்ளிகளை ஏற் படுத்தி அவ்வில்லை ஒரு பெருந்தொகையான JLO 65ibasaltitasu Sidias. AP, PQ, QR . . . என்னும் நாண்களைத் தொடுக்க.
A B p என்பது AP, P2, 2 . . . என்னுஞ் சம நாண்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் 0 விலிருந்து வரைந்த செங்குத்தாகுக.
 

திரிகோணகணிதம் .19
முக்கோணி OAP யின் பரப்பளவு = p.AP. முக்கோணி OPQ வின் பரப்பளவு = 4 p.P2. இவ்வாறே எனைய முக்கோணிகளுக்குங் காணலாம். எல்லா முக்கோணிகளுடைய பரப்பளவுக் கூட்டுத்தொகை = p(AP--PQ--QR-- . . . ).
பிரிப்புத் தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்பட, ற என்பது வட்டத்தின் ஆரையையும் அடைப்புகளுக்குள்ளேயுள்ள தொகையானது வில் AB யினது நீளத்தையும் அணுகும். எனின், ஆரைச்சிறை 40B யின் பரப்பளவு - rr6 = r26 எனக் கொள்கின்றேம்.
ஒரு தளத்திலுள்ள ஒரு கோணத்தின் குறி. -
0A, OB என்பன ஒரு தளத்திலுள்ள இரு நேர்கோடுகளாகுக. திசை OB என்பது திசை OA யோடு கோணம் AOB என்பதை ஆக்கு கின்றது. OA யிற்கு எதிர்ப்பக்கத்திற் கிடக்கும் ஒரு கோடு OA யோடு அதே கோணத்தை உண்டாக்கல் இயலும். இவ்விரு வகைகளையும் வேறு பிரித்தறிய வேண்டுமாகையால், ஒரு கோணத்தின் குறிக்கு ஒரு வழக்கை ஆளுவோம். OB யானது OA யோடு ஆக்குங் கோணம், OA யிலிருந்து 0B யிற்குச் சுழலும் போக்கு இடஞ்சுழியாயின், நேரென்னும், வலஞ் சுழியாயின் மறையென்றுங் கொள்ளப்படும். .
OB யானது OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; இங்கு 9 வானது நேர் அல்லது மறை. ஒரு கோடு OA யோடு பொருந்தி நின்று புறப்பட்டு 6 என்னுங் கோணத்திற்கூடாகச் சுழன்றல், அது 0B என்னும் நிலையை அடையும். அது இன்னும் 2ா ஆரையன் அல்லது -2ா ஆரையனுக்கூடாகச் சுழன்றல், அது இன்னும் ஒரு முறை 08 என்னும் நிலையை அடையும். பொதுவாக, அது OB என்னும் நிலையி லிருந்து 2mா யென்னும் ஒரு கோணத்திற்கூடாகச் சுழன்றல், அது மறுபடியும் OB யென்னும் நிலையை அடையும் ; இங்கு 70 என்பது யாதும் ஒரு முழுவெண். எனின், 70 என்பது யாதுமொரு முழுவெண் அல்லது பூச்சியமாயிருந்தால், OB யால் OA யோடு ஆக்கப்படுங் கோணம் 2mா+9 வெனக் கொள்ளலாம்.
OB யானது OA யோடு ஆக்குங்கோணம் OA யானது OBயோடு ஆக்கும் அதே கோணமாகாது என்பது அறியப்படவேண்டும். 0B யானது 04 யோடு ஆக்குங்கோணம் இடஞ்சுழிப் போக்கில் இருந்தால், OA யானது 0B யோடு ஆக்குங்கோணம் வலஞ்சுழிப் போக்கில் இருக்கும். 0B யானது 04 யோடு ஆக்குங்கோணம் வலஞ்சுழிப் போக்கில் இருந்தால், OA யானது 0B யோடு ஆக்குங்கோணம் இடஞ்சுழிப் போக்கில் இருக்கும். எனின் 0B யானது OA யோடு ஆக்குங்கோணம் 9 வாயிருந்தால் OA யானது OB யோடு ஆக்கங் கோணம் - 9 வாகும்.
8-R 11681 (1166)

Page 16
20 ஆரம்ப தூய கணிதம்
நிமிர்கோண எறியம்
04, P2 என்பன இரு நேர்கோடுகளாகுக. M, N என்பன P, 0 என்பனவற்றிலிருந்து OA யின்மீது வரைந்த செங்குத்துக்களினுடைய அடிகளாயின், MN என்பது OA மீது P0 வின் நிமிர்கோண எறியம் எனப்படும். M, N என்பன OA யின்மீது அல்லது நீட்டிய 40 வின் மீது கிடக்கலாம். MN என்பது OA யோடு ஒரு போக்காயிருந்தால் அவ்வெறியம் நேரென்றும், அன்றெனின் மறையென்றுங் கொள்ளப்படும். அவ்வெறியத்தின் பருமன் MW இன் உண்மையான நீளமாகும்.
6
N
who was 一瓦一A 6一知一女一
அவ்வெறியம் படம் 1 இலே நேராயும் படம் 11 இலே மறையாயும் உள்ளது. MW இன் உண்மையான நீளம் படம் 11 இல் 5 அலகாயின், அவ்வெறியம் - 5 ஆகும்.
குறிபற்றிய இவ்வழக்கிலிருந்து OA மீது P2, QP என்பனவற்றினுடைய எறியங்களின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் என்பது பெறப்படும்.
P, 0, R என்பன எவையேனும் மூன்று புள்ளிகளாகுக. M, N, L என்பன 04 யின் மீது P, 0, R என்பனவற்றிலிருந்து வரைந்த செங் குத்துக்களினுடைய அடிகளாகுக.
6
*イへ。
イ
————
O
ስብ
N
ጸ
O
ኮ1
l
I
uւմ, 1 ulth
PQ 6lair 6Tôlub + QR (96ô7 GTpub = MIN--NL.
படம். 1 இல் MN, WL என்னும் இரண்டும் நேர் ; அன்றியும் MW+WL = lMIL. LuLlíb. III Q9Qaöi) lMIN GèjbUnTuqub AWIL LO60)puJnTuHGypGôiTGôIT607 ; geyé5Gé6).1, MIAW-+-AWIL = IML.

திரிகோணகணிதம் 2.
PR இன் எறியம் ML ஆகும்.
". மல்லா வகைகளிலும், 70 வின் எறியம்+0R இன் எறியம் = PR இன் எறியம். இம்முடிவு எத்தொகையான நீளங்களுக்கும் பொருந்தும்படி விரியும் 61மன்பது தெளிவு.
P, P . . . . P என்பன n புள்ளிகளாயின்,
PP இன் எறியம் +PP இன் எறியம்+ . . . --P.P இன் o sílub == PP g6ð7 Gilpiju u Lh.

Page 17
அத்தியாயம் 2
ஒரு கோணத்தினுடைய திரிகோணகணித விகிதங்கள்.
0A, OB என்பன ஒரு தளத்திலுள்ள இரு நேர் கோடுகளாகுக ; 0B யானது OA யோடு ஆக்குங்கோணம் 9 வாகுக ; இங்கு 6 விற்கு எக்குறி யும் எப்பருமனும் இருக்கலாம்.
ON என்பது OA மீது OB யின் நிமிர்கோண எறியமாகுக. C W என்பது OA யின்மீது கிடந்தால் இவ்வெறியம் நேராயும் நீட்டிய 40 வின்மீது கிடந்தால் மறையாயும் இருக் கும். ON இற்கும் OB யினது நீளத் தினுடைய தனிப் பெறுமானத்திற்கு முள்ள விகிதம் 9 என்னுங்கோணத்தின் O A கோசைன் எனப்படும்; அது கோசை 9
sesses - - -M
வென எழுதப்படும்; அதாவது, கோசை 9= 第 இங்கு ON இற்குப் பரும னுங் குறியுமுண்டு. ஆனல் 0B யிற்குப் பருமன் மாத்திரமுண்டு.
B என்பது OB மீதுள்ள வேருெரு புள்ளியாயும், ON என்பது 04 மீது OB என்பதன் நிமிர்கோண எறியமாயும் இருந்தால், இயல் பொத்த முக்கோணிகளுடைய பண்புகளால்,
ON ON, OB OB எடுத்துக்கொண்ட OB என்னுங் கோட்டின்மீது B யினுடைய
ON pg எனபது ஒரே பெறுமானத்தை அடையும். இன்னும், OB யானது OA யோடு ஆக்குங்கோணம் 6 என்பது ஒரேயளவின தாயிருக்கும் வரைக்கும் OA, OB என்பனவற்றினுடைய திசைகளும் நிலை களும் எவையாய் இருந்தாலும் இவ்விகிதம் ஒரே பெறுமானத்தைப் பெறும்.
எல்லா நிலைகளுக்கும்
.. கோசை 9 வானது கோணம் 9 வை மட்டுமே சார்ந்து நிற்கும்.
OO oT6ötugli OA GulumtGB -- ஆரையன் என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங்
கோடாகுக. 0M என்பது OC மீது OB யின் நிமிர்கோணவெறிய மாயின், 0M இற்கும் 0B யினது நீளத்தினுடைய தனிப் பெறுமானத் திற்குமுள்ள விகிதம் 9 என்னுங் கோணத்தின் சைன் எனப்படும்;
OM அது சைன் 9 வென எழுதப்படும்; அதாவது, சைன் 6=涼 இங்கு
22
 

திரிகோணகணிதம் 23
0M இற்குப் பருமனுங் குறியும் உண்டு ; ஆனல், OB யிற்குப் பருமன் மாத்திரம் உண்டு. கோசைன் போலச் சைனும் கோணம் 6 என்பதையே சார்ந்து நிற்கின்றமை எளிதிற் புலனுகும்.
சைனுக்குங் கோசைனுக்குமுள்ள விகிதமானது கோணம் 9 வினது தான் சன் எனப்படும் ; அது தான் 9 வென எழுதப்படும். கோசை 9 வினது நிகர் மாற்றனது கோணம் 6 வின் சீக்கன் எனக் கூறப்பட்டு சீக 9 வென எழுதப்படும் ; சைன் 9 வினது நிகர்மாற்றனது 9 வின் கோசீக்கன் எனக் கூறப்பட்டு கோசி 9 வென எழுதப்படும் ; தான் 6 வினது நிகர்மாற்றனது 9 வின் கோதான்சன் எனக் கூறப்பட்டு கோதா 9 வென எழுதப்படும்.
சைன் 9 °ே Cمحنتیسرے ک
தோசி 6 = ഞെക്നt b?
தான் ooooo சீத0=இாசைடு,
سمیہ
ஃ-ணே!-- 点 T சைன் 9 தான் 9
9 என்பது நேராயும் இலுஞ் சிறிதாயும் இருந்தால், OB என்பது
0A யோடு 00 ஆக்குங் கோணத்தினுட் கிடக்கும். c
OA மீது OB யின் எறியம் OA யோடு ஒரு போக்காகும். OC யின் மீதுள்ள OB யின் M ------------- B எறியம் OC யோடு ஒரு போக்காகும்.
". கோசை 9, சைன் 9 என்னும் இரண்டும் நேராகும்.
s ON – OM – NB O A ஃ கோசை 9=, சைன் 0== N
ஒரு கோணம் 9 விற்குச் சமனயுள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணி வரையப்பட்டால், சைன் 8 வானது 9 என்னுங் கோணத்தின் எதிர்ப் பக்கத்திற்குஞ் செம்பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதமாகும் ; கோசை 9 வானது 9 என்னுங் கோணத்தின் அடுத்துள பக்கத்திற்குஞ் செம்பக்கத்திற்கு முள்ள விகிதம், −
R சைன் 9= கோசை 9= 煞
R PR தான் 0= சீக 9=:
PR P
● 3asng 9- QRo கோதா 9= 影( 6 0ے

Page 18
24 ஆரம்ப தூய கணிதம்
திரிகோணகணித விகிதங்களுடைய மாறல்கள். 00 என்பது OA யோடு +T என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; 0B என்பது
04 யோடு 9 வென்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 9 = 0 ஆகும்பொழுது, OB என்பது OA யின் வழியே கிடக்கும்; ஆகவே, OA யின்மீதுள்ள OB யின் எறியம் நேராயும் OB யிற்குச் சமனு யும் இருக்கும்; அப்பொழுது, 00 மீது 0B யின் எறியம் பூச்சியமாகும்.
", கோசை o -1, சைன் 0 = 0.
o < 0 < . ஆகும்பொழுது, 04, 00 என்பன மீது 0B யினுடைய
எறியங்கள் இரண்டும் நேராகும் ; அதுபற்றி, கோசை 9, சைன் 8 என்னும் இரண்டும் நேராகும். OB என்பது OA யிலிருந்து 00 யிற்குச் சுழல், OA மீது 0B யின் எறியம் குறையும்; அப்பொழுது, 00 மீது 0B யின் எறியம் கூடும்.
ஃ. 6 என்பது 0 இலிருந்து இற்குக் கூட, கோசை9 என்பது
குறையும் அப்பொழுது சைன் 9 என்பது கூடும்.
0= ஆகும்பொழுது, OB என்பது 00 யின் வழியே கிடக்கும் ; ஆகவே, OA மீது 0B யின் எறியம் பூச்சியமாகும்; அப்பொழுது 00 மீது 0B யின் எறியம் நேராயும் OB யிற்குச் சமனயும் இருக்கும்.
. கோசை "= i = 1.
=0, சைன 2
<θ< π ஆகும்பொழுது, OA மீது 0B யின் எறியம் மறை யாகும் ; அப்பொழுது 00 மீது OB யின் எறியம் நேராகும்.
.. கோசை 9 மறையாயும் சைன் 6 நேராயும் இருக்கும். 8 = 7 ஆகும்பொழுது, OB என்பது நீட்டப்பட்ட 40 வின் வழியே கிடக்கும் ; ஆகவே, 0.4 மீது 0B யின் எறியம் te மறையாகும்;
அதனுடைய தனிப் பெறுமானம் 0B ! யிற்குச் சமனகும் ; 00 மீது அதன் எறியம் பூச்சியமாகும். ஆகவே, கோசை : 7T = -1, 60)96ö7 m = o.
-------------- A
 
 

திரிகோணகணிதம் 25
7<9<擎 ஆகும்பொழுது, 04, 00 என்பன மீது 0B யினுடைய
எறியங்கள் இரண்டும் மறையாகும் ; ஆகவே, கோசை 9, சைன் 9 என்னும் இரண்டும் மறையாகும்.
3 = 7 ஆகும்பொழுது OB என்பது C
நீட்டிய CO வின் வழியே கிடக்கும் ; ஆகவே, OA யின்மீதுள்ள OB யின் எறியம் பூச்சியமாகும் ; அப்பொழுது 00 யின்மீதுள்ள அதன் எறியம் மறையாகும் ; அதனுடைய தனிப்பெறுமானம் 0B யிற்குச் சமஞகும். eع---------
.. கோசை 擎 = عمم O و சைன் '- -l.
-- - - - - - - - - - -
< 0 < 2n ஆகும்பொழுது 0.4 மீது OB யின் எறியம் நேராயும், 00 மீது அதன் எறியம் மறையாயும் இருக்கும் ; ஆகவே, கோசை 9
நேராயும் சைன் 9 மறையாயும் இருக்கும்.
9 - 2ா ஆகும்பொழுது கோசை 9, சைன் 6 என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் 9 = n ஆகும்பொழுதுள்ள பெறுமானங்களாகும்.
..". Gasnia.0) 27T = 1, 605667 2n = o.
o 148 (2ா ஆயின், 9 = 0 அல்லது 7 ஆகும்பொழுதே சைன் 9 பூச்சிய
ԼԲոսկւb, 0= அல்லது ஆகும்பொழுதே கோசை 9 பூச்சியமாயும்
இருக்கும்.
சைன் 9
தான் 6 = ஆகையால், 6 = 0, 1ா அல்லது 2ா ஆகும்பொழுது
கோசை 9
T 2 இரண்டும் நேராயிருப்பதாலும், இவ்வீச்சுக்குள்ளே சைன் 8 உறுதியாகக்
தான் 6 - o, p < 9< என்பதில், சைன் 9, கோசை 9 என்னும்
ገr கூடுதலாலும் கோசை 9 உறுதியாகக் குறைதலாலும், 9 என்பது o, 2

Page 19
26 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ገ7 2 ஆகும்பொழுது, கோசை 9= 0. ஆகவே தான் 6 விற்குப் பொருள் இல்லை.
என்பனவற்றிற்கிடையே கூட, தான் 9 என்பது உறுதியாகக் கூடும். சி=
o < 6 < ஆகும்பொழுது, தான் 9 நேராகும் ;
2 <9<ா ஆகும்பொழுது, தான் 9 மறையாகும்;
8ገr
2 ஆகும்பொழுது, தான் 6 நேராகும்.
7r<6<
9- ஆகும்பொழுது, தான் 6 விற்குப் பொருளில்லை.
擎 <9<2ா ஆகும்பொழுது, தான் 9 மறையாகும்.
9 - o, 7ா அல்லது 2ா ஆகும்பொழுது கோசி 9, கோதா 6 என்பன வற்றிற்குப் பொருளில்லை.
9 வினுடைய பிற பெறுமானங்களுக்கு கோசி 6, கோதா 9, சிக 9 என்பனவற்றினுடைய குறிகளை, சைன் 6, கோசை 9 என்பனவற்றினுடைய குறிகளை ஆராய்வதாற் பெறலாம்.
சைன் 9, கோசை 9 என்பன அடிப்படையான விகிதங்கள். அவை தெரியப்பட்டு பூச்சியமல்லாதவையாய் இருந்தால், மற்றை விகிதங்களுடைய பெறுமானங்கள் அறியப்படும்.
சைன் 8 விற்கும் கோசை 9 விற்கும் உள்ள தொடர்பு.
OB என்பது OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; 00 என்பது OA Guft(6 + என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 0W, OM என்பன
OA, OO GTGÖTLIGOT ßg OB 66MJ டைய நிமிர்கோணவெறியங்களாயின், பைத கரசினது தேற்றத்தினல் ON2+OM2 - 0B? என்பது பெறப்படும்.
。()(器)-
. 9 வின் எப்பெறுமானத்திற்கும் கோசை? 6+சைன் 9-1
 
 

திரிகோணகணிதம் 27.
கோசை 9 வானது பூச்சியமன்றெனின், கோசை? 9 வால் வகுக்க,
1 + தான்? 9 = சீக? 刃
சைன் 6 வானது பூச்சியமன்றெனின், சைன் 8 வால் வகுக்க,
கோதா? 6+1 = கோசி2 0.
கோசை29 + சைன்?6 = 1 ஆகையால், கோசை? 6 வோ சைன் 9 வோ பெறக்கூடிய மிகப்பெரிய பெறுமானம் 1 ஆகும்.
. 9 வின் எப்பெறுமானத்திற்கும், கோசை 9, அல்லது சைன் 9 என்பது -1 இற்கும் 1 இற்கும், இடையிலே கிடக்க வேண்டும்.
அதாவது 8 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், -1 4 கோசை 9 2 1, -1 4 சைன் 9 2 1.
V1-கோசை 9 என்பது 1-கோசை29 வினது நேர்வர்க்க மூலத்தைக் குறிக்கின்றமையால், சைன் 9 = V(1 - கோசை? 9) என்பது உண்மை யாகாது; ஏனெனில், சைன்சி என்பது நேராய் அல்லது மறையாய் இருக்கலாம்.
கோசை 9 தரப்பட்டால், சைன் 9 விற்கு +V(1 - கோசை? 9) என்னும் இரு பெறுமானங்களுள் ஒன்று இருக்கலாம்.
", சைன் 6 = +V(1 - கோசை* 6).
அதுபோல, கோசை 9 = +V(1-சைன்? 6).
a, b என்பன a2+b2 - 1 ஆகும்படியுள்ள இரண்டு எண்களாயின், o 20<2ா என்னும் வீச்சில், கோசை 9 = a யாயும், சைன் 6 = b யாயும் இருக்கும்படி 9 விற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு.
OY யானது OX ஒடு (+2) என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு ΧΟΧ,
/ʻ
YOY என்னும் இரு செங்கோன அச்சுக்களை எடுக்க. OX, OY என்பன ү குறித்து (a, b) என்னும் ஆள்கூறு களையுடைய P என்னுந் தனிப்புள்ளி யைக் குறிக்க. ஆயின், OX, OY என்பன மீது OP யினுடைய நிமிர் , கோணவெறியங்கள் a, b என்பன GunGelb ; OP = ao--bo = 1.
6 என்பது OP யால் OX ஒடு இடஞ்சுழிப்போக்கில் ஆக்கப்பட்ட கோணமாயின்,
கோசை 9= a யாயும், சைன் 9 = b யாயும் இருக்கும்.

Page 20
28 ஆரம்ப தூய கணிதம்
முந்திய பக்கத்துப் படமானது, a நேராயும் b மறையாயுமுள்ள வகைக்குப் பொருந்தும். a, b என்பன தரப்பட்டபொழுது o46<2ா ஆகும்படி 9 விற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு என்பது தெளிவு.
a, b என்பன இரண்டும் நேராயின் 9 என்பது o, என்பனவற்றிற்
கிடையே கிடக்கும் ; a மறையாயும் b நேராயுமிருந்தால் 6 என்பது 2.
ா என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும் ; a, b என்பன இரண்டும் மறையா
யிருந்தால், 8 என்பது r, என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும் ; a நேரா
யும் ம் மறையாயுமிருந்தால், 9 என்பது
3T
2 2ா என்பனவற்றிற்கிடையே
கிடக்கும். - b = 0 ஆயின், a என்பது நேராய் அல்லது மறையாய் இருப்பதற்கேற்ப, -9= 0 அல்லது T ஆகும் ; a = 0 ஆயின், b என்பது நேராய் அல்லது
-பிறையாய் இருப்பதற்கேற்ப 0- அல்லது 擎 ஆகும்.
பயிற்சி 1
y சைன் 0= - ஆயின், கோசை 9, தான் 0 என்பன அடையத்தக்க பெறுமானங்களைக் கண்டு. அவற்றுள் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கூட்டங்களாக அமைக்க.
2. தான் 6 = v/3 ஆயின், சைன் 8, கோசை 9 என்பன அடையத்தக்க பெறுமானங்களைக்
கண்டு, அவற்றுள் ஒத்த பெறுமானங்களைக் கூட்டங்களாக அமைக்க.
3. 2 சைன்?0 - 5 கோசை 9-4-0 ஆயின், சைன் 6, கோசை 9 என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க.
4. 8 வினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
கோசை99 - சைன்°0=(கோசை 9 - சைன் 9) (1+கோசை 9 சைன் 8) எனக் காட்டுக.
கோசை9 - சைன் 26+1=0 ஆயின், சைன் 6 அடையத் தக்க பெறுமானங்களைக் காண்க.
6 வினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்,
கோசை40. சைன்49-1 - 2 சைன்9- 2 கோசை9 -1 எனக் காட்டுக.
கோசை40+ சைன்46:1-2 சைன்9ே கோசை0 எனக் காட்டுக.
8. கோசை0ே+ சைன்9ே:1-3 சைன்?0 கோசை0 எனக் காட்டுக.
சீக 6+ தான் 6-2 ஆயின், சைன் 9, கோசை 9 என்பனவற்றைக் காண்க. 10. கோசி 9 - கோதா 0=4 ஆயின், கோசை 6 வைக் காண்க. 11. சீக9 -தான்6ே=1+3தான்0+3 தான்9 எனக் காட்டுக. 12. சீக9+8 தான் 6+1=0 ஆயின், சைன் 9 பெறத்தக்க பெறுமானங்களைக் காண்க. 13. கோதா6-2 கோசி 6 -2=0 ஆயின், கோசை 9 பெறத்தக்க பெறுமானங்களைக் காண்க,

திரிகோணகணிதம் 29
14. a-2 கோசை 0+3 சைன் 6 வாயும், b=3 கோசை 9-4-2 சைன் 9 வாயுமிருந்தால், a பிற்கும் b யிற்கும் 0 வைச் சாராது நிற்குந் தொடர்பைக் காண்க.
15. a=2 தான் 6+ சீக 9, b=தான் 6+ 2 சீக 6 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கிடையே 6 வை நீக்குக.
16. a=தான் 0+ கோதா 0, b= சீக20+கோசீ29 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கிடையே 6 வை நீக்குக.
17. a= 1+ சைன் 0+ கோசை 9, b=2 - சைன் 9 கோசை 9 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக் கிடையே 0 வை நீக்குக.
18. a:கோசை 9 - சைன் 6, b= 1 - சைன் 9 கோசை 9 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுககிடையே 0 வை நீக்குக.
19. 6 வானது 0, என்னும் இரண்டும் உட்பட அவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும்பொழுது
சைன் 9 ፶ 1+ கோசை 6
கண்க.
என்பதன் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையும் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தையுங்
கோசை 9 - சைன் 0
20. 6 வானது 0, என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கும்பொழுது -
--- என்பதன் கோசை 9+ சைன் 9 த
மிக பெரிய பெறுமானத்தையும் மிகச்சிறிய பெறுமானத்தையும் காண்க. (தான் =1
வானக் கொள்க.)

Page 21
அத்தியாயம் 3
-9, 9 என்பவற்றினுடைய விகிதங்கள்
OB என்பது OA யோடு யாதுமொரு பருமனையுங் குறியையுங் கொண்ட என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; OB'
C என்பது OA யோடு - 6 என்னுங் கோணத்தை B ஆக்குக ; ஆயின், OB, OB' என்பன 04 a w w the w8 M யிற்கு எதிர்ப்பக்கங்களில் OA யோடு ஒரே
பருமனைக் கொண்ட கோணங்களை ஆக்கிக் கொண்டு கிடக்கின்றன. OB= 0B ஆகக் கொள்க. மேலுள்ள படத்தில், 6 என்பது
ரி நேர் எனக் கொள்ளப்பட்டது. 6 என்பது לg־"־־דר"־:א ; மறையாயின் B, B என்பன ஒன்றேடொன்று : மாற்றப்பட வேண்டும். 0B, OB' என்பவற் B' s» - Ma & Y. M' றினுடைய தொடர்புநிலைகள் எவையாயிருந்தா
லும் பின்வரும் நியாயங்கள் உண்மையாகும்.
04 மீது 0B யின் நிமிர்கோணவெறியம் OA மீது OB இன் நிமிர் கோணவெறியத்துக்குச் சமன்.
கோசை 9= OA LA OB SGÖT எறியம்
OB ாேசை-3-94 மீது அழின் எறியம்,
.. 8 வினுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், கோசை (-8) - கோசை 9.
ОО штоотg O4 யோடு+ என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல்,
00 மீது 0B, OB' என்பவற்றினுடைய எறியங்கள் எதிர்க்குறிகளையும் ஒரே பருமனையுங் கொள்ளும்.
சைன் (-8)-o Lßg OB မ္ပိ ဓါr எறியம்
OB சைன் 900 மீது 2;e။ எறியம்
ஃ 9 வினுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
சைன் (-8) = -சைன் 9.
O
 
 
 

திரிகோணகணிதம் 3.
". தான் (-8)=:--ே-தான் 9
". கே (-6) --0) ਫ9 =ਓ
". கோசி-6)=ச்ை-5-க்டு--கோசி 9, கோதா(-9)= -0) un ਛ) = - கோதா 9
ா + 8,9 என்பவற்றினுடைய விகிதங்கள். “ OB என்பது OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 0B என்பது
ா என்னுங் கோணத்திற்கூடாக நேர்ப் போக்கிற் சுழன்றல், அது OA யோடு 7-4-9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற 0B என்னும் நிலையை அடையும். ஆயின், 04 மீது 0B, OB' என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரே பருமனையும் எதிர்க் குறிகளையும் கொள்ளும்.
. 8 வின் எல்லாப்பெறுமானங்களுக்குழ், கோசை (ா+9) = - கோசை 9.
oơ என்பது OA யோடு + என்னுங் 8 கோணத்தை ஆக்குங் கோடாயின், 00 மீது 0B, OB என்பனவற்றி பூழடைய மாறியங்கள் ஒரே பருமனையும் எதிர்க்குறிகளையுங் கொள்ளும்.
.. 6 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், சைன் (7+9) = -சைன் 8.
6mggi (7十6) - சைன்9 கோசை (ா+6)"-கோசை6
.. சிக (ா+9) = Gangos (ar--9) இக 9.
.. தான் (7+9) =
=தான் 6.
, கோசி (7+9) = -கோசி 6.
சைன் (ா+9)
ா-9, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
9 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும், கோசை (7+9) = - கோசை 9. 6 என்பதை - 9 வாற் பிரதியிட, . . 9 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் கோசை (ா-9) = - கோசை (-8)
='கோசை 9.

Page 22
32, ஆரம்ப தூய கணிதம்
சைன் (ா+6) = -சைன் 9 ஆகையால், 9 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்
சைன் (ா-6) = -சைன் (~ 6) - சைன் 9.
.. தான் (ா - 9) = - தான் 6. .. சீக (ா - 6) - - இக 6. .. கோசி (ா - 9) = கோசி 9,
+6, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
ό 00 என்பது OA யோடு + என்னுங்
கோணத்தை ஆக்குக ; 0B என்பது 00 யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. ஆயின் OB என்பது OA யோடு 器十 6
r o lo ser se se - .
A. என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்.
0B யானது 00 யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
00 மீது 0B யின் எறியம்
G3 -
காசை 9 OB
A0 என்பது A இற்கு நீட்டப்பட்டால், OA என்பது 00யோடு + என்னுங்
கோணத்தை ஆக்கும்.
04' மீது OB யின் எறியம் OB OA ßg OB 166ö7 GT sýsluulub
OB A
. சைன் 9=
OB GTGötugs OA யோடு +9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
π _04 மீது 0B யின் எறியம்
0ா(ை+)-04மீத0:ன எறிய (TT _00 மீது 0B யின் எறியம் «6ጃ}ቇ6õÍ (+)-048 !.j.
.. 8 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் சைன் (+ 9) - கோசை 9,
கோசை ( 十 9) = -சைன் 9.
 
 

திரிகோணகணிதம் 33
ገr சைன் | இ + 9) “. தான் (+)- (, -ས་ *?--கோதா 6.
கோசை ( -- 9) - சைன் 9
.. கோதா (赛 十 o) = - தான் 9.
*. இக (+ 9) = -கோசி 6. , கோசி (赛 -- o) = கே 6.
- 8, 9 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
மேலுள்ள முடிபுகளில் 6 என்பதை - 9 வால் பிரதியிட,
�}ଣF667
rea o) - கோசை (-8) = கோசை 9,
கோசை -)=-சைன் (-8) = சைன் 9,
தான் -)--கோதா (-8) = கோதா 9,
கோதா ( ) =தான் 6,
( YS கோஇ? 9,
(engo ( ) = Gas 6.
+8, 8 என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள்.
systi (i. e) ബ= 65ನೆ( 7+劉+6 E -၈ozစေး(:+ e) - - கோசை சி,
Qመff6ሸw (+ e) 9 ++7( 357 جسسج) 's aus கோசை(+ 9) ಯಾ @#@ 69
/37r 8ገr @学@门 (颚 十 e) abirabdı ( 十 9) = ->-4= -கோதா 9,
37了 கோ(ை+ o)

Page 23
34 ஆரம்ப தூய கணிதம்
கோதா(+ o) = -தான் 9, இக (+ o) = கோசி 9,
கோஇ (; + 9) = . சீக 9.
இரு கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கோணம் பற்றி அவற்றுள் ஒரு கோட்டின் மீது மற்றைக் கோட்டின் எறியம். OB என்னும் ஒரு கோடு OA என்னும் ஒரு கோட்டோடு (யாதுமொரு பருமனையுங் குறியையுங் கொண்ட) 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல்
OA மீது OB யின் எறியம்
OB .. OA மீது OB யின் எறியம் = OB கோசை 9.
கோசை 9=
P0 என்பது Po வின் போக்கு
OB யின் போக்கோடு ஒன்ருகும் படி 0B யிற்குச் சமாந்தரமா யும் நீளத்தாற் சமனயுமுள்ள வேருெரு கோடாயின், OA மீது PQ, OB என்பனவற்றி A னுடைய எறியங்கள் ஒரு பருமனை யுங் குறியையுங் கொள்ளும் ; OA யோடு P0 வால் ஆக்கப்படும் கோணமும் 9 வாகும்.
O
博 鲁
锦
源
g
в
O
a a Ve ya
.. P0 என்னும் யாதுமொரு கோடு OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OA மீது PQ வின் எறியம் P42 கோசை 9 வாகும்.
OC என்பது OA யோடு +என்னும் கோணத்தை ஆக்குங் கோடாயின்
OC மீது OB யின் எறியம்
OB -. * 00 மீது OB யின் எறியம் = OB சைன் 9.
00 மீது P0, 0B என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரே பருமனையுங் குறியையுங் கொள்ளும்.
.. P2 என்னும் யாதுமொரு கோடு OA யோடு 9 வென்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OA யோடு + என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் கோட்டின் மீதுள்ள PQ வின் எறியம் P2 சைன் 8 வாகும்.
 

திரிகோணகணிதம் 35
2-b. 4BOD Greifugi AB=OD=a Jęgub, AID=2a quib ZBAD, ZADO
என்பன கூர்ங்கோணங்களாய் முறையே 0, 3 என்னும் பருமன்களையுடையனவாயுமுள்ள ஒரு நாற்பக்கல். /ABC யின் பருமன் φ ஆயின்,
2 சைன் a - சைன் (a +3)
----------------- øroØT&$ 35mr1(B)&s. 1-2 கோசை a+கோசை (a+3)
தான் qþ=
BA யிலிருந்து BO யிற்கு அளக்கப்படுங் கோணம் இடஞ்சுழிப்போக்காயும் அதுபற்றி நேராயுமிருத்தலால் BO என்பது BA யோடு ஆக்குங் கோணம் φ ஆகும். AD என்பது BA யோடு ஆக்குங் கோணம் r - Q ஆகும். DO என்பது நீட்டிய AB என்பதைச் சந்திக் கும்படி நீட்டப்பட்டால், BA யிலிருந்து D0 யிற்கு அளக்கப்படுங் கோணம் வலஞ்சுழிப் போக்கையும் 2+3 என்னும் பருமனையுங் கொண்டிருக்குமெனக் காணப்படும்; அதற் குக் காரணம் ஒரு முக்கோணியின் புறக்கோணம் இாண்டு அகக் கோணத்தின் மொத்தம் என் கே. எனின் BA யோடு DC யால் ஆக்கப் ப0ம் கோணம் -(a+3) ஆகும், யாதுமொரு கோட்டின் மீதுள்ள BC யின் எறியம் அக் (baAti i ʼ uq 6ör t84gaair Gmt BA, AID, DO 6T6öTLu60T லlறிறுடைய எறியங்களின் மொத்தத்திற்குச் APiaf,
A மீது எறியங்களை ಆ®ಹಹ, () (Julia). b-BA +AD கோசை (r - a) +DO கோசை ( - 0 -3)
கa -20 கோசை q+a கோசை (a+3), J04 Quur70 + என்றுங் கோணத்தை ஆக்கும் கோட்டின் மீது எறியங்களை எடுக்க,
O sonersd p-0--AD சைன் (ா - 0+a சைன் (-2-3)
=2a சைன் 0-0 சைன் (a+3). gs என்பது 0, 7 என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்கவேண்டும்.
1-2 கோசை a+ கோசை (a+3)=0 ஆயின், கோசை (p=0;
Tr வே, e - sydsVed φ 2
1 .2 கோசை o--கோசை (x+3) என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
2 சைன் a - சைன் (a+3)
தான் f= -2 கோசை 0+ கோசை (a+3)
இக்கோவை நேராய் அல்லது மறையாய் இருப்பதற்கேற்ப, φ என்பது கூர்ங்கோணமாய் அல்லது விரிகோணமாய் இருக்கும்.

Page 24
36 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 2.
冗 1 a, ழ என்பன 0, 2 என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்க,
சைன் a > கோசை g ஆயின், *+y>需 என நிறுவுக.
2. a, ழ என்பன 0, என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்க,
கோசை 2+ கோசைg<1 ஆயின், ه+g< என நிறுவுக.
3. ஐ. ஓ என்பன 0, 7 என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்க,
கோசை 2+கோசைg > 0 ஆயின் 20+g<1 என நிறுவுக.
究 4. ர, ழ என்பன 0, 2 என்பனவற்றிற்கிடையே கிடக்க,
தான் a > கோதாழ ஆயின், +ைg> என நிறுவுக.
3. 37C 5. Ca <్క -Չչպմ) 2  0 ஆயும் இருந்தால்,
2+g > 3 என நிறுவுக. 6. 6 என்பது யாதுமொரு கோணமாயின்,
2 4. கோசை 9+ Gene() + ) + கோசை (+ ) =0 என்றும்
2 47〔 6āD#6ổT 0+(+) + சைன் (+)-o என்றுங் காட்டுக. (தக்க கோடுகளின் மீது சமபக்க முக்கோணி ஒன்றினுடைய பக்கங்களுடைய எறியங்களை ஆராய்க.)
ஒரே கோசைன் கோணங்கள். OB என்பது OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. 0B யானது இந்நிலையிலிருந்து தொடங்கி +2ா அல்லது -2ா என்னுங் கோணத்திற் கூடாகச் சுழன்றல், அது பின்னும் அதே நிலையை அடையும்.
. எல்லா 6 விற்கும், கோசை(2ா+6) = கோசை 9 = கோசை (-2ா+6);
.. கோசை(4ா+9)= கோசை(2ா+2ா+6)=கோசை(2ா+6) - கோசை6. கோசை( - 4ா+6) - கோசை(-2ா+9-2ா) - கோசை(6-2ா) - கோசை9. பொதுவாக, m என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணுயின், எல்லா 6 விற்கும் கோசை (2mா + 6) = கோசை 9 என்பது பெறப்படும்.
OB, OB என்பன O வினூடாகச் செல்லும் சமநீளக்கோடுகளாயின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந்தும் பொழுதாயினும் அல்லது 04 யைக் குறித்துச் சமச்சீராயிருக்கும் பொழுதாயினும் OA பின்மீதுள்ள

திரிகோணகணிதம் 37
OB, OB' என்பனவற்றினுடைய எறியங்கள் ஒரேயளவினவாகும் ; வேருெருவகையிலும் அவை அவ்வாறகா. 0B, OB' என்பன 04 யோடு முறையே 0, - 9 என்னுங் கோணங்களை ஆக்கினல், அவை OA யைக் குறித்துச் சமச்சீராகும்.
ஆகவே, OB, OB' என்பன OA யைக் குறித்துச் சமச்சீராயிருக்க 0B என்பது OA யோடு 9 வென்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், OB என்பது OA யோடு 2nா - 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ; இங்கு 70 என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்.
", m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணு யிருந்தால், 6 வோடு ஒரு கோசைனுள்ள எக்கோணமும் 20ா+9 அல்லது 2nா-6 என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும்.
". % என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணு யிருந்தால், 9 வோடு ஒரு கோசைனுள்ள கோணங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு பொதுக் கோவை 2mா+9 என்பதாகும்.
ஒரே சைன் கோணங்கள்.
6 என்பது யாதுமொரு கோணமாயின், m என்பது யாதுமொரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது கோசைனிற் போல
சைன் (2mா+9) = சைன் 6. 0B, OB' என்பன O வினூடாகச் செல்லுஞ் சமநீளக் கோடுக ளாயின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந்தும் பொழுதாயினும் அல்லது
(04யோடு + என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற) 00யைக் குறித்து சமச்
சீராயிருக்கும் பொழுதாயினும் OC என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள அவற்றி னுடைய எறியங்கள் ஒரேயளவினவாகும் ; வேறெருவகையிலும் அவை அவ்வாறகா. OB, OB' என்பன OA யோடு முறையே 0, 7 - 6 என்னுங் கோணங்களை ஆக்கினல், அவை 00யைக் குறித்துச் சமச்சீராகும். ஆகவே OB, OB என்பன 00 யைக் குறித்து சமச்சீராயிருக்க, அவற்றுள் OB என்பது OA யோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், 0B என்பது OA யோடு (2n+1)ா - 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும். இங்கு n என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.
ஆகவே, m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணு யிருந்தால், 6 வோடு ஒரு சைனுள்ள எக்கோணமும் 2mா+9 அல்லது (2n + 1)ா - 6 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும்.
ஆகவே, m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணு யிருந்தால், 6 வோடு ஒரு சைனுள்ள கோணங்கள் எல்லாம் mா+(-1)"6 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும் ; அதற்குக் காரணம் n ஒற்றை யெண்ணுயின் (-1)" என்பது -1 ஆயும் அன்றி இரட்டையெண்ணுயின் அது + 1 ஆயும் இருக்கும் என்பதே.

Page 25
38 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரே தான்சன் கோணங்கள்.
எல்லா 8 விற்கும் தான் (ா+8) = தான் 9 என்று இதற்குமுன்னே நிறுவப்பட்டது.
.. தான் (2ா+6) = தான் (ா++6) = தான் (ா+6) = தான் 6,
தான் (3ா+6) = தான் (ா+2+9) = தான் (2ா+6) = தான்9. பொதுவாக, 20 என்பது ஒருநேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது,
தான் (mா+9) = தான் 9.
இனி, தான் (-ா+6) = தான் (7+9-7) = தான் 9.
பொதுவாக, % என்பது ஒரு மறை முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது
தான் (mா+6) = தான் 9.
.. m என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணு
யிருக்கும்பொழுது, எல்லா 8 விற்கும்,
தான் (mா+9) = தான் 9.
அதாவது 7 என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது (nா+6) என்னும் வடிவத்திலுள்ள எக்கோணமும் 6 வோடு ஒரு தான்சன் உடையது.
வேருெரு கோணமும் 9 வோடு ஒரு தான்சன் உடையதாகாதென்பதை எளிதிற் காணலாம்.
9 என்பது தந்த ஒரு கோணமாயின், (நேர் அல்லது மறை அல்லது பூச்சிய மாயுள்ள) ஒரு தனி முழுவெண் p என்பதை pா+9 வானது 0,ா என்பனவற்றிற்கிடையே 1ா அன்றி 0 உட்படக் கிடக்குமாறு (அதாவது 04றா+9<ா ஆகும்படி) காணலாம். pா+9 என்னுங் கோணம் 6 வோடு ஒரே தான்சன் உடையது. தி என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும் ஒரு மாறுங் கோணமாயின், தி ஆனது இவ்வீச்சிற்குள்ளே கூட, தான் தி யானது நேர்க்குறியுள்ளதாய் உறுதியாகக் கூடும். தி யென்பது ா என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடந்தால், தி யானது T-2 என்னும்
வடிவத்தைக் கொள்ளும் ; இங்கு a வென்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும் ; தான் தி = தான் (ா-c) = -தான் 2, தி யானது 器・ ா என்பனவற்றிற்கிடையே கூடுதலுற, 0 வானது 2, 0 என்பன
வற்றிற்கு இடையே குறைதலுறும்; ஆயின், தான் 2 என்பது நேர்க்

திரிகோணகணிதம் 39
குறியோடு உறுதியாகக் குறைதலுறும். ஆகவே, தி யானது •
என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற, தான் தி யானது மறைக் குறி யோடு உறுதியாகக் கூடுதலுறும். ஆகவே, 0, 1ா என்பனவற்றிற்கு இடையே (ா அன்றி, 0 உட்பட) ஒரே தான்சனுள்ள இரு கோணங்கள் இல்லை என்பது பெறப்படும்.
ஆகவே, n என்பது ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்க, 6 என்பது தந்த ஒரு கோணமாயின், 6 வோடு ஒரே தான்சனுள்ள கோணங்கள் எல்லாம் 0ா+9 என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். ஆவர்த்தனம்.
ஒரு மாறுங் கணியம் பெறுமானம்பற்றி வேறெரு மாறுங்கணியம் 2 ஐச் சார்ந்தால், அது 20 இன் சார்பு எனப்பட்டு f (3) என்பதஞற் குறிக்கப்படும். k என்பது (பூச்சியமல்லாத) மாருக்கணியமாயிருக்க அச்சார்பில் 3 என்னும் மாறி k+2 என்பதால் பிரதியிடப்படும் பொழுது அச்சார்பின் பெறுமானம் மாறவில்லை எனக் காணப்பட்டால், அச்சார்பு ஆவர்த்தனமுள்ளதெனப்படும் ; அதாவது, k என்பது ஒரு நிலையான மாறிலியாயிருக்க, எல்லா 2 இற்கும் f (3+h)-f (3) ஆயின், f (3) என்பது ஆவர்த்தனமுள்ளது ; எல்லா 3 இற்கும் f (a+b) = f (3) -guŚ6őT, if (ac -- 2k) = f(a -- k -- k) = f(ac -- k) =f(c) ; GALATTg7G) y Tas, m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண் அல்லது மறை முழுவெண்ணுயிருக்கும் பொழுது, f(a +mk) =f(a).
f(a+b) =f(a) ஆகுமாறு உள்ள b யின் மிகச் சிறிய நேர்ப்பெறு மானம் f(a) இன் காலம் எனப்படும்.
இவ்வரைவிலக்கணத்திலிருந்து சைன் a, கோசை a என்பன 2ா ஐத் தம் காலமாகவுள்ள 30 இனுடைய ஆவர்த்தனச் சார்புகள் என்பதும் தான் 2 என்பது 7 ஐத் தன் காலமாகவுள்ள ஓர் ஆவர்த்தனச் சார்பு என்பதும் பெறப்படும். திரிகோணகணிதச் சார்புகளுடைய வரைபுகள். g = சைன் 3.
2 என்பது ஆரையனில் அளக்கப்படுங் கோணமாயிருக்க, g - சைன் 2
ஆகுக. 12= 0 ஆகும்பொழுது g = 0 ; a = ஆகும்பொழுது g = 1.
2 என்பது 0 இலிருந்து இற்குச் கூடுதலுற, g என்பது 0 இலிருந்து 1 இற்கு உறுதியாகக் கூடுதலுறும். 、一
ஆகவே, x=0, z = 5; என்பனவற்றிற்கிடையே 2 குறித்து g யின் வரைபு (0, 0) என்னும் புள்ளியிலிருந்து (i. .) என்னும் புள்ளிக்கு உறுதியாக எறும் ஒரு வளையியாகும்.

Page 26
40 ஆரம்ப தூய கணிதம்
y
ഗ~\ 0ly_i_。 Ν
一发育 -" - 一喜 2. 雷 ک 名矿 JK
Yነ
g = சைன் .ை
9 வின் எப்பெறுமானத்திற்கும்,
சைன் ( e) - கோசை 9 = சைன் (+ 9).
ஆகவே, g = சைன் 3 என்னும் வரைபில் - 0, +0 என்பனவற் றைத் தம் கிடைக்கூறுகளாகவுள்ள புள்ளிகளுக்கு, சம நிலைக்கூறுகள் உண்டு. ஆகவே, அவ்வரைபு (赛 ) என்னும் புள்ளிக்கூடாக y அச் சிற்குச் சமாந்தரமாய்ச் செல்லுங் கோடு பற்றிச் சமச்சீராதல் வேண்டும். ஆகவே, a = a = r என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள வரைபுப்பகுதி யானது 2 = 0, a = r என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள முழுவரைபும் z = என்னுங் கோடுபற்றிச் சமச்சீராகும்படிே 1) என்னும் புள்ளி யிலிருந்து (ா, 0) என்னும் புள்ளிக்கு உறுதியாக இறங்கும்.
இனி, எல்லா 9 விற்கும் சைன் (ா - 9) - சைன் 6, சைன் (ா+6) = - சைன் 6. ஆகவே g = சைன் a என்னும் வரைபில் T -9, ா + சி என்பனவற்றைத் தம் கிடைக்கூறுகளாகவுள்ள புள்ளிகளுக் குப் பருமனிற் சமமுங் குறியில் எதிருமாயுள்ள நிலைக்கூறுகள் உண்டு. எனின், a = r, a - 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள வரைபுப் பகுதி 3 அச்சிற்குக் கீழே 2 = 0, a = r என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள பகுதியின் வடிவை உடையதாய்க் கிடக்கும். சைன் 2 என்பது ஆவர்த்தனமுடையதாயும் 2ா யைத் தன் காலமாய்க் கொண்டதாயும் இருக்கின்றமையால், a = 0, 2 = 2ா என்பனவற்றிற்கு

திரிகோணகணிதம் 4.
இடையே பெறும் வளையி a = 2ா, a - 4ா என்பனவற்றிற்கு இடை யிலும், 2 = 47, 2 = 6ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இவ்வாறே பிற பெறுமானங்களுக்கும், இன்னும் a = -2ா, a = 0 என்பனவற் றிற்கு இடையிலும், a = - 4ா, a = -2ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இவ்வாறே பிறபெறுமானங்களுக்குந் திரும்பத் திரும்ப வரும்.
a ஆனது 0 இலிருந்து இற்குக்கூட, சைன் 3 ஆனது உறுதியாகக்
ገr - Зт — . . கூடியும், பின் 3 ஆனது 2 இலிருந்து 亨 இற்குக் கூட அது உறுதி
யாகக் குறைந்தும், அதன்பின் 2 ஆனது 擎 இலிருந்து 2ா இற்குக்
கூட அது உறுதியாகக் கூடியும் நிற்கும்.
y = கோசை 2 ஆகுக.
6 வின் எப்பெறுமானத்திற்கும், கோசை 6 = சைன் (+2).
ஆகவே, g = சைன் 2, g = கோசை 2 என்னும் இரண்டு வரைபு
களையும் ஆராய்ந்தால், z = 9 + என்பதற்கு ஒத்த சைன் வரைபு
நிலைக்கூறு 2 - 6 என்பதற்கு ஒத்த கோசைன் வரைபு நிலைக்கூற்றிற் குச் சமன்.
ஆகவே, சைன் வரைபு ஆனது முழுவதுமாக 3 அச்சின் மறைத்
திசையில் என்னுந் தூரத்தினுடாக இடம் பெயர்க்கப்பட்டால், அது
கோசைன் வரைபோடு பொருந்தும்.
ү
/ AAA 2.霄
y = கோசை .ை

Page 27
42 ஆரம்பி தூய கணிதம்
a ஆனது 0 இலிருந்து 1ா இற்குக் கூட கோசை 2 ஆனது உறுதி யாகக் குறைந்தும், பின் 3 ஆனது 7 இலிருந்து 2ா இற்குக் கூட அது உறுதியாகக் கூடியும், நிற்கும். g = தான் 3 ஆகுக.
சைன் 0
தான் a=
கோசை a
சைன் a = 0 ஆகும்பொழுது, தான் 3 = 0.
a = 0, a =2ா என்டனவற்றிற்கு இடையே 2 = 0, 7 அல்லது 2ா ஆகும் பொழுது, தான் 3 = 0.
கோசை2=0 ஆகும்பொழுது தான்  ைஇருப்பதில்லை. ஆகவே, (0, 2ா) என்பதில் هr = } அல்லது ஆகும்பொழுது தான் 2 என்பது வரைய
றுக்கப்படுகின்றதில்லை.
ገr a 0 < a. < என்பதில், தான் a என்பது நேர்க்குறியுள்ளதாயும் 2 கூடுதலுறத் தானும் உறுதியாகக் கூடுதலுறும் ஒன்றயும் இருக்கும்; 22 என்பது என்னும் பெறுமானத்தை அணுக, சைன் 3 ஆனது 1 என்னும் பெறுமானத்தை அணுகும் ; அப்போது, கோசைல் ஆனது மிகச் சிறிதாயும் நேர்க்குறியுள்ளதாயும் இருக்கும் ; ஆகவே, தான் a
7r ஆனது மிகப் பெரிதாகும். ஆகவே, a=0, = என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள y = தான்  ைஎன்னும் வரைபின் பகுதி உற்பத்தி யிலிருந்து தொடங்கி z = 5; என்னுங் கோட்டை வெட்டாது அதனை உறுதியாக அணுகிக்கொண்டு எறும் ஒருவளையியாகும். அவ்வளை முடிவுள்ளதன்று : y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயும் a = என்னுங்
கோட்டிற்கு மிக அணித்தாயுமுள்ள ஒரு கோடு அவ்வளையியை 2 அச்சிற்கு மிகப் பெரிய தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்.
அவ்வளையியின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி அவ்வளையியினது நீளத் திற்கு 2 அச்சிலிருந்து மிகப் பெரிய தூரத்திற்கு இயங்க, z= என்னுங்கோட்டிலிருந்து அப்புள்ளியினது தூரம் பூச்சியத்தை அணுகும். a = என்னுங் கோடு அம்முடிவில் வளையிக்கு ஓர் அணுகுகோடு
என்று கூறப்படும்.

திரிகோணகணிதம் 43
|
y = தான் .ை
6 வினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும், தான் (+ 0) ா - கோதா9 என்றும் தான் (- o) =கோதா சி என்றும் அறிவோம். ஆகவே, y = தான் a என்னும் வரையிலே தம் கிடைக்கூறுகள் E- θ, ό+ 69 என்பவைகள்ைள புள்ளிகளுக்குப் பருமனிற் சமனுங் குறியில் எதிருமா யுள்ள நிலைக்கூறுகள் இருக்கும். ஆகவே, 2 = 2 =ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள அவ்வரைபின் பகுதி  ைஅச்சிற்குக் கீழே கிடக்கும்; அதன் வடிவு 2 = , a = 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள பகுதி
யினதாகும். தான் இன் காலம் 7ா ஆயிருக்கின்றமையால், a = 0, a = r என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள வளையி 3=ா, 20 = 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையே மீண்டும் வரும் ; பொதுவாக, % என்பது ஒரு முழு வெண்ணுயின், a = mா, a = (n+1)ா என்பனவற்றிற்கு இடையே அது
மீண்டும் வரும். 20 ஆனது -, என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற,
தான் 2 ஆனது உறுதியாகக் கூடும். K என்பது யாதுமொரு பெரிய நேர்க் கணியமாயின் தான்ன ஆனது இவ்வீச்சிற்குள் 2 இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கே k என்னும் பெறுமானத்தைக் கொள்ளும் ; த இன்

Page 28
44 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இப்பெறுமானம் 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கும் ; தான் ல ஆனது இவ்வீச்சிற்குள் 3 இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கே -k என்னும் பெறுமானத்தைக் கொள்ளும்; இப்பெறுமானம் -0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்.
y = கோசீ2 ஆகுக.
2 = 0 ஆகும்பொழுது, சைன் a = 0. ஆகவே, கோசில என்பது இருப்பதில்லை. 3 ஆனது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற கோசீன ஆனது நேர்க் குறியுள்ளதாய் உறுதியாகக் குறையும். 2 ஆனது 器 ா என்பனவற்றிற்கு இடையே கூடுதலுற, கோசீ3 ஆனது
உறுதியாகக் கூடும். 2 ஆனது நேர்க்குறியுள்ளதாயும் பூச்சியத்திற்கு மிக அணித்தாயுமிருந்தால், கோசில ஆனது நேர்க் குறியுள்ளதாயும் மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும். 2 ஆனது T யிற்கு மிக அணித்தாய் ஆனல் அதனிலுஞ் சிறிதாய் இருந்தால், கோசிa ஆனது நேர்க் குறியுள்ள தாயும் மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும்.
a = 0, 2 = 7ா என்பன y = கோசில என்னும் வரைபினுடைய அணுகு கோடுகள்.
y
T
2.
T
X
g - கோசில
 
 

திரிகோணகணிதம் VK. 45
கோஇ (赛 la a) = கோஇ? (+ a) ஆயிருத்தலால், வரைபு, 20 = என்னுங் கோடுபற்றிச் சமச்சீராகும். கோசி (ா+a) --கோசி (ா-a) ஆயிருத்தலால், 2 = 7, 3 = 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள வரைபுப் பகுதி 2 - 0, a = r, என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள பகுதியின் வடிவினதாகும் ; ஆனல், அது 2 அச்சிற்குக் கீழே கிடக்கும்.
Y
O
T
2
Xhis
y = சிக  ைஆகுக.
கோஇ? (+ 2) = சீக 30 ஆயிருத்தலால், g = சீக 2 என்னும் வரைபு
y = கோ சீ3 என்னும் வரைபை என்னுந் தூரத்திற்கூடாக 2 அச்சின்
மறைத் திசையிற் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.
y = கோதால ஆகுக.
கோசை2 ஆயிருத்தலால், y = கோதார என்னும்
கோதா 2
சைன்
வரைபின் வடிவம் y = தான் என்பதிற் போல உடன் பெறப்படும்.
3 = 0, 2 = 7ா என்னுங் கோடுகள் அணுகுகோடுகளாகும்.

Page 29
46... ஆரம்ப தூய கணிதம்
à
இனுடைய விகிதங்கள். 0AB என்பது OA = AB ஆகவுள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணி
uJITG 55. guSaô7, ZBOA as ஆரையன்.
ar. AB G ar OA - சைன = கோசை
4“ OB B OA = 1 gulaŐT, AB = 1, OB = w2.
' GಾತGir o= -- =கோசை:ே தான் T = 1.
ᏎᎢ ' Ꮤ2 4 4 கோணம் பாகையில் அளக்கப்படின், சைன் 45°  ைகோசை *一选 தான் 45° = 1. 0 A
என்பனவற்றினுடைய விகிதங்கள். ABC என்பது AB = B0=CA = 1 ஆகவுள்ள சமபக்க முக்கோணி யாகுக. BW என்பது AC யிற்கு வரைந்த
B செங்குத்தாகுக. a
gulaðT AN = , BN = Y, Z BAC = .
a 等一篇一 o=656ನ! 60° ; 卫二 r. m A N C கோசை 空_ AN m l -: கோசை 60°,
3 AB 2

திரிகோணகணிதம் 4.
z ABN = ஆயிருக்கின்றமையால்,
T AN
3w - - - -- ~ -- is 8fho is
6∂ãF6∂፻ 誘=五=透=*80
ar BN v/3 ᏬᏍ கோசை===கோசை30°,
உதாரணங்கள்
பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றையும் பொதுமைப் படுத்துக.
(i) சைன்"= (ii) கோசை2=- (i) சைன் a+கோசை a = 0.
(i) சைன்"= ஆயின், சைன் a = 4. y?.
ገr TT சைன் a - சைன் 3 அல்லது சைன் ( 歌
* a =n7十(ー 1y அல்லது mா-4-(-1)" (- )
அதாவது, 2 = 70ா H. ; இங்கு 70 என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.
w ገT Tr (ii) கோசை 2 = ー3= - கோசை = கோசை (t 歌
2 .‛. aŸ = 2ጎ0ገr =E 7-繋 = 2 naT +*4g".
3 3 இங்கு 10 என்பது யாதுமொரு முழுவெண். (i) சைன் a + கோசை a = 0 ஆயின், கோசைa என்பது பூச்சியமா காது ; அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : கோசை a = 0 ஆயின், சைன் ன என்பது + 1 ஆகும் ; ஆகவே, சைன் 30+ கோசை 2 என்பது பூச்சிய மாகாது. ஆகவே, கோசை2 ஆல் வகுத்து அச்சமன்பாட்டை தான்+ை1=0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதலாம்.
". அதான் a = -1 = *"= கான் π .. தான a = -1 = தான= தான 4.
. z= nzt+(—75) = nt —5, இங்கு 70 என்பது யாதுமொரு முழுவெண்.

Page 30
48. ஆரம்பதுய கணிதம்
பயிற்சி 3 பின்வருஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(1) கோசை a - கோசை? a=0, (2) சைன் a+2 சைன் a=0,
(3) தான் 0+ கோதா 0=2. (4) 2 சீக a - சீக? a=0.
(5) சைன் 2ற+ கோசை a=0. (6) கோசை 30+ கோசை 50=0,
(7) சைன் 20+ சைன் 3a=0. (8) தான் 20+தான் 30=0.
(9) கோதா 0+கோதா 20=0. (10) தான்றே = தான்? 22. (11) தான் 30+ கோதா 20:0. (12) கோசி 2 - சீக 5a=0.
(13) சைன்? a+(V8+1) சைன் a கோசை a+V3 கோசை? a=0.
(14) கோசை ஐ--சைன் a கோசை a+2 சைன் a=1.
நேர்மாறு சார்புகள்
சைன் y = 2 ஆயின், y = சைன்" ல என எழுதுகின்ருேம். ஒரு கோணத் தின் சைன் ஆனது -1 இலுஞ் சிறிதாய் அல்லது 1 இலும் பெரிதாய் இருக்க முடியாதாகையால், - 14:341 ஆயிருக்கும்பொழுதே சைன்" 30 இற்குப் பொருள் உண்டு. இவ்வீச்சிற்குள் 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் சைன்"a இற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். a என்பது அதனுடைய பெறுமானங்களுள் ஒன்ருயின் m என்பது யாது மொரு முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது 70ா + (-1)"a என்பதும் ஒரு பெறுமானமாகும். சைன்" a என்பதன் பெறுமானத்தை -, என்பனவற்றிற்கிடையே (அவையிரண்டையும் உட்படுத்திக்) கிடக்கும்படி கட்டுப்படுத்தினுல், -1, +1 என்பவற்றை உட்படுத்தி அவற்றிடையிற் கிடக்கும் 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் ஒத்ததாய் சைன்" 20 இற்கு ஒரு பெறுமானமே இருக்கும். அது சைன்" ல இனுடைய தலைமைப் பெறுமானம் எனப்படும். a=0 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் பூச்சிய
மாகும் ;  ை= 1 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் ஆகும் ; a = -1
ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் - ஆகும். 0 0 ஆயின், தலைமைப் பெறுமானம் 0, என்டனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் ; ~ை0 ஆயின், தலைமைப் பெறு
TT 2'
டிானம் 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்.

Page 31
அத்தியாயம் 4
கூட்டற் சூத்திரங்கள். OP என்பது OA யோடு 2 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; OB 676ötLg OP யோடு 8 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக ; ஆயின், OB என்பது 04 யோடு q+8 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும். OA யின்மீது OB யின் எறியம் OBகோசை (a+8) வா கும். OM என்பது OP யின் மீது OB யின் எறியமாகுக. ஆயின், OP யினது திசையில்
ஒரு நீளமாகக் கொள்ளப்படும் OM GOTg. OB GassTGOFß
வாகும்; OP யோடு+ என்னுங்
கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் ஒரு நீளமாகக் கொள்ளப்படும் MB யானது OBசைன் 8 வாகும்.
OᏢ ᏣunᎶ+? என்னுங் கோணத்தை ஆக்குந் திசை OA யோடு 娶十” என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்.
OA Lßg OB Slað7 6Tpóluulub = OA ußg OM (96ö7
எறியம்+OA மீது MB யின் எறியம். .. 0B கோசை(a+8) = 0Mகோசை a+MB கோசை(? +2)
=OB கோசை a கோசை 8-0B சைன் 8சைன் &.
** :A.*3*3*3*8 אחאי:xינאאי: *"אולי:g*
OA Gổuum(B) +赛 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங் கோட்டின்மீது எறியங்களை
எடுக்க,
OB சைன்(a+8) = 0B கோசை8 சைன் a+0Bசைன் 8சைன் (+2)
.. சைன் (EE) ா சைன் C கோசை +( 陷 ansfor A.
இச் சூத்திரங்கள் எப்பருமனையுங் குறியையுங் கொண்ட கோணங் களுக்கும் உண்மையாகும்.
 

திரிகோணகணிதம் 5.
8 என்பதை - 8 வாக மாற்ற, பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:-
கோசை (a-3) = கோசை & கோசை (-8) - சைன் a சைன் (-3)
= கோசை (x கோசை 3+சைன் o சைன் 3: சைன் (x-இ) = சைன் a கோசை (-)+கோசை 2 சைன் (-)
= சைன் 0 கோசை 3 - கோசை சைன் 3. கோசை (a+8) 40 ஆயின்,
சைன் (2+3) சைன் a கோசை3+கோசை a சைன் 3 கோசை (a--) T கோசை & கோசை - சைன் 0 சைன் கோசை a, கோசை 8 என்பன பூச்சியமல்லாதனவாயின், தொகுதியை யும் பகுதியையும் கோசை0 கோசை8 வால் வகுக்கலாம்.
தான் a + தான் 9 Log தான்3
தான் (x+5) =
" தான் (2+3) =
8 என்பதை (-8) வாக மாற்ற,
தான் x-தான் 3
சைன் (4+2)+சைன் (2-3) = 2 சைன் a கோசை 3. சைன் (a+ ) - சைன் (2-3) = 2 கோசை a சைன் 3. கோசை (a+b)+ கோசை (0 - 3) = 2 கோசை o கோசை 3. கோசை (a+b) - கோசை (a-3) = -2 சைன் a சைன் 3.
.. 2+8-0 வாயும் 0 - 8= தி ஆயுமிருந்தால்,
0-p
சைன் 0+ சைன் p = 2 சைன் கோசை
十?
சைன் 0 - சைன் டி = 2 கோசை சைன்
0-p
0-p
கோசை 0+ கோசை டி = 2 கோசை கோசை 2. '
கோசை 0 - கோசை ဝှ == -– 2 சைன் 0
2 十?___9一6
=2 சைன் - 叙リ ユー・ヘ
2
என்பன.
பயிற்சி 4.
1. சைன் (a2+g) சைன்(a-g) - சைன்லே - சைன்று என்றும்,
கோசை (0+g) கோசை (a -g) = கோசைaே - சைன்?ழ என்றுங் காட்டுக. 2. 7, Q என்பன 2 ஐச் சாராவாறு 3 சைன் 如十4 கோசை a என்பது r கோசை (e-a) என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாமெனக் காட்டுக ; 2 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங் களுக்கும் 3சைன் 30+4 கோசை 3 என்பதற்கு -5 என்னும் இழிவுப் பெறுமானமும் 5 என்னும் உயர்வுப் பெறுமானமும் உண்டெனக் காட்டுக. இழிவுப் பெறுமானம் பெறப்பட்ட ல இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு பொதுக்கோவை தருக.
4-R 11681 (1766)

Page 32
52 ஆரம்ப தூய கணிதம்
3. கோசை a+கோசைg=1 ஆயின், சைன் a+ சைன் g என்பது - V3, +V3 என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்படக்) கிடக்க வேண்டுமெனக் காட்டுக.
4. கோசை a+ கோசை ஐ--கோசை & = 0 ஆயும்
சைன் a+சைன் g + சைன் 2 = 0 ஆயுமிருந்தால், கோசை(a -g) = கோசை{y -2) = கோசை(2 -a) = - 4 எனக் காட்டுக.
5. தான் (a+g) = தான் 0+ தான் g ஆயின், 0, y, a+y என்பனவற்றுள் ஒன்ருதல் * யின் (பூச்சியம் உட்பட) மடங்காதல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
6. ர+g = ர - 2 ஆயிருக்க, ல, g, 2 என்பன II இனுடைய ஒற்றை மடங்குகளல்ல வாயின,
தான்ற + தான்g+ தான்2 = தான் ஐ தான்gதான் 2 எனக் காட்டுக.
7. சைன் 0+சைன் 22+சைன் 3a = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க : n ன்ன்பது ኅሴገር 2冗 ஒரு முழுவெண்ணுயிருக்கும் பொழுது உமது தீர்வை ーす அல்லது 2n+ 3. என்னும் வடிவத்திற் பெறுக.
8. a, g என்பன - என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால்,
தான் a - தான் g > சைன் (2 -g) எனக் காட்டுக.
,/T / Tr. 9. தான் ( -) = 4 தான் (-) என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
10. சைன் 0+சைன் g+சைன் (a+g)=0 ஆயின், a +g என்பது C யின் இரட்டை மடங்காகும் அல்லது ,ை து என்பனவற்றுள் ஒன்றதல் T யின் ஒற்றை மடங்காகுமெனக் காட்டுக.
11. கோசை 20+ கோசை g=1 ஆயும், சைன் 2+ சைன் g=1 ஆயுமிருக்க, n என்பது
ஒரு முழுவெண்ணுயின், 3+g= (2n+) எனக் காட்டுக.  ைஆதல் g ஆதல் 27. பின் ஒரு மடங்காக வேண்டுமெனக் காட்டுக.
12. Qx, 3 என்பன தந்த கோணங்களாயின், கோசை 2 கோசை(9+3)+சைன் & கோசை (6-3) என்பதனுடைய உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களை 6 வினுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்குங்
тс 冗 - காண்க : 3, 2ー五 எனபன இனுடைய ஒற்றை மடங்குகளல்லனவாய் இருக்கும்போது,
பெற்ற உயர்வுப் பெறுமானத்திற்குரிய 0 வின் பெறுமானம் தான் 0=தான் 3 தான் (z i) என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் காட்டுக.
13, 30 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்
ல சைன் a+கோசை as V(1+2?) எனக் காட்டுக.
14, 2 அல்லது g என்பது T யின் ஒற்றை மடங்குகளுள் ஒன்றெனக் காட்டிக் கொண்டு
கோசை a கோசை g+4=0,
சைன் 0+ சைன்று +-0,
என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க

திரிகோணகணிதம்
மடங்குக் கோணங்களுடைய விகிதங்கள்.
30, y என்பன இரு கோணங்களாயின்,
சைன் (a+y) = சைன் a கோசை g+ கோசை 20 சைன் y,
கோசை (0+y)ா கோசை 2 கோசை y - சைன் 30 சைன் y :
y = 2 எனப்பிாதியி.
anuar 2:e nn 2 sunser ac GasTSINIF ac,
, கோரை 2. வா கோசைaே - சைன்?ல என்பன.
கோசையே 1 - சைன் ஆயும் சைமன்?0 = 1 - கோசையே ஆயும் (tانیا |||||||||||||||(lنها را
இருத்
dalawa na (14 கோகை 2),
V u Mobile - (1 - கோசை 2) என்பன,
neger 2aw Ali. 2) / () or, it al. 2 - -- - - - Guiranë 2a.
கோசை 6 உம் பூச்சியம் பகுதிகளே வகுக்க,
கோசை - சைன்: அன்றெனின், கோசைலே ஆலே தொகுதி
2 தான் a தான் 23 = 2 ಶn೧೫ ೭. 1 -தான்றே: கோசை 3 ஆனது பூச்சியம் அன்றெனின், சைன் 2ல, கோசை 20 என்பன வும் தான் 20 இற் பின்வருமாறு உணர்த்தப்படலாம்
SMFsör 2= 2 சைன் a கோசை 0 -
கோசைaே + சைன்றே
2 தான் a
2 சைன் a கோசை a
-- 5 Tsör*ac
கோசைலே - சைன்aே 1 - தான்றே கோசை 2a - - o
கோசை0ே+ சைன்லே 1+தான்?0
20 என்பதை బ్రతు இடம்பெயர்க்க, கோசை ཧན་ 0 ஆகும் பொழுது
ᏘᏰ 2 தான் 2 2 சைன் 3 = 2 சைன்கோசை ----------------------
1+தான்?
2
1 - தான்?. R 2: கோசை a = கோசை?- - சைன்? - =
1+தான்? 2
53.

Page 33
54 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2 5nರ್d தான் a = - 6T667 L1607.
1 - தான்药 2
சைன் 30 = சைன் (2a}+a) = சைன் 20 கோசை a2+ கோசை 20 சைன் a
= 2 சைன் ல கோசைல. கோசை 0+சைன் X (1 - 2 சைன்லே)
- 2 சைன் ல (1 - சைன்aே)+சைன் 0(1 - 2 சைன்)
= 3 சைன் 3 - 4 சைன்.ை
డిETem32 - கோசை (20+a) = கோசை 20 கோசை a - சைன் 20 சைன் 3
= கோசை ஐ (2 கோசைல -1) - சைன் 3, 2 சைன் a கோசை ஐ
= 2 கோசைலே - கோசை ஐ-2 கோசை x (1 - கோசைaே)
= 4 கோசை - 3 கோசை .ை
கோசை 3040 ஆயின்,
சைன் 30 3 சைன் 0 - 4 சைன் a
●
莎 கோசை 32 4 கோசைaே - 3 கோசை ஐ
கோசை a என்பதும் பூச்சியமன்றெனின், கோசைலே ஆலே தொகுதி யையும் பகுதியையும் வகுக்க
3 தான் ஐ சிகலே - 4 தான்சில தான் 33 - ---------- ベ 4 - 3 கே? ஐ
3 தான் a (1+தான்?a) - 4 தான்ற )தான்?a+1( 3 - 4 -- ܚ
3 தான் a -தான்ற T 1-3 தான்றே
2 என்பதை என்பதால இடம் பெயர்க்க,
് சைன் 2 : 3 சைன் - - 4 சைன்° -.
3
கோசை 2 = 4 கோசை -3 கோசை 3'
3 தான் தான்; தான் a = ----- என்பன.
1 - 3 கான்ஃ. 函 3

திரிகோணகணிதம் 55.
உதாரணங்கள் :- (1) சைன் சில, கோசைன, என்பனவற்றை கோசை2ல, கோசை 42 என்பனவற்றில் உணர்த்துக.
1 "- 2ܝܘܢܣܝܼ(
6meF61*a = )2 )- قرية تعميم
(1 - 2 கோசை 2a +கோசை?2a)
1+கே ,r)
-( -2 கோசை 22+ 2
= -4 கோசை 2w十割 கோசை 4a}.
4)
கோசை = )Gero2 )=«روه ب
=(1+2 கோசை 22+ கோசை 2a)
1+கோசை 1)
-( + 2 கோசை 20 + 2
=++ கோசை 20++ கோசை 4a,
(2) a I・ガ十郎=7 -guóc57,
፰} 3) 2 No prif aw - y Fably -- 60 1896672 cil= 4கோசைகோசைகோசை w
2 + ac - 2, wsdia -- płody-2uby." "aartemu T
冗 忽 a - y س--- 9(35stI60) [ به سه تن |g g, htرle:B.. = ( 2
2 t 23a7605్య37605
2 32 - 2 念 ", சைன் a+சைன் g + சைன் 2:2 கோசை ro + 2 சைன் கோசை
名 23ー =2 கோசை-4 கோசை 十 சைன்" a-ty
2 2 2
- Es 2 2;+ze:;(3#rer + هereoق گو"(
2 =4 கோசை- கோசை "கோசைட.
2 2 2

Page 34
56 ஆரம்ப தூய கணிதம்
(3) の十3/十z=7r &"si, கோசை2+கோசைg+கோசை2<
2り十物 - y கோசை20+ கோசைg+கோசை2=2 கோசை கோசை- + 1 - 2 சைன்?
صيد 33 சைன் சைன்: கோசை E -g 2 - 1 ܒܗ
2 2 2
之 ac - y W* ae — y s: 1 - 2 சைன்-கோசை- + கோசை? 2
2一岁 ' .2 *ܣܛGasfrem% -+ 1 >
2 22・ー இங்கு சமன்படுதல் சைன்-கோசீை ஆகும் பொழுதே உண்மையாகும்.
2 - , கோசைே
s 1 ஆயிருப்பதால்,
கோசை a+ கோசைg+ Ga51Teopag. z s.
30, y, z என்பன எல்லாம் நேராயின், அவை T ஐ அதிகரிக்க இயலா மையால் a = y யாகும் பொழுதே
கோசை'= 1.
2 1 சைன் 3-5 ஆயிருக்கும் போது,
கோசை a+கோசை g--கோசை 2 =
9
அதாவது s
7r = 6 அல்லது 2 -
s
", a, g, 2 என்பன ஒரு முக்கோணியினுடைய கோணங்களாயின் கோசை 0+கோசை g+கோசை 2 S.
இங்கு z = y = z = ஆகும் பொழுதே சமன்படுதல் உண்மையாகும்.
அதாவது, அம்முக்கோணி சமகோண முக்கோணி ஆகும் பொழுதே
கோசை ல+கோசை g+கோசை 2 என்பதன் உயர்வுப் பெறுமானம் பெறப்படும்.

திரிகோணகணிதம் 57
சைன் 18°, கோசை 36° என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள்.
o 7 AO .ஆரையனகள بیبیست 18
必 =
o
ஆயின், 50 = ;
T O 3a = -2r.
.. கோசை 30 - சைன் 22. .. 4 கோசைனே-3 கோசைa - 2 சைன்ற கோசை a. கோசை340 ஆயிருக்கின்றமையால், கோசை  ைஆலே இரு பக்கமும் வகுக்கப்படலாம்.
.. 4 கோசைaே -3-2 சைன் 0. .. 4(1 - சைன்aே)-3-2 சைன் a, .. 4 சைன்-ே+2 சைன் 0- 1 - 0. t - சைன் a எனப்பிரதியிட, 4护十2枋一1=0.
-2-E V4-16 - 1 + v5
... t = O 8 4
3 என்பது 0, என்பவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தலால், சைன் 3
என்பது நேராகும்.
சைன் په = V6 – 1
4. சைன் 18° = vil
R - 1 N2 (Rarot 36 = 1 - 2 60566718 = i (vii) 8- (5+1 –2 v5)2+2 V5 v5+1 .--- 8 8 ـــــــــــــــــــــــــــ۔۔۔ــــــــــــــــــــــــــــــــ۔
பயிற்சி 5
1 の十3/ー+2=7c &lógór,
22 2 கோசை2+ கோசைg+ கோசை2 = 1+ 4 சைன் 2 60Fధi ಜ#6T 2 எனக் காட்டுக,
2. 20+ g+2 = 2r ஆயின்,
: g 2 சைன் a+சைன் g + சைன் 2 = 4 ಐಆ65! 6#ar 2 6ᏡᏯᏛ6Ꮡr 2 என்றும்,
夕
M Aேrசை 0+ கோசை g+ கோசை 2+1 = - 4 கோசை கோேைகாசை என்றுங் காட்டுக.

Page 35
58 ஆரம்ப தூய கணிதம்
3. கோசை0ே+கோசைgே+கோசை2ே - 2 கோசை ஐ கோசை g கோசை 2 - 1 = 0 ஆயின், கோசை 2=கோசை (a+g) அல்லது கோசை (g -g) எனக் காட்டுக.
4. கோசைg - சைன்றே - கோசை2ற எனக் காட்டுக.
5. a என்பது 0, என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால்,
கோசை a+சைன் a = V(1+சைன்2a) என்றும்,
冗 0 < a. < 4 எனின், கோசை  ை- சைன் ஐ = V(1 - சைன் 23) என்றும்,
冗 < a C 2 எனின், அது - - W/(1 - சைன் 2ற) என்றுங் காட்டுக.
6. 8 (கோசைஜே+சைன்லே) = 5+3 கோசை 40 என நிறுவுக. 7. சைன்20+ கோசை a2+ சைன் a = 1 ஆயின், கோசை ஐ--சைன் 0 = 1 எனக் காட்டுக.
8. 2 கோசைaே+4கோசை ஐ சைன் a - சைன்றே என்பதனை
சகோசை(20+a) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்துதலால், 20 இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் அக்கோவையினுடைய உயர்வு இழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க.
9. சைன்ஸ்+சைன்று = a யாயும் கோசை ஐ--கோசை g = b யாயும் இருந்தால்,
b - a
சைன்(a+g) = ab
என்றும் கோசை (a+g) = என்றுங் காட்டுக ; a, b என்பன
2ab
a?--b இரண்டும் பூச்சியமல்ல.
10. கோசை p+2சைன் 0 = 1 ஆயின்
தான் = 0 அல்லது 2 எனக் காட்டுக.
11. சைன் 20+ கோசை g - சைன் a = 1 ஆயின்,
கோசைa - சைன்ற = 0 அல்லது 1 எனக் காட்டுக. 12. சைன் 6ஐ+ சைன் 2p+2 கோசை22ஐ = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 13. 3தான்22+2தான்ற = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 14. a என்பது 4, 3 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், T யின் மடங்கல்லாத 2 இன் யாதொரு பெறுமானத்திற்கும் தான் 30 என்பது a தான் 30 இற்குச் சமனகாதெனக் காட்டுக.
冗 5. ༼ཚ769 - ༣/2 - 1 6T607& &SIT! (Bas.
16. 2+g+2 = 7யாயின் கோசை ஐகோசைறு கோசை2 < 4 என்றும்
a y بی.حہ ۔ یہ ۔۔۔ 1 ستم ۔ - @5字@了 2 ವಾಹ61605657 s என்றுங் காட்டுக.
冗 17. சைன்??--சைன்?g = சைன்?(a+g) ஆயின், 20+g என்பது இன் ஒற்றை
மடங்காகும் அல்லது 0, g என்பனவற்றுள் ஒன்றயினும் C யின் மடங்காகும்.
18. கோசைaே2+ சைன்றே = கோசை 20 ஆயின், தான் a = - 1 ஆகும் அல்லது கோசை 2 - சைன் a = 1 ஆகும்.

19.
20.
21.
22.
திரிகோணகணிதம் 59
16 (சைன்0ே+ கோசை0ே) = 7 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. தான்30+5தான்) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. a(தான்)+ கோதா9) = 2 ஆயும் b(தான்20+ கோதா20) = 2 ஆயுமிருந்தால், b = 4a"(1 - a) எனக் காட்டுக.
b அன்றியும், தான் 40 = 1 2 ۔ என்றுங் காட்டுக. 9, ழ என்பன 27 மின் மடங்கால் வேற்றுமைப்படாத இரு கோணங்களாகி, கோசை20 - கோசை2ழ = கோசை0 - கோசை, சைன்20 - சைன்2ழ = சைன்0 - சைன்டி,
என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்குமாயின்,
கோசை) = கோசைடி = 4 எனக் காட்டுக.

Page 36
அத்தியாயம் 5
a கோசை 9+bசைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு.
a, b, c என்பன தந்த மாறிலிகளாயிருக்க, a, b என்பன பூச்சிய மல்லாதனவாய் இருக்கும்பொழுது,
a கோசை9+b சைன் 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வினுடைய பெறுமானங்களைக் (எவையேனுமிருந்தால்) காணும் முறைகளை இப்போது ஆராய்வோம். அச்சமன்பாடு
சைன் 9 = என எழுதப்பட
b C V(a,2Lb,95°a57"°8)* 9+V(a*b,a, V/(a°—+— b°) லாம். இங்கு, V(a2+b2) என்பது (a2+b2) என்பதனுடைய நேர்வர்க்க
மூலத்தைக் குறிக்கின்றது.
α . 2 2 {r}{ரதே}=1 ஆகின்றமையால் துே = கோசை7 ஆகுமாறும் (ਨ = ஆகுமாறும் Q என்னும்
ஒரு கோணத்தை காணலாம். அப்போது சமன்பாடு,
C கோசை 9 கோசை a+ சைன் 6 சைன் a= /(2+b2) ஆகும.
அதாவது, கோசை (9 - 2) = v( )
p, q என்பனவற்றினுடைய எப்பெறுமானங்களுக்கும் கோசை*(9 - 2)
2 S1 ஆயிருத்தலால், ههba1 ک அல்லது c?

Page 37
62 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஃ= a2+b? என்னும் வகை.
.g5زی)ggي c2 = q2-+-b2
c என்பது நேராயின், v(मै-p) = 1 ; ஆயின், 8= 0.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் பொதுப் பெறுமானம் 2mா+a என்பதாலே தரப்படும்.
ஆகவே அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வினுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்கள் 2ா யின் மடங்கொன்ருல் வேற்றுமைப்படும்.
A. C MwA C என்பது மறையாயின், V(a?-+- b*) T - 1 ; ஆயின், B 7 ܒܚܒ
ஆகவே, 6 வின் பொதுப் பெறுமானம் 2mா+2+ா என்பதாலே தரப்படும்.
2mா+2+ா என்பதற்கும் 2mா+7-ா என்பதற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 2ா யின் ஒரு மடங்காகிய 2(n-1) 7ா+2ா யாகும். ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 6 வினுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்களுக்கு இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 2ா யின் மடங்காகும். ஆகவே, 0 < 6 (2ா என்னும் வீச்சில், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் ஒரு பெறுமானமே உண்டு; வேறு யாதுந் தீர்வு இப்பெறு மானத்திற்கு 2ா யின் மடங்கொன்றைக் கூட்டுதலாற் பெறப்படும்.
6 விற்கு எத்தொகையான பெறுமானங்கள் இருந்தாலும், கோசை 9, சைன் 6 என்னும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு பெறுமானமே இருக்கும்.
உதாரணம். 4 கோசை 9 - 3 சைன் 6= 3 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
அச்சமன்பாடு
4. 3 3 Vel35°0- Vg.:39° 0-Vehiga)
என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.
s
4 3. அதாவது கோசை0 ............................................. მთze30 =
3 q என்பது கோசை q= ஆகுமாறும் சைன் 2ー5 ஆகுமாறும்
(), என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கோணமாயின்,
4. 3 கோசை (- 2)= ஆயும் சைன் ( - 0) = - ஆயுமிருக்கும். ஆகவே அச்சமன்பாடு
3 冗 கோசை (0+ 2)=5ー கோசை 2 ஆகும்.

திரிகோணகணிதம் 63 。6十0=2mT士 (; - )
அதாவது 0-2n+- 20 அல்லது 2n 2
வேருெரு வழி.
a கோசை 9+b சைன் 0=e என்னுஞ் சமன்பாடு
1 - தான்? 2 தான் கோசை 9= S சைன் 0= 6 I +தான்; 1+தான்;
என்னுந் தொடர்புகளை வழங்குவதாலும் தீர்க்கப்படலாம்.
6 SSLLSS S SLS =தான் 2 ஆயின், அச்சமன்பாடு
a(1 - to)-- 2bt= c(1--t); அதாவது (a十c)*ー2bt十cーa=0 குன்பதாகும். a+c+0 ஆயின் இது b யிலுள்ள இருபடிச் சமன்பாடு;
b*ー(a十c)(cーa) > 0, அதாவது, ' c2 < a 2 + b 2 ايu} GGT و இச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும்.
c?

Page 38
64 ஆரம்ப தூய கணிதம்
a+c=0 ஆயின் யில் பெறப்படும் சமன்பாடு bl+a=0 ஆகும். ஆயின் x வசாoனது
தான் = - ஆகுமாறுள்ள கோணமாயின், 0= 2nr+c என்னும் தீர்வுத் தொகுதி ஒன்3ாறை
யே பெறுகின்றேம். 9=7 என்பது a கோசை 9+b சைன் 0= - a என்னும் சமன்பாட்டைத் திருப்தியாக்குகின்றமையால் 9 = (2n+1) 7 என்பது வேருெரு தீர்வுத் தொகுதியாகும்.
c? = a*+b? ஆயின், யிலுள்ள இருபடிச் சமன்பாடு பொருந்து மூலங்களைத் தரும் , ஆயிட்டியின் (x = 3.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வினுடைய எவையேனும் இரு பெறுமானங்கள் 27 யின் மடங்கொன்றல் வேற்றுமைப்படும்.
4 கோசை 9 - 3 சைன் 0=3 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க,
4(1-t) - 6t as 3 (1-t).
அதாவது, 7t* -+- Ꮾt - 1 == Ꮎ.
... (7t-I) (t+1) = 0.
.. t = -1 அல்லது +.
அல்லது C ;
t
1. இங்கு a என்பது தான் 2ーテ ஆகுமாறு 0, t என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கோ:ைணம்,
ገr . = nா- அல்லது nா+2.
... 6 = 2nt- g அல்லது 2m7+20.
பிழையான வழி.
a கோசை 0+b சைன் 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு பின்வரும் வழியாலே தீர்க்கப்படலா(ெமென இக்கணிதத்தைக் கற்கத் தொடங்குவோருக்குத் தோற்றலாம் :-
a கோசை 9 - c = bசைன் 9. .. (a கோசை 9 - c)2 = b2சைன்26 - b(1 - கோசை20). .. (a2+b2) கோசை2 0 - 2ac கோசை 0+c2 - 62 = 0. இது கோசை 9 விலுள்ள இருபடிச் சமன்பாடு."
ac'> (a+b) (c-b'), அல்லது - - 0> - ab?--b'c' -b, அல்லது c2 > a2+b2 ஆயின்,
கோசை 0 விற்கு, அது இரு மெய்ப்பெறுமானங்களைத் தரும்.
கோசை 0 வினுடைய மெய்ப்பெறுமானங்கள் பெறப்பட அவற்றின் எண் பெறுமானங்கள் 1 ஐ அதிகரிக்காவாயின், 0 வின் பொதுப்பெறுமானம் பெறப்படலாம்.
இவ்வண்ணம் பெறப்படும் 6 வினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாம் ஆரம்பச் சமன்பாட்டைத் தீசா என்பதே இவ்வழியிலுள்ள குறை.

திரிகோணகணிதம் 65
a கோசை 9-ம் சைன் 6 = c என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு தொடங்கினுேமாயி னும் கோசையினிலுள்ள அதே இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் ; ஆயின், இச்சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகளும் கோசை 6 விலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டினுடைய தீர்வுகளுக்குள் அமைக்கப்படும்.
a கோசை 9+b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தீர்வும் கோசை 6 விலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும் : அன்றியும், a கோசை 9-ம் சைன் 9 - 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தீர்வும் கோசை 9 விலுள்ள அதே இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும். இவ்வழியை வழங்கி கோசை 9 விலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் பொதுப் பெறுமானத்தைப் பெற்றேமாயின், a கோசை 9+bசைன் 6 = c என்னுந் தந்த சமன்பாட்டை 9 வினுடைய பெறுமானங்களுள் எவை தீர்க்குமென்று உண்மையான பிரதியீட்டாலே துணிய முற்பட வேண்டும். யாதுமொரு சமன்பாட்டைத் தீர்த்தற்கண் P= 0? என்னுஞ் சமன்பாடு P = 0 வைக் கட்டாயமாகக் குறிக்கும் என்பதில்லை என ஞாபகத்தில் வைத்தல் பிரதானமானது.
( கோசை0+bசைன் 6 = c என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 (விடினுடைய பெறுமானங்களைக் காண்பதற்கு இவ்வழியை வழங்கல் ஆகா நெவினும், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வினுடைய பெறுமானங்களுக்கு ஒத்த கோலச9 வினுடைய வேறு வேறு பெறுமானங்களைக் காண்பதற்கு அவ்வழி வழங்கப்படலாம். c?

Page 39
66 ஆரம்ப தூய கணிதம் 7
உதாரணமாக, 4 கோசை 9 - 3 சைன் 0 = 3 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க, ஆயின், (4 கோசை 9 - 3)2 = 9 ( - கோசை20).
", 25 கோசை20 - 24 கோசை 9 - 0.
அதாவது, கோசை 9 (25 கோசை 9 -24) - 0.
24 ". கோசை 9 = 0 அல்லது 2ნ ’
வரைபு முறை.
C 40 ஆயின்,
a கோசை 9+b சைன் 6 = c
என்னுஞ் சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தையும் ஒரு நேர் கோட்டையும் வரைந்து குறித்த சில கோணங்களை அளத்தலால் வரைபு முறையாலே தீர்க்கப் படலாம். ஆள்கூற்றுக் கேத்திர கணிதத்திலே நிறுவப்பட்ட சில முடி புகளே வழங்குகிறேம். P என்பது ஒரு தளத்தில் இரு செங்கோண அச்சுக்கள் பற்றித் தன்னுடைய ஆள்கூறுகள் a, g என்பனவாயுள்ள ஒரு புள்ளி யாயிருக்க, 0 என்பது உற்பத்தியாயின்,
y2 + فيه = OP2
lat--my--in z= 0, என்னுஞ் சமன்பாடு அத்தளத்தில், தன்னிலிருந்து உற்பத்தியின் செங்குத்துத் தூரத்தின் வர்க்கம்
n?(2-m) ஆகவுள்ள நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.
a?--y? = r
என்னுஞ் சமன்பாடு உற்பத்தியை மையமாகவும் 1 ஐ ஆரையாகவுமுடைய வட்டத்தைக் குறிக்கும். P என்பது இவ்வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியாயும் 8 என்பது  ைஅச்சினுடைய நேர்த்திசையோடு OP ஆக்குங் கோணமாயுமி ருந்தால், P யினுடைய ஆள்கூறுகள் r கோசை 9, 7 சைன் 9 என்ப னவாகும் ; >ே 0 ஆயிருக்கும்பொழுது,
a கோசை 9+6 சைன் 9 - 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்த்தற்கு, P+g = c* என்னும் வட்டத்தையும் ax+by = c* என்னும் நேர்கோட்டையும் ஆராய்வோம். ஒரு புள்ளி அவ்வட்டத்தின்மீது கிடந்தால், அதனுடைய ஆள்கூறுகள் (0 கோசை 9, C சைன் 8) என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். இப்புள்ளி அந்நேர் கோட்டிலுங் கிடந்தால்,
ac கோசை 9+bc சைன் 9 - c?
அல்லது a கோசை 9+6 சைன் 6 = c , மறுதலையாக,

திரிகோணகணிதம் 67
a கோசை 9+ b சைன் 6 = C யாகும்படி 6 விற்கு ஒரு பெறுமானம் உண்டெனக் கொள்க. ஆயின்,
ac கோசை 9+bc சைன் 6 - c? ; அதாவது, (0 கோசை 9, C சைன் 8) என்பனவற்றைத் தன்னுடைய ஆள்கூறுகளாகவுள்ள புள்ளி aa+by = c* என்னும் நேர்கோட்டின் மீது கிடக்கும். ஆனல், (cகோசை 9, C சைன் 8) என்னும் புள்ளி 2+g? - c* என்னும் வட்டத்தின்மீது கிடக்கின்றது. ஆகவே, அவ்வட்டத் திற்கும் அந்நேர்கோட்டிற்கும் பொதுவாய் ஒரு புள்ளி இருக்கும்.
ஆகவே a.c+by = c* என்னுங் கோட்டிற்கும் a2+g - ?ே என்னும் வட்டத்திற்கும் ஒரு புள்ளியாயினும் பொதுவாயிருந்தாற்றன்,
a கோசை 9+b சைன் 9 - 0 என்னும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 6 வினுடைய பெறுமானங்கள் உண்டு. அக்கோட்டிலிருந்து அவ்வட்டமையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் அவ் வட்டத்தின் ஆரையிலுஞ் சிறியதாயிருந்தால், அந் நேர்கோட்டிற்கும் அவ் வட்டத்திற்கும் இரண்டு வேறன புள்ளிகள் பொதுவாயிருக்கும். அச் செங்குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமனயின் அவற்றிற்கு ஒரு புள்ளியே பொதுவாயிருக்கும். அச் செங்குத்துத்துரம் ஆரையிலும் பெரிதாயின், ஒரு புள்ளியும் பொதுவாய் இராது. அக்கோட்டிலிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரத்தின் வர்க்கம் C/(a + b*) ஆகும். ஆகவே, c/(a+b) < c, gyóDas c < a.--bgu.S637,
0< 9< 2ா என்னும் வீச்சிற்குள்
a கோசை 9+b சைன் 6 = c என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 6 வினுடைய இரு பெறுமானங்கள் இருக்கும். C2 = a2+b2 ஆயின், 0 < 0 (2ா என்னும் வீச்சிற்குள் அச்சமன் பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் ஒரு பெறுமானமே இருக்கும்.
c?> a2+b2 ஆயின், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் ஒரு பெறு மானமும் இராது.
c?

Page 40
68 ஆரம்ப தூய கணிதம்
?ே= a2+6° ஆயிருக்க, P என்பது அவ்வட்டத்தை அக்கோடு தொடும் புள்ளியாயின், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் எப்பெறுமானமும் a+2nா என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும் ; இங்கு 4 என்பது 2 அச்சினுடைய நேர்த்திசையோடு OP ஆக்கிய கோணமாகும்.
c?> a2+b2 ஆயின், அவ்வட்டமுங் கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டா ; அச்சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வும் இராது.
உதாரணம். 2கோசை0+3சைன்9= -2 என்னுஞ் சமன்பாட்டை வரைபு முறையாலே தீர்க்க.
அச்சமன்பாடு முதலாவதாக -2 கோசை9-3 சைன்9 - 2 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படும்.
ஃ+g?= 4 என்னும் வட்டத்தையும் -20-3y = 4 என்னும் நேர்
கோட்டையும் வரைக.
/ F།། །།
அவை P, 0 என்னும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும். OX ஒடு OP ஆக்குங் கோணம் 7ா யாகும் , OX ஒடு 00 ஆக்குங் கோணம் 7-4-2 வாகும் ; இங்கு a என்பது ஆரையனில் P04) என்னுங் கோணத்தின் பருமன்.
ஆகவே, பொதுத் தீர்வு 9 = 2mா+ா அல்லது 2mா+ா+0 என்ப தாலே தரப்படும்.
பயிற்சி 6. 1. 5 கோசை 0+12 சைன் 6 = 65 என்னுஞ் சமன்பாட்டை வகுத்தல் முறையாலே தீர்க்க ; உமது முடிபை வரைபு முறையால் வாய்ப்புப் பார்க்க. ! 2. 2, 3 என்பன 2ா யின் மடங்கொன்றல் வேறுபடாத 6 வினுடைய இரு பெறுமானங் களாய் a கோசை 9+b சைன் 0 = c என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பனவாயின், பின்வருவன வற்றை நிறுவுக -- ۔۔۔۔
+3 。仅十队
QX c - (i) a : b * c = கோசைட் : சைன் ட்ட் C : கோசை a 3.
2 2 2

திரிகோணகணிதம் 69
(i) தான்* 20.ن er o தான்+தான் = c+ a + 0 எனின் ;
ይ C – a
2
, c+ a * 0 எனின் ;
び (iii) 35 TGÖT 2 தான் = --
'v`) G3, 2αο . (w) கோசை a+கோசை 3 = a--b s
الة, سس فة وي v) 66)&637 O 63&radt - - . (v) * 8 + '' + l); 3. b*- c* 4 0 ஆயின், a கோசை 0+b சைன் 9 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்
தான் 6 வினுடைய பெறுமானங்களாலே தீர்க்கப்படும் இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுக.
அதுகொண்டு, x, 3 என்பன 2T யின் மடங்கொன்றல் வேறுபடாத 9 வினுடைய
பெறுமானங்களாய் அச்சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பனவாயின்,
هو سي 2
b2 - c.
4. 2 கோசை 9+ சைன் 0 = கோசை 20 -2சைன் 29 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
என்றுங் காட்டுக.
2ab தான் a+தான் 3. x3x3 c-b
R என்றும், தான் 0% தான் 3. ----
அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 9 வின் எப்பெறுமானத்திற்கும் கோசை 9 = 0 அல்லது
கோசை 30 = எனக் காட்டுக.
Vs.
a சைன் (0+2)+b கோசை(9 - c) = c என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 0 என்பது காணப்படலாமெனக் காட்டுக.
Q என்பது தரப்பட 2ab சைன் 20 > c* - a* - b? ஆயினற்றன்,
a) இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் .6 کر
- (2+ கோசை a)/(2+ சைன் ல) என்பதனுடைய உயர்வு இழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க.
7. a கோசை ஐ--b சைன் 2 = c என்னுஞ் சமன்பாடு கோசை 20 இற்கு இரண்டு பெறுமானங் களைத் தருமென்றும் இந்த இரண்டு பெறுமானங்களும் a கோசை a -ல் சைன் a=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினலே தரப்படும் கோசைல இனுடைய இரு பெறுமானங்களுக்குஞ் சமமென்றுங் காட்டுக.
கோசை 2 aಾ5F6r 3--1 Ms. கோசைல+2 சைன் +ை1 என்பது 1, 2 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்
கோசை a+ சைன் ஐ ஒரு பெறுமானத்தையுங் கொள்ளாதெனக் காட்டுக.
9. 6 கோசை?a+8 சைன் ல கோசை 2 = 8 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
10. 4 (கோசைaே - சைன்லே)+3 (சைன் a - கோசைa) = 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
குறித்த தொடர்கள் சிலவற்றின் கூட்டல்கள்.
உ-ம் 1. சைன் 0+ சைன் (0+2)+சைன் (0+2)+ . . . . +சைன் (9+ -10) என்னுந் தொடருடைய n உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க. இங்கு உறுப்புக் களிலுள்ள கோணங்கள் Q என்னும் பொது வித்தியாசத்தோடு ஒரு கூட்டல் விருத்தியிற் கூடுகின்றன.

Page 41
70 ஆரம்ப தூய கணிதம்
a என்பது 2ா யின் ஒரு மடங்காயின், ஒவ்வோர் உறுப்பும் சைன் 6 வாகி முதல் n உறுப் புக்களின் கூட்டுத்தொகை m சைன் 9 வாகும்.
a என்பது 27 மின் ஒரு மடங்கன்றெனின், சைன் 7. 0.
T என்பது அத்தொடரின் r ஆம் உறுப்பாகுக.
O --- O ... 2T, சைன் = 2 சைன் (0+ - 10) 60565!
== 3are()-- ) ம் கோசை (+, -l 2)
2 2
r = 1, 2, . . . . . . , n எனப் பிரதியிட,
O. QX 6 - - கோசை (+).
6+*-ே 0.
+ 2 سه - )WT66{ 2
6-- 等) - கோசை (+).
2T சைன் ole(
C 2T, சைன் あ= os ( 2 (
... O 3 1. 2T్మణ56* = கோசை (+. ) - கோசை (+. -).
ஒருங்கு கூட்ட,
2 ၈၈#drဒ္ဒိ၊ (T1-T-I-T--.. --T) = Gasions (o ) - கோசை (+. -:)
."are (+,- 珞) சைன் 2 ہے۔
-- C 60fait (+;-) சைன்
.. வேண்டிய கூட்டுத்தொகை =
6Ꮱ0Ꮺ6Ꮡr g 2
உ-ம் 2. கோசை 9+ கோசை (0+2)+ கோசை (0+2)+ . . . . +கோசை (0+ -10) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.
Q என்பது 27ா யின் ஒரு மடங்காயின், ஒவ்வோருறுப்பும் கோசை 0 வாகும் ; ஆயின் அத் தொடரின் மொத்தம் m கோசை a வாகும்.

திரிகோணகணிதம் 7
a என்பது 2ா யின் ஒரு மடங்கல்லாதிருக்க T என்பது r ஆம் உறுப்பெனின்,
C. - O 22 6æädär äー 2 கோசை (0+ - 10) சைன் 2
- 3 = 6,6F (0+۶ -:) జe(+ T2 .)
O CK ... 2 ಐ೮6ರ್ಕ (T+T+...+T) = சைன் (+. T2 .) -- 6୪)8Fqöt ( -
ገ0 – 1 ጎ?,OX = 2 கோசை 0+ CX சைன்
". வேண்டிய கூட்டுத்தொகை =
O. ᎧᎼ0Ꭶ-ᎧᎼᎢ --
விசேடமாக, x=20 வாயின்,
கோசை 0+ கோசை 30 +கோசை 50+...+ கோசை (2n -1)0
கோசை r0 சைன் m9 சைன் 2n0
சைன் 9 26ಠಾ±GT சைன் 2n0
. ; -- G3 2 - 10 ;
2 சைன் 6 -- காசை 2 - 16
S. கோசை 9
கோசை 삐 十...十
இங்கு |a| என்பது ஐ இன் எண் பெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது.
", n இன் யாதுமொரு நேர் முழுவெண் பெறுமானத்திற்கு,
| GDF6ಕT 276
---- - sς 2γυ.
சைன் 9
அதாவது, m என்பது யாதும் ஓர் இரட்டை நேர் முழுவெண்ணுயின்,
சைன் m9 --- < ?.
சைன் 9
சைன் 1. #67 Y *'=ரிேகோசை0+கோசைmb.
சைன் 0 சைன் 0
", m என்பது இரட்டையாயின்,
I *'<வின் கோசை 91+|கோசை0!
சைன் 0 சைன் 0
≤ ፃገን÷1. அதாவது, p என்பது ஒர் ஒற்றை முழுவெண்ணுயின்,


Page 42
72 ஆரம்ப தூய கணிதம்
உ-ம். 3. தலைமைப் பெறுமானம் நேர்மாறு சார்புக்குக் கொடுபட்டிருக்க
தான் "1- + தான்"+ தான்" 2.32 +...+ தான்" -
2.12 என்னுந் தொடரினுடைய n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
- 1 T= தான் "2.ق.م " இப்பொழுது, - - - - -
____ 그_ - l ""2م2 2-1 2r十-1
. - 1 - . . . . a = தான *2. ஆயும், 8= தான் 'பு ஆயுமிருந்தால்,
தான் (7-8) = தான் -தான் 8 2r l 2r + 1 1+தான் 7 தான் 8 1 -- . . .
2r - 2'--l
2-2 issil- - - 1 l on 1 த ஒ=தான "ஒ_1 - த 2r.--
T= தான்"1-தான்"
T=தான்"-தான்";
nnnn - - Η ιταλτ - 1 - -- T= தான்". -தான்"த
 ܼ m irit 1 1 - Arrañt 1 . வேண்டிய கூட்டுத்தொகை = தான்" 1 -தான் 2n+1
2n --
="- கான்-1
4 த

அத்தியாயம் 6
முக்கோணியின் இயல்புகள்.
ABC என்பது ஒரு முக்கோணியாகுக ; A, B, C என்பனவற்றிலுள்ள கோணங்களுடைய பருமன்கள் A, B, C என்பனவற்ருற் குறிக்கப்படுக ; இக்கோணங்களுக்கு எதி ராயுள்ள பக்கங்கள் a,b,c என்பனவற்ருற் குறிக் கப்படுக.
BO GurG BA ay igii கோணம் B யாகும் ; B0 யோடு CA ஆக்குங் கோணம் ரா-C யாகும்.
ஆகவே, B0 யோடு (+ என்னுங் கோணத்தை ஆக்குங் கோட்டின் மீது BA, CA என்பனவற்றின் எறியங்கள் 0 சைன் B, 6 சைன் (ா -C) ஆகும். அதே கோட்டின்மீது BC யின் எறியம் பூச்சியம்.
BA யின் எறியம் - BC யின் எறியம் +CA யின் எறியம்.
", c சைன் B = b சைன் (7 - 0) - b சைன் 0.
? ----- -2 * சைன் B சைன் 0’
b
அதுபோல 8 سنت ... --عتسمہ
தி s சைன் B சைன் A
-------------9 சைன் AT சைன் BT சைன் C ட்
இனி, BC யின்மீது BA யின் எறியம் C கோசை B,
BC யின்மீது CA யின் எறியம் 6 கோசை (ா - C), BC யின்மீது BC யின் எறியம் a. BA யின் எறியம் - BC யின் எறியம்+CA யின் எறியம்.
". 0 கோசை B- a+b கோசை (ா-0) = a -b கோசை 0.
", a = b கோசை C+c கோசை .ே அதுபோல, b = 0 கோசை A+a கோசை 0. . . . . (2)
c - a கோசை B+b கோசை 4.
(1).
73

Page 43
74 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இன்னும், =ே c2கோசை2B+ைேசன்?B
= (a -ம் கோசை C)2+bைேசன்?0  ைa2-2abகோசை0+b2.
அதுபோல, b°=c* - 2acGапGogВ+a”. - . . . . . . (3).
ao=bo-2bc35m68)JA--co.
b--c- a .. கோசை A- bنه ت ... 2 கோசை = 1+கோசை A - 2e4 م - مايو.
_("十"ー"_("十"十"("十"ー").
2 be 2 box a+b+c = 28 ஆகுக. ஆயின், b十cーa=28ー2a.
(s --a) 28 4ر
..”. 2 GB 2 سنة
ᏧᏏᎱᎢᎧᏡ0Ꮡ- 2
bc.
(0 < 4 < ஆகையால், கோசை > 0
2
... co, A - 18 கோசை = bc.
B s(s-b) அதுபோல, கோசை 2 w ca.
கோசை - /॰?}.
a- (b-c) (a-b-c)(a-b-c)
- 1 - கோசை A = 2 bc - 2 bc.
இனி, 2 சைன்? t
=29ー?)("ー"。
ხc . A / s(s-b)(sc)
aga}=/{==}. அதுபோல, ---/
சைன் = /{-ಕ್ತೀರಾ?}.

திரிகோணகணிதம் 75
. A A " ... Is (sb)(c), தான = 1 A s(s-a)
கோசை J
B (s-c)(8 - a) ಹಾಗಣೆ!?= /{o#? s
C (S - a) (s-b) 5ns = {
A A 2 س-ساس------------بہ-- சைன் A - 2 சைன் கோசை= vs(s-a)(s-b)(s-c).
? --
சைன் B = vs(s-a)(s-b)(s-c).
- P -- - - - @ö)字5öT C = vs (s-a)(s-b)(8-c).
முக்கோணிப் பரப்பளவு.
ற என்பது உச்சி A யிலிருந்து பக்கம் B0 யிற்கு வரைந்த செங்குத் தினுடைய நீளமாயின், அம்முக் கோணியின் பரப்பளவு ; aற யாகும். BA என்பது BC யோடு B என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால்,
BOJ Gßu_ufTGB +. என்னுங் கோணத்தை
密
鼻
ஆக்குங் கோட்டின்மீது BA யின் எறியம் cசைன் B யாகும் ; அது “g C p யிற்குச் சமனகும்.
ஆகவே, முக்கோணியின் பரப்பளவு * acசைன் B யாகும்.
? -- ஆனல், சைன் B = ас Ws(s-a)(s-b)(s-c).
. UJILIGITOI = Vs(s-a)(s-b)(s-c).
இப்பரப்பளவை A என்பதாற் குறிக்கின்றேம்.
... A = Vs(S - a)(s-b)(s-c).

Page 44
76 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு கோணத்தின் இருகூருக்கியினுடைய நீளம்.
கோணம் A யின் உள்ளிருகூருக்கியானது BC யை D யிற் சந்திக்க. ABC என்னும் முக்கோணியின் பரப்பளவு ABD, AD0 என்னும் முக்கோணிகளுடைய பரப்பளவுகளின் கூட்டுத் தொகைக்குச்சமன்.
A
.. இbc சைன் A - CAD சைன்
8 LO C bAD 651
...“. 2bc. சைன்கோசை = AD (c--b) 60.5687
. A ರಾತ 657 40 ஆயிருத்தலால்,
2 bტ கோசை = AD (b.--c).
... AD = ஃகோசை
அதுபோல, B, C என்பனவற்றின் உள்ளிருகூருக்கிகள் AC, AB என்பனவற்றை B, F என்பனவற்றிற் சந்தித்தால்,
2 ca. BB = C十a கோசை 2
2al O CF- a+b கோசை 2
CA b ஆயின், c> 6 அல்லது ே b ஆகுக'; அக்கூருக்கி fELqu BC 60)ut D' இற் சந்திக்க.
கோணம் CAD = 74. B
கோணம் BAD = 4+ T+4.
 

திரிகோணகணிதம் 77
பரப்பளவு ABC - பரப்பளவு BAD'-பரப்பளவு CAD' ... bc. 605667A = c.AD' ၈zell("+မ္ဘီ -45 AD சைன் (1-4 2 2 2 2
w A. - (c-b)AD கோசை 瓦”
2 bო 6ზxტraზT A. 2
c -b
சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை.
. AD' =
படம் 1.
R என்பது ABC என்னும் முக்கோணியின் சுற்றுவட்டவாரையாகுக. அம்முக்கோணியினுடைய எல்லாக் கோணங்களுங் கூர்ங்கோணங்களாயின், அதன் மையம் 0 என்பது அம்முக்கோணிக்குள்ளே கிடக்கும் ; அக் கோணங்களுள் ஒன்று விரிகோணமாயின், மையம் அம்முக்கோணிக்கு வெளியே கிடக்கும் படம் 1 இல் எல்லாக் கோணங்களுங் கூர்ங்கோணங் கள் ; படம் 2 இல் கோணம் A என்பது விரிகோணம். ABOC யின் கோணம் B00 படம் 1 இல் 2A, படம் 2 இல் 2ா -2A. O விலிருந்து B0 யிற்கு வரைந்த செங்குத்து, பக்கம் BC யையும் கோணம் B00 யையும் இருகூறிடுகின்றது.
'. =Rசைன் A, படம் 1 இல்
= R சைன் (ா - A), டடம் 2 இல்.
= R சைன் A, இரு வகைகளிலும்.
அதுபோல,
= R சைன் B,=R சைன் C.

Page 45
78 ஆரம்ப தூய கணிதம்
. XXM\\ b c * “ 2 சைன் AT2 சைன் BT2 சைன் 0”
- A 2Δ A = 460 சைன் A அல்லது சைன் A = 下エ"
R — 422 ஆகையால் S. 4.Δ."
உள்வட்டத்தின் ஆரை.
I என்பது உள்வட்டத்தின் மையமாகுக ; D, E, F என் பன அம் முக்கோணிப் பக் கங்களினுடைய தொடு புள்ளி களாகுக ; r என்பது அவ் வட்டவாரையாகுக.
பரப்பளவு ABC - பரப்ப Grtoj BIO--LJULLIGIT6| CIA -- LITI'ILIGi76), AIB
... A = art br-- cr
و خمحمعیسی چیمبوج. عجین
3 حسسه
Qaofi, BD, BF 676öTU607 வெளிப்புள்ளி B யிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலகளாதலால், BD = BF.
2.IgG3LunTGI), CD = CE, AE = AIF.
2AE-- 2CD + 2.BD-2s.
". AB = 8 - (BD -- DC) = s — a.
IE A AE =தான்/IAE=தான்
அதுபோல, r = (s-b) தான்= (8 - c) ##@irဒ္ဒိ၊
BD B CD Ο இனி, ID- கோதா 2 ID" கோதா 2
 

திரிகோண்கணிதம். 79
", a = BD-+-DO = r (கோதா+கோதா ..)
και Ο B C B − T -- 急0メó*ー。 கேژ r(s) கோசை 2 + கோசை ஒசைன O)
6Ꮱ)ᏪᎭ ᎧᎹᎢ -- ᎧᏡXᎭᎧᏑ; --
2 2
yr ജൈ' ? ഞെക്നt (' 4 r கோசை4 2 2 2 "vo 2
சைன் B கோசை C ତ୪)8Fତdit B சைன் சைன் - சைன்
-- 2 2 vn 2 2
2
B C 3 சைன்ட் சைன்ட் 2 R சைன் A சைன்ட் சைன் - ... r = 2 2 2 2.
கோசை A கோசை A 2 2
- 4 R சைன் A சைன் в சைன் - .
2 2 2
முக்கோணியின் வெளிவட்டங்கள். A
I 676ðri ley BC 60u | D úSGI)tb நீட்டிய AB, AC என்பனவற்றை F, B என்பனவற்றிலுந் தொடுகின்ற C வட்டத்தின் மையமாகுக. 7 என்பது ܓܐ E அதன் ஆரையாகுக.
LJüUG76), ABC = UTAUG76 A/B -- LJUČIL JGMTG AIC — J[JLÜL JGM7G BIC.
‘。A=最71C十瑟71b一墨ra。 P
= (c+b-a) سه 3) ۶ جمعیت- a(.
A O is a 8 SSS S SS 0 SS 0 SS L S L0L S SLL S L S S S S S S S S SS S SS SL S SS SS SS SSL SSS SSS SLSL SS (1)
Qoof, AE = AF, BD = BF, CD = CB.
.'. AE -- AIF = AB --:BD -- AC + CD = 2s. .". AE = s.
EI
A 荔= தான் /BA1 = தான் 互”

Page 46
80 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. =s தான்* 0S S SLSLS S L SLL SLL SLL SLL S 0 S LL S L SS0L SLSL SLL SLL SS0 S0 SL SLL0LS S L SSL SS SL SS SLS L SLSL S L S L S L SS0L S 0LS S LSL (2)
2
gQ6of, a = BD -- DC = r GassiT5H IBD -- rı G3a5f75m ICD = r (கோதா? -- கோதார)
2 = r (57 + தான் ..)
B--O A. 7 சைன 2 - r, கோசை 2
கோசை Β கோசைட் கோசை Β கோசை α 2 2 2 2
2R சைன் A கோசை கோசை с
2 '. T1 = -س-س- •
கோசை A 2
== 4 R 6MgF6ör A கோசை в கோசை с o o a a un o ge e e o » o a e o e as o (3)
2 2 2
அதுபோல, r என்பது CA யையும் நீட்டிய BA, B0 என்பனவற்றையுந் தொடுகின்ற வட்டத்தின் ஆரையையும், r என்பது AB யையும் நீட்டிய CA, CB என்பனவற்றையுந் தொடுகின்ற வட்டத்தின் ஆரையாயும்
இருந்தால், r = ਤੰ S தான் == 4 R கோசைசைன்கோசை 2' r = =s தான்= 4 R கோசைகோசைசைன் 2
உள் மையத்திற்குஞ் சுற்று மையத்திற்கும் இடையிலுள்ள தூரம்
I என்பது A ABC யின் உள்வட்ட மையமாயும் 0 என்பது அதன்
சுற்றுவட்ட மையமாயும் இருக்க. A முக்கோணியினுடைய கோணங்களுள் இரண்டாயினுங் கூர்ங்கோணங்களாதல் வேண்டும். 0 என்பது கூர்ங்கோண மெனக் கொள்க. ஆயின், A AOB யின் /40B என்பது 20 யிற்குச் சமன். 0 வென்பது முக்கோணிக்குள்ளே கிடந் ( தாலும் அன்றி வெளியே கிடந்தாலும் B a. இது உண்மையாகும்.

திரிகோணகணிதம் 8.
ஆகவே, 0A = 0B ஆயிருக்கின்றமையால், /BA0 = -C.
2
A. BAT = . 4. 2
. A 7T TT
2. > 2 - O dye)és C 2 -0 என்பதற்கேற்ப,
A /7 Tr A. . •۔-- 06oug; " -- Oنl pl/) -ے ؟" ] . ء " : : ، M I,() 4. 2 ( ) அல்லது -U-
f 77 A. a v nie) on "2. luogybi, (Bahren Z COA I = Goasmi G0D3F 2 O- 2
ᎬᎢ-- ᏣᎲtᎥᏊᏡ)Ꮨ (++c - C - 2)
- கோசை'?
or - An A0-2A.A0 கோசை - c.
A(! யிலிருந்து I யின் செங்குத்துத் தூரம் r = 4R 666) ਡਫ O
ነ‛ = ைேசன் சைன்?
- 2 瓦”
..”. AI =
சைன் - 2
B -- 0
." . ' ᏬᎥ* == 1Ꮾ Rణ56*36-+ R2-8 RP602466t சைன்கோசை
- R2-8 #*a0#ဝေါမ္ဗိဇာ#ဒေါဒ္ဓိ [###e:#” - C — 2609@T *சைன்
2 2
= R2 - 8 R2சைன் சிசைன் α கோசை B கோசை α ma சைன் 6ᏡᏪᏊᏡᎢ α 2 2 2. 2 2 2 === Ꭼ* - 8 #*a0zခေါ်r န္တီဇာဖာဝေါr கோசை B-- O
= RP — 8 R26, சிசைன் ?சைன் - 2 2 2
= R2 - 2 Rr.

Page 47
82 ஆரம்ப தூய கணிதம்
நிமிர்மையம்.
ABC என்பது கோணங்கள் எல்லாங் கூர்ங்கோணமாயுள்ள ஒரு முக்கோணி யாகுக. உச்சிகளிலிருந்து எதிர்ப்பக்கங்க களுக்கு வரையப்படுஞ் செங்குத்துக்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் பொதுப்புள்ளி யாகிய அம்முக்கோணியின் நிமிர்மையம் அம்முக்கோணிக்குள்ளே கிடக்கும். AD, BB, CF என்பன அச்செங்குத்துக்களா குக, H என்பது அந் நிமிர்கோண மையமாகுக.
A E = AB (Bassr6O)3F A = c Gổ5f7 603* 4
AE c கோசை A C AH = கோசை /CAD" NT சைன் 0 கோசை A
கோசை ( c)
2
= 2R Gstsyna. A
அதுபோல, BH = 2R (assrsong B, CH = 2R Gamsay C.
DEF என்னும் முக்கோணி பாதமுக்கோணி எனப்படும். B, C, B, F என்பன் ஒருவட்டப் புள்ளிகளாதலால், ABB, ABC என்னும் முக்கோணிகள் இயல்பொத்தவை.
... FEIBO = AE AB ஆணுல், AB/AB - கோசை A.
• . F'E} == BO G3.g5IT603gt A == a, (5,55fT6Ö)éF „A1. 9lg6UTG), DF = b (345760)y B, DE = c Gastro)g C.
B, D, E, F என்பன ஒருவட்டப் புள்ளிகளாதலால்,
AFDH = FBE = -- 4ر.
gag:GunTG), ZHIDE = - A.
... / FDE = - A.
.. HD என்பது /FDE என்பதை இருகூறிடுகின்றது. அதுபோல, ITH என்பது /BFD என்பதை இருகூறிடுகின்றது.
.. H என்பது ADEF இன் உள் மையம்.
 

திரிகோணகணிதம் 83
EF DEF இன் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை 2 Sorøör ZFDE
_ a கோசை24 a கோசை 4
2 ഞങ്ങt (r-2A) 2 goggöı 2AT4சைன் A
R 下宏
நிமிர்மையத்திற்கும் சுற்றுமையத்திற்கும் இடையிலுள்ள தூரம்.
ABC என்பது ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணியாகுக.
Mለ 0 என்பது சுற்றுமையமாயின். ZoAB=g-o, /BAH =g-B. ஆகவே, B என்பது C யிலும் பெரிது o அல்லது சிறிதாதற்கேற்ப,
A OAHI = B - C gjốdag C - B
B C
எவ்வகையிலும்,
(8asm60)ar. ZOAH = கோசை (B-C)
OH? == AH2 + OA? — 20A. AH GasTGOFF (B - C).
4R2 கோசை2A+ H2-4R2 கோசை A கோசை (B-C)
: R+ 4R2 கோசை A (கோசை A-கோசை (B-C)
- 412 கோசை A (கோசை B+0+ கோசை B-C)
டி. R-8R2 கோசை A கோசை B கோசை .ே
士
ー
பயிற்சி 7 1. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியில், a2+b+c -2be கோசை 4 -2ca கோசை 8 -2ab கோசை O= 0 என நிறுவுக. ABO என்பது ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணி. BC, CA, AB என்பனவற்றின்மீது அம் .هر முக்கோணிக்கு வெளியே BD = D0 ஆகுமாறும் CE = BA ஆகுமாறும் AF = FB ஆகு மாறும் BDO, AEC, AFB என்னுஞ் செங்கோண முக்கோணிகள் வரையப்பட்டுள்ளன. FAB, FED, DCE என்னும் முக்கோணிகளின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகை 붉 (a-b-c) எனக் 5ft (85.
3. ABOD 6TajörLug). AB = ac -eg, llyth ZDAC = x 6) i ffuyuh, Z. DBC = 3> a gyu4qpair Grt ஓர் இணைகரம் ; அவ்விணைகரத்தின் பரப்பளவு
2ல? (கோதா 0+ கோதா 3) 4+(கோதா - கோதா 2) 14. D என்பது BD : DC = m : n ஆகும்படி AABC யினது பக்கம் BC யிலுள்ள 6.Oj 146767. / ADO = 6 GJITuyub, /BAD = (x &jtuqib, /DAO = 9 ஆயுமிருந்தால், (m+r) கோதா 9 = m கோதா Q -n கோதா B= டி கோதா B -m கோதா C எனக் காட்டுக.
6-R 1168 (1166)
எனக் காட்டுக.

Page 48
84 ஆரம்ப தூய கணிதம்
5. D என்பது ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் பக்கம் BC மின் மையமாயும் /BAD = 0 வாயும், /CAD = 3 ஆயுமிருந்தால், c சைன் a = b சைன் 3 என்றும்
ான் 2-8 b - с A ாறுங் காட்டு
67 am - - Sligo - 6687 莎芮_蛟。 தான ஒய் = தான் என்று
6. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் உள்வட்டம் BC, CA, AB என்பனவற்றை D, E, F என்பனவற்றிலே தொடுகின்றது. D யிற்கூடாகவும் அவ்வட்ட மையத்திற்கூடாகவுஞ் செல்கின்ற கோடு E என்பதை யிேற் சந்தித்தால், AG என்பது ABC என்னும் முக்கோணி யின் ஒர் இடையத்தின் நீளத்திற்குக் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
4ر 7. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியில், தான் எனக் காட்டுக.
S. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2 2-vs(s - a)
O
A. B அதிலிருந்து தான் தான் தான் VWM
2 S 2s என்பதைப் பெறுக.
B
8. ፃ* = 8 টা দু தான் தான் @rgびT& 5mL@5。
9. H என்பது ABC என்னும் ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணியின் நிமிர்மையமாயின் AHB, BHC, CHA என்பனவற்றினுடைய சுற்று வட்டங்களுக்குச் சமவாரைகள் உண்டெனக் காட்டுக. அதனைத் துணை கொண்டு இவ்வட்டமையங்களால் ஆக்கப்படும் முக்கோணி ABC என்னும் முக்கோணிக்குச் சர்வசமனெனக் காட்டுக.
10. என்பது உண்மையமாயும், 1, 1, 1 என்பன A, B, O என்பனவற்றிற்கு மறையாயுள்ள வெளிமையங்களாயுமிருந்தால்,
A. 歌 11 - 41 கோசை என்றும் 1119 இன் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை 2R என்றுங் காட்டுக.
11. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியில்
1+ ...) Ganse* = (1+*) aanse* W gr了gö)。 一- ニ &s@、 一 + 2 0. 2
ஆயின், A,B, என்னுங் கோணங்கள் சமனிலிகளாகாவெனக் காட்டுக. இதனைத் துணைகொண்டு, ஒரு முக்கோணியின் இரு கோணங்களின் இருகூருக்கிகள் சமமாயின், அம்முக்கோணி இரு சமபக்க முக்கோணியாகு மென்பதைப் பெறுக.
12. ABC என்பது B>0 ஆயுள்ள ஒரு முக்கோணியாயின், A, உள் மையம், சுற்றுமையம் என்பனவற்றைத் தன்னுடைய உச்சிகளாகவுள்ள ஒரு முக்கோணியின் பரப்பளவு
R2
{சைன் (B - C)- சைன் B+ சைன் 0} எனக் காட்டுக.
13. D, E, F என்பன ABC என்னும் ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணியின் உச்சிகளிலிருந்து எதிர்ப்பக்கங்களுக்கு வரைந்த செங்குத்துக்களின் அடிகளாயின், DEF என்னும் முக்கோணியின் பரப்பளவு
- ?? (சைன் 44+சைன் 4B+சைன் 40) எனக் காட்டுக.
14. ஒரு முக்கோணியினுடைய சுற்றுவட்ட ஆரையும் ஒரு கூர்ங்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்க நீளமுந் தரப்பட்டால் அம்முக்கோணியின் பரப்பளவும் உள்வட்ட ஆரையும், ஏனையிரண்டு பக்கங்களுஞ் சமமாகும் பொழுது, மிகப்பெரியனவாகுமெனக் காட்டுக.
15. DEF என்னும் ஒரு முக்கோணி ABC என்னும் ஒரு கூர்ங்கோண முக்கோணிக்கு LLLLLLLLS LLLLLLLLS LLLLL TTLTT SAAS S LLS SG TTmLtTTTTTT LLTTS S TTTMTTTT TSTrmTmaTLTT 6Qj60)Tul Lu'L-ġI ; ZECA = ZEAC= ZABC ; / FAB = Z F'BA = ZAC B. R 6 T637 Luga

திரிகோணகணிதம் 85
AABC யின் சுற்றரையாயின், BDO, CBA, AFB என்னும் முக்கோணிகளின் நிமிர் லnயங்களால் ஆக்கப்படும் முக்கோணி ABC என்னும் முக்கோணிக்குச் சர்வசமனென்றும் (! யிற்கும் AFB என்னும் முக்கோணியின் நிமிர்மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் டிர்க்கம் R?+2aம் கோசை C என்றும் நிறுவுக.
முக்கோணித் தீர்வுகள்.
ஒரு முக்கோணிக்கு அதனேடு கூடியனவாய் ஆறு மூலகங்கள் உண்டு; அவை அதனுடைய மூன்று பக்கங்களும் மூன்று கோணங்களுமாகும். இவற்றுட் குறித்த சில மூலகங்களானவை தரப்பட்டால், ஏனையவற்றைக் காணும் முறை அம்முக்கோணியினது தீர்வு எனப்படும். இரு பக்கங்களும் அமைகோணமுந் தரப்பட்ட வகை.
b, c, A என்பன தரப்பட்டனவெனக் கொள்க.
b 605667 B с.
,லால் تتسس 之 * f
B--C ,B一C b.0 சைன் B- சைன் 0 2 கோசை 2 60Xգ-667 2 b + c சைன் B+சைன் 0 2 சைன் PGangaP ബ கோதா? தான் ട്ടു
= கோகா ("- B-o = ಆಹ।#೧ (-) ತಿ 2
ma ngisi o iPo =தான ஒத 2
ná马一° b - c. f
என்பது- என்பனவற்றிற்கிடையே கிடப்பதால், அது தனி யாகத் துணியப்படும். அன்றியும் B + 0 = r - A, ஆகவே, B, C என்பன தனித்தனி துணியப்படும். ஆயின், பக்கம் a என்பது
0. b சைன் A"சைன் B
என்னுந் தொடர்பிலிருந்து துணியப்படும். இவ்வண்ணம், ஒரு முக்கோணி யினுடைய இரு பக்கங்களும் அவற்றின் அமைகோணமுந் தரப்பட்டால், மிதிப் பக்கமுங் கோணங்களுந் தனித்தனி துணியப்படும்.

Page 49
86 ஆரம்ப தூய கணிதம்
உ. ம். b = 10 சமீ, c = 21 சமீ, 4 = 59°15 ஆயின், a, B, C என்பனவற்றைக் காண்க.
தான ="கோதா4
2 C C-B c -b 2 c-b
21-10 21-10
.". தான் கோதா 2
கோதா 29° 37
1. O t
=ஓகோதா 29° 37'.
.". மட தான் o೫- மட 11 - மட31+மட கோதா 29° 37
- 10414 - 14914-7548
= .7952. ". св- 31 958' ... O - B - 63°56'.
O -+ B == 180° - 59°15’ == 120°45”
... O = 92°20' ... B = 28°25'.
O 10
ഞ്ഞ15gം 15" ഞെക്ന് 28.257
... LԸւ a = ԼՈւ 10--ւԸւ 60).ց 6ծ7 59°15 - ԼՈւ- 60)Ժ637 28°25′
= 1 --9342-16775 =1·2567。
* . at == 18*0Ꮾ.
மூன்று பக்கமுந் தரப்பட்ட வகை.
a, b, c என்பன தரப்பட்டனவெனக் கொள்க.
ஆயின், 8 = -+ என்பது துணியப்படும்.
A /(s-b)(8-c) 76 = W sts - a)
<霊 ஆகையால், A என்பது தனியாகத் துணியப்படும். அதுபோல
B, C என்பனவுந் தனித்தனி துணியப்படும்.

திரிகோணகணிதம் 87
உ-ம். a = 10, b - 21, c = 15 ஆயின் A, B, C என்பனவற்றைக் as Tadoles.
8 E 10+21+15_
2 )ಡಿಕ್ಟ್ರಿ/ ــ 4 من ** ፆ"°° 2 N/ 28(28-10)
23.
'. LOL- தான் s (மட2+மட8 - மட23 - மட 13)
=基(3110十9031一13617一1·1139)。 = I-3642. A. .". 1Ꭲ -- 18Ꮙ Ꭴ1" .
2 ... A = 26' 02".
அதுபோல B, C என்பனவற்றையுங் காணலாம். இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுள் ஒன்றிற்கு எதிர்க்கோணமுந் தரப்பட்ட வகை.
b, c, B என்பன தரப்பட்டனவெனக் கொள்க.
அம்முக்கோணியின் கேத்திரகணித அமைப்பை ஆராய்க.
யாதுமொரு கோடு BX என்பதை வரைக ; பின் BX ஒடு B என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்ற BA என்னுங் கோட்டை C யிற்குச் சமனக வரைக. (i) A என்னும் மையத்தையும் b என்னும் ஆரையையுமுடைய ஒரு வட்டம் வரைக. இவ்வட்டம் BX இன் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியில் BX என்பதை வெட்டினற்றன், தந்த தரவுகளுடன் ஒரு முக்கோணி வரையப் படலாம். ஆரையானது BX இலிருந்து A யினுடைய செங்குத்துத் தூரத்திலுஞ் சிறிதாயினுல், அதாவது b < 0 சைன் B ஆயினல், அவ் வட்டம் BX என்பதை அல்லது நீட்டிய XB என்பதை வெட்டாது. ஆகவே b < 0 சைன் B ஆயின், ஒரு தீர்வும் இராது. ஆகவே, ஒரு தீர்வு இருத்தற்கு வேண்டிய ஒரு நிபந்தனை b > 0 சைன் B யாகும்.
இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்பட்டுள்ளதெனக் கொள்க, B என்னுந் தந்த கோணம் கூர்ங்கோணமாயுள்ள வகையை முதலாவதாக ஆராய்வோம். N என்பது A யிலிருந்து BX இற்கு வரைந்த செங்குத்தின் அடியாகுக. A என்னும் மையத்தையும் b என்னும் ஆரையையுமுடைய வட்டம், b = c சைன் B ஆயின், BX என்பதை N இலே தொடும்.

Page 50
88 ஆரம்ப தூய கணிதம்
b > 0 சைன் B யாயின், அது N இலிருந்து சமதூரமான இரு புள்ளி களில் BX என்பதை வெட்டும், படம் (i) ஐக் கவனிக்க. முதலாம் வகையில், AWB என்பதே வேண்டிய முக்கோணியாகும் ; அத்தகை முக்கோணி ஒன்ருகவே இருக்கும். இரண்டாம் வகையில், N என்பது 0, B என்பவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்படி அவ்வட்டமும் BX உம் வெட்டும் புள்ளி 0 இற்கு ஒத்ததாய், என்றும் ஒரு தீர்வு இருக்கும். C என்னும் மற்றை வெட்டுப் புள்ளியானது B, N என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், இப்புள்ளியும் ஒரு தீர்வைத் தரும். ABC, ABC, என்னும் இரு முக்கோணிகளுந் தந்த நிபந்தனைகளைத் தீர்க்கும். 400 என்னும் முக்கோணி இரு சமபக்க முக்கோணியாகும். ஆயின் /40,0
என்பது கூர்ங்கோணமாகும். ஆகவே, /ACB என்பது விரி கோணமாகும். ஆதலால், அது /ABC இலும் பெரிதாகும்.
لكن لهTo كهربائى و4B> 4O2م.
c > ხ.
ஆகவே, இரு தீர்வுகள் வரக் கூடியனவாயின்,
(ii)
c > b > c 605-6ðt B.
C என்னும் வெட்டும் புள்ளி B, N என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்காதுவிடின், ABC என்னும் முக்கோணிக்கு B என்னுந் தந்த கூர்ங்கோணம் இல்லை என்பதால், ஒரு தீர்வே வரக்கூடும். ABO, என்னும் முக்கோணியில், /ABC என்பது விரிகோணம். ஆகவே, AC > AB ; g.g5FTG) ug/ b > c. b = c u Tuớ6ổT, CU GTGÖTUgi B Gulu ITGB பொருந்தும்.
ஆகவே, B என்பது கூர்ங்கோணமாயிருக்கும்பொழுது 0 > b > 0 சைன் B ஆயின், இரு தீர்வுகளும் c S b அல்லது b = 0 சைன் B ஆயின், ஒரு தீர்வே இருக்கும்.
இப்பொழுது, B என்னுந் தந்த கோணம் ஒரு செங்கோணமெனக் கொள்க. ஆயின், N என்பது B யோடு பொருந்தும் ; b > 0 ஆகும் பொழுதே ஒரு தீர்வு இருக்கக்கூடும். A என்பதை மையமாகவும் b என்பதை ஆரையாகவுங் கொண்ட வட்டம் BX என்பதை B யினுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் ; இவ்விரு புள்ளிகளுக் கும் ஒத்த முக்கோணிகள் ஒன்றகுமென்பது தெளிவு.
B என்னுங் கோணம் விரிகோணமாயின், b > 0 ஆகும்பொழுதே ஒரு தீர்வு இருக்கும். A என்பதை மையமாகவும் b என்பதை ஆரையாகவும் உடைய வட்டம் BX என்பதை B யினுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் வெட்டும் ; அவ்வெட்டும் புள்ளிகளில் ஒன்றே அனுமதிக்கப்படத்தக்கது.
 

திரிகோணகணிதம் 89
0 என்னுங் கோணம் சைன் 0 = ဧe့r # என்னுந் தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும்.
a- C 6ᎼxᎲᎶᏑr B a a a எனபது சைன a = -- ஆகுமபடியுளள நேர்க்கூர்ங்கோண
nாயின் B என்பது கூர்ங்கோணமாயும் c> b> 0 சைன் B ஆயுமிருக்கும் பொழுது பெறப்பட்ட C யினுடைய இரு பெறுமானங்களும் 2, 7 - 2 என்பனவாகும். A யினுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் A = r - (B+0) என்னுந் தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும் ; a யினுடைய ஒத்த பெறு மானங்கள் 0 - b சைன் A என்னுந் தொடர்பிலிருந்து பெறப்படும்.
சைன் B
பயிற்சி 8
1. b, c, B என்பன தரப்பட்ட பொழுது இரு முக்கோணிகள் பெறப்பட்டாற் பின்வருவன வற்றை நிறுவுக :
(1) அம்முக்கோணிகளினுடைய சுற்றளவுகளின் வித்தியாசம் 2d என்பது 24/6? -0* சைன்?B,
(ii) அம்முக்கோணிகளினுடைய சுற்று மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் d கோசி B.
B
(i) அம்முக்கோணிகளினுடைய உள் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் d சீக 2. '
(iv) அthமுக்கோணிகளினுடைய நிமிர் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் 2ல் கோதா B.
2. பின்வரும் நிபந்தனைகளில் AABC யைத் தீர்க்க :-
31 بیتی A 6 ۰ژ) یا () ()1 - t ()
(ii) t - , lb hasa (, : , Pt 5.
() . 12 , b : 10, A = 85.
(iv) a na 9, b = 10, A = 28°.
(v) a = 14, b = 11, A = 148.

Page 51

ற்றுக் கேத்திரகணிதம்

Page 52

அத்தியாயம் 1
ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
டெக்காட்டேயின் ஆள்கூறுகள்.
XOX, YOY என்பன ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளி 0 வில் ஒன்றை ஒன்று வெட்டுகின்ற இரண்டு நிலையான நேர்க்கோடுகளாகுக. P என்பது அத்தளத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக ; PL என்பது XX' என்பதை L இற் சந்திக்குமாறு YOY இற்குச் சமாந்தரமாய் Y வரையப்படுக ; PM என்பது Y7 என்பதை M இற் சந்திக்குமாறு M-sa---- P XOX' இற்குச் சமாந்தரமாய் வரை யப்படுக. )
7
P யினது நிலை தரப்பட்டால், X O| #v L OL, OM என்னும் ஒத்த நீளங்கள் அறியப்படும். இந்நீளங்கள் XOX', Y0Y என்னும் அச்சுக்களைக் குறி த்து P என்னும் புள்ளியின் ஆள் கூறுகள் எனப்படும் ; 0 என்பது Y உற்பத்தி எனப்படும். OL = 20 ஆயும், OM = g யாயுமிருந்தால், P யின் ஆள்கூறுகள் (a, g) எனப்படும் ; a என்பது கிடைக்கூறு என்றும், y என்பது நிலைக்கூறு என்றும் கூறப்படும். OL, OM என்னும் நீளங்களானவை தரப்பட்டால், 0 விலிருந்து X'X இனது நீளத்திற்கு OL என்னும் ஒரு நீளத்தையும் Y1 யினது நீளத்திற்கு OM என்னும் ஒரு நீளத்தையும் அளந்து, L, M என்பனவற்றிற்கூடாக முறையே "X, XX என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய்க் கோடுகள் வரைதலர்ல், P யின் ஒத்த நிலை பெறப்படும். 0L என்னும் நீளம் 0X அல்லது OX இனது திசையில் குறிக்கப்படலாம் என்பதாலும், OM என்னும் நீளம் OY அல்லது 07 இனது திசையில் குறிக்கப் படலாம் என்பதாலும், அத்தகைப் புள்ளி நான்கு பெறப்படலாமென எளிதிற் காணப்படும். அத்தளத்திலே தந்த ஒரு சோடி ஆள்கூறுகளுக்கு ஒத்ததாய் ஒரு புள்ளியே உண்டு எனச் சொல்லத்தக்கதாய் ஆள் கூறுகளை வரையறுத்தல் வசதியாகும். தந்த ஒரு கோட்டினது திசை யில் அதன்மீது தந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்து அளக்கப்படும் ஒரு நீளத்தின் குறிபற்றி ஒரு வழக்கை மேற்கொள்ளுவதால் இது செய்யப்படும். 0 விலிருந்து OX இனது திசையில் அளக்கப்படும் நீளங்களை நேர் என்றும் OX இனது திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை மறை என்றுங் கொள்ள
93

Page 53
94 ஆரம்ப தூய கணிதம்
லாம் ; அதுபோல 0 விலிருந்து OY யினது திசையில் அளக்கப்படுவன வற்றை நேர் என்றும் OY இனது திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை மறை என்றுங் கொள்ளலாம். இவ்வழக்கைக் கொள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகளானவை நேர் அல்லது மறையாகலாம். ல, g என்னும் இரண்டும் நேராயின், அப்புள்ளி XOY என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும் ; a நேராயும் g மறையாயுமிருந்தால் அப்புள்ளி XOY என்னுங் கோணத்தி னுட் கிடக்கும் , 0 மறையாயும் g நேராயுமிருந்தால் அப்புள்ளி YOX" என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும் ; 2, g என்னும் இரண்டும் மறையா யிருந்தால், அப்புள்ளி X'OY என்னும் கோணத்தினுட் கிடக்கும். உற்பத்தி 0 விற்கு (0,0) என்னும் ஆள்கூறுகள் உண்டு. X'OX இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு அல்லது 3 அச்சிற்குப் பூச்சியம் என்னும் நிலைக்கூறு உண்டு ; YOY யின்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு அல்லது y அச்சிற்குப் பூச்சியம் என்னுங் கிடைக்கூறு உண்டு. OX என்பது  ைஅச்சினது நேர்த்திசை என்றும் OY என்பது y அச்சினது நேர்த்திசை என்றுங் கூறப்படும். ر
ஒன்றை ஒன்று வெட்டும் அச்சுக்கள் பற்றி இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a, g) என்பன அப் புள்ளியினுடைய டெக்காட்டேயின் ஆள்கூறுகள் எனப்படும். ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளி யினது நிலையைத் துணியும் இம் முறையை முதன்முதலாகத் டெக்காட்டே என்னும் புகழ்பெற்ற பிரான்சு தேயத்துக் கணிதவறிஞன் வழங்கியமை யால், இம்முறை அவர் பெயராற் கூறப்படுகின்றது. 0X, 07 என்னும் அச்சுக்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று செங்குத்தாயின், அவ்வச்சுக்கள் செவ்வக வச்சுக்கள் எனப்படும் ; அவ்வாறில்லையெனின், அவை சரிவானவை எனப்படும். இங்கு செவ்வகவச்சுக்களையே கையாள்வோம். அத்த்கை அச்சுக்கள்பற்றி, P என்னும் ஒரு புள்ளியின் கிடைக்கூறு OX இன்மீது OP யின் நிமிர்கோண எறியமாகும் ; அதனுடைய நிலைக்கூறு OY யின்மீது OP யின் நிமிர்கோண எறியமாகும். -
முனைவாள் கூறுகள்.
ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளியினது நிலை வேறெரு விதத்தாலுந் துணியப் JLGOTLs).
ஒரு தளத்தில் 0 என்பது நிலையான ஒரு புள்ளியாயும், OA என்பது நிலையான ஒரு கோடாயுமிருக்க அத்தளத்தில், P என்பது ஒரு மாறும் புள்ளியாயிருக்க, OA யோடு OP ஆக்குங் கோணமும் 0 விலிருந்து P யினது தூரமும் அறியப்பட்டால், P யினது நிலை அறியப்படும். OP = r ஆயும், 04யோடு OP ஆக்குங் கோணம் 9 வாயு மிருந்தால், O என்பது முனைவாயும் 0A என்பது ஆரம்பக் கோடாயுமிருக்க,
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 95
இவைபற்றிப் புள்ளி P யிற்கு (r, 9) என்னும் முனைவாள்கூறுகள் இருக் கின்றன என்று கூறப்படும். OP என்பது ஆரைக்காவி என்றும், 9 என்பது காவிக்கோணம் என்றுங் கூறப்படும். OA யிலிருந்து OP யிற்குள்ள சுழற்சிப் போக்கு இடஞ்சுழி அல்லது வலஞ்சுழியாயிருத்தற்கேற்ப, 9 என் பது நேர் அல்லது மறை எனக் கொள்ளப்படும். r என்பது நேரெனக் கொள்ளப்பட, 049<2ா (அல்லது-ா< 92ா) ஆயின், வேறன இரு புள்ளிகளுக்கு ஒரே முனைவாள்கூற்றுத் தொகுதி (r,6) இராது; ஒரே புள்ளிக்கு இரண்டு ஆள்கூற்றுத் தொகுதிகள் இருத்தல் முடியாது. ஆளுல்ை, சிலவேளை களிற் குறித்த நோக்கங்களுக்காக r இன் குறிபற்றியும் ஒரு வழக்கை மேற் கொள்ளுதல் இசைவாகும்.
r> 0 வாயிருக்கும்பொ ழுது, P என்பது (7,9) என் னும் புள்ளியாயிருக்க, PO என்பது OP = Y ஆகும் வண் ணம் P' இற்கு நீட்டப்படின், P என்னும் புள்ளிக்கு (-1,9) محسیمے என்னும் ஆள்கூறுகள் உண் 27 டென்று கூறப்படும். ஆனல், P இரு வேறு வேறன ஆள்கூற் றுத் தொகுதிகள் ஒரே புள்ளிக்கு ஒத்தனவாகுமென்பதால் இவ்வழக்கு அத்தனை நல்லதன்று ; (-r,0) என்னும் புள்ளியும் (r, 7+9) என்னும் புள்ளியும் இவ்வழக்குப்பற்றி ஒன்ருதல் கண்கூடு.
டெக்காட்டேயின் செவ்வக ஆள்கூறுகளுக்கும் முனைவாள்கூறுகளுக் கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகள்.
0 என்பது முனைவாயும் OA என்பது ஆரம்பக் கோடாயுமிருக்க, அவைபற்றி P என்னும் புள்ளிக்கு (r, 6) என்னும் முனைவாள்கூறுகள் இருக்க. ஆயின், OA யின்மீது OP
P யின் நிமிர்கோண எறியம் r கோசை 9
ஆகும் , OA ஒடு என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் OB என்னுங் கோட்டின்மீது OP யின் நிமிர்கோண -9 எறியம் rசைன் 9 ஆகும். O A ஆகவே, 04, OB என்பன முறையே a, g என்பனவற்றின் அச்சுக்களாய் எடுக்கப்பட, P என்னும் புள்ளிக்கு இவ்வச்சுக்கள் பற்றி (a, g) என்னும் ஆள்கூறுகள் இருந்தால்,
2 = r கோசை 9 ஆயும் g = r சைன் 9 ஆயுமிருக்கும்.

Page 54
96 ஆரம்ப தூய கணிதம
அச்சுமாற்றம். OX, OY என்பன இரு செவ்வக வச்சுக்களாகுக ; இவ்வச்சுக்கள் பற்றி 0 என்னும் ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a, b) ஆகுக ; இவ்வச்சுக்கள் பற்றி P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளியிலே ஆள் கூறுகள் (a, g) f gb(g5és. PM, PN 676öTL 1607 OX, Y ү OY என்பனவற்றை M, N என்பன ,P வற்றிற் சந்திக்குமாறு முறையே Y0 ܚܚܚܚܚܚܚܚܚܚܚ N-------------------- XO என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர மாய் வரைந்தால், OM = 20 ஆயும், y ON = gy uuITujuÁ5qb5diGg5Lb. OʻIMʼ, OʻNʼ என்பனவற்றை Y0, XO என்பன வற்றிற்குச் சமாந்தாமாய் வரைந் தால் OM' = a ஆயும், ON = b யுமி O f x ருக்கும். Ο'Χ, Ο Υ στGότι μό07 M ዞብ OX, OY என்பனவற்றிற்குச் சமாந் தரமாய் வரையப்படுக. 0'X',0'Y என்னும் அச்சுகள் பற்றி P யின் ஆள்கூறுகள் (a', y) ஆகுக'. ஆயின், படத்திலிருந்து a = ல'+a என்பதும் y = y'+ம் என்பதும் எளிதிற் காணப்படும். 0, y, a, b என்பன எல்லாம் நேராகும்படி அப்படம் வரையப்பட்டபோதிலும் 30,g,a,b,ல',g' என்பனவற்றின் குறிகள் எவையாயிருப்பினும் மேலுள்ள தொடர்புகள் என்றும் உண்மை எனக் காட்டல் அரிதன்று.
இரு புள்ளிகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரம்.
P, P என்பன ஒரு தளத்தில் OX, OY என்னும் இரு செவ்வக
அச்சுக்கள்பற்றி (a, y), (a2, y) என்னும் ஆள்கூறுகளையுடைய இரு புள்ளிகளாகுக.
OP இன் எறியம் - OP இன் எறியம் + PP இன் எறியம் அதாவது, PP இன் எறியம்= OP இன் எறியம் - OP இன் எறியம்.
.. 0X இன்மீது PP இன் எறியம் = 2-0
OY யின்மீது, PP இன் எறியம் = g-g. ... PPo= (ac - ac)*+(ya-y)o. விசேடமாக, P = (2,g) ஆயின்,
OP2 == (ac -- o)2 +-(gy -- o)2 == ac2-+-g2.
ஒரு நீளத்தைத் துண்டுகளாகப் பிரித்தல்.
 ெஎன்பது P, P என்னும் இரு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்ற
நேர் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. Q என்பது PP என் பதை P9, QP என்னும் இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கின்றதெனப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 97.
Q என்பது P, P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், P9, QP என்னும் நீளங்கள் ஒரு போக்கில் இருக்கும் ; ஆனல், Q என்பது நீட்டிய PP அல்லது நீட்டிய PP இல் இருந்தால், P0, QP என்பன ஒரே போக்கில் இரா.
தந்த ஒரு நேர் கோட்டினது திசையில் அளக்கப்பட்ட நீளங்களின் குறிகளுக்கு வழக்கமான வழக்கைப் பின்பற்றிக்கொண்டு, 9 என்பது PP என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும்போது PQ/QP என்னும் விகிதத்தை நேர் என்றும் Q என்பது P. P என்பனவற்றிற்கு இடையில் கிடவாதிருக்கும்போது அவ்விகிதத்தை மறை என்றுங் கொள்ளுகின்றேம். P, P என்பன நிலையாயிருக்க, 0 என்பது P இலிருந்து P இற்கு PP என்னுங் கோட்டினது திசையில் இயங்கும்பொழுது என்னும் விகிதம் எல்லா நேர்ப் பெறுமானங்களேயும் எடுக்கும். Q என்பது நீட்டிய PP என்பதனு டைய திசையில் இயங்கும்
பொழுது, அவ்விகிதம் -1, 0 P 6 என்பனவற்றிற்கு இடையில் Z / எல்லா மறைப் பெறுமா னங்களையும் எடுக்கும். ெ 6 என்பது நீட்டிய PP என்பத 2
P P
னுடைய திசையில் இயங் 7 رک : கும் பொழுது, அவ்விகிதம் 6 - 1 இலுஞ் சிறிய எல்லா மறைப் பெறுமானங்களையும் எடுக்கும். Q என்பது P ஒடு பொருந்தினல், அவ்விகிதம் பூச்சியமாகும் ; ஆனல், எென்பது P ஒடு பொருந்தினல், PQ/QP என்னும் விகிதத்திற்குப் பொருளில்லை. Q வினது யாதுமொரு நிலைக்கும் அவ்விகிதம் -1 என்னும் பெறுமானத்தை எடாது ; அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : 4) என்பது PP இற்கு வெளியாற் கிடக்கும்போது PQ வின் பருமன் Pெ இன் பருமனுக்குச் சமனகாது. இவ்வண்ண மாக, P:0/QP= k ஆயின், k இனது -1 இற்குச் சமனகாத யாது. மொரு தந்த பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய், P. P என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது எென்னும் ஒரு புள்ளியே இருக்கும் அக்கோட்டின்மீது P என்னும் புள்ளியைத் தவிர்ந்த ஒவ்வொரு புள்ளி யும் -1 இற்குச் சமனகாத b யின் ஒரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் இருக்கும்.

Page 55
98 ஆரம்ப தூய கணிதம்
m, m என்பன இரண்டு நேர் மெய்யெண்களாய் அல்லது மறை மெய் யெண்களாயிருக்க, P0/0P = ஆகுக'.
2
P, P, 0 என்பனவற்றின் ஆள் கூறுகள் (a, g); (32 g), (), y) ஆகுக'. யாதுமொரு கோட்டை p, p2 g என்பனவற்றிற் சந்திக்குமாறு, P, P, Q என்பனவற்றிற்கூடாக, சமாந்தர மான கோடுகள் வரையப்பட்டால்
pig P.9 P 2 R, ap, QIP),
கணிதத்தினின்று பெறப்படும். PP என்பது 2 அச்சிற்குச் செங்குத்தன்றெனின், அவ்வச்சின்மீது நிமிர்கோணமாக எறிவோமானல்,
PQ வின் எறியம் P0 m QP, Qasr ata5lub T QP, m, 0Q வின் எறியம் -OP இன் எறியம்_m * OP,இன் எறியம்-00 வின் எறியம்"m, 。砂ーa %mوه " aca -- a0 77%a '. (m-¡-·ms) = m + m്
a = '+mള т.-i-та PP என்பது 2 அச்சிற்குச் செங்குத்தெனின், a = a = a ; சூத் திரம் தெளிவாய் உண்மையாகும்.
ma/a十m23/1
m-m
என்பது தூய கேத்திர
0 0
அதுபோல், g =
Q வின் யாதுமொரு நிலைக்கும் ' என்பது -1 இற்குச் சமஞகா " та தென்பது கவனிக்கப்படவேண்டும் ; ஆயின் m+m = 0 என்னும் வகை உண்டாகாது.
 ெஎன்பது PP இன் முக்கூறிட்ட புள்ளிகளுள் P இற்கு அண்மையிலுள்ளதாயின் m = 1 என்றும், m = 2 என்றும் கொள் ளலாம் ஆயின், விென் ஆள்கூறுகள்.
+2 --2 (. 3 ಅತ್ಥಚಿ) ஆகும.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 99.
P என்பது PQ வின் மையமாகும்படி 9 என்பது நீட்டிய PP இன்மீதுள்ள புள்ளியாயின், m = 2, m = -1 அல்லது m= -2, n = 1 என்று கொள்ளலாம் ; ஆயின் 9 வின் ஆள்கூறுகள்
(229-3 2/2-g) ஆகும்.
என்னும் விகிதமேயன்றி m, m என்பனவற்றினுடைய தனித் 2
தனிப் பெறுமானங்கள் வேண்டியனவல்ல.
பயிற்சி 9
1. (1, 1), (-2, -3), ( - 3, 4) என்னும் உச்சிகளையுடைய முக்கோணி செங்கோண முள்ளதெனக் காட்டுக.
2. (a),g), (a,g), (0,g) என்பன ஒரு முக்கோணியின் உச்சிகளாயின், அதன் இடை பங்கள் சந்திக்கும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்:
21十2a十as sa十3/a十ys
y
என்பனவெனக் காட்டுக. 3 3
3. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியில், CP - BC, A0 = CA, BR = AB ஆகும்படி 30, 0A, AB என்பன முறையே P, 2, R என்பனவற்றிற்கு நீட்டப்பட்டுள்ளன. AR0 என்னும் முக்கோணியின் மையப்போலி PQR என்னும் முக்கோணியின் மையப் போலியோடு ஒன்றகுமெனக் காட்டுக.
4. (a g), (a, g), (a, gs), (a, g) என்பன ஒரொழுங்கில் எடுத்த ஓர் இணை கரத்தின் உச்சிகளின் ஆள்கூறுகளாயின், 2 + 2 = 3 + a: என்றும் g +g=g+g கன்றுங் காட்டுக.
5. A: (1, 2) ஆயும், B=( - 3, -1) ஆயும், C=(-4, 14) ஆயுமிருந்தால், AB AO என்பனவற்றினுடைய நீளங்களையும் A ABC யின் கோணம் A யினுடைய உள்ளிரு அ.முக்கியும் வெளியிருகூருக்கியும் BC யைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளையுங் A, ndota,
6. A = (-1, 1), B= (1, 2), P=(x, y).
(i) AP-BP = 5 ஆயின் g+20 = 4 என்றும், (ii) AP = 2BP ஆயின் 3a2+3g? -108-14g+18 = 0 என்றுங் காட்டுக. 7. A = (1,0) ஆயும், B = {-1, 0) ஆயுமிருக்க, P என்பது AP+BP= 4
2 剑 ஆகும்படியுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், P யின் ஆள்கூறுகள் + = 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் காட்டுக.
,ே A = (4, 0) ஆயும், B = { - 4, 0) ஆயுயிருக்க, P என்பது AP-BP = 4 ஆகும்
aco ¿?
படியுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், P யின் ஆள்கூறுகள் 芳一器 = 1 என்னுஞ் சமன்பாட்
டைத் தீர்க்குமெனக் காட்டுக.

Page 56
100 ஆரம்ப தூய கணிதம் ,
முக்கோணிப் பரப்பளவு. h−
P, P என்பன O என்னும் உற்பத்தியானது P, P என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது கிடவாதவாறும், OP P என்னும் முக் கோணியின் OPPO என் னுஞ் சுற்றின்வரைதற் போக்கு இடஞ்சுழியாயிருக் குமாறுமுள்ள இரு புள்ளி
களாகுக.
P= (a1, g) ஆகுக';
P= (32 g) ஆகுக.
0 வை முனைவாகவும் OX ஐ ஆரம்பக் கோடாக வுங் கொள்க, P இன் முனைவாள்கூறுகள் (r, 9) ஆகுக ; இங்கு r> 0. a என்பது அம்முக்கோணியின் கோணம் POP இன் பருமனயின், P இன் முனைவாள்கூறுகள், ">0ஆயும் 9 = 9+0 ஆயுமிருக்கும் பொழுது, (r, 9) எனக் கொள்ளலாம்.
OPP என்னும் முக்கோணியின் பரப்பளவு
c OPOP, ᎧᏡᏪᎶᏑᎢ POP = ra'r G0D3FGIỚT Cx = i rra. GODFGö7 (69 - 6) = + r,r (சைன் 9 கோசை 9 - கோசை 6 சைன் 9) = 3 (r கோசை 9, 7 சைன் 6-7 கோசை 9.7 சைன் 9). = } (acıya - 22/ı). 0 < 0 < 1ா ஆயிருத்தலால், சைன் 0 என்பது நேர். OPP என்பதன் போக்கு இடஞ்சுழியாயின், a g-லg என்னுங் கோவை நேராகும். OPP இன் போக்கு வலஞ்சுழியாயின், OPP இன் போக்கு இடஞ்சுழியாகும். ஆகவே, முன்போல அதே நியாயத்தால், ay-ay என்னுங் கோவை நேராகும் : அம் முக்கோணியின் பரப்பளவு 4(ay-ay) = -*(ல92 - லg) ஆகும். ஆகவே, இருவகைகளிலும், அம்முக்கோணியின் பரப்பளவு (ag2-லg) என்பதன் எண்பெறுமானமாகும்.
இன்னும், ay-ay என்பது நேர் அல்லது மறை என்பதற்கேற்ப OPP இன் போக்கு இடஞ்சுழி அல்லது வலஞ்சுழியாகும்.
P, P, 0 என்பன ஒரே நேர்கோட்டில் இருந்தால், 0 = 0 அல்லது ா ஆகும் ; ஆயின் "r சைன் (92-9) = 0 ; அதாவது age-ay=0.
P (a, gs) என்பது PPP இன் போக்கு இடஞ்சுழியாகும்படி PP என்பவற்றேடு ஒரு கோட்டில் அமையாத வேறெரு புள்ளியாகுக.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் O
P இற்கூடாக OX, OY என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமான அச்சுக்களை எடுக்க. இவ்வச்சுக்கள் பற்றி P. P என்பனவற்றினுடைய ஆள்கூறுகள் ү
(a - as 2/1 - 2/s), (as - as 2/2 - 2/s) என்பனவாகும்.
ஆகவே, PPP என்னும் முக்கோணி யின் பரப்பளவு = {(a - as) (us-ya) - (as - aca)(2/1 - 2/s)} =墨(a3/2ー2gya十2gyaー2sy2十aay1ー2、3/s).
PPP இன் போக்கு வலஞ் சுழி யாயின், PPP இன் போக்கு இடஞ்சுழியாகும் ;
Ο
அம்முக்கோணியின் பரப்பு
=== }{(aca - 03)(gl-ga) -- (321 - aa)(g2 - 9/3)}, =ー墨(riyaーraya十agyaー2aya十aayaーriys)・ ஆகவே, இரு வகைகளிலும், அம்முக்கோணியின் பரப்பு.
(39-3g +லgg-லg2+ லg -லgg) என்பதன் எண்பெறுமான மாகும். w
இன்னும் லg2-3g +லgg - லg2+ லg -3gg என்னுங் கோவை நேராய் அல்லது மறையாய் இருத்தலுக்
கேற்ப P. PP இன் போக்கு இடஞ்சுழி
யாய் அல்லது வலஞ்சுழியாய் இருக்கும்.
P, P. P என்பன ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால், R ?。 213/2ー22/1十22/3ー2asa十23/1ー21/3 = 0
ஒரு நாற்பக்கலின் பரப்பளவு அதனை இரு முக்கோணிகளாகப் பிரித்தலாற் பெறப்படலாம்.
P (c,y), P(a2, g), P(ல3, gs), P(34, y) என்பன ஒரொழுங்கில் எடுத்த உச்சிகளாயின், நாற்பக்கலின் பரப்பளவு
} (249-oUL + oU-23/2+oyi - o49) + * (a'aya -2°43/a + 24,yı - 2ı3/4 + 2ı?ya - 283/1) = } (acıya -2°29’ı +223/8 - 283/2+283/4 -2°43/3 + 24,yı -3’ı?ya)
என்பதன் எண்பெறுமானமாகும்.

Page 57
அத்தியாயம் 2
f (x, y) என்பது a, g என்பனவற்றின் சார்பு அல்லது அவற்றுள் ஒன்றின் சார்பாயிருக்க, ஒரு மாறும் புள்ளி P என்பது தன்னுடைய ஆள் கூறுகள் f(x, y) = 0 என்னும் ஒரு குறித்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாறு (a, g) தளத்திலே இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கின் சமன்பாடு f(a),g) = 0 எனப்படும்.
உதாரணமாக, P என்பது 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் இயங்கினல் அதனுடைய நிலைக்கூறு என்றும் ஒரேயளவினதாகும்.
k என்பது (பூச்சியமல்லாத) ஒரு மாறிலியாயின், g = k என்னுஞ் சமன்பாடு 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோடாகும்.
அதுபோல, a = b என்னுஞ் சமன்பாடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
g = 0, 30 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் 0 அச்சையும் y அச்சையும் முறையே குறிக்கும்.
ஒரு புள்ளியானது உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து a என்னும் ஒரே துரத்திலிருக்கும்படி இயங்கினல், அப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a + y? = a* என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
உற்பத்தித் தானத்திலே மையமும் a யிற்குச் சமனன ஆரையுமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு a2+ y2 = a* ஆகும்.
y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத ஒரு நேர்கோட்டின் சரிவு. g அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத P2 என்னும் ஒரு கோடு 20 அச்சினது நேர்த்திசையோடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், அக்கோட்டின் சரிவு தான் 9 என வரையறுக்கப்படும். P0 என்பது OX ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கினல், Pெ என்பது OX ஒடு 6 + r என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ; ஆயின், Pெ யின் சரிவு = தான் (ா+6) = தான் 9. ஆகவே, ஒரு கோட்டின் சரிவு அதனுடைய திசை எடுக்கப்படும் போக்கைச் சாராது. அக்கோடு 2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் பொழுது, அதன் சரிவு பூச்சியமா கும். அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நிலையை அணுகும் பொழுது அதன் சரிவின் எண்பெறுமானம் வரையறையின்றிப் பெரிதாக முயலும் ; அக்கோடு உண்மையாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் பொழுது, சரிவு இருப்பதில்லை.
ஒரே சரிவுள்ள இரு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரம் , y அச்சிற் குச் சமாந்தரமல்லாத இரு சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு ஒரே சரிவு உண்டு.
02

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 103
P (,ை g), P (32 g) என்பன 20 உம் 3 உஞ் சமனகாதவண்ண முள்ள இரு புள்ளிகளாயின், PP இன் சரிவு
0Yயின் மீது PP இன் எறியம்_g -g, "OX இன் மீது PP, இன் எறியம் 2-2,
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு.
2 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டின்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு மாற நிலைக்கூறு இருக்கும் ; ஆயின், b, c என்பன பூச்சியமல்லாத மாறிலிகளெனின், அக்கோட்டின் சமன்பாடு by+c - 0 என்னும் வடிவத்தைக் கொள்ளும், C = 0 ஆகும்பொழுது, அச்சமன் பாடு 0 அச்சையே குறிக்கும்.
a, C என்பன பூச்சியமல்லாத மாறிலிகளெனின், g அச்சிற்குச் சமாந் தரமான யாதுமொரு கோடு 00+ 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டாலே தரப்படும். c = 0 ஆயின், அச்சமன்பாடு g அச்சைக் குறிக்கும்.
இப்பொழுது, aa + by + 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன் பாட்டை எடுக்க : இங்கு, a, b என்பன பூச்சியமல்லாதவை எனக் கொள்க. (0, g); (32 g) என்பன அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களின் இரு தொகுதிகளாகுக. ஆயின், aa. -- by -- c = 0, aa -- by -- c = 0;
'. a(*2 - 2ı) + b(3/2-yı) = O. b என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருக்கின்றமையால், g-g என்பது பூச்சியமாயினுற்றன், 2-2 என்பது பூச்சியமாதல் கூடும். ஆகவே, a, g என்பனவற்றின் பெறுமானத் தொகுதிகள் இரண்டும் வேறுவேறயின்,
°-队=_°
2 - 2 b
ஆகவே, PP என்பன aa + by + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாற் குறிக்கப்படும் ஒழுக்கின்மீதுள்ள எவையேனும் இரு வேறன புள்ளிகளா யின், P. P என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சரிவு
என்றும் ஒரேயளவினதாய் - யிற்குச் சமனகும்.
ஆகவே, இவ்வொழுக்கு - என்பதைச் சரிவாயுள்ள ஒரு நேர் கோடாதல் வேண்டும்.
ஆகவே, a2+by+c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுடன்ன்றும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.
a, b என்னும் மாறிலிகளின் பெறுமானங்கள் எவையாயிருப்பினும், e = 0 ஆயின், அச்சமன்பாடு 0 = 0, g = 0 என்பனவற்ருலே தீர்க்கப்படும்.

Page 58
04 தூயகணித மூலகங்கள்
ஆகவே, a2+bறு =0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுங் கேரடு உற்பத்தித்தானத்திற் கூடாகச் செல்லும்,
a = 0 ஆயின், அக்கோடு, 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதனேடு பொருந்தும்.
b = 0 ஆயின், அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதனேடு பொருந்தும்.
b + 0 எனின், அக்கோட்டின் சரிவு - ஆகும். மறுதலையாக, யாதுமொரு நேர்கோடு aa + by + 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டாற் குறிக்கப்படும். அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் அல்லது அதற்குச் சமாந்தரமாகாது. அது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயின், அதன் சமன்பாடு 0 + 0 = 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். அது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமன்றெனின், m என்பது அதன் சரிவாயும், (a, g) என்பன அதன்மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியின் ஆள்கூறுகளாயும் இருக்க, (a, g) என்பது அக்கோட்டின் மீதுள்ள வேறு யாதும் புள்ளியாயின்,
991 ገገ0, х — асі அல்லது, 9 – ገna› – ፪/i -+ ገmaሯ፡ = 0.
இதுவே அக்கோட்டின் சமன்பாடாகும். அது aa + by + 0 = 0 என்னும் வடிவத்தில் உள்ளது ; இங்கு, a = -m, b = 1, c = - g + ma.
a = ak, 6 - b, c = ck என்பன உண்மையாகுமாறு k என்னும் பூச்சிய மல்லாத ஒரு மாறிலிகாணப்படலாமாதலின், aa+by+c=0, a'a+by+c'-0 என்னும் இரு சமன்பாடுகள் ஒரே நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். தந்தவொரு சரிவோடு குறித்தவொரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங்கோடு.
இதற்குமுன் மேலே காட்டியபடி, m என்னுஞ் சரிவோடு (a, g) என் னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாடு.
Y= m,
- அல்லது y- g = m (20-3) ஆகும்.
அது y அச்சின்மீது 0 என்னும் வெட்டுத்துண்டை ஆக்கினல், (0, 0) என்னும் புள்ளி அதன்மீது கிடக்கும். ஆகவே, அக்கோட்டின் சமன்பாடு
y - c = n.ac, அல்லது g = ma + c ஆகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 105
இவ்வண்ணம், y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத எக்கோடும் g = ma + c என்னும் வடிவச் சமன்பாடொன்றலே தரப்படும். ஆணுல், y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு இவ்வடிவத்தில் இடப்பட (UJ):9-ULIfT ğ5I. தந்த இருபுள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோடு.
P (a, g), P2 (32, g) என்பன் தந்த இருபுள்ளிகளாகுக. a = a ஆயின், P. P என்னுங்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; k என்பது 2, 3 என்பனவற்றின் பொதுப் பெறுமானமாயின், அதன் சமன்பாடு 3 = b ஆகும்.
24 a எனின், அக்கோட்டின் சரிவு 警三煞 ஆகும். (a, g) என்பன
سالة -- يا அக்கோட்டின் மீதுள்ள வேறு யாதும் புள்ளியாயின், அக்கோட்டின் சரிவு 3/ー3/1 என்பதற்குச் சமிஞகும்.
-
9 - ?yı - 3/2 9. ' ' - ' ' - ' .". (y-?yı) (aya - atı) = (a: -0'ı) (y2 - yı). அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (a, g) என்பன இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாதலான், அக்கோடு இச்சமன்பாட்டாற் குறிக்கப்படும்.
a = 3 ஆகும்பொழுதும் இக்கூற்று உண்மையாகும். அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு : 30 = 22 ஆகும்பொழுது, அச்சமன்பாடு (20-3) (ge-g) = 0 ஆகும். P. P எனபன இரண்டு வேறன புள்ளிகளாயிருத்தலால், g -g என்டது பூச்சியமன்று ; ஆயின், அச் சமன்பாடு ல-a = 0 ஆகும். உ-ம். (-2, 0), (-1, 2) என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுங்கோட்டின் d9-106TLiTG
ਨੂੰ ーゴ吉エ அல்லது 20 - g + 4 = 0 ஆகும். ஒரு கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளின் பரமான
வகைக்குறிப்பு. AB என்பது OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத் Y தை ஆக்கும் ஒரு திசைக் கோடாகுக ; P என்பது A யிலிருந்து r என்னுந் தூரத் தில் அக்கோட்டிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக ; AP என்பது AB யோடு ஒரு போக்காகுக. OX, OY என்பனவற்றின்மீது AP யின் எறியங்கள் "கோசை9, r சைன்சி என்பன ! வாகும். O

Page 59
06 ஆரம்ப தூய கணிதம்
A = (a1, y) ஆயும் P= (a, g) ஆயுமிருந்தால்,
a -ல,-- "கோசை 9, g -g= "சைன் 9,
அல்லது a = a + r கோசை9, g=g + rசைன் 6 என்பன.
P என்பது A யிலிருந்து r என்னும் ஒரே தூரத்தில் இருக்க, AP என்பது AB யிற்கு எதிர்ப் போக்கில் இருந்தால், OX, OY என்பன வற்றின் மீது PA யினுடைய எறியங்கள் rகோசை9, rசைன் 9 என்பனவாகும்.
.. a-a = r கோசை 9, g-g = rசைன் 9,
அல்லது a = a - கோசை 9, y == ay1 -- Ꮘ 6ᏡᏧᎶᏑ1 Ꮾ.
வழக்கமான வழக்கை மேற்கொண்டு A யிலிருந்து AB என்னுந் திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை நேர் என்றும் BA என்னுந் திசையில் அளக்கப்படுவனவற்றை மறையென்றுங்கொண்டால், A யிலிருந்து (நேர் அல்லது மறையான) r என்னுந் தூரத்தில் அக்கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி P யினுடைய ஆள்கூறுகள் a + rகோசை 9, g + rசைன் 6 என்பனவாதல் பெறப்படும். 7 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும், அக்கோட்டின்மீது ஒரு புள்ளியே உண்டு ; அக்கோட்டின்மீதுள்ள எப்புள் விக்கும் ஒத்ததாய் 7 இற்கு ஒரு பெறுமானமே இருக்கும். r இன் ஒரு நேர்ப் பெறுமானத்திற்கு ஒத்த புள்ளி P என்பது OX ஒடு AP யானது 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படி இருக்கும். r இன் ஓர் மறைப் பெறுமானத்திற்கு ஒத்த புள்ளி P என்பது OX ஒடு AP யானது ா + 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படி இருக்கும், a, g, உம் 9 என் பதும் நிலையாயும் r என்பது மாறியாயுமிருக்க, அக்கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி P யினுடைய ஆள்கூறுகள் இவ்வண்ணம் a + r கோசை 9, g + rசைன் 8 என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படும் பொழுது, அவ்வாள்கூறுகள் r என்னும் மாறும் பரமானத்தில் உணர்த்தப் பட்டன எனப்படும்.
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு aa + by + c = 0 என்னும் வடிவத்திலே தரப்படுகின்றதெனக் கொள்க. அக்கோட்டின்மீது (a, g) என்னும் நிலை யான ஒரு புள்ளியை எடுக்க.
ஆயின், ax + by + c, = 0
ஆகவே, அக்கோட்டின் சமன்பாடு
a (ல-2) + b (y -g) = 0 என எழுதப்படலாம்.
அக்கோடு OX இற்கு அல்லது OY யிற்குச் சமாந்தரமன்றெனின், a, b என்பன பூச்சியமாகா.
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டை
* 二" _ W二塾
ዕ ` –ዉ
என எழுதலாம்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 07
அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (2, g)
- 2 - 676öT.J60T 22 b 1யும்
யுஞ் சமனகும்படி இருக்கும்.
அவற்றின் பொதுப் பெறுமானத்தை t என்பதாற் குறிப்போமாயின்,
х — х1
岁二约_ b = t, ーa 『
அல்லது a = a + b, g - g - at என்பன.
t
அக்கோட்டின் மீது புள்ளி (a,g) இனது நிலைமாற, t இன் பெறு மானமும் மாறும் என்பது தெளிவு, அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளிக்கு ஒத்ததாய் t இற்கு ஒரு பெறுமானமே உண்டு ; t இன் யாது மொரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் இக்கோட்டின் மீது ஒரு புள்ளியே இருக்கும்.
இவ்வண்ணம், a = a + b, g=g - at என்னுஞ் சமன்பாடுகள் அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் (a, g) என்பனவற்றின் பரமான வகைக் குறிப்பை நீ என்னுஞ் சாராமாறிபற்றித் தரும்.
அக்கோடு ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றுக்குச் சமாந்தரமாயிருக்கும் பொழுதும் இச்சாராமாறிவகைக் குறிப்பு உண்மையாகும் என்பது இப் பொழுது எளிதிற் காணப்படும். அக்கோடு a அச்சிற்குச் சமாந்தரம் எனக் கொள்க. ஆயின், a = 0 ; அக்கோட்டின் சமன்பாடு g - பூ என எழுதப்படலாம். идтирлоотд: GF OGðiTufT (BASGIT ac = a -- bt, y = y என்பனவாகும் ; t இனுடைய வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு இச்சமன் பாடுகள் g=g என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளிகளின் ஆள்கூறு களைத் தெளிவாகத் தரும்.
அக்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயிருக்கும் பொழுது ஒத்த நியாயங் கள் உண்மையாகும்.
ஆகவே, ax + by + 0 = 0 என்பது யாதுமொரு தந்த கோட்டின் சமன் பாடாயிருக்க, (0,g) என்பது அதன்மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளி யாயின், அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a = a + b, g=g-a என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் ; இங்கு என்பது ஒரு மாறும் பரமானம்.
உ-ம். 22 + 3g + 2 = 0 என்னும் கோடும் - என்னுஞ் சரிவோடு (1,-1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரைந்த கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.

Page 60
108 ஆரம்ப தூய கணிதம்
(0,g) என்பது இரண்டாங் கோட்டிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயின்,
9 +1 - 3
エー1千丁石
. "ー" _ /土早_
o o 4 T - 3 - (என்க)
2=1十4#, = -1 - 3.
இவ்வண்ணம் அக்கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறு கள் t என்னும் மாறும் பரமானம் பற்றி உணர்த்தப்படும்.
T என்பது அவ்விரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கு ஒத்த t இன் பெறுமானமாயின், s
a = 1 + 4T, g = -1 -37 ஆகும்பொழுது 22 + 3g + 2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
. 2(1-1-4T) + 3(-1-3T) + 2 = 0,
... T = 1.
ஆகவே, அக்கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் (1 +4, -1-3) அல்லது (5, -4) என்பனவாகும்.
நியம வடிவம்.
AB என்பது தந்தவொரு கோடாகுக ; N என்பது உற்பத்தித் தானம் 0விலிருந்து அக்கோட்டிற்கு வரைந்த செங் குத்தின் அடி ஆகுக ; ON இன் நீளத்தின் பருமன் p ஆகுக. ON இனது திசை OX ஒடு a என்னுங் கோணத்தை ஆக்குக. அக்கோட்டின்மீது யாதுமொரு புள்ளி P(a),g) y என்பதை எடுக்க ; PM என் பதை OX இற்குச் செங்குத் தாய் வரைக ; அது OX என்பதை M இற் சந்திக்க, ஆயின், 0 விலிருந்து OX இனது திசையில் அளக்கப்படும் OM என்பது a இற்குச் சமன் ; M இலிருந்து OY யிற்குச் சமாந்தரமான திசையில் அளக்கப்படும் MP என்பது g யிற்குச் சமன்.
ON இன் மீதுள்ள OP யின் எறியம் = ON இன் மீதுள்ள OM இன்
எறியம் + ON இன் மீதுள்ள MP யின் எறியம்.
ON ஆனது OX ஒடு ஆக்குங் கோணம் a வாகும் ; ஆகவே, OX ஆனது ON ஒடு ஆக்குங் கோணம் - 2 வாகும்.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 09
ON ஆனது OY யோடு ஆக்குங் கோணம் 0 - ஆகும். ஆகவே
OY யானது ON ஒடு ஆக்குங் கோணம் – z ஆகும்.
*, ON இன்மீதுள்ள OP யின் எறியம்
- a கோசை (- 2) + yகோசை (一) ஆளுல்ை,
ON இன்மீதுள்ள OP யின் எறியம் p யிற்குச் சமன்.
லகோசை a + yசைன் a=p. இச்சமன்பாடு அக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள் கூறுகளால் தீர்க்கப்படுமாகையால் அக்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.
a என்னுங் கோணத்தின் பருமன் அல்லது குறி எதுவாயிருந்தாலும் இந்நியாயங்கள் பொருந்தும்.
N இனுடைய ஆள் கூறுகள் p கோசை2, ற சைன்ன என்பன.
நியம வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்.
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு aa + bறு + 0 = 0 என்னும் வடிவத்திலே தரப்பட்டபொழுது, அச்சமன்பாட்டை
ᎤᏓᏆ by C 0 = (2 + v/ (a2 + 2) + w/(d2"+b2) + V/ (a2ہ என்னும் வடிவத்தில் எழுதுவதாலே நியம வடிவத்திற்கு மாற்றலாம். இங்கு V (a2+b2) என்பது a2+ 62 என்பதனுடைய நேர் வர்க்க மூலத்தைக் குறிக்கின்றது.
c> 0 ஆயின்,
n- 0, -b C V (a2 + b?)°"* V (a2 + b2)V°V (a2 + b2)
என எழுதுகின்ருேம்.
0

Page 61
110 ஆரம்ப தூய கணிதம்
கோசை a - v/ (a2 + b 3) ஆயும்,
60)96ö = v/ (a2 +اؤچې (قرL|Lوده
- C o V(ao + bo) ஆயுமிருந்தால், இச்சமன்பாடு a கோசை a + y சைன் a = p என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். அக்கோட்டிலிருந்து உற்பத்தியின் செங்குத்துத் தூரம்.
- C முதலாம் வகையில் V (a2 + b2) -ՉֆԱվԼՌ,
C -...- ... a இரண்டாம் வகையில் TV (a2 + b2) ஆயும் இருக்கும்.
|cl என்பது C யின் எண் பெறுமானத்தைக் குறித்தால், அக்
கோட்டிலிருந்து உற்பத்தித் தானத்தின் செங்குத்துத் தூரம் என்றும்
C
---- a raň (3 ப்படும்.
முற்பகுஎனபதன லயே தரப்படும்
உ-ம். 30+ 4ழ +15 = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து உற்பத்தித் தானத்தின் செங்குத்துத் தூரத்தைக் காண்க ; அக்கோட்டின்மீது உற் பத்தித் தானத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்தால் OX ஒடு ஆக்கப் பட்ட கோணத்தையும் காண்க.
அக்கோட்டின் சமன்பாடு
- 30 - கீg=3 ஆகும்.
கோசை 9=? ஆயும், சைன் 9=* ஆயுமிருக்கும்படி, 6 என்பது நேர்க் கூர்ங்கோணமாயின்,
கோசை (9+ா)= - 3, சைன் (9+ா) = -* என்பன. ஆகவே, இக்கோட்டின் சமன்பாடு
a கோசை (9+ா) +g சைன் (9+ா) - 3 ஆகும்.
N என்பது அக்கோட்டின்மீது 0 என்னும் உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து வரைந்த செங்குத்தின் அடியாயின், ON இனது நீளம் = 3; OX ஒடு ON ஆல் ஆக்கப்படுங் கோணம் 9 + 7 ஆகும்.
N இன் ஆள்கூறுகள் ON கோசை (9+ா), ONசைன் (9+ா) அதா
வது (-, -*) என்பனவாகும்.
பயிற்சி 10
1. (1) OX ஒடு என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு (1,-1) என்னும் புள்ளிக் கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின்,
(ii) (2,3), (-1, -2) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின்
சமன்பாட்டை எழுதுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம்
2. (a கோசை a, b சைன் Q), (a கோசை 9, 6 சைன் 3) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின் சமன்பாடு
2 கோசை (鸮片 6967 (; ) =கோசை (...) எனக் காட்டுக.
2 2 2
3. A என்பது ஒரு மாறுஞ் சாராமாறியாயின், (a, g) (a, g) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாக செல்லுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் X2 + (1 -A) 2, Ag + (1-X)g என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாமெனக் காட்டுக.
அது துணையாக (-1,2), (2,3) என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோடு 20+g=0 என்னுங் கோட்டாற் பிரிக்கப்படும் விகிதத்தைக் காண்க.
4. ஒரொழுங்கில் எடுத்த தன்னுடைய உச்சிகள் (1,2), (-1,3), (2,4) (2, - 6) என்பனவா யுள்ள நாற்பக்கலின் பரப்பளவைக் காண்க; மூலை விட்டங்கள் இரண்டும் உற்பத்தித் தானத் தில் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன என்றுங் காட்டுக.
5. a என்பது ஒரு நிலையான நேர்க் கணியமாயும் 6 என்பது ஒரு மாறும் பரமானமாயு மிருந்தால், ஒரு மாறுங்கோடு a கோசை 9 + g சைன் 0 = a என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படு கின்றது. அக்கோடு என்றும் ஒரு நிலையான வட்டத்தைத் தொடுகின்றதெனக் காட்டுக ; a யிலும் பரமானம் 6 விலும் அத்தொடு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
6.  ைகோசை a+g சைன் a=a, a சைன் a -g கோசை x=b என்னும் இரு நேர் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க ; அவை 32 +g? = a + b என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமென்றுங் காட்டுக.
7. 4=(1,-1) ஆயும், B=( -2,3) ஆயுமிருக்க, P என்னும் ஒரு புள்ளி (0,g) தளத்தில் AAPE என்பதன் பரப்பளவு 10 சதுர வலகுகளுக்கு சமனகும்படி இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கு இரு நேர் கோடுகளால் அமையுமெனக் காட்டுக ; அவ்விரு கோடுகளினுடைய சமன் பாடுகளைத் தனித்தனி காண்க.
8. ஒரு கோடு 1 என்னுஞ் சரிவோடு A(3,4) என்னும் புள்ளிக் கூடாக வரையப்படுகின்றது.
அது a*+g?=16 என்னும் ஒழுக்கை P,9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டினல், AP, 49
5
என்பன OX ஒடு என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமென்றும் AP+AQ=7V2 என்றுங்
காட்டுக.
9. 4 (1,1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரைந்த ஒரு கோடு 202+3று?= 6 என்னும் ஒழுக்கை P,9 என்னும் இரு புள்ளிகளில் A யானது P2 வின் மையமாகும்படி வெட்டுகின்றது. அக்கோட்டின் சரிவு - எனக் காட்டுக.
10. A (0,1) என்னும் புள்ளியிலிருந்து 2 அச்சை P யிற் சந்திக்குமாறு ஒரு நேர்கோடு OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தில் வரையப்படுகின்றது. AP, A2= 4 ஆக, AP யானது ெ விற்கு நீட்டப்படுகின்றது. 6 வில் Q வின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க ; அது துணைகொண்டு 6 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் Q வின் ஒழுக்கு p2 + (y + 1)2 = 4 என்னுஞ் சமன்பாட் டாலே தரப்படுமென்றுங் காட்டுக.
11. a>0 ஆயும் 0

Page 62
112 ஆரம்ப தூய கணிதம்
12 OX, OY என்னுஞ் செவ்வக வச்சுக்கள் பற்றி ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு 120 + 5g +19=0 ஆகும். A(1, -1) என்னும் புள்ளிக்கூடாக சமாந்தர வச்சுக்கள் பற்றி அதே கோட்டின் சமன்பாடு 120 + 5g + 26 = 0 ஆகுமெனக் காட்டுக. அது துணைகொண்டு அக்கோட்டிலிருந்து A யின் செங்குத்துத் தூரத்தைப் பெறுக.
13, 2 + 2g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டோடு 45° என்னுங் கோணத்தை ஆக்கிக் கொண்டு (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோடுகள் இரண்டினுடைய சமன்பாடுகளைக் காண்க : அம்மூன்று கோடுகளாலும் ஆக்கப்படும் முக்கோணியின் பரப்பளவையுங் காண்க. 14. P(a),g), 0 (0.g) என்னும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோடு p2 + y2 = 1 என்னும் ஒழுக்கை PR/R2 = k ஆகுமாறு k என்னும் புள்ளியிற் சந்தித்தால்.
k2 (a + g -1) + 28 (aல + gg -1) + 2 +g? -1 = 0 எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 3
சமாந்தர கோடுகள்
சமாந்தரமான இரு கோடுகளினுடைய சமன்பாடுகள் aa + b,g + c = 0, a + b,g + c- 0 என்பன எனக் கொள்க.
b, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின், அவற்றினுடைய சரிவு
6. (i. 7 ܫ¬ - o கள் - , -? என்பனவாகும். அக்கோடுகள் ஒரே போக்கில் எடுக்கப்
-
2
படும் பொழுது, அவை OX ஒடு சமகோணங்களை ஆக்கும்.
. - := - 4 அல்லது aby-ab=0
ხ1 ba
b= 0 எனின், முதலாங்கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும். ஆயின், மற்றைக் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாதல் வேண்டும். ஆகவே, b என்பதும் பூச்சியமாகும்.
ஆகவே, இவ்வகையிலும் a,b - ab = 0.
அதுபோல, b= 0 எனின், b = 0 ஆயும் a,b - a,b - 0 ஆயும் இருக்கும்.
ஆகவே, ax + b,g + c = 0, ax+by+c= 0 என்னும் எவை யேனும் இரு கோடுகள் சமாந்தரமாயின்,
a,b - a,b = 0.
மறுதலையாக, a,b - a,b - 0 ஆயின், aa + by+ 0 = 0, 02 + by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் சமாந்தரமாகும். இது பின்வருமாறு நிறு வப்படும் :-
b - 0 எனின், a = 0 அல்லது b= 0.
a, b என்னும் இரண்டும் பூச்சியமாகும்பொழுது ax +by+c=0 என்னுஞ் சமன்பாடு பொருள்படாதாகையால், a = 0 என்னும் வகை ஆராயப்படத் தேவையில்லை.
ஆகவே, b = 0 ஆயின், b= 0 ; அதுபோல் b = 0 ஆயிருந்தால், b= 0 ; அதாவது, அக்கோடுகளுள் ஒன்று y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடும் அதே அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆகவே, அக் கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
b என்பது பூச்சியமன்றெனின், b என்பது பூச்சியமாகாது; ஆயின்,

Page 63
14 ஆரம்ப தூய கணிதம் ஆகவே, அக்கோடுகளினுடைய சரிவுகள் சமமாகும் ; எனவே அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
a'a +by+c = 0 என்னுங் கோடு aa + bg + c = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகுக.
எனின், ab'- a'b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) a, b என்பனவற்றுள் ஒன்ருயினும் பூச்சியமன்று. a' என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்க. ஆயின், a என்பதும் பூச்சியமாகாது. = k அல்லது a = ab ஆகுக.
(1) gyi) Sa Guó), ab' - kab = 0.
b' = bk. ஆகவே, k என்பது பூச்சியமாகாமையால், a'a+by+c = 0 என்னுஞ்
arupaö7utG ac-by-l- 0 என எழுதப்படலாம்.
ஆகவே, aa + by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான எக் கோடும் a+by+A= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்; இங்கு A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒரு பரமானம். உ-ம். 30-4g + 6 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் (1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராத ஒன்றயின், அச்சமன்பாடு 30 - 4g +A= 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அக்கோடு (1,-2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
3+ 8+À = 0. A = -ll ஆகவே, அச்சமன்பாடு 33 - 4g - 11= 0 ஆகும். செங்குத்துக் கோடுகள்.
ax+by+c= 0, a +by+c= 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனக் கொள்க.
ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
ஆகவே, a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றையதும் பூச்சியமாகும் ; a, b என்பனவற்றுள் ஒன்று பூச்சியமாயின், மற்றை யதும் பூச்சியமாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 113
ஆகவே, அக்கோடுகளுள் ஒன்று ஆள்கூற்றச்சுக்களுள் ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின்,
aே+bb= 0. அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்றதல் ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தர மன்றெனின், ஒவ்வொரு கோட்டிற்குஞ் சரிவு உண்டு ; அது பூச்சி யமாகாது. 9 என்பது OX ஒடு ax + b,g + c = 0 என்னுங் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகுக.
ஆயின், 0+என்பது OX ஒடு மற்றைக் கோட்டால் ஆக்கப்பட்டு ஒரு குறித்த போக்கில் எடுக்கப்பட்ட கோணமாகும். S.
கான் சி=- ?! 写)=ー? .. தான் 6- தான (+3) ხ2
'=ே தான் 9x தான்(0+ = தான் 6 (-கோதா9) = - 1. ხ1ხა. 2
.. (102 -- ხaხ2 0.
ஆகவே, ax + b,g + c = 0, a0 +by+c= 0 என்னும் எவையே னும் இரு கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தெனின்,
aa2+ bb = 0.
மறுதலையாக, யு+ே bb= 0 எனின், யு2 + by + 0 = 0, 00+ by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து. அதற்குக் காரணம் பின்வருமாறு :- a=0 ஆயின், b= 0 ஆகும் ; b= 0 ஆயின் a = 0 ஆகும் ; அன்றியும் a= 0 ஆயின், b = 0 ஆகும் ; b = 0 ஆயின், a=0 ஆகும். ஆகவே, ஒரு கோடு ஆள்கூற்றச்சு ஒன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின், மற்றைக் கோடு மற்றையச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின், அக்கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகும்.
a, a, b, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
嵩=十嵩
ஆகவே, 9, 9 என்பன அவ்விரு நேர்கோடுகளால் OX ஒடு
ஆக்கப்பட்ட கோணங்களாயின்,
தான் 6 = - கோதா 9,
அல்லது கோசை 9 கோசை 9 + சைன் 6 சைன் 6= 0,
அல்லது கோசை (9 - 9) = 0.
ஆகவே, 9, 9, என்பன இன் ஒற்றை மடங்கொன்றல் வேற்றுமைப்
பட்டால், அவ்விரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
6-R 11681 (1166)

Page 64
16 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இரு கோடுகளுக்கு m, m என்னுஞ் சரிவுகள் இருந்தால், அவ்விரு நேர் கோடுகளும் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை mm - - 1 என்பதே.
a'a + b'g + c = 0, aa + by + c = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாகுக. ஆயின், aa + bb = 0. a, b என்பன வற்றுள் ஒன்றதல் பூச்சியமல்லாததாகும். a என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்க. ஆயின், a, b என்பனவற்றுள் ஒன்றதல் பூச்சியமாகாதென்
பதால் b என்பது பூச்சியமன்று. =k அல்லது a = bb ஆகுக.
ஆகவே, aa' + 66 = 0 ஆயிருக்கின்றமையால்,
abik -- bb'' = 0
... b' = - ak
ஆகவே, a'a + b'g + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு
ba 十 c' O
ay+産= என எழுதப்படலாம்.
ஆகவே, A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராவெனின்,
ᎺᏆ -+- bgy -+- C = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான எக்கோடும்
bac - ay - A = 0
என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். உ- ம், 30 + 4g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாய் (-2, 3) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
gld, FLO6öTLIITO)
4x – 3y +À = 0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். அக்கோடு (-2, 3) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
– 8 – 9 +À = 0.
..'. À= 17. ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு
4 - y + l7 = 0.
இருகோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்.
aur十 buyー+-c1=0, aa + by + -ே 0

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 17
என்பன ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமல்லாதனவாயுஞ் செங்குத்தல்லாத னவாயுமுள்ள இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
அவ்விருகோடுகளுள் ஒன்றதல் y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாத போதுள்ள வகையை முதலாவதாக ஆராய்வோம். OX ஒடு 0, 1ா என்பனவற்றிற்கிடையில் (ா அன்றி o உட்பட) கிடக்கின்ற கோணங்களை ஆக்குங் கோடுகளினுடைய திசைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க.
9, 6 என்பன அவ்விருகோடுகளால் ஆக்கப்படும் கோணங்களாகுக. ஒரு கோணத்தின் குறியையன்றி அதன்பருமனையே காரியமெனக் கொள்ளும் பொழுது, அக்கோடுகளுக்கிடையில் ஒன்று கூர்ங்கோணமாயும் ஒன்று விரிகோணமாயுமுள்ள இரு கோணங்களிருக்கும் ; இக்கோணங்க ளின் கூட்டுத்தொகை r ஆகும். தான் (ா - 2) = - தான் a வாயிருக்கின்ற மையால், 0, 8 என்பன அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள இருகோணங் களாயின், தான் a= -தான் 8 என்பது பெறப்படும். 9>9 அல்லது <சி என்பதற்கேற்ப, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று 8- 9 அல்லது 8- 9 ஆகும்.
தான் (6-9) - - தான் (9 - 9) ஆயிருக்கின்றமையால், எல்லாவகைகளிலும் அக்கோடுகளுக்கு இடை யிலுள்ள கோணமொன்றின் தான்சன், தான்(9 - 9) ஆகுமென்பது பெறப்படும்.
தான் 6 = -1, தான் =ே - وه ხ1 ba
தான் 6-தான் 0_T b,T5,
3 == 227 دسمہیب 22 دسمیت == (699- ,69)rن U5IT6 .".
点 (6-6) 1 + தான் தோன் 6 (t1d. 1 +- ---- ხ1 ხa ab - a,b) QQ-+bb ஆகவே, c என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
ம்ே- யும் frgörcz= |ーニ一五千デ干|; 凸 aa2+bb
இ ab - a,b) இன் எண் ெ ானக்
.)ཡམ་ས་ ཡང་དང་ཡང་གདམས་པ་──མ་ཡ་མ-L966762། Lad ۔۔۔۔۔۔۔۔ 3. (1442–1–ხaხ2 Ol ததை காட்டுகின்றது.
இப்பொழுது, a + bi,y + c = 0
என்னுங் கோடு y அச்சிற்குச் சமாந்தரமெனக் கொள்க.
3ே+by+ =ே 0

Page 65
18 ஆரம் தூய. கணிதம்
என்னுங்கோடு OX ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குகின்றமையால், OYயோடு அது ஆக்குங் கோணத்தின் பருமன் > அல்லது < என்பதற்
π. 2
ஆகவே, அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றினது தான்சன்,
கேற்ப 8 - அல்லது - 6 ஆகும்.
தான் (, 8) - கோதா 6 = -
2 2 ஆகவே, a என்பது அக்கோடுகளுக்கிடையிலுள்ள கூர்ங்கோணமாயின்
b தான் a = 2 02
முன்னர் ஆராய்ந்த வகையில், தான் a விற்கு அக்கோவையில் b = 0 என
இட,
.a என்பது பூச்சியமாகாமையால் وb|- اوd1b -
01.02 Cl2 ஆகவே, b = 0 ஆகும் பொழுதும்
a,b - a,b) TGOT C - - - - 点 QQ-+bb
என்னுஞ் சூத்திரம் உண்மையாகும். அதுபோல, b= 0 ஆகும்பொழுதும்
அது உண்மையாகும்.
m, m என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயாதல், சமாந்தரமாயாதல்
இல்லாத இருகோடுகளின் சரிவுகளாயின், அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள
கூர்ங்கோணம் Q என்பது
772 - no
தான் a =
என்பதாலே தரப்படும்.
g) - b. 2a + 3y = 0, 20 - g = 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையி
4 லுள்ள கூர்ங் கோணம் இலும் பெரிதெனக் காட்டுக. a என்பது கூர்ங்கோணமாயின்,
8 بیست|||||||||||||||| === roxز தானo
TT .. தான் a > தான் 4.
a aid."
4.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 19
இரு கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுங்
கோடுகள்.
a0 +by+c = 0, ax+by+ =ே 0 என்பன இரு நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக. அக்கோடுகள் ஒன்றை யொன்று வெட்டினல், அவ்வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் அச்சமன் பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்க ளாகும்.
a,b- a,b என்பது பூச்சியமன்றெனின், அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையுந் தீர்த்தற்கு a, g என்பனவற்றின் ஒரு தனிப் பெறுமானத் தொகுதி காணப்படலாம். a,b - a,b, என்பது பூச்சியமெனின்,
a, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்கள் அச்சமன்பாடுகள் இரண்டையும் ஒருங்குதீர்த்தல் காணப்படாது ; அக்கோடுகள் சமாந்தரமாகும்.
X என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருக்க,
aux + buy+ca十A(agr十bay+ca)=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது 20, y என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு. ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். தந்த இரு கோடுகளுஞ் சமாந்தரமல்ல எனக் கொள்க. ஆயின், அவை (c,y) என்னும் புள்ளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். இப்புள்ளி அக்கோடுகள் இரண்டிலுங் கிடக்கின்றமையால்,
da + by + c = 0, 02 + bx + c) = 0 X இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும்,
auxa十biya十c 十A(aga十baya十ca)=0. ஆகவே, (x, y) என்னும் புள்ளி,
(aux + buy +c)+À (a22 + b2y + c2) = 0 என்னுங் கோட்டிற் கிடக்கும்.
X இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் (a + b,g + c + X (a + by+ c) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு (3+by+ 0 = 0, aல + by + c) = 0 என்னுங் கோடுகள் சந்திக் கும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும்.
ac -- bly -- c = 0, aல +by+c=0 என்னும் கோடுகள் சமாந்தரம் எனக் கொள்க.
ஆயின், Qರಿ – Qಶಿ = 0.

Page 66
20 ஆரம்ப தூய கணிதம்
A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், a (b+Àb») – bi (a +Àa») =À (a,b» - asbl) = 0,
(a-+- Ada) a0 -+- (b-+- Aba)g -+- (c-+- ACa) == 0 என்னுங் கோடானது A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும் ax+by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
. A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும்,
ata--by-ci - A (aa-bey -- ca) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு
aar -- by -- c = 0, a + by+ c = 0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும்.
உ-ம். ஒரு முக்கோணியின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகள் 3 + g+ 1 = 0, 0 + 2g + 1 = 0, 20 + g+ 1 = 0 என்பன. அம்முக்கோணியின் நிமிர் மையத்தின் ஆள்கூறுகளையும் அம்முக்கோணியின் மூன்றம் பக்கத்தை இருகூறிடும் இடையத்தின் சமன்பாட்டையுங் காண்க.
2+g+1+A(a+2y+1)=0 என்னுஞ் சமன்பாடு A யிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு BC யிற்குச் செங்குத் தெனின்,
2 (1 + A) + (1 + 2A) = 0
g 3 . À = 4. ஆகவே, A யிலிருந்து BC யிற்கு வரையுஞ் செங்குத்து
3 a +y+1-(a + 2y+ 1) = 0,
அல்லது ac - 2 y + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
a + 2g + 1 + A(2ல + g + 1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு C யிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கின்றது. அக்கோடு AB யிற்குச் செங் குத்தெனின்,
(1 + 2λ) - 2 --λ = 0.
A = -1.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 12.
ஆகவே, C யிலிருந்து AB யிற்கு வரையுஞ் செங்குத்து 2ー+ 2yー+ lー(2a 十3/十-1)=0, அல்லது - ac -- y = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
ஆகவே, நிமிர் மையமானது
a -2y+ 1 = 0,
g-a = 0 என்னுங் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியாகும்.
ஆகவே, அதனுடைய ஆள்கூறுகள் (1, 1) ஒரு இடையத்தின் சமன்பாடும் A, B, C என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளைத் துணியாமற் பெறலாம்.
CD, BD என்பன முறையே AB, AC என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர மாய் வரையப்பட்டால், AD என்பது பக்கம் B0 என்பதை இரு கூறிடும். CD இன் சமன்பாடு
a +2y+1+A(2z十3y+1)=0 என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும்.
அது AB யிற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
(1 + 2)-(2--X) = 0. λ = 1.
ஆகவே, CD ஆனது
Зx + 3y —+- 2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
BD இன் சமன்பாடு a + g + 1 + A(2a + g + 1) = 0 என்னும் வடிவத் தில் இருக்கும். அது AC யிற்குச் சமாந்தரமாகையால்,
2(1 -- 2À) - (1 -- XA) = 0.
O À= -3.
ஆகவே, BD இன் சமன்பாடு
*十y十1一5(2z十幼十1)=0,
அல்லது a + 2g +2 = 0 ஆகும். ஆகவே, 30+ 3ழ+ 2 + A(x + 2g+2) - 0 என்னுஞ் சமன்பாடு D இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோட்டைக் குறிக்கும்.

Page 67
22 ஆரம்ப தூய கணிதம்
A யினுடைய ஆள்கூறுகள்
2十3/=一l, at--2y= - 1 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கின்றன.
ஆகவே, A என்பது D இற்கூடாகச் செல்லும் மேற்றந்த கோட்டிற் கிடந்தால்,
– 3 +2+À (–1 +2) = 0 ... À = 1 . AD இன் சமன்பாடு
3c -- 3y -- 2 -- (a -- 2y -- 2) = 0, அல்லது 4x -- бу -- 4 = 0.
பயிற்சி 11
1. (1,1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று a+2g - 1=0 என்னுங் கோட்டோடு தான் "13 என்னும் ஒரே கோணத்தை ஆக்கும் இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
2. ஒருச்சி (1,2) இலும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி (3, -1) இலுமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பக்கங்களுடைய சமன்பாடுகளையும் உச்சிகளுடைய ஆள்கூறுகளையுங் காண்க. /3. P என்பது y=0 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி ; Q என்பது y=0 என்னுங் கோடிற்கு PQ செங்குத்தாகும்படி y=3ல என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. PQ வின் மையம் 3g=50 என்னுங் கோட்டின் மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. v/4. ஓர் இணைகரத்திற்கு இரண்டு எதிருச்சிகள் (1, 1), (2) -3) என்னும் புள்ளிகளில் உண்டு; ஒரு பக்கம் 2g+32=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயும் வேருெரு பக்கம் g - 23=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் செங்குத்தாயும் இருக்கின்றன. அவ்விணைகரத்தின் பரப்பளவைக் காண்க. 75. ஒரு சாய்சதுரத்திற்கு இரண்டு அடுத்துள உச்சிகள் (3, 4), (-1, 2) என்பனவற்றில் இருக்கின்றன ;.(3, 4) இற்கூடாகச் செல்லும் மூலைவிட்டம் 2y+a=0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரம். மற்றையிரண்டு உச்சிகளின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. 76. P என்பது aa+by+c=0 என்னுங் கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி ; Q என்பது
EፇE a2+by+d=0 என்னுஞ் சமாந்தரமான கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. nọ"* ஆகுமாறு ே என்பது PQ வின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், R என்பது aa+by+c+)\ (aa+by+d) =0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக. - 7.அது துணைகொண்டு தந்த கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாய் அவற்றிற்கு நடுவிற் கிடக்குங் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. என்னும் புள்ளிக்கூடாக வரையும் ஒரு மாறுங்கோடு 30, g அச்சுக்களை முறையே )1 ,1( .7 محمد p, q என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது.
P, Q என்பனவற்றிற்கூடாக முறையே 07, OX என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாய் வரைந்த கோடுகள் t இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ag -39 -g=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றதெனக் காட்டுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 123
8. ஓர் இணைகரத்தினுடைய பக்கங்கள் a2+by+c=0, a^2+by+c'=0, a3+by+d=0, "ஐ--b'g+d'=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. அதனுடைய மூலைவிட்டங்கள்,
(cʼ — dʻ) (aa:-+- b2y —+-c) — (c — d) (aʼas-+- bʻa/ -+- cʻ) = 0, (c' — d’) (aa; --by -- c) —— (c - d) (a'a--b'y -- c') == 0. ான்பன வெனக் காட்டுக. /9. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியின் பக்கம் AC யின்மீது B யிலிருந்து வரைந்த செங்குத்து g +23-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது : C யிலிருந்து AB யின்மீது வரைந்த செங்குத்து g=23 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுகின்றது. B0 என்னும் பக்கம் (1 -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்றல், A யினுடைய ஆள்கூறுகள்
ா? -4g2+33 - gே=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமெனக் 5 FTL CBS. 10, A (1, 2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து 2p+3y+5=0 என்னுங் கோட்டின்மீது வரைந்த செங்குத்து அக்கோட்டை 4 இற் சந்திக்கின்றது. AM என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு பரமானம்பற்றி உணர்த்துக ; M என்னும் புள்ளிக்கு ஒத்த அப் பரமானத்தின் பெறுமானத்தைக் காண்க. AM ஆனது MN-AM ஆகுமாறு N இற்கு நீட்டப்பட்டால், N இன் ஆள்கூறுகளைக் காண்க. B= (2, 3} எனின், P யானது தந்த கோட்டின்மீது AP,BP என்பன அக்கோட்டிற்குச் சம சரிவிலிருக்கும்படியுள்ள புள்ளியா யிருக்கும்பொழுது P யின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
11. P என்பது +ைg +1=0 என்னுங் கோட்டின்மீதுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி. PM என்பது 23+3ழ+5 = 0 என்னுங் கோட்டை M இற் சந்திக்குமாறு அதற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டுள்ளது; MN=PM ஆகுமாறுPM என்பது N இற்கு நீட்டப்பட்டுள்ளது. N இன் ஒழுக்கு
13 (a+g+1) -10 (23+3று+5) = 0 எனக் காட்டுக. 12. ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயில்லாது ஒன்றையொன்று வெட்டுங் கோடுகள் இரண்டு t -by+c = 0, a'a+by+c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. P கr:பது(a, g) என்னும் புள்ளி : P யிலிருந்து முதலாங் கோட்டிற்கு வரைந்த செங்குத்து அவ்விருகோடுகளையும் முறையே M, N என்பனவற்றிற் சந்திக்கின்றது. PMN இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளை ஒரு பரமானம் பற்றி உணர்த்துக; M, N என்பனவற்றிற்கு ஒத்த அப் பரமாக்கத்திலுடைய பெறுமானங்களைக் காண்க. அது துணைகொண்டு
(aa”十bb") (azi十by1十c)(a/a十b'ya十C) என்பது பூச்சியத்திலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதாதற்கேற்ப P என்பது தந்த இரு கோடுகளுக் விடையேயுள்ள கூர்ங்கோணத்திற்குள்ளே அல்லது விரிகோணத்திற்குள்ளே கிடக்கின்ற தெனக் காட்டுக.
18. ABC என்னும் ஒரு முக்கோணியினுடைய பக்கங்கள்
?ti s= auጫ + bu9 + C፤ = 0, 24 = 3ே + b + c = 0, u = '"' + b(y + c = 0
என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன.
அம்முக்கோணியினுடைய இடையங்கள்
(atba - aba) (abi - aba), (ab - abs)ua= (ab – ab)u, al(وb )U3 ==(dgb8 - dgb و a - وdab) என்றுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுமெனக் காட்டுக.
அம்மூன்று இடையங்களும் ஒருங்கு சந்திக்குமென வகுத்தறி முறையாற் காட்டுக.

Page 68
124 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு கோட்டைக்குறித்து ஒரு புள்ளியினது நிலை.
என்னும் ஒரு கோடு aa + bg + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படுக : P. P என்பன (0,0) தளத்தில் (a, g), (a, g) என்னும் ஆள்கூறுகளை உடையனவாய் இன்மீது கிடவாத இரு புள்ளிகளாகுக. PP என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமன் றெனின், அவ்விரு கோடுகளும் Q என்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். P. P என்பன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் இருந்தால், Q என்னும் புள்ளி P. P என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் , P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கத்தில் இருந்தால், அது P. P என்னுந் துண்டிற்கு வெளியே கிடக்கும். 鶯一 k ஆகுக!
ஆயின், P. P என்பன இனுடைய எதிர்ப்பக்கங்களில் அல்லது ஒரே பக்கத்தில் இருப்பதற்கேற்ப, k என்பது நேர் அல்லது மறையாகும்.
@三 (铠 ಶಿಮ್ಟಿ)
1--k I--k ஆகவே, 0 என்பது இன்மீது கிடக்கின்றமையால்,
a (al-kata) -- b (y--ky) -- c (1--k) = 0.
... k = - °十*y十° aza十bya十c ஆகவே, ax+by+ c, a2+by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல் லது எதிர்க் குறிகள் இருப்பதற்கேற்ப P. P என்பன இனுடைய ஒரே பக்கம் அல்லது எதிர்ப் பக்கங்களிற் கிடக்கும்.
PP என்னுங் கோடு இற்குச் சமாந்தரமெனின், P. P என்னும் புள்ளிகள் இன் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும்.
P(ல, g) என்பது இன் எதிர்ப்பக்கத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. ஆயின், aa + bg + c, da + by+ 0 என்பவற்றிற்கு எதிர்க்குறிகள் இருக்கும் ; a2+by+ c, da + by+ c என்பவற்றிற்கும் எதிர்க்குறிகள் இருக்கும். "
ஆகவே, a2+by+ c, da+by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும்.
ஆயின், P. P என்பன இன்மீது கிடவாத எவையேனும் இரு புள்ளிகளாயின், aa + b + c, aa + by+ 0 என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க் குறிகள் இருத்தற்கேற்ப, அவை இனுடைய ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும்.
ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்.
என்னும் ஒரு கோடு aa + bறு + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் , P(a, g) என்பது இன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளியாகுக.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 125
இற்குச் செங்குத்தாய் P யிற்கூடாகச் செல்கின்ற கோட்டின் சமன்பாடு
a(y-yı) - b (a: - acı) = 0 6TGöTLğ5İTG3Ln. . . . . . . . . . . . . . (l) a, b என்பன பூச்சியமல்லவெனின்,
என எழுதலாம்.
ஆகவே P யினுடாகச் செல்லுஞ் செங்குத்தின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள், t என்பது ஒரு சாராமாறியாயின்,
2=21十at y=3/1十bt என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம். a அல்லது b பூச்சியமாயிருக்கும் பொழுதும் இப்பரமான வகைக்குறிப்பு உண்மையாகுமென்று சமன்பாடு (1) இலே நேரே பிரதியிடல் காட்டுகின்றது.
N என்பது P யிலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடி யாகுக. ஆகவே, k என்பது N இற்கு ஒத்த t என்னும் பரமானத்தின் பெறுமானமாயின், N இனுடைய ஆள்கூறுகள் 2 + ab, g + bல் என்பன. N என்பது இன்மீது கிடத்தலால், a (a -- alk) --- b (y -- bke) -- c = 0.
'. k = - aa-l-by--c
a?--b? ..— ,
-¡-b இங்கு, |b| என்பது b இன் எண் ப்ெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது.
PE (acı, y), NW E (ac -- ak, y -- bk). .". PN* = (ac -- ak - a)? -- (y -- bk - y)? = (a* -- b*) ko. ஆகவே, இலிருந்து P யின் செங்குத்துத் தூரம்
by --c ki/ (a2+b2)—“itoohito. V (a -- ) V/(a°—+— b°) அதாவது 0+by+ 0 = 0 என்னுங் கோட்டிலிருந்து (ag) என்னும் புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்,
aa-by--c V(a-b) உ-ம். 1. aல +by+ 0 = 0, aல +by+ d= 0 என்னுஞ் சமாந்தர மான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தைக் காண்க.
என்பதன் எண் பெறுமானமாகும்.
முதலாங் கோட்டில் யாதுமொரு புள்ளி (0,g) என்பதை எடுக்க, மற்றக் கோட்டிலிருந்து இப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்விரு சமாந்தரமான கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரமாகும்.

Page 69
126 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள தூரம்
air-by-d V(a°-+- b°) (a, g) எனபது aa + bg + 0 = 0 என்னுங் கோட்டிற் கிடத்தலால்,
Cla -- byı 十 )9 =0 قسمت, அல்லது ах -+- by = — c. ஆகவே, aa + by + 0 = 0, a + bg + d= 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள செங்குத்துத் தூரம்
|ld — c| V(a2 +-b*) உ-ம். 2. ஒரு முக்கோணியினுடைய உச்சிகள் A, B, C என்பன வற்றினுடைய, ஆள்கூறுகள் (1, 1), (-2,-3), (-3, 4) ஆகும். ABC என்னும் முக்கோணிக்கு வெளியே, A'B', B'C', O'A', என்பன முறையே AB, BO, CA என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தரமாயும் அவற்றிலிருந்து ஓரலகு தூரமுமாயிருக்கும்படி A'B'0' என்னும் ஒரு முக்கோணி வரையப்படுகின்றது. A'B'0' என்னும் முக்கோணியி னுடைய பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
ஆகும்.
AB யின் சமன்பாடு y - 1 = (ač - 1), அல்லது 4a -3y-1 = 0. (a, g) என்பது AB இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி. AB யிலிருந்து அப்புள்ளியின் செங்குத்துத் தூரம்.
4 - 3y-l
|*ー" ー"|ー1
5
(a,y), (- 3,4) என்பன AB யினுடைய எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடத்தலால் 42-3g -1 என்பதற்கு 4(-3) - 3(4) - 1 என்பதன் குறியின் மறைக்குறி இருக்கும்.
42-3g - 1 என்பது நேர்க்குறியுள்ளது.
40-3g -1_
5 40-3g - 6 = 0.
l.
(3,g) என்பது AB இன்மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயிருத்த லால், AB இன் சமன்பாடு 40 - 3று -6 = 0 ஆகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 127
AC யின் சமன்பாடு,
y-l= -2 (c-1), அல்லது 32+4y - 7 = 0. (a, g) என்பது A',0', இன் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியெனின்,
!!--
33, +4g-7 என்பதற்கு 3(-2) +4(-3) -7 என்பதன் எதிர்க்குறி இருக்கும்.
3a1 + 4/1-7
5 som
அல்லது 3a' -- 4 - 12 = 0.
A'O" 96ö7 J-LoadTUITG
3ac + 4y - 12 = 0.
அதுபோல, BC இன் சமன்பாட்டையுங் காணலாம்.
l,
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுடைய இருகூருக்கிகள்.
aac -- by -- c = 0, ax+by+ c = 0 என்பன ஒன்றுக்கொன்று, சமாந்தரமல்லாத இரு நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
(ag) என்பது அவ்விரு கோடுகளிலிருந்துஞ் சமதூரமான ஒரு
புள்ளியாயின்,
ar -- by 士坐 –I– ხ1ყ1 –!- Cal V(ao-- bo) -v(a-b)
P,0 என்னும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒரே எண் பெறுமானம் உண் டெனின், P,9 என்பவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது எதிர்க் குறிகள் இருத்தற்கேற்ப P = 2 அல்லது - .ெ
aa' -- by -- c سیس a42 + b,g + c, adı acı -- bayı -- cı
V/(a° —+— b°) -v(a-b)
ஆகவே, அவ்விரு கோடுகளிலுமிருந்து சமதுரமான யாதுமொரு புள்ளி
aar -- by -- c alia -bay -- c. ata - by -- с
- ٹارچ” سب س- [ O060E)|[9یک
V(ao-H bo) V(ao-- bo) ዯ/(a፤* + b,*) என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்றைத் தீர்த்தல் வேண்டும்.
ஆனல், தந்த இரு கோடுகளிலிருந்து சமதூரமான ஒரு புள்ளி அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்றின் இருகூருக்கியின் மீது கிடத்தல் வேண்டுமென்று அறிவோம்.
அல்லது -
யின் ஆள்கூறுகள்

Page 70
28 ஆரம்ப தூயகணிதம்
ஆகவே அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள இரு கோணங்களுடைய இரு கூருக்கிகள்
aar -- by -- ca1aa + by -- cı V/(a° —+- b°) T V/(a* -+— b*) aar -- by -- c - a12c -- bly --c. V(a° -|- b°) V(a? —+- b,*) என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும்.
உ-ம். A = (1,1), B = {-2,-3), C = (-3, 4) என்பனவாயுள்ள ABC என்னும் முக்கோணியின் கோணம் A யின் உள்ளிரு கூருக்கியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
AB, AC என்பனவற்றினுடைய சமன்பாடுகள்
40 - y - 1 = 0, ac-+-4y - 7 = 0 என்பன.
ஆகவே, கோணம் A யின் உள்ளிருகூருக்கி 竺二型一l_主$土华y一? 5 5 ருலே தரப்படும் ; மற்றச் சமன்பாடு வெளி யிருகூருக்கியைத் தரும். எச் சமன்பாடு உள்ளிருகூருக்கியைத் தருமென்பதைத் துணிதற்கு B, O என்பன உள்ளிருகூருக்கியின் எதிர்ப்பக்கங்களிலும் வெளியிருகூருக்கி யின் ஒரே பக்கத்திலும் இருக்கின்றன என்னும் பண்பைப் பயன்படுத்து கின்ருேம்.
என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் ஒன்
40 - By -1_32 + 4y -7 5 wwA 5
அல்லது 0 - 7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுக்க.
2-7g + 6 என்பதில் B, C என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளைப் பிரதி யிடும் பொழுது மறைக் குறிகளையுடைய - 2 + 21 + 6, -3-28 + 6 என்பன வற்றைப் பெறுகின்றேம்.
ஆகவே, 0-7g + 6 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு கோணம் A யின் உள்ளிருகூருக்கியைத் தருகின்றது.
இரு கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தின் இருகூறக்கி.
aa + by + 0 = 0, ax + b,g + c = 0 என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங் குத்தல்லாத இரண்டு வெட்டுங் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாகுக.
அக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணங்களுள் ஒன்று கூர்ங்கோண மாயும் மற்றையது விரிகோணமாயுமிருக்கும். 6 என்பது அக்கூர்ங்கோண
T
2 < π- 9<ா. என்பது அக்கூர்ங்கோணத்
மாகுக ; ஆயின், 0 <θ< .

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 129
தின் இருகூருக்கியைக் குறிக்க ; என்பது அவ்விரிகோணத் தின் இருகூருக்கியாகுக. ஆயின், இற்குந் தந்த கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் <; இற்கும் இக்
கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணம் "9-
ஆகவே, A இற்கும் அக்கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தினது தான்சன் 1 இலுஞ் சிறிது ; இற்கும் அக் கோடுகளுள் ஒன்றிற்கும் இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்தினது தான்சன் 1 இலும் பெரிது. இருகூருக்கிகள் இரண்டினுள் எது கூர்ங்கோணத்தை இருகூறிடும் எனத் துணிதற்கு இவ்வுடைமை உதவும்.
உதாரணமாக, a + g - 1 = 0, 0-7g + 2 = 0 என்னுஞ் சமன் பாடுகளாலே தரப்பட்ட கோடுகள் இரண்டையும் ஆராய்க.
அவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணங்களின் இருகூருக்கிகளின் சமன் LITGB356T
*土型ー"=上*ニ7y土2 v/2 5 V2 இருகூருக்கிகளுள் ஒன்று
5 (ac + y - 1) == ac - 7 y + 2,
அல்லது 40 + 12g-7 = 0 என்பதாலே தரப்படும்.
என்பன.
1. இக்கோட்டின் சரிவு 3.
தந்த முதலாங் கோட்டின் சரிவு -1. இக்கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங்கோணத்தினது தான்சன்
岸 1 +- 붉 .. கூர்ங் கோணத்தின் இருகூருக்கி
= < 1.
40 + 12று - 7 = 0 என்பது.
பயிற்சி 12
1. 520 + 12g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் அக்கோட்டிற்கு (-5, -1) என்னும் புள்ளி இருக்கும் அதே பக்கத்தில் அக்கோட்டிலிருந்து 2 அலகு தூரத்திலுள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
2. a + 2 + 1 = 0, 20 + 11று + 1 = 0, 112 - 2g + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் பக்கங்களையுடைய முக்கோணியின் உள்வட்டமையத்தின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
அம்முக்கோணியின் வெளி வட்டங்களுள் ஒன்றின் மையத்தினுடைய ஆள்கூறுகளையுங் as stators.

Page 71
130 ஆரம்பு தூய கணிதம் ,
3. 33 + 4g + 1 = 0, 30 + 4g - 3 = 0, 40 +3g -1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொடும் இரு வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
4. ABC என்பது A = {0, -1), B = ( -2, -3), C = (1, 1) ஆயுள்ள ஒரு முக்கோணி. BCயைத் தன்னுடைய பக்கங்களுள் ஒன்றாய் AABC யிற்கு வெளியாற் கிடக்குஞ் சதுரத்தி னுடைய எனை உச்சிகளைக் காண்க.
5. 50 + 12g + 1 = 0, 30 - 4g + 1 = 0 என்னுங் கோடுகளைத் தொட்டுக் கொண்டு அக் கோடுகளுக்கு இடையிலுள்ள கூர்ங் கோணத்திற்குட் கிடக்கும் ஓரலகு ஆரையுடைய வட்டங்களின் மையங்களினுடைய ஆள்கூறுகளைக் காண்க. . . .
6. cd>0 அல்லது < 0 ஆதற்கேற்ப, aa + bg + 0 = 0, 60 + ag + d = 0 என்னுங் கோடுகளுக்கு இடையில் உற்பத்தித் தானத்தைக் கொள்கின்ற கோணத்தின் இருகூருக்கியின்
Floodturf GB
(a - b) (a -y) -- (c-d) = 0, அல்லது (a + b) (a + y) + (e + d) = 0 ஆகுமெனக் காட்டுக.
7. A=(0, 2), B= (2, 0) ; 0 என்பது உற்பத்தித் தானம். OPA, OPB என்பனவற்றிற்கு ஒரே பருமன் இருக்குமாறு P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளி இயங்குகின்றது. P என்பது y -ஐ = 0, g + 0 = 2, a + g? -20 -2g = 0 என்னும் ஒழுக்குக்களுள் ஒன்றின் மீதாயினுங் இடத்தல் வேண்டுமெனக் காட்டுக.
8. (x, y) என்னுந் தளத்திலே 4(a, 0), B(-a, 0) என்னும் நிலையான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் ஒரே பக்கத்திற் கிடக்கும்படியும் அக்கோட்டிலிருந்து அந்நிலையான புள்ளிகளினுடைய தூரங்களின் பெருக்கம் ஒரு மாறிலியாய் 30° இற்குச் சமனுகும்படியும் அம்மாறுங்கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாதுமொன்றிலிருந்து அக் கோட்டின்மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி ஸ்? -- g = 4d என்னும் வட்டத்தின் மீது கிடக்கு மெனக் காட்டுக. (ற கோசை 0x + y சைன்o-p= 0 என்னும் வடிவத்தில் அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை எடுக்க).
9, A(2a, 0), B( -2a, 0) என்னும் நிலையான புள்ளிகள் ஒரு மாறுங் கோட்டின் எதிர்ப் பக்கங்களிற் கிடக்குமாறும் அக்கோட்டிலிருந்து அப்புள்ளிகளினுடைய துரங்களின் பெருக்கம் a* என்பதற்குச் சமனுகுமாறும் அம்மாறுங் கோடு இயங்குகின்றது. அந்நிலையான புள்ளிகளுள் யாதுமொன்றிலிருந்து அக்கோட்டின் மீது வரையுஞ் செங்குத்தின் அடி a + g = 3a" என்னுங் வட்டத்தின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
10. இரண்டு சமாந்தரமான கோடுகள் p2 + g + r = 0, pa + ga + 8 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுகின்றன. (pa + g + 7) (pa + g + 8) < 0 எனின், (a, g) என்னும் புள்ளி அந்நேர் கோடுகளுக்கு இடையிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 4
வட்டம்
ஒரு தளத்தில் A என்பது ஒரு நிலையான புள்ளியாயும் P என்பது ஒரு மாறும் புள்ளியாயும் இருக்க, A, P என்பனவற்றிற்கு இடையி லுள்ள தூரம் மாறதிருக்கும்படி P யானது இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகும். அத்தளத்தில் செவ்வகவச்சுக்கள்பற்றி A, P என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகள் (a, b), (a, g) என்பனவாகுக ; அம் மாறத் தூரம் r ஆகுக'. ஆயின், (a-a)? + (y-b)* = ?,
ஆகவே, இது, மையம் (a, b) ஆயும் ஆரை 7 ஆயுமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாகும்.
அச்சமன்பாடு
ac-- y- 2aa-2by -- a-- b- r = 0 என எழுதப்படலாம். இது
ac'-- y? -- 2ga -- 2fy + c = 0 என்னும் வடிவத்தில் உள்ளது ; இங்கு g, f, C என்பன மாறிலிகள். மறுதலையாக, g? +f2 - 0 என்பது நேராயிருக்கும்பொழுது,
aco -- yo -- 2ga -- 2fy -- c = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள எச்சமன்பாடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் ; அச்சமன்பாடு
(x+の"+(y+f)"= 7"+f"-e என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்பதே அதற்குக் காரணம். தன்மையம் (-ர, -f) ஆயும் தன்னுரை V(g?+f?-c) ஆயுமுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடே இது. உ-ம். (1, 0), (-1,-1), (2, 1) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டத் தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. அச்சமன்பாடு a + g^ + 2ga + 2fg + c = 0 ஆகுக. அம்மூன்று புள்ளிகளும் அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால், 1+27十c = 0, 1+1-27ー2f十c=0,
‘.c=一6,9=器, = -. ". அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு a2+g?--50 - 9g - 6- 0.
3.

Page 72
32 ஆரம்ப தூய கணிதம்
தந்த ஒரு விட்டமுள்ள வட்டம்.
A = (a1, y) ஆயும், B = (32, g) ஆயுமிருக்க. P(a, g) என்பது AB என்பதை ஒரு விட்டமாகவுள்ள ஒரு வட்டத்தின்
மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. ஆயின் AP, BP என்னுங்
கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
a A a எனின், AP யின் சரிவு=E.
اسمه "-
9 - 92 a * a எனின், BP யின் stíflay = 2%
* */
/二3/1 /ー3/2_ *" ar-2్ను 20 - 2
.". (a: - acı) (ae - ara) --(y-yı) (y-ya) = 0 2 = 3 ஆயின், AP யானது y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
- 1
.. BP யானது 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
... y F 2/a. ஆகவே, மேலுள்ள சமன்பாடு இவ்வகையிலுந் தீர்க்கப்படும். அதுபோல, 2 =  ைஆகும் பொழுதும் அது தீர்க்கப்படும்,
. AB என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடு
(X-X)(X-X) + (y-yı) (y-y2) = 0.
ஒருவட்டம் பற்றிக்காணும் ஒரு புள்ளியினது நிலை.
a2+ g^ + 2ga + 2fy + 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாகுக. (3,g) என்பன அத்தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியினுடைய ஆள் கூறுகளாகுக. a* + g? + 2ga + 2fg + c = 0 எனின், அப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின் பரிதியின் மீது கிடக்கும். அன்றெனின், அவ்வட்டமையத் திலிருந்து அதனுடைய தூரம் அவ்வட்டவாரையிலுஞ் சிறிது அல்லது பெரிதாதற் கேற்ப அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்குள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.
அவ்வட்டத்தின் மையம் (-g, -f) ; அதனுரை V(g? +f?-0) ஆகவே, (a + g)? -- (g +f)ogo --fo - c,
அதாவது, 2, +g2+2ga+2fg+030 ஆதற்கேற்ப அப்புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 33
தந்த ஒரு புள்ளியில் ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலி.
(0,g) என்பது ல? + g^ + 2g0 + 2fy + c = 0 என்னும் வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. (0,g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற அவ்வட்டத்தின் ஆரை (a, g), (-g, -f) என்னும் புள்ளி களைத் தொடுக்கும் கோடாகும்.
". அதன் சமன்பாடு,
(y — y) (a* -+- g) = (a" — ac) (a/ -+-f). (ல, g) இலுள்ள தொடலி இவ்வாரைக்குச் செங்குத்தாய் (a, g) இற்கூடாகச் செல்லுங் கோடாகும்.
.. அத்தொடலியின் சமன்பாடு,
(ac - ac)(ar + g') -- (y - y) (y +-f) = 0, Jejö26)ğı acarı -- yyı + ga' +fy - acı”-yı*-ga’ı -fyı = 0 {a, g) என்பது அவ்வட்டத்திற் கிடத்தலால்,
ao -- yo -- 2ga -- 2fy -- c = 0. .. (a, பூ) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு,
arac -- yy -- g(at -- a) --f(y -- y) -- c = 0. அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
ac.a. -- y.y +g(ac +a) +f(y+y)+ c = 0 67607 GrupöÜLL'LI76), (acı, yı) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு ஒவ்வொரு உறுப்பிலுள்ள ஒரு 2 ஐ 3 என்பதாலும் ஒரு g யை g என்பதாலும் இடம் பெயர்த்தலாற் பெறப்படும்.
உதாரணமாக, ல* + g^ + 2a + 6g-15 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு (2, 1) இலுள்ள தொடலி
2a + y十(a 十2)十3(yー+1)ー15 = 0. அல்லது a + 4y - 10 = 0. (0-d)^ + (y-b)* = ? என்னும் வட்டத்திற்கு (a, g) இலுள்ள தொடலி (a-a) (a-a) + (y - ம்) (g-b) = ? என்பது. தொடலியாதற்றன்மைக்குரிய நிபந்தனை.
ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலியெனின், அக்கோட்டி லிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமன் ஆகும். மறுதலையாக, ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் செங் குத்துத் தூரம் ஆரைக்குச் சமனயின், அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலி யாகும். வேருெரு வகையாகச் சொல்லப்புகின், ஒரு கோடானது ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலியாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை அக் கோட்டிலிருந்து அவ்வட்டமையத்தின் செங்குத்துத் தூரம் அவ்வட்டத்தின் ஆரைக்குச் சமன் என்பதே.

Page 73
34 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு ? + g^ +2ர0 + 2fg + c = 0 ஆகுக ; அக் கோட்டின் சமன்பாடு a + ing + n = 0 ஆகுக. அவ்வட்டத்தின் மையம் (-g, -f) ; அதன் ஆரை V(g? +f?-c).
அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலியாதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை = v("+P-)
slópapg (ーlgーmf+c)"= ("+m")(g"十f"-c). சிறப்பாக, a + mg + n = 0 என்னுங் கோடு ஐ? + y2 = a* என்னும் வட்டத்தைத் தொடுதற்கு வேண்டிய நிபந்தனை,
இம்முடிவைப் பின்வருமாறும் பெறலாம் :- (3, g) என்பது தொடு புள்ளியாகுக. (2, g) இல் அவ்வட்டத்திற் குத் தொடலி 20+gy-a? - 0. h
ஆகவே, இச்சமன்பாடு a + mg + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு ஒன்ருகும். . . . ...
20 g - a* 万宁双气下双飞
s dv2Ꮣ - aom a=ーァ a=一。
". (2, y) என்பது அவ்வட்டத்தின் மீது கிடத்தலால்,
αιγε - aom\o قه = (""=)+"(-)
. (2 + m)a? = n.
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடலி.
(a, g) என்பது ? + g^ +2ga +2fழ + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக.
(3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமின்றிச் செல்லும் எக். கோடும்
3/ーm2ー3/1十m21 = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டால் தரப்படும்.
{ーリ“}-r+r-c
*○○g {m(a+の一ya-f}"=(1+m")(g"+fーc) எனின் இக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொடலியாகும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 135
இது n இல் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. (0,g) இலிருந்து மு அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் ஒரு தொடலியாயினும் இருத்தல் வேண்டு மென்று அறிவதால், இச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இருத்தல் வேண்டும். n இற்கு மெய்மூலங்கள் இருத்தல் அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டி னது தன்மை காட்டியை ஆராய்வதால் வாய்ப்புப் பார்க்கப்படலாம். அச்சமன் பாடு m இற்கு இரு மூலங்களைத் (m, m என்க) தருமாயின் (a1, y) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்குத் தொடலிகள்
9 - 91 = ?mru (ac - ac), .6T6dTLI60T (ونa --مgy - g == 7mg(a
அச்சமன்பாடு m இற்கு ஒரு பெறுமானத்தையே தருமாயின், (அச்சமன் பாட்டில் m* இன் குணகம் பூச்சியத்திற்கு ஒடுங்கும்போது இது நிகழும்), (3, y) இற்கூடாக y அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் ஒரு தொடலியே இருக்கும்.
மற்றைத் தொடலி y அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகும் ; ஆயின் அதன் சமன்பாடு 0 - 2 - 0.
அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டினது தன்மைகாட்டியை ஆராய்வதால், (0, y) என்னும் புள்ளி அவ்வட்டத்திற்கு வெளியே இருந்தால், அதாவது 3 + g^ + 2ga + 2fg + c> 0 எனின், அச்சமன்பாடு பொருந்தும் மூலங்களைத் தரமாட்டாதென எளிதில் வாய்ப்புப் பார்க்கலாம்.
உ-ம். (0, 6) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+ g? -20 + 2g-23 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
அவ்வட்டத்தின் மையம் (1, -1) ; அதன் ஆரை 5.
g அச்சிற்குச் சமாந்தரமல்லாததாய் (0, 6) இற்கூடாகச் செல்லும் ஒரு கோடு y - 6 = ma என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
-l - 6 - m.
Ꮤ(l + 723) -- +5. அல்லது (m十7)°=25(1十m°), அல்லது 12m2-7m-12 = 0 எனின்,
அதாவது m = * அல்லது - எனின், இக்கோடு அவ்வட்டத்தைத் தொடும்.
.. அவ்விரு தொடலிகளுடைய சமன்பாடுகள்
3ყ — 4az — 18 = 0, 4y-3a - 24 = 0
என்பன.

Page 74
136 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் ஒரு தொடலியினது நீளம்.
0 என்பது மையமாயும், T என்பது P யிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரைந்த
ஒரு தொடலியினது தொடுபுள்ளியாயுமுள்ள a + g^ + 2ga +2fy + c - 0
என்னும் வட்டத்திற்கு வெளியே P(a, g) என்பது கிடந்தால்,
/ހ.
f(xc ჯu)
PT = OP-CT = (a, --g) -- (y |f)-(g--f-c)
= co-- yo -- 2ga -- 2fy -- c.
ஆகவே, (a, g) இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலியினது
நீளத்தின் வர்க்கம்
ー a* + y* + 2ga + 2fy + c.
ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடலிகளுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்.
PT., PT" என்பன மையம் C யாயுள்ள ஒரு வட்டத்திற்கு P என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளாயின்,
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 137
--- 60) gr6ö7 ZOPTP ר Op*
இங்கு r என்பது அவ்வட்டத்தின் ஆரை. ஆகவே, 29 என்பது (0, y) இலிருந்து a + g^ +2ga +2fg + c - 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலிகளுக்கு இடையிலுள்ள கோண மாயின்,
四十fーc_。 (a+の"+(n+f)* ஒரு வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையும் தொடலிகளினுடைய தொடுநாண்.
T, 1" என்பன (a, g) இலிருந்து a2+ g^ + 2ga + 2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு வரைந்த தொடலிகளினுடைய தொடுபுள்ளிகளா குக.
அவ்வட்டத்தின் TT" என்னும் நாண் (2,g) என்னும் புள்ளியைக் குறித்துத் தொடுநாண் எனப்படும்.
(a, g); (23, gs) என்பன T, T என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளாகுக.
சைன்?9 =
T, T" என்பனவற்றிலுள்ள தொடலிகளினுடைய சமன்பாடுகள்
2ra十3/ya十g(c十aa)十f(y十ya)十c = 0 2a十3/ya十g(r十as)十f(y十3/a)十c = 0 5TajfLaol. இத்தொடலிகள் (2 g) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றமை ιι Που,
2ara十3/13/a十g(ra十2a)十f(ya十ya)十c = 0, ara十3/aya十g(r1十aa)十f(yュ十3/s)十c = 0 graöfLao7. ஆகவே, (x, y), (a, gs) என்னும் புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும்
acic -- yy -- g(ac -- a) --f(y -- y) -- c = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
ஆகவே, இது தொடுநாணின் சமன்பாடாகும். இவ்வண்ணம் (a,y) என்னும் ஒரு வெளிப் புள்ளியைக் குறித்து எடுக்கப்படும் தொடுநாணின் சமன்பாடு (a,g) என்னும் புள்ளி அவ் வட்டத்திற் கிடக்கும்பொழுது அப்புள்ளியில் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலியின் சமன்பாட்டோடு ஒரே வடிவினதாகும்.
உ-ம். (1,2) என்னும் புள்ளியிலிருந்து a2+ g2+ a + g -1 = 0 என் னும் வட்டத்தை P, 9 என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுமாறு ஒரு மாறுங் கோடு வரையப்படுகின்றது ; P, 0 என்பனவற்றிலுள்ள தொடலிகள் R இற் சந்திக்கின்றன. R இன் ஒழுக்கு ஒரு நேர் கோடெனக் காட்டுக.

Page 75
38 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அம்மாறுங் கோட்டின் யாதுமொரு நிலைக்கு R இனுடைய ஆள்கூறுகள் (31, 3) ஆகுக.
ஆயின், PQ வின் சமன்பாடு
arュ十yyュ十器(c十a)十器(y十ya)ー1 = 0 இக்கோடு (1, 2) என்பதற்கூடாகச் செல்கின்றமையால்,
a十2/十基(1十a)十瑟(2十y)一1=0, அல்லது - &r + 5y + 1 = 0.
.. R இனுடைய ஆள்கூறுகள் என்றும் 30+ 5g + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும். .. R இன் ஒழுக்கு,
30 + 5g + 1 = 0 என்னும் நேர்கோடாகும். ஒரு வட்டத்தின் பரமான வகைக்குறிப்பு.
a + g^ = ? என்னும் வட்டத்தை ஆராய்க. OP யானது OX ஒடு 9 Y என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்படியாக P என்பது பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளி யாயின், P யினுடைய ஆள்கூறுகள்
Р r a = r கோசை 9, 6Y g = r சைன் 9
X O என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்
படும். இச்சமன்பாடுகள் அவ்வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை 6 என்னும் பரமானம் பற்றி ஒரு பர
மான வகைக்குறிப்பைத் தரும். P யிலுள்ள தொடலி OP யிற்குச் செங்குத்தாதலால், அத்தொடலி யின் சமன்பாடு
2 கோசை 6 + g சைன் 9 = r. ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு v
(c-d)^ + (y-b)* = ? என்னும் வடிவத்திலிருந்தால், பரிதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்
a = a + 7 கோசை 9, g = a + 7 சைன் 8 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படும் : இங்கு 9 என்பது ஒரு மாறும் பரமானம்.
(a + 7 கோசை 9, a + r சைன் 9) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி யின் சமன்பாடு
(a-a) கோசை 9+ (g-b) சைன் 9 - r.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 139
பயிற்சி 13
1. ஒவ்வொன்றும் 2 அலகு ஆசையுடையதாய் ஆள்கூற்றச்சுக்களைத் தொடும் நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுதுக.
2. (1, 1) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 23 + g + 5 = 0 என்னுங் கோட்டை (-2 - 1) என்னும் புள்ளியிலே தொடும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுக. *3. ( - 5, -7) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் சென்று 32 + 4g - 7=0 என்னுங் கோட்டைத் தொடும் 5 அலகு ஆரையுடைய வட்டங்களுள் ஒன்றன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
3 4. A ( -1, -2) என்னும் புள்ளிக்கூடாக OX ஒடு f என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும்
ஒரு கோடு வரையப்படுகின்றது. இக்கோடு OX, OY என்பனவற்றை முறையே P, 9 என்பன வற்றில் வெட்டினல், P2 வை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்திற்கு A யிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளினது தொடு நாணின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
5. (1,0), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்கின்ற எல்லா வட்டங்களினதும் பொதுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. A என்பது y அச்சிற் கிடவாத ஒரு புள்ளியாயும், C யிற்கு வெளியே 4 கிடக்குமாறு 0 என்பது அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டமாயுமிருந்தால், 0 என்னும் வட்டத்திற்கு A யிலிருந்து வரைந்த தொடலிகளினது தொடு நாண் என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுமென்று காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை A யின் ஆள்கூறுகள் பற்றிக் காண்க.
8. 3.0 + 4g = 0 என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமான a + g^ + 20 - 4g -4 = 0 என் னும் வட்டத்தினுடைய தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க ; அவற்றின் தொடு புள்ளி களின் ஆள்கூறுகளையுங் காண்க. -/7. » அச்சை உற்பத்தித் தானத்திலே தொடுகின்ற ஒரு வட்டத்திற்கு (2,1) என்னும் புள்ளி யிலிருந்து வரைந்த தொடலியினது நீளம் 2 அலகு ஆயின், அவ்வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
8. a கோசை 9 + y சைன்9 = 3 என்னுங் கோடு a + g? -40-2g + 4 = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொடுமாறு கோசை 9, சைன் 0 என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காண்க,
அது துணைகொண்டு இவ்வட்டத்திற்கும் a + g? = 9 என்னும் வட்டத்திற்கும் பொதுவா" யுள்ள தொடலிகளின் சமன்பாடுகளைப் பெறுக. J 3. P. என்பது a + y = 4 என்னும் வட்டத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளி ; A என்பது (1, 1) என்னும் புள்ளி. AP யின் மையம் (ஐ -4)2 + (y -3)?=1 என்னும் வட்டத்திற் கிடக்கு மெனக் காட்டுக.
10. ஒரு கோடு ka + mறு + n = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலும், ஒரு வட்டம் a + g? = a* என்னும் சமன்பாட்டாலுந் தரப்படுகின்றன. A என்னும் ஒரு தனிப் புள்ளியானது தனக் கூடாக அவ்வட்டத்தை P, Q என்பனவற்றில் வெட்டும்படி ஒரு மாறுங்கோடு வரையப்படும் பொழுது P, எென்பனவற்றிற்கூடாக அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகள் தந்த கோட்டிற் சந்திக்குமாறு உண்டென்று காட்டுக. புள்ளி A யின் ஆள்கூறுகளை , m, n, d என்பனவற்றிற் காண்க, ר
ஒரு வட்டமும் ஒரு நேர்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்.
3 + g^ + 2ர0 + 2fy + 0 = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடாயும் lac +mg + n = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயும் இருக்க m 4 0 எனின், அக்கோட்டின் சமன்பாடு kc十7】
2) = m என எழுதப்படலாம்.

Page 76
40 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அவ்வட்டத்திற்கும் அக்கோட்டிற்கும் பொதுவான புள்ளிகள் உண் டெனின், அவற்றின் ஆள்கூறுகள் அவ்விரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்த்தல் வேண்டும். இச்சமன்பாடுகளில் ழ யை நீக்கினல்,
l 念 l .0 = 2n-2 -- c+ ( ) + ماه
a* இன் குணகம் பூச்சியமல்லாததால், இது 2 இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு ; அதற்கு வேறு வேறன இரு மெய் மூலங்கள் அல்லது பொருந்து மெய்மூலங்கள் இருக்கலாம் அல்லது ஒரு மூலமும் இல்லா
திருக்கலாம்.
அதற்கு வேறு வேருன இரு மூலங்கள் இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேருன புள்ளிகளில் வெட்டும் ; அவ்விரு மூலங்களும் அவ்வெட்டுப் புள்ளிகளின் கிடைக்கூறுகளைத் தரும். அவற்றி
lac + n
னுடைய நிலைக் கூறுகள் g = - என்னுஞ் சமன்பாட்டிற் பிரதி
யிடுதலாற் பெறப்படும்.
ல இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்குப் பொருந்து மூலங்கள்
இருந்தால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளி
களில் வெட்டும் ; அதாவது, அக்கோடு அவ்வட்டத்திற்கு ஒரு தொட
லியாகும் , அப்பொருந்து மூலங்களின் பெறுமானந் தொடுபுள்ளியின்
கிடைக்கூறைத் தரும்.
2 இலுள்ள அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலம் யாதும் இல்லை
யெனின், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டா.
m = 0 எனின், பூச்சியமாகாது.
அக்கோட்டின் சமன்பாட்டை 20 = - my 某 என்னும் வடிவத்தில்
எழுதி முன்போல வாதிக்கலாம்.
ஒரு வட்டத்தின் ஆரையை ஒரு கோட்டிலிருந்து அவ்வட்ட மையத்தின் செங்குத்துத் தூரத்துடன் ஒப்பிடுதலால், அவ்வட்டமும் அக்கோடும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் பிரசினம் மிக எளிதாகத் தீர்க்கப்படலாம். ஆரை V(g? +f?-c) ஆகும் ; அக்கோட்டிலிருந்து மையத்தின் செங்குத்துத் தூரம்
– lg–mf+n Ꮙ/(ᏓᎸ -i- m*) .. | ??? என்பது W/(g2+f?-c) என்பதிலுஞ் சிறிது அல்லது
பெரிதாதற் கேற்ப, அவ்வட்டமும் அக்கோடும் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒருபோதும் வெட்டா.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 4.
|–g–mf+n 下Vエ தொடும்.
= V(g?--f?-c) எனின், அக்கோடு அவ்வட்டத்தைத்
உதாரணமாக, a + g^ + 2 + 6g-1 = 0 என்னும் வட்டத்தையும் 2a + 3g + 1 = 0 என்னுங் கோட்டையும் எடுக்க.
ஆரையின் வர்க்கம் = 1 + 32 + 1 = 11.
அக்கோட்டிலிருந்து மையம் (-1,-3) இனது தூரத்தின் வர்க்கம்
سے 100 ہے (1 + 9 - 2 - )
}" = } < 11
ஆகவே, அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில்
வெட்டும்.
ஒரு வட்டமும் ஒரு கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் வட்டங்கள்.
S = 0, 26 = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடுமாகுக ; இங்கு S என்பது a + g^ + 2g2+ 2fy + c என்பதையும் a என்பது a + mg + n என் பதையுங் குறிக்கின்றன.
S+ M = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க : இங்கு X என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராது.
இச்சமன்பாடு ?+ g^ + 2g'a + 2fg + 0 = 0 என்னும் வடிவினது ஆகை யால் அது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
தந்த அவ்வட்டத்திற்கும் அந்நேர் கோட்டிற்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, 2 - 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, A இன் பெறுமானம் எதுவாயிருப்பினும், அவை S+ X = 0 என்பதைத் தீர்க்கும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும், S+x = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0 என்னும் வட்டமும் a = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
உ-ம். P.0 என்பன a2+ g? -- 20-8 = 0 என்னும் வட்டமும் a + g - 1 = 0 என்னுங் கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளாயின், P0 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் a + g^ + 20-8 +A (a + y-1) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு P, Q என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லும் ஒரு
S S SLSLS SSSS S LLSSSLL SS À À வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (- T2 -) ஆகும். PQ என்பது இவ்வட்டத்தின் ஒரு விட்டமாயின், அதன் மையம் PQ வின் மீது கிடக்கல் வேண்டும்.

Page 77
耻42 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, வேண்டிய சமன்பாடு
,0 = )1 -g* + 23 - 8 - 2 (a + g + 3 مa அல்லது ac'-- y-2y - 6 = 0 ஆகும்.
2 = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தைத் தொட்டால், S = 0, 2 - 0 என்னும் சமன்பாடுகளிலிருந்து 3 அல்லது g யிற்குச் தீர்வு காணும்பொழுது இரண்டு பொருந்து மூலங்களைப் பெறுகின்றேம். ஆனல், இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகள் S + Au = 0, u = 0 என் னுஞ் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுந் தீர்வுகளேயாகும்.
ஆகவே, S+x=0 என்னுஞ் சமன்பாடு, S= 0 என்னும் வட்டத்தை 2 = 0 என்னுங் கோடு தொடும் புள்ளியில் அவ்வட்டத்தைத்தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் பொது நாண்.
S = 0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக : இங்கு,
S Eat* -- y? -- 2gac -- fy + c, S'=aco -+-yo-+- 2g'aw -- 2fy -- c'. அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள்
As - S = 0,
அல்லது 2(g - g") ac + 2 (f-f") y + c' - c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இச்சமன்பாடு 30,g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியைக் கொண்டது ; ஆகவே, அது அவ்விரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக் கூடாகச் செல்லுங் கோட்டைக் குறிக்கும்.
அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S- S = 0 என்னுங் கோடு அவற்றினது தொடுபுள்ளிக் கூடாகச் செல்லும். இக்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறு யாதும் புள்ளியில் வெட்டினல், அப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S- S = 0 என்பனவற்றைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்பதையுந் தீர்க்கும் ; அதாவது, அப்புள்ளி அவ்விரு வட்டங்களின் ஒரு பொதுப் புள்ளியாதல் வேண்டும். அவ்விரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான தனிப்புள்ளி அவற்றினது தொடுபுள்ளி யாதலால், இது இயலாது. ஆகவே S- S = 0 என்னுங் கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வேறேரிடத்திலும் வெட்டாது.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 143
ஆகவே, அக்கோடானது S = 0, S = 0 என்னும் இரு வட்டங் களுக்கும் பொதுத் தொடலியாகும்.
ரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதற்குரிய நிபந்தன.
ரு வ ஒனறை Ol தற்கு நத
3ஃg? என்பனவற்றின் குணகங்கள் 1 இற்குச் சமனகவுள்ள Sது 0, S = 0 என்பன வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகும்.
ஆயின், S- S = 0 என்பது முதலாம் படியிலுள்ள ஒரு சமன்பாடாகி ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும். இந்நேர்கோடு S = 0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டினல், அவ்வெட்டும் புள்ளி ஒன்றின் ஆள்கூறுகள் S = 0, S-S'- 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ; ஆகவே, அவை S = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும்; அதாவது அவ்விரு வட்டங்களும் ஒன்றை யொன்று வெட்டும். அக்கோடு 8-0 என்னும் வட்டத்தை வெட்டாதா யின், S = 0, S = 0 என்னும் இரு சமன்பாடுகளையுந் தீர்க்கும் புள்ளி யாதும் இல்லை.
ஆகவே, S- S = 0 என்னுங்கோட்டிலிருந்து S = 0 என்னும் வட்டத் தின் மையத்தினது தூரம் S = 0 என்னும் வட்டத்தின் ஆரையிலுஞ் சிறிது அல்லது அதற்குச் சமன் அல்லது அதிலும் பெரிதாதற்கேற்ப, அவ்விரு வட்டங்களும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் அல்லது ஒன்றையொன்று தொடும் அல்லது ஒன்றையொன்று வெட்டா.
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் அல்லது வெட்டா என்பது அவ்விரு வட்டங்களின் ஆரைகளையும் அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையி லுள்ள தூரத்தையுங் கணித்தலாலே துணியப்படலாம். r, r என்பன ஆரைகளாயும், d என்பது அம்மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயு மிருந்தால், 7, 7, d என்னும் நீளப் பக்கங்களுடைய ஒரு முக்கோணி வரையக்கூடியதாயிருக்குமாயின், அவ்விரு வட்டங்களும் இரு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். ஒரு முக்கோணியின் யாதுமொரு பக்கம் எனை யிருபக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையிலும் சிறிதாயும் அவற்றின் வித்தியாசத்திலும் பெரிதாயுமிருத்தலால் r-rd எனின், அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டா; சிறு வட்டம் பெருவட்டத்திற்குட் கிடக்கும்.

Page 78
144 ஆரம்ப தூவ கணிதம்
இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும்
வட்டங்கள். a, g? என்னும் ஒவ்வொன்றின் குணகம் 1 இற்குச் சமனயுள்ள S = 0, S = 0 என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. X என்பது -1 இற்குச் சமனகாது 2, g என்பனவற்றைச் சாராதுள்ள S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது இரண்டாம் படி யிலுள்ள ஒரு சமன்பாடு; முழுவதையும் 1 + A ஆல் வகுத்தபின் a* + y* + 2pa + 2qy + r = 0 என்னும் வடிவத்திலே அதனை எழுதலாம் ; இங்கு p, g, r என்பன ல, y என்பனவற்றைச் சாராதிருக்கின்றன. ஆகவே, அச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகள் X இன் எப்பெறுமானத் திற்கும் இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
ஆகவே, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு -1 இற்குச் சமனகாதX இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றை யொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
X= -1 ஆகும்பொழுது, அச் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் பொது நாணைக் குறிக்கும்.
S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு இரு வட்டங்களை அவற்றின் பொதுத் தொடு புள்ளியிலே தொடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்.
P என்பது இரு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுள் ஒன்ருக; PA, PB என்பன அவ்வட்டங்க ளுக்கு P யிலுள்ள தொடலி களாகுக. அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணை அமைக்கின்ற PA, PB என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள கோணம் அவ்வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம் எனப்படும். 9 என்பது இக்கோணமாயும் C, C என்பன அவ்வட்டங்களின் மையங்களாயுமிருந்தால், /CPC= r - 9 என்பது எளிதிற் புலப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 145
r, r என்பன அவ்வட்டங்களின் ஆரைகளாயும், d என்பது அவற் றின் மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரமாயுமிருந்தால்,
2 p கோசை (ா - 9) = rهو و+ه -- d3
2- مو -- 2 - مو -- 2 அல்லது கோசை 6 - d* - r2 - rفي
செங்குத்துவெட்டு.
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வட்டங்களின் வெட்டுக் கோணம்
ஆயின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுகின்றன எனப்படும். முன் னுருவத்திலுள்ள வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டினுல், /CPC ஒரு செங்கோணமாகும் ; ஆயின், d?= 72 + r?. மறுதலையாக, d? - ??-- r? எனின், அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டும். அவ்வட்டங்களின் சமன்பாடுகள்
2*+ y"+2ga;+2f.y-+ ca=0, ல?+ g^ + 2ர0 + 2fது + c = 0 என்பனவாகுக.
மையங்களுக்கு இடையிலுள்ள தூரத்தின் வர்க்கம் (g-g) + (f-f)? ஆகும். ஆகவே, அவ்வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை
(gaーga)"十(f ー f)"=ga"十f"ーc1十ga"十f"ーca
அல்லது 2gg2+2ff= C+ c ஆகும். ஒரு வட்டப்பரிதியை இருகூறிடும் வட்டங்கள்.
ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு 2?+ g^ + 2ga + 2fg + 0 = 0 ஆகுக'. ஆயின் அதன் மையம் (-ர, -f) என்னும் புள்ளியாகும். , n என்பன எவையேனும் மாறிலிகளாயின் (a+g) +m (g+f) = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு இப்புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். ஆகவே இக்கோடு இவ்வட்டப்பரிதியை இருகூறிடும் ; ஏனெனின் கோடு வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகள் A,B யாயின் AB யானது வட்டத்தின் ஒரு விட்டமாகும்.
ac* -- y* + 2gac + 2 fy-!-- c. -- l (ac-y-g) -- m (y +f) = 0
என்னுஞ் சமன்பாடு A,B என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். ஆகவே , m என்பன எதேச்சை மாறிலிகளாக, இச்சமன்பாடு தொடக்க வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடும் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். அத்தகைய எவ்வட்டமும் இவ்வடிவத்திலுள்ள சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
a2+ g^ +2g2+2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டம் a2+ g + 2ga+2fg + c = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடுவதற்கு நிபந்தனை எளிதிற் பெறப்படும்.

Page 79
146 ஆர ம்ப தூய கணிதம்
(ae? -- y* + 2g'ac' + 2 f'y + c') = (ac* -- y* + 2gac + 2 fy + c) + 2 (g' - g) ac +2 (f'-f) g + c - ஆேதலால் 2 (g" - ர) 2 + 2 (f'-f) g + c - 0 - 0 என்னும் நேர்கோடு (-g, -f) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்லல் வேண்டும். ஆகவே -2 (g'-g) g -2 (f'-f)f+ c - c = 0 ஆகவேண்டும்.
உ-ம். a2+g? = 1, a2+g?-40 - 5 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒவ்வொன் றின் பரிதியையும் இருகூறிட்டு a2+ y2 - 20 - 3g - 2 - 0 என்னும் வட்டத்தை நிமிர்கோணத்தில் வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க a + g^-1 = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடும் வட்டம் எதுவேனும் a + g^ + 2 + 2my - 1 = 0 என்னுமொரு சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
(a + y + 2la. --2my - 1) - (a + y - 4a – 5) = (2 + 4) a--2my + 4 ஆதலால் இவ்வட்டம் 3* + g?-40 - 5 = 0 என்னும் வட்டத்தின் பரிதியை இருகூறிடுதற்கு
(2l - 4)2 + 4 = 0 X− ஆகவேண்டும் ; அதாவது = - 3 ஆகவேண்டும். ஆகவே a + g?-60 +2mg - 1 = 0 என்னும் வட்டம் தந்த முதல் இருவட்டங்கள் ஒவ்வொன்றின் பரிதியையும் இருகூறிடும். இவ்வட்டம் a2+ y2-2-3g-2=0 என்னும் வட்டத்தை நிமிர்கோணத்தில் வெட்டுதற்கு 2(-3) (-1)+2m(-) = -1 - 2 ஆகவேண்டும். அதாவது m = 3 ஆகவே வேண்டிய சமன்பாடு a2+ g?-6a + 6g - 1 = 0.
ஒரு வட்டத்தைக் குறித்து ஒரு புள்ளியின் வலு. P(a, g) என்பது ல? -- g? -- 2g0 + 2fy + c =0 என்னும் வட்டத்தினது தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0X ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்கும் ஒரு கோடு P யிற்கூடாக வரையப்படுக. 7 என்பது P யிலி ருந்து OX ஒடு 6 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குந் திசையில் அளக்கப்பட்ட அப்புள்ளியினது தூரமாயின், இக்கோட்டின் மீதுள்ள யாதுமொருபுள்ளி யின் ஆள்கூறுகள் a + rகோசை 9, g + rசைன் 6 என்பனவுாகும். இப்புள்ளி அவ்வட்டத்தின்மீது கிடந்தால்,
(a + r கோசை6)2 + (g + rசைன் 9)? + 2g(a + rகோசை 9)
+ 2f(g + rசைன் 6) + 0 - 0 ܫ ? + 2r(a,கோசை 9 + g, சைன் 6 + g கோசை 9 +f சைன் 6)
+ ac *+ y? -- 2gac + 2 fly! -- c = 0. இது r இலுள்ள ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு. அக்கோடு அவ்வட்டத்தை இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகள் ,ெ R என்பனவற்றில் வெட்டினல் இந்த இருபடிச் சமன்பாடு (தம் செவ்விய குறிகளோடு கூடிய) P9, PR என்னுந் தூரங்களாகிய இரண்டு வேறு வேருன மெய்ப்பெறுமானங்களை

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் V− 147
இற்குக் கொடுக்கின்றது. r இற்குரிய இரு மூலங்களின் பெருக்கம்
a -- y -- 2ga' + 2 fly -- c PQ.PR = allo + yo + 2 gac + 2fy+ c.
ஆகவே, அவ்வட்டத்தை ,ெ R என்னும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டுதற்கு P யிற்கூடாக யாதுமொரு கோடு வரையப்பட்டால், P0.PR என்னும் பெருக்கத்திற்கு a*+ g2+ 2ga + 2fg + 0 என்னும் ஒரு மாறப் பெறுமானம் உண்டு. அவ்வட்டத்தையும் P என்னும் புள்ளியினது நிலையையுமே சார்ந்த இம்மாருப் பெறுமானம் அவ்வட்டத்தைக் குறித்து P யின் வலு எனப்படும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்கு வெளியால் இருந்தால், P0, PR என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி இருக்கும் ; ஆயின் வலு நேராகும். )ெ, R என்பன பொருந்தும்போது P யிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலி எல்லையுறுமாதலால், P யின் வலு. P யிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலியினது நீளத்தின் வர்க்கமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்தின் மீதே கிடந்தால், ,ெ R என்னும் புள்ளிகளுள் ஒன்று P யோடு பொருந்தும் ; ஆயின், வலு பூச்சியமாகும். P என்பது அவ்வட்டத்திற்குட் கிடந்தால், P9, PR என்பனவற்றிற்கு முரண்குறிகள் இருக்கும் ; ஆயின், P யின் வலு மறையாகும்.
3 + g^ +2g0 + 2fg + c என்பது மறை அல்லது நேர் ஆதற்கேற்ப, (a, g) என்னும் புள்ளி a + g^ + 2g0 + 2fg + 0 = 0 என்னும் வட்டத்திற்கு உள்ளே அல்லது வெளியே கிடக்குமென முன்னர் கண்டுள் ளோம்.
இரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சு.
As Eat' -- y' -- 2ga -- 2fy -- c = 0, S'' = aco -- yo -- 2g'aw -- 2f’y -- c = 0 என்பன் இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. (a, g) என்பது அவ்விரு வட்டங்ளையுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியாயின்,
acʼ°-+— gy* —+— 2gac -+— 2 fy —+— c = acʼ° -+- y*-+- 2gʻʼat —+- 2,fʼy -+- c
2(g - g') ac --- 2(f-f") y + c, - c' == 0 அவ்விரு வட்டங்களையுங் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள புள்ளியின் ஆள் கூறுகள்
2(g-g') a -- 2(f-f') y + c - c = 0. என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்.
இது 2, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள சமன்பாடாய் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
7-R11681 (1166)

Page 80
148 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்களைக் குறித்து ஒரே வலுவுள்ள ஒரு புள்ளியின் ஒழுக்கு S- S = 0 என்னும் நேர்கோடாகும். இக்கோடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சு எனப்படும். அவ்வட்டங்கள் இரண்டு வேறு வேறன புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டினல், சமத்தொடலியச்சு அவ்வட்டங்களின் பொதுநாணுகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், சமத்தொடலியச்சு அவற்றின் பொதுத் தொடலியாகும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாவாயின், சமத் தொடலியச்சு அவ்விரு வட்டங்களுள் ஒன்றையாதல் வெட்டாத ஒரு கோடாகும். பொதுவச்சு வட்டங்கள்.
S = a* + g^ + 2ga + 2fg + c= 0 என்பது ஒரு வட்டத்தின் சமன் பாடாயும் u = a + ing + n = 0 என்பது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாயு மிருக்க. A என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருக்கும் S + M = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை ஆராய்க. இவ்வட்டத்தைக் குறித்து (a, g) என்னும் ஒரு புள்ளியின் வலு
«,°+ y*+2ga, +2fy1 + c +À (la, +my +n).g65 h. ஆகவே, (a, g) என்னும் புள்ளி u = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடந்தால், S + M = 0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அப்புள்ளியின் வலு S = 0 என்னும் வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலுவோடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, A இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் S+ Xu = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்; இவ்வட்டம், S = 0 என்னும் வட்டம் ஆகிய இரண்டினதுஞ் சமத்தொடலியச்சு n = 0 என்னுங் கோடா கும். A இன் வேறு பெறுமானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் 2 = 0 என்னும் சமத்தொடலியச்சோடு கூடிய ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்குமெனப்படும்.
S =E ac? -- y? -- 2gac –- 2 fy + c, = 0, S" is ac? -- y? + 2g'ac' + 2 f"y + c' = 0 என்பன இரு வட்டங்களின் சமன்பாடுகளாகுக. X = -1 ஆயின், S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரு வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சைக் குறிக்கும். 24 என்பது S-S" என்பதைக் குறிக்க ; ஆயின், u = 0 என்பது சமத் தொடலியச்சின் சமன்பாடாகும்.
À 7A. — 1 GTGOfGÖT, S -- ÀS" = S -- A (S - u) = (1 +Ms-蠢) ஆகவே, S + AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S- 1-X = 0 என்பதனேடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, -1 இற்குச் சமனகாத X இன் வேறு வேறு பெறுமானங் களுக்கு, S+AS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு S = 0, S = 0 என்னும் வட்டங்கள் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியைக் குறிக் கும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 149
ஒன்றையொன்று வெட்டும் பொதுவச்சுத் தொகுதியும் அவ்வாறு வெட்டாப்
பொதுவச்சுத் தொகுதியும். ஒரு பொது வச்சுத் தொகுதியின் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை P என்னும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினல், அத்தொகுதி யின் யாதுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து P யின் வலு பூச்சியமாகும். ஆகவே, அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டமும் P யிற் கூடாகச் செல்ல வேண்டும்.
ஆகவே பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A, B என்னும் இரண்டு வேறு வேருண புள்ளிகளில் வெட்டினல், அத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு பிற வட்டமும் A, B என்னும் இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்ல வேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை A என்னும் ஒரு புள்ளியிலே தொட்டால், அது அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்தையும் ஒரே புள்ளி A யிலே தொடவேண்டும். அப்பொதுச் சமத்தொடலியச்சு அத் தொகுதியின் ஒரு குறித்த வட்டத்தை வெட்டாகயின், அது அத் தொகுதியின் யாதுமொரு  ை தீம்ைதயு வெட்ட முடியாது. ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங் கள் எல்லாவற்றிற்கும் பொது வெட்டுப் புள்ளிகள் A, B என்பன இருக்கும்பொழுது, எல்லா வட்டங்களினதும் மையங்கள் AB யின் செங்குத்து இா,nருகிவியாபிய ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடக்குமென தூய கேத்திர கணிதத்தி மிேருந்து பெறப்படும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று ஒரே புள்ளியிலே தொட்டால், அவ்வட்டங்களின் மையங்கள் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங் குத்தாகிய பொதுத் தொடு புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்ற நேர் கோட்டின் மீது கிடக்கும். அவ்வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாத பொழுதும் அவற்றின் மையங்கள் அவற்றின் பொதுச் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங் குத்தான ஒரே நேர்கோட்டின் மீது கிடக்குமென எளிதாக நிறுவப்படலாம்.
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எவையேனும் இரு வட்டங்கள்
aco -- yo -- 2ga -- 2fy --c = 0, a02-+- y2 -+- 2g"ac +- 2f’gy -+- c == 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளாலே தரப்படுக. அவற்றின் மையங்களைத் தொடுக்கும் நேர் கோட்டின் சமன்பாடு
(y -- f)(g - g") - (ac + g') (f-f") = 0. சமத்தொடலியச்சின் சமன்பாடு
2a (g-g") + 2y (f-f") -- c - c' = 0. இந்த இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து. ஆகவே, ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எல்லா வட்டங்களின் மையங் களும் அவற்றின் பொதுச் சமத்தொடலியச்சிற்குச் செங்குத்தான ஒரே நேர் கோட்டிற் கிடத்தல் வேண்டும்.

Page 81
150 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியினது நியமச் சமன்பாடு.
யாதுமொரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை எடுக்க. பொதுச் சமத தொடலியச்சும் மையமிணைகோடும் இரண்டு செங்குத்துக் கோடுகளாகும். 3 அச்சாக மையமிணை கோட்டையும் y அச்சாகப் பொதுச் சமத்தொடலி யச்சையும் எடுக்கின்றேமெனக் கொள்க. அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் ஆள்கூறுகள் (X, 0) ஆகும் ; இங்கு, A என்பது அவ்வட்டத்தோடு மாறும்.
ஆகவே, அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
a' + y - 2a: + c = 0 gigs h;
இங்கு C என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராது X என்பதைச் சார்ந்துமிருக்கலாஞ் சாராதுமிருக்கலாம்.
உற்பத்தித்தானஞ் சமத்தொடலியச்சின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதலின், அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்தைக் குறித்து அதன் வலு ஒன்ற யிருத்தல் வேண்டும்.
ஆகவே, c என்பது X ஐச் சாராது வட்டங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் ஒன்ருகும். ஆகவே, பொதுவச்சுத் தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தின் பொதுச் ift O66TL IITGB
ac*+ y* - 2Aac + c, = 0 i gyce5Lh ;
இங்கு A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயும் c என்பது ஒரு மாறிலியாயும் இருக்கும்.
பொதுத்தொடலியச்சு 0=0 எனுங் கோடாகும் ;
ஆகவே, g^ + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு g யிற்கு மெய்மூலங்களைத் தந்தாற்ருன், பொதுத்தொடலியச்சு அத்தொகுதியின் ஒரு வட்டத்தை வெட்டும்.
ஆகவே, C< 0 எனின், அவ்வட்டங்களுக்கு இரண்டு பொது வெட்டுப் புள்ளிகள் இருக்கும் , c = 0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று தொடும் ; c> 0 எனின், அவை ஒன்றையொன்று வெட்டா. ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொதுவச்சுத் தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள்.
A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயும் c என்பது ஒரு நேர் மாறிலியாயுமுள்ள a2+ g?-2Xa + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப் பட்ட ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்களே ஆராய்க. அச்சமன்பாடு
(3-A)? + y2 =X2-0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். X? 0 ஆகுமாறு X இன் பெறுமானங்களுக்கே, அத் தொகுதியின் வட்டங்கள் பெறப்படலாம். X?> 0 எனின், V (A?-0) மென்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தைப் பெறுவோம். X = 0 எனின், பூச்சிய ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்தை அல்லது (A, 0) என்னும் புள்ளியில் ஒரு புள்ளி வட்டத்தைப் பெறுவோம். X = c என்னுஞ் சமன்பாடு X இற்கு இரு பெறுமானங்களைக் கொடுத்தலால், அத்தொகுதியின் இரண்டு புள்ளி வட்டங்களே (Vic, o), (- V0, 0) என்னும் புள்ளிகளிற் பெறுவோம். இப்புள்ளிகள் அப்பொது வச்சுத் தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் எனப்படும். அவை பொதுத் தொடலியச்சிற்குச் சமச் சிராய் நிலை கொள்ளும்.
Y
ܠ ܠ܁2/ | \ܠ2r
にプエブー・
I, I' என்பன எல்லைப் புள்ளிகளாயின், அப்பொது வச்சுத் தொகுதி யின் ஒரு வட்டத்திற்கும் அதன் மையம் L, L என்பனவற்றிற்கு இடையில் இராது.
L=(Ve, 0) எனின், அச்சமத்தொடலியச்சின் I இருக்கும் அதே பக்கத்திற் கிடக்கின்ற வட்டங்கள் A (>w/c) இனுடைய நேர்ப்பெறு மானங்களாலே தரப்படும். a2+ g?-2Aa + c = 0 என்பது அத்தகை வட்டமொன்றின் சமன்பாடாகுக. a2+ g?-2M + c என்பதில் 0 = + v/c, g = 0 எனப் பிரதியிட்டால், மறைக்குறியோடு கூடிய 2/c (Ve-A) என்பதைப் பெறுவோம்.
ஆகவே, L என்பது அத்தகை வட்டம் ஒவ்வொன்றிற்குள்ளுங் கிடக்கும். அதுபோல, அச்சமத்தொடலியச்சின் L ஐப் போல அதே பக்கத்திற் கிடக் கின்ற அத்தொகுதியின் ஒவ்வொரு வட்டத்திற்குள்ளும் L' கிடக்கும்.
அப்பொதுவச்சுத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொட்டால், அத்தொகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகள் பொதுத் தொடு புள்ளியோடு பொருந்தும்.

Page 82
152 ஆரம்ப தூயணிதம்
அத்தொகுதியின் வட்டங்கள் இரண்டு வேறுவேருண புள்ளிகளில் வெட்
டினல், அத்தொகுதிக்கு எல்லைப் புள்ளிகள் இல்லை.
உ-ம். A, B என்பன ஒரு தளத்தில் இரண்டு நிலையான புள்ளி
களாயும் P என்பது 瓮一* (மாறிலி) ஆகவுள்ள ஒருமாறும் புள்ளியாயும்
இருந்தால், P யின் ஒழுக்கு ஒரு வட்டமாகுமென்றும் k இன் வேறு வேறு, பெறுமானங்களுக்குப் பெறும் வட்டங்கள் A, B என்பனவற்றில் எல்லைப் புள்ளிகளுள்ள ஒரு பொதுவச்சுத் தொகுதியை ஆக்குமென்றுங் காட்டுக.
அத்தளத்தில் எவையேனுஞ் செவ்வக வச்சுக்களை எடுக்க : (a, b) (c,d) என்பன இவ்வச்சுக்கள் பற்றி எடுத்த A, B என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகளாகுக. (0, y) என்பன P என்னும் மாறும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளாயின்,
- PA” - (-a)+(y-b)” PB? (ac - c)?--(y — d)?
.0 = [2 (ac-- Q)* -+- (gy -- b)2 -- k*[(ac --- c) 2 -+- (gy -- d) لا6060gإطه
a, g? என்பனவற்றின் ஆள்கூறுகள் சமனதலாலும், லg யில் ஒருறுப்பும் இல்லாததனலும், இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.
S = (a, -a) + (y-b) eyujib, S = (a, -c) + (y-d)
ஆயுமிருந்தால், அச்சமன்பாடு S-k?S'- = 0 என்பதாகும்.
S = 0, S = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் இரண்டு புள்ளி வட்டங்களைக் குறிக்கும். ஆகவே, b இன் வேறு வேருண பெறுமானங்களுக்கு S-ஃS = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு அவ்விரண்டு புள்ளி வட்டங்களும் உறுப்புக்களாயுள்ள ஒரு பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்கும். ஆகவே, அத்தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன வாயிருக்கும் ; அதன் எல்லைப் புள்ளிகள் A,B என்பனவற்றில் இருக்கும்.
செங்குத்துப் பொதுவச்சுத் தொகுதி
A என்பது ஒரு மாறும் பராமானமாயுள்ள a2+ g?-2Xa + c = 0 என் னும் பொதுச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியை ஆராய்க.
C(0,p) என்பது அவ்வட்டங்களுக்கு வெளியே சமத்தொடலியச்சின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 0 யிலிருந்து அத்தொகுதியின் யாதுமொரு வட்டத்திற்கு வரைந்த ஒரு தொடலியினது நீளத்தின் வர்க்கம் p2 + c , ஆகும்.
ஆகவே, மையம் C யாகவும் ஆரை W/(p?+ c) ஆகவுமுள்ள வட்டம் அப் பொதுவச்சுத் தொகுதியின் ஒவ்வொரு விட்டத்தையுஞ் செங்குத்தாக வெட்டும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 53
இவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு
,p* -+- c جسے 2(ac2 -+- (gy --p
அல்லது ac-- y- 2py - c = 0.
p யின் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு, g அச்சை மையமிணை கோடாயும் a அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடலியச்சாயுமுள்ள ஒரு பொது வச்சு வட்டத் தொகுதியை இச்சமன்பாடு தரும்.
ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையன வாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங்களே யுடையனவாகும் ; ஆரம்பத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டா வட்டங் களையுடையனவாயின், செங்குத்துத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டும் வட்டங்களையுடையனவாகும். ஆரம்பத் தொகுதியின் வட்டங்கள் ஒன்றை யென்று தொடுமாயின், செங்குத்துத் தொகுதியின் வட்டங்களும் ஒன்றை யென்று தொடும்.
பயிற்சி 14,
1. w--g - 4, 20?--2y? - 30+g - 3 - 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டுமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் பொது நாணின் சமன்பாட்டையுங் காண்க. /2. a+று? - 4, 2?-+2g? -32+g - 3 = 0 என்னும் வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் சென்று சி+g?--20 - 1 = 0 என்னும் வட்டத்தைச் செங்குத்தாக வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
73. ஐ?--g = 4 என்னும் வட்டமும் a+g - 1 = 0 என்னுங்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு மாறும் வட்டஞ் சென்று ?--g? -20 - 1-0 என்னும் வட்டத்தை P, Q என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. P0 வானது என்றும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றதெனக் காட்டுக ; இப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைக் காண்க.
4. ஒரு மாறும் வட்டம் A, B என்னும் இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக்கூடாகச் சென்று வேருெரு நிலையான வட்டத்தை வெட்டுகின்றது ; அவ்விரு வட்டங்களின் பொது நாண் A, B என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டின்மீது கிடக்கின்ற ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் செல்லும் அல்லது AB யிற்குச் சமாந்தரமாயிருக்குமெனக் காட்டுக.
5 மூன்று வட்டங்களின் மையங்கள் ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லையாயின், அவ்வட்டங்களின் சமத்தொடலியச்சுக்கள் சோடி சோடியாக எடுக்கப்பட ஒரு புள்ளியிற் சந்திக்கும்.
6. ao--yo--2)(--y - 3) - 4 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு X இன் வேறு வேறு பெறு மானங்களுக்கு ஒன்றையொன்று வெட்டாப் பொதுவச்சு வட்டத் தொகுதியைக் குறிக்குமெனக் காட்டுக ; அவற்றின் எல்லைப் புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளையும் காண்க.
7. ஒரு வட்டத்தின் மையம் y அச்சின்மீது இருக்கின்றது. அவ்வட்டத்தைக் குறித்து வி அச்சின் மீதுள்ள P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளியினது தொடு நாண் & அச்சை 0 விற் சந்திக்கின்றது. P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் g அச்சைப் பொதுச் சமத்தொடலி யச்சாகவுள்ள ஒரு நிலையான பொது வச்சுத் தொகுதியின் ஓர் உறுப்பாகுமெனக் காட்டுக. ஆரம்ப வட்டம் 3 அச்சை வெட்டுகிறது அல்லது வெட்டுகிறதில்லை என்பதற்கேற்ப அப்பொது வச்சுத் தொகுதி ஒன்றையொன்று வெட்டாத வட்டங்களுடையன அல்லது வெட்டுகின்ற வட்டங்களுடையன என்றுங் காட்டுக.

Page 83
154 ஆரம்ப தூய கணிதம்
a?--g?-1, 3?--g? - 0 - 3=0, 3?--g? -g - 4-0 என்னும் மூன்று வட்டங்களுள் .8/ہ
ஒவ்வொன்றையும் செங்குத்தாக, வெட்டும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. /9. (1,1), (-1,0) என்னும் புள்ளிகளுக்கூடாகச் செல்லும் ஒரு வட்டம் a+g =4 வட்டத்தை P, Q என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது. P, Q என்பனவற்றில் இரண்டாம் வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலிகள் R இல் ஒன்றையொன்று வெட்டினல், R என்பது 53--3g - 4 = 0 என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
v/10. ஆள்கூற்றச்சுக்கள் இரண்டையுந் தொடும் வட்டங்கள் நான்கு 2(a+g?)+0 - 4y - 2 என்னும் வட்டத்திற்குச் செங்குத்தாகுமென்று நிறுவுக ; அவற்றின் சமன்பாடுகளையுங் காண்க.
/11. ல?+g2+20 -2y=0, a2+g? -20+2y=0 என்னும் இரு வட்டங்களுக்கும் மூன்று பொதுத் தொடலிகள் மாத்திரம் உண்டு எனக் காட்டி அவற்றின் சமன்பாடுகளேக் காண்க.

அத்தியாயம் 5
பரவளைவு
வரைவிலக்கணம்.
என்பது ஒரு தளத்திலேயுள்ள ஒரு நிலையான கோடாகுக ; S என்பது அத்தளத்தில் இன்மீது கிடவாத ஒரு நிலையான புள்ளியாகுக. P என்பது அத்தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள ஒரு மாறும் புள்ளியாகுக ; M என்பது P யிலிருந்து இன்மீது வரைந்த செங்குத்தின் அடியாகுக. P என்பது 1 ஆகுமாறு இயங்கினல், P யின் ஒழுக்கு ஒரு பரவளைவு என வரையறுக்கப்படுகின்றது.
SA என்பதை இற்குச் செங்குத் தாக ஐ A யிற் சந்திக்கும்படி வரைக. O என்பது SA யின் மையமாகுக. 08 என்பதை 30 அச்சிதுை நேர்த் திசையாகவும் இற்குச் சமாந்தரமாய் 0 விற்கூடாகச் செல்லுங் கோட்டை y அச்சாகவும் எடுக்க. OS = a A ஆகுக'.
P.(a,y) எனின்,
Y
P
wa
ܣܫܒܺܝܝ
g/2. ~പ-ן.2(a - (t) .2י1א, 1ᏢᎷᏬ :rs (ac-l-a)° l ..". (ac-y-a)?== (ac - a)*+-y*.
. g?-4aல.
இது OX, OY என்பனவற்றை a, g என்னும் அச்சுக்களாகக் குறித்து வரைந்த பரவளைவின் சமன்பாடாகும். S என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவின் குவியம் என்றும் அக்கோடு செலுத்தி என்றுங் கூறப்படும். அவ்வளையி முழுவதும் y அச்சினது நேர்ப்பக்கத்திற் கிடக்கும் ; அது உற் பத்தித் தானத்திற்கூடாகச் செல்லும். அது OX பற்றிச் சமச்சீராயி ருக்கும் ; OX இற்கு மேலுங் கீழுமுள்ள அதனுடைய கிளைகள் g=2V(aa), g= -2V(aa) என்பனவற்ருலே தரப்படும். OX என்பது அப் பரவளைவின் அச்சு என்றும் 0 என்பது அதன் உச்சி என்றுங் கூறப்படும்.
S இற்கூடாக OX இற்குச் செங்குத்தாயுள்ள அப்பரவளைவினது நாண்
செவ்வகலம் எனப்படும்.
155

Page 84
156 ஆரம்ப தூய கணிதம்
20 என்பது மிகப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது, g என்பதும் மிகப் பெரி தாகும் ; ஆயின், அவ்வளையி முடிவில்லாததாகும். அதற்கு இரண்டு முடிவில் கிளைகள் இருக்கும்.
ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
(a, பூ), (a, g) என்பன g?=400 என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக.
yy — 2a (ac –+- a') -+-yy/3 — 2a (ac-+-ac3) — yy3 -+- 2a (ac -+- ac) == 0 6T6öT69)Jö5 சமன்பாட்டை ஆராய்க. அது a, g என்பனவற்றிலே முதலாம் படியி லுள்ள ஒரு சமன்பாடு. ஆகவே, அது ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும். g?-4aa=0 ஆதலால், a=0, y=g ஆகும்பொழுது அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.
2=0, y=g ஆகும்பொழுதும் அச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படும். ஆகவே அச்சமன்பாடு (a, g), (a, g) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணைக் குறிக்கும்.
a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு.
(2,g) என்னும் புள்ளியானது அப்பரவளைவின்மீது நிலையாயிருக்க (3, y) என்னும் புள்ளியானது (ல,g) என்னும் புள்ளியோடு பொருந்தும்படி அப்பரவளைவினது நீளத்திற்கு இயங்குகின்றதெனக் கொண்டால், அவ்விரு புள்ளிகளையுந் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாடு .----. yy. — 2a(ac-+-a*) —+-yy. — 2a(ae-+-Q*) — y*-+-4a a",= 0. அல்லது 3/yaー2a(r十21)=0 என்னும் வடிவத்தை அணுகும்.
(,ை g) என்பது (0, y) ஓடு பொருந்தும்போது எல்லை நிலையிலுள்ள நாண் அப்பரவளைவிற்கு (0,g) இலுள்ள தொடலியாகும்.
ஆகவே, அப்பரவளைவிற்கு (a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு gg-2a (a+2) = 0 ஆகும். அவ்வளையியின் சமன்பாடு g = 2a (3+2) என எழுதப்படின், (a, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு g என்பதி லொன்றை g ஆலும் 0 என்பதிலொன்றை 2 ஆலும் பிரதியிடுதலாற் பெறப்படும்.
பராமான வகைக்குறிப்பு.
a - a2, g - 2at எனின், g2-4aa = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்குந் தீர்க்கப்படும். ஆகவே, t என்பது ஒரு மாறுஞ் பராமானமாயின், அப்பரவளைவின் மீதுள்ள யாதுமொரு புள்ளி யின் ஆள்கூறுகள் (a2, 2at) என உணர்த்தப்படலாம். t=0 ஆகும் பொழுது அப்பரவளைவின் உச்சி பெறப்படும். t இன் நேர்ப் பெறு

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 157
மானங்களுக்கு 3 அச்சிற்கு மேலேயுள்ள கிளையின் மீதுள்ள புள்ளிகளை யும் அதன் மறைப்பெறுமானங்களுக்கு 3 அச்சிற்குக் கீழேயுள்ள கிளை யின் மீதுள்ள புள்ளிகளையும் பெறுவோம். ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
t, t என்பன அப்பரவளைவின் மீதுள்ள P. P என்னும் இரு புள்ளிகளின் பராமானங்களாகுக. P. P என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோட்டின் சமன்பாடு
(y - 2at) (at” - at”) = (ac - at”) (2ait - 2at). t-t என்பது பூச்சியமல்லாததாயிருத்தலால், அச்சமன்பாடு
(y - 2at) a (ta-l-t) = (ac - at”)2a, அல்லது (t1十fa)3/=2r十2ata。 னே எழுதப்படலாம். (u, 2t) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி.
என்பது (16ன்டதை அg), அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணின் é} [ቦነqነdIt ዘ|(ፁ 2t2 = 2a-2at, என்னும் வடிவத்தை அணுகும்.
ஆகவே, அப்பாவளேவிற்கு (a, 2a) இலுள்ள தொடலியின் சமன் un (7 ty = ac-+-ato.
ஆகவே, (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி g=a+a2. ா 0 எனப் பிரதியிட, உச்சியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டை a = 0 என்னும் வடிவத்திற் பெறுகின்ருேம்.
ஆகவே, g அச்சே உச்சியிலுள்ள தொடலியாகும். இரு தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுதல்.
* t”, “t,” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகள் ஒன்றை யொன்று (3, g ) என்னும் புள்ளியில் வெட்டுக.
ஆயின், tij = a + at,*; ty = 3 +Ct”. (t-t)y= a(t-t') t-t என்பது பூச்சியமல்லாததால்,
y = a(ti-i-ta)
at= atı(tı-+-te) — ato= atta. ஆகவே, அத்தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெடநம் புள்ளி
atta, a(ti-ta)) அவ்விரு தொடலிகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின, =ே -1.

Page 85
丑58 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, இரு செங்குத்துத் தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுக்கு a = - a என்னுங் கோடாகும் ; இது அப்பரவளைவின் செலுத்தியாகும்.
தொடுநாண்.
(a, g) என்பது g? - 400 என்னும் பரவளைவினது தளத்திலேயுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அப்பரவளைவிற்கு (at?, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி (a, g) இற் கூடாகச் சென்றல், ίψ = α + αι*. புள்ளி (a, g) என்பது தரப்படும்பொழுது, இது இலுள்ள ஓர் இரு படிச் சமன்பாடாகி t இற்கு இரு பெறுமானங்களுக்கு மேலே தராது. பூ?>4aa எனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் வேறு வேறயும் மெய்யாயுமிருக்கும் ; g - 400 எனின், அவை ஒன்றேடொன்று பொருந் தும் ; /*>400 எனின் மெய்மூலங்களில்லை. ஆகவே, (x, y) என்னும் புள்ளி அப்பரவளைவிற்கு வெளியாற் கிடந்தால், இரண்டு வேறு வேறன தொடலிகள் இப்புள்ளியிலிருந்து வரையப்படலாம் ; அது அப்பரவளைவிற் குட் கிடந்தால் ஒரு தொடலியையுங் கீறுதல் இயலாது. அப்பரவளைவு (a, g) என்னுந் தளத்தை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ; அப்பரவளைவின் அச்சைக் கொள்ளுகின்ற பகுதி அப்பரவளைவிற்குள்ளே கிடக்கின்றதென்றும் மற்றைப் பகுதி அதற்கு வெளியே கிடக்கின்றதென்றுங் கூறப்படும். (a, g) என்பது அப்பரவளைவிற்கு வெளியே கிடக்க, t, t என்பன (a, g) இலிருந்து வரைந்த இரு தொடலிகளினுடைய தொடு புள்ளிகளின் பராமானங்களாயிருந்தால், t, d என்பன
ato — ty -- ac = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.
". ti -+- t2 == //a, tuta ==
இம்முடிபுகள் வேறு வழியால் இதற்கு முன்னே பெறப்பட்டன. * t. ”, “,ே” என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணின் சமன்பாடு
(t. -- t) = 2a: -- 2alta, அல்லது 919. 2n +2e.
O -
ஆகவே, (x, y) இலிருந்து வரையுந் தொடலிகளினுடைய தொடு நாணின் சமன்பாடு gg - 2a (a + a).
இம்முடிவு ஒரு வட்டத்திற்கு வழங்கிய வழியாலும் பெறப்படலாம்.
ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன்.
ஒரு பரவளைவின் P என்னும் ஒரு புள்ளிக்கூடாக அப்புள்ளியிலுள்ள தொடலிக்குச் செங்குத்தாயுள்ள கோடு P யிலுள்ள செவ்வன் எனப்படும்.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 丑59
P=(at2, 2at) எனின், P யிலுள்ள தொடலி
i ty = c + ato
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
ஆகவே, P யிலுள்ள செவ்வன்
y -- ta: = 2at -- at
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
பரவளைவினுடைய சில இயல்புகள்.
1. குவியத்திலிருந்து பரவளைவின் ஒரு தொடலிக்கு வரையுஞ் செங் குத்தின் அடி உச்சியிலுள்ள தொடலியின்மீது கிடக்கும்.
ஒரு தொடலியின் சமன்பாடு g = 3 + at?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1).
குவியமானது (a, 0) என்னும் புள்ளி.
ஆகவே, (a, 0) இலிருந்து அத்தொடலிக்கு வரையுஞ் செவ்வனின் és lfölöII.J17(8) у + fa = ай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
6
3 = 0, y=at ஆகும்பொழுது (1), (2) என்னுஞ் சமன்பாடுகளானவை தீர்க்கப்படும். ஆகவே, குவியத்திலிருந்து அத்தொடலியின்மீது வரை யப்படுஞ் செங்குத்தின் அடிக்கு (0, t) என்னும் ஆள்கூறுகள் உண்டு.
ஆகவே, அது உச்சியிலுள்ள தொடலியாகிய y அச்சின்மீது கிடக்கும்.
2. ஒரு பரவளேவிேலுள்ள P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது செலுத்தியை M இற் சந்தித்தால், S என்பது அப்பரவளைவின் குவியமா யிருக்கும்பொழுது SM, SP என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும்.
|alta? (at”, 2at) 3.6}}|Gitat GJITL65) ty = a + atë. a(t-1)
-.
 ை= - a யாகும்பொழுது, g =
M = { -- OU, a(t- .
t J t2 -
"2# س
2t 2 ”. 24 1 எனின் SIM என்பது SP யிற்குச் செங்குத்து. t= 1 எனின், P = (a, 2a), M = (-a, 0)
.. SM இன் சரிவு »حسمت
241 எனின், SP யின் சரிவு =
ஆகவே, SP என்பது y அச்சிற்கும் SM என்பது 0 அச்சிற்குஞ் சமாந்தரம்.
ஆகவே, SP என்பது SM இற்குச் செங்குத்து. சமச்சீரால், t = -1 ஆகும்பொழுதும் இம்முடிபு உண்மையாகும்.

Page 86
160 ஆரம்ப தூய கணிதம்
3. இரண்டு செங்குத்துத் தொடலிகள் செலுத்தியில் ஒன்றையொன்று வெட்டும் ; அவற்றினுடைய தொடு புள்ளிகளைத் தொடுக்குங் கோடு குவியத் திற்கூடாகச் செல்லும்.
புள்ளி (at?, 2a) இலுள்ள தொடலி g = 3 + at?.
t இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் இச்சமன்பாடு g = மாறிலி என்னும் வடிவத்திற்கு ஒடுங்காது. ஆகவே, பரவளைவிற்கு a அச்சிற் குச் சமாந்தரமான ஒரு தொடலியும் இருத்தல் இயலாது. ஆகவே, இரண்டு தொடலிகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாயின், அத்தொடலி களுள் ஒன்ருயினும் g அச்சிற்குச் சமாந்தரமாகாது.
அச்செங்குத்துத் தொடலிகள் tg = 3 + at?,
ty = 3 + ab* என்பனவாகுக. சரிவுகளின் பெருக்கம் ---- 1.
ಶಿ அத்தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் a, a(+t) என்பனவாகும்.
ஆகவே, அவ்வெட்டும் புள்ளி செலுத்தியாகிய a = - a என்னுங் கோட்டின்மீது கிடக்கும்.
PP என்னும் நாணின் சமன்பாடு
y (t -- t) = 2ac -- 2at te
அல்லது y (t. -- t) = 2a-2a.
a = a, g = 0 ஆகும்பொழுது இது தீர்க்கப்படும்.
ஆகவே, PP என்னும் நாண் குவியத்தினூடாகச் செல்லும்,
4. ஒரு பரவளைவில் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் அப்பரவளைவின் அச்சை இெற் சந்தித்தால், SG=SP.
PE (ato, 2at) gyGg55. P யிலுள்ள செவ்வன் g + ta = 2a + at?.
g = 0 ஆகும்பொழுது, 0 = 2a + at?.
... G = (2a -- ato, 0).
..". SG = a + at*. SP2 = (at-a)? -- (2at)? = (a - at?)?
... SG = SP.
5. p என்பது ஒரு பரவளைவில் P என்னும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலியிலிருந்து குவியத்தின் செங்குத்துத் தூரமாயிருக்க, r என்பது S இலிருந்து P யினது தூரமாயின், p?= ar.

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 6.
Pe (ato, 2at) (55.
a(1+to)
இப்போது p -- V(1 +g?)F° «V(l --t?). ஆளுனல், r = SP = a (1 -- to)
... po= ar.
6. குவியத்தை முனைவாயும் அச்சை ஆரம்பக் கோடாயுங் குறித்து எடுத்த ஒரு பரவளைவின் முனைவுச் சமன்பாடு 1/r = 1 - கோசை 9.
இங்கு என்பது அரைச் செவ்வகலம். அப்பரவளைவின் அச்சு செலுத்தியை யிற் சந்திக்க, S என்பது குவிய மாகுக. P என்பது அப்பரவளைவின் மீது SP=7 ஆயும் நீட்டிய AS ஒடு 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குவதாயு முள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. PM என்பது செலுத்திக்கு வரைந்த செங்குத்தாயின் SP = PM = r,
L என்பது செவ்வகலத்தின் ஒரு முனையாகுக ; LN என்பது செலுத் திக்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக.
- pulasö7, LN= LS= 1. PK என்பது AS இற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டமையால், AS தன்னுந் திசையில் அளக்கப்படும் SK இனது நீளம் r கோசை6.
AK = AS + SK = NL + r GasT60,96. .. r = + r கோசை 9;
l
ட் - 1 - கோசை 9.
6 என்பது SA யோடு SP யால் ஆக்கப்பட்ட கோணமாயின்,
l
gr
= 1 - (காசை (ா - 9) = 1+ கோசை 9.
பயிற்சி 15.
1. AB'C' என்பது ஒரு பரவளைவின் A, B, C என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிக ளால் ஆக்கப்பட்ட முக்கோணியாயும், ,ெ 'ெ என்பன முறையே ABC, A B,C என்னும் முக்கோணிகளின் மையப்போலியாயும் இருந்தால், GG என்பது அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சமாந்தரமெனக் காட்டுக.
H என்பது Gெ இன்மீது Hெ=2 H7ெ ஆகுமாறுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், H என்பது அப் பரவளைவின் மீது கிடக்குமெனக் காடடுக.

Page 87
162 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2. ஒரு பரவளைவினது நாண் அதன் உச்சிக்கூடாக வரையப்பட்டால் அதன் மையம் ஒரு நிலையான பரவளைவிற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
3. ஒரு பரவளைவினுடைய நாண்கள் ஒரு நிலையான திசையில் வரையப்பட்டால், அவற்றின் மையங்கள் அப்பரவளைவின் அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு நேர் கோட்டின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
4. g?=4 aa என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள (at?, 2a), (ae?,2a) என்னும் புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாண் (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வணுயின் 12+18+2=0 எனக் காட்டுக.
அது துணைகொண்டு, 8a யிற் பெரிதான கிடைக்கூறுள்ள அப்பரவளைவின் எப்புள்ளியும் அப்பரவளைவின் வேறிரு புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்களின் வெட்டுப் புள்ளியாகுமெனக் காட்டுக.
5. g2-4ag என்னும் பரவளைவின் இரு புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகள் (a, g) என்னும் புள்ளியிற் சந்திக்க, அப்புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்கள் (a, g) இற் சந்தித்தா9ே a2=2a2+g? - aa என்றும் ag+ag= 0 என்றுங் காட்டுக.
6. g2=4aa என்னும் பரவளைவின் குவிய நாணுென்றினுடைய முனைகளிலுள்ள செவ்வன் களின் வெட்டுப் புள்ளி g?-a(a - 3a) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
7. g2-4aa என்னும் பரவளைவின்மீது (ae?, 2at) என்னும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் (h,k) என்னும் ஒரு நிலையான புள்ளிக்கூடாகச் சென்றல், ! யினலே தீர்க்கப்படுஞ் சமன் பாட்டை எழுதுக. தந்த ஒரு புள்ளிக் கூடாக மூன்றின் மேற்பட்ட செவ்வன்கள் செல்லா என்றும் * t. ”, “e”, “e” என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள செவ்வன்கள் ஒரே புள்ளிக்கூடாகச் சென்ருல் t+b+t=0 என்றும் உய்த்தறிக.
8. நிலையான இரு நேர்கோடுகள் 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றையொன்று செங் கோணங்களில் வெட்டுகின்றன. ஒரு மாறுங்கோடு P, 0 என்பனவற்றில் OP=002 ஆகும் படி அந்நிலையான கோடுகளை வெட்டுமாறு வரையப்படுகின்றது. அம்மாறுங் கோடு ஒரு நிலையான பரவளைவை என்றுந் தொடுமெனக் காட்டுக.
9. P, 0 என்பன g?-43 என்னும் பரவளைவின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் ; அவற்றைத் தொடுக்கும் நேர்கோடு (2, 0) என்னும் புள்ளிக்கூடாகச் செல்கின்றது. அப்பரவளைவிற்கு P, 0 என்பனவற்றிலுள்ள செவ்வன்கள் g?=4(3 - 4) என்னும் பரவளைவின்மீது ஒன்றை யொன்று வெட்டுமென நிறுவுக.
10. PQ என்பது ஒரு பரவளைவின் குவியத்திற்கூடாகச் செல்லுமாறு P, 2 என்பன அப்பரவளைவின் மீதுள்ள இரு மாறும் புள்ளிகள், P2 என்பதை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் அப்பரவளைவை மீண்டும் L,M என்னும் புள்ளிகளிற் சந்தித்தால், LM என்பது அப்பரவளைவின் அச்சின்மீது நிலையான ஒரு புள்ளிக்கூடாகச் செல்லுமெனக்காட்டுக.
11. A,B,P,0 என்பன g2=4ag என்னும் பரவளைவின்மீது A யிலுள்ள தொடலிக்கு BP யானது சமாந்தரமாகும் படியும் B யிலுள்ள தொடலிக்கு 40 வானது சமாந்தரமாகும் படியுமுள்ள புள்ளிகள். AB என்பது அப்பர்வளைவின் குவியத்திற்கூடாகச் சென்றல், P9 வின் மையம் 5g?=2a(3-9a) என்னும் பரவளைவின்மீது கிடக்குமெனக் காட்டுக.
12. PQ வானது ஒரு பரவளைவின் குவிய நாணுயின் அதனை விட்டமாகவுள்ள வட்டம் பரவளைவின் செலுத்தலியைத் தொடும் எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 6
நீள்வளையம்
வரைவிலக்கணம்.
ஆனது ஒரு தளத்திலுள்ள நிலைத்தவொரு கோடும், S ஆனது இல் இராத, அத்தளத்திலுள்ள ஒரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P யானது அத்தளத்தில், இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலிருக்கும் ஒரு மாறும் புள்ளியும், M ஆனது P யிலிருந்து இற்குள செங்குத்தின்
அடியுமாகுக. P யானது, 1 இலும் குறைந்தவொரு மாறிலி e ஆக, SP e
PM எனும் வண்ணம் அசையுமாயின், P யின் ஒழுக்கு ஒரு நீள்வளையம் எனப்படும். S அதன் குவியம் எனவும், செலுத்தி எனவும், e மையவகற்சித்திறன் எனவும் கூறப்படும்.
つ×
E'
இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதை Z இல் சந்திக்கும் படியாகவும் SZ ஐ வரைக.
SA SA" w
.=2 = ഋഥ ഖങ്ങഥ 4,4' எனும் புள்ளிகளை முறையே S2 இலும் நீட்டித்த ZS இலும் எடுத்துக் கொள்க. எனவே A, A' என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 வானது AA இன் நடுப்புள்ளியும் 2a அதன் நீளமுமாகுக. ஆகவே,
63

Page 88
164,... ஆரம்ப தூய கணிதம்
இன்னும் . SA + SA 2a. а
39) AZAZ (a-OZ) (OZ- a) OZ
... OZ = .
e a அச்சின் நேர்த்திசைக்கு O2 ஐயும் O ஊடு செல்கின்ற செங்குத்துக் கோட்டை g அச்சாகவும் எடுத்துக் கொள்க. P(a),g) ஆனது நீள் வளையத்திலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன்னும் PM ஆனது
இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்படுவதாகுக. எனவே,
SP2 - e2PM2.
P=E(w,y), S = (ae, o) geg5GÚNGÖT
SP? = (x — ae)2+y*.
ஆனது 20= α எனுங் கோடாதலின்
e
PMr = ( - )
ፀ
)2 ( *e =سي= ae)2-+-gy2 -- مa)
e a?(1-e)--y= a(1-e) X2 y a2 -- be 1. இங்கு b = a? (1-8?) எனவும், b நேர் எனவும் கொள்ளப்படும். இதுவே நீள்வளையத்தின் சமன்பாடாகும். a ஆனது -ல இனலோ, அல்லது g ஆனது -g இனலோ மாற்றீடு செய்யப் படின், சமன்பாடு மாற்றமடையாதிருக்கும்.
", (a,g) வளையியிலுள்ள ஒரு புள்ளியாயின், (-a,g), (a, -g)(-a, -g) என்பனவும் அதிலுள்ள புள்ளிகளாகும்.
.. அவ்வளையியானது இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியும் சமச்சீருடைய தாகும். r
g நேரெனின் y = b V1-afa. .. a ஆனது 0 இலிருந்து 0 வரையும் அதிகரிக்கும்போது, y ஒழுங்காக b யிலிருந்து 0 இற்குக் குறைந்து வருகின்றது. நேர்காற் பகுதியிலுள்ள வளையியின் பாகமானது பின்னர் பெறப்படும். முழுமையான வளையி வரிப்படத்திற் காட்டிய வடிவத்தையுடையது. உருவத்தின் சமச்சீரிலிருந்து நீள்வளையமானது S" என்னும் இரண்டாங் குவிய மொன்றையும் ! என்னும் அதனேடொத்த செலுத்தியொன்றையுமுடையது. P யானது நீள்வளைய

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 65 மொன்றின் யாதுமொரு புள்ளியும்,‘PM ஆனது ' இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுமிருப்பின்
SP PMý நீள்வளையமானது y அச்சின் நேர்ப் பாகத்தை B யிலும் மறைப் பாகத்தை B இலும் வெட்டுமாயின், BB இன் நீளம் 2ம் யாயும் B= (0, b), B = {0, -6) யாயும் இருக்கும்.
0 விற்கூடாகச் செல்லும் ஒவ்வொரு நாணும் 0 வில் இருகூறிடப்படும். எனவே 0 வானது நீள்வளையத்தின் மத்திய புள்ளி எனப்படும்.
AA', BB என்பன நீள்வளையத்தினது தலைமையச்சுக்கள் எனப்படும் ; AA ஆனது பேரச்சு எனவும் BB ஆனது சிற்றச்சு எனவுங் கூறப்படும். பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாகக் குவியமொன்றினூடு செல்லும் நாண் செவ்
வகலம் எனப்படும்.
P யானது நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு புள்ளியாயின்
SP = e PM, SP = e PM ..'. SP + S"P = e (PM + PM') = e ZZ”
= 2e. OZ = 2a: . ஆகவே நீள்வளையத்தினது புள்ளியொன்றின் குவியத்துரக் கூட்டுத் தொகை மாறததாயும் பேரச்சின் நீளத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கும். ஒரு நாணின் சமன்பாடு.
(a, g), (a, g) நீள்வளையத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளாகுக. ஆகவே
பின்வரும் சமன்பாட்டினைச் சிந்திக்க.
இது 20,g இலுள்ள முதலாம்படிச் சமன்பாடானமையின் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கின்றதாகும். a = 0, g = g ஆனபோது சமன் பாடானது தீர்க்கப்படும். இன்னும் 30 = 22, g = g; ஆனபோதும் இது தீர்க்கப்படும்.
.. இச்சமன்பாடு அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் கோட்டைக் குறிக்கும். தொடலியின் சமன்பாடு.
(3, g), (0,g) ஆகிய இரு புள்ளிகளும் ஒன்றையொன்று நோக் கிச் சென்று, இறுதியில் ஒன்றுபடும்போது, அந்நாணுனது ஒன்றும் புள்ளிகளிலுள்ள தொடலியாகும்.

Page 89
66 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. நீள்வளையத்தில் (a, g) எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடானது 22- 2, gg=g என மேற்கூறிய சமன்பாட்டிற் போடப்படுவதனற் பெறப்படும்.
அதாவது (a, y) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடானது
acau i 3/p/ \__, ac * ) y* (窯+繁)- + + 1 = 2
AO 1 || }/1__ அல்லது ? -- `b2 ! 1.
பரமானக் குறியீட்டு விளக்கம்.
a = a கோசை 9, g = b சைன்9 ஆக இருக்கும்போது, 9 என்ன
2 2 வாயிருப்பினும், -- = 1 ஆகிய சமன்பாடானது தீர்க்கப்படும்.
(a கோசை 9, 6 சைன் 6) ஆகிய புள்ளி 0 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் நீள்வளேயத்திலுளது. VM
6= 0 ஆகும்போது, புள்ளியானது A யைக் குறிப்பதாகும். 6 வானது
0 இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க, புள்ளியானது நேர்க் காலியிலுள்ள
நீள்வளையத்தினது வில்லை வரைகின்றது. 8 attorg, இலிருந்து 1ா இற்கு அதிகரிக்க, இரண்டாவது காலியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும்.
6 வானது ா இலிருந்து இற்கு அதிகரிக்க மூன்றம் காலியிலுள்ள
வில்லா ஈது வரையப்படும். இன்னும் 9 வானது இலிருந்து 2ா
இற்கு அதிகரிக்க நாலாம் காலியிலுள்ள வில்லானது வரையப்படும். . 8 வானது 0 இலிருந்து 27 இற்கு அதிகரிக்க, முழுவளையியும் A யிற் தொடங்கி இடஞ்சுழியாக ஒரு முறை வரையப்படும்.
", வளையியிலுள்ள எப்புள்ளியும் (a கோசை 9, b சைன் 8) எனும் ஆள்கூறுகளை யுடையதாகும். இங்கு 0 - 9 2 2 T. 6 வானது அப்புள்ளிக்கொத்த மையவகற்சிக் கோணமெனப்படும். A எனும் புள்ளி 0 ஐ அல்லது 2ா இனை மையவகற்சிக் கோணமாகவுடையதெனக் கருதப்படும்.
நாணின் சமன்பாடு.
6, சி, என்பன நீள்வளையத்திலுள்ள இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளின் மையவகற்சிக் கோணங்களாகுக. ஆகவே அப்புள்ளிகளைத் தொடுக்குங்
கோட்டின் சமன்பாடு

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 67
(g-6 சைன் 6) (a கோசை 9-a கோசை 9)
= (a - a கோசை 6) (b சைன் 6-6 சைன் 6)
அ-து - (g - b சைன் 9) a சைன் ಕ್ರಿಕ್ಟರಿ
= (a - a கோசை 9) b கோசை ಕ್ರಿಸ್ಥೀ,
-2|-gs) * கோசை 6.--6, + 4 சைன் 伪十6。
0. 2 b 2
- கோசை 6 - 0, o
தொடலியின் சமன்பாடு.
6 ’ எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு 9, ஒடு 9,
ஒன்றுபட மேற்கூறப்பட்டுள்ள நாணின் எல்லை வடிவமாகும். . “ 9 ”
ஆகிய புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு
கோசை0+4சைன் 6 = 1.
செவ்வனின் சமன்பாடு.
* 9” எனும் புள்ளியிலுள்ள செவ்வனனது
சைன் 9
- (g-b சைன் 8) ဖ## f6
(a-a கோசை 9)
= 0 ஆகிய
. சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்படும்.
b b கோசை9 வும் சைன்9 வும் பூச்சியமில்லாதனவாயின், இது
a0 சீக 9-g கோசி 6= a?-bஎன எழுதப்படலாம். arsece-b外 یحec69 صےaمحیط --مح தொடுகை நிபந்தன.
அ-து. சைன் 6 - கோசை 9 = (; rinn ) கோசை 9 சைன் 6.
- ეფ2 2 SL SSSS S LLLL S SLL
a + mg + n = 0 என்னுங்கோடு a -H 祭 = 1 என்னும் நீள்வளையத்
திற்கு ஒரு தொடலியாகுக. ஆயின் (ல', y) என்னும் புள்ளி அதன்
தொடுபுள்ளியாயின் 4ား -- tg = 1, lac + my + n = 0 என்னுமிரு
Oi, 2
சமன்பாடுகளும் ஒரு கோட்டையே குறிக்கும்.

Page 90
168 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 16.
1. 2a, 26 என்பன தனது பேரச்சினதும் சிற்றச்சினதும் நீளங்களாகவுள்ள நீள்வளைய
22
மொன்றினது செவ்வகத்தின் நீளம் - எனக் காட்டுக.
"2. நீள்வளையமொன்றிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் மையவகற்சிக்கோணம் 6 எனின், அந் நீள்வளையத்தின் குவியங்களிலிருந்து அப்புள்ளியின் தூரங்கள் a(1+cகோசை0), a(1 - e கோசை 9) என நிறுவுக. இங்கே 20 யானது பேரச்சின் நீளமாகும்.
3. நீள்வளையமொன்றில் P எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது செலுத்தியை T இற் சந்தித்தால், S ஆனது ஒத்த குவியமுமாயின், SP யிற்கு ST செங்குத்தென நிறுவுக.
4. நீள்வளையமொன்றினது குவியமொன்றிலிருந்து அந்நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு தொடலிக்குள்ள செங்குத்தின் அடியானது அந்நீள்வளையத்தின் பேரச்சை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்திற் கிடக்குமெனக் காட்டுக.
(இவ்வட்டமானது துணைவட்டமெனக் கூறப்படும்)
5. நீள்வளையமொன்றில் P யாதுமோர் புள்ளி ; துணைவட்டத்தை 0 விற் சந்திக்க P0 வானது பேரச்சிற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டுளது. P யினது மையவகற்சிக் கோணம் பேரச்சின் நேர்த்திசையுடன் 00 ஆக்குங் கோணமெனக் காட்டுக. இங்கு 0 நீள்வளையத்தின் 60)ւԸսjւԻ.
6. நீள்வளையமொன்றின் இரு குவியங்களிலுமிருந்து அந்நீள்வளையத்தின் யாதுமொரு தொடலிக்குள்ள செங்குத்துக்களின் நீளங்களினது பெருக்குத் தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6% இற்குச் சமமெனவும் நிறுவுக. இங்ரு 26 யானது சிற்றச்சின் நீளமாகும்.
7. நீள்வளையமொன்றினது தொடலியொன்று இரு குவியங்களையும் தொடு புள்ளிக்குத் தொடுக்குங் கோடுகளுடன் சமசரிவுடையதென நிறுவுக.
ac2 | gy 2 s r a - 8. lac+my + n = 0 676g)jiā16576 a? -- 涙エー 1 ஆகிய நீள்வளையத்திற்குத் தொடலியாயின்
a*-+b2n2=m2 எனக் காட்டுக.
a கோசை 9+g சைன் 6=p, g கோசை 9 - a சைன் 0=g ஆகிய சமன்பாடுகள் a2+g"= p?+? என்பதைத் தருகின்றனவெனும் உண்மையைக் கொண்டு அந்நீள்வளையத்தின் எவையேனும் இரு செங்குத்தான தொடலிகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளி
a+y=a+b? எனும் வட்டத்திற் கிடக்குமென நிறுவுக. இவ்வட்டமானது செலுத்திவட்டமென்று கூறப்படும் 9. நீள்வளையமொன்றின் ஒரு புள்ளி P யிலுள்ள செவ்வனனது பேரச்சை இெற் சந்திப்பின் SG = 8.SP எனக் காட்டுக. இங்கு S ஆனது நீள்வளையத்தின் ஒரு குவியமும், 8 அதன் மையவகற்சித் திறனுமாகும்.
2 2 10, 石十 = 1 எனும் நீள்வளையத்தின் ஒரு மாறு நாண் g = ma எனும் ஒரு தரப்பட்ட
O
கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயுளதாயின் அந்நாணின் மத்திய புள்ளி g = ma எனும் நிஜலக்
bጂ கோட்டிலிருக்குமெனக் காட்டுக. இங்கு mm - - . (g = ma,y = m' ஆகிய கோடுகள் நீள்வளையத்தின் ஒரு சோடி இணைவிட்டங்களெனப்படும்.)

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 69
მფზ 2 11. (த2) ஆகிய புள்ளியில் இருகூறிடப்பட்ட + = 1 ஆகிய நீள்வளையத்தின்
2yg/ ac* , 2y*
is a -- ba 6T607ă 5ITL(B5, ( ைஅச்சின் நேர்த் திசையுடன் நாணுனது கோணம் 6 வை ஆக்குக. அந்நாணிலுள்ள புள்ளி யானது (a+r கோசை 0), (g++ சைன் 0) எனும் வடிவத்தையுடைய ஆள்கூறுகளையுடைய தாகும். இப்புள்ளியானது நீள்வளையத்திலுள்ளதாயின்,
(a+7 கோசை 9)2 (g+r சைன் 9)?
2 -- :سیم O bጻ . இச்சமன்பாடானது நீள்வளையமும் நாணும் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றதாகிய இரு புள்ளிகளுக்கும் ஒத்த 7 இன் இரு பெறுமானங்களையும் கொடுக்கின்றது. எனவே இச் சமன்பாட்டினுற் கொடுக்கப்பட்ட 7 இன் இரு பெறுமானங்களும் பருமனிற் சமமாயும் குறியில் எதிரானவையாயும் இருக்கும். .. r இன் குணகம் பூச்சியமாகும்.)
12. தன் ஒரு குவியத்தை முனைவாகவும் பேரச்சைத் தொடக்கக் கோடாகவுங் கொண்ட
aca நாணினது சமன்பாடு " دهa --
1.
ஒரு நீள்வளையத்தின் முனைவுச் சமன்பாடானது - = 1 + e கோசை 9 என நிறுவுக.
r
இங்கு 2 ஆனது செவ்வகலத்தின் நீளமும் 8 மையவகற்சித் திறனுமாகும்.
13. 20, 26 என்னுந் தலைமை அச்சுக்களும் 0 என்னும் மையமும் உள்ள நீள்வளையத்தில் P, Q என்பன இரு புள்ளிகளாகும். P யிலுள்ள தொடலி 02 இற்குச் சமாந்தரமாயின், Q விலுள்ள தொடலி OP யிற்குச் சமாந்தரமாகுமெனக் காட்டுக. அன்றியும் OP யிற்குச் சமாந்தரமான யாதுமொரு நாண் OQ என்பதால் இருகூறிடப்படுமெனக் காட்டுக.
OP8. OQ2 = a-ba
என்பதையும் நிறுவுக.
2 by و aca • 14,忘十 読古=" என்னும் நீள்வளையத்திற்கு 2, 3 என்னு மையவகற்சிக் கோணங்
C களுள்ள புள்ளிகளில் வரையப்படுந் தொடலிகள்
a கோசை a+3. b 6æ#âr の十6
2 2 கோசை ده கோசை فيه
என்னும் புள்ளியில் வெட்டுமெனக் காட்டுக.

Page 91
அத்தியாயம் 7
அதிபரவளைவு வரைவிலக்கணம்.
ஆனது தளமொன்றிலுள்ள ஒரு கோடும் S ஆனது இல் இராது அத்தளத்திலிருக்கின்றவொரு நிலைத்த புள்ளியுமாகுக. P யானது அத் தளத்தில் இற்கு S இருக்கும் அதே பக்கத்திலுள்ள புள்ளியும், இன்னும் P யிலிருந்து இன் மீதுள்ள செங்குத்தின் அடி M உம் ஆகுக. e யானது 1 இலும் கூடிய ஒரு மாறிலியாகவுமிருக்க, 盖一·
எனும் வகையில் P யானது இயங்குமாயின், P யின் ஒழுக்கு ஒரு அதிபரவளைவெனப்படும். அதிபரவளைவின் குவியம் S எனவும், செலுத்தி னவும், மையவகற்சித்திறன் e என வுங் கூறப்படும்.
AY f
B
O 才杰─古一x
4B
S2 ஐ இற்குச் செங்குத்தாகவும் அதனை 2 இற் சந்திக்கவும் வரைக.
SA SA" AZ A'Z S2 இலும் நீடித்த S2 இலும் எடுத்துக் கொள்க. ஆகவே A, A' என்பவை அதிபரவளைவிலுள்ள புள்ளிகளாகும். 0 வானது AA இன் மத்திய புள்ளியும் 20 யானது AA இன் நீளமுமாகுக.
B三 SA' + SA SO-a-SO-a OS
Al’Z-- AZ 2a,
". OS = ae.
= e எனும் வகையில் A, A ஆகிய புள்ளிகளை முறையே
170
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 17.
இன்னும், e='-=ே 2a. α
9" AZ - AZ Oza (a - Oz, Oz
... OZ =.
e 20 ஐ, X அச்சின் நேர்ப் பக்கமெனவும் 0 விற்கூடாகவுள்ள அதன் செங்குத்தை Y அச்செனஷம் கருதுக.
P(a),g) யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாகுக. இன் னும் இற்குச் செங்குத்தாக PM ஆனது வரையப்படுக. எனவே SP2 - e2. PM2. S = ( — ae, 0) SP2 = (ac -- ae)? -- yo.
ஆனது a = - என்னுங் கோடாதலின்
2 PM2- (e -- 2)
e
("'+ x) مع = مe + ae)" + g) a?(e-1)-y2 = a(e? - 1)
2 2 器一器=1 இங்கு b?= a*(e?-1) எனவும் b நேரெனவும்
鲁 ●
எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.
இதுவே அதிபரவளேவின் சமன்பாடாகும். வளையியானது இரு ஆள்கூற்று அச்சுக்கள் பற்றியுஞ் சமச்சீருடையது.
g = 0 ஆகும்போது 0 = + a எனவே, A = (-a,0), A' = (a,0). 2=0 ஆகும்போது, g யிற்குப் பெறுமானம் இல்லை. ஆகவே வளையியானது y அச்சை வெட்டமாட்டாது.
g நேராயிருக்கும்போது
2
.. வளையியிலுள்ள புள்ளிகளுக்கு a2> a2 a யிலிருந்து 3 ஆனது அதிகரிக்க, y யானது உறுதியாகப் பூச்சியத் தினின்று அதிகரிக்கின்றது.
at -> o gya5, y -> oo.

Page 92
172 ஆரம்ப தூய கணிதம்
". நேர்க் காலியில் முடிவில்லாத கிளையொன்று A இல் தொடங்கி வரையப்படுகின்றது.
.. நிறைவான வளையியும் வரிப்படத்திற் காட்டிய உருவத்தை உடையது.
அது ஒவ்வோர் கிளையும் முடிவில்லாத பகுதிகளையுடைய இரு தெளிவான கிளைகளைக்கொண்டதாகும். அதிபரவளைவானது S எனும் இரண்டாங் குவிய மொன்றையும் ' எனும் ஒத்த செலுத்தி ஒன்றையும் உடையதெனச் சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படுகின்றது. P யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாது மொரு புள்ளியும், ' இற்குச் செங்குத்தாய் PM ஆனது வரையப்பட்
டுளதுமாயின், Plf" = 6 י&y(9tימ O விற்கூடாகச் செல்லும் அதிபரவளை வின் ஒவ்வொரு நாணும் 0 வில் இருகூருக்கப்படுகின்றது. எனவே 0 வானது அதிபரவளைவின் மையப்புள்ளியெனப்படும். O விற்கூடாகச்செல் லும் நாணென்றிற்கு ஒரு முனையானது அதிபரவளைவின் ஒரு கிளையிலும் மற்றை முனையானது அதன்மற்றைய கிளையிலும் இருக்கும்.
AA ஆனது அதிபரவளைவின் குறுக்கச்சு எனப்படும். y அச்சில் B, B என்பன O விலிருந்து b என்னும் ஒரே தூரத்திலும் அதற்கு எதிர்ப்பக்கங்களிலும் எடுக்கப்படுவனவாயின், BB ஆனது அதிபர வளைவின் இணையச்சு எனக் கூறப்படும்.
குறுக்கச்சிற்குச் செங்குத்தாக குவியமொன்றிற்கூடாகச் செல்லும் அதிபர வளைவின் நாணென்று ஒரு செவ்வகலமென்று சொல்லப்படும். P யானது அதிபரவளைவிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியாயின்
SP = e PM, S'P = e PM''.
". எண் பெறுமானத்தில் SP - SP = eZZ",
2 e.OZ,
ா 20, ". அதிபரவளைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் குவியத் தூரங்களின் வித்தியாசம் ஒரு மாறிலியாகும். இன்னும் அது குறுக்கச்சின் நீளத்திற்குஞ் சமமாகும்.
நாணுென்றின் சமன்பாடு.
நீள்வளையத்துக்குள்ளது போல 露一露=1 என்னும் அதிபரவளைவிலுள்ள (a, g), (a, g) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சமன்பாடு,
*1991 atoeg 992 - 21223/12/2
志ー苦+ エー苦=言ポーリf+1

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 173 (3, g) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு.
231 3//
- 紫 - 1 என்பதாகும்.
பரமானக் குறியீடு.
b - z = ( + ), 9 = (-) எனின்
az2 ገ/2
-- 1 ஆகிய சமன்பாடு t இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் தீர்க்கப்படும்.
IV b . {(+ ). 氯-洲 எனும் வடிவத்தில் t எனும் ஒரு பரமர்னம் மூலம் தம் ஆள்கூறுகள் கொடுக்கப்படுகின்ற புள்ளியானது அவ் வதிபர வளைவிற் கிடக்கும்.
அதிபரவளைவிற்கு “ ’ எனும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியானது.
l\ y b ... (+)-(-) = 1
6) (, ; Y-4 (-Y-1 அல்லது 弧”十高りー競い*ー五り千
ஆகிய சமன்பாட்டினற் கொடுக்கப்படும்.
இதனிலுங் கூடுதலாக இசைவாகும் பரமானக் குறியீடு a = a சீக 9, g = b தான் 9 வாகும். 6 வின் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் இவ்வாள்
2 a.2 கூறுகள் உள்ள புள்ளி - = 1 என்னும் அதிபரவளைவிற் கிடக்கும்.
9 என்னும் பரமானப் புள்ளியில் வரையப்படுந் தொடலி
22
* a சீக 9 - , b தான் 9=1
அல்லது * ஒக9 -4தான் 9=1
0. b என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். அணுகுகோடுகள்.
அதிபரவளைவின் சமன்பாடு
* - Y (Y-1 - - - - - P. α ό a 5 = 1 என எழுதப்படலாம்.

Page 93
174 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. -- 0 எனுங் கோட்டில் அல்லது + = 0 எனுங் கோட்டி லுள்ள யாதுமொரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் முன் கூறியுள்ள சமன்
பாட்டினைத் தீர்க்கமாட்டா. ஆகவே நேர்கோடுகள்
= 0,
g
gy +競一0 என்பன அதிபரவளைவை எவ்விடத்தும் வெட்டமாட்டா.
நேர் காலியிலுள்ள அதிபரவளைவின் முடிவிலாப் பாகத்திலுள்ள P(n, y) எனும் ஒரு புள்ளியைக் கருதுக. அதிபரவளைவில் P யானது உற்பத்தித் தானத்திலிருந்து முடிவிலாத் தூரத்திற்கு அசைய, 30 , g ஆகிய இரண்டும் முடிவிலியை அணுகும். . P யானது முடிவிலியை நோக்கிச் செல்ல
O -Y- * h ხ
191 0 چ۔ ༧, 9 ༧ ། / O b
- = 0 எனுங் கோட்டிலிருந்து P யினது தூரம்
-/ α ό aすが
... ar y
o g一誘=0 எனுங் கோட்டிலிருந்து P யின் தூரம், P யானது நேர்
காலியிலுள்ள கிளைவழியே முடிவிலியை அணுக, பூச்சியத்தை அணுகும்.
 

ஆள்கூற்றுக் கேத்திரகணிதம் 175
மூன்றம் காலியிலுள்ள முடிவில்லாத கிளையில் P இருக்கும் போது இதே பெறுபேறு அமையுமென்பது சமச்சீரிலிருந்து பெறப்படும். இன்னும் சமச்சீரிலிருந்து, + = 0 எனுங் கோடும் இரண்டாம் நான் காங் காலிகளிலுள்ள முடிவில்லாக் கிளைகளும் பற்றி அதே உடைமை அமையும்.
... a y
O - b - வின் பொருத்தமான முடிவிலாக் கிளைகளை, அவைகளை ஒரிடத்தும் வெட்டாது,
அணுகும். இக்கோடுகள் அதிபரவளைவின் அணுகு கோடுகளெனக் கூறப் படும்.
O, -- = 0 ஆகிய இரு கோடுகளும் உறுதியாய் அதிபரவளை
பயிற்சி 17,
2 2 252 .器一霹= 1 எனும் அதிபரவளைவின் செவ்வகலத்தினது நீளம் - எனக் காட்டுக هلی 2. அதிபரவளைவொன்றில் குவியமொன்றிலிருந்து தொடலியொன்றிற்குள செங்குத்தின் அடியானது குறுக்கச்சைத் தன் விட்டமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்திலிருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
(துணை வட்டம்) 73. அதிபரவளைவொன்றில் அதன் குவியங்கள் இரண்டிலுமிருந்து யாதுமொரு தொடலிக் குள செங்குத்துக்கள் இரண்டின் நீளங்களினது பெருக்குத்தொகை ஒரு மாறிலியெனவும் அது 6% இற்குச் சமமெனவும் நிறுவுக. அ74. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலி செலுத்தியொன்றை T இற் சந்தித்தால் அதன் ஒத்த குவியம் S ஆயின், ST ஆனது SP யிற்குச் செங்குத் தெனக் காட்டுக.
5. அதிபரவளைவொன்றின் தொடலி இரு குவியங்களையும் அத்தொடு புள்ளியையும் இணைக்குங் கோடுகளுக்குச் சமசாய்வுடையதெனக் காட்டுக.
g2 O L V 2نa
a ஆகிய அதிபரவளைவின் எவ்விரு செங்குத்தான தொடலிகளும் ஒன்றை யொன்று ஐ? + g^ = a* - b* எனும் வட்டத்தில் வெட்டுகின்றனவெனக் காட்டுக.
(செலுத்தி வட்டம்) 77. அதிபரவளைவொன்றில் P எனும் ஒரு புள்ளியிலுள்ள செவ்வன் குறுக்கச்சை G இற் சந்தித்தால், SG = 8.SP எனக் காட்டுக. இங்கு S, ஒரு குவியமாகும்.
b2 8. mm = ஆயிருக்க g = ma ஆகிய கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகவுள்ள அதிபரவளை
வின் எந்த நாணின் நடுப்புள்ளியும் y = m'a எனுங் கோட்டிலிருக்கின்றதெனக் காட்டுக.
9. (ல, y) எனும் புள்ளியில் இரு சமக்கூறிடப்பட்ட - = 1 எனும் அதிபரவளைவு நாணின் சமன்பாடு
9 - 30 ـ /99 - 2008
- - - - -- - - எனக் காட்டுக.
ዕጻ Œዲ D2

Page 94
176 ஆரம்ப தூய கணிதம்
10. தனது குவியமொன்று முனைவாகவும் குறுக்கச்சு தொடக்கக் கோடாகவும் உள்ள அதிபரவளைவொன்றின் முனைவுச் சமன்பாடு
- = 1 + e கோசை 6 என நிறுவுக. இங்கு 24, செவ்வகலமாகும்.
r
11. ஓர் அதிபரவளைவிலுள்ள P என்னும் யாதுமொரு புள்ளியில் வரையப்படுந் தொடலி அணுகுகோடுகளை முறையே 0, R என்னும் புள்ளிகளில் வெட்டுமாயின் P யானது Rெ இன் நடுப்புள்ளியெனக் காட்டுக.
12. ஒர் அதிபரவளைவிலிலுள்ள யாதுமொரு புள்ளியிலிருந்து அணுகுகோடுகளுக்குச் செங்குத்துக்கள் வரையப்படுமாயின் இச்செங்குத்துக்களின் பெருக்கம் மாறிலியாகுமெனக் காட்டுக.
13. ஓர் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகள் செங்கோணங்களில் இருக்குமாயின் மையவகற் சித்திறன் V2 ஆகுமெனக் காட்டுக.
அணுகுகோடுகள் ஆள்கூற்றச்சுக்களாக எடுக்கப்படுமாயின் இச்செங்கோண அதிபரவளைவின் சமன்பாடு ay = c* என்னும் வடிவமாகுமெனக் காட்டுக.

நுண்கணிதம்

Page 95

அத்தியாயம் 1
ஒரு மாறியின் சார்பு
e என்பது குறித்த மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கூடாக மாறும் ஒரு கணியத்தைக் குறிக்க. g என்பது 0 இனுடைய பெறுமானங்களுட் சிலவற்றிற்கு அல்லது எல்லாவற்றிற்கும் ஒத்த தன்னுடைய பெறு மானங்கள், யாதோ ஒரு விதி பற்றித் தீர்மானிக்கப்பட்ட வேருெரு மாறுங் கணியமாயின், g என்பது a இன் சார்பெனப்படும் ; அதனை y -f(a) என எழுதுகின்றேம்.
a இன் யாதுமொரு தந்த பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் g யிற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் இல்லையெனின், g என்பது 3 இன் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பெனப்படும். 2 இன் யாதுமொரு பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g யிற்கு ஒரு பெறுமானத்திற்கு மேல் உண்டெனின், g என்பது a இன் பல் பெறுமானச் சார்பெனப்படும். உதாரணமாக, g, a என்பனவற்றிற்கிடையேயுள்ள தொடர்பு g = Va (ல இனது நேர் வர்க்கமூலம்) என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்டால், y என்பது பூச்சியத்திலும் மேற்பட்ட, அல்லது அதற்குச் சமனன எல்லா 2 இற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது 2 இன் ஒற்றைப் பெறு மானச் சார்பாகும். ஆனல், அத்தொடர்பு g = 0 என்னுஞ் சமன் பாட்டாலே தரப்பட்டால், g என்பது 0 இன் இரட்டைப் பெறுமானச் சார்பாகும் ; அதற்குக் காரணம் 3 இன் யாதுமொரு நேர்ப் பெறு மானத்திற்கு ஒத்தனவாய் g யிற்கு இரு பெறுமானங்கள் உண்டு என்பதே. அத்தொடர்பு சைன் g = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப் பட்டால், 20 ஆனது -1, +1 என்பனவற்றிற்கு இடையே (இரண்டும் உட்படக்) கிடக்கும்போதே g என்பது வரையறுக்கப்படும் ; இவ்வீச்சிற்குள் a இன் யாதுமோர் ஒற்றைப் பெறுமானத்திற்கு று யிற்கு எத்தொகைப் பெறுமானங்களும் இருக்கலாம். அப்போது g என்பது முடிவின்றிய பல்பெறுமானச் சார்பெனப்படும்.
g என்பது a இன் சார்பாயின், 20 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத் திற்கும் y யானது வரையறுக்கப்படும் என்பது இன்றியமையாத ஒன்றன்று என்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும். இன்னும், ஆராய்ந்த உதாரணங் களிற் போல, 30 பற்றி g வரையறுக்கப்படும் விதியானது y யையும் 2 ஐயுந் தொடுக்கும் ஒரு சமன்பாடாயிருக்க வேண்டியதில்லை. உதாரண மாக, g என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணுக்குச் சமன் என்னும் உடைமையால் g என்பது a இன் சார்பாக உரைக்கப்பட லாம். g யானது a இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப் படுமென்பதும் அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளுமென்பதும் எளிதிற்
9
8-R 11681 (1166)

Page 96
80 ஆரம்ப தூய கணிதம்
புலனுகும். 0, 1 என்பனவற்றிற்கிடையே (0 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு, g = 0 ஆகும். 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையே (1 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = 1 ஆகும். -1, 0 என்பன வற்றிற்கிடையே (-1 உட்பட) a இன் யாதுமொரு ப்ெறுமானத்திற்கு g = -1 ஆகும். - 2, -1 என்பனவற்றிற்கிடையே (-2 உட்பட) a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு g = -2 ஆகும். இவ்வாறே பிறவும்.
பல்லுறுப்புச் சார்பு.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க a, a . . . . . . . . . . . . . . n என்பன m மெய்யெண்களாயின், aa" + aa" + . . . . . . . . . . . . 十0, என்பது m என்னும் படியுள்ள 2 இன் பல்லுறுப்புச் சார்பெனப்படும். அது 2 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற்றைப் பெறுமானங் கொள்ளும்.
விகிதமுறுஞ் சார்பு.
P, 0 என்பன ஒரே படியிலுள்ளனவாயிருத்தல் வேண்டும் என்று நியதி
யில்லாத 2 இனுடைய இரண்டு பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயின், என்பது
ο a இன் விகிதமுறுஞ் சார்பெனப்படும். அது ஒற்றைப் பெறுமானமுடை யது ; ஆனல், )ெ என்பது பூச்சியமாகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானங் களுக்கு (எவையேனும் அவ்வாறிருந்தால்) அது வரையறுக்கப்படுவ
2م
ac -- ll யறுக்கப்படாத ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பு ; ஆனல், அது  ைஇனுடைய எனைப் பெறுமானங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும் ; அது ஒற் றைப் பெறுமானமுடையது. P, 0 என்பனவற்றினுடைய பொதுக் காரணி கள் (எவையேனு மிருந்தால்) அகற்றப்படும்பொழுது வருஞ் சார்பு
2 - என்றும் ஆரம்பச் சார்போடு ஒன்றகாது. என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பு a + 1 என்பதனேடு ஒன்ருகாது. 2 = 1 ஆகும்பொழுது 30+ 1 என்பதற்கு 2 என்னும் வரையறுக்கப்பட்ட பெறுமானம் இருக்க, 20 = 1
: -
ஆகும்பொழுது என்பது 器 ஆய் மாறிப் பொருளற்றிருக்கு மென் பதே அதற்குக் காரணம்.
தில்லை. உதாரணமாக என்பது 2= 1 ஆகும்பொழுது வரை
லி = 1 ஆதலால், c என்னும் ஒரு மாறிலியானது 20 இல் 0 படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பாகக் கொள்ளப்படலாம் ; அதற்குக் காரணம் c = caரி என்பதே.
P 0 என்பது பூச்சியப்படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாயின், Q என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பு ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பாகும். இவ்வண்ணம் ஒரு

நுண்கணிதம் 8.
விகிதமுறும் எண்ணின் பகுதியிலுள்ள முழுவெண் 1 ஆயிருக்கும் போது அம்முழுவெண் அவ்விகிதமுறும் எண்ணின் ஒரு சிறப்பு வகை யாயிருத்தல் போல, அப்பல்லுறுப்புச் சார்பும் அவ்விகிதமுறுஞ் சார்பின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்.
அட்சரகணிதச் சார்பு.
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், P. P. . . P என்பன 2 இனுடைய பல்லுறுப்புச் சார்புகளாயுமிருக்க, g என்பது
Poy" -- Pyo + ... + P = 0 என்னும் வடிவத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்குமாயின், ழ என்பது a இன் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பெனப்படும்.
y- வாயின், gெ -P= 0. இது 0, - P என்னுங் குணகங்களோடு
g யிலே முதலாம் படியிலுள்ள ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு ; ஆகவே, ஒரு விகிதமுறுஞ் சார்பும் ஒர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும். ஆணுல், அட்சர கணிதச் சார்பு ஒவ்வொன்றும் விகிதமுறுஞ் சார்பாகாது. உதாரணமாக, விகிதமுறுஞ் சார்பாகாத y = a + V (a + 5) என்பதை எடுக்க. (g -2)? = a + 5 அல்லது g? -2:g + a?-0-5 = 0. இது a இனுடைய பல்லு றுப்பிச் சார்புகளாகிய 1, - 23, 2-3-5, என்னும் குணகங்களோடு y யில் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஓர் அட்சரகணிதச் சமன்பாடு. ஆகவே,
- V(a + 5) என்பது a இன் ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பாகும். ஓர் அட்சரகணிதச் சார்பு 0 இல் விளக்கமாகத் தரப்பட்டால், அது விளக்க அட்சரகணிதச் சார்பு எனப்படும். அவ்வட்சரகணிதச் சார்பு ஒருசமன் பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டால், அது மறைவட்சர கணிதச் சார்பு எனப்படும். y = a + V( + 5) எனின், g என்பது ஒரு விளக்கச் சார்பாகும் ; ஆனல், y என்பது p?-2லg + 2 - 8-5 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டால் வரையறுக் கப்பட்டால், அது ஒரு மறைவுச் சார்பு எனப்படும். கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சார்பு.
அட்சரகணிதச் சார்பல்லாத எச்சார்புங் கடந்த சார்பு அல்லது அதீதச் சாப்பு எனப்படும். திரிகோணகணிதச் சார்புகள் எல்லாங் கடந்தவை. y என்பது 3 இலும் பெரிதல்லாத மிகப் பெரிய முழுவெண் என்னும் ஐ.டைமையினல், y யானது வரையறுக்கப்பட்டால், y என்பது ஒரு கடந்த சார்பாகும். உயர் கணிதத்திலுள்ள பல சார்புகள் கடந்த சார்புகளாகும். X என்பது முடிவிலிக்கு அணுக, f (x) இன் எல்லை.
f(a) என்பது a இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட 30 இன் ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
பின்வரும் வரைவிலக்கணத்தைத் தருகின்றேம்.

Page 97
82 ஆரம்ப தூய கணிதம்
e என்னும் யாதுமொரு சிறு நேர்க் கணியந் தரப்பட்டால், 2 ஆனது a என்னும் ஒரு மெய்யெண்ணிலும் பெரிதான யாதுமொரு பெறு மானத்தை எடுக்கும்போது f(a), என்பனவற்றின் வித்தியாசத்தின் எண்பெறுமானம் e இலுஞ் சிறிதாகுமாறு a ஐக் காண்போமாயின், a ஆனது முடிவிலிக்கு அணுக, f(a) ஆனது இற்கு அணுகும்.
இது பின்வருங் குறுகிய வடிவத்தில் எழுதப்படும்.
e தரப்பட, 2000 ஆயின், f(x)-> ஆகும்.
உதாரணமாக, f(a)- என்பதை எடுக்க.
ஆயின், f (3) ஆனது பூச்சியத்திற்குச் சமனல்லாத  ைஇனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும். a -> co எனின், f (2) -> 0 என்பது மேலுள்ள வரைவிலக்கணத்திலிருந்து எளிதிற் &5/760OTLJLJGBLh.
அதற்குக் காரணம் f(x)-0|=  ஆயிருந்தால்.
சைன் 3 we ஆயின், 3 இனுடைய நேர்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் f(a) என்பது வரையறுக்கப்படும்.
வேறேர் உதாரணமாக, f(a) = என்பதை எடுக்க.
எல்லா 2 இற்கும் சைன் a = 1 ஆயிருத்தலால்
63563t a AO
Vac کسیے va எல்லா 3> 0 ஆயிருந்தால்.
இனி, ہv/a; < ef, 6 TG506)[T ac > e ஆயிருந்தால்,
20 = எனின், 8 என்பது தரப்பட எல்லா 2>20 ஆயிருக்க 20 என்பது
|f(x)-0|  oco 6 Taobloô7, -- - - - --> 0.
V', 3-> OO ஆகும்பொழுது f(x)-> எனின், 20 இனுடைய யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு அல்லது சில பெறுமானங்களுக்கு f() ஆனது என்னும் பெறுமானத்தை எடுக்குமென்பது வரைவிலக்கணத்திலிருந்து பெறப்படாது. f(a) இற்கும் இற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தின் எண் பெறுமானம் ஒரு குறித்த பெறுமானத்திற்கு அப்பாற்பட்ட 3

நுண்கணிதம் 183
இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் விரும்பும் வண்ணஞ் சிறிதாக்கப்படலாம் என்பதே அதன் கருத்து. 30-> 0 ஆகும்பொழுது, 基→0 என்பதை அறிவோம் ; ஆனல், a. என்பது a இன் எப்பெறுமானத் திற்கும் பூச்சியம் என்னும் பெறுமானத்தை ஒருபோதும் எடுக்காது.
a ஆனது முடிவிலியை அணுக ஒர் எல்லைக்கு அணுகாத ஒரு சார்பிற்கு உதாரணமாக, சைன் 0 என்பதை எடுக்கலாம். a ஆனது வரையறையின்றிக் கூடுதலுற, இச்சார்பு -1, +1 என்பனவற்றிற்கு இடையே உள்ள ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் எடுத்துக் கொண்டு அலையும். ஆகவே, 2 ஆனது வரையறையின்றிக் கூடுதலுற, சைன் 3 ஆனது வரையறுக்கப்பட்ட யாதுமொரு பெறுமானத்தை அணுகாது. 20-> 00 ஆயிருக்க, சைன் 2 ஆனது ஒர் 61ல்லையை அணுகாது.
முடிவிலி என்னுஞ் சொல்லையும் OO என்னுங் குறியீட்டையும் வழங்குகின்றேமாயினும், முடிவிலி என்னும் யாதும் ஒரெண்ணுண் டென்று கொள்ளவில்லை என்பது கவனிக்கப்பட வேண்டும். “ல முடிவிலிக்கு அணுக ’ என்னுஞ் சொற்ருெடரையே வரையறுக்கின்ருேம் ; “ முடிவிலி’ எமன்னுஞ் சொல்லிற்கு அதனளவில் யாதுமொரு பொருளுங் கொடுக் கப்படவில்லை.
வரைவிலக்கணம். f(a) இல் a ஆனது -0 ஆல் பிரதியிடப்படும் பொழுது பெறப்பட்ட சார்பை f(-a) என்பது குறிக்க, 0-> 00 ஆயிருக்க, f(-a)-> ஆயிருந்தால், a -> - OO ஆயிருக்க f(x)-> ஆகும்.
எல்லைகளைப்பற்றி வரைவிலக்கணத்திலிருந்து நிறுவக்கூடிய பின்வருந் தேற்றங்களை உண்மையெனக் கொள்வோம்.
(1) b என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்க f(a)-> ஆயின், kf(a)->k
ஆகும். (2) f(a)-> ஆயும், f (a) என்பது எல்லா m இற்கும் நேராயும்
இருந்தால், Vf(a)-> V ஆகும்.
(3) f(a( -جس I ஆயும், தி (2)-> ஆயுமிருந்தால், f(a) + தீ (a)-> + !
ஆகு10. (4) f(p) -> ஆயும், தி (a)-> ஆயுமிருந்தால், f(x) தி (2) ->'
ஆகும். (5) f(a)-> ஆயும், தி (a)-> 40 ஆயுமிருந்தால்,
9 - 4 அகம் த* ஆகும.
உ-ம். 0-> 00 ஆயிருக்க, V(a + c-1)-a இன் எல்லைப் பெறுமா னத்தைக் கணிக்க.

Page 98
184 ஆரம்ப தூய கணிதம்
(ac* -- ac + 1) - ac* ac -!-- ll 2 a- re. تســتة Y"+*+"ー"=立エ=vエ
1 +
2 - 7 - -
/( ++i) +1 ->4, 3-> 00, ஆகும் பொழுது. வரைவிலக்கணம்.
K என்னும் யாதுமொரு பெரிய நேர்க்கணியந் தரப்பட 30 இலும் பெரிதாகிய எல்லா 2 இற்கும் f(a) > K ஆகுமாறு 20 என்பதைக் காண்போமாயின், 2-> 00 ஆயிருக்க, f(a)-> OO எனக் கூறுவோம்.
a' -- 1
ஒர் எடுத்துக் காட்டாக, a > 0 ஆகும்பொழுது, f(a) = 2: என்பதை
எடுக்க : f(a) = a2 + < aفن.
K என்பது யாதுமொரு நேர்க்கணியமாயின், எல்லா ல> VK ஆயிருந் 517 @i), ac*> K.
.. a= VK எனின், எல்லா 2 > 2 ஆயிருந்தால், f(a) > K.
a -- i.
.OO >-- و 3 CO g <-- ...
ac —> OO -gey,55, jf (ac) -> OO -geBu5?oör, ac —> OO -gb,55, f(e) --0 ஆகும். அதற் குக் காரணம் பின்வருமாறு :-
e என்பது யாதுமொரு சிறு நேர்க் கணியமாயின், எல்லா a > சில a
ஆயிருக்க, f(a) >よ ஆகும். ஆகவே, எல்லா 3 > 30 ஆயிருக்க 志  0 ஆக, f (3) ->0 ஆயின், ல-> 0 ஆக
ஆகும். அதாவது எல்லா ல> 30 ஆயிருக்க 店-" < e g (5th.
f(a) |-co ஆகும்.
அதற்குக் காரணம், K என்பது யாதுமொரு பெரிய நேர்க் கணிய
if (at)
மாயிருந்தால், எல்லா a > சில 30 ஆயிருக்க, <ஆகும்.
.. எல்லா >ை20 ஆயிருக்க 庐 < K زنت) یا|Lh.

நுண்கணிதம் 85
3-> OO ஆக, -f(x)-> 0 ஆகுமாறு, f(a) என்னும் ஒரு சார்பு இருந்தால், 2->00 ஆக, f(a) -> - OO என்று கூறுவோம்.
முடிவில் தொடரின் ஒருங்கல்.
24, ய2, 23, . d, . என்னும் ஒரு முடிவில் உறுப்புத் தொடரை ஆராய்க. இங்கு 70 ஆம் உறுப்பு n என்னும் நேர்முழுவெண் மாறியின்
சார்பாகும்.
S என்பது அத்தொடரின் முதல் 7 உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகை யாகுக. n ->00 ஆக, S-> (ஒரு முடிவுள்ள எல்லே) ஆயின், அதாவது e என்னும் யாதுமொரு நேர்க்கணியந் தரப்பட்டால், m இலும் பெரி தாகிய n இன் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் S,->CO ஆக, S என்பது ஒரு முடிவுள்ள எல்லைக்கு அணுகாதாயின் அத்தொடர் விரிதொடர் எனப்படும்.
உதாரணமாக,
l l l 1.2 - 2.3 + 3.4 h" n (n + 1) "
என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
T, என்பது 7 ஆம் உறுப்பைக் குறித்தால்,
- - - - - - Tr=rエ)=ァーエ
T 12
T 23
سI___ 1-- T in Tin - 1
S, =五一高工五→1 n->00 ஆக

Page 99
86 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அத்தொடர் ஒருங்குவதொன்றகும்; அதன் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். இனி, 1 + 2 + 3 + ... + n + . என்னுந் தொடரை ஆராய்க.
n (n -- l) .S =- - ->00 ஆகும، وتتولي OO حس- 70
". அத்தொடர் விரிவதொன்றகும். பெருக்கற்றெடர்.
பொது விகிதத்தின் வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு ஒரு பெருக்கற் ருெடரின் ஒருங்கு தன்மையை இப்போது ஆராய்வோம்.
r என்பது மாருத ஒர் எண்ணுயிருக்க, m என்பது நேர்முழுவெண் பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுத்தால், m->00 ஆக, " இன் எல்லையை முதல் ஆராய்வோம்.
r என்பது பூச்சியமாகாது -1, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையே கிடக்கின்ற தெனக் கொள்க ; அதாவது 0 0
= (1+a)"
m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருத்தலால், (1 + a)" என்பது ஈருறுப்பித் தேற்றத்தால் விரிக்கப்படலாம்; அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக் கள் எல்லாம் நேராகும்.
அவ்விரிவிலுள்ள உறுப்புக்களுள் ஒன்று 10 ஆகும்.
.". (1 + a)” > па.
(1 + a)“ Sna" |r"|= ||r" <  ஆயிருந்தால், அதாவது எல்லா n> ஆயிருந்தால்,
(e.
|r| < 1 எனின், m-> co ஆக, "->0 ஆகும். r = 1 எனின், எல்லா m இற்கும் " - 1. r = -1 எனின், " - (-1)" - 1, m என்பது இரட்டையெண்ணுயின், = -1, n என்பது ஒற்றையெண்ணுயின், |r| > 1 எனின், Ir|=1 + a, இங்கு a > 0 . −

நுண்கணிதம் 87
K எல்லா n > ஆயிருந்தால், |r"| > ma > K. .OO ج- "r و sقلعه m --> CO gQ JG3Lurīgi, a + ar + aro + ... -- ar”1 + ... என்னும் பெருக்கற்றெடரை எடுக்க.
S என்பது அத்தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையாயின்.
S - ma, r = 1 எனின்,
a(1 - r")
- r ”
", r - 1 எனின், a = 0 என்னும் பயனற்ற வகையை விலக்கும்
r #1 எனின்.
பொழுது n -> 0 ஆக, S என்பது ஒருமுடிவுள்ள எல்லையை அணுகாது.
r = 1 எனின், அத்தொடர் ஒருங்காது. .0 جنس " وتلقي CO جم- 10 و x < 1 6T6of661 > 1 -
O S, —> 1- r"
அத்தொடர் ஒருங்கும் ; முடிவிலி வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
1 - r”
r = -1 எனின், S = 0, m என்பது இரட்டை யெண்ணுயின் ;
F—= 6, m என்பது ஒற்றையெண்ணுயின்.
, n->CO ஆக, S என்பது ஒரெல்லேக்கு ஒருங்காது.
". அத்தொடர் ஒருங்காது. 10 கூடுதலுற, S என்பது 0, 0 என்னும் பெறுமானங்களுக்கிடையே அலைதலால், அத்தொடர் அலைதொடர் எனப் படும்.
|r| > 1 எனின், n-> co ஆக, |#"|-> ထ. ". S, என்பது முடிவுள்ள ஒரெல்லையை அணுகாது. . அத்தொடர் விரிதொடர் ஆகும்.
l + -- a V2 ! -- ac Y3 -- )b. 1 + 5 + 3 + (蒜) -- (菇-ع
என்னுந் தொடர் ஒருங்கத்தக்கதாய் ல இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க.
! -- 2 - 3a
< 1 எனின்,

Page 100
88 ஆரம்ப தூய கணிதம்
I -- ae? அதாவது 点器-- < 1 எனின், அதாவது (1 + ar) - (2 -- 3a) < 0 676fait, அதாவது (3 + 4a) (- 1 -2a) < 0 எனின், அதாவது (a + 4) (a + ஆ) > 0 எனின்,
அத்தொடர் ஒருங்கும்.
ல என்பது - என்பதிலும் பெரிதாய் அல்லது என்பதிலுஞ் சிறிதாய் இருத்தல் வேண்டும்.
மடங்கு தசமம்.
மடங்கு தசமமானது ஒருங்குபெருக்கற்றெடரின் ஒர் எடுத்துக் காட்டாகும். உதாரணமாக -3 என்பது
2 -- '02 -- 002 -- 0002 -- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2 2
அல்லது 10 103 10s to ' ' ' ' ' ' ' · s a · · o a · · · · · ·
என்னுந் தொடரின் முடிவிலிவரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகையாகும். இது என்பதைப் பொதுவிகிதமாயுள்ள ஒரு தொடர் ; ஆகவே, அது ஒருங்கும்.
-鱼- 2 2==
歌 2 2 இனி 12-0 + 10 + 0 + . S0LS YS SLS LLL SzS zS SL0LSSS S L S L S L SSYS SLSS SLSS LLLL SYS LLL SLLS SLLS SYSS SYS0LLSS SLLLL
முதலாம் உறுப்பை விலக்கினேமாயின், மீதி, ஃ என்பதைப் பொது விகித மாயுள்ள ஒரு பெருக்கற்றெடராகும்.
S என்பது அம்முழுத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையாகுக.
2 2 2
S-10 to lost 10. LLL S L0L S 0LS S LLS SLLS S SSLLS SYS S SLL SYS S S 00L S LLLS S LLL . . . . . . . . (1)
2. 2 2 .. 10 S- t 16 + 10 t oi: - - ... ... ... ... ... . (2)
2 2 2 (1) இலிருந்து, 8-6= + + + ...
2 2 2 2 (2) இலிருந்து, 10S - I -o- oa toa 10 + 0 8 a 8 a 8 s 8 a 8 o es es a e
2 S 一五而= 10 Ꮪ -- 1 - iᎴ

நுண்கணிதம் 89
விதியை வாய்ப்புக் காட்டுகின்றது. r -> a ஆக, f (3) இன் எல்லை.
a என்பது ஒரு மெய்யெண்ணுகுக ; f(a) என்பது a யிற்கு அண்மை யிலுள்ள (ஆனல் a யில் இருத்தல் வேண்டுமென்பது இன்றிய) 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட 30 இன் ஒரு சார்பு ஆகுக.
யாதுமொரு சிறு நேர் கணியம் e என்பது தரப்பட a a + 0 ஆக, f(x)-> என எழுதுகிறேம்.
a > a யாயுள்ள பெறுமானங்களை மாத்திரம் ஆராய்கின்றேம் என்ப நதைக் காட்டுதற்கே * a + 0 ’ என எழுதுகிறேம்.
e என்பது தரப்பட a-6a-0 ஆக, f(a) -> என எழுதுகிறேம்.
இங்கு, a  a + 0 ஆயும், 0-> 0-0 ஆயும் இருக்க f(x)-> 1 ஆயிருந்தால், * a -0 * a + 0 ’ என்பனவற்றை வரையறுக்க வேண்டியதில்லையாதலால், a ->a ஆக, f(x) -> என எழுதுகின்ருேம்.
a->a ஆக, f(x) -> எனின், a = a யில் f(a) இன் பெறுமானம் பற்றி யாதுங் குறிக்கப்படவில்லை. இப்பெறுமானத்திற்கு இருப்பு இருக்கலாம் அல்லது இல்லாதுவிடலாம். அது இருப்பு உள்ளதாயிருந்தாலும் எல்லைக்குச் சமனகாதிருக்கலாம். 0->a ஆக, எல்லையைப்பற்றிப் பேசும்போது, a = a யில் என்ன நிகழ்கின்றதென்பதைப்பற்றிக் கருதுவதில்லை ; a யிற்கு அண்மையிலுள்ள 2 இனுடைய பெறுமானங்களேயே நாடுகின்றேம். உதாரணமாக
ეგ? டரி
մ(c) =
2 - O யான்பதை எடுக்க.
ஆயின் a = a ஆகும்பொழுது f(a) என்பது வரையறுக்கப்படுவதில்லை. 3 4 a ஆகும்பொழுது f(x) = 3 + a ; இது a -> a ஆக d (இலும்பெரிய பெறுமானங்களுக்கூடாக அல்லது சிறிய பெறுமானங்களுக்கூடாக, 2a என்பதை அணுகும் என்பது தெளிவு.

Page 101
90 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2-> a + 0 ஆக, f(a) என்பது என்னும் எல்லையையும் 2->a - 0 ஆக, f(a) என்பது ' என்னும் வேறேர் எல்லையையும் அணுகு வதுமான வகையை ஆரம்பச் சார்புகள் விளக்குவதில்லை. இந் நோக்கத்திற்குச் சிறப்புவகைச் சார்பொன்றை எடுக்கவேண்டும். f (2) என்பது a இலும் பெரிதல்லாத மிகப்பெரிய முழுவெண்ணென வரை யறுக்கப்படுக. 1, 2 என்பனவற்றிற்கிடையில் 2 இன் எப்பெறுமானத்திற் கும் f(a) = 1 ; ஆயின், f(x)-1 என்பது 1, 2 என்பனவற்றிற் கிடையிலுள்ள எல்லா 2 இற்கும் யாதுமொரு நேர்க்கணியத்திலுஞ் சிறி தாகும்.
.". at->2 - 0 gas, if (ac) -> l.
2, 3 என்பனவற்றிற்கிடையிலுள்ள  ைஇன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
j (c)= 2.
2 <- (g, f(acرلي 0 +- 2 <-- a ,*
இவ்வண்ணம் a->2-0 ஆகவுள்ள எல்லை a->2 + 0 ஆகவுள்ள எல்லையோடு ஒன்ருகாது.
சில ஆரம்பச் சார்புகளும் 2 இன் ஒரு குறித்த பெறுமானத்தினுடைய பக்கங்கள் இரண்டினுள் எதன்கண்ணும் a இன் ஒரு சார்பினது நடத்தை வித்தியாசத்தை வேருெரு முறையிற் காட்டும்.
உதாரணமாக f(a) = என்பதை எடுக்க.
3 = 1 ஆகும்பொழுது அது வரையறுக்கப்படுவதில்லை.
a > 1 ஆகும்பொழுது, 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் 2 இருக்க, f(a), என்பது நேராயும் மிகப்பெரிதாயுமிருக்கும். a என்பதை போதிய அளவு 1 இற்கு அண்மையில் எடுத்தலால், விரும்பும் அளவிற்கு அதனைப் பெரிதாக்கலாம். ஆகவே, 0->1 + 0 ஆக, f(x)-> OO என எழுது கின்ருேம்.
a < 1 ஆகும்பொழுது 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் a இருக்க, என்பது மறைக்குறியோடு பொருந்தும் ; அதற்கு மிகப்பெரிய எண் பெறு மானம் இருக்கும் ; a என்பதை 1 இற்கு போதிய அளவு அண்மையாக எடுப்பதால் அப்பெறுமானத்தை, விரும்பும் அளவிற்குப் பெரிதாக்க 6ÙՈւb.
0-91 - 0 ஆக, f(a)-> - OO என எழுதுகின்றேம். தான் a என்னுஞ் சார்பிற்கும் z = இற்கு அண்மையில், இதனே
டொத்த உடைமையுண்டு.

நுண்கணிதம் 19
咒 z→露-0 ஆக, தான் 3-> 00
冗 z→焉+0 gas, 3 FT607 a--> - o.
if (a) (-1) என எடுத்தோமாயின்,
3->1 + 0 ஆகவும், 2->1 - 0 ஆகவும்,
if (ac) -> oo.
இங்கு, “ 1-0 ”, “ 1 + 0 ” என்பனவற்றை வரையறுக்க வேண்டிய தில்லை யாதலால், 2->1 ஆக, f(a)-> OO என எழுதுகின்ருேம்.
x - a x—> a gцѣ X سه- {;
என்பதன் எல்லை m என்பது ஒரு விகிதமுறுமெண்ணுயும் a என்பது
ac** -- **
பூச்சியமல்லாததாயும் இருக்க, 3->a ஆக, - 0
-> ma" எனக்
காட்டுவோம்.
வகை 1.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுகுக.
ஆயின், ?-a" என்பது ? என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பி யாகும் ; a = a ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
மீதித் தேற்றத்தால், 0-0 என்பது 3'-0" என்பதன் ஒரு காரணியாகும். 3'-0" என்பது 0-0 என்பதால் வகுக்கப்படப் பெறும் ஈவு
a** + aa"2 + .... + a*" என்பதாகும்.
24 a ஆகும்பொழுது, - a ti -- aa 2 - .... -- all
-- 6
இது 3 இன் 1-1 என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பி ; இதற்கு m உறுப்புக்கள் உண்டு ; 2 -> 0 ஆக, ஒவ்வோர் உறுப்பும் a" என்பதை அணுகும்.
?? ?德
-- na" -1
.". 3-> 0 ஆக,
are

Page 102
192 ஆரம்ப தூய கணிதம்
6m 6n3, II.
70 என்பது - m இற்குச் சமனன ஒர் மறை முழுவெண்ணுகுக ; ஆயின் m என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகும்.
ac** - a '* am I am am* -- *** I
2 - 0, ᏘᏆ -- ᎤᏓ 2 - O acᏡaᏓᏡ*
a- a முதலாம் வகையால், ۔< mq**** 1
- 0, a" - a 1 mam 1 77 - 1 22ー> Q ó --6) كي - ممه - ممه " ح(OR( 1700 نوع -
ஆக, qz -- q, ፰”ዐ”ዬ go 7ܦܸܰ
a - d. 港一1 .. 30 -> a ஆக, ~÷► ጎ00,
6m 6n3G III.
p, q என்பன முழுவெண்களாயும், அவற்றுள் g என்பது நேராயு மிருக்க, m என்பது ; யிற்குச் சமனன ஒரு பின்னமாகுக.
i.
2 = X ஆயும் a = A யாயுமிருக்க.
р 2
ஆயின், aپان == XP, qd پس AP
X - Aزر XP - A2ز a"_XP -- AP -- «مa
– a Xa - Aa -- X -- A * Xa - Aao
X - A என்னும் வகை கருதப்படாமையால்,
p, q என்பன முழுவெண்களாயிருத்தலால், X-> A ஆக, அதாவது 3-> 0 ஆக
4pر س- Xp Χ - Α. Xα - A4 X - A
-- > pᎪ? "- 1
→q47て"
qኃ” -- ዐ” pAp
2 - A -1 pAp-1 pA a 丝乌一1
.. 20-> 0 ஆக,
ஆனல், Aa - 1 " " q = n" = all ", m என்பது யாதுமொரு விகிதமுறும் எண்ணுகும்பொழுது 2->a ஆக,
”፴ حبس 278
-> ገ0q”  ̈*.
67 مسك :

நுண்கணிதம் 93
- -b 6T6) 8 என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க,
4- "انه، 64 حــره
ach - 8 ach - 64 i g A 64 எனின், ബ് -m- 关 644 ـ لأنه 4 ـ لأنه
64 - ag | * 64 - فنa
ac --- 64 i ach - 64* 3 - (64) في سبـ 1 - 3(64) في ج. =3 (64) = 3, a->64 ஆகும் பொழுது.
2->0 ஆக sor a இன் எல்லை.
a என்பது ஆரையனில் 0, π என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஒரு கோணத்தின் அளவாகுக.
0 என்பதை மையமாகவும் r என்பதை ஆரையாகவுமுள்ள ஒரு வட்டம் வரைக. AB என்பது மையத்தில் 2 ஆரையன் என்னும் ஒரு கோணத்தை எதிரமைக்கும் வட்டவில்லாகுக. A யில் அவ்வட்டத்திற்கு வரையுந் தொடலி நீட்டிய 0B யை C யிற் சந்திக்க.
ஆயின் 40 = r தான் 0.
A AOB யின் பரப்பளவு < ஆரைச்சிறை OAB யின் பரப்பளவு < AA00 யின் பரப்பளவு.
.. ?? சைன் a  0 ஆதலால், முழுவதையும் ; r? சைன் 20 ஆலே வகுக்கலாம்.
சைன் a > கோசை a’
1 <
.. கணியங்கள் எல்லாம் நேராதலால்
சைன் 2
l > > கோசைல.
ஆளுனல், கோசைa - 1 -2656*
0, என்பனவற்றிற்கு இடையே எல்லா 2
இற்கும்,

Page 103
194 ஆரம்ப தூய கணிதம்
சைன் a < 0 என்று இதற்குமுன் அறிந்துள்ளோம்:
o ac ac சைனத < 2 o சைன்: 1 2
ᎧᏡ0ᏧᏠᏊᏑ1 Ꮨ:
> 1 2.
.. 0<2< ஆக எல்லா 2 இற்கும் 1>
28م .1 ج 2 – 1 وتهريب 0 حجس ac
சைன் ?
.1 ج۔
". 3-> + 0 ஆக,
a = -b ஆகும்பொழுது, ©r *_ez::႔-၈) _၅၈;" *,
60),tract at பெறும் பெறுமானத்தோடு
இது a = b ஆகும்பொழுது,
ஒன்ருகும்.
". 0-> - 0 ஆக, சைனல இனது போக்கு 2-> + 0 ஆகும்பொழுதுள்ள
அதன் போக்கோடு ஒன்றகும்.
6thysit X
-> 1.
“. X-> 0 ஆக,
கவனிக்க : a) என்னுங்கோணம் ஆரையனில் அளக்கப்படும்போதே இம் முடிபு உண்மையாகுமென்றும் அக்கோணம் பாகையில் அளக்கப்படும் போது அது உண்மையாகாதென்றும் ஞாபகத்தில் வைத்திருப்பது நன்று.
g-d. 1. sr sioe *?"*"* இன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
தான் a_சைன் 3 _
T கோசை a
ገr T -<< ஆன எல்லா 2 இற்கும் 051-கோசை 9
2 சைன்?0 ஆக, 1 - கோசை a->0.
s o

நுண்கணிதம் 195
அதாவது a -> 0 ஆக, கோசை ஐ->1.
**கோசை த و5 ,gall 0 حس- و ...
தான் ல
°. a -> 0 ஆக, 1 جء.
உ-ம். 2. நேர்மாறுசார்பு தன்தலைமைப் பெறுமானத்தைப் பெறு கின்றதெனின்,
சைன்" a
6T60 -- -- --
இன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
g - சைன்"10 அல்லது a - சைன் g எனப் பிரதியிடுக.
0< y < எனின், 0 < சைன்று  0 ஆக, சைன் y->0 என்பது பெறப்படும். .0 جیم. gy و تقرgi 0 جس - 0 .
சைன் "10 g g->0 ஆக, ------س-- = """""""." "" சைன g
சைன்"10 .1 - C - و 5 یا 0) حزب - a .
a என்பது ஆரையனில் யாதுமொரு கோணத்தின் அளவாயின் 240
ஆகும்பொழுது, சைன் a | < | tr || . 0

Page 104
196 ஆரம்ப தூய கணிதம்
a என்பது யாதுமொரு நேர் அல்லது மறைப் பெறுமானத்தைப் பெற்றல் சைன்ற என்பது பெறத்தக்க மிகப் பெரிய எண் பெறுமானம்
1 ஆகும் ; 2=ஆகும்பொழுது இப்பெறுமானம் பெறப்படும். இன்னும்,
சைன்ற பெறுகிற எண் பெறுமானம் எதுவும், 0, என்பனவற்றிற் கிடையேயுள்ளி 0 இன் ஒரு பெறுமானத்துக்குப் பெறப்படும்.
அன்றியும் சைன் (- 2) = -சைன்3.
.. 20 என்பது பூச்சியத்தைப் பெறதபோது |၈၈#@ärz |< |al என்பது பெறப்படும்.
பயிற்சி 18. 激 - و -- به 1 - at 1. ல -> 1 ஆக, 1 -- oس کو ’ # -- وoة - و என்பனவற்றின் எல்லைப் பெறுமானங்களைக் கணிக்க.
2. பின்வருவனவற்றின் பெறுமானங்களைக் கணிக்கி :
1 - கோசைற
5ڑھ 0جہ i) a9
(i) s al
ଈର୍ଷୀ
.2007-2 وعيه 0 ج م (i)
6063t ey
1 - 6ಠ೫ct 2
.274877 وعرع في ج- له (i)
2 4۔ ش گاهی رع یه مج- به (iv)
లీ " கோதாக 2 ‘
கோசை  ை- சைன் ர
-- ,π ஆக جسv) a)
4. கோசை 2ற
冗 1 - சைன் 23 z 包s,本一一·
vi) a» --> (vi) 4. கோசை a - சைன் ை
60gct 3a + 60.೫67a - 2 6ಠ#672 (vii) ) -> 0 കൃൿ, -------.
ac 605 657* a
தொடர்சார்புகள்
2->a ஆக, f(a) என்னும் ஓர் சார்பின் எல்லையின் உண்மை a = a யில் f(a) இன் பெறுமானத்தைப்பற்றி யாதுங் குறியாதென்று இதற்கு முன் அறிந்துள்ளோம்.

நுண்கணிதம் 197
சன் 2:
6) a->0 ஆக, சார்பு -> 1 ; ஆனல் 0 = 0 ஆகும்பொழுது அதற்கு
2
ஒரு பெறுமானமும் இல்லை ; a-> 1 ஆக, சார்பு ->2 ; ஆனல், 3=1
- ஆகும்பொழுது அதற்கு ஒரு பெறுமானமும் இல்லை.
* -나- 1 ஆனல், -ை>2 ஆக, சார்பு - ; a = 2 என்பதிலும் அச்சார்பின் பெறுமானம் .
இவ்வண்ணம் பின்வரும் தொடர்சார்பின் வரைவிலக்கணத்திற்கு நடத் தப்படுகின்ருேம் :-
ல> 0 ஆக f(a)-> ஒரு முடிவுள்ள எல்லை ஆயும், f(a) = ஆயுமிருந் தால், f(a) என்பது a = a யிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனப்படும் ; இங்கு f(a) என்பது a = a யில் f(a) இன் பெறுமானத்தைக் குறிக்கின்றது; அதாவது -ை>a ஆக, f(a)->f(a), அல்லது h -> 0 ஆக, f(a +h)->f(a).
a = a யில் f(a) ஆனது தொடர்ச்சியுள்ளதெனின், a ஆனது a என் னும் பெறுமானத்திலிருந்து ஒரு மிகச் சிறிய கணியத்தாற் கூடுதலுற்றல் அல்லது குறைதலுற்றல், f(a) என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து f(a) இன் மாற்றத்தின் எண்பெறுமானமும் மிகச் சிறிதாகும் என்பது இவ் வரைவிலக்கணத்திலிருந்து பெறப்படும்.
p, q என்னும் எண்களுக்கிடையே (இரண்டும் உட்பட) a இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் f(a) என்பது தொடர்ச்சி உள்ளதெனின், p என்பது g விலுஞ் சிறிதாயிருக்க, f(x) என்பது p < 0 S g என்னும் மூடிய இடைக்குள்ளே தொடர்ச்சியுள்ளதெனப்படும். f(a) ஆனது 0 = p யிலும் 0 - ர விலுந் தொடர்ச்சியின்றி p, q என்பனவற்றிற்கிடையே எல்லா 2 இற்குந் தொடர்ச்சியுள்ளதாயின் f(a) என்பது p 

Page 105
198 ஆரம்ப தூய கணிதம் பெறுமானத்திற்கும், தான் a என்பது இல்லை ; ஆகையால் அது தொடர்ச்சி யற்றது.  ைஆனது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது சீகல என்பது
தொடர்ச்சியுள்ளது ; 2 ஆனது ரா இன் மடங்கல்லாதபோது, கோசீ 2, கோதா 0 என்பன தொடர்ச்சியுள்ளவை.
கேத்திரகணிதத்தின்படி, ஓரிடைக்குள்ளே தொடர்ச்சியுள்ள f(a) என்னும் ஒரு சார்பிற்கு, அவ்விடைக்குள் யாதுமோர் இடைப்பருவத்திற் பென்சிலைத் தாளிலிருந்து எடுக்காது y=f(a) என்னும் வரைபு வரையப் படலாம் என்னும் உடைமை உண்டு.
(a, b) என்னும் ஒரு மூடிய இடைக்குள்ளே தொடர்ச்சியுள்ள f(a) என்னும் ஒரு தொடர்சார்பின் பின்வரும் உடைமைகள் உண்மையெனக் கொள்ளலாம் :-
(i) f(a) = 0 ஆயும், f(b) = 8 ஆயுமிருந்தால், f(a) என்பது (a, b) இல் 2 இன் பெறுமானங்களுக்கு 0, 8 என்பனவற்றிற்கு இடையே ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் எடுக்கும்.
(i) f (2) என்பதற்கு (a, b) யில் ஒரு மிகப்பெரிய பெறுமானமும் ஒரு மிகச் சிறிய பெறுமானமும் உண்டு.
தொடர்ச்சியில்லாத ஒரு சார்பு இவ்வுடைமைகளின்றி இருக்கலாம் என் Lgỹ 0 sa. s. 2 (9ổ) f (?) = - என எடுப்பதால் விளக்கப்படலாம். அச் சார்பு 0 = 1 என்பதிலே தொடர்ச்சியின்றியதாய் அவ்விடைக்குள் வேறெவ் வொரு நிலையிலுந் தொடர்ச்சியுள்ளதாகும். f(x) இன் பெறுமானம் 1 இலும் பெரிதாய் 1 இற்குப் போதிய அண்மையில் 2 இன் ஒரு பெறு மானத்தை எடுப்பதாலே விரும்புமளவு பெரிதாக்கப்படலாம். 1 இலுஞ் சிறிதாய் 1 இற்குப் போதிய அண்மையில் a இன் ஒரு பெறு மானத்தை எடுப்பதால் நாம் விரும்புமளவு (அட்சரகணிதக் கருத்திற்) அது சிறிதாக்கப்படலாம். இவ்வண்ணம் f(a) இற்கு 0 < 0 < 2 என்பதிலே மிகப் பெரிய பெறுமானமாதல், மிகச் சிறிய பெறுமானமாதல் இல்லை. இன்னும் f(0) = -1, f (2) = 1 ; 0, 2 என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இன்
எப்பெறுமானத்திற்கும் L என்பது - 1, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையே ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காது என்பதும் எளிதிற் புலனுகும்.

அத்தியாயம் 2
வகையீடு
f(a) என்பது a = a யாகும்பொழுதும், 20 என்பது a யிலுஞ் சிறிய அல்லது பெரிய பெறுமானங்களை a யிற்கு அண்மையில் எடுக்கும் பொழுதும் வரையப்பட்ட 20 இன் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக. h என்பது மிகச் சிறிய எண் பெறுமானமுள்ள ஒரு நேர்க்கணியம். அல்லது மறைக்கணியமாயிருக்க, 2 ஆனது a யிலிருந்து a + b இற்கு மாறுகின்றதெனக் கொள்க, குறைதலை எதிர்க்கூடுதலெனக் கொண்டு a ஆனது a யிலிருந்து a + k இற்குக் கூடுகின்றதெனப் பொதுக் கருத்திற் கூறுகின்ருேம். h என்பது 0 இலுள்ள ஏற்றம் எனப்படும். அவ்வேற்றம் நேராயின், 2 ஆனது உண்மையாய்க் கூடும் ; அவ்வேற்றம் மறையாயின், ல ஆனது உண்மையாய்க் குறையும். 30 = 0 ஆகும்பொழுது, அச்சார்பின் பெறுமானம் f(a) ஆகும் ; a = a + b ஆகும்பொழுது, அச்சார்பின் பெறுமானம் f(a + b) ஆகும். 2 இல் ஏற்றம் h இற்கு ஒத்த f(a) இன் வற்றம் f(a +h)-f(a) ஆகும்.
f(a + h)-f(a) h
என்னும் விகிதம் ஏற்ற விகிதம் எனப்படும்.
இவ்விகிதம் h என்னும் மாறியின் Øග சார்பாகும். h = 0 ஆகும் பொழுது அவ்விகிதம் ஆக மாறிப் பொருளற்றிருக்கும். h = 0 என்பதில் அது பொருளற்றிருந்தாலும், h->0 ஆக, அது முடிவுள்ள எல்லையை அணுகலாம்.
J (a + h)-f(a) h என்பதில், f(a) ஆனது 3 ஐக் குறித்து வகையிடப்படத்தக்கதெனப் படும் ; ) என்னும் எல்லை 20 = a என்பதில் 0 ஐக் குறித்த f (2) இன் வகையீட்க் குணகம் அல்லது பெறுதி எனப்படும். அது f(a) என் பதாற் குறிக்கப்படும்.
உதாரணமாக, f(a) = 0° என்பதை எடுக்க,
h-> 0 ஆக, -> ஒரு முடிவுள்ள எல்லை . எனின், a = a
h = 0 என்னும் வகையை அவாவாமையால், a = a என்பதில் எற்ற விகிதம்
(a +h)o-ao 3aoh +3aho+ ho
h −> h
= 3ao+3ah +ho gig5ub.
199

Page 106
200 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. h ->0 ஆக, ஏற்ற விகிதம்->30°. .. f'(a) என்பது உண்டு ; அது 30° இற்குச் சமன். இப்பொழுது, f(x)=a என்பதை எடுக்க.
a = 0 என்பதில், எற்ற விகிதம்
f(h)-f(0) - ho- 1 ,
h } h፥ ” h-> 0 ஆக, இது ஒரு முடிவுள்ள எல்லையை அணுகாது. ". a என்பது a = 0 என்பதில் வகையிடத் தக்கதன்று.
f(a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதாயின், f(a) என்பது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது.
f(a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதாகுக.
ஆயின், h -> 0 ஆக, flat ーJ(a) ->f' (a). ... h -> 0 seya, f(a + h)-f(a)=f(o +)- a x h -جf” (a) x 0. அதாவது, h —> 0 -g345, f(a -- h) — f(a) —> 0.
அல்லது, h -> 0 gas, f(a + h)-f(a).
. f(a) ஆனது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது. இதன் மறுதலை உண்மையன்று ; அதாவது f(a) என்பது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனின், f(a) என்பது a = a என்பதில் வகையிடத்தக்கதென்பது பெறப்படாது.
f(x)=a என எடுப்பதால் இது விளக்கப்படும். அச்சார்பு a=0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளது ; ஆணுல் இது 0 = 0 என்னும் புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதன்றென இதற்குமுன் கண்டுள்ளோம். பொதுநிலை 10 இல் வகையீடு.
f(a) என்பது குறித்த ஒரிடையில் 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக.
A. s
அவ்விடைக்குள் “7” என்னும் ஒரு நிலையில் ஏற்ற விகிதம்
if (ar + h)-f(a). h
a என்பதை நிலையாக வைத்து h என்னும் ஏற்றத்தை மாறும்படி செய்தால், ஏற்ற விகிதம் h என்னும் மாறியின் ஒரு சார்பாகும். h->0 ஆக, அவ்விகிதம் முடிவுள்ள ஓர் எல்லையை அணுகினல், f(a) என்பது “ 2 ” என்னும் நிலையில் வகையிடத்தக்கதெனப்படும்; அவ்

நுண்கணிதம் 20
வெல்லையானது 2 ஐக் குறித்த f(p) இன் வகையீட்டுக் குணகம்
அல்லது பெறுதி எனப்படும். அது f (3) அல்லது f f(a) அல்லது
Df(a) என்பதாற் குறிக்கப்படும் , இங்கு, ಪಿ D என்பன வகையிடுஞ்
செய்கையைக் காட்டுங் குறியீடுகள்.
ஆரம்பத்திலுள்ளதன் மாறி t ஆயிருக்க, அச்சார்பு தி () என எழுதப்பட்டால், t ஐக் குறித்த வகையீட்டுக் குணகம் தி () அல்லது
() என்பதாற் குறிக்கப்படும்.
f(a) என்பதற்கு ஒரு குறித்த இடையில் எல்லா 30 இற்கும் ஒரு மாறப் பெறுமானம் உண்டெனின், அவ்விடையில் யாதுமொரு புள்ளி ல இல் வற்ற விகிதம் பூச்சியமாகும் ; ஆகவே, இவ்விடையில் எல்லா 20 இற்கும் f(a) = 0 ஆகும்.
a" இன் வகையீட்டுக் குணகம்.
10 என்பது மாருத ஒரு விகிதமுறும் எண்ணுகுக ; a" என்பது வரை யறுக்கப்பட்ட யாதுமொரு (பூச்சியமல்லாத) 20 ஐ எடுக்க.
*3' என்பதில் எற்ற நிலை (ar + 'h)" - ac" ஆகும்.
a + b = X அல்லது h = X-3 எனப் பிரதியிடுக. 20 மாருதிருக்க, X->3 ஆக, h -> 0. ". X->3 ஆக, அதாவது h ->0 ஆக,
به - X - ماه -" (a + h) h X - a
என்பது தான் வரையறுக்கப்பட்ட
لمة "" أو حجم
始 iss
20’ என்னும் பூச்சிய
மல்லாத யாதுமொரு நிலையில் வகையிடத்தக்கது. i. ' = ? " ,
n < 0 ஆக, n = 0 ஆகும்பொழுது a" வரையறுக்கப்படவில்லை.
n > 0 எனின், a = 0 ஆகும்பொழுது a = 0. 2 = 0 என்பதில் ஏற்ற விகிதம்
B”ዒ -- 0
h m - 1< 0 எனின், h->0 ஆக, இது முடிவுள்ள ஓர் எல்லையை அணுகாது.
1 - ۶ بیتی

Page 107
202 ஆரம்ப தூய கணிதம்
n > 1 எனின், h -> 0 ஆக, அவ்விகிதம் -> 0. m - 1 எனின், அவ்விகிதம் என்றும் 1 இற்குச் சமன். n > 1 எனின், 3' என்பது a = 0 என்பதில் வகையிடத்தக்கது. இந்நிலையில் அதன் வகையீட்டுக் குணகம் பூச்சியமாகும்.
m = 1 எனின், இந்நிலையில் அதன் வகையீட்டுக் குணகம் 1 ஆகும். a = 0 ஆயும் n > 1 ஆயும் இருக்கும்பொழுது a" என்பது பூச்சியமாயிருத்தலால், n > 1 ஆயிருக்க ல = 0 ஆயிருக்கும்பொழுதும் d
da. (a") - ma" என்னுஞ் சூத்திரம் உண்மையாகும்.
எல்லா ல இற்கும் i. (aᎴ10) -- 10ac9 .
2
எல்லா 20 > 0 ஆகும் பொழுது, A (ve) T 2 Vor
d / l d
3 – بa -ننه - == ؤ – ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مہستہ۔۔۔ ۔۔۔سس۔ a > 0 ஆக, 嵩(菇)一盏· = - r •. சைன்ற இன் வகையீட்டுக் குணகம்
a என்பது ஆரையனில் ஒரு கோணத்தின் அளவாகுக. 0 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் சைன் a என்பது வரையறுக்கப் படும்.
* a என்னும் நிலையிலுள்ள எற்ற விகிதம்
h h 2 கோசை (e -- ഞങ്ങ്
சைன் (a + b) - சைன் a_
h h.
சைன் () - கோசை (e -- ) \2/.
2 h
() எல்லா a இற்கும் கோசைல. என்பது தொடர்ச்சியுள்ளதெனக்
h கொண்டால், h -> 0 ஆக, கோசை (e -- ) -> கோசை 0.
இதற்குமுன்னே நிறுவப்பட்ட முடிபால்,
() சைன (த .1 >-- - - وتقريب 0 حب اh
2

நுண்கணிதம் 203
.. h -> 0 ஆக, எற்ற விகிதம் ->கோசை 2. ", சைன் 2 என்பது எல்லா 2 இற்கும் வகையிடத்தக்கது.
a என்பது அக்கோணத்தின் வட்டவளவாயின்,
d (சைன் 0) - கோசை 0. da:
கோசைனி இன் வகையீட்டுக் குணகம்.
“ ை’ என்னும் நிலையிலுள்ள ஏற்ற விகிதம்
/h. கோசை (a + b) - கோசை ல Nசைன () - - - → - ಇg:67 || 4 -+ 2 T /h\ ()
و 35یg 0 <جسمہg6ör ac, h (60 - جس۔ ". எல்லா ல இற்கும் கோசை என்பது வகையிடத்தக்கது.
3 என்பது அக்கோணத்தின் வட்டவளவாயின்,
d (கோசை )ை - - சைன் 3. dac
தான்ற இன் வகையீட்டுக் குணகம்,
3 ஆனது 2 இன் ஒற்றை மடங்காயிருக்கும்பொழுது, தான்ற என்பது வரையறுக்கப்படுவதில்லை ; அது  ைஇனுடைய பிற பெறுமானம் ஒவ் வொன்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும்.
அது வரையறுக்கப்பட்ட “ ல’ என்னும் யாதுமொரு நிலையிலுள்ள, வற்ற விகிதம்
சைன் (a + b) சைன் 30 தான் (a +h)- தான் 0_கோசை (a + b) T கோசை ம
h a- h
_சைன் h
h 'கோசை (a + b) கோசை ை
கோசைனே? h -> 0 glas.
", a என்பது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபொழுது
i (தான் 2) - சீகமே.

Page 108
204 ஆரம்ப தூய கணிதம் கோதa இன் வகையீட்டுக் குணகம்.
a ஆனது r இன் மடங்காயிருக்கும்பொழுது கோதால என்பது வரையறுக் கப்படுவதில்லை ; அது a இனுடைய பிற பெறுமானங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் வரையறுக்கப்படும்.
அது வரையறுக்கப்பட்ட “ ை’ என்னும் யாதுமொரு நிலையிலுள்ள எற்ற விகிதம்
கோதா (a +h)- கோதாa_1 (a + b) கோசை
h h
_சைன் h
Th சைன் a சைன் (a + b)
"சைன்? 10 -تقريب 0 حس -
", a என்பது n இன் மடங்கல்லாதபொழுது, i (கோதாa) = - கோசில. சீகa இன் வகையீட்டுக் குணகம்.
20 ஆனது 2. இன் ஒற்றை மடங்காயிருக்கும்பொழுது சீக 3 என்பது வரையறுக்கப்படுவதில்லை.
என்னும் வேறு யாதும் நிலையிலுள்ள, எற்ற விகிதம் சீக (a+h) - சீக a கோசை3 - கோசை (a + b)
** ب
h Thகோசை கோசை (ac -- h.)
- ಆ657 | 3 + ) 6ಠಾಆ657
h கோசை a கோசை (a + b) 6ᏡᏪj6ᏑᎢ Ꮖ;
-- ' h. -> 0 o கோசைறே -< U 5{ږي
... at என்பது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபொழுது,
சைன் 2
(os ac) == =தான் 2 சீக 2.
கோசை2ற கோசில இன் வகையீட்டுக் குணகம்.
a ஆனது T இன் மடங்காயிருக்கும்பொழுது கோசீஸ் என்பது
வரையறுக்கப்படுவதில்லை. * a ’ என்னும் வேறு யாதும் நிலையிலுள்ள எற்ற விகிதம்

நுண்கணிதம் 205
கோசி (a + b) - கோசிa_சைன் a -சைன் (a + b)
h h சைன் ஐ சைன் (a + b) __% Garetz (" + :) @ze" န္တီး
h சைன் a சைன் (a + b) .تقوع 0 جـ R و ك2009 – جن
சைன்aே
. a என்பது T இன் மடங்கல்லாதபொழுது,
d (கோசிa)- _கோசை ை* = - கோதால கோசில. d ೧೮Faroa: உ-ம். a என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்கும்பொழுது ஐக் குறித்து சைன்d இன் வகையீட்டுக் குணகத்தைக் காண்க.
h என்பது t இன் ஏற்றத்தைக் குறிக்க. * ’ என்னும் நிலையில் ஏற்ற விகிதம்
சைன் a (t -- h) - சைன் a - -
/ah ႔\ ၈zer (?) = கோசை (at -- 雲) --མཐབ་མ་ཡང་ཡང་བ་མ་ཡང་ཡང་ས་མཚཁཡ་, (42
(...) 2 -> a கோசை at, h -> 0 ஆக.
(சைன at) = a கோசை at.
வகையீட்டு விதிகள்
(t) f (3) என்பது “ஐ’ என்னும் நிலையில் வகையிடத்தக்கதாயிருக்க, c என்பது ஒரு மாறிலியாயின், cf(a) என்பது “ஸ்” என்னும் நிலையில்
வகையிடத்தக்கது ; அதன் வகையீட்டுக் குணகம் 0f'(3) ஆகும்.
அதற்குக் காரணம் Cf(a) இன் எற்ற விகிதம்
c.f(i + h) - c f(ae)
h
وتهريب 0 حسد. h و(0)'f 6 جده

Page 109
ஆரம்ப தூய கணிதம்
206
n-f(a) எனின்,
d du dx (cur) = c. dx
உதாரணமாக, i. (5 சைன் 0) - 5 கோசை ை
(i) f(x), தி () என்பன * a * என்னும் நிலையில் வகையிடத்தக்கன வாயின், f(c) + தீ (a) என்பது “ஸ்” என்னும் நிலையில் வகையிடத் தக்கது; அதன் வகையீட்டுக்குணகம் f'(2) + தீ (3) ஆகும்.
அதற்குக் காரணம் * a * என்னும் நிலையில் f(a) + தி() என்பதன் ஏற்ற விகிதம்
if (ac + h) + b (ar + h)-f(a) - b (aw) h
f(α + h) - f(α) , φ(α, + h) - φ(α) h -- h
->-f” (ac) + g'(ac), h -> 0 i gyds.
ய=f(a) ஆயும் 0 = தி (a) ஆயுமிருந்தால்,
d du , dv ã• (" + V) = dx + d.
உதாரணமாக, i. (6a*+ 63.g6ö7 3:c + 5)
- 18 a2+ 3 கோசை 3 ம. (i) f(a), தி (a) என்பன * a * என்னும் நிலையில் வகையிடத் தக்கனவாயின், f (2) தி (a) என்பது “ஸ’ என்னும் நிலையில் வகையிடத் தக்கது ; அதன் வகையீட்டுக் குணகம்
f(a) qþ' (æ) + f'(a) qb (ac). அதற்குக் காரணம் f(a) தி (2) இன் ஏற்ற விகிதம்
f(a + h) db (a +h)-f(a) (b(ac) h
.)f)۶( --H-f (ac -- h.). φιεί η-φ (α-' +مخ)f.(م) 4 = f(a) என்பது “ஸ’ என்னும் நிலையில் வகையிடத்தக்கதாய் இருத்த லால், அந்நிலையில் அது தொடர்ச்சியுள்ளது.
h, —> 0 gyds, if (ac + hi) ->-f (ac) h->0 ஆக, எற்ற விகிதமானது, f'(2) தி (2) +f(a) தி'() என்பதை அணுகும்.

நுண்கணிதம் 207
d –, du dW 0 0 (uv) == v + u:
ဇာမှူး၊ என்பதை t ஐக் குறித்து வகையிடுக.
d /சைன் d
VM .3 حس تست . حمس بی.بی.سیم i ( 3 ) ( °CರಾತGರ್ತ ')
உதாரணம்.
αι d 。)#行流_(泷丁8)十流下3兰 汀 حسیسح
60)goOT ) -- (சைன் )
-3 சைன் கோசை t t4 t3
(iv) தி(a) என்பது பூச்சியமாதலின்றி “ஸ்” என்னும் நிலையில் வகை யிடத்தக்கதாயின், db (ar) என்பது அந்நிலையில் வகையிடத்தக்கது ; அதன்
வகையீட்டுக் குணகம்
d(e) {d(a)} அதற்குக் காரணம் ‘0’ என்னும் நிலையில் #; என்பதன் ஏற்ற விகிதம்
ش{- {-- φ (α’ + h) Τφ (α) - φ(α, + h) + φ (α)
h h φ (α) φ(α, -- h)
is (a) h O --க்கு 4-0 ஆக
e ()-- dW ' * dx \v / v2, dx
(v) f(a), தி (2) என்பன * a என்னும் நிலையில் வகையிடத்தக்கதாய் இருக்க, தி (a) என்பது பூச்சியமன்றெனின், if (a) என்பது அந்நிலையில்
qb (ac) வகையிடத்தக்கது ; அதன் வகையீட்டுக் குணகம்
f(α) φ (α) - φ (α),f(α) {d} (a)}* y du – 2. divy அல்லது d () de de
@a

Page 110
208 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இது (3), (4) என்பனவற்றிலிருந்து பெறப்படும்.
'('. 一器+“盖(, dat v / v da da V v
- 1 du –u du v da vida y dui - dw dx dx
Vy4
உதாரணமாக,
*(* : - (a - 1) 3 ,2 - (a 3 + 1) da Wa -- l / (a -1)
سے 32 - 3 .13a , z # 1 எனின்- فن3a - قن2a
(ac - 1)*
16 ) = () 困° T a \கோசை :
_கோசைt . கோசை t-சைன் (-சைன் )
கோசை?
1.
T கோசை2
- இகே?t, கோசைt 4 0 எனின்.
6. சார்பின் சார்பு.
2 = தி() என்பது 0 என்னும் மாறியின் ஒர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக ; g = f() என்பது 0 என்னும் மாறியின் சார்பாகிய 24 என்னும் மாறியின் ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக. ஆயின், g என்பது ஒரு சார்பின் சார்பாகும். ய விற்காக, a பற்றிப் பிரதி யிடுவோமாயின், g = f{தி (a)} என்னும் வடிவில் a இன் ஒரு சார்பாக g யைப் பெறுவோம்.
ய என்பது “ஐ’ என்னும் நிலையில் a ஐக் குறித்து வகையிடத் தக்கதாயும் f(a) என்பது “ 2 ” என்னும் ஒத்த புள்ளியில் 4 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கதாயும் இருந்தால், y என்பது ‘0’ என்னும் நிலையில் 3 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கது ; அதன் வகையீட்டுக் குணகம் f (2) X தி (a) ஆகும் , இங்கு f (2) என்பது 2 ஐக் குறித்த f (2) இன் வகையீட்டுக் குணகத்தையும், தி() என்பது 2 ஐக் குறித்த தி(2) இன் வகையீட்டுக் குணகத்தையுங் குறிக்கின்றன்.

நுண்கணிதம் 209
d t dи அதாவது 甚f(" = f'(и)x da
dy – dy, du da du da b என்பது 20 இன் h என்னும் எற்றத்திற்கு ஒத்த 2 வின் எற்றத்தைக் குறிக்க.
அதாவது k = db (a + h)-f(a).
அல்லது
ஆயின், h -0 جس aj و تا k - 0 ج ; 霹一? (c).
h என்பது பூச்சியமல்லாதபோது, k என்பது பூச்சியமன்றெனக் கொள்வோம் ; அதாவது, 20 இலே மாற்றம் இருக்கும்போது தி (0) இலும் ஒரு மாற்றம் உண்டெனக் கொள்வோம். இது ஆரம்பச் சார்பு களில் உண்மையாகும். இவ்வாறு கொள்ளுதல் & யினுற் வகுத்தற்கு இடந் தரும்.
2 வில் b என்னும் எற்றத்திற்கு ஒத்த f (2) என்பதின் ஏற்றம் f(t + k)-f(u) g(g).h.
f(u) என்பது a வைக் குறித்து வகையிடத்தக்கதாயிருத்தலால்,
.f”uجس۔ )f(u + k)-f(u)-f(u و g5 0ج- بk
30 ஐக் குறித்த g யின் எற்ற விகிதம்
f(u + k) - f(u)= f(u + k) - f(u)sk h ”赢
• تدريبي 0 جي. h و(2) " كلا (0) "f == *. 3 இன் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளப்பட்ட y யானது 2 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கது ; அதன் வகையீட்டுக் குணகம்
f'(c) x தி (a) ஆகும். dy dy X du dx du ` dx அதுபோல g என்பது % வின் வகையிடத்தக்க சார்பாயும், u என்பது 0 யின் வகையிடத்தக்க சார்பாயும், 0 என்பது 2 இன் வகையிடத்தக்க சார்பாயுமிருந்தால்,
அல்லது
dy dy i du t dy
der du so do “ dro உ-ம். சைன்Va என்பதை 3 ஐக் குறித்து வகையிடுக. y = சைன்Va எனின், g - சைன் வ;
இங்கு 24 = Vன.

Page 111
210 ஆரம்ப தூய கணிதம்
dydy du * * dat du ` da
=?*×5。 _கோசை Va
「2V高下
7. நேர்மாறு சார்பு.
g யானது g = f(a) என்னும் வடிவில் 2 இன் ஓர் ஒற்றைப் பெறு மானச் சார்பாய்த் தரப்பட்டால், a என்பது a = தி (g) என்னும் வடிவில் g யின் ஓர் சார்பாக உணர்த்தப்படல் கூடும். ஆயின், தி என்னுஞ் சார்பு f இற்கு நேர்மாறு சார்பெனப்படும்.
உதாரணமாக, g = a* ஆக, ல என்பது நேராயிருந்தால், 3=Vg.
அல்லது y = சைன் 2 ஆக, 30 ஆனது - என்பனவற்றிற்கு இடையில்,
(இரண்டும் உட்படக்) கிடந்தால், a - சைன்"g.
g = f(a) என்னுந் தொடர்பு 2 என்பதை a = தி (g) என்னும் வடிவில் g யின் ஒர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாக வரையறுப்பதாகுக. ஆயின், f'(a) என்பது * a * என்னும் நிலையிற் பூச்சியமாகாது இருப்பைக் கொள்ளு மெனின், தி (g) என்பதும் * y " என்னும் ஒத்த புள்ளியில் இருப்பைக் கொள்ளும் ; அது । என்பதற்குச் சமனகும்.
ಡಿ.೮ ! அதாவது dy dy'
dat h என்பது a இல் ஓர் எற்றத்தையும் b என்பது g யில் ஒத்த எற்றத்தையுங் குறிக்க.
y + k = f(a + h) ; ac + h = qb (y + k). 2 ஐக் குறித்த f (3) இன் ஏற்ற விகிதம்
f(a +h)-f(a)k 瓦飞 h
->f (2), h -> 0 ஆக, g யைக் குறித்த தி (g) யின் ஏற்ற விகிதம்
$ty + k) - ds(u),
k k
-- f'(c)
அதாவது k->0 ஆக.
, h-->0 gyas,

நுண்கணிதம் 21
" தி (g) என்பது உண்டு ; அது F। இற்குச் சமன்.
சைன்" ஐ இன் வகையிட்டுக் குணகம்.
g = சைன்"20 ஆகுக ; இங்கு நேர்மாறு சார்பானது தனது தலைமைப் பெறுமானத்தை, அதாவது - என்பனவற்றிற்கு இடையில், (இரண் டும் உட்படக்) கிடக்கின்ற தனிப்பெறுமானத்தை பெறுக.
ஆயின்,  ை- சைன்று
dac
.. dy - கோசை g;
-- y <3 எனின், அதாவது -1

Page 112
212 ஆரம்ப தூய கணிதம்
d. er "ly - – a (தான் قوط 1 = (هنية
உ-ம். 2. (சைன்")?V(1-8?) என்பதை t ஐக் குறித்து வகையிடுக.
d #Y2 -- #2) #{(@we။ t)*Ꮙ( 1 "}
d - . - .. ،ܘܢ d = -V/(l –”) (சைன்") + (சைன் *?)* «V/(1 — t*).
- சைன்" ஆயும் ? 4 1 ஆயுமிருந்தால்,
d du 2 சைன்" dit (u)= 2. سمسة 「V(Tエ 0 = (1 - ?) ஆயும் ? #1 ஆயுமிருந்தால்,
d v9 = ਕ dv — — — 22 di Y “ 2v/v dit 2v/(1 — too)” .. -1<< 1 எனின்,
นี้ {(சைன்")%A/(1-2)} = 2 சைன்" -"、
சார்பின் பராமான வகைக்குறிப்பு
a, g என்னும் இரண்டையும் t என்னும் ஒரு மாறுஞ் சாராமாறி யினுடைய சார்புகளாக உணர்த்துதலால் g என்பதைச் சாராமாறிபற்றி ை இன் ஒரு சார்பாகக் குறிப்பது சில வேளைகளில் இசைவாகும். உதாரண மாக, 2, g என்பன சி + g = 25 என்னுந் தொடர்பினுல் இணைக்கப் படும்பொழுது, ல = 5 கோச்ை t என்றும் g = 5 சைன் t என்றும் எழுதலாம். t இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும், மேலுள்ள தொடர்பு தீர்க்கப்படும்.
f(t), தி () என்பன t ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்கனவான a =f (3), y = தி () என்னும் வடிவுகளில் a, g என்பன t இனுடைய சார்புகளாய் இருக்கின்றன எனக் கொள்க. அச்சமன்பாடுகளுக்கு இடையே யை நீக்கினல், a, g என்பனவற்றிற்கிடையே ஒரு நேரான தொடர்பைப் பெறுவோம் ; p இது g யை 2 இன் சார்பாக வரையறுக்கின்ற தெனக் கொள்ளப்படலாம். y யானது இவ்வண்ணம் 2 இன் சார்பாகக் கொள்ளப்படும்பொழுது, 0 ஐக் குறித்த g யின் வகையீட்டுக் குணகம் (அது இருக்கும் பொழுதெல்லாம்) யினது நீக்கத்தைச் செய்யாமலே எழுதப்படலாமென்பதைக் காட்டுவோம்.
அப்பொழுது
da
di '(t).

நுண்கணிதம் 213
ஆகவே, யை 0 இன் ஒரு சார்பாகக் கொண்டால், f'(4) என்பது பூச்சியமன்றெனின், 器 என்பதற்கு இருப்பு உண்டு ; அது f(t) என்பதற்குச் சமனகும்.
ஆயின், t என்பது a இன் ஒரு சார்பாயிருக்க, y என்பது t இன் ஒரு சார்பாகும்.
dy dy dy X dit dit da dit ^ das de
dt φ (), φι = ட், f (t) 40 எனின்,
f (t) a என்பது ஒரு மாறிலியாக, a = aகோசை ,ே g - aசைன் t என் பனவற்றை எடுக்க, சைன் & 40 எனின்,
dg_ a கோசைt
= -Ga585 . da - a, சைன் i 西
பயிற்சி 19
1. பின்வருவனவற்றை 3 ஐக் குறித்து வகையிடுக :
a -- i. i W(ac + 1). ... ac(ac -Ꮠ- 1)* (i) (3 +十 (ii) (ac - 1) s (iii) (22' + 1)
ஒவ்வொரு வகையீட்டுக் குணகமும் பூச்சியமாகின்ற 20 இனுடைய பெறுமானங்களைக்
alsT67.
2. பின்வருவனவற்றை சீ யைக் குறித்து வகையிடுக :
சைன் + கோசை
ታ6ör“ኅ/{; ii) ー。一女ー; (i) 60శా67 -V (ii) சைன் - கோசை
ef63rt (iii) ————————--; (ty) சைன 3 கோசை 2 :
V (2+ கோசை)
F* (v) கோசை85'
3. பின்வருவனவற்றை g யைக் குறித்து வகையிடுக :
(t) தான்று சீகg ; (i) V(தான்று + சிகg) .s- $""ޝޫ iii) –z)
V/(1 +- 2 éFasy)
4. a ஐக் குறித்துப் பின்வருவனவற்றை வகையிடுக :
i) aypage.göl “” ac\ * ii) ( 市ー1va)* iii) რჭr " " 1 2
w r - 汗 コ |。 (i 1 -3 س ; (ii) (தான் a)”; (iii) srt தான
b, a = 2 கோசை + கோசை2 ஆயும் g = 2சைன் + சைன் 2 ஆயுமிருக்க, கோசை
3t dy 3. சைன் என்பன பூச்சியமல்ல வெனின், - - - கோதா 2 6T607 as sitt (85.
2 2 da

Page 113
214 ஆரம்ப தூய கணிதம்
கேத்திரகணித முறைக் கருத்து
f(a) என்பது 3 இனுடைய ஒரு குறித்த பெறுமான வீச்சிற்குள் (a < 0 < b என்க) 3 ஐக் குறித்து வகையிடத்தக்க ஒர் ஒற்றைப்பெறுமானச்
சார்பாகுக. y = f(a) என்னும் ү வகை y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான ஒரு கோடு அதனை ஒன்றின் மேற்
பட்ட ஒரு புள்ளியில் வெட்டாத வாறு தொடர்ச்சியுள்ள AB என்னும் ஒரு வளையியாம். P என்பது a ஐக் கிடைக்கூருகவுள்ள அவ்வளே கோட்டின் ஒரு புள்ளியாகுக. 0 என்பது a + h என்பதைக் கிடைக் கூருகவுள்ள அவ்வளையியின் ஒர்
O x அயற்புள்ளியாகுக ; இங்கு, h என்பது நேராய் அல்லது மறையாய் இருக்க லாம் ; ஆனல், அதற்கு மிகச்சிறிய எண்பெறுமானம் உண்டு. P யின் ஆள்கூறுகள் a, f(a) என்பன ; விென் ஆள்கூறுகள் a + b, f(a + b)
என்பன ; P2 என்னும் நாணின் சரிவு f(z+h)-f(e) ஆகும்.
இது ' என்னும் புள்ளியில், 2 ஐக் குறித்த் f(x) இன் ஏற்ற விகிதமாகும். h->0 ஆக, அல்லது டென்ன்பன P யோடு பொருந்தும்படி இயங்க PQ வின் சரிவு->f (2). அதாவது, எென்பது P யோடு பொருந்தும்படி இயங்க, P2 என்னும் நாண் f'(a) என்னுஞ் சாய்வோடு ஒரு குறித்த எல்லை நிலையை அணுகும். கேத்திரகணிதத்தில், இந்த எல்லைநிலையிலுள்ள P2 என்னும் நாண் அவ்வளையிககு P யிலுள்ள தொடலி என வரையறுக்கப்படும்.
ஆகவே, f'() என்பதற்கு அவ்வளையியின் ஒரு புள்ளியில் இருப்பு உண்டெனின், அப்புள்ளியில் அவ்வளையிக்கு g அச்சிற்குச் சமாந் தரமின்றிய ஒரு தொடலி உண்டு ; இத்தொடலியின் சரிவு f (a) ஆகும்.
g) - d. 1
a = 1 என்னும் புள்ளியில் g = a* + a + 1 என்னும் வளையியினது தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க ; அத்தொடலி மறுபடியும் அவ்வளை யியை வெட்டும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகளைத் துணிக.
gy == ag8 -+- ac2 -+- 1.
.. 影一 3a3 2 س+۔a.

நுண்கணிதம் 215
a = 1 என்பதில், a - 1, g = 3 ஆகும்பொழுது தொடலியின் சரிவு
ஆகும்.
(1, 3) என்னும் புள்ளியிலே தொடலியின் சமன்பாடு
g - 3 = 5 (3 - 1) அல்லது y=50 -2.
g - 50 -2 என்னும் கோடும் g = 3 + a + 1 என்னும் வளையியும்
ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகளினுடைய கிடைக்கூறுகள்,
2 -- ?5a جنسیت 1-a3–+ a2 -|F அல்லது a + 32-52 + 3 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
இது 0 இல் ஒரு முப்படிச்சமன்பாடு ; இதற்கு மூன்று மூலங்கள் இருக்கலாம் ; அதனிலுங் கூடியதொகை இருத்தல் இயலாது. ஆனல், ஒருவளையிக்கு ஒரு புள்ளியிலுள்ள தொடலி அவ்வளையியை அப் புள்ளியில் இரண்டு அல்லது இரண்டின் மேற்பட்ட பொருந்து புள்ளி களில் வெட்டுகின்றமையால், அம்முப்படிச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைந்த அள வில் ஒவ்வொன்றும் 1 இற்குச் சமனன இரண்டு பொருந்து மூலங்க மாாதல் இருத்தல் வேண்டுமென்பது பெறப்படும். இது எளிதாக வாய்ப் புப் பார்க்கப்படலாம்.
c* -- at? - 5 ac + 3 = as*(ac - 1) - - 2ac (ac - 1) - 3 (ac - 1)
(3 - ac2 -+- 2ag) (1 -- مa) == == (ac - 1)*(ac -- 3).
ஆகவே, அச்சமன்பாட்டிற்கு ஒவ்வொன்றும் 1 இற்குச்சமனன இரண்டு பொருந்து மூலங்களும் -3 என்னும் வேறெரு மூலமும் உண்டு. ஆகவே 2 =1 என்பதில் அவ்வளேயியினது தொடலி மறுபடியும் அவ்வளையியை ஐபா -3 என்னும் புள்ளியில் வெட்டும்.
உ- ம், 2.
a2+ y2 = a? என்னும் வட்டத் திற்கு அதன்மீதுள்ள )ath 1/% ܕ( என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொட லியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
A (a, g) என்பது அவ்வட்டத் தின்மீது ஒரு புள்ளியாகுக. A என்னும் புள்ளியிருக்கின்ற அவ் வட்டத்துச் சிறுவில்லொன்றின்மீது, y என்பது g = a*-a? என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்பட்ட 3 இன் ஒர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார் பாகும்.

Page 114
216 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2 - = (2.5 - مy) = (a)
d d dy dy କ୪fi, N” (ገ/2) == -` ̆ (ባ፤ዩ Z 27 سے இ 赢" ”ே* "di.
ـ ـ 69 م .
'ಸ 2”
.. அவ்வில்லின்மீது g 40 ஆன யாதுமொரு புள்ளி (a, g) யில் அவ்வட்டத்தினது தொடலி g அச்சிற்குச் சமாந்தரமின்றியது :
அதன் சரிவு mana y ஆகும். .. g, 40 எனின், A யிலுள்ள தொடலியின் சரிவு
.ஆகும் يته
t A இலுள்ள தொடலியில், சமன்பாடு,
2. - y =. -- (ac - ac) ց - 91 9/ l
அல்லது ct + y = 1*+ y. (2, g) என்பது a2+ g? - a? என்னும் வட்டத்தின்மீது கிடக் கின்றமையால், (a, y) இலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு, g 40 எனின், 23 + g = a* ஆகும்.
g = 0 எனின், அவ்வட்டத்தின்மீது A யிற்கு மிக்க அண்மையிலுள்ள (3, g) என்னும் புள்ளியை ஆராய்க. ஆயின், g, என்பது பூச்சியமன்று ; அதற்கு மிகச்சிறிய எண்பெறுமானம் உண்டு ; a, என்பது 3 இலிருந்து ஒரு மிகச்சிறிய கணியத்தால் வேறுபடும். B யிலுள்ள தொடலியின் சரிவு மிகப் பெரிய எண்பெறுமானமுள்ள - ஆகும். B என்பது A யோடு பொருந்துமாறு இயங்க, B யிலுள்ள திெடலியின் சரிவின் எண்பெறுமானம் 00 ஐ அணுகும்.
.. அவ்வட்டத்திற்கு A யிலுள்ள தொடலி y அச்சிற்குச் சமாந்தர மாகும்.
.. அதன் சமன்பாடு a -2= 0. 20 + g = a* என்னுஞ் சமன்பாட்டில் g = 0 எனப் பிரதி யிட்டால், aa-a = 0 என்பதைப் பெறுவோம். ஆனல், g = 0 எனின் a = a.
. அச்சமன்பாடு 21-29 = 0 அல்லது 2-2 = 0 ஆகும்.

நுண்கணிதம் 217
. அவ்வட்டத்தின் மீது யாதுமொரு புள்ளி (a, g) என்பதில் உள்ள தொடலி.
O3 تستمد /3/9 -- acac
என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
உ ம், 3. g?= 4aa என்னும் பரவளைவில் (a2, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(3, g) என்பன அப்புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகளாயின், =ை a*, g = 2at;
l லு ڑته{, }}
dy dit 2a, 1 .. O னி سیسہ تسبت سست ------ ہسپ۔۔ -ت= ................. و •
dac dac 2at t
dit
*#0 எனின், (at?, 2a) என்னும் புள்ளியிலுள்ள தொடலி
y-2 at = (a -at)
அல்லது ty = ac -- ato.
= 0 ஆகும்பொழுது, அப்பரவளைவின்மீதுள்ள ஒத்த புள்ளியினுடைய ஆள்கூறுகள் (0, 0) ஆகும். 6 என்பது மிகச்சிறிய ஒர் எண்பெறுமானம்
எனின் t - 6 என்னும் ஒரு புள்ளியில், சரிவு இ ஆகும். 8 0 ج۔
る以
ஆக, அதன் எண்பெறுமானம் முடிவிலியை அணுகும்.
ஆகவே, அவ்வளையிக்கு t = 0 என்பதிலுள்ள தொடலி ழ அச்சிற்குச் சமாந்தரம். அதன் சமன்பாடு a = 0 ; t = 0 ஆகும் பொழுது இது ty = 3 + a? என்னுஞ் சமன்பாட்டோடு ஒன்ருகும். ஆகவே, யாதுமொரு புள்ளி (a2, 2a) என்பதிலுள்ள தொடலியின் சமன்பாடு g - a + at? என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
a = a என்பதில் f(a) ஆனது தொடர்ச்சியுள்ளதெனினும், அது a=0 என்பதில் வகையிடத்தகாததாயிருக்கக் கூடுமென்று இதற்குமுன் கண்டுள்ளோம். இம்முடியின் கேத்திரகணிதவுரையானது ஒரு புள்ளிக் கூடாகச் செல்லுந் தொடர்ச்சியுள்ள ஒரு வளையிக்கு அப்புள்ளியில் ஒரு தொடலியும் இல்லாது போகலாம் என்பதே.
a என்பது a = 0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாயினும் அப்புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதன்று. ஆகவே, g = a என்னும் வளையி a = 0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனினும் அப்புள்ளியில் அதற்குத் தொடலியில்லை. அவ்வளையியின் வடிவம் ஆராயப்படும்போது இது

Page 115
28 ஆரம்ப தூய கணிதம்
விளக்கப்படும். a = (a)? ஆயிருத்தலால், a = b ஆகும்பொழுதும், a = -k ஆகும்பொழுது g யிற்கு ஒரே பெறுமானம் உண்டு. ஆகவே, அவ்வளையி y அச்சுப்பற்றிச் சமச்சீருள்ளதாகும். 0 = 0, g = 0 ஆயும், ல 740 ஆயுமிருக்கும்பொழுது g என்பது நேராகும். ஆகவே அவ்வளையி உற் பத்திக்கூடாகச் செல்லும்; அது உற்பத்தியிலிருந்து செல்லும் இரண்டு கிளைகளால் அமையும் ; ஒரு கிளே முதற் காலியிலும் மற்றையது இரண்டாங் காலியிலுமாகக் கிடக்கும்.
முதலாங் காலியிலுள்ள கிளையின்மீது உற்பத்திக்கு மிக்க அண்மையில் P என்னும் ஒரு புள்ளியை எடுக்க.
P யின் கிடைக்கூறு b ஆயின், அதனுடைய நிலைக்கூறு k ஆகும். h ->0 ஆக, அதாவது P என்பது 0 ஒடு பொருந்தும்படி இயங்க, OP யின் சரிவு --> OXO. ஆகவே, முதலாங் காலியிலுள்ள கிளைக்கு உற்பத்தியில் g அச்சே தொடலியாகும். சமச்சீரால் அதே உடைமை மற்றைக்கிளேக்கும் உண்மை Y யாதல் வேண்டும். இவ்வண்ணம் 0 விற் சந்திக்கின்ற இரண்டு கிளைகளுள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உற்பத்தியில் g அச்சே தொடலியாகும் ; அவ்வளையி P முழுவதுமாக எடுக்கப்பட அதற்கு உற்பத்தியில் ஒரு தொடலியும் இல்லை O என்பது எளிதிற் புலனுகும். ஒரு கிளையின்மீது 0 விற்கு அணித்தாக ஒரு புள்ளி P யையும் மற்றைக் கிளையின்மீது 0 விற்கு அணித்தாய் ஒரு புள்ளி 0 வையும் எடுத்தோமாயின், P, 0 என்பன 0 வோடு பொருந்துமாறு இயங்க, P2 என்னும் நாண் ஒரு குறித்த எல்லை நிலையை அணுகாது.
வகையீடு.
g =f(a) என்பது a இன் வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பாகுக. a இன் ஒரு சிறிய மாறும் எற்றம் 60 ஆற் குறிக்கப்படுக ; f(a) இலுள்ள ஒத்த சிறிய ஏற்றம் 6f என்பதனற் குறிக்கப்படுக. 60 என்னுங் குறியீடு 0 இன் மாறும் எற்றத்திற்காக வழங்கப்படுகின்ற போதிலும் அவ்வேற்றத்தின் மாறலை எடுத்து நோக்கின் "a" ஐச் சாராது.
ôf = f'(ac -- ôc) -f (ac)
if (ac + ôac) -f (ac)
'ம' என்னும் புள்ளியில் ஏற்றவிகிதம் 8

நுண்கணிதம் 219
(f (aجـأة
2 و glis 0 ج - 8ac
盤ーre)+7 ۃa? -0جس gڑd5, 71 0 جـ
δf = {j (α) -- η} δα = j (α)δα + η δα. f'(a) 60 என்னும் உறுப்பிற்கு 60 என்னும் ஒரு சிறுகணியமே அதன் சினையாக இருக்கும் ; ஆனல் m Sa என்னும் உறுப்பு இரு சிறு கணியங்களின் பெருக்கமாகும். f'(x) 60 என்பது முதலாம் வரிசையிலுள்ள ஒரு சிறு கணியமென்றும், m60 என்பது இரண்டாம் வரிசையிலுள்ள ஒரு சிறு கணியமென்றும் கூறுகின்றேம். f'(a) Sa என்பது 'a' என்னும் புள்ளியில் 60 என்னும் ஏற்றத்திற்கு ஒத்த f(a) இன் வகையீடு என வரையறுக்கப்படுகின்றது ; அது df என் பதனற் குறிக்கப்படுகின்றது.
άf = f(α) δα.
இவ்வண்ணம் வரையறுக்கப்பட்ட f(a) இன் வகையீடு a, 60 என்னும் இரண்டு பராமானங்களைச் சார்கின்றது.
இப்போது, 0 என்பதே 20 இன் ஒரு சார்பெனக் கொள்ளப்பட்டால் அதன் வகையீட்டுக் குணகம் 1.
f(x)=a எனின், f'(x)=1; ஆகவே, a இன் வகையீடு 1. 8ac=da.
இவ்வண்ணம் வகையீட்டின் வரைவிலக்கணத்தின்படி, 0 என்பது பராமானயாயிருக்கும் பொழுது da=6ல.
". f(a) என்பது பராமானம் 2 இன் வகையிடத்தக்க யாதுமொரு சார்பாயிருக்கும்பொழுது,
df = f'(a)da. .. f'(a) என்பது df, da என்பனவற்றின் விகிதமாகும்.
- , di அல்லது f(x) = .
2 ஐக் குறித்த 3 இன் சார்பின் வகையீட்டுக் குணகத்தை வரை
d யறுத்தபோது, a இன் வகையீட்டுக் குணகத்தை άα (a) என்பதாற்
d குறித்தோம் ; இங்கு என்பது வகையிடுஞ் செயலைக் குறிக்குங் குறி
யீடு. இப்போது வகையீட்டுக் குணகமானது df da என்பனவற்றின் விகிதமாகக் கொள்ளப்படுமாறு d, da என்பனவற்றிற்குக் கருத்துக் கொடுத்துள்ளோம்.

Page 116
220 ஆரம்ப தூய
கணிதம்
df, S என்பனவற்றின் வேறுபாடு பின்வருமாறு கேத்திரகணித
முறைப்படி விளக்கப்படலாம்.
ty
6 组 ~ X
MT f(r)=茂エー .. df–MT
dac dac '
... dj = MT.
go96ò, òf=òy = MQ.
P என்பது g =f(x) என்னும் வளேயியின் மீதுள்ள (a, g) என்னும் புள்ளியாகுக ; (2(a + ba, у + ӧу) என்பது அவ்வளை யியின் மீதுள்ள ஓர் அயற்புள்ளி யாகுக. PM, QM என்பன a, ழ அச்சுக்களுக்கு முறையே சமாந்தர மாக வரையப்பட்டால், PMய 60, M0 - 6து. அவ்வளையிக்கு P 2யிலுள்ள தொடலி 10 வை T யிற் சந்தித்தால்,
அதாவது, 20 இல் PM என்னும் எற்றத்திற்கு ஒத்த f(a) இன் வகையீடு MT ; 2 இல் அதே ஏற்றத்திற்கு ஒத்த f(x) இன் ஏற்றம் M0.
2, 0 என்பன 2 இனுடைய வகைபிடததக்க சார்புகளாயின்,
d(au, —4- v) -:ಲ
da da "da"
d(uv) – du , dv
da 气”器十“孟” d() du de v/- dat dat da ზ)?
இரு பக்கங்களையும் ல் ஆற் பெருக்கினுல்,
d(и -+- ) = dи -+- dv,
d(ии) = odи —+ иdv, d ( - vdu - udv
び*
 

நுண்கணிதம் 22
மீட்டும் மீட்டும் வகையிடுதல்.
f(a) என்பது 3 இன் வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பாயும், அதன் வகை பீட்டுக் குணகம் f'(a) என்பதும் வகையிடத்தக்க ஒரு சார்பாயும் இருந்தால், f(a) என்பது a ஐக் குறித்து இரண்டாம் வரிசைக்கு வகையிடத்தக்க சார்பெனப்படும் ; f'(a) இன் வகையீட்டுக் குணகம் f"(a)
d?f
d \2 அல்லது (i)r அல்லது daقن என்பதாற் குறிக்கப்படும். இதனிலும்
உயர்ந்த வரிசைகளினுடைய வகையீட்டுக் குணகங்கள் இதனேடொத்த வழியில் வரையறுக்கப்படலாம்.
340 ஆயும், p என்பது ஒருமாறிலியாயுமிருக்க, if(a) = ar” GT6ðf6ö7, f'(a)=paro 1, f'"(a)=p(p — 1)aco ?, ர்"(a)=p(p-1)(p -2)a"8. இவ்வாறே பிறவும் ; பொதுவாக f'(a)=p(p-1)(p -2) . . . . (p - n+1)?". இங்கு f'(a) என்பது f(a) இன் 7 ஆம் வகையீட்டுக் குணகத்தைக் குறிக்கின்றது.
f(a)=சைன் a எனின், f'(x)=கோசை a, f'(a)= -சைன் a,
. . . . பொதுவாக f'(x)=சைன் (r+ ?፬ 2).
f(x)=கோசை a எனின், f(a)-கோசை (+2).
f(a) = (エ)-(*+"" எனின்,
f'(a)= -1.2 (2a+1), f'(a)=(-1)(-2).2°(2a+1).
LS S 0SL S 0SL S LSL S SLSL SL S S S L S S SL L SL S L S S S S S S LS LL LS S S SS S SS SLS
பொதுவாக, f'(x)=(-1) (- 2) . . . . (-m).2{2a+1)-7-1
(-1)"n! 2" lyi-Fi --22( بیبیسیم: 3= a* ஆயும், y = 2at ஆயுமிருந்தால்,
dy dy di 1 do do ι

Page 117
222 ஆரம்ப தூய கணிதம்
. doy - d /1\_d/l dt *蕊下忒F厂忒F川*动
ll l " " " ഉt "' 28
doy கவனிக்க : doy என்பது di2. என்பகற்கச் சமனின்
" dat as: தறகு Ա)] •
dţa
பயிற்சி 19
1. மு- (சைன் "a) எனின்
dy dy (1 - α') dari 一”孟=2 6T607 SITGB5.
2. g=சைன் V எனின்,
4.' 十 e dy +g=0 எனக் காட்டுக.
2 doc
3. க என்பது ஒரு மாறிலியாயும், t என்பது ஒரு மாறியாயுமிருக்க
=ை0 (+சைன் ) ஆயும், g=a (1 - கோசை )ே ஆயுமிருந்தால்,
என்பது T இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது,
day 1
-: : - சீக* - எனக் காட்டுக. dack 4 2
4. ம = கோசை ஆயும், y = 2 சைன் ஆயுமிருந்தால்,
de go αυ + 18 = 0 எனக் காட்டுக.
fe
5. A, B என்பன ஐஐச் சாராதிருக்க (2ல*+30+1) - என்பதை A (2ac + 1) = 1 --B (ac + 1) - 1 என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தலால், (2ல?+32+1)" என்பதன் n ஆம் பெறுதிக்கு ஒரு கோவையைப் பெறுக.

அத்தியாயம் 3
வகையீட்டுக் குணகக் குறி
f(a) என்பது a=0 என்பதில் வகையிடத்தக்கதாகுக.
ஆயின், h->0 ஆக, [+ಙ್ಗ-la - f(α).
ஆகவே, f'(a)>0 எனின், எல்லா h இனுடைய போதுமானளவு சிறிய எண்
பெறுமானங்களுக்கும் flat-se) என்பது நேராகும்;
அதாவது, - k, k என்பனவற்றிற்கு இடையில் n இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் [+ಸ್ವಿ-iia) > 0 ஆகுமாறு ஒரு நேரெண் k
யைக் காணல் கூடும்.
.. - K 0 ஆகும் பொழுது f(a +h)-f(a)>0, h-0 gigsth GuiT(pg., f(a+h)-f(a)<0. அதாவது, a என்பது a என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து யாதுமொரு மிகச் சிறிய கணியத்தால் உண்மையாகக் கூடினல், f(a) என்பதும் f(a) என்பதிலிருந்து உண்மையாகக்கூடும் ; a என்பது a என்னும் பெறு மானத்திலிருந்து ஒரு மிகச் சிறிய கணியத்தாற் குறைந்தால், f(a) என்பதும் f(a) என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து அவ்வாறு குறையும்.
இனி, b>a ஆயிருக்க, a, b என்பனவற்றிற்கிடையே (இரண்டும் உட்பட) a இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் f (2)>0 எனக் கொள்க. ஆயின், 2 என்பது இவ்வீச்சிற்குள் யாதுமொரு பெறுமானத்திற் கூடாக உண்மையாகக்கூட, f(a) என்பதும் உறுதியாகக் கூடும். ஆகவே, 20 என்பது a யிலிருந்து b யிற்குக்கூட f(a) என்பதும் f(a) இலிருந்து f(b) யிற்கு உறுதியாகக் கூடும்.
f' (a) என்பது (a, b) யில் 2 இனுடைய பெறுமானங்களின் ஒரு குறிக்கப்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாயிருக்கும்பொழுதும் 30 இனுடைய மற்றைப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் நேராயிருக்கும்பொழுதும் இம்முடிபு உண்மையாகுமென்பது f(a) இனது தொடர்ச்சியிலிருந்து எளிதிற் காணப்படும்.
a, b என்பனவற்றிற்கிடையில் a = 0 என்னும் ஒரு புள்ளியில் f'(a) = 0 என்றும், எனைய இடங்களில் f (3) என்பது நேரென்றுங் கொள்க. ஆயின், 20 என்பது a யிலிருந்து C யிலுங் குறைந்த
223

Page 118
224 ஆரம்ப தூய கணிதம்
யாதுமொரு பெறுமானத்திற்குக்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக்கூடும். f(a) என்பது a=0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாயிருத்தலால், 3 என்பது a யிலிருந்து C யிற்குக்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடுமென்பது பெறப்படும். மறுபடியும், 0 என்பது C யிலும் பெரிதான யாதுமொரு பெறுமானத்திலிருந்து b யிற்குக்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடும். ஆகவே, C யிலுள்ள தொடர்ச்சியால், 2 என்பது C யிலிருந்து b யிற்குக்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக்கூடும். ஆகவே, 2 என்பது a யிலிருந்து b யிற்குக்கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடும். f'(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதில் இருப்பு இல்லாதபோதிலும் f(a) என்பது a = 0 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனின், இந்நியாயம் பொருந் தும்.
a, b என்பனவற்றிற்கிடையில் ஒரு குறிக்கப்பட்ட தொகையான புள்ளி களில் f(a)=0 எனின், ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதே நியாயம் பொருந் தும்.
a4046 ஆக எல்லா 2 இற்கும் f'(a)>0 ஆக, (a, b) யில் ஒரு முடிவுள்ள தொகையான புள்ளிகளிலேயே f'(a) என்பது பூச்சியமாயிருந் தால், 2 ஆனது a யிலிருந்து b யிற்குக்கூட f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடும்.
இனி, f'(a)<0 எனக் கொள்க. ஆயின், h இனுடைய போதுமானளவு சிறிய எண் பெறுமானங்கள் எல்லா
f(a+h)-f(a) h அதாவது, - k, k என்பனவற்றிற்கிடையில் எல்லாம் இற்கும் f(a+h)-f(a),
h என்பனவற்றிற்கு முரண்குறிகள் இருக்குமாறு ஒரு நேரெண் k என்பதைக் காணல் கூடும்.
என்பது மறையாகும்.
வற்றிற்கும்
". - k0 gsgubGun (pg f(a--h) - f(a)<0,
h<0 ஆகும்பொழுது f(a+h)-f()>0. ஆகவே, 2 ஆனது a என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து யாதுமொரு மிகச் சிறிய கணியத்தாற் கூட, f(a) ஆனது f(a) என்பதிலிருந்து குறையும் ; 2 ஆனது a யிலிருந்து ஒரு மிகச் சிறிய கணியத்தாற் குறைய, f(a) ஆனது f(a) இலிருந்து கூடும்.
aSaSb ஆக எல்லா 2 இற்கும் f'(a)S0 ஆக, (a, b) யில் ஒரு
முடிவுள்ள ஒரு தொகையான புள்ளிகளிலேயே f'(a) என்பது பூச்சிய மாயிருந்தால், a ஆனது a யிலிருந்து b யிற்குக்கூட f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையுமென்பது முன்போல அதே நியாயத்தாப் பெறப்படும்.
2 ()-d) 1. a7606017 adl glas, la எனக் காட்டுக.

நுண்கணிதம் 225
f(x) = 1 ஆகுக.
t 1--a-2a. - at 6 TG6QXGô)T 2>1 ஆக, f'(x) = " )1+a1) """ 2(2م-+-a2(% <0.
b என்பது 1 இலும் பெரிதான யாதுமோர் எண்ணுயின்,
11 ஆக, f(a)<. உ-ம் 2. 2>0 ஆக, 2 ஆனது ஆரையனிலுள்ள கோணமாயின்,
aca
22 கோசை a>1 - 2 என்றும், சைன் a > 0 - 6 என்றுங் காட்டுக.
ერ* 1 - என எடுக்க,
2
எல்லா a இற்கும் f'(x)= -சைன் 2+3 >0.
.. k என்பது யாதுமொரு நேரெண்ணுயின்,
ஆனல் 2 = 0 ஆகும் பொழுதே
f(a) = கோசை a - (
0s a ski 6T657Lugdi) f'(a) so. f'(x) = 0.
a ஆனது 0 இலிருந்து b யிற்குக்கூடும்போது, f(a) என்பது உறுதி யாக அதிகரிக்கும்.
f(0) = 0. ", b> 0 ஆகும் பொழுது f(c)>0.
°. a > 0 ஆகும் பொழுது கோசை a >1- U இனி, φ (2) - சைன்ஸ் -( -) ஆகுக'.
翁 எல்லா 2>0 ஆக தி'(x) = கோசை ஐ- (
", a ஆனது 0 இலிருந்துகூட, தி (a) என்பது உறுதியாகக் கூடும்.
d5(o) = 0. '. 2>0 ஆகும்பொழுது, தி (a)>0.
அதி ாவது ac>0 ஆகும்பொழுது 600&F6ö7 ac> ac - 6

Page 119
226 ஆரம்ப தூய கணிதம் மாற்ற வீதமாகக் கொள்ளப்படும் வகையீட்டுக் குணகம்.
f() என்பது t என்னும் மாறியின் ஒரு சார்பாகுக.
b ஆனது a யிலிருந்து a + b என்பதற்கு h என்னும் ஒரு நேர்க் கணியத்தாற் கூட, அச்சார்பின் எற்றம் f(a +h)-f(a) ஆகும் ; இது நேராய் அல்லது மறையாய் இருக்கலாம்.
a என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து ஆனது ஒவ்வோர் அலகாற் கூடுதலுற, அச்சார்பின் சராசரி ஏற்றம் Дан-Ло). ஆகும்.
() என்பது t = 0 என்பதில் வகையிடத்தக்கதாயின், f'() என்பது a என்னும் பெறுமானத்திலிருந்து t ஒவ்வொரு அலகாற் கூடுதலுற f() கூடும் வீதத்தைக் குறிக்கும் , இங்கு, குறைதலை மறைக் கூடுதலாகக் கொள்ளும் வழக்கம் மேற்கொள்ளப்படும்.
f'() என்பது “e” என்னும் பொதுப் பெறுமானத்திலிருந்து யின் ஒவ்வோர் அலகுக் கூடுதலுக்கும் f(p) யின் கூடுதல் வீதத்தைக் குறிக்கும். இக்கூடுதல் வீதம் b யின் ஒரு சார்பாய், எல்லா b யிற்கும் f'() என்பது மாறதிருக்குஞ் சிறப்பு வகையிலன்றி, யோடு மாறும் ; A, B என்பன மாறிலிகளாயிருக்க, At + B என்னும் வடிவத்தில்
யின் ஒரு படிச் சார்பாய் f(p) இருக்கும்போது இது நிகழும்.
OX என்னும் நேர்கோட்டின் வழியே இயங்கும் ஒரு துணிக்கையை ஆராய்க, S என்பது t என்னும் நேரத்தில், 0 விலிருந்து அத்துணிக்கை யினது தூரமாயின், S என்பது b யின் ஒரு சார்பாகும். S=f(t) ஆகுக. h என்பது ஒரு சிறு நேர்க்கணியமாக, t+h என்னும் நேரத்தில் 0 விலிருந்து அத்துணிக்கையினது தூரம் f(c+h). அத்துணிக்கை h என்னுஞ் சிற்றிடை நேரத்திற் சென்ற தூரம் f(t+h)-f(t); அத்துணிக்கையின் இயக்கத்திசை இச்சிற்றிடைநேரத்தில் 0X அல்லது XO வழியே 6Jfblu, f(t + h) - f(t) என்பது நேர் அல்லது மறையாகும். இந்நேரத்தில் அத்துணிக்கையின் சராசரி வேகம் лну-ло ஆகும் ; h->0 ஆக, இக்கோவையின் எல்லை t என்னும் நேரத்தில் அத்துணிக்கையின் வேகத்தைத் தரும்.
ஆகவே, என்னும் நேரத்தில் அத்துணிக்கையின் வேகம் f'(). f' (t)>0 எனின், t என்னும் கணத்தில் அத்துணிக்கையின் இயக்கத் திசை OX வழியே இருக்கும்.
f'()<0 எனின், இயக்கத்திசை XO வழியே இருக்கும். f'(t)=0எனின், t என்னும் நேரத்திற் கணப்பொழுதிற்கு நிலையாக இருக்கும்.

நுண்கணிதம் 227
(உ-ம்) 1. AOB என்னும் ஒரு நேர்கோட்டின் வழியே ஒரு துணிக்கை t என்னும் நேரத்தில் 0B என்னுந் திசையில் 0 என்னும் நிலை யான ஒரு புள்ளியிலிருந்து அளக்கப்பட்ட தூரம் 2 சைன் ஆகுமாறு இயங்குகின்றது. அத்துணிக்கையின் இயக்கத்தை ஆராய்ந்து கூறுக.
A x O X B
சைன் t இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் 1 ஆயும் மிகச்சிறிய பெறு மானம் -1 ஆயுமிருத்தலால், X என்பது 0B வழியே 0 விலிருந்து 2 அலகுத் தூரத்திலும், X' என்பது OA வழியே 0 விலிருந்து 2 அலகுத் தூரத்திலும் உள்ள X'OX என்னுங் கோட்டின் பகுதிக்குள் அத்துணிக்கையின் பாதை அடங்கும். 0B என்னுந் திசையில் 0 விலிருந்து அத்துணிக்கையினது தூரம் 2 சைன் ஆகும்.
ஆகவே, 0B என்னுந் திசையில் t என்னும் நேரத்தில் அத்துணிக்கை
யின் வேகம் (2 சைன்) = 2 கோசை b.
dit
0<<{ ஆகும்பொழுது, கோசை t என்பது நேராய் என்பது கூடுதலுற உறுதியாகக் குறைதலுறும்.
t=0, t = , என்பனவற்றிற்கு இடையேயுள்ள நேரத்தில், அத் துணிக்கை 0 விலிருந்து X இற்கு உறுதியாகக் குறையும் வேகத்தோடு இயங்கும். X என்னும் புள்ளியில், t =; அத்துணிக்கையின் வேகம் பூச் சியமாகும் ; அது கணநிலைக்கு ஒய்வில் இருக்கும்.
t>, ஆகும்பொழுது, வேகம் மறையாகும் ; ஆகவே, அத்துணிக்கை
கணநிலையாக X இல் ஒய்வில் இருந்ததன்பின், XO என்னுந் திசையில் இயங்கத் தொடங்கும். t = 7ா ஆகும்பொழுது அது மறுபடியும் 0 வை அடையும். > 7 ஆகும்பொழுது, 2 சைன் t என்பது மறையாகும் ; ஆயின், அத்துணிக்கை OX' வழியே இயங்கும்.
t = ஆகும்பொழுது, வேகம் மறுபடியும் பூச்சியமாகும் ; ஆகவே, அத்
துணிக்கை X இல் ஒய்வில் இருக்கும். 牛響 ஆகும்பொழுது 2 கோசை !
என்பது நேராகும் ; ஆக, அத்துணிக்கை X'O வழியே இயங்கி
= 2ா ஆகும்பொழுது 0 வை அடையும்.

Page 120
228 ஆரம்ப தூய கணிதம்
t= 0, t= 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள இயக்கம் t = 2ா, t= 4ா என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் அதன்பின் = 4ா, t = 6ா என்பன வற்றிற்கு இடையிலும் மறுபடியுஞ் செய்யப்படும். இவ்வாறே பிறவற்றிற்கு இடையிலுஞ் செய்யப்படும்.
(உ-ம்) 2. என்னும் அரையுச்சிக் கோணமுள்ள நேர்வட்டக்கூம்பு வடி
வமான ஒரு பெரிய பாத்திரமானது தன்னுச்சி கீழ்முகமாகவும் அச்சு நிலைக்குத்தாகவும் இருக்க, அதற்குள்ளே செக்கனுக்கு 10 கன சதமமீற்றர் என்னும் வேகத்திலே நீர் ஊற்றப்படுகின்றது. அதற்குள்ளே உள்ள நீரின் உயரம் 5 ச மீ. ஆகும் கணத்தில், அந்நீர் செக்கனுக்கு எவ்வளவு உயரங் கூடுகின்றதெனக் காண்க.
h ச மீ. என்பது t செக்கனின் அப்பாத்திரத்திலுள்ள நீரின் உயர மாகுக. ஆயின் நேரம் t யில் அப்பாத்திரத்திலுள்ள நீரின் கனவளவு
ாh?h அல்லது rh* கன சமீ. -
ஆகவே அக்கனவளவு செக்கனுக்குக் கூடும் வீதம்
d d dh 孟(最7*)=協(7*)×荔
dh * --۔ 12 سیسیہ --سم سے = 7Th dt లై இவ்வீதம் எல்லா t இற்கும் சமஞகிச் செக்கனுக்கு 10 கன சமீ. ஆகும்.
dh سست سن. 2 7th dt " O
... seat Small = ... 6 FG)6)IT றகும dit i 7Th
h ஆளுல்ை, t என்பது செக்கனுக்கு h கூடும் வீதமாகும்.
ஆகவே, h=5 ஆகுங் கணத்தில், h கூடும் விகிதம் செக்கல்ைக ! அல்லதுச் சமீ சக்கனுக்கு த அல்லது ச.மீ.
பயிற்சி 20
a 4
2 a. 1. ம>0 ஆகும்பொழுது l- < கோசை 2<1 - 2 -- 24 எனக் காட்டுக ; 2 < 0 ஆகும்
பொழுதும் அச்சமனிலிகளே உண்மையாகுமென்றுங் காட்டுக. ეფმ ეკმ ფნ 2. >ை0 ஆகும்பொழுது a- < தான் " ை~ல - 3. -- எனக் காட்டுக.

நுண்கணிதம் 229
2 3. ac 60751 ச்சியத்திலிருந்து கூட --- என்பது உறுதியாகக் கூடும் எனக்
一岛 يا as ருந *W (ac + 1) Ա) காட்டுக.
--- 0 விலி டுமென்றும்
- Li) a LfD (a?--1)? என்பது ருந்து -v3 இற்கு 3 கூட உறுதியாகக் கூ Աl
அதன்பின் v/3 இலிருந்து 2 கூட அது உறுதியாகக் குறையுமென்றுங் காட்டுக.  ைஇனு
டைய மெய்ப்பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அச்சார்பின் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தை உய்த்தறிக.
5. 2>1 ஆகும்பொழுது, (ac + இன் மிகச்சிறிய பெறுமானம் 27 எனக் காட்டுக.
صسے
arł 6. a1 + چ என்பது -1 இலும் மட்டாகப் பெரிதான யாதுமொரு பெறுமானத்திலிருந்து
பூச்சியத்திற்கு  ைகூட உறுதியாகக் குறையும் என்றும் அதன்பின் 0 இலிருந்து 2 இற்கு 2 கூட அது உறுதியாகக் கூடுமென்றும், இறுதியாக 2 இலிருந்து  ைகூட, அது உறுதியாகக் குறை யுமென்றுங் காட்டுக.
2. 2冗,4冗 7. மீ என்பது 0, 3. என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் 3 3 என்பனவற்றிற்கு
�08Fତ୪t t;
-- 67667L 1 - 2 கோசை t து
4 இடையிலும், , 27 என்பனவற்றிற்கும் இடையிலுங் கூட,
உறுதியாகக் கூடும் எனக் காட்டுக.
8. r என்பது தந்த நேர் மாறிலியாகவிருக்க, p0" என்பது மாருதிருக்குமாறு ஒரு வாயுவினுடைய அமுக்கம் p யும் கனவளவு 0 யும் மாறுகின்றன. 9 ஒவ்வோர் அலகாற்
r கூட p என்பது குறையும் விகிதம் p எனக் காட்டுக.
ty
9. ஒரு துணிக்கையானது 0 என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து புறப்பட்டபின் செக்கனில் 0 விலிருந்து அதனுடைய தூரம் V/(1 +-te) அடியாகுமாறு 0 விலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிலே செலுத்தப்படுகின்றது. அத்துணிக்கை ஒரு செக்கனுக்கு மாத்திரம் 0 விலிருந்து அதன் மறைமுகமாக இயங்குமென்றும் ஒரு செக்கனுக்குப்பின் O வின் முகமாக அது இயங்குமென்றுங் காட்டுக. அது 0 வின் முகமாக இயங்கும்போது, அது அடையும் மிகப் பெரிய வேகஞ் செக்கனுக்கு 2/34/6 அடி என்றுங் காட்டுக.
10. ஒரு பலூனனது தன் வடிவம் என்றுங் கோளவடிவாயிருக்குமாறும் தனக் குள்ளேயுள்ள கனவளவு ஒரு மாருத வீதத்தோடு கூடுமாறும் விரிகின்றது. அவ்வாயுக் கூண்டின் பரப்பின் பரப்பளவு கூடுகின்ற வீதம் அதன் ஆரைக்கு நேர்மாறு விகிதசமமாகுமெனக் காட்டுக. அக்கனவளவு கூடுதலின் மாருவீதஞ்செக்கனுக்கு 2 கன ச மீ. ஆயின் அவ்வாயுக் கூண்டின் ஆரை 4 ச மீ. ஆயிருக்கும்பொழுது, அப்பரப்பின் பரப்பளவு கூடும் வீதஞ் செக் கனுக்கு 1 சது. சமீ. எனக் காட்டுக.

Page 121
230 ஆரம்ப தூய கணிதம்
உயர்வுப் பெறுடிானமும் இழிவுப் பெறுமானமும்,
f() ஆனது a இன் ஓர் ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பாகுக. 0-6, a + b என்பனவற்றிற்கு இடையில் a அல்லாத 3 இனுடைய பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் f(a)f(a) ஆகுமாறு, 6 என் பதைக் காண்போமாயின், a = a என்பதில் f(a) ஆனது இழிவுப் பெறுமானத்தை அடையுமெனப்படும்.
அல்லது, a என்னும் பெறுமானத்தை உள்ளடக்கிய 0 இனுடைய பெறுமானங்களின் ஒர் ஆயிடையைfஅவ்வாயிடைக்குள்ளேயுள்ளன. இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில் f(a) ஆனது தன் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தை அடையுமாறு காண்போமாயின், f(a) ஆனது a=0 என்பதில் இழிவுப் பெறுமானம் உள்ளது.
உயர்வு, இழிவு என்பனவற்றைப் பற்றிய இவ்வரைவிலக்கணங்களால், ஒரு சார்பிற்கு ஒன்றின் மேற்பட்ட உயர்வும் ஒன்றின் மேற்பட்ட இழிவும் இருக்கலாமென்பது தெளிவு. அதற்கு உயர்வோ இழிவோ எங்காயி னும் இல்லாதும் விடலாம். உதாரணமாக, 0 என்பது மெய்ப்பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்குமூடாகக் கூட, உறுதியாகக் கூடும் ஒரு சார்பிற்கு உயர்வோ, இழிவோ இல்லை.
f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வு இருந்தால், 20 இனு டைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில் f(a) ஆனது தன் மிகப்பெரிய பெறுமானத்தை அடையுமென்பது பெறப்படாது. f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஓர் இழிவு இருந்தால், 20 இனுடைய பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a = a என்பதில், f(a) ஆனது தன் மிகச் சிறிய பெறுமானத்தை அடையுமென்பது பெறப்படாது. f(a) இன் ஓர் உயர்வுப் பெறுமானம் 3 இனுடைய பெறுமானங்களின் வரைவுபடுத்தப் பட்ட ஒரு வீச்சிற்குள்ளே மாத்திரமுள்ள f(x) இன் மிகப்பெரிய பெறு மானம் ; f(a) இன் ஓர் இழிவுப் பெறுமானம் 2 இனுடைய பெறு மானங்களின் வரைவுபடுத்தப்பட்ட ஓர் வீச்சிற்குள்ளே மாத்திரமுள்ள f(a) இன் மிகச் சிறிய பெறுமானம்.

நுண்கணிதம் 23.
f'(c) என்பது உண்டெனின், a = a என்பதில் உயர்வோ இழிவோ
இருத்தற்குத் தேவையான நிபந்தனை f'(c) = 0 என்பதே. அதாவது, f (a) என்பதற்கு இருப்பு இருக்க, f(a) என்பதற்கு 2 - 0 என்பதில் ஒர் உயர்வோ, இழிவோ இருந்தால், f'(a)-0.
f'(a)>0 எனக் கொள்க. ஆயின், h இன் எண் பெறுமானம் போதிய சிறு நேர்க்கணியம் ஒன்றி லுஞ் சிறியதாயிருக்கும்போது,
hd0 6Toofait, f(a -- h) > f(a), h C0 616ofigã7, f(a -- h) < f(a). f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் உயர்வு இருந்தால், முதலாம் சமனிலி உண்மையாகாது ; f(a) என்பதற்கு 3 = a என்பதில் ஓர் இழிவு இருந்தால், இரண்டாஞ் சமனிலி உண்மையாகாது.
ஆகவே, f(a) என்பதற்கு 0 = 0 என்பதில் ஓர் உயர்வோ இழிவோ உண்டெனின், f'(a) என்பது நேராகாது. அதுபோல, அது மறையாகாது. ஆகவே, அதற்கு இருப்பு உண்டெனின், அது பூச்சியமாதல் வேண்டும்.
f'(a) என்பதற்கு இருப்பு இருந்தாற்றன் அது பூச்சியமாகும் என்பதை நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும். f'(c) என்பதற்கு இருப்பு இல்லாத போதிலும் a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வோ, இழிவோ இருக்கலாம். உதாரணமாக, f(x)=a=(a) என்பதை எடுக்க.
040 ஆகும்பொழுது, f(a)>0,f(0) = 0. ஆகவே, - 6, 6 என்பனவற்றிற்கு இடையில் 3 இனுடைய பெறு மானங்களின் யாதுமொரு வீச்சில், f(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதிலே மிகச் சிறிய பெறுமானம் உண்டு. ஆகவே, 0 = 0 என்பதில் f(a) என்பது இழிவு ; ஆனல், a ஆனது 2 = 0 என்பதில் வகையிடத்தகாதது என இதற்கு முன் கண்டுள்ளோம். f(x) என்பது-2 என எடுக்கப்பட்டால், f'(0) என்பதற்கு இருப்பு இல்லையெனினும், f(x) என்பதற்கு 0 = 0 என்பதில் ஓர் உயர்வு உண்டு. எனின், 20 = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வோ, இழிவோ இருத்தற்குத் தேவையான நிபந்தனை f'(a) = 0 என்னுங் கூற்று உண்மையன்று. f(a) என்பதற்கு இருப்பு இருந்தாற்ருன் அது உண்மையாகும்.
இனி, 0 = 0 என்பதில் ஒர் உயர்வோ, இழிவோ இருத்தற்கு இந் நிபந்தனை போதியதன்று. அதாவது, f'(a) = 0 எனின்,  ை= a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வோ, இழிவோ உண்டு என்பது பெறப்படாது.
உதாரணமாக, f(a) = (a-a)? என்பதை எடுக்க.
3-a ஆகும்பொழுது, f(x)=0. aa ஆகும்பொழுது, f(a)>0.

Page 122
232 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே, 20 = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வோ, இழிவோ இல்லை. ~
ஆனல், a=0 ஆகும்பொழுது f'(x) = 3 (a-a)? - 0.
. f'(c) = 0 எனின், a = a என்பதில் f(a) என்பதற்கு ஒர் உயர்வோ, இழிவாதல் உண்டென்று கூறல் இயலாது.
ழவாத று கூற
உயர்விழிவுகள் இருத்தற்குப் போதிய நிபந்தனைகள்.
f'(a) இற்கு ஒரு புள்ளியில் இருப்பு இல்லாதபோதிலும் f(a) இற்கு அப்புள்ளியில் ஓர் உயர்வோ இழிவோ இருக்கலாமென்று கண்டுள் ளோம். இப்போது, a யிற்கு அண்மையிலுள்ள 30 இனுடைய பெறு மானங்களுக்கு f'(a) இனது நடத்தையில், a = a என்பதில் f(a) ஆனது அடையும் ஒர் உயர்வுக்கோ இழிவுக்கோ போதிய நிபந்தனைகளைக் கொடுப்போம்.
f() ஆனது 3 = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாக, a-60 ஆகவும், a0 ஆகவும், இருக்குமாறு 6 என்னும் ஒரு நேர்க் கணியத்தைக்காண முடியு மாயின், f(a) என்பதற்கு 3 =a என்பதில் ஓர் உயர்வு உண்டு.
a ஆனது (a-b, a) என்னும் வீச்சிற் கூட, f(x) என்பது உறுதி யாகக் கூடிப் பின்னர் 2 ஆனது (a, a + b) என்னும் வீச்சிற் கூட, அது உறுதியாகக் குறையும் என்பதே அதற்குக் காரணம்.
எனவே, a - 6, a + b என்பனவற்றிற்கு இடையில் a இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு f(a) இன் மிகப் பெரிய பெறுமானம் a = a என்பதிற் பெறப்படும்.
f(a) ஆனது a = a என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதாக, a-60 ஆகவும், இருக்குமாறு 0 விலும் பெரிதாய் 6 ஐக் காண முடியுமாயின், f(a) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஒர் இழிவு உண்டு.
a ஆனது (a-6, 6) என்பதிற் கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறைந்து, பின்னர் 3 ஆனது (a, a + S) என்பதிற் கூட, அது உறுதியாகக் கூடும் என்பதே அதற்குக் காரணம்.
எனவே, a-8, a + 6 என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு f(a) இன் மிகச் சிறிய பெறுமானம் a = a என்பதிற் பெறப்படும்.
f'() இற்கு a-60
'. 20< 1 ஆகும்பொழுது, f (3) > 0
6 19,
I6
<3<2 ஆகும்பொழுது, f (3) > 0,
3> 2 ஆகும்பொழுது, f'(c) > 0.

Page 123
234 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஃ. 30 = 1 ஆகும்பொழுது f(a) என்பது ஓர் உயர்வாகவோ ஒர் இழிவாகவோ இராது.
16 - - *=正 ஆகும்பொழுது, f(a) என்பது உயர்வாகும்.
3 = 2 ஆகும்பொழுது, f(x) என்பது இழிவாகும். 3 ஆனது யாதுமொரு மறைப்பெறுமானத்திலிருந்து இற்குக்கூட,
6 f (3) ஆனது உறுதியாகக் கூடும் ; 2 ஆனது இலிருந்து 2 இற்குக் கூட,
f(a) ஆனது உறுதியாகக் குறையும் ; 2 ஆனது 2 இலிருந்துகூட, f(a) ஆனது உறுதியாகக் கூடும்.
\5 2\6 3 ஆனது பூச்சியமல்லாததாயிருக்கும்போது f(a) = a" ( -ε) ( -)
2
5 6 2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப் பெரிதாயிருக்கும்போது, ( -ε) ( -)
ஆனது 1 இற்கு மிக்க அண்ணளவாகச் சமனகும்.
ʻ. ac-> OO -gey,5, f (ac) —> oo ;
ac --> - OO g5, f(ac) -> — Oo. if (1) = 0 = f (2), f(0) = -2 பின்னர் g = f(a) இன் வரைபின் வடிவு பெறப்படுகின்றது ; அவ்வளையிக்கு, ஒன்று முதலாங் காலியிலும் மற்றையது மூன்றங் காலியிலுமாக இரண்டு முடிவில் கிளைகள் உண்டு. f'(a) ஆனது * a ’ என்னும் புள்ளியிலுள்ள அவ்வளையியின் சரிவைத் தருகின்
16 றமையால், "= 1, 규, 2 என்
Yቶ
பனவற்றிலுள்ள அவ்வளையியினு டைய தொடலிகள் எல்லாம் 0 அச் சிற்குச் சமாந்தரம். 2 = 1, 2 என்ப ”x னவற்றில் a அச்சே தொடலியா கும். a=1 என்பதில், அவ்வளையிக்கு விசேடமான ஓர் உடைமையுண்டு. அது தொடுபுள்ளியிலே தொடலியைக் M குறுக்காகக் கடந்து தொடலியின், ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றைப் பக் ܖ கத்திற்குச் செல்லும். ஒரு வளையியின் மீதுள்ள அத்தகைய புள்ளி அவ் வளையியின் மீதுள்ள விபத்திப்புள்ளி எனப்படும்.
 

நுண்கணிதம் 235
உ-ம். 2. ல இனுடைய மெய்ப்பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
22
என்னுஞ் சார்பினது போக்கைத் தொடர்ந்து காண்க.
أو f(c) = 1--a ஆகுக'. =ை -1 ஆகும்பொழுது f(a) என்பதற்கு இருப்பில்லை. 20 இனுடைய மற்றைப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அது தொடர்ச்சியுள்ளது ;
ஆணுல், அது a = 0 என்பதில் வகையிடத்தக்கதன்று. 20 இனுடைய மற்றைப் பெறுமானங்களுக்கு f (3) உளதாகும்.
f' (a) = 翻rー* ^_ 2ణీ _ 2 (1+r) - Br_ 2 - ac
T 1--a (1--a) 3rd (1 -- a) 3a*(1--a)
2f' (a) 9657 குறி: அல்லது: என்பதன் குறியோடு ஒன்ருகும்.
.. 0 0
0, -1 என்பனவற்றைத் தவிர, 20 இனுடைய பிறபெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் f (2) <0.
அதாவது a < -1 எனின், f'(a) <0,
-1 0, a>2 எனின், f' (a) <0.
.. f(a) என்பதற்கு a = 0 என்பதில் ஓர் இழிவும் a = 2 என்பதில்
ஓர் உயர்வும் இருக்கும்.
20 ஆனது, -1 இலுஞ் சிறிய மறைப்பெறுமானங்களுக்கூடாகக்
கூட, f (3) என்பது உறுதியாகக் குறையும்.
at--> -1 gya, f(a) -> oo.
a->-1-0 gyas, f(a) -> - OO. 20 ஆனது -1, 0 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையும்.
30-> -1 + 0 ஆக, f (3) -> 00, 2 ஆனது 0 இலிருந்து 2 இற்குக்
கூட f(a) என்பது உறுதியாகக் கூடும். 2 ஆனது 2 இற்கு அப்பாற் கூட, f(a) என்பது உறுதியாகக் குறையும்.

Page 124
236 ஆரம்ப தூய கணிதம்
240 ஆகும்பொழுது, 21-> 0 ஆக, அதாவது 3-> 00 ஆக, அல்லது 3-> - OO ஆக,
ał .0 <- حساس- == (if (a
• +1 - பின்னர் g = f(a) என்னும் வரைபின் வடிவு பெறப்படுகின்றது.
அவ்வளையிக்கு a = 2 என்பதில் 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான தொடலி
உண்டு. -
岔一> - 0 وقراطي f" )20( حسن - oO,
Y a-5ی تھی۔ 0-4- جس, f” (a( س< OO.
ஆகவே, ஒவ்வொரு கிளை யும் உற்பத்தியில் y அச்சைத் ہو riںساس 2 தொடுகின்ற இரு கிளைகள் அவ்வளையிக்கு உண்டு. -1 இலும் பெரிய 0 இன் பெறுமானங்களுக்கு, f (3) என்பதற்கு 2 - 2 என்பதில் ஒர் உயர்வு இருந்தபோதி லும், அதற்கு மிகப்பெரிய பெறுமானம் இல்லை. 0இலும் பெரிய a இன் பெறுமானங் களுக்கு 20 = 2 ஆகும்பொழுது
O
2.
மிகப்பெரிய பெறுமானம் பெறப்படும்.
உ-ம். 3. 0, 2ா என்பனவற்றிற்கு இடையில் 2 இனுடைய பெறு ப0ானந் 6Ꮱ)ᏪᏠᎶᏡᎢ Ꮨ; இ போக்கைக் ெ
156 - gif FT&5@5 f7f7; óT@ö了&S。
இளுககு 2+கோசைன 5. 点 தாடாநது காணக
சைன் 0
if (c) = 2 + கோசை 0
இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் வகையிடப்படத்தக்கது.
என்பது எப்போதும் உண்டு; அது 2
)கோசைa (2+கோசை :) -சைன் a(-சைன் a ۔ امیہ / ۶ f(α) = - (2 + கோசை a)?
-- 1+2 கோசை : T2+கோசை 93
 

நுண்கணிதம் 237
2ገr 4Tr கோசை ஐ- - ஆகும்பொழுது, அதாவது 0 = ) ஆகும பொழுது,
3 մ' (a) = 0.
கோசைல என்பது 0 ஆனது 0 இலிருந்து 1ா இற்குக் கூட, உறுதியாகக் குறைந்து பின்னர் a ஆனது T யிலிருந்து 2ா யிற்குக் கூட, உறுதியாகக்
கூடும்.
2nt A .', 0 ≤ i < T என்பதில் f (2) > 0;
 0.
4. ஃf() இற்கு = இல் ஓர் உயர்வும் = என்பதில் ஒர் இழிவும் உண்டு.
if (a) என்பது 3 ஆனது 0 இலிருந்து 掌 யிற்குக் கூட, உறுதியாகக்
என்பதில் f'(x) < 0;
4 கூடிப் பின்னர்  ைஆனது யிலிருந்து யிற்குக் கூட, உறுதியாகக்
குறைந்து அதன்பின்னர் 2 ஆனது யிலிருந்து 2ா யிற்குக் கூட, உறுதி
யாகக் கூடும்.
2T 47 f(o)=0-f(t) = f(2n) is ()- - - (5).
6ᏡᏯᏠᎶᏡᎢ ᎤᏃ
= مہم۔ --سمسسیسحســــــــــــــــــ "" Fت 9 G - ܒܚܒ 2=ா + 7 ஆகும்பொழுது, f (2) 2 - கோசை a
சைன் மு:
: gg - -- 2g ஆகும்பொழுது, if (a) = 2- கோசை جنست به
Y ஆகவே, a = 0, a = r என்பனவற்றிற்கு இடையே 2په چا ر س
g = f (2) என்னும் வரை பின் பகுதி a = r, a=2ா /N
X.
என்பனவற்றிற்கு இடையே Ο ༧ ཡོ་ "; / " யுள்ள பகுதியின் வடிவின − தாகும் ; ஆனல் அவ்விரு 82મ
பகுதிகளும் 3 அச்சினுடைய எதிர்ப்பக்கங்களிற் கிடக்கும்.

Page 125
238 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 21.
1. ல?(20+1)* என்பதன் உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க. a- -1, 2-1 என்பன வற்றிற்கு இடையில் அச்சார்பின் மிகப் பெரிய பெறுமானத்தைக் காண்க.
பிற்கு ஒர் G - at TT L - έ σε πιθας και (ac?--1)? ன்னுஞ் சார்பிற்கு ஒர் உயர்வும் ஒர் இழிவும் உண்டு எனக் காட் இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உயர்வுப் பெறுமானம் அச்சார்பின் மிகப் பெரிய பெறுமானமென்றும் இழிவுப் பெறுமானம் அதன் மிகச் சிறிய பெறுமானமென்றுங் காட்டுக.
(1--a). என்னுஞ் சார்பிற்கு ஒர் உயர்வுப் பெறுமானம் உண்டென்றும் இழிவுப்
பெறுமானம் யாதும் இல்லை யென்றுங் காட்டுக ; அன்றியும், அச்சார்பு - இலுங் குறைந்த ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும், 20 இனுடைய மூன்று வேறுவேறன. பெறுமானங்களுக்கும்
இலுங் கூடிய ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் 20 இன் ஒரு பெறுமானத்திற்கு மாத்
திரமும் எடுக்குமென்றுங் காட்டுக.
αυε
4. என்னுஞ் சார்பு 2 ஆனது -1 இலிருந்து 1 இற்குக் கூடும்பொழுது கூடி, அதன்
2C
பின்னர் வேறு யாதும் வீச்சில்  ைகூட அது குறையுமென்று காட்டுக. அச்சார்பின் உயர்விழிவுப் பெறுமானங்களைக் காண்க. அதன் வரைபையும் வரைக.
తి
5. 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் என்பதனுடைய போக்
a2 = கைத் துணிக. அச்சார்பிற்கு ஓர் உயர்வும் ஒர் இழிவும் உண்டென்றும், இழிவுப் பெறுமானம் உயர்வுப் பெறுமானத்திலும் பெரிதென்றுங் காட்டுக. அன்றியும், அச்சார்பானது 3 இனது ஒரு பெறுமானத்திற்கு மாத்திரம் உயர் விழிவுப் பெறுமானங்களுக்கு இடையே யுள்ள ஒவ்வொரு பெறுமானத்தையும் எடுக்குமென்றும், இழிவுப் பெறுமானத்திலும் பெரிய அல்லது உயர்வுப் பெறுமானத்திலுஞ் சிறிய யாதுமொரு பெறுமானம் அச்சார்பினல் a இனுடைய வேறு வேருண மூன்று பெறுமானங்களுக்கு அடையப்படுமென்றுங் காட்டுக. -
6. 0, 1C என்பனவற்றிற்கு இடையில் a ஆனது கூட சைன் a கோசை80 என்பது உறுதியாகக் குறைகின்ற 2 இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சைக் காண்க. a இனுடைய
3 - 3 - பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அச்சார்பு v3, v3 என்பனவற்றிற்கு இடையிற்
கிடக்குமெனக் காட்டுக.
7. கோசை 2 V (சைன் 2a) என்பதற்கு a = 0, a = TE என்பனவற்றிற்கு இடையில்
ஓர் உயர்வு உண்டென்று காட்டுக ; இவ்வீச்சிற்குள் அச்சார்பினுடைய மிகப்பெரிய பெறுமானத் தையும் மிகச்சிறிய பெறுமானத்தையுங் காண்க.
8. இரு2மபக்க முக்கோணியொன்று தந்த ஒரு வட்டத்திற்கு உள் வரையப் பட்டுள்ளது. அம்முக்கோணி சமபக்க முக்கோணியாகும்பொழுது, அம்முக்கோணியின் சுற்ற ளவு மிகப் பெரிதாகுமென்றும் அம்முக்கோணியின் பரப்பளவு மிகப் பெரிதாகு மென்றுங் காட்டுக.

நுண்கணிதம் 239
9. இருசமபக்க முக்கோணியொன்று r என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு வட்டத்திற்குச் சுற்
ஆறுருவமாக வரையப்பட்டுள்ளது. சமபக்கங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணம் 29 எனின்
4?‛2 (1 -!-qp)ቑ 2=சைன் 0 ஆக, சுற்றளவின் வர்க்கம் ?:{{နှီfirear# காட்டுக. இதிலிருந்து அம்முக்
20* ( I - gᏪ
கோணி சமபக்க முக்கோணியாகும் பொழுது சுற்றளவு மிகச் சிறிதாகுமெனக் காட்டுக
10. 0X, OY, என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணங்களிலுள்ள இரண்டு நிலையான. கோல்கள். P2 என்பது OY யை வெட்டாது OX இற்குச் சமாந்தரமாய் OY யிலிருந்து தன்முனை P ஓரலகுத் தூரத்திலிருக்குமாறு (XOY என்னுங் கோணத்திலுள்ள) வேருெரு கோல். 8 அலகு நீளமுள்ள AB என்னும் இயங்கத்தக்க ஒரு கோலானது OY யின் மீது முனை A யும், OX, P2 என்பனவற்றிற்கு இடையிலே முனை B யும் இருக்கத் தொடக்கத்தில் APE என்னும் நிலையில் உள்ளது. இது 70 வழியே A யானது வழுக்குமாறும் அக்கோலின் யாதுமொரு புள்ளி P யைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கு மாறும் இயக்கப்படுகின்றது. P9, OX ஏன்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள தூரம் 3V3 இலும் பெரிதாயின், B என்னும் முனை 0X என்பதை ஒரு பருவத்திலும் தொடாதெனக் as it Gas.
11. 8 அடி அகலமான ஒரு தெருவிலிருந்து அதனைச் செங்கோணங்களிற் சந்திக்கும் வேருெரு தெருவிற்கு 27 அடி நீளமான ஒரு சட்டம் கிடைநிலையிற் கொண்டு செல்லப்பட வேண்டியதாயிற்று. இரண்டாந் தெருவின் அகலம் 5V5 அடியிலுங் கூடினலன்றி இது முடியாது எனக் காட்டுக.
12. ஒரு நேர்வட்ட உருளை இலும் பெரிதான 6 என்னும் அரையுச்சிக் கோணமுடைய
ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பிற்குள்ளே அவ்வுருளையினது தளமுனைகளுள் ஒன்று அக்கூம்பின் அடியைத் தொடுமாறும், மற்றைத் தளமுனையின் பரிதி அக்கூம்பின் வளை பரப்பைத் தொடுமாறும் உள் வரையப்பட்டுள்ளது. அவ்வுருளையின் கனவளவு அக்கூம்பின் கனவள
4 வின் 9 ஐ அதிகரிக்காதென்று காட்டுக.
முதலிரு வரிசைகளின் வகையீட்டுக் குணகங்களில் உயர்விழிவுகளுக்குப்
போதிய நிபந்தனைகள். வகையிட்த்தக்க ஒரு சார்பினுடைய உயர்விழிவுப் பெறுமானங்கள் அச் சார்பின் முதலாம் வகையீட்டுக் குணகத்தின் குறிமாற்றத்தை ஆராய் வதால் எவ்வாறு பெறப்படலாமெனக் கண்டுள்ளோம். ஸ் ஆனது a என்னும் ஒரு பெறுமானத்திற்கூடாக f'(a)=0 ஆகும்படி செல்ல f' (a) இன் குறிமாற்றம், f" (a) என்பது பூச்சியமன்றெனின், f'(a) யின் குறியை ஆராய்வதாலே துணியப்படக்கூடும்.
f' (a) = 0 என்றும் f' (a) > 0 என்றுங் கொள்க. தி (a) = f'(x) எனப் பிரதியிடுக ; ஆயின், $ (a) = f'(a), gs (a) = 0, d5(a) > 0. தி (a) > 0 ஆயிருத்தலால், a - b  தி (a) ஆகுமாறும்,

Page 126
240 ஆரம்ப தூய கணிதம்
b என்னும் ஒரு நேரெண்ணைக் காணல் கூடும்.
அதாவது 0 -  0.
f(x) என்பதற்கு a = a என்பதில் ஓர் இழிவு உண்டு.
.. f'(a) = 0 ஆயும், f'(a) > 0 ஆயுமிருந்தால், f(a) இற்கு a = a என்பதில் ஒர் இழிவு உண்டு.
அதுபோல f (a) = 0 ஆயும் f'(a)<0 ஆயுமிருந்தால் f(p) இற்கு 2= a என்பதில் ஒர் உயர்வு உண்டு.
இச்சோதனைகள் அறிமுறை நோக்கத்தையே பற்றியன. செய்முறையில் அவை அவ்வளவு வசதியானவையல்ல. இவை இருமுறை வகையிடுதலைக் கொண்டுள்ளன ; இன்னும், இரண்டாம் வகையீட்டுக் குணகமும் ஆராயப் படும் புள்ளியிற் பூச்சியமாயின், அவை யாதொன்றையுந் துணியா. f' (a) = 0 ஆயும். f'(a) = 0 ஆயுமிருந்தால், a = a என்பதில் f(a) இனது போக்கைப்பற்றி யாதொன்றுங் கூறமுடியாது. அது ஒர் உயர்வாய் அன்றி ஒர் இழிவாய் அன்றி உயர்விழிவுகளின்றியதாய் இருக்கலாம்.

அத்தியாயம் 4
தொகையிடல் குறித்த ஒரு வீச்சில் எல்லா a இற்கும் தி (2) = f(a) ஆகுமாறு தி (2)
என்பது 2 இன் ஒரு சார்பாயின், அவ்வீச்சில் தி() என்பதை f(a) இன் தொகையீடு எனக் கூறுகின்ருேம் ; அதனை
φ (α) = jf (r) da என எழுதுகின்றேம். f(x) என்பது தரப்பட்டால் தி (a) என்பதைக் காணுஞ் செய்கை தொகை யிடல் எனப்படும் ; f(a) என்பது தொகையிடப்படுஞ் சார்பு எனப்படும்.
f(a) என்பது a sa 36 என்பதிலே தொடர்ச்சியுள்ளதெனின் (a,b)
யில் எல்லா 3 இற்கும் தி'(x) = f(a) ஆகுமாறு தி (2) என்னும் ஒரு சார்பு காணப்படலாம் என நிறுவலாம். இப்பொதுத் தேற்றத்தை நிறுவ அவாவவில்லை. தி(a) என்பது f(a) இனது தொகையீடு எனின்
{ (ac) +c} 器{ # (ဎ)}+၂၈aurie),
C என்பது ஒரு மாறிலியாயிருக்கும்போது தி (2) +0 என்பதும் ஒரு தொகை யீடெனக் காண்கின்ருேம்.
மறுதலையாக, தி(a), தி (a) என்பன f(p) இனுடைய இரண்டு தொகை, யீடுகளாயின், தி (2) - தி, (2) என்பது எல்லா 2 இற்கும் மாறதிருக்கும். அதற்குக் காரணம் எல்லா 20 இற்கும்
d de { b3) و( - bو )a'( = தி, (2) - ரி (a) = 0 என்பது. ஆகவே, ரி (a) என்பது f(a) இன் ஒரு தொகையீடு எனின் f(a) da = தி (a) + 0 என எழுதி அதனை வரையறத தொகையீடு
எனக்கூறுகின்றேம். இங்கு C என்பது கற்பனையான ஒரு மாறிலி யாகும்.
தொகையீட்டுத் தேற்றங்கள்.
(1) k என்பது ஒரு மாறிலியாயின், kf(x) dx = k f f (x) dx. தி (a) என்பது f(x) இன் வரையருத தொகையீடாகுக.
d -yuÚ0637 g h (r) = f(a).
94

Page 127
242 ஆரம்ப தூய கணிதம் ... it ()- 8 () = f(a) .. k f(æ) dar = εφ (α) -||1 (a) dar. (2) f f(x) --f s} dx = f f (x) dx + f f (x) dx. தி () = f(r)d ஆயும் தி:)=f(r)d ஆயுமிருக்க tells, Éd, (t) = f(r), d. () = 1.().
id, () + ()} = f(r) + i. (). ふ f{ f(a) + f(a) } dat == (1 (ac) + 'þa (a)
f f(c) dae -- f if (ac) dae.
நியமச் சூத்திரங்கள்.
1. n என்பது -1 இற்குச் சமனல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்,
f() Pr: ه dat Vn-+1 o
74-1 m + 1 A 0 எனின், frax === '----+-0.
n--1
m என்பது மறையாயின், 3 = 0 என்னும் பெறுமானத் தொகையீட் வீச்சிலிருந்து புறக்கணிக்கப்பட வேண்டும்.
2. எல்லா 20 இற்கும் # (சைன் 0) - கோசைல.
Gas I63 x dix = songsir X -- C.
பொதுவாக, a என்பது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்,
f G35THNF ax dx = ၈ၾax -- C.
d 3. எல்லா m இற்கும் (-G576092)=6556572.
.. s shggir x dx = - Gassrsons x + C.

நுண்கணிதம் 243
பொதுவாக, a என்பது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்,
கோசை ax
fossir axdx=- - - -- C.
4. 3 என்பது இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது,
α. (தான் a) - சீகலே.
doc
77 - . . --
.. இன் ஒற்றை மடங்கு உட்படாத 30 இனுடைய பெறுமானங்களுள் யாதுமொரு வீச்சில்,
f gasox dx = 351TGÖTx + C.
5.  ைஎன்பது T யின் மடங்கல்லாதபொழுது,
d
T πο (βης Τβε 2
ಹ:' கோதாa) = கோசி 20,
.. T இன் மடங்கு உட்படாத 3 இனுடைய பெறுமானங்களுள்
யாதுமொரு வீச்சில்,
f கோசி2 xdX--கோதாx + C.
6. a என்பது s இன் ஒற்றை மடங்கல்லாதபோது,
d இ? -: இ
&' α: α) = சகல தான 0.
.. இன் ஒற்றை மடங்கு உட்படாத 3 இன் யாதுமொரு வீச்சில்,
f இகX தான்x dx = gossx -- C.
7. 2 என்பது ரா இன் மடங்கல்லாதபோது,
d æ' - கோசிa) = கோசிaகோதாa.
. ரா யின் மடங்கு உட்படாத 20 இன் யாதுமொரு வீச்சில்,
கோதாxdx=-கோசிx+ .ே
10-R 11681 (166)

Page 128
244 ஆரம்ப தூய கணிதம்
8. -1

Page 129
246 h− ஆரம்ப தூய கணிதம்
பரப்பளவுகளுக்குப் பிரயோகம்.
f(a) என்பது a < 0 3) என்னுங் கிடைக்கூறுகளுடைய அவ்வளையியின் மீதுள்ள இரண்டு புள்ளிகளாயின், P. P என்னும் வில்லாலும் P. P என்பனவற்றிலுள்ள நிலைக்கூறுகளாலும், ல அச்சா லும் அமைக்கப்படும் பரப்பளவு 1 (3) - F (3) ஆகும்.
ஆகவே, அவ்வளையியாலும் 20=a, ல=6 என்னும் நிலைக்கூறுகளாலும் 3 அச்சாலும் அமைக்கப்படும் பரப்பளவு
F (b) - F (a) - f(a) dat.
இனி, AB என்னும் வளையி 0=a, a=0 என்பனவற்றிற்கு இடையில் 3 அச்சிற்குச் கீழே முழுவதும் கிடக் கின்றதெனக் கொள்க, ஆயின், Y 30=0, 3=ம் என்பனவற்றிற்கு இடை யிலுள்ள g= - f(a) என்னும் வளையி 3 அச்சின்மீது முன்னைய தாகிய வளையியினது திருத்தமா கிய விம்பம் 4'B' ஆகும்.
8
AB என்னும் வில்லாலும் a=a, O 2=b என்னுங் கோடுகளாலும் a அச்சாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப் பளவு 4'B' என்னும் வில்லாலும் 3=a, a=0 என்னுங் கோடுகளாலும் 20 அச்சாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவிற்குச் சமன்.
d
- ". பரப்பளவு = f(a) dat. = -i (a) dac.

Page 130
248 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இனி, c என்பது a, b என்பனவற்றிற்கு இடையிலுள்ள ஒர் எண்ணு
γ. யிருக்க அவ்வளேயி a = a, 2 = 0 என்பனவற்றிற்கு இடை யில் 2 அச்சிற்கு மேலேயும் . -ா 0, 30 மா b என்பனவற் றிற்கு இடையில் 3 அச்சிற்குக் கீழேயுங் கிடப்பதாகக் கொள்க. AK, B.L GʻI (6öTLIG0T FFi)/i5) லுள்ள நிலைக்கூறுகளாயின்,
c LлLLJото АCK s if (at) dar, பரப்பளவு CBL s - f(at) dae.
.". பரப்பளவு 40K + பரப்பளவு CBL if (at) dar -f f(a) dat.
酸 , ሶ°ሮ இது f f(a) dat + f(a) da என்பதற்குச் சமனன
琵
b f f(r)da என்பதனேடு ஒன்ருகாது.
魏
ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு வளையிகளாற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவு. g=f(a), y=f(a) என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரண்டு வளையிகளினுடைய சமன்பாடுகளாகுக. b>ய யாயிருக்க, a - a, a = b என்பன இரண்டு அடுத்துவரும் வெட்டுப்புள்ளிகளாகக. y =f(a) என்னும் வளையி ஆனது g = f(a) 6 மன் னும் வளையிக்கு மேலே இவ் Y =f (x ر(
விரு புள்ளிகளுக்கும் இடை
யிற்கிடக்க. இவ்விரு புள்ளி
களுக்கிடையிலுள்ள வளையி கள் 0 அச்சிற்கு மேலே முழுவ
துங் கிடக்கவில்லை யெனின், /
உற்பத்தித் தானத்தை g அச் - /ci- ; V X சின் எதிர்ப்பகுதியிலுள்ள 0' =رE(x( என்னும் புள்ளிக்கு இடம் 2/千な பெயர்த்தலால், 0'X' என்பது 0X இற்குச் சமாந்தரமாயி ருக்க, 0'X', 0'Y என்னும்
புதிய அச்சுக்கள் பற்றி அவ் O X விரு வளையிகளும் 0'X' என்னும் அச்சிற்கு மேலே முழுவதுங் கிடக்குமாறு
செய்யலாம்.
|1:0
a-6
 

நுண்கணிதம் 249
00 என்னும் நீளம்=k எனின், புதிய அச்சுக்கள்பற்றி அவ்வளே யிகளினுடைய சமன்பாடுகள் gாf(a) + b, g -f(a)+c என்பன. ஆகவே, a=a, a = b என்பனவற்றிற்கு இடையில் அவ்வளையிகளாற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவு
lh
f'(a) + k}de-f(r) + k}de
Ji ()-f(t)} dr. k என்னுங் கணியம் மறைந்தமையால், இப்போது புதிய அச்சுக்களேப் பற்றியுள்ளனவற்றை மறக்கலாம்.
பயிற்சி 22,
1. பின்வருவனவற்றை 2 ஐக் குறித்துத் தொகையிடுக :-
(1) சைன்aே : (1) (சைன் a + கோசை a)? ;
...、(a 十-1)* (ii) ; (
4م
W) V(2.r +3)* (°) V(ar + 1)
2. பின்வருவனவற்றை t ஐக் குறித்துத் தொகையிடுக :-
(i) (x+ :). (ii) t(2t + 1)* ; (iii) |-
கோசை
(iv)
1 14. Great (') 49° o v(4-91):
KK l K A Kr (vii) (t-l)- 1 (viii) «V/{4— (t — 1)°}
3. 2= -2, a=1 என்னும் புள்ளிகளுக்கு இடையில் y = ?+ 2 + 1
என்னும் வளையியின் வில்லாலும், இப்புள்ளிகளைத் தொடுக்கும் நாணுலுஞ்
சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவைக் காண்க.
4. a= -1, 0 = 1 என்னும் புள்ளிகளுக்கிடையில் g = a* - 2 + 1 என்னும் வளையியாலும் இப்புள்ளிகளிலுள்ள தொடலிகளாலுஞ் சிறை யாக்கப்படும் பரப்பளவைக் காண்க.
5. a என்பது ஒரு நேர் மாறிலியாயிருக்க, g?= 4ac, a2 - 4ag என்னும் வளையிகளால் அவை ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகள5க்கு இடையிற் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவைக் காண்க.

Page 131
250 ஆரம்ப தூய கணிதம்
6. 3 + g^= 4a? என்னும் வட்டத்தாலும் g?= 3aa என்னும் பரவளைவாலுஞ் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவுகளுட் சிறியது (4ா+ V3) (? எனக் காட்டுக. ዶ
வரையறுத்த தொகையீடு ஒரு கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாகக் கொள்ளப்
படும்.
b> a யாயிருக்க f (2) என்பது a=a, a=0 என்பனவற்றிற்கு இடையில் a இனது தொடர்ச்சியான ஒரு நேர்ச்சார்பாகுக : AB என்பது y-f (3) என்னும் வளையியின் ஒத்த வில்லாகுக. AK, BH என்பன A, B என் பனவற்றிலுள்ள நிலைக்கூறுகளாயின்,
b LIJüLIGIT6) AKHB - f(a) dat
AB என்னும் வில்லை ஒரு தொகையான சிறு விற்களாகப் பிரித்து அப் பிரிக்கும் புள்ளிகளுக்கூடாக நிலைக்கூறுகளை வரைக. P, 2 என்பன முறையே α, α + δα Y. B என்னும் இடைத்தூரங்க ளுள்ள இரண்டு அடுத்து வரும் பிரிபுள்ளிகளாகுக ; 6m என்பது நேராகுக ; MP, N0 என்பன அப்புள்ளிக ளிலுள்ள நிலைக்கூறுக ளாகுக. PR என்பது N0 என்பதை R இற் சந்திக் கும்படி 3 அச்சிற்குச் சமாந் x தரமாய் வரையப்பட்டால், MPRN என்னுஞ் செவ் வகத்தின் பரப்பளவு =PM.MN=f(a)Sa. MN என்னும் வடிவின் சிற்றிடை ஒவ்வொன்றினது நீளமும் பூச்சியமாகுமாறு பிரிபுள்ளிகளினது தொகை வரையறையின்றிக் கூட்டப்பட, MPIN என்னும் வடிவுடைய செவ்வகங்கள் எல்லாவற்றினுடைய கூட்டுத்தொகையின் எல்லை AB என்னும் வில்லாலும் A, B என்பனவற்றிலுள்ள நிலைக்கூறுகளாலும் அச்சாலும் சிறையாக்கப்படும் பரப்பளவாகும்.
.M. N لکس
片
.. 60 இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் -> 0 ஆக
;=あ h X f (ac) ôac--> f(a) dat
என எழுதுகின்றேம்.
 

நுண்கணிதம் 25
உதாரணங்கள். உயரம் h ஆயும் வட்ட அடியின் ஆசை 1 ஆயுமுள்ள நேர்வட்டக்கூம்பின் கனவளவைக் காண்க.
O என்பது அக்கூம்பின் உச்சியாகுக ; 0 என்பது வட்டவடியின் மையமாகுக. OAB என்பது அக்கூம்பின் அச்சு 00 யினுடாகச் செல்லும் ஒரு தளத்தால் ஆக்கப்படும் அக்கூம்பின் ஒரு பிரிவாகுக. AC = CB =r, OC = h. OAC 6TGö169) juh முக்கோணி நாலு செங்கோணங்களுக் கூடாக OC பற்றிச் சுழற்றப்பட்டால், அம்முழுக்கூம்பும் பிறக்கும். P என்பது 00 யின்மீது 0 விலிருந்து a என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒருபுள்ளியாகுக. Q என் பது 00 யின்மீது 0 விலிருந்து a + 50 என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஓர் அயற்புள்ளியாகுக ; 60 என்பது நேராகுக. PM, QIN GT6ởTLIGOT M, N என்பனவற்றில் OA என்பதைச் சந்திக்கும் படி 00 யிற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்பட்டால், P0NM என்னுஞ் சரிவகம் OC பற்றிச் சுழற்றப்படும்போது அக்கூம்பின் அடித்துண்டைப் பிறப்பிக்கும்.
MR என்பது Nெ இற்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்டால், RெMP என்னும் செவ்வகம் ஒரு நேர்வட்ட உருளையைப் பிறப்பிக்கும் , 9 என்பது அக்கூம்பின் அரையுச்சிக்கோணமாயுள்ள A00 என்னுங் கோணமாயின் அவ்வுருளையின் கனவளவு 7PM2.P0 = ra தான்?96ல.
ac = h.
.. அக்கூம்பின் கனவளவு = எல் Σ ாதான்?9aஃ62
o منبی=a 0ج-Öa
h =- s тд. Тојт”9a:2da.
Ο
=ாதான்?9%8
.LE a Troh--سنسب

Page 132
252 ஆரம்ப தூய கணிதம்
கோளத்தின் கனவளவு.
40B என்பது மையம் 0 வாயும் ஆரை 7 ஆயுமுள்ள ஓர் அரை வட்டமாகுக. அவ்வரைவட்டம் AB என்னும் விட்டம் பற்றி 4 செங் கோணங்களுக்கூடாகச் சுழற்றப்பட்டால், 7 என்னும் ஆரையுடைய ஒருகோளம் உண் டாகும். OA வழியே தூரங்களை நேராக வும் 0B வழியே மறையாகவுங்கொண்டு P என்பது 04 யின்மீது 0 விலிருந்து a என்னுந் தூரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி என்க. 0 என்பது 04 யின்மீது 0 விலிருந்து 2 + b a என்னுந் தூரத்தி லுள்ள ஒா அயற்புள்ளியாகுக. PM என்பது அவ்வரை வட்டத்தை 1 இற் சந்திக்கும்படி 04 யிற்குச் செங்குத்தாய் வரையப்படுக. MN, 0N என்பன N இற் சந்திக்குமாறு முறையே P0, PM என்பனவற்றிற்குச் சமாந்தர மாய் வரையப்படுக. PNM என்னுஞ் செவ்வகம் AB பற்றிச் சுழற்றப் படும் பொழுது, அது ஒரு நேர்வட்டவுருளையைப் பிறப்பிக்கும் , அவ் வுருளையின் கனவளவு r PM2.P0 r (re-a?)Sa
م حجتينج .
Σπ(γε n a)&r
*? سـس = سیست.
6T6)
.. அக்கோளத்தின் கனவளவு = ۃa? 0 <س۔
நிமிர்வட்டக்கூம்பின் வளைபரப்பின் பரப்பளவு.
r என்பது ஒரு நேர்வட்டக்கூம்பின் அடியின் ஆரையாகுக. அவ்வட்ட வடியின் பரிதியின்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியை உச்சியோடு தொடுக்குங்கோடு அக்கூம்பின் பரப்பின் ஒரு பிறப்பாக்கி எனப்படும். அத்தகைக் கோட்டி னது நீளம் அக்கூம்பின் சாயுயரம் எனப்படும். இச்சாயுயரம் ஆகுக. அக்கூம்பின் பரப்பு ஒரு பிறப்பாக்கி வளியே பிளக்கப்பட்டு அதன் பின் விரிக்கப்பட்டு ஒரு மேசையின்மீது தட்டையாகக் கிடத்தப்படுகின்ற
 

நுண்கணிதம் 2
தெனக் கொள்க. ஆயின் அக்கூம்பின் பரப்பு 1 என்னும் ஆரையை யுடைய ஒருவட்டத்தின் ஆரைச்சிறையை ஆக்கும் ; அவ்வாரைச் சிறையின் வரையறுக்கும் வில்லி னது நீளம் 2ாr.
53
அவ்வில்லாலே மையத்தில் எதிரமைக்கப்படுங் ル
سہمۃِ... و
2ረTr?‛ கோணம் . ஆகவே, அவ்வாரைச்சிறையின்
2Trኵ LJJLouil J676) = i l* X Trl
2 ፲rጕሎ
அதாவது அக்கூம்பின் பரப்பின் பரப்பளவு எr.
நிமிர்வட்டக்கூம்பின் அடித்துண்டின் பரப்பளவு.
ஒரு கூம்பானது தனது அடிக்குச் சமாந்தரமான ஒரு தளத்தால் வெட்டப்பட, உச்சியுள்ள பகுதி நீக்கப்பட்டால், மீதிப்பகுதி அக்கூம்பின் அடித்துண்டு எனப்படும்.
ABDC என்பது OAB என்னும் நேர் O வட்டக்கூம்பின் ஒர் அடித்துண்டைக் குறிக்க ; r, r என்பன அதனுடைய இரு முனைகளின் ஆரைகளாகுக. 14, என்பன முறையே 00, OA என்னும் C D நீளங்களாகுக. அவ்வடித்துண்டின் பரப்
方 | 56ð7 JIJLL JGMT G OAB, OCD 6TGð76), iš கூம்புகளினுடைய பரப்புக்களின் பரப் பளவு வித்தியர்சமாகும். 验 ஆகவே, f'> 7, எனின், அவ்வடித் A * g துண்டின் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு
=7rralaー7ria.
இயல்பொத்த முக்கோணிகளிலிருந்து, -
2
l AC = l. 676ofaôr, * = - - - -
". அவ்வடிக்கூம்பின் பரப்பின் பரப்பளவு
lr, lr
– ገrፕ, *2一71 *2一*1
== Tr
== 7rl (r -- r).

Page 133
254. ஆரம்ப தூய கணிதம்
கோளத்தின் பரப்பின் பரப்பளவு.
ACB என்பது மையம் 0 வாகவும் ஆரை 1 ஆகவுமுள்ள ஒர் அரை வட்டமாகுக. 00 என்பது AB என்னும் விட்டத்திற்குச் செங்குத்தாக வுள்ள ஆரையாகுக. P என்பது பரிதியின்மீது OC யோடு OP யானது 9 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு உள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. அக் கோணத் தின் குறிக்கு யாதுமொரு வழக்கு மேற்கொள்ளப்படலாம். டெ என்பது அவ்வரை வட்டத்தின்மீது 00யோடு 00 வானது 9 + 69 என்னுங் கோணத்தை ஆக்குமாறு P யிற்கு அண்மையிலுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. P0 என்னும் நாண் AB பற்றிச் சுழற்றப்படும்பொழுது அது ஒரு கூம்பின் அடித்துண்டின் பரப்பைப் பிறப்பிக்கும் ; அக்கூம்பின் சாயுயரம் P0 ; M, N என்பன P, 0 என்பனவற்றிலிருந்து AB யின் மீது வரையப்படுஞ் செங்குத்துக்களினுடைய அடிகளாயின், அக்கூம்பினு டைய முனைகளினுடைய ஆரைகள் PM, Nெ என்பனவாகும். இவ்வடிக் Ji, Lol SaôT LIU, SaôT LIULLIGT6, it (PIM + QN)PQ.
as
2ങ്ങ് நாண்?? 2
São PQ r88
சைன் ட்
2 == - 89 2
- تقريب 0 حس (86 و 1 جيت PM 7 கோசை 9 QN Tr கோசை (6 + 80) ஆகவே, அவ்வரைவட்டம் AB பற்றிச் சுழலும்போது அதனுற் பிறப் பிக்கப்படுங் கோளத்தின் பரப்பின் பரப்பளவு
அன்றியும், 0 <س۔ 69ۃ ,1 جس۔ gبھs.
எல் 6- T12 66} -> 0 Σ ா.2r கோசை 9.769
2/rrس ببتيد {6
π|2
- 2ா? கோசை 969
ーT/2
 

நுண்கணிதம் w 255
n/2
r: 2m ᎧᏡ)ᏪᎶᏑᎢ
- T12
=47r".
நிமிர்வட்டவுருளையின் வளைபரப்பின் பரப்பளவு.
ABCD என்னும் ஒரு செவ்வகம் பக்கம் AB பற்றிச் சுழன்றல் அச் செவ்வகமானது வட்ட் அடியின் ஆரை AD யாயும் உயரம் DC யாயுமுள்ள ஒரு நேர்வட்டவுருளையைப் பிறப்பிக்கும். AD = r ஆயும் DO= h ஆயும் இருக்க. E B C அவ்வுருளையின் அச்சு AB யிற்குச் சமாந் தரமான அவ்வுருளையின் வளைபரப்பின் மீதுள்ள ஒரு கோடு அவ்வுருளையின் ஒரு பிறப்பாக்கி எனப்படும். அவ்வுருளையின்
வளைபரப்பானது ஒரு பிறப்பாக்கி வழியே வெட்டப்பட்டு ஒரு மேசையின்மீது தட்டை யாகக் கிடத்தப்பட்டால், அது பக்கங்கள்
2ாr, h என்பனவாயுள்ள ஒரு செவ்வ A கத்தை ஆக்கும்.
ஆகவே, அவ்வுருளையின் வளைபரப்பின் பரப்பளவு = 2rh. அவ்வுருளே யின் கனவளவானது அடியின் பரப்பளவை உயரத்தாற் பெருக்கவரும் பெருக்கத்திற்குச் சமன் எனக் கொள்ளப்படுகின்றது.
? D
.. கனவளவு =ா?h.
பயிற்சி 23.
1. இரண்டு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையில் அமைக்கப்பட்ட ? என்னும் ஆரையையுடைய ஒரு கோளத்தின் பகுதியின் கனவளவு 4ா (b-a)(3r-b?-a-ab) எனக் காட்டுக.
இங்கு a, b என்பன அத்தளங்களிலிருந்து அக்கோள மையத்தினுடைய தூரங்கள் ; b>a; அத்தளங்கள் அக்கோள மையத்தின் ஒரே பக்கத்தில் அல்லது எதிர்ப்பக்கங்களில் இருத்தற் கேற்ப a, b என்பனவற்றிற்கு ஒரே குறி அல்லது மறைக்குறிகள் உண்டு.
2. d என்பது இரு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரமாயின் அவ்விரு சமாந்தரமான தளங்களுக்கு இடையில் அமைக்கப்படும் r என்னும் ஆரையுள்ள ஒரு கோளத்தின் பரப்புப் பகுதியின் பரப்பளவு 2Trd எனக் காட்டுக.

Page 134
256 ஆரம்ப தூய கணிதம்
3. முனைகளினுடைய ஆரைகள் r, r என்பனவாயும் உயரம் h ஆயுமுள்ள ஒரு கூம்பின்
அடித்துண்டின் கனவளவு
επή (' + r,r + r) எனக் காட்டுக.
4. A என்பது ஆரை 7 ஆயும் மையம் 0 வாயுமுள்ள ஒரு கோளத்தின் பரப்பின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. A யில் உச்சியும் AO வழியே அச்சும் கோதா” 3 இற்குச் சமனன அரையுச்சிக்கோணமும் உள்ள நிமிர்வட்டக் கூம்பிற்குள் அமைக்கப்படும் அக்கோளத்தின் பகுதி தோண்டி எடுக்கப்படுகின்றது. மீதிப்பகுதியின் கனவளவு 34ாr" எனக் காட்டுக.
5. a, b என்னும் ஆரைகளுள்ள இரு கோளங்கள் ஒன்றையொன்று வெளியாலே தொடுகின்றன ; மையமிணைகோட்டின் வழியே தன் அச்சையுடைய ஒரு நிமிர்வட்டக்கூம்பு அவையிரண்டையும் உள்ளடக்கி அவற்றைத் தொடுகின்றது. அக்கோளத்தோடு அக்கூம் பினுடைய தொடுவட்டங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோளப்பகுதிகளின் மொத்தப் பரப்பின் பரப்பளவு 4raம் என நிறுவுக.

அத்தியாயம் 5
அடுக்குக்குறிச் சார்பு
2م 1十新十斑十 SL S 0SL S SS S SS S SS 0 S S SSLSS S S S S SSL S S SL S SL SSL 十 - + ··············
γι ஆகிய முடிவில் தொடரானது 2 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் ஒருங்குமென நிறுவலாம்.
தொடரின் கூட்டுத் தொகை f(x) இனற் குறிக்கப்படுமாயின், f(x) X f(y) = f(2+g) எனவும் நிறுவல் கூடும். அதாவது
(l +, +...++ ..)(1 99. +...+...) 1 2''' ' ' ' 1 2. n
+ a 十2/)* - 1 (a ty)'+'. -- இப்பெறுபேறுகள் முடிவில் தொடரிலுள்ள சில தேற்றங்களைக்கொண்டு திட்டமாக நிறுவப்படல் கூடும். எங்கள் தேவைகளுக்கு இப்பெறு பேறுகளே எடுகோள்களாகக் கருதுவோம்.
f(1) ஆனது e யினற் கருதப்படுவதாகுக. அ-து : e = 1 +執+蟲+...+款
எல்லா உறுப்புகளும் நோாயும், முன் இரு உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகை 2 ஆயுமிருப்பதனல்
十...
. \~سر ’’
இன்னும் 3 T 2.3 - 22
1 > پہلے تھے . 4 2.3.4. 23
l 1. 1 -- 1 -- SSSSAASS SqiSSS SS SS SS SS SS SS SS SS SS e < 1 -- * * * * * *
ஆனல் 1+露+頭 + ஒத்* ஆனது தன் முதல் உறுப்பு 1 எனவும்
பொது விகிதம் 4 எனவுங் கொண்ட பெருக்கத் தொடரின் முடிவிலிக் கூட்டுத் தொகையாகும்.
... e < 1 -- , , = 3
1 -

Page 135
258 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகவே e ஆனது 2 இற்கும் 3 இற்கும் இடையேயுள்ள ஓர் எண்ணுகும். இதன் செம்மையான (சரியான) பெறுமானமானது p, q என்பன முழுவெண்களாகவுள்ள f எனும் வடிவத்தில் கூறப்பட முடியாது ; ா எனும் எண்ணைப் போல இது விகிதமுற ஓர் எண்ணுகும்.
எங்கள் எடுகோளிலிருந்து
f(e) X f(a) = f(a, +3) இங்கு a, a என்பன யாதும் உண்மை எண்களாகும்.
a ஆனது பிறிதொரு எண்ணுயின்.
f(a) X f(a) X f(a) =f(c + ac) X f(ara)
=f(a + ar్క + ar్య) 10 ஒரு நேர் முழு எண்ணுகவும், 3, 22, 23. 2 என்பன உண்மையான 7. எண்களாகவுமிருப்பின், மேலே குறிப்பிட்ட காரணத்தைத் திரும்பத் திரும்பப் பிரயோகிக்கு முறையால் f(t) Xf(ae) X f(ars) X ... X f(a)
=f(n十22十...十%), எனப் பெறலாம். .
2= a = a = . =2 =1 என வைத்துக் கொள்க. எனவே.
fa)" = f(n)
9|-gi : f(n) = e". இங்கு 70 ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகும். m ஆனது -70 இற்குச் சமனன ஒர் மறைமுழுவெண்ணுகுக ; எனவே m ஒரு நேரெண்ணுகும். ஆகவே,
if (m) X f(n) = f(m, -- n) =f(0) f(a) இற்கான தொடரில் a = 0 என இடுவோமாயின், முதலுறுப்புத் தவிர மற்றைய உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் பூச்சியமாகின்றது.
எனவே
f(0) = 1 '. f(m) = - ... J (m) = f(a) ஆனல் m ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயிருப்பதால்
if (n) = eo
if (m) = =e-" =e"

நுண்கணிதம் 259 எனவே 0 நேரானதோ அல்லது மறையானதோ ஆகவுள்ள முழு எண்ணுயினும்
if (at) = e”
μ ஆனது, n ஒரு நேர்முழுவெண்ணுகவும் p நேரோ அல்லது மறையோ နျဇီး၊ முழுவெண்ணுகவுமுள்ள ஓர் பின்னமாகுக. f(a)Xf(a)X.Xf(a) =f(a+2+...+3) எனுந் தொடர்பில் 0 = 3 என எடுத்துக் கொள்க. ஆகவே ?= 2 === . . . = نے
(()) to
ஆனல் ற ஒரு முழுவெண்ணுனமையின் f(p) =e? .. f() ஆனது சீ யின் n ஆவது மூலங்களுள் ஒன்று.
ገ0
p அ-து : if () =سیس || e۶۰ ፲፬ இங்கே e" ஆனது சீ யின் 7 ஆவது நேர் மூலத்தைக் குறிக்கும். 20> 0 ஆகவிருக்கும்போது f(a) இனது தொடரிலுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும் நேராகும்.
.. a > 0 எனும் பொழுது f(a) > 0. இன்னும்
if (ac) Xf ( - ac) = f(ac - ac) = f(0) = 1 a > 0 ஆகும்பொழுது f(-a) > 0
நேரோ, மறையோ, f(t) >0
.گی = () if
எனவே a யாதுமொரு விகிதமுறும் எண்ணுயிருக்கும்போது, ஆரம்ப ஆட்சரகணிதத்தில் விகிதமுறு சுட்டியின் வரைவிலக்கணத்தின்படி
if (a) = eo
விகிதமுருச் சுட்டிக்கு ஆரம்ப அட்சரகணிதத்தில் வரைவிலக்கணங் கூறப்படவில்லை. ஆகவே 0 விகிதமுறதபோது 8° இற்கு ஒரு விளக் கமுங் கொடுக்க முடியாது. ஆனல், கருதப்பட்ட முடிவில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையான f(a) ஆனது, 3 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற் கும், விகிதமுறுவனவோ, விகிதமுறதனவோ திட்டமான கருத்தொன்று டையதாகும்.

Page 136
260 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2. விகிதமுருதபோது
e" =f(a) என வரைவிலக்கணங் கூறுகின்றேம். f(x) X f(a) = f(a + c) என்னுந் தொடர்பிலிருந்து, 2, 2 விகித முறதபோதும்
as @1十32 e Xe -- e. எனப் பெறுகின்ருேம். அவ்வாறக a யாதுமோர்
உண்மை எண்ணுயின்
+...++ .+ سست نg
2
e" ஆனது 3 இன் அடுக்குக்குறிச் சார்பென்று சொல்லப்படும். 2> 0 ஆயின், தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நேரானதாகும்.
a > 0 ஆயின் e"> 1. 2, 2 என்பன >ே 2 ஆயுள்ள இரு உண்மை எண்களாகுக.
ஆயின் 2 = 3 +h இங்கு h >0
"1+b_
6×"e جیسی ق“
h > 0 காரணமாக e"> 1 ;
добтери) e“ - 0
e' >e'. * a ஆனது சகல உண்மைப் பெறுமானங்களூடாகவும் அதிகரித்துக் கொண்டு போக 8* ஆனது ஒழுங்காக அதிகரித்துக் கொண்டுபோகும்.
a > 0 ஆயின், e">ன
co ج- e۶ و 66f (کلاله OO جای - بr
1 نسبت به e == با "" x eلا مe at -> o gulait ・一ー甚一0 அதாவது 2->- co ஆயின், e->0. y - e" இன் வரைபு.
2 இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் g>0.
வரைபு முழுவதும் 3 அச்சின்மேலே உள்ளதாகும்.
2 அதிகரிக்க y அதிகரிக்கும். வளையியானது 2 அச்சின் நேர்த்திசையில் ஒழுங்காக எறிக்கொண்டு
செல்லும். 2-> - 00 ஆயின், y->0

நுண்கணிதம் 26.  ைஅச்சின் மறைப்பாகமானது வளையிக்கு ஒர் அணுகுகோடாகும்.
ac —> OO gylu,526ör, y --> CO
.. வளையியானது எல்லையில்லாது எறிக்கொண்டு போகும்.
வகையீட்டுக் குணகம். if(a) = e* 2u66ð7 f(a + h)-f(a) è*** - e*
h h ‘飞蔚
e“ – 1 1 h h?
h 一船+等+...]
h ho ho
= 1 + high (h)
1 , h , h* . @°W)=盖十氯十筑十...
1 h h 四<* 協0<蟲+點+鹽
l -- C -- - -- . . . . . . . . . . < 十5十5十
" |b|< ஆயின்,
|i)(i)|<2h 0 >-)6ü1, h d. (h(كارلي 0 <- h .. '.
h a இன் யாதுமோர் நிலைத்த பெறுமானத்திற்கு h ->0 ஆயின்
f(t+h)-f(a)-f(a) ー>e",
h
1 جس۔
", h ->0 ஆயின், e

Page 137
262 ஆரம்ப தூய கணிதம்
'. 20 இன் எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் 8" வகையிடக் கூடியதாகும். இன்னும் அது தானே தனது வகையீட்டுக் குணகமாகும் ஒரு தனி இயல்பை யும் உடையதாகும். எனவே
(eo) e (eo. (e")
உதாரணம்.
2 ஐக் குறித்து eசைன் 3 ஐ வகையிடுக. a - சைன் 3 எனவும் g = eசைன் ல எனவும் இடுக.
dy M. WM 锣 ٤ مر سـمسه ஆயின் g = e", 沅=° dy — du , du – coges ---- How wis sa WW WWW.IMMA da du X 高千“ சன் ல கோதை து
மடக்கைச் சார்பு வரைவிலக்கணம்.
20 = e ஆயின் g = மட0 அடுக்குக் குறிச் சார்பு உடைமைகளிலிருந்து, (i) a > 0 ஆயிருக்கும் பொழுது மட்டுமே மட 3 ஆனது வரையறை யுடைத்தாகும். அது ஒற்றைப் பெறுமானச் சார்பு.
(i) ஐ நேர் பெறுமானத்தைக் கொண்டு அதிகரிக்க மட ல ஒழுங்காக அதிகரிக்கின்றது.
(iii) ac -> -- 0 guŚ6ỜT, LOL at -> -- Oo (iv) ac —> OO -gayu5?aö7, LOL ac —> oO (w) மட 1 = 0, 0 1 ஆயின் மட a > 0.
X, X என்பன நேராயின், மட XX = மட X + மட X.
g=மட 3 எனவும் g=மட ல எனவுமாகுக.
• t 2Vg ஆயின் 3 = e , 3=e
_/十” ് -
மட (33) = g + ge = மட3+மட ல p யானது ஒரு விகிதமுறு எண்ணுயின், X>0 ஆயிருக்கும்போது
LDL (x) = p LDL X.
7) ஒரு முழு நேரெண்ணுகுக. இன்னும் 3, 22 . 3, என்பன 1. நேரெண்களாகுக.

நுண்கணிதம் 263
ஆயின் மட (322. . . . . . . . . . ن(
= LDL - atu -- L AL- (No203 . . . . . . . . a) - மட 3 + மடa2+ மட (ag24. . . . . . a)
-2 LDL (1 + LOL, 2 + LOL t + . . . . . . -}- LnL 0, 2 = 32 - ஜே.வ 3-0 என வைத்துக்கொள்க.
ஆயின் மட (a") = m மட0 -
17 ஆனது -70 இற்குச் சமானமான ஒரு முழு மறையெண்ணுகுக. ஆயின் a" x a = 1
ԼՈւ (a:") + ԼՈւ. (a;") = 0 , ԼՈւ (a)*== - ԼՐւ (a:") ஆனல் m முழு நேரெண்ணுனமையின் மட (") = 70, மட 0.
மட (a") = - m மட a = 77% மட 0.
Άρ =ஆகுக. இங்கே m, n என்பன, m நேராகவுள்ள, இரு
முழு எண்களாகுக. .'ஆகுக **/***مP == a مgy =- a ஆயின் g? -- a"
. ԼԸL- (g") - ԼՈւ (x")
1ծ ԼՈւ - g = 770. ԼԸL- 2.
, மடg = மட2=p. மடல.
LOL (ato) == p. LOL ac.
ற விகிதமுருத போதும் a > 0 ஆனபோதும் a யின் விளக்கம்
ற விகிதமுறு போதும் a > 0 ஆனபோதும்,
ԼԲւ (a)*) = p. ԼՈւ- a:
... LfiOL - Ö ”گacP == e
1) ԼԸL- 2 e
ஆனது p விகிதமுறதபோதும் கருத்துடையது.
. p விகிதமுறதபோது a = 6" "" என வரைவிலக்கணங் கூறுகின் ருேம். விகிதமுறு சுட்டிகளுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகளும் விகிதமுறச்சுட்டிகளுக்கும் பொருந்துவனவாகும்.

Page 138
264 ஆரம்ப தூய கணிதம்
p யாதுமோர் எண்ணுயின், விகிதமுறு எண்ணுயினென்ன விகிதமுற எண்ணுயினென்ன,
து? - சூற மட ை
மட ? =p. மடல.
? x 4 = g LOL- ان لا بهg LDLبه م
)1( • • • • • • • • • • P + dمe(P+ 90) HOL-2 == a =ست (zoo- 32 ساما) هي( تة مg LDL وهن يت )2( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "ته == (ac y)? == el? Unol - (ar w) = - ep (lupol- a -- Lol.)
– eP - *× &# ע -ומן = 2లో X /* . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) வகையீட்டுக் குணகம்.
g = மட  ைஆகுக'.
இங்கே 2>0 ஆயின், E = சி.
.. dyT gبه سنتیت ال dy l dac l att
அதாவது a > 0 ஆகவிருக்கும்போது,
a < 0 ஆகுக ; ஆயின்
மட) = 0L SS0SS S S 0 SS S 0L S SLS 0L SLLL S L S L S SSL S L S LLLLS SLLLLSS S SSL S LS 0S 0 L S S0 S SLLS LL (A)
மட(-a) உம் உளதாகும். இங்கு, g = மட (- 2) உம் u = -2 உம் ஆகுக'. ஆயின் g = மட2, 2>0
dy l du u dy dy du
a < 0 ஆயிருக்கையில்
"- ") = L S L L S L S S SL L SLS0L S LSLS S LS S L S LS SLLLS S LLL SS00S S L0LS SLLL (B)
(A) யிலும் (B) யிலும் இருந்து, 240 ஆயிருக்க,
(-)-

நுண்கணிதம் 265
உதாரணம் : (1)
2 ஐக் குறித்து g - மட (a + தான்?a) ஐ வகையிடுக. g - மட (a + தான்*a) எனவும் a = a*+ தான்? எனவும் ஆகுக. ஆயின் y = மட u.
dy_dy du
(2+ 2தான் 2 சீக? a)
20 + 2 தான் aசிக? a
a + தான்ற
உதாரணம் : (2)
p யானது 20 இற் சாராததும் விகிதமுறததுமான ஒர் எண்ணுயின் 2 ஐக் குறித்து 2° யை வகையிடுக.
.2 ساها مع سي ممر
d p
• گی۔ عمر شق مسالکاہے ۔ Z? Y/"۔ 五("=e ×毒
p .1"?X---= p ”ی ہے۔ یہ ×露 Άρ
உதாரணம் : (3)
a > 0 ஆயிருக்க 2 ஐக் குறித்து 2” ஐ வகையிடுக.
4ն ԼԸt. 46a = ”نa
d ۶۰ - الملا! نام سیاسی a. dae (aะ*) = e ( -- ܝܩܐz( = æ" (1 + LDL æ)
யாதேனும் அடிக்குரிய மடக்கை.
g - மட a என எழுதும்போது, பொதுவாக அம்மடக்கையானது 8 எனும் அடியையே கொண்டது எனக் கருதப்படும்.
d இன்னும் de (மடல) = எனும் பெறுபேறு அப்படிப்பட்ட வகைகளில் மட்டுமே பொருந்துவதாகும்.

Page 139
266 ஆரம்ப தூய கணிதம்
மடக்கைகளுக்கு எந்த அடிகளைக் குறித்தேனும் வரைவிலக்கணங் கூறலாம்.
20 உம் a யும் 2=a? எனவாகவுள்ள இரு நேரெண்களாகுக. ஆயின்
p = மட 30
மட3 இற்கும் மட, 20 இற்குமிடையேயுள்ள ஒரு எளிய தொடர்பானது பின்வருமாறு சுலபமாகப் பெறப்படும் :-
மடa = மட , (*) =ற மட, a
تائی -سLOL _
Olی مسLOL
کی مLطLf அதாவது மட0 -
LfOL 0
ls - lo குறிப்பாக மட103 - C
Ls, 10
". அடி e யாகவுள்ள மடக்கைகள் தெரியுமானல், அடி 10 ஆகவுள்ள மடக்கைகள் கணிக்கப்படலாம்.
தொகையிடுதல்.
a யானது பூச்சியமல்லாத ஒரு மாறிலியாயின்
عمم = ( ب).
eat 琴零 - - to o e . αία α -- O
a ஒரு மாறிலியாயின் a + a 40 ஆயிருக்கும்போது
ά
(மட0+ a) " " aم -+ a
da | =" "+0
f(a) ஆனது பூச்சியமல்லாது, 20 இன் வகையிடக்கூடிய ஒரு சார்பாயின்
ά , 孟+U°=冠/°
- میپر (T (A] .
「黑如-a-sal+9

நுண்கணிதம் - 267
உதாரணம் :
0 + (1 + ب) سبعة =
|57ಠ! ac. dat = - 6ზ)ტF6ზT ე0), dat
Tகோசை : = - மட|கோசை a | + 0 = மட சீக 2 + 0
கோசை a
j၆zz27 2. da =
6Ꮱ0Ꮽ-ᎶᏑᎢ Ꮨ;
.dх
= மட|சைன் a + C உதாரணம் :
சைன் a + கோசை a
da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க 2 கோசை a + 3 சைன் 0 ந
(2 கோசை a + 3 சைன் 0)
d
- - 2 சைன் a + 3 கோசை 0 சைன் a + கோசை a =ற (2 கோசை a + 3 சைன் a)
+ g (-2 சைன் a + 3 கோசை a) என வரக்கூடியதாக p, q எனும் மாறிலிகளைத் தேர்தல் கூடும். சைன் 2 இனதும் கோசை 2 இனதுங் குணகங்களே வெவ்வேறகச் சமன்படுத்த
1 - 3p - 2q
1 = 2p-H3q
● b ...l. as e 2=五配9=五函
சைன் a + கோசை a dae ’ J2 கோசை a + 3 சைன் a
- + 1 (-2 சைன் a + 3 }
13
5
13 2 கோசை : -- 3 சைன் 3
ཁས་ ༧ -t- ཕ2-12 (2 3 சைன் Ο - 3 - a tot- காசை a + 3 சைன் 31 +

Page 140
268 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பகுதிகளாய்த் தொகையிடுதல்.
1, 0 என்பன ல இன் வகையிடக்கூடிய சார்புகளாயின்
d dи 孟(” υ) =“沅十 "de
divy du KM A f(e. -- o)i: =
dW du judx-uy-v dхdХ.
பகுதிகளாய்த் தொகையிடும் முறைக்கு இதுவே சூத்திரமாகும்.
உதாரணம் :
(1) s a கோசை a da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க.
do ய = 0 எனவும, dar = கோசை 0 எனவும் இடுக.
0 - சைன் a என எடுத்துக்கொள்வோம்.
ஆயின்
2 கோசை a da = a சைன் a - aff, a de
= a சைன் a + கோசை a -- 0. (2) f e" சைன் a da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க.
divy o 4 - e" , - மா சைன் 0 அல்லது
da 0 = - கோசைa என எடுத்துக்கொள்க.
எனவே f e* 60).FGö7 at: dat = - e* கோசை a -- f e” (8.5760)J a da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1). இப்போது s e" கோசை a da இற்குச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துக.
f e* G3.45|Tao)gr ac. dac === s (சைன் a) da
= 8* சைன் 2- f e'60), F6ö7 at dat : . . . . (2)

நுண்கணிதம் 269 ஃ (1) இலும் (2) இலுமிருந்து,
e" சைன் a da = - 8* கோசை a + e" சைன் 30
s e° 60).#6öt a dat. ... 2 f e" சைன் a da = e (சைன் a - கோசை )ை
at .. f e* 600g 6:57 a dar - (சைன் 2 - கோசை a). 2 மாறியை மாற்றுதல்.
f(t) = h(a) east, f(a) de - d. ()
a ஐ வேறெரு மாறி t இன் வகையிடத்தக்க சார்பாகக் கூறுவோ மாயின், p(2) உம் f(a) உம் t இன் சார்புகளாகக் கூறப்படல் கூடும்.
db dd de if (at)
蔬丁孟*西飞
- da ... φ (α) = | fω 嘉叶
இவ்விடத்தில்
. -(2)ఖ இல் கூறியதன்பின் t ஐக் குறித்துத் தொகையிடல் செய்யப்படும். v,
dae .. da = ~~~~ LAVIV , ! (..) 2 | (8) 赢° உதாரணம் (1)
at? -- 1
«V(a! -+- 1) V(a + 1) = t அல்லது 2 + 1 = எனும் பிரதியீட்டை தெரிந்து கொள்க.
da என்னுந் தொகையீட்டைக் கணிக்க.
d ஆயின், 豁 -2
(ac*+ 1) e-pil . . - --- dat = - 's--2t dit
V(ac —+- 1) t
= 2 (t-2t-i- 2) dt
-2 (-22 =2(5一百十2/
o (ac + 1) i 2 (x + 1)* - || 5 - 3 - 十2(z十- 1) + c.

Page 141
270 ஆரம்ப தூய கணிதம்
உதாரணம் (2)
a ஒரு நேர் மாறிலியாகவிருக்க
jv 2-02 da) இனது பெறுமானத்தைக் கணிக்க.
必=06D96市旅 என இடுக.
இங்கே மாறி t ஆனது- இற்கும் இற்கும் இடையே உளதாயிருக்
கும் வண்ணம் வரையறை செய்யப்பட்டுளது. எனவே a ஆனது - a யிற்கும் a யிற்குமிடையே மாறுகின்றது. 2 இன் மறு பெறு மானங்களைப் பற்றிய பிரச்சினை இப்போது தேவையில்லை.
Va2-02 நேராயிருப்பதாலும் t ஆனது - இற்கும் இற்குமிடையிலி ருக்கும்போது கோசை r நேராயிருப்பதாலும், Va2-02 = a கோசை b.
.. va .لاوس dac تتيح Ja கோசை tf dit
-at G35T600gt dt
a? = (1+ கோசை 2) d
2 :- ( 2) - O
a. = (t+ சைன்கோசைt) + 0
ფ? سیسیسیستم را ثاب
60 ਫਰੰ 'a -- 2 -va --a2 م-+-C.
பயிற்சி 24.
1. ற யாதுமொரு மாறிலியாக, a ஆco ஆயின் a e "-ை> 0 எனக் காட்டுக.
தரப்பட p யிலும் கூடியதாகவுள்ள m எனும் ஒரு முழு நேரெண்ணைத் துணிதல்
கூடும்.
apነ} a > 0 ஆயிருக்க, 8 >
笃
0 ፲9 8 -- ፰ .. 0 < ወ” e -* < Ÿ –።
2. a -> + 0 ஆயின் 2 மடல->0 எனக் காட்டுக. (பயிற்சி (1) இலிருந்து உய்த்தறிக.

நுண்கணிதம் 27.
3. (1 - 2)? 8? ஓர் உயர்வையும் ஒர் இழிவையும் உடையதெனக் காட்டுக. a இன் சகல பெறுமானங்களுக்கும் சார்பின் மாறல்களை வரைக.
4. 30 ஐக் குறித்து 8 சைன்3 இனது 7 ஆவது பெறுதி
ጎሴፃር 27]* * சைன் ( -- ) எனக் காட்டுக. 5. p ஒரு நேர் மாறிலியாயின் குறித்ததோர் எல்லைக்கு மேல்
 ைஅதிகரிக்க (மட ல)/a ஆனது குறையுமெனக் காட்டுக. 6. A, B என்பன a இன் தொடர்பில்லாதனவாக
A
1 + به * 1 + 92ه 1 + نو8 + شوو
எனும் உருவத்திற் குறிப்பிடு முறையாக,  ைஐக் குறித்து இனது
1 + و32 + 2 وو.2 தொகையீட்டைக் காண்க.
7. பின்வரும் சார்புகளை a ஐக் குறித்து தொகையிடுக
(a) LD- ac (b) தான்-12 (e) a2 e. 8. மாறிகளை வசதியாக மாற்றியமைக்கும் முறையால் பின்வரும் சார்புகளேத் தொகையிடுக.
கோசைன
(а)
{(a (e) (LoLa ۶ھ ج6 * "763ظم b) e) بھی ہو (o
9. t = தான் எனும் பிரதியீட்டால் கோசில ஐயும் சீக 0 ஐயும் a ஐக் குறித்துத் தொகையிடுக.
10. ம் தொகையிட அதே பிரதியீட்டைட் 5 - 4 கோசை g 33պւՌ 4 - 5 (3as naog ay ஐயும (cதாகைய்ட அதே தியீட்டைப்
பிரயோகிக்க.
11. t = சைன் g எனும் பிரதியீட்டால் கோசை? 0 ஐயும்
2 = தான் a எனும் பிரதியீட்டால் சீக* 3 ஐயும் தொகையிடுக.

Page 142
272 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அதிபரவளைவுச் சார்புகள்
வரைவிலக்கணம் :
به ۶ - ب - منبع
என்பது 3 இன் அதிபரவளைவுக் கோசைன் எனப்பட்டு அகோசைன் ஐ
نهٔ - 2 س. او எனக் குறிக்கப்படும். T2
என்பது a இன் அதிபரவளைவுச் சைன் எனப்
نهٔ - g -سه نوع
- என்பது 3 இன் அதிபர e-* இ {۔ نئی
பட்டு அசைன் ஐ எனக் குறிக்கப்படும்.
வளைவுத் தான்சன் எனப்பட்டு அதான் a எனக் குறிக்கப்படும். ۔ جب#-e--
e
என்பது a இன் அதிபரவளைவுச் சீக்கன் எனப்பட்டு அதிக ஜ எனப்படும்.
என்பது a இன் அதிபரவளைவுக் கோசீக்கன் எனப்பட்டு அகோசி ஐ 2 - پ - موت
6ToOT I JOEth.
نه -e -- ۶ به என்பது a இன் அதிபரவளைவுக் கோதான்சன் எனப்பட்டு அகோதா ஐ ھمہ e - e. எனக் குறிக்கப்படும்.
e--e. அகோசை 0 . -- = 1,
2
e9 = e9 அசைன் 0 - = 0,
அதான் 0 = 0,
அசீக 0 = 1. அகோசி 0, அகோதா 0 என்பவற்றிற்குப் பெறுமானமில்லை. a-> OO ஆக, அகோசை ல-> 00, அசைன் ல-> OO ;
22- ۔ ۔ 1 ۶ - به سس مو
ст.н. - - - - за
அதான் 30 -
முடிவில் தொடராக உணர்த்தப்படுமிடத்து,
ᏭᏪ
- فيه ، لأنه " e =s サ五十五+5+...+五十...
")ac-( 3م a2
--- - - ته س ش ص ・・・+十 5面十・・・・十音エー 1 كيسي لهة "" مع

அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 273 .
,.a; ეჯ27 2م Ꮧ92jᏊᏧᏏfᎢ6Ꮌ0Ꮡ "=1+5 + +····+5 +
1 + 4?2م (2n -- 1):
", அகோசை (-a) = அகோசை ,ை
3 و و -9Ꭵ6Ꮱ)Ꮿj-ᏊᏍᏡᎢ ᏘᏪ ----- - 3 + . . . . .
அசைன் (- 2) - அசைன் 30,
அசைன் (-a)
அதான் (-a) = அகோசை (-a)
அதான் 20.
மேலும், 3 ஆனது நேர்ப் பெறுமானங்களுக்கூடாகக் கூடுதலுற அகோசை3, அசைன் 3 என்பன இரண்டும் உறுதியாகக் கூடுதலுறும் ;
6 - 6 - - - - 1 - - - 2 1 - ۶ 2 e 1 -- ۶قع ۴ ـ ق - ع - تقی
அதான் 30
ஆதலால், அதான் a என்பதும் உறுதியாகக் கூடுதலுறும்.
எல்லா m இற்கும் அகோசை* a - அசைன்? a=1.
ஏனெனின், அகோசை? a -- (掌 ༡) -- و به مقاعده
அசைன்? a -- مع - a - 2 2 = علام +e - 26 -2
2 4.
.. அகோசை? a - அசைன்? a - = 1.
எல்லா 2 இற்கும் அகோசை? a > 1 ஆதலால், அகோசை* 2 ஆல்
வகுகக,
1- தான்? ஐ= அசிக* a. 240 எனின், அசைன்? 2 ஆல் வகுக்க,
அகோதா? a - 1= அகோசி?ல.
அகோசை (3+2)= அகோசை  ைஅகோசை  ை- அசைன் ல அசைன் a
எனெனின், அகோசை 2 அகோசை a
eo -- e o eoa -- e a
2 2
二 (e***a-+- e'1 22 -- e. To+2° 十6て"a下*),
6*1ー6 下*1 628سم و-- e "" نهe
அசைன் 20 அசைன் 2 - டட்ட . ட்ட
2 2 2
~ (e*፤ +“፡ -é“ኋ ー"aーeーzaサoa十eす*

Page 143
274 ஆரம்ப தூய கணிதம்
.. அகோசை 3 அகோசை a+அசைன் 30 அசைன் ல
a十あa ن سسi -- a\ =嘉 (e -- e. ) = அகோசை (3+2).
இது எல்லா 3, 22 இற்கும் உண்மையானமையால் a இற்குப் பதிலாக - 3 எழுதப்பட,
அகோசை (21-2) - அகோசை 2 அகோசை (-a)
+அசைன் 3 அசைன் (-3)
= அகோசை 2 அகோசை 9
- அசைன்  ைஅசைன் ே
இதே மாதிரி,
அசைன் (2 + ،02) = அசைன் 3 அகோசை a + அகோசைல அசைன் 30, அசைன் (3 - ல) அசைன் ல அகோசைல + அகோசை 20 அசைன் ல
என்பனவும் நிறுவப்படலாம்.
இனி, அதான் (a+2)= அசைன் (a+)ை அகோசை (a+3)
அசைன் 3 அகோசை 02+ அகோசைல அசைன் 22
அகோசை 2 அகோசை a+அசைன் ஐ அசைன் 2, தொகுதியையும் பகுதியையும் அகோசை 2 அகோசைல என்பதால் வகுக்க,
அதான் 0+ அதான் ல 1+அதான் ல, அதான் ல, a இற்குப்பதிலாக -2 ஐ எழுத
அதான் (31-3)= அதான்  ை- அதான் 2ை 1- அதான் ல அதான் ல 3=2=0 எனப் பிரதியிட,
அகோசை 23=அகோசைaே + அசைன்லே, அசைன் 22=2 அசைன் 2 அகோசை2,
2 அதான் 30
ir 2ac = a --- . அதான 1 + அதான்?ல
வகையீட்டுக் குணகங்கள்.
d it al., -a, 1 da: (அகோசைa)= (e°十6丁*)器
= (e?-e") - aஅசைன்

அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 275
d d
(அசைன் 2) = σα (e۶ - e -۶) :
= 4 (e"+e") அகோசை a.
d (அதான் ல) _d ( அசைன் 2 ) doc 应 , dac (அகோசை ல)
அகோசை 2; அகோசை a - அசைன் 20 அசைன் 20
அகோசைலே
அகோசைலே - அசைன்?
அகோசைலே
- - - - - - gigsac.
அகோசைலே 99
(அகோதா ஸ்) = d ( i)
doc அசைன் 30
அசைன்றே - அகோசைலே
அசைன்றே
= - அகோசி?ல.
d d -- - “ ー1 doc (அசீக 0) - da: (அகோசை a)
- - (அகோசைa)"? அசைன் ல
= - அசீக 20 அதான் ல.
d d - Go a) = - என்ற) "1 dac (அகோசிa) dac (அசைன் 3)
- - (அசைன் ல) "* அகோசைல = - அகோசீa அகோதா .ை
நேர்மாறு அதிவரவளைவுச் சார்புகள்.
வரைவிலக்கணம்
g= அகோசை"12 என்பது 3- அகோசைg என்பதைக் குறிக்கும் y- அசைன்" 0 என்பது
2- அசைன் g என்பதைக் குறிக்கும். 11-R 11681 (1766)

Page 144
276 ஆரம்ப தூய கணிதம்
y- அதான்"* a என்பது 2= அதான் g என்பதைக் குறிக்கும். வேறும் இவ்வாறே,
அகோசை -12 எல்லா று யிற்கும் அகோசைg > 1 ; இதற்குக் காரணம்;
அகோசை 9 = + ++ .
என்பதே. ஆகவே a > 1 ஆனற்ருன் அகோசை” இற்குப் பெறுமான முண்டு. அன்றியும் பூச்சியத்திலிருந்து முடிவிலிக்குக் கூடுதலுற அகோசை y யானது 1 இலிருந்து முடிவிலிக்கு உறுதியாகக் கூடுதலு றும். ஆயின் 3 ஆனது 1 இலிருந்து முடிவிலிக்குக் கூடுதலுற அகோசை"  ைஆனது பூச்சியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு உறுதியாகக் கூடுதலு றும். ஆகவே a > 1 எனின், அகோசை" 0 இற்கு நேர்ப் பெறுமானம் ஒன்று மாத்திரம் உண்டு. அகோசை (-g)= அகோசை g ஆனமையால், அகோசை" 0 இற்கு ஒரு மறைப் பெறுமானமும் உண்டு ; ஆனல் வழக்க மாய் நேர்ப் பெறுமானம் மட்டுமே எடுத்துச் சிந்திக்கப்படும்.
இனி, y- அகோசை" என்க. ஆயின் =ை அகோசைg
- e -- طe 2
0 = 1+ لأي ج 2 – 2(لأe) By is t? - 2at -- l = 0 , t = t'
..”. t== ac+ Vat? - 1 , 1-۔ قب/a + v سسست طe! --J, eہ
2 =1 எனின், இரு பெறுமானங்களும் 1 ஒடு பொருந்தும். a > 1 எனின், இரு பெறுமானங்களும் நேராகி வேறு வேருகும்.
y = LDL (at va-1) (gs6uméhريg 1 ==(1 - قمVaہ - ac) (1 - 2 مVaه -+-تa) .0 = (1 - قمVaہ ---LoL- (ac -+-(1 - قمV/aہ -+۔LDL- (ac
y = -- LOL. (at -- Var? - 1).

அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 27 ஆகவே நேர்ப் பெறுமானத்தை மட்டுமே எடுப்போமாயின், அகோசை"ல= மட, (a + V2-1) , a > 1.
அசைன் - 3 g யானது - O0 இலிருந்து + 0 இற்க்கு கூடுதலுற, அசைன் து யானது - CO இலிருந்து + OO இந்கு உறுதியாகக் கூடுதலுறும் ஆகவே 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு ஒத்ததாய் அசைன் "10 இற்கு ஒர் ஒன்றிப் பெறுமானம் உண்டு.
அசைன் "10=0 :
a > 0 எனின், அசைன்" a > 0; ac < 0 6 resofflaör, அசைன் "4a < 0. இனி g= அசைன் "12 என்க. ஆயின் a = س *
0 = 1 ۔ لاطeہ 2 -- ?(e) 4-1- 2 /vہ + a == لطe .".
2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
,(60ITé ویرایی 0 > 1 + e - ۹/a2 1 + 2;v/aaہ س+- a =تلاe
y = LOL. (ac + Vas?--1) (I-+-2مVa۔ -+a2 === LDL (ac 1۔ gr68T(60إصي .".
அதான் "10 g யின் எப்பெறுமானத்திற்கும் e, e", என்பன நேர்ப் பெறுமானங் கள் உடையனவாதலால் அதான் g யானது -1 இற்கும்+1 இற்குமிடையே கிடத்தல் வேண்டும். ஆகவே ல ஆனது - 1, + 1 என்பவற்றிற்கிடையே கிடந்தாற்றன் அதான்" 0 இற்குப் பெறுமானமுண்டு.
y = அதான்"12 ஆயின்,
eau - e - y e2y - eye-v evil
الأفلام
3/=塁 to-。 (颚
l -
l-Har l一°C

Page 145
278 ஆரம்ப தூய கணிதம்
8 அதான்"13= 3 மட, (菩) , - T < ac > 1 ܀
வகையீட்டுக் குணகங்கள்.
g = அகோசை"10 ஆகுக. ஆயின்  ை= அகோசைறு, W
da dy T அசைன்று.
g என்பது நேர்ப் பெறுமானம் உடையதெனக் கொள்ளப்பட்டால்,
அசைன்g= v/அகோசை?று -1
= 1/ac2-1. i dy l
蒸=五ー エ・">'
dy
d அதாவது (அகோசை"1a)- , a > 1.
vag - அசைன்" a என்க.
ஆயின் 3= அசைன்று,
3) ص = گ dy T அகோசைg.
அகோசை g என்றும் நேராதலால்,
அகோசை g- Vஅசைன்?g 1.
dy I l dat dat T Va2+-1'
dy
அதாவது (அசைன்" a)- ہv/a1#۔ 2 ن
a என்பது நேர்ப் பெறுமானமுள்ள மாறிலியாயின் ,
d
(அகோசை-) "V(5)' -,
dac
・エっ一a;> a تت
v/ a2 - qہ
X -

அதிபரவளைவுச் சார்புகள் 279
d ( ;) --- அசைன்"1- == – لا سمدسيس بي-بسK سبب dac O a\ O
/()'+ --- T V2 la
தொகையீட்டுச் சூத்திரங்கள்
முந்திய வகையீட்டுச் சூத்திரங்களிலிருந்து பின்வரும் தொகையீட்டுச் சூத்
திரங்கள் பெறப்படும்.
n என்பது பூச்சியமல்லா மாறிலியெனின்,
(1) அகோசை aa da = அசைன் aa+0,
(2) அசைன் aa da = அகோசை aa +C,
(3) அசீக? aa da = அதான் a2+0,
(4) அகோசி? aa da = அகோதா aa+0,
dat 01 --س ܚܚܚܚܫܫܝܚܫܚܚܗ. (5) =அகோசை (IV, --O, ac > ai > 0
da ()」、司ー*露+0 ">0
5) என்னுஞ் சூத்திரம் a நேராகி 30 ஆனது a யிலும் பெரிதாகு மிடத்தே உண்மையாகும். ல?-a*> 0 ஆகி 30 ஆனது - a யிலுஞ் சிறிதாகு மிடத்தும் உண்மையாகும் ஒரு சூத்திரம் பின்வருமாறு பெறப்படும்.
a (+ v- ()}
- - - (1
5 - 2/w/ 2 - a 30 \\ 1+ w + ہ تم
l
-va - a
d بــــــــــــــــــــس۔ســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــہ-- .. マ歳エー LOL (a -- Var-a2)--C, ada.
எத்தொகையீட்டுச் சூத்திரத்திலும், q என்பது மாறிலியாயிருக்க, 2 ஐ 30+ 0 வால் இடமாற்றம் செய்தால் அச்சூத்திரம் உண்மையாகவே யிருக்கும். இதற்குக் காரணம்,

Page 146
280 ஆரம்ப தூய கணிதம்
d த் தி()=f() ஆயின்,
d d: தி (a + c) =f(3+2) ஆகுமென்பதே.
ஆகவே,
ത്സയുഖം .0+ {قه = {2+ V(a + + به } let = ق =
dae ... ( at--O. .0 < ته, 0+(کeOfeer-t(dبع =قهIff
பயிற்சி
1+அதான்? 1. அகோசை a = --- ,
1 - அதான் 2
2 அதான் அசைன் - -്.
1- அதான் 2
6T6öTぶ 57L@g。
2. அசைன் 33 : 3 அசைன் a + 4 அசைன் ,
அகோசை 33 = அகோசை - 3 அகோசை  ை,
என்பனவற்றை நிறுவுக.
3. ஐ= அசைன் என்னும் பிரதியீட்டால்
dat |- trol-e (1 + V2) + 3 – 3:
எனக் காட்டுக.
(1 -- V2)
4. குறித்துப் பின்வருவனவற்றைத் தொகையிடுக.
8 & 1. (i) v/(a"+2zー3) (ii) ヤ/(a"+2pー+5) (iii) «V (3 — 2ac — ac3)
5. = அதான் ஐ எனப் பிரதியிட்டு அசீக92 என்பதை ஐ பற்றித் தொகையிடுக.
24. அகோதா ஐ எனப் பிரதியிட்டு அகோசி ை என்பதைத் தொகையிடுக.

அட்சர கணிதம்

Page 147

அத்தியாயம் 1
பல்லுறுப்பிச் சார்பு
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயும், a, d, .0 என்பன மாரு மெய்யெண்களாயும், 0 என்பது மாறும் ஒரெண்ணுயும் இருந் தால், an"+ aa" + ... + a என்பது m என்னும் படியுள்ள 30 இன் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பு எனப்படும். ax + a என்னும் வடிவான முதலாம்படியிலுள்ள பல்லுறுப்பிச் சார்பு 2 இன் ஒரு படிச் சார்பு எனப்படும். 70 ஒருபடிச் சார்புகளின் பெருக்கம் m என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாகும். அவ் n ஒருபடிச் சார்புகள் ஒவ்வொன்றும் இப் பல்லுறுப்பிச் சார்பின் ஒரு காரணியாகும். f(a) என்பது 2 இனது தந்த ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாயும் 2-a என்பது a இனது தந்த ஒர் ஒருபடிச் சார்பாயும் இருந்தால், a - a என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாய் இருக்கலாம் அன்றி ஆகாதுவிடலாம். எவ்வகையிலும், 2 ஐச் சாராத ஒரு மீதியைப் பெறும்வரைக்கும் f(a) என்பதை a-a என்பதாலே வகுக் கலாம். a-a என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி அல்லது ஒரு காரணி யன்று என்பதற்கேற்ப மீதி பூச்சியமாகும். அல்லது பூச்சியமன்றகும்.
மீதித் தேற்றம். 2 என்னும் மாறியின் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பு f(a) என்பது a - a என்பதால் a ஐச் சாராத மீதி ஒன்று பெறப்படும் வரைக்கும் வகுக்கப்பட்டால், இம்மீதி f(a) என்பதற்குச் சமன் , இங்கு f(a) என்பது f(a) இல் a = a எனப் பிரதியிடப்பெறப்படும் பெறுமானத்தைக் குறிக்கும்.
பெறப்படும் ஈவு a இன் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாகும். அதனை தி (a) என்பதாற் குறிக்க ; R என்பது அம்மீதியாகுக. ஆயின்,
f(a) = (a, - a) db (a) + R. அவ்விரு கோவைகளுஞ் சர்வசமன். 0 = 0 எனப் பிரதியிட,
f(a) = 0 x þ (a) + R = R.
.. a-a என்பது f(a) இன் ஒரு காரணியாயின், f(a) = 0 ; மறுதலையாக, f(a)=0 எனின், (a-a) என்பது f(x) இன் ஒரு காரணி யாகும்.
உ-ம். 28-02-2 + 1 என்பதன் காரணிகளைக் காண்க.
அச்சார்பு x இன் மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாகும்.
அதனை f(a) என்பதனற் குறிக்க.
.. f(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0. ". 2-1 என்பது f(a) இன் ஒரு காரணி.
283

Page 148
284 ஆரம்ப தூய கணிதம்
f(-1) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0
'. 20+ 1 என்பதும் f(x) இன் ஒரு காரணி. .. (a -1)(a + 1) என்பது ஒரு காரணி. இக்காரணி இரண்டாம் படியில் உள்ளது. ஆகவே, அச்சார்பிற்கு 2 இன் முதலாம் படியிலுள்ள வேறெரு காரணியும் இருத்தல் வேண்டும். a, b என்பது 2 ஐச் சாராவாயின், அது a2+ b என்னும் வடிவத்தில் இருக்கும். f(α) Ε (α’ - 1)(α’ + 1)(αα -+- ό). 2 ஐச் சாராத உறுப்பு இடப்பக்கத்தில் + 1 ஆயும், வலப் பக்கத்தில் -b யாயும் இருக்கின்றது.
*. b = — 1. இரு பக்கங்களிலும் ஃ இன் குணகங்களைச் சமன்படுத்த,
α = 1
..”. ai* -- at* - ac + 1 = (ac - l)? (ac -- l).
பல மாறிகளினுடைய பல்லுறுப்பிச் சார்புகள்.
p, q என்பன நேர்முழு எண்களாய் அன்றிப் பூச்சியமாய் இருக்க, a என்பது a, g என்பனவற்றைச் சாராதிருந்தால், aa g" என்னும் வடிவிலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை 2, g என்னும் மாறிகளின் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாகும். உதாரணமாக, 2ஃy-5ag + g-2ல என்பது 2, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாகும். ல, g என்பனவற்றின் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பில் யாதுமோர் உறுப்பிலுள்ள a, g என்பனவற்றின் படிகளின் கூட்டுத் தொகை ஒரே யளவினதாய் 7 இற்குச் சமனய் இருந்தால், அப்பல்லுறுப்பிச் சார்பு எகவினமானதென்றும் m என்னும் படியுள்ளதென்றுங் கூறப்படும். உதாரணமாக, ag-3ag?-5g3 என்பது a, g என்பனவற்றில் 3 ஆம் படியிலுள்ள எகவினப் பல்லுறுப்பிச் சார்பெனப்படும்.
0, y என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பானது 30, g என்பன ஒன்றுக் கொன்றக மாற்றப்படும்பொழுது மாறதிருந்தால், அது சமச் சீரானது எனப்படும்.
ag + ag2 + 20 + 2g என்பது a, g என்பனவற்றிற் சமச்சீரானது ; அதற்குக் காரணம் a என்பதை g யாலும் g என்பதை 3 ஆலும் இடம் பெயர்க்க முந்திய சார்போடு ஒன்றகிய gமே + ga2+ 2g + 23 என்னுஞ் சார்பே பெறப்படும் என்பது.
அதுபோல, மூன்று மாறிகளையாதல், மூன்றின் மேற்பட்ட மாறிகளே யாதல் கொண்ட எகலினச் சார்புகள் வரையறுக்கப்படலாம்.

அட்சரகணிதம் 285.
p + g + r என்பது மாறது 70 இற்குச் சமனகுமாறு, p, g, r என்பன நேர்முழு எண்களாயோ பூச்சியமாயோ இருந்தால், aaga" என்னும் வடிவத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டுத் தொகையாலாகும் ஒரு கோவை 2, g, 2 என்பனவற்றில் m என்னும் படியிலுள்ள ஏகவினப் பல்லுறுப்பிச் சார்பெனப்படும்.
a என்பது g யையும், g என்பது 2 ஐயும், 2 என்பது 0 ஐயும் இடம் பெயர்க்கும்பொழுது மாறது, 2, g, 2 என்பனவற்றிலுள்ள ஒரு பல் லுறுப்பிச்சார்பு 2, g, a என்பனவற்றில் சக்கரச் சமச்சீரில் இருக்கின்ற தெனப்படும்.
உதாரணங்கள் 1. a*(g-2) + g?(2-2) + ஃ(a-g) என்பதன் பல்லு றுப்பிக் காரணிகளைக் காண்க.
2 = y ஆகும்பொழுது, அக்கோவை பூச்சியமாகும். அக்கோவை 20 இன் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாயிருத்தலால், 2-g என்பது அதன் காரணிகளுள் ஒன்று என்பது மீதித் தேற்றத்தாற் பெறப் படும்.
அதுபோல 3-g என்பதும் ஒரு காரணியாகும். .. (a-g) (3-2) என்பது ஒரு காரணி. இக்காரணி 3 இன் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை: தந்த கோவையும் 30 இல் இரண்டாம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை. ஆகவே வேறு யாதும் காரணி 2 ஐச் சாராதிருத்தல் வேண்டும். தந்த கோவையில் ஃ இன் குணகம் g-2 ; (a-g)(3-2) இல் வி இன் குணகம் 1.
." a"(yーz)ー+ y"(zーの)十2"(a;ーy)=(yー2)(rー3/)(rー2)
=ー(rー3)(yーz) zー2) 2. லீ (g-2) + g^3 (2-2) + 29{a-g) என்பதன் பல்லுறுப்பிக் காரணி களைக் காண்க.
அக்கோவையை 0 இலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை எனக் கொண்டு முன்போல் (a-g) (3-2) என்பது ஒரு காரணி எனப் பெறுகின்ருேம்.
தந்த கோவை 20 இலே மூன்றம் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை ; ஃ இன் குணகம் g - 2 ஆகும்.
ஆகவே, p என்பது y, z என்பனவற்றைச் சார்ந்தோ சாராமலோ இருந்து 2 ஐச் சாராதாயின், அக்கோவைக்கு (g-2)(a + p) என்னும் /வடிவிலுள்ள வேருெரு காரணி இருத்தல் வேண்டும்.
.. தந்த கோவை = (a-g) (g-2) (- 2) ( + p). தந்த கோவை, ல, g, 2 என்பனவற்றிலே நாலாம் படியிலுள்ள எகவினப் பல்லுறுப்பிக் கோவையாய் 3, y, z என்பனவற்றில் சக்கரச் சமச்சீரில் உள்ளது.

Page 149
286 − ஆரம்ப தூய கணிதம்
அன்றியும், (0-g) (g-2) (0-2) என்பது 2, g, 2 என்பனவற்றில் சக்கரச் சமச்சீரில் உள்ளது.
.. (a + p) என்னுங் காரணியும், a, g, 2 என்பனவற்றிலே சமச்சீரில் இருத்தல் வேண்டும். p = g + 2 ஆயினற்றன், இந்நிபந்தனை தீர்க்கப்படும்.
. 2"(yー2)十 y"(2ー2)十2"(rーy)
三ー(2ーy)(yー2)(zー2)(c十3/十2). 8. ஃ+ g8 + 28-3ag2 என்பதன் பல்லுறுப்பிக் காரணிகளைக் காண்க.
30 = - (g + 2) எனின், அக்கோவை
.gSLib) ليg 0 = (چہ -+- 3g2 (g-+- 28 م+- g8 -+- 8(ع -+۔ gy) -- .. 3 + g + 2 என்பது ஒரு காரணி. தந்த கோவை 2, g, 2 என்பனவற்றிலே மூன்றம் படியிலுள்ள எகவினச் சக்கரச் சமச்சீர்ப் பல்லுறுப்பிக் கோவை.
3 + g + 2 என்னுங் காரணியும் a, g, 2 என்பனவற்றிலே முதலாம் படியிலுள்ள எகலினச் சக்கரச்ச்மச்சீர்ப் பல்லுறுப்பிக் கோவை.
ஆகவே, a, g, 2 என்பனவற்றில் எகவினச் சக்கரச் சமச்சீர்க் காரணி வேறென்று இருத்தல் வேண்டும் ; இக்காரணி இரண்டாம் படியில் இருத்தல் வேண்டும். ஆகவே, அது
A (a” + y* +z*) + B (ay + yz + za) என்னும் வடிவத்தில் இருத்தல் வேண்டும். ..”. ac* -- y*+ 2* - 3ary2 = (ar + y + z)[A (ac*+ y? -- z*) + B (acy -- y2 + 2ac)]. 2° இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
A = 1 எனவும் 2g யினுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த
4 + 8 = 0 எனவும் பெறப்படும். ..". B = -1. .(230-- gy* -+- 2* -- acy - g2 -+- 2 ن3age = (ac -+- gy -+- 2) (a - 8یہ -+- ac8 -+- g8 .". A, B என்பனவற்றைத் துணிதற்கு ஒத்த குணகங்களைச் சமன்படுத்தற் குப் பதிலாக, பின்வருமாறுஞ் செய்யலாம்.
ல, y, z என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அவ்விரு கோவைகளுஞ் சமனகும்.
3 = 1, y=1 k = 0 என்றுபிரதியிட 2 = 2 (24+B) அதாவது 2A+B=1.
= 1, y=0, z=0 எனப் பிரதியிட 1 = A. ... B= - 1
[*(ac س-2) -+- *(2 -- ac = 4[(ac-- g)2-+- (gy& س- عac2 -+- g2 +- 22 -- aggy -- g

அட்சரகணிதம் 287
ஒவ்வொரு வர்க்கமும் பூச்சியமாயினுற்றன் மூன்று வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாகலாம்.
. 3=g= 2 ஆயினுற்றன், a + g^ + 2-2g-g2-2 என்பது பூச்சிய மாகும் ; வேறு நிபந்தனைகளில் அது நேராகும்.
.ج3aggg <8ع -+-g8-+-8 نag-+-g-+-2> 0 6T6ofl68T, a ac--y--2<0 6TGofióó7, aco-4-yo'--zo.<3acyz.
பயிற்சி 25.
1. பின்வருவனவற்றினுடைய காரணிகளைக் காண்க:
(i) a"十-5ac*ー+-8a2+-4. .28 -- gg8-ے 8 نii) (a0-+-gg -+- 2) 8 -- a) (iii) (ac -- y)(y --2) (z --ac) --acyø. (iv) (ac — y)*--(y - z)*-- (z - ac)o. (v) ac°(y - 2)8-- y°(2 - ac)* --2°(ac - gy)*. .(2 - 2 ay) 8جن+ (نڈay-۔ 3ھ) g8-{-- (ض یہ سس۔ ag2) 3زvi) a) 2. f(a) என்பது இரண்டாம் படியிலோ அதன் மேற்பட்ட படியிலோ உள்ள 30 இன் ஒரு பல்லுறுப்பிச் சார்பாயிருக்க, a, b என்பன சமனில் லாத எண்களாயின், f (2) என்பது (ல-a)(s-b) என்பதால் வகுக்கப் படும்போது பெறப்படும் மீதி
صدمه 2
f(α) aم - b -- f(b) a - a என்பது எனக் காட்டுக.
δ α - ό ხ — ფ,
முழுவெண்கள் 9 ஆலோ 11 ஆலோ வகுபடுதன்மை.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணெனின், a"-a" என்பது a இல் 70 என்னும் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை ஆகும் ; =ை0 ஆகும்பொழுது அது பூச்சியமாகும்.
". 0-0 என்பது a"-a" இன் ஒரு காரணியாகும். அதாவது, (a-a) f (2) = a"-0" ஆகுமாறு m-1 என்னும் படியிலுள்ள தி (2) என்னும் ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை உண்டு.
தி (a)=a"1 + aa"? + aa"8+ . . . +a" என்பதைச் சோதித்துச் சரி யெனக் காண்பது எளிது.
a - 1 எனக் கொள்க.
(1 - {... . . . م- 2 - a - 1)(a - 1 + a) = 1 -- ۶ ژaسه  ைஇனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் இது உண்மையாகும். 2=10 எனப் பிரதியிட, n இனுடைய நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10 -1 என்பது 10-1 அதாவது 9 ஆல் என்றும் வகுபடும் எனக் காண்கின்றேம்.

Page 150
288 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இனி, m என்பது ஒர் ஒற்றை நேர் முழுவெண்ணுயின், 7 = - ைஆகும் பொழுது "+ a" என்பது பூச்சியமாகும்.
". +ைa என்பது "+a" என்பதன் ஒரு காரணியாகும் ; மற்றைக் காரணி a" - aa"2+a*8+ . . . +a" என்பது. a = 1, 2 - 10 என எடுக்க, 10"+1 என்னும் முழுவெண் n இனுடைய ஒற்றை நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்ருேம்.
n என்பது ஒர் இரட்டை நேர் முழுவெண்ணெனின், a= -a ஆகும் பொழுது a" - a" என்பது பூச்சியமாகும்.
+ைa என்பது a"-a" என்பதன் ஒரு காரணியாகும் ; மற்றைக் காரணி a*" - aa"2+ . . . - a" என்பது.
a =1, 2-10 என எடுக்க 10"-1 என்னும் முழுவெண் n இனுடைய இரட்டை நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடுமெனக் காண்கின்ருேம்.
ஒரு நேர் முழுவெண்ணினுடைய இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை 9 ஆல் வகுபடு மெனின், அவ்வெண் 9 ஆல் வகுபடும்.
அலகின் இடத்திலிருந்து ஒழுங்காக எடுக்கப்பட்ட அம்முழுவெண்ணி னுடைய இலக்கங்கள், ,ே b, c, d, , , , , என்பன ஆகுக.
N என்பது அம்முழுவெண்ணுயின்,
N - a--10b-I-10c -- 10d.--.... S என்பது அவ்விலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாயின்,
S=-a-b-c-d-- . . . . ... N-S = (10-1)b--(10-1).c--(10 - 1)-d--....
, N-8 என்பது 10-1 ஆல் அதாவது 9 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின், S என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும்; S என்பது 9 ஆல் வகுபடுமெனின் N என்பதும் 9 ஆல் வகுபடும். வேறு வகையாகச் சொல்லப்புகின், N என்பது 9 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனையானது S என்பது 9 ஆல் வகுபடவேண்டும் என்பதே.
ஒரு நேர் முழுவெண்ணில், ஒற்றையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கும் இரட்டையிடங்களிலுள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு முள்ள வித்தியாசம் 11 ஆல் வகுபடுமெனின், அவ்வெண் 11 ஆல் வகுபடும்.
முன்போல, W-a+106+10°c+10°d . . . D என்பது மேற்கூறிய வித்தியாசமாயின்
D = a - b+c-d+ . . . ஆகுக.

அட்சரகணிதம் 289
gu5667, N-D=(10-1-1)b--(10-1).c--(10+1)d--..... .. N -D என்பது 10+1 அதாவது 11 ஆல் வகுபடும். .. N என்பது 11 ஆல் வகுபடுதற்கு வேண்டிய போதிய நிபந்தனை D யானது 11 ஆல் வகுபடவேண்டும் என்பதே,
0 இல் m என்னும் படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை வேறுவேறன 3 இனுடைய 10 பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினும் மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
அப்பல்லுறுப்பிக் கோவை
aa"+aa"+ . . . +a ஆகுக'. இங்கு a0 40. 2 இனுடைய a1, a2, .a என்னும் வேறு வேறன n பெறுமானங் களுக்கு அது பூச்சியமாகின்றதெனக் கொள்க.
ஆயின், (a -ா),(2-a) . . . , (a-a) என்பன அப்பல்லுறுப்பிக் கோவை யினுடைய காரணிகளாகும்.
". அவற்றின் பெருக்கம் (a-a) (a-a). .(a-a) என்பது ஒரு காரணி யாகும். இப்பெருக்கமே 3 இல் m என்னும் படியிலுள்ள ஒரு பல்லுறுப் பிக் கோவையாயிருத்தலால், ஆரம்பத்திலே தந்த பல்லுறுப்பிக் கோவையின் வேறு யாதுங் காரணி 2 ஐச் சாராது இருத்தல் வேண்டும்.
2" இனுடைய குணகங்களை ஒப்பிட,
ar"--aia" -- . . . +a, Eao(a - a)(a - a). . . (a - a). .. a040 ஆயிருத்தலால், வலப்பக்கத்திலுள்ள கோவை a,d, . . . a" என்பனவல்லாத 2 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாது.
.. aa"+aa"+ . . . +a என்னும் பல்லுறுப்பிக் கோவை வேறு வேறன 2 இனுடைய n பெறுமானங்களுக்கன்றி அதனினும் மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை 20 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கும் பூச்சியமாகாதிருக்கலாம். அது a இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்கு பூச்சியமாகுமெனின், 20 இனுடைய அத்தகைப் பெறுமானங்களி னுடைய தொகை அப்பல்லுறுப்பிக் கோவையின் படியைக் குறிக்கும் முழு வெண்ணை அதிகரிக்காதென்றே நிறுவியுள்ளோம்.
2 இல் m என்னும் படியுள்ள இரண்டு பல்லுறுப்பிக் கோவைகள் 2 இனு டைய வேறுவேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேலாக ஒன்றுக்கொன்று சமணுயின், அக் கோவைகள் சர்வசமஞதல் வேண்டும்.
அவ்விரண்டு பல்லுறுப்பிக் கோவைகள்
αρα" + αια" - . . -+-α, br"+bx"+ . . . +b என்பன ஆகுக. f(a)=E(ao — b)at”-+-(a — b)at”* -- . . . -- (a, - b)

Page 151
290 ஆரம்ப தூய கணிதம்
என்னும் பல்லுறுப்பிக் கோவையை ஆராய்க. a-b,40 எனின், இப்பல்லுறுப்பிக் கோவை 2 இனுடைய வேறு வேறன m பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
ஆகவே, தந்த இரு பல்லுறுப்பிக் கோவைகளும் 2 இனுடைய வேறு வேருண m பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்கு ஒன்றுக்கொன்று சமனயின், a, - b = 0.
ஆயின், f(a) என்பது (a-b) a"+ . . . (a, - b) என்பதாக ஒடுங்கும். a-b+0 எனின் இப்பல்லுறுப்பிக் கோவை 0 இனுடைய வேறு வேருன (n-1) பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குப் பூச்சியமாகாது.
.. ат — ხ1 = 0 அதுபாேல, a-b=0 : இவ்வாறே பிறவும். ஈற்றில் a, - b=0. .. தந்த இரு பல்லுறுப்பிக் கோவைகள் ஒன்றுக்கொன்று சர்வசமன். உ-ம். a, b, c என்பன சமனிலிகளாயின்,
cw°(ac - b) (ac - c) i b°(ac - c) (ac - a) co(a-a)(a-b)
(a-b) (a-c) (b-c)(b-a) " (c- a) (c. - b) T
2
எனக் கTட்டுக. வலப்பக்கத்தில் உள்ள கோவை 2 இல் 2 ஆம் படியையுடைய ஒரு பல்லுறுப்பிக் கோவை ; அவ்வாறே இடப்பக்கத்திலுள்ள கோவையும்,
0=a யாகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், a* இற்கு ஒடுங்கும் ; a-b யாகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும், 6° இற்கு ஒடுங்கும் ; 2=0 ஆகும்பொழுது, ஒவ்வொன்றும் ?ே இற்கு ஒடுங்கும். அதாவது, அப்பல்லுறுப்பிக் கோவைகள் 3 இனுடைய வேறு வேறன இரு பெறுமானங்களுக்கு மேற்பட்ட தொகைக்குச் சமன்.
.. அவை சர்வசமனதல் வேண்டும்.
இருபடிச் சமன்பாடு.
a 40 ஆக, aa2+bx+c என்பது a இல் இரண்டாம் படியையுடைய ஒரு பலனுறுப்பிக் கோவையாகுக.
இப்பல்லுறுப்பிக் கோவை ல இனுடைய குறிக்கப்பட்ட பெறுமானங் களுக்குப் பூச்சியமாகலாம், அன்றிப் பூச்சியமாகாது விடலாம். அப்பல்லுறுப் பிக் கோவை பூச்சியமாகின்ற 30 இனுடைய பெறுமானம் யாதேனும் உண்டெனில் அது aa2+bx+c=0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் எனப்படும். இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 30 இனுடைய பெறு மானங்கள் உண்டெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய் யானவை எனக் கூறுவோம். அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 2 இன் பெறு மானம் யாதொன்றும் இல்லையெனின், அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் கற்பனையானவை எனக் கூறுவோம்.

அட்சரகணிதம் - 29.
அச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் உண்டோ எனத் துணிதற்கு நிறை வர்க்கமாக்கல் என்னும் முறையை வழங்குவோம்.
aaco -- bac -- c == l aac'--aba--ca
1. b \? b- 4ac, 一器【“+勒 -写“円
ö\2 2 -م ". (a -- ') ό a ஆகும்பொழுது aa2+bx+c =0.
வகை 1. 62-4ac> 0 ஆகுக. W/(62-4ac) என்பது b?-4ac என்பத னுடைய நேர் வர்க்கமூலத்தைக் குறித்தால், அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் 30 இனுடைய பெறுமானங்கள் உண்டு ; அவை
ar+ = + v(",-4ae), அதாவது, a = — b+-v(b°—4ae),
2a. என்பதாலே தரப்படும்.
இவ்வண்ணம் 62-4ac>0 ஆகும்பொழுது,
— b -+- V(b°— 4ac) — b — V(b°— 4ac)
2a. y 2a.
என்னும் இரண்டு மெய் மூலங்கள் உண்டு.
சிறப்பாக, a, c என்பனவற்றிற்கு இரு முரண் குறிகள் இருந்தால் அச்சமன்பாட்டிற்கு இரு மெய் மூலங்கள் உண்டு.
BAIGONES II. 62-4ac = 0 ஆகுக.
ஆயின், அச்சமன்பாடு,
b \ (a +3) = 0,
M2 அதாவது, (a +...) = 0 என்பதாகும்.
இச்சமன்பாடு
("+蟲)(。+蟲)=0 b
GT60T எழுதப்படலாமாதலின், அச்சமன்பாட்டிற்கு ஒவ்வொன்றும் - 2a
இற்குச் சமனன இரு பொருந்து மூலங்கள் உண்டு எனப்படும்.

Page 152
292 ஆரம்ப தூய கணிதம்
Saisonas III. 6?-4ac < 0 ஆகுக.
ஆயின், ஒர் எண்ணின் வர்க்கம் மறைக் குறியோடு பொருந்தாதாதலால்,
b \8 b? - 4ac *+歪リ=一五 என்னுஞ் சமன்பாடு 2 இன் யாதும் ஒரு பெறு மானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
ஆகவே, 6?-4ac < 0 ஆகும்பொழுது அவ்விருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் யாதுமில்லை.
அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களினது தன்மையைப் பற்றி வேறு பிரித்து அறிதற்குத் துணைசெய்யும் b?-4ac என்னுங் கணியம் தன்மை காட்டி எனப்படும்.
மூலங்களுக்குங் குணகங்களுக்குமுள்ள தொடர்புகள்.
aa + bx + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருண அல்லது பொருந்துகின்ற 7, 8 என்னும் மெய் மூலங்கள் இருக்க.
2 = 2 ஆகும்பொழுதும் 0 =8 ஆகும்பொழுதும் a+bx+c என்னும் பல்லுறுப்பிக் கோவை பூச்சியமாகும்.
.. (a-o) (2-8) என்பது அப்பல்லுறுப்பிக் கோவையின் ஒரு காரணி UITGELħ.
'. ax* + bac + c = a'(x – œ) )a8 - م.( இருகோவைகளிலும் 2 இனுடைய குணகங்களைச் சமன்படுத்த,
b = a (-a - B).
மாறத உறுப்புக்களைச் சமன்படுத்த,
o = ααβ. 《十8= _6_2 இன் குணகம் α 22இன் குணகம் a B == மாருவுறுப்பு
d a*இன் குணகம்
உதாரணங்கள்.
(1). 2, 8 என்பன aa + bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயின், a, b, c என்பனவற்றில்,
(i) یa 82 +۔,

அட்சரகணிதம் 293
(i) + 8 ஐக் காண்க.
b z+ 8 = — ; , 6=
.. .2 جنيه 208 - 2 (8+-0) سنة 88+-عيه ."
(a8+82 – قx + 8) (o) == 88-+8
= (a+B) (g--B)-3a5.
=- 第一臀
α : ας α
(2)2, 8 என்பன aa + bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய
மூலங்களாயிருக்க, q+1, 8+ 1 67667L I60T பூச்சியமல்லவெனின்,
x + 1, B+ 1 என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டைக்ه
காண்க.
வேண்டிய சமன்பாடு 2 + p2 + g = 0 ஆயின்,
-P= + + 3டி ஆயும்,
2= 41 B ஆயுமிருக்கும்
b α + β-+- 2 ー。+2 亭下五*丽下五丁亥丽下亭车瓦下正 Te - b , .
- b -- 2a +۔۔ "
(a + 1) (B+ 1) of +a+B+ 1c - b + a .. வேண்டிய சமன்பாடு,
(c-b + d)2 + (b -2a)2 + a=0 என்பது.
வேருெருவழி பின்வருமாறு :-
2 என்பதை மாறியாக வழங்குவதற்குப் பதிலாக, அம்மாறியைக் குறிப்பதற்கு வேறு யாதும் எழுத்தை வழங்கலாம். 2 = 2 ஆகும் பொழுதும் 2 = 8 ஆகும்பொழுதும் a + bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்
பாடு தீர்க்கப்படுமாயின், g = 2 ஆகும்பொழுதும் g என 8 ஆகும் பொழுதும் வழ*+ bg + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும்.

Page 153
294 ஆரம்ப தூய கணிதம்
9 = i + 1 எனப் பிரதியிடுகின்றேமெனக் கொள்க.
ஆயின், 20 = Q ஆகும்பொழுது, g = α -- 1 ; a = 8 ஆகும்பொழுது
--
-- bar -- c. ( ), b( 1)+
C ܚ ”*** -ܚܗ - | h) ܚܚܒܒ
y T J 'Vy
y”(c - b -- a) -- y (b - 2a) -- a
a = 2 ஆக, அல்லது 8 ஆக இருக்கும்பொழுது a + bx + c என்பது பூச்சியமாகுமெனின், g α - ஆக வாeபு 1ஆகவோ இருக்கும் பொழுது y*(c-b -- a)
I யாயின் +, B+1
+ g (b -20) + a என்பது பூச்சியமாகும். g என்பது மாறி என்பனவற்றை மூலங்களாக உள்ள இருபடிச்
ағцro6йлшптG6
yo(c. — b -- a) + y (b. — 2a) -- a = 0 GT GÖTUg.
(3) a, h, b, , n, , m என்பன 2, g என்பனவற்றைச் சாராமலி Gt5ēš5 ho > ab ổTGOfGÖT, aato-+- 2hary -- byo GT GÖTU.Jg5 (lac -- my) (l'ar +- m'y) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படலாம் எனக் காட்டுக.
2hag+ bg=g (2ha + by) ஆதலால், a என்பது பூச்சியமெனின் முடிபு வெளிப்படை.
a என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
ac* + 2bay + by*= (? -- 2ahary -- abyo)
= ((az+hy)” – (bo-ab)y?)
[(aac + hy)o - poyo), gršGg5 p = v/ (ho— ab)
2
(༧༧ + hy + py) (aat -- hy -py)
= (la + my) (la -- m'y).

அட்சரகணிதம் 295.
பயிற்சி 26.
1. ,ை b, c என்பன தரப்பட்ட எண்களாயின்,
(ஐ -b) (0 - c) + (0 - c) (3 - a) + (x -o) (3 - b) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் உண்டெனக் காட்டுக ; a, b, c என்னும் எண்களுள் இரண்டாயினுஞ் சமனிலி களாயின் அம்மூலங்கள் வேறு வேருனவை என்றுங் காட்டுக.
2. 20 இன் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும் 3 + - என்பது -2, 2 என்பனவற்றிற்கு
இடையில் யாதும் ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காதெனக் காட்டுக.
3. 2, 6 என்பன லே? + bல + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயின் cy, 3? என்பனவற்றை மூலங்களாகவுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
4. ஐ? -bx + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் இருக்க c + 1>b>2 ஆயின் ஒவ்வொரு மூலமும் 1 இலும் பெரிதாகுமெனக் காட்டுக.
,0 == ag2 +-2aag +-b ,5ؤp gك7 a .5
ல*+203+g=0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது மூலம் உண்டெனின் அதன் பெறுமானத்தைக் காண்க.
(g -b)?= 4 (p -a) (ag -bp) என்றுங் காட்டுக. 6. aல* + bல + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மெய்மூலங்கள் இருந்தால்
(i) இரு மூலங்களும் நேராகுமாறு, (i) இரு மூலங்களும் எதிராகுமாறு, (i) ஒரு மூலம் நேராயும் மற்றையது மறையாயுமிருக்குமாறு, (iv) ஒரு மூலம் பூச்சியமாயும் மற்றையது பூச்சியமல்லாததாயுமிருக்குமாறு, (w) இரு மூலங்களும் பூச்சியமாகுமாறு, மட்டாகப் போதுமான நிபந்தனைகளைக் காண்க. 7. 20? + aa + b = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்றையதன் வர்க்கமெனின்
(3 - 30b + b + b2 = 0 எனக் காட்டுக.
- 8. ல + - - t எனப் பிரதியிடுதலால்
04 + 23° - 622 + 23 + 1 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. 9. a, b, h என்பன பூச்சியமல்லாதனவாயும் h? - ab>0 ஆயும் இருந்தால், aa2+ 2hay + bறு? = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு a, g என்பனவற்றின் பூச்சியமல்லாத பெறுமானத்தாலே தீர்க்கப்படும் எனக் காட்டுக. h?-ab>0 ஆயும் (2, g), (a,y) என்பன ga-ga என்பது பூச்சியமாகாதவாறு அச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் ல,g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களின் இரு தொகுதிகளாயும் இருந்தால்
(லg2 + 2g)= -232 என்றும், bgg = a03 என்றுங் காட்டுக. 10. aல? + bx + c = 0, aa2+cx+b=0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாடுகள் சர்வசமணில்லா திருக்க அவற்றிற்கு ஒரு பொது மூலம் உண்டெனின் a + b + c = 0 எனக் காட்டுக.
அவ்விரு சமன்பாடுகளின் எனை மூலங்களாலே தீர்க்கப்படும் இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க 11. 0, 3 என்பன வல? + ba + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களாயிருக்க S, = Cxio + ĝo 676öñaö7 ۔
வS + bS_1 + Sே_2 = 0 எனக் காட்டுக. a + 34 என்பதன் பெறுமானத்தை a, b, c என்பனவற்றிற் கணிக்க.

Page 154
296 ஆரம்ப தூய கணிதம்
குறித்த சில ஒருங்கமை சமன்பாடுகளினுடைய தீர்வுகள்
1. 4, m, n, a, b, c, h,f, ர என்பன தந்த எண்களாயிருக்க
lat -- my + n = 0,
aa* + 2hxy + by* +2gx + 2fy + c = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளை ஆராய்க. இச்சமன்பாடுகள் இரண்டையும் தீர்க்கும் a, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களைக் காணல் இயலக்கூடியதாகலாம் அல்லது இயலாததாகலாம். m என்பது பூச்சியமன்றெனின், முதலாம் Fup6öLf7(B,
la -- n.
g. - டட்ட என எழுதப்படலாம்.
狩?
இரண்டாஞ் சமன்பாட்டிற் பிரதியிட
- ኅz\ጻ] .0 = i) ಶಿ(i: +1ಿ)” 十ー 2-2s cle + n) 十- c -- ع)2hz - مجa ፃገ0 ሃገ0% ፃ}}
பொதுவாக, இது a இலுள்ள ஒர் இருபடிச் சமன்பாடு. இச்சமன்பாட்டிற்கு
மெய் மூலங்கள் இல்லையெனின், அந்தந்தச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
இயலாது.
2 இலுள்ள அவ்விரு சமன்பாட்டிற்கு a, a என்னும்மெய் மூலங்கள்
உண்டெனின், g யினுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் y = - | 2 என்பதிற்
பிரதியிடுதலாற் பெறப்படும்.
2, 3 என்னும் அம்மூலங்கள் பொருந்தாவாயின், அந்தந்த ஒருங்கமை சமன்பாடுகளுக்கு இரு தீர்வுத் தொகுதிகளைப் பெறுவோம். 2, 2 என் பன பொருந்துமாயின், ஒரு தீர்வுத் தொகுதியையே பெறுவோம்.
 ைஇலுள்ள மேற்றந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில், 0° இன் குணகம் (am?-2hlm + b*) ஆகும். am?-2hlm + b2 = 0 ஆயின், அச்சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடன்று ; 2 இன் குணகம் பூச்சியமன்றெனின் இச்சமன் பாடு  ைஇற்கு ஒரு பெறுமானத்தைக் கொடுக்கும் ; கொடுக்க தந்த ஒருங்கமை சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு தீர்வுத் தொகுதியே இருக்கும். 30 இன் குணகமும் பூச்சியமெனின் தந்த சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு யாதும் இராது.
m என்பது பூச்சியமெனின், என்பது பூச்சியமாகும் வகையை ஆராய்தல் இயலாது. என்பது பூச்சியம் அன்றெனின், முதலாஞ் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 என்பதை g யில் உணர்த்தி அதற்கு ஒத்த ஒரு வழியாலே ஆராயப்புகலாம்.

அட்சரகணிதம் 297
gol i D.I. ac + 2y - 5 = 0,
0 = 4gy -- مg/* -- 2a -+ 2 مa
என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
a . 5 - 2g.
. (5-2y) -- y-2(5-2y) - 4y = 0,
y - 4y + 3 = 0,
y = 1 அல்லது 3, .. 20 - 3 அல்லது - 1.
பின்வரும் இரு தீர்வுத் தொகுதிகளைப் பெறுவோம்
(i) a = 3, y = 1. (ii) ac = - 1, y = 8.
11. a, h, b, c, a', h', b, c, என்பன தந்த எண்களாக,
aac* + 2h acy + by* = c, a'a' -- 2h'ay -- by = c', என்னுஞ் சமன்பாடுகளை ஆராய்க. அவ்விரு சமன்பாடுகளிலுமிருந்து
c'(aao + 2hay + by) = c(a'ao + 2h'ag + b'yo); அதாவது A? + 2Hag + Bg?= 0 ; QJ51 Gg5 A = ac' - a'c, H=hc' - hi'c, B=tc' - b'c.
H?>AB எனின், இச்சமன்பாடு, (a + mg) ('a + mg) = 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். 4 + mg - 0, a + m'g = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளுள் யாதுமொன்
றைத் தீர்க்கும் 2, g என்பனவற்றின் பெறுமானங்களால் இச்சமன்பாடு தீர்க்கப்படலாம்.
யின் பெறுமானம் எதுவாயிருந்தாலும் 2= m ஆயும், y= - ஆயும் இருக்கும்பொழுது b + mg = 0 என்னுஞ் சமன்பாடு தீர்க்கப்படும். தந்த இரு சமன்பாடுகளுள் யாதுமொன்றிலே பிரதியிட்டால், b யினுடைய இரு பெறுமானங்களைப் பெறுவோம்.
'a + mg = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டை எடுத்தலால் இவ்வண்ணந் தந்த சமன்பாடுகளுக்கு இரு தீர்வுத் தொகுதிகள் பெறப்படலாம்.
H?

Page 155
298 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து 5(O3 + arg) + y2) == 3(282 - 2acy + 5 y?).
aco-llay -- 10yo - 0. (ac - 10y) (ac - y) = 0. 3- 10g = 0, அல்லது ஐ-g = 0. 3-g= 0 எனின், ஐ = , g = t என எழுதலாம். முதலாஞ் சமன்பாட்டிற் பிரதியிட ,
* = 1, அதாவது t = பு: 1. .. (a = 1, g = 1) என்பதும் (a = -1, g = -1) என்பதும் இரு தீர்வுத் தொகுதிகள்.
3-10g = 0 எனின், ஐ = 10% g = k என எழுதலாம்.
(10k) -- 0:2 - 2 - 3 A = 土 I//37 வேறு இரண்டு தீர்வுத் தொகுதிகள், 3 = 10/V37, g = 1/V37 என்பதும் * = -10/V37, g = -1/V37 என்பதும்
பயிற்சி 27.
1. -- 22 + عy2 = 1,
3a' + 2y + y = 3, என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
2. a' -- 3a -- 2 = 0, yo -- 3y -- 2ay = 0, என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
7 (a -- ya 4 o 2a -- 3y = 1, என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
0 بین - 3 - dy * - 2a} -||||||- 3gy -- * ب: .4 0 = 3 - dy2 +- 3a? -- 2gy -- ۶ ن: என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க. ,0 == 2-- argy -- ag -gy س- *3g -+ * 230 .5 ۰
530 * +- 2g* - 3aggy -- ag --gy --2 = 0 என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
3. (at -- y) --

அத்தியாயம் 2
இருபடிச் சார்பின் மாறல் a, b, c என்பன தந்த மாறிலிகளாக இருக்கும்பொழுது அவற்றுள் ர என்பது பூச்சியமன்றெனின், aa + bx + c என்பது a என்னும் மாறியின் ஓர் இருபடிச் சார்பு எனப்படும்.
aa’-- bar -- ·="| 2: -+- b '+'*]
2a 4ዐ*
2 ல இனுடைய எல்லாப் பெறுமானங்களுக்கும் (e -- 島 > 0;
இங்கு 30 = - ஆகும்பொழுது சமனகுந் தன்மை உண்மையாகும்.
6?-4ac <0 ஆகுக.
- b \? 4ac - b. ஆயின், எல்லா 30 இற்கும் (e -- *) -- 42 .. aa + bx + c என்பது ஒருபோதும் பூச்சியமாகாது ; அதன் குறி 30 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a யின் குறியோடு ஒன் ருகும்.
6?-4ac = 0 ஆகுக.
2 ஆயின், *+如+。-(+鐵)
> 0.
"... a = - * ஆகும்பொழுது, (a + bx + c என்பது பூச்சியமாகும் ;
அதன் குறி 3 இனுடைய பிற பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் a யின் குறியோடு ஒன்றகும். 8-4ac> 0 ஆகுக. ,(ba0 -+|- c == ag (X2 -- p*) = a (X -p)(X -+-p -+- 2نu}68T, aaؤg
இங்கு X = 3 + ಪಿ p=v{(5-4ac)/4a
. 0, 8 என்பன a, b, c என்பனவற்றைச் சார்ந்த வேறுவேருன எண்களாயின், aa + bx + c என்பது a(x -o) (-8) என்னும் வடிவத்தில் இடப்படலாம்.
a இற்கு 0.8 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கின்ற யாதுமொரு பெறுமானம் இருந்தால், 2-0, 2-8 என்னுங் காரணிகளுள் ஒன்று நேராயும் மற்றையது மறையாயும் இருக்கும்.
299

Page 156
300 ஆரம்ப தூய கணிதம்
". a என்பது 2 விற்கும் 8 விற்கும் இடையிற் கிடந்தால், a + bx + c
என்பதற்ரு a யின் குறியோடு முரணுய குறி இருக்கும்.
2 என்பது 3.8 என்னும் இரண்டிலுஞ் சிறிதாயின், அவ்வாறன்றி அவை இரண்டிலும் பெரிதாயின்,
2-0,0-8 என்னுங் காரணிகளுக்கு ஒரே குறி இருக்கும்.
. 2 என்பது 2,3 என்றும் இரண்டிலுஞ் சிறிதாயிருந்தாலும், அன்றி
அவை இரண்டிலும் பெரிதாயிருந்தாலும், ax + bx + c என்பதற்கு a யிற்குள்ள குறியே இருக்கும்.
a = a அல்லது 8 ஆயின், aa2+ bx + c-0.
இவ்வண்ணம், 62-4ac)0 ஆயினுற்றன், 2 மாற aa2+ bx + c என்னுஞ் சார்பு தன் குறியை மாற்றக்கூடும் எனக் காண்கின்ருேம். இருபடிச் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களின் நிலையைக் குறித்தல்.
*-4ac>0 ஆயினுற்றன், ax2 + bx + c = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன இரண்டு மெய் மூலங்கள் இருக்கும். 6?-4ac>0 ஆயினுற்ருன், ல மாற aa2+ bx + c என்னுஞ் சார்பு தன் குறியை மாற்றும் என்றுங் கண்டுள்ளோம். ஆகவே, ax?--ba + c என்னுஞ் சார்பிற்கு 30 இன் யாதோ ஒரு பெறுமானத்திற்கு (p என்க) ஒரு நேர்ப் பெறுமானமும், 20 இன் யாதோ ஒரு பெறுமானத்திற்கு (q என்க) ஒரு மறைப் பெறுமானமும் இருந்தால் a + bx + 0 = 0 என் னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன இரு மெய் மூலங்கள் இருக்கும். %8 என்பன இம்மூலங்களாயின், aa2+b2 + c என்பது a(a - 2)(0-8) என்பதனேடு சர்வசமனகும். 2 விற்கும் 8 விற்கும் இடையிலுள்ள 30 இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு, a + bx + c என்பதற்கு ஒரே குறி இருக்கும் ; 2, 8 என்னும் இரண்டிலும் பெரிதாகிய அல்லது அவை இரண்டிலும் சிறிதாகிய a இன் யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு ஃே+ bx + c என்பதற்கு மறைக் குறி இருக்கும். ஆகவே, 2, 8 என் னும் எண்களுள் ஒன்று மாத்திரம் p, q என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
உதாரணம் 1. a, b, c என்பன எல்லாம் வேறுவேறயின், (c-d) (a-b) + (-) (3 - 0) + (n-c) (0-d) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக ; a, b, c என்பனபற்றி இம் மூலங்களினுடைய நிலைகளைத் துணிக.
f(x)=(rーd)(rーb)+ (cーb)(cーc)十 (cーc)(rーa) -塾@女。
f(a) என்பது 3 இன் ஒர் இருபடிச் சார்பு. a,b,c என்னும் எண்களுள் a என்பது மிகப் பெரிதாயும் c என்பது மிகச் சிறியதாயுமிருக்க,.
if (c) = (c - a) (c - b) > 0, s(b)=(bーc)(bーd)<0.

அட்சரகணிதம் 30
ஆகவே, f(x) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் வேறுவேறன மெய்மூலங்களாகும் ; இம்மூலங்களுள் ஒன்றே ,ே b என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும். இனி, f(a) = (a - 6) (a-c) > 0. ஆகவே, மற்றைமூலம் a யிற்கும் b யிற்கும் இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
உதாரணம் 2. a,b,p,g என்பன தரப்பட்ட எண்களாக ற என்பது டி விற்குச் சமனில்லை எனின்,
ፀ% LLLLLS S LLS S SS
Άρ - α' -- -aب "FT 1 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன
மெய்மூலங்கள் இருக்கும் எனக் காட்டுக.
அச்சமன்பாடு (2(g-a) + b*(p-a)--(p-a)(g-2) - 0 என்னும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.
f(a) என்பது இடப்பக்கத்திலுள்ள 2 இன் இருபடிச் சார்பைக் குறிக்க.
f(p) ਸa (gー2), f(α) = ό" (ρ-α). .. f(p), f(g) என்பனவற்றிற்கு எதிர்க் குறிகள் உண்டு . ஆகவே, f(a) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன மெய்மூலங்கள் உண்டு ; அவற்றுள் ஒன்றே p யிற்கும் g விற்கும் இடையிற் கிடத்தல் வேண்டும்.
மற்றை மூலத்தினது நிலையைத் துணிதற்கு f(x) என்பது a + 42 + B என்னும் வடிவத்தில் இருப்பதைக் காண்கின்றேம். a என்பது பூச்சிய
A B மன்றெனின், a2+ Aa + B=a2 ( -- α. -- f)
2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது
A B w | -- -- ஒஎன்பது மிக்க அண்ணளவாக, 1 ஆகும். ஆகவே, 2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாயிருக்கும் பொழுது,
a + Aa + B என்பது நேராயும் மிகப் பெரிதாயும் இருக்கும்.
p>g எனக் கொள்க.
ஆயின், if(p) = a* (q - p) < 0.
K என்பது ஒரு மிகப்பெரிய நேர்க் கணியமெனின்,
f(K) >0.
ஃ மற்றை மூலம் p யிலும் பெரிது.

Page 157
302 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 27
1. a, b, c என்பன தந்த எண்களாக அவற்றுள் c>1 எனின் a2+2+1 - C(a - C) ஐ -b)=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்குமென்றும், a, b என்பன இம் மூலங்களுக்கு இடையிற் கிடக்கும் என்றுங் காட்டுக.
2. a>b>0 ஆக p, g, r என்பன பூச்சியமல்லாத மூன்று எண்களாயிருக்க அவற்றுள் g என்பதற்கு p, r என்பனவற்றுள் ஒன்றிற்காயினும் உள்ள அதே குறியிருக்க a+b+c என்பது பூச்சியமன்றெனின்
p (ac - b) (ac - c) -- q (ac - c) (ac - a) + r (ac - a) (ac - b) = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன இரண்டு மெய்மூலங்கள் உண்டென்று காட்டுக.
p, q என்பன நோாயிருக்க, r என்பது மறையாயின் அவற்றுள் ஒரு மூலம் a, b என்பன வற்றிற்கு இடையிற் கிடக்குமென்றும் p+q+r என்பது பூச்சியத்திலும் பெரிது அல்லது சிறிது என்பதற்கேற்ப மற்றை மூலம் C யிலுஞ் சிறிது அல்லது a யிலும் பெரிது என்றும் காட்டுக.
3. a2+a2+b=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு a, 3 என்னும் வேறுவேருன மெய் மூலங்களும் ஃ+pல+g= 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு Y, 6 என்னும் வேறுவேறன . மெய் மூலங்களும் இருக்க 0)>>3>0 எனின் 202+(a+p)a+b+q=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேறன மெய்மூலங்கள் இருக்கும் என்றும், அவற்றுள் ஒன்று x, y என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் மற்றையது 3, 6 என்பனவற்றிற்கு இடையிலும் இருக்குமென்றும் காட்டுக.
4. p என்பது நிலையான இரண்டு எண்களுக்கு இடையிற் கிடக்கவில்லை என்றற்றன் pa? - 0(3p+1) + 2p - 1-0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு 3 பற்றி மெய்மூலங்கள் இருக்கு
மெனக்காட்டுக.
5. p யின் பெறுமானம் பூச்சியமல்லாமல் யாதாயிருந்தாலும் p3? -20 - (p+1)==0 என் னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு ஐ பற்றி வேறுவேறன இரு மெய் மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக.
6. p என்பது 4, 1 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடந்தால், b யின் பூச்சியமல்லாத எப் பெறுமானத்திற்கும் (2 - 1) (3 - 2) k+pல - 1=0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு  ைபற்றி வேறுவேருன மெய் மூலங்கள் இருக்குமெனக் காட்டுக.
7. (a2 - 60 - 7) (a2+2+1) (3 - 8) என்னுங் கோவை நேராயிருக்கின்ற 2 இனுடைய பெறுமானங்களின் வீச்சுக்களைக் காண்க.
(8) 00 grarfaöf a { a 十 エ என்பது நேர் அல்லது பூச்சியமாகும்.
2a. fb 3( رج التي
", a > 0 ஆகும்பொழுது 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் aa + bx + c 4ac-b°
என்பதன் மிகச்சிறிய பெறுமானம் 4a.
; 20 இற்கு மிகப்பெரிய பெறு
N2 மானம் எடுப்பதால் (e 2a) என்பது விரும்பும் வண்ணம் பெரிதாக் கப்படலாம் ஆதலின், அச்சார்பிற்கு மிகப்பெரிய பெறுமானம் யாதுமில்லை.
V2 α < 0 στoofσότ, α (e -- ) என்பது மறை அல்லது பூச்சியம் ஆகும்.
V
", a < 0 ஆகும்பொழுது aa + bx + c என்பதன் மிகப்பெரிய பெறு
4ac -b. 4а
மானம்
b N2 "(+懿) என்பது அட்சரகணித முறைபற்றி விரும்பும் வண்ணம் மிகச்சிறிதாக்கப்படலாமாதலின், இவ்வகையில் அச்சார்பிற்கு மிகச்சிறிய பெறுமானம் இல்லை.
மிகச்சிறிய பெறுமானமோ மிகப்பெரிய பெறுமானமோ வேறெரு வழியாலும் பெறப்படலாம்.
g = aa + ba + c ஆகுக.
".. aa’--ba -- c - y = 0. ஆகவே y யினது தந்த ஒரு பெறுமானத்திற்கு 3 இன் ஒத்த பெறுமானம் யாதும் இருந்தால் அது ஒர் இருபடிச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும். b?-4a (0 -g) > 0, அல்லது 4ag> 4ac- 62 ஆயினுற்றன் இவ்விருபடிச் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் மெய்யாகும்.

Page 158
304 ஆரம்ப தூய கணிதம்
4ac-b
4а y
4ac -b 4a
.. மெய்யான 2 இற்கு, a>0 எனின், g>
a<0 6Taofait, y S
.. a > 0 எனின், 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் g அடையும் மிகச்
4ac -b 4a
சிறிய பெறுமானம்
a <0 எனின், 2 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் g அடையும் மிகப்பெரிய
4ac -b 4a
பெறுமானம்
4ag> 4ac-b ஆகும்பொழுது, 30 இலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வேறுவேருன இரண்டு மெய்மூலங்கள் இருக்கும்.
. a > 0 எனின், 2 இனுடைய வேறுவேறன இரண்டு பெறுமானங்
4
என்பதிலும் பெரிதான
களுக்கு ax + bx + 0 என்பது
எப்பெறுமானத்தையும் எடுக்கும்.
a < 0 எனின், 2 இனுடைய வேறுவேறன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு
aa + bx + c என்பது என்பதிலுஞ் சிறிதான எப்பெறுமானத்
தையும் எடுக்கும்.
இருபடிச் சார்பின் வரைபு.
g = aato-ba --c
--- b 2 40c -b. = 2{2+ஓ) + 1 ஆகுக.
b b = - ஒ+ 1 ஆயும் a = - ஒ- ஆயும் இருக்கும்பொழுது தந்த யாதுமொரு t இற்கு g யிற்கு ஒரே பெறுமானம் இருக்கும்.
b ஆகவே, அதன் வரைபு, a = -ஓ என்னுஞ் சமன்பாட்டாலே தரப்படும் y அச்சிற்குச் சமாந்தரமான கோடுபற்றிச் சமச்சீராதல் வேண் டும்.
40c -b
4a
a > 0 எனின், g என்பதற்கு என்னும் மிகச்சிறிய பெறுமானம்
இருக்கும்.

அட்சரகணிதம் 305
4ac-b
என்னுங் கோட்டிற்கு மேலே
ஆகவே, அவ்வரைபு ர =
முழுவதும் கிடத்தல் வேண்டும். N
4acーb*
யிலும் பெரிதானது யின்
ES; எப்பெறுமானத்திற்கும் a இற்கு இரு பெறுமானங்கள் இருக்கும். on 2
ஆகவே,  ைஅச்சிற்குச் சமாந் 4ac - b . . . . தரமாயg= -1 எனனுங் கோட் டிற்கு மேலே கிடக்கும் எக்கோ 2 -> . டும் அவ்வரைபை வேறுவேறன O
*ᏎdᏓᏟ -- Ꮣ ـــــــــــــــــــــ இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும். y = என்பதற்கு ஒத்த  ைஇனுடைய
. . . 4ac-b KO பெறுமானங்கள் பொருந்துமாதலின், y = 4а என்னுங்கோடு
b என்பதாலே தரப்படும் இரண்டும் பொருந்தும் புள்ளிகளில் ,2 - == نه
அவ்வரைபை வெட்டும்.
ზ இக்கோடு a = - ஒ என்னும் புள்ளியிலுள்ள அவ்வளையியினது தொடலி எனப்படும்.
" N2
(z 十 盐 என்பது மிகப்பெரிதா கும்பொழுது g என்பது நேராய் மிகப் பெரிதாகும்.
O
t
\
- aa:
X
அவ்வரைபின் பொது வடிவம் மேலுள்ள படத்திற் காட்டியவாறு இருக்கும்.
6?-4ac > 0 எனின், அவ்வரைபு 2 அச்சை வேறுவேருன இரண்டு புள்ளிகளில் அல்லது இரண்டு
|
பொருந்தும் புள்ளிகளில் வெட்டும் ; 6?-4a0<0 எனின், அவ்வரைபு 2 அச்சை வெட்டாது.
a < 0 எனின், மேலுள்ளனவற்றிற்கு ஒத்த நியாயங்கள் பொருந்தும். அவ்வரைபும் முன்போன்ற அதே வடிவினதாகும்; அவ்வளையி தலைகீழாயிருக்குமென்பதே அதன் வேறுபாடு.

Page 159
306 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ax. -- bx -- c.
px + qx + r என்பதனுடைய நடத்தை.
a, b, c, p, g, r என்பன தந்த எண்களாயும் a, p என்பனவற்றுள் ஒன்ருதல் பூச்சியமல்லாததாயும் இருக்க, aa + bx + c, p2 + ga + r
என்னுஞ் சார்புகளுக்கு 0 என்பதே அகப்படுத்தும் ஒரு பொதுக் காரணியும் இல்லையெனின்,
aat? - ba - c
ஒ++, என்னும் விகிதமுறுஞ் சார்பை ஆராய்க.
aaco -- bac -- c
二 一一 5.
par? -- qız: - , **
... a (py - a) -- a (gy - b) -- ry- = 0. ی
pa + 40 + r என்பதைப் பூச்சியமாக்காத ஒரு பெறுமானத்தை ஸ் என்பது எடுக்கும்பொழுது g யிற்கு ஒரு தனிப் பெறுமானம் இருக்கும்.
a, g என்பனவற்றினுடைய ஒத்த பெறுமானங்கள் மேலேயுள்ள சமன்பாட்டாலே இணைக்கப்பட்டுள்ளன.
p என்பது பூச்சியமாகாமலும் y - யாயும் இருந்தால் 20 இன்
ஒத்த பெறுமானம்
qa O
- b | -- - - 6 , 0 ( )+ p
என்னும் ஒருபடிச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
.. - என்பது பூச்சியமன்றெனின், 20 இற்கு ஒரு பெறுமானத்தை
மாத்திரம் பெறுவோம்.
警- என்பது பூச்சியமெனின், y = alp என்பதற்கு ஒத்ததாய 2 இற்கு ஒரு பெறுமானமும் இல்லே. (+bx+c)/(p+q+1) என்பது
alp + (c- rajp)/(pa + g0 + 1) என்பதற்கு ஒடுங்குகின்றமையின், இவ் வகை இங்கு ஆராயப்படவேண்டியதில்லை.
pg - a என்பது பூச்சியமன்றெனின், 20 இன் ஒத்தபெறுமானம்
ac°(py – a) + a (gy -b) + ry – c = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டாலே தரப்படும்.
(g-b)?-4(pg-a) (rg-c) > 0 ஆயினுற்றன், இச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும்.

அட்சரகணிதம் 307
அதாவது, A = g- 4pr guith, B = -ba -- 2ar - 2cp gyulb
0 = 6*- 400 ஆயும் இருந்தால், Ay. 2By -- C2 0.
y = யாகும்பொழுது இந்நிபந்தனை தெளிவாய்த் தீர்க்கப்படும்.
ஆகவே, Ag2+ 2Bg + 0 > 0 என்னும் நிபந்தனையைத் தீர்க்கும் g யின் எப்பெறுமானமும் a இன் யாதும் ஒரு பெறுமானத்திற்கு (a + bx + c) (pa2+ ga + r) என்பதன் ஒரு பெறுமானமாதல் வேண்டும் ; இச்சார்பு வேருெரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காது.
வகை 1. A = 0 ஆகுக ; அதாவது ?- 4றr = 0. அதாவது, p2 + ga + r என்பது ( +) என்னும் வடிவினது. அந்நிபந்தனை 2Bg + 0 > 0 ஆகும். B என்பது பூச்சியமெனின், aa + bx + c என்பதற்கு 2 +5 என்னும்
ஒரு காரணி இருத்தல் வேண்டுமென்பது வெளிப்படை. aa + bx + c, px+ g + r என்பனவற்றிற்கு ஒரு பொதுக்காரணி உள்ளவகையை ஆராயவில்லை. B என்பது பூச்சியமல்லாததாகும் ;
B > 0 ஆக vis-5, ஆயினலும்,
B < 0 ஆக *一號 ஆயினலும்,
.. மேலுள்ள நிபந்தனை தீர்க்கப்படும்.
'. 2 இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் B> 0 எனின்
器 என்பது 一盖 யிலுஞ் சிறிய எப்பெறுமானத்தையும் எடுக் காது ; அன்றி B < 0 எனின், 一盖 யிலும் பெரிய எப்பெறுமானத்தை யும் அது எடுக்காது.
இன்னும், 2By + 0 > 0 ஆகும்பொழுது 0 இலுள்ள அவ்விருபடி சமன்பாட்டினது தன்மைகாட்டி நேராயிருப்பதால், - 盖 i என்பன வல்லாத g எடுக்கும் எப்பெறுமானமும் 0 இனுடைய வேறுவேருன
இரு பெறுமானங்களுக்கு அடையப்படும் என்பது பெறப்படும்.
12-R 11881 (166)

Page 160
308 ஆரம்ப தூய கணிதம்
வகை I. A > 0 ஆகுக.
g யினுடைய வேறுவேருண பெறுமானங்களுக்கு Ag + 2By + 9 என்பதன் குறியை ஆராய்தல் வேண்டும்
இது y யின் ஒர் இருபடிச் சார்பு.
.. B?-AC< 0 எனின், g யினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற் கும் Ag2+ 2Bg + 0 என்பதற்கு A யினது குறியே யிருக்கும்.
B?-AC = 0 எனின், Ag2+2By+0 என்பது g யின் ஒரு குறித்த பெறுமானத்திற்குப் பூச்சியமாகி g யினுடைய பிற பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் A யின் குறியையே எடுக்கும்.
.. B?- 4AC 30 எனின், g யினுடைய பெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் Ag2+ 2Bg + 0 > 0; ஆகவே, g யின் எப்பெறுமானத்திற்கும்  ைஇலுள்ள இருபடிச் சமன்பாடு 0 இற்கு மெய்ப் பெறுமானங்களைத்
- s பெmமானங் _a + bx + c, தரும் ; அதாவது, 20 இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு g 「po"十go 十ーr என்னுஞ் சார்பு தந்த யாதும் பெறுமானத்தை எடுக்கும். g யிற்குத் தந்த பெறுமானம் றg - a = 0, Ag? + 2Bg + 0 = 0 என்னுஞ் சமன் பாடுகளுள் யாதொன்றையுந் தீர்க்காதாயின், அச்சார்பு 2 இன் வேறு வேருன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு அப்பெறுமானத்தை அடையும்.
B?-40 > 0 எனின், Ag? + 2B) + 0 என்னும் இருபடிச் சார்பு A(y-a)(g-8) என்னும் வடிவத்தில் உணர்த்தப்படலாம். இங்கு, a, 8 என்பன வேறு வேறன இரு மெய்யெண்கள்.
.. y என்பது 0, 8 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கவில்லையெனிற் (667, Ay-|- 2By -- C20
. . . . - - - - - - - - 6 -- بda -|||||||- ba |
" pa* - ga - எனனுஞ சாாபு 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் 0, 8 என்பனவற்றிற்கு இடையிற் கிடக்கும் ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்காது.
வகை II, A<0 ஆகுக ; ஆயின் p என்பது பூச்சியமாகாது.
..”. Bo - AC = ( - bq -- 2ar +- 2pc)? — (qo— 4pr) (bo - 4ac)
2V2 2 దాదా (- bq - 2ar + 2рс -l- t;) -- (pr-' (-2)
?-4றr என்பது மறையாயிருத்தலால் b-uglp = 0 என்பது புறக்கணிக்
கப்பட்டமையால், B?-40 என்பது நேராகும்.
..". A<0, B? -- AC >0. a, 8 என்பன வேறுவேறன இரு மெய்யெண்களாயின்,
Ag2+2Bழ+0 என்பது A(g- 2) (g-8) என்னும் வடிவில் எடுத்துரைக் கப்படலாம்.

அட்சரகணிதம் 309
. g என்பது 0.8 என்பனவற்றிற்கு இடையில், (இரண்டும் உட்படக்) sjött, TT fib(im GÖT Ayo -- 2 By -- C > 0.
aato + ba - c و + pac2 + qac "" a,8 என்பவற்றிற்கு இடையில் (இரண்டும் உட்பட) உள்ள பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுக்கும்.
என்னுஞ் சார்பு 3 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
உ-ம். 1. 2 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
ac* + 1 ' (ac -- 1)* அதனை ஒரு வரைபால் விளக்குக.
a-- 1 y F ae — 1) ஆகுகி.
என்னுஞ் சார்பினது நடத்தையைத் தொடர்ந்து காண்க;
... aco(y - 1) - 2ay--y- 1 =0.
y=1 ஆகும்பொழுது a=0. g இன் வேறு யாதும் பெறுமானத்திற்கு a என்பது ஓர் இருபடிச் சமன் பாட்டாலே தரப்படும்.
yo- (y — 1)*> 0 6 Tarfað7,
அதாவது 2g - 1> 0 எனின்,
அதாவது /> எனின்,
அச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்களானவை மெய்யாகும்.
ஆகவே, 2. இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு y எடுக்கும் எப்பெறுமானமும் 3 இலுஞ் சிறிதாகாது.
இலும் பெரிதான y யின் எப்பெறுமானத்திற்கும் ஒத்தனவாய் g = 1 அல்லாதபோது 20 இற்கு இரு பெறுமானங்கள் இருக்கும். g= ஆயிருக்கும்பொழுது a இற்கு - ? - 30-4=0 அல்லது (a+1)?-0 என்பதாலே தரப்படும் இரண்டு பொருந்தும் மூலங்கள் இருக்கும்.
ஆகவே, அச்சார்பின் வரைபு, g = 3 என்னுங் கோட்டிற்கு மேலே முழுவதுங் கிடக்குமாறு இருத்தல் வேண்டும். இக்கோடு (-1, 4) என்னும் புள்ளியிலுள்ள அவ்வரைபின் ஒரு தொடலியாகும்.
g = 1 என்னுங் கோடு அவ்வரைபை (0, 1) என்னும் ஒரு புள்ளி யிலே வெட்டும். 20 அச்சிற்குச் சமாந்தரமாய் y = 4 என்னுங் கோட்டிற்கு

Page 161
310 ஆரம்ப தூய கணிதம்
மேலேயுள்ள வேறு யாதுங் கோடு அவ்வரைபை வேறுவேறன இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும்.
g என்பது 30 = 1 அல்லாத 3 இன் ஒவ்வொரு பெறுமானத்திற்கும் வரையறுக்கப்படும். ஆகவே, a = 1 என்னுங் கோடு அவ்வரைபை ஓரிடத்திலும் வெட்டாது. a என்பது 1 இலும் பெரிதாய் அல்லது 1 இலுஞ் சிறிதாய் 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும்பொழுது, a + 1 என்பது மிக்க அண்ணளவாக 2 ஆகும் ; அப்போது (0-1)? என்பது மிகச்சிறிய ஒரு நேர்க்கணியமாகும். ஆகவே, g என்பது நேராய் மிகப் பெரிதாகும். ஆகவே, 2 =1 என்னுங் கோட்டை உறுதியாக அணுகிக் கொண்டு அதனுடைய இரு பக்கங்களிலும் 3 அச்சிற்கு மேலே அவ்வரை பிற்கு முடிவில்லாத இரு கிளைகள் இருக்கும்.
Y
S LSLS LSLSSL LS SS LSSL 0S SS SS SSLL LS SS S SSeeSS as seo
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - w A
: .
O so y
a = 1 என்னுங்கோடு அவ்வளேயியின் அணுகுகோடு எனப்படும்.
1+2
7 Va' (-)
2 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாகும்பொழுது, இது மிக்க அண்ணள வாக 1 இற்குச்சமன். ஆகவே, 0 என்பது நேராய் மிகப்பெரிதாயிருக்கும் பொழுதும், அது மறையாய் மிகப்பெரிய எண்பெறுமானத்தை உடைய தாயிருக்கும்பொழுதும், அவ்வளையி y = 1 என்னுங் கோட்டிற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும். ஆகவே, அதற்கு g = 1 என்னுங் கோட்டை அணுகிக் கொண்டு முடிவில்லாத இரண்டு கிளைகள் ஒன்று y அச்சினது நேர்ப்பக்கத்திலும் மற்றையது மறைப்பக்கத்திலுமாக இருக்கும். y = 1 என்னுங்கோடும். அவ்வளையிக்கு ஒர் அணுகுகோடாகும்.
a என்பது பூச்சியமல்லாதபோது, y =
 
 

அட்சரகணிதம் 31 -ی.
உ-ம். 2. ல இனுடைய வேறுவேறு பெறுமானங்களுக்கு
4-3 (9) என்பதனுடைய நடத்தையை ஆராய்க.
m 4 - 3a "=cmエ*
... aty - 3a (y - I) -- 2y-4 = 0, .. g = 0 ஆகும்பொழுது 20 = : மற்றைப்படி, 9(g-1)?-4g(2g-4)20 ஆயினுற்றன் 3 என்பது மெய் யாகும்.
அதாவது g?-2g + 9 20. ஆனல், எல்லா று யிற்கும் g?-2g + 9 = (g-1) + 8 > 0.
". g யின் பூச்சியமல்லாத எப்பெறுமானத்திற்கும், 20 இற்கு வேறு வேறன இரண்டு மெய்ப்பெறுமானங்கள் இருக்கும் ; அதாவது 3 இனுடைய வேறுவேறன இரண்டு பெறுமானங்களுக்கு அத்தந்த சார்பு பூச்சியமல்லாத யாதுந் தந்த ஒரு பெறுமானத்தை எடுக்கும். ஆகவே, அச்சார்பின் வரைபு 3 அச்சிற்குச் சமாந்தரமான எக்கோடும் அதனை வேறு வேறன இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுமாறு இருக்கும்; அப்போது 3 அச்சே அவ்வரைபை ஒரு புள்ளியிலேயே வெட்டும். 2 - 1 அல்லது a = 2 ஆகும்பொழுது அச்சார்பு வரையறுக்கப்படுவதில்லை. 2 = 1, 20 = 2 என்னுங் கோடுகள் இரண்டும் அவ்வரைபை ஒரிடத்திலும் வெட்டா.
a என்பது 1 இற்கு மிக்க அண்மையில் இருக்கும் பொழுது, 4-32 என்பது மிக்க அண்மையாக 1 இற்குச் சமனுகும் , அப்போது 3-2 என்பது மிக்க அண்மையாக -1 இற்குச் சமனுகும் ; ஆனல், 1 இலும் பெரிதாய் 2 இருக்கும்போது 2-1 என்பது நேராய் மிகச்சிறிதாயும் 1 இலுஞ் சிறிதாய் ல இருக்கும்போது மறையாய், நுண்ணெண் பெறுமானம் உள்ளதாயும் இருக்கும். ஆகவே, 2 என்பது 1 இலும் சற்றுப் பெரிதா யிருக்கும்பொழுது g என்பது மறையாய் மிகப்பெரிய எண் பெறுமானத்தை உடையதாய் இருக்கும். a என்பது 1 இலும் சற்றுச் சிறிதாயிருக்கும் பொழுது g என்பது நேராய் மிகப்பெரிய பெறுமானம் உடையதாயிருக்கும்.
ல = 1 என்னுங் கோடு அவ்வளையிக்கு ஒர் அணுகுகோடாகும். இனி, 20 என்பது 2 இலும் சற்றுப் பெரிதாயிருக்கும்பொழுது g என்பது மறையாய் மிகப்பெரிய எண்பெறுமானமுடையதாய் இருக்கும். 2 என்பது

Page 162
32 ஆரம்ப தூய கணிதம்
2 இலும் சற்றுச் சிறிதாயிருக்கும்பொழுது g என்பது நேராய் மிகப் பெரிய பெறுமானம் உடையதாயிருக்கும்.
2 = 2 என்னுங் கோடும் ஓர் அணுகுகோடாகும்.
y
X
t
警
t
t t
2 என்பது பூச்சியமல்லாத பொழுது,
4 3
a
ஆகவே, 0 இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாயிருக்கும்பொழுது, g யின் எண்பெறுமானம் மிக்க அண்ணளவிற்குப் பூச்சியமாகும். ஆகவே, y=0 என்னுங்கோடும் ஒரு அணுகுகோடாகும்.
உ-ம் 3, 20 இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
2
இனது நடத்தையை ஆராய்க
a -a -- .35 كروع 1 ما يهم فيه = 9 ..". ac*(y - 1) -- ac{(y + 1} + y - 1 = 0. y = 1 ஆகும்பொழுது a = 0. மற்றைப்படி, (g+1)?-4(g - 1920 ஆயினுற்றன், அதாவது, (3g -1)(3-g) 20 ஆயினுற்றன்,
அதாவது, (y -4)(g-3 S0 ஆயினுற்றன், 2 என்பது மெய்யாகும்.

அட்சரகணிதம் 33
ஆகவே, 20 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும் g என்பது க், 3 என்பன வற்றிற்கு இடையில், (இரண்டும் உட்படக்) கிடத்தல் வேண்டும்.
y = i ஆகும்பொழுது, 2 (-款 +*器-器-0; அதாவது (0-1)? -ா 0.
g = 3 ஆகும்பொழுது, 2a- 4a -- 2 = 0 ; அதாவது (a +1)"=0.
ஆகவே, g = 4, g = 3 என்னுங் கோடுகளானவை முறையே (1,4) (-1, 3) என்னும் புள்ளிகளிலுள்ள அச்சார்பின் வரைபினுடைய தொடலிகளாகும்.
g = 1 என்னுங் கோடு அவ்வரைபை (0,1) என்னும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும். g - , g - 3 என்பனவற்றிற்கு இடையில் இக் கோடுகளுக்குச் சமாந்தரமாயுள்ள பிறகோடு ஒவ்வொன்றும் அவ்வரைபை வேறுவேறன இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும்.
as o sreds «» om app 5 a do or e tre a e 8 g a e po a s o e
O x
'-+ a என்பது பூச்சியமல்லாததாய் இருக்கும்போது, g = 一等 w 1十基十。
a இன் எண்பெறுமானம் மிகப்பெரிதாய் இருக்கும்போது இது மிக்க அண்ணளவாய் 1 இற்குச் சமனகும்.
ஆகவே, y=1 என்னுங்கோடு அவ்வளையிக்கு ஒர் அணுகுகோடாகும்.

Page 163
314 ஆரம்ப தூய கணிதம்
பயிற்சி 28
+ l - 2 என்னுஞ் சார்பு எம் (2- ته (+ ع) இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு کیم
- மெய்ப் பெறுமானத்தையும் எடுக்குமெனக் காட்டுக.
2 -- b. 2. 3 இன் பெறுமானம் யாதாயிருந்தாலும் 6? -4ag< 0 எனின் 嵩 என்பது
;2 ー l } {2ー
நிலையான இருபெறுமானங்களுக்கு இடையிற் கிடக்கின்ற ஒரு பெறுமானத்தையும் எடுக்கா தெனக் காட்டுக. -
3. a, b என்பன முரணுன குறிகளை உடையனவாயிருக்க, a+b என்பது பூச்சியமன்றெனின்,
aco -- ab 20 இனுடைய வேறுவேறன இரு பெறுமானங்களுக்கு ---
(ac - a) (ac - b)
என்னுஞ் சார்பு தந்த யாதுமொரு பெறுமானத்தை எடுக்குமெனக் காட்டுக.
ac* + ac +- 1 ag * -+- 4ac:: -+- 9 ஒரு மிகப் பெரிய பெறுமானத்தையும் ஒரு மிகச் சிறிய பெறுமானத்தையும் எடுக்குமெனக் 西nL@$.
என்பது C இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும்
х* -+- 5а; -+- 4
(ar + 1)? என்பது 3 இனுடைய மெய்ப் பெறுமானங்களுக்கு ஒரு மிகப்பெரிய பெறுமானத்தையன்றி ஒரு மிகச்சிறிய பெறுமானத்தையே உடையதாகும் எனக் காட்டுக.
6. 0 -ς ρ < 1 எனின், ਜ என்னுஞ் சார்பு எல்லாப் பெறுமானங்களையும்
3. அடையக்கூடியது எனக் காட்டுக 0 = 4 ஆகும்பொழுது, அதன் வரைபை வரைக.
aac - 2a -- 1 αυ" -+- 2α -- α என்னுங் கோவை நிலையான இரு பெறுமானங்களுக்கு இடையிற் கிடக்கும் பெறுமானங்களை மாத்திரம் எடுக்குமெனக் காட்டுக.
7. 6 > 1 எனின், 30 இனுடைய வேறுவேருண பெறுமானங்களுக்கு
0

Page 164
36 ஆரம்ப தூய கணிதம்
உதாரணம். 2十3/十2=6,
و 14 == 2 + y2 + 2ڑa 36 == 28 + g8 + 3 مa என்னுஞ் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க. முதன்முதல் ag + y2 + 20, aga என்பனவற்றினுடைய பெறுமானங் களைப் பெறுவோம்.
2ary + 2y2 + 22ac = (ac + y + z)? - (ac? -- y? -- 2?)
= 86 - 14 - 22.
acy + 2y2 -- 2a = ll. (960f, aco. -- yo -- 2o - 3ay2 = (x + y + 2) (co + yo -- 2o - ay-yz - 2x')
. 36-3ay2 = 6 (14-11) = 18.
".. acy2 = 6. * + b* + c + d = 0 என்னும் வடிவத்தில் t யிலுள்ள ஒரு முப்படிச் சமன்பாட்டை ஆராய்க.
இச்சமன்பாட்டிற்கு t ம 0, i = g, l = 2 என்னும் மூலங்கள் இருந்தால்,
b=一(C十岁十2}=一6, c = y + yz + za = 11, d = – wyz = – 6. ". அம்முப்படிச் சமன்பாடு ? - 62 + 11-6 = 0 என்பதாகும். இச்சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் 1, 2, 3 என்பனவாகும் என்பது எளிதிற்
ESTG500 TL |L |(ESL).
", a, g, 2 என்பனவற்றிலுே. தந்த சமன்பாடுகளுக்கு ஆறு தீர்வுகள் இருக்கும். அவை பின்வருமாறு :-
(i)2=1,3/=2,2=3, (iv) x = 2, y = 3, (ii) ac = i, gy == 3, 2 = 2. (v) ac = 3, y = 1, (iii) ac = 2, y = 1, 2 = 3. (vi) at = 3, y = 2, 2
R
R
பயிற்சி 29
1. ல8 -202 + bல - c = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு மூன்று மெய்மூலங்கள் இருக்க அவற்றுள் ஒன்று எனைய இரண்டின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனயின், b = c + 1 எனக் கTட்டுக.
2. a - aa + ba - C = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டினுடைய மூலங்கள் பெருக்கல் விருத்தி யில் இருந்தால், 6° - ca? எனக் காட்டுக.
3. 3 + லை? + bல + 0 = 0 என்னுஞ் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு பொருந்தும் மூலங்கள் இருந்தால், (90 - ab)? - 4 (6? -3ac) (a? -36) எனக் காட்டுக.
4. 32 + g^ + 2g2 + 2fy + 0 = 0, g? = 403 என்னுஞ் சமன்பாடுகள் 0 இற்கு, 4 இற்கு மற்ேபட்ட வேறுவேறு பெறுமானங்களேத்தரா எனக் காட்டுக. 0 இற்கு, 4பெறுமானங்கள் இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாகுமெனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 3
முதல் 70 நேர் முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகை
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 0 ஆகுக.
ஆயின், = ገ0 + (ጎ0 – l) + (ገ0 – 2) + ... + l.
. 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . -- (n + 1).
= n (n + 1). ". S = (n+1)
முதல் m முழுவெண்களினுடைய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை
n (n -- 1)(2n -- 1)
A, B, C என்பன r ஐச் சாராமலிருக்க
f(r) = Ar° —+- Br* –+— Cr gay(g5a5.
gyógöT, f(r– 1) = A (r – 1)* -- B(r– 1) + C(r-1)
.". f(r)-f(r - 1) = A (3ro — 3r -- 1) + B(2r - 1) -- C. 34 = 1 ஆயும், -34 + 28 = 0 ஆயும், A-B+ 0 = 0 ஆயும் இருந்தால், அதாவது A = க் ஆயும், B = க் ஆயும், 0 = க் ஆயும் இருந்தால், இது ? இற்குச் சமனகும்.
s 2 . f() = ++67ਛਮੀਫi, if(r)-f(r - 1) == ro.
தொடர்ச்சியாக r = 1,2, . . . , n எனப் பிரதியிட
f(1)-f(0) = 1°, j(2)-f(1) = 22,
LL S SLSSS SLL SSS S SS0L SS SS LL S SLLS SLLSL S S S S L S 0S S S0 SL0L SSS S L0L S 0LSL S S SSS S S L SSSLSS S L
.எனக் காட்டுவோம் سنت۔ 2ھn -+۔ . . . -+– 32-4- 22 +۔ 12
LL SSSSS S S0LS SSS SS L0S SYS S S0SLL S SYS SS0SS S 0 S S L SSSLSS S S L S LS S L S LS S SS0SS S SL SLS S S0
f(n) — f(n - 1) = mio. 1 + 2* -- . . . -- n = f(n)-f(0)
------0 =百十玄十百一
= (2n -- 3n -- m) =(n +1) (2n+1)
317

Page 165
38 ஆரம்ப தூய கணிதம்
முதல் m முழுவெண்களினுடைய கணங்களின் கூட்டுத்தொகை.
.n8 = என நிறுவுவோம் + ... + 38 -+۔ 23 +- 18
if(r) = Ar* -- Bro -- Cr* --Dr IgGg55. gu66ÖT f(r - 1) = A (r-1)4 + B(r - 1)o -- C(r - 1)o -- D(r — 1). ... f(r) — f(r - 1) = A(4ro — 6ro -- 4r - 1) -- B(3ro — 3r -- 1) -- C(2r - 1)--D. 4A = 1 ஆயும், - 6A + 3B = 0 ஆயும், 44 - 3B + 20 = 0 ஆயும் -A + B-0 + 1) = 0 ஆயுமிருந்தால், அதாவது A = 4 ஆயும், B = 3 ஆயும், 0 = 4 ஆயும், D = 0 ஆயுமிருந்தால், இது 1° இற்குச் சமனகும்.
.. f(r) = 4r“ + r* + r'* GTGðf6ð7, f(r) -f(r — 1)=r* ... f(1)-f(0) = 18. f(2)-f(1) = 28. J(3) - f(2) = 38.
YS LLL SLLS SDSS S SL S LS S L SLS SLS S SS SLLSS SLLSSL S L SLL S0SS0LS SLLLL LSL S S S S S S S SLS S SLL SzS L S L L S S L L
0 LL 0L S S SS LL LL LL SLSS LS SL SLL LS LS S L SSL L SS0S SL S L LSSL S S LL SSSSSSS SSYSSS SS S L L SCL L S L S
LLLL S S LLLL S S LSL SYS S SYS S L S S S SLS LS SSDLSSLLS S S00S SSSS S LLLSS L L S L SLS SS S SS 0S S SL0 SYS S0SD S S S SSS S L0 S L
f(n)-f(n - 1) = no.
18-- 28 -- 3: -- ... -- n = f(n)-f(0)
၇၇,4 ၇၇ဒိ ¥မ္ဘ*
千了十五十五
no(n + 1) ー・
உதாரணம் 1.
1.3 + 2.4 + 3.5 + . . . -- m(n + 2) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
7 ஆம் உறுப்பு = r(r +2) =? + 2r. n உறுப்புக்கள் வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
(??+...+1+2)2 + 72 -||- ... + 22 +۔ ? 1 ==
一°+%+y
రాజాద 6 η (η -- ) (2n -- 7).

அட்சரகணிதம் 319
உதாரணம் 2.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
19-29 + 38-48 + . . . - (2m)? என்னுந் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க.
கூட்டுத்தொகை
= 1 + 2* -- 3--4--...-- (2n)- 22 + 4 + ... -- (2n) - -int------
2 2 ---- (2n -H 1) 2 Iori Y = - no(4n + 3).
கணிதத் தொகுத்தறிவு
தொகுத்தறி முறை என்பது மாறும் நேர் முழுவெண்ணுேடு தொடர்புள்ள முடிபுகளை நிறுவுதற்கு வழங்கப்படும். 70 என்னும் மாறு நேர் முழு வெண்ணை அகப்படுத்தும் ஒரு குறித்த முடிபு, குறித்த ஒரு பெறு மீானத்திற்கு அப்பால் n இனுடைய பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகுமெனக் காட்டுதற்கு, ஆராய்ந்த m இன் முதற் பெறு மானத்திற்கு அம்முடிபை வாய்ப்புப் பார்த்து அதன்பின் அம்முடிபு m இனது தந்த யாதுமொரு பெறுமானத்திற்கு உண்மையெனின், அடுத்த பெறுமானத்திற்கும் அது உண்மையாதல் வேண்டும் எனக் காட்டல் போதியதாகும்.
அம்முறை பின்வரும் உதாரணங்களால் விளக்கப்படும் ; உதாரணம் 1.
m இனுடைய நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லா வற்றிற்கும் 12 + 2 + ... + m?- act lent 1) எனக் காட்டுக.
l (l -l- l 70 = 1 ஆகும்பொழுது முடிபு 1* = a tre+1)
இது உண்மை.
". அம்முடிபு ? இன் ஆராயப்பட்ட முதற் பெறுமானத்திற்கு உண்மை யாகும்.
p என்பது யாதுமொரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்க. அம்முடிபு n = ற யாகும்பொழுது உண்மை எனக் கொள்க. ஆயின், ܝ
1* + 2 +...+p =(p + 1) (2p + 1).

Page 166
320 ஆரம்ப தூய கணிதம்
இருபக்கங்களுக்கும் (p + 1)? என்பதைக் கூட்ட,
1 + 2 +...+ p + (p + 1) = (p + 1)(2 p + 1) + (p + 1)
=午講"(p(2p+1)+6(p+1}}
- (n+2)(2n+3)
,- −−− =午蓄“(エ+1)(2エ+1)
". m = p + 1 ஆகும்பொழுதும் அம்முடிபு உண்மையாகும். அதாவது, அம்முடிபு m = p ஆகும்பொழுது உண்மையாகுமெனின், n = p + 1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும். ஆனல், m - 1 ஆகும்பொழுது அது உண்மை எனக் கண்டுள்ளோம்.
". n = 2 ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகும். ". n = 3 ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகும். இவ்வாறே பிறவும்.
", n இனுடைய நேர் முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அது உண்மையாகும்.
உதாரணம் 2. m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது 2-1 என்பது a"-1 என்பதன் ஒரு காரணி யெனக் காட்டுக.
n = 1 ஆகும்பொழுது அம்முடிபு உண்மை என்பது தெளிவு. m = p ஆகும்பொழுது அது உண்மையாகுமெனக் கொள்க.
ac”** - 1 = ac (ac? - 1) -- (ac - 1) 3-1 என்பது வலப்பக்கக் கோவையின் ஒரு காரணி.
", a -1 என்பது (n-1) என்பதற்கு ஒரு காரணியாயின், அது (a" -1) என்பதற்கும் ஒரு காரணியாகும். அதாவது, அம்முடிபானது n - p யாகும்பொழுது உண்மையாயின்,
n = p + 1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும். 70 = 1 ஆகும்பொழுது அது உண்மை. .. 70 = 2, 3, . . . ஆகும்பொழுதும் அது உண்மை. உதாரணம் 3.
7n இனுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் 2"> m (n-1) எனக் காட்டுக.
7n - p யாகும்பொழுது அது உண்மை எனக் கொள்க.

அட்சரகணிதம் 32.
அதாவது, 2”+* > ፲o(፮p – l). இரு பக்கங்களையும் 2 ஆற் பெருக்குக.
ஆயின், 2P +* - 2ρ (ρ - 1).
இனி, p > 3 எனின், 2ற -2 2p + 1.
... φ > 3 στροήσότ, 2.P" > (ρ - 1). p
3 இலும் பெரிது அல்லது அதற்குச் சமனன p யின் யாதொரு பெறு மானத்திற்கும் அம்முடிபு உண்மை எனின், p யின் அடுத்த பெறு மானத்திற்கும் அது உண்மையாகும்.
n = 1 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 2?>0 என்பதாகும் ;
இது உண்மை. n = 2 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 2°> 2.1 என்பதாகும். ;
இது உண்மை. n = 3 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு 2 > 3.2 என்பதாகும் :
இதுவும் உண்மை. n = 3 ஆகும்பொழுது, அம்முடிபு உண்மையாகுமாதலால், n = 4, 5, 6, . . . ஆகும் பொழுதும் அது உண்மையாகும்.
', n இனுடைய நேர்முழுவெண் பெறுமானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் அம்முடிபு உண்மையாகும்.
பயிற்சி 30
1. 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n (n + 1) (n + 2) என்னுந் தொடரின் n உறுப்புக்கள் வரைக்குமுள்ள கூட்டுத்தொகை
'' (' + 1) (m + 2) (n + 3) எனக் காட்டுக.
2. S என்பது முதல் 7 நேர்முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறித்தால்,
S -- S -- Ss -- ... -- S = η (a + 1) (n+2) எனக் காட்டுக,
3. n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
1.70 -+- 2. (ጎጌ – 1) ÷ 8. (ጎጌ – 2) + • • • ~÷ ነ0.1 == η (η + l) (ኬ ÷ 2)
எனக் காட்டுக.
mill- ገጌ
5. a, b என்பன நேரெண்களாக அவற்றுள் b > a எனின்,
1 4。一一一一十一十..。 5 stS5.
1. 28 .. ' 6teeTai srticSas
n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது,
b” > na” -1 (b -a) எனக் காட்டுக.

Page 167
322 ஆரம்ப தூய கணிதம்
6. n என்பது 1 இலும் பெரிதான ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
ፃ2 -+- 1 W1 -- V2 - V3 +...+ v < x/(
) எனக் காட்டுக.
7. n என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின்,
(14-24) -- (34-44) -- (54 - 64) -- ... + {(2n-1)-(2n)} என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க,
8. 7 என்பது ஒரு நேர்முழுவெண்ணுயின்,
1.3.4 - 2.4.5 -- 3.5.6 -- ... -- n (n -- 2) (n +3) என்பதன் பெறுமானத்தைக் கணிக்க,
9. 24, 24, 2, . 24, . என்னும் நேரெண்களின் முடிவுருத தொடரொன்று எல்லா n இற்கும் 24+1 = 14 + 1 என்னுந் தொடர்பைத் தீர்க்கின்றது.
< 1 எனின் எல்லா m இற்கும் 24 < 1 எனக் காட்டுக. 10. 4, 14, 23, , , , ,24, , , , என்னும் எண்களின் முடிவுருத தொடரொன்று t4, 4+1, +2 என்னும் எவையேனும் மூன்று அடுத்துள எண்கள்tடி2 - 5un-- --64 = 0
ஆகும்படி இருக்கின்றது. 14=5, t=13 ஆயின், எல்லா m இற்கும் u=2+3* எனக் காட்டுக.

அத்தியாயம் 4
வரிசைமாற்றமுஞ் சேர்மானமும்.
வரிசை மாற்றம்
a, b, c, d என்னும் நான்கு எழுத்துக்கள் எங்களுக்கு உண்டென்றும் அவற்றுள் எவையேனும் மூன்றை எடுத்து அம்மூன்று எழுத்துக்களையும் ஒரு நேர் கோட்டில் ஒழுங்காக வைக்கவேண்டுமெனவும் கொள்க. இது பல வழிகளாற் செய்யக் கூடியது. a, b, c என்னும் எழுத்துக்களை எடுத்தோமாயின், பின்வரும் ஆறு ஒழுங்குகளுள் யாதுமொன்றை எடுத்தல் கூடும் :-
abc, acb, bac, bca, cab, cba. a, b, d என்னும் எழுத்துக்களே எடுத்தோமாயின் வேறுவேருன ஆறு ஒழுங்குகளைப் பெறுவோம். a, c, d என்னும் எழுத்துக்களை எடுத் தோமாயின், வேறு ஆறு ஒழுங்குகளைப் பெறுவோம் ; இறுதியாக b, c, d என்னும் எழுத்துக்களை எடுத்தோமாயின், வேறு ஆறு ஒழுங்குகளேப் பெறுவோம். ஆகவே, a, b, c, d என்னும் நான்கு எழுத்துக்களுள்ளே தடவைக்கு மூன்று ஆக எடுக்கப்படும் வேறுவேறன ஒழுங்குகளின் மொத்தம் 24.
அதாவது, தடவைக்கு 3 ஆக எடுக்கப்படும் 4 வேறுவேருண பொருள் களின் வரிசைமாற்றத் தொகை 24.
தடவைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் ? வேறுவேருண பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகையானது அந்த 70 பொருள்களுள் r பொருள்களை எடுத்து ஒரு வரிசையில் ஒழுங்காக வைத்தலால் ஆகக் கூடிய வேறுவேருன ஒழுங்குகளினது தொகையாகும். 70, 7 என்பன நேர் முழுவெண்களா யிருக்க அவற்றுள் 70 என்பது r இலுஞ் சிறிதன்றெனின், அவ்வரிசை மாற்றத்தொகை "P, ஆற் குறிக்கப்படும்.
AP - 24 எனக் கண்டுள்ளோம். இப்பொழுது, 1, 7 என்பனவற்றினுடைய தந்த பெறுமானங்களுக்கு "P, என்பதைக் கணிக்கத் துணைசெய்யும் ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.
"P, இற்குச் சூத்திரம்.
எம்மிடம் m வேறுவேறன பொருள் உண்டு ; அவற்றுள் r பொருள் களை யாதும் ஒரு விதத்திலே தேர்ந்தெடுத்து அவற்றை ஒரு நேர் கோட்டில் யாதும் ஒரு விதத்தில் ஒழுங்காக வைத்தல் வேண்டும். ஒரு நேர் கோட்டில் அந்த 7 பொருள்களும் வைக்கப்படவேண்டிய ? வெறுமையான இடங்களைச் சிந்திக்க. வெறுமையான ஒவ்வோர் இடமும் ஒரு பொருளாலே நிரப்பப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையைத் துணிய
323

Page 168
324 ஆரம்ப தூய கணிதம்
வேண்டும். ஒரு முன்ையிலிருந்து தொடங்கி ஒவ்வொன்றக அவ்விடங்களை நிரப்பத் தொடங்குகின்றேம் எனக் கொள்க. m பொருள்களுள் யாதும் ஒன்று தேரப்படலாமாதலின், முதலாம் இடம் n வழிகள் பற்றி நிரப்பப் படலாம். இந்த 7 வழிகளுள் யாதும் ஒன்றுபற்றி நிரப்புகின்றேம் எனக் கொள்க. ஆயின், எம்மிடம் நிரப்புதற்கு (n-1) பொருள்கள் விடப்பட்டுள்ளன. இப்பொழுது மீந்திருக்கின்ற (n-1) பொருள்களுள் யாதும் ஒன்று தேரப்படலாமாதலின், இரண்டாம் இடம் (n-1) வழிகள் பற்றி நிரப்பப்படலாம். ஆகவே, முதலாம் இடம் நிரப்பப்படும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்க, இரண்டாம் இடம் நிரப்பப்படுதற்கு (n-1) வழிகள் உண்டு. ஆகவே, முதல் இரண்டு இடங்களும் நிரப்பப்படக்கூடிய வேறு வேருன வழிகளின் மொத்தம் m (n-1). இவ்வீர் இடங்களும் இந்த 70 (n-1) வழிகளுள் யாதும் ஒன்றுபற்றி நிரப்பப்பட்ட பொழுது மீதியாக (n-2) பொருள்கள் இருக்கும். முதல் இரண்டு இடங்களை நிரப்பும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்க, மூன்றம் இடத்தை நிரப்பும் (n-2) வழிகள் இருக்கும். ஆகவே, முதன் மூன்று இடங்களும் n (n-1) (n-2) வழிகள்பற்றி நிரப்பப்படலாம். இவ்வாறு தொடர்ந்து சென்று, யாதும் ஒரு நிலைமையிற் காரணிகளினது தொகை நிரப்பப்படும் இடங் களினது தொகைக்குச் சமன் எனவும் கவனித்தால், r வெறுமையான இடங்களை நிரப்பும் வேறுவேருன வழிகளினது தொகை m (n-1) (n-2) (n-3) . . . " காரணிகள் வரைக்கும்
= m (n-1) (n-2) . . .(n-r + 1) எனக் காண்போம்.
.. “P, = ጎ0 (ገ0 – 1) (ገ0 – 2) ... (ገ0 – r + l).
வேறெரு வழி.
அந்த m வேறுவேறன பொருள்கள் a, a , , , , a என்னும் எழுத்துக் களாற் குறிக்கப்படுக.
முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் இந்த m எழுத்துக்களின் வரிசை மாற்றத் தொகை "P, இவ்வரிசை மாற்றங்களுள் ஒரு குறித்த தொகை யில் a என்னும் எழுத்து முதலாம் இடத்தில் உள்ளதாகும். CI, என்னும் இவ்வெழுத்தைத் தவிர்த்து முறைக்கு r -1 ஆக எடுக்கப்படும் மீதி (n-1) எழுத்துக்களேக் கொண்டு செய்யக்கூடிய வரிசை மாற்றங்கள் எல்லாவற்றையும் ஆக்கி, அதன்பின் ஒவ்வோர் ஒழுங்கிலும் முதலிடத்தில் a என்னும் எழுத்தை வைத்தால், முறைக்கு r ஆக எடுக்கும் அந்த m எழுத்துக்களின் வரிசை மாற்றங்கள் எல்லாவற்றுள்ளும் a முதலாகவுள்ளனவற்றைப் பெறுவோம். ஆகவே, a முதலாகவுள்ள ஒழுங்குகளினது தொகை ""P.. அதுபோல, யாதும் ஒரு குறித்த எழுத்து முதலாகவுள்ள ஒழுங்குகளினது தொகை "P,..
n எழுத்துக்கள் இருக்கின்றமையால் ஒழுங்குகளின் மொத்தம் 0."TP..
... "P = n." P

அட்சரகணிதம் 325
n > 7 ஆக, இது n, r என்பனவற்றினுடைய நேர் முழுவெண் பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகும்.
70 ஐ 10-1 இற்கும் 1 ஐ 7-1 இற்கும் மாற்ற,
"P, = (n-1)." P. 70 ஐ 10-2 இற்கும் r ஐ r-2 இற்கும் மாற்ற,
"'P,- = (n - 2).” “Ps. இவ்வாறே பிறவும்,
இறுதியாக, n ஐ m - (r-2) இற்கும் 7 ஐ 7 - (r-2) இற்கும் மாற்ற,
1–7+2P s (m – ጥ-+2).”  ̈”+1P„ ஆனல், ****P என்பது m - 7 + 1 இற்குச் சமன் என்பது தெளிவு. . . "P = n (m - 1) . . . (n - r + 1).
காரணியக் குறியீடு. ஒரே தடவையில் எல்லாம் எடுக்கப்படும் m வேறுவேறன பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகை "P = m(n-1)(n-2). . . 1.
இது முதல் 70 நேரெண்களின் பெருக்கமாகும். இப்பெருக்கம் * காரணிய m ” என்றே “ சினையக n” என்றே கூறப்படும். இது | என்றே ?! என்றே குறிக்கப்படும்.
r < n 676of667, ”P = n(n - 1) . . . (n - r --- 1)
n 「(エ) r = 7 ஆகும்பொழுது, இக்கோவை
o என்பதாக ஒடுங்கும்.
"P = n! ஆதலால், r = m ஆகும்பொழுது "P, இற்குரிய மேலுள்ள கோவை உண்மையாகும்படி 0 என்பதை 1 இற்குச் சமனுக எடுக்கின்றேம்.
உதாரணம் 1. குறிக்கப்பட்ட இரண்டு புத்தகங்கள் ஒருங்கு வைக்கப்படல் ஆகாதாயின், ஒரு தட்டின்மீது 10 புத்தகங்கள் ஒழுங்காக வைக்கப்படத் தக்க வேறுவேருன வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி அப்புத்தகங்களை ஒழுங்காக வைக்கும் வழி களினது தொகை 10 1.
குறிக்கப்பட்ட இரண்டு புத்தகங்கள் ஒருங்கு வைக்கப்படுமாறு ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகையைப் பின் காணுகின்ருேம். இவ்விரு புத்த கங்களும் ஒரு புத்தகம் ஆகுமாறு கட்டப்பட்டனவாகக் கற்பனை செய்தல் கூடும். அப்பொழுது எம்மிடம் 9 புத்தகம் இருக்கும் ; அவை 9 1 வ

Page 169
326 ஆரம்ப தூய கணிதம்
களில் ஒழுங்காக வைக்கப்படலாம். இவ்வொழுங்குகள் ஒவ்வொன்றிலுங் குறிக்கப்பட்ட அப்புத்தகங்கள் இரண்டும் அவற்றல் ஆக்கப்பட்ட கட்டில் இரு வழிகள்பற்றி ஒழுங்காக வைக்கப்படலாம். ஆகவே, குறிக்கப்பட்ட அவ்விரு புத்தகங்களும் ஒருங்கு இருக்கும்படி அப்புத்தகங்களை ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகை 2X91. ஆகவே, குறிக்கப்பட்ட அப்புத்த கங்கள் இரண்டு ஒருங்குவராதவாறு ஒழுங்காக வைக்கும் வழிகளினது தொகை 10 1-2.9 1-8X91
=8×9×8×7×6×5×4×3×2
=2903040.
உதாரணம் 2. ஒரு வரிசையில் 10 ஆசனங்கள் உண்டெனின், எவையே னும் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகாதவாறு 8 மனிதர் இருக்கக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
முதலாவதாகக் கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி அம்மனிதரை இருத்தக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்போம். நாம் 8 ஆசனங்களைத் தேர்ந்து அதன்பின் இந்த 8 ஆசனங்களில் அந்த 8 மனிதர்களையும் ஒழுங்காக இருத்துதல் வேண்டும். இது செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை முறைக்கு 8 ஆக எடுக்கும் 10 வேறுவேறன பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகைக்குச் சமனுகும். இது 19P3 ஆகும். பின்னர் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகும்படி அந்த 8 மனிதர்களையும் இருத்தும் வழிகளினது தொகையைக் காண்கின்ருேம். 10 ஆசனங்களுள் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் 9 வழிகளிலே தேரப்படல் கூடும். இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் யாதும் ஒரு வழியிலே தேரப்பட்டபொழுது மீதி யாயுள்ள 8 ஆசனங்களிலும் 8 மனிதர் 8 1 வழிகளில் ஒழுங்காக இருத்தப் படலாம். ஆகவே, இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங்கள் வெறுமையாகு மாறு அந்த 8 மனிதர்களையும் இருத்தும் வேறுவேறன வழிகளின் மொத்தம் 9x81. ஆகவே, எவையேனும் இரண்டு அடுத்துள்ள ஆசனங் கிள் வெறுமையாகாதவாறு அம்மனிதரை இருத்தும் வழிகளினது தொகை 10P- 9x81.
=I0×9×8×7×6×5×4×3ー9×8×7×6×5×4×3×2 =1451520.
பயிற்சி 31
1. 4 ஆண் பிள்ளேகளுள்ளும் 4 பெண் பிள்ளைகளுள்ளும் எவரேனும் இரு பெண்பிள்ளைகள் ஒருங்கு நிற்காதவாறு அப்பிள்ளைகளை ஒரு வரிசையிலே நிற்கச்செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை 2880 எனக் காட்டுக.
2. வேறு வேறு வயதுடைய ஏழு மனிதர் ஒரு படக்காட்சிக்குப் பிரவேசச் சீட்டு வாங்குவதற் காக ஒரு தொடர் நிரையிலே நிற்க வேண்டியவர் ஆகின்றர். அவருள் இளையவன் மூத்தவனுக்கு நேரே முன்ஞக நிற்காதவாறு அவர் தம்மை ஒழுங்காக்கும் வழிகளினது தொகை 2520 எனக் காட்டுக.

அட்சரகணிதம் 327
3. A, B என்னும் இரு பட்டினங்களைத் தொடுத்துக்கொண்டு 5 தெருக்கள் இருக்கின்றன. மூன்று பேர் 4 யிலிருந்து B யிற்குச் சென்று பின் B யிலிருந்து A யிற்குத் திரும்பி வரவேண்டியவராய் இருக்கின்றனர். அவ்வாறு செய்கையில்,
ஒருவரேனும் ஒரே தெருவைச் செல்லுதலுக்கும் திரும்பி வருதலுக்கும் பயன்படுத்துதல் ஆகாது. அவருள் எவரேனும் இருவர் ஒரே தெருவைச் செல்வதற்குப் பயன்படுத்துதல் ஆகாது அவருள் எவரேனும் இருவர் ஒரே தெருவைத் திரும்பிவருதற்குப் பயன்படுத்துதலும் ஆகாது ஆயின், அவர் பிரயாணஞ் செய்யக்கூடிய வழிகளினது தொகை 1440 எனக் காட்டுக,
4. 1,000, 10,000 என்பவற்றிற்கு இடையில் வேறுவேறன இலக்கங்களையுடைய எத்தனை முழுவெண்கள் உண்டு ?
5. n புத்தகங்களுள் 3 தமிழிலுள்ளன; எனைய சிங்களத்திலுள்ளன; தமிழ்ப் புத்தகங்களுள் (3 உம் அன்றி) 2 ஒருங்கு இருக்குமாறு ஒரு தட்டின்மீது அவை ஒழுங்காக வைக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகை 6(m -3) x (n-2) எனக் காட்டுக.
6. n ஆண்களும் m பெண்களும் ஒரு வரிசையிலே நிற்கும்பொழுது அவருள் எவரேனும் இரு பெண்கள் ஒருங்கு நிற்காதவாறு ஒழுங்குபடுத்தக் கூடிய வழிகளினது தொகை n 1 (m-1)! எனக் காட்டுக.
7. ஒவ்வொரு கோலும் வேறென்றுக்கு நேர் எதிராக இருக்குமாறு 270 கோல்கள் ஒருவட்ட வயலின் பரிதியில் வேறு வேறு புள்ளிகளிலே நாட்டப்பட்டுள்ளன. அவ்வயலுக்குள்ளே உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு மனிதன் ஒடத் தொடங்கித் தம்முள் எவையேனும் 2 ஒன்றுக்கொன்று நேர் எதிராயில்லாத 72 கோல்களைத் தொட்டபின் புறப்பட்ட புள்ளிக்குத் திரும்பிவருகின்றன். அவன் அவ்வாறு செய்யக்கூடிய வேறு வேறு வழிகளினது தொகை 27mே! எனக் காட்டுக.
8. (வேறு வேருனவையாய் இருத்தல் வேண்டும் என்பதின்றிய) m இலக்கங்கள் கொண்ட நேர் முழுவெண்களினது தொகை 10 -10%" எனக் காட்டுக.
9. 10 வேறு வேறன கொடிகள் எம்மிடம் இருக்கும்பொழுது ஒன்றன் பின் ஒன்ருக நான்கு கொடிகளை உயர்த்தலாற் கொடுக்கக்கூடிய வேறு வேறன குறிப்புக்களினது தொகையைக் காண்க.
10. 3 பரிசுகளைப் பெற 12 போட்டியிடுவோர் இருக்கின்றனர். ஒருவனுக்கும் ஒன்றின் மேற்பட்ட பரிசு பெறத் தகுதி இல்லையெனின், அப்பரிசுகள் வழங்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
வட்டவொழுங்குகள்.
ஒரு நேர் கோட்டில் m வேறு வேறன பொருள்களினுடைய ஒழுங்கு களினது தொகை n! ஒரு வட்டத்திலுள்ள ஒழுங்குகளை ஆராய்ந்தால், இது உண்மையன்று. அவ்விரு வகைகளிலும் உள்ள வேற்றுமை பின் வருமாறு விளக்கப்பட லாம். d
t
C
2.
ஒரு நேர் கோட்டில் a, b, c என்னும் மூன்று எழுத்துக்களின் ஒழுங்கையும் ஒரு வட்டத்தில் ஒத்த ஒழுங்கையும் ஆராய்க. a யானது b யையும், b யானது C யையும், C யானது a யையும் இடம் பெயர்க்கின்றன எனக் கொள்க.

Page 170
328 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அந் நேர்கோட்டில் ஒழுங்கு மாறியது ; ஆனல் அவ்வெழுத்துக்கள் அவ்வட்டத்தின்மீது வேறு வேறு நிலைகளில் இருக்கின்றபோதிலும் அவ்வட்டத்தில் ஒழுங்கு மாறது முன்போலவே இருக்கும். யாதும் ஒர் எழுத்தின் உண்மையான நிலை பற்றி நமக்கு & அக்கறை இல்லை; அவ் வெழுத்துக்கள் புலன கின்ற வரிசையில் மாத் திரம் அக்கறை கொள்கிருேம். ஆகவே, ஒரு வட்டத்தில் வேறு வேருன ஒழுங்குகளினது தொகை ஒரு நேர் கோட்டிலான ஒழுங்குகளினது தொகை யிலுஞ் சிறிது.
ஒரு வட்டத்தில் n வேறு வேருண எழுத்துக்களை ஒழுங்காக வைக்கவேண்டும் எனக் கொள்க. அவ்வட்டத்தின்மீது ஒர் எழுத்தின் உண்மையான நிலை பொருளாகாதாதலால், அவ்வெழுத்துக்களுள் ஒன்றை அவ்வட்டத்தின்மீது நிலையாக்கி அதன்பின் மீதி (n-1) எழுத்துக்களையுந் தம்முள் ஒழுங்காக இருக்கும்படி செய்யலாம். இதனை (n-1) வழிகளிற் செய்தல் கூடும்.
ó
ά
Z
ஆகவே, ஒரு வட்டத்தில் ? வேறு வேறன பொருள்களின் வரிசை மாற்றத் தொகை (n-1) 1.
ஒரு வட்டத்தின்மீது ஒரு பொருளின் உண்மையான நிலையும் ஆராய்வுக்கு எடுக்கப்பட்டால், ஒழுங்குத் தொகை நேர் கோட்டொழுங்குகளிற் போல ?! ஆகும். உதாரணமாக 70 ஆள்கள் ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி இருத்தப்பட வேண்டியவராயிருக்க, அவ்வாசனங்களுக் கிடையில் வேறுபாடு இருந்தால், ஒழுங்குத் தொகை n ஆகும்.
இனி, m பொருள்கள் ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கப்பட வேண்டி யிருக்க, ஒழுங்கின் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் வேறுபாடு காணப்பட்டால், வேறு வேறன ஒழுங்குகளினது தொகை (n-1) ! ஆகும். உதாரணமாக, வேற்றுமைப்பட்ட நிறங்களையுடைய m மணிகள் ஒரு கழுத்துமாலே ஆகுமாறு தொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன எனக் கொள்க. அம்மணிகளின் ஒழுங்குகளில் வலஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடையே வேற்றுமை யாதுமில்லை என்பது தெளிவு. ஆகவே, ஒரு கழுத்துமாலை ஆக்கப்படக்கூடிய வேறு வேறன வழிகளினது தொகை 2 X (n-1) 1.

அட்சரகணிதம் 329
பயிற்சி 32
1. n ஆண்களும் n பெண்களும் ஒரு வட்டமேசையினிடத்து அவருள் எவரேனும் இரு பெண்கள் ஒருங்கு இருக்காதவாறு இருத்தப்பட வேண்டியவர் ஆகின்றனர் ; குறிக் கப்பட்ட பெண் ஒருத்தியும் ஆண் ஒருவனும் ஒருங்கு இருக்க மாட்டார் ; ஆசனங்கள்பற்றி வேற்றுமை யாதும் இன்று. அவர்களை ஒழுங்காக்க கூடிய வழிகளினது தொகை (n-2}{{n-1)!}? எனக் காட்டுக.
2. ஐந்து ஆண்ஞம் நாலு பெண்களும் ஒரு வட்டமேசையினிடத்து இருக்கின்றனர். ஆசனங்கள்பற்றியும் ஒழுங்கின் வலஞ்சுழி இடஞ்சுழிப் போக்குகள் பற்றியும் வேற்றுமை யாதும் காணப்படாதாயின், இரண்டின் மேற்பட்ட மனிதர் ஒருங்கு இருக்காதவாறு அவர்கள் இருத்தப்படக் கூடிய வேறு வேறு வழிகளினது தொகை 1440 எனக் காட்டுக.
எல்லாம் வேறு வேறகாத பொருள்களின் ஒழுங்கு.
இப்பொழுது ஒரு நேர் கோட்டில் ஒழுங்கு செய்யப்படும் m பொருள்களி னுடைய ஒழுங்குகளே அவை எல்லாம் வேற்றுமைப்படாதபொழுது ஆராய் வோம். வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகை n 1 இலுஞ்சிறிது என்பது எளிதிற் புலணுகும். a, b, c, d. என்னும் எழுத்துக்களின் ஓர் ஒழுங்கு எம்மிடம் இருந்தால், இரண்டு எழுத்துக்களை ஒன்றேடு ஒன்று மாற்றுகை இவ்வீர் எழுத்துக்களும் வேற்றுமைப்பட்டால் ஒரு புதிய ஒழுங்கையும், அன்றி அவை ஒற்றுமைப்பட்டால் அதே ஒழுங்கையுந் தரும்.
எம்மிடம் m பொருள்கள் உண்டு என்றும் அவற்றுள் p பொருள்கள் ஒற்றுமைப்பட ஏனைய எல்லாம் வேற்றுமைப்பட்டு இருக்கின்றன என்றுங் கொள்க. a என்பது அவை எல்லாவற்றையும் ஒருங்கு எடுக்கும்போது ஆக்கப்படக்கூடிய வேறுவேறன ஒழுங்குகளின் மொத்தமாகுக. இந்த ஒழுங்குகளுள் ஒன்றை ஆராய்க. அந்த ற ஒற்றுமைப்பட்ட பொருள்களும் எனையவற்றிலும் வேருன ற வேற்றுமைப்பட்ட பொருள்களால் இடம் பெயர்க்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க. இந்த ற வேற்றுமைப்பட்ட பொருள் களானவை தம்முள் p ! வேறுவேறன வழிகளில் ஒழுங்காக்கப்படக் கூடியவை. ஆகவே அந்த ல ஒழுங்குகளுள் ஒவ்வொன்றும் p ! வேறு வேறன ஒழுங்குகளைத் தரும். ஆகவே, எல்லா ல ஒழுங்குகளும் 3.0 ! ஒழுங்குகளைத் தரும். இது எல்லாம் ஒருங்கு எடுக்கப்படும் ? வேறு வேறன பொருள்களின் ஒழுங்குத் தொகையாகும் என்பது தெளிவு.
. αιρ Ι = η
72场 . '
", m பொருள்களுள் ற பொருள்கள் ஒற்றுமையாகவும் ஏனையவெல்லாம் வேற்றுமையாகவும் இருக்கும்பொழுது அந்த m பொருள்களின் வேறு
வேறன ஒழுங்குகளினது தொகை 嵩

Page 171
330 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அதுபோல, ற பொருள்கள் ஓரினத்தனவாயும் டி பொருள்கள் வேறேர் இனத்தனவாயுமிருக்க ஏனையவெல்லாம் வேற்றுமைப்பட்டால், ஒழுங்கு களினது தொகை
உதாரணம். “ Commander ’ என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள உயிரெழுத்துக் களின் வரிசை பேணப்படின், அச்சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் வேறு வேருண ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
அச்சொல்லில், 0, a, e என்னும் வரிசையிலே மூன்று உயிரெழுத் துக்கள் உண்டு. இவ்வரிசை பேணப்படவேண்டும். தந்த யாதும் ஒர் ஒழுங்கிலிருந்து மெய்யெழுத்துக்களினுடைய நிலைகளை மாற்றது உயி ரெழுத்துக்களை மாத்திரம் ஒன்றேடொன்று மாற்றுவதாற் புதிய ஒழுங்கு களே ஆக்கல் இயலாது என்பதே இதன் கருத்து. இது அம்மூன்று உயிரெழுத்துக்களும் மூன்று ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களாதற்கு ஒப்பாகும். எல்லாமாக 9 எழுத்துக்கள் உண்டு ; அவற்றுள் m என்னும் 2 எழுத்துக் கள் ஒற்றுமைப்பட்டுள்ளன. ஆகவே வேண்டிய ஒழுங்குத் தொகை 9 பொருள்களுள் 2 ஓரினத்தனவும் 3 வேறேரினத்தனவுமாக அந்த 9 பொருள்களின் ஒழுங்குத் தொகைக்குச் சமனுகும்.
ங்கத் தொகை - 91__9×8×7×6×5×4×3×2 .". ஒழுங்குத மத 213!ー一致マエー
--B0240
பயிற்சி 33
1. “Alliteration " என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களினுடைய வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
2. “ Prevarication " என்னுஞ் சொல்லிலுள்ள எழுத்துக்களுள் (a) ? என்னும் ஈரெழுத்துக்களும் ஒருங்கு வராதவாறும் (b) ? என்னும் ஒர் எழுத்தும் க் என்னும் ஓர் எழுத்தும் ஒருங்கு வருமாறும் உள்ள அச்சொல்லினுடைய எழுத்துக்களின் ஒழுங்குத் தொகை யைக் காண்க.
3. ஆசிய நாட்டு ஆலோசனைச் சபை ஒன்றிற்கு இலங்கையிலிருந்து 2 பிரதிநிதிகளும், இந்தியாவிலிருந்து 4 பேரும், பாக்கிஸ்தானிலிருந்து 3 பேரும், பேமாவிலிருந்து 3 பேரும் வந்திருக்கின்றனர். இப்பிரதிநிதிகள் கூட்ட ஒளிப்படம் ஒன்றிற்கு இருக்க, ஒரே நாட்டுப் பிரதிநிதிகளுக்கிடையே வேற்றுமை யாதுங் காணப்படாவாயின், அவர்களே இருத்தக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
ஒரே நாட்டுப் பிரதிநிதிகள் ஒருங்கு இருந்தால், அவர்களை இருத்தக் கூடிய வழிகளினது தொகையையுங் காண்க.
4. 2, 3, 4 என்னும் இலக்கம் மூன்றையும் ஒருங்கு பயன்படுத்தி 5 இலக்கங்களைக் கொண்ட எத்தனை முழுவெண்களை ஆக்கலாம்?
5. பூச்சியமல்லாத இலக்கங்கள் எல்லாவற்றையும் பயன்படுத்திக் கட்டுப்படுத்தாத நிலைகளை யுடைய 2, 4 என்னும் இலக்கங்களுக்கு இடையில் யாதும் ஓரிடத்தில் 3 என்னும் இலக்கம் வருமாறு வேறுவேறன இலக்கங்களையுடைய எத்தனை முழுவெண்கள் ஆக்கக்கூடும்?

அட்சரகணிதம் 33.
6. n மாபிள்களுள் p ஒரு நிறமும் ஏனைய வேறுவேறு நிறமும் உள்ளனவாயிருக்க அவற்றை ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கும்பொழுது வலஞ்சுழிப் போக்குக்கும் இடஞ்சுழிப் போக்குக்கும் வேறுபாடு காணப்படுமாயின் அவை வைக்கப்படக்கூடிய ஒழுங்குகளினது
(n-1)
தொகை எனக் காட்டுக.
சேர்மானம்.
a, b, c, d என்னும் நான்கு வேறுவேருண எழுத்துக்களை ஆராய்க இந்நான்கு எழுத்துக்களைக் கொண்டு ஆக்கக்கூடிய வேறுவேருண மூன்று எழுத்துக் கூட்டங்களுள் யாதுமொரு கூட்டத்திலுள்ள எழுத்தொழுங்கைக் கவனிக்காதவிடத்து அக்கூட்டங்கள் abc, abd, acd, bcd என்பனவாகும். அங்கு 4 கூட்டங்களே உண்டு ; அதாவது தடவைக்கு 3 ஆக எடுக்கப்படும் 4 வேறுவேறு பொருள்களின் சேர்மானத்தொகை 4 ஆகும்.
தடவைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் m வேறுவேறு பொருள்களின் சேர் மானத் தொகை n பொருள்களைக்கொண்டு ஆக்கக்கூடிய r பொருள்களி ஒறடைய வேறுவேருண கூட்டங்களினது தொகையாகும். அது m, r என்பன முழுவெண்களாக அவற்றுள் m என்பது r இலுஞ் சிறிதாகாத போது "C, ஆற் குறிக்கப்படும்.
40 - 4 எனக் கண்டோம்.
இப்பொழுது ?, r என்பனவற்றினுடைய தந்த பெறுமானங்களுக்கு
"C, என்பதைக் கணிக்க உதவுஞ் சூத்திரம் ஒன்றைப் பெறுவோம்.
",ே இற்குச் சூத்திரம். தடவைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் m வேறு வேறு பொருள்களினுடைய வேறு வேறு வரிசை மாற்றமானவை r பொருள்களினுடைய இயலத்தக்க கூட்டங்கள் எல்லாவற்றையும் ஆக்கி அதன்பின் ஒவ்வொரு கூட்டத்திலும் உள்ள பொருள்களே இயலத்தக்க வழிகள் எல்லாவற்றையும்பற்றி ஒழுங்கு படுத்தலாற் பெறப்படும். ? வேறுவேறு பொருள்களானவை தம்முள் ஒழுங்காக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகை r !
"C, x r) = "P
هم nC n(n-1) (n-2)...(n -r--1)
r ዮ!
- n!
வேறெரு வழி. அந்த ? வேறுவேருண பொருள்கள் a, a,.,a என்னும் n வேறுவேறன எழுத்துக்களாற் குறிக்கப்படுகின்றன எனக் கொள்க. ஒவ்வொன்றும் r எழுத்துக்களுள்ள "C. கூட்டங்கள் எல்லாம் கடதாசித் தாளில் எழுதப்பட்டால் எழுதப்பட்ட எழுத்துக்களின் மொத்தம் 7 x"0,

Page 172
332 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆகும். இப்போது இவ்வெண்ணை வேறெரு வழியாற் கணிப்போம். யாதும் ஓர் எழுத்து (a என்க) எழுதப்படும் முறைத்தொகை இவ் வெழுத்து இருக்குங் கூட்டங்களினது தொகைக்குச் சமனுகும். a என் னும் எழுத்தைத் தவிர்த்து மீதி (n-1) எழுத்துக்களிலிருந்து இயலத் தக்க (r-1) எழுத்துக் கூட்டங்கள் எல்லாவற்றையும் ஆக்கி, அதன் பின் ஒவ்வொரு கூட்டத்திலும் a என்னும் எழுத்தை அமைத்தோ மாயின், தடவைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் m ஆரம்ப எழுத்துக்களின் சேர் மானங்கள் எல்லாவற்றுள்ளும் a என்னும் எழுத்தைக் கொண்டனவற் றைப் பெறுவோம். ஆகவே, a என்னும் எழுத்து "TC. தடவை எழுதப்படும். அதேபோலப் பிறவெழுத்துக்கள் ஒவ்வொன்றிற்குஞ் செய்ய லாம். ஆகவே, எழுதப்பட்ட எழுத்துக்களின் மொத்தம் 70 x"0. என்பதற்குச் சமன்.
... X C = n. X "-"C,-
... "O = x -O,
n > 7 ஆக, இது m, r என்பனவற்றினுடைய நேர் முழுவெண் பெறு மானங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் உண்மையாகும்.
-- -l - . "ー"C.ー1="二宮 ×"ー"C,ー2
......... ع4
in - 2 8 ܝ "ー"o,ー。 =鑑三斎×""C-8
« - ገ0 – ፃ‛ –+- 2 -- (r °C-6-2)= 2 ×* r+"o.
அன்றியும் 'C' என்பது தெளிவாய் m - r -- 1 இற்குச் சமன்.
)1 —+— т(т, — 1) (т. — 2). . . (т — r به ۶۶O
r
n(nー1)・・・・(nーr十 l) --
சிறப்பாக "O, = 1.
மேலுள்ள சூத்திரத்தாற் சரிபிழை பார்க்கப்படக்கூடிய பின்வரும் முடிபுகளானவை நேரடியாய் நிறுவப்படக்கூடியவை.
"C, - "C- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) "O, = "C- -- "C. . . . . . . . . . . . . . (2)

அட்சரகணிதம் 333
n பொருள்களிலிருந்து எடுக்கும் r பொருட்கூட்டம் ஒவ்வொன்றிற் கும் (m - r) பொருட்கூட்டம் ஒன்றை விடுகின்றேமென்பதை நினைவு கூர்ந்தால் (1) எளிதிற் புலஞகும்.
(2) ஐ நிறுவுதற்கு ஒரெழுத்து a யாயுள்ள m வேறுவேறன எழுத்துக்கள் எம்மிடம் உண்டெனக் கொள்க. இந்த m எழுத்துக்களி லிருந்து வேறுவேருண 7 எழுத்துக் கூட்டங்களே ஆக்கினுல் a என்பது இருக்குங் கூட்டங்களினது தொகை ""C.. அதற்குக் கார ணம் இது தடவைக்கு (r-1) எழுத்துக்களாக எடுக்கப்படும் மீதி (n-1) எழுத்துக்களினுடைய கூட்டங்களினது தொகைக்குச் சமன் என்பதே. a என்னும் எழுத்து இல்லாத கூட்டங்களானவை f எழுத்துக்களை மீதி (n-1) எழுத்துக்களிலிருந்து தேர்தலால் ஆக்கப்படும். ஆகவே, a என்னும் எழுத்து இல்லாத கூட்டங்களினது தொகை "0.
пс, سسسس- * - C, -- m-o. உதாரணம் 1. ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள 10 பேர்கள் 4 பேர்கொண்ட வேறுவேறு கூட்டங்களாக வேறுவேறு நாள்களில் ஒரு நாடகசாலைக்குச் செல்லத் துணிகின்றனர். அவர்கள் எத்தனை நாள்களுக்குச் செல்வார்கள் ? ஒவ்வொருவரும் எத்தனை காட்சி காணக்கூடும் ?
அவர்கள் செல்லும் முறைத் தொகை தடவைக்கு 4 ஆக எடுக்கப்படும் 10 வேறுவேறு பொருள்களின் சேர்மானத் தொகைக்குச் சமன்.
10 x 9 x 8 x 7 ---- 10C ------ --................................................--ــــــــــ-- ------ع-ســـــــــــــــــــــ--س-س------بس۔ இது “下 エ .. ஒவ்வொருவருஞ் செல்லும் முறைத் தொகை
9 × 8 × 7 .84 سببیہ ۔س... جیسے م9O
"下3エマ「i
உதாரணம் 2, 9 ஆண்களிலிருந்தும் 5 பெண்களிலிருந்தும் 7 பேர் கொண்ட ஓர் அலுவற்குழு தேரப்படவேண்டும்.
20.
(a) 4 ஆண்களும் 3 பெண்களும் தேரப்பட்டால்,
(b) பெண் ஒருத்தியாயினுந் தேரப்பட்டால் அவ்வலுவற்குழு ஆக்கப்படக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
(a) 9 ஆண்களிலிருந்தும் 4 பேரைத் தேரும் வழிகளினது
9 ×8 × 7×6 (ତ) 9O سی سی | தாகை "U.--இ.இ
-2 5 பெண்களிலிருந்தும் 3 பேரைத் தேரும் வழிகளினது
5 x 4 x 3 ெ 5O = "..." தாகை "Us=இஇ
I0

Page 173
334 ஆரம்ப தூய கணிதம்
ஆண்களைத் தேரும் ஒவ்வொரு வழிக்கும் ஒக்கப் பெண்களைத் தேருதற்கு 10 வழிகள் உண்டு.
ஆகவே 4 ஆண்களையும் 3 பெண்களையும் தேரும் வேறுவேறு வழிகளி னது தொகை 126 x 10 = 1260.
(b) எல்லாமாக 14 பேர் உண்டு. அவருள் ஒரு பெண்ணுயினும் உட்பட 7 பேரைத் தேர்தல் வேண்டும். கட்டுப்பாடு யாதுமின்றி 7 பேர் தேரப் படக்கூடிய வழிகளினது தொகை
14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9/x 8 「下7 × 6 × 5ヌエヌ 3 × 2 × I = 3432. இது ஒரு பெண்ணுயினும் எடுக்கப்படாத வழிகளினது தொகையை உட் படுத்தும். பெண்ணுெருத்தியும் எடுக்கப்படாது விட்டால் 7 பேர்க் கூட்டம் முழுவதும் 9 ஆண்களிலிருந்து தேரப்படல் வேண்டும். ஆகவே, பெண் ணுெருத்தியையும் உட்படுத்தாதவாறு அவ்வலுவற்குழுவை ஆக்கும் வழி களினது தொகை 90 - 90,
9 x 8
.36 سست ہیس۔سی۔ F
ஆகவே, பெண்ணுெருத்தியையாயினும் உட்படுத்துமாறு அவ்வலுவற் குழுவை ஆக்கும் வழிகளினது தொகை = 3432 -36 = 3396.
பயிற்சி 34
1. ஒரு தளத்தில் 15 புள்ளிகள் உண்டு ; அவற்றுள் 6, ஏனைய 9 புள்ளிகளுள் யாதொன் நிற்குமூடாகச் செல்லாத ஒரே நேர் கோட்டில் உள்ளன ; இந்த 9 புள்ளிகளுள் எவையேனும் மூன்று ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லை. இப்புள்ளிகளைத் தொடுத்தலால் 91 வேறுவேறு நேர் கோடுகள் ஆக்கப்படலாமென்றும், தம்முச்சிகள் இந்த 15 புள்ளிகளுள் இருக்கின்ற முக் கோணிகள் 435 ஆகுமென்றுங் காட்டுக.
2. 10 வேறுவேறு புத்தகங்களானவை 4 புத்தகங்கொண்ட கட்டாயும் 8 புத்தகங்கொண்ட கட்டாயும் ஆக்கப்படும் வழிகளினது தொகை 210 எனக் காட்டுக. அவை ஒவ்வொன்றும் 5 புத்தகங்கொண்ட இரு கட்டுகளாக 128 வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடுமெனக் காட்டுக.
3. 8 ஆண்களிலிருந்தும் 4 பெண்களிலிருந்தும் 5 பேருள்ள ஓர் அலுவற் குழுவை ஆக்குமிடத்து அக்குழுவிற் பெண் ஒருத்தியும் இல்லாதபொழுது குறிக்கப்பட்ட ஆண் ஒருவன் சேவைசெய்ய மறுத்தால் எத்தனை வழிகளாக அக்குழு ஆக்கப்படலாம் எனக் காண்க. (விடை 757)
4. ஒரு பையிற்குள் 6 வெண்மாபிள்களும் 5 செம்மாபிள்களும் உண்டு. அப்பையிலிருந்து 4 மாபிள்களை ஒரு மனிதன் எடுக்கக்கூடிய வழிகளினது தொகையைக் காண்க. 2 வெண்மாபிள் களையும் 2 செம்மாபிள்களையும் அவன் எடுக்கக்கூடிய வழிகளினது தொகையையுங் காண்க.
ஆயின் அம்மனிதன் மாபிள்களுள் ஒன்றையும் பாராது அவற்றுள் 4 ஐ எடுக்கும்போது 2 வெண்மையாயும் மற்றை இரண்டு செம்மையாயும் இருக்கும் நேர்தகவு 11 இல் 5 எனக் காட்டுக.

அட்சரகணிதம் 335
5. ஒரு நகரசபையிலே தலைவர் பதவித் தேர்வொன்றில் 2 அபேட்சகரும் 12 தேர்வோரும் இருந்தனர். வென்ற அபேட்சகனுக்கு 2 வாக்குக்கள் கூடுதலாகக் கிடைத்தன. அவ்வாக்குரிமை 792 வேறுவேறன வழிகளுள் யாதுமொன்றல் வழங்கப்பட்டிருக்கலா மெனக் காட்டுக.
6. 10 மக்களினுடைய வயதுகள் 10 அடுத்துவரும் முழுவெண்களாற் குறிக்கப்பட்டிருக்கின் றன. அவருள் 5 பேருள்ள ஒரு கூட்டத்தில் எவரேனும் இருவருடைய வயது வித்தியாசம் 8 இற்குச் சமனகாதவாறு அக்கூட்டத்தை ஆக்கும் வழிகளினது தொகை 146 எனக் காட்டுக.
7. 9 இல்லங்களுக்குச் சொந்தக்காரன் ஒருவன் பிள்ளை ஒன்றுக்கு மூன்றகத் தன்னுடைய மூன்று பிள்ளைகளுக்கும் அவற்றை நன்கொடையாக வழங்க விரும்புகிறன். அந்நன்கொடை வழங்கப்படக்கூடிய வேறு வேறு வழிகளினது தொகை 1680 எனக் காட்டுக. யாதொரு பங்கிற்குஞ் சொந்தம் பற்றி வேறுபாடு யாதுஞ் செய்யப்படவில்லையெனின் அந்நன்கொடை வழங்கப்படும் வழிகளினது தொகை 280 எனக் காட்டுக.
8. m, n என்பன 3 இலுஞ் சிறியனவாகாத நேர்முழுவெண்களாயிருக்கும்போது யாதொரு சூத்திரத்தையும் மேற்கொள்ளாது
m+ no-mo,+O, O,--"O, O,--O,
Tsviš SmitB&s.
9. 10 ஆண்களிலிருந்தும் 10 பெண்களிலிருந்தும் கலந்த இரட்டைத் தெணிசு விளையாட்டொன்றிற்கு விளையாடுவோர் தேரப்படவேண்டியவராய் இருக்கின்றனர். அவ்விரண்டு எதிர்ப்பக்கங்களும் ஆக்கப்படத்தக்க வேறுவேறு வழிகளினது தொகையைக் காண்க. (விடை 4050)
10. 10 ஆண்களும் 10 பெண்களும் ஒரு வியாபாரத் தாபனத்திலுள்ள ஆறு வேலைகளுக்கு மனுக்கொடுக்கின்றர்கள். அவ்வேலைகள் 3 இற்குக் குறையாமல் ஆண் மக்களாலே நிரப்பப்பட வேண்டுமெனின், அந்த 6 வேலைகளுங் கொடுக்கக்கூடிய வேறுவேறு வழிகளினது தொகையைக் காண்க.
எல்லாம் வேறுபடாத பொருள்களினுடைய வரிசை மாற்றங்களுஞ் சேர்
மானங்களும். முறைக்கு r ஆக எடுக்கப்படும் n பொருள்களினுடைய வரிசைமாற்றச் சேர்மானத் தொகைகளாகிய
n(n - 1)...(n. —r+ 1) r ! n பொருள்கள் எல்லாம் வேறு வேறகும்பொழுதே உண்மையாகும். எல்லாப் பொருள்களும் வேறு வேருகாதபொழுது முறைக்கு 7 ஆக எடுக்கப் படும் n பொருள்களினுடைய ஒழுங்குத் தொகைக்கோ கூட்டத் தொகைக்கோ எளிய கோவை ஏதும் கொடுத்தல் இயலாது.
п(п — I)... (т — r-+-I) என்னுங் கோவைகள் அந்த
சில எண்ணுதாரணங்களை மாத்திரம் இங்கு ஆராய்வோம்.
உ -ம். “ Association ’ என்னுஞ் சொல்லினுடைய எழுத்துக்களை முறைக்கு நாலாக எடுக்கவரும் வேறு வேருன கூட்டத் தொகையையும் வேறுவேருண ஒழுங்குத் தொகையையுங் காண்க.
இதன்கண் 2 எழுத்துக்கள் a யாயும் 2 எழுத்துக்கள் 8 ஆயும் 2 எழுத்துக்கள் 0 ஆயும் 2 எழுத்துக்கள் க் ஆயும் 3 எழுத்துக்கள் வேறு வேறனவையாயும் இருக்கின்றன.

Page 174
336 ஆரம்ப தூய கணிதம்
அவற்றிலிருந்து ஆக்கப்படும் 4 எழுத்துக் கூட்டமொன்றில் இருக்கக் கூடியவை : s
(a) ஓரினத்தில் 2 எழுத்துக்களும் வேறேர் இனத்தில் 2 எழுத்துக்
களும், (b) 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் வேறு 2 வேற்றுமைப்பட்ட
எழுத்துக்களும், (c) எல்லாம் வேற்றுமைப்பட்ட 4 எழுத்துக்கள். 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் வேறு 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் உள்ள ஒரு கூட்டத்தை ஆக்குதற்கு 4 தொகுதிகளிலிருந்து ஒற்றுமைப் பட்ட எழுத்துக்களினுடைய 2 தொகுதிகளைத் தேர்தல் வேண்டும். ஆகவே, இவ்வினத்துக் கூட்டங்களினது தொகை 40, அதாவது 6.
2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் உள்ள ஒரு கூட்டத்தை ஆக்குதற்கு ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களினது தொகுதியை நாம் 4 வழிகளிலே தேரலாம். ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக் களின் ஒரு தொகுதி இந்த வழிகளுள் யாதும் ஒன்றலே தேரப்பட்ட பொழுது, தேர்தற்பொருட்டு 6 வேறு வேருண இனங்கள் எம்மிடம் உண்டு ; ஆயின், 2 வேறுவேருண எழுத்துக்கள் °C அதாவது 15 வழிகளிலே தேரப்படலாம். ஆகவே, 2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களையும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களையும் உடைய கூட்டங்களினது தொகை 4X15 அதாவது 60.
4 வேறு வேருண எழுத்துக்களின் கூட்டம் ஒன்றை ஆக்குதற்கு, தேர்தற் பொருட்டு 7 வேறு வேருன இனங்கள் எம்மிடம் உண்டு ; ஆயின், அக் கூட்டம் 70, அதாவது 35 வழிகளில் ஆக்கப்படலாம்.
ஆகவே, தந்த சொல்லினுடைய எழுத்துக்களிலிருந்து ஆக்கப்படக்கூடிய வேறு வேருன 4 எழுத்துக் கூட்டங்களினது தொகை 8+60+35 அதாவது 10.
ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்பதற்கு வேறு வேருண அம்மூன்று கூட்டவினங்களுந் தனித்தனி ஆராயப்படும்.
ஓரினத்தின் 2 எழுத்துக்களும் வேறேரினத்தின் 2 எழுத்துக்களுமுள்ள
4彗 ஒவ்வொரு கூட்டமும் 2 2. ஒழுங்குகளைத் தரும்.
ஆகவே, கூட்டங்கள் 6 இலுமிருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குத் தொகை
6×4×3×2_
2×2
2 ஒற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும் 2 வேற்றுமைப்பட்ட எழுத்துக்களும்
36.
w 4
உள்ள ஒவ்வொரு கூட்ட்மும் 2 ஒழுங்குகளைத் தரும்.

அட்சரகணிதம் - 337
ஆகவே, அந்த 60 கூட்டங்களிலும் இருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குகளினது
60×4×3×2
தொகை :=720.
4 வேறு வேறன எழுத்துக்களின் ஒவ்வொரு கூட்டமும் 4 1 ஒழுங்குகளைத் தரும்.
ஆகவே, அந்த 35 கூட்டங்களிலுமிருந்து பெறப்படும் ஒழுங்குகளின் தொகை 35x4X3x2=840.
ஆகவே, தந்த சொல்லினுடைய எழுத்துக்களைத் தடவைக்கு 4 ஆக எடுக்க வரும் ஒழுங்குகளினது மொத்தம் 36+720+840
=l,596.
பயிற்சி 35
1. “Maladministration" என்னுஞ் சொல்லினுடைய எழுத்துக்களைத் தடவைக்கு 4 ஆக எடுக்க வரும் வேறுவேறன ஒழுங்குகளினது தொகையைக் காண்க.
2. 4 வெண்மாபிள்களும் 4 செம்மாபிள்களும் உள்ள கூட்டம் ஒன்றிலிருந்து 5 மாபிள்களை எடுத்து ஒரு வட்டத்தில் ஒழுங்காக வைக்கக் கூடிய வழிகளினது தொகையைக் sf760s.
ஈருறுப்புத் தேற்றம்.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்பொழுது a, b, என்பன
எவையேனும் இரண்டு மெய்யெண்களைக் குறிக்க, ஒவ்வொன்றும் (a+b)
ஆகிய n காரணிகளின் பெருக்கத்தை ஆராய்க,
அதாவது (a+b) (a+b) (a+b) . . . . . m காரணிகள் வரைக்கும்,
அதாவது (a+b)".
அப்பெருக்கத்திலுள்ள உறுப்புக்கள் அந்த m காரணிகள் ஒவ்வொன்றி லுமிருந்து a, b என்னும் எழுத்துக்களுள் ஒன்றை எடுத்து அவற்றை ஒருங்கு பெருக்குதலாற் பெறப்படும். அந்த m காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலு மிருந்து ஒர் எழுத்தைத் தேரும் பல வழிகளுக்கு அப்பலவாகிய உறுப்புக் கள் ஒத்தனவாயிருக்கும். m காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து a என்னும் எழுத்தை எடுக்கின்றேம் எனக் கொள்க. இது ஒரு வழி யாலேயே செய்யப்படக் கூடும் ; ஆயின், அப்பெருக்கத்தில் 1 ஐக் குணக மாகவுள்ள a" என்னும் ஓர் உறுப்பு இருக்கும். ய என்பதை (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் b என்பதை மீதிக் காரணியிலிருந்தும் எடுக் கின்ருேமெனக் கொள்க. b யை முதலாங் காரணியிலிருந்தும் a யை ஏனை (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் எடுக்கலாம். அன்றி b என்பதை இரண்டாங் காரணியிலிருந்தும் a என்பதை மீதி (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் இவ்வாறே பிறவற்றையும் எடுக்கலாம். தேர்தற்கு 7. காரணிகள் இருத்தலால் b என்னும் எழுத்து "0 வழிகளிலே

Page 175
338 ஆரம்ப தூய கணிதம்
தேரப்படலாம். ஆகவே, a"Tம் என்னும் உறுப்பு அப்பெருக்கத்தில் "0 முறை வரும் ; அதாவது, அப்பெருக்கத்தில் a"ம் என்பதன் குணகம் "C ஆகும்.
b என்பதை இரண்டு காரணிகளிலிருந்தும் a என்பதை மீதி (n-2) காரணிகளிலிருந்தும் எடுக்கின்றேம் எனக் கொள்க. இது "0 வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடும். ஆகவே, அப்பெருக்கத்தில் a"*ம் என் னும் உறுப்பு "0 முறை வரும் ; அதாவது, அப்பெருக்கத்தில் a**b என்பதன் குணகம் °C ஆகும்.
பொதுவாக, b என்னும் எழுத்தை காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலு மிருந்து a என்னும் எழுத்தை மீதி (n-1) காரணிகளிலிருந்தும் எடுக்கின்றேமெனக் கொள்க. இது "0, வழிகளிற் செய்யப்படக்கூடும். ஆகவே, அப்பெருக்கத்தில் ("b" என்பதன் குணகம் "C ஆகும். இறுதியாக, b என்பதை m காரணிகள் ஒவ்வொன்றிலுமிருந்து எடுத்தோமாயின், 1 என்னுங் குணகத்தோடு 6" என்னும் உறுப்பைப் பெறுவோம்.
.. அப்பெருக்கம், a”+”O,a”-'b-+"O,a” ~*b”+....+"Cጨ” -'ü”+....+b” என்பதற்குச் சமன்.
இவ்வண்ணம், m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயிருக்கும்போது, (a--b)"=a"+"Caob+.... +"Cao"b"--.... bo. அப்பெருக்கத்தின் விரியிலுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும்
"0"b" என்னும் வடிவினது. இங்கு r என்பது பூச்சியமாகும் அல்லது m இலுஞ் சிறிதாயோ சமனயோ உள்ள ஒரு நேர் முழுவெண்ணுகும்.
"00 என்பது 1 ஆக எடுக்கப்பட்டால், முதலாம் உறுப்பு r=0 என்பதற்கு ஒத்ததாகும். இரண்டாம் உறுப்பு 4-1 என்பதற்கும் இவ்வாறே பிறவும் ஒத்தனவாகும். ஈற்றுறுப்பு r=m என்பதற்கு ஒத்ததாகும். அவ்விரியில் (n+1) உறுப்புக்கள் இருக்கும் ; (r+1) ஆம் உறுப்பு "Co"b" ஆகும்.
2 என்னுங் குறியீடு தொடர்க் கூட்டலைக் குறிக்குமாயின்,
řs
(α-- ό)" = Σ "Cao-rty
f's O என எழுதுகின்றேம்.
இந்த முடிபு a, b என்னும் இரு மூலங்களைக் குறிக்கின்றமையால் ஈருறுப்புத் தேற்றமெனப்படும்.
இப்போது அத்தேற்றத்தைத் தொகுத்தறி முறையாலே நிறுவுவோம். (a+b)"=a"+"Ca" " b+ ... +“Ca'"'b'+ ... +b*.

அட்சரகணிதம் 339
வலப்பக்கத்தில் (n+1) உறுப்புக்கள் இருக்கின்றன. m=1 ஆகும் பொழுது இரண்டாம் உறுப்பு ஈற்றுறுப்பாக, அங்கு இரண்டு உறுப்புக்கள் இருக்கும். ஆகவே, n = 1 ஆகும்பொழுது, முடிபு (a + b) = a+b என்பதாகும். இது உண்மை.
இனி, m=0 ஆகும்பொழுது அம்முடிபு உண்மையாகுமெனக் கொள்க. gu$357 (a+b)”=ao+°Caob+... +°Cao"b" + ... +bo. இரு பக்கங்களையும் a, b என்பனவற்ருலே தொடர்ச்சியாகப் பெருக்க, a(a+b)’-a”*--°Ca?b+ ... --PCa’’b’ + ... --ab’, b(a-b)== a°b-- ... --Oa?"b"--........ +bዖ+1
øTGÖTL. 160T.
இங்கு ஒத்த உறுப்புக்களை ஒன்றின்கீழ் ஒன்றக எழுதியுள்ளோம். ஒருங்கு கூட்ட (a+b)(a+b)” = ao*1 -- (PC+1) a Pb-+ ... --(°C, + °C, -)a”*1*b"-- , ...-+bዎ+1.
இதற்குமுன் "C="10.+*10, எனக் கண்டுள்ளோம்.
P+1C,-PO,---PC. (a+b)ዎ+1=aዎ+1-+ፇ+'O,ዉዎb+ ... +P+lO,aዏ+l  ̈”b”+ ... +bዎ+l. அதாவது m=p+1 ஆகும்பொழுது அத்தேற்றம் உண்மையாகும். ஆகவே, 10=ற ஆகும்பொழுது அத்தேற்றம் உண்மையானல், n=p+1 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மையாகும்.
10-1 ஆகும்பொழுது அது உண்மை.
'. 1-2 ஆகும்பொழுதும் அது உண்மை. .. m என்பது யாதும் ஒரு நேர் முழுவெண் பெறுமானமுடையதா யிருக்கும்பொழுது இவ்வாறே செய்யலாம். w
உதாரணம் 1.
(2-3a) என்பதன் விரியைக் காண்க. (2-3a)5-25-1-5C,24(-3a)--5C29(-3a)--5C22(-3a)
+PO2( – 8a)*+( - 84)* .2435 - 1080a3 =+–810a4 – 2م240a -+-720a - 32 جب۔
உதாரணம் 2.
3 Y10 (+ ..) இன் விரியில் 078 இன் குணகத்தைக் காண்க.
13一R11681(1166)

Page 176
340 ஆரம்ப தூய கணிதம்
r என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயோ பூச்சியமாயோ இருந்தால் அவ்விரியிலுள்ள யாதும் ஒர் உறுப்பு
/3\" - 10O (2α) 10 () =100210 "3": 4ም
என்னும் வடிவினதாகும். a" என்பதை அகப்படுத்தும் உறுப்பு 10-47= - 6, அதாவது 2=4 ஆகும்பொழுதே பெறப்படும். a" என்பதன் குணகம் 100.28.34
10x9x8x7 4×3×2
=210×26×34.
28.34
உதாரணம் 3.
(2+ A/3)* என்பதன் முழுவெண் பகுதியைக் காண்க. .4(3/vہ)-+ 3 (3/vہ)v/3)2 -+ 4O2ہ)22.v/3)4 == 24 - 4O,23/3-+4Oہ ہ+-2) (2 -- Ꮩ8)*--2Ꮞ -- ᏎᏟ,28Ꮤ8+ᏎᏟ,.2*( V8)* -- ᏎᏟᏍ2( V8)°+(Ꮙ8)*. (2-- V3) --(2- v9-(+ 4 3 2.3+8)
1940 سيبية
(2 - V3) என்பது 1 இலுஞ் சிறியதாய் நேராகும். .. (2 - V3)4 என்பது 1 இலுஞ் சிறிதாய் நோாகும். .. (2+ v/3)* என்பதன் முழுவெண் பகுதி-193. 2>0 ஆகும்பொழுது, (1+x)" இன் மிகப்பெரிய உறுப்பு.
m என்பது ஒரு நேர் முழுவெண்ணுயின், " ۶O2 + . . . +Ca۲ + . . . + a + بa) ** = 1 +- "Oa + 1) 2>0 ஆயின், எல்லா உறுப்புக்களும் நேராகும். T, என்பது அவ்விரியிலுள்ள 7 ஆம் உறுப்பாகுக. T="Ca", T="C-".
T+1 (n-1) . . . (n — r-+-1) X (r - 1)(r - 2) . . . Il
Τ r(r - 1) . . . 1 n(nーI)・・・(nーr十2)
yr
ーr--I
ሦ-+- 2. ሦ

அட்சரகணிதம் 34
nーr--l
共 2>1 எனின், Tடி>T,
nーr-+-l
2<1 எனின், T,r(a+1) எனின், அதாவது, '< ಟ್ಜ” எனின்
nーr十-I -->1.
pr
2 - அதுபோல, r>("十" எனின், т F 1 که به.
の十ーl ነ‛ 伊三 (n+1)2 எனின், ”二”せ'z=1
ac-y-ll
ವ್ಲಿ? இலுஞ் சிறிதாய், அன்றிப் பெரிதாய்
KÉ அன்றி அதற்குச் சமனய் இருத்தலுக்கேற்ப Tடி என்பது T, இலும் பெரிதாய், அன்றிச் சிறிதாய், அன்றி அதற்குச் சமனய் இருக்கும்.
(n+1)2 の十-l
ஆகவே, r என்பது
என்பது ஒரு முழுவெண் அன்று எனக் கொள்க.
(n十l)a
ஆயின், 7 என்பது --l என்பதற்கு ஒரு போதுஞ் சமனுகாது.
p என்பது 掌 என்பதன் முழுவெண் பகுதியாகுக. (பூச்சியமும்
ஒரு முழுவெண்ணுகக் கொள்ளப்படும்).
, , (m + 1) ac < 0 எனின், ?<ட்ட்; r ற எனiன், 7 < at:-}- r> p எனின், ,>{*士垩。
ac-y-ll . 7 <ற யாயுள்ள 7 இன் யாதும் ஒரு முழுவெண் பெறுமானத்திற்கு
T1DT. r>ற யாயுள்ள 7 இன் எப்பெறுமானத்திற்கும்
T1-T. (n-+ 1) ac a2+-l
... p Sn.
2>0 -gasa'ait, 

Page 177
342 ஆரம்ப தூய கணிதம்
p=m எனின், rT, அவ்விரியில் (n+1) உறுப்புக்களே இருக்கின்றமையால், அவ்விரியிலே முதலாம் உறுப்புக்குப் பின்னுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்புந் தனக்கு முன்னுள்ள உறுப் பிலும் பெரிதாகும்; அதாவது, அவ்வுறுப்புக்கள் உறுதியாக முதலி லிருந்து இறுதி வரைக்குங் கூடும் ; ஆயின் ஈற்றுறுப்பு மிகப் பெரிதாகும்.
(ገ0+l)a; a;十-l இடையிற் கிடந்தால், Tடி>T, என்னுந் தொடர்பு f இன் யாதும் ஒரு முழுவெண் பெறுமானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
.. எல்லா 7 இற்கும் TடிT, ; p யிலும் பெரிய 7 இனுடைய பெறுமானங்களுக்கு Tiq GTGöfì6ổT, T+1 1 எனின், அதாவது ?< 5. எனின், அதாவது
7 < 2 எனின், Tடி>T. "> 2 எனின், T, 1 எனின், nC, > "C-.
அதாவது, ኵ<í எனின், "C,>"0..
r- ଶtଶ୪fiଟ୪t, “C,="C, -- , ,
r> "* எனின், "C-C,
al

Page 178
344 ஆரம்ப தூய கணிதம்
n என்பது ஓர் இரட்டை முழுவெண்ணெனக் கொள்க. ஆயின், - என்னுந் தொடர்பு f இன் யாதும் ஒரு முழுவெண் பெறுமானத்திற்குத் தீர்க்கப்படாது.
.எனின், "C>"C كr
r> எனின், "C<"C.
", "C என்பது, 0 இலிருந்து வரைக்கும் 7 ஆனது கூட, உறுதியாகக்
dalt-, இற்கு அப்பால் r ஆனது கூட உறுதியாகக் குறையும். ஆயின், r= ஆகும்பொழுது "C இன் மிகப் பெரிய பெறுமானம் பெறப்படும்.
m என்பது ஒர் ஒற்றை முழுவெண்ணெனக் கொள்க.
யின் --l வெண் ஆயின, - எனபது ஒரு முழுவெணணுகும.
"-" எனின், "C="c.
ጕ< எனின், "C>"C..
r> எனின், "C<"C.
- ", 7 ஆனது 0 இலிருந்து 궁 இற்குக் கூட "C என்பது உறுதியாகக்
臀 骼 கூடும். = o ஆனது இற்கு அப்பாற்கூட "C என்பது
7 - உறுதியாகக் குறையும் ; ஆயின், r="풍 அல்லது ஆகும் பொழுது
"C, இன் மிகப்பெரிய பெறுமானம் பெறப்படும். (1+2)" என்பதன் விரியிலுள்ள குணகங்களினுடைய தொடர்புகள்.
"C என்பதை C, ஆற் குறிக்க,
."C+- Ca-H- Ca+ ... +-Oa سیسس* (a + 1)
*C="C., ஆயிருத்தலால், C=C, C=C., C=C.. என்பன பெறப்படும்.

அட்சரகணிதம் 345
இருபக்கங்களிலும் a = 1 எனப் பிரதியிட,
,'O + C, -+- O2 + ........+- O جیسے ”2
a = -1 எனப் பிரதியிட, 0 - O - C+C, -C-H... இவற்றை ஒருங்கு கூட்ட
2" = 2 (C-C - C -- ...). இவற்றைக் கழிக்க,
2"=2 (C-C-C--...). ..". C--O-O--... --O--Ca--O--... =2".
உதாரணம் 1. C-- Co+.+Co= (2n)
γι, η (1 + ac)"== C.. -- Cac-y-Coe°-+ ... -- Cac". அன்றியும், (a+1)"-Cல"+Ca"1+Ca"2+...+0. வலப்பக்கத்திலுள்ள விரிகளின் பெருக்கத்தில் 2" இன் குணகம்
C+C,--...--C. (1+2)? (C+1)" அதாவது (1+a)? இல் 2" இன் குணகம்
ano-(?) ஆகும்.
η, η
.}(30) == ه,C+C,2+...+C ..
ጎኳ ! ገፀ !
எனக் காட்டுக.
1\ገኒ அல்லது, 1+) =C+O + O2 + • +C;
2. ..'. C*+C*+ ... + C*=(1+ac)” (1+ 2) இல் ல ஐச் சாராத உறுப்பு
=(1+2)? இல் ஸ்" இன் குணகம்.
உதாரணம் 2. +++ = ("- ) எனக்
5ft (65.
C, 1 7, r--I r-- īri (n - r)
721 (r-1) (n-r)
. (n-1-1) Tin-1 (r-1) (n-r)
--1 "+'O, +፤

Page 179
346 ஆரம்ப தூய கணிதம்
C C C
· 구++·+
P. ""C,+"tic,+.+"t'o...]
(1+r)^*+1 இன் விரியிற் குணகங்களை ஆராய,
*C++C+...+*C, =2*十1,
C, C Ο .[ 1 -- *****2] ۔۔۔ ہے۔ 70................ 1_oم • s 妄十 * , ( ..)
பயிற்சி 36
2Vs 1. (o என்பதன் விரியில் 2 ஐச் சாராத உறுப்பைக் காண்க.
22
1 YA 5 2. (e. 2) என்பதன் விரியில் 315 என்பதன் குணகத்தைக் காண்க.
2
8. (a) 9993, (6) (V2+1) என்பதன் முழுவெண் பகுதி என்னும் இவற்றைக் காண்பதற்கு ஈருறுப்பித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துக.
V9 4. =ை 3 ஆகும்பொழுது (st :) என்பதனுடைய விரியிலுள்ள மிகப்பெரிய உறுப்
62ui ST 675.
5. a= ஆகும்பொழுது (1+2a) என்பதன் விரியிலுள்ள மிகப் பெரிய உறுப்புக்களைக்
sitats.
6. 

Page 180

திண்மக் கேத்திரகணிதம்

Page 181

அத்தியாயம் 4
வெளிப்படையுண்மை 1. வெளியில் இரு புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு நேர்கோடு மாத்திரம்
66. வரைவிலக்கணம். ஒரு தளம் என்பது தன்மீதுள்ள எவையேனும் இரு புள்ளி களைத் தொடுக்குங் கோடு முழுவதுந் தன்மீது கிடக்கும் ஒரு பரப்பு. வெளிப்படையுண்மை 2. ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகளுக்கூடாக ஒரு தளம் மாத்திரம் உண்டு. உய்த்தறிவு 1. ஒரு நேர்கோட்டிற்கூடாகவும் அதன்மீது கிடவாத ஒரு புள்ளிக்கூடாகவும் ஒரு தளம் மாத்திரம் வரைதல்கூடும்.
என்பது அக்கோடாகுக : P என்பது அப்புள்ளியாகுக. இன்மீது A, B என்னும் இரு புள்ளிகளை எடுக்க. ஆயின், A,B,P என்பன ஒரு தனித்தளத்தை வரையறுக்கும். A, B என்பன இத் தளத்தின்மீது கிடத்தலால், என்னும் கோட்டின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இத்தளத்தின் மீது கிடக்கும். ஆகவே, C, D என்பன இன்மீதுள்ள எவையேனுமிரு புள்ளிகளாயின், APB என்னுந் தளத்தில் C,D,P என்னும் மூன்று புள்ளிகளும் இருக்கும் ; ,அதாவது, CDP என்னுந் தளம் APB என்னுந் தளத்தோடு ஒன்றகும்.
ஆகவே, என்னுங் கோட்டிற்கூடாகவும், P என்னும் புள்ளிக் கூடாகவும் ஒரு தளம் மாத்திரம் உண்டு. உய்த்தறிவு 2. ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு நேர்கோடுகள் ஒரு தனித் தளத்தை வரையறுக்கும்.
,m என்பன ஒன்றையொன்று A யில் வெட்டும் இரு கோடுகளாகுக. P என்பது n இன்மீதுள்ள வேறு யாதும் புள்ளியாகுக. ஆயின், P, என்பன ஒரு தனித்தளத்தை வரையறுக்கும். A என்பது இன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாதலின், இத்தளம் A யிற்கூடாகச் செல்லும். இனி, m என்பது P, A என்பனவற்றைத் தொடுக்குங் கோடாதலால், இத்தளம் m இன் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கூடாகவுஞ் செல்லும். ' ஆகவே, அத்தளம் ,n என்னும் இரண்டிற்குமூடாகச் செல்லும். ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் ஒரு தனித் தளத்தை வரை யறுக்குமாததால், , m என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் தனி 11.ΠούI 5ι. . . . உய்த்தறிவு 3. தந்த ஒரு நேர்கோட்டிற்கூடாக எத்தொகைத் தளங்களும் வரையப்படுதல் கூடும்.
என்பது அந்நேர்கோடாகுக. P என்பது இன்மீது கிடவாத யாதுமொரு புள்ளியாயின், , P என்பனவற்றிற்கூடாக ஒரு தனித் தளம் வரைதல் கூடும். இத்தளத்தில் கிடவாத 4) என்னும் ஒரு புள்ளியை யெடுக்க. ஆயின், 4,9 என்பன 1,P என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும்
35

Page 182
352 ஆரம்ப தூய கணிதம்
தளத்தோடு ஒன்ருகாத ஒரு தளத்தை வரையறுக்கும். P, என்பன வற்றிற்கூடாகச் செல்லும் தளத்திற்கு வெளியால் எத்தொகைப் புள்ளி களும் எடுக்கப்படலாமாதலால் இற்கூடாக எத்தொகைத் தளங்களும் வரையப்படலாம் என்பது பெறப்படும்.
வரைவிலக்கணங்கள். ஒரே தளத்திற் கிடக்கின்ற இரு நேர்கோடுகள் ஒருதளத்தன. ஒரேதளத்தில் கிடவாத இரு நேர் கோடுகள், ஒராய D666. இரு நேர்கோடுகள் ஒரு தளத்தனவாய் ஒன்றை ஒன்று வெட்டாவாயின், அவை சமாந்தரம் எனப்படும்.
வெளிப்படையுண்மை 3. தந்த ஒரு நேர்கோட்டிற் கிடவாத ஒரு புள்ளிக் கூடாகத் தந்த அக்கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாய் ஒரு நேர்கோடே வரையப்
படலாம்.
வரைவிலக்கணம். ஒரு நேர்கோட்டிற்கும் ஒரு தளத்திற்கும் ஒரு பொதுப் புள்ளி இல்லையெனின், அந்நேர்கோடு அத்தளத்திற்குச் சமாந்தரம் எனப்
ւմ(6ւԻ.
வெளிப்படையுண்மை 4. இரு தளங்களுக்கு ஒரு புள்ளி பொதுவாயிருந்தால், அவற்றிற்கு வேறெரு புள்ளியும் பொதுவாகும்.
உய்த்தறிவு 4. ஒரு பொதுப்புள்ளியையுடைய இருதளங்கள் ஒரு கோட்டின் வழியே ஒன்றையொன்று வெட்டும்.
A என்பது ஒரு பொதுப்புள்ளியாகுக. ஆயின், B என்னும் வேருெரு புள்ளியும் பொதுவாயிருக்கும். ஆகவே, AB என்னுங் கோடு அத் தளங்கள் இரண்டிற்கும் பொதுவாகும். AB யின்மீது கிடவாத P என்னும் ஒரு பொதுப்புள்ளி இருந்தால் அத்தளங்கள் இரண்டும் PAB என்னுந் தளத்தோடு ஒன்றகும். ஆகவே, அத்தளங்கள் இரண்டும் வேறு வேறனவையாயின், AB யின்மீது கிடவாத ஒரு பொதுப்புள்ளி அவற்றிற்கு இராது ; அதாவது. A, B என்டனவற்றிற்கூடாகச் செல்லும் கோட்டின் வழியே அவை ஒன்றையொன்று வெட்டும்.
வரைவிலக்கணம். யாதொரு புள்ளியும் பொதுவாயில்லாத இரு தளங் கள் சமாந்தரம் எனப்படும். தேற்றம் 1. என்னும் ஒரு நேர்கோடு 0 என்னுந் தளத்திலே கிடக்கின்ற m என்னும் ஒரு நேர்கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாயின், என்பது a விற்கிடக்கும், அன்றெனின் a விற்குச் சமாந்தரமாகும்.
l, m என்பன சமாந்தரமாதலின், அவை ஒரு தளத்திலே (8 என்க) கிடக்கும். 8 என்பது 2 வோடு ஒன்றயின், என்பது 0 விற் கிடக்கும். 8 என்பது a வோடு ஒன்ருயின், என்பது 0 விற்குச் சமாந்தரமில்லை எனக் கொள்க, ஆயின், என்பது 2 என்பதை A என்னும் யாதோ ஒரு புள்ளியிற் சந்தித்தல் வேண்டும். A என்னும் இப்புள்ளி 2, 8

திண்மக் கேத்திரகணிதம் 353
என்னுந் தளங்களுக்குப் பொது. ஆகவே, a, B என்பன ஒன்றை யொன்று வெட்டுங் கோடு A யினுடாகச் செல்லவேண்டும். ஆனல், இவ் வெட்டுக்கோடு m ஆகும். ஆகவே, A என்பது , m என்னும் இரண்டிற் கும் பொதுவாதல் வேண்டும். இது ஒர் எதிர்மறுப்பைத் தரும். ஆகவே 8 என்பது 2 வோடு ஒன்றன்றெனின், என்பது 0 விற்குச் சமாந்தரம்.
கி. தே. என்பது a என்னுந் தளத்திலுள்ள ஒரு நேர்கோடாயும் A என்பது 0 விலுள்ள ஒரு புள்ளியாயும் இருந்தால், A யினுடாக
இற்குச் சமாந்தரமாய்ச் செல்லுந் தனிக்கோடு 0 விற் கிடக்கும்.
தேற்றம் 2. Q என்னும் ஒரு தளத்திலுள்ள என்னும் ஒரு கோடு 3 என்னும் ஒரு தளத்திற்குச் சமாந்தரமாயின், a என்பது 3 விற்குச் சமாந்தரமாகும், அன்றெனின் என்பது a, b என்பனவற்றின் வெட்டுக் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகும்.
a, 8 என்பன சமாந்தரமல்லவெனின், அவை m என்னுங் கோட்டின் வழியே ஒன்றையொன்று வெட்டுக. , m என்பன ஒரு தளத் தனவாதலின், அவை ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமாதல் வேண்டும். அன்றெனின் ஒன்றையொன்று வெட்டல் வேண்டும். அவை யாதோ ஒரு புள்ளி A யில் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன எனக் கொள்க. n என்பது 8 வில் இருக்கின்றமையால், A என்னும் புள்ளி 8 வில் இருக்கும். ஆகவே, என்னுங்கோடு 8 என்னுந் தளத்தை A யில் வெட்டும். என்பது 0 விற்குச் சமாந்தரமாதலால், இது ஒர் எதிர் மறுப்பைத்தரும். ஆகவே, , m, என்பன சமாந்தரமாதல் வேண்டும்.
அதாவது, 0, 8 என்பன ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமல்லவெனின், ! என்பது அவற்றின் வெட்டுக்கோட்டிற்குச் சமாந்தரம்.
தேற்றம் 3. ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு தளங்களுள் ஒவ்வொன்றிற்குஞ் சமாந்தரமான ஒரு நேர் கோடு அத்தளங்களின் வெட்டுக் கோட்டிற்குச் சமாந்தரம்.
என்பது அக்கோடாயும், a, 8 என்பன m என்னும் ஒரு கோட்டின் வழியே ஒன்றையொன்று வெட்டும் இரு தளங்களாயும் இருக்க. A என்பது m இன்மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகுக. 4, l என்பனவற்றிற் கூடாகச் செல்லுந் தளம் A யிற்கூடாகச் செல்லும் ற என்னும் ஒரு கோட்டின் வழியே a என்பதை வெட்டும். என்பது a விற்குச் சமாந்தரமாதலின், மேற்றந்த தேற்றத்தால், p என்பது இற்குச் சமாந்தரம். அதுபோல, A, என்பனவற்றிற்கூடாகச் செல்லுந் தளம் 4 யினூடாகச் செல்லும் q என்னும் ஒரு கோட்டின்வழியே 3 என்பதை வெட்டும். இவ்வண்ணம், p, q என்பன A யினூடாக இற்குச் சமாந் தரமாகச் செல்லும் இரு கோடுகள். ஆகவே அவை ஒரே கோடுகளாகும். p என்பது 0 விலும், q என்பது 8 விலுங் கிடக்கின்றமையால், அவை m ஒடு பொருந்தல் வேண்டும் ; அதாவது, என்பது m இற்குச் சமாந்தரம்.

Page 183
354 ஆரம்ப தூய கணிதம்
தேற்றம் 4. இரு நேர் கோடுகளானவை மூன்றம் நேர் கோடொன்றிற்குச் சமாந்தரமாயின் அவை தம்முட் சமாந்தரம்.
, m என்னுங்கோடுகள் p என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தரமாகுக. அம்மூன்று கோடுகளும் ஒரே தளத்தில் இருக்கின்றன எனக் கொள்க. , m என்பன சமாந்தரமல்லவெனின், அவை ஒன்றையொன்று யாதோ ஒரு புள்ளி A யிற் சந்தித்தல் வேண்டும்.
ஆயின் A என்னும் புள்ளிக்கூடாக p என்னுங் கோட்டிற்குச் சமாந்தர மாய் , m என்னும் இரு கோடுகள் இருக்கும்.
இது வெளிப்படையுண்மை 3 ஐ எதிர் மறுக்கின்றது. ஆகவே, , m என்பன சமாந்தரம்.
, m என்பன எல்லாம் ஒரே தளத்தில் இல்லை எனக் கொள்க. A என்பது m இன்மீது p, என்பனவுள்ள தளத்தில் இல்லாத ஒரு புள்ளியாகுக. m என்பது இற்குச் சமாந்தாமன்றெனின், q என்பது A யிற்கூடாக யிற்குச் சமாந்தரமான கோடாகுக. ஆயின், டி, என்பன ஒருதளத்தன, p என்பது இற்குச் சமாந்தரமாதலால் p என்பது q, ! என்பன இருக்குந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். p என்பது m இற்குச் சமாந் தரமாதலால், p என்பது g, m என்பன இருக்குந் தளத்திற்குச் சமாந்தரம். , n என்பன ஒரே தளத்தில் இல்லாமையால் இவ்விரு தளங்களும் வேறு வேறகும் ஆகவே, p என்பது இந்த இரண்டு தளங்களினுடைய வெட்டுக் கோடாகிய g விற்குச் சமாந்தரம். ஆகவே, A யினுடாக p யிற்குச் சமாந் தரமாய் 4, m என்னும் இருகோடுகள் இருக்கும். இது ஒர் எதிர்மறுப் பைத் தரும்.
ஆகவே, , m என்பன ஒரே தளத்தில் இருத்தல் வேண்டும். ஆகவே, அவை சமாந்தரம். தேற்றம் 5. இரு சமாந்தரமான தளங்களை வெட்டும் ஒரு தளம் அவற்றைச் சமாந்தரமான கோடுகளில் வெட்டும். th
0, 8 என்னும்